math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 迷糊老师今天上课讲解高斯记号，告诉我们$$\left[ a \right]$$表示不大于$$a$$的最大整数，例如$$\left[ 1.1 \right]=1$$，$$\left[ 3 \right]=3$$，然后计算：$$\left[ \frac{1}{7} \right]+\left[ \frac{3}{7} \right]+\left[ \frac{5}{7} \right]+\cdots +\left[ \frac{2019}{7} \right]+\left[ \frac{2021}{7} \right]=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$145504$$ 
aoVal: B
content: $$135184$$ 
aoVal: C
content: $$145164$$ 
aoVal: D
content: $$135524$$ 
aoVal: E
content: $$145584$$ 
Answer: E
Analysis: 列出一些分数找规律：  （$$1$$）$$\left[ \frac{1}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{3}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{5}{7} \right]$$都为$$0$$；  （$$2$$）$$\left[ \frac{7}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{9}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{11}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{13}{7} \right]$$都为$$1$$；  （$$3$$）$$\left[ \frac{15}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{17}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{19}{7} \right]$$都为$$2$$；  （$$4$$）$$\left[ \frac{21}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{23}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{25}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{27}{7} \right]$$都为$$3$$；  （$$5$$）$$\left[ \frac{29}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{31}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{33}{7} \right]$$都为$$4$$；  $$\cdots $$；  （$$287$$）$$\left[ \frac{2009}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{2011}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{2013}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{2015}{7} \right]$$都为$$287$$；  （$$288$$）$$\left[ \frac{2017}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{2019}{7} \right]$$、$$\left[ \frac{2021}{7} \right]$$都为$$288$$，  所以题目式$$=4\times \left( 1+3+5+\cdots +287 \right)+3\times \left( 2+4+\cdots +288 \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=4\times \left( 2+4+6+\cdots +288-144 \right)+3\times \left( 2+4+\cdots +288 \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=7\times \left( 2+4+6+\cdots +288 \right)-4\times 144$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=7\times 2\times \left( 1+2+\cdots +144 \right)-576$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=7\times 2\times \frac{\left( 1+144 \right)\times 144}{2}-576$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=145584$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->高斯记号->高斯记号的复杂应用
Source: 2021年新希望杯六年级竞赛初赛第28题5分
Problem: 已知$$f\left( m,n \right)=a{{m}^{3}}+b{{n}^{3}}$$，若$$f\left( 1,2 \right)=a\times {{1}^{3}}+b\times {{2}^{3}}=4$$，那么$$\textasciitilde f\left( 2,4 \right)$$的值应为~ ~~ ~ ~ ~ ． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$34$$ 
aoVal: D
content: $$32$$ 
Answer: D
Analysis: 已知$$f\left( m,n \right)=a{{m}^{3}}+b{{n}^{3}}$$，$$f\left( 1,2 \right)=a\times {{1}^{3}}+b\times {{2}^{3}}=a+8b=4$$，  那么$$f\left( 2,4 \right)=a\times {{2}^{3}}+b\times {{4}^{3}}=8a+64b=8\times \left( a+8b \right)=8\times 4=32$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第1题3分
Problem: 在$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$\ldots\ldots$$2007$$这$$2007$$个数中有~\uline{~~~~~~~~~~}~个自然数$$a$$能使$$2008+a$$能被$$2007-a$$整除。 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 【详解】 要使得$$2008+a$$能被$$2007-a$$整除，我们可以将条件等价的转化为只要让$$\frac{2008+a}{2007-a}$$是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道若$$a$$可以使得$$\frac{2008+a}{2007-a}$$是一个整数，那么$$a$$也同样可以使得$$\frac{2008+a}{2007-a}+1=\frac{2008+a+2007-a}{2007-a}=\frac{4015}{2007-a}$$是一个整数，这样只要$$2007-a$$是$$4015$$的约数即可，将$$4015$$分解可知其共有$$8$$个因数，其中$$4015$$是最大的一个，但是显然没有可以让$$2007-a$$等于$$4015$$的$$a$$的值，其余的$$7$$个均可以有对应的$$a$$的值，所以满足条件的$$a$$的取值共有$$7$$个。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数
Source: 2022年小学高年级六年级竞赛（小学奥数5-2-5整除与分类计数综合专项训练）第6题
2022年小学高年级六年级竞赛（小学奥数5-2-5整除与分类计数综合专项训练）
Problem: 一个骰子六个面上写着$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$，将它投掷两次，则面朝上的两个数字之和为$$3$$的倍数的可能性是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 数字和是$$3$$的倍数有：$$（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（3，3），（4，5）$$，则$$\frac{6\times 2}{6\times 6}=\frac{1}{3}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第3题4分
2018年四川成都武侯区成都西川中学小升初面试真卷（四）第8题3分
Problem: $$2019$$年元旦是星期二，$$2019$$年的国庆节是星期． 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 二 
aoVal: C
content: 三 
aoVal: D
content: 四 
Answer: B
Analysis: 从$$2019$$年的$$1$$月$$1$$日至$$2019$$年的$$10$$月$$1$$日共：$$31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274$$（天），  根据``二、三、四、五、六、日、一''的周期规律：$$274\div 7=39$$（周）$$\cdots \cdots 1$$（天）．  所以$$10$$月$$1$$日是这个周期的第$$1$$天，即星期二．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第1题5分
Problem: 下面哪个算式的计算结果是偶数？ 
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 784-455 \right)\times 39+44\times 11$$ 
aoVal: B
content: $$11\times 1+22\times 2+33\times 3+44\times 4+55\times 5+66\times 6+77\times 7+88\times 8+99\times 9$$ 
aoVal: C
content: $$11\times 2+22\times 2+33\times 3+44\times 4+55\times 5+66\times 6+77\times 7+88\times 8+99\times 9$$ 
aoVal: D
content: $$123\times 456+789$$ 
aoVal: E
content: $$2\times 4\times 6\times \cdots \times 2018\times 2020-1\times 3\times 5\times \cdots \times 2017\times 2019$$ 
Answer: C
Analysis: 暂无 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数乘法巧算之提取公因数（普通型）
Source: 2020年新希望杯三年级竞赛初赛（团战）第35题
Problem: 老师问$$5$$名学生：``昨天你们有几个人复习数学了？''  张：``没有人．''李：``一个人．''王：``二个人．''赵：``三个人．''刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有（~ ~ ~ ~）个人． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 任何两人说的话都不能同时为真，所以最多有一个人说的是真话，如果有一个人复习了，那么李说的是真话，符合题意；如果没有人复习了，那么张说的是真话，矛盾． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题
Problem: 三位采购员定期去某市场采购，小王每$$8$$天去一次，大刘每$$5$$天去一次，老李每$$6$$天去一次，三人星期二第一次在这里碰面，下次碰面将在星期． 
Options:
aoVal: A
content: 二 
aoVal: B
content: 三 
aoVal: C
content: 四 
aoVal: D
content: 五~ 
Answer: B
Analysis: $$8$$、$$5$$、$$6$$的最小公倍数是$$120$$，这三人相会的周期是$$120$$天，$$120\div 7=17$$（周）$$\cdots\cdots1$$（天），下次碰面将在星期三． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第6题
Problem: 哈利波特制作加强型魔法药剂``生死水''（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，``生死水''的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型``生死水''中加入一定量的艾草浸液，使``生死水''的浓度变为$$9 \%$$；再加入同等量的水仙根粉末，这时``生死水''的浓度变为$$23 \%$$．那么普通型``生死水''的浓度为． 
Options:
aoVal: A
content: $$10 \%$$ 
aoVal: B
content: $$11 \%$$ 
aoVal: C
content: $$12 \%$$ 
aoVal: D
content: $$15 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 设普通型``生死水''的浓度为$$x \%$$，初始重量为$$100$$，连续两次加入的艾草浸液和水仙根粉末重量都是$$a$$，那么$$\left { \begin{matrix} \dfrac{x}{100+a}=9 \%   \dfrac{x+a}{100+2a}=23 \%   \end{matrix}\Rightarrow \left { \begin{matrix} 100x-9a=900    100x+54a=2300   \end{matrix}\Rightarrow x=11 \right. \right.$$，故普通型``生死水''的浓度为$$11 \%$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第6题
Problem: 计算$$\left[ \left( 0.8+\frac{1}{5} \right)\times 24+6.6 \right]\div \frac{9}{14}-7.6=$$（~ ~ ~ ~~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: B
Analysis: $$\left[ \left( 0.8+\frac{1}{5} \right)\times 24+6.6 \right]\div \frac{9}{14}-7.6$$  $$=\left[ (0.8+0.2)\times 24+6.6 \right]\div \frac{9}{14}-7.6$$  $$=\left[ 1\times 24+6.6 \right]\div \frac{9}{14}-7.6$$  $$=30.6\div \frac{9}{14}-7.6$$  $$=30.6\times \frac{14}{9}-7.6$$  $$=47.6-7.6$$  $$=40$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分小四则混合运算
Source: 2012年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第1题
2017年全国小升初八中入学备考课程
Problem: 某学校组织一次远足活动，计划$$10$$点$$10$$分从甲地出发，$$13$$点$$10$$分到达乙地，但出发晚了$$5$$分钟，却早到达了$$4$$分钟。甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$点$$40$$分 
aoVal: B
content: $$11$$点$$50$$分 
aoVal: C
content: $$12$$点 
aoVal: D
content: $$12$$点$$10$$分 
Answer: B
Analysis: 根据题意，实际走比计划走全程省了$$5+4=9$$（分钟）。将全程平均分成$$9$$等份，则在每一等份中实际走比计划走省$$1$$分钟。所以当走完$$5$$等份时，到达的地点时间实际和计划的时间相同，此时是丙地即在全程的$$\frac{5}{9}$$处。计划走全程用$$3$$小时即$$180$$分钟，则走到丙地用$$180\times \frac{5}{9}=100$$（分钟）。$$10$$点$$10$$分出发走$$100$$分钟是$$11$$点$$50$$分。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2014年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 快慢两列火车相向而行，快车长50米，慢车长80米，快车速度是慢车的2倍，如果坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口的时间是(  )秒. 
Options:
aoVal: A
content: 6 
aoVal: B
content: 7 
aoVal: C
content: 8 
aoVal: D
content: 10 
Answer: C
Analysis: 记快车、慢车的速度为$${{v}_{\text{快}}}$$米/秒、$${{v}_{\text{慢}}}$$米/秒，且$${{v}_{\text{快}}}={{v}_{\text{慢}}}$$，快、慢两列火车相向而行，则相对速度为$${{v}_{\text{快}}}+{{v}_{\text{慢}}}=3{{v}_{\text{慢}}}$$（米/秒）.设坐在快火车上的人见慢车驶过的时间是$$x$$秒.则$$\begin{cases}\frac{50}{3{{v}_{\text{慢}}}}=5    \frac{80}{3{{v}_{\text{慢}}}}=x   \end{cases}$$ 即$$\begin{cases}80=x\times 3{{v}_{\text{慢}}}\left( 1 \right)    50=5\times {{v}_{\text{慢}}}\left( 2 \right)   \end{cases}$$$$\left( 2 \right)\div \left( 1 \right)$$ 得$$\frac{50}{80}=\frac{5}{x}$$.解得$$x=8$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比例->正比例与反比例
Source: 2008年五年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛A卷第9题5分
Problem: 鸭妈妈带着小鸭们在池塘里游玩，黄小鸭发现：有$$2$$只小鸭在它的前面，$$3$$只小鸭在它的后面．池塘里共有几只小鸭？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意分析可知，用黄小鸭前面的数量加上后面的数量再加上自己所以一共有：  $$2+3+1=6$$（只）小鸭，  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第15题
Problem: 古希腊数学家把$$1$$，$$3$$，$$6$$，$$10$$，$$15$$，$$21$$，$$\cdots \cdots $$称为三角形数，它有一定的规律性，则第$$99$$个三角形数和第$$97$$个三角形数的差为 ． 
Options:
aoVal: A
content: $$99$$ 
aoVal: B
content: $$197$$ 
aoVal: C
content: $$97$$ 
aoVal: D
content: $$196$$ 
Answer: B
Analysis: 分析可知，三角形数的规律为第$$n$$个数比第$$n-1$$个数大$$n$$（$$n$$大于$$1$$），则第$$99$$个三角形数比第$$98$$个三角形数大$$99$$，第$$98$$个三角形数比第$$97$$个三角形数大$$98$$，所以所求的差为$$99+98=197$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年河南郑州豫才杯竞赛第10题
2017年河南郑州小升初豫才杯第二场第10题
Problem: 甲、乙、丙、丁和戊参加$$100$$米比赛，比赛结束后丁说：``我比乙跑得快。''丙说：``戊在我前面冲过终点线。''甲说：``我的名次排在丁的前面，丙的后面。''请根据他们的话排出名次（  ） 
Options:
aoVal: A
content: 戊$$\textgreater$$丙$$\textgreater$$丁$$\textgreater$$甲$$\textgreater$$乙 
aoVal: B
content: 甲$$\textgreater$$乙$$\textgreater$$丙$$\textgreater$$丁$$\textgreater$$戊 
aoVal: C
content: 乙$$\textgreater$$丁$$\textgreater$$甲$$\textgreater$$丙$$\textgreater$$戊 
aoVal: D
content: 戊$$\textgreater$$丙$$\textgreater$$甲$$\textgreater$$丁$$\textgreater$$乙 
Answer: D
Analysis: 解：根据分析，由丁说的可得``丁$$\textgreater$$乙''，根据丙说的可得``戊$$\textgreater$$丙''，  根据甲说的可得``丙$$\textgreater$$甲$$\textgreater$$丁''，综合可得``戊$$\textgreater$$丙$$\textgreater$$甲$$\textgreater$$丁$$\textgreater$$乙''。  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛复赛
Problem: 把$$15$$个玻璃球分成数量不同的$$2$$堆，共有种不同的分法．（每堆至少分$$1$$个） 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意可得：  $$15=1+2+3+9$$；$$15=1+2+4+8$$；  $$15=1+2+5+7$$；$$15=1+3+4+7$$；  $$15=1+3+5+6$$；$$15=2+3+4+6$$；  一共有$$6$$种．  答：共有$$6$$种不同的分法．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆->整数拆分应用->加法拆数（应用）
Source: 2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第4题3分
Problem: 给出一列数：$$23+m$$，$$23+2m$$，$$23+3m$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$$23+2023m$$，这$$2023$$个数的和除以$$14$$的余数是（其中$$m$$为正整数）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: $$23\times 2023+(1+2+\cdot \cdot \cdot +2023)m$$除以$$14$$的余数，  $$23\div 14$$余$$9$$，  $$23\div 14$$余$$7$$，  $$1+2+\cdot \cdot \cdot +2023=2023\times 1012$$刚好是$$14$$的倍数，  那么只用看$$23\times 2023$$除以$$14$$的余数是$$7$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第7题
Problem: 小明将$$27$$个苹果分给若干位小朋友，这些小朋友得到的苹果数是一些连续的正整数，请问 这些小朋友最多有多少位？ 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
aoVal: E
content: $$6$$ 
Answer: E
Analysis: 因为$$2+3+4+5+6+7$$  $$=5+9+13$$  $$=14+13$$  $$=27$$（个）  所以最多有$$6$$位小朋友． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分
Problem: 对于整数$$n\geqslant 3$$，用$$\varphi \left( n \right)$$表示所有小于$$n$$的素数的乘积，求满足条件$$\varphi \left( n \right)=22n-32$$的所有正整数$$n$$，$$n$$为． 
Options:
aoVal: A
content: $$n\textgreater11$$ 
aoVal: B
content: $$n\textless{}11$$ 
aoVal: C
content: $$n=11$$ 
aoVal: D
content: $$n$$有多个值 
Answer: C
Analysis: 若$$n\textgreater11$$，则$$11$$整除$$\varphi \left( n \right)$$，但$$11$$不能整除$$22n-32$$．  因此，$$n\textgreater11$$不符合要求．故，$$n\leqslant 11$$．  若$$7\textless{}n\leqslant 11$$，则$$\varphi \left( n \right)=2\times 3\times 5\times 7=210$$，  由$$210=22n-32$$，  得$$n=11$$．  若$$5\textless{}6\leqslant 7$$，则$$\varphi \left( n \right)=2\times 3\times 5=30$$，  由$$30=22n-32$$，得正整数$$n$$不存在．  若$$3\textless{}n\leqslant 5$$，则$$\varphi \left( n \right)=2\times 3=6$$，  由$$6=22n-32$$，得正整数$$n$$不存在．  若$$n=3$$，则$$\varphi \left( n \right)=2$$，由$$2=22n-32$$，  得正整数$$n$$不存在．  ∴满足条件的正整数$$n$$只有$$1$$个，$$n=11$$．  解法二：由$$\varphi \left( n \right)=22n-32$$，得$$\varphi \left( n \right)-1024=22\left( n-48 \right)$$．  由于$$\varphi \left( n \right)$$是偶数，但不是$$4$$的倍数，因此，$$n-48$$是奇数．  若$$n-48\geqslant 3$$，则$$n-48$$含有奇数的素数因子$$p$$，  即$$p$$为奇素数，且$$p$$整除$$n-48$$．  由$$n-48\textless{}n$$知，$$p$$整除$$\varphi \left( n \right)$$．由此$$p$$整除$$1024$$矛盾．  故，$$n-48\textless{}3$$，即$$n\leqslant 49$$，且$$n$$为奇数．  ∵$$n\leqslant 49$$时，$$22n-32\leqslant 22\times 49-32=1046$$，  ∴$$\varphi \left( n \right)\leqslant 1046$$．  又$$2\times 3\times 5\times 7=210$$，$$2\times 3\times 5\times 7\times 11=210\times 11\textgreater1046$$．  ∴$$n\leqslant 11$$，即$$n=3，$$5$$，$$7$$，$$9$$，11$$．  将$$n=3，$$5$$，$$7$$，$$9$$，11$$分别代入$$\varphi \left( n \right)=22n-32$$验证，  $$n=3$$时，$$\varphi \left( 3 \right)=2$$，$$22n-32=34$$，不符合要求．  $$n=$$5时，$$\varphi \left( 5 \right)=2\times 3=6$$，$$22n-32=78$$，不符合要求．  $$n=7$$时，$$\varphi \left( 7 \right)=2\times 3\times 5=30$$，$$22n-32=122$$，不符合要求．  $$n=9$$时，$$\varphi \left( 9 \right)=2\times 3\times 5\times 7=210$$，$$22n-32=166$$，不符合要求．  $$n=11$$时，$$\varphi \left( 11 \right)=2\times 3\times 5\times 7=210$$，$$22n-32=210$$，符合要求．  ∴满足条件的正整数$$n$$只有$$1$$个，$$n=11$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2017年华杯赛小学高年级竞赛（深圳营一）第4题10分
Problem: 库里是美国NBA勇士队当家球星, 在过去的$$10$$场比赛中已经得了$$333$$分的高分, 他在第$$11$$场得（  ）分就能使前$$11$$场的平均得分达到$$34$$分． 
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$41$$ 
aoVal: D
content: $$47$$ 
Answer: C
Analysis: 由前$$11$$场的总分减去前$$10$$场的总分即为第$$11$$场的得分：$$34\times 11-333=374-333=41$$分． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第21届全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛B卷
2019年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（八）第5题3分
Problem: $$9+99+999+9999+\cdots +9999999999$$（最后一项有$$10$$位数字）的和的十位数是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 十位数是$$0$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛第39题
Problem: 一次数学小测试只有两道题，结果全班有$$10$$人全对，第一题有$$25$$人做对，第二题有$$18$$人做错，那么两题都做错的有（~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: 第一题做对的$$25$$人中，有$$10$$人全对，则有$$25-10=15$$人是只做对第一题，也是做错第二题的；已知第二题总共有$$18$$人做错，那么多的$$3$$人就是两题都错的．故选$$C$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年河南郑州小升初豫才杯第二场第13题
2017年河南郑州豫才杯竞赛第13题
Problem: 三个大于$$1000$$的正整数满足:其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这$$3$$个数之积的末尾$$3$$位数字有（~ ）种可能数值． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: 满足这样的尾数有（$$0$$，$$0$$，$$0$$），（$$0$$，$$5$$，$$5$$），故末三位可能为$$000$$，$$250$$，$$500$$，$$750$$共$$4$$种． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第5题
Problem: 青蛙从井底向井口跳，井深$$15$$米，青蛙每次向上跳$$6$$米，又会滑下来$$3$$米，这样青蛙需要跳次才可以出井． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 第一次跳时，向上跳$$6$$米，又下滑$$3$$米，此时距离井底$$3$$米，第二次跳完距离井底$$6$$米，第三次跳完距离井底$$9$$米，第四次先向上跳$$6$$米，此时青蛙跳出了井． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2017年河南郑州联合杯竞赛第2题4分
Problem: 侠客岛的人，原来有$$\frac{2}{3}$$是卧底，后来卧底中有$$20  \% $$的人被驱离出岛，而不是卧底的人有$$\frac{1}{5}$$转变成了卧底．如果侠客岛上现在还有$$728$$人，那么现在侠客岛上有~\uline{~~~~~~~~~~}~人是卧底（没有其他人入岛）． 
Options:
aoVal: A
content: $$320$$ 
aoVal: B
content: $$410$$ 
aoVal: C
content: $$504$$ 
aoVal: D
content: $$610$$ 
aoVal: E
content: $$728$$ 
Answer: C
Analysis: 分数应用题，既考查了量率对应的思想，也考查了单位$$1$$变化问题的处理，非常全面．  由于卧底的$$20  \% $$被驱离出岛，相当于原来的$$\frac{2}{3}\times 20  \% =\frac{2}{15}$$被驱离，那么$$728$$人相当于原来人数的$$1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}$$，则原来人数为$$728\div \frac{13}{15}=840$$人，那么现在还剩下的卧底有$$840\times \frac{2}{3}\times \left( 1-20  \% ~\right)+840\times \left( 1-\frac{2}{3} \right)\times \frac{1}{5}=504$$人． 
Knowledge points: 海外竞赛体系->知识点->应用题模块->分百应用题
拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->转化单位1->统一单位1
Source: 2017年全国迎春杯六年级竞赛初赛第3题
Problem: （人教版）下列说法正确的是． 
Options:
aoVal: A
content: 互质的两个数没有公因数 
aoVal: B
content: $$12$$和$$18$$的最小公倍数是$$72$$ 
aoVal: C
content: $$24$$和$$30$$的最大公因数是$$6$$ 
aoVal: D
content: 两个质数的和一定是偶数 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$选项：互质的两个数公因数为$$1$$，$$\text{B}$$选项：$$12$$和$$18$$的最小公倍数是$$36$$，$$\text{D}$$选项：$$2+3=5$$为奇数． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->转化与化归的思想
Source: 2017年第13届湖北武汉新希望杯五年级竞赛决赛第1题
Problem: 游览景区期间，爸爸将车放在停车场，收费标准为：不超过$$1$$小时收费$$3$$元，每多停半小时加收$$1.5$$元．爸爸最终一共交了$$13.5$$元的停车费，他们的车在停车场最多停了（~ ）小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$小时 ~~~ 
aoVal: B
content: $$4.5$$小时~~ 
aoVal: C
content: $$5$$小时 
aoVal: D
content: $$6$$小时 
Answer: B
Analysis: 设最多在停车场停了$$x$$小时，$$3+\left( x-1 \right)\times 2\times 1.5=13.5$$，解得$$x=4.5$$，所以他们的车在停车场最多停$$4.5$$小时． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->经济问题->分段计价问题
Source: 2017年河南郑州豫才杯小学高年级五年级竞赛初赛第15题
Problem: 六支队伍进行单循环赛，每两队都要赛一场．如果赛平，每队各得$$1$$分，否则胜队得$$2$$分，负队得$$0$$分．那么，打完所有比赛后，六支队伍的总得分是分． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$50$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: D
Analysis: 在一场比赛中，如果一胜一负，  则胜得$$2$$分，负得$$0$$分，  总分为$$2+0=2$$（分），  如果赛平，则总分为$$1+1=2$$（分），  即在一场比赛中，无论结果如何，比赛总分是不变的，都是$$2$$分，  $$6$$支队伍进行单循环赛，共有比赛：$$5+4+3+2+1=15$$（场），  所以六支队伍的总得分是：$$15\times 2=30$$（分），  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2020年广东广州羊排赛四年级竞赛第9题4分
Problem: 一个玻璃瓶内原有盐水，盐的重量是水的$$\frac{1}{11}$$，加入$$15$$克盐后，盐的重量占盐水总量的$$\frac{1}{9}$$，瓶内原有盐水（~ ）克． 
Options:
aoVal: A
content: $$480$$ 
aoVal: B
content: $$300$$~ 
aoVal: C
content: $$360$$~ 
aoVal: D
content: $$440$$ 
Answer: D
Analysis: 浓度问题；盐的重量占盐水重量的$$\frac{1}{9}$$，则盐占水的$$\frac{1}{8}$$，  $$15\div \left( \frac{1}{8}-\frac{1}{11} \right)$$  $$=15\div\frac{3}{88}$$  $$=440$$．  故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->浓度基本题型->已知溶液浓度求溶质
Source: 2016年河南郑州联合杯小学高年级六年级竞赛复赛第14题2分
2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟12第8题3分
2014年四川成都小升初七中嘉祥外国语学校第30题
小学高年级六年级上学期其它北师大版53天天练
Problem: 一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为$$8$$千米/小时，平时逆水航行所用时间是顺水航行所用的时间的$$2$$倍．某天恰逢暴雨，水流速度是原来的两倍，这条船往返共用了$$9$$小时．问：甲、乙两地相距千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: B
Analysis: 平时逆水航行所用时间是顺水航行所用时间的$$2$$倍，所以顺水航行速度是逆水航行的$$2$$倍，即$${{V}_{水}}+8=2\times \left( 8-{{V}_{水}} \right)$$，解得：$${{V}_{}}=\frac{8}{3}$$，所以水速为$$\frac{8}{3}$$千米/小时，变为原来的$$2$$倍后变为$$\frac{16}{3}$$千米/小时．设甲、乙两地相距$$S$$千米，则：$$\frac{S}{\frac{16}{3}+8}+\frac{S}{8-\frac{16}{3}}=9$$ 解得：$$S=20$$，所以甲、乙两地相距$$20$$千米． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第8题
Problem: 一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 2点 
aoVal: B
content: 3点 
aoVal: C
content: 4点 
aoVal: D
content: 5点 
Answer: B
Analysis: 整点的分钟数$$60n$$应为9的倍数，即$$n$$最小为3，所以12点后最早为3点时既亮灯又响铃. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第2题
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: （2014 AIMO, Grade 4, Question\#13)  The sum of $$5$$ consecutive odd numbers is $$145$$, which is the largest one among these numbers?  $$5$$个连续奇数的和是$$145$$，求当中最大的数． ． 
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$33$$ 
aoVal: C
content: $$35$$ 
aoVal: D
content: $$37$$ 
Answer: B
Analysis: 因为这$$5$$个奇数是连续的，所以每相邻两个奇数之间相差$$2$$，用$$5$$个连续奇数的和除以$$5$$，可得到最中间的奇数，最大的数与最中间的奇数相差$$4$$，所以用最中间的奇数加上$$4$$即可得到当中最大的奇数，故列式为：$$145\div 5+4=29+4=33$$，即最大的奇数是$$33$$．故答案为：$$33$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2014年全港小学数学挑战赛四年级竞赛初赛A卷第13题5分
Problem: 张、黄、李分别是三位小朋友的姓．根据下面三句话，请你猜一猜，三位小朋友各姓什么?  已知：  $$\left( 1 \right)$$甲不姓张；  $$\left( 2 \right)$$姓黄的不是丙；  $$\left( 3 \right)$$甲和乙正在听姓李的小朋友唱歌． 
Options:
aoVal: A
content: 甲姓张，乙姓黄，丙姓李． 
aoVal: B
content: 甲姓黄，乙姓李，丙姓张． 
aoVal: C
content: 甲姓黄，乙姓张，丙姓李． 
aoVal: D
content: 甲姓李，乙姓张，丙姓黄． 
Answer: C
Analysis: 甲姓黄，乙姓张，丙姓李． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->表格法
Source: 2016年全国学而思杯一年级竞赛样卷第7题
Problem: 在小数$$3.1415926$$的两个数字上方加$$2$$个循环点，得到循环小数，这样的循环小数中，最小的是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$3.\dot{1}41592\dot{6}$$ 
aoVal: B
content: $$3.1\dot{4}1592\dot{6}$$ 
aoVal: C
content: $$3.14\dot{1}592\dot{6}$$ 
aoVal: D
content: $$3.14159\dot{2}\dot{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 要使小数最小，则循环节开始的几位尽量小，因此从$$1$$开始循环，下一位为$$4$$，依次往下，最小的为$$3.\dot{1}41592\dot{6}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->小数数字加工
Source: 其它改编自2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第3题
Problem: 高速智能化办公是当代企业的发展趋势，市面上各种办公软件也是五花八门．甲方要传输一分文件给乙方，若单用$$A$$软件传输，需$$10$$分钟；若单用$$B$$软件传输，需$$8$$分钟；若同时用$$A$$、$$B$$软件传输，$$A$$、$$B$$软件每分钟共少传输$$0.2$$页．已知$$A$$、$$B$$同时传输，$$5$$分钟传完了整份文件，那么这份文件的页数为页． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: B
Analysis: 找到功能做效率的等量关系列出方程，设这份文件总共有$$x$$页，$$\frac{x}{10}+\frac{x}{8}-0.2=\frac{x}{5}$$，解得$$x=8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题
Source: 2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第7题
Problem: 已知$$5$$，$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$4035$$这五个数成等差数列，则$$b=$$．  We know that $$5$$, $$a$$, $$b$$, $$c$$, and $$4035$$ are five numbers in an equal series, then $$b = $$． 
Options:
aoVal: A
content: $$2017$$ 
aoVal: B
content: $$2018$$ 
aoVal: C
content: $$2019$$ 
aoVal: D
content: $$2020$$ 
Answer: D
Analysis: $$5$$，$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$4035$$是等差数列，  则$$5$$，$$b$$，$$4035$$也是等差数列，  则$$b=\left( 4035+5 \right)\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=4040\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=2020$$．  选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->公式记忆->言语化数学原理
Source: 2020年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分
2019年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分
2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第9题3分
Problem: $42$ children line up for the autumn outing. Counting from front to back, $Y$ is the $22$\textsuperscript{nd}. Counting from back to front, $M$ is the $22$\textsuperscript{nd}. How many children are there between $Y$ and $M$?  $$42$$个小朋友排成一队去秋游，从排头往后数，小$$Y$$是第$$22$$个，从排尾往前数，小$$M$$是第$$22$$个，小$$Y$$和小$$M$$中间有个人． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意分析可知，小$$Y$$后面有$$42-22=20$$（人），$$22-20-1=1$$（人）．那么小$$M$$应该在小$$Y$$的正前方，所以小$$Y$$和小$$M$$之间有$$0$$个人．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理->排队问题
Source: 2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第1题3分
Problem: 两个数相乘，如果一个因数增加$$3$$，积就增加$$54$$；如果另一个因数减少$$4$$，积就减少$$96$$，原来两个因数的积是． 
Options:
aoVal: A
content: $$432$$ 
aoVal: B
content: $$434$$ 
aoVal: C
content: $$436$$ 
Answer: A
Analysis: 一个因数为$$54\div 3=18$$，另一个因数为$$96\div 4=24$$，  所以原来两数的积为$$18\times 24=432$$．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数乘除->整数乘法运算->表外乘法计算
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第8题3分
Problem: 用$$8$$、$$9$$、$$10$$、$$15$$中的任意两个数组成互质数，可组成（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$对 
aoVal: B
content: $$2$$对 
aoVal: C
content: $$3$$对 
aoVal: D
content: $$4$$对 
Answer: C
Analysis: 按照互质的定义枚举判断即可． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->抽象概括
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（三）第1题