math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 盒中有形状、大小、质料相同的红、白、黑颜色的球各$$10$$个，摸出若干个，要保证摸出的球中至少有$$3$$个球同色，摸出球的个数至少为个． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 最不利原则．要保证拿到一种颜色至少有$$3$$个，则根据最不利原则，可先取每种颜色$$2$$个，最后取一个不论取哪种颜色，都一定可以满足条件，即需要$$2\times 3+1=7$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第7题
Problem: 西点店里卖的面包都是$$5$$个一袋或$$3$$个一袋的，不拆开零售．已知$$5$$个一袋的售价是$$10$$元，$$3$$个一袋的售价是$$7$$元．要给$$48$$位同学每人发$$1$$个面包最少要花~\uline{~~~~~~~~~~}~元钱． 
Options:
aoVal: A
content: $$96$$ 
aoVal: B
content: $$97$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$112$$ 
Answer: B
Analysis: 因为买$$15$$个面包时，$$3$$个大袋比$$5$$个小袋划算，所以大袋的单价比小袋的便宜，那么应该尽量多买大袋的．  若买$$9$$个大袋和$$1$$个小袋，$$9\times 5+1\times 3=48$$个，总价是$$10\times 9+7\times 1=97$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->归总问题
Source: 其它改编题
2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第2题
Problem: 一个三位小数，精确到十分位是$$10.0$$．这个三位小数最大是，最小是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10.045$$，$$10.001$$ 
aoVal: B
content: $$10.049$$，$$10.001$$ 
aoVal: C
content: $$10.049$$，$$9.950$$ 
aoVal: D
content: $$10.049$$，$$9.999$$ 
Answer: C
Analysis: 一个三位小数，四舍五入到十分位得到$$10.0$$，  原三位小数通过``四舍''获得最大值，通过``五入''获得最小值．  那么通过四舍的原小数百分位数字可能是：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$，  那么通过五入的原小数百分位数字可能是：$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$，  所以最大是$$10.049$$，最小是$$9.950$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第2题3分
Problem: 比较大小：$$1+ \frac{1}{2^{2}}+ \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{4^{2}} \cdots + \frac{1}{2020^{2}}$$~\uline{~~~~~~~~~~}~$$2$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$\textgreater$$ 
aoVal: B
content: $$\textless{}$$ 
aoVal: C
content: $$=$$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{2020}^{2}}} ~\textless{} ~\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{1999\times 2020}$$  $$=1-\frac{1}{2020}=\frac{2019}{2020}$$．  ∴$$1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{2020}^{2}}} ~\textless{} ~1+\frac{2019}{2020} ~\textless{} ~2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年新希望杯六年级竞赛（2月）第25题
Problem: \hspace{0pt}老师在黑板上随机写了$$8$$个数，每个数都是$$1$$、$$2$$、$$4$$中的某一个．学生们每次擦去两个相同的数，并把这两个相同的数的和写在黑板上．如果某位同学在黑板上写出了``$$2048$$''，则过程``成功结束''，否则老师就再随机写一个数上去（$$1$$或$$2$$或$$4$$），以保证黑板上仍有$$8$$个数．学生每次成功写数都会得与此数相同的分数，例如：擦去两个$$2$$，写上$$4$$，得到$$4$$分．如果并没有写出$$2048$$，但已没有相同的数可以同时擦去，则过程``失败结束''．请问：  (2)若一个过程结束后恰好得到了$$18000$$分，能否是一次``成功结束''？为什么？（请写出具体解题过程） 
Options:
aoVal: A
content: 能 
aoVal: B
content: 不能 
Answer: B
Analysis: （2）同上题，出现了$$2048$$，至少要得如下的分数：$$2048+1024\times 2+512\times 4+256\times 8+128\times 16+64\times 32+32\times64+16\times 128+8\times 256$$$$=2048\times 9=18432$$  由于$$18000\textless18432$$，因此$$18000$$分是不可能成功结束的． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->逐步调整思想
Source: 2014年全国学而思杯五年级竞赛第20题
Problem: 现在有$$21$$本故事书分给$$5$$个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书最多的人至少可得到本． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: B
Analysis: 五人分别是$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$7$$本．（不止一种情况．） 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->简单抽屉原理
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第5题
Problem: 李叔叔排队买票，他前面有$$5$$人，后面有$$6$$人．一共有人排队买票． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: D
Analysis: 加上李叔叔自己，一共：$$5+6+1=12$$（人），  故选择：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年新希望杯二年级竞赛决赛（8月）第6题
2020年新希望杯二年级竞赛初赛（个人战）第6题
Problem: 钟表上$$12$$点$$15$$分，时针与分针夹角为（~ ）. 
Options:
aoVal: A
content: $$90{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$82.5{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$67.5{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$60{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: $$12$$点时，夹角为$$0{}^{}\circ $$；$$15$$分钟后，分钟往前走了$$90{}^{}\circ $$，时针走了$$7.5{}^{}\circ $$，此时夹角为$$82.5{}^{}\circ $$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->时钟问题->时钟上的追及问题->已知时间求角度
Source: 2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第3题
Problem: $$I$$型和$$II$$型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，$$I$$型每$$5$$分钟跑$$1$$圈，$$II$$型每$$3$$分钟跑$$1$$圈，某同一时刻，$$I$$型和$$II$$型恰好都开始跑第$$19$$圈，则$$I$$型比$$II$$型提前（~ ）分钟开始跑动． 
Options:
aoVal: A
content: $$32$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$38$$ 
aoVal: D
content: $$54$$ 
Answer: B
Analysis: 开始跑第$$19$$圈，说明跑了$$18$$圈：  $$I$$型跑$$18$$圈用时：$$18\times 5=90$$（分钟）；  $$II$$型$$18$$圈用时：$$18\times 3=54$$（分钟）；  故相差$$90-54=36$$（分钟），则提前$$36$$分钟． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->环形跑道->相遇与追及结合
Source: 2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第6题
2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第6题10分
Problem: 兴农农机厂某车间共有61个工人，已知每个工人平均每天可加工甲种部件5个，或者乙种部件4个，或者丙种部件3个，但加工4个甲种部件，1个乙种部件和6个丙种部件才能配成一套，为了使加工出来的甲、乙、丙三种部件恰好都能配成套，那么，安排加工甲种部件的人数应是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 5人 
aoVal: B
content: 12人 
aoVal: C
content: 16人 
aoVal: D
content: 20人 
Answer: C
Analysis: 称1个工人一天的工作量为1个工，则加工一个甲、乙、丙种部件分别需要$$\frac{1}{5}，\frac{1}{4}，\frac{1}{3}$$个工，从而知道，每生产1套，甲部件需要$$\frac{1}{5}\times 4=0.8$$个工，乙部件需要$$\frac{1}{4}\times 1=0.25$$个工，丙部件需要$$\frac{1}{3}\times 6=2$$个工，因此，每天可生产$$61\div \left( 0.8+0.25+2 \right)=20$$套.其中生产甲部件需要$$20\times 0.8$$个工，即需要16个工人工作1天 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->统筹规划->调运中的统筹
Source: 2004年第2届创新杯五年级竞赛初赛第9题
2004年五年级竞赛创新杯
Problem: 甲乙两人合作打一份材料．开始甲每分钟打$$100$$ 个字，乙每分钟打$$200$$个字．合作到完成总量的一半时，甲速度变为原来的$$3$$倍，而乙休息了$$5$$分钟后继续按原速度打字．最后当材料完成时，甲、乙打字数相等．那么，这份材料共（~~~~~~~ ）个字． 
Options:
aoVal: A
content: $$3000$$ 
aoVal: B
content: $$6000$$ 
aoVal: C
content: $$12000$$ 
aoVal: D
content: $$18000$$ 
Answer: D
Analysis: 前一半时乙的工作量是甲的$$2$$倍，所以后一半甲应是乙的$$2$$倍．把后一半工作量分为$$6$$份，甲应为$$4$$份，乙应为$$2$$份，说明乙休息时甲打了$$1$$份，这一份的量是$$100\times 3\times 5=1500$$字，故总工作量是$$1500\times6\times 2=18000$$字． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第14题
Problem: 十进制数$$25$$转换成二进制数是$_{2}$． 
Options:
aoVal: A
content: $$11101$$ 
aoVal: B
content: $$1011$$ 
aoVal: C
content: $$10101$$ 
aoVal: D
content: $$11001$$ 
Answer: D
Analysis: $$25=16+8+1$$，则$$25$$转换成二进制数是$$11001$$． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->数据处理
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题
Problem: 从$$1$$至$$10$$这$$10$$个整数中，至少取（  ）个数，才能保证其中有两个数的和等于$$10$$。 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 先找到和为$$10$$的组合：$$(1$$，$$9)$$、$$(2$$，$$8)$$、$$(3$$，$$7)$$、$$(4$$，$$6)$$，剩下$$5$$、$$10$$，若前面四组数中各取一个，后面$$5$$、$$10$$全取，这样还不能满足题目要求的两数和为$$10$$，如果再取剩下四个中的任意一个，必定会凑出和为$$10$$的组合，故最少要取$$6+1=7$$（个）。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->简单抽屉原理
Source: 2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第8题3分
2017年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: （学而思拓展，难度★★☆☆☆）  水果店规定：如果购买芒果不超过$$10$$千克，那么每千克售价$$4$$元；如果超过$$10$$千克，那么超过的部分每千克$$3.5$$元．某人买了$$24$$千克芒果，他应付元． 
Options:
aoVal: A
content: $$84$$ 
aoVal: B
content: $$89$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$96$$ 
Answer: B
Analysis: $$4\times 10+3.5\times (24-10)=89$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（四）第4题
Problem: 一辆汽车从甲地出发到$$300$$千米外的乙地去，前$$120$$千米的平均速度为$$40$$千米/时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为$$50$$千米/时，剩下的路程应以~\uline{~~~~~~~~~~}~千米/时行驶． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: B
Analysis: 剩下的路程为：$$300-120=180$$（千米），计划总时间为：$$300\div 50=6$$（小时），前$$120$$千米已用去$$120\div 40=3（$$小时），所以剩下路程的速度为： $$（300-120）\div （6-3）=60$$（千米/时）． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人变速问题
Source: 其它改编题
2018年第8届北京学而思综合能力诊断五年级竞赛年度教学质量监测第10题
Problem: $$ABCD$$都是小于$$100$$的合数，并且$$ABCD$$两两互质，则$$A+B+C+D$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: 答案请写在答题卡上 
Answer: A
Analysis: 答案请写在答题卡上 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数的认识->数的特征->质数与合数->质数的特征
Source: 2008年陈省身杯小学高年级六年级竞赛第12题
Problem: 在一次数学竞赛中，$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$，$$E$$五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：  $$A$$说：``第二名是$$D$$，第三名是$$B$$.''  $$B$$说：``第二名是$$C$$，第四名是$$E$$.''  $$C$$说：``第一名是$$E$$，第五名是$$A$$.''  $$D$$说：``第三名是$$C$$，第四名是$$A$$.''  $$E$$说：``第二名是$$B$$，第五名是$$D$$.''  结果每人都只猜对了一半，他们的名次从高到低排列是． 
Options:
aoVal: A
content: E、$$C$$、$$B$$、$$A$$、D 
aoVal: B
content: C、$$B$$、$$E$$、$$A$$、D 
aoVal: C
content: A、$$D$$、$$B$$、$$C$$、E 
aoVal: D
content: D、$$A$$、$$C$$、$$B$$、E 
Answer: A
Analysis: 假设$$A$$猜的第一句是真的，那么$$B$$猜的第二句是真的，即第四名是$$E$$，那么$$C$$猜的``E是第一名''是错的，$$A$$是第五名，那么$$D$$猜的$$C$$是第三名是对的，那么$$B$$就是第一名，从而$$E$$说的全是错的，所以假设不成立．所以$$A$$猜的第二句是真的，即$$B$$是第三名，那么$$D$$猜的第一句是错的，从而$$A$$是第四名，所以$$C$$猜的第二句是错的，$$E$$是第一名，从而$$B$$猜的$$C$$是第二名是对的，$$E$$猜的第五名是$$\text{D}$$正确，所以，第一名是$$E$$，第二名是$$C$$，第三名是$$B$$，第四名是$$A$$，第五名是$$D$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->半真半假
Source: 2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第22题10分
Problem: 甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是(  )元 
Options:
aoVal: A
content: 0.8 
aoVal: B
content: 1.2 
aoVal: C
content: 2.4 
aoVal: D
content: 4.8 
Answer: C
Analysis: 设丙得了$$x$$本，则甲.乙二人各得了$$x+3$$本，总共$$3x+6$$本，平均每人应得$$x+2$$本，而甲比平均数多拿了1本，所以每本笔记本的价格是2.4元. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->设而不求
Source: 2007年六年级竞赛创新杯
2007年第5届创新杯六年级竞赛第4题5分
Problem: 某学校组织一次远足活动，计划$$10$$点$$10$$分从甲地出发，$$13$$点$$10$$分到达乙地，但出发晚了$$5$$分钟，却早到达了$$4$$分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$点$$40$$分 
aoVal: B
content: $$11$$点$$50$$分 
aoVal: C
content: $$12$$点 
aoVal: D
content: $$12$$点$$10$$分 
Answer: B
Analysis: 相当于两辆车$$A$$，$$B$$在同一条路上，一辆按原速行驶，一辆按新的速度行驶．那么，晚出发五分钟相当于$$B$$追已经行驶了$$5$$分钟的$$A$$在丙地追上，当$$B$$到达乙地的时候$$A$$还有$$4$$分钟的路程，这样就是两次追击问题，速度差不变追击路程的比是$$5:4$$所以，（甲地到丙地的距离）:（丙地到乙地的距离）$$=5:4$$，所以时间比为$$5:4$$，所以选择$$B$$． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->运算求解
Source: 2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第5题
Problem: 在下面的括号中分别填入$$+$$、$$-$$、$$\times $$、$$\div $$符号，每个符号只能用一次，使得$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$之和为最大．  $$\frac{1}{2}(        )\frac{1}{9}=a$$，$$\frac{1}{9}(        )\frac{1}{8}=b$$，$$\frac{1}{4}(        )\frac{1}{7}=c$$，$$\frac{1}{5}(        )\frac{1}{6}=d$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$+$$，$$-$$，$$\times $$，$$\div $$ 
aoVal: B
content: $$\div $$，$$-$$，$$+$$，$$\times $$ 
aoVal: C
content: $$\div $$，$$-$$，$$\times $$，$$+$$ 
aoVal: D
content: $$\times $$，$$\div $$，$$=$$，$$+$$ 
Answer: B
Analysis: 四个式子中所含的$$8$$个分数都小于二分之一，  所以四个式子的和、差、积都小于$$1$$．  那么我们可以先考虑商最大的情况．  $$\frac{1}{2}\div \frac{1}{9}=a$$，$$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=b$$，$$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=c$$，$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{6}=d$$．  和为$$5\frac{113}{840}$$，但不必求出．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第2题4分
Problem: 将算式$$1\Delta 2\Delta 3\Delta 8\Delta 15$$的$$\Delta $$处分别填入「$$+$$」或「$$-$$」号后计算此算式的值．  请问总共可以得到多少个不同的正整数值？ 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
aoVal: E
content: $$16$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$15$$前面的符号是「$$-$$」号时，  $$1+2+3+8=14\textless{}15$$，故得不到正整数；  当$$15$$前面的符号是「$$+$$」号时，由于$$1$$前面没有空格，相当于有一个加号，  所以无论后面怎么填，这个算式的结果都是大于$$1$$的，  而$$2$$、$$3$$、$$8$$之间的差各不相等，  因此，这三个数前面任意一个符号不同时得到的结果都不相同，  因此总共可以得到$$2\times2\times2=8$$个不同的正整数值．  故选$$\text{A}$$． 
<p>可知共有$$2\times2\times2\times2=16$$种填入「$$+$$」或「$$-$$」号的方式：</p>
<p>①$$1+2+3+8+15=29$$；</p>
<p>②$$1+2+3+8-15=14-15&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>③$$1+2+3-8+15=13$$；</p>
<p>④$$1+2-3+8+15=23$$；</p>
<p>⑤$$1-2+3+8+15=25$$；</p>
<p>⑥$$1+2+3-8-15=6-23&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑦$$1+2-3+8-15=11-18&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑧$$1-2+3+8-15=10-15&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑨$$1+2-3-8+15=7$$；</p>
<p>⑩$$1-2+3-8+15=9$$；</p>
<p>⑪$$1-2-3+8+15=19$$；</p>
<p>⑫$$1+2-3-8-15=3-26&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑬$$1-2+3-8-15=4-25&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑭$$1-2-3+8-15=9-20&lt;{}0$$，不为正整数；</p>
<p>⑮$$1-2-3-8+15=3$$；</p>
<p>⑯$$1-2-3-8-15=1-28&lt;{}0$$，不为正整数．</p>
<p>其中总共有$$29$$、$$13$$、$$23$$、$$25$$、$$7$$、$$9$$、$$19$$、$$3$$共$$8$$个不同的正整数值．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第二轮）第3题4分
Problem: 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被$$11$$或$$13$$整除的三位数，则这个七位数最大是． 
Options:
aoVal: A
content: $$9981733$$ 
aoVal: B
content: $$9884737$$ 
aoVal: C
content: $$9978137$$ 
aoVal: D
content: $$9871773$$ 
Answer: B
Analysis: 注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是$$0$$，逐步极端分析，得$$988=13\times 76$$，$$884=13\times 68$$，$$847=11\times 77$$，$$473=11\times 43$$，$$737=11\times 67$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2016年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第3题
Problem: 一个两位数，十位上的数字是$$5$$，个位上的数字是$$a$$，表示这个两位数的式子是（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$50+a$$ 
aoVal: B
content: $$5+a$$ 
aoVal: C
content: $$50a$$ 
aoVal: D
content: $$5a$$ 
Answer: A
Analysis: 十位上的数字是$$5$$，也就是表示$$5$$个十，即$$50$$；个位上的数字是$$a$$，也就是表示$$a$$个一，即$$a$$．所以这个两位数就是$$50+a$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第六套第2题4分
Problem: $$2018$$俄罗斯世界杯刚刚落下帷幕，其中世界杯英文单词``$$WORLD CUP$$''中不同字母代表 着大于$$1$$的不同数字，请问$$W+O+R+L+D+C+U+P=$$（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$43$$ 
aoVal: B
content: $$44$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$54$$~ 
Answer: B
Analysis: 大于$$1$$的不同数字为：$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$，所以$$W+O+R+L+D+C+U+P=1+2+3+4+5+6+7+8+9=44$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第9题
Problem: $$16$$个外表一样的球，有$$10$$克和$$9$$克两种重量．先取两个球，天平两边各放一个使天平不平衡．就拿这两个球作为标准，将余下的$$14$$个球分成$$7$$对，用天平与这对标准球逐一比较，结果是$$3$$对较重，$$2$$对较轻，$$2$$对与标准球一样重，那么这$$16$$个球的总重量是克． 
Options:
aoVal: A
content: $$134$$ 
aoVal: B
content: $$135$$ 
aoVal: C
content: $$143$$ 
aoVal: D
content: $$153$$ 
Answer: D
Analysis: 第一次称的两个球，天平不平衡，所以$$1$$个球是$$10$$克，$$1$$个球是$$9$$克，作为标准的这对球重$$10+9=19$$（克）。比标准重的一对球重$$20$$克，比标准轻的一对球重$$18$$克，和标准重一样的一对球重$$19$$克，因此，这$$16$$个球的总重量为：$$20\times 3+19\times 3+18\times 2=153$$（克）。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2008年四年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第10题5分
Problem: 设$$n$$是一任意自然数．若将$$n$$的各位数字反向排列所得自然数$${n}_{1}$$与$$n$$相等，则称$$n$$为回文数．例如，若$$n=1234321$$，则称$$n$$为一回文数；但若$$n=1234567$$，则$$n$$不是回文数．请问在$$10000$$和$$100000$$之间有多少个回文数？ 
Options:
aoVal: A
content: $$900$$ 
aoVal: B
content: $$1000$$ 
aoVal: C
content: $$1100$$ 
aoVal: D
content: $$1200$$ 
aoVal: E
content: $$1500$$ 
Answer: A
Analysis: 在$$10000$$和$$100000$$之间的数都是五位数，不妨设其为$$\overline{abcba}$$，$$a$$不为$$0$$有$$9$$种选择，$$b$$、$$c$$均有$$10$$种选择，故共有$$9\times 10\times 10=900$$个回文数． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛
Problem: $$100$$以内，能同时被$$9$$和$$5$$整除的最大偶数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$75$$ 
aoVal: B
content: $$85$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$95$$ 
Answer: C
Analysis: 能同时被$$9$$和$$5$$整除的数一定能被$$45$$整除，所以$$100$$以内只有$$90$$符合题意． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的认识
Source: 2017年河南郑州小升初豫才杯第二场第11题
2017年河南郑州豫才杯竞赛第11题
Problem: 甲乙丙丁四人参加了一次考试．甲乙的成绩和比丙丁的成绩和高$$17$$分，甲比乙低$$4$$分，丙比丁高$$5$$分．四人中最高分比最低分高分． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 首先根据题意，可得乙比甲的成绩高，丙比丁的成绩高，然后根据题意，设乙得了$$x$$分，则甲得了$$x-4$$分，丙得了$$y$$分，则丁得了$$y-5$$分，再根据：甲、乙的成绩和$$-$$丙、丁的成绩和$$=17$$，求出$$x$$、$$y$$的关系，判断出四人中最高分、最低分各是多少，即可求出四人中最高分比最低分高多少．  设乙得了$$x$$分，则甲得了$$x-4$$分，丙得了$$y$$分，则丁得了$$y-5$$分，  所以$$(x+x-4)-(y+y-5)=17$$，  整理，可得：$$2x-2y+1=17$$，  所以$$2x-2y=16$$，  所以$$x-y=8$$，  所以乙比丙得分高；  因为$$x-y=8$$，  所以$$(x-4)-(y-5)=9$$，  所以甲比丁得分高，  所以乙得分最高，丁得分最低，  所以四人中最高分比最低分高：  $$x-(y-5)=x-y+5=8+5=13$$（分），  答：四人中最高分比最低分高$$13$$分．  故答案为：$$13$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->符号代换->代数运算
Source: 2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第7题3分
Problem: 某学校合唱队与舞蹈队的人数之比为$$3:2$$，如果将合唱队队员调$$10$$人到舞蹈队，则人数之比为$$7:8$$．合唱队原有． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$人 
aoVal: B
content: $$48$$人 
aoVal: C
content: $$44$$人 
aoVal: D
content: $$45$$人 
Answer: D
Analysis: 根据合唱队与舞蹈队调人前后人数之比可知，调出$$10$$人前，合唱队人数占全体人数的$$\frac{3}{3+2}$$，调出$$10$$人后，占全体人数的$$\frac{7}{7+8}$$，则全体人数为$$10\div \left( \frac{3}{3+2}-\frac{7}{7+8} \right)$$人，求出全体人数后，就能根据合唱队人数在全体人数中的占比求出合唱队原来有多少人．列式计算为$$\left[ 10\div \left( \frac{3}{3+2}-\frac{7}{7+8} \right) \right]\times \frac{3}{3+2}=45$$（人）. 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第7题2分
Problem: 算式$$\textasciitilde7+8\times 9$$的正确结果是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$65$$ 
aoVal: B
content: $$72$$ 
aoVal: C
content: $$79$$ 
aoVal: D
content: $$135$$ 
Answer: C
Analysis: 先算乘除，再算加减，$$7+8\times 9=7+72=79$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第1题
Problem: 一个最大的三位数除以一个整数，得到的商四舍五入保留一位小数后是$$2.5$$，除数最小是（~~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$400$$ 
aoVal: B
content: $$396$$ 
aoVal: C
content: $$392$$ 
aoVal: D
content: $$388$$ 
Answer: C
Analysis: 要使得除数最小，那么商就尽可能的大，因此商无限接近于$$2.54\cdots $$；$$999$$除以$$2.54$$符合条件的结果是$$392$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第1题
Problem: 一家商店将某种服装按成本价提高$$40  \% $$后标价，又以$$8$$折（即按标价的$$80  \% $$）优惠卖出，结果每件服装仍可获利$$15$$元，则这种服装每件的成本是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$120$$元 
aoVal: B
content: $$125$$元 
aoVal: C
content: $$135$$元~~~~~ 
aoVal: D
content: $$140$$元 
Answer: B
Analysis: 设这种服装每件的成本是$$x$$元．则有$$\left( 1+40  \% ~\right)x\times 80 \%=x+15$$，解得$$x=125$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2017年河南郑州东风杯竞赛初赛
Problem: 幼儿园买了$$8$$辆玩具车，每辆玩具车需要$$92$$元，李老师带了$$720$$元够吗？下面的解答比较合理的是． 
Options:
aoVal: A
content: 因为$$92\times 8\approx$$ 720（元），$$92\times$$ 8\textgreater720，所以$$92\times$$ 8\textgreater720，够 
aoVal: B
content: 因为$$92\times 8\approx$$ 800（元），$$92\times$$ 8\textless800，所以$$92\times$$ 8\textless720，够 
aoVal: C
content: 因为$$92\times 8\approx$$ 720（元），$$92\times$$ 8\textgreater720，所以$$92\times$$ 8\textgreater720，不够 
aoVal: D
content: 因为$$92\times 8\approx$$ 800（元），$$92\times$$ 8\textgreater800，所以$$92\times$$ 8\textgreater720，不够 
Answer: C
Analysis: 92\textgreater90，总价大于$$720$$元，所以不够 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型
Source: 走美杯三年级竞赛
走美杯四年级竞赛
Problem: 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为$$9:7$$，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为$$7:5$$，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（  ）个。 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 取出一粒黑子后，盒子内棋子的总数与取出一粒白子后，盒子内棋子的总数相等，$$\left[ 9+7,7+5 \right]=\left[ 16,12 \right]=48$$，因此，取出一粒黑子后，黑白子之比为$$9:7=27:21$$,取出一粒白子后，黑白子之比为$$7:5=28:20$$，黑子增加了$$1$$粒，从$$27$$份增加到$$28$$份，因此$$1$$份就是$$1$$粒，于是，盒子里原有$$28$$粒黑子、$$21$$粒白子，一开始黑子比白子多$$7$$个。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2013年华杯赛五年级竞赛初赛
2020年第24届YMO五年级竞赛决赛第8题3分
2013年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 毛毛用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个．毛毛摆这个方阵共用围棋子个． 
Options:
aoVal: A
content: $$96$$ 
aoVal: B
content: $$108$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$132$$ 
Answer: B
Analysis: $$1$$、这是一道关于方阵的问题，考查的是方阵的知识；  $$2$$、由题意知，用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个，由于相邻两层每边相差$$2$$个，则由里向外的两层每边分别是$$\left( 8+2 \right)$$个、$$(8+2\times 2)$$个；  $$3$$、根据``四周的个数$$=\left( {} \right.$$每边的个数$$\left. -1 \right)\times 4$$''可分别求得这三层棋子的个数，再相加就是所用的总个数，据此解答．  根据题意分析可知：最内一层棋子个数为：$$\left( 8-1 \right)\times 4=7\times 4=28$$（个），  第二层棋子有：$$\left( 8+2-1 \right)\times 4=9\times 4=36$$（个），  第三层棋子有：$$\left( 8+2\times 2-1 \right)\times 4=11\times 4=44$$（个），  所以三层一共有$$28+36+44=108$$（个）．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->空心方阵->空心方阵的增减
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 有数组{$$1$$，$$2$$，$$3$$}，{$$2$$，$$4$$，$$6$$}，{$$3$$，$$6$$，$$9$$}，$$\cdots \cdots $$根据规律，第$$100$$个数组的三个数的和是（~ ~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$600$$ 
aoVal: B
content: $$603$$ 
aoVal: C
content: $$606$$ 
aoVal: D
content: $$609$$ 
Answer: A
Analysis: 第$$100$$个数组是{$$100$$，$$200$$，$$300$$}，$$100+200+300=600$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2018年湖北武汉新希望杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第3题
Problem: 老师把某两位数的六个不同因数分别告诉了$$A\sim F$$六个聪明诚实的同学．  $$A$$和$$B$$同时说：我知道这个数是多少了．  $$C$$和$$D$$同时说：听了他们的话，我也知道这个数是多少了．  $$E$$：听了他们的话，我知道我的数一定比$$F$$的大．  $$F$$：我拿的数的大小在$$C$$和$$D$$之间． 那么六个人拿的数之和是（ ~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$141$$ 
aoVal: B
content: $$152$$ 
aoVal: C
content: $$171$$ 
aoVal: D
content: $$175$$ 
Answer: A
Analysis: （1）这个数的因数个数肯定不低于$$6$$个（假定这个数为$$N$$，且拿到的$$6$$个数从大到小分别是$$ABCDEF$$~）  （2）有两个人同时第一时间知道结果，这说明以下几个问题：  第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在$$50\sim 99$$之间（也就是说$$A$$ 的$$2$$倍是$$3$$位数，所以$$A$$其实就是$$N$$）  第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果，但是具备以下条件：  这个数的约数少于$$6$$个，比如：有人拿到$$36$$，单他不能断定$$N$$究竟是$$36$$还是$$72$$．  这个数小于$$50$$，不然这个数就只能也是$$N$$了．  这个数大于$$33$$，比如：有人拿到$$29$$，那么他不能断定$$N$$ 是$$58$$还是$$87$$；(这里有个特例是$$27$$，因为$$27\times 2=54$$，因数个数不少于$$6$$个；$$27\times 3=81$$，因数个数少于$$6$$个，所以如果拿到$$27$$可以判断$$N$$只能为$$54$$）  这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数．  最关键的是，这两人的数是$$2$$倍关系  但是上述内容并不完全正确，需要注意还有一些``奇葩''数：$$17$$、$$19$$、$$23$$也能顺利通过第一轮．  因此，这两个人拿到的数有如下可能：  （$$54$$，$$27$$）（$$68$$，$$34$$）（$$70$$，$$35$$）（$$76$$，$$38$$）（$$78$$，$$39$$）（$$92$$，$$46$$）（$$98$$，$$49$$）  （3）为了对比清晰，我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来：  （$$54$$，$$27$$，$$18$$，$$9$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$68$$，$$34$$，$$17$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$70$$，$$35$$，$$14$$，$$10$$，$$7$$，$$5$$，$$2$$，$$1$$）  （$$76$$，$$38$$，$$19$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$78$$，$$39$$，$$26$$，$$13$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$92$$，$$46$$，$$23$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$98$$，$$49$$，$$14$$，$$7$$，$$2$$，$$1$$）  对于第一轮通过的数，我们用红色标注，所以$$N$$不能是$$68$$、$$76$$、$$92$$中的任意一个．  之后在考虑第二轮需要通过的两个数．  用紫色标注的$$6$$、$$3$$、$$2$$、$$1$$，因为重复使用，如果出现了也不能判断$$N$$是多少，所以不能作为第二轮通过的数．  用绿色标注的$$14$$和$$7$$也不能作为第二轮通过的数，这样$$N$$也不是$$98$$．  那么通过第二轮的数只有黑色的数．  所以$$N$$ 只能是$$54$$、$$70$$、$$78$$中的一个．  我们再来观察可能满足$$E$$和$$F$$所说的内容：  （$$54$$，$$27$$，$$18$$，$$9$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$70$$，$$35$$，$$14$$，$$10$$，$$7$$，$$5$$，$$2$$，$$1$$）  （$$78$$，$$39$$，$$26$$，$$13$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  因为$$F$$说他的数在$$C$$和$$D$$之间，我们发现上面的数据只有当$$N=70$$的时候，$$F=7$$，在$$CD$$$$(10$$和$$5)$$之间，是唯一满足条件的一种情况．  又因为$$E$$ 确定自己比$$F$$的大，那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的．所以$$E$$拿到的是$$14$$（$$N=70$$~）．  所以$$N=70$$，六个人拿的数之和为：$$70+35+14+10+7+5=141$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第15题
Problem: 警察厅坐着的$$5$$位偷盗嫌疑人正在接受警察的盘问，其中只有一名是真正小偷，在这$$5$$人的供述中，只有$$3$$句是正确的，请问小偷是~\uline{~~~~~~~~~~}~．  A说：丁是小偷；  B说：我不是小偷，我是无辜的；  C说：我非常肯定戊不是小偷；  D说：甲在撒谎；  E说：乙说的是实话． 
Options:
aoVal: A
content: $$A$$ 
aoVal: B
content: $$B$$ 
aoVal: C
content: $$C$$ 
aoVal: D
content: $$D$$ 
aoVal: E
content: $$E$$ 
Answer: E
Analysis: 简化这$$5$$人的供述为：  甲：是丁；  乙：不是乙；  丙：不是戊；  丁：不是丁；  戊：不是乙．  其中乙戊的判断是一样的，可能都对或都都错，经过分析知道乙戊是正确的，那么甲丙丁三人中还有一人是正确的，依次假设推理得甲错丙错丁正确，那么丙的供述''不是戊''就是错误的，小偷是戊． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找一致（同伙）
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（一）
Problem: 因为$$2003$$是一个质数，所以$$2003$$年是一个质数年。在$$2003$$年以后的十年中还有一个质数年，这个质数年的年份是下列选项中的~\uline{~~~~~~~~}~。 
Options:
aoVal: A
content: $$2005$$ 
aoVal: B
content: $$2007$$ 
aoVal: C
content: $$2009$$ 
aoVal: D
content: $$2011$$ 
aoVal: E
content: $$2013$$ 
Answer: D
Analysis: $$2011$$是质数，所以选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定
Source: 2010年五年级竞赛明心奥数挑战赛
Problem: 十位数字和个位数字相加的和是$$12$$，这样的两位数一共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 两位数的十位数字与个位数字之和为$$12$$，  而数字均为$$0\sim 9$$，故枚举得：  $$93$$，$$84$$，$$75$$，$$66$$，$$57$$，$$48$$，$$39$$共$$7$$个．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第6题3分
Problem: 在下面四个算式中，得数最大的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \frac{1}{17}+\frac{1}{19} \right)\times 20$$ 
aoVal: B
content: $$\left( \frac{1}{24}+\frac{1}{29} \right)\times30$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{31}+\frac{1}{37} \right)\times40$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{1}{41}+\frac{1}{47} \right)\times50$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left( \frac{1}{17}+\frac{1}{19} \right)\times 20=(17+3)\times\frac{1}{17}+(19+1)\times\frac{1}{19}=2+\frac{3}{17}+\frac{1}{19}=2+\frac{9}{51}+\frac{3}{57}$$  $$\left( \frac{1}{24}+\frac{1}{29} \right)\times30=(24+6)\times\frac{1}{24}+(29+1)\times\frac{1}{29}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{29}=2+\frac{9}{36}+\frac{3}{87}$$  $$\left( \frac{1}{31}+\frac{1}{37} \right)\times40=(31+9)\times\frac{1}{31}+(37+3)\times\frac{1}{37}=2+\frac{9}{31}+\frac{3}{37}$$  $$\left( \frac{1}{41}+\frac{1}{47} \right)\times50=(41+9)\times \frac{1}{41}+(47+3)\times \frac{1}{47}=2+ \frac{9}{41}+ \frac{3}{47}$$  分子相同，分母越小，分数越大。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->裂项与通项归纳->分数裂项->分数裂差->两分数间接裂差
Source: 2004年第2届创新杯六年级竞赛复赛第5题
Problem: 从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$7$$中选择若干个不同的数，使得其中偶数之和等于奇数之和，则符合条件的选法共有（  ）种。 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 偶数：$$2$$、$$4$$、$$6$$；奇数$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$；偶数少，所以看偶数和；  偶数和有：$$2$$（舍掉）、$$4$$、$$6$$、$$8$$、$$10$$、$$12$$；  $$4$$：$$4=1+3$$，$$1$$组  $$6$$：$$6=2+4=1+5$$，$$2$$组  $$8$$：$$2+6=1+7=3+5$$，$$2$$组  $$10$$：$$4+6=3+7$$，$$1$$组  $$12$$：$$2+4+6=5+7$$，$$1$$组  所以共有$$1+2+2+1+1=7$$（组）。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目确定
Source: 2013年华杯赛三年级竞赛决赛
2013年华杯赛六年级竞赛决赛
Problem: $$20140316\div 5$$的余数是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$20140316\div 5=4028063\cdots\cdots 1$$；  答：余数是$$1$$．  故答案为：A． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数问题带余除法
Source: 2014年希望杯五年级竞赛初赛