Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ : ∀ (τ : (x : M) → V' x), MDiffAt (T% τ) x → TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (Φ σ) x
this✝⁶ : T2Space (V x)
this✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝⁴ : T2Space (V' x)
this✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (V' x)
this✝² : IsTopologicalAddGroup (V x)
this✝¹ : IsTopologicalAddGroup (V' x)
this✝ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
⊢ Φ (extend F v) (extend F' (w₁ + w₂)) = Φ (extend F v) (extend F' w₁ + extend F' w₂)

Tactic:
apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_add_section (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..)

Goal state after:
case hσσ'
𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ : ∀ (τ : (x : M) → V' x), MDiffAt (T% τ) x → TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (Φ σ) x
this✝⁶ : T2Space (V x)
this✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝⁴ : T2Space (V' x)
this✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (V' x)
this✝² : IsTopologicalAddGroup (V x)
this✝¹ : IsTopologicalAddGroup (V' x)
this✝ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
⊢ extend F v x = extend F v x

case hττ'
𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ : ∀ (τ : (x : M) → V' x), MDiffAt (T% τ) x → TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (Φ σ) x
this✝⁶ : T2Space (V x)
this✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝⁴ : T2Space (V' x)
this✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (V' x)
this✝² : IsTopologicalAddGroup (V x)
this✝¹ : IsTopologicalAddGroup (V' x)
this✝ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
⊢ extend F' (w₁ + w₂) x = (extend F' w₁ + extend F' w₂) x