mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
⊢ s = ⋃ n, s ∩ t n

Tactic:
rw [← inter_iUnion]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
⊢ s = s ∩ ⋃ i, t i
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case refine_1
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑(e'.symm ≫ₕ e).toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ (e'.symm ≫ₕ e).source)

pp: case refine_2
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ↑e' x ∈ (e'.symm ≫ₕ e).source

Tactic:
· intro y hy
        simp only [mfld_simps] at hy
        simp only [hef ⟨hy.1, hy.2.2⟩, mfld_simps]

Goal state after:
case refine_2
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ↑e' x ∈ (e'.symm ≫ₕ e).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))

Tactic:
(extChartAt I x).left_inv (mem_extChartAt_source _)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ t ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' m f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' m g s x

Tactic:
apply hf.congr
    · intro y hy
      simp only [mfld_simps] at hy
      simp only [h, hy, mfld_simps]
    · simp only [hx, mfld_simps]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Prod

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
x : E
⊢ ‖(f.prod g) x‖ ≤ ‖(f, g)‖ * ‖x‖

Tactic:
by
        simpa only [prod_apply, Prod.norm_def, max_mul_of_nonneg, norm_nonneg] using
          max_le_max (le_opNorm f x) (le_opNorm g x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Prod

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
⊢ ‖snd 𝕜 E F‖ = 1

Tactic:
refine le_antisymm (norm_snd_le ..) ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {u : Set H} {f : H → H'},
    IsOpen[inst✝³] u → x ∈ u → (DifferentiableWithinAtProp I I' f s x ↔ DifferentiableWithinAtProp I I' f (s ∩ u) x)

Tactic:
intro s x u f u_open xu

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst✝³] u
xu : x ∈ u
⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' f s x ↔ DifferentiableWithinAtProp I I' f (s ∩ u) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(e.extend I) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)

Tactic:
and_congr_right_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(e.extend I) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x x' : M
y : M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')

Tactic:
and_congr_right_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x x' : M
y : M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x'))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x x' : M
y : M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')

Tactic:
by
  refine (contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans ?_
  rw [← extChartAt_source I] at hx
  rw [← extChartAt_source I'] at hy
  rw [and_congr_right_iff]
  set e := extChartAt I x; set e' := extChartAt I' (f x)
  refine fun hc => contDiffWithinAt_congr_set ?_
  rw [← nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, ← e.image_source_inter_eq',
    ← map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image' hx,
    ← map_extChartAt_nhdsWithin' hx, inter_comm, nhdsWithin_inter_of_mem]
  exact hc (extChartAt_source_mem_nhds' hy)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I 1 M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' 1 M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(e.extend I) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)

Tactic:
and_congr_right_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I 1 M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' 1 M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(e.extend I) x) ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')

Tactic:
and_congr_right_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x'))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔
    ContinuousWithinAt f s x₀ ∧
      ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x ↦ (f x).proj) s x₀ ∧
        ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n
          (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x ↦
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
          s x₀

Tactic:
and_congr_right_iff

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x₀ →
    (ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔
      ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x ↦ (f x).proj) s x₀ ∧
        ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n
          (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x ↦
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
          s x₀)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
hx : MDiffAt[s] f x
⊢ fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) =
    fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
apply fderivWithin_congr_set' (extChartAt I x x)

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
hx : MDiffAt[s] f x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n id x
⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x

Tactic:
rw [contMDiffAt_totalSpace] at this

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
this :
  ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n (fun x ↦ (id x).proj) x ∧
    ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) n (fun x_1 ↦ (↑(trivializationAt F E (id x).proj) (id x_1)).2) x
⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
U : UniqueMDiffAt[range ↑I] y
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
⊢ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = id y

Tactic:
simp only [Function.comp_def, PartialEquiv.right_inv (extChartAt I x) hy, id_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm y) = id (↑(extChartAt I x).symm y)

Tactic:
simp only [Function.comp_def, PartialEquiv.right_inv (extChartAt I x) hy, id_eq]

Goal state after: