mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n : ℕ∞
K : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
i : ℕ
T : F →L[𝕜] F'
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
T' : F →L[ℝ] F' := ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ T
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ K
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑((postcompLM T') f)) x‖ ≤ ‖T'‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm ℝ E F n K i) f

Tactic:
postcompLM_apply

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n : ℕ∞
K : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
i : ℕ
T : F →L[𝕜] F'
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
T' : F →L[ℝ] F' := ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ T
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ K
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑T' ∘ ⇑f) x‖ ≤ ‖T'‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm ℝ E F n K i) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
c : 𝕜
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
⊢ ∫ (x : E), c • (B (f x)) (φ x) ∂μ = (RingHom.id 𝕜) c • ∫ (x : E), (B (f x)) (φ x) ∂μ

Tactic:
integral_smul c,

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
c : 𝕜
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
⊢ c • ∫ (a : E), (B (f a)) (φ a) ∂μ = (RingHom.id 𝕜) c • ∫ (x : E), (B (f x)) (φ x) ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : f =ᵐ[μ] 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g ∧ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

pp: case neg
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g ∧ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
· use 0
    simpa [HasCompactSupport.zero, eLpNorm_congr_ae hf] using! contDiff_const

Goal state after:
case neg
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g ∧ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x ↦ c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x ↦ c) x‖
⊢ ∃ f,
    Continuous[inst✝⁶, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f ∧
      eLpNorm (fun x ↦ f x - s.indicator (fun _y ↦ c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ

Tactic:
have gc_support : (Function.support fun x : α => g x • c) ⊆ v := by
    refine Function.support_subset_iff'.2 fun x hx => ?_
    simp only [hgv hx, Pi.zero_apply, zero_smul]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x ↦ c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x ↦ c) x‖
gc_support : (Function.support fun x ↦ g x • c) ⊆ v
⊢ ∃ f,
    Continuous[inst✝⁶, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f ∧
      eLpNorm (fun x ↦ f x - s.indicator (fun _y ↦ c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : GeneralSchauderBasis β 𝕜 X L
A : Finset β
⊢ ↑b '' ↑A ⊆ ↑(↑(b.proj A)).range

Tactic:
rintro _ ⟨i, hi, rfl⟩

Goal state after:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : GeneralSchauderBasis β 𝕜 X L
A : Finset β
i : β
hi : i ∈ ↑A
⊢ ↑b i ∈ ↑(↑(b.proj A)).range
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : i = j
⊢ (P (min i j + 1)) x - (P (min i (j + 1))) x - ((P (min (i + 1) j)) x - (P (min i j)) x) = (P (j + 1)) x - (P j) x

Tactic:
h,

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : i = j
⊢ (P (min j j + 1)) x - (P (min j (j + 1))) x - ((P (min (j + 1) j)) x - (P (min j j)) x) = (P (j + 1)) x - (P j) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: D : Type u_4
E : Type u_5
V : Type u_7
F : Type u_8
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
μ : Measure D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : 𝓢(D, E)
g : 𝓢(D, F)
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] V
v : D
⊢ ∫ (x : D), (L (f x)) ((∂_{v} g) x) ∂μ = -∫ (x : D), (L ((∂_{v} f) x)) (g x) ∂μ

Tactic:
by
  apply integral_bilinear_hasLineDerivAt_right_eq_neg_left_of_integrable (v := v)
    (bilinLeftCLM L g.hasTemperateGrowth _).integrable
    (bilinLeftCLM L (∂_{v} g).hasTemperateGrowth _).integrable
    (bilinLeftCLM L g.hasTemperateGrowth _).integrable
  all_goals exact fun x _ ↦ (hasFDerivAt _ x).hasLineDerivAt v

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ HasSum (fun i_1 ↦ ⟪Pi.single i a i_1, ↑f i_1⟫) ⟪a, ↑f i⟫

Tactic:
convert! hasSum_ite_eq i ⟪a, f i⟫ using 1

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ (fun i_1 ↦ ⟪Pi.single i a i_1, ↑f i_1⟫) = fun b' ↦ if b' = i then ⟪a, ↑f i⟫ else 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ

Tactic:
have I : IntegrableOn (φ i) t μ := by
    apply Integrable.of_integral_ne_zero (fun h ↦ ?_)
    simp [h] at h'i
    linarith

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 x)) x

Tactic:
have h1 (y : ℝ) : 𝐞 y = fourier 1 (y : UnitAddCircle) := by
    rw [fourierChar_apply, fourier_coe_apply]
    push_cast
    ring_nf

Goal state after:
x : ℝ
h1 : ∀ (y : ℝ), ↑(𝐞 y) = (fourier 1) ↑y
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 x)) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
⊢ ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f - ⇑g) x‖ ≤ C

Tactic:
intro k

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
k : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f - ⇑g) x‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedField 𝕜'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E)
⊢ ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : F), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (A f) x‖ ≤ C

Tactic:
intro k

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedField 𝕜'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E)
k : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : F), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (A f) x‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case zero_eq
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (x : W),
    (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v 0) x).curry0 =
      fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f x

Tactic:
intro w
    rw [curry0_apply, Matrix.zero_empty, fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply'
      (integrable_fourierPowSMulRight L (hf 0 bot_le) h'f)]
    simp only [fourierPowSMulRight_apply, pow_zero, Finset.univ_eq_empty, Finset.prod_empty,
      one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)

Tactic:
rpow_neg (by positivity),

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ ‖f x‖ ≤ ((1 + ‖x‖) ^ ↑n)⁻¹ * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ c • x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ

Tactic:
rw [div_lt_iff₀ δpos] at hc

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M < c * δ
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ c • x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ K → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ

Tactic:
intro k

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k✝ n : ℕ
hk : ↑k✝ ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
k : ℕ
⊢ ↑k ≤ K → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖f v‖) μ
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
hk : eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) p μ < ∞
f : 𝓢(E, F)
h_one_add : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖
⊢ eLpNorm (⇑f) p μ = eLpNorm ((fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) • fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ k • f x) p μ

Tactic:
refine congrArg (eLpNorm · p μ) (funext fun x ↦ ?_)

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
hk : eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) p μ < ∞
f : 𝓢(E, F)
h_one_add : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖
x : E
⊢ f x = ((fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) • fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ k • f x) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t ↦ t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
⊢ Tendsto (fun a_1 ↦ a_1 ^ (a + 1)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
simpa only [neg_neg] using tendsto_rpow_neg_atTop (by linarith : 0 < -(a + 1))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w ↦ fourierPowSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f) w n

Tactic:
exact VectorFourier.fourierIntegral_iteratedFDeriv (innerSL ℝ) hf h'f hn

Goal state after: