mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: case inr.right
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
hr : 0 < r
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : Set G
ht : t ∈ map (fun n ↦ f n x) l
ht' : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, dist x y < ε
⊢ ∃ pa,
    (∀ᶠ (x : ι) in l, pa x) ∧
      ∃ pb,
        (∀ᶠ (y : ι) in l, pb y) ∧
          ∀ {x_1 : ι},
            pa x_1 → ∀ {y : ι}, pb y → ∀ x_2 ∈ Metric.ball x r, dist (0 x_2) (f (x_1, y).1 x - f (x_1, y).2 x) < ε

Tactic:
refine ⟨fun n => f n x ∈ t, ht, fun n => f n x ∈ t, ht, ?_⟩

Goal state after:
case inr.right
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this : l.NeBot
hr : 0 < r
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : Set G
ht : t ∈ map (fun n ↦ f n x) l
ht' : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, dist x y < ε
⊢ ∀ {x_1 : ι},
    (fun n ↦ f n x ∈ t) x_1 →
      ∀ {y : ι}, (fun n ↦ f n x ∈ t) y → ∀ x_2 ∈ Metric.ball x r, dist (0 x_2) (f (x_1, y).1 x - f (x_1, y).2 x) < ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Calculus

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
f' g' : E
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun t ↦ ⟪f t, g t⟫) (⟪f x, g'⟫ + ⟪f', g x⟫) s x

Tactic:
by
  simpa using (hf.hasFDerivWithinAt.inner 𝕜 hg.hasFDerivWithinAt).hasDerivWithinAt

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case e'_7.inl
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
t : G
h : g (x - t) = 0
⊢ (L (f t)) (g (x - t)) = 0

Tactic:
rw [h, (L _).map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n ↦ f n y) l (𝓝 (g y))
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this✝ :
  (fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) =
    ((fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a ↦
        (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) +
      fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
h1 : Tendsto (fun n ↦ g' n.2 - f' n.1 n.2) (l ×ˢ 𝓝 x) (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun n ↦ g' x - f' n x) l (𝓝 0)
n : ι × E
hx : ¬x = n.2
⊢ 0 < ‖n.2 - x‖

Tactic:
norm_pos_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n ↦ f n y) l (𝓝 (g y))
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this✝ :
  (fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) =
    ((fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a ↦
        (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) +
      fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
h1 : Tendsto (fun n ↦ g' n.2 - f' n.1 n.2) (l ×ˢ 𝓝 x) (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun n ↦ g' x - f' n x) l (𝓝 0)
n : ι × E
hx : ¬x = n.2
⊢ n.2 - x ≠ 0
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.ProperSpace.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : r ≤ 0
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : 0 < r
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'

Tactic:
· rw [ball_eq_empty.2 hr, subset_empty_iff] at h
    subst s
    exact (exists_lt r).imp fun r' hr' => ⟨hr', empty_subset _⟩

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : 0 < r
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
hg : x₀ + -t ∈ ball x₀ R → g (x₀ + -t) = g x₀
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)

Tactic:
add_mem_ball_iff_norm,

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
hg : ‖-t‖ < R → g (x₀ + -t) = g x₀
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
hg : x₀ + -t ∈ ball x₀ R → dist (g (x₀ + -t)) z₀ ≤ ε
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ dist ((L (f t)) (g (x₀ - t))) ((L (f t)) z₀) ≤ ‖L (f t)‖ * ε

Tactic:
add_mem_ball_iff_norm,

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
hg : ‖-t‖ < R → dist (g (x₀ + -t)) z₀ ≤ ε
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ dist ((L (f t)) (g (x₀ - t))) ((L (f t)) z₀) ≤ ‖L (f t)‖ * ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (x * (y i)⁻¹) (y i * z⁻¹) = x * z⁻¹

Tactic:
group

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
this : μ ((z * x⁻¹) • ((x * z⁻¹) • k \ k)) = 0
⊢ μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = μ ((z * x⁻¹ * (x * z⁻¹)) • k \ (z * x⁻¹) • k)

Tactic:
group

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
this : μ ((z * x⁻¹) • ((x * z⁻¹) • k \ k)) = 0
⊢ μ (k \ (z * x ^ (-1)) • k) = μ (1 • k \ (z * x ^ (-1)) • k)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s
c : ContDiffBump (toEuclidean x) := { rIn := d / 2, rOut := d, rIn_pos := ⋯, rIn_lt_rOut := ⋯ }
f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean
f_supp : support f ⊆ Euclidean.ball x d
f_tsupp : tsupport f ⊆ Euclidean.closedBall x d
⊢ ContDiff ℝ (↑n) f

Tactic:
apply c.contDiff.comp
    exact ContinuousLinearEquiv.contDiff _

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x ↦ ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
K : Set G := tsupport f
K_comp : IsCompact K
L : Set G := tsupport g
L_comp : IsCompact L
M : Set G := (fun p ↦ p.1 * p.2⁻¹) '' K ×ˢ L
M_comp : IsCompact M
M'_comp : IsCompact (closure[inst✝⁹] M)
x y : G
H : x ∈ K
hxy : y⁻¹ * x ∈ tsupport g
⊢ x * (y⁻¹ * x)⁻¹ = y

Tactic:
group

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Normed

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : Tendsto (fun i ↦ (φ i).rOut) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i ↦ support fun x ↦ (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets

Tactic:
by
  simp_rw [NormedAddGroup.tendsto_nhds_zero, Real.norm_eq_abs,
    abs_eq_self.mpr (φ _).rOut_pos.le] at hφ
  rw [nhds_basis_ball.smallSets.tendsto_right_iff]
  refine fun ε hε ↦ (hφ ε hε).mono fun i hi ↦ ?_
  rw [(φ i).support_normed_eq]
  exact ball_subset_ball hi.le

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x ↦ ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
⊢ ∫ (y : G), ∫ (x : G), f (y * x) * (D (y * x))⁻¹ * g x ∂μ ∂ν =
    ∫ (x : G), ∫ (y : G), f (y * x) * (D (y * x))⁻¹ * g x ∂ν ∂μ

Tactic:
apply (integral_integral_swap_of_hasCompactSupport _ _).symm

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := ⋯
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] (uncurry fun x y ↦ f (y * x) * (D (y * x))⁻¹ * g x)

G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := ⋯
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
⊢ HasCompactSupport (uncurry fun x y ↦ f (y * x) * (D (y * x))⁻¹ * g x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : last N ≤ i
I : i = last N
this : 0 ≤ a.r (last N)
⊢ dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)

Tactic:
simp only [I, add_nonneg this this, dist_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x ↦ ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
K : Set G := tsupport f
K_comp : IsCompact K
L : Set G := tsupport g
L_comp : IsCompact L
M : Set G := (fun p ↦ p.1 * p.2⁻¹) '' K ×ˢ L
M_comp : IsCompact M
M'_comp : IsCompact (closure[inst✝⁹] M)
x y : G
H : x ∈ L
hxy : y * x ∈ tsupport f
⊢ y * x * x⁻¹ = y

Tactic:
group

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i ↦ ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
y : β
hy : y ∈ s i
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ y
⊢ ∃ jy < p.lastStep, p.color jy = ↑i ∧ y = p.index jy

Tactic:
simpa only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff] using hy

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
by rw [h] at hij; exact hij rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h✝ : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
by rw [h] at hij; exact hij rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed[inst✝⁷] k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k}
m : Set G
m_max : Maximal (fun x ↦ x ∈ A) m
hms : m ⊆ s
hdj : m.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k
y : G
hy : y ∈ s
h'y : m ∪ {y} ∉ A
x : G
xm : x ∈ m
z : G
zy : z ∈ y • k
zx : z ∈ x • k
⊢ y = x * (x⁻¹ * z * (y⁻¹ * z)⁻¹)

Tactic:
group

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s✝ : Set G
hs✝ : μ s✝ ≠ ∞
h's : μ' s✝ ≠ ∞
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ s < ∞
⊢ μ' s < ∞ → μ' s = (c • μ) s

Tactic:
h's

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s✝ : Set G
hs✝ : μ s✝ ≠ ∞
h's✝ : μ' s✝ ≠ ∞
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ s < ∞
h's : μ' s < ∞
⊢ μ' s = (c • μ) s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < 0
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j ↦ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
iN : i = last N
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ (zero_le_two.trans_lt hi)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : D → E →L[𝕜] F
s : Set D
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ (f x) y) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s

Tactic:
let d := finrank 𝕜 E

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : D → E →L[𝕜] F
s : Set D
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s