math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 函数$$f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}$$的值域为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ 2,+\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 0,+\infty \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ -2,+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 1,+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 注意到，  $$f\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-2$$  $$={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}$$．  由于$${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\geqslant 2$$，  从而，所求函数的值域为$$\left[ 0,+\infty \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域
竞赛->知识点->函数->二次函数
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十五）第1题
Problem: 设实数$$a$$使得不等式$$\textbar2x-a\textbar+\textbar3x-2a\textbar\geqslant {{a}^{2}}$$对任意实数$$x$$恒成立，则满足条件的$$a$$所组成的集合是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -\frac{1}{3}，\frac{1}{3} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{1}{2}，\frac{1}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ -\frac{1}{4}，\frac{1}{3} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$[-3，3]$$ 
Answer: A
Analysis: 令$$x=\frac{2}{3}a$$，则有$$\textbar a\textbar\leqslant \frac{1}{3}$$，排除$$\text{B}$$、$$\text{D}$$，由对称性排除$$\text{C}$$，从而只有$$\text{A}$$正确．  一般地，对$$k\in \mathbf{R}$$，令$$x=\frac{1}{2}ka$$，则原不等式为$$\textbar a\textbar\cdot \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\textbar a\textbar\cdot \left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar\geqslant \textbar a{{\textbar}^{2}}$$，由此易知原不等式等价于$$\textbar a\textbar\leqslant \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar$$，对任意的$$k\in \mathbf{R}$$成立．由于  $$\textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar=\begin{cases} \frac{5}{2}k-3， k\geqslant \frac{4}{3}    1-\frac{1}{2}k， 1\leqslant k ~\textless{} ~\frac{4}{3}    3-\frac{5}{2}k， k ~\textless{} ~1   \end{cases}$$，  所以$$_{k\in \mathbf{R}}^{\min }\left { \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar{} \right }=\frac{1}{3}$$，从而上述不等式等价于$$\textbar a\textbar\leqslant \frac{1}{3}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
Source: 2017~2018学年浙江温州瓯海区浙江省瓯海中学高三上学期期中理科第9题4分
2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 已知椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$$上一点$$P$$到点$$(4,0)$$距离等于$$4$$，则$$P$$点到直线$$x=-\frac{25}{4}$$的距离为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{15}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$a=5,b=3$$，则$$c=4$$．于是$$P$$到另一个焦点$$(-4,0)$$的距离等于$$2\times 5-4=6$$．由于直线$$x=-\frac{25}{4}$$为椭圆的左准线方程，则$$P$$到直线$$x=-\frac{25}{4}$$的距离为$$d=\frac{6}{e}=7.5$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设$$f\left( x \right)$$是定义在实数集$$R$$上的函数，且满足下列关系：$$f\left( 10+x \right)=f\left( 10-x \right)$$．$$f\left( 20-x \right)=-f\left( 20+x \right)$$．则$$f\left( x \right)$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 偶函数，又是周期函数 
aoVal: B
content: 偶函数，但不是周期函数 
aoVal: C
content: 奇函数，又是周期函数 
aoVal: D
content: 奇函数，但不是周期函数 
Answer: C
Analysis: 由所给第一式得  $$f\left[ 10+\left( 10-x \right) \right]=f\left[ 10-\left( 10-x \right) \right]$$，  ∴~~~~  $$f\left( x \right)=f\left( 20-x \right)$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ①  又由所给第二式得  $$f\left( x \right)=-f\left( 20-x \right)$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ②  ∴~~~~  $$\begin{matrix}f\left( 40+x \right)=f\left[ 20+\left( 20+x \right) \right] =-f\left( 20+x \right)=f\left( x \right)   \end{matrix}$$  可见$$f(x)$$是周期函数．  由①，②得  $$f\left( -x \right)=f\left( 20+x \right)=-f\left( x \right)$$，  ∴$$f\left( x \right)$$是奇函数．因此答案是（$$\text{C}$$）． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1992年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 设$$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$$，记$${{f}_{1}}(x)=f(x)$$，若$${{f}_{n+1}}(x)=f({{f}_{n}}(x))$$，则$${{f}_{2010}}(x)=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$x$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{x}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{x-1}{x+1}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1+x}{1-x}$$ 
Answer: B
Analysis: 本题从题目上可预知$${{f}_{n}}(x)$$具有周期性，为了寻找周期，采用赋值法容易计算．记$${{a}_{1}}={{f}_{1}}(2),  {{a}_{n}}={{f}_{n}}(2)$$，则$${{a}_{1}}=\frac{1}{3},{{a}_{2}}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},{{a}_{3}}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}=-3,$$  $${{a}_{4}}=\frac{-3-1}{-3+1}=2,  {{a}_{5}}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3},\cdots $$．  故可知周期$$T=4$$，所以$${{a}_{2010}}={{f}_{2010}}(2)={{f}_{2}}(2)={{a}_{2}}=-\frac{1}{2}$$，将$$x=2$$代入可得选项B. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 一个钟在半点时响一次，在整点时，几点钟就响几次．例如，在下午$$1$$点有一次报时，在正午$$12$$点和午夜$$12$$点各有$$12$$次报时．从$$2003$$年$$2$$月$$26$$日上午$$11$$点$$15$$分开始，第$$2003$$次报时将在哪一天发生？
Options:
aoVal: A
content: March $$8$$ 
aoVal: B
content: March $$9$$ 
aoVal: C
content: March $$10$$ 
aoVal: D
content: March $$20$$ 
aoVal: E
content: March $$21$$ 
Answer: B
Analysis: First, find how many chimes will have already happened before midnight (the beginning of the day) of February $$27$$, $$2003$$. $$13$$ half-hours have passed, and the number of chimes according to the hour is $$1+2+3+\cdots +12$$. The total number of chimes is $$13+78=91$$.  Every day, there will be $$24$$ half-hours and $$2(1+2+3+\cdots 12)$$ chimes according to the arrow, resulting in $$24+156=180$$ total chimes.  On February $$26$$, the number of chimes that still need to occur is $$2003-91=1912$$. $$1912\div 180=10\rm R112$$. Rounding up, it is $$11$$ days past February $$26$$, which is March $$9$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion
Source: 2003年AMC10竞赛B第22题
Problem: 在平面直角坐标系中，若方程$$m\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1 \right)={{\left( x-2y+3 \right)}^{2}}$$表示的曲线为椭圆，则$$m$$的取值范围为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(0,1)$$ 
aoVal: B
content: $$(1,+\infty )$$ 
aoVal: C
content: $$(0,5)$$ 
aoVal: D
content: $$(5,+\infty )$$ 
Answer: D
Analysis: 看成是轨迹上点到$$(0,-1)$$的距离与到直线$$x-2y+3=0$$的距离的比：  $$\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}}{\frac{\left\textbar{} x-2y+3 \right\textbar}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{5}{m}}\textless{}1\Rightarrow m\textgreater5$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->平面中的距离->点到直线的距离公式
Source: 1997年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: $$2008-AMC10B-18$$  Bricklayer Brenda would take $$9$$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $$10$$ hours to build it alone. When they work together they talk a lot, and their combined output is decreased by $$10$$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $$5$$ hours. How many bricks are in the chimney?  瓦工布伦达单独建造一个烟囱需要花费 9小时，而瓦工布兰登单独建造它需要花费 10小时。 当他们一起工作时，他们会说很多话，他们的总效率每小时减少 10 块砖。 他们一起工作，在 小时内建造了烟囱。 烟囱里有多少块砖？
Options:
aoVal: A
content: $$500$$ 
aoVal: B
content: $$900$$ 
aoVal: C
content: $$950$$ 
aoVal: D
content: $$1000$$ 
aoVal: E
content: $$1900$$ 
Answer: B
Analysis: Let $$x$$ be the number of bricks in the chimney, Using $$d=vt$$, we get $$x=\left( \frac{x}{9}+\frac{x}{10}-10 \right)\cdot \left( 5 \right)$$. Solving for $$x$$, we get $$900\Rightarrow \text{B}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2008年AMC10竞赛B第18题
2008年AMC12竞赛B第10题
Problem: 设命题$$P$$：关于$$x$$的不等式$${{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}{{x}}+{{c}_{1}}\textgreater0$$与$${{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}x+{{c}_{2}}\textgreater0$$的解集相同；命题$$Q$$：$$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$$． 则命题$$Q$$．
Options:
aoVal: A
content: 是命题$$P$$的充分必要条件 
aoVal: B
content: 是命题$$P$$的充分条件但不是必要条件 
aoVal: C
content: 是命题$$P$$的必要条件但不是充分条件 
aoVal: D
content: 既不是是命题$$P$$的充分条件也不是命题$$P$$的必要条件 
Answer: D
Analysis: 若两个不等式的解集都是$$\mathbf{R}$$，否定$$\text{A}$$、$$\text{C}$$，若比值为$$-1$$，否定$$\text{A}$$、$$\text{B}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 1998年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 条件甲：$$\sqrt{1+\sin \theta }=a$$．条件乙：$$\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}=a$$．则下列（~ ）是正确的．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要条件 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分条件 
aoVal: D
content: 甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 
Answer: D
Analysis: 因为$$\sqrt{1+\sin \theta }=\sqrt{{{\sin }^{2}}\frac{\theta }{2}+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+{{\cos }^{2}}\frac{\theta }{2}}=\sqrt{{{\left( \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right)}^{2}}}=\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar$$  所以条件甲等价于：$$\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar=a$$．  在条件甲中，易知$$a\geqslant 0$$，而在条件乙中，$$a$$可能取负值．  所以由条件甲推不出乙，由乙也推不出甲，  即甲不是乙的必要条件，也不是充分条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2006年上海复旦大学自主招生千分考第16题
1981年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: $$\triangle ABC$$的三个内角为$$A$$、$$B$$、$$C$$，若$$\frac{\sin A+\sqrt{3}\cos A}{\cos A-\sqrt{3}\sin A}=\tan \frac{7 \pi }{12}$$，则$$\sin 2B+2\cos C$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 因为  $$\frac{\sin A+\sqrt{3}\cos A}{\cos A-\sqrt{3}\sin A}=\frac{\tan A+\tan \frac{ \pi }{3}}{1-\tan A\tan \frac{ \pi }{3}}=\tan \left( A+\frac{ \pi }{3} \right)$$，  故$$A+\frac{ \pi }{3}=\frac{7 \pi }{12}$$，$$A=\frac{ \pi }{4}$$．  由于$$2B+2C=\frac{3 \pi }{2}$$，故  $$\sin 2B+2\cos C=\sin \left( \frac{3 \pi }{2}-2C \right)+2\cos C$$  $$=-\cos 2C+2\cos C$$  $$=1-2{{\cos }^{2}}C+2\cos C$$  $$=-2{{\left( \cos C-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\leqslant \frac{3}{2}$$．  当$$C=\frac{ \pi }{3}$$时取等号．故$$\sin 2B+2\cos C$$的最大值为$$\frac{3}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 从$$0$$，$$1$$，$$\cdots $$，$$9$$这十个号码中任意抽取三个，其中至少有两个号码是连续整数的概率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$ \frac{7}{15}$$ 
aoVal: B
content: $$ \frac{8}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$ \frac{2}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$ \frac{3}{5}$$ 
aoVal: E
content: $$ \frac{1}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 设抽出的号码$$i$$，$$j$$，$$k$$（$$0\leqslant i\textless{}j\textless{}k\leqslant 9$$）中任何两个均不相邻，  则$$i$$，$$j-1$$，$$k-2$$互不相邻，且只能从$$ {0,1,\cdots ,7 }$$中取值，  故所求的概率$$ p=1- \frac{\text{C}_{8}^{3}}{\text{C}_{15}^{3}}= \frac{8}{15}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
课内体系->知识点->计数原理
Source: 全国高中数学联赛竞赛模拟一试（五）第3题
Problem: 已知函数$$y=\frac{x-a}{x-a-1}$$的反函数的图象关于点$$\left( -1,3 \right)$$成中心对称图形，则实数$$a$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$ 
Answer: A
Analysis: 方法一：在原函数图象上取点$$\left( 1,\frac{1}{a}-1 \right)$$，  则点$$\left( \frac{1}{a}-1,1 \right)$$在其反函数图象上，  它关于点$$(-13)$$的对称点为$$\left( -1-\frac{1}{a},5 \right)$$，从而点$$\left( 5,-1-\frac{1}{a} \right)$$在原函数图象上，  所以有$$-1-\frac{1}{a}=\frac{5-a}{5-a-1}$$，  解得$$a=2$$．故选$$\text{A}$$．  方法二：因函数$$y=-\frac{x-a}{x-a-1}$$与其反函数的图象关于直线$$y=x$$对称，  故它们的对称中心必也关于$$y=x$$对称．  可知点$$\left( -1,3 \right)$$关于直线$$y=x$$的对称点为$$(3-1)$$．  又因为函数$$y=-\frac{x-a}{x-a-1}$$，即$$y=-1+\frac{1}{x-(a+1)}$$，  图象关于点$$(a+1,-1)$$成中心对称图形，故$$a+1=3$$，得$$a=2$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 若把函数$$y=\sqrt{3}\cos x-\sin x$$的图象向右平移$$m$$（$$m\textgreater0$$）个单位长度后，所得到的图象关于$$y$$轴对称，则$$m$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3} \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{6} \pi $$ 
Answer: C
Analysis: $$y=\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right),$$对称轴方程$$x=k \pi -\frac{ \pi }{6},  k\in Z$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 若实数$$x$$，$$y$$满足$${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y+12 \right)}^{2}}={{14}^{2}}$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$的最小值为（~ ~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 令$$x+5=14\cos \theta $$,$$y-12=14\sin \theta $$ ,则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=196+28\left( 5\cos \theta -12\sin \theta \right)+169=365+364\sin \left( \theta +\varphi \right)\geqslant 1$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->素养->数学运算
Source: 2002年全国高中数学联赛竞赛一试第2题10分
Problem: 设$$M=\left { 1,2,\cdots ,2017 \right }$$是前$$2017$$个正整数构成的集合，若从$$M$$中去掉一个元素后，$$M$$中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是 ．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$65$$ 
aoVal: C
content: $$1008$$ 
aoVal: D
content: $$1677$$ 
Answer: D
Analysis: $$S=1+2+\cdots +2017=\frac{2018\cdot 2017}{2}=1009\cdot 2017=2035153\in \left( {{1400}^{2}},{{1500}^{2}} \right)$$，  而$${{1450}^{2}}={{\left( 1400+50 \right)}^{2}}=1960000+140000+2500=2102500\textgreater S$$，  又$${{1425}^{2}}={{\left( 1400+25 \right)}^{2}}=1960000+70000+625=2030625\textless{}S$$，  $${{1426}^{2}}={{\left( 1425+1 \right)}^{2}}=2030625+2850+1=2033476$$，  所以$$S={{1426}^{2}}+1677$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
Source: 2017年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题8分
Problem: 某個三角形的頂點座標爲 $$A(0,2)$$、 $$B(-3,2)$$、$$C(-3,0)$$ ，將此三角形以$$x$$軸爲對稱軸作對稱得到三角形$$\triangle A^{}\prime B^{}\prime C^{}\prime $$ ．再將她以原點爲中心，逆時針方向旋轉90°．得到$$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$．試問下列哪一個敘述能將變換回原來的？  $$\text{A}$$选项．繞原點逆時針旋轉$$90^{}\circ $$  $$\text{B}$$选项．繞原點順時針旋轉$$90^{}\circ $$  $$\text{C}$$选项．關於$$x$$軸的對稱  $$\text{D}$$选项．關於直線$$y=x$$對稱  $$\rm E$$选项．關於$$y$$軸的對稱  A triangle with vertices $$A(0,2)$$, $$B(-3,2)$$, and $$C(-3,0)$$ is reflected about the $$x$$-axis, then the image $$\triangle A^{}\prime B^{}\prime C^{}\prime $$ is rotated counterclockwise about the origin by $$90^{}\circ $$ to produce $$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$. Which of the following transformations will return $$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$ to $$\triangle ABC$$?
Options:
aoVal: A
content: counterclockwise retation about the origin by $$90^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: clockwise rotation about the origin by $$90^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: reflection about the x---axis 
aoVal: D
content: reflection about the liney=x 
aoVal: E
content: reflection about the y---axis. 
Answer: D
Analysis: Consider a point $$(x,y)$$. Reflecting it about the $$x$$-axis will map it to $$(x,-y)$$, and rotating it counterclockwise about the origin by $$90^{}\circ $$will map it to $$(y,x)$$. The operation that undoes this is a reflection about the $$y=x$$, so the answer is $$\rm D$$. 
Source: 2016年AMC10竞赛第16题5分
Problem: 已知集合$$M= {1,2,3 }$$，$$N= {1,2,3,4 }$$，定义函数$$f:M\to N$$．若点 $$A(1,f(1))$$，$$B(2,f(2))$$，$$C(3,f(3))$$，$$\Delta ABC$$的外接圆圆心为$$D$$，且$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\lambda \overrightarrow{DB}(\lambda\in R)$$ ，则满足条件的函数$$f(x)$$有（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$10$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: C
Analysis: 由$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{\gamma DB}$$（$$\gamma \in \mathbf{R}$$），分析可得$$\triangle ABC$$是等腰三角形，  且$$BA=BC$$，必有$$f(1)=f(3)$$，$$f(1)\ne f(2)$$．  点$$A(1,f(1))$$、当$$f(1)=1=f(3)$$时$$f(2)=2$$、$$3$$、$$4$$，三种情况．  $$f(1)=f(3)=2$$；$$f(2)=1$$、$$3$$、$$4$$，有三种．  $$f(1)=f(3)=3$$；$$f(2)=2$$、$$1$$、$$4$$，有三种．  $$f(1)=f(3)=4$$；$$f(2)=2$$、$$3$$、$$1$$，有三种．  因而满足条件的函数$$f(x)$$有$$12$$种．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义
课内体系->素养->数学运算
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
2020~2021学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第8题5分
Problem: 在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点．我们用Ⅰ表示所有直线的集合，$$M$$表示恰好通过一个整点的直线的集合，$$N$$表示不通过任何整点的直线的集合，$$P$$表示通过无穷多个整点的直线的集合，那么表达式：．  （1）$$M{\cup }N{\cup }P=$$Ⅰ；（3）$$N\ne \varnothing $$；  （2）$$M\ne \varnothing $$；~~~~~~~~~~ （4）$$P\ne \varnothing $$  中正确的个数是
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 直线$$y=\frac{1}{2}$$不通过任何整点，所以表达式（2）正确；  直线$$y=\sqrt{2}x$$无穷多个，恰好通过一个整点$$\left( 0,0 \right)$$，所以表达式（$$3$$）正确，  直线$$y=x$$通过多个整点，所以表达式（$$4$$）正确；  我们来证明，若  $$ax+by+c=0$$  通过两个整点$$\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$、$$\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$$，  则通过无穷多个整点  $$\left( {{x}_{2}}+k\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right),{{y}_{1}}+k\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right) \right)$$，$$k\in \bf Z$$．  事实上  $$a\left[ {{x}_{1}}+k\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right]+b\left[ {{y}_{1}}+k\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right) \right]+c$$  $$=a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c+k\left( a{{x}_{2}}+b{{y}_{2}}+c \right)-k\left( a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c \right)$$  $$=0$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 1988年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\text{arctan}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是．
Options:
aoVal: A
content: $$(- \pi , \pi )$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\text{arctg}x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->函数->函数及其表示->函数的值域->用单调性观察法求值域
知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->反三角函数
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 不超过 $$\frac{4^{100}+3^{100}}{4^{96}+3^{96}}$$ 的最大整数是? (改编自 2018 AMC10 A 第$$14$$题)
Options:
aoVal: A
content: $$255$$ 
aoVal: B
content: $$256$$ 
aoVal: C
content: $$270$$ 
aoVal: D
content: $$264$$ 
aoVal: E
content: $$265$$ 
Answer: A
Analysis: We write $$\frac{4^{100}+3^{100}}{4^{96}+3^{96}}=\frac{4^{96}}{4^{96}+3^{96}}\cdot \frac{4^{100}}{4^{96}}+\frac{3^{96}}{4^{96}+3^{96}}\cdot \frac{3^{100}}{3^{96}}=\frac{4^{96}}{4^{96}+3^{96}}\cdot 256+\frac{3^{96}}{4^{96}+3^{96}}\cdot 81$$. Hence we see that our number is less than $256$ but more than $81$. So the answer is $$\boxed{\rm (A)\textasciitilde255}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation
课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算
Source: 2018年AMC10竞赛A第14题
Problem: 设$$x$$、$$y$$、$$z\textgreater0$$，满足$$x+y=xy$$，$$x+y+z=xyz$$．则$$z$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(0,\sqrt{3}]$$ 
aoVal: B
content: $$(1,\sqrt{3}]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$ 
Answer: D
Analysis: 由已知$$y=\frac{x}{x-1}$$得，$$z=\frac{x+y}{xy-1}=\frac{xy}{xy-1}={{\left( 1-\frac{1}{xy} \right)}^{-1}}$$  $$={{\left( 1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{-1}}$$．  因为$$x\textgreater1$$，  即$$0\textless{}\frac{1}{x}\textless{}1$$，  所以，$$\frac{3}{4}\leqslant 1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\textless{}1$$．  故$$1\textless{}z\leqslant \frac{4}{3}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: $$2000-AMC10-17$$  Boris has an incredible coin changing machine. When he puts in a quarter, it returns five nickels; when he puts in a nickel, it returns five pennies; and when he puts in a penny, it returns five quarters. Boris starts with just one penny. Which of the following amounts could Boris have after using the machine repeatedly?  鲍里斯有一台令人难以置信的硬币更换机。 当他投入$$25$$美分时，它返回五个$$5$$分币； 当他投入$$1$$个五分硬币时，它返回$$5$$个人$$1$$分硬币； 当他投入一分钱时，它会返回五个$$25$$美分硬币。 鲍里斯从一分钱开始。 鲍里斯在反复使用机器后可能会获得以下哪些金额？
Options:
aoVal: A
content: ＄$$3.63$$ 
aoVal: B
content: ＄$$5.13$$ 
aoVal: C
content: ＄$$6.30$$ 
aoVal: D
content: ＄$$7.45$$ 
aoVal: E
content: ＄$$9.07$$ 
Answer: D
Analysis: Consider what happens each time he puts a coin in. If he puts in a quarter, he gets five nickels back, so the amount of money he has doesn\textquotesingle t change. Similarly, if he puts a nickel in the machine, he gets five pennies back and the money value doesn\textquotesingle t change. However, if he puts a penny in, he gets five quarters back, increasing the amount of money he has by~~cents.  This implies that the only possible values, in cents, he can have are the ones one more than a multiple of . Of the choices given, the only one is D 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2000年AMC10竞赛第17题
Problem: 数列$ {a_n }$满足: $a_0=\sqrt{3}$, $a_{n+1}=[a_n]+\dfrac{1}{ {a_n }}$(其中$[a_n]$和${a_n}$分别表示实数$x$的整数部分与小数部分), 则$a_{2020}=$．
Options:
aoVal: A
content: $3029+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 
aoVal: B
content: $3032+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 
aoVal: C
content: $3035+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: A
Analysis: $$1^{\circ}$$迭代几项尝试一下，  $$a_1=\sqrt{3}=1+(\sqrt{3}-1)$$，  $$\Rightarrow{a_2}=[a_1]+\frac{1}{\left { {{a}_{n}} \right }}=1+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=2+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$，  $$\Rightarrow{{a}_{3}}=[{{a}_{2}}]+\frac{1}{\left { {{a}_{2}} \right }}=2+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=4+(\sqrt{3}-1)$$，  $$\Rightarrow{{a}_{4}}=[{{a}_{3}}]+\frac{1}{\left { {{a}_{3}} \right }}=4+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=5+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$，  $$\Rightarrow{{a}_{5}}=[{{a}_{4}}]+\frac{1}{\left { {{a}_{4}} \right }}=5+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=7+(\sqrt{3}-1)$$，  $$\Rightarrow{{a}_{6}}=[{{a}_{5}}]+\frac{1}{\left { {{a}_{5}} \right }}=7+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=8+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$．  $$2^{\circ}$$猜想$$a_{2n}=3n-1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$，  用数学归纳法证明，  ①$$n=1$$时显然；  ②若$$n=k$$时成立，即$$a_{2k}=3k-1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$，  则$$a_{2k+1}=\left[a_{2k}\right]+\frac{1}{ {a_{2k} }}=3k-1+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=3k+1+\left(\sqrt{3}-1\right)$$，  $$\Rightarrow a_{2k+2}=\left[a_{2k+1}\right]+\frac{1}{ {a_{2k+1} }}=3k+1+\frac{1}{\sqrt{3}-1}=3k+2+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$，得证．  故，$${{a}_{2020}}=3\times 1010-1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}=3029+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式
Source: 2019年江西全国高中数学联赛竞赛初赛改编第8题
Problem: 设集合$$A= {-1,0,2 }$$，集合$$B= {-x\textbar x\in A,2-x\notin A }$$，则$$B=$$（ ~ ~）
Options:
aoVal: A
content: $$ {1 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {-2 }$$ 
aoVal: C
content: $$ {-1,-2 }$$ 
aoVal: D
content: $$ {-1,0 }$$ 
Answer: A
Analysis: ∵集合$$A= {-1,0,2 }$$，集合$$B= {-x\textbar x\in A,2-x\notin A }$$，  ∴$$-1\in A$$，且$$2-\left( -1 \right)=3\notin A$$，故$$1\in B$$；  $$0\in A$$，但$$2-0=2\in A$$，不满足题意；  $$2\in A$$，但$$2-2=0\in A$$，不满足题意；  故$$B= {1 }$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系->元素与集合的关系判断
Source: 2017年天津南开区高三二模文科第1题5分
2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2014年重庆高三零模文科第4题5分
2017年天津南开区高三二模理科第1题5分
2014年重庆高三零模理科第2题5分
Problem: 若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{19}{25}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{16}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{14}{25}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{25}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=\frac{3}{5}$$，所以$$\cos x-\sin x=\frac{3\sqrt{2}}{5}$$，  所以$${{(\cos x-\sin x)}^{2}}=1-\sin 2x=\frac{18}{25}$$，所以$$\sin 2x=\frac{7}{25}$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值
Source: 2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分
2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分
2015年北京海淀区高三三模第4题
2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二下学期期中第12题4分
2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分
2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分
Problem: 已知二面角$$\alpha -l-\beta $$的大小为$$30{}^{}\circ $$，则由平面$$\alpha $$上的圆在平面$$\beta $$上的正射影得到的椭圆的离心率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 设圆的半径为$$1$$，则椭圆的长轴长为$$2$$，短轴长为$$2\cos 30{}^{}\circ =\sqrt{3}$$，则$$c=\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分