Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Submodule

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∀ x ∈ a, ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = mk' S 1 z • y

pp: case mp.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, 0 = mk' S 1 z • y

pp: case mp.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∀ (x y : N),
    x ∈ Submodule.span S a →
      y ∈ Submodule.span S a →
        (∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = mk' S 1 z • y) →
          (∃ y_1 ∈ Submodule.span R a, ∃ z, y = mk' S 1 z • y_1) →
            ∃ y_1 ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x + y = mk' S 1 z • y_1

pp: case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∀ (a_1 : S),
    ∀ x ∈ Submodule.span S a,
      (∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = mk' S 1 z • y) → ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, a_1 • x = mk' S 1 z • y

Tactic:
· rintro x hx
      exact ⟨x, Submodule.subset_span hx, 1, by rw [mk'_one, map_one, one_smul]⟩

Goal state after:
case mp.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, 0 = mk' S 1 z • y

case mp.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∀ (x y : N),
    x ∈ Submodule.span S a →
      y ∈ Submodule.span S a →
        (∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = mk' S 1 z • y) →
          (∃ y_1 ∈ Submodule.span R a, ∃ z, y = mk' S 1 z • y_1) →
            ∃ y_1 ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x + y = mk' S 1 z • y_1

case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
⊢ ∀ (a_1 : S),
    ∀ x ∈ Submodule.span S a,
      (∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = mk' S 1 z • y) → ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, a_1 • x = mk' S 1 z • y