math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 动物园的饲养员把一堆桃子分给若干只猴子，如果每只猴子分$$6$$个，剩$$57$$个桃子；如果每只猴子分$$9$$个，就有$$5$$只猴子一个也分不到，还有一只猴子只分到$$3$$个。那么，共有(  )个桃子。 
Options:
aoVal: A
content: $$216$$ 
aoVal: B
content: $$324$$ 
aoVal: C
content: $$273$$ 
aoVal: D
content: $$301$$ 
Answer: C
Analysis: 每只猴子多分了$$3$$个，分$$5\times 9+\left( 9-3 \right)+57=108$$（个），那么共$$108\div 3=36$$（只）猴子，共$$36\times 6+57=273$$（个）桃子。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题
Source: 2014年迎春杯四年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 桌子上并排放着三张扑克牌，A右边的两张中至少有一张K，而K的左边两张中至少有一张K，黑桃左边的两张至少有一张红桃，而红桃右边的两张中也至少有一张红桃，中间的那张牌是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 红桃A 
aoVal: B
content: 红桃K 
aoVal: C
content: 黑桃A 
aoVal: D
content: 黑桃K 
Answer: B
Analysis: 从左至右，顺次有三张牌，编号为①②③由第一、二个条件得①为A，②为K，③为K.因为，黑桃左边有两张可得③为黑桃，即可得出③为黑桃K，且①、②中至少有一张是红桃.因为红桃右边有两张，可得①为红桃，即得出①为红桃A，且②、③中至少有一张红桃.因为，③为黑桃K，所以②为红桃.因此得出②为红桃K，即中间的一张为红桃K.故选B 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2006年四年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第4题
Problem: 食品店上午卖出每千克为$$20$$元、$$25$$元、$$30$$元的$$3$$种糖果共$$100$$千克，共收入$$2570$$元．已知其中售出每千克$$25$$元和每千克$$30$$元的糖果共收入了$$1970$$元，那么，每千克$$25$$元的糖果售出了多少千克？ 
Options:
aoVal: A
content: $$23$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: D
Analysis: 每千克$$25$$元和每千克$$30$$元的糖果共收入了$$1970$$元，则每千克$$20$$元的收入：$$2570-1970=600$$元，  所以卖出：$$600\div 20=30$$千克，  所以卖出每千克$$25$$元和每千克$$30$$克的糖果共$$100-30=70$$千克，  相当于将题目转换成：  卖出每千克$$25$$元和每千克$$30$$克的糖果共$$70$$千克，收入$$1970$$元，问：每千克$$25$$元的糖果售出了多少千克？  转换成了最基本的鸡兔同笼问题．  假设全是每千克$$25$$元的，$$\left( 1970-25\times 70 \right)\div \left( 30-25\right)=44$$（千克），  所以$$30$$元的是$$44$$千克，所以$$25$$元的有：$$70-44=26$$（千克）．  关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型，即：抓住转化后的``头''与``脚''． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->变型题
Source: 2011年四年级其它
2016年第3届广东深圳鹏程杯六年级竞赛集训材料第十五章综合训练题（五）第4题
Problem: 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。 赵说：``甲是$$2$$号，乙是$$3$$号。'' 钱说：``丙是$$4$$号，乙是$$2$$号。'' 孙说：``丁是$$2$$号，丙是$$3$$号。'' 李说：``丁是$$4$$号，甲是$$1$$号。'' 又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 无论赵的哪半句对了，钱的后半句一定错了，那前半句一定对了，丙是$$4$$号。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 1993年四年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第7题
Problem: 在$$\frac{5}{7}$$，$$ \frac{2}{13}$$， $$\frac{3}{4}$$，$$\frac{10}{17}$$ 几个分数中，按从大到小排列，排在第二位的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{13}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{10}{17}$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{5}{7}=0.714285714285\cdots \cdots $$，$$\frac{2}{13}=0.153846153846\cdots \cdots $$，  $$\frac{3}{4}=0.75$$，$$\frac{10}{17}=0.588235294\cdots \cdots $$，  $$0.75\textgreater0.714285714285\cdots \cdots \textgreater0.588235294\cdots \cdots \textgreater$$  $$0.153846153846\cdots \cdots $$，所以$$\frac{3}{4}\textgreater\frac{5}{7}\textgreater\frac{10}{17}\textgreater\frac{2}{13}$$，  则从大到小排列排在第二位的是$$\frac{5}{7}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->分数化小数法
Source: 2020年广东广州羊排赛六年级竞赛第7题3分
Problem: 把一个自然数$$n$$的数位上的偶数数字相加所得的和记为$$E(n)$$，例如：$$E\left( 1999 \right)=0$$，$$E\left( 2000 \right)=2$$，$$E\left( 2021 \right)=2+2=4$$．则$$E\left( 1 \right)+E\left( 2 \right)+E\left( 3 \right)+\cdots +E\left( 100 \right)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$400$$ 
aoVal: D
content: $$2020$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: $$2$$，$$4$$，$$6$$，$$8$$这$$4$$个数字，每个在个位出现$$10$$次，在十位出现$$10$$次，  所以$$E(1)+E(2)+···+E(100)=(2+4+6+8)\times (10+10)=400$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: $$180$$的因数中最大的完全平方数比最小的完全平方数大多少? 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$27$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$35$$ 
Answer: D
Analysis: 最大完全平方数是$$36$$，最小完全平方数是$$1$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数与倍数基础
Source: 2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第34题
Problem: 对角巷的魔药店进了一批曼德拉草，按$$100 \%$$的利润率来定价，结果只售出$$30 \%$$的曼德拉草．为尽早售出剩下的曼德拉草，魔药店决定打六折销售，结果剩余的曼德拉草销售一空．这批曼德拉草的利润率是~\uline{~~~~~~~~~~}~$$ \%$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$44$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$28$$ 
aoVal: D
content: $$40$$ 
aoVal: E
content: $$36$$ 
Answer: A
Analysis: 假设这一批产品每件成本为$$1$$元，一共有$$100$$件，总成本为$$1\times 100=100$$（元），  原价：$$1\times (1+100 \%)=2$$（元），  打折后：$$2\times 0.6=1.2$$（元），  原价售出$$30 \%$$：$$2\times 100\times 30 \%=60$$（元），  打折后全部售出：$$1.2\times 100\times(1-30 \%)=84$$（元），  总售价：$$60+84=144$$（元），  利润率：$$\frac{144-100}{100}=44 \%$$．  答：实际利润率为$$44 \%$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2021年新希望杯六年级竞赛初赛第19题5分
Problem: 小红比她爸爸少$$26$$岁，已知三年后她爸爸的年龄是她的三倍，则今年爸爸和小红的岁数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$43$$ 
aoVal: B
content: $$46$$ 
aoVal: C
content: $$49$$ 
aoVal: D
content: $$52$$ 
Answer: B
Analysis: 设小红今年$$x$$岁．则能列出方程：$$3(x+3)=x+26+3$$，  解出$$x=10$$，即小红今年$$10$$岁，父亲今年$$36$$岁，所以年龄和为$$46$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型
Source: 2013年第25届广东广州五羊杯六年级竞赛第5题5分
Problem: 房间里有$$3$$种小动物：小白鼠、小花猫、小黄狗．房间里如果猫的数量不超过狗，狗就会欺负猫；如果鼠的数量不超过猫，猫就会欺负鼠；如果猫、狗数量之和不超过鼠，鼠就会偷吃东西．现在小白鼠、小花猫、小黄狗三种小动物在房间里相安无事，但是再进来任意一只，都会打破平衡．那么，原来房间里有多少只小动物？ 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
aoVal: E
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 不超过表示等于或小于均可．现在相安无事，说明猫比狗多，鼠比猫多，猫与狗之和比鼠多，从再进来任意$$1$$只，都会打破平衡可知，猫比狗多$$1$$只，鼠比猫多$$1$$只，猫与狗之和比鼠多$$1$$只，经尝试知有$$4$$只鼠，$$3$$只猫，$$2$$只狗．  再进$$1$$只猫，会打破平衡，所以鼠比猫多$$1$$只；  再进$$1$$只狗，会打破平衡，所以猫比狗多$$1$$只；  再进$$1$$只鼠，会打破平衡，所以猫与狗的和比鼠多$$1$$只；  比较第一个条件和第三个条件可知，猫有$$3$$只，进而求得鼠有$$4$$只，狗有$$2$$只．  共有$$4+3+2=9$$（只）小动物． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理
Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理
Source: 2012年全国学而思杯三年级竞赛第15题
Problem: 某次小明坐缆车上山，从他坐上车开始，一路上他一直在数对面交错而过的缆车数量，一共是$$60$$辆，则在这一整条索道上（双向）共有辆缆车？ 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$辆 
aoVal: B
content: $$60$$辆 
aoVal: C
content: $$61$$辆 
aoVal: D
content: $$120$$辆 
Answer: C
Analysis: 缆车是循环的，它遇到的第一辆就是紧随其后的，那么他遇到的最后一辆就是它前面的，所以除了它自己这辆，还有$$60$$辆，一共是$$60+1=61$$辆． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->实践应用
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚$$4$$岁；当父亲$$79$$岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$54$$ 
aoVal: B
content: $$64$$ 
aoVal: C
content: $$52$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
Answer: A
Analysis: $$\left( 79-4 \right)\div 3=75\div 3=25$$（岁），  $$79-25=54$$（岁），  答：父亲现在的年龄是$$54$$岁．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年春蕾杯六年级竞赛第2题2分
2020年春蕾杯六年级竞赛第7题2分
Problem: 你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？  （$$1$$）密码是一个八位数；  （$$2$$）密码既是$$3$$的倍数又是$$25$$的倍数；  （$$3$$）这个密码在$$20000000$$到$$30000000$$之间；  （$$4$$）百万位与十万位上的数字相同；  （$$5$$）百位数字比万位数字小$$2$$；  （$$6$$）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是$$25$$。  依据上面的条件，推理出这个密码应该是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$25526250$$ 
aoVal: B
content: $$26650350$$ 
aoVal: C
content: $$27775250$$ 
aoVal: D
content: $$28870350$$ 
Answer: B
Analysis: 解：（$$1$$）四个选项都是$$8$$位数；  （$$2$$）四选项都是$$25$$的倍数，C的数字和是$$35$$不是$$3$$的倍数，排除C；  （$$3$$）都满足条件；  （$$4$$）都满足条件；  （$$5$$）A百位数字和万位数字相等，D百位数字比万位数字少$$4$$，不满足条件；  （$$6$$）B满足条件。  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数问题带余除法
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯四年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯四年级竞赛初赛
Problem: 甲、乙两根同样长的绳子，甲绳先剪去$$\frac{1}{3}$$，再剪去$$\frac{1}{3}$$米；乙绳先剪去$$\frac{1}{3}$$米，再剪去剩下部分的$$\frac{1}{3}$$．两根绳子剩下部分的长度相比较是． 
Options:
aoVal: A
content: 甲绳剩下的部分长 
aoVal: B
content: 乙绳剩下的部分长 
aoVal: C
content: 甲绳与乙绳剩下的部分同样长 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 选$$\text{B}$$  假设甲、乙原来长度都是$$a$$米，  甲剩下($$\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}$$)米；  乙剩下$$\frac{2}{3}（a-\frac{1}{3})$$=$$\frac{2}{3}a-\frac{2}{9}$$米  所以乙剩下的部分长. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1
Source: 2004年六年级竞赛创新杯
2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第5题
2021年广东广州番禺区执信中学附属小学小升初（分班考）第17题1分
Problem: 一列火车通过一座长$$320$$米的桥用了$$105$$秒，当它通过$$860$$米的隧道时，速度是过桥速度的$$2$$倍，结果用了$$120$$秒，火车通过大桥时的速度是每秒（~ ）米；火车的车身长度为（~ ）米． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$；$$100$$ 
aoVal: B
content: $$4$$；$$100$$ 
aoVal: C
content: $$8$$；$$100$$ 
aoVal: D
content: $$8$$；$$200$$ 
Answer: B
Analysis: 若通过$$860$$米隧道时速度不变则需要$$120\times 2=240$$（秒），火车过桥速度：$$\left( 860-320 \right)\div \left( 240-105 \right)=4$$（米/秒）：火车车身长：$$105\times 4-320=100$$（米）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）
Problem: 甲、乙、丙、丁四个人今年的年龄之和是$$72$$岁，几年前（至少一年）甲是$$22$$岁时，乙是$$16$$岁，又知道，当甲是$$19$$岁的时候，丙的年龄是丁的$$3$$倍（此时丁至少$$1$$岁）。如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（  ）种情况。 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: 已知四个人今年的年龄之和是$$72$$岁，几年前（至少一年）甲是$$22$$岁时，乙是$$16$$岁；当甲是$$19$$岁时，则乙$$13$$岁，丙的年龄是丁的$$3$$倍（此时丁至少$$1$$岁），因为此时是至少$$4$$年前，所以$$4$$个人的年龄和不超过$$72-4\times 4=56$$（岁）。  设此时丁的年龄是$$x$$岁，丙的年龄是$$3x$$岁，则$$19+13+x+3x\leqslant 56$$，解得$$x\leqslant 6$$，又知道$$x\geqslant 1$$，所以丁的年龄有$$6$$种情况。  如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有$$6$$种情况。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之和倍型
Source: 2014年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 小红从一本书的第$$54$$页阅读到第$$67$$页，小明从第$$95$$页阅读到第$$135$$页，小莉从第$$180$$页阅读到第$$273$$页，他们总共阅读了多少页？ 
Options:
aoVal: A
content: $$147$$ 
aoVal: B
content: $$148$$ 
aoVal: C
content: $$149$$ 
aoVal: D
content: $$150$$ 
Answer: C
Analysis: 解：阿里读的页数是$$67-54+1=14$$，  同理苏明读的页数是$$135-95+1=41$$，  梅莉阅读的页数是$$273-180+1=94$$，  他们共读$$14+41+94=149$$页． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2016年第3届广东深圳鹏程杯六年级竞赛集训材料第十九章综合训练题（九）第2题
Problem: 一个四口之家，由爸爸、妈妈、大儿子和小儿子组成，他们的年龄之和是$$68$$岁，爸爸比妈妈大$$2$$岁．$$3$$年前，这个家庭的成员的年龄之和是$$57$$岁；$$5$$年前，这个家庭的成员的年龄之和是$$52$$岁．请问这个家庭每个成员现在的年龄各是多少岁？  There are four members in a family, dad, mom, elder brother, and little brother. Their sum of the ages this year is $68$, and dad is $2$ years older than mom. $3$ years ago from now, their sum of the ages was $57$; $5$ years ago from now, their sum of ages was $52$. How old is dad this year? 
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$32$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
aoVal: E
content: $$25$$ 
Answer: B
Analysis: $$3$$年前，四人年龄之和是$$68-3\times 4=56$$（岁），但实际上是$$57$$岁，这说明$$3$$ 年前小儿子还没有出生，是$$2$$年前出生的，所以小儿子今年是$$2$$岁．则其余$$3$$人年龄之和是$$66$$岁．$$5$$年前，$$3$$人的年龄和应该是$$66-5\times 3=51$$（岁），但实际上是$$52$$岁，这说明$$5$$年前大儿子还没有出生，是$$4$$年前出生的，所以大儿子今年是$$4$$岁．则爸爸妈妈的年龄和是$$62$$岁，而爸爸比妈妈大两岁，所以爸爸今年$$32$$岁，妈妈今年$$30$$岁．     $3$ years ago from now, their sum of ages should be $$68-3\times 4=56$$ but actually it was $57$, which means the little brother was not born $3$ years ago. He was born $2$ years ago. Thus, the little brother this year is $2$ years old and the sum of the other three members this year is $68-2=66$ years old.     $5$ years ago from now, the sum of the three members ages should be $66-5\times 3=51$ but actually it was $52$, whcih means the elder brother was not born $5$ years ago. He was born $4$ years ago. Thus, the elder brother is $4$ years old this year.     Thus, the sum of ages of mom and dad this year is $66-4=62$. Dad is $2$ years older than mom, which means dad is $32$ years old and mom is $30$ years old. 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Overseas Competition->知识点->应用题模块->年龄问题
Source: 2010年第11届上海中环杯小学中年级三年级竞赛第11题12分
Problem: 加工一批零件，甲、乙两人的工效比为$$5:4$$，两人同时加工$$2$$小时以后，甲的机器发生了故障停工修理一小时，（乙按原工效继续工作），然后甲以原工效的$$60 \%$$与乙合作完了剩下的零件．因此比原计划推迟$$1\frac{4}{7}$$小时完成全部任务，求实际用（~ ）小时完成全部任务． 
Options:
aoVal: A
content: $$4\frac{4}{7}$$小时 
aoVal: B
content: $$6\frac{4}{7}$$小时 
aoVal: C
content: $$7\frac{4}{7}$$小时 
aoVal: D
content: $$8\frac{4}{7}$$小时 
Answer: C
Analysis: 略 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（三）第5题
Problem: $$8$$千克的香蕉是$$12$$美元．$$12$$千克的香蕉是多少钱？ 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: $$8$$千克的香蕉是$$12$$美元．$$12$$千克的香蕉是多少钱？  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde12\div 8\times 12$$  $$=12\times 12\div 8$$  $$=144\div 8$$  $$=18$$（美元）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->先归一再归总
Source: 2019年美国数学大联盟杯竞赛
Problem: 有一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚$$0.1$$毫米的足够大的纸对半撕开，重叠起来，然后再对半撕开重叠起来，假设他如此重复这一过程$$14$$次，并且纸没有倒塌，这叠纸的高度会（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 像山一样高 
aoVal: B
content: 像平房(一层楼)一样高 
aoVal: C
content: 像成人一样高 
aoVal: D
content: 不足$$1$$米 
Answer: C
Analysis: 叠纸高$$0.1\times {{2}^{14}}=1638.4$$（毫米）．像成人一样高． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->乘方->乘方的认识
Source: 2017年第17届湖北武汉世奥赛五年级竞赛决赛第8题
Problem: 在$$9$$和$$5$$之间添上个$$0$$，读作九百万零五． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 最后读作：九百万零五，所以$$9$$在百万位，$$5$$在个位．故中间需要添$$5$$个$$0$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第8题3分
Problem: 从1000到2007的自然数中有奇数个因数的整数有(  )个. 
Options:
aoVal: A
content: 10 
aoVal: B
content: 11 
aoVal: C
content: 12 
aoVal: D
content: 13 
Answer: D
Analysis: 若为$$n\textgreater1$$的整数，则$$n=p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdots p_{r}^{{{\alpha }_{r}}}$$为质因数分解式，其中$${{p}_{1}} \textless{} {{p}_{2}} \textless{} \cdots \textless{} {{p}_{r}}$$为质数，所以$$n$$的因数个数为$$d\left( n \right)=\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right)\cdots \left( {{\alpha }_{r}}+1 \right)$$，因此$$d\left( n \right)$$为奇数时，$${{\alpha }_{1}}\text{，}\alpha {}_{2}\text{，}\cdots \text{，}{{\alpha }_{r}}\text{，}$$均为偶数，$$n$$为完全平方数，反过来也成立. $$1000$$到$$2007$$中完全平方数有$$13$$个，即$${{32}^{2}}=1024\text{，}{{33}^{2}}\text{，}{{34}^{2}}\text{，}\cdots \text{，}{{44}^{2}}=1936\left( {{45}^{2}}=2025\textgreater2007 \right)$$，从而$$1000$$到$$2007$$中有奇数个因数的整数有$$13$$个. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->偶指奇因->奇因
Source: 2007年五年级竞赛创新杯
Problem: 约翰的钱比吉尔多$$20$$美元，他们两个总共有$$40$$美元．请问约翰有多少美元？ 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$40$$ 
Answer: B
Analysis: $$(40+20)\div 2=30$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和明差
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛第40题
Problem: 在小镇大学里，学生们的专业是音乐、美术，或两者．如果有$$500$$个学生是音乐专业，$$600$$个学生是美术专业，$$300$$个学生是音乐和美术专业，那么大学里有多少个学生？ 
Options:
aoVal: A
content: $$500$$ 
aoVal: B
content: $$800$$ 
aoVal: C
content: $$1000$$ 
aoVal: D
content: $$1400$$ 
Answer: B
Analysis: $$500+600-300=800$$个． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->逆向思想
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 不超过$$100$$的所有质数的乘积，减去不超过$$100$$的所有个位数字为$$3$$和$$7$$的质数的乘积，所得差的个位数字为． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: E
Analysis: 不超过$$100$$的所有质数包含$$2$$、$$5$$，  所以乘积个位一定为$$0$$．  不超过$$100$$的所有个位数字为$$3$$或$$7$$的质数：  $$3$$、$$7$$、$$13$$、$$17$$、$$23$$、$$37$$、$$43$$、  $$47$$、$$53$$、$$67$$、$$73$$、$$83$$、$$97$$，$$3\times7$$的个位为$$1$$，  那么不超过$$100$$的所有个位数字为$$3$$或$$7$$的质数的乘积个位是$$3$$，  差的个位是$$7$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年全国华杯赛小学高年级竞赛决赛
Problem: 任选$$3$$个不同的数字，按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数（如$$1$$，$$2$$，$$0$$，就用$$210-12=198$$），用所得结果的三位数重复上述过程，最后陷入的``数字黑洞''是． 
Options:
aoVal: A
content: $$123$$ 
aoVal: B
content: $$495$$ 
aoVal: C
content: $$594$$ 
aoVal: D
content: $$954$$ 
Answer: B
Analysis: $$123$$、$$198$$、$$792$$、$$693$$、$$594$$、$$495$$、$$495$$、$$495$$，可以发现选项的$$4$$个数字都会陷入$$495$$的数字黑洞，所以数字黑洞是$$495$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年第17届湖北武汉世奥赛五年级竞赛决赛第7题
Problem: $$\underbrace{3\times 3\times \cdots \times 3}_{2006个3}$$减去$$\underbrace{7\times 7\times \cdots \times 7}_{100个7}$$，得数的个位数字是． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${{3}^{n}}$$的个位数字是$$3$$，$$9$$，$$7$$，$$1$$四个一循环，$$2006\div 4=501$$（组）$$\cdots \cdots 2$$（个），  所以$${{3}^{2006}}$$个位数字和$${{3}^{2}}$$的个位数字是相同的，即为$$9$$；  因为$${{7}^{n}}$$的个位数字是$$7$$，$$9$$，$$3$$，$$1$$四个一循环，$$100\div 4=25$$，  所以$${{7}^{100}}$$个位数字和$${{7}^{4}}$$的个位数字是相同的，即为$$1$$；  所以$$\underbrace{3\times 3\times \cdots \times 3}_{2006个3}$$减去$$\underbrace{7\times 7\times \cdots \times 7}_{100个7}$$，得数的个位数字是$$8$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第4题
Problem: 今年，小军$$5$$岁，爸爸$$31$$岁，再过（  ）年，爸爸的年龄是小军的$$3$$倍。 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 解：父子年龄差是：$$31-5=26$$（岁），  爸爸的年龄是小军的$$3$$倍时，  小军的年龄是：$$26\div \left( 3-1 \right)$$  $$=26\div 2$$  $$=13$$（岁），  $$13-5=8$$（年），  则再过$$8$$年，爸爸的年龄是小军的$$3$$倍。  故答案为：$$8$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->整数差倍
Source: 2017年希望杯四年级竞赛初赛
Problem: 一个数除以一个两位小数，如果把除数去掉小数点，把被除数缩小$$10$$倍，那么商的变化情况是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 扩大$$10$$倍 
aoVal: B
content: 缩小$$10$$倍 
aoVal: C
content: 扩大$$1000$$倍 
aoVal: D
content: 缩小$$1000$$倍 
Answer: D
Analysis: 把除数为两位小数的小数点去掉，那么除数扩大了$$100$$倍，商就会缩小$$100$$倍.又把被除数缩小$$10$$倍，那么商又缩小了$$10$$倍，一共缩小了$$1000$$倍，选D. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数加减->小数加减巧算之位值原理
Source: 2004年五年级竞赛创新杯
2004年第2届创新杯五年级竞赛初赛第1题
Problem: 星期天，小军帮助妈妈做一些家务。各项家务花的时间为：叠被子$$3$$分钟，洗碗$$8$$分钟，用洗衣机洗衣服$$30$$分钟，晾衣服$$5$$分钟，拖地板$$10$$分钟，削土豆皮$$12$$分钟。  想一想：以上事件中哪些是必须要按顺序完成的？ 
Options:
aoVal: A
content: 叠被子$$-$$洗碗 
aoVal: B
content: 用洗衣机洗衣服$$-$$晾衣服 
aoVal: C
content: 拖地板$$-$$削土豆皮 
aoVal: D
content: 洗碗$$-$$晾衣服 
Answer: B
Analysis: 解： 先用洗衣机洗衣服，然后晾衣服。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->统筹规划->简单时间统筹问题->时间总和问题
Source: 2013年中环杯三年级竞赛决赛
Problem: 百货商店运来$$300$$双球鞋，分别装在$$2$$个木箱、$$9$$个纸箱里，且每个木箱所装的球鞋数量都相同、每个纸箱所装的球鞋数量也都相同．若$$3$$个纸箱所装的球鞋数量与$$1$$个木箱所装的球鞋数量一样，请问每个木箱装多少双球鞋． 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
aoVal: E
content: $$100$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$3$$个纸箱所装的球鞋数量与$$1$$个木箱所装的球鞋数量一样．所以$$9$$个纸箱所装的球鞋数量与$$9\div 3=3$$个木箱所装的球鞋数量一样．因此$$300$$双球鞋相当于装在$$2+3=5$$个木箱中．故每个木箱装$$300\div5=60$$双球鞋．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->双归一问题
Source: 2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第7题3分
Problem: 小明沿着马路的一侧以匀速跑步，马路上相邻两根电线杆之间的距离相等，他从第$$1$$根电线杆开始跑到第$$5$$根电线杆用了$$2$$分钟，他继续以此速度向前跑，当他跑到第$$n$$根电线杆时就理科折返原出发处．若小明全程共用了$$12$$分钟，请问$$n$$之值为何？ 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
aoVal: E
content: $$13$$ 
Answer: E
Analysis: 因为小明以$$2$$分钟从第$$1$$根电线杆开始跑到第$$5$$根电线杆共跑了$$4$$个间隔，所以$$4$$分钟可以跑到第$$9$$根电线杆，$$6$$分钟可以跑到第$$13$$根电线杆．  故$$n=13$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第5题3分
Problem: $$1986$$的数字和是$$1+9+8+6=24$$，小于$$2020$$的四位数中数字和等于$$24$$的数共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 小于$$2000$$的四位数千位数字是$$1$$，要它数字和为$$24$$，只需其余三位数字和是$$23$$，因为十位、个位数字和最多为$$9+9=18$$，因此，百位数字至少是$$5$$，于是：  百位为$$5$$时，只有$$1599$$一个；  百位为$$6$$时，只有$$1689$$、$$1698$$两个；  百位为$$7$$时，只有$$1779$$、$$1788$$、$$1797$$三个；  百位为$$8$$时，只有$$1869$$、$$1878$$、$$1887$$、$$1896$$四个；  百位为$$9$$时，只有$$1959$$、$$1968$$、$$1977$$、$$1986$$、$$1995$$五个；  总计共$$1+2+3+4+5=15$$ （个）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第6题3分
2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第6题3分
2020年第24届YMO四年级竞赛决赛第6题3分
2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第6题3分
2019年第24届YMO四年级竞赛决赛第6题3分
Problem: 一个$$12$$个数的等差数串，相邻两数的差是$$2$$，且前$$8$$个数的和等于后$$4$$个数的和，那么，这个数串的第二个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意得$$({{a}_{1}}+{{a}_{8}})\times 8\div 2=({{a}_{9}}+{{a}_{12}})\times4\div 2$$，因为$${{a}_{8}}={{a}_{1}}+14$$，$${{a}_{9}}={{a}_{1}}+16$$，$${{a}_{12}}={{a}_{1}}+22$$，  所以$$({{a}_{1}}+{{a}_{1}}+14)\times 8\div2=({{a}_{1}}+16+{{a}_{1}}+22)\times 4\div 2$$，解得$${{a}_{1}}=5$$，因此$${{a}_{2}}=5+2=7$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->抽象概括
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛复赛第4题
Problem: 已知$$x=1+12+123+1234+\cdots +123456789$$，$$x$$的后三位数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$105$$ 
aoVal: B
content: $$205$$ 
aoVal: C
content: $$305$$ 
aoVal: D
content: $$405$$ 
Answer: B
Analysis: 只用计算末三位数字和为$$1+12+123+234+345+456+567+678+789=3205$$，故答案为$$205$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加法运算->加法横式
Source: 2011年第7届全国新希望杯小学高年级五年级竞赛A卷第6题
Problem: 礼品店出售三种不同价格的礼品，售价分别是$$30$$元、$$60$$元、$$90$$元；另外还有三种不同款式的礼盒，售价分别是$$20$$元、$$50$$元、$$80$$元．小英想要购买一份礼品与一个礼盒，请问她支付的款项共有多少种不同的可能金额？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 依次枚举，$$30+20=50$$（元），$$30+50=80$$（元），$$30+80=110$$（元），$$60+80=140$$（元），$$90+80=170$$（元），共$$5$$种． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2013年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第3题4分
Problem: 某次知识竞赛共$$5$$道题，全部$$52$$人，答对一道得$$1$$分，已知全部共得$$181$$分，每人至少得$$1$$分，且得$$1$$分的有$$7$$人，得$$2$$分的和得$$3$$分的人一样多，得$$5$$分的人有$$6$$人，则得$$4$$分的有（~ ~ ~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$31$$ 
aoVal: D
content: $$35$$ 
Answer: C
Analysis: 错误的题共有$$260-181=79$$题，假设得$$2$$分的和得$$3$$分的为$$a$$人，得$$4$$分的为$$b$$人，可以得到  $$79=28+5a+b$$  有$$5a+b=51$$，只有$$31$$满足． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->不定方程解应用题
Source: 2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第4题4分
Problem: 一只旧钟的分针和时针重合一次，需要经过标准时间$$66$$分钟，那么，这只旧钟的$$24$$小时比标准时间的$$24$$小时（ ~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 快$$12$$分 
aoVal: B
content: 快$$6$$分 
aoVal: C
content: 慢$$6$$分 
aoVal: D
content: 慢$$12$$分 
Answer: D
Analysis: 时针速度为每分钟$$0.5$$度，分针速度为每分钟$$6$$度．分钟每比时针多跑一圈，即多跑$$360$$度，时针分针重合一次．经过$$\frac{360}{6-0.5}=\frac{720}{11}$$分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间$$66$$分钟；则旧钟的$$24$$小时，相当于标准时间的$$\frac{24\times 60}{\frac{720}{11}}\times 66=1452$$分钟，所以比标准时间$$24$$小时对应的$$24\times 60=1440$$分钟多了$$1452-1440=12$$分钟，即慢了$$12$$分钟． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->时钟问题->坏钟问题
Source: 2015年第20届全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛A卷第5题10分
Problem: 按英国人的记法，$$2021$$年$$5$$月$$15$$日记作$$5-15-2021$$；按美国人的记法，$$2021$$年$$5$$月$$15$$日记作$$15-5-2021$$．那么，$$2021$$年全年中共有天会让英、美两国人在记法上产生误会． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$66$$ 
aoVal: C
content: $$132$$ 
aoVal: D
content: $$144$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: 日期$$\leqslant 12$$的都会产生误会，$$12\times12=144$$天，但日期和月份相同时不会产生误会，这样的时间共有$$12$$天，所以共有$$144-12=132$$天．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理
Source: 2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第23题4分
Problem: $$42$$个小朋友排成一队去秋游，从排头往后数，小$$Y$$是第$$22$$个，从排尾往前数，小$$M$$是第$$22$$个，小$$Y$$和小$$M$$中间有个人． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意分析可知，小$$Y$$后面有$$42-22=20$$（人），$$22-20-1=1$$（人）．那么小$$M$$应该在小$$Y$$的正前方，所以小$$Y$$和小$$M$$之间有$$0$$个人．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第1题3分
Problem: 有$$7$$个相同的小球放入$$4$$个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有~\uline{~~~~~~~~}~种不同的放法。 
Options:
aoVal: A
content: 15 
aoVal: B
content: 18 
aoVal: C
content: 20 
aoVal: D
content: 24 
Answer: C
Analysis: 插板法，$$\text{C}_{6}^{3}=20$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->插板法->至少1个
Source: 1993年六年级竞赛创新杯
Problem: 【2020新希望杯六年级竞赛初赛】  如果$$x:y=4:7$$，$$z:x=3:5$$，那么$$\left( x+y \right):(z+x)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$11:8$$ 
aoVal: B
content: $$33:55$$ 
aoVal: C
content: $$32:55$$ 
aoVal: D
content: $$41:32$$ 
aoVal: E
content: $$55:32$$ 
Answer: E
Analysis: 已知$$x:y=4:7$$，$$z:x=3:5$$，那么$$y:x=7:4$$，$$x:z=5:3$$，  $$y:x=\left( 7\times 5 \right):\left( 4\times 5 \right)=35:20$$，$$x:z=\left( 5\times 4 \right):\left( 3\times 4 \right)=20:12$$，  $$y:x:z=35:20:12$$．  假设$$y=35a$$，$$x=20a$$，$$z=12a$$，其中$$a\ne 0$$．  $$x+y=20a+35a=55a$$，$$z+x=12a+20a=32a$$，  那么$$\left( x+y \right):\left( z+x \right)=55a:32a=55:32$$．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年希望杯六年级竞赛（个人赛）第4题
2020年新希望杯六年级竞赛初赛（个人战）第4题
Problem: 小明家距学校，乘地铁需要$$30$$分钟，乘公交车需要$$50$$分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车．用了$$40$$分钟到达学校，其中换乘过程用了$$6$$分钟，那么这天小明乘坐公交车用了分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
aoVal: E
content: $$14$$ 
Answer: C
Analysis: 乘车时间是$$40-6=34$$分，假设全是地铁是$$30$$分钟，时间差是$$34-30=4$$ 分钟，需要调整到公交推迟$$4$$分钟，地铁和公交的时间比是$$3:5$$，设地铁时间是多份，公交是$$5$$份时间，$$4\div \left( 5-3 \right)=2$$，公交时间为$$5\times 2=10$$分钟． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第4题6分
Problem: 两个整数的最大公因数是15，最小公倍数是360，那么这两个整数的和是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 135 
aoVal: B
content: 165 
aoVal: C
content: 180 
aoVal: D
content: 195 
Answer: B
Analysis: 这两个整数的最大公因数为15，可设这两个数分别为15a，15b($$a \textless{} b$$且$$a\text{，}b$$互质)，.那么$$15\times a\times b=360$$，即$$a\times b=24$$，又$$a\text{，}b$$互质，则$$\left( a\text{，}b \right)=\left( 1\text{，}24 \right)$$或$$\left( 3\text{，}8 \right)$$.当$$\left( a\text{，}b \right)=\left( 1\text{，}24 \right)$$时，这两个整数的和为$$15\times 1+15\times 24=15\times 25=375$$;当$$\left( a\text{，}b \right)=\left( 3\text{，}8 \right)$$时，这两个整数的和为$$15\times 3+15\times 8=15\times 11=165$$.四个选项中只有B符合结论，故选B 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2005年五年级竞赛创新杯