mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
r : ℝ
t : Set ℝ := {y | 1 / 2 < y}
ht : (Set.range fun x ↦ 1 + ‖x‖ ^ 2) ⊆ t
hdiff : ContDiffOn ℝ ∞ (fun x ↦ x ^ r) t
hunique : UniqueDiffOn ℝ t
N k : ℕ
hk : max r ((↑N - r) * Real.log 2 / Real.log (3 / 2)) ≤ ↑k
hk₁ : r ≤ ↑k
hk₂ : Real.log 2 * (↑N - r) ≤ Real.log (3 / 2) * ↑k
n : ℕ
hn : n ≤ N
x : ℝ
hx : x ∈ t
⊢ 0 < 1 / 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
r : ℝ
t : Set ℝ := {y | 1 / 2 < y}
ht : (Set.range fun x ↦ 1 + ‖x‖ ^ 2) ⊆ t
hdiff : ContDiffOn ℝ ∞ (fun x ↦ x ^ r) t
hunique : UniqueDiffOn ℝ t
N k : ℕ
hk : max r ((↑N - r) * Real.log 2 / Real.log (3 / 2)) ≤ ↑k
hk₁ : r ≤ ↑k
hk₂ : Real.log 2 * (↑N - r) ≤ Real.log (3 / 2) * ↑k
n : ℕ
hn : n ≤ N
x : ℝ
hx : x ∈ t
this : ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ x ^ r) x
hx' : 1 / 2 < x
⊢ 0 < 1 / 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
r : ℝ
t : Set ℝ := {y | 1 / 2 < y}
ht : (Set.range fun x ↦ 1 + ‖x‖ ^ 2) ⊆ t
hdiff : ContDiffOn ℝ ∞ (fun x ↦ x ^ r) t
hunique : UniqueDiffOn ℝ t
N k : ℕ
hk : max r ((↑N - r) * Real.log 2 / Real.log (3 / 2)) ≤ ↑k
hk₁ : r ≤ ↑k
hk₂ : Real.log 2 * (↑N - r) ≤ Real.log (3 / 2) * ↑k
n : ℕ
hn : n ≤ N
x : ℝ
this : ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ x ^ r) x
hx' : 1 / 2 < x
hx'' : 0 < x
h✝ : r - ↑n < 0
h : 0 < ↑n - r
hx : 2⁻¹ < x
⊢ 0 < 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: case hx
H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
r : ℝ
t : Set ℝ := {y | 1 / 2 < y}
ht : (Set.range fun x ↦ 1 + ‖x‖ ^ 2) ⊆ t
hdiff : ContDiffOn ℝ ∞ (fun x ↦ x ^ r) t
hunique : UniqueDiffOn ℝ t
N k : ℕ
hk : max r ((↑N - r) * Real.log 2 / Real.log (3 / 2)) ≤ ↑k
hk₁ : r ≤ ↑k
hk₂ : Real.log 2 * (↑N - r) ≤ Real.log (3 / 2) * ↑k
n : ℕ
hn : n ≤ N
x : ℝ
hx : x ∈ t
this : ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ x ^ r) x
hx' : 1 / 2 < x
hx'' : 0 < x
h✝ : r - ↑n < 0
h : 0 < ↑n - r
⊢ 0 < 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Rayleigh

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
inst✝ : Nontrivial E
hT' : (algebraMap ℝ 𝕜) ‖T‖ ∈ resolventSet 𝕜 T
hT'' : -(algebraMap ℝ 𝕜) ‖T‖ ∈ resolventSet 𝕜 T
ε : ℝ
hε0 : ε > 0
hε : ∀ (x : E), T.rayleighQuotient x ≤ ‖T‖ - ε
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) ‖-T‖ ∈ resolventSet 𝕜 (-T)

Tactic:
by
    simpa [resolventSet_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: case hx
H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
r : ℝ
t : Set ℝ := {y | 1 / 2 < y}
ht : (Set.range fun x ↦ 1 + ‖x‖ ^ 2) ⊆ t
hdiff : ContDiffOn ℝ ∞ (fun x ↦ x ^ r) t
hunique : UniqueDiffOn ℝ t
N k : ℕ
hk : max r ((↑N - r) * Real.log 2 / Real.log (3 / 2)) ≤ ↑k
hk₁ : r ≤ ↑k
hk₂ : Real.log 2 * (↑N - r) ≤ Real.log (3 / 2) * ↑k
n : ℕ
hn : n ≤ N
x : ℝ
hx : x ∈ t
this : ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ x ^ r) x
hx' : 1 / 2 < x
hx'' : 0 < x
h✝ : r - ↑n < 0
h : 0 < ↑n - r
⊢ 0 < 3 / 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TemperateGrowth

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
R : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
h : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ ↑(finrank ℝ E) < ↑(finrank ℝ E + 1)

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
hK : ∀ K > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < K * ‖x‖
C : 𝕜
hC : 1 < ‖C‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
x : X
hx : ‖(T - μ • 1) x‖ < ε * ‖x‖
this : x ≠ 0
η : 𝕜
hη : η ≠ 0
h₁ : ‖η • x‖ < 1
h₂ : 1 / ‖C‖ ≤ ‖η • x‖
h₃ : ‖η‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖C‖ * ‖x‖
⊢ ‖C‖⁻¹ ≤ ‖η • x‖

Tactic:
by simpa using h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ hA.eigenvalues i = RCLike.re (A *ᵥ (hA.eigenvectorBasis i).ofLp ⬝ᵥ star (hA.eigenvectorBasis i).ofLp)

Tactic:
simp only [mulVec_eigenvectorBasis, smul_dotProduct, ← EuclideanSpace.inner_eq_star_dotProduct,
    inner_self_eq_norm_sq_to_K, RCLike.smul_re, hA.eigenvectorBasis.orthonormal.1 i,
    mul_one, algebraMap.coe_one, one_pow, RCLike.one_re]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫
⊢ 0 ≤ μ

Tactic:
by
  obtain ⟨v, hv₁, hv₂⟩ := hμ.exists_hasEigenvector
  have hpos : (0 : ℝ) < ‖v‖ ^ 2 := by simpa only [sq_pos_iff, norm_ne_zero_iff] using hv₂
  simp only [mem_genEigenspace_one] at hv₁
  have : RCLike.re ⟪v, T v⟫ = μ * ‖v‖ ^ 2 :=
    mod_cast congr_arg RCLike.re (inner_product_apply_eigenvector hv₁)
  exact (mul_nonneg_iff_of_pos_right hpos).mp (this ▸ hnn v)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsCompactOperator ⇑T
hT' : (↑T).IsSymmetric
⊢ (∀ (μ : 𝕜), HasEigenvalue (↑T) μ → μ = 0) ↔ T = 0

Tactic:
by
  rw [← nnnorm_eq_zero, ← ENNReal.coe_eq_zero, ← T.spectralRadius_eq_nnnorm hT'.isSelfAdjoint,
    spectralRadius, ← not_iff_not, ENNReal.iSup_eq_zero]
  push Not
  apply exists_congr
  simp +contextual [hT.hasEigenvalue_iff_mem_spectrum]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ∞
K : Compacts E
i : ℕ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
⊢ ⇑((structureMapCLM 𝕜 n i) f) = if ↑i ≤ n then iteratedFDeriv ℝ i ⇑f else 0

Tactic:
by
  simp [structureMapCLM, structureMapLM_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.Abs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : Algebra 𝕜 A
inst✝⁵ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝⁴ : Algebra ℝ A
inst✝³ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝² : IsTopologicalRing A
inst✝¹ : T2Space A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
f : 𝕜 → 𝕜
a : A
ha : p a
hf : ContinuousOn f ((fun z ↦ ↑‖z‖) '' spectrum 𝕜 a)
⊢ cfc (fun x ↦ f ↑‖x‖) a = cfc f (abs a)

Tactic:
by
  rw [abs_eq_cfcₙ_coe_norm 𝕜 a, cfcₙ_eq_cfc, ← cfc_comp' ..]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x : E
hx : x ∉ ↑K
⊢ (B (0 x)) (φ x) = 0

Tactic:
Pi.zero_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x : E
hx : x ∉ ↑K
⊢ (B 0) (φ x) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖(B (f x)) (φ x)‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f

Tactic:
ContinuousLinearMap.le_opNorm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖B (f x)‖ * ‖φ x‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖B (f x)‖ * ‖φ x‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f

Tactic:
ContinuousLinearMap.le_opNorm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖B‖ * ‖f x‖ * ‖φ x‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : GeneralSchauderBasis β 𝕜 X L
A : Finset β
⊢ Submodule.span 𝕜 (↑b '' ↑A) ≤ (↑(b.proj A)).range

Tactic:
rw [Submodule.span_le]

Goal state after:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : GeneralSchauderBasis β 𝕜 X L
A : Finset β
⊢ ↑b '' ↑A ⊆ ↑(↑(b.proj A)).range
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : GeneralSchauderBasis β 𝕜 X L
A : Finset β
⊢ (↑(b.proj A)).range = Submodule.span 𝕜 (↑b '' ↑A)

Tactic:
by
  apply le_antisymm
  · rintro _ ⟨x, rfl⟩
    rw [ContinuousLinearMap.coe_coe, proj_apply]
    exact Submodule.sum_mem _ fun i hi ↦
      Submodule.smul_mem _ _ (Submodule.subset_span ⟨i, hi, rfl⟩)
  · rw [Submodule.span_le]
    rintro _ ⟨i, hi, rfl⟩
    use b i
    rw [ContinuousLinearMap.coe_coe, proj_apply_basis_mem, if_pos (Finset.mem_coe.mp hi)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ 1 < ENNReal.toReal 2 ∧ (ENNReal.toReal 2)⁻¹ + (ENNReal.toReal 2)⁻¹ = 1

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f : ↥(lp G 2)
⊢ 0 < ENNReal.toReal 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ 0 < ENNReal.toReal 2

Tactic:
norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)

Tactic:
norm_num

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ Complex.exp (2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
inst✝ : DecidableEq ι
h : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
i : ι
⊢ (LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) 1 = v i

Tactic:
LinearIsometry.toSpanSingleton_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
inst✝ : DecidableEq ι
h : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
i : ι
⊢ 1 • v i = v i
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
i : ℤ
⊢ ↑(fourierBasis.repr f) i = fourierCoeff (↑↑f) i

Tactic:
trans ∫ t : AddCircle T, conj ((@fourierLp T hT 2 _ i : AddCircle T → ℂ) t) * f t ∂haarAddCircle
  · rw [fourierBasis.repr_apply_apply f i, MeasureTheory.L2.inner_def, coe_fourierBasis]
    simp only [RCLike.inner_apply']
  · apply integral_congr_ae
    filter_upwards [coeFn_fourierLp 2 i] with _ ht
    rw [ht, ← fourier_neg, smul_eq_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e ↦ ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
⊢ (∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1) →
    ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1 →
      AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s) → IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ

Tactic:
hi

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e ↦ ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
⊢ ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1 →
    AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s) → IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
this : ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
i : ι
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ → dist (∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) 0 < ε

Tactic:
hi

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
this : ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
i : ι
hi : ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
⊢ dist (∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) 0 < ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
⊢ (∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ) →
    ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ →
      (∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x) →
        IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ → ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ

Tactic:
hi

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
⊢ ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ →
    (∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x) →
      IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ → ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x ↦ a
A : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ →
    ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1 →
      ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ

Tactic:
hi

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x ↦ a
A : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
⊢ ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1 →
    ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ