math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在直三棱柱中，$$\angle BAC=\frac{ \pi }{2}$$，$$AB=AC=A{{A}_{1}}=1$$．已知$$G$$与$$E$$分别为$${{A}_{1}}{{B}_{1}}$$和$$C{{C}_{1}}$$的中点，$$D$$与$$F$$分别为线段$$AC$$和$$AB$$上的动点（不包括端点）．若$$GD\bot EF$$，则线段$$DF$$的长度的取值范围为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \frac{1}{5}, 2 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 1, \sqrt{2} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{1}{\sqrt{5}}, \sqrt{2} \right)$$ 
Answer: A
Analysis: 建立直角坐标系，以$$A$$为坐标原点，$$AB$$为$$x$$轴，$$AC$$为$$y$$轴，$$A{{A}_{{}}}$$为$$z$$轴，则$$F({{t}_{1}},0,0)$$（$$0\textless{}{{t}_{1}}\textless{}1$$），$$E\left( 0,1,\frac{1}{2} \right)$$，$$G\left( \frac{1}{2},0,1 \right)$$，$$D\left( 0,{{t}_{2}},0 \right)$$（$$0\textless{}{{t}_{2}}\textless{}1$$）．所以$$\overrightarrow{EF}=\left( {{t}_{1}},-1,-\frac{1}{2} \right)$$，$$\overrightarrow{GD}=\left( -\frac{1}{2},{{t}_{2}},-1 \right)$$．因为$$GD\bot EF$$，所以$${{t}_{1}}+2{{t}_{2}}=1$$，由此推出$$0\textless{}{{t}_{2}}\textless{}\frac{1}{2}$$．又$$\overrightarrow{DF}=({{t}_{1}},-{{t}_{2}},0)$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{DF} \right\textbar=\sqrt{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}=\sqrt{5{{t}_{2}}^{2}-4{{t}_{2}}+1}=\sqrt{5{{({{t}_{2}}-\frac{2}{5})}^{2}}+\frac{1}{5}}$$，从而有$$\sqrt{\frac{1}{5}}\leqslant \left\textbar{} \overrightarrow{DF} \right\textbar\textless{}1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->空间向量与立体几何->空间向量的应用->向量法求空间距离
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2018~2019学年北京东城区北京市第一六六中学高二上学期期中第12题5分
2006年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于$$3$$，且各项的和为$$9{{7}^{2}}$$，则这样的数列共有（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$4$$个 
aoVal: D
content: $$5$$个 
Answer: C
Analysis: 设首项为$$a$$，公差为$$d$$，项数为$$n$$，则$$na+\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)d={{97}^{2}}$$，$$n\left[ 2a+\left( n-1 \right)d \right]=2\times 9{{7}^{2}}$$，即$$n$$为$$2\times 9{{7}^{2}}$$的大于$$3$$的约数．  ∴①$$n=9{{7}^{2}}$$，$$2a+\left( 9{{7}^{2}}-1 \right)d=2$$，$$d=0$$，$$a=1$$；$$d\geqslant 1$$时$$a\textless{}0$$．有$$1$$解；  ②$$n=97$$，$$2a+96d=194$$，$$d=0$$，$$a=97$$；$$d=1$$，$$a=49$$；$$d=2$$，$$a=1$$．有$$3$$解；  ③$$n=2\times 97$$，$$n=2\times 9{{7}^{2}}$$，无解．$$n=1$$，$$2$$时$$n\textless{}3$$．  所以符合要求的数列共有$$1+3=4$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形
Source: 1997年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 如果实数$$xy$$满足关系$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}-y \right)\leqslant 1$$，那么．
Options:
aoVal: A
content: $$x+y\geqslant 0$$ 
aoVal: B
content: $$x+y\leqslant 0$$ 
aoVal: C
content: $$x-y\geqslant 0$$ 
aoVal: D
content: $$x-y\leqslant 0$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$xy$$的对称性，显然大小不能确定，即$$C$$、$$\text{D}$$错误；  设$$x=\tan \alpha ,y=\tan \beta ,\alpha ,\beta \in \left( -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right)$$，于是原不等式可化简为$$\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{1-\sin \beta }{\cos \beta }\leqslant 1$$，整理可得$$\sin \alpha +\sin \beta \geqslant 1-\cos (\alpha +\beta )\geqslant 0$$，即$$2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\geqslant 0$$，又$$\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\textgreater0$$，故$$\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$．另外，易知$$\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\textgreater0$$，从而$$\sin (\alpha +\beta )=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$，于是$$x+y=\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\geqslant 0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元
Source: 第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第6题4分
Problem: 设$$a,b,c,d$$都是实数，$$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 待定系数，由柯西不等式，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{{{\left[ \left( {{x}_{1}}+{{x}_{5}} \right)a+\left( {{x}_{2}}+{{x}_{5}} \right)b+\left( {{x}_{3}}+{{x}_{5}} \right)c+\left( {{x}_{4}}+{{x}_{5}} \right)d \right]}^{2}}}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}+{{x}_{5}}^{2}}$$令$${{x}_{1}}+{{x}_{5}}=1$$，$${{x}_{2}}+{{x}_{5}}=2$$，$${{x}_{3}}+{{x}_{5}}=3$$，$${{x}_{4}}+{{x}_{5}}=4$$，  则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{10}{{{\left( 1-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 2-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 3-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{x}_{5}}^{2}}$$  $$=\frac{10}{5{{x}_{5}}^{2}-20{{x}_{5}}+30}=\frac{10}{5{{\left( {{x}_{5}}-2 \right)}^{2}}+10}$$  取$${{x}_{5}}=2$$，得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant 1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分
Problem: 已知集合$$A=\left { \left( x,y \right)\left\textbar{} x+{{a}^{2}}y+6=0 \right. \right }$$，集合$$B=\left { \left( x,y \right)\left\textbar{} \left( a-2 \right)x+3ay+2a \right.=0 \right }$$，若$$A\cap B=\varnothing $$，则$$a$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$或$$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-1$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意知$$x+{{a}^{2}}y+6=0$$与$$\left( a-2 \right)x+3ay+2a=0$$均为直线方程．  若$$A\cap B=\varnothing $$，则这两条直线斜率相同且两条直线不重合．  由斜率相同得$${{a}^{2}}=\frac{3a}{a-2}$$．  从而，$${{a}^{3}}-2{{a}^{2}}-3a=0$$．①  （1）当$$a=0$$时，经验证成立．  （2）当$$a\ne 0$$时，由式①得，  $${{a}^{2}}-2a-3=0\Rightarrow a=-1$$，$$3$$．  红验证$$a=-1$$满足条件；  当$$a=3$$时，两直线重合，舍去．  综上，$$a=0$$或$$-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->转化化归思想
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线的位置关系->判定两条直线的位置关系
Source: 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆和双曲线的公共焦点，$$P$$是它们的一个公共点，且$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=60{}^{}\circ $$，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=x$$，$$\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar=y$$，$$\left\textbar{} {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right\textbar=2c$$，则$${{e}_{1}}{{e}_{2}}=\frac{2c}{x+y}\cdot \frac{2c}{x-y}$$（不妨设$$x\textgreater y$$）．  在$$\triangle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$中，由余弦定理，$$4{{c}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy$$．  于是，$${{e}_{1}}{{e}_{2}}=\frac{4{{c}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$，去分母，移项得$$\left( 1-{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right){{x}^{2}}-xy+\left( 1+{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right){{y}^{2}}=0$$，  判别式$$\Delta =1-4\left( 1-{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right)\left( 1+{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right)\geqslant 0$$，解得$${{e}_{1}}{{e}_{2}}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的简单几何性质->椭圆的离心率->求椭圆的离心率
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率
课内体系->知识点->解三角形->余弦定理
课内体系->知识点->解三角形->正余弦定理的综合应用->正余弦定理综合求解边角
课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: $$2009-AMC10B-14$$  On Monday, Millie puts a quart of seeds, $$25 \%$$ of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only $$25 \%$$ of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?  星期一，米莉将一夸脱种子（其中 25\% 是小米）放入喂鸟器中。 在连续的每一天，她添加另一夸脱相同的种子混合物，但没有去除任何剩余的种子。 这些鸟每天只吃喂食器中 25\% 的小米，但它们吃掉所有其他种子。 哪一天，米莉刚放完种子，鸟儿会发现喂食器里一半以上的种子是小米？
Options:
aoVal: A
content: Tuesday  
aoVal: B
content: Wednesday  
aoVal: C
content: Thursday  
aoVal: D
content: Friday  
aoVal: E
content: Saturday  
Answer: D
Analysis: On Monday, day $$1$$, the birds find $$\frac14$$ quart of millet in the feeder. On Tuesday they find $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}$$ quarts of millet. On Wednesday, day $$3$$, they find $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}$$ quarts of millet. The number of quarts of millet they find on day $$n$$ is $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}+ \cdots +\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{4}= \dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\right)}{1- \dfrac{3}{4}}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$$. The birds always find $$\frac34$$ quart of other seeds, so more than half the seeds are millet if $$1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\textgreater\frac34$$ , that is, when $$\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\textless{} \frac{1}{4}$$. Because $$\left(\frac{3}{4}\right)^{4}= \frac{81}{256}\textgreater{} \frac{1}{4}$$ and $$\left(\frac{3}{4}\right)^{5}= \frac{243}{1024}\textless{} \frac{1}{4}$$, this will first occur on day $$5$$ which is $$\boxed{\rm Friday}$$. The answer is $$\rm(D)$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Sequence->Sum of the First n Terms for Geometric Sequences
课内体系->知识点->数列->数列的实际应用
Source: 2009年AMC10竞赛B第14题
Problem: 已知集合$$A= {x{}\textbar{{x}^{2}}-3x-10{\leqslant }0 }{,}B= {x\textbar m+1{\leqslant }x{\leqslant }2m-1 }$$．当$$A{\cap }B=\varnothing $$时，实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$2\textless{}m\textless{}4$$ 
aoVal: B
content: $$m\textless{}2$$或$$m\textgreater4$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}\textless{}m\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$m\textless{}-\frac{1}{2}$$或$$m\textgreater4$$ 
Answer: B
Analysis: $$A=\left { x\textbar-2{\leqslant }x{\leqslant }5 \right }$$，$$A{\cap }B=\varnothing $$，当$$B=\varnothing $$时，$$2m-1\textless{}m+1$$，即$$m\textless{}2$$;当$$B\ne \varnothing $$时，$$m{\geqslant }2$$，$$m+1\textgreater5$$，即$$m\textgreater4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 给定两个向量$$\overrightarrow{a}=\left( 1,2 \right)$$，$$\overrightarrow{b}=\left( x,1 \right)$$，若$$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})//(2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$，则$$x$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$\overrightarrow{a}=\left( 1,2 \right)$$，$$\overrightarrow{b}=\left( x,1 \right)$$，  所以有$$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})=\left( 1+2x,4 \right)$$，  $$(2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=\left( 2-2x,2 \right)$$，  因为$$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})//(2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$，  所以$$\left( 1+2x \right)\times 2=4\times \left( 2-2x \right)$$，  解得$$x=\frac{1}{2}$$，故选$$\text{C}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知函数$$f(x)$$对一切实数$$a,b$$都满足$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$，则不恒为零的函数$$f(x)$$是．
Options:
aoVal: A
content: 奇函数 
aoVal: B
content: 偶函数 
aoVal: C
content: 奇函数也是偶函数 
aoVal: D
content: 非奇非偶函数 
Answer: A
Analysis: 令$$a=b=0$$，可得$$f(0)=0$$，令$$a=-b$$，可得$$f(a)=-f(-a)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第1题5分
Problem: 已知函数$f\left( x \right)=\sqrt{x-2}$，若$f\left( 2{{a}^{2}}-5a+4 \right)\textless{} f\left( {{a}^{2}}+a+4 \right)$，则实数$a$的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right)\cup \left( 2,+\infty \right)$ 
aoVal: B
content: $\left[ 2,6 \right)$ 
aoVal: C
content: $\left( 0,\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2,6 \right)$ 
aoVal: D
content: $\left( 0,6 \right]$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据$f\left( x \right)$的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可.\\ 【详解】\\ 对$f\left( x \right)=\sqrt{x-2}$，且定义域为$\left[ 2,+\infty \right)$，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，\\ 故$f\left( 2{{a}^{2}}-5a+4 \right)\textless{} f\left( {{a}^{2}}+a+4 \right)$，等价于$2\le 2{{a}^{2}}-5a+4\textless{} {{a}^{2}}+a+4$，\\ 由$2\le 2{{a}^{2}}-5a+4$，即$2{{a}^{2}}-5a+2\ge 0$，$\left( 2a-1 \right)\left( a-2 \right)\ge 0$，解得$a\in \left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2,+\infty \right)$；\\ 由$2{{a}^{2}}-5a+4\textless{} {{a}^{2}}+a+4$，即${{a}^{2}}-6a\textless{} 0$，解得$a\in \left( 0,6 \right)$；\\ 故实数$a$的取值范围为$\left( 0,\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2,6 \right)$.\\ 故选：C. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
Source: 2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第7题
Problem: 2005AMC12B, 23  Let $$S$$ be the set of ordered triples $$(x, y,z)$$ of real numbers for which $$\log_{10}(x+y)=z$$ and $$\log_{10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$. There are real numbers $$a$$ and $$b$$ such that for all ordered triples $$(x, y,z)$$ in $$S$$ we have $$x^{3}+y^{3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$. What is the value of $$a+b$$?  令 $$S$$ 为有序实数三元组 $$(x, y,z)$$ 的集合，其中 $$\log_{10}(x+y)=z$$ 且 $$\log_{ 10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$。 存在实数 $$a$$ 和 $$b$$ ，使得对于 $$S$$ 中的所有有序三元组 $$(x, y,z)$$ ， 有$$x^{3}+y^{} {3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$。 $$a+b$$ 的值是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{15}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{29}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{39}{2}$$ 
aoVal: E
content: $$24$$ 
Answer: B
Analysis: 这题主要考代数变形.  由题意, $x+y=10^{}z$, $x^{2}+y^{2}=10^{z+1}$.  由此可得$xy=\frac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2}=\frac{1}{2}10^{2z}-5\times 10^{}z$.  代入$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$, 得  $x^{3}+y^{3}=10^{}z(10\times 10^{}z-\frac{1}{2}10^{2z}+5\times 10^{}z)=-\frac{1}{2}10^{3z}+15\times 10^{2z}$.  故$a+b=15-\frac{1}{2}=\frac{29}{2}$, 选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation
课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
Source: 2005年AMC12竞赛B第23题
Problem: 设$$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$$分别表示平面直角坐标系$$x,  y$$轴上的单位向量，且$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{i} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{2j} \right\textbar=\sqrt{5}$$，则$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{2i} \right\textbar$$取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ 2\sqrt{3},  3 \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \frac{6\sqrt{5}}{5},  2\sqrt{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ \sqrt{5},  4 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{6\sqrt{5}}{5},  3 \right]$$ 
Answer: D
Analysis: 满足$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{i} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{2j} \right\textbar=\sqrt{5}$$的向量$$\overrightarrow{a}$$的终点在线段$$2x+y-2=0\left( 0\leqslant x\leqslant 1 \right)$$上，所以$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{2i} \right\textbar$$的最大值就是点$$\left( -2,  0 \right)$$与$$\left( 1,  0 \right)$$距离$$3$$，最小值就是点$$\left( -2,  0 \right)$$到线段的距离$$\frac{6\sqrt{5}}{5}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 以长方体$$8$$个顶点中的任意$$3$$个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: C
Analysis: 以长方体的$$8$$个顶点中的任意$$3$$个为顶点的三角形共有$$\text{C}_{8}^{3}$$个，且这些三角形只能是直角三角形或锐角三角形．而以长方体的每个顶点为直角顶点的三角形都是$$6$$个，所以在$$\text{C}_{8}^{3}$$个三角形中共有$$6\times 8=48$$（个）直角三角形．从而所求锐角三角形的个数为$$\text{C}_{8}^{3}-48=8$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 已知$$\frac{\sin \left( \alpha +2\beta \right)}{\sin \alpha }=3$$，且$$\beta \ne \frac{1}{2}k \pi, \alpha +\beta \ne n \pi +\frac{ \pi }{2}\left( n,k\in Z \right)$$，则$$\frac{\tan \left( \alpha +\beta \right)}{\tan \beta }$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: A
Analysis: $$3=\frac{\sin (\alpha +\beta +\beta )}{\sin (\alpha +\beta -\beta )}=\frac{\sin (\alpha +\beta )\cos \beta +\cos (\alpha +\beta )\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )\cos \beta -\cos (\alpha +\beta )\sin \beta }$$，  分子分母同时除以$$\cos \beta \cos (\alpha +\beta )$$，  有$$\frac{\tan (\alpha +\beta )+\tan \beta }{\tan (\alpha +\beta )-\tan \beta }=3$$，解得$$\tan (\alpha +\beta )=2\tan \beta $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数的定义->计算任意角的三角函数值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧度制
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->角的定义和分类->任意角的表示
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦
课内体系->方法->构造法
课内体系->素养->数学运算
课内体系->思想->转化化归思想
Source: 2009年高二竞赛广州市第2题6分
Problem: 设锐角$$\theta $$使关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}+4x\cos \theta +\cot \theta =0$$有重根，则$$\theta $$的弧度数为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{12}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{6}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{ \pi }{12}$$ 
Answer: B
Analysis: 由方程有重根，故$$\frac{1}{4}\Delta =\text{4co}{{\text{s}}^{2}}\theta -\cot \theta =0$$，  ∵$$0\textless{}\theta \textless{}\frac{ \pi }{2}\Rightarrow 2\sin 2\theta =1$$，$$\Rightarrow \theta =\frac{ \pi }{12}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2004年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 正四棱锥的底面边长为$$2017$$，侧棱长为$$2000$$，则侧棱与底面所成的角与下面哪个角的差的绝对值最小．
Options:
aoVal: A
content: $$30{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$40{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$50{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$60{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 正四棱锥的高为$$\sqrt{{{2000}^{2}}-\frac{{{2017}^{2}}}{2}}$$，  所以，侧棱与底面所成的角的正弦值为$$\frac{\sqrt{{{2000}^{2}}-\frac{{{2017}^{2}}}{2}}}{2000}\approx \frac{1400}{2000}=0.7$$，比$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$稍微小点，也就是角度比$$45{}^{}\circ $$小点，因此是$$40{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 若集合$$M= {x-{{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-1)\textgreater-1 }$$，$$N= {x\textbar1\textless{}{{2}^{x}}\textless{}4 }$$，则$$M\cap N$$= ．
Options:
aoVal: A
content: $$ {x\textbar1\textless{}x\textless{}3 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {x\textbar1\textless{}x\textless{}2 }$$ 
aoVal: C
content: $$ {x\textbar0\textless{}x\textless{}3 }$$ 
aoVal: D
content: $$ {x\textbar0\textless{}x\textless{}2 }$$ 
Answer: B
Analysis: $$x\in M\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-1)\textgreater-1\Leftrightarrow \begin{cases}x-1\textgreater0    x-1\textless{}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}=2 \end{cases}\Leftrightarrow 1\textless{}x\textless{}3$$；$$x\in N\Leftrightarrow 1\textless{}{{2}^{x}}\textless{}4\Leftrightarrow 0\textless{}x\textless{}2$$，所以$$M\cap N= {x\textbar1\textless{}x\textless{}2 }$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 方程$$10\sin \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)=x$$根的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 由正弦函数的性质同时绘出$$y=10\sin \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$和$$y=x$$的图象，  注意到$$3 \pi -\frac{ \pi }{6}\textless{}10\textless{}3 \pi +\frac{ \pi }{2}$$，  及$$\left\textbar{} -\frac{ \pi }{6}-3 \pi ~\right\textbar\textless{}10\textless{}\left\textbar{} -\frac{ \pi }{6}-3 \pi -\frac{ \pi }{2} \right\textbar$$，  可知两条曲线有$$7$$个交点．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->零点、交点、根的等价转化
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->直观想象
Source: 2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知函数$$f(x)=\begin{cases}{{x}^{2}},x\textless{}0    -{{x}^{2}},x\geqslant 0    \end{cases}$$，若对$$\forall x\in ({{t}^{2}}-4,{{t}^{2}})$$，不等式$$f(x+t)\textless{}4f(x)$$恒成立，则实数$$t$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$(0,1)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ \frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$[0,1]$$ 
Answer: D
Analysis: 函数$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上递减，且$$4f(x)=f(2x)$$，  所以$$f(x+t)\textless{}4f(x)\Leftrightarrow f(x+t)\textless{}f(2x)\Leftrightarrow x+t\textgreater2x\Leftrightarrow t\textgreater x$$，  所以$$t\geqslant {{t}^{2}}$$，解得$$0\leqslant t\leqslant 1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式
课内体系->方法->单调性法
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得$$1$$分，负者得$$0$$分，比赛进行到有一人比对方多$$2$$分或打满$$6$$局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$$\frac{2}{3}$$，乙在每局中获胜的概率为$$\frac{1}{3}$$，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已$$4$$局的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{20}{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{27}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{16}{81}$$ 
Answer: B
Analysis: 解法一：设比赛结束时已打局数为随机变量$$\xi $$  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{5}{9}$$，  若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有  $$P(\xi =2)=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=\left( \frac{4}{9} \right)\left( \frac{5}{9} \right)=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)={{\left( \frac{4}{9} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故选$$\text{B}$$  解法二：  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  令$${{A}_{k}}$$表示甲在第$$k$$局比赛中获胜，则$${{\bar{A}}_{k}}$$表示乙在第$$k$$局比赛中获胜，  由独立性与互不相容性得  $$P(\xi =2)=P({{A}_{1}}{{A}_{2}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{\bar{A}}_{2}})=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})$$  $$=2\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{1}{3} \right)+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{2}{3} \right) \right]=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})$$  $$=4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件的概率加法公式
Source: 2019~2020学年3月湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高二下学期月考第10题
2008年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 函数$$f(x)=\frac{5-4x+{{x}^{2}}}{2-x}$$在$$(-\infty ,2)$$上的最小值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\textless{}2$$时，$$2-x\textgreater0$$，因此$$f(x)=\frac{1+(4-4x+{{x}^{2}})}{2-x}=\frac{1}{2-x}+(2-x)\geqslant 2\cdot \sqrt{\frac{1}{2-x}\cdot (2-x)}=2$$，  当且仅当$$\frac{1}{2-x}=2-x$$时上式取等号，  而此方程有解$$x=1\in (-\infty ,2)$$，因此$$f(x)$$在$$(-\infty ,2)$$上的最小值为$$2$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2018~2019学年四川成都青羊区成都市树德中学（光华校区）高一下学期期中理科第6题5分
2008年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 随机投掷三颗骰子，下列说法中正确的是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 有两颗骰子之和为7的概率是$\frac{7}{12}$ 
aoVal: B
content: 有两颗骰子之和为8的概率是$\frac{19}{54}$ 
aoVal: C
content: 所有骰子中最小值为2的概率是$\frac{65}{216}$ 
aoVal: D
content: 所有骰子中最小值为3的概率是$\frac{41}{216}$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用古典概率的概率公式可得各选项中的概率.\\ 【详解】\\ 有两颗骰子之和为7的可能为$1+6,2+5,3+4$，对应的基本事件数为$(4\times 3!+2\times 3)\times 3=90$，\\ 因此所求概率为$\frac{90}{6^{3}}=\frac{5}{12}$．\\ 有两颗骰子之和为8的可能为$2+6,3+5,4+4$，对应的基本事件数为$(4\times 3!+2\times 3)\times 2+(5\times 3+1)=76$，\\ 因此所求概率为$\frac{76}{6^{3}}=\frac{19}{54}$．\\ 所有骰子中最小值为2，则按2出现次数分类，对应的基本事件数为$(6\times 3!+4\times 3)+4\times 3+1=61$，\\ 因此所求概率为$\frac{61}{6^{3}}=\frac{61}{216}$．\\ 所有骰子中最小值为3，则按3出现次数分类，对应的基本事件数为$(3\times 3!+3\times 3)+3\times 3+1=37$，\\ 因此所求概率为$\frac{37}{6^{3}}=\frac{37}{216}$．\\ 故选：B 
Source: 竞赛第13题
Problem: $$2002-AMC12A-10$$  Sarah places four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then pours half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, pours half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?  莎拉将 4 盎司咖啡放入一个 8 盎司的杯子中，将 4 盎司奶油放入第二个相同大小的杯子中。 然后，她将第一杯咖啡的一半倒入第二杯，充分搅拌后，将第二杯中的一半液体倒回第一杯。 第一杯里的液体有多少是奶油？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: D
Analysis: 她将第一杯咖啡的一半倒入第二杯，充分搅拌后，第二杯中有$$2$$盎司咖啡，$$4$$盎司奶油。将第二杯中的一半液体倒回第一杯，第一杯中的奶油有$$2$$盎司。 第一杯里的液体有$$5$$盎司，有2/5是奶油 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems
课内体系->知识点->集合->容斥原理
Source: 2002年AMC12竞赛A第10题