mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : Nontrivial V
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₂.center s₁.center = s₂.radius - s₁.radius
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.center = s₂.center
ha : |s₂.radius - s₁.radius| = s₂.radius - s₁.radius
hr0 : s₂.radius - s₁.radius = 0
⊢ False

Tactic:
hr0,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : Nontrivial V
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₂.center s₁.center = 0
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.center = s₂.center
ha : |s₂.radius - s₁.radius| = s₂.radius - s₁.radius
hr0 : s₂.radius - s₁.radius = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.CrossProduct

Goal state before:
pp: a b : EuclideanSpace ℝ (Fin 3)
⊢ ‖toLp 2 ((crossProduct a.ofLp) b.ofLp)‖ = ‖a‖ * ‖b‖ * sin (angle a b)

Tactic:
by
  have := sin_angle_nonneg a b
  refine sq_eq_sq₀ (by positivity) (by positivity) |>.mp ?_
  trans ‖a‖ ^ 2 * ‖b‖ ^ 2 - ⟪a, b⟫ ^ 2
  · simp_rw [norm_sq_eq_re_inner (𝕜 := ℝ), EuclideanSpace.inner_eq_star_dotProduct, star_trivial,
      RCLike.re_to_real, cross_dot_cross, dotProduct_comm (ofLp b) (ofLp a), sq]
  · linear_combination (‖a‖ * ‖b‖) ^ 2 * (sin_sq_add_cos_sq (angle a b)).symm +
      congrArg (· ^ 2) (cos_angle_mul_norm_mul_norm a b)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃

Tactic:
rw [oangle, oangle, o.oangle_eq_two_zsmul_oangle_sub_of_norm_eq_real _ _ hp₂ hp₁ hp₃] <;>
    simp [hp₂p₁, hp₂p₃]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
⊢ SignType.sign (∑ i_1, s.excenterWeightsUnnorm {i} i_1)⁻¹ = 1

Tactic:
rw [sign_eq_one_iff, inv_pos]

Goal state after:
case e'_2.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
⊢ 0 < ∑ i_1, s.excenterWeightsUnnorm {i} i_1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
⊢ SignType.sign (∑ i_1, s.excenterWeightsUnnorm {i} i_1)⁻¹ = 1

Tactic:
rw [sign_eq_one_iff, inv_pos]

Goal state after:
case e'_2.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
⊢ 0 < ∑ i_1, s.excenterWeightsUnnorm {i} i_1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
⊢ s.excenterWeights ∅ i < 2⁻¹

Tactic:
have h : (s.height i)⁻¹ + (s.height i)⁻¹ < (s.height i)⁻¹ + ∑ j ∈ {i}ᶜ, (s.height j)⁻¹ := by
    have := s.inv_height_lt_sum_inv_height i
    rwa [filter_ne', ← compl_singleton, ← add_lt_add_iff_left (s.height i)⁻¹] at this

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
h : (s.height i)⁻¹ + (s.height i)⁻¹ < (s.height i)⁻¹ + ∑ j ∈ {i}ᶜ, (s.height j)⁻¹
⊢ s.excenterWeights ∅ i < 2⁻¹
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case h.right.refl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
cc₃ : P
cr₃ : ℝ
hcc₃ : cc₃ ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s)
t₃ : ℝ
hcc₃' : cc ∈ s
hcc₃'' : cc₃ = t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
hcr₃' : ∀ p₁ ∈ ps, dist p₁ ↑⟨cc, hcc₃'⟩ = cr
hcr₃val : cr₃ = √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y))
hcr₃ :
  dist (1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))
        (t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc) *
      dist (1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))
        (t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc) =
    √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y)) * √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y))
⊢ { center := cc₃, radius := cr₃ } = { center := cc₂, radius := cr₂ }

Tactic:
dist_sq_smul_orthogonal_vadd_smul_orthogonal_vadd (orthogonalProjection_mem p) hcc₃' _ _
        (vsub_orthogonalProjection_mem_direction_orthogonal s p),

Goal state after:
case h.right.refl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
cc₃ : P
cr₃ : ℝ
hcc₃ : cc₃ ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s)
t₃ : ℝ
hcc₃' : cc ∈ s
hcc₃'' : cc₃ = t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
hcr₃' : ∀ p₁ ∈ ps, dist p₁ ↑⟨cc, hcc₃'⟩ = cr
hcr₃val : cr₃ = √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y))
hcr₃ :
  dist (↑((orthogonalProjection s) p)) cc * dist (↑((orthogonalProjection s) p)) cc +
      ‖1 - t₃‖ * ‖1 - t₃‖ * (‖p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)‖ * ‖p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)‖) =
    √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y)) * √(cr * cr + t₃ * y * (t₃ * y))
⊢ { center := cc₃, radius := cr₃ } = { center := cc₂, radius := cr₂ }
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
⊢ ⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖) =
    ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, x + y⟫ / (‖y‖ * ‖x + y‖)) -
      √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖y‖ * ‖x + y‖))

Tactic:
have : x + y ≠ 0 := by grind

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
this : x + y ≠ 0
⊢ ⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖) =
    ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, x + y⟫ / (‖y‖ * ‖x + y‖)) -
      √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖y‖ * ‖x + y‖))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
⊢ √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖y‖) =
    √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, x + y⟫ / (‖y‖ * ‖x + y‖)) +
      ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪y, y⟫ * ⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪y, x⟫) / (‖y‖ * ‖x + y‖))

Tactic:
have : x + y ≠ 0 := by grind

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
this : x + y ≠ 0
⊢ √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖y‖) =
    √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, x + y⟫ / (‖y‖ * ‖x + y‖)) +
      ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪y, y⟫ * ⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪y, x⟫) / (‖y‖ * ‖x + y‖))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
⊢ ∀ ⦃y : Fin 2⦄,
    y ∈ Set.univ →
      i ≠ y →
        (fun i j ↦
            dist (s.points i) (Finset.centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (Finset.centroid ℝ univ s.points))
          i y

Tactic:
j

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
j : Fin 2
⊢ j ∈ Set.univ →
    i ≠ j →
      (fun i j ↦
          dist (s.points i) (Finset.centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (Finset.centroid ℝ univ s.points))
        i j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ ⦃a₂ : Fin (n + 1)⦄, (fun i ↦ s.excenter {i}) i = (fun i ↦ s.excenter {i}) a₂ → i = a₂

Tactic:
j

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
⊢ (fun i ↦ s.excenter {i}) i = (fun i ↦ s.excenter {i}) j → i = j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
⊢ f s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (⇑f.toAffineMap '' Set.range s.points)

Tactic:
← AffineSubspace.map_span

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
⊢ f s.circumcenter ∈ AffineSubspace.map f.toAffineMap (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ ⦃a₂ : Fin (n + 1)⦄, s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs a₂ → i = a₂

Tactic:
j

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
⊢ s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j → i = j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ps ⊆ ↑⊤

Tactic:
exact Set.subset_univ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc✝ : Cospherical ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
c : P
hc : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c

Tactic:
exact ⟨⟨c, r⟩, fun sx hsx => Sphere.ext (hc sx hsx) (hr sx hsx)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hne : i ≠ j
hs :
  SignType.sign
      (s.touchpointWeights signs i j * ‖s.points j -ᵥ ↑((s.faceOpposite j).orthogonalProjectionSpan (s.points j))‖) =
    SignType.sign (s.excenterWeights signs j)
⊢ SignType.sign (s.touchpointWeights signs i j) =
    SignType.sign (s.touchpointWeights signs i j) *
      SignType.sign ‖s.points j -ᵥ ↑((s.faceOpposite j).orthogonalProjectionSpan (s.points j))‖

Tactic:
convert! (mul_one _).symm

Goal state after:
case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hne : i ≠ j
hs :
  SignType.sign
      (s.touchpointWeights signs i j * ‖s.points j -ᵥ ↑((s.faceOpposite j).orthogonalProjectionSpan (s.points j))‖) =
    SignType.sign (s.excenterWeights signs j)
⊢ SignType.sign ‖s.points j -ᵥ ↑((s.faceOpposite j).orthogonalProjectionSpan (s.points j))‖ = 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
i : Fin 3
⊢ ∀ (j : Fin 3), dist (![a, b, c] i) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] i) (![a', b', c'] j)

Tactic:
j

Goal state after:
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
i j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] i) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] i) (![a', b', c'] j)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: case h
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_ne : dist a b ≠ 0
h_ne' : dist a' b' ≠ 0
heq1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
heq2 : dist a b * dist c' a' = dist c a * dist a' b'
r : ℝ := dist a b / dist a' b'
hr : r = dist a b / dist a' b'
hr_pos : 0 < r
i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ ∀ ⦃j : Fin (Nat.succ 0).succ.succ⦄,
    i ≠ j → (fun i₁ i₂ ↦ dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = r * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)) i j

Tactic:
j

Goal state after:
case h
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_ne : dist a b ≠ 0
h_ne' : dist a' b' ≠ 0
heq1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
heq2 : dist a b * dist c' a' = dist c a * dist a' b'
r : ℝ := dist a b / dist a' b'
hr : r = dist a b / dist a' b'
hr_pos : 0 < r
i j : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ i ≠ j → (fun i₁ i₂ ↦ dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = r * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)) i j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ ∀ ⦃j : Fin (Nat.succ 0).succ.succ⦄,
    i ≠ j → (fun i₁ i₂ ↦ dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = k * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)) i j

Tactic:
j

Goal state after:
case h
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
i j : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ i ≠ j → (fun i₁ i₂ ↦ dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = k * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)) i j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

Tactic:
rw [dist_smul_vadd_eq_dist _ _ hv]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫ = 0 ∨ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫ = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
v : V
hv : v ∈ ℝ ∙ (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ Finset.centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, v⟫ = 0

Tactic:
rcases Submodule.mem_span_singleton.mp hv with ⟨r, rfl⟩

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
hv : r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) ∈ ℝ ∙ (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ Finset.centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
h : dist (r • v +ᵥ p) s.center = s.radius
hv : ¬v = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p

Tactic:
← hp,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
h : dist (r • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center
hv : ¬v = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b t p : P
s : Sphere P
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hp : p ∈ line[ℝ, a, b]
h_tangent : s.IsTangentAt t line[ℝ, p, t]
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ dist p t ^ 2 = dist p a * dist p b

Tactic:
have radius_le_dist := h_tangent.isTangent.radius_le_dist_center (left_mem_affineSpan_pair ℝ p t)

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b t p : P
s : Sphere P
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hp : p ∈ line[ℝ, a, b]
h_tangent : s.IsTangentAt t line[ℝ, p, t]
hr : 0 ≤ s.radius
radius_le_dist : s.radius ≤ dist p s.center
⊢ dist p t ^ 2 = dist p a * dist p b
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ line[ℝ, t.orthocenter, t.points i] ≤ altitude t i

Tactic:
by
  refine affineSpan_le_of_subset_coe ?_
  rw [Set.insert_subset_iff, Set.singleton_subset_iff]
  exact ⟨t.orthocenter_mem_altitude, t.mem_altitude i⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c₁ c₂ : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ (c₁ * c₂) • f = c₁ • c₂ • f

Tactic:
by ext x; exact mul_smul (c₁ x) (c₂ x) (f x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
hf : IsLocalDiffeomorph I I' n f
⊢ f ⁻¹' ModelWithCorners.interior N = ModelWithCorners.interior M

Tactic:
by
  simpa using (hf.isLocalDiffeomorphOn univ).preimage_interior_inter hn

Goal state after: