math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在边长为$$a$$的立方体的表面及内部可以找到$$9$$个点，使得其中任意两个点的距离至少为$$1$$，则$$a$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 由于是$$9$$个点，故$$4$$个为上平面的顶点，下平面$$4$$个顶点，正方体中心为$$1$$个点，  故只需要$$\begin{cases} a\geqslant 1   \sqrt{3}a\geqslant 2   \end{cases}$$，解得$$a\geqslant \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故当$$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$时，  一定存在$$9$$个点使得两两距离至少为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征
Source: 2021年第31届浙江绍兴上虞区希望杯高一竞赛复赛第6题
Problem: 设$$A$$、$$B$$是球的一条直径的两个端点，$$ \pi $$是过点$$A$$且垂直于$$AB$$的一个平面．$$C$$、$$D$$是球面上不同于$$A$$、$$B$$的两个点，延长$$BC$$、$$BD$$，分别交平面$$ \pi $$于$$E$$、$$F$$两点．若$$A$$、$$E$$、$$F$$三点构成等腰三角形，则$$AB$$与$$CD$$的位置关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$AB$$与$$CD$$垂直 
aoVal: B
content: $$AB$$与$$CD$$平行 
aoVal: C
content: $$AB$$与$$CD$$垂直且异面 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: D
Analysis: 若$$AE=EF\ne AF$$，则$$AB$$与$$CD$$不垂直，排除选项$$\text{A}$$和$$\text{C}$$；  若$$AB$$与$$CD$$平行，则$$A$$、$$E$$、$$F$$共线，构不成三角形，排除$$\text{B}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: $$2004-AMC10A-6$$  Bertha has $$6$$ daughters and no sons. Some of her daughters have $$6$$ daughters, and the rest have none. Bertha has a total of $$30$$ daughters and granddaughters, and no great-granddaughters. How many of Bertha\textquotesingle s daughters and grand-daughters have no children?  伯莎有 $6$$ 个女儿，没有儿子。 她的一些女儿有 $6$$ 个女儿，其余的没有。 伯莎总共有 30个女儿和孙女，没有曾孙女。 伯莎的女儿和孙女有多少没有孩子？
Options:
aoVal: A
content: $$22$$ 
aoVal: B
content: $$23$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
aoVal: E
content: $$26$$ 
Answer: E
Analysis: Since Bertha has $$6$$ daughters, she has $$30-6=24$$ granddaughters, of which none have daughters. Of Bertha\textquotesingle s daughters, $$\dfrac{24}{6}=4$$ have daughters, so $$6-4=2$$ do not have daughters. Therefore, of Bertha\textquotesingle s daughters and granddaughters, $$24+2=26$$ do not have daughters. $$\boxed{ (\text{E}) 26}$$.  ▪  ▪ Alcumus**  Bertha has $$30-6=24$$ granddaughters, none of whom have any daughters. The granddaughters are the children of $$\dfrac{24}{6}=4$$ of Bertha\textquotesingle s daughters, so the number of women having no daughters is $$30-4=\boxed {26}$$.  Draw a tree diagram and see that the answer can be found in the sum of $$6+6$$ granddaughters, $$5+5$$ daughters, and $$4$$ more daughters. Adding them together gives the answer of $$\boxed{ (\text{E}) 26}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排除法
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning
Source: 2004年AMC10竞赛A第6题
2004年AMC12竞赛A第4题
Problem: 若存在钝角$$\alpha $$，使得$$\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha ={{\log }_{2}}({{x}^{2}}-x+2)$$成立，则实数$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$ {x\textbar-1\leqslant x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\leqslant 2 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {x\textbar-1\textless{}x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\textless{}2 }$$ 
aoVal: C
content: $$ {x\textbar0\leqslant x\leqslant 1 }$$ 
aoVal: D
content: $$ {x\textbar-1\textless{}x\textless{}2 }$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\alpha \textless{} \pi $$，则$$\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =2\sin \left( \alpha -\frac{ \pi }{3} \right)\in \left( 1,2 \right]$$，  可知$$1\textless{}{{\log }_{2}}({{x}^{2}}-x+2)\leqslant 2$$，  即$$2\textless{}{{x}^{2}}-x+2\leqslant 4$$，  解得$$-1\leqslant x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\leqslant 2$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知集合$$P=\left { x\textbar1\leqslant x\leqslant 2 \right }$$，$$M=\left { x\textbar2-a\leqslant x\leqslant 1+a \right }$$，若$$P\cap M=P$$，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,  1 \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 1,  +\infty \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ -1,  1 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -1,  +\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$P\cap M=P\Rightarrow P\subseteq M\Rightarrow 2-a\leqslant 1$$，$$1+a\geqslant 2\Rightarrow a\geqslant 1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 方程$${{a}^{-x}}={{\log }_{a}}x(a\textgreater0,a\ne 1)$$的实数根的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 画图可知，$$y={{a}^{-x}}$$与$$y={{\log }_{a}}x$$的图象只有$$1$$个交点． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第2题4分
Problem: 在等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，$${{a}_{2}}+{{a}_{11}}+{{a}_{14}}=-6$$，则前$$17$$项的和$$\sum\limits_{i=1}^{17}{{{a}_{i}}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-34$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$34$$ 
Answer: B
Analysis: 设公差为$$d$$，则  $${{a}_{2}}+{{a}_{11}}+{{a}_{14}}=3{{a}_{1}}+24d=3{{a}_{9}}$$，  结合已知条件得$${{a}_{9}}=-2$$，  从而，前$$17$$项的和为$$17{{a}_{9}}=-34$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 在平面直角坐标系中，方程$$\frac{\left\textbar{} x+y \right\textbar}{2a}+\frac{\left\textbar{} x-y \right\textbar}{2b}=1$$（$$a$$、$$b$$为不相等的两个正数）所代表的曲线是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 三角形 
aoVal: B
content: 正方形 
aoVal: C
content: 非正方形的长方形 
aoVal: D
content: 非正方形的菱形 
Answer: D
Analysis: 将直角坐标系$$XOY$$绕原点逆时针旋转$$45{}^{}\circ $$，得到新坐标系$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$，点$$P$$在坐标系$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$中的坐标为（$${{x}^{\prime }}$$，$${{y}^{\prime }}$$）在坐标系$$XOY$$中的坐标为（$$x$$，$$y$$），则  $$\begin{cases}{{x}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)    {{y}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)    \end{cases}$$  题中方程$$\frac{\left\textbar{} x+y \right\textbar}{2a}+\frac{\left\textbar{} x-y \right\textbar}{2b}=1$$①  化成$$\frac{\left\textbar{} {{x}^{\prime }} \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} {{y}^{\prime }} \right\textbar}{b}=\sqrt{2}$$②  显然，②代表的曲线关于$${{X}^{\prime }}$$轴、$${{Y}^{\prime }}$$轴对称，在$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$的第Ⅰ象限内，②成为$$\frac{{{x}^{\prime }}}{a}+\frac{{{y}^{\prime }}}{b}=\sqrt{2}$$，即为线段$$AB$$，其中$$A$$（$$\sqrt{2}a$$，$$0$$），$$B$$（$$0$$，$$\sqrt{2}b$$）．  据对称性，在第Ⅱ象限内方程②是线段$$BC$$，其中$$C$$（$$-\sqrt{2}a$$，$$0$$）；  在第Ⅲ象限内方程②是线段$$CD$$，其中$$D$$（$$0$$，$$\sqrt{2}b$$）；  在第Ⅳ象限内方程②是线段$$AD$$．  由对称性知，$$AB=BC=CD=AD$$，又由于$$a\ne b$$，故$$AC\ne BD$$，所以$$ABCD$$是非正方形的菱形．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 1994年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 将二项式$${{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}} \right)}^{n}}$$的展开式按$$x$$的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中$$x$$的指数是整数的项共有个．
Options:
aoVal: A
content: $2$ 
aoVal: B
content: $3$ 
aoVal: C
content: $4$ 
aoVal: D
content: 以上答案均不对 
Answer: B
Analysis: 不难求出前三项的系数分别是$$1,\frac{1}{2}n,\frac{1}{8}n(n-1)$$，  ∵$$2\cdot \frac{1}{2}n=1+\frac{1}{8}n(n-1)$$，  ∴当$$n=8$$时，$${{T}_{r+1}}=C_{n}^{r}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{r}}{{x}^{\frac{16-3r}{4}}}$$ （$$r=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$8$$）  ∴$$r=0,4,8$$，即有$$3$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理
竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第8题9分
Problem: 已知数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{n}}=n\cdot {{k}^{n}}(n\in {{N}^{*}},0\textless{}k\textless{}1)$$下面说法正确的是（~ ）．  ①$$k=\frac{1}{2}$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为递减数列；  ②$$\frac{1}{2}\textless{}k\textless{}1$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$不一定有最大项；  ③$$0\textless{}k\textless{}\frac{1}{2}$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为递减数列；  ④当$$\frac{k}{1-k}$$为正整数时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$必有两项相等的最大项.
Options:
aoVal: A
content: ①② 
aoVal: B
content: ②④ 
aoVal: C
content: ③④ 
aoVal: D
content: ②③ 
Answer: C
Analysis: ①当$$k=\frac{1}{2}$$时，$${{a}_{n}}=n\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})$$，$$\because {{a}_{1}}=\frac{1}{2},{{a}_{2}}=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$，$$\therefore {{a}_{1}}={{a}_{2}}$$，  即数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$不是递减数列，$$\therefore $$①错误；  ②当$$\frac{1}{2}\textless{}k\textless{}1$$时，$$\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{(n+1)\cdot {{k}^{n+1}}}{n\cdot {{k}^{n}}}=\frac{(n+1)k}{n}$$，  $$\therefore k\textless\frac{k(n+1)}{n}\textless2k$$，因此数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$可有最大项，因此错误；  ③当$$0\textless{}k\textless{}\frac{1}{2}$$时，$$\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{(n+1)\cdot {{k}^{n+1}}}{n\cdot {{k}^{n}}}=\frac{(n+1)k}{n}\textless{}\frac{n+1}{2n}\leqslant 1$$，  $$\therefore {{a}_{n+1}}\textless{{a}_{n}}$$，故数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为递减数列；  ④当$$\frac{k}{1-k}$$为正整数时，$$\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{(n+1)\cdot {{k}^{n+1}}}{n\cdot {{k}^{n}}}=\frac{(n+1)k}{n}$$，  $$\therefore $$当$$\frac{k}{1-k}$$为正整数时，$$1\textgreater k\geqslant \begin{matrix} 1    2   \end{matrix}$$，  即当$$k=\frac{1}{2}$$时，$${{a}_{1}}={{a}_{2}}\textgreater{{a}_{3}}\textgreater{{a}_{4}}\textgreater\cdots $$  当$$1\textgreater k\textgreater\frac{1}{2}$$时，令$$\frac{k}{1-k}=m\in {{\mathbf{N}}^{*}}$$，解得$$k=\frac{m}{1+m}$$，则$$\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{(n+1)m}{n(1+m)}$$，  综上数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$必有两项相等的最大项． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
课内体系->思想->函数思想
课内体系->素养->数学运算
课内体系->特色题型->解答压轴
Source: 2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
2013~2014学年北京朝阳区高三上学期期末理科第8题
Problem: 從$$1$$到$$2016$$的整數中隨意地選出三個不同的整數，若這三個數的乘積爲奇數的機率爲$$p$$，則下列何者正確？  Three distinct integers are selected at random between $$1$$ and $$2016$$, inclusive. Which of the following is a correct statement about the probability $$p$$ that the product of the three integers is odd?
Options:
aoVal: A
content: $$ p\textless{} \frac{1}{8} $$ 
aoVal: B
content: $$ p= \frac{1}{8} $$ 
aoVal: C
content: $$ \frac{1}{8} \frac{1}{3} $$ 
aoVal: D
content: $$p=\frac 13$$ 
aoVal: E
content: $$p\textgreater\frac 13$$ 
Answer: A
Analysis: For the product to be odd, all three factors have to be odd. The probability of this is $$\frac {1008}{2016}\cdot \frac {1007}{2015}\cdot \frac {1006}{2014}$$.  $$\frac {1008}{2016}=\frac 12$$, but $$\frac {1007}{2015}$$ and $$\frac {1006}{2014}$$ are slightly less than $$\frac 12$$. Thus, the whole product is slightly less than $$\frac 12\cdot \frac 12\cdot \frac 12=\frac 18$$, so $$p\textless\frac 18$$.  For the product to be odd, all three factors have to be odd. There are a total of $$\left(\frac {2016}3\right)$$ ways to choose $$3$$ numbers at random, and there are $$\left(\frac {1008}3\right)$$ to choose $$3$$ odd numbers. Therefore, the probability of choosing $$3$$ odd numbers is $$\frac {(\frac {1008}3)}{(\frac {2016}3)}$$. Simplifying this, we obtain $$\frac {1008\cdot 1007\cdot 1006}{2016\cdot 2015\cdot 2014}$$, which is slightly less than $$\frac 18$$, so our answer is $$p\textless\frac 18$$. 
Source: 2016年AMC10竞赛第12题5分
Problem: 删去正整数数列$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第$$2003$$项是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2046$$ 
aoVal: B
content: $$2047$$ 
aoVal: C
content: $$2048$$ 
aoVal: D
content: $$2049$$ 
Answer: C
Analysis: 注意到$${{45}^{2}}=2025$$，$${{46}^{2}}=2116$$，∴$$2026={{a}_{2026-45}}={{a}_{1981}}$$，$$2115={{a}_{2115-45}}={{a}_{2070}}$$，  而且在从第$$1981$$项到第$$2070$$项之间的$$90$$项中没有完全平方数，  又$$1981+22=2003$$，∴$${{a}_{2003}}={{a}_{1981}}+22=2026+22=2048$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 已知抛物线$${{x}^{2}}=2py(p\textgreater0)$$，过点$$M\left( 0,-\frac{p}{2} \right)$$向抛物线引两条切线，$$A$$、$$B$$为切点，则线段$$AB$$的长度是（ ．
Options:
aoVal: A
content: $$3p$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{2}p$$ 
aoVal: C
content: $$2p$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}p$$ 
Answer: C
Analysis: 切线方程为$$y=kx-\frac{p}{2}$$，代入抛物线方程得$$\frac{{{x}^{2}}}{2p}=kx-\frac{p}{2}$$，  即$${{x}^{2}}-2pkx+{{p}^{2}}=0$$有一个实根，  故$$4{{p}^{2}}{{k}^{2}}-4{{p}^{2}}=0$$，  解得$$k=\pm 1$$，$$x=\pm p$$，  所以$$AB$$的长度为$$2p$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{1}}=1,  {{a}_{2}}=\frac{1}{2}$$，并且$${{a}_{n}}\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}} \right)=2{{a}_{n+1}}\cdot {{a}_{n-1}}\left( n\geqslant 2 \right)$$，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的第$$2012$$项为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2010}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2011}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2012}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2013}$$ 
Answer: C
Analysis: $${{a}_{n}}\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}} \right)=2{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}_{n+1}}}+\frac{1}{{{a}_{n-1}}}=2\frac{1}{{{a}_{n}}}\left( n\geqslant 2 \right)$$．  所以$$\left { \frac{1}{{{a}_{n}}} \right }$$是等差数列，且$$\frac{1}{{{a}_{1}}}=1,  d=1$$，则数列的通项公式$${{a}_{n}}=\frac{1}{n}$$，故第$$2012$$项为$$\frac{1}{2012}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 2008AMC12B, 23  The sum of the base-$$10$$ logarithms of the divisors of $$10^{n}$$ is $$792$$. What is $$n$$?  $$10^{n}$$的所有因数的以$$10$$为底的对数之和是$$792$$. 则$$n$$的值为? ．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
aoVal: E
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: $$792=\sum_{i=0}^{}n\sum_{j=0}^{}n\left(i\log{2}+j\log{5}\right)=\sum_{i=0}^{}n\left((n+1)i\log{2}+\frac{n(n+1)}{2}\log{5}\right)=\frac{n(n+1)^{2}}{2}(\log{2}+\log{5})=\frac{n(n+1)^{2}}{2}$$, 其中$\log$指$\log_{10}$.  于是有$n(n+1)^{2}=1584=2^{4}\times 3^{2}\times 11$.  可以看出$11\textbar n$, 然后如果再有$2^{2}\textbar n$或$3^{2}\textbar n$, $(n+1)^{2}$就太小了, 于是只有$n=11$, 选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
Source: 2008年AMC12竞赛B第23题
Problem: 已知函数$$f(x)={{x}^{3}}+(a+1){{x}^{2}}+(a+1)x+a$$在其定义域内既有极大值又有极小值，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1\textless{}a\textless{}2$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater2$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}-1$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater2$$或$$a\textless{}-1$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$f(x)={{x}^{3}}+(a+1){{x}^{2}}+(a+1)x+a,$$  得$$f'(x)=3{{x}^{2}}+2(a+1)x+(a+1)$$．  已知$$f(x)$$在其定义域内既有极大值又有极小值，  所以$$f\prime (x)=0$$一定有两个不相等的实数根．  从而$$\Delta =4{{(a+1)}^{2}}-12(a+1)\textgreater0$$，  解得$$a\textgreater2$$或$$a\textless{}-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 设$$a$$是正整数，$$a\textless{}100$$．并且$${{a}^{3}}+23$$能被$$24$$整除，那么这样的$$a$$的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: 考虑使得$$24\textbar{{a}^{3}}-1$$成立的$$a$$．  $${{a}^{3}}-1=\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)=\left[ \left( a-1 \right)a\left( a+1 \right)+1 \right]$$．  因$$a\left( a+1 \right)+1$$是奇数，  若要$$24\textbar\left( {{a}^{3}}-1 \right)$$，必有$${{2}^{3}}\left( a-1 \right)$$．  若$$a-1$$不能被$$3$$整除，则$$3\textbar a\left( a+1 \right)$$，  从而$$a\left( a+1 \right)+1$$不能被$$3$$整除．  因此，若要$$24\textbar\left( {{a}^{3}}-1 \right)$$，必有$$3\left( a-1 \right)$$．这样就有  $$24\textbar\left( a-1 \right)$$，即  $$a=24k+1$$，  $$\left( k\in Z \right)$$．  由$$24k+1\textless{}100$$，$$k$$可能取的一切值为$$0,1,2,3,4$$，也就是这样的$$a$$有$$1,25,49,73,97$$五个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->同余->同余的概念与性质
Source: 1991年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 下面的命题中，正确的个数为．  （1） 将函数$$y=4\sin 2x$$图象向左平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位得到函数$$y=4\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)$$的图象；  （2） 函数$$y=4\cos (2x+\varphi )$$图象关于点$$\left( \frac{\pi }{6},0 \right)$$对称的充要条件是$$\varphi =k\pi +\frac{\pi }{6}(k\in Z)$$；  （3） 函数$$y=\frac{4\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}$$的周期为$$\frac{\pi }{2}$$；  （4） 化简$$\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}$$等于$$2\sin 1$$．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: C
Analysis: $$y=4\sin 2x$$向左平移$$\frac{\text{ }\pi }{3}$$个单位，得到$$y=4\sin 2\left( x+\frac{\text{ }\pi }{3} \right)=4\sin \left( 2x+\frac{2}{3}\text{ }\pi ~\right)$$，⑴错；  由$$4\cos \left( 2\cdot \frac{\text{ }\pi }{6}+\varphi \right)=0$$，得$$\frac{\text{ }\pi }{3}+\varphi =k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{2}$$，即$$\varphi =k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{6}$$，$$k\in \mathbf{Z}$$，⑵对；  $$y=\frac{4\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}=2\tan 2x$$，但$$x\ne k\text{ }\pi \pm \frac{\text{ }\pi }{4},k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{2}$$，$$y$$不是周期函数，⑶错；  $$\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}=\sqrt{{{\left( \sin 1+\cos 1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sin 1-\cos 1 \right)}^{2}}}=2\cos 1$$，⑷错．  正确的命题个数只有$$1$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角不等式
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 对任意正整数$$n$$，定义$$Z(n)$$为使得$$1+2+\cdots +m$$是$$n$$的倍数的最小正整数$$m$$．关于下列三个命题：  ①若$$p$$为奇素数，则$$Z(p)=p-1$$；  ②对任意正整数$$a$$，均有$$Z(2^{}a)\textgreater2^{}a$$；  ③对任意正整数$$a$$，均有$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  其中，真命题的序号为．
Options:
aoVal: A
content: ①② 
aoVal: B
content: ①③ 
aoVal: C
content: ②③ 
aoVal: D
content: ①②③ 
Answer: D
Analysis: 注意到，$$1+2+ \cdots +m= \frac{m(m+1)}{2}$$，  在命题①中，由$$p\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2p\textbar m(m+1)$$，  又$$p$$为奇素数，则$$p\textbar m$$或$$p\textbar(m+1)$$，  故$$m$$的最小值为$$p-1$$，  因此，命题①正确．  在命题②中，由$$2^{a}\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2^{a+1}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$(m,m+1)=1$$，  则$$2^{a+1}\textbar m$$或$$2^{a+1}\textbar(m+1)$$，  故$$Z(2^{}a)=2^{a+1}-1\textgreater2^{}a$$，  因此，命题②正确．  在命题③中，由$$3^{a}\left\textbar\frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2\times 3^{a}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$2\textbar m(m+1)$$，$$(2,3)=1$$，  则$$2\times3^{}a\textbar m(m+1)\Leftrightarrow 3^{}a\textbar m(m+1)$$，  又$$(m,m+1)=1$$，  于是，$$3^{}a\textbar m$$或$$3^{}a\textbar(m+1)$$，  故$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  因此，命题③正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）
Source: 2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 对于直角坐标平面内的任意两点$$A({{x}_{1}} ,{{y}_{1}})$$、$$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，定义，它们之间的一种``距离''：$$\textbar\textbar AB\textbar\textbar=\textbar{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\textbar+\textbar{{y}_{1}}-{{y}_{2}}\textbar$$．给出下列三个命题：  ①若点$$C$$在线段$$AB$$上，则$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar=\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$；  ②在$$\triangle ABC$$中，若$$\angle C=90{}^{}\circ $$，则$$\textbar\textbar AC\textbar{{\textbar}^{2}}+\textbar\textbar CB\textbar{{\textbar}^{2}}=\textbar\textbar AB\textbar{{\textbar}^{2}}$$；  ③在$$\triangle ABC$$中，$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar\textgreater\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$．  其中真命题的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 注意到$$C$$点坐标的大小介于$$A,B$$点之间，易知①正确；  取点$$C$$为原点，$$A,B$$点分别在$$x,y$$轴上，  则$$\textbar\textbar AB\textbar{{\textbar}^{2}}=\textbar AB{{\textbar}^{2}}+2\textbar AC\textbar\textbar BC\textbar\textgreater\textbar AC{{\textbar}^{2}}+\textbar BC{{\textbar}^{2}}=\textbar\textbar AC\textbar{{\textbar}^{2}}+\textbar\textbar CB\textbar{{\textbar}^{2}}$$，②不正确；  当$$AC$$、$$CB$$分别与$$x$$、$$y$$轴平行时，$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar=\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2017~2018学年4月北京西城区北京市第八中学高三下学期月考理科第8题5分
2009年竞赛珠海市第12题5分
Problem: 函数$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( x+\frac{ \pi }{2} \right)+\cos \left( \frac{ \pi }{6}-x \right)$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{13}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{13}}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{13}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{13}$$ 
Answer: C
Analysis: $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( x+\frac{ \pi }{2} \right)+\cos \left( \frac{ \pi }{6}-x \right)=\sqrt{3}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{13}}{2}\sin \left( x+\varphi \right)$$，其中$$\sin \varphi =\frac{2\sqrt{39}}{13}$$，$$\cos \varphi =\frac{\sqrt{13}}{13}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 称横坐标为整数的点为``次整点''，过曲线$$y=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$$上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于$$30{}^{}\circ $$的直线条数为．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: 次整点有$$\left( \pm 3,0 \right)$$，$$\left( \pm 2,\sqrt{5} \right)$$，$$\left( \pm 1,2\sqrt{2} \right)$$，$$\left( 0,3 \right)$$，斜率为负的直线都满足要求，共有$$5+3+1=9$$条，斜率为正的只有$$5$$条满足要求，总共$$9+5=14$$条． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合
Source: 2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知平面上点的集合$$M= {(x,y)\textbar y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}} }$$，$$N= {(x,y)\textbar y=k(x+1) }$$．当$$M\cap N\ne \varnothing $$时，$$k$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 0,\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3},0 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 集合$$M$$的图形为以$$\left( 1,0 \right)$$为圆心、$$1$$为半径的圆的上半圆，  集合$$N$$的图形为过$$\left( -1,0 \right)$$的直线．  若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在$$\left[ 0,\frac{ \pi }{6} \right]$$内，  即$$k\in \left[ 0,\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知集合$$M=\left { -1,0,1 \right }$$，$$N=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}} \right. \right }$$，则$$M\bigcap N=$$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$\left { 0 \right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { -1,1 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { 0,1 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\left { -1,0,1 \right }$$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 求出集合$$N$$，利用交集的定义可得结果.\\ 【详解】\\ $$N=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}} \right. \right }=\left { y\left\textbar{} y\ge 0 \right. \right }$$，故$$M\bigcap N=\left { 0,1 \right }$$.\\ 故选：C. 
Source: 2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第1~1题
Problem: 已知圆$${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$$与圆$${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$$关于直线$$l$$对称，则$$l$$的方程为．
Options:
aoVal: A
content: $$x+y+1=0$$ 
aoVal: B
content: $$x-y+1=0$$ 
aoVal: C
content: $$x-y-1=0$$ 
aoVal: D
content: $$x+y-1=0$$ 
Answer: B
Analysis: 直线$$l$$即为两圆心$$\left( -2,  1 \right)$$、$$\left( 0,  -1 \right)$$的垂直平分线，即为  $$x-y+1=0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合
Source: 2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第1题4分
2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 一个有限项的数列满足：任何$$3$$个连续项之和都是负数，且任何$$4$$个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 如果有$$6$$项，则  $$0 ~\textless{} ~\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)+\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)+\left( {{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}} \right)$$  $$=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)+\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)+\left( {{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)+\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}} \right)$$  $$ ~\textless{} ~0$$．  矛盾，所以最多$$5$$项．  数列$$2$$，$$2$$，$$-5$$，$$2$$，$$2$$满足要求，所以数列项数最大值为$$5$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->思想->转化化归思想
课内体系->思想->函数思想
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
Source: 2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 设$$A=[-2,4)$$，$$B= {x\textbar{{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0 }$$，若$$B\subseteq A$$，则实数$$a$$的取值范围为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -1,2 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$[-1,2]$$ 
aoVal: C
content: $$[0,3]$$ 
aoVal: D
content: $$[0,3)$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$B\subseteq A$$，  ∴①$$B=\varnothing $$，$$\Delta \textless{}0$$，无解，  ②$$B\ne \varnothing $$，$${{x}^{2}}-ax-4=0$$有两根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}\in [-2,4)$$，  设$$f(x)=x^{2}-ax-4$$，  ∴$$\begin{cases}f(-2)\geqslant 0    f(4)\textgreater0    -2\textless\dfrac{a}{2}\textless{}4 \end{cases}\Rightarrow 0\leqslant a\textless{}3$$．  故选$$\text{D}$$． 
<p>因$${{x}^{2}}-2ax-4=0$$有两个实根$${{x}_{1}}=\frac{a}{2}-\sqrt{4+\frac{{{a}^{2}}}{4}}$$，$${{x}_{2}}=\frac{a}{2}+\sqrt{4+\frac{{{a}^{2}}}{4}}$$，故$$B\subseteq A$$等价于$${{x}_{1}}\mathsf{\geqslant }-2$$且$${{x}_{2}}&lt;{}4$$，即$$\frac{a}{2}-\sqrt{4+\frac{{{a}^{2}}}{4}}\mathsf{\geqslant }-2$$且$$\frac{a}{2}+\sqrt{4+\frac{{{a}^{2}}}{4}}&lt;{}4$$，解之得$$0\mathsf{\leqslant }a&lt;{}3$$．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>

Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集
课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->集合关系中的含参问题
Source: 2016~2017学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期期中理科第8题5分
2014年天津和平区高三二模文科第6题5分
2008年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
2014年天津和平区高三二模理科第6题5分