mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x =
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
rw [← (extChartAt I x).image_source_inter_eq', ← map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image,
    ← map_extChartAt_nhdsWithin, nhdsWithin_inter_of_mem']

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
hM : IsManifold I n M
hM' : IsManifold I n M'
e e' : OpenPartialHomeomorph (M ⊕ M') H
he : e ∈ atlas H (M ⊕ M')
he' : e' ∈ atlas H (M ⊕ M')
h : Nonempty H
f : OpenPartialHomeomorph M H
hf : f ∈ atlas H M
hef : e = f.lift_openEmbedding ⋯
f' : OpenPartialHomeomorph M H
hf' : f' ∈ atlas H M
he'f' : e' = f'.lift_openEmbedding ⋯
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid n I

pp: case inr.inl.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
hM : IsManifold I n M
hM' : IsManifold I n M'
e e' : OpenPartialHomeomorph (M ⊕ M') H
he : e ∈ atlas H (M ⊕ M')
he' : e' ∈ atlas H (M ⊕ M')
h : Nonempty H
f : OpenPartialHomeomorph M H
hf : f ∈ atlas H M
hef : e = f.lift_openEmbedding ⋯
f' : OpenPartialHomeomorph M' H
hf' : f' ∈ atlas H M'
he'f' : e' = f'.lift_openEmbedding ⋯
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid n I

Tactic:
· rw [hef, he'f', f.lift_openEmbedding_trans f' IsOpenEmbedding.inl]
        exact hM.compatible hf hf'

Goal state after:
case inr.inl.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
hM : IsManifold I n M
hM' : IsManifold I n M'
e e' : OpenPartialHomeomorph (M ⊕ M') H
he : e ∈ atlas H (M ⊕ M')
he' : e' ∈ atlas H (M ⊕ M')
h : Nonempty H
f : OpenPartialHomeomorph M H
hf : f ∈ atlas H M
hef : e = f.lift_openEmbedding ⋯
f' : OpenPartialHomeomorph M' H
hf' : f' ∈ atlas H M'
he'f' : e' = f'.lift_openEmbedding ⋯
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid n I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))

Tactic:
convert! (h.comp_inter _ (this.of_le hmn)).mono_of_mem_nhdsWithin _ using 1

Goal state after:
case e'_10
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) ∘ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm

case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈
    𝓝[↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
y : E × F
hy :
  y ∈
    (extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source)
⊢ (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) y = y.1

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) =
    (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).1

Tactic:
· exact (extChartAt I p.1).right_inv ⟨hy.1.1.1, hy.1.2.1⟩

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) =
    (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ∞
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
⊢ Tendsto (fun ε ↦ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s) + 2 * ↑0 * μ s))

Tactic:
apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ∞
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
⊢ Tendsto (fun ε ↦ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝 0) (𝓝 (μ (f '' s) + 2 * ↑0 * μ s))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Prod

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
⊢ ‖snd 𝕜 E F‖ = 1

Tactic:
by
  refine le_antisymm (norm_snd_le ..) ?_
  let ⟨f, hf⟩ := exists_ne (0 : F)
  have : ‖f‖ ≤ _ * max ‖(0 : E)‖ ‖f‖ := (snd 𝕜 E F).le_opNorm (0, f)
  rw [norm_zero, max_eq_right (norm_nonneg f)] at this
  rwa [← mul_le_mul_iff_of_pos_right (norm_pos_iff.mpr hf), one_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this✝ : IsManifold I ω M
z✝ : H
hz✝ : M
z : E
hz :
  z ∈
    (extChartAt I z✝).target ∩
      ↑(extChartAt I z✝).symm ⁻¹'
        (range e ∩ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I hz✝).source)
this : ↑I.symm z ∈ range e
⊢ ↑I (↑I.symm z) = z

Tactic:
apply I.right_inv

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this✝ : IsManifold I ω M
z✝ : H
hz✝ : M
z : E
hz :
  z ∈
    (extChartAt I z✝).target ∩
      ↑(extChartAt I z✝).symm ⁻¹'
        (range e ∩ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I hz✝).source)
this : ↑I.symm z ∈ range e
⊢ z ∈ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
simp +contextual only [ContMDiffWithinAt, liftPropWithinAt_iff',
    ContDiffWithinAtProp, iff_def, mfld_simps]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm)
      (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) →
    ContinuousWithinAt ((↑I' ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm)
      (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
n : WithTop ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
simp +contextual only [ContMDiffWithinAt, liftPropWithinAt_iff',
    ContDiffWithinAtProp, iff_def, mfld_simps]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
n : WithTop ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContinuousWithinAt f s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ LieGroup I 0 G

Tactic:
by
  constructor
  rw [contMDiff_zero_iff]
  exact continuous_inv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x ↦ f x / g x) s x₀

Tactic:
simp_rw [div_eq_mul_inv]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x ↦ f x * (g x)⁻¹) s x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x ↦ f x / g x) x₀

Tactic:
simp_rw [div_eq_mul_inv]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x ↦ f x * (g x)⁻¹) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x ↦ f x / g x) s

Tactic:
simp_rw [div_eq_mul_inv]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x ↦ f x * (g x)⁻¹) s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x ↦ f x / g x

Tactic:
simp_rw [div_eq_mul_inv]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x ↦ f x * (g x)⁻¹
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy : (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ c'.source) ∧ (y ∈ c.source ∧ ↑c y ∈ e.source) ∧ ↑e (↑c y) ∈ c'.target
⊢ ↑f y = (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) y

Tactic:
have hy₁ : f y ∈ c'.source := by simp only [hy, mfld_simps]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy : (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ c'.source) ∧ (y ∈ c.source ∧ ↑c y ∈ e.source) ∧ ↑e (↑c y) ∈ c'.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
⊢ ↑f y = (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) y
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ ⇑(if hb : b ∈ e.baseSet then ↑(linearEquivAt R e b hb) else 0) = fun y ↦
    if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0

Tactic:
split_ifs <;> rfl

Goal state after: