math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 三个内角的度数都是质数的三角形的种数（三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种）是（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 设三角形的三个内角的度数分别为$$x{}^{}\circ $$，$$y{}^{}\circ $$，$$z{}^{}\circ $$．  ∴$$x+y+z=180$$．  ∵$$x$$，$$y$$，$$z$$均为质数，$$180$$为偶数，  而三个奇质数的和为奇数，  ∴其中必然有一个是偶质数$$2$$．  不妨令$$z=2$$，则$$x+y=178$$．  将$$178$$分成两个质数之和如下：  $$178=5+173$$；  $$178=11+167$$；  $$178=29+149$$；  $$178=41+137$$；  $$178=47+131$$；  $$178=71+107$$；  $$178=89+89$$．  ∴满足条件的三角形有$$7$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 已知$$x$$，$$y$$，$$m$$，$$n$$为有理数，若$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=8$$，则$$xy+mn$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 有最小值$$4$$ 
aoVal: B
content: 有最大值$$4$$ 
aoVal: C
content: 有最小值$$8$$ 
aoVal: D
content: 有最大值$$8$$ 
Answer: D
Analysis: 方法一：∵$$2xy\leqslant {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8$$，  ∴$$xy\leqslant 4$$；  同理，$$mn\leqslant 4$$．  故$$xy+mn$$有最大值$$8$$．  方法二：  因为$${{(x-y)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\geqslant 0$$，所以$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\geqslant 2xy$$，①  因为$${{(m-n)}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}-2mn\geqslant 0$$，所以$${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\geqslant 2mn$$，②  ①$$+$$②，得$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\geqslant 2mn+2xy$$，③  把$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=8$$代入③，得$$16\geqslant 2(xy+mn)$$，即$$xy+mn\leqslant 8$$．  当$$x=m=y=n=2$$时，$$2\times 2+2\times 2=8$$，即可达到$$8$$．即$$xy+mn$$有最大值为$$8$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->方法->配方法
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第6题
Problem: 若$${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2020$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2022$$ 
aoVal: B
content: $$2020$$ 
aoVal: C
content: $$-2020$$ 
aoVal: D
content: $$-2022$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{2}}+x=2$$，  ∴$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$  $$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x-2x+2020$$  $$=x\left( {{x}^{2}}+x \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)-2x+2020$$  $$=2x+2-2x+2020$$  $$=2021$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整式加减条件化简求值
知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$均不为$$0$$，若$$\frac{x-y}{a}=\frac{y-z}{b}=\frac{z-x}{c}=abc ~\textless{} ~0$$，则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: A
Analysis: ∵$$abc \textless{} 0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若``$$\frac{x-y}{a}=abc$$，则$$x-y=a^{2}bc\textgreater0$$，即$$x \textgreater y$$，同理可得：$$y \textgreater z$$，$$z \textgreater x$$这三个式子不能同时成立，即$$a$$，$$b$$，$$c$$不能同时是负数．则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在第一象限．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
课内体系->方法->整体法
课内体系->思想->整体思想
Source: 2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第5题4分
2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第5题4分
Problem: 已知三个关于$$x$$的一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$，$$b{{x}^{2}}+cx+a=0$$，$$c{{x}^{2}}+ax+b=0$$恰有一个公共实数根，则$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$的值为（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: ~设$${{x}_{0}}$$是它们的一个公共实数根，  则$$ax_{0}^{2}+b{{x}_{0}}+c=0$$，$$bx_{0}^{2}+c{{x}_{0}}+a=0$$，$$cx_{0}^{2}+a{{x}_{0}}+b=0$$．  把上面三个式子相加，并整理得  $$(a+b+c)(x_{0}^{2}+{{x}_{0}}+1)=0$$．  因为$$x_{0}^{2}+{{x}_{0}}+1={{\left( {{x}_{0}}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\textgreater0$$，  所以$$a+b+c=0$$．  于是$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}-{{(a+b)}^{3}}}{abc}$$  $$=\frac{-3ab(a+b)}{abc}$$  $$=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
Source: 初三上学期其它
2007年竞赛第4题6分
Problem: 一个角的补角的一半比这个角的余角的$$2$$倍小$$3{}^{}\circ$$，那么这个角等于．
Options:
aoVal: A
content: $$58{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$59{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$61{}^{}\circ $$ 
Answer: A
Analysis: 设这个角为$$x{}^{}\circ $$，列方程得$$\frac{180-x}{2}=2(90-x)-3$$，  解得$$x=58$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形
课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->余角和补角
Source: 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学初一上学期期中第8题3分
1996年第7届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 关于$$x$$的方程$$\left\textbar{} \frac{{{x}^{2}}}{x-1} \right\textbar=a$$仅有两个不同的实根．则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 4$$ 
aoVal: C
content: $$2\textless{}a\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}a\textless{}4$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$a\textless{}0$$时，无解；  当$$a=0$$时，$$x=0$$只有一解，不合题意；  当$$a\textgreater0$$时，原方程化为$$\frac{{{x}^{2}}}{x-1}=\pm a$$，整理得  $${{x}^{2}}-ax+a=0$$ ①  或$${{x}^{2}}+ax-a=0$$．②  因为方程②的判别式大于$$0$$，所以方程②有两个不同实根；  又因为原方程仅有两个不同的实根，故必有方程①的判别式小于$$0$$，从而$$0\textless{}a\textless{}4$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 初三上学期其它
2018年全国竞赛
Problem: 若$$x-y=2$$，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$，则$${{x}^{1992}}+{{y}^{1992}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $${{1992}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{1992}}$$ 
aoVal: D
content: $${{4}^{1992}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$x-y=2$$,平方得$${{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}=4$$．  又已知$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$，  两式相减得$$2xy=0$$，∴$$xy=0$$．  所以$$x$$，$$y$$中至少有一个为$$0$$，但$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$．  因此，$$x$$，$$y$$中只能有一个为$$0$$，另一个为$$2$$或$$-2$$．  无论哪种情况，都有$${{x}^{1992}}+{{y}^{1992}}={{0}^{1992}}+{{(\pm 2)}^{1992}}={{2}^{1992}}$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 设$$m=\frac{a+2}{a+3}$$，$$n=\frac{a+1}{a+2}$$，$$p=\frac{a}{a+1}$$，若$$a\textless-3$$，则（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$m\textless{n}\textless{p}$$ 
aoVal: B
content: $$n\textless{p}\textless{m}$$ 
aoVal: C
content: $${p}\textless{n}\textless{m}$$ 
aoVal: D
content: $$p\textless{m}\textless{n}$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a\textless-3$$，令$$a=-4$$，  ∴$$m=2$$，$$n=\frac{3}{2}$$，$$p=\frac{4}{3}$$，  ∵$$\frac{4}{3}\textless\frac{3}{2}\textless2$$ ，  ∴$${p}\textless{n}\textless{m}$$． 
<p>因为$$\frac{a+2}{a+3}=1-\frac{1}{a+3}$$，$$\frac{a+1}{a+2}=1-\frac{1}{a+2}$$，$$\frac{a}{a+1}=1-\frac{1}{a+1}$$．</p>
<p>又$$a+1&lt;{}a+2&lt;{}a+3&lt;{}0$$，</p>
<p>可得$$0&lt;{}-\left( a+3 \right)&lt;{}-\left( a+2 \right)&lt;{}-\left( a+1 \right)$$，</p>
<p>所以$$-\frac{1}{a+1}&lt;{}-\frac{1}{a+2}&lt;{}-\frac{1}{a+3}$$，</p>
<p>所以$$\frac{a}{a+1}&lt;{}\frac{a+1}{a+2}&lt;{}\frac{a+2}{a+3}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式比较大小
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第4题4分
北京其它
Problem: 已知关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}mx+ny=7    2mx-3ny=4    \end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=1    y=2    \end{cases}$$，则$$m$$，$$n$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\begin{cases}m=5    n=1    \end{cases}$$ 
aoVal: B
content: $$\begin{cases}m=1    n=5    \end{cases}$$ 
aoVal: C
content: $$\begin{cases}m=3    n=2    \end{cases}$$ 
aoVal: D
content: $$\begin{cases}m=2    n=3    \end{cases}$$ 
Answer: A
Analysis: 关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}mx+ny=7    2mx-3ny=4    \end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=1    y=2    \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}m+2n=7    2m-6n=4    \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}m=5    n=1    \end{cases}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->由二元一次方程组的解求参数的值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第4题4分
2019~2020学年广东深圳福田区深圳外国语学校初二上学期期末第6题3分
2018~2019学年四川内江初一下学期期末第7题4分
Problem: 若$$y$$是正数，且$$x+y\textless{}0$$，则在下列结论中，错误的一个是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{3}}y\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$ 
aoVal: C
content: $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$y\textgreater0$$，若$$x\geqslant 0$$则$$x+y\textgreater0$$，与$$x+y\textless{}0$$矛盾．  所以由$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$必有$$x\textless{}0$$．  因此，$${{x}^{3}}\textless{}0$$，$${{x}^{3}}y\textless{}0$$，即$$\text{A}$$是错误的．  事实上，$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$，即$$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$，$$\text{B}$$成立．  $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$，$$\text{C}$$成立．$$x\textless{}0$$，$${{y}^{2}}\textgreater0$$，$$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$，$$\text{D}$$成立．因此，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
2017~2018学年10月江苏扬州高邮市高邮市南海中学初一上学期月考第6题3分
2019~2020学年10月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第10题3分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$代表有理数，并且$$a+b$$的值大于$$a-b$$的值，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$，$$b$$同号 
aoVal: B
content: $$a$$，$$b$$异号 
aoVal: C
content: $$a\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$b\textgreater0$$ 
Answer: D
Analysis: 由于$$a+b\textgreater{}a-b$$，则$$b\textgreater-b$$，所以$$2b\textgreater0$$，所以$$b\textgreater0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第4题
2018~2019学年10月吉林长春南关区东北师范大学附属中学（明珠校区）初一上学期周测C卷第7题3分
Problem: 已知$$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\ne 0$$，则$$\frac{c-a}{b}$$的值为（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$k=\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\ne 0$$，由此得到$$a=3k$$，$$b=4k$$，$$c=5k$$  ∴$$\frac{c-a}{b}$$  $$=\frac{5k-3k}{4k}$$  $$=\frac{1}{2}$$，故$$\text{B}$$正确．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例的综合应用
课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例线段的性质
Source: 2017年河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三竞赛第1题3分
Problem: 已知实数$$a$$，$$b$$满足条件：$${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-a+4b+\frac{5}{4}=0$$，那么$$-ab$$的平方根是．
Options:
aoVal: A
content: $$\pm 2$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$\pm \frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-a+4b+\frac{5}{4}=0$$，  所以$${{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(2b+1)}^{2}}=0$$，  因为$${{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(2b+1)}^{2}}\geqslant 0$$，  所以$$a=\frac{1}{2}$$，$$b=-\frac{1}{2}$$，  所以$$-ab=\frac{1}{4}$$，  所以$$\frac{1}{4}$$的平方根是$$\pm \frac{1}{2}$$．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 若$a\textless{} 0$，$b\textgreater0$，则\emph{b}、$b+a$、$b-a$、\emph{ab}中最大的一个数是
Options:
aoVal: A
content: \emph{b} 
aoVal: B
content: $b+a$ 
aoVal: C
content: $b-a$ 
aoVal: D
content: \emph{ab} 
Answer: C
Analysis: 解：∵$a\textless0，b\textgreater0，$  $\therefore$$ab\textless0\textless b﹣a，$  故$b+a\textless b，b﹣a\textgreater b，$  ∴$b+a\textless b\textless b﹣a．$  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 2022~2023学年福建漳州龙海市初一上学期期中（阶段性评价）第6题
2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第3题
2021~2022学年福建厦门思明区厦门外国语学校初一上学期期中第6题
2022~2023学年广东广州增城区初一上学期期中（测试）第6题
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 某人月初用$$x$$元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加$$\frac{1}{3}$$，即使他每月末都取出$$1000$$元用于日常开销，他的资金仍然在$$3$$个月后增长了一倍，那么$$x$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$9000$$ 
aoVal: B
content: $$10000$$ 
aoVal: C
content: $$11000$$ 
aoVal: D
content: $$11100$$ 
Answer: D
Analysis: 一个月后，他的资金为$$\frac{4}{3}x-1000$$，  两个月后，他的资金为$$\frac{4}{3}\left( \frac{4}{3}x-1000 \right)-1000=\frac{16}{9}x-\frac{7000}{3}$$，  三个月后，他的资金为$$\frac{4}{3}\left( \frac{16}{9}x-\frac{7000}{3} \right)-1000=\frac{64}{27}x-\frac{37000}{9}$$，  由题设，得$$\frac{64}{27}x-\frac{37000}{9}=2x$$，  解得$$x=11100$$．  选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-其它
课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->方程思想
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第9题4分
Problem: $$\triangle ABC$$的内角分别为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$，若$$\angle 1=\angle A+\angle B$$，$$\angle 2=\angle B+\angle C$$，$$\angle 3=\angle A+\angle C$$，则$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中．
Options:
aoVal: A
content: 至少有一个锐角 
aoVal: B
content: 三个都是钝角 
aoVal: C
content: 至少有两个钝角 
aoVal: D
content: 可以有两个直角 
Answer: C
Analysis: 因为三角形的内角中至少有$$2$$个锐角，  而$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$是三角形的三个外角，  所以$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中至少有两个钝角． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: 计算：$$41.7-32.8=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$74.5$$ 
aoVal: B
content: $$9.1$$ 
aoVal: C
content: $$11.1$$ 
aoVal: D
content: $$8.9$$ 
Answer: D
Analysis: $$41.7-32.8=41.7-32.7-0.1=9.0-0.1=8.9$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1979年竞赛第1题
Problem: $$a$$是有理数，则$$\frac{11}{a+2000}$$的值不能是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-2000$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a$$是有理数，  ∴不论$$a$$取任何有理数$$\frac{11}{a+2000}$$的值永远不会是$$0$$．  ∴选$$\text{C}$$．  但要注意当选$$\text{D}$$时，$$\frac{11}{a+2000}$$这个式子本身无意义，  ∴不能选$$\text{D}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2019~2020学年10月北京朝阳区北京十七中初一上学期月考第9题3分
2019~2020学年9月浙江杭州下城区杭州观成中学初一上学期月考第20题4分
2000年第11届希望杯初一竞赛第2题
Problem: 如果关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}+kx+\frac{3}{4}{{k}^{2}}-3k+\frac{9}{2}=0$$的两个实数根分别为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，那么$$\frac{{{x}_{1}}^{2011}}{{{x}_{2}}^{2012}}$$的值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $-\frac{1}{3}$ 
aoVal: B
content: $-\frac{2}{3}$ 
aoVal: C
content: $-\frac{4}{3}$ 
aoVal: D
content: $-\frac{5}{3}$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意可得  ∵方程有实数根，  ∴$$\Delta ={{b}^{2}}-4ac\geqslant 0$$，  即$${{k}^{2}}-4\left( \frac{3}{4}{{k}^{2}}-3k+\frac{9}{2} \right)\geqslant 0$$，  ∴$$-2{{(k-3)}^{2}}\geqslant 0$$，  ∵$${{(k-3)}^{2}}\leqslant 0$$，  ∴$$k-3=0$$，  即$$k=3$$，  ∴原方程为：$${{x}^{2}}+3x+\frac{9}{4}=0$$，  ∴$${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{3}{2}$$，  ∴$$\frac{x_{1}^{2011}}{x_{2}^{2012}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2011}}\cdot \frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{{{x}_{2}}}=-\frac{2}{3}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式->题型：判断一元二次方程根的情况
知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式->题型：由一元二次方程根的情况确定参数
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2012年竞赛第8题4分
2019~2020学年陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学初三上学期开学考试第17题3分
Problem: 甲、乙两种茶叶，以$$x:y$$ （重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤$$50$$元，乙种茶叶的价格每公斤$$40$$元，现在甲种茶叶的价格上调了$$10 \%$$，乙种茶叶的价格下调了$$10 \%$$，但混合茶的价格不变，则$$x:y$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$1:1$$ 
aoVal: B
content: $$5:4$$ 
aoVal: C
content: $$4:5$$ 
aoVal: D
content: $$5:6$$ 
Answer: C
Analysis: $$50x+40y=50(1+10 \%)x+40(1-10 \%)y$$，  化简后得到$$\frac{x}{y}=\frac{4}{5}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的经济问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第10题
2018~2019学年3月江苏扬州广陵区扬州市树人中学初一下学期月考（2+4学制）第6题
Problem: 化简：$$\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$a=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$$，  则$${{a}^{2}}=4+\sqrt{7}-2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}+4-\sqrt{7}=2$$，  于是$$\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}=$\sqrt{2}$$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分
Problem: 吉米在前两场篮球赛中$$20$$投$$10$$进，从而让他的赛季命中率为$$50 \%$$．在他的下场比赛中，他投了$$30$$次篮，使得赛季命中率提高到了$$70 \%$$．这$$30$$次投篮中他命中了几次？
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$23$$ 
aoVal: E
content: $$25$$ 
Answer: E
Analysis: 在三场比赛中，他投了$$50$$次，其中他的赛季得分是$$70 \%$$，  所以他投中了$$50\times 0.7=35$$球．  前两场中投了$$10$$球，所以在最后一场中他投了$$35-10=25$$球．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 美国amc8->知识点->数与运算->比和比例->比例
Source: 1987年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 现定义一种新运算：$$a\otimes b={{b}^{2}}-ab$$，如：$$1\otimes 2={{2}^{2}}-1\times 2$$，则$$(-2\otimes 1)\otimes 3$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a\otimes b={{b}^{2}}-ab$$，  $$-2\otimes 1={{1}^{2}}-\left( -2 \right)\times 1=1-\left( -2 \right)=3$$，  $$3\otimes 3={{3}^{2}}-3\times 3=9-9=0$$，  故$$(-2\otimes 1)\otimes 3=0$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第10题3分
Problem: 已知两位数$$\overline{ab}$$能够被$$3$$整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字，这样的两位数共有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$4$$个 
aoVal: D
content: $$5$$个 
Answer: C
Analysis: 由题意知$$ab=b$$，  所以$$b(a-1)=0$$，  解得$$a=1$$或$$b=0$$，  当$$a=1$$时，只有$$b=5$$符合题意，  当$$b=0$$时，$$a=3$$，$$6$$或$$9$$均符合题意，  所以，符合题意的两位数有$$4$$个，即$$15$$，$$30$$，$$60$$，$$90$$．  故选($$\text{C}$$)． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第8题4分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$都代表有理数，并且$$a+b=0$$，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$，$$b$$都是$$0$$ 
aoVal: B
content: $$a$$，$$b$$之一是$$0$$ 
aoVal: C
content: $$a$$，$$b$$互为相反数 
aoVal: D
content: $$a$$，$$b$$互为倒数 
Answer: C
Analysis: 令$$a=2$$，$$b=-2$$，满足$$2+(-2)=0$$，由此可排出$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，$$\text{D}$$．  事实上，$$a+b=0\Rightarrow a=-b$$，表明$$a$$，$$b$$互为相反数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第1题
Problem: 设关于$$x$$的方程$$a{{x}^{2}}+\left( a+2 \right)x+9a=0$$有两个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$、$${{x}_{2}}$$，且$${{x}_{1}}\textless1\textless{{x}_{2}}$$，则$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{2}{7}\textless{}a\textless\frac{2}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater\frac{2}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless-\frac{2}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{2}{11}\textless{}a\textless0$$ 
Answer: D
Analysis: 由于方程有两个不相等的实根，故$$a\ne 0$$，  原方程可变形为$${{x}^{2}}+\left( 1+\frac{2}{a} \right)x+9=0$$，  记$$y={{x}^{2}}+\left( 1+\frac{2}{a} \right)x+9$$，  则这个抛物线开口向上，  因$${{x}_{1}}\textless{}1\textless{}{{x}_{2}}$$，  故当$$x=1$$时，$$y\textless{}0$$，即$$1+\left( 1+\frac{2}{a} \right)+9\textless{}0$$，  解得$$-\frac{2}{11}\textless{}a\textless{}0$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 2002年竞赛第5题5分
Problem: 设$$p$$，$$q$$均为大于$$3$$的素数，则使$${{p}^{2}}+5pq+4{{q}^{2}}$$为完全平方数的素数对$$(p,q)$$的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 设$${{p}^{2}}+5pq+4{{q}^{2}}={{m}^{2}}$$ ($$m$$为自然数)，则$${{(p+2q)}^{2}}+pq={{m}^{2}}$$，即  $$(m-p-2q)(m+p+2q)=pq$$．  由于$$pq$$为素数，且$$m+p+2q\textgreater p$$，$$m+p+2q\textgreater q$$，  所以$$m-p-2q=1$$，$$m+p+2q=pq$$，  从而$$pq-2p-4q-1=0$$，即$$(p-4)(q-2)=9$$，  所以，$$(p,q)=(5,11)$$或$$(7,5)$$．  所以，满足条件的素数对$$(p,q)$$的个数为$$2$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
Source: 2018年全国初中数学联赛竞赛A卷
Problem: 已知$$a\textgreater b\textgreater0$$，则有．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b\textgreater1$$ 
aoVal: B
content: $$ab\textgreater1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{a}{b}\textgreater1$$ 
aoVal: D
content: $$a-b\textgreater1$$ 
Answer: C
Analysis: 用特殊值法，不妨设$$a=0.4$$，$$b=0.2$$，则$$a+b=0.6 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{A}$$）；  $$ab=0.08 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{B}$$）；  $$a-b=0.4-0.2=0.2 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{D}$$），所以应选（$$\text{C}$$）．  事实上，$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$，且$$a\textgreater b$$，所以$$\frac{a}{b}\textgreater1$$成立．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第1题
Problem: 在$$-\left( -8 \right)$$，$${{\left( -1 \right)}^{2000}}$$，$$-{{3}^{2}}$$，$$\left\textbar{} -1 \right\textbar$$，$$-\left\textbar{} -3 \right\textbar$$中，负数共有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$1$$个 
Answer: C
Analysis: $$-\left( -8 \right)=8$$，$${{\left( -1 \right)}^{2000}}=1$$，$$-{{3}^{2}}=-9$$，$$\left\textbar{} -1 \right\textbar=1$$，$$-\left\textbar{} -3 \right\textbar=-3$$，  所以负数有$$-{{3}^{2}}$$和$$-\left\textbar{} -3 \right\textbar$$，共$$2$$个，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第2题3分
Problem: 若$${{x}_{1}},{{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$的两个根，且$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，则$$m$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$或$$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-2$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: D
Analysis: 根据韦达定理，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1$$．  $${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，  ∴$$2m=1-({{m}^{2}}-m-1)$$，  解得$$m=-2$$或$$1$$，  而$$\Delta =4{{m}^{2}}-4({{m}^{2}}-m-1)\geqslant0$$，  ∴$$m\textgreater-1$$．  ∵$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$两个根，  ∴$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m$$，$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1$$．  ∵$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，  ∴$$2m=1-({{m}^{2}}-m-1)$$，即$${{m}^{2}}+m-2=0$$，  解得：$${{m}_{1}}=-2$$，$${{m}_{2}}=1$$．  ∵方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$有实数根，  ∴$$\Delta ={{(-2m)}^{2}}-4({{m}^{2}}-m-1)=4m+4\geqslant 0$$，  解得：$$m\geqslant -1$$．  ∴$$m=1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 2018年山东淄博临淄区初三一模第6题4分
2018年陕西西安灞桥区西安铁一中东城滨河中学初三四模第6题3分
2017~2018学年广东东莞市万江区翰林实验学校初三上学期期中第6题3分
2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第2题5分
2018~2019学年山东济宁曲阜市初三上学期期中第7题3分
2018~2019学年山东济宁曲阜市曲阜市实验中学初三上学期期中第7题3分
2017~2018学年山东临沂蒙阴县初三上学期期末第6题3分
2019~2020学年9月四川达州渠县四川省渠县中学初三上学期月考第8题3分
Problem: 仔细观察一列数中的前五个数：$$0$$，$$9$$，$$26$$，$$65$$，$$124$$，则根据规律，第六个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$186$$ 
aoVal: B
content: $$215$$ 
aoVal: C
content: $$216$$ 
aoVal: D
content: $$217$$ 
Answer: D
Analysis: 规律为$${{1}^{3}}-1$$，$${{2}^{3}}+1$$，$${{3}^{3}}-1$$，$${{4}^{3}}+1$$，$${{5}^{3}}-1$$，$${{6}^{3}}+1$$，  ∴$${{6}^{3}}+1=217$$．  故$$\text{ABC}$$错误，$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-其他数列规律
Source: 2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第7题4分
Problem: 下列命题中，正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 如果三角形三个内角的度数比是$$3:4:5$$，那么这个三角形是直角三角形 
aoVal: B
content: 如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，那么斜边的长是$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: 如果三角形三条边长的比是$$1:2:3$$，那么这个三角形是直角三角形 
aoVal: D
content: 如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，斜边长是$$c$$，那么斜边上的高的长是$$\frac{ab}{c}$$ 
Answer: D
Analysis: 如果三角形三个内角的度数比是$$3:4:5$$，可得这个三角形三个内角的度数分别是$$45{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$75{}^{}\circ $$，因此这个三角形不是直角三角形，$$\text{A}$$选项错误；  如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，那么斜边的长是$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$，$$\text{B}$$选项错误；  长度比是$$1:2:3$$的三条线段不能构成三角形，$$\text{C}$$选项错误；  如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，斜边长是$$c$$，  设斜边上的高的长是$$h$$，  由三角形的面积公式知$$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$$，得$$h=\frac{ab}{c}$$，$$\text{D}$$选项正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的逆定理
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第6题4分
Problem: $$\triangle ABC$$的三边长为$$a$$，$$b$$，$$c$$，满足条件$$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$$，则$$b$$边所对的角$$B$$的大小是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角 
aoVal: B
content: 直角 
aoVal: C
content: 钝角 
aoVal: D
content: 锐角、直角、钝角都有可能 
Answer: A
Analysis: 若$$a\geqslant c$$，则$$\frac{1}{a}\leqslant \frac{1}{c}$$，  所以$$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a}$$，  所以$$b\leqslant a$$，  所以$$\angle B\leqslant \angle A$$，$$\angle B$$为锐角，  同理，若$$a\leqslant c$$，可知$$b\leqslant c$$，  所以$$\angle B\leqslant \angle C$$，$$\angle B$$为锐角，  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第4题