mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineEquiv

Goal state before:
pp: k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e₁ : P₁ ≃ᴬ[k] P₂
e₂ : P₃ ≃ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ ((↑e₁).prodCongr ↑e₂).toFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e₁ : P₁ ≃ᴬ[k] P₂
e₂ : P₃ ≃ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (e₁ a.1, e₂ a.2)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineEquiv

Goal state before:
pp: k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e₁ : P₁ ≃ᴬ[k] P₂
e₂ : P₃ ≃ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ ((↑e₁).prodCongr ↑e₂).invFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e₁ : P₁ ≃ᴬ[k] P₂
e₂ : P₃ ≃ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (e₁.symm a.1, e₂.symm a.2)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineEquiv

Goal state before:
pp: k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (AffineEquiv.prodAssoc k P₁ P₂ P₃).toFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (a.1.1, a.1.2, a.2)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineEquiv

Goal state before:
pp: k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (AffineEquiv.prodAssoc k P₁ P₂ P₃).invFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
⊢ Continuous fun a ↦ ((a.1, a.2.1), a.2.2)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝²⁹ : Ring R
inst✝²⁸ : AddCommGroup V
inst✝²⁷ : Module R V
inst✝²⁶ : TopologicalSpace P
inst✝²⁵ : AddTorsor V P
inst✝²⁴ : AddCommGroup W
inst✝²³ : Module R W
inst✝²² : TopologicalSpace Q
inst✝²¹ : AddTorsor W Q
W₂ : Type u_6
Q₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
Q₃ : Type u_9
inst✝²⁰ : AddCommGroup W₂
inst✝¹⁹ : Module R W₂
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace Q₂
inst✝¹⁷ : AddTorsor W₂ Q₂
k : Type u_10
P₁ : Type u_11
P₂ : Type u_12
P₃ : Type u_13
P₄ : Type u_14
V₁ : Type u_15
V₂ : Type u_16
V₃ : Type u_17
V₄ : Type u_18
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
f : P₁ →ᴬ[k] P₂
g : P₁ →ᴬ[k] P₃
⊢ Continuous fun a ↦ ((↑f).prod ↑g).toFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝²⁹ : Ring R
inst✝²⁸ : AddCommGroup V
inst✝²⁷ : Module R V
inst✝²⁶ : TopologicalSpace P
inst✝²⁵ : AddTorsor V P
inst✝²⁴ : AddCommGroup W
inst✝²³ : Module R W
inst✝²² : TopologicalSpace Q
inst✝²¹ : AddTorsor W Q
W₂ : Type u_6
Q₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
Q₃ : Type u_9
inst✝²⁰ : AddCommGroup W₂
inst✝¹⁹ : Module R W₂
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace Q₂
inst✝¹⁷ : AddTorsor W₂ Q₂
k : Type u_10
P₁ : Type u_11
P₂ : Type u_12
P₃ : Type u_13
P₄ : Type u_14
V₁ : Type u_15
V₂ : Type u_16
V₃ : Type u_17
V₄ : Type u_18
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
f : P₁ →ᴬ[k] P₂
g : P₁ →ᴬ[k] P₃
⊢ Continuous fun a ↦ (f a, g a)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝²⁹ : Ring R
inst✝²⁸ : AddCommGroup V
inst✝²⁷ : Module R V
inst✝²⁶ : TopologicalSpace P
inst✝²⁵ : AddTorsor V P
inst✝²⁴ : AddCommGroup W
inst✝²³ : Module R W
inst✝²² : TopologicalSpace Q
inst✝²¹ : AddTorsor W Q
W₂ : Type u_6
Q₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
Q₃ : Type u_9
inst✝²⁰ : AddCommGroup W₂
inst✝¹⁹ : Module R W₂
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace Q₂
inst✝¹⁷ : AddTorsor W₂ Q₂
k : Type u_10
P₁ : Type u_11
P₂ : Type u_12
P₃ : Type u_13
P₄ : Type u_14
V₁ : Type u_15
V₂ : Type u_16
V₃ : Type u_17
V₄ : Type u_18
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
f : P₁ →ᴬ[k] P₂
g : P₃ →ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ ((↑f).prodMap ↑g).toFun a

Tactic:
dsimp

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝²⁹ : Ring R
inst✝²⁸ : AddCommGroup V
inst✝²⁷ : Module R V
inst✝²⁶ : TopologicalSpace P
inst✝²⁵ : AddTorsor V P
inst✝²⁴ : AddCommGroup W
inst✝²³ : Module R W
inst✝²² : TopologicalSpace Q
inst✝²¹ : AddTorsor W Q
W₂ : Type u_6
Q₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
Q₃ : Type u_9
inst✝²⁰ : AddCommGroup W₂
inst✝¹⁹ : Module R W₂
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace Q₂
inst✝¹⁷ : AddTorsor W₂ Q₂
k : Type u_10
P₁ : Type u_11
P₂ : Type u_12
P₃ : Type u_13
P₄ : Type u_14
V₁ : Type u_15
V₂ : Type u_16
V₃ : Type u_17
V₄ : Type u_18
inst✝¹⁶ : Ring k
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁴ : Module k V₁
inst✝¹³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹² : TopologicalSpace P₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : TopologicalSpace P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝ : TopologicalSpace P₄
f : P₁ →ᴬ[k] P₂
g : P₃ →ᴬ[k] P₄
⊢ Continuous fun a ↦ (f a.1, g a.2)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f

Tactic:
exact (setToL1SCLM_congr_left' hT hT' h f).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ ‖2‖ * ‖x -ᵥ y‖ = ‖2‖ * dist x y

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub V

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ ‖2‖ * dist x y = ‖2‖ * dist x y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ < ∞
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
s : Finset ι
hs : ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ < ∑ b ∈ s, (fun i ↦ ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i) b + ↑ε
ν : Measure X
hf : Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ∧ Integrable f ν
hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ
⊢ ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂ν < ↑ε

Tactic:
rw [← hν, lintegral_add_measure, lintegral_finsetSum_measure] at hs

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ < ∞
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
s : Finset ι
ν : Measure X
hs : ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i + ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂ν < ∑ b ∈ s, (fun i ↦ ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i) b + ↑ε
hf : Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ∧ Integrable f ν
hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ
⊢ ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂ν < ↑ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass X
x : ι → X
c : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
hc : ∀ (i : ι), c i ≠ ∞
hf : ¬Integrable f (Measure.sum fun i ↦ c i • Measure.dirac (x i))
⊢ (∫ (x : X), f x ∂Measure.sum fun i ↦ c i • Measure.dirac (x i)) = ∑' (i : ι), (c i).toReal • f (x i)

Tactic:
integral_undef hf,

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass X
x : ι → X
c : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
hc : ∀ (i : ι), c i ≠ ∞
hf : ¬Integrable f (Measure.sum fun i ↦ c i • Measure.dirac (x i))
⊢ 0 = ∑' (i : ι), (c i).toReal • f (x i)
Module: Mathlib.Topology.Bornology.BoundedOperation

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : LipschitzMul R
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
C : ℝ≥0
mul_lip : LipschitzWith C fun p ↦ p.1 * p.2
p : R
⊢ (∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a * b = p) → p ∈ s * t

Tactic:
intro ⟨a, b, ⟨a_in_s, b_in_t⟩, eq_p⟩

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : LipschitzMul R
s t : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
t_bdd : Bornology.IsBounded t
bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
C : ℝ≥0
mul_lip : LipschitzWith C fun p ↦ p.1 * p.2
p a b : R
a_in_s : a ∈ s
b_in_t : b ∈ t
eq_p : a * b = p
⊢ p ∈ s * t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case hfm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ∞
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a ↦ ‖f a‖ ^ p.toReal) μ

pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ∞
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)

Tactic:
· exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ∞
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case hbc
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
f g : α →ᵇ β
x : α
⊢ dist (f x) (g x) ≤ dist f g

Tactic:
apply dist_coe_le_dist

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
⊢ IsOpen {f | ↑n ≤ (↑f).rank}

Tactic:
simp only [LinearMap.le_rank_iff_exists_linearIndependent_finset, ofPred_exists, ← exists_prop]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
⊢ IsOpen (⋃ i, ⋃ (_ : i.card = n), {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑i) ↦ ↑x ↑x_1})
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case hbc
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero 𝕜
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f₁ f₂ : α →ᵇ β
x : α
⊢ dist (f₁ x) (f₂ x) ≤ dist f₁ f₂

Tactic:
apply dist_coe_le_dist

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : SecondCountableTopology F
⊢ SecondCountableTopology (E →L[𝕜] F)

Tactic:
by
  let d := Module.finrank 𝕜 E
  let e₁ : E ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 :=
    ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq (finrank_fin_fun 𝕜).symm
  let e₂ : (E →L[𝕜] F) ≃L[𝕜] Fin d → F :=
    (e₁.arrowCongr (1 : F ≃L[𝕜] F)).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
  exact e₂.toHomeomorph.secondCountableTopology

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Normed

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f : α →ᵇ β
h : Nonempty α
⊢ ‖f‖ = sInf {C | ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}

Tactic:
by
  obtain ⟨a⟩ := h
  rw [norm_eq]
  congr
  ext
  simp only [and_iff_right_iff_imp]
  exact fun h' => le_trans (norm_nonneg (f a)) (h' a)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n ↦ 1 ≤ ‖f m - f n‖

Tactic:
rcases exists_seq_norm_le_one_le_norm_sub' hc A h with ⟨f, hf⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
f : ℕ → E
hf : (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1) ∧ Pairwise fun m n ↦ 1 ≤ ‖f m - f n‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n ↦ 1 ≤ ‖f m - f n‖
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Normed

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ f x = (toReal ∘ ⇑f.nnrealPart - toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) x

Tactic:
dsimp

Goal state after:
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ f x = max (f x) 0 - max (-f x) 0
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Normed

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ (abs ∘ ⇑f) x = (toReal ∘ ⇑f.nnrealPart + toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) x

Tactic:
dsimp

Goal state after:
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ |f x| = max (f x) 0 + max (-f x) 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
⊢ Summable fun x ↦ ‖g x‖

Tactic:
have : ∀ i, Summable fun x => ‖g x i‖ := fun i => (Pi.summable.1 hg i).abs

Goal state after:
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g
this : ∀ (i : Fin N), Summable fun x ↦ ‖g x i‖
⊢ Summable fun x ↦ ‖g x‖
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Compact

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
inst✝ : Fintype α
⊢ ‖⇑f‖ ≤ ‖f‖

Tactic:
rw [pi_norm_le_iff_of_nonneg (by positivity)]

Goal state after:
case a
α : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
f : C(α, E)
inst✝ : Fintype α
⊢ ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖f‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
⊢ ε / 2 / c'.toReal > 0 ∧
    ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < ε / 2 / c'.toReal → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε

Tactic:
refine ⟨div_pos (half_pos hε_pos) (toReal_pos hc'0 hc'), ?_⟩

Goal state after:
case h
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
⊢ ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < ε / 2 / c'.toReal → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.ThickenedIndicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝ : One β
f : α → β
E : Set α
x : α
x_mem_closure : x ∈ closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E
δ : ℝ
a✝ : δ ∈ univ
⊢ (cthickening δ E).mulIndicator f x =
    (closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E).mulIndicator f x

Tactic:
have obs : x ∈ cthickening δ E := closure_subset_cthickening δ E x_mem_closure

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝ : One β
f : α → β
E : Set α
x : α
x_mem_closure : x ∈ closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E
δ : ℝ
a✝ : δ ∈ univ
obs : x ∈ cthickening δ E
⊢ (cthickening δ E).mulIndicator f x =
    (closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E).mulIndicator f x
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightLim

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h : ContinuousAt f x
⊢ leftLim f x = rightLim f x

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h : leftLim f x = rightLim f x
⊢ ContinuousAt f x

Tactic:
· have A : leftLim f x = f x :=
      hf.continuousWithinAt_Iio_iff_leftLim_eq.1 h.continuousWithinAt
    have B : rightLim f x = f x :=
      hf.continuousWithinAt_Ioi_iff_rightLim_eq.1 h.continuousWithinAt
    exact A.trans B.symm

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h : leftLim f x = rightLim f x
⊢ ContinuousAt f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ∞
hF : CompleteSpace F
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x ↦ ‖f i x‖ₑ) μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n ↦ ↑‖f n a‖₊

Tactic:
rw [← lintegral_tsum hf''] at hf'

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ∞
hF : CompleteSpace F
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x ↦ ‖f i x‖ₑ) μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n ↦ ↑‖f n a‖₊