mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
by
  obtain ⟨f, hf, hf' | hf'⟩ := b.exists_root_eq_sum_nat_or_neg i
  · refine ⟨Nat.cast ∘ f, by simpa, Or.inl <| Pi.lt_def.mpr ⟨fun _ ↦ by simp, ?_⟩, by simp [hf']⟩
    by_contra! contra
    replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i
    exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]
  · refine ⟨-Nat.cast ∘ f, by simpa, Or.inr <| Pi.lt_def.mpr ⟨fun _ ↦ by simp, ?_⟩, by simp [hf']⟩
    by_contra! contra
    replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i
    exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
n : Type u_4
inst✝ : Star α
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian
⊢ Aᵀᵀ.IsHermitian

Tactic:
exact IsHermitian.transpose h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
x : Matrix n n R
U : (Matrix n n R)ˣ
h : (star ↑U * x * ↑U).PosSemidef
⊢ x.PosSemidef

Tactic:
have := h.conjTranspose_mul_mul_same ((U⁻¹ : (Matrix n n R)ˣ) : Matrix n n R)

Goal state after:
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
x : Matrix n n R
U : (Matrix n n R)ˣ
h : (star ↑U * x * ↑U).PosSemidef
this : ((↑U⁻¹)ᴴ * (star ↑U * x * ↑U) * ↑U⁻¹).PosSemidef
⊢ x.PosSemidef
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype n
R : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : TrivialStar R
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
⊢ QuadraticMap.PosDef M.toQuadraticForm'

Tactic:
by
  intro x hx
  simpa [Matrix.toQuadraticForm', toLinearMap₂'_apply'] using hM.dotProduct_mulVec_pos hx

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
⊢ |(N *ᵥ v) i| = |∑ j, N i j * v j|

Tactic:
by simp [mulVec_eq_sum, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
⊢ ∑ j, N i j * |v j| = (N *ᵥ |v|) i

Tactic:
by simp [mulVec_eq_sum, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : a ≤ b
⊢ 0 + b ≤ b

Tactic:
zero_add

Goal state after:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : a ≤ b
⊢ b ≤ b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
⊢ ∃ d ∈ p, (∀ (i : ι), d i ≠ 0) ∧ Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) on d)

Tactic:
let f : ι ⊕ {(i, j) : ι × ι | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) := Sum.elim
    LinearMap.proj (fun x ↦ LinearMap.proj (R := K) (φ := fun _ ↦ K) x.1.1 - LinearMap.proj x.1.2)

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
⊢ ∃ d ∈ p, (∀ (i : ι), d i ≠ 0) ∧ Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) on d)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * (-r + ↑k)) =
    (-1) ^ k * -1 * (eval r (descPochhammer R k) * r - ↑k * eval r (descPochhammer R k))

Tactic:
mul_assoc ((-1) ^ k) (-1),

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * (-r + ↑k)) =
    (-1) ^ k * (-1 * (eval r (descPochhammer R k) * r - ↑k * eval r (descPochhammer R k)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ 0 + 1 = 1

pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ (x - y)⁻¹ ≠ 0

Tactic:
zero_add

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ 1 = 1

F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ (x - y)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
i : ι₁
⊢ ⁅prodH eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ i⁆ = -(2 • prodF eι b₁ b₂ i)

Tactic:
by
        simp [Subtype.ext_iff, (b₁.sl2 i).lie_h_f_nsmul, (b₂.sl2 (eι i)).lie_h_f_nsmul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
hr : ¬r i = 0
⊢ 0 + ↑(#s - 1) ≤ ↑(#s - 1)

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
hr : ¬r i = 0
⊢ ↑(#s - 1) ≤ ↑(#s - 1)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
x : ↥H₂
hy :
  (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈
    lieSpan R (↥(prod eι.symm b₂ b₁))
      (⇑(prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm.toLieHom '' {x | ∃ i, ⟨(b₁.h i, b₂.h (eι i)), ⋯⟩ = x})
⊢ (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈ prodCartan eι.symm b₂ b₁

Tactic:
rw [prodCartan]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
x : ↥H₂
hy :
  (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈
    lieSpan R (↥(prod eι.symm b₂ b₁))
      (⇑(prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm.toLieHom '' {x | ∃ i, ⟨(b₁.h i, b₂.h (eι i)), ⋯⟩ = x})
⊢ (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈ lieSpan R ↥(prod eι.symm b₂ b₁) {x | ∃ i, ⟨(b₂.h i, b₁.h (eι.symm i)), ⋯⟩ = x}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
hy : y ∈ prodCartan eι b₁ b₂
x : ↥H₂
⊢ ⁅(↑y).2, ↑x⁆ = 0

Tactic:
by
  suffices (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈ prodCartan eι.symm b₂ b₁ from
    lie_fst_eq_zero_of_mem_prodCartan eι.symm b₂ b₁ this x
  replace hy :
      (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm y ∈ (prodCartan eι b₁ b₂).map (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm :=
    mem_image_of_mem (prodSymmEquiv eι b₁ b₂).symm hy
  rw [prodCartan, map_lieSpan] at hy
  rw [prodCartan]
  convert hy
  ext; simp; grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ #t = 0 + #t

Tactic:
zero_add

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ #t = #t
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
⊢ (bind₂ f) ((monomial d) 1) = (monomial d) 1

Tactic:
by rw [bind₂_monomial, f.map_one, one_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case h.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n ↦ LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
have : ∀ k : ℕ, ((ad R L) x ^ k) y = 0 ↔ y ∈ K k := by simp [K, Subtype.ext_iff, coe_ad_pow]
    rwa [this, ← hn m hmn, ← this] at hm

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
z : End K M
hz : z ∈ φ.range
⊢ ∃ q, (aeval ((ad K (End K M)) (φ x))) q = (ad K (End K M)) y

Tactic:
obtain ⟨r, hr⟩ : ∃ r : K[X], r.aeval (ad K _ s) = ad K _ y := by
        have h₁ (i j : I) : ⁅s, v.end (i, j)⁆ = (μ i - μ j) • v.end (i, j) := by
          rw [instLieRingModule_eq, v.lie_end_of_apply_eq_smul μ s hsv]
        have h₂ (i j : I) : ⁅y, v.end (i, j)⁆ = (fμ i - fμ j) • v.end (i, j) := by
          rw [instLieRingModule_eq, v.lie_end_of_apply_eq_smul fμ y hyv]
        obtain ⟨r, hr⟩ := exists_polynomial_eval_sub_aux μ hμ f
        refine ⟨r, v.end.ext fun ⟨i, j⟩ ↦ ?_⟩
        rw [ad_apply, ← instLieRingModule_eq, aeval_apply_of_mem_apply_eq_smul (h₁ i j), hr, h₂]
        rfl

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
z : End K M
hz : z ∈ φ.range
r : K[X]
hr : (aeval ((ad K (End K M)) s)) r = (ad K (End K M)) y
⊢ ∃ q, (aeval ((ad K (End K M)) (φ x))) q = (ad K (End K M)) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.ToMatrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Free R M₂
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂
b₁ : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
b₂ : Basis (ChooseBasisIndex R M₂) R M₂ := chooseBasis R M₂
⊢ (f₁.prodMap f₂).charpoly = f₁.charpoly * f₂.charpoly

Tactic:
let b := b₁.prod b₂

Goal state after:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Free R M₂
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂
b₁ : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
b₂ : Basis (ChooseBasisIndex R M₂) R M₂ := chooseBasis R M₂
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁ ⊕ ChooseBasisIndex R M₂) R (M₁ × M₂) := b₁.prod b₂
⊢ (f₁.prodMap f₂).charpoly = f₁.charpoly * f₂.charpoly
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
hy_range : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
hny_comm : Commute n y
htr_n : (trace K M) (n * y) = 0
htr_s : (trace K M) (s * y) = ∑ i, fμ i * μ i
⊢ 0 + ∑ i, fμ i * μ i = ∑ i, fμ i * μ i

Tactic:
zero_add

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
hy_range : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
hny_comm : Commute n y
htr_n : (trace K M) (n * y) = 0
htr_s : (trace K M) (s * y) = ∑ i, fμ i * μ i
⊢ ∑ i, fμ i * μ i = ∑ i, fμ i * μ i
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
x✝ : MvPolynomial σ R
⊢ x✝.totalDegree = 0 ↔ ∃ y, C y = x✝

Tactic:
MvPolynomial.totalDegree_eq_zero_iff_eq_C

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
x✝ : MvPolynomial σ R
⊢ x✝ = C (coeff 0 x✝) ↔ ∃ y, C y = x✝
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
⊢ HasFiniteSupport fun m ↦ (weightedHomogeneousComponent w m) φ

Tactic:
by
  apply ((fun d : σ →₀ ℕ => (weight w) d) '' (φ.support : Set (σ →₀ ℕ))).toFinite.subset
  intro m hm
  by_contra hm'
  apply hm (weightedHomogeneousComponent_eq_zero' m φ _)
  simpa only [Set.mem_image, not_exists, not_and] using! hm'

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : PartialOrder M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : ¬d = 0
⊢ coeff d ((weightedHomogeneousComponent w 0) φ) = coeff d (C (coeff 0 φ))

Tactic:
· rw [coeff_weightedHomogeneousComponent, if_neg, coeff_C, if_neg (Ne.symm hd)]
    simp only [weight, LinearMap.toAddMonoidHom_coe, Finsupp.linearCombination_apply, Finsupp.sum,
      sum_eq_zero_iff, Finsupp.mem_support_iff, Ne, smul_eq_zero, not_forall, not_or,
      and_self_left, exists_prop]
    simp only [DFunLike.ext_iff, Finsupp.coe_zero, Pi.zero_apply, not_forall] at hd
    obtain ⟨i, hi⟩ := hd
    exact ⟨i, hi, hw i⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
⊢ 0 + constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) ≠ 0

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case h
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
⊢ constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
F : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = 0
⊢ ↑n ≤ #R

Tactic:
exact Cardinal.natCast_le_aleph0.trans <| Cardinal.infinite_iff.mp ‹Infinite R›

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
⊢ ↑n ≤ #R

Tactic:
exact Cardinal.natCast_le_aleph0.trans <| Cardinal.infinite_iff.mp ‹Infinite R›

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ ¬(φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b') = 0

Tactic:
(polyCharpoly_coeff_eq_zero_iff_of_basis φ b b' _).not

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ ¬(φ.polyCharpoly b').coeff (φ.nilRankAux b') = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Free R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
⊢ ↑(finrank R M) ≤ Cardinal.mk R

Tactic:
exact Cardinal.natCast_le_aleph0.trans <| Cardinal.infinite_iff.mp ‹Infinite R›

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case h.refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
t : Finset K := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
⊢ r ≤ s.card - t.card

Tactic:
omega

Goal state after: