Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Bijective ⇑(P.tensorToH1Cotangent T)

Tactic:
apply LinearMap.bijective_of_surjective_of_bijective_of_bijective_of_injective (M₁ := Unit)
      (N₁ := Unit) (M₂ := Unit) (N₂ := Unit)
    -- The row `0 → 0 → T ⊗ H¹(P) → T ⊗ P.Cotangent → T ⊗ P.CotangentSpace`.
    0 0
    ((P.h1Cotangentι.restrictScalars R).lTensor T)
    ((P.cotangentComplex.restrictScalars R).lTensor T)
    -- The row `0 → 0 → H¹(T ⊗ P) → (T ⊗ P).Cotangent → (T ⊗ P).CotangentSpace`.
    0 0
    (h1Cotangentι.restrictScalars R)
    ((P.baseChange (T := T)).cotangentComplex.restrictScalars R)
    -- The vertical maps induced by base change.
    0 0
    ((P.tensorToH1Cotangent T).restrictScalars R)
    ((P.tensorCotangentOfFlat T).restrictScalars R)
    ((P.tensorCotangentSpace T).restrictScalars R)

Goal state after:
case hc₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ 0 ∘ₗ 0 = 0 ∘ₗ 0

case hc₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ 0 ∘ₗ 0 = ↑R (P.tensorToH1Cotangent T) ∘ₗ 0

case hc₃
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ ↑R h1Cotangentι ∘ₗ ↑R (P.tensorToH1Cotangent T) =
    ↑(LinearEquiv.restrictScalars R (P.tensorCotangentOfFlat T)) ∘ₗ LinearMap.lTensor T (↑R h1Cotangentι)

case hc₄
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ ↑R P.baseChange.cotangentComplex ∘ₗ ↑(LinearEquiv.restrictScalars R (P.tensorCotangentOfFlat T)) =
    ↑(LinearEquiv.restrictScalars R (P.tensorCotangentSpace T)) ∘ₗ LinearMap.lTensor T (↑R P.cotangentComplex)

case hf₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑0 ⇑0

case hf₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑0 ⇑(LinearMap.lTensor T (↑R h1Cotangentι))

case hf₃
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor T (↑R h1Cotangentι)) ⇑(LinearMap.lTensor T (↑R P.cotangentComplex))

case hg₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑0 ⇑0

case hg₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑0 ⇑(↑R h1Cotangentι)

case hg₃
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Exact ⇑(↑R h1Cotangentι) ⇑(↑R P.baseChange.cotangentComplex)

case hi₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Surjective ⇑0

case hi₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Bijective ⇑0

case hi₄
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Bijective ⇑↑(LinearEquiv.restrictScalars R (P.tensorCotangentOfFlat T))

case hi₅
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Extension R S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Module.Flat R T
⊢ Function.Injective ⇑↑(LinearEquiv.restrictScalars R (P.tensorCotangentSpace T))