mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
m✝ : LocalizedModule S M
x✝² x✝¹ : M × ↥S
m : M
s : ↥S
m' : M
s' : ↥S
x✝ : (m, s) ≈ (m', s')
c : ↥S
eq1 : ↑c • ↑s' • m = ↑c • ↑s • m'
this✝ : c • s • g m' = c • s' • g m
this : Function.Injective ⇑⋯.unit.inv
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (↑c • ↑(m', s').2 • g m) = ↑(m, s).2 • g m'

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
m✝ : LocalizedModule S M
x✝² x✝¹ : M × ↥S
m : M
s : ↥S
m' : M
s' : ↥S
x✝ : (m, s) ≈ (m', s')
c : ↥S
eq1 : ↑c • ↑s' • m = ↑c • ↑s • m'
this✝ : c • s • g m' = c • s' • g m
this : Function.Injective ⇑⋯.unit.inv
⊢ ↑c • ↑(m', s').2 • g m = ↑c • ↑(m, s).2 • g m'
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g (b' • a) + g (b • a')) = ↑⋯.unit⁻¹ (g a) + ↑⋯.unit⁻¹ (g a')

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ g (b' • a) + g (b • a') = ↑(b * b') • (↑⋯.unit⁻¹ (g a) + ↑⋯.unit⁻¹ (g a'))
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: case e_a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ ((↑b * ↑b') • g a') = g (b • a')

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ (↑b * ↑b') • g a' = ↑b' • g (b • a')
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g m) = l (mk m s)

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ g m = ↑s • l (mk m s)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
p : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
a' : M
b' c : ↥S
eq1 : c • (a', b').2 • (a, b).1 = c • (a, b).2 • (a', b').1
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a')

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
p : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
a' : M
b' c : ↥S
eq1 : c • (a', b').2 • (a, b).1 = c • (a, b).2 • (a', b').1
⊢ f a = ↑(a, b).2 • ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f (b' • a + b • a')) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a) + ↑⋯.unit⁻¹ (f a')

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ f (b' • a + b • a') = ↑(b * b') • (↑⋯.unit⁻¹ (f a) + ↑⋯.unit⁻¹ (f a'))
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: case h.h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
⊢ LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
case h.h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : f a = ↑b • ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
⊢ LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
eq1 : (m, s).2 • x = f (m, s).1
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f m) = x

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
eq1 : (m, s).2 • x = f (m, s).1
⊢ f m = ↑s • x
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adjunction.Comma

Goal state before:
pp: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : D ⥤ C
inst✝ : ∀ (A : C), HasTerminal (CostructuredArrow G A)
B : D
A : C
g : B ⟶ (⊤_ CostructuredArrow G A).left
B' : CostructuredArrow G A := CostructuredArrow.mk (G.map g ≫ (⊤_ CostructuredArrow G A).hom)
g' : B' ⟶ ⊤_ CostructuredArrow G A := CostructuredArrow.homMk g ⋯
this : terminal.from B' = g'
⊢ (fun g ↦ (terminal.from (CostructuredArrow.mk g)).left) ((fun g ↦ G.map g ≫ (⊤_ CostructuredArrow G A).hom) g) = g

Tactic:
change CommaMorphism.left (terminal.from B') = _

Goal state after:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : D ⥤ C
inst✝ : ∀ (A : C), HasTerminal (CostructuredArrow G A)
B : D
A : C
g : B ⟶ (⊤_ CostructuredArrow G A).left
B' : CostructuredArrow G A := CostructuredArrow.mk (G.map g ≫ (⊤_ CostructuredArrow G A).hom)
g' : B' ⟶ ⊤_ CostructuredArrow G A := CostructuredArrow.homMk g ⋯
this : terminal.from B' = g'
⊢ (terminal.from B').left = g
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f m) = f m

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
⊢ f m = ↑1 • f m
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (f m) = mk' f m 1

Tactic:
Module.End.algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ f m = ↑1 • mk' f m 1
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Comma

Goal state before:
pp: J : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} J
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} T
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
F✝ F : J ⥤ Comma L R
c : Cone F
inst✝ : PreservesLimit (F ⋙ snd L R) R
h₁ : IsLimit ((fst L R).mapCone c)
h₂ : IsLimit ((snd L R).mapCone c)
s : Cone F
x✝ : s.pt ⟶ c.pt
hm : ∀ (j : J), x✝ ≫ c.π.app j = s.π.app j
⊢ x✝ = { left := h₁.lift ((fst L R).mapCone s), right := h₂.lift ((snd L R).mapCone s), w := ⋯ }

Tactic:
by
    ext
    · exact h₁.uniq ((fst _ _).mapCone s) _ (by simp [← hm])
    · exact h₂.uniq ((snd _ _).mapCone s) _ (by simp [← hm])

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Grothendieck

Goal state before:
pp: case w_base
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
F : C ⥤ Cat
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Grothendieck F
f : W✝.Hom X✝
g : X✝.Hom Y✝
h : Y✝.Hom Z✝
⊢ (comp (comp f g) h).base = (comp f (comp g h)).base

Tactic:
simp [comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Grothendieck

Goal state before:
pp: case e_a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Type w
E : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} E
c : C
X✝ Y✝ Z✝ : ↑(F.obj c)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ eqToHom ⋯ ≫ f = (eqToHom ⋯ ≫ (F.map (𝟙 c)).toFunctor.map f) ≫ eqToHom ⋯

Tactic:
simp only [eqToHom_comp_iff, Category.assoc, eqToHom_trans_assoc]

Goal state after:
case e_a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Type w
E : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} E
c : C
X✝ Y✝ Z✝ : ↑(F.obj c)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ f = eqToHom ⋯ ≫ (F.map (𝟙 c)).toFunctor.map f ≫ eqToHom ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cocone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j ⟶ F.obj j₁
k₂ : F.obj j ⟶ F.obj j₂
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ k₁ ≫ F.map f = k₂ → G.map k₁ ≫ s.ι.app j₁ = s.ι.app j → G.map k₂ ≫ s.ι.app j₂ = s.ι.app j

Tactic:
w

Goal state after:
case h₁
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cocone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j ⟶ F.obj j₁
k₂ : F.obj j ⟶ F.obj j₂
f : j₁ ⟶ j₂
w : k₁ ≫ F.map f = k₂
⊢ G.map k₁ ≫ s.ι.app j₁ = s.ι.app j → G.map k₂ ≫ s.ι.app j₂ = s.ι.app j
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cocone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j ⟶ F.obj j₁
k₂ : F.obj j ⟶ F.obj j₂
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ k₁ ≫ F.map f = k₂ → G.map k₂ ≫ s.ι.app j₂ = s.ι.app j → G.map k₁ ≫ s.ι.app j₁ = s.ι.app j

Tactic:
w

Goal state after:
case h₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cocone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j ⟶ F.obj j₁
k₂ : F.obj j ⟶ F.obj j₂
f : j₁ ⟶ j₂
w : k₁ ≫ F.map f = k₂
⊢ G.map k₂ ≫ s.ι.app j₂ = s.ι.app j → G.map k₁ ≫ s.ι.app j₁ = s.ι.app j
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
d : D
f₁ f₂ : (X : C) × (d ⟶ F.obj X)
t : Relation.EqvGen (F ⋙ coyoneda.obj (op d)).ColimitTypeRel f₁ f₂
⊢ Zigzag (StructuredArrow.mk f₁.snd) (StructuredArrow.mk f₂.snd)

Tactic:
by
  induction t with
  | rel x y r =>
    obtain ⟨f, w⟩ := r
    fconstructor
    swap
    · fconstructor
    left; fconstructor
    exact StructuredArrow.homMk f
  | refl => fconstructor
  | symm x y _ ih => exact ih.symm
  | trans x y z _ _ ih₁ ih₂ => exact ih₁.trans ih₂

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
d : D
Z : (X : C) → (F.obj X ⟶ d) → Sort u_1
h₁ : (X₁ X₂ : C) → (k₁ : F.obj X₁ ⟶ d) → (k₂ : F.obj X₂ ⟶ d) → (f : X₁ ⟶ X₂) → F.map f ≫ k₂ = k₁ → Z X₁ k₁ → Z X₂ k₂
h₂ : (X₁ X₂ : C) → (k₁ : F.obj X₁ ⟶ d) → (k₂ : F.obj X₂ ⟶ d) → (f : X₁ ⟶ X₂) → F.map f ≫ k₂ = k₁ → Z X₂ k₂ → Z X₁ k₁
X₀ : C
k₀ : F.obj X₀ ⟶ d
z : Z X₀ k₀
⊢ {j₁ j₂ : CostructuredArrow F d} → (j₁ ⟶ j₂) → Z j₂.left j₂.hom → Z j₁.left j₁.hom

Tactic:
intro j₁ j₂ f a
    fapply h₂ _ _ _ _ f.left _ a
    convert! f.w
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j₁ ⟶ F.obj j
k₂ : F.obj j₂ ⟶ F.obj j
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ F.map f ≫ k₂ = k₁ → s.π.app j₁ ≫ G.map k₁ = s.π.app j → s.π.app j₂ ≫ G.map k₂ = s.π.app j

Tactic:
w

Goal state after:
case h₁
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j₁ ⟶ F.obj j
k₂ : F.obj j₂ ⟶ F.obj j
f : j₁ ⟶ j₂
w : F.map f ≫ k₂ = k₁
⊢ s.π.app j₁ ≫ G.map k₁ = s.π.app j → s.π.app j₂ ≫ G.map k₂ = s.π.app j
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Equalizers

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ c.unop.ι = c.π.unop

Tactic:
simp [Cofork.unop, Fork.ι]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Equalizers

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsColimit c ≃ IsLimit c.op

Tactic:
apply equivOfSubsingletonOfSubsingleton

Goal state after:
case f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsColimit c → IsLimit c.op

case g
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsLimit c.op → IsColimit c
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Equalizers

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : Cᵒᵖ
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsColimit c ≃ IsLimit c.unop

Tactic:
apply equivOfSubsingletonOfSubsingleton

Goal state after:
case f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : Cᵒᵖ
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsColimit c → IsLimit c.unop

case g
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : Cᵒᵖ
f g : X ⟶ Y
c : Cofork f g
⊢ IsLimit c.unop → IsColimit c
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j₁ ⟶ F.obj j
k₂ : F.obj j₂ ⟶ F.obj j
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ F.map f ≫ k₂ = k₁ → s.π.app j₂ ≫ G.map k₂ = s.π.app j → s.π.app j₁ ≫ G.map k₁ = s.π.app j

Tactic:
w

Goal state after:
case h₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
s : Cone (F ⋙ G)
j j₁ j₂ : C
k₁ : F.obj j₁ ⟶ F.obj j
k₂ : F.obj j₂ ⟶ F.obj j
f : j₁ ⟶ j₂
w : F.map f ≫ k₂ = k₁
⊢ s.π.app j₂ ≫ G.map k₂ = s.π.app j → s.π.app j₁ ≫ G.map k₁ = s.π.app j
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.RegularMono

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y P Q R S : C
f : P ⟶ Q
g : P ⟶ R
h : Q ⟶ S
k : R ⟶ S
hr : RegularMono h
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
s : Fork (k ≫ hr.left) (k ≫ hr.right)
l₁ : (s.ι ≫ k) ≫ hr.left = (s.ι ≫ k) ≫ hr.right
l : s.pt ⟶ (Fork.ofι h ⋯).pt
hl : l ≫ (Fork.ofι h ⋯).ι = s.ι ≫ k
p : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk f g comm).pt
left✝ : p ≫ (PullbackCone.mk f g comm).fst = l
hp₂ : p ≫ (PullbackCone.mk f g comm).snd = s.ι
m : s.pt ⟶ (Fork.ofι g ⋯).pt
⊢ m ≫ (Fork.ofι g ⋯).ι = s.ι → m = p

Tactic:
w

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y P Q R S : C
f : P ⟶ Q
g : P ⟶ R
h : Q ⟶ S
k : R ⟶ S
hr : RegularMono h
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
s : Fork (k ≫ hr.left) (k ≫ hr.right)
l₁ : (s.ι ≫ k) ≫ hr.left = (s.ι ≫ k) ≫ hr.right
l : s.pt ⟶ (Fork.ofι h ⋯).pt
hl : l ≫ (Fork.ofι h ⋯).ι = s.ι ≫ k
p : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk f g comm).pt
left✝ : p ≫ (PullbackCone.mk f g comm).fst = l
hp₂ : p ≫ (PullbackCone.mk f g comm).snd = s.ι
m : s.pt ⟶ (Fork.ofι g ⋯).pt
w : m ≫ (Fork.ofι g ⋯).ι = s.ι
⊢ m = p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.RegularMono

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : RegularMono f
this : Mono f
A B : C
z : A ⟶ B
hz : Epi z
u : A ⟶ X
v : B ⟶ Y
sq : CommSq u z f v
⊢ v ≫ h.left = v ≫ h.right

Tactic:
apply (cancel_epi z).1

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : RegularMono f
this : Mono f
A B : C
z : A ⟶ B
hz : Epi z
u : A ⟶ X
v : B ⟶ Y
sq : CommSq u z f v
⊢ z ≫ v ≫ h.left = z ≫ v ≫ h.right
Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
⊢ (algebraMap A B).FinitePresentation ↔ Algebra.FinitePresentation A B

Tactic:
by
  rw [RingHom.FinitePresentation, toAlgebra_algebraMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.KernelPair

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b comm).pt
m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b comm).fst = s.fst
m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b comm).snd = s.snd
⊢ a ≫ f₁ ≫ f₂ = b ≫ f₁ ≫ f₂

Tactic:
apply reassoc_of% comm

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.RegularMono

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y P Q R S : C
f : P ⟶ Q
g : P ⟶ R
h : Q ⟶ S
k : R ⟶ S
gr : RegularEpi g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsColimit (PushoutCocone.mk h k comm)
s : Cofork (gr.left ≫ f) (gr.right ≫ f)
l₁ : gr.left ≫ f ≫ s.π = gr.right ≫ f ≫ s.π
l : (Cofork.ofπ g ⋯).pt ⟶ s.pt
hl : (Cofork.ofπ g ⋯).π ≫ l = f ≫ s.π
p : (PushoutCocone.mk h k comm).pt ⟶ s.pt
hp₁ : (PushoutCocone.mk h k comm).inl ≫ p = s.π
right✝ : (PushoutCocone.mk h k comm).inr ≫ p = l
m : (Cofork.ofπ h ⋯).pt ⟶ s.pt
⊢ (Cofork.ofπ h ⋯).π ≫ m = s.π → m = p

Tactic:
w

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y P Q R S : C
f : P ⟶ Q
g : P ⟶ R
h : Q ⟶ S
k : R ⟶ S
gr : RegularEpi g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsColimit (PushoutCocone.mk h k comm)
s : Cofork (gr.left ≫ f) (gr.right ≫ f)
l₁ : gr.left ≫ f ≫ s.π = gr.right ≫ f ≫ s.π
l : (Cofork.ofπ g ⋯).pt ⟶ s.pt
hl : (Cofork.ofπ g ⋯).π ≫ l = f ≫ s.π
p : (PushoutCocone.mk h k comm).pt ⟶ s.pt
hp₁ : (PushoutCocone.mk h k comm).inl ≫ p = s.π
right✝ : (PushoutCocone.mk h k comm).inr ≫ p = l
m : (Cofork.ofπ h ⋯).pt ⟶ s.pt
w : (Cofork.ofπ h ⋯).π ≫ m = s.π
⊢ m = p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: case neg
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : ObjectProperty C
h : ∀ (d : C), ¬P d → IsConnected (CostructuredArrow P.ι d)
d : C
hd : ¬P d
⊢ IsConnected (CostructuredArrow P.ι d)

Tactic:
exact h d hd

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Limits

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ P.IsStableUnderCobaseChange → P.pushouts ≤ P

pp: case mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ P.pushouts ≤ P → P.IsStableUnderCobaseChange

Tactic:
· intro h _ _ _ ⟨_, _, _, _, _, h₁, h₂⟩
    exact of_isPushout h₂ h₁

Goal state after:
case mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ P.pushouts ≤ P → P.IsStableUnderCobaseChange
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Diagonal

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
X Y : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ fst (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ 𝟙 T = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g ≫ f

Tactic:
← diagonal_fst i,

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
X Y : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ fst (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ diagonal i ≫ fst i i =
    (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g ≫ f