math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 有$$14$$名选手参加赛跑，选手的编号从$$1$$号开始连续编排．除了小明外，其它$$13$$名选手的号码之总和恰好是$$100$$．请问小明的号码是什么？ 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
aoVal: E
content: $$17$$ 
Answer: A
Analysis: 从$$1$$号到$$14$$号选手号码成等差数列，那么$$1$$号到$$14$$号的总和是$$(1+14)\times 14\div 2=105$$，则小明号码：$$105-100=5$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列的概念
Source: 2013年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分
Problem: 在$$2000$$、$$2001$$、$$2002\cdots \cdots 2017$$这$$18$$个连续自然数中，能表示为两个自然数平方之差的数有（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: $${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( ~a-b \right)$$，考虑奇偶性则该数应为一个奇数或者$$4$$的倍数，而$$2000-2017$$之间，$$2002$$、$$2006$$、$$2010$$、$$2014$$不满足，则共有$$18-4=14$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的简单应用
Source: 2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第4题4分
Problem: 设a是一个满足下列条件的最大的正整数:使得a除64的余数是4，用a除155的余数是5，用a除187的余数是7.则$$a=$$(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 10 
aoVal: B
content: 15 
aoVal: C
content: 30 
aoVal: D
content: 60 
Answer: C
Analysis: $$a\left\textbar{} 60 \right.$$，$$a\left\textbar{} 150 \right.$$，$$a\left\textbar{} 180 \right.$$，$$\left( 60，150，180 \right)=30$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数的可加性
Source: 2011年五年级竞赛创新杯
Problem: 两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是$$21:16$$，它们同时开始燃烧，$$18$$分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比是$$15:11$$，则较长的那根蜡烛还能燃烧~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$140$$ 
aoVal: E
content: $$150$$ 
Answer: E
Analysis: 差不变问题，化连比：$$21-16=5$$，$$15-11=4$$，$$21:16=\left( 21\times 4 \right):\left( 16\times 4 \right)=84:64$$；  $$15:11=\left( 15\times 5 \right):\left( 11\times 5 \right)=75:55$$．$$84-75=9$$，$$18\div 9=2$$（分钟）  $$75\times 2=150$$（分钟）. 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2016年全国希望杯六年级竞赛复赛第12题5分
Problem: $$42$$的因数共有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: $$42=2\times 3\times 7$$，$$(1+1)\times (1+1)\times (1+1)=8$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数
Source: 2018年湖北武汉新希望杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第2题
Problem: 水池$$A$$和$$B$$同为长$$3$$米，宽$$2$$米，深$$1.2$$米的长方体。$$1$$号阀门用来向$$A$$池注水，$$18$$分钟可将无水的$$A$$池注满；$$2$$号阀门用来从$$A$$池向$$B$$池放水，$$24$$分钟可将$$A$$池中满池水放入$$B$$池。若同时打开$$1$$号和$$2$$号阀门，那么当$$A$$池水深$$0.4$$米时，$$B$$池有(  )立方米的水。 
Options:
aoVal: A
content: $$0.9$$ 
aoVal: B
content: $$1.8$$ 
aoVal: C
content: $$3.6$$ 
aoVal: D
content: $$7.2$$ 
Answer: D
Analysis: 解：设水池$$A$$和$$B$$的容积为``$$1$$''，  同时打开$$1$$号和$$2$$号阀门，则$$A$$池每分钟进水效率为：$$\frac{\text{1}}{\text{18}}-\frac{1}{24}=\frac{1}{72}$$，  $$A$$池水深$$0.4$$米，则$$A$$池进水：$$0.4\div 1.2=\frac{1}{3}$$，  需要时间：$$\frac{1}{3}\div \frac{1}{72}=24$$（分钟），  $$B$$池进水：$$24\times \frac{1}{24}=1$$，  所以$$B$$池有水：$$3\times 2\times 1.2=7.2$$（立方米）。  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->进水与排水问题
Source: 2013年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 相传有个人不讲究说话艺术常引起误会．一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：``怎么该来的还不来呢?''客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了，他一看十分着急，又说：``不该走的倒走了！''剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩下的三分之二的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：``我说的不是他们．''于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道刚开始来了位客人吗？ 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: 可以设原来有$$x$$人，第一批走了$$\frac{1}{2}x$$，第二批走了$$\frac{2}{3}\left( x-\frac{1}{2}x \right)$$，剩下四人，以人数为等量关系可列方程求解．  解：设原来有$$x$$人，  $$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}\left( x-\frac{1}{2}x \right)+4\&=\&x   x\&=\&24\end{eqnarray}$$  ∴开始来了$$24$$个客人．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->符号代换->代数运算
Source: 2021年第4届山东青岛市南区京山杯六年级竞赛决赛A卷第2题4分
Problem: 请问下面哪一项叙述一定是正确的？ 
Options:
aoVal: A
content: 几个奇数之和一定是奇数 
aoVal: B
content: 一个偶数加上一个奇数结果为偶数 
aoVal: C
content: 两个质数之和一定是偶数 
aoVal: D
content: 两个奇数之和一定是合数 
aoVal: E
content: 连续三个正整数中一定有一个数能被$$3$$整除 
Answer: E
Analysis: $$\text{A}$$：$$1+3=4$$×  $$\text{B}$$：$$2+3=5$$×  $$\text{C}$$：$$2+3=5$$×  $$\text{D}$$：$$1+1=2$$×． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的认识
Source: 2013年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分
Problem: 在$$1$$，$$2$$，$$3\cdots$$，$$50$$中，任取$$10$$个连续的数，则其中恰有$$3$$个质数的概率是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{15}{41}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{18}{41}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{20}{41}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{22}{41}$$ 
Answer: D
Analysis: 在$$1$$至$$50$$的数中共有$$15$$个质数，任意连续的$$10$$个数排列的共有$$41$$种情况（以$$1---9$$为开始，$$41---50$$结束），那么列举其中的$$3$$个质数的组合分别为：$$6---15$$，$$7---16$$，$$8---17$$，$$9---18$$，$$12---21$$，$$13---22$$，$$14---23$$，$$15---24$$，$$16---25$$，$$17---26$$，$$22---31$$，$$23---32$$，$$28---37$$，$$29---38$$，$$34---43$$，$$35---44$$，$$36---45$$，$$37---46$$，$$38---47$$，$$39---48$$，$$40---49$$，$$41---50$$，共$$22$$组三个质数的连续$$10$$个数．所以概率为$$\frac{22}{41}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 其它改编自2014年全国希望杯六年级竞赛初赛第20题
Problem: 在一次数学考试中，已知每个同学的分数都是整数，最高分为$$90$$分，老师随便挑选出$$4$$人，他们的得分各不相同，且平均分为$$87$$分，那么这$$4$$位同学中分数最低的那一位至少得~\uline{~~~~~~~~~~}~分． 
Options:
aoVal: A
content: $$81$$ 
aoVal: B
content: $$83$$ 
aoVal: C
content: $$79$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意分析可知，  设这四个人为$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$，$$4$$个人的平均分为$$87$$分，  则四个人的总分为：$$87\times 4=348$$（分），  分数各不相同且为整数，  所以假设$$A$$：$$90$$分，$$B$$：$$89$$分，$$C$$：$$88$$分，  则最低分为$$348-90-89-88=81$$（分）．  故答案为：$$81$$分． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->平均数最值
Source: 2020年第25届YMO五年级竞赛决赛第9题
Problem: 下列哪一个算式最适合估计$$4.9\div \frac{1}{4}-6\frac{11}{12}$$的值？（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$5\div 4-6$$ 
aoVal: B
content: $$5\times 4-7$$ 
aoVal: C
content: $$5\div 4-7$$ 
aoVal: D
content: $$5\times 4-6$$ 
Answer: B
Analysis: 把$$4.9$$看作$$5$$，$$6\frac{11}{12}$$看作$$7$$，所以$$4.9\div \frac{1}{4}-6\frac{11}{12}\approx 5\times 4-7$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第六套第3题4分
Problem: 甲乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的$$1/3$$时，乙加工了$$50$$个零件，甲完成$$3/5$$时乙完成了一半．这批零件共有（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$360$$ 
aoVal: B
content: $$420$$ 
aoVal: C
content: $$600$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: 甲完成$$2/3$$时乙完成了一半，则有甲完成任务的$$1/3$$时，乙应该完成任务的$$\left( 1/2 \right)/2=1/4$$，即是$$45$$个．所以，零件共有：$$45/\left( 1/4 \right)*2=360$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）
Problem: 往浓度为$$10 \%$$，质量为$$400$$克的糖水中加入克水，就可以得到浓度为$$8 \%$$的糖水． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$110$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
Answer: B
Analysis: 浓度问题，$$400\times 10 \%\div 8 \%-400=100\text{g}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->浓度基本题型->已知溶液溶剂求溶质
Source: 六年级其它
2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟12第3题3分
2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第9题2分
2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第9题2分
2018~2019学年四川成都双流区四川师范大学附属圣菲小学六年级上学期开学考试第3题3分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$是非$$0$$自然数，已知$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，那么$$\frac{1}{a}$$，$$\frac{1}{b}$$，$$\frac{1}{c}$$，$$\frac{1}{d}$$中最小的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{a}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{b}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{c}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{d}$$ 
Answer: A
Analysis: $$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$都是非零自然数，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，  利用：分子相同，分母越大，分数越小，  可知：$$\frac{1}{a}\textless\frac{1}{b}\textless\frac{1}{c}\textless\frac{1}{d}$$，  所以$$\frac{1}{a}$$最小．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第21题2分
小学高年级五年级下学期其它
Problem: 盒子中原来有$$4$$个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成$$9$$个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成$$9$$个小球放回盒中；如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2020$$ 
aoVal: B
content: $$2019$$ 
aoVal: C
content: $$2018$$ 
aoVal: D
content: $$2017$$ 
Answer: B
Analysis: 每取出$$1$$个，盒中就增加$$6$$个，有$$7+6n=2017$$，∴$$n=335$$．  而$$\rm A$$中，$$7+6n=2018$$，$$\rm C$$中$$7+6n=2016$$，$$\text{D}$$中$$7+6n=2015$$，$$n$$都不为整数． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->随机现象->随机现象的可能性
Source: 2017年陕西西安小升初某工大附中
2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初（二）第3题3分
2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初(十)第3题3分
2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第4题
2018年陕西西安小升初分类卷15第5题
Problem: 个位数字与十位数字不同的两位数共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$82$$ 
aoVal: C
content: $$81$$ 
aoVal: D
content: $$80$$ 
aoVal: E
content: $$79$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意分析可知，个数数字与十位数字相同的两位数有$$10$$个，两位数一共有$$91$$个，  由此可知，个位数字与十位数字不同的两位数有$$91-10=81$$（个）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数感认知->整数数字加工
Source: 2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第52题
Problem: 市政府大楼和某大学之间是一条$$204$$米长的道路，现要在这条路的两侧种树，且每一侧每两棵树的间隔为$$12$$米．若每棵树需要$$50$$元人工费，则至少需要元预算． 
Options:
aoVal: A
content: $$800$$ 
aoVal: B
content: $$1600$$ 
aoVal: C
content: $$1700$$ 
aoVal: D
content: $$1800$$ 
Answer: B
Analysis: 间隔刚好为$$12$$米时，预算最少．  $$2\times \left( \frac{204}{12}-1 \right)\times 50=1600$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（三）第1题
Problem: 今年哥哥$$15$$岁，弟弟$$7$$岁，问年前，哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，哥哥$$15$$岁，弟弟$$7$$岁，哥哥比弟弟大$$15-7=8$$（岁），  当哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍时，弟弟的年龄为：$$8\div 2=4$$（岁），  故：$$7-4=3$$（年）前哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍，故选答案$$\text{B}$$ ． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第7题5分
Problem: 有$$5$$个轻重、大小完全相同的小球，编号分别为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$m$$和$$n$$，把它们放入不透明的盒子中，任意摸出两个球，如果是$$m$$和$$n$$，则有奖．那么，摸一次，获奖的可能性是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{20}$$~~~ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{10}$$~~~ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{5}$$~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 一共有$$5$$个球，每次摸两个，则这些球中任意球都可能和其它的球组合，每一个球和其它球的组合方式有$$4$$种，所以$$4\times 5=20$$种，排除重复的，还剩$$20\div 2=10$$个球，而同时摸到$$m$$和$$n$$的只有一种，所以可能性是$$\frac{1}{10}$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->摸小球
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第7题
2017年河南郑州模拟考试k6考试第7题
Problem: 设$${{a}_{1}}，{{a}_{2}}，{{a}_{3}}，{{a}_{4}}，{{a}_{5}}$$是任意五个奇数，且$${{a}_{1}} \textless{} {{a}_{2}} \textless{} {{a}_{3}} \textless{} {{a}_{4}} \textless{} {{a}_{5}}$$，$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=85$$，符合这些条件的五个奇数显然有很多，如$${{a}_{1}}=1，{{a}_{2}}=3，{{a}_{3}}=7，{{a}_{4}}=11，{{a}_{5}}=63$$，或$${{a}_{1}}=5，{{a}_{2}}=7，{{a}_{3}}=13，{{a}_{4}}=21，{{a}_{5}}=39$$，等等，在这些答案中，记$${{a}_{5}}$$的最大值和最小值分别为M和m，则（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: $$M=67，m=23$$ 
aoVal: B
content: $$M=67，m=19$$ 
aoVal: C
content: $$M=69，m=21$$ 
aoVal: D
content: $$M=69，m=17$$ 
Answer: C
Analysis: 这5个奇数的和不变，那么当其中最大的奇数越大越好时，其余4个奇数越小越好，即当$${{a}_{1}}，{{a}_{2}}，{{a}_{3}}，{{a}_{4}}$$取最小值时，$${{a}_{5}}$$有最大值，那么$${{a}_{5}}$$有最大值为$$85-\left( 1+3+5+7 \right)=69$$.同样当其中最大奇数越小越好时，这5个奇数越接近越好，当这5个奇数最接近时每两个数之间的差为2，这时这5个数的和为5的倍数，又85刚好能被5整除，且$$85\div 5=17$$为奇数正好成立，那么$${{a}_{5}}$$的最小值为$$17+2+2=21$$，故$$M=69，m=21$$选C. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜->竖式数字谜的最值
Source: 2005年五年级竞赛创新杯
Problem: 甲、乙、丙三个人进行$$100$$米赛跑，假设他们三人都是匀速前进，当甲到终点时，乙离终点还有$$10$$米，丙离终点还有$$19$$米．当乙到达终点时，丙离终点还有米． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{8}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$9.5$$ 
Answer: A
Analysis: 甲、乙、丙三个人进行$$100$$米赛跑，注意到他们三人都是匀速前进，当甲到 终点时，乙距离终点还有$$10$$米，丙距离终点还有$$19$$米，这样可以知道甲、乙、丙三人的路程，他们在相同时间内，甲跑了$$100$$米，乙跑了$$90$$米，丙跑了$$81$$米，因此他们的路程比为$$100:90:81$$，当乙到达终点时，乙的路程为$$10$$米，由于乙和丙的路程比为，乙$$:$$丙$$=90:81=10:9$$，所以乙的路程为$$10$$米时，丙的路程为$$9$$米，由于丙离终点还有$$19$$米，所以当乙到达终点时，最后的丙离终点：$19-9=10$（米）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年长江杯六年级竞赛复赛A卷第2题5分
Problem: $$A$$、$$B$$、$$C$$，$$D$$四个数，每次去掉一个数，将其余$$3$$个数求平均数．这样计算了四次，得到下面四个数：$$23$$，$$26$$，$$30$$，$$33$$，$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$四个数的平均数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$26$$ 
aoVal: C
content: $$28$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: C
Analysis: 不妨设$$A\geqslant B\geqslant C\geqslant D$$，  则$$B+C+D=23\times 3=69$$，  $$A+C+D=26\times 3=78$$，  $$A+B+D=30\times 3=90$$，  $$A+B+C=33\times 3=99$$四个等式相加得$$3\times \left( A+B+C+D \right)=336$$，  从而$$A+B+C+D=112$$，  所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的平均数为$$112\div 4=28$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第6题5分
Problem: 甲乙两人比赛折返跑，同时从$$A$$点出发，到达$$B$$点后，立即返回，先回到$$A$$点的人获胜。甲先到达$$B$$点，在距离$$B$$点$$24$$米的地方遇到乙。相遇后，甲的速度减为原来的一半，乙的速度保持不变。在距离终点$$48$$米的地方，乙追上甲。那么，当乙到达终点时，甲距离终点还有（  ）米。 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 解：设$$A$$、$$B$$之间的距离是$$x$$米，则第一次相遇时，甲跑的路程是$$x+24$$米，乙跑的路程是$$x-24$$米，  所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：$$(x+24):\left( x-24 \right)$$，  第二次相遇时甲乙的速度之比是：$$\left( x-24-48 \right):(x+24-48)=\left( x-72 \right):\left( x-24 \right)$$；  所以$$(x+24):\left( x-24 \right)=2\left( x-72 \right):\left( x-24 \right)$$，  因此$$x+24=2\left( x-72 \right)$$，  解得$$x=168$$，  即两地之间的距离是$$168$$米，  所以第二次相遇时甲乙的速度之比是：  $$\left( 168-72 \right):\left( 168-24 \right)$$  $$=96:144$$  $$=2:3$$  所以乙到达终点时，甲跑的路程是：  $$(168+24)\times \frac{2}{3}$$  $$=192\times \frac{2}{3}$$  $$=128$$（米），  因此当乙到达终点时，甲距离终点：  $$168-24-128=16$$（米）  答：当乙到达终点时，甲距离终点$$16$$米。  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行
Source: 2014年迎春杯五年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 某游乐场在开门前有$$400$$人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，$$1$$个入口每分钟可以进入$$10$$个游客。如果开放了$$4$$个入口，$$20$$分钟后就没有人排队。现在开放$$6$$个入口，那么开门（  ）分钟后没有人排队。 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: $$4$$个入口$$20$$分钟可以进游客$$4\times 10\times 20=800$$（人），即$$20$$分钟来了游客$$800-400=400$$（人），所以每分钟来游客$$20$$人。 设开放$$6$$个入口，开门$$x$$分钟后没有游客排队，则$$400+20x=6\times 10\times x$$ 解得$$x=10$$，故开放$$6$$个入口，开门$$10$$分钟后就没有游客排队。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->牛吃草问题->牛吃草转化型->生活中的牛吃草->其他问题
Source: 2008年五年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛A卷第10题5分
Problem: 老师问学生：``昨天你们有几人复习数学了？''  张：``没有人．''  李：``一个人．''  王：``二个人．''  赵：``三个人．''  刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人不复习．复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有人． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: $$5$$名学生说的话相互矛盾，只能有$$1$$人说的是真话，则只有李复习了，说的是真话．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题
Problem: 把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，和最小是．  $$\square \square +\square \square $$ 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$74$$ 
aoVal: C
content: $$92$$ 
aoVal: D
content: $$146$$ 
Answer: B
Analysis: 要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题
Problem: 将六个分数$$\frac{8}{35}$$、$$\frac{3}{8}$$、$$\frac{1}{45}$$、$$\frac{11}{120}$$、$$\frac{4}{9}$$、$$\frac{5}{21}$$分成三组，使每组的两个分数的和相等，那么与$$\frac{1}{45}$$分在同一组的那个分数是（~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{21}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{11}{120}$$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{8}{35}+\frac{5}{21}=\frac{24+25}{105}=\frac{7}{15}$$，$$\frac{1}{45}+\frac{4}{9}=\frac{1+20}{45}=\frac{7}{15}$$，$$\frac{3}{8}+\frac{11}{120}=\frac{45+11}{120}=\frac{7}{15}$$，故与$$\frac{1}{45}$$分在同一组的是$$\frac{4}{9}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2014年第12届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第1题
小学高年级六年级其它2014年数学思维能力等级测试第1题
Problem: $$1+2-3\times 4\div 5+6-7\times 8\div 9$$的计算结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{17}{45}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{37}{45}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{8}{9}$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$3\times 4\div 5$$和$$7\times 8\div 9$$的计算结果都除不尽，  因此可把这两项的结果写成分数形式，运用加法交换与结合律简算即可．  $$1+2-3\times 4\div 5+6-7\times 8\div 9$$  $$=3-\frac{12}{5}+6-\frac{56}{9}$$  $$=(3+6)-\left( \frac{12}{5}+\frac{56}{9} \right)$$  $$=9-\frac{388}{45}$$  $$=\frac{17}{45}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算
Source: 2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第1题
Problem: 一个最简分数，如果分子减$$a$$，分母不变，则等于$$\frac{1}{8}$$，如果分母减$$a$$，分子不变，则等于$$\frac{1}{2}$$，那么这个分数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{16}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{16}$$ 
Answer: B
Analysis: 设原分数为$$\frac{y}{x}$$  $$\left { \begin{array}{*{35}{l}} \frac{y-a}{x}-\frac{1}{8}\Rightarrow 8y-8a    x-a\frac{y}{x-a}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2y=x-a\Rightarrow 16y=8x-8a   \end{array} \right.$$  $$16y-x=8y-8a$$  $$9x=24y$$  $$\frac{y}{x}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$$  选$$\rm B$$． 
<p>设：第一次约分后分子为$$x$$，分母为$$8x$$，</p>
<p>则原来的分数是$$\frac{x+a}{8x}$$，</p>
<p>$$\begin{eqnarray} \frac{x+a}{8x-a}&amp;=&amp;\frac{1}{2}\\2x+2a&amp;=&amp;8x-a\\3a&amp;=&amp;6x\\a&amp;=&amp;2x \end{eqnarray}$$</p>
<p>原来的分数是$$\frac{x+2x}{8x}=\frac{3x}{8x}=\frac{3}{8}$$，</p>
<p>故选 B．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第1题4分
Problem: 水结成冰，体积会增大$$\frac{1}{11}$$；那么冰化成水，体积会减少． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{11}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{11}$$ 
Answer: C
Analysis: 设原来的水体积为``$$1$$''，变成冰后体积为$$1\times (1+\frac{1}{11})=\frac{12}{11}$$，冰变成水后，体积减少$$(\frac{12}{11}-1)\div \frac{12}{11}=\frac{1}{12}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年广东广州羊排赛六年级竞赛第7题1分
Problem: 一个自然数，如果它顺着数和倒过来数都是一样的，则称这个数为``对称数''．例如，$$2$$，$$33$$，$$101$$，$$1331$$是对称数，但$$220$$不是对称数．由数字$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$组成的不超过三位数的对称数有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$21$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: C
Analysis: 一位数有：$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$共计$$4$$个；  两位数：$$11$$，$$22$$，$$33$$，$$44$$共计$$4$$个；  三位数：$$111$$，$$121$$，$$131$$，$$141$$，$$212$$，$$222$$，$$232$$，$$242$$，$$313$$，$$323$$，$$333$$，$$343$$，$$414$$，$$424$$，$$434$$，$$444$$共计$$16$$个．  合计：$$4+4+16=24$$（个）．  故选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第9题5分
Problem: 有一个杯子装满了浓度为$$15 \%$$的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为$$10:5:3$$，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出$$10 \%$$，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是~\uline{~~~~~~~~~~}~$$ \%$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
Answer: B
Analysis: 大球体积：$$10 \%\times \frac{10}{3}=\frac{1}{3}$$  总共溢出$$\frac{1}{3}$$的水  浓度：$$15 \%\times (1-\frac{1}{3})=10 \%$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2017年第23届浙江杭州华杯赛小学高年级竞赛卓学堂高端备考活动第8题
Problem: 已知袋子中装有$$n$$颗小球，嘉泽同学依次编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$n$$，每次都从袋子中取出两颗球，把它们的编号相加并记下结果，然后把它们放回袋子内．重复抽取直到袋子中每一对小球都被取到为止，记录中恰好有$$215$$种不同的数值，请问$$n$$的值是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$105$$ 
aoVal: C
content: $$108$$ 
aoVal: D
content: $$109$$ 
aoVal: E
content: $$215$$ 
Answer: E
Analysis: 每两个数相加，和最小为$$1+2=3$$，最大为$$n+(n-1)=2n-1$$，现在共有$$215$$种不同的数值，即最大的数值为$$215+3-1=217$$，$$217=2n-1$$，$$n=109$$．  最大值和最小值之间有多少数字就是多少种可能性．$$2n -1-3=215$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->归纳递推->汉诺塔递推
Source: 2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第13题4分
Problem: 有$$7$$张卡片上分别写着数字$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$，从中抽出两张，组成的所有的两位数中，奇数的个数有． 
Options:
aoVal: A
content: $$21$$个 
aoVal: B
content: $$18$$个 
aoVal: C
content: $$24$$个 
aoVal: D
content: $$42$$个 
Answer: B
Analysis: 两位数的个数可以是$$3$$，$$5$$，$$7$$有$$3$$个情况．  十位有$$7-1=6$$（种）情况．可以组成$$6\times 3=18$$个两位奇数．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第8题3分
Problem: 张飞、关羽、刘备三人栽树，已知张飞、关羽合栽$$15$$天栽完，关羽、刘备合栽$$12$$天栽完，刘备，张飞合栽$$8$$天栽完．若按张飞、关羽、刘备的顺序轮流各栽一天，栽完这批树苗共需~\uline{~~~~~~~~~~}~天？ 
Options:
aoVal: A
content: $$21\dfrac{9}{13}$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$21\dfrac{13}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$21\dfrac{9}{11}$$ 
Answer: A
Analysis: $21\dfrac{9}{13}$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2015年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛A卷第12题12分
Problem: 一个各位数字互不相同的五位数，如果万位，千位，百位的数字依次增大；百位，十位，个位的数字依次减小，我们称这样的数为``宝塔数''．那么符合条件的``宝塔数''有~\uline{~~~~~~~~~~}~个． 
Options:
aoVal: A
content: $$375$$ 
aoVal: B
content: $$756$$ 
aoVal: C
content: $$1134$$ 
aoVal: D
content: $$2600$$ 
Answer: C
Analysis: 设这个五位数为$$\overline{abcde}$$，则有$$a\textless{}b\textless{}c$$，$$c\textgreater d\textgreater e$$．分为两类：  情况$$1$$：含有数字$$0$$，那么数字$$0$$一定在个位，共有$$C_{9}^{4}\times C_{3}^{2}=378$$种情况．  情况$$2$$：不含数字$$0$$，那么共有$$C_{9}^{5}\times C_{4}^{2}=756$$种情况．  因此共有$$378+756=1134$$个宝塔数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->组合的基本应用
Source: 2017年第11届北京学而思杯小学高年级五年级竞赛第13题8分
2017年第11届北京学而思综合能力诊断五年级竞赛4月第13题
Problem: \textbf{(2019 World Mathematical Olympiad,~Primary 4, \#10)}  A brewery has a promotion where $$3$$ empty bottles can be exchanged for $$1$$ bottle of beer. Dad bought $$13$$ bottles of beer, so he can drink a total of ($$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$$) bottles of beer.  某啤酒厂做促销活动，$$3$$个空瓶可以换$$1$$瓶啤酒．爸爸共买了$$13$$瓶啤酒，他一共可以喝到（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）瓶啤酒． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
Answer: A
Analysis: $$13\div3=4$$（瓶）$$\ldots\ldots1$$（瓶），（喝$$13$$瓶$$+4$$瓶），  $$（4+1）\div3=1$$（瓶）$$\ldots\ldots2$$（瓶），（喝$$1$$瓶$$+1$$瓶），  所以一共是$$13+4+1+1=19$$（瓶）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第10题5分
Problem: 甲、乙两人合作打一份材料，开始甲每分钟打$$100$$个字，乙每分钟打$$200$$个字。合作到完成总量的一半时，甲速度变为原来的$$3$$倍，而乙休息了$$5$$分钟后继续按原速度打字，最后当材料完成时，甲、乙打字数相等。那么，这份材料共(  )个字。 
Options:
aoVal: A
content: $$3000$$ 
aoVal: B
content: $$6000$$ 
aoVal: C
content: $$12000$$ 
aoVal: D
content: $$18000$$ 
Answer: D
Analysis: 前一半时乙的工作量是甲的$$2$$倍，所以后一半甲的工作量应是乙的$$2$$倍．把后一半工作量分为$$6$$份，甲应为$$4$$份，乙应为$$2$$份，说明乙休息时甲打了$$1$$份，这一份的量是$$100\times 3\times 5=1500$$（个）字，故总工作量为$$1500\times 6\times 2=18000$$（个）字。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->基础份数思想
Source: 2014年迎春杯四年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 有一种特殊的计算器，当输入一个$$10$ $49$$的自然数后，计算器会先将这个数乘$$2$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果．那么，下列四个选项中，可能是最后显示的结果． 
Options:
aoVal: A
content: $$44$$ 
aoVal: B
content: $$43$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$41$$ 
Answer: A
Analysis: 倒推．$$44$$ 对应的是$$44-2=42$$，颠倒后是$$24$$，则原数为$$12$$，符合条件．其他的均不符合条件． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第8题
Problem: 从成都到上海开行了动车组，全程共停靠$$11$$个站，则共需种不同的车票． 
Options:
aoVal: A
content: $$55$$ 
aoVal: B
content: $$105$$ 
aoVal: C
content: $$110$$ 
aoVal: D
content: $$122$$ 
Answer: C
Analysis: 两站之间的往返车票各一种，即$$2$$种，  $$n$$个车站每两站之间有$$2$$种，  则$$n$$个车站的车票种类数：$$n(n-1)$$，  则$$11$$个车站的车票种类数：$$11\times (11-1)=110$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第10题2分
Problem: $$30$$个小朋友排一队，从前面数小红排在第$$15$$个，小军排在小红后面第$$4$$个，那么小军从后往前数排第个． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 从前往后数，小军排第$$15+4=19$$个，则从后往前数，小军排：$$30-19+1=12$$个．  故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->七大能力->实践应用
拓展思维->七大能力->实践应用
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 一个骰子六个面上分别写着1、2、3、4、5、6，将它投掷两次.则面朝上的两个数字之和为3的倍数的可能性是（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{6}$$ 
Answer: A
Analysis: 数字和是3的倍数有:$$\left( 1,2 \right),\left( 1,5 \right),\left( 2,4 \right),\left( 3,6 \right),\left( 3,3 \right),\left( 4,5 \right),\left( 6,6 \right)$$,共有7种可能,投掷$$\left( 2,1 \right)$$和$$\left( 1,2 \right)$$算一种,投掷两次共有$$6+5+4+3+2+1=21$$种可能,则两数之和为3的倍数的可能性是$$\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率
Source: 2010年六年级竞赛创新杯
Problem: 一枚标准的人民币$$1$$元硬币约重$$6$$克，则$$15$$亿枚这样的硬币约重（~ ）吨． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$900$$ 
aoVal: C
content: $$9000$$ 
aoVal: D
content: $$90000$$ 
Answer: C
Analysis: $$15$$亿$$=1500000000$$，$$6\times 1500000000=9000000000$$克$$=9000000$$千克$$=9000$$吨． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛
Problem: 周末，小明乘$$45$$路公交车回家，当车到游乐园站时，他发现车上人数的$$\frac{1}{6}$$下车后，这时又上来了车上人数的$$\frac{1}{6}$$，那么现在车上的人数． 
Options:
aoVal: A
content: 增加了 
aoVal: B
content: 减少了 
aoVal: C
content: 同样多 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 设公交车的原有人数看做单位``$$1$$''，  $$1\times \left( 1-\frac{1}{6} \right)=\frac{5}{6}$$，  $$\frac{5}{6}\times \left( 1+\frac{1}{6} \right)=\frac{35}{36}$$，  $$1\textgreater\frac{35}{36}$$，故车上人减少了．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->赋值思想
Source: 2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛复赛第7题3分