mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace HM M
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
inst✝⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝⁶ : FiberBundle F E
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : MDiffAt[s] (TotalSpace.proj ∘ f) x₀
he'f : (MDiffAt[s] fun x ↦ (↑e (f x)).2) x₀
he : (f x₀).proj ∈ e.baseSet
he' : (f x₀).proj ∈ e'.baseSet
y : M
⊢ y ∈ TotalSpace.proj ∘ f ⁻¹' e.baseSet → (↑e' (f y)).2 = e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) y) (↑e (f y)).2

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace HM M
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
inst✝⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝⁶ : FiberBundle F E
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : MDiffAt[s] (TotalSpace.proj ∘ f) x₀
he'f : (MDiffAt[s] fun x ↦ (↑e (f x)).2) x₀
he : (f x₀).proj ∈ e.baseSet
he' : (f x₀).proj ∈ e'.baseSet
y : M
hy : y ∈ TotalSpace.proj ∘ f ⁻¹' e.baseSet
⊢ (↑e' (f y)).2 = e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) y) (↑e (f y)).2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
ι : Type u_9
s : Finset ι
t : ι → (x : B) → E x
x₀ : B
hs : ∀ i ∈ s, MDiffAt[univ] (T% t) x₀
⊢ (MDiffAt[univ] fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s, t i x⟩) x₀

Tactic:
exact MDifferentiableWithinAt.sum_section hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
s : (x : B) → E x
ψ : B → 𝕜
hψ : MDiff[u] ψ
ht : IsOpen[inst✝¹³] u
ht' : tsupport ψ ⊆ u
hs : MDiff[u] (T% s)
y : B
⊢ y ∈ (tsupport ψ)ᶜ → ⟨y, (ψ • s) y⟩ = zeroSection F E y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
s : (x : B) → E x
ψ : B → 𝕜
hψ : MDiff[u] ψ
ht : IsOpen[inst✝¹³] u
ht' : tsupport ψ ⊆ u
hs : MDiff[u] (T% s)
y : B
hy : y ∈ (tsupport ψ)ᶜ
⊢ ⟨y, (ψ • s) y⟩ = zeroSection F E y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
ht : t ∈ 𝓝 x
y : M
⊢ y ∈ t → (s ∩ t) y = s y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
ht : t ∈ 𝓝 x
y : M
hy : y ∈ t
⊢ (s ∩ t) y = s y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g h : G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : (mfderiv% fun x ↦ g⁻¹ * x) (g * h) ∘SL (mfderiv% fun x ↦ g * x) h = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I h)
A' : mfderiv% ((fun x ↦ g * x) ∘ fun x ↦ g⁻¹ * x) (g * h) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I (g * h))
⊢ ((mfderiv% fun b ↦ g * b) h).inverse = (mfderiv% fun b ↦ g⁻¹ * b) (g * h)

Tactic:
rw [mfderiv_comp (I' := I) _ (contMDiff_mul_left.contMDiffAt.mdifferentiableAt M)
    (contMDiff_mul_left.contMDiffAt.mdifferentiableAt M), inv_mul_cancel_left g h] at A'

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g h : G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : (mfderiv% fun x ↦ g⁻¹ * x) (g * h) ∘SL (mfderiv% fun x ↦ g * x) h = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I h)
A' :
  (mfderiv% fun x ↦ g * x) h ∘SL (mfderiv% fun x ↦ g⁻¹ * x) (g * h) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I (g * h))
⊢ ((mfderiv% fun b ↦ g * b) h).inverse = (mfderiv% fun b ↦ g⁻¹ * b) (g * h)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W V₁ W₁ : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V₁ =ᶠ[𝓝[s] x] V
hxV : V₁ x = V x
hW : W₁ =ᶠ[𝓝[s] x] W
hxW : W₁ x = W x
I1 : NormedAddCommGroup (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) :=
  { toNorm := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_1,
    toAddCommGroup := instAddCommGroupTangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x),
    toPseudoMetricSpace := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_13, eq_of_dist_eq_zero := ⋯,
    dist_eq := ⋯ }
_I2 : NormedSpace 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := inst✝²
y : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ y ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' {x | V₁ x = V x} →
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V₁ (range ↑I) y =
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W V₁ W₁ : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V₁ =ᶠ[𝓝[s] x] V
hxV : V₁ x = V x
hW : W₁ =ᶠ[𝓝[s] x] W
hxW : W₁ x = W x
I1 : NormedAddCommGroup (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) :=
  { toNorm := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_1,
    toAddCommGroup := instAddCommGroupTangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x),
    toPseudoMetricSpace := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_13, eq_of_dist_eq_zero := ⋯,
    dist_eq := ⋯ }
_I2 : NormedSpace 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := inst✝²
y : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' {x | V₁ x = V x}
⊢ mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V₁ (range ↑I) y =
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W V₁ W₁ : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V₁ =ᶠ[𝓝[s] x] V
hxV : V₁ x = V x
hW : W₁ =ᶠ[𝓝[s] x] W
hxW : W₁ x = W x
I1 : NormedAddCommGroup (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) :=
  { toNorm := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_1,
    toAddCommGroup := instAddCommGroupTangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x),
    toPseudoMetricSpace := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_13, eq_of_dist_eq_zero := ⋯,
    dist_eq := ⋯ }
_I2 : NormedSpace 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := inst✝²
y : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ y ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' {x | W₁ x = W x} →
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W₁ (range ↑I) y =
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I) y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W V₁ W₁ : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V₁ =ᶠ[𝓝[s] x] V
hxV : V₁ x = V x
hW : W₁ =ᶠ[𝓝[s] x] W
hxW : W₁ x = W x
I1 : NormedAddCommGroup (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) :=
  { toNorm := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_1,
    toAddCommGroup := instAddCommGroupTangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x),
    toPseudoMetricSpace := EventuallyEq.mlieBracketWithin_vectorField_eq._aux_1_13, eq_of_dist_eq_zero := ⋯,
    dist_eq := ⋯ }
_I2 : NormedSpace 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := inst✝²
y : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' {x | W₁ x = W x}
⊢ mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W₁ (range ↑I) y =
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) s x₀

Tactic:
apply (ContMDiffWithinAt.mpullbackWithin_vectorField_inter
    hV hf hf' hx₀ hs hmn).mono_of_mem_nhdsWithin

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ s ∩ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
u : Set M
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hf' : (mfderiv[u] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hu : s ⊆ u
hn : 1 ≤ n
hh : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
Y : ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[u] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 f u x'
y : M
⊢ y ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' 1 f u y → ⟨y, mpullbackWithin I I' f V u y⟩ = ⟨y, mpullbackWithin I I' f V s y⟩

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
u : Set M
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hf' : (mfderiv[u] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hu : s ⊆ u
hn : 1 ≤ n
hh : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
Y : ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[u] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 f u x'
y : M
hy : y ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' 1 f u y → ⟨y, mpullbackWithin I I' f V u y⟩ = ⟨y, mpullbackWithin I I' f V s y⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : m + 1 ≤ n
hm : m ≠ ∞
T :
  {x_1 |
      (fun x' ↦
          ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
            (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
        x_1} ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s] ↑(extChartAt I x) x
A :
  ↑(extChartAt I x) ⁻¹'
      {x_1 |
        (fun x' ↦
            ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
              (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
              ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
          x_1} ∈
    𝓝[↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)] x
y : M
⊢ y ∈ s →
    y ∈ (extChartAt I x).source → y ∈ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : m + 1 ≤ n
hm : m ≠ ∞
T :
  {x_1 |
      (fun x' ↦
          ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
            (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
        x_1} ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s] ↑(extChartAt I x) x
A :
  ↑(extChartAt I x) ⁻¹'
      {x_1 |
        (fun x' ↦
            ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
              (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
              ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
          x_1} ∈
    𝓝[↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)] x
y : M
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ (extChartAt I x).source → y ∈ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
⊢ y ∈ (extChartAt I x).source →
    V y = mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)) y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ V y = mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
z : EuclideanSpace ℝ (Fin 1)
hz₀ : 0 ≤ z.ofLp 0
hz₁ : z.ofLp 0 < y - x
hz₂ : y - z.ofLp 0 < y ∧ x < y
⊢ (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm) (↑(𝓡∂ 1) ⟨z, hz₀⟩) =
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
      this)
      (↑(𝓡∂ 1) ⟨z, hz₀⟩)

Tactic:
rw [lt_sub_comm] at hz₁

Goal state after:
case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
z : EuclideanSpace ℝ (Fin 1)
hz₀ : 0 ≤ z.ofLp 0
hz₁ : x < y - z.ofLp 0
hz₂ : y - z.ofLp 0 < y ∧ x < y
⊢ (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm) (↑(𝓡∂ 1) ⟨z, hz₀⟩) =
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
      this)
      (↑(𝓡∂ 1) ⟨z, hz₀⟩)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
⊢ y ∈ ((chartAt H x).extend I).target →
    (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
      (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
y : E
⊢ y ∈ ((chartAt H x).extend I).target →
    (↑((chartAt H (Sum.inl x)).extend I) ∘ Sum.inl ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
      (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H (Sum.inl x)).extend I) ∘ Sum.inl ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y