mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case pred
m✝ : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝ → Prop
hS : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝), C B → C (S • B)
hT : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝), C B → C (T • B)
B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝
m : ℕ
hm : C (T ^ (-↑m) • B) ↔ C B
⊢ C (T ^ (-1 + -↑m) • B) ↔ C B

Tactic:
zpow_add,

Goal state after:
case pred
m✝ : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝ → Prop
hS : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝), C B → C (S • B)
hT : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝), C B → C (T • B)
B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m✝
m : ℕ
hm : C (T ^ (-↑m) • B) ↔ C B
⊢ C ((T ^ (-1) * T ^ (-↑m)) • B) ↔ C B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Swap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
a : m
g : Matrix n m R
⊢ (swap R j i * g) j a = g i a

Tactic:
swap_mul_apply_left

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
m : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
a : m
g : Matrix n m R
⊢ g i a = g i a
Module: Mathlib.RingTheory.PiTensorProduct

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : (i : ι) → CommSemiring (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝ : Fintype ι
toFun : (⨂[R] (i : ι), R) →ₗ[R] R := lift (MultilinearMap.mkPiAlgebra R ι R)
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (x : ι), R), toFun (x * y) = toFun x * toFun y

Tactic:
let : IsScalarTower R (⨂[R] x : ι, R) (⨂[R] x : ι, R) :=
          IsScalarTower.right (R := R) (A := ⨂[R] (x : ι), R)
        let : SMulCommClass R (⨂[R] x : ι, R) (⨂[R] x : ι, R) :=
          Algebra.to_smulCommClass (R := R) (A := ⨂[R] x : ι, R)
        rw [LinearMap.map_mul_iff]
        ext
        change toFun (tprod R _ * tprod R _) = toFun (tprod R _) * toFun (tprod R _)
        simp_rw [tprod_mul_tprod, toFun, lift.tprod, MultilinearMap.mkPiAlgebra_apply,
          Pi.mul_apply, Finset.prod_mul_distrib]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Cardinality

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
⊢ Nat.card V - 1 = Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1)

Tactic:
nontriviality V

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
a✝ : Nontrivial V
⊢ Nat.card V - 1 = Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
p : ℙ F (Fin 2 → F)
g_SL : SL(2, F)
⊢ PSL.iwasawaT (↑g_SL • p) = MulAut.conj ↑g_SL • PSL.iwasawaT p

Tactic:
Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup.smul_proj_mk

Goal state after:
ι : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
p : ℙ F (Fin 2 → F)
g_SL : SL(2, F)
⊢ PSL.iwasawaT (g_SL • p) = MulAut.conj ↑g_SL • PSL.iwasawaT p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j = chainTopCoeff i j
⊢ chainBotCoeff i j = if P.pairingIn ℤ j i = 0 then 1 else 0

Tactic:
← P.chainBotCoeff_sub_chainTopCoeff aux₁,

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j = chainTopCoeff i j
⊢ chainBotCoeff i j = if ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j ≠ chainTopCoeff i j
⊢ chainBotCoeff i j = if P.pairingIn ℤ j i = 0 then 1 else 0

Tactic:
← P.chainBotCoeff_sub_chainTopCoeff aux₁,

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : Module.IsReflexive R M
aux₁ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₂ : chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2
aux₃ : 1 ≤ chainTopCoeff i j
aux₄ : chainBotCoeff i j ≠ chainTopCoeff i j
⊢ chainBotCoeff i j = if ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.EmbeddedG2
B : P.InvariantForm
⊢ (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P) = (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

Tactic:
by
  simp [threeShortAddLongRoot, threeShortAddLong]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
case_inl : ∀ (j : ↥b.support), (e i ^ 2).col (Sum.inl j) = 0
j : ι
hij : ¬j = -↑i
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + (chainTopCoeff (↑i) j + 1) • P.root ↑i
⊢ (e i ^ (chainTopCoeff (↑i) j + 1)).col (Sum.inr j) = 0

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case h.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
case_inl : ∀ (j : ↥b.support), (e i ^ 2).col (Sum.inl j) = 0
j : ι
hij : ¬j = -↑i
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + (chainTopCoeff (↑i) j + 1) • P.root ↑i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:

Tactic:
P.pairing i (shortAddLong P) * B.form (P.root (shortAddLong P)) (P.root (shortAddLong P))
    _ = 2 * B.form (P.root i) (shortAddLongRoot P) := ?_
    _ = 2 * B.form (P.root i) (shortRoot P) + 2 * B.form (P.root i) (longRoot P) := ?_
    _ = P.pairing i (short P) * B.form (shortRoot P) (shortRoot P) +
          P.pairing i (long P) * B.form (longRoot P) (longRoot P) := ?_
    _ = (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) *
          B.form (shortAddLongRoot P) (shortAddLongRoot P) := ?_

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (shortAddLong P) * (B.form (P.root (shortAddLong P))) (P.root (shortAddLong P)) =
    2 * (B.form (P.root i)) (shortAddLongRoot P)

case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (shortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortAddLongRoot P)) (shortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -h j * ω b * f i - ω b * f i * h j = -(h j * e i - e i * h j) * ω b

Tactic:
ω_mul_f,

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -h j * ω b * f i - e i * ω b * h j = -(h j * e i - e i * h j) * ω b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -h j * (ω b * f i) - e i * (ω b * h j) = -(h j * e i - e i * h j) * ω b

Tactic:
ω_mul_f,

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -h j * (e i * ω b) - e i * (ω b * h j) = -(h j * e i - e i * h j) * ω b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
n : ℕ
ih : ω b * f i ^ n = e i ^ n * ω b
⊢ e i ^ n * (ω b * f i) = e i ^ n * e i * ω b

Tactic:
ω_mul_f,

Goal state after:
case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
n : ℕ
ih : ω b * f i ^ n = e i ^ n * ω b
⊢ e i ^ n * (e i * ω b) = e i ^ n * e i * ω b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -↑i ≠ ↑i
hx : ∀ (x : ι), ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑i ∧ P.root (-↑i) = P.root ↑i + P.root x)
aux : ∀ (x : ι), ¬P.root (-↑i) = P.root x - P.root ↑i
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-↑i)) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-↑i)) (Sum.inr l)

Tactic:
simp only [e, f, h, Ring.lie_def, Matrix.sub_apply, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, hki, reduceIte, zero_mul, Finset.sum_const_zero,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₂, mul_ite, ite_mul, mul_zero, ← ite_and, if_neg (hx _), add_zero,
        aux, zero_sub, Matrix.diagonal_apply]

Goal state after:
case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -↑i ≠ ↑i
hx : ∀ (x : ι), ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑i ∧ P.root (-↑i) = P.root ↑i + P.root x)
aux : ∀ (x : ι), ¬P.root (-↑i) = P.root x - P.root ↑i
⊢ -(∑ x,
          ↑|b.cartanMatrix i x| *
            Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root ↑i + P.root j then ↑(chainBotCoeff (↑i) j) + 1 else 0)
              (Sum.inl x) (Sum.inr l) +
        ∑ a₂, if P.root a₂ = P.root ↑i + P.root l then 0 else 0) =
    if -↑i = l then ↑(P.pairingIn ℤ (-↑i) ↑i) else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
⊢ LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) ((range fun i ↦ ⟨e i, ⋯⟩) ∪ range fun i ↦ ⟨f i, ⋯⟩) = ⊤

Tactic:
let h₀ (i : b.support) : lieAlgebra b := ⟨h i, h_mem_lieAlgebra i⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
h₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨h i, ⋯⟩
⊢ LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) ((range fun i ↦ ⟨e i, ⋯⟩) ∪ range fun i ↦ ⟨f i, ⋯⟩) = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hx : B.IsReflective x
hSB : B.IsSymm
⊢ B.IsOrthogonal ⇑(reflection ⋯)

Tactic:
by
  intro y z
  simp only [reflection_apply, map_sub, map_smul, sub_apply,
    smul_apply, smul_eq_mul]
  refine hx.1.1 ?_
  simp only [mul_sub, ← mul_assoc, apply_self_mul_coroot_apply]
  rw [sub_eq_iff_eq_add, ← hSB.eq x y, RingHom.id_apply, mul_assoc _ _ (B x x), mul_comm _ (B x x),
    apply_self_mul_coroot_apply]
  ring

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
w : ↥b.support ⊕ ι → K
i : ι
hw : ∀ (x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) K) (hx : x ∈ lieAlgebra b), ⟨x, hx⟩ ∈ H → ∃ k, (toLin' x ^ k) w = 0
⊢ ∃ j, P.pairingIn ℤ i ↑j ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨j, hj, hj₀⟩ := b.exists_mem_support_pos_pairingIn_ne_zero i
      rw [ne_eq, P.pairingIn_eq_zero_iff] at hj₀
      exact ⟨⟨j, hj⟩, hj₀⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
⊢ LieModule.IsIrreducible K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)

Tactic:
refine LieModule.IsIrreducible.mk fun U hU ↦ ?_

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : U ≠ ⊥
⊢ U = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
m : ι
hm : P.root m = P.root l - P.root ↑j
l' : ι
hl' : P.root l' = P.root l + P.root ↑i
hk : P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j
aux₃ : ∀ (x : ι), x ≠ m → ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x)
aux₄ : ∀ (x : ι), x ≠ l' → ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)
⊢ (if P.root m = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root m then
      (↑(chainBotCoeff (↑i) m) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
    else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0

Tactic:
Finset.sum_eq_single_of_mem l' (Finset.mem_univ _) (by rintro x - h; rw [if_neg (aux₄ _ h)]),

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
m : ι
hm : P.root m = P.root l - P.root ↑j
l' : ι
hl' : P.root l' = P.root l + P.root ↑i
hk : P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j
aux₃ : ∀ (x : ι), x ≠ m → ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x)
aux₄ : ∀ (x : ι), x ≠ l' → ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)
⊢ (if P.root m = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root m then
      (↑(chainBotCoeff (↑i) m) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
    else 0) =
    if P.root l' = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root l' - P.root ↑j then
      (↑(chainTopCoeff (↑j) l') + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
    else 0
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s' s t : Multiset α
a : α
⊢ (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t

pp: case refine_2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s' s t : Multiset α
a : α
⊢ (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a

Tactic:
· rintro ⟨ht, ha, rfl⟩
    obtain h | h := mem_add.1 ha
    exacts [⟨ht, h, erase_add_left_pos t h⟩, (@irrefl α r _ a (ht a h)).elim]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s' s t : Multiset α
a : α
⊢ (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hW : 1 < finrank K (V ⧸ W)
htop : W ⊔ K ∙ v = ⊤
h1 : finrank K (V ⧸ W) + finrank K ↥W = finrank K V
h2 : finrank K ↥(W ⊔ K ∙ v) ≤ finrank K ↥W + 1
⊢ False

Tactic:
rw [htop, finrank_top] at h2

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hW : 1 < finrank K (V ⧸ W)
htop : W ⊔ K ∙ v = ⊤
h1 : finrank K (V ⧸ W) + finrank K ↥W = finrank K V
h2 : finrank K V ≤ finrank K ↥W + 1
⊢ False
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m m' : AddContent G C
x✝ : (fun m s ↦ m.toFun s) m = (fun m s ↦ m.toFun s) m'
⊢ m = m'

Tactic:
by
    cases m
    cases m'
    congr

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: case union.refine_1.inr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Av
⊢ a.Finite

Tactic:
· exact mem_Av a ha

Goal state after: