math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 空间四点$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$满足$$\textbar\overrightarrow{AB}\textbar=3$$，$$\textbar\overrightarrow{BC}\textbar=7$$，$$\textbar\overrightarrow{CD}\textbar=11$$，$$\textbar\overrightarrow{DA}\textbar=9$$，则$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$的取值（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 只有一个 
aoVal: B
content: 有二个 
aoVal: C
content: 有四个 
aoVal: D
content: 有无穷多个 
Answer: A
Analysis: 注意到$${{3}^{2}}+{{11}^{2}}=1130={{7}^{2}}+{{9}^{2}}$$，由于$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$$，  则$$D{{A}^{2}}={{\overrightarrow{DA}}^{2}}={{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2({{\overline{BC}}^{2}}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$$，  即$$2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}-C{{D}^{2}}=0$$，∴$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$只有一个值得$$0$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 方程$$\sin x=\lg x$$的根的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 方程$$\sin x=\lg x$$的实根个数即函数$$y=\sin x$$与函数$$y=\lg x$$的交点的个数，  由函数$$y=\sin x$$与函数$$y=\lg x$$的图像可得图像交点为$$3$$个，  即方程$$\sin x=\lg x$$的实根的个数是$$3$$．~~~~~~~ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2016~2017学年12月北京顺义区顺义区第一中学高一上学期月考第7题5分
1984年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 已知整数集合$$M= {m\textbar{{x}^{2}}+mx-36=0$$有整数解$$ }$$，集合$$A$$满足条件：①$$\varnothing \subset A\subseteq M$$；②若$$a\in A$$，则$$-a\in A$$．那么所有这样的集合$$A$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$31$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$\alpha ,\beta $$为方程$${{x}^{2}}+mx-36=0$$的两根，则$$\alpha \cdot \beta =-36$$．因此，  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=1,\left\textbar{} \beta \right\textbar=36$$，有$$m=\pm 35$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=2,\left\textbar{} \beta \right\textbar=18$$，有$$m=\pm 16$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=3,\left\textbar{} \beta \right\textbar=12$$，有$$m=\pm 9$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=4,\left\textbar{} \beta \right\textbar=9$$，有$$m=\pm 5$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=6,\left\textbar{} \beta \right\textbar=6$$，有$$m=0$$．  $$M=\left { 0 \right }\cup \left { -5,  5 \right }\cup \left { -9,  9 \right }\cup \left { -16,  16 \right }\cup \left { -35,  35 \right }$$．  由条件①知$$A\ne \varnothing $$．由条件②知$$A$$是由一些成对的相反数所成之集，所以$$M$$的$$5$$对相反数共能组成$${{2}^{5}}-1$$个不同的非空集合$$A$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 函数$$f(x)={{\log }_{0.3}}({{x}^{2}}+x-2)$$的单调递增区间是．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,-2)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,1)$$ 
aoVal: C
content: $$(-2,1)$$ 
aoVal: D
content: $$(1, +\infty )$$ 
Answer: A
Analysis: 由对数函数的性质知，$${{x}^{2}}+x-2\textgreater0$$，则$$x\textgreater1$$或$$x\textless{}-2$$．当$$x\textless{}-2$$时，$$f(x)$$为增函数；当$$x\textgreater1$$时，$$f(x)$$为减函数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知$y=f(x)$是定义在$\text{R}$上的奇函数，当$x\textgreater0$时，$f(x)=x-2$，那么不等式$f(x)\textless{} \frac{1}{2}$的解集是（~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $ {x\textbar0\textless{} x\textless{} \frac{5}{2} , }$ 
aoVal: B
content: $ {x\textbar-\frac{3}{2}\textless{} x\le 0 , }$ 
aoVal: C
content: $ {x\textbar-\frac{3}{2}\textless{} x\textless{} 0或0\le x\textless{} \frac{5}{2} , }$ 
aoVal: D
content: $ {x\textbar x\textless{} -\frac{3}{2}或0\le x\textless{} \frac{5}{2} , }$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据$y=f(x)$是定义在上$\text{R}$的奇函数，求得函数解析式，然后再由分段函数的定义域，分$x\textless{} 0$，$x\textgreater0,x=0$三种情况讨论求解不等式即可.\\ 【详解】\\ 因为$y=f(x)$是定义在$\text{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，\\ 当$x\textless{} 0$时，则$-x\textgreater0$，所以$f(-x)=-x-2=-f\left( x \right)$，所以$f(x)=x+2$，\\ 综上所述，$f(x)=\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x+2,x\textless{} 0     0,x=0     x-2,x\textgreater0     \end{array}\text{ }$，\\ 不等式$f(x)\textless{} \frac{1}{2}$等价于$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x\textless{} 0     x+2\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$或$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x=0     0\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$或$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x\textgreater0     x-2\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$，\\ 解得$x\textless{} -\frac{3}{2}$或$x=0$或$0\textless{} x\textless{} \frac{5}{2}$，\\ 综上：不等式$f(x)\textless{} \frac{1}{2}$的解集是$\text{ } ! ! { ! !\text{ }x\textbar\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x\textless{} -\frac{3}{2}\text{ }$或$\text{ }0\le x\textless{} \frac{5}{2}\text{ } ! ! } ! !\text{ }$.\\ 故选：D. 
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第6题
Problem: 对任意的函数$$y=f\left( x \right)$$，在同一个直角坐标系中，函数$$y=f\left( x-1 \right)$$与函数$$y=f\left( -x+1 \right)$$的图象恒．
Options:
aoVal: A
content: 关于$$x$$轴对称； 
aoVal: B
content: 关于直线$$x=1$$对称 
aoVal: C
content: 关于直线$$x=-1$$对称 
aoVal: D
content: 关于$$y$$轴对称 
Answer: B
Analysis: $$f(x)$$和$$f(-x)$$的图象关于直线$$x=0$$对称，  $$f(x-1)$$与$$f(-x+1)$$的图象关于直线$$x=1$$对称．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 若兩個鋭角的度數比是$$5$$ ：$$4$$，其中一個角的餘角是另一個角的餘角之$$2$$倍，則此兩角的度數和為何？  The ratio of the neasures of two acute angles is $$5:4$$, and the complement of one of these two angles is twice as  large as the complement of the other. What is the sun of the degree measures of the two angles?
Options:
aoVal: A
content: $$75$$ 
aoVal: B
content: $$90$$ 
aoVal: C
content: $$135$$ 
aoVal: D
content: $$150$$ 
aoVal: E
content: $$270$$ 
Answer: C
Analysis: We can set up a system of equations where $$x$$ and $$y$$ are the two acute angles. WLOG, assume that $$x\textless y$$ in order for the complement of $$x$$ to be greater than the complement of $$y$$.  Therefore, $$5x=4y$$ and $$\begin{array}{l} {90-x=2\left( 90-y\right)}  {90-x=2\left( 90-1.25x\right)}  {1.5x=90}  {x=60} \end{array}$$ Solving for $$y$$ in the first equation and substituting into the second equation yields Substituting this $$x$$ value back into the first equation yields $$y=75$$, leaving $$x+y$$ equal to $$\left(\text{C}\right) 135$$. 
Source: 竞赛第7题5分
Problem: 若$$a\textgreater0,a\ne 1,F\left( x \right)$$是一奇数，则$$G\left( x \right)=F\left( x \right)\cdot \left( \frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2} \right)$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 奇函数 
aoVal: B
content: 偶函数 
aoVal: C
content: 不是奇函数也不是偶函数 
aoVal: D
content: 奇偶性与$$a$$的具体数值有关 
Answer: B
Analysis: ∵$$F\left( x \right)$$是奇函数，$$F\left( -x \right)=-F\left( x \right)$$  令 $$g\left( x \right)=\frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{{a}^{x}}+1}{2\left( {{a}^{x}}-1 \right)}$$，  则 $$g\left( -x \right)=\frac{{{a}^{-x}}+1}{2\left( {{a}^{-x}}-1 \right)}=\frac{\frac{1}{{{a}^{x}}}+1}{2\left( \frac{1}{{{a}^{x}}}+1 \right)}$$，  $$=\frac{{{a}^{x}}+1}{2(1-{{a}^{x}})}=-g\left( x \right)$$，  即$$g\left( x \right)$$也是奇函数．  当$$a\textgreater0$$，$$a\ne 1$$时，$$G\left( x \right)=F\left( x \right)g\left( x \right)$$在$$R$$上有意义．  而 $$G\left( -x \right)=F\left( -x \right)g\left( -x \right)=\left[ -F\left( -x \right) \right]\left[ -g\left( -x \right) \right]$$  $$=F\left( x \right)g\left( x \right)$$，  ∴$$G\left( x \right)$$是偶函数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 1984年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 已知$$\cos x+\cos y=1$$，则$$\sin x-\sin y$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$[-1,1]$$ 
aoVal: B
content: $$[-2,2]$$ 
aoVal: C
content: $$[0,\sqrt{3}]$$ 
aoVal: D
content: $$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$\sin x-\sin y=t$$，易得  $$\cos x\cos y-\sin x\sin y=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$$，  即$$\cos (x+y)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$$．  由于$$-1\leqslant \cos (x+y)\leqslant 1$$，  所以$$-1\leqslant \frac{{{t}^{2}}-1}{2}\leqslant 1$$，  解得$$-\sqrt{3}\leqslant t\leqslant \sqrt{3}$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 若$$x$$、$$y$$满足$$\textbar y\textbar{} \leqslant2-x$$ ~，且 $$x\geqslant -1$$ ，则 $$2x+y$$~ 的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-7$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 略 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛
Problem: 已知$$f(x)=2{{x}^{2}}+3px+2q$$和$$\varphi (x)=x+\frac{4}{x}$$是定义在集合$$M=\left { x\left\textbar{} 1\leqslant x\leqslant \frac{9}{4} \right. \right }$$上的函数，对任意的$$x\in M$$，存在常数$${{x}_{0}}\in M$$，使得$$f(x)\geqslant f({{x}_{0}}),\varphi (x)\geqslant \varphi ({{x}_{0}})$$，且$$f({{x}_{0}})=\varphi ({{x}_{0}})$$，则函数$$f(x)$$在$$M$$上的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{33}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 易知$$x=2$$时，$$\varphi \left( x \right)$$取得最小值$$4$$，所以$${{x}_{0}}=2$$．  在$$\left[ 1,\frac{9}{4} \right]$$上，$$f\left( x \right)$$在$$x=2$$取得最小值，所以$$-\frac{3}{4}p=2$$，解得$$p=-\frac{8}{3}$$．  又$$f\left( 2 \right)=\varphi \left( 2 \right)=4$$，$$8+6p+2q=4$$，解得$$q=6$$．  $$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-8x+12=2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4$$，在$$M$$上最大值为$$f\left( 1 \right)=6$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->不等式中的恒成立与能成立问题
课内体系->方法->定义法
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 在$${\triangle }ABC$$中，角$$A$$，$$B$$，$$C$$的对边分别记为$$a$$，$$b$$，$$c\left( b\ne 1 \right)$$，且$$\frac{C}{A}$$，$$\frac{\sin B}{\sin A}$$都是$${{\log }_{\sqrt{b}}}x={{\log }_{{b}}}\left( 4x-4 \right)$$的根，则$${\triangle }ABC$$．
Options:
aoVal: A
content: 是等腰三角形，但不是直角三角形 
aoVal: B
content: 是直角三角形，但不是等腰三角形 
aoVal: C
content: 是等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 不是等腰三角表，也不是直角三角形 
Answer: B
Analysis: 由已知方程得  $${{\log }_{b}}{{x}^{2}}={{\log }_{b}}\left( 4x-4 \right)$$，  即  $${{x}^{2}}-4x+4=0$$，  求得的根  $${{x}_{1}}={{x}_{2}}=2$$．  故  $$C=2A$$  以及  $$\sin B=2\sin A$$，  因  $$A+B+C=180{}^{}\circ $$，所以$$3A+B={{180}^{\circ }}$$，  因此  $$\sin B=\sin 3A$$，  所以  $$2\sin A-4{{\sin }^{3}}A=2\sin A$$，  即  $$\sin A\left( 1-4{{\sin }^{2}}A \right)=0$$，但  $$\sin A{\ne }0$$，  所以  $${{\sin }^{2}}A=\frac{1}{4}$$，  而  $$\sin A\textgreater0$$，  所以  $$\sin A=\frac{1}{2}$$，  从而  $$A=30{}^{}\circ $$，$$C=60{}^{}\circ $$，$$B=90{}^{}\circ $$．  因此答案是（$$\text{B}$$）． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 1992年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: $$x$$表示三角形一个内角的大小，并且$$\sin x+\cos x={{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x$$，则该三角形是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形或钝角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形或锐角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 直角三角形 
Answer: A
Analysis: $$\sin x+\cos x={{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x\Leftrightarrow \sin x(1-{{\sin }^{2}}x)=\cos x({{\cos }^{2}}x-1)$$$$\Leftrightarrow \sin x{{\cos }^{2}}x=-\cos x{{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow \sin x\cos x(\cos x+\sin x)=0$$．  ∵$$x$$表示三角形一个内角，则$$x\in (0, \pi )$$．  ∴$$x$$为直角或$$\cos x+\sin x=0$$．  当$$\cos x+\sin x=0$$时，则$$\cos x=-\sin x ~\textless{} ~0$$，（$$x\in (0, \pi )$$） ，  ∴$$x$$为钝角，此时$$x=\frac{3}{4} \pi $$．  故三角形为直角三角形或钝角三角形．  故选$$\rm A$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->利用三角恒等变换判断三角形形状
Source: 第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第2题4分
Problem: $$x=\frac{1}{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3}}+\frac{1}{{{\log }_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{3}}$$的值是属于区间(~ ~ )．
Options:
aoVal: A
content: $$(-2,-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(1,2)$$ 
aoVal: C
content: $$(-3,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(2,3)$$ 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{1}{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3}}+\frac{1}{{{\log }_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{3}}=\frac{1}{{{\log }_{{{2}^{-1}}}}{{3}^{-1}}}+\frac{1}{{{\log }_{{{5}^{-1}}}}{{3}^{-1}}}$$  $$=\frac{1}{{{\log }_{2}}3}+\frac{1}{{{\log }_{5}}3}={{\log }_{3}}2+{{\log }_{3}}5={{\log }_{3}}10$$，  ∵$${{3}^{2}} ~\textless{} ~10 ~\textless{} ~{{3}^{3}}$$，  ∴$$x\in \left( 2,3 \right)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 1983年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7, 8$$ \right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$49$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: $$S\subseteq A$$，且$$S\cap B\ne \varnothing $$，说明$$S$$是$$A$$的子集，且$$S$$与$$B$$有公共元素；  ∴$$A$$的构成情况为：①含一个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$中选一个元素，个数为$$\text{C}_{3}^{1}=3$$；  ②含两个元素:从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个元素，或从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，从$$4$$，$$56$$选一个，个数为：$$\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{1}=12$$；③含三个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{2}=19$$；  ④含四个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{3}=15$$；  ⑤含五个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{3}=6$$含"6"个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{3}=1$$；  ∴集合$$S$$的个数为：$$2+12+19+15+6+1=56$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学校高二下学期周测C卷理科第6题6分
2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$${{F}_{1}},{{F}_{2}}$$为椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a\textgreater b\textgreater0 \right)$$的左右焦点，该椭圆上存在两点$$A,B$$，使得$$\overrightarrow{{{F}_{1}}A}=3\overrightarrow{{{F}_{2}}B}$$，则该椭圆的离心率的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,\frac{1}{3} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{1}{3},1 \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{1}}A} \right\textbar=a+e{{x}_{A}}\leqslant a+e\cdot a=a+c$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{2}}B} \right\textbar=a-e{{x}_{B}}\geqslant a-e\cdot a=a-c$$，  所以$$a+c\geqslant 3\left( a-c \right)$$，取等号时$$AB$$重合，不成立，因此$$a+c\textgreater3\left( a-c \right)$$，  化简得$$\frac{c}{a}\textgreater\frac{1}{2}$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 若$$x\in \left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$，则$$y=\tan \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)-\tan \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$的最大值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{12\sqrt{2}}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{11\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11\sqrt{3}}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{12\sqrt{3}}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: $$y=\tan \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)+\cot \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)=\frac{1}{\cos \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)}+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$  $$=\frac{2}{\sin \left( 2x+\frac{4 \pi }{3} \right)}+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$  因为$$x\in \left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$，∴$$2x+\frac{4 \pi }{3}\in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{2 \pi }{3} \right]$$，$$x+\frac{ \pi }{6}\in \left[ -\frac{ \pi }{4},-\frac{ \pi }{6} \right]$$，  因此$$\frac{2}{\sin \left( 2x+\frac{4 \pi }{3} \right)}$$与$$\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$在$$\left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$上同为增函数，  故当$$x=-\frac{ \pi }{3}$$时，$$y$$取最大值$$\frac{11\sqrt{3}}{6}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 已知$${\triangle }ABC$$的三边$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，$$a$$，$$b$$，$$c$$的对角依次为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$．则$$\sin B+\cos B$$的范围是(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{1}{2} , 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1 , \sqrt{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 1 , 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{1}{2} , \sqrt{2} \right]$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，所以$${{b}^{2}}=ac$$．  则$${{b}^{2}}=ac={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B{\geqslant }2ac-2ac\cos B$$，  $$\cos B{\geqslant }\frac{1}{2}$$．  于是，$$0 \textless{} B{\leqslant }60{}^{}\circ $$．  由$$\frac{1}{2}{\leqslant }\cos B \textless{} 1$$及$$0 \textless{} \sin B{\leqslant }\frac{\sqrt{3}}{2}$$，得  $$\frac{1}{2} \textless{} \cos B+\sin B \textless{} \frac{\sqrt{3}}{2}+1$$． ①  另一方面$$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin (B+45{}^{}\circ )$$．  而$$45{}^{}\circ \textless{} \angle B+45{}^{}\circ {\leqslant }105{}^{}\circ $$．  故$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$． ②  综合①、②，有$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的性质及应用
课内体系->知识点->解三角形->正弦定理
课内体系->素养->数学运算
Source: 2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 方程组$$\begin{cases}\left( x+y-1 \right)\sqrt{x-1}=0    {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4=0   \end{cases}$$的解的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由题设得：$$\begin{cases}x-1=0    {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1\textgreater0    x+y-1=0    {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4=0   \end{cases}$$，  有三组解$$\left( 1,1 \right)$$，$$\left( 1,-1 \right)$$，$$\left( \frac{\sqrt{6}}{2},1-\frac{\sqrt{6}}{2} \right)$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知$$\text{i}$$为虚数单位，则复数$$\frac{1+2\text{i}}{\text{i}-2}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\text{i}$$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{1+2\text{i}}{\text{i}-2}=\frac{\left( 1+2\text{i} \right)\left( \text{i}+2 \right)}{\left( \text{i}-2 \right)\left( \text{i}+2 \right)}=-\text{i}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念
课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的代数表示法
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设$$x$$，$$y$$是正实数，且$$x+y=1$$，则$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$x+2=s$$，$$y+1=t$$，则$$s+t=x+y+3=4$$，  所以$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$  $$=\frac{{{(s-2)}^{2}}}{s}+\frac{{{(t-1)}^{2}}}{t}$$  $$=\left( s-4+\frac{4}{s} \right)+\left( t-2+\frac{1}{t} \right)$$  $$=(s+t)+\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-6$$  $$=\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-2$$．  因为$$\frac{4}{s}+\frac{1}{t}=\frac{1}{4}\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)(s+t)$$  $$=\frac{1}{4}\left( \frac{4t}{s}+\frac{s}{t}+5 \right)\geqslant \frac{9}{4}$$，  当且仅当$\left {\begin{align}\&\frac{4t}{s}=\frac{s}{t}  \&s+t=4\end{align}\right.$即$\left {\begin{align}\&s=\frac83  \&t=\frac43\end{align}\right.$也即$\left {\begin{align}\&x=\frac23  \&y=\frac13\end{align}\right.$时取等，  故当$x=\frac23,y=\frac13$时，$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$取得最小值$\frac{1}{4}$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
Source: 2016年天津河北区高三一模理科第13题5分
2017~2018学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二上学期期中理科第14题4分
2016年天津河北区高三二模文科第14题5分
2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分
2016年天津河北区高三二模理科第14题5分
Problem: 已知$$\triangle ABC$$的顶点$$B\left( -3,0 \right)$$和$$C(3,0)$$，顶点$$A$$在椭圆 $$\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{7}=1$$上，则$$\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设知：椭圆的长半轴长$$a=4$$，半焦距$$c=3$$，  $$B$$、$$C$$为椭圆的左右焦点，  ∵顶点$$A$$在椭圆上，  ∴$$\left\textbar{} AB \right\textbar+\left\textbar{} AC \right\textbar=2a=8$$，  $$\textbar BC\textbar=2c=6$$，  由正弦定理可得： $$\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}=\frac{\left\textbar{} AC \right\textbar+\left\textbar{} AB \right\textbar}{\left\textbar{} BC \right\textbar}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义
课内体系->知识点->解三角形->正弦定理->利用正弦定理求解边角->边角互化（利用正弦定理）
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第11题3分
Problem: 用$$[x]$$表示不大于$$x$$的最大整数，方程$${{x}^{2}}-[x]-2=0$$共有（ ~ ~）个不同的实根．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: $$x-1\textless{}{{x}^{2}}-2=[x]\leqslant x$$，解得$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}\textless{}x\leqslant 2$$或者$$-1\leqslant x\textless{}\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$，所以$$[x]=2$$、$$1$$或$$-1$$．代入原方程，解得$$x=2$$、$$\sqrt{3}$$或$$-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 已知集合$$P=\left { 1,\left\textbar{} a \right\textbar{} \right }$$，$$Q=\left { 2,  {{b}^{2}} \right }$$为全集$$U=\left { 1,  2,  3,  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b \right }$$的子集，且$${{\complement }_{U}}\left { P\cup Q \right }=\left { 6 \right }$$，则下面结论正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a=3$$，$$b=1$$ 
aoVal: B
content: $$a=3$$，$$b=-1$$ 
aoVal: C
content: $$a=-3$$，$$b=1$$ 
aoVal: D
content: $$a=-3$$，$$b=-1$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{\complement }_{U}}\left { P\cup Q \right }=\left { 6 \right }\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b=6$$，显然只有答案$$D$$符合． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知函数$$f(x)={{\text{e}}^{x}}(x-a{{\text{e}}^{x}})$$恰有两个极值点$${{x}_{1}}$$， $${{x}_{2}}({{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}})$$，则$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{1}{2} \right)\cup\left( \frac{1}{2},1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,1\right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$ 
Answer: D
Analysis: $${{f}^{\prime }}(x)={{\text{e}}^{x}}(x-a{{\text{e}}^{x}})+{{\text{e}}^{x}}(1-a{{\text{e}}^{x}})={{\text{e}}^{x}}[-2a{{\text{e}}^{x}}+x+1]=0$$有两个相异的实根，  即$$2a=\frac{x+1}{{{\text{e}}^{x}}}=g(x)$$有两个解，  $${{g}^{\prime }}(x)=\frac{-x}{{{\text{e}}^{x}}}$$，  $$g(x)$$在$$(-\infty ,0)$$单调递增；在$$(0,+\infty )$$单调递减，  $$x\textless{}0$$，$$g(x)\textless{}1$$，$$x\textgreater0$$时，$$0\textless{}g(x)\textless{}1$$，  因此$$2a\in (0,1)$$，即$$a\in \left( 0,\frac{1}{2} \right)$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->函数->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
知识标签->知识点->导数->导数的应用->导数与极值
知识标签->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性
知识标签->题型->导数->导数的应用->利用导数研究函数的极值问题->已知极值情况求参数的取值范围
Source: 2015年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
Problem: 已知等比数列$${a}_{n}{:}{{a}_{1}}=3$$，且第一项至第八项的几何平均数为$$9$$，则第三项是．
Options:
aoVal: A
content: $$3\sqrt[9]{81}$$ 
aoVal: B
content: $$3\sqrt[7]{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt[3]{9}$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 计算得$$q={{3}^{\frac{2}{7}}},{{a}_{3}}=3\sqrt[7]{81}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 马文在闰年$$2008$$年的$$5$$月$$27$$日星期二过生日．他下一个星期六的生日是在哪一年？
Options:
aoVal: A
content: $$2011$$ 
aoVal: B
content: $$2012$$ 
aoVal: C
content: $$2013$$ 
aoVal: D
content: $$2015$$ 
aoVal: E
content: $$2017$$ 
Answer: E
Analysis: $$\boxed{\rm(E)}2017$$.  There are $$365$$ days in a non-leap year. There are $$7$$ days in a week. Since $$365=52\cdot7+1$$(or $$365$$ is congruent to $$1\textasciitilde\rm mod\textasciitilde7$$), the same date (after February) moves "forward" one day in the subsequent year, if that year is not a leap year.  For example:  $$5/27/08$$ Tue  $$5/27/09$$ Wed  However, a leap year has $$366$$ days, and $$366=52\cdot7+2$$. So the same date (after February) moves "forward" two days in the subsequent year, if that year is a leap year.  For example: $$5/27/11$$ Fri  $$5/27/12$$ Sun  You can keep count forward to find that the first time this date falls on a Saturday is in $$2017$$:  $$5/27/13$$ Mon  $$5/27/14$$ Tue  $$5/27/15$$ Wed  $$5/27/16$$ Fri  $$5/27/17$$ Sat 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion
课内体系->知识点->推理与证明->逻辑推理题
Source: 2010年AMC10竞赛A第10题