mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪(adjoint A ∘SL A) x, x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪(adjoint A ∘SL A) x, x⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪(adjoint A ∘SL A) x, x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪A x, A x⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪x, (adjoint A ∘SL A) x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪x, (adjoint A ∘SL A) x⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪x, (adjoint A ∘SL A) x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜
⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪A x, A x⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : E
y : F
⊢ ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : E
y : F
⊢ ⟪(adjoint B) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Span

Goal state before:
pp: case inr
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : A
x✝¹ : (A : Type ?u.39) → [NonUnitalCStarAlgebra A] → PartialOrder A := spectralOrder
x✝ : ∀ (A : Type ?u.41) [inst : NonUnitalCStarAlgebra A], StarOrderedRing A := spectralOrderedRing
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ u c, x = ∑ i, c i • ↑(u i) ∧ ∀ (i : Fin 4), ‖c i‖ ≤ ‖x‖ / 2

Tactic:
· have := norm_smul_two_inv_smul_add_four_unitary x hx
    extract_lets u₁ u₂ at this
    use ![u₁, star u₁, u₂, star u₂], ![‖x‖ * 2⁻¹, ‖x‖ * 2⁻¹, ‖x‖ * 2⁻¹ * I, ‖x‖ * 2⁻¹ * I]
    constructor
    · conv_lhs => rw [this]
      simp [Fin.sum_univ_four, ← Complex.coe_smul]
      module
    · intro i
      fin_cases i
      all_goals simp [div_eq_mul_inv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : E
y : F
⊢ ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : E
y : F
⊢ ⟪(adjoint B) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
p : P
h : p = s.centroid
⊢ ∑ i, (s.points i -ᵥ p) = 0

Tactic:
h,

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
p : P
h : p = s.centroid
⊢ ∑ i, (s.points i -ᵥ s.centroid) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
p : P
h : ∑ i, (s.points i -ᵥ p) = 0
⊢ p = s.centroid

Tactic:
rw [← vsub_eq_zero_iff_eq]

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
p : P
h : ∑ i, (s.points i -ᵥ p) = 0
⊢ p -ᵥ s.centroid = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι₁
y : ι₂
⊢ ⟪A (b₁ x), b₂ y⟫_𝕜 = ⟪b₁ x, B (b₂ y)⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι₁
y : ι₂
⊢ ⟪(adjoint B) (b₁ x), b₂ y⟫_𝕜 = ⟪b₁ x, B (b₂ y)⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι
y : F
⊢ ⟪A (b x), y⟫_𝕜 = ⟪b x, B y⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι
y : F
⊢ ⟪(adjoint B) (b x), y⟫_𝕜 = ⟪b x, B y⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι
y : E
⊢ ⟪A y, b x⟫_𝕜 = ⟪y, B (b x)⟫_𝕜

Tactic:
h,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι
y : E
⊢ ⟪(adjoint B) y, b x⟫_𝕜 = ⟪y, B (b x)⟫_𝕜
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ AffineIndependent k p ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Tactic:
by
  rw [affineIndependent_iff_finrank_vectorSpan_eq k p hc]
  constructor
  · rintro rfl
    rfl
  · exact fun hle => le_antisymm (finrank_vectorSpan_range_le k p hc) hle

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hn : 1 < n
p : P
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p ∈ s.median i
⊢ p = s.centroid

Tactic:
rw [← vsub_eq_zero_iff_eq]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hn : 1 < n
p : P
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p ∈ s.median i
⊢ p -ᵥ s.centroid = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
⊢ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}

Tactic:
cases subsingleton_or_nontrivial ι

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Subsingleton ι
⊢ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}

case inr
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Nontrivial ι
⊢ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ HasCompactSupport ↑f

Tactic:
by
  simp_rw [HasCompactSupport, f.tsupport_eq, isCompact_closedBall]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = Module.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Fintype.card ↑↑s = Fintype.card ι

Tactic:
h,

Goal state after:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = Module.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Fintype.card ↑↑s = Module.finrank k V + 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
c : 𝕜
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (c • f) p

Tactic:
· apply memℓp_gen
    dsimp only [Pi.smul_apply]
    have := (hf.summable hp).mul_left (↑(‖c‖₊ ^ p.toReal) : ℝ)
    simp_rw [← coe_nnnorm, ← NNReal.coe_rpow, ← NNReal.coe_mul, NNReal.summable_coe,
      ← NNReal.mul_rpow] at this ⊢
    refine NNReal.summable_of_le ?_ this
    intro i
    gcongr
    apply nnnorm_smul_le

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n ↦ g n y₀
hy : y ∈ t
⊢ HasDerivAt (fun z ↦ ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y

Tactic:
by
  simp_rw [hasDerivAt_iff_hasFDerivAt] at hg ⊢
  convert! hasFDerivAt_tsum_of_isPreconnected hu ht h't hg ?_ hy₀ hg0 hy
  · exact (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 F 1).map_tsum <|
      .of_norm_bounded hu fun n ↦ hg' n y hy
  · simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
this : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0

Tactic:
h,

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
this : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (0 ^ p.toReal)
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: I : Type u_5
B : I → Type u_6
inst✝¹ : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
⊢ 1 ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖1 i‖)

Tactic:
rintro i ⟨i, rfl⟩

Goal state after:
I : Type u_5
B : I → Type u_6
inst✝¹ : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
i : I
⊢ (fun i ↦ ‖1 i‖) i ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
⊢ ContDiff 𝕜 ↑m fun x ↦ ∑' (i : α), f i x

Tactic:
have : (fun x => ∑' i, f i x) = (fun x => ∑ i ∈ T, f i x) +
      fun x => ∑' i : { i // i ∉ T }, f i x := by
    ext1 x
    refine (Summable.sum_add_tsum_subtype_compl ?_ T).symm
    refine .of_norm_bounded_eventually (hv 0 zero_le) ?_
    filter_upwards [h'f 0 zero_le] with i hi
    simpa only [norm_iteratedFDeriv_zero] using hi x

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
this : (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) = (fun x ↦ ∑ i ∈ T, f i x) + fun x ↦ ∑' (i : { i // i ∉ T }), f (↑i) x
⊢ ContDiff 𝕜 ↑m fun x ↦ ∑' (i : α), f i x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ∞)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k ↦ ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
⊢ ∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → ‖↑(F x) a‖ ≤ C

Tactic:
intro k

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ∞)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k ↦ ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
k : ι
⊢ ‖F k‖ ≤ C → ‖↑(F k) a‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f ↦ ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous[Pi.topologicalSpace, _] G
⊢ ∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → (G ∘ id fun i ↦ ↑(F i)) x ≤ C ^ p.toReal

Tactic:
intro k

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f ↦ ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous[Pi.topologicalSpace, _] G
k : ι
⊢ ‖F k‖ ≤ C → (G ∘ id fun i ↦ ↑(F i)) k ≤ C ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f ↦ F n - f) (F l)‖ < ε
⊢ Tendsto (id fun i ↦ ↑((fun f ↦ F n - f) (F i))) atTop (𝓝 ↑(F n - f))

Tactic:
tendsto_pi_nhds

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f ↦ F n - f) (F l)‖ < ε
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i ↦ id (fun i ↦ ↑((fun f ↦ F n - f) (F i))) i x) atTop (𝓝 (↑(F n - f) x))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ (fun i ↦ ‖g a i‖) i ≤ ↑K * dist a a₀ + M

Tactic:
calc
    |g a i| = |g a i - g a₀ i + g a₀ i| := by simp
    _ ≤ |g a i - g a₀ i| + |g a₀ i| := abs_add_le _ _
    _ ≤ ↑K * dist a a₀ + M := by
        gcongr
        · exact lipschitzWith_iff_dist_le_mul.1 (hg i) a a₀
        · exact hM ⟨i, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.InnerProduct

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
hR : 1 < R
x : E
⊢ (x ∈ Function.support fun x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) ↔ x ∈ Metric.ball 0 R

Tactic:
mem_support,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
hR : 1 < R
x : E
⊢ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition ≠ 0 ↔ x ∈ Metric.ball 0 R
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ 0

Tactic:
· have : x - t ∉ support g := by
      refine mt (fun hxt => hu ?_) ht
      refine ⟨_, Set.neg_mem_neg.mpr (subset_closure hxt), _, hx, ?_⟩
      simp only [neg_sub, sub_add_cancel]
    simp only [notMem_support.mp this, (L _).map_zero, norm_zero, le_rfl]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Calculus

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : WithTop ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x

Tactic:
by
  have : ‖id x‖ ^ 2 ≠ 0 := pow_ne_zero 2 (norm_pos_iff.2 hx).ne'
  simpa only [id, sqrt_sq, norm_nonneg] using (contDiffAt_id.norm_sq 𝕜).sqrt this

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case e'_7.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : g (x - t) = 0
⊢ (L (f t)) (g (x - t)) = 0

Tactic:
h,

Goal state after:
case e'_7.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : g (x - t) = 0
⊢ (L (f t)) 0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case e'_7.inr.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : f t = 0
⊢ (L (f t)) (g (x - t)) = 0

Tactic:
h,

Goal state after:
case e'_7.inr.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : f t = 0
⊢ (L 0) (g (x - t)) = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : Nontrivial E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ NullSingletonClass μ

Tactic:
by
  infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ i ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s, IsCompact i → μ i = 0

Tactic:
intro k

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
k : Set α
⊢ k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s → IsCompact k → μ k = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ∞
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ∞
⊢ ∀ i ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s, IsCompact i → μ i = 0

Tactic:
intro k

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ∞
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ∞
k : Set α
⊢ k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s → IsCompact k → μ k = 0