math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在算式：$$2\times \square \square \square =\square \square \square $$的六个空格中，分别填入$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被$$13$$整除，那么这个积是． 
Options:
aoVal: A
content: $$234$$ 
aoVal: B
content: $$286$$ 
aoVal: C
content: $$534$$ 
aoVal: D
content: $$654$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: E
Analysis: 先从个位数考虑，有$$2\times 2=4$$，$$2\times 3=6$$，$$2\times 6=12$$，$$2\times 7=14$$．再考虑乘数的百位只能是$$2$$或$$3$$，因此只有三种可能的填法：  $$2\times 273=546$$，  $$2\times 327=654$$，  $$2\times 267=534$$，  其中只有$$546$$能被$$13$$整除，因此这个积是$$546$$．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第7题
Problem: 在数轴中请求出到$$1.75$$和$$7.25$$距离相同的点？ 
Options:
aoVal: A
content: $$2.75$$ 
aoVal: B
content: $$3.25$$ 
aoVal: C
content: $$3.75$$ 
aoVal: D
content: $$4.5$$ 
Answer: D
Analysis: $$(1.75+7.25)\div2=4.5$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数
Source: 2012年全国美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第32题
2013年美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第32题5分
Problem: 张扬已经进行了$$20$$场比赛，并且赢了$$95 \%$$的比赛，如果他以后每一场都获胜，当赢得$$96 \%$$的比赛时，他又赢了（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$场 
aoVal: B
content: $$3$$场 
aoVal: C
content: $$4$$场 
aoVal: D
content: $$5$$场 
Answer: D
Analysis: 解法一：张扬已经赢了$$20\times 95 \%=19$$（场）比赛，只输了$$1$$场，为了赢得$$96 \%$$的比赛，他输的场数只能占总场数的$$4 \%$$，$$1\div 4 \%=25$$（场），所以他至少还要赢$$25-20=5$$（场）。  解法二：在$$20$$场比赛中，张扬已经赢了$$20\times 95 \%=19$$（场），如果他以后每一场都赢，设他再赢$$x$$场，则$$19+x=\left( 20+x \right)\times 96 \%$$，解得$$x=5$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->一元一次方程->分数、小数系数方程
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 下列各分数中，分数值最小的是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{15}{112}$$ 
Answer: C
Analysis: 由于$$\frac{1}{7}=\frac{2}{14}\textgreater\frac{2}{15}\textgreater\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$$，$$\frac{15}{112}\textgreater\frac{14}{112}=\frac{1}{8}$$，所以$$\frac{1}{8} \textless{} \frac{1}{7}$$，$$\frac{1}{8} \textless{} \frac{2}{15}$$，$$\frac{1}{8} \textless{} \frac{15}{112}$$因此，这些分数中最小的是$$\frac{1}{8}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->分数通分法->通分子
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 三位数$$N$$，分别减$$3$$、加$$4$$、除以$$5$$、乘$$6$$，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰好是$$4$$个连续的自然数，那么满足条件的三位数$$N$$有（~~~~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 考虑到一定会有进位，退位．设原数数字和为$$a$$，则$$-3$$，$$+4$$定不是差$$7$$，否则无法成为连续$$4$$个自然数．$$\div 5$$说明末位为$$0$$或$$5$$，当末位为$$5$$时，$$-3$$，$$+4$$均不进位退位．当末位为$$0$$时，$$-3$$退位，符合．  所以$$-3$$相当于数字和多$$6$$，$$a+6$$；$$+4$$相当于数字和多$$4$$，$$a+4$$；$$\div 5$$ 相当于数字和$$\times 2$$，$$a\times 2$$；$$a\times 2$$、$$a+2$$、$$a+4$$连续，$$a\times 2$$为$$a+7$$，$$a+5$$，$$a+3$$中的一个．  分类讨论得到$$a\times 2=a+5$$成立，所以$$a=5$$，数字和为$$5$$，尾数为$$0$$的有，$$500$$（舍弃），$$410$$，$$320$$，$$230$$，$$140$$，共$$4$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第11题
Problem: 在下面四组数中，组中的两个数都是质数． 
Options:
aoVal: A
content: $$21$$，$$31$$ 
aoVal: B
content: $$13$$，$$33$$ 
aoVal: C
content: $$35$$，$$45$$ 
aoVal: D
content: $$37$$，$$97$$ 
Answer: D
Analysis: $$\text{A}$$中$$21$$不是质数，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$中$$33$$不是质数，故$$\text{B}$$错误．  $$\text{C}$$中$$35$$，$$45$$都不是质数，故$$\text{C}$$错误．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019~2020学年陕西宝鸡渭滨区五年级上学期期末第22题1分
2019~2020学年山东济南高新区五年级下学期期末第10题1分
2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第20题2分
Problem: 五年级（$$1$$）班原有$$39$$名学生，平均体重为$$48$$千克，班里转来新生小林后，平均体重变为$$48.1$$千克，那么小林的体重是． 
Options:
aoVal: A
content: $$48.2$$千克 
aoVal: B
content: $$49$$千克 
aoVal: C
content: $$50$$千克 
aoVal: D
content: $$52$$千克 
Answer: D
Analysis: $$48+(48.1-48)\times 40=52$$（千克）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数
Source: 2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（一）第4题
Problem: 规定$$\max \left( a,b \right)$$表示$$a$$，$$b$$两个数中较大的一个，$$\min \left( a,b \right)$$表示$$a$$，$$b$$两个数中较小的一个，则$$\max \left[ \min \left( 2006,2008 \right),\min \left( 2007,2009 \right) \right]$$等于． 
Options:
aoVal: A
content: 2006 
aoVal: B
content: 2007 
aoVal: C
content: 2008 
aoVal: D
content: 2009 
Answer: B
Analysis: 由$$\text{min}\left( 2006\text{，}2008 \right)=2006$$，$$\min \left( 2007\text{，}2009 \right)=2007$$得，原式$$=\max \left( 2006\text{，}2007 \right)=2007$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型
Source: 2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第2题4分
2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 计算：$$\left(2^{2} \times 2^{4} \times 2^{6}\times \ldots ~\times 2^{98} \times 2^{100}\right) \div \left(2^{1} \times 2^{3} \times 2^{5}\times \ldots ~\times 2^{97} \times 2^{99}\right)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $${{2}^{49}}$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{50}}$$ 
aoVal: D
content: $${{2}^{100}}$$ 
Answer: C
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left(2^{2} \times 2^{4} \times 2^{6}\times \ldots ~\times 2^{98} \times 2^{100}\right) \div \left(2^{1} \times 2^{3} \times 2^{5}\times \ldots ~\times 2^{97} \times 2^{99}\right)$$  $$=\left( {{2}^{2}}\div {{2}^{1}} \right)\times \left( {{2}^{4}}\div {{2}^{3}} \right)\times \left( {{2}^{6}}\div {{2}^{5}} \right)\times \ldots \times \left( {{2}^{98}}\div {{2}^{97}} \right)\times \left( {{2}^{100}}\div {{2}^{99}} \right)$$  $$=\underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{50个2}$$  $$={{2}^{50}}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2018年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第33题5分
Problem: 二（$$1$$）班的同学算两道口算题，第一道算对的有$$20$$人，第二道算对的有$$31$$人，两道都对的有$$10$$人，这个班共有个同学． 
Options:
aoVal: A
content: $$41$$ 
aoVal: B
content: $$51$$ 
aoVal: C
content: $$61$$ 
Answer: A
Analysis: 根据重叠问题，可知这个班上共有同学：$$20+31-10=41$$人．  故选择$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第2题5分
Problem: 在$$6\times 6$$网格的所有方格中放入围棋子，每个方格方$$1$$枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个$$6\times 6$$网格中共有枚黑色围棋子． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 可以考虑纵向每列白色棋子数相等，故白棋子数量一定是$$6$$的倍数；考虑横向，每行棋子数不同，且最少为$$0$$，最多为$$6$$，白色棋子数最少为$$0+1+2+3+4+5=15$$，最多是$$1+2+3+4+5+6=21$$，故$$15\sim 21$$间能被$$6$$整除的数只有$$18$$，故白棋子数量为$$18$$，黑棋子有$$36-18=18$$． 
<p>首先考虑纵向，每列白色棋子数相等，故白棋子数量一定是$$6$$的倍数，</p>
<p>考虑横向每行棋子数不同，且最少为$$0$$，最多为$$6$$，</p>
<p>白棋子数量最少为$$0+1+2+3+4+5=15$$，</p>
<p>最多为$$1+2+3+4+5+6=21$$，</p>
<p>易知$$15-21$$间能被$$6$$整除的只有$$18$$，</p>
<p>故白棋子数量为$$18$$，</p>
<p>黑棋子数量为$$6\times 6-18=18$$．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第4题10分
2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第4题
Problem: 有一列数：$$1234$$、$$5678$$、$$9101112$$、$$13141516\cdots \cdots $$每个数都是由四个连续的自然数组  成．其中只有一个十三位数，它的各数位上的数字之和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$76$$ 
aoVal: B
content: $$77$$ 
aoVal: C
content: $$78$$ 
aoVal: D
content: $$79$$ 
Answer: D
Analysis: 这个十三位数只能是$$9979989991000$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（二）第1题
Problem: 某运输公司为玻璃厂运来$$1000$$个玻璃镜框到仓库，双方商定每个玻璃镜框运费$$5$$元，如果打碎$$1$$个，这一个玻璃镜框不但不给运费，而且要赔偿$$20$$元，结果到目的地结算时，玻璃厂共付出运费$$4475$$元，那么运输过程中打碎了个玻璃镜框． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: C
Analysis: 假设玻璃镜框全部完好，玻璃厂应付$$1000\times 5=5000$$元，与实际情况相比少付了$$5000-4475=525$$元，每打碎一个镜框少付$$5+20=25$$元，因此一共打碎了$$525\div 25=21$$个．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2012年第10届创新杯四年级竞赛初赛第6题6分
Problem: ---件工程，甲单独做要$$6$$小时，乙单独做要$$10$$小时，如果按甲、乙、甲、乙$$\cdots \cdots $$顺序交替工作，每次$$1$$小时，那么需要小时完成． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$7\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$7\frac{1}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$7\frac{1}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 甲乙合作完成需要：  $$1\div \left( \frac{1}{6}+\frac{1}{10} \right)$$  $$=1\div \frac{4}{15}$$  $$=3.75$$（小时），  每人工作$$3$$小时，还剩下：  $$1-\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{10} \right)\times 3$$  $$=1-\frac{4}{5}$$  $$=\frac{1}{5}$$，  甲再工作$$1$$小时，剩下的由乙完成需要：  $$\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right)\div \frac{1}{10}$$  $$=\frac{1}{30}\div \frac{1}{10}$$  $$=\frac{1}{3}$$（小时），  一共$$3\times 2+1+\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}$$（小时）．  答：需要$$7\frac{1}{3}$$时完成．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->接力施工问题
Source: 2005年第3届创新杯六年级竞赛初赛第2题
Problem: 1.价格相同的一种商品，甲店：买四赠一．乙店：优惠$$\frac{1}{4}$$．如果只从经济方面考虑，你选择去哪？ 
Options:
aoVal: A
content: 甲店 
aoVal: B
content: 乙店 
aoVal: C
content: 都一样 
Answer: B
Analysis: 设此商品的单价为$$a$$元，``买四赠一''即用$$4$$件的钱买了$$5$$件商品，购买单价为$$\frac{4}{5}a=0.8a$$；``优惠$$\frac{1}{4}$$''表示每件单价为$$\left( 1-\frac{1}{4} \right)a=0.75a$$，故选择乙店． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年全国希望杯小学高年级五年级竞赛初赛考前100题
Problem: 有甲、乙、丙$$3$$人，甲每分钟走$$100$$米，乙每分钟走$$80$$米，丙每分钟走$$75$$米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇$$6$$分钟后，甲又与丙相遇． 那么，东、西两村之间的距离是多少米？ 
Options:
aoVal: A
content: $$37800$$ 
aoVal: B
content: $$38800$$ 
aoVal: C
content: $$39900$$ 
aoVal: D
content: 太难了，容我在喝一杯$$82$$年的雪碧压压惊 
Answer: A
Analysis: 甲、丙$$6$$分钟相遇的路程：$$\left( {100 + 75} \right) \times 6 = 1050$$$$($$米$$)$$；  甲、乙相遇的时间为：$$1050 \div \left( {80 - 75} \right) = 210$$$$($$分钟$$)$$；  东、西两村之间的距离为：$$\left( {100 + 80} \right) \times 210 = 37800$$$$($$米$$)$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->运算求解
Source: 2016年广东深圳四年级模拟考试鹏程杯集训
2011年北京五年级竞赛
Problem: $$5$$路和$$9$$路公共汽车早上$$6$$时$$40$$分同时发车，$$5$$路公共汽车每隔$$10$$分钟发一辆车，$$9$$路公共汽车每隔$$8$$分钟发一辆车，这两路车第$$20$$次同时发车是． 
Options:
aoVal: A
content: $$8:00$$ 
aoVal: B
content: $$18:40$$ 
aoVal: C
content: $$19:20$$ 
aoVal: D
content: $$20:00$$ 
Answer: D
Analysis: $$10$$和$$8$$的最小公倍数是$$40$$，  $$40\times20=800$$（分），  $$6$$时$$20$$分再过$$800$$分钟为$$20$$时，  所以第$$20$$次同时发车为$$20$$时．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->因倍应用题->倍数应用题
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第6题3分
Problem: 2017年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第$$29$$题  The minimum number of people needed in a room so that there are always at least five people in the room born in the same month is~\uline{~~~~~~~~~~}~．  翻译：一个房间需要的最少多少人，才能使得总是有至少五个人是同一个月份出生的？  the minimum number：最小值；$$at$$ least：最少；$$born$$ in：出生；$$the$$ same month：同一个月份； 
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$49$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$61$$ 
Answer: B
Analysis: 一个房间需要的最少多少人，才能使得总是有至少五个人是同一个月份出生的？  the minimum number：最小值；$$at$$ least：最少；$$born$$ in：出生；$$the$$ same month：同一个月份；  $$4\times 12+1=49$$，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数学广角->鸽巢问题->利用抽屉原理解决实际问题
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第29题
Problem: 甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，一起订购同样规格的若干件新年礼物，礼物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了$$3$$，$$7$$，$$14$$件礼物，最后结算时，乙付给了丁$$14$$元钱，并且乙没有付给甲钱．那么丙应该再付给丁（~~~ ~）元钱． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$56$$ 
aoVal: D
content: $$70$$ 
Answer: D
Analysis: 设丁拿了$$a$$件礼物，则四人花同样的钱，每人可以拿到$$a+\frac{3+7+14}{4}=a+6$$件礼物， 实际情况：丁少拿了$$6$$件，乙多拿了$$1$$件，给丁$$14$$元，则货物单价$$14$$元， 丙多拿了$$14-6=8$$件，$$3$$件给甲，$$5$$件给丁，$$5\times14=70$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛初赛第6题
2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第6题
2016年陕西西安小升初交大附中入学真卷9第11题
2014年北京六年级竞赛
Problem: 一只手表每小时慢$$5$$分钟，照这样计算，早上$$6$$时对准标准时间后，当手表指示下午$$5$$时整时，标准时间是． 
Options:
aoVal: A
content: $$16:05$$ 
aoVal: B
content: $$17:55$$ 
aoVal: C
content: $$18:00$$ 
aoVal: D
content: $$18:05$$ 
Answer: C
Analysis: 本题中的相等关系是：  这只手表慢的时间$$-$$手表每小时比准确时间慢$$5$$分钟$$\times $$标准时间经过的时间$$=0$$，  设标准时间经过了$$x$$小时，根据等量关系列方程求解即可．  $$5+12=17$$时，  设标准时间经过了$$x$$小时，则  $$\left( 6+x-17 \right)\times 60-5x=0$$，  $$60\left( x-11 \right)-5x=0$$，  $$60x-660-5x=0$$，  $$55x=660$$，  $$x=12$$．  $$6:00+12=18:00$$．  所以准确时间应该是$$18:00$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛B卷第1题3分
Problem: 小周老师写了一个两位质数，并将这个质数个位数字告诉了甲，十位数字告诉了乙，十位数字与个位数字之和告诉了丙，十位数字与个位数字之差（大减小）告诉了丁．  丙说：在我说话之前，甲一定认为乙不知道这个质数是多少．  丙说完之后，乙说：在我说话之前，甲一定认为丁不知道这个质数是多少．  那么，这个质数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．（甲、乙、丙、丁四位同学诚实且聪明） 
Options:
aoVal: A
content: $$23$$ 
aoVal: B
content: $$29$$ 
aoVal: C
content: $$41$$ 
aoVal: D
content: $$61$$ 
aoVal: E
content: $$97$$ 
Answer: A
Analysis: 所有的两位质数：$$11$$、$$31$$、$$41$$、$$61$$、$$71$$；  $$13$$、$$23$$、$$43$$、$$53$$、$$73$$、$$83$$；  $$17$$、$$37$$、$$47$$、$$67$$、$$97$$；  $$19$$、$$29$$、$$59$$、$$79$$、$$89$$．  丙：丙说话之前甲只知道个位，就知道乙猜不出，  所以个位不可能是$$7$$，  丙手上拿的是数字和，通过数字和来确定这个信息的，  因此数字和不可能是$$8$$、$$10$$、$$11$$、$$13$$、$$16$$，将数字和为这些的都排除，  只剩下$$9$$个数：$$11$$、$$13$$、$$23$$、$$31$$、$$41$$、$$43$$、$$59$$、$$61$$、$$89$$．  乙：乙说话之前，丁拿的是数字差，甲一定猜不出，  所以排除$$11$$、$$41$$、$$59$$、$$61$$，那么个位不可能是$$1$$和$$9$$，  继续排除$$31$$、$$59$$、$$89$$．  剩下$$3$$个数：$$13$$、$$23$$、$$43$$，  乙通过十位确定甲一定知道丁猜不出，那么十位不可能是$$1$$和$$4$$，  故这个质数一定是$$23$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->数学概念理解（数）
海外竞赛体系->知识点->组合模块->逻辑推理
Source: 2020年迎春杯六年级竞赛第10题12分
Problem: $$100 + 99 - 98 + 97 - 96 + ~\cdots ~+ 3 - 2 + 1$$的结果是（ ~~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$101$$ 
aoVal: B
content: $$150$$ 
aoVal: C
content: $$149$$ 
aoVal: D
content: $$151$$ 
Answer: B
Analysis: 观察$$100$$和$$1$$之间的数，将$$\left( 99 - 98\right)$$、$$\left( 97 - 96 \right)$$、$$\left( 95 - 94 \right)$$、$$ \cdots $$、$$\left( 3 - 2 \right)$$进行组合（ 除去$${1}$$和$${100}$$后，奇数前面是加号，偶数前面是减号），所以一共有$$\left( 100 - 2 \right) \div 2 = 49$$个$$1$$，所以原式$$ = 100 + 1 + 49 = 150$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解->程序性计算
Source: 2011年全国世奥赛三年级竞赛初赛
Problem: 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁$$4$$位同学有如下的对话：  甲：``丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款''  乙：``丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款''  丙：``你们$$3$$人中至少有$$2$$人捐了款''  丁：``你们$$3$$人中至多有$$2$$人捐了款''  已知这$$4$$位同学说的都是真话且其中恰有$$2$$位同学捐了款，那么，这$$2$$位同学是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: 甲、乙 
aoVal: B
content: 丙、丁 
aoVal: C
content: 甲、丙 
aoVal: D
content: 乙、丁 
Answer: D
Analysis: 由丙的话可知：丙没有捐款；再由甲的话可知：丁捐了款；再由乙的话可知：丁、甲之中最多有$$1$$人捐款．由此推知，甲没有捐款，乙捐了款，捐款的两人为乙和丁，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2015年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子．牧师只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一位说：``我是疯子．''第二位说：``你胡说，你才不是疯子呢！''第三位说：``别说了，我是疯子．''那么，这三个人中第~\uline{~~~~~~~~~~}~位是疯子． 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 二 
aoVal: C
content: 三 
Answer: C
Analysis: 第一个和第三个都说自己是疯子，所以他们不是牧师，只有第二个是牧师．而牧师说的是真话，所以第一个不是疯子．因此第三个才是真正的疯子． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2013年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第2题
Problem: 一项工程预计$$15$$人每天做$$4$$小时，$$18$$天可以完成，后来增加$$3$$人，并且工作时间增加$$1$$小时，这项工程天完成． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: B
Analysis: 首先要求出工作总量，即$$15\times 4\times 18$$，再用工作总量除以工作人数，再除以每天的工作时间，即为所需要的天数．解决此题的关键是先求出总工作量．  $$15\times 4\times 18\div \left[ \left( 15+3 \right)\times \left( 4+1 \right) \right]$$  $$=1080\div 90$$  $$=12$$（天）．  答：这项工程$$12$$天完成．  故选 $$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第1题2分
Problem: \textbf{(2017 US Math League, Priamry 5, Question \#33)}  $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, $$E$$, $$F$$, and $$G$$ participated in a chess tournament. Each player must play each of his six opponents exactly once. So far, $$A$$ has played $$1$$ match. $$B$$ has played $$2$$ matches. $$C$$ has played $$3$$ matches. $$D$$ has played $$4$$ matches. $$E$$ has played $$5$$ matches and $$F$$ has played $$6$$ matches. How many matches has $$G$$ played at this point?（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）  甲、乙、丙、丁、戊、己、庚一起参加象棋锦标赛，每一位选手必须要跟六个对手分别对赛一次．目前为止，甲比赛了一场，乙两场，丙三场，丁四场，戊五场，己六场，那么目前庚比赛了几场？（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$） 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意，$$F$$已经跟每个人都比赛过，包括$$G$$；同理，$$D$$，$$E$$也跟$$G$$比赛过，所以$$G$$比了$$3$$场 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理->体育比赛
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第33题
Problem: 有一年六月份日历中周五比周四多$$1$$个，那么这年七月一日为（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 周四 
aoVal: B
content: 周五 
aoVal: C
content: 周六 
aoVal: D
content: 周日 
Answer: D
Analysis: $$6$$月份有$$30$$天，按照每同$$7$$天计算，$$30\div 7=4$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天），根据这个$$6$$月的周五比周四多$$1$$个，可知多余的$$2$$天必为周五和周六，即这个$$6$$月的最后一天是星期 六，所以$$7$$月$$1$$日是周日． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（四）
Problem: 若$$a$$、$$b$$互素，且两个最简分数之和为$$\frac{m}{a}+\frac{n}{b}=\frac{31}{35}$$，则$$\frac{a}{m}+\frac{b}{n}-\frac{1}{m\times n}=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 数论．$$a$$、$$b$$互素，且计算结果分母为$$35$$，因此$$a$$、$$b$$为$$5$$和$$7$$，代入原式得$$\frac{7m+5n}{35}=\frac{31}{35}$$，则$$m=3$$，$$n=2$$，所以$$\frac{5}{3}+\frac{7}{2}-\frac{1}{2\times 3}=5$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定->质数与合数的认识
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛决赛第6题
Problem: 九个连续的正整数的总和总是能被整除  The sum of nine consecutive positive integers is always divisible by． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: $$9$$个连续正整数的和总是可以被整除．  设$$9$$个数中的中间数为$$a$$，则这$$9$$个数可表示为：$$a-4$$，$$a-3$$，$$a-2$$，$$a-1$$，$$a$$，$$a+1$$，$$a+2$$，$$a+3$$，$$a+4$$，  所以和为：$$\left(a-4\right)+\left(a-3\right)+\left(a-2\right)+\left(a-1\right)+a+\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\left(a+3\right)$$  $$+\left(a+4\right)=9a$$，即不管$$a$$为什么数时，其和必能被$$9$$整除．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年美国数学大联盟杯四年级竞赛初赛第32题5分
Problem: 神庙里有一把古老的秤，对于重量小于$$1000$$克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于$$1000$$克的物体，这把秤会显示出一个大于等于$$1000$$的随机数．艾迪有五个物品，各自的重量都小于$$1000$$克，我们分别用$$P$$、$$Q$$、$$R$$、$$S$$、$$T$$表示它们的重量．将这五个物品两两配对放到秤上进行称重，得到下面的结果：$$Q+S=1200$$（克）、$$R+T=2100$$（克）、$$Q+T=800$$（克）、$$Q+R=900$$（克）、$$P+T=700$$（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为~\uline{~~~~~~~~~~}~$$\textgreater$$~\uline{~~~~~~~~~~}~$$\textgreater$$~\uline{~~~~~~~~~~}~$$\textgreater$$~\uline{~~~~~~~~~~}~$$\textgreater$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$R\textgreater T\textgreater S\textgreater Q\textgreater P$$ 
aoVal: B
content: $$R\textgreater S\textgreater T\textgreater Q\textgreater P$$ 
aoVal: C
content: $$S\textgreater R\textgreater Q\textgreater T\textgreater P$$ 
aoVal: D
content: $$S\textgreater R\textgreater T\textgreater Q\textgreater P$$ 
Answer: D
Analysis: $$Q+T=800$$①； $$Q+R=900$$②；$$P+T=700$$③；$$Q+S\geqslant 1000$$④；$$R+T\geqslant 1000$$⑤；由①②得：$$R\textgreater T$$；由①③得：$$Q\textgreater P$$；由②④得：$$S\textgreater R$$；由②⑤得：$$T\textgreater Q$$；所以：$$S\textgreater R\textgreater T\textgreater Q\textgreater P$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年全国中环杯四年级竞赛初赛第11题
Problem: 《红楼梦》是一部长篇章回体小说，全书分为$$120$$回，字数总计为$$729636$$个字．章回体小说是中国古典小说的长篇小说的主要形式．章回体的一个特点即是每``回''叙述一个较为完整的故事段落，篇幅长短相当．由此我们可以推算出，此书每回的字数约为（~ ）字左右． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$万~~~~~~~~~~ 
aoVal: B
content: $$0.06$$万~~~~ 
aoVal: C
content: $$6000$$~~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$600$$ 
Answer: C
Analysis: $$729636\div 120\approx 6000$$字． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年河南郑州豫才杯五年级竞赛初赛第1题
Problem: 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为$40 \%$，如果该射手在百步之外连射三箭，有两箭射中靶心的概率为~\uline{~~~~~~~~~~}~. 
Options:
aoVal: A
content: $$0.216$$ 
aoVal: B
content: $$0.432$$ 
aoVal: C
content: $$0.144$$ 
aoVal: D
content: $$0.288$$ 
Answer: D
Analysis: 第一箭射空，其他两箭射中的概率为$$\left( 1-0.4 \right)\times 0.4\times 0.4=0.096$$．  第二箭射空，其他两箭射中的概率为$$\left( 1-0.4 \right)\times 0.4\times 0.4=0.096$$．  第三箭射空，其他两箭射中的概率为$$\left( 1-0.4 \right)\times 0.4\times 0.4=0.096$$．  有两箭射空的概率为$$0.96+0.96+0.96=0.288$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2011年北京五年级竞赛
Problem: 一辆玩具汽车，第一天按$$100 \%$$的利润定价，无人来买；第二天降价$$10 \%$$，还是无人买；第三天再降价$$360$$元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的$$1.44$$倍，那么这辆玩具汽车的进价是~\uline{~~~~~~~~~~}~元． 
Options:
aoVal: A
content: $$800$$ 
aoVal: B
content: $$1000$$ 
aoVal: C
content: $$1200$$ 
aoVal: D
content: $$1400$$ 
Answer: B
Analysis: 设进价为``$$1$$''，则第一天定价为``$$2$$''，第二天定价为``$$1.8$$''，最终售价为``$$1.44$$''．  ``$$1.8$$''与``$$1.44$$''的差价等于$$360$$元，可知进价``$$1$$''$$=1000$$元．  设进价为$$x$$元．  $$2x\times (1-10 \%)-360=1.44x$$，  解得：$$x=1000$$，  故答案为：$$1000$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->折扣问题
Source: 2012年全国迎春杯六年级竞赛初赛第3题
Problem: 有三只小兔子小白，小花和小黑在田里拔萝卜．已知小白和小花共拔了$$13$$根萝卜；小花和小黑共拔了$$11$$根萝卜；小黑和小白共拔了$$16$$根萝卜．请问这三只小兔子共拔了多少根萝卜？ 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
aoVal: E
content: $$20$$ 
Answer: E
Analysis: 可发现$$13+11+16=40$$恰为三只小兔子总共拔的萝卜数之$$2$$倍，因此三只小兔子共拔了$$40\div 2=20$$根萝卜．故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2013年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第15题4分
Problem: 某部$$87$$集的电视连续剧在某个星期日开播，每周日、周一、周四、周五、周六都要播出一集，周二、周三停播．问：最后一集在周几播出？． 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 四 
aoVal: C
content: 五 
aoVal: D
content: 六 
aoVal: E
content: 日 
Answer: A
Analysis: $$87$$集的电视连续剧在某个星期日开播，每周日、周一、周四、周五、周六都要播一集，五天一周期，$$87\div 5=17$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天），所以最后一集在周一播出，选项$$\text{A}$$正确． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2020年广东广州羊排赛三年级竞赛第14题8分
Problem: 在$$\overline{20\square 12\square }$$的$$\square $$内填上合适的数字，使该六位数能同时被$$2、$$3$$、5$$整除，不同的填法有． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$种 
aoVal: B
content: $$4$$种 
aoVal: C
content: $$5$$种 
aoVal: D
content: $$6$$种 
Answer: A
Analysis: $$\overline{20\square 12\square }$$末位肯定为$$0$$，那么$$\overline{20\square 120}$$是$$3$$的倍数，中间的$$\square $$有三种选择$$1、$$4$$、7$$，因此最后只有$$3$$种填法． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2012年第8届全国新希望杯五年级竞赛复赛第4题
Problem: $$\overline{abcd}$$是一个四位的自然数，已知$$\overline{abcd}-\overline{abc}-\overline{ab}-a=2008$$，这个四位数是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 2275 
aoVal: B
content: 2175 
aoVal: C
content: 2257 
aoVal: D
content: 2157 
Answer: C
Analysis: 由已知等式知，其中$$\left( 1000a+100b+10c+d \right)-\left( 100a+10b+c \right)-\left( 10a+b \right)-a=889a+89b+9c+d=2008$$，其中$$1\leqslant a\leqslant 9$$，$$0\leqslant b$$，$$c$$，$$d\leqslant 9$$.显然$$a=2$$，于是$$89b+9c+d=230$$，从而$$b=2$$，$$9c+d=52$$，所以$$c=5$$，$$d=7$$，因此，这个四位数$$\overline{abcd}=2257$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->大数的估算
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛B卷第10题5分
Problem: 若$$(\Delta \div 2-2)\times 2+2=222$$，请问$$\Delta $$代表的数是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$224$$ 
aoVal: C
content: $$228$$ 
aoVal: D
content: $$876$$ 
aoVal: E
content: $$884$$ 
Answer: B
Analysis: $$\Delta \div 2-2=(222-2)\div 2$$  $$=220\div 2=110$$，  因此$$\Delta =(110+2)\times 2=112\times 2=224$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第11题4分
Problem: 在$$9$$点至$$10$$点之间的某个时刻，$$5$$分钟前分针的位置和$$5$$分钟后时针的位置相同，此时刻是． 
Options:
aoVal: A
content: $$9:05$$ 
aoVal: B
content: $$9:35$$ 
aoVal: C
content: $$9:55$$ 
Answer: C
Analysis: 根据选项$$\text{C}$$，现在是$$9:55$$，那么$$5$$分钟前分针的位置是指向$$10$$，$$5$$分钟后时针也是指向$$10$$．所以$$\text{C}$$选项答案是满足题目要求的，故选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->认识钟表
Source: 2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第7题3分
Problem: 2008006共有(  )个质因数. 
Options:
aoVal: A
content: 4 
aoVal: B
content: 5 
aoVal: C
content: 6 
aoVal: D
content: 7 
Answer: C
Analysis: 因为$$2008006=2006\times 1000+2006=2006\times 1001=\left( 2\times 17\times 59 \right)\times \left( 7\times 11\times 13 \right)$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->差系整除特征
Source: 2006年华杯赛六年级竞赛初赛
2006年华杯赛五年级竞赛初赛
Problem: 已知$$a$$，$$b$$为自然数，$$\dfrac{4}{15}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$那么$$a+b$$的最小值是（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 极端思考$$\frac{4}{15}=\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}+\dfrac{1}{15}=\frac{1}{4}+\frac{1}{60}$$，则$$a+b$$最小为$$16$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->最值问题
Source: 2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第4题
Problem: 某年某月内有三个星期天的日期都是偶数，那么这个月的14日是星期(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 二 
aoVal: B
content: 三 
aoVal: C
content: 四 
aoVal: D
content: 五 
Answer: D
Analysis: 因为此月有三个星期天的日期都是偶数，所以该月必有两个星期天的日期为奇数，从而该月有5个星期天，由此可知该月的第一个星期天的日期只能是2号(否则，这个月就没有5个星期天)，从而5个星期天的日期为2，9，16，23，30，故14号为星期五 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数表规律->常见数表规律
Source: 2006年五年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛B卷第2题
Problem: 我们定义像：$$31024$$、$$98567$$这样的五位数为位``神马数''，``神马数''是中间的数字最小，从中间往两边越来越大，且各位数字均不相同，那么，这样的五位数有（~ ~ ~ ~~）个 ． 
Options:
aoVal: A
content: $$1512$$ 
aoVal: B
content: $$3024$$ 
aoVal: C
content: $$1510$$ 
aoVal: D
content: $$3020$$ 
Answer: A
Analysis: 考察是计数问题中的排列组合．  $$0～9$$是个数中任意挑选$$5$$个都可以组成``神马数''，$$\text{C}_{10}^{5}=\frac{10\times9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$$种；在被挑选的$$5$$个数中，最小的放中间，剩下的$$4$$个数进行组合，从中任意挑选$$2$$个可以放在左边或者右边，$$\text{C}_{4}^{2}=6$$种；  在此一定要注意：$$4$$个数中任选$$2$$个放在左边然后再放到右边数的顺序改变了．  所以共有``神马数''$$252\times 6＝1512$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第9题