Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Cover.QuasiCompact

Goal state before:
pp: case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ Scheme.AffineCover P S

pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ Scheme.AffineCover.cover ?refine_1 ⟶ 𝒰

pp: case refine_3
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ Finite (Scheme.AffineCover.I₀ ?refine_1)

pp: case refine_4
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ ∀ (j : (Scheme.AffineCover.cover ?refine_1).I₀), IsOpenImmersion (PreZeroHypercover.Hom.h₀ ?refine_2 j)

Tactic:
· exact
      { I₀ := ULift (Fin n)
        X i := Γ(_, V i.down)
        f i := (hV _).fromSpec ≫ 𝒰.f (f _)
        idx s := ⟨idx s⟩
        covers s := by
          use (hV _).isoSpec.hom.base ⟨x s, hmem s⟩
          rw [← Scheme.Hom.comp_apply, ← IsAffineOpen.isoSpec_inv_ι, Category.assoc,
            Iso.hom_inv_id_assoc]
          simp [hx]
        map_prop i :=
          RespectsLeft.precomp (Q := IsOpenImmersion) _ inferInstance _ (𝒰.map_prop _) }

Goal state after:
case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ { I₀ := ULift.{w, 0} (Fin n), X := fun i ↦ Γ(𝒰.X (f i.down), V i.down), f := fun i ↦ ⋯.fromSpec ≫ 𝒰.f (f i.down),
        idx := fun s ↦ { down := idx s }, covers := ⋯, map_prop := ⋯ }.cover ⟶
    𝒰

case refine_3
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ Finite
    { I₀ := ULift.{w, 0} (Fin n), X := fun i ↦ Γ(𝒰.X (f i.down), V i.down), f := fun i ↦ ⋯.fromSpec ≫ 𝒰.f (f i.down),
        idx := fun s ↦ { down := idx s }, covers := ⋯, map_prop := ⋯ }.I₀

case refine_4
P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
𝒰 : Scheme.Cover (Scheme.precoverage P) S
inst✝² : P.RespectsLeft IsOpenImmersion
inst✝¹ : CompactSpace ↥S
inst✝ : QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover
n : ℕ
f : Fin n → 𝒰.I₀
V : (i : Fin n) → (𝒰.X (f i)).Opens
hV : ∀ (i : Fin n), IsAffineOpen (V i)
idx : ↥S → Fin n
x : (x : ↥S) → ↥(𝒰.X (f (idx x)))
hmem : ∀ (x_1 : ↥S), x x_1 ∈ V (idx x_1)
hx : ∀ (x_1 : ↥S), (𝒰.f (f (idx x_1))) (x x_1) = x_1
⊢ ∀
    (j :
      { I₀ := ULift.{w, 0} (Fin n), X := fun i ↦ Γ(𝒰.X (f i.down), V i.down), f := fun i ↦ ⋯.fromSpec ≫ 𝒰.f (f i.down),
            idx := fun s ↦ { down := idx s }, covers := ⋯, map_prop := ⋯ }.cover.I₀),
    IsOpenImmersion (PreZeroHypercover.Hom.h₀ ?refine_2 j)