mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : MultilinearMap R (fun x ↦ M) N'
⊢ (let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ (a + b);
    { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ (a + b)), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
      map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }) =
    (let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ a;
      { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ a), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
        map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }) +
      let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ b;
      { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ b), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
        map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : MultilinearMap R (fun x ↦ M) N'
x✝ : ι → M
⊢ (let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ (a + b);
      { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ (a + b)), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
        map_eq_zero_of_eq' := ⋯ })
      x✝ =
    ((let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ a;
        { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ a), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
          map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }) +
        let __src := ∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ b;
        { toFun := ⇑(∑ σ, Perm.sign σ • domDomCongr σ b), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯,
          map_eq_zero_of_eq' := ⋯ })
      x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
N'₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup N'₂
inst✝² : Module R N'₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x ↦ M) N'
⊢ MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f) = g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
N'₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup N'₂
inst✝² : Module R N'₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x ↦ M) N'
x✝ : ι → M
⊢ (MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f)) x✝ =
    (g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝¹ x✝ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
⊢ (↑e).compAlternatingMap (x✝¹ + x✝) = (↑e).compAlternatingMap x✝¹ + (↑e).compAlternatingMap x✝

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝² x✝¹ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
x✝ : ι → M''
⊢ ((↑e).compAlternatingMap (x✝² + x✝¹)) x✝ = ((↑e).compAlternatingMap x✝² + (↑e).compAlternatingMap x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝¹ : R'
x✝ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
⊢ (↑e).compAlternatingMap (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R') x✝¹ • (↑e).compAlternatingMap x✝

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝² : R'
x✝¹ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
x✝ : ι → M''
⊢ ((↑e).compAlternatingMap (x✝² • x✝¹)) x✝ = ((RingHom.id R') x✝² • (↑e).compAlternatingMap x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
⊢ (fun f ↦ (↑e.symm).compAlternatingMap f) ((fun f ↦ (↑e).compAlternatingMap f) x✝) = x✝

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝¹ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N''
x✝ : ι → M''
⊢ ((fun f ↦ (↑e.symm).compAlternatingMap f) ((fun f ↦ (↑e).compAlternatingMap f) x✝¹)) x✝ = x✝¹ x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N₂''
⊢ (fun f ↦ (↑e).compAlternatingMap f) ((fun f ↦ (↑e.symm).compAlternatingMap f) x✝) = x✝

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
e : N'' ≃ₗ[R'] N₂''
x✝¹ : M'' [⋀^ι]→ₗ[R'] N₂''
x✝ : ι → M''
⊢ ((fun f ↦ (↑e).compAlternatingMap f) ((fun f ↦ (↑e.symm).compAlternatingMap f) x✝¹)) x✝ = x✝¹ x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
le : Fintype.card n ≤ Fintype.card m
f g : m → n
hf : ¬Function.Injective f
p q : m
eq : f p = f q
ne : p ≠ q
⊢ (A.submatrix f g).row p = (A.submatrix f g).row q

Tactic:
ext

Goal state after:
n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
le : Fintype.card n ≤ Fintype.card m
f g : m → n
hf : ¬Function.Injective f
p q : m
eq : f p = f q
ne : p ≠ q
x✝ : m
⊢ (A.submatrix f g).row p x✝ = (A.submatrix f g).row q x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
le : Fintype.card n ≤ Fintype.card m
f g : m → n
hf : Function.Injective f
hg : ¬Function.Injective g
p q : m
eq : g p = g q
ne : p ≠ q
⊢ (A.submatrix f g).col p = (A.submatrix f g).col q

Tactic:
ext

Goal state after:
n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
le : Fintype.card n ≤ Fintype.card m
f g : m → n
hf : Function.Injective f
hg : ¬Function.Injective g
p q : m
eq : g p = g q
ne : p ≠ q
x✝ : m
⊢ (A.submatrix f g).col p x✝ = (A.submatrix f g).col q x✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.Colimits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ coconeMorphism F j' = coconeMorphism F j

Tactic:
ext

Goal state after:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x✝ : ↑(F.obj j)
⊢ (Hom.hom (F.map f ≫ coconeMorphism F j')) x✝ = (Hom.hom (coconeMorphism F j)) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.Colimits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ coconeMorphism F j' = coconeMorphism F j

Tactic:
ext

Goal state after:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x✝ : ↑(F.obj j)
⊢ (Hom.hom (F.map f ≫ coconeMorphism F j')) x✝ = (Hom.hom (coconeMorphism F j)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
⊢ det = const (Matrix n n R) 1

Tactic:
ext

Goal state after:
n : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
x✝ : Matrix n n R
⊢ x✝.det = const (Matrix n n R) 1 x✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : IsFiltered C
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : FinCategory J
F : J ⥤ C
⊢ Nonempty (Cocone F)

Tactic:
by
  classical
  let O := Finset.univ.image F.obj
  let H : Finset (Σ' (X Y : C) (_ : X ∈ O) (_ : Y ∈ O), X ⟶ Y) :=
    Finset.univ.biUnion fun X : J => Finset.univ.biUnion fun Y : J =>
      Finset.univ.image fun f : X ⟶ Y => ⟨F.obj X, F.obj Y, by simp [O], by simp [O], F.map f⟩
  obtain ⟨Z, f, w⟩ := sup_exists O H
  refine ⟨⟨Z, ⟨fun X => f (by simp [O]), ?_⟩⟩⟩
  intro j j' g
  dsimp
  simp only [Category.comp_id]
  apply w
  simp only [O, H, Finset.mem_biUnion, Finset.mem_univ, Finset.mem_image, PSigma.mk.injEq,
    true_and, exists_and_left]
  exact ⟨j, rfl, j', g, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
e₁ e₂ : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ e₂ = e₁.trans (e₁.symm.trans e₂)

Tactic:
ext

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
e₁ e₂ : n ≃ m
A : Matrix m m R
x✝ : n
⊢ e₂ x✝ = (e₁.trans (e₁.symm.trans e₂)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e e' : m ≃ n
M : Matrix m m R
⊢ (reindex e e') M = (reindex e' e') ((reindex (e.trans e'.symm) (Equiv.refl m)) M)

Tactic:
ext

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e e' : m ≃ n
M : Matrix m m R
i✝ j✝ : n
⊢ (reindex e e') M i✝ j✝ = (reindex e' e') ((reindex (e.trans e'.symm) (Equiv.refl m)) M) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
⊢ (of fun i j ↦ v j * A i j) = A * diagonal v

Tactic:
ext

Goal state after:
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
⊢ of (fun i j ↦ v j * A i j) i✝ j✝ = (A * diagonal v) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), k < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det

Tactic:
refine Fin.induction ?_ (fun k ih => ?_) k

Goal state after:
case refine_1
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), 0 < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det

case refine_2
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih :
  ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
⊢ ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
⊢ ∀ (X Y : C), ∃ W x x, True

pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
⊢ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), ∃ W h, h ≫ f = h ≫ g

Tactic:
· intro X Y
      obtain ⟨c⟩ := h (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ pair X Y)
      exact ⟨c.pt, c.π.app ⟨⟨WalkingPair.left⟩⟩, c.π.app ⟨⟨WalkingPair.right⟩⟩, trivial⟩

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
⊢ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), ∃ W h, h ≫ f = h ≫ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitType

Goal state before:
pp: J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ Type w₀
c : F.CoconeTypes
⊢ Function.Surjective (F.descColimitType c) ↔ ∀ (z : c.pt), ∃ i x, c.ι i x = z

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ Type w₀
c : F.CoconeTypes
⊢ Function.Surjective (F.descColimitType c) → ∀ (z : c.pt), ∃ i x, c.ι i x = z

case mpr
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ Type w₀
c : F.CoconeTypes
⊢ (∀ (z : c.pt), ∃ i x, c.ι i x = z) → Function.Surjective (F.descColimitType c)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Colimits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : F.CoconeTypes
⊢ c.IsColimit ↔ Nonempty (Limits.IsColimit (F.coconeTypesEquiv c))

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : F.CoconeTypes
⊢ c.IsColimit → Nonempty (Limits.IsColimit (F.coconeTypesEquiv c))

case mpr
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : F.CoconeTypes
⊢ Nonempty (Limits.IsColimit (F.coconeTypesEquiv c)) → c.IsColimit
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Colimits

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : F.CoconeTypes
hc : Limits.IsColimit (F.coconeTypesEquiv c)
x y : F.ColimitType
h : F.descColimitType c x = F.descColimitType c y
f : F.ColimitType → ULift.{u, 0} Bool := fun z ↦ { down := decide (x = z) }
z : F.ColimitType
⊢ (ConcreteCategory.hom (hc.desc (F.coconeTypesEquiv (F.coconeTypes.postcomp f)))) (F.descColimitType c z) = f z

Tactic:
obtain ⟨j, z, rfl⟩ := F.ιColimitType_jointly_surjective z

Goal state after:
case mpr.refine_1
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : F.CoconeTypes
hc : Limits.IsColimit (F.coconeTypesEquiv c)
x y : F.ColimitType
h : F.descColimitType c x = F.descColimitType c y
f : F.ColimitType → ULift.{u, 0} Bool := fun z ↦ { down := decide (x = z) }
j : J
z : F.obj j
⊢ (ConcreteCategory.hom (hc.desc (F.coconeTypesEquiv (F.coconeTypes.postcomp f))))
      (F.descColimitType c (F.ιColimitType j z)) =
    f (F.ιColimitType j z)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
⊢ domDomCongr σ.symm (domDomCongr σ m) = m

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
x✝ : ι₁ → M₂
⊢ (domDomCongr σ.symm (domDomCongr σ m)) x✝ = m x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
⊢ domDomCongr σ (domDomCongr σ.symm m) = m

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
x✝ : ι₂ → M₂
⊢ (domDomCongr σ (domDomCongr σ.symm m)) x✝ = m x✝