Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Cartesian.Basic

Goal state before:
pp: C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : CartesianMonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
e₁ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₁ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₁ X Z).hom = (e₁ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₁ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₁ Y Z).hom = (e₁ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₁ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₁ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₁ X Z).hom
d₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₁ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₁ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₁ X Z).hom ▷ Y
e₂ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₂ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₂ X Z).hom = (e₂ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₂ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₂ Y Z).hom = (e₂ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₂ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₂ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₂ X Z).hom
d₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₂ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₂ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₂ X Z).hom ▷ Y
⊢ e₁ = e₂

Tactic:
ext

Goal state after:
case h_fst
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : CartesianMonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
e₁ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₁ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₁ X Z).hom = (e₁ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₁ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₁ Y Z).hom = (e₁ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₁ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₁ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₁ X Z).hom
d₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₁ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₁ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₁ X Z).hom ▷ Y
e₂ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₂ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₂ X Z).hom = (e₂ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₂ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₂ Y Z).hom = (e₂ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₂ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₂ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₂ X Z).hom
d₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₂ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₂ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₂ X Z).hom ▷ Y
x✝¹ x✝ : C
⊢ (e₁ x✝¹ x✝).hom ≫ fst x✝ x✝¹ = (e₂ x✝¹ x✝).hom ≫ fst x✝ x✝¹

case h_snd
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : CartesianMonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
e₁ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₁ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₁ X Z).hom = (e₁ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₁ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₁ Y Z).hom = (e₁ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₁ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₁ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₁ X Z).hom
d₁ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₁ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₁ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₁ X Z).hom ▷ Y
e₂ : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
a₂ : ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (e₂ X Z).hom = (e₂ X Y).hom ≫ f ▷ X
b₂ : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (e₂ Y Z).hom = (e₂ X Z).hom ≫ Z ◁ f
c₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).hom ≫ (e₂ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (e₂ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (e₂ X Z).hom
d₂ :
  ∀ (X Y Z : C),
    (α_ X Y Z).inv ≫ (e₂ (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (e₂ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (e₂ X Z).hom ▷ Y
x✝¹ x✝ : C
⊢ (e₁ x✝¹ x✝).hom ≫ snd x✝ x✝¹ = (e₂ x✝¹ x✝).hom ≫ snd x✝ x✝¹