mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Rat

Goal state before:
pp: M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
F : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : DivisionSemiring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
c : ℚ≥0
x : M
⊢ f (↑c.num • (↑c.den)⁻¹ • x) = ↑c.num • (↑c.den)⁻¹ • f x

Tactic:
map_natCast_smul f R S,

Goal state after:
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
F : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : DivisionSemiring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
c : ℚ≥0
x : M
⊢ ↑c.num • f ((↑c.den)⁻¹ • x) = ↑c.num • (↑c.den)⁻¹ • f x
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_10
inst✝ : Neg R
A : Matrix n l R
B : Matrix n m R
C : Matrix o l R
D : Matrix o m R
⊢ -fromBlocks A B C D = fromBlocks (-A) (-B) (-C) (-D)

Tactic:
ext i j
  cases i <;> cases j <;> simp [fromBlocks]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.RowCol

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r = (A.updateRow (e i) fun j ↦ r (f.symm j)).submatrix ⇑e ⇑f

Tactic:
ext i' j
  simp only [submatrix_apply, updateRow_apply, Equiv.apply_eq_iff_eq, Equiv.symm_apply_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.RowCol

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
i : l
r : m → α
j : n
c : m → α
⊢ (updateCol 0 j 0).updateRow i (Function.update 0 j (r ⬝ᵥ c)) = of (Pi.single i (Pi.single j (r ⬝ᵥ c)))

Tactic:
updateCol_zero_zero,

Goal state after:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
i : l
r : m → α
j : n
c : m → α
⊢ updateRow 0 i (Function.update 0 j (r ⬝ᵥ c)) = of (Pi.single i (Pi.single j (r ⬝ᵥ c)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Tower

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
N : Type uN
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
x : A ⊗[A] (A ⊗[R] N)
⊢ (cancelBaseChange R A A A N) x = (TensorProduct.lid A (A ⊗[R] N)) x

Tactic:
induction x using TensorProduct.induction_on with
  | zero => simp only [map_zero]
  | tmul b y =>
    induction y using TensorProduct.induction_on with
    | zero => simp
    | tmul a m =>
      simp only [cancelBaseChange_tmul, lid_tmul, smul_tmul', smul_eq_mul, mul_comm]
    | add x y hx hy =>
      simp only [tmul_add, map_add, lid_tmul, hx, hy]
  | add x y hx hy => simp [hx, hy]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}

Tactic:
exact subset_span (mem_insert _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.AffineMonoid.Irreducible

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoid M
inst✝¹ : Subsingleton Mˣ
inst✝ : Monoid.FG M
S : Finset M
hSgen : closure ↑S = ⊤
hSmax : ∀ ⦃y : Finset M⦄, (fun S ↦ closure ↑S = ⊤) y → y ⊆ S → S ⊆ y
r : M
hrS : r ∈ ↑S
hr₀ : r ≠ 1
hrirred : ¬IsUnit r → ∃ x x_1, ∃ (_ : r = x * x_1), ¬IsUnit x ∧ ¬IsUnit x_1
a b : M
hr : r = a * b
ha : ¬IsUnit a
hb : ¬IsUnit b
⊢ a ∈ closure ↑?m.238

Tactic:
rw [hSgen]; exact mem_top _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.AffineMonoid.Irreducible

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoid M
inst✝¹ : Subsingleton Mˣ
inst✝ : Monoid.FG M
S : Finset M
hSgen : closure ↑S = ⊤
hSmax : ∀ ⦃y : Finset M⦄, (fun S ↦ closure ↑S = ⊤) y → y ⊆ S → S ⊆ y
r : M
hrS : r ∈ ↑S
hr₀ : r ≠ 1
hrirred : ¬IsUnit r → ∃ x x_1, ∃ (_ : r = x * x_1), ¬IsUnit x ∧ ¬IsUnit x_1
a b : M
hr : r = a * b
ha : ¬IsUnit a
hb : ¬IsUnit b
m : M → ℕ
hm : ∏ a ∈ S, a ^ m a = a
⊢ b ∈ closure ↑?m.266

Tactic:
rw [hSgen]; exact mem_top _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case neg.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
⊢ ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
      ∃ bM,
        ∀ (as : Fin n' → R),
          (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
            ∃ as',
              ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))

Tactic:
intro m'

Goal state after:
case neg.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
⊢ ∀ (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
      ∃ bM,
        ∀ (as : Fin n' → R),
          (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
            ∃ as',
              ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
Module: Mathlib.Algebra.Field.Subfield.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : DivisionRing K
s : Set K
p : (x : K) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : K) (hx : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x y : K) (hx : x ∈ closure s) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : K) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
inv : ∀ (x : K) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : K) (hx : x ∈ closure s) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : K
h : x ∈ closure s
⊢ p 0 ⋯

Tactic:
← @add_neg_cancel K _ 1

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : DivisionRing K
s : Set K
p : (x : K) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : K) (hx : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x y : K) (hx : x ∈ closure s) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
neg : ∀ (x : K) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯
inv : ∀ (x : K) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : K) (hx : x ∈ closure s) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : K
h : x ∈ closure s
⊢ p (1 + -1) ⋯
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
n : N
hn : n ≠ 0
ms : M × ↥S
eq : n * f ↑ms.2 = 0
h : ms.1 = 0
⊢ n = 0

Tactic:
(f.map_units _).mul_left_eq_zero

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
n : N
hn : n ≠ 0
ms : M × ↥S
eq : n = 0
h : ms.1 = 0
⊢ n = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
inst✝ : NoZeroDivisors M
n : N
hn : n ≠ 0
ms : M × ↥S
eq : n * f ↑ms.2 = 0
h : ms.1 = 0
⊢ n = 0

Tactic:
(f.map_units _).mul_left_eq_zero

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
inst✝ : NoZeroDivisors M
n : N
hn : n ≠ 0
ms : M × ↥S
eq : n = 0
h : ms.1 = 0
⊢ n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
x y : OreLocalization S R
⊢ (universalMulHom (↑f) fS ⋯) (x + y) = (universalMulHom (↑f) fS ⋯) x + (universalMulHom (↑f) fS ⋯) y

Tactic:
induction x with | _ r₁ s₁
       =>  _ 

Goal state after:
case c
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
y : OreLocalization S R
r₁ : R
s₁ : ↥S
⊢ (universalMulHom (↑f) fS ⋯) (r₁ /ₒ s₁ + y) = (universalMulHom (↑f) fS ⋯) (r₁ /ₒ s₁) + (universalMulHom (↑f) fS ⋯) y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization M S
h : S ≃ₐ[R] P
x y : R
⊢ (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
rw [← h.symm.toEquiv.injective.eq_iff, ← IsLocalization.eq_iff_exists M S, ← h.symm.commutes, ←
      h.symm.commutes]

Goal state after:
case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization M S
h : S ≃ₐ[R] P
x y : R
⊢ h.symm.toEquiv ((algebraMap R P) x) = h.symm.toEquiv ((algebraMap R P) y) →
    h.symm ((algebraMap R P) x) = h.symm ((algebraMap R P) y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥R⁰
⊢ mk' K x y = 0 ↔ x = 0

Tactic:
have := (algebraMap R K).domain_nontrivial
  simp [nonZeroDivisors.ne_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : A
y : ↥A⁰
this : Nontrivial A
hxy : x = ↑y
⊢ mk' K (↑y) y = 1

Tactic:
mk'_self'

Goal state after:
A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : A
y : ↥A⁰
this : Nontrivial A
hxy : x = ↑y
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : T
y : S₂
m : R
hm : m ∈ ↑M₁
hy : a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) = (algebraMap S₂ T) (y, ⟨(algebraMap R S₂) m, ⋯⟩).1
z n : R
hn : n ∈ M₂
hz : y * (algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2 = (algebraMap R S₂) (z, ⟨n, hn⟩).1
hunit : IsUnit ((algebraMap R S₁) m)
⊢ a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2) *
      (algebraMap S₁ T) ↑hunit.unit⁻¹ =
    a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m * ↑hunit.unit⁻¹)

Tactic:
rw [map_mul]

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : T
y : S₂
m : R
hm : m ∈ ↑M₁
hy : a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) = (algebraMap S₂ T) (y, ⟨(algebraMap R S₂) m, ⋯⟩).1
z n : R
hn : n ∈ M₂
hz : y * (algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2 = (algebraMap R S₂) (z, ⟨n, hn⟩).1
hunit : IsUnit ((algebraMap R S₁) m)
⊢ a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2) *
      (algebraMap S₁ T) ↑hunit.unit⁻¹ =
    a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) *
      ((algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) * (algebraMap S₁ T) ↑hunit.unit⁻¹)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : Subsingleton R
a : Localization M
⊢ a = default

Tactic:
with_unfolding_all change a = mk 1 1

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : Subsingleton R
a : Localization M
⊢ a = mk 1 1
Module: Mathlib.Algebra.Star.Pointwise

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : InvolutiveStar α
s t : Set α
⊢ s⋆ ⊆ t ↔ s ⊆ t⋆

Tactic:
rw [← star_subset_star, star_star]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : s ∉ σ a
⊢ r • (↑ₐ s - a)⁻¹ʳ = (↑ₐ (r⁻¹ • s) - r⁻¹ • a)⁻¹ʳ

Tactic:
have h' : IsUnit (r • algebraMap R A (r⁻¹ • s) - a) := by
      simpa [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, smul_assoc] using notMem_iff.mp h

Goal state after:
case neg
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : s ∉ σ a
h' : IsUnit (r • ↑ₐ (r⁻¹ • s) - a)
⊢ r • (↑ₐ s - a)⁻¹ʳ = (↑ₐ (r⁻¹ • s) - r⁻¹ • a)⁻¹ʳ
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set B
hs : adjoin R s = ⊤
⊢ ⊤ ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin A ↑includeRight.range)

Tactic:
← Submodule.baseChange_top,

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set B
hs : adjoin R s = ⊤
⊢ Submodule.baseChange A ⊤ ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin A ↑includeRight.range)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s t : Set ι
f : ι → M
hs : LinearIndepOn R f s
ht : LinearIndepOn R (⇑(span R (f '' s)).mkQ ∘ f) t
⊢ Disjoint (span R (f '' s)) (span R (f '' t))

Tactic:
convert! (Submodule.range_ker_disjoint ht).symm

Goal state after:
case e'_4
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s t : Set ι
f : ι → M
hs : LinearIndepOn R f s
ht : LinearIndepOn R (⇑(span R (f '' s)).mkQ ∘ f) t
⊢ span R (f '' s) = (span R (f '' s)).mkQ.ker

case e'_5
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s t : Set ι
f : ι → M
hs : LinearIndepOn R f s
ht : LinearIndepOn R (⇑(span R (f '' s)).mkQ ∘ f) t
⊢ f '' t = range fun x ↦ f ↑x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
⊢ #↑↑⟨s, hs⟩ = 0

Tactic:
Cardinal.mk_eq_zero_iff,

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
⊢ IsEmpty ↑↑⟨s, hs⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
⊢ Module.Finite R M

Tactic:
have := mk_lt_aleph0_iff.mp <|
    b.linearIndependent.cardinal_le_rank |>.trans_eq h |>.trans_lt natCast_lt_aleph0

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
this : Finite ι
⊢ Module.Finite R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
⊢ range Subtype.val = hs.extend ⋯

Tactic:
Subtype.range_coe_subtype,

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
⊢ {x | x ∈ hs.extend ⋯} = hs.extend ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ t
ht : ⊤ ≤ span K t
⊢ range Subtype.val = hs.extend hst

Tactic:
Subtype.range_coe_subtype,

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ t
ht : ⊤ ≤ span K t
⊢ {x | x ∈ hs.extend hst} = hs.extend hst
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
hs : ⊤ ≤ span K s
⊢ range Subtype.val = ⋯.extend ⋯

Tactic:
Subtype.range_coe_subtype,

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
hs : ⊤ ≤ span K s
⊢ {x | x ∈ ⋯.extend ⋯} = ⋯.extend ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
p : Submodule K V
v : V
f : ↥p →ₗ[K] V'
hv : v ∉ p
y : V'
g : V →ₗ[K] V'
hg :
  g ∘ₗ ({ domain := p, toFun := f }.supSpanSingleton v y hv).domain.subtype =
    ({ domain := p, toFun := f }.supSpanSingleton v y hv).toFun
⊢ g v = y

Tactic:
have := LinearPMap.supSpanSingleton_apply_self ⟨p, f⟩ y hv
    simpa using! congr($hg _).trans this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: case hs
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
v : V
hfv : f v ≠ 0
b₁ : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥f.ker)) K ↥f.ker := ⋯
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
n : Set V := ⋯
⊢ LinearIndepOn K _root_.id s

pp: case hx
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
v : V
hfv : f v ≠ 0
b₁ : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥f.ker)) K ↥f.ker := ⋯
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
n : Set V := ⋯
⊢ v ∉ span K s

Tactic:
· apply LinearIndepOn.image
      · exact b₁.linearIndependent.linearIndepOn_id
      · simp

Goal state after:
case hx
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
v : V
hfv : f v ≠ 0
b₁ : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥f.ker)) K ↥f.ker := ⋯
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
n : Set V := ⋯
⊢ v ∉ span K s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: case hs
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
hf : f ≠ 0
v : ↥f.ker
hv : ↑v ≠ 0
this : LinearIndepOn K _root_.id {v}
b₁ : Basis (↑(this.extend ⋯)) K ↥f.ker := ⋯
w : V
hw : f w = 1
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
hvs : ↑v ∈ s
n : Set V := ⋯
⊢ LinearIndepOn K _root_.id s

pp: case hx
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
hf : f ≠ 0
v : ↥f.ker
hv : ↑v ≠ 0
this : LinearIndepOn K _root_.id {v}
b₁ : Basis (↑(this.extend ⋯)) K ↥f.ker := ⋯
w : V
hw : f w = 1
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
hvs : ↑v ∈ s
n : Set V := ⋯
⊢ w ∉ span K s

Tactic:
· apply LinearIndepOn.image
      · exact b₁.linearIndependent.linearIndepOn_id
      · simp

Goal state after:
case hx
K : Type u_6
V : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : V →ₗ[K] K
hf : f ≠ 0
v : ↥f.ker
hv : ↑v ≠ 0
this : LinearIndepOn K _root_.id {v}
b₁ : Basis (↑(this.extend ⋯)) K ↥f.ker := ⋯
w : V
hw : f w = 1
s : Set V := ⋯
hs : span K s = f.ker
hvs : ↑v ∈ s
n : Set V := ⋯
⊢ w ∉ span K s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.FreeAndStrongRankCondition

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Free F ↥S
⊢ S = ⊥

Tactic:
nontriviality E

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
⊢ S = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.FreeAndStrongRankCondition

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Free F E
⊢ finrank F E = 1 → Function.Bijective ⇑(algebraMap F E)

Tactic:
nontriviality E

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Free F E
a✝ : Nontrivial E
⊢ finrank F E = 1 → Function.Bijective ⇑(algebraMap F E)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
w : V
hS : finrank K ↥S = 1
hw : w ∈ S
hw0 : w ≠ 0
this : FiniteDimensional K ↥S
⊢ S = K ∙ w

Tactic:
exact Eq.symm <| eq_of_le_of_finrank_le (by simpa)
    (by rw [hS, finrank_span_singleton hw0])

Goal state after: