math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 2017 AMC10B P14  An integer $$N$$ is selected at random in the range $$1\leqslant N\leqslant2020$$. What is the probability that the remainder when $$N^{16}$$ is divided by $$5$$ is $$1$$?  在$1\leqslant N\leqslant2020$的范围内随机选择一个整数$N$。当$N^{16}$除以$5$时，余数是$1$的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 15$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 25$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 35$$ 
aoVal: D
content: $$\frac 45$$ 
aoVal: E
content: $$1$$ 
Answer: D
Analysis: By Fermat\textquotesingle s Little Theorem, $$N^{16}=\left( N^{4}\right)^{4}\equiv1$$(mod $$5$$), when $$N$$ is relatively prime to $$5$$. Hence, this happens with probability $$\frac 45$$.  Note that the patterns for the units digits repeat, so in a sense we only need to find the patterns for the digits $$0-9$$. The pattern for $$0$$ is $$0$$, no matter what power, so $$0$$ doesn\textquotesingle t work. Likewise, the pattern for $$5$$ is always $$5$$. Doing the same for the rest of the digits, we find that the units digits of $$1^{16}$$,$$2^{16}$$,$$3^{16}$$,$$4^{16}$$,$$6^{16}$$,$$7^{16}$$,$$8^{16}$$ and $$9^{16}$$ all have the remainder of $$1$$ when divided by $$5$$, so $$\frac 45$$.  We can use modular arithmetic for each residue of $$n$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv0$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv0^{16}\equiv0$$(mod $$5$$),  If $$n\equiv1$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv1^{16}\equiv0$$(mod $$5$$),  If $$n\equiv2$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv\left( n^{2}\right)^{8}\equiv\left( 2^{2}\right)^{8}\equiv4^{8}\equiv\left( -1\right)^{8}\equiv1$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv3$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv\left( n^{2}\right)^{8}\equiv\left( 3^{2}\right)^{8}\equiv9^{8}\equiv\left( -1\right)^{8}\equiv1$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv4$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv4^{16}\equiv\left( -1\right)^{16}=1$$ (mod $$5$$).  In $$4$$ out of the $$5$$ cases, the result was $$1$$(mod $$5$$), and since each case occurs equally as $$2020\equiv0$$ (mod $$5$$), the answer is $$\frac 45$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities
Source: 2017年AMC10竞赛B第14题
Problem: 实数$$x$$、$$y$$满足$$1+{{\cos }^{2}}(2x+3y-1)=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2(x+1)(1-y)}{x-y+1}$$，则$$xy$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$1\leqslant 1+{{\cos }^{2}}(2x+3y-1)\leqslant 2$$，  且$$\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2(x+1)(1-y)}{x-y+1}=\frac{1}{x-y+1}+x-y+1\geqslant 2$$，  所以$$\begin{cases}x-y+1=1    2x+3y-1=k \pi ~\end{cases}$$，  即$$x=y=\frac{k \pi +1}{5}$$，  其中$$k\in Z$$．所以$$xy$$的最小值为$${{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}=\frac{1}{25}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater b\textgreater0)$$中长度为整数的焦点弦（过焦点的弦）称为``好弦''．则当$$a=6,b=3$$时，该椭圆中所有好弦的长度之和是．
Options:
aoVal: A
content: $$132$$ 
aoVal: B
content: $$138$$ 
aoVal: C
content: $$252$$ 
aoVal: D
content: $$258$$ 
Answer: D
Analysis: 过两个焦点的弦为长轴，长度是$$12$$．仅过左焦点的好弦中，长度最长为$$11$$，最短为$$3$$（垂直于长轴的焦点弦），且长度为$$45\cdots 11$$的弦均有$$2$$条，故只过左焦点的好弦长度之和为$$3+2\times (4+5+\cdots +11)=123$$，因此所有好弦的长度之和是$$123\times 2+12=258$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第4题5分
Problem: 若方程$${{a}^{x}}+2x-4=0\left( a\textgreater0,  a\ne 1 \right)$$的所有根为$${{u}_{1}},{{u}_{2}},\cdots ,{{u}_{k}}$$，其中$$k$$为正整数，方程$${{\log }_{a}}2x+x-2=0\left( a\textgreater0,  a\ne 1 \right)$$的所有根为$${{v}_{1}}，  {{v}_{2}}，\cdots ，{{v}_{l}}$$，其中$$l$$为正整数，则  $$\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\cdots +{{u}_{k}}+{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+\cdots +{{v}_{l}}}{k+l}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: 2 
Answer: C
Analysis: 方程$${{a}^{x}}+2x-4=0$$等价于$$\frac{{{a}^{x}}}{2}=2-x$$，  其根即为$$y=\frac{{{a}^{x}}}{2}$$与$$y=2-x$$的交点的横坐标．  $${{\log }_{a}}^{2x}+x-2=0$$等价于$${{\log }_{a}}^{2x}=2-x$$，  其根即为$$y={{\log }_{a}}^{2x}$$与$$y=2-x$$的交点的横坐标．  因为$$y=\frac{{{a}^{x}}}{2}$$与$$y={{\log }_{a}}^{2x}$$互为反函数，  所以此它们的图像关于$$y=x$$对称，  因此所有根的算术平均就是$$y=x$$与$$y=2-x$$交点的横坐标$$1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 将$$5$$名同学分配到$$A$$，$$B$$，$$C$$三个宿舍中，每个宿舍至少安排$$1$$名，其中甲同学不能分配到$$A$$宿舍，则不同的分配方案种数是(~ ~ )
Options:
aoVal: A
content: $$76$$种 
aoVal: B
content: $$100$$种 
aoVal: C
content: $$132$$种 
aoVal: D
content: $$150$$种 
Answer: B
Analysis: 分两步：第一步，分配甲，有${\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{1}}$种方法，设  甲被分配到$$B$$宿舍；  第二步，分配其余$$4$$名同学，分两类：第一类，其余$$4$$名  同学都不分配到$$B$$宿舍，有${\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{3}}{\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{1}}{\rm{C}}_{\rm{2}}^{\rm{2}}$种方法；  第二类，其余$$4$$名同学有人分配到$$B$$宿舍，有${\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{2}}{\rm{A}}_{\rm{3}}^{\rm{3}}$种  方法．故分配其余$$4$$名同学有${\rm{C}}_{\rm{3}}^{\rm{2}}{\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{2}}{\rm{C}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{2}}{\rm{C}}_{\rm{3}}^{\rm{3}}$种方法  所以不同的分配方案种数是$${N = {\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{1}}{\rm{(C}}_{\rm{4}}^{\rm{3}}{\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{2}}{\rm{C}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{C}}_{\rm{4}}^{\rm{2}}{\rm{A}}_{\rm{3}}^{\rm{3}}{\rm{)}} = 100}$$．故选$${\rm{B}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->分组分配法
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列组合综合
Source: 2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 若等差数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足$$3{{a}_{8}}=5{{a}_{13}}$$，且$${{a}_{1}}\textgreater0$$，则前$$n$$项之和$${{S}_{n}}$$的最大值是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $${{S}_{10}}$$ 
aoVal: B
content: $${{S}_{11}}$$ 
aoVal: C
content: $${{S}_{20}}$$ 
aoVal: D
content: $${{S}_{21}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$3{{a}_{8}}=5{{a}_{13}}$$可得$${{a}_{20}}\textgreater0$$，$${{a}_{21}} ~\textless{} ~0$$，∴$${{S}_{20}}$$最大． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->求等差数列前n项和的最值  
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
2017~2018学年6月河北石家庄辛集市河北辛集中学高一下学期月考第14题5分
Problem: 已知数列$\left {a_{n}\right }$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{1}=1$，$a_{n}a_{n+1}=2S_{n}$，设$b_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}$，若存在正整数$p,q\left(p\textless{} q\right)$，使得$b_{1}$，$b_{p}$，$b_{q}$成等差数列，则（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $p=1$ 
aoVal: B
content: $p=2$ 
aoVal: C
content: $p=3$ 
aoVal: D
content: $p=4$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据数列的递推公式得出$b_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{n}{3^{n}}$，然后根据等差数列的性质进项求解即可得出结果.\\ 【详解】\\ 数列$\left {a_{n}\right }$满足$a_{1}=1$，$a_{n}a_{n+1}=2S_{n}$，\\ 当$n=1$时，$a_{1}a_{2}=2S_{1}=2a_{1}$，解得：$a_{2}=2$；\\ 当$n\geq 2$时，$2a_{n}=2(S_{n}-S_{n-1})=a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})$，\\ 因为$a_{n}\neq 0$，所以$a_{n+1}-a_{n-1}=2$，所以数列$\left {a_{n}\right }$是首项为1，公差为1的等差数列，\\ 所以$a_{n}=1+(n-1)=n$，$b_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{n}{3^{n}}$，\\ 若存在正整数$p,q\left(p\textless{} q\right)$，使得$b_{1}$，$b_{p}$，$b_{q}$成等差数列，\\ 则$2b_{p}=b_{1}+b_{q}$，所以$\frac{2p}{3^{p}}=\frac{1}{3}+\frac{q}{3^{q}}$~~~~~~~~①\\ 因为数列$ {b_{n} }$是单调递减数列，\\ 当$p=1$时，由$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{q}{3^{q}}$，解得：$q=1$，舍去；\\ 当$2\leq p\textless{} q$时，则$\frac{1}{3}\geq \frac{p-1}{3^{p-1}}$，$\frac{p-1}{3^{p-1}}-\frac{2p}{3^{p}}=\frac{p-3}{3^{p}}$；\\ 当$3\leq p$时，$\frac{1}{3}\geq \frac{p-1}{3^{p-1}}\geq \frac{2p}{3^{p}}$，$\frac{q}{3^{q}}\textgreater{} 0$，所以$\frac{2p}{3^{p}}\textless{} \frac{1}{3}+\frac{q}{3^{q}}$，①式不成立，\\ 所以$p=2$，则有$\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{q}{3^{q}}$，解得：$q=3$，\\ 故选：$\mathrm{B}$. 
Source: 2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第7题
Problem: 为了得到函数$$y=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$$的图象，可以将函数$$y=\cos 2x$$的图象（~ ）
Options:
aoVal: A
content: 向右平移$$\frac{\pi }{6}$$个单位 
aoVal: B
content: 向右平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位 
aoVal: C
content: 向左平移$$\frac{\pi }{6}$$个单位 
aoVal: D
content: 向左平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位 
Answer: B
Analysis: $$y=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=\cos \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)=\cos \left( 2x-\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \left( 2\left( x-\frac{\pi }{3} \right) \right)$$．  故选择$$B$$选项． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->诱导公式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正余弦型、正切型函数图象变换
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2017~2018学年山东青岛崂山区青岛第二中学高一上学期期末第7题5分
2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
2017~2018学年12月山西太原迎泽区太原市第五中学高一上学期月考第9题3分
Problem: 如果复数$$\left( a+2\text{i} \right)\left( 1+\text{i}\right)$$的模为$$4$$，则实数$$a$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 2$$ 
aoVal: D
content: $$\pm 2\sqrt{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意得$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+4}=4\Rightarrow a=\pm 2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
2018年广东深圳龙岗区深圳科学高中高三四模文科第2题5分
Problem: 已知原点在椭圆$${{k}^{2}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4kx+2ky+{{k}^{2}}-1=0$$的内部，那么参数$$k$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\textbar k\textbar\textgreater1$$ 
aoVal: B
content: $$\textbar k\textbar\ne 1$$ 
aoVal: C
content: $$-1\textless{}k\textless{}1$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}\textbar k\textbar\textless{}1$$ 
Answer: D
Analysis: 椭圆外部的点可以离原点很远，  它的坐标$$x$$、$$y$$的绝对值可以很大，  使得方程左边大于$$0$$，  所以内部点的坐标使方程左边小于$$0$$，  用原点的坐标代入方程左边得$${{k}^{2}}-1\textless{}0$$  又$$k\ne 0$$，（否则方程不表示椭圆），  所以$$0\textless{}\textbar k\textbar\textless{}1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义
课内体系->素养->数学抽象
Source: 全国全国高中数学联赛竞赛一试
Problem: 已知$$\triangle ABC$$的三边$$a,b,c$$成等比数列，$$a,b,c$$所对的角依次为$$A,B,C$$．则$$\sin B+\cos B$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 1,1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \frac{1}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$(1,\sqrt{2}]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{1}{2},\sqrt{2} \right]$$ 
Answer: C
Analysis: $$ac={{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B\geqslant 2ac-2ac\cos B\Rightarrow \cos B\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow 0\textless{}B\leqslant \frac{ \pi }{3}$$，  于是$$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left( B+\frac{ \pi }{4} \right)\in (1,\sqrt{2}]$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第十九中学高二上学期期中理科第11题5分
2020~2021学年河南郑州郑东新区郑州市第四十七中学高二上学期期中理科第11题5分
2020~2021学年河南郑州高新区郑州中学高二上学期期中理科第11题5分
2020~2021学年河南郑州二七区郑州市第二中学高二上学期期中理科第11题5分
2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知$$A,  B$$为抛物线$$C:{{y}^{2}}=4x$$上的不同两点，$$F$$为抛物线$$C$$的焦点，若$$\overrightarrow{FA}=-4\overrightarrow{FB}$$，则直线$$AB$$的斜率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\pm \frac{2}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\pm \frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{4}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$A\left( {{x}_{1}},  {{y}_{1}} \right),  B\left( {{x}_{2}},  {{y}_{2}} \right)$$，由$$\overrightarrow{FA}=-4\overrightarrow{FB}$$，得  $${{y}_{1}}=-4{{y}_{2}}$$．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ①  设$$AB$$直线为$$y=k\left( x-1 \right)$$，与抛物线联立得$$k{{y}^{2}}-4y-4k=0$$．则  $${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=4/k$$，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ②  $${{y}_{1}}\cdot {{y}_{2}}=-4$$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ③  由①②③联立得出$$k$$值． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 已知$${{a}_{1}},  {{a}_{2}},\cdots ,  {{a}_{2011}}$$是一列互不相等的正整数，如果任意改变这$$2011$$个数的顺序，把它们记为$${{b}_{1}},  {{b}_{2}},\cdots ,  {{b}_{2011}}$$，则数$$M=({{a}_{1}}-{{b}_{1}})({{a}_{2}}-{{b}_{2}})({{a}_{3}}-{{b}_{3}})\cdots ({{a}_{2011}}-{{b}_{2011}})$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 必为$$0$$ 
aoVal: B
content: 必为$$1$$ 
aoVal: C
content: 是奇数 
aoVal: D
content: 是偶数 
Answer: D
Analysis: 假设$$M$$是奇数，则$${{a}_{i}}-{{b}_{i}}(i=1,  2,\cdots ,  2011)$$必定都是奇数，从而这$$2011$$个奇数的和也是奇数；另一方面，其和  $$({{a}_{1}}-{{b}_{1}})+({{a}_{2}}-{{b}_{2}})+({{a}_{3}}-{{b}_{3}})+\cdots +({{a}_{2011}}-{{b}_{2011}})=({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{2011}})-({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots +{{b}_{2011}})=0$$为偶数，矛盾，所以假设不成立，即$$M$$是偶数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
Source: 2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 平面上有一个点集$$M$$和七个不同的圆$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$，\ldots$${{C}_{7}}$$，其中圆$${{C}_{7}}$$恰好经过$$M$$中的$$7$$个点，圆$${{C}_{6}}$$恰好经过$$M$$中的$$6$$个点，\ldots，圆$${{C}_{1}}$$恰好经过$$M$$中的$$1$$个点，那么$$M$$中的点数最少为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$28$$ 
Answer: B
Analysis: 要使$$M$$中的点的个数最少，各圆要尽可能多地共同经过$$M$$中的点．因为不相同的两圆最多只有两个公共点，而$${{C}_{7}}$$经过$$M$$中的$$7$$个点，所以$${{C}_{6}}$$至少要经过$$M$$中的另外四个点，而$${{C}_{5}}$$除了和$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个公共点外，还要经过$$M$$中的一个点，则$$M$$中至少要有$$12$$个点．  另一方面，如果有$$12$$个点，就能满足要求：  先作两两相交的三个圆，记为$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{5}}$$．两作圆$${{C}_{4}}$$与两圆$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{7}}$$都相交于另外的点（但与$${{C}_{5}}$$不相交），又过$${{C}_{5}}$$与$${{C}_{7}}$$的一个交点作圆$${{C}_{3}}$$，使与$${{C}_{5}}$$及$${{C}_{7}}$$各交一个新的点，将所有的交点都算作$$M$$中的点，此时$$M$$中的点为$$12$$个．$${{C}_{7}}$$与$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{5}}$$、$${{C}_{4}}$$各有两个交点，又与$${{C}_{3}}$$有一个新交点，共$$7$$个点；$${{C}_{6}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{5}}$$、$${{C}_{4}}$$各有两个交点，共$$6$$个点；$${{C}_{5}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个交点，且与$${{C}_{3}}$$有一个新交点，共$$5$$个点；$${{C}_{4}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个交点，共$$4$$个点；$${{C}_{3}}$$是过$${{C}_{7}}$$与$${{C}_{5}}$$的一个交点，且与其各交得一个新点，共有$$3$$个点．最后在$$M$$的$$12$$个点中，选取两个点、一个点分别作满足要求的圆$${{C}_{2}}$$、$${{C}_{1}}$$是容易的事．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->图论（二试）
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 已知长方体的表面积为$$\frac{45}{2}$$，棱长的总和为$$24$$，则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\arccos \frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\arccos \frac{\sqrt{6}}{9}$$ 
Answer: D
Analysis: 设三条棱$$a\leqslant b\leqslant c$$，  ∴$$ab+ac+bc=\frac{45}{4}$$，$$a+b+c=6$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{27}{2}$$，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+2bc={{a}^{2}}+2\left[ \frac{45}{4}-a\left( 6-a \right) \right]$$，  整理得$${{a}^{2}}-4a+3\leqslant 0$$，  ∴$$1\leqslant a\leqslant 3$$，  ∴最短棱长为$$1$$，体对角线长为$$\frac{3\sqrt{6}}{2}$$，$$\cos \theta =\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->几何法求空间角
Source: 2018年上海杨浦区高三二模第16题5分
2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设$$M=\left { a\left\textbar{} a={{x}^{2}}-{{y}^{2}},  x,  y\in Z \right. \right }$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$9\in M$$，$$10\in M$$ 
aoVal: B
content: $$9\notin M$$，$$10\in M$$ 
aoVal: C
content: $$9\in M$$，$$10\notin M$$ 
aoVal: D
content: $$9\notin M$$，$$10\notin M$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$9={{3}^{2}}-{{0}^{2}}$$，所以$$9\in M$$；假设$$10\in M$$，则存在整数$$m$$、$$n$$使得  $$10={{m}^{2}}-{{n}^{2}}=\left( m+n \right)\left( m-n \right)$$，  则因为将$$10$$分解为两个整数因子之积，必定一个因子为奇数，另一个因子为偶数，而$$\left( m+n \right)$$与$$\left( m-n \right)$$同奇同偶，矛盾，所以$$10\notin M$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设$$f\left( x \right)$$是定义在实数集上的周期为$$2$$的周期函数，且是偶函数．已知当$$x\in \left[ 2,3 \right]$$时，$$f\left( x \right)=x$$，则当$$x\in \left[ -2,0 \right]$$时，$$f\left( x \right)$$的解析式为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x+4$$ 
aoVal: B
content: $$2-x$$ 
aoVal: C
content: $$3-\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $$2+\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\in \left[ -2,-1 \right]$$时，$$f\left( x \right)=f\left( x+4 \right)=x+4$$，  当$$x\in \left[ -1,0 \right]$$时，$$f\left( x \right)=f\left( -x \right)=f\left( 2-x \right)=2-x$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1990年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
2006年上海复旦大学自主招生千分考第24题
Problem: 已知各项均为正数的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{7}}={{a}_{6}}+2{{a}_{5}}$$，若存在两项$${{a}_{m}}$$，$${{a}_{n}}$$使得$$\sqrt{{{a}_{m}}{{a}_{n}}}=4{{a}_{1}}$$，则$$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{9}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{25}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 由各项均为正数的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{7}}={{a}_{6}}+2{{a}_{5}}$$，  可得$${{a}_{1}}{{q}^{6}}={{a}_{1}}{{q}^{5}}+2{{a}_{1}}{{q}^{4}}$$，  所以$${{q}^{2}}-q-2=0$$，解得$$q=2$$或$$q=-1$$（舍去）．  因为$$\sqrt{{{a}_{m}}{{a}_{n}}}=4{{a}_{1}}$$，所以$${{q}^{m+n-2}}=16$$，  所以$${{2}^{m+n-2}}={{2}^{4}}$$，所以$$m+n=6$$．  所以$$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=\frac{1}{6}\left( m+n \right)\left( \frac{1}{m}+\frac{4}{n} \right)$$  $$=\frac{1}{6}\left( 5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n} \right)$$  $$\geqslant \frac{1}{6}\left( 5+2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot \frac{4m}{n}} \right)$$  $$=\frac{3}{2}$$．  当且仅当$$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$$，即$$n=2m$$时，等号成立，  又$$m+n=6$$，所以$$m=2$$，$$n=4$$，符合题意．  故最小值为$$\frac{3}{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的概念与通项公式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数函数的图象及性质
Source: 2019~2020学年10月广东深圳南山区深圳市南山区育才中学高三上学期月考理科第10题5分
2017~2018学年广东深圳龙岗区深圳科学高中高二上学期期中第10题5分
2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $y=-\frac{1}{x}$ 
aoVal: B
content: $y=-{{x}^{3}}$ 
aoVal: C
content: $y=x+1$ 
aoVal: D
content: $y=x\left\textbar{} x \right\textbar$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.\\ 【详解】\\ 对于A：$y=-\frac{1}{x}$为反比例函数，为奇函数，在区间$\left( -\infty ,0 \right)$以及$\left( 0,+\infty \right)$上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；\\ 对于B：$y=-{{x}^{3}}$为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；\\ 对于C：$y=x+1$为一次函数，不是奇函数，不符合题意，故C错误；\\ 对于D： $y=x\left\textbar{} x \right\textbar=\left { \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}, \& x\ge 0     -{{x}^{2}}, \& x\textless{} 0     \end{array} \right.$为奇函数；$x\ge 0$时， $y={{x}^{2}}$为增函数，$x\textless{} 0$时，$y=-{{x}^{2}}$ 为增函数，且${{x}^{2}}\ge -{{x}^{2}}$该函数在\emph{R}上为增函数，故D正确；\\ 故选： D 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的应用
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第4题
Problem: 已知复数$$z$$满足$$\frac{\text{i}}{z-1}=3$$，则复数$$z$$的实部与虚部之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$3+\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$1+\frac{1}{3}\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: $$z=1+\frac{\text{i}}{3}$$，故实部与虚部之和为$$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
课内体系->素养->数学运算
Source: 2009年高二竞赛广州市第1题6分
Problem: 已知复数$${{z}_{1}}=m+2\text{i}$$，$${{z}_{2}}=3-4\text{i}$$．若$$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$$为实数，则实数$$m$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{8}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{8}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{3}{2}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{m+2\text{i}}{3-4\text{i}}=\frac{(m+2\text{i})(3+4\text{i})}{(3-4\text{i})(3+4\text{i})}=\frac{3m-8+(6+4m)\text{i}}{25}$$，  ∵$$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$$为实数，  ∴$$6+4m=0$$即$$m=-\frac{3}{2}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念->实部与虚部
课内体系->素养->数学运算
Source: 2017~2018学年广东广州白云区艺术中学高二下学期期中文科第6题5分
2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设集合$$S=\left { x\textbar{{x}^{2}}-5x-6\textless{}0 \right },  T=\left { x\textbar\left\textbar{} x+2 \right\textbar\leqslant 3 \right }$$，则$$S\cap T=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\left { x\textbar-5\leqslant x\textless{}-1 \right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { x\textbar-5\leqslant x\textless{}5 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar-1\textless{}x\leqslant 1 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\left { x\textbar1\leqslant x\textless{}5 \right }$$ 
Answer: C
Analysis: $$S=\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}6 \right },  T=\left { x\textbar-5\leqslant x\leqslant 1 \right }$$，故$$S\cap T=\left { x\textbar-1\textless{}x\leqslant 1 \right }$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2012年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知正整数$$m+n$$均为质数，且$$7m+n$$和$$mn+11$$也都是质数，则$$m^{n}+n^{m}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$37$$ 
aoVal: C
content: $$57$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 无 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质
竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）
Source: 2020年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分
Problem: 在正五棱柱$$ABCDE-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}$$的侧棱$$C{{C}_{1}}$$上有一点$$P$$，若截面$$PA{{E}_{1}}$$与侧面$$AE{{E}_{1}}{{A}_{1}}$$互相垂直，则这样的$$P$$点．
Options:
aoVal: A
content: 有且仅有一个 
aoVal: B
content: 有时有两个，有时有一个 
aoVal: C
content: 恰有两个 
aoVal: D
content: 有时不存在 
Answer: A
Analysis: 在面$$ABCDE$$内过$$A$$作$$AE$$的垂线交$$DC$$延长线于$$F$$，在面$${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}$$内过$${{E}_{1}}$$作$${{E}_{1}}{{A}_{1}}$$的垂线交$${{B}_{1}}{{C}_{1}}$$的延长线与点$${{F}_{1}}$$，则面$$AF{{F}_{1}}{{E}_{1}}$$与$$C{{C}_{1}}$$的交点为$$P$$，由正五边形的图形特征知只有一个交点，即$$P$$恰有一个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直
Source: 2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 不等式$$\sqrt{{{\log }_{2}}x-1}+\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{3}}+2\textgreater0$$的解集为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$[2,3)$$ 
aoVal: B
content: $$(2,3]$$ 
aoVal: C
content: $$[2,4)$$ 
aoVal: D
content: $$(2,4]$$ 
Answer: C
Analysis: 原不等式等价于$$\begin{cases}\sqrt{{{\log }_{2}}x-1}-\dfrac{3}{2}{{\log }_{2}}x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\textgreater0    {{\log }_{2}}x-1\geqslant 0    \end{cases}$$，  设$$\sqrt{{{\log }_{2}}x-1}=t$$，则有$$\begin{cases}t-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{2}\textgreater0    t\geqslant 0    \end{cases}$$，解得$$0\leqslant t\textless{}1$$，  即$$0\leqslant {{\log }_{2}}x-1\textless{}1$$，$$2\leqslant x\textless{}4$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2004年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 若$$a\textgreater1$$，$$b\textgreater{} 1$$，且$$\text{lg}\left( a+b \right)=\text{lg}a+\text{lg}b$$，则$$\lg \left( a-1 \right)+\lg \left( b-1 \right)$$的值（~ ）
Options:
aoVal: A
content: 等于$$\text{lg2}$$ 
aoVal: B
content: 等于$$1$$ 
aoVal: C
content: 等于$$0$$ 
aoVal: D
content: 不是与$$a$$，$$b$$无关的常数 
Answer: C
Analysis: $$a+b=ab$$，$$\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=1$$，由$$a-1\textgreater0$$，$$b-1\textgreater0$$，故$$\text{lg}\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 1998年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=\cos \left( a\sin x \right)-\sin \left( b\cos x \right)$$无零点，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ 0,\frac{ \pi }{4} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 0,\frac{{{ \pi }^{2}}}{2} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 0,\frac{{{ \pi }^{2}}}{4} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 由已知得$2k \pi +b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x$，$\left( 2k+1 \right) \pi -b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x\left( k\in \mathbf{Z} \right)$，  无解，所以方程$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x+\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}+2k \pi $，或  $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x-\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi $  其中$\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，无解．  所以$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless\left\textbar{} \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right\textbar$或$\left( \left\textbar{} \frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi \right\textbar{} \right)\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$取值范围为$\left[ 0      \frac{{{ \pi }^{2}}}{4} \right)$．  $$.$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 若正实数\emph{a}，\emph{b}满足lg \emph{a}＋lg \emph{b}＝1，则$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}$的最小值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\sqrt{2}$ 
aoVal: B
content: 2$\sqrt{2}$ 
aoVal: C
content: $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 
aoVal: D
content: 2 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 应用对数运算得到$ab=10$，由目标式结合基本不等式有$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}\ge 2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot \frac{5}{b}}$即可求其最小值.\\ 【详解】\\ ∵$\lg a+\lg b=1$，即$\lg ab=1$，\\ ∴$ab=10$，而$a\textgreater0,b\textgreater0$，\\ ∴$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}\ge 2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot \frac{5}{b}}=2$当且仅当$a=2,b=5$时等号成立.\\ ∴$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}$的最小值为2.\\ 故选：D\\ 【点睛】\\ 易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：\\ （1）``一正二定三相等''\,``一正''就是各项必须为正数；\\ （2）``二定''就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；\\ （3）``三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式
Source: 2022~2023学年12月安徽滁州定远县安徽省定远县民族中学高一上学期月考第5题
2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第3题
2021~2022学年江苏南京鼓楼区金陵中学高一上学期期中第4题