Module: Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this : Q.LiesOver p
⊢ ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯) =
    ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯) ∘ ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)

Tactic:
rw [← @AlgHom.coe_restrictScalars' R R', ← AlgHom.coe_comp]

Goal state after:
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this : Q.LiesOver p
⊢ ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯) =
    ⇑((AlgHom.restrictScalars R (Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)).comp
        (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯))