mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Gershgorin

Goal state before:
pp: K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)

Tactic:
by
  cases isEmpty_or_nonempty n
  · exfalso
    exact hμ Submodule.eq_bot_of_subsingleton
  · obtain ⟨v, h_eg, h_nz⟩ := hμ.exists_hasEigenvector
    obtain ⟨i, -, h_i⟩ := Finset.exists_mem_eq_sup' Finset.univ_nonempty (fun i => ‖v i‖)
    have h_nz : v i ≠ 0 := by
      contrapose h_nz
      ext j
      rw [Pi.zero_apply, ← norm_le_zero_iff]
      refine (h_i ▸ Finset.le_sup' (fun i => ‖v i‖) (Finset.mem_univ j)).trans ?_
      exact norm_le_zero_iff.mpr h_nz
    have h_le : ∀ j, ‖v j * (v i)⁻¹‖ ≤ 1 := fun j => by
      rw [norm_mul, norm_inv, mul_inv_le_iff₀ (norm_pos_iff.mpr h_nz), one_mul]
      exact h_i ▸ Finset.le_sup' (fun i => ‖v i‖) (Finset.mem_univ j)
    simp_rw [mem_closedBall_iff_norm']
    refine ⟨i, ?_⟩
    calc
      _ = ‖(A i i * v i - μ * v i) * (v i)⁻¹‖ := by congr; field
      _ = ‖(A i i * v i - ∑ j, A i j * v j) * (v i)⁻¹‖ := by
                rw [show μ * v i = ∑ x : n, A i x * v x by
                  rw [← dotProduct, ← Matrix.mulVec]
                  exact (congrFun (Module.End.mem_eigenspace_iff.mp h_eg) i).symm]
      _ = ‖(∑ j ∈ Finset.univ.erase i, A i j * v j) * (v i)⁻¹‖ := by
                rw [Finset.sum_erase_eq_sub (Finset.mem_univ i), ← neg_sub, neg_mul, norm_neg]
      _ ≤ ∑ j ∈ Finset.univ.erase i, ‖A i j‖ * ‖v j * (v i)⁻¹‖ := by
                rw [Finset.sum_mul]
                exact (norm_sum_le _ _).trans (le_of_eq (by simp_rw [mul_assoc, norm_mul]))
      _ ≤ ∑ j ∈ Finset.univ.erase i, ‖A i j‖ :=
                (Finset.sum_le_sum fun j _ => mul_le_of_le_one_right (norm_nonneg _) (h_le j))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Permanent

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n R
k : n
⊢ A.permanent = A k k

Tactic:
have := uniqueOfSubsingleton k
  convert! permanent_unique A

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nonsingular

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
inst✝ : IsCancelAdd R
B : Matrix n n R
hA : A.Nonsingular
hB : B.Nonsingular
⊢ (A * B).Nonsingular

Tactic:
by
  rw [← isLeftRegular_iff_nonsingular] at *
  exact hA.mul hB

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N
h : ∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))
hι : Nat.card ι = n + 1
⊢ 0 < Nat.card ι

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Subspace K V
y : V
hy₁ : y ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}
hx₁ : 0 ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}
⊢ 0 + y ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Subspace K V
y : V
hy₁ : y ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}
hx₁ : 0 ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}
⊢ y ∈ {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Collinear

Goal state before:
pp: case h.refine_2
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ 1 ≤ 2

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Collinear

Goal state before:
pp: case h.h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
w : V
hw : w ≠ 0
h : ¬mk K v hv = mk K w hw
⊢ IsCollinear {mk K v hv, mk K w hw}

Tactic:
← ne_eq,

Goal state after:
case h.h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
w : V
hw : w ≠ 0
h : mk K v hv ≠ mk K w hw
⊢ IsCollinear {mk K v hv, mk K w hw}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : Field F
hF : 4 ≤ Nat.card F
⊢ 0 < Nat.card F

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : Field F
this : Finite F
x : Fˣ
hF : 4 ≤ 2 + 1
hx : Function.Surjective fun x_1 ↦ x ^ x_1
h : ↑x ^ 2 = 1
⊢ False

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hV : ¬Module.finrank R V = 0
⊢ ↑↑⟨r, hr⟩ ^ Module.finrank R V = 1

Tactic:
← ne_eq,

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hV : Module.finrank R V ≠ 0
⊢ ↑↑⟨r, hr⟩ ^ Module.finrank R V = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Free R M
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q

Tactic:
obtain ⟨ι, b⟩ := Module.Free.exists_basis (R := R) (M := M)

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_3
b : Basis ι R M
⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
x y : M
hx : x ∈ {x | Q x = 0 ∧ Q.polarBilin x = 0}
hy : y ∈ {x | Q x = 0 ∧ Q.polarBilin x = 0}
this : Q (x + y) = Q x + Q y
⊢ 0 + 0 = 0

Tactic:
zero_add

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
x y : M
hx : x ∈ {x | Q x = 0 ∧ Q.polarBilin x = 0}
hy : y ∈ {x | Q x = 0 ∧ Q.polarBilin x = 0}
this : Q (x + y) = Q x + Q y
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
this : P.pairingIn ℤ l i = 1 - P.pairingIn ℤ j i
hij : P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * (ω b * e j) - f j * (e i * ω b) = e i * (ω b * e j) - f j * (ω b * f i)

Tactic:
← ω_mul_f

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * (ω b * e j) - f j * (ω b * f i) = e i * (ω b * e j) - f j * (ω b * f i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * ω b * e j - ω b * e j * f i = ω b * f i * e j - ω b * e j * f i

Tactic:
← ω_mul_f

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ω b * f i * e j - ω b * e j * f i = ω b * f i * e j - ω b * e j * f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
k : ↥b.support
h : P.root i = P.root j + P.root ↑k
l : ι
⊢ ⁅f k, v b i⁆ (Sum.inr l) = ((↑(chainTopCoeff (↑k) i) + 1) • v b j) (Sum.inr l)

Tactic:
simp [f, h, Pi.single_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
⊢ P.root k + P.root i = (x + 1) • P.root i + y • P.root j

Tactic:
← h₀

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
⊢ x • P.root i + y • P.root j + P.root i = (x + 1) • P.root i + y • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsCrystallographic
inst✝⁵ : P.IsReduced
inst✝⁴ : P.IsIrreducible
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsG2
i j : ι
h : P.root i ≠ P.root j
h' : P.root i ≠ -P.root j
k l : ι
hkl : P.pairingIn ℤ k l = -3
aux :
  P.pairingIn ℤ k l = 0 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 0 ∨
    P.pairingIn ℤ k l = 1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 1 ∨
      P.pairingIn ℤ k l = -1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -1 ∨
        P.pairingIn ℤ k l = 1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 2 ∨
          P.pairingIn ℤ k l = 2 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 1 ∨
            P.pairingIn ℤ k l = -1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -2 ∨
              P.pairingIn ℤ k l = -2 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -1 ∨
                P.pairingIn ℤ k l = 1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 3 ∨
                  P.pairingIn ℤ k l = 3 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 1 ∨
                    P.pairingIn ℤ k l = -1 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -3 ∨
                      P.pairingIn ℤ k l = -3 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -1 ∨
                        P.pairingIn ℤ k l = 2 ∧ P.pairingIn ℤ l k = 2 ∨ P.pairingIn ℤ k l = -2 ∧ P.pairingIn ℤ l k = -2
⊢ P.pairingIn ℤ k l ≠ P.pairingIn ℤ l k ∧
    P.pairingIn ℤ k l ≠ 2 * P.pairingIn ℤ l k ∧ P.pairingIn ℤ l k ≠ 2 * P.pairingIn ℤ k l

Tactic:
omega

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ P.root k - P.root j = x • P.root i + (y - 1) • P.root j

Tactic:
← h₀

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j - P.root j = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ P.root k + P.root i - P.root j = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j

Tactic:
← h₀

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j + P.root i - P.root j = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Injective ⇑(Fintype.linearCombination ℤ ![shortRoot P, longRoot P])

Tactic:
← linearIndependent_iff_injective_fintypeLinearCombination

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ LinearIndependent ℤ ![shortRoot P, longRoot P]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortAddLongRoot P)) (shortAddLongRoot P)

Tactic:
long_eq_three_mul_short,

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortAddLongRoot P)) (shortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
⊢ LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]

Tactic:
LinearIndependent.pair_symm_iff,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
⊢ LinearIndependent R ![P.root k, P.root ↑i]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)

Tactic:
long_eq_three_mul_short,

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)