Module: Mathlib.RingTheory.EssentialFiniteness

Goal state before:
pp: case h.refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
s : Finset S
hs : ∀ (s_1 : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑s, IsUnit t ∧ s_1 * t ∈ adjoin R ↑s
t : Finset T
ht : ∀ (s : T), ∃ t_1 ∈ adjoin S ↑t, IsUnit t_1 ∧ s * t_1 ∈ adjoin S ↑t
x y : T
hy₁ : y ∈ adjoin S ↑t
hy₂ : IsUnit y
hy₃ : x * y ∈ adjoin S ↑t
t₁ : S
h₁ : t₁ ∈ adjoin R ↑s
h₂ : IsUnit t₁
h₃ : t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
t₂ : S
h₄ : t₂ ∈ adjoin R ↑s
h₅ : IsUnit t₂
h₆ : t₂ • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
⊢ t₂ • t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t

pp: case h.refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
s : Finset S
hs : ∀ (s_1 : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑s, IsUnit t ∧ s_1 * t ∈ adjoin R ↑s
t : Finset T
ht : ∀ (s : T), ∃ t_1 ∈ adjoin S ↑t, IsUnit t_1 ∧ s * t_1 ∈ adjoin S ↑t
x y : T
hy₁ : y ∈ adjoin S ↑t
hy₂ : IsUnit y
hy₃ : x * y ∈ adjoin S ↑t
t₁ : S
h₁ : t₁ ∈ adjoin R ↑s
h₂ : IsUnit t₁
h₃ : t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
t₂ : S
h₄ : t₂ ∈ adjoin R ↑s
h₅ : IsUnit t₂
h₆ : t₂ • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
⊢ IsUnit (t₂ • t₁ • y)

pp: case h.refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
s : Finset S
hs : ∀ (s_1 : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑s, IsUnit t ∧ s_1 * t ∈ adjoin R ↑s
t : Finset T
ht : ∀ (s : T), ∃ t_1 ∈ adjoin S ↑t, IsUnit t_1 ∧ s * t_1 ∈ adjoin S ↑t
x y : T
hy₁ : y ∈ adjoin S ↑t
hy₂ : IsUnit y
hy₃ : x * y ∈ adjoin S ↑t
t₁ : S
h₁ : t₁ ∈ adjoin R ↑s
h₂ : IsUnit t₁
h₃ : t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
t₂ : S
h₄ : t₂ ∈ adjoin R ↑s
h₅ : IsUnit t₂
h₆ : t₂ • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
⊢ x * t₂ • t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t

Tactic:
· rw [Algebra.smul_def]
    exact mul_mem (Algebra.mem_sup_left ⟨_, h₄, rfl⟩) h₃

Goal state after:
case h.refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
s : Finset S
hs : ∀ (s_1 : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑s, IsUnit t ∧ s_1 * t ∈ adjoin R ↑s
t : Finset T
ht : ∀ (s : T), ∃ t_1 ∈ adjoin S ↑t, IsUnit t_1 ∧ s * t_1 ∈ adjoin S ↑t
x y : T
hy₁ : y ∈ adjoin S ↑t
hy₂ : IsUnit y
hy₃ : x * y ∈ adjoin S ↑t
t₁ : S
h₁ : t₁ ∈ adjoin R ↑s
h₂ : IsUnit t₁
h₃ : t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
t₂ : S
h₄ : t₂ ∈ adjoin R ↑s
h₅ : IsUnit t₂
h₆ : t₂ • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
⊢ IsUnit (t₂ • t₁ • y)

case h.refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
s : Finset S
hs : ∀ (s_1 : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑s, IsUnit t ∧ s_1 * t ∈ adjoin R ↑s
t : Finset T
ht : ∀ (s : T), ∃ t_1 ∈ adjoin S ↑t, IsUnit t_1 ∧ s * t_1 ∈ adjoin S ↑t
x y : T
hy₁ : y ∈ adjoin S ↑t
hy₂ : IsUnit y
hy₃ : x * y ∈ adjoin S ↑t
t₁ : S
h₁ : t₁ ∈ adjoin R ↑s
h₂ : IsUnit t₁
h₃ : t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
t₂ : S
h₄ : t₂ ∈ adjoin R ↑s
h₅ : IsUnit t₂
h₆ : t₂ • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t
⊢ x * t₂ • t₁ • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (adjoin R ↑s) ⊔ adjoin R ↑t