math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$a=\dfrac{19961995}{1995}$$，$$b=\dfrac{19951996}{1996}$$，$$c=\dfrac{19951996}{1995}$$，$$d=\dfrac{19961995}{1996}$$，则下列不等关系中成立的是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$ 
aoVal: B
content: $$c\textgreater a\textgreater d\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater d\textgreater c\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater c\textgreater d\textgreater b$$ 
Answer: D
Analysis: $$a=10001+\dfrac{10000}{1995}$$，$$b=10001-\dfrac{10000}{1996}$$，$$c=10001+\dfrac{1}{1995}$$，$$d=10001-\dfrac{1}{1996}$$．  所以$$a\textgreater c\textgreater d\textgreater b$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 初二下学期其它
1996年第7届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角的长度是$$13$$，那么它的周长为．
Options:
aoVal: A
content: $$182$$ 
aoVal: B
content: $$180$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: A
Analysis: 设另一条直角边的长度为$$x$$，斜边的长度为$$z$$，则$${{z}^{2}}-{{x}^{2}}={{13}^{2}}$$，  由于$$x$$，$$z$$均为正整数，且$$z\textgreater x$$，  于是由$$\left( z+x \right)\left( z-x \right)=169\times 1$$．  可得$$\begin{cases}z+x=169    z-x=1    \end{cases}$$．  所以三角形的周长为$$169+13=182$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->直角三角形
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 将多项式$${{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-9{{z}^{2}}-12yz$$分解成因式的积，结果是．
Options:
aoVal: A
content: $$(x+2y-3z)(x-2y-3z)$$ 
aoVal: B
content: $$(x-2y-3z)(x-2y+3z)$$ 
aoVal: C
content: $$(x+2y+3z)(x+2y-3z)$$ 
aoVal: D
content: $$(x+2y+3z)(x-2y-3z)$$ 
Answer: D
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-9{{z}^{2}}-12yz$$  $$={{x}^{2}}-(4{{y}^{2}}+12yz+9{{z}^{2}})$$  $$={{x}^{2}}-{{(2y+3z)}^{2}}$$  $$=[x+(2y+3z)][x-(2y+3z)]$$  $$=(x+2y+3z)(x-2y-3z)$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第1题
Problem: 两个正数$$m$$，$$n$$的比是$$t\left( t~ \textgreater~ 1 \right)$$．若$$m+n=s$$，则$$m$$，$$n$$中较小的数可以表示为．
Options:
aoVal: A
content: $$ts$$ 
aoVal: B
content: $$s-ts$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ts}{1+s}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{s}{1+t}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$m=3$$，$$n=1$$，则$$t=3$$，$$s=4$$，只有$$\frac{s}{1+t}=\frac{4}{1+3}=1=n$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 若$$n$$是奇自然数，$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，\ldots，$${{a}_{n}}$$是$$n$$个互不相同的负整数，则．
Options:
aoVal: A
content: $$({{a}_{1}}+1)({{a}_{2}}+2)\cdots ({{a}_{n}}+n)$$是正整数 
aoVal: B
content: $$({{a}_{1}}-1)({{a}_{2}}-2)\cdots ({{a}_{n}}-n)$$是正整数 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+1 \right)\left( \frac{1}{{{a}_{2}}}+2 \right)\cdots \left( \frac{1}{{{a}_{n}}}+n \right)$$是正数 
aoVal: D
content: $$\left( 1-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\left( 2-\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)\cdots \left( n-\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)$$是正数 
Answer: D
Analysis: $${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，\ldots，$${{a}_{n}}$$是$$n$$个互不相同的负整数，其中$$n$$是奇自然数．  若$${{a}_{1}}=-1$$，$$({{a}_{1}}+1)=0$$，则$$({{a}_{1}}+1)({{a}_{2}}+2)\cdots ({{a}_{n}}+n)=0$$，排除$$\text{A}$$．  若$${{a}_{1}}=-1$$，$${{a}_{2}}=-2$$，$${{a}_{3}}=-3$$，\ldots，$${{a}_{n}}=-n$$时，  $$({{a}_{1}}-1)({{a}_{2}}-2)\cdots ({{a}_{n}}-n)=(-2)(-4)(-6)\cdots (-2n)$$$$={{(-1)}^{n}}2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n) ~\textless{} ~0$$（因为$$n$$是奇数）．故排除$$\text{B}$$．  若$${{a}_{1}}=-1$$时，$$\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+1 \right)=0$$，  故$$\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+1 \right)\left( \frac{1}{{{a}_{2}}}+2 \right)\cdots \left( \frac{1}{{{a}_{n}}}+n \right)=0$$，  排除$$\text{C}$$．所以应选$$\text{D}$$．  事实上，若$${{a}_{1}} ~\textless{} ~0$$，$${{a}_{2}} ~\textless{} ~0$$，\ldots，$${{a}_{n}} ~\textless{} ~0$$，则$$-\frac{1}{{{a}_{1}}}\textgreater0$$，$$-\frac{1}{{{a}_{2}}}\textgreater0$$，\ldots，$$-\frac{1}{{{a}_{n}}}\textgreater0$$．  所以$$1-\frac{1}{{{a}_{1}}}\textgreater0$$，$$2-\frac{1}{{{a}_{2}}}\textgreater0$$，\ldots，$$n-\frac{1}{{{a}_{n}}}\textgreater0$$．  所以$$\left( 1-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\left( 2-\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)\cdots \left( n-\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)\textgreater0$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律
Source: 2018~2019学年9月湖南长沙雨花区中雅培粹学校初一上学期月考第12题3分
1999年第10届希望杯初一竞赛第10题
Problem: 某项球类规则达标测验，规定满分$$100$$分，$$60$$分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是$$25$$道选择题，每题答对记$$4$$分，答错或不答记$$0$$分，并规定正式考试中要有$$80$$分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得．
Options:
aoVal: A
content: $$80$$分 
aoVal: B
content: $$76$$分 
aoVal: C
content: $$75$$分 
aoVal: D
content: $$64$$分 
Answer: A
Analysis: 设在模拟考试中至少要得$$x$$分，则在模拟考试中至少做对$$\frac{x}{4}$$道题，  做错或不会做的题至多是$$25-\frac{x}{4}$$道题．  在正式考试中要出现模拟考试中$$80$$分的试题，即$$\frac{80}{4}=20$$道题．  如果最坏的可能，即其余$$20$$分题（$$5$$道新题）某人全不会做，  而且模拟考试中$$25-\frac{x}{4}$$道失分的题又全出现在正式考试试题之中，  并且该生在模拟考试后也没能复习纠错，仍按错误答案在正规考试中失分，  这时该生只能从$$\frac{80}{4}-(25-\frac{x}{4})$$道题中取得及格分，  即$$\left[ \frac{80}{4}-(25-\frac{x}{4}) \right]\times 4\geqslant 60$$，解得$$x\geqslant 80$$．  即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得$$80$$分．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题
Source: 2017~2018学年福建泉州丰泽区泉州实验中学（圣湖校区）初一下学期期中第8题4分
1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第10题
2015~2016学年北京海淀区清华大学附属中学初一下学期期中第10题3分
Problem: 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知$$k$$为整数，若函数$$y=2x-1$$与$$y=kx+k$$的图象的交点是整点，则$$k$$的值有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$4$$个 
aoVal: D
content: $$5$$个 
Answer: C
Analysis: 解方程组$$\left { \begin{matrix}y=2x-1    y=kx+k   \end{matrix} \right.$$，  得$$x=\frac{-1-k}{k-2}=-1-\frac{3}{k-2}$$．  因为交点的横坐标$$x$$的值为整数（此时交点的纵坐标$$y$$也一定为整数），  则$$k-2$$应该是$$3$$的约数，  即$$k-2$$的值可以是$$1$$，$$-1$$，$$3$$，$$-3$$，  所以$$k$$的值可以是$$3$$，$$1$$，$$5$$，$$-1$$，共有$$4$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分
Problem: 若$$k$$为整数，则使得方程$$(k-1999)x=2001-2000x$$的解也是整数的$$k$$值有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{2001}{k+1}$$为整数，又因为$$2001=1\times 3\times 23\times 29$$，$$k+1$$可取$$\pm 1$$、$$\pm 3$$、$$\pm 23$$、$$\pm 29$$、$$\pm (3\times 23)$$、$$\pm (3\times 29)$$、$$\pm (23\times 29)$$、$$\pm 2001$$共$$16$$个值，对应的$$k$$值也有$$16$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第10题
初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题
Problem: 如图，$$\triangle ABC$$的面积是$$60$$，$$AD:DC=1:3$$，$$BE:ED=4:1$$，$$EF:FC=4:5$$，则$$\triangle BEF$$的面积是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$AD:DC=1:3$$，且$${{S}_{\triangle ABC}}=60$$，  所以$${{S}_{\triangle BCD}}=\frac{3}{4}{{S}_{\triangle ABC}}=45$$．  因为$$BE:ED=4:1$$，  所以$${{S}_{\triangle BCE}}=\frac{4}{5}{{S}_{\triangle BCD}}=\frac{4}{5}\times 45=36$$．  因为$$EF:FC=4:5$$，  所以$${{S}_{\triangle BEF}}=\frac{4}{9}{{S}_{\triangle BCE}}=\frac{4}{9}\times 36=16$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断三角形的高，中线和角平分线
课内体系->知识点->几何图形初步->直线、射线、线段->直线、射线、线段的运算->线段中点与等分点
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分
Problem: $$8$$个人用$$35$$天完成了某项工程的$$\frac{1}{3}$$．此时，又增加$$6$$个人，那么要完成剩余的工程，还需要的天数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$35$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: C
Analysis: 总工程量的$$\frac{1}{3}$$为$$8\times 35=280$$（人$$\cdot $$天），  还有$$\frac{2}{3}$$，即$$2\times 280=560$$（人$$\cdot $$天），  要完成剩余的工程，还需要$$\frac{560}{8+6}=40$$（天）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分
Problem: 在数轴上，坐标是整数的点称为``整点''．设数轴的单位长度是$$1$$厘米，在这个数轴上随意画出一条长为$$2008$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点至少有．
Options:
aoVal: A
content: $$2006$$个 
aoVal: B
content: $$2007$$个 
aoVal: C
content: $$2008$$个 
aoVal: D
content: $$2009$$个 
Answer: C
Analysis: 当画的线段的两个端点都在整点上时，线段$$AB$$盖住$$2009$$个整点；当画的线段的两个端点都不在整点上时，线段$$AB$$盖住$$2008$$个整点；所以长为$$2008$$厘米的线段$$AB$$，至少可盖住数轴上$$2008$$个整点．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上整点覆盖问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第3题4分
Problem: 设$$n$$是小于$$100$$的正整数且使$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，则符合条件的所有正整数$$n$$的和是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$285$$ 
aoVal: B
content: $$350$$ 
aoVal: C
content: $$540$$ 
aoVal: D
content: $$635$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，  ∴$$5\textbar(5{{n}^{2}}+3n-5)$$，  ∴$$5\textbar3n$$，  ∴$$5\textbar n$$．  设$$n=5m$$（$$m$$是正整数），  则$$5{{n}^{2}}+3n-5=125{{m}^{2}}+15m-5=120{{m}^{2}}+15m+5({{m}^{2}}-1)$$．  又∵$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，  ∴$${{m}^{2}}-1$$是$$3$$的倍数，  ∴$$m=3k+1$$或$$m=3k+2$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴$$n=5(3k+1)=15k+5$$或$$n=5(3k+2)=15k+10$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴符合条件的所有正整数$$n$$的和为  $$(5+20+35+50+65+80+95)+(10+25+40+55+70+85)=635$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第6题7分
Problem: 若$$n$$个人完成一项工程需要$$m$$天，则$$(m+n)$$个人完成这项工程需要（~ ）天．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{mn}{m+n}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{m-n}{m+n}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{m+n}{mn}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{mn}{m+2n}$$ 
Answer: A
Analysis: $$n$$个人完成一项工程需要$$m$$天，  则$$1$$个人完成这项工程需要$$mn$$天，  ∴$$(m+n)$$个人完成这项工程需要$$\frac{mn}{m+n}$$天． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分
Problem: 若$$a\textless{}0$$，则下列结论中不成立的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}^{2}}={{(-a)}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}^{3}}={{(-a)}^{3}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}^{2}}=\left\textbar{} {{a}^{2}} \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{3}}=-\left\textbar{} {{a}^{3}} \right\textbar$$ 
Answer: B
Analysis: 以特殊值$$a=-2$$代入检验，易知$${{(-2)}^{2}}={{(-(-2))}^{2}}$$，$${{(-2)}^{3}}\ne {{(-(-2))}^{3}}$$，$${{(-2)}^{2}}=\left\textbar{} {{(-2)}^{2}} \right\textbar$$，$${{(-2)}^{3}}=-\left\textbar{} {{(-2)}^{3}} \right\textbar$$，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 多项式$${{x}^{12}}-{{x}^{6}}+1$$除以$${{x}^{2}}-1$$的余式是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$x-1$$ 
aoVal: D
content: $$x+1$$ 
Answer: A
Analysis: 直接利用整式除法比较繁琐，将原式变形得  $${{x}^{12}}-{{x}^{6}}+1={{x}^{6}}({{x}^{6}}-1)+1$$，  $$={{x}^{6}}({{x}^{2}}-1)({{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)+1$$．  所以余式为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->综合除法和余数定理 
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->大除法
Source: 1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 反比例函数$$y=\frac{6}{x}$$的图象上有三个点$$({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，$$\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$$，其中$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}\textless{}0\textless{}{{x}_{3}}$$，则$${{y}_{1}}$$、$${{y}_{2}}$$、$${{y}_{3}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $${{y}_{1}}\textless{}{{y}_{2}}\textless{}{{y}_{3}}$$ 
aoVal: B
content: $${{y}_{2}}\textless{}{{y}_{1}}\textless{}{{y}_{3}}$$ 
aoVal: C
content: $${{y}_{3}}\textless{}{{y}_{1}}\textless{}{{y}_{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{y}_{3}}\textless{}{{y}_{2}}\textless{}{{y}_{1}}$$ 
Answer: B
Analysis: ∵反比例函数$$y=\frac{6}{x}$$中，$$k=6\textgreater0$$，  ∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限，  ∵$${{x}_{3}}\textgreater0$$，  ∴点$$\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$$在第一象限，$${{y}_{3}}\textgreater0$$，  ∵$${{x}_{1}} ~\textless{} ~{{x}_{2}} ~\textless{} ~0$$，  ∴点$$\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$，$$\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$$在第三象限，$$y$$随$$x$$的增大而减小，故$${}{{y}_{2}} ~\textless{} {} {{y}_{1}}\textless0$$，于是$${{y}_{2}} ~\textless{} ~{{y}_{1}} ~\textless{} ~{{y}_{3}}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数图象与性质->反比例函数增减性
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分
2016~2017学年安徽安庆潜山市潜山第四中学初三上学期期末模拟第2题4分
2018~2019学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初三上学期开学考试第4题3分
2015~2016学年江苏苏州相城区初二下学期期中第7题3分
2018年陕西西安碑林区西安市第六中学初三中考一模第6题3分
2016~2017学年12月北京海淀区北方交通大学附属中学分校初三上学期月考第6题3分
2017~2018学年10月山东济南历下区济南燕山学校初三上学期月考第10题3分
2016~2017学年安徽合肥肥西县肥西县烧脉中学初三上学期期中第4题4分
Problem: 若数$$a$$使关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$有且只有四个整数解，且使关于$$y$$的方程$$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$的解为非负数，则符合条件的所有整数$$a$$的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: $$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$，  不等式组整理得：$$\begin{cases}x\textless{}5    x\geqslant \dfrac{a+2}{4} \end{cases}$$，  由不等式组有且只有四个整数解，得到$$0\textless{}\frac{a+2}{4}\leqslant 1$$，  解得：$$-2\textless{}a\leqslant 2$$，即整数$$a=-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，  $$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$，  分式方程去分母得：$$y+a-2a=2(y-1)$$，  解得：$$y=2-a$$，  由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到$$a$$为$$-1$$，$$0$$，$$2$$，之和为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程与不等式综合
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018年重庆中考真题A卷第12题4分
2018年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校初三自主招生第3题4分
2019~2020学年重庆合川区西南大学银翔实验中学初一下学期期末模拟（一）第12题4分
2018~2019学年广东深圳南山区桃苑学校初二下学期期末第11题3分
2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第7题3分
2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三下学期单元测试《方程与不等式》第10题3分
Problem: 设等式$$\sqrt{a\left( x-a \right)}+\sqrt{a\left( y-a \right)}=\sqrt{x-a}-\sqrt{a-y}$$在实数范围内成立，其中$$a$$，$$x$$，$$y$$是两两不同的实数，则$$\frac{3{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: ~$$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 据算术根性质，由右端知$$y\leqslant a\leqslant x$$，  又由左端知$$a\geqslant 0$$且$$a\leqslant 0$$，故$$a=0$$．  由此得$$x=-y$$，代入所求式算值为$$\frac{1}{3}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的双重非负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017~2018学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初二下学期期末第7题3分
1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第1题
Problem: 当$$a=-0.01$$时，在$$-{{\left( -a \right)}^{2}}$$，$$-\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$-{{a}^{2}}$$，$$-\left( -{{a}^{2}} \right)$$中，其值为正数的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-{{\left( -a \right)}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$-\left\textbar{} -a \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$-{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$-\left( -{{a}^{2}} \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$a\textless{}0$$时，$${{\left( -a \right)}^{2}}\textgreater0$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar\textgreater0$$，$${{a}^{2}}\textgreater0$$，  所以$$-{{\left( -a \right)}^{2}}\textless{}0$$，$$-\left\textbar{} -a \right\textbar\textless{}0$$，$$-{{a}^{2}}\textless{}0$$，因此排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$，选$$\text{D}$$．  事实上，$$a\textless{}0$$时，$${{a}^{2}}\textgreater0$$，$$-\left( -{{a}^{2}} \right)\textgreater0$$．当然$$a=-0.01$$时更是如此． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
Problem: 在平面直角坐标系中，点$$P(m-3,4-2m)$$不可能在．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: A
Analysis: ①$$m-3\textgreater0$$，即$$m\textgreater3$$时，  $$-2m\textless{}-6$$，$$4-2m\textless{}-2$$，  所以，点$$P(m-3,4-2m)$$在第四象限，不可能在第一象限．  ②$$m-3\textless{}0$$，即$$m\textless{}3$$时，  $$-2m\textgreater-6$$，$$4-2m\textgreater-2$$，  点$$P(m-3,4-2m)$$可能在第二或三象限，  综上所述，点$$P$$不可能在第一象限． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2017~2018学年浙江金华金东区初二上学期期末第10题3分
2017~2018学年9月安徽安庆潜山市潜山第四中学初二上学期月考第6题4分
2017~2018学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第9题4分
2017~2018学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学初二上学期月考第7题3分
2018~2019学年辽宁大连甘井子区初一下学期期末第10题3分
2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第1题4分
2018~2019学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第4题4分
2017年广西贵港中考真题第6题3分
2020~2021学年4月浙江杭州上城区杭州市建兰中学初三下学期周测A卷第1题4分
2018~2019学年湖北武汉武昌区初一下学期期中（十五校联考）第8题3分
Problem: 已知：$$x=\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)$$（$$n$$是自然数）．那么$${{\left( x-\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: B
content: $$-{{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: C
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$ 
aoVal: D
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$1+{{x}^{2}}=1+\frac{1}{4}\left( {{1991}^{\frac{2}{n}}}-2+{{1991}^{-\frac{2}{n}}} \right)=\frac{1}{4}{{\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)}^{2}}$$，  原式$$={{\left[ \frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)-\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right) \right]}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题
Problem: 下列五个多项式：  ①$${{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-1$$；  ②$${{x}^{3}}-9a{{x}^{2}}+27{{a}^{2}}x-27{{a}^{3}}$$；  ③$$x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b$$；  ④$$3m(m-n)+6n(n-m)$$；  ⑤$${{(x-2)}^{2}}+4x$$．  其中在有理数范围内可以进行因式分解的有．
Options:
aoVal: A
content: ①，②，③ 
aoVal: B
content: ②，③，④ 
aoVal: C
content: ③，④，⑤ 
aoVal: D
content: ①，②，④ 
Answer: B
Analysis: ②式$$={{(x-3a)}^{3}}$$，  ③式$$=x(b+c-d)+y(b+c-d)-2(b+c-d)$$  $$=(b+c-d)(x+y-2)$$，  ④式$$=(m-n)(3m-6n)=3(m-n)(m-2n)$$．  所以，②、③、④式合乎要求．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->提公因式+平方差
课内体系->知识点->式->因式分解->提公因式法
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 有面值为$$10$$元、$$20$$元，$$50$$元的人民币（每种至少一张）共$$24$$张，合计$$1000$$元，那么其中面值为$$20$$元的人民币的张数为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$或$$4$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$4$$或$$8$$ 
aoVal: D
content: $$2$$到$$46$$之间的任意偶数 
Answer: B
Analysis: 设$$10$$元、$$20$$元、$$50$$元分别有$$x$$，$$y$$，$$24-\left( x+y \right)$$张，  则$$10x+20y+50\left( 24-x-y \right)=1000$$，  即$$40x+30y=200$$，$$4x+3y=20$$，  其中$$x$$，$$y$$都是正整数，由$$x\geqslant 1$$知$$3y\leqslant 16$$，  所以$$1\leqslant y\leqslant \frac{16}{3}$$，  所以，$$y$$只能从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$中取，  又$$3y=4\left( 5-x \right)$$，其中$$5-x$$是正整数，$$3$$与$$4$$是互质的，  所以，$$y$$中一定有一个因数$$4$$，  因此$$y$$只能取$$4$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第6题
Problem: 若$$a=\frac{999}{2011}$$，$$b=\frac{1000}{2012}$$，$$c=\frac{1001}{2013}$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$\textasciitilde b\textless{}c\textless{}a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}b\textless{}a$$ 
aoVal: D
content: $$a\textless{}c\textless{}b$$ 
Answer: A
Analysis: 解法一：  $$a=\frac{999}{2011}=1-\frac{1002}{2011}$$，  $$b=\frac{1000}{2012}=1-\frac{1002}{2012}$$，  $$c=\frac{1001}{2013}=1-\frac{1002}{2013}$$．  ∵$$2011\textless{}2013\textless{}2013$$，  ∴$$\frac{1002}{2011}\textgreater\frac{1002}{2012}\textgreater\frac{1002}{2013}$$，  ∴$$1-\frac{1002}{2011}\textless{}1-\frac{1002}{2012}\textless{}1-\frac{1002}{2013}$$，  ∴$$a\textless{}b\textless{}c$$．  解法二：  观察已知三个分数的特征，可设他们分别为$$\frac{y}{x}$$，$$\frac{y+1}{x+1}$$，$$\frac{y+2}{x+2}$$（$$x\textgreater y\textgreater0$$），  则$$\frac{y}{x}-\frac{y+1}{x+1}=\frac{y(x+1)-x(y+1)}{x(x+1)}=\frac{y-x}{x(x+1)}$$，  ∵$$x\textgreater y\textgreater0$$，  ∴$$y-x\textless{}0$$，  ∴$$\frac{y-x}{x(x+1)}\textless{}0$$，  ∴$$\frac{y}{x}\textless{}\frac{y+1}{x+1}$$．  同理$$\frac{y+1}{x+1}\textless{}\frac{y+2}{x+2}$$，  ∴$$\frac{y}{x}\textless{}\frac{y+1}{x+1}\textless{}\frac{y+2}{x+2}$$，  ∴$$a\textless{}b\textless{}c$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 初一上学期单元测试《走进美妙的数学世界》第7题
2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分
Problem: 已知$$x$$为整数，且$$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{{{x}^{2}}-9}$$为整数，则符合条件的$$x$$的所有值的和为(  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 原式$$=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$$  $$\therefore x-3=1$$，$$-1$$，$$-2$$，$$2$$时，原式的值为整数  此时$${{x}_{1}}=4$$，$${{x}_{2}}=2$$，$${{x}_{3}}=1$$，$${{x}_{4}}=5$$  $$\therefore {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=12$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式通分
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第8题4分
Problem: $$n$$为正整数，$$302$$被$$n\left( n+1 \right)$$除所得商数$$q$$及余数$$r$$都是正值，则$$r$$的最大值与最小值的和是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$148$$ 
aoVal: B
content: $$247$$ 
aoVal: C
content: $$93$$ 
aoVal: D
content: $$122$$ 
Answer: A
Analysis: $$n\left( n+1 \right)$$为偶数．  设$$302$$被$$n\left( n+1 \right)$$除商$$q$$余$$r$$，则$$302=n\left( n+1 \right)q+r$$知，$$r$$为偶数．显然$$\text{B}$$、$$\text{C}$$均应排除．  由除数$$n\left( n+1 \right)$$只能取$$6$$，$$12$$，$$20$$，$$30$$，$$42$$，$$56$$，$$72$$，$$90$$，$$110$$，$$132$$，$$156$$，$$182$$，$$210$$，$$240$$，$$272$$这些值，计算得相应的余数中最小的正值为$$2$$，最大正值为$$146$$，  所以$$r$$的正的最小值与最大值的和是$$148$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第7题
Problem: 设$$a\textless{}0$$，在$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2009}}$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)$$中负数的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->数->有理数->正数和负数->正数和负数的定义
知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：区分正负数
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 在下列图形中，恰有三条对称轴的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 平行四边形 
aoVal: B
content: 圆 
aoVal: C
content: 等边三角形 
aoVal: D
content: 正方形 
Answer: C
Analysis: 平行四边形不一定是轴对称图形；  圆有无数条对称轴；  等边三角形恰好有三条对称轴；  正方形有四条对称轴．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何变换->轴对称->轴对称基础->对称轴条数问题
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分
Problem: 有理数$$\frac{1}{2}$$，$$\frac{11}{5}$$，$$8$$恰是下列三个方程的根：$$\frac{2x-1}{3}-\frac{10x+1}{12}=\frac{2x+1}{4}-1$$，$$3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)$$，$$\frac{1}{2}\left[ z-\frac{1}{2}(z-1) \right]=\frac{2}{3}(z-1)$$，则$$\frac{x}{y}-\frac{z}{x}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{171}{40}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{347}{80}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{71}{220}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{142}{55}$$ 
Answer: B
Analysis: 以$$\frac{1}{2}$$，$$\frac{11}{5}$$，$$8$$分别代入所给三个方程知：  $$x=\frac{1}{2}$$是方程$$\frac{2x-1}{3}-\frac{10x+1}{12}=\frac{2x+1}{4}-1$$的根，  $$y=8$$是方程$$3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)$$的根，  $$z=\frac{11}{5}$$是方程$$\frac{1}{2}\left[ z-\frac{1}{2}(z-1) \right]=\frac{2}{3}(z-1)$$的根，  ∴$$\frac{x}{y}-\frac{z}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{8}-\frac{\frac{11}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}-\frac{22}{5}=-\frac{347}{80}$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->能力->运算能力
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第13题
Problem: 若当$$x=1$$时，代数式$$a{{x}^{3}}+bx+1$$的值是$$5$$，则当$$x=-1$$时，$$a{{x}^{3}}+bx+1$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$ 
aoVal: C
content: $$-4$$ 
aoVal: D
content: $$-5$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$x=1$$时，代数式$$a{{x}^{3}}+bx+1$$的值是$$5$$，  所以$$a+b+1=5$$，即$$a+b=4$$．  当当$$x=-1$$时，$$a{{x}^{3}}+bx+1=-(a+b)+1=-4+1=-3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分
2015~2016学年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期期中
Problem: 当$$x=\frac{1}{2}$$，$$y=-2$$时，代数式$$\frac{4x-2y}{xy}$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-6$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{4x-2y}{xy}=\frac{4\times \frac{1}{2}-2\times (-2)}{\frac{1}{2}\times (-2)}=\frac{2+4}{-1}=-6$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第12题
Problem: 对于任意实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，定义运算``$$*$$''为：$$x*y=\frac{3{{x}^{3}}y+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}+x{{y}^{3}}+45}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}+{{\left( y+1 \right)}^{3}}-60}$$，且$$x*y*z=\left( x*y \right)*z$$，则$$2013*2012*\cdots *3*2$$的值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{607}{967}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1821}{967}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5463}{967}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{16389}{967}$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$2013*2012*\cdots *4=m$$，  则$$\left( 2013*2012*\cdots *4 \right)*3=m*3$$，  $$=\frac{3{{m}^{3}}\times 3+3{{m}^{2}}\times 9+m\times 27+45}{{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+3m+1+64-60}=9$$，  于是$$\left( 2013*2012*\cdots *3 \right)*2=9*2$$，  $$=\frac{3\times {{9}^{3}}\times 2+3\times {{9}^{2}}\times {{2}^{2}}+9\times {{2}^{3}}+45}{{{10}^{3}}+{{3}^{3}}-60}$$，  $$=\frac{5463}{967}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年竞赛第5题4分