mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 2 * lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂

Tactic:
rcases key k₁ with h₁ | h₁

Goal state after:
case neg.inl.inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 2 * lj
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂

case neg.inl.inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 2 * lj
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 2 * li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂

Tactic:
rcases key k₁ with h₁ | h₁

Goal state after:
case neg.inl.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 2 * li
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂

case neg.inl.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 2 * li
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 2 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 2 * P.pairing k₁ k₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
⊢ ∑ x ∈ b.support, f x • (P.toLinearMap (P.root x)) (P.coroot i) =
    ∑ x ∈ b.support, f x • (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ x i)

Tactic:
root_coroot_eq_pairing,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
⊢ ∑ x ∈ b.support, f x • P.pairing x i = ∑ x ∈ b.support, f x • (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ x i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 3 * lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂

Tactic:
rcases key k₁ with h₁ | h₁

Goal state after:
case neg.inr.inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 3 * lj
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂

case neg.inr.inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : li = 3 * lj
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 3 * li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂

Tactic:
rcases key k₁ with h₁ | h₁

Goal state after:
case neg.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 3 * li
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = li
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂

case neg.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
k₁ k₂ : ι
hk : P.pairing k₂ k₁ * (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = P.pairing k₁ k₂ * (B.form (P.root k₂)) (P.root k₂)
h₀ : lj = 3 * li
h₁ : (B.form (P.root k₁)) (P.root k₁) = lj
⊢ P.pairing k₁ k₂ = P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₁ k₂ = 3 * P.pairing k₂ k₁ ∨ P.pairing k₂ k₁ = 3 * P.pairing k₁ k₂
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x : ℝ
⊢ ∀ (a b : ℝ), b ≤ a ⊔ b

Tactic:
intro a b
    induction a using Real.ind_mk
    induction b using Real.ind_mk
    rw [← mk_sup, mk_le]
    exact CauSeq.le_sup_right

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hadamard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
n : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : MulZeroOneClass α
A : Matrix n n α
⊢ A ⊙ 1 = 0 ↔ A.diag = 0

Tactic:
by
  simpa using hadamard_one_eq_diagonal_iff (A := A) (d := 0)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case succ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ ↑z).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z = 0
⊢ IsUnit (A ^ (↑z + 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z + 1 = 0

Tactic:
← Int.natCast_succ,

Goal state after:
case succ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ ↑z).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z = 0
⊢ IsUnit (A ^ ↑z.succ).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z.succ = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case pred
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ (-↑z)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z = 0
⊢ IsUnit (A ^ (-(↑z + 1))).det ↔ IsUnit A.det ∨ -(↑z + 1) = 0

Tactic:
← Int.natCast_succ,

Goal state after:
case pred
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ (-↑z)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z = 0
⊢ IsUnit (A ^ (-↑z.succ)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z.succ = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A * A ^ n)⁻¹ * A = (A ^ (↑n + 1))⁻¹ * A

Tactic:
← Int.natCast_succ,

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A * A ^ n)⁻¹ * A = (A ^ ↑n.succ)⁻¹ * A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
⊢ SemiconjBy A (X ^ ↑n) (Y ^ ↑n)

Tactic:
by simp [h.pow_right n]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : PartialOrder R
inst✝⁷ : StarRing R
α : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : StarRing α
inst✝³ : StarOrderedRing α
inst✝² : Algebra α R
inst✝¹ : StarModule α R
inst✝ : PosSMulMono α R
x : Matrix n n R
hx : x.PosSemidef
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ (a • x).PosSemidef

Tactic:
refine ⟨IsSelfAdjoint.smul (.of_nonneg ha) hx.1, fun y => ?_⟩

Goal state after:
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : PartialOrder R
inst✝⁷ : StarRing R
α : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : StarRing α
inst✝³ : StarOrderedRing α
inst✝² : Algebra α R
inst✝¹ : StarModule α R
inst✝ : PosSMulMono α R
x : Matrix n n R
hx : x.PosSemidef
a : α
ha : 0 ≤ a
y : n →₀ R
⊢ 0 ≤ y.sum fun i xi ↦ y.sum fun j xj ↦ star xi * (a • x) i j * xj
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Finite n
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
this : Fintype n
⊢ (Aᴴ * A).PosSemidef

Tactic:
refine .of_dotProduct_mulVec_nonneg (isHermitian_conjTranspose_mul_self _) fun x => ?_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Finite n
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
this : Fintype n
x : n → R
⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ (Aᴴ * A) *ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: case hbc
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
h : (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
x : m ⊕ n → R'
⊢ 0 ≤ star (x ∘ Sum.inr) ⬝ᵥ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) *ᵥ x ∘ Sum.inr

Tactic:
apply (posSemidef_iff_dotProduct_mulVec.mp h).2

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ eval 0 (ascPochhammer S n) = if n = 0 then 1 else 0

Tactic:
cases n
  · simp
  · simp [X_mul, ascPochhammer_succ_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ x ∈ s, C 1 * Lagrange.basis s v x = 1

Tactic:
map_one,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ x ∈ s, 1 * Lagrange.basis s v x = 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
i j : ι₁
hij : i ≠ j
hij' : eι i ≠ eι j
⊢ ⁅prodE eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ j⁆ = 0

Tactic:
simp [Subtype.ext_iff, b₁.lie_e_f_ne i j hij, b₂.lie_e_f_ne _ _ hij']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
⊢ prod eι b₁ b₂ < ⊤

Tactic:
rw [lt_top_iff_ne_top]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
⊢ prod eι b₁ b₂ ≠ ⊤
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
⊢ (bind₁ g).comp (bind₁ f) = bind₁ fun i ↦ (bind₁ g) (f i)

Tactic:
ext1

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
i✝ : σ
⊢ ((bind₁ g).comp (bind₁ f)) (X i✝) = (bind₁ fun i ↦ (bind₁ g) (f i)) (X i✝)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
⊢ (map f).comp C = C.comp f

Tactic:
ext1

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x✝ : R
⊢ ((map f).comp C) x✝ = (C.comp f) x✝
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
f : τ → S
g : σ → MvPolynomial τ R
⊢ (aeval f).comp (bind₁ g) = aeval fun i ↦ (aeval f) (g i)

Tactic:
ext1

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
f : τ → S
g : σ → MvPolynomial τ R
i✝ : σ
⊢ ((aeval f).comp (bind₁ g)) (X i✝) = (aeval fun i ↦ (aeval f) (g i)) (X i✝)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n ↦ LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ∀ (k : ℕ), ((ad R L) ↑x ^ k) ↑y = 0 ↔ y ∈ K k

Tactic:
simp [K, Subtype.ext_iff, coe_ad_pow]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case hlc
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ (nodal (↑G).toFinset Units.val).leadingCoeff = (X ^ Fintype.card ↥G - 1).leadingCoeff

Tactic:
nodal_monic,

Goal state after:
case hlc
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ 1 = (X ^ Fintype.card ↥G - 1).leadingCoeff
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : ∃ a, ↑a = weightedTotalDegree' w p
⊢ weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)

Tactic:
obtain ⟨m, hm⟩ := hp

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
⊢ weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal = I

Tactic:
ext1

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal).toIdeal = I.toIdeal
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} = ⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I

Tactic:
ext1

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ↔ x✝ ∈ ⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ homogeneousHull 𝒜 I = ⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }

Tactic:
ext1

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal =
    (⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }).toIdeal