math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: (★)设实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足：$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，  ∴$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}$$  $$=\frac{4-{{c}^{2}}}{2-c}+\frac{4-{{a}^{2}}}{2-a}+\frac{4-{{b}^{2}}}{2-b}$$  $$=2+c+2+a+2+b$$  $$=a+b+c+6$$  $$=3+6$$  $$=9$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算
知识标签->题型->式->分式->分式的运算->题型：分式加减、乘除混合运算
知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分
Problem: $$2001$$年$$7$$月$$13$$日，北京市获得了第$$29$$届奥运会的主办权，这一天是星期五，那么第$$29$$届奥运会在北京市举办的那一年的$$7$$月$$13$$日是．
Options:
aoVal: A
content: 星期四 
aoVal: B
content: 星期五 
aoVal: C
content: 星期六 
aoVal: D
content: 星期日 
Answer: D
Analysis: 因为$$2001$$年$$7$$月$$13$$日是星期五．又$$365\div 7=52\cdots 1$$，  $$2004$$年和$$2008$$年均为闰年，比其他几年的$$2$$月份多$$1$$天．  又$$2008$$年距$$2001$$年共$$7$$年时间．  所以，$$2008$$年的$$7$$月$$13$$日应是$$(5+7+2)\div 7=2\cdots 0=1\cdots 7$$，  即$$2008$$年的$$7$$月$$13$$日是星期日．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->综合除法和余数定理 
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 设关于$$x$$的方程$$a\left( x-a \right)+b\left( x+b \right)=0$$有无穷多个解，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b=0$$ 
aoVal: B
content: $$a-b=0$$ 
aoVal: C
content: $$ab=0$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{a}{b}=0$$ 
Answer: A
Analysis: 整理原方程得$$\left( a+b \right)x={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$$．  要使该方程有无穷多解，只当$$a+b=0$$且$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$$，  当$$a+b=0$$时$$a=-b$$，$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$$．  所以当$$a+b=0$$时，原方程有无穷多个解，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第6题
Problem: 若式子$$\frac{\sqrt{m+1}}{\textbar m-3\textbar}$$有意义，则实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$m\geqslant -1$$ 
aoVal: B
content: $$m\textgreater-1$$ 
aoVal: C
content: $$m\textgreater-1$$且$$m\ne 3$$ 
aoVal: D
content: $$m\geqslant -1$$且$$m\ne 3$$ 
Answer: D
Analysis: 要使式子$$\frac{\sqrt{m+1}}{\textbar m-3\textbar}$$有意义，  ∴$$m+1\geqslant 0$$且$$m-3\ne 0$$，  ∴$$m\geqslant -1$$且$$m\ne 3$$．  选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第1题3分
2018~2019学年山东日照莒县初二上学期期末第6题3分
Problem: 在一列数$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$$\cdots $$中，已知$${{x}_{1}}=1$$，且当$$k\geqslant 2$$时，  $${{x}_{k}}={{x}_{k-1}}+1-4\left( \left[ \frac{k-1}{4} \right]-\left[ \frac{k-2}{4} \right] \right)$$  （$$[a]$$表示不超过实数$$a$$的最大整数，例如$$[2.6]=2$$，$$[0.2]=0$$），则$${{x}_{2010}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由$${{x}_{1}}=1$$和$${{x}_{k}}={{x}_{k-1}}+1-4\left( \left[ \frac{k-1}{4} \right]-\left[ \frac{k-2}{4} \right] \right)$$可得  $${{x}_{1}}=1$$，$${{x}_{2}}=2$$，$${{x}_{3}}=3$$，$${{x}_{4}}=4$$，  $${{x}_{5}}=1$$，$${{x}_{6}}=2$$，$${{x}_{7}}=3$$，$${{x}_{8}}=4$$，  $$\cdots $$  因为$$2010=4\times 502+2$$，所以$${{x}_{2010}}=2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->含参方程
Source: 2010年竞赛第4题7分
Problem: 马小虎计算一个数乘$$8$$，再减$$63$$，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成了加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$63$$ 
aoVal: D
content: $$65$$ 
Answer: D
Analysis: 设这个数为$$x$$，  由题意，得$$8x-63=\frac{x}{8}+63$$，  解得$$x=16$$，  ∴这道题的正确得数是$$8\times 16-63=65$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的数字问题
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分
Problem: 不等式$$0\leqslant ax+5\leqslant 4$$的整数解是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，则$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\leqslant -\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}-1$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{5}{4}\leqslant a ~\textless{} ~-1$$ 
aoVal: D
content: $$a\geqslant -\frac{5}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$0\leqslant ax+5\leqslant 4$$得$$-5\leqslant ax\leqslant -1$$．  若$$a\textgreater0$$，则$$-\frac{5}{a}\leqslant x\leqslant -\frac{1}{a}$$，$$x$$不可能取到正整数解；  若$$a=0$$，不等式无解．  所以必有$$a\textless{}0$$，此时$$-\frac{1}{a}\leqslant x\leqslant -\frac{5}{a}$$．  又因原不等式的整数解是$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$，  所以$$0\textless{}-\frac{1}{a}\leqslant 1$$，且$$4\leqslant -\frac{5}{a}\textless{}5$$，解得$$-\frac{5}{4}\leqslant a\textless{}-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 下列命题中，正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 若$$a\textgreater0$$，则$$a\textgreater\frac{1}{a}$$ 
aoVal: B
content: 若$$a\textgreater{{a}^{2}}$$，则$$a\textgreater1$$． 
aoVal: C
content: 若$$0\textless{}a\textless{}1$$，则$$a\textgreater{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: 若$$\left\textbar{} a \right\textbar=a$$，则$$a\textgreater0$$ 
Answer: C
Analysis: 取特殊值．  当$$a=\frac{1}{2}$$时，$$a\textless{}\frac{1}{a}$$，可知$$\text{A}$$错误；  当$$a=\frac{1}{2}\textless{}1$$时，$$\frac{1}{2}\textgreater{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$$，可知$$\text{B}$$错误；  当$$a=0$$时，$$\left\textbar{} 0 \right\textbar=0$$，可知$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分
Problem: 设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: 方法一：$$M=xy+(2y+3x)z$$  $$=xy+(2y+3x)(1-x-y)$$  $$=-3{{x}^{2}}-4xy-2{{y}^{2}}+3x+2y$$  $$=-2\left[ {{y}^{2}}+2\left( x-\frac{1}{2} \right)y+{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]-3{{x}^{2}}+3x+2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+x+\frac{1}{2}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$  $$\leqslant \frac{3}{4}$$．  当且仅当$$x=\frac{1}{2}$$，$$y=0$$时，不等式取等号，  所以$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．  方法二：令$$y=1-x-z$$，代入$$M$$，则：  $$M=x\left( 1-x-z \right)+2\left( 1-x-z \right)z+3xz=x-{{x}^{2}}-xz+2z-2xz-2{{z}^{2}}+3xz$$  $$=-{{x}^{2}}+x-2{{z}^{2}}+2z=-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$，$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．  所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->配方法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 若$$3m+5$$与$$m-1$$互为相反数，则$$\frac{\left\textbar{} m \right\textbar}{2016}$$的倒数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2016}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{2016}$$ 
aoVal: C
content: $$2016$$ 
aoVal: D
content: $$-2016$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$3m+5$$与$$m-1$$互为相反数，  ∴$$3m+5+m-1=0$$，  解得$$m=-1$$，  ∴$$\frac{\left\textbar{} m \right\textbar}{2016}=\frac{1}{2016}$$，  ∴$$\frac{\left\textbar{} m \right\textbar}{2016}$$的倒数是$$2016$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: 有理数$$-\frac{1}{a}$$一定不是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 正整数 
aoVal: B
content: 负整数 
aoVal: C
content: 负分数 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: D
Analysis: 因$$-\frac{1}{a}$$为有理数，所以$$a\ne 0$$．  若$$a=-1$$，$$-\frac{1}{a}=1$$，排除$$\text{A}$$；  若$$a=1$$，$$-\frac{1}{a}=-1$$，排除$$\text{B}$$；  若$$a=2$$，$$-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$$，排除$$\text{C}$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第1题
Problem: 在自然数：$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$\cdots $$中，前$$15$$个质数之和的负倒数等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1}{328}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{329}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1}{337}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{1}{340}$$ 
Answer: A
Analysis: 前$$15$$个质数为$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$19$$，$$23$$，$$29$$，$$31$$，$$37$$，$$41$$，$$43$$，$$47$$．  它们的和为$$328$$，$$328$$的负倒数为$$-\frac{1}{328}$$，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第15题
Problem: 将$$x$$的整数部分记为$$\left[ x \right]$$,$$x$$的小数部分记为$$\left { x \right }$$，易知$$x=\left[ x \right]+\left { x \right }\left( 0 ~\textless{} ~\left { x \right } ~\textless{} ~1 \right)$$.若$$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$$，那么$$\left[ x \right]$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: \textbf{（知识点：多重二次根式）}  因为$$\sqrt{3\pm \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\pm 1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{\sqrt{2}}$$，  所以$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\approx -1.41$$，  所以$$\left[ x \right]=-2$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->代入法
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->思想->整体思想
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 当$$-1\textless{}a\textless{}0$$时，则有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{a}\textgreater a$$ 
aoVal: B
content: $$\left\textbar{} {{a}^{3}} \right\textbar\textgreater{{a}^{3}}$$ 
aoVal: C
content: $$-a\textgreater{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{3}}\textless{}-{{a}^{2}}$$ 
Answer: C
Analysis: 采用特殊值法：  取$$a=-\frac{1}{2}$$，则$$\frac{1}{a}=-2$$，$${{a}^{2}}={(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{4}$$，$${{a}^{3}}={(-\frac{1}{2})^{3}}=-\frac{1}{8}$$．  由$$-2\textless{}-\frac{1}{2}$$，排除$$\text{A}$$；  由$$\left\textbar{} -\frac{1}{8} \right\textbar=-(-\frac{1}{8})$$，排除$$\text{B}$$；  由$$-\frac{1}{8}\textgreater-\frac{1}{4}$$，排除$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第10题
Problem: 张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为$$15$$，后两个有理数的平均值是$$10$$，那么张梅写出的五个有理数的平均值是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$8\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$12\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: D
Analysis: 前三个数之和$$=15\times 3$$，后两个数之和$$=10\times 2$$．  所以五个有理数的平均数为$$\frac{15\times 3+10\times 2}{5}=13$$．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第10题
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 若数$$a$$使关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$有且只有四个整数解，且使关于$$y$$的方程$$\frac{y+a}{4}+\frac{2a}{3}=2$$的解为非负数，则符合条件的所有整数$$a$$的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: $$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$，  不等式组整理得：$$\begin{cases}x\textless{}5    x\geqslant \dfrac{a+2}{4} \end{cases}$$，  由不等式组有且只有四个整数解，得到$$0\textless{}\frac{a+2}{4}\leqslant 1$$，  解得：$$-2\textless{}a\leqslant 2$$，即整数$$a=-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，  $$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$，  分式方程去分母得：$$y+a-2a=2(y-1)$$，  解得：$$y=2-a$$，  由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到$$a$$为$$-1$$，$$0$$，$$2$$，之和为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数
Source: 2019~2020学年重庆合川区西南大学银翔实验中学初一下学期期末模拟（一）第12题4分
2018~2019学年广东深圳南山区桃苑学校初二下学期期末第11题3分
2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第7题3分
2018年重庆中考真题A卷第12题4分
2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三下学期单元测试《方程与不等式》第10题3分
2018年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校初三自主招生第3题4分
Problem: 有男女两个运动队，男队有队员$$m$$人，女队有队员$$n$$人（$$m\textgreater10$$，$$n\textgreater10$$），先从男队中调$$10$$人到女队帮助训练，训练后又从女队中调$$10$$人（这$$10$$人中可以有原来男队中的队员）去男队参加总结．这时，男队中有$$a$$个女队员，女队中有$$b$$个男队员，那么$$a$$，$$b$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}b$$ 
aoVal: C
content: $$a=b$$ 
aoVal: D
content: 当$$m\geqslant n$$时，$$a\geqslant b$$，当$$m\textless{}n$$时，$$a\textless{}b$$ 
Answer: C
Analysis: 设训练后回男队的$$10$$人中有$$c$$个女队员，则男队中女队员的人数$$a=c$$．此时，女队中应有男队员的人数为$$b=10-(10-c)=c$$（人）．  所以$$a=b$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->操作与游戏
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 计算$${{(2a-3b)}^{2}}-(2a+3b)(2a-3b)$$的结果是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18{{b}^{2}}-12ab$$ 
aoVal: B
content: $$18{{b}^{2}}+12ab$$ 
aoVal: C
content: $$9{{b}^{2}}-6ab$$ 
aoVal: D
content: $$9{{b}^{2}}+6ab$$ 
Answer: A
Analysis: $$18{{b}^{2}}-12ab$$．  $${{(2a-3b)}^{2}}-(2a+3b)(2a-3b)$$，  $$=4{{a}^{2}}-12ab+9{{b}^{2}}-(4{{a}^{2}}-9{{b}^{2}})$$，  $$=4{{a}^{2}}-12ab+9{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}+9{{b}^{2}}$$，  $$=18{{b}^{2}}-12ab$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017~2018学年北京朝阳区朝阳外国语学校初二上学期单元测试《数学基础知识竞赛》第17题3分
Problem: 小王沿街匀速行走，发现每隔$$6$$分钟从背后驶过一辆$$18$$路公交车，每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车．假设每辆$$18$$路公交车行驶速度相同，而且$$18$$路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$18$$路公交车的速度是$$x$$米/分，小王行走的速度是$$y$$米/分，同向行驶的相邻两车的间距为$$s$$米．  每隔$$6$$分钟从背后开过一辆$$18$$路公交车，则  $$6x-6y=s$$．①  每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车，则  $$3x+3y=s$$．②  由①②得，$$s=4x$$，所以$$\frac{s}{x}=4$$.  即$$18$$路公交车总站发车间隔的时间是$$4$$分钟． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的行程问题
Source: 2016~2017学年10月河南郑州二七区郑州实验外国语中学初一上学期月考第11题3分
2008年竞赛第7题6分
2016~2017学年福建泉州南安市南安市实验中学初一下学期期中第16题4分
2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市之江实验中学初一下学期期末第18题4分
Problem: 如果关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}m-5x\geqslant 2    x-\dfrac{11}{2} ~\textless{} ~3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)   \end{cases}$$有且仅有四个整数解，且关于$$y$$的分式方程$$\frac{2-my}{2-y}-\frac{8}{y-2}=1$$有非负数解，则符合条件的所有整数$$m$$的和是．
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
Answer: B
Analysis: 解不等式组$$\begin{cases}m-5x\geqslant 2①    x-\dfrac{11}{2} ~\textless{} ~3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)②   \end{cases}$$，  解不等式①得：$$-5x\geqslant 2-m$$  $$                                                     x\leqslant \frac{m-2}{5}$$，  解不等式②得：$$2x-11 ~\textless{} ~6x+3$$  $$                                               2x-6x ~\textless{} ~14$$  $$                                               -4x ~\textless{} ~14$$  $$                                               x\textgreater-\frac{7}{2}$$，  ∴原不等式组的解集为$$-\frac{7}{2} ~\textless{} ~x\leqslant \frac{m-2}{5}$$，  ∵原不等式组有且仅有四个整数解，它们分别为$$-3$$、$$-2$$、$$-1$$，$$0$$，  ∴$$0\leqslant \frac{m-2}{5} ~\textless{} ~1$$，  ∴$$0\leqslant m-2 ~\textless{} ~5$$，  ∴$$2\leqslant m ~\textless{} ~7$$，  解分式方程$$\frac{2-my}{2-y}-\frac{8}{y-2}=1$$，  去分母得$$my-2-8=y-2$$，  $$\left( m-1 \right)y=8$$  $$y=\frac{8}{m-1}$$，  ∵分式方程有非负数解，  ∴$$\frac{8}{m-1}\geqslant 0$$且$$\frac{8}{m-1}\ne 2$$，  ∴$$m\textgreater1$$且$$m\ne 5$$，  ∵$$m$$为整数，  ∴$$m$$可以取$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$6$$，  它们的和为$$2+3+4+6=15$$，  ∴符合条件的所有整数$$m$$的和为$$15$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的特殊解问题
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程与不等式综合
Source: 2019~2020学年重庆九龙坡区重庆市育才中学初三上学期期中第11题4分
2020~2021学年广东深圳福田区深圳市实验学校初二下学期期中第10题3分
2019~2020学年5月河南郑州中牟县郑州枫杨外国语学校(东校区)初二下学期月考第7题3分
2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第6题4分
Problem: 已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\textless{} z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$14$$ 
aoVal: D
content: $$14$$或$$17$$ 
Answer: A
Analysis: 由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$  $$z=x+1$$将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
课内体系->能力->运算能力
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分
初一下学期其它第17题
Problem: 已知$$x$$、$$y$$是正整数，并且$$xy+x+y=23$$，$${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=120$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$43$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$34$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 由于$$xy+\left( x+y \right)=23$$，$$xy\cdot \left( x+y \right)=120$$，  则$$x$$，$$y$$与$$\left( x+y \right)$$为方程$${{t}^{2}}-23t+120=0$$的两个根，得到$${{t}_{1}}=8$$，$${{t}_{2}}=15$$，  即$$xy=8$$，$$x+y=15$$ ①，或者$$xy=15$$，$$x+y=8$$ ②，  ①的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-15u+8=0$$的根，$${{\Delta }_{1}}={{15}^{2}}-32=193$$，不是完全平方数，$$xy$$不可能为题目中要求的正整数，舍，  ②的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-8u+15=0$$的根，$${{u}_{1}}=3$$，$${{u}_{2}}=5$$，  故$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=34$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
Source: 2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第9题
Problem: 下列各式中，计算结果是$${{x}^{2}}+7x-18$$的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(x-2)(x+9)$$ 
aoVal: B
content: $$(x+2)(x+9)$$ 
aoVal: C
content: $$(x-3)(x+6)$$ 
aoVal: D
content: $$(x-1)(x+18)$$ 
Answer: A
Analysis: $$\text{B}$$、$$(x+2)(x+9)={{x}^{2}}+11x+18$$，  $$\text{C}$$、$$(x-3)(x+6)={{x}^{2}}+3x-18$$，  $$\text{D}$$、$$(x-1)(x+18)={{x}^{2}}+17x-18$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017~2018学年广东汕头金平区初二上学期期末第7题3分
2014~2015学年重庆开县初二上学期期末第7题3分
2017~2018学年北京朝阳区朝阳外国语学校初二上学期单元测试《数学基础知识竞赛》第18题3分
Problem: 满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 分三种情况进行讨论：  ①若$$2-m=1$$，即$$m=1$$时，满足已知等式；  ②若$$2-m=-1$$，即$$m=3$$时，  $${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}={{(-1)}^{4}}=1$$满足已知等式；  ③若$$2-m\ne \pm 1$$，即$$m\ne 1$$且$$m\ne 3$$时，  由已知，得$$\begin{cases}2-m\ne 0    {{m}^{2}}-m-2=0 \end{cases}$$，解得$$m=-1$$，  所以满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和$$1+3+(-1)=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->零指数幂
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
Source: 2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 两个正整数的和是$$60$$，它们的最小公倍数是$$273$$，则它们的乘积是．
Options:
aoVal: A
content: $$273$$ 
aoVal: B
content: $$819$$ 
aoVal: C
content: $$1911$$ 
aoVal: D
content: $$3549$$ 
Answer: B
Analysis: 两个正整数为$$a$$与$$b$$，  则$$a+b=60={{2}^{2}}\times 3\times 5$$，  $$[a,b]=273=3\times 7\times 13$$，  显然$$a$$，$$b$$的最大公约数是$$1$$或$$3$$，  如果$$(a,b)=1$$，则$$[a,b]=a\times b$$，  $$a$$，$$b$$只能取$$(21,13)$$，$$(7,39)$$，$$(1,273)$$，$$(3,91)$$，其和均不为$$60$$，  因此$$(a,b)=3$$，  于是$$a=3\times 7$$，$$b=3\times 13$$，  所以$$a\times b=\left( 3\times 7 \right)\times \left( 3\times 13 \right)=819$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第5题
Problem: 无论$$x$$为何有理数，$${{x}^{2}}+2$$的值总是．
Options:
aoVal: A
content: 不大于$$2$$ 
aoVal: B
content: 小于$$2$$ 
aoVal: C
content: 不小于$$2$$ 
aoVal: D
content: 大于$$2$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$${{x}^{2}}\geqslant 0$$，  ∴$${{x}^{2}}+2\geqslant 2$$，  即$${{x}^{2}}+2$$的值总是不小于$$2$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第3题3分
2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第3题3分
Problem: 一三角形的三边长分别是$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数）且$$a+b+c=16$$，则此三角形是．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形 
aoVal: B
content: 等腰三角形 
aoVal: C
content: 等边三角形 
aoVal: D
content: 直角三角形或等腰三角形 
Answer: B
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$c$$均为质数且$$a+b+c=16$$，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有一数为$$2$$，设$$a=2$$，则$$b+c=14$$，  所以$$\textbar b-c\textbar\textless{}2$$．从而有$$\textbar b-c\textbar=0$$或$$\textbar b-c\textbar=1$$．当$$\textbar b-c\textbar=1$$时，$$b$$，$$c$$均不是整数，不合题意．因  此，只有$$\textbar b-c\textbar=0$$，即$$a=2$$，$$b=c=7$$，所以三角形是等腰三角形． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明
Source: 2000年希望杯初二竞赛二试
Problem: 数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是$$1$$厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为$$1995$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点有个．
Options:
aoVal: A
content: $$1994$$或$$1995$$ 
aoVal: B
content: $$1994$$或$$1996$$ 
aoVal: C
content: $$1995$$或$$1996$$ 
aoVal: D
content: $$1995$$或$$1997$$ 
Answer: C
Analysis: 若所画的长为$$1995$$厘米的线段的两个端点$$A$$与$$B$$均为整点时，  此时线段$$AB$$盖住的整点个数是$$1995+1=1996$$个．  若$$A$$点不是整点，则$$B$$点也不是整点，此时线段$$AB$$盖住的整点个数为$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$或$$1996$$个．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->空间想象能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上的规律探究
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
初一上学期单元测试《有理数》数轴的概念及应用第10题
Problem: 已知长方体的长、宽、高都是整数厘米，将长、宽、高都增加$$1$$厘米后，长方体的表面积可能增加（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$14$$平方厘米 
aoVal: B
content: $$103$$平方厘米 
aoVal: C
content: $$214$$平方厘米 
aoVal: D
content: $$400$$平方厘米 
Answer: C
Analysis: 设长方体的长、宽、高分别为$$a$$厘米，$$b$$厘米，$$c$$厘米，  则长方体的表面积为$$2(ab+bc+ac)$$平方厘米，  将长方体的长、宽、高都增加$$1$$厘米后，  长方体的表面积增加的值如下：  $$2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)]-2(ab+bc+ac)$$  $$=2(a+b+1+b+c+1+a+c+1)$$  $$=4(a+b+c)+6$$．  ∵$$a$$，$$b$$，$$c$$都是正整数，  ∴$$4(a+b+c)+6\geqslant 4(1+1+1)+6=18$$，且能写成$$4m+6$$的形式，其中$$m$$为正整数，  选项中所给数字，只有$$214$$可以表示为$$4\times 52+6$$的形式，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 设$$a$$，$$b$$是常数，不等式$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，则关于$$x$$的不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$x\textless{}-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$x\textless{}\frac{1}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 方法一：原不等式变形得：$$\frac{x}{a}\textgreater-\frac{1}{b}$$，  ∵$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，  ∴$$a\textless{}0$$．  解不等式得：$$x\textless{}-\frac{a}{b}$$，$$-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$$，即$$b=-5a$$．  ∴$$-5ax-a\textgreater0$$，  ∴$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  方法二：因为不等式等$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x ~\textless{} ~\frac{1}{5}$$，因此必有$$a ~\textless{} ~0$$，所以$$\frac{-a}{b}=\frac{1}{5}$$，并且$$b\textgreater0$$，所以由$$bx-a\textgreater0$$得到$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
Source: 2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分
初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题
2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$均不为$$0$$，若$$\frac{x-y}{a}=\frac{y-z}{b}=\frac{z-x}{c}=abc ~\textless{} ~0$$，则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: A
Analysis: ∵$$abc \textless{} 0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若``$$\frac{x-y}{a}=abc$$，则$$x-y=a^{2}bc\textgreater0$$，即$$x \textgreater y$$，同理可得：$$y \textgreater z$$，$$z \textgreater x$$这三个式子不能同时成立，即$$a$$，$$b$$，$$c$$不能同时是负数．则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在第一象限．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->整体思想
课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->整体法
Source: 2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第5题4分
2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第5题4分
Problem: $$\frac{1}{7}$$的小数展开后 ， 小数点右边第$$1985$$位是多少．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{1}{7}= 0.142857$$$$142857142857$$$$\cdots $$，所以有$$6$$位重复的小数 ，所以第$$1985$$位是$$5$$.  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的定义
美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Decimals->Recurring Decimal
Source: 1985年全美数学竞赛（AMC）竞赛第10题