math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 函数$$y=-2x^{2}-4x-1(-3\leqslant x\leqslant 0)$$的最大值与最小值之和是．
Options:
aoVal: A
content: $$-6$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-8$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$y=-2x^{2}-4x-1$$  $$=-2(x^{2}+2x+1)+1$$  $$=-2(x+1)^{2}+1$$  ∴二次函数的对称轴为直线$$x=-1$$且$$a=-2\textless0$$，  ∴当$$-3\leqslant x\leqslant -1$$时，  $$y$$随$$x$$的增大而增大，  ∴最大值为：$$1$$，  最小值为：$$-2(-3+1)^{2}+1=-7$$，  当$$-1\textless x\leqslant 0$$时，  $$y$$随$$x$$的增大而减小，  此时最小值为：$$-2(0+1)^{2}+1=-1$$，  ∴综上，最小值为$$-7$$，最大值为$$1$$，  ∴他们之和为：$$-7+1=-6$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质->二次函数y=ax^2+bx+c 的最值问题->给定范围求二次函数最值
Source: 2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第6题4分
Problem: 若$$\begin{cases}{{a}^{4}}+9=2b(2c+b)    {{b}^{4}}+9=2c(2a+c)    {{c}^{4}}+9=2a(2b+a)   \end{cases}$$，则$$a-b+c$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$\pm 1$$ 
aoVal: C
content: $$\pm \sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm 3$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left. \begin{matrix}{{a}^{4}}+9=4bc+2{{b}^{2}}    {{a}^{4}}+9=4ca+2{{c}^{2}}    {{a}^{4}}+9=4ab+2{{a}^{2}}   \end{matrix} \right }\Rightarrow {{a}^{4}}+9+{{b}^{4}}+9+{{c}^{4}}+9-2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}-2{{c}^{2}}-4bc-4ca-4ab=0$$  $${{({{a}^{2}}-3)}^{2}}+{{(b^{2}-3)}^{2}}+({{c}^{2}}-3)^{2}+2[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+(c-a)^{2}]=0$$．  $$\therefore $$$$a=b=c=\pm \sqrt{3}$$，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
Source: 全国全国初中数学联赛竞赛C卷
Problem: 满足等式$$x\sqrt{y}+\sqrt{x}y-\sqrt{2003x}-\sqrt{2003y}+\sqrt{2003xy}=2003$$的正整数对$$\left( x,y \right)$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：无理方程）}  已知等式可化为  $$\sqrt{y}{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+\left[ {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}+\sqrt{2003}\sqrt{y}-\sqrt{2003} \right]\sqrt{x}$$$$-\sqrt{2003}\left( \sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$，  所以$$\left( \sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$．  又由题意，$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003}\textgreater0$$，  则$$\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003}=0\Rightarrow xy=2003$$．  而$$2003$$为质数，且$$x$$、$$y$$为正整数，所以$$\left( x,y \right)=\left( 2003,1 \right)$$，$$\left( 1,2003 \right)$$．所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->无理方程
Source: 2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第4题7分
初三上学期其它
Problem: 有多少个三位数，其各个数位之积等于$$24$$？．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$21$$ 
aoVal: E
content: $$24$$ 
Answer: D
Analysis: 有多少个三位数，其各个数位之积等于$$24$$？  从最小到最大列出的数字，三位整数位$$138$$，$$146$$，$$226$$，$$234$$，$$226$$可按$$\frac{3！}{2！}=3$$方式排列，其他三种可按$$3！=6$$方式排列，有$$3+6(3)=\text{D}21$$个三位数的正整数．  With the digits listed from least to greatest, the $$3$$-digit integers are $$138$$, $$146$$, $$226$$, $$234$$, $$226$$ can be arranged in $$\frac{3!}{2!}=3$$ ways, and the other three can be arranged in $$3!= 6 $$ways. There are $$3+6(3)=21$$,$$3$$-digit positive integers. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Factors and Multiples->Factors and Multiples Basics
美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Place Value and Number Bases->Numbers and Digits
Source: 2009年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 若实数$$a$$、$$b$$满足$$\frac{1}{2}a-ab+{{b}^{2}}+2=0$$，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\leqslant -2$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 4$$ 
aoVal: C
content: $$a\leqslant -2$$或$$a\geqslant 4$$ 
aoVal: D
content: $$-2\leqslant a\leqslant 4$$ 
Answer: C
Analysis: 原方程即为$${{b}^{2}}-ab+\frac{1}{2}a+2=0$$，  $$\Delta ={{(-a)}^{2}}-4(\frac{1}{2}a+2)\geqslant 0$$，  解得$$a\leqslant -2$$或$$a\geqslant 4$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 初三上学期其它
2010年竞赛第2题7分
Problem: 面积是$$48$$的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$40$$ 
Answer: B
Analysis: 设矩形的边长分别是$$a$$、$$b$$，对角线的长是$$c$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$．  已知矩形的面积是$$ab=48=3\times {{2}^{4}}$$，$$a$$，$$b$$都是整数，不妨设$$\alpha \leqslant b$$，则$$(a,b)$$可能是  $$(1,48)$$，$$(2,24)$$，$$(3,16)$$，$$(4,12)$$，$$(6,8)$$，  分别代入$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，只有当$$a=6$$，$$b=8$$时，$$c$$才是整数$$10$$，其他情况得到的$$c$$的值都不是整数．  所以，矩形的边长分别是$$6$$、$$8$$，周长是$$28$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第5题
Problem: 已知$$x+y+z=5$$，$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，  ∴$$\frac{yz+xz+xy}{xyz}=5$$，即$$xy+yz+xz=5$$．  ∵$$x+y+z=5$$，  ∴$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)=15$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的加减
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算
Source: 2016年全国华杯赛初一竞赛
Problem: 已知$$A:B=\sqrt[3]{2}:\sqrt{3}$$，$$A=\sqrt{2}$$，$$C=\sqrt{\frac{29}{10}}$$，则$$B$$，$$C$$的大小关系是 .
Options:
aoVal: A
content: $$B\textgreater C$$ 
aoVal: B
content: $$B=C$$ 
aoVal: C
content: $$B\textless{}C$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: A
Analysis: 因为$$\sqrt[3]{2}\textless{}\sqrt{2}$$，  则由题设得$$B=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}A\textgreater\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}A=\sqrt{3}$$，  而$$C=\sqrt{2.9}\textless{}\sqrt{3}$$，  所以$$B\textgreater C$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分
Problem: 若$$k$$为整数，则使得方程$$(k-1999)x=2001-2000x$$的解也是整数的$$k$$值有（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{2001}{k+1}$$为整数，又$$2001=1\times 3\times 23\times 29$$，  $$k+1$$可取$$\pm 1$$、$$\pm 3$$、$$\pm 23$$、$$\pm 29$$、$$\pm (3\times 23)$$、$$\pm (3\times 29)$$、$$\pm (23\times 29)$$、$$\pm 2001$$共$$16$$个值，  其对应的$$k$$值也有$$16$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第10题
初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题
Problem: 若$$\frac{x}{3y}=\frac{y}{2x-5y}=\frac{6x-15y}{x}$$，则$$\frac{4{{x}^{2}}-5xy+6{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{9}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 首先，我们可以利用已知的三个相等的分式，求出$$x$$，$$y$$之间的关系：  由$$\frac{x}{3y}=\frac{y}{2x-5y}$$，得到$$2{{x}^{2}}-5xy-3{{y}^{2}}=0$$，将$$2{{x}^{2}}-5xy-3{{y}^{2}}$$进行因式分解得到：  $$2{{x}^{2}}-5xy-3{{y}^{2}}=\left( x-3y \right)\left( 2x+y \right)=0$$，  $$\therefore $$$$x=3y$$或$$y=-2x$$．  若$$y=-2x$$，$$\frac{6x-15y}{x}=36$$，而$$\frac{x}{3y}=\frac{1}{6}$$，  $$\therefore $$$$\frac{y}{2x-5y}\ne \frac{6x-15y}{x}$$．  若$$x=3y$$，则$$\frac{x}{3y}=\frac{y}{2x-5y}=\frac{6x-15y}{x}=1$$，  $$\therefore $$$$x=3y$$．  将$$x=3y$$代入分式中得：$$\frac{4{{x}^{2}}-5xy+6{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}}=\frac{36{{y}^{2}}-15{{y}^{2}}+6{{y}^{2}}}{9{{y}^{2}}-6{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}}=\frac{9}{2}$$． 
<p>由已知条件知$$x\ne 0$$，$$y\ne 0$$，</p>
<p>把已知等式变形并利用等比消去$$y$$，</p>
<p>得$$\frac{25x}{75y}=\frac{15y}{30x-75y}=\frac{6x-15y}{x}$$</p>
<p>$$=\frac{25x+15y+\left( 6x-15y \right)}{75y+\left( 30x-75y \right)+x}$$</p>
<p>$$=\frac{31x}{31x}$$</p>
<p>$$=1$$，</p>
<p>则$$x=3y$$，</p>
<p>故$$\frac{4{{x}^{2}}-5xy+6{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}}$$</p>
<p>$$=\frac{36{{y}^{2}}-15{{y}^{2}}+6{{y}^{2}}}{9{{y}^{2}}-6{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}}$$</p>
<p>$$=\frac{27{{y}^{2}}}{6{{y}^{2}}}$$</p>
<p>$$=\frac{9}{2}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以多项式
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 若$$19a+98b=0$$，则$$ab$$是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 非正数 
aoVal: C
content: 负数 
aoVal: D
content: 非负数 
Answer: B
Analysis: ∵$$19a+98b=0$$，  ∴$$a=-\frac{98}{19}b$$，  ∴$$ab=-\frac{98}{19}{{b}^{2}}\leqslant 0$$，  故$$ab$$为非正数. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-条件化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第5题
Problem: 已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$8$$个 
Answer: C
Analysis: 设$$x^{2}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，  即$$x^{2}+ax-12=(x+m)(x+n)$$，$$m$$，$$n$$是整数，  $$\therefore x^{2}+ax-12=x^{2}+(m+n)x+mn$$，  $$\therefore \begin{cases}mn=-12 \m+n=a\end{cases}$$，  $$\because m$$，$$n$$是整数，且$$mn=-12$$，  有$$\begin{cases}m=12 \n=-1\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-1 \n=12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=6 \n=-2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-2 \n=6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=4 \n=-3\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=3 \n=-4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=2 \n=-6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=-6 \n=2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=1 \n=-12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-12 \n=1\end{cases}$$，共$$12$$种情况．  而$$a=m+n$$，只有$$6$$种结果，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数
课内体系->能力->运算能力
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第3题
上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题
2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分
初二其它
2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题
Problem: 若实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$\left\textbar{} x+z \right\textbar+{{(x-y)}^{2}}=0$$，则$${{\left( \frac{x}{z} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{2}}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: B
Analysis: 由绝对值得非负性及完全平方的非负性，  可知$$x+z=0$$，$$x-y=0$$，  ∴$$\frac{x}{z}=-1$$，$$\frac{y}{x}=1$$，  ∴$${{\left( \frac{x}{z} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{2}}=1+1=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->平方根->非负性的应用
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分
Problem: 下面四个命题中，正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 一切有理数的倒数还是有理数 
aoVal: B
content: 一切正有理数的相反数必是负有理数 
aoVal: C
content: 一切有理数的绝对值必是正有理数 
aoVal: D
content: 一切有理数的平方是正有理数 
Answer: B
Analysis: 因为有理数$$0$$无倒数；$$0$$的绝对值是零，不是正有理数；$$0$$的平方是$$0$$，$$0$$不是正有理数．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第4题
Problem: 已知关于$$x$$的方程$$9x-3=kx+14$$有整数解，且关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x+15}{2}\textgreater x+5    \dfrac{3x}{2}\geqslant \dfrac{k-2}{8}-2x    \end{cases}$$有且只有$$4$$个整数解，则满足条件的整数$$k$$有个．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: C
Analysis: 解关于$$x$$的方程$$9x-3=kx+14$$得：$$x=\frac{17}{9-k}$$，  ∵方程有整数解，  ∴$$9-k=\pm 1$$或$$9-k=\pm 17$$，  解得：$$k=8$$或$$10$$或$$-8$$或$$26$$，  解不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x+15}{2}\textgreater x+5    \dfrac{3x}{2}\geqslant \dfrac{k-2}{8}-2x    \end{cases}$$，得不等式组的解集为$$\frac{k-2}{28}\leqslant x\textless{}5$$，  ∵不等式组有且只有四个整数解，  ∴$$0\textless{}\frac{k-2}{28}\leqslant 1$$，解得：$$2\textless{}k\leqslant 30$$，  所以满足条件的整数$$k$$的值为$$8$$或$$10$$或$$26$$．  故答案选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围
课内体系->能力->运算能力
Source: 2020~2021学年6月重庆渝中区重庆市巴蜀中学校初一下学期周测C卷第10题4分
2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳市罗湖区翠园中学（初中部）初一下学期周测B卷（竞赛班）第10题2分
2018~2019学年河北石家庄新华区石家庄第四十二中学初一下学期期中第16题3分
Problem: 在无理数$$\sqrt{5}$$，$$\sqrt{6}$$，$$\sqrt{7}$$，$$\sqrt{8}$$中，介于$$\frac{\sqrt{8}+1}{2}$$与$$\frac{\sqrt{26}+1}{2}$$之间的数有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: D
Analysis: 因为$$\sqrt{8}\textless{}\sqrt{9}=3$$，  所以$$\frac{\sqrt{8}+1}{2}\textless{}\frac{3+1}{2}=2$$．  因为$$\sqrt{26}\textgreater\sqrt{25}=5$$，  所以$$\frac{\sqrt{26}+1}{2}\textgreater\frac{5+1}{2}=3$$．  因为无理数$$\sqrt{5}$$，$$\sqrt{6}$$，$$\sqrt{7}$$，$$\sqrt{8}$$都介于$$2$$与$$3$$之间，  所以在无理数$$\sqrt{5}$$，$$\sqrt{6}$$，$$\sqrt{7}$$，$$\sqrt{8}$$中，介于$$\frac{\sqrt{8}+1}{2}$$与$$\frac{\sqrt{26}+1}{2}$$之间的数有$$4$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分
Problem: 已知两个不同的质数$$p$$、$$q$$满足下列关系：$$p^{2}-2001p+m=0$$，$$q^{2}-2001q+m=0$$，$$m$$是适当的整数，那么$$p^{2}+q^{2}$$的数值是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$4004006$$ 
aoVal: B
content: $$3996005$$ 
aoVal: C
content: $$3996003$$ 
aoVal: D
content: $$4004004$$ 
Answer: B
Analysis: 两式相减，得$$(p-q)(p+q-2001)=0$$，  ∵$$p\ne q$$，  ∴$$p+q=2001$$，而$$p$$、$$q$$为质数，  ∴$$p$$、$$q$$中有一个为$$2$$，另一个为$$1999$$．  ∴$$p^{2}+q^{2}=2^{2}+1999^{2}=3996005$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第9题
Problem: 小明、小红、小华、小彬四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小明：苹果不在我这里；  小红：苹果在小彬那里；  小华：苹果在小红那里；  小彬：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 小明 
aoVal: B
content: 小红 
aoVal: C
content: 小华 
aoVal: D
content: 小彬 
Answer: B
Analysis: 用假设法：  （$$1$$）假设小明说了假话，那么苹果在小明那里，小红和小华就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小红说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小红那里；  （$$3$$）假设小华说了假话，则小红说``苹果在小彬那里''与小彬说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小彬说的是假话，那么小华说的就是假话，这样小彬、小华都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小红那里． 
Knowledge points: 小升初->小升初知识点->组合模块->逻辑推理
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 已知$$m=1+ \sqrt{2}$$，$$n=1- \sqrt{2}$$且$$(7{{m}^{2}}-14m+a)(3{{n}^{2}}-6n-7)=8$$，则$$a$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-9$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$-5$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: A
Analysis: 由 $$m=1+ \sqrt{2}$$得$$m-1=\sqrt{2}$$，  两边平方，得$${{m}^{2}}-2m+1=2$$，  即$${{m}^{2}}-2m=1$$，同理得$${{n}^{2}}-2n=1$$，  又$$(7{{m}^{2}}-14m+a)(3{{n}^{2}}-6n-7)=8$$，  所以$$\left( 7+a \right)\left( 3-7 \right)=8$$，  解得$$a=-9$$，  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第3题3分
Problem: 已知$$A={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}$$，$$B=-4{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}$$，若$$A+B+C=0$$，则$$C=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$5{{a}^{2}}-3{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $$3{{a}^{2}}-3{{b}^{2}}-2{{c}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$A+B+C=0$$，  ∴$$C=-A-B=-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)-\left( -4{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}} \right)$$  $$=-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}-3{{c}^{2}}=3{{a}^{2}}-3{{b}^{2}}-2{{c}^{2}}$$．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第10题
Problem: 若$$x=1$$满足$$2m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}x-m=0$$，则$$m$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$或$$1$$ 
aoVal: D
content: 任意实数 
Answer: C
Analysis: 将$$x=1$$代入到题设的等式，得：$$m-{{m}^{2}}=0$$，  解得$$m=0$$或$$1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->含参方程
Source: 2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 设完全平方数$$A$$是$$11$$个连续整数的平方和，则$$A$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$81$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$121$$ 
aoVal: D
content: $$144$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$11$$个连续整数中，中间的数为$$x$$，  则这$$11$$个数的平方和可以写成  $${{(x-5)}^{2}}+{{(x-4)}^{2}}+\cdots +{{x}^{2}}+\cdots +{{(x+4)}^{2}}+{{(x+5)}^{2}}$$  $$=11{{x}^{2}}+2({{5}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}})$$  $$=11({{x}^{2}}+10)$$，  则$$A=11({{x}^{2}}+10)$$，  当$$x=\pm 1$$时，$$A$$取最小值$$121$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第17题4分
Problem: 若$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$$，则代数式$$\frac{9x+y-18}{9x-y-18}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 等于$$\frac{7}{5}$$ 
aoVal: B
content: 等于$$\frac{5}{7}$$ 
aoVal: C
content: 等于$$\frac{5}{7}$$或不存在 
aoVal: D
content: 等于$$\frac{7}{5}$$或不存在 
Answer: D
Analysis: ∵$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$$，∴$$y=\frac{3}{2}x-3$$，  将其代入代数式，得$$\frac{9x+y-18}{9x-y-18}=\frac{9x+\frac{3}{2}x-3-18}{9x-\frac{3}{2}x+3-18}=\frac{21x-42}{15x-30}=\frac{7\left( x-2 \right)}{5\left( x-2 \right)}$$，  当$$x\ne 2$$时，原式$$=\frac{7}{5}$$；当$$x=2$$时，原式的值不存在． 
<p>由$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$$得$$3x-2y=6$$，</p>
<p>&there4;$$9x=6y+18$$．</p>
<p>于是$$\frac{9x+y-18}{9x-y-18}=\frac{\left( 6y+18 \right)+y-18}{\left( 6y+18 \right)-y-18}=\frac{7y}{5y}$$．</p>
<p>当$$y\ne 0$$（即$$x\ne 2$$）时，原式$$=\frac{7}{5}$$；</p>
<p>当$$y=0$$（即$$x=2$$）时，原式无意义．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年初二上学期其它
2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数，也不是完全立方数的数有．
Options:
aoVal: A
content: $$890$$个 
aoVal: B
content: $$884$$个 
aoVal: C
content: $$874$$个 
aoVal: D
content: $$864$$个 
Answer: C
Analysis: 用$$A(n)$$表示不大于$$n$$的非零自然数中既不是完全平方数，也不是完全立方数的数的个数．  由于$$9 ~\textless{} ~\sqrt{99} ~\textless{} ~10$$，$$4 ~\textless{} ~\sqrt[3]{99} ~\textless{} ~5$$，$$2 ~\textless{} ~\sqrt[6]{99} ~\textless{} ~3$$，  所以$$A(99)=99-(9+4-2)=88$$．  由于$$31 ~\textless{} ~\sqrt{1000} ~\textless{} ~32$$，$$\sqrt[3]{1000}=10$$，$$3 ~\textless{} ~\sqrt[6]{1000} ~\textless{} ~4$$，  所以$$A(1000)=1000-(31+10-3)=962$$．  故有$$A(1000)-A(99)=962-88=874$$．  即在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有$$874$$个．  故选$$\text{C}$$． 
<p>因为$$100={{10}^{2}}$$，$${{31}^{2}} &nbsp;&lt; &nbsp;1000 &nbsp;&lt; &nbsp;{{32}^{2}}$$，</p>
<p>所以，$$100\sim 1000$$中，完全平方数有$${{10}^{2}}$$，$${{11}^{2}}$$，$${{12}^{2}}$$，$$\cdots $$，$${{31}^{2}}$$，共$$22$$个．</p>
<p>因为$${{4}^{3}} &nbsp;&lt; &nbsp;100 &nbsp;&lt; &nbsp;{{5}^{3}}$$，$$1000={{10}^{3}}$$，</p>
<p>所以，$$100\sim 1000$$中，完全立方数有$${{5}^{3}}$$，$${{6}^{3}}$$，$$\cdots $$，$${{9}^{3}}$$，$${{10}^{3}}$$共$$6$$个，</p>
<p>其中$${{9}^{3}}={{3}^{6}}={{27}^{2}}$$既是完全平方数，也是完全立方数．</p>
<p>所以，在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有$$901-22-6+1=874$$（个）．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第7题
Problem: 古人用天干和地支记次序，其中天干有$$10$$个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸．地支有$$12$$个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的$$10$$个汉字和地支的$$12$$个汉字对应排列成如下两行：  甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁$$\cdots \cdots $$  子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥$$\cdots \cdots $$  从左向右数，第$$1$$列是甲子，第$$2$$列是乙丑，第$$3$$列是丙寅$$\cdots \cdots $$，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历$$2007$$年是农历丁亥年．那么从该年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在．
Options:
aoVal: A
content: $$2019$$年 
aoVal: B
content: $$2031$$年 
aoVal: C
content: $$2043$$年 
aoVal: D
content: 没有对应的年号 
Answer: D
Analysis: 天干有$$10$$个，地支有$$12$$个，它们对应排列，天干中排在奇数位的甲、丙$$\cdots \cdots $$，只能与文中排在奇数位的子、寅$$\cdots \cdots $$组合成农历纪年，而亥排在地支中的第$$12$$位，所以不可能甲亥年．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2007年第18届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix}x-3m\textless{}0    n-2x\textless{}0   \end{matrix} \right.$$的解集是$$-1\textless{}x\textless{}3$$，则$${{(m+n)}^{2016}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 解不等式组$$\left { \begin{matrix}x-3m\textless{}0    n-2x\textless{}0   \end{matrix} \right.$$，得$$\frac{n}{2}\textless{}x\textless{}3m$$，  由题意，得$$3m=3$$，$$\frac{n}{2}=-1$$，  解得$$m=1$$，$$n=-2$$，  ∴$${{(m+n)}^{2016}}={{(-1)}^{2016}}=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分
Problem: 已知$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，则化简$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar-\left\textbar{} a-2 \right\textbar$$所得的结果是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2a-3$$ 
aoVal: D
content: $$3-2a$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，∴$$a\leqslant 0$$．  $$\left\textbar{} a-1 \right\textbar-\left\textbar{} a-2 \right\textbar=-\left( a-1 \right)+\left( a-2 \right)=-1$$，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 某同学到集贸市场买苹果，买每公斤$$3$$元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤$$2$$元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤（~ ）元．
Options:
aoVal: A
content: $$2.6$$ 
aoVal: B
content: $$2.5$$ 
aoVal: C
content: $$2.4$$ 
aoVal: D
content: $$2.3$$ 
Answer: C
Analysis: 设该同学买了$$3$$元一公斤的苹果$$x$$公斤，$$2$$元一公斤的苹果$$y$$公斤，  所用的钱数都是所带钱数的一半，所以$$3x=2y$$，即$$y=\frac{3}{2}x$$．  因此该同学共买了$$x+y$$公斤苹果，花去了$$3x+2y=6x$$元．  所以所买的苹果平均价格是每公斤$$\frac{3x+2y}{x+y}=\frac{6x}{\frac{5}{2}x}=\frac{12}{5}=2.4$$元．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的和差倍分
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第7题
Problem: $${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1+\sqrt{2}$$，$${{b}^{2}}-{{c}^{2}}=1-\sqrt{2}$$, find $${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$.  设$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1+\sqrt{2}$$，$${{b}^{2}}-{{c}^{2}}=1-\sqrt{2}$$，则$${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{c}^{2}}{{a}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1+\sqrt{2}$$，  $${{b}^{2}}-{{c}^{2}}=1-\sqrt{2}$$，  所以$${{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2$$，  所以$${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$  $$=\frac{1}{2}[({{a}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}})+({{b}^{4}}-2{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}})+({{c}^{4}}-2{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{4}})]$$  $$=\frac{1}{2}[{{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+{{({{b}^{2}}-{{c}^{2}})}^{2}}+{{({{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}]$$  $$=\frac{1}{2}[{{(1+\sqrt{2})}^{2}}+{{(1-\sqrt{2})}^{2}}+{{2}^{2}}]$$  $$=5$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第15题
Problem: $$a$$、$$b$$、$$c$$、为有理数，且等式$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$成立，则$$2a+999b+1001c$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1999$$ 
aoVal: B
content: $$2000$$ 
aoVal: C
content: $$2001$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1
Source: 2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题
2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分
2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分
2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分
Problem: 当$$x$$取$$1$$到$$10$$的整数时，整式$$x^{2}+x+11$$所对应的数值中质数的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$x$$取$$1$$到$$10$$的整数时，  $$x^{2}+x+11$$所对应的数值依次为：  $$13$$，$$17$$，$$23$$，$$31$$，$$41$$，$$53$$，$$67$$，$$83$$，$$101$$，$$121$$．  其中质数为：  $$13$$，$$17$$，$$23$$，$$31$$，$$41$$，$$53$$，$$67$$，$$83$$，$$101$$，共$$9$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第9题
Problem: 直线$$y=kx+b$$经过点$$(m ,1)$$和点$$(-1,m)$$ ，其中$$0 \textless{} m \textless{} 1$$ ， 则$$k$$ ，$$b$$ 应满足的条件是．
Options:
aoVal: A
content: $$k\textgreater0$$且$$b\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$k\textless0$$且$$b\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$k\textgreater0$$且$$b\textless0$$ 
aoVal: D
content: $$k\textless0$$且$$b\textless0$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$m\textgreater1\textgreater-1$$，$$1 ~\textless{} ~m$$，即自变量的值越大函数值越小，即函数值随着自变量的增大而减小，∴$$k ~\textless{} ~0$$．  过第一象限内的点$$(1,m)$$和第四象限内的点$$(m,-1)$$画直线，知此直线与$$y$$轴正半轴相交，所以，$$b\textgreater0$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性
Source: 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第6题3分
2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期单元测试《一次函数》第10题
Problem: 若$$ab≠1$$，且有$$5{{a}^{2}}+2001a+9=0$$及$$9{{b}^{2}}+2001b+5=0$$，则$$\frac{a}{b}$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{9}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{2001}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{2001}{9}$$ 
Answer: A
Analysis: 显然可以看出方程系数相同，可以利用根与系数关系来求解：  $$2{{a}^{2}}+2001a+9=0$$，  $$9{{b}^{2}}+2001b+5=0$$（显然$$b=0$$不是方程的解）．  ∴$$5\frac{1}{{{b}^{2}}}+2001\frac{1}{b}+9=0$$，  故$$a$$与$$\frac{1}{b}$$都是方程$$5{{x}^{2}}+2001x+9=0$$的根，  但$$a\ne \frac{1}{b}$$，由$$\Delta =0$$，  即$$a$$与$$\frac{1}{b}$$是此方程的相异实根．  从而$$a\cdot \frac{1}{b}=\frac{9}{5}$$．  故选 A． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
Source: 2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第2题