math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 某种放射性元素，$$100$$年后只剩原来质量的一半，现有这种元素$$1$$克，$$3$$年后剩下．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3\times 0.5}{100}$$克 
aoVal: B
content: $${{(1-0.5 \%)}^{3}}$$克 
aoVal: C
content: $$0.925$$克 
aoVal: D
content: $$\sqrt[100]{0.125}$$克 
Answer: D
Analysis: 列方程，$${{x}^{100}}=0.5$$，则$${{x}^{3}}=\sqrt[100]{0.125}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2009年竞赛珠海市第2题5分
Problem: 方程$$\left( {{x}^{2006}}+1 \right)\left( 1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+\cdots +{{x}^{2004}} \right)=2006\cdot {{x}^{2005}}$$的实数解的个数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: $$\left( {{x}^{2006}}+1 \right)\left( 1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+\cdots +{{x}^{2004}} \right)=2006\cdot {{x}^{2005}}$$，  $$\Leftrightarrow \left( x+\frac{1}{{{x}^{2005}}} \right)\left( 1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+\cdots +{{x}^{2004}} \right)=2006$$，  $$\Leftrightarrow x+{{x}^{3}}+{{x}^{5}}+\cdots +{{x}^{2005}}+\frac{1}{{{x}^{2005}}}+\frac{1}{{{x}^{2003}}}+\frac{1}{{{x}^{2001}}}+\cdots +\frac{1}{x}=2006$$．  当$$x\textgreater0$$时，方程左边$$\geqslant 2\cdot 1003=2006$$，等号当$$x=\frac{1}{x},{{x}^{3}}=\frac{1}{{{x}^{3}}},\cdots ,{{x}^{2005}}=\frac{1}{{{x}^{2005}}}$$时，即$$x=1$$时取得；  当$$x\textless{}0$$时，方程左边$$\textless{}0$$，显然不满足方程．  综上，$$x=1$$是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为$$1$$．  故答案为：$$1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->多元均值不等式的应用
Source: 2006年全国高中数学联赛竞赛一试第11题9分
Problem: 若关于$$x$$的不等式$$\frac{4x}{a}+\frac{1}{x}\geqslant 4$$在区间$$\left[ 1,  2 \right]$$上恒成立，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 1,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ \frac{16}{7},\frac{4}{3} \right]$$ 
Answer: A
Analysis: 取$$x=1$$，得$$\frac{4}{a}\geqslant 3$$，可知$$0\textless{}a\leqslant \frac{4}{3}$$，$$a$$是正数．这样原不等式变为  $$a\leqslant \frac{4x}{4-\frac{1}{x}}$$，$$\forall x\in \left[ 1,  2 \right]$$．  从而只需求函数$$f\left( x \right)=\frac{4x}{4-\frac{1}{x}}$$在区间$$\left[ 1,  2 \right]$$的最小值．易知$${f}'\left( x \right)=\frac{8x\left( 2x-1 \right)}{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}$$在$$\left[ 1,  2 \right]$$上恒为正数，即$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 1,  2 \right]$$上单调增，故$$f\left( x \right)$$的最小值为$$f\left( 1 \right)=\frac{4}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 满足$${{x}^{2}}+7{{y}^{2}}=2011$$的一组正整数$$(x,  y)$$有组.
Options:
aoVal: A
content: $0$ 
aoVal: B
content: $1$ 
aoVal: C
content: $2$ 
aoVal: D
content: $3$ 
Answer: B
Analysis: 由于$$2011$$是$$4N+3$$形状的数，所以$$y$$必为奇数，而$$x$$为偶数， 设$$x=2m$$，$$y=2n+1$$，代人得  $$4{{m}^{2}}+28n(n+1)=2004$$，  即$${{m}^{2}}+7n(n+1)=501$$. ①  而$$n(n+1)$$为偶数，则$${{m}^{2}}$$为奇数，设$$m=2k+1$$，则  $${{m}^{2}}=4k(k+1)+1$$，  由①得，$$k(k+1)+7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=125$$， ②  则$$\frac{n(n+1)}{4}$$为奇数，且$$n,  n+1$$中恰有一个是$$4$$的倍数，当$$n=4r$$，为使$$7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=7r(4r+1)$$为奇数，且$$7r(4r+1)\textless{}125$$，只有$$r=1$$，②成为$$k(k+1)+35=125$$，  即$$k(k+1)=90$$，于是$$n=4,  k=9,  x=38,  y=9$$；  若$$n+1=4r$$，为使$$7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=7r(4r-1)$$为奇数，且$$7r(4r-1)\textless{}125$$，只有$$r=1$$，②成为$$k(k+1)+21=125$$，即$$k(k+1)=104$$，它无整解；  于是$$(x,  y)=(38,  9)$$是唯一解：$${{38}^{2}}+7\cdot {{9}^{2}}=2011$$．  （另外，也可由$$x$$为偶数出发，使$$2011-{{x}^{2}}=2009-({{x}^{2}}-2)=7\times 287-({{x}^{2}}-2)$$  为$$7$$的倍数，那么$${{x}^{2}}-2$$是$$7$$的倍数，故$$x$$是$$7k\pm 3$$形状的偶数，依次取$$k=1,  3,  5$$，检验相应的六个数即可．） 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->同余分析
Source: 2011年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题10分
Problem: 已知椭圆$$C:\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=1$$，过点$$M(1,1)$$的直线与椭面$$C$$相交于$$P$$，$$Q$$两点，若弦$$PQ$$恰被点$$M$$平分，则直线$$l$$的斜率为．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$P({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$Q({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，  代入$$\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=1$$得$$\frac{x_{1}^{2}}{4}+\frac{y_{1}^{2}}{2}=1$$，$$\frac{x_{2}^{2}}{4}+\frac{y_{2}^{2}}{2}=1$$，  两式相减得$$\frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}{4}+\frac{({{y}_{1}}+{{y}_{2}})({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}{2}=0$$，  整理得$$\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=-\frac{2}{4}\cdot \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}$$，  又因为$$PQ$$恰被点$$M$$平分，  所以$$1=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}$$，$$1=\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}$$，  代入上式得$$\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=-\frac{1}{2}$$，  即直线$$l$$的斜率为$$-\frac{1}{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->倾斜角和斜率的概念->斜率计算
课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->中点弦问题
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第8题3分
Problem: $$2012-AMC10A-7$$  In a bag of marbles, $$\frac{3}{5}$$ of the marbles are blue and the rest are red. If the number of red marbles is doubled and the number of blue marbles stays the same, what fraction of the marbles will be red?  在一袋弹珠中，$$\frac{3}{5}$$ 的弹珠是蓝色的，其余的是红色的。 如果红色弹珠的数量翻倍而蓝色弹珠的数量保持不变，那么红色弹珠的比例是多少？（
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{4}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: Assume that there are $$5$$ total marbles in the bag. The actual number does not matter, since all we care about is the ratios, and the only operation performed on the marbles in the bag is doubling.  There are $$3$$ blue marbles in the bag and $$2$$ red marbles. If you double the amount of red marbles, there will still be $$3$$ blue marbles but now there will be $$4$$ red marbles. Thus, the answer is $$\boxed{\rm(C)\textasciitilde\frac{4}{7}}$$.  Let us say that there are $$x$$ marbles in the bag. Therefore, $$\frac{3x}{5x}$$ are blue, and $$\frac{2x}{5x}$$ are red.~ When the red marbles are doubled, we now have $$\frac{2\times 2x}{5x+2x}= \frac{4x}{7x}= \frac{4}{7}\Rightarrow \boxed{\rm(C)}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2012年AMC10竞赛A第7题
2012年AMC12竞赛A第4题
Problem: 有下列调查方式：  ①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽$$2$$人进行座谈；  ②一次数学竞赛中，某班有$$15$$人在$$100$$分以上，$$35$$人在$$90\sim 100$$分，$$10$$人低于$$90$$分．现在从中抽取$$12$$人座谈了解情况；  ③运动会中工作人员为参加$$400\text{m}$$比赛的$$6$$名同学公平安排跑道．  就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为．
Options:
aoVal: A
content: 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 
aoVal: B
content: 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 
aoVal: C
content: 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 
aoVal: D
content: 系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 
Answer: D
Analysis: 在①中，因为总体已经按班级进行分组，故适合于系统抽样；  在②中，因为总体形成差异明显的三个层次，故适合于分层抽样；  在③中，因为总体单元数较少，故适合于简单随机抽样．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数据分析
课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->系统抽样
课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->分层随机抽样
课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->简单随机抽样
Source: 2017~2018学年福建漳州东山县福建省东山第二中学高二上学期期中文科第1题5分
2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第9题3分
2017~2018学年5月江西南昌东湖区南昌市第十中学高一下学期月考文科第3题5分
Problem: 函数$$y=\sin x$$与$$y={{\log }_{2021}}\textbar x\textbar$$的图象的交点个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1284$$ 
aoVal: B
content: $$1285$$ 
aoVal: C
content: $$1286$$ 
aoVal: D
content: $$1287$$ 
Answer: C
Analysis: $$643\pi \textless{}2021\textless{}643.5\pi $$，故绘制两个函数图象可知两侧交点个数均为$$\frac{643-1}{2}\times 2+1=643$$个，  故共有$$1286$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数方程
Source: 2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题
Problem: 从顶点为$(0,0)$、$(4,0)$、$(4,1)$和$(0,1)$的矩形内随机选取一个点$(x,y)$.$x\textless~y$的概率是多少?
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{3}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{1}{2}$$ 
aoVal: E
content: $$\dfrac{3}{4}$$ 
Answer: A
Analysis: The rectangle has a width of $$4$$ and a height of $$1$$.  The area of this rectangle is $$4\cdot1=4$$.  The line $$x=y$$ intersects the rectangle at $$(0,0)$$ and $$(1,1)$$.  The area which $$x\lt y$$ is the right isosceles triangle with side length $$1$$ that has vertices at $$(0,0)$$, $$(1,1)$$, and $$(0,1)$$.  The area of this triangle is $$\dfrac{1}{2}\cdot1^{2}=\dfrac{1}{2}$$  Therefore, the probability that $$x\lt y$$ is $$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{1}{8}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与面积有关的几何概率的计算
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
Source: 2003年AMC10竞赛A第12题
Problem: 已知点$$P(\sin \alpha ,\tan \alpha )$$在第二象限，则角$$\alpha $$的终边在（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的负号，求得角α所在的象限．\\ 【详解】\\ 解：∵点\emph{P}（sinα，tanα）在第二象限，\\ ∴sinα＜0，tanα＞0，\\ 若角α顶点为坐标原点，始边为\emph{x}轴的非负半轴，则α的终边落在第三象限，\\ 故选：C． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数
Source: 2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第2~2题
Problem: 当$a\textgreater1$时，若不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\textgreater\frac{7}{12}\left( {{\log }_{a+1}}x-{{\log }_{a}}x+1 \right)$对于不小于2的正整数n恒成立.则x的范围是.
Options:
aoVal: A
content: $2\textless{} x\textless{} \frac{29}{17}$ 
aoVal: B
content: $0\textless{} x\textless{} 1$ 
aoVal: C
content: $0\textless{} x\textless{} 4$ 
aoVal: D
content: $x\textgreater1$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【详解】\\ 设$f\left( n \right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}$.\\ 则$f\left( n+1 \right)=f\left( n \right)+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=f\left( n \right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\textgreater f\left( n \right)$.\\ 所以，$f\left( n \right)$为增函数，故$f\left( n \right)\ge f\left( 2 \right)$.\\ 又已知不等式恒成立，所以，$\text{ } ! !\textasciitilde ! !\text{ }\left( \text{lo}{{\text{g}}_{a+1}}x-\text{lo}{{\text{g}}_{a}}x+1 \right)\textless{} \frac{7}{12}$，即$\text{lo}{{\text{g}}_{a+1}}x\textless{} \text{lo}{{\text{g}}_{a}}x$.\\ 由于$a\textgreater1$，则$x\textgreater1$，选D. 
Source: 竞赛第6题
Problem: 设$${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}\text{i} \right)}^{2008}}=f(x)+\text{ig}(x)$$，其中$$f(x)$$、$$g(x)$$均为实系数多项式，则$$f(x)$$的系数之和是．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 取$$x=1$$，则$${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i} \right)}^{2008}}=f(1)+\text{ig}(1)$$，  即有$${{\left( \cos \frac{ \pi }{6}+\text{i}\sin \frac{ \pi }{6} \right)}^{2008}}=f(1)+\text{i}g(1)$$，  从而$${{\left( \cos \frac{ \pi }{6}+\text{i}\sin \frac{ \pi }{6} \right)}^{4}}=f(1)+\text{i}g(1)$$，  即$$\cos \frac{2 \pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2 \pi }{3}=f(1)+\text{i}g(1)$$  $$=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->多项式与复数综合
Source: 2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 如果对一切正实数$$x$$，$$y$$，不等式$$\frac{y}{4}-{{\cos }^{2}}x\geqslant a\sin x-\frac{9}{y}$$恒成立，则实数$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $【-3，3】$ 
aoVal: B
content: $【-2，2】$ 
aoVal: C
content: $【-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}】$ 
aoVal: D
content: $【-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}】$ 
Answer: A
Analysis: 原式$$\Rightarrow \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y}\geqslant {{\cos }^{2}}x+a\sin x\Rightarrow {{\left( \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y} \right)}_{\min }}\geqslant {{({{\cos }^{2}}x+a\sin x)}_{\max }}$$  ∵$$\dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{y}{4}\cdot \dfrac{9}{y}}=3$$，  ∴$${{\left( \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y} \right)}_{\min }}=3$$  ∵$${{\cos }^{2}}x+a\sin x=-{{\sin }^{2}}x+a\sin x+1$$，设$$t=\sin x$$，$$t\in [-1,1]$$  ∴$${{y}_{\max }}=\begin{cases}-a,\dfrac{a}{2}\leqslant -1    \dfrac{{{a}^{2}}}{4}+1,-1\textless{}\dfrac{a}{2}\textless{}1    a,\dfrac{a}{2}\geqslant 1    \end{cases}$$  ∴问题转化为$$\begin{cases}\dfrac{a}{2}\leqslant -1    -a\leqslant 3    \end{cases}$$或$$\begin{cases}-1\textless{}\dfrac{a}{2}\textless{}1    \dfrac{{{a}^{2}}}{4}+1\leqslant 3    \end{cases}$$或$$\begin{cases}\dfrac{a}{2}\geqslant 1    a\leqslant 3    \end{cases}\Rightarrow -3\leqslant a\leqslant 3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式与恒成立问题
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学建模
课内体系->思想->转化化归思想
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分
Problem: $$f\left( x \right)$$是定义在$$\left( 0,+\infty \right)$$上的非负可导函数，且满足$$x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)\leqslant 0$$，对任意正数$$a$$、$$b$$，若$$a\textless b$$，则必有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$af(b)\leqslant bf(a)$$ 
aoVal: B
content: $$bf(a)\leqslant af(b)$$ 
aoVal: C
content: $$af(a)\leqslant f(b)$$ 
aoVal: D
content: $$bf(b)\leqslant f(a)$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$，  ∴ $${{g}^{\prime }}(x)=\frac{{{f}^{\prime }}(x)x-f(x)}{{{x}^{2}}}\leqslant 0$$  ∴$$g(x)$$在$$(0,+\infty )$$上单调递减或为常函数，  ∵$$0\textless{}a\textless{}b$$，∴$$g(a)\geqslant g(b)$$，  ∴$$\frac{f(a)}{a}\geqslant \frac{f(b)}{b}\Rightarrow bf(a)\geqslant af(b)$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->构造法
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->用单调性比较大小
课内体系->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性->利用导数求函数的单调性、单调区间
课内体系->素养->数学运算
Source: 2015~2016学年湖北武汉武昌区华中师大一附中高二下学期期中理科第7题5分
高一上学期单元测试《导数的应用》竞赛第15题
Problem: 已知$$p:\left\textbar{} 1-\frac{x-2}{3} \right\textbar\leqslant 2,  q:{{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}\leqslant 0(m\textgreater0)$$，而$$\neg p$$是$$\neg q$$的必要不充分条件，则实数$$m$$的取值范围为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$[10,+\infty)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty,10]$$ 
aoVal: C
content: $$[5,+\infty)$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty,5]$$ 
Answer: A
Analysis: $$-2\leqslant 1-\frac{x-2}{3}\leqslant 2$$，解得$$1\leqslant x\leqslant 13$$，所以$$\neg p$$是$$x\textless{}1$$或$$x\textgreater11$$．  $${{\left( x-1 \right)}^{2}}\leqslant {{m}^{2}}$$，解得$$1-m\leqslant x\leqslant 1+m$$，所以$$\neg q$$是$$x\textless{}1-m$$或$$x\textgreater1+m$$．  因为$$\neg p$$是$$\neg q$$的必要不充分条件，且$$x\textless{}1-m\textless{}1$$成立，所以$$1+m\geqslant 11\Rightarrow m\geqslant 10$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与不等式结合
课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->四种命题
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式
课内体系->方法->定义法
课内体系->素养->数学运算
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第16题5分
Problem: 已知抛物线$${{x}^{2}}=2py(p\textgreater0)$$，过点$$M\left( 0,-\frac{p}{2} \right)$$向抛物线引两条切线，$$A$$、$$B$$为切点，则线段$$AB$$的长度是．
Options:
aoVal: A
content: $$3p$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{2}p$$ 
aoVal: C
content: $$2p$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}p$$ 
Answer: C
Analysis: 切线方程为$$y=kx-\frac{p}{2}$$，代入抛物线方程得$$\frac{{{x}^{2}}}{2p}=kx-\frac{p}{2}$$，  即$${{x}^{2}}-2pkx+{{p}^{2}}=0$$有一个实根，  故$$4{{p}^{2}}{{k}^{2}}-4{{p}^{2}}=0$$，  解得$$k=\pm 1$$，$$x=\pm p$$，  所以$$AB$$的长度为$$2p$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系
竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 下列$$4$$个数中与$$\cos (1{}^{}\circ )+\cos (2{}^{}\circ )+\ldots +\cos (2008{}^{}\circ )$$最接近的是．
Options:
aoVal: A
content: $$-2008$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2008$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$\cos 1{}^{}\circ +\cos 2{}^{}\circ +\cdots +\cos 360{}^{}\circ =0$$，$$2008=360\cdot 5+208$$，  所以$$\cos 1{}^{}\circ +\cos 2{}^{}\circ +\cdots +\cos 2008{}^{}\circ =\cos 1{}^{}\circ +\cos 2{}^{}\circ +\cdots +\cos 208{}^{}\circ $$．  再由$$\cos x{}^{}\circ +\cos \left( x{}^{}\circ +180{}^{}\circ \right)=0$$，知  $$\cos 1{}^{}\circ +\cos 2{}^{}\circ +\cdots +\cos 208{}^{}\circ =\cos 29{}^{}\circ +\cos 30{}^{}\circ +\cdots +\cos 180{}^{}\circ $$．  又$$\cos x{}^{}\circ +\cos \left( 180{}^{}\circ -x{}^{}\circ \right)=0$$，则  $$\cos 29{}^{}\circ +\cos 30{}^{}\circ +\cdots +\cos 180{}^{}\circ =\cos 152{}^{}\circ +\cos 153{}^{}\circ +\cdots +\cos 180{}^{}\circ $$．  显然$$-29\textless{}\cos 152{}^{}\circ +\cos 153{}^{}\circ +\cdots +\cos 180{}^{}\circ \textless{}-1$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，角$$A$$、$$B$$、$$C$$所对的边分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，且$$1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2c}{b}$$，则角$$A$$的大小为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2 \pi }{3}$$ 
Answer: C
Analysis: $$1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2c}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2\sin C}{\sin B}\Leftrightarrow \frac{\sin B\cos A+\sin A\cos B}{\sin B\cos A}=\frac{2\sin C}{\sin B}$$  $$\Leftrightarrow \frac{\sin C}{\sin B\cos A}=\frac{2\sin C}{\sin B}\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}$$，故角$$A$$为$$\frac{ \pi }{3}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知方程$$\arccos \frac{4}{5}-\arccos \left( -\frac{4}{5} \right)=\arcsin x$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x=\frac{24}{25}$$ 
aoVal: B
content: $$x=-\frac{24}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$x=0$$ 
aoVal: D
content: 这样的$$x$$不存在 
Answer: D
Analysis: ∵$$\text{arc}\cos \left( -\frac{4}{5} \right)= \pi -\arccos \frac{4}{5}$$  ∴ 原方程为$$2\arccos \frac{4}{5}-\arcsin x= \pi $$  又∵$$\arccos x$$是减函数，  ∴$$\arccos \frac{4}{5}\textless{}\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{ \pi }{4}$$  又 $$-\arcsin x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{2}$$，  ∴$$2\arccos \frac{4}{5}-\arcsin x\textless{} \pi $$  此式表明没有能满足方程的$$x$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->反三角函数
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=\left { \begin{matrix}0,  x\textless{}0,   \pi ,  x=0, \x+1,  x\textgreater0\end{matrix} \right }$$则$$f\left { f\left[ f\left( -1 \right) \right] \right }$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$ \pi +1$$ 
aoVal: B
content: 0 
aoVal: C
content: 1 
aoVal: D
content: $$ \pi $$ 
Answer: A
Analysis: $$f\left { f\left[ f\left( -1 \right) \right] \right }=f\left( f\left( 0 \right) \right)=f\left( ~\pi ~\right)= \pi +1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 设$$B$$，$$C$$是定点且都不在平面$$\pi $$上，动点$$A$$在平面$$ \pi $$上且$$\sin \angle ABC{=}\frac{1}{2}$$．那么，$$A$$点的轨迹是．
Options:
aoVal: A
content: 椭圆 
aoVal: B
content: 抛物线 
aoVal: C
content: 双曲线 
aoVal: D
content: 以上皆有可能 
Answer: D
Analysis: 满足$$\sin \angle ABC=\frac{1}{2}$$的$$A$$点轨迹是以$$B$$为锥顶，以$$BC$$为轴线的一个圆锥面（母线与轴线的夹角为$$30{}^{}\circ $$）．现在，$$A$$点还需落在平面$$ \pi $$上，从而其轨迹是圆锥面与平面$$ \pi $$的交线，可能是三种圆锥曲线中的任何一种． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试）
竞赛->知识点->解析几何->双曲线
竞赛->知识点->解析几何->抛物线
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{19}{25}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{16}{25}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{14}{25}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{25}$$ 
Answer: D
Analysis: 【方法点睛】  换元法！例：设$$\frac{\pi }{4}-x=t$$，则$$x=\frac{\pi }{4}-t$$，$$2x=\frac{\pi }{2}-2t$$.  。  。  $$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=\frac{3}{5}$$，所以$$\cos x-\sin x=\frac{3\sqrt{2}}{5}$$，  所以$${{(\cos x-\sin x)}^{2}}=1-\sin 2x=\frac{18}{25}$$，所以$$\sin 2x=\frac{7}{25}$$，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值
Source: 2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分
2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分
2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
2015年北京海淀区高三三模第4题
2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分
2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分
2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二下学期期中第12题4分
Problem: 已知圆柱的底面半径为$$r$$，高为$$h$$，体积为$$2$$，表面积为$$24$$，则$$\frac{1}{r}+\frac{1}{h}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意可知$$\begin{cases} \pi {{r}^{2}}h=2    2 \pi {{r}^{2}}+2 \pi rh=24 \end{cases}$$，  两式相比可得$$\frac{ \pi {{r}^{2}}h}{2 \pi {{r}^{2}}+2 \pi rh}=\frac{1}{12}$$，  ∴$$\frac{rh}{r+h}=\frac{1}{6}$$，  ∴$$\frac{1}{r}+\frac{1}{h}=\frac{r+h}{rh}=6$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的表面积
课内体系->素养->数学运算
Source: 2015~2016学年湖北武汉武昌区高二下学期期末理科第10题5分
2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的公差不为零，且$${{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{9}}$$构成等比数列，则$$\frac{{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{8}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 设公差为$$d$$，由题意，$$\left( {{a}_{3}}-d \right)\left( {{a}_{3}}+6d \right)=a_{3}^{2}$$，化简得$${{a}_{3}}=\frac{6}{5}d$$．  于是$$\frac{{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}}=\frac{\left( {{a}_{3}}+d \right)+\left( {{a}_{3}}+2d \right)+\left( {{a}_{3}}+3d \right)}{3{{a}_{3}}}=\frac{8}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 我们随机选择了一个介于$1000$和$10,000$之间的回文数，它能被$7$整除的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{1}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{1}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{1}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\dfrac{1}{6}$$ 
aoVal: E
content: $$\dfrac{1}{5}$$ 
Answer: E
Analysis: The palindromes can be expressed as: $$1000 x+100 y+10 y+x$$ (since it is a four digit palindrome, it must be of the form $$xyyx$$, where $$x$$ and $$y$$ are integers from $$ [1, 9] $$ and $$[0, 9]$$, respectively.) We simplify this to: $$1001 x+110 y$$. Because the question asks for it to be divisible by $$7$$, We express it as $$1001 x+110 y≡0 (\bmod 7)$$. Because $$1001≡0 (\bmod 7)$$, We can substitute $$1001$$ for $$0$$, We are left with $$110y≡0(\bmod 7)$$. Since $$110≡5(\bmod 7)$$ we can simplfy the $$110$$ in the expression to $$5y≡0(\bmod 7)$$. In order for this to be true, $$y≡0(\bmod 7)$$ must also be true.~ Thus we solve:~ $$y≡0(\bmod 7)$$. Which has two soutions: $$0$$ and $$7$$. There are thus two options for $$y$$ out of the $$10$$, so the answer is $$2/10= (\rm E)\frac{1}{5}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
Source: 2010年AMC10竞赛B第21题
Problem: 函数$$f\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}-2x-3)$$的单调递增区间是（~ ~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,1)$$ 
aoVal: C
content: $$(1,+\infty )$$ 
aoVal: D
content: $$(3,+\infty )$$ 
Answer: A
Analysis: 由$${{x}^{2}}-2x-3\textgreater0\Rightarrow x\textless{}-1$$或$$x\textgreater3$$，令$$f\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}u$$，$$u= {{x}^{2}}-2x-3$$，$$u$$在$$\left( -\infty ,1 \right)$$上单调减，结合$$f\left( x \right)$$的定义域．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学抽象
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->判断复合函数单调性
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->求单调区间
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质
Source: 2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题8分
Problem: 设全集$$U$$是实数，若$$A=\left { x\textbar\sqrt{x-2}\leqslant 0 \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}} \right }$$，则$$A\bigcap\left( \complement_{U}B\right)$$是．
Options:
aoVal: A
content: $$ {2 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {-1 }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar x\leqslant 2 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\varnothing $$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\sqrt{x-2}\leqslant 0$$，得$$x=2$$，故$$A=\left { 2 \right }$$；由$${{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}}$$，得$${{x}^{2}}-x-2=0$$，故$$B= {-1,2 }$$．所以$$A\bigcap\left( \complement_{U}B\right)=\varnothing$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合的概念
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2000年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分