mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
⊢ IsFractional R₁⁰ (span R₁ (f '' ↑s))

Tactic:
refine ⟨a', a'.2, fun x hx => Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hx⟩

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ x ∈ f '' ↑s, IsInteger R₁ (↑a' • x)

case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ IsInteger R₁ (↑a' • 0)

case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (x y : K),
    x ∈ span R₁ (f '' ↑s) →
      y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))

case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x : K
hx : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ ∀ (a : R₁), ∀ x ∈ span R₁ (f '' ↑s), IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • a • x)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : I = ⊥
⊢ I ∣ J

Tactic:
have hJ : J = ⊥ := by rwa [hI, ← eq_bot_iff] at h
      rw [hI, hJ]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I
⊢ I * H = I * 1

Tactic:
← hmul,

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I
⊢ J = I * 1
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
⊢ HasNoetherianRange 0

Tactic:
by
  simp [HasNoetherianRange, isNoetherian_submodule, Submodule.fg_bot]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
hf : f.HasNoetherianRange
⊢ IsNoetherian K ↥(-f).range

Tactic:
LinearMap.range_neg

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
hf : f.HasNoetherianRange
⊢ IsNoetherian K ↥f.range
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
hf : f.HasFiniteRange
⊢ (-f).range.FG

Tactic:
LinearMap.range_neg

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
hf : f.HasFiniteRange
⊢ f.range.FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : IsNoetherianRing K
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ f ∈ finiteRange K V V₂ ↔ f.HasFiniteRange

Tactic:
rw [mem_finiteRange_iff_hasNoetherianRange, hasNoetherianRange_iff_hasFiniteRange]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
hR : ¬IsField R
I : Ideal R
⊢ I ≠ ⊤ ↔ ∃ P, I ≤ P.asIdeal

Tactic:
rw [Ideal.ne_top_iff_exists_maximal]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
hR : ¬IsField R
I : Ideal R
⊢ (∃ M, M.IsMaximal ∧ I ≤ M) ↔ ∃ P, I ≤ P.asIdeal
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
fp : FinitePresentation R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
⊢ ∃ n K x, K.FG

Tactic:
refine ⟨_, LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val ∘ₗ
    (lcongr ι.equivFin (.refl ..) ≪≫ₗ linearEquivFunOnFinite R R _).symm.toLinearMap),
    (LinearMap.quotKerEquivOfSurjective _ <| LinearMap.range_eq_top.mp ?_).symm, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
M : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
fp : FinitePresentation R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
⊢ (linearCombination R Subtype.val ∘ₗ
        ↑(lcongr ι.equivFin (LinearEquiv.refl R R) ≪≫ₗ linearEquivFunOnFinite R R (Fin ι.card)).symm).range =
    ⊤

case refine_2
R : Type u
M : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
fp : FinitePresentation R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
⊢ (linearCombination R Subtype.val ∘ₗ
        ↑(lcongr ι.equivFin (LinearEquiv.refl R R) ≪≫ₗ linearEquivFunOnFinite R R (Fin ι.card)).symm).ker.FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case hs2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset N
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
f : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M
hf : l ∘ₗ f = linearCombination R Subtype.val
this : Submodule.map f.range.mkQ l.ker = ⊤
⊢ (l.ker ⊓ f.range.mkQ.ker).FG

Tactic:
· rw [Submodule.ker_mkQ, inf_comm, ← Submodule.map_comap_eq, ← LinearMap.ker_comp, hf]
    exact hs'.map f

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : π.ker ≤ (l ∘ₗ π).ker
⊢ (Submodule.map (l ∘ₗ π).ker.subtype (l.ker.subtype ∘ₗ f).ker).FG

Tactic:
LinearMap.ker_comp f,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : π.ker ≤ (l ∘ₗ π).ker
⊢ (Submodule.map (l ∘ₗ π).ker.subtype (Submodule.comap f l.ker.subtype.ker)).FG
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableEq R
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
⊢ Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)

Tactic:
have := emultiplicity_eq_emultiplicity_span (R := R) (a := X) (b := r)
  rw [emultiplicity_eq_count_normalizedFactors (Prime.irreducible hX) hr,
    emultiplicity_eq_count_normalizedFactors (Prime.irreducible ?_), normalize_apply,
    normUnit_eq_one, Units.val_one, one_eq_top, mul_top, Nat.cast_inj] at this
  · simp only [normalize_apply, this]
  · simp only [Submodule.zero_eq_bot, ne_eq, span_singleton_eq_bot, hr, not_false_eq_true]
  · simpa only [prime_span_singleton_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
p : Ideal A
hpm : p.IsMaximal
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : IsTorsionFree A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral A B
⊢ (p.primesOver B).Finite

Tactic:
by_cases hpb : p = ⊥
  · rw [hpb] at hpm ⊢
    have : IsDomain A := IsDomain.of_bot_isPrime A
    rw [primesOver_bot A B]
    exact Set.finite_singleton ⊥
  · rw [← coe_primesOverFinset hpb B]
    exact (primesOverFinset p B).finite_toSet

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : ↥τ
⊢ π ↑x = 0

Tactic:
rw [← LinearMap.mem_ker, ← hτ]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : ↥τ
⊢ ↑x ∈ Submodule.span R ↑τ
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Cokernel

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁸ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module A M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
data : pres₂.CokernelData f g₁
hg₁ : Submodule.span A (Set.range g₁) = ⊤
N✝ : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
f✝ f'✝ : M₂ ⧸ f.range →ₗ[A] N✝
h : (pres₂.cokernelSolution data).postcomp f✝ = (pres₂.cokernelSolution data).postcomp f'✝
⊢ pres₂.postcomp (f✝ ∘ₗ f.range.mkQ) = pres₂.postcomp (f'✝ ∘ₗ f.range.mkQ)

Tactic:
ext g

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁸ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module A M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
data : pres₂.CokernelData f g₁
hg₁ : Submodule.span A (Set.range g₁) = ⊤
N✝ : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
f✝ f'✝ : M₂ ⧸ f.range →ₗ[A] N✝
h : (pres₂.cokernelSolution data).postcomp f✝ = (pres₂.cokernelSolution data).postcomp f'✝
g : pres₂.G
⊢ (pres₂.postcomp (f✝ ∘ₗ f.range.mkQ)).var g = (pres₂.postcomp (f'✝ ∘ₗ f.range.mkQ)).var g
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Supported

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ supported R ↑p.vars

Tactic:
mem_supported

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ ↑p.vars ⊆ ↑p.vars
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Module.Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂

Tactic:
by
  classical
  have : ∀ x, ∃ s : S, s • g₁ x = s • g₂ x := fun x ↦
    IsLocalizedModule.exists_of_eq (S := S) (f := f) (LinearMap.congr_fun h x)
  choose s hs using this
  obtain ⟨σ, hσ⟩ := hM
  use σ.prod s
  rw [← sub_eq_zero, ← LinearMap.ker_eq_top, ← top_le_iff, ← hσ, Submodule.span_le]
  intro x hx
  simp only [SetLike.mem_coe, LinearMap.mem_ker, LinearMap.sub_apply, LinearMap.smul_apply,
    sub_eq_zero, ← Finset.prod_erase_mul σ s hx, mul_smul, hs]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • s₀ • LinearMap.id
t : R
ht : ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) N :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l
hu : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑⟨t, ⋯⟩)
hu₀ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₀)
hu₁ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₁)
hu₂ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₂)
lₛ' : LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) M :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l'
⊢ ↑s₂ • ((algebraMap R Rₛ) ↑s₀ * ↑hu₀.unit⁻¹) • lₛ' ∘ₗ lₛ = ↑s₂ • ↑s₀ • LinearMap.id

Tactic:
IsUnit.mul_val_inv,

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • s₀ • LinearMap.id
t : R
ht : ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) N :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l
hu : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑⟨t, ⋯⟩)
hu₀ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₀)
hu₁ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₁)
hu₂ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₂)
lₛ' : LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) M :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l'
⊢ ↑s₂ • 1 • lₛ' ∘ₗ lₛ = ↑s₂ • ↑s₀ • LinearMap.id
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (monomial (single i 1 + (m - single i 1))) (1 * (r * ↑(m i))) = (monomial m) (m i • r)

Tactic:
by_cases h : m i = 0

Goal state after:
case pos
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m : σ →₀ ℕ
r : R
h : m i = 0
⊢ (monomial (single i 1 + (m - single i 1))) (1 * (r * ↑(m i))) = (monomial m) (m i • r)

case neg
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m : σ →₀ ℕ
r : R
h : ¬m i = 0
⊢ (monomial (single i 1 + (m - single i 1))) (1 * (r * ↑(m i))) = (monomial m) (m i • r)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : ¬Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ∃ c₁ c₂ c₃, x_χ = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆

Tactic:
have hx_χ_pos : x_χ ∈ genWeightSpace L α.toLinear := by
        rw [← (sub_eq_zero.mp w_minus)]
        exact hx_χ

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : ¬Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx_χ_pos : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ∃ c₁ c₂ c₃, x_χ = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
H : ∃ n f, Function.Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG := FinitePresentation.out
n : ℕ := H.choose
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S := ⋯.choose
hf : Function.Surjective ⇑f
hf' : (RingHom.ker f).FG
H' : ∃ n_1 s, Submodule.span (MvPolynomial (Fin n) R) (Set.range s) = RingHom.ker f :=
  Submodule.fg_iff_exists_fin_generating_family.mp hf'
m : ℕ := H'.choose
v : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R := ⋯.choose
hv : Ideal.span (Set.range v) = RingHom.ker f
⊢ Function.Surjective ⇑(aeval fun x ↦ f (X x))

Tactic:
convert! hf; ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
⊢ Function.Injective P.σ

Tactic:
intro x y e

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
x y : S
e : P.σ x = P.σ y
⊢ x = y
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
hP : P.ker.FG
⊢ (Submodule.restrictScalars P.Ring ⊤).FG

Tactic:
rw [Submodule.restrictScalars_top, ← LinearMap.range_eq_top.mpr Extension.Cotangent.mk_surjective,
    ← Submodule.map_top]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
hP : P.ker.FG
⊢ (Submodule.map mk ⊤).FG
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
⊢ Function.Injective P.σ

Tactic:
intro x y e

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
x y : S
e : P.σ x = P.σ y
⊢ x = y
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁷ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
solution : (i : ι) → (relations i).Solution (M i)
h : ∀ (i : ι), (solution i).IsPresentation
N✝ : Type w'
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
f✝ f'✝ : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[A] N✝
h' : (directSum solution).postcomp f✝ = (directSum solution).postcomp f'✝
i : ι
⊢ (solution i).postcomp (f✝ ∘ₗ lof A ι M i) = (solution i).postcomp (f'✝ ∘ₗ lof A ι M i)

Tactic:
ext g

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁷ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
solution : (i : ι) → (relations i).Solution (M i)
h : ∀ (i : ι), (solution i).IsPresentation
N✝ : Type w'
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
f✝ f'✝ : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[A] N✝
h' : (directSum solution).postcomp f✝ = (directSum solution).postcomp f'✝
i : ι
g : (relations i).G
⊢ ((solution i).postcomp (f✝ ∘ₗ lof A ι M i)).var g = ((solution i).postcomp (f'✝ ∘ₗ lof A ι M i)).var g