mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.CalculusOfFractions

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
⊢ eX.symm.hom ≫ (L.mapArrow.obj (Arrow.mk φ.f)).hom = f.hom ≫ (eY.symm ≪≫ isoOfHom L W φ.s ⋯).hom

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
⊢ eX.inv ≫ L.map φ.f = f.hom ≫ eY.inv ≫ L.map φ.s
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.HomologicalFunctor

Goal state before:
pp: C : Type u_1
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : HasShift C ℤ
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
F : C ⥤ A
inst✝⁶ : HasZeroObject C
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).app T.obj₃).hom ≫
      { X₁ := (F.shift n₀).obj T.obj₃, X₂ := (F.shift n₁).obj T.obj₁, X₃ := (F.shift n₁).obj T.obj₂,
          f := F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h, g := (F.shift n₁).map T.mor₁, zero := ⋯ }.f =
    { X₁ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₁, X₂ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₂,
          X₃ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₃, f := (F.shift n₁).map T.invRotate.mor₁,
          g := (F.shift n₁).map T.invRotate.mor₂, zero := ⋯ }.f ≫
      (Iso.refl
          { X₁ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₁, X₂ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₂,
              X₃ := (F.shift n₁).obj T.invRotate.obj₃, f := (F.shift n₁).map T.invRotate.mor₁,
              g := (F.shift n₁).map T.invRotate.mor₂, zero := ⋯ }.X₂).hom

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : HasShift C ℤ
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
F : C ⥤ A
inst✝⁶ : HasZeroObject C
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).hom.app T.obj₃) ≫ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h =
    (F.shift n₁).map (-(shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁) ≫
      𝟙 ((F.shift n₁).obj T.obj₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.InducedShiftSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
a : M
K : C
⊢ (((whiskeringLeft C D A).obj L).map (induced.shiftIso L G M F' e' 0 a a ⋯).hom).app K =
    (((whiskeringLeft C D A).obj L).map (isoWhiskerRight (shiftFunctorZero D M) (F' a) ≪≫ (F' a).leftUnitor).hom).app K

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
a : M
K : C
⊢ (induced.shiftIso L G M F' e' 0 a a ⋯).hom.app (L.obj K) =
    (F' a).map ((shiftFunctorZero D M).hom.app (L.obj K)) ≫ 𝟙 ((F' a).obj (L.obj K))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.InducedShiftSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : C
⊢ (((whiskeringLeft C D A).obj L).map (induced.shiftIso L G M F' e' (m + n) a a'' ⋯).hom).app K =
    (((whiskeringLeft C D A).obj L).map
          (isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd D m n) (F' a) ≪≫
              (shiftFunctor D m).associator (shiftFunctor D n) (F' a) ≪≫
                (shiftFunctor D m).isoWhiskerLeft (induced.shiftIso L G M F' e' n a a' ha') ≪≫
                  induced.shiftIso L G M F' e' m a' a'' ha'').hom).app
      K

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : C
⊢ (induced.shiftIso L G M F' e' (m + n) a a'' ⋯).hom.app (L.obj K) =
    (F' a).map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app (L.obj K)) ≫
      𝟙 ((F' a).obj ((shiftFunctor D n).obj ((shiftFunctor D m).obj (L.obj K)))) ≫
        (induced.shiftIso L G M F' e' n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor D m).obj (L.obj K)) ≫
          (induced.shiftIso L G M F' e' m a' a'' ha'').hom.app (L.obj K)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.InducedShiftSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : C
⊢ (F' a).map
        ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app (L.obj K) ≫
          (shiftFunctor D n).map ((commShiftIso L m).inv.app K) ≫
            (commShiftIso L n).inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
      (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
        (G.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫
          (G.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app K ≫ (e' a'').inv.app K =
    (F' a).map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app (L.obj K)) ≫
      (shiftFunctor D n ⋙ F' a).map ((commShiftIso L m).inv.app K) ≫
        ((F' a).map ((commShiftIso L n).inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
            (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
              (G.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫ (e' a').inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
          (e' a').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫ (G.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app K ≫ (e' a'').inv.app K

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝³ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝² : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : L.CommShift M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : C
⊢ (F' a).map
        ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app (L.obj K) ≫
          (shiftFunctor D n).map ((commShiftIso L m).inv.app K) ≫
            (commShiftIso L n).inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
      (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
        (G.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫
          (G.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app K ≫ (e' a'').inv.app K =
    (F' a).map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app (L.obj K)) ≫
      (F' a).map ((shiftFunctor D n).map ((commShiftIso L m).inv.app K)) ≫
        ((F' a).map ((commShiftIso L n).inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
            (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
              (G.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫ (e' a').inv.app ((shiftFunctor C m).obj K)) ≫
          (e' a').hom.app ((shiftFunctor C m).obj K) ≫ (G.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app K ≫ (e' a'').inv.app K
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.ShiftedHom

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
M : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : HasShift C M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
d : M
h : ShiftedHom Z T d
⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp ((mk₀ 0 ⋯ g).comp h ⋯) ⋯ = (mk₀ 0 ⋯ (f ≫ g)).comp h ⋯

Tactic:
rw [← comp_assoc, mk₀_comp_mk₀]

Goal state after:
case h₁₂
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
M : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : HasShift C M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
d : M
h : ShiftedHom Z T d
⊢ 0 + 0 = 0

case h
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
M : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : HasShift C M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
d : M
h : ShiftedHom Z T d
⊢ d + 0 + 0 = d
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Retract

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : MorphismProperty C
h : a✝ ≤ b✝
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ a✝.retracts f✝ → b✝.retracts f✝

Tactic:
⟨_, _, _, hg, hg'⟩

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : MorphismProperty C
h : a✝ ≤ b✝
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
w✝² w✝¹ : C
w✝ : w✝² ⟶ w✝¹
hg : RetractArrow f✝ w✝
hg' : a✝ w✝
⊢ b✝.retracts f✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.ShiftedHom

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
M : Type u_4
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : HasShift C M
X Y Z : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ comp 0 β h = 0

Tactic:
by
  rw [comp, Limits.zero_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasShift C ℤ
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : HasZeroObject D
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_3, u_3} E
inst✝¹ : HasShift E ℤ
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsTriangulatedClosed₂
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X₁ : C
h₁ : P X₁
e₁ : T.obj₁ ≅ X₁
X₃ : C
h₃ : P X₃
e₃ : T.obj₃ ≅ X₃
⊢ (Triangle.mk (e₁.inv ≫ T.mor₁) (T.mor₂ ≫ e₃.hom) (e₃.inv ≫ T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map e₁.hom)).mor₃ ≫
      (shiftFunctor C 1).map e₁.symm.hom =
    e₃.symm.hom ≫ T.mor₃

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasShift C ℤ
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : HasZeroObject D
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_3, u_3} E
inst✝¹ : HasShift E ℤ
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsTriangulatedClosed₂
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X₁ : C
h₁ : P X₁
e₁ : T.obj₁ ≅ X₁
X₃ : C
h₃ : P X₃
e₃ : T.obj₃ ≅ X₃
⊢ (e₃.inv ≫ T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map e₁.hom) ≫ (shiftFunctor C 1).map e₁.inv = e₃.inv ≫ T.mor₃
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q P' : ObjectProperty C
h : P ≤ P'
⊢ P.extensionProduct Q ≤ P'.extensionProduct Q

Tactic:
intro X ⟨Y, Z, f, g, k, hT, hP, hQ⟩

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q P' : ObjectProperty C
h : P ≤ P'
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : X ⟶ Z
k : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Y
hT : Triangle.mk f g k ∈ distinguishedTriangles
hP : P Y
hQ : Q Z
⊢ P'.extensionProduct Q X
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q Q' : ObjectProperty C
h : Q ≤ Q'
⊢ P.extensionProduct Q ≤ P.extensionProduct Q'

Tactic:
intro X ⟨Y, Z, f, g, k, hT, hP, hQ⟩

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q Q' : ObjectProperty C
h : Q ≤ Q'
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : X ⟶ Z
k : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Y
hT : Triangle.mk f g k ∈ distinguishedTriangles
hP : P Y
hQ : Q Z
⊢ P.extensionProduct Q' X
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
⊢ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁ =
    a₃ ≫ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₃

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
⊢ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁ = a₃ ≫ b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₁
ha₂₃ : (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₂
⊢ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map b₁ =
    b₃ ≫ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₃

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₁
ha₂₃ : (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ (Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁)).mor₂
⊢ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map b₁ = b₃ ≫ f₃
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : f₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ g₁
ha₂₃ : f₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ g₂
b₂ : X' ⟶ X
hb₁₂ : g₁ ≫ b₂ = b₁ ≫ f₁
hb₂₃ : g₂ ≫ b₃ = b₂ ≫ f₂
⊢ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₁ ≫ a₂ ≫ b₂ = 𝟙 A ≫ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₁

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : f₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ g₁
ha₂₃ : f₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ g₂
b₂ : X' ⟶ X
hb₁₂ : g₁ ≫ b₂ = b₁ ≫ f₁
hb₂₃ : g₂ ≫ b₃ = b₂ ≫ f₂
⊢ f₁ ≫ a₂ ≫ b₂ = 𝟙 A ≫ f₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Subcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : f₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ g₁
ha₂₃ : f₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ g₂
b₂ : X' ⟶ X
hb₁₂ : g₁ ≫ b₂ = b₁ ≫ f₁
hb₂₃ : g₂ ≫ b₃ = b₂ ≫ f₂
⊢ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₂ ≫ 𝟙 B = (a₂ ≫ b₂) ≫ (Triangle.mk f₁ f₂ f₃).mor₂

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
P Q : ObjectProperty C
X A B : C
f₁ : A ⟶ X
f₂ : X ⟶ B
f₃ : B ⟶ (shiftFunctor C 1).obj A
hT : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
A' : C
hP : P A'
a₁ : A ⟶ A'
b₁ : A' ⟶ A
h₁ : a₁ ≫ b₁ = 𝟙 A
B' : C
hQ : Q B'
a₃ : B ⟶ B'
b₃ : B' ⟶ B
h₃ : a₃ ≫ b₃ = 𝟙 B
X' : C
g₁ : A' ⟶ X'
g₂ : X' ⟶ B'
hT' : Triangle.mk g₁ g₂ (b₃ ≫ f₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a₁) ∈ distinguishedTriangles
a₂ : X ⟶ X'
ha₁₂ : f₁ ≫ a₂ = a₁ ≫ g₁
ha₂₃ : f₂ ≫ a₃ = a₂ ≫ g₂
b₂ : X' ⟶ X
hb₁₂ : g₁ ≫ b₂ = b₁ ≫ f₁
hb₂₃ : g₂ ≫ b₃ = b₂ ≫ f₂
⊢ f₂ ≫ 𝟙 B = (a₂ ≫ b₂) ≫ f₂
Module: Mathlib.Algebra.Homology.QuasiIso

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
X✝ Y✝ Z✝ : HomologicalComplex C c
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
hg : QuasiIso g
hfg : QuasiIso (f ≫ g)
⊢ QuasiIso f

Tactic:
← quasiIso_iff_comp_right f g

Goal state after:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
X✝ Y✝ Z✝ : HomologicalComplex C c
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
hg : QuasiIso g
hfg : QuasiIso (f ≫ g)
⊢ QuasiIso (f ≫ g)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.Acyclic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
⊢ quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) = (subcategoryAcyclic C).trW

Tactic:
ext K L f
  exact ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).mem_homologicalKernel_trW_iff f).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Localization

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : CategoryWithHomology C
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : QuasiIso x✝
⊢ IsIso ((homologyFunctor C c i).map x✝)

Tactic:
dsimp

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : CategoryWithHomology C
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : QuasiIso x✝
⊢ IsIso (homologyMap x✝ i)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.ShiftSequence

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ((shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K).τ₁ =
    ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map
          ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫
        (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app
            ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫
          (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K).τ₁

Tactic:
dsimp

Goal state after:
case h₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ mn.negOnePow • (XIsoOfEq K ⋯).hom =
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K).f ((up ℤ).prev a) ≫
      (n.negOnePow • (XIsoOfEq ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ⋯).hom) ≫
        (m.negOnePow • (XIsoOfEq K ⋯).hom)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.ShiftSequence

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ((shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K).τ₂ =
    ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map
          ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫
        (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app
            ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫
          (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K).τ₂

Tactic:
dsimp

Goal state after:
case h₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (XIsoOfEq K ⋯).hom =
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K).f a ≫
      (XIsoOfEq ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom