mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) (c₁ * c₂), ⋯⟩ = ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₁, ⋯⟩ * ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₂, ⋯⟩

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c₁ c₂ : 𝕜
x✝ : N
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) (c₁ * c₂), ⋯⟩ x✝ = (⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₁, ⋯⟩ * ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₂, ⋯⟩) x✝
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) 0, ⋯⟩ = 0

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
x✝ : N
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) 0, ⋯⟩ x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) (c₁ + c₂), ⋯⟩ = ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₁, ⋯⟩ + ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₂, ⋯⟩

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c₁ c₂ : 𝕜
x✝ : N
⊢ ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) (c₁ + c₂), ⋯⟩ x✝ = (⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₁, ⋯⟩ + ⟨fun x ↦ (algebraMap 𝕜 A) c₂, ⋯⟩) x✝
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c : 𝕜
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯
x : N
⊢ (C c * f) x = (f * C c) x

Tactic:
exact Algebra.commutes' _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
r : interior (extChartAt I x).target = (extChartAt I x).target
this : extChartAt I x = (chartAt H x).extend I
⊢ I.IsInteriorPoint x

Tactic:
rw [isInteriorPoint_iff, r]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
r : interior (extChartAt I x).target = (extChartAt I x).target
this : extChartAt I x = (chartAt H x).extend I
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target ↔ ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target → ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target → ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N) ↔ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N) → p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N → p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : BoundarylessManifold I M
⊢ ModelWithCorners.boundary (M × N) = univ.prod (ModelWithCorners.boundary N)

Tactic:
boundary_prod,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : BoundarylessManifold I M
⊢ univ.prod (ModelWithCorners.boundary N) ∪ (ModelWithCorners.boundary M).prod univ =
    univ.prod (ModelWithCorners.boundary N)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : BoundarylessManifold J N
⊢ ModelWithCorners.boundary (M × N) = (ModelWithCorners.boundary M).prod univ

Tactic:
boundary_prod,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : BoundarylessManifold J N
⊢ univ.prod (ModelWithCorners.boundary N) ∪ (ModelWithCorners.boundary M).prod univ =
    (ModelWithCorners.boundary M).prod univ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r : 𝕜
X✝ Y✝ : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
X Y : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (↑X + ↑Y)) = (Derivation.evalAt g) (↑X + ↑Y)

Tactic:
simp only [map_add, left_invariant']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℕ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)

Tactic:
simp_rw [LinearMap.map_smul_of_tower _ r, left_invariant']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℤ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)

Tactic:
simp_rw [LinearMap.map_smul_of_tower _ r, left_invariant']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
s : (x : B) → E x
a : Set B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
ha : IsOpen[inst✝⁷] a
ha' : a ⊆ e.baseSet
⊢ MDiff[a] (T% s) ↔ MDiff[a] fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2

Tactic:
refine ⟨fun h x hx ↦ ?_, fun h x hx ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
s : (x : B) → E x
a : Set B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
ha : IsOpen[inst✝⁷] a
ha' : a ⊆ e.baseSet
h : MDiff[a] (T% s)
x : B
hx : x ∈ a
⊢ (MDiffAt[a] fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) x

case refine_2
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
s : (x : B) → E x
a : Set B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
ha : IsOpen[inst✝⁷] a
ha' : a ⊆ e.baseSet
h : MDiff[a] fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2
x : B
hx : x ∈ a
⊢ MDiffAt[a] (T% s) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s t : Set M
x x₀ : M
inst✝ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
⊢ 2 ≤ 3

Tactic:
by norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s t : Set M
x x₀ : M
inst✝ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
⊢ 1 ≤ 2

Tactic:
by norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
g : M' → 𝕜
⊢ mpullbackWithin I I' f (g • V) s = g ∘ f • mpullbackWithin I I' f V s

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
g : M' → 𝕜
x✝ : M
⊢ mpullbackWithin I I' f (g • V) s x✝ = (g ∘ f • mpullbackWithin I I' f V s) x✝
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : MDiffAt[s] g x
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ MapsTo (fun x ↦ (g x, f x)) s univ

Tactic:
by simp_rw [mapsTo_univ]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
x : M
hg : MDiffAt g x
hf : MDiffAt f x
⊢ MapsTo (fun x ↦ (g x, f x)) univ univ

Tactic:
by simp_rw [mapsTo_univ]

Goal state after: