Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
B :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m'
    (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
C :
  ContMDiffWithinAt I I.tangent m'
    (fun x_1 ↦
      ⟨x_1,
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x))
          (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)) x_1⟩)
    s x
y : M
⊢ (∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y, ↑(extChartAt I x) x_1 ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) →
    (∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y,
        U x_1 =
          mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I))
            x_1) →
      (∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y,
          V x_1 =
            mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
              x_1) →
        ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (m' + 1)
            (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I) x_1⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y) →
          ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (m' + 1)
              (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_1⟩)
              ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y) →
            y ∈ (chartAt H x).source →
              y ∈ s →
                ⟨y, mlieBracketWithin I U V s y⟩ =
                  ⟨y,
                    mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x))
                      (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)) y⟩

Tactic:
hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
B :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m'
    (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
C :
  ContMDiffWithinAt I I.tangent m'
    (fun x_1 ↦
      ⟨x_1,
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x))
          (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)) x_1⟩)
    s x
y : M
hy : ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y, ↑(extChartAt I x) x_1 ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s
⊢ (∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y,
      U x_1 =
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)) x_1) →
    (∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] y,
        V x_1 =
          mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
            x_1) →
      ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (m' + 1)
          (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I) x_1⟩)
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y) →
        ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (m' + 1)
            (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_1⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y) →
          y ∈ (chartAt H x).source →
            y ∈ s →
              ⟨y, mlieBracketWithin I U V s y⟩ =
                ⟨y,
                  mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x))
                    (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)) y⟩