math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若两位自然数$$\overline{ab}$$是质数，且交换数字后的两位数$$\overline{ba}$$也是质数，则称$$\overline{ab}$$为绝对质数．于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数字是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 两位数中的绝对质数有$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$31$$，$$37$$，$$71$$，$$73$$，$$79$$，$$97$$．  其乘积是$$11\times 13\times 17\times 31\times 37\times 71\times 73\times 79\times 97$$，  要求其个位数字，就是求$$1\times 3\times 7\times 1\times 7\times 1\times 3\times 9\times 7$$的个位数字，  易得，个位数字是$$3$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分
Problem: 若$${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2009$$ 
aoVal: B
content: $$2008$$ 
aoVal: C
content: $$-2008$$ 
aoVal: D
content: $$-2009$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{2}}+x=2$$，  ∴$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$  $$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x-2x+2007$$  $$=x\left( {{x}^{2}}+x \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)-2x+2007$$  $$=2x+2-2x+2007$$  $$=2009$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-降次化简求值
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: 无论$$m$$为何实数，直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点都不可能在（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: C
Analysis: 直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点必在直线$$y=-2x+3$$上，  而直线$$y=-2x+3$$不经过第三象限，  所以直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点不可能在第三象限． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的图象特征与性质
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第5题4分
Problem: 两个标准的骰子各被投掷一次，以骰子向上一面的数字和作为圆的直径．则圆的面积数值小于圆的周长数值的概率是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{36}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 圆的面积数值小于圆的周长数值，  即$$\pi{{r}^{2}}\textless{}2\pi r$$，  即$$0\textless{}r\textless{}2$$．  ∴直径$$0\textless{}d\textless{}4$$．  骰子向上一面的数字和作为圆的直径，  ∴直径$$d\textless{}4$$的情况有$$1$$，$$2$$或$$1$$，$$1$$或$$2$$，$$1$$三种，  故概率$$=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第5题
Problem: 设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: $$M=xy+(2y+3x)z$$  $$=xy+(2y+3x)(1-x-y)$$  $$=-3{{x}^{2}}-4xy-2{{y}^{2}}+3x+2y$$  $$=-2\left[ {{y}^{2}}+2\left( x-\frac{1}{2} \right)y+{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]-3{{x}^{2}}+3x+2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+x+\frac{1}{2}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$  $$\leqslant \frac{3}{4}$$．  当且仅当$$x=\frac{1}{2}$$，$$y=0$$时，不等式取等号，  故$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$． 
<p>令$$y=1-x-z$$，代入$$M$$，则：</p>
<p>$$M=x\left( 1-x-z \right)+2\left( 1-x-z \right)z+3xz=x-{{x}^{2}}-xz+2z-2xz-2{{z}^{2}}+3xz$$</p>
<p>$$=-{{x}^{2}}+x-2{{z}^{2}}+2z=-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$，$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->方法->配方法
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 平面内有$$n$$条直线$$(n\geqslant 2)$$，这$$n$$条直线两两相交，最多可以得到$$a$$个交点，最少可以得到$$b$$个交点，则$$a+b$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$n(n-1)$$ 
aoVal: B
content: $${{n}^{2}}-n+1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{{{n}^{2}}-n}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{{{n}^{2}}-n+2}{2}$$ 
Answer: D
Analysis: $$a=1+2+\cdots +n-1$$  $$=(1+n-1)\times \frac{n-1-1+1}{2}$$  $$=\frac{n(n-1)}{2}$$，$$b=1$$，  $$a+b=\frac{n(n-1)}{2}+1=\frac{{{n}^{2}}-n+2}{2}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->相交线的交点问题找规律
Source: 2018~2019学年山东济南市中区初二上学期期末第28题5分
2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 已知：$$x=\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)$$（$$n$$是自然数）．那么$${{\left( x-\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $${{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: B
content: $$-{{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: C
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$ 
aoVal: D
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$ 
Answer: D
Analysis: \textbf{（知识点：二次根式化简求值）}  $$1+{{x}^{2}}=1+\frac{1}{4}\left( {{1991}^{\frac{2}{n}}}-2+{{1991}^{-\frac{2}{n}}} \right)=\frac{1}{4}{{\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)}^{2}}$$，  原式$$={{\left[ \frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)-\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right) \right]}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题
Problem: 将$$100$$以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：  （$$1$$）将左边第一个数码移到数字串的最右边；  （$$2$$）从左到右两位一节组成若干个两位数；  （$$3$$）从这些两位数中划去合数；  （$$4$$）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；  （$$5$$）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串．  问：经过$$1997$$次操作，所得到数字串是什么？  Arrange prime numbers within $$100$$ in a string of numbers from smallest to largest, and finishing the following five tasks in order is called one operation:  ($$1$$) move the first digit on the left to the rightmost of the number string;  ($$2$$) form several two-digit numbers from the left to the right with two digits in one section;  ($$3$$) cross out the composite numbers from these two-digit numbers;  ($$4$$) if there are identical two-digit prime numbers left, keep the one on the left and cross out the rest;  ($$5$$) the remaining two-digit prime numbers are kept in the numerical order and formed into a new number string.  Q: After $$1997$$ operations, what is the final string of numbers?
Options:
aoVal: A
content: $$1173$$ 
aoVal: B
content: $$1731$$ 
aoVal: C
content: $$7311$$ 
aoVal: D
content: $$3117$$ 
aoVal: E
content: $$1713$$ 
Answer: B
Analysis: 第$$1$$次操作得数字串$$711131737$$；第$$2$$次操作得数字串$$11133173$$；第$$3$$次操作得数字串$$111731$$；第$$4$$次操作得数字串$$1173$$；第$$5$$次操作得数字串$$1731$$；第$$6$$次操作得数字串$$7311$$；第$$7$$次操作得数字串$$3117$$；第$$8$$次操作得数字串$$1173$$，以下以$$4$$为周期循环，即$$4k$$次操作所得数字串均为$$1173$$．$$1996=4\times 499$$，所以第$$1996$$次操作得数字串$$1173$$，因此，第$$1997$$次操作得数字串$$1731$$．  The $$1$$st operation yields the number string $$711131737$$; the $$2$$nd operation yields the number string $$11133173$$; the $$3$$th operation yields the number string $$111731$$; the $$4$$th operation yields the number string $$1173$$; the $$5$$th operation yields the number string $$1731$$; the $$6$$th operation yields the number string $$7311$$; the $$7$$th operation yields the number string $$3117$$; the $$8$$ operation yields the number string $$1173$$. The following is a cycle of $$4$$, that is, the string of numbers obtained in $$4k$$ operations is $$1173$$. $$1996=4\times 499$$, so the $$1996$$th operation yields the number string $$1173$$, so the $$1997$$th operation yields the number string $$1731$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->操作与游戏
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列
Source: 2001年第6届华杯赛初一竞赛决赛第19题
Problem: 若$$11$$个连续奇数的和是$$1991$$，把这些数按大小顺序排列来，第六个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$179$$ 
aoVal: B
content: $$181$$ 
aoVal: C
content: $$183$$ 
aoVal: D
content: $$185$$ 
Answer: B
Analysis: 设这$$11$$个连续奇数为：$$2n+1$$，$$2n+3$$，$$2n+5$$，\ldots，$$2n+21$$．  则$$\left( {2n + 1} \right) + \left( {2n + 3} \right) + \left( {2n + 5} \right) + ~\cdots ~+ \left( {2n + 21} \right) = 1991$$，  即$$11 \times \left( {2n + 11} \right) = 1991$$，解得$$n=85$$．  所以第六个数是$$2\times 85+11=181$$，  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第11题
Problem: 2000年$$AMC8$$竞赛第$$24$$题  If $$a$$ and $$b$$ are integers, what is the least integer $$x$$ for which the inequality $$a ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a+x$$ could be true．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: D
Analysis: Since $$a$$ and $$b$$ are integers, the least possible $$b=a$$$$+1$$.~ Since $$x$$ is also an integer, the least possible $$a+x=$$$$b+1$$ $$=a$$$$+2$$.  如果$$a$$，$$b$$是整数 ， 那么满足不等式$$\textasciitilde a ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a+x$$的最小的整数$$x$$是多少．  $$\text{A}$$．$$-1$$~ ~ $$\text{B}$$． $$0$$~ ~ $$\text{C}$$．$$1$$~ ~$$\text{D}$$．$$2$$  因为$$a$$，$$b$$是整数 ， 那么最小的可能就是$$b=a+1$$．因为$$x$$是一个整数 ， 那么最小值就是$$\textasciitilde a+x=b+1=a+2$$， 也就是 $$x=0$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Inequality
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题
Source: 2000年竞赛第24题
Problem: \textbf{2021-2022年南昌二中期末考试第$$2$$题} 当$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$时，多项式$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2001}}$$ 
aoVal: D
content: $$-{{2}^{2001}}$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$x=\frac{1+\sqrt{1994}}{2}$$，  ∴$${{(2x-1)}^{2}}=1994$$，  即$$4{{x}^{2}}-4x-1993=0$$，  ∴$${{(4{{x}^{3}}-1997x-1994)}^{2001}}$$  $$={{[(4{{x}^{2}}-4x-1993)x+(4{{x}^{2}}-4x-1993)-1]}^{2001}}$$  $$={{(-1)}^{2001}}$$  $$=-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分
初一下学期其它
Problem: 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 第一次向左拐$$40{}^{}\circ $$，第二次向右拐$$40{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: 第一次向右拐$$50{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$130{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: 第一次向右拐$$70{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$110{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: 第一次向左拐$$70{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$110{}^{}\circ $$ 
Answer: D
Analysis: 记向左为``$$+$$''，向右为``$$-$$''，则题中四个选项依次为  $$+40{}^{}\circ -40{}^{}\circ =0{}^{}\circ $$，方向不变；  $$-50{}^{}\circ +130{}^{}\circ =80{}^{}\circ $$；  $$-70{}^{}\circ +110{}^{}\circ =40{}^{}\circ $$；  $$+70{}^{}\circ +110{}^{}\circ =180{}^{}\circ $$，方向相反．  故$$\text{D}$$正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->相反意义的量
Source: 2019~2020学年广东广州越秀区广州市第二中学初一下学期单元测试《相交线与平行线》第7题4分
2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第4题4分
Problem: 将$$x$$的整数部分记为$$\left[ x \right]$$,$$x$$的小数部分记为$$\left { x \right }$$，易知$$x=\left[ x \right]+\left { x \right }\left( 0 ~\textless{} ~\left { x \right } ~\textless{} ~1 \right)$$.若$$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$$，那么$$\left[ x \right]$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\sqrt{3\pm \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\pm 1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{\sqrt{2}}$$，  所以$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\approx -1.41$$，  所以$$\left[ x \right]=-2$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->整体思想
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->方法->代入法
课内体系->能力->运算能力
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第3题
Problem: 已知$$A$$，$$B$$是两个锐角，且满足$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B=\frac{5}{4}t$$，$${{\cos }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\frac{3}{4}{{t}^{2}}$$，则实数$$t$$所有可能值的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{8}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{11}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 根据已知得：$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\frac{3}{4}{{t}^{2}}+\frac{5}{4}t$$，即$$2=\frac{3}{4}{{t}^{2}}+\frac{5}{4}t$$，  ∴$$3{{t}^{2}}+5t-8=0$$，解得$${{t}_{1}}=1$$，$${{t}_{2}}=-\frac{8}{3}$$，又∵$${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B=\frac{5}{4}t\textgreater0$$，即$$t\textgreater0$$，  ∴$$t=1$$，故$$t$$所有可能值的和为$$1$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->推理论证能力
知识标签->题型->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->题型：正弦定理与余弦定理
知识标签->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->因式分解法解一元二次方程
知识标签->数学思想->方程思想
Source: 2011年竞赛第3题4分
2013年四川成都成华区成都石室中学初中学校初三自主招生第4题5分
Problem: 已知$$m=\frac{4-x}{3}$$，$$n=\frac{x+3}{4}$$，$$p=\frac{2-3x}{5}$$，且$$m\textgreater n\textgreater p$$，那么$$x$$的取值范围是（ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$x ~\textless{} ~1$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{14}{5} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~1$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{7}{17} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~1$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{14}{5} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~-\frac{7}{17}$$ 
Answer: C
Analysis: $$m\textgreater n\textgreater p$$，即$$\frac{4-x}{3}\textgreater\frac{x+3}{4}\textgreater\frac{2-3x}{5}$$．  所以$$\begin{cases}\frac{4-x}{3}\textgreater\frac{x+3}{4}    \frac{x+3}{4}\textgreater\frac{2-3x}{5}   \end{cases}$$，  即$$\begin{cases}16-4x\textgreater3x+9    5x+15\textgreater8-12x   \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}x ~\textless{} ~1    x\textgreater-\frac{7}{17}   \end{cases}$$，即$$-\frac{7}{17} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~1$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第6题
Problem: 【补10】  计算：$98^{2}+2^{2}$~=~\uline{~~~~~~~~~~}~  马马虎的做法如下：  原式=$\left( 98+2\right)^{2}+2\times98\times2$  马马虎的解法正确吗？请你帮他挑挑错吧！
Options:
aoVal: A
content: $$9608$$ 
aoVal: B
content: $$9610$$ 
aoVal: C
content: $$9708$$ 
aoVal: D
content: $$9710$$ 
Answer: A
Analysis: 符号错了，应为减法：  原式=$\left( 98+2\right)^{2}-2\times98\times2$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第17题
2019~2020学年北京西城区北京四中初一上学期开学考试第9题3分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$是三个任意整数，那么$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{a+c}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$．
Options:
aoVal: A
content: 都不是整数 
aoVal: B
content: 至少有两个整数 
aoVal: C
content: 至少有一个整数 
aoVal: D
content: 都是整数 
Answer: C
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$c$$是任意整数，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中至少有两个同为奇数或同为偶数，而两个奇数或两个偶数的和是偶数，所以$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{a+c}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$中至少有一个是整数，如当$$a=1$$，$$b=2$$ ，$$c=3$$时，$$\frac{a+c}{2}=2$$，$$\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}=\frac{5}{2}$$．此时，恰有一个整数．  所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
课内体系->知识点->数->有理数
Source: 2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分
Problem: 已知$$a\textless{}-b$$，且$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，则$$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} a+b \right\textbar+\left\textbar{} ab \right\textbar$$等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2a+2b+ab$$ 
aoVal: B
content: $$-ab$$ 
aoVal: C
content: $$-2a-2b+ab$$ 
aoVal: D
content: $$-2a+ab$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，  ∴$$a$$和$$b$$同号，  又∵$$a\textless{}-b$$，  ∴$$a$$和$$b$$均为负数．  ∴$$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} a+b \right\textbar+\left\textbar{} ab \right\textbar$$  $$=-a-\left( -b \right)+\left[ -\left( a+b \right) \right]+ab$$  $$=-a+b-a-b+ab$$  $$=-2a+ab$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: 方程组$$\left { \begin{matrix}x+y+z=10    3x+y-z=50    2x+y=40   \end{matrix} \right.$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 无解 
aoVal: B
content: 有$$1$$组解 
aoVal: C
content: 有$$2$$组解 
aoVal: D
content: 有无穷多组解 
Answer: A
Analysis: 由$$x+y+z=10$$，$$3x+y-z=50$$两式相加，  得$$4x+2y=60$$，即$$2x+y=30$$，  与原方程组的$$2x+y=40$$矛盾，  所以原方程组无解． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分
Problem: $$D$$是等腰锐角三角形$$ABC$$的底边$$BC$$上的一点，则$$AD$$，$$BD$$，$$CD$$ 满足关系式．
Options:
aoVal: A
content: $$A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $$2A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$2A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: 以等边三角形为例，当$$D$$为$$BC$$边上的中点时，有$$A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$，当$$D$$为$$BC$$边的端点时，有$$A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$，故有$$2A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->等腰三角形的性质-等边对等角
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第6题
Problem: 若$$a=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})$$，$$b=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$，那么$${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{15}}{2}-1$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知得$$a+b=\sqrt{5}$$，$$ab=\frac{1}{2}$$，  ∴$${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}={{(a+b)}^{2}}-3ab$$，  $$={{(\sqrt{5})}^{2}}-3\times \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$，  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
Source: 2015~2016学年山东济南商河县胡集中学初二上学期期中第7题3分
1992年第3届希望杯初二竞赛第3题
Problem: $$a$$是最大的负整数，$$b$$是绝对值最小的有理数，则$${{a}^{2007}}+\frac{{{b}^{2009}}}{2008}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2008}$$ 
aoVal: D
content: $$2007$$ 
Answer: A
Analysis: 依题意知$$a=-1$$，$$b=0$$，所以$${{a}^{2007}}+\frac{{{b}^{2009}}}{2008}={{\left( -1 \right)}^{2007}}+\frac{0}{2008}=-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第1题4分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数，且$$a+b+c+abc=99$$，则$$\left\textbar{} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{c}-\frac{1}{a} \right\textbar=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{15}{17}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{15}{34}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{17}{19}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{17}{38}$$ 
Answer: C
Analysis: 若$$a$$，$$b$$，$$c$$都是奇数，那么$$abc$$也为奇数，则$$a+b+c+abc$$为偶数，与$$a+b+c+abc=99$$矛盾．  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数，  又∵$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数是$$2$$，  令$$a=2$$，则$$b+c+2bc=97$$，  同理，若$$b$$，$$c$$都是奇数，则$$bc$$为奇数，则$$b+c+2bc$$为偶数，与$$b+c+2bc=97$$矛盾，  ∴$$b$$，$$c$$中也必有一个偶数，则偶数必是$$2$$，  令$$b=2$$，可得$$c=19$$，  ∴$$\left\textbar{} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{c}-\frac{1}{a} \right\textbar=\frac{17}{19}$$．  故答案为：$$\frac{17}{19}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第18题4分
Problem: $$\triangle ABC$$的三个内角$$\angle A$$、$$\angle B$$、$$\angle C$$，满足$$3\angle A\textgreater5\angle B$$，$$3\angle C\leqslant 2\angle B$$，则这个三角形是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 等边三角形 
Answer: C
Analysis: 由已知得$$\angle B ~\textless{} ~\frac{3}{5}\angle A$$，$$\angle C\leqslant \frac{2}{3}\angle B ~\textless{} ~\frac{2}{5}\angle A$$，所以$$\angle B+\angle C ~\textless{} ~\angle A$$，$$\triangle ABC$$是钝角三角形，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->三角形的分类
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第7题
Problem: 若$$\left\textbar{} a+b+1 \right\textbar$$与$${{(a-b+1)}^{2}}$$互为相反数，则$$a$$与$$b$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$a=b$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}b$$ 
aoVal: D
content: $$a\geqslant b$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left\textbar{} a+b+1 \right\textbar$$与$${{(a-b+1)}^{2}}$$互为相反数，  由绝对值和偶次方的非负性知，  $$a+b+1=0$$，$$a-b+1=0$$，  解得$$a=-1$$，$$b=0$$，  ∴$$a\textless{}b$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第9题
2017~2018学年四川凉山西昌市西昌一中俊波外国语学校初一上学期期中第14题2分
初一下学期单元测试《二元一次方程组》二元一次方程（组）的相关概念第24题
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$，且$$a\textless{}b\textless{}0$$，  $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}$$，  $$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 已知$${{m}^{2}}+m-1=0$$，那么代数式$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1997$$ 
aoVal: B
content: $$-1997$$ 
aoVal: C
content: $$1996$$ 
aoVal: D
content: $$-1996$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${{m}^{2}}+m-1=0$$，所以$${{m}^{2}}+m=1$$，  所以$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$  $$=m({{m}^{2}}+m)+{{m}^{2}}-1997$$  $$=m+{{m}^{2}}-1997$$  $$=1-1997$$  $$=-1996$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题
初一下学期其它
Problem: 当$$x=2$$时，多项式$$m{{x}^{3}}-x+5m+3$$的值是$$118$$，则多项式$${{m}^{2}}-6m-7$$的值为（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$-16$$ 
aoVal: B
content: $$-7$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$93$$ 
Answer: C
Analysis: ∵当$$x=2$$时，多项式$$m{{x}^{3}}-x+5m+3$$的值是$$118$$，  ∴$$8m-2+5m+3=118$$，解得$$m=9$$．  ∴$${{m}^{2}}-6m-7=20$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 若$$M=3{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}}-4x+6y+13$$（$$x$$，$$y$$是实数），则$$M$$的值一定是．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 负数 
aoVal: C
content: 零 
aoVal: D
content: 非负数 
Answer: A
Analysis: $$M=3{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}}-4x+6y+13$$  $$=(2{{x}^{2}}-8xy+8{{y}^{2}})+({{x}^{2}}-4x+4)+({{y}^{2}}+6y+9)$$  $$=2{{(x-2y)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}$$，  ∵$${{(x-2y)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(x-2)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(y+3)}^{2}}\geqslant 0$$，  又∵$$x-2y$$，$$x-2$$，$$y+3$$三项不能同时取$$0$$，  ∴$$M=2{{(x-2y)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}\textgreater0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值
课内体系->能力->运算能力
Source: 初三上学期其它
初一单元测试《分解方法的延拓（2）》第21题
2005年竞赛第2题6分
Problem: 直线$$y=x-1$$与$$x$$轴、$$y$$轴分别交于$$A$$，$$B$$两点，点$$C$$在坐标轴上，$$\triangle ABC$$是等腰三角形，则满足条件的点$$C$$有个．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: $$C\left( 0,0 \right)$$、$$C\left( 0,1 \right)$$、$$C\left( 0,-1-\sqrt{2} \right)$$、$$C\left( 1+\sqrt{2},0 \right)$$、$$C\left( 1-\sqrt{2},0 \right)$$、$$C\left( -1,0 \right)$$、$$C\left( 0,\sqrt{2}-1 \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与几何综合->一次函数与等腰三角形结合
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第17题4分
初一下学期单元测试《坐标平面上的直线》第24题
Problem: 代数式$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}+1}$$的化简结果是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{8{{x}^{5}}}{{{x}^{8}}-1}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{8{{x}^{4}}}{{{x}^{8}}-1}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4{{x}^{7}}}{{{x}^{8}}-1}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{8{{x}^{7}}}{{{x}^{8}}-1}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}+1}$$  $$=\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}+\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}+1}$$  $$=\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}+\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}+1}$$  $$=\frac{8{{x}^{7}}}{{{x}^{8}}-1}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 单项式$$3{{x}^{2m}}{{y}^{n-1}}$$与单项式$$-\frac{1}{2}{{x}^{2}}y$$是同类项，则$$m-2n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意，得：  $$2m=2$$，$$n-1=1$$．  ∴$$m=1$$，$$n=2$$．  ∴$$m-2n=1-2\times 2=-3$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->由同类项求参数的值
Source: 2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第2题3分
2018~2019学年浙江嘉兴初一上学期期末第7题3分
Problem: 如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 内心 
aoVal: B
content: 外心 
aoVal: C
content: 重心 
aoVal: D
content: 垂心 
Answer: A
Analysis: 设直线$$DE$$平分$${\triangle }ABC$$的周长和面积，$$D$$，$$E$$分别在边$$AB$$和$$AC$$上，作$$\angle A$$的平分线交$$DE$$于$$P$$，记$$P$$到$$AB$$，$$AC$$的距离为$$r$$，$$P$$到$$BC$$的距离为$${{r}_{1}}$$，于是依题意有：  $$\begin{cases}AD+AE=DB+BC+CE    \dfrac{r}{2}(AD+AE)=\dfrac{r}{2}(DB+CE)+\dfrac{{{r}_{1}}}{2}BC \end{cases}$$，  解得$$r={{r}_{1}}$$，即$$P$$为$${\triangle }ABC$$的内心，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆->圆与多边形->三角形五心
课内体系->知识点->圆->与圆有关的位置关系->直线与圆->三角形内切圆
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第5题
Problem: 对于任意实数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$，定义有序实数对$$\left( a,b \right)$$与$$\left( c,d \right)$$之间的运算``$$\Delta $$''为：$$\left( a,b \right)\Delta \left( c,d \right)=\left( ac+bd,ad+bc \right)$$，如果对于任意实数$$u$$，$$v$$，都有$$\left( u,v \right)\Delta \left( x,y \right)=\left( u,v \right)$$，那么$$\left( x,y \right)$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,0 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -1,0 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 0,-1 \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 依照定义的运算法则，有$$\begin{cases}ux+vy=u    vx+uy=v    \end{cases}$$，即$$\begin{cases}u(x-1)+vy=0    v(x-1)+uy=0    \end{cases}$$，对任何实数$$u$$，$$v$$都成立．由于实数$$u$$，$$v$$的任意性，得$$(x,y)=(1,0)$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年竞赛第2题3分
2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第2题5分