mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Poincare

Goal state before:
pp: case e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
a b c : E
s : Set E
ω : E → E →L[𝕜] F
dω : E → E →L[ℝ] E →L[𝕜] F
hs : Convex ℝ s
hω : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt ω (dω x) s x
hdω : ∀ a ∈ s, ∀ x ∈ tangentConeAt ℝ s a, ∀ y ∈ tangentConeAt ℝ s a, ((dω a) x) y = ((dω a) y) x
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
φ : (↑(Path.segment a b)).Homotopy ↑(Path.segment a c) :=
  ContinuousMap.Homotopy.affine ↑(Path.segment a b) ↑(Path.segment a c)
hφs : range ⇑φ ⊆ s
this :
  ∫ᶜ (x : E) in Path.segment a b, ω x + ∫ᶜ (x : E) in φ.evalAt 1, ω x =
    ∫ᶜ (x : E) in Path.segment a c, ω x + ∫ᶜ (x : E) in φ.evalAt 0, ω x
⊢ ∫ᶜ (x : E) in Path.segment a c, ω x = ∫ᶜ (x : E) in Path.segment a c, ω x + ∫ᶜ (x : E) in φ.evalAt 0, ω x

Tactic:
dsimp [φ]
      rw [← Path.cast_segment (lineMap_apply_zero a b) (lineMap_apply_zero a c)]
      simp

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁸ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁶ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁵ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝³ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), ↑(∏ i, (f i) (p.1 i)) * ↑(∏ j, (g j) (p.2 j)) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), ↑(∏ i, (f i) (p.1 i)) * ↑(∏ j, (g j) (p.2 j)) ∂ν
hμν : μ univ = ν univ
this✝ : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun s t ↦ s ×ˢ t) (univ.pi '' univ.pi fun x ↦ {s | IsClosed[inst✝⁸ x] s})
    (univ.pi '' univ.pi fun x ↦ {t | IsClosed[inst✝⁵ x] t})
hπ1 : IsPiSystem π
hπ2 : Prod.instMeasurableSpace = generateFrom π
s : (i : ι) → Set (X i)
t : (i : κ) → Set (Y i)
hs : ∀ (i : ι), IsClosed[inst✝⁸ i] (s i)
ht : ∀ (i : κ), IsClosed[inst✝⁵ i] (t i)
hp1 : ∀ (x : (i : ι) → X i), ∏ i, (s i).indicator (fun x ↦ 1) (x i) = (univ.pi s).indicator 1 x
hp2 : ∀ (y : (j : κ) → Y j), ∏ j, (t j).indicator (fun x ↦ 1) (y j) = (univ.pi t).indicator 1 y
this :
  ∀ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
    Tendsto (ofNNReal ∘ fun x ↦ (∏ c, (⋯.apprSeq x) (p.1 c)) * ∏ c, (⋯.apprSeq x) (p.2 c)) atTop
      (𝓝 ↑((univ.pi s ×ˢ univ.pi t).indicator 1 p))
h1 :
  Tendsto
    (fun n ↦
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), ↑((∏ i, (⋯.apprSeq n) (p.1 i)) * ∏ j, (⋯.apprSeq n) (p.2 j)) ∂μ)
    atTop (𝓝 (∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), ↑((univ.pi s ×ˢ univ.pi t).indicator 1 p) ∂μ))
⊢ ∀ (x : ℕ), Measurable fun p ↦ ↑(∏ i, (⋯.apprSeq x) (p.1 i)) * ↑(∏ j, (⋯.apprSeq x) (p.2 j))

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Poincare

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
a b c : E
s : Set E
ω : E → E →L[𝕜] F
dω : E → E →L[ℝ] E →L[𝕜] F
hs : Convex ℝ s
hω : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt ω (dω x) s x
hdω : ∀ a ∈ s, ∀ x ∈ tangentConeAt ℝ s a, ∀ y ∈ tangentConeAt ℝ s a, ((dω a) x) y = ((dω a) y) x
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
φ : (↑(Path.segment a b)).Homotopy ↑(Path.segment a c) :=
  ContinuousMap.Homotopy.affine ↑(Path.segment a b) ↑(Path.segment a c)
hφs : range ⇑φ ⊆ s
this :
  EqOn (fun x ↦ IccExtend ⋯ (⇑(φ.extend x.1)) x.2) (fun x ↦ (lineMap ((lineMap a b) x.2) ((lineMap a c) x.2)) x.1)
    (Icc 0 1)
⊢ ContDiffOn ℝ 2 (fun x ↦ (lineMap ((lineMap a b) x.2) ((lineMap a c) x.2)) x.1) (Icc 0 1)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
n : ℕ
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
⊢ Integrable (fun x ↦ 2) (volume.restrict (Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹)))

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.TightNormed

Goal state before:
pp: E : Type u_1
mE : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsFiniteMeasure (μ i)
h : ∀ (y : E), Tendsto (fun r ↦ limsup (fun n ↦ (μ n) {x | r < ‖⟪y, x⟫_𝕜‖}) atTop) atTop (𝓝 0)
z : E
n : ℕ
h_tight : Tendsto (fun r ↦ ⨆ μ_1 ∈ {Measure.map (fun x ↦ ⟪z, x⟫_𝕜) (μ n)}, μ_1 {x | r < ‖x‖}) atTop (𝓝 0)
r : ℝ
⊢ Measurable fun x ↦ ⟪z, x⟫_𝕜

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.TightNormed

Goal state before:
pp: E : Type u_1
mE : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsFiniteMeasure (μ i)
h : ∀ (y : E), Tendsto (fun r ↦ limsup (fun n ↦ (μ n) {x | r < ‖⟪y, x⟫_𝕜‖}) atTop) atTop (𝓝 0)
z : E
n : ℕ
h_tight : Tendsto (fun r ↦ ⨆ μ_1 ∈ {Measure.map (fun x ↦ ⟪z, x⟫_𝕜) (μ n)}, μ_1 {x | r < ‖x‖}) atTop (𝓝 0)
r : ℝ
⊢ Measurable norm

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
h_le_4 : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ), 0 < r → 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖ ≤ 4
h_le :
  ∀ (n : ℕ) (r : ℝ),
    0 < r → (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|} ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
⊢ Integrable (fun x ↦ 2) (volume.restrict (Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹)))

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
h_le_4 : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ), 0 < r → 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖ ≤ 4
h_le :
  ∀ (n : ℕ) (r : ℝ),
    0 < r → (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|} ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
x✝ : ℕ
⊢ Measurable fun t ↦ 1 - charFun (μ x✝) (t • z)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ✝ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ✝ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
x✝¹ : ι
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ Measurable fun p ↦ (f x✝¹) (p.1 x✝¹)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ✝ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ✝ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
x✝¹ : κ
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ Measurable fun p ↦ (g x✝¹) (p.2 x✝¹)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
this :
  ∀ {μ : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))},
    (∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, ↑((f i) (p.1 i))) * ∏ j, ↑((g j) (p.2 j)) ∂μ).toReal =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, ↑((f i) (p.1 i))) * ∏ j, ↑((g j) (p.2 j)) ∂μ
i : ι
⊢ Continuous[inst✝⁹ i, _] fun x ↦ ↑((f i) x)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
this :
  ∀ {μ : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))},
    (∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, ↑((f i) (p.1 i))) * ∏ j, ↑((g j) (p.2 j)) ∂μ).toReal =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, ↑((f i) (p.1 i))) * ∏ j, ↑((g j) (p.2 j)) ∂μ
j : κ
⊢ Continuous[inst✝⁶ j, _] fun y ↦ ↑((g j) y)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
i : ι
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁹ i] (Function.eval i ∘ Prod.fst)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j) ∂ν
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0
j : κ
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁶ j] (Function.eval j ∘ Prod.snd)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Finite κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : ((i : ι) → X i) →ᵇ ℝ) (g : ((j : κ) → Y j) →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), f p.1 * g p.2 ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), f p.1 * g p.2 ∂ν
this✝ : Fintype ι
this : Fintype κ
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ
i : ι
⊢ Continuous[Pi.topologicalSpace, inst✝⁹ i] (Function.eval i)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁶ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁵ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁴ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Finite κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : ((i : ι) → X i) →ᵇ ℝ) (g : ((j : κ) → Y j) →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), f p.1 * g p.2 ∂μ =
      ∫ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)), f p.1 * g p.2 ∂ν
this✝ : Fintype ι
this : Fintype κ
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ
j : κ
⊢ Continuous[Pi.topologicalSpace, inst✝⁶ j] (Function.eval j)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
T : Type u_4
X : ι → Type u_5
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst✝⁸ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝⁷ : ∀ (i : ι), BorelSpace (X i)
inst✝⁶ : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed (X i)
mT : MeasurableSpace T
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : BorelSpace T
inst✝³ : HasOuterApproxClosed T
inst✝² : Finite ι
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × T)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : ((i : ι) → X i) →ᵇ ℝ) (g : T →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : ((i : ι) → X i) × T), f p.1 * g p.2 ∂μ = ∫ (p : ((i : ι) → X i) × T), f p.1 * g p.2 ∂ν
this : Fintype ι
f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ
g : T →ᵇ ℝ
i : ι
⊢ Continuous[Pi.topologicalSpace, inst✝⁸ i] (Function.eval i)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
h_le_4 : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ), 0 < r → 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖ ≤ 4
h_le :
  ∀ (n : ℕ) (r : ℝ),
    0 < r → (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|} ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖
h_limsup_le :
  ∀ (r : ℝ),
    0 < r →
      limsup (fun n ↦ (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|}) atTop ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - f (t • z)‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
hf0 : f 0 = 1
hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ_lt : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε / 4
r : ℝ
hrδ : 4 * δ⁻¹ ≤ r
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
h_le_Ioc : ∀ x ∈ Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹), ‖1 - f (x • z)‖ ≤ ε / 4
⊢ ∀ (i : ℕ), Measurable fun t ↦ charFun (μ i) t

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd

Goal state before:
pp: κ : Type u_2
Z : Type u_3
Y : κ → Type u_6
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst✝⁸ : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst✝⁷ : ∀ (j : κ), BorelSpace (Y j)
inst✝⁶ : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed (Y j)
mZ : MeasurableSpace Z
inst✝⁵ : TopologicalSpace Z
inst✝⁴ : BorelSpace Z
inst✝³ : HasOuterApproxClosed Z
inst✝² : Finite κ
μ ν : Measure (Z × ((i : κ) → Y i))
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h :
  ∀ (f : Z →ᵇ ℝ) (g : ((j : κ) → Y j) →ᵇ ℝ),
    ∫ (p : Z × ((i : κ) → Y i)), f p.1 * g p.2 ∂μ = ∫ (p : Z × ((i : κ) → Y i)), f p.1 * g p.2 ∂ν
this : Fintype κ
f : Z →ᵇ ℝ
g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ
j : κ
⊢ Continuous[Pi.topologicalSpace, inst✝⁸ j] (Function.eval j)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
h_le_4 : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ), 0 < r → 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖ ≤ 4
h_le :
  ∀ (n : ℕ) (r : ℝ),
    0 < r → (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|} ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖
h_limsup_le :
  ∀ (r : ℝ),
    0 < r →
      limsup (fun n ↦ (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|}) atTop ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - f (t • z)‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
hf0 : f 0 = 1
hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ_lt : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε / 4
r : ℝ
hrδ : 4 * δ⁻¹ ≤ r
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
h_le_Ioc : ∀ x ∈ Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹), ‖1 - f (x • z)‖ ≤ ε / 4
hf_meas : Measurable f
⊢ Integrable (fun x ↦ ε / 4) (volume.restrict (Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹)))

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LevyConvergence

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : ℕ → Measure E
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μ i)
f : E → ℂ
hf : ContinuousAt f 0
h : ∀ (t : E), Tendsto (fun n ↦ charFun (μ n) t) atTop (𝓝 (f t))
z : E
hz : ‖z‖ = 1
h_le_4 : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ), 0 < r → 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖ ≤ 4
h_le :
  ∀ (n : ℕ) (r : ℝ),
    0 < r → (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|} ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - charFun (μ n) (t • z)‖
h_limsup_le :
  ∀ (r : ℝ),
    0 < r →
      limsup (fun n ↦ (μ n).real {x | r < |⟪z, x⟫|}) atTop ≤ 2⁻¹ * r * ‖∫ (t : ℝ) in -2 * r⁻¹..2 * r⁻¹, 1 - f (t • z)‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
hf0 : f 0 = 1
hf_tendsto : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ_lt : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ < δ → ‖1 - f x‖ < ε / 4
r : ℝ
hrδ : 4 * δ⁻¹ ≤ r
hr : 0 < r
hr' : -(2 * r⁻¹) ≤ 2 * r⁻¹
h_le_Ioc : ∀ x ∈ Set.Ioc (-(2 * r⁻¹)) (2 * r⁻¹), ‖1 - f (x • z)‖ ≤ ε / 4
hf_meas : Measurable f
⊢ Measurable fun x ↦ ‖1 - f (x • z)‖

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.SeparableMeasure

Goal state before:
pp: case inl
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜 : Set (Set X)
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
s : Set X
ms : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
t : Set X
ht : t ∈ 𝒜
hμt : μ t ≠ ∞
⊢ indicatorConstLp p ⋯ hμt 0 = indicatorConstLp p ms hμs 0

Tactic:
simp_rw [indicatorConstLp]

Goal state after:
case inl
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜 : Set (Set X)
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
s : Set X
ms : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
t : Set X
ht : t ∈ 𝒜
hμt : μ t ≠ ∞
⊢ MemLp.toLp (t.indicator fun x ↦ 0) ⋯ = MemLp.toLp (s.indicator fun x ↦ 0) ⋯
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.ResolventTransform

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝⁹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁸ : NormedDivisionRing A
inst✝⁷ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝⁶ : HereditarilyLindelofSpace 𝕜
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SecondCountableTopology A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure 𝕜
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a : A
hz : a ∉ ⇑(algebraMap 𝕜 A) '' μ.support
⊢ AEStronglyMeasurable (resolvent a) μ

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.SeparableMeasure

Goal state before:
pp: X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜 : Set (Set X)
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
c : E
hc : c ≠ 0
p_pos : 0 < p
s : Set X
ms : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
ε : ℝ
hε : ε > 0
aux : 0 < (ε / ‖c‖) ^ p.toReal
t : Set X
ht : t ∈ 𝒜
hμt : μ t ≠ ∞
hμst : μ (s ∆ t) < ENNReal.ofReal ((ε / ‖c‖) ^ p.toReal)
⊢ ‖c‖ * (ε / ‖c‖) = ε

Tactic:
mul_div_cancel₀ _ (norm_ne_zero_iff.2 hc)

Goal state after:
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜 : Set (Set X)
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
c : E
hc : c ≠ 0
p_pos : 0 < p
s : Set X
ms : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
ε : ℝ
hε : ε > 0
aux : 0 < (ε / ‖c‖) ^ p.toReal
t : Set X
ht : t ∈ 𝒜
hμt : μ t ≠ ∞
hμst : μ (s ∆ t) < ENNReal.ofReal ((ε / ‖c‖) ^ p.toReal)
⊢ ε = ε