mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
⊢ S₂ = Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ S₂ ↔ x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-f).LimZero

Tactic:
rw [← neg_one_mul f]
  exact mul_limZero_right _ hf

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
hi : b.IsPos i
j k l : ι
h₁ : P.root l = P.root j + P.root k
n : ℕ
f : Fin n → ι
h₂ : range f ⊆ ↑b.support
h₃ : P.root j = ∑ m, P.root (f m)
h₄ : ∀ (m : Fin n), ∑ m' ≤ m, P.root (f m') ∈ range ⇑P.root
h₅ : k ∈ b.support
m : Fin (n + 1)
hm : ↑m = n
⊢ Finset.Iic m = Finset.univ

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
hi : b.IsPos i
j k l : ι
h₁ : P.root l = P.root j + P.root k
n : ℕ
f : Fin n → ι
h₂ : range f ⊆ ↑b.support
h₃ : P.root j = ∑ m, P.root (f m)
h₄ : ∀ (m : Fin n), ∑ m' ≤ m, P.root (f m') ∈ range ⇑P.root
h₅ : k ∈ b.support
m : Fin (n + 1)
hm : ↑m = n
a✝ : Fin (n + 1)
⊢ a✝ ∈ Finset.Iic m ↔ a✝ ∈ Finset.univ
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x a b c : ℝ
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c

Tactic:
apply ext_cauchy; simp only [cauchy_add, cauchy_mul, mul_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x : ℝ
q : ℚ
⊢ ↑q = ↑q.num / ↑q.den

Tactic:
by
    rw [← ofCauchy_ratCast, Rat.cast_def, ofCauchy_div, ofCauchy_natCast, ofCauchy_intCast]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.DotProduct

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
a✝ : Nontrivial R
i : n
⊢ 0 < star (v i) * v i ↔ v i ≠ 0

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
a✝ : Nontrivial R
i : n
⊢ 0 < star (v i) * v i → v i ≠ 0

case mpr
n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
a✝ : Nontrivial R
i : n
⊢ v i ≠ 0 → 0 < star (v i) * v i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hadamard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
inst✝ : MulOneClass α
A : Matrix m n α
⊢ A ⊙ of 1 = A

Tactic:
ext

Goal state after:
α : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
inst✝ : MulOneClass α
A : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (A ⊙ of 1) i✝ j✝ = A i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hadamard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
inst✝ : MulOneClass α
A : Matrix m n α
⊢ of 1 ⊙ A = A

Tactic:
ext

Goal state after:
α : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
inst✝ : MulOneClass α
A : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (of 1 ⊙ A) i✝ j✝ = A i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Vec

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset ι
A : ι → Matrix m n R
⊢ (∑ i ∈ s, A i).vec = ∑ i ∈ s, (A i).vec

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset ι
A : ι → Matrix m n R
x✝ : n × m
⊢ (∑ i ∈ s, A i).vec x✝ = (∑ i ∈ s, (A i).vec) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ → ∃ i, d i = μ

case mpr
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
⊢ (∃ i, d i = μ) → HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M.PosSemidef ↔ M.IsHermitian ∧ ∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ M *ᵥ x

Tactic:
simp [PosSemidef, ← Finsupp.equivFunOnFinite.forall_congr_right, dotProduct, mulVec,
    Finsupp.sum_fintype, Finset.mul_sum, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
⊢ ((D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → R'), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x) ↔
    (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef

Tactic:
constructor

Goal state after:
case mp
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
⊢ ((D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → R'), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x) →
    (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef

case mpr
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
⊢ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef →
    (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → R'), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
B : P.InvariantForm
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ((cartanMatrixIn S b).map ⇑(algebraMap S R) * Matrix.diagonal fun i ↦ (B.form (P.root ↑i)) (P.root ↑i)) =
    2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasis) B.form

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
B : P.InvariantForm
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ j✝ : ↥b.support
⊢ ((cartanMatrixIn S b).map ⇑(algebraMap S R) * Matrix.diagonal fun i ↦ (B.form (P.root ↑i)) (P.root ↑i)) i✝ j✝ =
    (2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasis) B.form) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : Module.IsReflexive R N
h₁ :
  (P.pairingIn ℤ ↑i ↑j, P.pairingIn ℤ ↑j ↑i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
h₂ : P.pairingIn ℤ ↑i ↑j ≤ 0
contra : P.pairingIn ℤ ↑j ↑i = -1 ∧ P.pairingIn ℤ ↑i ↑j = -4
⊢ False

Tactic:
rw [pairingIn_neg_one_neg_four_iff] at contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : Module.IsReflexive R N
h₁ :
  (P.pairingIn ℤ ↑i ↑j, P.pairingIn ℤ ↑j ↑i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
h₂ : P.pairingIn ℤ ↑i ↑j ≤ 0
contra : P.root ↑i = -2 • P.root ↑j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ b.cartanMatrix i j ∈ {-3, -2, -1, 0}

Tactic:
by
  have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
  have : Module.IsReflexive R N := .of_isPerfPair P.flip.toLinearMap
  simp only [cartanMatrix, cartanMatrixIn_def]
  have h₁ := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
  have h₂ : P.pairingIn ℤ i j ≤ 0 := b.cartanMatrix_le_zero_of_ne i j hij
  suffices P.pairingIn ℤ i j ≠ -4 by aesop
  by_contra contra
  replace contra : P.pairingIn ℤ j i = -1 ∧ P.pairingIn ℤ i j = -4 := ⟨by simp_all, contra⟩
  rw [pairingIn_neg_one_neg_four_iff] at contra
  refine (not_linearIndependent_iff.mpr ?_) b.linearIndepOn_root
  refine ⟨⟨{i, j}, by simpa⟩, Finsupp.single i (1 : R) + Finsupp.single j (2 : R), ?_⟩
  simp [contra, hij, hij.symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ b.cartanMatrix.map abs = 4 - b.cartanMatrix

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ j✝ : ↥b.support
⊢ b.cartanMatrix.map abs i✝ j✝ = (4 - b.cartanMatrix) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
this : ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4
⊢ toLin' (4 - b.cartanMatrix) = -(toLin' b.cartanMatrix - 4 • 1)

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
this : ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4
i✝ x✝ : ↥b.support
⊢ (toLin' (4 - b.cartanMatrix) ∘ₗ LinearMap.single ℤ (fun i ↦ ℤ) i✝) 1 x✝ =
    ((-(toLin' b.cartanMatrix - 4 • 1)) ∘ₗ LinearMap.single ℤ (fun i ↦ ℤ) i✝) 1 x✝
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ
⊢ ↑(eval k (ascPochhammer ℕ n)) = eval (↑k) (ascPochhammer S n)

Tactic:
← ascPochhammer_map (algebraMap ℕ S),

Goal state after:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ
⊢ ↑(eval k (ascPochhammer ℕ n)) = eval (↑k) (map (algebraMap ℕ S) (ascPochhammer ℕ n))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
this : ∀ (k : ι), P.pairingIn ℤ i k = ∑ l ∈ b.support, f l * P.pairingIn ℤ l k
⊢ (fun k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) = f' ᵥ* b.cartanMatrix

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
this : ∀ (k : ι), P.pairingIn ℤ i k = ∑ l ∈ b.support, f l * P.pairingIn ℤ l k
x✝ : ↥b.support
⊢ P.pairingIn ℤ i ↑x✝ = (f' ᵥ* b.cartanMatrix) x✝
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: n t : ℕ
⊢ eval n (ascPochhammer ℕ t) * eval n (X + ↑t) = n.ascFactorial (t + 1)

Tactic:
ascPochhammer_nat_eq_ascFactorial n t,

Goal state after:
n t : ℕ
⊢ n.ascFactorial t * eval n (X + ↑t) = n.ascFactorial (t + 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
hf : (fun k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) = f' ᵥ* b.cartanMatrix
this : ∀ (k : ι), P.pairingIn ℤ j k = ∑ l ∈ b.support, g l * P.pairingIn ℤ l k
⊢ (fun k ↦ P.pairingIn ℤ j ↑k) = g' ᵥ* b.cartanMatrix

Tactic:
ext

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
hf : (fun k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) = f' ᵥ* b.cartanMatrix
this : ∀ (k : ι), P.pairingIn ℤ j k = ∑ l ∈ b.support, g l * P.pairingIn ℤ l k
x✝ : ↥b.support
⊢ P.pairingIn ℤ j ↑x✝ = (g' ᵥ* b.cartanMatrix) x✝
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ descPochhammer R 1 = X

Tactic:
simp [descPochhammer]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ descPochhammer ℤ (0 + 1) = descPochhammer ℤ 0 * (X - ↑0)

Tactic:
simp [descPochhammer]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
⊢ ⇑(LieEquiv.prodComm R L₂ L₁).toLieHom ''
      ({x | ∃ i, (b₂.h i, b₁.h (eι.symm i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₂.e i, b₁.e (eι.symm i)) = x} ∪
        {x | ∃ i, (b₂.f i, b₁.f (eι.symm i)) = x}) =
    {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₁.e i, b₂.e (eι i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₁.f i, b₂.f (eι i)) = x}

Tactic:
ext

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
x✝ : L₁ × L₂
⊢ x✝ ∈
      ⇑(LieEquiv.prodComm R L₂ L₁).toLieHom ''
        ({x | ∃ i, (b₂.h i, b₁.h (eι.symm i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₂.e i, b₁.e (eι.symm i)) = x} ∪
          {x | ∃ i, (b₂.f i, b₁.f (eι.symm i)) = x}) ↔
    x✝ ∈
      {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₁.e i, b₂.e (eι i)) = x} ∪ {x | ∃ i, (b₁.f i, b₂.f (eι i)) = x}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : f m ∈ range ⇑P₂.root
⊢ ∀ (i : ↥b₂.support), f.symm (P₂.root ↑i) = P.root ↑(e.symm i)

Tactic:
by simp [f, Module.Basis.equiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
this : ∀ (y : L₂), (∃ l, (linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) l = (0, y)) → y = 0
⊢ {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x} = (fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) '' univ

Tactic:
ext

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
this : ∀ (y : L₂), (∃ l, (linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) l = (0, y)) → y = 0
x✝ : L₁ × L₂
⊢ x✝ ∈ {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x} ↔ x✝ ∈ (fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) '' univ
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case refine_1.zero
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
r : R
zero' : eval r (ascPochhammer R 0) = 0
⊢ ∃ k < 0, ↑k = -r

Tactic:
simp only [ascPochhammer_zero, Polynomial.eval_one, one_ne_zero] at zero'

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : m ∈ range ⇑P.root
⊢ ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)

Tactic:
by simp [f, Module.Basis.equiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ ((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k, v k ^ (↑i + ↑j)

Tactic:
simp only [vandermonde_apply, Matrix.mul_apply, Matrix.transpose_apply, pow_add]

Goal state after: