math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 设该数为$$x$$，则其整数部分为$$[x]$$，小数部分为$$x-[x]$$，由已知得  $$x(x-[x])={{[x]}^{2}}$$，  其中$$[x]\textgreater0$$，$$0\textless{}x-[x]\textless{}1$$，解得  $$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[x]$$．  由$$0\textless{}x-[x]\textless{}1$$知，  $$0\textless{}\frac{\sqrt{5}-1}{2}[x]\textless{}1$$，$$0\textless{}[x]\textless{}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\textless{}2$$，  即$$[x]=1$$，$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$．  故答案为：$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第10题
Problem: 已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．  命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分非必要条件 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要非充分条件 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: D
content: 甲是乙的非充分非必要条件 
Answer: A
Analysis: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta {\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$） 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 全国全国高中数学联赛竞赛一试
Problem: 设集合$$A=\left { 2,0,1,3 \right }$$，$$B=\left { x\left\textbar{} -x\in A,2-{{x}^{2}}\notin A \right. \right }$$，则集合$$B$$中所有元素的积为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$-7$$ 
Answer: C
Analysis: 易知，$$B=\left { -2,-3 \right }$$，  则集合$$B$$中所有元素的积为$$6$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合的概念
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知点$$A\left( 1,2 \right)$$，过点$$\left( 5,-2 \right)$$的直线与抛物线$${{y}^{2}}=4x$$交于另外两点$$B,C$$，那么，$$\triangle ABC$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 钝角三角形 
aoVal: C
content: 直角三角形 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: C
Analysis: 设$$B\left( {{t}^{2}},2t \right)$$，$$C\left( {{s}^{2}},2s \right)$$，$$s\ne t$$，$$s\ne 1$$，$$t\ne 1$$，  则直线$$BC$$的方程为$$y-2s=\frac{2s-2t}{{{s}^{2}}-{{t}^{2}}}\left( x-{{s}^{2}} \right)$$，  化简得$$2x-\left( s+t \right)y+2st=0$$．  由于直线$$BC$$过点$$\left( 5,-2 \right)$$，  故$$2\times 5-\left( s+t \right)\left( -2 \right)+2st=0$$，  即$$\left( s+1 \right)\left( t+1 \right)=-4$$．  因此，$${{k}_{AB}}{{k}_{AC}}=\frac{4}{\left( t+1 \right)\left( s+1 \right)}=-1$$，  所以，$$\angle BAC=90{}^{}\circ $$，  从而$$\triangle ABC$$是直角三角形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->抛物线
竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分
Problem: 设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分
Problem: $$2009-AMC10A-20$$  Andrea and Lauren are $$20$$ kilometers apart. They bike toward one another with Andrea traveling three times as fast as Lauren, and the distance between them decreasing at a rate of~ $$1$$ kilometer per minute. After $$5$$ minutes, Andrea stops biking because of a flat tire and waits for Lauren. After how many minutes from the time they started to bike does Lauren reach Andrea?  安德里亚和劳伦相距 20 公里。 他们骑自行车相向而行，$$Andrea$$ 的速度是 Lauren 的三倍，而且他们之间的距离以每分钟 1 公里的速度减少。 5 分钟后，安德里亚因为轮胎漏气而停止骑自行车并等待劳伦。 在他们开始骑自行车几分钟后，劳伦与安德里亚相遇？
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$55$$ 
aoVal: D
content: $$65$$ 
aoVal: E
content: $$80$$ 
Answer: D
Analysis: Let their speeds in kilometers per hour be $$v_A$$ and $$v_L$$. We know that $$vA=3vL$$ and that $$v_A+v_L=60$$. (The second equation follows from the fact that $$1\rm km/min=60\rm km/h)$$. This solves to $$v_A=45$$ and $$v_L=15$$.  As the distance decreases at a rate of $$1$$ kilometer per minute, after $$5$$ minutes the distance between them will be $$20-5=15$$ kilometers.  From this point on, only~ Lauren will be riding her bike. As there are $$15$$ kilometers remaining and $$vL=15$$, she will need exactly an hour to get to Andrea. Therefore the total time in minutes is $$5+60= 65$$.  Because the speed of Andrea is $$3$$ times as fast as Lauren and the distance between them is decreasing at a rate of $$1$$ kilometer per minute, Andrea\textquotesingle s speed is $$\dfrac{3}{4}\rm km/min$$,and Lauen\textquotesingle s $$\dfrac{1}{4}\rm km/min$$. Therefore, after $$5$$ minutes, Andrea will have biked $$\dfrac{3}{4}\cdot 5= \dfrac{15}{4}\rm km$$. In all, Lauren will have to bike $$20- \dfrac{15}{4}= \dfrac{80}{4}- \dfrac{15}{4}= \dfrac{65}{4}\rm km$$. Because her speed is$$\dfrac{1}{4}\rm km/\min$$, the time elapsed will be$$\dfrac{65}{\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}}=\left( \rm D\right)65$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2009年AMC10竞赛A第20题
Problem: 已知椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{3}=1$$的左顶点为$${{A}_{1}}$$，右焦点为$${{F}_{2}}$$，点$$P$$为该椭圆上一动点，则当$$\overrightarrow{P{{A}_{1}}}\cdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}$$取最小值时，$$\textbar\overrightarrow{P{{A}_{1}}}+\overrightarrow{P{{F}_{2}}}\textbar$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{13}$$ 
Answer: B
Analysis: 由条件知$$a=2$$，$$b=\sqrt{3}$$，则$$c=1$$，  故$${{A}_{1}}(-2,0)$$、$${{F}_{2}}\left( 1,0 \right)$$．设$$P(xy)$$，  则$$\overrightarrow{P{{A}_{1}}}=(-2-x,-y)$$，$$\overrightarrow{P{{F}_{2}}}=(1-x,-y)$$．  于是$$\overrightarrow{P{{A}_{1}}}\cdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}=(x+2)(x-1)+{{y}^{2}}$$  $$={{x}^{2}}+x-2+3\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)$$  $$=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1=\frac{1}{4}{{(x+2)}^{2}}\geqslant 0$$，  当$$x=-2$$时等号成立．  即当$$P$$与$${{A}_{1}}$$重合时，$$\overrightarrow{P{{A}_{1}}}\cdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}$$取最小值，  此时$$\textbar\overrightarrow{P{{A}_{1}}}+\overrightarrow{P{{F}_{2}}}\textbar=\textbar\overrightarrow{{{A}_{1}}{{F}_{2}}}\textbar=3$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 下列函数既是奇函数，又在区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上单调递减的是．
Options:
aoVal: A
content: $$f\left( x \right)=\sin x$$ 
aoVal: B
content: $$f\left( x \right)=-\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$ 
aoVal: D
content: $$f\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( {{a}^{x}}+{{a}^{-x}} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$，  则$$f\left( -x \right)=\ln \frac{2+x}{2-x}=-\ln \frac{2-x}{2+x}=-f\left( x \right)$$，  因此，$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$是奇函数．  又$$t=\frac{2-x}{2+x}=-1+\frac{4}{2+x}$$为区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上的单调递减函数，$$y=\ln t$$为区间$$\left( 0,  +\infty \right)$$上的单调递增函数，而$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$为$$y=\ln t$$与$$t=\frac{2-x}{2+x}$$的复合函数，因此函数$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$在区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上单调递减． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 圆锥的轴截面$$SAB$$是边长为$$2$$的正三角形，$$O$$为底面的中心，$$M$$为$$SO$$的中点，动点$$P$$在圆锥的底面内（包括圆周），若$$AM\bot MP$$，则点$$P$$形成的轨迹长度为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 略． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->截面的探索问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->直观想象
Source: 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 已知一个正三棱柱的底面边长为$$1$$，且两个侧面的异面对角线互相垂直．则它的侧棱长为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是正三棱柱，侧棱的长为$$a$$，  侧面对角线$$A{{B}_{1}}$$与$$B{{C}_{1}}$$互相垂直．则$$\overrightarrow{{{B}_{1}}A}\cdot \overrightarrow{B{{C}_{1}}}=0$$，  即$$(\overrightarrow{{{B}_{1}}B}+\overrightarrow{BA})\cdot (\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}})=0$$，  所以$$\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\cdot \overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\cdot \overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=0$$，  即$$-{{a}^{2}}+0+0+\cos 60{}^{}\circ =0$$．  可得$$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 向量$$\overrightarrow{a}=(1,-1)$$，$$\overrightarrow{b}=(-1,2)$$，则$$\left( 2a+b \right)\cdot a=$$(  )
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: $$a=\left( 1,-1 \right)$$，$$b=\left( -1,2 \right)$$，$$\therefore \left( 2a+b \right)\cdot a=\left( 1,0 \right)\cdot \left( 1,-1 \right)=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->线性运算和数量积综合问题
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 在$${{\left( 2019\times 2020 \right)}^{2021}}$$的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: C
Analysis: 将各正因数的幂指数记为数组$$\left( {{\alpha }_{1i}},{{\alpha }_{2i}},{{\alpha }_{3i}},{{\alpha }_{4i}},{{\alpha }_{5i}} \right)$$  即任取正因数$${{a}_{i}}$$，有$${{a}_{i}}={{2}^{{{\alpha }_{1i}}}}\times {{3}^{{{\alpha }_{2i}}}}\times {{5}^{{{\alpha }_{3i}}}}\times {{101}^{{{\alpha }_{4i}}}}\times {{673}^{{{\alpha }_{5i}}}}$$（质数分解唯一定理），  只需考虑幂指数的奇偶性，故设$${{b}_{i}}=\left( {{\beta }_{1i}},{{\beta }_{2i}},{{\beta }_{3i}},{{\beta }_{4i}},{{\beta }_{5i}} \right)$$，其中$$\beta \in \left { 0,1 \right }$$且$${{\beta }_{ji}}\equiv {{\alpha }_{ji}}\left( \bmod 2 \right)$$，  若两正因数$${{a}_{i}}$$，$${{a}_{j}}$$为完全平方数，  $$\because {{a}_{i}}\times {{a}_{j}}={{2}^{{{\alpha }_{1i}}+\alpha 1j}}\times {{3}^{{{\alpha }_{2i}}\times {{\alpha }_{2j}}}}\times {{5}^{{{\alpha }_{3i}}+{{\alpha }_{3j}}}}\times {{101}^{{{\alpha }_{4i}}+{{\alpha }_{4j}}}}\times {{673}^{{{\alpha }_{3i}}+{{d}_{5j}}}}$$，  $$\therefore $$$$2\left\textbar{} {{\alpha }_{ki}}+{{\alpha }_{kj}} \right.$$，$$k=1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$ $$\Leftrightarrow 2\left\textbar{} {{\beta }_{ki}}+{{\beta }_{kj}} \right.$$，$$k=1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，  $$\because \beta \in \left { 0,1 \right }$$，  $$\therefore $$必有$${{\beta }_{ki}}={{\beta }_{kj}}$$，  $$\therefore $$当且仅当$${{\beta }_{ki}}\pm {{\beta }_{kj}}\left( k=1,2,3,4,5 \right)$$，即任意两正因数，其各质因数的幂指数奇偶性均不同时，才有$${{a}_{i}}\times {{a}_{j}}$$不是完全平方数，  $$\because {{b}_{i}}$$为$$5$$组数组，$${{\beta }_{i}}\in \left { 0,1 \right }$$，  $$\therefore $$共有$${{2}^{5}}$$种，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->带余除法（辗转相除法）
Source: 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分
2020~2021学年北京高三单元测试
2020~2021学年北京高二单元测试
竞赛
Problem: 已知椭圆$C$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\left(a\textgreater{} b\textgreater{} 0\right)$的左、右焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，点$A\left(-2,2\right)$为椭圆$C$内一点，点$Q\left(a,b\right)$在双曲线$E$：$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$上，若椭圆上存在一点$P$，使得$\left\textbar{} PA\right\textbar{} +\left\textbar{} PF_{2}\right\textbar{} =8$，则$a$的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left(\sqrt{5}+1,5\right]$ 
aoVal: B
content: $\left[3,5\right]$ 
aoVal: C
content: $\left(\sqrt{5}+1,2\sqrt{5}\right]$ 
aoVal: D
content: $\left[\sqrt{3},\sqrt{5}\right]$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先求出椭圆左焦点$F_{1}$坐标为$(-2,0)$，由题得$\textbar{} \left\textbar{} PA\right\textbar{} -\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} \textbar{} =\textbar{} 8-2a\textbar{} \leq \textbar{} AF_{1}\textbar{} =2$，解不等式得到$3\leq a\leq 5$，再解不等式$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{4-a^{2}}\textless{} 1$即得解.\\ 【详解】\\ 点$Q\left(a,b\right)$在双曲线$E$：$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$上，所以$a^{2}-b^{2}=4$.\\ 所以椭圆左焦点$F_{1}$坐标为$(-2,0)$.\\ 因为$\left\textbar{} PA\right\textbar{} +\left\textbar{} PF_{2}\right\textbar{} =8$，所以$\left\textbar{} PA\right\textbar{} +2a-\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} =8,\therefore \textbar{} \left\textbar{} PA\right\textbar{} -\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} \textbar{} =\textbar{} 8-2a\textbar{} \leq \textbar{} AF_{1}\textbar{} =2$,\\ 所以$3\leq a\leq 5$.\\ 因为$a^{2}-b^{2}=4$，所以$b^{2}=a^{2}-4$.\\ 点$A\left(-2,2\right)$为椭圆$C$内一点，所以$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\textless{} 1,\therefore \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}-4}\textless{} 1$，\\ 所以$a^{4}-12a^{2}+16\textgreater{} 0,\therefore a\textgreater{} \sqrt{5}+1$或$a\textless{} \sqrt{5}-1$.\\ 综上：$\sqrt{5}+1\textless{} a\leq 5$.\\ 故选：A 
Source: 2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第8题
Problem: 设$${{F}_{1}},  {{F}_{2}}$$是双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4$$的两个焦点，$$P$$是双曲线上任意一点，从$${{F}_{1}}$$引$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}$$平分线的垂线，垂足为$$M$$，则点$$M$$的轨迹方程是．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$ 
aoVal: D
content: $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8$$ 
Answer: C
Analysis: 延长$${{F}_{1}}M$$交$$P{{F}_{2}}$$（或$$P{{F}_{2}}$$的延长线）于点$$N$$，则$$\triangle P{{F}_{1}}N$$是等腰三角形，$$M$$是底边$${{F}_{1}}N$$的中点，连结$$OM$$，$$OM=\frac{1}{2}{{F}_{2}}N=\frac{1}{2}\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar=2$$，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程
竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设$$Z$$为复数，$$M= {Z\textbar{{\left( Z-1 \right)}^{2}}=\textbar Z-1{{\textbar}^{2}} }$$，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$M=$${纯虚数} 
aoVal: B
content: $$M=$${实数} 
aoVal: C
content: {实数}$$\subset M\subset $${复数} 
aoVal: D
content: $$M=$${复数} 
Answer: B
Analysis: ∵$${{(Z-1)}^{2}}=\textbar Z-1{{\textbar}^{2}}$$，  即$${{(Z-1)}^{2}}=(Z-1)(\overline{Z}\mathsf{-1})$$，  ∴$$(Z-1)(\overline{Z}\mathsf{-1})=\mathsf{0}$$，  因此$$Z=1$$或$$Z=\overline{Z}$$，  即$$Z$$为实数．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: $$\text{i}$$为虚数单位，则$${{\left( \frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\right)}^{2011}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{{{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}}{1-{{\text{i}}^{2}}}=\text{i}$$，所以$${{\left(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}} \right)}^{2011}}={{\text{i}}^{2011}}={{\text{i}}^{4\times502+3}}={{\text{i}}^{3}}=-\text{i}$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2011年高考真题湖北卷理科第1题
Problem: 方程$$\left\textbar{} {{x}^{2}}-3x+2 \right\textbar+\left\textbar{} {{x}^{2}}+2x-3 \right\textbar=11$$实数解的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 原方程可以转化为$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar(\left\textbar{} x-2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar)=11$$．  当$$x\leqslant -3$$时，方程转化为$$2{{x}^{2}}-x-12=0$$，  它的两个根都大于$$-3$$，此时无解；  当$$-3\textless{}x\leqslant 1$$时，方程转化为$$-5x+5=11$$，  所以$$x=-\frac{6}{5}$$，满足题意；  当$$1x\leqslant 2$$时，方程转化为$$5x-5=11$$，  所以$$x=\frac{16}{5}\textgreater2$$，此时无解；  当$$x\textgreater2$$时，方程转化为$$2{{x}^{2}}-x-12=0$$，  其中一个根$$x=\frac{1+\sqrt{97}}{4}$$满足题意．  综上所述，满足方程的实数解有$$2$$个．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 不等边$$\triangle ABC$$中，角$$B=60{}^{}\circ $$，则直线$${{l}_{1}}$$：$$x+\frac{\sin A+\sin C}{\sqrt{3}}y+1=0$$与直线$${{l}_{2}}$$：$$x\cdot \tan (60{}^{}\circ -C)+y\cdot (\sin A-\sin C)-\tan \frac{C-A}{2}=0$$的位置关系是．
Options:
aoVal: A
content: 垂直 
aoVal: B
content: 平行 
aoVal: C
content: 重合 
aoVal: D
content: 其他情况 
Answer: C
Analysis: 由于$$A+C=120{}^{}\circ $$，则  $$\tan (60{}^{}\circ -C)=\tan \left( \frac{A+C}{2}-C \right)=\tan \frac{A-C}{2}$$，  $$\sin A-\sin C=2\sin \frac{A-C}{2}\cos \frac{A+C}{2}=\sin \frac{A-C}{2}$$，  $$\sin A+\sin C=2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{A-C}{2}$$，  故直线$${{l}_{1}}$$、$${{l}_{2}}$$的方程皆可化为$$x+y\cos \frac{A-C}{2}+1=0$$，  因此两直线重合．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 方程$$\frac{{{x}^{2}}}{\sin \sqrt{2}-\sin \sqrt{3}}+\frac{{{y}^{2}}}{\cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}}=1$$表示的曲线是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 焦点在$$x$$轴上的椭圆 
aoVal: B
content: 焦点在$$x$$轴上的双曲线 
aoVal: C
content: 焦点在$$y$$轴上的椭圆 
aoVal: D
content: 焦点在$$y$$轴上的双曲线 
Answer: C
Analysis: ∵$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\textgreater{} \pi $$，$$\therefore 0\textless{}\frac{ \pi }{2}-\sqrt{2}\textless{}\sqrt{3}-\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\therefore \cos \left( \frac{ \pi }{2}-\sqrt{2} \right)\textgreater\cos \left( \sqrt{3}-\frac{ \pi }{2} \right)$$  即$$\sin \sqrt{2}\textgreater\sin \sqrt{3}$$．  又$$0\textless{}\sqrt{2}\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\sqrt{3}\textless{} \pi $$，  $$\therefore \cos \sqrt{2}\textgreater0$$，$$\cos \sqrt{3}\textless{}0$$，$$\therefore \cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}\textgreater0$$，  方程表示的曲线是椭圆．  ∵$$(\sin \sqrt{2}-\sin \sqrt{3})-(\cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3})$$  $$=2\sqrt{2}\sin \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\sin \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4} \right)$$\ldots\ldots$$(*)$$  $$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\therefore \sin \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\textless{}\frac{3 \pi }{4}$$，$$\therefore \frac{3 \pi }{4}\textless{}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4}\textless{} \pi $$．  $$\therefore \sin \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4} \right)\textgreater0$$，$$\therefore (*)$$式$$\textless{}0$$．  即$$\sin \sqrt{2}-\sin \sqrt{3}\textless{}\cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}$$．  ∴曲线表示焦点在$$y$$轴上的椭圆，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试）
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一下学期单元测试《任意角的三角比》（实验班）第7题
2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二上学期单元测试第3题
Problem: 已知$$pa,  b,  c,  d$$成等比数列，$$q:ad=bc$$， 则$$p$$是$$q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分不必要条件 
aoVal: B
content: 必要不充分条件 
aoVal: C
content: 充分且必要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: 充分性显然成立，必要性不成立．例：$$a=1,  b=2,  c=5,  d=10$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: $$2008$$年中国北京奥运会吉祥物由$$5$$个``中国福娃''组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有两套不同大小的福娃（共$$10$$个福娃），从两套福娃中任意选出$$5$$个福娃，恰好缺一个组成完整``奥运会吉祥物''的选法有．
Options:
aoVal: A
content: $$160$$种 
aoVal: B
content: $$320$$种 
aoVal: C
content: $$32$$种 
aoVal: D
content: $$120$$种 
Answer: A
Analysis: $$\text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{4}^{1}\cdot 2\cdot 2\cdot 2=160$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$$的值域为(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$[1,\sqrt{2}]$$ 
aoVal: B
content: $$[1,\sqrt{3}]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 1,\frac{3}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$[1,2]$$ 
Answer: D
Analysis: 对于$$f(x)$$，有$$3\leqslant x\leqslant 4$$，则$$0\leqslant x-3\leqslant 1$$，  令$$x-3={{\sin }^{2}}\theta $$，$$0\leqslant \theta \leqslant \frac{ \pi }{2}$$，  则$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{3\left( 4-x \right)}=\sin \theta +\sqrt{3\left( 1-{{\sin }^{2}}\theta \right)}=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)$$，  ∵$$\frac{ \pi }{3}\leqslant \theta +\frac{ \pi }{3}\leqslant \frac{5 \pi }{6}$$，  ∴$$\frac{1}{2}\leqslant \sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)\leqslant 1$$，$$1\leqslant 2\sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)\leqslant 2$$．  函数$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$$的值域为$$[1,2]$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->换元法
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域
Source: 2014~2015学年浙江杭州高一下学期期末理科第24题3分
2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知复数$$z$$、$${{z}_{1}}$$、$${{z}_{2}}({{z}_{1}}\ne {{z}_{2}})$$满足：$$z_{1}^{2}=z_{2}^{2}=-2-2\sqrt{3}\text{i}$$，$$\textbar z-{{z}_{1}}\textbar=\textbar z-{{z}_{2}}\textbar=4$$．则$$\textbar z\textbar=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 先求复数$$-2-2\sqrt{3}\text{i}$$的平方根．  设$${{(x+y\text{i)}}^{2}}=-2-2\sqrt{3}\text{i(}x,y\in \mathbf{R})$$．  则$$({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+2xy\text{i=}-2-2\sqrt{3}\text{i}$$  $$\Rightarrow \begin{cases}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-2    2xy=-2\sqrt{3}    \end{cases}$$，  $$\Rightarrow \begin{cases}{{x}_{1}}=1    {{y}_{1}}=-\sqrt{3}    \end{cases}$$，$$\begin{cases}{{x}_{2}}=-1    {{y}_{2}}=\sqrt{3}    \end{cases}$$．  由$$z_{1}^{2}=z_{2}^{2}=-2-2\sqrt{3}\text{i}$$，$${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$$，知$${{z}_{1}}$$、$${{z}_{2}}$$为复数$$-2-2\sqrt{3}\text{i}$$的两个平方根．  由对称性，不妨设$${{z}_{1}}=1-\sqrt{3}\text{i}$$，$${{z}_{2}}=-1+\sqrt{3}\text{i}$$．  于是，$$\textbar{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\textbar=\textbar z-{{z}_{1}}\textbar=\textbar z-{{z}_{2}}\textbar=4$$．  从而，复数$$z$$、$${{z}_{1}}$$、$${{z}_{2}}$$对应的点$$Z$$、$${{Z}_{1}}$$、$${{Z}_{2}}$$构成边长为$$4$$的正三角形．  又复数$${{z}_{1}}$$、$${{z}_{2}}$$对应的点$${{Z}_{1}}$$、$${{Z}_{2}}$$关于原点$$0$$对称，从而，$$OZ$$为$$\triangle Z{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$$的高．  故$$\textbar z\textbar=\textbar OZ\textbar=2\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义
竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2019年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 使关于$$x$$的不等式$$\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}\geqslant k$$有解的实数$$k$$的最大值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{6}-\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{6}+\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{6}$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}$$，$$3\leqslant x\leqslant 6$$，则  $${{y}^{2}}=(x-3)+(6-x)+2\sqrt{(x-3)(6-x)}\leqslant 2[(x-3)+(6-x)]=6$$．  ∴$$0\textless{}y\leqslant \sqrt{6}$$，实数$$k$$的最大值为$$\sqrt{6}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
2005年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: $$ {{{a}_{n}} }$$是一等差数列，$${{S}_{n}}$$是其前$$n$$项之和，则$$-{{a}_{m}}\textless{}{{a}_{1}}\textless{}-{{a}_{m+1}}$$是$${{S}_{m}}\textgreater0,{{S}_{m+1}}\textless{}0$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分必要条件 
aoVal: B
content: 充分而不必要条件 
aoVal: C
content: 必要而不充分条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: 事实上，  $$\left. \begin{matrix}{{S}_{m}}=\frac{m}{2}({{a}_{1}}+{{a}_{m}})\textgreater0\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{m}}\textgreater0    {{S}_{m+1}}=\frac{m+1}{2}({{a}_{1}}+{{a}_{m+1}})\textless{}0\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{m+1}}\textless{}0   \end{matrix} \right }$$  $$\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{m+1}}\textless{}0\textless{}{{a}_{1}}+{{a}_{m}}\Leftrightarrow -{{a}_{m}}\textless{}{{a}_{1}}\textless{}-{{a}_{m+1}}.$$  所以是充分必要条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: ``$$\lg x$$，$$\lg y$$，$$\lg z$$成等差数列''是``$${{y}^{2}}=xz$$''成立的（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 充分不必要条件 
aoVal: B
content: 必要不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: 因为$$\lg x$$，$$\lg y$$，$$\lg z$$成等差数列，  所以$$2\lg y=\lg x+\lg z$$，所以$${{y}^{2}}=xz$$；  若$${{y}^{2}}=xz$$，当$$x\textless{}0$$，$$z\textless{}0$$时，  $$\lg x$$，$$\lg z$$无意义．  所以``$$\lg x$$，$$\lg y$$，$$\lg z$$成等差数列''是``$${{y}^{2}}=xz$$''成立的充分不必要条件．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与数列结合
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分