math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在下面四个算式中，得数最大的是（ ） 
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \frac{1}{17}-\frac{1}{19} \right)\div 20$$ 
aoVal: B
content: $$\left( \frac{1}{15}-\frac{1}{21} \right)\div 60$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{13}-\frac{1}{23} \right)\div 100$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{1}{11}-\frac{1}{25} \right)\div 140$$ 
Answer: D
Analysis: $$\left( \frac{1}{17}-\frac{1}{19} \right)\div 20=\frac{2}{17\times 19}\div 20=\frac{1}{17\times 19}\times \frac{1}{10}$$;$$\left( \frac{1}{15}-\frac{1}{21} \right)\div 60=\frac{6}{15\times 21}\div 60=\frac{1}{15\times 21}\times \frac{1}{10}$$; $$\left( \frac{1}{13}-\frac{1}{23} \right)\div 100=\frac{10}{13\times 23}\div 100=\frac{1}{13\times 23}\times \frac{1}{10};$$$$\left( \frac{1}{11}-\frac{1}{25} \right)\div 140=\frac{14}{11\times 25}\div 140=\frac{1}{11\times 25}\times \frac{1}{10};$$ 只需比较$$\frac{1}{17\times 19}$$，$$\frac{1}{15\times 21}$$，$$\frac{1}{13\times 23}$$，$$\frac{1}{11\times 25}$$的大小，根据和一定，两数越接近乘 积越大，则$$11\times 25 \textless{} 13\times 23 \textless{} 15\times 21 \textless{} 17\times 19$$，那么 $$\frac{1}{11\times 25}\textgreater\frac{1}{13\times 23}\textgreater\frac{1}{15\times 21}\textgreater\frac{1}{17\times 19}$$，所以答案为$$D$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->构造和一定最值原理
Source: 2004年第2届创新杯六年级竞赛复赛第5题
Problem: 小英从上星期五开始观察一株风信子，当时有些花已经开了．从此之后，每天新开的花朵数刚好等于前一天已开的花朵数，在这个过程中没有花凋谢．如果风信子的花朵全部开的那一天是星期四，请问花刚好开完一半的那一天是星期几？ 
Options:
aoVal: A
content: 星期六 
aoVal: B
content: 星期天 
aoVal: C
content: 星期一 
aoVal: D
content: 星期二 
aoVal: E
content: 星期三 
Answer: E
Analysis: 因为每天新开的花朵数刚好等于前一天已开的花朵数，所以最后一天新开的花朵数刚好等于总花朵数的一半．这说明花刚好开完一半的那一天是最后一天的前一天，也就是星期三． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第13题4分
Problem: 水结成冰体积增加$$\frac{1}{10}$$，冰化成水体积减少． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{11}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{1}{8}$$ 
Answer: C
Analysis: 设水的体积是``$$1$$''，  那么水结成冰体积是$$1\times \left( 1+\frac{1}{10} \right)=\frac{11}{10}$$，  冰化成水体积减少$$\left( \frac{11}{10}-1 \right)\div \frac{11}{10}=\frac{1}{11}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年广东广州海珠区广州为明学校卓越杯六年级竞赛初赛第5题2分
Problem: 质数$$a$$、$$b$$、$$c$$满足：$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=19350$$，则$$a+b+c=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$128$$ 
aoVal: B
content: $$146$$ 
aoVal: C
content: $$185$$ 
aoVal: D
content: $$149$$ 
Answer: B
Analysis: $$19350=$$奇数$$+$$奇数$$+$$偶数，所以$$3$$个质数中必定有一个是$$2$$；  由于质数中除了$$2$$、$$5$$以外，其他的质数都以$$1$$、$$3$$、$$7$$、$$9$$结尾，因此它们的平方末尾相应为$$1$$、$$9$$、$$9$$、$$1$$，相加后不可能得到$$6$$，而$$5$$的平方个位还是$$5$$，所以其中一个奇数必定为$$5$$．$$19350-4-25=19321$$，$$139$$的平方是$$19321$$，$$2+5+139=146$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（二）第16题
2017年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第16题
Problem: 0\textasciitilde4五个数字组成的，各位数字不同的最大五位数与最小五位数相差(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 30870 
aoVal: B
content: 32900 
aoVal: C
content: 32976 
aoVal: D
content: 10000 
Answer: C
Analysis: $$43210-10234=32976$$，选C 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的综合应用
Source: 2006年四年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第1题
Problem: 天气炎热，维维去帮爸爸妈妈排队买饮料，维维发现他的前面有$$3$$人，后面有$$4$$人，聪明的你赶快开动大脑想想这里一共有多少个小朋友在排队买饮料呢？ 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 除了涛涛前面的人和涛涛本身，剩下的就是排在涛涛后面的人，  所以共有：$$26-10-1=15$$（人）．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第9题5分
Problem: $$1234567891011121314\cdots 20052006$$是位数． 
Options:
aoVal: A
content: $$6913$$ 
aoVal: B
content: $$6914$$ 
aoVal: C
content: $$6915$$ 
aoVal: D
content: $$6917$$ 
Answer: D
Analysis: $$1\sim 9$$，共有$$9$$个数字组成，  $$10\sim 99$$共有$$2\times 90=180$$个数字组成，  $$100\sim 999$$，共有$$3\times 900=2700$$个数字组成，  $$1000\sim 2006$$共有$$4\times 1007=4028$$个数字组成，  所以$$1234567891011121314\cdots 20052006$$是由：$$9+180+2700+4028=6917$$个数字组成．  则其是$$6917$$位数．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->数与数字->数、数位、数字的认识
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛复赛第3题
Problem: $$1$$角硬币分正面与反面．拿三个$$1$$角硬币一起投掷一次，得到两个正面和一个反面的可能性为． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{8}$$ 
Answer: C
Analysis: 全部情况有：$$2\times 2\times 2=8$$（种），  最终得到两个正面一个反面可有以下三种情况：  正正反、正反正、反正正，  故所求概率为$$\frac{3}{8}$$．  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->抛硬币
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第8题3分
Problem: \textbf{(2018 Math League, Priamry 5, Question \#24)}  My favorite number has $$6$$ different factors. If the product of all $$6$$ factors is $${{12}^{3}}$$，what$$$$ is the sum of the factors of my favorite number?  我最喜欢的数有$$6$$个不同的因数．如果所有$$6$$个因数的乘积为$${{12}^{3}}$$，我最喜欢的数的因数之和是多少？（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$） 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: B
Analysis: 我们知道：$${{12}^{3}}=1728$$；  将$$1728$$分解质因数：$$1728=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 3$$；  由于$$6$$个因数各不相同，将质因数进行组合；  所以这六个因数可以是：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$6$$、$$12$$；  那么$$6$$个因数之和是：$$1+2+3+4+6+12=28$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Overseas Competition->知识点->数论模块->因数与倍数->因数个数定理
Source: 2018年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第24题5分
Problem: $$12$$的所有因数之和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$28$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
Answer: C
Analysis: 整数$$a$$除以整数$$b(b\ne 0)$$除得的商正好是整数而没有余数，我们就说$$a$$能被$$b$$整除，或$$b$$能整除$$a$$．  $$a$$称为$$b$$的倍数，$$b$$称为$$a$$的因数．  $$12$$的因数有：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$6$$、$$12$$，  它们的和是：$$1+2+3+4+6+12=28$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2012年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛第29题5分(每题5分)
Problem: 已知$$A,B$$两地相距$$300$$米。甲、乙两人同时分别从$$A,B$$两地出发，相向而行，在距$$A$$地$$140$$米处相遇； 如果乙每秒多行$$1$$米，则两人相遇处距$$B$$地$$180$$米。那么乙原来的速度是每秒（  ）米。 
Options:
aoVal: A
content: $$2\frac{3}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$2\frac{4}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$3\frac{1}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 本题是典型的利用正反比例解行程的问题。首先根据不变量判断是否成正反比例。两次相遇过程中两人的时间相同，路程比等于速度比。两次相遇过程中甲的速度没变，通分比较乙的，即可解决问题。  解：第一次相遇过程中，甲、乙两人的路程之比是$$140:\left( 300-140 \right)=7:8$$，时间相同，路程比就是速度比。  第二次相遇过程中，甲、乙两人的路程之比是$$\left( 300-180 \right):180=2:3$$，速度比也是$$2:3$$。  在两次相遇问题中，甲的速度是保持不变的。通分得，第一次速度比为$$7:8=14:16$$；第二次速度比为$$2:3=14:21$$。  速度从$$16$$份增加到$$21$$份，速度增加$$1$$米/秒，即$$1\div \left( 21-16 \right)=\frac{1}{5}$$。  乙原来的速度是$$16\times \frac{1}{5}=3.2$$（米/秒）$$=3\frac{1}{5}$$（米/秒）。  故选：D 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例
Source: 2016年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 某次数学比赛，分两种方法给分，一种是答对了一题给$$5$$分，不答给$$2$$分，答错不给分；另一种是先给$$40$$分，答对一题给$$3$$分，不答不给分，答错扣$$1$$分．某考生两种判分方法均得$$81$$分，这次比赛共有(  )题． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$22$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: 选项$$\rm A$$：$$12$$题，按第一种给分方法，最多得$$12\times 5=60$$分，排除$$\rm A$$；选项$$\rm B$$：$$15$$题，按第一种给分方法，最多得$$15\times 5=75$$分，排除$$\rm B$$； 选项$$\rm D$$：$$17$$题，按第一种给分方法，得$$81$$分只有一种方法，$$81=5\times 15+2\times 3$$，因此比赛试题最少应该有$$15+3=18$$题，排除$$\rm D$$．故选$$\rm C$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第10题
Problem: $$5$$只动物排成一排，狗和猫都与鸡相邻，猫和鼠都与兔相邻，那么都与猫相邻． 
Options:
aoVal: A
content: 鼠和鸡 
aoVal: B
content: 鸡和兔 
aoVal: C
content: 兔和狗 
aoVal: D
content: 兔和鼠 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，狗和猫都与鸡相邻，即鸡的左右两边是猫和狗，又因为猫与老鼠都与兔相邻，所以猫的旁边是兔子和老鼠，兔子和老鼠在猫的同一侧，由此可知，与猫相邻的是鸡和兔．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年新希望杯一年级竞赛初赛第14题5分
Problem: $$A$$、$$B$$两地相距$$600$$千米．甲、乙两车同时从$$A$$、$$B$$两地相向而行，$$3$$小时后相遇．甲速度是乙的$$1.5$$倍，则甲的速度是千米/时． 
Options:
aoVal: A
content: $$80$$ 
aoVal: B
content: $$90$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
Answer: D
Analysis: 设甲速度是$$3x$$千米/时，以速度是$$2x$$千米/时，$$600=\left( 2x+3x \right)\times 3$$，$$3x=120$$，即甲的速度是$$120$$千米/时 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2016年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（一）第2题
Problem: 甲、乙、丙、丁$$4$$人坐在$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$号椅子上，有人说：乙坐在丙旁边，甲坐在乙、丙中间，乙没有坐在$$3$$号椅子上．已知此人说的都是错的，  则丁坐在几号椅子上？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 首先，``乙没有坐在$$3$$号椅子上''是错的，就可以判断出乙在$$3$$号椅子上；再看，``乙坐在丙旁边''是错的，可以判断出丙不在$$2$$，$$4$$号椅子上，所以在$$1$$号椅子；最后，``甲坐在乙、丙中间''是错的，可以判断出甲在$$4$$号，故得出丁在$$2$$号椅子上． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->连线法
Source: 2013年河南郑州中原网杯六年级竞赛初赛
Problem: 同学们一起去划船，但公园船不够多，如果每条船坐$$4$$人，会多出$$10$$人；如果每条船坐$$5$$人，还会多出$$1$$人，共有人去划船． 
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$46$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$52$$ 
Answer: B
Analysis: 盈盈类问题：共有$$(10-1)\div (5-4)=9$$（条）船，共有$$4\times 9+10=46$$人． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题
Source: 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第5题3分
2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第13题
Problem: 两条纸带，较长的一条为$$23$$cm，较短的一条为$$15$$cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）厘米. 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 考虑到``同增同减差不变''的原则，在剪之后，两条纸带长度的差仍为$$23-15=8$$(厘米).  较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，故他们长度的差不少于较短的纸带长度的一倍， 较短的纸带不能超过$$8$$厘米，故至少剪下了$$7$$厘米。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->同增同减应用题
Source: 2010年华杯赛四年级竞赛初赛
2010年华杯赛三年级竞赛初赛
Problem: 一列数$$1$$，$$2$$，$$2$$，$$3$$，$$3$$，$$3$$，$$4$$，$$4$$，$$4$$，$$4$$，$$...$$ ．中的第$$35$$个数为（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: 无答案 
Answer: C
Analysis: $$1+2+\cdots +7=\left( 1+7 \right)\times 7\div 2=28$$，$$35-28=7$$，则第$$35$$个数为$$8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年河南郑州联合杯竞赛决赛第10题2分
Problem: 星星、希希、望望三人过年期间一共收了$$1800$$元压岁钱，如果星星把自己的钱数的$$\frac{1}{3}$$给希希，然后希希把自己现有钱数的$$\frac{1}{4}$$给望望，望望再把自己现有钱数的$$\frac{1}{5}$$给星星，此时二个人手中的钱就一样多了，那么希希原来的钱数比望望原来的钱数多（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$35$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$125$$ 
Answer: A
Analysis: 相互给，总和不变，给完后三人的钱数都是$$1800\div 3=600$$，望望得到希希的钱后是$$600\div \frac{4}{5}=750$$，给希希$$150$$后，星星是$$600$$，那么说明星星给出$$\frac{1}{3}$$后是$$450$$，那么星星原来是$$450\div \frac{2}{3}=675$$（元），那么给了希希$$225$$元，希希得到后有$$600\div \frac{3}{4}=800$$（元），那么希希原有$$800-225=575$$（元）．那么望望原有$$1800-675-575=550$$（元），所以希希原来的钱比望望原来的钱多$$25$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2015年第11届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第3题
Problem: 琦琦身陷神秘房间中．房间大门紧锁，上面刻着一段话：``钥匙上的话只有一句是真的．''往门旁一看，挂着三把钥匙，上面各贴着一句话．金钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''银钥匙：``金钥匙可以打开大门．''铜钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''那么，（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 琦琦应该拿金钥匙打开大门 
aoVal: B
content: 琦琦应该拿银钥匙打开大门 
aoVal: C
content: 琦琦应该拿铜钥匙打开大门 
aoVal: D
content: 三把钥匙都不能打开大门，琦琦应该另想办法 
Answer: C
Analysis: 本题的思路其实很简单，就是``找矛盾''；  1、三句话只有一句是真的；------题目条件；  2、只要存在一对矛盾则必然一真一假；------矛盾的定义；  3、金钥匙和银钥匙上写的话相互矛盾，根据以上两条，真的那句话一定是其中一句（具体到底是金还是银不重要）；  4、根据$$3$$，则铜钥匙那句一定是假的，但它上面说的本身是否定，否定为假则肯定为真，所以铜钥匙就可以打开大门．  答案选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2014年第3届广东广州羊排赛六年级竞赛第9题1分
Problem: 2008006共有个质因数. 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$2008006=2006\times 1000+2006=2006\times 1001=\left( 2\times 17\times 59 \right)\times \left( 7\times 11\times 13 \right)$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数
Source: 2006年华杯赛六年级竞赛初赛
2006年华杯赛五年级竞赛初赛
Problem: 在$$2000$$，$$2001$$，$$2002$$，$$2003$$，$$\ldots \ldots $$，$$2017$$这$$18$$个连续自然数中能表示为两个自然数平方之差的数有（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: 根据完全平方公式有$${{\left( a+1 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2a+1$$，那么可以得到$${{\left( a+1 \right)}^{2}}{{a}^{2}}=2a+1$$，$$2a+1$$是一个奇数，那么所在奇数共有$$9$$个，都可以表示为两个自然数平方之形；若一个偶数能表示为两个平方数之差，都为$${{a}^{2}}{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( ab \right)$$，此时$$\left( a+b \right)$$与$$\left( a-b \right)$$同奇偶性，必同为偶数，那么此时$${{a}^{2}}{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( ab \right)$$必为$$4$$的偶数，也就是说$$4$$的偶数才能表示为两个平方数之和，那么$$2000$$，$$2004$$，$$2006$$，$$2012$$，$$2016$$也是可以表示成两个平方数之差的，所以一共有$$9+5=14$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->完全平方公式
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（一）
Problem: 找出规律，将你认为合适的数填入(~ ~ ~ ），$$2$$、$$4$$、$$3$$、$$9$$、$$4$$、$$16$$、$$5$$、 ~( ~ ~ ~ ~ ~)、 ~( ~ ~ ~ ~ )、$$36$$、 $$7$$、$$\cdots$$那么正确的数是（~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$、$$6$$ 
aoVal: B
content: $$22$$、$$6$$ 
aoVal: C
content: $$25$$、$$6$$ 
aoVal: D
content: $$25$$、$$26$$ 
Answer: C
Analysis: $$2$$、$${ 2 }^{ 2 }$$、$$3$$、$${ 3 }^{ 2 }$$、$$4$$、$${ 4 }^{ 2 }$$、$$5$$、（$${5 }^{ 2 }$$）、（$$6$$ ）、$${ 6 }^{ 2 }$$、$$7$$$$\cdots$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第1题
Problem: $$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \cdots \times 21\div 343$$，则商的千位上的数字是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 易知最后的几位为$$0$$，$$0$$的个数由$$5$$和$$2$$的个数决定，在这里显然$$2$$的个数多于$$5$$；我们只需要考虑$$5$$的个数即可。$$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \cdots \times 21$$中含有$$4$$个$$5$$，而$$343={{7}^{3}}$$，所以商千位上的数字为$$0$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之位值原理
Source: 2011年六年级竞赛创新杯
Problem: 计算．  $$13+16+19+22+ 25+ 28+31+34+37+40=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$286$$ 
aoVal: B
content: $$265$$ 
aoVal: C
content: $$258$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\left( 13+40 \right)+\left( 16+37 \right)+\left( 19+34 \right)+\left( 22+31 \right)+\left( 25+28 \right)$$  $$=53\times 5$$  $$=265$$．  $$(13+40)\times 10\div 2=265$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求和
Source: 2019年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）三年级竞赛决赛第2题3分
Problem: 一袋准备要爆花的玉米，其中$$\frac{2}{3}$$是白粒的，$$\frac{1}{3}$$是黄粒的．白粒的$$\frac{1}{2}$$会爆开，黄粒的$$\frac{2}{3}$$会爆开．今从该袋中任选一粒放入锅中发生爆花，则是白粒玉米的概率是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 会爆开的白粒$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$，会爆开的黄粒$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$，会爆开的白粒是会爆开的玉米总数的$$\frac{1}{3}\div \left( \frac{1}{3}+\frac{2}{9} \right)=\frac{3}{5}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->加乘原理求概率
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（四）第6题
Problem: 六位同学考试的平均成绩是$$92.5$$分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的$$99$$分，最低的$$76$$分。那么，按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（  ）分。 
Options:
aoVal: A
content: 94 
aoVal: B
content: 95 
aoVal: C
content: 96 
aoVal: D
content: 97 
Answer: B
Analysis: 六位同学的平均成绩为$$92.5$$分，因此这六人的总分为$$92.5\times 6=555$$（分）。又最高分为$$99$$，最低分为$$76$$，因此剩下四人的分数和为$$380$$分。要使第三名的同学分数尽可能小，那么得使另外三人的分数尽可能大。而第二名最高为$$98$$分，而第四名第五名分数小于第三名，所以第三名至少为：$$(380-98)\div3+1=95$$（分），选$$B$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题
Source: 2015年华杯赛五年级竞赛初赛
2015年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 有$$15$$位同学，每位同学都有编号，他们是从$$1$$号到$$15$$号．$$1$$号同学写了一个自然数，$$2$$号同学说：``这个数能被$$2$$整除．''$$3$$号同学说：``这个数能被$$3$$整除．''$$4$$号同学说：``这个数能被$$4$$整除．''$$\cdots \cdots $$，依次下去，每位同学都说，这个数能被他（或她）的编号整除．$$1$$号同学一一验证，发现只有编号相邻的两个同学说得不对．那么，说得不对的同学，他们的编号是两个连续的自然数． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$、$$6$$ 
aoVal: B
content: $$6$$、$$7$$ 
aoVal: C
content: $$7$$、$$8$$ 
aoVal: D
content: $$8$$、$$9$$ 
Answer: D
Analysis: 首先可以判断编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$的同学说的一定都对，  否则的话，其中说的不对的同学的编号乘以$$2$$后所得的编号也将说得不对，  这样就与``只有编号相邻的两个同学说得不对''矛盾．  因而这个数能被$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$整除，  从而也能被$$10$$，$$12$$，$$14$$整除，  即编号为$$10$$，$$12$$，$$14$$的同学说得也对．  于是可以判定编号为$$11$$，$$13$$，$$15$$的同学也对．  现在只剩下$$8$$号和$$9$$号了，所以错的是$$8$$，$$9$$两号，  答案为$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第10题4分
Problem: 养鸡场购进一批种蛋，若能全部孵化成小鸡则有$$2.5$$倍的收益，但是实际上获得的收益仅仅为$$1.25$$倍，这批种蛋的孵化率是~\uline{~~~~~~~~~~}~$$ \%$$（百分子保留一位小数）． 
Options:
aoVal: A
content: $$64.3$$ 
aoVal: B
content: $$63.3$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$70$$ 
Answer: A
Analysis: 解法一：这一批种蛋的孵化收益损失$$2\frac{1}{2}-1\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$$（倍），若是全部孵化失败，则要损失$$2\frac{1}{2}+1=3\frac{1}{2}$$（倍），所以这批种蛋的孵化率是：  $$（1-1\frac{1}{4}\div3\frac{1}{2}）\times100 \%=\frac{9}{14}\times100 \%=64.3 \%$$．  解法二：假设每个种蛋的成本价为$$1$$元，$$100$$个种蛋总成本价$$100$$元．又设$$100$$个种种蛋$$S$$个孵化出来，则孵化出后可卖$$S（2\frac{1}{2}+1）$$元．于是$$S（2\frac{1}{2}+1）\div100=1\frac{1}{4}+1$$， 因此，这批种蛋的孵化率是$$\frac{9}{14}\times100 \%=64.3 \%$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->赋值思想
Source: 2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟3第6题
Problem: 芳芳煮熟$$2$$个生鸡蛋用$$6$$分钟，煮熟$$10$$个生鸡蛋用分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
Answer: B
Analysis: 鸡蛋可以一起煮，所以所花的时间是一样的．  故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->统筹规划->简单时间统筹问题->时间总和问题
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第3题6分
Problem: 对自然数$$n$$进行如下操作：如果$$n$$是偶数，就把它除以$$2$$，如果$$n$$是奇数，就把它加上$$105$$．现在对$$123$$进行有限次操作，得到的结果不可能是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$93$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$114$$ 
Answer: C
Analysis: 由于$$123$$是$$3$$的倍数，操作过程中得到数一定为$$3$$的倍数，故不可能得到$$100$$选$$C$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题4分
Problem: 在一个口袋里有$$8$$个黑球、$$3$$个白球、$$9$$个红球，至少取出个球，才能保证其中有黑球． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意分析可知，考虑最坏的情况，先摸到的都是其他颜色的球，即白球和红球，把$$3+9=12$$（个）球全摸完然后再接下来摸到的球一定是黑球也就是：$$12+1=13$$（个），故选答案$$\text C$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第7题3分
Problem: 有两个两位数，它们的最大公因数是$$8$$，最小公倍数是$$96$$，这两个数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: 56 
aoVal: B
content: 78 
aoVal: C
content: 84 
aoVal: D
content: 96 
Answer: A
Analysis: 因为两个两位数的最大公因数为8，可设这两个数分别为$$8a\text{，}8b$$($$a\text{，}b$$互质)，那么$$8\times a\times b=96$$，即$$a\times b=12$$，则$$a\text{，}b$$为$$\left( 3\text{，}4 \right)\text{，}\left( 1\text{，}12 \right)$$，又因为这两个数皆为两位数，所以这两个数只能为24和32，$$24+32=56$$，选 A. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公因数与最大公因数->两数的最大公因数
Source: 2004年五年级竞赛创新杯
Problem: 某货运公司运送一批货物，原计划安排$$18$$辆小卡车和$$12$$辆大卡车刚好运$$4$$次，已知$$2$$辆大卡车与$$5$$辆小卡车装的重量相同，现在只能派出$$8$$辆小卡车，需运次才能把货物运完． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: D
Analysis: $$12$$辆大卡车装的重量等于$$12\div 2\times 5=30$$辆小卡车，则原计划运$$1$$次的货物现在要运$$\left( 18+30 \right)\div 8=6$$（次），所以一共需运$$6\times 4=24$$次． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（二）第2题
Problem: 一次考试有三道题，四个好朋友考完后互相交流了成绩，发现四人各对了$$3$$、$$2$$、$$1$$、$$0$$ 道题。这时一个路人问：``你们考得怎么样啊？''  甲：``我对了两道题，而且比乙对的多，丙考得不如丁。''  乙：``我全对了，丙全错了，甲考得不如丁。''  丙：``我对了一道，丁对了两道，乙考得不如甲。''  丁：``我全对了，丙考得不如我，甲考得不如乙。''  已知大家都是对了几道题就说几句真话，那么对了$$2$$题的人是~\uline{~~~~~~~~}~。 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 丁 
Answer: B
Analysis: 全对的人不会说自己对的题少于$$3$$，故只有乙、丁可能全对。若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的``丁对了$$2$$道''是假话相矛盾；若丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第二名，又由丁的``甲考得不如乙''能知道第二名是乙，故丙全错，甲只有``丙考得不如丁''是真话，排名是丁、乙、甲、丙且$$4$$人的话没有矛盾。综上，答案是B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 若甲数除以$$5$$余$$2$$、乙数除以$$5$$余$$4$$，请问甲、乙两数之和除以$$5$$的余数是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 将甲、乙两数余数之和$$2+4=6$$继续除以$$5$$，可得其余数为$$1$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2014年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第7题3分
Problem: 【2020希望杯六年级竞赛初赛】  如果$$x:y=4:7$$，$$z:x=3:5$$，那么$$\left( x+y \right):(z+x)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$11:8$$ 
aoVal: B
content: $$33:55$$ 
aoVal: C
content: $$32:55$$ 
aoVal: D
content: $$41:32$$ 
aoVal: E
content: $$55:32$$ 
Answer: E
Analysis: 已知$$x:y=4:7$$，$$z:x=3:5$$，那么$$y:x=7:4$$，$$x:z=5:3$$，  $$y:x=\left( 7\times 5 \right):\left( 4\times 5 \right)=35:20$$，$$x:z=\left( 5\times 4 \right):\left( 3\times 4 \right)=20:12$$，  $$y:x:z=35:20:12$$．  假设$$y=35a$$，$$x=20a$$，$$z=12a$$，其中$$a\ne 0$$．  $$x+y=20a+35a=55a$$，$$z+x=12a+20a=32a$$，  那么$$\left( x+y \right):\left( z+x \right)=55a:32a=55:32$$．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年新希望杯六年级竞赛初赛（个人战）第4题
2020年希望杯六年级竞赛（个人赛）第4题
Problem: 四位同学到商店买毛笔或铅笔，每人只买了$$1$$支笔，而且至少有$$1$$人买了铅笔，则可能的买法有（~ ~ ~ ~）种． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 每位同学有两种买法，排除全部是毛笔，则共有$$2\times 2\times 2\times 2-1=15$$（种）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配（有特殊要求）
Source: 2015年湖北武汉世奥赛小学高年级六年级竞赛模拟训练题（四）第4题
Problem: 某次数学竞赛，试题共有$$10$$道，每做对一题得$$6$$分，每做错一题倒扣$$2$$分，小红最终得$$44$$分，做对的题比做错的题多~\uline{~~~~~~~~~~}~道． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
Answer: A
Analysis: $$\left( 60-44 \right)\div 8=2$$，做错$$2$$道题，做对$$8$$道题，对的比错的多$$6$$道． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->运算求解
Source: 其它
2010年北京学而思综合能力诊断三年级竞赛第8题
Problem: $$9$$个正方形放在一行，第$$1$$个正方形的面积为$$1$$，从第$$2$$个正方形开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和与第$$1$$个正方形面积的大小． 
Options:
aoVal: A
content: 第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和大 
aoVal: B
content: 第$$1$$个正方形面积大 
aoVal: C
content: 一样大 
aoVal: D
content: 不能判断 
Answer: B
Analysis: 第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和为$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$$  $$=\frac{1}{256}\left( 128+64+32+16+8+4+2+1 \right)$$  $$=\frac{255}{256}\textless{}1$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年第15届全国希望杯小学高年级六年级竞赛
Problem: 已知$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$四个数的平均数是$$12.345$$，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，那么$$b$$（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: 大于$$12.345$$ 
aoVal: B
content: 小于$$12.345$$ 
aoVal: C
content: 等于$$12.345$$ 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: D
Analysis: 解：因为$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$四个数的平均数是$$12.345$$，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，  所以$$a$$一定大于$$12.345$$，$$d$$一定小于$$12.345$$，  但是$$b$$的取值无法确定，$$b$$可能大于$$12.345$$，也有可能小于$$12.345$$或等于$$12.345$$。  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类
Source: 2014年迎春杯五年级竞赛初赛
Problem: 计算:$$0.123\times 958958+877\times 613.613-34.5\times 1231.23=$$(  ). 
Options:
aoVal: A
content: $$613613$$ 
aoVal: B
content: $$6136.13$$ 
aoVal: C
content: 61361.3 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: A
Analysis: 原式  $$=123\times 958.958-123\times 1.001\times 345+877\times 613.613 $$  $$=123\times \left( 958.958-345.345 \right)+877\times 613.613 $$  $$=123\times 613.613+877\times 613.613 $$  $$=613\times 1.001\times \left( 123+877 \right) $$  $$=613\times 1001 $$  $$=613613 $$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数提取公因数->小数乘法巧算之提取公因数（普通型）
Source: 竞赛
Problem: 在$$1\tilde{  }200$$的自然数中，如果一个数能被$$2$$或$$7$$整除，就称这个数是``双七数''，那么``双七数''共有（~~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$112$$ 
aoVal: B
content: $$114$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$128$$ 
Answer: B
Analysis: $$\left[ \frac{200}{2} \right]+\left[ \frac{200}{7} \right]-\left[ \frac{200}{2\times 7} \right]=100+28-14=114$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第5题
2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（二）第5题
Problem: 若两个三位数的和为$$\overline{ \square \square\square } +\overline{\square \square \square } =1949$$，那么$$6$$个$$\square $$中的数字之和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$23$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$41$$ 
Answer: D
Analysis: 和有千位，则百位一定向前进一位，和的百位为$$9$$且向前进位，则十位一定向百位进一位，和的个位为$$9$$，则个位一定不向前进位，所以总共进两位，数字之和减少$$9\times 2=18$$，则$$\overline{\square } $$中的数字之和是$$1+9+4+9+18=41$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->横式数字谜->与数论的结合
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛第9题
Problem: 有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式． 
Options:
aoVal: A
content: $$149$$ 
aoVal: B
content: $$244$$ 
aoVal: C
content: $$264$$ 
aoVal: D
content: $$274$$ 
Answer: D
Analysis: 设第$$n$$级有$${{a}_{n}}$$种登的方式，  则第$$n-3$$，$$n-2$$，$$n-1$$级再分别登$$3$$，$$2$$，$$1$$级可到第$$n$$级，  则$${{a}_{n}}={{a}_{n-3}}+{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-1}}$$，  而$${{a}_{1}}=1$$，$${{a}_{2}}=1+1=2$$，$${{a}_{3}}=1+1+2=4$$，  故$${{a}_{4}}=1+2+4=7$$，  $${{a}_{5}}=2+4+7=13$$，  $${{a}_{6}}=4+7+13=24$$，  $${{a}_{7}}=7+13+24=44$$，  $${{a}_{8}}=13+24+44=81$$，  $${{a}_{9}}=24+44+81=149$$，  $${{a}_{10}}=44+81+149=274$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分