Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Adjunction

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
⊢ Function.Bijective fun x ↦ x ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h

Tactic:
constructor

Goal state after:
case left
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
⊢ Function.Injective fun x ↦ x ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h

case right
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
⊢ Function.Surjective fun x ↦ x ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h