math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是$$290$$时，各个面内的数之和等于（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$34$$ 
aoVal: B
content: $$35$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$37$$ 
Answer: C
Analysis: 设正方体的每个面内的数分别为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，$${{x}_{5}}$$，$${{x}_{6}}$$，  则顶点上的数分别为$${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{6}}$$，  则有$$290={{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{5}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{5}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{6}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{6}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{6}}$$  $$=({{x}_{5}}+{{x}_{6}})({{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}})$$  $$=({{x}_{1}}+{{x}_{3}})({{x}_{2}}+{{x}_{4}})({{x}_{5}}+{{x}_{6}})$$．  由于$$290=2\times 5\times 29$$，  显然在乘积$$({{x}_{1}}+{{x}_{3}})({{x}_{2}}+{{x}_{4}})({{x}_{5}}+{{x}_{6}})$$中，一个因式等于$$2$$，一个因式等于$$5$$，一个因式等于$$29$$，  所以$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=2+5+29=36$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理
课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->点线面体
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
Problem: 若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 负数 
aoVal: C
content: 奇数 
aoVal: D
content: 偶数 
Answer: B
Analysis: 设该数为$$a$$，由题意$$-a$$为$$a$$的相反数，且有$${{a}^{3}}\textless{}-a$$，  ∴$${{a}^{3}}+a\textless{}0$$，$$a({{a}^{2}}+1)\textless{}0$$，  因为$${{a}^{2}}+1\textgreater0$$，所以$$a\textless{}0$$，即该数一定是负数，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 方程$$2{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+2x+1=0$$有一个实数根是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{5}+\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 原方程可化为  $$\left( 2{{x}^{5}}-20{{x}^{3}}+2x \right)+\left( {{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1 \right)=0$$．  即$$\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1 \right)=0$$．  ∴$$2x+1=0$$或$${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0$$，  当$$2x+1=0$$时，解得$$x=-\frac{1}{2}$$；  当$${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0$$时，$${{x}^{2}}=\frac{10+\sqrt{{{10}^{2}}-4}}{2}=5+2\sqrt{6}$$，或$${{x}^{2}}=\frac{10-\sqrt{{{10}^{2}}-4}}{2}=5-2\sqrt{6}$$，  ①当$${{x}^{2}}=5+2\sqrt{6}$$，得$$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$或$$x=-\sqrt{3}-\sqrt{2}$$，  ②当$${{x}^{2}}=5-2\sqrt{6}$$，得$$x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$或$$x=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$$，  综上所述$$x$$可能为$$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->高次方程
课内体系->方法->降次法
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第13题
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A=\theta -\alpha $$，$$\angle B=\theta $$，$$\angle C=\theta +\alpha $$，（$$0{}^{}\circ \textless{}\alpha \textless{}\theta \textless{}90{}^{}\circ $$） ．若$$\angle BAC$$与$$\angle BCA$$的平分线相交于$$P$$点，则$$\angle APC$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$90{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$105{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$120{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$150{}^{}\circ $$ 
Answer: C
Analysis: 由$$\angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ $$，即$$\left( \theta -\alpha \right)+\theta +\left( \theta +\alpha \right)=3\theta =180{}^{}\circ $$，  所以$$\theta =\angle ABC=60{}^{}\circ $$，  因此$$\frac{1}{2}\left( \angle BAC+\angle BCA \right)=\frac{1}{2}\left( 180{}^{}\circ -60{}^{}\circ \right)=60{}^{}\circ $$，  所以$$\angle APC=180{}^{}\circ -\frac{1}{2}\left( \angle BAC+\angle BCA \right)=180{}^{}\circ -60{}^{}\circ =120{}^{}\circ $$．  故应选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第5题
Problem: $$y-2x+1$$是$$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k$$的一个因式，则$$k$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由因式定理可知，当$$y-2x+1=0$$时，  $$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k=0$$，  故可令$$\begin{cases}x=0    y=-1   \end{cases}$$，  则$$4xy-4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-k=-1-k=0$$，  ∴$$k=-1$$．  故答案为：$$k=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法
课内体系->能力->运算能力
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第1题
2020~2021学年江苏苏州高新区苏州市高新区实验初级中学初二下学期期末模拟（一）第7题
2020~2021学年6月江苏苏州工业园区星港学校初一下学期周测B卷第8题2分
Problem: 红光中学初一年级有$$3$$个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为$$45$$，二班、三班的平均人数与一班人数之和为$$48$$，一班、三班的平均人数与二班人数之和为$$47$$．则三个班的总人数为（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$68$$ 
aoVal: B
content: $$70$$ 
aoVal: C
content: $$72$$ 
aoVal: D
content: $$74$$ 
Answer: B
Analysis: 设一班、二班、三班的人数分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$．  由题意，得$$\left { \begin{array} ~\&\dfrac{x+y}{2}+z=45    \dfrac{y+z}{2}+x=48    \dfrac{x+z}{2}+y=47   \end{array} \right.$$，  三式相加，得$$2(x+y+z)=140$$，  ∴$$x+y+z=70$$．  答：三个班的总人数为$$70$$人． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 下面有$$4$$个判断：  ①互为相反数的两个数的绝对值相等；  ②如果$$n$$的绝对值等于$$n$$，则$$n$$一定为正数；  ③点$$M$$在数轴上距原点$$2$$个单位长度，且位于原点右侧．若将向左移动$$5$$个单位长度，则此点对应的值为$$-3$$；  ④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数．  其中，正确判断的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: ①正确；  ②$$n$$为$$0$$时也满足要求，故错误；  ③正确；  ④如$$(-1)+(-2)=-3$$，$$-3\textless{}-2$$且$$-3\textless{}-1$$，故错误．  综上，正确的个数为两个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明->猜想与证明->命题与证明的应用->区分真假命题
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第2题
Problem: 计算：$$10+20\div2+3=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$23$$ 
Answer: D
Analysis: $$10+20\div 2+3=10+(20\div 2)+3=10+10+3=23$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Integers->Mixed Basic Operations
Source: 1979年竞赛第13题
Problem: 在$$10\square 10\square 10\square 10\square 10$$的四个``$$\square $$''中分别填入``$$+$$''、``$$-$$''、``$$\times $$''、``$$\div $$''运算符号各一次，所成的算式的值的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-84$$ 
aoVal: B
content: $$-89$$ 
aoVal: C
content: $$-94$$ 
aoVal: D
content: $$-99$$ 
Answer: B
Analysis: 要使算式的值尽可能小，应当减去一个较大的数，此时应使商尽可能小．如下式所示，所成的算式的值最小：$$10\div 10\times 10+10=-89$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第4题
Problem: 方程$$x+y+z=7$$的正整数解有．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$组 
aoVal: B
content: $$12$$组 
aoVal: C
content: $$15$$组 
aoVal: D
content: $$16$$组 
Answer: C
Analysis: 因为$$x$$，$$y$$ ，$$z$$均为正整数，且$$x+y+z=7$$，  所以$$1\leqslant x\leqslant 5$$．  下面分类讨论：  当$$x=1$$时，有$$5$$组解；当$$x=2$$时，有$$4$$组解；  当$$x=3$$时，有$$3$$组解；当$$x=4$$时，有$$2$$组解；  当$$x=5$$时，有$$1$$组解．  共计$$5+4+3+2+1=15$$（组）解．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->特殊方程
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 复印纸的型号有$$A0$$，$$A1$$，$$A2$$，$$A3$$，$$A4$$等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如$$A3$$）的复印纸在长的方向对折后就得到两张下一个型号（得到$$A4$$）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为．
Options:
aoVal: A
content: $$1.414:1$$ 
aoVal: B
content: $$2:1$$ 
aoVal: C
content: $$1:0.618$$ 
aoVal: D
content: $$1.732:1$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$A3$$型号的复印纸长为$$x$$，宽为$$y$$，对折后得到$$A4$$型号的复印纸长为$$y$$，宽为$$\frac{x}{2}$$，  由题意，得$$\frac{x}{y}=\frac{y}{\dfrac{x}{2}}$$，  即$${{x}^{2}}=2{{y}^{2}}$$，  所以$$x:y=\sqrt{2}:1\approx 1.414:1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的性质
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 有两个两位数的质数，它们的差等于$$6$$，且它们平方的个位数字相同，这样的两位质数的组数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 两位数的质数共有$$21$$个，它们的个位数字只有$$1$$，$$3$$，$$7$$，$$9$$；  差等于$$6$$的有：$$1$$和$$7$$；$$3$$和$$9$$；$$13$$和$$7$$，共三组；  平方数的个位数字相同的只有$$3$$和$$7$$，$$1$$和$$9$$这两组．  因此，符合题设条件的个位数字是$$3$$和$$7$$这一组．  故所求质数是$$23$$和$$17$$；$$43$$和$$37$$，$$53$$和$$47$$，$$73$$和$$67$$，共$$4$$组． 
<p>平方之后个位数字相同的数有：$$1$$和$$9$$，$$2$$和$$8$$，$$3$$和$$7$$，$$4$$和$$6$$作为两位数质数的个位，不能是偶数，两个两位数相差$$6$$个位一定是$$7$$和$$3$$$$17$$和$$23$$，$$37$$和$$43$$，$$47$$和$$53$$，$$67$$和$$73$$，共$$4$$组．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第5题4分
Problem: 设$$a$$，$$b$$是不相等的任意正数，又$$x=\frac{{{b}^{2}}+1}{a}$$，$$y=\frac{{{a}^{2}}+1}{b}$$，则$$x$$，$$y$$这两个数一定（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 都不大于$$2$$ 
aoVal: B
content: 都不小于$$2$$ 
aoVal: C
content: 至少有一个大于$$2$$ 
aoVal: D
content: 至少有一个小于$$2$$ 
Answer: C
Analysis: 令$$a=4$$，$$b=5$$，得到$$x=\frac{13}{2}$$，$$y=\frac{17}{5}$$，可排除$$\text{A}$$，$$\text{D}$$；  令$$a=1$$，$$b=2$$，得到$$x=5$$，$$y=1$$，可排除$$\text{B}$$．  故只能选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值
Source: 2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第3题7分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$是互不相等的正整数，且$$abcd=441$$，那么$$a+b+c+d$$的值是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$32$$ 
aoVal: C
content: $$34$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ ~ 
Answer: B
Analysis: ∵$$441=7\times 7\times 3\times 3$$，  又∵$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$互为不相等的正整数，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$为$$21$$，$$7$$，$$3$$，$$1$$，  ∴$$a+b+c+d=32$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《计算》第12题
2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 有四个关于$$x$$的方程：  ①$$x-2=-1$$；②$$\left( x-2 \right)+\left( x-1 \right)=-1+\left( x-1 \right)$$；③$$x=0$$；④$$x-2+\frac{1}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$$．  其中同解的两个方程是．
Options:
aoVal: A
content: ①与② 
aoVal: B
content: ①与③ 
aoVal: C
content: ①与④ 
aoVal: D
content: ②与④ 
Answer: A
Analysis: 方程①的解$$x=1$$，将$$x=1$$代入方程②，方程②成立，  ∴$$x=1$$也是方程②的解．  方程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；  ①的解代入④，④无意义．  ∴$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$都不正确，只有$$\text{A}$$正确．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 设$$a\textless{}0$$，在代数式$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2009}}$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)$$中负数的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 有四个关于$$x$$的方程：  ①$$x-2=-1$$；②$$\left( x-2 \right)+\left( x-1 \right)=-1+\left( x-1 \right)$$；③$$x=0$$；④$$x-2+\frac{1}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$$．  其中同解的两个方程是．
Options:
aoVal: A
content: ①与② 
aoVal: B
content: ①与③ 
aoVal: C
content: ①与④ 
aoVal: D
content: ②与④ 
Answer: A
Analysis: 方程①的解$$x=1$$，将$$x=1$$代入方程②，方程②成立，  ∴$$x=1$$也是方程②的解．  方程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；  ①的解代入④，④无意义．  ∴$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$都不正确，只有$$\text{A}$$正确．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
Source: 2019~2020学年湖北武汉期末
1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$，$$e$$只能从$$-3$$，$$-2$$，$$-1$$中取值，又$$x=a-b+c-d+e$$，$$y={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{d}^{2}}+{{e}^{2}}$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$x$$的最大值比$$y$$的最大值小 
aoVal: B
content: $$x$$的最小值比$$y$$的最小值小 
aoVal: C
content: $$x$$的最大值比$$y$$的最小值小 
aoVal: D
content: $$x$$的最小值比$$y$$的最大值大 
Answer: A
Analysis: $${{x}_{\max }}=(-1)\times 3+3\times 2=3$$，  $${{x}_{\min }}=(-3)\times 3+1\times 2=-7$$，  $${{y}_{\max }}=9\times 3-1\times 2=25$$，  $${{y}_{\min }}=1\times 3-9\times 2=-15$$．  ∴$$x$$的最大值比$$y$$的最大值小，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->整体思想
课内体系->方法->整体法
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 计算：$$4\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{41+24\sqrt{2}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{2}-1$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: $$4\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{41+24\sqrt{2}}$$  $$=4\sqrt{{{(\sqrt{2}+1)}^{2}}}-\sqrt{{{(4\sqrt{2}+3)}^{2}}}$$  $$=4(\sqrt{2}+1)-(4\sqrt{2}+3)$$  $$=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分
2013年全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 将$$2013$$表示成两个三位数的正整数的平方的差，这两个三位数中较大的一个是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$671$$ 
aoVal: B
content: $$337$$ 
aoVal: C
content: $$183$$ 
aoVal: D
content: $$107$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$x$$为较大的数，$$y$$为较小的数，  则$$2013={{x}^{2}}-{{y}^{2}}=(x+y)(x-y)$$．  ∵$$2013=1\times 3\times 11\times 61$$，  ∴满足题意的$$x+y$$是三位数或者四位数，  只能是$$\left { \begin{matrix}x+y=671    x-y=3   \end{matrix} \right.$$①  或$$\left { \begin{matrix}x+y=2013    x-y=1   \end{matrix} \right.$$②  或$$\left { \begin{matrix}x+y=183    x-y=11   \end{matrix} \right.$$③，  解①得$$\left { \begin{matrix}x=337    y=334   \end{matrix} \right.$$，  解②得$$\left { \begin{matrix}x=1007    y=1006   \end{matrix} \right.$$，（因为$$x$$，$$y$$都是四位数，故舍去）  解③得$$\left { \begin{matrix}x=97    y=86   \end{matrix} \right.$$，（因为$$x$$，$$y$$都是两位数，故舍去）．  综上，$$\left { \begin{matrix}x=337    y=334   \end{matrix} \right.$$，  ∴这两个三位数中较大的一个是$$337$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: 若$$x+y=-1$$，则$${{x}^{4}}+5{{x}^{3}}y+{{x}^{2}}y+8{{x}^{2}}{{y}^{2}}+x{{y}^{2}}+5x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$$的值等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: $${{x}^{4}}+5{{x}^{3}}y+{{x}^{2}}y+8{{x}^{2}}{{y}^{2}}+x{{y}^{2}}+5x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$$  $$=({{x}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}})+(5{{x}^{3}}y+5x{{y}^{3}})+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$$  $$={{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}+5xy({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$$  $$=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3xy)+xy(x+y)$$  $$={{(x+y)}^{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3xy)+xy(x+y)$$  $$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3xy-xy$$  $$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$$  $$={{(x+y)}^{2}}=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 小明带$$a$$元钱去超市买文具，买铅笔用去了所带钱数的$$\frac13$$，买橡皮用去余下钱数的$$\frac14$$，然后他又用剩下的钱数的$$\frac12$$买了把尺子．这时小明还剩（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac12a$$元 
aoVal: B
content: $$\frac13a$$元 
aoVal: C
content: $$\frac14a$$元 
aoVal: D
content: $$\frac25a$$元 
Answer: C
Analysis: 由题意，小明剩余的钱为$$(1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times (1-\frac{1}{2})\times a=\frac{1}{4}a$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 设正整数$$a$$，$$m$$，$$n$$满足$$\sqrt{{{a}^{2}}-4\sqrt{2}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$$，则这样的$$a$$，$$m$$，$$n$$的取值．
Options:
aoVal: A
content: 有$$1$$组 
aoVal: B
content: 有$$2$$组 
aoVal: C
content: 多于$$2$$组 
aoVal: D
content: 不存在 
Answer: A
Analysis: 将原式两边平方得到$${{a}^{2}}-4\sqrt{2}=m+n-2\sqrt{mn}$$，由于$$a$$，$$m$$，$$n$$都是正整数，所以$${{a}^{2}}=m+n$$，$$mn=8$$．又$$m\textgreater n$$，仅当$$m=8$$，$$n=1$$时$$a$$为正整数．所以共有$$1$$组解．所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第2题
Problem: 已知$$a\textless{}b\textless{}c\textless{}0$$，则$$\frac{a}{b+c}$$，$$\frac{b}{c+a}$$，$$\frac{c}{a+b}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{c}{a+b}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{b}{c+a}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{c}{a+b}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{a}{b+c}$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$a\textless{}b\textless{}c\textless{}0$$，  所以$$0\textless-c\textless-b\textless-a$$，  所以$$0\textless-b-c\textless-c-a\textless-a-b$$，  于是$$\frac{-c}{-a-b}\textless\frac{-b}{-c-a}\textless\frac{-a}{-b-c}$$，  所以$$\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{a}{b+c}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次不等式组
Source: 2019~2020学年江苏苏州工业园区苏州星海实验中学初二下学期单元测试《分式》第40题2分
2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第8题4分
Problem: 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分．又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分\ldots\ldots 如此下去，最后得到了$$34$$个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2004$$ 
aoVal: B
content: $$2005$$ 
aoVal: C
content: $$2006$$ 
aoVal: D
content: $$2007$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加$$360{}^{}\circ $$．于是，剪过$$k$$次后，可得$$\left( k+1 \right)$$个多边形，这些多边形的内角和为$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ $$．  ∵这$$\left( k+1 \right)$$个多边形中有$$34$$个六十二边形，它们的内角和为$$34\times \left( 62-2 \right)\times 180{}^{}\circ =34\times 60\times 180{}^{}\circ $$，其余多边形有$$\left( k+1 \right)-34=k-33$$（个），而这些多边形的内角和不少于$$\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  ∴$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ \geqslant 34\times 60\times 180{}^{}\circ +\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  解得$$k\geqslant 2005$$．  当我们按如下的方式剪$$2005$$刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下$$1$$个三角形，得到$$1$$个三角形和$$1$$个五边形；再在五边形上剪下$$1$$个三角形，得到$$2$$个三角形和$$1$$个六边形\ldots\ldots 如此下去，剪了$$58$$刀后，得到$$58$$个三角形和$$1$$个六十二边形．再取出$$33$$个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到$$33$$个三角形和$$33$$个四边形，对这$$33$$个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪$$58$$刀，便得到$$33$$个六十二边形和$$33\times 58$$个三角形．于是共剪了$$55+33+33\times 58=2005$$（刀）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
Source: 2006年竞赛第4题6分
Problem: 把一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷$$2$$次，若两个正面朝上的编号分别为$$m$$，$$n$$，则二次函数$$y={{x}^{2}}+mx+n$$的图象与$$x$$轴有两个不同交点的概率是  ．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{12}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{17}{36}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 掷骰子有$$6\times 6=36$$种情况．  根据题意有：$$4n-{{m}^{2}}\textless{}0$$，  因此满足的点有：$$n=1$$，$$m=3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=2$$，$$m=3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=3$$，$$m=4$$，$$5$$，$$6$$，  $$n=4$$，$$m=5$$，$$6$$，  $$n=5$$，$$m=5$$，$$6$$，  $$n=6$$，$$m=5$$，$$6$$，  共有$$17$$种，  故概率为：$$17\div 36=\frac{17}{36}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率
Source: 2019~2020学年12月浙江杭州上城区北京师范大学附属杭州中学初三上学期周测A卷第8题3分
2008年竞赛第2题6分
2016~2017学年9月浙江杭州拱墅区杭州锦绣·育才中学附属学校初三上学期月考第6题3分
初三上学期单元测试《概率初步》第23题
2015~2016学年浙江温州乐清市育英寄宿学校初二上学期期中实验a班第4题4分
2020~2021学年10月浙江杭州下城区杭州市景成实验学校中学部初三上学期月考第8题3分
Problem: 满足$${{1998}^{2}}+{{m}^{2}}={{1997}^{2}}+{{n}^{2}}(0\textless{}m\textless{}n\textless{}1998)$$的整数对（$$m$$，$$n$$），共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 整理得$$n^{2}-m^{2}=3995=5\times17\times47$$，$$(n-m)(n+m)=5\times17\times47$$，  ∵对$$3995$$的任意整数分拆均可得到$$(m,n)$$，$$0\textless m\textless n\textless1998$$，  ∴$$\begin{cases} n-m=5   n+m=17\times47    \end{cases}$$或$$\begin{cases} n-m=17    n+m=5\times47    \end{cases}$$或$$ \begin{cases} n-m=47    n+m=17\times5    \end{cases} $$或$$\left { \begin{array}{l} {m+n=5\times17\times47}  {m-n=1} \end{array}\right. $$，  ∴满足条件的整数对$$(m,n)$$共$$4$$个．  故答案为$$4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数
课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性
Source: 1998年第15届全国初中数学联赛竞赛第6题
Problem: 已知$$y=(m+3){{x}^{{{m}^{2}}-8}}$$是正比例函数，则$$m$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 3$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$y=(m+3){{x}^{{{m}^{2}}-8}}$$是正比例函数，  ∴$${{m}^{2}}-8=1$$且$$m+3\ne 0$$，  解得$$m=3$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->函数->一次函数->正比例函数->根据正比例函数定义求参数
Source: 2018~2019学年福建泉州南安市初二下学期期中第7题4分
2018~2019学年山东潍坊高密市初二下学期期末第1题3分
2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第7题3分
Problem: 以线段$$a=13$$，$$b=13$$，$$c=10$$，$$d=6$$为边作梯形，其中$$a$$，$$c$$为梯形的两底，这样的梯形（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 能作一个 
aoVal: B
content: 能作两个 
aoVal: C
content: 能作无数个 
aoVal: D
content: 一个也不能作 
Answer: D
Analysis: 由于梯形的两底之差$$a-c=3$$，以及梯形的两腰$$b=13$$，$$d=6$$不能构成三角形；故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->梯形->梯形的性质
Source: 初一下学期其它
2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 设$$p=\sqrt[3]{7a+1}+\sqrt[3]{7b+1}+\sqrt[3]{7c+1}+\sqrt[3]{7d+1}$$，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是正实数，并且$$a+b+c+d=1$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$p\textgreater5$$ 
aoVal: B
content: $$p\textless{}5$$ 
aoVal: C
content: $$p\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$p=5$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是正实数，且$$a+b+c+d=1$$，  ∴$$0\textless{}a\textless{}1$$，  ∴$$a\textgreater{{a}^{2}}\textgreater{{a}^{3}}$$，  ∴$$7a+1=a+3a+3a+1\textgreater{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+3a+1={{(a+1)}^{3}}$$，  ∴$$\sqrt[3]{7a+1}\textgreater\sqrt[3]{{{(a+1)}^{3}}}=a+1$$，  同理$$\sqrt[3]{7b+1}\textgreater b+1\sqrt[3]{7c+1}\textgreater c+1\sqrt[3]{7d+1}\textgreater d+1$$，  ∴$$p=\sqrt[3]{7a+1}+\sqrt[3]{7b+1}+\sqrt[3]{7c+1}+\sqrt[3]{7d+1}$$，  $$\textgreater a+1+b+1+c+1+d+1$$，  $$=a+b+c+d+4=5$$，  ∴$$p\textgreater5$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第6题
北京初二上学期单元测试《二次根式的运算》第22题
Problem: 若三角形三边的长均能使代数式$${{x}^{2}}-9x+18$$的值为$$0$$，则此三角形的周长是．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$或$$18$$ 
aoVal: B
content: $$12$$或$$15$$ 
aoVal: C
content: $$9$$或$$15$$或$$18$$ 
aoVal: D
content: $$9$$或$$12$$或$$15$$或$$18$$ 
Answer: C
Analysis: 由$${{x}^{2}}-9x+18=\left( x-3 \right)\left( x-6 \right)$$知，使代数式$${{x}^{2}}-9x+18$$的值为$$0$$的$$x$$的值是$$3$$或$$6$$，于是三角形三边的长有四种可能情况：  ①三边长分别是$$6$$，$$6$$，$$6$$，则三角形的周长为$$18$$；  ②三边长分别是$$6$$，$$6$$，$$3$$，则三角形的周长为$$15$$；  ③三边长分别是$$3$$，$$3$$，$$3$$，则三角形的周长为$$9$$；  ④三边长分别是$$6$$，$$3$$，$$3$$，则不能构成三角形．  综上知，三角形的周长是$$9$$，$$15$$或$$18$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: $$\alpha $$，$$\beta $$都是钝角，甲，乙，丙，丁计算$$\frac{1}{6}(\alpha +\beta )$$的结果依次为$$50{}^{}\circ $$，$$26{}^{}\circ $$，$$72{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$，其中确有正确的结果，那么算得结果正确者是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 丁 
Answer: A
Analysis: ∵$$90{}^{}\circ \textless{}\alpha \textless{}180{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ \textless{}\beta \textless{}180{}^{}\circ $$，∴$$180{}^{}\circ \textless{}\alpha +\beta \textless{}360{}^{}\circ $$，  ∴$$30{}^{}\circ \textless{}\frac{1}{6}(\alpha +\beta )\textless{}60{}^{}\circ $$，可见$$\frac{1}{6}(\alpha +\beta )$$应是$$50{}^{}\circ $$．  故甲计算正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->角的分类
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 1978年 Math League竞赛(8年级[.org])  Of the numbers $$2$$， $$3$$， $$4$$， and $$5$$， which is (are) the only one(s) which satisfy the inequality $$3x-1\textless{}11$$．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2$$，$$3$$和$$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: 没有选项 
Answer: D
Analysis: The inequality $$3x -1\textless{} 11$$ is satisfied by only $$2$$ \& $$3$$， Choice $$\text{A}$$ is incomplete， choice $$\text{B}$$ includes $$4$$， \& choice $$\text{C}$$ is incorrect．  在数$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$中，哪一个是（唯一）满足不等式$$3x-1\textless11$$的．  $$\text{A}$$．$$2$$ ~ ~ ~  $$\text{B}$$．$$2$$，$$3$$和$$4$$ ~ ~ ~  $$\text{C}$$．$$5$$ ~ ~ ~  $$\text{D}$$．没有选项  满足不等式$$3x-1\textless{}11$$只有$$2$$和$$3$$．选项$$\text{A}$$不完整，选项$$\text{B}$$包含$$4$$，选项$$\text{C}$$不正确．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Inequality
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的整数解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题
Source: 1978年Math League竞赛(8年级[.org])第15题
1978年竞赛第15题
Problem: 当$$x=6$$，$$y=8$$时，$${{x}^{6}}+{{y}^{6}}+2{{x}^{4}}{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}{{y}^{4}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1200000-254000$$ 
aoVal: B
content: $$1020000-250400$$ 
aoVal: C
content: $$1200000-250400$$ 
aoVal: D
content: $$1020000-254000$$ 
aoVal: E
content: 答案请写在答题纸上 
Answer: E
Analysis: 答案请写在答题纸上 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第3题
Problem: 某品牌的$$\text{VCD}$$机成本价是每台$$500$$元，$$3$$月份的销售价为每台$$625$$元．经市场预测，该商品销售价在$$4$$月份将降低$$20  \%$$．而后在$$5$$月份再提高$$8  \%$$．那么在$$5$$月份销售该品牌的$$\text{VCD}$$机可获利．
Options:
aoVal: A
content: $$25  \%$$ 
aoVal: B
content: $$20  \%$$ 
aoVal: C
content: $$8  \%$$ 
aoVal: D
content: $$12  \%$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可得，$$5$$月份销售该品牌的$$\text{VCD}$$机可获利  $$=\frac{625 \times(1-20  \%) \times(1+8  \%)-500}{500}$$  $$=\frac{625 \times 0.8 \times 1.08}{500}-1$$  $$=8  \%$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第6题