math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做要10小时，如果按甲、乙、甲、乙\ldots 顺序交替工作，每次1小时，那么需要(  )小时完成. 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$7\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$7\frac{1}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$7\frac{1}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 若把甲工作1小时后乙再工作1小时看作一个整体，那么一个整体2小时的工作总量为$$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{4}{15}$$，又$$1\div \frac{4}{15}=3\frac{3}{4}$$，那么这项工程可以包含3个整体，即$$2\times 3=6$$(小时)完成这项工程的$$\frac{4}{15}\times 3=\frac{4}{5}$$，还剩$$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$$.这时又由甲来做，而$$\frac{1}{5}\textgreater\frac{1}{6}$$，那么甲又做1小时后这项工程还剩$$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$$，这$$\frac{1}{30}$$又由乙来做，需要$$\frac{1}{30}\div \frac{1}{10}=\frac{1}{3}$$(小时)可以完成.故完成这项工程需要$$6+1+\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}$$(小时)，选$$C$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->接力施工问题
Source: 2005年六年级竞赛创新杯
Problem: 两个合数的和不能为． 
Options:
aoVal: A
content: 奇数 
aoVal: B
content: 偶数 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: $$11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6$$  None of the pairs of numbers are both composite numbers. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定->质合判断
Overseas Competition->知识点->数论模块->质数与合数
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第15题
Problem: 从山下到山上的路程是$$1200$$米，小华上山时平均每分钟走$$60$$米，下山时平均每分钟走$$120$$米，则小华往返行程中的平均速度是每分钟走米． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$75$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
Answer: B
Analysis: 路程$$=$$速度$$\times $$时间，而平均速度$$=$$总路程$$\div $$总时间，因此上山的时间为$$1200\div 60=20$$（分钟），下山时间为$$1200\div 120=10$$（分钟），总时间为$$20+10=30$$（分钟），总路程为$$1200\times 2=2400$$（米） ，平均速度$$2400\div 30=80$$（米/分）故选$$B$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2006年四年级竞赛创新杯
Problem: 湖边种着一排柳树，每两棵树之间相距$$6$$米。小明从第一棵树跑到第$$200$$棵，一共跑了（  ）米。 
Options:
aoVal: A
content: $$1200$$米 
aoVal: B
content: $$1206$$米 
aoVal: C
content: $$1194$$米 
Answer: C
Analysis: 解：$$\left( 200-1 \right)\times 6$$  $$=199\times 6$$  $$=1194$$（米）  答：小明一共跑了$$1194$$米。  故选：C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛
Problem: 奥奥去爬山，第一天在山下的旅馆住下．为了制定第二天的行程，他在网上搜索了许多的相关资料，其中同一个旅行团的几名游客分别给出了以下信息：  游客$$A$$说：我们$$7:30$$上山，$$2$$小时后，距离山顶还有$$1$$千米．  游客$$B$$说：我们上山的速度与下山的速度之比是$$2:3$$．  游客$$C$$说：我们下山用了$$1$$小时，到山脚下刚好是$$12:00$$．  游客$$D$$说：我们下山时可以抄近路，比上山的路程近$$2$$千米．  同一个旅行图里所有人上山、下山的路线、速度都相同．根据以上信息，他们在山顶游览花了（~ ~ ~ ）小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$0.5$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$1.4$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 我们需要分析题目中的每一句话．找到我们需要的条件．根据$$A$$的话，我们可以知道出发的时间以及上山途中时间与路程之间的关系；从$$B$$的话中，我们知道了上山速度与下山速度之比；从$$C$$的话中，我们可以知道下山的时间和到达的时间；根据最后$$D$$的话，我们可以知道上山的路程和下山的路程之间的关系．那么下山的时间为$$1$$小时，总时间也很容易求出，从$$7:30$$到$$12:00$$一共有$$4.5$$小时，要想求出游览的时间，就必须知道上山花了多少时间．设上山的路程为$$x$$千米，由$$D$$说的可知下山的路程为$$x-2$$千米，由$$C$$说的可知下山的速度为$$\frac{x-2}{1}$$千米/小时，由$$B$$说的可知上山的速度为$$\frac{x-2}{1}\times \frac{2}{3}=\frac{2x-4}{3}$$千米/小时根据$$A$$说的列出方程$$\frac{2x-4}{3}\times 2+1=x$$，解得$$x=5$$，所以上山的用的时间为$$5\div 2=2.5$$小时．他们在山顶游览花了$$4.5-2.5-2=1$$小时． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2016年全国世奥赛竞赛A卷第10题
2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第10题
Problem: 在纳美克星，每小时有$$100$$分钟．该星球的时钟，时针转一圈是$$20$$小时，分针转一圈是$$100$$分钟，那么从$$0$$时$$0$$分开始，到下一次时针与分针重合，纳美克星上经过了小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{10}{19}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{12}{19}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{20}{19}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{24}{19}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{40}{19}$$ 
Answer: C
Analysis: 暂无 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2020年新希望杯六年级竞赛初赛（团战）第42题
Problem: 张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼$$20$$分钟，而其余日期每日都跳绳$$20$$分钟。某月他总共跑步$$5$$小时，那么这个月的第$$10$$天是(  ) 
Options:
aoVal: A
content: 周日 
aoVal: B
content: 周六 
aoVal: C
content: 周二 
aoVal: D
content: 周一 
Answer: D
Analysis: $$5$$小时$$=300$$分钟，$$300\div 20=15$$，$$15\div 3=5$$，所以一共经历了$$5$$个周六、日、一，但是一个月最多有四个完整的星期，所以第五个星期一定是只有三天：周六、周日、周一。并且这个月也是从周六开始的，第十天是周一。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2013年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 王强步行去公园，回来时坐车，往、返用了一个半小时，如果他来回都步行，则需要$$2$$个半小时，那么，他来回都坐车，则需~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 一个半小时是$$90$$分钟，$$2$$个半小时是$$2\times 60+30=150$$分钟．易知王强步行单程需要$$150\div 2=75$$分钟，则坐车单程要$$90-75=15$$分钟，所以来回都坐车要$$15\times 2=30$$分钟． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->组合模块->时间问题->时间计算
Source: 2011年全国希望杯四年级竞赛初赛第16题
Problem: 把所有三位数的质数相乘，它们的积不会是一个． 
Options:
aoVal: A
content: 合数 
aoVal: B
content: 奇数 
aoVal: C
content: 偶数 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: C
Analysis: 在质数中$$2$$是唯一的偶数，其他质数都是奇数，因为所有三位数的质数都是奇数，奇数和奇数相乘仍然是奇数，既然是若干个三位数的质数相乘，这些质数自然是他们积的因数，所以，积一定是合数，不会是质数，也不会是偶数．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第7题3分
Problem: 琦琦身陷神秘房间中．房间大门紧锁，上面刻着一段话：``钥匙上的话只有一句是真的．''往门旁一看，挂着三把钥匙，上面各贴着一句话．金钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''银钥匙：``金钥匙可以打开大门．''铜钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''那么，． 
Options:
aoVal: A
content: 琦琦应该拿金钥匙打开大门 
aoVal: B
content: 琦琦应该拿银钥匙打开大门 
aoVal: C
content: 琦琦应该拿铜钥匙打开大门 
aoVal: D
content: 三把钥匙都不能打开大门，琦琦应该另想办法 
aoVal: E
content: 三把钥匙都能打开大门 
Answer: C
Analysis: 本题的思路其实很简单，就是``找矛盾''；  1、三句话只有一句是真的；------题目条件；  2、只要存在一对矛盾则必然一真一假；------矛盾的定义；  3、金钥匙和银钥匙上写的话相互矛盾，根据以上两条，真的那句话一定是其中一句（具体到底是金还是银不重要）；  4、根据$$3$$，则铜钥匙那句一定是假的，但它上面说的本身是否定，否定为假则肯定为真，所以铜钥匙就可以打开大门．  答案选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2014年第3届广东广州羊排赛六年级竞赛第9题1分
Problem: 数学家维纳是控制论的创始人。在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄。维纳的回答很有趣，他说:``我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把$$0\sim9$$这$$10$$个数字全都用上了，不重也不漏.''那么，维纳这一年~\uline{~~~~~~~~~~}~岁。(注:数$$a$$的立方等于$$a\times a\times a$$，数$$a$$的四次方等于$$a\times a\times a\times a$$) 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
aoVal: E
content: $$18$$ 
Answer: E
Analysis: 假设维纳今年的年龄为$$a$$岁，根据$$a$$的三次方是一个四位数，可以推出$$a$$不超过$$21$$，根据$$a$$的四次方是一个六位数，可以推出$$a$$不小于$$18$$.所以，$$a$$可能为$$18$$、$$19$$、$$20$$、$$21$$. 当$$a$$取$$20$$或$$21$$时，它的三次方和四次方尾数相同，与题意相违，排除; 当$$a=19$$时，$${{\text{a}}^{4}}=130321$$，$$1$$和$$3$$重复出现，与题意相违，排除$$.$$ 所以，$$a=18$$.经验算，符合题意，所以维纳这一年$$18$$岁. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2021年超常思维竞赛小学中年级四年级竞赛初赛
Problem: 将五位数$$12472$$重复写$$100$$次组成一个$$500$$位数$$1247212472\cdots 12472$$，先删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字，剩下的数字（顺序不变）组成一个新数：再删去新数中所有位于奇数位上的数字，剩下的数字组成一个新数：$$\cdots \cdots $$按上述方法一直删除下去，直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 将这个$$500$$位数从左到右依次编号第$$1$$位、第$$2$$位、第$$3$$位、$$\cdots $$、第$$500$$位，且编号不变．  第$$1$$次删数后剩下$$2$$的倍数，第$$2$$次删数后剩下$$22$$的倍数，第$$3$$次删数后剩下$$23$$的倍数，$$\cdots \cdots $$，因为$$256\textless{}500\textless{}512$$，所以最后剩下的数字在第$$256$$位，$$256\div 5=51$$（组）$$\cdots \cdots 1$$（个），第$$1$$位上的数字是$$1$$，所以最后剩下的数字是$$1$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第6题
2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第6题
Problem: 展览会上午9点开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了;如果开5个入场口，9点5分就没人排队了，问第一个观众来到的时间是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 8:15 
aoVal: B
content: 8:30 
aoVal: C
content: 8:45 
aoVal: D
content: 8:50 
Answer: A
Analysis: 设第一个观众来到后每分钟来到的人数都是$$a$$，开门前$$x$$分钟开始有人排队，则每个入场口每分钟进场人数为:$$\frac{\left( x+9 \right)a}{9\times 3}=\frac{\left( x+5 \right)a}{5\times 5}\Rightarrow x=45$$，9时-45分=8时15分 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第10题5分
Problem: 有一些三位数的各位数字都不是$$0$$，且各位数字之和为$$6$$，这样的三位数共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: D
Analysis: 枚举，第$$1$$位为$$1$$，有$$114$$，$$123$$，$$132$$，$$141$$，  第$$1$$位为$$2$$，有$$213$$，$$222$$，$$231$$，  第$$1$$位为$$3$$，有$$312$$，$$321$$，  第$$1$$位为$$4$$，有$$411$$，  共有：$$1+2+3+4=10$$（个）．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第9题3分
2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第9题3分
Problem: 小强、小明、小军是学校田径运动的好手，在学校运动会上他们包揽了$$60$$米短跑、铅球和跳远三项比赛的前三名（没有并列名次）。学校规定第一名得$$5$$分，第二名得$$3$$分，第三名得$$1$$分。已知他们三人中，小军得分最低，小强和小明得分相同，小强得的第一名比小明得的第一名多，那么小强的得分是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$分 
aoVal: B
content: $$12$$分 
aoVal: C
content: $$11$$分 
aoVal: D
content: $$10$$分 
Answer: C
Analysis: 他们三人包揽了三个项目的前三名，那么他们每人都拿了三个前三名，所以他们三人的得分都为奇数，又他们三人共得了$$3$$个第一名，$$3$$个第二名，$$3$$个第三名，那么他们三人的得分之和为：$$3\times (5+3+1)=27$$（分）。由小军得分最低知小军得分小于$$27\div 3=9$$（分），那么小军最多得$$7$$分。若小军的得分为$$7$$分，那么小强和小明的得分为$$(27-7)\div 2=10$$（分），不为奇数，那么小军的得分不为$$7$$分（同理小军的得分也不为$$3$$分）。若小军的得分为$$5$$分，那么小强和小明的得分都是$$(27-5)\div 2=11$$（分），这时小军的得分为：$$3+1+1=5$$（分），小强的得分为：$$5+5+1=11$$（分），小明的得分为：$$5+3+3=11$$（分）正好满足题中所有条件，故小强的得分为$$11$$分，选C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2004年六年级竞赛创新杯
Problem: 春季开学后，有不少同学将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁$$4$$位同学有如下的对话：  甲：``丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款''  乙：``丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款''  丙：``你们$$3$$人中至少有$$2$$人捐了款''  丁：``你们$$3$$人中至多有$$2$$人捐了款''  已知这$$4$$位同学说的都是真话且其中恰有$$2$$位同学捐了款，那么，这$$2$$位同学是． 
Options:
aoVal: A
content: 甲、乙 
aoVal: B
content: 丙、丁 
aoVal: C
content: 甲、丙 
aoVal: D
content: 乙、丁 
Answer: D
Analysis: 由丙的话可知：丙没有捐款；再由甲的话可知：丁捐了款；再由乙的话可知：丁、甲之中最多有$$1$$人捐款．由此推知，甲没有捐款，乙捐了款，捐款的两人为乙和丁，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2015年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 若自然数$$n$$使得作竖式加法$$n+\left( n+1 \right)+\left( n+2 \right)$$不产生进位现象，便称$$n$$为``连绵数''，例如$$12$$是连绵数，$$13$$不是``连绵数''，那么不超过$$1000$$的``连绵数''共有（   ） 
Options:
aoVal: A
content: 46个 
aoVal: B
content: 47个 
aoVal: C
content: 48个 
aoVal: D
content: 49个 
Answer: D
Analysis: 连绵数$$n$$的个位只能为$$0$$、$$1$$、$$2$$有三种情况，十位只能为$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$有四种情况；百位也只能为$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$有四种情况。那么在$$0$$$$\sim$$$$999$$中，连绵数有$$3\times 4\times 4=48$$（个），而$$1000$$也为连绵数，那么在不超过$$1000$$的自然数中，连绵数有$$48+1=49$$（个），选$$D$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理
Source: 2005年六年级竞赛创新杯
2005年第3届创新杯六年级竞赛复赛第7题
Problem: 某啤酒厂做促销活动，$$3$$个空瓶可以换$$1$$瓶啤酒．爸爸共买了$$13$$瓶啤酒，他一共可以喝到瓶啤酒． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
Answer: A
Analysis: $$13\div3=4$$（瓶）$$\ldots\ldots1$$（瓶），（喝$$13$$瓶$$+4$$瓶），  $$（4+1）\div3=1$$（瓶）$$\ldots\ldots2$$（瓶），（喝$$1$$瓶$$+1$$瓶），  所以一共是$$13+4+1+1=19$$（瓶）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第10题5分
Problem: 【2021三年级卷第$$30$$题】某个闰年的元旦是星期日，那么这一年的$$2$$月有$$5$$个． 
Options:
aoVal: A
content: 星期一 
aoVal: B
content: 星期二 
aoVal: C
content: 星期三 
aoVal: D
content: 星期四 
aoVal: E
content: 星期五 
aoVal: F
content: 星期六 
aoVal: G
content: 星期日 
Answer: C
Analysis: 周期问题：  元旦$$1$$月$$1$$日是星期日，则周期：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六$$\cdots\cdots$$  从$$1$$月$$1$$日到$$2$$月$$1$$日一共有$$31+1=32$$（天），  $$32\div7=4$$（周）$$\cdots\cdots4$$（天），  所以$$2$$月$$1$$日是星期三，则$$2$$月份的周期：星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二$$\cdots\cdots$$  闰年的$$2$$月有$$29$$天，$$29\div7=4$$（周）$$\cdots\cdots1$$（天），  所以$$2$$月$$29$$日是星期三，  因此这一年的$$2$$月有$$5$$个星期三． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2021年新希望杯三年级竞赛初赛第30题5分
Problem: 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是． 
Options:
aoVal: A
content: 小东 
aoVal: B
content: 小西 
aoVal: C
content: 小南 
aoVal: D
content: 小北 
aoVal: E
content: 不知道 
Answer: C
Analysis: 由于只有一个人说对了，而小北支持小东，那么他们俩都错了，所以反对小东的小南说对了．  根据题干分析可得，小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，假设小北说的是正确的，则小南说``小东说的不对''是错，可得，小东说的对，这样与已知只有一个人说对了相矛盾，所以此假设不成立，故小南说的是正确的．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理
Source: 2016年全国华杯赛小学中年级竞赛在线模拟第3题
2013年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛A卷第3题
Problem: 请从一个$$1 \sim 9$$（缺$$8$$）这八个自然数中不重复地用这些数字构造出四个两位质数，并求出它们的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$190$$ 
aoVal: B
content: $$217$$ 
aoVal: C
content: $$127$$ 
Answer: A
Analysis: 我们知道所有的偶数都是合数，除了$$5$$以外，个位为$$5$$的数也都是合数，这$$8$$个数中只有$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$9$$放在个位才有可能是质数，所以十位上只能是$$2$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$．这四个两位数的和是$$\left( 2+4+5+6 \right)\times 10+1+3+7+9=190$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定->质数与合数的认识
Source: 2016年全国世奥赛竞赛A卷第11题
2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第11题
Problem: 甲乙两人在春节一共得$$200$$元压岁钱，甲给乙$$40$$元，还比乙多$$10$$元，那么，原来甲比乙多~\uline{~~~~~~~~~~}~元压岁钱． 
Options:
aoVal: A
content: $$70$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
Answer: C
Analysis: 甲给乙$$40$$元后还比乙多$$10$$元，那么原来甲比乙多$$90$$元． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题
Source: 2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第1题
Problem: 小明买了一瓶$$1.5$$升汽水，他把汽水倒入一个空杯子．某一时刻，瓶中的汽水和杯中的汽水刚好是各自容积的$$\frac{3}{4}$$，那么杯子的容积是升． 
Options:
aoVal: A
content: $$0.25$$ 
aoVal: B
content: $$0.5$$ 
aoVal: C
content: $$0.75$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: B
Analysis: 倒后瓶中还有$$1.5\times \frac{3}{4}=1.125$$升汽水，  杯中有$$1.5-1.125=0.375$$升汽水，占杯的$$\frac{3}{4}$$，  故杯的容积是$$0.375\div \frac{3}{4}=0.5$$升． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2014年第26届广东广州五羊杯六年级竞赛第4题4分
Problem: 恰好有$$12$$个不同因数的最小自然数为（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$65$$ 
aoVal: C
content: $$63$$ 
Answer: A
Analysis: $$12=1\times 12=2\times 6=3\times 4=2\times 2\times 3$$  $${{2}^{11}}=2048$$，$${{2}^{5}}\times 3=96$$，$${{2}^{3}}\times {{3}^{2}}=72$$，$${{2}^{2}}\times 3\times 5=60$$，最小为$$60$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理逆应用
Source: 2016年天津走美杯四年级竞赛初赛
2016年走美杯四年级竞赛决赛
2016年走美杯四年级竞赛初赛
Problem: $$990$$有很多因数，这些因数的平均数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$110$$ 
aoVal: B
content: $$115$$ 
aoVal: C
content: $$117$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
Answer: C
Analysis: $$990$$的因数有：$$1$$；$$990$$；$$2$$；$$495$$；$$3$$；$$330$$；$$5$$；$$198$$；$$6$$；$$165$$；$$9$$；$$110$$；$$10$$；$$99$$；$$11$$；$$90$$；$$15$$；$$66$$；$$18$$；$$55$$；$$22$$；$$45$$；$$30$$；$$33$$，一共$$24$$个，  平均数为：$$(1+990+2+495+3+330+5+198+6+165+9+110+10+99+11+90+15+66+18+55+22+45+30+33)\div 24$$  $$=2808\div 24$$  $$=117$$，  故选答案$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第7题5分
Problem: $$\overline{**45}$$，$$\overline{19*8}$$，$$\overline{2*86}$$，$$\overline{3*49}$$是四个四位数，其中$$*$$代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完全平方数，那么这个数可能是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\overline{**45}$$ 
aoVal: B
content: $$\overline{19*8}$$ 
aoVal: C
content: $$\overline{2*86}$$ 
aoVal: D
content: $$\overline{3*49}$$ 
Answer: D
Analysis: 完全平方数的个位只能为$$0$$、$$1$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$9$$，因此排除$$\text{B}$$选项．如果一个完全平方数是  $$5$$的倍数，那么它至少是$$25$$的倍数，因此排除$$\text{A}$$选项．估算$${{48}^{2}}=2304$$，$${{49}^{2}}=2401$$，排除  $$\text{C}$$选项．经检验$${{57}^{2}}=3249$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的简单应用
Source: 2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第6题4分
Problem: 下面的信息资料中，最适合用条形统计图表示的是（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 某学校各学科教师人数情况 
aoVal: B
content: $$8$$月份气温变化情况 
aoVal: C
content: 各种消费情况与家庭总收入的关系 
aoVal: D
content: 商场$$2015$$年每月销售额的变化情况 
Answer: A
Analysis: 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．根据各统计图的特点，易知选项$$A$$正确． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->统计图表->单一对象条形图
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第九套第10题4分
Problem: 投掷两颗骰子，出现的两个点数构成的二位数正好是一个完全平方数的可能性是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$~~~~~~ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{6}$$~~~~~~~~~~~~~~ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{9}$$~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 二位数是完全平方数的有：$$16$$，$$25$$，$$36$$，$$49$$，$$64$$，$$81$$．显然$$49$$和$$81$$不满足，那么概率为：$$\frac{4\times 2}{6\times 6}=\frac{2}{9}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->掷骰子
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第4题
Problem: 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人分成人数相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: 3种 
aoVal: B
content: 7种 
aoVal: C
content: 11种 
aoVal: D
content: 13种 
Answer: A
Analysis: 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可.1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案.所以答案为A 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数
Source: 2007年华杯赛五年级竞赛初赛
Problem: 甲、乙、丙三人站成一排，甲比乙矮，丙比乙高，他们三人分别穿红、黄、蓝三种不同颜色的衣服。已知：最高的人不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，最矮的人和穿红色衣服的人相邻。甲、乙、丙的衣服颜色对应是~\uline{~~~~~~~~~~}~。 
Options:
aoVal: A
content: 蓝、黄、红 
aoVal: B
content: 蓝、红、黄 
aoVal: C
content: 红、黄、蓝 
aoVal: D
content: 黄、蓝、红 
Answer: B
Analysis: 根据甲比乙矮，丙比乙高，可以推理得：丙最高，然后是乙，甲最矮．  最高的人不穿红色，即丙不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，说明丙和穿蓝色衣服的人不是同一个人，即丙不穿蓝色，所以丙穿黄色．最矮的人和穿红色衣服的人相邻，即甲和穿红色衣服的人相邻，说明甲和穿红色衣服的人不是同一个人，即甲不穿红色，那么甲只能穿蓝色（丙已经穿黄色了），所以剩下的乙穿红色． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理
Source: 2020年新希望杯一年级竞赛初赛（巅峰对决）第8题
Problem: 在一次数学竞赛中，$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$，$$E$$五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：  $$A$$说：``第二名是$$D$$，第三名是$$B$$.''  $$B$$说：``第二名是$$C$$，第四名是$$E$$.''  $$C$$说：``第一名是$$E$$，第五名是$$A$$.''  $$D$$说：``第三名是$$C$$，第四名是$$A$$.''  $$E$$说：``第二名是$$B$$，第五名是$$D$$.''  结果每人都只猜对了一半，下面的排名哪一个是正确的？ 
Options:
aoVal: A
content: 第一名是$$E$$，第二名是$$C$$，第三名是$$B$$，第四名是$$A$$，第五名是$$D$$． 
aoVal: B
content: 第一名是$$C$$，第二名是$$E$$，第三名是$$B$$，第四名是$$A$$，第五名是$$D$$． 
aoVal: C
content: 第一名是$$D$$，第二名是$$C$$，第三名是$$B$$，第四名是$$A$$，第五名是$$E$$． 
aoVal: D
content: 第一名是$$E$$，第二名是$$B$$，第三名是$$C$$，第四名是$$A$$，第五名是$$D$$． 
Answer: A
Analysis: 假设$$A$$猜的第一句是真的，那么$$B$$猜的第二句是真的，即第四名是$$E$$，那么$$C$$猜的``E是第一名''是错的，$$A$$是第五名，那么$$D$$猜的$$C$$是第三名是对的，那么$$B$$就是第一名，从而$$E$$说的全是错的，所以假设不成立．所以$$A$$猜的第二句是真的，即$$B$$是第三名，那么$$D$$猜的第一句是错的，从而$$A$$是第四名，所以$$C$$猜的第二句是错的，$$E$$是第一名，从而$$B$$猜的$$C$$是第二名是对的，$$E$$猜的第五名是$$\text{D}$$正确，所以，第一名是$$E$$，第二名是$$C$$，第三名是$$B$$，第四名是$$A$$，第五名是$$D$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->半真半假
Source: 2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第22题10分
Problem: 一本书的页码是连续的自然数，在将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到的不正确的结果是$$1997$$．则这个被加了两次的页码是第~\uline{~~~~~~~~~~}~页． 
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
aoVal: E
content: $$49$$ 
Answer: D
Analysis: 设共$$n$$页，被加了两次的页码是$$x$$，  则$$n\left( n+1 \right)\div 2\leqslant 1997$$，  且$$x\leqslant n$$，  用特殊值法求得$$n=62$$，  则被加了两次的页码是：  $$1997-62\times \left( 62+1 \right)\div 2=x$$，  $$x=1997-63\times31$$，  $$x=1997-1953$$，  $$x=44$$；  故答案为：$$44$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2006年第7届中环杯五年级竞赛决赛第3题5分
Problem: 有$$8$$个数，$$0.\dot{5}\dot{1}$$，$$0.5\dot{1}$$，$$\frac{2}{3}$$，$$\frac{5}{9}$$，$$\frac{24}{47}$$，$$\frac{13}{25}$$是其中的$$6$$个，如果按照从小到大的顺序排列，第$$4$$个数是$$0.5\dot{1}$$，那么从大到小排列时，第$$4$$个数是(  ) 
Options:
aoVal: A
content: $$0.\dot{5}\dot{1}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{24}{47}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{13}{25}$$ 
Answer: A
Analysis: 六个数的大小关系为$$\frac{24}{47} \textless{} 0.5\dot{1} \textless{} 0.\dot{5}\dot{1} \textless{} \frac{13}{25} \textless{} \frac{5}{9} \textless{} \frac{2}{3}$$，根据已知条件，$$0.5\dot{1}$$为从小到大第四个，所以从大到小排列第四个数为$$0.\dot{5}\dot{1}$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合
Source: 2011年六年级竞赛创新杯
Problem: 甲、乙二人以均匀的速度分别从$$A$$，$$B$$两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离$$A$$地$$4$$千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距$$B$$地$$3$$千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离是多少千米？ 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: A
Analysis: $$4\times 3=12$$（千米），通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距$$B$$地的$$3$$千米，所以全程是$$12-3=9$$（千米），两次相遇点相距$$9-\left( 3+4 \right)=2$$（千米）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 六年级上学期其它第12讲
2011年北京五年级竞赛
Problem: 红星小学礼堂共24排座位，每排30座位，全校650人到礼堂开会，那么，至少有(  )排座位上坐的人数相同. 
Options:
aoVal: A
content: 3 
aoVal: B
content: 4 
aoVal: C
content: 5 
aoVal: D
content: 6 
Answer: B
Analysis: 每一排坐的人数都不同最多可坐$$\left( 7+30 \right)\div 2\times 24=444$$人 每一排坐的人数有$$2$$个相同最多可坐$$30\times 2+29\times 2+......+19\times 2=588 \textless{} 650$$ 每一排坐的人数有$$3$$个相同最多可坐$$30\times 3+29\times 3+......+23\times 3=636 \textless{} 650$$ 每一排坐的人数有$$4$$个相同最多可坐$$30\times 4+29\times 4+......+25\times 4=660\textgreater650$$ 故，至少有$$4$$排座位上人数相同 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛B卷第10题
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: 购买十种货物$${{A}_{1}}$$，$${{A}_{2}}$$，$${{A}_{3}}\cdots {{A}_{10}}$$，如果购买件数依次为$$1$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$，$$9$$，$$10$$，$$11$$件，共需人民$$1995$$元，如果购买件数依次为$$1$$，$$5$$，$$7$$，$$9$$，$$11$$，$$13$$，$$15$$，$$17$$，$$19$$，$$21$$件，共需人民币$$3000$$元，那么各购买一件共需人民币(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 1000元 
aoVal: B
content: 900元 
aoVal: C
content: 990元 
aoVal: D
content: 980元 
Answer: C
Analysis: 将第一种方案购买件数同时都扩大2倍，则购买货物$${{A}_{1}}$$、$${{A}_{2}}$$、$${{A}_{3}}$$、$$\cdots$$、$${{A}_{10}}$$的件数依次为$$2$$，$$6$$，$$8$$，$$10$$，$$12$$，$$14$$，$$16$$，$$18$$，$$20$$，$$22$$件，需人民币$$1995\times 2=3990$$(元)，所以各购买一件共需人民币$$3990-3000=990$$(元). 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛B卷第6题
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: 2019年第$$24$$届$$YMO$$一年级竞赛决赛第$$6$$题$$3$$分  The sum of the ten digits and the single digit is $$12$$, and there are a total of  such two-digit numbers.  十位数字和个位数字相加的和是$$12$$，这样的两位数一共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 两位数的十位数字与个位数字之和为$$12$$，  而数字均为$$0\sim 9$$，故枚举得：  $$93$$，$$84$$，$$75$$，$$66$$，$$57$$，$$48$$，$$39$$共$$7$$个．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆->简单拆分->加法拆数（指定个数）
Overseas Competition->知识点->计数模块->枚举法综合->枚举法
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第6题3分
Problem: 小明、小红、小刚三人拥有的藏书数量之比为$$3:5:8$$，三人一共藏书$$48$$本，那么小刚的藏书数量是多少本？ 
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: D
Analysis: 设小刚的藏书数量为$$8$$份，则小明和小红的藏书数量分别为$$3$$份和$$5$$份所以一份为$$48\div \left( 3+5+8 \right)=3$$（本）．  所以小刚的藏书数量是$$8\times 3=24$$ （本）． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2017年全国亚太杯五年级竞赛初赛第6题
Problem: 两个小数的整数部分分别是$$5$$和$$9$$，那么这两个小数的乘积的整数部分有（ ~）中可能的值． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 设整数部分为$$5$$的小数为$$a$$，则$$5\leqslant a\textless6$$，整数部分为$$9$$的小数为$$b$$，则$$9\leqslant b\textless10$$，那么$$5\times9\leqslant a\times b\textless6\times10$$，所以$$a\times b$$的整数部分可以等于$$45$$至$$59$$之间的任意整数，共$$15$$种可能． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟试卷2第4题
Problem: 下列时刻中，时针和分针所成的角最接近$$30{}^{}\circ $$是． 
Options:
aoVal: A
content: $$3:27$$ 
aoVal: B
content: $$4:17$$ 
aoVal: C
content: $$5:14$$ 
aoVal: D
content: $$6:22$$ 
Answer: B
Analysis: b选项：$4\times30-（6-0.5）=26.5^{\circ}$，离$$30$$度最近，故选$$b$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->行程模块->时钟问题->时钟上的追及问题->已知时间求角度
Source: 2011年第7届全国新希望杯六年级竞赛第3题4分
Problem: 符号$$\left[ x \right]$$表示不大于$$x$$的最大整数，例如$$\left[ 5 \right]=5$$、$$\left[ 6.31 \right]=6$$，如果$$\left[ \frac{3x+7}{7} \right]=4$$，这样的正整数$$x$$有． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$5$$个 
aoVal: D
content: $$2$$个 
Answer: A
Analysis: 根据高斯函数的性质，可得$4\leqslant\dfrac{3x+7}{7}\lt5$，解得$$7\leqslant x\leqslant 9$$，对应的整数共$$3$$个数． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->数论模块->高斯记号->高斯记号的复杂应用
Source: 2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第9题
Problem: 某班五名同学在一次数学考试中的平均成绩为$$105.4$$分，其中四名同学的成绩分别为$$120$$分、$$90$$分、$$102$$分、$$99$$分，那么另外一名同学的成绩是（~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$106$$分 
aoVal: B
content: $$110$$分 
aoVal: C
content: $$114$$分 
aoVal: D
content: $$116$$分 
Answer: D
Analysis: $$105.4\times 5-120-90-102-99=116$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2015年第11届全国新希望杯五年级竞赛复赛第1题
Problem: 用$$p$$代表黄金分割数，是无限不循环小数，若取小数点后三位时，$$p=0.618$$；取小数点后十位时，$$p=0.6180339887$$这，则（~ ）是一个错误的判断． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{p}$$代表一个特定的数 
aoVal: B
content: $${{p}^{2}}$$代表一个特定的数 
aoVal: C
content: $$p$$代表一个尚未确定的数 
aoVal: D
content: $$\frac{1-p}{p}$$代表一个特定的数 
Answer: C
Analysis: 如果圆周率$$\pi $$，黄金分割数量个特定的无限不循环小数，则$$\frac{1}{p}$$，$${{p}^{2}}$$和$$\frac{1-p}{p}$$都是特定的数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->循环小数->循环小数的概念
Source: 2017年全国华杯赛小学高年级竞赛
Problem: 对于任何自然数，定义$$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$$．那么算式$$2022!-3!$$的计算结果的个位数字是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 由新定义：$$n!=1\times 2\times 3\times \ldots\times n$$得：  $$2014!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \ldots\times 2021\times 2022$$  $$=1\times 3\times 4\times 6\times 7\times 8\times \ldots\times 2021\times 2022\times 10$$  所以$$1\times 3\times 4\times 6\times 7\times 8\times \ldots\times 2021\times 2022\times 10$$是$$10$$的倍数，  所以$$2022!$$的个位数为$$0$$；  $$3!=1\times 2\times 3=6$$  所以$$2022!-3!$$的个位数也就为：$$10-6=4$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第2题
Problem: ``数学趣味题数学趣味题$$\cdots \cdots $$''依次重复排列，第$$2019$$个字是． 
Options:
aoVal: A
content: 趣 
aoVal: B
content: 味 
aoVal: C
content: 题 
Answer: B
Analysis: 观察题干可知，$$5$$个字一个循环周期，分别按照数、学、趣、味、题，依次排列，据此求出第$$2019$$个字是第几个循环周期的第几个字即可解答问题．  $$2019\div 5=403$$（组）$$\cdots \cdots 4$$（个），  所以第$$2019$$个字是第$$403$$循环周期的第$$4$$个字，是``味''．  答：第$$2019$$个字是味．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第4题5分