math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知直线$$x+y-k=0\left( k\textgreater0 \right)$$与圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$交于不同的两点$$A$$，$$B$$，$$O$$是坐标原点，且有$$\left\textbar{} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，那么$$k$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \sqrt{3},+\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \sqrt{2},+\infty \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ \sqrt{2},2\sqrt{2} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \sqrt{3},2\sqrt{2} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$AB$$中点为$$D$$，则$$OD\bot AB$$，  ∵$$\left\textbar{} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，  ∴$$\left\textbar{} 2\overrightarrow{OD}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，  ∴$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB}\left\textbar{} \leqslant 2\sqrt{3} \right\textbar\overrightarrow{OD} \right\textbar$$，  ∵$$\left\textbar{} \overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}+\frac{1}{4} \right\textbar\overrightarrow{AB}{{\textbar}^{2}}=4$$，  ∴$$\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\geqslant 1$$，  ∵直线$$x+y-k=0\left( k\textgreater0 \right)$$与圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$交于不同的两点$$A,B$$，  ∴$$\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\textless{}4$$  ∴$$4\textgreater\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\geqslant 1$$  ∴$$4\textgreater{{\left( \frac{\left\textbar{} -k \right\textbar}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}\geqslant 1$$  ∵$$k\textgreater0$$，  ∴$$\sqrt{2}\leqslant k\textless{}2\sqrt{2}$$.  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的切线的相关问题
课内体系->素养->数学运算
Source: 2018~2019学年10月四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二上学期周测C卷第9题5分
2017年河南洛阳高三二模文科第9题5分
2016年广东揭阳高三一模理科第12题5分
2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
2016年山东日照高三二模理科第9题5分
Problem: $${{\left( a+2b-3c \right)}^{4}}$$的展开式中$$ab{{c}^{2}}$$的系数为．
Options:
aoVal: A
content: $$208$$ 
aoVal: B
content: $$216$$ 
aoVal: C
content: $$217$$ 
aoVal: D
content: $$218$$ 
Answer: B
Analysis: 依题意，知$$ab{{c}^{2}}$$的系数为$$\text{C}_{4}^{2}{{(-3)}^{2}}\text{C}_{2}^{1}\times 2\times 1=216$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求二项式展开式的特定项
Source: 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: (★★)对任意的函数$$y=f\left( x \right)$$，在同一个直角坐标系中，函数$$y=f\left( x-1 \right)$$与函数$$y=f\left( -x+1 \right)$$的图象恒．
Options:
aoVal: A
content: 关于$$x$$轴对称； 
aoVal: B
content: 关于直线$$x=1$$对称 
aoVal: C
content: 关于直线$$x=-1$$对称 
aoVal: D
content: 关于$$y$$轴对称 
Answer: B
Analysis: $$f(x)$$和$$f(-x)$$的图象关于直线$$x=0$$对称，  $$f(x-1)$$与$$f(-x+1)$$的图象关于直线$$x=1$$对称．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->对称性->两个函数的互对称问题
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 以下四个数中，最大的为．
Options:
aoVal: A
content: $$\ln \sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{\text{e}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\ln \pi }{\pi }$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{10}\ln 10}{20}$$ 
Answer: B
Analysis: 考虑函数$$f\left( x \right)=\frac{\ln x}{x}$$．  则四个选项分别为$$f\left( 2 \right)$$、$$f\left( \text{e} \right)$$、$$f\left( \pi \right)$$、$$f\left( \sqrt{10} \right)$$，  又$${f}'\left( x \right)=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}$$，则$$f\left( x \right)$$在区间$$\left( 0,\text{e} \right)$$上单调递增，在区间$$\left( \text{e},+\infty \right)$$上单调递减．  从而，$$f\left( x \right)$$在区间$$\left( 0,+\infty \right)$$上的最大值为$$f\left( \text{e} \right)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知复数$z$满足$2\le \left\textbar{} z-\left( 1-\text{i} \right) \right\textbar\le 3$，则复数$z$在复平面内对应的点$Z$所在区域的面积为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$ 
aoVal: B
content: $3\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$ 
aoVal: C
content: $5\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$ 
aoVal: D
content: $6\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 令$z=a+b\text{i}$且$a,b\in \text{R}$，可得$1\le {{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}\le 4$，然后根据复数模的几何意义结合条件即得.\\ 【详解】\\ 令$z=a+b\text{i}$且$a,b\in \text{R}$，则$2\le \left\textbar{} (a-1)+(b+1)\text{i} \right\textbar\le 3$，\\ 所以$4\le {{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}\le 9$，\\ 所以复数$z$在复平面内对应的点$Z$所在区域是圆${{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}=4$和圆${{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}=9$围成的圆环，\\ 所以点$Z$所在区域的面积为$9\text{ } ! !\pi ! !\text{ }-4\text{ } ! !\pi ! !\text{ }=5\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$.\\ 故选：C. 
Source: 2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第2题
Problem: 设$$0\textless{}a\textless{}b$$，已知$$a$$，$$s$$，$$t$$，$$b$$依次成等差数列，$$a$$，$$u$$，$$v$$，$$b$$依次成等比数列，记$$x=st\left( s+t \right)$$，$$y=uv\left( u+v \right)$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$x=y$$ 
aoVal: C
content: $$x\textless{}y$$ 
aoVal: D
content: 既有$$x\textgreater y$$的情形，也有$$x\textless{}y$$的情形 
Answer: A
Analysis: 由题设有$$x=\frac{2a+b}{3}\cdot \frac{a+2b}{3}\left( a+b \right)$$，$$y=ab\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}} \right)$$，  由均值不等式，$$\frac{2a+b}{3}\geqslant \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}$$，$$\frac{a+2b}{3}\geqslant \sqrt[3]{a{{b}^{2}}}$$（等号都不成立），  由排序不等式，$$a+b=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}+\sqrt[3]{{{b}^{3}}}\geqslant \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}}$$（等号不成立），  所以，$$x\textgreater y$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->排序
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式）
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
Source: 2016年高考真题天津卷
2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 半径为$$6$$的球，则该球内接正三棱锥的体积的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$32\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$54\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$64\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$72\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 设棱锥的高与一条侧棱的夹角为$$\theta $$，侧棱长$$l=12\cos \theta $$，高$$h=12{{\cos }^{2}}\theta $$，底面正三角形的外接圆半径$$R=12\sin \theta \cos \theta $$，底面边长为$$a=12\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta $$，从而  $$V=432\sqrt{3}{{\cos }^{4}}\theta {{\sin }^{2}}\theta $$  $$=216\sqrt{3}\cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot 2{{\sin }^{2}}\theta $$  $$\leqslant 216\sqrt{3}\cdot {{\left( \frac{{{\cos }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta +2{{\sin }^{2}}\theta }{3} \right)}^{3}}$$  $$=64\sqrt{3}$$，  当$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{1}{2}$$时等号成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设函数$$f(x)=\ln x$$，$$g(x)=ax+\frac{b}{x}$$，它们的图象在$$x$$轴上的公共点处有公切线，则当$$x\textgreater1$$时，$$f(x)$$与$$g(x)$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$f(x)\textgreater g(x)$$ 
aoVal: B
content: $$f(x)\textless{}g(x)$$ 
aoVal: C
content: $$f(x)=g(x)$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: $$f(x)$$与$$g(x)$$的图象在$$x$$轴上有唯一公共点$$(1,0)$$，  所以$$g(1)=0$$，即$$a+b=0$$．  因为$${{f}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x}$$，$${{g}^{\prime }}(x)=a-\frac{b}{{{x}^{2}}}$$，  由题意$${{f}^{\prime }}(1)={{g}^{\prime }}(1)=1$$，即$$a-b=1$$．  所以$$a=\frac{1}{2}$$，$$b=-\frac{1}{2}$$．  令$$F(x)=f(x)-g(x)=\ln x-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{2x} \right)$$，  则$${{F}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2{{x}^{2}}}=-\frac{1}{2}{{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}^{2}}\leqslant 0$$．  所以$$F(x)$$在$$(1,+\infty )$$内单调递减． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\frac{x}{1-{{2}^{x}}}-\frac{x}{2}$$（~ ~ ）
Options:
aoVal: A
content: 是偶函数但不是奇函数 
aoVal: B
content: 是奇函数但不是偶函数 
aoVal: C
content: 既是奇函数又是偶函数 
aoVal: D
content: 既不是奇函数又不是偶函数 
Answer: A
Analysis: $$f\left( x \right)$$定义域为$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$$；$$f\left( x \right)-f\left( -x \right)=\frac{x}{1-{{2}^{x}}}-\frac{x}{2}-\frac{-x}{1-{{2}^{-x}}}+\frac{-x}{2}=\frac{x-x{{2}^{x}}}{1-{{2}^{x}}}-x=0$$．即$$f\left( x \right)$$是偶函数. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2002年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 在正方形$$ABCD$$中，$$M$$为边$$BC$$的中点．若$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$，则$$\lambda +2\mu =$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{15}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: D
Analysis: 注意到，  $$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)+\mu \left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)+\mu \left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\left( \lambda -\mu \right)\overrightarrow{AB}+\left( \dfrac{1}{2}\lambda +\mu \right)\overrightarrow{AD}$$．  又$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$，  则$$\begin{cases}\lambda -\mu =1   \dfrac{1}{2}\lambda +\mu =1    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\lambda =\dfrac{4}{3}    \mu =\dfrac{1}{3}    \end{cases}$$，  故$$\lambda +2\mu =2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 关于$$x$$的整系数一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$$中，若$$a+b$$是偶数，$$c$$是奇数，则．
Options:
aoVal: A
content: 方程没有整数根 
aoVal: B
content: 方程有两个相等的整数根 
aoVal: C
content: 方程有两个不相等的整数根 
aoVal: D
content: 不能判定方程整数根的情况 
Answer: A
Analysis: 若方程有整数根，则根据题意  $$a{{x}^{2}}+bx+c=\begin{cases}c(\text{mod}2)\left. 2 \right\textbar x    a+b+c(\text{mod}2)\left. 2 \right\textbar x   \end{cases}\equiv 1(\text{mod}2)$$  矛盾，因此题中方程没有整数根． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 高二下学期单元测试《整除与同余》自招
第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第6题4分
Problem: 设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7 \right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$49$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: $$S\subseteq A$$，且$$S\cap B\ne \varnothing $$，说明$$S$$是$$A$$的子集，且$$S$$与$$B$$有公共元素；  ∴$$A$$的构成情况为：①含一个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$中选一个元素，个数为$$\text{C}_{3}^{1}=3$$；  ②含两个元素:从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个元素，或从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，从$$4$$，$$56$$选一个，个数为：$$\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{1}=12$$；③含三个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{2}=19$$；  ④含四个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{3}=15$$；  ⑤含五个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{3}=6$$含"6"个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{3}=1$$；  ∴集合$$S$$的个数为：$$2+12+19+15+6+1=56$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学高二下学期周测C卷理科第6题6分
2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$均为单位向量，其夹角为$$\theta $$，则命题$$P:\textbar\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\textbar\textgreater1$$是命题$$Q:\theta \in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{5 \pi }{6} \right)$$的（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 充分非必要条件 
aoVal: B
content: 必要非充分条件 
aoVal: C
content: 充分且必要条件 
aoVal: D
content: 非充分且非必要条件 
Answer: B
Analysis: 若$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right\textbar\textgreater1$$，则$${{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}=2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textgreater1$$，即$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textless{}\frac{1}{2}$$，  则$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar\cdot \left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textless{}\frac{1}{2}$$，∴$$\theta \in \left( \frac{ \pi }{3}, \pi ~\right]$$，即$$P:\theta \in \left( \frac{ \pi }{3}, \pi ~\right]$$，  ∵$$Q:\theta \in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{5 \pi }{6} \right)$$，∴$$P$$是$$Q$$的必要不充分条件，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与向量结合
Source: 2020~2021学年浙江杭州萧山区杭州第二中学钱江学校高一下学期期中第5题5分
2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
2016年上海闸北区高三二模理科第11题5分
Problem: $$2014-AMC10A-15$$  David drives from his home to the airport to catch a flight. He drives $$35$$ miles in the first hour, but realizes that he will be $$1$$ hour late if he continues at this speed. He increases his speed by $$15$$ miles per hour for the rest of the way to the airport and arrives $$30$$ minutes early. How many miles is the airport from his home?  大卫从他家开车去机场赶飞机。 他在第一个小时内行驶了 35 英里，但他意识到如果他继续保持这个速度，他将迟到 1小时。 在前往机场的剩余路程中，他将速度提高了每小时 15英里，并提前了 30分钟。 机场离他家多少英里？
Options:
aoVal: A
content: $$140$$ 
aoVal: B
content: $$175$$ 
aoVal: C
content: $$210$$ 
aoVal: D
content: $$245$$ 
aoVal: E
content: $$280$$ 
Answer: C
Analysis: Note that he drives at $$50$$ miles per hour after the first hour and continues doing so until he arrives. Let $$d$$ be the distance still needed to travel after the frst $$1$$ hour.~ We have that $$\dfrac{d}{50}+1.5= \dfrac{d}{35}$$, ~where the $$1.5$$ comes from $$1$$ hour late decreased to $$0.5$$ hours early. Simplifying gives $$7d+525=10 d$$, or $$d=175$$. Now, we must add an extra $$35$$ miles traveled in the frst hour, giving a total or $$(\rm C) 210$$ miles.  Instead of spending time thinking about how one can set up an equation to solve the problem, one can simply start checking the answer choices. Quickly checking, we know that neither choice $$(\rm A)$$ or choice $$(\rm B)$$ work, but $$(\rm C)$$ does. We can verify as follows. After l hour at $$35 \rm mph$$, David has $$175$$ miles left. This then takes him $$3.5$$ hours at $$50 \rm mph$$. But $$210/35=6$$ hours. Since $$1+3.5=4.5$$ hours is $$1.5$$ hours less than $$6$$ our anwer is $$(\rm C)210$$.  Let us call the total number of miles after David changes speed $$x$$. We realize that if David is driving $$50$$ miles an hour, and he arrives $$30$$ minutes early, $$x≡25 (\rm mod 50)$$ The only solution that fits the descripion is $$210$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2014年AMC12竞赛A第11题
2014年AMC10竞赛A第15题
Problem: 在空间直角坐标系中，$$\triangle ABC$$的三个顶点坐标分别为$$A\left( 3,4,1 \right)$$，$$B\left( 0,4,5 \right)$$，$$C\left( 5,2,0 \right)$$，则$$\tan \frac{A}{2}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: $$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}=\frac{\left( -3,0,4 \right)\cdot \left( 2,-2,-1 \right)}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=-\frac{2}{3}$$，  又$$\cos A=\frac{1-{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}$$，解得$$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{5}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2017年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有$$3$$名选手各比赛了$$2$$场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了$$50$$场．那么，在上述$$3$$名选手之间比赛的场数是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 解法一：  设这三名选手之间的比赛场数是$$r$$，共$$n$$名选手参赛．  由题意，可得$$\text{C}_{n-3}^{2}+6-r=50$$，  即$$\frac{\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)}{2}=44+r$$．  由于$$0\leqslant r\leqslant 3$$，  经检验可知，仅当$$r=1$$时，$$n=13$$为正整数．  解法二：  $$3$$名选手之间比赛的可能场数为$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$，设总人数为$$N$$人．  那么除这$$3$$人外的$$N-3$$人中比赛场数为$$C_{N-3}^{2}=\frac{(N-3)(N-4)}{2}$$．  ①当这$$3$$人之间比赛$$0$$场时，他们每人与另外$$N-3$$人（以下称为``局外人''）要比赛两场，这些比赛没有重合，共计$$6$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+6=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  ②当这$$3$$人之间比赛$$1$$场时，他们有两人与``局内人''分别比赛一场，另一人两场都是和局内人比赛的，所以共计$$5$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+5=50$$，$$N=13$$，是整数解，满足条件．  ③当这$$3$$人之间比赛$$2$$场时，他们有$$1$$人与另两人分别比赛一场，另两人都有一场与局内人的比赛，所以共计$$4$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+4=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 设$$\frac{3}{2}\leqslant x\leqslant 5$$，则下式$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}$$最大不超过．
Options:
aoVal: A
content: $${}2\sqrt{17}$$ 
aoVal: B
content: $${}2\sqrt{19}$$ 
aoVal: C
content: $${}2\sqrt{21}$$ 
aoVal: D
content: $${}2\sqrt{23}$$ 
Answer: B
Analysis: 由$${{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+2\left( ab+bc+cd+da+ac+bd \right)$$可得  $$a+b+c+d\leqslant 2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}$$当且仅当$$a=b=c=d$$时取等号，  由柯西不等式  $${{\left( 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x} \right)}^{2}}=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x} \right)$$  $$\leqslant 4\left( x+1+x+1+2x-3+15-3x \right)$$  $$=4(x+14)\leqslant 4\times 19$$  ∵$$\sqrt{x+1}$$，$$\sqrt{2x-3}$$，$$\sqrt{15-3x}$$不能同时相等，  ∴$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\textless{}2\sqrt{19}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期单元测试第5题
2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第13题20分
Problem: 在直角坐标平面$$xOy$$中，点$$A\left( 5,0 \right)$$．对于某个正实数$$k$$，存在函数$$f(x)=a{{x}^{2}}$$，$$a\textgreater0$$，使得$$\angle QOA=2\angle POA$$，这里$$P(1,f(1))$$、$$Q(k,f(k))$$，则$$k$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$(2,+\infty )$$ 
aoVal: B
content: $$(3,+\infty )$$ 
aoVal: C
content: $$[4,+\infty )$$ 
aoVal: D
content: $$[8,+\infty )$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$$0\textless{}\angle QOA$$，$$\angle POA\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，  因此$$\angle QOA=2\angle POA$$的充要条件是$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA$$．  由$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA=\frac{2\tan \angle POA}{1-{{\tan }^{2}}\angle POA}$$，  结合$$\tan \angle POA=a$$，$$\tan \angle QOA=ak$$，  得$$ak=\frac{2a}{1-{{a}^{2}}}$$，即$$a=\sqrt{1-\frac{2}{k}}$$，因此$$k\textgreater2$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->倾斜角和斜率的概念->斜率计算
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正切函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正切
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 函数$$f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$的最小正周期是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$ \pi $$ 
aoVal: D
content: $$2 \pi $$ 
Answer: B
Analysis: $$f\left( x \right)={{\cos }^{2}}2x+\sqrt{3}\sin 2x\cos 2x$$  $$=\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x$$  $$=\sin \left( 4x+\frac{ \pi }{6} \right)+\frac{1}{2}$$，  所以最小正周期$$T=\frac{2 \pi }{4}=\frac{ \pi }{2}$$，故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知原点在椭圆$${{k}^{2}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4kx+2ky+{{k}^{2}}-1=0$$的内部，那么参数$$k$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\textbar k\textbar\textgreater1$$； 
aoVal: B
content: $$\textbar k\textbar\ne 1$$； 
aoVal: C
content: $$-1\textless{}k\textless{}1$$； 
aoVal: D
content: $$0\textbar k\textbar1$$ 
Answer: D
Analysis: 椭圆外部的点可以离原点很远，它的坐标$$x\mathsf{}y$$的绝对值可以很大，使得方程左边大于$$0$$，所以内部点的坐标使方程左边小于$$0$$，用原点的坐标代入方程左边得  $${{K}^{2}}-1\textless{}0$$  又$$k\ne 0$$，（否则方程不表示椭圆），所以答$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 1988年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: $$[x]$$ 表示不超过$$x$$的最大整数$$.$$ 例如, $$[3]=3$$, $$\left[\frac 92\right]=4$$. 求$$[\sqrt 1]+[\sqrt 2]+[\sqrt 3]+\cdots +[\sqrt {16}]$$的值.
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$38$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$42$$ 
aoVal: E
content: $$136$$ 
Answer: B
Analysis: The first three values in the sum are equal to $$1$$, the next five equal to $$2$$, the next seven equal to $$3$$, and the last one equal to $$4$$, For example, since $$2^{2}=4$$ any square root of a number less than $$4$$ must be less than $$2$$. Sum them all together to get $$3\times 1+5\times 2+7\times 3+1\times 4=3+10+21+4=38$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->取整函数（高斯函数）
Source: 2003年AMC10竞赛B第7题
Problem: 已知$$P$$为三角形$$ABC$$内部任一点（不包括边界），且满足$$(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC})=0$$,则$$\triangle ABC$$一定为．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形 
aoVal: B
content: 等边三角形 
aoVal: C
content: 等腰三角形 
aoVal: D
content: 等腰直角三角形 
Answer: C
Analysis: 因为$$\begin{cases}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AB}    \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA} \end{cases}$$，  所以已知条件可改写为$$\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=0$$．  容易得到此三角形为等腰三角形．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知\emph{x}，\emph{y}，\emph{z}是非负实数，且$x+y+z=2$，则$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+xyz$的最大值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: 2 
aoVal: C
content: $\frac{5}{4}$ 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用基本不等式可求最大值.\\ 【详解】\\ $2x^{2}y^{2}\leq xy\left(x^{2}+y^{2}\right)$，$2y^{2}z^{2}\leq yz\left(y^{2}+z^{2}\right)$，$2z^{2}x^{2}\leq zx\left(z^{2}+x^{2}\right)$，\\ 所以$2x^{2}y^{2}+2y^{2}z^{2}+2z^{2}x^{2}+2xyz\leq xy\left(x^{2}+y^{2}\right)+yz\left(y^{2}+z^{2}\right)+zx\left(z^{2}+x^{2}\right)+2xyz$，\\ $\leq xy\left(x^{2}+y^{2}\right)+yz\left(y^{2}+z^{2}\right)+zx\left(z^{2}+x^{2}\right)+\left(x+y+z\right)xyz$\\ $=\left(xy+yz+zx\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$\\ $=\frac{1}{2}\left(2xy+2yz+2zx\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$\\ $\leq \frac{1}{2}\frac{\left[\left(2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right]^{2}}{2}=2$，\\ 因此所求代数式的最大值为1．\\ 故选：A. 
Source: 竞赛第9题
Problem: 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 因四面体每个面都不是等腰三角形，故至少有三条棱的长度互不相等．  另一方面，每两条对棱都相等的四面体可以是仅长度互不相等且每个面都不是等腰三角形的四面体．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: $$2003-AMC10B-8$$  Moe uses a mower to cut his rectangular $$90$$-foot by $$150$$-foot lawn. The swath he cuts is $$28$$ inches wide, but he overlaps each cut by $$4$$ inches to make sure that no grass is missed. he walks at the rate of $$5000$$ feet per hour while pushing the mower. Which of the following is closest to the number of hours it will take Moe to mow his lawn?  Moe 使用割草机修剪 90 英尺 x 150 英尺的长方形草坪。 他切割的条带宽度为 28 英寸，但他将每个切割条重叠 4 英寸以确保不会遗漏任何草。 他一边推着割草机，一边以每小时 5000 英尺的速度行走。 以下哪一项最接近 Moe 修剪草坪所需的小时数？
Options:
aoVal: A
content: $$0.75$$ 
aoVal: B
content: $$0.8$$ 
aoVal: C
content: $$1.35$$ 
aoVal: D
content: $$1.5$$ 
aoVal: E
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: Since the swath Moe actually mows is $$24$$ inches, or $$2$$ feet wide, he mows $$10000$$ square feet in one hour. His lawn has an area of $$13500$$, so it will take Moe $$1.35$$ hours to finish mowing the lawn. Thus the answer is $$\boxed{(\text{C})1.35}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型
美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Quadrilateral
Source: 2003年AMC12竞赛B第4题
2003年AMC10竞赛B