math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$为实数，$$x={{a}^{2}}-2b+\frac{ \pi }{3}$$，$$y={{b}^{2}}-2c+\frac{ \pi }{6}$$，$$z={{c}^{2}}-2a+\frac{ \pi }{2}$$，则$$x$$，$$y$$，$$z$$中，至少有一个值（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 大于$$0$$ 
aoVal: B
content: 等于$$0$$ 
aoVal: C
content: 不大于$$0$$ 
aoVal: D
content: 小于$$0$$ 
Answer: A
Analysis: $$x+y+z$$  $$={{a}^{2}}-2a+{{b}^{2}}-2b+{{c}^{2}}-2c+\pi $$  $$={{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}+{{(c-1)}^{2}}+(\pi -3)$$  $$\textgreater0$$，  $$x$$，$$y$$，$$z$$至少有$$1$$个值大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2002年竞赛第4题5分
Problem: 如果正整数$$x$$与$$y$$使得$$\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}$$的值为质数，那么$$x+y$$共有种可能的值．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$(x,y)=d$$，则存在正整数$$a$$，$$b$$，使得$$x=da$$，$$y=db$$，不妨设$$a\geqslant b$$．  于是质数：  $$p=\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}=\frac{da{{(db)}^{2}}}{ad+db}=\frac{{{d}^{2}}a{{b}^{2}}}{a+b}$$，即$${{d}^{2}}a{{b}^{2}}=p(a+b)$$．①  由于$$(a,a+b)=(b,a+b)=(a,b)=1$$，且$$a{{b}^{2}}\textbar p(a+b)$$，  所以，$$a{{b}^{2}}\textbar p$$，进而$$a=p$$，$$b=1$$，或$$a=b=1$$．  ①当$$a=p$$，$$b=1$$时，$${{d}^{2}}=p+1$$．  所以$$(d+1)(d-1)=p$$．进而，$$d-1=1$$，$$d+1=p$$，$$d=2$$，$$p=3$$．  此时$$x=6$$，$$y=2$$，$$x+y=8$$．  ②当$$a=b=1$$时，$${{d}^{2}}=2p$$．所以$$d=2$$，$$p=2$$．  此时$$x=2$$，$$y=2$$．$$x+y=4$$．  所以$$x+y$$共有两种可能的值．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第6题
Problem: 在某浓度的盐水中加入一杯水后，得到新盐水，它的浓度为$$20 \%$$，又在新盐水中加入与前述一杯水的重量相等的纯盐合，盐水浓度变为$$33\frac{1}{3} \%$$，那么原来盐水的浓度是．
Options:
aoVal: A
content: $$23 \%$$ 
aoVal: B
content: $$25 \%$$ 
aoVal: C
content: $$30 \%$$ 
aoVal: D
content: $$32 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 设原盐水溶液为$$a$$克，其中含纯盐$$m$$克，后加入``一杯水''为$$x$$克，  依题意得$$\begin{cases}(a+x)\times 20 \%=m    (a+x+x)\times 33\dfrac{1}{3} \%=m+x \end{cases}$$，  整理得$$\begin{cases}a+x=5m    a-x=3m \end{cases}$$，  解得$$2a=8m$$，∴$$a=4m$$．  于是原盐水的浓度为$$\frac{m}{a}=\frac{m}{4m}=25 \%$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第10题
Problem: 在平面直角坐标系中，若点$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，则$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$m ~\textless~ -1$$ 
aoVal: B
content: $$m\textgreater2$$ 
aoVal: C
content: $$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$ 
aoVal: D
content: $$m\textgreater-1$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，  ∴$$\begin{cases}m-2 ~\textless{} ~0    m+1\textgreater0   \end{cases}$$．  ∴$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
Source: 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第3题3分
Problem: 若不等式组$$\begin{cases}-x+4m\textless{}x+10    x+1\textgreater m    \end{cases}$$的解集是$$x\textgreater4$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$m\leqslant \frac{9}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$m\leqslant 5$$ 
aoVal: C
content: $$m=\frac{9}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$m=5$$ 
Answer: C
Analysis: $$-x+4m\textless{}x+10$$，得$$x\textgreater2m-5$$，  $$x+1\textgreater m$$，得$$x\textgreater m-1$$，  因为不等式组的解集是$$x\textgreater4$$，所以必须是$$\begin{cases}2m-5\leqslant 4    m-1\leqslant 4    \end{cases}$$成立，且其中至少有一个等式成立，  若$$2m-5=4$$，则$$m=\frac{9}{2}$$，且$$m=\frac{9}{2}$$，使得$$m-1\leqslant 4$$成立；  若$$m-1=4$$，则$$m=5$$，当$$m=5$$时，$$2m-5\leqslant 4$$不成立，所以$$m=5$$不符合原不等式组．  综上得，当$$m=\frac{9}{2}$$时，原不等式组的解集是$$x\textgreater4$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次含参不等式
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第8题
Problem: 若单项式$$-2{{a}^{\textbar x\textbar}}{{b}^{\textbar5x\textbar}}$$和$${{3}^{2}}{{a}^{2}}{{b}^{3-x}}$$的次数相同，则$$x$$的整数值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 1$$ 
aoVal: D
content: $$\pm 1$$以外的数 
Answer: B
Analysis: 由题意，知$$\textbar x\textbar+\textbar5x\textbar=2+(3-x)$$，  当$$x\geqslant 0$$时，则$$6x=5-x$$，  解得$$x=\frac{5}{7}$$，不合题意，舍去．  当$$x\textless{}0$$时，则$$-6x=5-x$$，  解得$$x=-1$$，符合题意．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 有如下四个命题：  ①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；  ②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；  ③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；  ④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数．  其中真命题的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 如$$-\frac{1}{2}$$和$$\frac{1}{2}$$之间既没有正整数，也没有负整数，  所以命题①、②不正确．$$0$$介于两个符号相反的分数之间，所以命题③、④正确．  故选($$\text{B}$$)． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第2题4分
Problem: 若$$a$$、$$b$$、$$c$$都是大于$$1$$的自然数，且$${{a}^{c}}=252b$$，则$$a$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$42$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$252={{2}^{2}}\times {{3}^{2}}\times 7$$，  所以，要使$${{a}^{c}}=252b$$成立，$$a$$中一定含有$$2$$，$$3$$，$$7$$这三个因数，  所以$$a$$的最小值是$$2\times 3\times 7=42$$，  如取$$a=42$$，$$b=7$$，$$c=2$$，  得$${{42}^{2}}=252\times 7$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 任何一个正整数$$n$$都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解$$n=p\times q$$（$$p\leqslant q$$)可称为正整数$$n$$的最佳分解，并规定$$F(n)=\frac{p}{q}$$．如：$$12=1\times 12=2\times 6=3\times 4$$，则$$F(12)=\frac{3}{4}$$．  则在以下结论  ①$$F(2)=\frac{1}{2}$$．  ②$$F(24)=\frac{3}{8}$$．  ③若$$n$$是一个完全平方数，则$$F(n)=1$$．  ④若$$n$$是一个完全立方数，即$$n={{a}^{3}}$$（$$a$$是正整数)，则$$F(n)=\frac{1}{a}$$中，正确的结论有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$1$$个 
Answer: C
Analysis: 因为$$2=1\times 2$$，所以$$F(2)=\frac{1}{2}$$，①正确；  因为$$24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6$$，所以$$F(24)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$，②错误；  若$$n$$是一个完全平方数，设$$n={{a}^{2}}$$，则$$F(n)=\frac{a}{a}=1$$，③正确；  若$$n$$是一个完全立方数，$$F(n)$$可能不等于$$\frac{1}{a}$$，如$$64=43=8\times 8$$，$$F(64)=1$$，④错误．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 若$$a+b+c=0$$，则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-7$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：  依题意，$$a$$，$$b$$，$$c$$都不为$$0$$，  ∵$$a+b+c=0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中既有正数，又有负数．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$中只有一个正数，不妨设$$a\textgreater0$$，则$$b\textless{}0$$，$$c\textless{}0$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=1-1-1-1-1+1+1$$  $$=-1$$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$中只有一个负数，不妨设$$a\textless{}0$$，则$$b\textgreater0$$，$$c\textgreater0$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=-1+1+1-1-1+1-1$$  $$=-1$$．  方法二：  取特殊值．  ∵$$a+b+c=0$$，不妨设$$a=2$$，$$b=c=-1$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=1-1-1-1-1+1+1$$  $$=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分
Problem: 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出$$2$$滴水，每滴水约$$0.05$$毫升．现有一个水龙头未拧紧，$$4$$小时后，才被发现并拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（  ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）．
Options:
aoVal: A
content: $$1440$$毫升 
aoVal: B
content: $$1.4\times {{10}^{3}}$$毫升 
aoVal: C
content: $$0.14\times {{10}^{4}}$$毫升 
aoVal: D
content: $$14\times {{10}^{2}}$$毫升 
Answer: B
Analysis: $$0.05\times 2\times 4\times 60\times 60=1440=1.4\times {{10}^{3}}$$（毫升）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: 设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x(x+1)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: $$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，$$2x=\sqrt{5}-3$$ ，$$2x+3=\sqrt{5}$$， 两边同时平方整理得，$${{x}^{2}}+3x=-1$$．  $$x(x+1)(x+2)(x+3)=({{x}^{2}}+3x)({{x}^{2}}+3x+2)$$$$=-1\times (-1+2)=-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2013年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生
2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第3题5分
Problem: $$\sqrt[3]{3}{{\left( \sqrt[3]{\frac{4}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{1}{9}} \right)}^{-1}}$$可以化简成（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt[3]{3}\left( \sqrt[3]{2}+1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt[3]{3}\left( \sqrt[3]{2}-1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt[3]{2}-1$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt[3]{2}+1$$ 
Answer: D
Analysis: 原式$$={{3}^{\frac{1}{3}}}{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-\frac{1}{3}}}{{\left( {{2}^{\frac{2}{3}}}-{{2}^{\frac{1}{3}}}+1 \right)}^{-1}}$$  $$=3\left[ \frac{{{\left( {{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{3}}+1}{{{2}^{\frac{1}{3}}}+1} \right]^{-1}$$  $$={{2}^{\frac{1}{3}}}+1$$  $$=\sqrt[3]{2}+1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第8题
Problem: 三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有种．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
aoVal: E
content: $$13$$ 
Answer: C
Analysis: 设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\begin{cases}y+z=30-x    3y+4z=100-2x \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}y=20-2x    z=10+x \end{cases}$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
Source: 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分
2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 当$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$时，多项式$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$的值为（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2001}}$$ 
aoVal: D
content: $$-{{2}^{2001}}$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$，  ∴$${{(2x-1)}^{2}}=1994$$，  即$$4{{x}^{2}}-4x-1993=0$$，  ∴$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$  $$={{[(4{{x}^{2}}-4x-1993)x+(4{{x}^{2}}-4x-1993)-1]}^{2001}}$$  $$={{(-1)}^{2001}}$$  $$=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方
Source: 初一下学期其它
1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分
Problem: 若$$a=(\frac{-3.14}{3.13})\div 3.12$$，$$b=(\frac{2.14}{-2.13})\div 2.12$$，$$c=(\frac{1.14}{1.13})\div (-1.12)$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater c\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
aoVal: D
content: $$c\textgreater b\textgreater a$$ 
Answer: A
Analysis: 容易看出$$a$$，$$b$$，$$c$$均为负数，我们看$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar$$，$$\left\textbar{} c \right\textbar$$．  ∵$$\frac{3.14}{3.13}=1+\frac{1}{313}$$，$$\frac{2.14}{2.13}=1+\frac{1}{213}$$，$$\frac{1.14}{1.13}=1+\frac{1}{113}$$，  又$$313\textgreater213\textgreater113$$，知$$\frac{3.14}{3.13}\textless{}\frac{2.14}{2.13}\textless{}\frac{1.14}{1.13}$$，  又$$3.13\textgreater2.13\textgreater1.13$$，  ∴$$\frac{3.14}{3.13}\div 3.13\textless{}\frac{2.14}{2.13}\div 2.13\textless{}\frac{1.14}{1.13}\div 1.13$$，  ∴$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a\textgreater b\textgreater c$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第10题
Problem: $${{x}_{1}}$$、$${{x}_{2}}$$、$${{x}_{3}}$$、$${{x}_{4}}$$、$${{x}_{5}}$$满足方程组$$\begin{cases}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}={{a}_{1}}    {{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}={{a}_{2}}    {{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}={{a}_{3}}    {{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{1}}={{a}_{4}}    {{x}_{5}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{a}_{5}} \end{cases}$$，  其中$${{a}_{1}}$$、$${{a}_{2}}$$、$${{a}_{3}}$$、$${{a}_{4}}$$、$${{a}_{5}}$$是常数，且$${{a}_{1}}\textgreater{{a}_{2}}\textgreater{{a}_{3}}\textgreater{{a}_{4}}\textgreater{{a}_{5}}$$，则$${{x}_{1}}$$、$${{x}_{2}}$$、$${{x}_{3}}$$、$${{x}_{4}}$$、$${{x}_{5}}$$的大小顺序是．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}_{1}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{5}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{5}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{5}}$$ 
aoVal: D
content: $${{x}_{5}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}$$ 
Answer: C
Analysis: \textbf{（知识点：解多元一次方程组）}  给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得：  $${{x}_{1}}-{{x}_{4}}={{a}_{1}}-{{a}_{2}}$$，$${{x}_{2}}-{{x}_{5}}={{a}_{2}}-{{a}_{3}}$$，$${{x}_{3}}-{{x}_{1}}={{a}_{3}}-{{a}_{4}}$$，$${{x}_{4}}-{{x}_{2}}={{a}_{4}}-{{a}_{5}}$$，  由于$${{a}_{1}}\textgreater{{a}_{2}}\textgreater{{a}_{3}}\textgreater{{a}_{4}}\textgreater{{a}_{5}}$$，有$${{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}$$，$${{x}_{2}}\textgreater{{x}_{5}}$$，$${{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}$$，$${{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}$$，因此$${{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{5}}$$．  所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解多元一次方程组
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
Source: 1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第4题
初一上学期其它
Problem: 上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是．  At 9:00 a.m., the hour hand is at right angles to the minute hand, so the next time the hour hand is at right angles to the minute hand is ．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$:$$30$$ 
aoVal: B
content: $$10$$:$$5$$ 
aoVal: C
content: $$10$$:$$5\frac{5}{11}$$ 
aoVal: D
content: $$9$$:$$32\frac{8}{11}$$ 
Answer: D
Analysis: 设再次转成直角的时间间隔为$$x$$，则  $$(6-\frac{1}{2})x=180$$，  ∴$$x=32\frac{8}{11}$$．  所以下一次时针与分针成直角的时间为$$9$$时$$32\frac{8}{11}$$分． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的钟表问题
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第3题
初一上学期单元测试《几何图形初步》角第16题
Problem: 电影票有$$10$$元、$$15$$元、$$20$$元三种票价，班长用$$500$$元买了$$30$$张电影票，其中票价为$$20$$元的比票价为$$10$$元的多（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$张 
aoVal: B
content: $$15$$张 
aoVal: C
content: $$10$$张 
aoVal: D
content: $$5$$张 
Answer: C
Analysis: 设购买$$10$$元、$$15$$元、$$20$$元的电影票分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$张，  则根据题意，得$$\begin{cases}\textasciitilde x+y+z=10 ①   \textasciitilde10x+15y+20z=500 ②\end{cases}$$，  方法一：①$$-$$②$$\times 10$$得，  $$5y+10z=200$$，  ∴$$z=\frac{40-y}{2}=20-\frac{y}{2}$$．  ①$$\times 20-$$②得，  $$10x+5y=100$$，  ∴$$x=\frac{20-y}{2}=10-\frac{y}{2}$$．  方法二：②$$-$$①$$\times 15$$得，  $$-5x+5z=50$$  ∴$$z-x=10$$．  ∴票价为$$20$$元的比票价为$$10$$元的多$$10$$张． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
Source: 其它
2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第9题4分
Problem: 有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足下列条件：$$a+b+c=0$$且$$abc ~\textless{} ~0$$，那么$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 是正数 
aoVal: B
content: 是零 
aoVal: C
content: 是负数 
aoVal: D
content: 不能确定是正数、负数或$$0$$． 
Answer: A
Analysis: 由$$abc ~\textless{} ~0$$知$$a$$、$$b$$、$$c$$均不为$$0$$．  $$\therefore $$ $${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ac \right)=0$$，  $$\therefore ab+bc+ca=-\frac{1}{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) ~\textless{} ~0$$，  $$\therefore $$$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}\textgreater0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式恒等变形
课内体系->能力->运算能力
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 羽毛球单打比赛一共有$$6$$名选手参赛．每名选手只和其他选手比赛一次，没有平局．如果$$A$$选手赢了$$4$$场，$$B$$选手赢了$$3$$场，$$C$$选手赢了$$3$$场，$$D$$选手赢了$$2$$场，$$E$$选手赢了$$2$$场，那么第六位选手赢了场．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由于有$$6$$名选手，总共有$$\frac{6(6-1)}{2}=15$$场比赛．到目前为止，已经有$$4+3+3+2+2=14$$场比赛结束了（每场比赛一个人赢），所以第六位选手需要赢$$15-14=1$$场．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 美国amc8->知识点->组合->逻辑推理->体育比赛
Source: 2006年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 已知$${{a}^{2}}-a=7$$，则代数式$$\frac{a-1}{a+2}\centerdot \frac{{{a}^{2}}-4}{{{a}^{2}}-2a+1}\div \frac{1}{{{a}^{2}}-1}$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{a-1}{a+2}\cdot \frac{{{a}^{2}}-4}{{{a}^{2}}-2a+1}\div \frac{1}{{{a}^{2}}-1}$$  $$=\frac{a-1}{a+2}\cdot \frac{(a+2)(a-2)}{{{(a-1)}^{2}}}\cdot (a+1)(a-1)$$  $$=(a+1)(a-2)$$  $$={{a}^{2}}-a-2$$  $$=7-2$$  $$=5$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式乘除混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分
Problem: 已知不等式$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$与不等式$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant a$$（$$a\geqslant 0$$）的解集没有公共部分，那么$$a$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0\leqslant a\leqslant 1$$ 
aoVal: B
content: $$1\leqslant a\leqslant 2$$ 
aoVal: C
content: $$0\leqslant a\leqslant 2$$ 
aoVal: D
content: $$a\geqslant 1$$ 
Answer: A
Analysis: 不等式$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$的解集为$$x\textless{}-3$$或$$x\textgreater1$$．  $$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant a$$（$$a\geqslant 0$$）的解集为$$-a\leqslant x\leqslant a$$．  ∵两不等式的解集没有公共部分，  ∴$$a\leqslant 1$$，  ∴$$0\leqslant a\leqslant 1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解含绝对值的一元一次不等式（组）
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分
Problem: 我国古代伟大的数学家祖冲之在$$1500$$年以前就已经相当精确地算出圆周率$$\pi $$是在$$3.1415926$$和$$3.1415927$$之间，并取$$\frac{355}{113}$$为密率、$$\frac{22}{7}$$为约率，则（ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3.1415 \textless{} \pi \textless{} \frac{333}{106}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{355}{113} \textless{} \pi \textless{} \frac{22}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{333}{106} \textless{} \pi \textless{} \frac{355}{113}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{22}{7} \textless{} \pi \textless{} 1.429$$ 
Answer: C
Analysis: 对$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$四个答案进行比较分析即可得到答案$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第3题
Problem: 在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人．已知在任意四个人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位．那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有位．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$． 
aoVal: B
content: $$2$$． 
aoVal: C
content: $$3$$． 
aoVal: D
content: $$4$$． 
Answer: B
Analysis: 假设有$$A$$、$$B$$两同学没有得到祝福字条，现在任选另外两位同学记为$$C$$和$$D$$，则$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$组成一个四人组，由于$$C$$至少祝福了$$A$$、$$B$$、$$D$$中一位，而$$A$$、$$B$$没有得到任何同学的祝福，所以$$D$$得到$$C$$的祝福，同理$$C$$也得到$$D$$的祝福，由$$C$$、$$D$$的任意性可以得出，除$$A$$、$$B$$之外，班上其他同学都得到了祝福字条．以上分析说明，未得到祝福字条的同学不能超过$$2$$人．  在$$A$$、$$B$$给除他俩之外的同学都写了祝福字条，其余同学也都给除$$A$$、$$B$$之外的所有同学写了祝福字条的情况下，题目条件满足，即存在恰有两位同学未得到祝福字条的情况，所以最多有两位同学未得到祝福字条．选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第10题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，则$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$可能的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分
初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分
Problem: 如果对于不小于$$8$$的自然数$$n$$，当$$3n+1$$是一个完全平方数时，$$n+1$$都能表示成$$k$$个完全平方数的和，那么$$k$$的最小值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: $$3n+1$$是一个完全平方数，那这个完全平方数$$a$$显然不是$$3$$的倍数．  设$$a=3t\pm 1$$，则$${{a}^{2}}=9{{t}^{2}}\pm 6t+1$$，  $${{a}^{2}}=3n+1=9{{t}^{2}}\pm 6t+1$$，$$\textasciitilde\Rightarrow n=3{{t}^{2}}\pm 2t$$，  $$n+1=3{{t}^{2}}\pm 2t+1={{(t\pm 1)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{t}^{2}}$$．  而若$$k$$为$$1$$，当$$n=21$$时$$3n+1=64$$是完全平方数，但是$$n+1=22$$不能写成一个或两个完全平方数的和，故$$k$$最小为$$3$$，选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数
Source: 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$的所有可能的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
Source: 初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分
2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分
Problem: 已知实数$$x$$满足条件$$x\textgreater\sqrt{2}x+1$$，那么$$\sqrt{{{(x+2)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{(x-3)}^{3}}}$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2x-1$$ 
aoVal: B
content: $$-2x+1$$ 
aoVal: C
content: $$-5$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$x\textgreater\sqrt{2}x+1$$所以$$(\sqrt{2}-1)x\textless{}-1$$，  所以$$x\textless{}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}=-(\sqrt{2}+1)\textless{}-2$$，  所以$$x\textless{}-2$$，$$x+2\textless{}0$$，  所以原式$$=-(x+2)+(x-3)=-5$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 已知$$a=\sqrt{2}-1$$，$$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$，$$c=\sqrt{6}-2$$，那么$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}c\textless{}b$$ 
aoVal: C
content: $$b\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: D
content: $$b\textless{}c\textless{}a$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a-b$$  $$=\sqrt{2}-1-\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$$  $$=\sqrt{6}-\left( 1+\sqrt{2} \right)$$  $$\approx 2.449-2.414\textgreater0$$，  ∴$$a\textgreater b$$；  ∵$$a-c$$  $$=\sqrt{2}-1-\left( \sqrt{6}-2 \right)$$  $$=\sqrt{2}+1-\sqrt{6}$$  $$\approx 2.414-2.449\textless{}0$$，  ∴$$a\textless{}c$$；  于是$$b\textless{}a\textless{}c$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小
Source: 初二下学期单元测试《二次根式》二次根式的运算第43题
2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第1题7分