Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h :
  P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3 ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4 ∨
          P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨
            P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2 ∨
              P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
rcases h with hij' | hij' | hij' | hij' | hij' | hij' | hij' | hij' <;>
  rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 1 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 2 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 3 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 4 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -1 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -2 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -3 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -4 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j