mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
rw [mem_preimage, Convex.combo_affine_apply hab]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 < b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 * x + b * y ∈ Ioc x y

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case refine_2.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 < b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ 0 * x + b * y ∈ Ioc x y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
r x : β
hx : x ∈ Iio r
y : β
hy : y ∈ Iio r
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ Iio r

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
r x : β
hx : x ∈ Iio r
y : β
hy : y ∈ Iio r
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ Iio r
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
hz : 0 * x + b * y ∈ Ico x y
⊢ ∃ a b_1, 0 < a ∧ 0 ≤ b_1 ∧ a + b_1 = 1 ∧ a * x + b_1 * y = 0 * x + b * y

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
hz : 0 * x + b * y ∈ Ico x y
⊢ ∃ a b_1, 0 < a ∧ 0 ≤ b_1 ∧ a + b_1 = 1 ∧ a * x + b_1 * y = 0 * x + b * y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
hz : 0 + y ∈ Ico x y
⊢ ∃ a b_1, 0 < a ∧ 0 ≤ b_1 ∧ a + b_1 = 1 ∧ a * x + b_1 * y = 0 * x + b * y

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
hz : y ∈ Ico x y
⊢ ∃ a b_1, 0 < a ∧ 0 ≤ b_1 ∧ a + b_1 = 1 ∧ a * x + b_1 * y = 0 * x + b * y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.OrdConnected

Tactic:
by
  simp_rw [convex_iff_segment_subset, segment_eq_uIcc, ordConnected_iff_uIcc_subset]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
⊢ s₁.direction ⊔ s₂.direction < (s₁ ⊔ s₂).direction

Tactic:
SetLike.lt_iff_le_and_exists

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
⊢ s₁.direction ⊔ s₂.direction ≤ (s₁ ⊔ s₂).direction ∧ ∃ x ∈ (s₁ ⊔ s₂).direction, x ∉ s₁.direction ⊔ s₂.direction
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.BalancedCoreHull

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : IsClosed[inst✝¹] U
h : 0 ∈ U
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
ha' : 0 < ‖a‖
⊢ IsClosed[inst✝¹] (a • U)

Tactic:
rw [norm_pos_iff] at ha'

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : IsClosed[inst✝¹] U
h : 0 ∈ U
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
ha' : a ≠ 0
⊢ IsClosed[inst✝¹] (a • U)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
⊢ vectorSpan k (insert p ps) = vectorSpan k ps

Tactic:
simp_rw [← direction_affineSpan, affineSpan_insert_eq_affineSpan _ h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
inst✝ : AddRightStrictMono 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ t • x ∈ interior s

Tactic:
by
  simpa using hs.add_smul_mem zero_mem (by simpa using hx) hx₀ ht₀ ht₁

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s

Tactic:
rw [mem_preimage, Convex.combo_affine_apply hab]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ f (0 • x + b • y) ≤ 0 • f x + b • f y

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ f (0 • x + b • y) ≤ 0 • f x + b • f y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s₁
hle : s₁ ≤ s₂
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s₂
hp₂s₁ : p₂ ∉ s₁
⊢ s₁.direction < s₂.direction

Tactic:
SetLike.lt_iff_le_and_exists

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s₁
hle : s₁ ≤ s₂
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s₂
hp₂s₁ : p₂ ∉ s₁
⊢ s₁.direction ≤ s₂.direction ∧ ∃ x ∈ s₂.direction, x ∉ s₁.direction
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₁
⊢ 0 + (p₃ -ᵥ p₁) = (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₁
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₂
⊢ 0 + (p₃ -ᵥ p₁) = (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃ ∧ p₃ -ᵥ p₁ ∈ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
zero_add

Goal state after:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₂
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃ ∧ p₃ -ᵥ p₁ ∈ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
ha : a ≠ 0
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ‖a‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)

Tactic:
Real.mul_iInf_of_nonneg (norm_nonneg a),

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
ha : a ≠ 0
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ⨅ i, ‖a‖ * (p i + q (x - i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w) ↔
    ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs fun i ↦ p ↑i) w

Tactic:
simp_rw [affineCombination_apply, eq_vadd_iff_vsub_eq]
  exact eq_weightedVSubOfPoint_subset_iff_eq_weightedVSubOfPoint_subtype

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hb : s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥
hs₁ : s₁ = ⊥
⊢ s₁ ∥ s₂

Tactic:
hs₁,

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hb : s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥
hs₁ : s₁ = ⊥
⊢ ⊥ ∥ s₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ p.ball x r = Metric.ball x r

Tactic:
ext
  simp only [mem_ball_iff_norm]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
h : AffineIndependent k p
⊢ ∀ (s : Finset { x // x ≠ i1 }) (g : { x // x ≠ i1 } → k), ∑ i ∈ s, g i • (p ↑i -ᵥ p i1) = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Tactic:
intro s g hg i hi

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
h : AffineIndependent k p
s : Finset { x // x ≠ i1 }
g : { x // x ≠ i1 } → k
hg : ∑ i ∈ s, g i • (p ↑i -ᵥ p i1) = 0
i : { x // x ≠ i1 }
hi : i ∈ s
⊢ g i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (fun a ↦ a) '' s \ {0} = s

Tactic:
Set.image_id'

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ s \ {0} = s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ (b.coord i) (b j) = 0

Tactic:
by
  rw [coord, AffineMap.coe_mk, ← Subtype.coe_mk (p := (· ≠ i)) j h.symm, ← b.basisOf_apply,
    Basis.sumCoords_self_apply, sub_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
⊢ (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k (fs₁ ∩ fs₂) p) w₁

Tactic:
rw [affineCombination_indicator_subset w₁ p Finset.inter_subset_left]

Goal state after:
case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
⊢ (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₁ p) ((↑(fs₁ ∩ fs₂)).indicator w₁)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed ((⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x, f x = 1})

Tactic:
apply IsClosed.inter

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed (⋂ x, {f | 0 ≤ f x})

case h₂
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed {f | ∑ x, f x = 1}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ (w i / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • z i + ((∑ j ∈ t, w j) / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • t.centerMass w z ∈ s

Tactic:
refine convex_iff_div.1 hs zi (ht hs₀ ?_ ?_) ?_ (sum_nonneg hs₀) hpos

Goal state after:
case neg.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ t, w i

case neg.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ ∀ i ∈ t, z i ∈ s

case neg.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ 0 ≤ w i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Topology

Goal state before:
pp: E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (homothety x t⁻¹) y ∈ ⇑(lineMap x y) '' Ioo 0 1

Tactic:
← inv_one,

Goal state after:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (homothety x t⁻¹) y ∈ ⇑(lineMap x y) '' Ioo 0 1⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
⊢ Convex ℝ (Metric.thickening δ s)

Tactic:
rw [← add_ball_zero]
  exact hs.add (convex_ball 0 _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
this : TopologicalSpace H :=
  TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.domRestrict ∘ ⇑φ) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) E)
c : 𝕜
x : H
⊢ (s.domRestrict ∘ ⇑φ) (c • x) = (RingHom.id 𝕜) c • (s.domRestrict ∘ ⇑φ) x

Tactic:
by exact congr_arg s.domRestrict (map_smul φ c x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
h :
  ∀ (i : ι), ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i, w i = 1 ∧ (∀ (i_1 : ι), z i_1 ∈ t i) ∧ ∑ i_1, w i_1 • z i_1 = x i
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (Set.univ.pi t)

Tactic:
choose κ _ w f hw₀ hw₁ hft hf using h

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (Set.univ.pi t)
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr ↦ 0 < sr.2) fun sr ↦ (sr.1.sup p).ball x sr.2

Tactic:
have : IsTopologicalAddGroup E := hp.topologicalAddGroup

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : IsTopologicalAddGroup E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr ↦ 0 < sr.2) fun sr ↦ (sr.1.sup p).ball x sr.2
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

pp: case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : I = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

Tactic:
· choose r hr h using hi
    have h' : 0 < I.sup' hI r := by
      rcases hI with ⟨i, hi⟩
      exact lt_of_lt_of_le (hr i) (Finset.le_sup' r hi)
    refine ⟨I.sup' hI r, h', fun x hx => finset_sup_apply_lt h' fun i hi => ?_⟩
    refine lt_of_lt_of_le (h i x hx) ?_
    simp only [Finset.le_sup'_iff]
    exact ⟨i, hi, (Eq.refl _).le⟩

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : I = ∅
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r