mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : Matrix.SpecialLinearGroup ι K
hm : ∀ (x : ℙ K (ι → K)), m • x = x
f : (ι → K) →ₗ[K] ι → K := ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' m)
hf : f = ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' m)
a : K
ha : f = a • 1
hscalar : ↑m = (Matrix.scalar ι) a
⊢ a ^ Fintype.card ι = 1

Tactic:
by simpa [hscalar] using m.2

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∀ (a : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K), PSLAction.toPermHom a = 1 → a = 1

Tactic:
intro g

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
⊢ PSLAction.toPermHom g = 1 → g = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) = {i | w i < 0}.ncard

Tactic:
exact sigNeg_weightedSumSquares

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : l ≠ k
this : P.root l - P.root k ∉ range ⇑P.root
⊢ P.pairingIn ℤ l k ≤ 0

Tactic:
contrapose! this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : l ≠ k
this : 0 < P.pairingIn ℤ l k
⊢ P.root l - P.root k ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x y : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ (span R (range h)).carrier
hy : y ∈ (span R (range h)).carrier
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ (span R (range h)).carrier

Tactic:
have aux : (∀ u ∈ range (h (b := b)), ∀ v ∈ range (h (b := b)), ⁅u, v⁆ = 0) := by
      rintro - ⟨i, rfl⟩ - ⟨j, rfl⟩; exact lie_h_h i j

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x y : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ (span R (range h)).carrier
hy : y ∈ (span R (range h)).carrier
aux : ∀ u ∈ range h, ∀ v ∈ range h, ⁅u, v⁆ = 0
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ (span R (range h)).carrier
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : DecidableEq M
x : M
hx :
  x = longRoot P ∨
    x = -longRoot P ∨
      x = shortRoot P ∨
        x = -shortRoot P ∨
          x = shortAddLongRoot P ∨
            x = -shortAddLongRoot P ∨
              x = twoShortAddLongRoot P ∨
                x = -twoShortAddLongRoot P ∨
                  x = threeShortAddLongRoot P ∨
                    x = -threeShortAddLongRoot P ∨ x = threeShortAddTwoLongRoot P ∨ x = -threeShortAddTwoLongRoot P
⊢ x ∈ Set.range ⇑P.root

Tactic:
rcases hx with rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl | rfl <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.EmbeddedG2
⊢ threeShortAddLongRoot P = 3 • shortRoot P + longRoot P

Tactic:
simp [threeShortAddLongRoot, threeShortAddLong, reflection_apply_root]
  module

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
⊢ ∀ {w : ↥b.support ⊕ ι → K}, w ≠ 0 → w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ → ∃ i t, t • w = v b i

Tactic:
intro w

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
w : ↥b.support ⊕ ι → K
⊢ w ≠ 0 → w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ → ∃ i t, t • w = v b i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
this :
  (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0
h₁ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = i ∧ l = -↑i) ∧ k = -↑j)
h₂ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = j ∧ l = ↑j) ∧ k = ↑i)
⊢ ⁅e i, f j⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = 0 (Sum.inr k) (Sum.inr l)

Tactic:
← sub_eq_zero

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
this :
  ((∑ x,
        if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
        else 0) -
      ∑ x,
        if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
          (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) =
    0
h₁ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = i ∧ l = -↑i) ∧ k = -↑j)
h₂ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = j ∧ l = ↑j) ∧ k = ↑i)
⊢ ⁅e i, f j⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = 0 (Sum.inr k) (Sum.inr l)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x y : ↑{x | B.IsReflective x}
hxy : IsReflective.coroot B ⋯ = IsReflective.coroot B ⋯
h1 : ∀ (z : M), (IsReflective.coroot B ⋯) z = (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2x : ∀ (z : M), 2 * (B ↑x) z = (B ↑x) ↑x * (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2y : ∀ (z : M), (B ↑y) ↑y * (IsReflective.coroot B ⋯) z = 2 * (B ↑y) z
h2xy : (B ↑x) ↑x = (B ↑y) ↑y
⊢ ↑x = ↑y

Tactic:
← sub_eq_zero

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x y : ↑{x | B.IsReflective x}
hxy : IsReflective.coroot B ⋯ = IsReflective.coroot B ⋯
h1 : ∀ (z : M), (IsReflective.coroot B ⋯) z = (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2x : ∀ (z : M), 2 * (B ↑x) z = (B ↑x) ↑x * (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2y : ∀ (z : M), (B ↑y) ↑y * (IsReflective.coroot B ⋯) z = 2 * (B ↑y) z
h2xy : (B ↑x) ↑x = (B ↑y) ↑y
⊢ ↑x - ↑y = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
m : ι
hm : P.root m = P.root l - P.root ↑j
l' : ι
hl' : P.root l' = P.root l + P.root ↑i
⊢ (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0

Tactic:
by_cases hk : P.root k = P.root l + P.root i - P.root j

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
m : ι
hm : P.root m = P.root l - P.root ↑j
l' : ι
hl' : P.root l' = P.root l + P.root ↑i
hk : P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j
⊢ (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0

case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
m : ι
hm : P.root m = P.root l - P.root ↑j
l' : ι
hl' : P.root l' = P.root l + P.root ↑i
hk : ¬P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j
⊢ (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : SymmetricAlgebra R M
⊢ a * b = b * a

Tactic:
change Commute a b
    induction b using SymmetricAlgebra.induction with
    | algebraMap r => exact Algebra.commute_algebraMap_right _ _
    | ι x => induction a using SymmetricAlgebra.induction with
      | algebraMap r => exact Algebra.commute_algebraMap_left _ _
      | ι y =>
        have := RingCon.le_ringConGen (r := SymRel R M) _ _ <| SymRel.mul_comm y x
        simpa [commute_iff_eq, ι, ← RingCon.coe_mul]
      | mul a b ha hb => exact ha.mul_left hb
      | add a b ha hb => exact ha.add_left hb
    | mul b c hb hc => exact hb.mul_right hc
    | add b c hb hc => exact hb.add_right hc

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ False

Tactic:
have : p ∣ (m - n) * a := by
      simpa [Nat.succ_sub_succ, ← Nat.mul_sub_right_distrib] using
        Nat.dvd_sub hm hn
    have : p ∣ a := by
      rcases (Nat.Prime.dvd_mul pp).mp this with (hp | hp)
      · exact Nat.dvd_trans hp ha
      · exact hp
    apply pp.ne_one
    simpa [Nat.add_sub_cancel_left] using Nat.dvd_sub hn (this.mul_left n)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Projective

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ (P I) S = (P J) T

Tactic:
| inl h =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case refine_2.he
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
n : ℕ
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    e.fixedReduce = 1 → finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
f : Dual K V
v : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ≤ ker f
hv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hv' : v - e v ∈ (↑e).fixedSubmodule
t : V ≃ₗ[K] V := auxTransvection ⋯
ht : t = auxTransvection ⋯
he : ∀ (v : V), e v - v ∈ (↑e).fixedSubmodule
⊢ ∀ (v_1 : V), (auxTransvection ⋯ * e) v_1 - v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v

Tactic:
intro w

Goal state after:
case refine_2.he
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
n : ℕ
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    e.fixedReduce = 1 → finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
f : Dual K V
v : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ≤ ker f
hv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hv' : v - e v ∈ (↑e).fixedSubmodule
t : V ≃ₗ[K] V := auxTransvection ⋯
ht : t = auxTransvection ⋯
he : ∀ (v : V), e v - v ∈ (↑e).fixedSubmodule
w : V
⊢ (auxTransvection ⋯ * e) w - w ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Cylinders

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)
⊢ ∀ (x : Set (α i)), MeasurableSet x → eval i ⁻¹' x = S → ∃ x, (∀ (i : ι), MeasurableSet (x i)) ∧ eval i ⁻¹' x i = S

Tactic:
intro t ht h

Goal state after:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)
t : Set (α i)
ht : MeasurableSet t
h : eval i ⁻¹' t = S
⊢ ∃ x, (∀ (i : ι), MeasurableSet (x i)) ∧ eval i ⁻¹' x i = S
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Cylinders

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)
t : Set (α i)
ht : MeasurableSet t
h : eval i ⁻¹' t = S
j : ι
hji : j = i
⊢ MeasurableSet (cast ⋯ t)

Tactic:
convert! ht

Goal state after:
case e'_3
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)
t : Set (α i)
ht : MeasurableSet t
h : eval i ⁻¹' t = S
j : ι
hji : j = i
e_1✝ : α j = α i
⊢ cast ⋯ t ≍ t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Cylinders

Goal state before:
pp: X : ℕ → Type u_1
inst✝ : (n : ℕ) → MeasurableSpace (X n)
⊢ measurableCylinders X = ⋃ a, ⋃ S, ⋃ (_ : MeasurableSet S), {cylinder (Finset.Iic a) S}

Tactic:
ext s

Goal state after:
X : ℕ → Type u_1
inst✝ : (n : ℕ) → MeasurableSpace (X n)
s : Set ((i : ℕ) → X i)
⊢ s ∈ measurableCylinders X ↔ s ∈ ⋃ a, ⋃ S, ⋃ (_ : MeasurableSet S), {cylinder (Finset.Iic a) S}
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetSemiring

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
J : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hJ : ↑J ⊆ C
j : ↥J
⊢ ∅ ∉ hC.disjointOfUnion hJ ↑j

Tactic:
disjointOfUnion_coe

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
J : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hJ : ↑J ⊆ C
j : ↥J
⊢ ∅ ∉ ⋯.choose.parts
Module: Mathlib.Topology.Order.WithTop

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
H : instWithTopOfOrderTopology = generateFrom {s | ∃ a ∈ d, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
d_count : d.Countable
this : {s | ∃ a ∈ d, s = Ioi a ∨ s = Iio a} = Ioi '' d ∪ Iio '' d
⊢ (Ioi '' d ∪ Iio '' d).Countable

Tactic:
exact (d_count.image _).union (d_count.image _)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
ι : Type u_2
h𝒜 : IsSetAlgebra 𝒜
s : ι → Set α
S : Finset ι
hs : ∀ i ∈ S, s i ∈ 𝒜
h : S = ∅
⊢ ⋂ i ∈ S, s i ∈ 𝒜

Tactic:
rw [h, ← Finset.set_biInter_coe, Finset.coe_empty, biInter_empty]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
ι : Type u_2
h𝒜 : IsSetAlgebra 𝒜
s : ι → Set α
S : Finset ι
hs : ∀ i ∈ S, s i ∈ 𝒜
h : S = ∅
⊢ univ ∈ 𝒜
Module: Mathlib.Topology.Order.WithTop

Goal state before:
pp: case a.inl.coe.coe.refine_1
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb✝ : a < b
f g : Set ι
hfc : f ⊆ c
hgc : g ⊆ c
f_fin : f.Finite
g_fin : g.Finite
hb : b ∈ (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a
hfg : (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a ⊆ Ioi a
⊢ (⋂ z ∈ f, Ioi ↑z) ∩ ⋂ z ∈ g, Iio ↑z ⊆ Ioi ↑a

Tactic:
intro w

Goal state after:
case a.inl.coe.coe.refine_1
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb✝ : a < b
f g : Set ι
hfc : f ⊆ c
hgc : g ⊆ c
f_fin : f.Finite
g_fin : g.Finite
hb : b ∈ (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a
hfg : (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a ⊆ Ioi a
w : WithTop ι
⊢ w ∈ (⋂ z ∈ f, Ioi ↑z) ∩ ⋂ z ∈ g, Iio ↑z → w ∈ Ioi ↑a
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
⊢ compl '' 𝒜 = {s | sᶜ ∈ 𝒜}

Tactic:
ext s

Goal state after:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h : 𝒜.Countable
ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
s : Set α
⊢ s ∈ compl '' 𝒜 ↔ s ∈ {s | sᶜ ∈ 𝒜}
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.ProjectiveFamilyContent

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
mα : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
hst : Disjoint s t
I : Finset ι
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S
hs_eq : s = cylinder I S
J : Finset ι
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
ht_eq : t = cylinder J T
S' : Set ((i : ↥(I ∪ J)) → α ↑i) := restrict₂ ⋯ ⁻¹' S
T' : Set ((i : ↥(I ∪ J)) → α ↑i) := restrict₂ ⋯ ⁻¹' T
hS' : MeasurableSet S'
hT' : MeasurableSet T'
h_eq1 : s = cylinder (I ∪ J) S'
h_eq2 : t = cylinder (I ∪ J) T'
h_eq3 : s ∪ t = cylinder (I ∪ J) (S' ∪ T')
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ (P (I ∪ J)) (S' ∪ T') = (P (I ∪ J)) S' + (P (I ∪ J)) T'

Tactic:
| inl h =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.WithTop

Goal state before:
pp: case a.inr.coe.coe.refine_1
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb✝ : b < a
f g : Set ι
hfc : f ⊆ c
hgc : g ⊆ c
f_fin : f.Finite
g_fin : g.Finite
hb : b ∈ (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a
hfg : (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a ⊆ Iio a
⊢ ((⋂ z ∈ f, Ioi ↑z) ∩ ⋂ z ∈ g, Iio ↑z) ∩ Iio ⊤ ⊆ Iio ↑a

Tactic:
intro w

Goal state after:
case a.inr.coe.coe.refine_1
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb✝ : b < a
f g : Set ι
hfc : f ⊆ c
hgc : g ⊆ c
f_fin : f.Finite
g_fin : g.Finite
hb : b ∈ (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a
hfg : (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a ⊆ Iio a
w : WithTop ι
⊢ w ∈ ((⋂ z ∈ f, Ioi ↑z) ∩ ⋂ z ∈ g, Iio ↑z) ∩ Iio ⊤ → w ∈ Iio ↑a
Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousAdd M
v w : VectorMeasure α M
x✝ : Set α
hi : ¬MeasurableSet x✝
⊢ (⇑v + ⇑w) x✝ = 0

Tactic:
rw [Pi.add_apply, v.not_measurable hi, w.not_measurable hi, add_zero]

Goal state after: