Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := ⋯
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := ⋯
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := ⋯
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(chartAt H X).symm ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑f.symm X))
⊢ EqOn (↑e.symm) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm) (e.target ∩ e.target)

Tactic:
refine e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := ↑f.symm X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(chartAt H X).symm ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑f.symm X))
⊢ e.source ∩ e.source = (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source ∩ e.source

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := ↑f.symm X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(chartAt H X).symm ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑f.symm X))
⊢ EqOn (↑e) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c')) (e.source ∩ e.source)