mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: case a.mul
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ x y : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hy✝ : y ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R ↑(Subsemigroup.closure s)
hpy : y ∈ span R ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ x * y ∈ span R ↑(Subsemigroup.closure s)

Tactic:
| mul x y _ _ hpx hpy =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R P
x : M →ₗ[R] N
⊢ lTensor P (rTensor Q x) ∘ₗ ↑(assoc R P M Q) = ↑(assoc R P N Q) ∘ₗ rTensor Q (lTensor P x)

Tactic:
simp_rw [rTensor, lTensor, map_map_comp_assoc_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
pn : (ι →₀ R) ⊗[R] N
i : ι
⊢ ((finsuppScalarLeft R N ι) pn) i = (TensorProduct.lid R N) ((rTensor N (Finsupp.lapply i)) pn)

Tactic:
by
  simp [finsuppScalarLeft, finsuppLeft_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Projective

Goal state before:
pp: case H
R : Type u
inst✝¹⁰ : Semiring R
P : Type v
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
R₀ : Type u_2
M : Type u_1
N : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R₀
inst✝⁶ : Algebra R₀ R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R₀ M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsScalarTower R₀ R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₀ N
sM : M →ₗ[R] M →₀ R
hsM : Function.LeftInverse ⇑(linearCombination R id) ⇑sM
sN : N →ₗ[R₀] N →₀ R₀
hsN : Function.LeftInverse ⇑(linearCombination R₀ id) ⇑sN
⊢ AlgebraTensorModule.map (linearCombination R id) LinearMap.id ∘ₗ AlgebraTensorModule.map sM LinearMap.id =
    LinearMap.id

Tactic:
ext; simp [hsM _]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Notation

Goal state before:
pp: α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
v : n' → α
B : Fin m → n' → α
i : Fin m.succ
j : n'
⊢ vecCons v B i j = vecCons (v j) (fun i ↦ B i j) i

Tactic:
refine Fin.cases ?_ ?_ i <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Notation

Goal state before:
pp: α : Type u
m : ℕ
ι : Type u_1
x : α
u : Fin m → α
i : Fin m.succ
j : ι
⊢ replicateCol ι (vecCons x u) i j = of (vecCons (fun x_1 ↦ x) (replicateCol ι u)) i j

Tactic:
refine Fin.cases ?_ ?_ i <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.StarAlgHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
A₃ : Type u_4
A₁' : Type u_5
A₂' : Type u_6
A₃' : Type u_7
inst✝¹⁸ : Monoid R
inst✝¹⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction R A₁
inst✝¹⁵ : Star A₁
inst✝¹⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A₂
inst✝¹³ : DistribMulAction R A₂
inst✝¹² : Star A₂
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction R A₃
inst✝⁹ : Star A₃
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A₁'
inst✝⁷ : DistribMulAction R A₁'
inst✝⁶ : Star A₁'
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A₂'
inst✝⁴ : DistribMulAction R A₂'
inst✝³ : Star A₂'
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring A₃'
inst✝¹ : DistribMulAction R A₃'
inst✝ : Star A₃'
e₁ : A₁ ≃⋆ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃⋆ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃⋆ₐ[R] A₃'
f : A₁ →⋆ₙₐ[R] A₂
g : A₂ →⋆ₙₐ[R] A₃
⊢ (e₁.arrowCongr' e₃) (g.comp f) = ((e₂.arrowCongr' e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr' e₂) f)

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.StarAlgHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
A₃ : Type u_4
A₁' : Type u_5
A₂' : Type u_6
A₃' : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : Semiring A₁
inst✝¹⁶ : Semiring A₂
inst✝¹⁵ : Semiring A₃
inst✝¹⁴ : Semiring A₁'
inst✝¹³ : Semiring A₂'
inst✝¹² : Semiring A₃'
inst✝¹¹ : Algebra R A₁
inst✝¹⁰ : Algebra R A₂
inst✝⁹ : Algebra R A₃
inst✝⁸ : Algebra R A₁'
inst✝⁷ : Algebra R A₂'
inst✝⁶ : Algebra R A₃'
inst✝⁵ : Star A₁
inst✝⁴ : Star A₂
inst✝³ : Star A₃
inst✝² : Star A₁'
inst✝¹ : Star A₂'
inst✝ : Star A₃'
e₁ : A₁ ≃⋆ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃⋆ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃⋆ₐ[R] A₃'
f : A₁ →⋆ₐ[R] A₂
g : A₂ →⋆ₐ[R] A₃
⊢ (e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f) = ((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
⊢ baseChange A 0 = 0

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
r : R
f : M →ₗ[R] N
⊢ baseChange A (r • f) = r • baseChange A f

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.AffineMonoid.Irreducible

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoid M
inst✝¹ : Subsingleton Mˣ
inst✝ : Monoid.FG M
S : Finset M
hSgen : closure ↑S = ⊤
hSmax : ∀ ⦃y : Finset M⦄, (fun S ↦ closure ↑S = ⊤) y → y ⊆ S → S ⊆ y
r : M
hrS : r ∈ ↑S
hr₀ : r ≠ 1
hrirred : ¬IsUnit r → ∃ x x_1, ∃ (_ : r = x * x_1), ¬IsUnit x ∧ ¬IsUnit x_1
a b : M
hr✝ : r = a * b
ha : ¬IsUnit a
hb : ¬IsUnit b
m n : M → ℕ
hm : a = r ^ m r * ∏ s ∈ S \ {r}, s ^ m s
hn : b = r ^ n r * ∏ s ∈ S \ {r}, s ^ n s
hr : m r + n r = 1
hr' : (∀ i ∈ S \ {r}, i ^ m i = 1) ∧ ∀ i ∈ S \ {r}, i ^ n i = 1
⊢ m r = 0 ∨ n r = 0

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
⊢ ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0

Tactic:
intro c z zN' hc

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c✝ : ι → R
hc✝ : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c✝ i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c✝ i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c✝ i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
c : R
z : O
zN' : z ∈ N'
hc : c • a • y' + z = 0
⊢ c = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case neg.intro.refine_1.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
⊢ ∀ (c : R), ∀ x ∈ N', c • y + x = 0 → c = 0

Tactic:
intro c z zN' hc

Goal state after:
case neg.intro.refine_1.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c✝ : ι → R
hc✝ : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c✝ i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c✝ i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c✝ i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
c : R
z : O
zN' : z ∈ N'
hc : c • y + z = 0
⊢ c = 0
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: case c
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ 0 * r /ₒ (1 * 1) = 0 /ₒ 1

Tactic:
zero_mul,

Goal state after:
case c
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ 0 /ₒ (1 * 1) = 0 /ₒ 1
Module: Mathlib.Algebra.Field.Subfield.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
L : Type v
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : DivisionRing L
f : K →+* L
⊢ f.fieldRange = Subfield.map f ⊤

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
⊢ toLinearMapRight' 1 = LinearMap.id

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
ms : M × ↥S
eq : 0 * f ↑ms.2 = f ms.1
⊢ f 0 * (0 * f ↑ms.2) = 0

Tactic:
zero_mul,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
ms : M × ↥S
eq : 0 * f ↑ms.2 = f ms.1
⊢ f 0 * 0 = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
ms : M × ↥S
eq : 0 * f ↑ms.2 = f ms.1
⊢ f 0 * (0 * f ↑ms.2) = 0

Tactic:
zero_mul,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
ms : M × ↥S
eq : 0 * f ↑ms.2 = f ms.1
⊢ f 0 * 0 = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
m : M
s : ↥S
⊢ f m = 0 * f ↑s ↔ ∃ s, ↑s * m = 0

Tactic:
zero_mul,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
m : M
s : ↥S
⊢ f m = 0 ↔ ∃ s, ↑s * m = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
s : ↥S
⊢ 0 * f ↑s = f 0

Tactic:
zero_mul,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
s : ↥S
⊢ 0 = f 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ
ih : (toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k) * (toMatrix v₁ v₁) f = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k * f)

Tactic:
← toMatrix_mul

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ
ih : (toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k * f) = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k * f)
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝⁴ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid X
inst✝² : Module R X
R₀ : Type ?u.16
inst✝¹ : CommSemiring R₀
inst✝ : Algebra R₀ R
r : R₀
x : OreLocalization S R
⊢ r • x = (numeratorRingHom.comp (algebraMap R₀ R)) r * x

Tactic:
by
    dsimp
    rw [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, ← smul_eq_mul, smul_one_oreDiv_one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Ring

Goal state before:
pp: case c.c.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑(s₃ * s₁) = r₃ * ↑s₂
h₃' : s₃ * s₁ = ⟨r₃ * ↑s₂, ⋯⟩
⊢ ↑(fS ⟨r₃ * ↑s₂, ⋯⟩)⁻¹ * f r₃ = ↑(fS s₂)⁻¹

Tactic:
Units.inv_mul_eq_iff_eq_mul,

Goal state after:
case c.c.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑(s₃ * s₁) = r₃ * ↑s₂
h₃' : s₃ * s₁ = ⟨r₃ * ↑s₂, ⋯⟩
⊢ f r₃ = ↑(fS ⟨r₃ * ↑s₂, ⋯⟩) * ↑(fS s₂)⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y)⁻¹ * (w + ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y) * z₁) = z₂ ↔
    w +
        g ↑y *
          (↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y)⁻¹ * (↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y) * z₁)) =
      g ↑y * z₂

Tactic:
Units.inv_mul_eq_iff_eq_mul,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
⊢ w + ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y) * z₁ = ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y) * z₂ ↔
    w +
        g ↑y *
          (↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y)⁻¹ * (↑((IsUnit.liftRight ((↑g).domRestrict M) h) y) * z₁)) =
      g ↑y * z₂
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
a : A
b : B
ha : (a, b).1 ∈ ↑(adjoin R s)
hb : (a, b).2 ∈ ↑(adjoin R t)
P : Subalgebra R (A × B) := adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Hb : (0, b) ∈ adjoin R (⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Ha : (a, 0) ∈ P
⊢ (a, b) ∈ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))

Tactic:
replace Hb : ((0 : A), b) ∈ P := adjoin_mono Set.subset_union_right Hb

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
a : A
b : B
ha : (a, b).1 ∈ ↑(adjoin R s)
hb : (a, b).2 ∈ ↑(adjoin R t)
P : Subalgebra R (A × B) := adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Ha : (a, 0) ∈ P
Hb : (0, b) ∈ P
⊢ (a, b) ∈ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case e'_6
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ inst✝¹ = ((algebraMap P S).comp h.symm.symm.toRingHom).toAlgebra

Tactic:
rw [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.comp_assoc]

Goal state after:
case e'_6
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ inst✝¹ = ((algebraMap R S).comp (h.symm.toRingHom.comp h.symm.symm.toRingHom)).toAlgebra
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case e'_6
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ inst✝¹ = ((algebraMap R S).comp (h.symm.toRingHom.comp h.symm.symm.toRingHom)).toAlgebra

Tactic:
simp only [RingHom.comp_id, RingEquiv.symm_symm, RingEquiv.symm_toRingHom_comp_toRingHom]

Goal state after:
case e'_6
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ inst✝¹ = (algebraMap R S).toAlgebra
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hM : 0 ∉ M
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
⊢ Bijective ⇑(algebraMap R Rₘ)

Tactic:
replace hM := le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hM

Goal state after:
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ Bijective ⇑(algebraMap R Rₘ)
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
S' : Type u_3
T : Type u_4
T' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : CommRing T'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : Algebra R T'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.Finite
g : T →ₐ[R] T'
Hg : g.Finite
⊢ Algebra.TensorProduct.map f g =
    (Algebra.TensorProduct.map f (AlgHom.id R T')).comp
      ((↑(Algebra.TensorProduct.comm R T' S)).comp
        ((Algebra.TensorProduct.map g (AlgHom.id R S)).comp ↑(Algebra.TensorProduct.comm R S T)))

Tactic:
ext <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.TransferInstance

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
inst✝ : Ring β
⊢ Ring α

Tactic:
by
  let mul := e.mul
  let add_group_with_one := e.addGroupWithOne
  let npow := e.pow ℕ
  apply e.injective.ring _ <;> intros <;> exact e.apply_symm_apply _

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
A : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module A N
inst✝⁴ : IsScalarTower R A N
P : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module A P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsScalarTower R A P
l : M →ₗ[R] N
l' : N →ₗ[A] P
⊢ l' ∘ₗ liftBaseChange A l = liftBaseChange A (↑R l' ∘ₗ l)

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
⊢ includeLeftRingHom.comp (algebraMap R A) = includeRight.comp (algebraMap R B)

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : s ∈ σ a
⊢ r • resolvent a s = resolvent (r⁻¹ • a) (r⁻¹ • s)

Tactic:
mem_iff

Goal state after:
case pos
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : ¬IsUnit (↑ₐ s - a)
⊢ r • resolvent a s = resolvent (r⁻¹ • a) (r⁻¹ • s)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
⊢ (σ ↑a)⁻¹ = σ ↑a⁻¹

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : IsScalarTower R B B
⊢ LinearMap.mul' R (A ⊗[R] B) ∘ₗ ↑(tensorTensorTensorComm R A A B B) = map (LinearMap.mul' R A) (LinearMap.mul' R B)

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
⊢ lift includeLeft includeRight ⋯ = AlgHom.id S (A ⊗[R] B)

Tactic:
ext <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R : Type uR
R' : Type u_1
S : Type uS
T : Type u_2
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Semiring C
inst✝⁴ : Algebra S C
inst✝³ : Semiring D
inst✝² : Algebra R D
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : IsScalarTower R S C
fg : { fg // ∀ (x : A) (y : B), Commute (fg.1 x) (fg.2 y) }
⊢ (fun f' ↦ ⟨(f'.comp includeLeft, (AlgHom.restrictScalars R f').comp includeRight), ⋯⟩)
      ((fun fg ↦ lift (↑fg).1 (↑fg).2 ⋯) fg) =
    fg

Tactic:
ext <;> simp

Goal state after: