math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 例题3：  1、已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$432$$ 
aoVal: B
content: $$576$$ 
aoVal: C
content: $$-432$$ 
aoVal: D
content: $$-576$$ 
Answer: D
Analysis: 只要$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}4$$中至少有一个成立，  则$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar\leqslant \left\textbar{} x \right\textbar+2\left\textbar{} y \right\textbar+\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}9$$，  这与$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$矛盾，  所以当且仅当$$\left\textbar{} x \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar=4$$同时成立时，才能满足$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，  此时$$x=3$$，$$y=-1$$，$$z=4$$或$$x=-3$$，$$y=1$$，$$z=-4$$，  所以$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{3}^{2}}\times {{(-1)}^{2011}}\times {{4}^{3}}=-576$$或$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{(-3)}^{2}}\times {{1}^{2011}}\times {{(-4)}^{3}}=-576$$，  综上，$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是$$-576$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 如果等式$$1992+1994+1996+1998=5000-\square $$成立，则$$\square $$中应当填的数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$-980$$ 
aoVal: C
content: $$-1990$$ 
aoVal: D
content: $$-2980$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$\square $$的数是$$x$$，则$$1992+1994+1996+1998=5000-x$$，即$$7980=5000-x$$，  ∴$$x=5000-7980=-2980$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第7题
Problem: 已知实数$$a\ne b$$，且满足$${{\left( a+1 \right)}^{2}}=3-3\left( a+1 \right)$$，$$3\left( b+1 \right)=3-{{\left( b+1 \right)}^{2}}$$，则$$a+b$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
Answer: B
Analysis: 容易知道$$a,b$$是方程$${{\left( x+1 \right)}^{2}}=3-3\left( x+1 \right)$$的两个根，  整理得$${{x}^{2}}+5x+1=0$$，  于是有$$a+b=-5,ab=1$$，于是$$a\textless{}0,b\textless{}0$$，  $$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$$，  $$=b\sqrt{\frac{{{b}^{2}}}{ab}}+a\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{ab}}$$，  $$=\frac{b\left\textbar{} b \right\textbar+a\left\textbar{} a \right\textbar}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-\frac{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab}{\sqrt{ab}}$$，  $$=-23$$，  故答案为$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解
知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用
Source: 2017年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第6题6分
2004年竞赛第1题6分
Problem: 下列计算中，正确的是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{2}}+{{x}^{3}}={{x}^{5}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{4}}-{{x}^{2}}={{x}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{2}}\cdot {{x}^{3}}={{x}^{6}}$$ 
aoVal: D
content: $${{x}^{3}}\div {{x}^{2}}=x$$ 
Answer: D
Analysis: 略． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式除以单项式
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 若$$a$$的负倒数的相反数是$$8$$，$$b$$的相反数的负倒数也是$$8$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a=b$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}b$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater b$$ 
aoVal: D
content: $$ab=1$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$-\left( -\frac{1}{a} \right)=8$$，得$$a=\frac{1}{8}$$；  由$$-\left( \frac{1}{-b} \right)=8$$，得$$b=\frac{1}{8}$$；  所以$$a=b$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->负倒数的定义
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义
Source: 2018~2019学年10月天津南开区天津市第二十五中学初一上学期月考第2题3分
2019~2020学年10月天津河北区天津外国语大学附属外国语学校初一上学期月考第7题3分
2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
2019~2020学年10月天津河北区天津外国语大学附属外国语学校初一上学期月考第7题3分
Problem: 若$$x+y=3$$，$$xy=1$$．则$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$33$$ 
aoVal: B
content: $$231$$ 
aoVal: C
content: $$123$$ 
aoVal: D
content: $$312$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$x+y=3$$，  所以$${{(x+y)}^{2}}=9$$，  即$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy=9$$．  因为$$xy=1$$，  所以$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7$$．  所以$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)=3\times (7-1)=18$$，  所以$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=({{x}^{3}}+{{y}^{3}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-{{(xy)}^{2}}(x+y)=18\times 7-{{1}^{2}}\times 3=123$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
Problem: 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人$$10$$次射击的平均成绩恰好都是$$9.2$$环，方差分别是$$S_{甲}^{2}=0.56$$，$$S_{乙}^{2}=0.45$$，$$S_{丙}^{2}=0.50$$，$$S_{丁}^{2}=0.60$$，则成绩最稳定的是．
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 丁 
Answer: B
Analysis: 由题意得：  $$S_{乙}^{2}\textless{}S_{丙}^{2}\textless{}S_{甲}^{2}\textless{}S_{丁}^{2}$$，  ∴最稳定的是乙．  选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->数据处理能力
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差
Source: 2018~2019学年湖北宜昌初三下学期期中（东部）第7题
2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第10题3分
Problem: 在$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$99$$，$$100$$这$$100$$个自然数中，不是$$2$$的倍数，不是$$3$$的倍数，且不是$$5$$的倍数的数共有$$k$$个，则$$k=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$26$$ 
aoVal: C
content: $$27$$ 
aoVal: D
content: $$28$$ 
Answer: B
Analysis: 在$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$99$$，$$100$$这$$100$$个自然数中，  $$2$$的倍数有$$50$$个，  $$3$$的倍数有$$33$$个，  $$5$$的倍数有$$20$$个，  $$2$$和$$3$$的公倍数有$$16$$个，  $$2$$和$$5$$的公倍数有$$10$$个，  $$3$$和$$5$$的公倍数有$$6$$个，  $$2$$、$$3$$和$$5$$的公倍数有$$3$$个．  共计$$50+33+20-16-10-6+3=74$$个，  ∴$$k=100-74=26$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: 顺次连结一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是．
Options:
aoVal: A
content: 任意的四边形 
aoVal: B
content: 两条对角线等长的四边形 
aoVal: C
content: 矩形 
aoVal: D
content: 平行四边形 
Answer: B
Analysis: 顺次连结任意四边形的中点，得到的四边形的两组对边分别平行于原四边形的两条对角线，并且分别等于原四边形的两条对角线长的一半，所以得到的四边形是平行四边形，当原四边形的两条对角线长度相等时，顺次连结该四边形各边中点所得到的平行四边形的两组对边等长，即为菱形．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->菱形->菱形的性质
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 在式子$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar$$中，用不同的$$x$$值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$a=\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar$$，$$b=\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar$$，  $$t=\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar=a+b$$，  根据绝对值的几何意义，$$a$$表示点$$x$$到$$-1$$与$$-4$$两点的距离之和，  分析可得当$$-4\leqslant x\leqslant -1$$时，$$a$$最小，其值为$$3$$，  $$b$$表示点$$x$$到$$-2$$与$$-3$$两点的距离之和，  分析可得当$$-3\leqslant x\leqslant -2$$时，$$b$$最小，其值为$$1$$，  综合可得，当$$-3\leqslant x\leqslant -2$$，$$a$$、$$b$$均取得最小值，  故此时$$t$$取得最小值，且$$t$$的最小值为$$3+1=4$$，  故答案为$$4$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用绝对值求最值
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 若抛物线$$y={{x}^{2}}+bx+c$$与$$x$$轴只有一个公共点，且过点$$A(m,n)$$，$$B(m-8,n)$$，则$$n=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: C
Analysis: ∵抛物线过点$$A(m,n)$$，$$B(m-8,n)$$，  ∴抛物线的对称轴为$$x=-\frac{b}{2}=\frac{m+m-8}{2}$$，  ∴$$b=8-2m$$．  ∵抛物线$$y={{x}^{2}}+bx+c$$与$$x$$轴只有一个公共点，  ∴$$\Delta ={{b}^{2}}-4c=0$$，  ∴$$c=\frac{1}{4}{{b}^{2}}={{(4-m)}^{2}}$$，  ∴$$n={{m}^{2}}+(8-2m)m+{{(4-m)}^{2}}=16$$． 
<p>由题意得：$${{b}^{2}}-4c=0$$，$$b=8-2m$$，</p>
<p>&there4;$$n={{m}^{2}}+bm+c={{m}^{2}}+\left( 8-2m \right)m+{{\left( 4-m \right)}^{2}}=16$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与一元二次方程的关系
课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质->二次函数y=ax^2+bx+c 的对称轴->已知抛物线上对称的两点求对称轴
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
2017~2018学年12月天津天津市益中学校初三上学期月考第11题3分
Problem: 等腰三角形周长是$$\text{24cm}$$，一腰的中线将周长分成$$5:3$$的两部分，那么这个三角形的底边长是．
Options:
aoVal: A
content: $$7\text{.5cm}$$ 
aoVal: B
content: $$\text{12cm}$$ 
aoVal: C
content: $$\text{4cm}$$ 
aoVal: D
content: $$\text{12cm}$$或$$\text{4cm}$$ 
Answer: C
Analysis: 若底边长为$$12$$．则其他二边之和也是$$12$$，矛盾．故不可能是$$\text{B}$$或$$\text{D}$$．  又底为$$4$$时，腰长是$$10$$．符合题意．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1990年第1届希望杯初二竞赛第1题
Problem: 若一元二次方程$$2x(kx-4)-{{x}^{2}}+6=0$$有实数根，则$$k$$的最大整数值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 原方程整理为$$(2k-1){{x}^{2}}-8x+6=0$$，  当$$\Delta \geqslant 0$$时，方程有实数根，则$${{(-8)}^{2}}-4\cdot (2k-1)\cdot 6\geqslant 0$$，  即$$48k\leqslant 88$$，  所以$$k\leqslant \frac{11}{6}$$，  故$$k$$的最大整数值是$$1$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第12题
Problem: 小伟、小胜、小臣、小琳四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小伟：苹果不在我这里；  小胜：苹果在小琳那里；  小臣：苹果在小胜那里；  小琳：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是．
Options:
aoVal: A
content: 小伟 
aoVal: B
content: 小胜 
aoVal: C
content: 小臣 
aoVal: D
content: 小琳 
Answer: B
Analysis: 用假设法：  （$$1$$）假设小伟说了假话，那么苹果在小伟那里，小胜和小臣就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小胜说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小胜那里；  （$$3$$）假设小臣说了假话，则小胜说``苹果在小琳那里''与小琳说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小琳说的是假话，那么小臣说的就是假话，这样小琳、小臣都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小胜那里． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 有四种说法：  甲：正数的平方不一定大于它本身；  乙：正数的立方不一定大于它本身；  丙：负数的平方不一定大于它本身；  丁：负数的立方不一定大于它本身．  这四种说法中，不正确的说法的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$3$$个 
Answer: B
Analysis: 由$${{1}^{2}}=1$$，$${{1}^{3}}=1$$可知甲、乙两种说法是正确的．  由$${{(-1)}^{3}}=-1$$，可知丁也是正确的说法．  而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，  所以``负数平方不一定大于它本身''的说法不正确．即丙不正确．  在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙$$1$$个说法不正确．所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第6题
Problem: $$1997$$个不全相等的有理数之和为零，则这$$1997$$个有理数中（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 至少有一个是零 
aoVal: B
content: 至少有$$998$$个正数 
aoVal: C
content: 至少有一个是负数 
aoVal: D
content: 至多有$$1995$$个是负数 
Answer: C
Analysis: 由题意，这$$1997$$个有理数可以有零，也可以没有零，则排除$$\text{A}$$．  这$$1997$$个有理数中，必须有正数和负数．  例如，$$1996$$个$$-1$$和一个$$1996$$相加为零，则否定了$$\text{B}$$和$$\text{D}$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第6题
Problem: 分式$$\frac{{{b}^{2}}-1}{{{b}^{2}}-2b-3}$$的值为$$0$$，则$$b$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\pm 1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{{{b}^{2}}-1}{{{b}^{2}}-2b-3}=0$$，  所以$${{b}^{2}}-1=0$$且$${{b}^{2}}-2b-3\ne 0$$，  解得$$b=1$$或$$b=-1$$，且$$b\ne -1$$且$$b\ne 3$$，  所以$$b=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
2017~2018学年河南洛阳涧西区洛阳市东升第二中学初二上学期期中第5题3分
2017~2018学年湖南益阳桃江县源嘉桥镇中学初二上学期期中第9题5分
Problem: 计算$${{2}^{12}}\times {{5}^{9}}$$，得数是．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$位数 
aoVal: B
content: $$10$$位数 
aoVal: C
content: $$11$$位数 
aoVal: D
content: $$12$$位数 
Answer: B
Analysis: $${{2}^{12}}\times {{5}^{9}}={{2}^{3}}\times {{2}^{9}}\times {{5}^{9}}=8\times {{\left( 2\times 5 \right)}^{9}}=8\times {{10}^{9}}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 若$$a$$与$$b$$是互为相反数，且$$\left\textbar{} a-2b \right\textbar=\frac{3}{2}$$，则$$\frac{2a-ab-{{b}^{2}}+2}{{{a}^{2}}+ab+b-1}$$的值为  ．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$a$$与$$b$$是互为相反数，  所以$$a+b=0$$，即$$b=-a$$．  所以$$\left\textbar{} a-2b \right\textbar=\left\textbar{} 3a \right\textbar=\frac{3}{2}$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar=\left\textbar{} b \right\textbar=\frac{1}{2}$$．  所以$${{a}^{2}}+ab+b-1\ne 0$$．  所以$$\frac{2a-ab-{{b}^{2}}+2}{{{a}^{2}}+ab+b-1}$$  $$=\frac{2a+{{a}^{2}}-{{a}^{2}}+2}{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}-a-1}$$  $$=\frac{2a+2}{-a-1}$$  $$=-2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第19题4分
Problem: 已知$$\triangle ABC$$的三个内角的比是$$m:\left( m+1 \right):\left( m+2 \right)$$，其中$$m$$是大于$$1$$的正整数，那么$$\triangle ABC$$是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 等腰三角形 
Answer: A
Analysis: 设一个角为$$m$$，则两外两个角为$$m+1$$，$$m+2$$，  则：$$3m+3=180{}^{}\circ $$，  解得：$$m=59{}^{}\circ $$，即可得三角分别为$$59{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$61{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第6题4分
Problem: 从$$3$$枚面值$$3$$元的硬币和$$5$$枚面值$$5$$元的硬币中任意取出$$1$$枚或多于$$1$$枚，可以得到$$n$$种不同的面值，则$$n$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$23$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: C
Analysis: 分两步取硬币：  第一步，取面值为$$3$$元的硬币，可以是$$0$$枚，$$1$$枚，$$2$$枚．  第二步，取面值为$$5$$元的硬币，可以是$$0$$枚，$$1$$枚，$$2$$枚，$$3$$枚，$$4$$枚，$$5$$枚．  于是，共有取法$$4\times 6=24$$（种）．  因为要求意取出$$1$$枚或多于$$1$$枚，  所以共有取法$$24-1=23$$（种）． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->计数问题-分步处理与乘法原理
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+1=0 \end{cases}$$有无数组解，则$$a$$，$$b$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$a=0$$，$$b=0$$ 
aoVal: B
content: $$a=-2$$，$$b=1$$ 
aoVal: C
content: $$a=2$$，$$b=-1$$ 
aoVal: D
content: $$a=2$$，$$b=1$$ 
Answer: B
Analysis: 方程组有无数组解于是有$$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$$，  于是$$\frac{1}{b}=\frac{a}{-2}=\frac{1}{1}$$，  ∴$$a=-2$$，$$b=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016~2017学年陕西西安高新区西安高新第一中学初二上学期期末第24题7分
2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第2题
初一下学期其它第18题
Problem: 已知二次函数$$y=a{{x}^{2}}+bx+c$$的图象交\emph{x}轴于\emph{A}(\emph{x}\textsubscript{1}，0)，\emph{B}(\emph{x}\textsubscript{2}，0)两点，交\emph{y}轴于点\emph{C}(0，3)，若$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$$，且△\emph{ABC}的面积为3，则\emph{a+b}（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 3 
aoVal: B
content: -5 
aoVal: C
content: 3 
aoVal: D
content: 5 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 方法一：由根与系数的关系可得$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=4$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{3}{a}$$，再利用$$AB=\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{16-4\times \frac{3}{a}}=2\sqrt{4-\frac{3}{a}}$$列方程求解$$a,b$$，再检验即可得到答案；方法二：不妨设$${{x}_{1}}\textless{} {{x}_{2}}$$，由三角形的面积先求解$$AB={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2$$，结合$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$$，再求解$${{x}_{1}},{{x}_{2}},$$再利用待定系数法求解$$a,b,$$ 从而可得答案.\\ 【详解】\\ 解：方法一：依题意$${{x}_{1}},{{x}_{2}}$$为方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$的两根，且$$c=3$$．\\ 所以$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=4$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{3}{a}$$．\\ 所以$$AB=\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{16-4\times \frac{3}{a}}=2\sqrt{4-\frac{3}{a}}$$，\\ 所以$$\vartriangle ABC$$面积$$S=\frac{1}{2}AB\times 3=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{4-\frac{3}{a}}\times 3=3$$．\\ 解得$$a=1$$，经检验符合题意，\\ $$\therefore $$ $$b=-4a=-4$$．\\ 因为函数$$y={{x}^{2}}-4x+3$$的图象与$$x$$轴有两个不同交点，因此$$a=1$$，$$b=-4$$，$$c=3$$符合要求．\\ 所以$$a+b=-3$$．\\ 方法二：不妨设$${{x}_{1}}\textless{} {{x}_{2}}$$，则$$AB={{x}_{2}}-{{x}_{1}}$$，由$$\vartriangle ABC$$的面积为3，且$$C\left( 0,3 \right)$$，得$$AB=2$$．\\ 所以$$AB={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2$$，又$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$$，\\ 解得：$${{x}_{1}}=1$$，$${{x}_{2}}=3$$．\\ 因此$$y=a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)$$．\\ 将$$x=0$$代入，得$$y=3a=3$$，所以$$a=1$$．\\ 所以$$y=a{{x}^{2}}+bx+c=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)={{x}^{2}}-4x+3$$，\\ 因此$$a+b=1+\left( -4 \right)=-3$$．\\ 故选C\\ 【点睛】\\ 本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数与\emph{x}轴的交点坐标的含义是解本题的关键. 
Source: 2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第1~1题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$是实常数，关于$$x$$的一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$有两个非零实根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，则下列关于$$x$$的一元二次方程中，以$$\frac{1}{x_{1}^{2}}$$，$$\frac{1}{x_{2}^{2}}$$为两个实根的是(  )．
Options:
aoVal: A
content: $${{c}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x+{{a}^{2}}=0$$ 
aoVal: B
content: $${{c}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x+{{a}^{2}}=0$$ 
aoVal: C
content: $${{c}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x-{{a}^{2}}=0$$ 
aoVal: D
content: $${{c}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x-{{a}^{2}}=0$$ 
Answer: B
Analysis: 由于$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$是关于$$x$$的一元二次方程，则$$a\ne 0$$．  因为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$$，且$${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0$$，所以$$c\ne 0$$，且$$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{c}^{2}}}$$，$$\frac{1}{x_{1}^{2}}\cdot \frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$$，  于是根据方程根与系数的关系，以$$\frac{1}{x_{1}^{2}}$$，$$\frac{1}{x_{2}^{2}}$$为两个实根的一元二次方程是$${{x}^{2}}-\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{c}^{2}}}x+\frac{{{a}^{2}}}{c}=0$$，即$${{c}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x+{{a}^{2}}=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 2013年竞赛第2题4分
Problem: 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为``和谐数''．如：$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，$$2$$和$$26$$均为``和谐数''．那么，不超过$$2016$$的正整数中，所有的``和谐数''之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$6858$$ 
aoVal: B
content: $$6860$$ 
aoVal: C
content: $$9260$$ 
aoVal: D
content: $$9262$$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：$${{(2k+1)}^{3}}-{{(2k-1)}^{3}}$$  $$=\left[ (2k+1)-(2k-1) \right]\left[ {{(2k+1)}^{2}}+(2k+1)(2k-1)+{{(2k-1)}^{2}} \right]$$  $$=2(12{{k}^{2}}+1)$$（其中$$k$$为非负整数），  由$$2(12{{k}^{2}}+1)\leqslant 2016$$得，$$k\leqslant 9$$，  ∴$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$9$$，  即得所有不超过$$2016$$的``和谐数''的和为  $$\left[ {{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}} \right]+({{3}^{3}}-{{1}^{3}})+({{5}^{3}}-{{3}^{3}})+\cdots +({{17}^{3}}-{{15}^{3}})+({{19}^{3}}-{{17}^{3}})={{19}^{3}}+1=6860$$．  方法二：设``和谐数''为$$m$$，一定可以表示为$$m={{n}^{3}}-{{(n-2)}^{3}}$$，其中$$n$$为正整数．题目要求$$m\leqslant 2016$$，通过计算可得$$n$$最大为$$19$$，于是有  $$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，  $$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，  $$\cdots $$  $$1946={{19}^{3}}-{{17}^{3}}$$，  等式两边分别相加，可得``和谐数''总和$$={{19}^{3}}-{{(-1)}^{3}}=6860$$，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分
2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分
Problem: 设$$n$$为大于$$1$$的自然数，则下列四个式子的值一定不是完全平方数的是．
Options:
aoVal: A
content: $$3{{n}^{2}}-3n+3$$ 
aoVal: B
content: $$5{{n}^{2}}-5n-5$$ 
aoVal: C
content: $$9{{n}^{2}}-9n+9$$ 
aoVal: D
content: $$11{{n}^{2}}-11n-11$$ 
Answer: C
Analysis: 欲使$$9{{n}^{2}}-9n+9$$为某自然数的平方，因为$$9{{n}^{2}}-9n+9=9\left( {{n}^{2}}-n+1 \right)$$，  故必须使$${{n}^{2}}-n+1$$ 为某自然数的平方，  而$$n\textgreater1$$时有$${{n}^{2}}-2n+1\textless{}{{n}^{2}}-n+1\textless{}{{n}^{2}}$$，  即$${{n}^{2}}-n+1$$不可能为某自然数的完全平方，  故选$$\text{C}$$． 
<p>当$$n=2$$时，$$3{{n}^{2}}-3n+3=9$$，</p>
<p>当$$n=3$$时，$$5{{n}^{2}}-5n-5=25$$，</p>
<p>当$$n=4$$时，$$11{{n}^{2}}-11n-11=121$$均为完全平方数，所以排除$$\text{ABD}$$，</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->能力->运算能力
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 下面四个命题中一定不正确的命题是．
Options:
aoVal: A
content: $$3{{a}^{2}}{{b}^{7}}$$和$$7{{b}^{7}}{{a}^{2}}$$是同类项 
aoVal: B
content: $$3x-1=0$$和$$3+\frac{2}{x-1}=0$$是同解方程 
aoVal: C
content: $$a-3$$和$$3-a$$互为倒数 
aoVal: D
content: $${{x}^{3}}-b$$和$$-{{x}^{3}}-b$$互为相反数 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$．显然正确；$$\text{B}$$．中两个方程的解 $$x=\frac{1}{3}$$，是同解方程；  当$$b=0$$时，$$\text{D}$$正确；若存在$$a$$，使得$$\left( a-3 \right)$$与$$\left( 3-a \right)$$互为倒数，则  $${{\left( a-3 \right)}^{2}}=-1\textless{}0$$，矛盾．  所以对任何数$$a$$，$$a-3$$与$$3-a$$都不能互为倒数．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第7题
Problem: 若$$a+b=-\frac{1}{5}$$，$$a+3b=1$$，则$$3{{a}^{2}}+12ab+9{{b}^{2}}+\frac{3}{5}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: D
Analysis: $$3{{a}^{2}}+12ab+9{{b}^{2}}+\frac{3}{5}$$  $$=3({{a}^{2}}+4ab+3{{b}^{2}})+\frac{3}{5}$$  $$=3(a+b)(a+3b)+\frac{3}{5}$$  $$=3\times \left( -\frac{1}{5} \right)\times 1+\frac{3}{5}$$  $$=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 辽宁大连竞赛
初一单元测试《分解方法的延拓（1）》第14题
2016~2017学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初一下学期单元测试《整式乘除》第27题5分
Problem: 三条边长都是质数的三角形可能是（~ ）．  ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等边三角形．
Options:
aoVal: A
content: ①②③④ 
aoVal: B
content: ②③④⑤ 
aoVal: C
content: ①③④⑤ 
aoVal: D
content: ①②③④⑤ 
Answer: C
Analysis: 例如边长为$$2$$，$$2$$，$$2$$的三角形，满足题意，  该三角形为锐角三角形，等腰三角形，等边三角形．  例如边长为$$3$$，$$3$$，$$5$$的三角形，满足题意，  该三角形为钝角三角形．  若该三角形为直角三角形，设三边长为$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$a\textgreater b\geqslant c$$且均为质数．  ∴$${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$．  由于偶质数只有$$2$$，且奇数的平方仍然数奇数，  ∴一定有$$c=2$$，  ∴$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=4$$．  ∵最小的两个奇质数的平方差为$${{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16\ne 4$$，  ∴不存在三边长都是质数的直角三角形．  综上，满足条件的三角形可能是锐角三角形，钝角三角形，等腰三角形和等边三角形． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的定义
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明
课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形基础->等腰三角形的定义
课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等边三角形->等边三角形的定义
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分
Problem: 如果一个七位数的最高位不是$$0$$和$$1$$，那么这个七位数以$$4$$开头，以$$0$$结束的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 1{63}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 1{80}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 1{81}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac 1{90}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac 1{100}$$ 
Answer: B
Analysis: 对于第一个数字总共有$$10-2=8$$可能性，所以数字以$$4$$开头的概率是$$\frac{1}{8}$$对于最后一个数字总共有$$10$$种肯能性，所以数字$$0$$开头的概率是$$\frac{1}{10}$$，因为这是独立事件，所以两种情况都发生的概率是$$\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{80}$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 美国amc8->知识点->组合->排列组合->排列问题
Source: 1985年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 设$$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$，$$y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$$，（$$n$$为自然数）．如果$$2{{x}^{2}}+197xy+2{{y}^{2}}=1993$$成立，那么$$n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 由题设得：$$xy=1$$，$$x+y=4n+2$$由$$2{{x}^{2}}+197xy+2{{y}^{2}}=1993$$，  得$$2{{(x+y)}^{2}}+193xy=1993$$．  将$$xy=1$$，$$x+y=4n+2$$代入上式得$${{(4n+2)}^{2}}=900$$，即  $$4n+2=30$$．  ∴$$n=7$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第6题
Problem: 使分式$$\frac{-x-\textbar x\textbar}{{{x}^{2}}+x}$$的值为零的$$x$$的一个值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: D
Analysis: 符合题意的$$x$$满足下列条件  $$\begin{cases}-x-\textbar x\textbar=0    {{x}^{2}}+x\ne 0    \end{cases}$$，即$$\begin{cases}x=-\textbar x\textbar{}    x(x+1)\ne 0    \end{cases}$$．  所以$$\begin{cases}x\leqslant 0    x\ne 0且x\ne -1    \end{cases}$$，即$$x\textless{}0$$且$$x\ne -1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第1题
Problem: 已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$432$$ 
aoVal: B
content: $$576$$ 
aoVal: C
content: $$-432$$ 
aoVal: D
content: $$-576$$ 
Answer: D
Analysis: 只要$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}4$$中至少有一个成立，  则$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar\leqslant \left\textbar{} x \right\textbar+2\left\textbar{} y \right\textbar+\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}9$$，  这与$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$矛盾，  所以当且仅当$$\left\textbar{} x \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar=4$$同时成立时，才能满足$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，  此时$$x=3$$，$$y=-1$$，$$z=4$$或$$x=-3$$，$$y=1$$，$$z=-4$$，  所以$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{3}^{2}}\times {{(-1)}^{2011}}\times {{4}^{3}}=-576$$或$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{(-3)}^{2}}\times {{1}^{2011}}\times {{(-4)}^{3}}=-576$$，  综上，$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是$$-576$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分