mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ (ρ * μ) • m - (μ * ρ) • m = 0

Tactic:
mul_comm ρ μ,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ (μ * ρ) • m - (μ * ρ) • m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
⊢ ((f₁ + f₂) ^ (k₁ + k₂ - 1)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Tactic:
hf_comm.add_pow'

Goal state after:
case h
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
⊢ (∑ m ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose m.1 • (f₁ ^ m.1 * f₂ ^ m.2)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
this : (f₁ ^ i * f₂ ^ j) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ (k₁ + k₂ - 1).choose (i, j).1 • (f₁ ^ (i, j).1 * f₂ ^ (i, j).2) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Tactic:
by rw [this]; apply smul_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
h : flipHom B = B
x y : M
⊢ (B x) y = (B y) x

Tactic:
← flip_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
h : flipHom B = B
x y : M
⊢ ((flipHom B) y) x = (B y) x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
⊢ LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀

Tactic:
map_genWeightSpace_eq_of_injective M₀ₓ.injective_incl,

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
⊢ genWeightSpace M 0 ⊓ M₀ₓ.incl.range = M₀
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ -(-b.A i j • b.f i) = b.A i j • b.f i

Tactic:
neg_smul,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ - -(b.A i j • b.f i) = b.A i j • b.f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : Type w
B : BilinForm K V
v : n → V
hv₁ : B.iIsOrtho v
hv₂ : ∀ (i : n), (B (v i)) (v i) ≠ 0
s : Finset n
w : n → K
hs : ∑ i ∈ s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
hsum : ∑ j ∈ s, w j * (B (v j)) (v i) = w i * (B (v i)) (v i)
this : ∑ x ∈ s, w x * (B (v x)) (v i) = 0
⊢ w i = 0

Tactic:
hsum

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : Type w
B : BilinForm K V
v : n → V
hv₁ : B.iIsOrtho v
hv₂ : ∀ (i : n), (B (v i)) (v i) ≠ 0
s : Finset n
w : n → K
hs : ∑ i ∈ s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
hsum : ∑ j ∈ s, w j * (B (v j)) (v i) = w i * (B (v i)) (v i)
this : w i * (B (v i)) (v i) = 0
⊢ w i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥⊥
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W

Tactic:
finrank_bot,

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + 0
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v : α
⊢ Function.LeftInverse (fun x ↦ x.elim ⟨v, ⟨count v m, ⋯⟩⟩ fun x ↦ ⟨x.fst, Fin.castLE ⋯ x.snd⟩) fun x ↦
    if h : x.fst = v ∧ ↑x.snd = count v m then none else some ⟨x.fst, ⟨↑x.snd, ⋯⟩⟩

Tactic:
rintro ⟨x, hx⟩
    dsimp only
    split
    · rename_i h
      obtain ⟨rfl, h2⟩ := h
      simp [← h2]
    · simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Free R M₁
inst✝² : Module.Finite R M₁
inst✝¹ : Module.Free R M₂
inst✝ : Module.Finite R M₂
B₁ : BilinForm R M₁
B₂ : BilinForm R M₂
x✝³ : M₁
x✝² : M₂
x✝¹ : M₁
x✝ : M₂
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry ↑(tensorDistribEquiv R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²))
        x✝¹)
      x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (tensorDistrib R R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²))
        x✝¹)
      x✝

Tactic:
exact mul_comm _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: case mul_X
k : Type u
inst✝ : Field k
p : MvPolynomial (Vars k) k
fi : Vars k
ih :
  ∀ (z : AlgebraicClosure k), (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z → IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)
z : AlgebraicClosure k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (p * MvPolynomial.X fi) = z
⊢ eval₂ (algebraMap k (AlgebraicClosure k)) ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X fi)) ↑fi.fst = 0

Tactic:
simp_rw [← eval_map, Monics.map_eq_prod, eval_prod, Polynomial.map_sub, eval_sub]

Goal state after:
case mul_X
k : Type u
inst✝ : Field k
p : MvPolynomial (Vars k) k
fi : Vars k
ih :
  ∀ (z : AlgebraicClosure k), (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z → IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)
z : AlgebraicClosure k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (p * MvPolynomial.X fi) = z
⊢ ∏ x,
      (eval ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X fi)) (map (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) X) -
        eval ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X fi))
          (map (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (C (MvPolynomial.X ⟨fi.fst, x⟩)))) =
    0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (-↑p • χ₁ + χ₂) = ⊥

Tactic:
neg_smul,

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (-(↑p • χ₁) + χ₂) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
⊢ genWeightSpace M (-(-p • α) + χ) = ⊥

Tactic:
neg_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
⊢ genWeightSpace M (- -(p • α) + χ) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ genWeightSpace M (-(↑(chainBotCoeff α β) + 1) • α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
neg_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ genWeightSpace M (-((↑(chainBotCoeff α β) + 1) • α) + ⇑β) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ genWeightSpace M ((-↑(chainBotCoeff α β) - 1) • α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_add, neg_smul, ← smul_neg, chainBotCoeff,
    genWeightSpace_chainTopCoeff_add_one_zsmul_add _ _ (by simpa using hα)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (-↑n.succ • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
neg_smul,

Goal state after:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (-(↑n.succ • α) + ⇑β) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

Tactic:
have hy' (z : L) (hz : z ∈ H) : ⁅y, z⁆ = 0 := by
    rw [← LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule, ← rootSpace_zero_eq] at hz
    simp [S', ← ad_apply (R := K), ← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply, hy, aux hz]

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hx : x ∈ corootSpace α
hα : α ≠ 0
β : Weight K (↥H) L
a b : ℤ
hb : 0 < b
hab : ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • ⇑β) x = 0
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
simpa [hαx, hb.ne'] using hab _ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
hte : e ∈ rootSpace H ⇑α
htf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
x : L
pf✝² : LieRing.IsNilpotent ↥H
pf✝¹ : LieModule K (↥H) L
pf✝ : ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
he : ∃ e f, IsSl2Triple (Classical.choose pf✝) e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf :
  ∃ f,
    IsSl2Triple (Classical.choose pf✝) (Classical.choose he) f ∧
      Classical.choose he ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
cf : K
hcf : hf.choose = cf • f
hce : he.choose = 0
⊢ False

Tactic:
exact he.choose_spec.choose_spec.1.e_ne_zero hce

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
⊢ x ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα

Tactic:
· have aux {β : Weight K H L} (hβ : β.IsNonZero) {y g : L}
        (hy : y ∈ genWeightSpace L β) (hg : g ∈ rootSpace H β) (hg_ne_zero : g ≠ 0) :
        ∃ c : K, y = c • g := by
      obtain ⟨c, hc⟩ := (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' ⟨g, hg⟩
        (by rwa [ne_eq, LieSubmodule.mk_eq_zero])).mp (finrank_rootSpace_eq_one β hβ) ⟨y, hy⟩
      exact ⟨c, by simpa using hc.symm⟩
    obtain ⟨x_αneg, hx_αneg, x_h, ⟨y, hy_coroot, rfl⟩, rfl⟩ := mem_sup.mp hx
    obtain ⟨x_pos, hx_pos, x_neg, hx_neg, rfl⟩ := mem_sup.mp hx_αneg
    obtain ⟨c₁, rfl⟩ := aux hα hx_pos heα ht.e_ne_zero
    obtain ⟨c₂, rfl⟩ := aux (Weight.IsNonZero.neg hα) hx_neg hfα ht.f_ne_zero
    obtain ⟨c₃, rfl⟩ : ∃ c₃ : K, c₃ • coroot α = y := by
      simpa [← mem_span_singleton, ← coe_corootSpace_eq_span_singleton α]
    change _ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
    rw [mem_sl2SubalgebraOfRoot_iff hα ht heα hfα]
    use c₁, c₂, c₃
    simp [ht.lie_e_f, IsSl2Triple.h_eq_coroot hα ht heα hfα, -LieSubmodule.incl_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
hV0 : Disjoint s0 sV
f : ↥H → R
hf : f ∈ sU
hg : f ∈ sV
⊢ ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)

Tactic:
by
      simpa [hsU] using hf

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.coxeterWeight i j = P.coxeterWeight j i

Tactic:
by
  simp only [coxeterWeight, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Finite ↑Φ
hx : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤
x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx⟩
F : Dual R M
hF : MapsTo (⇑(preReflection x F)) Φ Φ
y : M
hy : y ∈ span R Φ
hy' : ⟨y, hy⟩ ∈ Φ'
⊢ (preReflection x' ((span R Φ).subtype.dualMap F)) ⟨y, hy⟩ ∈ Φ'

Tactic:
simp only [Φ'] at hy' ⊢

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Finite ↑Φ
hx : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
hΦ'₁ : Φ'.Finite
hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤
x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx⟩
F : Dual R M
hF : MapsTo (⇑(preReflection x F)) Φ Φ
y : M
hy : y ∈ span R Φ
hy' : ⟨y, hy⟩ ∈ range (inclusion ⋯)
⊢ (preReflection x' ((span R Φ).subtype.dualMap F)) ⟨y, hy⟩ ∈ range (inclusion ⋯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
z : M
⊢ 4 • z = ↑(2 * 2) • z

Tactic:
show 2 * 2 = 4 from rfl,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
z : M
⊢ 4 • z = ↑4 • z