math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 将$$30$$个三角排成一列﹐然后依照下面的规律涂上黑色或白色，请问涂上黑色的三角形总共比涂上白色的三角形多几个？  $$▲▲$$$$\triangle $$$$▲▲$$$$\triangle $$$$▲▲$$$$\triangle $$$$\cdots \cdots $$ 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
aoVal: E
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 由图可知，从第一个三角形开始，以每三个三角形为一个周期，每个周期内有$$2$$个黑色三角形与$$1$$个白色三角形，黑色三角形比白色三角形多$$1$$个．$$30$$个三角形共有$$10$$个周期，所以黑色三角形总共比白色三角形多$$10$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->图形认知
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第二轮）第1题4分
Problem: 在一座岛上，其岛民不是君子就是骗子．君子所言，句句属实，而骗子则句句假话．一个水手登陆这座岛后，遇到了岛民$$\underline{A}$$，$$\underline{B}$$与$$\underline{C}$$．水手问岛民$$\underline{A}$$，道：``您是个君子还是个骗子呢？''$$\underline{A}$$回答了，可是水手却听不清楚．他接着问岛民$$\underline{B}$$，道：``$$\underline{A}$$说了什么？''$$\underline{B}$$答道：``$$\underline{A}$$说他是个骗子．''就在这时，$$\underline{C}$$喊道：``$$\underline{B}$$骗人！''  $$\text{I}$$：无法知道$$\underline{A}$$究竟是个君子还是个骗子．  $$\text{II}$$：$$\underline{B}$$是个君子，$$\underline{C}$$是个骗子．  $$\text{III}$$：$$\underline{B}$$是个骗子，$$\underline{C}$$是个君子． 
Options:
aoVal: A
content: 只有$$\text{I}$$是正确的． 
aoVal: B
content: 只有$$\text{II}$$是正确的． 
aoVal: C
content: 只有$$\text{III}$$是正确的． 
aoVal: D
content: $$\text{I}$$与$$\text{II}$$是正确的． 
aoVal: E
content: $$\text{I}$$与$$\text{III}$$是正确的． 
Answer: E
Analysis: ①若$$A$$是君子，他会回答：我是君子，  而$$B$$说：``$$A$$说是骗子''，$$B$$说了假话，因此$$B$$是骗子，  $${C}$$正确指出$$B$$是骗子，因此$$C$$是君子．  ②若$$A$$是骗子，他会回答：我是君子，  而$$B$$复述$$A$$话说$$A$$是骗子，显然未正确真实复述，$$B$$是骗子，  $${C}$$指出$$B$$说了假话，$$C$$是君子．  因此，无从得知$$A$$的身份，但$$B$$是骗子，$$C$$是君子可知． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2008年亚太杯竞赛初赛第25题6分
Problem: 进步先生在不断提高他的考试成绩．他前两次考试的平均分是$$86$$，前三次考试的平均分是$$87$$，前四次考试的平均分是$$88$$，他第四次考了多少分？ 
Options:
aoVal: A
content: $$88$$ 
aoVal: B
content: $$89$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$91$$ 
Answer: D
Analysis: $$88\times 4-87\times 3=91$$（分）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->容斥求平均数
Source: 2015年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛（中国赛区）第38题5分
2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛
Problem: 下列算式中，结果小于$$1$$的算式是． 
Options:
aoVal: A
content: $$0.99\div 0.1$$ 
aoVal: B
content: $$1\div 0.99$$ 
aoVal: C
content: $$0.99\div 0.99$$ 
aoVal: D
content: $$0.99\times 0.99$$ 
Answer: D
Analysis: $$0.99\times 0.99=0.9801$$，结果小于$$1$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->小数->小数乘除->小数乘法运算
Source: 2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市行知小学五年级上学期期中期中竞赛第13题1分
Problem: 水结成冰时它的体积增加了原来的$$\frac{1}{11}$$，冰化成水后它的体积减少了冰块的~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{11}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{9}$$ 
Answer: C
Analysis: 水结成冰时它的体积增加了原来的$$\frac{1}{11}$$，可得出水为$$11$$份，结冰后冰为$$12$$份 
Knowledge points: 知识标签->课内题型->综合与实践->应用题->分数百分数应用题->需要变换单位一的问题
Source: 2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第16题3分
Problem: $$56$$的因数共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: $$8$$个 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数
Source: 2018年湖北武汉新希望杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第2题
Problem: 如果形如$$\overline{3\square \square 4}$$的四位数能被$$9$$整除，那么这样的四位数有（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$个 
aoVal: B
content: $$10$$个 
aoVal: C
content: $$11$$个 
aoVal: D
content: $$12$$个 
Answer: C
Analysis: $$9\textbar\overline{3AB4}$$，则$$3+A+B+4=7+A+B$$满足是$$9$$的倍数即可．  （1）$$A+B=2$$ （2）$$A+B=11$$  $$1+1=0+2=2+0$$ $$2+9=3+8=4+7=5+6$$  一共$$3+4\times 2=11$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除特征综合
Source: 2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第5题4分
小学中年级四年级上学期其它
Problem: 有四个人说话，分别如下：  $$A$$：我们中至少有一个人说的是正确的．  $$B$$：我们中至少有两个人说的是正确的．  $$C$$：我们中至少有一个人说的是错误的．  $$D$$：我们中至少有两个人说的是错误的．  请问：说错话的是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$A$$ 
aoVal: B
content: $$B$$ 
aoVal: C
content: $$C$$ 
aoVal: D
content: $$D$$ 
Answer: D
Analysis: 方法一：若没人说对，则$$CD$$说对，矛盾；若$$1$$人说对，则$$ACD$$说对，矛盾；若$$2$$人说对，则$$ABCD$$说对，矛盾；若$$3$$人说对，则$$ABC$$说对，$$D$$错，成立；若$$4$$人说对，则$$AB$$说对，$$CD$$说错，矛盾，因此只能是$$ABC$$说对，$$D$$说错．  方法二：因为四个人，所以至少有两人说错或两人说对，因此$$AB$$一定是正确的，剩下的就容易知道$$D$$是错的． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2011年北京学而思综合能力诊断小学高年级六年级竞赛第7题
Problem: 一个数串$$219\cdots$$，从第$$4$$个数字开始，每个数字都是它前面$$3$$个数字和的个位数．下面有$$4$$个四位数：$$1113$$，$$2226$$，$$2125$$，$$2215$$，其中共有个不出现在该数字串中． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 按照题目规则，写出数串$$21922372215847906512811\cdots$$发现数字的奇偶性为``偶奇奇偶偶奇奇偶偶奇奇偶偶$$\cdots \cdots$$''不可能出现三个偶数相连、三个奇数相连或``奇偶奇偶''间隔的情况，可排除$$1113$$，$$2226$$，$$2125$$．且$$2215$$在数串中出现，则选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数
Source: 2017年第22届全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第6题10分
Problem: 计算：$$2.3\div 0.08\div 1.25=$$（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$230$$ 
aoVal: B
content: $$23$$ 
aoVal: C
content: $$2.3$$ 
aoVal: D
content: $$0.23$$ 
Answer: B
Analysis: $$2.3\div 0.08\div 1.25=2.3\div (0.08\times 1.25)=2.3\div 0.1=23$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解->程序性计算
Source: 2015年第13届全国创新杯五年级竞赛初赛第1题
Problem: \textbf{2013年美国数学大联盟小学高年级竞赛初赛}  In a garage, the ratio of red cars to black is $$8:5$$, and the ratio of black cars to white car is $$3:4$$． There cannot be fewer thancars in the garage．  在一个车库，红色汽车与黑色汽车的比例是$$8:5$$，黑色汽车与白色汽车比例是$$3:4$$．有不少于辆的汽车在车库里． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$59$$ 
aoVal: C
content: $$74$$ 
aoVal: D
content: $$91$$ 
Answer: B
Analysis: 黑车至少$$15$$辆，红车至少$$24$$辆，白车至少$$20$$辆，共计$$59$$辆 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->复杂的比例问题
Source: 2012年全国美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第25题
2013年美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第25题5分
Problem: 甲从$$A$$地，乙从$$B$$地同时以匀速相向而行，第一次相遇离$$A$$地$$8$$千米，到达对方起点后立即返回，在离$$B$$地$$4$$千米处第二次相遇，则$$A$$、$$B$$两地相距千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: D
Analysis: $8\times3-4$=20（千米）． 
Knowledge points: 课内体系->思想->对应思想
拓展思维->知识点->行程模块->直线型行程问题->多次相遇和追及->往返相遇
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第1题
Problem: 一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了$$\frac{1}{34}$$；那么，这个铁块又融化成铁水（不计损耗），其体积． 
Options:
aoVal: A
content: 增加了$$\frac{1}{33}$$ 
aoVal: B
content: 增加了$$\frac{1}{34}$$ 
aoVal: C
content: 减少了$$\frac{1}{33}$$ 
aoVal: D
content: 减少了$$\frac{1}{34}$$ 
Answer: A
Analysis: 铁块的体积是铁水的：$$1-\frac{1}{34}=\frac{33}{34}$$，  铁块融化成铁水体积增加：$$\left( 1-\frac{33}{34} \right)\div \frac{33}{34}=\frac{1}{33}$$．  答：这个铁块又融化成铁水（不计损耗），其体积增加了$$\frac{1}{33}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年北京迎春杯六年级竞赛模拟决赛第4题8分
Problem: 在一个带余数的除法算式$$A\div 6=8\cdots B$$中，$$A$$、$$B$$都是整数，$$A$$不是$$6$$的倍数，那么$$A$$的最大值和最小值的和等于． 
Options:
aoVal: A
content: $$49$$ 
aoVal: B
content: $$50$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$102$$ 
Answer: D
Analysis: 最大值：$$6\times 8+5=53$$，最小值：$$6\times 8+1=49$$.$$53+49=102$$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2010年四年级竞赛创新杯
2010年三年级竞赛创新杯
Problem: $$60$$的不同因数（$$1$$除外）的个数是(  )。 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$120$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: $$60$$分解质因数为$$60=2\times 2\times 3\times 5$$，再改为标准式是$${{2}^{2}}\times 3\times 5$$，再利用因数个数公式，因数个数$$=$$不同质因数指数加$$1$$然后再相乘。  $$60$$的不同因数（$$1$$除外）的个数是$$(2+1)\times (1+1)\times (1+1)-1=11$$个。  答：答案是A。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数
Source: 2016年希望杯四年级竞赛复赛
Problem: 游泳馆在教学楼北偏东$$60$$度方向上，两幢楼相距$$200$$米，游泳馆在实验楼南偏东$$60$$度方向上，两幢楼也相距$$200$$米，则实验楼位于教学楼． 
Options:
aoVal: A
content: 正东方向$$400$$米 
aoVal: B
content: 南偏东$$60$$度方向$$200$$米 
aoVal: C
content: 正北方向$$200$$米 
aoVal: D
content: 北偏东$$60$$度方向$$200$$米 
Answer: C
Analysis: 由题意可得实验楼位于教学楼的正北方向，且距离为$$200\div 2\times 2=200$$（米）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->方向与坐标->方向
Source: 2017年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第7题3分
Problem: (2016 Math League, Grade3）  Running Man is running a certain distance at a constant speed of $$300$$m/min and can finish the entire distance in $$3$$ hours. If he ran at a constant speed of $$360$$m/min, how many minutes less would it take him to run this distance?  Running Man是以$300$ m/min的恒定速度跑完一段距离，可以在$3$小时内跑完全程$$.$$ 如果以以$360$ m/min的恒定速度跑完这段距离会少花多少分钟? 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$150$$ 
aoVal: C
content: $$180$$ 
aoVal: D
content: $$360$$ 
Answer: A
Analysis: 某人跑步，每分钟$$300$$米，$$3$$小时跑完．假设他提速到每分钟$$360$$米，跑完全程比之前节省几分钟？  $$300\times 180\div 360=150$$分钟，$$180-150=30$$分钟． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间
拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 若正整数$$n$$的平方减去$$200$$后所得的差是一个$$4$$的倍数之三位数，请问这样的正整数$$n$$总共有多少个不同的取值？ 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
aoVal: E
content: $$32$$ 
Answer: B
Analysis: $$100\textless{}{{n}^{2}}-200\textless{}1000$$并且$$n$$为偶数，  ∴$$18\leqslant n\leqslant 34$$，期间偶数为$$9$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2015年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第4题4分
Problem: 下列说法中，错误的是． 
Options:
aoVal: A
content: 百分数不一定比$$1$$小$$B$$ 
aoVal: B
content: $$20$$分$$=\frac{1}{3}$$时 
aoVal: C
content: 面积相等的两个圆，它们的半径一定相等 
aoVal: D
content: 苹果树的棵数比梨树多$$\frac{1}{5}$$，也就是梨树的棵数比苹果树少$$\frac{1}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 梨树的棵数比苹果树少$$\frac{1}{6}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->单位换算->时间单位换算
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（四）第1题
Problem: $$63$$不能表示成个连续整数的和． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$9$$ 
Answer: C
Analysis: 暂无 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年新希望杯三年级竞赛初赛（团战）第34题
Problem: 一个整数，四舍五入到万位约是$$6$$万，那么这个数最大是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$60999$$ 
aoVal: B
content: $$64449$$ 
aoVal: C
content: $$64999$$ 
aoVal: D
content: $$69999$$ 
Answer: C
Analysis: 四舍五入后的近似值是$$6$$万，最大的情况是$$6$$后面的数字小于$$5$$，直接舍去，即为$$64999$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->大数的估算
Source: 2018年陕西西安小升初分类卷10第33题
2017年河南郑州豫才杯小学高年级六年级竞赛
Problem: 森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加．如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 狮子、老虎 
aoVal: B
content: 老虎、豹子 
aoVal: C
content: 狮子、豹子 
aoVal: D
content: 老虎、大象 
Answer: B
Analysis: 在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立.  从题意出发：  （1）狮子去则老虎去，逆否命题；老虎不去则狮子也不去  （2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派老虎则要派豹子  （3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题；大象去则不能派豹子  从（2）出发可以看出答案为$$B$$  题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去，三个动物去，矛盾，所以狮子不去，若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去，豹子去则大象不去，由两骄气去得到结论，老虎要去，所以答案是$$B$$，豹子和老虎去. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->连线法
Source: 2015年第20届全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛A卷
2016年第20届四川成都华杯赛小学中年级竞赛B卷第1~6题60分
Problem: $$202\times 404\times 505\times 606\times 808$$的最后两位数是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
Answer: B
Analysis: $$2\times 4\times 5\times 6\times 8=1920$$  $$1920\times101\times 101\times 101\times 101\times 101$$不会改变后两位． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解->程序性计算
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛
Problem: 已知$$4$$个质数的积是它们和的$$11$$倍，则它们的和为（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$46$$ 
aoVal: B
content: $$47$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: 没有符合条件的数 
Answer: D
Analysis: 设四个质数为$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$。由已知条件得，$$4$$个质数中一定有$$11$$，那么满足$$a\times b\times c=a+b+c+11$$，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$都是质数。若$$a$$、$$b$$、$$c$$都是奇数，则等式左边是奇数，右边是偶数，矛盾。若$$a$$、$$b$$、$$c$$中有一个偶数，那么一定是$$2$$，即$$a\times b\times 2=a+b+2+11$$，此时，根据奇偶性，$$a$$、$$b$$中也必有一个偶数为$$2$$，解得$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$为$$2$$、$$2$$、$$5$$、$$11$$，和为$$20$$。ABC均不符合条件，故选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的乘法规律
Source: 2014年迎春杯六年级竞赛初赛
2014年迎春杯五年级竞赛初赛
2014年迎春杯六年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 狐狸、灰兔、小熊、小猪和松鼠都参加了跳绳比赛，小猪比狐狸少跳了$$3$$下，小猪比小熊少跳了$$1$$下，灰兔比狐狸多跳了$$3$$下，比松鼠少跳$$3$$下，狐狸是第~\uline{~~~~~~~~~~}~名． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题目描述得小猪\textless 小熊\textless 狐狸\textless 灰兔\textless 松鼠． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理
拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2013年全国学而思杯二年级竞赛第4题
Problem: 某商场的营业额$$2001$$年比$$2000$$年上升$$10 \%$$，$$2002$$年又比$$2001$$年上升了$$10 \%$$，而$$2003$$年和$$2004$$年连续两年比上一年降低$$10 \%$$，那么$$2004$$年的营业额比$$2000$$年的营业额． 
Options:
aoVal: A
content: 降低了$$2 \%$$ 
aoVal: B
content: 没有变化 
aoVal: C
content: 上升了$$2 \%$$ 
aoVal: D
content: 降低了$$1.99 \%$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$2000$$年的营业额为``$$1$$''，那么$$2004$$年的营业额为$$1\times \left( 1+10 \% \right)\times \left( 1+10 \% \right)\times \left( 1-10 \% \right)\times \left( 1-10 \% \right)=0.9801$$，则$$2004$$年的营业额比$$2000$$年的营业额下降了$$\left( 1-0.9801 \right)\div 1\times 100 \%=1.99 \%$$，选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2005年第3届创新杯六年级竞赛初赛第4题
2005年六年级竞赛创新杯
Problem: 荧幕上闪动着一行字元``$$2014\text{IMAS}$$''，每经过$$1$$分钟，最左边的字元就会移到这些字元的最右边．请问从开始到再次出现``$$2014\text{IMAS}$$''需要多少分钟？ 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
aoVal: E
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: 这一串字元共有$$8$$个字元，所以从开始到再次出现``$$2014\text{IMAS}$$''需要$$8$$分钟．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2014年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第4题3分
Problem: 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为$40 \%$，如果该射手在百步之外连射三箭，有一箭射中靶心的概率为~\uline{~~~~~~~~~~}~. 
Options:
aoVal: A
content: $$0.343$$ 
aoVal: B
content: $$0.512$$ 
aoVal: C
content: $$0.432$$ 
aoVal: D
content: $$0.435$$ 
Answer: C
Analysis: 第一箭射中，其他两箭射空的概率为$$0.4\times \left( 1-0.4 \right)\times \left( 1-0.4 \right)=0.144$$．  第二箭射中，其他两箭射空的概率为$$0.4\times \left( 1-0.4 \right)\times \left( 1-0.4 \right)=0.144$$．  第三箭射中，其他两箭射空的概率为$$0.4\times \left( 1-0.4 \right)\times \left( 1-0.4 \right)=0.144$$．  有一箭射中的概率为$$0.144+0.144+0.144=0.432$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2011年北京五年级竞赛
Problem: 甲乙两人从底楼（第一层）开始比赛爬楼梯（每两层之间楼梯的级数相同），甲跑到第$$4$$层时，乙恰好跑到第三层，甲跑到第$$16$$层时，乙跑到（~ ）层． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$~~~~~ 
aoVal: B
content: $$10$$~~~ 
aoVal: C
content: $$11$$~~~ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: C
Analysis: 此题应注意一点，即从一楼到二楼其实只爬了一层楼梯，所以当甲跑到$$4$$层时，只爬$$3$$层楼梯，乙跑到$$3$$楼也只跑了$$2$$层楼梯．甲、乙速度之比为$$3:2$$．甲到$$16$$层时，只爬了$$15$$层楼梯，故$$3:2=15:10$$，$$10+1=11$$，即乙跑到$$11$$层． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2011年四川成都小升初
2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第1题
Problem: 小$$Y$$、小$$M$$、小$$O$$、小$$T$$四人中只有$$1$$人会开车．小$$Y$$说：``我会开''．小$$M$$说：``我不会开''．小$$O$$说：``小$$Y$$不会开''．小$$T$$什么也没说．已知小$$Y$$、小$$M$$、小$$O$$三人只有一人说了真话．会开车的是谁？ 
Options:
aoVal: A
content: 小$$Y$$ 
aoVal: B
content: 小$$M$$ 
aoVal: C
content: 小$$O$$ 
aoVal: D
content: 小$$T$$ 
Answer: B
Analysis: 对比发现，小$$O$$与小$$Y$$说的矛盾，相互对立，  则小$$O$$与小$$Y$$必一对一错，  则小$$M$$说假话，则小$$M$$会开车，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理
Source: 2020年第24届YMO五年级竞赛决赛第6题3分
2019年第24届YMO五年级竞赛决赛第6题3分
Problem: 教室里的彩灯按照$$5$$盏红灯、$$4$$盏蓝灯、$$3$$盏黄灯的顺序循环出现，则前$$160$$盏中有盏红灯． 
Options:
aoVal: A
content: $$65$$ 
aoVal: B
content: $$69$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$70$$ 
Answer: B
Analysis: 彩灯的排列规律是按照$$12$$盏灯一个循环周期，$$80\div 12=6\cdot \cdot \cdot 8$$，所以第$$80$$盏灯是第$$6$$个周期的第$$8$$个，是蓝灯．$$160\div 12=13\cdot \cdot \cdot 4$$，所以前$$160$$盏灯中有红灯$$13\times 5+4=69$$盏． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理
Source: 2015年河南郑州K6联赛小学高年级竞赛第1题3分
Problem: 小兰今年上小学四年级，请问下列哪项的时间与小兰的年龄最接近？ 
Options:
aoVal: A
content: $$120$$小时 
aoVal: B
content: $$120$$天 
aoVal: C
content: $$120$$个星期 
aoVal: D
content: $$120$$个月 
aoVal: E
content: $$120$$年 
Answer: D
Analysis: 因为$$120$$小时$$\textless{}120$$天$$\textless{}120$$个星期$$\textless{}30$$个月$$\textless{}3$$年，所以前三项的时间都小于$$3$$年，不符合实际．  选项$$\text{E}$$显然也不符合实际．而$$120$$个月$$=10$$年，比较符合事实，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第12题4分
Problem: 某人开车往返于深圳和广州之间，从深圳去广州每小时行$$30$$千米，从广州返回深圳每小时行$$60$$千米．那么他往返深圳和广州的平均速度是千米$$/$$时． 
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
aoVal: E
content: $$55$$ 
Answer: B
Analysis: 深圳和广州的路程为$$60$$千米，则从深圳到广州用时$$60\div30=2$$小时，从广州到深圳用时$$60\div60=1$$小时，总共用时$$1+2=3$$小时，平均速度$$=60\times2\div3=40$$千米$$/$$小时．  答案：$$B$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第9题4分
Problem: $$10$$个学生参加一次考试，满分是$$100$$分，这次考试中十个学生的平均分为$$92$$，成绩最差的学生可能得到的最低分为(  ) 
Options:
aoVal: A
content: $$92$$ 
aoVal: B
content: $$90$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: D
Analysis: 这次考试$$10$$个学生的总分为$$92\times 10=920$$（分），假设有$$9$$个学生的成绩为满分，即$$100\times 9=900$$（分），那么最差学生的最低分为$$920-900=20$$（分），所以选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜->竖式数字谜的最值
Source: 2006年六年级竞赛创新杯
2006年六年级竞赛创新杯
2006年五年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛A卷第2题
2006年五年级竞赛创新杯
2006年四年级竞赛创新杯
2006年四年级竞赛创新杯
Problem: 欢欢、迎迎各有$$4$$张卡片，每张卡片上各写有一个自然数．两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到$$16$$个不同的和．那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 为使所写的数最大的最小，直接考虑这$$16$$个不同的和最小是$$0$$，最大是$$15$$，设为$$\text{A}$$、$$\text{B}$$两组，由于$$0=0+0$$，则两组必都有$$0$$，而$$1=0+1$$，那有一组必有$$1$$，且两数和为$$15$$，那么其中一个数至少是$$8$$，假设最大是$$8$$，那么另一组一定有$$7$$和$$6$$，不能构造出来，假设最大是$$9$$，可以构造出两组，（$$0,2$$，$$4,6$$），（$$0,1$$，$$8,9$$）注：和是$$0$$到$$15$$，也就是二进制的$$0000$$到$$1111$$，那么，显然了，每人控制两位的开关，两个人就能够控制全部四位的开惯了，为了使得最大的数最小，控制最高位的那个人再控制最低位就行了．  一个人控制最高位和最低位：$$0000$$,$$0001$$,$$1000$$,$$1001$$；  另一个人控制中间两位：$$0000$$,$$0010$$,$$0100$$,$$0110$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->数字操作
Source: 2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（一）第4题
Problem: 三年级二班的同学在上游泳课，男生戴蓝泳帽，女生戴红泳帽。  男体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$1$$个。''  女体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽多$$24$$个。''  根据两位体育委员的话，算出三年级二班共有（  ）位同学。 
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$37$$ 
aoVal: D
content: $$38$$ 
Answer: C
Analysis: 解：男体育委员少看到一个蓝色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$2$$个，女体育委员少看到一个红色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽多$$23$$个，红泳帽有$$\left( 23-2 \right)\div \left( 4-1 \right)=7$$个，蓝泳帽有$$7+23=30$$个，共有$$30+7=37$$位同学。  故选:C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->暗倍型二量差倍问题
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛复赛
Problem: 三角形的边长是偶数，其周长不可能是哪个选项 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$64$$ 
Answer: A
Analysis: 本题题意为``三角形的边长是偶数，其周长不可能是哪个选项''，三角形的周长即为三条边相加，三条边长是偶数，因此三个偶数相加最终结果也是偶数，因此结果不可能是$$\text{A}$$选项$$9$$，最终结果选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年美国数学大联盟杯四年级竞赛初赛第12题5分
Problem: 华罗庚爷爷出生于$$1910$$年$$11$$月$$12$$日．将这些数字排成一个整数，并且分解成$$19101112=1163\times16424$$，请问这两个数$$1163$$和$$16424$$中是否有质数？ 
Options:
aoVal: A
content: 有 
aoVal: B
content: 没有 
Answer: A
Analysis: $$16424$$是合数，原因是$$16424$$的约数不止两个，除了有$$1$$和本身外还有$$2$$、$$4$$$$\cdots\cdots$$等等．  $$1163$$是质数，判断方法是:$$ 35^{2}=1225$$，$$34^{2}=1156$$ 最接近$$1163$$，所以用小于$$34$$的所有质数$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$11$$、$$13$$、$$17$$、$$19$$、$$23$$、$$29$$、$$31$$去除$$1163$$都除不尽，所以可以判断$$1163$$是质数． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2010年全国华杯赛竞赛复赛第12题
Problem: 把$$2021$$分拆成若干个自然数的和，那么这些自然数的乘积最大为． 
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{1009}}\times 3$$ 
aoVal: B
content: $${{3}^{673}}\times 2$$ 
aoVal: C
content: $${{4}^{504}}\times 5$$ 
aoVal: D
content: $${{2}^{4}}\times {{3}^{671}}$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 把一个数拆成多个自然数的和，要使得这些数的乘积最大，应该尽量平均，  因为和一定时，差小积大，但并不是越小越好，  因为拆成$$1$$，乘积并没有变化，  所以应该拆成$$2$$，但是$$2+2+2=6=3+3$$，  但是$$3\times 3=9\textgreater2\times 2\times 2=8$$，  所以应该尽量拆成$$3$$．  $$2021\div 3=673\cdots \cdots 2$$，  所以把$$2021$$拆成$$673$$个$$3$$和一个$$2$$时，他们的乘积最大，最大的乘积就是$$3$$的$$673$$次方乘$$2$$.  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目不确定
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第11题4分
Problem: 计算．  $$24+63+52+17+49+81+74+38+95=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~ 
Options:
aoVal: A
content: $$493$$ 
aoVal: B
content: $$483$$ 
aoVal: C
content: $$505$$ 
Answer: A
Analysis: 凑整法：  原式$$=(38+52)+(63+17)+(49+81)+74+24+95$$  $$= 90+80+130+98+95$$  $$=493$$．  拆分凑整法  原式$$=(20+4+60+3+50+2+10+7+40+9+80+1+70+4+30+8+90+5$$  $$=20+80+60+40+10+90+70+30+50+3+7+1+9+2+8+4+4+5$$  $$=100+100+100+100+50+10+10+10+13$$  $$=493$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2008年全国迎春杯三年级竞赛初赛第1题
Problem: 长方形的周长是$$48$$厘米，已知长是宽的$$2$$倍，那么长方形的长是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$厘米 
aoVal: B
content: $$16$$厘米 
aoVal: C
content: $$24$$厘米 
Answer: B
Analysis: 解：$$48\div 2\div (1+2)\times 2$$  $$=24\div 3\times 2$$  $$=16$$ （厘米）  答：长方形的长是$$16$$厘米。  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和倍问题->二量和倍问题->两量和倍
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛
Problem: 如果$$a*b=ab-a+b$$，则$$5*x=19$$的解是$$x=$$（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: $$5*x=19$$  $$5x-5+x=19$$  $$6x=24$$  $$x=4$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型
Source: 2007年华杯赛六年级竞赛初赛
2007年华杯赛四年级竞赛初赛
2007年华杯赛五年级竞赛初赛
Problem: 8.战士小王从$$A$$地前往$$B$$地送信，他每走$$40$$分钟就休息$$10$$分钟，到达$$B$$地共需$$4$$小时$$20$$分，从$$B$$地原路返回的速度是去时的$$2$$倍，若他每走$$35$$分钟就休息$$15$$分钟．从$$B$$地返回到$$A$$地共需分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$125$$ 
aoVal: B
content: $$130$$ 
aoVal: C
content: $$135$$ 
aoVal: D
content: $$140$$ 
Answer: C
Analysis: 去的过程中一共花了$$4\times 6+20=260$$分钟，$$260\div 50=5\ldots \ldots 10$$说明走路时间一共是$$5\times 40+10=210$$分．回来过程中速度为原来的$$2$$倍，走路的时间则为原来的$$\frac{1}{2}$$，即$$210\times \frac{1}{2}=105$$分钟$$105\div 35=3$$，即一共走了$$3$$次，第$$3$$次走完之后不用休息，则一共花了$$\left( 35+15 \right)\times 3-15=135$$分钟． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->行程模块->环形跑道->走走停停
Source: 2016年第12届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第6题4分
Problem: 有大、小两桶油共重$$50$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$6$$千克，小桶原来装油千克． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: C
Analysis: 从题干可以知道，有大、小两桶油共重$$50$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$6$$千克，不妨设倒出来的油有$$x$$千克，那么大桶有油：$$(x+14)$$千克，小桶有油：$$\left( x+6 \right)$$千克．  $$\left( x+14 \right)+\left( x+6 \right)=50$$  $$2x+20=50$$  $$x=15$$．  所以倒出部分是$$15$$千克，那么小桶原来装油$$15+6=21$$（千克），即小桶原来装油$$21$$千克．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 春节时，妈妈买了$$3$$个完全一样的福袋，小悦想把$$10$$枚相同的一元硬币放到这三个福袋里，如果每个福袋里至少放$$1$$枚，不考虑福袋的先后顺序的话，共有（~~~~~ ）种放法． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: C
Analysis: 枚举法，$$10$$能被拆成哪三个数相加，$$10=1+1+8$$，$$10=1+2+7$$，$$10=1+3+6$$，$$10=1+4+5$$，$$10=2+2+6$$，$$10=2+3+5$$，$$10=2+4+4$$，$$10=3+3+4$$，共$$8$$种． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第3题
Problem: 【提升7】  计算：$$\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}{1\times 2}+\frac{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}{2\times 3}+\cdots +\frac{{{18}^{2}}+{{19}^{2}}}{18\times 19}+\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$38\frac{19}{20}$$ 
aoVal: B
content: $$36\frac{19}{20}$$ 
aoVal: C
content: $$38\frac{11}{20}$$ 
aoVal: D
content: $$36\frac{13}{20}$$ 
Answer: A
Analysis: 算式中的分母是裂项计算的最基本形式，但分子比较复杂，我们可以从前几项找找规律：  $$\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}{1\times 2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$$，$$\frac{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}{2\times 3}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$$，$$\frac{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}{3\times 4}=\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}$$．  我们发现一规律：每一项减去$$2$$后，分子就变成了$$1$$．  再来试试最后一项：$$\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}=\frac{761}{380}=2\frac{1}{380}$$，  也满足这个规律，这是为什么呢？  观察每一项的分子和分母，我们发现分子的每个加数都与分母大小接近，可以做如下变形：  $$\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}=\frac{19\times \left( 20-1 \right)+20\times \left( 19+1 \right)}{19\times 20}$$  $$=\frac{19\times 20\times 2+\left( 20-19 \right)}{19\times 20}$$  $$=2+\frac{1}{19\times 20}$$．  算式中的每一项都能像上面一样进行变形，所以：  原式$$=2\frac{1}{1\times 2}+2\frac{1}{2\times 3}+\cdots +2\frac{1}{19\times 20}$$  $$=2\times 19+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{19\times 20}$$  $$=38+1-\frac{1}{20}$$  $$=38\frac{19}{20}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->裂项与通项归纳->分数裂项->分数裂差->两分数间接裂差
Source: 2018年陕西西安碑林区西安市铁一中学小升初（二十六）第20题5分
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛A卷第10题10分
六年级其它导引
Problem: 我们知道，闰年每隔4年一次，今年(2008年)就是一个闰年.但是在世纪之交时，只有年号是400的倍数时，才是闰年，例如1900年就不是闰年，但是2000年是闰年，那么从2001年到3001年，闰年有(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 240个 
aoVal: B
content: 242个 
aoVal: C
content: 248个 
aoVal: D
content: 250个 
Answer: B
Analysis: 位于2001与3001之间的4的倍数有250个，其中2100、2200、2300、2500、2600、2700、2900和3000不是闰年，因此只有$$250-8=242$$(个)闰年. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第2题5分
2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 《红楼梦》也成《石头记》，开篇第一回即交代这块顽石的尺寸：女娲所炼五色石，高十二丈，见方二十四丈．欢欢经过百度查询得知：$$1$$丈$$=10$$尺$$=100$$寸，$$1$$米$$=3$$尺$$=30$$寸．请你根据以上资料推算一下，这块顽石法人高度最接近（~ ）米． 
Options:
aoVal: A
content: $$120$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$436$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: B
Analysis: $$12\times 100=1200$$寸，$$1200\div 30=40$$米． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年河南郑州豫才杯小学高年级五年级竞赛初赛第3题