math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 方程$${{\log }_{3}}x=x-4$$的一个实根所在的区间是
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 2,3 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 3,4 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 5,6 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 6,7 \right)$$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 设$$f(x)={{\log }_{3}}x-x+4$$，证明$$f(5)\cdot f(6)\textless{} 0$$即得解.\\ 【详解】\\ 因为$${{\log }_{3}}x=x-4$$，所以$${{\log }_{3}}x-x+4=0$$.\\ 设$$f(x)={{\log }_{3}}x-x+4$$，\\ 所以$$f(5)={{\log }_{3}}5-5+4={{\log }_{3}}5-1\textgreater0$$，\\ $$f(6)={{\log }_{3}}6-6+4={{\log }_{3}}6-2={{\log }_{3}}\frac{6}{9}\text{=}{{\log }_{3}}\frac{2}{3}\textless{} 0$$，\\ 所以$$f(5)\cdot f(6)\textless{} 0$$.\\ 故选：C\\ 【点睛】\\ 本题主要考查零点问题，考查零点区间的确定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->求零点所在区间的问题
Source: 2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第3~3题
Problem: 若$$\triangle ABC$$的三边$$abc$$成等比数列，边$$abc$$所对的角依次为$$ABC$$，且$$\sin A\sin B+\sin B\sin C+\cos 2B=1$$，则角$$B$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2 \pi }{3}$$ 
Answer: B
Analysis: $$\sin A\sin B+\sin B\sin C=1-\cos 2B=2{{\sin }^{2}}B\Rightarrow a+c=2b$$，又$$ac={{b}^{2}}$$，  则$${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B={{\left( a+c \right)}^{2}}-2ac\left( 1+\cos B \right)=4{{b}^{2}}-2{{b}^{2}}\left( 1+\cos B \right)$$，  解得$$B=\frac{ \pi }{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知实数$$a$$使得只有一个实数$$x$$满足不等式$$\left\textbar{} {{x}^{2}}+2ax+3a \right\textbar\leqslant 2$$，则满足条件的所有的实数$$a$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: 无穷多 
Answer: B
Analysis: 令$$f(x)={{x}^{2}}+2ax+3a$$，由$$f\left( -\frac{3}{2} \right)=\frac{9}{4}$$知，  函数$$f(x)$$的图象经过点$$\left( -\frac{3}{2},\frac{9}{4} \right)$$．  欲使得不等式$$\left\textbar{} {{x}^{2}}+2ax+3a \right\textbar\leqslant 2$$只有一个解，  则抛物线$$f(x)={{x}^{2}}+2ax+3a$$的图像必须与直线$$y=2$$相切，  即$${{x}^{2}}+2ax+3a-2=0$$的差别式$$\Delta =4{{a}^{2}}-4(3a-2)=0$$．  解得$$a=1$$，$$2$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 在平面直角坐标系中，已知$$\triangle ABC$$三个顶点的坐标分别为$$A(2,  1),  B(-1,  -1),  C(1,  3)$$，点$$P$$在直线$$BC$$上运动，动点$$Q$$满足，则点$$Q$$的轨迹方程为．
Options:
aoVal: A
content: $$2x-y-3=0$$ 
aoVal: B
content: $$x-2y-3=0$$ 
aoVal: C
content: $$x+2y-4=0$$ 
aoVal: D
content: $$2x+y-3=0$$ 
Answer: A
Analysis: $${{k}_{BC}}=\frac{3+1}{1+1}=2$$，可得$$BC:y+1=2\left( x+1 \right)$$，即$$2x-y+1=0$$，  设$$P\left( m,2m+1 \right)$$为直线$$BC$$上一点，$$Q\left( x,y \right)$$，  由$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$$，可得$$\left( x-m,y-2m-1 \right)$$  $$=\left( 2-m,1-2m-2 \right)+\left( -1-m,-1-2m-1 \right)+\left( 1-m,3-2m-2 \right)$$  $$=\left( 2-3m,-6m \right)$$，  所以有$$\left( x-m,y-2m-1 \right)=\left( 2-3m,-6m \right)$$，  即$$\begin{cases}x-m=2-3m    y-2m-1=-6m \end{cases}$$，即$$\begin{cases}2m=2-x    4m=1-y \end{cases}$$，  所以$$1-y=2\left( 2-x \right)$$，即$$2x-y-3=0$$，故选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在$$100$$个小伙子中，如果某人不亚于其他$$99$$人，就称他为棒小伙子．那么，$$100$$个小伙子中的棒小伙子最多可能有（~~~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$50$$个 
aoVal: D
content: $$100$$个 
Answer: D
Analysis: 取$$100$$个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就是最轻者，次高者同时也就是次轻者，$$\ldots $$，第$$k$$高者同时也就是第$$k$$轻者（$$k=1$$，$$2$$，$$\ldots $$，$$100$$），显然这$$100$$个小伙子都是棒小伙子．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
Source: 1995年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 已知$${{x}_{1}}$$是方程$$x+\lg x=3$$的根，$${{x}_{2}}$$是方程$$x+{{10}^{x}}=3$$的根，那么$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$$\lg x=3-x$$，$${{10}^{x}}=3-x$$，令$$y=3-x$$，  则$${{y}_{1}}=\lg x$$，$${{y}_{2}}={{10}^{x}}$$互为反函数．  所以$${{y}_{1}}=\lg x$$与$${{y}_{2}}={{10}^{x}}$$和直线$$y=3-x$$的交点$$A$$、$$B$$关于直线$$y=x$$对称，  由$$y=x$$与$$y=3-x$$联立解得线段$$AB$$的中点$$C\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2} \right)$$，  因此$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 已知锐角$$\alpha $$，$$\beta $$满足条件：$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }=1$$，则$$\alpha +\beta =$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ 2\pi }{3}$$ 
aoVal: D
content: $${ \pi }$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }=1$$，  即$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }-1={{\left( \frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\cos \beta }-\cos \beta \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \beta }-\sin \beta \right)}^{2}}=0$$，  ∴$$\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\cos \beta }-\cos \beta =0$$，$$\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \beta }-\sin \beta =0$$，  ∴$${{\sin }^{2}}\alpha ={{\cos }^{2}}\beta $$，$${{\cos }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\beta $$，  根据$$\alpha $$、$$\beta $$为锐角，可得$$\alpha +\beta =90{}^{}\circ $$．  故答案为：$$90{}^{}\circ $$．  由柯西不等式，$$\left( {{\cos }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\beta \right)\left( \frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta } \right)\geqslant {{\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{2}}=1$$，  因此，$$\frac{{{\cos }^{4}}\beta }{{{\sin }^{4}}\alpha }=\frac{{{\sin }^{4}}\beta }{{{\cos }^{4}}\alpha }$$，即$$\cos \alpha \cos \beta =\sin \alpha \sin \beta $$，$$\cos \left( \alpha +\beta \right)=0$$，故$$\alpha +\beta =\frac{ \pi }{2}$$．  故答案为：$$\frac{ \pi }{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2016年广东全国高中数学联赛高三竞赛初赛第7题8分
Problem: 数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$共有$$11$$项，$${{a}_{1}}=0$$，$${{a}_{11}}=4$$，$$\left\textbar{} {{a}_{k+1}}-{{a}_{k}} \right\textbar=1$$，$$k=1$$，$$2$$，$$\cdots$$，$$10$$，满足这样的条件的不同数列的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$120$$ 
aoVal: C
content: $$140$$ 
aoVal: D
content: $$160$$ 
Answer: B
Analysis: 设$${{b}_{k+1}}={{a}_{k+1}}-{{a}_{k}}$$，则$${{b}_{k+1}}=\pm 1$$，且$${{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots+{{b}_{11}}=4$$，只需$${{b}_{2}}$$，$${{b}_{3}}$$，$$\cdots$$，$${{b}_{11}}$$中有$$7$$个$$1$$和$$3$$个$$-1$$即可，所求的方法数为$$\text{C}_{10}^{3}=120$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
2011年北京清华大学自主招生夏令营第8题
Problem: $$\text{i}$$为虚数单位，则$${{\left( \frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\right)}^{2011}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{{{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}}{1-{{\text{i}}^{2}}}=\text{i}$$，所以$${{\left(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}} \right)}^{2011}}={{\text{i}}^{2011}}={{\text{i}}^{4\times502+3}}={{\text{i}}^{3}}=-\text{i}$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题
知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
Source: 2011年高考真题湖北卷理科第1题
2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知非零实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$\frac{x-y}{x+y}\cdot\frac{y-z}{y+z}\cdot\frac{z-x}{z+x}=\frac{14}{15}$$．则$$\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{53}{30}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{59}{30}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{61}{30}$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: B
Analysis: 令$$\frac{y}{x+y}=m$$，$$\frac{z}{y+z}=n$$，$$\frac{x}{z+x}=l$$．  则$$\frac{14}{15}=\frac{x-y}{x+y}\cdot\frac{y-z}{y+z}\cdot\frac{z-x}{z+x}=(1-2m)(1-2n)(1-2l )$$．  即$$1-2(m+n+l)+4(mn+nl+lm)-8mnl=\frac{14}{15}$$．  又$$\left( {\frac{1}{m}-1} \right)\left( {\frac{1}{n}-1} \right)\left( {\frac{1}{l}-1} \right)=\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}=1$$  $$\Rightarrow 1-\left( m+n+l \right)+\left( mn+nl+lm \right)-mnl=mnl$$，  故$$1-2(m+n+l)-4+4(m+n+l)=\frac{14}{15}$$  $$\Rightarrow m+n+l=\frac{59}{30}$$  $$\Rightarrow \frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}=\frac{59}{30}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->换元法
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十八）第3题
Problem: 已知$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1 \right)x+{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$$是偶函数，则函数图象与$$y$$轴交点的纵坐标的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知条件可知$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1=0$$，  函数图象与$$y$$轴交点的纵坐标为$${{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$$．  令$$a=\cos \theta $$，$$  b=\sin \theta $$，  则$${{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}={{\cos }^{2}}\theta +2\sin \theta \cos \theta -{{\sin }^{2}}\theta $$  $$=\cos 2\theta +\sin 2\theta \leqslant \sqrt{2}$$，  故选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 抛物线$${{y}^{2}}=4x$$的焦点为$$F$$，点$$A$$、$$B$$在抛物线上，且$$\angle AFB=\frac{2}{3} \pi $$，弦$$AB$$中点$$M$$在准线$$l$$上的射影为$${M}'$$，则$$\frac{\textbar M{M}'\textbar}{AB}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$AB$$在准线$$l$$上的射影分别为$${A}'$$、$${B}'$$，  则$$\textbar M{M}'\textbar=\frac{\textbar A{A}'\textbar+\textbar B{B}'\textbar}{2}$$．  又因为$$\textbar A{A}'\textbar=\textbar AF\textbar$$，$$\textbar B{B}'\textbar=\textbar BF\textbar$$，  所以$$\textbar M{M}'\textbar=\frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2}$$．  因为$$\angle AFB=\frac{2}{3} \pi $$，  所以$$\textbar AB\textbar=\textbar FA{{\textbar}^{2}}+\textbar FB{{\textbar}^{2}}-2\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar\cos \angle AFB$$  $$=\textbar FA{{\textbar}^{2}}+\textbar FB{{\textbar}^{2}}+\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar$$  因此$$\textbar AB{{\textbar}^{2}}+\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}=\textbar AB{{\textbar}^{2}}+{{\left( \frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2} \right)}^{2}}$$  $$\geqslant \textbar AB{{\textbar}^{2}}+\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar$$  $$={{(\textbar FA\textbar+\textbar FB\textbar)}^{2}}=4\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}$$，  则$$\textbar AB{{\textbar}^{2}}\geqslant 3\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}$$，即$$\frac{\textbar M{M}'\textbar}{\textbar AB\textbar}\leqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 假如有两个命题；甲：$$a$$是大于零的实数；乙：$$a\textgreater b$$且$${{a}^{-1}}\textgreater{{b}^{-1}}$$，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分而不必要条件 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要而不充分条件 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: D
content: 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件． 
Answer: B
Analysis: 由于``甲''成立时，``乙''不一定成立，（例如$$a=3$$，$$b=2$$时甲成立，但乙不成立），因此可知``甲''不是``乙''的充分条件，  接着看``乙''在什么情况下成立，很明显，当且仅当$$a\textgreater0$$且$$b\textless{}0$$时``乙''才能成立，由此可知，``甲''是``乙''成立的必要条件，综上所述，``甲''是``乙''的必要而不充分条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 函数$$y=\tan x-\frac{2}{\left\textbar{} \cos x \right\textbar}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1-2\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$1+2\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 要使$$y$$最大，应有$$\tan x\textgreater0$$．  不妨设$$0\textless{}x\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，则$$y=\tan x-\frac{2}{\cos x}=\frac{\sin x-2}{\cos x}$$，  即$$\sin x-y\cos x=2$$．所以$$\sin (x-\theta )=\frac{2}{\sqrt{1+{{y}^{2}}}}$$，其中$$\tan \theta =y$$．  由$$\sin (x-\theta )\leqslant 1$$，得$$\frac{2}{\sqrt{1+{{y}^{2}}}}\leqslant 1$$，  解得$$y\leqslant -\sqrt{3}$$或$$y\geqslant 3$$．  易知$$y\textless{}0$$，所以$$y\leqslant -\sqrt{3}$$．  将$$y=-\sqrt{3}$$代入$$\sin x-y\cos x=2$$，得$$x=\frac{ \pi }{6}$$．  故$${{y}_{\max }}=-\sqrt{3}$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知函数$$f(x)={{x}^{2}}-2tx+t$$，当$$x\in [-1,1]$$时，记$$f(x)$$的最小值为$$m$$，则$$m$$的最大值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: $$f\left( x \right)={{\left( x-t \right)}^{2}}+t-{{t}^{2}}$$，$$m=\begin{cases}t-{{t}^{2}},-1\leqslant t\leqslant 1    1-t,t\textgreater1    1+3t,t\textless{}-1    \end{cases}$$  因此，$${{m}_{\max }}=t-{{t}^{2}}=-{{\left( t-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{4}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数求值问题
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用单调性求函数最值
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的概念
Source: 2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 若三个棱长均为整数（单位：$$\text{cm}$$）的正方体的表面积之和为$$564\text{c}{{\text{m}}^{2}}$$，则这三个正方体的体积之和为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$764\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$$586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$ 
aoVal: B
content: $$764\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$ 
aoVal: C
content: $$586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$$564\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$ 
aoVal: D
content: $$586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$ 
Answer: A
Analysis: 设这三个正方体的棱长分别为$$a,b,c$$，则有$$6({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=564$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=94$$，  不妨设$$1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\textless{}10$$，从而$$3{{c}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=94$$，$${{c}^{2}}\textgreater31$$，  故$$6\leqslant c\leqslant 10$$．$$c$$只能取$$9$$，$$8$$，$$7$$，$$6$$，  若$$c=9$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-{{9}^{2}}=13$$，易知$$a=2$$，$$b=3$$，得一组解$$(a,b,c)=(2,3,9)$$，  若$$c=8$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-64=30$$，$$b\leqslant 5$$，但$$2{{b}^{2}}\geqslant 30$$，$$b\geqslant 4$$，从而$$b=4$$或$$5$$，  若$$b=5$$，则$${{a}^{2}}=5$$无解，若$$b=4$$，则$${{a}^{2}}=14$$无解，此时无解，  若$$c=7$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-49=45$$，有唯一解$$a=3$$，$$b=6$$，  若$$c=6$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-36=58$$，此时$$2{{b}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=58$$，$${{b}^{2}}\geqslant 29$$，故$$b\geqslant 6$$，但$$b\leqslant c=6$$，故$$b=6$$，此时$${{a}^{2}}=58-36=22$$无解，  综上，共有两组解$$\begin{cases}a=2    b=3    c=9    \end{cases}$$或$$\begin{cases}a=3    b=6    c=7    \end{cases}$$，  体积为$${{V}_{1}}={{2}^{3}}+{{3}^{3}}+{{9}^{3}}=764\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$${{V}_{2}}={{3}^{3}}+{{6}^{3}}+{{7}^{3}}=586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 曲线$$\left( x+2y+a \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)=0$$为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a=0$$ 
aoVal: B
content: $$a=1$$ 
aoVal: C
content: $$a=-1$$ 
aoVal: D
content: $$a\in \mathbf{R}$$~ 
Answer: A
Analysis: 三条直线过原点. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与函数结合
课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线过定点问题
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的一般式方程
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知$y=$$$f(x)$$满足：  （$$1$$）$$f(1)=1$$（表示$x=1$时对应的$y$的值，下同）；（$$2$$）当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$f(x)\textgreater0$$；（$$3$$）对任意的实数$$x,  y$$均有$$f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),$$则$$f\left( \frac{1}{3} \right)=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $\dfrac{1}{2}$ 
aoVal: C
content: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
aoVal: D
content: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 
Answer: B
Analysis: 在条件等式（$$3$$）中，令$$x=\frac{2}{3},  y=\frac{1}{3},$$得  $$f(1)-f\left( \frac{1}{3} \right)=2f\left( \frac{1}{3} \right)f\left( \frac{1}{3} \right),$$  结合$$f(1)=1,  f\left( \frac{1}{3} \right)\textgreater0$$，解得$$f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{1}{2}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2011年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 在等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，$${{a}_{1}}+2{{a}_{8}}+{{a}_{15}}=96$$，则$$2{{a}_{9}}-{{a}_{10}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: A
Analysis: $${{a}_{1}}+2{{a}_{8}}+{{a}_{15}}=4{{a}_{8}}=96$$，$${{a}_{8}}=24$$．  $$2{{a}_{9}}-{{a}_{10}}={{a}_{8}}=24$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
Source: 高考真题
2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知函数$$f(x)={{\sin }^{5}}x+1$$，根据函数的性质，积分的性质和积分的几何意义，探求$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{f(x)\text{d}x}$$的值，结果是
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{6}+\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$ \pi $$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\sin 5x$$是奇函数，关于原点对称，且积分限关于原点对称，积分就是面积，  所以$$x\textless{}0$$和$$x\textgreater0$$时积分的值一正一负，且面积相等，  所以正负抵消，即$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\sin^{5}x\text{d}x}=0$$，  所以$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{f(x)\text{d}x}=\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\sin^{5}x\text{d}x}+\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\text{1d}x}=x\textbar_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}=\frac{ \pi }{2}-\left( -\frac{ \pi }{2} \right)= \pi $$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->积分
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设条件$$p$$：实数$$m$$，$$n$$满足$$\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$条件$$q$$：实数$$m$$、$$n$$满足$$\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3. \end{cases}$$则．
Options:
aoVal: A
content: $$p$$是$$q$$的充分不必要条件 
aoVal: B
content: $$p$$是$$q$$的充要不充分条件 
aoVal: C
content: $$p$$是$$q$$的充要条件 
aoVal: D
content: $$p$$既不是$$q$$的充分条件又不是$$q$$的必要条件 
Answer: B
Analysis: 由$$q:\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3   \end{cases}\Rightarrow p:\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$  则$$p$$是$$q$$的必要条件；注意到当$$\begin{cases}m=1     n=2   \end{cases}$$时，满足$$p:\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$而不满足$$q:\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3   \end{cases}$$则$$p$$不是$$q$$的充分条件．所以$$p$$是$$q$$的必要不充分条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设$$n$$为正整数，二项式$${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$$的展开式中含有$${{x}^{7}}$$的项，则$$n$$的最小值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: C
Analysis: $${{T}_{r+1}}=C_{n}^{r}{{({{x}^{2}})}^{n-r}}{{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{r}}=C_{n}^{r}{{x}^{2}}^{n-5r}$$．令$$2n-5r=7$$，所以$$r=1$$时，$$n$$取得最小值$$6$$．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数
Source: 2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2017年北京西城区高三三模理科第2题
Problem: 对于一对特殊的骰子，在每个骰子上掷出$1$、$2$、$3$、$4$、$5$和$6$的概率的比例是$1:2:3:4:5:6$.两颗骰子共掷出$7$的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{4}{63}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{1}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{8}{63}$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{1}{6}$$ 
aoVal: E
content: $$\dfrac{2}{7}$$ 
Answer: C
Analysis: Let $$x$$ be the \uline{probability} of rolling a $$1$$. The probabilities of rolling a $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, and $$6$$ are $$2x$$, $$3x$$, $$4x$$, $$5x$$, and $$6x$$, respectively.  The sum of the probabilties of rolling each number must equal $$1$$, so  $$x+2x+3x+4x+5x+6x=1$$,  $$21x=1$$,  $$x= \dfrac{1}{21}$$,  So the probabilities of rolling a $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, and $$6$$ are respectively $$\dfrac{1}{21}$$,~ $$\dfrac{2}{21}$$, $$\dfrac{3}{21}$$, $$\dfrac{4}{21}$$, $$\dfrac{5}{21}$$, and, $$\dfrac{6}{21}$$. The possible combinations of two rolls that total $$7$$ are: $$(1,6)$$; $$(2,5)$$; $$(3,4)$$; $$(4,3)$$; $$(5,2)$$; $$(6,1)$$. The probability of rolling a total of $$7$$ on the two dice is equal to the sum of the probabilities of rolling each combination. $$P= \dfrac{1}{21}\cdot \dfrac{6}{21}+ \dfrac{2}{21}\cdot \dfrac{5}{21}+ \dfrac{3}{21}\cdot \dfrac{4}{21}+ \dfrac{4}{21}\cdot \dfrac{3}{21}+ \dfrac{5}{21}\cdot \dfrac{2}{21}+ \dfrac{6}{21}\cdot \dfrac{1}{21}= \dfrac{8}{63}\Rightarrow C$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件的概率加法公式
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
Source: 2006年AMC10竞赛B第21题
Problem: 若集合$$A=\left { 1,2,\cdots ,10 \right }$$，$$B=\left { 1,2,3,4 \right }$$，$$C$$为$$A$$的子集，且$$C\cap B\ne \varnothing $$，  则这样的子集$$C$$有个．
Options:
aoVal: A
content: $$256$$ 
aoVal: B
content: $$959$$ 
aoVal: C
content: $$960$$ 
aoVal: D
content: $$961$$ 
Answer: C
Analysis: 由满足$$C\cap B=\varnothing $$的子集$$C$$有$${{2}^{6}}$$个，  知满足$$C\cap B\ne \varnothing $$的子集$$C$$有$${{2}^{10}}-{{2}^{6}}=960$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 设非负实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$ab+bc+ca=a+b+c\textgreater0$$，则$$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$的最小值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 不妨设$$a\geqslant b\geqslant c$$  $$\left( a+b+c \right)\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right)=\left( a+b \right)\sqrt{ab}+\left( b+c \right)\sqrt{bc}+\left( c+a \right)\sqrt{ca}+\left( c\sqrt{ab}+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca} \right)$$  $$\geqslant \left( a+b \right)\sqrt{ab}+\left( b+c \right)\sqrt{bc}+\left( c+a \right)\sqrt{ca}$$  $$\geqslant 2\sqrt{ab}\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\sqrt{ca}$$  $$=2\left( ab+bc+ca \right)$$  所以，$$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant 2$$，当且仅当$$c=0$$，$$a=b$$时等号成立．  由$$c=0$$，$$a=b$$，解得$$a=b=2$$，$$c=0$$．  所以，$$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$的最小值为$$2$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
Source: 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
Problem: 已知$$a\textgreater b$$，$$ab=1$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a-b}$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 记$$a-b=t$$，则$$t\textgreater0$$，  $$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a-b}=\frac{{{t}^{2}}+2}{t}=t+\frac{2}{t}\geqslant 2\sqrt{2}$$，  当且仅当$$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$，$$b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$$时取等号．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
高二上学期单元测试《代数变形1》自招第7题
2019~2020学年天津滨海新区塘沽第一中学高一上学期期中第7题5分
Problem: 设$$f(x)$$为$$R\to R$$函数，且对任意实数，有  $$f({{x}^{2}}+x)+2f({{x}^{2}}-3x+2)=9{{x}^{2}}-15x$$  则$$f(50)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$72$$ 
aoVal: B
content: $$73$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$146$$ 
Answer: D
Analysis: 用$$(1-x)$$代替条件等式中的$$x$$，得  $$f({{x}^{2}}-3x+2)+2f({{x}^{2}}+x)=9{{x}^{2}}-3x-6$$．  由上式及原式消去$$f({{x}^{2}}-3x+2)$$，得  $$f({{x}^{2}}+x)=3{{x}^{2}}+3x-4=3({{x}^{4}}+x)-4$$．  故$$f(50)=150-4=146$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 2011年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$18$$题  Circles $$A$$, $$B$$, and $$C$$ each have radius $$1$$. Circles $$A$$ and $$B$$ share one point of tangency. Circle $$C$$ has a point of tangency with the midpoint of $$\overline{AB}$$. What is the area inside Circle $$C$$ but outside circle $$A$$ and circle $$B$$?  圆 $$A$$、$$B$$ 和 $$C$$ 的半径都是 $$1$$。 圆 $$A$$ 和 $$B$$ 有一个公共点。 圆 $$C$$ 与 $$\overline{AB}$$ 的中点有一个切点。 $$C$$ 圆内并且在$$A$$ 圆外和$$B$$ 圆外的面积是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$3- \dfrac{\pi}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{\pi}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{3 \pi}{4}$$ 
aoVal: E
content: $$1+ \dfrac{\pi}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: Not specific: Draw a rectangle with vertices at the centers of $$A$$ and $$B$$ and the intersection of $$A$$, $$C$$ and $$B$$, $$C$$. Then, we can compute the shaded area as the area of half of $$C$$ plus the area of the rectangle minus the area of the two sectors created by $$A$$ and $$B$$. This is $$\dfrac{\pi(1)^{2}}{2}+(2)(1)-2 \cdot \dfrac{\pi(1)^{2}}{4}= (\rm C)2$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧长公式与扇形面积
Source: 2011年AMC10竞赛A第18题