math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有 ．
Options:
aoVal: A
content: $$141$$个 
aoVal: B
content: $$144$$个 
aoVal: C
content: $$423$$个 
aoVal: D
content: $$432$$个 
Answer: C
Analysis: 四面体有$$4$$个顶点和$$6$$条棱，每条棱有$$1$$个中点，其有$$10$$个点，从其中任取$$4$$个不共面的点有以下几种情况：  ①这$$4$$个点都是顶点的取法只有$$1$$种；  ②这$$4$$个点中有$$3$$个顶点的取法共有$$4\times 3$$=12（种）；  ③这$$4$$个点中有$$2$$顶点的取法共有$$6\times (\text{C}_{5}^{2}-2)=48$$（种）；  ④这$$4$$个点中有$$1$$个顶点的取法共有$$4\times (\text{C}_{6}^{3}-3)=68$$（种）；  ⑤这$$4$$个点中没有顶点的取法共有$$\text{C}_{6}^{4}-3=12$$（种）．  综上所述，从这$$10$$个点中取$$4$$个不共面的点的取法共有  $$1+12+48+68+12=141$$（种）．  每不共面的$$4$$个点可以构成$$3$$个不同的空间四边形，则以这$$10$$个点为顶点的空间四边形共有$$141\times 3=423$$（个）． 
<p>从这$$10$$个点中任取$$4$$个，共有$$\text{C}_{10}^{4}=210$$（种）取法，其中取出的$$4$$个点共面的情况共有以下$$3$$种：</p>
<p>①从每个面上的$$6$$个点中任取$$4$$个点都共面，这样的取法共有$$4\text{C}_{6}^{4}=60$$（种）；</p>
<p>②每个棱上的$$3$$个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有$$6$$种；</p>
<p>③去掉$$1$$组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有$$3$$种．</p>
<p>综上所述，所取$$4$$点共面的取法共$$60+6+3=69$$（种）．所以，所取$$4$$点不共面的取法共有$$210-69=141$$（种），以下同方法$$1$$．故选$$\text{C}$$．</p>

Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 设椭圆与$$x$$轴交于$$A$$、$$B$$两点，已知对于椭圆上不同于$$A$$、$$B$$的任意一点$$P$$，直线$$AP$$与$$BP$$的斜率之积均为$$-\frac{1}{2}$$，则椭圆的离心率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: 设椭圆方程为$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$$，则$$-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=-\frac{1}{2}$$，于是$$e=\sqrt{\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: $$2003-AMC12B-11$$  Cassandra sets her watch to the correct time at noon. At the actual time of $$1:00$$ PM, she notices that her watch reads $$12:57$$ and $$36$$ seconds. Assuming that her watch loses time at a constant rate, what will be the actual time when her watch first reads $$10:00$$ PM?  卡桑德拉将手表调到中午的正确时间。 在 $$1:00$$ PM 的实际时间，她注意到她的手表显示 $$12:57$$ : $$36$$ 。 假设她的手表以恒定的速率走时，当她的手表第一次显示 $$10:00$$PM 时的实际时间是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$10:22$$ PM and $$24$$ seconds 
aoVal: B
content: $$10:24$$ PM 
aoVal: C
content: $$10:25$$ PM 
aoVal: D
content: $$10:27$$ PM 
aoVal: E
content: $$10:30$$ PM 
Answer: C
Analysis: $\dfrac{57.6}{60}=\dfrac{600}{X}$  $X=625$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning
Source: 2003年AMC12竞赛B第11题
Problem: 如果$$x\in \left[ 0,1 \right]$$，且$${{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)+{{2}^{2x+2}}$$为整数，则满足此条件的实数$$x$$有．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$个 
aoVal: B
content: $$13$$个 
aoVal: C
content: $$14$$个 
aoVal: D
content: $$15$$个 
Answer: C
Analysis: 因为$$f\left( x \right)={{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)+{{2}^{2x+2}}$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上单调增，且$$f\left( 0 \right)=4$$，$$f\left( 1 \right)=17$$．  所以，$$f\left( x \right)$$可以取到$$4$$至$$17$$之间的所有整数，共$$14$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2020~2021学年12月贵州贵阳观山湖区贵阳市第一中学高一上学期月考第12题3分
2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设函数$$f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+14$$，且$$f(a)=1$$，$$f(b)=19$$，则$$a+b=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+14={{\left( x+1 \right)}^{3}}+3\left( x+1 \right)+10$$，  令$$g(y)={{y}^{3}}+3y$$，则$$g(y)$$为奇函数且单调递增．  而$$f(a)={{\left( a+1 \right)}^{3}}+3\left( a+1 \right)+10=1$$，  $$f(b)={{\left( b+1 \right)}^{3}}+3\left( b+1 \right)+10=19$$，  所以$$g(a+1)=-9$$，$$g(b+1)=9$$，$$g(-b-1)=-9$$，  从而$$g(a+1)=g(-b-1)$$，  即$$a+1=-b-1$$，故$$a+b=-2$$．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: $$2017~ AMC10B$$ P20  The number $$21!=51,090,942,171,709,440,000$$, has over $$60,000$$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?  数字21！=51,090,942,171,709,440,000，有超过$60,000$ 个的正整数因数。随机选择其中一个，它是奇数的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{21}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{19}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{18}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{11}{21}$$ 
Answer: B
Analysis: Solution 1  We note that the only thing that affects the parity of the factor are the powers of $$2$$. There are $$10+5+2+1=18$$ factors of $$2$$ in the number. Thus, there are $$18$$ cases in which a factor of $$21!$$ would be even (have a factor of $$2$$ in its prime factorization), and $$1$$ case in which a factor of $$21!$$ would be odd. Therefore, the answer is $$\frac 1{19}$$.  Solution 2  Consider how to construct any divisor $$D$$ of $$21!$$. First by Legendre\textquotesingle s theorem for the divisors of a factorial , we have that there are a total of $$18$$ factors of $$2$$ in the number. $$D$$ can take up either $$0$$,$$1$$,$$2$$,$$3$$,$$\cdots$$, or all $$18$$ factors of $$2$$, for a total of $$19$$ possible cases. In order for $$D$$ to be odd, however, it must have $$0$$ factors of $$2$$, meaning that there is a probability of $$1$$ case$$/19$$ cases$$=\frac 1{19}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
Source: 2017年AMC12竞赛B第16题
2017年AMC10竞赛B第20题
Problem: 已知复数$$z=1-\sin \theta +\text{i}\cos \theta \left( \frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\theta ~~\textless{} ~ \pi \right)$$，求$$z$$的共轭复数$$\overline{z}$$的辐角主值．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{4}+\frac{\theta }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3 \pi }{4}+\frac{\theta }{2}$$ 
Answer: C
Analysis: $$z=1+\cos \left( \frac{ \pi }{2}+\theta \right)+\text{i}\sin \left( \frac{ \pi }{2}+\theta \right)=2{{\cos }^{2}}\frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+2\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}$$  $$=2\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\left( \cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2} \right)$$．  当$$\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\theta ~~\textless{} ~ \pi $$时，$$\overline{z}=-2\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\left( -\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2} \right)$$  $$=-2\cos \left( \frac{ \pi }{4}+\frac{\theta }{2} \right)\left( \cos \left( \frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2} \right)+\text{i}\sin \left( \frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2} \right) \right)$$．  ∴辐角主值为$$\frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->复数->复数的三角形式
竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根
Source: 1998年全国高中数学联赛竞赛一试第13题20分
Problem: 对任意给定的自然数$$n$$，若$${{n}^{6}}+3a$$为正整数的立方，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 这样的$$a$$有无穷多个 
aoVal: B
content: 这样的$$a$$存在，但只有有限个 
aoVal: C
content: 这样的$$a$$不存在 
aoVal: D
content: 以上$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$的结论都不正确 
Answer: A
Analysis: 对任意自然数$$k$$，取  $$a=3{{n}^{4}}k+9{{n}^{2}}{{k}^{2}}+9{{k}^{2}}$$，  则$${{n}^{6}}+3a={{({{n}^{2}}+3k)}^{3}}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形
Source: 高二上学期单元测试《代数变形（3）》自招第11题
1987年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 设$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$、$$m$$、$$n$$都是正实数．$$P=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}，Q=\sqrt{ma+nc}\cdot \sqrt{\frac{b}{m}+\frac{d}{n}}$$，那么．
Options:
aoVal: A
content: $$P\mathsf{\geqslant }Q$$ 
aoVal: B
content: $$P\mathsf{\leqslant }Q$$ 
aoVal: C
content: $$P ~\textless{} ~Q$$ 
aoVal: D
content: $$P，Q$$间的大小关系确定，而与$$m，n$$的大小有关 
Answer: B
Analysis: $$P=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$，$$Q=\sqrt{am+nc}\cdot \sqrt{\frac{b}{m}+\frac{d}{n}}$$．  $${{P}^{2}}=ab+cd+2\sqrt{abcd}$$．  $${{Q}^{2}}=(am+nc)(\frac{b}{m}+\frac{d}{n})=ab+cd+\frac{nbc}{m}+\frac{mad}{n}$$．  $$\therefore \frac{nbc}{m}+\frac{mad}{n}\mathsf{\geqslant 2}\sqrt{\frac{nbc}{m}\cdot \frac{mad}{n}}=2\sqrt{abcd}$$．  $$\because {{Q}^{2}}\mathsf{\geqslant }{{P}^{2}}$$，  由于$$P\mathsf{，}Q$$均为正数．  $$\therefore Q\mathsf{\geqslant P}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式与恒成立问题
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
Source: 1983年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 设整数$$n\textgreater4$$，$${{(x+2\sqrt{y}-1)}^{n}}$$的展开式中$${{x}^{n-4}}$$与$$xy$$两项的系数相等，则$$n$$的值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$41$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$61$$ 
Answer: C
Analysis: 根据二项式定理，通项$${{T}_{r}}=\text{C}_{n}^{r}{{x}^{n-r}}{{(2\sqrt{y}-1)}^{r}}$$，  于是根据题意得  $${{T}_{4}}={{T}_{n-1}}\Rightarrow \text{C}_{n}^{4}=\text{C}_{n}^{n-1}\text{C}_{n-1}^{2}\cdot 4\cdot {{(-1)}^{n-3}}$$，  解得$$n=51$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理
竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第6题
Problem: 若实数$$x$$满足：对任意正数$$a$$，均有$${{x}^{2}}\textless{}1+a$$，则$$x$$的最小值是
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: 不存在 
Answer: C
Analysis: 因为$$a\textgreater0$$，所以$$a+1\textgreater1$$，$${{x}^{2}}\textless{}1+a$$等价于$${{x}^{2}}\leqslant 1$$，$$-1\leqslant x\leqslant 1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: $$2002-AMC12B-17$$  Andy's lawn has twice as much area as Beth's lawn and three times as much area as Carlos' lawn. Carlos' lawn mower cuts half as fast as Beth's mower and one third as fast as Andy's mower. If they all start to mow their lawns at the same time, who will finish first?  安迪的草坪面积是贝丝草坪的两倍，是卡洛斯草坪的三倍。 卡洛斯的割草机的割草速度是贝丝的割草机的一半，是安迪的割草机的三分之一。 如果他们同时开始修剪草坪，谁会先完成？
Options:
aoVal: A
content:  Andy 
aoVal: B
content:  Beth 
aoVal: C
content:  Carlos 
aoVal: D
content: Andy and Carlos tie for first 
aoVal: E
content: All three tie 
Answer: B
Analysis: We say Andy\textquotesingle s lawn has an area of $$x$$. Beth\textquotesingle s lawn thus has an area of $$\dfrac{x}{2}$$, and Carlos\textquotesingle s lawn has an area of $$\dfrac{x}{3}$$.  We say Andy\textquotesingle s lawn mower cuts at a speed of $$y$$. Carlos\textquotesingle s cuts at a speed of $$\dfrac{y}{3}$$, and Beth\textquotesingle s cuts at a speed $$\dfrac{2y}{3}$$.  Each person\textquotesingle s lawn is cut at a speed of $$\dfrac{\rm area}{\rm rate}$$, so Andy\textquotesingle s is cut in $$\dfrac{x}{y}$$ time, as is Carlos\textquotesingle s. Beth\textquotesingle s is cut in $$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{x}{y}$$, so the first one to finish is Beth. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems
课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->分式函数模型
Source: 2002年AMC10竞赛B第21题
2002年AMC12竞赛B第17题
Problem: 存在整数$$n$$，使$$\sqrt{p+n}+\sqrt{n}$$是整数的质数$$p$$（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 不存在 
aoVal: B
content: 只有一个 
aoVal: C
content: 多于一个，但为有限个 
aoVal: D
content: 有无穷多个 
Answer: D
Analysis: 设$$p$$为任意奇质数，且$$p=2k+1$$，于是$$n={{k}^{2}}$$，便有：  $$\sqrt{p+n}+\sqrt{n}=\sqrt{2k+1+{{k}^{2}}}+\sqrt{{{k}^{2}}}=2k+1$$，  所以，每个奇质数都有题设的性质．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形
Source: 1996年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 有$$6$$名同学咨询成绩．老师说：甲不是$$6$$人中成绩最好的，乙不是$$6$$人中成绩最差的，而且$$6$$人的成绩各不相同．那么他们$$6$$人的成绩不同的可能排序共有 ．
Options:
aoVal: A
content: $$120$$种 
aoVal: B
content: $$216$$ 种 
aoVal: C
content: $$384$$ 种 
aoVal: D
content: $$504$$种 
Answer: D
Analysis: 解法一 以$$A$$记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以$$B$$记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则$$\left\textbar{} A \right\textbar=\left\textbar{} B \right\textbar=5!$$，$$\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=4!$$．  甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为  $$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=216$$．  按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为$$6!-216=504$$．       解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．  （$$1$$）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为$$A_{5}^{5}=120$$；  （$$2$$）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为$$C_{4}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot A_{4}^{4}=384$$．  所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为$$120+384=504$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
Problem: 设有一体积为$$54$$的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点作一个四面体，则所作四面体的体积为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由对称性可知，所作的四面体也是正四面体，  设原四面体的棱长、体积分别为$${{a}_{1}}$$、$${{V}_{1}}$$，  所作四面体的棱长、体积分别为$${{a}_{2}}$$、$${{V}_{2}}$$，  则由几何性质得$$\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{1}{3}$$，故$$\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}$$．  所以，所作的四面体的体积$${{V}_{2}}=\frac{1}{27}{{V}_{1}}=2$$．故选$$\text{B}$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 四棱锥$$P-ABCD$$中，底面$$ABCD$$是正方形，边长为$$a,PD=a,PA=PC=\sqrt{2}a$$，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为．
Options:
aoVal: A
content: $$(\sqrt{2}-1)a$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}a$$ 
aoVal: C
content: $$(1-\frac{\sqrt{2}}{2})a$$ 
aoVal: D
content: $$a$$ 
Answer: C
Analysis: 采用体积法. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 设$$n$$是正整数，以下各组数$$a$$，$$b$$中，使$$\frac{b}{a}$$为既约分数的是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$a=n+1$$，$$b=2n-1$$ 
aoVal: B
content: $$a=2n-1$$，$$b=5n+2$$ 
aoVal: C
content: $$a=n+1$$，$$b=3n+1$$ 
aoVal: D
content: $$a=3n+1$$，$$b=5n+2$$ 
Answer: D
Analysis: $$(3n+1,5n+2)=(3n+1,2n+1)=(n,2n+1)=1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程
Source: 2017年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知$$0\textless{}a\textless{}b$$，在$$a,b$$之间插入一个正数$$k$$，使$$a,k,b$$成等比数列；在$$a,b$$之间插入两个正数$$m,n$$，使$$a,m,n,b$$成等差数列，则$${{(k+1)}^{2}}$$与$$(m+1)(n+1)$$的大小关系为．
Options:
aoVal: A
content: $${{(k+1)}^{2}}\textless{}(m+1)(n+1)$$ 
aoVal: B
content: $${{(k+1)}^{2}}=(m+1)(n+1)$$ 
aoVal: C
content: $${{(k+1)}^{2}}\textgreater(m+1)(n+1)$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: A
Analysis: $$a,k,b$$成等比数列，$${{k}^{2}}=ab$$，  所以$${{(k+1)}^{2}}={{k}^{2}}+2k+1=ab+2\sqrt{ab}+1$$  $$\textless{}ab+a+b+1=(a+1)(b+1).$$  $$a,m,n,b$$成等差数列，所以$$a+b=m+n$$，且$$b-a\textgreater n-m$$，  所以由$$(m+1)+(n+1)=(a+1)+(b+1)$$，  知$$(m+1)(n+1)\textgreater(a+1)(b+1)$$．  所以$${{(k+1)}^{2}}\textless{}(a+1)(b+1)\textgreater(m+1)(n+1)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 有五颗球分别标有 {$$1,2,3,4,5$$}, 从中一次性取出两个球，并且将球上的数字相乘，乘积是偶数的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$0.2$$ 
aoVal: B
content: $$0.3$$ 
aoVal: C
content: $$0.5$$ 
aoVal: D
content: $$0.7$$ 
aoVal: E
content: $$0.8$$ 
Answer: D
Analysis: The product will be even if at least one selected number is even, and odd if none are. Using complementary counting, the chance that both numbers are odd is $$\dfrac{\left( \begin{array}{l} {3}  {2} \end{array}\right)}{\left( \begin{array}{l} {5}  {2} \end{array}\right)}=\dfrac{3}{10}$$,  so the answer is $$1-0.3$$ which is $$\left(\text{D}\right) 0.7$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
课内体系->知识点->统计与概率->概率
Source: 2016年AMC10竞赛B第12题
Problem: 已知数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足$${{a}_{1}}=0, {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}(n=1, 2,\cdots )$$，则$${{a}_{2009}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$4036080$$ 
aoVal: B
content: $$4036078$$ 
aoVal: C
content: $$4036082$$ 
aoVal: D
content: $$4036099$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知得  $${{a}_{n+1}}+1={{a}_{n}}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}+1={{(\sqrt{{{a}_{n}}+1}+1)}^{2}}$$．  又因为$${{a}_{n+1}}\textgreater0$$，所以  $$\sqrt{{{a}_{n+1}}+1}=\sqrt{{{a}_{n}}+1}+1$$  故数列$$ {\sqrt{{{a}_{n}}+1} }$$是首项为$$1$$，公差为$$1$$的等差数列，$$\sqrt{{{a}_{n}}+1}=n$$，  即$${{a}_{n}}={{n}^{2}}-1=(n-1)(n+1)$$．  所以$${{a}_{2009}}=2008\times 2010=4 036 080.$$  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为$$m$$和$$n$$，则函数$$y=\frac{2}{3}m{{x}^{3}}-nx+1$$在$$\left[ 1,\left. +\infty \right) \right.$$上为增函数的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{6}$$ 
Answer: D
Analysis: $${f}'(x)=2m{{x}^{2}}-n\geqslant 0$$ 在$$\left[ 1,   +\infty \right]$$恒成立，即$$2{{x}^{2}}\geqslant \frac{n}{m}$$恒成立， 即$$2m\geqslant n$$，但符合$$2m\textless{}n$$条件的有($$1,3$$),($$1,4$$),($$1,5$$),($$1,6$$),($$2,5$$),($$2,6$$)共$$6$$种，故$$1-\frac{6}{36}=\frac{5}{6}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 设双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$$的一条渐近线与抛物线$$y={{x}^{2}}+1$$只有一个公共点，则双曲线的离心率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 根据双曲线和抛物线的对称性，可设双曲线的渐近线$$y=\frac{b}{a}x$$与抛物线$$y={{x}^{2}}+1$$只有一个公共点.  将$$y=\frac{b}{a}x\left( a\textgreater0 \right)$$代入$$y={{x}^{2}}+1$$，得$$a{{x}^{2}}-bx+a=0$$，$$a\textgreater0$$.令$${{\left( -b \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}=0$$，得$${{b}^{2}}=4{{a}^{2}}$$，$$a\textgreater0$$，  所以$${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}$$，$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$，所以$$\frac{c}{a}=\sqrt{5}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的渐近线
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率
课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2015~2016学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第8题5分
2017~2018学年12月北京海淀区北京市育英中学高二上学期月考理科第5题
2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
2009年高考真题山东卷理科第9题5分
Problem: 设$$f(x)={{x}^{3}}+{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})$$，则对任意实数$$a$$，$$b$$，$$a+b\geqslant 0$$是$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$的（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 充分必要条件 
aoVal: B
content: 充分而不必要条件 
aoVal: C
content: 必要而不充分条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: $$f(x)$$为单调递增函数，且$$f(-x)=-{{x}^{3}}+{{\log }_{2}}\left( -x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-{{x}^{3}}+{{\log }_{2}}\left( \frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=-f(x)$$，  $$f(x)$$为奇函数，则对任意实数$$a$$，$$b$$，由$$a+b\geqslant 0$$，得$$a\geqslant -b$$，  ∴$$f(a)\geqslant f(-b)=-f(b)$$，∴$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$；  由$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$得$$f(a)\geqslant -f(b)=f(-b)$$，  所以$$a\geqslant -\frac{1}{b}$$，∴$$a+b\geqslant 0$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与函数结合
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2016~2017学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期期中理科第7题5分
2019~2020学年12月福建厦门思明区福建省厦门第二中学高三上学期月考理科第4题5分
2006年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 已知实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}=24$$，则$$x+2y+3z$$的最小值为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$-12$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$-16$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: A
Analysis: 由柯西不等式，$${{\left( x+2y+3z \right)}^{2}}\leqslant \left( 1+2+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}} \right)=144$$，  所以$$-12\leqslant x+2y+3z\leqslant 12$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2015年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 设$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$$，若方程$$f\left( x \right)=x$$无实根，则方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=x$$．
Options:
aoVal: A
content: 有四个相异实根 
aoVal: B
content: 有两个相异实根 
aoVal: C
content: 有一个实根 
aoVal: D
content: 无实数根 
Answer: D
Analysis: $$f\left( x \right)=x$$无实根，则二次函数图象$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$$在直线$$y=x$$上方，即$$f\left( x \right)\textgreater x$$，所以$$f\left( f\left( x \right) \right)\textgreater f\left( x \right)\textgreater x$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2018~2019学年浙江杭州拱墅区杭州第十四中学康桥校区高一上学期期中第13题3分
2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 设函数$$f\left( x \right)=2x-\cos x$$，$$\left { {{a}_{n}} \right }$$是公差为$$\frac{ \pi }{8}$$的等差数列，$$f\left( {{a}_{1}} \right)+f\left( {{a}_{2}} \right)+\cdots +f\left( {{a}_{5}} \right)=5 \pi $$，则$${{\left[ f\left( {{a}_{3}} \right) \right]}^{2}}-{{a}_{1}}{{a}_{5}}=$$（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{16} \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{8} \pi $$ 
aoVal: D
content: $$\frac{13}{16}{{ \pi }^{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$f\left( {{a}_{1}} \right)+f\left( {{a}_{2}} \right)+\cdots +f\left( {{a}_{5}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{5}{\left( 2{{a}_{i}}-\cos {{a}_{i}} \right)}$$  $$=10{{a}_{3}}-\left[ \cos \left( {{a}_{3}}-\frac{ \pi }{4} \right)+\cos \left( {{a}_{3}}+\frac{ \pi }{4} \right) \right]-\left[ \cos \left( {{a}_{3}}-\frac{ \pi }{8} \right)+\cos \left( {{a}_{3}}+\frac{ \pi }{8} \right) \right]-\cos {{a}_{3}}$$  $$=10{{a}_{3}}-2\cos {{a}_{3}}\cos \frac{ \pi }{4}-2\cos {{a}_{3}}\cos \frac{ \pi }{8}-\cos {{a}_{3}}$$  令$$g\left( {{a}_{3}} \right)=10{{a}_{3}}-\left( \sqrt{2}+2\cos \frac{ \pi }{8}+1 \right)\cos {{a}_{3}}$$，则$${g}'\left( {{a}_{3}} \right)=10+\left( \sqrt{2}+2\cos \frac{ \pi }{8}+1 \right)\sin {{a}_{3}}\textgreater0$$，$$g\left( {{a}_{3}} \right)$$在$$\mathbf{R}$$上单调增，又$$g\left( \frac{ \pi }{2} \right)=5 \pi $$，所以$${{a}_{3}}=\frac{ \pi }{2}$$．  从而，$${{a}_{1}}=\frac{ \pi }{4}{{a}_{5}}=\frac{3}{4} \pi $$，$${{\left[ f\left( {{a}_{3}} \right) \right]}^{2}}-{{a}_{1}}{{a}_{5}}={{\left( ~\pi -\cos \frac{ \pi }{2} \right)}^{2}}-\frac{ \pi }{4}\cdot \frac{3}{4} \pi =\frac{13}{16}{{ \pi }^{2}}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 若$${{a}_{0}}{{x}^{2020}}+{{a}_{1}}{{x}^{2019}}\left( 1-x \right)+{{a}_{2}}{{x}^{2018}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}+\cdots +{{a}_{2020}}{{\left( 1-x \right)}^{2020}}=1$$，则$${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{2020}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2020}}$$ 
aoVal: D
content: $${{2}^{2021}}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{\left[ x+\left( 1-x \right) \right]}^{2020}}$$  $$={{a}_{0}}{{x}^{2020}}+{{a}_{1}}{{x}^{2019}}\left( 1-x \right)+{{a}_{2}}{{x}^{2018}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}+\cdots +{{a}_{2020}}{{\left( 1-x \right)}^{2020}}$$  $$=1$$．  且由二项式定理得，当$$0\leqslant k\leqslant 2020$$，  且$$k\in \mathbf{Z}$$时，$${{a}_{k}}=\text{C}_{2020}^{k}$$，  所以$${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{2020}}$$  $$=\text{C}_{2020}^{0}+\text{C}_{2020}^{1}+\text{C}_{2020}^{2}+\cdots +\text{C}_{2020}^{2020}$$  $$={{2}^{2020}}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式系数的性质
课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第10题3分
Problem: 给定数列$$ {{{x}_{n}} }$$，$${{x}_{1}}=1$$，且$${{x}_{n+1}}=\frac{\sqrt{3}{{x}_{n}}+1}{\sqrt{3}-{{x}_{n}}}$$，则$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{{{x}_{n}}=}$$．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2+\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$-2+\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$${{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}{{x}_{n}}}$$，令$${{x}_{n}}=\tan {{a}_{n}}$$，  因此$${{x}_{n+1}}=\tan \left( {{a}_{n}}+\frac{ \pi }{6} \right)$$，$${{x}_{n+6}}={{x}_{n}}$$．  易算得$${{x}_{1}}=1$$，$${{x}_{2}}=2+\sqrt{3}$$，$${{x}_{3}}=-2-\sqrt{3}$$，  $${{x}_{4}}=-1$$，$${{x}_{5}}=-2+\sqrt{3}$$，$${{x}_{6}}=2-\sqrt{3}$$，$${{x}_{7}}=1$$，\ldots，  所以$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{{{x}_{n}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 方程$$19x+93y=4xy$$的整数解个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: B
Analysis: 当$$x$$、$$y$$中有一个为$$0$$时，$$\left( x,y \right)$$只能为$$\left( 0,0 \right)$$．  当$$x$$、$$y$$均不为$$0$$时，由原式可以得到$$\begin{cases}19\frac{x}{y}+93=4x    19+93\frac{y}{x}=4y   \end{cases}$$，两式左右两端均为整数，设$$k=\frac{x}{y}$$，则$$19k\in \mathbf{Z}$$，$$\frac{93}{k}\in \mathbf{Z}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{19}$$，$$\pm \frac{3}{19}$$，$$\pm 1$$，$$\pm \frac{31}{19}$$，$$\pm 3$$，$$\pm \frac{93}{19}$$，$$\pm 31$$，$$\pm 93$$，共$$8$$组．  由于$$19\times 93\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，$$19\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，故$$19\frac{x}{y}\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\frac{y}{x}\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，在$$k$$的$$8$$组取值中，每一组恰有一个取值能同时满足上述两同余方程，  但由于$$x$$、$$y$$均不为$$0$$，须舍去$$k=-\frac{93}{19}$$，故此时$$\left( x,y \right)$$共有$$7$$组．  综上所述，原方程整数解的组数为$$8$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2020~2021学年北京高二单元测试
竞赛
2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分
2020~2021学年北京高三单元测试