math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$a+b+c=0$$，$$abc\textgreater0$$，则$$\frac{b+c}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{c+a}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{a+b}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$3$$或$$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$或$$1$$ 
Answer: B
Analysis: 因为 $$a+b+c=0$$，$$abc\textgreater0$$，  所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有两个负数．  由$$a+b+c=0$$，可得$$b+c=-a$$，$$c+a=-b$$，$$a+b=-c$$，  所以原式变形为$$\frac{-a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{-b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{-c}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$ ．  而$$\frac{-a}{\left\textbar{} a \right\textbar}$$ ， $$\frac{-b}{\left\textbar{} b \right\textbar}$$ ，$$\frac{-c}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$ ，  必有两个式子的值为$$1$$，另一个式子的值为$$-1$$，  所以原式的值为$$1$$． 

<p>特殊值法．</p>
<p>由$$a+b+c=0$$，$$abc&gt;0$$，</p>
<p>可设$$a=2$$，$$b=c=-1$$，</p>
<p>将其代入原式，得原式$$=\frac{-2}{2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1$$ ．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$都是实数，并且$$a\textgreater b\textgreater c$$，那么下列式子中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$ab\textgreater bc$$ 
aoVal: B
content: $$a+b\textgreater b+c$$ 
aoVal: C
content: $$a-b\textgreater b-c$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{a}{c}\textgreater\frac{b}{c}$$ 
Answer: B
Analysis: 根据不等式性质：  ∵$$a\textgreater b\textgreater c$$，  ∴$$a+b\textgreater b+c$$，故$$\text{B}$$正确，  ∵$$a$$、$$b$$、$$c$$的符号不确定，∴$$\text{A}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$不成立，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题6分
2015~2016学年浙江温州乐清市乐清市育英寄宿学校初三上学期期中实验A班第2题5分
Problem: 已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\leqslant z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$14$$ 
aoVal: D
content: $$14$$或$$17$$ 
Answer: A
Analysis: 由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$  $$z=x+1$$将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分
初一下学期其它第17题
Problem: 已知$$x=3$$是不等式$$mx+2\textless{}1-4m$$的一个解，如果$$m$$是整数，那么$$m$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$x=3$$满足不等式$$mx+2\textless{}1-4m$$，所以$$3m+2\textless{}1-4m$$，  解得$$m\textless{}-\frac{1}{7}$$，  又$$m$$为整数，所以$$m$$的最大值是$$-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的解集
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 下述四个命题中，假命题的个数是（~ ）．  ①)一个数的倒数等于自身，那么这个数是$$1$$；  ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；  ③$${{a}^{2}}$$的平方根是$$\pm \left\textbar{} a \right\textbar$$；  ④大于直角的角一定是钝角．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: ($$1$$)$$-1$$的倒数也是他本身，所以这个命题不对．  ($$2$$)对角线互要垂直且相等的平行四边形才是正方形，所以这个命题也不对．  ($$3$$)$${{a}^{2}}$$的平方根是$$\pm \left\textbar{} a \right\textbar$$，这是对的．  ($$4$$)大于直角的角一定是钝角，钝角是$$90-180$$度之间的角．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->正方形->正方形的判定
Source: 1997年第14届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 一个凸四边形的四个内角可以（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 都是锐角 
aoVal: B
content: 都是直角 
aoVal: C
content: 都是钝角 
aoVal: D
content: 有三个是直角，另一个是锐角或钝角 
Answer: B
Analysis: 凸四边形的四个内角的和是$$360{}^{}\circ $$．  若四个内角都是锐角，则内角和小于$$360{}^{}\circ $$；  若四个内角都是钝角，则内角和大于$$360{}^{}\circ $$；  若有三个是直角，另一个是锐角或钝角，则内角和不为$$360{}^{}\circ $$；  若四个内角都是直角，则内角和等于$$360{}^{}\circ $$，这时可以构成凸四边形，符合题意． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->正多边形->求正多边形的内角
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第3题4分
Problem: 若四个有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足$$\frac{1}{a-1997}=\frac{1}{b+1998}=\frac{1}{c-1999}=\frac{1}{d+2000}$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater c\textgreater b\textgreater d$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater d\textgreater a\textgreater c$$ 
aoVal: C
content: $$c\textgreater a\textgreater b\textgreater d$$ 
aoVal: D
content: $$d\textgreater b\textgreater a\textgreater c$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$\frac{1}{a-1997}=\frac{1}{b+1998}=\frac{1}{c-1999}=\frac{1}{d+2000}$$，  可知$$a-1997=b+1998=c-1999=d+2000$$，  由这个连等式可得：$$a\textgreater b$$，$$a\textless{}c$$，$$a\textgreater d$$；$$b\textless{}c$$，$$b\textgreater d$$，$$c\textless{}d$$，  由此可得$$c\textgreater a\textgreater b\textgreater d$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 2020~2021学年四川德阳初一上学期期末第11题7分
2000年第11届希望杯初一竞赛第8题
Problem: 将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．  Brush each surface of a box with integral centimeter of edge length into red, and then divide the box into several small cubes with an edge length of $$1$$ cm. If there are $$11$$ cubes without color on any face, the volume of the original box is~\uline{~~~~~~~~~~}~cubic centimeter.
Options:
aoVal: A
content: $$117$$ 
aoVal: B
content: $$99$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$84$$ 
aoVal: E
content: $$48$$ 
Answer: A
Analysis: 设该长方体的棱长分别为$$a$$厘米，$$b$$厘米，$$c$$厘米，$$(a\geqslant b\geqslant c)$$，  则由题意得$$(a-2)(b-2)(c-2)=11$$，  ∵$$11$$为质数，  ∴$$a-2=11$$，$$b-2=1$$，$$c-2=1$$，  ∴$$a=13$$，$$b=3$$，$$c=3$$，  ∴长方体的体积$$V=abc=117$$立方厘米． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分
Problem: $$\frac{\left\textbar{} 1-9 \right\textbar-\left\textbar{} 9-4 \right\textbar}{1-9-9+4}$$的值的负倒数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{3}{13}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{\left\textbar{} 1-9 \right\textbar-\left\textbar{} 9-4 \right\textbar}{1-9-9+4}=\frac{8-5}{-13}=-\frac{3}{13}$$，其负倒数为$$\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->负倒数的定义
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 设$$a$$，$$b$$为正整数$$(a\textgreater b)$$．$$p$$是$$a$$，$$b$$的最大公约数，$$q$$是$$a$$，$$b$$的最小公倍数．则$$p$$，$$q$$，$$a$$，$$b$$的大小关系是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$p\geqslant q\geqslant a\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$q\geqslant a\textgreater b\geqslant p$$ 
aoVal: C
content: $$q\geqslant p\geqslant a\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$p\geqslant a\textgreater b\geqslant q$$ 
Answer: B
Analysis: 两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者．  两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者．  所以$$q\geqslant a\textgreater b\geqslant p$$．  选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
Problem: 若$$-12≤{}x≤{}300$$，且$$m=\left\textbar{} \left\textbar{} x \right\textbar-100 \right\textbar$$的值为整数，则$$m$$的值有．
Options:
aoVal: A
content: $$100$$个 
aoVal: B
content: $$101$$个 
aoVal: C
content: $$201$$个 
aoVal: D
content: $$203$$个 
Answer: C
Analysis: 此题暂无解析 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第7题4分
Problem: 从写有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张红牌和$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张绿牌中抽取两张．获胜对子为两张相同花色或相同数字的．则抽到获胜对子的概率是？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 27$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 38$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 12$$ 
aoVal: D
content: $$\frac 47$$ 
aoVal: E
content: $$\frac 58$$ 
Answer: D
Analysis: 从写有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张红牌和$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张绿牌中抽取两张．获胜对子为两张相同花色或相同数字的．则抽到获胜对子的概率是？  有四种方法可以选择同一个字母的一对，并且$$2\left( \left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right) \right)=12$$方法去选择一对相同颜色．一共有$$\left( \begin{matrix}8    2   \end{matrix} \right)=28$$方法去选择一对，所以概率是$$\frac{4+12}{28}=\frac{4}{7}$$．  故选$$\text{D}$$．  There are $$4$$ ways of choosing a winning pair of the same letter, and $$2\left( \left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right) \right)=12$$ ways to choose a pair of the same color.  There\textquotesingle s a total of $$\left( \begin{matrix}8    2   \end{matrix} \right)=28$$ ways to choose a pair, so the probability is $$\frac{4+12}{28}=\frac{4}{7}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability
课内体系->知识点->统计与概率
Source: 2007年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 若$$a$$，$$b$$都是正整数，且满足$$a_{{}}^{2}-b_{{}}^{2}+9=2018$$，则$$a+b$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$44$$ 
aoVal: B
content: $$45$$ 
aoVal: C
content: $$46$$ 
aoVal: D
content: $$49$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$a_{{}}^{2}-b_{{}}^{2}+9-2018$$，  ∴$$a_{{}}^{2}-b_{{}}^{2}=2009$$，  ∴$$(a+b)(a-b)=2009$$，  ∵$$2009=7\times 7\times 41=41\times 49$$，  ∵$$a\cdot b$$都是正整数，  ∴$$a+b$$为正整数，且$$a+b\textgreater a-b$$，  ∴$$a+b=49$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第6题3分
Problem: 对有理数$$a$$，$$b$$，有以下四个判断：  ①若$$\left\textbar{} a \right\textbar=b$$，则$$a=b$$；  ②若$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$$，则$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$；  ③若$$a=-b$$，则$${{\left( -a \right)}^{2}}={{b}^{2}}$$；  ④若$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则$$a\textless{}b$$．  其中正确的判断的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: ①令$$a=-2$$，$$b=2$$，则①错误；  ②令$$a=2$$，$$b=-3$$，则②错误；  ③若$$a=-b$$，则$${{\left( -a \right)}^{2}}={{\left[ -(-b) \right]}^{2}}={{b}^{2}}$$，则③正确；  ④令$$a=-1$$，$$b=-2$$，则④错误．  故正确的判断的个数是$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分
Problem: 设$$x=\frac{4}{\sqrt{5}+3}$$，$$y=\sqrt{5}-3$$，则$$x$$，$$y$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$x\geqslant y$$ 
aoVal: C
content: $$x\textless{}y$$ 
aoVal: D
content: $$x=y$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$x=\frac{4}{\sqrt{5}+3}=\frac{4(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)}=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}\textgreater0$$，  $$y=\sqrt{5}-3\textless{}0$$，  ∴$$x\textgreater y$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2020~2021学年四川成都金牛区成都外国语学校初二上学期期中模拟第8题3分
2018~2019学年广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一下学期期中（竞赛班）第5题2分
Problem: 口袋中有$$20$$个球，其中白球$$9$$个，红球$$5$$个，黑球$$6$$个，现从中任取$$10$$个球，使得白球不少于$$2$$个但不多于$$8$$个，红球不少于$$2$$个，黑球不多于$$3$$个，那么上述取法的种数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 用枚举法：  红球个数   白球个数     黑球个数    种数    $$5$$   $$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$  $$3$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$    $$4$$    $$4$$   $$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$  $$3$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$    $$4$$    $$3$$   $$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$  $$3$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$    $$4$$    $$2$$   $$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$  $$3$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$    $$4$$  所以共$$16$$种．故选$$B$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法
Source: 2007年竞赛第2题6分
Problem: 有理数$$-\frac{95}{a-19}$$的值一定不是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$-19$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$a=14$$时，$$-\frac{95}{a-19}=19$$，排除$$\text{A}$$；  当$$a=24$$时，$$-\frac{95}{a-19}=-19$$，排除$$\text{B}$$；  当$$a=-76$$时，$$-\frac{95}{a-19}=1$$，排除$$\text{D}$$；  因此，选$$\text{C}$$．事实上，对任意$$a\ne 19$$，$$-\frac{95}{a-19}$$一定不是$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->代数式的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第1题
Problem: 若方程$$9{{x}^{2}}-6(a+1)x+{{a}^{2}}-3=0$$的两根之积等于$$1$$，则$$a$$的值是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\pm 2\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 2\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$\Delta \geqslant 0$$，所以$$36{{(a+1)}^{2}}-36({{a}^{2}}-3)\geqslant 0$$，所以$$a\geqslant -2$$，又$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=1$$，所以$$\frac{{{a}^{2}}-3}{9}=1$$，解得$$a=\pm 2\sqrt{3}$$．又由$$a\geqslant -2$$，所以$$a=2\sqrt{3}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第14题
Problem: $$a$$、$$b$$、$$c$$、为有理数，且等式$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$成立，则$$2a+999b+1001c$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1999$$ 
aoVal: B
content: $$2000$$ 
aoVal: C
content: $$2001$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分
2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分
2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分
2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 若$${{x}^{2}}-13x+1=0$$，则$${{x}^{4}}-{{x}^{-4}}$$的个位数字是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{x}^{2}}-13x+1$$可得到$$x+\dfrac{1}{x}=13$$，所以$${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{(x+\dfrac{1}{x})}^{2}}-2={{13}^{2}}-2=167$$．  同样的$${{x}^{4}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}={{({{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}})}^{2}}-2$$，可以根据个位数字可以直接判断结果的个位数字为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题
初一上学期其它
Problem: 一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的$$3$$倍减去$$-2$$，仍得原数，这个两位数是．
Options:
aoVal: A
content: $$26$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$38$$ 
Answer: A
Analysis: 设这个两位数为$$\overline{ab}$$，则$$3(a+b)+2=10a+b$$，  即$$7a=2b+2$$，  可见$$a$$只能为偶数，$$b+1$$是$$7$$的倍数．  ∴这个两位数是$$28$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 设$$p=\sqrt[3]{7a+1}+\sqrt[3]{7b+1}+\sqrt[3]{7c+1}+\sqrt[3]{7d+1}$$，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是正实数，且$$a+b+c+d=1$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$p\textgreater5$$ 
aoVal: B
content: $$p\textless{}5$$ 
aoVal: C
content: $$p\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$p=5$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是正实数，且$$a+b+c+d=1$$，  ∴$$0\textless{}a\textless{}1$$，  ∴$$a\textgreater{{a}^{2}}\textgreater{{a}^{3}}$$，  ∴$$7a+1=a+3a+3a+1\textgreater{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+3a+1={{(a+1)}^{3}}$$，  ∴$$\sqrt[3]{7a+1}\textgreater\sqrt[3]{{{(a+1)}^{3}}}=a+1$$，  同理$$\sqrt[3]{7b+1}\textgreater b+1\sqrt[3]{7c+1}\textgreater c+1\sqrt[3]{7d+1}\textgreater d+1$$，  ∴$$p=\sqrt[3]{7a+1}+\sqrt[3]{7b+1}+\sqrt[3]{7c+1}+\sqrt[3]{7d+1}$$，  $$\textgreater a+1+b+1+c+1+d+1$$，  $$=a+b+c+d+4=5$$，  ∴$$p\textgreater5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第6题
北京初二上学期单元测试《二次根式的运算》第22题
Problem: \textbf{2021-2022年南昌二中期末考试第$$2$$题}  当$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$时，多项式$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2001}}$$ 
aoVal: D
content: $$-{{2}^{2001}}$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$，  ∴$${{(2x-1)}^{2}}=1994$$，  即$$4{{x}^{2}}-4x-1993=0$$，  ∴$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$  $$={{[(4{{x}^{2}}-4x-1993)x+(4{{x}^{2}}-4x-1993)-1]}^{2001}}$$  $$={{(-1)}^{2001}}$$  $$=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分
初一下学期其它
Problem: 凸$$n$$边形（$$n\geqslant 4$$）中，不算两个最大的内角，其余内角的和为$$1100{}^{}\circ $$，则$$n$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$10$$或$$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: D
Analysis: 因为，在四边形中，两个最大的内角的和大于等于$$180{}^{}\circ $$，  所以，凸$$n$$边形（$$n\geqslant 4$$）中，两个最大的内角和也大于等于$$180{}^{}\circ $$，同时小于$$360{}^{}\circ $$，  设两个最大的内角的和为$$k{}^{}\circ $$，则$$1100+180\leqslant 1100+k=(n-2)\times 180 ~\textless{} ~1100+360$$，  所以$$7\frac{1}{9}\leqslant n-2 ~\textless{} ~8\frac{1}{9}$$，$$9\frac{1}{9}\leqslant n ~\textless{} ~10\frac{1}{9}$$，$$n=10$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 若$$m={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}\times {{2007}^{2}}+{{2007}^{2}}$$，则$$m$$（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 是完全平方数，还是奇数 
aoVal: B
content: 是完全平方数，还是偶数 
aoVal: C
content: 不是完全平方数，但是奇数 
aoVal: D
content: 不是完全平方数，但是偶数 
Answer: A
Analysis: $$m={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}\times {{2007}^{2}}+{{2007}^{2}}$$  $$={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}{{\left( 2006+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2006+1 \right)}^{2}}$$  $$={{2006}^{4}}+2\times {{2006}^{3}}+3\times {{2006}^{2}}+2\times 2006+1$$  $$={{\left( {{2006}^{2}}+2006+1 \right)}^{2}}$$  ∴$$m$$是奇数．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第5题
初二其它
Problem: 把二次根式$$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$$化为最简二次根式，结果是．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{-a}$$ 
aoVal: B
content: $$-\sqrt{a}$$ 
aoVal: C
content: $$-\sqrt{-a}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{a}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，所以$$a\sqrt{-\frac{1}{a}}=-\sqrt{{{(-a)}^{2}}\frac{1}{-a}}=-\sqrt{-a}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->最简二次根式
Source: 1990年第1届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 在一家水果店，小明买了$$1$$斤苹果，$$4$$斤西瓜，$$2$$斤橙子，$$1$$斤葡萄，共付$$27.6$$元；小惠买了$$2$$斤苹果，$$6$$斤西瓜，$$2$$斤橙子，$$2$$斤葡萄，共付$$32.2$$元，则买$$1$$斤西瓜和$$1$$斤橙子需付（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$元 
aoVal: B
content: $$14.8$$元 
aoVal: C
content: $$11.5$$元 
aoVal: D
content: $$10.7$$元 
Answer: C
Analysis: 设$$1$$斤苹果$$x$$元，$$1$$斤西瓜$$y$$元，$$1$$斤橙子$$z$$元，$$1$$斤葡萄$$w$$元．  由题意，得$$\left { \begin{matrix}x+4y+2z+w=27.6\&①    2x+6y+2z+2w=32.2 \&②  \end{matrix} \right.\begin{matrix}     \end{matrix}$$，  $$2\times $$①$$-$$②，得$$2y+2z=23$$，  ∴$$y+z=11.5$$．  答：买$$1$$斤西瓜和$$1$$斤橙子需付$$11.5$$元． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的经济问题
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第3题4分
Problem: 已知四个命题：①$$-1$$是$$1$$的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④$$\sqrt{3a}$$一定没有意义．其中正确的命题的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 命题①，③是正确的，②，④不正确．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义
课内体系->知识点->数->实数->立方根->平方根和立方根综合
课内体系->知识点->数->实数->平方根
课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 如果$$a$$，$$b$$是质数，且$${{a}^{2}}-13a+m=0$$，$${{b}^{2}}-13b+m=0$$那么$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$的值为（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{123}{22}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{125}{22}$$或$$2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{125}{22}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{123}{22}$$或$$2$$ 
Answer: B
Analysis: 有两种情况：  ①若$$a=b$$，则$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2$$；  ②若$$a\ne b$$，根据题意，$$a$$、$$b$$是方程$${{x}^{2}}-13x+m=0$$的根，  则$$a+b=13$$，因为$$a$$，$$b$$是质数且和为奇数，所以两数分别为$$2$$和$$11$$．此时$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{2}{11}+\frac{11}{2}=\frac{125}{22}$$．  方法二：两式相减，消$$m$$，$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-13a+13b=0$$，$$\left( a-b \right)\left( a+b-13 \right)=0$$，所以有$$a=b$$或$$a+b=13$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第3题5分
Problem: 已知：$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a ~\textless{} ~0$$，那么$$a+b$$，$$a-b$$，$$a+1$$，$$a-1$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b ~\textless{} ~a-b ~\textless{} ~a-1 ~\textless{} ~a+1$$ 
aoVal: B
content: $$a+1\textgreater a+b\textgreater a-b\textgreater a-1$$ 
aoVal: C
content: $$a-1 ~\textless{} ~a+b ~\textless{} ~a-b ~\textless{} ~a+1$$ 
aoVal: D
content: $$a+b\textgreater a-b\textgreater a+1\textgreater a-1$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a ~\textless{} ~0$$，所以$$a+b ~\textless{} ~a-b$$．  因为$$b\textgreater-1$$，所以$$a-1 ~\textless{} ~a+b$$．  又因为$$-b ~\textless{} ~1$$，所以$$a-b ~\textless{} ~a+1$$．  综上得$$a-1 ~\textless{} ~a+b ~\textless{} ~a-b ~\textless{} ~a+1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2020~2021学年10月湖南长沙天心区长郡外国语实验中学初一上学期周测A卷
1996年第7届希望杯初二竞赛第2题4分
Problem: 如果$$x:y=3:2$$并且$$x+3y=27$$，则$$x$$，$$y$$中较小的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$x:y=3:2$$得$$x=1.5y$$，  代入$$x+3y=27$$得$$4.5y=27$$，  于是$$y=6$$，$$x=9$$，  所以$$x$$，$$y$$中较小的那个数是$$6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的定义
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的解
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 已知$$a$$是整数，则以下四个代数式中，不可能得整数值的是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3a+2}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2-a}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3a+1}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5a-2}{7}$$ 
Answer: C
Analysis: 取$$a=1$$，$$\frac{3a+2}{5}$$，否定$$\text{A}$$．  取$$a=5$$，$$\frac{2-a}{3}=-1$$，否定$$\text{B}$$．  取$$a=-1$$，$$\frac{5a-2}{7}=-1$$，否定$$\text{D}$$．  又当$$a$$是整数时，$$3a+1$$表示被$$3$$除余$$1$$的整数，故不可能是$$6$$的倍数．  所以$$\frac{3a+1}{6}$$不可能得整数值．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第6题
Problem: 二次函数$y=x^{2}+2x+c$的图象与\emph{x}轴的两个交点为$A\left(x_{1},0\right)$，$B\left(x_{2},0\right)$，且$x_{1}\textless{} x_{2}$，点$P\left(m,n\right)$是图象上一点，那么下列判断正确的是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 当$n\textgreater{} 0$时，$m\textless{} x_{1}$ 
aoVal: B
content: 当$n\textgreater{} 0$时，$m\textgreater{} x_{2}$ 
aoVal: C
content: 当$n\textless{} 0$时，$m\textless{} 0$ 
aoVal: D
content: 当$n\textless{} 0$时，$x_{1}\textless{} m\textless{} x_{2}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据二次函数的图象与性质可进行排除选项．\\ 【详解】\\ 解：由二次函数$y=x^{2}+2x+c$可知开口向上，对称轴为直线$x=-1$，\\ 当$x\textless{} -1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x\textgreater{} -1$时，\emph{y}随\emph{x}的增大而增大；\\ ∵$A\left(x_{1},0\right)$，$B\left(x_{2},0\right)$是二次函数与\emph{x}轴的交点，点$P\left(m,n\right)$是图象上的一点，\\ ∴当$n\textgreater{} 0$时，则$m\textless{} x_{1}$或$m\textgreater{} x_{2}$；故$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$选项错误；\\ 当$n\textless{} 0$时，则$x_{1}\textless{} m\textless{} x_{2}$，故$\mathrm{D}$正确；当$x_{2}\textgreater{} 0$且$n\textless{} 0$时，此时有可能$m\textgreater{} 0$，故$\mathrm{C}$错误；\\ 故选$\mathrm{D}$．\\ 【点睛】\\ 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数
Source: 2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第6题
Problem: 数字$$N$$是个两位数．  $$N$$除以$$9$$，余数为$$1$$．  $$N$$除以$$10$$，余数为$$3$$．  则$$N$$除以$$11$$时，余数为几？
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: E
Analysis: 数字$$N$$是个两位数．  $$N$$除以$$9$$，余数为$$1$$．  $$N$$除以$$10$$，余数为$$3$$．  则$$N$$除以$$11$$时，余数为几？  从第二个子弹开始，我们知道第二个数字必须是$$3$$，因为除以$$9$$还有一个余数$$1$$，$$9$$的倍数必须以$$2$$结束，我们找到：  $$9\left( 1 \right)=9$$  $$9\left( 2 \right)=18$$  $$9\left( 3 \right)=27$$  $$9\left( 4 \right)=36$$  $$9\left( 5 \right)=45$$  $$9\left( 6 \right)=54$$  $$9\left( 7 \right)=63$$  $$9\left( 8 \right)=72$$  这个上数字$$71+1=73$$都满足条件，我们减去$$11$$的小于$$73$$的最大倍数得到剩余的，也就是$$73-11\left( 6 \right)=73-66=7$$．  故选$$\text{E}$$．  From the second bullet point, we know that the second digit must be $$3$$. Because there is a remainder of $$1$$ when it is divided by $$9$$ the multiple of $$9$$ must end in a $$2$$. We now look for this one:  $$9(1) = 9$$  $$9(2) =18$$  $$9(3) = 27$$  $$9(4) = 36$$  $$9(5) = 45$$  $$9(6) =54$$  $$9(8) = 72$$  The number $$72 +1= 73$$ satisfies both conditions. We subtract the biggest multiple of $$11$$ less than $$73$$ to get the remainder. Thus, $$73- 11(6) = 73 - 66 =\boxed{(\rm E) 7 }$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘
美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Remainder Problems->Remainder Characteristics
Source: 2016年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 从$$2a+5b$$减去$$4a-4b$$的一半，应当得到（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$4a-b$$ 
aoVal: B
content: $$b-a$$ 
aoVal: C
content: $$a-9b$$ 
aoVal: D
content: $$7b$$ 
Answer: D
Analysis: $$(2a+5b)-\frac{1}{2}(4a-4b)=2a+5b-2a+2b=7b$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
2019~2020学年辽宁沈阳皇姑区沈阳市33中学初一上学期期中第5题2分