mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C D : ℝ≥0
A : Set X
hA : ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A, edist x y ≤ ↑D
hf : HolderOnWith C r f A
x : X
hx : x ∈ A
y : X
⊢ y ∈ A → edist (f x) (f y) ≤ ↑(C * D ^ ↑r) * edist x y ^ ↑0

Tactic:
hy

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C D : ℝ≥0
A : Set X
hA : ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A, edist x y ≤ ↑D
hf : HolderOnWith C r f A
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : y ∈ A
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑(C * D ^ ↑r) * edist x y ^ ↑0
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C₁ C₂ : ℝ≥0
A : Set X
hf : HolderOnWith C₁ r f A
hC : C₁ ≤ C₂
x : X
hx : x ∈ A
y : X
⊢ y ∈ A → edist (f x) (f y) ≤ ↑C₂ * edist x y ^ ↑r

Tactic:
hy

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C₁ C₂ : ℝ≥0
A : Set X
hf : HolderOnWith C₁ r f A
hC : C₁ ≤ C₂
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : y ∈ A
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C₂ * edist x y ^ ↑r
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C₁ C₂ : ℝ≥0
A : Set X
hf : HolderOnWith C₁ r f A
hC : C₁ ≤ C₂
⊢ HolderOnWith C₂ r f A

Tactic:
intro x hx y hy
  grw [← hC]
  exact hf x hx y hy

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_1.left
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
⊢ p ≠ q → Function.onFun Disjoint (fun p ↦ closedBall p.1 p.2) p q

Tactic:
hpq

Goal state after:
case refine_1.left
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ q
⊢ Function.onFun Disjoint (fun p ↦ closedBall p.1 p.2) p q
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_1.left
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ ↑v
hp : (p', r p') ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
hpq : ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
⊢ False

Tactic:
exact hpq rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_1.right
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
⊢ p ≠ q → Disjoint (closedBall p.1 p.2) (closedBall q.1 q.2)

Tactic:
hpq

Goal state after:
case refine_1.right
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q : α × ℝ
hq : q ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ q
⊢ Disjoint (closedBall p.1 p.2) (closedBall q.1 q.2)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
ha : ContinuousAt f a
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, deriv f x ≤ 0
⊢ IsMaxOn f (Ico a c) b

Tactic:
by
  refine isMaxOn_Ico_of_mono_anti ?_ ?_
  · apply monotoneOn_of_deriv_nonneg (convex_Icc a b) (continuousOn_Icc ha hb hd₀) <;> simp_all
  · apply antitoneOn_of_deriv_nonpos (convex_Ico b c) (continuousOn_Ico hb hd₁) <;> simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
h : t ∈ 𝓝[s] x
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t y
y : E
⊢ y ∈ s → ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t y → (∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] y, t x) → fderivWithin 𝕜 f s y = fderivWithin 𝕜 f t y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
h : t ∈ 𝓝[s] x
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t y
y : E
hy : y ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 2 f t y → (∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] y, t x) → fderivWithin 𝕜 f s y = fderivWithin 𝕜 f t y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
⊢ x ∈ range q.c

Tactic:
simpa only [q, not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and,
            not_le, mem_ofPred_eq, Subtype.range_coe_subtype, Set.mem_sdiff] using h'x

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.ContinuousAlternatingMap

Goal state before:
pp: case intro
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x ↔
    HasStrictFDerivAt f f' x

Tactic:
constructor <;> intro h

Goal state after:
case intro.mp
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
h : HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x

case intro.mpr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
h : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
x : E
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
M : E ≃L[𝕜] F
hM : ↑M = fderivWithin 𝕜 f s x
U : Set E := {y | ∃ N, ↑N = fderivWithin 𝕜 f s y}
hU : U ∈ 𝓝[s] x
N : E → E ≃L[𝕜] F := fun x ↦ if h : x ∈ U then Exists.choose h else M
y : E
⊢ y ∈ U → ↑(N y) = fderivWithin 𝕜 f s y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
x : E
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
M : E ≃L[𝕜] F
hM : ↑M = fderivWithin 𝕜 f s x
U : Set E := {y | ∃ N, ↑N = fderivWithin 𝕜 f s y}
hU : U ∈ 𝓝[s] x
N : E → E ≃L[𝕜] F := fun x ↦ if h : x ∈ U then Exists.choose h else M
y : E
hy : y ∈ U
⊢ ↑(N y) = fderivWithin 𝕜 f s y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
A : ∑' (x : ↑t0), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε / 2
i : Fin N
⊢ μ (⋃ x, closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x)) ≤ μ v

Tactic:
apply measure_mono
          simp only [SetCoe.forall, iUnion_subset_iff]
          intro x xs' _
          exact (hr1 x xs').2

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V : F → F
s : Set E
t : Set F
x : E
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hf' : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm (V (f y))) s x
y : E
⊢ ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y → (fderivWithin 𝕜 f s y).inverse (V (f y)) = ↑(M y).symm (V (f y))

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V : F → F
s : Set E
t : Set F
x : E
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hf' : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm (V (f y))) s x
y : E
hy : ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s y).inverse (V (f y)) = ↑(M y).symm (V (f y))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
h : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
M_diff :
  ∀ (v : E),
    (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x) v =
      -↑(M x).symm ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) v ∘SL ↑(M x).symm
hMx : ↑(M x) = fderivWithin 𝕜 f s x
y : E
⊢ ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y → pullbackWithin 𝕜 f V s y = ↑(M y).symm (V (f y))

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
h : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
M_diff :
  ∀ (v : E),
    (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x) v =
      -↑(M x).symm ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) v ∘SL ↑(M x).symm
hMx : ↑(M x) = fderivWithin 𝕜 f s x
y : E
hy : ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
⊢ pullbackWithin 𝕜 f V s y = ↑(M y).symm (V (f y))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
h : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
M_diff :
  ∀ (v : E),
    (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x) v =
      -↑(M x).symm ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) v ∘SL ↑(M x).symm
hMx : ↑(M x) = fderivWithin 𝕜 f s x
AV : fderivWithin 𝕜 (pullbackWithin 𝕜 f V s) s x = fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm (V (f y))) s x
y : E
⊢ ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y → pullbackWithin 𝕜 f W s y = ↑(M y).symm (W (f y))

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
h : (fderivWithin 𝕜 f s x).IsInvertible
M : E → E ≃L[𝕜] F
M_symm_smooth : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x
hM : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
M_diff :
  ∀ (v : E),
    (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm) s x) v =
      -↑(M x).symm ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) v ∘SL ↑(M x).symm
hMx : ↑(M x) = fderivWithin 𝕜 f s x
AV : fderivWithin 𝕜 (pullbackWithin 𝕜 f V s) s x = fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(M y).symm (V (f y))) s x
y : E
hy : ↑(M y) = fderivWithin 𝕜 f s y
⊢ pullbackWithin 𝕜 f W s y = ↑(M y).symm (W (f y))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
y : E
⊢ fderivWithin 𝕜 f u y = fderivWithin 𝕜 f s y → pullbackWithin 𝕜 f V u y = pullbackWithin 𝕜 f V s y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
y : E
hy : fderivWithin 𝕜 f u y = fderivWithin 𝕜 f s y
⊢ pullbackWithin 𝕜 f V u y = pullbackWithin 𝕜 f V s y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
y : E
⊢ fderivWithin 𝕜 f u y = fderivWithin 𝕜 f s y → pullbackWithin 𝕜 f W u y = pullbackWithin 𝕜 f W s y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
y : E
hy : fderivWithin 𝕜 f u y = fderivWithin 𝕜 f s y
⊢ pullbackWithin 𝕜 f W u y = pullbackWithin 𝕜 f W s y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
u : E
v w : α → E
l : Filter α
hv : Tendsto v l (𝓝 u)
hw : Tendsto w l (𝓝 u)
s : Set E
seg : ∀ᶠ (χ : α) in l, [w χ -[ℝ] v χ] ⊆ s
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
φ : E →L[𝕜] F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
df' : ∀ᶠ (χ : α) in l, ∀ z ∈ [w χ -[ℝ] v χ], HasFDerivWithinAt (f χ) (f' χ z) s z
cf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α × E) in l ×ˢ 𝓝[s] u, ‖↿f' x - φ‖ < ε
⊢ ∀ᶠ (χ : α) in l, ∀ z ∈ [w χ -[ℝ] v χ], ‖f' χ z - φ‖ < ε

Tactic:
exact (cf' ε hε).segment_of_prod_nhdsWithin hw hv seg

Goal state after: