mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case h₂.convert_4
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ‖fderiv ℝ u x‖ₑ) μ

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℕ
h : d₁ < d₂
s : Set X
⊢ μHE[d₂] s = 0 ∨ μHE[d₁] s = ⊤

Tactic:
simp_rw [euclideanHausdorffMeasure_def]
  obtain h | h := hausdorffMeasure_zero_or_top (show (d₁ : ℝ) < d₂ by simpa using h) s
  · simp [h]
  · right
    rw [smul_apply, h, ENNReal.smul_top]
    simp [addHaarScalarFactor_volume_hausdorffMeasure_ne_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : MeasurableSpace P
inst✝¹ : BorelSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
hs : Nonempty ↥s
t : Set P
ht : MeasurableSet t
p : ↥s
x : ↥s.direction
u : Set ↥(mk' (↑(x +ᵥ p)) s.directionᗮ) := Subtype.val ⁻¹' (t ∩ ↑(mk' (↑(x +ᵥ p)) s.directionᗮ))
hu : MeasurableSet u
hinter : t ∩ ↑(mk' (↑(x +ᵥ p)) s.directionᗮ) = Subtype.val '' u
hxp : ↑(x +ᵥ p) ∈ mk' (↑(x +ᵥ p)) s.directionᗮ
hrank : finrank ℝ ↥s.directionᗮ = finrank ℝ ↥(mk' (↑(x +ᵥ p)) s.directionᗮ).direction
⊢ Measurable ⇑(IsometryEquiv.vaddConst ⟨↑(x +ᵥ p), hxp⟩)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
s : Set Y
⊢ dimH (⇑e ⁻¹' s) = dimH s

Tactic:
rw [← e.image_symm, e.symm.dimH_image]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
h : (↑f).ker = ⊥
b : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(↑f).range
hf : f = (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict
⊢ ↑((↑f).normDet ^ 2) = (ContinuousLinearMap.adjoint f ∘SL f).det

Tactic:
conv_rhs => rw [hf]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
h : (↑f).ker = ⊥
b : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(↑f).range
hf : f = (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict
⊢ ↑((↑f).normDet ^ 2) =
    (ContinuousLinearMap.adjoint ((↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict) ∘SL
        (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict).det
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: ⊢ dimH univ = 1

Tactic:
dimH_univ_eq_finrank ℝ,

Goal state after:
⊢ ↑(finrank ℝ ℝ) = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : ℝ → E
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x ↦
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖f x + g x‖ * 𝓚 ‖f x + g x‖ - 𝓚 ‖f x - g x‖ * 𝓚 ‖f x - g x‖ + I * 𝓚 ‖I • f x + g x‖ * 𝓚 ‖I • f x + g x‖ -
        I * 𝓚 ‖I • f x - g x‖ * 𝓚 ‖I • f x - g x‖)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖y - x‖ * ↑‖y - x‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ -
        -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

Tactic:
norm_sub_rev

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ -
        -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝ : RKHS 𝕜 H X V
x : X
⊢ Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun f ↦ (coeCLM 𝕜) f x

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpaceable E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ UniformConvexSpace E

Tactic:
cases nonempty_innerProductSpace ℝ E

Goal state after:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpaceable E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
val✝ : InnerProductSpace ℝ E
⊢ UniformConvexSpace E
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ∞
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d ↦ ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ ⋃ n, (fun n ↦ f '' (t n ∩ s)) n

pp: case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ∞
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d ↦ ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), ediam (t n) ≤ δ
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n ↦ f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), ediam ((fun n ↦ f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑C ^ d * ediam (t i) ^ (↑r * d)

Tactic:
· grw [← image_iUnion, ← iUnion_inter, ← hst, inter_self]

Goal state after:
case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ∞
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d ↦ ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), ediam (t n) ≤ δ
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n ↦ f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), ediam ((fun n ↦ f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑C ^ d * ediam (t i) ^ (↑r * d)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ∞
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d ↦ ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), ediam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ ediam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * ediam (t n) ^ (↑r * d)

Tactic:
simp only [Nonempty.mono ((t n).inter_subset_left) hft, ciSup_pos]

Goal state after:
case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ∞
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d ↦ ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), ediam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ ediam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ↑C ^ d * ediam (t n) ^ (↑r * d)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : RKHS 𝕜 H X V
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : CompleteSpace V
K : Matrix X X (V →L[𝕜] V)
inst✝ : Fact K.PosSemidef
x✝² x✝¹ : H₀ K
x✝ : 𝕜
⊢ (Finsupp.sum (x✝ • x✝²) fun x z ↦
      match x with
      | (y, u) =>
        Finsupp.sum x✝¹ fun x w ↦
          match x with
          | (x, v) => star z * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜) =
    (starRingEnd 𝕜) x✝ *
      Finsupp.sum x✝² fun x z ↦
        match x with
        | (y, u) =>
          Finsupp.sum x✝¹ fun x w ↦
            match x with
            | (x, v) => star z * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜

Tactic:
Finsupp.sum_smul_index

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : RKHS 𝕜 H X V
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : CompleteSpace V
K : Matrix X X (V →L[𝕜] V)
inst✝ : Fact K.PosSemidef
x✝² x✝¹ : H₀ K
x✝ : 𝕜
⊢ (Finsupp.sum x✝² fun i a ↦
      match i with
      | (y, u) =>
        Finsupp.sum x✝¹ fun x w ↦
          match x with
          | (x, v) => star (x✝ * a) * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜) =
    (starRingEnd 𝕜) x✝ *
      Finsupp.sum x✝² fun x z ↦
        match x with
        | (y, u) =>
          Finsupp.sum x✝¹ fun x w ↦
            match x with
            | (x, v) => star z * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜

𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : RKHS 𝕜 H X V
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : CompleteSpace V
K : Matrix X X (V →L[𝕜] V)
inst✝ : Fact K.PosSemidef
x✝² x✝¹ : H₀ K
x✝ : 𝕜
⊢ ∀ (i : X × V),
    (match i with
      | (y, u) =>
        Finsupp.sum x✝¹ fun x w ↦
          match x with
          | (x, v) => star 0 * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜) =
      0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ ∀ (b a : F),
    Continuous[instTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun x ↦ star ⟪a, x b⟫_𝕜

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : (toWeakSpace 𝕜 E).toEquiv x ∈ (⇑(toWeakSpace 𝕜 E) '' closure s)ᶜ
this : ContinuousSMul ℝ E
f : StrongDual 𝕜 E
u : ℝ
hus : ∀ a ∈ closure s, RCLike.re (f a) < u
hux : u < RCLike.re (f x)
f' : StrongDual 𝕜 (WeakSpace 𝕜 E) :=
  let __LinearMap := ↑f ∘ₗ ↑(toWeakSpace 𝕜 E).symm;
  { toLinearMap := __LinearMap, cont := ⋯ }
hux' : u < (RCLike.reCLM ∘SL ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f') ((toWeakSpace 𝕜 E) x)
⊢ Continuous ⇑(RCLike.reCLM ∘SL ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f')

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : (toWeakSpace 𝕜 E).toEquiv x ∈ (⇑(toWeakSpace 𝕜 E) '' closure s)ᶜ
this : ContinuousSMul ℝ E
f : StrongDual 𝕜 E
u : ℝ
hus : ∀ a ∈ closure s, RCLike.re (f a) < u
hux : u < RCLike.re (f x)
f' : StrongDual 𝕜 (WeakSpace 𝕜 E) :=
  let __LinearMap := ↑f ∘ₗ ↑(toWeakSpace 𝕜 E).symm;
  { toLinearMap := __LinearMap, cont := ⋯ }
hux' : u < (RCLike.reCLM ∘SL ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f') ((toWeakSpace 𝕜 E) x)
⊢ Continuous fun y ↦ u

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁶ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜 F
inst✝¹¹ : Module ℝ E
inst✝¹⁰ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : Module ℝ F
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ F
s : Set E
hs : Convex ℝ s
e : E →ₗ[𝕜] F
he : ∀ (f : StrongDual 𝕜 F), Continuous ⇑(e.dualMap ↑f)
f : F →L[𝕜] 𝕜
⊢ Continuous ⇑(e.dualMap ↑f)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: w z : ℂ
⊢ (Complex.orientation.kahler w) z = z * (starRingEnd ℂ) w

Tactic:
rw [Orientation.kahler_apply_apply]
  apply Complex.ext <;> simp [mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝³¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝³⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝²⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝²⁸ : TopologicalSpace E✝
inst✝²⁷ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝²⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace F✝
inst✝²⁴ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜₃ : Type u_7
𝕜₄ : Type u_8
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
H : Type u_12
inst✝²³ : NormedField 𝕜₁
inst✝²² : NormedField 𝕜₂
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₃
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₄
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
σ₁₄ : 𝕜₁ →+* 𝕜₄
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : AddCommGroup H
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : Module 𝕜₄ H
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
x✝ : F →WOT[𝕜₂] F
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, instTopologicalSpace] fun x ↦ x✝ * x

Tactic:
simp_rw [mul_eq_comp]

Goal state after:
𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝³¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝³⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝²⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝²⁸ : TopologicalSpace E✝
inst✝²⁷ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝²⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace F✝
inst✝²⁴ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜₃ : Type u_7
𝕜₄ : Type u_8
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
H : Type u_12
inst✝²³ : NormedField 𝕜₁
inst✝²² : NormedField 𝕜₂
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₃
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₄
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
σ₁₄ : 𝕜₁ →+* 𝕜₄
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : AddCommGroup H
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : Module 𝕜₄ H
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
x✝ : F →WOT[𝕜₂] F
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, instTopologicalSpace] fun x ↦ x✝.comp x
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝³¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝³⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝²⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝²⁸ : TopologicalSpace E✝
inst✝²⁷ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝²⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace F✝
inst✝²⁴ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜₃ : Type u_7
𝕜₄ : Type u_8
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
H : Type u_12
inst✝²³ : NormedField 𝕜₁
inst✝²² : NormedField 𝕜₂
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₃
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₄
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
σ₁₄ : 𝕜₁ →+* 𝕜₄
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : AddCommGroup H
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : Module 𝕜₄ H
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
x✝ : F →WOT[𝕜₂] F
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, instTopologicalSpace] fun x ↦ x✝.comp x

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.MellinInversion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hfx : ContinuousAt f x
g : ℝ → E := fun u ↦ rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
⊢ ContinuousAt (fun u ↦ rexp (-σ * u)) (-Real.log x)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.MellinInversion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hfx : ContinuousAt f x
g : ℝ → E := fun u ↦ rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
⊢ ContinuousAt (fun u ↦ rexp (-u)) (-Real.log x)

Tactic:
fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝³¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝³⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝²⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝²⁸ : TopologicalSpace E✝
inst✝²⁷ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝²⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace F✝
inst✝²⁴ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜₃ : Type u_7
𝕜₄ : Type u_8
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
H : Type u_12
inst✝²³ : NormedField 𝕜₁
inst✝²² : NormedField 𝕜₂
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₃
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₄
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
σ₁₄ : 𝕜₁ →+* 𝕜₄
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : AddCommGroup H
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : Module 𝕜₄ H
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
x✝ : F →WOT[𝕜₂] F
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, instTopologicalSpace] fun x ↦ x * x✝

Tactic:
simp_rw [mul_eq_comp]

Goal state after:
𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝³¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝³⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝²⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝²⁸ : TopologicalSpace E✝
inst✝²⁷ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝²⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝²⁵ : TopologicalSpace F✝
inst✝²⁴ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜₃ : Type u_7
𝕜₄ : Type u_8
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
H : Type u_12
inst✝²³ : NormedField 𝕜₁
inst✝²² : NormedField 𝕜₂
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₃
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₄
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
σ₁₄ : 𝕜₁ →+* 𝕜₄
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : AddCommGroup H
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : Module 𝕜₄ H
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
x✝ : F →WOT[𝕜₂] F
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, instTopologicalSpace] fun x ↦ x.comp x✝