math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 科学家进行一项实验，每隔$$5$$小时做一次记录，做第十二次记录时，钟表时针恰好指向$$9$$，做第一次记录时，时针指向． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: A
Analysis: 先算出从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少，第$$1$$次到第$$12$$次之间有个$$11$$间隔：$$5\times11=55$$（小时）．  时针每过$$12$$小时就会转一圈回到原来的状态，$$55\div12=4$$（圈）$$\cdots \cdots 7$$（小时）．  即时针转了$$4$$圈以后，又经过了$$7$$个小时，时针指向$$9$$，  所以原来第一次时针指向：$$9-7=2$$．  因此，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->认识钟表
Source: 2018年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第10题3分
Problem: 将四位数$$12472$$重复写$$100$$次组成一个$$500$$位数$$1247212472\cdots 12472$$，先删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字，剩下的数字（顺序不变)组成一个新数：再删去新数中所有位于奇数位上的数字，剩下的数字组成一个新数：$$\cdots \cdots $$按上述方法一直删除下去，直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 将这个$$500$$位数从左到右依次编号第$$1$$位、第$$2$$位、第$$3$$位、$$\cdots $$、第$$500$$位，且编号不变．  第$$1$$次删数后剩下$$2$$的倍数，第$$2$$次删数后剩下$$22$$的倍数，第$$3$$次删数后剩下$$23$$的倍数，$$\cdots \cdots $$，因为$$256\textless{}500\textless{}512$$，所以最后剩下的数字在第$$256$$位，$$256\div 5=51$$（组）$$\cdots \cdots 1$$（个），第$$1$$位上的数字是$$1$$，所以最后剩下的数字是$$1$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第6题
2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第6题
Problem: 从$$1$$至$$10$$这$$10$$个整数中．至少取个数，才能保证其中有两个数的和等于$$10$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 将和为$$10$$的两个数作为一组，有$$\left( 1,9 \right)$$，$$\left( 2,8 \right)$$，$$\left( 3,7 \right)$$，$$\left( 4,6 \right)$$，另外$$\left( 5\right)$$，$$\left(10 \right)$$单独一组，考虑极端情况，若在$$6$$组中每组各取一个数字，也没有两数和为$$10$$，然后在剩下的数中取任何一个，都会有两数能凑成$$10$$．所以至少需要取$$7$$个数． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->枚举思想
Source: 2017年第22届全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第2题10分
Problem: 显示在电子钟上的时间是$$5:55$$，下一次电子钟上显示的时间又是全部相同的数字，还要过分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$71$$ 
aoVal: B
content: $$255$$ 
aoVal: C
content: $$316$$ 
aoVal: D
content: $$377$$ 
Answer: C
Analysis: 因为分钟的十位最大为$$5$$，所以下一次数字相同的时刻为$$11:11$$，$$11:11$$距$$5:55$$有$$5$$小时$$16$$分，即$$316$$分钟．所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2012年第10届创新杯四年级竞赛初赛第5题6分
Problem: 一个数加上$$8$$的和，再乘$$8$$的积，再减去$$8$$的差，再除以$$8$$的商，等于$$80$$，那么，这个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$37$$ 
aoVal: B
content: $$59$$ 
aoVal: C
content: $$73$$ 
aoVal: D
content: $$86$$ 
Answer: C
Analysis: 从最后一步推起，``除以$$8$$，其结果等于$$80$$''可以求出被除数：$$80\times 8=640$$；再看倒数第$$2$$步，``减去$$8$$''得$$640$$，可以求出被减数：$$640+8=648$$；然后看倒数第$$3$$步，``乘$$8$$''得$$648$$，可以求出另一个因数：$$648\div 8=81$$；最后看第$$1$$步，``某数加上$$8$$''得$$81$$，某数为$$81-8=73$$，由此即可解决问题．  $$(80\times 8+8)\div 8-8=648\div 8-8=81-8=73$$．  答：这个数是$$73$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第2题
Problem: 小帅第一天写$$5$$个大字，以后每一天都比前一天多写$$2$$个大字，$$6$$天后小帅一共写了个大字． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$66$$ 
Answer: C
Analysis: 第一天$$5$$个大字，  第二天$$5+2=7$$个大字，  第三天$$7+2=9$$个大字，  第四天$$9+2=11$$个大字，  第五天$$11+2=13$$个大字，  第六天$$13+2=15$$个大字，  六天共写了$$5+7+9+11+13+15=60$$个大字．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第3题5分
Problem: 若$$\left( \Delta \times 2-1 \right)\times 2=2018$$，请问$$\Delta $$代表的数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$503$$ 
aoVal: B
content: $$504$$ 
aoVal: C
content: $$505$$ 
aoVal: D
content: $$506$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left( \Delta \times 2-1 \right)\times 2=2018$$，  $$\Delta \times 2-1=2018\div 2=1009$$，  $$\Delta \times 2=1009+1=1010$$，  $$\Delta =1010\div 2=505$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->一元一次方程->整数系数方程
Source: 2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第2题3分
Problem: 有$$A$$、$$B$$瓶浓度不同的盐水，小泉从两瓶中各取$$1$$升混合在一起，得到一份浓度为$$30  \% $$的盐水；他又将这份盐水与$$1$$升$$A$$瓶盐水混合在一起，最终浓度为$$32  \% $$，那么$$B$$瓶盐水的浓度是． 
Options:
aoVal: A
content: $$24  \% $$ 
aoVal: B
content: $$36  \% $$ 
aoVal: C
content: $$42  \% $$ 
aoVal: D
content: $$44  \% $$ 
Answer: A
Analysis: 设$$A$$瓶盐水的浓度是$$x \%$$，$$B$$瓶盐水的浓度是$$y \%$$．  $$1\centerdot x \%+1\centerdot y \%=2\centerdot 30 \%$$ ①  $$2\centerdot 30  \% +1\centerdot x \%=3\centerdot 32 \%$$ ②  解得$$x=36$$，$$y=24$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（二）第3题
Problem: 有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插$$16$$面，一共插了面小红旗． 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$58$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$62$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意分析可知，四个角都插上一面小红旗，每边都插$$26$$面，  所以每一边有小红旗：$$26-1=25$$（面），  因为是正方形，每边都有$$25$$面，那么一共插了：$$25\times4=100$$（面）红旗，  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->封闭型->封闭型植树问题->封闭植树类型问题(段数大于10)
Source: 2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第5题3分
2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第5题3分
Problem: 把一条细绳先对折，再把它折成相等的三折，接着再对折，然后用剪刀在折过三次的绳中间剪一刀，那么这条绳被剪成（~ ）段． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: 对折一次剪一刀是三段$$(2+1)$$，  再把它折成相等的三折，是$$(2\times 3+1)$$，  接着再对折剪一刀是$$2\times 3\times 2+1=13$$（段）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2016年陕西西安小升初工大附中入学真题2第3题
2017年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第10题3分
2016年陕西西安小升初某工大附中
2018年陕西西安小升初分类卷13第14题
Problem: 爸爸带了$$269$$元钱，要买$$8$$元一个的笔记本，最多能买个． 
Options:
aoVal: A
content: $$32$$ 
aoVal: B
content: $$33$$ 
aoVal: C
content: $$34$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，利用关系式：数量$$=$$总价$$\div $$单价，用爸爸带的钱除以每个笔记本的单价即可得到最多能买多少个笔记本，列式为：$$269\div 8=33$$（个）$$\cdots \cdots 5$$（元），剩下的$$5$$元不足以再买一个笔记本，  所以最多能买$$33$$个，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第2题2分
Problem: 把一个自然数$$n$$的数位上的偶数数字相加所得的和记为$$E(n)$$，例如：$$E\left( 1999 \right)=0$$，$$E\left( 2000 \right)=2$$，$$E\left( 2021 \right)=2+2=4$$．则$$E\left( 1 \right)+E\left( 2 \right)+E\left( 3 \right)+\cdots +E\left( 100 \right)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$400$$ 
aoVal: D
content: $$2020$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: $$2$$，$$4$$，$$6$$，$$8$$这$$4$$个数字，每个在个位出现$$10$$次，在十位出现$$10$$次，  所以$$E(1)+E(2)+···+E(100)=(2+4+6+8)\times (10+10)=400$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->符号代换->代数运算
Source: 2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: 由数字$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$组成三位数，可以组成个不同的三位数． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$80$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
Answer: D
Analysis: 暂无 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第14题2分
Problem: 琦琦跳绳$$3$$次，平均每次跳$$156$$下，要想跳$$4$$次后达到``平均每次跳$$160$$下''，他第$$4$$次要跳下． 
Options:
aoVal: A
content: $$164$$ 
aoVal: B
content: $$168$$ 
aoVal: C
content: $$172$$ 
aoVal: D
content: $$176$$ 
Answer: C
Analysis: 琦琦$$3$$次共跳$$156\times 3=468$$（下），  要想跳$$4$$次后达到平均每次跳$$160$$下，$$4$$次一共跳$$4\times 160=640$$（下），  他第$$4$$次要跳$$640-468=172$$（下）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->容斥求平均数
Source: 2016年第6届广东广州羊排赛六年级竞赛第9题1分
Problem: 有一个骰子(小正方体)的六个面上分别写有数字1、2、2、3、3、3，当投掷这个骰子时，数字``2''朝上的可能性是（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 投掷这个骰子时，6个面都有可能朝上，每个面朝上的可能性是$$\frac{1}{6}$$，有两个面上写着数字2，数字2朝上的可能性为$$2\times \frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率
Source: 2003年第1届创新杯六年级竞赛初赛第5题
六年级竞赛创新杯
2003年六年级竞赛创新杯
Problem: 甲用$$1000$$元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给了乙，获利$$10  \% $$，而后乙又将这些股票反 卖给了甲，但乙损失了$$10  \% $$，最后甲按乙卖给甲价格的九折将这些股票卖给了乙，如果在上述的交易过程中其他费用忽略不计，那么甲（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 亏欠了 $$3$$元 
aoVal: B
content: 赠了$$3$$元 
aoVal: C
content: 亏了$$1$$元 
aoVal: D
content: 赚了$$1$$元 
Answer: D
Analysis: 甲第一次卖给乙价格为：$$1000\times \left( 1+10  \% ~\right)=1100$$元，甲盈利了$$100$$元；  乙转卖给甲价格：$$1100\times \left( 110  \% ~\right)=99$$元  综上，甲在此次交易过程中盈利了$$1$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->折扣问题
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（一）
Problem: 两根电线杆之间相隔$$115$$米，在它们之间等距离增加$$22$$根电线杆后，第$$2$$根和第$$16$$根电线杆之间相隔． 
Options:
aoVal: A
content: $$68$$米 
aoVal: B
content: $$70$$米 
aoVal: C
content: $$71$$米 
aoVal: D
content: $$72$$米 
Answer: B
Analysis: 在两根电线杆中间等距加$$22$$根电线杆，  有$$22+1=23$$（个）间隔，  那么$$115\div 23=5$$（米）一个间隔，  从第$$2$$根到第$$16$$根共有$$16-2=14$$（个）间隔，  $$14\times 5=70$$（米）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第2题5分
Problem: 现在有六种不同颜色的笔，把``$$\text{YMO}$$''三个字母写成三种不同颜色，共有种写法． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$216$$ 
Answer: C
Analysis: 依次填涂，  $$\text{Y}$$有$$6$$中颜色可选，  则$$\text{M}$$有$$6-1=5$$（种）颜色可选，  则$$\text{O}$$有$$6-1-1=4$$（种）颜色可选，  则有$$6\times 5\times 4=120$$（种）涂法．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年第24届YMO四年级竞赛决赛第4题3分
2019年第24届YMO四年级竞赛决赛第4题3分
2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第4题3分
Problem: 有四个不同的整数，它们的平均数是$$13.75$$，三个大数的平均数是$$15$$，三个小数的平均数是$$12$$，如果第二大的数是奇数，那么它是． 
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: B
Analysis: 四个数之和为$$13.75\times 4=55$$，三个大数之和为$$15\times 3=45$$，最小数为$$55-45=10$$，三个小数之和为$$12\times 3=36$$，最大数为$$55-36=19$$．中间两数之和为$$45-19=26$$，中间两数平均数为$$26\div 2=13$$．第二大数是奇数且比$$13$$大比$$19$$小，只有$$15$$和$$17$$两种可能．若第二大数为$$17$$，则第三大数为$$26-17=9$$，比最小数$$10$$小，不成立；所以第二大数为$$15$$，此时第三大数为$$26-15=11$$，成立．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2018年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第8题3分
Problem: 小明爷爷今年的年龄减去$$15$$后，缩小到原来的$$\frac{1}{4}$$，再减去$$6$$之后扩大到原来的$$10$$倍，恰好是$$100$$岁，请你算一算，小明的爷爷今年是． 
Options:
aoVal: A
content: $$77$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$83$$ 
aoVal: D
content: $$79$$ 
Answer: D
Analysis: 设爷爷今年$$x$$岁，  $$\left[ \left( x-15 \right)\times \frac{1}{4}-6 \right]\times 10=100$$  $$\left( x-15 \right)\times \frac{1}{4}-6=100\div 10$$  $$\left( x-15 \right)\times \frac{1}{4}-6=10$$  $$\frac{1}{4}\left( x-15 \right)=10+6$$  $$\frac{1}{4}\left( x-15 \right)=16$$  $$x-15=16\div \frac{1}{4}$$  $$x-15=64$$  $$x=64+15$$  $$x=79$$．  所以小明的爷爷今年$$79$$岁，故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第5题3分
Problem: 十位数字等于百位数字与个位数字之和的三位数共有． 
Options:
aoVal: A
content: $$28$$个 
aoVal: B
content: $$36$$个 
aoVal: C
content: $$45$$个 
aoVal: D
content: $$55$$个 
Answer: C
Analysis: 设三位数为$$\overline{abc}$$，则$$b=a+c$$，  $$a=1$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\ldots 8$$，共$$9$$个；  $$a=2$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\ldots 7$$，共$$8$$个；  $$a=3$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\ldots 6$$，共$$7$$个；  $$a=4$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\ldots 5$$，共$$6$$个；  $$a=5$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，共$$5$$个；  $$a=6$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，共$$4$$个；  $$a=7$$时，$$c=0$$，$$1$$，$$2$$，共$$3$$个；  $$a=8$$时，$$c=0$$，$$1$$，共$$2$$个；  $$a=9$$时，$$c=0$$，共$$1$$个；  一共有$$1+ 2+ \ldots 9= \frac{9 \times(1+9)}{2}=45$$个，  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2010年第8届创新杯五年级竞赛初赛第8题4分
Problem: $$2$$ liter of $$2 \%$$ fat milk $$+3$$ liter of $$3 \%$$ fat milk$$=5$$ liter of  fat milk．  $$2$$升$$2 \%$$浓度的脂肪乳$$+3$$升$$3 \%$$浓度的脂肪乳$$=5$$升浓度为的脂肪乳． 
Options:
aoVal: A
content: $$2.5 \%$$ 
aoVal: B
content: $$2.6 \%$$ 
aoVal: C
content: $$5 \%$$ 
aoVal: D
content: $$6 \%$$ 
Answer: B
Analysis: $$2$$升$$2 \%$$浓度的脂肪乳$$+3$$升$$3 \%$$浓度的脂肪乳$$=5$$升浓度的脂肪乳．  $$\frac{总含量}{总体积}\times 100 \%$$，  即$$\frac{2\times 2 \%+3\times 3 \%}{2+3}\times 100 \%=2.6 \%$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第34题5分
Problem: 十进制数$$25$$转换成二进制数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$11101$$ 
aoVal: B
content: $$1011$$ 
aoVal: C
content: $$10101$$ 
aoVal: D
content: $$11001$$ 
Answer: D
Analysis: 25$\div$2=12\ldots\ldots1  12$\div$2=6\ldots\ldots0  6$\div$2=3\ldots\ldots0  3$\div$2=1\ldots\ldots1  1$\div$2=0\ldots\ldots1  倒取余数，结果为（11001）\textsubscript{2}  知识来源------四年级春季第二讲《机器人的聊天记录》 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题
Problem: 三个质数的平方和是$$390$$，这三个质数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$21$$ 
aoVal: C
content: $$23$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: D
Analysis: 因为奇数的平方还是奇数，所以这三个数中有一个是$$2$$．因为$$390-{{2}^{2}}=386$$，  所以，通过质数平方的个位特点，判断得还有一个质数应该是$$5$$．  又$$386-{{5}^{2}}=361$$，且$$361={{19}^{2}}$$．  所以这三个质数分别是$$2$$，$$5$$，$$19$$，和是$$26$$． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->整体思想
Source: 2017年全国希望杯小学高年级五年级竞赛初赛考前100题
Problem: $$10$$本相同的笔记本分给$$3$$个人，每人至少一本，共有种不同的分配方案． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意，$$10$$个相同的小球分给$$3$$个人，每人至少$$1$$个，就是将$$10$$个球分成$$3$$组，  一个人最多分：$$10-1-1=8$$（支），  $$8+7+6+5+4+3+2+1=36$$（种），  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第3题3分
2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第3题3分
Problem: 有分别写着$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$13$$的卡片各两张，任意抽出两张，计算这两张卡片上的数的积。这样得到许多不相等的积中，最多有(  )个能被$$6$$整除。 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: C
Analysis: 不超过$${{13}^{2}}=169$$的$$6$$的倍数是$$1\times 6$$，$$2\times 6$$，$$\cdots $$，$$28\times 6$$有$$28$$个，其中不能写成$$a\times b\left( 1\leqslant a\leqslant b\leqslant 13 \right)$$形式的数是：$$17\times 6$$，$$19\times 6$$，$$21\times 6$$，$$23\times 6$$，$$25\times 6$$，$$27\times 6$$，$$28\times 6$$，共有$$7$$个。因此，符合要求的整数共有$$28-7=21$$（个）。 
Knowledge points: 拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理
Source: 2007年第5届创新杯五年级竞赛第2题5分
2007年第5届创新杯五年级竞赛第2题5分
2007年五年级竞赛创新杯
Problem: 算式$$1\div \left( 2\div 3 \right)\div \left( 3\div 4 \right)\div \left( 4\div 5 \right)\div \left( 5\div 6 \right)$$的结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$55$$ 
Answer: A
Analysis: $$1\div \left( 2\div 3 \right)\div \left( 3\div 4 \right)\div \left( 4\div 5 \right)\div \left( 5\div 6 \right)$$  $$=1\div 2\times 3\div 3\times 4\div 4\times 5\div 5\times 6$$  $$=1\div 2\times 6$$  $$=3$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解->程序性计算
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第4题3分
Problem: 在大于$$2004$$的自然数中，有些数除以$$69$$的商和余数相等，这样的自然数的个数是（  ）  
Options:
aoVal: A
content: $$28$$个 
aoVal: B
content: $$40$$个 
aoVal: C
content: $$68$$个 
aoVal: D
content: 无穷多个 
Answer: B
Analysis: 设符合要求的自然数为$$n$$，则$$n\textgreater2004$$，且$$n=69q+q$$，$$0\leqslant q\leqslant 68$$。故而$$n=70q\textgreater2004$$得$$q\geqslant 29$$，因此$$29\leqslant q\leqslant 68$$，即$$q$$有$$68-29+1=40$$个，符合要求的自然数有$$40$$个，选B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->同余->同余定理
Source: 2004年四年级竞赛创新杯
2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第8题
2004年五年级竞赛创新杯
2004年六年级竞赛创新杯
Problem: 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有(~~~~~~~ )种不同的排法． 
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$72$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
Answer: B
Analysis: 贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（种），贝贝在右、妮妮在左相邻的排法也有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（种），总的排法$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$（种）．所以贝贝和妮妮不相邻的排法是$$120-2\times 24=72$$（种）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2006年第11届全国华杯赛竞赛初赛第6题
Problem: 新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员$$100$$人。如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多$$10$$人。那么，舞蹈队招收（  ）人。（注：每人限加入一个队） 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$42$$ 
aoVal: C
content: $$46$$ 
aoVal: D
content: $$52$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left( 100-10 \right)\div \left( 2+2+1 \right)$$  $$=90\div 5$$  $$=18$$（人）  $$18\times 2+10$$  $$=36+10$$  $$=46$$（人）  答：舞蹈队招收$$46$$人。  故选：$$C$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->除法应用
Source: 2015年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 欧欧从$$A$$地前往$$B$$地办事，他每走$$40$$分钟就休息$$10$$分钟，到达$$B$$地共需$$4$$小时$$20$$分钟，从$$B$$地原路返回的速度是去时的$$2$$倍，若他每走$$35$$分钟就休息$$15$$分钟，则到达$$A$$地共需． 
Options:
aoVal: A
content: $$105$$分钟 
aoVal: B
content: $$130$$分钟 
aoVal: C
content: $$135$$分钟 
aoVal: D
content: $$150$$分钟 
Answer: C
Analysis: $$60\times 4+20=50\times 5+10$$，去时共走了$$40\times 5+10=210$$（分钟），则返回时共需走$$210\div 2=105$$（分钟），$$105\div 35=3$$，加上休息的时间共需要$$105+15\times \left( 31 \right)=135$$（分钟）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（三）第6题
Problem: 某校开展评选``优秀少先队员''和``好公民''活动，``好公民''占评上人数的$$\frac{3}{4}$$，``优秀少先队员''占评上人数的$$\frac{9}{25}$$，同时获得两种称号的有$$44$$人，只获得``优秀少先队员''称号的有（~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$70$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
Answer: D
Analysis: 把评上的总人数看做单位``$$1$$''，则评上的人数为：$$44\div \left( \frac{3}{4}+\frac{9}{25}-1 \right)=400$$人，只得``优秀少先队员''有$$400\times \frac{9}{25}-44=100$$人． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛第6题3分
Problem: 规定一种运算``\textasciitilde''： $$a\sim b$$表示求$$a$$，$$b$$两个数的差，即$$a$$，$$b$$中较大的数减较小的数，例如，$$5\sim 4=5-4=1$$，$$1\sim 4=4-1=3$$ ， $$6\sim 6=6-6=0$$，那么化简$$\left( \frac{355}{118} \sim 2 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 3 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 4 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 5 \right)$$得（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{355}{118}=3\frac{1}{118}$$，那么$$ \left( \frac{355}{118} \sim 2 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 3 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 4 \right)+\left( \frac{355}{118} \sim 5 \right)$$  $$=3\frac{1}{118}-2+3\frac{1}{118}-3+4-3\frac{1}{118}+5-3\frac{1}{118}=4+5-2-3=4$$，选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->观察规律型->找规律型定义新运算
Source: 2005年六年级竞赛创新杯
2005年第3届创新杯六年级竞赛复赛第5题
Problem: $$2019$$年国庆节是星期二，则$$2020$$年国庆节是． 
Options:
aoVal: A
content: 星期一 
aoVal: B
content: 星期二 
aoVal: C
content: 星期三 
aoVal: D
content: 星期四 
aoVal: E
content: 星期五 
Answer: D
Analysis: $$2020\div 4=505$$，$$2020$$年是闰年．  从$$2019$$年国庆节经过$$366$$天是$$2020$$年国庆节．  $$366\div 7=52$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天），  故$$2020$$年的国庆节是星期四．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年新希望杯五年级竞赛决赛（8月）第17题
2020年新希望杯五年级竞赛初赛（个人战）第17题
Problem: 下面两个算式中的每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么正确的是．  $$\begin{cases}年年\times 岁岁 = 花相似    岁岁\div 年年 = 人\div 不同   \end{cases}$$ 
Options:
aoVal: A
content: 年$$=2$$ 
aoVal: B
content: 岁$$=4$$ 
aoVal: C
content: 花$$=6$$ 
aoVal: D
content: 不$$=1$$ 
Answer: D
Analysis: 根据分析可得，  ``年年''、``岁岁''十位数字和个位数字相同，  所以都是$$11$$的倍数，  即，年$$\times $$岁$$\times 121=$$花相似，  又因为不同的汉字代表不同的数字，所以``年  年''或``岁岁''不能是$$11$$，年$$\times $$岁的积只能是$$6$$或$$8$$，  由于$$22\times 33=726$$，有相同数字，不合要求，  所以，年$$\times $$岁的积只能是$$8$$，$$8=2\times 4$$，  岁岁$$\div $$年年$$=$$人$$\div $$不同，  所以``岁''$$ ~\textless{} ~$$ ``年''，  所以，``年年''$$=44$$、``岁岁''$$=22$$，则$$44\times 22=968$$，  所以，岁岁$$\div $$年年$$=22\div 44=\frac{1}{2}$$，  $$0\sim 9$$十个数字还剩下$$0$$、$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$，那么人$$\div $$不同$$=5\div 10=\frac{1}{2}$$；  即``人''$$=5$$，``不同''$$=10$$；  综上所述，``年''$$=4$$、``岁''$$=2$$、``花''$$=9$$、``相''$$=6$$、``似''$$=8$$、``人''$$=5$$、``不''$$=1$$、``同''$$=0$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2017年第20届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第8题3分
Problem: 两个连续的非负整数的和不可能是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: 质数 
aoVal: B
content: 完全平方数 
aoVal: C
content: $$13$$ 的倍数 
aoVal: D
content: 偶数 
Answer: D
Analysis: 两个连续的非负整数的和不可能是偶数 ． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2015年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛
Problem: 李建和张雷做仰卧起坐，李建先做了$$3$$分钟，然后两人各做了$$5$$分钟，一共做仰卧起坐$$136$$次．已知每分钟李建比张雷平均多做$$4$$次，那么李建比张雷多做了~\uline{~~~~~~~~~~}~次． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$45$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意，假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了$$4\times \left( 3+5 \right)=32$$ （次），由此可知小雷每分钟做了$$\left( 136-32 \right)\div \left( 3+5+5 \right)=8$$（次），进而可以分别求出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差；据此解答．解答此题关键是求得小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．  假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了$$4\times \left( 3+5 \right)=32$$（次），由此可知小雷每分钟做了$$\left( 136-32 \right)\div \left( 3+5+5 \right)=8$$（次），进而可以分别求出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，两人做仰卧起坐的总次数就减少：$$4\times \left( 3+5 \right)=32$$（次）小雷每分钟做：$$\left( 136-32 \right)\div \left( 3+5+5 \right)=8$$（次）；小建每分钟做：$$8+4=12$$（次），小建一共做：$$12\times \left( 3+5 \right)=96$$（次）；小雷一共做：$$8\times 5=40$$（次），小建比小雷多做：$$96-40=56$$（次）．  答：小建比小雷多做$$56$$次．  故答案为：$$56$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->变型题
Source: 2014年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛B卷第10题5分
Problem: 搬家公司要搬运$$100$$只花瓶，规定完整运送$$1$$只花瓶得$$3$$元，打破$$1$$只要赔偿$$2$$元．全部搬完后搬家公司共得$$260$$元，若假设他们完整运送了$$x$$只花瓶，则$$x$$表示只． 
Options:
aoVal: A
content: $$92$$ 
aoVal: B
content: $$90$$ 
aoVal: C
content: $$88$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
Answer: A
Analysis: 他们完整运送了$$x$$只花瓶，则打破的有$$\left( 100-x \right)$$只，  根据题意可列方程：$$3x-2\times \left( 100-x \right)=260$$，  解得$$x=92$$，  即完整运送了$$92$$只花瓶． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->运算求解
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第17题5分
Problem: 在第七届长江杯数学邀请赛中，甲、乙、丙、丁四名学生的成绩如下：甲、乙、丙三人的平均分是$$92$$分，乙、丙、丁三人的平均分为$$90$$分，甲、丁两人的平均分是$$96$$分．问甲多少分？ 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$99$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$93$$ 
Answer: B
Analysis: 甲$$+$$乙$$+$$丙$$=92\times 3=276$$（分），  乙$$+$$丙$$+$$丁$$=90\times 3=270$$（分），  故甲$$-$$丁$$=276-270=6$$（分），  甲$$+$$丁$$=96\times 2=192$$（分），  故甲有$$192\div 2+6\div 2=99$$（分），  丁有$$192-99=93$$（分）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年长江杯五年级竞赛复赛B卷第18题10分
Problem: 小明家到学校，乘地铁需要$$30$$分钟，乘公交车需要$$50$$分钟。某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了$$40$$分钟到达学校，其中换乘过程用了$$6$$分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（  ）分钟。 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: C
Analysis: 设从家到学校距离共有$$[30$$，$$50]=150$$（份），那么地铁的速度是$$150\div 30=5$$（份$$/$$分钟），公交车的速度是$$150\div 50=3$$（份$$/$$分钟）。设这天小明乘公交用了$$x$$分钟，根据题意列出方程：$$5\times \left( 40-6-x \right)+3x=150$$，解得$$x=10$$。因此小明乘公交用了$$10$$分钟。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人简单行程问题
Source: 2017年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 若$$(\Delta \div 2-2)\times 2+2=222$$，请问$$\Delta $$代表的数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$224$$ 
aoVal: C
content: $$228$$ 
aoVal: D
content: $$876$$ 
aoVal: E
content: $$884$$ 
Answer: B
Analysis: $$\Delta \div 2-2=(222-2)\div 2$$  $$=220\div 2=110$$，  因此$$\Delta =(110+2)\times 2=112\times 2=224$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第11题4分
Problem: 盒子里装有分别写着$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$100$$的黄色卡片各一张，我们称如下操作为一次操作；从盒子里取出$$m(7\leqslant m\leqslant 10)$$张卡片，算出这$$m$$张卡片上各数之和减去$$27$$的差，将其写在一张红色卡片上（不放回）．若干次操作之后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为$$n$$，那么$$n$$的最大可能值减去最小可能值等于． 
Options:
aoVal: A
content: $$108$$ 
aoVal: B
content: $$96$$ 
aoVal: C
content: $$88$$ 
aoVal: D
content: $$81$$ 
Answer: A
Analysis: 先算卡片的总值．  最小值$$100\div 10=10$$次，共减$$10\times 27$$；  最多$$14$$次，共减去$$14\times 27$$，  因此差为$$(14-10)\times 27=108$$． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->整体思想
Source: 2011年第7届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛第6题4分
Problem: 在她工作的第一天，贾纳贝尔卖出了一个小部件．第二天，她卖了三个小部件．第三天，她卖出了五个小部件，接下来的每一天，她都比前一天多卖出两个小部件．工作$20$天后，贾纳贝尔总共卖出了多少个小部件？ 
Options:
aoVal: A
content: $$39$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$210$$ 
aoVal: D
content: $$400$$ 
aoVal: E
content: $$401$$ 
Answer: D
Analysis: 翻译：贾娜贝尔第一天上班买了$$1$$个小装饰品，第二天买了$$3$$个装饰品，第三天卖出了$$5$$个，以后每一天比前一天多卖出$$2$$个装饰品，那么他工作了$$20$$天，一共卖出个装饰品？  $$1+3+5+\cdots +\left[ \left( 20-1 \right)\times 2+1 \right]$$ $$=1+3+5+\cdots +39$$ $$=\left( 1+39 \right)\times 20\div 2$$ $$=400$$．  The sum of $$1$$，$$3$$，$$5$$，$$\cdots \cdots $$$$39$$ is $$\frac{\left( 1+39 \right)\left( 20 \right)}{2}=$$$$\text{D}$$ $$400$$．  The sum is just the sum of the first $$20$$ old integers， which is $${{20}^{2}}=$$$$\text{D}$$ $$400$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求和
Overseas Competition->知识点->计算模块->数列与数表->等差数列
Source: 2015年全国AMC六年级竞赛8第9题
Problem: $$24$$ 和 $$30$$ 的最小公倍数减去$$24$$ 和$$30$$的最大公因数等于多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$114$$ 
aoVal: B
content: $$117$$ 
aoVal: C
content: $$234$$ 
aoVal: D
content: $$237$$ 
Answer: A
Analysis: $$24$$ 和 $$30$$ 的最小公倍数减去$$24$$ 和$$30$$的最大公因数等于多少？ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2015年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第24题
Problem: 一群学生排成长方形队形．小明所站的位置，从前面数是第$$4$$列，从后面数是第$$7$$列，从左边数是第$$3$$行，从右边数是第$$9$$行．请问这群学生共有多少名？ 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$名 
aoVal: B
content: $$100$$名 
aoVal: C
content: $$110$$名 
aoVal: D
content: $$120$$名 
Answer: C
Analysis: 根据题意可知长方形队形中每列有$$3+9-1=11$$（名），每行有$$4+7-1=10$$（名），所以学生总数为$$11\times 10=110$$（名）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵基本问题
Source: 2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第13题4分
Problem: 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间$$66$$分。那么，这只旧钟的$$24$$小时比标准时间的$$24$$小时（  ） 
Options:
aoVal: A
content: 快$$12$$分 
aoVal: B
content: 快$$6$$分 
aoVal: C
content: 慢$$6$$分 
aoVal: D
content: 慢$$12$$分 
Answer: D
Analysis: 正常时钟分针和时针重合一次需要$$\frac{360}{360-30}\times 60=\frac{720}{11}$$（分），而旧钟需要$$66$$分，因此旧钟比正常时钟慢，且正常时钟和旧钟的时间比为$$\frac{720}{11}:66=\frac{720}{726}=\frac{120}{121}$$，所以正常时钟走$$24$$小时，旧钟需要走$$24$$小时多$$12$$分钟，因此这只旧钟比标准时间慢$$12$$分钟。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->时间计算
Source: 2015年华杯赛六年级竞赛初赛
2015年华杯赛四年级竞赛初赛
2015年华杯赛四年级竞赛初赛