math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在一个由$$8\times 8$$个方格组成的边长为$$8$$的正方形棋盘内放一个半径为$$4$$的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为$${{S}_{1}}$$，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$$的整数部分是（~ ）.
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 据正方形的对称性，只需考虑它的$$\frac{1}{4}$$部分即可，记圆周经过的所有小方格的圆内部分的$$4$$面积之和为$$S_{1}^{\^{\prime }}$$，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为$$S_{2}^{\^{\prime }}$$，  则$$S_{1}^{\^{\prime }}=4\pi -8$$，$$S_{2}^{\^{\prime }}=15-4\pi $$，  $$\therefore \frac{S_{1}^{\^{\prime }}}{S_{2}^{\^{\prime }}}=\frac{4{{S}_{1}}}{4{{S}_{2}}}=\frac{4\pi -8}{15-4\pi }\approx \frac{4.56}{2.44}$$  故$$\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$$的整数部分是$$1$$ .  故选$$\text{B}$$ . 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->正方形->正方形的性质
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第6题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$为正数，且$$a\ne b$$，若$$x=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$，$$y=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$$，则$$x$$与$$y$$的大小关系是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$x \textless{} y$$ 
aoVal: C
content: $$x-y$$ 
aoVal: D
content: 随$$a$$，$$b$$，$$c$$的取值而变化 
Answer: A
Analysis: 由题意有$$2x-2y=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-\frac{2}{\sqrt{ab}}-\frac{2}{\sqrt{bc}}-\frac{2}{\sqrt{ac}}$$  $$=(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}-\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}-\frac{2}{\sqrt{ac}}-+\frac{1}{a})$$  $$={{(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})}^{2}}+{{(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}})}^{2}}+{{(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2}}$$  又∵$$a\ne b$$，  ∴$${{(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})}^{2}}\textgreater0$$，$${{(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}})}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2}}\geqslant 0$$．  ∴$$x-y\textgreater0$$，$$x\textgreater y$$．选$$\text A$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 甲、乙、丙、丁$$4$$名跑步运动员的速度依次是$${{v}_{1}}$$，$${{v}_{2}}$$，$${{v}_{3}}$$，$${{v}_{4}}$$，且$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，他们沿直跑道进行追逐赛的规则如下：  ①$$4$$人在同一起跑线上，同时同向出发；  ②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁，谁就是冠军．则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 冠军是甲 
aoVal: B
content: 冠军是乙 
aoVal: C
content: 冠军是丙 
aoVal: D
content: 甲、乙、丙同时遇到丁 
Answer: C
Analysis: 出发时间$$t$$后，甲、乙、丙与丁的距离为$${{s}_{i}}=({{v}_{i}}-{{v}_{4}})t$$，$$i=1$$，$$2$$，$$3$$．  甲、乙、丙反向后，遇到丁的时间为$${{t}_{i}}^{\prime }=\frac{({{v}_{i}}-{{v}_{4}})t}{{{v}_{i}}+{{v}_{4}}}=\left( 1-\frac{2{{v}_{4}}}{{{v}_{i}}+{{v}_{4}}} \right)t$$．  已知$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，  故有$${{t}_{1}}\textgreater{{t}_{2}}\textgreater{{t}_{3}}$$，  即丙先遇到丁，丙是冠军． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第7题4分
Problem: 把一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷$$2$$次，若两个正面朝上的编号分别为$$m$$，$$n$$，则二次函数$$y={{x}^{2}}+mx+n$$的图象与$$x$$轴有两个不同交点的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{12}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{17}{36}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 掷骰子有$$6\times 6=36$$种情况．  根据题意有：$$4n-{{m}^{2}}\textless{}0$$，  因此满足的点有：$$n=1$$，$$m=3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=2$$，$$m=3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=3$$，$$m=4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=4$$，$$m=5$$，$$6$$，  $$n=5$$，$$m=5$$，$$6$$，  $$n=6$$，$$m=5$$，$$6$$，  共有$$17$$种，  故概率为：$$17\div 36=\frac{17}{36}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率
Source: 2015~2016学年浙江温州乐清市乐清市育英寄宿学校初二上学期期中实验a班第4题4分
2019~2020学年12月浙江杭州上城区北京师范大学附属杭州中学初三上学期周测A卷第8题3分
初三上学期单元测试《概率初步》第23题
2008年竞赛第2题6分
2020~2021学年10月浙江杭州下城区杭州市景成实验学校中学部初三上学期月考第8题3分
2016~2017学年9月浙江杭州拱墅区杭州锦绣·育才中学附属学校初三上学期月考第6题3分
Problem: 已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\leqslant z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$14$$ 
aoVal: D
content: $$14$$或$$17$$ 
Answer: A
Analysis: 由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$  $$z=x+1$$将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
课内体系->能力->运算能力
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分
初一下学期其它第17题
Problem: 设$$a$$，$$b$$是常数，不等式$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，则关于$$x$$的不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$x\textless{}-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$x\textless{}\frac{1}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 不等式$$ \frac{x}{a}+ \frac{1}{b}\textgreater0 $$的解集为$$\frac{x}{a}\textgreater- \frac{1}{b}$$，  $$x\textless{}- \frac{a}{b}$$，  $$x\textless{} \frac{1}{5}$$，  所以$$ \frac{a}{b}=- \frac{1}{5} $$且$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，  所以不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集为$$bx\textgreater a$$，  $$x\textgreater{} \frac{a}{b}$$，  $$x\textgreater- \frac{1}{5}$$，  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集
Source: 2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分
2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题
初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题
Problem: 点$$(-7,m)$$和点$$(-8,n)$$都在直线$$y=-2x-6$$上，则$$m$$和$$n$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$m\textgreater n$$ 
aoVal: B
content: $$m\textless{}n$$ 
aoVal: C
content: $$m=n$$ 
aoVal: D
content: 不能确定的 
Answer: B
Analysis: 因为直线$$y=-2x-6$$的斜率$$k=-2\textless{}0$$，  所以$$y$$随$$x$$的增大而减小．  由于$$-7\textgreater-8$$，  所以$$m\textless{}n$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 若$$a$$，$$b$$和$$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$都是有理数，则．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是有理数 
aoVal: B
content: $$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是无理数 
aoVal: C
content: $$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是有理数或都是无理数 
aoVal: D
content: $$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$中有理数和无理数各有一个 
Answer: A
Analysis: $$a$$，$$b$$都是有理数，  ∴$$a-b$$是有理数．  又$$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$是有理数，  ∴$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$是有理数．  于是$$\sqrt{a}=\frac{1}{2}\left[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{6}) \right]$$是有理数 ，$$\sqrt{b}=\frac{1}{2}\left[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \right]$$是有理数．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$都是正整数，并且$$abc=2008$$，则$$a+b+c$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．  Given that $$a$$, $$b$$, $$c$$ are all positive intergers and $$abc=2008$$, then the minimum value of $$a+b+c$$ is~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$243$$ 
aoVal: B
content: $$252$$ 
aoVal: C
content: $$257$$ 
aoVal: D
content: $$506$$ 
aoVal: E
content: $$2010$$ 
Answer: C
Analysis: $$2008$$分解成$$2\times 4\times 251$$时，  $$a+b+c=2+4+251=257$$．  这时$$a+b+c$$的值最小． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->因数和倍数
竞赛->知识点->数论->整除->分解素因数
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第11题
Problem: 北京景山公园中的景山的相对高度（即从北京的地平面到山顶的垂直距离）是$$45.7$$米，海拔高度是$$94.2$$米，而北京香山公园中的香炉峰（俗称``鬼见愁''）的海拔高度是$$557$$米，则香炉峰的相对高度是（~ ）米．
Options:
aoVal: A
content: $$508.5$$ 
aoVal: B
content: $$511.3$$ 
aoVal: C
content: $$462.8$$ 
aoVal: D
content: $$605.5$$ 
Answer: A
Analysis: 由景山的资料知道，北京地平面的海拔高度是$$94.2-45.7=48.5$$（米），  而$$557-48.5=508.5$$（米），这就是香炉峰的相对高度． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分
Problem: 在数轴上$$-1$$与$$1$$之间的有理数有．
Options:
aoVal: A
content: 无数个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$1$$个 
Answer: A
Analysis: 有无数个有理数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用数轴
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第5题3分
Problem: $${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{x}_{100}}$$是自然数，且$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{x}_{100}}$$，若$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{100}}=7001$$，那么，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{50}}$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2225$$ 
aoVal: B
content: $$2226$$ 
aoVal: C
content: $$2227$$ 
aoVal: D
content: $$2228$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{x}_{100}}$$是自然数，且$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{x}_{100}}$$，  所以$$7001={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{100}}\geqslant {{x}_{1}}+({{x}_{1}}+1)+({{x}_{1}}+2)+\cdots +({{x}_{1}}+99)$$，  即$$7001\geqslant 100{{x}_{1}}+4950$$，  解得$${{x}_{1}}\leqslant 20$$．  又因为$$20+21+22+\cdots +119=6950=7001-51$$，  $$21+22+23+\cdots +120=7050\textgreater7001$$，  所以，当$${{x}_{1}}=20$$，$${{x}_{2}}=21$$，$$\cdots $$，$${{x}_{49}}=68$$，$${{x}_{50}}=70$$，$${{x}_{51}}=71$$，$$\cdots $$，$${{x}_{100}}=120$$时，  $${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{50}}$$取得最大值$$2226$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分
Problem: 甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从$$A$$到$$B$$，甲需要$$30$$分钟，乙需要$$40$$分钟，如果乙比甲早出发$$6$$分钟，则甲追上乙以后，乙再经过（~ ）分钟到达$$B$$．
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 甲每分钟走全程的$$\frac{1}{30}$$，乙每分钟走全程的$$\frac{1}{40}$$，  设甲$$t$$分钟追上乙，  则$$\frac{t}{30}=\frac{(6+t)}{40}$$，解得$$t=18$$（分钟）．  $$40-6-18=16$$（分钟）．  此后，乙还要走$$16$$分钟才能到达$$B$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 如果$$20$$个点将某圆周$$20$$等分，那么顶点只能在这$$20$$个点中选取的正多边形的个数有（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$24$$个 
Answer: C
Analysis: $$\text{C}$$：$$12$$个；$$\frac{20}{4}+\frac{20}{5}+\frac{20}{10}+\frac{20}{20}=12$$． 
<p>设正$$k$$边形满足条件，则除去$$k$$个顶点外的$$20-k$$个点均匀的分布在正$$k$$边形各边所对的劣弧上，则有：</p>
<p>于是$$\frac{20-k}{k}=\frac{20}{k}-1$$ 是整数，故$$k$$能整除$$20$$，同时$$k\geqslant 3$$3．</p>
<p>所以$$k=4$$或$$5$$或$$10$$或$$20$$，</p>
<p>故所求正多边形的个数为$$\frac{20}{4}+\frac{20}{5}+\frac{20}{10}+\frac{20}{20}=12$$．</p>
<p>故选$$C$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆->圆内接正多边形相关计算
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第6题
Problem: 从$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}$$中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于$$1$$，那么删去的两个加数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$，$$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$，$$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$，$$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{10}$$，$$\frac{1}{8}$$ 
Answer: D
Analysis: 易知$$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{2}$$，所以$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$$，  因此删去的两个加数为$$\frac{1}{8}$$和$$\frac{1}{10}$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 在$$1992$$个自然数：$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$1991$$，$$1992$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，则其代数和一定是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 奇数 
aoVal: B
content: 偶数 
aoVal: C
content: 负整数 
aoVal: D
content: 非负整数 
Answer: B
Analysis: 由于两个整数$$a$$，$$b$$前面任意添加``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性不变．  这个性质对$$n$$个整数也是正确的．  因此，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$1991$$，$$1992$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性与$$(-1)+2-3+4-5+6-7+8-\cdots -1991+1992=996$$的奇偶性相同，是偶数，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: $$\frac{1}{1999}$$的相反数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1999$$ 
aoVal: B
content: $$-1999$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1}{1999}$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} -\frac{1}{1999} \right\textbar$$ 
Answer: C
Analysis: 根据相反数的定义，$$\frac{1}{1999}$$的相反数是$$-\frac{1}{1999}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第1题
Problem: 对于$$x=7$$，以下哪一项是最小的？．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 6x$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 6{x+1}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 6{x-1}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac x6$$ 
aoVal: E
content: $$\frac {x+1}6$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$x=7$$，下面哪个最小？  最小的分数形式是$$b$$，其中$$b$$大于$$a$$．  在这个问题中，我们需要所有给定值中的最大可能值以分母表示．这个值是$$x+1$$或8  分子越小，就是$$6$$．  带有$$\frac {6}{x+1}$$的答案选项是$$\rm B$$．  为每个答案选项代入$$x$$会给出  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  从这里，我们可以看到最小的是答案选项$$\rm B$$．  The smallest fraction would be in the form $$\frac{a}{b}$$ where $$b$$ is larger than $$a$$.  In this problem, we would need the largest possible value out of all the given values to be in the denominator. This value is $$x+1$$ or $$8$$.  The smaller would go on the numerator, which is $$6$$.  The answer choice with $$\frac{6}{x+1}$$ is $$\text{B}$$.  Plugging $$x$$ in for every answer choice would give  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  From here, we can see that the smallest is answer choice $$\text{B}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Operations
课内体系->知识点->数->有理数->分数
Source: 1998年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 化简分式$$\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x+y} \right)$$的结果是．
Options:
aoVal: A
content: $${{y}^{2}}-{{x}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{2}}-4{{y}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x+y} \right)$$  $$=\frac{{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+4xy}{x-y}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4xy}{x+y}$$  $$=\frac{{{(x+y)}^{2}}}{x-y}\cdot \frac{{{(x-y)}^{2}}}{x+y}$$  $$=(x+y)(x-y)$$  $$={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式的性质
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式约分
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第1题4分
Problem: 当$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$时，多项式$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2001}}$$ 
aoVal: D
content: $$-{{2}^{2001}}$$ 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：二次根式化简求值）}  ∵$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$，  ∴$${{(2x-1)}^{2}}=1994$$，即$$4{{x}^{2}}-4x-1993=0$$，  ∴$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$  $$={{[(4{{x}^{2}}-4x-1993)x+(4{{x}^{2}}-4x-1993)-1]}^{2001}}$$  $$={{(-1)}^{2001}}$$  $$=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方
Source: 初一下学期其它
1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分
Problem: $$\frac{1}{a}$$是有理数，则它的相反数是．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$ 
aoVal: B
content: $$-a$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1}{a}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{a}$$ 
Answer: C
Analysis: 由相反数定义可知，$$\frac{1}{a}$$的相反数是$$-\frac{1}{a}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第2题
Problem: 已知$$x+y+z=5$$，$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，  ∴$$\frac{yz+xz+xy}{xyz}=5$$，即$$xy+yz+xz=5$$．  ∵$$x+y+z=5$$，  ∴$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)=15$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算
知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的加减
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
Source: 2016年全国华杯赛初一竞赛
Problem: 若$$A$$和$$B$$都是$$6$$次多项式，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$A-B$$一定是多项式 
aoVal: B
content: $$A-B$$是次数不低于$$6$$的整式 
aoVal: C
content: $$A+B$$一定是单项式 
aoVal: D
content: $$A+B$$是次数不高于$$6$$的整式 
Answer: D
Analysis: 若$$A=B$$，则$$A-B=0$$，为单项式，不是多项式，次数为$$0$$；  若$$A=2{{a}^{6}}+{{a}^{5}}$$，$$B=3{{a}^{6}}$$，则$$A+B=5{{a}^{6}}+{{a}^{5}}$$，为多项式．  由上可知，$$\text{D}$$选项正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的项
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$的平均数为$$M$$，$$a$$与$$b$$的平均数为$$N$$，$$N$$与$$c$$的平均数为$$P$$，若$$a\textgreater b\textgreater c$$，则$$M$$与$$P$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$M=P$$ 
aoVal: B
content: $$M\textgreater P$$ 
aoVal: C
content: $$M \textless{} P$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 由题意得：$$a+b+c=3M$$，  $$a+b=2N$$，$$N+c=2P$$，  ∴$$M=\frac{a+b+c}{3}$$，  $$P=\frac{N+c}{2}$$，  $$N=\frac{a+b}{2}$$，  ∴将$$N$$代入$$P$$可得：  $$P=\frac{a+b+2c}{4}$$，  $$M-P=\frac{a+b-2c}{12}$$，  又∵$$a\textgreater b\textgreater c$$，  ∴$$a++c\textgreater3c$$，  ∴$$M-P\textgreater0$$，  ∴$$M\textgreater P$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-作差法
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年5月天津南开区天津市南开中学初一下学期月考第12题3分
2000年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题5分
Problem: 若$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互补，且$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，则$$\angle AOB$$的度数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$54{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$81{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$99{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$162{}^{}\circ $$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，  ∴$$\angle AOB+\angle BOC=180{}^{}\circ $$．  ∵$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle AOB-\angle BOC=18{}^{}\circ $$．  两式相加，化简得$$\angle AOB=99{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->题型：计算对顶角、邻补角度数
知识标签->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->邻补角
知识标签->知识点->几何图形初步->角->角的和差
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: $$a$$是有理数，则在下列说法中正确的一个是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-a$$是负数 
aoVal: B
content: $${{a}^{2}}$$是正数 
aoVal: C
content: $$-\left\textbar{} {{a}^{2}} \right\textbar$$是负数 
aoVal: D
content: $${{(a-1993)}^{2}}+0.001$$是正数 
Answer: D
Analysis: 当$$a=0$$，显然$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，$$\text{C}$$，均不正确，应排除，所以选$$\text{D}$$．  事实上，对任意有理数$$a$$，都有$${{(a-1993)}^{2}}\geqslant 0$$，  所以$${{(a-1993)}^{2}}+0.001\textgreater0$$是正数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 方程$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} 2x-1 \right\textbar=1$$的整数解的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$依次取$$0$$，$$\pm1$$，  可得方程组$$\begin{cases}x+1=0    2x-1=\pm 1 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x+1=\pm1    2x-1=0 \end{cases}$$，  解之，可得两方程均无解．  所以，原方程整数解的个数为$$0$$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->题型：含绝对值的一元一次方程
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分
Problem: $$\text{Rt}\triangle ABC$$在三个顶点$$A$$、$$B$$、$$C$$均在抛物线$$y={{x}^{2}}$$上，并且斜边$$AB$$平行于$$x$$轴．若斜边上的高为$$h$$，则(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$h \textless{} 1$$ 
aoVal: B
content: $$h=1$$ 
aoVal: C
content: $$1 \textless{} h \textless{} 2$$ 
aoVal: D
content: $$h\textgreater2$$ 
Answer: B
Analysis: 设点$$A$$的坐标为$$\left( a,{{a}^{2}} \right)$$，点$$C$$的坐标为$$\left( c,{{c}^{2}} \right)$$，$$\left( \left\textbar{} c \right\textbar{} \textless{} \left\textbar{} a \right\textbar{} \right)$$，则点$$B$$的坐标为$$\left( -a,{{a}^{2}} \right)$$，由勾股定理，得$$A{{C}^{2}}={{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( {{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}$$，$$B{{C}^{2}}={{\left( c+a \right)}^{2}}+{{\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}$$，$$A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$$，所以$${{\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$$．由于$${{a}^{2}}\textgreater{{c}^{2}}$$，所以$${{a}^{2}}-{{c}^{2}}=1$$，根据图象知斜边$$AB$$上高$${{h}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=1$$，所以$$h=1$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与直角三角形结合
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2018~2019学年9月福建福州鼓楼区福州励志中学初三上学期月考第10题4分
2017年浙江宁波鄞州区鄞州中学自主招生三位一体第8题5分
2019~2020学年11月浙江杭州江干区杭州市采荷中学初三上学期月考（杭州采荷中学教育集团）第10题3分
2006年竞赛第3题6分
Problem: 将$$n$$个球放在$$100$$个箱子中（箱子里可以不放球）．若无论怎样放都有$$4$$个箱子里的球的个数相同，则$$n$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1616$$ 
aoVal: B
content: $$1689$$ 
aoVal: C
content: $$2689$$ 
aoVal: D
content: $$2616$$ 
Answer: A
Analysis: 假设可以使得每$$4$$个箱子里的球个数完全相同，那么此时最少有$$3\times (0+1+2+\cdots +32)+33=1617$$个球，于是所求的$$n$$的最大值为$$1616$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第10题
Problem: 正整数$$a$$被$$7$$除，得到余数$$4$$，则$${{a}^{3}}+5$$被$$7$$除，得到的余数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$a=7k+4$$（$$k$$为正整数），则  $${{a}^{3}}+5={{\left( 7k+4 \right)}^{3}}+5$$  $$={{\left( 7k \right)}^{3}}+3\times {{\left( 7k \right)}^{2}}\times 4+3\times \left( 7k \right)\times {{4}^{2}}+{{4}^{3}}+5$$  $$=7\left( {{7}^{2}}{{k}^{3}}+3\times 7{{k}^{2}}\times 4+3k\times {{4}^{2}}+9 \right)+6$$，  因此，$${{a}^{3}}+5$$被$$7$$除余$$6$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->综合除法和余数定理 
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第8题
Problem: 满足$$\left\textbar{} \left\textbar{} x-1 \right\textbar-\left\textbar{} x \right\textbar-\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x \right\textbar=1$$的$$x$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{3}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\leqslant 0$$，原方程为：$$\left\textbar{} (-x+1)-(-x) \right\textbar-(-x+1)+(-x)=1$$，  即$$1+x-1-x=1$$，无解；  当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (1-x)-x \right\textbar-(1-x)+x=1$$，  即$$\left\textbar{} 1-2x \right\textbar-1+2x=1$$，这种情况下当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant \frac{1}{2}$$ 时，$$1-2x-1+2x=1$$无解；  当$$\frac{1}{2} ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，$$2x-1-1+2x=1$$，$$x=\frac{3}{4}$$；  当$$x ~\textless{} ~1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (x-1)-x \right\textbar-(x-1)+x=1$$，  即$$1-(x-1)+x=1$$，无解．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->含绝对值的一元一次方程
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简
Source: 2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第4题
Problem: 方程$$\left\textbar{} xy \right\textbar-2\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar=4$$的整数解有．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$组 
aoVal: B
content: $$4$$组 
aoVal: C
content: $$6$$组 
aoVal: D
content: $$8$$组 
Answer: C
Analysis: 原方程变形为$$\left( \left\textbar{} x \right\textbar+1 \right)\left( \left\textbar{} y \right\textbar-2 \right)=2$$，  因为$$\left\textbar{} x \right\textbar+1\geqslant 1$$，  所以$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+1=1    \left\textbar{} y \right\textbar-2=2   \end{cases}$$①，或$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+1=2    \left\textbar{} y \right\textbar-2=1   \end{cases}$$②，  解①得$$\begin{cases}x=0    y=4   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=0    y=-4   \end{cases}$$，  解②得$$\begin{cases}x=1    y=3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=1    y=-3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=-1    y=-3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=-1    y=3   \end{cases}$$．  综上所述，原方程组的整数解有$$6$$组．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第6题4分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$是三个大于$$3$$的质数，则下列判断中一定正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b+c$$是偶数 
aoVal: B
content: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$是偶数 
aoVal: C
content: $$a+b+c$$是$$3$$的倍数 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$是$$3$$的倍数 
aoVal: E
content: $$a+b+c$$是质数 
Answer: D
Analysis: $$\text{A}$$选项：因为$$a$$，$$b$$，$$c$$是三个大于$$3$$的质数，  所以$$a$$，$$b$$，$$c$$一定均为奇数，  所以$$a+b+c$$是奇数．错误．  $$\text{B}$$选项：因为$$a$$，$$b$$，$$c$$均为奇数，  所以$$a^{2}$$、$$b^{2}$$，$$c^{2}$$也为奇数，  所以$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$是奇数．错误．  $$\text{C}$$选项：若$$a=5$$、$$b=7$$、$$c=11$$，  则$$a+b+c=23$$，不是$$3$$的倍数．错误．  $$\text{D}$$选项：因为除了$$3$$，所有质数的平方除以$$3$$余数均为$$1$$，  所以$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$是$$3$$的倍数，正确．  故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算
课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->整体思想
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 给定平面上$$n$$个点，已知$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$，$$16$$，$$32$$都是其中两点之间的距离，那么点数$$n$$的最小可能值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 观察出这些距离都是$$2$$的$$n$$次幂，而$$1+2\textless{}4$$，$$1+2+4\textless{}8$$，$$\cdots $$，$$1+2+4+\cdots +16\textless{}32$$，即这些线段中的任几条都不能构成一个多边形，这六条线段也不能构成六边形，所以至少要$$7$$个点才能满足条件．  选择$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何杂题->几何最值
Source: 1997年第14届全国初中数学联赛竞赛