math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 如果$$0.988\times a=0.999\times b$$（$$a$$，$$b$$均不为$$0$$），那么$$a$$与$$b$$的大小关系是． 
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$a=b$$ 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 因为$$0.988\times a$$的积和$$0.999\times b$$的积相等，  而$$0.988\textless{}0.999$$，  即一个因数变大，要使积不变，另一个因数需要变小，  所以$$a\textgreater b$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->算式比较大小
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第2题3分
Problem: 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条$$a$$元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条$$b$$元，后来他又以每条$$\frac{a+b}{2}$$元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（~ ~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{b}$$ 
aoVal: C
content: $$a=b$$ 
aoVal: D
content: 与$$a$$和$$b$$的大小无关 
Answer: A
Analysis: 可根据题意算出买进和卖出鱼所花钱的总数，买进一共花了$$(3a+2b)$$元，一共卖了$$\frac{a+b}{2}$$$$\times5$$元，前者大于后者，即可推导出$$a\textgreater b$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2011年北京五年级竞赛
Problem: 其中$$9$$岁的有$$11$$人，$$11$$岁的有$$2$$人，$$13$$岁的有$$3$$人，那么这$$16$$个小朋友的平均年龄是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$岁 
aoVal: B
content: $$10.5$$岁 
aoVal: C
content: $$11$$岁 
aoVal: D
content: $$11.5$$岁 
Answer: A
Analysis: $$\left( 9\times 11+11\times 2+13\times 3 \right)\div 16=10$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数
Source: 2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第1题4分
Problem: 甲乙两人对同一数作除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商与乙所得的余数之和为13，则甲所得的余数为(  )． 
Options:
aoVal: A
content: 2 
aoVal: B
content: 3 
aoVal: C
content: 4 
aoVal: D
content: 5 
Answer: C
Analysis: 解法一:设这个相同的数为$$8m+n$$或$$9\left( m-1 \right)+a$$，即$$8m+n=9\left( m-1 \right)+a$$，又$$m+a=13$$，所以$$n=m+a-9=13-9=4$$，故选C.  解法二:设这个相同的数为a，则$$\begin{cases}a=8m+n\left( 0\leqslant n \textless{} 8 \right)    a=9{{m}^{'}}+{{n}^{'}}    m+{{n}^{'}}=13   \end{cases}$$① 所以，$$a=9{{m}^{'}}+13-m$$② ①$$-$$②得$$9m-9{{m}^{'}}+n-13=0$$，所以$$9\left( m-{m}' \right)=13-n$$，又$$5 \textless{} 13-n\leqslant 13$$，所以$$5 \textless{} 9\left( m-{m}' \right)\leqslant 13$$，因此，$$m-{{m}^{'}}=1$$，从而$$9=13-n$$，故$$n=4$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数问题带余除法
Source: 2006年五年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第8题
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: $$42$$ children are lined up to go on an autumn trip,~ $$Y$$ is the $$22$$th from the front and $$M$$ is the~~$$22$$th from the back of the line. How many children are between $$Y$$ and $$X$$?  $$42$$个小朋友排成一队去秋游，从排头往后数，小$$Y$$是第$$22$$个，从排尾往前数，小$$M$$是第$$22$$个，小$$Y$$和小$$M$$中间有个人． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意分析可知，小$$Y$$后面有$$42-22=20$$（人），$$22-20-1=1$$（人）．那么小$$M$$应该在小$$Y$$的正前方，所以小$$Y$$和小$$M$$之间有$$0$$个人．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理->排队问题
Source: 2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第1题3分
Problem: 球从高处自由落下，每次弹起的高度是前次下落高度的$$\frac{2}{5}$$，如果球从$$75$$米处落下，第二次弹起的高度是米． 
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: D
Analysis: 第一次弹起：$$75\times \frac{2}{5}=30$$（米），  第二次弹起：$$30\times \frac{2}{5}=12$$（米）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛复赛第8题3分
Problem: 由$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$9$$五个数组成甲组数，$$2$$，$$4$$，$$6$$，$$8$$，四个数组成乙组数，从甲，乙两组数中各取一个数相加，可以得到不同的和的个数是(  )。 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 和可以是$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$9$$，$$11$$，$$13$$，$$15$$和$$17$$，所以和的个数是$$8$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第4题5分
2008年四年级竞赛创新杯
Problem: 设m和n是选自自然数$$1\sim 1004$$中的两个不同的数，那么$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)$$的最大值 是(  )。 
Options:
aoVal: A
content: $$2000$$ 
aoVal: B
content: $$2005$$ 
aoVal: C
content: $$2007$$ 
aoVal: D
content: $$2009$$ 
Answer: C
Analysis: 为使$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)$$最大，应使$$m+n$$尽可能大，而$$m-n$$尽可能小，所以$$m=1004$$，$$n=1003$$，$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)=2007$$为最大值。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则
Source: 2007年四年级竞赛创新杯
2007年第5届创新杯四年级竞赛第6题5分
Problem: 有大、小两桶油共重$$44$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$10$$千克，小桶原来装油千克． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: C
Analysis: 倒了$$44-14-10=20$$千克，倒了相同多，小桶倒了$$20\div 2=10$$千克，小桶原来$$10+10=20$$千克。  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->同增同减应用题->连筐（桶、瓶等）带物（考虑筐桶瓶等重量）
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 12. 同学甲、同学乙两人在游乐场的直行道上进行$$200$$米赛跑，当同学甲跑到终点时．同学乙还差$$40$$米，现在两人重新跑，而且速度和原来一样，要使两人同时到达终点，那么同学甲的起跑线应往后退米． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$45$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$55$$ 
Answer: C
Analysis: 比例解行程；相等的时间内，甲跑了$$200$$米时，乙跑了$$160$$米，甲乙的速度比是$$200:160=5:4$$，要使两人同时到达终点，乙跑了$$200$$米的时间内甲要跑$$200\div 4\times 5=250$$米，所以同学甲的起跑线应后退$$250-200=50$$米． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: 请你根据数串的规律再横线上填上正确的答案：3,6,9,~\uline{~~~~~~~~~~}~，15. 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 后一个数等于前一个数$$\times$$ 2 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第4题
Problem: $$10$$名同学参加$$50$$米赛跑．跑到一半的时候，小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，之后，没有人超过他，而小明又超过了$$3$$人到达终点．这次比赛没有并列名次，那么小明是． 
Options:
aoVal: A
content: 第一名 
aoVal: B
content: 第二名 
aoVal: C
content: 第三名 
aoVal: D
content: 第四名 
Answer: B
Analysis: 小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，则他此时排在第$$5$$，之后，没有人超过他，小明又超过了$$3$$人后，他此时就是第二名． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第12题
Problem: 在$$\left[ \frac{{{1}^{2}}}{2017} \right]$$，$$\left[ \frac{{{3}^{2}}}{2017} \right]$$，$$\left[ \frac{{{5}^{2}}}{2017} \right]$$，\ldots，$$\left[ \frac{{{2017}^{2}}}{2017} \right]$$这$$1009$$个数中共有个互不相同的数（$$\left[ {}\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde{} \right]$$表示取整数，如$$\left[ \frac{13}{5} \right]=2$$）． 
Options:
aoVal: A
content: $$883$$ 
aoVal: B
content: $$882$$ 
aoVal: C
content: $$888$$ 
aoVal: D
content: $$1509$$ 
Answer: A
Analysis: 假设相邻两数为$$a$$、$$b$$，且$$a$$大$$b$$小，其实我们知道，$$a-b$$的差小于$$1$$时，$$[a]=[b]$$或者$$[a]-[b]=1$$；当$$a-b$$的差大于等于$$1$$时，$$[a]$$和$$[b]$$一定不同．  从小到大看，取整符号中的第$$n$$项是$$\frac{{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}}{2017}$$，第$$\left( n+1 \right)$$项是$$\frac{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}{2017}$$，  相减并利用平方差公式为$$\frac{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}{2017}-\frac{{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}}{2017}=\frac{8n}{2017}$$，要想大于等于$$1$$，则$$n$$至少取$$253$$．所以取整符号中的第$$253$$项之后的数之差均大于$$1$$，即各不相同．  第$$253$$项为$$\frac{{{505}^{2}}}{2017}=126$$，$$1-253$$项中，取整后的数每个整数都取过$$0-126$$有$$127$$个不一样的数．从第$$254-1009$$项中，每个数都不相同，  有$$1009-253=756$$个数．$$127+756=883$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（四）第7题
Problem: 如果形如$$\overline{2\square \square 3}$$的四位数能被$$9$$整除，那么这样的四位数的个数有多少个？ 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$个 
aoVal: B
content: $$9$$个 
aoVal: C
content: $$11$$个 
aoVal: D
content: $$12$$个 
Answer: C
Analysis: 如果$$\overline{2ab3}$$能被$$9$$整除，那么$$(2+a+b+3)$$一定是$$9$$的倍数，即$$(a+b+5)$$是$$9$$的倍数．所以$$(a+b+5)$$只能等于$$9$$或$$18$$．  经枚举得，当$$a+b+5=9$$时，这个四位数有：$$2043$$、$$2133$$、$$2223$$、$$2313$$、$$2403$$．共$$5$$种情况．  当$$a+b+5=18$$时，这个四位数有：$$2943$$、$$2853$$、$$2763$$、$$2673$$、$$2583$$、$$2493$$．共$$6$$种情况．  综上，这样的四位数的个数有$$5+6=11$$（个）． 
<p>若$$9\left| \overline{2ab3} \right.$$，则$$9\left| \left( 2+a+b+3 \right) \right.$$，则$$\left( a+b \right)$$除以$$9$$余$$4$$， 所以$$\overline{ab}$$除以$$9$$余$$4$$，</p>
<p>所以$$\overline{ab}=4,4+9,4+9\times 2,4+9\times 3,\ldots ,4+9\times 10$$， 所以有$$11$$个．</p>
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第5题
Problem: 有四个数，它们的和是$$45$$，把第一个数加$$１$$，第二个数减$$１$$，第三个数乘$$2$$，第四个数除以$$2$$，得到的结果都相同．那么，原来这四个数依次是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$，$$10$$，$$10$$，$$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$，$$8$$，$$20$$，$$5$$ 
aoVal: C
content: $$9$$，$$11$$，$$5$$，$$20$$ 
aoVal: D
content: $$9$$，$$11$$，$$12$$，$$13$$ 
Answer: C
Analysis: 设相同的结果为$$x$$，根据题意有：$$x-１+x+１+2x+0.5x=45$$，$$\Rightarrow x=10$$  易知原来的$$4$$ 个数依次是$$9$$，$$11$$，$$5$$，$$20$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第4题
Problem: $$183\times279\times361-182\times278\times360$$的计算结果是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$217017$$ 
aoVal: B
content: $$207217$$ 
aoVal: C
content: $$207216$$ 
aoVal: D
content: $$217016$$ 
Answer: A
Analysis: 解：$$183\times279\times361-182\times278\times360$$  $$=\left(182+1\right)\times\left(278+1\right)\times\left(360+1\right)-182\times278\times360$$  $$=182\times278\times360+182\times278+182\times360+278\times360+182+278+360+1-182\times278\times360$$  $$=182\times278+182\times360+278\times360+182+278+360+1$$  $$=50596+65520+100080+182+278+360+1$$  $$=217017$$  故答案是$$217017$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数基准数法
Source: 2013年走美杯六年级竞赛初赛
2013年走美杯六年级竞赛
2013年浙江杭州走美杯六年级竞赛初赛
Problem: 过年了，妈妈买了$$7$$件不同的礼物，要送给亲朋好友的$$5$$个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这$$5$$件礼物共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种方法． 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$90$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$150$$ 
aoVal: E
content: $$180$$ 
Answer: E
Analysis: 假如给小强的是智力拼图，则有$$2\times 5\times 4\times 3=120$$种方法．  假如给小强的是遥控汽车，则有$$1\times 5\times 4\times 3=60$$种方法．  总共有$$120+60=180$$种方法．  若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外$$3$$个孩子在剩余$$5$$件礼物中任选$$3$$件，有$$5\times 4\times 3=60$$种方法；若将遥控汽车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有$$60$$种方法；若遥控汽车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有$$60$$种方法.  所以共有$$60+60+60=180$$种方法. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理
Source: 2009年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第7题10分
Problem: 下式中，$$\square $$和$$\triangle $$分别代表（  ）  $$\square +\square +\square +\triangle +\triangle +\triangle =27$$  $$\triangle +\triangle +\square =12$$。 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$和$$4$$ 
aoVal: B
content: $$3$$和$$6$$ 
aoVal: C
content: $$4$$和$$6$$ 
aoVal: D
content: $$6$$和$$3$$ 
Answer: D
Analysis: 解：$$\square +\square +\square +\triangle +\triangle +\triangle =27$$，  得$$\square +\triangle =9$$①，  $$\triangle +\triangle +\square =12$$得$$2\triangle +\square =12$$②，  ②$$-$$①得：$$\triangle =3$$，  把$$\triangle =3$$代入①得：  $$\square =6$$  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->列方程解应用题等量代换
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛复赛
Problem: 有四个连续的二位数，将每个数的两个数码相乘，依序得到乘积$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$，请问这四个连续的二位数之总和是什么？ 
Options:
aoVal: A
content: $$120$$ 
aoVal: B
content: $$136$$ 
aoVal: C
content: $$160$$ 
aoVal: D
content: $$172$$ 
aoVal: E
content: $$190$$ 
Answer: E
Analysis: 解法$$1$$：将$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$分别表示成两个数码之积的行驶，即可得  $$24=3\times 8=4\times 6$$  $$28=4\times 7$$  $$32=4\times 8$$  $$36=4\times 9=6\times 6$$  因这四个两位数为四个连续的两位数，故此时可判断出这四个连续的正整数为$$46$$、$$47$$、$$48$$、$$49$$，其和为$$190$$．故选$$\text{E}$$．  解法$$2$$：由题意可知，这些所得到的乘积不包含数码$$0$$，所以这四个两位数的十位数必须相同．设它们的十位数码为$$a$$．由于两个相邻的个位数是互质的，所以$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$的最大公因数为$$a$$．  因此，$$a=4$$，且这四个数的个位数分别为$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$．即这四个整数之和是$$46+47+48+49=190$$．故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数的应用
Source: 2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第12题4分
Problem: $$\frac{2013\times 2013}{2014\times 2014+2012}=\frac{n}{m}( m,n$$互质$$ ),m+n=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~ 
Options:
aoVal: A
content: $$1234$$ 
aoVal: B
content: $$1243$$ 
aoVal: C
content: $$1343$$ 
aoVal: D
content: $$1244$$ 
Answer: C
Analysis: ~ ~ $$\frac{2013\times 2013}{2014\times 2014+2012}=\frac{2013\times 2013}{\left( 2013+1 \right)\times \left( 2013+1 \right)+2013-1}$$  $$=\frac{2013\times 2013}{2013\times 2013+2013\times 2+1+2013-1}$$  $$=\frac{2013\times 2013}{2013\times 2013+3\times 2013} $$  $$=\frac{671}{672}$$  $$n+m=671+672=1343$$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2017年第1届重庆华杯赛竞赛
Problem: 自然保护区中原有一定量的牛，并保持着一定的自然增长率。为进行原始物种的迁出工作，我们将自然保护区的草地按照$$1:2:3$$的面积比分成三块。工作人员先用$$1$$年时间逐步迁出了一号草地的种群，接着又用$$4$$年去暗处了二号种群．此时，仍需要年能够迁出第三块保护区的牛。 
Options:
aoVal: A
content: $$216$$ 
aoVal: B
content: $$288$$ 
aoVal: C
content: $$324$$ 
aoVal: D
content: $$396$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$1$$份草地原有草量为$$x$$，每天生长量为$$y$$，第三块草地需要$$n$$天吃完．  根据牛每天吃的草量相等可得：  $$\frac{x+12y}{12}=\frac{2x+2\left( 12y+48y \right)}{48}$$  解得$$x=36y$$，这群牛的每天吃草量为$$4y$$．  故第三块草地的等量关系为$$\frac{3x+3\left( 12y+48y+ny \right)}{4y}=n$$，解得$$n=288$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第4题
Problem: $$6$$支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得$$3$$分，平一场各得$$1$$分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有$$4$$场平局，且其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，则第$$6$$支球队得了分． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: A
Analysis: 每场平局两队共得$$2$$分，如果分出胜负则两队共得$$3$$分．$$6$$支球队共要比$$6\times 5\div 2=15$$场比赛，  其中有$$4$$场平局，所以有$$15-4=11$$场分出了胜负，那么$$6$$支球队总得分为$$2\times 4+3\times 11=41$$分，  其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，所以第$$6$$支球队得了$$41-31=10$$分． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
课内体系->能力->逻辑分析
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断六年级竞赛年度教学质量监测第12题
Problem: 【$$2021$$年六年级卷第$$11$$题】小糊涂遇到一个问题：比较$$\frac{99}{100}$$，$$ \frac{100}{101}$$，$$\frac{199}{201}$$的大小．他感到很迷糊，请你帮他找到正确的答案． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{99}{100}\textgreater{} \frac{100}{101}\textgreater{} \frac{199}{201}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{199}{201}\textgreater{} \frac{100}{101}\textgreater{} \frac{99}{100}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{99}{100}\textgreater{} \frac{199}{201}\textgreater{} \frac{100}{101}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{100}{101}\textgreater{} \frac{199}{201}\textgreater\frac{99}{100}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{100}{101}\textgreater{} \frac{99}{100}\textgreater{} \frac{199}{201}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{99}{100}=1- \frac{1}{100}=1- \frac{2}{200}$$，  $$\frac{100}{101}=1- \frac{1}{101}=1- \frac{2}{202}$$，  $$\frac{199}{201}=1- \frac{2}{201}$$，  因为$$\frac{2}{202}\textless{} \frac{2}{201}\textless{} \frac{2}{200}$$，  所以$$1- \frac{2}{202}\textgreater1- \frac{2}{201}\textgreater1- \frac{2}{200}$$，  即$$\frac{100}{101}\textgreater{} \frac{199}{201}\textgreater{} \frac{99}{100}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->分数数字加工
Source: 2021年新希望杯六年级竞赛初赛第11题5分
Problem: 请问$$100-97+94-91+88-85+\cdots +4-1$$之值等于多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$45$$ 
aoVal: B
content: $$48$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$54$$ 
aoVal: E
content: $$57$$ 
Answer: C
Analysis: 方法一：等差数列的通项公式  第$$n$$个数$$=$$第$$1$$个数+（n-1）\times 公差  $$100-97+94-91+88-85+\cdots +4-1$$  $$=\left( 100-97 \right)+\left( 94-91 \right)+\left( 88-85 \right)+\cdots +\left( 4-1 \right)$$  $$=\underbrace{3+3+3+\cdots +3}_{17项}$$  $$=3\times 17$$  $$=51$$．  ①先分组再等差数列求有多少组：以$$4$$为首项，公差为6  ②先等差数列求有多少个数再除以$$2$$求有多少组：以$$1$$为首项，公差为3  故选$$\text{C}$$．  方法二：等差数列求和公式  等差数列的和=（第$$1$$个数$$+$$第$$n$$个数）\times 项数$$\div$$ 2  $$100-97+94-91+88-85+\cdots +4-1$$  $$=\left( 100+94+88+\cdots +4 \right)-\left( 97+91+85+\cdots +1 \right)$$  $$=\frac{\left( 100+4 \right)\times 17}{2}-\frac{\left( 97+1 \right)\times 17}{2}$$  $$=\left( 104-98 \right)\times \frac{17}{2}$$  $$=6\times \frac{17}{2}$$  $$=51$$．  故选$$\text{C}$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律
Source: 2018年IMAS小学中年级竞赛（第二轮）第1题4分
Problem: 已知$$y=a{{x}^{7}}+b{{x}^{5}}+c{{x}^{3}}+dx+e$$，其中$$a,b,c,d,e$$为常数，当$$x=2$$时，$$y=23$$；当$$x=-2$$时，$$y=-35$$，那么$$e$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$-6$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$-12$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设知，当$$x=2$$时，  $$23={{2}^{7}}a+{{2}^{5}}b+{{2}^{3}}c+2d+e$$  当$$x=-2$$时，  $$-35={{\left( -2 \right)}^{7}}a+{{\left( -2 \right)}^{5}}b+{{\left( -2 \right)}^{3}}c+\left( -2 \right)d+e$$  由①+②，则得$$2e=-12$$，所以$$e=-6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->根据解的等量关系解含参的二元一次方程组
课内体系->能力->运算能力
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 【SZ】已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$8$$个 
Answer: C
Analysis: 设$${{x}^{2}}+ax-12=(x+m)(x+n)$$（$$m$$，$$n$$为整数），  则$$a=m+n$$，$$mn=-12$$共有$$6$$种结果． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数
Source: 2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分
2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题
初二其它
1996年第7届希望杯初二竞赛第3题4分
Problem: 设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 解：$$\because x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，  $$\therefore 2x=\sqrt{5}-3$$，  $$2x+3=\sqrt{5}$$  $${{\left( 2x+3 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}$$，  $$4{{x}^{2}}+12x+9=5$$，  $$\therefore {{x}^{2}}+3x=-1$$，  $$\therefore $$原式$$=\left( {{x}^{2}}+3x \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)$$  $$=-1\times \left( -1+2 \right)$$  $$=-1$$；  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
Source: 2018~2019学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初二下学期期末第4题3分
2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生
2011年竞赛第1题4分
2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第1题5分
Problem: $$n$$是整数，那么被$$3$$整除并且商恰为$$n$$的那个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{n}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$n+3$$ 
aoVal: C
content: $$3n$$ 
aoVal: D
content: $${{n}^{3}}$$ 
Answer: C
Analysis: 被$$3$$整除的商恰好为$$n$$的数是$$3n$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的$$80 \%$$收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时．
Options:
aoVal: A
content: 甲比乙低 
aoVal: B
content: 乙比甲低 
aoVal: C
content: 甲、乙相同 
aoVal: D
content: 是甲低还是乙低，视原价而定 
Answer: C
Analysis: 设原价为$$a$$元，则  甲旅行社收费$$=a+2\cdot70 \%a=2.4a$$，  乙旅行社收费$$=3\cdot 80 \%a=2.4a$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-打折
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第7题4分
Problem: 方程$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} 2x-1 \right\textbar=1$$的整数解的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$依次取$$0$$，$$1$$，  可得方程组$$\left { \begin{matrix}x+1=0    2x-1=\pm 1   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x+1=1    2x-1=0   \end{matrix} \right.$$，  解之，可得两方程均无解．  所以，原方程整数解的个数为$$0$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->含绝对值的一元一次方程
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分
Problem: 若三角形的三边长$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a\textless{}b\textless{}c$$，且$${{a}^{2}}+bc=t_{1}^{2}$$，$${{b}^{2}}+ca=t_{2}^{2}$$，$${{c}^{2}}+ab=t_{3}^{2}$$，则$$t_{1}^{2}$$、$$t_{2}^{2}$$、$$t_{3}^{2}$$中．
Options:
aoVal: A
content: $$t_{1}^{2}$$最大 
aoVal: B
content: $$t_{2}^{2}$$最大 
aoVal: C
content: $$t_{3}^{2}$$最大 
aoVal: D
content: $$t_{3}^{2}$$最小 
Answer: C
Analysis: 由$$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=({{a}^{2}}+bc)-({{b}^{2}}+ca)=(a-b)(a+b-c)\textless{}0$$，得$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}$$，  由$$t_{2}^{2}-t_{3}^{2}=({{b}^{2}}+ca)-({{c}^{2}}+ab)=(b-c)(b+c-a)\textless{}0$$，  得$$t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$，所以$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算
知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法
知识标签->方法->作差法
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式
知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分
Problem: 已知$$x\ne-1$$，$$0$$，$$1$$，则$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}$$的值可能是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 比$$3$$大的数 
aoVal: B
content: 比$$-3$$小的数 
aoVal: C
content: $$\pm1$$，$$\pm3$$ 
aoVal: D
content: 比$$-3$$大，并且比$$3$$小的数 
Answer: C
Analysis: 当$$x ~\textless{} ~-1$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=-1-1-1=-3$$，  当$$-1 ~\textless{} ~x ~\textless{} ~0$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=-1-1+1=-1$$，  当$$x\textgreater1$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=1+1+1=3$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第1题4分
2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第1题4分
Problem: 若关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases} 3-2x \geq 1    x \geq m+1 \end{cases}$$共有$$2$$个整数解，则$$m$$的取值范围是
Options:
aoVal: A
content: $\quad m=-1 $ 
aoVal: B
content: $-2\lt m\leqslant-1$ 
aoVal: C
content: $-2\leqslant m\leqslant-1$ 
aoVal: D
content: $m\textless-1$ 
Answer: B
Analysis: 解：$解不等式3-2x\geqslant1,得:x\leqslant1.$  $\because不等式组共有2个整数解,$  $\therefore不等式组的整数解为1,0;$  则$-1\lt m\leqslant0,$  解得$-2\lt m\leqslant-1,$  故选$B.$ 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围
课内体系->方法->代入法
课内体系->能力->运算能力
Source: 2023年浙江宁波鄞州区初三竞赛联考学校：鄞实、曙光、鄞外、高桥、雅戈尔、集士港第4题6分
Problem: 若函数$$y=\frac{1}{2}({{x}^{2}}-100x+196+\textbar{{x}^{2}}-100x+196\textbar)$$，则当自变量$$x$$取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\ldots$$，$$100$$这$$100$$个自然数时，函数值的和是．
Options:
aoVal: A
content: $$540$$ 
aoVal: B
content: $$390$$ 
aoVal: C
content: $$194$$ 
aoVal: D
content: $$195$$ 
aoVal: E
content: $$197$$ 
Answer: B
Analysis: $${{x}^{2}}-100x+196=(x-2)(x-98)$$，  ∴当$$2\leqslant x\leqslant 98$$时，$${{x}^{2}}-100x+196\textless{}0$$，$$\textbar{{x}^{2}}-100x+196\textbar=-({{x}^{2}}-100x+196)$$．  ∴当自变量$$x$$取$$2$$，$$3$$，$$\ldots$$，$$98$$时，函数值都为$$0$$．  而当$$x$$取$$1$$，$$99$$，$$100$$时，$$\textbar{{x}^{2}}-100x+196\textbar={{x}^{2}}-100x+196$$，  故所求的和为：$$y(1)+y(99)+y(100)=390$$，故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数
竞赛->知识点->函数->二次函数->二次函数应用
Source: 1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 已知$$a$$是非零实数，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{{{a}^{2}}}{\textbar{{a}^{2}}\textbar}+\frac{{{a}^{3}}}{\textbar{{a}^{3}}\textbar}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$或$$-1$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$或$$1$$ 
aoVal: C
content: $$3$$或$$1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$或$$-1$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$a\textgreater0$$时，$$\textbar a\textbar=a$$，  ∴原式$$=1+1+1=3$$；  当$$a\textless{}0$$时，$$\textbar a\textbar=-a$$，$$\textbar{{a}^{3}}\textbar=-{{a}^{3}}$$，  ∴原式$$=-1+1-1=-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简
竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简
Source: 1995年第6届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 已知有如下一组$$x$$，$$y$$和$$z$$的单项式：  $$7{{x}^{3}}{{z}^{2}}$$，$$8{{x}^{3}}y$$，$$\frac{1}{2}{{x}^{2}}yz$$，$$-3x{{y}^{2}}z$$，$$9{{x}^{4}}yz$$，$$z{{y}^{2}}$$，$$-\frac{1}{5}xyz$$，$$9{{y}^{3}}z$$，$$x{{z}^{2}}y$$，$$0.3{{z}^{3}}$$  我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任意两个单项式，先看$$x$$的幂次，规定$$x$$的幂次高的单项式排在$$x$$的幂次低的单项式的前面；再看$$y$$的幂次．规定$$y$$的幂次高的排在$$y$$的幂次低的前面；再看$$z$$的幂次，规定$$z$$的幂次高的排在$$z$$的幂次低的前面．将这组单项式按上述法则排序，那么$$9{{y}^{3}}z$$应排在（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 第$$2$$位 
aoVal: B
content: 第$$4$$位 
aoVal: C
content: 第$$6$$位 
aoVal: D
content: 第$$8$$位 
Answer: D
Analysis: 按照题意把这几个单项式排列如下：  $$9{{x}^{4}}zy$$，$$8{{x}^{3}}y$$，$$7{{x}^{3}}{{z}^{2}}$$，$$\frac{1}{2}{{x}^{2}}yz$$，$$-3x{{y}^{2}}z$$，$$-\frac{1}{5}xyz$$，$$x{{z}^{2}}y$$，$$9{{y}^{3}}z$$，$$z{{y}^{2}}$$，$$3{{z}^{3}}$$，$$0$$．  ∴$$9{{y}^{3}}z$$应排在第$$8$$位． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->单项式->单项式的定义
Source: 初一上学期单元测试《整式的加减》整式及相关概念第29题
2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第10题
Problem: 两个$$10$$次多项式的和是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$次多项式 
aoVal: B
content: $$10$$次多项式 
aoVal: C
content: $$100$$次多项式 
aoVal: D
content: 不高于$$10$$次的多项式 
Answer: D
Analysis: 多项式$${{x}^{10}}+x$$与$$-{{x}^{10}}+{{x}^{2}}$$之和为$${{x}^{2}}+x$$是个次数低于$$10$$次的多项式，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的定义
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第4题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$为三角形的三边长，化简$$\textbar a+b+c\textbar-\textbar a-b-c\textbar-\textbar a-b+c\textbar-\textbar a+b-c\textbar$$，结果是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2a+2b+2c$$ 
aoVal: C
content: $$4a$$ 
aoVal: D
content: $$2b-2c$$ 
Answer: A
Analysis: 因为三角形的任意两边之和大于第三边，  所以$$a+b+c\textgreater0$$，$$a-b-c\textless{}0$$，$$a-b+c\textgreater0$$，$$a+b-c\textgreater0$$，  所以原式$$=a+b+c+(a-b-c)-(a-b+c)-(a+b-c)=0$$，  选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第1试第4题