mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
f' : E → 𝕜 := ⋯
s' : Set E := ⋯
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
⊢ mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (fun y ↦ A y + B y) x =
    (d[s] f x) (V x) • W x + f x • mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (lieBracketWithin 𝕜 V' W' s') x

Tactic:
rw [← Pi.add_def, mpullback_add_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
f' : E → 𝕜 := f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
s' : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ (fderivWithin 𝕜 f' s' x₀) (V' x₀) • W' x₀
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ f' x₀ • lieBracketWithin 𝕜 V' W' s' x₀
⊢ mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) A x + mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) B x =
    (d[s] f x) (V x) • W x + f x • mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (lieBracketWithin 𝕜 V' W' s') x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hV : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, V x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mlieBracketWithin I (f • V) W s x = -(d[s] f x) (W x) • V x + f x • mlieBracketWithin I V W s x

Tactic:
rw [mlieBracketWithin_swap, Pi.neg_apply, mlieBracketWithin_smul_right hf hV (V := W) hs,
    mlieBracketWithin_swap]
  simp; abel

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : m + 1 ≤ n
hm : m ≠ ∞
T :
  {x_1 |
      (fun x' ↦
          ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
            (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
        x_1} ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s] ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝[s] x,
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
      (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_1⟩)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y)

Tactic:
have A := (continuousAt_extChartAt (I := I) x).continuousWithinAt.preimage_mem_nhdsWithin'' T rfl

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : m + 1 ≤ n
hm : m ≠ ∞
T :
  {x_1 |
      (fun x' ↦
          ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
            (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
            ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
        x_1} ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s] ↑(extChartAt I x) x
A :
  ↑(extChartAt I x) ⁻¹'
      {x_1 |
        (fun x' ↦
            ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
              (fun x_2 ↦ ⟨x_2, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_2⟩)
              ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x')
          x_1} ∈
    𝓝[↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)] x
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝[s] x,
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m
      (fun x_1 ↦ ⟨x_1, mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I) x_1⟩)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.TransferInstance

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : IsTopologicalGroup β
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Group α
e : α ≃ₜ* β
this : Continuous (⇑e.symm ∘ (fun q ↦ q⁻¹) ∘ ⇑e)
⊢ Continuous fun a ↦ a⁻¹

Tactic:
exact this.congr (fun p ↦ by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ Convex ℝ (range Subtype.val)

Tactic:
rw [range_euclideanHalfSpace n]

Goal state after:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ Convex ℝ {y | 0 ≤ y.ofLp 0}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
set x' := (extChartAt I x) x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) x'
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ
⊢ IsImmersion I 𝓘(𝕜, E) ↑n ↑I

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance
  exact I.isImmersionOfComplement

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x

Tactic:
have ha : 0 < 1 - a := by
    have : a < 1 := (inner_lt_one_iff_real_of_norm_eq_one hv (by simp)).mpr hx.symm
    linarith

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 0 < 1 - a
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ
⊢ IsMIntegralCurveAt (γ ∘ fun x ↦ x + dt) v (t₀ - dt)

Tactic:
isMIntegralCurveAt_iff'

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
dt : ℝ
⊢ ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn (γ ∘ fun x ↦ x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsMIntegralCurveAt (γ ∘ fun x ↦ x * a) (a • v) (t₀ / a)

Tactic:
isMIntegralCurveAt_iff'

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn (γ ∘ fun x ↦ x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) ε)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∃ ε > 0,
    ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε),
      HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f t)).2 t
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀

Tactic:
simp_rw [← Real.ball_eq_Ioo, ← Metric.eventually_nhds_iff_ball] at hf2

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E → E := fun x ↦ ↑I (↑(chartAt H a.proj) (↑(chartAt H p.1.proj).symm (↑I.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I' M'),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.fst) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' w.proj) w.proj))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜
    (fun x ↦
      ↑I
        (↑(chartAt H a.proj)
          (↑((chartAt H p.1.proj).prod (chartAt H' p.2.proj).toPartialEquiv).symm
              (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm x)).1))
    (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))

Tactic:
exact D _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
hlt : asup - ε / 2 < a
γ : ℝ → M
h0 : γ 0 = x
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)
γ1_aux : ℝ → M
h1_aux : γ1_aux 0 = γ (-(asup - ε / 2))
γ1 : ℝ → M := γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
γ1_def : γ1 = γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
heq1 : γ1 (-(asup - ε / 2)) = γ (-(asup - ε / 2))
γ2_aux : ℝ → M
h2_aux : γ2_aux 0 = γ (asup - ε / 2)
γ2 : ℝ → M := γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
γ2_def : γ2 = γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
heq2 : γ2 (asup - ε / 2) = γ (asup - ε / 2)
hγ1 : IsMIntegralCurveOn γ1 v {t | t ∈ Ioo (-ε - (asup - ε / 2)) (ε - (asup - ε / 2))}
hγ2 : IsMIntegralCurveOn γ2 v {t | -ε + (asup - ε / 2) < t ∧ t - (asup - ε / 2) < ε}
⊢ False

Tactic:
sub_lt_iff_lt_add,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
hlt : asup - ε / 2 < a
γ : ℝ → M
h0 : γ 0 = x
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)
γ1_aux : ℝ → M
h1_aux : γ1_aux 0 = γ (-(asup - ε / 2))
γ1 : ℝ → M := γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
γ1_def : γ1 = γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
heq1 : γ1 (-(asup - ε / 2)) = γ (-(asup - ε / 2))
γ2_aux : ℝ → M
h2_aux : γ2_aux 0 = γ (asup - ε / 2)
γ2 : ℝ → M := γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
γ2_def : γ2 = γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
heq2 : γ2 (asup - ε / 2) = γ (asup - ε / 2)
hγ1 : IsMIntegralCurveOn γ1 v {t | t ∈ Ioo (-ε - (asup - ε / 2)) (ε - (asup - ε / 2))}
hγ2 : IsMIntegralCurveOn γ2 v {t | -ε + (asup - ε / 2) < t ∧ t < ε + (asup - ε / 2)}
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E' → E' := fun x ↦ ↑I' (↑(chartAt H' b.proj) (↑(chartAt H' p.2.proj).symm (↑I'.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I M),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H w.proj) w.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜
    (fun x ↦
      ↑I'
        (↑(chartAt H' b.proj)
          (↑((chartAt H p.1.proj).prod (chartAt H' p.2.proj).toPartialEquiv).symm
              (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm x)).2))
    (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))

Tactic:
exact D _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Metrizable

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
⊢ MetrizableSpace M

Tactic:
exact metrizableSpace_of_t3_secondCountable M

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: case hv
EB : Type u_1
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℝ EB
HB : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners ℝ EB HB
n : ℕ∞ω
B : Type u_3
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : ChartedSpace HB B
F : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁸ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝⁶ : FiberBundle F E
inst✝⁵ : VectorBundle ℝ F E
EM : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝³ : NormedSpace ℝ EM
HM : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners ℝ EM HM
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace HM M
h : IsContMDiffRiemannianBundle IB n F E
b : M → B
v w : (x : M) → E (b x)
s : Set M
x : M
hv : ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(ℝ, F)) n (fun m ↦ ⟨b m, v m⟩) s x
hw : ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(ℝ, F)) n (fun m ↦ ⟨b m, w m⟩) s x
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_smooth : ContMDiff IB (IB.prod 𝓘(ℝ, F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ)) n fun b ↦ ⟨b, g b⟩
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
hb : ContMDiffWithinAt IM IB n b s x
⊢ ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(ℝ, F)) n (fun m ↦ ⟨b m, v m⟩) s x

Tactic:
exact hv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: case hv
EB : Type u_1
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℝ EB
HB : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners ℝ EB HB
B : Type u_3
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : ChartedSpace HB B
F : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁸ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝⁶ : FiberBundle F E
inst✝⁵ : VectorBundle ℝ F E
EM : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝³ : NormedSpace ℝ EM
HM : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners ℝ EM HM
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace HM M
h : IsContMDiffRiemannianBundle IB 1 F E
b : M → B
v w : (x : M) → E (b x)
s : Set M
x : M
hv : (MDiffAt[s] fun m ↦ ⟨b m, v m⟩) x
hw : (MDiffAt[s] fun m ↦ ⟨b m, w m⟩) x
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_smooth : ContMDiff IB (IB.prod 𝓘(ℝ, F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ)) 1 fun b ↦ ⟨b, g b⟩
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
hb : MDiffAt[s] b x
⊢ MDiffAt[s] (T% v) x

Tactic:
exact hv

Goal state after: