math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: $$2002-AMC10A-17$$  Sarah pours $$4$$ ounces of coffee into a cup that can hold $$8$$ ounces. Then she pours $$4$$ ounces of cream into a second cup that can also hold $$8$$ ounces. She then pours half of the contents of the first cup into the second cup, completely mixes the contents of the second cup, then pours half of the contents of the second cup back into the first cup. What fraction of the contents in the first cup is cream?  莎拉将 4盎司的咖啡倒入一个可容纳 8盎司的杯子中。 然后她将 4盎司的奶油倒入第二个杯子中，该杯子也可以装 8 盎司。 然后她将第一个杯子的一半内容倒入第二个杯子，将第二个杯子的内容完全混合，然后将第二个杯子的一半内容倒回第一个杯子。 第一杯中的混合物有多少是奶油？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 14$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 13$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 38$$ 
aoVal: D
content: $$\frac 25$$ 
aoVal: E
content: $$\frac 12$$ 
Answer: D
Analysis: We will simulate the process in steps.  In the beginning, we have:  ▪ $$4$$ ounces of coffee in cup $$1$$  ▪ $$4$$ ounces of cream in cup $$2$$  In the first step we pour $$\frac 42=2$$ ounces of coffee from cup $$1$$ to cup $$2$$; getting:  ▪ $$2$$ ounces of coffee in cup $$1$$  ▪ $$2$$ ounces of coffee and $$4$$ ounces of cream in cup $$2$$;  In the second step we pour $$\frac 22=1$$ ounce of coffee and $$\frac 42=2$$ ounces of cream from cup $$2$$ to cup $$1$$, getting:  ▪ $$2+1=3$$ ounces of coffee and $$0+2=2$$ ounces of cream in cup $$1$$  ▪ the rest in cup $$2$$  Hence at the end we have $$3+2=5$$ ounces of liquid in cup $$1$$, and out of these $$2$$ ounces is cream. Thus the answer is $$\frac 25$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
课内体系->知识点->集合->容斥原理
Source: 2002年AMC10竞赛A第17题
Problem: 函数$$f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+1$$的图象的对称中心为．
Options:
aoVal: A
content: $$(-1,2)$$ 
aoVal: B
content: $$(1,2)$$ 
aoVal: C
content: $$(-1,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(1,-2)$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$f(x)={{(x-1)}^{3}}+2$$，所以函数图象的对称中心为$$(1,2)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：$100\text{ml}$血液中酒精含量低于$20\text{mg}$的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到$20\text{mg}$一一$79\text{mg}$的驾驶员即为酒后驾车，$80\text{mg}$及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了$1\text{mg}/\text{ml}$.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时$30  ! \% ! $的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：$\lg 0.2\approx -0.7$，$\lg 0.3\approx -0.5,\lg 0.7\approx -0.15,\lg 0.8\approx -0.1$）
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: 3 
aoVal: C
content: 5 
aoVal: D
content: 7 
Answer: C
Analysis: 由题意得：$100\text{ml}$血液中酒精含量低于$20\text{mg}$的驾驶员可以驾驶汽车故${{\left( 1-30  ! \% ! \right)}^{x}}\textless{} 0.2$，即${{0.7}^{x}}\textless{} 0.2$两边取对数即可得$\lg {{0.7}^{x}}\textless{} \lg 0.2$，即$x\textgreater\frac{\lg 0.2}{\lg 0.7}\approx 4.67$那么他至少经过$$5$$个小时才能驾驶汽车故选：$$\text{C}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用
Source: 2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第5题
2022~2023学年四川泸州泸县泸县第一中学高一上学期期末第5题
2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（兰州市第六十三中学 兰化三中 线上 考试）第10题
Problem: 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有$$3$$名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了$$50$$场，那么上述$$3$$名选手之间比赛的场数是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 设选手人数为$$n$$，$$3$$名退出的选手之间的比赛场数为$$x$$，$$0\leqslant x\leqslant 3$$，由题意  $$\mathrm{C}_{n}^{2}+\left( 2\times 3-x \right)=50$$  则$$x=\mathrm{C}_{n}^{2}-44$$．  注意到$$\mathrm{C}_{10}^{2}=45\mathrm{C}_{11}^{2}=55$$，所以$$x=1$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$均大于$$1$$，满足$$\begin{cases}\textasciitilde\lg a+\log _{b}c=3    \lg b+\log _{a}c=4    \end{cases}$$，  则$$\lg a\cdot \lg c$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $\frac{8}{3}$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $\frac{16}{3}$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: 记分别记$$\lg a$$，$$\lg b$$，$$\lg c$$为$$x$$，$$y$$，$$z$$，则$$x$$，$$y$$，$$z\textgreater0$$且$$\begin{cases}x+\frac{z}{y}=3    y+\frac{z}{x}=4    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}xy+z=3y    xy+z=4x    \end{cases}$$，设$$x=3t$$，$$y=4t$$，则$$z=12t-12{{t}^{2}}$$，  其中$$t\in (0,1)$$，  因此$$\lg a\cdot \lg c=xz=3t(12t-12{{t}^{2}})=18\cdot (t\cdot t\cdot (2-2t))\leqslant 18\cdot {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{16}{3}$$，  等号当$$t=\frac{2}{3}$$时取得，因此所求最大值为$$\frac{16}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第10题
Problem: 设$$a\textgreater b\textgreater0$$，那么$${{a}^{2}}+\frac{1}{b(a-b)}$$的最小值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a\textgreater b\textgreater0$$知$$a-b\textgreater0$$，故有$$b(a-b)\leqslant \dfrac{{{a}^{2}}}{4}$$．  ∴$${{a}^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}\geqslant {{a}^{2}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\geqslant 4$$．  当且仅当$$\begin{cases}b=a-b    {{a}^{2}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}   \end{cases}$$，即$$\begin{cases}a=\sqrt{2}    b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}   \end{cases}$$时等号成立．  ∴$${{a}^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}$$的最小值为$$4$$，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->思想->转化化归思想
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
Source: 高二上学期单元测试《不等式专题》自招
高二上学期单元测试《不等式专题》自招第3题
高二上学期单元测试《不等式专题（1）》自招第1题
2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期单元测试《基本不等式》第43题
Problem: 设$$\triangle ABC$$的内角$$A,  B,  C$$所对的边$$a,  b,  c$$成等比数列，则$$\frac{\sin A+\cos A\tan C}{\sin B+\cos B\tan C}$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left(0,  +\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},  +\infty \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$a,  b,  c$$的公比为$$q$$，则$$b=aq,  c=a{{q}^{2}}$$，而  $$\frac{\sin A+\cos A\tan C}{\sin B+\cos B\tan C}$$  $$=\frac{\sin A\cos C+\cos A\sin C}{\sin B\cos C+\cos B\sin C}$$  $$=\frac{\sin (A+C)}{\sin (B+C)}=\frac{\sin ( \pi -B)}{\sin ( \pi -A)}$$  $$=\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}=q.$$  因此，只需求$$q$$的取值范围．  因$$a,  b,  c$$成等比数列，最大边只能是$$a$$或$$c$$，因此$$a,  b,  c$$要构成三角形的三边，必须且只需$$a+bc$$且$$b+ca$$．即有不等式组$$\begin{cases}a+aq\textgreater a{{q}^{2}}    aq+a{{q}^{2}}\textgreater a \end{cases}$$，即$$\begin{cases}{{q}^{2}}-q-1\textless{}0    {{q}^{2}}+q-1\textgreater0 \end{cases}$$  解得$$\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}    q\textgreater\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{cases}$$或$$\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}    q\textless{}-\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{cases}$$  从而$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2},$$  因此所求的取值范围是$$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
2018~2019学年上海静安区上海市市北中学高三上学期期中第16题5分
Problem: 若函数$$y={{\log }_{a}}({{x}^{2}}-ax+1)$$有最小值，则$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$0 \textless{} a \textless{} 1$$ 
aoVal: B
content: $$0 \textless{} a \textless{} 2,a\ne 1$$ 
aoVal: C
content: $$1 \textless{} a \textless{} 2$$ 
aoVal: D
content: $$a\geqslant 2$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$a\textgreater1$$时，$$y$$有最小值，则说明$${{x}^{2}}-ax+1$$有最小值，故$${{x}^{2}}-ax+1=0$$中$$\Delta ~~\textless{} ~0$$，  即$${{a}^{2}}-4 ~\textless{} ~0$$，所以$$2\textgreater a\textgreater1$$．  当$$0 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~1$$时，$$y$$有最小值，  则说明$${{x}^{2}}-ax+1$$有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质
课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->利用指数函数性质求最值
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市第七中学高一上学期单元测试《集合与函数》第29题
Problem: 已知非零实数$x,y$满足$(3x+y)^{5}+x^{5}+4x+y=0$，则$\dfrac{x}{y}=$$\underline{                    }$.
Options:
aoVal: A
content: $-\dfrac{1}{3}$ 
aoVal: B
content: $-\dfrac{1}{4}$ 
aoVal: C
content: $\dfrac{1}{3}$ 
aoVal: D
content: $\dfrac{1}{4}$ 
Answer: B
Analysis: 条件等式变形为$(3x+y)^{5}+(3x+y)=-(x^{5}+x)$，设$f(t)=t^{5}+t$，显然$f(t)$是单调奇函数，又$f(3x+y)=-f(x)=f(-x)$，故$3x+y=-x,\dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{4}$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->函数->函数的性质
Source: 竞赛
Problem: 2008AMC12A, 17  Let $$a_{1}$$, $$a_{2}$$, $$\cdots$$ be a sequence determined by the rule $$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}$$ if $$a_{n-1}$$ is even and $$a_{n}=3a_{n-1}+1$$ if $$a_{n-1}$$ is odd. For how many positive integers $$a_{1}\leqslant 2008$$ is it true that $$a_{1}$$ is less than each of $$a_{2}$$, $$a_{3}$$, and $$a_{4}$$?  令数列$$a_{1}$$, $$a_{2}$$, $$\cdots$$满足: $$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{ 2}$$若$$a_{n-1}$$是偶数; $$a_{n}=3a_{n-1}+1$$若$$a_{n-1}$$是奇数。 有多少个正整数$$a_{1}\leqslant 2008$$满足$$a_{1}$$小于$$a_{2}$$, $$a_{3}$$和$$a_{4}$$?
Options:
aoVal: A
content: $$250$$ 
aoVal: B
content: $$251$$ 
aoVal: C
content: $$501$$ 
aoVal: D
content: $$502$$ 
aoVal: E
content: $$1004$$ 
Answer: D
Analysis: 首先, 若$a_1$是偶数, 则$a_2=\frac{a_1}{2}\textless a_1$, 不满足条件.  若$a_1$是奇数, 则$a_2=3a_1+1$, $a_3=\frac{3}{2}a_1+\frac{1}{2}$必然都大于$a_1$, 问题出在$a_4$上$$.$$ 我们不知道$a_3$的奇偶, 也就无法计算$a_4$, 更无法讨论它和$a_1$的大小关系$$.$$ 因此, 接下来, 我们先对$a_3$的奇偶性进行讨论.  若$a_3$为偶数, 这等价于$3a_1+1$是$$4$$的倍数, 也就是说$a_1\equiv 1\pmod 4$. 此时$a_4=\frac{a_3}{2}=\frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}\leq a_1$, 不满足条件.  若$a_3$为奇数, 也就是说$a_1\equiv 3\pmod 4$时, $a_4=3a_3+1\textgreater a_1$, 满足条件.  综上可知有且只有模$$4$$余$$3$$的$a_1$满足条件, 这些数在总共$$2008$$个数中占了$\frac{1}{4}$, 有$\frac{1}{4}\times 2008=502$个, 选$$\text{D}$$.  拓展: 数学上有一个著名的问题, 叫$3n+1$猜想, 讲的是: 在本题中所给的数列中, 无论$a_1$取什么正整数, $1$最终都会出现在数列的某一项$$.$$ 这一猜想至今未得到证明. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的定义
美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Basic Analytic Geometry->Curves and Equations
Source: 2008年AMC12竞赛A第17题
Problem: 设$$\triangle ABC$$的周长为$$12$$，内切圆的半径为$$1$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$\triangle ABC$$必为直角三角形 
aoVal: B
content: $$\triangle ABC$$必为锐角三角形 
aoVal: C
content: $$\triangle ABC$$必为直角三角形或锐角三角形 
aoVal: D
content: 以上结论都不对 
Answer: D
Analysis: 设三边为$$abc$$，则$$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{p-a}=\frac{1}{6-a}$$（$$p$$是半周长）．  当$$a\leqslant 5$$时，$$0\textless{}\tan \frac{A}{2}\leqslant 1$$，则$$A\leqslant 90{}^{}\circ $$；  当$$a\textgreater5$$时，$$\tan \frac{A}{2}\textgreater1$$，则$$A\textgreater90{}^{}\circ $$．  所以若有一条边的长度大于$$5$$，则$$\triangle ABC$$是钝角三角形，否则$$\triangle ABC$$是直角或锐角三角形．  设$$a=5+x$$，$$b=c=\frac{7-x}{2}$$，内切圆半径为$$r$$，由面积法，得  $$\frac{1}{2}\cdot \left( 5+x \right)\cdot \sqrt{{{\left( \frac{7-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{5+x}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot 12$$  化简可得$$r=\frac{\left( 5+x \right)\sqrt{1-x}}{2\sqrt{6}}$$  当$$r=1$$时，化简得方程$${{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+15x-1=0$$，此方程在$$\left( 0,1 \right)$$之间有解$${{x}_{0}}$$，即存在三边长为$$5+{{x}_{0}}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}$$，内切圆半径为$$1$$的$$\triangle ABC$$，是一个钝角三角形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 设$${{a}_{n}}={{2}^{n}}$$，$${{b}_{n}}=n$$，（$$n=1$$，$$2$$，$$3$$\ldots），$${{A}_{n}}$$、$${{B}_{n}}$$分别为数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$、$$\left { {{b}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和，记$${{c}_{n}}={{a}_{n}}{{B}_{n}}+{{b}_{n}}{{A}_{n}}-{{a}_{n}}{{b}_{n}}$$，则数列$$\left { {{c}_{n}} \right }$$的前$$10$$项和为（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{10}}+53$$ 
aoVal: B
content: $${{2}^{11}}+53$$ 
aoVal: C
content: $$110\times \left( {{2}^{9}}-1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$110\times \left( {{2}^{10}}-1 \right)$$~ 
Answer: D
Analysis: $${{a}_{n}}={{2}^{n}}$$，$${{b}_{n}}=n$$，$${{A}_{n}}={{2}^{n+1}}-2$$，$${{B}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$$，于是$${{c}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}{{2}^{n}}+n\cdot {{2}^{n}}-2n$$，  不妨设$${{P}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{i\cdot {{2}^{i}}}$$，$${{Q}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{i\left( i+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{i}}}$$，于是$$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{c}_{i}}={{P}_{n}}+{{Q}_{n}}-n\left( n+1 \right)}$$，  $${{Q}_{n}}=1\times 2+3\times {{2}^{2}}+\cdots +\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n}}$$①  $$2{{Q}_{n}}=1\times {{2}^{2}}+3\times {{2}^{3}}+\cdots +\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n}}+\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n+1}}$$②  ①$$-$$②得$$-{{Q}_{n}}=1\times {{2}^{1}}+2\times {{2}^{2}}+\cdots +n\cdot {{2}^{n}}-\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n+1}}$$  即$${{Q}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n+1}}-{{P}_{n}}$$，即$${{Q}_{n}}+{{P}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\cdot {{2}^{n+1}}=n\left( n+1 \right)\cdot {{2}^{n}}$$  ∴$$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{c}_{i}}={{P}_{n}}+{{Q}_{n}}-n\left( n+1 \right)=n\left( n+1 \right)\left( {{2}^{n}}-1 \right)}$$，将$$n=10$$代入即可．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-4a=0$$至少有一个模为$$3$$的复数根，则实数$$a$$的所有取值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$，$$9$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$，$$ 9 $$，$$2-\sqrt{13}$$ 
aoVal: C
content: $$1 $$，$$9$$， $$2+\sqrt{13}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$，$$ 9$$，$$ 2-\sqrt{13}$$ 
Answer: D
Analysis: 将方程写为$${{(x-a)}^{2}}=4a$$．当$$a\geqslant 0$$时，此时方程有实根，  因为该实根模为$$3$$，故方程有一根为$$3$$或$$-3$$．代入，  由$${{(a\pm 3)}^{2}}=4a$$，得$$a=1$$或$$9$$；  当$$a\textless{}0$$时，得$$x=a\pm 2\sqrt{\textbar a\textbar}\text{i}$$，  故$$\textbar x{{\textbar}^{2}}={{a}^{2}}-4a=9$$，得$$a=2-\sqrt{13}$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 设$$x$$、$$y$$、$$z$$均为素数，且$$x\leqslant~ y\leqslant z$$．则不定方程$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$$的正整数解有组．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: 注意到，素数$$x\leqslant y\leqslant z$$．  由$$3x^{2}\leqslant 2019\Rightarrow 2\leqslant x\leqslant 25$$，  故$$x$$、$$y$$的所有可能取值为：$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$11$$、$$13$$、$$17$$、$$19$$、$$23$$．  由$$3z^{2}\geqslant 2019$$，$$z^{2}\textless{}2019\Rightarrow 26\leqslant z\textless{}45$$，  故$$z$$的所有可能取值为：$$29$$、$$31$$、$$37$$、$$41$$、$$43$$．  当$$z=29$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-29^{2}=1178$$，无解；  当$$z=31$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-31^{2}=1058=23^{2}+23^{2}$$；  当$$z=37$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-37^{2}=650=11^{2}+23^{2}=17^{2}+19^{2}$$；  当$$z=41$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-41^{2}=338=7^{2}+17^{2}=13^{2}+13^{2}$$；  当$$z=43$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-43^{2}=170$$，无解．  综上，原不定方程共有五个解：  $$(x,y,z)=(23,23,31)$$，$$(11,23,37)$$，$$(17,19,37)$$，$$(7,17,41)$$，$$(13,13,41)$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->同余->平方剩余
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 2021 AMC 10A Problem 25  How many ways are there to place $$3$$ indistinguishable red chips, $$3$$ indistinguishable blue chips, and $$3$$indistinguishablegreenchipsin thesquaresofa $$3\times3$$ grid so thatnotwochips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?  将 $$3$$ 枚不可区分的红色筹码, $$3$$ 枚不可区分的蓝色筹码和 $$3$$ 枚不可区分的绿色筹码分别放在 $$3\times3$$ 方格表的各个小方格中，使得无论是垂直方向还是水平方向，都没有两个相同颜色的筹码相邻，共问有多少种放法?
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
aoVal: E
content: $$36$$ 
Answer: E
Analysis: N\A 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory
Source: 2021年AMC10竞赛
Problem: 某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25\%，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆（参考数据：$$\lg 1.25\approx 0.097,\lg 1.3\approx 0.11,\lg 4\approx 0.60$$）（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 2021年 
aoVal: B
content: 2022年 
aoVal: C
content: 2023年 
aoVal: D
content: 2024年 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 由题意确定函数模型，再根据指数与对数运算解不等式.\\ 【详解】\\ 设产量首次超过800万辆的年份为$$x$$，则$$260\times {{\left( 1+25\% \right)}^{x-2017}}\textgreater800$$，\\ 即$$\lg 260+\left( x-2017 \right)\lg 1.25\textgreater\lg 800$$，\\ $$x-2017\textgreater\frac{\lg \frac{800}{260}}{\lg 1.25}=\frac{\lg 4-\lg 1.3}{\lg 1.25}\approx 5.05$$，\\ 即$$x\textgreater2017+5.05=2022.05$$，\\ 所以$$x=2023$$，\\ 故选：C. 
Source: 2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第7~7题
Problem: 设$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$$，$$\left( b\ne 0 \right)$$，若直线$$ax+by=2$$和椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{6}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=1$$有公共点，则$$\frac{a}{b}$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -1,1 \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\infty ,-1 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -2,2 \right]$$ 
Answer: C
Analysis: 将$$y=\frac{2-ax}{b}$$代入椭圆方程并整理得$$\left( 3{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}-12ax+12-6{{b}^{2}}=0$$，  因直线和椭圆有公共点，则判别式$${{\left( 12a \right)}^{2}}-4\left( 3{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( 12-6{{b}^{2}} \right)\geqslant 0$$，  利用$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$$，化简得$${{a}^{2}}\geqslant {{b}^{2}}$$，  所以$$\left\textbar{} \frac{a}{b} \right\textbar\geqslant 1$$．即$$\frac{a}{b}\in \left( -\infty ,-1 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为$$a$$，再由乙猜甲刚才想到的数字，把乙猜的数字记为$$b$$，且$$a$$、$$b\in  {1,2,\ldots ,6 }$$． 若$$\left\textbar{} a-b \right\textbar\leqslant 1$$，则称甲、乙``心有灵犀''． 现任意找两个人玩这个游戏，得出他们``心有灵犀''的概率为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{18}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{9}$$ 
Answer: D
Analysis: 若``心有灵犀''，则当$$a=1$$时，$$b=1$$或$$b=2$$；  当$$a=2$$时，$$b=1$$或$$b=2$$或$$b=3$$；当$$a=3$$时，$$b=2$$或$$b=3$$或$$b=4$$；  当$$a=4$$时，$$b=3$$或$$b=4$$或$$b=5$$；当$$a=5$$时，$$b=4$$或$$b=5$$或$$b=6$$；  当$$a=6$$时，$$b=5$$或$$b=6$$，即有$$16$$种满足题意的结果，∴$$P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型->古典概型的概率计算（不涉及计数原理）
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
2017~2018学年北京东城区北京市第五中学高二下学期期中理科第6题6分
2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 若实数$$a,  b,  c$$满足：$$a+b+c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$，则$$a+b+c$$的最大值是~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 提示：据柯西不等式，  $$3\left( a+b+c \right)=\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\geqslant {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$$，所以$$a+b+c\leqslant 3$$，当$$a=b=c=1$$时取得等号． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2012年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题10分
Problem: 已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．  命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分条件但不必要 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要条件但不充分 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: D
content: $$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$都不对 
Answer: A
Analysis: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta \mathsf{\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$） 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 全国全国高中数学联赛竞赛一试
Problem: 设$$0\textless{}a\textless{}b$$，已知，$$s$$，$$t$$，$$b$$依次成等差数列，$$a$$，$$u$$，$$v$$，$$b$$依次成等比数列，记$$x=st\left( s+t \right)$$，$$y=uv\left( u+v \right)$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$x=y$$ 
aoVal: C
content: $$x\textless{}y$$ 
aoVal: D
content: 既有$$x\textgreater y$$的情形，也有$$x\textless{}y$$的情形 
Answer: A
Analysis: 由题设有$$x=\frac{2a+b}{3}\cdot \frac{a+2b}{3}\left( a+b \right)$$，$$y=ab\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}} \right)$$，  由均值不等式，$$\frac{2a+b}{3}\geqslant \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}$$，$$\frac{a+2b}{3}\geqslant \sqrt[3]{a{{b}^{2}}}$$（等号都不成立），  由排序不等式，$$a+b=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{{{b}^{3}}}\geqslant \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}}$$（等号不成立），  所以，$$x\textgreater y$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->排序
竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式）
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
2016年高考真题天津卷
Problem: 在四个函数$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$、$$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$、$$y=\left\textbar{} \cot x \right\textbar$$、$$y=\lg \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$中，以$$ \pi $$为周期、在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上单调递增的偶函数是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$ 
aoVal: B
content: $$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$y=\left\textbar{} \text{cot}x \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $$y=\lg \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$ 
Answer: D
Analysis: 可考虑用排除法．$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$不是周期函数（可通过作图判断），故$$\text{A}$$错误；  $$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$的最小正周期为$$2 \pi $$，且在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上是减函数，故$$\text{B}$$错误；  $$y=\left\textbar{} \text{cot}x \right\textbar$$在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上是减函数，故$$\text{C}$$错误．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2001年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 从$$1，$$2$$，\cdots ，20$$这$$20$$个数中，任取$$3$$个不同的数，则这$$3$$个数构成等差数列的概率为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{19}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{38}$$ 
Answer: D
Analysis: 设等差数列的三个数为$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{1}}+d$$，$${{a}_{1}}+2d$$，其中$${{a}_{1}}$$，$$d$$都是正整数．  由$${{a}_{1}}+2d\leqslant 20$$，得$${{a}_{1}}\leqslant 20-2d$$．  等差数列的个数为$$\sum\limits_{d=1}^{9}{\left( 20-2d \right)}=180-9\times 10=90$$．  故所求概率为$$\frac{90}{\mathrm{C}_{20}^{3}}=\frac{3}{38}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数据分析
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
Source: 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 以双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{m}=1$$的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则$$m=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{6}{5}$$ 
Answer: B
Analysis: 易知$$a=2$$，$$b=\sqrt{m}$$，$$c=4+m$$，$$e=\frac{\sqrt{4+m}}{2}$$．  渐近线方程：$$\frac{x}{2}\pm \frac{y}{\sqrt{m}}=0$$，即$$\sqrt{m}x\pm 2y=0$$．  右焦点$$\left( \sqrt{4+m},0 \right)$$到渐近线的距离$$d=b=\sqrt{m}$$．  从而得方程$$\sqrt{m}=\frac{\sqrt{4+m}}{2}$$，解得$$m=\frac{4}{3}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的切线的相关问题
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->平面中的距离->点到直线的距离公式
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的渐近线
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 点$$A$$，$$B$$，$$C$$均位于单位圆上，且 $$\textbar{} \overrightarrow{AB}\textbar= \sqrt{3}$$，则 $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$ 的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}+ \frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$2 \sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知，可设$$A\left( -1,0 \right)$$，$$B\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$，$$C\left( \cos \theta , \sin \theta \right)\left( 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \right)$$，则$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\cdot \left( \cos \theta +1,\sin \theta \right)=\frac{3}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{3}{2}$$  $$=\sqrt{3}\sin \left( \theta +\frac{\pi }{3} \right)+\frac{3}{2}\leqslant \sqrt{3}+\frac{3}{2}$$，  所以，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$的最大值为$$\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 在$$\vartriangle ABC$$中，已知$$B=60{}^{}\circ ,AC=\sqrt{3},AB=1$$，则$$BC=$$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: 2 
aoVal: D
content: 4 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 直接利用余弦定理即可求得.\\ 【详解】\\ 在$$\vartriangle ABC$$中，已知$$B=60{}^{}\circ ,AC=\sqrt{3},AB=1$$，即为$$B=60{}^{}\circ ,b=\sqrt{3},c=1$$，\\ 由余弦定理$${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B$$得：$$3={{a}^{2}}+1-2a\times 1\times \frac{1}{2}$$,解得：$$a=2$$（边长大于0，所以$$a=-1$$舍去）\\ 即$$BC=2$$.\\ 故选：C 
Source: 2021~2022学年广东肇庆德庆县广东省德庆县香山中学高一下学期期中第4题
2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第1~1题
2021~2022学年广东肇庆德庆县广东省德庆县香山中学高一下学期期中第4题
Problem: 用数字$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 最高位只能填$$1$$、$$2$$、$$3$$，有$$3$$种方法，其余的位置没有限制，  任意排有$$A_{3}^{3}=6$$种方法，  这样的四位数的个数为$$3\times 6=18$$种．  故选B． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法
Source: 2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
2012~2013学年北京东城区高二下学期期末理科第4题3分