Module: Mathlib.Combinatorics.Hall.Finite

Goal state before:
pp: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card ↥s ≤ n
t' : ↥s → Finset α := fun x' ↦ t ↑x'
f' : ↥s → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : ↥s), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' ↦ t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f''_notMem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

Tactic:
refine ⟨fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card ↥s ≤ n
t' : ↥s → Finset α := fun x' ↦ t ↑x'
f' : ↥s → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : ↥s), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' ↦ t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f''_notMem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ Function.Injective fun x ↦ if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩

case refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card ↥s ≤ n
t' : ↥s → Finset α := fun x' ↦ t ↑x'
f' : ↥s → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : ↥s), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' ↦ t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f''_notMem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∀ (x : ι), (fun x ↦ if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) x ∈ t x