math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$\left { {{a}_{n}} \right }$$，$$\left { {{b}_{n}} \right }$$分别为等差数列与等比数列，且$${{a}_{1}}={{b}_{1}}=4,  {{a}_{4}}={{b}_{4}}=1$$，则以下结论正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}_{2}}\textgreater{{b}_{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{3}}\textless{}{{b}_{3}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{5}}\textgreater{{b}_{5}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}_{6}}\textgreater{{b}_{6}}$$ 
Answer: A
Analysis: 设等差数列的公差为$$d$$，等比数列公比为$$q$$，由$${{a}_{1}}={{b}_{1}}=4,{{a}_{4}}={{b}_{4}}=1,$$  得$$d=-1,  q=\frac{\sqrt[3]{2}}{2},$$得$${{a}_{2}}=3,  {{b}_{2}}=2\sqrt[3]{2}$$；$${{a}_{3}}=2,  {{b}_{3}}=\sqrt[3]{4}$$；$${{a}_{5}}=0,{{b}_{5}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$；$${{a}_{6}}=-1,,$$  $$  {{b}_{6}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 设定义在区间$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上的函数$$y=6\cos x$$的图象与$$y=5\tan x$$的图象的交点为$$P$$，过点$$P$$作$$x$$轴的垂线，垂足为$${{P}_{1}}$$，直线$$P{{P}_{1}}$$与函数$$y=\sin x$$的图象交于点$${{P}_{2}}$$，则线段$${{P}_{1}}{{P}_{2}}$$的长为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{6}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\begin{cases}y=6\cos x    y=5\tan x    \end{cases}$$消$$y$$得$$6\cos x=5\tan x$$．整理得$$6{{\cos }^{2}}x=5\sin x$$，  $$6{{\sin }^{2}}x+5\sin x-6=0$$．$$\left( 3\sin x-2 \right)\left( 2\sin x+3 \right)=0$$，所以$$\sin x=\frac{2}{3}$$或$$\sin x=-\frac{3}{2}$$（舍去）．  故点$${{P}_{2}}$$的纵坐标为$${{y}_{2}}=\frac{2}{3}$$．所以$$\left\textbar{} {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right\textbar=\frac{2}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
课内体系->知识点->三角函数
Source: 2010年高考真题江苏卷理科第10题5分
2018~2019学年3月河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期月考第16题5分
2018~2019学年11月河北石家庄辛集市河北辛集中学高一上学期月考第22题5分
2010年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第7题7分
Problem: 设$$A$$、$$B$$和$$C$$是三个集合，则$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集是$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立的．
Options:
aoVal: A
content: 充分条件但不是必要条件 
aoVal: B
content: 必要条件但不是充分条件 
aoVal: C
content: 充分必要条件 
aoVal: D
content: 既非充分也非必要条件 
Answer: C
Analysis: 如果$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集，则$$A\cap B=B$$，$$A\cap C=C$$，从而$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立；反过来，如果$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立，则由$$A\cap B$$和$$A\cap C$$都是$$A$$的子集知$$B\cup C$$是$$A$$的子集，即$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: $$PQ$$为经过抛物线$${{y}^{2}}=2px$$焦点的任意一条弦，$$MN$$为$$PQ$$大准线$$l$$上的射影，$$PQ$$绕$$l$$转一周所得的旋转面面积为$${{S}_{1}}$$，以$$MN$$为直径的球面面积为$${{S}_{2}}$$，则下面的结论中，正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{S}_{1}}\textless{}{{S}_{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{S}_{1}}\mathsf{\geqslant }{{S}_{2}}$$ 
aoVal: D
content: 有时$${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{2}}$$，有时$${{S}_{1}}={{S}_{2}}$$，有时$${{S}_{1}}\textless{}{{S}_{2}}$$． 
Answer: C
Analysis: 在$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$四个答案中，$$\text{C}$$包含着$$\text{A}$$，即若$$\text{A}$$正确，则$$\text{C}$$必定正确，因此不必考虑$$\text{A}$$．  当过焦点的弦$$PQ$$的倾角（与$$x$$轴的夹角）很小时，$$PQ$$绕$$l$$旋转一周所得旋转体（圆台）的母线很长，而相应的高却很短，亦即球的直径很小，因此$$\text{B}$$不成立．  我们知道，圆台的侧面积由母线$$PQ$$和两底半径$$PMQN$$的长确定．根据抛物线的定义，  $$\left\textbar{} PM \right\textbar=\left\textbar{} PF \right\textbar\mathsf{}\left\textbar{} QN \right\textbar=\left\textbar{} QF \right\textbar$$ （其中$$F$$为焦点）  若取$$PQ$$的倾角$$\alpha $$为参数，设  $$\left\textbar{} PF \right\textbar={{\rho }_{1}}\mathsf{}   \left\textbar{} QF \right\textbar={{\rho }_{2}}$$  则$$\left\textbar{} PM \right\textbar={{\rho }_{1}}\mathsf{}   \left\textbar{} QN \right\textbar={{\rho }_{2}}\mathsf{}   \left\textbar{} PQ \right\textbar={{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}$$  于是 $${{S}_{1}}= \pi ({{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}{{)}^{2}}$$，  $${{S}_{2}}= \pi    \centerdot    {{\left\textbar{} MN \right\textbar}^{2}}= \pi {{\sin }^{2}}\alpha {{({{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}})}^{2}}$$  显然$${{S}_{1}}\mathsf{\geqslant }{{S}_{2}}$$，且当$$a=\frac{ \pi }{2}$$时取到等号． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->抛物线
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 方程$${{x}^{3}}-12x+a=0$$有三个不同的实数根，则实数$$a$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$(-16,16)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -16, 16 \right]$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,-8)$$ 
aoVal: D
content: $$(8,+\infty )$$ 
Answer: A
Analysis: 令$$f(x)={{x}^{3}}-12x+a$$，则$$f\prime (x)=3{{x}^{2}}-12$$，  $$f\prime (x)=3{{x}^{2}}-12=0\Rightarrow x=\pm 2$$．  要使$$f(x)=0$$有三个不同的实数根，则必须有$$f(2)f(-2)\textless{}0$$，即$$(a-16)(a+16)\textless{}0$$，也即有$$-16\textless a\textless16$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设$$S_n$$、$$T_n$$分别为等差数列$$ {a_n }$$、$$ {b_n }$$的前$$n$$项和，且对任意的正整数$$n$$，均有$$\frac{S_{n}}{T_{n}}= \frac{2n+6}{n+1}$$．若$$\frac{a_{m}}{b_{m}}$$ 为素数，则正整数$$m$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 由条件设$$S_n=kn(2n+6)$$，$$T_n=kn(n+1)$$．  当$$m=1$$时，$$\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{S_{1}}{T_{1}}= \frac{8}{2}=4$$ ，不满足题中条件，舍去．  当$$m\geqslant 2$$时，  $$\frac{a_{m}}{b_{m}}= \frac{S_{m}-S_{m-1}}{T_{m}-T_{m-1}}= \frac{4m+4}{2m}=2+ \frac{2}{m}$$．  于是，仅在$$m=2$$时， $$\frac{a_{m}}{b_{m}}=3$$ 为素数．  因此，所求正整数$$m=2$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设函数$$f(x)=3\sin x+2\cos x+1$$．若实数$$a$$、$$b$$、$$c$$使得$$af(x)+bf(x-c)=1$$对任意实数$$x$$恒成立，则$$\frac{b\cos c}{a}$$的值等于（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: −1 
aoVal: D
content: 1 
Answer: C
Analysis: 令$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，都有$$f(x)+f(x-c)=2$$，于是取$$a=b=\frac{1}{2}$$，$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，$$af(x)+bf(x-c)=1$$，由此得$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  一般地，由题设可得$$f(x)=\sqrt{13}\sin (x+\phi )+1$$，$$f(x-c)=\sqrt{13}\sin (x+\phi -c)+1$$，其中$$0 ~\textless{} ~\phi ~~\textless{} ~\frac{\pi }{2}$$且$$\tan \phi =\frac{2}{3}$$，于是$$af(x)+bf(x-c)=1$$可化为  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi -c)+a+b=1$$，即  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi )\cos c-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$，所以  $$\sqrt{13}(a+b\cos c)\sin (x+\phi )-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$．  由已知条件，上式对任意$$x$$∈$$R$$恒成立，故必有$$\begin{cases} a+b\cos c=0 （1）    b\sin c=0 （2）    a+b-1=0 （3）   \end{cases}$$，  若$$b$$=0，则由（$$1$$）知$$a$$=0，显然不满足（$$3$$）式，故$$b\ne 0$$．所以，由（$$2$$）知$$\sin c$$=0，故$$c=2k \pi + \pi $$或$$c=2k \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$）．当$$c=2k \pi $$时，$$\cos c=1$$，则（$$1$$）、（$$3$$）两式矛盾．故$$c=2k \pi + \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$），$$\cos c$$ =−1．由（$$1$$）、（$$3$$）知$$a=b=\frac{1}{2}$$，所以$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合
课内体系->素养->数学运算
Source: 2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}$$的最大值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: C
Analysis: 由柯西不等式，$${{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\leqslant \left( 3+2+6 \right)\left( \frac{2x-7}{3}+\frac{12-x}{2}+\frac{44-x}{6} \right)={{11}^{2}}$$，所以$$f\left( x \right)\leqslant 11$$，当且仅当$$x=8$$时等号成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2017年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 圆$$A$$的半径为$$100$$.圆$$B$$的半径为整数$$r\textless100$$，当它绕着圆$$A$$的圆周滚动一次时，仍然与圆$$A$$保持内切．这两个圆在$$B$$的行程的起点和终点有相同的切点.$$r$$可能有多少个值？
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
aoVal: E
content: $$90$$ 
Answer: B
Analysis: The circumference of circle $$A$$ is $$200\pi$$ , and the circumference of circle $$B$$ with radius r is $$2r\pi$$. Since circle $$B$$ makes a complete revolution and ends up on the same point, the circumference of $$A$$ must be a multiple of the circumference of $$B$$, therefore the quotient must be an integer. Thus, $$\dfrac{200 \pi}{2 \pi \cdot r}= \dfrac{100}{r}$$. Therefore $$r$$ must then be a factor of $$100$$, excluding $$100$$ (because then circle $$B$$ would be the same size as circle $$A$$). $$100 =2^{2}\cdot5^{2}$$. Therefore $$100$$ has $$(2+1)\cdot (2+1)$$ factors*. But you need to subtract $$1$$ from $$9$$, in order to exclude $$100$$. Therefore the answer is $$8$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线
美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle
Source: 2009年AMC10竞赛A第19题
Problem: 若$$x\textgreater0,y\textgreater0,z\textgreater0$$，且$$xyz=1$$，则$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$$可以取的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: D
Analysis: 任取$$a\textgreater0$$，令$$b=ax，c=by$$，由$$xyz=1$$ 得$$x=\frac{b}{a}，y=\frac{c}{b}，z=\frac{a}{c}$$，  从而有$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}$$ $$\textgreater\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1$$，  又 $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} ~\textless{} ~\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2$$，  所以 $$1 ~\textless{} ~\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} ~\textless{} ~2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
竞赛->知识点->不等式->不等式的证明
课内体系->方法->换元法
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第17题12分
Problem: 如果$$x\in \left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$时总有$$\sin x\textgreater kx$$成立，则实数$$k$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,\frac{\pi }{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -\infty ,\left. \frac{ \pi }{2} \right] \right.$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\infty ,\frac{2}{\pi } \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,\left. \frac{2}{ \pi } \right] \right.$$ 
Answer: C
Analysis: 作出$$y=\sin x$$和$$y=kx$$的图象，易知选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知$$A$$与$$B$$是集合{$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，$$100$$}的两个子集，满足：$$A$$与$$B$$的元素个数相同，且$$A\cap B$$为空集．若$$n\in A$$时总有$$2n+2\in B$$，则集合$$A\cup B$$的元素个数最多为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$62$$ 
aoVal: B
content: $$66$$ 
aoVal: C
content: $$68$$ 
aoVal: D
content: $$74$$ 
Answer: B
Analysis: 先证$$\textbar A\cup B\textbar\leqslant 66$$，只须证$$\left\textbar{} A \right\textbar\leqslant 33$$，为此只须证若$$A$$是{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}的任一个$$34$$元子集，则必存在$$n\in A$$，使得$$2n+2\in B$$，证明如下：  将{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}分成如下$$33$$个集合：{$$1$$，$$4$$}，{$$3$$，$$8$$}，{$$5$$，$$12$$}，\ldots，{$$23$$，$$48$$}共$$12$$个；{$$2$$，$$6$$}，{$$10$$，$$22$$}，{$$14$$，$$30$$}，{$$18$$，$$38$$}共$$4$$个；{$$25$$}，{$$27$$}，{$$29$$}，\ldots，{$$49$$}共$$13$$个；{$$26$$}，{$$34$$}，{$$42$$}，{$$46$$}共$$4$$个．由于$$A$$是{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}的$$34$$元子集，从而由抽屉原理可知上述$$33$$个集合中至少有一个$$2$$元集合中的数均属于$$A$$，即存在$$n\in A$$，使得$$2n+2\in B$$，  如取$$A$$={$$1$$，$$3$$，$$5$$，\ldots，$$23$$，$$2$$，$$10$$，$$14$$，$$18$$，$$25$$，$$27$$，$$29$$，\ldots，$$49$$，$$26$$，$$34$$，$$42$$，$$46$$}，$$B$$=$$ {2n+2\textbar n\in A }$$，则$$AB$$满足题设且$$\textbar A\cup B\textbar\leqslant 66$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分
2019~2020学年上海浦东新区上海市建平中学高一上学期期中第16题3分
Problem: 一个盒子里有$$3$$个黑球和$$4$$个白球，现从盒子里随机每次取出一个球，取出后不再放回，每个球被取出的可能性相等．直到某种颜色的球全部被取出．最后取出的是黑球的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{7}$$ 
Answer: B
Analysis: $$7$$个球全被取出的方式共有$$\text{C}_{7}^{3}=\text{C}_{7}^{4}=35$$（种），$$3$$个黑球全部被取出的方式有$$\text{C}_{6}^{3}=20$$（种），故所求概率为$$\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 设$$m,  n$$为实数，且直线$$mx+ny=4$$和圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$没有公共点，则关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}+2mx+{{n}^{2}}=0$$有实根的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{16}$$ 
Answer: B
Analysis: 直线$$mx+ny=4$$和圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$相离，则$$\frac{\left\textbar{} 4 \right\textbar}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\textgreater2$$，得$${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\textless{}4$$．  方程$${{x}^{2}}+2mx+{{n}^{2}}=0$$有实根时，判别式$$\Delta =4{{m}^{2}}-4{{n}^{2}}\geqslant 0\Rightarrow \left\textbar{} m \right\textbar\geqslant \left\textbar{} n \right\textbar$$．  所以有实根的概率为$$\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知集合$$A=\left { 1,2,\frac{1}{2} \right }$$，集合$$B=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}},x\in A \right. \right }$$，则$$A\cap B=$$（~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left { \frac{1}{2}\right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { 2 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { 1 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\varnothing $$ 
Answer: C
Analysis: 由题可知：$$B=\left { 1,4,\frac{1}{4} \right }$$，所以 $$A\cap B=\left {1 \right }$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算
Source: 2016~2017学年10月北京西城区北京市第十四中学高三上学期月考理科第1题5分
2014年北京海淀区高三一模理科第1题
2016年山西太原高三三模文科第1题5分
2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出$$4$$名优胜者，则选出的$$4$$名选手中有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{16}{33}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{33}{128}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{32}{33}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{11}$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意知本题是一个古典概型，  试验发生的总事件是从$$12$$名选手中选出$$4$$个优胜者，共有$$\text{C}_{12}^{4}$$种结果，  而满足条件的是选出的$$4$$名选手中恰有且只有两个人  是同一省份的歌手表示从$$6$$个省中选一个省，  它的两名选手都获奖，同时从余下的$$10$$名选手中选一个，  再从剩下的$$4$$个省中选一个，共有$$\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}$$种选法，  ∴$$P=\frac{\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}}{\text{C}_{12}^{4}}=\frac{16}{33}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型->古典概型的概率计算（涉及计数原理）
Source: 2016年北京海淀区中国人民大学附属中学高三零模理科第6题5分
2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
2016~2017学年2月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三上学期月考理科第6题5分
Problem: (★★)已知$$f(x)=x\left\textbar{} x \right\textbar$$，若对任意的$$x\geqslant 1$$有$$f(x+m)+mf(x)\textless{}0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,-1]$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty ,-2]$$ 
Answer: B
Analysis: 显然$$m\textless{}0$$，所以$$f\left( x+m \right)\textless{}-mf\left( x \right)=f\left( \sqrt{-m}x \right)$$．  因为$$f\left( x \right)$$是单调增的奇函数，所以$$x+m\textless{}\sqrt{-m}x$$，即$$\left( \sqrt{-m}-1 \right)x\textgreater m$$．  所以必须$$\sqrt{-m}-1\geqslant 0$$，$$m\leqslant -1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 在半径为$r$的圆周上独立随机地选择两点．从每一个点沿顺时针方向画出一条长为$r$的弦．这两条弦相交的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{1}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{1}{3}$$ 
aoVal: E
content: $$\dfrac{1}{2}$$ 
Answer: D
Analysis: Fix a point $$A$$ from which we draw a clockwise chord. In order for the clockwise chord from another point $$B$$ to intersect that of point $$A$$, $$A$$ and $$B$$ must be no more than $$r$$ units apart.By drawing the circle, we quickly see that $$B$$ can be on $$\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}(\rm D)$$ of the perimeter of the crcle. (lmagine a regular hexagon inscribed in the circle). 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与角度有关的几何概率的计算
课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的弦长的相关问题
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities
Source: 2011年AMC10竞赛A第20题
Problem: 已知$a,b\in R$，则``$a\textgreater b$''是``$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$''的（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 充分不必要条件 
aoVal: B
content: 必要不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.\\ 【详解】\\ 当$a\textgreater b$：\\ 若$a,b$异号，即$a\textgreater0\textgreater b$，显然$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$成立；\\ 若$a\textgreater b\ge 0$或$0\ge a\textgreater b$，均有$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$成立；\\ 所以充分性成立；\\ 当$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$：若$a=-2$，$b=1$，显然$a\textgreater b$不成立，故必要性不成立.\\ 所以``$a\textgreater b$''是``$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$''的充分不必要条件.\\ 故选：A 
Source: 2022年浙江宁波竞赛第2题
Problem: 函数$$f(x)=4{{x}^{3}}-3x$$在$$(a,a+2)$$上存在最大值，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\frac{5}{2},-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\frac{5}{2},-1]$$ 
aoVal: C
content: $$(-\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$$ 
aoVal: D
content: $$(-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}]$$ 
Answer: B
Analysis: $${f}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-3=3\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)$$，$$f\left( x \right)$$在$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$单调增，在$$\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$$单调减，在$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$单调增，所以$$f\left( x \right)$$在$$\left( a,a+2 \right)$$上的最大值只能是$$f\left( -\frac{1}{2} \right)=1$$．  因此，$$a\textless{}-\frac{1}{2}\textless{}a+2$$，另外$$f\left( 1 \right)=1$$，所以$$a+2\leqslant 1$$，综合有$$-\frac{5}{2}\textless{}a\leqslant -1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 某運算◇對所有的非零實數$$a$$、$$b$$、$$c$$滿足：$$a$$◇$$(b$$ ◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$(此處 $$\cdot$$ 是一般的乘號)，且 $$a$$◇$$a=1$$ ．若方程式$$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100$$ 的解爲$$\frac pq$$,其中$$p$$、$$q$$爲互質的正整數，則 $$p+q$$之値爲何？  A binary operation ◇ has the properties that $$a$$◇$$(b$$ ◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$ and that $$a$$◇$$a=1$$ for all nonzero real numbers $$a$$, $$b$$, and $$c$$. (Here represents multiplication). The solution to the equation $$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100$$ can be written as $$\frac pq$$, where $$p$$ and $$q$$ are relatively prime positive integers. What is $$p+q$$?+q?
Options:
aoVal: A
content: $$109$$ 
aoVal: B
content: $$201$$ 
aoVal: C
content: $$301$$ 
aoVal: D
content: $$3049$$ 
aoVal: E
content: 33,601 
Answer: A
Analysis: We see that $$a$$◇$$a=1$$, and think of division. Testing, we see that the first condition $$a$$◇$$(b$$◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$ is satisfied, because $$\frac {a}{\dfrac bc}=\frac ab\cdot c$$. Therefore, division can be the operation ◇. Solving the equation, $$\frac {2016}{\dfrac 6x}=\frac {2016}6\cdot x=336x=100\Rightarrow x=\frac {100}{336}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$.  We can manipulate the given identities to arrive at a conclusion about the binary operator ◇. Substituting $$b=c$$ into the first identity yields $$(a$$◇$$b)\cdot b=a$$◇$$(b$$◇$$b)=a$$◇$$1=a$$◇$$(a$$◇$$a)=(a$$◇$$a)\cdot a=a$$. Hence, $$(a$$◇$$b)\cdot b=a$$, or, dividing both sides of the equation by $$b$$$, $$(a$$◇$$b)=\frac ab$$.  Hence, the given equation becomes $$\frac {2016}{\dfrac 6x}=100$$. Solving yields $$x=\frac {100}{336}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$.  One way to eliminate the ◇ in this equation is to make $$a=b$$ so that $$a$$◇$$(b$$◇$$c)=c$$. In this case, we can make $$b=2016$$.  $$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100\Rightarrow (2016$$◇$$6)\cdot x=100$$  By multiplying both sides by $$x$$, we get:  $$(2016$$◇$$6)\cdot 6=\frac {600}x\Rightarrow 2016$$◇$$(6$$◇$$6)=\frac {600}x$$  Because $$6$$◇$$6=2016$$◇$$2016=1$$:  $$2016$$◇$$(2016$$◇$$2016)=\frac {600}x\Rightarrow (2016$$◇$$2016)\cdot 2016=\frac {600}x\Rightarrow 2016=\frac {600}x$$  Therefore, $$x=\frac {600}{2016}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$. 
Source: 2016年AMC10竞赛第23题5分
Problem: 若五项的数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$：$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$，$${{a}_{5}}$$满足$$0\leqslant {{a}_{1}}\textless{}{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{3}}\textless{}{{a}_{4}}\textless{}{{a}_{5}}$$，且对任意的$$i$$，$$j$$（$$1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5$$），均有$${{a}_{j}}-{{a}_{i}}$$在该数列中．  ①$${{a}_{1}}=0$$；  ②$${{a}_{5}}=4{{a}_{2}}$$；  ③$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为等差数列；  ④集合$$A=\left { {{a}_{i}}+{{a}_{j}}\left\textbar{} 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5 \right. \right }$$含$$9$$个元素．  则上述论断正确的有个．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 论断正确的有①②③④．  因为$${{a}_{1}}-{{a}_{1}}=0\in \left { {{a}_{n}} \right }$$，所以$${{a}_{1}}=0$$；  因为  $$a={{a}_{1}}\textless{}{{a}_{3}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{4}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{5}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{5}}$$，  且  $${{a}_{3}}-{{a}_{2}}$$，$${{a}_{4}}-{{a}_{2}}$$，$${{a}_{5}}-{{a}_{2}}\in \left { {{a}_{n}} \right }$$，  所以  $${{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{2}}$$，$${{a}_{4}}-{{a}_{2}}={{a}_{3}}$$，$${{a}_{5}}-{{a}_{2}}={{a}_{4}}$$；  于是  $${{a}_{2}}-{{a}_{1}}={{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{4}}-{{a}_{3}}={{a}_{5}}-{{a}_{4}}$$．  所以$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为等差数列，且$$\left { {{a}_{n}} \right }$$：$$0$$,d,2d,3d,4d，因此$${{a}_{5}}=4{{a}_{2}}$$；集合$$A=\left { {{a}_{i}}+{{a}_{j}}\left\textbar{} 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5 \right. \right }$$含$$9$$个元素． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知$$f(x)$$的定义在实数上的函数，$$f(3)=-\sqrt{3}$$，且$$f(x+2)\left[ 1-f(x) \right]=1+f(x)$$，则$$f(2009)$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2+\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$2-\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$-\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$x=1$$时，  $$f(3)\left[ 1-f(x) \right]=1+f(1)$$  所以$$-\sqrt{3}\left[ 1-f(1) \right]=1+f(1)$$  所以$$f(1)=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$$  又因为$$f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$$  所以$$f(x+4)=\frac{1+f(x+2)}{1-f(x+2)}$$  $$=\frac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}} $$  $$=\frac{2}{-2f(x)}$$  $$=-\frac{1}{f(x)  }$$  所以$$f(x+8)=-\frac{1}{f(x+4)}=-\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)$$  所以$$f(2009)=f(251\times 8+1)=f(1)=2+\sqrt{3}$$  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2009年新疆全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 已知数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的通项公式为$${{a}_{n}}=\frac{2n-17}{2n-19}\left( n=1,2,\cdots \right)$$，则$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中最大的项是．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}_{1}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{9}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{10}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}_{12}}$$ 
Answer: C
Analysis: 通项公式$${{a}_{n}}=1+\frac{1}{n-9.5}$$，  当$$n\leqslant 9$$时，有$${{a}_{n}}\textless{}1$$，  当$$n\geqslant 10$$时，有$${{a}_{n}}\textgreater1$$，且$$\left { {{a}_{n}} \right }$$递减，从而$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中最大的项是$${{a}_{10}}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->函数思想
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->方法->分离常数法
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 2010AMC12B, 16  Positive integers $$a$$, $$b$$, and $$c$$ are randomly and independently selected with replacement from the set $$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$. What is the probability that $$abc+ab+a$$ is divisible by $$3$$?   从集合$$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$中独立随机有放回地选取正整数$$a$$, $$b$$, 和$$c$$。$$abc+ab+a$$被$$3$$整除的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{29}{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{31}{81}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{11}{27}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{13}{27}$$ 
Answer: E
Analysis: 首先, 注意到$abc+ab+a=a(bc+b+1)$, 因此当$3\textbar a$时，有$3\textbar abc+ab+a$.  然后, 当$3\nmid a$时, $3\textbar abc+ab+a\Leftrightarrow 3\textbar bc+b+1\Leftrightarrow b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  在模$$3$$的意义下, $(b,c)$共有$$3\times 3=9$$种可能的取值, 其中只有$(2, 0)$和$(1, 1)$满足$b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  因此, 总的概率为$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{9}=\frac{13}{27}$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式
美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Divisibility Rules of Certain Numbers (2/3/5/9/11)
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
Source: 2010年AMC12竞赛B第16题
Problem: 函数$$f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}$$的值域为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ 0,+\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 1,+\infty \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 2,+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 注意到，  $$f\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-2$$  $$={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}$$．  由于$${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\geqslant 2$$，  从而，所求函数的值域为$$\left[ 0,+\infty \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十五）第1题