mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g₁ g₂ : G →L[𝕜] H
⊢ mapL f (g₁ + g₂) = mapL f g₁ + mapL f g₂

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g₁ g₂ : G →L[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL f (g₁ + g₂)) x✝ = (mapL f g₁ + mapL f g₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
⊢ mapL (r • f) g = r • mapL f g

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL (r • f) g) x✝ = (r • mapL f g) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
⊢ mapL f (r • g) = r • mapL f g

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL f (r • g)) x✝ = (r • mapL f g) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
⊢ ↑(mapL f g) = map ↑f ↑g

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝¹ : E
x✝ : G
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ↑(mapL f g)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (map ↑f ↑g)) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
g : G →ₗᵢ[𝕜] H
⊢ (mapIsometry f g).toContinuousLinearMap = mapL f.toContinuousLinearMap g.toContinuousLinearMap

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
g : G →ₗᵢ[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapIsometry f g).toContinuousLinearMap x✝ = (mapL f.toContinuousLinearMap g.toContinuousLinearMap) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup A
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 A
inst✝¹ : NormedAddCommGroup B
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 B
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : B →L[𝕜] G
⊢ mapL (f₁ ∘SL f₂) (g₁ ∘SL g₂) = mapL f₁ g₁ ∘SL mapL f₂ g₂

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup A
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 A
inst✝¹ : NormedAddCommGroup B
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 B
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : B →L[𝕜] G
x✝ : A ⊗[𝕜] B
⊢ (mapL (f₁ ∘SL f₂) (g₁ ∘SL g₂)) x✝ = (mapL f₁ g₁ ∘SL mapL f₂ g₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g : G →L[𝕜] H
⊢ mapL f₁ g ∘SL ContinuousLinearMap.rTensor G f₂ = mapL (f₁ ∘SL f₂) g

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g : G →L[𝕜] H
x✝ : A ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL f₁ g ∘SL ContinuousLinearMap.rTensor G f₂) x✝ = (mapL (f₁ ∘SL f₂) g) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f : E →L[𝕜] F
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : A →L[𝕜] G
⊢ mapL f g₁ ∘SL ContinuousLinearMap.lTensor E g₂ = mapL f (g₁ ∘SL g₂)

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f : E →L[𝕜] F
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : A →L[𝕜] G
x✝ : E ⊗[𝕜] A
⊢ (mapL f g₁ ∘SL ContinuousLinearMap.lTensor E g₂) x✝ = (mapL f (g₁ ∘SL g₂)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g : G →L[𝕜] H
⊢ ContinuousLinearMap.rTensor H f₁ ∘SL mapL f₂ g = mapL (f₁ ∘SL f₂) g

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : A →L[𝕜] E
g : G →L[𝕜] H
x✝ : A ⊗[𝕜] G
⊢ (ContinuousLinearMap.rTensor H f₁ ∘SL mapL f₂ g) x✝ = (mapL (f₁ ∘SL f₂) g) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f : E →L[𝕜] F
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : A →L[𝕜] G
⊢ ContinuousLinearMap.lTensor F g₁ ∘SL mapL f g₂ = mapL f (g₁ ∘SL g₂)

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 H
A : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup A
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 A
f : E →L[𝕜] F
g₁ : G →L[𝕜] H
g₂ : A →L[𝕜] G
x✝ : E ⊗[𝕜] A
⊢ (ContinuousLinearMap.lTensor F g₁ ∘SL mapL f g₂) x✝ = (mapL f (g₁ ∘SL g₂)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
⊢ ContinuousLinearMap.lTensor H f ∘SL ContinuousLinearMap.rTensor E g = mapL g f

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (ContinuousLinearMap.lTensor H f ∘SL ContinuousLinearMap.rTensor E g) x✝ = (mapL g f) x✝
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
⊢ dimH (f '' univ) ≤ dimH univ / ↑r

Tactic:
refine dimH_image_le_of_locally_holder_on hr fun x _ => ?_

Goal state after:
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
x : X
x✝ : x ∈ univ
⊢ ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, HolderOnWith C r f t
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : MeasurableSpace P
inst✝¹ : BorelSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p : P
v : V
hv : v ≠ 0
t : Set P
ht : MeasurableSet t
hrank : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction = 1
hrank' : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ = finrank ℝ V - 1
f : ℝ ≃L[ℝ] ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction :=
  (ContinuousLinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton ℝ v hv).trans
    (ContinuousLinearEquiv.ofEq (ℝ ∙ v) (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction ⋯)
hf : MeasurableEmbedding ⇑f
p' : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⟨p, ⋯⟩
g : ℝ → ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p') ∘ ⇑f
hadd : MeasurableEmbedding ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p')
hg : MeasurableEmbedding g
⊢ μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction] = ‖v‖ₑ • map g volume

Tactic:
unfold g

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : MeasurableSpace P
inst✝¹ : BorelSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p : P
v : V
hv : v ≠ 0
t : Set P
ht : MeasurableSet t
hrank : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction = 1
hrank' : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ = finrank ℝ V - 1
f : ℝ ≃L[ℝ] ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction :=
  (ContinuousLinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton ℝ v hv).trans
    (ContinuousLinearEquiv.ofEq (ℝ ∙ v) (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction ⋯)
hf : MeasurableEmbedding ⇑f
p' : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⟨p, ⋯⟩
g : ℝ → ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p') ∘ ⇑f
hadd : MeasurableEmbedding ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p')
hg : MeasurableEmbedding g
⊢ μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction] = ‖v‖ₑ • map (⇑(IsometryEquiv.vaddConst p') ∘ ⇑f) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y
⊢ (map ⇑f) (mkMetric m) = mkMetric m

Tactic:
← isometryEquiv_comap_mkMetric _ f,

Goal state after:
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y
⊢ (map ⇑f) ((comap ⇑f) (mkMetric m)) = mkMetric m
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖kerFun H x‖ ≤ C
ι : Type u_5
l : Filter ι
F : ι → H
f : H
h : Tendsto F l (𝓝 f)
⊢ TendstoUniformly (fun n ↦ ⇑(F n)) (⇑f) l

Tactic:
by
  rw [← tendstoUniformlyOn_univ]
  exact tendstoUniformlyOn_of_norm_kerFun_le (fun x _ => hC x) h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
⊢ (kernel H).IsHermitian

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
i✝ j✝ : X
x✝ : V
⊢ ((kernel H).conjTranspose i✝ j✝) x✝ = (kernel H i✝ j✝) x✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:

Tactic:
(1 : ℝ≥0∞) = μH[0] ({x} : Set X) := (hausdorffMeasure_zero_singleton x).symm
    _ ≤ μH[0] s := measure_mono (singleton_subset_iff.2 hx)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0) ↔ ∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0) → ∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0

case mpr
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0) → ∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ S.symplComp.mulI = S.mulI.symplComp

Tactic:
by
  rw [symplComp, symplComp, mulI_orthogonal_eq_symplComp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
S : ClosedSubmodule ℝ H
x : H
⊢ x ∈ S.mulI.mulI ↔ x ∈ S

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
S : ClosedSubmodule ℝ H
x : H
⊢ x ∈ S.mulI.mulI → x ∈ S

case mpr
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
S : ClosedSubmodule ℝ H
x : H
⊢ x ∈ S → x ∈ S.mulI.mulI
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StarOrder

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ (H →L[𝕜] H) IsSelfAdjoint
f g : H →L[𝕜] H
⊢ f ≤ g ↔ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s ↦ star s * s), g = f + p

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ (H →L[𝕜] H) IsSelfAdjoint
f g : H →L[𝕜] H
⊢ f ≤ g → ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s ↦ star s * s), g = f + p

case mpr
𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ (H →L[𝕜] H) IsSelfAdjoint
f g : H →L[𝕜] H
⊢ (∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s ↦ star s * s), g = f + p) → f ≤ g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ ↑(b i) - ↑(a i)
γ : ℕ → Type u_4 := fun n ↦ (i : ι) → Fin ⌈(↑(b i) - ↑(a i)) * ↑n⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) := fun n f ↦ univ.pi fun i ↦ Icc (↑(a i) + ↑↑(f i) / ↑n) (↑(a i) + (↑↑(f i) + 1) / ↑n)
A : Tendsto (fun n ↦ 1 / ↑n) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ 1 / ↑n
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
npos : 0 < ↑n
x : ι → ℝ
hx : ∀ (i : ι), ↑(a i) < x i ∧ x i < ↑(b i)
f : γ n := fun i ↦ ⟨⌊(x i - ↑(a i)) * ↑n⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ x i ≤ ↑(a i) + (↑↑(f i) + 1) / ↑n

Tactic:
· calc
        x i = (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by field
        _ ≤ (a i : ℝ) + (⌊(x i - a i) * n⌋₊ + 1) / n := by
          gcongr
          exact (Nat.lt_floor_add_one _).le

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
this :
  μH[d] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' (fun x ↦ c • x) '' ⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).symm '' s) = ‖c‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] (⇑(AffineMap.homothety x c) '' s) = ‖c‖₊ ^ d • μH[d] s

Tactic:
by
    simpa only [Set.image_image]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
x y : P
s : Set ℝ
this : μH[1] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' (fun x_1 ↦ x_1 • (y -ᵥ x)) '' s) = nndist x y • μH[1] s
⊢ μH[1] (⇑(AffineMap.lineMap x y) '' s) = nndist x y • μH[1] s

Tactic:
by
    simpa only [Set.image_image]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotationAux₂.toLinearMap ∘ₗ (-o.rightAngleRotationAux₁) = LinearMap.id

Tactic:
ext

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x✝ : E
⊢ (o.rightAngleRotationAux₂.toLinearMap ∘ₗ (-o.rightAngleRotationAux₁)) x✝ = LinearMap.id x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ (-o.rightAngleRotationAux₁) ∘ₗ o.rightAngleRotationAux₂.toLinearMap = LinearMap.id

Tactic:
ext

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x✝ : E
⊢ ((-o.rightAngleRotationAux₁) ∘ₗ o.rightAngleRotationAux₂.toLinearMap) x✝ = LinearMap.id x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotation.trans o.rightAngleRotation = LinearIsometryEquiv.neg ℝ

Tactic:
ext

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x✝ : E
⊢ (o.rightAngleRotation.trans o.rightAngleRotation) x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg ℝ) x✝
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
x y : E →SWOT[σ] F
⊢ (fun x_1 ↦
      match x_1 with
      | (x_2, y_1) => y_1 ((x + y) x_2)) =
    (fun x_1 ↦
        match x_1 with
        | (x_2, y) => y (x x_2)) +
      fun x ↦
      match x with
      | (x, y_1) => y_1 (y x)

Tactic:
ext

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
x y : E →SWOT[σ] F
x✝ : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ (match x✝ with
    | (x_1, y_1) => y_1 ((x + y) x_1)) =
    ((fun x_1 ↦
          match x_1 with
          | (x_2, y) => y (x x_2)) +
        fun x ↦
        match x with
        | (x, y_1) => y_1 (y x))
      x✝