math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$$是同一平面内的三个单位向量，且$$\vec{a}\bot \vec{b}$$，则$$(\vec{c}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{b})$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1+\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$1-\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{2}-1$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: $$(\vec{c}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{b})=1-\overrightarrow{c}\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)=1-\left\textbar{} \overrightarrow{c} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right\textbar\text{cos }\theta \leqslant 1+\sqrt{2}$$，当$$\overrightarrow{c}$$与$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$的夹角为$$180{}^{}\circ $$时取等号．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求模长
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求夹角
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的模
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 各项均为实数的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$前$$n$$项之和记为$${{S}_{n}}$$，若$${{S}_{10}}=10$$，$${{S}_{30}}=70$$，则$${{S}_{40}}$$等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$150$$ 
aoVal: B
content: $$-200$$ 
aoVal: C
content: $$150$$或$$-200$$ 
aoVal: D
content: $$-50$$或$$400$$~ 
Answer: A
Analysis: 首先$$q\ne 1$$，于是$$\frac{{{a}_{1}}}{q-1}\left( {{q}^{10}}-1 \right)=10$$，$$\frac{{{a}_{1}}}{q-1}\left( {{q}^{30}}-1 \right)=70$$，  ∴$$\textasciitilde{{q}^{20}}+{{q}^{10}}+1=7\Rightarrow {{q}^{10}}=2$$（$$-3$$舍）．  ∴$${{S}_{40}}=10\left( {{q}^{40}}1 \right)=150$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2019~2020学年4月湖南长沙天心区长郡中学高一下学期月考第12题3分
1998年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
2014~2015学年10月辽宁沈阳和平区东北育才中学高二上学期月考理科第7题5分
2018~2019学年10月山东济宁市中区济宁市第一中学高二上学期月考第6题5分
Problem: 在正三棱柱$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$中，若$$AB=\sqrt{2}B{{B}_{1}}$$，则$$A{{B}_{1}}$$与$${{C}_{1}}B$$所成的角的大小是．
Options:
aoVal: A
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$75{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$90{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$105{}^{}\circ $$ 
Answer: C
Analysis: 取$${{B}_{1}}{{A}_{1}}$$的中点$$M$$，易知$${{C}_{1}}M\bot $$平面$$A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B$$，所以$${{C}_{1}}M\bot A{{B}_{1}}$$，  在矩形$$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$$中，$$\tan \angle {{B}_{1}}BM=\tan \angle {{B}_{1}}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  于是$$\angle {{B}_{1}}BM=\angle {{B}_{1}}AB$$，从而$$MB\bot A{{B}_{1}}$$，  因此，$$A{{B}_{1}}\bot $$平面$$BM{{C}_{1}}$$，所以$$A{{B}_{1}}\bot B{{C}_{1}}$$，即$$A{{B}_{1}}$$与$${{C}_{1}}B$$所成的角的大小为$$90{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2006年上海复旦大学自主招生千分考第6题
2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设正三棱锥$$S-ABC$$的底面边长为$$3$$，侧棱长为$$2$$，则侧棱$$SA$$与底面$$ABC$$所成的角的大小是．
Options:
aoVal: A
content: $$30{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$45{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$\arctan \sqrt{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 设顶点$$S$$在底面$$\triangle ABC$$的射影是$$H$$，则$$H$$为$$\triangle ABC$$的外心．从而$$AH=\frac{2}{3}\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$，于是可得$$\angle SAH={{30}^{\circ }}$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知$$0\textless{}b\textless{}1$$，$$0\textless{}a\textless{}\frac{ \pi }{4}$$，则下列三数：$$x={{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\sin a}}$$，$$y={{(\cos a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$，$$z={{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textless{}z\textless{}y$$ 
aoVal: B
content: $$y\textless{}z\textless{}x$$ 
aoVal: C
content: $$z\textless{}x\textless{}y$$ 
aoVal: D
content: $$x\textless{}y\textless{}z$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$0\textless{}b\textless{}1$$， ∴$$f(x)={{\log }_{b}}x$$是减函数，又  ∵$$0\textless{}a\textless{}\frac{ \pi }{4}$$， ∴$$0\textless{}\sin a\textless{}\cos a\textless{}1$$，  ∴$${{\log }_{b}}\sin a\textgreater{{\log }_{b}}\cos a\textgreater0$$，  ∴$${{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\sin a}}\textless{}{{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$，即$$x\textgreater z$$；  又$${{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\sin a}}\textless{}{{(\cos a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$，即$$z\textless{}y$$，故有$$x\textless{}z\textless{}y$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算
课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数线
课内体系->素养->数学运算
Source: 1994年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 在公差为$$4$$的正项等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$中，$${{a}_{3}}$$与$$2$$的算术平均值等于$${{S}_{3}}$$与$$2$$的几何平均值，其中$${{S}_{3}}$$表示数列前$$3$$项的和，则$${{a}_{10}}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: $$38$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
Answer: A
Analysis: 因为等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$的公差$$d=4$$，  则$${{a}_{3}}={{a}_{1}}+8$$，$${{S}_{3}}=3{{a}_{1}}+12$$，  从而$$\frac{({{a}_{1}}+8)+2}{2}=\sqrt{2(3{{a}_{1}}+12)}$$，  解得$${{a}_{1}}=2$$．所以$${{a}_{10}}=2+9\times 4=38$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列求和问题
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的前n项和
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的定义
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式->常见数列的通项公式
课内体系->方法->方程组法
Source: 2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设方程$${{\log }_{4}}x-{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=0$$与$${{\log }_{\frac{1}{4}}}x-{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=0$$的根分别为$${{x}_{1}},  {{x}_{2}}$$，则
Options:
aoVal: A
content: $$0\textless{}{{x}_{1}}{{x}_{2}}\textless{}1$$ 
aoVal: B
content: $${{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$$ 
aoVal: C
content: $$1\textless{}{{x}_{1}}{{x}_{2}}\textless{}2$$ 
aoVal: D
content: $${{x}_{1}}{{x}_{2}}\geqslant 2$$ 
Answer: A
Analysis: 显然$${{x}_{2}}=\frac{1}{2}$$．设$$f\left( x \right)={{\log }_{4}}x-{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}$$，则$$f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\textless{}0$$，所以$$1\textless{}{{x}_{2}}\textless{}2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设集合$$X=\left { 1,2,3,\cdots ,2017 \right }$$，集合  $$S=\left { \left( x,y,z \right)\left\textbar{} x,y,z\in X,且三条件x\textless{}y\textless{}z,y\textless{}z\textless{}x,z\textless{}x\textless{}y 恰有一个成立\right. \right }$$  若$$\left( x,y,z \right)\in S$$且$$\left( z,w,x \right)\in S$$，则下列选项正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( y,z,w \right)\in S$$且$$\left( x,y,w \right)\notin S$$ 
aoVal: B
content: $$\left( y,z,w \right)\in S$$且$$\left( x,y,w \right)\in S$$ 
aoVal: C
content: $$\left( y,z,w \right)\notin S$$且$$\left( x,y,w \right)\in S$$ 
aoVal: D
content: $$\left( y,z,w \right)\notin S$$且$$\left( x,y,w \right)\notin S$$ 
Answer: B
Analysis: 特殊值排除法，  取$$x=2$$，$$y=3$$，$$z=4$$，$$w=1$$，显然满足$$(x,y,z)$$和$$(z,w,x)$$都在$$S$$中，  此时$$(y ,z,w)=(3,4,1)\in S$$，  $$(x,y,w)=(2,3,1)\in S$$，故$$\text A$$、$$\text C$$、$$\text D$$均错误；  只有$$\text B$$成立，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 考虑三维空间中任意给定的空间四边形$ABCD$，\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}是四个顶点，四条线段$AB,BC,CD,DA$依次首尾相接，将点\emph{A}的内角定义为射线$AD$和射线$AB$的夹角，其补角为角\emph{A}的外角，其他顶点定义类似，考虑这种空间四边形的外角和\emph{x}，则有（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $x=2\pi$ 
aoVal: B
content: $x\geq 2\pi$ 
aoVal: C
content: $x\leq 2\pi$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 首先外角和与内角和之和为$4\pi$，再根据各角的不等关系可证内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 【详解】\\ 对于空间四边形，外角和与内角和之和为$4\pi$，因此考虑内角和与$2\pi$的大小关系．\\ 取\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}为正四面体的四个顶点，则内角和为$\frac{\pi }{3}\times 4=\frac{4\pi }{3}\textless{} 2\pi$，\\ 因此选项AC都错误，\\ 接下来证明内角和不大于$2\pi$．\\ 事实上，有$\left {\begin{array}{l} \angle ABD+\angle CBD\geq \angle ABC,   \angle ADB+\angle CDB\geq \angle CDA, \end{array}\right.$\\ 从而$2x=(\angle ABD+\angle BDA+\angle DAB)+(\angle DBC+\angle BDC+\angle BCD)$\\ $\geq \angle DAB+\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA$，\\ 因此内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 故选：B. 
Source: 竞赛第20题
Problem: 已知平面区域$$\Omega = {(x,y)\textbar x+y\leqslant 6,x\geqslant 0,y\geqslant 0 }$$，$$A= {(x,y)\textbar x\leqslant 4,y\geqslant 0,x-2y\geqslant 0 }$$，若向区域$$\Omega $$上随机投一点$$P$$，则点$$P$$落入区域$$A$$的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{9}$$ 
Answer: C
Analysis: 不难算出平面区域$$\Omega $$的面积为$$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$$，$$A$$的面积为$$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$$，  所以所求概率为$$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\cos 2x \right\textbar$$的最小正周期是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2 \pi $$ 
aoVal: B
content: $$ \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
Answer: C
Analysis: $$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\cos 2x \right\textbar$$可以改写为  $$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right) \right\textbar$$，  由函数图象之间的关系可见$$f\left( x \right)$$与$$g\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x \right\textbar$$有相同的最小正周期．  因为$$\left\textbar{} \sin x \right\textbar$$的最小正周期为$$\pi $$，所以$$g\left( x \right)$$的最小正周期为$$\frac{\pi }{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质->求正弦型函数的周期
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式
课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程->函数的图象变换问题->翻折变换问题
课内体系->思想->函数思想
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知角\emph{α}终边上一点\emph{M}的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则$\sin 2\alpha =$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $-\frac{1}{2}$ 
aoVal: B
content: $\frac{1}{2}$ 
aoVal: C
content: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
aoVal: D
content: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据题意，结合$\alpha $所在象限，得到$\sin \alpha $和$\cos \alpha $的值，再根据公式，求得答案.\\ 【详解】\\ 由角$\alpha $终边上一点\emph{M}的坐标为$\left( 1,\sqrt{3} \right)$，\\ 得$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha =\frac{1}{2}$，\\ 故$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，\\ 故选D.\\ 【点睛】\\ 本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数
Source: 2022~2023学年3月江苏常州武进区江苏省前黄高级中学高一下学期月考第2题
2022~2023学年3月江苏常州武进区江苏省前黄高级中学高一下学期月考第2题
2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第4题
Problem: $$\triangle ABC$$的三个内角$$A$$、$$B$$、$$C$$依次成等差数列，$$\sin A$$、$$\sin B$$、$$\sin C$$依次成等比数列，则$$\triangle ABC$$．
Options:
aoVal: A
content: 是直角三角形，但不是等腰三角形 
aoVal: B
content: 不是等腰三角形，也不是直角三角形 
aoVal: C
content: 是等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 是等边三角形 
Answer: D
Analysis: 因为$$B=60{}^{}\circ $$，$${{\sin }^{2}}B=\sin A\sin C$$，  所以$${{\sin }^{2}}60{}^{}\circ =\sin A\sin (120{}^{}\circ -A)$$，  可知$$\frac{3}{4}=\sin A\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A \right)$$  $$=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A\cos A+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}A$$  $$=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2A+\frac{1-\cos 2A}{4}$$  因此$$\sin (2A-30{}^{}\circ )=1$$，而$$0{}^{}\circ \textless{}A\textless{}120{}^{}\circ $$，  易知$$2A-30{}^{}\circ =90{}^{}\circ $$，即$$A=60{}^{}\circ $$，  因此$$\triangle ABC$$是等边三角形．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$\text{i}$$是虚数单位，则$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k+1}} \right)}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-1010-1010\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$1010+1010\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$-1010+1010\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1010-1010\text{i}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$S=\text{i}+2{{\text{i}}^{2}}+3{{\text{i}}^{3}}+\cdots +2019{{\text{i}}^{2019}}+2020{{\text{i}}^{2020}}$$，  则$$\text{i}S={{\text{i}}^{2}}+2{{\text{i}}^{3}}+3{{\text{i}}^{4}}+\cdots +2019{{\text{i}}^{2020}}+2020{{\text{i}}^{2021}}$$，  两式相减，得：  $$S-\text{i}S=\text{i}+{{\text{i}}^{2}}+{{\text{i}}^{3}}+\cdots +{{\text{i}}^{2020}}-{{2020}^{2021}}$$  $$=\dfrac{\text{i}\left( 1-{{\text{i}}^{2020}} \right)}{1-\text{i}}-2020{{\text{i}}^{2021}}$$  $$=-2021\text{i}$$，  故$$S=-\dfrac{2020\text{i}}{1-\text{i}}=1010-1010\text{i}$$，  即$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k+1}} \right)}=1010+1010\text{i}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合
Source: 2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 给出下列两个命题：  （$$1$$）设$$a$$、$$b$$、$$c$$都是复数，如果$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\textgreater{{c}^{2}}$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$．  （$$2$$）设$$a$$、$$b$$、$$c$$都是复数，如果$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\textgreater{{c}^{2}}$$．  那么下述说法正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 命题（$$1$$）正确，命题（$$2$$）也正确 
aoVal: B
content: 命题（$$1$$）正确，命题（$$2$$）错误 
aoVal: C
content: 命题（$$1$$）错误，命题（$$2$$）也错误 
aoVal: D
content: 命题（$$1$$）错误，命题（$$2$$）正确 
Answer: B
Analysis: 命题（$$1$$）是正确的．$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\textgreater{{c}^{2}}$$表明$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$与$${{c}^{2}}$$都是实数，因此，根据移项法则有$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$．  命题（$$2$$）是错误的．$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$仅表明$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}$$是实数，并不能保证$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$与$${{c}^{2}}$$都是实数，故$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\textgreater{{c}^{2}}$$不一定成立．  例如，取$$a=2+\text{i}$$，$$b=\text{i}$$，$$c=\sqrt{2}+\sqrt{\text{2i}}$$，则有  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=(3+4\text{i})+(-1)-4\text{i}=2\textgreater0$$，但并没有$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+4\text{i}\textgreater4\text{i}={{c}^{2}}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 1994年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 已知集合$$M=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\leqslant 1 \right }$$，集合$$N=\left { \left( x,y \right)\textbar{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar+\textbar y\textbar{} \right }$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$M=N$$ 
aoVal: B
content: $$M\subseteq N$$ 
aoVal: C
content: $$N\subseteq M$$ 
aoVal: D
content: 前三个都不正确 
Answer: B
Analysis: 对于任意$$\left( x,y \right)\in M$$，均有$$\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\leqslant 1$$，故$$\begin{cases}\textbar x\textbar\leqslant 1    \textbar y\textbar\leqslant 1    \end{cases}$$，故有$$\begin{cases}{{x}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar{}    {{y}^{2}}\leqslant \textbar y\textbar{}    \end{cases}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar+\textbar y\textbar$$，  故$$\left( x,y \right)\in N$$，所以$$M\subseteq N$$；  又因为$$\left( 1,1 \right)\in N$$，$$\left( 1,1 \right)\notin M$$，  故$$M\subsetneqq N$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题
Problem: 若点$$P$$在椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$$上，它到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$，则点$$P$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由题知，可转换为该椭圆与直线平行并且到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$的直线与椭圆的交点个数，与直线平行并且到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$的直线方程为$$3x+4y-6=0$$或$$3x+4y-18=0$$，由$$\begin{cases}\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1    3x+4y-18=0 \end{cases}$$，消去$$y$$可得$$9{{x}^{2}}+{{\left( 3x-18 \right)}^{2}}=144$$，化简可得$${{x}^{2}}-6x+10=0$$，由判别式可知该方程无解，所以直线$$3x+4y-6=0$$与椭圆必有$$2$$个交点，故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 记$$F(x,y)={{(x-y)}^{2}}+{{\left( \frac{x}{3}+\frac{3}{y} \right)}^{2}}(y\ne 0)$$，则$$F(x,  y)$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{12}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{16}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{18}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 设动点$$P\left( x,  -\frac{x}{3} \right)$$与$$Q\left( y,\frac{3}{y} \right)$$，则$$F(x,  y)={{\left\textbar{} PQ \right\textbar}^{2}}$$，点$$P$$的轨迹为直线$$y=-\frac{x}{3}$$，点$$Q$$的轨迹为双曲线$$y=\frac{3}{x}$$，双曲线上的任一点$$\left( {{x}_{0}},\frac{3}{{{x}_{0}}} \right)$$到直线$$x+3y=0$$的距离:  $$d=\frac{\left\textbar{} {{x}_{0}}+3\cdot \frac{3}{{{x}_{0}}} \right\textbar}{\sqrt{10}}\geqslant \frac{6}{\sqrt{10}}$$，  当$${{x}_{0}}=\pm 3$$时等号成立．故$$F(x,  y)$$的最小值为$$\frac{18}{5}$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 若$$p:({{x}^{2}}+x+1)\sqrt{x+3}\geqslant 0,  q:x\geqslant -2$$，则$$p$$是$$q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分而不必要条件 
aoVal: B
content: 必要而不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: B
Analysis: $$p$$成立$$\Leftrightarrow x\geqslant -3$$，所以$$p $$成立，推不出$$q$$一定成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知平面上单位向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{5}{13},\frac{12}{13} \right),\overrightarrow{b}=\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5} \right)$$，则下列关系式正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$$ 
aoVal: B
content: $$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$ 
aoVal: C
content: $$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})//(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$ 
aoVal: D
content: $$\overrightarrow{a}\bot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$都是非零单位向量，则以$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$为边，$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$为对角线构成一个菱形，所以$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->图象法
课内体系->知识点->平面向量->向量应用->平面几何中的向量方法
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用数量积解决向量垂直问题（非坐标运算）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->线性运算和数量积综合问题
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量基本定理及其意义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量的正交分解及坐标表示
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量加、减、数乘的坐标运算
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->单位向量
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念
课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足：$${{a}_{1}}=2,{{a}_{n+1}}=1-\frac{1}{{{a}_{n}}}$$，记数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项之积为$${{P}_{n}}$$，则$${{P}_{2009}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: B
Analysis: 因为  $${{a}_{n+2}}=1-\frac{1}{{{a}_{n+1}}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{{{a}_{n}}}}=\frac{-1}{{{a}_{n}}-1}$$，  于是 $${{a}_{n+3}}=1-\frac{1}{{{a}_{n+2}}}=1-\frac{1}{\frac{-1}{{{a}_{n}}-1}}={{a}_{n}}$$，  故$$ {{{a}_{n}} }$$是以$$3$$为周期的周期数列．  又$${{a}_{1}}=2,{{a}_{2}}=\frac{1}{2},{{a}_{3}}=-1$$，从而$${{P}_{3}}=-1$$，所以，  $${{P}_{2009}}={{(-1)}^{669}}{{P}_{2}}=-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列
Source: 2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知椭圆$$E:\frac{{{x}^{2}}}{m}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$$，对于任意实数$$k$$，下列直线被椭圆$$E$$截得的弦长与$$l:y=kx+1$$被椭圆$$E$$截得的弦长不可能相等的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$kx+y+k=0$$ 
aoVal: B
content: $$kx-y-1=0$$ 
aoVal: C
content: $$kx+y-k=0$$ 
aoVal: D
content: $$kx+y-2=0$$ 
Answer: D
Analysis: 由数形结合可知，当$$l$$过点$$(-1,0)$$时，直线$$l$$和选项A中的直线关于$$x$$对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选A．  当$$l$$过点$$(1,0)$$时，直$$l$$和选项C中的直线关于$$x$$轴对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选C．  当$$k=0$$时，直线$$l$$和选项B中的直线关于$$x$$轴对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选B．  直线$$l$$斜率为$$k$$，在$$y$$轴上的截距为$$1$$；选项D中的直线$$kx+y-2=0$$ 斜率为$$-k$$，在$$y$$轴上的截距为$$2$$，这两直线不关于$$x$$轴、$$y$$轴、原点对称，故被椭圆$$E$$所截得的弦长不可能相等．故选D． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->弦长求解问题
课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->直线和椭圆的位置关系
课内体系->素养->数学运算
Source: 2010~2011学年北京海淀区高三上学期期末理科第7题
2018~2019学年北京西城区北京市第十三中学高二上学期期中第10题3分
2019~2020学年11月重庆沙坪坝区重庆市南开中学高二上学期周测A卷第6题5分
2019~2020学年10月北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期月考第10题
2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: $$f(x)$$是定义在$$\text{R}$$上的以$$3$$为周期的奇函数，且$$f(2)=0$$，则方程$$f(x)=0$$在区间$$\left( 0,6 \right)$$内解的个数的最小值是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x)$$是定义在$$\text{R}$$周期为$$3$$的奇函数，∴$$f(0)=0=f(3)$$，$$f(5)=f(2)=-f(-2)=-f(1)=0$$，∴$$f(1)=0=f(4)$$，∴选D. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性与奇偶性综合问题
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->抽象函数
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->求零点个数问题（不含参）
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
Source: 2005年高考真题福建卷理科第12题5分
2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 6个人围成一圈，若$$2$$种站法经过旋转可以重合则算同$$1$$种，则不同的站法有．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$种 
aoVal: B
content: $$60$$种 
aoVal: C
content: $$120$$种 
aoVal: D
content: $$720$$种 
Answer: C
Analysis: 总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{6}-\frac{{{y}^{2}}}{3}=1$$的焦点$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，点$$M$$在双曲线上，且$$M{{F}_{1}}\bot x$$轴，则$${{F}_{1}}$$到直线$${{F}_{2}}M$$的距离为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{6}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3\sqrt{6}}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5\sqrt{6}}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知可得$$M\left( 3,\frac{\sqrt{6}}{2} \right)$$，则$$M{{F}_{1}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，  故$$M{{F}_{2}}=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$$，  故$${{F}_{1}}$$到直线$${{F}_{2}}M$$的距离为：  $$\frac{\left\textbar{} {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right\textbar\cdot \left\textbar{} M{{F}_{1}}_{2} \right\textbar}{\left\textbar{} M{{F}_{2}} \right\textbar}=\frac{6\times \frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{5\sqrt{6}}{2}}=\frac{6}{5}$$，故选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 将数列$$ {2n-1 }(n\in N*)$$依原顺序按第$$n$$组有$${{2}^{n}}$$项的要求分组，则$$2009$$在第组．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 前$$n$$组所含项数之和为$$2+{{2}^{2}}+\cdots +{{2}^{n}}={{2}^{n+1}}-2$$，  $$2009$$是数列的第$$1005$$项．  $$510={{2}^{9}}-2\textless{}1005\textless{}{{2}^{10}}-2=1022$$．  因此，$$2009$$在第$$9$$组，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 函数$$y=f(x+2)$$的图象过点$$(-1,3)$$，则函数$$f(x)$$的图象关于$$y$$轴对称的图形一定过点．
Options:
aoVal: A
content: $$(1,-3)$$ 
aoVal: B
content: $$(-1,3)$$ 
aoVal: C
content: $$(-3,-3)$$ 
aoVal: D
content: $$(-3,3)$$ 
Answer: B
Analysis: 函数$$y=f(x+2)$$的图象过点$$(-1,3)$$，则$$f(-1+2)=3$$，即$$f(1)=3$$，所以数$$f(x)$$的图象关于$$y$$轴对称的图形一定过点$$f(-1)=3$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 瑞秋和罗伯特在一个圆形跑道上跑步．瑞秋逆时针跑，每隔$90$秒完成一圈，罗伯特顺时针跑，每隔$80$秒完成一圈．两人在同一时间从同一条线上出发．在他们开始跑步后的$10$分钟和$11$分钟之间的某个随机时间，一个站在赛道内的摄影师拍了一张照片，照片显示了以起跑线为中心的四分之一的赛道．瑞秋和罗伯特都在照片上的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{16}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{16}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{5}{16}$$ 
Answer: C
Analysis: After $$10$$ minutes ($$600$$ seconds), Rachel will have completed $$6$$ laps and be $$30$$ seconds from completing her seventh lap. Because Rachel runs one-fourth of a lap in $$22.5$$ seconds, she will be in the picture between $$18.75$$ seconds and $$41.25$$ seconds of the tenth minute. After $$10$$ minutes Robert will have completed $$7$$ laps and will be $$40$$ seconds past the starting line. Because Robert runs one-fourth of a lap in $$20$$ seconds, he will be in the picture between $$30$$ and $$50$$ seconds of the tenth minute. Hence both Rachel and Robert will be in the picture if it is taken between $$30$$ and $$41.25$$ seconds of the tenth minute. So the probability that both runners are in the picture is $$\frac{41 .25-30}{60}= \boxed{\frac{3}{16}}$$. The answer is $$\rm(C)$$. 
Knowledge points: 课内体系->学科符号->数与式->新定义符号->取最值函数->max{f(x),g(x)}
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities
Source: 2009年AMC10竞赛B第23题