mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Invariant.Galois

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Algebra A B
G : Type u_3
inst✝¹⁶ : Finite G
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝¹³ : Algebra.IsInvariant A B G
P : Ideal A
Q : Ideal B
inst✝¹² : Q.LiesOver P
inst✝¹¹ : P.IsPrime
inst✝¹⁰ : Q.IsPrime
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra (A ⧸ P) K
inst✝⁵ : IsFractionRing (A ⧸ P) K
inst✝⁴ : Algebra (B ⧸ Q) L
inst✝³ : IsFractionRing (B ⧸ Q) L
inst✝² : Algebra (A ⧸ P) L
inst✝¹ : IsScalarTower (A ⧸ P) (B ⧸ Q) L
inst✝ : IsScalarTower (A ⧸ P) K L
this✝ : Algebra.IsIntegral A B
this : Algebra.IsAlgebraic K L
x y : B ⧸ Q
hy : y ∈ nonZeroDivisors (B ⧸ Q)
a : A
ha : (algebraMap A (A ⧸ P)) a ≠ 0
b : B
h : (algebraMap A (A ⧸ P)) a • x = y * (algebraMap B (B ⧸ Q)) b
val✝ : Fintype G
p : A[X]
hp : Polynomial.map (algebraMap A B) p = MulSemiringAction.charpoly G b
h_monic : p.Monic
h_eval : (aeval b) p = 0
q : A[X] := p.comp (C a * X)
d : L := (algebraMap (B ⧸ Q) L) x / (algebraMap (B ⧸ Q) L) y
comm₁ : (algebraMap K L).comp (algebraMap (A ⧸ P) K) = (algebraMap (B ⧸ Q) L).comp (algebraMap (A ⧸ P) (B ⧸ Q))
comm₂ : (algebraMap (A ⧸ P) (B ⧸ Q)).comp (algebraMap A (A ⧸ P)) = (algebraMap B (B ⧸ Q)).comp (algebraMap A B)
⊢ (aeval ((algebraMap (B ⧸ Q) L) ((algebraMap A (A ⧸ P)) a • x) / (algebraMap (B ⧸ Q) L) y))
      (Polynomial.map (algebraMap (A ⧸ P) K) (Polynomial.map (algebraMap A (A ⧸ P)) p)) =
    0

Tactic:
h,

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Algebra A B
G : Type u_3
inst✝¹⁶ : Finite G
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝¹³ : Algebra.IsInvariant A B G
P : Ideal A
Q : Ideal B
inst✝¹² : Q.LiesOver P
inst✝¹¹ : P.IsPrime
inst✝¹⁰ : Q.IsPrime
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra (A ⧸ P) K
inst✝⁵ : IsFractionRing (A ⧸ P) K
inst✝⁴ : Algebra (B ⧸ Q) L
inst✝³ : IsFractionRing (B ⧸ Q) L
inst✝² : Algebra (A ⧸ P) L
inst✝¹ : IsScalarTower (A ⧸ P) (B ⧸ Q) L
inst✝ : IsScalarTower (A ⧸ P) K L
this✝ : Algebra.IsIntegral A B
this : Algebra.IsAlgebraic K L
x y : B ⧸ Q
hy : y ∈ nonZeroDivisors (B ⧸ Q)
a : A
ha : (algebraMap A (A ⧸ P)) a ≠ 0
b : B
h : (algebraMap A (A ⧸ P)) a • x = y * (algebraMap B (B ⧸ Q)) b
val✝ : Fintype G
p : A[X]
hp : Polynomial.map (algebraMap A B) p = MulSemiringAction.charpoly G b
h_monic : p.Monic
h_eval : (aeval b) p = 0
q : A[X] := p.comp (C a * X)
d : L := (algebraMap (B ⧸ Q) L) x / (algebraMap (B ⧸ Q) L) y
comm₁ : (algebraMap K L).comp (algebraMap (A ⧸ P) K) = (algebraMap (B ⧸ Q) L).comp (algebraMap (A ⧸ P) (B ⧸ Q))
comm₂ : (algebraMap (A ⧸ P) (B ⧸ Q)).comp (algebraMap A (A ⧸ P)) = (algebraMap B (B ⧸ Q)).comp (algebraMap A B)
⊢ (aeval ((algebraMap (B ⧸ Q) L) (y * (algebraMap B (B ⧸ Q)) b) / (algebraMap (B ⧸ Q) L) y))
      (Polynomial.map (algebraMap (A ⧸ P) K) (Polynomial.map (algebraMap A (A ⧸ P)) p)) =
    0
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Discriminant.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h : N = 0
⊢ discr K = 0

Tactic:
h,

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑0
h : N = 0
⊢ discr K = 0
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Galois

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : MulSemiringAction G S
inst✝⁹ : IsGaloisGroup G R S
inst✝⁸ : Finite G
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Flat R S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝³ : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsPrime
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : PerfectField p.ResidueField
H : (p.primesOver S).ncard * Nat.card ↥(inertia G P) * p.inertiaDegIn S = Nat.card G
h1 : (p.primesOver S).ncard ≠ 0
h2 : p.inertiaDegIn S ≠ 0
⊢ Nat.card ↥(inertia G P) = p.ramificationIdxIn S

Tactic:
← ncard_primesOver_mul_ramificationIdxIn_mul_inertiaDegIn p S G,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : MulSemiringAction G S
inst✝⁹ : IsGaloisGroup G R S
inst✝⁸ : Finite G
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Flat R S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝³ : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsPrime
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : PerfectField p.ResidueField
H :
  (p.primesOver S).ncard * Nat.card ↥(inertia G P) * p.inertiaDegIn S =
    (p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * p.inertiaDegIn S)
h1 : (p.primesOver S).ncard ≠ 0
h2 : p.inertiaDegIn S ≠ 0
⊢ Nat.card ↥(inertia G P) = p.ramificationIdxIn S
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I✝ J I : FractionalIdeal M K
a : A
ha : a ∈ M
frac : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger A (a • b)
b : L
hb : b ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
⊢ IsInteger B (f a • b)

Tactic:
refine span_induction (fun x hx ↦ ?_) ⟨0, by simp⟩
      (fun x y _ _ hx hy ↦ smul_add (f a) x y ▸ isInteger_add hx hy) (fun b c _ hc ↦ ?_) hb

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I✝ J I : FractionalIdeal M K
a : A
ha : a ∈ M
frac : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger A (a • b)
b : L
hb : b ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
x : L
hx : x ∈ ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I
⊢ IsInteger B (f a • x)

case refine_2
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I✝ J I : FractionalIdeal M K
a : A
ha : a ∈ M
frac : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger A (a • b)
b✝ : L
hb : b✝ ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
b : B
c : L
x✝ : c ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hc : IsInteger B (f a • c)
⊢ IsInteger B (f a • b • c)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Quotient

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Module.Finite R S
s : Set S
H :
  Submodule.restrictScalars R (span (R ⧸ p) (⇑(Ideal.Quotient.mk pS) '' s)) =
    map (↑(IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⧸ pS))) (span R s)
⊢ span R s = ⊤ → span (R ⧸ p) (⇑(Ideal.Quotient.mk pS) '' s) = ⊤

Tactic:
intro hs
    rwa [hs, Submodule.map_top, LinearMap.range_eq_top.mpr,
      restrictScalars_eq_top_iff] at H
    rw [LinearMap.coe_coe, IsScalarTower.coe_toAlgHom', Ideal.Quotient.algebraMap_eq]
    exact Ideal.Quotient.mk_surjective

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : IsDomain A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : IsDomain B
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : IsTorsionFree A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : Algebra B L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra A L
inst✝⁴ : IsScalarTower A B L
inst✝³ : IsScalarTower A K L
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal A⁰ K
h : (extendedHom L B) (I * J⁻¹) = 1
hI : ¬I = 0
hJ : ¬J = 0
⊢ I = J

Tactic:
extendedHom_eq_one_iff _ _ (mul_ne_zero hI (inv_ne_zero hJ)),

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : IsDomain A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : IsDomain B
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : IsTorsionFree A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : Algebra B L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra A L
inst✝⁴ : IsScalarTower A B L
inst✝³ : IsScalarTower A K L
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal A⁰ K
h : I * J⁻¹ = 1
hI : ¬I = 0
hJ : ¬J = 0
⊢ I = J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * (R ∙ v))
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * (R ∙ v)
⊢ 1 ∈ IsLocalization.coeSubmodule A J

Tactic:
h,

Goal state after:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * (R ∙ v))
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * (R ∙ v)
⊢ 1 ∈ IsLocalization.coeSubmodule A ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Int

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
I : Ideal R
h : absNorm (under ℤ I) = 0
x : ℕ
hx₁ : 0 < x
hx₂ : ↑(absNorm (under ℤ I)) ∣ ↑x
⊢ False

Tactic:
h,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
I : Ideal R
h : absNorm (under ℤ I) = 0
x : ℕ
hx₁ : 0 < x
hx₂ : ↑0 ∣ ↑x
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Int

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
I : Ideal R
h : absNorm (under ℤ I) = 0
this : {d | 0 < d ∧ ↑d ∈ I} = ∅
⊢ absNorm (under ℤ I) = sInf {d | 0 < d ∧ ↑d ∈ I}

Tactic:
h,

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
I : Ideal R
h : absNorm (under ℤ I) = 0
this : {d | 0 < d ∧ ↑d ∈ I} = ∅
⊢ 0 = sInf {d | 0 < d ∧ ↑d ∈ I}
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Discriminant.Different

Goal state before:
pp: case refine_3
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
K₁ : Type u_4
K₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : NumberField K₁
inst✝³ : Field K₂
inst✝² : NumberField K₂
inst✝¹ : Algebra K₁ L
inst✝ : Algebra K₂ L
u v : ℤ
h : u * discr K₁ + v * discr K₂ = 1
⊢ ↑(u * discr K₁ + v * discr K₂) = 1

Tactic:
h,

Goal state after:
case refine_3
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
K₁ : Type u_4
K₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : NumberField K₁
inst✝³ : Field K₂
inst✝² : NumberField K₂
inst✝¹ : Algebra K₁ L
inst✝ : Algebra K₂ L
u v : ℤ
h : u * discr K₁ + v * discr K₂ = 1
⊢ ↑1 = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Norm.RelNorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹³ : IsIntegrallyClosed S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : IsTorsionFree R S
T : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : IsDomain T
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed T
inst✝⁶ : Algebra R T
inst✝⁵ : Algebra T S
inst✝⁴ : Module.Finite R T
inst✝³ : Module.Finite T S
inst✝² : IsTorsionFree R T
inst✝¹ : IsTorsionFree T S
inst✝ : IsScalarTower R T S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I : Ideal S
h : spanNorm R I = ⊥
⊢ spanNorm R (spanNorm T I) = spanNorm R I

Tactic:
h,

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹³ : IsIntegrallyClosed S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : IsTorsionFree R S
T : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : IsDomain T
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed T
inst✝⁶ : Algebra R T
inst✝⁵ : Algebra T S
inst✝⁴ : Module.Finite R T
inst✝³ : Module.Finite T S
inst✝² : IsTorsionFree R T
inst✝¹ : IsTorsionFree T S
inst✝ : IsScalarTower R T S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I : Ideal S
h : spanNorm R I = ⊥
⊢ spanNorm R (spanNorm T I) = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Norm.RelNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹¹ : IsIntegrallyClosed S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Finite R S
inst✝⁸ : IsTorsionFree R S
inst✝⁷ : IsDedekindDomain R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : IsDedekindDomain T
inst✝³ : IsIntegrallyClosed T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Module.Finite R T
inst✝ : IsTorsionFree R T
σ : S ≃ₐ[R] T
I : Ideal S
x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ ⇑(Algebra.intNorm R T) '' ↑(map σ I)
x : T
hx₁ : x ∈ ↑(map σ I)
hx₂ : (Algebra.intNorm R T) x = x✝¹
⊢ σ.toRingEquiv.symm x ∈ I

Tactic:
Ideal.symm_apply_mem_of_equiv_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹¹ : IsIntegrallyClosed S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Finite R S
inst✝⁸ : IsTorsionFree R S
inst✝⁷ : IsDedekindDomain R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : IsDedekindDomain T
inst✝³ : IsIntegrallyClosed T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Module.Finite R T
inst✝ : IsTorsionFree R T
σ : S ≃ₐ[R] T
I : Ideal S
x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ ⇑(Algebra.intNorm R T) '' ↑(map σ I)
x : T
hx₁ : x ∈ ↑(map σ I)
hx₂ : (Algebra.intNorm R T) x = x✝¹
⊢ x ∈ map σ.toRingEquiv I
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Norm.RelNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module.Finite R S
inst✝⁵ : IsTorsionFree R S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
p : Ideal R
hPp : P.LiesOver p
inst✝² : PerfectField (FractionRing R)
inst✝¹ : P.IsMaximal
inst✝ : p.IsMaximal
T : Type u_3 := Ring.NormalClosure R S
Q : Ideal T
hQ₁ : Q.IsMaximal
hQ₂ : Q.LiesOver P
this✝ : Q.LiesOver p
h : (relNorm R) Q = p ^ Q.inertiaDeg R
this : IsGalois (FractionRing S) (FractionRing T)
⊢ (relNorm R) P = p ^ P.inertiaDeg R

Tactic:
rwa [← relNorm_relNorm R S, relNorm_eq_pow_of_isPrime_isGalois Q P, map_pow,
    inertiaDeg_tower (R := R) P Q, pow_mul, pow_left_inj (inertiaDeg_pos Q S).ne'] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ p
h : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑p

Tactic:
replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1)) := by simpa using hζ

Goal state after:
p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ p
h : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1))
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1) = ↑p
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))

Tactic:
replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1)) := by simpa using hζ

Goal state after:
p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1))
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral

Goal state before:
pp: R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
⊢ ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k

Tactic:
intro k

Goal state after:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
⊢ k ∈ range (j + 1) → Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral

Goal state before:
pp: R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ R[B.gen] ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
⊢ ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      (algebraMap R L) p * Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1)

Tactic:
intro k

Goal state after:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ R[B.gen] ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
k : ℕ
⊢ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0 →
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      (algebraMap R L) p * Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Different

Goal state before:
pp: case e'_3.h₁
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing B
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : Algebra B L
inst✝⁹ : Algebra A B
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra A L
inst✝⁶ : IsScalarTower A K L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : IsFractionRing A K
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ ⊤ ≤ (algebraMap A K).range ↔ restrictScalars A ⊤ ≤ 1

Tactic:
simp [SetLike.le_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ ¬∃ n, ↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n

Tactic:
replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1)) := by simpa using hζ

Goal state after:
p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1))
⊢ ¬∃ n, ↑p ∣ hζ✝.toInteger - ↑n
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})

Tactic:
replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1)) := by simpa using hζ

Goal state after:
p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1))
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ✝.toInteger - 1})
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑p

Tactic:
replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1)) := by simpa using hζ

Goal state after:
p : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharZero K
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (0 + 1))
⊢ hζ✝.toInteger - 1 ∣ ↑p
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Different

Goal state before:
pp: case isFalse
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i ↦ (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
h✝ : ¬k = i
⊢ IsIntegral A (traceMatrix K (⇑b) j k)

Tactic:
exact isIntegral_trace (RingHom.IsIntegralElem.mul _ (hb j) (hb k))

Goal state after: