Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable ((s n).indicator f) μ

pp: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ Integrable bound μ

pp: case refine_3
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(s n).indicator f a‖ ≤ bound a

pp: case refine_4
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (s n).indicator f a) atTop (𝓝 ((⋂ b, s b).indicator f a))

Tactic:
· intro n
    rw [aestronglyMeasurable_indicator_iff (hsm n)]
    exact (IntegrableOn.mono_set hfi (h_anti zero_le)).1

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ Integrable bound μ

case refine_3
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(s n).indicator f a‖ ≤ bound a

case refine_4
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (s n).indicator f a) atTop (𝓝 ((⋂ b, s b).indicator f a))