math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 一次函数$$y=({{m}^{2}}-4)x+(1-m)$$和$$y=(m+2)x+({{m}^{2}}-3)$$的图象分别与$$y$$轴交于点$$P$$和$$Q$$，这两点关于$$x$$轴对称，则$$m$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
Answer: D
Analysis: 一次函数$$y=({{m}^{2}}-4)x+(1-m)$$的图象与$$y$$轴的交点$$P$$为$$(0,1-m)$$，  一次函数$$y=(m+2)x+({{m}^{2}}-3)$$的图象与$$y$$轴的交点$$Q$$为$$(0,{{m}^{2}}-3)$$，  因为$$P$$和$$Q$$关于$$x$$轴对称，  所以$$1-m+{{m}^{2}}-3=0$$，  解得$${{m}_{1}}=2$$，$${{m}_{2}}=-1$$．  又因为两个函数都是一次函数，  所以$${{m}^{2}}-4\ne 0$$且$$m+2\ne 0$$，  所以$$m=2$$不合题意，舍去，  所以$$m=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数的几何变换->一次函数图象关于坐标轴对称
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分
Problem: 一辆汽车从$$A$$地匀速驶往$$B$$地，如果汽车行驶的速度增加$$a \%$$，则所用时间减少$$b \%$$，则$$a$$，$$b$$的关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$b=\frac{100a}{1+a \%}$$ 
aoVal: B
content: $$b=\frac{100}{1+a \%}$$ 
aoVal: C
content: $$b=\frac{a}{1+a}$$ 
aoVal: D
content: $$b=\frac{100a}{100+a}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$A$$，$$B$$两地之间的距离为$$s$$，汽车行驶的速度为$$v$$，汽车从$$A$$地到$$B$$地所用的时间为$$t$$，  则有$$s=vt=v(1+a \%)\cdot t(1-b \%)$$，  即$$\frac{100+a}{100}\cdot \frac{100-b}{100}=1$$，  解得$$b=\frac{100a}{100+a}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 已知$$a$$、$$b$$、$$c$$满足$${{a}^{2}}+2b=7$$，$${{b}^{2}}-2c=-1$$，$${{c}^{2}}-6a=-17$$，则$$a+b+c$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$\begin{cases}{{a}^{2}}+2b=7①    {{b}^{2}}-2c=-1 ②   {{c}^{2}}-6a=-17③ \end{cases}$$  ∴①$$+$$②$$+$$③得，$${{a}^{2}}+2b+{{b}^{2}}-2c+{{c}^{2}}-6a=-11$$  $${{a}^{2}}-6a+9+{{b}^{2}}+2b+1+{{c}^{2}}-2c+1=0$$  $${{(a-3)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}+{{(c-1)}^{2}}=0$$  ∴$$a-3=0$$，$$b+1=0$$，$$c-1=0$$  ∴$$a=3$$，$$b=-1$$，$$c=1$$  ∴$$a+b+c=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组）
Source: 初一其它
河北竞赛
Problem: 甲乙二人，从$$M$$地同时出发去$$N$$地．甲用一半时间以每小时$$a$$公里的速度行走，另一半时间以每小时$$b$$公里的速度行走；乙以每小时$$a$$公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时$$b$$公里的速度行走．若$$a\ne b$$时，则到达$$N$$地．
Options:
aoVal: A
content: 二人同时 
aoVal: B
content: 甲先 
aoVal: C
content: 乙先 
aoVal: D
content: 若$$a\textgreater b$$时，甲先到达，若$$a ~\textless{} ~b$$时，乙先到达 
Answer: B
Analysis: 设$$M$$，$$N$$两地距离$$S$$，甲需时间$${{t}_{1}}$$，乙需时间$${{t}_{2}}$$，  则$$\frac{a{{t}_{1}}}{2}+\frac{b{{t}_{1}}}{2}=S$$，$${{t}_{2}}=\dfrac{\dfrac{S}{2}}{a}+\dfrac{\dfrac{S}{2}}{b}$$，  即$${{t}_{1}}=\frac{2S}{a+b}$$，$${{t}_{2}}=\frac{\left( a+b \right)S}{2ab}$$，  $${{t}_{1}}-{{t}_{2}}=\frac{2S}{a+b}-\frac{\left( a+b \right)S}{2ab}$$  $$=\frac{S\left[ 4ab-{{\left( a+b \right)}^{2}} \right]}{2ab\left( a+b \right)}$$  $$=\frac{-S{{\left( a-b \right)}^{2}}}{2ab\left( a+b \right)} ~\textless{} ~0$$．  所以$${{t}_{1}} ~\textless{} ~{{t}_{2}}$$，即甲先．  另外：设$$a=1$$，$$b=2$$，则甲走了$$6$$小时，共走了$$9$$公里，这时乙走的时间为$$\frac{4.5}{1}+\frac{4.5}{2}=\frac{3}{2}\times 4.5\textgreater6$$，  从这个计算中，可以看到，$$a$$，$$b$$的值互换，不影响结果．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第15题
Problem: 化简代数式$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$的结果是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$1+\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2+\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{2}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$y=\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$，$$y\textgreater0$$，  所以$${{y}^{2}}=3+2\sqrt{2}+2\sqrt{3+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{3-2\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}$$  $$=6+2\sqrt{9-8}$$  $$=8$$，  所以$$y=2\sqrt{2}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
Source: 2019~2020学年四川眉山东坡区眉山东辰国际学校初三上学期期中第33题5分
2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 设$$n$$是小于$$100$$的正整数且使$$2{{n}^{2}}-3n-2$$是$$6$$的倍数，则符合条件的所有正整数$$n$$的和是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$784$$ 
aoVal: B
content: $$850$$ 
aoVal: C
content: $$1536$$ 
aoVal: D
content: $$1634$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$2{{n}^{2}}-3n-2$$是$$6$$的倍数，  ∴$$2\textbar({{2n}^{2}}-3n-2)$$，  ∴$$2\textbar3n$$，  ∴$$2\textbar n$$．  设$$n=2m$$（$$m$$是正整数），  则$$2{{n}^{2}}-3n-2=8{{m}^{2}}-6m-2=6{{m}^{2}}-6m+2({{m}^{2}}-1)$$．  又∵$$2{{n}^{2}}-3n-2$$是$$6$$的倍数，  ∴$${{m}^{2}}-1$$是$$3$$的倍数，  ∴$$m=3k+1$$或$$m=3k+2$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴$$n=2(3k+1)=6k+2$$或$$n=2(3k+2)=6k+4$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴符合条件的所有正整数$$n$$的和为  $$(2+8+14+\cdots +92+98)+(4+10+16+\cdots +88+94)=1634$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第6题7分
Problem: 用$$\left[ x \right]$$表示不超过$$x$$的最大整数，把$$x-\left[ x \right]$$称为$$x$$的小数部分．已知$$t=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$$，$$a$$是$$t$$的小数部分，$$b$$是$$-t$$的小数部分，则$$\frac{1}{2b}-\frac{1}{a}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$t=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$$，$$1\textless{}\sqrt{3}\textless{}2$$，  ∴$$3\textless{}2+\sqrt{3}\textless{}4$$，即$$3\textless{}t\textless{}4$$，  ∴$$a=t-3=\sqrt{3}-1$$．  又$$-t=-2-\sqrt{3}$$，$$-2\textless{}-\sqrt{3}\textless{}-1$$，  ∴$$-4\textless{}-2-\sqrt{3}\textless{}-3$$，  ∴$$b=-t-(-4)=2-\sqrt{3}$$，  ∴$$\frac{1}{2b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{2(2-\sqrt{3})}-\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: 若$$\left( {{y}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( y+1 \right)x+9=0$$是关于$$x$$的一元一次方程，则代数式$$\left( 4x+y \right)\left( 2x-y \right)+y$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$54$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$169$$ 
aoVal: D
content: $$171$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\left( {{y}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( y+1 \right)x+9=0$$是关于$$x$$的一元一次方程，  所以$${{y}^{2}}-1=0$$，$$y+1\ne 0$$，  所以$$y=1$$．  从而方程$$\left( {{y}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( y+1 \right)x+9=0$$可变形为$$2x+9=0$$，  解得$$x=-\frac{9}{2}$$．  所以$$\left( 4x+y \right)\left( 2x-y \right)+y$$  $$=\left[ 4\left( -\frac{9}{2} \right)+1 \right]\left[ 2\left( -\frac{9}{2} \right)-1 \right]+1$$  $$=-17\times (-10)+1$$  $$=170+1$$  $$=171$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的定义
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《一元一次方程》第19题
2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第3题4分
Problem: 若$$a\textgreater b$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{a}\textless\frac{1}{b}$$ 
aoVal: B
content: $$-a\textless-b$$ 
aoVal: C
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}\textgreater{{b}^{2}}$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$3\textgreater-2$$，有$$\frac{1}{3}\textgreater-\frac{1}{2}$$，排除$$\text{A}$$；  因为$$2\textgreater-3$$，有$$\left\textbar{} 2 \right\textbar\textless\left\textbar{} -3 \right\textbar$$，排除$$\text{C}$$；  因为$$2\textgreater-3$$，有$${{2}^{2}}\textless{{(-3)}^{2}}$$，排除$$\text{D}$$；  事实上，$$a\textgreater b$$必有$$-a\textless-b$$．选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第2题
Problem: 有如下四个叙述：  ①当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$\frac{1}{1+x}\textless{}1-x+{{x}^{2}}$$；  ②当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$\frac{1}{1+x}\textgreater1-x+{{x}^{2}}$$；  ③当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$\frac{1}{1+x}\textless{}1-x+{{x}^{2}}$$；  ④当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$\frac{1}{1+x}\textgreater1-x+{{x}^{2}}$$，  其中正确的叙述是．
Options:
aoVal: A
content: ①③ 
aoVal: B
content: ②④ 
aoVal: C
content: ①④ 
aoVal: D
content: ②③ 
Answer: C
Analysis: 当$$0\textless{}x\textless{}1$$或$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$\frac{1}{1+x}$$和$$1-x+{{x}^{2}}$$都大于$$0$$，所以两式的比值大于$$0$$，  又$$(1-x+{{x}^{2}})\div \frac{1}{1+x}=(1-x+{{x}^{2}})(1+x)=1+{{x}^{3}}$$，  当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$1+{{x}^{3}}\textgreater1$$，所以①正确；②不正确；  当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$1+{{x}^{3}}\textless{}1$$，所以③不正确，④正确．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->思想->转化与化归思想
Source: 2017~2018学年上海浦东新区上海中学东校初一上学期期中第16题2分
2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 已知非零实数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} 2a-4 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}+4=2a$$，则$$a+b$$等于 ．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 方法一：由条件得$$a\geqslant 3$$，原等式为$$\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}=0$$，$$a+b=1$$．  方法二：由题意$$(a-3){{b}^{2}}\geqslant 0$$，∵$${{b}^{2}}\geqslant 0$$，∴$$a-3\geqslant 0$$，∴$$2a-4\textgreater0$$，  ∴原式可化简为$$2a-4+\textbar b+2\textbar+\sqrt{(a-3){{b}^{2}}}+4=2a$$，$$\textbar b+2\textbar+\sqrt{(a-3){{b}^{2}}}=0$$，  ∴$$b+2=(a-3){{b}^{2}}=0$$，∴$$a=3$$，$$b=-2$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 2020~2021学年四川内江市中区内江市第六初级中学校初二上学期期中第12题3分
2014~2015学年北京海淀区科迪实验中学初一下学期期中第10题
2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期期中第16题2分
2009年竞赛第1题7分
Problem: 已知$$b \textless{} 0$$，$$0 \textless{} \textbar a\textbar{} \textless{} \textbar b\textbar{} \textless{} \textbar c\textbar$$，且$$\sqrt{\frac{a{{b}^{2}}}{c}}=\frac{b}{c}\sqrt{ac}$$，则$$abc$$的大小顺序是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$a \textless{} b \textless{} c$$ 
aoVal: B
content: $$c \textless{} b \textless{} a$$ 
aoVal: C
content: $$b \textless{} a \textless{} c$$ 
aoVal: D
content: $$b \textless{} c \textless{} a$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意$$\frac{b}{c}\textgreater0$$，$$b \textless{} 0$$，所以得到$$c \textless{} 0$$，又$$ac\textgreater0$$，$$c \textless{} 0$$，可以得到$$a \textless{} 0$$  所以$$a$$，$$b$$，$$c \textless{} 0$$而$$0 \textless{} \textbar a\textbar{} \textless{} \textbar b\textbar{} \textless{} \textbar c\textbar$$，故$$c \textless{} b \textless{} a$$选B 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->实数运算->实数基础运算
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第8题
Problem: 已知$$p={{3}^{70}}$$，$$q={{5}^{56}}$$，$$r={{6}^{42}}$$，$$s={{17}^{28}}$$．这$$4$$个数中，最大的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$p$$ 
aoVal: B
content: $$q$$ 
aoVal: C
content: $$r$$ 
aoVal: D
content: $$s$$ 
Answer: B
Analysis: 观察到，$$70$$，$$56$$，$$42$$，$$28$$的最大公约数为$$14$$．  ∴题设中的四个数可化为  $$p={{3}^{70}}={{3}^{5\times 4}}$$，  $$q={{5}^{56}}={{5}^{4\times 14}}$$，  $$r={{6}^{42}}={{6}^{3\times 14}}$$，  $$s={{17}^{28}}={{17}^{2\times 14}}$$．  ∵$${{3}^{5}}=243$$，$${{5}^{4}}=625$$，$${{6}^{3}}=216$$，$${{17}^{2}}=289$$，  ∴这$$4$$个数中，最大的是$$q$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->实数运算->其他实数的运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第8题4分
Problem: 已知$$a$$是方程$${{x}^{3}}+3x-1=0$$的一个实数根，则直线$$y=ax+1-a$$不经过．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: D
Analysis: 当$$x\leqslant 0$$时，$${{x}^{2}}+3x-1 ~\textless{} ~0$$，此时$$x\leqslant 0$$时，原方程无解，  当$$x\geqslant \frac{1}{3}$$时，$${{x}^{3}}+3x-1\textgreater0$$时，此时原方程的实数根只能在$$\left( 0,\frac{1}{3} \right)$$之间，因为$$a$$是方程$${{x}^{3}}+3x-1=0$$的一个实数根，所以$$0 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~\frac{1}{3}$$，对于相线$$y=ax+1-a$$，由于$$a\textgreater0$$，$$1-a\textgreater0$$，所以，直线不经过第四象限．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->能力->抽象概括能力
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: ①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$． 
<p>若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12 \\ x+\left| y \right|=6 \\\end{cases}$$，于是$$\left| y \right|-y=-6$$，显然不可能．</p>
<p>若$$x &nbsp;&lt; &nbsp;0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12 \\ x+\left| y \right|=6 \\\end{cases}$$，</p>
<p>于是$$\left| y \right|+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．</p>
<p>所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3 \\ y=9 \\\end{cases}$$，只有$$1$$个解．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
Source: 2020~2021学年北京北京汇文中学初一上学期期末第10题2分
2007年竞赛第1题6分
2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分
Problem: 当$$a\leqslant x\leqslant a+1$$时，函数$$y={{x}^{2}}-2x+1$$的最小值为$$1$$，则$$a$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$或$$2$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$或$$2$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$y=1$$时，有$${{x}^{2}}-2x+1=1$$，  解得：$${{x}_{1}}=0$$，$${{x}_{2}}=2$$．  ∵当$$a\leqslant x\leqslant a+1$$时，函数有最小值$$1$$，  ∴$$a=2$$或$$a+1=0$$，  ∴$$a=2$$或$$a=-1$$，  故选：$$\text{D}$$． 
<p>∵$$y={{x}^{2}}-2x+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}$$，</p>
<p>&there4;①当$$a+1&lt;{}1$$，即$$a&lt;{}0$$时，函数的最小值为$$y={{\left( a+1-1 \right)}^{2}}=1$$，</p>
<p>&there4;$$a=\pm 1$$，</p>
<p>&there4;$$a=-1$$．</p>
<p>②当$$a&gt;1$$时，函数的最小值为$$y={{\left( a-1 \right)}^{2}}=1$$，</p>
<p>&there4;$$a=2$$或$$a=0$$，</p>
<p>&there4;$$a=2$$．</p>
<p>综上所述，$$a=-1$$或$$2$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年10月安徽合肥包河区合肥市第四十八中学初三上学期月考第10题4分
2019年安徽蚌埠初三中考一模（局属学校）第9题4分
2018~2019学年9月湖北武汉蔡甸区初三上学期月考第9题3分
2018年湖北黄冈中考真题第6题3分
2018~2019学年天津滨海新区初三上学期期末第12题3分
2019~2020学年12月河北石家庄新华区石门实验学校初三上学期月考第13题
2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第6题4分
2018~2019学年福建厦门思明区厦门松柏中学初三上学期期中第9题4分
2019~2020学年10月江苏苏州姑苏区金阊实验中学初三上学期月考第9题3分
2018~2019学年4月广东深圳宝安区深圳市石岩公学初三下学期周测（第12周）第11题3分
2018~2019学年10月河南洛阳洛龙区洛阳地矿双语学校初三上学期月考第8题3分
2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市草桥中学校初三下学期单元测试《二次函数》第4题
Problem: 已知$$a$$是正整数，方程组$$\begin{cases}ax+4y=8    3x+2y=6 \end{cases}$$的解满足$$x\textgreater0$$，$$y\textless{}0$$，则$$a$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$，$$5$$，$$6$$以外的其他正整数 
Answer: B
Analysis: $$\begin{cases}ax+4y=8 ①   3x+2y=6 ②\end{cases}\begin{matrix}     \end{matrix}$$，  ①$$-$$②$$\times 2$$：$$ax-bx=8-12$$  ∴$$(a-b)x=-4$$  ∵$$x\textgreater0$$，  ∴$$a-b\textless{}0$$，$$a\textless{}b$$．  ①$$\times 3-$$②$$\times a$$：$$12y-2ay=24-6a$$，  ∴$$(6-a)y=12-3a$$．  ∵$$y\textless{}0$$且$$a\textless{}6$$，  ∴$$12-3a\textless{}0$$，  ∴$$a\textgreater4$$，  ∴$$4\textless{}a\textless{}6$$，  又∵$$a$$为正整数，  ∴$$a=5$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第4题
其它
Problem: 若$$ab\textless{}0$$，$$a-b\textgreater0$$，则$$a$$，$$b$$两数的正负情况为．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$ab\textless{}0$$，  所以$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$，或$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$．  又因为$$a-b\textgreater0$$，  所以$$a\textgreater0$$，$$-b\textgreater0$$，  即$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第1题
Problem: 在平面直角坐标系中，点$$P(m-3,4-2m)$$不可能在．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: A
Analysis: ①$$m-3\textgreater0$$，即$$m\textgreater3$$时，  $$-2m\textless{}-6$$，$$4-2m\textless{}-2$$，  所以，点$$P(m-3,4-2m)$$在第四象限，不可能在第一象限．  ②$$m-3\textless{}0$$，即$$m\textless{}3$$时，  $$-2m\textgreater-6$$，$$4-2m\textgreater-2$$，  点$$P(m-3,4-2m)$$可以在第二或三象限，  综上所述，点$$P$$不可能在第一象限． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
Source: 2017~2018学年浙江金华金东区初二上学期期末第10题3分
2018~2019学年辽宁大连甘井子区初一下学期期末第10题3分
2018~2019学年湖北武汉武昌区初一下学期期中（十五校联考）第8题3分
2017~2018学年9月安徽安庆潜山县潜山第四中学初二上学期月考第6题4分
2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第1题4分
2018~2019学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第4题4分
2017~2018学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第9题4分
2020~2021学年4月浙江杭州上城区杭州市建兰中学初三下学期周测A卷第1题4分
2017~2018学年12月陕西西安碑林区工大附中初二上学期月考第7题3分
2017年广西贵港中考真题第6题3分
Problem: 若代数式$$\sqrt{\frac{x+2}{{{x}^{2}}}}$$在实数范围内有意义，则$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater2$$ 
aoVal: B
content: $$x\textgreater-2$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater-2$$且$$x\ne 0$$ 
aoVal: D
content: $$x\geqslant -2$$且$$x\ne 0$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$\sqrt{\frac{x+2}{{{x}^{2}}}}$$在实数范围内有意义，  ∴$$\begin{cases}\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}}\geqslant 0    {{x}^{2}}\ne 0   \end{cases}$$，  ∴$$x\geqslant -2$$且$$x\ne 0$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
Source: 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第1题3分
Problem: 设$${{a}^{2}}+1=3a$$，$${{b}^{2}}+1=3b$$，且$$a\ne b$$，则代数式$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设条件可知$${{a}^{2}}-3a+1=0$$，$${{b}^{2}}-3b+1=0$$，且$$a\ne b$$，所以$$ab$$是一元二次方程$${{x}^{2}}-3x+1=0$$的两根，故$$a+b=3$$，$$ab=1$$，因此$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=\frac{{{(a+b)}^{2}}-2ab}{{{(ab)}^{2}}}=\frac{{{3}^{2}}-2\times 1}{{{1}^{2}}}=7$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 2008年全国初中数学联赛竞赛
初三上学期其它
Problem: 已知$$4{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+4=0$$，则$$x+\frac{1}{x}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$或$$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$4{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+4={{(1+x)}^{2}}(4{{x}^{2}}-5x+4)=0$$，  ∴$$1+x=0$$或$$4{{x}^{2}}-5x+4=0$$，  当$$1+x=0$$，则$$x=-1$$，∴$$x+\frac{1}{x}=-2$$．  当$$4{{x}^{2}}-5x+4=0$$，$$\Delta ={{5}^{2}}-4\times 4\times 4=-39\textless{}0$$，此方程无解．  ∴$$x+\frac{1}{x}=-2$$．  原方程化为$$4\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+3\left( x+\frac{1}{x} \right)-2=0$$．  故选$$\text{D}$$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：其他方法
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：配方思想的运用
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第6题
Problem: 珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高$$9003$$米，已知，珠穆朗玛峰海拔高度是$$8848$$米，则吐鲁番盆地的海拔高度是．
Options:
aoVal: A
content: $$-155$$米 
aoVal: B
content: $$155$$米 
aoVal: C
content: $$-17851$$米 
aoVal: D
content: $$17651$$米 
Answer: A
Analysis: 设吐鲁番盆地的海拔高度是$$x$$米，则依题意得方程$$8848-x=9003$$，  所以$$x=8848-9003=--155$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->整体法
课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->相反意义的量
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第6题
Problem: 有如下四个命题：  ①有理数的相反数是正数．  ②两个同类项的数字系数是相同的．  ③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和．  ④两个负有理数的比值是正数．  其中真命题有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$1$$个 
Answer: D
Analysis: 由于有理数$$0$$的相反数是$$0$$，所以``①有理数的相反数是正数''是假命题．  由于同类项只是说字母相同且相同字母的乘方次数也相同的项，所以``②两个同类项的数字系数是相同的''是个假命题．$$\left\textbar{} (-2)+(-1) \right\textbar=3=\left\textbar{} -2 \right\textbar+\left\textbar{} -1 \right\textbar$$，所以``③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和''是假命题．而两个负有理数的比值是正数显然是真命题．所以，$$4$$个命题中只有$$1$$个是真命题．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第2题
Problem: 设$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$$\cdots $$，$${{x}_{9}}$$均为正整数，且$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{x}_{9}}$$，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{9}}=220$$，则当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}$$的值最大时，$${{x}_{9}}-{{x}_{1}}$$的最小值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: B
Analysis: 先证$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}\leqslant 110$$．  若不然，设$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}\textgreater110$$，则$${{x}_{5}}=25$$，从而$${{x}_{6}}\geqslant 26$$，$${{x}_{7}}\geqslant 27$$，$${{x}_{8}}\geqslant 28$$，$${{x}_{9}}\geqslant 29$$．于是，与假设矛盾．  若取$${{x}_{1}}=20$$，$${{x}_{2}}=21$$，$${{x}_{3}}=22$$，$${{x}_{4}}=23$$，$${{x}_{5}}=24$$，则所以当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}$$取得最大值时，$${{x}_{1}}$$最大的值是$$20$$．  若取$${{x}_{6}}=27$$，$${{x}_{7}}=27$$，$${{x}_{8}}=28$$，$${{x}_{9}}=29$$，则$${{x}_{6}}+{{x}_{7}}+{{x}_{8}}+{{x}_{9}}=110$$．  所以，当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}$$取得最大值时，$${{x}_{9}}$$最小的值是$$29$$．  因此$${{x}_{9}}-{{x}_{1}}$$的最小值是$$29-20=9$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数的加法法则
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第8题
Problem: 已知$$x$$、$$y$$是正整数，并且$$xy+x+y=23$$，$${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=120$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$34$$ 
aoVal: C
content: $$35$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: B
Analysis: 由于$$xy+\left( x+y \right)=23$$，$$xy\cdot \left( x+y \right)=120$$，  则$$x$$，$$y$$与$$\left( x+y \right)$$为方程$${{t}^{2}}-23t+120=0$$的两个根，得到$${{t}_{1}}=8$$，$${{t}_{2}}=15$$，  即$$xy=8$$，$$x+y=15$$ ①，或者$$xy=15$$，$$x+y=8$$ ②，  ①的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-15u+8=0$$的根，$${{\Delta }_{1}}={{15}^{2}}-32=193$$，不是完全平方数，$$xy$$不可能为题目中要求的正整数，舍，  ②的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-8u+15=0$$的根，$${{u}_{1}}=3$$，$${{u}_{2}}=5$$，  故$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=34$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
Source: 2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第9题
Problem: 若$$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，则$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$所有可能的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简
Source: 2019~2020学年河南郑州金水区郑州八中初一上学期期中第8题3分
初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
Problem: 已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$432$$ 
aoVal: B
content: $$576$$ 
aoVal: C
content: $$-432$$ 
aoVal: D
content: $$-576$$ 
Answer: D
Analysis: 只要$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}4$$中至少有一个成立，  则$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar\leqslant \left\textbar{} x \right\textbar+2\left\textbar{} y \right\textbar+\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}9$$，  这与$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$矛盾，  所以当且仅当$$\left\textbar{} x \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar=4$$同时成立时，才能满足$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，  此时$$x=3$$，$$y=-1$$，$$z=4$$或$$x=-3$$，$$y=1$$，$$z=-4$$，  所以$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{3}^{2}}\times {{(-1)}^{2011}}\times {{4}^{3}}=-576$$或$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{(-3)}^{2}}\times {{1}^{2011}}\times {{(-4)}^{3}}=-576$$，  综上，$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是$$-576$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分