mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K V
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∀ (m : Matrix.SpecialLinearGroup ι K) (x : ℙ K (ι → K)),
    id (m • x) = (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι K))) m • id x

Tactic:
by intros; simp; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this✝ : FaithfulSMul R V
this :
  ↑↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) • LinearMap.id =
    ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id
⊢ ↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) = ↑(center_equiv_rootsOfUnity g)

Tactic:
rw [← Units.val_inj]

Goal state after:
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this✝ : FaithfulSMul R V
this :
  ↑↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) • LinearMap.id =
    ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id
⊢ ↑↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) = ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.TensorProduct.Isometries

Goal state before:
pp: R : Type uR
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂

Tactic:
ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
p : Set ι := {i | 0 < w i}
m : Set ι := {i | w i ≤ 0}
this✝¹ : p.ncard + m.ncard = Nat.card ι
this✝ : p.ncard ≤ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w)
this : sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) + m.ncard ≤ Nat.card ι
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) = p.ncard

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) + sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) +
      Module.finrank 𝕜 ↥(weightedSumSquares 𝕜 w).radical =
    Nat.card ι

Tactic:
rw [radical_weightedSumSquares, sigPos_weightedSumSquares, sigNeg_weightedSumSquares,
    Pi.dim_spanSubset]
  calc {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i < 0}.ncard + {i | w i = 0}.ncard
  _ = {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i ≤ 0}.ncard := by
    rw [add_assoc, add_left_cancel_iff, ← Set.ncard_union_eq]
    · congr! 1
      ext
      grind
    · grind [disjoint_iff_ne]
  _ = Set.univ.ncard := by
    rw [← Set.ncard_union_eq]
    · congr! 1
      ext
      grind [le_iff_lt_or_eq]
    · grind [disjoint_iff_ne]
  _ = Nat.card ι := Set.ncard_univ _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ LinearIndependent R fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i

Tactic:
linearIndependent_algebraMap_comp_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ LinearIndependent ℤ fun i x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : l ≠ k
⊢ P.root l - P.root k ∉ range ⇑P.root

Tactic:
replace hl : α l - α k = α i - α j := by rw [hl]; module

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hli : l ≠ i
hkl : l ≠ k
hl : P.root l - P.root k = P.root i - P.root j
⊢ P.root l - P.root k ∉ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hkj : P.root k ≠ -P.root i
hk' : P.root k - P.root j ∈ range ⇑P.root
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
replace hk : α (-k) + α j - α i ∈ Φ := by
    rw [← neg_mem_range_root_iff]
    convert! hk using 1
    simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self]
    module

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : P.root k ≠ -P.root i
hk' : P.root k - P.root j ∈ range ⇑P.root
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
⊢ P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i k : ι
inst✝ : P.IsNotG2
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : P.pairingIn ℤ k i ≤ 0
⊢ P.pairingIn ℤ k i = 0 ∨ P.pairingIn ℤ k i < 0 ∧ (P.pairingIn ℤ k i = 0 → 1 = 0)

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ (e i * f j - f j * e i) * ω b = e i * f j * ω b - f j * e i * ω b

Tactic:
sub_mul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * f j * ω b - f j * e i * ω b = e i * f j * ω b - f j * e i * ω b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i
hn : n > 0
⊢ 2 ≤ n + 1

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
inst✝³ : P.IsIrreducible
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i j : ι
h :
  P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 0 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ ¬P.pairingIn ℤ i j = -3

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsCrystallographic
inst✝⁵ : P.IsReduced
inst✝⁴ : P.IsIrreducible
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsG2
i j : ι
h : P.root i ≠ P.root j
h' : P.root i ≠ -P.root j
this :
  ¬∀ (i j : ι),
      P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 2 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 2 * P.pairingIn ℤ i j
aux₁ :
  P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 3 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 3 * P.pairingIn ℤ i j
aux₂ :
  P.pairingIn ℤ i j = 0 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 0 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2 ∨
          P.pairingIn ℤ i j = 2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
            P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2 ∨
              P.pairingIn ℤ i j = -2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨
                P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3 ∨
                  P.pairingIn ℤ i j = 3 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
                    P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -3 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 0 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
aux₂ : chainBotCoeff j i + chainTopCoeff j i ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff j i
⊢ ↑(chainBotCoeff j i) - ↑(chainTopCoeff j i) ≤ 0

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j = chainTopCoeff i j
⊢ chainTopCoeff i j = 1

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j ≠ chainTopCoeff i j
⊢ chainBotCoeff i j = 0

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
case_inl : ∀ (j : ↥b.support), (e i ^ 2).col (Sum.inl j) = 0
j : ι
hij : ¬j = -↑i
k : ι
x : ℕ
hk₁ : chainTopCoeff (↑i) j + 1 ≤ chainTopCoeff (↑i) j
hij' : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root j]
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
this :
  ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr k) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr k)

Tactic:
by
    have aux (x : ι) : P.root x = P.root k - P.root i ↔ P.root k = P.root i + P.root x := by
      rw [eq_sub_iff_add_eq', eq_comm]
    have aux' (x : ι) : P.root x = P.root i + P.root k ↔ P.root k = P.root x - P.root i := by
      rw [eq_sub_iff_add_eq', eq_comm]
    simpa [e, f, h, hki, hki', aux, aux', ← ite_and, ← P.chainBotCoeff_sub_chainTopCoeff h_lin_ind]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + -3 * y = -3 ∨ 2 * x + -3 * y = -1 ∨ 2 * x + -3 * y = 0 ∨ 2 * x + -3 * y = 1 ∨ 2 * x + -3 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + -3 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + -3 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + -3 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + -3 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + -3 * y = 3
h₂ :
  2 * x + -3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + -3 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + -3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + -3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + -3 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + -3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + -3 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + -3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + -3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + -3 * (y - 1) = 3
hA : A = -3
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + -1 * y = -3 ∨ 2 * x + -1 * y = -1 ∨ 2 * x + -1 * y = 0 ∨ 2 * x + -1 * y = 1 ∨ 2 * x + -1 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + -1 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + -1 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + -1 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + -1 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + -1 * y = 3
h₂ :
  2 * x + -1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + -1 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + -1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + -1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + -1 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + -1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + -1 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + -1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + -1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + -1 * (y - 1) = 3
hA : A = -1
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 0 * y = -3 ∨ 2 * x + 0 * y = -1 ∨ 2 * x + 0 * y = 0 ∨ 2 * x + 0 * y = 1 ∨ 2 * x + 0 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 0 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 0 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 0 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 0 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 0 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 0 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 0 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 0 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 0 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 0 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 0 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 0 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 0 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 0 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 0 * (y - 1) = 3
hA : A = 0
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 1 * y = -3 ∨ 2 * x + 1 * y = -1 ∨ 2 * x + 1 * y = 0 ∨ 2 * x + 1 * y = 1 ∨ 2 * x + 1 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 1 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 1 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 3
hA : A = 1
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 3 * y = -3 ∨ 2 * x + 3 * y = -1 ∨ 2 * x + 3 * y = 0 ∨ 2 * x + 3 * y = 1 ∨ 2 * x + 3 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 3 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 3 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 3
hA : A = 3
⊢ False

Tactic:
lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

Tactic:
rw [threeShortAddLongRoot_eq, map_add, mul_add, map_smul, smul_eq_mul]

Goal state after:
case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (3 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)