math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 正整数$$n$$小于$$100$$，并满足等式$$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =n$$，其中$$\left\lfloor x \right\rfloor $$表示不超过$$x$$的最大整数，这样的正整数$$n$$有(  )个.
Options:
aoVal: A
content: $$2$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: D
Analysis: 分析：利用$$\left\lfloor x \right\rfloor $$表示不超过$$x$$的最大整数的性质，求出$$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor $$的范围．  $$\because \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{2}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{3}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{6}$$$$\therefore \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{6}=n$$．  又$$\because \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =n$$  $$\therefore \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor =\frac{n}{2}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor =\frac{n}{3}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =\frac{n}{6}$$  $$\therefore n$$的个数有$$\left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor =16$$个，选D． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
Source: 2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 若$${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k$$有一个因式是$$x+1$$，则$$k=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$ 
aoVal: C
content: $$-5$$ 
aoVal: D
content: $$-7$$ 
Answer: C
Analysis: 依题意，原多项式当$$x=-1$$时，其值等于$$0$$，即$${{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-3\left( -1 \right)+k=0$$，从而$$k=-5$$．  依题意$$x+1$$也是多项式，  $${{\left( x+1 \right)}^{3}}-\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k \right)=6x+\left( 1-k \right)$$的因式，故$$1-k=6$$，即$$k=-5$$．  依题意可设$${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+ax+b \right)={{x}^{3}}+\left( a+1 \right){{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+b$$．  比较同次幂系数得$$\begin{cases}a+1=3    a+b=-3    k=b   \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}a=2    b=-5    k=-5   \end{cases}$$．  故$$k=-5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->待定系数法
课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第15题
Problem: 有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足$$a\textless{}b\textless{}0\textless{}c\textless{}d$$，并且$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c\textless{}\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，则$$a+b+c+d$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 大于$$0$$ 
aoVal: B
content: 等于$$0$$ 
aoVal: C
content: 小于$$0$$ 
aoVal: D
content: 与$$0$$的大小关系不确定 
Answer: A
Analysis: 方法一：  ∵$$b\textless{}0\textless{}c$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c$$，  ∴$$-b\textless{}c$$，  ∴$$b+c\textgreater0$$．  ∵$$a\textless{}0\textless{}d$$，$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，  ∴$$-a\textless{}d$$，  ∴$$a+d\textgreater0$$．  ∴$$a+b+c+d\textgreater0$$．  方法二：  取特殊值，依题设，可假定$$b=-2$$，$$c=3$$，$$a=-4$$，$$d=5$$，  则$$a+b+c+d=2\textgreater0$$，  所以$$a+b+c+d$$的值大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《解读绝对值》第6题
2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 若$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，那么下列式子中结果是正数的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(a-b)(ab+a)$$ 
aoVal: B
content: $$(a+b)(a-b)$$ 
aoVal: C
content: $$(a+b)(ab+a)$$ 
aoVal: D
content: $$(ab-b)(a+b)$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$．所以$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar=b$$．  由于$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$得$$-a\textless{}b$$，因此$$a+b\textgreater0$$，$$a-b\textless{}0$$．  $$ab+a\textless{}0$$，$$ab-b\textless{}0$$．  所以应有$$(a-b)(ab+a)\textgreater0$$成立，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数的乘法法则
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 满足不等式$$\frac{2}{3}\textless{}\frac{5}{n}\textless{}\frac{3}{m}$$的有序整数对$$(m,n)$$的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$\frac{2}{3}\textless{}\frac{5}{n}\textless{}\frac{3}{m}$$，得到$$\frac{m}{3}\textless{}\frac{n}{5}\textless{}\frac{3}{2}$$，即$$\frac{5}{3}m\textless{}n\textless{}\frac{15}{2}$$，因此$$n\leqslant 7$$．  $$n=7\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=\frac{21}{5}$$，$$m=1,2,3,4$$，  $$n=6\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=\frac{18}{5}$$，$$m=1,2,3$$，  $$n=5\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=3$$，$$m=1,2$$，  $$n=4\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=\frac{12}{5}$$，$$m=1,2$$，  $$n=3\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=\frac{9}{5}$$，$$m=1$$，  $$n=2\Rightarrow m\textless{}\frac{3}{5}n=\frac{6}{5}$$，$$m=1$$，  ∴满足不等式的$$(m,n)$$一共有$$4+3+2+2+1+1=13$$对．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解
Source: 2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第6题
其它
Problem: 有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足$$a\textless{}b\textless{}0\textless{}c\textless{}d$$，并且$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c\textless{}\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，则$$a+b+c+d$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 大于$$0$$ 
aoVal: B
content: 等于$$0$$ 
aoVal: C
content: 小于$$0$$ 
aoVal: D
content: 与$$0$$的大小关系不确定 
Answer: A
Analysis: 方法一：  ∵$$b\textless{}0\textless{}c$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c$$，  ∴$$-b\textless{}c$$，  ∴$$b+c\textgreater0$$．  ∵$$a\textless{}0\textless{}d$$，$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，  ∴$$-a\textless{}d$$，  ∴$$a+d\textgreater0$$．  ∴$$a+b+c+d\textgreater0$$．  方法二：  取特殊值，依题设，可假定$$b=-2$$，$$c=3$$，$$a=-4$$，$$d=5$$，  则$$a+b+c+d=2\textgreater0$$，  所以$$a+b+c+d$$的值大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 初一上学期单元测试《解读绝对值》第6题
2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 将形如3\emph{m}和$${{2}^{n}}$$（\emph{m，n}为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为$${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\cdots $$若第\emph{k}个数$${{a}_{k}}=2022$$，则\emph{k}的值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 682 
aoVal: B
content: 683 
aoVal: C
content: 684 
aoVal: D
content: 685 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先确定$$3m$$和$${{2}^{n}}$$不等，考虑在从小到大排列的形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数3，6，9，27，\ldots 中，从小到大添加形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数．再根据$$2022=3\times 674$$即可．\\ 【详解】\\ 易知形如$$3m$$和$${{2}^{n}}$$($$m$$，$$n$$为正整数)的正整数不可能相等．\\ 考虑在从小到大排列的形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数3，6，9，27，\ldots 中，从小到大添加形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数．\\ 由$$2022=3\times 674$$知，将形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数．\\ 由于$${{2}^{10}}=1024\textless{} 2022$$，$${{2}^{11}}=2048\textgreater2022$$，所以有10个形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面．\\ 所以$$k=674+10=684$$．\\ 【点睛】\\ 本题考查数字排列规律问题，掌握因数分解方法，有理数大小比较是解题关键． 
Source: 2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第3~3题
Problem: 数$${{(-1)}^{1998}}$$是．
Options:
aoVal: A
content: 最大的负数 
aoVal: B
content: 最小的非负数 
aoVal: C
content: 最小的正整数 
aoVal: D
content: 绝对值最小的整数 
Answer: C
Analysis: $${{(-1)}^{1998}}=+1$$．排除$$\text{A}$$．由于最小的非负数是$$0$$，排除$$\text{B}$$．  绝对值最小的整数也是$$0$$，排除$$\text{D}$$．显然应选$$\text{C}$$．事实上$$+1$$是最小的正整数．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第1题
Problem: 已知$${{x}^{2}}-x-1=0$$，则$$\frac{{{x}^{3}}+x+1}{{{x}^{4}}}$$的值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 由条件得$${{x}^{2}}=x+1$$，原式$$=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}}=\frac{{{x}^{2}}\left( x+1 \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值
Source: 初一单元测试《分式的概念、性质及运算》第18题
2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第18题4分
Problem: 若$$\left\textbar{} a \right\textbar=1$$，则$${{a}^{4}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\left\textbar{} a \right\textbar=1$$，所以$$a=\pm 1$$，因此$${{a}^{4}}=1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->整体法
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第3题
Problem: 解方程：$$\frac{x+6}{x+1}-\frac{3{{x}^{2}}+10x+4}{{{x}^{2}}+3x+2}+\frac{2x+1}{x+2}=0$$的解为．
Options:
aoVal: A
content: $$x=9$$ 
aoVal: B
content: $$x=-9$$ 
aoVal: C
content: 无解 
aoVal: D
content: $$x=-\frac{1}{9}$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程可变为$$1+\frac{5}{x+1}-\left( 3+\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3x+2} \right)+2-\frac{3}{x+2}=0$$，  整理得$$\frac{5}{x+1}-\frac{3}{x+2}-\frac{x-2}{{{x}^{2}}+3x+2}=0$$，  去分母、整理得$$x+9=0$$，  计算得出$$x=-9$$．  经检验知，$$x=-9$$是原方程的根． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->知识点->方程与不等式->分式方程->解分式方程
知识标签->题型->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->题型：解可化为一元一次方程的分式方程
Source: 2018年全国竞赛
Problem: 设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: $$M=xy+(2y+3x)z$$  $$=xy+(2y+3x)(1-x-y)$$  $$=-3{{x}^{2}}-4xy-2{{y}^{2}}+3x+2y$$  $$=-2\left[ {{y}^{2}}+2\left( x-\frac{1}{2} \right)y+{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]-3{{x}^{2}}+3x+2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+x+\frac{1}{2}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$  $$\leqslant \frac{3}{4}$$．  当且仅当$$x=\frac{1}{2}$$，$$y=0$$时，不等式取等号，  故$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．  令$$y=1-x-z$$，代入$$M$$，则：  $$M=x\left( 1-x-z \right)+2\left( 1-x-z \right)z+3xz=x-{{x}^{2}}-xz+2z-2xz-2{{z}^{2}}+3xz$$  $$=-{{x}^{2}}+x-2{{z}^{2}}+2z=-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$，$${{M}_{\min }}=\frac{3}{4}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整体代入化简求值
知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的定义
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
知识标签->方法->配方法
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 方程组$$\begin{cases}xy+yz=63    xz+yz=23 \end{cases}$$的正整数解的组数是（~ ）.
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 先由第二个方程确定$$z=1$$，进而原方程组可化为$$\begin{cases}xy+y=63    x+y=23 \end{cases}$$，  消去$$y$$可得：$$\left( 23-x \right)\left( x+1 \right)=63$$，即$${{x}^{2}}-22x+40=0$$．  解得：$${{x}_{1}}=20$$，$${{x}_{2}}=2$$．  所以，原方程组有两组解：（$$2$$，$$21$$ ，$$1$$），（$$20$$，$$3$$ ，$$1$$）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第2题
Problem: 若$$4x-3y-6z=0$$，$$x+2y-7z=0(xyz\ne 0)$$，则代数式$$\frac{5{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}-10{{z}^{2}}}$$的值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{19}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-15$$ 
aoVal: D
content: $$-13$$ 
Answer: D
Analysis: 视$$z$$为常数，将两个方程转化为关于$$x$$，$$y$$的二元一次方程组$$\begin{cases}4x-3y=6z    x+2y=7z \end{cases}$$②$$\times 4-$$①得的$$11y=22z$$，  $$y=2z$$，把$$y=2z$$代入①得$$4x-6z=6z$$，解得$$x=3z$$，  所以原式$$=\frac{5{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}-10{{z}^{2}}}=\frac{5{{(3z)}^{2}}+2{{(2z)}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{(3z)}^{2}}-3{{(2z)}^{2}}-10{{z}^{2}}}=-\frac{52}{4}=-13$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一下学期其它第2题
2003年竞赛第1题6分
Problem: 已知$$a+{{x}^{2}}=2011$$，$$b+{{x}^{2}}=2012$$，$$c+{{x}^{2}}=2013$$，且$$abc=24$$，则$$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: frac{1}{8}$$ 
aoVal: D
content: frac{1}{16}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a+{{x}^{2}}=2011$$，$$b+{{x}^{2}}=2012$$，$$c+{{x}^{2}}=2013$$，  得$$b-a=1$$，$$c-b=1$$，$$c-a=2$$．  $$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$$  $$=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac}{abc}$$  $$=\frac{{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(a-c)}^{2}}}{2abc}$$  $$=\frac{1+1+4}{2\times 24}$$  $$=\frac{1}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->配方法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第18题4分
Problem: 设$$a$$，$$b$$是方程$${{x}^{2}}+20x+1=0$$的两个根，$$c$$，$$d$$是方程$${{x}^{2}}-17x+1=0$$的两个根，则代数式$$\left( a+c \right)\left( b+c \right)\left( a-d \right)\left( b-d \right)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-2017$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$340$$ 
aoVal: D
content: $$-111$$ 
Answer: D
Analysis: 解：由题意可得$$a+b=-20$$，$$ab=1$$，$$c+d=17$$，$$cd=1$$  $$\therefore \left( a+c \right)\left( b+c \right)\left( a-d \right)\left( b-d \right)$$  $$=\left[ ab+\left( a+b \right)c+{{c}^{2}} \right]\left[ ab-\left( a+b \right)d+{{d}^{2}} \right]$$  $$=\left( 1-20c+{{c}^{2}} \right)\left( 1+20d+{{d}^{2}} \right)$$  $$=1+20d+{{d}^{2}}-20c-400-20d+{{c}^{2}}+20c+1$$  $$={{d}^{2}}+{{c}^{2}}+2-400$$  $$={{\left( c+d \right)}^{2}}-400$$  $$={{17}^{2}}-400$$  $$=-111$$，  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
Source: 2019年四川南充初三自主招生
竞赛2021年宁波小强基第3题
Problem: 已知$$a\textgreater b\textgreater c$$，$$M={{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$$，$$N=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}$$，则$$M$$与$$N$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$M\textless{}N$$ 
aoVal: B
content: $$M\textgreater N$$ 
aoVal: C
content: $$M=N$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: $$M-N={{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a-(a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}})$$  $$=(b-c){{a}^{2}}-({{b}^{2}}-{{c}^{2}})a+({{b}^{2}}c-b{{c}^{2}})$$  $$=(b-c){{a}^{2}}-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)$$  $$=(b-c)\left[ {{a}^{2}}-(b+c)a+bc \right]$$  $$=(b-c)(a-b)(a-c)$$，  ∵$$a\textgreater b\textgreater c$$，  ∴$$b-c\textgreater0$$，$$a-b\textgreater0$$，$$a-c\textgreater0$$，  ∴$$M-N=(b-c)(a-b)(a-c)\textgreater0$$，  ∴$$M\textgreater N$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
课内体系->能力->运算能力
Source: 初二上学期单元测试《分解方法的延拓（1）》第21题
2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第2题
初二其它
Problem: 计算 $$1+3+5+\cdots +2021+2023-2-4-6-\cdots -2020-2022$$？
Options:
aoVal: A
content: $$-1012$$ 
aoVal: B
content: $$-1011$$ 
aoVal: C
content: $$1010$$ 
aoVal: D
content: $$1011$$ 
aoVal: E
content: $$1012$$ 
Answer: E
Analysis: 计算 $$1+3+5+\cdots +2021+2023-2-4-6-\cdots -2020-2022$$？  我们可以将给定的表达式重写为$$1+\left( 3-2 \right)+\left( 5-4 \right)+\cdot \cdot \cdot +\left( 2023-2022 \right)+\left( 2021-2020 \right)=1+1+1+\cdot \cdot \cdot +1$$，$$1\text{s}$$的数与$$1$$，$$3$$，$$5$$，7$$\cdot \cdot \cdot $$，$$2021$$，$$2023$$中的数是相同，因此答案是$$1012$$．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 美国amc8->知识点->数与运算->数列与数表->等差数列
Source: 2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: \textbf{（难）}设$$a=\sqrt{7}-1$$，则代数式$$3{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-6a-12$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$4\sqrt{7}+10$$ 
aoVal: D
content: $$4\sqrt{7}+12$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意得$$a+1=\sqrt{7}$$，即$${{a}^{2}}=6-2a$$，  所以$$3{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-6a-12=3a\left( 6-2a \right)+12\left( 6-2a \right)-6a-12$$  $$=-6{{a}^{2}}-12a+60$$  $$=-6\left( 6-2a \right)-12a+60$$  $$=24$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->代入法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年竞赛第1题3分
Problem: 如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式．例如：$${{x}^{3}}+2x{{y}^{2}}+2xyz+{{y}^{3}}$$是$$3$$次齐次多项式．若$${{x}^{m+2}}{{y}^{2}}+3x{{y}^{3}}{{z}^{2}}$$是齐次多项式，则$$m$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{x}^{m+2}}{{y}^{2}}+3x{{y}^{3}}{{z}^{2}}$$是齐次多项式，并且第二个单项式的次数为$$6$$，  所以$$m+2+2=6$$，即$$m=2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第3题
Problem: 若$$m={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}\times {{2007}^{2}}+{{2007}^{2}}$$，则$$m$$．
Options:
aoVal: A
content: 是完全平方数，还是奇数 
aoVal: B
content: 是完全平方数，还是偶数 
aoVal: C
content: 不是完全平方数，但是奇数 
aoVal: D
content: 不是完全平方数，但是偶数 
Answer: A
Analysis: $$m={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}\times {{2007}^{2}}+{{2007}^{2}}$$  $$={{2006}^{2}}+{{2006}^{2}}{{\left( 2006+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2006+1 \right)}^{2}}$$  $$={{2006}^{4}}+2\times {{2006}^{3}}+3\times {{2006}^{2}}+2\times 2006+1$$  $$={{\left( {{2006}^{2}}+2006+1 \right)}^{2}}$$  ∴$$m$$是奇数．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘
课内体系->能力->运算能力
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第5题
初二其它
Problem: 计算：$$1-{{(-1)}^{2}}+\frac{-1\times {{(-1)}^{3}}-2}{2\times (-1)+1}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 原式$$=1-1+\frac{-1\times (-1)-2}{-2+1}$$  $$=\frac{1-2}{-1}$$  $$=1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第1题
Problem: 某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为$$8$$万元，每印刷一套需增加成本$$20$$元．如果每套书定价$$100$$元，卖出后有$$3$$成收入给承销商，出版社要盈利$$10 \%$$，那么该书至少应发行．（精确到千位）
Options:
aoVal: A
content: $$2$$千套 
aoVal: B
content: $$3$$千套 
aoVal: C
content: $$4$$千套 
aoVal: D
content: $$5$$千套 
Answer: A
Analysis: 设出版社发行$$x$$套书，  则$$100\left( 1-0.3 \right)x\geqslant \left( 80000+20x \right)\left( 1+10 \% \right)$$，  $$70x\geqslant 88000+22x$$，  $$x\geqslant 1833\frac{1}{3}$$，  至少应发行$$2$$千套．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第6题
Problem: 如果$$a=-2+\sqrt{2}$$，那么$$1+\frac{1}{2+\dfrac{1}{3+a}}$$的值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{2}$$ 
Answer: B
Analysis: $$1+\frac{1}{2+\dfrac{1}{3+a}}=1+\frac{1}{2+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}}$$  $$=1+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2012年竞赛第1题3分
Problem: 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+27x-27$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+27x-27$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{4}}-{{x}^{3}}+27x-27$$ 
aoVal: D
content: $${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+27x-27=({{x}^{3}}-27)+27x-9{{x}^{2}}$$  $$=(x-3)({{x}^{2}}+3x+9)-9x(x-3)$$  $$=(x-3)({{x}^{2}}+3x+9-9x)$$  $$={{(x-3)}^{3}}$$，  故$$\text{A}$$正确；  又因为$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+27x-27=(x-1)({{x}^{2}}+27)$$  $${{x}^{4}}-{{x}^{3}}+27x-27=(x-1)(x+3)({{x}^{2}}-3x+9)$$  $${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27=(x-3)({{x}^{2}}+9)$$，  故$$\text{BCD}$$错误．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->提公因式+平方差
课内体系->知识点->式->因式分解->提公因式法
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 9.已知$$a=\sqrt{2}-1$$，$$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$，$$c=\sqrt{10}-2$$，那么$$a$$、$$b$$、$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless b\textless c$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless c\textless b$$ 
aoVal: C
content: $$b\textless a\textless c$$ 
aoVal: D
content: $$b\textless c\textless a$$ 
Answer: C
Analysis: $$a=\sqrt{2}-1=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$，  $$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$，  $$c=\sqrt{6}-2=\frac{2}{\sqrt{6}+2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}+1}$$，  由$$\sqrt{\frac{3}{2}}+1\textless{}\sqrt{2}+1\textless{}\sqrt{3}+\sqrt{2}$$，显然：$$b\textless{}a\textless{}c$$．  估算或作差  $$a-b=2\sqrt{2}-\sqrt{3}-1$$，$$2\sqrt{2}\approx 2.828$$，$$\sqrt{3}+1\approx 2.732$$，故$$2\sqrt{2}\textgreater\sqrt{3}+1$$∴$$a\textgreater b$$；  $$c-a=\sqrt{6}-\sqrt{2}-1$$，$${{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=6$$，$${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}\approx {{2.414}^{2}} ~\textless{} ~6$$，故$$\sqrt{6}\textgreater\sqrt{2}+1$$，∴$$c\textgreater a$$；  ∴$$b ~\textless{} ~a ~\textless{} ~c$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->数->实数->无理数有关的计算->题型：无理数大小的比较
知识标签->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的混合运算
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: 已知$$a+b=2$$，$$\frac{{{(1-a)}^{2}}}{b}+\frac{{{(1-b)}^{2}}}{a}=-4$$，则$$ab$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$\frac{{{(1-a)}^{2}}}{b}+\frac{{{(1-b)}^{2}}}{a}=-4$$可得$$a{{(1-a)}^{2}}+b{{(1-b)}^{2}}=-4ab$$，  即$$(a+b)-2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+4ab=0$$，  即$$2-2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+2({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})+4ab=0$$，  即$$2-2ab+4ab=0$$，  所以$$ab=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分
初一单元测试《有条件的分式化解与求值》第22题
Problem: 下列结论中，错误的有．  ①在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，已知两边长分别为$$3$$和$$4$$，则第三边的长为$$5$$；  ②$$\triangle ABC$$的三边长分别为$$AB$$，$$BC$$，$$AC$$，若$$B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$$，则$$\angle A=90{}^{}\circ $$；  ③ 在$$\triangle ABC$$中，若$$\angle A:\angle B:\angle C=1:5:6$$，则$$\triangle ABC$$是直角三角形；  ④若三角形的三边长之比为$$3:4:5$$，则该三角形是直角三角形．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$3$$个 
Answer: C
Analysis: ①在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，已知两边长分别为$$3$$和$$4$$，则第三边的长为$$5$$或$$\sqrt{7}$$，错误；  ②$$\triangle ABC$$的三边长分别为$$AB$$，$$BC$$，$$AC$$，若$$B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$$，则$$\angle A=90{}^{}\circ $$，错误；  ③在$$\triangle ABC$$中，若若$$\angle A:\angle B:\angle C=1:5:6$$，则$$\triangle ABC$$是直角三角形，正确；  ④若三角形的三边长之比为$$3:4:5$$，则该三角形是直角三角形，正确．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股逆定理的应用
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2018~2019学年3月河南洛阳西工区洛阳外国语学校初二下学期月考第6题3分
2018~2019学年3月天津南开区天津市南开翔宇学校初二下学期月考第8题3分
2019~2020学年山东枣庄峄城区初二上学期期末第2题3分
2020~2021学年10月四川成都彭州市成都七中嘉祥外国语学校北城分校初二上学期月考第6题3分
2018~2019学年山东青岛市南区青岛大学附属中学初二上学期期末第3题3分
2020~2021学年9月四川成都青羊区四川师范大学实验外国语学校初二上学期周测C卷第3题3分
2020~2021学年3月天津南开区天津美达菲国际学校初二下学期月考第8题3分
2018~2019学年3月天津河西区天津市新华中学初二下学期月考第3题3分
2019~2020学年3月江西南昌东湖区南昌市百树学校初二下学期月考第6题3分
2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳市罗湖区翠园中学（初中部）初一下学期周测B卷（竞赛班）第2题2分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$都是大于$$-\frac{1}{2}$$的负数，那么下列式子成立的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a+c-b ~\textless{} ~0$$ 
aoVal: B
content: $${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$abc\textgreater-\frac{1}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} abc \right\textbar\textgreater\frac{1}{8}$$ 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$．取$$a=c=-\frac{1}{12}$$，$$b=-\frac{1}{3}$$，则有：$$a+c+b=-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\textgreater0$$，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{BD}$$．取$$a=b=c=-\frac{1}{3}$$，则有：$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-\frac{1}{9} ~\textless{} ~0$$，$$\left\textbar{} abc \right\textbar=\frac{1}{27} ~\textless{} ~\frac{1}{8}$$，故$$\text{BD}$$错误；  因为$$a$$，$$b$$为负数，所以$$ab\textgreater0$$．因为$$c\textgreater-\frac{1}{2}$$，所以$$abc\textgreater-\frac{1}{2}ab$$．  又因为$$b\textgreater-\frac{1}{2}$$，所以$$-\frac{1}{2}ab ~\textless{} ~\frac{1}{4}$$，所以$$-\frac{1}{2}ab\textgreater\frac{1}{4}a\textgreater-\frac{1}{8}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第4题
Problem: 已知正整数$$a$$，$$b$$之差为$$120$$，它们的最小公倍数是其最大公约数的$$105$$倍，那么$$a$$，$$b$$中较大的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$125$$ 
aoVal: B
content: $$175$$ 
aoVal: C
content: $$225$$ 
aoVal: D
content: $$275$$ 
Answer: C
Analysis: 设两个数的最大公约数为$$d$$，大数为$$md$$，小数为$$nd$$，其中$$m$$，$$n$$互质，则最小公倍数为$$mnd$$．由已知得$$mn=105$$，$$(m-n)d=120$$．  由于$$m\textgreater n$$，所以$$m$$只可能是$$105$$，$$35$$，$$21$$，$$15$$．  对应的$$n$$分别为$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$．  只有在$$m=15$$，$$n=7$$时$$d$$为整数，$$d=15$$．  所以大数为$$md=225$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->整除的条件
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第10题7分
Problem: 已知$$a=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}$$，$$b=\frac{\sqrt[3]{2}+m}{\sqrt{3}+m}$$，$$c=\frac{\sqrt[3]{3}+m}{\sqrt{2}+m}$$，其中$$m\textgreater0$$，那$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$c\textgreater a\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater c\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}$$，$$\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}$$．  因而$$\sqrt[3]{3}\textgreater\sqrt{2}$$，$$a=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}\textgreater1$$，$$c=\frac{\sqrt[3]{3}+m}{\sqrt{2}+m}\textgreater1$$．  于是$$a-c=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[3]{3}+m}{\sqrt{2}+m}$$  $$=\frac{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}+m\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}-m\sqrt{2}}{\sqrt{2}\left( \sqrt{2}+m \right)}\textgreater0$$，  所以$$a\textgreater c\textgreater1$$，  又$$b=\frac{\sqrt[3]{2}+m}{\sqrt{3}+m} ~\textless{} ~1$$，  故$$a\textgreater c\textgreater b$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第5题