math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 当$$x$$取$$1$$到$$10$$之间的质数时，四个整式：$${{x}^{2}}+2$$，$${{x}^{2}}+4$$，$${{x}^{2}}+6$$和$${{x}^{2}}+8$$的值中，共有质数个．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$1\sim 10$$之间的质数有$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$共$$4$$个．  当$$x=2$$时，四个整式的值都是大于$$2$$的偶数，不是质数；  当$$x=3$$时，四个整式的值分别为$$11$$，$$13$$，$$15$$，$$17$$；  当$$x=5$$时，四个整式的值分别为$$27$$，$$29$$，$$31$$，$$33$$；  当$$x=7$$时，四个整式的值分别为$$51$$，$$53$$，$$55$$，$$57$$．  其中只有$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$29$$，$$31$$，$$53$$为质数，共$$6$$个．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第4题
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$这$$8$$个数排成一行，使$$8$$的两边各数的和相等，则不同的排法有．
Options:
aoVal: A
content: $$144$$种 
aoVal: B
content: $$288$$种 
aoVal: C
content: $$576$$种 
aoVal: D
content: $$1152$$种 
Answer: D
Analysis: 因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分
Problem: 对于数$$x$$，符号[$$x$$]表示不大于$$x$$的最大整数．例如$$[3.14]=3$$，$$[-7.59]=-8$$，则满足关系式$$\left[ \frac{3x+7}{7} \right]=4$$的$$x$$的整数值有．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$5$$个 
aoVal: C
content: $$4$$个 
aoVal: D
content: $$3$$个 
Answer: D
Analysis: 根据题意可得不等式$$4\leqslant \frac{3x+7}{7} \textless{} 5$$，得$$7\leqslant x \textless{} \frac{28}{3}$$因为$$x$$取整数值，解得$$x=7$$，$$8$$，$$9$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 若两位数$$\overline{ab}$$是质数，交换数字后得到的两位数$$\overline{ba}$$也是质数，则称$$\overline{ab}$$为绝对质数，在大于$$11$$的两位数中绝对质数有（~ ~ ）个．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: A
Analysis: 大于$$11$$的两位数中绝对质数有$$13$$，$$17$$，$$31$$，$$37$$，$$71$$，$$73$$，$$79$$，$$97$$，共$$8$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 有$$m$$辆客车及$$n$$个人，若每辆客车乘$$40$$人，则还有$$25$$人不能上车；若每辆客车乘$$45$$人，则还有$$5$$人不能上车．有下列四个等式：①$$40m+25=45m+5$$；②$$\frac{n-25}{40}=\frac{n-5}{45}$$；③$$\frac{n+25}{40}=\frac{n+5}{45}$$；④$$40m+25=45m-5$$．其中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: ①③ 
aoVal: B
content: ①② 
aoVal: C
content: ②④ 
aoVal: D
content: ③④ 
Answer: B
Analysis: 根据人数不变，列出方程：$$40m+25=45m+5$$；  根据客车数不变，列出方程：$$\frac{n-25}{40}=\frac{n-5}{45}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的调配问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年浙江绍兴初一上学期期末第8题3分
2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第2题4分
Problem: 若$$x$$，$$y$$都是正整数，且$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=45$$，这样的$$(x,y)$$共有  组．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$x$$是$$6$$的倍数，  设$$x=6m$$，则$${{y}^{2}}=36{{m}^{2}}-2016=36({{m}^{2}}-56)$$，  ∴$$y$$也能被$$6$$整除，  设$$y=6n$$，其中$$n\textless{}m$$，  ∴$$36({{m}^{2}}-{{n}^{2}})=36\times 56$$，  ∴$$(m+n)(m-n)=56$$．  ∵$$m+n$$与$$m-n$$有相同的奇偶性，  且$$56=7\times 8=14\times 4=28\times 2=56\times 1$$，  ∴$$\begin{cases}m+n=14    m-n=4 \end{cases}$$或$$\begin{cases}m+n=28    m-n=2 \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}m=9    n=5 \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=15    n=13 \end{cases}$$,  ∴$$\begin{cases}x=54    y=30 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=90    y=78 \end{cases}$$．  故这样的$$(x,y)$$共有$$2$$组． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第15题4分
Problem: 在$$9$$个数中：$$-5$$，$$-4$$，$$-3$$，$$-2$$，$$-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$中，能使不等式$$-3{{x}^{2}}\textless{}-14$$成立的数的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 不等式$$-3{{x}^{2}}\textless{}-14$$等价于$$3{{x}^{2}}\textgreater14$$，逐一代入检验知：当$$x=-5$$，$$-4$$，$$-3$$，$$3$$时成立，即满足不等式$$-3{{x}^{2}}\textless{}-14$$的数有$$4$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: 已知$$x+y=3$$，则点$$\left( x,y \right)$$一定不在．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: C
Analysis: 因为$$x+y=3$$，  所以$$x$$和$$y$$中至少有一点大于$$0$$，  所以点$$(x,y)$$一定不在第三象限．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
Source: 2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第1题4分
Problem: 在$$2005$$，$$2007$$，$$2009$$这三个数中，质数有．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$3$$个 
Answer: A
Analysis: 显然，$$2005$$能被$$5$$整除，$$2007$$能被$$3$$整除，它们都是合数．$$2009={{7}^{2}}\times 41$$，也是合数．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第1题4分
Problem: $$y=(k-\frac{1}{k})x+\frac{1}{k}(0\textless{}k\textless{}1)$$是关于$$x$$的一次函数，当$$1\leqslant x\leqslant 2$$时，$$y$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$k$$ 
aoVal: D
content: $$2k-\frac{1}{k}$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$0\textless{}k\textless{}1$$时，$$k-\frac{1}{k}\textless{}0$$，$$y$$随$$x$$的增大而减小，故在$$1\leqslant x\leqslant 2$$时，$$y$$在$$x=1$$时最大，为$$k$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第5题
Problem: 四个互不相等的正数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中，$$a$$最大，$$d$$最小，且$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则$$a+d$$与$$b+c$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a+d\textless{}b+c$$ 
aoVal: B
content: $$a+d\textgreater b+c$$ 
aoVal: C
content: $$a+d=b+c$$ 
aoVal: D
content: 不确定的 
Answer: B
Analysis: 在四个互不相等的正数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中，$$a$$最大，$$d$$最小，  因此有$$a\textgreater b$$，$$a\textgreater c$$，$$a\textgreater d$$，$$b\textgreater d$$，$$c\textgreater d$$．  由$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$$．  因为$$b\textgreater d\textgreater0$$，所以$$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}\textgreater1$$，  所以$$a-b\textgreater c-d$$，  所以$$a+b\textgreater b+c$$成立，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第6题
Problem: 方程$${{x}^{2}}-xy-5x+5y-1=0$$的整数解有几组？？
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由$${{x}^{2}}-xy-5x+5y-1=0$$可得$$x\left( x-y \right)-5\left( x-y \right)-1=0$$，  即有$$\left( x-y \right)\left( x-5 \right)=1$$．  因为$$x$$，$$y$$都是整数，  所以$$\begin{cases}x-y=1    x-5=1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-y=-1    x-5=-1   \end{cases}$$．  即$$\begin{cases}x=6    y=5   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=4    y=5   \end{cases}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第21题
Problem: 对实数$$a$$，$$b$$，定义运算``$$*$$''如下：  $$a*b=\begin{cases}{{a}^{2}}b\quad a\geqslant b    a{{b}^{2}}\quad a\textless{}b    \end{cases}$$．  现已知$$3*m=36$$，则实数$$m$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$或$$\pm 2\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$3\geqslant m$$时，有  $$3*m={{3}^{2}}\cdot m=9m=36$$，  解得$$m=4$$，与$$3\geqslant m$$予盾，舍去．  当$$3\textless{}m$$时，有$$3*m=3{{m}^{2}}=36$$，  解得$$m=\pm 2\sqrt{3}$$，因为$$3\textless{}m$$，故舍去$$m=-2\sqrt{3}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->能力->运算能力
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 正方形内有一点$$A$$，到各边的距离从小到大依次是$$1$$，$$2$$，$$5$$，$$6$$，则正方形的面积是．
Options:
aoVal: A
content: $$33$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: $$49$$ 
Answer: D
Analysis: 由于$$A$$在正方形内，  所以$$A$$到两组对边的距离之和相等，  由于只有$$1+6=2+5$$，  于是，正方形的边长只能为$$7$$，  故面积是$${{7}^{2}}=49$$，  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->四边形->特殊平行四边形
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: 设函数$$y=\left( \sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}+1 \right)\left( \sqrt{16-{{x}^{2}}}+2 \right)$$，则$$y$$的取值范围是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2\leqslant y\leqslant 20$$ 
aoVal: B
content: $$2\leqslant y\leqslant 30$$ 
aoVal: C
content: $$4\sqrt{2}+2\leqslant y\leqslant 20$$ 
aoVal: D
content: $$4\sqrt{2}+2\leqslant y\leqslant 30$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\begin{matrix}y=\left( \sqrt{\left( 4+x \right)+\left( 4-x \right)+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}+1 \right)\left( \sqrt{16-{{x}^{2}}}+2 \right)    =\left( \sqrt{8+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}+1 \right)\left( \sqrt{16-{{x}^{2}}}+2 \right)， ~  \end{matrix}$$  所以当$$x=\pm 4$$时，$$y$$的最小值为$$2\left( \sqrt{8}+1 \right)=4\sqrt{2}+2$$；当$$x=0$$时，$$y$$的最大值为$$30$$．故$$y$$的取值范围为$$4\sqrt{2}+2\leqslant y\leqslant 30$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
Source: 2013年竞赛第4题4分
初三上学期其它
Problem: 满足$${{({{x}^{2}}+x-1)}^{x+2}}=1$$的整数$$x$$的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x+2=0$$且$${{x}^{2}}+x-1\ne 0$$时，$$x=-2$$，  当$${{x}^{2}}+x-1=1$$时，$$x=-2$$或$$x=1$$，  当$${{x}^{2}}+x-1=-1$$且$$x+2$$为偶数时，$$x=0$$，  所以，满足条件的整数$$x$$有$$3$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->抽象概括能力
Source: 2018年全国初中数学联赛竞赛B卷
Problem: $$y\textgreater0$$时，$$\sqrt{-{{x}^{3}}y}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-x\sqrt{xy}$$ 
aoVal: B
content: $$x\sqrt{xy}$$ 
aoVal: C
content: $$-x\sqrt{-xy}$$ 
aoVal: D
content: $$x\sqrt{-xy}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$y\textgreater0$$，可知$$x\textless{}0$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第3题
Problem: 计算：$${{(\sqrt{7})}^{2}}-\sqrt{{{(-4)}^{2}}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$-3$$ 
aoVal: D
content: $$-11$$ 
Answer: A
Analysis: $${{(\sqrt{7})}^{2}}-\sqrt{{{(-4)}^{2}}}=7-4=3$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算
Source: 2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第3题3分
Problem: 如果方程$$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=0$$的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$0\leqslant m\leqslant 1$$ 
aoVal: B
content: $$m\geqslant \frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{4}\leqslant m\leqslant 1$$ 
Answer: C
Analysis: 显然，方程的一个根为$$1$$，另两根之和为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\textgreater1$$，三根能作为一个三角形的三边，须且只须$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar\textless{}1$$，  又$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left\textbar{} a \right\textbar}=\sqrt{4-4m}\textless{}1$$，  有$$0\leqslant 4-4m\textless{}1$$，  解得$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$，  但作为选择题，只须取$$m=\frac{3}{4}$$代入，得方程的根为$$1$$、$$\frac{3}{2}$$、$$\frac{1}{2}$$，不能组成三角形，故包括$$\frac{3}{4}$$的$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均可否定，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第3题
Problem: 已知实数\emph{x，y}满足$$\frac{26{{x}^{3}}{{y}^{3}}}{{{x}^{6}}-27{{y}^{6}}}=1$$且$${{x}^{2}}\ne {{y}^{2}}$$，则$$\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$的值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: 2 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 由$$\frac{26{{x}^{3}}{{y}^{3}}}{{{x}^{6}}-27{{y}^{6}}}=1$$可得$${{x}^{6}}-26{{x}^{3}}{{y}^{3}}-27{{y}^{6}}=0$$，进而可得$${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{6}}-26{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}-27=0$$，解得$$\frac{x}{y}=-1$$或$$\frac{x}{y}=3$$，然后再对$$\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$进行变形即可解答．\\ 【详解】\\ 解：∵$$\frac{26{{x}^{3}}{{y}^{3}}}{{{x}^{6}}-27{{y}^{6}}}=1$$，得$${{x}^{6}}-26{{x}^{3}}{{y}^{3}}-27{{y}^{6}}=0$$，\\ 即$${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{6}}-26{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}-27=0$$．\\ ∴$${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}=-1$$或$${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}=27$$．\\ 即$$\frac{x}{y}=-1$$或$$\frac{x}{y}=3$$．\\ ∴$${{x}^{2}}\ne {{y}^{2}}$$，所以$$\frac{x}{y}=3$$，$$\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-1}=\frac{9+1}{9-1}=\frac{5}{4}$$．\\ 故选：A．\\ 【点睛】\\ 本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解． 
Source: 2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第2~2题
Problem: 当$$a\leqslant x\leqslant a+1$$时，函数$$y={{x}^{2}}-2x-1$$的最小值为$$-1$$，则$$a$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$或$$2$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$或$$2$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$y=1$$时，有$${{x}^{2}}-2x+1=1$$，  解得：$${{x}_{1}}=0$$，$${{x}_{2}}=2$$．  ∵当$$a\leqslant x\leqslant a+1$$时，函数有最小值$$1$$，  ∴$$a=2$$或$$a+1=0$$，  ∴$$a=2$$或$$a=-1$$，  故选：$$\text{D}$$．  ∵$$y={{x}^{2}}-2x+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}$$，  ∴①当$$a+1\textless{}1$$，即$$a\textless{}0$$时，函数的最小值为$$y={{\left( a+1-1 \right)}^{2}}=1$$，  ∴$$a=\pm 1$$，  ∴$$a=-1$$．  ②当$$a\textgreater1$$时，函数的最小值为$$y={{\left( a-1 \right)}^{2}}=1$$，  ∴$$a=2$$或$$a=0$$，  ∴$$a=2$$．  综上所述，$$a=-1$$或$$2$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
Source: 2019年安徽蚌埠初三中考一模（局属学校）第9题4分
2018年湖北黄冈中考真题第6题3分
2018~2019学年10月河南洛阳洛龙区洛阳地矿双语学校初三上学期月考第8题3分
2019~2020学年12月河北石家庄新华区石门实验学校初三上学期月考第13题
2019~2020学年10月安徽合肥包河区合肥市第四十八中学初三上学期月考第10题4分
2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市草桥中学校初三下学期单元测试《二次函数》第4题
2018~2019学年4月广东深圳宝安区深圳市石岩公学初三下学期周测（第12周）第11题3分
2018~2019学年9月湖北武汉蔡甸区初三上学期月考第9题3分
2018~2019学年天津滨海新区初三上学期期末第12题3分
2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第6题4分
2018~2019学年福建厦门思明区厦门松柏中学初三上学期期中第9题4分
2019~2020学年10月江苏苏州姑苏区金阊实验中学初三上学期月考第9题3分
Problem: 对任意四个有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$，定义新运算：  $$\left\textbar{} \begin{matrix}a    b    c    d    \end{matrix} \right\textbar=ad-bc$$  已知$$\left\textbar{} \begin{matrix}2x      -4    x              1    \end{matrix} \right\textbar=18$$，则$$x=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由已知新运算的定义，知  $$\left\textbar{} \begin{matrix}2x      -4    x              1    \end{matrix} \right\textbar=2x-\left( -4 \right)x=18$$，  解得$$x=3$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 某工厂生产的灯泡中有$$\frac{1}{5}$$是次品，实际在检查时，只发现其中的$$\frac{4}{5}$$被剔除，另有$$\frac{1}{20}$$的正品也被误以为是次品而剔除，其余的灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是．
Options:
aoVal: A
content: $$4 \%$$ 
aoVal: B
content: $$5 \%$$ 
aoVal: C
content: $$6.25 \%$$ 
aoVal: D
content: $$7.25 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 设工厂的总产量为$$M$$，则次品为$$\frac{1}{5}M$$；正品为$$\frac{4}{5}M$$；  检查时，被剔除的次品数为$$\frac{1}{5}M\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}M$$，  被剔除的正品数为$$\frac{4}{5}M\times \frac{1}{20}=\frac{1}{25}M$$．  所以出售的产品中次品数为$$\frac{1}{5}M-\frac{4}{25}M=\frac{1}{25}M$$．  而出售产品的总量为$$\dfrac{1}{25}M+\left( \dfrac{4}{5}M-\frac{1}{25}M \right)=\frac{4}{5}M$$．  所以该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率为$$\frac{\dfrac{1}{25}M}{\dfrac{4}{5}M}\times 100 \%=5 \%$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 将一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为$$a$$，第二次掷出的点数为$$b$$，则使关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}ax+by=3    x+2y=2 \end{cases}$$只有正数解的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{18}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{13}{36}$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$2a-b=0$$时，方程组无解．  当$$2a-b\ne 0$$时，方程组的解为$$\begin{cases}x=\dfrac{6-2b}{2a-b}    y=\dfrac{2a-3}{2a-b}    \end{cases}$$，  由已知，得$$\begin{cases}\dfrac{6-2b}{2a-b}\textgreater0    \dfrac{2a-3}{2a-b}\textgreater0    \end{cases}$$  即$$\begin{cases}2a-b\textgreater0    a\textgreater-\dfrac{3}{2}    b\textless{}3    \end{cases}$$，  或$$\begin{cases}2a-b\textless{}0    a\textless{}\dfrac{3}{2}    b\textgreater3    \end{cases}$$，  由$$a$$，$$b$$的实际意义为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，可得$$a=2$$或$$3$$或$$4$$或$$5$$或$$6$$，$$b=1$$或$$2$$，  共有$$5\times 2=10$$种情况；或$$a=1$$，$$b=4$$或$$5$$或$$6$$，共$$3$$种情况．  又掷两次骰子出现的基本事件共$$6\times 6=36$$种情况，故所求的概率为$$\frac{13}{36}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法
Source: 初三上学期单元测试《概率初步》第22题
2009年竞赛第3题7分
Problem: 已知$$a$$是不为$$0$$的整数，并且关于$$x$$的方程$$ax=2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-5a+4$$有整数解，则$$a$$的值共有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$9$$个 
Answer: C
Analysis: 由原方程可知，$$x=2{{a}^{2}}-3a-5+\frac{4}{a}$$．  由于$$a$$是不为$$0$$的整数且$$x$$为整数，  所以$$a=1$$，$$-1$$，$$2$$，$$-2$$，$$4$$，$$-4$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->分离法解一元一次方程
Source: 初二下学期其它
2000年第11届希望杯初一竞赛第8题
Problem: 设$${{a}_{i}}=1989+i$$，当$$i$$取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$100$$时，得到$$100$$个分式$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$（如$$i=5$$，则$$\frac{i}{{{a}_{i}}}=\frac{5}{1989+5}=\frac{5}{1994}$$），在这$$100$$个分式中，最简分式的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$58$$ 
aoVal: C
content: $$63$$ 
aoVal: D
content: $$65$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$为可约分式时，$$i$$与$${{a}_{i}}$$的最大公约数$$(i,{{a}_{i}})=d\textgreater1$$)，  而$$({{a}_{i}}-i,i)=({{a}_{i}},i)=d\textgreater1$$．  所以，当$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$为可约分式时，$$(1989,i)=d\textgreater1$$．  由$$1989=3\times 3\times 13\times 17$$，知  d的可能取值是$$1989$$的正约数$$3$$，$$9$$，$$13$$，$$17$$，$$39$$，$$51$$，$$117$$，$$153$$，$$221$$，$$663$$，$$1989$$．  又$$d\textgreater1$$，$$i\leqslant 100$$．  因此，$$d=3$$，$$9$$，$$13$$，$$17$$，$$39$$，$$51$$．  （1）当$$d=3$$时，$$i=3$$，$$6$$，$$9$$，$$\cdots $$，$$99$$共$$33$$个；  （2）当$$d=9$$时，$$i=9$$，$$18$$，$$27$$，$$\cdots $$，$$99$$共$$11$$个，而这$$11$$个数均与（$$1$$）中的数重合；  （3）当$$d=13$$时，$$i=13$$，$$26$$，$$39$$，$$\cdots $$，$$91$$共$$7$$个，其中$$i=39$$，$$78$$已包含在（$$1$$）中，故符合条件的分数只有$$5$$个；  （4）当$$d=17$$时，$$i=17$$，$$34$$，$$51$$，$$68$$，$$85$$，共$$5$$个，其中$$i=51$$已包含在（$$1$$）中，故符合条件的分数只有$$4$$个；  （5）当$$d=39$$时，$$i=39$$，$$78$$共$$2$$个，均与（$$1$$）中的数重合；  （6）当$$d=51$$时，$$i=51$$已包含在（$$1$$）中．  故可以约分的分数共有$$33+5+4=42$$个，最简分式有$$58$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->最简分式
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->最简公分母
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第9题
Problem: 下列图形中，不是轴对称图形的是．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形$$ABC$$ 
aoVal: B
content: 角$$DOE$$ 
aoVal: C
content: 等边三角形$$FGH$$ 
aoVal: D
content: 线段$$MN$$ 
Answer: A
Analysis: 角$$DOE$$的对称轴是它的角平分线所在的直线；  等边三角形$$FGH$$的对称轴有三条，它们是三边的垂直平分线；  线段$$MN$$的对称轴是$$MN$$的垂直平分线，  只有直角三角形$$ABC$$不是轴对称图形．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何变换->对称
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 设$$P=-\frac{1}{12345\times 12346}$$，$$Q=-\frac{1}{12344\times 12346}$$，$$R=-\frac{1}{12344\times 12345}$$，则$$P$$，$$Q$$，$$R$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$P\textgreater Q\textgreater R$$ 
aoVal: B
content: $$Q\textgreater P\textgreater R$$ 
aoVal: C
content: $$P\textgreater R\textgreater Q$$ 
aoVal: D
content: $$R\textgreater Q\textgreater P$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$12344\textless{}12345\textless{}12346$$，  所以$$12344\times 12345\textless{}12344\times 12346\textless{}12345\times 12346$$，  所以$$\frac{1}{12344\times 12345}\textgreater\frac{1}{12344\times 12346}\textgreater\frac{1}{12345\times 12346}$$，  所以$$-\frac{1}{12344\times 12345}\textless{}-\frac{1}{12344\times 12346}\textless{}-\frac{1}{12345\times 12346}$$，  所以$$R\textless{}Q\textless{}P$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 数$$1$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 最小整数 
aoVal: B
content: 最小正数 
aoVal: C
content: 最小正整数 
aoVal: D
content: 最小有理数 
Answer: C
Analysis: 整数无最小数，排除$$\text{A}$$；  正数无最小数，排除$$\text{B}$$；  $$0$$是最小正整数，选择C；  有理数无最小数，排除$$\text{D}$$．  考试的时候，当时规定$$0$$不是自然数，后来$$0$$也规定为自然数了． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第1题
Problem: 关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+1=0 \end{cases}$$有无数组解，则$$a$$，$$b$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a=0$$，$$b=0$$ 
aoVal: B
content: $$a=-2$$，$$b=1$$ 
aoVal: C
content: $$a=2$$，$$b=-1$$ 
aoVal: D
content: $$a=2$$，$$b=1$$ ~ 
Answer: B
Analysis: 方程组有无数组解于是有$$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$$，  于是$$\frac{1}{b}=\frac{a}{-2}=\frac{1}{1}$$，  ∴$$a=-2$$，$$b=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一下学期其它第18题
2016~2017学年陕西西安高新区西安高新第一中学初二上学期期末第24题7分
2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 设$$a$$是最小的自然数，$$b$$是最大的负整数，$$c$$是绝对值最小的有理数，则$$a-b+c$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$a$$是最小的自然数，所以$$a=0$$，  因为$$b$$是最大的负整数，所以$$b=-1$$，  因为$$c$$是绝对值最小的有理数，所以$$c=0$$，  所以$$a-b+c=0-\left(-1\right)+0=1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第6题
2018~2019学年安徽宿州灵璧县尹集中学初一上学期期中第16题3分
2016~2017学年9月吉林长春农安县农安县第一中学初一上学期月考第6题3分
2019~2020学年9月江苏连云港海州区连云港市新海实验中学（苍梧校区）初一上学期周测B卷第5题3分
2017~2018学年广东深圳福田区深圳外国语学校初一上学期期中第3题3分
2015~2016学年浙江杭州上城区初一上学期期中第7题3分
Problem: 有四个关于$$x$$的方程：  ①$$x-2=-1$$；②$$\left( x-2 \right)+\left( x-1 \right)=-1+\left( x-1 \right)$$；③$$x=0$$；④$$x-2+\frac{1}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$$．  其中同解的两个方程是．
Options:
aoVal: A
content: ①与② 
aoVal: B
content: ①与③ 
aoVal: C
content: ①与④ 
aoVal: D
content: ②与④ 
Answer: A
Analysis: 方程①的解$$x=1$$，将$$x=1$$代入方程②，方程②成立，  ∴$$x=1$$也是方程②的解．  方程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；  ①的解代入④，④无意义．  ∴$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$都不正确，只有$$\text{A}$$正确．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 方程$${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+5x={{y}^{3}}-y+2$$的整数解$$\left( x,y \right)$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: 无穷多 
Answer: A
Analysis: 原方程可化为$$x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+3\left( {{x}^{2}}+x \right)=y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+2$$，因为三个连续整数的乘积是$$3$$的倍数，所以上式左边是$$3$$的倍数，而右边除以$$3$$余$$2$$，这是不可能的，所以，原方程无整数解．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->特殊方程的解法
Source: 2007年竞赛第5题6分
Problem: 若方程$$\sqrt{x-p}=x$$有两个不相等的实根，则实数$$p$$的取值范围是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$p\leqslant 0$$ 
aoVal: B
content: $$p\textless{}\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$0\leqslant p\textless{}\frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$p\geqslant \frac{1}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 本题可以用特殊值法，排除不合理的选项：  取$$p=-1$$，代入原方程得$$\sqrt{x+1}=x$$，即$${{x}^{2}}-x-1=0$$，此时，方程有一个负根，于是可排除$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，  取$$p=1$$，代入原方程得$${{x}^{2}}-x+1=0$$，无解，故排除$$\text{D}$$，  因此，应选$$\text{C}$$． 
<p>原方程可化为：$${{x}^{2}}+x+p=0$$，$$x\geqslant 0$$，</p>
<p>∵方程有两个不相等的实根，</p>
<p>&there4;$$\Delta =1-4p&gt;0$$，</p>
<p>解得$$p &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{1}{4}$$，</p>
<p>设方程两根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，则必有$${{x}_{1}}\geqslant 0$$，$${{x}_{2}}\geqslant 0$$，于是得$$0\leqslant p &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{1}{4}$$．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第6题6分
Problem: \textbf{2011 Think Cup G5}  艾尔、比和卡尔以恒定的速度刷墙，他们正在一起刷一所房子．艾尔和比一起可以在$$12$$小时内完成这项工作；艾尔和卡尔可以在$$15$$分钟内完成，比和卡尔可以在$$20$$分钟内完成．三个人一起粉刷房子要花多少小时？．
Options:
aoVal: A
content: $$8.5$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$10.5$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$a$$、$$b$$、$$c$$是每个人$$1$$小时内可以粉刷的房子的比例，则$$a+b=\frac{1}{12}$$，$$a+c=\frac{1}{15}$$，$$b+c=\frac{1}{20}$$．把$$3$$个等式加起来我们得到$$2a+2b+2c=\frac{1}{5}$$，相等地，$$a+b+c=\frac{1}{10}$$．因此，他们在$$1$$小时内刷完$$\frac{1}{10}$$的房子，$$10$$小时内刷完整个房子．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘
美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Work Word Problems->Cooperative Work Word Problems
Source: 2015年竞赛第30题