math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在平面区域$$\left { (x,y)\textbar\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 1,\left\textbar y \right\textbar\leqslant 1 \right }$$上恒有$$ax-2by\leqslant 2$$，则动点$$P(a,b)$$所形成平面区域的面积为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$32$$ 
Answer: A
Analysis: 平面区域$$\left { (x,y)\textbar\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 1,\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant1 \right }$$的四个边界点$$(-1,-1)$$，$$(-1,1)$$，$$(1,-1)$$，$$(1,1)$$满足$$ax-2by\leqslant 2$$，即有$$a+2b\leqslant 2,a-2b\leqslant 2,-a-2b\leqslant 2,-a+2b\leqslant 2$$，由此计算动点$$P(a,b)$$所形成平面区域的面积为$$4$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->二元一次不等式组的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->含参线性规划相关问题->参数与可行域面积
课内体系->素养->直观想象
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第10题4分
高考真题
Problem: 等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$前$$n$$项的和为$${{S}_{n}}$$，已知$$\frac{{{S}_{25}}}{{{a}_{23}}}=5$$，$$\frac{{{S}_{45}}}{{{a}_{33}}}=25$$，则$$\frac{{{S}_{65}}}{{{a}_{43}}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$125$$ 
aoVal: B
content: $$85$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$35$$ 
Answer: C
Analysis: 由于$${{S}_{25}}=25\cdot {{a}_{13}}$$，所以由已知条件可得$${{a}_{13}}:{{a}_{23}}=1:5$$，从而$${{a}_{23}}:{{a}_{33}}=5:9$$，$${{a}_{33}}:{{a}_{43}}=9:13$$．现在，$${{S}_{65}}=65{{a}_{33}}$$，所以$${{S}_{65}}:{{a}_{43}}=45:1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{S}_{12}}=21$$，则$${{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}+{{a}_{11}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $\dfrac{7}{2}$ 
aoVal: D
content: $\dfrac{7}{4}$ 
Answer: A
Analysis: $${{a}_{1}}+{{a}_{4}}+{{a}_{7}}+{{a}_{10}}$$，$${{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}+{{a}_{11}}$$，$${{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}+{{a}_{12}}$$构成等差数列，  ∴原式$$=21\div 3=7$$．  因为$${{a}_{1}}+{{a}_{12}}={{a}_{2}}+{{a}_{11}}={{a}_{3}}+{{a}_{10}}={{a}_{4}}+{{a}_{9}}={{a}_{5}}+{{a}_{8}}={{a}_{6}}+{{a}_{7}}$$，  且他们加起来为$${{S}_{12}}=21$$，故$${{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}+{{a}_{11}}=\frac{2}{6}\cdot {{S}_{12}}=7$$．  $${{S}_{12}}=6\left( {{a}_{1}}+{{a}_{12}} \right)=21$$，$${{a}_{1}}+{{a}_{12}}=\frac{7}{2}$$，$${{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}+{{a}_{11}}=2\left( {{a}_{1}}+{{a}_{12}} \right)=7$$．  故答案为：$$7$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念通项公式
知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和
知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->等差数列前n项和的性质
知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->求等差数列的通项公式
知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->等差数列的前n项和计算  
Source: 高一上学期单元测试《等差、等比数列、递推数列1》竞赛第2题
2018~2019学年内蒙古呼和浩特回民区呼和浩特市回民中学高二上学期期中（体、艺班）第16题5分
2017~2018学年浙江杭州上城区杭州第四中学高一下学期期中第14题4分
2007年高考真题江西卷文科第13题4分
Problem: 记$$[x]$$为不超过$$x$$的最大整数，若集合$$S=\left { (x，y)\left\textbar{} \textbar[x+y]\textbar+\textbar[x-y]\textbar\leqslant 1 \right. \right }$$，则集合$$S$$所表示的平面区域的面积为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{9}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=1    \textbar[x-y]\textbar=0   \end{cases}$$时，$$\begin{cases}1\leqslant x+y ~\textless{} ~2    0\leqslant x-y ~\textless{} ~1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}-1\leqslant x+y ~\textless{} ~0    0\leqslant x-y ~\textless{} ~1   \end{cases}$$  同理$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=0    \textbar[x-y]\textbar=1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=0    \textbar[x-y]\textbar=0   \end{cases}$$都可以类似表示，画图即可求出面积.  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->直观想象
课内体系->特色题型->新定义
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->简单线性规划->画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式
Source: 2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
Problem: 抛物线$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$的参数$$a$$、$$b$$满足$$8{{a}^{2}}+4ab={{b}^{3}}$$，则当$$a$$、$$ b$$变动时，抛物线的顶点一定在上．
Options:
aoVal: A
content: 抛物线 
aoVal: B
content: 双曲线 
aoVal: C
content: 圆或椭圆 
aoVal: D
content: 直线 
Answer: B
Analysis: 抛物线$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$顶点的坐标为$$\left( -\frac{b}{2a},\frac{4a-{{b}^{2}}}{4a} \right)$$，设$$x=-\frac{b}{2a},y=\frac{4a-{{b}^{2}}}{4a}$$，则有$$\frac{b}{a}=-2x, y=1-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=1+\frac{bx}{2}$$．因为$$a\ne 0$$，所以$$a, b$$满足的条件等价于$$8+4\frac{b}{a}=b{{\left( \frac{b}{a} \right)}^{2}}$$，于是有$$8+4\left( -2x \right)=b{{\left( -2x \right)}^{2}}=4x\left( 2y-2 \right)$$，即$$xy=1$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质
课内体系->思想->方程思想
课内体系->方法->换元法
Source: 2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 给定平面向量$$\left( 1,1 \right)$$，那么，平面向量$$\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$$是将向量$$\left( 1,1 \right)$$经过（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 顺时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得 
aoVal: B
content: 顺时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得 
aoVal: C
content: 逆时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得 
aoVal: D
content: 逆时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得 
Answer: C
Analysis: 两向量对应的角度分别是$$45{}^{}\circ $$和$$105{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用
Source: 2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
2010年上海复旦大学自主招生千分考第9题
Problem: 若$$A$$，$$B$$是锐角$$\triangle ABC$$的两内角，则复数$$z=\left( \cos B-\sin A \right)+\text{i}\left( \sin B-\cos A \right)$$在复平面上所对应的点位于（~ ）
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: B
Analysis: 因为$$A+B\textgreater\frac{ \pi }{2}$$，进而$$0\textless{}\frac{ \pi }{2}-A\textless{}B\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，  所以$$\cos B\textless{}\cos \left( \frac{ \pi }{2}-A \right)=\sin A$$，  $$\sin B\textgreater\sin \left( \frac{ \pi }{2}-A \right)=\cos A$$，  $$\cos B-\sin A\textless{}0$$，$$\sin B-\cos A\textgreater0$$．  说明$$z$$位于第二象限．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 关于$$x$$的方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=0$$只有一个实数解，则．
Options:
aoVal: A
content: $$a=-1$$ 
aoVal: B
content: $$a=1$$ 
aoVal: C
content: $$a=2$$ 
aoVal: D
content: $$a$$的值不唯一 
Answer: B
Analysis: 函数$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)$$的图象关于直线$$x=1$$对称，  又方程只有一个实数解，  ∴$$f\left( 1 \right)=0$$，得$$a=1$$，  当$$a=1$$时，$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-\cos \left( 1-x \right)\geqslant 1-1=0$$，  当且仅当$$x=1$$时取等号，  即方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=0$$只有一个实数解，符合题设．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数方程
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 设$$\alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}，\frac{ \pi }{2} \right)$$，则$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$，$${{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$，$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$的大小顺序是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$； 
aoVal: B
content: $${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$； 
aoVal: C
content: $${{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$； 
aoVal: D
content: $${{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$． 
Answer: D
Analysis: ∵$$\alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}，\frac{ \pi }{2} \right)$$，  ∴ $$0 ~\textless{} ~\cos \alpha ~~\textless{} ~\frac{\sqrt{2}}{2} ~\textless{} ~\sin \alpha ~~\textless{} ~1$$．  故 $$\cos \alpha {{}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~\cos \alpha {{}^{\cos \alpha }}$$．  ∴ $$\cos \alpha {{}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{(\sin \alpha )}^{\cos \alpha }}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 1990年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$是三角形的三边，$$\alpha $$，$$\beta $$，$$\gamma $$分别是相对于这三边的角，若$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2021{{c}^{2}}$$，则$$\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta }=$$．
Options:
aoVal: A
content: $\dfrac{1}{2021}$ 
aoVal: B
content: $\dfrac{1}{1010}$ 
aoVal: C
content: $1010$ 
aoVal: D
content: $2021$ 
Answer: C
Analysis: 由余弦定理$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma ={{c}^{2}}$$，代入条件式得  $$2ab\cos \gamma =1988{{c}^{2}}$$，或$$\left( \frac{a}{b} \right)\left( \frac{b}{c} \right)\cos \gamma =994$$．  由下正弦定理$$\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }$$，$$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$$，  于是$$\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{{{\sin }^{2}}\gamma }=994$$．  因为$$\alpha +\beta +\gamma = \pi $$，所以$$\alpha +\beta = \pi -\gamma $$．从而$$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \gamma $$．  $$\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta }=\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{\sin \left( \alpha +\beta \right)\sin \gamma }=994$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->解三角形->正余弦定理的简单应用->利用正、余弦定理求解边角
知识标签->知识点->解三角形->正弦定理
知识标签->知识点->解三角形->余弦定理
知识标签->素养->数学运算
Source: 1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第10题
Problem: 体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$1$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$种 
aoVal: B
content: $$60$$种 
aoVal: C
content: $$120$$种 
aoVal: D
content: $$720$$种 
Answer: B
Analysis: 总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 若函数$$f(x)=\begin{cases}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}},x\geqslant 4    f(x+1),x\textless{}4 \end{cases}$$，则$$f({{\log }_{2}}3)=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{23}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{11}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{19}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{24}$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$1\textless{}{{\log }_{2}}3\textless{}2$$，所以  $$f\left( {{\log }_{2}}3 \right)=f\left( {{\log }_{2}}3+1 \right)=f\left( {{\log }_{2}}3+2 \right)=f\left( {{\log }_{2}}3+3 \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{\log }_{2}}3+3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{24}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-(k-2)x+({{k}^{2}}+3k+5)=0$$（$$k$$为实数）的两个实数根，$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值是(~ ~ )．
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$5\frac{5}{9}$$ 
aoVal: D
content: 不存在 
Answer: B
Analysis: 由韦达定理得  $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$  $$={{(k-2)}^{2}}-2({{k}^{2}}+3k+5)$$  $$=-{{(k+5)}^{2}}+19$$．  又因方程有两个实根，所以$$k$$值要受下面条件的约束：  $$\Delta ={{(k-2)}^{2}}-4({{k}^{2}}+3k+5)\mathsf{\geqslant }0$$，  即 $$3{{k}^{2}}+16k+16\mathsf{\leqslant }0$$，  解得 $$-4\mathsf{\leqslant }k\mathsf{\leqslant }-\frac{4}{3}$$  因此，求$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值问题，就是当$$-4\mathsf{\leqslant }k\mathsf{\leqslant }-\frac{4}{3}$$的条件下，求函数  $$y=-{{(k+5)}^{2}}+19$$  的最大值．  由于对称轴$${{a}_{1}}$$在$$[-4\mathsf{，}-\frac{4}{3}]$$的外面，所以在$$[-4\mathsf{，}-\frac{4}{3}]$$上函数单调递减，在$$k=-4$$取得最大值$$18$$．  $$\therefore $$ $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值是$$18$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 1982年全国高中数学联赛竞赛第6题
Problem: 已知正三棱锥$$S-ABC$$，底面是边长为$$1$$的正三角形，侧棱长为$$2$$，若过直线$$AB$$的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{15}}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4\sqrt{15}}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{15}}{15}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2\sqrt{15}}{15}$$ 
Answer: D
Analysis: 设截面与棱$$SC$$交于$$D$$点，由已知条件可知，点$$D$$为棱$$SC$$的中点．  取$$AB$$的中点$$E$$，连结$$EC$$、$$DE$$、$$SE$$，  则$$\angle DEC$$为截面与底面所成二面角的平面角，设为$$\theta $$．  在$$\triangle SEC$$中，$$SE=\frac{\sqrt{15}}{2}$$，$$EC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$SC=2$$，所以中线$$DE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$．  在$$\triangle DEC$$应用余弦定理得$$\cos \theta =\frac{2\sqrt{15}}{15}$$．正确答案为$$D$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->平面图形、空间几何体的直观图认识
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->已知线面位置关系判定结论的问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->几何法求空间角
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->直观想象
Source: 2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 定义在\emph{R}上的偶函数\emph{f}(\emph{x})满足:对任意的${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in [0,+\infty ),{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$，有$({{x}_{2}}-{{x}_{1}})[f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})]\textless{} 0$，则（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: \emph{f}(3)\textless{}\emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(1) 
aoVal: B
content: \emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(3) 
aoVal: C
content: \emph{f}(3)\textless{}\emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(-2) 
aoVal: D
content: \emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(3) 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 已知不等关系说明函数是减函数，再由偶函数得$f(-2)=f(2)$，然后由单调性可得大小关系．\\ 【详解】\\ ∵对任意的${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in [0,+\infty ),{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$，有$({{x}_{2}}-{{x}_{1}})[f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})]\textless{} 0$，\\ ∴$f(x)$在$[0,+\infty )$上是减函数．\\ ∴$f(3) \textless{} f(2) \textless{} f(1)$，\\ ∵$f(x)$是偶函数，∴$f(-2)=f(2)$\\ ∴$f(3)\textless{} f(-2)\textless{} f(1)$．\\ 故选：A． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第5题
Problem: 已知两个等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$与$$\left { {{b}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和分别为$${{S}_{n}}$$与$${{T}_{n}}$$，并且$$\frac{{{S}_{n}}}{{{T}_{n}}}=\frac{2n+4}{3n+7}$$，则$$\frac{{{a}_{5}}}{{{b}_{7}}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{11}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{13}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11}{23}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{9}{23}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为等差数列$$n$$项和公式形如$$A{{n}^{2}}+Bn$$，可设$${{S}_{n}}=kn(2n+4)$$；$${{T}_{n}}=kn(3n+7)$$，则$${{a}_{5}}=22k$$，$${{b}_{7}}=46k$$，所以$$\frac{{{a}_{5}}}{{{b}_{7}}}=\frac{11}{23}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质
Source: 高考真题
2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第2题5分
Problem: 三棱锥$$P-ABC$$的底面$$\triangle ABC$$是边长为$$3$$的正三角形，$$PA=3$$，$$PB=4$$，$$PC=5$$，则三棱锥$$P-ABC$$的体积为(  )
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{10}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{11}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 解：$${{V}_{P-ABC}}={{V}_{A-PBC}}=\frac{1}{3}\times \left( \frac{1}{2}\times 3\times 4 \right)\times \sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{11}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量
Source: 2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设四面体四个面的面积分别为$${{S}_{1}}$$，$${{S}_{2}}$$，$${{S}_{3}}$$，$${{S}_{4}}$$，它们的最大值为$$S$$，记$$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}$$，则$$\lambda $$一定满足（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2\textless{}\lambda \mathsf{\leqslant }4$$ 
aoVal: B
content: $$3\textless{}\lambda \textless{}4$$ 
aoVal: C
content: $$2.5\textless{}\lambda \mathsf{\leqslant }4.5$$ 
aoVal: D
content: $$3.5\textless{}\lambda \textless{}5.5$$ 
Answer: A
Analysis: 因为  $${{S}_{i}}\mathsf{\leqslant }S$$  $$\left( i=1,2,3,4 \right)$$  所以  $$\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}\mathsf{\leqslant }4S$$．  进而  $$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}\mathsf{\leqslant }4$$．  特别地，当四面体为正四面体时，式中的等号成立，从而否定（$$\text{B}$$）．  考察侧面与底面所成的二面角的平面角均等于$$45{}^{}\circ $$的任一个正三棱锥，以$${{S}_{4}}$$表示该正三棱锥的底面面积，则  $$S={{S}_{4}}=\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)\cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)$$，  于是  $$\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)=\sqrt{2}S$$，  $${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}=\left( 1+\sqrt{2} \right)S$$．  此时  $$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}=1+\sqrt{2}\textless{}2.5$$，  从而否定（$$\text{C}$$）与（$$\text{D}$$）．因此答案是（$$\text{A}$$）． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 1992年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$、$$ {{{b}_{n}} }$$的前$$n$$项和分别为$${{S}_{n}}$$、$${{T}_{n}}$$，若对任意的正整数$$n$$都有$$\frac{{{S}_{n}}}{{{T}_{n}}}=\frac{5n-3}{2n+1}$$，则$$\frac{{{a}_{20}}}{{{b}_{7}}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{20}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{40}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{64}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{72}{7}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$ {{{a}_{n}} }$$，$$ {{{b}_{n}} }$$为等差数列，故可设  $${{S}_{n}}=kn(5n-3)$$，$${{T}_{n}}=kn(2n+1)$$，  当$$n\geqslant 2$$时，  $${{a}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=k(10n-8)$$，$${{b}_{n}}={{T}_{n}}-{{T}_{n-1}}=k(4n-1)$$，  所以$$\frac{{{a}_{20}}}{{{b}_{7}}}=\frac{k(200-8)}{k(28-1)}=\frac{64}{9}$$．  故答案为：$$\frac{64}{9}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质
Source: 2014年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分
Problem: 已知数列$$\left { {{x}_{n}} \right }$$满足$${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}(n\geqslant 2)$$，$${{x}_{1}}=a$$，$${{x}_{2}}=b$$，记$${{S}_{n}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}$$，则下列结论正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}_{100}}=-a$$，$${{S}_{100}}=2b-a$$ 
aoVal: B
content: $${{x}_{100}}=-b$$，$${{S}_{100}}=2b-a$$ 
aoVal: C
content: $${{x}_{100}}=-b$$，$${{S}_{100}}=b-a$$ 
aoVal: D
content: $${{x}_{100}}=-a$$，$${{S}_{100}}=b-a$$ 
Answer: A
Analysis: 已知中$${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}$$（$$n\geqslant 2$$），$${{x}_{1}}=a$$，$${{x}_{2}}=b$$．  ∴$${{x}_{3}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=b-a$$，  $${{x}_{4}}={{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-a$$，  $${{x}_{5}}={{x}_{4}}-{{x}_{3}}=-b$$，  $${{x}_{6}}={{x}_{5}}-{{x}_{4}}=a-b$$，  $${{x}_{7}}={{x}_{6}}-{{x}_{5}}=a$$，  $${{x}_{8}}={{x}_{7}}-{{x}_{6}}=b$$，  $$\vdots $$  由此可知：$${{x}_{n}}$$每隔六项开始重复，  即$${{x}_{i}}={{x}_{i}}+6(i\geqslant 1)$$．  ∴$${{S}_{100}}=16({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}})+{{x}_{97}}+{{x}_{98}}+{{x}_{99}}+{{x}_{100}}$$  $$=16(a+b+b-a-a-b+a-b)+a+b+b-a-a$$  $$=2b-a$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2016~2017学年北京东城区北京市第一七一中学高一下学期期中第8题
1997年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 2011 AMC10A 10  A majority of the $$30$$ students in Ms. Demeanor\textquotesingle s class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $$1$$. The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $$$17.71$$. What was the cost of a pencil in cents?  德米诺尔女士班级的 30 个学生中的大多数在学校书店购买铅笔。 这些学生中的每个人都购买了相同数量的铅笔，而且这个数量大于 1。 一支铅笔的成本（以美分计）大于每个学生购买的铅笔数量，所有铅笔的总成本为 $17.71。 一支铅笔的成本是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$23$$ 
aoVal: E
content: $$77$$ 
Answer: B
Analysis: Let $$x\textgreater15$$ be the number of students at the bookstore， $$p\textgreater1$$ be the number of pencils each student bought, and $$c\textgreater p$$ be the price of one pencil. We see that $$xcp=1771=7\cdot 11\cdot 23$$. Then we must have $$x=23$$，$$c=11$$，$$p=7$$ by the original conditions and the answer is $$c=11$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2011年AMC10竞赛A第10题
2011年AMC12竞赛A第7题
Problem: $$2008-AMC12B-10$$  Bricklayer Brenda would take $$9$$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $$10$$ hours to build it alone. When they work together they talk a lot, and their combined output is decreased by $$10$$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $$5$$ hours. How many bricks are in the chimney?  瓦工布伦达单独建造一个烟囱需要花费 $9$$ 小时，而瓦工布兰登单独建造它需要花费 $10$$ 小时。 当他们一起工作时，他们会说很多话，他们的总产量每小时减少 10 美元。 他们一起工作，在 $5$$ 小时内建造了烟囱。 烟囱里有多少块砖？
Options:
aoVal: A
content: $$500$$ 
aoVal: B
content: $$900$$ 
aoVal: C
content: $$950$$ 
aoVal: D
content: $$1000$$ 
aoVal: E
content: $$1900$$ 
Answer: B
Analysis: Let $$x$$ be the number of bricks in the chimney, Using $$d=vt$$, we get $$x=\left( \frac{x}{9}+\frac{x}{10}-10 \right)\cdot \left( 5 \right)$$. Solving for $$x$$, we get $$900\Rightarrow \text{B}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
Source: 2008年AMC10竞赛B第18题
2008年AMC12竞赛B第10题
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，内角$$ABC$$的对边长分别为$$abc$$，若$$\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{2\cos B}=\frac{c}{3\cos C}$$，则$$\angle A$$的大小为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5 \pi }{12}$$ 
Answer: B
Analysis: 结合正弦定理，有$$\tan A=\frac{1}{2}\tan B=\frac{1}{3}\tan C$$，  熟知$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$$，代入解得$$\tan A=1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知 $$f(x)=\frac{sinx}{2+cosx}$$ ，则对任意 $$x\in R$$ ，下列说法错误的是．
Options:
aoVal: A
content: $$f(x)\geqslant\frac13sinx$$ 
aoVal: B
content: $$\textbar f(x)\textbar\leqslant\textbar x\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$\textbar f(x)\textbar\leqslant \frac{\sqrt3}3$$ 
aoVal: D
content: $$f(\pi+x)+f(\pi-x)=0$$ 
Answer: A
Analysis: $$A$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质
Source: 2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛
Problem: 已知点$$P$$、$$Q$$在$$\triangle ABC$$内，且$$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+5\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$$，则$$\frac{\left\textbar{} \overrightarrow{PQ} \right\textbar}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}$$等于(  )
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{30}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{31}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{32}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{33}$$ 
Answer: A
Analysis: 由题设知  $${{S}_{\triangle BCP}}:{{S}_{\triangle CAP}}:{{S}_{\triangle ABP}}=1:2:3$$，  $${{S}_{\triangle BCQ}}:{{S}_{\triangle CAQ}}:{{S}_{\triangle ABQ}}=2:3:5$$，  则$${{S}_{\triangle ABP}}={{S}_{\triangle ABQ}}=\frac{1}{2}{{S}_{\triangle ABC}}$$，于是，$$PQ\text{//}AB$$，  且$${{S}_{\triangle BCP}}=\frac{1}{6}{{S}_{\triangle ABC}}$$，$${{S}_{\triangle BCQ}}=\frac{1}{5}{{S}_{\triangle ABC}}$$，  故$$\frac{\textbar\overrightarrow{PQ}\textbar}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量
Source: 2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 已知正三棱锥$$P-ABC$$的底面$$ABC$$是正三角形，该三棱锥的外接球的球心$$O$$满足$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$，则二面角$$A-PB-C$$的余弦值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{2}}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意，$$O$$应该在$$P-ABC$$的底面$$ABC$$上，设底面边长为$$2$$，则外接球半径等于$$\frac{2}{3}\sqrt{3}$$，于是侧棱长$$\frac{2}{3}\sqrt{6}$$．作$$CH\bot PB$$于$$H$$，由对称性知$$AH\bot PB$$，所以$$\angle AHC$$就是二面角$$A-PB-C$$的平面角，不难算出$$CH=\frac{\sqrt{10}}{2}$$．  于是由余弦定理，可得$$\cos \angle AHC=\frac{1}{5}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知集合$$A=\left { \frac{1}{9},\frac{1}{3},1,3,9,27 \right }$$，$$B= {y\left\textbar{} y={{\log }_{3}}x,x\in A \right. }$$，则$$A\cap B$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$或$$3$$ 
aoVal: B
content: $$\left { 1,3 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\varnothing $$ 
aoVal: D
content: $$\left { 0,1,2,3 \right }$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意知$$B=\left { -2,-1,0,1,2,3 \right }$$所以$$ A \cap B= \left { 1,3\right } $$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集
课内体系->素养->数学运算
Source: 2021年第31届浙江绍兴上虞区希望杯高一竞赛复赛第1题