Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
u' : Set M
hu' : u' ∈ nhds x₀
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}.Finite
s : Set ι := ⋯
this✝ : Fintype ↑{i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}
this : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x⟩) (u ∩ u') x₀
⊢ ⟨x₀, ∑' (i : ι), t i x₀⟩ = ⟨x₀, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x₀⟩

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
u' : Set M
hu' : u' ∈ nhds x₀
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}.Finite
s : Set ι := {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}
this✝ : Fintype ↑{i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}
this : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x⟩) (u ∩ u') x₀
y : M
hy : y ∈ u ∩ u'
⊢ ⟨y, ∑' (i : ι), t i y⟩ = ⟨y, ∑ i ∈ s.toFinset, t i y⟩

Tactic:
· rw [TotalSpace.mk_inj, tsum_eq_sum']
    refine support_subset_iff'.mpr fun i hi ↦ ?_
    by_contra! h
    have : i ∈ s.toFinset := by
      refine Set.mem_toFinset.mpr ?_
      simp only [s, ne_eq, Set.mem_ofPred_eq]
      use x₀
      simpa using ⟨h, mem_of_mem_nhds hu'⟩
    exact hi this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
u' : Set M
hu' : u' ∈ nhds x₀
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}.Finite
s : Set ι := {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}
this✝ : Fintype ↑{i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ u').Nonempty}
this : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x⟩) (u ∩ u') x₀
y : M
hy : y ∈ u ∩ u'
⊢ ⟨y, ∑' (i : ι), t i y⟩ = ⟨y, ∑ i ∈ s.toFinset, t i y⟩