mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ ↑(LinearEquiv.det (o.rotation θ).toLinearEquiv) = ↑1

Tactic:
by
    simpa only [LinearEquiv.coe_det, Units.val_one] using o.det_rotation θ

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • o.oangle (-x) y = 2 • o.oangle x y

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ 2 • o.oangle (-x) y = 2 • o.oangle x y

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ 2 • o.oangle (-x) y = 2 • o.oangle x y
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • o.oangle x (-y) = 2 • o.oangle x y

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ 2 • o.oangle x (-y) = 2 • o.oangle x y

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ 2 • o.oangle x (-y) = 2 • o.oangle x y
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : x = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
hx : ¬x = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]

Tactic:
rw [oangle_eq_zero_iff_sameRay, oangle_eq_pi_iff_sameRay_neg,
    sameRay_or_ne_zero_and_sameRay_neg_iff_not_linearIndependent]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ r = 1

Tactic:
by
      apply mul_right_cancel₀ this
      simpa [norm_smul, abs_of_nonneg hr] using h₁

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ ⟪x, y⟫ = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
rcases o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy with (h | h)

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0
⊢ ‖-y‖ / Real.tan (angle x (x + -y)) = ‖x‖

Tactic:
norm_div_tan_angle_add_of_inner_eq_zero h h0

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0
⊢ ‖x‖ = ‖x‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫ = 0

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫ = 0

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

Tactic:
rw [oangle_eq_pi_iff_angle_eq_pi, angle_eq_pi_iff_sbtw]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p : P
h : p₁ ≠ p₂
hd : dist p₁ p = dist p₂ p
⊢ ⟪p₂ -ᵥ p₁, p -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂⟫ = 0

Tactic:
@dist_eq_norm_vsub' V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p : P
h : p₁ ≠ p₂
hd : ‖p -ᵥ p₁‖ = dist p₂ p
⊢ ⟪p₂ -ᵥ p₁, p -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p : P
h : p₁ ≠ p₂
hd : ‖p -ᵥ p₁‖ = dist p₂ p
⊢ ⟪p₂ -ᵥ p₁, p -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂⟫ = 0

Tactic:
@dist_eq_norm_vsub' V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p : P
h : p₁ ≠ p₂
hd : ‖p -ᵥ p₁‖ = ‖p -ᵥ p₂‖
⊢ ⟪p₂ -ᵥ p₁, p -ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₂ -ᵥ p₃‖

Tactic:
norm_div_tan_angle_add_of_inner_eq_zero h h0

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₂ -ᵥ p₃‖ = ‖p₂ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))

Tactic:
by
  have hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1 := by rw [oangle_rotate_sign, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]
  rw [oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs,
    angle_eq_arccos_of_angle_eq_pi_div_two (angle_eq_pi_div_two_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z ↔ o.oangle x y = o.oangle y z ∨ SameRay ℝ x z

Tactic:
by_cases hy : y = 0

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z ↔ o.oangle x y = o.oangle y z ∨ SameRay ℝ x z

case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z ↔ o.oangle x y = o.oangle y z ∨ SameRay ℝ x z
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫ ≠ 0
hd : discrim ⟪v, v⟫ (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫)
⊢ r = 0 ∨ r = (-(2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) - 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) / (2 * ⟪v, v⟫) ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ / ⟪v, v⟫

Tactic:
neg_mul_eq_neg_mul,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫ ≠ 0
hd : discrim ⟪v, v⟫ (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫)
⊢ r = 0 ∨ r = (-2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ - 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) / (2 * ⟪v, v⟫) ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ / ⟪v, v⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₁ p₄
⊢ False

Tactic:
exact hp₃p₄.left_notMem hp₁

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
h : s.IsDiameter p₁ p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ↔ 0 < s.radius

Tactic:
rw [h.left_ne_right_iff_radius_ne_zero, lt_iff_le_and_ne]
  simp [radius_nonneg_of_mem h.left_mem, eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SSameSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = (∠ p₁ p₂ p₄ + π) / 2

Tactic:
have ha' : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ (AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂ p₄) := by
    rw [oangle_pointReflection_right h₃₂ h₄₂]
    exact ha

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SSameSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
ha' : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = (∠ p₁ p₂ p₄ + π) / 2