Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RestrictScalars

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
x : E
f : E → F
n✝ : ℕ
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn :
  ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x →
    restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s x
t₀ : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x
t₁ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s y
a : E
h₁a : restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] a] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h₃a : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s a
h₄a : a ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ ((fderivWithin 𝕜' (iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s) s a) (m 0)) (Fin.tail m) =
    ((fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s a) (m 0)) (Fin.tail m)

Tactic:
rw [← (h₁a.fderivWithin' (by tauto)).eq_of_nhdsWithin h₄a,
      fderivWithin_restrictScalars_comp]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
x : E
f : E → F
n✝ : ℕ
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn :
  ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x →
    restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s x
t₀ : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x
t₁ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s y
a : E
h₁a : restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] a] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h₃a : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s a
h₄a : a ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ ((fderivWithin 𝕜' (iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s) s a) (m 0)) (Fin.tail m) =
    ((restrictScalars 𝕜 ∘
          ⇑(ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (fderivWithin 𝕜' (iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s) s a)))
        (m 0))
      (Fin.tail m)

case h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
x : E
f : E → F
n✝ : ℕ
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn :
  ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x →
    restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s x
t₀ : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x
t₁ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s y
a : E
h₁a : restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] a] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h₃a : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s a
h₄a : a ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' (iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s) s a

case hs
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
x : E
f : E → F
n✝ : ℕ
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn :
  ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x →
    restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s x
t₀ : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x
t₁ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s y
a : E
h₁a : restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] a] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h₃a : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s a
h₄a : a ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a