math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 规定：$$a*b=2a+3b$$，$$a\triangle b=2ab$$，如果$$\left( 2*x \right)\triangle 2=64$$，那么$$x=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 按照$$*$$运算法则为前数$$\times 2-$$后数$$\times 3$$，按照$$\triangle $$运算法则为$$2\times $$两数之积．  在解方程时，由于括号内含有未知数，所以要由外向内化简方程，一步一步展开．  也可以将$$2*x$$看作一个整体，先求结果，再求$$x$$．  有括号时先算括号里的，$$2*x=2\times 2+3x=4+3x$$，$$\left( 2*x \right)\triangle 2=\left( 4+3x \right)\triangle 2=2\times \left( 4+3x \right)\times 2=16+12x$$，得一元一次方程$$16+12x=64$$，解得$$x=4$$．  设$$2*x=A$$，$$A\Delta 2=2\times 2\times A=64,A=16.$$所以，$$2*x=2\times 2+3x=16$$，解得$$x=4$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 四年级其它小学奥数优秀生培养教程7级
2005年第6届中环杯四年级竞赛复赛第3题6分
Problem: 一列数：$$a_{1}，a_{2}，a_{3}，a_{4}，\cdots，a_{n}，\cdots，$$其中$$a_{1}=2016，a_{2}=21， a_{n}=（a_{n-1}）+（a_{n-2}）$$这里$$（a_{n-1}）$$表示$$a_{n-1}$$的所有数字之和，那么$$a_{2016}$$=（ ） 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 这列数为$$2016，$$21$$，$$12$$，$$6$$，$$9$$，$$15$$，$$15$$，$$12$$，$$9$$，$$12$$，$$12$$，$$6$$，$$9$$，$$15$$，$$15$$，$$12$$，$$9$$，\cdots，$$从$$a_{4}$$开始每$$8$$个数一循环．$$2016=3+8\times251+5$$，所以，$$a_{2016}=a_{8}=12$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->数列操作周期问题->数的周期
Source: 2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟试卷2第2题
Problem: 童童在计算有余数的除法时，把被除数$$472$$错看成了$$427$$，结果商比原来小$$5$$，但余数恰好相同，那么这个余数是（~~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 除数$$=(472-427)\div 5=9$$，$$472\div 9=52\cdots \cdots 4$$，所以余数是$$4$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内题型->综合与实践->应用题->还原问题->抄错数得出结果，求正确的
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第3题
Problem: 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被$$11$$或$$13$$整除的三位数，则这个七位数最大是（~~~~~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9981733$$ 
aoVal: B
content: $$9884737$$ 
aoVal: C
content: $$9978137$$ 
aoVal: D
content: $$9871773$$ 
Answer: B
Analysis: 注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是$$0$$，逐步极端分析，得$$988=13\times 76$$，$$884=13\times 68$$，$$847=11\times 77$$，$$473=11\times 43$$，$$737=11\times 67$$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2016年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第3题
Problem: 某便民点销售矿泉水，进货，$$5$$元钱$$4$$瓶，售出时，$$5$$元钱$$3$$瓶，要获利$$300$$元，那么需售瓶． 
Options:
aoVal: A
content: $$480$$ 
aoVal: B
content: $$360$$ 
aoVal: C
content: $$240$$ 
aoVal: D
content: $$720$$ 
Answer: D
Analysis: 已知进货$$5$$元钱$$4$$瓶，每瓶是$$5$$ $$\div4= \frac{5}{4}$$ （元），  售出时，$$5$$元钱$$3$$瓶，每瓶$$5 \div 3= \frac{5}{3}$$ 元，每瓶获和 $$\frac{5}{3}- \frac{5}{4}= \frac{5}{12}$$（元），要获利$$300$$元，那么需售多少瓶，用 $$300 \div \frac{5}{12}=720$$（元），即可得解．  $$5\div 4=\frac{5}{4}$$，  $$5\div 3=\frac{5}{3}$$，  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde300\div \left( \frac{5}{3}-\frac{5}{4} \right)$$  $$=300\div \left( \frac{20}{12}-\frac{15}{12} \right)$$  $$=300\div \frac{5}{12}$$  $$=300\times \frac{12}{5}$$  $$=720$$（瓶），  答：要获利$$300$$元，那么需售$$720$$瓶．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2013年第11届创新杯四年级竞赛初赛第4题6分
Problem: 马大哈在计算有余数的除法时，把被除数$$113$$错写成$$131$$，结果商比原来的商多$$3$$，但余数恰好相同．该题的余数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
Answer: A
Analysis: 错把被除数$$113$$写成$$131$$，被除数增加了$$131-113=18$$，  因为余数相同，且商多$$3$$，除数增加了$$3$$倍，即$$18$$是除数的$$3$$倍，  所以除数是$$18\div3=6$$，  那么该题的余数是$$113$$除以$$6$$所得的余数，据此解答．  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(131-113)\div3$$  $$=18\div3$$  $$=6$$  $$113\div6=18\cdots\cdots5$$．  答：原来的除数是$$6$$，余数是$$5$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第9题3分
Problem: 仅用$$1$$和$$2$$两个数码组成的，能被$$9$$整除的八位数有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$32$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 能被$$9$$整除的八位数，则这个八位数的数字和必须是$$9$$的倍数，  又因为只能由数字$$1$$和$$2$$构成，  所以数字和只能$$9$$，则能是七个$$1$$和一个$$2$$，  所以只用给$$2$$选一个位置就可以，一共是八位数，所以有八个．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->数学概念理解（数）
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第20题4分
Problem: 四名同学（甲乙丙丁）猜测他们之中谁被评为三好学生．  甲说：``如果我被评上，那么乙也被评上；''  乙说：``如果我被评上，那么丙也被评上；''  丙说：``如果丁没评上，那么我也没评上；''  实际上他们之中只有一个人没评上，并且甲、乙、丙说的都是正确的，则没有被评上三好学生的是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 丁 
Answer: A
Analysis: 假设找矛盾 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数学广角->推理->解决简单逻辑推理问题
Source: 2016年第3届河南K6联赛小学高年级竞赛第7题5分
Problem: 从$$10A$$.$$M$$.起，过$$1000$$分钟后是什么时间? 
Options:
aoVal: A
content: $$4:40 P.M.$$ 
aoVal: B
content: $$10:00 P.M.$$ 
aoVal: C
content: $$2:40 A.M.$$ 
aoVal: D
content: $$1:00 A.M.$$ 
Answer: C
Analysis: $$1000\div60=16\cdots40$$  过了$$16$$个小时$$40$$分钟． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第30题
Problem: 原计划安排若干人进行某项任务，如果增加$$10$$人，$$6$$天可以完成：如果增加$$15$$人，$$5$$天可以完成．那么原计划（~~~ ）天可以完成（每人工作效率相同）． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: C
Analysis: 算出两种方案的差$$5\times 15-6\times 10=15$$；即原有$$15$$人，然后，$$(15+10)\times 6\div 15=10$$故选$$C$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->基本合作问题
Source: 2011年第7届全国新希望杯五年级竞赛A卷第3题
2016年创新杯五年级竞赛训练题（四）第1题
Problem: 设$$n$$是一任意自然数．若将$$n$$的各位数字反向排列所得自然数$${n}_{1}$$与$$n$$相等，则称$$n$$为回文数．例如，若$$n=1234321$$，则称$$n$$为一回文数；但若$$n=1234567$$，则$$n$$不是回文数．请问在$$10000$$和$$100000$$之间有多少个回文数？ 
Options:
aoVal: A
content: $$900$$ 
aoVal: B
content: $$1000$$ 
aoVal: C
content: $$1100$$ 
aoVal: D
content: $$1200$$ 
Answer: A
Analysis: 在$$10000$$和$$100000$$之间的数都是五位数，不妨设其为$$\overline{abcba}$$，$$a$$不为$$0$$有$$9$$种选择，$$b$$、$$c$$均有$$10$$种选择，故共有$$9\times 10\times 10=900$$个回文数． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛
Problem: 与30以内的奇质数的平均数最接近的整数是(  )． 
Options:
aoVal: A
content: 12 
aoVal: B
content: 13 
aoVal: C
content: 14 
aoVal: D
content: 15 
Answer: C
Analysis: 由于30以内奇质数的平均数为$$\left( 3+5+7+11+13+17+19+23+29 \right)\div 9=14.111\cdots $$，所以与此平均数最接近的整数是14 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->特殊质数运用->常用质数
Source: 1995年六年级竞赛创新杯
2007年第5届创新杯六年级竞赛第1题5分
2007年六年级竞赛创新杯
Problem: $$\text{I}$$型和$$\text{II}$$型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，$$\text{I}$$型每$$5$$分钟跑一圈，$$\text{II}$$型每$$3$$分钟跑一圈。某一时刻，$$\text{I}$$型和$$\text{II}$$型恰好都开始跑第$$19$$圈，则$$\text{I}$$型比$$\text{II}$$型提前（  ）分钟开始跑动。 
Options:
aoVal: A
content: $$32$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$38$$ 
aoVal: D
content: $$54$$ 
Answer: B
Analysis: 解：$$5-3=2$$（分钟），$$18\times 2=36$$（分钟）  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->多次相遇和追及
Source: 2017年华杯赛四年级竞赛初赛
2017年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 小亮在期末考试中，道德与法治、语文、数学、英语、科学五科的平均成绩是$$89$$分，道德与法治、数学两科平均成绩是$$91.5$$分，道德与法治、英语两科平均成绩是$$86$$，英语与语文多$$10$$分．下面选项中正确的是． 
Options:
aoVal: A
content: 语文$$79$$分~ ~数学$$94$$分 
aoVal: B
content: 语文$$79$$分~ ~道德与法治$$83$$分 
aoVal: C
content: 数学$$100$$分~ ~英语$$79$$分 
aoVal: D
content: 科学$$94$$分~ ~道德与法治$$89$$分 
Answer: B
Analysis: 五科的成绩之和是$$89\times5=445$$（分），  政治和数学的成绩之和是：$$91．5\times2=183$$（分），  语文和英语的成绩之和是：$$84\times2=168$$（分），  政治和英语成绩之和是：$$86\times2=172$$（分），  所以生物成绩是：  五科成绩之和$$-$$政治和数学成绩之和$$-$$语文和英语成绩之和，  语文成绩是（语文和英语成绩之和$$-10$$）$$\div2$$，  用语文成绩减去$$10$$分就是英语成绩，  政治成绩$$=$$政治和英语成绩之和$$-$$英语成绩，  数学成绩$$=$$政治和数学成绩之和$$-$$政治成绩，  据此解答即可．  五科成绩之和：$$89\times5=445$$（分），  政治和数学成绩之和是：$$91．5\times2=183$$（分），  语文和英语的成绩之和是：$$84\times2=168$$（分），  政治和英语成绩之和是：$$86\times2=172$$（分），  生物成绩：$$445-183-168=94$$（分），  语文成绩：$$(168-10)\div2=158\div2=79$$（分），  英语成绩：$$79+10=89$$（分），  政治成绩：$$172-89=83$$（分），  数学成绩：$$183-83=100$$（分）．  答：五科成绩分别为生物$$94$$分，语文$$79$$分，  英语$$89$$分，政治$$83$$分，数学$$100$$分．  故答案为：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛B卷第10题3分
Problem: 李军有一个闹钟，但它走时不准，这天下午$$6:00$$把它对准北京时间，可到晚上$$9:00$$时，它才走到$$8:45$$，这天早上李军看闹钟走到$$6:17$$的时候赶去上学，这时候北京时间为（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$7:15$$ 
aoVal: B
content: $$7:24$$ 
aoVal: C
content: $$7:30$$ 
aoVal: D
content: $$7:35$$ 
Answer: B
Analysis: 坏钟和标准钟的速度比为：$$165:180=11:12$$，现知道闹钟共走$$12\times 60+17=737$$格，而标准钟可以转$$737\times \frac{12}{11}=804$$格，合计$$13$$个小时$$24$$分钟． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第5题4分
Problem: $$\overline{**45}$$，$$\overline{19*8}$$，$$\overline{23*1}$$，$$\overline{3*49}$$是四个四位数，其中$$*$$代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完全平方数，那么这个数可能是．（6分） 
Options:
aoVal: A
content: $$\overline{**45}$$ 
aoVal: B
content: $$\overline{19*8}$$ 
aoVal: C
content: $$\overline{23*1}$$ 
aoVal: D
content: $$\overline{3*49}$$ 
Answer: D
Analysis: 完全平方数的个位只能为$$0$$、$$1$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$9$$，因此排除$$\text{B}$$选项．如果一个完全平方数是  $$5$$的倍数，那么它至少是$$25$$的倍数，因此排除$$\text{A}$$选项．估算$${{48}^{2}}=2304$$，$${{49}^{2}}=2401$$，排除  $$\text{C}$$选项．经检验$${{57}^{2}}=3249$$． 
Knowledge points: 拓展思维->知识点->数论模块->完全平方数->平方数的尾数特征
Source: 2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第6题4分
Problem: 甲、乙、丙三个人合租了一套房子，甲付的钱数等于乙付的钱数的$$1.5$$倍．乙付的钱数是丙付的钱数的$$\frac{3}{4}$$，已知甲比丙多付了$$100$$元，这套房子的租金是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2000$$元 
aoVal: B
content: $$2100$$元 
aoVal: C
content: $$2200$$元 
aoVal: D
content: $$2300$$元 
Answer: D
Analysis: 甲：乙$$=3:2$$，乙：丙$$=3:4$$，甲：乙：丙$$=9:6:8$$，$$100\div (9-8)\times (9+6+8)=2300$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比例->化连比
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第1题
Problem: 两个正整数的和小于$$100$$，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$83$$ 
aoVal: B
content: $$99$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$98$$ 
Answer: B
Analysis: 解：根据$$3$$的倍数特征，不难判断$$83$$和$$98$$都不是$$3$$的倍数，$$99$$和$$96$$都是，但$$99\textgreater96$$，所以这两个数的最大值是$$99$$。  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和倍问题->二量和倍问题->两量和倍
Source: 2014年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: $$10 $$年前父亲的年龄是儿子的$$7$$倍，$$15$$年后父亲的年龄是儿子的$$2$$倍，今年父亲的年龄是儿子的倍． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2.5$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$10$$年前儿子的年龄是$$x$$岁，那么父亲的年龄是$$7x$$；  根据题意可得：  $$7x+10+15=\left( x+10+15 \right)\times 2$$，  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde7x+25=2x+50$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde5x=25$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde x=5$$，  现在儿子的年龄是：$$x+10=5+10=15$$（岁），  父亲的年龄是：$$7x+10=7\times 5+10=45$$（岁）．  $$45\div 15=3$$（倍）．  故选$$\text C$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第8题3分
Problem: 祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$252$$颗龙珠是． 
Options:
aoVal: A
content: 红珠 
aoVal: B
content: 黄珠 
aoVal: C
content: 绿珠 
aoVal: D
content: 白珠 
Answer: A
Analysis: $$252\div (4+3+2+1)=25······2$$．红色 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题
Problem: 兄弟俩今年的年龄和是$$35$$岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，弟弟今年岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: 题目中有$$2$$个时间线，一是现在的年龄和$$35$$岁的现在时，二是当哥哥像弟弟现在这样大时的过去时．  在过去时中：弟弟的年龄是$$1$$份，则哥哥为$$2$$份，所以哥哥比弟弟多$$1$$份．  到现在时的时候：弟弟的年龄$$2$$份，则哥哥为$$3$$份．差仍然是$$1$$份．  所以现在：$$35\div$$ （2+3）=7（岁/份）  弟弟：$$2\times$$ 7=14（岁）  哥哥：$$3\times$$ 7=21（岁） 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第1题5分
Problem: 大于$$99$$且小于$$1000$$的整数既不包含数字$$1$$也不包含数字$$2$$有多少个？． 
Options:
aoVal: A
content: $$392$$ 
aoVal: B
content: $$448$$ 
aoVal: C
content: $$512$$ 
aoVal: D
content: $$620$$ 
Answer: B
Analysis: 本题题意为``大于$$99$$且小于$$1000$$的整数既不包含数字$$1$$也不包含数字$$2$$有多少个？''本题相当于问三位数中即不包括数字$$1$$也不包括数字$$2$$的有多少个，本题考查排列组合，先考虑个位上可能出现的数字有$$0$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$总共$$8$$个，同理十位也是$$8$$个，百位上去掉不能为$$0$$的情况有$$7$$个数字，因此一共有$$7\times 8\times 8=448$$（个）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->加乘原理综合
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理
Source: 2019年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第34题5分
Problem: 定义$$a \And b=(a+2)(b+2)-2$$，算式$$1\times 3\times 5\times7\times 9\times 11\times 13-(1 \And3 \And5 \And7 \And9 \And11)$$的计算结果是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: B
Analysis: 本题可以算出答案，但用递推推出答案会使过程更简单，由定义式可推得：$$1 \And3=3\times 5-2$$，$$1 \And3 \And5=(1\times3\times 5-2+2)\times 7-2=1\times 3\times 5\times 7-2$$$$\cdots$$以此类推，$$1 \And3 \And5 \And 7 \And 9 \And 11=1\times 3\times 5\times 7\times 9\times11\times 13-2$$，故原式答案为$$2$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->数据处理
Source: 2013年全国走美杯五年级竞赛初赛B卷第11题
2013年全国走美杯六年级竞赛初赛第11题
Problem: 一班和二班的人数之比是$$8:7$$，如果将一班的$$8$$名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为$$4:5$$．原来二班的人数为（~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: B
Analysis: 一班原来的人数占两班总人数的$$\frac{8}{15}$$，$$4+5=9$$，如果将一班的$$8$$名同学调到二班去，那么一班的人数占两班总人数的$$\frac{4}{9}$$．原来两班总人数是:$$8\div \left( 8\div154\div9 \right)=90$$，因此，原来一班有：$$90\times \frac{8}{15}=48$$人，二班有：$$90\times \frac{7}{15}=42$$人． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（二）
Problem: 一列火车全长$$240$$米，每秒行驶$$20$$米，要想通过全长为$$360$$米的大桥，需要多少秒？ 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
Answer: B
Analysis: 火车的路程为$$240+360=600$$（米），所以需要$$\left( 240+360 \right)\div 20=30$$（秒）． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->式与方程->数量关系->路程=速度×时间
Source: 2018年第12届北京学而思杯四年级竞赛初赛线上第13题8分
Problem: 一把钥匙只能开一把锁，现有$$4$$把钥匙$$4$$把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试次能将所有的锁都找到相对应的钥匙． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: B
Analysis: 无需将锁打开，只需匹配成功，故最多：$$3+2+1=6$$（次）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第8题3分
Problem: 把$$20$$个苹果分成数量各不相同的五堆，其中数量最多的一堆最多有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: C
Analysis: 五堆共有$$20$$个苹果，要使数量最多的那堆最多，  则其它$$4$$堆尽量小，  而其它$$4$$堆最小为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$个苹果，  则数量最多那堆最多，  $$20-1-2-3-4=10$$（个）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第3题3分
Problem: 计算：$$\frac{0.2\dot{3}\dot{4}+\frac{84}{495}}{0.56\dot{8}-\frac{56}{450}}$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{11}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{10}{11}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{9}{10}$$ 
Answer: C
Analysis: 原式$$=\frac{\frac{234-2}{990}+\frac{84}{495}}{\frac{568-56}{900}-\frac{56}{450}}$$  $$=\frac{\frac{232}{990}+\frac{168}{990}}{\frac{512}{900}-\frac{112}{900}}$$  $$=\frac{\frac{400}{990}}{\frac{400}{900}}=\frac{10}{11}$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年第15届全国希望杯六年级竞赛
Problem: 当$$9:30$$时，钟面上时针和分针所组成的角是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 直角 
aoVal: B
content: 锐角 
aoVal: C
content: 钝角 
aoVal: D
content: 平角 
Answer: C
Analysis: 当$$9:30$$时，时针和分针所组成的角是钝角． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年河南郑州二七区京广实验学校小升初第5题2分
2017年江苏镇江句容市句容市崇明小学小升初第16题1分
2017年河南郑州联合杯竞赛决赛第5题2分
Problem: 鸭妈妈带着小鸭们在池塘里游玩，黄小鸭发现：有$$2$$只小鸭在它的前面，$$3$$只小鸭在它的后面．池塘里共有几只鸭？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 根据题意分析可知，用黄小鸭前面的数量加上后面的数量再加上自己所以一共有：  $$2+3+1=6$$（只）小鸭，再加上鸭妈妈  故答案为：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->应用题模块排队问题->单主角求总数
Overseas Competition->知识点->应用题模块->应用题模块排队问题
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第15题
Problem: 请问满足下面这个不等式的$$\square $$中能填入的最大整数是多少？  $$9\times \square \lt 2018$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$202$$ 
aoVal: B
content: $$212$$ 
aoVal: C
content: $$218$$ 
aoVal: D
content: $$224$$ 
Answer: D
Analysis: $$\square ~~\textless{} ~\frac{2018}{9}=224\frac{2}{9}$$，最大的整数为$$224$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->算式比较大小
Source: 2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第2题3分
Problem: 某大桥由于桥面多处破损进行全面检修，修了一个星期之后，已修和未修的比是$$1:7$$，第二个星期又修了$$500$$米，这时已修和未修的比是$$9:23$$，则该大桥全长是米． 
Options:
aoVal: A
content: $$3200$$ 
aoVal: B
content: $$3100$$ 
aoVal: C
content: $$2012.5$$ 
aoVal: D
content: $$3500$$ 
Answer: A
Analysis: 和不变：$$1:7=4:28$$和$$8$$份$$\times 4$$  $$9:23$$和$$32$$份  故$$1$$份为$$500\div \left( 9-4 \right)=100$$（米）  全长为$$32\times 100=3200$$（米）  选$$A$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->和不变
Source: 2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第4题4分
Problem: 根据``三角形任意两边之和大于第三边''的知识，解答本题：  有不同长度的七条线段，其长度均为整数厘米，最短的是$$1$$厘米，最长的是$$21$$厘米，其中以任何三条线段作``边''都不能组成一个三角形，那么这七条线段中第二长的线段长厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 斐波那契数列从第三项开始，等于前两项的和，即$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$8$$、$$13$$、$$21$$．  即第二长的为$$13$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛初赛第8题
Problem: 一个三位数的各位数字之和是$$17$$，其中十位数字比个位数字大$$1$$，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大$$198$$，原数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$476$$ 
aoVal: B
content: $$400$$ 
aoVal: C
content: $$470$$ 
aoVal: D
content: $$486$$ 
Answer: A
Analysis: 设个位是$$a$$，十位是$$a+1$$，百位$$17-a-a-1=16-2a$$．  根据题意列出方程：$$100a+10(a+1)+16-2a-100(16-2a)-(10a+1)-a=198$$，  解这个方程，求出个位数字，然后再求十位与百位数字，解决问题．  设原数个位为$$a$$，则十位为$$a+1$$，百位为$$16-2a$$，  根据题意列方程  $$100a+10(a+1)+16-2a-100(16-2a)-(10a+1)$$，  解得$$a=6$$，则$$a+1=7$$，$$16-2a=4$$；  答：原数为$$476$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛A卷第10题3分
Problem: 植树节到了，李老师带着同学们去种树．大家要一起合影，站成了两排，两排人数一样 多．李老师站在后一排，从左数是第$$5$$个，从右数是第$$3$$个，一共有（~ ）个同学去种树． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$20$$~ 
Answer: B
Analysis: 一排的人数：$$5+3-1=7$$（人）  两排的人数：$$7+7=14$$（人）  同学的人数：$$14-1=13$$（人）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断一年级竞赛年度教学质量第12题
Problem: 有一个数，它的一半的一半是$$4$$，这个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 一个数的一半的一半是$$4$$，则这个数的一半为$$4+4=8$$，则这个数为$$8+8=16$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第9题5分
Problem: 一副扑克牌有四种花色，每种花色有$$13$$张，此外还有两张王牌，从中任意抽牌。那么，最少要抽  张牌，才能保证有$$4$$张牌是同一花色。 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
Answer: B
Analysis: 如果在最不利的情况下能完成目标，则保证在任何情况下都能完成。最不利的情况是：抽的前$$12$$张是$$4$$种花色各$$3$$张，再抽两张王牌，这时抽第$$15$$张，无论是哪种花色，都能保证凑成$$4$$张牌同一花色。所以至少要抽$$15$$张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则
Source: 1989年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 某月所有星期天的日期数加起来是$$70$$，这个月星期三的天数比星期四的天数多．这个月一共有天． 
Options:
aoVal: A
content: $$28$$ 
aoVal: B
content: $$29$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$31$$ 
Answer: D
Analysis: 经推算此月星期天的日期分别为$$7$$号、$$14$$号、$$21$$号、$$28$$号，又星期三的天数比星期四的天数多，那么最后一天应是星期三，$$31$$号． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（四）第1题
Problem: 今年爸爸是$$32$$ 岁，儿子是$$4$$ 岁，当父子俩年龄之和是$$50$$ 岁时，应该是~\uline{~~~~~~~~~~}~年之后的事． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$46$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 今年年龄和：$$32+4=36$$（岁），两人共长：$$50-36=14$$（岁），经过的年头：$$14\div 2=7$$（年）．  答：当父子年龄和是$$50$$时，应该是$$7$$年以后的事． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题基本关系->年龄和
Source: 2014年世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛B卷第4题5分
Problem: 一条路上相邻两棵树的距离都相等，甲、乙二人同时从一端的某棵树出发，同向而行．当甲走到第$$21$$棵树时，回头看见乙到的那棵树与自己正隔着$$3$$棵树．已知乙每分钟走$$64$$米．甲每分钟走~\uline{~~~~~~~~~~}~米． 
Options:
aoVal: A
content: $$51.2$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$70$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
aoVal: E
content: $$90$$ 
aoVal: F
content: $$100$$ 
Answer: D
Analysis: 依题意得，这是一道有关路程的题，列式如下：  $$64\times (21-1)\div (21-4-1)$$  $$=64\times 20\div 16$$  $$=80$$．  故答案为：$$80$$．选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2016年环亚太杯四年级竞赛初赛第8题
Problem: 一个口袋装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各$$10$$个，一次摸一个且不放回，要保证能摸出$$10$$个相同颜色的小球，至少要摸出个． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$28$$ 
Answer: D
Analysis: 把三种颜色看做三个抽屉，从极端考虑：先摸出的是红色球、黄色球和蓝色球各$$9$$个，共$$27$$个球，再摸第$$28$$个球则一定有一种球是同色的，因此至少要摸出$$28$$个球． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->简单抽屉原理
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛决赛4分
2013年四川成都小升初某师大一中第18题
Problem: $$7$$个人的年龄和是$$190$$岁，其中最小的$$17$$岁，且$$7$$个人中只有两个人的年龄相同，那么，年龄最大的一个人最多岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$73$$ 
aoVal: B
content: $$77$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$78$$ 
Answer: D
Analysis: 要使年龄最大，那么要使其它的年龄最小，最小的$$17$$岁，只有两个人年龄相同，  那么其它$$5$$个人年龄是$$17$$、$$18$$、$$19$$、$$20$$、$$21$$；  最大的一个人是$$190-17-17-18-19-20-21=78$$（岁）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2020年长江杯五年级竞赛复赛B卷第4题5分
Problem: 有$$4$$个互不相同的自然数，它们的平均数是$$10$$．其中最大的数至少是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: C
Analysis: 欲求最大的数至少为多少，则这$$4$$个不同的自然数越接近越好．则为$$8$$，$$9$$，$$11$$，$$12$$．故最大的数至少为$$12$$，所以选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->构造和一定最值原理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第3题5分
Problem: 在$$2000$$，$$2001$$，$$2002$$，$$2003$$、$$\cdots $$、$$2015$$这$$16$$个数中，不能表示成两个完全平方数之差的数有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: 显然其中的奇数都可以，这可以利用平方差公式与和差问题说明；偶数必须是$$4$$的倍数，所以有$$2000$$，$$2004$$，$$2008$$，$$2012$$可以做得到．因而共有$$2002$$，$$2006$$，$$2010$$，$$2014$$四个不能．答案为$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第9题4分
Problem: 请你根据数串的规律再横线上填上正确的答案：3,6,9,12~\uline{~~~~~~~~~~}~，15. 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 后一个数等于前一个数$$\times$$ 2 
Knowledge points: 拓展思维->思想->数形结合思想
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第4题
Problem: $$\square $$和$$\bigcirc $$各代表一个数，  $$\square =\bigcirc +\bigcirc $$，$$\bigcirc +\square +\square =30$$，  $$\square $$-$$\bigcirc $$=． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 分析可知：$$\square =\bigcirc +\bigcirc =2\bigcirc $$，  把$$\square =2\bigcirc $$代入$$\bigcirc +\square +\square =30$$中得：  $$\bigcirc +2\bigcirc +2\bigcirc =5\bigcirc $$，$$5\bigcirc =30$$，  所以$$\bigcirc =30\div 5=6$$，  那么$$\square =2\bigcirc =2\times 6=12$$，  由此可知，$$\square $$与$$\bigcirc $$的差为$$12-6=6$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->计算模块->方程基础->等量代换
拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第1题3分
Problem: 学校到图书馆的路一半上坡、一半下坡．学生$$A$$从学校到图书馆的过程中，下坡的速度是他走全程平均速度的$$2$$倍，那么上坡的速度是他走全程平均速度~\uline{~~~~~~~~~~}~倍． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 设全程的路程为$$\text{s}$$，时间为$$\text{t}$$，则学生$$A$$走全程的平均速度为$$\text{v=}\frac{\text{s}}{\text{t}}$$，学生$$A$$下坡的时间为  $$\frac{\frac{\text{s}}{2}}{2\text{v}}=\frac{\text{s}}{4\text{v}}=\frac{\text{s}}{4\times \frac{\text{s}}{\text{t}}}=\frac{\text{t}}{4}$$，所以，学生$$A$$上坡的时间为$$\text{t-}\frac{\text{t}}{4}=\frac{3}{4}\text{t}$$，故学生$$A$$上坡的速度是$$\frac{\frac{\text{s}}{2}}{\frac{3\text{t}}{4}}=\frac{2\text{s}}{3\text{t}}=\frac{2}{3}\text{v}$$， 即上坡的速度是他走全程平均速度$$\frac{2}{3}$$倍． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->设数法
Source: 2017年全国希望杯六年级竞赛
Problem: 有一个人捡到一条红领巾，老师问是谁捡到的？小东说：不是小西；小西说：是小南；小南说：小东说的不对；小北说：小南说的也不对。他们之中只有一个人说对了，这个人是。 
Options:
aoVal: A
content: 小东   
aoVal: B
content: 小西 
aoVal: C
content: 小南 
aoVal: D
content: 小北 
Answer: C
Analysis: 解：根据题干分析可得，小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的。  假设小北说的是正确的，则小南说``小东说的不对''是错，可得：小东说的对，这样与已知只有一个人说对了相矛盾，所以此假设不成立，故小南说的是正确的。  故选：$$\text{C}$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理
Source: 2013年华杯赛四年级竞赛初赛
2013年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 甲、乙、丙三人中只有$$1$$人会英语．甲说：``我会英语．''乙说：``我不会英语．丙说：``甲不会英语．''三人的话只有一句是真话．会英语的是． 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 假设甲会英语，  那么甲和乙说的是真话，  所以和已知矛盾，  所以甲不会英语；  假设乙会英语，  那么甲和乙说的是假话，  丙说的是真话，符合题意；  假设丙会英语，  那么乙和丙说的是真话，和题意矛盾，  所以丙不会英语，  所以会英语的是乙．  选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第17题3分