mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ (tprodL 𝕜).toMultilinearMap = tprod 𝕜

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ (tprodL 𝕜).toMultilinearMap x✝ = (tprod 𝕜) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ (liftIsometry 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (tprodL 𝕜) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((liftIsometry 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (tprodL 𝕜)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ↑(mapL f) = map fun i ↦ ↑(f i)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑(mapL f)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((map fun i ↦ ↑(f i)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
E'' : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ ↑(mapL fun i ↦ g i ∘SL f i) = ↑(mapL g ∘SL mapL f)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
E'' : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑(mapL fun i ↦ g i ∘SL f i)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ =
    ((↑(mapL g ∘SL mapL f)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
⊢ ↑((liftIsometry 𝕜 E' F) h ∘SL mapL f) = ↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑((liftIsometry 𝕜 E' F) h ∘SL mapL f)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ =
    ((↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ ↑(mapL fun i ↦ ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) = ↑(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i))

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑(mapL fun i ↦ ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ =
    ((↑(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u v : E i →L[𝕜] E' i
⊢ mapL (update f i (u + v)) = mapL (update f i u) + mapL (update f i v)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u v : E i →L[𝕜] E' i
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (mapL (update f i (u + v))) x✝ = (mapL (update f i u) + mapL (update f i v)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
⊢ mapL (update f i (c • u)) = c • mapL (update f i u)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ (mapL (update f i (c • u))) x✝ = (c • mapL (update f i u)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
m₁✝ m₂✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
⊢ holder r B hBK (m₁✝ + m₂✝) n✝ = holder r B hBK m₁✝ n✝ + holder r B hBK m₂✝ n✝

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
m₁✝ m₂✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
x✝ : ι
⊢ ↑(holder r B hBK (m₁✝ + m₂✝) n✝) x✝ = ↑(holder r B hBK m₁✝ n✝ + holder r B hBK m₂✝ n✝) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
c✝ : 𝕜
m✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
⊢ holder r B hBK (c✝ • m✝) n✝ = c✝ • holder r B hBK m✝ n✝

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
c✝ : 𝕜
m✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
x✝ : ι
⊢ ↑(holder r B hBK (c✝ • m✝) n✝) x✝ = ↑(c✝ • holder r B hBK m✝ n✝) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
m✝ : ↥(lp E p)
n₁✝ n₂✝ : ↥(lp F q)
⊢ holder r B hBK m✝ (n₁✝ + n₂✝) = holder r B hBK m✝ n₁✝ + holder r B hBK m✝ n₂✝

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
m✝ : ↥(lp E p)
n₁✝ n₂✝ : ↥(lp F q)
x✝ : ι
⊢ ↑(holder r B hBK m✝ (n₁✝ + n₂✝)) x✝ = ↑(holder r B hBK m✝ n₁✝ + holder r B hBK m✝ n₂✝) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
c✝ : 𝕜
m✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
⊢ holder r B hBK m✝ (c✝ • n✝) = c✝ • holder r B hBK m✝ n✝

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
c✝ : 𝕜
m✝ : ↥(lp E p)
n✝ : ↥(lp F q)
x✝ : ι
⊢ ↑(holder r B hBK m✝ (c✝ • n✝)) x✝ = ↑(c✝ • holder r B hBK m✝ n✝) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.InjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type uι
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ {p |
      ∃ G x x_1,
        p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}.Nonempty

Tactic:
existsi 0
    simp only [Set.mem_ofPred_eq]
    existsi PUnit, inferInstance, inferInstance
    ext x
    simp only [Seminorm.zero_apply, Seminorm.comp_apply, coe_normSeminorm]
    rw [Subsingleton.elim (toDualContinuousMultilinearMap PUnit.{(max (max uE uι) u𝕜) + 1} x) 0,
      norm_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: case e_6
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
u : V
hu : u ≠ 0
v : StrongDual 𝕜 V
huv : v u ≠ 0
z : W
hz : ¬(f (smulRight v u)) z = 0 z
T : V →L[𝕜] W := ⋯
hT : ∀ (x : V), T x = (f (smulRight v x)) z
A : V →L[𝕜] V
x : V
⊢ smulRight v (A x) = A * smulRight v x

Tactic:
ext

Goal state after:
case e_6
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
u : V
hu : u ≠ 0
v : StrongDual 𝕜 V
huv : v u ≠ 0
z : W
hz : ¬(f (smulRight v u)) z = 0 z
T : V →L[𝕜] W := (apply' W (RingHom.id 𝕜)) z ∘SL (↑f).toContinuousLinearMap ∘SL (smulRightL 𝕜 V V) v
hT : ∀ (x : V), T x = (f (smulRight v x)) z
A : V →L[𝕜] V
x x✝ : V
⊢ (smulRight v (A x)) x✝ = (A * smulRight v x) x✝
Module: Mathlib.Analysis.ODE.DiscreteGronwall

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : IsOrderedRing R
u b c : ℕ → R
n₀ : ℕ
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ c n * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
n k : ℕ
hk : n₀ ≤ k
ih : u k ≤ u n₀ * ∏ i ∈ Ico n₀ k, c i + ∑ k_1 ∈ Ico n₀ k, b k_1 * ∏ i ∈ Ico (k_1 + 1) k, c i
hck : 0 ≤ c k
⊢ u (k + 1) ≤ u n₀ * ∏ i ∈ Ico n₀ (k + 1), c i + ∑ k_1 ∈ Ico n₀ (k + 1), b k_1 * ∏ i ∈ Ico (k_1 + 1) (k + 1), c i

Tactic:
have heq : c k * ∑ j ∈ Ico n₀ k, b j * ∏ i ∈ Ico (j + 1) k, c i + b k =
        ∑ j ∈ Ico n₀ (k + 1), b j * ∏ i ∈ Ico (j + 1) (k + 1), c i := by
      rw [sum_Ico_succ_top hk, mul_sum, Ico_self, prod_empty, mul_one]
      refine congr_arg (· + b k) (sum_congr rfl fun j hj ↦ ?_)
      rw [prod_Ico_succ_top (by have := mem_Ico.mp hj; omega)]; ring

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : IsOrderedRing R
u b c : ℕ → R
n₀ : ℕ
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ c n * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
n k : ℕ
hk : n₀ ≤ k
ih : u k ≤ u n₀ * ∏ i ∈ Ico n₀ k, c i + ∑ k_1 ∈ Ico n₀ k, b k_1 * ∏ i ∈ Ico (k_1 + 1) k, c i
hck : 0 ≤ c k
heq :
  c k * ∑ j ∈ Ico n₀ k, b j * ∏ i ∈ Ico (j + 1) k, c i + b k =
    ∑ j ∈ Ico n₀ (k + 1), b j * ∏ i ∈ Ico (j + 1) (k + 1), c i
⊢ u (k + 1) ≤ u n₀ * ∏ i ∈ Ico n₀ (k + 1), c i + ∑ k_1 ∈ Ico n₀ (k + 1), b k_1 * ∏ i ∈ Ico (k_1 + 1) (k + 1), c i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this✝ : ∀ (x : V →L[𝕜] V), Commute x (adjoint ↑y ∘SL ↑y)
α : 𝕜
hα : α • 1 = adjoint ↑y ∘SL ↑y
this : IsUnit (adjoint ↑y ∘SL ↑y)
hα_re : α = ↑(RCLike.re α)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : 0 < RCLike.re α
h_comp_adjoint : ↑y ∘SL adjoint ↑y = α • ContinuousLinearMap.id 𝕜 W
β : 𝕜 := ↑(RCLike.re α ^ (-(1 / 2)))
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
hβ₂ : β⁻¹ * β = 1
⊢ f = U.conjStarAlgEquiv

Tactic:
ext

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this✝ : ∀ (x : V →L[𝕜] V), Commute x (adjoint ↑y ∘SL ↑y)
α : 𝕜
hα : α • 1 = adjoint ↑y ∘SL ↑y
this : IsUnit (adjoint ↑y ∘SL ↑y)
hα_re : α = ↑(RCLike.re α)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : 0 < RCLike.re α
h_comp_adjoint : ↑y ∘SL adjoint ↑y = α • ContinuousLinearMap.id 𝕜 W
β : 𝕜 := ↑(RCLike.re α ^ (-(1 / 2)))
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
hβ₂ : β⁻¹ * β = 1
a✝ : V →L[𝕜] V
x✝ : W
⊢ (f a✝) x✝ = (U.conjStarAlgEquiv a✝) x✝
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
s : Set ℝ
u : Set E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n (uncurry f) (s ×ˢ u)
hα : ContDiffOn ℝ n α s
hmem : ∀ t ∈ s, α t ∈ u
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun t ↦ f t (α t)) s

Tactic:
simpa only [← uncurry_apply_pair f] using! hf.comp (by fun_prop) (by tauto)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
r L : ℝ≥0
α : C(↑(Icc tmin tmax), E)
⊢ (α ∈ range fun α ↦ toContinuousMap α) ↔ α ∈ {α | LipschitzWith L ⇑α ∧ α t₀ ∈ closedBall x₀ ↑r}

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
r L : ℝ≥0
α : C(↑(Icc tmin tmax), E)
⊢ (α ∈ range fun α ↦ toContinuousMap α) → α ∈ {α | LipschitzWith L ⇑α ∧ α t₀ ∈ closedBall x₀ ↑r}

case mpr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
r L : ℝ≥0
α : C(↑(Icc tmin tmax), E)
⊢ α ∈ {α | LipschitzWith L ⇑α ∧ α t₀ ∈ closedBall x₀ ↑r} → α ∈ range fun α ↦ toContinuousMap α
Module: Mathlib.Analysis.ODE.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
γ : ℝ → E
v : ℝ → E → E
hγ : IsIntegralCurve γ v
a : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x ↦ x * a) (a • v ∘ fun x ↦ x * a)

Tactic:
by
  rw [← isIntegralCurveOn_univ] at *
  exact hγ.comp_mul _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ x : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r
α : FunSpace t₀ x₀ r L
⊢ IsFixedPt (next hf hx) α ↔ ∀ (t : ↑(Icc tmin tmax)), α.toFun t = picard f (↑t₀) x α.compProj ↑t

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ x : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r
α : FunSpace t₀ x₀ r L
⊢ IsFixedPt (next hf hx) α → ∀ (t : ↑(Icc tmin tmax)), α.toFun t = picard f (↑t₀) x α.compProj ↑t

case mpr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ x : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r
α : FunSpace t₀ x₀ r L
⊢ (∀ (t : ↑(Icc tmin tmax)), α.toFun t = picard f (↑t₀) x α.compProj ↑t) → IsFixedPt (next hf hx) α
Module: Mathlib.Analysis.ODE.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
α : E → ℝ → E
hα1 : ∀ x ∈ closedBall x₀ ↑r, α x ↑t₀ = x ∧ ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt (α x) (f t (α x t)) (Icc tmin tmax) t
L' : ℝ≥0
hα2 : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, LipschitzOnWith L' (fun x ↦ α x t) (closedBall x₀ ↑r)
⊢ ∀ a ∈ closedBall x₀ ↑r, ContinuousOn (fun y ↦ uncurry α (a, y)) (Icc tmin tmax)

Tactic:
exact fun x hx ↦ HasDerivWithinAt.continuousOn (hα1 x hx).2

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.ODE.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
t : ℝ
ht : -b ≤ t ∧ t < -a
⊢ a < -t ∧ -t ≤ b

Tactic:
constructor

Goal state after:
case left
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
t : ℝ
ht : -b ≤ t ∧ t < -a
⊢ a < -t

case right
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
a b : ℝ
hv : ∀ t ∈ Ioc a b, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
t : ℝ
ht : -b ≤ t ∧ t < -a
⊢ -t ≤ b
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.CauchyBound

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing K
x : K
hx : x ≠ 0
p : K[X]
⊢ (x • p).cauchyBound = p.cauchyBound

Tactic:
simp only [cauchyBound, (IsRegular.of_ne_zero hx).left.isSMulRegular,
    natDegree_smul_of_smul_regular, coeff_smul, smul_eq_mul, nnnorm_mul, ← mul_finset_sup,
    leadingCoeff_smul_of_smul_regular, add_left_inj]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing K
x : K
hx : x ≠ 0
p : K[X]
⊢ (‖x‖₊ * (range p.natDegree).sup fun a ↦ ‖p.coeff a‖₊) / (‖x‖₊ * ‖p.leadingCoeff‖₊) =
    ((range p.natDegree).sup fun a ↦ ‖p.coeff a‖₊) / ‖p.leadingCoeff‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : P.degree < Q.degree
⊢ (fun x ↦ eval x P) =o[atBot] fun x ↦ eval x Q

Tactic:
by
  rw [← P.degree_comp_neg_X, ← Q.degree_comp_neg_X] at h
  convert! (isLittleO_atTop_of_degree_lt _ _ h).comp_tendsto tendsto_neg_atBot_atTop using 2
  all_goals simp

Goal state after: