math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知$$f\left( x \right)$$和$$g\left( x \right)$$)是两个二次项系数均为$$1$$的二次函数．若$$g\left( 6 \right)=35$$﹐$$\frac{f\left( -1 \right)}{g\left( -1 \right)}=\frac{f\left( 1 \right)}{g\left( 1 \right)}=\frac{21}{20}$$，则$$f\left( 6 \right)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$32$$ 
aoVal: C
content: $$33$$ 
aoVal: D
content: $$34$$ 
aoVal: E
content: $$35$$ 
Answer: E
Analysis: 设$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$$，$$g\left( x \right)={{x}^{2}}+cx+d$$，  则由题设条件可得  $$20\left( 1-a+b \right)=21\left( 1-c+d \right)\cdots \cdots $$①﹐$$20\left( 1+a+b \right)=21\left( 1+c+d \right)\cdots \cdots $$②．  ①、②两式左右两边分别相加，得$$40+40b=42+42d$$，$$20b=1+21d$$﹔  ①、②两式左右两边分别相减，得$$-40a=-42c$$，$$20a=21c$$．  另由$$g\left( 6 \right)=35$$，得$$36+6c+d=35$$．  所以，$$36+6\times \frac{20}{21}a+\frac{20b-1}{21}=35$$，$$6a+b=-1$$，  所以，$$f\left( 6 \right)=36+6a+b=35$$．  设$$h\left( x \right)=21g\left( x \right)-20f\left( x \right)$$，  则由条件知$$h\left( x \right)$$是二次项系数为$$1$$的二次函数．  又$$h\left( -1 \right)=21g\left( -1 \right)-20f\left( -1 \right)=0$$，$$h\left( 1 \right)=21g\left( 1 \right)-20f\left( 1 \right)=0$$，  所以，$$h(x)=(x+1)(x-1)={{x}^{2}}-1$$．  因此，$$h\left( 6 \right)=21g\left( 6 \right)-20f\left( 6 \right)={{6}^{2}}-1=35$$．  所以，$$21\times 35-20f\left( 6 \right)=35$$，$$f\left( 6 \right)=35$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质
竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2021年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$为正数，且$$a+2b=c+2d=1$$．则$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: D
Analysis: 由均值不等式及题设条件知  $$2cd\leqslant {{\left( \frac{c+2d}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow cd\leqslant \frac{1}{8}$$①．  当且仅当$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，以上两式的等号成立．  此时，由式①得$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{8}{b}$$．  又由条件及柯西不等式得  $$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}=\left( \frac{1}{a}+\frac{8}{b} \right)\left( a+2b \right)\geqslant {{\left( 1+4 \right)}^{2}}=25$$，  当且仅当$$b=2a$$时，上式等号成立．  结合条件，知此时$$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$．  于是，$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant 25$$．  当 $$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$，$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，  $$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$取得最小值$$25$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->多元函数极值（一试）
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
课内体系->方法->均值不等式法
Source: 全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十三）第6题
Problem: 设数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项和$${{S}_{n}}$$满足：$${{S}_{n}}+{{a}_{n}}=\frac{n-1}{n(n+1)}$$，$$n=1,2,\cdots $$，则通项$${{a}_{n}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{n(n+1)}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{n(n+1)}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{n(n-1)}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{n(n-1)}$$ 
Answer: B
Analysis: $${{a}_{n+1}}={{S}_{n+1}}-{{S}_{n}}=\frac{n}{(n+1)(n+2)}-{{a}_{n+1}}-\frac{n-1}{n(n+1)}+{{a}_{n}}$$，  即$$2{{a}_{n+1}}=\frac{n+2-2}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}+{{a}_{\begin{smallmatrix} n    \end{smallmatrix}}}$$  $$=\frac{-2}{(n+1)(n+2)}+{{a}_{n}}+\frac{1}{n(n+1)}$$，  由此得$$2\left( {{a}_{n+1}}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)={{a}_{n}}+\frac{1}{n(n+1)}$$，  令$${{b}_{n}}={{a}_{n}}+\frac{1}{n(n+1)}$$，$${{b}_{1}}={{a}_{1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}({{a}_{1}}=0)$$，  有$${{b}_{n+1}}=\frac{1}{2}{{b}_{n}}$$，故$${{b}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}$$，所以$${{a}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{n(n+1)}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
课内体系->知识点->数列
Source: 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第10题9分
2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 设等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的公差为$$d\left( d\ne 0 \right)$$，前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$．若数列$$\left { \sqrt{8{{S}_{n}}+2n} \right }$$也是公差为$$d$$的等差数列，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的通项$${{a}_{n}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$4n-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$4n-\frac{5}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$4n-\frac{7}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$4n-\frac{9}{4}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}-\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}=d\left( n\geqslant 1 \right)$$  $$\Rightarrow 8{{S}_{n+1}}-8{{S}_{n}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}$$  $$\Rightarrow 8{{a}_{n+1}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}$$，  类似地，  $$8{{a}_{n+2}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}$$，  将以上两式相减得  $$8\left( {{a}_{n+2}}-{{a}_{n+1}} \right)=2d\left( \sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}-\sqrt{8{{S}_{n}}+2n} \right)$$  $$\Rightarrow 8d=2{{d}^{2}}$$，  而$$d\ne 0$$，故$$d=4$$，  又$$\sqrt{8{{S}_{2}}+4}-\sqrt{8{{S}_{1}}+2}=\sqrt{16{{a}_{1}}+36}-\sqrt{8{{a}_{1}}+2}=4$$，  由此解得$${{a}_{1}}=\frac{7}{4}$$，  从而，$${{a}_{n}}=\frac{7}{4}+4\left( n-1 \right)=4n-\frac{9}{4}$$．  故答案为：$$4n-\frac{9}{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
Source: 2019年上海全国高中数学联赛高三竞赛初赛第4题7分
2019年上海全国高中数学联赛竞赛初赛第4题7分
Problem: $$2010-AMC10B-11$$  A shopper plans to purchase an item that has a listed price greater than ＄$$100$$ and can use any one of the three coupons. Coupon $$A$$ gives $$15$$\% off the listed price, Coupon $$B$$ gives ＄$$30$$ off the listed price, and Coupon $$C$$ gives $$25$$\% off the amount by which the listed price exceeds ＄$$100$$. Let $$x$$ and $$y$$ be the smallest and largest prices, respectively, for which Coupon $$A$$ saves at least as many dollars as Coupon $$B$$ or Coupon $$C$$. What is $$y- x$$?  购物者计划购买标价大于 ＄100 的商品，并且可以使用三种优惠券中的任何一种。 优惠券$$A$$ 优惠$$15$$ 元，优惠券$$B$$ 优惠$$30$$ 元，优惠券$$C$$ 优惠25\%，超过$$100$$ 元的优惠券。 设 X 和 Y 分别是最小和最大的价格，对于该价格，优惠券 A 至少节省与优惠券 B 或优惠券 C 一样多的美元。y-x 是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$75$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
aoVal: E
content: $$100$$ 
Answer: A
Analysis: Let the listed price be $$(100+p)$$, where $$p\textgreater0$$.  Coupon $$A$$ saves us: $$0.15(100+p)=(0.15 p+15)$$.  Coupon $$B$$ saves us: $$30$$.  Coupon $$C$$ saves us: $$0.25p$$.  Now, the condition is that $$A$$ has to be greater than or equal to either $$B$$ or $$C$$ which give us the following inequalities: $$A≥B⇒0.15 p+15≥30⇒p≥100$$, $$A≥C⇒0.15 p+15≥0.25p⇒p≤150$$. We see here that the greatest possible value for $$p$$ is $$150$$,~ thus $$y= 100+150=250$$ and the smallest value for $$p$$ is $$100$$ so $$x= 100+100=200$$. The difference between $$y$$ and $$x$$ is $$y-x=250-200=(\rm A) 50$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2010年AMC10竞赛B第11题
Problem: 设复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z-\left\textbar{} z+1 \right\textbar{} \right\textbar=\left\textbar{} z+\left\textbar{} z-1 \right\textbar{} \right\textbar$$，则下列判断错误的是．
Options:
aoVal: A
content: $$z$$可能为纯虚数 
aoVal: B
content: $$z$$可能为实数 
aoVal: C
content: $$z$$的实部小于$$2$$ 
aoVal: D
content: $$z$$的辐角可能为$$\frac{ \pi }{4}$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$z=b\text{i}$$，不难算出$$\left\textbar{} z-\left\textbar{} z+1 \right\textbar{} \right\textbar=\sqrt{{{b}^{2}}+{{b}^{2}}+1}=\left\textbar{} z+\left\textbar{} z-1 \right\textbar{} \right\textbar$$，$$A$$对；  令$$z=0$$，显然$$\left\textbar{} z-\left\textbar{} z+1 \right\textbar{} \right\textbar=\left\textbar{} z+\left\textbar{} z-1 \right\textbar{} \right\textbar=1$$，$$B$$对；  设$$z=a+b\text{i}$$，由题意，$${{\left( a-\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( a+\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}$$，  若$$a\geqslant 2$$，则$${{\left( a-\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}\textless{}{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$$，  但$${{\left( a+\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}\geqslant {{\left( a+\sqrt{1+{{b}^{2}}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+1+{{b}^{2}}+2a\sqrt{1+{{b}^{2}}}\geqslant {{a}^{2}}+1+{{b}^{2}}+2a={{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$$，  矛盾，所以$$a\textless{}2$$，$$C$$对； 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用
竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 若实数$$x$$、$$y$$满足$${{(x-3)}^{2}}+4{{(y-1)}^{2}}=4$$，则$$\frac{x+y-3}{x-y+1}$$的最大值和最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$，$$0$$ 
aoVal: B
content: $$0$$，$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$，$$-1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$，$$-\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$\begin{cases}x=3+2\cos \theta    y=1+\sin \theta \end{cases}$$，  则$$t=\frac{x+y-3}{x-y+1}=\frac{2\cos \theta +\sin \theta +1}{2\cos \theta -\sin \theta +3}$$，  化为$$(2t-2)\cos \theta -(t+1)\sin \theta +3t-1=0$$，  由万能公式得$$(t+1){{\tan }^{2}}\frac{\theta }{2}-2(t+1)\tan \frac{\theta }{2}+5t-3=0$$．  当$$t\ne 1$$时，$$\frac{1}{4}\Delta ={{(t+1)}^{2}}-(t+1)(5t-3)\geqslant 0$$，  所以$$-1\textless{}t\leqslant 1$$；  当$$t=-1$$时，解得$$\cos \theta =-1$$有意义．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元
Source: 2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 已知$$I$$是$$\triangle ABC$$的内心，$$AC=2,BC=3,AB=4$$，若$$\overrightarrow{AI}=x+y\overrightarrow{AC}$$，则$$x+y$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{9}$$ 
Answer: B
Analysis: 在$$\triangle ABC$$中，$$I$$为内心，连$$AI$$并延长交$$BC$$于$$D$$点，  则$$D$$分$$BC$$的比$$\lambda =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2$$．  故$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$．又$$BC=3$$，故$$BD=2,  DC=1$$．  又在$$\triangle ABD$$中，$$I$$分$$AD$$的比$${\lambda }'=\frac{AB}{BD}=\frac{4}{2}=2$$，  即$$\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$$，所以$$x+y=\frac{2}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->平面几何->内心相关问题（二试）
Source: 2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知两个实数集合$$A=\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{100}} \right }$$与$$B=\left { {{b}_{1}},{{b}_{2}},\cdots ,{{b}_{50}} \right }$$，若从$$A$$到$$B$$的映射$$f$$使得$$B$$中的每一个元素都有原象，且$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，则这样的映射共有．
Options:
aoVal: A
content: $$\text{C}_{100}^{50}$$ 
aoVal: B
content: $$\text{C}_{90}^{50}$$ 
aoVal: C
content: $$\text{C}_{100}^{49}$$ 
aoVal: D
content: $$\text{C}_{99}^{49}$$ 
Answer: D
Analysis: 不妨设$${{b}_{1}}\textless{}{{b}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{b}_{50}}$$，将$$A$$中元素$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，\ldots，$${{a}_{100}}$$按顺序分为非空的$$50$$组，定义映射$$f:A\to B$$，使得第$$i$$组的元素在$$f$$之下的象都是$${{b}_{i}}\left( i=1,2,  \cdots ,50 \right)$$，易知这样的$$f$$满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射$$f$$的个数与$$A$$按足码顺序分为$$50$$组的分法数相等，而$$A$$的分法数为$$\text{C}_{99}^{49}$$，则这样的映射共有$$\text{C}_{99}^{49}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->映射
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->隔板法
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 已知集合$A=\left {x\left\textbar{} x\textless{} 2\right.\right }$，$B=\left {x\left\textbar{} x^{2}-2x-3\leq 0\right.\right }$，则$A\cup B=$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left[-1,2\right)$ 
aoVal: B
content: $\left(2,3\right]$ 
aoVal: C
content: $\left(-1,3\right]$ 
aoVal: D
content: $\left(-\mathrm{\infty },3\right]$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先求出集合$B$，再依据并集的定义求并集.\\ 【详解】\\ $B=\left {x\left\textbar{} x^{2}-2x-3\leq 0\right.\right }=\left {x\left\textbar{} -1\leq x\leq 3\right.\right }$，又$A=\left {x\left\textbar{} x\textless{} 2\right.\right }$，\\ 所以$A\cup B=\left(-\mathrm{\infty }\mathrm{，}3\right]$\\ 故选：D 
Source: 2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第1题
Problem: 如果函数$$f(x)={{a}^{x}}({{a}^{x}}-3{{a}^{2}}-1)(a\textgreater0$$且$$a\ne 1)$$在区间$$[0,+\infty ]$$上是增函数，那么实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{2}{3} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \frac{\sqrt{3}}{3},1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$(0,\sqrt{3}]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 利用复合函数的单调性求解，令$${{a}^{x}}=t$$，则  $$y=g(t)={{t}^{2}}-(3{{a}^{2}}+1)t$$．  ①当$$a\textgreater1$$时，$$t$$是关于$$x$$的增函数，欲使$$f(x)$$在$$x\in [0,+\infty )$$上是增函数，需$$g(t)$$在$$t\in [1,+\infty )$$上是增函数，故$$\frac{3{{a}^{2}}+1}{2}\leqslant 1$$，即$${{a}^{2}}\leqslant \frac{1}{3}$$，矛盾．  ②当$$0\textless{}a\textless{}1$$时，$$t$$是关于$$x$$的减函数，欲使$$f(x)$$在$$x\in [0,+\infty )$$上是增函数，需$$g(t)$$在$$t\in (0,1]$$上是减函数，故$$\frac{3{{a}^{2}}+1}{2}\geqslant 1$$，即$${{a}^{2}}\geqslant \frac{1}{3}$$，所以$$\frac{\sqrt{3}}{3}\leqslant a\textless{}1$$．  综上可知选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知集合$A=\left {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right }$，任取$1\leq i\textless{} j\textless{} k\leq n,a_{i}+a_{j}\in A,a_{j}+a_{k}\in A,a_{i}+a_{k}\in A$中至少有一个成立，则\emph{n}的最大值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 3 
aoVal: B
content: 5 
aoVal: C
content: 7 
aoVal: D
content: 9 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 可证明集合\emph{A}的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断\emph{n}的最大值.\\ 【详解】\\ 不妨设$a_{1}\textgreater{} a_{2}\textgreater{} \cdots \textgreater{} a_{n}$，若集合\emph{A}中的正数个数不小于4，取$(i,j,k)=(1,2,3)$，\\ 可得$a_{2}+a_{3}=a_{1}$，取$(i,j,k)=(1,2,4)$，可得$a_{2}+a_{4}=a_{1}$，因此$a_{3}=a_{4}$，矛盾．\\ 因此集合\emph{A}的正数至多有3个，同理，集合\emph{A}中的负数至多有3个．\\ 又考虑$A= {3,2,1,0,-1,-2,-3 }$，\\ 符合题意，因此\emph{n}的最大值为7．\\ 故选：C. 
Source: 竞赛第1题
Problem: 空间四点$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$满足$$\textbar\overrightarrow{AB}\textbar=3$$，$$\textbar\overrightarrow{BC}\textbar=7$$，$$\textbar\overrightarrow{CD}\textbar=11$$，$$\textbar\overrightarrow{DA}\textbar=9$$，则$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$=~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: 只有一个 
aoVal: B
content: 有二个 
aoVal: C
content: 有四个 
aoVal: D
content: 有无穷多个 
Answer: A
Analysis: 注意到$${{3}^{2}}+{{11}^{2}}=1130={{7}^{2}}+{{9}^{2}}$$，由于$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$$，  则$$D{{A}^{2}}={{\overrightarrow{DA}}^{2}}={{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2({{\overline{BC}}^{2}}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$$，  即$$2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}-C{{D}^{2}}=0$$，∴$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$只有一个值得$$0$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 设函数$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left( -\infty ,+\infty \right)$$，对于下列（$$1$$）$$\sim $$（$$4$$）的四个命题：  （$$1$$）若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是奇函数；  （$$2$$）若$$f\left( x \right)$$是周期函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是周期函数；  （$$3$$）若$$f\left( x \right)$$是单调递减函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$是单调递增函数；  正确的命题共有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$0$$个 
Answer: C
Analysis: 若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( -x \right) \right)=f\left( -f\left( x \right) \right)=-f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$1$$）对；  若$$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$$，则$$f\left( f\left( x+T \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$2$$）对；  对任意$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$，有$$f\left( {{x}_{1}} \right)\textgreater f\left( {{x}_{2}} \right)$$，则$$f\left( f\left( {{x}_{1}} \right) \right)\textless{}f\left( f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$$，（$$3$$）对；  取$$f\left( x \right)=\begin{cases}1,x=0    0,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+1,其它    \end{cases}$$，则$$f\left( f\left( x \right) \right)=\begin{cases}0,x=0    1,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+2,其它    \end{cases}$$，（$$4$$）错．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->函数->函数的应用->简单的函数方程
知识标签->知识点->函数->函数及其表示->函数的概念->复合函数
知识标签->知识点->函数->函数的性质->单调性
知识标签->知识点->函数->函数的性质->奇偶性
知识标签->知识点->函数->函数的性质->周期性
知识标签->素养->数学运算
知识标签->素养->数据分析
知识标签->素养->逻辑推理
知识标签->题型->函数->函数的性质->周期性->函数周期性判断
知识标签->题型->函数->函数的性质->单调性->用定义法证明函数的单调性
知识标签->题型->函数->函数的性质->奇偶性->利用定义判断函数奇偶性
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
2016年高考真题天津卷
Problem: 计算$$\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}\cos \frac{6\pi }{7}$$的值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 记$$S=\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}\cos \frac{6\pi }{7}$$，则$$S=-\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}$$，  $$-S\cdot 8\sin \frac{\pi }{7}=8\sin \frac{\pi }{7}\cdot \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}=4\sin \frac{2\pi }{7}\cdot \cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}=2\sin \frac{4\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}$$  $$=\sin \frac{8\pi }{7}=-\sin \frac{\pi }{7}$$，所以，$$S=\frac{1}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->素养->数学运算
Source: 2018年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分
Problem: 函数$$y={{3}^{x+1}}(-1\leqslant x\textless{}0)$$的反函数是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=1+{{\log }_{3}}x(x\textgreater0)$$ 
aoVal: B
content: $$y=-1+{{\log }_{3}}x(x\textgreater0)$$ 
aoVal: C
content: $$y=1+{{\log }_{3}}x(1\leqslant x\textless{}3)$$ 
aoVal: D
content: $$y=-1+{{\log }_{3}}x(1\leqslant x\textless{}3)$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$y={{3}^{x+1}}$$解得，$$x=-1+{{\log }_{3}}y$$，  因为$$-1\leqslant x\textless{}0$$，得$$1\textless{}y\textless{}3$$，  所以函数$$y={{3}^{x+1}}(-1\leqslant x\textless{}0)$$的反函数是$$y=-1+{{\log }_{3}}x(1\leqslant x\textless{}3)$$，  故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2004年高考真题天津卷文科第9题5分
2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 把函数$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)-1$$的图象按向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{ \pi }{6},1 \right)$$平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1}{2}$$，则所得图象的函数解析式是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=\sin \left( 4x+\frac{2 \pi }{3} \right)-2$$ 
aoVal: B
content: $$y=\sin \left( 4x-\frac{ \pi }{6} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$y=\cos \left( 4x+\frac{2 \pi }{3} \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意，把函数$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)-1$$的图象按向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{ \pi }{6},1 \right)$$平移，  可得$$y=\sin \left[ 2\left( x-\frac{ \pi }{6} \right)+\frac{ \pi }{6} \right]=\sin \left( 2x-\frac{ \pi }{6} \right)$$，  再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1}{2}$$，  可得$$y=\sin \left( 4x-\frac{ \pi }{6} \right)$$，故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 从正方体的$$8$$个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{29}{189}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{29}{63}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{34}{63}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{7}$$ 
Answer: B
Analysis: 从$$8$$个顶点中任取两点可确定$$\text{C}_{8}^{2}=28$$（条）直线，  从$$8$$个顶点中任取$$4$$个不共面的点共有$$\text{C}_{8}^{4}-12$$组，  而其中每一组不共面的$$4$$点可出现$$3$$对异面直线，  所以所求的概率为$$\frac{3(\text{C}_{8}^{4}-12)}{\text{C}_{28}^{2}}=\frac{29}{63}$$.  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 设$$[x]$$表示不超过实数$$x$$的最大整数，则在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形的面积是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
aoVal: E
content: $$12$$ 
Answer: E
Analysis: 在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形关于$$x$$轴,y轴对称，可先考察第一象限的情况，即当$$x\textgreater0,  y\textgreater0$$时，由$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$得  $$\begin{cases}{{[x]}^{2}}=49    {{[y]}^{2}}=1   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=25     {{[y]}^{2}}=25   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=1    {{\left[ y \right]}^{2}}=49   \end{cases}$$  所以相应有  $$\begin{cases}[x]=7    [y]=1   \end{cases}\begin{cases}[x]=5    [y]=5   \end{cases}\begin{cases}[x]=1    [y]=7   \end{cases}$$  因此  $$\begin{cases}7\leqslant x\textless{}8    1\leqslant y\textless{}2   \end{cases}\begin{cases}5\leqslant x\textless{}6    5\leqslant y\textless{}6   \end{cases}\begin{cases}1\leqslant x\textless{}2    7\leqslant y\textless{}8   \end{cases}$$  所以在第一象限形成的图形的面积由容斥原理计算为$$3$$．  故在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形的面积是$$12$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何证明选讲
竞赛->知识点->组合->容斥原理与极端原理（二试）
竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式
Source: 2011年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第8题7分
Problem: 设复平面上单位圆内接正$$20$$边形的$$20$$个顶点所对应的复数依次为$${{Z}_{1}}{{Z}_{2}}\ldots {{Z}_{20}}$$，则复数$$Z_{1}^{1995}$$，$$Z_{2}^{1995}\ldots Z_{20}^{1995}$$所对应的不同点的个数是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 设$${{Z}_{1}}=\cos \theta +\text{i}\sin \theta $$，则：  $${{Z}_{k}}=(\cos \theta +\text{i}\sin \theta )(\cos \frac{2(k-1)\mathsf{\pi }}{20}+\text{isin }\frac{2(k-1)\mathsf{\pi }}{20})$$，$$1\mathsf{\leqslant }k\mathsf{\leqslant }20$$由$$1995=20\times 99+15$$，得  $$\mathop{Z}_{k}^{1995}=(\cos 1995\theta +\text{isin 1995}\theta ){{(\cos \frac{3\mathsf{\pi }}{2}+\text{isin }\frac{3\mathsf{\pi }}{2})}^{k-1}}$$  $$=(\cos 1995\theta +\text{isin 1995}\theta ){{(-i)}^{k-1}}$$，$$k=1$$，$$2$$，$$\ldots $$，$$20$$，  共有四个不同的值．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根
竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 1995年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 给定下列两个关于异面直线的命题：  命题Ⅰ：若平面$$\alpha $$上的直线$$a$$与平面$$\beta $$上的直线$$b$$为异面直线，直线$$c$$是$$\alpha $$与$$\beta $$的交线，那么，$$c$$至多与$$a,b$$中的一条相交；  命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．  那么（  ）.
Options:
aoVal: A
content: 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 
aoVal: B
content: 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 
aoVal: C
content: 两个命题都正确 
aoVal: D
content: 两个命题都不正确 
Answer: D
Analysis: 易知命题Ⅰ不正确；  又可以取无穷多个平行平面，  在每个平面上取一条直线，  且使这些直线两两不同向，  则这些直线中的任意两条都是异面直线，  从而命题Ⅱ也不正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到$$500\text{m}$$以外的公路边埋栽，在$$500\text{m}$$处栽一根，然后每间隔$$50\text{m}$$在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运$$3$$根，要完成运栽$$20$$根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为~ ．
Options:
aoVal: A
content: $$13000$$ 
aoVal: B
content: $$14000$$ 
aoVal: C
content: $$15000$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 先假设要完成$$21$$根电线杆的运栽，每次$$3$$根，设第$$k$$次往返的路程为$${{a}_{k}}\left( k=1,  2,\cdots ,  7 \right)$$，则$${{a}_{1}}=2\times 600=1200$$，且  $${{a}_{k+1}}={{a}_{k}}+2\times 150\left( k=1,  2,\cdots ,  6 \right)$$．  所以$$\left { {{a}_{n}} \right }$$是首项为$$1200$$，公差为$$300$$的等差数列．  故$${{S}_{7}}=7\times 1200+\frac{7\times 6}{2}\times 300=14700$$（m）．  但实际只运栽$$20$$根，那么必有一次运$$2$$根，其余$$6$$次均运$$3$$根．  若将运$$2$$根的安排在第$$k$$次（$$k=1,  2,\cdots ,  7$$），则$${{a}_{1}},  {{a}_{2}},\cdots ,  {{a}_{k-1}}$$均不变，$${{a}_{k}},  {{a}_{k+1}},\cdots ,  {{a}_{7}}$$各减少$$100\text{m}$$，所以  $${{S}_{7}}\left( k \right)={{S}_{7}}-100\left( 8-k \right)=13800+100k$$.  显然，当$$k=1$$，即第$$1$$次运$$2$$根，其余$$6$$次各运$$3$$根时，总的行程最小，最小值为$$14000\text{m}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
课内体系->知识点->数列
Source: 2012年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第10题8分
Problem: 记集合$$T= {0,1,2,3,4,5,6 }$$，$$M=\left { \frac{{{a}_{1}}}{7}+\frac{{{a}_{2}}}{{{7}^{2}}}+\frac{{{a}_{3}}}{{{7}^{3}}}+\frac{{{a}_{4}}}{{{7}^{4}}}\textbar{{a}_{i}}\in T,i=1,2,3,4 \right }$$，将$$M$$中的元素按从大到小的顺序排列，则第$$2005$$个数是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{7}+\frac{5}{{{7}^{2}}}+\frac{6}{{{7}^{3}}}+\frac{3}{{{7}^{4}}}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{7}+\frac{5}{{{7}^{2}}}+\frac{6}{{{7}^{3}}}+\frac{2}{{{7}^{4}}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{7}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+\frac{0}{{{7}^{3}}}+\frac{4}{{{7}^{4}}}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{7}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+\frac{0}{{{7}^{3}}}+\frac{3}{{{7}^{4}}}$$ 
Answer: C
Analysis: 用$${{[{{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{k}}]}_{p}}$$表示$$k$$位$$p$$进制数，将集合$$M$$中的每个数乘以$${{7}^{4}}$$，得  $${{M}^{\prime }}= {{{a}_{1}}\cdot {{7}^{3}}+{{a}_{2}}\cdot {{7}^{2}}+{{a}_{3}}\cdot 7+{{a}_{4}}\textbar{{a}_{i}}\in T,i=1,2,3,4 }= {{{[{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}]}_{7}}\textbar{{a}_{i}}\in T,i=1,2,3,4 }$$．  $${{M}^{\prime }}$$中的最大数为$${{[6666]}_{7}}={{[2400]}_{10}}$$．  在十进制数中，从$$2400$$起从大到小顺序排列的第$$2005$$个数是$$2400-2004=396$$．  而$${{[396]}_{10}}={{[1104]}_{7}}$$将此数除以$${{7}^{4}}$$，便得$$M$$中的数$$\frac{1}{7}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+\frac{0}{{{7}^{3}}}+\frac{4}{{{7}^{4}}}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分