Module: Mathlib.RingTheory.TotallySplit

Goal state before:
pp: case succ.inr.refine_1
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ Module.FaithfullyFlat R V

pp: case succ.inr.refine_2
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ Module.Finite R V

pp: case succ.inr.refine_3
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ Etale R V

pp: case succ.inr.refine_4
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ IsFiniteSplit V (V ⊗[R] S)

Tactic:
· have : Module.FaithfullyFlat R S := by
        apply Module.FaithfullyFlat.of_comap_surjective
        rw [← PrimeSpectrum.rankAtStalk_pos_iff_comap_surjective]
        intro p
        simp [hn]
      exact Module.FaithfullyFlat.trans R S V

Goal state after:
case succ.inr.refine_2
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ Module.Finite R V

case succ.inr.refine_3
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ Etale R V

case succ.inr.refine_4
n✝ : ℕ
ih :
  ∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S] [Etale R S] [Module.Finite R S],
    Module.rankAtStalk S = ↑n✝ →
      ∃ T x x_1, ∃ (_ : Module.FaithfullyFlat R T) (_ : Module.Finite R T) (_ : Etale R T), IsFiniteSplit T (T ⊗[R] S)
R S : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Etale R S
inst✝ : Module.Finite R S
hn : Module.rankAtStalk S = ↑(n✝ + 1)
h✝ : Nontrivial R
this✝⁴ : Nontrivial S
U : Type u
w✝⁶ : CommRing U
w✝⁵ : Algebra S U
e✝ : S ⊗[R] S ≃ₐ[S] S × U
algInst✝¹ : Algebra (S × U) U := (RingHom.snd S U).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower S (S × U) U
this✝² : Etale S U
this✝¹ : Module.Finite S U
this✝ : ∀ (p : PrimeSpectrum S), 1 + Module.rankAtStalk U p = n✝ + 1
this : Module.rankAtStalk U = ↑n✝
V : Type u
w✝⁴ : CommRing V
w✝³ : Algebra S V
w✝² : Module.FaithfullyFlat S V
w✝¹ : Module.Finite S V
w✝ : Etale S V
hV : IsFiniteSplit V (V ⊗[S] U)
n : ℕ
f : V ⊗[S] U ≃ₐ[V] Fin n → V
algInst✝ : Algebra R V := ((algebraMap S V).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
scalarTowerInst✝ : IsScalarTower R S V := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.refl (algebraMap R V))
e : V ⊗[R] S ≃ₐ[V] Unit ⊕ Fin n → V :=
  (TensorProduct.cancelBaseChange R S V V S).symm.trans
    ((TensorProduct.congr AlgEquiv.refl e✝).trans
      ((TensorProduct.prodRight S V V S U).trans
        (((TensorProduct.rid S V V).prodCongr f).trans
          (((AlgEquiv.funUnique V Unit V).symm.prodCongr AlgEquiv.refl).trans
            (AlgEquiv.sumArrowEquivProdArrow Unit (Fin n) V V).symm))))
⊢ IsFiniteSplit V (V ⊗[R] S)