math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: ``函数$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上单调''是``函数$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上有最大值和最小值''的．
Options:
aoVal: A
content: 充分条件而非必要条件 
aoVal: B
content: 必要条件而非充分条件 
aoVal: C
content: 充分必要条件 
aoVal: D
content: 即非充分条件亦非必要条件 
Answer: A
Analysis: 若$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上单调，则$$f(a)$$和$$f(b)$$一个是最大值，另一个是最小值，故是充分条件；如，$$\sin x$$在$$\left[ 0, \pi ~\right]$$上有最大值$$1$$和最小值$$0$$，但不单调，故不是必要条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 求$$y=\sqrt{{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}+\sqrt{2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}$$的最大值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $2$ 
aoVal: B
content: $\sqrt{2}$ 
aoVal: C
content: $2\sqrt{2}$ 
aoVal: D
content: $4$ 
Answer: B
Analysis: 由柯西不等式，$${{\left( \sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}+\sqrt{\left( 2-{{x}^{2}} \right){{x}^{2}}} \right)}^{2}}\leqslant \left( {{x}^{2}}+2-{{x}^{2}} \right)\left( 1-{{x}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=2$$，当$$x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$时取等号． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
Source: 2016年河北全国高中数学联赛高三竞赛初赛第5题8分
Problem: 对于任意的整数$$n\left( n{\geqslant }2 \right)$$，满足$${{a}^{n}}=a+1$$，$${{b}^{2n}}=b+3a$$的正数$$a$$与$$b$$的大小关系是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater1$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater a\textgreater1$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater1$$，$$0 \textless{} b \textless{} 1$$ 
aoVal: D
content: $$0 \textless{} a \textless{} 1$$，$$b\textgreater1$$ 
Answer: A
Analysis: 首先，$$a\textgreater1$$，$$b\textgreater1$$．否则，  若$$0 \textless{} a \textless{} 1$$，则$${{a}^{n}}=a+1\textgreater1$$，从而$$a\textgreater1$$，矛盾；  若$$0 \textless{} b \textless{} 1$$，$${{b}^{2n}}=b+3a\textgreater3a\textgreater3$$，从而$$b\textgreater1$$，矛盾．  故$$a$$、$$b$$均大于1．  一方面，$${{a}^{2n}}-{{b}^{2n}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}-\left( b+3a \right)={{a}^{2}}-a-b+1$$．  另一方面，$${{a}^{2n}}-{{b}^{2n}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}} \right)$$．  故$${{a}^{2}}-a-b+1$$  $$=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}} \right)$$，  即$$\frac{{{a}^{2}}-a-b+1}{a-b}$$  $$={{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}}\textgreater1$$．  $$\therefore \frac{{{a}^{2}}-2a+1}{a-b}\textgreater0$$，即$$\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{a-b}\textgreater0$$．故$$a\textgreater b$$．  综上所述，有$$a\textgreater b\textgreater1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->证明不等式的基本方法->比较法
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数函数的图象及性质
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 函数$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+{{(x+2)}^{0}}$$的定义域为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,-2)\cup (-2,2)$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty ,2)$$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 根据函数解析式，只需解析式有意义，即$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} 2-x\textgreater0    x+2\ne 0    \end{array} \right.$$，解不等式即可求解.\\ 【详解】\\ 由$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+{{(x+2)}^{0}}$$，\\ 则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} 2-x\textgreater0    x+2\ne 0    \end{array} \right.$$，解得$$x\textless{} 2$$且$$x\ne -2$$，\\ 所以函数的定义域为$$\left( -\infty ,-2 \right)\cup \left( -2,2 \right)$$.\\ 故选：B 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域
Source: 2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第2~2题