math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$A=48\times \left( \frac{1}{{{3}^{2}}-4}+\frac{1}{{{4}^{2}}-4}+\cdots +\frac{1}{{{100}^{2}}-4} \right)$$，则与$$A$$最接近的正整数是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$\frac{1}{{{a}^{2}}-4}=\frac{1}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-2} \right)$$，  ∴$$A=48\times \left( \frac{1}{{{3}^{2}}-4}+\frac{1}{{{4}^{2}}-4}+\cdots +\frac{1}{{{100}^{2}}-4} \right)$$  $$=48\times \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3-2}-\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4-2}-\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5-2}-\frac{1}{5+2}+\cdots +\frac{1}{100-2}-\frac{1}{100+2} \right)$$  $$=48\times \frac{1}{4}\left( 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{1}{98}-\frac{1}{102} \right)$$  $$=12\times \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102} \right)$$  $$=12\times \left( \frac{25}{12}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102} \right)$$．  ∵$$\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}\textless{}\frac{4}{99}\textless{}\frac{4}{96}=\frac{1}{24}$$，  ∴$$\frac{25}{12}\textgreater\frac{25}{12}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102}\textgreater\frac{25}{12}-\frac{1}{24}=\frac{49}{24}$$，  ∴$$12\times \frac{25}{12}\textgreater12\times \left( \frac{25}{12}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102} \right)\textgreater12\times \frac{49}{24}$$．  即$$25\textgreater A\textgreater24.5$$，  ∴与$$A$$最接近的正整数是$$25$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->裂项
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一单元测试《因式分解的应用》第24题
2005年竞赛第4题6分
初三上学期其它
Problem: 质数$$a$$和$$b$$是$$x$$的整系数方程$${{x}^{2}}-21x+t=0$$的两个根，则$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2213$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{58}{21}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2402}{49}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{365}{38}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$a+b=21$$，$$a$$，$$b$$是质数可知$$a$$，$$b$$必为$$2$$与$$19$$两数，  而$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=\frac{{{2}^{2}}+{{19}^{2}}}{2\times 19}=\frac{365}{38}$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第10题
Problem: \textbf{2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛}  Tyler is tiling the floor of his $$12$$ foot by $$16$$ foot living room. He plans to place one-foot by one-foot square tiles to form a border along the edges of the room and to fill in the rest of the floor with two-foot by two-foot square tiles. How many tiles will he use?．
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$87$$ 
aoVal: C
content: $$91$$ 
aoVal: D
content: $$96$$ 
aoVal: E
content: $$120$$ 
Answer: B
Analysis: Tyler要给自己$$12$$英尺$$\times 16$$英尺的房间铺地板．为此他打算用边长一英尺的方砖沿墙边铺，并用边长两英尺的地砖铺剩下的地面．他需要多少块地砖？  他将在边上周围放置$$(12\cdot 2)+(14\cdot 2)=52$$块瓷砖．在房间的内部，我们有$$10\cdot 14=140$$平方英尺．每个瓷砖占$$4$$个平方英尺，所以他会在房间的内部使用$$\frac {140}{4}=35$$块瓷砖．因此，答案是$$52+35=87$$．  故选$$\text{B}$$．  He will place $$(12\cdot 2)+(14\cdot 2)=52$$ tiles around the border. For the inner part of the room, we have $$10\cdot 14=140$$ square feet. Each tile takes up $$4$$ square feet, so he will use $$\frac{140}{4}=35$$ tiles for the inner part of the room. Thus, the answer is $$52+35=87$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的周长与面积
美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Word Problems Combining with Geometry->Tiles Word Problems
Source: 2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 2013年$$AMC8$$竞赛第$$28$$题  On a number line， is the same distance from $$1.75$$ as it is from $$7.25$$．
Options:
aoVal: A
content: $$2.75$$ 
aoVal: B
content: $$3.25$$ 
aoVal: C
content: $$3.75$$ 
aoVal: D
content: $$4.5$$ 
Answer: D
Analysis: The average of $$1.75$$ and $$7.25$$ is equidistant from them， The average is $$(1.75 + 7.25)\div2=4.5$$．  在数轴上，到$$1.75$$的距离和它到$$7.25$$的距离相同．  $$\text{A}$$．$$2.75$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{B}$$．$$3.25$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{C}$$．$$3.75$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{D}$$．$$4.5$$  $$1.75$$和$$7.25$$的平均值与它们的距离相等，平均值是$$(1.75+7.25)\div2=4.5$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Average Formulas
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题
Source: 2013年竞赛第28题
Problem: 已知$$a$$是整数，则下列代数式中，值不可能是整数的为（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2a-1}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3a-2}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{{{a}^{2}}-6a-10}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{{{a}^{2}}-2}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$a=5$$时，$$\frac{2a-1}{9}=1$$，是整数；  当$$a=0$$时，$$\frac{3a-2}{2}=-1$$，是整数；  当$$a=4$$时，$$\frac{{{a}^{2}}-6a-10}{6}=-5$$，是整数．  而对任意整数$$a$$，$${{a}^{2}}$$是被$$3$$整除或被$$3$$除余$$1$$的整数，  所以$${{a}^{2}}-2$$是被$$3$$除余$$1$$或余$$2$$的整数，  因此对任意整数$$a$$，$$\frac{{{a}^{2}}-2}{3}$$都不是整数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分
Problem: 已知$$x$$，$$y$$，$$z$$都是正整数，代数式$${{x}^{2}}y-{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x-{{x}^{2}}z+{{y}^{2}}x+{{z}^{2}}y-2xyz$$的值是质数，则$${{z}^{x+y}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$${{x}^{2}}y-{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x-{{x}^{2}}z+{{y}^{2}}x+{{z}^{2}}y-2xyz=(y+x)(z-x)(z-y)$$，  且代数式的值为质数，$$x$$，$$y$$，$$z$$都是正整数，  ∴$$x+y\geqslant 2$$，  ∴$$\left { \begin{matrix}z-x=1    z-y=1   \end{matrix} \right.$$，  即$$x=y$$，  且$$x+y$$为质数，  又$$x+y=2x$$，  ∴$$x=y=1$$，  ∴$$z=x+1=2$$，  ∴$${{z}^{x+y}}={{2}^{2}}=4$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第10题
Problem: $$a=\frac{\left\textbar{} -5 \right\textbar}{\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}}}$$，$$b=\frac{\sqrt{{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}}{1-3}$$，$$c=\frac{\left\textbar{} 4-\dfrac{3}{4} \right\textbar}{3+\dfrac{1}{4}}$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$a=b=c$$ 
aoVal: C
content: $$a=c\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$a=b\textgreater c$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$a=1$$，$$b=-1$$，$$c=1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->实数与根式运算问题
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 要使分式$$\frac{1}{\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}}$$有意义，则$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\ne 0$$ 
aoVal: B
content: $$x\ne 1$$且$$x\ne 0$$ 
aoVal: C
content: $$x\ne 0$$或$$x\ne \pm 1$$ 
aoVal: D
content: $$x\ne 0$$且$$x\ne \pm 1$$ 
Answer: D
Analysis: 要使分式$$\frac{1}{\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}}$$有意义，  必须使$$\left\textbar{} x \right\textbar\ne 0$$， 且$$\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}\ne 0$$，  即$$x\ne 0$$且$$1-\left\textbar{} x \right\textbar\ne 0$$，  所以$$x$$的取值范围是$$x\ne 0$$且$$x\ne \pm 1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 方程$$\textbar{{x}^{2}}-1\textbar=\frac{1}{10}\left( x+\frac{9}{10} \right)$$的实根的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$\textbar x\textbar\textgreater1$$时，有方程$${{x}^{2}}-1=\frac{1}{10}\left( x+\frac{9}{10} \right)$$，由根与系数关系可知，方程有一正根一负根，且正根符合要求；当$$\textbar x\textbar\textless{}1$$时，有方程$$1-{{x}^{2}}=\frac{1}{10}\left( x+\frac{9}{10} \right)$$，同理可知也是一正根一负根，正根符合要求，所以共有$$2$$个根．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 已知$$x$$、$$y$$、$$a$$、$$b$$都是正数，且$$a\textless{}b$$，$$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$，如果$$x+y=c$$，则$$x$$与$$y$$中较大的一个的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ab}{a+b}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ab}{b+c}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ac}{a+b}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{bc}{a+b}$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$x$$、$$y$$、$$a$$、$$b$$都是正数，且$$a\textless{}b$$，  由$$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\textless{}1$$，得$$x\textless{}y$$．  ∴$$x$$，$$y$$中较大的数是$$y$$．  又$$x+y=c$$，$$x=\frac{a}{b}y$$，  ∴$$\frac{a}{b}y+y=c$$，  得$$\frac{a+b}{c}y=c$$，  ∴$$y=\frac{bc}{a+b}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 初二上学期单元测试《分式》分式的运算第14题
1996年第7届希望杯初二竞赛第10题
Problem: $$a=\left( -\frac{1}{6} \right)+\left( -\frac{1}{5} \right)-\left( -\frac{1}{4} \right)$$．则$$a$$的相反数是．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{17}{60}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{7}{60}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{17}{60}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{60}$$ 
Answer: D
Analysis: $$a=\left( -\frac{1}{6} \right)+\left( -\frac{1}{5} \right)-\left( -\frac{1}{4} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde=\frac{(-10)+(-12)-(-15)}{60}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde=\frac{-10-12+15}{60}=-\frac{7}{60}$$．  所以$$a$$的相反数是$$\frac{7}{60}$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第2题
Problem: 某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过$$200$$元，则不予折扣；②如一次购物超过$$200$$元但不超过$$500$$元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过$$500$$元的，其中$$500$$元按第②条给予优惠，超过$$500$$元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款$$168$$元和$$423$$元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$522.8$$元 
aoVal: B
content: $$510.4$$元 
aoVal: C
content: $$560.4$$元 
aoVal: D
content: $$472.8$$元 
Answer: C
Analysis: 显然，$$168$$小于$$200\times 0.9=180$$ ，没有经过打折；$$423$$小于$$500\times 0.9=450$$ ，且大于$$200$$，所以这是经过$$9$$折后的价格；合在一起是$$168+423\div 0.9=638\textgreater500$$ ，按照③，可是应付款为：$$500\times 0.9+138\times 0.8=560.4$$ 元．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第6题
2001年第18届全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{9}{16}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{12}{25}$$ 
aoVal: E
content: 答案请写在答题纸上 
Answer: E
Analysis: 答案请写在答题纸上 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 在集合 $ {3,6,9,10 }$ 中加入第五个数字$n$，使得这五个数字的平均值等于中位数$$.$$ 则 $n$ 有种可能的取值．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: more than $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 数列$$ {3,6,9,10 }$$中增加第五个数$$n$$，使得五个数的平均数等于其中位数．$$n$$可能值的个数是？  添加$$n$$后可能的中间值为$$6$$、$$n$$或$$9$$．现在我们举例分析．  例$$1$$：中位数是$$6$$，  在本例中，$$n\textless{}6$$，$$\frac{3+n+6+9+10}{5}=6\Rightarrow n=2$$，因此本例贡献了$$1$$．  例$$2$$：中位数是$$n$$，  我们有$$6\textless{}n\textless{}9$$，$$\frac{3+6+n+9+10}{5}=n\Rightarrow n=7$$，所以本例也贡献了$$1$$．  例$$3$$：中位数是$$9$$，  我们有$$9\textless{}n$$，$$\frac{3+6+9+n+10}{5}=9\Rightarrow 17$$，所以本例也贡献$$1$$．  总共有$$3$$个可能的$$n$$值．  故选$$\text{C}$$．  The possible medians after $$n$$ is added are $$6$$, $$n$$, or $$9$$. Now we use casework  Case$$1$$: The median is $$6$$,  In this case, $$n\textless{}6$$ and $$\frac{3+n+6+9+10}{5}=6\Rightarrow n=2$$, so this case contributes $$1$$.  Case$$2$$: The median is $$n$$,  We have $$6\textless{}n\textless{}9$$ and $$\frac{3+6+n+9+10}{5}=n\Rightarrow n=7$$, so this case also contributes$$1$$.  Case$$3$$: The median is $$9$$,  We have $$9\textless{}n$$ and $$\frac{3+6+9+n+10}{5}=9\Rightarrow 17$$, so this case adds $$1$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Complex Average Problems
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
Source: 1988年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 设$$a\textgreater0\textgreater b\textgreater c$$，$$a+b+c=1$$，$$M=\frac{b+c}{a}$$，$$N=\frac{a+c}{b}$$，$$P=\frac{a+b}{c}$$，则$$M$$，$$N$$，$$P$$之间的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$M\textgreater N\textgreater P$$ 
aoVal: B
content: $$N\textgreater P\textgreater M$$ 
aoVal: C
content: $$P\textgreater M\textgreater N$$ 
aoVal: D
content: $$M\textgreater P\textgreater N$$ 
Answer: D
Analysis: $$M+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{b+c+a}{a}=\frac{1}{a}$$，  同理$$N+1=\frac{1}{b}$$，$$P+1=\frac{1}{c}$$，  因为$$a\textgreater0\textgreater b\textgreater c$$，  所以$$\frac{1}{a}\textgreater\frac{1}{c}\textgreater\frac{1}{b}$$．  所以$$M+1\textgreater P+1\textgreater N+1$$．  所以$$M\textgreater P\textgreater N$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第5题
2020~2021学年安徽合肥包河区初一下学期期末第10题3分
2016~2017学年河南洛阳新安县初一下学期期末第8题4分
Problem: 若$$k$$为整数，则使得方程$$(k-1999)x=2001-2000x$$的解也是整数的$$k$$值有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{2001}{k+1}$$为整数，又$$2001=1\times 3\times 23\times 29$$，  $$k+1$$可取$$\pm 1$$、$$\pm 3$$、$$\pm 23$$、$$\pm 29$$、$$\pm (3\times 23)$$、$$\pm (3\times 29)$$、$$\pm (23\times 29)$$、$$\pm 2001$$共$$16$$个值，对应的$$k$$值也有$$16$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第10题
初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题
Problem: 若$${{x}^{2}}-13x+1=0$$，则$${{x}^{4}}-{{x}^{-4}}$$的个位数字是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{x}^{2}}-13x+1$$可得到$$x+\dfrac{1}{x}=13$$，所以$${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{(x+\dfrac{1}{x})}^{2}}-2={{13}^{2}}-2=167$$．  同样的$${{x}^{4}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}={{({{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}})}^{2}}-2$$，可以根据个位数字可以直接判断结果的个位数字为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 初一上学期其它
1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题
Problem: 已知多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$x-1$$时，所得的余数是$$1$$，除以$$x-2$$时所得的余数是$$3$$，那么多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时，所得的余式是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$2x-1$$ 
aoVal: B
content: $$2x+1$$ 
aoVal: C
content: $$x+1$$ 
aoVal: D
content: $$x-1$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$，除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$mx+n$$，商式为$$q\left( x \right)$$，  当$$y=1$$时，$$\left( x-1 \right)\cdot q\left( x \right)+m+n=1$$，  当$$y=2$$时，$$\left( x-2 \right)\cdot q\left( x \right)+2m+n=3$$，  所以$$m=2,n=-1$$  所以多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$2x-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->综合除法和余数定理 
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以多项式
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔$$3$$支，练习本$$7$$本，圆珠笔$$1$$支共需$$3.15$$元；若购铅笔$$4$$支，练习本$$10$$本，圆珠笔$$1$$支共需$$4.2$$元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各$$1$$个，共需．
Options:
aoVal: A
content: $$1.2$$元 
aoVal: B
content: $$1.05$$元 
aoVal: C
content: $$0.95$$元 
aoVal: D
content: $$0.9$$元 
Answer: B
Analysis: 设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为$$x$$、$$y$$和$$z$$元，  根据题意得：$$\begin{cases}3x+7y+z=3.15①    4x+10y+z=4.2 ②\end{cases}$$，  $$3\times$$①$$-$$$$2\times$$②可得：$$x+y+z=1.05$$．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
Source: 2017年浙江宁波鄞州区宁波兴宁中学自主招生第4题5分
2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第5题
Problem: 用一根长为$$a$$米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为$$b$$平方米．现在这个等边三角形内任取一点$$P$$，则点$$P$$到等边三角形三边距离之和为（  ）米．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2b}{a}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4b}{a}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{6b}{a}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{8b}{a}$$ 
Answer: C
Analysis: 等边三角形周长为$$a$$，则边长为$$\frac{a}{3}$$，  设$$P$$到等边三角形的三边分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$，  则等边三角形的面积为$$b=\frac{1}{2}\times \frac{a}{3}\times \left( x+y+z \right)$$  解得$$x+y+z=\frac{6b}{a}$$，  故选C 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等边三角形->等边三角形的性质
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的周长与面积问题
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形周长与面积
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第6题
Problem: 设实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足：$$a+b+c=6$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=6$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，  ∴$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}$$  $$=\frac{4-{{c}^{2}}}{2-c}+\frac{4-{{a}^{2}}}{2-a}+\frac{4-{{b}^{2}}}{2-b}$$  $$=2+c+2+a+2+b$$  $$=a+b+c+6$$  $$=6+6$$  $$=12$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第1题7分
Problem: 某电影院第一排共有$$9$$个座位，现有$$3$$名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$42$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: $$54$$ 
Answer: C
Analysis: 将座位从左至右编为$$1,2,\cdots ,9$$，考虑从左至右第一个有人坐的座位号：  ①如果是$$1$$，则另两个人的座位号只能是$$4$$和$$7$$，只有$$1$$种方法；  ②如果是$$2$$，则下一个人可以坐$$4$$或$$5$$．若是$$4$$，则第三个人只能坐$$7$$号；若是$$5$$，则第三个人可以坐$$7$$或$$8$$．共有$$3$$种方法；  ③如果是$$3$$，则下一个人可以坐$$5$$或$$6$$．若是$$5$$，则第三个人可以坐$$7$$或$$8$$；若是$$6$$，则第三个人可以坐$$8$$或$$9$$．共有$$2+2=4$$种方法．  所以，不同的坐法种数为$$\left( 1+3+4 \right)\text{A}_{3}^{3}=48$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 在锐角$$\vartriangle ABC$$中，$$a，b，c$$分别为角$$A，B，C$$的对边，已知$${{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+bc，b=2$$，则$$\vartriangle ABC$$的面积\emph{S}的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{3} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{3} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{2} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据条件求出$$A=\frac{\text{ } ! !\pi ! !\text{ }}{3}$$，利用三角形面积公式得到$${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$，采用极端值方法求出$$c$$的最值，进而得到$$c$$的范围，求出面积的取值范围.\\ 【详解】\\ $$\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$$，因为$$\vartriangle ABC$$为锐角三角形，故$$A=\frac{\text{ } ! !\pi ! !\text{ }}{3}$$，\\ $${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$，当\emph{BC}⊥\emph{AB}时，$$c=b\cos A=1$$，当\emph{CB}⊥\emph{AC}时，$$c=\frac b{\cos A}=4$$，故$$c\in \left( 1,4 \right)$$，所以$${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2},2\sqrt{3} \right)$$.\\ 故选：C 
Knowledge points: 课内体系->知识点->解三角形
Source: 2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第8~8题
Problem: 已知$$z={{(\sqrt{3}-3\text i)}^{n}}$$, 若$$z$$为实数，则最小的正整数$$n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: $$z={{(\sqrt{3}-3\text i)}^{n}}={{(-2\sqrt{3})}^{n}}{{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text i)}^{n}}$$，$$n=3$$是使$$z$$为实数的最小的正整数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知$$f(x)=x\left\textbar{} x \right\textbar$$，若对任意的$$x\geqslant 1$$有$$f(x+m)+mf(x)\textless{}0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,-1]$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty ,-2]$$ 
Answer: B
Analysis: 显然$$m\textless{}0$$，所以$$f\left( x+m \right)\textless{}-mf\left( x \right)=f\left( \sqrt{-m}x \right)$$．  因为$$f\left( x \right)$$是单调增的奇函数，所以$$x+m\textless{}\sqrt{-m}x$$，即$$\left( \sqrt{-m}-1 \right)x\textgreater m$$．  所以必须$$\sqrt{-m}-1\geqslant 0$$，$$m\leqslant -1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 设$$a\textgreater0,b\textgreater0$$，则下列不等式中不恒成立的是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geqslant \sqrt{ab}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{\textbar a-b\textbar}\geqslant \sqrt{a}-\sqrt{b}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\textgreater a+b$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$$，则$$\sqrt{ab}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\geqslant 2$$，即$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \sqrt{ab}$$，当且仅当$$a=b$$时取等号，故不等式不恒成立. 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->针对不等式变形判断正误
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式证明其它不等式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 设$$G$$和$$O$$分别是$$\triangle ABC$$的重心和外心，且$$AB=\sqrt{3}$$，$$AC=3$$，则$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AO}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$O$$是$$\triangle ABC$$的外心，故$$O$$在$$AB$$边上的投影为$$AB$$的中点，  故$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{AO} \right\textbar\cdot \cos \angle BAO=\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}$$，  同理可得，$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}$$，  所以$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left( {{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}} \right)=\frac{1}{6}(3+9)=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量
竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第7题
Problem: (★★)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为``同族函数''，那么函数解析式为$$y=-{{x}^{2}}$$，值域为$$\left { 0,  -1,  -9 \right }$$的``同族函数''共有．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$9$$个 
aoVal: D
content: $$10$$个 
Answer: C
Analysis: $$1\times 3\times 3=9$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 原点的直线$$l$$交双曲线$$xy=-2\sqrt{2}$$于$$P,Q$$两点，其中$$P$$点在第二象限，将下半平面沿$$x$$轴折起使之与上半平面成直二面角，线段$$PQ$$的最短长度是．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$3\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$4\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设点$$P$$的坐标为$$\left( x,y \right)$$，由对称性$$Q$$的坐标为$$\left( -x,-y \right)$$，分别过$$P,Q$$作$$x$$轴的垂线，垂足分别为$${{P}_{1}}\left( x,0 \right){ }{{Q}_{1}}\left( -x,0 \right)$$，折成直二面角后，  $${{\left\textbar{} PQ \right\textbar}^{2}}={{\left\textbar{} P{{P}_{1}} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} {{P}_{1}}{{Q}_{1}} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} {{Q}_{1}}Q \right\textbar}^{2}}$$  $$={{y}^{2}}+{{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}=4{{x}^{2}}+2{{\left( \frac{-2\sqrt{2}}{x} \right)}^{2}}$$  $$=4{{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}{\geqslant }2\sqrt{64}=16$$，  即$$\left\textbar{} PQ \right\textbar{\geqslant }4$$；当$$4{{x}^{2}}=\frac{16}{{{x}^{2}}}$$即$$x=\sqrt{2}$$时，$$\left\textbar{} PQ \right\textbar=4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 正六棱柱的12个顶点的任意2个项点所在直线中，异面直线的对数为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 1125 
aoVal: B
content: 1278 
aoVal: C
content: 1350 
aoVal: D
content: 1542 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先考虑任取4个点，求出不共面的情形的个数，从而可求异面直线的对数.\\ 【详解】\\ 12个顶点构成的4点组有${\mathrm{C}}_{12}^{4}=495$个，其中共面的4点组可以按在上下底面的个数分类讨论．\\ \textbf{情形一}~~~全部在上底面或全部在下底面．共面4点组数为$2{\mathrm{C}}_{6}^{4}=30$．\\ \textbf{情形二}~~~两个底面各2个，共面4点组数按在上底面的2个点间的位置关系分类（此时上下底面的点分别连线，则连线平行），为$6\times 3+6\times 2+3\times 3=39$．\\ 因此共面的4点组共有69个，进而不共面的4点组有426个，每个不共面的4点组贡献3对异面直线，且不同的4点组贡献的异面直线不同，\\ 因此所求异面直线的对数为$426\times 3=1278$．\\ 故选：B. 
Source: 竞赛第19题
Problem: 设$$a=\sin (\sin 2008{}^{}\circ )$$，$$b=\sin (\cos 2008{}^{}\circ )$$，$$c=\cos (\sin 2008{}^{}\circ )$$，$$d=\cos (\cos 2008{}^{}\circ )$$，则$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c\textless{}d$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}a\textless{}d\textless{}c$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}d\textless{}b\textless{}a$$ 
aoVal: D
content: $$d\textless{}c\textless{}a\textless{}b$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$2008{}^{}\circ =5\times 360{}^{}\circ +180{}^{}\circ +28{}^{}\circ $$，所以，  $$a=\sin (-\sin 28{}^{}\circ )=-\sin (\sin 28{}^{}\circ )\textless{}0$$；  $$b=\sin (-\cos 28{}^{}\circ )=-\sin (\cos 28{}^{}\circ )\textless{}0$$；  $$c=\cos (-\sin 28{}^{}\circ )=\cos (\sin 28{}^{}\circ )\textgreater0$$；  $$d=\cos (-\cos 28{}^{}\circ )=\cos (\cos 28{}^{}\circ )\textgreater0$$．  又$$\sin 28{}^{}\circ \textless{}\cos 28{}^{}\circ $$，故$$b\textless{}a\textless{}d\textless{}c.$$故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分