Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
n : ℕ
hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ =
    (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω) +
        ((↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) +
      (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ)

Tactic:
simp only [sum_sub_distrib, smul_sub]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
n : ℕ
hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ =
    (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - (↑n)⁻¹ • ∑ x ∈ Finset.range n, Y k x ω +
        ((↑n)⁻¹ • ∑ x ∈ Finset.range n, Y k x ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) +
      (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ)