math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 分三种情况进行讨论：  ①若$$2-m=1$$，即$$m=1$$时，满足已知等式；  ②若$$2-m=-1$$，即$$m=3$$时，  $${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}={{(-1)}^{4}}=1$$满足已知等式；  ③若$$2-m\ne \pm 1$$，即$$m\ne 1$$且$$m\ne 3$$时，  由已知，得$$\begin{cases}2-m\ne 0    {{m}^{2}}-m-2=0 \end{cases}$$，解得$$m=-1$$，  所以满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和$$1+3+(-1)=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->零指数幂
Source: 2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 如果$$a+b+c=0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，则下列说法中可能成立的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$、$$b$$为正数，$$c$$为负数 
aoVal: B
content: $$a$$、$$c$$为正数，$$b$$为负数 
aoVal: C
content: $$b$$、$$c$$为正数，$$a$$为负数 
aoVal: D
content: $$a$$、$$c$$为负数，$$b$$为正数 
Answer: C
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三个数中只有两负一正或者两正一负两种情况．  如果两负一正情况成立，则$$b\textless{}0$$、$$c\textless{}0$$、$$a\textgreater0$$．  于是应该在两正一负的答案中寻找正确答案．  若$$a$$、$$b$$为正数，$$c$$为负数时， 则：$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a+b+c\ne 0$$， $$\text{A}$$不成立．  若$$a$$、$$c$$为正数，$$b$$为负数时， 则：$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$，  ∴$$a+b+c\ne 0$$， $$\text{B}$$不成立．  只有$$\text{C}$$符合题意． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
Source: 2018~2019学年湖北武汉汉阳区初一上学期期中第7题3分
2016~2017学年湖北武汉武昌区武汉市武珞路中学初一上学期期中第10题3分
2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第6题4分
2018~2019学年10月广东东莞市虎门镇东莞市虎门外国语学校初一上学期月考第10题2分
2020~2021学年广东广州花都区黄冈中学广州学校初一上学期期中第10题3分
2018~2019学年湖北武汉汉阳区初一上学期期中
Problem: 给出两列数:（$$1$$）$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$\cdots $$，$$2007$$；（$$2$$） $$1$$，$$6$$，$$11$$，$$16$$，$$\cdots $$，$$2006$$，则同时出现在两列数中的数的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$201$$ 
aoVal: B
content: $$200$$ 
aoVal: C
content: $$199$$ 
aoVal: D
content: $$198$$ 
Answer: A
Analysis: 由观察可知，同时出现在两列数中的数是$$1$$，$$11$$，$$21$$，$$\cdots $$，$$2001$$，即每相邻两个数之间相差$$10$$，所以总数是  $$\frac{2001-1}{10}+1=201$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知代数式$$\frac{{{x}^{2}}(a{{x}^{5}}+b{{x}^{3}}+cx)}{{{x}^{4}}+d{{x}^{2}}}$$，当$$x=1$$时，值为$$1$$，那么该代数式当$$x=-1$$时的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 将$$x=1$$代入代数式得值为$$1$$，有$$\frac{(a+b+c)}{1+d}=1$$．  即$$\frac{a+b+c}{1+d}=1$$．  将$$x=-1$$代入代数式中得：  $$\frac{{{(-1)}^{2}}\left[ a{{(-1)}^{5}}+b{{(-1)}^{3}}+c(-1) \right]}{{{(-1)}^{4}}+d{{(-1)}^{2}}}=-\frac{a+b+c}{1+d}=-1$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第9题
Problem: 甲杯中盛有$$2m$$毫升红墨水，乙杯中盛有$$m$$毫升蓝墨水，从甲杯倒出$$a$$毫升到乙杯里，$$0\textless{a}\textless{m}$$，搅匀后，又从乙杯倒出$$a$$毫升到甲杯里，则这时（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少 
aoVal: B
content: 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多 
aoVal: C
content: 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同 
aoVal: D
content: 甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定 
Answer: C
Analysis: 从甲杯倒出$$a$$毫升红墨水到乙杯中以后：  乙杯中含红墨水的比例是$$\frac{a}{m+a}$$，  乙杯中含蓝墨水的比例是$$\frac{m}{m+a}$$．  再从乙杯倒出$$a$$毫升混合墨水到甲杯中以后：  乙杯中含有的红墨水的数量是$$a-a\cdot \frac{a}{m+a}=\frac{ma}{m+a}$$毫升，  乙杯中减少的蓝墨水的数量是$$a\cdot \frac{m}{m+a}=\frac{ma}{m+a}$$毫升．  两者相等． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 化简$${{\left[ {{(-1)}^{n+1}}{{p}^{3}} \right]}^{n}}$$（$$n$$是自然数），得（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{p}^{3n}}$$ 
aoVal: B
content: $$-{{p}^{3n}}$$ 
aoVal: C
content: $$-{{p}^{n+3}}$$ 
aoVal: D
content: $${{p}^{n+3}}$$ 
Answer: A
Analysis: $${{\left[ {{(-1)}^{n+1}}{{p}^{3}} \right]}^{n}}={{(-1)}^{n(n+1)}}{{p}^{3n}}$$．  因为$$n$$和$$n+1$$是连续的自然数，  所以$$n(n+1)$$是偶数，  所以$${{\left[ {{(-1)}^{n+1}}{{p}^{3}} \right]}^{n}}={{(-1)}^{n(n+1)}}{{p}^{3n}}={{p}^{3n}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分
Problem: $$[x]$$表示不大于$$x$$的最大整数，如$$[3.15]=3$$，$$[-2.7]=-3$$，$$[4]=4$$，则$$\frac{[\sqrt{1\times 2}]+[\sqrt{2\times 3}]+\cdots +[\sqrt{2003\times 2004}]}{1002}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$1001$$ 
aoVal: B
content: $$2003$$ 
aoVal: C
content: $$2004$$ 
aoVal: D
content: $$1002$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{n}^{2}}\textless{}n(n+1)\textless{}{{(n+1)}^{2}}$$，  $$n\textless{}\sqrt{n(n+1)}\textless{}n+1$$，  所以$$[\sqrt{n(n+1)}]=n$$，  $$[\sqrt{1\times 2}]=1$$，$$[\sqrt{2\times 3}]=2$$，$$\cdots $$，$$[\sqrt{2003\times 2004}]=2003$$，  所以，原式$$=\frac{1+2+3+\cdots +2003}{1002}$$  $$=\frac{(1+2003)\times 2003}{2\times 1002}$$  $$=2003$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的定义
课内体系->能力->抽象概括能力
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 如果$$x=-1$$是方程$${{x}^{2}}+mx+n=0$$的一个根，那么$$m$$，$$n$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$m\textgreater n$$ 
aoVal: B
content: $$m=n$$ 
aoVal: C
content: $$m\textless{}n$$ 
aoVal: D
content: 不确定的 
Answer: A
Analysis: 因为$$x=-1$$是$${{x}^{2}}+mx+n=0$$的根，  则有$${{(-1)}^{2}}+m\cdot (-1)+n=0$$，  所以$$m-n=1$$，即$$m\textgreater n$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->由一元二次方程的解求参数的值
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第5题
Problem: 如果$${{\left( a+b \right)}^{2001}}=-1$$，$${{\left( a-b \right)}^{2002}}=1$$，则$${{a}^{2003}}+{{b}^{2003}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{\left( a+b \right)}^{2001}}=-1$$，$${{\left( a-b \right)}^{2002}}=1$$，得  $$\begin{cases} a+b=-1    a-b=-1   \end{cases}$$或$$\begin{cases} a+b=-1    a-b=1   \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases} a=-1    b=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases} a=0    b=-1   \end{cases}$$，  所以$${{a}^{2003}}+{{b}^{2003}}=-1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第3题
Problem: 从长度分别是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$14$$的$$14$$条线段中任取出$$n$$条，其中必有$$3$$条线段能构成一个三角形，则$$n$$的最小值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 取极端情况，若取出$$6$$条，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，其中任意$$3$$条都不能构成一个三角形，再多取出一条，则有$$3$$条线段能构成一个三角形，故$$n$$的最小值为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分
Problem: 已知直线$${{l}_{1}}:y=kx+b\left( k\ne 0 \right)$$与直线$${{l}_{2}}:y={{k}_{1}}x-6\left( {{k}_{1}}\textless{}0 \right)$$在第三象限交于点$$M$$，若直线$${{l}_{1}}$$与$$x$$轴的交点为$$B\left( 3,0 \right)$$，则$$k$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$-2\textless{}k\textless{}2$$ 
aoVal: B
content: $$-2\textless{}k\textless{}0$$ 
aoVal: C
content: $$0\textless{}k\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}k\textless{}2$$ 
Answer: D
Analysis: $$B\left( 3,0 \right)$$代入$${{l}_{1}}:0=3k+b$$，  ∴$$b=-3k$$，  ∴$${{l}_{1}}:y=kx-3k$$，  将$$\left( 0,-6 \right)$$代入：$$k=2$$，  由图象知：$$0\textless{}k\textless{}2$$时，  第三象限有交点．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->数形结合思想
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与一元一次不等式
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组
Source: 2019~2020学年广东深圳南山区深圳市南山第二外国语学校集团海德学校初二上学期期中（南山二外教育集团）第11题3分
2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第4题4分
2017~2018学年4月陕西西安高新区西安高新第一中学初三下学期月考（六模）第7题3分
Problem: 已知$$x+\frac{1}{x}=6$$（$$0\textless{}x\textless{}1$$），则$$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$$的值是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\sqrt{5}$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}=x+\frac{1}{x}-2=4$$，  所以$$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\pm 2$$．  又$$0\textless{}x\textless{}1$$，  所以$$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=-2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分
Problem: 已知$$a=\sqrt{2}-1$$，$$b=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$$，$$c=\sqrt{6}-2$$，那么$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}b\textless{}a$$ 
aoVal: D
content: $$c\textless{}a\textless{}b$$ 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：二次根式比较大小）}  ∵$$a-b$$$$=\sqrt{2}-1-\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$$$$=\sqrt{6}-\left( 1+\sqrt{2} \right)$$$$\approx 2.449-2.414\textgreater0$$，  ∴$$a\textgreater b$$；  ∵$$a-c$$$$=\sqrt{2}-1-\left( \sqrt{6}-2 \right)$$$$=\sqrt{2}+1-\sqrt{6}$$$$\approx 2.414-2.449\textless{}0$$，  ∴$$a\textless{}c$$；于是$$b\textless{}a\textless{}c$$．所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小
Source: 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第1题7分
初二下学期单元测试《二次根式》二次根式的运算第43题
Problem: 中国古代``五行''学说认为：``物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．''从五种属性互不相同的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是（~ ）．  （注：概率等于时间所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比）
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 基本事件为：金、木；金、水；金、火；金、土；木、水；木、火；木、土；水、火；水、土；火、土．  共计$$10$$种，  其中不相克的事件数为$$m=10-5=5$$（种），  所以抽取的两种物质不相克的概率是$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分
Problem: 大于$$-\pi$$并且不是自然数的整数有（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$4$$个 
aoVal: D
content: 无数个 
Answer: B
Analysis: 在数轴上容易看出：在$$-\pi$$右边$$0$$的左边的整数只有$$-3$$，$$-2$$，$$-1$$，共$$3$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->实数基础概念->实数与数轴
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第5题
Problem: 若$$\frac{a}{b}=20$$，$$\frac{b}{c}=10$$，则$$\frac{a+b}{b+c}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{11}{21}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{21}{11}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{110}{21}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{210}{11}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\begin{cases}\dfrac{a}{b}=20    \dfrac{b}{c}=10 \end{cases}$$，得$$\begin{cases}a=20b    b=10c \end{cases}$$，  则$$\frac{a+b}{b+c}=\frac{20b+b}{10c+c}=\frac{21b}{11c}=\frac{21\cdot 10c}{11c}=\frac{210}{11}$$． 
<p>$$\frac{a+b}{b+c}=\frac{\dfrac{a}{b}+1}{1+\dfrac{c}{b}}=\frac{20+1}{1+\dfrac{1}{10}}=\frac{210}{11}$$．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
Source: 2017~2018学年4月广东深圳福田区深圳实验学校中学部初三下学期月考第3题3分
2010年竞赛第1题7分
Problem: 已知$$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\ne 0$$，则$$\frac{c-a}{b}$$的值为（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$k=\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\ne 0$$，由此得到$$a=3k$$，$$b=4k$$，$$c=5k$$  ∴$$\frac{c-a}{b}$$  $$=\frac{5k-3k}{4k}$$  $$=\frac{1}{2}$$，故$$\text{B}$$正确．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->三角形->相似三角形->比例线段->题型：比例的综合应用
知识标签->知识点->三角形->相似->比例线段->比例线段的性质
Source: 2017年河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三竞赛第1题3分
Problem: 若$$a=\frac{19951995}{19961996}$$，$$b=\frac{19961996}{19971997}$$，$$c=\frac{19971997}{19981998}$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}c\textless{}a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}b\textless{}a$$ 
aoVal: D
content: $$a\textless{}c\textless{}b$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$A=19951995$$，$$B=19961996$$，$$C=19971997$$，$$D=19981998$$，  则有$$B=A+10001$$，$$C=B+10001$$，$$D=C+10001$$．  ∵$$\left( B+10001 \right)\left( B-10001 \right)={{B}^{2}}-{{10001}^{2}}$$  亦即，$$C\cdot A={{B}^{2}}-{{10001}^{2}}$$，∴$$C\cdot A\textless{}{{B}^{2}}$$．  由于$$B$$、$$C$$均为正数，不等式两边同时除以$$B\cdot C$$，得到$$\frac{A}{B}\textless{}\frac{B}{C}$$，  所以$$\frac{19951995}{19961996}\textless{}\frac{19961996}{19971997}$$，同理$$\frac{19961996}{19971997}\textless{}\frac{19971997}{19981998}$$，  即$$a\textless{}b\textless{}c$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-作商法
课内体系->能力->运算能力
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第7题
Problem: 设$$n(n\geqslant2)$$个正整数$$a_1$$，$$a_2$$，$$a_3$$，$$\cdots $$，$$a_n$$，任意改变它们的顺序后，记作$$b_1$$，$$b_2$$，$$b_3$$，$$\cdots $$，$$b_n$$，若$$P=(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)\cdots(a_n-b_n)$$，则（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$P$$一定是奇数 
aoVal: B
content: $$P$$一定是偶数 
aoVal: C
content: 当$$n$$是奇数时，$$P$$是偶数 
aoVal: D
content: 当$$n$$是偶数时，$$P$$是奇数 
Answer: C
Analysis: 无论$$n$$是奇数偶数，可以假设$$a_n=b_n$$，$$P=0$$为偶数，$$\rm A$$、$$\rm D$$不能选，  现在在$$\rm B$$和$$\rm C$$中选择，要让$$P$$为奇数，那么必须它的$$n$$个因式都是奇数，  也就是每个因式都是一个奇数与一个偶数的差，  因为$$b_1$$，$$b_2$$，$$\cdots$$，$$b_n$$都是$$a_n$$变来的，  所以原来如果是$$x$$个奇数与$$n-x$$个偶数的话，奇数与偶数的数目必须也是一样的，即$$x=n-x$$，$$n=2x$$为偶数，  也就是说，$$P$$若为奇数，$$n$$必须是偶数，可以推出，$$n$$为奇数，$$P$$必须为偶数．  所以$$\rm B$$错，$$\rm C$$正确．  故选$$\rm C$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 若关于\emph{x}的不等式组$\left {\begin{array}{c} 3-2x\geq 1   x\geq m+1 \end{array}\right.$共有2个整数解，则\emph{m}的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $m=-1$ 
aoVal: B
content: $-2\textless{} m\leq -1$ 
aoVal: C
content: $-2\leq m\leq -1$ 
aoVal: D
content: $m\textless{} -1$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先解不等式$3-2x\geq 1$，得$x\leq 1$，结合不等式组的整数解的情况，得出关于\emph{m}的不等式组，求解即可．\\ 【详解】\\ 解不等式$3-2x\geq 1$，得$x\leq 1$，\\ ∵关于\emph{x}的不等式组$\left {\begin{array}{c} 3-2x\geq 1   x\geq m+1 \end{array}\right.$共有2个整数解，\\ ∴这两个整数解为$0,1$，\\ ∴$-1\textless{} m+1\leq 0$，\\ 解得$-2\textless{} m\leq -1$，\\ 故选：B．\\ 【点睛】\\ 本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于\emph{m}的不等式组． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式
Source: 2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第4题
Problem: $$12$$人参加象棋单循环赛，规定胜$$1$$局得$$2$$分，平$$1$$局得$$1$$分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后$$5$$名的得分之和相同，那么第二名得分为．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$19$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: A
Analysis: 因为是循环赛，所以最后$$5$$名棋手相互之间要赛$$10$$场，  不论胜负情况如何，每场比赛两人得分的和都是$$2$$分，  即最后$$5$$名棋手得分的和至少是$$20$$分，  所以第二名至少得$$20$$分，  又因为第二名要进行$$1$$场比赛，他不能全胜得$$22$$分，否则他是第一名，  同样他也不能得$$21$$分，否则他的成绩是$$10$$胜$$1$$平，  其中平局一定是与第一名对阵的结果，这样他们两人将并列第一名，不是第二名，  综上可得第二名只能得$$20$$分．（检验构造该种情况） 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->游戏公平性
竞赛->知识点->组合->极端原理
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第17题
Problem: 设实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足：$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，  ∴$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}$$  $$=\frac{4-{{c}^{2}}}{2-c}+\frac{4-{{a}^{2}}}{2-a}+\frac{4-{{b}^{2}}}{2-b}$$  $$=2+c+2+a+2+b$$  $$=a+b+c+6$$  $$=3+6$$  $$=9$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分
Problem: 实数$$m={{2005}^{3}}-2005$$，下列各数中不能整除$$m$$的是．
Options:
aoVal: A
content: $$2006$$ 
aoVal: B
content: $$2005$$ 
aoVal: C
content: $$2004$$ 
aoVal: D
content: $$2003$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$m={{2005}^{3}}-2005$$  $$=2005({{2005}^{2}}-1)$$  $$=2005(2005+1)(2005-1)$$  $$=2005\times 2006\times 2004$$．  所以，$$m$$不能被$$2003$$整除．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第1题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$三个整数满足$$a \textless{} b \textless{} c$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$a+c \textless{} b+c$$ 
aoVal: B
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar{} \textless{} \left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$ab \textless{} ac$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\left\textbar{} b \right\textbar{} \textless{} \left\textbar{} a \right\textbar\left\textbar{} c \right\textbar$$ 
Answer: A
Analysis: 用特殊值法，取$$a=0$$，易知$$\text{C}$$、$$\text{D}$$不成立，  而当$$a=-1$$，$$b=0$$，$$c=1$$时，$$\text{B}$$不成立．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第8题
Problem: 若$${{x}^{2}}-13x+1=0$$，则$${{x}^{4}}+{{x}^{-4}}$$的个位数字是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: 由$${{x}^{2}}-13x+1$$可得到$$x+\dfrac{1}{x}=13$$，所以$${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{(x+\dfrac{1}{x})}^{2}}-2={{13}^{2}}-2=167$$．  同样的$${{x}^{4}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}={{({{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}})}^{2}}-2$$，可以根据个位数字可以直接判断结果的个位数字为$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-含分式
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题
初一上学期其它
Problem: 若定义``$$\odot $$''：$$a\odot b={{b}^{a}}$$，如$$3\odot 2={{2}^{3}}=8$$，则$$3\odot \frac{1}{2}$$等于（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 由运算定义，知$$3\odot \frac{1}{2}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分
Problem: 已知$$x$$、$$y$$是非负整数，且使$$\frac{x-1}{2}=\frac{4-y}{3}$$是整数，那么这样的数对$$(x,y)$$有（~ ）个．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2012$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$\frac{x-1}{2}=\frac{4-y}{3}=k$$，$$k$$为整数．  所以$$\left { \begin{matrix}x=2k+1\geqslant 0    y=4-3k\geqslant 0   \end{matrix} \right.$$，  解得$$-\frac{1}{2}\leqslant k\leqslant \frac{4}{3}$$．  因为$$k$$是整数，  所以$$k=0$$或$$1$$．  当$$k=0$$时，$$x=1$$，$$y=4$$，产生数对$$(1,4)$$；  当$$k=1$$时，$$x=3$$，$$y=1$$，产生数对$$(3,1)$$．  所以，这样的数对$$(x,y)$$有$$2$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第8题4分
Problem: 已知$$\sqrt{7}=a$$，$$\sqrt{70}=b$$，则$$\sqrt{4.9}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{a+b}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{b-a}{10}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{b}{a}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{ab}{10}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{\sqrt{490}}{10}=\frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的乘法
Source: 2018~2019学年5月天津南开区天津市南开翔宇学校初二下学期月考第5题
2018~2019学年5月天津和平区天津市益中学校初二下学期月考翔宇益中初二联考第5题
2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第7题
Problem: 若直角三角形的两条直角边长为$$a$$，$$b$$，斜边长为$$c$$，斜边上的高为$$h$$，则有(  ).
Options:
aoVal: A
content: $$ab={{h}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2{{h}^{2}}$$ 
Answer: C
Analysis: $$\because \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$$  $$\therefore h=\frac{ab}{c}$$  $$\therefore \frac{1}{h}=\frac{c}{ab}$$  $$\therefore \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}$$．故选$$\text{C}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的周长与面积问题
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理
Source: 2004年竞赛第2题6分
Problem: 已知$$x\ne 0$$，则$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$2$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\textgreater0$$时，$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}=0$$，  当$$x\textless{}0$$时，$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}=\frac{2x}{-x}=-2$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->实数与根式运算问题
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 有三个正整数$$a$$，$$b$$，$$c$$，其中$$a$$与$$b$$互质且$$b$$与$$c$$也互质，给出下面四个判断：  ①$${{\left( a+c \right)}^{2}}$$不能被$$b$$整除  ②$${{a}^{2}}+{{c}^{2}}$$不能被$$b$$整除  ③$${{\left( a+b \right)}^{2}}$$不能被$$c$$整除  ④$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$不能被$$c$$整除  其中，不正确的判断有(  ) .
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$3$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$1$$个 
Answer: A
Analysis: 如果$$a=3$$，$$b=5$$，$$c=2$$，则$$a$$，$$b$$互质，$$b$$，$$c$$互质，但$${{\left( a+c \right)}^{2}}=25$$能被$$5$$整除，$${{\left( a+b \right)}^{2}}=64$$及$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=34$$能被$$2$$整除，所以①、③、④都是假命题．当$$a=3$$，$$b=2$$，$$c=5$$时，$${{a}^{2}}+{{c}^{2}}=34$$能被$$2$$整除，所以②也是假命题．题中所给$$4$$个命题均为假命题． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以单项式
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第7题
Problem: 已知$$x$$、$$y$$、$$z$$是三个非负实数，满足$$3x+2y+z=5$$，$$x+y-z=2$$，若$$S=2x+y-z$$，则$$S$$的最大值与最小值的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: A
Analysis: 联立得方程组$$\begin{cases}3x+2y+z=5(1)    x+y-z=2(2)~   \end{cases}$$，  $$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$$得$$4x+3y=7$$，$$y=\frac{7-4x}{3}$$，  $$\left( 1 \right)-\left( 2 \right)\times 2$$得，$$x+3z=1$$，$$z=\frac{1-x}{3}$$，  把$$y=\frac{7-4x}{3}$$，$$z=\frac{1-x}{3}$$代入$$S=2x+y-z$$，整理得，$$S=x+2$$，当$$x$$取最小值时，$$S$$有最小值，  ∵$$x$$、$$y$$、$$z$$是三个非负实数，  ∴$$x$$的最小值是$$0$$，  ∴$${{S}_{{最小}}}=2$$，  $$\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$$得到：$$2x+y=3-2z$$，  ∴$$S=3-z$$，  ∵$$z$$是非负数，  ∴$$z=0$$时，$$S$$有最大值$$3$$，  ∴$$S$$的最大值与最小值的和$$3+2=5$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性
Source: 2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第6题4分
Problem: 一片牧场上的草长得一样快，已知$$60$$头牛$$24$$天可将草吃完，而$$30$$头牛$$60$$天也可将草吃完．那么，若在$$120$$天里将草吃完，则需要牛．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$头 
aoVal: B
content: $$18$$头 
aoVal: C
content: $$20$$头 
aoVal: D
content: $$22$$头 
Answer: C
Analysis: 设牧场原有青草量为$$a$$，每天长出的青草量为$$x$$，$$y$$头牛在$$120$$天里恰可把牧场上的草吃完，则依题意列方程组$$\frac{a+24x}{24\times 60}=\frac{a+60x}{60\times 30}=\frac{a+120x}{120y}$$，  由$$\frac{a+24x}{24\times 60}=\frac{a+60x}{60\times 30}$$，解得$$a=120x$$，  代入$$\frac{a+60x}{60\times 30}=\frac{a+120x}{120y}$$，得  $$\frac{120x+60x}{60\times 30}=\frac{120x+120x}{120y}$$，  消去$$x$$，解得$$y=20$$（头）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->方法->整体法
课内体系->思想->转化与化归思想
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与实际问题
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第2题4分
Problem: 已知一个三角形中两条边的长分别为$$a$$，$$b$$，且$$a\textgreater b$$，那么这个三角形的周长$$l$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$3a\textgreater l\textgreater3b$$ 
aoVal: B
content: $$2\left( a+b \right)\textgreater l\textgreater2a$$ 
aoVal: C
content: $$2a+b\textgreater l\textgreater2b+a$$ 
aoVal: D
content: $$3a-b\textgreater l\textgreater a+2b$$ 
Answer: B
Analysis: 三角形中两边长为$$a$$，$$b$$，且$$a\textgreater b$$，则第三边为$$c$$，满足条件$$a-b ~\textless{} ~c ~\textless{} ~a+b$$，  所以$$a+b+\left( a-b \right) ~\textless{} ~a+b+c ~\textless{} ~a+b+\left( a+b \right)$$，  即$$2a ~\textless{} ~a+b+c ~\textless{} ~2\left( a+b \right)$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第6题
Problem: $$a=-123.4-(-123.5)$$，$$b=123.4-123.5$$，$$c=123.4-(-123.5)$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$c\textgreater b\textgreater a$$ 
aoVal: B
content: $$c\textgreater a\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: D
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
Answer: B
Analysis: 易见$$a=-123.4+123.5=0.1$$，$$b=123.4-123.5\textless{}0$$，$$c=123.4-(-123.5)\textgreater123.4\textgreater a$$，  所以$$b\textless{}a\textless{}c$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第6题
Problem: 有理数$$a$$等于它的倒数，有理数$$b$$等于它的相反数，则$${{a}^{1998}}+{{b}^{1998}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 有理数$$a$$等于它的倒数，即$$a=\frac{1}{a}\Rightarrow {{a}^{2}}=1$$，所以$$a=\pm 1$$，因为$${{a}^{1998}}=1$$．  有理数$$b$$等于它的相反数，则$$b=-b$$．即$$2b=0\Rightarrow b=0$$，因此$${{b}^{1998}}=0$$．  所以$${{a}^{1998}}+{{b}^{1998}}=1+0=1$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第2题