Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst✝ : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport ⇑f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range ⇑f ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / ↑N
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  tsupport ⇑f = ⋃ j, E j ∧
    univ.PairwiseDisjoint E ∧
      (∀ (n : Fin N), ∀ x ∈ E n, a + ε' * ↑↑n < f x ∧ f x ≤ a + ε' * (↑↑n + 1)) ∧ ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun n ↦ a + ε' * (↑↑n + 1)
hE' : ∀ (n : Fin N), μ (E n) ≠ ∞
V : Fin N → Opens X
hV : ∀ (n : Fin N), E n ⊆ ↑(V n) ∧ (∀ x ∈ V n, f x < y n + ε') ∧ μ ↑(V n) ≤ μ (E n) + ENNReal.ofReal (ε' / ↑N)
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport ⇑(g n) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (∑ n, ⇑(g n)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), (g n) x ∈ Icc 0 1) ∧ ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport ⇑(g n)
n : Fin N
⊢ (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, f x ∂μ

Tactic:
apply setIntegral_ge_of_const_le_real (hE.2.2.2 n) (hE' n)

Goal state after:
case hf
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst✝ : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := ⋯
K : Set X := ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range ⇑f ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := ⋯
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  tsupport ⇑f = ⋃ j, E j ∧
    univ.PairwiseDisjoint E ∧
      (∀ (n : Fin N), ∀ x ∈ E n, a + ε' * ↑↑n < f x ∧ f x ≤ a + ε' * (↑↑n + 1)) ∧ ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := ⋯
hE' : ∀ (n : Fin N), μ (E n) ≠ ∞
V : Fin N → Opens X
hV : ∀ (n : Fin N), E n ⊆ ↑(V n) ∧ (∀ x ∈ V n, f x < y n + ε') ∧ μ ↑(V n) ≤ μ (E n) + ENNReal.ofReal (ε' / ↑N)
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport ⇑(g n) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (∑ n, ⇑(g n)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), (g n) x ∈ Icc 0 1) ∧ ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport ⇑(g n)
n : Fin N
⊢ ∀ x ∈ E n, y n - ε' ≤ f x

case hfint
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst✝ : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := ⋯
K : Set X := ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range ⇑f ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := ⋯
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  tsupport ⇑f = ⋃ j, E j ∧
    univ.PairwiseDisjoint E ∧
      (∀ (n : Fin N), ∀ x ∈ E n, a + ε' * ↑↑n < f x ∧ f x ≤ a + ε' * (↑↑n + 1)) ∧ ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := ⋯
hE' : ∀ (n : Fin N), μ (E n) ≠ ∞
V : Fin N → Opens X
hV : ∀ (n : Fin N), E n ⊆ ↑(V n) ∧ (∀ x ∈ V n, f x < y n + ε') ∧ μ ↑(V n) ≤ μ (E n) + ENNReal.ofReal (ε' / ↑N)
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport ⇑(g n) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (∑ n, ⇑(g n)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), (g n) x ∈ Icc 0 1) ∧ ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport ⇑(g n)
n : Fin N
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x) (E n) μ