mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Real.Cardinality

Goal state before:
pp: c : ℝ
f g : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
⊢ cantorFunction c f ≤ cantorFunction c g

Tactic:
apply (summable_cantor_function f h1 h2).tsum_le_tsum _ (summable_cantor_function g h1 h2)

Goal state after:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
⊢ ∀ (i : ℕ), cantorFunctionAux c f i ≤ cantorFunctionAux c g i
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.Substitution

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
this : UniformSpace R := ⊥
f : MvPowerSeries σ R
⊢ (aeval ⋯) f = id f

Tactic:
have := aeval_unique (ε := AlgHom.id R (MvPowerSeries σ R)) continuous_id

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
this✝ : UniformSpace R := ⊥
f : MvPowerSeries σ R
this : aeval ⋯ = AlgHom.id R (MvPowerSeries σ R)
⊢ (aeval ⋯) f = id f
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.Substitution

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
a : σ → MvPowerSeries τ S
ha : HasSubst a
ha' : ∀ (i : σ), constantCoeff (a i) = 0
f : MvPowerSeries σ R
hf : constantCoeff f = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : ¬d = 0
i : σ
hi : d i ≠ 0
⊢ (fun a b ↦ 0 ^ b) i (d i) = 0

Tactic:
simp [zero_pow hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsx : -s.re + x - 1 < -1
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.atTop, ‖‖↑i ^ (-(s + (1 - ↑x)))‖‖ ≤ ↑i ^ (-s.re + x - 1)

Tactic:
simp only [norm_norm, Filter.eventually_atTop]

Goal state after:
case refine_2
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsx : -s.re + x - 1 < -1
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ‖↑b ^ (-(s + (1 - ↑x)))‖ ≤ ↑b ^ (-s.re + x - 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.ArithmeticFunction.LFunction

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
q : ℕ
f g : PowerSeries R
n : ℕ
hq : 1 < q
h : ∃ a, q ^ a = n
⊢ { toFun := Function.extend (fun x ↦ q ^ x) (fun x ↦ (PowerSeries.coeff x) (f + g)) 0, map_zero' := ⋯ } n =
    ({ toFun := Function.extend (fun x ↦ q ^ x) (fun x ↦ (PowerSeries.coeff x) f) 0, map_zero' := ⋯ } +
        { toFun := Function.extend (fun x ↦ q ^ x) (fun x ↦ (PowerSeries.coeff x) g) 0, map_zero' := ⋯ })
      n

Tactic:
obtain ⟨a, rfl⟩ := h
        simp [(Nat.pow_right_injective hq).extend_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.ArithmeticFunction.LFunction

Goal state before:
pp: case pos.succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : PowerSeries R
hf : PowerSeries.constantCoeff f = 1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
j n✝ : ℕ
hmn : (p ^ (n✝ + 1)).Coprime (p ^ j)
⊢ ((ofPowerSeries p) (PowerSeries.subst (PowerSeries.X ^ k) f)) (p ^ (n✝ + 1) * p ^ j) =
    ((ofPowerSeries p) (PowerSeries.subst (PowerSeries.X ^ k) f)) (p ^ (n✝ + 1)) *
      ((ofPowerSeries p) (PowerSeries.subst (PowerSeries.X ^ k) f)) (p ^ j)

Tactic:
· cases j
        · simp [hk.ne', hf]
        · simp [hp.ne_one] at hmn

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Substitution

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
a : MvPowerSeries τ S
w : τ → ℕ
ha : HasSubst a
f : R⟦X⟧
⊢ f.order * MvPowerSeries.weightedOrder w a ≤ MvPowerSeries.weightedOrder w (subst a f)

Tactic:
refine .trans ?_ (MvPowerSeries.le_weightedOrder_subst _ (PowerSeries.hasSubst_iff.mp ha) _)
  simp only [ne_eq, Function.comp_const, le_iInf_iff]
  intro i hi
  trans i () * MvPowerSeries.weightedOrder w a
  · exact mul_le_mul_left (f.order_le (i ()) (by delta PowerSeries.coeff; convert! hi; aesop)) _
  · simp [Finsupp.weight_apply, Finsupp.sum_fintype]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.ArithmeticFunction.LFunction

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → ArithmeticFunction R
this✝ : UniformSpace R := ⊥
this : IsUniformInducing DFunLike.coe
n : ℕ
hf : ∀ k ∈ Set.Iic n, ∀ᶠ (x : ι) in cofinite, (f x) k = 1 k
⊢ ∃ a, ∀ (k l : Finset ι), a ⊆ k → a ⊆ l → (∏ b ∈ k, f b) n = (∏ b ∈ l, f b) n

Tactic:
rw [← eventually_all_finite (Set.finite_Iic n), eventually_iff_exists_mem] at hf

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → ArithmeticFunction R
this✝ : UniformSpace R := ⊥
this : IsUniformInducing DFunLike.coe
n : ℕ
hf : ∃ v ∈ cofinite, ∀ y ∈ v, ∀ i ∈ Set.Iic n, (f y) i = 1 i
⊢ ∃ a, ∀ (k l : Finset ι), a ⊆ k → a ⊆ l → (∏ b ∈ k, f b) n = (∏ b ∈ l, f b) n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
s : Set E
x : E
inst✝ : T2Space E
hx : ¬AccPt x (𝓟 s)
y : E
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x → y ∈ 0

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
s : Set E
x : E
inst✝ : T2Space E
hx : ¬AccPt x (𝓟 s)
y : E
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
⊢ y ∈ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, f₁ x = f x
y : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, f₁ x = f x) → ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, deriv f₁ x = deriv f x

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : 𝕜 → F
x : 𝕜
h : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, f₁ x = f x
y : 𝕜
hy : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, f₁ x = f x
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 y, deriv f₁ x = deriv f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : ContinuousAdd E
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : ContinuousAdd F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
inst✝ : T2Space F
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt f f₁' s x
y : E
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x → f' y = f₁' y

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : ContinuousAdd E
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : ContinuousAdd F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
inst✝ : T2Space F
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt f f₁' s x
y : E
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
⊢ f' y = f₁' y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
⊢ ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖ → ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + y - x₀‖ → ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
⊢ ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + y - x₀‖ → ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FormalMultilinearSeries

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
n✝ : ℕ
v : Fin (n✝ + 1) → E
⊢ (p.compContinuousLinearMap 0 (n✝ + 1)) v = (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E ((p 0) 0) (n✝ + 1)) v

Tactic:
simp [FunLike.coe_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝² : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
i : Fin (n + 1)
x : Ei i
m : (j : Fin n) → Ei (i.succAbove j)
⊢ ‖f (i.insertNth x m)‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i_1, ‖m i_1‖

Tactic:
by
  simpa [i.prod_univ_succAbove, mul_assoc] using f.le_opNorm (i.insertNth x m)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
⊢ y ∈ Metric.eball x r → ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f y = p.partialSum m (y - x)

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f y = p.partialSum m (y - x)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
⊢ y ∈ Metric.eball x r → f y = 0

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ f y = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G✝ : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
b : Option ι → G × ((i : ι) → E i)
⊢ ‖(B (b none).1) fun i ↦ (b (some i)).2 i‖ ≤ ‖B‖ * (‖b none‖ * ∏ i, ‖b (some i)‖)

Tactic:
apply (ContinuousMultilinearMap.le_opNorm _ _).trans

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G✝ : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
b : Option ι → G × ((i : ι) → E i)
⊢ ‖B (b none).1‖ * ∏ i, ‖(b (some i)).2 i‖ ≤ ‖B‖ * (‖b none‖ * ∏ i, ‖b (some i)‖)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ Metric.eball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
⊢ y ∈ Metric.eball 0 r → HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (f (x + y))

Tactic:
hy

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ Metric.eball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
⊢ HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (f (x + y))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
⊢ y ∈ Metric.eball x r → f y = f x

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ f y = f x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ y - x ∈ Metric.eball 0 r

Tactic:
simpa [edist_eq_enorm_sub] using hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h' : EqOn g f (s ∩ Metric.eball x r)
h'' : g x = f x
y : E
⊢ x + y ∈ insert x s → y ∈ Metric.eball 0 r → HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (g (x + y))

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h' : EqOn g f (s ∩ Metric.eball x r)
h'' : g x = f x
y : E
hy : x + y ∈ insert x s
⊢ y ∈ Metric.eball 0 r → HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (g (x + y))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (Metric.eball x r)
y : E
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
⊢ g (x + y) = f (x + y)

Tactic:
apply hg.symm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (Metric.eball x r)
y : E
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
⊢ x + y ∈ Metric.eball x r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (Metric.eball x r)
y : E
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
⊢ x + y ∈ Metric.eball x r

Tactic:
simpa [edist_eq_enorm_sub] using hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOn 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (⇑g ∘ f) s x

Tactic:
rcases h x hx with ⟨p, r, hp⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOn 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (⇑g ∘ f) s x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ AnalyticAt 𝕜 (⇑g ∘ f) x

Tactic:
rcases h x hx with ⟨p, r, hp⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ AnalyticAt 𝕜 (⇑g ∘ f) x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
⊢ y ∈ Metric.eball 0 r → Tendsto (fun n ↦ p.partialSum n y) atTop (𝓝 (f (x + y)))

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
⊢ Tendsto (fun n ↦ p.partialSum n y) atTop (𝓝 (f (x + y)))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: case e_f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ Metric.eball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z ↦ p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
w : E
hw : ‖w‖₊ < r'
i : ℕ
⊢ ((p (k + i)) fun x ↦ w) = (p (i + k)) fun x ↦ w

Tactic:
rw [add_comm k]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), x + y ∈ insert x s → ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
y : E
⊢ y ∈ (fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r' →
    ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖y‖ ^ n‖

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), x + y ∈ insert x s → ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖y‖ ^ n‖
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ q.removeZero.comp p n = q.comp p n

Tactic:
by
  ext v
  simp only [FormalMultilinearSeries.comp, compAlongComposition,
    ContinuousMultilinearMap.compAlongComposition_apply, sum_apply]
  refine Finset.sum_congr rfl fun c _hc => ?_
  rw [removeZero_of_pos _ (c.length_pos_of_pos hn)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
y : E
⊢ y ∈ (fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.eball 0 r →
    ∃ t ∈ 𝓝[(fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.eball 0 r] y,
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y ↦ f (x + y)) y, (fun n y ↦ p.partialSum n y) n y) ∈ u

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.eball 0 r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[(fun x_1 ↦ x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.eball 0 r] y,
    ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y ↦ f (x + y)) y, (fun n y ↦ p.partialSum n y) n y) ∈ u