mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ s₁.direction
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ s₂.direction
hv₁v₂ : v₁ + v₂ + -(p₂ -ᵥ p₁) = 0
⊢ False

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ s₁.direction
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ s₂.direction
hv₁v₂ : v₁ + v₂ + (p₁ -ᵥ p₂) = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
M : Type u_7
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R A M
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : FaithfulSMul R A
s : Set M
halg : Ici 0 ⊆ ⇑(algebraMap R A) '' Ici 0
hs : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : M⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : R⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
u : M
hu : u ∈ s
v : M
hv : v ∈ s
a b : A
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
c : R
hc1 : c ∈ Ici 0
hc2 : (algebraMap R A) c = a
d : R
hd1 : d ∈ Ici 0
hd2 : (algebraMap R A) d = b
⊢ c + d = 1

Tactic:
← hc2,

Goal state after:
R : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
M : Type u_7
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R A M
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : FaithfulSMul R A
s : Set M
halg : Ici 0 ⊆ ⇑(algebraMap R A) '' Ici 0
hs : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : M⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : R⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
u : M
hu : u ∈ s
v : M
hv : v ∈ s
a b : A
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
c : R
hab : (algebraMap R A) c + b = 1
hc1 : c ∈ Ici 0
hc2 : (algebraMap R A) c = a
d : R
hd1 : d ∈ Ici 0
hd2 : (algebraMap R A) d = b
⊢ c + d = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case smul_vsub_vadd
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Set V
x : V
c : k
u : V
hu✝ : u ∈ affineSpan k s
v : V
hv✝ : v ∈ affineSpan k s
w : V
hw✝ : w ∈ affineSpan k s
hu : u ∈ Submodule.span k s
hv : v ∈ Submodule.span k s
hw : w ∈ Submodule.span k s
⊢ c • (u -ᵥ v) +ᵥ w ∈ Submodule.span k s

Tactic:
simp only [vsub_eq_sub, vadd_eq_add]
    apply Submodule.add_mem _ _ hw
    exact Submodule.smul_mem _ _ (Submodule.sub_mem _ hu hv)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs 𝕜 U (-s)

Tactic:
by
  rw [← neg_neg U]
  exact (hs <| neg_mem_nhds_zero _ hU).neg_neg

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : RegularSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
a V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
ha : Absorbs 𝕜 W a
hW₁ : W ∈ 𝓝 0
hW₂ : IsClosed[inst✝³] W
hW₃ : W ⊆ V
b : 𝕜
ha' : a ⊆ b • W
⊢ b • W ⊆ b • V

Tactic:
hW₃

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : RegularSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
a V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
ha : Absorbs 𝕜 W a
hW₁ : W ∈ 𝓝 0
hW₂ : IsClosed[inst✝³] W
hW₃ : W ⊆ V
b : 𝕜
ha' : a ⊆ b • W
⊢ b • V ⊆ b • V
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1

Tactic:
rcases (h (Metric.ball_mem_nhds 0 zero_lt_one)).exists_pos with ⟨ρ, _, hρball⟩

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : ρ > 0
hρball : ∀ (c : 𝕜), ρ ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • Metric.ball 0 1
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
hab : a = 1
⊢ f (a • x + 0 • y) ≤ a • f x + 0 • f y

Tactic:
subst a

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hb : 0 ≤ 0
ha : 0 ≤ 1
ha' : 0 < 1
⊢ f (1 • x + 0 • y) ≤ 1 • f x + 0 • f y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p₁ -ᵥ p₂ = v
⊢ v ∈ ↑(Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p) '' s))

Tactic:
← vsub_sub_vsub_cancel_right p₁ p₂ p

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p₁ -ᵥ p - (p₂ -ᵥ p) = v
⊢ v ∈ ↑(Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p) '' s))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
v : V
⊢ (s.weightedVSubOfPoint (v +ᵥ p) b) w = (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ b)) w

Tactic:
simp [vadd_vsub_assoc, vsub_vadd_eq_vsub_sub, add_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ f y'

Tactic:
← hy''

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ f y'

Tactic:
← hy''

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ -(p₄ -ᵥ p₆) = -(↑r₁ • (p₁ -ᵥ p₃))

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₄ = -(↑r₁ • (p₁ -ᵥ p₃))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₄ = ↑r₁ • -(p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₄ = ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
⊢ v +ᵥ ⊥ = ⊥

Tactic:
ext; simp [pointwise_vadd_eq_map, map_bot]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c ^ (n + 1)‖

Tactic:
norm_zpow

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c‖ ^ (n + 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : (affineCombination k s p) w₁ = (affineCombination k s p) w₂
hi : (↑s).indicator w₁ = (↑s).indicator w₂
i : ι
hs : i ∈ s
this : (↑s).indicator w₁ i = (↑s).indicator w₂ i
⊢ w₁ i = w₂ i

Tactic:
simpa [hs] using this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ i = j

Tactic:
affineIndependent_iff_linearIndependent_vsub _ _ j

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
i j : ι
ha : LinearIndependent k fun i ↦ p ↑i -ᵥ p j
hij : p i = p j
⊢ i = j
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x < ‖c ^ (n + 1)‖ * ε

Tactic:
norm_zpow

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x < ‖c‖ ^ (n + 1) * ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
⊢ w i0 = 0

Tactic:
let fs' := fs.map f

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := map f fs
⊢ w i0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_4
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x

Tactic:
show ‖(c ^ (-(n + 1)))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x

Goal state after:
case refine_4
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
⊢ (s.restrict S hS).face h = (s.face h).restrict S ⋯

Tactic:
let := Nonempty.map (AffineSubspace.inclusion hS) inferInstance

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
⊢ (s.restrict S hS).face h = (s.face h).restrict S ⋯
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι
⊢ f x ≤ 1

Tactic:
exact (mem_Icc_of_mem_stdSimplex hf x).2

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))

Tactic:
exact affineCombination_mem_affineSpan_of_nonempty hw _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
⊢ Simplex.setInterior I (s.restrict S hS) = ⇑S.subtype ⁻¹' Simplex.setInterior I s

Tactic:
let := Nonempty.map (AffineSubspace.inclusion hS) inferInstance

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
⊢ Simplex.setInterior I (s.restrict S hS) = ⇑S.subtype ⁻¹' Simplex.setInterior I s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : PartialOrder k
n : ℕ
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))

Tactic:
exact affineCombination_mem_affineSpan_of_nonempty hw _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : Nontrivial k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
j : Fin (n + 1)
w : Fin (m + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hw' : ∀ (i : Fin (m + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hs : (affineCombination k univ (s.face h).points) w = s.points j
⊢ (affineCombination k univ (s.face h).points) w ∈ affineSpan k (s.points '' ↑fs)

Tactic:
exact Set.mem_of_mem_of_subset (affineCombination_mem_affineSpan hw _) (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
⊢ ∀ (a : α × β), 𝓝 a = 𝓟 (nhdsKer {a})

Tactic:
Prod.forall,

Goal state after:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
⊢ ∀ (a : α) (b : β), 𝓝 (a, b) = 𝓟 (nhdsKer {(a, b)})
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
⊢ Convex R s ↔
    ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s

Tactic:
refine ⟨fun hs t w hw₀ hw₁ hts => hs.sum_mem hw₀ hw₁ hts, ?_⟩
  intro h x hx y hy a b ha hb hab
  by_cases h_cases : x = y
  · rw [h_cases, ← add_smul, hab, one_smul]
    exact hy
  · convert! h { x, y } (fun z => if z = y then b else a) _ _ _
    · simp only [sum_pair h_cases, if_neg h_cases, if_pos trivial]
    · grind
    · simp only [sum_pair h_cases, if_neg h_cases, if_pos trivial, hab]
    · intro i hi
      simp only [Finset.mem_singleton, Finset.mem_insert] at hi
      cases hi <;> subst i <;> assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case hxs
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr y ∈ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y

Tactic:
exact ⟨y, mem_pathComponentIn_self hxu, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case inr.refine_3
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr y ∈ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y

Tactic:
exact ⟨y, mem_pathComponentIn_self hxu, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (s + V) (t + V)

Tactic:
← iUnion_add_left_image,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (⋃ a ∈ s, (fun x ↦ a + x) '' V) (⋃ a ∈ t, (fun x ↦ a + x) '' V)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
this : TopologicalSpace H :=
  TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.domRestrict ∘ ⇑φ) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) E)
x y : H
⊢ (s.domRestrict ∘ ⇑φ) (x + y) = (s.domRestrict ∘ ⇑φ) x + (s.domRestrict ∘ ⇑φ) y

Tactic:
by exact congr_arg s.domRestrict (map_add φ x y)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₁ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx' : (affineCombination R s ⇑b) w ∈ affineSpan R (Set.range ⇑b)
i : ι
hx : 0 ≤ (b.coord i) ((affineCombination R s ⇑b) w)
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ w i

Tactic:
rw [b.coord_apply_combination_of_mem hi hw₁] at hx

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₁ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx' : (affineCombination R s ⇑b) w ∈ affineSpan R (Set.range ⇑b)
i : ι
hx : 0 ≤ w i
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ w i