math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 一个二位数的个位与十位数码之和为$$9$$．将这个二位数乘$$5$$，得到乘积的各位数码之和仍为$$9$$．请问满足上述条件的二位数共有多少个？（） 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
aoVal: E
content: $$9$$ 
Answer: E
Analysis: 个位与十位数码之和为$$9$$的二位数有$$18$$、$$27$$、$$36$$、$$45$$、$$54$$、$$63$$、$$72$$、$$81$$、$$90$$共$$9$$个数，将这些二位数乘以$$5$$，得到的乘积分别为$$90$$、$$135$$、$$180$$、$$225$$、$$270$$、$$315$$、$$360$$、$$405$$、$$450$$，它们的数码之和仍为$$9$$，所有数都符合题目条件﹐因此总共有$$9$$个．  故逐$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第17题4分
Problem: 有一种计时方法将一天分为十二个时辰，在$$1729$$人中，至少有~\uline{~~~~~~~~~~}~人出生在同一个月、同一个时辰，且有相同的生肖． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$1729=12\times12\times12+1$$，所以，至少$$2$$人出生在同一个月、同一个时辰，且有相同的生肖． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟3第2题
Problem: 艾迪、薇儿、加加和减减玩游戏，每人写一个数，然后判断这$$4$$个数相加后的和是单数还是双数．其中一局他们分别写的是：$$9$$、$$13$$、$$471$$、$$1236$$，那么你来判断一下，这$$4$$个数的和是~\uline{~~~~~~~~~~}~数（填``单''或``双''）． 
Options:
aoVal: A
content: 单 
aoVal: B
content: 双 
Answer: A
Analysis: 四个数中三个单数一个双数，三个单数和是单数，再加一个双数和是单数． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
海外竞赛体系->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2014年全国学而思杯一年级竞赛第5题
Problem: 把$$3$$米长的铁丝平均截成$$5$$段，在下面的各种说法中，错误的是． 
Options:
aoVal: A
content: 每段长$$\frac{3}{5}$$米 
aoVal: B
content: 每段长度是全长的$$\frac{3}{5}$$ 
aoVal: C
content: 每段长度是全长的$$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: 每段长度是$$1$$米的$$\frac{3}{5}$$ 
Answer: B
Analysis: 每段长$$3\div 5=\frac{3}{5}（\text{m}）$$，每段长度是全长的$$1\div 5=\frac{1}{5}$$，每段长度是$$1$$米的$$\frac{3}{5}\div 1=\frac{3}{5}$$，所以选项$$\text{B}$$不正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->应用题->分数百分数应用题->已知单位一和部分量，求分率
拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础
Source: 2017年河南郑州模拟考试k6考试第6题
2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第6题
Problem: $$1$$路、$$2$$路和$$5$$路公交车都从东站发车，$$1$$路车每隔$$10$$分钟发一辆，$$2$$路车每隔$$15$$分钟发一辆，而$$5$$路车每隔$$20$$分钟发一辆，当三种路线的车同时发车后，至少要经过分钟这三种路线的车再次同时发车． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
Answer: B
Analysis: $$10=2\times 5$$，$$15=3\times 5$$，$$20=2\times 2\times 5$$，  所以$$10$$，$$15$$，$$20$$的最小公倍数为：$$2\times 2\times 3\times 5=60$$，  所以至少经过$$60$$分钟这三种路线再次同时发车，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛B卷第5题3分
Problem: 请问算式$$101010-10101$$之值为何？ 
Options:
aoVal: A
content: $$90909$$ 
aoVal: B
content: $$10101$$ 
aoVal: C
content: $$100000$$ 
aoVal: D
content: $$900000$$ 
aoVal: E
content: $$10000$$ 
Answer: A
Analysis: $$101010-10101=90909$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数减法运算->减法横式
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第1题3分
Problem: 请问下列哪一项表达式是正确的？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1.2\times 3.4=12\times 3.4$$ 
aoVal: B
content: $$0.98\times 0.99\textgreater0.99$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\textless{}\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$10.4\times 0.1\textless{}1.04$$ 
aoVal: E
content: $$1.1\times 1.1\textgreater1.1$$ 
Answer: E
Analysis: $$\text{A}$$：$$1.2\times 3.4\textless{}12\times 3.4$$~~~~~~~~~~~~  $$\text{B}$$：$$0.98\times 0.99\textless{}0.99$$  $$\text{C}$$：$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$，$$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$，$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\textgreater\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$  $$\text{D}$$：$$10.4\times 0.1=1.04$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->两数相减法
Source: 2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第2题3分
Problem: 有10个小数:0.6，0.66，$$\cdots ，\underbrace{0.66\cdots 66}_{10个6}$$，如果要从这些小数中取出若干个使取出的数的总和大于5，那么所取出的数的个数至少是（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: 6个 
aoVal: B
content: 7个 
aoVal: C
content: 8个 
aoVal: D
content: 9个 
Answer: C
Analysis: $$\frac{2}{3}=0.\dot{6}$$，那么这10个小数都小于$$\frac{2}{3}$$，又$$\frac{2}{3}\times 7=\frac{14}{3}$$小于5，所以至少需要7个以上的小数它们的和才有可能大于5，当取8个小数时，其和$$0.6+0.66+0.666+\ldots +0.66666666\textgreater0.66\times 7+0.6=5.22$$.故选C. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合
Source: 2004年五年级竞赛创新杯
Problem: 如果$$P\text{↑}$$表示$$P+1$$，$$P\text{↓}$$表示$$P-1$$，则$$4\text{↑}\times3\text{↓}$$等于（  ）。  A、$$9\text{↓}$$   B、$$10\text{↓}$$   C、$$11\text{↓}$$   D、$$12\text{↑}$$   E、$$13\text{↓}$$ 
Options:
aoVal: A
content: A 
aoVal: B
content: B 
aoVal: C
content: C 
aoVal: D
content: D 
aoVal: E
content: E 
Answer: C
Analysis: $$5\times 2=10=11-1$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型
Source: 2010年四年级竞赛明心奥数挑战赛
Problem: 有$$125$$个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为$$1$$平方厘米，其中$$63$$个表面涂上白色，还有$$62$$个表面涂上蓝色．将这$$125$$个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为$$5$$厘米大正方体木块．这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是~\uline{~~~~~~~~~~}~平方厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$110$$ 
aoVal: B
content: $$112$$ 
aoVal: C
content: $$114$$ 
aoVal: D
content: $$116$$ 
aoVal: E
content: $$118$$ 
Answer: C
Analysis: 显然大正方体表面不能全为蓝色，$$8$$个顶点上的正方体木块表面积是$$3$$平方厘米，棱上的正方体木块表面积是$$2$$平方厘米，面上的正方体木块表面积是$$1$$平方厘米，所以要先在顶点和棱上放蓝色的正方体木块，剩下的放在面上，不放在内部．所以让正方体顶点和棱均为蓝色方块时蓝色表面积最大．此时蓝色的面积为：$$8\times3+2\times（5-2）\times12+（62-8-36）=114$$（平方厘米）. 
Knowledge points: 海外竞赛体系->知识点->数论模块->质数与合数->特殊质数运用->特殊质数2
拓展思维->能力->空间想象->立体几何加工
Source: 2008年全国迎春杯三年级竞赛初赛第10题
Problem: 在算式$$2014\times(\frac{1}{19}-\frac{1}{53})$$的计算结果是（~ ~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$34$$ 
aoVal: B
content: $$68$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$72$$ 
Answer: B
Analysis: 原式=$$2014\times \frac{1}{19}-2014\times \frac{1}{53}=106-38=68$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第1题
Problem: 已知$$5$$个苹果与$$6$$根香蕉的重量相同，$$3$$根香蕉与$$4$$个橘子的重量相同，请问$$16$$个橘子与几个苹果的重量相同？ 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可知$$6$$根香蕉与$$8$$个橘子的重量相同，从而$$5$$个苹果与$$8$$个橘子的重量相同．所以$$16$$个橘子与$$10$$个苹果的重量相同． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第12题4分
Problem: 有一个算式$$12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$$，二娃在上式中把一些``$$\times $$''换成``$$\div $$''，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$77$$ 
aoVal: B
content: $$154$$ 
aoVal: C
content: $$231$$ 
aoVal: D
content: $$286$$ 
Answer: C
Analysis: 将原式中的数分解质因数，数出每个质数的个数，发现$$3$$，$$7$$，$$11$$为奇数个，故提出来．  $$\quad 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=2\times 2\times 3\times 11\times 2\times 5\times 3\times 3\times 2\times 2\times 2\times 7\times 2\times 3\times 5\times 2\times 2\times 3\times 2\times 1$$  $$=\left( 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5 \right)\div \left( 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5 \right)\times 3\times 7\times 11$$  $$=\left( 12\times 10\times 9\times 4 \right)\div \left( 8\times 6\times 5\times 3\times 2 \right)\times 3\times 7\times 11$$  $$=3\times 7\times 21$$  $$=231$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->横式数字谜->与数论的结合
Source: 2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第2题
Problem: （2019年活动）在$$9$$点至$$10$$点之间的某个时刻，$$5$$分钟前分针的位置和$$5$$分钟后时针的位置相同，此时刻是． 
Options:
aoVal: A
content: $$9:05$$ 
aoVal: B
content: $$9:35$$ 
aoVal: C
content: $$9:55$$ 
Answer: C
Analysis: 根据选项$$\text{C}$$，现在是$$9:55$$，那么$$5$$分钟前分针的位置是指向$$10$$，$$5$$分钟后时针也是指向$$10$$．所以$$\text{C}$$选项答案是满足题目要求的． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->认识钟表
Source: 2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第7题3分
Problem: 甲、乙两人原有的钱数之比为$$6:5$$，后来甲又得到$$180$$元，乙又得到$$30$$元，这时甲、乙钱数之比为$$18:11$$．那么原来两人的钱数之和为~\uline{~~~~~~~~~~}~元． 
Options:
aoVal: A
content: $$660$$ 
aoVal: B
content: $$580$$ 
aoVal: C
content: $$750$$ 
aoVal: D
content: $$800$$ 
Answer: A
Analysis: 两人原有钱数之比为$$6$$:$$5$$，如果甲得到$$180$$元，乙得到$$150$$元，那么两人的钱数之比仍为$$6$$:$$5$$，现在甲得到$$180$$元，乙只得到$$30$$元，相当于少得到了$$120$$元，现在两人钱数之比为$$18$$:$$11$$，可以理解为：两人的钱数分别增加$$180$$元和$$150$$元之后，钱数之比为$$18$$：$$15$$，然后乙的钱数减少$$120$$元，两人的钱数之比变为$$18$$:$$11$$，所以$$120$$元相当于$$4$$份，$$1$$份为$$30$$元，后来两人的钱数之和为$$30 \times (18 + 15) = 990$$元，所以原来两人的总钱数之和为$$990 - 180 - 150 = 660$$元．  设甲、乙原来各有$$6x$$、$$5x$$元，那么有$$(6x+180):(5x+30)=18:11$$，解比例方程得$$x=60$$，原来共有$$60\times (6+5)=660$$（元）．  由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变．为了让得到的钱数相同，可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱数都翻$$6$$倍，那么甲、乙原有钱数之比变为$$1:5$$，现有钱数之比变为$$3:11$$，统一差，变为$$2:10$$以及$$3:11$$，一份就是$$180$$元，所以原有钱数之和为$$(2+10\div 6)\times 180=660$$．  故答案为：$$660$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
课内体系->能力->运算求解
Source: 2011年北京小学高年级五年级竞赛
Problem: 请问以下哪一个数最小？ 
Options:
aoVal: A
content: $$298$$ 
aoVal: B
content: $$312$$ 
aoVal: C
content: $$231$$ 
aoVal: D
content: $$357$$ 
aoVal: E
content: $$101$$ 
Answer: E
Analysis: 因为$$101\textless{}231\textless{}298\textless{}312\textless{}357$$，所以最小的数为$$101$$．故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->整数数字加工
Source: 2014年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第2题3分
Problem: 若六年级一班的及格率是$$96 \%$$，则不及格人数与总人数的比是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$1:23$$ 
aoVal: B
content: $$1:24$$ 
aoVal: C
content: $$1:25$$ 
aoVal: D
content: $$1:26$$ 
Answer: C
Analysis: 不及格率$$1-96 \%=4 \%$$，不及格人数与总人数的比是$$4 \%:100 \%=1:25$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年第13届湖北武汉新希望杯小学高年级六年级竞赛决赛第1题
Problem: 小马虎在计算$$8.56$$加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得到了$$10.21$$，正确的结果应该是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1.65$$ 
aoVal: B
content: $$16.5$$ 
aoVal: C
content: $$25.06$$ 
aoVal: D
content: $$28.45$$ 
Answer: C
Analysis: 把这个一位小数的末尾与$$8.56$$对齐，相当于把这个一位小数缩小到原数的$$\frac{1}{10}$$，又因为$$10.21-8.56=1.65$$，所以原来的一位小数是$$16.5$$．正确的结果应是$$16.5+8.56=25.06$$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（一）第3题
Problem: 一把钥匙只能开一把锁．现有$$10$$把钥匙和$$10$$把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最少要试次才能保证配好全部的锁的钥匙． 
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$45$$ 
aoVal: C
content: $$55$$ 
aoVal: D
content: $$66$$ 
Answer: B
Analysis: 从最不利的情况考虑，第$$1$$把锁需要试$$9$$次；第$$2$$把锁需要试$$8$$次$$\ldots \ldots $$；第$$9$$把锁需要试$$1$$次．一共需要试$$1+2+3+\cdots \cdots +9=45$$（次）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则
Source: 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟11第9题3分
2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第4题
Problem: 某年的$$2$$月份有$$5$$个星期一，这年的$$2$$月$$22$$号是． 
Options:
aoVal: A
content: 星期日 
aoVal: B
content: 星期一 
aoVal: C
content: 星期二 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，某年的$$2$$月份有$$5$$个星期一，  因为$$2$$月有$$28$$天则只有$$4$$个周一，  所以这一年的$$2$$月有$$29$$天，且$$2$$月$$1$$日为星期一，  则$$2$$月$$22$$日为星期一．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第2题3分
Problem: 计算$$\left( 1+0.21+0.32 \right)\times \left( 0.21+0.32+0.43 \right)-\left( 1+0.21+0.32+0.43 \right)\times \left( 0.21+0.32 \right)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0.21$$ 
aoVal: C
content: $$0.32$$ 
aoVal: D
content: $$0.43$$ 
Answer: D
Analysis: 原式$$=\left( 1+0.21+0.32 \right)\times \left( 0.21+0.32 \right)+\left( 1+0.21+0.32 \right)\times 0.43-\left( 1+0.21+0.32 \right)\times \left( 0.21+0.32 \right)-0.43\times \left( 0.21+0.32 \right)$$  $$=\left[ \left( 1+0.21+0.32 \right)\times \left( 0.21+0.32 \right)-\left( 1+0.21+0.32 \right)\times \left( 0.21+0.32 \right) \right]+\left[ \left( 1+0.21+0.32 \right)\times 0.43-\left( 0.21+0.32 \right)\times 0.43 \right]$$  $$=0+0.43\times \left[ \left( 1+0.21+0.32 \right)-\left( 0.21+0.32 \right) \right]$$  $$=0.43\times 1$$  $$=0.43$$．  故答案选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第2题5分
Problem: 两个骑车人在不同的赛道上训练。骑车人$$A$$用圆形赛道，其直径是$$1$$千米，骑车人$$B$$用直线赛道，其长度为$$5$$千米。骑车人$$A$$用$$10$$分钟完成$$3$$圈，而骑车人$$B$$用$$5$$分钟行进了两个来回。那么骑车人$$A$$与骑车人$$B$$的速度比是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$1:1.6\pi$$ 
aoVal: B
content: $$\pi :10$$ 
aoVal: C
content: $$3:4$$ 
aoVal: D
content: $$3\pi :40$$ 
Answer: D
Analysis: 骑车人$$A$$：$$10$$分钟共走$$3\pi $$千米，骑车人$$B$$：$$5$$分钟走$$20$$千米，即$$10$$分钟走$$40$$千米，速度比等于路程比是$$3\pi :40$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2013年华杯赛六年级竞赛决赛
2013年华杯赛五年级竞赛决赛
Problem: 若$$p$$，$$q$$是非$$0$$的自然数，并且$$p\textless{}q$$，则四个式子：$$\frac{p}{q}$$，$$\frac{q-p}{q}$$，$$\frac{p+q}{p}$$，$$\frac{p+q}{q}$$中，值在$$1$$和$$2$$之间的是哪一个？ 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{p}{q}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{q-p}{q}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{p+q}{p}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{p+q}{q}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$p$$，$$q$$是非$$0$$的自然数，并且$$p\textless{}q$$，可知$$0\textless{}\frac{p}{q}\textless{}1$$，于是有$$\frac{q-p}{q}=1-\frac{p}{q}\textless{}1$$，$$\frac{p+q}{p}=1+\frac{q}{p}\textgreater1+1=2$$，$$1\textless{}\frac{p+q}{q}=1+\frac{p}{q}\textless{}2$$，故四个式子：$$\frac{p}{q}$$，$$\frac{q-p}{q}$$，$$\frac{p+q}{p}$$，$$\frac{p+q}{q}$$中，值在$$1$$和 $$2$$之间的是$$\frac{p+q}{q}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->代数式
Source: 2017年第15届全国希望杯小学高年级六年级竞赛
Problem: 一项工程，$Mike$单独做需要$2$小时完成，$Tom$单独做需要$4$小时完成$$.$$ $Mike$和$Tom$合作$1$小时后$Mike$退出，剩下的工作由$Tom$单独完成，还需要小时．  It takes Mike $$2$$ hours to finish a task． It takes $$4$$ hours for Tom to finish the same task． Mike and Tom worked together on this task for one hour before Mike had to leave． How long will it take Tom to finish the rest of the task? 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 根据内容分析可知：工作时间$$=$$工作总量$$\div $$工作效率．  假设工作总量为$$1$$，用工作总量减去共同完成的工作量，再除以汤姆的工作效率即可得到剩下的工作汤姆单独完成需要多长时间．故列式计算如下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left[ 1-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)\times 1 \right]\div \frac{1}{4}$$  $$=\left[ 1-\left( \frac{2}{4}+\frac{1}{4} \right)\times 1 \right]\div \frac{1}{4}$$  $$=\left( 1-\frac{3}{4}\times 1 \right)\div \frac{1}{4}$$  $$=\frac{1}{4}\times 4$$  $$=1$$（小时）．  故选答案$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->工程问题
Source: 2018年美国数学大联盟杯四年级竞赛初赛第29题5分
Problem: 现有$$1$$克、$$2$$克、$$4$$克、$$8$$克、$$16$$克的砝码各一个和一个天平，砝码只能放在一边，最多能称出种不同的质量． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$31$$ 
Answer: D
Analysis: （$$1$$）$$1$$个砝码可以称出的重量有$$5$$种：$$1$$克，$$2$$克，$$4$$克，$$8$$克，$$16$$克；  （$$2$$）$$2$$个砝码可以称出的重量有$$10$$种：  $$1+2=3$$（克），$$1+4=5$$（克），$$1+8=9$$（克），  $$1+16=17$$（克）；  $$2+4=6$$（克），$$2+8=10$$（克），$$2+16=18$$（克）；  $$4+8=12$$（克），$$4+16=20$$（克），  $$8+16=24$$（克）；  （$$3$$）$$3$$个砝码可以称出的重量有$$10$$种：  $$1+2+4=7$$（克），$$1+2+8=11$$（克），  $$1+2+16=19$$（克），  $$1+4+8=13$$（克），$$1+4+16=21$$（克），  $$1+8+16=25$$（克），  $$2+4+8=14$$（克），$$2+4+16=22$$（克），  $$2+8+16=26$$（克），  $$4+8+16=28$$（克）；  （$$4$$）$$4$$个砝码可以称出的重量有$$5$$种：  $$1+2+4+8=15$$（克），$$1+2+4+16=23$$（克），  $$1+2+8+16=27$$（克），  $$1+4+8+16=29$$（克），$$2+4+8+16=30$$（克）；  （$$5$$）$$5$$个砝码可以称出的重量有$$1$$种：  $$1+2+4+8+16=31$$（克）．  因为$$5+10+10+5+1=31$$（种），  所以最多可以称出$$31$$种不同的重量，它们是$$1$$克$$-31$$克．  答：最多能称出$$31$$种不同重量的物体．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->智巧趣题->数学趣题->砝码问题
Source: 2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷
2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷第5题5分
Problem: $$5$$卷百科全书按从第$$1$$卷到第$$5$$卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第$$5$$卷到第$$1$$卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次？ 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 因为必须是调换相邻的两卷，将第$$5$$卷调至原来第$$1$$卷的位置最少需$$4$$次，得到的顺序为$$51234$$；  现在将第$$4$$卷调至此时第$$1$$卷的位置最少需$$3$$次，得到的顺序为$$54123$$；  现在将第$$3$$卷调至此时第$$1$$卷的位置最少需$$2$$次，得到的顺序为$$54312$$；  最后将第$$1$$卷和第$$2$$卷对调即可．  所以，共需调换$$4+3+2+1=10$$（次）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2011年北京学而思杯五年级竞赛
Problem: 现有$$9$$个外观一模一样的乒乓球，其中$$8$$个一样重，另外$$1$$个轻一些，是次品．请你想一想，用天平至少称次，就保证一定能把这个次品找出来． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: $$3$$个球一组，可分为$$3$$组．分别标号第①组，第②组，第③组．  第$$1$$步：将第①组与第②组称$$1$$次．若平衡，则次品在第③组，第$$2$$步：在第③组的$$3$$个球中任选两个称第$$2$$次，即可判断．若第$$1$$次不平衡，哪组轻，就在哪一组进行第$$2$$次称重．故至少称$$2$$次，即可保证一定将这个次品找出来． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第9题3分
Problem: 一个五位数，由$$1$$，$$2$$，$$3$$三个数码组成，对于其中任何一个数码，如果这个数码是$$1$$，则他后面的数只能写$$2$$；如果这个数码是$$2$$，他后面只能写$$3$$；如果这个数码是$$3$$，他后面可以写$$1$$，也可以写$$3$$．这样的五位数有（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$28$$ 
Answer: B
Analysis: 首位为$$1$$，有 $$12312$$，$$12331$$，$$12333$$这三种；首位为$$2$$，有$$23123$$，$$23312$$，$$23331$$，$$23333$$这四种；首位为$$3$$，有$$31231$$，$$31233$$，$$33123$$，$$33312$$，$$33331$$，$$33333$$这六种，  所以共$$(4+100)\div 2=52$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第5题5分
Problem: $$101个$$数之和为$$2008$$；把第一个数减$$1$$，第$$2$$个数加$$2$$，第$$3$$个数减$$3$$，\ldots，第$$100$$个数加$$100$$，第$$101$$个数减$$101$$，所得的$$101$$个新数之和为(  )． 
Options:
aoVal: A
content: $$1957$$ 
aoVal: B
content: $$1959$$ 
aoVal: C
content: $$2008$$ 
aoVal: D
content: $$2009$$ 
Answer: A
Analysis: 所得的$$101$$个新数之和为：$$2008-1+2-3+4-\cdots -99+100-101=2008+\underbrace{1+1+1+\cdots +1}_{50个1}-101=1957$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法
Source: 2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第7题5分
Problem: 小明前几次数学考试的平均分是$$88$$分，这次数学考试结束后，小明发现如果他想把平均分提高到$$90$$分，则这次考试必须考到$$98$$分，请问小明总共考了多少次数学考试？ 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 可知这次考试比所欲达到的平均分数多的$$98-90=8$$分要分配到前几次的考试才能使平均分数增加$$90-88=2$$分，因此小明之前共考了$$8\div 2=4$$次数学考试，所以连同这一次他总共考了$$4+1=5$$次数学考试．故选$$\text{C}$$． 
<p>可知最后一次考试要比所欲达到的平均分数多$$98-88=10$$分才能使平均分数从$$88$$分增加到$$90$$分，即须增加$$2$$分，因此连同这一次小明总共考了$$10\div 2=5$$次数学考试．故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第14题4分
Problem: 黑板上有$$1\sim 2013$$共$$2013$$个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两数之和的数字和．已知黑板上剩下四个数，其乘积为$$27$$，那么这四位数的和是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: C
Analysis: 一个数除以$$9$$的余数等于这个数各个数字之和除以$$9$$的余数，每次操作将数的和变为数字和，不改变除以$$9$$的余数，$$1+2+3+\cdots +2013=2014\times 2013\div 2=1007\times 2013$$，$$1007$$除以$$9$$的余数相同，余数为$$3$$，那么最后剩下的四个数字的和除以$$9$$也是余$$3$$的；将$$27$$拆分成四个数的乘积；$$27=3\times 3\times 3\times 1=3\times 9\times 1\times 1=27\times 1\times 1\times 1$$，和分别为$$10$$，$$14$$，$$30$$，只有$$30$$除以$$9$$余数为$$3$$，所以四个数的和为$$30$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第6题
Problem: 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的五分之二，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部的几分之几？ 
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{2}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{4}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{5}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{1}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，（即将第一堆黑子与第二堆白子互换）  第二堆黑子是全部棋子的$$\dfrac{1}{3}$$，  同时，又是黑子的$$1-\dfrac{2}{5}$$，  所以黑子占全部棋子的：$$\dfrac{1}{3}\div~ (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{5}{9}$$，   白子占全部棋子的：$$1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 1990年全国华杯赛竞赛复赛
1990年第1届全国华杯赛小学高年级竞赛复赛第10题
Problem: 一部电影共放映了$$85$$分钟，结束时正好是$$20:40$$分．这部电影是什么时辰开始放映的． 
Options:
aoVal: A
content: $$18:15$$ 
aoVal: B
content: $$19:15$$ 
aoVal: C
content: $$22:05$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，$$60$$分钟$$=1$$小时，$$85$$分钟$$=1$$小时$$25$$分钟，  用结束的时间减去放映的时长即可得到开始放映的时间，  故列式为：$$20:40-1:25=19:15$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->时间计算
Source: 2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第6题2分
Problem: 小明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的$$2$$个球之间放$$2$$个黄球，最后在每相邻的$$2$$个球之间再放$$2$$个蓝球，这时桌上共有$$2008$$个球，那么其中黄球有~\uline{~~~~~~~~~~}~个． 
Options:
aoVal: A
content: $$223$$ 
aoVal: B
content: $$251$$ 
aoVal: C
content: $$252$$ 
aoVal: D
content: $$446$$ 
Answer: D
Analysis: 假设原来有红球$$x$$个，那么第一次操作放入了$$2（x-1）$$个黄球，球数增加到$$3x-2$$个，第二次操作放入了$$2（3x-2-1）=6x-6$$个篮球，球数增加到$$3x-2+6x-6=9x-8$$个．所以$$9x-8=2008$$，解得：$$x=224$$,所以黄球有$$2（x-1）=446$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题
Source: 2009年全国迎春杯小学中年级四年级竞赛初赛第5题
Problem: 从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$\cdots$$，$$15$$，$$16$$这十六个自然数中，任取出$$n$$个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的$$3$$倍，则$$n$$最小是． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
Answer: C
Analysis: 有$$3$$倍关系的数放入一组：（$$1$$，$$3$$，$$9$$）、（$$2$$，$$6$$）、（$$4$$，$$12$$）、（$$5$$，$$15$$），  其余$$7$$个数每个数放入一组，第一组最多取$$2$$个（$$1$$和$$9$$），其余每组最多只能取$$1$$个，  因此最多取$$12$$个保证没有$$3$$倍关系，再多取一个就可以保证有一个数是另一个数的$$3$$倍． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第17题
Problem: 把三个最小的连续的奇质数，分别写在三张纸片上，每张纸片上写且仅写一个奇质数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中质数有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$7$$个 
aoVal: C
content: $$8$$个 
aoVal: D
content: $$9$$个 
Answer: A
Analysis: 显然，三个最小的连续的奇质数是$$3$$、$$5$$、$$7$$，如果取出$$1$$张，$$3$$、$$5$$、$$7$$都为质数；  如果取出两张，可以组成的两位数有$$35$$、$$53$$、$$37$$、$$73$$、$$57$$、$$75$$， $$35=5\times 7$$，$$57=3\times 19$$，$$75=3\times 5\times 5$$，所以$$3$$、$$5$$、$$7$$组成的两位数质数有$$53$$、$$37$$、$$73$$；  如果取出三张，可以组成三位数，由于三个数字的和是$$3+5+7=15$$是$$3$$的倍数，所以组成的任何一个三位数都不是质数．  综上，所有的质数有：$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$53$$、$$37$$、$$73$$，一共有$$6$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->特殊质数运用->常用质数
Source: 2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第8题5分
2008年六年级竞赛创新杯
Problem: 有一个推理游戏叫做``狼人杀''，$$10$$位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好$$10$$张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌$$1$$张，预言家牌$$1$$张，女巫牌$$1$$张，猎人牌$$1$$张，狼人牌$$3$$张．艾迪参与游戏，如果只随机抽取一张，那么艾迪抽到狼人牌的概率是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10  \% $$ 
aoVal: B
content: $$20 \%$$ 
aoVal: C
content: $$30 \%$$ 
aoVal: D
content: $$40 \%$$ 
Answer: C
Analysis: 狼人牌有$$3$$张，一共有$$10$$张卡牌．所以抽到狼人牌的概率是$$\frac{3}{10}=30  \% $$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->计数求概率
Source: 2017年北京学而思杯六年级竞赛年度教学质量监测第2题5分
Problem: 下午$$2$$点$$10$$分，时钟上的时针和分针所成的锐角是． 
Options:
aoVal: A
content: $$5{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$10{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$15{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$20{}^{}\circ $$ 
Answer: A
Analysis: 在下午$$2$$点$$10$$分，分针从数字$$12$$开始转了$$10\times 6{}^{}\circ =60{}^{}\circ $$，时针从数字$$2$$开始转了$$10\times 0.5{}^{}\circ =5{}^{}\circ $$，这时时针与分针所成的锐角为$$60{}^{}\circ +10\times 0.5{}^{}\circ -60{}^{}\circ =5{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第8题2分
Problem: 一个足球的售价是$$30$$元，学校现在计划买$$100$$个足球，甲乙丙三家店提供了不同的优惠方案：  甲店：所有足球一律打七五折出售．  乙店：每买$$5$$个足球，就赠送$$2$$个，不够$$5$$个不送．  丙店：$$40$$个以内（包括$$40$$个）不打折，$$40$$个以上到$$70$$个（包括$$70$$个）的部分打七折，$$70$$个以上的部分打五折．  哪一家店花费最多？ 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
Answer: C
Analysis: 甲：$$30\times 0.75\times 100=2250$$（元）；  乙：$$100\div 7=14\cdots\cdots 2$$，$$(14\times 5+2)\times 30=2160$$（元）；  丙：$$40\times 30+30\times 30\times 0.7+30\times 30\times 0.5=76\times 30=2280$$（元）．  丙\textgreater 甲\textgreater 乙．  丙花费最多． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->经济问题
Source: 2016年北京学而思杯小学高年级五年级竞赛冲刺讲义
Problem: 从$$1\sim 20$$这$$20$$个整数中任意取$$11$$个数，其中必有两个数的和等于（~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
Answer: C
Analysis: 将$$1\sim 20$$分成如下$$10$$组：  $$\left( 1,20 \right)$$，$$\left( 2,19 \right)$$，$$\left( 3,18 \right)$$，$$\cdots \cdots $$，$$\left( 10,11 \right)$$，每组和均为$$21$$，根据抽屉原理，$$10$$组取$$11$$个数，至少有$$2$$个在同一组和为$$21$$，所以选 $$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2018年第23届华杯赛小学高年级竞赛初赛第5题
2019年广东深圳福田区深圳市高级中学小升初第5题
2018年华杯赛小学高年级竞赛初赛第5题10分
Problem: 甲、乙二人共带$$100$$千克行李乘火车，甲超重部分交款$$5.6$$元，乙找找那个部分交款$$4.4$$元；若二人行李由一人携带乘车，超重部分交款$$15$$元，乘火车时，每人可免费携带行李的重量是（~ ）千克． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: 假设免费携带$$x$$千克 根据两次付费可得比例关系$$\frac{100-2x}{100-x}=\frac{10}{15}$$，解得$$x=25$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第5题
Problem: 【闯关3】某班共有$$48$$人，其中$$27$$人会游泳，$$33$$人会骑自行车，$$40$$人会乒乓球．那么，这个班至少有个学生这三项运动都会． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 让三项都会的人最少，即让所有人都只会两项，则一共会$$48\times 2=96$$项，二十几会$$27+33+40=100$$项，即至少有$$100-96=4$$人会三项． 构造如下：$$8$$人会游泳$$+$$自行车；$$15$$人会游泳$$+$$乒乓球；$$21$$人会自行车$$+$$乒乓球；$$4$$人全会． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->容斥原理->三量容斥
Source: 2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（四）第4题
2012年全国创新杯五年级竞赛第1题5分
Problem: 分数$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{16}$$的整数部分是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: $$A\textgreater1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{16}\times 8=3$$，  $$A\textless{}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{16}\textless{}4$$，  ∴$$\left[ A \right]=3$$．  答：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第24题4分
Problem: $$2013$$年$$12$$月$$21$$日是星期六，那么$$2014$$年的春节，即$$2014$$年$$1$$月$$31$$日是星期． 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 四 
aoVal: C
content: 五 
aoVal: D
content: 六 
Answer: C
Analysis: 方法一：星期六有：$$21\to 28\to 4(35)\to 11\to 18\to 25$$，所以 $$31$$日是星期五．  方法二：$$10+31=41$$（天），$$41\div7=5\cdots 6$$ ，差一天是星期六，所以$$31$$日是星期五． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第12题