math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知$$\text{e}$$是自然对数的底，那么$$\sqrt{\text{e}},\frac{1}{\sqrt{\text{e}}},\sin \sqrt{\text{e}},\tan \sqrt{\text{e}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\sqrt{\text{e}}\textless{}\tan \sqrt{\text{e}}$$ 
aoVal: B
content: $$\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sqrt{\text{e}}\textless{}\tan \sqrt{\text{e}}$$ 
aoVal: C
content: $$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\sqrt{\text{e}}$$ 
aoVal: D
content: $$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sqrt{\text{e}}$$ 
Answer: C
Analysis: 首先$$ \pi \textgreater\sqrt{\text{e}}\textgreater\frac{ \pi }{2}\textgreater1$$，$$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}0$$，$$\sin \sqrt{\text{e}}\textgreater\sin \frac{ \pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\textgreater\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第8题4分
Problem: 满足$${{x}^{2}}+7{{y}^{2}}=2011$$的正整数$$(x,  y)$$的组数为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 由于$$2011$$是$$4N+3$$形状的数，所以$$y$$必为奇数，而$$x$$为偶数， 设$$x=2m$$，$$y=2n+1$$，代人得  $$4{{m}^{2}}+28n(n+1)=2004$$，  即$${{m}^{2}}+7n(n+1)=501$$. ①  而$$n(n+1)$$为偶数，则$${{m}^{2}}$$为奇数，设$$m=2k+1$$，则  $${{m}^{2}}=4k(k+1)+1$$，  由①得，$$k(k+1)+7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=125$$， ②  则$$\frac{n(n+1)}{4}$$为奇数，且$$n,  n+1$$中恰有一个是$$4$$的倍数，当$$n=4r$$，为使$$7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=7r(4r+1)$$为奇数，且$$7r(4r+1)\textless{}125$$，只有$$r=1$$，②成为$$k(k+1)+35=125$$，  即$$k(k+1)=90$$，于是$$n=4,  k=9,  x=38,  y=9$$；  若$$n+1=4r$$，为使$$7\cdot \frac{n(n+1)}{4}=7r(4r-1)$$为奇数，且$$7r(4r-1)\textless{}125$$，只有$$r=1$$，②成为$$k(k+1)+21=125$$，即$$k(k+1)=104$$，它无整解；  于是$$(x,  y)=(38,  9)$$是唯一解：$${{38}^{2}}+7\cdot {{9}^{2}}=2011$$．  （另外，也可由$$x$$为偶数出发，使$$2011-{{x}^{2}}=2009-({{x}^{2}}-2)=7\times 287-({{x}^{2}}-2)$$  为$$7$$的倍数，那么$${{x}^{2}}-2$$是$$7$$的倍数，故$$x$$是$$7k\pm 3$$形状的偶数，依次取$$k=1,  3,  5$$，检验相应的六个数即可．） 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数
竞赛->知识点->数论模块->不定方程->同余分析
Source: 2011年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题10分
Problem: $$\text{i}$$为虚数单位，则$${{\left( \frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\right)}^{2011}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{{{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}}{1-{{\text{i}}^{2}}}=\text{i}$$，所以$${{\left(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}} \right)}^{2011}}={{\text{i}}^{2011}}={{\text{i}}^{4\times502+3}}={{\text{i}}^{3}}=-\text{i}$$，  故选A． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数中的周期问题
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2011年高考真题湖北卷理科第1题
Problem: 已知$$z$$为复数，$$\text{i}$$为虚数单位．若$$\left\textbar{} z \right\textbar=1,\left\textbar{} \overline{z}+\text{i} \right\textbar=1$$，则当$${{(z+\text{i})}^{n}}$$（$$n$$为正整数）为实数时，$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$z=x+y\text{i}(x,y\in \mathbf{R})$$，  由$$\left\textbar{} z \right\textbar=1,\left\textbar{} \overline{z}+\text{i} \right\textbar=1$$，得$$\begin{cases}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1    {{x}^{2}}+{{(1-y)}^{2}}=1 \end{cases}$$  解得$$\begin{cases}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}    y=\frac{1}{2} \end{cases}$$所以$$z=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$，  $$z+\text{i}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}+\frac{3}{2}\text{i}=\sqrt{3}\left( \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)$$．  $${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}={{\left\textbar{} \sqrt{3}\left( \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right) \right\textbar}^{n}}$$  $$={{(\sqrt{3})}^{n}}{{\left\textbar{} \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right\textbar}^{n}}={{(\sqrt{3})}^{n}}.$$  由此可见，当$$n$$取最小值$${{n}_{0}}$$时，$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$取最小值$${{(\sqrt{3})}^{{{n}_{0}}}}$$．  当$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$时，  $$z+\text{i}=\sqrt{3}\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)=\sqrt{3}\left( \cos \frac{ \pi }{3}+\text{i}\sin \frac{ \pi }{3} \right)$$．  当$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$时，  $$z+\text{i=}\sqrt{3}\left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)=\sqrt{3}\left( \cos \frac{2 \pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2 \pi }{3} \right)$$．  可见使$${{(z+\text{i})}^{n}}$$为实数时$$n$$的最小值为$$3$$，  此时$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$的最小值为$${{(\sqrt{3})}^{3}}=3\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
Problem: 對於所有的實數定義餘數$$\text{rem}\left(x,y\right)=x-y\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$：，這裡$$\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ 定義為小於等於$$\frac{x}{y}$$的最大整数．试求$$\text{rem}\left(\frac{3}{8},-\frac{2}{5}\right)$$之値爲何？  The remainder can be defined for all real numbers $$x$$ and $$y$$ with $$y\ne 0$$ by $$\text{rem}\left(x,y\right)=x-y\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ where $$\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ denotes the greatest integer less than or equal to $$\frac{x}{y}$$. What is the value of $$\text{rem}\left(\frac{3}{8},-\frac{2}{5}\right)$$?
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{3}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{40}$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{31}{40}$$ 
Answer: B
Analysis: The value, by definition, is  $$\text {rem}\left(\frac 38,-\frac 25\right)=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac {\frac 38}{-\frac 25}\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac 38\times \frac {-5}2\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac {-15}{16}\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)(-1)$$  $$=\frac 38-\frac 25$$  $$=-\frac 1{40}$$.  Do note that the denominator of the answer will be a multiple of $$5$$ and $$8(40)$$ and that the answer will also be negative. The only answer choice that satisfies this is $$\rm B$$. 
Source: 2016年AMC12竞赛A第3题
Problem: 设$$k$$、$$m$$、$$n$$均为整数，过圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{(3k+1)}^{2}}$$外一点$$P({{m}^{3}}-m,{{n}^{3}}-n)$$向该圆引两条切线，切点分别为$$A$$、$$B$$，则直线$$AB$$上整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）有．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$0$$个 
aoVal: D
content: 无数个 
Answer: C
Analysis: 易知，切点弦所在直线$$AB$$的方程为$$({{m}^{3}}-m)x+({{n}^{3}}-n)y={{(3k+1)}^{2}}$$．  若直线$$AB$$上存在整点$$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$$，  则有$$(m-1)m(m+1){{x}_{0}}+(n-1)n(n+1){{y}_{0}}={{(3k+1)}^{2}}$$．  因为$$(m-1)m(m+1)$$和$$(n-1)n(n+1)$$都是$$3$$的倍数，  所以上式左边能被$$3$$整除．而右边被$$3$$除余$$1$$，矛盾．  故直线$$AB$$上不存在整点．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合
Source: 2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: $$\text{i}$$为虚数单位，则$$\text{i}+{{\text{i}}^{2}}+{{\text{i}}^{3}}+{{\text{i}}^{4}}+{\ldots }+{{\text{i}}^{2013}}$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 由复数性质可知选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 与圆$${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$$相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$条 
aoVal: B
content: $$3$$条 
aoVal: C
content: $$4$$条 
aoVal: D
content: $$6$$条 
Answer: C
Analysis: 由数形结合可知，与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线分成两类：一类是过原点满足条件的直线有$$2$$条，另一类是斜率为$$-1$$满足条件的直线也有$$2$$条，所以共$$4$$条． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合
竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$均为非零复数，且$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$$，则$$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \omega $$ 
aoVal: C
content: $$1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$ 
Answer: C
Analysis: 令$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=t$$，则  $$a=bt=c{{t}^{2}}=a{{t}^{3}}$$．  由$$a\mathsf{\ne }0$$，知  $${{t}^{3}}=1$$，  因此$$t=1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$．  利用比例性质，知原式等于$$\frac{1}{t}$$．  故当$$t=1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$时，原式分别取$$1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
高二上学期单元测试《代数变形1》自招第9题
1991年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 设$$f(x)$$为定义在区间$$(0,+\infty )$$上的单调函数．若对任意的$$x\in (0,+\infty )$$，均有$$f(f(x)-2{{\log }_{2}}x)=4$$，则不等式$$f(x)\textless{}6$$的解集为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty,2)$$ 
aoVal: B
content: $$(\infty,4)$$ 
aoVal: C
content: $$(0,2)$$ 
aoVal: D
content: $$(0,4)$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设，知存在正常数$$c$$，使得$$f(c)=4$$，且对任意的$$x\in (0,+\infty )$$，  均有$$f(x)-2{{\log }_{x}}x=c$$．  当$$x=c$$时，有$$f(c)=2{{\log }_{2}}c+c=4$$，  由单调性，知此方程只有唯一解$$c=2$$．  于是，$$f(x)=2{{\log }_{x}}x+2$$．  由$$f(x)\textless{}6\Rightarrow 2{{\log }_{2}}x+2\textless{}6\Rightarrow 0\textless{}x\textless{}4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题10分
Problem: 设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7 ,8\right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$49$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: $$S\subseteq A$$，且$$S\cap B\ne \varnothing $$，说明$$S$$是$$A$$的子集，且$$S$$与$$B$$有公共元素；  ∴$$A$$的构成情况为：①含一个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$中选一个元素，个数为$$\text{C}_{3}^{1}=3$$；  ②含两个元素:从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个元素，或从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，从$$4$$，$$56$$选一个，个数为：$$\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{1}=12$$；③含三个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{2}=19$$；  ④含四个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个从$$1$$，$$2$$，$$3$$选一个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选一个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{3}^{3}=15$$；  ⑤含五个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选两个，或从$$4$$，$$5$$，$$6$$选两个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为：$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{3}^{3}=6$$含"6"个元素：从$$4$$，$$5$$，$$6$$选三个，从$$1$$，$$2$$，$$3$$选三个，个数为$$\text{C}_{3}^{3}\text{C}_{3}^{3}=1$$；  ∴集合$$S$$的个数为：$$2+12+19+15+6+1=56$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学校高二下学期周测C卷理科第6题6分
2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设函数$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left( -\infty ,+\infty \right)$$，对于下列（$$1$$）$$\sim $$（$$4$$）的四个命题：  （$$1$$）若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是奇函数；  （$$2$$）若$$f\left( x \right)$$是周期函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是周期函数；  （$$3$$）若$$f\left( x \right)$$是单调递减函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$是单调递增函数；  （$$4$$）若方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=x$$有实根，则方程$$f\left( x \right)=x$$也有实根．  正确的命题共有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: 若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( -x \right) \right)=f\left( -f\left( x \right) \right)=-f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$1$$）对；  若$$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$$，则$$f\left( f\left( x+T \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$2$$）对；  对任意$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$，有$$f\left( {{x}_{1}} \right)\textgreater f\left( {{x}_{2}} \right)$$，则$$f\left( f\left( {{x}_{1}} \right) \right)\textless{}f\left( f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$$，（$$3$$）对；  取$$f\left( x \right)=\begin{cases}1,x=0    0,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+1,其它    \end{cases}$$，则$$f\left( f\left( x \right) \right)=\begin{cases}0,x=0    1,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+2,其它    \end{cases}$$，（$$4$$）错．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数据分析
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性判断
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->利用定义判断函数奇偶性
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->用定义法证明函数的单调性
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
2016年高考真题天津卷
Problem: 已知集合$$A=\left { x\left\textbar{} {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\leqslant 1 \right. \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{x}^{2}}-6x+8\leqslant 0 \right }$$，则$A\cap\overline{B}$．
Options:
aoVal: A
content: $$\left { x\textbar x\leqslant 0 \right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { x\textbar2\leqslant x\leqslant 4 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar0\leqslant x\textless{}2 \right.$$或$$x\textgreater4 }$$ 
aoVal: D
content: $$ {x\textbar0\textless{}x\leqslant 2$$或$$x\geqslant 4 }$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\leqslant 1$$，  解出$$x\geqslant 0$$，即$$A=\left { x\textbar x\geqslant 0 \right }$$．  ∵$${{x}^{2}}-6x+8=(x-2)(x-4)\leqslant 0$$，  解出$$2\leqslant x\leqslant 4$$，即$$B=\left { x\textbar2\leqslant x\leqslant 4 \right }$$，  ∴$${{\complement }_{\mathbf{R}}}B= {x\textbar x\textless{}2$$或$$x\textgreater4 }$$，  ∴$$A\cap ({{\complement }_{\mathbf{R}}}B)=\left { x\textbar0\leqslant x\textless{}2 \right.$$或$$x\textgreater4 }$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数方程和指数不等式
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->补集
Source: 2018~2019学年北京东城区北京市第二中学高一上学期期中第6题5分
2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2017~2018学年10月北京朝阳区北京陈经纶中学高一上学期月考理科第1题5分
Problem: 當$$a=\frac{1}{2}$$时，$$\frac{2a^{-1}+\dfrac{a^{-1}}{2}}{a}$$ 的值為何？  What is the value of $$\frac{2a^{-1}+\dfrac{a^{-1}}{2}}{a}$$ when $$a=\frac{1}{2}$$?
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
aoVal: E
content: $$20$$ 
Answer: D
Analysis: Factorizing the numerator, $$\dfrac{\dfrac{1}{a}\cdot\left( 2+\dfrac{1}{2}\right)}{a}$$ then becomes $$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{a^{2}}$$ which is equal to $$\dfrac{5}{2}\cdot2^{2}$$ which is $$\left(\text{D}\right)10$$. 
Source: 2016年AMC12竞赛B第1题
Problem: 若函数$$f(x)={{\log }_{a}}x(a\textless0$$且$$a\ne 1)$$，满足$$f\left( \frac{2}{a} \right)\textgreater f\left( \frac{3}{a} \right)$$，则$$f\left( 1-\frac{1}{x} \right)\textgreater1$$的解集是．
Options:
aoVal: A
content: $$0\textless{}x\textless{}\frac{1}{a}$$ 
aoVal: B
content: $$0\textless{}x\textless{}\frac{1}{1-a}$$ 
aoVal: C
content: $$1\textless{}x\textless{}\frac{1}{a}$$ 
aoVal: D
content: $$1\textless{}x\textless{}\frac{1}{1-a}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$f\left( \frac{2}{a} \right)={{\log }_{a}}\frac{2}{a}\textgreater f\left( \frac{3}{a} \right)={{\log }_{a}}\frac{3}{a}$$，  得$$0\textless{}a\textless{}1$$．  所以，原不等式等价于不等式$$0\textless{}1-\frac{1}{x}\textless{}a$$．  解此不等式得$$1\textless{}x\textless{}\frac{1}{1-a}$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: $$\triangle ABC$$的三个内角为$$A,B,C$$，若$${{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C=2$$，则$$\cos A+\cos B+2\cos C$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{2}\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{3}\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{6}$$ 
Answer: B
Analysis: $$2={{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}A+\left( 1-{{\cos }^{2}}B \right)+\left( 1-{{\cos }^{2}}C \right)$$，  则$$1-{{\cos }^{2}}C={{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B=\frac{1+\cos 2A}{2}+\frac{1+\cos 2B}{2}$$  $$=1+\cos \left( A+B \right)\cos \left( A-B \right)=1-\cos C\cos \left( A-B \right)$$  所以，$${{\cos }^{2}}C=\cos C\cos \left( A-B \right)$$．  若$$\cos C=0$$，则$$C=90{}^{}\circ $$，$$\cos A+\cos B+2\cos C=\cos A+\sin A\leqslant \sqrt{2}$$；  若$$\cos C\ne 0$$，则$$\cos C=\cos \left( A-B \right)$$，$$C=A-B$$或$$C=B-A$$，得$$A=90{}^{}\circ $$或$$B=90{}^{}\circ $$．  于是，$$\cos A+\cos B+2\cos C=\sin C+2\cos C\leqslant \sqrt{5}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知集合$$M= {2,0,1,9 }$$，$$A$$为$$M$$的子集，且$$A$$中各元素之和为$$3$$的倍数．则满足条件的子集$$A$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 经枚举，各元素之和为$$3$$的倍数的子集有：  $$ {0 }$$、$$ {9 }$$、$$ {2,1 }$$、$$ {0,9 }$$、$$ {2,0,1 }$$、$$ {2,1,9 }$$、$$ {2,0,1,9 }$$，共$$7$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2019年北京高一竞赛初赛（中学生数学竞赛）第1题6分
Problem: 设实数$$a$$、$$b$$、$$c$$满足$$\begin{cases}{{a}^{2}}-bc-8a+7=0    {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc-6a+6=0    \end{cases}$$，那么$$a$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\infty ,+\infty )$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,1)\cup [9,+\infty ]$$ 
aoVal: C
content: $$(0,7)$$ 
aoVal: D
content: $$[1,9]$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\begin{cases}{{a}^{2}}-bc-8a+7=0    {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc-6a+6=0    \end{cases}$$，  得$$\begin{cases}bc={{a}^{2}}-8a+7    {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc=6a-6    \end{cases}$$，  ∴$${{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc=-3({{a}^{2}}-10a+9)$$，  即$${{(b+c)}^{2}}=-3(a-1)(a-9)\mathsf{\geqslant 0}$$，  ∴$$1\mathsf{\leqslant }a\mathsf{\leqslant }9$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式）
竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 对于三位数$$\overline{abc}$$，满足$$\overline{abc}=37\left( a+b+c \right)$$的三位数的个数共有个
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 由题设，$$100a+10b+c=37\left( a+b+c \right)$$，即$$63a=27b+36c$$，则$$7a=3b+4c$$．  $$3\left( a-b \right)=4\left( c-a \right)$$，则$$3\left\textbar{} c-a4\left\textbar{} a-b \right. \right.$$．  ①$$a-b=4$$，$$c-a=3$$，则$$\left( abc \right)=\left( 407 \right)\left( 518 \right)\left( 629 \right)$$；  ②$$a-b=8c-a=6$$，无解；  ③$$a-b=-4c-a=-3$$，则$$\left( abc \right)=\left( 370 \right)\left( 481 \right)\left( 592 \right)$$；  ④$$a-b=0=c-a$$，则$$\left( abc \right)$$有$$9$$种可能．  综上，三位数的个数共有$$3+3+9=15$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->最大公约数和最小公倍数
Source: 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 数列$${{a}_{0}}=134,{{a}_{1}}=150$$，$${{a}_{k+1}}={{a}_{k-1}}-\frac{k}{{{a}_{k}}}\left( k=1,2,\cdots ,n-1 \right)$$，若$${{a}_{n}}=0$$，则$$n$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$201$$ 
aoVal: C
content: $$2017$$ 
aoVal: D
content: $$20101$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设，有$${{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={{a}_{n}}{{a}_{n-1}}-n$$，  于是，$${{a}_{n}}{{a}_{n-1}}={{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}-\left( n-1 \right)$$，  \ldots\ldots{}  $${{a}_{2}}{{a}_{1}}={{a}_{1}}{{a}_{0}}-1$$，  以上式子累加，得$${{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={{a}_{1}}{{a}_{0}}-\frac{n\left( n+1 \right)}{2}=20100-\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$$．  若$${{a}_{n}}=0$$，则$${{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=0$$，解得$$n=201$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 函数$$f(x)=\begin{cases}\sin (\pi{{x}^{2}}),-1\textless{}x\textless{}0    {{\text{e}}^{x-1}},x\geqslant 0 \end{cases}$$若$$f(1)+f(a)=2$$，则$$a$$的所有可能值为（ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$，$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$，$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意知，当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$f(x)=\sin (\pi{{x}^{2}})$$；  当$$x\geqslant 0$$时，$$f(x)={{\text{e}}^{x-1}}$$；  ∴$$f(1)={{\text{e}}^{1-1}}=1$$．  若$$f(1)+f(a)=2$$，则$$f(a)=1$$；  当$$a\geqslant 0$$时，$${{\text{e}}^{a-1}}=1$$，  ∴$$a=1$$；  当$$-1\textless{}a\textless{}0$$时，$$\sin (\pi{{x}^{2}})=1$$，  ∴$${{x}^{2}}=\frac{1}{2}$$，$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$（不满足条件，舍去），或$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$．  所以$$a$$的所有可能值为：$$1$$，$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$．  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数求值问题
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
2005年高考真题山东卷文科第7题5分
2005年高考真题山东卷理科第6题5分
2015~2016学年广东广州越秀区广州市执信中学高三上学期期末理科第5题5分
Problem: 某人从一层上到二层需跨$$10$$个台阶．他一步可能跨$$1$$个台阶，称为一阶步，也可能跨$$2$$个台阶，称为二阶步，最多能跨$$3$$个台阶，称为三阶步．从一层上到二层他总共跨了$$6$$步，而且任何相邻两步均不同阶，那么他从一层到二层可能的不同过程共有．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$10$$个 
aoVal: D
content: $$12$$个 
Answer: C
Analysis: 按题意要求，不难验证这$$6$$步中不可能没有三阶步，也不可能有多于$$1$$个的三阶步，所以只能是$$1$$个三阶步，$$2$$个二阶步，$$3$$个一阶步．  为形象起见，我们以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越$$10$$个台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步．每一过程可表示为$$3$$个白球，$$2$$个黑球，$$1$$个红球的一个同色球不相邻的排列．  情况1：第$$1$$、第$$6$$球均为白球，则两黑球分别位于中间白球的两侧．此时共有$$4$$个黑白球之间的空位放置红球．所以此种情况共有$$4$$种可能的不同排列．  情况2：第$$1$$球不是白球．  （$$1$$）第$$1$$球为红球，则余下$$5$$球只有一种可能的排列；  （$$2$$）第$$1$$球为黑球，则余下$$5$$球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列．  因此此种情况共有$$3$$种不同排列．  情况3：第$$6$$球不是白球，显然这种情况与情况$$2$$对称共有$$3$$种不同排列．  总之，按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10（种）可能的不同过程． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分
Problem: 连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为$$4$$的球的两条弦$$AB$$、$$CD$$的长度分别等于$$2\sqrt{7}$$和$$4\sqrt{3}$$，$$M$$、$$N$$分别为$$AB$$、$$CD$$的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：  ①弦$$AB$$、$$CD$$可能相交于点$$M$$；②弦$$AB$$、$$CD$$可能相交于点$$N$$；  ③$$MN$$的最大值为$$5$$；④$$MN$$的最小值为$$1$$．  其中真命题为．
Options:
aoVal: A
content: ①③④ 
aoVal: B
content: ①②③ 
aoVal: C
content: ①②④ 
aoVal: D
content: ②③④ 
Answer: A
Analysis: 假设$$AB$$、$$CD$$相交于点$$N$$，则$$AB$$、$$CD$$共面，  所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四点共圆，  而过圆的弦$$CD$$的中点$$N$$的弦$$AB$$的长度显然有$$AB\geqslant CD$$，  所以②是错的．  容易证明，当以$$AB$$为直径的圆面与以$$CD$$为直径的圆面平行且在球心两侧时，  $$MN$$最大为５，故③对．  当以$$AB$$为直径的圆面与以$$CD$$为直径的圆面平行且在球心同侧时，  $$MN$$最小为$$1$$，故④对．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 在正方体的$$8$$个顶点，$$12$$条棱的中点，$$6$$个面的中心及正方体的中心共$$27$$个点中，共线的三点组的个数是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$49$$ 
aoVal: C
content: $$43$$ 
aoVal: D
content: $$37$$ 
Answer: B
Analysis: $$8$$个顶点中无$$3$$点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．  （$$1$$）体中心为中点：$$4$$对顶点，$$6$$对棱中点，$$3$$对面中心；共$$13$$组；  （$$2$$）面中心为中点：$$4\times 6=24$$组；  （$$3$$）棱中点为中点：$$12$$个．  共$$13+24+12=49$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
Source: 1998年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分
Problem: 在数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，$${{a}_{1}}=2,{{a}_{2}}=10$$，对所有的正整数$$n$$都有$${{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$$，则$${{a}_{2021}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$-10$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
aoVal: E
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: $${{a}_{n+3}}={{a}_{n+2}}-{{a}_{n+1}}=\left( {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}} \right)-{{a}_{n+1}}=-{{a}_{n}}$$，所以$${{a}_{n+6}}=-{{a}_{n+3}}={{a}_{n}}$$，即$$\left { {{a}_{n}} \right }$$是周期为$$6$$的周期数列．故$${{a}_{2021}}={{a}_{5}}=-{{a}_{2}}=-10$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列
课内体系->知识点->数列->数列的概念->递推数列与递推方法
Source: 2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第4题7分
Problem: 已知$$A$$，$$B$$是抛物线$${{y}^{2}}=8x$$上的两个动点且$$\textbar AB\textbar=16$$，则线段$$AB$$中点$$M$$到直线$$x=-3$$距离的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，  抛物线$${{y}^{2}}=8x$$的线准线$$x=-2$$，  线段$$AB$$中点$$M$$到直线$$x=-3$$距离：  $$S=\left\textbar{} \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right\textbar+3$$  $$=\frac{{{x}_{1}}+2+{{x}_{2}}+2}{2}+1$$  $$=\frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2}+1$$．  （两边之和大于第三边且$$A$$，$$B$$，$$F$$三点共线时取等号）  ∴$$\frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2}+1\geqslant \frac{\textbar AB\textbar}{2}+1=8+1=9$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线中其他最值问题
课内体系->素养->数学运算
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第12题3分
Problem: 已知正方形$ABCD$的边长为1，则$\left\textbar{} \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC} \right\textbar=$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: $\sqrt{6}$ 
aoVal: C
content: $\sqrt{7}$ 
aoVal: D
content: $\sqrt{13}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用向量的线性运算和垂直向量的数量积为0可求题设中向量的模.\\ 【详解】\\ $\left\textbar{} \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\left\textbar{} = \right\textbar2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC} \right\textbar=\sqrt{4{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+9{{\overrightarrow{BC}}^{2}}}=\sqrt{13}$，\\ 故选：D． 
Source: 2022年浙江宁波竞赛第1题
Problem: 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件$$A=$$``抽到一等品''，事件$$B=$$``抽到二等品''，事件$$C=$$``抽到三等品''，且已知$$P\left( A \right)=0.65$$，$$P\left( B \right)=0.2$$， $$P\left( C \right)=0.1$$，则事件``抽到的不是一等品''的概率为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$0.65$$ 
aoVal: B
content: $$0.35$$ 
aoVal: C
content: $$0.3$$ 
aoVal: D
content: $$0.005$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意知本题是求一个对立事件的概率，因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，$$P\left( A \right)=0.65$$，所以抽到的不是一等品的概率是$$1-0.65=0.35$$．  故答案为：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->对立事件的概率和为1
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件与对立事件
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第5题3分