math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若有理数$$a$$、$$b$$、$$c$$两两不等，则$$\frac{a-b}{b-c}$$，$$\frac{b-c}{c-a}$$，$$\frac{c-a}{a-b}$$中负数的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：  不妨设$$a\textgreater b\textgreater c$$，  则$$\frac{a-b}{b-c}\textgreater0$$，$$\frac{b-c}{c-a}\textless{}0$$，$$\frac{c-a}{a-b}\textless{}0$$，  所以有$$2$$个负数．  方法二：  取$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=-2$$，  则$$\frac{a-b}{b-c}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$$，$$\frac{b-c}{c-a}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$$，$$\frac{c-a}{a-b}=\frac{-2}{-1}=2$$，  所以有$$2$$个负数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->确定几个数和或差的符号
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，全长$$55$$千米，设计时速$$100$$千米/小时，工程项目总投资额$$1269$$亿元，用科学记数法表示$$1269$$亿元为．
Options:
aoVal: A
content: $$1269\times {{10}^{8}}$$ 
aoVal: B
content: $$1.269\times {{10}^{8}}$$ 
aoVal: C
content: $$1.269\times {{10}^{10}}$$ 
aoVal: D
content: $$1.269\times {{10}^{11}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$1269$$亿元$$=1269 000 00=1.269\times {{10}^{11}}$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数
Source: 2019~2020学年3月广东深圳福田区深圳明德实验学校初三下学期月考第3题
2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第1题3分
2019~2020学年4月四川成都金牛区成都七中万达学校初三下学期周测B卷第3题3分
2020年广东中山市南朗镇中山纪念中学初三中考一模第3题3分
2019年四川成都邛崃市初三中考二模第4题3分
2019年四川成都青羊区初三中考二模第4题3分
Problem: 已知实数$$x$$，$$y$$满足关系式$$xy-x-y=1$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$的最小值为（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3-2\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$6-4\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$6+4\sqrt{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$x+y=t$$，  则$$xy=x+y+1=t+1$$，  ∴$$x$$，$$y$$是关于$$m$$的一元二次方程$${{m}^{2}}-tm+t+1=0$$的两个实数根，  ∴$$\Delta ={{t}^{2}}-4(t+1)\geqslant 0$$，  解得$$t\geqslant 2+2\sqrt{2}$$或$$t\leqslant 2-2\sqrt{2}$$．  ∵$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{(x+y)}^{2}}-2xy={{t}^{2}}-2(t+1)={{(t-1)}^{2}}-3$$，  ∴当$$t=2-2\sqrt{2}$$（即$$x=y=1-\sqrt{2}$$）时，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$取得最小值，最小值为$$6-4\sqrt{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->换元法求一元二次方程的根
课内体系->方法->配方法
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第5题7分
Problem: 三元方程$$x+y+z=1999$$的非负整数解的个数有（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$20001999$$个 
aoVal: B
content: $$19992000$$个 
aoVal: C
content: $$2001000$$个 
aoVal: D
content: $$2001999$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x=0$$时，$$y+z=1999$$，$$y$$分别取$$0$$，$$1$$，$$2$$，\ldots，$$1999$$时，$$z$$取$$1999$$，$$1998$$，\ldots，$$0$$，有$$2000$$个整数解；  当$$x=1$$时，$$y+z=1998$$，有$$1999$$个整数解，  当$$x=2$$时，$$y+z=1997$$，有$$1998$$个整数解；  \ldots 当$$x=1999$$时，$$y+z=1$$，只有$$1$$组整数解．故非负整数解共有$$2000+1999+1998+\cdot \cdot \cdot +3+2+1=2001000$$（个）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的定义
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第7题
初一其它
Problem: 甲的$$6$$张卡片上分别写有$$-4$$，$$-1$$，$$-2.5$$，$$-0.01$$，$$-3\frac{3}{4}$$，$$-15$$，乙的$$6$$张卡片上分别写有$$-5$$，$$-1$$，$$0.1$$，$$-0.001$$，$$-8$$，$$-12\frac{1}{2}$$，则乙的卡片上的最小数$$a$$与甲的卡片上的最大数$$b$$的比$$\frac{a}{b}$$的值等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1250$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$0.1$$ 
aoVal: D
content: $$800$$ 
Answer: A
Analysis: 观察知，乙的卡片上的最小数$$a=-12\frac{1}{2}$$，甲的卡片上的最大数$$b=-0.01$$．  所以$$\frac{a}{b}=\frac{-12\frac{1}{2}}{-0.01}=1250$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第6题
Problem: 已知$$\angle A$$，$$\angle B$$是两个锐角，且满足$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B=\frac{5}{4}t$$，$${{\cos }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\frac{3}{4}{{t}^{2}}$$，则实数$$t$$所有可能的值的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{8}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{11}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 根据已知得：$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\frac{3}{4}{{t}^{2}}+\frac{5}{4}t$$，即$$2=\frac{3}{4}{{t}^{2}}+\frac{5}{4}t$$，  ∴$$3{{t}^{2}}+5t-8=0$$，解得$${{t}_{1}}=1$$，$${{t}_{2}}=-\frac{8}{3}$$，又∵$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B=\frac{5}{4}t\textgreater0$$，即$$t\textgreater0$$，  ∴$$t=1$$，  故$$t$$所有可能的值的和为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->因式分解法求一元二次方程的根
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->思想->方程思想
Source: 2013年四川成都成华区成都石室中学初中学校初三自主招生第4题5分
2011年竞赛第3题4分
Problem: 已知关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}2x+3y=-5    3x+7y=m   \end{cases}$$，当$$-20 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~-10$$时有整数解，则$${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}$$的值等于~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 解方程组$$\begin{cases}2x+3y=-5    3x+7y=m    \end{cases}$$，解得：$$\begin{cases}x=-\dfrac{3m+35}{5}    y=\dfrac{2m+15}{5}    \end{cases}$$，  当$$-20\textless{}m\textless{}-10$$时有整数解，  即$$x$$，$$y$$的值都是整数，则只有当$$m=-15$$时，$$x$$、$$y$$的值是整数，  当$$m=-15$$时，$$x=2$$，$$y=-3$$，  则$${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}={{2}^{2}}+2\times (-3)+{{(-3)}^{2}}=7$$．  故答案为：$$7$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组
课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘
Source: 2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第9题
Problem: 已知多项式$${{p}_{1}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}-5x+1$$和$${{p}_{2}}\left( x \right)=3x-4$$，则$${{p}_{1}}\left( x \right)\times {{p}_{2}}\left( x \right)$$的最简结果为．
Options:
aoVal: A
content: $$6{{x}^{3}}-23{{x}^{2}}+23x-4$$ 
aoVal: B
content: $$6{{x}^{3}}+23{{x}^{2}}-23x-4$$ 
aoVal: C
content: $$6{{x}^{3}}-23{{x}^{2}}-23x+4$$ 
aoVal: D
content: $$6{{x}^{3}}+23{{x}^{2}}+23x+4$$ 
Answer: A
Analysis: $${{p}_{1}}\left( x \right)\times {{p}_{2}}\left( x \right)=\left( 2{{x}^{2}}-5x+1 \right)\left( 3x-4 \right)$$  $$=6{{x}^{3}}-23{{x}^{2}}+23x-4$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第6题4分
Problem: 如果$$x\textless-2$$，那么化简$$\left\textbar{} 1-\left\textbar{} 1+x \right\textbar{} \right\textbar$$的结果为．  If $$x\textless-2$$, the result of simplifying $$\left\textbar{} 1-\left\textbar{} 1+x \right\textbar{} \right\textbar$$ is ．
Options:
aoVal: A
content: $$-2-x$$ 
aoVal: B
content: $$2+x$$ 
aoVal: C
content: $$x$$ 
aoVal: D
content: $$-x$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$x\textless{}-2$$，  ∴$$1+x\textless{}0$$，  ∴$$\textbar1+x\textbar=-x-1$$，  ∴$$\textbar1-\textbar1+x\textbar\textbar=\textbar1-(-x-1)\textbar$$  $$=\textbar2+x\textbar$$  $$=-2-x$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年9月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第8题3分
1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第6题
Problem: 一个长方体的棱长都是正整数，体积是$$2002$$，若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体，那么这样的长方体．
Options:
aoVal: A
content: 有$$6$$种 
aoVal: B
content: 有$$12$$种 
aoVal: C
content: 有$$14$$种 
aoVal: D
content: 多于$$16$$种 
Answer: C
Analysis: 不失一般性，可设长方体在同一顶点处的三条棱长分别为$$a\leqslant b\leqslant c$$，  又$$2002=1\times 2\times 7\times 11\times 13$$．  ①$$a=b=1$$时，$$c=2002$$，这样的长方体只有$$1$$种；  ②当$$a=1$$，$$b$$是质数$$2$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$中的一个时，这样的长方体共有$$4$$种；  ③当$$a=1$$，$$b$$是$$2$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$中的两个数的乘积时，则有$$b=2\times 7$$，$$b=2\times 11$$，$$b=2\times 13$$共$$3$$种可能（b不能是$$7\times 11$$或$$7\times 13$$或$$11\times 13$$）；  ④当$$a=2$$时，$$b$$是$$7$$，$$11$$，$$13$$中的一个时，这样的长方体有$$3$$种；  ⑤当$$a=7$$时，$$b$$是$$11$$或$$13$$中的一个时，这样的长方体有$$2$$种；  ⑥当$$a=11$$时，$$b$$只能取$$13$$，这样的长方体只有$$1$$种．  综上所述，符合条件的长方体有$$14$$种．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->点线面体
课内体系->能力->运算能力
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 已知实数$$a\ne b$$，且满足$${{\left( a+1 \right)}^{2}}=3-3\left( a+1 \right)$$，$$3\left( b+1 \right)=3-{{\left( b+1 \right)}^{2}}$$，则$$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$23$$ 
aoVal: B
content: $$-23$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$ 
aoVal: D
content: $$-13$$ 
Answer: B
Analysis: 容易知道$$a,b$$是方程$${{\left( x+1 \right)}^{2}}=3-3\left( x+1 \right)$$的两个根，  整理得$${{x}^{2}}+5x+1=0$$，  于是有$$a+b=-5,ab=1$$，于是$$a\textless{}0,b\textless{}0$$，  $$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$$，  $$=b\sqrt{\frac{{{b}^{2}}}{ab}}+a\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{ab}}$$，  $$=\frac{b\left\textbar{} b \right\textbar+a\left\textbar{} a \right\textbar}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-\frac{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-23$$，  故答案为$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
Source: 2017年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第6题6分
2004年竞赛第1题6分
Problem: \textbf{【七年级新思维$$-93$$页$$-18$$题】}  方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: ①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$．  若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，于是$$\left\textbar{} y \right\textbar-y=-6$$，显然不可能．  若$$x ~\textless{} ~0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，  于是$$\left\textbar{} y \right\textbar+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．  所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$，只有$$1$$个解．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->二元一次方程组的解
知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：解含绝对值的方程组
知识标签->数学思想->分类讨论思想
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2007年竞赛第1题6分
2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分
Problem: 设$$[t]$$表示不超过实数$$t$$的最大整数，令$$ {t }=t-[t]$$．已知实数$$x$$满足$${{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=18$$，则$$ {x }+\left { \frac{1}{x} \right }=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$3-\sqrt{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$x+\frac{1}{x}=a$$，  则$${{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-3 \right]=a({{a}^{2}}-3)$$，  所以$$a({{a}^{2}}-3)=18$$，  因式分解得$$(a-3)({{a}^{2}}+3a+6)=0$$，  所以$$a=3$$．  由$$x+\frac{1}{x}=3$$解得$$x=\frac{1}{2}(3\pm \sqrt{5})$$，  显然$$0\textless{} {x }\textless{}1$$，$$0\textless{}\left { \frac{1}{x} \right }\textless{}1$$，  所以$$ {x }+\left { \frac{1}{x} \right }=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分
Problem: 身高两两不同的$$30$$个学生向老师站成一排．其中恰有$$11$$个学生高于自己左侧相邻的同学．那么高于自己右侧相邻学生的学生有（~ ）人．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
Answer: C
Analysis: $$30$$个学生，从左向右数有$$29$$个相邻组$$({{a}_{i}},{{a}_{i+1}})$$，$$i=1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$29$$．  因为已知$${{a}_{i}}\textless{}{{a}_{i+1}}$$的有$$11$$对，  所以$${{a}_{i}}\textgreater{{a}_{i+1}}$$的有$$29-11=18$$（对）． 
<p>$$30$$人有$$29$$对相邻的同学</p>
<p>其中有$$11$$对右侧高</p>
<p>则有$$18$$对左侧高</p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->容斥原理
课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 已知函数$$y=\frac{3x+m}{1-2x}$$，当$$x\textless{}\frac{1}{2}$$时，$$y$$随$$x$$的增大而减小，则实数$$m$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{3}{2}\textless{}m\textless{}0$$ 
aoVal: B
content: $$m\textless{}-\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$m\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$m\textless{}-\frac{3}{2}$$或$$m\textgreater0$$ 
Answer: B
Analysis: 令$${{x}_{2}}\textless{}{{x}_{1}}\textless{}\frac{1}{2}$$，  当$$x={{x}_{1}}$$时，$$y=\frac{3{{x}_{1}}+m}{1-2{{x}_{1}}}$$，  当$$x={{x}_{2}}$$时，$$y=\frac{3{{x}_{2}}+m}{1-2{{x}_{2}}}$$，  ∴$$\frac{3{{x}_{1}}+m}{1-2{{x}_{1}}}-\frac{3{{x}_{2}}+m}{1-2{{x}_{2}}}=\frac{(3{{x}_{1}}+m)(1-2{{x}_{2}})-(1-2{{x}_{1}})(3{{x}_{2}}+m)}{(1-2{{x}_{2}})(1-2{{x}_{1}})}=\frac{(3+2m)({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}{(1-2{{x}_{2}})(1-2{{x}_{1}})}$$，  ∵$$y$$随$$x$$的增大而减小，  ∴$$\frac{3{{x}_{1}}+m}{1-2{{x}_{1}}}-\frac{3{{x}_{2}}+m}{1-2{{x}_{2}}}\textless{}0$$，  即$$\frac{(3+2m)({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}{(1-2{{x}_{2}})(1-2{{x}_{1}})}\textless{}0$$，  解得$$m\textless{}-\frac{3}{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数的相关概念->探究函数性质
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第9题
Problem: 当$$x=1$$时，$${{a}_{0}}{{x}^{10}}-{{a}_{1}}{{x}^{9}}+{{a}_{0}}{{x}^{8}}-{{a}_{1}}{{x}^{7}}-{{a}_{1}}{{x}^{6}}+{{a}_{1}}{{x}^{5}}-{{a}_{0}}{{x}^{4}}+{{a}_{1}}{{x}^{3}}-{{a}_{0}}{{x}^{2}}+{{a}_{1}}x$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{0}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{1}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}_{0}}-{{a}_{1}}$$ 
Answer: A
Analysis: 以$$x=1$$代入，得  $${{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{0}}-{{a}_{1}}-{{a}_{1}}+{{a}_{1}}-{{a}_{0}}+{{a}_{1}}-{{a}_{0}}+{{a}_{1}}$$  $$=2{{a}_{0}}-3{{a}_{1}}+3{{a}_{1}}-2{{a}_{0}}$$  $$=0$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 1990年第1届希望杯初二竞赛第3题
Problem: 在平面直角坐标系内，有等腰三角形$$AOB$$，$$O$$是坐标原点，点$$A$$的坐标是$$(a,b)$$，底边$$AB$$的中线在第一、三象限的角平分线上，则点$$B$$的坐标是．
Options:
aoVal: A
content: $$(b,a)$$ 
aoVal: B
content: $$(-a,-b)$$ 
aoVal: C
content: $$(a,-b)$$ 
aoVal: D
content: $$(-a,b)$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\triangle OAB$$是等腰三角形，$$O$$为顶点，  所以$$OA=OB$$，又$$AB$$为底边，  所以$$AB$$垂直于中线，即垂直于直线$$y=x$$，  不防设$$a=2$$，$$b=1$$，画图可知$$A(2,1)$$关于$$y=x$$的对称点为$$(1,2)$$．  点$$A(a,b)$$关于$$y=x$$的对称点为$$(b,a)$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何变换->对称
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 两个数$$a$$，$$b$$，且$$a\textless b$$，把$$a$$到$$b$$的所有数记做$$[a, b]$$，例如$$1$$到$$4$$的所有数记做$$[1,4]$$，如果$$5 \leqslant m \leqslant 15$$，$$20 \leqslant n \leqslant 30$$，那么$$\frac{m}{n}$$的一切值包含在内．
Options:
aoVal: A
content: $$[5,30]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[\frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[\frac{1}{6}, \frac{7}{8}\right]$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$5 \leqslant m \leqslant 15$$，$$20 \leqslant n \leqslant 30$$，  所以当$$m=5$$，$$n=30$$时，$$\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$$是$$\frac{m}{n}$$中的最小值，  当$$m=15$$，$$n=20$$时，$$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}\left(\textless\frac{7}{8}\right)$$是$$\frac{m}{n}$$中的最大值，  所以$$\frac{m}{n}$$中的所有值都在$$\left[\frac{1}{6}, \frac{7}{8}\right]$$内．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->能力->数据处理能力
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 已知方程组$$\begin{cases}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{1}}   \end{cases}$$的解是$$\begin{cases}x=6    y=8   \end{cases}$$，则方程组$$\begin{cases}3{{a}_{1}}x+4{{b}_{1}}y=5{{c}_{1}}    3{{a}_{2}}x+4{{b}_{2}}y=5{{c}_{1}}   \end{cases}$$的解是．
Options:
aoVal: A
content: $$\begin{cases}x=6    y=8   \end{cases}$$ 
aoVal: B
content: $$\begin{cases}x=8    y=6   \end{cases}$$ 
aoVal: C
content: $$\begin{cases}x=8    y=10   \end{cases}$$ 
aoVal: D
content: $$\begin{cases}x=10    y=10   \end{cases}$$ 
Answer: D
Analysis: 方程组$$\begin{cases}3{{a}_{1}}x+4{{b}_{1}}y=5{{c}_{1}}    3{{a}_{2}}x+4{{b}_{2}}y=5{{c}_{1}}   \end{cases}$$可化为：  $$\begin{cases}{{a}_{1}}\cdot \dfrac{3}{5}x+{{b}_{1}}\cdot \dfrac{4}{5}y={{c}_{1}}    {{a}_{2}}\cdot \dfrac{3}{5}x+{{b}_{2}}\cdot \dfrac{4}{5}y={{c}_{1}}   \end{cases}$$，  ∵方程组$$\begin{cases}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{1}}   \end{cases}$$的解是$$\begin{cases}x=6    y=8   \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}\dfrac{3}{5}x=6    \dfrac{4}{5}y=8   \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}x=10    y=10   \end{cases}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->由二元一次方程的解求参数的值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第6题3分
Problem: 已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$8$$个 
Answer: C
Analysis: 设$$x^{2}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，  即$$x^{2}+ax-12=(x+m)(x+n)$$，$$m$$，$$n$$是整数，  $$\therefore x^{2}+ax-12=x^{2}+(m+n)x+mn$$，  $$\therefore \begin{cases}mn=-12 \m+n=a\end{cases}$$，  $$\because m$$，$$n$$是整数，且$$mn=-12$$，  有$$\begin{cases}m=12 \n=-1\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-1 \n=12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=6 \n=-2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-2 \n=6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=4 \n=-3\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=3 \n=-4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=2 \n=-6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=-6 \n=2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=1 \n=-12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-12 \n=1\end{cases}$$，共$$12$$种情况．  而$$a=m+n$$，只有$$6$$种结果，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数
Source: 上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题
2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分
2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题
初二其它
1996年第7届希望杯初二竞赛第3题4分
Problem: 已知$$p$$，$$q$$，$$r$$，$$s$$是互不相同的正整数，且满足$$\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$$，则(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{p}{s}=\frac{r}{q}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{p}{r}=\frac{s}{q}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{p}{q}=\frac{p+r}{q+s}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{r}{s}\ne\frac{r-p}{s-q}$$ 
Answer: C
Analysis: 可用特殊值法．取$$p=1$$，$$q=2$$，$$r=3$$，$$s=6$$时，满足已知等式$$\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$$，但选项$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均不成立，则选项$$\text{C}$$一定成立．证明如下：  设$$\frac{p}{q}=\frac{r}{s}=k$$，则$$p=kq$$，$$r=ks$$，$$\frac{p+r}{q+s}=\frac{kq+ks}{q+s}=k=\frac{p}{q}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例的综合应用
课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例线段的性质
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 单项式$$3{{x}^{2m}}{{y}^{n-1}}$$与单项式$$-\frac{1}{2}{{x}^{2}}y$$是同类项，则$$m-2n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意，得：  $$2m=2$$，$$n-1=1$$．  ∴$$m=1$$，$$n=2$$．  ∴$$m-2n=1-2\times 1=-1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->由同类项求参数的值
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年浙江嘉兴初一上学期期末第7题3分
2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第2题3分
Problem: 小明编制了一个计算程序．当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与$$1$$之和．若输入$$-1$$，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: D
Analysis: ∵当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与$$1$$之和，  ∴若输入$$-1$$，则显示屏的结果为$${{(-1)}^{2}}+1=2$$，再将$$2$$输入，则显示屏的结果为$${{2}^{2}}+1=5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->实数->实数运算->其他实数的运算
Source: 2017~2018学年广东深圳南山区南山实验教育集团麒麟中学初一下学期开学考试第9题
2000年第11届希望杯初一竞赛第10题
2017~2018学年江苏无锡江阴市江阴市敔山湾实验学校初三下学期期中第1题3分
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}$$．  ∵$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，  ∴$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$①  ∴$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$②  $$\frac{①}{②}$$，得~~$$\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}=\frac{6ab}{2ab}$$  ∵$$a\textless{}b\textless{}0$$，  ∴$$ab\textgreater0$$，$$a+b\textless{}0$$，$$a-b\textless{}0$$，  ∴$$\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}={{\left( \frac{a+b}{a-b} \right)}^{2}}=3$$，  ∴$$\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2002年竞赛第1题5分
2016~2017学年江西景德镇初二下学期期中景德镇一中1班第1题4分
2020~2021学年重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初二上学期开学考试第10题4分
初二上学期其它
Problem: 甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从$$A$$站到$$B$$站，甲要用$$30$$分钟，乙要用$$40$$分钟．如果乙比甲早出发$$5$$分钟去$$B$$站，则甲追上乙时，是甲出发后的第（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$分钟 
aoVal: B
content: $$13$$分钟 
aoVal: C
content: $$14$$分钟 
aoVal: D
content: $$15$$分钟 
Answer: D
Analysis: 甲每分钟行驶路程的$$\frac{1}{30}$$，乙每分钟行驶路程的$$\frac{1}{40}$$．  设$$x$$分钟后，甲追上乙，  由题意，得$$\frac{x}{30}=\frac{x+5}{40}$$，  解得$$x=15$$．  答：甲出发后的第$$15$$分钟，追上乙． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-追及问题
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第7题
Problem: 在方程组$$\begin{cases}x+y+z=0    {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=-36   \end{cases}$$中，$$x$$，$$y$$，$$z$$是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: 多于$$6$$ 
aoVal: D
content: 少于$$3$$ 
Answer: A
Analysis: 利用$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-xz+yz \right)=0$$，把原方程组转化为解不定方程$$3xyz=-36$$．  因为$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)=0$$，  所以$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz$$，从而得$$3xyz=-36$$，即$$xyz=-12$$．  因此$$x$$，$$y$$，$$z$$中一定是两正一负，且$$x+y+z=0$$．  又$$12=1\times 1\times 12=1\times 2\times 6=1\times 3\times 4=2\times 2\times 3$$，  则上述两种组合中，只有$$12=1\times 3\times 4$$符合条件．  所以$$\begin{cases}x=1    y=3    z=-4   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=1    y=-4    z=3   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=3    y=1    z=-4   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=3    y=-4    z=1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=-4    y=1    z=3   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=-4    y=3    z=1   \end{cases}$$，  共有$$6$$个解． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->高次方程
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第9题
Problem: 若关于$$x$$的方程$$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{{{x}^{2}}-4}=\frac{3}{x+2}$$有增根，则$$m$$的值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$-4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$-4$$或$$6$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: C
Analysis: 当$$x\ne \pm 2$$时，可在方程两边同乘$${{x}^{2}}-4$$，  得$$2(x+2)+mx=3(x-2)$$，  当$${{x}^{2}}-4=0$$，即$$x=\pm 2$$时，方程有增根．  将$$x=\pm 2$$分别代入上式，得$$m=-4$$或$$6$$．  综上，当$$m=-4$$或$$6$$时，方程有增根． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的增根问题
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第23题8分
Problem: 若$$a+2015=0$$，则$$a-2015$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-4030$$ 
aoVal: B
content: $$-2015$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$2015$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+2015=0$$，  ∴$$a=-2015$$，  ∴$$a-2015=-4030$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数减法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 实数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足：一元二次方程$${{x}^{2}}+cx+d=0$$的两根为$$a$$，$$b$$，一元二次方程$${{x}^{2}}+ax+b=0$$的两根为$$c$$，$$d$$，则所有满足条件的数组$$\left( a , b , c , d \right)$$共~\uline{~~~~~~~~~~}~组．
Options:
aoVal: A
content: 1组 
aoVal: B
content: 2组 
aoVal: C
content: 3组 
aoVal: D
content: 无数组 
Answer: D
Analysis: 由一元二次方程根与系数的关系得  $$\begin{cases}a+b=-c    ab=d    c+d=-a    cd=b   \end{cases}$$，  由上式，可知$$b=-a-c=d$$．  若$$b=d\ne 0$$，则$$a=\frac{d}{b}=1$$，$$c=\frac{b}{d}=1$$，进而$$b=d=-a-c=-2$$．  若$$b=d=0$$，则$$c=-a$$，有$$\left( a , b , c , d \right)=\left( t , 0 , -t , 0 \right)$$（$$t$$为任意实数）．  经检验，数组$$\left( 1 , -2 , 1 , -2 \right)$$与$$\left( t , 0 , -t , 0 \right)$$（$$t$$为任意实数）满足条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
Source: 2013年竞赛第9题3分
Problem: 下面的说法中正确的是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 单项式与单项式的和是单项式 
aoVal: B
content: 单项式与单项式的和是多项式 
aoVal: C
content: 多项式与多项式的和是多项式 
aoVal: D
content: 整式与整式的和是整式 
Answer: D
Analysis: $${{x}^{2}}$$，$$2{{x}^{2}}$$，$${{x}^{3}}$$都是单项式．  两个单项式$${{x}^{3}}$$，$${{x}^{2}}$$之和为$${{x}^{3}}+{{x}^{2}}$$是多项式，排除$$\text{A}$$．  两个单项式$${{x}^{2}}$$，$$2{{x}^{2}}$$之和为$$3{{x}^{2}}$$是单项式，排除$$\text{B}$$．  两个多项式$${{x}^{3}}+{{x}^{2}}$$与$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}$$之和为$$2{{x}^{3}}$$是个单项式，排除$$\text{C}$$，因此选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->单项式->单项式的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的定义
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第2题
Problem: 下列计算正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}} y=6{{x}^{5}}$$ 
aoVal: B
content: $$2{{a}^{2}}\cdot 3{{a}^{3}}=6{{a}^{5}}$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -2x \right)\cdot \left( -5{{x}^{2}} y \right)= -10 {{x}^{3}}y$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -2xy \right)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}y$$ 
Answer: B
Analysis: $A.$$3x^{2}\times2x^{2}y=6x^{5}y,故此选项错误;$  $B.2a^{2}\times3a^{3}=6a^{5},故此选项正确;$  $C.(-2x)\times(-5x^{2}y)=10x^{3}y,故此选项错误;$  $D.(-2xy)\times(-3x^{2}y)=6x^{3}y^{2},故此选项错误.$  故选$B.$ 
Knowledge points: 课内体系->方法->整体法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式
课内体系->思想->整体思想
课内体系->能力->运算能力
Source: 2023年浙江宁波初三竞赛鄞州区联考学校：鄞实、曙光、鄞外、高桥、雅戈尔、集士港