Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.HasGaussianLaw.Independence

Goal state before:
pp: case h
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ charFunDual (Measure.map X P) L * charFunDual (Measure.map (Y - X) P) L =
    charFunDual (Measure.map X P) L * cexp (↑(∫ (x : Ω), (⇑L ∘ (Y - X)) x ∂P) * I - ↑Var[⇑L ∘ (Y - X); P] / 2)

Tactic:
rw [← Pi.mul_apply, ← h.charFunDual_map_add_eq_mul, add_sub_cancel, hX.charFunDual_map_eq,
    ← exp_add, sub_add_sub_comm, ← add_mul, ← ofReal_add, ← integral_add, ← add_div, ← ofReal_add,
    ← IndepFun.variance_add, hY.charFunDual_map_eq]

Goal state after:
case h
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ cexp (↑(∫ (x : Ω), (⇑L ∘ Y) x ∂P) * I - ↑Var[⇑L ∘ Y; P] / 2) =
    cexp (↑(∫ (a : Ω), (⇑L ∘ X) a + (⇑L ∘ (Y - X)) a ∂P) * I - ↑Var[⇑L ∘ X + ⇑L ∘ (Y - X); P] / 2)

case h.hX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ MemLp (⇑L ∘ X) 2 P

case h.hY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ MemLp (⇑L ∘ (Y - X)) 2 P

case h.h
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ (⇑L ∘ X) ⟂ᵢ[P] ⇑L ∘ (Y - X)

case h.hf
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ Integrable (⇑L ∘ X) P

case h.hg
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ Integrable (⇑L ∘ (Y - X)) P

case h.mX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable X P

case h.mY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable (Y - X) P