math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大$$9$$，这样的两位数中，质数有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$5$$个 
aoVal: D
content: $$6$$个~ 
Answer: B
Analysis: 满足条件的两位数两个数字之差为$$1$$，  这样的两位数有$$12$$、$$23$$、$$34$$、$$45$$、$$56$$、$$67$$、$$78$$、$$89$$，  其中质数有$$23$$，$$67$$、$$89$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
Source: 初一下学期单元测试《质数与合数》第2题
2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第3题4分
Problem: 若$$\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=2:3:4$$，则$$a:b:c$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$4:3:2$$ 
aoVal: B
content: $$6:4:3$$ 
aoVal: C
content: $$3:4:2$$ 
aoVal: D
content: $$3:4:6$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=2:3:4$$，  ∴$$a:b:c=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=6:4:3$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->倒数通分
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 若分式$$\frac{\textbar x\textbar-2}{3x-2}$$的值是负数，则$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$ 
aoVal: B
content: $$x\textgreater\frac{2}{3}$$或$$x\textless{}-2$$ 
aoVal: C
content: $$-2\textless{}x\textless{}2$$且$$x\ne \frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$或$$x\textless{}-2$$ 
Answer: D
Analysis: 因为分式$$\frac{\textbar x\textbar-2}{3x-2}$$的值为负，所以$$\textbar x\textbar-2$$和$$3x-2$$异号．  当$$3x-2\textgreater0$$，即$$x\textgreater\frac{2}{3}$$时，应当有  $$\left\textbar{} x \right\textbar-2\textless{}0$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}2$$，解得$$-2\textless{}x\textless{} 2$$，  所以$$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$ ．  当$$3x-2\textless{}0$$，即$$x\textless{}\frac{2}{3}$$时，应当有  $$\left\textbar{} x \right\textbar-2\textgreater0$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar\textgreater2$$，解得$$x\textgreater2$$或$$x\textless{}-2$$，  所以$$x\textless{}-2$$．  综上可知，$$x$$的取值范围是$$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$或$$x\textless{}-2$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第6题
Problem: 以下的运算的结果中，最大的一个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(-13579)+0.2468$$ 
aoVal: B
content: $$(-13579)+\frac{1}{2468}$$ 
aoVal: C
content: $$(-13579)\times \frac{1}{2468}$$ 
aoVal: D
content: $$(-13579)\div \frac{1}{2468}$$ 
Answer: C
Analysis: 运算结果对负数来说绝对值越小其值越大．  易见$$(-13579)\times \frac{1}{2468}$$的绝对值最小，所以其值最大．  选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第5题
Problem: 已知：$${{m}^{2}}+m-1=0$$，那么代数式$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$的值是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$1997$$ 
aoVal: B
content: $$-1997$$ 
aoVal: C
content: $$1996$$ 
aoVal: D
content: $$-1996$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${{m}^{2}}+m-1=0$$，  所以$${{m}^{2}}+m=1$$，  所以$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$  $$=m({{m}^{2}}+m)+{{m}^{2}}-1997$$  $$=m+{{m}^{2}}-1997$$  $$=1-1997$$  $$=-1996$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题
初一下学期其它
Problem: 杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了$$10 \%$$，第三天又较第二天增加了$$10 \%$$，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 一样多 
aoVal: B
content: 多了 
aoVal: C
content: 少了 
aoVal: D
content: 多少都可能 
Answer: C
Analysis: 设杯中原有水量为$$a$$，依题意可得，  第二天杯中水量为$$a\times (1-10 \%)=0.9a$$；  第三天杯中水量为$$(0.9a)\times (1+10 \%)=0.9\times 1.1\times a$$；  第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为$$\frac{0.9\times 1.1\times a}{a}=0.99\textless1$$．  所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第9题
Problem: 已知实数$$x$$，$$y$$满足关系式$${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3$$，则$${{(x-y)}^{2}}$$的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$x-y=t$$，则$$x=y+t$$，  代入$${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3$$，  得$${{(y+t)}^{2}}+(y+t)y+{{y}^{2}}=3$$，  整理，得$$3{{y}^{2}}+3ty+{{t}^{2}}-3=0$$．  由判别式$$\Delta ={{(3t)}^{2}}-12({{t}^{2}}-3)\geqslant 0$$，  得$$-2\sqrt{3}\leqslant t\leqslant 2\sqrt{3}$$，  ∴$${{(x-y)}^{2}}={{t}^{2}}\leqslant 12$$，  即$${{(x-y)}^{2}}$$的最大值为$$12$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->换元法
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第4题7分
Problem: $$a$$、$$b$$、$$c$$、为有理数，且等式$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$成立，则$$2a+999b+1001c$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1999$$ 
aoVal: B
content: $$2000$$ 
aoVal: C
content: $$2001$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：根式恒等变形）}  本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分
2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题
2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分
2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分
Problem: $$6$$张不同的卡片上分别写有数字$$2$$，$$2$$，$$4$$，$$4$$，$$6$$，$$6$$，从中取出$$3$$张，则这$$3$$张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 若取出的$$3$$张卡片上的数字互不相同，有$$2\times 2\times 2=8$$种取法；  若取出的$$3$$张卡片上的数字有相同的，有$$3\times 4=12$$种取法．  所以，从$$6$$张不同的卡片中取出$$3$$张，共有$$812=20$$种取法．  要使得三个数字可以构成三角形的三边长，  只可能是：$$(2,4,4)$$，$$(4,4,6)$$，$$(2,6,6)$$，$$(4,6,6)$$，  由于不同的卡片上所写数字有重复，  所以，取出的$$3$$张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有$$4\times 2=8$$种．  因此，所求概率为$$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 下面说法中不正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 有最小的自然数 
aoVal: B
content: 没有最小的正有理数 
aoVal: C
content: 没有最大的负整数 
aoVal: D
content: 没有最大的非负数 
Answer: C
Analysis: $$0$$是最小的自然数，$$\text{A}$$正确．  可以找到正有理数的无限序列$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\frac{1}{3}$$，$$\cdots $$，$$\frac{1}{n}$$，$$\cdots $$，没有最小的正有理数，$$\text{B}$$正确．  ``没有最大的负整数''的说法不正确，最大的负整数为$$-1$$．  写出自然数列，$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\ldots $$，$$n$$，$$\ldots $$，易知无最大非负数，$$\text{D}$$正确．  所以不正确的说法应选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 有$$3$$个正整数$$a$$，$$b$$，$$c$$，并且$$a\textgreater b\textgreater c$$．从中任取$$2$$个，有$$3$$种不同的取法．将每一种取法取出的$$2$$个数分别作和及作差，得到如下$$6$$个数：$$42$$，$$45$$，$$64$$，$$87$$，$$109$$，$$151$$．则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12532$$ 
aoVal: B
content: $$12533$$ 
aoVal: C
content: $$12534$$ 
aoVal: D
content: $$12535$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意，可得  $${{(a-b)}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}+{{(a-c)}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}$$  $$={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}+{{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+2bc+{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ac+{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}$$  $$=4({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$$，  所以$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$  $$=\frac{{{42}^{2}}+{{45}^{2}}+{{64}^{2}}+{{87}^{2}}+{{109}^{2}}+{{151}^{2}}}{4}$$  $$=12534$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->整体思想
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第3题4分
Problem: 有如下命题：  ①负数没有立方根  ②一个实数的立方根不是正数就是负数  ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，$$0$$的立方根是0  ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是$$1$$或0  其中错误的是．
Options:
aoVal: A
content: ①②③ 
aoVal: B
content: ①②④ 
aoVal: C
content: ②③④ 
aoVal: D
content: ①③④ 
Answer: B
Analysis: 负数有立方根，$$0$$的立方根是$$0$$，又$$-1$$的立方根也是$$-1$$，所以错误命题是①②④．  应选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第5题
Problem: 某校初一，初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的$$\frac{4}{5}$$．已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的$$\frac{1}{4}$$，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{9}{19}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{10}{19}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11}{21}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{10}{21}$$ 
Answer: C
Analysis: 设初一年级男生有$$m$$人，女生有$$n$$人，则初二年级男生有$$n$$人，女生有$$m$$人；初三年级的学生共有$$\frac{4}{5}(m+n)$$人；三个年级共有学生$$\frac{14}{5}(m+n)$$人．  设初三年级男生有$$x$$人，则$$x=\frac{1}{4}(m+n+x)$$，  解得$$x=\frac{1}{3}(m+n)$$，  所以，初三年级的女生人数为$$\frac{4}{5}(m+n)-\frac{1}{3}(m+n)=\frac{7}{15}(m+n)$$，  故全校女生人数为$$\frac{22}{15}(m+n)$$人，占三个年级学生人数的$$\frac{11}{21}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 已知不相等的实数$$a$$，$$b$$满足$$a-b^{2}=b-a^{2}=x$$，则$$x$$．
Options:
aoVal: A
content: 有最大值，又有最小值 
aoVal: B
content: 有最大值，没有最小值 
aoVal: C
content: 有最小值，没有最大值 
aoVal: D
content: 没有最大值，也没有最小值 
Answer: D
Analysis: ∵$$a-b^{2}=b-a^{2}$$，  ∴$$a^{2}-b^{2}=b-a$$，  $$(a+b)(a-b)=b-a$$  $$(a+b+1)(a-b)=0$$，  又∵$$a\ne b$$，  ∴$$a+b+1=0$$，  ∴$$a=-b-1$$，  ∴$$x=a-b^{2}$$  $$=-b-1-b^{2}$$  $$=-\left(b+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{3}{4}$$，  当$$b=-\frac{1}{2}$$时，$$x$$取最大值$$-\frac{3}{4}$$，  但此时$$a=-\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{1}{2}=b$$，  故最大值取不到，也没有最小值，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-条件化简求值
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值
Source: 2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第11题4分
Problem: 已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=2$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{8}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{16}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{32}{7}$$ 
Answer: C
Analysis: 不要搜题 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->均值不等式
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 某三角形三边长为连续正整数．最短边占周长$$30 \%$$．则最长边长度是？．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
aoVal: E
content: $$11$$ 
Answer: E
Analysis: 某三角形三边长为连续正整数．最短边占周长$$30 \%$$．则最长边长度是？  设$$n$$，$$n+1$$，和$$n+2$$是三角形三边的长度．那么三角形的周长是$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$利用最小边的长度是周长的$$30 \%$$这个事实，可以得出这样的结论：  $$n=0.3(3n+3)\Rightarrow 0.9n+0.9\Rightarrow 0.1n=0.9\Rightarrow n=9$$．最长边是$$n+2=11$$．  故选$$\text{E}$$．  由于最短边的长度是整数，等于周界的$$\frac{3}{10}$$，因此周界必须是$$10$$的倍数．将前面的两个整数添加到每个答案选择中，我们可以看到$$11+10+9=30$$．  故选$$\text{E}$$．  Let $$n$$, $$n+1$$, and $$n+2$$ be the lengths of the sides of the triangle. Then the perimeter of the triangle is $$n+\left( n+1 \right)+\left( n+2 \right)=3n+3$$. Usin g the fact that the length of the smallest side is $$30 \%$$ of the perimeter, it follows that:  $$n=0.3\left( 3n +3 \right)\Rightarrow n=0.9n+0.9\Rightarrow 0.1n=0.9\Rightarrow n=9$$. The longest side is then $$n+2-11$$. Thus, answer choice $$\left( \text{E} \right)11$$ is correct.  Since the length of the shortest side is a whole number and is equal to $$\frac{3}{10}$$ of the perimeter, it follows that the perimeter must be a multiple of $$10$$. Adding the two previous integers to each answer choice, we see that $$11+10+9=30$$. Thus, answer choice $$\left( \text{E} \right)11$$ is correct. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Geometry->Shapes with Straight Sides->Geometric Theorem
课内体系->知识点->三角形
Source: 2010年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 已知$$n$$为正整数，关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{5x+5}{6}-x\geqslant -\dfrac{5}{2}    \dfrac{2x+5}{3}\textless{}nx    \end{cases}$$的整数解的个数不可能为．
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 解不等式组$$\begin{cases}\dfrac{5x+5}{6}-x\geqslant -\dfrac{5}{2}①    \dfrac{2x+5}{3}\textless{}nx②    \end{cases}$$，  由①得，$$5x+5-6x\geqslant -15$$，  $$5x-6x\geqslant -15-5$$，  $$-x\geqslant -20$$，  $$x\leqslant 20$$，  由②得$$2x+5\textless{}3nx$$，  $$2x-3nx\textless{}-5$$，  $$\left( 2-3n \right)x\textless{}-5$$，  ∵$$n$$为正整数，  ∴$$n\geqslant 1$$，  ∴$$2-3n\leqslant -1$$，  ∴解②，得$$x\textgreater\frac{5}{3n-2}$$，  ∴原不等式组的解集为$$\frac{5}{3n-2}\textless{}x\leqslant 20$$，  ∴当$$n=1$$时，$$5\textless{}x\leqslant 20$$，有$$15$$个整数解，  当$$n=2$$时，$$\frac{5}{4}\textless{}x\leqslant 20$$，有$$19$$个整数解，  当$$n=3$$时，$$\frac{5}{7}\textless{}x\leqslant 20$$，有$$20$$个整数解，  ∴原不等式组不可能有$$17$$个整数解．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
Source: 2019年第2届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第8题5分
Problem: 已知$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}$$，则$$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 法1：由通分然后取倒数得，  $$\frac{xy+xz}{x+y+z}=2$$，$$\frac{xy+yz}{x+y+z}=3$$，$$\frac{zx+yz}{x+y+z}=4$$，  $$\therefore \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{xy+zx}{x+y+z}\cdot \frac{1}{x}+\frac{xy+yz}{x+y+z}\cdot \frac{1}{y}+\frac{zx+zy}{x+y+z}\cdot \frac{1}{z}$$  $$=\frac{x+y+x+z+y+z}{x+y+z}=2$$．  法2：由已知等式得$$\frac{xy+zx}{x+y+z}=2$$，$$\frac{yz+xy}{x+y+z}=3$$，$$\frac{zx+yz}{x+y+z}=4$$，  所以$$\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=\frac{9}{2}$$．  于是，$$\frac{yz}{x+y+z}=\frac{5}{2}$$，$$\frac{zx}{x+y+z}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{xy}{x+y+z}=\frac{1}{2}$$．  所以$$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$$，$$\frac{z}{y}=3$$，$$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$$，  即$$z=3y=5x$$．  代入$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{\dfrac{5}{3}x+5x}=\frac{1}{2}$$，  解得$$x=\frac{23}{10}$$．  所以$$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{2}{x}+\frac{3}{\dfrac{5}{3}x}+\dfrac{4}{5x}=\frac{23}{5x}=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-倒数法化简求值
Source: 2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 4.设$$a$$，$$b$$是常数，不等式$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，则关于$$x$$的不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$x\textless{}-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$x\textless{}\frac{1}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 不等式$$ \frac{x}{a}+ \frac{1}{b}\textgreater0 $$的解集为$$\frac{x}{a}\textgreater- \frac{1}{b}$$，  $$x\textless{}- \frac{a}{b}$$，  $$x\textless{} \frac{1}{5}$$，  所以$$ \frac{a}{b}=- \frac{1}{5} $$且$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，  所以不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集为$$bx\textgreater a$$，  $$x\textgreater{} \frac{a}{b}$$，  $$x\textgreater- \frac{1}{5}$$，  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集
Source: 初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题
2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分
2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题
Problem: 两条相交直线所成的各角中（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 必有一个钝角 
aoVal: B
content: 必有一个锐角 
aoVal: C
content: 必有一个不是钝角 
aoVal: D
content: 必有两个锐角 
Answer: C
Analysis: 相交时两条直线可能互相垂直（垂直是一种特殊的相交），  ∴$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均在垂直的情况下不成立． 
<p>$$\text{A}$$．两个$$90{}^\circ $$，故$$\text{A}$$错误；</p>
<p>$$\text{B}$$．两个$$90{}^\circ $$，故$$\text{B}$$错误；</p>
<p>$$\text{C}$$．一钝角、一锐角或两个直角，故$$\text{C}$$正确；</p>
<p>$$\text{D}$$．和小于$$180{}^\circ $$，故$$\text{D}$$错误．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->角的分类
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 若$${{x}^{2}}-13x+1=0$$，则$${{x}^{4}}+{{x}^{-4}}$$的个位数字是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{x}^{2}}-13x+1$$可得到$$x+\dfrac{1}{x}=13$$，所以$${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{(x+\dfrac{1}{x})}^{2}}-2={{13}^{2}}-2=167$$．  同样的$${{x}^{4}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}={{({{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}})}^{2}}-2$$，可以根据个位数字可以直接判断结果的个位数字为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-含分式
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期其它
1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题
Problem: $$77$$可以表示成$$n$$（$$n\geqslant 2$$）个连续自然数的和，则$$n$$的值的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: $$77=\frac{11\times 7\times 2}{2}$$．  $$77=\frac{(11\times 7)\times 2}{2}=\frac{(38+39)\times 2}{2}=38+39$$；  $$77=\frac{(11\times 2)\times 7}{2}=\frac{(8+14)\times 7}{2}=8+9+10+11+12+13+14$$；  $$77=\frac{(2\times 7)\times 11}{2}=\frac{(2+12)\times 11}{2}=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12$$．  综上，$$n$$的值的个数是$$3$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: $$y-2x+1$$是$$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k$$的一个因式，则$$k$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由因式定理可知，当$$y-2x+1=0$$时，  $$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k=0$$，  因此可令$$\begin{cases}x=0    y=-1   \end{cases}$$，  则$$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k=-1-k=0$$，  ∴$$k=-1$$．  所以答案为：$$k=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法
Source: 2020~2021学年6月江苏苏州工业园区星港学校初一下学期周测B卷第8题2分
2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第1题
2020~2021学年江苏苏州高新区苏州市高新区实验初级中学初二下学期期末模拟（一）第7题
Problem: 方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: ①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$．  若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，于是$$\left\textbar{} y \right\textbar-y=-6$$，显然不可能．  若$$x ~\textless{} ~0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，  于是$$\left\textbar{} y \right\textbar+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．  所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$，只有$$1$$个解．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->数学思想->分类讨论思想
知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：解含绝对值的方程组
知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->二元一次方程组的解
知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
Source: 2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分
2007年竞赛第1题6分
Problem: $$a$$代表有理数，那么，$$a$$和$$-a$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$大于$$-a$$ 
aoVal: B
content: $$a$$小于$$-a$$ 
aoVal: C
content: $$a$$大于$$-a$$或$$a$$小于$$-a$$ 
aoVal: D
content: $$a$$不一定大于$$-a$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$a=0$$，马上可以排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$，应选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 海滩上有$$50$$人戴墨镜，有$$35$$人戴帽子．而有些人既戴墨镜又戴帽子．如果从戴帽子的人里随机选一个，选中戴墨镜的概率是$$\frac{2}{5}$$．相反地，如果从戴墨镜的人里随机选一个，这个人戴帽子的概率是多大？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{14}{85}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{7}{10}$$ 
Answer: B
Analysis: 海滩上有$$50$$人戴墨镜，有$$35$$人戴帽子．而有些人既戴墨镜又戴帽子．如果从戴帽子的人里随机选一个，选中戴墨镜的概率是$$\frac{2}{5}$$．相反地，如果从戴墨镜的人里随机选一个，这个人戴帽子的概率是多大？  This is a problem of conditional probability, a good application of Bayes formula.  $$P(G\textbar C)=\frac{2}{5}$$，  $$\textbar G\cap C\textbar=\textbar C\textbar\cdot P(G\textbar C)=14$$，  $$P(C\textbar G)=\frac{\textbar G\cap C\textbar}{\textbar G\textbar}=\frac{7}{25}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability
课内体系->知识点->统计与概率
Source: 2019年全美数学竞赛（AMC）竞赛第15题
Problem: 如果实数$$x$$，$$y$$满足等式$$2x+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2=-2xy$$，那么$$x+y$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 等式$$2x+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2=-2xy$$即$${{(x+1)}^{2}}+{{(xy+1)}^{2}}=0$$，  所以$$x+1=0$$，$$xy+1=0$$，  解得$$x=-1$$，$$y=1$$，则$$x+y=0$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第5题
Problem: 若以$$x$$为未知数的方程$$x-2a+4=0$$的根是负数，则（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)\textless{}0$$ 
aoVal: B
content: $$\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$\left( a-3 \right)\left( a-4 \right)\textless{}0$$ 
aoVal: D
content: $$\left( a-3 \right)\left( a-4 \right)\textgreater0$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$x-2a+4=0$$，得$$x=2a-4=2(a-2)$$，  因为方程$$x-2a+4=0$$的根是负数，  所以$$a\textless{}2$$，  所以$$a-3\textless{}0$$，$$a-4\textless{}0$$，  所以$$\left( a-3 \right)\left( a-4 \right)\textgreater0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->由一元一次方程的解求参数的值
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分
Problem: 已知三个两两互质的正整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足方程组$$\begin{cases}{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3xyz={{z}^{3}}    {{x}^{2}}+7{{y}^{2}}={{z}^{2}}    \end{cases}$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3xyz={{z}^{3}}$$，  得$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{\left( -z \right)}^{3}}-3xy\left( -z \right)=0$$，  所以$$\left( x+y-z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy+yz+zx \right)=0$$，  因为，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy+yz+zx=\frac{1}{2}\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{\left( z+x \right)}^{2}} \right]\textgreater0$$，  所以$$x+y-z=0$$，即$$z=x+y$$，  所以$$7{{x}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)=y\left( 2z+y \right)$$，  ∴$$7y=2x+y$$，  所以$$x=3y$$，$$z=4y$$，  由于$$1=\left( x,y \right)=\left( 3y,y \right)=y$$，  所以，$$x=3$$，$$y=1$$，$$z=4$$，于是$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=26$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第6题5分
Problem: 已知互不相等的实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=t$$，则$$t=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$+1$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 2$$ 
aoVal: D
content: $$\pm 1$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=t$$，  得$$b=\frac{1}{t-a}$$，$$c=\frac{at-1}{a}$$，$$\frac{1}{t-a}+\frac{at-1}{a}=t$$，  整理得$$a{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-{{a}^{2}}{{t}^{2}}+{{a}^{2}}-at+1=0$$，  即$$({{t}^{2}}-1)({{a}^{2}}-at+1)=0$$．  同理得：$$({{t}^{2}}-1)({{b}^{2}}-bt+1)=0$$，$$({{t}^{2}}-1)({{c}^{2}}-ct+1)=0$$．  若$${{t}^{2}}-1\ne 0$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$为二次方程$${{x}^{2}}-xt+1=0$$的解，  这与$$a$$，$$b$$，$$c$$互不相等矛盾，不满足题意，  故$${{t}^{2}}-1=0$$，  即$$t=\pm 1$$．  $$\frac{1}{b}=t-a$$，∴$$b=\frac{1}{t-a}$$，  $$c=t-\frac{1}{a}$$，∴$$\frac{1}{c}=\frac{1}{t-\dfrac{1}{a}}$$，  ∴$$t=b+\frac{1}{c}=\frac{1}{t-a}+\frac{1}{t-\dfrac{1}{a}}$$，  ∴$$t\left( t-a \right)\left( t-\dfrac{1}{a} \right)=t-\dfrac{1}{a}+t-a$$，  整理得$$\left( t-a-\frac{1}{a} \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0$$，  $$a$$，$$ b$$，$$ c$$互不相等，∴$$t\ne a+\frac{1}{a}$$，  ∴$${{t}^{2}}=1$$，  ∴$$t=\pm 1$$．  故答案为：$$\pm 1$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->方程与不等式->其它方程->一次不定方程
知识标签->知识点->方程与不等式->不定方程
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第7题7分
Problem: 已知实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a+b+c=0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$$，则$$\frac{{{a}^{5}}+{{b}^{5}}+{{c}^{5}}}{abc}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: 不要搜题 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式
竞赛->知识点->数与式->整式->对称多项式 
Source: 2018年全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: $$P$$是线段$$AB$$上的一点，$$AB=1$$，以$$AP$$和$$BP$$为边分别作两个正方形，当这两个正方形的面积的差的绝对值为$$\frac{1}{2}$$时，$$AP$$的长是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$或$$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$或$$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{5}$$或$$\frac{4}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{7}$$或$$\frac{5}{7}$$ 
Answer: A
Analysis: 两正方形的面积差$$=A{{P}^{2}}-{{\left( 1-AP \right)}^{2}}=2AP-1$$，  由题意$$\left\textbar{} 2AP-1 \right\textbar=\frac{1}{2}$$，则有  $$\begin{cases}2AP-1=\frac{1}{2},\Rightarrow AP=\frac{3}{4}    2AP-1=-\frac{1}{2},\Rightarrow AP=\frac{1}{4}    \end{cases}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->四边形->特殊平行四边形
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 计算$$2017\times20182018-2018\times20172017$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2017$$ 
aoVal: D
content: $$2018$$ 
Answer: A
Analysis: $$2017\times20182018-2018\times20172017$$  $$=2017\times2018\times10001-2018\times2017\times10001$$  $$=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第1题4分