mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Convex.ConvexSpace.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
X : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
I : Type u_6
J : Type u_7
K : Type u_8
inst✝² : Semifield K
inst✝¹ : LinearOrder K
inst✝ : IsStrictOrderedRing K
w : StdSimplex K X
s : Set X
hs : ∃ x ∈ s, w.weights x ≠ 0
x✝ : X
⊢ 0 x✝ ≤ (filter (fun x ↦ x ∈ s) w.weights) x✝

Tactic:
simp [filter_apply, apply_ite]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Convex.ConvexSpace.AffineSpace

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AffineSpace V P
f : StdSimplex R (StdSimplex R P)
b : P
hL :
  (Finset.affineCombination R (StdSimplex.map convexCombination f).weights.support id)
      ⇑(StdSimplex.map convexCombination f).weights =
    ((StdSimplex.map convexCombination f).weights.support.weightedVSubOfPoint id b)
        ⇑(StdSimplex.map convexCombination f).weights +ᵥ
      b
hR :
  (Finset.affineCombination R f.join.weights.support id) ⇑f.join.weights =
    (f.join.weights.support.weightedVSubOfPoint id b) ⇑f.join.weights +ᵥ b
h : P → R → V := fun x w ↦ w • (x -ᵥ b)
h_rhs :
  ∑ a ∈ (∑ d ∈ f.weights.support, f.weights d • d.weights).support,
      h a ((∑ d ∈ f.weights.support, f.weights d • d.weights) a) =
    ∑ d ∈ f.weights.support, ∑ a ∈ (f.weights d • d.weights).support, h a ((f.weights d • d.weights) a)
d : StdSimplex R P
hd : ¬f.weights d = 0
⊢ d.weights.support = (f.weights d • d.weights).support

Tactic:
ext p

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AffineSpace V P
f : StdSimplex R (StdSimplex R P)
b : P
hL :
  (Finset.affineCombination R (StdSimplex.map convexCombination f).weights.support id)
      ⇑(StdSimplex.map convexCombination f).weights =
    ((StdSimplex.map convexCombination f).weights.support.weightedVSubOfPoint id b)
        ⇑(StdSimplex.map convexCombination f).weights +ᵥ
      b
hR :
  (Finset.affineCombination R f.join.weights.support id) ⇑f.join.weights =
    (f.join.weights.support.weightedVSubOfPoint id b) ⇑f.join.weights +ᵥ b
h : P → R → V := fun x w ↦ w • (x -ᵥ b)
h_rhs :
  ∑ a ∈ (∑ d ∈ f.weights.support, f.weights d • d.weights).support,
      h a ((∑ d ∈ f.weights.support, f.weights d • d.weights) a) =
    ∑ d ∈ f.weights.support, ∑ a ∈ (f.weights d • d.weights).support, h a ((f.weights d • d.weights) a)
d : StdSimplex R P
hd : ¬f.weights d = 0
p : P
⊢ p ∈ d.weights.support ↔ p ∈ (f.weights d • d.weights).support
Module: Mathlib.Geometry.Convex.ConvexSpace.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : ConvexSpace R M
s t : R
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
h : s + t = 1
s' t' : R
hs' : 0 ≤ s'
ht' : 0 ≤ t'
h' : s' + t' = 1
s'' t'' : R
hs'' : 0 ≤ s''
ht'' : 0 ≤ t''
h'' : s'' + t'' = 1
H : t * s'' = s * t' * t''
m₁ m₂ m₃ : M
⊢ convexCombPair s t hs ht h (convexCombPair s' t' hs' ht' h' m₁ m₂) m₃ =
    convexCombPair (s * s') (s * t' + t) ⋯ ⋯ ⋯ m₁ (convexCombPair s'' t'' hs'' ht'' h'' m₂ m₃)

Tactic:
convexCombPair_convexCombPair_left_eq_sConvexComb,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : ConvexSpace R M
s t : R
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
h : s + t = 1
s' t' : R
hs' : 0 ≤ s'
ht' : 0 ≤ t'
h' : s' + t' = 1
s'' t'' : R
hs'' : 0 ≤ s''
ht'' : 0 ≤ t''
h'' : s'' + t'' = 1
H : t * s'' = s * t' * t''
m₁ m₂ m₃ : M
⊢ sConvexComb (convexCombPair s t hs ht h (duple m₁ m₂ hs' ht' h') (StdSimplex.single m₃)) =
    convexCombPair (s * s') (s * t' + t) ⋯ ⋯ ⋯ m₁ (convexCombPair s'' t'' hs'' ht'' h'' m₂ m₃)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • (Set.Iic e).piecewise f g x + b • (Set.Iic e).piecewise f g y

Tactic:
Set.piecewise_eq_of_mem (Set.Iic e) f g hx,

Goal state after:
case inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • (Set.Iic e).piecewise f g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • (Set.Iic e).piecewise f g x + b • (Set.Iic e).piecewise f g y

Tactic:
Set.piecewise_eq_of_mem (Set.Iic e) f g hx,

Goal state after:
case inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • (Set.Iic e).piecewise f g y
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v : V
⊢ ¬↑x v v = true

Tactic:
by simp [x.2.2]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
⊢ w ∈ ∅

Tactic:
exact h'.2 h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StrictCombination

Goal state before:
pp: case insert
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
⊢ w j' ≠ 0 → (∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s) → (insert i t).centerMass w z ∈ interior s

Tactic:
hj'0

Goal state after:
case insert
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
⊢ (∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s) → (insert i t).centerMass w z ∈ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StrictCombination

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
ws : ∀ j ∈ t, w j = 0
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ interior s

Tactic:
have h : i' ∈ t ∨ j' ∈ t := by grind

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
ws : ∀ j ∈ t, w j = 0
h : i' ∈ t ∨ j' ∈ t
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StrictCombination

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
ws : ∀ j ∈ t, w j = 0
h : i' ∈ t ∨ j' ∈ t
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ interior s

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
ws : ∀ j ∈ t, w j = 0
h : i' ∈ t ∨ j' ∈ t
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StoneSeparation

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q x y : E
az bz : 𝕜
haz : 0 ≤ az
hbz : 0 ≤ bz
habz : az + bz = 1
haz' : 0 < az
av bv : 𝕜
hav : 0 ≤ av
hbv : 0 ≤ bv
habv : av + bv = 1
hav' : 0 < av
au bu : 𝕜
hau : 0 ≤ au
hbu : 0 ≤ bu
habu : au + bu = 1
hab : 0 < az * av + bz * au
w : Fin 3 → 𝕜 := ![az * av * bu, bz * au * bv, au * av]
⊢ (az * av / (az * av + bz * au)) • (au • x + bu • p) + (bz * au / (az * av + bz * au)) • (av • y + bv • q) ∈
    (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}

Tactic:
let z : Fin 3 → E := ![p, q, az • x + bz • y]

Goal state after:
case inr.inr.refine_4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q x y : E
az bz : 𝕜
haz : 0 ≤ az
hbz : 0 ≤ bz
habz : az + bz = 1
haz' : 0 < az
av bv : 𝕜
hav : 0 ≤ av
hbv : 0 ≤ bv
habv : av + bv = 1
hav' : 0 < av
au bu : 𝕜
hau : 0 ≤ au
hbu : 0 ≤ bu
habu : au + bu = 1
hab : 0 < az * av + bz * au
w : Fin 3 → 𝕜 := ![az * av * bu, bz * au * bv, au * av]
z : Fin 3 → E := ![p, q, az • x + bz • y]
⊢ (az * av / (az * av + bz * au)) • (au • x + bu • p) + (bz * au / (az * av + bz * au)) • (av • y + bv • q) ∈
    (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StrictCombination

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi✝ : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
hi : ¬w i = 0
hzi : z i = t.centerMass w z
hwi : w i + ∑ j ∈ t, w j ≠ 0
hijt : ∀ (i'' j'' : ι), i'' ∈ t → j'' ∈ t → z i'' ≠ z j'' → w i'' ≠ 0 → w j'' = 0
⊢ t.centerMass w z ∈ interior s

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
s : Set V
w : ι → R
z : ι → V
hs : StrictConvex R s
i : ι
t : Finset ι
hi✝ : i ∉ t
ht :
  (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) →
    ∀ (i j : ι), i ∈ t → j ∈ t → z i ≠ z j → w i ≠ 0 → w j ≠ 0 → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ interior s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
i' j' : ι
hi' : i' ∈ insert i t
hj' : j' ∈ insert i t
hi'j' : z i' ≠ z j'
hi'0 : w i' ≠ 0
hj'0 : w j' ≠ 0
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
hi : ¬w i = 0
hzi : z i = t.centerMass w z
hwi : w i + ∑ j ∈ t, w j ≠ 0
hijt : ∀ (i'' j'' : ι), i'' ∈ t → j'' ∈ t → z i'' ≠ z j'' → w i'' ≠ 0 → w j'' = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ False

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y = p₂
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ False

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
h : y = p₂
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WSameSide x y
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
⊢ s.WOppSide x z

Tactic:
rcases hxy with ⟨p₁, hp₁, p₂, hp₂, hxy⟩
  rw [wOppSide_iff_exists_left hp₂, or_iff_right hy] at hyz
  rcases hyz with ⟨p₃, hp₃, hyz⟩
  refine ⟨p₁, hp₁, p₃, hp₃, hxy.trans hyz ?_⟩
  refine fun h => False.elim ?_
  rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h
  exact hy (h.symm ▸ hp₂)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
h : p₂ -ᵥ y = 0
⊢ False

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
h : p₂ = y
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x -ᵥ p₁ = 0
⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x = p₁
⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₂ -ᵥ y = 0
⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₂ = y
⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StrictCombination

Goal state before:
pp: case e_6.inr
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
r : ℝ
p₀ : P
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₀ ≤ r
w : Fin (n + 1) → ℝ
hw : ∑ i, w i = 1
hw01 : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (affineCombination ℝ univ s.points) w ≠ s.points i
i : Fin (n + 1)
hi : w i ≠ 0
hij : ∀ (j : Fin (n + 1)), i ≠ j → w j = 0
j : Fin (n + 1)
hj : i ≠ j
⊢ w j = Pi.single i 1 j

Tactic:
rw [Pi.single_eq_of_ne' hj]
      exact hij j hj

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s
⊢ x ∈ s

Tactic:
rwa [vadd_mem_iff_mem_direction _ hp₂, s.direction.smul_mem_iff ht.ne.symm,
    vsub_right_mem_direction_iff_mem hp₁] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x -ᵥ p = 0
⊢ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x = p
⊢ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case mp.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case mp.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y = p₂
⊢ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x -ᵥ p = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x = p
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side

Goal state before:
pp: case mp.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Goal state after:
case mp.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y = p₂
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y