Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_2
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows
S : Sieve X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs : ∀ (i : E.I₀), (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) y → y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)
hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i
t' : F.obj (op X)
ht' : ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t' = s i
hunique :
  ∀ (y : (fun X ↦ X) (F.obj (op X))),
    (fun t ↦ ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t = s i) y → y = t'
⊢ ∃! t_1, t.IsAmalgamation t_1

Tactic:
refine ⟨t', fun T f hf ↦ (h₂ f).ext fun Z g hg ↦ ?_, fun y hy ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_2
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows
S : Sieve X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs : ∀ (i : E.I₀), (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) y → y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)
hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i
t' : F.obj (op X)
ht' : ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t' = s i
hunique :
  ∀ (y : (fun X ↦ X) (F.obj (op X))),
    (fun t ↦ ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t = s i) y → y = t'
T : C
f : T ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ T
hg : (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows g
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map g.op)) ((ConcreteCategory.hom (F.map f.op)) t') =
    (ConcreteCategory.hom (F.map g.op)) (t f hf)

case refine_2
C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_2
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows
S : Sieve X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs : ∀ (i : E.I₀), (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun t_1 ↦ (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation t_1) y → y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)
hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i
t' : F.obj (op X)
ht' : ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t' = s i
hunique :
  ∀ (y : (fun X ↦ X) (F.obj (op X))),
    (fun t ↦ ∀ (i : E.I₀), (ConcreteCategory.hom (F.map (E.f i).op)) t = s i) y → y = t'
y : F.obj (op X)
hy : (fun t_1 ↦ t.IsAmalgamation t_1) y
⊢ y = t'