Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ x ∈ f '' ↑s, IsInteger R₁ (↑a' • x)

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ IsInteger R₁ (↑a' • 0)

pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (x y : K),
    x ∈ span R₁ (f '' ↑s) →
      y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (a : R₁), ∀ x ∈ span R₁ (f '' ↑s), IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • a • x)

Tactic:
· rintro _ ⟨i, hi, rfl⟩
      exact ha' i hi

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ IsInteger R₁ (↑a' • 0)

case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (x y : K),
    x ∈ span R₁ (f '' ↑s) →
      y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))

case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (a : R₁), ∀ x ∈ span R₁ (f '' ↑s), IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • a • x)