mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
l : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
b : Basis l R M₁
b' : Basis l R M₂
⊢ (toMatrix b' b) ↑(b'.equiv b (Equiv.refl l)) = 1

Tactic:
ext i j
  simp [LinearMap.toMatrix_apply, Matrix.one_apply, Finsupp.single_apply, eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : Finite m
f : M₁ →ₗ[R] R
x : M₂
⊢ (toMatrix v₁ v₂) (f.smulRight x) = vecMulVec (⇑(v₂.repr x)) (⇑f ∘ ⇑v₁)

Tactic:
ext i j
  simpa [toMatrix_apply, vecMulVec_apply] using mul_comm _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Field.Subfield.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
L : Type v
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : DivisionRing L
f : K →+* L
s : Subfield L
h : s ≤ f.fieldRange
⊢ map f (comap f s) = s

Tactic:
simpa only [inf_of_le_left h] using map_comap_eq f s

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.NonZeroDivisors

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r t : R
s : ↥R⁰
hst : t * ↑s ∈ R⁰
hr : ¬r = 0
ht : t = 0
⊢ (if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = if hr : t • r = 0 then 0 else ↑⟨t * ↑s, hst⟩ /ₒ ⟨t • r, ⋯⟩

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r t : R
s : ↥R⁰
hst : t * ↑s ∈ R⁰
hr : ¬r = 0
ht : t = 0
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ adjoin S ↑(adjoin R s) = adjoin S s

Tactic:
apply le_antisymm (adjoin_le _)
  · exact adjoin_mono subset_adjoin
  · rw [← Subalgebra.coe_restrictScalars R (S := S), SetLike.coe_subset_coe]
    exact adjoin_le subset_adjoin

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥R⁰
⊢ mk' K x y = 0 ↔ x = 0

Tactic:
by
  have := (algebraMap R K).domain_nontrivial
  simp [nonZeroDivisors.ne_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing A
B : Type u_6
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Algebra A B
K₁ : Type u_8
K₂ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Field K₁
inst✝¹⁵ : Field K₂
inst✝¹⁴ : Algebra A K₁
inst✝¹³ : Algebra A K₂
inst✝¹² : IsFractionRing A K₁
L₁ : Type u_10
L₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Field L₁
inst✝¹⁰ : Field L₂
inst✝⁹ : Algebra B L₁
inst✝⁸ : Algebra B L₂
inst✝⁷ : Algebra K₁ L₁
inst✝⁶ : Algebra K₂ L₂
inst✝⁵ : Algebra A L₁
inst✝⁴ : Algebra A L₂
inst✝³ : IsScalarTower A K₁ L₁
inst✝² : IsScalarTower A K₂ L₂
inst✝¹ : IsScalarTower A B L₁
inst✝ : IsScalarTower A B L₂
e : K₁ →ₐ[A] K₂
f : L₁ →ₐ[B] L₂
r s : A
hs : s ∈ A⁰
⊢ (algebraMap K₂ L₂) (e ((algebraMap A K₁) r / (algebraMap A K₁) s)) =
    f ((algebraMap K₁ L₁) ((algebraMap A K₁) r / (algebraMap A K₁) s))

Tactic:
map_div₀,

Goal state after:
A : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing A
B : Type u_6
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Algebra A B
K₁ : Type u_8
K₂ : Type u_9
inst✝¹⁶ : Field K₁
inst✝¹⁵ : Field K₂
inst✝¹⁴ : Algebra A K₁
inst✝¹³ : Algebra A K₂
inst✝¹² : IsFractionRing A K₁
L₁ : Type u_10
L₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Field L₁
inst✝¹⁰ : Field L₂
inst✝⁹ : Algebra B L₁
inst✝⁸ : Algebra B L₂
inst✝⁷ : Algebra K₁ L₁
inst✝⁶ : Algebra K₂ L₂
inst✝⁵ : Algebra A L₁
inst✝⁴ : Algebra A L₂
inst✝³ : IsScalarTower A K₁ L₁
inst✝² : IsScalarTower A K₂ L₂
inst✝¹ : IsScalarTower A B L₁
inst✝ : IsScalarTower A B L₂
e : K₁ →ₐ[A] K₂
f : L₁ →ₐ[B] L₂
r s : A
hs : s ∈ A⁰
⊢ (algebraMap K₂ L₂) (e ((algebraMap A K₁) r)) / (algebraMap K₂ L₂) (e ((algebraMap A K₁) s)) =
    f ((algebraMap K₁ L₁) ((algebraMap A K₁) r)) / f ((algebraMap K₁ L₁) ((algebraMap A K₁) s))
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f1 f2 : K →+* L
hf : ∀ (x : A), f1 ((algebraMap A K) x) = f2 ((algebraMap A K) x)
x y : A
hy : y ∈ A⁰
⊢ f1 ((algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y) = f2 ((algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y)

Tactic:
map_div₀,

Goal state after:
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f1 f2 : K →+* L
hf : ∀ (x : A), f1 ((algebraMap A K) x) = f2 ((algebraMap A K) x)
x y : A
hy : y ∈ A⁰
⊢ f1 ((algebraMap A K) x) / f1 ((algebraMap A K) y) = f2 ((algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f1 f2 : K →+* L
hf : ∀ (x : A), f1 ((algebraMap A K) x) = f2 ((algebraMap A K) x)
x y : A
hy : y ∈ A⁰
⊢ f1 ((algebraMap A K) x) / f1 ((algebraMap A K) y) = f2 ((algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y)

Tactic:
map_div₀,

Goal state after:
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f1 f2 : K →+* L
hf : ∀ (x : A), f1 ((algebraMap A K) x) = f2 ((algebraMap A K) x)
x y : A
hy : y ∈ A⁰
⊢ f1 ((algebraMap A K) x) / f1 ((algebraMap A K) y) = f2 ((algebraMap A K) x) / f2 ((algebraMap A K) y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴⁰ : CommRing S
inst✝³⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³⁸ : CommRing P
A✝ : Type u_4
inst✝³⁷ : CommRing A✝
K : Type u_5
B✝ : Type u_6
inst✝³⁶ : CommRing B✝
inst✝³⁵ : IsDomain B✝
inst✝³⁴ : Field K
L : Type u_7
inst✝³³ : Field L
inst✝³² : Algebra A✝ K
inst✝³¹ : IsFractionRing A✝ K
g : A✝ →+* L
A : Type u_8
B : Type u_9
C : Type u_10
D : Type u_11
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : CommRing C
inst✝²⁷ : CommRing D
inst✝²⁶ : Algebra A B
inst✝²⁵ : Algebra A C
inst✝²⁴ : Algebra A D
FA : Type u_12
FB : Type u_13
FC : Type u_14
FD : Type u_15
inst✝²³ : Field FA
inst✝²² : Field FB
inst✝²¹ : Field FC
inst✝²⁰ : Field FD
inst✝¹⁹ : Algebra A FA
inst✝¹⁸ : Algebra B FB
inst✝¹⁷ : Algebra C FC
inst✝¹⁶ : Algebra D FD
inst✝¹⁵ : IsFractionRing A FA
inst✝¹⁴ : IsFractionRing B FB
inst✝¹³ : IsFractionRing C FC
inst✝¹² : IsFractionRing D FD
inst✝¹¹ : Algebra A FB
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B FB
inst✝⁹ : Algebra A FC
inst✝⁸ : IsScalarTower A C FC
inst✝⁷ : Algebra A FD
inst✝⁶ : IsScalarTower A D FD
inst✝⁵ : Algebra FA FB
inst✝⁴ : IsScalarTower A FA FB
inst✝³ : Algebra FA FC
inst✝² : IsScalarTower A FA FC
inst✝¹ : Algebra FA FD
inst✝ : IsScalarTower A FA FD
f : B ≃ₐ[A] C
x y : A
⊢ (ringEquivOfRingEquiv f.toRingEquiv).toFun ((algebraMap FA FB) ((algebraMap A FA) x / (algebraMap A FA) y)) =
    (algebraMap FA FC) ((algebraMap A FA) x / (algebraMap A FA) y)

Tactic:
map_div₀,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴⁰ : CommRing S
inst✝³⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³⁸ : CommRing P
A✝ : Type u_4
inst✝³⁷ : CommRing A✝
K : Type u_5
B✝ : Type u_6
inst✝³⁶ : CommRing B✝
inst✝³⁵ : IsDomain B✝
inst✝³⁴ : Field K
L : Type u_7
inst✝³³ : Field L
inst✝³² : Algebra A✝ K
inst✝³¹ : IsFractionRing A✝ K
g : A✝ →+* L
A : Type u_8
B : Type u_9
C : Type u_10
D : Type u_11
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : CommRing C
inst✝²⁷ : CommRing D
inst✝²⁶ : Algebra A B
inst✝²⁵ : Algebra A C
inst✝²⁴ : Algebra A D
FA : Type u_12
FB : Type u_13
FC : Type u_14
FD : Type u_15
inst✝²³ : Field FA
inst✝²² : Field FB
inst✝²¹ : Field FC
inst✝²⁰ : Field FD
inst✝¹⁹ : Algebra A FA
inst✝¹⁸ : Algebra B FB
inst✝¹⁷ : Algebra C FC
inst✝¹⁶ : Algebra D FD
inst✝¹⁵ : IsFractionRing A FA
inst✝¹⁴ : IsFractionRing B FB
inst✝¹³ : IsFractionRing C FC
inst✝¹² : IsFractionRing D FD
inst✝¹¹ : Algebra A FB
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B FB
inst✝⁹ : Algebra A FC
inst✝⁸ : IsScalarTower A C FC
inst✝⁷ : Algebra A FD
inst✝⁶ : IsScalarTower A D FD
inst✝⁵ : Algebra FA FB
inst✝⁴ : IsScalarTower A FA FB
inst✝³ : Algebra FA FC
inst✝² : IsScalarTower A FA FC
inst✝¹ : Algebra FA FD
inst✝ : IsScalarTower A FA FD
f : B ≃ₐ[A] C
x y : A
⊢ (ringEquivOfRingEquiv f.toRingEquiv).toFun
      ((algebraMap FA FB) ((algebraMap A FA) x) / (algebraMap FA FB) ((algebraMap A FA) y)) =
    (algebraMap FA FC) ((algebraMap A FA) x) / (algebraMap FA FC) ((algebraMap A FA) y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R S) x = 0 ↔ x = 0

Tactic:
constructor <;> intro h
  · obtain ⟨c, hc⟩ := (map_eq_zero_iff M _ _).mp h
    exact (hM c.2).1 x hc
  · rw [h, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
K✝ : Type u_5
inst✝⁸ : IsDomain A
k : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra A k
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : FaithfulSMul A k
inst✝¹ : FaithfulSMul A K
inst✝ : IsScalarTower A k K
a : FractionRing A
b : k
c : K
x✝ : A × ↥A⁰
a₁ : A
a₂ : ↥A⁰
⊢ (Localization.mk (a₁, a₂).1 (a₁, a₂).2 • b) • c = Localization.mk (a₁, a₂).1 (a₁, a₂).2 • b • c

Tactic:
← smul_right_inj (nonZeroDivisors.coe_ne_zero a₂)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
K✝ : Type u_5
inst✝⁸ : IsDomain A
k : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra A k
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : FaithfulSMul A k
inst✝¹ : FaithfulSMul A K
inst✝ : IsScalarTower A k K
a : FractionRing A
b : k
c : K
x✝ : A × ↥A⁰
a₁ : A
a₂ : ↥A⁰
⊢ ↑a₂ • (Localization.mk (a₁, a₂).1 (a₁, a₂).2 • b) • c = ↑a₂ • Localization.mk (a₁, a₂).1 (a₁, a₂).2 • b • c
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Epi

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra.IsEpi R A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
m : M
x : A
⊢ ∀ (x_1 y : A), x ⊗ₜ[R] ((x_1 + y) • m) = x ⊗ₜ[R] (x_1 • m) + x ⊗ₜ[R] (y • m)

Tactic:
by simp [add_smul, tmul_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.Pointwise

Goal state before:
pp: S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ star ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s

Tactic:
simpa using star_mem_iff

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R✝ : Type uR
R' : Type u_1
S✝ : Type uS
T✝ : Type u_2
A✝ : Type uA
B✝ : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝³⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³³ : CommSemiring S✝
inst✝³² : Algebra R✝ S✝
inst✝³¹ : Semiring A✝
inst✝³⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝²⁹ : Algebra S✝ A✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower R✝ S✝ A✝
inst✝²⁷ : Semiring B✝
inst✝²⁶ : Algebra R✝ B✝
inst✝²⁵ : Semiring C
inst✝²⁴ : Algebra R✝ C
inst✝²³ : Algebra S✝ C
inst✝²² : IsScalarTower R✝ S✝ C
inst✝²¹ : Semiring D
inst✝²⁰ : Algebra R✝ D
inst✝¹⁹ : Semiring E
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ E
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ E
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R✝ S✝ E
inst✝¹⁵ : Semiring F
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ F
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring T
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Algebra R B
inst✝⁶ : Algebra S A
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra T A
inst✝³ : SMulCommClass R T A
inst✝² : SMulCommClass S T A
inst✝¹ : SMulCommClass R S A
inst✝ : CompatibleSMul R S A B
x x✝² x✝¹ : A ⊗[S] B
h :
  ∀ (y : A ⊗[S] B),
    (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) (x✝² * y) =
      (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) x✝² * (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) y
h' :
  ∀ (y : A ⊗[S] B),
    (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) (x✝¹ * y) =
      (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) x✝¹ * (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) y
x✝ : A ⊗[S] B
⊢ (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) ((x✝² + x✝¹) * x✝) =
    (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) (x✝² + x✝¹) *
      (_root_.TensorProduct.mapOfCompatibleSMul R S T A B) x✝

Tactic:
simp only [add_mul, map_add, h, h']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pi.Units

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
x : (i : ι) → M i
⊢ (∃ b, x * b = 1 ∧ b * x = 1) ↔ ∀ (i : ι), ∃ b, x i * b = 1 ∧ b * x i = 1

Tactic:
funext_iff,

Goal state after:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
x : (i : ι) → M i
⊢ (∃ b, (∀ (x_1 : ι), (x * b) x_1 = 1 x_1) ∧ ∀ (x_1 : ι), (b * x) x_1 = 1 x_1) ↔
    ∀ (i : ι), ∃ b, x i * b = 1 ∧ b * x i = 1
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
κ : ι → Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → Ring (κ i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (κ i)
a : (i : ι) → κ i
⊢ spectrum R a = ⋃ i, spectrum R (a i)

Tactic:
apply compl_injective

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
κ : ι → Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → Ring (κ i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (κ i)
a : (i : ι) → κ i
⊢ (spectrum R a)ᶜ = (⋃ i, spectrum R (a i))ᶜ
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Pi

Goal state before:
pp: A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
b : B
⊢ spectrum R (a, b) = spectrum R a ∪ spectrum R b

Tactic:
apply compl_injective

Goal state after:
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
b : B
⊢ (spectrum R (a, b))ᶜ = (spectrum R a ∪ spectrum R b)ᶜ
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Pi

Goal state before:
pp: A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : NonUnitalRing B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R B
a : A
b : B
⊢ quasispectrum R (a, b) = quasispectrum R a ∪ quasispectrum R b

Tactic:
apply compl_injective

Goal state after:
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : NonUnitalRing B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R B
a : A
b : B
⊢ (quasispectrum R (a, b))ᶜ = (quasispectrum R a ∪ quasispectrum R b)ᶜ
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
hle : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s ↦ star s * s), y = x + p
z s : R
hs : s ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s ↦ star s * s) ∧ y = x + s
⊢ s ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s ↦ star s * s) ∧ x + z + s = x + z + s

Tactic:
exact ⟨hs.1, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
⊢ 1 ≤ star x ↔ 1 ≤ x

Tactic:
simpa using star_le_star_iff (x := 1) (y := x)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Free R M'
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
⊢ finrank R (M × M') = finrank R M + finrank R M'

Tactic:
by
  simp [finrank, rank_lt_aleph0 R M, rank_lt_aleph0 R M']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.FreeAndStrongRankCondition

Goal state before:
pp: K V : Type u
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ #V = #K ^ Module.rank K V

Tactic:
simpa using lift_cardinalMk_eq_lift_cardinalMk_field_pow_lift_rank K V

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
w : V
hS : finrank K ↥S = 1
hw : w ∈ S
hw0 : w ≠ 0
this : FiniteDimensional K ↥S
⊢ 1 ≤ finrank K ↥(K ∙ w)

Tactic:
finrank_span_singleton hw0

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
w : V
hS : finrank K ↥S = 1
hw : w ∈ S
hw0 : w ≠ 0
this : FiniteDimensional K ↥S
⊢ 1 ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g : E →ₛₗ.[σ] F
⊢ -(f + g) = -g + -f

Tactic:
by
    ext x _ h
    · simp [add_domain, neg_domain, And.comm]
    simp [add_apply, neg_apply, ← sub_eq_add_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R
⊢ map f ((monomial n) a) = (monomial n) (f a)

Tactic:
dsimp only [map]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R
⊢ eval₂ (C.comp f) X ((monomial n) a) = (monomial n) (f a)
Module: Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs

Goal state before:
pp: n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
⊢ 2 ≤ n

Tactic:
revert n0 n1

Goal state after:
n : ℕ
⊢ n ≠ 1 → ¬n = 0 → 2 ≤ n
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
O : Type u_9
inst✝⁹ : Monoid M
inst✝⁸ : CommSemiring R
V : Type u_10
W : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : Module R[M] V
inst✝⁴ : IsScalarTower R R[M] V
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module R[M] W
inst✝ : IsScalarTower R R[M] W
f : V →ₗ[R] W
h : ∀ (g : M) (v : V), f (single g 1 • v) = single g 1 • f v
c : R[M]
v : V
g : M
r : R
c' : R[M]
_nm : g ∉ c'.coeff.support
_nz : ¬r = 0
w : f (c' • v) = c' • f v
⊢ r • f (single g 1 • v) + c' • f v = r • single g 1 • f v + c' • f v

Tactic:
h g v

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
O : Type u_9
inst✝⁹ : Monoid M
inst✝⁸ : CommSemiring R
V : Type u_10
W : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : Module R[M] V
inst✝⁴ : IsScalarTower R R[M] V
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module R[M] W
inst✝ : IsScalarTower R R[M] W
f : V →ₗ[R] W
h : ∀ (g : M) (v : V), f (single g 1 • v) = single g 1 • f v
c : R[M]
v : V
g : M
r : R
c' : R[M]
_nm : g ∉ c'.coeff.support
_nz : ¬r = 0
w : f (c' • v) = c' • f v
⊢ r • single g 1 • f v + c' • f v = r • single g 1 • f v + c' • f v
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup B
inst✝⁵ : OrderBot B
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Add A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftMono B
inst✝ : AddRightMono B
degb : A → B
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
f g : R[A]
⊢ (f * g).coeff.support.sup degb ≤ f.coeff.support.sup degb + g.coeff.support.sup degb

Tactic:
grw [support_coeff_mul_subset, Finset.sup_add_le]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup B
inst✝⁵ : OrderBot B
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Add A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftMono B
inst✝ : AddRightMono B
degb : A → B
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
f g : R[A]
⊢ ∀ x ∈ f.coeff.support, ∀ y ∈ g.coeff.support, degb (x + y) ≤ f.coeff.support.sup degb + g.coeff.support.sup degb
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Defs

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : q.coeff p.natDegree ≠ 0
hp : p = 0
⊢ p.degree ≤ q.degree

Tactic:
rw [hp, degree_zero]
    exact bot_le

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : (p.natDegree, q.natDegree) ∉ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree)
⊢ p.coeff (p.natDegree, q.natDegree).1 * q.coeff (p.natDegree, q.natDegree).2 = 0

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : (p.natDegree, q.natDegree) ∉ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree)
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
inst✝ : Nonempty A
hD : Function.Injective D
a : A
r : R
⊢ leadingCoeff D (single a r) = r

Tactic:
rw [leadingCoeff, supDegree_single]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
inst✝ : Nonempty A
hD : Function.Injective D
a : A
r : R
⊢ (single a r).coeff (Function.invFun D (if r = 0 then ⊥ else D a)) = r
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ p.IsRoot 0 ↔ p.coeff 0 = 0

Tactic:
coeff_zero_eq_eval_zero,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ p.IsRoot 0 ↔ eval 0 p = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Semiring R
p : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : S
⊢ g (eval₂ f x p) = eval₂ (g.comp f) (g x) p

Tactic:
by
  rw [← eval₂_map, eval₂_at_apply, eval_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
⊢ (p * q).coeff (Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q)) = leadingCoeff D p

Tactic:
coeff_supDegree_add_supDegree hD hadd,

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
⊢ leadingCoeff D p * leadingCoeff D q = leadingCoeff D p