math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知函数$$y=(a{{\cos }^{2}}x-3)\sin x$$的最小值为$$-3$$，则实数$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$ 
aoVal: C
content: $$-12\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$-12\leqslant a\leqslant- \frac{3}{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 令$$\sin x=t$$，则原函数化为$$g(t)=(-a{{t}^{2}}+a-3)t$$，即$$g(t)=-a{{t}^{3}}+(a-3)t$$，  由$$-a{{t}^{3}}+(a-3)t\geqslant -3$$，$$-at({{t}^{2}}-1)-3(t-1)\geqslant 0$$，$$(t-1)(-at(t+1)-3)\geqslant 0$$及$$t-1\leqslant 0$$，知$$-at(t+1)-3\leqslant 0$$即$$a({{t}^{2}}+t)\geqslant -3$$，（$$1$$）  当$$t=0$$，$$1$$时（$$1$$）总成立；  对$$0\textless{}t\leqslant 1$$，$$0\textless{}{{t}^{2}}+t\leqslant 2$$，对$$-1\textless{}t\textless{}0$$，$$-\frac{1}{4}\leqslant {{t}^{2}}+t\textless{}0$$，  从而可知$$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$．  问题即函数$$f\left( x \right)=-a{{x}^{3}}+(a-3)x$$在区间$$[-1,1]$$上的最小值为$$-3$$．函数$$f\left( x \right)$$的导函数为$${{f}^{\prime }}\left( x \right)=-3a{{x}^{2}}+(a-3)$$．  注意到$$f(1)=-3$$，于是$${{f}^{\prime }}\left( 1 \right)\leqslant 0$$，可得$$a\geqslant -\frac{3}{2}$$．  情形一：$$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 3$$，  此时恒有$${{f}^{\prime }}\left( x \right)\leqslant 0$$，函数$$f(x)$$在区间$$[-1,1]$$上单调递减，符合题意．  情形二：$$a\textgreater3$$．  此时函数$$f(x)$$在区间$$[-1,1]$$上有极小值点$$x=-\sqrt{\frac{a-3}{3a}}$$，  于是根据题意，有$$f\left( -\sqrt{\frac{a-3}{3\alpha }} \right)\geqslant -3$$，  即$$-\frac{2(a-3)}{3}\cdot \sqrt{\frac{a-3}{3a}}\geqslant -3$$，  整理得$$(a-12)(4{{a}^{2}}+12a+9)\leqslant 0$$，  解得$$a\leqslant 12$$．  综上所述，$$a$$的取值范围是$$\left[ -\frac{3}{2},12 \right]$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->素养->数学运算
Source: 2010年全国全国高中数学联赛竞赛复赛一试第2题8分
高二上学期单元测试《导数及其应用》自招第8题
Problem: 体育课下课后，老师要求体育委员把$$5$$个相同的篮球、$$3$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．
Options:
aoVal: A
content: $$420$$种 
aoVal: B
content: $$1260$$种 
aoVal: C
content: $$5040$$种 
aoVal: D
content: $$2520$$种 
Answer: D
Analysis: 总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 若$$F\left( \frac{1-x}{1+x} \right)=x$$，则下列等式中正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$F\left( -2-x \right)=-2-F\left( x \right)$$ 
aoVal: B
content: $$F\left( -x \right)=F\left( \frac{1+x}{1-x} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$F\left( {{x}^{-1}} \right)=F\left( x \right)$$ 
aoVal: D
content: $$F\left( F\left( x \right) \right)=-x$$ 
Answer: A
Analysis: 令 $$u=\frac{1-x}{1+x}$$，解得 $$x=\frac{1-u}{1+u}$$．  所以 $$F\left( u \right)=\frac{1-u}{1+u}$$，即 $$F\left( x \right)=\frac{1-x}{1+x}$$  然后逐一验证  $$F\left( -2-x \right)=\frac{1-\left( -2-x \right)}{1+\left( -2-x \right)}=-\frac{3+x}{1+x}$$  $$=-2-\frac{1-x}{1+x}=-2-F\left( x \right)$$  选择$$A$$．  又本题也可用特殊值验证排除法．  由 $$F\left( \frac{1-x}{1+x} \right)=x$$中．  令 $$x=1$$，得 $$F\left( 0 \right)=1$$  令 $$x=0$$，得 $$F\left( 1 \right)=0$$．  而在$$\text{B}$$的等式中，令$$x=0$$，有$$F\left( 0 \right)=F\left( 1 \right)$$，所以应排除$$\text{B}$$，在$$\text{C}$$中的等式中，$$x=0$$无意义，排除$$\text{C}$$．在等式$$\text{D}$$中，左边$$F\left( F\left( 1 \right) \right)=F\left( 0 \right)=1\ne -1$$，所以也排除$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 1984年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 已知不等式$$\frac{x-5}{x+1}\textless{}0$$的解集为$$M$$，若$${{x}_{0}}\in M$$，则$${{\log }_{2}}\left( {{x}_{0}}+1 \right)\textless{}1$$的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{5}$$ 
Answer: B
Analysis: $$M=\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}5 \right },  {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\textless{}1$$的解集为$$\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}1 \right }$$，所以概率为$$\frac{1}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 将正整数中所有数码不超过$$5$$的数从小到大排成一列，则第$$2021$$个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$10000$$ 
aoVal: B
content: $$13205$$ 
aoVal: C
content: $$13321$$ 
aoVal: D
content: $$14102$$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：所有数码不超过$$5$$的一位正整数有$$5$$个，两位正整数有$$5\times 6=30$$个，三位正整数有$$5\times {{6}^{2}}=180$$个，四位正整数有$$5\times {{6}^{3}}=1080$$个，共有$$1295$$个；  万位数为$$1$$，千位为$$0$$，共$$216$$个；  万位数为$$1$$，千位为$$1$$，共$$216$$个；  万位数为$$1$$，千位为$$2$$，共$$216$$个；共$$1943$$个，  万位数为$$1$$，千位为$$3$$，百位是$$0$$，$$1$$各$$36$$个，共$$72$$个，  一共$$1943+72=2015$$个，还差$$6$$个，百位是$$2$$，个位取$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，  所以第$$2021$$个数是$$13205$$．  方法二：数码不超过$$5$$的数可以与一个六进制数建立一一对应关系，$$2021=1\times {{6}^{4}}+3\times {{6}^{3}}+2\times {{6}^{2}}+0\times 6+5$$，利用除$$6$$取余法可得，  即$${{\left( 2021 \right)}_{10}}={{\left( 13205 \right)}_{6}}$$，  所以答案是：$$13205$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合
竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
Source: 2021年新疆全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分
Problem: 已知函数$$f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1(a\textless{}0)$$，且$$f(5)=3$$，则使$$f(x)=0$$成立的$$x$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: 不确定的 
Answer: C
Analysis: 注意到$$x\to -\infty $$时，$$f(x)\textgreater0$$；$$f(0)=-1\textless{}0$$；$$f(5)=3\textgreater0$$；$$x\to +\infty $$时，$$f(x)\textless{}0$$，于是$$f(x)=0$$有$$3$$个实根． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第3题4分
Problem: 2005AMC12A, 21  How many ordered triples of integers $$(a, b, c)$$, with $$a\geqslant2$$, $$b\geqslant1$$, and $$c\geqslant0$$, satisfy both $$\log_ab=c^{2005}$$ and $$a+b+c= 2005$$?  有多少个整数 $$(a, b, c)$$ 的有序三元组，其中 $$a\geqslant2$$、$$b\geqslant1$$ 和 $$c\geqslant0$$ 满足 $$\log_ab =c^{2005}$$ 和 $$a+b+c= 2005$$?
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由$\log_a{b}=c^{2005}$可知$b=a^{c\^{2005}}$.  又由$a+b+c=2005$知$a\textless2005$, 故$c=0$或$c=1$.  $c=0$时, $b=a^{0}=1$, $a=2005-b-c=2004$.  $c=1$时, $b=a^{1}=a$, 再由$a+b+c=2005$知$(a,b,c)=(1002, 1002, 1)$.  共两种, 选$$\text{C}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Solve Quadratic Equations
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->指对化简求值
Source: 2005年AMC12竞赛A第21题
Problem: 已知$$x$$，$$y\in \left[ -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4} \right]$$，且$${{x}^{3}}+\sin x-2a=0$$，$$4{{y}^{3}}+\frac{1}{2}\sin 2y+a=0$$，则$$\cos (x+2y)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 解析：第二个式子可以化成$${{(2y)}^{3}}+\sin 2y+2a=0$$，由于$${{x}^{3}}+\sin x$$是奇函数，且$$2y\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$$，  所以$$x=-2y$$，$$\cos (x+2y)=\cos 0=1$$．  故答案为：$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第15题5分
Problem: $${{\left( x-\frac{1}{{{x}^{6}}} \right)}^{2009}}$$的二项展开式中常数项为．
Options:
aoVal: A
content: $$\text{C}_{2009}^{286}$$ 
aoVal: B
content: $$\text{C}_{2009}^{287}$$ 
aoVal: C
content: $$-\text{C}_{2009}^{286}$$ 
aoVal: D
content: $$-\text{C}_{2009}^{287}$$ 
Answer: D
Analysis: 由于  $${{\left( x-\frac{1}{{{x}^{6}}} \right)}^{2009}}=\sum\limits_{k=0}^{2009}{\text{C}_{2009}^{k}{{x}^{2009-k}}{{(-{{x}^{-6}})}^{k}}}$$，  则若要出现常数项，须满足$$2009-k-6k=0\Rightarrow k=287$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求二项式展开式的特定项
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数
课内体系->素养->数学运算
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 直线$$l$$在平面$$ \pi $$上，直线$$m$$平行于平面$$ \pi $$，并与直线$$l$$异面．动点$$P$$在平面$$ \pi $$上，且到$$l$$和$$m$$的距离相等．则$$P$$点的轨迹是．
Options:
aoVal: A
content: 直线 
aoVal: B
content: 椭圆 
aoVal: C
content: 抛物线 
aoVal: D
content: 双曲线 
Answer: D
Analysis: 设$$m$$在平面$$ \pi $$上的投影为$${m}'$$，$${m}'$$交$$l$$于$$O$$点．在平面$$ \pi $$上，以$$O$$为原点，$$l$$为$$y$$轴建立直角坐标系，则可设$${m}'$$的方程为$$y=k \pi $$．又设$$P$$点的坐标为$$\left( x,  y \right)$$，则$$P$$到$$l$$的距离为$$\left\textbar{} x \right\textbar$$；它到$${m}'$$的距离为$$\frac{\left\textbar{} y-kx \right\textbar}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}$$，从而$$P$$到$$m$$的距离平方等于  $$\frac{{{\left( y-kx \right)}^{2}}}{1+{{k}^{2}}}+{{a}^{2}}$$，  其中$$a$$为直线$$m$$到平面$$ \pi $$的距离．因此，$$P$$点的轨迹方程是  $$\frac{{{\left( y-kx \right)}^{2}}}{1+{{k}^{2}}}+{{a}^{2}}={{x}^{2}}$$．  可见轨迹是双曲线． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试）
Source: 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 若$${{\left( {{\log }_{2}}3 \right)}^{x}}-{{\left( {{\log }_{5}}3 \right)}^{x}}\geqslant {{\left( {{\log }_{2}}3 \right)}^{-y}}-{{\left( {{\log }_{5}}3 \right)}^{-y}}$$，则（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x-y\geqslant 0$$ 
aoVal: B
content: $$x+y\geqslant 0$$ 
aoVal: C
content: $$x-y\leqslant 0$$ 
aoVal: D
content: $$x+y\leqslant 0$$ 
Answer: B
Analysis: 记$$f\left( t \right)={{\left( {{\log }_{2}}3 \right)}^{t}}-{{\left( {{\log }_{5}}3 \right)}^{t}}$$，  则$$f\left( t \right)$$在$$\mathbf{R}$$上是严格增函数．  原不等式即$$f\left( x \right)\geqslant f\left( -y \right)$$．  故$$x\geqslant -y$$，  即$$x+y\geqslant 0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式
课内体系->素养->数学运算
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，已知$$6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$$，则$$\angle A=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$30{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$45{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$135{}^{}\circ $$ 
Answer: D
Analysis: 设$$\triangle ABC$$的三边分别为$$a,b,c,$$  由已知$$6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$$，  可得$$6bc\cos A=2ac\cos \left( ~\pi -B \right)=3ab\cos \left( ~\pi -C \right)$$  即$$6bc\cos A=-2ac\cos B=-3ab\cos C$$，  再利用余弦定理可得$$6bc\cdot \frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=-2ac\cdot \frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=-3ab\cdot \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}$$，  化简可得$${{a}^{2}}=5{{b}^{2}},{{c}^{2}}=2{{b}^{2}},$$  所以$$\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  故$$A=135{}^{}\circ $$，故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 若直线$$x=\frac{ \pi }{4}$$被曲线$$C$$：$$\left( x-\arcsin \alpha \right)\left( x-\arccos \alpha \right)+\left( y-\arcsin \alpha \right)\left( y+\arccos \alpha \right)=0$$所截得的弦长为$$d$$，当$$a$$变化时$$d$$的最小值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: D
content: $$ \pi $$ 
Answer: C
Analysis: 由题设知，曲线$$C$$是以$${{P}_{1}}\arcsin a,\arcsin a$$，$${{P}_{2}}\arccos a-\arccos a$$两点为直径端点的圆．其圆心的横坐标为  $${{x}_{0}}=\frac{\arcsin a+\arccos a}{2}=\frac{\mathsf{\pi }}{4}$$，  故直线$$x=\frac{\pi }{4}$$过圆心，$$d$$就是该圆的直径．而  $${{d}^{2}}=\left[ {{(\arcsin a)}^{2}}+(\arccos a) \right]\mathsf{\geqslant }{{(\arcsin a+\arccos a)}^{2}}={{\frac{ \pi }{4}}^{2}}$$．  ∴$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，又当$$\arcsin a=\arccos a$$时相应的$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 1993年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: $${{\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{x} \right)}^{6}}$$的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: B
Analysis: $${{T}_{r+1}}=\text{C}_{6}^{r}{{({{x}^{2}})}^{6-r}}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{2}}$$  $$={{(-1)}^{r}}\text{C}_{6}^{r}{{x}^{12-2r}}\cdot {{x}^{-r}}$$  $$={{(-1)}^{r}}\text{C}_{6}^{r}{{x}^{12-3r}}$$，  ∵求常数项，  ∴令$$12-3r=0$$，则$$r=4$$，  ∴$${{T}_{5}}={{(-1)}^{4}}\cdot \text{C}_{6}^{4}{{x}^{0}}=15$$．  故答案为：$$15$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数
课内体系->素养->数学运算
Source: 2018年河北唐山高三二模理科第13题5分
2017~2018学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期期中理科第14题3分
2018~2019学年山东济南高三上学期期末理科第13题5分
2020年山东日照高三一模第14题5分
2020~2021学年11月广东广州海珠区广州市第五中学高三上学期月考第14题5分
2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第13题4分
2017年湖北武汉高三三模理科第13题5分
Problem: $$2014-AMC10A-11$$  A customer who intends to purchase an appliance has three coupons, only one of which may be used:  Coupon $$1$$: $$10$$\% off the listed price if the listed price is at least ＄$$50$$.  Coupon $$2$$: ＄$$20$$ off the listed priceif the listed price is at least＄$$100$$.  Coupon $$3$$: $$18$$\% off the amount by which the listed price exceeds ＄$$100$$.  For which of the following listed prices will coupon $$1$$ offer a greater price reduction than either coupon $$2$$ or coupon $$3$$?  打算购买电器的客户有三张优惠券，只能使用其中一张：  优惠券 $$1$$：如果标价至少为 ＄$$50$$，则比标价低 10\%。  优惠券$$2$$：如果标价至少为$$100$$，则标价可减$20。  优惠券 $$3$$：标价超过$$100$$的部分可享受 $$18$$\% 的折扣。  对于以下哪个列出的价格，优惠券 $$1$$ 比优惠券 $$2$$ 或优惠券 $$3$$ 的降价幅度更大？
Options:
aoVal: A
content: ＄$$179.95$$ 
aoVal: B
content: ＄$$199.95$$ 
aoVal: C
content: ＄$$219.95$$ 
aoVal: D
content: ＄$$239.95$$ 
aoVal: E
content: ＄$$259.95$$ 
Answer: C
Analysis: Let the listed price be $$x$$. Since all the answer choices are above ＄$$100$$, we can assume $$x\textgreater{} 100$$. Thus the discounts after the coupons are used will be as follows:  Coupon $$1$$: $$x\times10$$\%$$=$$$$0.1 x$$.  Coupon $$2$$: $$20$$.  Coupon $$3$$: $$18$$\%$$\times (x-100)=0.18 x-18$$.  For coupon $$1$$ to give a greater price reduction than the other coupons, we must have $$0.1 x\textgreater20 \Rightarrow x\textgreater200$$ and $$0.1x\textgreater0.18 x-18 \Rightarrow0 .08 x\textless18 \Rightarrow x\textless225$$.  From the first inequality, the listed price must be greater than ＄$$200$$, so answer choices $$(\rm A)$$ and $$(\rm B)$$ are eliminated.  From the second inequality, the listed price must be less than ＄$$225$$, so answer choices $$(\rm D)$$ and $$(\rm E)$$ are eliminated.  The only answer choice that remains is $$(\rm C)$$＄$$219.95$$.  For coupon $$1$$ to be the most effective, we want $$10$$\% of the price to be greater than $$20$$. This clearly ~occurs if the value is over $$200$$. For coupon $$1$$ to be more effective than coupon $$3$$, we want to minimize the value over $$200$$, so $$(\rm C)$$＄$$219.95$$ is the smallest number over $$200$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2014年AMC10竞赛A第11题
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\sin 3x+\sin 4x \right\textbar$$的最小正周期为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\pi$$ 
aoVal: B
content: $$2\pi$$ 
aoVal: C
content: $$3\pi$$ 
aoVal: D
content: $$4\pi$$ 
Answer: B
Analysis: 由和差化积公式得：  $$\sin 2x+\sin 4x=2\cos x\sin 3x$$，  ∴原式$$=\left\textbar{} 2\cos x\sin 3x+\sin 3x \right\textbar$$$$=\left\textbar{} 2\cos +1 \right\textbar\cdot \left\textbar{} \sin 3x \right\textbar$$，  又$$\left\textbar{} 2\cos x+1 \right\textbar$$最小正周期为$$2\pi $$，  $$\left\textbar{} \sin 3x \right\textbar$$最小正周期为$$\frac{\pi }{3}$$，  故$$f\left( x \right)$$最小正周期为$$2\pi $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2018年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分
Problem: 设$$f(x)={{x}^{2}}- \pi x$$，$$\alpha =\arcsin \frac{1}{3}$$，$$\beta =\arctan \frac{5}{4}$$，$$\gamma =\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$$，$$\delta =\text{arc}\cot \left( -\frac{5}{4} \right)$$，则（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$ 
aoVal: B
content: $$f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$ 
aoVal: C
content: $$f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$ 
aoVal: D
content: $$f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \gamma \right)\textgreater f\left( \beta \right)$$ 
Answer: B
Analysis: $$f(x)$$的对称轴为$$x=\frac{ \pi }{2}$$，  易得$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{6}\textless{}\frac{ \pi }{4}\textless{}\beta \textless{}\frac{ \pi }{3}\textless{}\frac{ \pi }{2}\textless{}\gamma \textless{}\frac{2 \pi }{3}\textless{}\frac{3 \pi }{4}\textless{}\delta \textless{}\frac{5 \pi }{6}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->反三角函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->二次函数相关的恒成立问题
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质
课内体系->素养->直观想象
Source: 1997年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 若$$x\textgreater1$$，则$${{x}^{\ln \ln x}}-{{\left( \ln x \right)}^{\ln x}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 零 
aoVal: C
content: 负数 
aoVal: D
content: 以上皆有可能 
Answer: B
Analysis: 令$$m=\ln x$$，则$${{x}^{\ln \ln x}}-{{\left( \ln x \right)}^{\ln x}}={{\left( {{\text{e}}^{m}} \right)}^{\ln m}}-{{m}^{m}}=0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 定义集合$$M,N$$的一种运算*：$$M*N= {x\textbar x={{x}_{1}}{{x}_{2}},{{x}_{1}}\in M,{{x}_{2}}\in N }$$，若$$M= {1,2,3 }$$，$$N= {0,1,2 }$$，则$$M*N$$中的所有元素的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: $$M*N= {0,1,2,3,4,6 }$$，故所求的和为$$16$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第5题4分
Problem: 设集合$$A=\left { 2,0,1,3 \right }$$，$$B=\left { x\left\textbar{} -x\in A,2-{{x}^{2}}\notin A \right. \right }$$，则集合$$B$$中所有元素的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-4$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$-6$$ 
aoVal: D
content: $$-7$$ 
Answer: B
Analysis: 易知，$$B=\left { -2,-3 \right }$$，  则集合$$B$$中所有元素的和为$$-5$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知三个不同的平面$$\alpha ,\beta ,\gamma $$和两条不重合的直线$$m,  n$$，有下列$$4$$个命题：  ①$$m//\alpha $$，$$\alpha \cap \beta =n$$，则$$m//n$$ ②$$m\bot \alpha ,  m//n,  n\subset \beta $$，则$$\alpha \bot \beta $$ ③$$\alpha \bot \beta ,\gamma \bot \beta $$，则$$\alpha //\gamma $$ ④$$\alpha \cap \beta =m,  m\bot \gamma $$，则$$\alpha \bot \gamma $$  其中正确命题的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: ①~~ 错误，$$\beta $$不一定是经过直线$$m$$的平面；  ②~~ 正确；  ③错误，例如教室的墙角，不妨设$$\alpha $$为东墙面，$$\gamma $$为北墙面，$$\beta $$为底面，满足$$\alpha \bot \beta ,\gamma \bot \beta $$，但$$\alpha $$与$$\gamma $$相交；  ④正确，故选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 已知$$f(x)=\begin{cases}{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}, , x\in ( ,-\infty   ,  1  )   {{\log }_{\frac{1}{2}}}x,  x\in \left[  ,1  ,  +\infty \right) \end{cases}$$，则$$f\left[ f( ,-1) \right]=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: $$f\left[ f\left( -1 \right) \right]=f\left[ {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{-1}} \right]=f\left( 4 \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}4=-2$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
竞赛->知识点->函数->函数方程
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 若函数$$y={{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-ax+1 \right)$$有最小值，则$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}1$$ 
aoVal: B
content: $$1\textless{}a\textless{}2$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater{}2$$ 
aoVal: D
content: 以上选项都不对 
Answer: B
Analysis: 因为$${{x}^{2}}-ax+1$$无最大值，所以$$a\textgreater1$$．函数有最小值，则$${{x}^{2}}-ax+1$$有最小值，$$\Delta \textless{}0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数
Source: 2015年广东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分
Problem: $$2004-AMC10A-18$$  Brenda and Sally run in opposite directions on a circular track, starting at diametrically opposite points. They first meet after Brenda has run $$100$$ meters. They next meet after Sally has run $$150$$ meters past their first meeting point. Each girl runs at a constant speed. What is the length of the track in meters?  Brenda 和 Sally 在圆形轨道上以相反的方向奔跑，分别从一条直径的两个端点开始。 他们在 Brenda 跑了 100 米后第一次见面。 在 Sally 跑过他们的第一个会面点 150 米后，他们下一次见面。 每个女孩都以恒定的速度奔跑。 轨道的长度是多少米？
Options:
aoVal: A
content: $$250$$ 
aoVal: B
content: $$300$$ 
aoVal: C
content: $$350$$ 
aoVal: D
content: $$400$$ 
aoVal: E
content: $$500$$ 
Answer: C
Analysis: Call the length of the race track $$x$$. When they meet at the first meeting point, Brenda has run $$100$$ meters, while Sally has run $$\dfrac{x}{2}-100$$ meters. By the second meeting point, Sally has run $$150$$ meters, while Brenda has run $$x-150$$ meters. Since they run at a constant speed, we can set up a proportion: $$\dfrac{100}{x-150}=\dfrac{\dfrac{x}{2}-100}{150}$$. Cross-multiplying, we get that $$x=350\Rightarrow\boxed {(\text{C})350}$$.  Sidenote by carlos $$8$$:  Since they run at constant speeds, Brenda must\textquotesingle ve ran $$200$$ meters to get to the second meeting point, therefore we can make an equation $$200=x-150$$, solving for $$x$$, gives us our answer $$350$$.  The total distance the girls run between the start and the first meeting is one half of the track length. The total distance they run between the two meetings is the track length. As the girls run at constant speeds, the interval between the meetings is twice as long as the interval between the start and the first meeting. Thus between the meetings Brenda will run $$2\times100=200$$ meters. Therefore the length of the track is $$150+200=350$$ meters $$\Rightarrow \boxed {(\text{C})350}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
Source: 2004年AMC10竞赛A第17题
2004年AMC12竞赛A第15题
Problem: 已知点$$P$$、$$Q$$在$$\triangle ABC$$内，且$$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+5\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$$，则$$\frac{\left\textbar{} \overrightarrow{PQ} \right\textbar}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{30}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{31}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{32}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{33}$$ 
Answer: A
Analysis: 由题设知  $${{S}_{\triangle BCP}}:{{S}_{\triangle CAP}}:{{S}_{\triangle ABP}}=1:2:3$$，  $${{S}_{\triangle BCQ}}:{{S}_{\triangle CAQ}}:{{S}_{\triangle ABQ}}=2:3:5$$，  则$${{S}_{\triangle ABP}}={{S}_{\triangle ABQ}}=\frac{1}{2}{{S}_{\triangle ABC}}$$，于是，$$PQ\text{//}AB$$，  且$${{S}_{\triangle BCP}}=\frac{1}{6}{{S}_{\triangle ABC}}$$，$${{S}_{\triangle BCQ}}=\frac{1}{5}{{S}_{\triangle ABC}}$$，  故$$\frac{\textbar\overrightarrow{PQ}\textbar}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）
竞赛->知识点->复数与平面向量
Source: 2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 函数$f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{{{x}^{2}}-1}$的定义城为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $[\frac{1}{2},+\infty )$ 
aoVal: B
content: (1+∞) 
aoVal: C
content: $\text{ } ! !\textasciitilde ! !\text{ (-1,}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{)}\cup \text{(1,+}\infty \text{) } ! !\textasciitilde ! !\text{ }$ 
aoVal: D
content: $[\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{,1)U(1,+}\infty \text{)}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 根据偶次方根下非负，且分母不为零，列式即可得解.\\ 【详解】\\ 由$f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{{{x}^{2}}-1}$，\\ 可得：$\left { \begin{align} \& 2x-1\ge 0    \& {{x}^{2}}-1\ne 0    \end{align} \right.$，解得：$x\ge \frac{1}{2}$且$x\ne 1$，\\ 故选：D. 
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第3题
Problem: 若函数$$y=f(x)$$的图象绕原点顺时针旋转$$90{}^{}\circ $$后，与函数$$y=g(x)$$的图象重合，则有．
Options:
aoVal: A
content: $$g(x)={{f}^{-1}}(-x)$$ 
aoVal: B
content: $$g(x)={{f}^{-1}}(x)$$ 
aoVal: C
content: $$g(x)=-{{f}^{-1}}(-x)$$ 
aoVal: D
content: $$g(x)=-{{f}^{-1}}(x)$$ 
Answer: D
Analysis: 若原函数为$$f\left( a,b \right)$$，则其反函数为$$f\left( b,a \right)$$，  所以原函数顺时针旋转$$90{}^{}\circ $$后为$$f\left( b,-a \right)$$，  所以$$g\left( x \right)$$为$$-{{f}^{-1}}(x)$$，故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->平面几何->几何变换（二试）->平移和旋转（二试）
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 将正方形的每条边$$8$$等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1372$$ 
aoVal: B
content: $$2024$$ 
aoVal: C
content: $$3136$$ 
aoVal: D
content: $$4495$$ 
Answer: C
Analysis: 首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上，任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有$$4$$种方法；再在选出的三条边上各选一点，有$${{7}^{3}}$$种方法．这类三角形共有$$4\times {{7}^{3}}=1372$$（个）．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有$$4$$种方法，再在这条边上任取两点有$$21$$种方法，然后在其余的$$21$$个分点中任取一点作为第三个顶点，这类三角形共有$$4\times 21\times 21=1764$$（个）．综上可知，不同三角形的个数为$$1 372+1 764=3 136$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->图论（二试）
竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分