mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Closed.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A X : C
inst✝ : Closed A
⊢ curry (𝟙 (A ⊗ (𝟭 C).obj X)) = (ihom.coev A).app X

Tactic:
rw [curry_eq, (ihom A).map_id (A ⊗ _)]
  apply comp_id

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Multiset

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Denumerable α
s : Multiset α
⊢ (fun n ↦ Multiset.map (ofNat α) ↑(raise (ofNat (List ℕ) n) 0))
      ((fun s ↦ encode (lower ((Multiset.map encode s).sort fun a b ↦ a ≤ b) 0)) s) =
    s

Tactic:
by
      have :=
        raise_lower (List.pairwise_cons.2 ⟨fun n _ => Nat.zero_le n,
        (s.map encode).pairwise_sort _⟩).sortedLE
      simp [-Multiset.map_coe, this]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Basis

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ b.toDual (b i) = b.coord i

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
x✝ : M
⊢ (b.toDual (b i)) x✝ = (b.coord i) x✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z
⊢ (ᘁf) ≫ g = 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z

Tactic:
dsimp only [leftAdjointMate]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z
⊢ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ≫ g =
    𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Module.Basis ι K V
⊢ lift.{u, v} #ι < #(V →ₗ[K] K)

Tactic:
← (b.constr ℕ (M' := K)).toEquiv.cardinal_eq,

Goal state after:
K : Type u
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Module.Basis ι K V
⊢ lift.{u, v} #ι < #(ι → K)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.snoc v x)

Tactic:
simp only [Fin.snoc_eq_cons_rotate]
  have ⟨x, hx⟩ := exists_linearIndependent_cons_of_lt_rank hv h
  exact ⟨x, hx.comp _ (finRotate _).injective⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f

Tactic:
ext

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
i✝ j✝ : Fin m
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) i✝ j✝ =
    ((transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(map f L)
⊢ Disjoint L f.ker

Tactic:
by
  refine LinearMap.injective_domRestrict_iff.mp <| LinearMap.ker_eq_bot.mp <|
    Submodule.rank_eq_zero.mp ?_
  rw [← Submodule.finrank_eq_rank, Nat.cast_eq_zero]
  rw [← LinearMap.range_domRestrict] at h
  have := (LinearMap.ker (f.domRestrict L)).finrank_quotient_add_finrank
  rw [LinearEquiv.finrank_eq (f.domRestrict L).quotKerEquivRange] at this
  lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin n) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix g * opEquiv.mapMatrix f)) =
    (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f * (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin n) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1

pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1

Tactic:
ext

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
i✝ j✝ : Fin n
⊢ (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin n) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix g * opEquiv.mapMatrix f)) i✝ j✝ =
    ((transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f * (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g) i✝ j✝

case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin n) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1

case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f

case refine_4
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1

Tactic:
ext

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
i✝ j✝ : Fin m
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) i✝ j✝ =
    ((transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f) i✝ j✝

case refine_4
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) = 1
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⊗ Y ⟶ Z
g : Z ⟶ Z'
⊢ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z') (f ≫ g) = (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z) f ≫ g ▷ Y'

Tactic:
by
  simp [tensorRightHomEquiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ Z ⊗ Y'
⊢ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm (f ≫ g) = f ▷ Y ≫ (tensorRightHomEquiv X' Y Y' Z).symm g

Tactic:
by
  simp [tensorRightHomEquiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.hdim
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hv : v ∉ W
hW : finrank K (V ⧸ W) = 1
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥W + finrank K ↥(K ∙ v)

pp: case refine_2.hdisjoint
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hv : v ∉ W
hW : finrank K (V ⧸ W) = 1
⊢ Disjoint W (K ∙ v)

Tactic:
· rw [← W.finrank_quotient_add_finrank, add_comm, add_le_add_iff_left, hW]
      aesop

Goal state after:
case refine_2.hdisjoint
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hv : v ∉ W
hW : finrank K (V ⧸ W) = 1
⊢ Disjoint W (K ∙ v)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
⊢ rightDualIso p p = Iso.refl Y

Tactic:
ext

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
⊢ (rightDualIso p p).hom = (Iso.refl Y).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
⊢ leftDualIso p p = Iso.refl X

Tactic:
ext

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
⊢ (leftDualIso p p).hom = (Iso.refl X).hom
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ (∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ (∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0) → ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0

case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁
⊢ (∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0) → ∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
⊢ (B x) y = 0 ↔ (B (a • x)) y = 0

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
⊢ (B x) y = 0 → (B (a • x)) y = 0

case mpr
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
⊢ (B (a • x)) y = 0 → (B x) y = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ dualTensorHom R M P ∘ₗ lTensor (Dual R M) f = compRight R f ∘ₗ dualTensorHom R M N

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
x✝² : Dual R M
x✝¹ : N
x✝ : M
⊢ (((AlgebraTensorModule.curry (dualTensorHom R M P ∘ₗ lTensor (Dual R M) f)) x✝²) x✝¹) x✝ =
    (((AlgebraTensorModule.curry (compRight R f ∘ₗ dualTensorHom R M N)) x✝²) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
⊢ dualTensorHom R M P ∘ₗ rTensor P f.dualMap = lcomp R P f ∘ₗ dualTensorHom R N P

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
x✝² : Dual R N
x✝¹ : P
x✝ : M
⊢ (((AlgebraTensorModule.curry (dualTensorHom R M P ∘ₗ rTensor P f.dualMap)) x✝²) x✝¹) x✝ =
    (((AlgebraTensorModule.curry (lcomp R P f ∘ₗ dualTensorHom R N P)) x✝²) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : Dual R M
p : P
⊢ ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 =
    (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p)

Tactic:
ext

Goal state after:
case hl.fst
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : Dual R M
p : P
x✝ : M
⊢ ((((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 ∘ₗ inl R M N) x✝).1 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p) ∘ₗ inl R M N) x✝).1

case hl.snd
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : Dual R M
p : P
x✝ : M
⊢ ((((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 ∘ₗ inl R M N) x✝).2 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p) ∘ₗ inl R M N) x✝).2

case hr.fst
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : Dual R M
p : P
x✝ : N
⊢ ((((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 ∘ₗ inr R M N) x✝).1 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p) ∘ₗ inr R M N) x✝).1

case hr.snd
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : Dual R M
p : P
x✝ : N
⊢ ((((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 ∘ₗ inr R M N) x✝).2 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p) ∘ₗ inr R M N) x✝).2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_13
K₁ : Type u_14
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
n : Type u_19
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Field K₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₁
inst✝ : Module K₁ V₁
I₁ I₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] V
v : n → V₁
hv₁ : B.IsOrthoᵢ v
hv₂ : ∀ (i : n), (B (v i)) (v i) ≠ 0
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i ∈ s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
this : (B (∑ i ∈ s, w i • v i)) (v i) = 0
j : n
_hj : j ∈ s
hij : j ≠ i
⊢ I₁ (w j) • (B (v j)) (v i) = 0

Tactic:
isOrthoᵢ_def.1 hv₁ _ _ hij,

Goal state after:
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
n : Type u_19
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Field K₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₁
inst✝ : Module K₁ V₁
I₁ I₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] V
v : n → V₁
hv₁ : B.IsOrthoᵢ v
hv₂ : ∀ (i : n), (B (v i)) (v i) ≠ 0
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i ∈ s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
this : (B (∑ i ∈ s, w i • v i)) (v i) = 0
j : n
_hj : j ∈ s
hij : j ≠ i
⊢ I₁ (w j) • 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : Dual R N
q : Q
⊢ prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) =
    (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q)

Tactic:
ext

Goal state after:
case hl.fst
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : Dual R N
q : Q
x✝ : M
⊢ ((prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) ∘ₗ inl R M N) x✝).1 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q) ∘ₗ inl R M N) x✝).1

case hl.snd
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : Dual R N
q : Q
x✝ : M
⊢ ((prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) ∘ₗ inl R M N) x✝).2 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q) ∘ₗ inl R M N) x✝).2

case hr.fst
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : Dual R N
q : Q
x✝ : N
⊢ ((prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) ∘ₗ inr R M N) x✝).1 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q) ∘ₗ inr R M N) x✝).1

case hr.snd
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
Q : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : Dual R N
q : Q
x✝ : N
⊢ ((prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) ∘ₗ inr R M N) x✝).2 =
    (((dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q) ∘ₗ inr R M N) x✝).2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
h : 1 ∈ (dualTensorHom R M M).range
s : Finset (Dual R M × M)
eq : (dualTensorHom R M M) (∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2) = 1
f : (↥s → R) →ₗ[R] M := Fintype.linearCombination R fun x ↦ (↑x).2
⊢ (f ∘ₗ pi fun x ↦ (↑x).1) = 1

Tactic:
ext

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
h : 1 ∈ (dualTensorHom R M M).range
s : Finset (Dual R M × M)
eq : (dualTensorHom R M M) (∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2) = 1
f : (↥s → R) →ₗ[R] M := Fintype.linearCombination R fun x ↦ (↑x).2
x✝ : M
⊢ (f ∘ₗ pi fun x ↦ (↑x).1) x✝ = 1 x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
⊢ B.IsAlt ↔ B = -B.flip

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
⊢ B.IsAlt → B = -B.flip

case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
⊢ B = -B.flip → B.IsAlt
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Basic

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
⊢ B = -B.flip

Tactic:
ext

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M₁ : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
x✝¹ x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = ((-B.flip) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Projective R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] Fin n → R
eq : f ∘ₗ g = LinearMap.id
⊢ Function.Bijective ⇑(dualTensorHom R M N)

Tactic:
constructor

Goal state after:
case left
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Projective R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] Fin n → R
eq : f ∘ₗ g = LinearMap.id
⊢ Function.Injective ⇑(dualTensorHom R M N)

case right
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Projective R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] Fin n → R
eq : f ∘ₗ g = LinearMap.id
⊢ Function.Surjective ⇑(dualTensorHom R M N)