mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Category.MonCat.Limits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑(F ⋙ forget MonCat).sections
⊢ CreatesLimit F (forget MonCat)

Tactic:
apply createsLimitOfReflectsIso
  intro c t
  have : Small.{u} (Functor.sections (F ⋙ forget MonCat)) :=
    (Types.hasLimit_iff_small_sections _).mp (HasLimit.mk { cone := c, isLimit := t })
  refine LiftsToLimit.mk (LiftableCone.mk
    { pt := MonCat.of (Types.Small.limitCone (F ⋙ forget MonCat)).pt,
      π := NatTrans.mk
        (fun j => ofHom (limitπMonoidHom F j))
        (MonCat.HasLimits.limitCone F).π.naturality }
    (Cone.ext
      ((Types.isLimitEquivSections t).trans (equivShrink _)).symm.toIso
      (fun _ ↦ ?_))) ?_
  · ext
    simp [Types.isLimitEquivSections]
    simp [← CategoryTheory.comp_apply]
    rfl
  refine IsLimit.ofFaithful (forget MonCat.{u}) (Types.Small.limitConeIsLimit.{v, u} _) ?_ ?_
  · intro _
    refine ofHom
      { toFun := (Types.Small.limitConeIsLimit.{v, u} _).lift ((forget MonCat).mapCone _),
        map_one' := by simp; rfl, map_mul' := ?_ }
    · intro x y
      simp only [Types.Small.limitCone_pt, Functor.comp_obj, Functor.mapCone_pt,
        Types.Small.limitConeIsLimit_lift, Functor.const_obj_obj, Functor.mapCone_π_app,
        ConcreteCategory.hom_ofHom, TypeCat.Fun.coe_mk, map_mul]
      rw [← equivShrink_mul]
      rfl
  · exact fun _ ↦ rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.Trifunctor

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝² : Category.{v_4, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{v_5, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{v_6, u_6} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G G' : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
φ : G ⟶ G'
X₁ : C₁
X₂ Y₂ : C₂
f : X₂ ⟶ Y₂
⊢ ((bifunctorComp₁₂ F₁₂ G).obj X₁).map f ≫ { app := fun X₃ ↦ (φ.app ((F₁₂.obj X₁).obj Y₂)).app X₃, naturality := ⋯ } =
    { app := fun X₃ ↦ (φ.app ((F₁₂.obj X₁).obj X₂)).app X₃, naturality := ⋯ } ≫ ((bifunctorComp₁₂ F₁₂ G').obj X₁).map f

Tactic:
ext X₃
            dsimp
            simp only [← NatTrans.comp_app, NatTrans.naturality]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), f ⊗ₘ g = f ▷ X₂ ≫ Y₁ ◁ g

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : C
f✝ : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g✝ : X₂✝ ⟶ Y₂✝
⊢ f✝ ⊗ₘ g✝ = f✝ ▷ X₂✝ ≫ Y₁✝ ◁ g✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
⊢ ∀ (X Y : C), X ◁ 𝟙 Y = 𝟙 (X ⊗ Y)

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
X✝ Y✝ : C
⊢ X✝ ◁ 𝟙 Y✝ = 𝟙 (X✝ ⊗ Y✝)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
⊢ ∀ (X Y : C), 𝟙 X ▷ Y = 𝟙 (X ⊗ Y)

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
X✝ Y✝ : C
⊢ 𝟙 X✝ ▷ Y✝ = 𝟙 (X✝ ⊗ Y✝)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
⊢ ∀ (W X Y Z : C),
    (α_ W X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom = (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
⊢ (α_ W✝ X✝ Y✝).hom ▷ Z✝ ≫ (α_ W✝ (X✝ ⊗ Y✝) Z✝).hom ≫ W✝ ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).hom =
    (α_ (W✝ ⊗ X✝) Y✝ Z✝).hom ≫ (α_ W✝ X✝ (Y✝ ⊗ Z✝)).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
⊢ ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ X ◁ (λ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ▷ Y

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategoryStruct C
id_tensorHom_id : ∀ (X₁ X₂ : C), 𝟙 X₁ ⊗ₘ 𝟙 X₂ = 𝟙 (X₁ ⊗ X₂)
id_tensorHom : ∀ (X : C) {Y₁ Y₂ : C} (f : Y₁ ⟶ Y₂), 𝟙 X ⊗ₘ f = X ◁ f
tensorHom_id : ∀ {X₁ X₂ : C} (f : X₁ ⟶ X₂) (Y : C), f ⊗ₘ 𝟙 Y = f ▷ Y
tensorHom_comp_tensorHom :
  ∀ {X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (g₁ : Y₁ ⟶ Z₁) (g₂ : Y₂ ⟶ Z₂),
    (f₁ ⊗ₘ f₂) ≫ (g₁ ⊗ₘ g₂) = f₁ ≫ g₁ ⊗ₘ f₂ ≫ g₂
associator_naturality :
  ∀ {X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁) (f₂ : X₂ ⟶ Y₂) (f₃ : X₃ ⟶ Y₃),
    ((f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ≫ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (α_ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (f₁ ⊗ₘ f₂ ⊗ₘ f₃)
leftUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ₘ f) ≫ (λ_ Y).hom = (λ_ X).hom ≫ f
rightUnitor_naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (f ⊗ₘ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ Y).hom = (ρ_ X).hom ≫ f
pentagon :
  ∀ (W X Y Z : C),
    ((α_ W X Y).hom ⊗ₘ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (𝟙 W ⊗ₘ (α_ X Y Z).hom) =
      (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom
triangle : ∀ (X Y : C), (α_ X (𝟙_ C) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ₘ (λ_ Y).hom) = (ρ_ X).hom ⊗ₘ 𝟙 Y
X✝ Y✝ : C
⊢ (α_ X✝ (𝟙_ C) Y✝).hom ≫ X✝ ◁ (λ_ Y✝).hom = (ρ_ X✝).hom ▷ Y✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Category

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ f.inv ▷ Z ≫ f.hom ▷ Z = 𝟙 (Y ⊗ Z)

Tactic:
rw [← comp_whiskerRight, inv_hom_id, id_whiskerRight]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Linear.LinearFunctor

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_2} C
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_3} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : CategoryTheory.Linear R C
inst✝ : CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
⊢ Linear R F → ∀ (X : C) (r : R), F.map (r • 𝟙 X) = r • 𝟙 (F.obj X)

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_2} C
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_3} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : CategoryTheory.Linear R C
inst✝ : CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
⊢ (∀ (X : C) (r : R), F.map (r • 𝟙 X) = r • 𝟙 (F.obj X)) → Linear R F

Tactic:
· intro h X r
    rw [h.map_smul, F.map_id]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_2} C
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_3} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : CategoryTheory.Linear R C
inst✝ : CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
⊢ (∀ (X : C) (r : R), F.map (r • 𝟙 X) = r • 𝟙 (F.obj X)) → Linear R F
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
⊢ ∀ {X Y Z : D}, X ◁ 0 = 0

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ X✝ ◁ 0 = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
⊢ ∀ {X Y Z : D}, 0 ▷ X = 0

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
⊢ 0 ▷ X✝ = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
⊢ ∀ {X Y Z : D} (f g : Y ⟶ Z), X ◁ (f + g) = X ◁ f + X ◁ g

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ X✝ ◁ (f✝ + g✝) = X✝ ◁ f✝ + X✝ ◁ g✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
⊢ ∀ {X Y Z : D} (f g : Y ⟶ Z), (f + g) ▷ X = f ▷ X + g ▷ X

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : D ⥤ C
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (f✝ + g✝) ▷ X✝ = f✝ ▷ X✝ + g✝ ▷ X✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ {X Y Z : ModuleCat R}, X ◁ 0 = 0

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat R
⊢ X✝ ◁ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ {X Y Z : ModuleCat R}, 0 ▷ X = 0

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat R
⊢ 0 ▷ X✝ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ {X Y Z : ModuleCat R} (f g : Y ⟶ Z), X ◁ (f + g) = X ◁ f + X ◁ g

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat R
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ X✝ ◁ (f✝ + g✝) = X✝ ◁ f✝ + X✝ ◁ g✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ {X Y Z : ModuleCat R} (f g : Y ⟶ Z), (f + g) ▷ X = f ▷ X + g ▷ X

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_4
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat R
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (f✝ + g✝) ▷ X✝ = f✝ ▷ X✝ + g✝ ▷ X✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ (X : ModuleCat R) {Y Z : ModuleCat R} (r : R) (f : Y ⟶ Z), X ◁ (r • f) = r • X ◁ f

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat R
r✝ : R
f✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ X✝ ◁ (r✝ • f✝) = r✝ • X✝ ◁ f✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ (r : R) {Y Z : ModuleCat R} (f : Y ⟶ Z) (X : ModuleCat R), (r • f) ▷ X = r • f ▷ X

Tactic:
intros

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
r✝ : R
Y✝ Z✝ : ModuleCat R
f✝ : Y✝ ⟶ Z✝
X✝ : ModuleCat R
⊢ (r✝ • f✝) ▷ X✝ = r✝ • f✝ ▷ X✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
⊢ ∀ (X : C) {Y Z : C} (f : Y ⟶ Z), X ◁ f ≫ (β X Z).hom = (β X Y).hom ≫ f ▷ X

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ X✝ ◁ f✝ ≫ (β X✝ Z✝).hom = (β X✝ Y✝).hom ≫ f✝ ▷ X✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Z : C), f ▷ Z ≫ (β Y Z).hom = (β X Z).hom ≫ Z ◁ f

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
Z✝ : C
⊢ f✝ ▷ Z✝ ≫ (β Y✝ Z✝).hom = (β X✝ Z✝).hom ≫ Z✝ ◁ f✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Concrete

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type u_2
inst✝¹ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝ : ConcreteCategory C FC
⊢ ∀ ⦃X Y : Arrow (Type u)⦄ (f : X ⟶ Y),
    ({ obj := fun f ↦ ↑(Set.range ⇑(TypeCat.Hom.hom f.hom)),
              map := fun {X Y} φ ↦ ↾fun y ↦ ⟨(hom (Arrow.Hom.right φ)) ↑y, ⋯⟩,
              map_id := functorialSurjectiveInjectiveFactorizationData._proof_2,
              map_comp := @functorialSurjectiveInjectiveFactorizationData._proof_3 }.map
          f ≫
        ↾fun y ↦ ↑y) =
      (↾fun y ↦ ↑y) ≫ Arrow.rightFunc.map f

Tactic:
intros

Goal state after:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type u_2
inst✝¹ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝ : ConcreteCategory C FC
X✝ Y✝ : Arrow (Type u)
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ({ obj := fun f ↦ ↑(Set.range ⇑(TypeCat.Hom.hom f.hom)),
            map := fun {X Y} φ ↦ ↾fun y ↦ ⟨(hom (Arrow.Hom.right φ)) ↑y, ⋯⟩,
            map_id := functorialSurjectiveInjectiveFactorizationData._proof_2,
            map_comp := @functorialSurjectiveInjectiveFactorizationData._proof_3 }.map
        f✝ ≫
      ↾fun y ↦ ↑y) =
    (↾fun y ↦ ↑y) ≫ Arrow.rightFunc.map f✝