math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设不定方程$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyz+10=0$$的正整数解$$\left( x,  y,  z \right)$$中满足$$x,  y,  z$$均大于$$2008$$的不同解的数目为$$k$$，则$$k$$满足．
Options:
aoVal: A
content: $$k=0$$ 
aoVal: B
content: $$1\leqslant k\leqslant 2008$$ 
aoVal: C
content: $$k\textgreater2008$$，但$$k$$是有限的数 
aoVal: D
content: $$k$$是无穷大 
Answer: D
Analysis: 由题意知$$\left( {{x}_{0}},  {{y}_{0}},  {{z}_{0}} \right)=\left( 3,  4,  5 \right)$$是原不定方程的一个特解．对于原不定方程的任意一个正整数解$$\left( {{x}_{1}},  y,  z \right)$$，假设$${{x}_{1}}\leqslant y\leqslant z$$，且$${{x}_{1}}z$$．设关于$$x$$的二次方程$${{x}^{2}}-yz\cdot x+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10=0$$的两个根为$${{x}_{1}},  {{x}_{2}}$$，由韦达定理，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=yz,  {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10{{z}^{2}}$$，因此$${{x}_{2}}$$是正整数，且大于$$z$$，于是$$\left( {{x}_{2}},  y,  z \right)$$也是原不定方程的一个解，由于原不定方程是轮换对称的，所以$$\left( y,  z,  {{x}_{2}} \right)$$也是它的解，并且它是由小到大排列的． 如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多个解，因此满足$$x,  y,  z$$均大于$$2008$$的解有无穷多个．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->韦达定理
Source: 2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 若对任意的$$\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，不等式$$4+2\sin \theta \cos \theta -a\sin \theta a\cos \theta \leqslant 0$$恒成立，则实数$$a$$的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$x=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left( \theta +\frac{\pi }{4} \right)$$，则$$2\sin \theta \cdot \cos \theta ={{x}^{2}}-1$$，  当$$\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$时，得$$1\leqslant x\leqslant \sqrt{2}$$，  故原不等式变为：$${{x}^{2}}-ax+3\leqslant 0\Rightarrow a\geqslant x+\frac{3}{x}$$，  此时，函数$$f\left( x \right)=x+\frac{3}{x}$$单调递减，  从而，实数$$a$$的最小值为$$f\left( 1 \right)=4$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数->正弦型函数的图象与性质
知识标签->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
知识标签->题型->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数->正弦型三角函数图像与性质问题
知识标签->题型->三角函数->三角恒等变换->倍角、半角公式问题
知识标签->素养->数学运算
Source: 2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题10分
Problem: 已知一圆锥曲面顶点\emph{S}，其母线与轴所成的角为$30{^{\circ}}$，在轴线上取一点\emph{C}，使得$SC=5$，过点\emph{C}作一个与轴线夹角为$45{^{\circ}}$的截面，则截得的曲线方程可表示为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $x^{2}+2y^{2}=25$ 
aoVal: B
content: $x^{2}+3y^{2}=50$ 
aoVal: C
content: $2x^{2}+5y^{2}=50$ 
aoVal: D
content: $2x^{2}+6y^{2}=75$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}$，求出其长轴后可得曲线方程.\\ 【详解】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，\\ 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长$2a=SC\cdot \sin 30{^{\circ}}\left(\frac{1}{\sin 75{^{\circ}}}+\frac{1}{\sin 15{^{\circ}}}\right)=5\sqrt{6}$，\\ 因此椭圆的半焦距$c=5$，进而所求曲线方程为$\frac{x^{2}}{\frac{75}{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{25}{2}}=1\Rightarrow 2x^{2}+6y^{2}=75$．\\ 故选：D. 
Source: 竞赛第12题
Problem: 设$${{a}_{n}}=\frac{n(n+1)}{2}$$，从数列$$ {{{a}_{n}} }$$中，去掉所有能被$$3$$整除的数后，剩下的项自小到大排成数列$$ {{{b}_{n}} }$$，则$${{b}_{200}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$200808$$ 
aoVal: B
content: $$179101$$ 
aoVal: C
content: $$153201$$ 
aoVal: D
content: $$116808$$ 
Answer: B
Analysis: 当且仅当$$n=3k-2(k=1,2,\cdots )$$时能被$$3$$整除，  故$${{b}_{k}}=\frac{(3k-2)(3k-1)}{2}=1+\frac{9k(k-1)}{2}$$，  所以 $${{b}_{200}}=1+\frac{9\times 200\times 199}{2}=179101$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共$$5$$节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$种 
aoVal: B
content: $$39$$种 
aoVal: C
content: $$60$$种 
aoVal: D
content: $$78$$种 
Answer: B
Analysis: 不加限制的排法共有$$\frac{\text{A}_{5}^{5}}{2}=60$$种；生物排在第一节，物理排在最后一节各有$$\frac{\text{A}_{4}^{4}}{2}=12$$种，其中生物排在第一节且物理排在最后一节有$$\frac{\text{A}_{3}^{3}}{2}=3$$种．因此符合要求的排法共有$$60-12\times 2+3=39$$种． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 对于实数$$x$$，$$[x]$$表示不超过$$x$$的最大整数．已知正数数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足：$${{a}_{1}}=1$$， $${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)$$，其中$${{S}_{n}}$$为数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项和，则$$\left[ \frac{1}{{{S}_{1}}}+\frac{1}{{{S}_{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{S}_{100}}} \right]=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 由$${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}} \right)$$，  得$${{S}_{n}}+{{S}_{n-1}}=\frac{1}{{{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}}$$，  即$$S_{n}^{2}=S_{n-1}^{2}+1$$．  因为$${{S}_{1}}={{a}_{1}}=1$$，所以$$S_{n}^{2}=n{{S}_{n}}=\sqrt{n}$$．  因为$$\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\textless{}2\sqrt{n}\textless{}\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$，  所以$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\textless{}\frac{1}{2\sqrt{n}}$$  $$\textless{}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$$，  令$$S=\frac{1}{{{S}_{1}}}+\frac{1}{{{S}_{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{S}_{100}}}$$，  则$$\frac{S}{2}\textgreater\sqrt{101}-1\textgreater9$$，  解得$$S\textgreater18$$．  又因为$${{S}_{1}}={{a}_{1}}=1$$，所以$$\frac{S}{2}-\frac{1}{2{{S}_{1}}}=\frac{1}{2{{S}_{2}}}+\frac{1}{2{{S}_{3}}}+\ldots +\frac{1}{2{{S}_{100}}}\textless{}\sqrt{100}-1=9$$，  即$$S\textless{}2\left( 9+\frac{1}{2} \right)=19$$，从而得$$[S]=18$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分
Problem: 设$$n$$为正整数，且$$3n+1$$与$$5n-1$$皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）$$7n+13$$必为合数；（乙）$$8\left( 17{{n}^{2}}+3n \right)$$必为两个平方数的和．  你的判断是．
Options:
aoVal: A
content: 甲对乙错 
aoVal: B
content: 甲错乙对 
aoVal: C
content: 甲、乙都对 
aoVal: D
content: 甲、乙都不一定对 
Answer: C
Analysis: 设$$3n+1={{a}^{2}}$$，$$5n-1={{b}^{2}}$$，$$a$$，$$b$$为正整数，  则$$7n+13=9\left( 3n+1 \right)-4\left( 5n-1 \right)={{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( 2b \right)}^{2}}$$  $$=\left( 3a-2b \right)\left( 3a+2b \right)$$①  由此知，$$3a-2b$$为正整数，且$$3a-2b\ne 1$$．  因为若$$3a-2b=1$$，  则$$27n+9={{\left( 3a \right)}^{2}}={{\left( 2b+1 \right)}^{2}}=4{{b}^{2}}+4b+1$$，  即$$27n=4\left( {{b}^{2}}+b-2 \right)$$，则$$4\left\textbar{} n \right.$$，记$$n=4k$$，  得$$5n-1=20k-1$$不为平方数，矛盾！  所以$$3a-2b\geqslant 2$$，故由①式得，$$7n+13$$为合数；  又因为$$8\left( 17{{n}^{2}}+3n \right)=\left[ \left( 3n+1 \right)+\left( 5n-1 \right) \right]\left[ 4\left( 3n+1 \right)+\left( 5n-1 \right) \right]$$  $$=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left[ {{\left( 2a \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \right]={{\left( 2{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( ab \right)}^{2}}$$，  故选$$\text{C}$$．（例如$$65$$即可为上述$$n$$的一个取值） 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）
Source: 2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 设集合$$P= {(x,y)\textbar y=k }$$，$$Q= {(x,y)\textbar y={{a}^{x}}+1$$，$$a\textgreater0$$且$$a\ne 1 }$$，已知$$P\cap Q$$只有一个子集，那么$$k$$的取值范围．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,1)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -\infty ,+1 \right]$$ 
aoVal: C
content: $$(1,+\infty )$$ 
aoVal: D
content: $$(+\infty ,+\infty )$$ 
Answer: B
Analysis: $$P\cap Q$$只有一个子集即$$P\cap Q$$为空集，  数形结合可知$$k\leqslant 1$$时，直线$$y=k$$与曲线$$y={{a}^{x}}+1$$无交点．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设函数$$f(x)$$，$$g(x)$$的定义域为$$D$$，又$$h(x)=f(x)+g(x)$$．若$$f(x),g(x)$$的最大值分别是$$M$$，$$N$$，最小值分别是$$m$$，$$n$$，则下面的结论中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$h(x)$$的最大值是$$M+N$$ 
aoVal: B
content: $$h(x)$$的最小值是$$m+n$$ 
aoVal: C
content: $$h(x)$$的值域为$$ {x\textbar m+n\leqslant x\leqslant M+N }$$ 
aoVal: D
content: $$h(x)$$的值域为$$ {x\textbar m+n\leqslant x\leqslant M+N }$$的一个子集 
Answer: D
Analysis: 取$$f(x)=\sin x,g(x)=\cos x$$，$$D=\mathbf{R}$$，即可知$$\text A\text B\text C$$都不正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第1题4分
Problem: 给定公比为$$q\left( q\ne 1 \right)$$的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$，设$${{b}_{1}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$$，$${{b}_{2}}={{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$$，\ldots，$${{b}_{n}}={{a}_{3n}}_{-2}+{{a}_{3n}}_{-1}+{{a}_{3n}}$$，\ldots，则数列$$\left { {{b}_{n}} \right }$$（  ）．
Options:
aoVal: A
content: 是等差数列 
aoVal: B
content: 是公比为$$q$$的等比数列 
aoVal: C
content: 是公比为$${{q}^{3}}$$的等比数列 
aoVal: D
content: 既非等差数列也非等比数列 
Answer: C
Analysis: 由题设，$${{a}_{n}}={{a}_{1}}{{q}^{n-1}}$$，  $$\frac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}=\frac{{{a}_{3n+1}}+{{a}_{3n+2}}+{{a}_{3n+3}}}{{{a}_{3n-2}}+{{a}_{3n-1}}+{{a}_{3n}}}=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{3n}}+{{a}_{1}}{{q}^{3n+1}}+{{a}_{1}}{{q}^{3n+2}}}{{{a}_{1}}{{q}^{3n-3}}+{{a}_{1}}{{q}^{3n-2}}+{{a}_{1}}{{q}^{3n-1}}}$$，  $$=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{3n}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{a}_{1}}{{q}^{3n-3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}={{q}^{3}}$$，  因此，$$\left { {{b}_{n}} \right }$$是公比为$${{q}^{3}}$$的等比数列． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
Problem: 已知函数$$f(x)={{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)$$，则对于任意实数$$a$$、$$b(a+b\ne 0)$$，$$\frac{f(a)+f(b)}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 恒大于零 
aoVal: B
content: 恒等于零 
aoVal: C
content: 恒小于零 
aoVal: D
content: 符号不确定 
Answer: A
Analysis: 因为$$f(-x)+f(x)$$  $$=-{{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)+{{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)$$  $$=-{{\log }_{2}}[(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)]=0$$，  所以$$f(-x)=-f(x)$$，即$$f(x)$$为奇函数．  又因为$$f(x)={{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)={{x}^{3}}+{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)$$，  在$$(0,+\infty )$$上单调递增，所以，$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上是增函数．  注意到$$f(a)-f(-b)$$与$$a-(-b)$$同号，  所以$$\frac{f(a)+f(b)}{a+b}\textgreater0$$．  又因为$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$$与$$a+b$$同号，  故$$\frac{f(a)+f(b)}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}\textgreater0$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得$$1$$分，负者得$$0$$分，比赛进行到有一人比对方多$$2$$分或打满$$6$$局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$$\frac{2}{3}$$，乙在每局中获胜的概率为$$\frac{1}{3}$$，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数$$\xi $$的期望$$E\xi $$为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{241}{81}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{266}{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{274}{81}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{670}{243}$$ 
Answer: B
Analysis: 解法一：  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{5}{9}$$，  若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有  $$P(\xi =2)=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=\left( \frac{4}{9} \right)\left( \frac{5}{9} \right)=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)={{\left( \frac{4}{9} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故$$E\xi =2\times \frac{5}{9}+4\times \frac{20}{81}+6\times \frac{16}{81}=\frac{266}{81}$$；  解法二：  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  令$${{A}_{k}}$$表示甲在第$$k$$局比赛中获胜，则$${{\bar{A}}_{k}}$$表示乙在第$$k$$局比赛中获胜，  由独立性与互不相容性得  $$P(\xi =2)=P({{A}_{1}}{{A}_{2}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{\bar{A}}_{2}})=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})$$  $$=2\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{1}{3} \right)+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{2}{3} \right) \right]=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})$$  $$=4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故$$E\xi =2\times \frac{5}{9}+4\times \frac{20}{81}+6\times \frac{16}{81}=\frac{266}{81}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2019~2020学年3月湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高二下学期月考第10题
2008年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 化简$$\frac{\sin 4\alpha }{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\tan \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$\cos 2\alpha $$ 
aoVal: B
content: $$\sin 2\alpha $$ 
aoVal: C
content: $$\cos \alpha $$ 
aoVal: D
content: $$\sin \alpha $$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{\sin 4\alpha }{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\tan \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}=\frac{\sin 4\alpha }{4\sin \left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\sin \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}=\frac{\sin 4\alpha }{2\sin \left( \frac{ \pi }{2}+2\alpha \right)}=\sin 2\alpha $$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
高二上学期单元测试《三角恒等变形》自招第17题
Problem: 设集合$$M=\left { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right }$$，$$A=\left { \left( x,y,z \right)\left\textbar{} x,y,z\in M,9\left\textbar{} \left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right) \right. \right. \right }$$，则集合$$A$$中元素的个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$143$$ 
aoVal: B
content: $$224$$ 
aoVal: C
content: $$243$$ 
aoVal: D
content: $$268$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{1}^{3}}\equiv {{4}^{3}}\equiv {{7}^{3}}\equiv {{10}^{3}}\equiv 1\left( \bmod 9 \right)$$，$${{2}^{3}}\equiv {{5}^{3}}\equiv {{8}^{3}}\equiv -1\left( \bmod 9 \right)$$，$${{3}^{3}}\equiv {{6}^{3}}\equiv {{9}^{3}}\equiv 0\left( \bmod 9 \right)$$，  所以若$$9\left\textbar{} {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right.$$，则$$x,y,z$$都是$$3$$的倍数或者$$3$$类数一样一个．  因此，$$A$$中元素的个数为$${{3}^{3}}+4\times 3\times 3\times 3!=243$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->同余->同余的概念与性质
Source: 2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 定义在$R$上的函数$f\left( x \right)$满足：$f\left( x+3 \right)+f\left( x \right)=0$，且函数$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$为奇函数$.$给出以下3个命题：\\ $①$函数$f\left( x \right)$的周期是6；~~~~~~$②$函数$f\left( x \right)$的图象关于点$\left( -\frac{3}{2},0 \right)$对称；\\ $③$函数$f\left( x \right)$的图象关于$y$轴对称$.$其中，真命题的个数是$($  $)$
Options:
aoVal: A
content: 3 
aoVal: B
content: 2 
aoVal: C
content: 1 
aoVal: D
content: 0 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【详解】\\ 由$f\left( x+3 \right)=-f\left( x \right)$，知$f\left( x+6 \right)=f\left( x \right)$.所以，①正确；\\ 将$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$的图像向左平移$\frac{3}{2}$ 个单位，即为$f\left( x \right)$的图像，而$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$的图像关于原点对称，所以，②正确；\\ 由②知，$f\left( -x \right)=-f\left( -3+x \right)=f\left( x \right)$ ，则$f\left( x \right)$为偶函数，所以，③正确. 
Source: 2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第6题
Problem: 若集合$$M=\left { x\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} 3-x \right\textbar}{\left\textbar{} 5-x \right\textbar}\leqslant \frac{1}{2} \right. \right }$$和集合$$N= {x\textbar{{x}^{2}}-2x+c\leqslant 0 }$$满足$$M\cap N=M$$，则实数$$c$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$c\leqslant -\frac{44}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$c\leqslant -\frac{55}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$c\leqslant -\frac{66}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$c\leqslant -\frac{77}{9}$$ 
Answer: B
Analysis: 因$$x\ne 5$$，有$$\frac{\left\textbar{} 3-x \right\textbar}{\left\textbar{} 5-x \right\textbar}\leqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left\textbar{} 3-x \right\textbar\leqslant \left\textbar{} 5-x \right\textbar$$．  当$$x\leqslant 3$$时，$$2(3-x)\leqslant (5-x)$$，解得$$x\geqslant 1$$；  当$$3\textless{}x\textless{}5$$时，$$2(x-3)\leqslant (5-x)$$，解得$$x\leqslant \frac{11}{3}$$；  当$$x\textgreater5$$时，$$2(x-3)\leqslant x-5$$，无解．  所以$$M=\left { x\textbar1\leqslant x\leqslant \frac{11}{3} \right }$$．  又因$${{x}^{2}}-2x+c=0,x=1\pm \sqrt{1-c}$$，  所以$$N=\left { x\textbar1-\sqrt{1-c}\leqslant x\leqslant 1+\sqrt{1-c} \right }$$．  显然，$$1-\sqrt{1-c}\leqslant 1$$，  所以只要$$1+\sqrt{1-c}\geqslant \frac{11}{3}$$，即$$c\leqslant -\frac{55}{9}$$，即有$$M\cap N=M$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 已知$$a={{2}^{0.3}}$$，$$b={{3}^{0.4}}$$，$$c={{\log }_{0.2}}0.3$$，则（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textgreater b\textgreater a$$ 
aoVal: D
content: $$b\textgreater a\textgreater c$$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 比较大小，可先与常见的常数$$0,1$$进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小\\ 【详解】\\ $$c={{\log }_{0.2}}0.3\textless{} {{\log }_{0.2}}0.2=1$$\\ $$a={{2}^{0.3}}\textgreater1$$\\ $$b={{3}^{0.4}}\textgreater1$$\\ 则有：$$a\textgreater c,b\textgreater c$$\\ $$a={{2}^{0.3}}\textless{} {{3}^{0.3}}\textless{} {{3}^{0.4}}$$\\ 故有：$$b\textgreater a\textgreater c$$\\ 故选：D 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数
Source: 2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题
2021~2022学年重庆高一上学期期末第6题
2022~2023学年山东滨州高一上学期期末（北镇中学）第6题
2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（第六十中学）第6题
2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第5~5题
2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（第六十中学）第6题
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2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题
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2022~2023学年广东广州荔湾区广州市协和中学高二上学期期末第4题
Problem: 已知$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$是双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater0$$，$$b\textgreater0)$$的两焦点，以线段$${{F}_{1}}{{F}_{2}}$$为边作正三角形$$M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$，若边$$M{{F}_{1}}$$的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4+2\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{3}-1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}+1$$ 
Answer: D
Analysis: $$\triangle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$是正三角形，且边$$M{{F}_{1}}$$的中点在双曲线上，  设边$$M{{F}_{1}}$$的中点为$$P$$，则有$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=90{}^{}\circ $$，  从而$$\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar=\sqrt{3}c$$，$$\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=c$$．  根据双曲线的定义可知$$2a=\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar-\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=\left( \sqrt{3}-1 \right)c$$，  解得$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
2017~2018学年江西赣州寻乌县寻乌县第二中学高三上学期期中理科第11题5分
2005年高考真题福建卷理科第10题5分
2021年陕西宝鸡渭滨区高三二模理科第6题5分
2013~2014学年12月辽宁沈阳沈河区沈阳市第二中学高二上学期月考理科第10题5分
2016~2017学年12月北京海淀区中央民族大学附属中学高二上学期月考理科第6题5分
Problem: 设$$Z,W,\lambda $$为复数$$\lambda \ne 1$$，关于$$Z$$的方程$$\overline{Z}-\lambda Z=W$$有下面四个结论：  （1）．$$Z=\frac{\overline{ \lambda }W=\overline{W}}{1-\textbar\lambda{{\textbar}^{2}}}$$是这个方程的解；  （2）这个方程只有一个解；  （3）这个方程有两个解；  （4）这个方程有无穷多解．则．
Options:
aoVal: A
content: 只有（1）和（2）是正确的 
aoVal: B
content: 只有（1）和（3）是正确的 
aoVal: C
content: 只有（1）和（4）是正确的 
aoVal: D
content: 以上$$A$$、$$B$$、$$C$$都不正确 
Answer: A
Analysis: 由题中给出的四个结论，可知本题需根据解方程的情况作出选择，于是考虑在方程  $$\overline{Z}-\lambda Z=W$$  的两端同取共轭，得  $$Z-\overline{\lambda Z}=\overline{W}$$，  以$$\lambda $$乘两端，得  $$\lambda Z-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}\overline{Z}=\lambda \overline{W}$$  与原方程两端分别相加，得  $$\overline{Z}(1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}})=\lambda \overline{W}+W$$  两端在取共轭，得  $$\overline{Z}(1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}})=\overline{\lambda }W+\overline{W}$$  ∵$$  {{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}\ne 1$$，∴$$Z=\frac{\overline{\lambda }W+\overline{W}}{1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 称分子和分母的最大公约数为$$1$$的分数为既约分数，所有分母为$$100$$的正的既约真分数之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$35$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$100={{2}^{2}}{{5}^{2}}$$，令  $$A=\left { n\left\textbar{} 2 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  $$B=\left { n\left\textbar{} 5 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  则$$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=50+20-10=60$$．  因此符合条件的真分数共有$$40$$个．  又若正数$$i$$和$$100$$互质，则$$100-i$$和$$100$$也互质，因此若$$\frac{i}{100}$$是一个正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}$$也为一正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}+\frac{i}{100}=1$$．因此所有真分数之和为$$20$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->最大公约数和最小公倍数
Source: 2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=a\ln x+{{x}^{2}}$$在$$x=1$$处有极值，则实数$$a$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: $${f}'\left( x \right)=\frac{a}{x}+2x$$，由题设$${f}'\left( 1 \right)=0$$，解得$$a=-2$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 边长为$$a$$、$$b$$、$$c$$的三角形，其面积等于$$\frac{1}{4}$$，而外接圆半径为$$1$$，若$$s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$，$$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$，则$$s$$与$$t$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$s\textgreater t$$ 
aoVal: B
content: $$s=t$$ 
aoVal: C
content: $$s\textless{}t$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: C
Analysis: ∵$$c=2R\sin C=2\sin C$$，又$$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{4}$$，  ∴$$abc=1$$，于是  $$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$  $$=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right)$$  $$\mathsf{\geqslant }\sqrt{\frac{\mathsf{1}}{ab}}+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ca}}$$  $$=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{abc}}$$  $$=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$  $$=s$$．  且其中等号不可能取到，否则$$a=b=c=R=1$$，这显然是不可能的．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 已知正数$$a,b$$满足：$$a+3b=7$$，则$$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b}$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{13+2\sqrt{3}}{14}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{13+3\sqrt{3}}{14}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{13+5\sqrt{3}}{14}$$ 
Answer: C
Analysis: 由柯西不等式，$$\left[ 1+a+3\left( 2+b \right) \right]\left( \frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b} \right)\geqslant {{\left( 1+2\sqrt{3} \right)}^{2}}$$，  所以$$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b}\geqslant \frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$．  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b}$$  $$=\frac{1}{14}\left[ \left( a+1 \right)+3\left( 2+b \right) \right]\cdot \left( \frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b} \right)$$  $$=\frac{1}{14}\left[ 13+\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}+\frac{4\left( a+1 \right)}{2+b} \right]$$  $$\geqslant \frac{1}{14}\left[ 13+2\sqrt{\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}\cdot \frac{4\left( a+1 \right)}{2+b}} \right]$$  $$=\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$，  当且仅当$$\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}=\frac{4\left( a+1 \right)}{2+b}$$，  即$$a=\frac{\sqrt{3}}{2}b+\sqrt{3-1}$$时等号成立，  故应填$$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
Source: 2015年河南全国高中数学联赛高二竞赛初赛第5题8分
2016~2017学年江苏无锡高三上学期期中第13题5分
Problem: 已知$${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{n}{{\left( \sqrt[3]{6} \right)}^{200-n}}{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{n}}\left( n=1,2,\cdots ,95 \right)$$，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中整数项有个.
Options:
aoVal: A
content: $10$ 
aoVal: B
content: $15$ 
aoVal: C
content: $20$ 
aoVal: D
content: $25$ 
Answer: B
Analysis: $${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{n}\cdot {{3}^{\frac{200-n}{3}}}\cdot {{2}^{\frac{400-5 \pi }{6}}}$$，  要使$${{a}_{n}}(1\leqslant n\leqslant 95)$$为整数，必有$$\frac{200-n}{3}$$，$$\frac{400-5n}{6}$$均为整数，从而$$6\textbar n+4$$．  当$$n=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80$$时，$$\frac{200-n}{3}$$和$$\frac{400-5n}{6}$$均为非负整数，所以$${{a}_{n}}$$为整数，共有$$14$$个．  当$$n=86$$时，$${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{86}\cdot {{3}^{38}}\cdot 2_{{}}^{-5}$$，在$$\text{C}_{200}^{86}=\frac{200!}{86!\cdot 114!}$$中，  $$200$$中因数$$2$$的个数为$$\left[ \frac{200}{2} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{2}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{3}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{4}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{5}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{6}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{7}}} \right]=197$$，  同理可计算得$$86$$中因数$$2$$的个数为$$82$$，$$114$$中因数$$2$$的个数为$$110$$，  所以$$\text{C}_{200}^{86}$$中因数$$2$$的个数为$$197-82-110=5$$，故$${{a}_{86}}$$是整数．  当$$n=92$$时，$${{a}_{92}}=\text{C}_{200}^{92}\cdot {{3}^{36}}\cdot {{2}^{-10}}  $$在$$\text{C}_{200}^{92}=\frac{200!}{92!108!}$$中，同样可求得$$92$$中因数$$2$$的个数为$$88$$，$$108$$中因数$$2$$的个数为$$105$$，故$$\text{C}_{200}^{86}$$中因数$$2$$的个数为$$197-88-105=4$$，故不是整数．  因此，整数项的个数为$$14+1=15$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2011年全国高中数学联赛竞赛复赛一试第8题8分