mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (y + z)⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x : L
⊢ ⁅mk x, mk x⁆ = 0

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x : L
⊢ mk ⁅x, x⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h : IsSolvable ↥I
⊢ derivedAbelianOfIdeal I = ⊥ ↔ I = ⊥

Tactic:
dsimp only [derivedAbelianOfIdeal]
  split
  · simp_all only [derivedLength_zero]
  · rename_i k h
    obtain ⟨_, h₂⟩ := (derivedSeries_of_derivedLength_succ R L I k).mp h
    have h₃ : I ≠ ⊥ := by rintro rfl; apply h₂; apply derivedSeries_of_bot_eq_bot
    simp only [h₂, h₃]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
x : A ⊗[R] L
c : ↑↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N) →₀ A
hm : (Finsupp.linearCombination A Subtype.val) c ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
a : A
y : L
x✝¹ : ↑↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
val✝ : A ⊗[R] M
n : M
hn : n ∈ ↑↑N
h : ((TensorProduct.mk R A M) 1) n = val✝
x✝ : ⟨val✝, ⋯⟩ ∈ c.support
⊢ ⁅a ⊗ₜ[R] y, val✝⁆ ∈ Submodule.baseChange A ↑N

Tactic:
← h

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
x : A ⊗[R] L
c : ↑↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N) →₀ A
hm : (Finsupp.linearCombination A Subtype.val) c ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
a : A
y : L
x✝¹ : ↑↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
val✝ : A ⊗[R] M
n : M
hn : n ∈ ↑↑N
h : ((TensorProduct.mk R A M) 1) n = val✝
x✝ : ⟨val✝, ⋯⟩ ∈ c.support
⊢ ⁅a ⊗ₜ[R] y, ((TensorProduct.mk R A M) 1) n⁆ ∈ Submodule.baseChange A ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • ⁅mk x, mk y⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (t • y)⁆ = t • mk ⁅x, y⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)

Tactic:
← mk_bracket

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ IsNilpotent L (M ⧸ N) ↔ ∃ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N

Tactic:
by
  rw [isNilpotent_iff R L]
  refine exists_congr fun k ↦ ?_
  rw [← LieSubmodule.Quotient.map_mk'_eq_bot_le, map_lowerCentralSeries_eq k
    (LieSubmodule.Quotient.surjective_mk' N)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K ≠ ⊤
this : Nontrivial (↥L' ⧸ K.toLieSubmodule)
x : ↥K
hx : IsNilpotent ((ad R ↥L') ↑x)
⊢ ↑K.toLieSubmodule ≤ Submodule.comap ((ad R ↥L') ↑x) ↑K.toLieSubmodule

Tactic:
intro X HX

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K ≠ ⊤
this : Nontrivial (↥L' ⧸ K.toLieSubmodule)
x : ↥K
hx : IsNilpotent ((ad R ↥L') ↑x)
X : ↥L'
HX : X ∈ ↑K.toLieSubmodule
⊢ X ∈ Submodule.comap ((ad R ↥L') ↑x) ↑K.toLieSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
L : Type v
inst✝ : LieRing L
hL : LieModule.IsNilpotent L L
k : ℕ
h : LieModule.lowerCentralSeries ℤ L L k ≤ ⊥
⊢ derivedSeries ℤ L k ≤ ⊥

Tactic:
exact le_trans (LieModule.derivedSeries_le_lowerCentralSeries ℤ L k) h

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
h : LieRing.IsNilpotent L
⊢ LieRing.IsNilpotent L'

pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
h : LieRing.IsNilpotent L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L

Tactic:
· exact e.symm.injective.lieAlgebra_isNilpotent

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
h : LieRing.IsNilpotent L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Algebraic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
⊢ finrank (↥E) L ∣ finrank (↥F) L

Tactic:
let _ := (inclusion h).toRingHom.toAlgebra

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
x✝ : Algebra ↥F ↥E := (inclusion h).toAlgebra
⊢ finrank (↥E) L ∣ finrank (↥F) L
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Algebraic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
⊢ finrank K ↥F ∣ finrank K ↥E

Tactic:
let _ := (inclusion h).toRingHom.toAlgebra

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
x✝ : Algebra ↥F ↥E := (inclusion h).toAlgebra
⊢ finrank K ↥F ∣ finrank K ↥E
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
x : E
⊢ x ∈ Algebra.adjoin F S → x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S

Tactic:
← h

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
x : E
⊢ x ∈ K.toSubalgebra → x⁻¹ ∈ K.toSubalgebra
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: K : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ (Polynomial.map (RingEquiv.refl K).toRingHom f).Splits

Tactic:
← RingEquiv.self_trans_symm
      (RingEquiv.ofBijective _ <| Algebra.bijective_algebraMap_iff.2 h),

Goal state after:
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ (Polynomial.map
      ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).trans (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm).toRingHom
      f).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: case adjoin_rootSet'
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra F L
inst✝² : IsScalarTower F K L
f g : F[X]
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
inst✝¹ : IsSplittingField F K f
inst✝ : IsSplittingField K L (Polynomial.map (algebraMap F K) g)
⊢ Algebra.adjoin F ((f * g).rootSet L) = ⊤

Tactic:
· classical
    rw [rootSet, aroots_mul (mul_ne_zero hf hg),
      Multiset.toFinset_add, Finset.coe_union, Algebra.adjoin_union_eq_adjoin_adjoin,
      aroots_def, aroots_def, IsScalarTower.algebraMap_eq F K L, ← map_map, (splits K f).roots_map,
      Multiset.toFinset_map, Finset.coe_image, Algebra.adjoin_algebraMap, ← rootSet, adjoin_rootSet,
      Algebra.map_top, IsScalarTower.adjoin_range_toAlgHom, ← map_map, ← rootSet, adjoin_rootSet,
      Subalgebra.restrictScalars_top]

Goal state after: