math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在复平面上，复数$${{z}_{1}}$$对应的点在连结$$1$$和$$\text{i}$$两点的线段上运动，复数$${{z}_{2}}$$对应的点在以原点为圆心．半径等于$$1$$的圆上运动．则复数$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应的点所在区域的面积为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$4+ \pi $$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{2}+\pi $$ 
aoVal: C
content: $$\pi $$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3\pi }{2}+1$$ 
Answer: B
Analysis: 由已知可得$${{z}_{1}}=t+(1-t)i(0\leqslant t\leqslant 1)$$．$${{z}_{2}}=\cos \theta +i\sin \theta $$，得  $${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=t+\cos \theta +(1-t+\sin \theta )i$$．  设$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=x+yi$$，则$$\begin{cases}x=t+\cos \theta    y=1-t+\sin \theta \end{cases}$$．消去$$\theta $$，得  $${{(x-t)}^{2}}+{{[y-(1-t)]}^{2}}=1$$．  即$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应的点以$$(t,1-t)$$为圆心，半径等于$$1$$的圆上，而因为 （$$0\leqslant t\leqslant 1$$）．故$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应点所在区域为图中阴影部分．其面积为  $$2\cdot \frac{\pi }{2}+2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}+\pi $$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
Problem: 关于$$x$$的方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=-1$$只有一个实数解，则．
Options:
aoVal: A
content: $$a=-1$$ 
aoVal: B
content: $$a=1$$ 
aoVal: C
content: $$a=2$$ 
aoVal: D
content: $$a$$的值不唯一 
Answer: C
Analysis: 函数$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)+1$$的图象关于直线$$x=1$$对称，  又方程只有一个实数解，  ∴$$f\left( 1 \right)=0$$，得$$a=2$$，  当$$a=1$$时，$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-2\cos \left( 1-x \right)+1\geqslant 1-2+1=0$$，  当且仅当$$x=1$$时取等号，  即方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=-1$$只有一个实数解，符合题设．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
竞赛->知识点->函数->函数方程
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 设等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足：$$\frac{{{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\cos }^{2}}{{a}_{3}}+{{\cos }^{2}}{{a}_{3}}{{\cos }^{2}}{{a}_{6}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{3}}{{\sin }^{2}}{{a}_{6}}}{\sin ({{a}_{4}}+{{a}_{5}})}=1$$，公差$$d\in (-1,0)$$，若当且仅当$$n=9$$时数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项和$${{S}_{n}}$$取得最大值，则首项$${{a}_{1}}$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(\frac{7 \pi }{6},\frac{4 \pi }{3})$$ 
aoVal: B
content: $$(\frac{4 \pi }{3},\frac{3 \pi }{2})$$ 
aoVal: C
content: $$[\frac{7 \pi }{6},\frac{4 \pi }{3}]$$ 
aoVal: D
content: $$[\frac{4 \pi }{3},\frac{3 \pi }{2}]$$ 
Answer: B
Analysis: $${{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\cos }^{2}}{{a}_{3}}+{{\cos }^{2}}{{a}_{3}}{{\cos }^{2}}{{a}_{6}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{3}}{{\sin }^{2}}{{a}_{6}}={{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{6}}$$，  而$${{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{6}}=\frac{1-\cos 2{{a}_{3}}}{2}-\frac{1-\cos 2{{a}_{6}}}{2}=\sin \left( {{a}_{6}}+{{a}_{3}} \right)\sin \left( {{a}_{3}}-{{a}_{6}} \right)$$，  所以$$\sin \left( {{a}_{3}}-{{a}_{6}} \right)=1$$，$${{a}_{3}}-{{a}_{6}}=-3d=2k \pi +\frac{ \pi }{2}$$，所以$$d=-\frac{2}{3}k \pi -\frac{ \pi }{6}$$，$$k\in \mathbf{Z}$$．  由$$-1\textless{}d\textless{}0$$，可得$$-\frac{1}{4}\textless{}k\textless{}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2 \pi }$$，所以$$k=0$$，$$d=-\frac{ \pi }{6}$$．  由$${{a}_{9}}\textgreater0$$，$${{a}_{10}}\textless{}0$$，可得$$\begin{cases}{{a}_{1}}+8d\textgreater0    {{a}_{1}}+9d\textless{}0 \end{cases}$$，解得$$\frac{4}{3} \pi \textless{}{{a}_{1}}\textless{}\frac{3}{2} \pi $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的概念
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 设$$x$$是某个三角形的最小内角，则$$y=\frac{\cos x}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}$$的值域是．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\sqrt{2},\sqrt{2}]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -\sqrt{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 1,\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$(0,\sqrt{2}]$$ 
Answer: C
Analysis: $$0\textless{}x\leqslant \frac{ \pi }{3}$$，$$y=\frac{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=\sqrt{2}\sin \left( \frac{x}{2}+\frac{ \pi }{4} \right)$$，即可得$$y$$的值域． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第7题4分
Problem: 已知二次函数$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2$$，则方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$不同实数根的数目为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$f\left( f\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}}-3\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)+2={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-3x$$，  所以有$$x\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=0,{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=3,{{x}_{34}}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$，  因此原方程有$$4$$个不同实根．故选$$\text{D}$$．  注 也可以讨论$$f\left( x \right)=0$$根的分布情况． 因为当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递减，当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递增，且$$f\left( x \right)=0$$的两个根为$$1,2$$，所以当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left[ -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$有两个不同实根；当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left( -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$也有两个不同实根．综上所述，原方程有$$4$$个不同实根． 
Knowledge points: 课内体系->方法->图象法
课内体系->方法->换元法
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->零点、交点、根的等价转化
课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->二次函数模型
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 设$${{A}_{1}},  {{A}_{2}},\cdots ,  {{A}_{n}}$$为集合$$S=\left { 1,  2,\cdots ,  n \right }$$的$$n$$个不同子集$$\left( n\geqslant 4 \right)$$，为了表示这些子集，作$$n$$行$$n$$列的数阵，规定第$$i$$行与第$$j$$列的数为$${{a}_{ij}}=\begin{cases}0,  i\notin {{A}_{j}}, ,1,  i\in {{A}_{j}},\end{cases}$$则下列说法错误的是
Options:
aoVal: A
content: 数阵中第一列的数全是$$0$$当且仅当$${{A}_{1}}=\varnothing $$ 
aoVal: B
content: 数阵中第$$n$$列的数全是$$1$$当且仅当$${{A}_{n}}=S$$ 
aoVal: C
content: 数阵中第$$j$$行的数字和表明集合$${{A}_{j}}$$含有几个元素 
aoVal: D
content: 数阵中所有的$${{n}^{2}}$$个数字之和不超过$${{n}^{2}}-n+1$$ 
Answer: C
Analysis: 当$${{A}_{1}},  {{A}_{2}},\cdots ,  {{A}_{n}}$$中一个为$$S$$本身，其余$$n-1$$个子集为$$S$$的互不相同的$$n-1$$元子集时，数阵中所有的$${{n}^{2}}$$个数字之和最大，为$${{n}^{2}}-n+1$$，因此，$$D$$是正确的．数阵中第$$j$$行的数字和表明元素$$j$$属于几个子集，因此，$$C$$是错误的． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 若两个正实数$$x$$，$$y$$满足$$2x+y=1$$且存在这样的$$x$$，$$y$$使不等式$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\textless{} {{m}^{2}}+2m$$有解，则实数$$m$$的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$ {m\textbar m\textless{} -4$$或$$m\textgreater2 }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { m\left\textbar{} -2 \right.\textless{} m\textless{} 4 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$ {m\textbar m\textless{} -2$$或$$m\textgreater4 }$$ 
aoVal: D
content: $$\left { m\left\textbar{} -4 \right.\textless{} m\textless{} 2 \right }$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意，$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\left(\frac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\right)(2x+y)$$  $$=4+\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x}\geqslant 4+2\sqrt{\dfrac{4x}{y}\times \dfrac{y}{x}}=8$$，  当且仅当$$\dfrac{4x}{y}=\dfrac{y}{x}$$，即$$y=\dfrac{1}{2},x=\dfrac{1}{4}$$时等号成立．  故若存在这样的$$x$$，$$y$$使不等式$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\textless{} {{m}^{2}}+2m$$有解．  即$${{m}^{2}}+2m\textgreater8\Leftrightarrow (m-2)(m+4)\textgreater0\Leftrightarrow m\textgreater2$$或$$m\textless{} -4$$．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第8题
2022~2023学年10月广东佛山禅城区佛山市第一中学高一上学期月考第7题5分
Problem: 设直线$$l$$：$$x+y=-2$$，抛物线$$C$$：$${{y}^{2}}=2x$$，当点$$P\in l$$，点$$Q\in C$$时，线段$$PQ$$的最小长度等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5\sqrt{2}}{8}$$ 
Answer: C
Analysis: 不难算出与$$x+y=-2$$平行且与$${{y}^{2}}=2x$$相切的直线方程为$$x+y=-\frac{1}{2}$$，$$PQ$$的最短距离就是$$x+y=-2$$与$$x+y=-\frac{1}{2}$$之间的距离，易算得为$$\frac{\left\textbar{} -\frac{1}{2}-(-2) \right\textbar}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第8题4分
Problem: 平面直角坐标系中，$$\overrightarrow{e}$$是单位向量，向量$$\overrightarrow{a}$$满足$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e}=2$$且$$\textbar\overrightarrow{a}{{\textbar}^{2}}\leqslant 5\textbar\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{e}\textbar$$对任意实数$$t$$成立，则$$\textbar\overrightarrow{a}\textbar$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$[1,4]$$ 
aoVal: B
content: $$[5,8]$$ 
aoVal: C
content: $$[5,20]$$ 
aoVal: D
content: $$[\sqrt{5},2\sqrt{5}]$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$\overrightarrow{e}=\left( 1,0 \right)$$，$$\overrightarrow{a}=\left( 2,x \right)$$，则  $$\forall t\in \mathbf{R}$$，$$4+{{x}^{2}}\leqslant 5\sqrt{{{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}$$，  即$$4+{{x}^{2}}\leqslant 5\textbar x\textbar\Leftrightarrow 1\textless{}\textbar x\textbar\textless{}4$$，  于是$$\textbar\overrightarrow{a}\textbar=\sqrt{4+{{x}^{2}}}$$的取值范围是$$\left[ \sqrt{5},2\sqrt{5} \right]$$．  故答案为：$$\left[ \sqrt{5},2\sqrt{5} \right]$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示
竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第3题
Problem: 已知等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }:{{a}_{1}}=5$$，$${{a}_{4}}=625$$，则$$\sum\limits_{k=1}^{2014}{\frac{1}{{{\log }_{5}}{{a}_{k}}{{\log }_{5}}{{a}_{k+1}}}=}$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2014}{2015}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2013}{2014}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2012}{4028}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2013}{4030}$$ 
Answer: A
Analysis: 设等比数列的公比为$$q$$，则  $$625=5{{q}^{3}}\Rightarrow q=5\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{2014}{\frac{1}{{{\log }_{5}}{{a}_{k}}{{\log }_{5}}{{a}_{k+1}}}=\sum\limits_{k=1}^{2014}{\frac{1}{k\left( k+1 \right)}}=\frac{2014}{2015}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$，并且对任意正整数$$n$$成立$${{S}_{n+2}}=4{{S}_{n}}+3$$，则$${{a}_{2}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: 2 
aoVal: B
content: 6 
aoVal: C
content: $$2$$或6 
aoVal: D
content: $$2$$或$$-6$$ 
Answer: C
Analysis: 设公比为$$q$$．由于$$q{{S}_{n}}=q\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}} \right)={{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\ldots +{{a}_{n+1}}$$，所以$${{S}_{n+1}}=q{{S}_{n}}+{{a}_{1}}$$．进而$${{S}_{n+2}}=q\left( q{{S}_{n}}+{{a}_{1}} \right)+{{a}_{1}}={{q}^{2}}{{S}_{n}}+{{a}_{1}}\left( q+1 \right)$$．与已知条件比较可知$${{q}^{2}}=4$$，$${{a}_{1}}\left( q+1 \right)=3$$．所以$$q=2$$，$${{a}_{1}}=1$$，或$$q=-2$$，$${{a}_{1}}=-3$$．相应地，$${{a}_{2}}=2$$或$$6$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 若非空集合$$A=\left { x\textbar2a+1\leqslant x\leqslant 3a-5 \right }$$，$$B=\left { x\textbar3\leqslant x\leqslant 22 \right }$$，则能使$$A\subseteq A\cap B$$成立的所有$$a$$的集合是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left { a\textbar{} 1\leqslant a\leqslant 9 \right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { a\textbar{} 6\leqslant a\leqslant 9 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { a\textbar a\leqslant 9 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\varnothing $$ 
Answer: B
Analysis: $$A\subseteq B$$，$$A\ne \varnothing $$．$$\Rightarrow $$$$3\leqslant 2a+1\leqslant 3a-5\leqslant 22$$，$$\Rightarrow $$$$6\leqslant a\leqslant 9$$．  故选$$B$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 1998年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$\angle A$$、$$\angle B$$、$$C$$为$$\triangle ABC$$的三个内角，命题$$P:\angle A=\angle B$$；命题$$Q:\sin \angle A=\sin \angle B$$，则$$\neg P$$是$$\neg Q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分非必要条件 
aoVal: B
content: 必要非充分条件 
aoVal: C
content: 充分必要条件 
aoVal: D
content: 既非充分又非必要条件 
Answer: C
Analysis: 在$$\triangle ABC$$中$$\angle A\ne \angle B\Leftrightarrow \sin \angle A\ne \sin \angle B$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 2017 AMC10A P13  Define a sequence recursively by $$F_0 =0$$, $$F_1=1$$, and $$F_n=$$the remainder when $$F_{n-1}+ F_{n-2}$$ is divided by $$3$$, for all $$n≥ 2$$. Thus the sequence starts $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$\cdots$$ What is $$F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$$?  用$F_0=0$$，$$F1=1$$，以及Fn=F_{n-1}+ F_{n-2}$除以$3$$时的余数来递归地定义一个数列(n≥2)。$$F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$$?=?
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
aoVal: E
content: $$10$$ 
Answer: D
Analysis: A patten starts to emerge as the function is continued. The repeating patten is $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$2$$, $$1$$ $$\ldots$$. The problem asks for the sum of eight consecutive terms in the sequence.  Because there are eight numbers in the repeating sequence, we just need to find the sum of the numbers in the sequence, which is $$(\rm D) 9$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion
Source: 2017年AMC10竞赛A第13题
Problem: 将$$10$$个相同的小球装入$$3$$个编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$的盒子（每次要把$$10$$个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意，  先在编号为$$2$$、$$3$$的三个盒子中分别放入$$1$$、$$2$$个小球，编号为$$1$$的盒子里不放，  再将剩下的$$7$$个小球放入$$3$$个盒子里，每个盒子里至少一个，  分析可得，$$7$$个小球排好，有$$6$$个空位，在$$6$$个空位中任选$$2$$个，  插入挡板，共$$\text{C}_{6}^{2}=15$$种装法，  即可得符合题目要求的装法共有$$15$$种，  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->隔板法
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
2016~2017学年6月陕西西安莲湖区西安市第一中学高二下学期月考理科第9题3分
Problem: 已知四面体$$ABCD$$内接于球$$O$$，且$$AD$$是球$$O$$的直径．若$$\triangle ABC$$和$$\triangle BCD$$都是边长为$$1$$的等边三角形，则四面体$$ABCD$$的体积是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{2}}{12}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{12}$$ 
Answer: B
Analysis: 解：四面体以等腰直角$$\triangle ABD$$为底，高为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，故体积为$$\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量
Source: 2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 设变量$$x,y$$满足约束条件$$\begin{cases}2x-y+2\geqslant 0    8x-y-4\leqslant 0    x\geqslant 0,y\geqslant 0 \end{cases}$$，目标函数$$z=abx+y(a\textgreater0,b\textgreater0)$$的最大值是$$8$$，则$$a+b$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: $$ab+4=8$$，$$ab=4$$，所以$$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}=4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->线性规划
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知$$\theta \in [\frac{5 \pi }{4},\frac{3 \pi }{2}]$$，则$$\sqrt{1-\sin 2\theta }-\sqrt{1+\sin 2\theta }$$可化简为．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sin \theta $$ 
aoVal: B
content: $$-2\sin \theta $$ 
aoVal: C
content: $$-2\cos \theta $$ 
aoVal: D
content: $$2\cos \theta $$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\theta \in [\frac{5 \pi }{4},\frac{3 \pi }{2}]$$，所以$$\sqrt{1-\sin 2\theta }-\sqrt{1+\sin 2\theta }$$  $$=\left\textbar{} \cos \theta -\sin \theta \right\textbar-\left\textbar{} \cos \theta +\sin \theta \right\textbar=2\cos \theta $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知函数$$f(x)=\frac{{{({{2}^{x}}+1)}^{2}}}{{{2}^{x}}x}+1$$在区间$$[-2018,0)\cup (0,2018]$$上的最大值为$$M$$，最小值为$$N$$．则$$M+N=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: B
Analysis: 因为 $$y=\frac{{{({{2}^{x}}+1)}^{2}}}{{{2}^{x}}\cdot x}=\left( {{2}^{x}}+\frac{1}{{{2}^{x}}}+2 \right)\cdot \frac{1}{x}$$ 为$$[-\infty ,0)\cup (0,+\infty ]$$上的奇函  数，故 $$f(x)=\frac{{{({{2}^{x}}+1)}^{2}}}{{{2}^{x}}\cdot x}+1$$ 的图象关于点$$(0,1)$$对称，所以$$M+N=2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a\textgreater0,  b\textgreater0 \right)$$的右焦点为$$F$$，过点$$F$$作与$$x$$轴垂直的直线$$l$$交两条渐近线于$$A,  B$$两点，$$P$$是$$l$$与双曲线的一个交点．设$$O$$为坐标原点，若有实数$$m,  n$$使得$$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$$，且$$mn=\frac{2}{9}$$，则该双曲线的离心率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 将$$A\left( c,\frac{bc}{a} \right),  B\left( c,  -\frac{bc}{a} \right)$$代入$$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$$，  得$$P\left( \left( m+n \right)c,\left( m-n \right)\frac{bc}{a} \right)$$，代入双曲线方程，得  $$\frac{{{\left( m+n \right)}^{2}}{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\left( m-n \right)}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=1$$，  化简得$$4mn{{c}^{2}}={{a}^{2}}$$，  $$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{4mn}}=\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 设函数$$y=f\left( x \right)$$对一切实数$$x$$都满足$$f\left( 3+x \right)=f\left( 3-x \right)$$，且方程$$f\left( x \right)=0$$恰有$$6$$个不同的实根，则这$$6$$个实根的和为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: 若$$3+\alpha $$是$$f(x)=0$$的一个根，则由已知  $$f\left( 3-\alpha \right)=f\left( 3+\alpha \right)=0$$  即$$3-\alpha $$也是一个根．因此可设方程$$f\left( x \right)=0$$的六个根为  $$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{1}}$$，$$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{2}}$$，$$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{3}}$$．  于是它们的行等于$$18$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1991年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 当平面上的点$$\left( x,y \right)$$的坐标$$x,y$$都为有理数时，该点称为有理点，设$$r$$是给定的正实数，则圆$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}$$上的有理点．
Options:
aoVal: A
content: 最多有一个 
aoVal: B
content: 最多有两个 
aoVal: C
content: 最多有四个 
aoVal: D
content: 可以有无穷多个 
Answer: B
Analysis: 设$$\left( a,b \right),\left( c,d \right)$$为这个圆上的两个有理点，则  $${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d-\sqrt{2} \right)}^{2}}$$，  整理得$$2\sqrt{2}\left( b-d \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}}+2\left( c-a \right)$$.  显然等式右边是有理数，因此当且仅当$$b=d$$时，等式的左边是有理数，此时$$a\ne c,a+c=2$$.由此得这两个有理点关于直线$$x=1$$对称，而圆上与$$\left( a,b \right)$$关于$$x=1$$对称的点最多只有一个. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
Source: 2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 若全集为$$X$$，$$A$$是$$X$$的一个真子集，定义$$A$$的特征函数：$${{f}_{A}}(x)=\begin{cases}1，x\in A;    0，x\in {{C}_{X}}A.   \end{cases}$$  则对$$X$$的两个真子集$$A，B$$，下列命题中不准确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$A\subseteq B\Leftrightarrow {{f}_{A}}(x)\leqslant {{f}_{B}}(x)，x\in X$$ 
aoVal: B
content: $${{f}_{{{C}_{X}}A}}(x)=1-{{f}_{A}}(x)，x\in X$$ 
aoVal: C
content: $${{f}_{A\cap B}}(x)={{f}_{A}}(x){{f}_{B}}(x)，x\in X$$ 
aoVal: D
content: $${{f}_{A\cup B}}(x)={{f}_{A}}(x)+{{f}_{B}}(x)，x\in X$$ 
Answer: D
Analysis: 若$$x\in A\cap B$$，则$${{f}_{A\cup B}}(x)={{f}_{A}}(x)={{f}_{B}}(x)=1$$，故$\text{D}$不正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 高一上学期单元测试《二次与对勾函数》竞赛第7题
Problem: 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为``同族函数''，那么函数解析式为$$y=-{{x}^{2}}$$，值域为$$\left { 0,  -1,  -9 \right }$$的``同族函数''共有
Options:
aoVal: A
content: $$7$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$9$$个 
aoVal: D
content: $$10$$个 
Answer: C
Analysis: $$1\times 3\times 3=9$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 若等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足$$3{{a}_{8}}=5{{a}_{13}}$$，且$${{a}_{1}}\textgreater0$$，则前$$n$$项之和$${{S}_{n}}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $${{S}_{10}}$$ 
aoVal: B
content: $${{S}_{11}}$$ 
aoVal: C
content: $${{S}_{20}}$$ 
aoVal: D
content: $${{S}_{21}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$3{{a}_{8}}=5{{a}_{13}}$$可得$${{a}_{20}}\textgreater0$$，$${{a}_{21}} ~\textless{} ~0$$，∴$${{S}_{20}}$$最大． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->求等差数列前n项和的最值  
知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和
知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念通项公式
知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 2014AMC12A, 21  For every real number $$x$$, let $$\left\lfloor {x} \right\rfloor$$ denote the greatest integer not exceeding $$x$$, and let $$f(x)= \left\lfloor {x} \right\rfloor(2014^{x-\left\lfloor {x} \right\rfloor}- 1)$$. The set of all numbers $$x$$ such that $$1\leqslant x\textless{} 2014$$ and $$f(x)\leqslant1$$ is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?  对于任意实数$$x$$，令$$\left\lfloor {x} \right\rfloor$$ 表示不超过$$x$$ 的最大整数，令$$f(x)= \left\lfloor {x} \right\rfloor(2014^{x-\left\lfloor {x} \right\rfloor}- 1)$$. 满足 $$1\leqslant x\textless{} 2014$$ 和 $$f(x)\leqslant1$$ 的所有 $$x$$ 的集合是一些不相交区间的并集。 这些区间的长度之和是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \log 2015}{ \log 2014}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \log 2014}{ \log 2013}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2014}{2013}$$ 
aoVal: E
content: $$2014^{\frac{1}{2014}}$$ 
Answer: A
Analysis: 记$\left { x\right }=x-\left\lfloor x\right\rfloor\textgreater0$.  则$f(x)\leq 1\Leftrightarrow 2014^{\left {x\right }}-1\leq \frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor}$  $\Leftrightarrow \left {x\right }\leq\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}$  于是单个满足$f(x)\leq 1$的区间长度为$\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}$  区间总长度$=\sum_{x=1}^{2013}\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}=\log_{2014}{\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times\frac{2014}{2013}}=\log_{2014}{2014}=1$, 选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Gaussian Function
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
Source: 2014年AMC12竞赛A第21题
Problem: 数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和$${{S}_{n}}={{n}^{2}}-2n$$，则$${{a}_{3}}+{{a}_{17}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$35$$ 
aoVal: C
content: $$34$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: C
Analysis: $${{a}_{n}}=\begin{cases}{{S}_{1}},n=1    {{S}_{n}}-{{S}_{n-1}},n\geqslant 2 \end{cases}$$当$$n\textgreater1$$时，$${{a}_{n}}={{S}_{\text{n}}}-{{S}_{\text{n-1}}}=2\text{n}-3$$，因此$${{a}_{3}}+{{a}_{17}}=34$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 若复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z \right\textbar{} ~\textless{} ~1$$且$$\left\textbar{} \overline{z}+\frac{1}{z} \right\textbar=\frac{5}{2}$$，则$$\left\textbar{} z \right\textbar=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 注意到，  $$\left\textbar{} \overline{z}+\frac{1}{z} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\overline{z}z+1}{z} \right\textbar=\frac{{{\left\textbar{} z \right\textbar}^{2}}+1}{\left\textbar{} z \right\textbar}=\frac{5}{2}$$，  解得$$\left\textbar{} z \right\textbar=2$$ （舍去）或$$\left\textbar{} z \right\textbar=\frac{1}{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$\omega \textgreater0$，函数$f\left( x \right)=\text{sin}\left( \omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}} \right)$在$\left( \frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{2}},\text{ }\pi\text{ } \right)$上单调递减，则$\omega $的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left[ \frac{2}{3},\frac{4}{3} \right]$ 
aoVal: B
content: $\left[ \frac{2}{3},\frac{3}{4} \right]$ 
aoVal: C
content: $\left( 0,\frac{2}{3} \right]$ 
aoVal: D
content: $\left( 0,\frac{3}{2} \right]$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 由题意可得$t=\omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\in (\frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}},\text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}})$，再根据$y=\sin t$的单调区间，列出不等式组求解即可.\\ 【详解】\\ 解：因为$\omega \textgreater0$，$x\in \left( \frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{2}}\text{, }\pi\text{ } \right)$，\\ 所以$t=\omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\in (\frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}},\text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}})$，\\ 又因为$y=\sin t$在$(\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ },\frac{3\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }),k\in \text{Z}$上单调递减，\\ 所以$\text{ } {\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} \frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\ge \frac{\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }    \text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\le \frac{3\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }    \end{array}\text{ }$，$k\in \text{Z}$,\\ 解得：$\frac{2}{3}+2k\text{ }\pi\text{ }\le \omega \le \frac{4}{3}+2k\text{ }\pi\text{ },k\in \text{Z}$.\\ 当$k=0$时，$\frac{2}{3}\le \omega \le \frac{4}{3}$.\\ 故选：A 
Source: 2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第8题