mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs' : IsPreconnected s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : EqOn (deriv f) 0 s
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : a ∈ s
⊢ fderiv 𝕜 f a = 0 a

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs' : IsPreconnected s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : EqOn (deriv f) 0 s
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : a ∈ s
⊢ (fderiv 𝕜 f a) 1 = (0 a) 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x) → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞ω
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : E → G
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s
L : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) × (E [×m]→L[𝕜] G) ≃ₗᵢ[𝕜] E [×m]→L[𝕜] F × G :=
  fun m ↦ ContinuousMultilinearMap.prodL 𝕜 (fun x ↦ E) F G
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y ↦ (f y, g y)) (fun y k ↦ (p y k).prod (q y k)) s

Tactic:
constructor

Goal state after:
case zero_eq
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞ω
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : E → G
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s
L : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) × (E [×m]→L[𝕜] G) ≃ₗᵢ[𝕜] E [×m]→L[𝕜] F × G := ⋯
⊢ ∀ x ∈ s, ((p x 0).prod (q x 0)).curry0 = (f x, g x)

case fderivWithin
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞ω
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : E → G
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s
L : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) × (E [×m]→L[𝕜] G) ≃ₗᵢ[𝕜] E [×m]→L[𝕜] F × G := ⋯
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < n → ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ (p x m).prod (q x m)) ((p x m.succ).prod (q x m.succ)).curryLeft s x

case cont
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞ω
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : E → G
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s
L : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) × (E [×m]→L[𝕜] G) ≃ₗᵢ[𝕜] E [×m]→L[𝕜] F × G := ⋯
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ (p x m).prod (q x m)) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ha : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x ↦ (f x, g x)) s x =
    (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x).prod (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x)

Tactic:
ext

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ha : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x✝ : Fin i → E
⊢ ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x ↦ (f x, g x)) s x))
      x✝ =
    ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).compContinuousMultilinearMap
        ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x).prod (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x)))
      x✝

case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ha : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x✝ : Fin i → E
⊢ ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x ↦ (f x, g x)) s x))
      x✝ =
    ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).compContinuousMultilinearMap
        ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x).prod (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x)))
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Deriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ derivWithin f s = ⇑ContinuousLinearMap.toSpanSingletonCLE.symm ∘ fderivWithin 𝕜 f s

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x✝ : 𝕜
⊢ derivWithin f s x✝ = (⇑ContinuousLinearMap.toSpanSingletonCLE.symm ∘ fderivWithin 𝕜 f s) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
y : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
rcases eq_or_ne x y with (rfl | hx)
  · exact contDiffWithinAt_insert_self
  refine ⟨fun h ↦ h.mono (subset_insert _ _), fun h ↦ ?_⟩
  apply h.mono_of_mem_nhdsWithin
  simp [nhdsWithin_insert_of_ne hx, self_mem_nhdsWithin]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x →
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x) →
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ ofSet univ ⋯ = OpenPartialHomeomorph.refl X

Tactic:
ext

Goal state after:
case h
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
x✝ : X
⊢ ↑(ofSet univ ⋯) x✝ = ↑(OpenPartialHomeomorph.refl X) x✝

case hinv
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
x✝ : X
⊢ ↑(ofSet univ ⋯).symm x✝ = ↑(OpenPartialHomeomorph.refl X).symm x✝

case hs
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
x✝ : X
⊢ x✝ ∈ (ofSet univ ⋯).source ↔ x✝ ∈ (OpenPartialHomeomorph.refl X).source
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ e.restr e'.source ≈ e'.restr e.source

Tactic:
constructor

Goal state after:
case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ (e.restr e'.source).source = (e'.restr e.source).source

case right
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑(e.restr e'.source)) (↑(e'.restr e.source)) (e.restr e'.source).source
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s s' : Set X
hss' : e.source ∩ interior s = e.source ∩ interior s'
⊢ e.restr s ≈ e.restr s'

Tactic:
constructor

Goal state after:
case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s s' : Set X
hss' : e.source ∩ interior s = e.source ∩ interior s'
⊢ (e.restr s).source = (e.restr s').source

case right
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s s' : Set X
hss' : e.source ∩ interior s = e.source ∩ interior s'
⊢ EqOn (↑(e.restr s)) (↑(e.restr s')) (e.restr s).source
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case succ.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
j i : Fin c.length
a✝¹ :
  (i.castSucc < j.castSucc →
      (fun m ↦
            cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
              ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
          i.castSucc <
        (fun m ↦
            cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
              ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
          j.castSucc) →
    i.castSucc < j.succ →
      (fun m ↦
            cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
              ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
          i.castSucc <
        (fun m ↦
            cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
              ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
          j.succ
a✝ :
  i.succ < j.castSucc →
    (fun m ↦
          cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
            ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
        i.succ <
      (fun m ↦
          cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
            ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
        j.castSucc
hij : i.succ < j.succ
⊢ (fun m ↦
        cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
          ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
      i.succ <
    (fun m ↦
        cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m
          ⟨cons 1 c.partSize m - 1, ⋯⟩)
      j.succ

Tactic:
| succ i =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s ↔
    ∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s →
    ∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
⊢ (∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u) →
    ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x

Tactic:
by_cases hsx : AccPt x (𝓟 s)

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hsx : AccPt x (𝓟 s)
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hsx : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
j : Fin (c.length + 1)
hj : j ∈ univ
i : Fin c.length
a✝ :
  i.castSucc ∈ univ →
    i.castSucc ≠ j →
      j < i.castSucc →
        (Disjoint on fun m ↦
            range
              (cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m)
                m))
          i.castSucc j
hi : i.succ ∈ univ
hij : i.succ ≠ j
h : j < i.succ
⊢ (Disjoint on fun m ↦
      range (cases (motive := fun x ↦ Fin (cons 1 c.partSize x) → Fin (n + 1)) (fun x ↦ 0) (fun m ↦ succ ∘ c.emb m) m))
    i.succ j

Tactic:
| succ i =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
⊢ EqOn (iteratedDerivWithin n f s) (deriv^[n] f) s

Tactic:
apply Set.EqOn.trans (iteratedDerivWithin_of_isOpen hs)
  rw [iteratedDeriv_eq_iterate]
  exact Set.eqOn_refl _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x → ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)) → ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s

Tactic:
constructor

Goal state after:
case zero_eq
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ∀ x ∈ s, (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0).curry0 = f x

case fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < n →
      ∀ x ∈ s,
        HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ).curryLeft s x

case cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
k m : Fin c.length
hm : m ≠ k
⊢ StrictMono
    (if h : m = k then
      have this := ⋯;
      (fun i ↦ cases 0 (succ ∘ c.emb k) i) ∘ Fin.cast this
    else
      have this := ⋯;
      succ ∘ c.emb m ∘ Fin.cast this)

Tactic:
· simp only [hm, ↓reduceDIte]
      exact strictMono_succ.comp ((c.emb_strictMono m).comp (by exact fun ⦃a b⦄ h ↦ h))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
k i : Fin c.length
hi : i ∈ univ
j : Fin c.length
hj : j ∈ univ
hij : i ≠ j
⊢ (Disjoint on fun m ↦
      range
        (if h : m = k then
          have this := ⋯;
          (fun i ↦ cases 0 (succ ∘ c.emb k) i) ∘ Fin.cast this
        else
          have this := ⋯;
          succ ∘ c.emb m ∘ Fin.cast this))
    i j

Tactic:
by
    wlog h : i ≠ k generalizing i j
    · apply Disjoint.symm
        (this j (mem_univ j) i (mem_univ i) hij.symm ?_)
      simp only [ne_eq, Decidable.not_not] at h
      simpa [h] using hij.symm
    rcases eq_or_ne j k with rfl | hj
    · simp only [onFun, ↓reduceDIte]
      suffices ∀ (a' : Fin (c.partSize i)) (b' : Fin (c.partSize j + 1)),
          succ (c.emb i a') ≠ cases (motive := fun _ ↦ Fin (n + 1)) 0 (succ ∘ c.emb j) b' by
        apply Set.disjoint_iff_forall_ne.2
        simp only [hij, ↓reduceDIte, mem_range, comp_apply, ne_eq, forall_exists_index,
          forall_apply_eq_imp_iff]
        intro a b
        apply this
      intro a' b'
      induction b' using Fin.induction with
      | zero => simp
      | succ b' =>
        simp only [cases_succ, comp_apply, ne_eq, succ_inj]
        apply c.emb_ne_emb_of_ne hij
    · simp only [onFun, h, ↓reduceDIte, hj]
      apply Set.disjoint_iff_forall_ne.2
      simp only [mem_range, comp_apply, ne_eq, forall_exists_index, forall_apply_eq_imp_iff,
        succ_inj]
      intro a b
      apply c.emb_ne_emb_of_ne hij

Goal state after: