math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知一次函数$$y=kx+2\left( k\textgreater0 \right)$$有两个不同的点$$({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，令$$m=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)$$，则关于$$x$$的不等式$$mx ~\textless{} ~-m$$的解是．
Options:
aoVal: A
content: $$x ~\textless{} ~-1$$ 
aoVal: B
content: $$x\textgreater-1$$ 
aoVal: C
content: $$x ~\textless{} ~1$$ 
aoVal: D
content: $$x\textgreater1$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$y=kx+2(k\textgreater0)$$中，  $$k\textgreater0$$．  ∴$$y$$随$$x$$增大而增大，  ∵$$({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$$$({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$是$$y=kx+2$$图象上不同两点，  ∴$${{x}_{1}}\textgreater{{x}_{2}}$$时$${{y}_{1}}\textgreater{{y}_{2}}$$，  $${{x}_{1}} ~\textless{} ~{{x}_{2}}$$时，$${{y}_{1}} ~\textless{} ~{{y}_{2}}$$．  ∴$$({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) ~\textless{} ~0$$，  ∴$$m=({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) ~\textless{} ~0$$．  ∴由$$mx ~\textless{} ~-m$$，  解得$$x\textgreater-1$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与一元一次不等式
Source: 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第10题3分
Problem: 已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$8$$个 
Answer: C
Analysis: 设$$x^{2}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，  即$$x^{2}+ax-12=(x+m)(x+n)$$，$$m$$，$$n$$是整数，  $$\therefore x^{2}+ax-12=x^{2}+(m+n)x+mn$$，  $$\therefore \begin{cases}mn=-12 \m+n=a\end{cases}$$，  $$\because m$$，$$n$$是整数，且$$mn=-12$$，  有$$\begin{cases}m=12 \n=-1\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-1 \n=12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=6 \n=-2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-2 \n=6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=4 \n=-3\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=3 \n=-4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=2 \n=-6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=-6 \n=2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=1 \n=-12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-12 \n=1\end{cases}$$，共$$12$$种情况．  而$$a=m+n$$，只有$$6$$种结果，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数
Source: 2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题
第7届希望杯初二竞赛第3题
2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分
上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题
初二其它
Problem: 设$${{x}_{0}}$$是方程$$\left\textbar{} \frac{1+x}{2} \right\textbar-\left\textbar{} -x \right\textbar=0$$的一个不为$$1$$的根，则．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}_{0}}\textgreater2{{x}_{0}}\textgreater x_{0}^{2}$$ 
aoVal: B
content: $$x_{0}^{2}\textgreater{{x}_{0}}\textgreater2{{x}_{0}}$$ 
aoVal: C
content: $$x_{0}^{2}\textgreater2{{x}_{0}}\textgreater{{x}_{0}}$$ 
aoVal: D
content: $$2{{x}_{0}}\textgreater x_{0}^{2}\textgreater{{x}_{0}}$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程变为$$\left\textbar{} \frac{1+x}{2} \right\textbar=\left\textbar{} x \right\textbar$$，即$$\frac{1+x}{2}=\pm x$$，解得$$x=1$$或$$x=-\frac{1}{3}$$，由题意知$${{x}_{0}}=-\frac{1}{3}$$，于是$$x_{0}^{2}\textgreater{{x}_{0}}\textgreater2{{x}_{0}}$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程
Source: 1995年第6届希望杯初二竞赛第1题
Problem: 将棱长为$$1$$厘米的$$42$$个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体．如果长方体底面的周长为$$18$$厘米，那么这个长方体的高是．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$厘米 
aoVal: B
content: $$3$$厘米 
aoVal: C
content: $$6$$厘米 
aoVal: D
content: $$7$$厘米 
Answer: B
Analysis: 由构成的长方体的底面矩形周长为$$18$$，得长$$+$$宽$$=9$$厘米，  因为长方体的体积为$$42$$立方厘米，  所以长和宽都应是$$42$$的约数，且底面面积也是$$42$$的约数，  又$$42=1\times 42=2\times 3\times 7$$，  所以长$$=7$$厘米，宽$$=2$$厘米，  此时高$$=42\div (2\times 7)=3$$（厘米）.  故选($$\text{B}$$)． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->认识图形
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 若$$x-y=2$$，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$，则$${{x}^{1992}}+{{y}^{1992}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $${{1992}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{1992}}$$ 
aoVal: D
content: $${{4}^{1992}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$x-y=2$$,平方得$${{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}=4$$．  又已知$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$，  两式相减得$$2xy=0$$，∴$$xy=0$$．  所以$$x$$，$$y$$中至少有一个为$$0$$，但$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$．  因此，$$x$$，$$y$$中只能有一个为$$0$$，另一个为$$2$$或$$-2$$．  无论哪种情况，都有$${{x}^{1992}}+{{y}^{1992}}={{0}^{1992}}+{{(\pm 2)}^{1992}}={{2}^{1992}}$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了$$24$$秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用$$56$$秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用．
Options:
aoVal: A
content: $$32$$秒 
aoVal: B
content: $$38$$秒 
aoVal: C
content: $$42$$秒 
aoVal: D
content: $$48$$秒 
Answer: C
Analysis: 设从楼上到楼下的路程为$$s$$，则自动扶梯每秒向下运动$$\frac{s}{56}$$的路程．  人沿向下运动的扶梯向下走，经过$$24$$秒，扶梯向下运动了$$24\times \frac{s}{56}=\frac{3s}{7}$$的路程，  人向下走了$$s-\frac{3}{7}s=\frac{4}{7}s$$的路程，  所以，人每秒向下走$$\frac{4}{7}s\div 24=\frac{s}{42}$$的路程，  那么，人走$$s$$的路程要用$$42$$秒，  即人沿不动的扶梯从楼上走到楼下要用$$42$$秒．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 据统计，$$2017$$``十一''国庆长假期间，长沙市共接待国内外游客约$$319$$万人次，与$$2016$$年相比同比增长$$16.43 \%$$，数据$$319$$万用科学记数法表示为．
Options:
aoVal: A
content: $$3.19\times {{10}^{6}}$$ 
aoVal: B
content: $$3.19\times {{10}^{8}}$$ 
aoVal: C
content: $$0.319\times {{10}^{7}}$$ 
aoVal: D
content: $$319\times {{10}^{6}}$$ 
Answer: A
Analysis: $$319$$万$$=3190000$$，  $$3190000=3.19\times {{10}^{6}}$$，  其中科学记数法的表示方法为$$\left\textbar{} a \right\textbar\times {{10}^{n}}\left( 1\leqslant a\textless{}10 \right)$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第9题3分
Problem: 用一根长为$$a$$米的细绳围成一个等边三角形，测得它的面积是$$b$$平方米．在这个等边三角形内任取一点$$P$$，则点$$P$$到等边三角形三边的距离的和等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2b}{a}$$米 
aoVal: B
content: $$\frac{4b}{a}$$米 
aoVal: C
content: $$\frac{6b}{a}$$米 
aoVal: D
content: $$\frac{8b}{a}$$米 
Answer: C
Analysis: 由面积法知：点$$P$$到等边三角形三边的距离之和等于这个等边三角形的高，而$$b=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot h$$，所以$$h=\frac{6b}{a}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第8题4分
Problem: 若对于$$\pm 3$$以外的一切实数$$x$$，等式$$\frac{m}{x+3}-\frac{n}{x-3}=\frac{8x}{{{x}^{2}}-9}$$均成立，则$$mn$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$-8$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$-16$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\frac{m}{x+3}-\frac{n}{x-3}=\frac{8x}{{{x}^{2}}-9}$$，  所以$$\frac{m(x-3)-n(x+3)}{{{x}^{2}}-9}=\frac{8x}{{{x}^{2}}-9}$$．  因为$$x\ne \pm 3$$．  所以$$m(x-3)-n(x+3)=8x$$．  即$$(m-n)x-3(m+n)=8x$$．  此式对于一切$$x\ne \pm 3$$的值均成立．  所以$$\begin{cases}m-n=8,    m+n=0,   \end{cases}$$  解得$$\begin{cases}m=4,    n=-4.   \end{cases}$$  所以$$mn=-16$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->解可化为一元一次方程的分式方程
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 若关于$$x$$ 的一元二次方程$$k{{x}^{2}}-x+1=0$$有实数根，则$$k$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$k\textgreater\frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$ 
aoVal: B
content: $$k\textless{}\frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$ 
aoVal: C
content: $$k\leqslant \frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$ 
aoVal: D
content: $$k\textless{}\frac{1}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: ∵关于$$x$$的一元二次方程$$k{{x}^{2}}-x+1=0$$有实数根，  ∴$$k\ne 0$$且$$\Delta ={{b}^{2}}-4ac\geqslant 0$$，  ∴$$1-4k\geqslant 0$$，  ∴解得：$$k\leqslant \frac{1}{4}$$．  综上，$$k\leqslant \frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
Source: 2019~2020学年10月山西太原杏花岭区太原志达中学初三上学期月考第2题3分
2019~2020学年10月广东佛山禅城区佛山市惠景中学初三上学期月考第6题3分
2019~2020学年9月甘肃兰州城关区兰州外国语学校初三上学期月考第8题4分
2020~2021学年9月四川成都天府新区天府七中初三上学期周测B卷第8题3分
2020~2021学年10月广东深圳南山区深圳南山外国语学校高新中学初三上学期周测B卷第4题
2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第2题4分
2018~2019学年辽宁沈阳浑南区育才实验学校初二下学期期末第3题
2020~2021学年9月四川成都天府新区天府七中初三上学期周测C卷第8题3分
Problem: 已知一组数据$$x_1$$，$$x_2$$，$$x_3$$，$$x_4$$，$$x_5$$的平方和为$$200$$，它们的平均数为$$6$$，则这组数据的方差是．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: ∵这五个数的平方和为$$200$$，平均数为$$6$$，  ∴$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6\times5=30$$，  $$x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{3}+x_4^{4}+x_5^{2}=200$$，  ∴这组数据的方差为：  $$\frac15\times\left[(x_1-6)^{2}+(x_2-6)^{2}+(x_3-6)^{2}+(x_4-6)^{2}+(x_5-6)^{2}\right]$$  $$=\frac15\times\left[x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{3}+x_4^{4}+x_5^{2}+5\times6^{2}-12(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)\right]$$  $$=\frac15\times(200+5\times36-12\times30)$$  $$=\frac15\times(200+180-360)$$  $$=\frac15\times20$$  $$=4$$，  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
Source: 2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第5题5分
Problem: 小尼、小浩、小莲、小雪四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小尼：苹果不在我这里；  小浩：苹果在小雪那里；  小莲：苹果在小浩那里；  小雪：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是．
Options:
aoVal: A
content: 小尼 
aoVal: B
content: 小浩 
aoVal: C
content: 小莲 
aoVal: D
content: 小雪 
Answer: B
Analysis: 用假设法：  （$$1$$）假设小尼说了假话，那么苹果在小尼那里，小浩和小莲就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小浩说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小浩那里；  （$$3$$）假设小莲说了假话，则小浩说``苹果在小雪那里''与小雪说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小雪说的是假话，那么小莲说的就是假话，这样小雪、小莲都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小浩那里． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->命题与证明
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: $$1000$$到$$9999$$之间有多少个整数四个数位上各不相同？．
Options:
aoVal: A
content: $$3024$$ 
aoVal: B
content: $$4536$$ 
aoVal: C
content: $$5040$$ 
aoVal: D
content: $$6480$$ 
aoVal: E
content: $$6561$$ 
Answer: B
Analysis: $$1000$$到$$9999$$之间有多少个整数四个数位上各不相同？  这个问题可以改为``\,''有多少四位正整数有四个不同的数，因为数字是$$1000$$到$$9999$$之间的四位整数，对于第一个数有$$9$$中选择，因为它不能是$$0$$，第二个数只有$$9$$种选择，因为它不同于第一个数，第三个数有$$8$$种选择，因为它不同于前两个数，第四个数有$$7$$种选择，因为它不同于前三个数，则$$9\times 9\times 8\times 7=4536$$．  故选$$\text{B}$$．  The question can be rephrased to \textquotesingle How many four-digit positive integers have four distinct digits?\textquotesingle, since numbers between $$1000$$ and $$9999$$ are four-digit integers. There are $$9$$ choices for the first number, since it cannot be $$0$$, there are only $$9$$ choices left for the second number since it must differ from the first, $$8$$ choices for the third number, since it must differ from the first two, and $$7$$ choices for the fourth number, since it must differ from all three. This means there are $$9\times9\times8\times7=\boxed{(\text{B})4536}$$ integers between $$1000$$ and $$9999$$ with four distinct digits. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上整点覆盖问题
美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Permutation and Combination->Permutation Problems
Source: 2015年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 若代数式$$\frac{\sqrt{2010-x}}{\textbar x\textbar-2009}$$有意义，则$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\leqslant 2010$$ 
aoVal: B
content: $$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne \pm 2009$$ 
aoVal: C
content: $$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne 2009$$ 
aoVal: D
content: $$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne -2009$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意，得$$\begin{cases}2010-x\geqslant 0    \textbar x\textbar-2009\ne 0    \end{cases}$$，  解得$$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne \pm 2009$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: $$7-a$$的倒数的相反数是$$-2$$，那么$$a$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$7.5$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6.5$$ 
Answer: D
Analysis: $$7-a$$的倒数是$$\frac{1}{7-a}$$，$$\frac{1}{7-a}$$的相反数是$$-\frac{1}{7-a}=\frac{1}{a-7}$$．  依题意列方程$$\frac{1}{a-7}=-2$$．  解得$$a=\frac{13}{2}=6.5$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第5题
Problem: 已知$$a$$，$$b\left( b\textgreater a \right)$$是两个任意质数，那么下列四个分数、  ① $$\frac{a+b}{ab}$$~ ②$$\frac{b-a}{b+a}$$~ ③$$\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$~ ~④$$\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$中，总是最简分数的有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: B
Analysis: 设$$a=3$$，$$b=5$$，  则$$\frac{a+b}{ab}=\frac{3+5}{3\times 5}=\frac{8}{15}$$是最简分数．  $$\frac{b-a}{b+a}=\frac{5-3}{5+3}=\frac{2}{8}$$不是最简分数．  $$\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}==\frac{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}{{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}=\frac{16}{34}$$不是最简分数．  $$\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{3\times 5}{{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}=\frac{15}{34}$$是最简分数．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 如下是 Tyler 去年夏天外出捕鱼九次的数量：$$2$$，$$0$$，$$1$$，$$3$$，$$0$$，$$3$$，$$3$$，$$1$$，$$2$$．下列关于平均值，中位数，众数的描述，哪个是正确的？
Options:
aoVal: A
content: 中位数$$\textless$$平均值$$\textless$$众数 
aoVal: B
content: 平均值$$\textless$$众数$$\textless$$中位数 
aoVal: C
content: 平均值$$\textless$$中位数$$\textless$$众数 
aoVal: D
content: 中位数$$\textless$$众数$$\textless$$平均值 
aoVal: E
content: 众数$$\textless$$中位数$$\textless$$平均值 
Answer: C
Analysis: 如下是 Tyler 去年夏天外出捕鱼九次的数量：$$2$$，$$0$$，$$1$$，$$3$$，$$0$$，$$3$$，$$3$$，$$1$$，$$2$$．下列关于均值，中位数，众数的描述哪个正确？  A~ 中位数$$\textless$$均值$$\textless$$众数  B~ 均值$$\textless$$众数$$\textless$$中位数  C~ 均值数$$\textless$$中位数$$\textless$$众数  D~ 中位数$$\textless$$众数$$\textless$$均值  E~ 众数$$\textless$$中位数$$\textless$$均值  首先，把数字按增加的排列．  $$0$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$，$$2$$，$$2$$，$$3$$，$$3$$，$$3$$  故$$\frac{0+0+1+1+2+2+3+3+3}{9}=\frac{15}{9}$$，中位数是$$2$$，众数是$$3$$．因为，$$\frac{15}{9} ~\textless{} ~2 ~\textless{} ~3$$，所以答案是mean$$ ~\textless{} ~$$median$$ ~\textless{} ~$$mode，即平均数$$ ~\textless{} ~$$中位数$$ ~\textless{} ~$$众数．  故选$$\text{C}$$．  First, put the numbers in increasing order.  $$0$$, $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$2$$, $$3$$, $$3$$, $$3$$  The mean is $$\frac{0+0+1+1+2+2+3+3+3}{9}= \frac{15}{9}$$, the median is $$2$$, and the mode is $$3$$. Because, $$\frac{15}{9}\textless2\textless3$$, the answer is mean $$\textless{}$$ median $$\textless{}$$ mode. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Complex Average Problems
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
Source: 2011年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 满足$${{(x-1)}^{x+3}}=1$$的整数$$x$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$x+3=0$$且$$x-1\ne 0$$时，$$x=-3$$，  当$$x-1=1$$时，$$x=2$$，  当$$x-1=-1$$且$$x+3$$为偶数时，$$x=0$$不符合题意，  所以，满足条件的整数$$x$$有$$2$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程
知识标签->题型->式->整式的乘除->幂的运算
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->学习能力->抽象概括能力
知识标签->知识点->式->整式的乘除->幂的运算
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程
Source: 2018年全国初中数学联赛竞赛B卷
Problem: 若$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则$$a+b=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left\textbar{} b \right\textbar-\left\textbar{} a \right\textbar$$ 
aoVal: B
content: $$-\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，所以$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$．  因为$$b\textgreater0$$，所以$$\left\textbar{} b \right\textbar=b$$．  所以$$a+b=-\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 某种商品的进价为$$1200$$元，标价为$$1575$$元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于$$5 \%$$，则至多可打．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$折 
aoVal: B
content: $$7$$折 
aoVal: C
content: $$8$$折 
aoVal: D
content: $$9$$折 
Answer: C
Analysis: 要保持利润率不低于$$5 \%$$，设可打$$x$$折．  则$$1575\times \frac{x}{10}-1200\geqslant 1200\times 5 \%$$，  解得$$x\geqslant 8$$，  即要保持利润率不低于$$5 \%$$，最多可打$$8$$折．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的经济问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年11月浙江杭州拱墅区杭州树兰中学初一上学期周测C卷第4题3分
2019~2020学年4月浙江温州乐清市乐清市乐成公立寄宿学校初一下学期月考（竞赛班）第7题4分
2016~2017学年12月江苏镇江句容市句容市华阳学校初一上学期月考第17题3分
2017~2018学年陕西西安雁塔区西安高新第一中学初中校区东区初级中学初一上学期期末第3题5分
Problem: 不等式组$$\begin{cases}x-4\leqslant 8-2x    x\textgreater-\dfrac{2}{3} \end{cases}$$的最小整数解是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 解$$x-4\leqslant 8-2x$$，得$$x\leqslant 4$$，  故原不等式的解为$$-\frac{2}{3}\textless{}x\leqslant 4$$，  所以，原不等式组的最小整数解是$$x=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分
Problem: 如果$$x$$，$$y$$满足$$2x+3y=15$$，$$6x+13y=41$$，则$$x+2y$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{15}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: $$2x+3y=15$$，$$6x+13y=41$$，  由此可得：$$8x+16y=56$$，两边除以$$8$$得到$$x+2y=7$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组
Source: 2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第1题
Problem: 已知$$x$$，$$y$$都是正整数，那么三条边长是$$x$$，$$y$$和$$10$$的三角形有．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$4$$个 
aoVal: C
content: $$5$$个 
aoVal: D
content: 无数多个 
Answer: D
Analysis: 因为$$x=y\textgreater5$$的任何正整数，都可以和$$10$$作为三角形的三条边．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第6题
Problem: 计算$$\sqrt{8+\sqrt{63}}+\sqrt{8-\sqrt{63}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$3\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$5\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{5}$$ 
Answer: A
Analysis: 原式$$=\sqrt{{{(\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{7}{2}})}^{2}}}+\sqrt{{{(\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{7}{2}})}^{2}}}$$$$=2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知$${{m}^{2}}+m-1=0$$，那么代数式$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1997$$ 
aoVal: B
content: $$-1997$$ 
aoVal: C
content: $$1996$$ 
aoVal: D
content: $$-1996$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${{m}^{2}}+m-1=0$$，  所以$${{m}^{2}}+m=1$$，  所以$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$$$=m({{m}^{2}}+m)+{{m}^{2}}-1997$$$$=m+{{m}^{2}}-1997$$$$=1-1997$$$$=-1996$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一下学期其它
1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题
Problem: 已知二次函数$$y=a{{x}^{2}}+bx+c$$（$$c\ne 0$$）的图象与$$x$$轴有唯一交点，则二次函数$$y={{a}^{3}}{{x}^{2}}+{{b}^{3}}x+{{c}^{3}}$$的图象与$$x$$轴的交点个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: C
Analysis: 因为二次函数$$y=a{{x}^{2}}+bx+c$$的图象与$$x$$轴有唯一交点，  所以$${{\Delta }_{1}}={{b}^{1}}-4ac=0$$，  所以$${{b}^{2}}=4ac\ne 0$$．  故二次函数$$y={{a}^{3}}{{x}^{2}}+{{b}^{3}}x+{{c}^{3}}$$的判别式$${{\Delta }_{2}}={{({{b}^{3}})}^{2}}-4{{a}^{3}}{{c}^{3}}={{b}^{6}}-\frac{1}{16}{{(4ac)}^{3}}={{b}^{6}}-\frac{1}{16}{{({{b}^{2}})}^{3}}=\frac{15}{16}{{b}^{6}}\textgreater0$$，  所以，二次函数$$y={{a}^{3}}{{x}^{2}}+{{b}^{3}}x+{{c}^{3}}$$的图象与$$x$$轴有两个交点．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与坐标轴交点
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017年全国全国初中数学联赛竞赛
Problem: 一个角等于它的余角的$$5$$倍，那么这个角是．
Options:
aoVal: A
content: $$45{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$75{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$55{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$65{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 因为所求角$$a=5(90{}^{}\circ -a)$$，解得$$a=75{}^{}\circ $$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何图形初步->角->角的基础问题
Source: 1990年第1届希望杯初二竞赛第1题
Problem: 已知关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{2x+5}{3}-x\textgreater-5    \dfrac{x+3}{2}-t ~\textless{} ~x   \end{cases}$$，恰有$$5$$个整数解，则$$t$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$-6 ~\textless{} ~t ~\textless{} ~-\frac{11}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$-6\leqslant t ~\textless{} ~-\frac{11}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-6 ~\textless{} ~t\leqslant -\frac{11}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$-6\leqslant t\leqslant -\frac{11}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题设知不等式组有解，解得，$$3-2t ~\textless{} ~x ~\textless{} ~20$$.  由于不等式组恰有$$5$$个整数解，这$$5$$个整数解只能为$$15$$，$$16$$，$$17$$，$$18$$，$$19$$，因此$$14\leqslant 3-2t ~\textless{} ~15$$，解得$$-6\textless t\leqslant -\frac{11}{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次不等式组
Source: 2013年竞赛第2题3分
2016年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第5题6分
Problem: 将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．
Options:
aoVal: A
content: $$117$$ 
aoVal: B
content: $$99$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$84$$ 
aoVal: E
content: $$48$$ 
Answer: A
Analysis: 设该长方体的棱长分别为$$a$$厘米，$$b$$厘米，$$c$$厘米，$$(a\geqslant b\geqslant c)$$，  则由题意得$$(a-2)(b-2)(c-2)=11$$，  ∵$$11$$为质数，  ∴$$a-2=11$$，$$b-2=1$$，$$c-2=1$$，  ∴$$a=13$$，$$b=3$$，$$c=3$$，  ∴长方体的体积$$V=abc=117$$立方厘米． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分
Problem: 方程$${{x}^{2}}+\textbar x\textbar+1=0$$的实数根的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: D
Analysis: 因为不论$$x$$为何实数，$${{x}^{2}}+\textbar x\textbar+1$$总是大于零的．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第9题
Problem: 若$$0\textless{}a\textless{}1$$，则$$\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}-2}\div \left( 1+\frac{1}{a} \right)\times \frac{1}{1+a}$$可化简为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1-a}{1+a}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{a-1}{a+1}$$ 
aoVal: C
content: $$1-{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}-1$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$0\textless{}a\textless{}1$$，∴$$a-\frac{1}{a}\textless{}0$$，  ∴原式$$=\sqrt{{{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}}\div \left( \frac{a+1}{a} \right)\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\left( \frac{1}{a}-a \right)\times \frac{a}{a+1}\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\frac{\left( 1+a \right)\left( 1-a \right)}{a}\times \frac{a}{a+1}\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\frac{1-a}{1+a}$$，  故答案为$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第1题6分
2016~2017学年广东广州天河区华南师范大学附属中学初二上学期期中第3题2分
Problem: 将不大于$$20$$的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 不大于$$20$$的正偶数的乘积是  $$2\times 4\times 6\times 8\times 10\times 12\times 14\times 16\times 18\times 20$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{18}}\times (3\times 5\times 3\times 7\times 9\times 5)$$  $$={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  设第一、二组中数的乘积分别是$$M$$，$$N$$，  则$$MN={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  题意是要求最小的商，其实就是求最大的$$N$$，  易知$${{N}_{\max }}={{2}^{9}}\times {{3}^{2}}\times 5$$，  故商为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
课内体系->能力->运算能力
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第20题4分
Problem: 满足等式$$x\sqrt{y}+\sqrt{x}y-\sqrt{2003x}-\sqrt{2003y}+\sqrt{2003xy}=2003$$的正整数对$$\left( x,y \right)$$的个数是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 已知等式可化为  $$\sqrt{y}{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+\left[ {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}+\sqrt{2003}\sqrt{y}-\sqrt{2003} \right]\sqrt{x}$$$$-\sqrt{2003}\left( \sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$，  故$$\left( \sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$．  又由题意，  $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003}\textgreater0$$，  则$$\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003}=0\Rightarrow xy=2003$$．  而$$2003$$为质数，且$$x$$、$$y$$为正整数，故$$\left( x,y \right)=\left( 2003,1 \right)$$，$$\left( 1,2003 \right)$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->无理方程
Source: 初三上学期其它
2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第4题7分