mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Finset.Sort

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a : α
i : Fin 1
⊢ ({a}.orderEmbOfFin ⋯) i = a

Tactic:
Subsingleton.elim i ⟨0, Nat.zero_lt_one⟩,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a : α
i : Fin 1
⊢ ({a}.orderEmbOfFin ⋯) ⟨0, Nat.zero_lt_one⟩ = a
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Finset.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DivisionMonoid α
s : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(s ^ Int.negSucc n) = ↑s ^ Int.negSucc n

Tactic:
refine (coe_inv _).trans ?_

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DivisionMonoid α
s : Finset α
n : ℕ
⊢ (↑(npowRec n.succ s))⁻¹ = ↑s ^ Int.negSucc n
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
h : n ≠ 0
⊢ (if n = 0 then a else 0) = 0

Tactic:
if_neg h

Goal state after:
R : Type u
a : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
h : n ≠ 0
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n i : ℕ
a : R
h : i ≠ n
⊢ (if i = n then a else p.coeff i) = p.coeff i

Tactic:
if_neg h

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n i : ℕ
a : R
h : i ≠ n
⊢ p.coeff i = p.coeff i
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Invariant

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
G : Type u_3
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : SMulCommClass G R M
x : M
g : G
y : M
⊢ y ∈ MulAction.orbit G x → y ∈ ⇑(DistribSMul.toLinearMap R M g) ⁻¹' ↑(span R (MulAction.orbit G x))

Tactic:
hy

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
G : Type u_3
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : SMulCommClass G R M
x : M
g : G
y : M
hy : y ∈ MulAction.orbit G x
⊢ y ∈ ⇑(DistribSMul.toLinearMap R M g) ⁻¹' ↑(span R (MulAction.orbit G x))
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u
H : Type v
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
f : H →ₙ* G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
inst✝ : TwoUniqueProds G
A B : Finset H
hc : 1 < #A * #B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
classical
    obtain hc' | hc' := lt_or_ge 1 (#(A.image f) * #(B.image f))
    · obtain ⟨⟨a1, b1⟩, h1, ⟨a2, b2⟩, h2, hne, hu1, hu2⟩ := uniqueMul_of_one_lt_card hc'
      simp_rw [mem_product, mem_image] at h1 h2 ⊢
      obtain ⟨⟨a1, ha1, rfl⟩, b1, hb1, rfl⟩ := h1
      obtain ⟨⟨a2, ha2, rfl⟩, b2, hb2, rfl⟩ := h2
      exact ⟨(a1, b1), ⟨ha1, hb1⟩, (a2, b2), ⟨ha2, hb2⟩, mt (congr_arg (Prod.map f f)) hne,
        UniqueMul.of_mulHom_image f hf hu1, UniqueMul.of_mulHom_image f hf hu2⟩
    rw [← card_product] at hc hc'
    obtain ⟨p1, h1, p2, h2, hne⟩ := one_lt_card_iff_nontrivial.mp hc
    refine ⟨p1, h1, p2, h2, hne, ?_⟩
    cases mem_product.mp h1; cases mem_product.mp h2
    constructor <;> refine UniqueMul.of_mulHom_image f hf
      ((UniqueMul.iff_card_le_one ?_ ?_).mpr <| (card_filter_le _ _).trans hc') <;>
    apply mem_image_of_mem <;> assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
y : P
⊢ y ∈ t1 → ∃ x ∈ s, f x = y

Tactic:
hy

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
y : P
hy : y ∈ t1
⊢ ∃ x ∈ s, f x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case left
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ Function.Injective ⇑(p.subtype.coprod q.subtype)

Tactic:
← ker_eq_bot,

Goal state after:
case left
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ (p.subtype.coprod q.subtype).ker = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
y : P
⊢ y ∈ ↑t1 → y ∈ g ⁻¹' ↑s

Tactic:
hy

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
y : P
hy : y ∈ ↑t1
⊢ y ∈ g ⁻¹' ↑s
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
y : P
⊢ y ∈ l.support → (fun a m ↦ m • id (g a)) y (l y) ∈ s

Tactic:
hy

Goal state after:
case a.refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
y : P
hy : y ∈ l.support
⊢ (fun a m ↦ m • id (g a)) y (l y) ∈ s
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a - ∑ x ∈ l.support, f (l x • id (g x)) = 0

Tactic:
rw [sub_eq_zero]

Goal state after:
case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a = ∑ x ∈ l.support, f (l x • id (g x))
Module: Mathlib.Data.ENat.Lattice

Goal state before:
pp: case coe
s : Set ℕ∞
x : ℕ
hx : ↑x < ⊤
h : ∀ a ∈ s, a ≤ ↑x
y : ℕ∞
⊢ y ∈ s → y ∈ (fun n ↦ ↑n) '' {n | n ≤ x}

Tactic:
hy

Goal state after:
case coe
s : Set ℕ∞
x : ℕ
hx : ↑x < ⊤
h : ∀ a ∈ s, a ≤ ↑x
y : ℕ∞
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ (fun n ↦ ↑n) '' {n | n ≤ x}
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
p : RelSeries r
h : p.length ≠ 0
⊢ p.eraseLast.toList ++ [p.toList.getLast ⋯] = p.toList

Tactic:
toList_eraseLast _ h,

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
p : RelSeries r
h : p.length ≠ 0
⊢ p.toList.dropLast ++ [p.toList.getLast ⋯] = p.toList
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin p.length
h : i.succ = Fin.last p.length
⊢ Fin.addCases (p.toFun ∘ Fin.castSucc) q.toFun (Fin.natAdd p.length 0) = p.toFun i.succ

Tactic:
rw [Fin.addCases_right, h, ← last, connect, head]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y

Tactic:
hy

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ r • x + r • y = r • x + r • y
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : Semiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Module R A
n : ℕ
⊢ n • 1 = ↑n

Tactic:
nsmul_one

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Module R A
n : ℕ
⊢ ↑n = ↑n
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
hx : ∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h y_1 = x * y
⊢ ∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h y = x

Tactic:
refine ⟨h.symm x, fun z hz => ?_, h.apply_symm_apply x⟩

Goal state after:
case mpr
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
hx : ∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h y_1 = x * y
z : A
hz : z ∈ J
⊢ h.symm x * z ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.Noetherian.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Module.Finite R N
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsNoetherian R (N →ₗ[R] M)

Tactic:
let g : (N →ₗ[R] M) →ₗ[R] (Fin n → R) →ₗ[R] M := (LinearMap.llcomp R (Fin n → R) N M).flip f

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Module.Finite R N
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
g : (N →ₗ[R] M) →ₗ[R] (Fin n → R) →ₗ[R] M := (LinearMap.llcomp R (Fin n → R) N M).flip f
⊢ IsNoetherian R (N →ₗ[R] M)
Module: Mathlib.RingTheory.Noetherian.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups f) n) (f (n + 1))
n : ℕ
w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups f) n = (partialSups f) m
m : ℕ
p : n ≤ m
⊢ (partialSups f) m ⊔ f (m + 1) = (partialSups f) m

Tactic:
simpa only [partialSups_add_one] using (w (m + 1) <| le_add_right p).symm.trans <| w m p

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Field

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : DecidableEq K
a b : K
⊢ (if a0 : a = 0 then b
    else
      have x := ⋯;
      EuclideanDomain.gcd (b % a) a) =
    if a = 0 then b else a

Tactic:
split_ifs <;> simp [*, Field.mod_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : p = 0
hq : q = 0
⊢ p / q ∣ p

Tactic:
hpq

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : p = 0
hq : q = 0
⊢ 0 / q ∣ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
y : S
⊢ f.symm y ∈ I ↔ y ∈ comap f.symm I

Tactic:
mem_comap

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
y : S
⊢ f.symm y ∈ I ↔ f.symm y ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : FunLike F R S
f : F
inst✝¹ : RingHomClass F R S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
inst✝ : p.IsPrime
⊢ Submonoid.map f (comap f p).primeCompl = p.primeCompl

Tactic:
rw [SetLike.ext_iff, hf.forall]
  grind [Submonoid.mem_map, mem_primeCompl_iff, mem_comap]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
inst✝ : DecidableEq R✝
R : Type u_1
e : EuclideanDomain R
this : DecidableEq R
a b : R
h : a * b = 0
h0 : ¬a = 0 ∧ ¬b = 0
⊢ 0 / b = 0

Tactic:
zero_div

Goal state after:
R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
inst✝ : DecidableEq R✝
R : Type u_1
e : EuclideanDomain R
this : DecidableEq R
a b : R
h : a * b = 0
h0 : ¬a = 0 ∧ ¬b = 0
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ 0 / gcd 0 x = 0

Tactic:
zero_div

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ 0 / gcd x 0 = 0

Tactic:
zero_div

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
h : annihilator R M = ⊤
m m' : M
⊢ m = m'

Tactic:
by
      rw [← one_smul R m, ← one_smul R m']
      simp_rw [mem_annihilator.mp (h ▸ Submodule.mem_top)]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
r : R
⊢ (∀ (m : ι →₀ M), r • m = 0) ↔ ∀ (m : M), r • m = 0

Tactic:
constructor <;> intro h

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
r : R
h : ∀ (m : ι →₀ M), r • m = 0
⊢ ∀ (m : M), r • m = 0

case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
r : R
h : ∀ (m : M), r • m = 0
⊢ ∀ (m : ι →₀ M), r • m = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
⊢ (∀ (m : Π₀ (i : ι), M i), r • m = 0) ↔ ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0

Tactic:
constructor <;> intro h

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
h : ∀ (m : Π₀ (i : ι), M i), r • m = 0
⊢ ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0

case mpr
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
h : ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0
⊢ ∀ (m : Π₀ (i : ι), M i), r • m = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
⊢ (∀ (m : (i : ι) → M i), r • m = 0) ↔ ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0

Tactic:
constructor <;> intro h

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
h : ∀ (m : (i : ι) → M i), r • m = 0
⊢ ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0

case mpr
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
r : R
h : ∀ (i : ι) (m : M i), r • m = 0
⊢ ∀ (m : (i : ι) → M i), r • m = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.annihilator = ⊤ ↔ N = ⊥

Tactic:
rw [annihilator, Module.annihilator_eq_top_iff, Submodule.subsingleton_iff_eq_bot]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
⊢ r • y = 0 → r • (x + y) = 0

Tactic:
hy

Goal state after:
case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
hy : r • y = 0
⊢ r • (x + y) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
j : Ideal S
hj : j ∈ map f '' A
y : S
⊢ y ∈ map f (sInf A) → y ∈ j

Tactic:
hy

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
j : Ideal S
hj : j ∈ map f '' A
y : S
hy : y ∈ map f (sInf A)
⊢ y ∈ j
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
y : S
⊢ y ∈ sInf (map f '' A) → y ∈ map f (sInf A)

Tactic:
hy

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J
y : S
hy : y ∈ sInf (map f '' A)
⊢ y ∈ map f (sInf A)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ [IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, I ⊔ J = ⊤].TFAE

Tactic:
← isCoprime_iff_sup_eq

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ [IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J].TFAE
Module: Mathlib.Algebra.GCDMonoid.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : StrongNormalizationMonoid α
a b : Associates α
x✝¹ x✝ : α
⊢ (⟦x✝¹⟧ * ⟦x✝⟧).out = Associates.out ⟦x✝¹⟧ * Associates.out ⟦x✝⟧

Tactic:
simp only [Associates.quotient_mk_eq_mk, out_mk, mk_mul_mk, normalize_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
hn0 : a ≠ 0
hnu : ¬IsUnit a
⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod = a ∧ f ≠ ∅

Tactic:
obtain ⟨f, hi, u, rfl⟩ := exists_factors a hn0

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
f : Multiset α
hi : ∀ b ∈ f, Irreducible b
u : αˣ
hn0 : f.prod * ↑u ≠ 0
hnu : ¬IsUnit (f.prod * ↑u)
⊢ ∃ f_1, (∀ b ∈ f_1, Irreducible b) ∧ f_1.prod = f.prod * ↑u ∧ f_1 ≠ ∅
Module: Mathlib.RingTheory.PrincipalIdealDomain

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsBezout R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
a b z : R
⊢ gcd a b ∣ z ↔ ∃ x y, z = a * x + b * y

Tactic:
by
  simp_rw [mul_comm a, mul_comm b, @eq_comm _ z, ← Ideal.mem_span_pair, ← span_gcd,
    Ideal.mem_span_singleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.StrongRankCondition

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ⊆ ↑(span R w)
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)

Tactic:
have : Finite ι := i.finite_of_le_span_finite v w s
  let := Fintype.ofFinite ι
  rw [Cardinal.mk_fintype]
  simp only [Nat.cast_le]
  exact linearIndependent_le_span_aux' v i w s

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.StrongRankCondition

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Free R M
h : 0 < Module.rank R M
h' : Subsingleton M
⊢ False

Tactic:
simp only [rank_subsingleton', lt_self_iff_false] at h

Goal state after: