Problem: 已知非零向量$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{AC}$$满足$$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar} \right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$$且$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar}=\frac{1}{2}$$，则$$\triangle ABC$$为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 三边均不相等的三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 等腰非等边三角形 
aoVal: D
content: 等边三角形 
Answer: D
Analysis: 设$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}=\overrightarrow{AE}$$，$$\frac{\overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}=\overrightarrow{AF}$$，  则原式$$=\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF} \right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，  即$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，  ∴$$AD\bot BC$$，  ∴四边形$$AEDF$$为菱形．  ∵$$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left\textbar{} \overrightarrow{AE} \right\textbar\cdot \left\textbar{} \overrightarrow{AF} \right\textbar\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  ∴$$\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  ∴$$\angle BAC=60{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle BAD=\angle DAC=30{}^{}\circ $$，  ∴$$\triangle ABH$$ ≌ $$\triangle AHC$$，  ∴$$AB=AC$$，  ∴$$\triangle ABC$$为等边三角形．  故选$$\text{D}$$．  设$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB\textbar}}$$为$$\overrightarrow{AB}$$上的单位向量，$$\frac{\overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} AC \right\textbar}$$为$$\overrightarrow{AC}$$上的单位向量．  则$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar}$$的方向为$$\angle BAC$$的角平分线$$\overrightarrow{AO}$$的方向．  而$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，∴$$\overrightarrow{AO}\bot \overrightarrow{BC}$$．  ∴$$\triangle ABC$$为等腰三角形，$$AB=AC$$．  $$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar}=\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar} \right\textbar\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar} \right\textbar\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$．  ∵$$\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar} \right\textbar=1$$，∴$$\angle BAC=60{}^{}\circ $$．  综上所述，$$\triangle ABC$$为等边三角形． 
<p>由$$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，得$$\angle BAC$$的平分线垂直于$$BC$$，</p>
<p>&there4;$$AB=AC$$，</p>
<p>∵$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\cos \left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rangle =\frac{1}{2}$$，$$\left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rangle =\in (0{}^\circ ,180{}^\circ )$$，</p>
<p>&there4;$$\angle BAC=60{}^\circ $$，$$\triangle ABC$$为等边三角形．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>

Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用
Source: 2017~2018学年3月天津河西区天津市新华中学高一下学期月考第8题
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