mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
inst✝ : Ring R
v : Valuation R Γ₀
w : Valuation R Γ'₀
h : v.IsEquiv w
⊢ h.valueGroup₀Fun 0 = 0

Tactic:
simp [valueGroup₀Fun]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : IsJacobsonRing R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
⊢ I.jacobson = I

Tactic:
have hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I := by
    intro f hf
    apply polynomial_mem_ideal_of_coeff_mem_ideal I f
    intro n
    replace hf := congrArg (fun g : Polynomial ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).range => g.coeff n) hf
    change (Polynomial.map ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict f).coeff n = 0 at hf
    rw [coeff_map, Subtype.ext_iff] at hf
    rwa [mem_comap, ← Quotient.eq_zero_iff_mem, ← RingHom.comp_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : IsJacobsonRing R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Ideal.Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
⊢ I.jacobson = I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : IsJacobsonRing R
⊢ (comap C P).IsMaximal

Tactic:
rw [← @mk_ker _ _ P, RingHom.ker_eq_comap_bot, comap_comap]
  have := (bot_quotient_isMaximal_iff _).mpr hP
  exact isMaximal_comap_of_isIntegral_of_isMaximal' _
    (quotient_mk_comp_C_isIntegral_of_isJacobsonRing P) ⊥

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral

Tactic:
have hw : Ideal.map v Q = P := map_comap_of_surjective v v.surjective P

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : Ideal.map v Q = P
⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R N
i j k : ι
m n : R
hk : m • P.root i + n • P.root j = P.root k
B : P.InvariantForm := P.toInvariantForm
lsq : ι → R := fun i ↦ (B.form (P.root i)) (P.root i)
hlsq : ∀ (i : ι), lsq i = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
h₁ :
  (m * m * lsq i + m * n * (P.pairing i j * lsq j) + n * n * lsq j) • P.coroot k =
    (m • lsq i) • P.coroot i + (n • lsq j) • P.coroot j
h₂ : lsq k = m * m * lsq i + m * n * (2 * (B.form (P.root i)) (P.root j)) + n * n * lsq j
h₃ : 2 * (B.form (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * lsq j
h₄ : P.pairing j i * lsq i = P.pairing i j * lsq j
⊢ (m * m * (P.pairing j i * lsq i)) • P.coroot k + (m * n * (P.pairing j i * P.pairing i j * lsq j)) • P.coroot k +
      (n * n * (P.pairing j i * lsq j)) • P.coroot k =
    (m * (P.pairing j i * lsq i)) • P.coroot i + (n * (P.pairing j i * lsq j)) • P.coroot j

Tactic:
replace h₁ := congr_arg (fun n ↦ P.pairing j i • n) h₁

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R N
i j k : ι
m n : R
hk : m • P.root i + n • P.root j = P.root k
B : P.InvariantForm := P.toInvariantForm
lsq : ι → R := fun i ↦ (B.form (P.root i)) (P.root i)
hlsq : ∀ (i : ι), lsq i = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
h₂ : lsq k = m * m * lsq i + m * n * (2 * (B.form (P.root i)) (P.root j)) + n * n * lsq j
h₃ : 2 * (B.form (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * lsq j
h₄ : P.pairing j i * lsq i = P.pairing i j * lsq j
h₁ :
  P.pairing j i • (m * m * lsq i + m * n * (P.pairing i j * lsq j) + n * n * lsq j) • P.coroot k =
    P.pairing j i • ((m • lsq i) • P.coroot i + (n • lsq j) • P.coroot j)
⊢ (m * m * (P.pairing j i * lsq i)) • P.coroot k + (m * n * (P.pairing j i * P.pairing i j * lsq j)) • P.coroot k +
      (n * n * (P.pairing j i * lsq j)) • P.coroot k =
    (m * (P.pairing j i * lsq i)) • P.coroot i + (n * (P.pairing j i * lsq j)) • P.coroot j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
x : N
⊢ x ∈ Submodule.map P.Polarization (P.rootSpan R) ↔ x ∈ (P.PolarizationIn R).range

Tactic:
simp [PolarizationIn_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
hpi : (p.flip (coroot i)) (root i) = 2
⊢ (preReflection (sα β) (p.flip (sα' β'))) x✝ = (sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα) x✝

Tactic:
simp [α, β, α', β', sα, sβ, sα', ← preReflection_preReflection β (p.flip β') hpi,
      preReflection_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case neg.mp.inl
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v x = 1
h_1 : ¬v' x = 1
h_2 : v' x < 1
⊢ False

Tactic:
| inl h_2 =>

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case neg.mpr.inl
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v' x = 1
h_1 : ¬v x = 1
h_2 : v x < 1
⊢ False

Tactic:
| inl h_2 =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
hpi : (p.flip (coroot i)) (root i) = 2
⊢ (preReflection (sα β) (p.flip (sα' β'))) x✝ = (sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα) x✝

Tactic:
simp [α, β, α', β', sα, sβ, sα', ← preReflection_preReflection β (p.flip β') hpi,
      preReflection_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
h₀ : (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) ≠ 0
⊢ P.coroot i = (2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)) • P.PolarizationEquiv (P.root i)

Tactic:
rw [polarizationEquiv_apply, ← (smul_right_injective N h₀).eq_iff, P.rootForm_self_smul_coroot i,
    smul_smul, mul_div_cancel₀ _ h₀]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
h₀ : (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) ≠ 0
⊢ 2 • P.Polarization (P.root i) = 2 • P.Polarization (P.root i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsTorsionFree R M
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : FaithfulSMul S R
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ (algebraMap S R) (P.coxeterWeightIn S i j) ≠ (algebraMap S R) 4 ↔ P.coxeterWeightIn S i j ≠ 4

Tactic:
(algebraMap_injective S R).ne_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsTorsionFree R M
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : FaithfulSMul S R
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≠ 4 ↔ P.coxeterWeightIn S i j ≠ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P
e : (i : ι) → (Q i).IsometryEquiv (Q' i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ (QuadraticMap.pi Q') ((↑(LinearEquiv.piCongrRight fun i ↦ (e i).toLinearEquiv)).toFun x) = (QuadraticMap.pi Q) x

Tactic:
by
    simp only [pi_apply, LinearEquiv.piCongrRight,
      IsometryEquiv.coe_toLinearEquiv, IsometryEquiv.map_app]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ (dualProd R M)
      ((({ toFun := fun Q ↦ ⅟2 • Q.polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } Q ∘ₗ LinearMap.fst R M M +
                { toFun := fun Q ↦ ⅟2 • Q.polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } Q ∘ₗ LinearMap.snd R M M).prod
            (LinearMap.fst R M M - LinearMap.snd R M M)).toFun
        x) =
    (prod Q (-Q)) x

Tactic:
dsimp only [LinearMap.smul_apply, LinearMap.coe_mk, AddHom.coe_mk, AddHom.toFun_eq_coe,
      LinearMap.coe_toAddHom, LinearMap.prod_apply, Function.prod_apply, LinearMap.add_apply,
      LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, LinearMap.fst_apply, LinearMap.snd_apply,
      LinearMap.sub_apply, dualProd_apply, polarBilin_apply_apply, QuadraticMap.prod_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ ⅟2 • polar (⇑Q) x.1 (x.1 - x.2) + ⅟2 • polar (⇑Q) x.2 (x.1 - x.2) = Q x.1 + (-Q) x.2
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
rw [add_smul, add_assoc, ← hβ', ← coe_chainTop]

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β') ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ False

Tactic:
refine prim.pow_toEnd_f_ne_zero_of_eq_nat rfl ?_ hk.symm

Goal state after:
case h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
⊢ ⊥ ≠ ⊤

Tactic:
rw [ne_eq, Subtype.ext_iff]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
⊢ ¬↑⊥ = ↑⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root),
    Set.MapsTo
      (⇑(preReflection ({ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ } i)
          (LinearMap.id.flip ({ toFun := coroot ∘ Subtype.val, inj' := ⋯ } i))))
      (Set.range ⇑{ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ })
      (Set.range ⇑{ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ })

Tactic:
rintro ⟨α, hα⟩ - ⟨⟨β, hβ⟩, rfl⟩

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
⊢ (preReflection ({ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ } ⟨α, hα⟩)
        (LinearMap.id.flip ({ toFun := coroot ∘ Subtype.val, inj' := ⋯ } ⟨α, hα⟩)))
      ({ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ } ⟨β, hβ⟩) ∈
    Set.range ⇑{ toFun := fun x ↦ Weight.toLinear K (↥H) L ↑x, inj' := ⋯ }
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ ∀ (i j : ↥LieSubalgebra.root),
    ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root i, (rootSystem H).root j] →
      (rootSystem H).root i = (rootSystem H).root j ∨ (rootSystem H).root i = -(rootSystem H).root j

Tactic:
intro ⟨α, hα⟩ ⟨β, hβ⟩ e
    rw [LinearIndependent.pair_iff' ((rootSystem H).ne_zero _), not_forall] at e
    simp only [rootSystem_root_apply, ne_eq, not_not] at e
    obtain ⟨u, hu⟩ := e
    obtain (h | h) := eq_neg_or_eq_of_eq_smul α β (by simpa using hβ) u
      (by ext x; exact DFunLike.congr_fun hu.symm x)
    · right; ext x; simpa [neg_eq_iff_eq_neg] using DFunLike.congr_fun h.symm x
    · left; ext x; simpa using DFunLike.congr_fun h.symm x

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_1.mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : IsSimpleOrder ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
q : Submodule R M
hq₁ : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
hq₂ : q ≠ ⊥
g x y : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
hy : y ∈ P.weylGroup
hx' : q ∈ invtSubmodule (P.weylGroupRootRep ⟨x, hx⟩)
hy' : q ∈ invtSubmodule (P.weylGroupRootRep ⟨y, hy⟩)
⊢ q ∈ invtSubmodule (P.weylGroupRootRep ⟨x * y, ⋯⟩)

Tactic:
apply invtSubmodule.comp <;> assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
z : ℤ
hz : z ∈ S
z' : ℤ
hz' : z' ∈ S
hzz : (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z, hz⟩ = (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z', hz'⟩
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : z • P.root i = z' • P.root i
⊢ ⟨z, hz⟩ = ⟨z', hz'⟩

Tactic:
exact Subtype.ext <| smul_left_injective ℤ (P.ne_zero i) this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
f : ↥b.support → ℤ
hf : P.coroot i = ∑ i, (t * ↑(f i)) • P.coroot ↑i
⊢ P.coroot i = t • (Fintype.linearCombination R fun k ↦ P.coroot ↑k) fun x ↦ ↑(f x)

Tactic:
Fintype.linearCombination_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
f : ↥b.support → ℤ
hf : P.coroot i = ∑ i, (t * ↑(f i)) • P.coroot ↑i
⊢ P.coroot i = t • ∑ i, ↑(f i) • P.coroot ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
rw [(P.pairingIn_one_four_iff ℤ i j).mp hij, two_smul, sub_add_cancel_right]

Goal state after:
case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ -P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
hy✝ : y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : x✝ = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℕ
hg : Function.support g ⊆ ↑b.support
hg' : y✝ = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ x✝ + y✝ = ∑ j ∈ b.support, (f + g) j • P.root j

Tactic:
simp [hf', hg', add_smul, Finset.sum_add_distrib]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i

Tactic:
· simp only [chainTopIdx, chainTopCoeff, h, reduceDIte, zero_smul, add_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x a : ℝ
⊢ a ≤ a

Tactic:
induction a using Real.ind_mk
    rw [mk_le]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ f.lim ≠ 0

Tactic:
rwa [← lim_eq_zero_iff] at hf

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hadamard

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : MulZeroClass α
ia : m
ja : n
ib : m
jb : n
a b : α
h✝ : ¬ia = ib
⊢ single ia ja a ⊙ single ib jb b = 0

Tactic:
(simp only [single]; aesop)

Goal state after: