mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ g₁) ≫ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ₘ g₂ ≫ 𝟙 V₂

pp: case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom

pp: case a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv

pp: case a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom

pp: case a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (α_ X₂ U₁ U₂).inv

Tactic:
← id_comp f₁,

Goal state after:
case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ≫ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ g₁) ≫ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ₘ g₂ ≫ 𝟙 V₂

case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom

case a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv

case a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom

case a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (α_ X₂ U₁ U₂).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| f₁ ⊗ₘ ((g₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ g₂) ≫ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom

pp: case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv

pp: case a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom

pp: case a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (α_ X₂ U₁ U₂).inv

pp: case a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ₘ 𝟙 U₂

Tactic:
← id_comp f₁,

Goal state after:
case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ≫ f₁ ⊗ₘ ((g₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ g₂) ≫ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom

case a.a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv

case a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom

case a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (α_ X₂ U₁ U₂).inv

case a.a.a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
| 𝟙 X₁ ⊗ₘ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ₘ 𝟙 U₂
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ X₁).hom ⊗ₘ (ρ_ X₂).hom = tensorμ X₁ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom

Tactic:
by
  dsimp only [tensorμ]
  have :
    (ρ_ X₁).hom ⊗ₘ (ρ_ X₂).hom =
      (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫
        (X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom) ≫ (X₁ ◁ (λ_ X₂).hom) := by
    monoidal
  rw [this]; clear this
  rw [← braiding_rightUnitor]
  monoidal

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Congruence.Hom

Goal state before:
pp: M : Type u_1
P : Type u_3
inst✝¹ : NonAssocSemiring M
inst✝ : NonAssocSemiring P
c : RingCon M
f : c.Quotient →+* P
⊢ c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = f

Tactic:
by
  ext x; rcases x with ⟨⟩; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Congruence.Hom

Goal state before:
pp: M : Type u_1
P : Type u_3
inst✝¹ : NonAssocSemiring M
inst✝ : NonAssocSemiring P
c : RingCon M
f : M →+* P
h : c ≤ ker f
⊢ Surjective ⇑(c.lift f h) ↔ Surjective ⇑f

Tactic:
by
  refine ⟨fun H ↦ (Quot.surjective_lift fun x x_1 h_1 ↦ h h_1).mp H,
    fun H ↦ AddCon.lift_surjective_of_surjective h H⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ 0 + m <• r = m <• r

Tactic:
zero_add

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
⊢ m <• r = m <• r
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
r : R
⊢ 0 + x.snd <• r = x.snd <• r

Tactic:
zero_add

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
r : R
⊢ x.snd <• r = x.snd <• r
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: case h1
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : Module R M
x : tsze R M
⊢ (-x)⁻¹.fst = (-x⁻¹).fst

Tactic:
simp [inv_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: case h2
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : Module R M
x : tsze R M
⊢ (-x)⁻¹.snd = (-x⁻¹).snd

Tactic:
simp [inv_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring R'
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : Module S M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : Module R' M
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R' M
s : S
x : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ (algebraMap S R) s •> x.snd = 0 + x.snd <• (algebraMap S R) s

Tactic:
zero_add

Goal state after:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring R'
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : Module S M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : Module R' M
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R' M
s : S
x : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ (algebraMap S R) s •> x.snd = x.snd <• (algebraMap S R) s
Module: Mathlib.Algebra.TrivSqZeroExt.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
f : R →ₐ[S] A
g : M →ₗ[S] A
hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0
hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x
hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r
m : M
⊢ 0 + g m = g m

Tactic:
zero_add

Goal state after:
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
f : R →ₐ[S] A
g : M →ₗ[S] A
hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0
hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x
hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r
m : M
⊢ g m = g m
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : Coalgebra R B
inst✝ : IsCocomm R B
e : A ≃ B
this✝¹ : AddCommMonoid A := e.addCommMonoid
this✝ : Module R A := Equiv.module R e
this : Coalgebra R A := coalgebra R e
x✝ : A
⊢ (↑(TensorProduct.comm R A A) ∘ₗ comul) x✝ = comul x✝

Tactic:
simp [comul, ← TensorProduct.map_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih1 :
  (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s • x✝) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝
ih2 :
  (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s • y✝) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        y✝
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s • (x✝ + y✝)) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        (x✝ + y✝)

Tactic:
rw [smul_add, map_add, map_add, ih1, ih2, smul_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.BooleanRing

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : BooleanRing α
a : α
⊢ 0 + a = a

Tactic:
zero_add

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : BooleanRing α
a : α
⊢ a = a
Module: Mathlib.Algebra.Ring.BooleanRing

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : BooleanRing α
a b c : α
⊢ 0 + (a + b * c + a * (b * c)) = a + b * c + a * (b * c)

Tactic:
zero_add

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : BooleanRing α
a b c : α
⊢ a + b * c + a * (b * c) = a + b * c + a * (b * c)
Module: Mathlib.RingTheory.Bialgebra.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Bialgebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Bialgebra R B
a : A
b : B
ℛa : Coalgebra.Repr R a ι
ℛb : Coalgebra.Repr R b κ
⊢ ∑ i ∈ ℛa.index ×ˢ ℛb.index, ℛa.left i.1 ⊗ₜ[R] ℛb.left i.2 ⊗ₜ[R] (ℛa.right i.1 ⊗ₜ[R] ℛb.right i.2) = comul (a ⊗ₜ[R] b)

Tactic:
simp [← ℛa.eq, ← ℛb.eq, TensorProduct.sum_tmul ℛa.index, TensorProduct.tmul_sum,
      ← Finset.sum_product']

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
f : A ⟶ trivial C
⊢ f = { hom := ε, isComonHom_hom := ⋯ }

Tactic:
ext
    rw [← Category.comp_id f.hom]
    dsimp only [trivial_X]
    rw [← trivial_comon_counit, IsComonHom.hom_counit]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∏ᶠ (p : R), p ^ count p (normalizedFactors x) ~ᵤ x

Tactic:
by
  rw [← Multiset.prod_map_eq_finprod, Multiset.map_id']
  exact prod_normalizedFactors hx

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
Q : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring Q
inst✝² : Algebra P Q
f : R →+* P
r : R
inst✝¹ : Away r S
inst✝ : Away (f r) Q
H : ∀ (a : P), ∃ b m, f b = f r ^ m * a
a : P
n : ℕ
⊢ ∃ b m k, f (r ^ (k + n) * b) = f r ^ (k + m) * a

Tactic:
obtain ⟨b, m, e⟩ := H a

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
Q : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring Q
inst✝² : Algebra P Q
f : R →+* P
r : R
inst✝¹ : Away r S
inst✝ : Away (f r) Q
H : ∀ (a : P), ∃ b m, f b = f r ^ m * a
a : P
n : ℕ
b : R
m : ℕ
e : f b = f r ^ m * a
⊢ ∃ b m k, f (r ^ (k + n) * b) = f r ^ (k + m) * a
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
⊢ comap f (⊤ ⊓ sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) ≤ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}

Tactic:
← sInf_insert,

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
⊢ comap f (sInf (insert ⊤ {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal})) ≤ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module A M₁
inst✝² : Module A M₂
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : IsScalarTower R A M₂
x✝¹ : M₁
x✝ : M₂
r : R
s : ↥S
⊢ (algebraMap R A) ↑s • (mk' A r s • x✝¹) ⊗ₜ[R] x✝ = (algebraMap R A) ↑s • x✝¹ ⊗ₜ[R] (mk' A r s • x✝)

Tactic:
simp_rw [algebraMap_smul, smul_tmul', ← smul_assoc, smul_tmul, ← smul_assoc, smul_mk'_self,
      algebraMap_smul, smul_tmul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.BaseChange

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R✝
S✝ : Submonoid R✝
A✝ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ A✝
inst✝²⁰ : IsLocalization S✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R✝ M✝
M' : Type u_4
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁶ : Module R✝ M'
inst✝¹⁵ : Module A✝ M'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M'
f : M✝ →ₗ[R✝] M'
T : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring T
inst✝¹² : CommSemiring B
inst✝¹¹ : Algebra R✝ T
inst✝¹⁰ : Algebra T B
inst✝⁹ : Algebra R✝ B
inst✝⁸ : Algebra A✝ B
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ T B
inst✝⁶ : IsScalarTower R✝ A✝ B
R : Type u_7
S : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
r : R
A : Type u_9
inst✝² : CommSemiring A
inst✝¹ : Algebra R A
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
⊢ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) (S ⊗[R] A)

Tactic:
let _ : Algebra A (S ⊗[R] A) := Algebra.TensorProduct.rightAlgebra

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R✝
S✝ : Submonoid R✝
A✝ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ A✝
inst✝²⁰ : IsLocalization S✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R✝ M✝
M' : Type u_4
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁶ : Module R✝ M'
inst✝¹⁵ : Module A✝ M'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M'
f : M✝ →ₗ[R✝] M'
T : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring T
inst✝¹² : CommSemiring B
inst✝¹¹ : Algebra R✝ T
inst✝¹⁰ : Algebra T B
inst✝⁹ : Algebra R✝ B
inst✝⁸ : Algebra A✝ B
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ T B
inst✝⁶ : IsScalarTower R✝ A✝ B
R : Type u_7
S : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
r : R
A : Type u_9
inst✝² : CommSemiring A
inst✝¹ : Algebra R A
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x✝ : Algebra A (S ⊗[R] A) := Algebra.TensorProduct.rightAlgebra
⊢ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) (S ⊗[R] A)
Module: Mathlib.RingTheory.FreeCommRing

Goal state before:
pp: case h
α : Type u
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
x : FreeCommRing α
hx : x.IsSupported s
z : α
hzs : z ∈ s
n✝ : FreeCommRing α
a✝ : ∃ n, (lift fun a ↦ if a ∈ s then 0 else X) n✝ = ↑n
⊢ (if z ∈ s then 0 else X) * (lift fun a ↦ if a ∈ s then 0 else X) n✝ = ↑0

Tactic:
if_pos hzs,

Goal state after:
case h
α : Type u
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
x : FreeCommRing α
hx : x.IsSupported s
z : α
hzs : z ∈ s
n✝ : FreeCommRing α
a✝ : ∃ n, (lift fun a ↦ if a ∈ s then 0 else X) n✝ = ↑n
⊢ 0 * (lift fun a ↦ if a ∈ s then 0 else X) n✝ = ↑0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s' s : ↥S
m : M
⊢ s • s' • m = s' • s • m

Tactic:
smul_comm

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s' s : ↥S
m : M
⊢ s' • s • m = s' • s • m
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
⊢ j = k

Tactic:
rw [← lift_unique S f (k.comp f) map_unit j h, lift_unique]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
S₁ S₂ : Submonoid R
h : S₁ ≤ S₂
f₁ : M →ₗ[R] M₁
f₂ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : IsLocalizedModule S₁ f₁
inst✝ : IsLocalizedModule S₂ f₂
m : M
s : ↥S₁
⊢ (lift S₁ f₁ f₂ ⋯) (f₁ m) = s • mk' f₂ m ⟨↑s, ⋯⟩

Tactic:
lift_apply

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
S₁ S₂ : Submonoid R
h : S₁ ≤ S₂
f₁ : M →ₗ[R] M₁
f₂ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : IsLocalizedModule S₁ f₁
inst✝ : IsLocalizedModule S₂ f₂
m : M
s : ↥S₁
⊢ f₂ m = s • mk' f₂ m ⟨↑s, ⋯⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Comma

Goal state before:
pp: C✝ : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.5, u_1} C✝
inst✝³ : Category.{?u.8, u_2} D
P : MorphismProperty D
Q : MorphismProperty C✝
inst✝² : Q.IsMultiplicative
F : C✝ ⥤ D
X✝ : D
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{v_1, u_3} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
inst✝ : W₁.HasFactorization W₂
S : C
X Y : Over S
f : X ⟶ Y
⊢ Nonempty (W₁.over.MapFactorizationData W₂.over f)

Tactic:
by
    let hf := W₁.factorizationData W₂ f.left
    exact ⟨{
      Z := .mk (hf.p ≫ Y.hom)
      i := CategoryTheory.Over.homMk hf.i
      p := CategoryTheory.Over.homMk hf.p
      hi := hf.hi
      hp := hf.hp
    }⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Elements

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
p q : F.Elements
x✝ : p ⟶ q
f : p.fst ⟶ q.fst
h : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) p.snd = q.snd
⊢ (ConcreteCategory.hom (G.map f))
      (match p with
        | ⟨X, x⟩ => ⟨X, (ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x⟩).snd =
    (match q with
      | ⟨X, x⟩ => ⟨X, (ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x⟩).snd

Tactic:
have hb := φ.naturality_apply f p.2

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
p q : F.Elements
x✝ : p ⟶ q
f : p.fst ⟶ q.fst
h : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) p.snd = q.snd
hb :
  (ConcreteCategory.hom (φ.app q.fst)) ((ConcreteCategory.hom (F.map f)) p.snd) =
    (ConcreteCategory.hom (G.map f)) ((ConcreteCategory.hom (φ.app p.fst)) p.snd)
⊢ (ConcreteCategory.hom (G.map f))
      (match p with
        | ⟨X, x⟩ => ⟨X, (ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x⟩).snd =
    (match q with
      | ⟨X, x⟩ => ⟨X, (ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x⟩).snd
Module: Mathlib.CategoryTheory.WithTerminal.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} D
F : WithTerminal C ⥤ D
x y : C
f : x ⟶ y
⊢ (incl ⋙ F).map f ≫ F.map (starTerminal.from (of y)) = F.map (starTerminal.from (of x))

Tactic:
by
          simp only [Functor.comp_obj, Functor.comp_map]
          rw [← F.map_comp]
          congr 1

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Final

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Initial
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
d : D
Z : (X : C) → (F.obj X ⟶ d) → Sort u_1
h₁ : (X₁ X₂ : C) → (k₁ : F.obj X₁ ⟶ d) → (k₂ : F.obj X₂ ⟶ d) → (f : X₁ ⟶ X₂) → F.map f ≫ k₂ = k₁ → Z X₁ k₁ → Z X₂ k₂
h₂ : (X₁ X₂ : C) → (k₁ : F.obj X₁ ⟶ d) → (k₂ : F.obj X₂ ⟶ d) → (f : X₁ ⟶ X₂) → F.map f ≫ k₂ = k₁ → Z X₂ k₂ → Z X₁ k₁
X₀ : C
k₀ : F.obj X₀ ⟶ d
z : Z X₀ k₀
⊢ Z (lift F d) (homToLift F d)

Tactic:
by
  apply Nonempty.some
  apply
    @isPreconnected_induction _ _ _ (fun Y : CostructuredArrow F d => Z Y.left Y.hom) _ _
      (CostructuredArrow.mk k₀) z
  · intro j₁ j₂ f a
    fapply h₁ _ _ _ _ f.left _ a
    convert! f.w
    simp
  · intro j₁ j₂ f a
    fapply h₂ _ _ _ _ f.left _ a
    convert! f.w
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.WithTerminal.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} D
F : WithInitial C ⥤ D
x y : C
f : x ⟶ y
⊢ F.map (starInitial.to (of x)) ≫ (incl ⋙ F).map f = F.map (starInitial.to (of y))

Tactic:
by
          simp only [Functor.comp_obj, Functor.comp_map]
          rw [← F.map_comp]
          congr 1

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Equalizers

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasPushout f f
h : IsLimit (ofι f ⋯)
⊢ (pushout.inl f f).op ≫ f.op = (pushout.inr f f).op ≫ f.op

Tactic:
simp only [← op_comp, pushout.condition]

Goal state after: