mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegrableOn

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ε : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ContinuousENorm ε
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → ε
μ : Measure β
⊢ IntegrableOn f (range e) μ ↔ Integrable (f ∘ e) (Measure.comap e μ)

Tactic:
rw [he.integrableOn_iff_comap .rfl, preimage_range, integrableOn_univ]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L1Space.Integrable

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_8
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 β
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MemLp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x ↦ ‖g x‖ₑ) μ ≠ ∞
hg' : eLpNorm g ∞ μ ≠ ∞
⊢ eLpNorm (fun x ↦ f x • g x) 1 μ ≤ eLpNorm f 1 μ * eLpNorm g ∞ μ

Tactic:
simpa using! MeasureTheory.eLpNorm_smul_le_mul_eLpNorm g_aestronglyMeasurable hf.1
        (p := 1) (q := ∞)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L1Space.Integrable

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
ε'' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : MeasurableSpace δ
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace ε
inst✝⁵ : ContinuousENorm ε
inst✝⁴ : TopologicalSpace ε'
inst✝³ : ContinuousENorm ε'
inst✝² : ENorm ε''
E : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
u v : ↥(Lp E 1 (μ.withDensity fun x ↦ ↑(f x)))
⊢ MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑(u + v) x) ⋯ = MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑u x) ⋯ + MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑v x) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
ε'' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : MeasurableSpace δ
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace ε
inst✝⁵ : ContinuousENorm ε
inst✝⁴ : TopologicalSpace ε'
inst✝³ : ContinuousENorm ε'
inst✝² : ENorm ε''
E : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
u v : ↥(Lp E 1 (μ.withDensity fun x ↦ ↑(f x)))
⊢ ↑↑(MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑(u + v) x) ⋯) =ᵐ[μ]
    ↑↑(MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑u x) ⋯ + MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑v x) ⋯)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L1Space.Integrable

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
ε'' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : MeasurableSpace δ
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace ε
inst✝⁵ : ContinuousENorm ε
inst✝⁴ : TopologicalSpace ε'
inst✝³ : ContinuousENorm ε'
inst✝² : ENorm ε''
E : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
r : ℝ
u : ↥(Lp E 1 (μ.withDensity fun x ↦ ↑(f x)))
⊢ MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑(r • u) x) ⋯ = (RingHom.id ℝ) r • MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑u x) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
ε'' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : MeasurableSpace δ
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace ε
inst✝⁵ : ContinuousENorm ε
inst✝⁴ : TopologicalSpace ε'
inst✝³ : ContinuousENorm ε'
inst✝² : ENorm ε''
E : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
r : ℝ
u : ↥(Lp E 1 (μ.withDensity fun x ↦ ↑(f x)))
⊢ ↑↑(MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑(r • u) x) ⋯) =ᵐ[μ] ↑↑((RingHom.id ℝ) r • MemLp.toLp (fun x ↦ f x • ↑↑u x) ⋯)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegrableOn

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : Continuous[inst✝³, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
a : α
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 a) μ

Tactic:
← nhdsWithin_univ

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : Continuous[inst✝³, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
a : α
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[univ] a) μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i, ‖m i‖
x y : G
⊢ (f (x + y)).mkContinuous (C * ‖x + y‖) ⋯ = (f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯ + (f y).mkContinuous (C * ‖y‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i, ‖m i‖
x y : G
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((f (x + y)).mkContinuous (C * ‖x + y‖) ⋯) x✝ = ((f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯ + (f y).mkContinuous (C * ‖y‖) ⋯) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i, ‖m i‖
c : 𝕜
x : G
⊢ (f (c • x)).mkContinuous (C * ‖c • x‖) ⋯ = (RingHom.id 𝕜) c • (f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'
C : ℝ
H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i, ‖m i‖
c : 𝕜
x : G
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((f (c • x)).mkContinuous (C * ‖c • x‖) ⋯) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) c • (f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i, ‖m₁ i‖) * ∏ i, ‖m₂ i‖
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
x y : E i
⊢ (f (update m i (x + y))).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i (x + y) i_1‖) ⋯ =
    (f (update m i x)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯ +
      (f (update m i y)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i y i_1‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i, ‖m₁ i‖) * ∏ i, ‖m₂ i‖
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
x y : E i
x✝ : (i : ι') → E' i
⊢ ((f (update m i (x + y))).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i (x + y) i_1‖) ⋯) x✝ =
    ((f (update m i x)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯ +
        (f (update m i y)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i y i_1‖) ⋯)
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i, ‖m₁ i‖) * ∏ i, ‖m₂ i‖
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
⊢ (f (update m i (c • x))).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i (c • x) i_1‖) ⋯ =
    c • (f (update m i x)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝¹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)
C : ℝ
H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i, ‖m₁ i‖) * ∏ i, ‖m₂ i‖
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
x✝ : (i : ι') → E' i
⊢ ((f (update m i (c • x))).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i (c • x) i_1‖) ⋯) x✝ =
    (c • (f (update m i x)).mkContinuous (C * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝¹ : Fintype ι
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
x y : E i
⊢ { toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i (x + y)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
      (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i (x + y) i_1‖) ⋯ =
    { toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
        (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯ +
      { toFun := fun x ↦ (f x) (update m i y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
        (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i y i_1‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝¹ : Fintype ι
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
x y : E i
x✝ : G
⊢ ({ toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i (x + y)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
        (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i (x + y) i_1‖) ⋯)
      x✝ =
    ({ toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
          (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯ +
        { toFun := fun x ↦ (f x) (update m i y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
          (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i y i_1‖) ⋯)
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝¹ : Fintype ι
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
⊢ { toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i (c • x)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
      (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i (c • x) i_1‖) ⋯ =
    c •
      { toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
        (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝¹ : Fintype ι
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
x✝ : G
⊢ ({ toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i (c • x)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
        (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i (c • x) i_1‖) ⋯)
      x✝ =
    (c •
        { toFun := fun x_1 ↦ (f x_1) (update m i x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous
          (‖f‖ * ∏ i_1, ‖update m i x i_1‖) ⋯)
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (G →L[𝕜] G')
x y : G
⊢ { toFun := fun m ↦ (f m) (x + y), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ (f m) x, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ (f m) y, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ }

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (G →L[𝕜] G')
x y : G
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ { toFun := fun m ↦ (f m) (x + y), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } x✝ =
    ({ toFun := fun m ↦ (f m) x, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } +
        { toFun := fun m ↦ (f m) y, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ })
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (G →L[𝕜] G')
c : 𝕜
x : G
⊢ { toFun := fun m ↦ (f m) (c • x), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } =
    (RingHom.id 𝕜) c • { toFun := fun m ↦ (f m) x, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ }

Tactic:
ext1

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (G →L[𝕜] G')
c : 𝕜
x : G
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ { toFun := fun m ↦ (f m) (c • x), map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } x✝ =
    ((RingHom.id 𝕜) c • { toFun := fun m ↦ (f m) x, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ }) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : Fintype ι
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖g‖ * ∏ i, ‖((fun i ↦ ↑((fun i ↦ (f i).toContinuousLinearMap) i)) i) (m i)‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i, ‖m i‖

Tactic:
simp only [ContinuousLinearMap.coe_coe, LinearIsometry.coe_toContinuousLinearMap,
    LinearIsometry.norm_map, le_rfl]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ (x * y) • f = x • y • f

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑((x * y) • f) = ↑(x • y • f)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ 1 • f = f

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(1 • f) = ↑f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
⊢ x • 0 = 0

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
⊢ ↑(x • 0) = ↑0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ x • (f + g) = x • f + x • g

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x : 𝕜
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(x • (f + g)) = ↑(x • f + x • g)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ (x + y) • f = x • f + y • f

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
x y : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑((x + y) • f) = ↑(x • f + y • f)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SimpleFuncDenseLp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ 0 • f = 0

Tactic:
ext1

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(0 • f) = ↑0