math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数.这样计算了四次，得到下面四个数:23，26，30，33，$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四个数的平均数是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 24 
aoVal: B
content: 26 
aoVal: C
content: 28 
aoVal: D
content: 30 
Answer: C
Analysis: 不妨设$$A\geqslant B\geqslant C\geqslant D$$，则 $$B\text{+}C\text{+}D=23\times 3=69$$ $$A\text{+}C\text{+}D=26\times 3=78$$ $$A\text{+}B\text{+}D=30\times 3=90$$ $$A\text{+}B\text{+}C=33\times 3=99$$ 四个等式相加得$$3\times \left( A\text{+}B\text{+}C\text{+}D \right)=336$$，从而$$A\text{+}B\text{+}C\text{+}D\text{=}112$$，所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的平均数为$$112\div 4\text{=}28$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 一串彩珠按``$$1$$红$$2$$蓝$$4$$黄''的顺序依次排列，第$${32}$$颗彩珠是~\uline{~~~~~~~~~~}~色． 
Options:
aoVal: A
content: 红 
aoVal: B
content: 蓝 
aoVal: C
content: 黄 
aoVal: D
content: 白 
Answer: C
Analysis: 将``$$1$$红$$2$$蓝$$4$$黄''看作一组，共有$$7$$颗，$$32 \div 7 = 4 \cdots ~\cdots 4$$，说明这一组共出现了$$4$$次，余数是$$4$$说明还依次出现了$$1$$颗红珠、$$2$$颗蓝珠、$$1$$颗黄珠，所以第$$32$$颗彩珠是黄色． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2009年第9届全国新希望杯三年级竞赛初赛
Problem: 每两人之间都握一次手（不能重复计数），$$5$$个小朋友一共要握次． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 因为由题干可知，一共有$$4$$个人，每两人之间需要握一次手，我们可以将这$$4$$个人分别用$$A$$、$$B$$、$$C$$和$$D$$来指代，则所有的握手情况为：$$AB$$，$$AC$$，$$AD$$，$$BC$$，$$BD$$和$$CD$$，所以一共要握$$6$$次，故本题答案为$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年希望杯一年级竞赛模拟第2题
Problem: 王师傅加工一批零件，$$\frac{1}{2}$$小时加工了这批零件的$$\frac{3}{8}$$，全部加工完还需要(  )小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$1\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{10}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{6}$$ 
Answer: D
Analysis: 首先根据王师傅加工一批零件，$$\frac{1}{2}$$小时加工了这批零件的$$\frac{3}{8}$$，工作效率$$=$$工作量$$\div $$工作时间，求出每小时加工这批零件的几分之几；求出剩下的工作量，然后根据工作时间$$=$$工作量$$\div $$工作效率，求出全部加工完还需要多少小时即可．  解；$$\frac{3}{8}\div \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$$  $$(1-\frac{3}{8})\div \frac{3}{4}$$  $$=\frac{5}{8}\div \frac{3}{4}$$  $$=\frac{5}{6}$$(小时)  答:全部加工完还需要$$\frac{5}{6}$$小时．  故选$$\rm D$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟8第3题3分
2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第8题3分
2018年湖南长沙小升初数学入学试卷第4题4分
Problem: 算式$$\textasciitilde8+9\times 5$$的正确结果是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$85$$ 
aoVal: B
content: $$55$$ 
aoVal: C
content: $$53$$ 
aoVal: D
content: $$62$$~ 
Answer: C
Analysis: 先算乘除，再算加减，$$8+9\times 5=8+45=53$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第1题
Problem: $$15-18$$这些数的平方的倒数乘，可约分的数最多． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: $${{15}^{2}}=225$$，$${{16}^{2}}=256$$，$${{17}^{2}}=289$$，$${{18}^{2}}=324$$，  $$\text{A}$$. $$\frac{1}{225}\times 2=\frac{2}{225}$$，$$\frac{1}{256}\times 2=\frac{2}{256}=\frac{1}{128}$$，  $$\frac{1}{289}\times 2=\frac{2}{289}$$，$$\frac{1}{324}\times 2=\frac{2}{324}=\frac{1}{162}$$；  $$\text{B}$$. $$\frac{1}{225}\times 3=\frac{3}{225}=\frac{1}{75}$$，$$\frac{1}{256}\times 2=\frac{3}{256}$$，  $$\frac{1}{289}\times 3=\frac{3}{289}$$，$$\frac{1}{324}\times 3=\frac{3}{324}=\frac{1}{108}$$；  $$\text{C}$$. $$\frac{1}{225}\times 4=\frac{4}{225}$$，$$\frac{1}{256}\times 4=\frac{4}{256}=\frac{2}{128}=\frac{1}{64}$$  $$\frac{1}{289}\times 4=\frac{4}{289}$$，$$\frac{1}{324}\times =\frac{4}{324}=\frac{2}{162}=\frac{1}{81}$$；  $$\text{D}$$. $$\frac{1}{225}\times 5=\frac{5}{225}=\frac{1}{45}$$，$$\frac{1}{256}\times 5=\frac{5}{256}$$，  $$\frac{1}{289}\times 5=\frac{5}{289}$$，$$\frac{1}{324}\times 5=\frac{5}{324}$$．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分数的约分
Source: 2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第1题3分
Problem: 用$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$这四个数字可以组成许多四位数，将它们从小到大依次排列，那么$$4123$$这个四位数排在第个位置上． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$这四个数字组成的四位数有：  $$1234$$；$$1243$$；$$1324$$；$$1342$$；$$1423$$；$$1432$$；  $$2134$$；$$2143$$；$$2314$$；$$2341$$；$$2413$$；$$2431$$；  $$3124$$；$$3142$$；$$3214$$；$$3241$$；$$3412$$；$$3421$$；  $$4123$$；$$4132$$；$$4213$$；$$4231$$；$$4312$$；$$4321$$，  所以将它们从小到大的顺序排列，$$4123$$是第$$19$$个．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第8题3分
Problem: 盒子里装有分别写着$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$100$$的黄色卡片各一张，我们称如下操作为一次操作；从盒子里取出$$m(7\leqslant m\leqslant 10)$$张卡片，算出这$$m$$张卡片上各数之和减去$$27$$的差，将写在一张红色卡片上（不放回）．若干次操作之后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为$$n$$，那么$$n$$的最大可能值减去最小可能值等于（~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$108$$ 
aoVal: B
content: $$96$$ 
aoVal: C
content: $$88$$ 
aoVal: D
content: $$81$$ 
Answer: A
Analysis: 先算卡片的总值．  最小值$$100\div 10=10$$次，共减$$10\times 27$$；  最多$$14$$次，共减去$$14\times 27$$，  因此差为$$(14-10)\times 27=108$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->数字操作
Source: 2011年第7届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛第6题4分
Problem: 王伯伯养了一些鸡、兔和鹤．其中鹤白天双足站立，夜间则单足站立；鸡晚上睡觉时则把头藏起来．细心的悦悦发现：不论白天还是晚上，足数和头数的差都一样，那么，如果白天悦悦可以数出$$56$$条腿，晚上会数出~\uline{~~~~~~~~~~}~个头． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: B
Analysis: 白天比晚上多了一个鸡头，还多了一只鹤脚；无论晚上还是白天，足数和头数的差都一样，所以鹤的数量和鸡的数量是一样的．将鸡和鹤打一个包，则在白天这个包和兔子腿数一样为$$4$$，在晚上这个包和兔子头数一样为$$1$$；则可以得出晚上的头数为$$56\div 4=14$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->分组法解鸡兔同笼->腿倍型
Source: 2015年全国迎春杯四年级竞赛初赛第5题
Problem: 把$$100$$个球放到$$36$$个盒子里．已知任何连续的$$5$$个盒子中共有$$14$$个球，问最后一个盒子里有多少个球？  Put a total of $100$ balls into $36$ boxes. Given that any consecutive $5$ boxes have a sum of $14$ balls, the last box has~\uline{~~~~~~~~~~}~balls. 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
aoVal: E
content: $$14$$ 
Answer: B
Analysis: $36\div5=7R1$.  Thus, for the first $35$ boxes, there is a total of $$14\times7=98$$ balls.  Therefore, there are $100-98=2$ balls. 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Overseas Competition->知识点->组合模块->操作与策略->统筹规划
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第6题3分
Problem: 【补4】  计算：$$\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}{1\times 2}+\frac{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}{2\times 3}+\cdots +\frac{{{18}^{2}}+{{19}^{2}}}{18\times 19}+\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$38\frac{19}{20}$$ 
aoVal: B
content: $$38\frac{17}{20}$$ 
aoVal: C
content: $$38\frac{13}{20}$$ 
aoVal: D
content: $$38\frac{1}{20}$$ 
Answer: A
Analysis: 算式中的分母是裂项计算的最基本形式，但分子比较复杂，我们可以从前几项找找规律：  $$\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}{1\times 2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$$，$$\frac{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}{2\times 3}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$$，$$\frac{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}{3\times 4}=\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}$$．  我们发现一规律：每一项减去$$2$$后，分子就变成了$$1$$．  再来试试最后一项：$$\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}=\frac{761}{380}=2\frac{1}{380}$$，  也满足这个规律，这是为什么呢？  观察每一项的分子和分母，我们发现分子的每个加数都与分母大小接近，可以做如下变形：  $$\frac{{{19}^{2}}+{{20}^{2}}}{19\times 20}=\frac{19\times \left( 20-1 \right)+20\times \left( 19+1 \right)}{19\times 20}$$  $$=\frac{19\times 20\times 2+\left( 20-19 \right)}{19\times 20}$$  $$=2+\frac{1}{19\times 20}$$．  算式中的每一项都能像上面一样进行变形，所以：  原式$$=2\frac{1}{1\times 2}+2\frac{1}{2\times 3}+\cdots +2\frac{1}{19\times 20}$$  $$=2\times 19+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{19\times 20}$$  $$=38+1-\frac{1}{20}$$  $$=38\frac{19}{20}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 六年级其它导引
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛A卷第10题10分
2018年陕西西安碑林区西安市铁一中学小升初（二十六）第20题5分
Problem: 整数$$146$$和$$234$$的三个数位上数字的乘积都是$$24$$（注：$$1\times 4\times6 =24$$，$$2\times 3\times 4=24$$）．那么共有个三位数其各位数字的乘积是$$72$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
Answer: A
Analysis: $$1\times 8\times 9=72$$，  ∴各位数字乘积为$$72$$的有  $$189$$，$$198$$，$$819$$，$$891$$，$$918$$，$$981$$，$$6$$个．  ∵$$2\times 4\times 9=72$$，  ∴三位数各位数字乘积为$$72$$的有  $$249$$，$$294$$，$$429$$，$$492$$，$$924$$，$$942$$，$$6$$个．  ∵$$3\times 3\times 8=72$$，  ∴三位数各位数字乘积为$$72$$的有  $$338$$，$$383$$，$$833$$，$$3$$个．  ∵$$3\times 4\times 6=72$$，  ∴三位数各位数字乘积为$$72$$的有  $$346$$，$$364$$，$$463$$，$$436$$，$$643$$，$$634$$，共$$6$$个．  ∵$$2\times 6\times 6=72$$，  ∴三位数各位数字乘积为$$72$$的有  $$266$$，$$626$$，$$662$$，$$3$$个．  综上所述共有$$6+6+3+6+3=24$$个．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第8题5分
Problem: $$2020$$年元旦是周三，以这天为第$$1$$天，从这天起的第天是周三． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$105$$ 
aoVal: C
content: $$205$$ 
aoVal: D
content: $$366$$ 
Answer: A
Analysis: 根据周期问题的公式：总数$$\div $$周期$$=$$周期数$$\cdots \cdots $$余数，余数是几，就是周期中的第几个．本题最后这一天是周三，刚好是周期中的第一天，说明余数就是$$1$$，又因为一周有$$7$$天，依次判断选项中的数除以$$7$$的余数．  $$\text{A}$$.$$15\div 7=2$$（周）$$\cdots \cdots 1$$（天）；$$\text{B}$$.$$105\div 7=15$$（周）；  $$\text{C}$$.$$205\div 7=29$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天）；$$\text{D}$$.$$366\div 7=52$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2020年广东广州羊排赛五年级竞赛第8题3分
Problem: 若数$$n=20\times 30\times 40\times 50\times 60\times 70\times 80\times 90\times 100\times 110\times 120\times 130$$，则不是$$n$$的约数的最小质数是(  )． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: 非上述答案 
Answer: B
Analysis: 原算式中有约数$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$，没有约数$$17$$，那么不是$$n$$的约数的最小质数是$$17$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2006年第4届创新杯六年级竞赛复赛第6题
Problem: 在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转$$180$$度，数值不变，如$$0$$、$$11$$、$$96$$、$$888$$等，我们把这样的数称为``神马数''．在所有五位数中共有（~~~~~~~ ）个不同的``神马数''． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: D
Analysis: 设这个数为$$\overline{ABCBA}$$，$$A$$位可以填$$11$$，$$ 88$$，$$ 69$$，$$96$$，$$4$$种情况，$$B$$位可以填$00$$，$$11$$，$$88$$，$$69$$，$$96$，$$5$$种情况，$$C$$位可以填$$0$$，$$1$$，$$8$$，$$3$$种情况，$$4\times 5\times 3=60$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->组数问题->有特殊要求的组数问题
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第8题
Problem: 有甲、乙、丙三个数，甲$$:$$丙$$=4:3$$，丙$$:$$乙$$=5:3$$，如果甲、乙两数的和是$$87$$，则乙、丙两数相差． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{174}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 甲$$:$$丙$$=4:3=20:15$$，丙$$:$$乙$$=5:3=15:9$$，  则甲$$:$$乙$$:$$丙$$=20:9:15$$，每份为$$87\div (20+9)=3$$，  则丙数$$-$$乙数$$=(15-9)\times 3=18$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2017年四川六年级竞赛排位赛第20题2分
Problem: 【例4】$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$，$$E$$五人一同参加飞镖大赛，其中只有一人射中飞镖盘的中心，但不知是谁所射．  $$A$$说：``不是我射中的，就是$$C$$射中的．''  $$B$$说：``不是$$E$$射中的．''  $$C$$说：``如果不是$$D$$射中的，那么一定是$$B$$射中的．''  $$D$$说：``既不是我射中的，也不是$$B$$射中的．''  $$E$$说：``既不是$$C$$射中的，也不是$$A$$射中的．''  其中五人中只有两个人说的是对的，由此可以判断射中飞镖盘中心的人是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$A$$ 
aoVal: B
content: $$B$$ 
aoVal: C
content: $$C$$ 
aoVal: D
content: $$D$$ 
aoVal: E
content: $$E$$ 
Answer: E
Analysis: $$A$$和$$E$$说的话对立，$$C$$和$$D$$说的话对立，必有两对两错，故$$B$$说的是错的，则是$$E$$射中的． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第15届全国希望杯五年级竞赛第1试试题第18题
其它改编题
Problem: 鸡兔同笼，共有$$4$$个头，$$12$$条腿，有只兔． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 枚举法：  当有$$1$$只兔，$$3$$只鸡时，共$$1\times4+3\times2=10$$（条）腿．  当有$$2$$只兔，$$2$$只鸡时，共$$2\times4+2\times2=12$$（条）腿．  所以有$$2$$只兔． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->原型题
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第8题5分
Problem: 如果你花$$30$$分钟做了$$35$$道题目，那么用同样的速度，你做$$315$$道题目至少需要多少小时？ 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: $$35$$个题目需要$$30$$分钟，$$315$$里面有$$9$$个$$35$$，所以需要的时间是$$30\times 9=270$$分钟，等于$$4.5$$小时． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 甲、乙两人一起参加$$3000$$米长跑比赛，甲以匀速$$8$$米/秒跑完了全程，乙先以$$10$$米/秒跑了一段时间，后减速为$$5$$米/秒跑完了全程．当甲跑到终点的时候，乙距离终点还有$$125$$米．乙跑完全程用$$5$$米/秒的速度跑了（~ ~ ）秒． 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$150$$ 
aoVal: C
content: $$200$$ 
aoVal: D
content: $$250$$ 
Answer: C
Analysis: 甲跑完全程共花了$$3000\div 8=375$$秒，乙在这段时间跑了$$3000-125=2875$$米． 设乙用$$10$$米/秒速度跑了$$x$$秒，则他用$$5$$米/秒的速度跑了$$\left( 375-x \right)$$秒．$$10x+\left( 375-x \right)\times 5=2875$$，解得$$x=200$$，用$$5$$米/秒的速度所跑的路程为$$3000-200\times 10=1000$$米．  所用时间为$$1000\div 5=200$$秒． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人变速问题
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（五）第6题
Problem: $$20$$个同学排成一队做操，从左边数小文排在第$$12$$个，从右边数小文排在第个． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 小文的左边有人：$$12-1=11$$（人），  所以从右边数小文排在：$$20-11=9$$（个）．  故选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第5题6分
Problem: 如果把一根木棍锯成$$5$$段需要$$4$$分钟．如果锯成$$10$$段需要分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: 锯成$$5$$段，需要锯$$4$$次，所以每次$$1$$分钟．锯成$$10$$段，需要锯$$9$$次，所以需要$$9$$分钟，故选择$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都没有->锯木头类型问题
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第4题5分
Problem: 祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，若按此方式不断重复，则从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是． 
Options:
aoVal: A
content: 红珠 
aoVal: B
content: 黄珠 
aoVal: C
content: 绿珠 
aoVal: D
content: 白珠 
Answer: D
Analysis: $$2000\div (4+3+2+1)=200$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题
Problem: 一把钥匙只能开一把锁，现有$$4$$把钥匙和$$4$$把锁搞乱了，最多试开次就能确定哪把钥匙开哪把锁． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 第一把钥匙最坏的情况要试$$3$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$3$$把锁和$$3$$把钥匙，最坏的情况要试$$2$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$2$$把锁和$$2$$把钥匙，最坏的情况要试$$1$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$1$$把锁和$$1$$把钥匙就不用试了；$$3+2+1=6$$（次）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第4题3分
Problem: 已知袋子中装有$$n$$颗小球，依次编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$n$$，每次都从袋子中取出两颗球，把它们的编号相加并记下结果，然后把它们放回袋子内．重复抽取直到袋子中每一对小球都被取到为止，记录中恰好有$$215$$种不同的数值，请问$$n$$的值是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$105$$ 
aoVal: C
content: $$108$$ 
aoVal: D
content: $$109$$ 
aoVal: E
content: $$215$$ 
Answer: D
Analysis: 每两个数相加，和最小为$$1+2=3$$，最大为$$n+(n-1)=2n-1$$，现在共有$$215$$种不同的数值，即最大的数值为$$215+3-1=217$$，$$217=2n-1$$，$$n=109$$． 
<p>最大值和最小值之间有多少数字就是多少种可能性．$$2n -1-3=215$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第13题4分
Problem: 天安门广场是世界上最大的广场，面积约为$$44$$万平方米．已知$$1$$亩$$=\frac{2000}{3}$$平方米，则天安门广场的面积约为． 
Options:
aoVal: A
content: $$600$$亩 
aoVal: B
content: $$630$$亩 
aoVal: C
content: $$660$$亩 
aoVal: D
content: $$690$$亩 
Answer: C
Analysis: $$440000\div \frac{2000}{3}=660$$（亩）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛决赛第5题
Problem: $$5$$路和$$9$$路公共汽车早上$$6$$时$$40$$分同时发车，$$5$$路公共汽车每隔$$10$$分钟发一辆车，$$9$$路公共汽车每隔$$8$$分钟发一辆车，这两路车第$$20$$次同时发车是． 
Options:
aoVal: A
content: $$8:00$$ 
aoVal: B
content: $$18:40$$ 
aoVal: C
content: $$19:20$$ 
aoVal: D
content: $$20:00$$ 
Answer: D
Analysis: $$10$$和$$8$$的最小公倍数是$$40$$，  $$40\times20=800$$（分钟），  $$6$$时$$20$$分再过$$800$$分钟为$$20$$时，  所以第$$20$$次同时发车为$$20$$时．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第6题3分
2018年上海小学高年级五年级竞赛A卷
Problem: 在垒球比赛中，若赢$$1$$场得$$3$$分，平$$1$$场得$$1$$分，输$$1$$场不得分．每个队都与其他队交锋$$4$$场，这时四个参赛队的总积分为：$$A$$队$$22$$分，$$B$$队$$19$$分，$$C$$队$$14$$分，$$D$$队$$12$$分．那么有（~ ）场比赛为平局． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 对于赛况分析试题，尤其对于与分数相关的试题，最重要的是思维方式，本题如果从整体上来考虑比赛所产生的总分值，问题将迎刃而解，依题意可知比赛总场次为$$24$$场比赛之中，若平局则将会让所有队伍的总分增加$$2$$分（比赛双方均得$$1$$分），若出现了胜败，则所有队伍的总分增加$$3$$分，而现在所有队伍获得的总分值为：$$22+19+14+12=67$$（分），$$24$$场比赛，总分最多$$24\times 3=72$$分，平$$1$$场总分少$$1$$分，$$72-67=5$$分，所以平局$$5$$场. 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->分类讨论思想
Source: 2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第4题5分
Problem: 猎豹跑一步长为$$2$$米，狐狸跑一步长为$$1$$米，猎豹跑$$2$$步的时间狐狸跑$$3$$步．猎豹距离狐狸$$30$$米，则猎豹跑动~\uline{~~~~~~~~~~}~米可追上狐狸． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$105$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$135$$ 
Answer: C
Analysis: 在同样时间内，猎豹跑$$2$$步可以跑$$4$$米，孤狸跑$$3$$步可以跑$$3$$米，那么$${{V}_{豹}}:{{V}_{狐}}=4:3$$，猎豹跑距离气$${{S}_{豹}}=30\times \frac{4}{4-3}=120$$米． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第22届全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第4题10分
Problem: 已知$$a$$和$$b$$均是正整数，并且$$\frac{a}{7}+\frac{b}{11}$$的值四舍五入的百分位等于$$1.03$$，那么$$a+b=$$（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{a}{7}+\frac{b}{11}=\frac{11a+7b}{77}=1.03$$  $$11a+7b\approx 79.31~ ， 11a+7b=79$$  由于$$a$$和$$b$$都是正整数，$$a=4$$，$$b=5$$，$$a+b=9$$. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（三）
Problem: 【数学人教版】某次考试有$$50$$道试题，答对一道题得$$3$$分，答错一道题或不答题会扣$$1$$分，小龙得分$$118$$分，则小龙答对了道试题． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$42$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
Answer: B
Analysis: 假设小龙所有的题目都做对了，则小龙的得分为：$$50\times 3=150$$（分）；实际上小龙的得分为$$118$$分，假设与实际相差：$$150-118=32$$（分）；小龙一道题由对变错会损失：$$3+1=4$$（分），所以小龙错了：$$32\div 4=8$$（道）题，则小龙答对了：$$50-8=42$$（道）题． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->方程思想
Source: 2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第2题
Problem: 小刚、小强、小明一起买文具，小刚买$$3$$支铅笔和$$5$$支圆珠笔共用$$5.4$$元，小强买$$5$$支铅笔和$$7$$支圆珠笔共用$$7.8$$元，小明买$$4$$支铅笔和$$4$$支圆珠笔共用元． 
Options:
aoVal: A
content: $$3.4$$ 
aoVal: B
content: $$4.8$$ 
aoVal: C
content: $$6.0$$ 
aoVal: D
content: $$6.6$$ 
Answer: B
Analysis: 设每支铅笔$$x$$元，每支圆珠笔$$y$$元，则$$3x+5y=5.4$$，$$5x+7y=7.8$$，得$$2x+2y=2.4$$，所以$$4x+4y=4.8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: 对于两个数$$a$$和$$b$$，规定一种新运算，$$a\Delta b=3\times a+2\times b$$，$$a\nabla b=2\times a+3\times b$$，那么$$2\Delta \left( 3\nabla 4 \right)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$42$$ 
aoVal: B
content: $$47$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
Answer: A
Analysis: $$3\nabla 4=2\times 3+3\times 4=18$$，$$2\Delta \left( 3\nabla 4 \right)=2\Delta 18=3\times 2+2\times 18=42$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型
Source: 2013年第12届全国小机灵杯小学中年级三年级竞赛初赛第6题8分
Problem: 已知$$N=1\frac{1}{6}+2\frac{1}{12}+\ldots \ldots +9\frac{1}{110}$$，那么比$$N$$大的自然数最小值为（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$45$$ 
aoVal: B
content: $$46$$ 
aoVal: C
content: $$47$$ 
aoVal: D
content: $$48$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\left( 1+2+3+\cdots \cdots +9 \right)+\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots \cdots +\frac{1}{110} \right)$$  $$=45+\left( \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots \cdots +\frac{1}{10\times 11} \right)$$  $$=45+\left( \frac{1}{2}\times \frac{1}{11} \right)$$  $$=45\frac{9}{22}$$  所以符合题意的最小值为$$46$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（一）
Problem: $$9$$行$$9$$列的方阵树林，如果去掉最外层$$2$$行$$2$$列，要减少棵树． 
Options:
aoVal: A
content: $$32$$ 
aoVal: B
content: $$34$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$38$$ 
Answer: A
Analysis: $$9\times 9-7\times 7=32$$（棵）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵的增减
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（五）第1题
Problem: 一本书，小明从第$$10$$页看到第$$25$$页，他看了页． 
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
Answer: B
Analysis: $$25-10+1=16$$．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 老王在机场工作，他每上$$8$$天班后，就连续休息两天，如果这个星期六和星期天连休二天他都休息，请问至少再过几个星期后，他才能又在星期天休息？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 老王接下来的休息时间为：周二和周三；周五和周六；周一和周二；周四和周五；周日和周一；$$\cdots\cdots$$．  所以他再次在星期天休息时已经过了$$10\times 4+9=49$$天，刚好$$7$$个星期． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第18题4分
Problem: 根据``三角形任意两边之和大于第三边''的知识，解答本题：  有不同长度的七条线段，其长度均为整数厘米，最短的是$$1$$厘米，最长的是$$21$$厘米，其中以任何三条线段作``边''都不能组成一个三角形，那么这七条线段中第二长的线段长厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 斐波那契数列从第三项开始，等于前两项的和，即$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$8$$、$$13$$、$$21$$．  即第二长的为$$13$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛初赛第8题
Problem: 定义两种运算：$$a\oplus b=a+b-1$$，$$a\otimes b=ab-1$$．如果$$4\otimes \left[ \left( 6\oplus x \right)\oplus \left( 3\otimes 5 \right) \right]=79$$，则$$x$$等于(  )． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$6\oplus x=6+x-1=5+x$$；$$3\otimes 5=3\times 5-1=14$$；$$\left( 5+x \right)\oplus 14=5+x+14-1=x+18$$； $$4\otimes \left( 18+x \right)=4\times \left( 18+x \right)-1=4x+71$$；$$4x+71=79$$，得$$x=2$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第7题
Problem: 小明、小强各买了单价为$$10$$元、$$15$$元两种价格的书，每人买的书两种价格的都有，各自的书款总额都是$$90$$元，但所买的数的本书不同，那么两人买的书共有（~ ）本． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$10$$元的有$$x$$本，$$15$$元的有$$y$$本，则$$10x+15y=90$$，解得$$\begin{cases} x=6    y=2 \end{cases}$$，$$\begin{cases} x=3    y=4 \end{cases}$$，共$$6+2+3+4=15$$本． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第9题4分
Problem: $$4$$个人聚会，每人各带$$2$$件礼品，分赠给其余$$3$$个人中的$$2$$人．则：至少有$$2$$对人，每对人是互赠过礼品的．~\uline{~~~~~~~~~~}~ 
Options:
aoVal: A
content: 对 
aoVal: B
content: 不对 
Answer: A
Analysis: 将这四个人用$$4$$个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．  由于每人送出$$2$$件礼物，图中共有$$4\times 2=8$$条线，由于每人礼品都分赠给$$2$$个人，所以每两点之间至多有$$1+1=2$$条线．四点间，每两点连一条线，一共$$6$$条线，现在有$$8$$条线，说明必有两点之间连了$$2$$条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了$$2$$条线．  即为所证结论． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->枚举思想
Source: 2011年北京五年级竞赛
2011年北京六年级期中
Problem: $$2013$$年$$12$$月$$21$$日是星期六，那么$$2014$$年的春节，即$$2014$$年$$1$$月$$31$$日是星期．  $ $  $ $  $ $ 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 四 
aoVal: C
content: 五 
aoVal: D
content: 六 
Answer: C
Analysis: 星期六有：$$21\to 28\to 4(35)\to 11\to 18\to 25$$，所以 $$31$$日是星期五．  $$10+31=41$$（天），$$41\div7=5\cdots 6$$ ，差一天是星期六，所以$$31$$日是星期五． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第12题
Problem: 计算：$$\frac{37037037037\times 73}{2703703703701}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$27$$ 
aoVal: C
content: $$37$$ 
aoVal: D
content: 无法计算 
Answer: A
Analysis: 原式$$=\frac{37\times 1001001001\times 73}{2701\times 1001001001}$$  $$=\frac{2701\times 1001001001}{2701\times 1001001001}$$  $$=1$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->运算求解
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第11题
Problem: 有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式． 
Options:
aoVal: A
content: $$149$$ 
aoVal: B
content: $$274$$ 
aoVal: C
content: $$504$$ 
aoVal: D
content: $$927$$ 
Answer: D
Analysis: 设第$$n$$级有$${{a}_{n}}$$种登的方式，  则第$$n-3$$，$$n-2$$，$$n-1$$级再分别登$$3$$，$$2$$，$$1$$级可到第$$n$$级，  则$${{a}_{n}}={{a}_{n-3}}+{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-1}}$$，  而$${{a}_{1}}=1$$，$${{a}_{2}}=1+1=2$$，$${{a}_{3}}=1+1+2=4$$，  故$${{a}_{4}}=1+2+4=7$$，  $${{a}_{5}}=2+4+7=13$$，  $${{a}_{6}}=4+7+13=24$$，  $${{a}_{7}}=7+13+24=44$$，  $${{a}_{8}}=13+24+44=81$$，  $${{a}_{9}}=24+44+81=149$$，  $${{a}_{10}}=44+81+149=274$$，  $${{a}_{11}}=81+149+274=504$$，  $${{a}_{12}}=149+274+504=927$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分
Problem: 商店有$$A$$、$$B$$两件衣服，都卖$$200$$元，$$A$$赚了十分之一，$$B$$亏了十分之一，总体上是． 
Options:
aoVal: A
content: 赚了 
aoVal: B
content: 亏了 
aoVal: C
content: 不亏不赚 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 售价为$$200$$元，$$A$$赚了十分之一，$$A$$的进价为$$200\div \left( 1+10 \% \right)=\frac{2000}{11}$$（元），  $$B$$亏了十分之一，$$B$$的进价为$$200\div \left( 1-10 \% \right)=\frac{2000}{9}$$（元），  $$\frac{2000}{11}+\frac{2000}{9}=\frac{40000}{99}$$（元）$$\textgreater400$$元，  进价$$\textgreater$$售价，亏了．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->已知售价利润求成本
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第8题3分
Problem: 算式$$\underbrace{999\cdots 9}_{2016}\times \underbrace{999\cdots 9}_{2016}$$的结果中含有（ ~ ~ ~ ~）个数字$$0$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$2017$$ 
aoVal: B
content: $$2016$$ 
aoVal: C
content: $$2015$$ 
aoVal: D
content: $$2014$$ 
Answer: C
Analysis: $${{\left( {{10}^{2016}}-1 \right)}^{2}}=\left( {{10}^{2016}}-2 \right)\times {{10}^{2016}}+1=\underbrace{999\cdots 99}_{2015}8\underbrace{000\cdots 00}_{2015}1$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第1题