mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.NormalizedFactors

Goal state before:
pp: case inr.hg
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Nontrivial α
x : α
hx : x ∈ 0
⊢ Irreducible x

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case inr.hg
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Nontrivial α
x : α
hx : x ∈ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
S : Finset R
hS : ∀ x ∈ S, eval x p = 0
hcard : ↑(#S) = p.degree
⊢ p ≠ 0

Tactic:
contrapose! hcard; simp [hcard]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: R : Type u
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
x : R
hx : x ∈ nthRootsFinset n 1
f : F
⊢ f x ∈ nthRootsFinset n 1

Tactic:
rw [← (map_one f)]

Goal state after:
R : Type u
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
x : R
hx : x ∈ nthRootsFinset n 1
f : F
⊢ f x ∈ nthRootsFinset n (f 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p✝ q✝ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
p q : R[X]
hpq : (p * q).degree < ↑n
⊢ Associated (p * q).content (p.content * q.content)

Tactic:
induction n generalizing p q with

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p✝ q✝ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]), (p * q).degree < ↑n → Associated (p * q).content (p.content * q.content)
p q : R[X]
hpq : (p * q).degree < ↑(n + 1)
⊢ Associated (p * q).content (p.content * q.content)
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.FactorSet

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ FactorSet α

Tactic:
classical refine if h : a = 0 then ⊤ else Quotient.hrecOn a (fun x _ => factors' x) ?_ h

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
h : ¬a = 0
⊢ ∀ (a b : α), a ≈ b → (fun x ↦ ↑(factors' a)) ≍ fun x ↦ ↑(factors' b)
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.FactorSet

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ a.factors ≠ ⊤ ↔ a ≠ 0

Tactic:
exact factors_eq_top_iff_zero.not

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.FactorSet

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1
⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ a ∧ p ∣ b

Tactic:
by
  classical
  have hz : factors (Associates.mk a) ⊓ factors (Associates.mk b) ≠ 0 := by
    contrapose h with hf
    change (factors (Associates.mk a) ⊓ factors (Associates.mk b)).prod = 1
    rw [hf]
    exact Multiset.prod_zero
  rw [factors_mk a ha, factors_mk b hb, ← WithTop.coe_inf] at hz
  obtain ⟨⟨p0, p0_irr⟩, p0_mem⟩ := Multiset.exists_mem_of_ne_zero ((mt WithTop.coe_eq_coe.mpr) hz)
  rw [Multiset.inf_eq_inter] at p0_mem
  obtain ⟨p, rfl⟩ : ∃ p, Associates.mk p = p0 := Quot.exists_rep p0
  refine ⟨p, ?_, ?_, ?_⟩
  · rw [← UniqueFactorizationMonoid.irreducible_iff_prime, ← irreducible_mk]
    exact p0_irr
  · apply dvd_of_mk_le_mk
    apply dvd_of_mem_factors' (Multiset.mem_inter.mp p0_mem).left
    apply ha
  · apply dvd_of_mk_le_mk
    apply dvd_of_mem_factors' (Multiset.mem_inter.mp p0_mem).right
    apply hb

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : Field R
u : R[X]ˣ
n : ℕ
h✝ : n = 0
⊢ (↑u⁻¹).coeff 0 * (↑u).coeff 0 = 1

Tactic:
coeff_zero_eq_eval_zero,

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : Field R
u : R[X]ˣ
n : ℕ
h✝ : n = 0
⊢ eval 0 ↑u⁻¹ * (↑u).coeff 0 = 1
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : Field R
u : R[X]ˣ
n : ℕ
h✝ : n = 0
⊢ eval 0 ↑u⁻¹ * (↑u).coeff 0 = 1

Tactic:
coeff_zero_eq_eval_zero,

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : Field R
u : R[X]ˣ
n : ℕ
h✝ : n = 0
⊢ eval 0 ↑u⁻¹ * eval 0 ↑u = 1
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.FactorSet

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ ¬Associates.mk a ⊓ Associates.mk b = 1 → ¬∀ {d : α}, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Tactic:
intro hg hc

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hg : ¬Associates.mk a ⊓ Associates.mk b = 1
hc : ∀ {d : α}, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Central.End

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Free R M
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : SMulCommClass R S M
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module S M₂
inst✝² : SMulCommClass R S M₂
inst✝¹ : IsScalarTower S R M₂
inst✝ : Algebra.IsCentral S R
f g : M ≃ₗ[R] M₂
⊢ (∃ y, ∀ (x : M), ↑f x = (↑g ∘ₗ (y • 1)) x) ↔ ∃ α, ⇑f = α • ⇑g

Tactic:
funext_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Free R M
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : SMulCommClass R S M
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module S M₂
inst✝² : SMulCommClass R S M₂
inst✝¹ : IsScalarTower S R M₂
inst✝ : Algebra.IsCentral S R
f g : M ≃ₗ[R] M₂
⊢ (∃ y, ∀ (x : M), ↑f x = (↑g ∘ₗ (y • 1)) x) ↔ ∃ α, ∀ (x : M), f x = (α • ⇑g) x
Module: Mathlib.Algebra.Central.End

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Free R M
S : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsCancelMulZero S
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : SMulCommClass R S M
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : IsScalarTower S R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module S M₂
inst✝³ : SMulCommClass R S M₂
inst✝² : IsScalarTower S R M₂
inst✝¹ : Algebra.IsCentral S R
inst✝ : IsTorsionFree S M₂
f g : M ≃ₗ[R] M₂
h : conjAlgEquiv S f = conjAlgEquiv S g
h✝ : Subsingleton M
⊢ f = 1 • g

Tactic:
by ext; simp [Subsingleton.eq_zero (α := M)]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Small

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Small.{u, u_1} R
inst✝ : FiniteType R S
⊢ Small.{u, u_2} S

Tactic:
by
  have : Small.{u} (⊤ : Subalgebra R S) :=
    Subalgebra.FG.small Algebra.FiniteType.out
  rwa [← small_univ_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
z : P ⊗[R] Q
⊢ (toFun Q hfg).toFun ((inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) z) = z

Tactic:
simp only [AddHom.toFun_eq_coe, coe_toAddHom]
    obtain ⟨y, rfl⟩ := rTensor_surjective Q hgh.surjective z
    rw [rTensor.inverse_of_rightInverse_apply]
    simp only [rTensor.toFun, Submodule.liftQ_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
z : P ⊗[R] Q
⊢ (toFun Q hfg).toFun ((inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) z) = z

Tactic:
by
    simp only [AddHom.toFun_eq_coe, coe_toAddHom]
    obtain ⟨y, rfl⟩ := rTensor_surjective Q hgh.surjective z
    rw [rTensor.inverse_of_rightInverse_apply]
    simp only [rTensor.toFun, Submodule.liftQ_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(map M'.subtype w✝.subtype).range
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor N M'.subtype).range

Tactic:
← LinearMap.rTensor_comp_lTensor

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor N M'.subtype ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') w✝.subtype).range
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor N M'.subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ : Submodule R M
N₁ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝¹ : Submodule R N
hM : M' ≤ M₁
w✝ : w✝¹ ≤ N₁
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
h : s ⊆ ↑(map (inclusion hM) (inclusion w✝)).range
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)).range

Tactic:
← LinearMap.rTensor_comp_lTensor

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ : Submodule R M
N₁ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝¹ : Submodule R N
hM : M' ≤ M₁
w✝ : w✝¹ ≤ N₁
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
h : s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM) ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') (inclusion w✝)).range
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)).range
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁵ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁴ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝³ : IsDirectedOrder ι
inst✝² : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : Nonempty ι
r s : (i : ι) → G i
⊢ map₀ f (r * s) = map₀ f r * map₀ f s

Tactic:
by
  simp_rw [map₀, Pi.mul_apply, mul_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
f : P →ₗ[R] M
g : Q →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Flat R P
inst✝ : Module.Flat R N
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ Function.Injective ⇑(map f g)

Tactic:
← LinearMap.rTensor_comp_lTensor

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
f : P →ₗ[R] M
g : Q →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Flat R P
inst✝ : Module.Flat R N
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N f ∘ₗ LinearMap.lTensor P g)
Module: Mathlib.Data.Finset.Density

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ s.dens * ↑(Fintype.card α) = ↑(#s)

Tactic:
rw [mul_comm, card_mul_dens]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Expect

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module ℚ≥0 M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
a : M
⊢ 𝔼 _i ∈ s, a = a

Tactic:
rw [expect, sum_const, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℚ≥0, inv_smul_smul₀]

Goal state after:
case ha
ι : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module ℚ≥0 M
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
a : M
⊢ ↑(#s) ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Expect

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : CharZero K
s : Finset ι
f : ι → K
a : K
⊢ (𝔼 i ∈ s, f i) * a⁻¹ = 𝔼 i ∈ s, f i * a⁻¹

Tactic:
expect_mul

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.EvenFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Neg α
R : Type u_3
inst✝¹ : Mul R
f g : α → R
inst✝ : HasDistribNeg R
hf : Function.Odd f
hg : Function.Even g
a : α
⊢ (f * g) (-a) = -(f * g) a

Tactic:
simp only [Pi.mul_apply, hf a, hg a, neg_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ Function.Bijective ⇑LinearMap.id

Tactic:
exact Function.bijective_id

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝⁴² : CommSemiring R✝
M₁✝ : Type u_2
M₂✝ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M₁✝
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝³⁹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝³⁷ : Module R✝ M₁✝
inst✝³⁶ : Module R✝ M₂✝
inst✝³⁵ : Module R✝ M
inst✝³⁴ : Module R✝ M'
f✝¹ : M₁✝ →ₗ[R✝] M₂✝ →ₗ[R✝] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³³ : AddCommMonoid N₁
inst✝³² : AddCommMonoid N₂
inst✝³¹ : AddCommMonoid N
inst✝³⁰ : Module R✝ N₁
inst✝²⁹ : Module R✝ N₂
inst✝²⁸ : Module R✝ N
g✝¹ : N₁ →ₗ[R✝] N₂ →ₗ[R✝] N
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝²⁷ : CommSemiring R
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Algebra R S
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
M₁₂ : Type u_14
M₂₃ : Type u_15
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝²³ : AddCommMonoid M₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₁₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₂₃
inst✝¹⁹ : Module R M₁
inst✝¹⁸ : Module R M₂
inst✝¹⁷ : Module S M₂
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S M₂
inst✝¹⁵ : Module R M₃
inst✝¹⁴ : Module S M₃
inst✝¹³ : IsScalarTower R S M₃
inst✝¹² : Module R M₁₂
inst✝¹¹ : Module S M₁₂
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S M₁₂
inst✝⁹ : Module R M₂₃
inst✝⁸ : Module S M₂₃
inst✝⁷ : IsScalarTower R S M₂₃
f✝ : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[S] M₁₂
hf✝ : IsTensorProduct (LinearMap.restrictScalars₁₂ R R f✝)
g✝ : M₂ →ₗ[S] M₃ →ₗ[S] M₂₃
hg✝ : IsTensorProduct g✝
T : Type u_16
inst✝⁶ : CommSemiring T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : Module T M₁
inst✝³ : IsScalarTower R T M₁
inst✝² : Module T M₁₂
inst✝¹ : SMulCommClass S T M₁₂
inst✝ : IsScalarTower R T M₁₂
f : M₁ →ₗ[T] M₂ →ₗ[S] M₁₂
hf : IsTensorProduct (LinearMap.restrictScalars₁₂ R R f)
g : M₂ →ₗ[S] M₃ →ₗ[S] M₂₃
hg : IsTensorProduct g
t : T
x : M₁₂ ⊗[S] M₃
⊢ (↑(assocAux (LinearMap.restrictScalars₁₂ R S f) hf g hg)).toFun (t • x) =
    (RingHom.id T) t • (↑(assocAux (LinearMap.restrictScalars₁₂ R S f) hf g hg)).toFun x

Tactic:
induction x with
    | zero => simp
    | add x y _ _ => simp_all
    | tmul x y =>
    obtain ⟨x, rfl⟩ := hf.equiv.surjective x
    induction x with
    | zero => simp
    | add x y _ _ => simp_all [add_tmul]
    | tmul x z =>
      have : t • (f x) z = f (t • x) z := by simp
      dsimp
      rw [smul_tmul', this, ← f.restrictScalars₁₂_apply_apply R S,
        ← f.restrictScalars₁₂_apply_apply R S, IsTensorProduct.assocAux_tmul,
        IsTensorProduct.assocAux_tmul, TensorProduct.smul_tmul']

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid N₁
inst✝² : AddCommMonoid N₂
inst✝¹ : Module R N₁
inst✝ : Module R N₂
ist : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift f)
e₁ : N₁ ≃ₗ[R] M₁
e₂ : N₂ ≃ₗ[R] M₂
⊢ Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift f ∘ₗ TensorProduct.map ↑e₁ ↑e₂)

Tactic:
← LinearMap.rTensor_comp_lTensor

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid N₁
inst✝² : AddCommMonoid N₂
inst✝¹ : Module R N₁
inst✝ : Module R N₂
ist : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift f)
e₁ : N₁ ≃ₗ[R] M₁
e₂ : N₂ ≃ₗ[R] M₂
⊢ Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift f ∘ₗ LinearMap.rTensor M₂ ↑e₁ ∘ₗ LinearMap.lTensor N₁ ↑e₂)
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ I₂ = I₃

Tactic:
ext r q

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ SMul.smul r q = SMul.smul r q
Module: Mathlib.Data.Sym.Sym2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Sym2 α → Sym2 β → γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ (fun a₁ a₂ b₁ b₂ ↦ F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)) a₁ a₂ b₁ b₂ = (fun a₁ a₂ b₁ b₂ ↦ F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)) a₂ a₁ b₁ b₂ ∧
    (fun a₁ a₂ b₁ b₂ ↦ F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)) a₁ a₂ b₁ b₂ = (fun a₁ a₂ b₁ b₂ ↦ F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)) a₁ a₂ b₂ b₁

Tactic:
constructor
      exacts [congr_arg₂ F eq_swap rfl, congr_arg₂ F rfl eq_swap]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (↑S (hg.lift (hf.lift i)) ∘ₗ g) ∘ₗ f

Tactic:
IsBaseChange.lift_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (hf.lift i) ∘ₗ f
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (hf.lift i) ∘ₗ f

Tactic:
IsBaseChange.lift_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = i
Module: Mathlib.Data.Sym.Sym2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : α → Prop
f : (a : α) → P a → β
s : Sym2 α
g : (p : α × α) → (∀ a ∈ s(p.1, p.2), P a) → Sym2 β := fun p H ↦ s(f p.1 ⋯, f p.2 ⋯)
p q : α × α
hpq : Rel α p q
Hq : ∀ a ∈ Quot.mk (Rel α) q, P a
⊢ Eq.ndrec (motive := fun x ↦ (∀ a ∈ x, P a) → Sym2 β) (g p) ⋯ Hq = g q Hq

Tactic:
rw [rel_iff'] at hpq
    have Hp : ∀ a ∈ s(p.1, p.2), P a := fun a hmem =>
      Hq a (Sym2.mk_eq_mk_iff.2 hpq ▸ hmem : a ∈ s(q.1, q.2))
    have h : ∀ {s₂ e H}, Eq.ndrec (motive := fun s => (∀ a ∈ s, P a) → Sym2 β) (g p) (b := s₂) e H =
      g p Hp := by
      rintro s₂ rfl _
      rfl
    refine h.trans (Quot.sound ?_)
    rw [rel_iff', Prod.mk.injEq, Prod.swap_prod_mk]
    apply hpq.imp <;> rintro rfl <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Sym.Sym2

Goal state before:
pp: case cons.cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
z : Sym2 α
f : α → β
y : List α
hy : y.length = 2
head✝² head✝¹ head✝ : α
x : List α
hx : (head✝² :: head✝¹ :: head✝ :: x).length = 2
h : (Vector.Perm.isSetoid α 2) ⟨head✝² :: head✝¹ :: head✝ :: x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
⊢ Rel α (fromVector ⟨head✝² :: head✝¹ :: head✝ :: x, hx⟩) (fromVector ⟨y, hy⟩)

Tactic:
exfalso

Goal state after:
case cons.cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
z : Sym2 α
f : α → β
y : List α
hy : y.length = 2
head✝² head✝¹ head✝ : α
x : List α
hx : (head✝² :: head✝¹ :: head✝ :: x).length = 2
h : (Vector.Perm.isSetoid α 2) ⟨head✝² :: head✝¹ :: head✝ :: x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
⊢ False