Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inl.inr.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple v u f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {u, f, v}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {u, f, v}

pp: case mem.mem.inr.inl.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h v u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, u, h}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {v, u, h}

pp: case mem.mem.inr.inl.inr.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple v e u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, u, v}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {e, u, v}

pp: case mem.mem.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple u v f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, f, u}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {v, f, u}

pp: case mem.mem.inr.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, v, u}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {e, v, u}

Tactic:
· rw [← lie_skew, t.lie_h_e_nsmul, neg_mem_iff]
          apply nsmul_mem <| subset_span _
          simp

Goal state after:
case mem.mem.inr.inl.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h v u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, u, h}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {v, u, h}

case mem.mem.inr.inl.inr.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple v e u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, u, v}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {e, u, v}

case mem.mem.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple u v f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, f, u}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {v, f, u}

case mem.mem.inr.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, v, u}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {e, v, u}