Module: Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ ∫ (x : Ω), (∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x, fun a ↦ Y a x).1 i)) * ∏ j, (g j) ((fun a ↦ X a x, fun a ↦ Y a x).2 j) ∂P =
    (∫ (x : Ω), ∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x) i) ∂P) * ∫ (y : (j : T) → F j), ∏ j, (g j) (y j) ∂map (fun c a ↦ Y a c) P

pp: case hφ
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEMeasurable (fun c a ↦ X a c) P

pp: case hfm
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ∏ i, (f i) (x i)) (map (fun c a ↦ X a c) P)

pp: case hφ
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEMeasurable (fun ω ↦ (fun a ↦ X a ω, fun a ↦ Y a ω)) P

pp: case hfm
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun p ↦ (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j))
    (map (fun ω ↦ (fun a ↦ X a ω, fun a ↦ Y a ω)) P)

Tactic:
integral_map

Goal state after:
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ ∫ (x : Ω), (∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x, fun a ↦ Y a x).1 i)) * ∏ j, (g j) ((fun a ↦ X a x, fun a ↦ Y a x).2 j) ∂P =
    (∫ (x : Ω), ∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x) i) ∂P) * ∫ (x : Ω), ∏ j, (g j) ((fun a ↦ Y a x) j) ∂P

case hφ
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEMeasurable (fun c a ↦ Y a c) P

case hfm
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun y ↦ ∏ j, (g j) (y j)) (map (fun c a ↦ Y a c) P)

case hφ
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEMeasurable (fun c a ↦ X a c) P

case hfm
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ∏ i, (f i) (x i)) (map (fun c a ↦ X a c) P)

case hφ
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEMeasurable (fun ω ↦ (fun a ↦ X a ω, fun a ↦ Y a ω)) P

case hfm
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : Fintype S
inst✝¹ : Fintype T
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun p ↦ (∏ i, (f i) (p.1 i)) * ∏ j, (g j) (p.2 j))
    (map (fun ω ↦ (fun a ↦ X a ω, fun a ↦ Y a ω)) P)