math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如$$2^{n}-1$$($$n$$为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数，例如：$$2^{2}-1=3$$就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$127$$ 
aoVal: D
content: $$2047$$ 
Answer: D
Analysis: 选项$$\rm A$$：$$2^{n}-1=4$$，$$n$$无整数解；  选项$$\rm B$$：$$2^{n}-1=15$$，$$n$$为$$4$$，但$$n$$不是质数，故舍去；  选项$$\rm C$$：$$2^{n}-1=127$$，$$n$$为$$7$$，$$127$$不是合数，故舍去；  选项$$\rm D$$：$$2^{n}-1=2047$$，$$n$$为$$11$$，$$n$$为质数，且$$2047=23\times 89$$，是合数，满足条件． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第2题
Problem: 祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．  （2014年二年级竞赛初赛第$$8$$题） 
Options:
aoVal: A
content: 红珠 
aoVal: B
content: 黄珠 
aoVal: C
content: 绿珠 
aoVal: D
content: 白珠 
Answer: D
Analysis: $$2000\div (4+3+2+1)=200$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题
Problem: 从$$0$$至$$9$$中选择四个不同的数字分别填入下方的四个括号中，共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种填法使得下面这句话是正确的．  这个话里有个数大于$$1$$，有个数大于$$2$$，有个数大于$$3$$，有个数大于$$4$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 设四个空依次为$$a，b，c，d$$，即，``这句话里有$$a$$个数大于$$1$$，有$$b$$个数大于$$2$$，有$$c$$个数大于$$3$$，有$$d$$个数大于$$4$$．''根据包含关系，必有$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d\geqslant 0$$，所以$$a\textgreater b\geqslant 2$$，所以至少有$$5$$个数大于$$1$$($$a，b$$以及给出的$$2，3，4$$)，所以$$a\geqslant 5$$，说明至少有一个数大于$$4$$(这个数是$$a$$)，所以$$d\geqslant 1$$．从$$d$$开始考虑:  若$$d=1$$，说明只有$$1$$个数大于$$4$$(只能为$$a$$)，且$$a，b，c$$均大于$$1$$，于是有$$a\textgreater4\geqslant b\textgreater c\geqslant 2$$，则有$$6$$个数大于$$1$$($$a，b，c$$以及给出的$$2，3，4$$)，所以$$a=6$$．由$$a\textgreater4\geqslant b\textgreater c\geqslant 2$$可知$$b\geqslant 3$$说明至少有$$4$$个数大于$$2$$($$a，b$$以及给出的$$3，4$$)，所以$$b\geqslant 4$$，又因为$$b\geqslant 4$$，所以有$$b=4$$．此时有$$3$$个数大于$$3$$($$a，b$$以及给出的$$4$$），但此时发现$$8$$个数中有$$5$$个大于$$2$$，和$$b=4$$矛盾；  若$$d=2$$，说明有$$2$$个数大于$$4$$(只能为$$a，b$$)，且$$a，b，c$$均大于$$2$$，于是有$$a\textgreater b\textgreater4\geqslant c\geqslant 3$$，则有$$7$$个数大于$$1$$($$a，b，c$$以及给出的$$2，3，4$$)，$$5$$个数大于$$2$$($$a，b，c$$以及给出的$$3，4$$)，所以$$a=6$$，$$b=5$$．此时无论$$c=3$$或$$c=4$$均满足条件，这时的两组解为$$a=7$$，$$b=5$$，$$c=3$$，$$d=2$$和$$a=7$$，$$b=5$$，$$c=4$$，$$d=2$$．  若$$d=3$$，说明有$$3$$个数大于$$4$$(为$$a，b，c$$)，那么大于$$3$$的数有$$4$$个($$a，b，c$$以及给出的$$4$$)，所以$$c=4$$，但$$c\textgreater4$$，矛盾，所以$$d=3$$不存在．  若$$d=4$$，说明有$$4$$个数大于$$4$$(为$$a，b，c，d$$)，但$$d=4$$，与$$d\textgreater4$$矛盾．  显然$$d=5$$不存在，所以共有$$2$$组解． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年第22届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第6题10分
Problem: 把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，不能重复使用，那么和最小是．  $$\square \square +\square \square $$ 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$74$$ 
aoVal: C
content: $$92$$ 
aoVal: D
content: $$146$$ 
aoVal: E
content: $$188$$ 
Answer: B
Analysis: 要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题
Problem: 有一类两位数，只有$$4$$个因数，并且个位和十位上的数字是相邻的自然数，那么这样的两位数共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: A
Analysis: 解析分类讨论，有序列举．  有$$4$$个因数的整数只有两种情况：立方数和两个质因数的乘积．  不难验证，立方数中没有任何一个满足条件，  所以只能是第二种情况．  1．自然数由大到小：$$10=2\times5$$；$$21=3\times7$$；$$65=13\times5$$；$$87=3\times29$$；  2．自然数由小到大：$$34=2\times17$$，所以共有$$5$$个．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第8题4分
Problem: 甲、乙、丙、丁各戴了一顶帽子，帽子上写了一个$$1\sim9$$中的自然数，且互不相同．每人能看到别人帽子上的数，但看不到自己的．他们有如下对话：  甲说：``我看到的三个数两两互质．''  乙、丙同时说：``那我知道我帽子上的数了．''  如果他们都聪明且诚实，那么丁帽子上的数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
aoVal: E
content: $$9$$ 
Answer: C
Analysis: 本题中，通过甲说出的``另外三个数两两互质''，乙丙就知道了自己的数，说明乙、丙、丁三个人的数字，在$$1\sim 9$$当中是唯一固定的一组三个数明确的互质数即``$$5$$、$$6$$、$$7$$''三个数，而在这三个数中，只有``$$6$$''在$$1$$$$\sim 9$$当中有且仅有$$5$$、$$7$$两个互质数，所以乙、丙两个人的数为$$5$$、$$7$$或$$7$$、$$5$$，丁为$$6$$．  $$1$$$$\sim9$$各个数字对应的互质数．  $$1$$：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$，  $$2$$：$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$9$$，  $$3$$：$$2$$、$$4$$、$$5$$、$$7$$、$$8$$，  $$4$$：$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$9$$，  $$5$$：$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$，  $$6$$：$$5$$、$$7$$，  $$8$$：$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$9$$，  $$9$$：$$2$$、$$4$$、$$5$$、$$7$$、$$8$$．  由此可见，只有$$6$$在$$1\sim9$$的范围内有且仅有两个互质数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Overseas Competition->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2021年迎春杯小学高年级六年级竞赛决赛C卷第7题10分
Problem: 若$$a$$、$$b$$、$$c$$是不同的自然数，而且$$a\times \frac{c}{b} ~\textless{} ~a$$，那么正确的一个结论是． 
Options:
aoVal: A
content: $$a ~\textless{} ~b$$ 
aoVal: B
content: $$b ~\textless{} ~c$$ 
aoVal: C
content: $$a ~\textless{} ~c$$ 
aoVal: D
content: $$c ~\textless{} ~b$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$a$$、$$b$$、$$c$$是不同的自然数，$$a\times \frac{c}{b} ~\textless{} ~a$$，则$$ac ~\textless{} ~ab$$，即$$c ~\textless{} ~b$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->抽象概括
Source: 2017年四川六年级竞赛排位赛第17题2分
2020~2021学年福建福州鼓楼区福州教育学院附属第二小学六年级上学期期中第5题1分
Problem: 计算$$1+3+5+7+\cdots +2019+2021=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $${{1011}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{1000}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{999}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{998}^{2}}$$ 
aoVal: E
content: 以上都不正确 
Answer: A
Analysis: 中项定理：等差数列的和等于中项的平方．  中项：$$\left( 1+2021 \right)\div 2=1011$$，  所以答案为$$1011\times 1011$$，即选择$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2020年第1届广东深圳超常思维竞赛四年级竞赛初赛第2题4分
Problem: 一个两位数是完全平方数，它的两个数字之和也恰好是完全平方数，请问所有这样的完全平方数之和为多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$110$$ 
aoVal: C
content: $$117$$ 
aoVal: D
content: $$181$$ 
aoVal: E
content: $$271$$ 
Answer: C
Analysis: 如果一个两位数是完全平方数，那么这个两位数的所有可能值是：  $$16$$，$$25$$，$$36$$，$$49$$，$$64$$，$$81$$，  而$$3+6={{3}^{2}}$$，$$8+1={{3}^{2}}$$，  所以符合条件的两位数为$$36$$，$$81$$，  $$36+81=117$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的尾数特征
Source: 2014年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第3题4分
Problem: 算式$$42+402+4002+\cdots \cdots +\underbrace{400\cdots 002}_{5个0}$$ 的计算结果是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$4444452$$ 
aoVal: B
content: $$4444450$$ 
aoVal: C
content: $$4444450$$ 
aoVal: D
content: $$4444428$$ 
Answer: A
Analysis: 根据位值原理，原式$$=4\times 1111110+2\times 6=4444452$$ ． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2017年全国亚太杯四年级竞赛初赛第10题
Problem: $$0.00000025\times 0.000004$$的结果的小数部分有个$$0$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$0.\underbrace{00000025}_{8位}\times 0.\underbrace{000004}_{6位}=0.\underbrace{000000000001}_{12位}$$，  故小数部分有$$11$$个$$0$$，  故答案是：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数乘除->小数乘法运算
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第3题3分
Problem: 将一个数加上或减去或乘或除以一个一位数（$$0$$不是一位数）视为一次操作，比如$$53$$可以通过加$$3$$，除以$$7$$，除以$$8$$三次操作变成$$1$$．那么$$2014$$至少经过（~~~~~~~ ）次操作可变成$$1$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: $$2014$$要变成$$1$$就需要除以一个数，而除数只能是一位数，那么这个除数显然是越大越好．第一次操作$$2014+2=2016$$；第二次操作$$2016\div9=224$$；第三次操作$$224\div 8=28$$；第四次操作$$28\div 7=4$$；第五次操作$$4\div 4=1$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第8题
Problem: 把$$\frac{3}{8}$$的分子加上$$3$$，要使分数的大小不变，分母应该加上． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: $$3+3=6$$，$$6\div 3=2$$，分子扩大到原来的$$2$$倍，要使分数大小不变，分母也要扩大到原来的$$2$$倍，即$$8\times 2=16$$，$$16-8=8$$，分母应加上$$8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2017年四川六年级竞赛排位赛第16题2分
Problem: 一个盒子里共有$$96$$颗雨花石，明明从这个盒子里把雨花石全部拿出来，每次拿的颗数要相等．如果不能一次全部拿出，也不能一颗一颗地拿出，那么，明明共有种不同的拿法． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: A
Analysis: 不能一颗一颗地拿，不能一次全拿出去，而且每次拿的颗数要相等，最后全部拿完，也就是说次数$$\times $$每次拿的颗数$$=96$$．$$96=1\times 96$$，$$96=2\times 48$$，$$96=3\times 32$$，$$96=4\times 24$$，$$96=6\times 16$$，$$96=8\times 12$$，那么每次拿的颗数可以是$$2$$、$$48$$、$$3$$、$$32$$、$$4$$、$$24$$、$$6$$、$$16$$、$$8$$、$$12$$，一共有$$10$$种拿法．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2020年长江杯五年级竞赛复赛B卷第3题5分
Problem: 毛毛用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个．毛毛摆这个方阵共用围棋子个． 
Options:
aoVal: A
content: $$96$$ 
aoVal: B
content: $$108$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$132$$ 
Answer: B
Analysis: $$1$$、这是一道关于方阵的问题，考查的是方阵的知识；  $$2$$、由题意知，用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个，由于相邻两层每边相差$$2$$个，相邻两层相差$$8$$个，求出最内一层后依次加$$8$$即可。  根据题意分析可知：最内一层棋子个数为：$$\left( 8-1 \right)\times 4=7\times 4=28$$（个），  第二层棋子有：$$28+8=36$$（个），  第三层棋子有：$$36+8=44$$（个），  所以三层一共有$$28+36+44=108$$（个）．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 小明的手表每小时慢$$3$$分钟，如果他在早晨$$6$$:$$30$$将手表与准确时间对准，那么当天小明手表显示$$12$$:$$50$$的时候，准确时间是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$:$$00$$ 
aoVal: B
content: $$13$$:$$09$$ 
aoVal: C
content: $$13$$:$$10$$ 
aoVal: D
content: $$13$$:$$15$$ 
Answer: C
Analysis: 手表走$$57$$分钟，正常钟走$$60$$分钟，现在手表走$$6$$小时$$20$$分钟，为$$380$$分钟，那么正常钟应该走$$380\div 57\times 60=400$$．为$$6$$小时$$40$$分，此时为$$13$$:$$10$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->时钟问题->坏钟问题
Source: 2015年第11届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题
Problem: 【2021三年级卷第$$13$$题】五盘水果排成一排．苹果和橘子相邻，橘子和草莓相邻，苹果和香蕉不相邻，香蕉和芒果不相邻．那么一定和芒果相邻的是． 
Options:
aoVal: A
content: 只有苹果 
aoVal: B
content: 只有橘子 
aoVal: C
content: 只有草莓 
aoVal: D
content: 香蕉和草莓 
aoVal: E
content: 橘子和香蕉 
Answer: A
Analysis: 根据题意分析可知，苹果和草莓都与橘子相邻，  所以可以确定橘子在苹果和草莓的中间，  假设苹果、橘子、草莓这样排列，  则香蕉在草莓的右边，芒果在苹果的左边，  即苹果与芒果一定相邻，  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年新希望杯三年级竞赛初赛第13题5分
Problem: 省略下列各数的最后一位数得到的近似数与$$9.24$$大小不同的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$9.237$$ 
aoVal: B
content: $$9.2395$$ 
aoVal: C
content: $$9.2449$$ 
aoVal: D
content: $$9.244$$ 
Answer: C
Analysis: $$9.237\approx 9.24$$，$$9.2395\approx 9.240$$，$$9.2449\approx 9.245$$，$$9.244\approx 9.24$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数基础->取近似值
Source: 2017年第8届广东广州羊排赛六年级竞赛第4题1分
Problem: 在$$198896$$后面添一长串数，组成一个$$2016$$位数，添加的方法是：将末位数字乘$$7$$，取积的个位数字加在末位的后面，例如：$$198896$$的末位数字是$$6$$，$$6\times 7=42$$，在$$6$$后面添加数字$$2$$得$$1988962$$，$$2\times 7=14$$，在$$2$$后面添加$$4$$得$$19889624$$，继续按此规则添加下去组成一个$$2016$$位的数，这个$$2016$$位的数的尾数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 按照题目的要求将这个数向后写$$10$$位，得到$$1988962486248624\cdots $$，可以看到从第$$6$$位开始每$$4$$个数字一循环，与$$\left( 2016-5 \right)\div 4=502$$（组）$$\cdots 3$$（个），所以第$$2016$$位的数字为$$4$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（二）第2题
Problem: 有一串数：$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，$$21$$，$$34$$，$$55$$，$$89$$$$\cdots \cdots $$，其中第一个数$$2$$，第二个数$$3$$，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和．那么在这串数中，第$$2019$$个数被$$3$$除后所得余数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 将这一串数写成除以$$3$$的余数，则为：$$2$$，$$0$$，$$2$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$，$$2$$，$$0$$，$$2\cdots \cdots $$  所以重复的为：``$$2$$，$$0$$，$$2$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$''，  故周期为$$8$$．$$2019\div 8=252$$（组）$$\cdots \cdots 3$$（个），则答案为$$2$$，故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第5题5分
Problem: 四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在$$9$$、$$10$$、$$11$$、$$\cdots \cdots $$、$$67$$、$$68$$这$$60$$个自然数的相邻两数之间任意添加符号``$$+$$''或``$$-$$''，然后进行计算．四个同学得到的结果分别是$$2274$$、$$2003$$、$$2300$$、$$2320$$，老师看后指出．这四个结果中只有一个是正确的．这个正确的结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2274$$ 
aoVal: B
content: $$2003$$ 
aoVal: C
content: $$2300$$ 
aoVal: D
content: $$2320$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$$9+10+11+\cdots 68=2310$$，由此可知$$2320$$是错误的．由于$$2274$$、$$2003$$、$$2300$$都小于小于$$2310$$，所以减的数较多，由于减一个数，总和里面就要少这个数的$$2$$倍，如减$$2$$，则是$$2310-2\times 2=2306$$，所以只要是小于$$2310$$．据此分析即  $$9+10+11+\cdots 68=2310$$，$$2320\textgreater2310$$，故$$\text{D}$$错误；  $$\left( 2310-2274 \right)\div 2=18$$，$$18\div 2=9$$，所以在$$9$$前是减号即可，符合题意．  $$\left( 2310-2003 \right)=307\textgreater68$$，错误  $$\left( 2310-2000 \right)\div 2=155\textgreater68$$，错误．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第9题
Problem: 一只大熊猫从$$A$$地往$$B$$地运送竹子，它每次可以运送$$50$$根，但是它从$$A$$地走到$$B$$地和从$$B$$地返回$$A$$地都要吃$$5$$根，$$A$$地现在有$$200$$根竹子，那么大熊猫最多可以运到$$B$$地（  ）根。 
Options:
aoVal: A
content: $$150$$ 
aoVal: B
content: $$155$$ 
aoVal: C
content: $$160$$ 
aoVal: D
content: $$165$$ 
Answer: D
Analysis: 解：由题意，运四次，去四次回三次，吃掉了$$5\times (4+3)=35$$根，则最多可以运到$$B$$地$$200-35=165$$根。  故选:D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->乘法应用（顺口溜）
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 有一个数，它的一半的一半是$$4$$，这个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 一个数的一半的一半是$$4$$，则这个数的一半为$$4\times 2=8$$，则这个数为$$8\times 2=16$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第9题5分
Problem: 从$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$这十个数字中选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于$$2017$$，那么未被选中的数字是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: $$2017$$除以$$9$$余$$1$$，$$0+1+2+3+\cdots +9=45$$，$$45$$是$$9$$的倍数，$$9-1=8$$，所以未被选中的数字是$$8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（四）第6题
Problem: 计算：$$2015\times 2015-2014\times 2016=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2014$$ 
aoVal: C
content: $$2015$$ 
aoVal: D
content: $$2016$$ 
Answer: A
Analysis: $${{2015}^{2}}-(2015-1)\times (2015+1)={{2015}^{2}}-{{2015}^{2}}+1=1$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->平方差公式->平方差公式逆向应用
Source: 2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第1题
Problem: 一列火车通过一座长$$320$$米的桥用了$$105$$秒，当它通过$$860$$米的隧道时，速度是过桥速度的$$2$$倍，结果用了$$120$$秒，火车通过大桥时的速度是每秒米；火车的车身长度为米． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$；$$100$$ 
aoVal: B
content: $$4$$；$$100$$ 
aoVal: C
content: $$8$$；$$100$$ 
aoVal: D
content: $$8$$；$$200$$ 
Answer: B
Analysis: 若通过$$860$$米隧道时速度不变则需要$$120\times 2=240$$（秒），火车过桥速度：$$\left( 860-320 \right)\div \left( 240-105 \right)=4$$（米/秒）：火车车身长：$$105\times 4-320=100$$（米）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->应用题->行程应用题->火车过桥完全过桥
拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）
Problem: 袋子中有$$4$$个红球，$$6$$个黄球，$$8$$个蓝球和$$3$$个绿球．从中随机拿出一个，是黄球的概率是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 共有$$4+6+8+3=21$$（个）球，拿到黄球概率为$$6\div 21=\frac{2}{7}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年第2届广东广州羊排赛六年级竞赛第4题1分
Problem: 若$$100$$个数的平均数为$$1$$，增加一个数$$102$$之后，这$$101$$个数的平均数为． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: $$1\times 100+102\div（ 100+1）=2$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数
Source: 2017年第17届全国中环杯三年级竞赛初赛第5题
Problem: 六个小朋友排成一排照相，其中有四个男生和两个女生，两个女生必须站在一起而且不能站在边上，则一共有种不同的排列方式． 
Options:
aoVal: A
content: $$96$$ 
aoVal: B
content: $$120$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$240$$ 
Answer: C
Analysis: 先捆绑，再插空，$A_{2}^{\^{2}}\times C_{3}^{1}\times A_{4}^{4}=144$种． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->对应思想
Source: 2017年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛模拟
Problem: 甲、乙两车分别从$$A$$、$$B$$两地同时相向开出，$$4$$小时后两车相遇，然后各自继续行驶$$3$$小时，此时甲车距$$B$$地$$10$$千米，乙车距$$A$$地$$80$$千米，那么$$AB$$两地相距（~ ）千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$350$$ 
aoVal: B
content: $$360$$ 
aoVal: C
content: $$370$$ 
aoVal: D
content: $$380$$ 
Answer: B
Analysis: $$4$$小时甲乙共行了$$AB$$，$$3$$小时甲乙共行了$$\frac{3}{4}AB$$，$$(10+80)\div \left( 1-\frac{3}{4} \right)=360$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第8题
2011年全国创新杯五年级竞赛第8题5分
Problem: 一副扑克牌去掉大小王共有$$52$$张，共有$$13$$种点数，最少要抽取张牌，方能保证其中至少有$$2$$张牌有相同的点数． 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: B
Analysis: 扑克牌的点数有$$1$ $13$$点，所以要保证$$2$$张牌有相同的点数．最坏的情况就是抽到$$1$ $13$$，这$$13$$张牌，再来一张，就一定和之前的$$13$$张相同，所以是$$13+1=14$$（张）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理
Source: 2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第6题3分
Problem: 计算：$$9+99+999+9999+99999=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$111105$$ 
aoVal: B
content: $$1111105$$ 
aoVal: C
content: $$111104$$ 
aoVal: D
content: $$111005$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意，把$$9$$、$$99$$、$$999$$、$$9999$$、$$99999$$看作$$\left(10-1\right)$$、$$\left(100-1\right)$$、$$\left(1000-1\right)$$、$$\left(10000-1\right)$$、$$\left(100000-1\right)$$，再进行计算．   $$9+99+999+9999+99999$$  $$=\left(10-1\right)+\left(100-1\right)+\left(1000-1\right)+\left(10000-1\right)+\left(100000-1\right)$$  $$=\left(100000+10000+1000+100+10\right)-\left(1+1+1+1+1\right)$$  $$=111110-5$$  $$=111105$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算求解
拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法
Source: 2019年福建泉州鲤城区泉州师范附属小学三年级竞赛模拟第2题2分
2019年广西防城港小升初模拟第13题
2015~2016学年内蒙古乌兰察布丰镇市丰镇实验小学四年级上学期期中第25题5分
2019年广西防城港小升初模拟第12题
Problem: $$2$$个樱桃的价钱与$$3$$个苹果的价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的$$12$$倍，如果妈妈用买$$1$$箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买(  )箱。 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
Answer: C
Analysis: $$12$$个樱桃的钱可以买$$18$$个苹果，大小是$$1$$个苹果的大小，所以$$1$$个苹果大小的樱桃可以买到$$18$$个苹果，所以$$1$$箱樱桃的钱可以买$$18$$箱苹果。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: ``双$$11$$''前夕，某天猫店购进一批商品，按期望获得$$60 \%$$的利润定价，在卖出$$70 \%$$的商品后，进行``双$$11$$''促销，该天猫店决定按定价折扣销售，货销完后，所获得的全部利润只是原来期望利润的$$80 \%$$，该店``双$$11$$''销售剩余部分商品时打的折扣是． 
Options:
aoVal: A
content: 六折 
aoVal: B
content: 七折 
aoVal: C
content: 七五折 
aoVal: D
content: 八折 
Answer: C
Analysis: 假设商品的成本是``$$1$$''，原来希望获得利润$$60 \%$$，现出售$$70 \%$$的商品已获得利润$$60 \%\times 70 \%=0.42$$．  剩下的$$30 \%$$商品将要获得利润：$$0.6\times 80 \%-0.42=0.06$$，因此这剩下$$30 \%$$的商品的售价是：$$1\times 30 \%+0.06=0.36$$（元）原来定价是：$$1\times 30 \%\times (1+60 \%)=0.48$$，$$(0.36\div 0.48)\times 100 \%=75 \%$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2020年长江杯六年级竞赛复赛A卷第4题5分
Problem: 李家村李家兄弟合作在门口挖一口井，李凡单独挖需要$$10$$天才能挖成，李超单独挖需要$$15$$天才能挖完．兄弟两人同时挖需要天． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: 李凡一天挖$$\frac{1}{10}$$，李超一天挖$$\frac{1}{30}$$，兄弟合挖一天能完成$$\frac{1}{30}+\frac{1}{10}=\frac{2}{15}$$，需要$$1\div \frac{2}{15}=7.5$$天． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数与运算->加法->分数加法->异分母分数加法
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（六）第1题
Problem: 妈妈在家开着灯做饭，突然停电了．爸爸回家按了$$4$$下开关，小林回家又按了$$3$$下开关．当来电的时候，灯泡． 
Options:
aoVal: A
content: 亮 
aoVal: B
content: 不亮 
aoVal: C
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 开单数次数，改变原来灯的状态，开双数次，不改变原来的状态．总共开的次数为：$$4+3=7$$（次），  所以改变了原来的状态，原来是开着的，  所以现在不亮．  故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第3题5分
Problem: 花园里栽种着雏菊和玫瑰两种花共计$$66$$朵，其中每出现$$5$$朵雏菊便另有$$6$$朵玫瑰．问：花园里有玫瑰（~~ ）朵？ 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: D
Analysis: $$66\div(6+5)=6$$，  花园里有玫瑰$$6\times6=36$$朵． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2012年全国美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第30题
2013年美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第30题5分
Problem: 在$$\square $$里填上适当的数字，使得七位数$$\overline{2019\square \square \square }$$能同时被$$9$$、$$25$$、$$8$$整除，符合条件的七位数的数字和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$27$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: B
Analysis: 要使这个数能同时被$$9$$，$$25$$，$$8$$整除，  那么这个数一定是$$9$$，$$25$$，$$8$$的公倍数，  首先算出$$9$$，$$25$$，$$8$$的最小公倍数是$$1800$$，  然后可以使用试除法：$$2019999\div 1800=1122\cdots \cdots 399$$，  所以这个七位数为$$2019999-399=2019600$$，  数字和是$$2+0+1+9+6+0+0=18$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 每次考试试卷总分是$$120$$分，小红四次考试的平均成绩是$$105$$分．为了使平均成绩尽快达到$$110$$分，她至少需要再考次． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，总分数$$\div $$考的次数$$=$$平均分数，；可设他至少要考$$x$$次才能尽快达到$$110$$分以上，那么 小红的总分数为：$$120x+105\times 4$$，小红考试的次数为：$$x+4$$，小红平均分应为$$\geqslant $$$$100$$，根据公式列方程解答即可．  设小红至少要考$$x$$次才能尽快达到$$110$$分以上，  $$\left( 120x+105\times 4 \right)$$$$\div \left( x+4 \right)\geqslant 110$$，  $$120x+420\geqslant 110x+440$$，  $$120x-110x\geqslant 440-420$$，  $$10x\geqslant 20$$，  $$x\geqslant 2$$．  即再考$$2$$次满分平均分可达到$$110$$分以上．  故选答案$$B$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第6题3分
Problem: 已知一个自然数有$$12$$个不同的因数，那么这个数最小是． 
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$64$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$12=(2+1)\times (1+1)\times (1+1)$$，  ∴最小是$$4\times3\times5=60$$，  $$12$$个因数为：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$10$$、$$15$$、$$12$$、$$20$$、$$30$$、$$60$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第2题3分
Problem: 在下面的数字之间添上四个加号``+''，不同的填法所算出的结果中最小值是(  ).  1(  )2(  )3(  )4(  )5(  )6(  )7(  )8 
Options:
aoVal: A
content: 117 
aoVal: B
content: 118 
aoVal: C
content: 119 
aoVal: D
content: 120 
Answer: A
Analysis: 在数串(列)1，2，3，4，5，6，7，8之间任意添上四个``+''号，可将它分成5段，因而可分成5个整数求和，所以有以下三种情况:  ⑴1个四位数和4个一位数的和，此时和的最小值为$$1234+5+6+7+8=1260$$;  ⑵1个三位数，1个两位数与3个一位数的和，此时最小值为$$123+45+6+7+8=189$$;  ⑶3个两位数与2个一位数的和，此时最小值为$$12+34+56+7+8=117$$. 因此和的最小值是117 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜->竖式数字谜的最值
Source: 2008年四年级竞赛创新杯
Problem: 在$$1:9000000$$地图上，$$A$$、$$B$$两地相距$$2$$厘米，早上八点，一辆车从$$A$$地以$$50\text{km}/\text{h}$$的速度开往$$B$$，那么在时汽车到达$$B$$地． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$点 
aoVal: B
content: $$11$$点$$30$$分 
aoVal: C
content: $$11$$点$$36$$分 
aoVal: D
content: $$11$$点$$45$$分 
Answer: C
Analysis: $$AB$$距离为$$2\times 9000000=18000000\text{cm=180}$$千米，  则需要$$180\div 50=3.6\text{h}=3\text{h}36\min $$，  则$$8:00+3:36=11:36$$到达．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比例->比例尺
Source: 2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第3题3分
Problem: 在比武大会上，熊猫阿宝和金猴两人进行比试，最多七局，谁先获得四局胜利，谁就是胜者，那么一共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种可能的比试情况． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$70$$ 
aoVal: C
content: $$38$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
aoVal: E
content: $$62$$ 
Answer: B
Analysis: 假设阿宝胜，有发以下几种获胜情况（用``$$+$$''表示胜``$$-$$''表示，负）  ①连胜四局$$1$$种，  $$++++$$，  ②四胜一负$$4$$种，  $$-++++$$；$$+-+++$$；$$++-++$$；$$+++-+$$  ③四胜两负$$10$$种，  $$-\/-++++$$；$$+-\/-+++$$；$$++-\/-++$$；$$+++-\/-+$$；$$-+-+++$$；$$-++-++$$；$$-+++-+$$；$$+-+-++$$；$$+-++-+$$；$$++-+-+$$．  ④四胜三负，  （1）甲负三局连负$$4$$种，  $$-\/-\/-++++$$；$$+-\/-\/-+++$$；$$++-\/-\/-++$$；$$+++-\/-\/-+$$．  （2）甲连负两局$$12$$种，  $$-\/-+-+++$$；$$-\/-++-++$$；$$-\/-+++-+$$，$$+-\/-+-++$$；$$+-\/-++-+$$；$$++-\/-+-+$$；$$-+-\/-+++$$；$$-++-\/-++$$；$$-+++-\/-+$$；$$+-+-\/-++$$；$$+-++-\/-+$$；$$++-+-\/-+$$．  （3）甲负三局全都分开$$4$$种，  $$-+-+-++$$，$$-+-++-+$$；$$-++-+-+$$；$$+-+-+-+$$．  $$1+4+10+4+12+4=35$$（种）$$35+35=70$$种，  当考虑金猴的情况时与上述一致也为$$35$$种，因此一共$$35+35=70$$种可能． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2021年新希望杯五年级竞赛初赛第14题5分
Problem: 对于大于零的分数，有如下$$4$$个结论：  ①两个真分数的和是真分数；  ②两个真分数的积是真分数；  ③一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；  ④一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．  其中正确的有（~~~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 对于这种类型的题目，我们可以采取``反驳''的方法来做，找出每个不成立的案例来，若找不到则正确．①反例：$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$，$$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$$；④反例：$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$$，$$\frac{1}{5}\times \frac{8}{5}=\frac{8}{25}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数加减
Source: 2017年全国小升初八中入学备考课程
2008年全国华杯赛竞赛复赛第6题
Problem: 五一到了，花花想要出去旅游，她有$$2$$顶帽子、$$3$$条项链、$$5$$种头花、$$2$$双鞋、$$3$$条白色裙子、$$4$$条粉色裙子、$$1$$条蓝色裙子，每类物品中各选一样进行搭配．那么，一共有种不同的搭配方法． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$460$$ 
aoVal: C
content: $$480$$ 
aoVal: D
content: $$720$$ 
Answer: C
Analysis: $$2\times 2\times 3=12$$（种）． 
Knowledge points: 课内体系->思想->对应思想
拓展思维->能力->运算求解
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第10题
Problem: 甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是$$72$$岁．几年前（至少一年）甲是$$22$$岁时，乙是$$16$$岁．又知道，当甲是$$19$$岁的时候，丙的年龄是丁的$$3$$倍（此时丁至少$$1$$岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有种情况． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: 甲乙的年龄差是$$22-16=6$$岁；当甲$$19$$岁时， $$13$$岁；至少一年前甲$$22$$岁，所以当甲$$19$$岁的时候，此时至少是$$4$$年前的年龄，那么甲今年至少是$$23$$岁；甲$$19$$岁时，丙的年龄是丁的$$3$$倍，假设丁为$$1$$岁，丙为$$3$$岁，此时四人的年龄和至少是$$19+13+1+3=36$$岁；且甲今年的年龄至多为$$19+\left(72-36 \right)\div 4=28$$；所以甲今年的年龄可能是$$23$$，$$24$$，$$25$$，$$26$$，$$27$$，$$28$$；共$$6$$种，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型
Source: 2017年全国小升初八中入学备考课程
2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第5题