mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr✝ : 0 ≤ r
x : E
hr : 0 < r
⊢ gauge (r • ball 0 1) x = ‖x‖ / r

Tactic:
gauge_smul_left,

Goal state after:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr✝ : 0 ≤ r
x : E
hr : 0 < r
⊢ (|r|⁻¹ • gauge (ball 0 1)) x = ‖x‖ / r

case inr.symmetric
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr✝ : 0 ≤ r
x : E
hr : 0 < r
⊢ ∀ x ∈ ball 0 1, -x ∈ ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: case right
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
A : Icc x' (x' + s) ⊆ Icc x (x + r')
y : ℝ
⊢ y ∈ Icc x' (x' + s) → ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r

Tactic:
hy

Goal state after:
case right
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
A : Icc x' (x' + s) ⊆ Icc x (x + r')
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x' (x' + s)
⊢ ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Order

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁶ : UniformSpace β
inst✝⁵ : AddGroup β
inst✝⁴ : IsUniformAddGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : AddLeftMono β
inst✝ : AddRightMono β
f : ι → α → β
g : α → β
K : Set α
p : Filter ι
u v : β
huv : u < v
hf : TendstoUniformlyOn f g p K
hg : ∀ x ∈ K, g x ≤ u
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ K, f i x < v

Tactic:
simp only [tendstoUniformlyOn_iff_tendsto, uniformity_eq_comap_neg_add_nhds_zero,
    tendsto_iff_eventually, eventually_comap, Prod.forall] at *

Goal state after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁶ : UniformSpace β
inst✝⁵ : AddGroup β
inst✝⁴ : IsUniformAddGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : AddLeftMono β
inst✝ : AddRightMono β
f : ι → α → β
g : α → β
K : Set α
p : Filter ι
u v : β
huv : u < v
hg : ∀ x ∈ K, g x ≤ u
hf :
  ∀ ⦃p_1 : β × β → Prop⦄,
    (∀ᶠ (b : β) in 𝓝 0, ∀ (a b_1 : β), -a + b_1 = b → p_1 (a, b_1)) → ∀ᶠ (x : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 K, p_1 (g x.2, f x.1 x.2)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ K, f i x < v
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.ContinuousLinearMap

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ

Tactic:
· have : ¬(CompleteSpace (E × F)) := fun h ↦ hE <| .fst_of_prod (β := F)
    simp [integral, *]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.ContinuousLinearMap

Goal state before:
pp: X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).swap.1 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ

Tactic:
swap_integral

Goal state after:
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), (f x).swap ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
⊢ y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1)) → ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Tactic:
hy

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Tactic:
have y_le : y - x ≤ (1 / 2) ^ (n e + 1) := by linarith [hy.2]

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
y_le : y - x ≤ (1 / 2) ^ (n e + 1)
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a ↦ ‖f a‖
h_int_eq : (fun i ↦ ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i ↦ ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable ((s n).indicator f) μ

Tactic:
intro n
    rw [aestronglyMeasurable_indicator_iff (hsm n)]
    exact (IntegrableOn.mono_set hfi (h_anti zero_le)).1

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: ε : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ENormedAddMonoid ε
inst✝ : PseudoMetrizableSpace ε
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
c : ε
hc : ‖c‖ₑ ≠ ∞
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ c) μ a b ↔ c = 0 ∨ μ (Ι a b) < ∞

Tactic:
by
  simp [intervalIntegrable_iff, integrableOn_const_iff hc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Prod

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
x : E
s : Set E
y : F
t : Set F
hs : x ∈ closure[inst✝⁷] s
⊢ ⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Tactic:
by
  rw [← tangentConeAt_closure (s := s ×ˢ t), closure_prod_eq]
  rintro _ ⟨z, hz, rfl⟩
  rcases exists_fun_of_mem_tangentConeAt hz with ⟨ι, l, hl, c, d, hd₀, hds, hcd⟩
  refine mem_tangentConeAt_of_seq l c (fun n ↦ (0, d n)) (tendsto_const_nhds.prodMk_nhds hd₀)
    (hds.mono fun n hn ↦ by simp [hs, subset_closure hn]) ?_
  simpa using tendsto_const_nhds.prodMk_nhds hcd

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
ε : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace ε
inst✝² : ENormedAddCommMonoid ε
inst✝¹ : ContinuousAdd ε
inst✝ : PseudoMetrizableSpace ε
f : ι → ℝ → ε
h : ∀ (i : ι), IntervalIntegrable (f i) μ a b
h₁ : ¬(support f).Finite
⊢ IntervalIntegrable (∑ᶠ (i : ι), f i) μ a b

Tactic:
finsum_of_infinite_support h₁

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
ε : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace ε
inst✝² : ENormedAddCommMonoid ε
inst✝¹ : ContinuousAdd ε
inst✝ : PseudoMetrizableSpace ε
f : ι → ℝ → ε
h : ∀ (i : ι), IntervalIntegrable (f i) μ a b
h₁ : ¬(support f).Finite
⊢ IntervalIntegrable 0 μ a b
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
x : ℝ
h₁ : b₁ ≤ x
h₂ : x ≤ b₂
⊢ b₁ ∈ [[min a b₁, max a b₂]]

pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
x : ℝ
h₁ : b₁ ≤ x
h₂ : x ≤ b₂
⊢ x ∈ [[min a b₁, max a b₂]]

Tactic:
· exact ⟨min_le_of_left_le (min_le_right a b₁),
          h₁.trans (h₂.trans <| le_max_of_le_right <| le_max_right _ _)⟩

Goal state after:
case h₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
x : ℝ
h₁ : b₁ ≤ x
h₂ : x ≤ b₂
⊢ x ∈ [[min a b₁, max a b₂]]
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ ‖f a' z - f a z‖ ≤ ε

Tactic:
← dist_eq_norm

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ dist (f a' z) (f a z) ≤ ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
⊢ a✝ ∈ Ioo a b → F a✝ = f a✝

Tactic:
hy

Goal state after:
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ F a✝ = f a✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f' f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (deriv f) volume a b

Tactic:
rw [hderiv]

Goal state after:
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f' f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable f' volume a b
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case pos
g' g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨f, fle, fint, hf⟩ :
    ∃ f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0,
      (∀ x, f x ≤ ‖g' x‖₊) ∧
        (∫⁻ x : ℝ in Ioo a b, f x) < ∞ ∧ ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ x : ℝ in Ioo a b, f x :=
    exists_lt_lintegral_simpleFunc_of_lt_lintegral H

Goal state after:
case pos
g' g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(f x) < ∞
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(f x)
⊢ False
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε
h₂ : QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall 0 ε ∩ I = if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I
⊢ volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))

Tactic:
addHaar_closedBall_center,

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)
h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε
h₂ : QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall 0 ε ∩ I = if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I
⊢ volume (Metric.closedBall 0 ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CircleIntegral

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
ι : Type u_3
f : ι → ℂ → E
h : ∀ (i : ι), CircleIntegrable (f i) c R
h₁ : ¬(support f).Finite
⊢ CircleIntegrable (∑ᶠ (i : ι), f i) c R

Tactic:
finsum_of_infinite_support h₁

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
ι : Type u_3
f : ι → ℂ → E
h : ∀ (i : ι), CircleIntegrable (f i) c R
h₁ : ¬(support f).Finite
⊢ CircleIntegrable 0 c R
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
y✝ : Fin n → ℝ
hy : y✝ ∈ Box.Icc (I.face i)
g : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖g y‖ ≤ ε * ‖y - x‖
hfc : ContinuousOn (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) (Box.Icc I)
Hi :
  ∀ x_1 ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i),
    Integrable (I.face i) ⊥ ((fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) ∘ e x_1) BoxAdditiveMap.volume
hg : g = fun y ↦ (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) y - a - f' (y - x)
this : ∀ z ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), e z y✝ ∈ Box.Icc I
y : Fin (n + 1) → ℝ
⊢ y ∈ Box.Icc I → ‖g y‖ ≤ ε * diam (Box.Icc I)

Tactic:
hy

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
y✝ : Fin n → ℝ
hy✝ : y✝ ∈ Box.Icc (I.face i)
g : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖g y‖ ≤ ε * ‖y - x‖
hfc : ContinuousOn (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) (Box.Icc I)
Hi :
  ∀ x_1 ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i),
    Integrable (I.face i) ⊥ ((fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) ∘ e x_1) BoxAdditiveMap.volume
hg : g = fun y ↦ (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) y - a - f' (y - x)
this : ∀ z ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), e z y✝ ∈ Box.Icc I
y : Fin (n + 1) → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I
⊢ ‖g y‖ ≤ ε * diam (Box.Icc I)
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
y✝ : Fin n → ℝ
hy✝ : y✝ ∈ Box.Icc (I.face i)
g : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖g y‖ ≤ ε * ‖y - x‖
hfc : ContinuousOn (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) (Box.Icc I)
Hi :
  ∀ x_1 ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i),
    Integrable (I.face i) ⊥ ((fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) ∘ e x_1) BoxAdditiveMap.volume
hg : g = fun y ↦ (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) y - a - f' (y - x)
this : ∀ z ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), e z y✝ ∈ Box.Icc I
y : Fin (n + 1) → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I
⊢ ‖y - x‖ ≤ diam (Box.Icc I)

Tactic:
← dist_eq_norm

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
x : Fin (n + 1) → ℝ
hxI : x ∈ Box.Icc I
a : E
ε : ℝ
h0 : 0 < ε
c : ℝ≥0
hc : I.distortion ≤ c
e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth
Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
y✝ : Fin n → ℝ
hy✝ : y✝ ∈ Box.Icc (I.face i)
g : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖g y‖ ≤ ε * ‖y - x‖
hfc : ContinuousOn (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) (Box.Icc I)
Hi :
  ∀ x_1 ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i),
    Integrable (I.face i) ⊥ ((fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) ∘ e x_1) BoxAdditiveMap.volume
hg : g = fun y ↦ (fun y ↦ a + f' (y - x) + g y) y - a - f' (y - x)
this : ∀ z ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), e z y✝ ∈ Box.Icc I
y : Fin (n + 1) → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I
⊢ dist y x ≤ diam (Box.Icc I)