Module: Mathlib.Probability.Martingale.OptionalStopping

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
τ π : Ω → ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ ↑N
⊢ 0 ≤ ∫ (a : Ω), (fun ω ↦ (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ ↑i ∧ ↑i < π ω}.indicator (f (i + 1) - f i)) ω) a ∂μ

pp: case hf
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
τ π : Ω → ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ ↑N
⊢ Integrable (stoppedValue f π) μ

pp: case hg
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
τ π : Ω → ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ ↑N
⊢ Integrable (stoppedValue f τ) μ

Tactic:
· simp only [Finset.sum_apply]
    have : ∀ i, MeasurableSet[𝒢 i] {ω : Ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω} := by
      intro i
      refine (hτ i).inter ?_
      convert! (hπ i).compl using 1
      ext x
      simp; rfl
    rw [integral_finsetSum]
    · refine Finset.sum_nonneg fun i _ => ?_
      rw [integral_indicator (𝒢.le _ _ (this _)), integral_sub', sub_nonneg]
      · exact hf.setIntegral_le (Nat.le_succ i) (this _)
      · exact (hf.integrable _).integrableOn
      · exact (hf.integrable _).integrableOn
    intro i _
    exact Integrable.indicator (Integrable.sub (hf.integrable _) (hf.integrable _))
      (𝒢.le _ _ (this _))

Goal state after:
case hf
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
τ π : Ω → ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ ↑N
⊢ Integrable (stoppedValue f π) μ

case hg
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
τ π : Ω → ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
f : ℕ → Ω → E
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ ↑N
⊢ Integrable (stoppedValue f τ) μ