math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 将$$\frac{1}{2008}$$写成十进制循环小数的形式  $$\frac{1}{2008}=0.000\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\ldots $$其循环节的长度为．
Options:
aoVal: A
content: 30 
aoVal: B
content: 40 
aoVal: C
content: 50 
aoVal: D
content: 60 
Answer: C
Analysis: $$\frac{1}{2008}=\frac{1}{8\cdot 251}=\frac{1}{1000}\cdot \frac{125}{251}$$，则$$\frac{125}{251}=0.\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\ldots $$．  设循环节长度为$$k$$，则  $$\frac{125}{251}\cdot {{10}^{k}}=\underbrace{498\ldots 625}_{{}}+0.\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\ldots =\underbrace{498\cdots 625}_{{}}+\frac{125}{251}=n+\frac{125}{251}$$，$$n\in {{\mathbf{N}}^{+}}$$．  于是，$$251n=125\left( {{10}^{k}}-1 \right)$$，则$$251\left\textbar{} {{10}^{k}}-1 \right.$$．  由费马小定理，$$251\left\textbar{} {{10}^{250}}-1 \right.$$，则$$k\left\textbar{} 250 \right.$$，只能选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->同余->几个重要的定理（欧拉定理、费尔马小定理、威尔逊定理）
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知向量$$\vec{a}=(1，m)，\vec{b}=(3，-2)，$$且$$(\vec{a}-\vec{b})\bot \vec{b}$$，则\emph{m}＝（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: －5 
aoVal: B
content: －3 
aoVal: C
content: 3 
aoVal: D
content: 5 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据向量的线性坐标运算求得向量$$\vec{a}-\vec{b}$$，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.\\ 【详解】\\ 解：由题意得$$\vec{a}-\vec{b}=(-2，m\text{+}2)$$.\\ 又$$(\vec{a}-\vec{b})\bot \vec{b}$$，∴$$(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{b}=-6-2(m\text{+}2)=0$$ ，解得\emph{m}＝－5.\\ 故选：A. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示
Source: 2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第3~3题
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-53x+196+\left\textbar{} {{x}^{2}}-53x+196 \right\textbar$$，则$$f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\cdots +f\left( 50 \right)=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$660$$ 
aoVal: B
content: $$664$$ 
aoVal: C
content: $$668$$ 
aoVal: D
content: $$672$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{2}}-53x+196=\left( x-4 \right)\left( x-49 \right)$$，  当$$x\textless{}4$$或$$x\textgreater49$$时，$${{x}^{2}}-53x+196\textgreater0$$，$$f\left( x \right)=2\left( {{x}^{2}}-53x+196 \right)$$；  当$$4\leqslant x\leqslant 49$$时，$${{x}^{2}}-53x+196\leqslant 0$$，$$f\left( x \right)=0$$．  $$f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+f\left( 50 \right)=330$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 在平面中，到两条相交直线的距离之和为$$1$$的点的轨迹为．
Options:
aoVal: A
content: 椭圆 
aoVal: B
content: 双曲线的一部分 
aoVal: C
content: 抛物线的一部分 
aoVal: D
content: 矩形 
Answer: D
Analysis: 以两条定直线所成的角的两条角平分线所在的直线分别为$$x,y$$轴建立平面直角坐标系，设两条直线方程为$$y=kx$$和$$y=-kx$$，$$k\textgreater0$$．  点$$\left( x,y \right)$$到$$y=\pm kx$$的距离和为$$1$$，则$$\frac{\left\textbar{} y-kx \right\textbar+\left\textbar{} y+kx \right\textbar}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=1$$．  轨迹由$$4$$条线段组成，构成一个矩形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 方程$$\left\textbar{} y \right\textbar=1+\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$$表示的曲线是．
Options:
aoVal: A
content: 一个圆 
aoVal: B
content: 两个半圆 
aoVal: C
content: 一个椭圆 
aoVal: D
content: 以上结论都不对 
Answer: B
Analysis: $$y\textgreater0$$时，$${{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1$$，$$y\geqslant 1$$，表示一个半圆；  $$y\textless{}0$$时，$${{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1$$，$$y\leqslant -1$$，表示一个半圆． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: C
Analysis: 如丙、丁分到同一个班级，则方法数就是三个元素的一个全排列，即$$\text{A}_{3}^{3}$$；若丙分到甲或乙所在的班级，则丁只能独自一个班级，方法数是$$2\text{A}_{3}^{3}$$；同理，若丁分到甲或乙所在的班级，则丙独自一个班级，方法数是$$2\text{A}_{3}^{3}$$．根据分类加法计数原理，得总的方法数是$$5\text{A}_{3}^{3}=30$$． 
<p>总的方法数是$$\text{C}_{4}^{2}\text{A}_{3}^{3}=36$$，甲、乙被分到同一个班级的方法数是$$\text{A}_{3}^{3}=6$$，故甲、乙不分到同一个班级的方法数是$$36-6=30$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->分组分配法
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2019~2020学年江西新余高二上学期期末理科第6题5分
2009年高考真题湖北卷理科第5题5分
2018~2019学年云南昆明高二下学期期中理科昆明三中、滇池中学第9题5分
2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
2016~2017学年12月广东广州天河区天河中学高三上学期月考理科第6题5分
2017~2018学年8月四川成都龙泉驿区成都龙泉一中高三上学期月考文科第3题5分
Problem: 集合$$A$$，$$B$$的并集$$A\cup B= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$，当$$A\ne B$$时，$$(A,B)$$与$$(B,A)$$视为不同的对，则这样的$$(A,B)$$对的个数有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
Answer: D
Analysis: 已知$$A\cup B= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$，则作为其子的$$A$$，$$B$$最多只有$$3$$元素．  （$$1$$）若$$A= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$则满足题意得$$B$$可以使空集，或者是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的$$B$$有$$\text{C}_{3}^{0}+\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{3}={{2}^{3}}$$个，这时$$(A,B)$$有$$\text{C}_{3}^{3}\cdot {{2}^{3}}$$对．  （$$2$$）若$$A$$为二元素的集合，则有$$\text{C}_{3}^{2}$$种，其对应的$$B$$的$${{2}^{3}}$$个（$$\text{C}_{2}^{0}+\text{C}_{2}^{1}+\text{C}_{2}^{2}={{2}^{2}}$$），这时$$(A,B)$$有$$C_{3}^{2}\cdot {{2}^{2}}$$时．  （$$3$$）若$$A$$为单元素的集合，则有$$\text{C}_{3}^{1}$$种，其对应的$$B$$有$$2$$个，这时$$(A,B)\text{C}_{3}^{1}\cdot 2$$对．  （$$4$$）若$$A$$是空集，则有$$\text{C}_{3}^{0}$$种，其对应的$$B$$有一个，这时$$(A,B)$$有$$\text{C}_{3}^{0}\cdot 1$$对．  ∴ 这样的$$(A,B)$$共有  $$\text{C}_{3}^{3}\cdot {{2}^{3}}+\text{C}_{3}^{2}\cdot {{2}^{2}}+\text{C}_{3}^{1}\cdot 2+\text{C}_{3}^{0}\cdot {{2}^{0}}={{3}^{3}}=27$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 1993年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 设$${{A}_{1}},  {{A}_{2}}$$为椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater b\textgreater0)$$的左、右顶点，若在椭圆上存在异于$${{A}_{1}}, {{A}_{2}}$$的点$$P$$，使得$${PO}\bot {P{{A}_{2}}}$$，其中$$O$$为坐标原点，则椭圆的离心率$$e$$的取值范围是
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},  1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设知$$\angle OP{{A}_{2}}=90{}^{}\circ $$，设$$P(x,  y)(x\textgreater0)$$，  以$$O{{A}_{2}}$$为直径的圆方程为$${{\left( x-\frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}$$，  与椭圆方程联立得$$\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right){{x}^{2}}-ax+{{b}^{2}}=0$$．  由题设知，要求此方程在$$(0,  a)$$上有实根．  由此得$$0\textless{}\frac{a}{2\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}\textless{}a$$化简得$${{e}^{2}}\textgreater\frac{1}{2}$$，  所以$$e$$的取值范围为$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的简单几何性质
Source: 2022~2023学年广东深圳南山区深圳实验学校高二上学期段考（三）第8题
2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 在三棱锥$A-BCD$中，侧棱$AB$、$AC$、$AD$两两垂直，$\vartriangle ABC$、$\vartriangle ACD$、$\vartriangle ADB$的面积分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则三棱锥$A-BCD$的外接球的体积为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $\sqrt{2}\pi $ 
aoVal: B
content: $\sqrt{3}\pi $ 
aoVal: C
content: $\sqrt{6}\pi $ 
aoVal: D
content: $3\pi $ 
Answer: C
Analysis: 在三棱锥$$A-BCD$$中，侧棱$$AB$$、$$AC$$、$$AD$$两两垂直，  补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，  设长方体的三度分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，  则有$$\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  解得：$$a=\sqrt{3}$$，$$b=\sqrt{2}$$，$$c=1$$，  所以球的直径$$d=\sqrt{3+2+1}=\sqrt{6}$$，  球的半径$$r=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，  ∴三棱锥$$A-BCD$$的外接球的体积为：  $$V=\frac{4}{3} \pi \cdot {{\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}^{3}}=\sqrt{6} \pi $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2012年河北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第7题8分
2015~2016学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第18题4分
2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中理科第14题4分
2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第14题4分
2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高一下学期期中第14题4分
Problem: 设$$f(x)=-\textbar x\textbar$$，$$a=f\left( {{\log }_{e}}\frac{1}{ \pi } \right)$$，$$b=f\left( {{\log }_{ \pi }}\frac{1}{e} \right)$$，$$c=f\left( {{\log }_{\frac{1}{e}}}\frac{1}{{{ \pi }^{2}}} \right)$$，则下述关系式正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textgreater a\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$b\textgreater a\textgreater c$$ 
Answer: D
Analysis: $$a=f\left( {{\log }_{e}}\frac{1}{ \pi } \right)=-{{\log }_{e}} \pi \in (-2,-1)$$，$$b=f({{\log }_{ \pi }}\frac{1}{e})=-{{\log }_{ \pi }}e\in (-1,0)$$，$$c=f\left( {{\log }_{\frac{1}{e}}}\frac{1}{{{ \pi }^{2}}} \right)=-2{{\log }_{2}} \pi \in (-2,-4)$$，由此能求出结果．  【解答】解：∵$$f(x)=-\textbar x\textbar$$，  ∴$$a=f(lo{{g}_{e}}\frac{1}{ \pi })=-\left\textbar{} {{\log }_{e}}\frac{1}{ \pi } \right\textbar=-{{\log }_{e}} \pi \in (-2,-1)$$，  $$b=f\left( {{\log }_{ \pi }}\frac{1}{e} \right)=-\left\textbar{} {{\log }_{ \pi }}\frac{1}{e} \right\textbar=-{{\log }_{ \pi }}e\in (-1,0)$$，  $$c=f\left( {{\log }_{\frac{1}{e}}}\frac{1}{{{ \pi }^{2}}} \right)=-\left\textbar{} {{\log }_{\frac{1}{e}}}\frac{1}{{{ \pi }^{2}}} \right\textbar=-{{\log }_{e}}{{ \pi }^{2}}=-2{{\log }_{e}} \pi \in (-2,-4)$$，  ∴$$b\textgreater a\textgreater c$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->用单调性比较大小
Source: 2016~2017学年9月天津静海区天津市静海区第一中学高三上学期月考理科第7题5分
2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 设三位数$$n=\overline{abc}$$，若以$$a$$、$$b$$、$$c$$为三条边的长可构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有个．
Options:
aoVal: A
content: $$45$$ 
aoVal: B
content: $$81$$ 
aoVal: C
content: $$165$$ 
aoVal: D
content: $$216$$ 
Answer: C
Analysis: 依题意，等边三角形共有$$9$$个，等腰非等边三角形共有$$3\times \left( 8+8+8+8+8+6+4+2 \right)=156$$个，  因此，所求为$$9+156=165$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{19}{25}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{16}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{14}{25}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{25}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=\frac{3}{5}$$，所以$$\cos x-\sin x=\frac{3\sqrt{2}}{5}$$，  所以$${{(\text{cos }x-\text{sin }x)}^{2}}=1-\sin 2x=\frac{18}{25}$$，所以$$\sin 2x=\frac{7}{25}$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值
Source: 2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分
2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分
2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二下学期期中第12题4分
2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分
2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分
2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
2015年北京海淀区高三三模第4题
Problem: $${{\log }_{\sin 1}}\cos 1$$，$${{\log }_{\sin 1}}\text{tg1}$$，$${{\log }_{\cos 1}}\sin 1$$，$$\text{lo}{{\text{g}}_{\cos 1}}\text{tg1}$$的大小关系是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{\log }_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\cos 1}}\text{tg1}$$ 
aoVal: B
content: $${{\log }_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1}$$ 
aoVal: C
content: $${{\log }_{\sin 1}}\text{tg}1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\cos 1$$ 
aoVal: D
content: $${{\log }_{\cos 1}}\text{tg}1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\sin 1$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$\frac{ \pi }{4}\textless{}1$$知$$\cos 1\textless{}\sin 1\textless{}1\textless{}\text{tg}1$$，从而$${{\log }_{\sin 1}}\text{tg1}\textless{}0$$且$${{\log }_{\cos 1}}\text{tg1}\textless{}0$$，而$${{\log }_{\sin 1}}\text{cos 1}\textgreater0$$且$${{\log }_{\cos 1}}\text{sin 1}\textgreater0$$，于是可排除$$\text{A}$$和$$\text{B}$$，只剩$$\text{C}$$和$$\text{D}$$又由$${{\log }_{\cos 1}}\text{sin 1}\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{cos 1=}{{\log }_{\sin 1}}\text{sin 1}{{\log }_{\sin 1}}\text{cos 1}$$即知应．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数线
课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算
课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
Source: 1995年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 若某个特殊的正整数$$N$$使得$$(a+b+c+d+1)^{}N$$ 的展开式中，合并同类项后发现同时含有 $$a$$, $$b$$, $$c$$, and $$d$$四个变量正整数乘幂的项恰好有$$1001$$项，求$$N$$的值？  For some particular value of $$N$$, when $$(a+b+c+d+1)^{}N$$ is expanded and like terms are combined, the resulting expression contains exactly $$1001$$ terms that include all four variables $$a$$, $$b$$, $$c$$, and $$d$$, each to some positive power. What is $$N$$?
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
aoVal: E
content: $$19$$ 
Answer: B
Analysis: All the desired terms are in the form $$a^{}xb^{}yc^{}zd^{}w1^{}t$$, where $$x+y+z+w+t=N$$ (the $$1^{}t$$ part is necessary to make stars and bars work better.) Since $$x$$, $$y$$, $$z$$, and~ $$w$$ must be at least $$1$$ ($$t$$ can be $$0$$), let $$x^{}\prime =x-1$$, $$y^{}\prime =y-1$$, $$z^{}\prime =z-1$$, and $$w^{}\prime =w-1$$, so $$x^{}\prime +y^{}\prime+z^{}\prime+w^{}\prime+t=N-4$$.  Now, we use stars and bars to see that there are $$\left(\frac {(N-4)+4}4\right)$$ or $$\left(\frac N4\right)$$ solutions to this equation. We notice that $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$, which leads us to guess that $$N$$ is around these numbers. This suspicion proves to be correct, as we see that $$\left(\frac {14}4\right)=1001$$, giving us our answer of $$N=14$$.  An alternative is to instead make the transformation $$6^{}\prime =t+1$$,  so $$x+y+z+w+t^{}\prime =N+1$$, and all variables are positive integers. The solution to this, by Stars and Bars is $$\left(\frac {(N+1)-1}4\right)=\left(\frac N4\right)$$ and we can proceed as above. 
<p>By Hockey Stick Identity, the number of terms that have all $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ raised to a positive power is $$\left(\frac {N-1}3\right)+\left(\frac {N-2}3\right)+\cdots +\left(\frac 43\right)+\left(\frac 33\right)=\left(\frac N4\right)$$. We now want to find some $$N$$ such that $$\left(\frac N4\right)=1001$$. As mentioned above, after noticing that $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$, and some trial and error, we find that $$\left(\frac {14}4\right)=1001$$, giving us our answer of $$N=14$$.</p>
Source: 2016年AMC10竞赛A第20题
Problem: 集合$$A=\left { 1,3,5,7 \right },B=\left { 2,4,6,8,20 \right }$$，若$$C= {s\left\textbar{} s=a+b,  a\in A,  b\in B \right. }$$，则集合$$C$$的元素个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: $$s$$是奇数，且最小值是$$3$$，最大值是$$27$$，中间缺少$$17$$、$$19$$，故集合$$C$$共有$$11$$个元素． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
Source: 2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 设复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z \right\textbar=1$$，则$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar$$的值不可能为．
Options:
aoVal: A
content: $$4\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$4\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$5\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$5\sqrt{3}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right)=\left( 1-\text{i} \right)z+\left( 1+7\text{i} \right)=\left( 1-\text{i} \right)\left( z-3+4\text{i} \right)$$，  即$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar=\left\textbar{} 1-\text{i} \right\textbar\cdot \left\textbar{} z-3+4\text{i} \right\textbar=\sqrt{2}\cdot \left\textbar{} z-\left( 3-4\text{i} \right) \right\textbar$$，  即可以表示点$$z$$到$$3-4\text{i}$$的距离的$$\sqrt{2}$$倍，  ∵$$z$$在单位圆上，  ∴$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar$$的取值范围是$$\left[ 4\sqrt{2},6\sqrt{2} \right]$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 若$$\triangle ABC$$的内角$$A$$，$$B$$，$$C$$所对的边$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，则$$\frac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}$$的取值范围是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,+\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}=\frac{\sin A\cos C+\sin C\cos A}{\sin B\cos C+\sin C\cos B}=\frac{\sin \left( A+C \right)}{\sin \left( B+C \right)}=\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}$$，  由题设有$${{b}^{2}}=ac$$，则$$a\left\textbar{} a-b \right\textbar\textless{}{{b}^{2}}\textless{}a\left( a+b \right)$$，解得$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\textless{}\frac{b}{a}\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的性质及应用
课内体系->知识点->解三角形->解三角形的实际应用
课内体系->素养->数据分析
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分
2016年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 若直线$$y=x-3$$与曲线$$y={{\text{e}}^{x+a}}$$相切，则实数$$a$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-4$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 设切点的横坐标为$${{x}_{0}}$$．在$$x={{x}_{0}}$$处，曲线$$y={{\text{e}}^{x+a}}$$的斜率为$${{\text{e}}^{{{x}_{0}}+a}}$$．而直线$$y=x-3$$的斜率为$$1$$．因此$${{\text{e}}^{{{x}_{0}}+a}}=1$$，得$${{x}_{0}}=-a$$．因此，切点的纵坐标$${{\text{e}}^{{{x}_{0}}+a}}=1={{x}_{0}}-3$$，即$$1=-a-3$$，所以$$a=-4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知$$P$$为三角形$$ABC$$内部任一点（不包括边界），且满足$$(-)(+-2)=0$$，则$$\triangle ABC$$一定为 ．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形 
aoVal: B
content: 等边三角形 
aoVal: C
content: 等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 等腰三角形 
Answer: D
Analysis: 因为$$\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AB}$$，$$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$$，  所以已知条件可改写为$$\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=0$$．  容易得到此三角形为等腰三角形．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 2002AMC12B, 22  For all integers $$n$$ greater than $$1$$, define $$a_{n}=\frac{1}{\log _{n}2002}$$.  Let $$b=a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$$ and $$c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$$. Then $$b-c$$ equals．  对于大于$$1$$的所有整数$$n$$，定义$$a_{n}=\frac{1}{\log _{n}2002}$$。令 $$b=a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$$，$$c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13} +a_{14}$$。则 $$b-c$$ 等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2002}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{1001}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: $\frac{1}{\log_a{b}}=\log_b{a}$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Sequence->Sum of the First n Terms for Geometric Sequences
Source: 2002年AMC12竞赛B第22题
Problem: 将正偶数集合$$ {2,4,6,8,\cdots  }$$从小到大按第$$n$$组有$$2n-1$$个数进行分组：$$ {2 }$$，$$ {4,6,8 }$$，  $$ {10,12,14,16,18 }$$，\ldots，问$$2010$$位于第组中．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: C
Analysis: 2010是数列$${{a}_{n}}=2n$$的第$$1005$$项，  设$$2010$$位于第$$n$$组，  则$$\begin{cases}1+3+5+\cdots +(2n-1)\geqslant 1005    1+3+5+\cdots +(2n-3)\textless{}1005 \end{cases}$$，  即$$\begin{cases}{{n}^{2}}\geqslant 1005    {{(n-1)}^{2}}\textless{}1005 \end{cases}$$，  所以$$n=32$$，故$$2010$$位于第$$32$$组． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知$$\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$，$$\vec{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )$$，$$\textbar\vec{a}-\vec{b}\textbar=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，若$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\beta \textless{}0$$，且$$\sin \beta =-\frac{5}{13}$$，则$$\sin \alpha =$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{31}{65}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{32}{65}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{33}{65}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{34}{65}$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意知$$\textbar\vec{a}-\vec{b}{{\textbar}^{2}}={{(\cos \alpha -\cos \beta )}^{2}}+{{(\sin \alpha -\sin \beta )}^{2}}$$  $$=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$$，  则$$2-2\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}$$，$$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$$．  由$$\alpha =(\alpha -\beta )+\beta $$，且$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\beta \textless{}0$$及$$\sin \beta =-\frac{5}{13}$$，$$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$$，  知$$\cos \beta =\frac{12}{13}$$，$$\sin (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}$$，  从而得$$\sin \alpha =\sin [\beta +(\alpha -\beta )]=\sin \beta \cos (\alpha -\beta )+\cos \beta \sin (\alpha -\beta )$$  $$=-\frac{5}{13}\times \frac{3}{5}+\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}=\frac{33}{65}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 方程$$\frac{{{x}^{2}}}{\sin ({{19}^{n}}){}^{}\circ }+\frac{{{y}^{2}}}{\cos ({{19}^{n}}){}^{}\circ }=1(n\in N*)$$所表示的曲线为．
Options:
aoVal: A
content: 焦点在$$x$$轴上的双曲线 
aoVal: B
content: 双曲线，其焦点所在的轴与$$n$$有关 
aoVal: C
content: 焦点在$$y$$轴上的椭圆 
aoVal: D
content: 椭圆，其焦点所在的轴与$$n$$有关 
Answer: C
Analysis: 当$$n=1$$时，$$\sin 19{}^{}\circ \textless{}\cos 19{}^{}\circ $$；  $$n=2$$时，  $$\sin ({{19}^{2}}){}^{}\circ =\sin 361{}^{}\circ =\sin 1{}^{}\circ \textless{}\cos 1{}^{}\circ $$；  $$n=2k(k\in N*)$$时，  $$\sin ({{19}^{2k}}){}^{}\circ =\sin ({{361}^{k}}){}^{}\circ =\sin 1{}^{}\circ \textless{}\cos 1{}^{}\circ $$；  $$n=2k+1(k\in N*)$$时，  $$\sin ({{19}^{2k+1}}){}^{}\circ =\sin [19\times {{(361)}^{k}}]{}^{}\circ =\sin 19{}^{}\circ \textless{}\cos 19{}^{}\circ $$．  所以方程表示焦点在$$y$$轴上的椭圆．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)-m$$在$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上有有两个零点，则$$m$$的取值范围是（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ \frac{1}{2},1 \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ \frac{1}{2},1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{1}{2},1 \right]$$ 
Answer: C
Analysis: $$\because x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，$$\therefore 2x-\frac{\pi }{6}\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$，$$\therefore \sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)\in \left[ -\frac{1}{2},1 \right]$$，令$$t=2x-\frac{\pi }{6}$$，$$y=m$$， 在同一直角坐标系中作出$$y=\sin t$$（$$t\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$）与$$y=m$$的图象，由图象可知， 当$$\frac{1}{2}\leqslant m \textless{} 1$$时，$$y=\sin t$$（$$t\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$）的图象与直线$$y=m$$有两个交点， 即函数$$f(x)=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6}-m \right)$$在$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上有两个零点． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->已知零点情况求参数的取值范围
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域
课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 以双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(b\textgreater0)$$的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 易知$$a=2, c=\sqrt{4+{{b}^{2}}}, e=\frac{\sqrt{4+{{b}^{2}}}}{2}$$．  渐近线方程为$$\frac{x}{2}\pm \frac{y}{b}=0$$，即$$bx\pm 2y=0$$．  右焦点$$(\sqrt{4+{{b}^{2}}}, 0)$$到渐近线的距离$$d=b$$，从而得方程$$b=\frac{\sqrt{4+{{b}^{2}}}}{2}$$．  解方程得，$$b=\frac{2}{3}\sqrt{3}, e=\frac{\sqrt{4+\frac{4}{3}}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$．故填$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题7分
Problem: 设$$x\in \left( -\frac{3}{4} \pi ，\frac{ \pi }{4} \right)$$，且$$\cos \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=-\frac{3}{5}$$，则$$\cos 2x$$的值是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{7}{25}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{24}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{24}{25}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{25}$$ 
Answer: B
Analysis: $$\cos 2x=\cos \left( 2x-\frac{\mathrm{ }\pi }{2}+\frac{\mathrm{ }\pi }{2} \right)$$  $$=-\sin \left( 2x-\frac{\mathrm{ }\pi }{2} \right)$$  $$=-2\sin \left( x-\frac{\mathrm{ }\pi }{4} \right)\cos \left( x-\frac{\mathrm{ }\pi }{4} \right)$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 长方体$$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$$中，$$AB=A{{A}_{1}}=1$$，$$AD=2$$，则异面直线$${{A}_{1}}D$$与$${{B}_{1}}{{D}_{1}}$$间的距离为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 用向量法. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
Source: 2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分