Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PrecoverageToGrothendieck

Goal state before:
pp: case mpr.transitive
C : Type u_3
inst✝ : Category.{u_2, u_3} C
J : Precoverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
hS : J.Saturate X R
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → J.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X Y : C} {f : Y ⟶ X},
    ∀ R ∈ J.coverings X,
      Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows ∧
        ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows),
          x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
⊢ Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows ∧
    ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
refine ⟨?_, fun x hx => ?_⟩

Goal state after:
case mpr.transitive.refine_1
C : Type u_3
inst✝ : Category.{u_2, u_3} C
J : Precoverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
hS : J.Saturate X R
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → J.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X Y : C} {f : Y ⟶ X},
    ∀ R ∈ J.coverings X,
      Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows ∧
        ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows),
          x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
⊢ Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows

case mpr.transitive.refine_2
C : Type u_3
inst✝ : Category.{u_2, u_3} C
J : Precoverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
X✝ : C
S✝ : Sieve X✝
X : C
R S : Sieve X
hS : J.Saturate X R
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → J.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X Y : C} {f : Y ⟶ X},
    ∀ R ∈ J.coverings X,
      Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows ∧
        ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows),
          x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃ t, x.IsAmalgamation t