math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若$$a$$，$$b$$均为正整数，且$$m=ab(a+b)$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$m$$一定是奇数 
aoVal: B
content: $$m$$一定是偶数 
aoVal: C
content: 只有$$a$$,$$b$$当均为偶数时，$$m$$是偶数 
aoVal: D
content: 只有$$a$$,$$b$$当一个为偶数、另一个为奇数时，$$m$$是偶数 ~ 
Answer: B
Analysis: $$m=ab(a+b)$$ 若$$a$$，$$b$$中有一个为偶数，$$m$$必为偶数． 若$$a$$，$$b$$均为奇数，$$a+b$$为偶数，$$m$$必为偶数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第1题4分
其它
Problem: 若非零自然数$$a$$，$$b$$的最大公约数与最小公倍数之和恰等于$$a$$，$$b$$的乘积，则$${{\left( \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{10}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$1024$$ 
aoVal: C
content: $$2104$$ 
aoVal: D
content: $$2016$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$a$$，$$b$$的最大公约数是$$c$$，  则它们的最小公倍数为$$c\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c}$$，  由题意，得$$c+\frac{ab}{c}=ab$$，  ∴$$ab=\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$．  若$$c$$为奇数，则$${{c}^{2}}$$为奇数，$$c-1$$为偶数，$$\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$不是整数，舍去．  若$$c$$为偶数，则$${{c}^{2}}$$为偶数，$$c-1$$为奇数，当且仅当$$c=2$$时，$$\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$为整数．  ∴$$ab=\frac{{{2}^{2}}}{2-1}=4$$．  又∵$$a$$，$$b$$均为正整数，且它们的最大公约数为$$2$$，  ∴$$a=b=2$$，  ∴$${{\left( \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{10}}={{\left( \frac{16}{8} \right)}^{10}}={{2}^{10}}=1024$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分
Problem: 已知在代数式$$a+bx+c{{x}^{2}}$$中，$$a$$，$$b$$，$$c$$都是整数，当$$x=3$$时，该式的值是$$2008$$；当$$x=7$$时，该式的值是$$2009$$，这样的代数式有．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: 无穷多个 
Answer: A
Analysis: 当$$x=3$$时，$$a+3b+9c=2008$$，①  当$$x=7$$时，$$a+7b+49c=2009$$， ②  ②$$-$$①得，$$4b+40c=1$$．  当$$b$$，$$c$$都是整数时，上式左边总为偶数，不可能等于$$1$$，所以不存在这样的代数式．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 水池$$A$$和$$B$$都是深$$1.2$$米，底部是$$3$$米$$\times 2$$米的长方体．$$1$$号阀门$$18$$分钟可将无水的$$A$$池注满，$$2$$号阀门$$24$$分钟可将$$A$$池中满池的水注入$$B$$池．最初$$A$$、$$B$$均为空池，若同时打开$$1$$号，$$2$$号阀门，当$$A$$池水深$$0.4$$米时，同时关闭两个阀门，这时$$B$$池中有水（~ ）立方米．
Options:
aoVal: A
content: $$0.9$$ 
aoVal: B
content: $$1.8$$ 
aoVal: C
content: $$3.6$$ 
aoVal: D
content: $$7.2$$ 
Answer: D
Analysis: 由已知条件可得，$$1$$号阀门每分钟注入$$\frac{1}{18}$$池水，而$$2$$号阀门每分钟放出$$\frac{1}{24}$$池水．  到$$A$$池深$$0.4$$米时，$$A$$池中正好留存了$$\frac{1}{3}$$池水，  则注水时间为$$\frac{1}{3}\div \left( \frac{1}{18}-\frac{1}{24} \right)=24$$（分钟），  故同时关闭阀门时，恰好放了$$24$$分钟水，正好把$$B$$池放满，  故$$B$$水池中有水$$3\times 2\times 1.2=7.2$$（立方米）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
Problem: 定义：一个工厂一年的生产增长率就是：  $$\frac{当年产值 - 前一年产值}{前一年产值}\times 100 \%$$  如果该工厂$$2000$$年的产值要达到$$1998$$年产值的$$1.44$$倍，而且每年的生产增长率都是$$x$$，则$$x$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$5 \%$$ 
aoVal: B
content: $$10 \%$$ 
aoVal: C
content: $$15 \%$$ 
aoVal: D
content: $$20 \%$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$1998$$年的产值为$$1$$，则$$1999$$年产值为$$1+x$$，$$2000$$年产值为$$(1+x)+(1+x)x={{(1+x)}^{2}}$$．依题意，应当$${{(1+x)}^{2}}=1.44$$．  因为$${{(\pm 1.2)}^{2}}=1.44$$，且$$x\textgreater0$$，  所以$$1+x=1.2$$，$$x=0.2=20 \%$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程与实际问题->一元二次方程的增长率问题
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第10题
Problem: 将$$100$$以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：  （$$1$$）将左边第一个数码移到数字串的最右边；  （$$2$$）从左到右两位一节组成若干个两位数；  （$$3$$）从这些两位数中划去合数；  （$$4$$）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；  （$$5$$）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串．  问：经过$$1997$$次操作，所得到数字串是什么？
Options:
aoVal: A
content: $$1173$$ 
aoVal: B
content: $$1731$$ 
aoVal: C
content: $$7311$$ 
aoVal: D
content: $$3117$$ 
aoVal: E
content: $$1713$$ 
Answer: B
Analysis: 第$$1$$次操作得数字串$$711131737$$；第$$2$$次操作得数字串$$11133173$$；第$$3$$次操作得数字串$$111731$$；第$$4$$次操作得数字串$$1173$$；第$$5$$次操作得数字串$$1731$$；第$$6$$次操作得数字串$$7311$$；第$$7$$次操作得数字串$$3117$$；第$$8$$次操作得数字串$$1173$$，以下以$$4$$为周期循环，即$$4k$$次操作所得数字串均为$$1173$$．$$1996=4\times 499$$，所以第$$1996$$次操作得数字串$$1173$$，因此，第$$1997$$次操作得数字串$$1731$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->操作与游戏
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列
Source: 2001年第6届华杯赛初一竞赛决赛第19题
Problem: 有下面$$4$$个命题：  ①两个数的差一定是正数．  ②两个整式的和一定是整式．  ③两个同类项的数字系数相同．  ④若两个角的和等于$$180{}^{}\circ $$，则这两个角互为邻补角．  其中真命题的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$3-4=-1$$，知命题①不真；  $$3a{{b}^{2}}$$与$$5a{{b}^{2}}$$是同类项，但数字系数不同，③不真；  由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为$$180{}^{}\circ $$，但它们并不互为邻补角．命题④不真．  易知，两个整式的和仍是整式是真命题．  所以只有$$1$$个真命题，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何图形初步->角->角的基础问题
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第4题
Problem: 下列四组根式中，是同类二次根式的一组是．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{2.5}$$和$$2\sqrt{0.5}$$ 
aoVal: B
content: $$3a\sqrt{a}$$和$$3b\sqrt{b}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{{{a}^{2}}b}$$和$$\sqrt{a{{b}^{2}}}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{a{{b}^{7}}{{c}^{3}}}$$和$$\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{ab}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\sqrt{a{{b}^{7}}{{c}^{3}}}={{b}^{3}}c\sqrt{abc}$$，$$\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{ab}}=\frac{c}{ab}\sqrt{abc}$$，它们是同类二次根式．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$2\angle A=3\angle B$$，且$$\angle C-30{}^{}\circ =\angle A+\angle B$$，则$$\triangle ABC$$是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 钝角三角形 
aoVal: C
content: 有一个角是$$30{}^{}\circ $$的直角三角形 
aoVal: D
content: 等腰直角三角形 
Answer: B
Analysis: 由题意得：$$\begin{cases}\angle A=\dfrac{3}{2}\angle B    \angle C=\angle A+\angle B+30{}^{}\circ    \angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ   \end{cases}$$，  解得$$\angle A=45{}^{}\circ $$，$$\angle B=30{}^{}\circ $$，$$\angle C=105{}^{}\circ $$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->三角形的分类
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第5题4分
Problem: 设$$y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-8x+5$$，其中$$x$$为任意实数，则$$y$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: 一切实数 
aoVal: B
content: 一切正实数 
aoVal: C
content: 一切大于或等于$$5$$的实数 
aoVal: D
content: 一切大于或等于$$2$$的实数 
Answer: D
Analysis: $$y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-8x+5$$  $$={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+4-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-8x+1$$  $$={{({{x}^{2}}+2)}^{2}}-4x({{x}^{2}}+2)+{{(2x)}^{2}}+1$$  $$={{[({{x}^{2}}+2)-2x]}^{2}}+1$$  $$={{[{{(x-1)}^{2}}+1]}^{2}}+1$$.  因为$${{(x-1)}^{2}}\geqslant 0$$，所以$${{(x-1)}^{2}}+1\geqslant 1$$.  所以 当$$x=1$$时，$$y$$取得最小值$$2$$，  即$$y$$的取值范围是一切大于或等于$$2$$的实数．故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数->二次函数的最大值与最小值
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 是同解方程 
aoVal: B
content: 不是同解方程 
aoVal: C
content: 是同一个方程 
aoVal: D
content: 可能不是同解方程 
Answer: D
Analysis: 当另一个方程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除$$\text{B}$$．  但另一个方程的解不都满足第一个方程时，它们不是同解方程，所以排除$$\text{A}$$、$$\text{C}$$，  因此选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->方程解的关系
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第4题
Problem: 船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为$$7:2$$，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{14}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{14}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{9}$$ 
Answer: D
Analysis: 由已知条件可设船顺水航行的速度是$$7v$$，逆水航行的速度是$$2v$$，设两港之间的距离为$$s$$，则船往返一次的平均速度为$$\frac{2s}{\frac{s}{7v}+\frac{s}{2v}}=\frac{28}{9}v$$，从而平均速度与顺水速度之比为$$\frac{28}{9}v:7v=\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用
Source: 2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第1题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$是前$$3$$个质数，并且$$a\textless{}b\textless{}c$$，现给出下列四个判断：  ①$${{(a+b)}^{2}}$$不能被$$c$$整除；  ②$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$不能被$$c$$整除；  ③$${{(b+c)}^{2}}$$不能被$$a$$整除；  ④$${{a}^{2}}+{{c}^{2}}$$不能被$$b$$整除．  其中不正确的判断是．
Options:
aoVal: A
content: ①、② 
aoVal: B
content: ①、③ 
aoVal: C
content: ②、③ 
aoVal: D
content: ③、④ 
Answer: B
Analysis: 由题意，得$$a=2$$，$$b=3$$，$$c=5$$，  $${{(a+b)}^{2}}=25$$，$$c=5$$，①不正确；  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13$$，$$c=5$$，②正确；  $${{(b+c)}^{2}}=64$$，$$a=2$$，③不正确；  $${{a}^{2}}+{{c}^{2}}=29$$，$$b=3$$，④正确；  不正确的判断是①、③．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第4题4分
Problem: 如果由四舍五入得到的近似数是$$35$$，那么在下列各数中不可能是真值的数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$34.49$$ 
aoVal: B
content: $$34.51$$ 
aoVal: C
content: $$34.99$$ 
aoVal: D
content: $$35.01$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$$34.51$$，$$34.99$$，$$35.01$$四舍五入的近似值都可能是$$35$$，  而只有$$34.49$$不可能是真值，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->近似数与有效数字->精确数位
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第5题
Problem: 黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$2012$$ 
aoVal: B
content: $$101$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$99$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a+b+ab+1=(a+1)(b+1)$$得，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加$$1$$后的乘积不变，  设经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数为$$x$$，  则$$x+1=(1+1)( \frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)\cdots (\frac{1}{100}+1)$$，  解得$$x=100$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
课内体系->能力->运算能力
Source: 2012年竞赛第5题3分
初二其它
Problem: 已知$$x+y+z=5$$，$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=5$$，$$xyz=1$$，  ∴$$\frac{yz+xz+xy}{xyz}=5$$，即$$xy+yz+xz=5$$．  ∵$$x+y+z=5$$，  ∴$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)=15$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算
Source: 2016年全国华杯赛初一竞赛
Problem: 对实数$$a$$，$$b$$，定义运算``$$*$$''如下：  $$a*b=\begin{cases}{{a}^{2}}b\quad a\geqslant b    a{{b}^{2}}\quad a\textless{}b    \end{cases}$$．  现已知$$3*m=36$$，则实数$$m$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$或$$\pm 2\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$3\geqslant m$$时，有  $$3*m={{3}^{2}}\cdot m=9m=36$$，  解得$$m=4$$，与$$3\geqslant m$$予盾，舍去．  当$$3\textless{}m$$时，有$$3*m=3{{m}^{2}}=36$$，  解得$$m=\pm 2\sqrt{3}$$，因为$$3\textless{}m$$，因此舍去$$m=-2\sqrt{3}$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 若$$y$$是正数，且$$x+y\textless{}0$$，则在下列结论中，错误的一个是．  If $$y$$ is a positive number and $$x+y\textless{}0$$, then which of the following conclusions is wrong ？．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{3}}y\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$ 
aoVal: C
content: $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$ 
aoVal: E
content: Both A and C 
Answer: A
Analysis: ∵$$y\textgreater0$$，若$$x\geqslant 0$$则$$x+y\textgreater0$$，与$$x+y\textless{}0$$矛盾．  所以由$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$必有$$x\textless{}0$$．  因此，$${{x}^{3}}\textless{}0$$，$${{x}^{3}}y\textless{}0$$，即$$\text{A}$$是错误的．  事实上，$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$，即$$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$，$$\text{B}$$成立．  $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$，$$\text{C}$$成立．$$x\textless{}0$$，$${{y}^{2}}\textgreater0$$，$$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$，$$\text{D}$$成立．因此，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2019~2020学年10月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第10题3分
1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
2017~2018学年10月江苏扬州高邮市高邮市南海中学初一上学期月考第6题3分
Problem: 计算：$$\sqrt{14+6\sqrt{5}}-\sqrt{14-6\sqrt{5}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{5}$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: $$\sqrt{14+6\sqrt{5}}-\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14+2\sqrt{45}}-\sqrt{14-2\sqrt{45}}=\sqrt{{{(\sqrt{9}+\sqrt{5})}^{2}}}-\sqrt{{{(\sqrt{9}-\sqrt{5})}^{2}}}$$，  $$=\sqrt{9}+\sqrt{5}-\sqrt{9}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
Source: 2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: 代数式$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1+\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: 不存在的 
Answer: B
Analysis: 要使代数式$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$$有意义，需满足条件：  当$$\begin{cases}x\geqslant 0    x-1\geqslant 0    x-2\geqslant 0    \end{cases}$$，所以$$x\geqslant 2$$，  当$$x\geqslant 2$$时，  即$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{2}+\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}=\sqrt{2}+1$$，  即$$x=2$$时，原代数式取得最小值$$\sqrt{2}+1$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$这$$8$$个数排成一行，要使$$8$$的两边各数的和相等，那么不同的排法一共有．
Options:
aoVal: A
content: $$1152$$种 
aoVal: B
content: $$576$$种 
aoVal: C
content: $$288$$种 
aoVal: D
content: $$144$$种 
Answer: A
Analysis: 因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}$$．  ∵$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，  ∴$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$①  ∴$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$②  $$\frac{①}{②}$$，得~~$$\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}=\frac{6ab}{2ab}$$  ∵$$a\textless{}b\textless{}0$$，  ∴$$ab\textgreater0$$，$$a+b\textless{}0$$，$$a-b\textless{}0$$，  ∴$$\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}={{\left( \frac{a+b}{a-b} \right)}^{2}}=3$$，  ∴$$\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算
Source: 初二上学期其它
2002年竞赛第1题5分
2015年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生
2016~2017学年江西景德镇初二下学期期中景德镇一中1班第1题4分
Problem: ✩✩✩✩✩黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$2012$$ 
aoVal: B
content: $$101$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$99$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a+b+ab+1=(a+1)(b+1)$$得，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加$$1$$后的乘积不变，  设经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数为$$x$$，  则$$x+1=(1+1)( \frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)\cdots (\frac{1}{100}+1)$$，  解得$$x=100$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
Source: 2016年山东青岛竞赛二中杯
初二其它
Problem: ~下列四个命题：  ①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．  ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．  ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．  ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．  其中正确的命题有（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 1个 
aoVal: B
content: 2个 
aoVal: C
content: 3个 
aoVal: D
content: 4个 
Answer: B
Analysis: ②两个角相等，不一定为对顶角；  ③两个角不是对项角，也可以相等． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->对顶角的定义与性质
课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->计算对顶角、邻补角度数
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第2题
Problem: 线段$$AB=1996$$厘米，$$P$$、$$Q$$是线段$$AB$$上的两个点，线段$$AQ=1200$$厘米，线段$$BP=1050$$厘米，则线段$$PQ=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$254$$厘米 
aoVal: B
content: $$150$$厘米 
aoVal: C
content: $$127$$厘米 
aoVal: D
content: $$871$$厘米 
Answer: A
Analysis: $$PQ=AQ+PB-AB=1200+1050-1996=254$$（厘米），选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->直线、射线、线段->直线、射线、线段的运算->线段和差的计算问题->线段和差-需要分类讨论
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 从$$-6$$、$$-4$$、$$-3$$、$$-2$$、$$-1$$、$$3$$、$$6$$中选择任意两个数字，然后将它们相乘，得到的乘积的最大值为$$a$$，最小值为$$b$$，则$$\frac{a}{b}$$的值为。  Pick any two numbers from $$-6$$, $$-4$$, $$-3$$, $$-2$$, $$-1$$, $$3$$, $$6$$ and multiply them, the maximum value of the resulting product is $$a$$, and the minimum value is $$b$$, then the value of $$\frac{a}{b}$$ is ．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{2}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: E
content: $$-\frac{1}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 由条件可知，$$a=(-6)\times (-4)=24$$，$$b=(-6)\times 6=-36$$，所以  $$\frac{a}{b}=-\frac{24}{36}=-\frac{2}{3}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
课内体系->知识点->数->有理数->分数
Source: 2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第2题
Problem: 已知$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{b}_{1}}$$，$${{b}_{2}}$$均为正数，且$${{a}_{1}}\geqslant {{a}_{2}}$$，$${{a}_{1}}\leqslant {{b}_{1}}$$，$${{a}_{1}}{{a}_{2}}\leqslant {{b}_{1}}{{b}_{2}}$$，则$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}$$与$${{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\leqslant {{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\geqslant {{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$ 
aoVal: D
content: 无法确定的 
Answer: A
Analysis: 因为$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{b}_{1}}$$，$${{b}_{2}}$$均为正数，且$${{a}_{1}}{{a}_{2}}\leqslant {{b}_{1}}{{b}_{2}}$$．  所以$${{b}_{2}}\geqslant \frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}}$$，  所以$${{b}_{1}}+{{b}_{2}}\geqslant {{b}_{1}}+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}}$$，  所以$$({{b}_{1}}+{{b}_{2}})-({{a}_{1}}+{{a}_{2}})\geqslant {{b}_{1}}+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}$$  $$=({{b}_{1}}-{{a}_{1}})+\frac{{{a}_{2}}({{a}_{1}}-{{b}_{1}})}{{{b}_{1}}}=({{b}_{1}}-{{a}_{1}})\left( 1-\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}} \right)$$．  因为$${{a}_{1}}\leqslant {{b}_{1}}$$，$${{a}_{2}}\leqslant {{a}_{1}}$$，  所以$$0\textless{}{{a}_{2}}\leqslant {{b}_{1}}$$，$$0\textless{}\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}}\leqslant 1$$．  所以$${{b}_{1}}-{{a}_{1}}\geqslant 0$$，$$\left( 1-\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{1}}} \right)\geqslant 0$$．  所以$${{b}_{1}}+{{b}_{2}}\geqslant {{a}_{1}}+{{a}_{2}}$$．  又当$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{b}_{1}}$$，$${{b}_{2}}$$均相等时，等号成立．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 某城市按以下规定收取煤气费：（$$1$$）每月所用煤气按整立方米数计算．（$$2$$）若每月用煤气不超过$$60$$立方米，按每立方米$$0.8$$元收费；若超过$$60$$立方米，超过部分按每立方米$$1.2$$元收费．已知某户人家某月的煤气费平均每立方米$$0.88$$元，则这户人家需要交煤气费．
Options:
aoVal: A
content: $$60$$元 
aoVal: B
content: $$66$$元 
aoVal: C
content: $$70$$元 
aoVal: D
content: $$75$$元 
Answer: B
Analysis: 由于$$0.88\textgreater0.8$$，所以这户人家用的煤气超过$$60$$立方米．设用了$$x$$立方米，则  $$60\cdot 0.8+1.2\left( x-60 \right)=0.88x$$，  解得$$x=75$$，  $$75\times 0.88=66$$（元）．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的梯度计价问题
Source: 1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分
Problem: 已知$$a=\sqrt{2}-1$$，$$b=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$$，$$c=\sqrt{6}-2$$，那么$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}c\textless{}b$$ 
aoVal: C
content: $$b\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: D
content: $$b\textless{}c\textless{}a$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a-b$$  $$=\sqrt{2}-1-\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$$  $$=\sqrt{6}-\left( 1+\sqrt{2} \right)$$  $$\approx 2.449-2.414\textgreater0$$，  ∴$$a\textgreater b$$；  ∵$$a-c$$  $$=\sqrt{2}-1-\left( \sqrt{6}-2 \right)$$  $$=\sqrt{2}+1-\sqrt{6}$$  $$\approx 2.414-2.449\textless{}0$$，  ∴$$a\textless{}c$$；  于是$$b\textless{}a\textless{}c$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小
Source: 初二下学期单元测试《二次根式》二次根式的运算第43题
2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: 已知$$a$$和$$b$$是有理数，若$$a+b=0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$$，则在$$a$$和$$b$$之间一定（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 存在负整数 
aoVal: B
content: 存在正整数 
aoVal: C
content: 存在负分数 
aoVal: D
content: 不存在正分数 
Answer: C
Analysis: 由可知$$a\ne 0$$且$$b\ne 0$$．  再由$$a+b=0$$，可知$$a=-b$$．  不妨设$$a\textgreater b$$，则$$a\textgreater0\textgreater b$$，  则在$$a$$和$$b$$之间一定存在负分数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分
2019~2020学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初一上学期期中第8题3分
Problem: 已知$$p$$为偶数，$$q$$为奇数，方程组$$\left { \begin{matrix}x-1992y=p    1993x+3y=q   \end{matrix} \right.$$的解是整数，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x$$是奇数，$$y$$是偶数 
aoVal: B
content: $$x$$是偶数，$$y$$是奇数 
aoVal: C
content: $$x$$是偶数，$$y$$是偶数 
aoVal: D
content: $$x$$是奇数，$$y$$是奇数 
Answer: B
Analysis: ∵$$p$$为偶数，$$q$$为奇数，其解$$x$$，$$y$$又是整数，  由$$x-1992y=p$$可知$$x$$为偶数，由$$1993x+3y=q$$可知$$y$$是奇数，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->思想->整体思想
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的定义
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第7题
Problem: 某件商品，若按标价的八折出售，可获利$$20 \%$$，若按原价出售，则可获利（ ~）
Options:
aoVal: A
content: $$25 \%$$ 
aoVal: B
content: $$40 \%$$ 
aoVal: C
content: $$50 \%$$ 
aoVal: D
content: $$66.7 \%$$ 
Answer: C
Analysis: 设标价为$$x$$，进价为$$a$$，由题意得$$0.8x-a=0.2a$$解得$$x=1.5a$$，按原价出售可获利$$\frac{1.5a-a}{a}=0.5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-打折
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第6题
Problem: 有理数$$b$$满足$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}3$$，并且有理数$$a$$使得$$a\textless{}b$$恒能成立，则$$a$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 小于或等于$$3$$的有理数 
aoVal: B
content: 小于$$3$$的有理数 
aoVal: C
content: 小于或等于$$-3$$的有理数 
aoVal: D
content: 小于$$-3$$的有理数 
Answer: C
Analysis: $$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}3$$就是$$-3\textless{}b\textless{}3$$，只有当$$a\leqslant -3$$时，$$a\textless{}b$$恒成立，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第10题
Problem: $$A$$、 $$B$$ 两家商店的笔记本定价都是$$10$$元一本．已知在$$A$$商店每购$$5$$本赠一本，在$$B$$商店，超过$$5$$本（含$$5$$本），每本八五折．小明需要购买$$32$$本笔记本，则他至少花元．
Options:
aoVal: A
content: $$267$$ 
aoVal: B
content: $$268$$ 
aoVal: C
content: $$270$$ 
aoVal: D
content: $$272$$ 
Answer: B
Analysis: 在$$\text{A}$$商店每购$$5$$本赠一本，$$5\div6 \approx0.83$$，低于八五折，  所以可以在$$\text{A}$$商店购买$$24$$本，在$$\text{B}$$商店购买$$8$$本；  或者在$$\text{A}$$商店购买直接购买$$32$$本．  在$$\text{A}$$商店购买$$24$$本，在$$\text{B}$$商店购买$$8$$本，  花费$$20\times10+8\times10\times0.85=268$$（元）；  在$$\text{A}$$商店购买直接购买$$32$$本，花费$$25\times10+2\times10=270$$（元）．  综上，小明需要购买$$32$$本笔记本，则他至少花$$268$$元．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第7题4分
Problem: 互不相等的三个正数$$a$$、$$b$$、$$c$$恰为一个三角形的三条边长，则以下列三数为长度的线段一定能做成三角形的是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{a}$$，$$\frac{1}{b}$$，$$\frac{1}{c}$$ 
aoVal: B
content: $$a^{2}$$，$$ b^{2}$$，$$c^{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$，$$ \sqrt{c}$$ 
aoVal: D
content: $$\textbar a-b\textbar$$，$$\textbar b-c\textbar$$，$$\textbar c-a\textbar$$ 
Answer: C
Analysis: 如$$2$$，$$4$$，$$5$$为边可以组成三角形，而$$\frac{1}{2}$$，$$ \frac{1}{4}$$，$$ \frac{1}{5}$$不能构成三角形，排除$$\text{A}$$．  如$$3$$，$$4$$，$$5$$为边可以组成三角形，而$$3^{2}$$，$$ 4^{2}$$，$$ 5^{2}$$不能构成三角形，排除$$\text{B}$$．  如$$2$$，$$3$$，$$4$$为边可以组成三角形，而$$\textbar2-3\textbar$$，$$\textbar3-4\textbar$$，$$\textbar4-2\textbar$$不能构成三角形，排除$$\text{D}$$．  不妨设$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater0$$，满足$$a\textless b+c$$，  所以$$(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}=b+2 \sqrt{b c}+c\textgreater a$$，  所以$$\sqrt{b}+\sqrt{c}\textgreater\sqrt{a}$$，  所以$$\sqrt{a}$$，$$ \sqrt{b}$$，$$ \sqrt{c}$$可以构成三角形．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第8题
Problem: 若关于$$x$$的不等式$$\left { \begin{matrix}2x-1\textgreater3(x-2)    2x+m-1\textgreater0   \end{matrix} \right.$$，只有四个整数解，则$$m$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1\textless{}m\textless{}1$$ 
aoVal: B
content: $$-1\leqslant m\textless{}1$$ 
aoVal: C
content: $$-1\textless{}m\leqslant 1$$ 
aoVal: D
content: $$-1\leqslant m\leqslant 1$$ 
Answer: C
Analysis: 解$$2x-1\textgreater3(x-2)$$，得$$x\textless{}5$$；  解$$2x+m-1\textgreater0$$，得$$x\textgreater\frac{1-m}{2}$$．  ∵不等式组只有四个整数解，  ∴$$0\leqslant \frac{1-m}{2}\textless{}1$$，  解得$$-1\textless{}m\leqslant 1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分