math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 购买铅笔$$7$$支，作业本$$3$$个，圆珠笔$$1$$支共需$$3$$元；购买铅笔$$10$$支，作业本$$4$$个，圆珠笔$$1$$支共需$$4$$元，则购买铅笔$$11$$支，作业本$$5$$个，圆珠笔$$2$$支共需（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4.5$$元 
aoVal: B
content: $$5$$元 
aoVal: C
content: $$6$$元 
aoVal: D
content: $$6.5$$元 
Answer: B
Analysis: 铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$，  则$$7a+3b+c=3$$，$$10a+4b+c=4$$，  于是$$11a+5b+2c$$$$=3\left( 7a+3b+c \right)-\left( 10a+4b+c \right)$$$$=5$$．  ~ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
Source: 2018~2019学年湖南株洲荷塘区初一下学期期末第10题4分
初一单元测试《一次方程组的应用》第22题
2019~2020学年浙江杭州杭州第十三中学初一下学期单元测试《二元一次方程组》（杭州市十三中教育集团）第17题3分
2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第4题4分
Problem: 如果有理数$$a$$，$$b$$满足$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0$$，则下列说法中不正确的一个是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$与$$b$$的和是$$0$$ 
aoVal: B
content: $$a$$与$$b$$的差是正数 
aoVal: C
content: $$a$$与$$b$$的积是负数 
aoVal: D
content: $$a$$除以$$b$$，得到的商是$$-1$$ 
Answer: B
Analysis: 有理数$$a$$，$$b$$满足$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0$$，所以$$a\ne 0$$，$$b\ne 0$$，$$\frac{1}{a}=-\frac{1}{b}$$，  所以$$a=-b$$，所以一定有$$a+b=0$$，$$ab\textless{}0$$，$$\frac{a}{b}=-1$$，  所以排除$$\text{A}$$，$$\text{C}$$，$$\text{D}$$．  事实上，如$$a=-2$$，$$b=2$$，但$$a-b=-2-2=-4\textless{}0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第5题
Problem: 有以下两个结论：  ①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；  ②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．  则．
Options:
aoVal: A
content: ①、②都不对 
aoVal: B
content: ①对，②不对 
aoVal: C
content: ①、②都对 
aoVal: D
content: ①不对，②对 
Answer: A
Analysis: 因为$$0$$的相反数是$$0$$，所以①是假命题；因为$$1$$的倒数是$$1$$，故命题②也是假命题．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第3题4分
Problem: 设$$a$$、$$b$$为两个负数，且$$a ~\textless{} ~b$$，则下面四个数中一定为大于$$a$$且小于$$b$$的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3a+2b}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}a$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{3}b$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3a+2b}{4}$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$a ~\textless{} ~b$$，所以$$5a ~\textless{} ~3a+2b ~\textless{} ~5b$$，因此，$$a ~\textless{} ~\frac{3a+2b}{5} ~\textless{} ~b$$，故$$\text{A}$$正确；  $$a=-2$$，$$b=-1$$，$$a ~\textless{} ~b$$，$$\frac{1}{2}a=-1$$，故$$\text{B}$$错误；  $$a=-2$$，$$b=-1$$，$$\frac{1}{3}b=-\frac{1}{3}$$，故$$\text{C}$$错误；  $$a=-2$$，$$b=-1$$，$$\frac{3a+2b}{4}=\frac{-6-2}{4}=-2$$．其实对于$$\text{A}$$，也可取$$a=-2$$，$$b=-1$$，$$\frac{3a+2b}{5}=\frac{-6-2}{5}=-\frac{8}{5}$$，满足$$-2 ~\textless{} ~-\frac{8}{5} ~\textless{} ~-1$$，故$$\text{D}$$错误． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
Source: 2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第3题
Problem: 已知三角形三个内角的度数之比为$$x:y:z$$，且$$x+y ~\textless{} ~z$$，则这个三角形是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 等腰三角形 
Answer: C
Analysis: 这个三角形的最大内角为：$$\frac{180{}^{}\circ }{x+y+z}\cdot z\textgreater\frac{180{}^{}\circ }{2z}\cdot z=90{}^{}\circ $$．则它是钝角三角形．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知：$$x=\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)$$（$$n$$是自然数）．那么$${{\left( x-\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $${{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: B
content: $$-{{1991}^{-1}}$$ 
aoVal: C
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$ 
aoVal: D
content: $${{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$1+{{x}^{2}}=1+\frac{1}{4}\left( {{1991}^{\frac{2}{n}}}-2+{{1991}^{-\frac{2}{n}}} \right)=\frac{1}{4}{{\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)}^{2}}$$，  原式$$={{\left[ \frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}-{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right)-\frac{1}{2}\left( {{1991}^{\frac{1}{n}}}+{{1991}^{-\frac{1}{n}}} \right) \right]}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算
知识标签->题型->式->二次根式->二次根式化简求值->题型：二次根式的化简求值
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
Source: 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题
Problem: $${{m}^{2}}=n+2$$，$${{n}^{2}}=m+2(m\ne n)$$, find $${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}$$．  若$${{m}^{2}}=n+2$$，$${{n}^{2}}=m+2(m\ne n)$$，则$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
aoVal: E
content: $$-2$$ 
Answer: E
Analysis: $${{m}^{2}}=n+2$$，$${{n}^{2}}=m+2$$，  两式相减得到$${{m}^{2}}-{{n}^{2}}=n-m\Rightarrow (m-n)(m+n+1)=0$$．  又$$m\ne n$$，所以$$m+n=-1$$，  由立方和公式$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}=(m+n)({{m}^{2}}-mn+{{n}^{2}})-2mn$$  $$=-({{m}^{2}}-mn+{{n}^{2}})-2mn$$  $$=-{{m}^{2}}-mn-{{n}^{2}}$$  $$=-m(m+n)-{{n}^{2}}$$  $$=m-{{n}^{2}}$$．  又由已知条件$${{n}^{2}}=m+2$$，所以$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}=m-{{n}^{2}}=-2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 已知实数$$a$$满足$$\left\textbar{} 1992-a \right\textbar+\sqrt{a-1993}=a$$，那么$$a-{{1992}^{2}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1991$$ 
aoVal: B
content: $$1992$$ 
aoVal: C
content: $$1993$$ 
aoVal: D
content: $$1994$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意知$$a-1993\geqslant 0$$，因而$$a\geqslant 1993$$，  于是$$\left\textbar{} 1992-a \right\textbar=a-1992$$，  由$$\left\textbar{} 1992-a \right\textbar+\sqrt{a-1993}=a$$，  可知，$$a-1992+\sqrt{a-1993}=a$$，  即$$\sqrt{a-1993}=1992$$，  从而$$a-1993={{1992}^{2}}$$，  故$$a-{{1992}^{2}}=1993$$．  所以应选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 已知$$a+{{x}^{2}}=2011$$，$$b+{{x}^{2}}=2012$$，$$c+{{x}^{2}}=2013$$，且$$abc=24$$，则$$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: \frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: \frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: \frac{1}{8}$$ 
aoVal: D
content: \frac{1}{16}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a+{{x}^{2}}=2011$$，$$b+{{x}^{2}}=2012$$，$$c+{{x}^{2}}=2013$$，  得$$b-a=1$$，$$c-b=1$$，$$c-a=2$$．  $$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$$  $$=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac}{abc}$$  $$=\frac{{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(a-c)}^{2}}}{2abc}$$  $$=\frac{1+1+4}{2\times 24}$$  $$=\frac{1}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->配方法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第18题4分
Problem: 若$$\left( x+a \right)\left( x+b \right)+\left( x+b \right)\left( x+c \right)-\left( x+c \right)\left( x+a \right)$$是完全平方式．则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系可以写成．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}=0$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}a\textless{}b$$ 
aoVal: D
content: $$a=b\ne c$$ 
Answer: B
Analysis: 容易看到$$a=b=c$$时，原式成为$$3{{\left( x+a \right)}^{2}}$$，是完全平方式．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->利用完全平方式求参数的值
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 若$$a={{(2+\sqrt{3})}^{-1}}$$，$$b={{(2-\sqrt{3})}^{-1}}$$，$${{(a-2)}^{-3}}+{{(b-2)}^{-3}}$$则的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{2\sqrt{3}}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$$ 
Answer: B
Analysis: $$a={{(2+\sqrt{3})}^{-1}}$$，$$b={{(2-\sqrt{3})}^{-1}}$$，  ∴$$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$$，$$b=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$$，  ∴$${{(a-2)}^{-3}}+{{(b-2)}^{-3}}=\frac{1}{{{(a-2)}^{3}}}+\frac{1}{{{(b-2)}^{3}}}=\frac{1}{{{(-\sqrt{3})}^{3}}}+\frac{1}{{{(\sqrt{3})}^{3}}}=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第1题
Problem: $$6$$个人用$$35$$天完成了某项工程的$$\frac{1}{3}$$，如果再增加工作效率相同的$$8$$个人，那么完成这项工程，前后共用的天数是（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$65$$ 
Answer: D
Analysis: 总工程量的$$\frac{1}{3}$$为$$6\times 35=210$$（人$$\cdot $$天），  还有$$\frac{2}{3}$$，即$$2\times 210=420$$（人$$\cdot $$天），  还需要$$\frac{420}{6+8}=30$$（天），  则完成这项工程共用的天数是$$35+30=65$$（天）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分
Problem: 设正整数$$a$$，$$m$$，$$n$$满足$$\sqrt{{{a}^{2}}-4\sqrt{2}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$$，则这样的$$a$$，$$m$$，$$n$$的取值（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 有一组 
aoVal: B
content: 有二组 
aoVal: C
content: 多于二组 
aoVal: D
content: 不存在 
Answer: A
Analysis: 将原式两边平方得到$${{a}^{2}}-4\sqrt{2}=m+n-2\sqrt{mn}$$，由于$$a$$，$$m$$，$$n$$都是正整数，所以$${{a}^{2}}=m+n$$，$$mn=8$$．又$$m\textgreater n$$，仅当$$m=8$$，$$n=1$$时$$a$$为正整数．所以共有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第2题
Problem: 若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是$$7$$，且三角形的周长是奇数，则第三边长可能是．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 不妨设三角形三边长的度为$$a$$，$$b$$，$$c$$．  且$$a-b=7$$，则$$a$$与$$b$$为一奇一偶，又题设知$$a+b+c$$为奇数，  所以$$c$$一定是偶数，又三角形两边之差小于第三边，即$$c\textgreater a-b=7$$，  所以第三边的长度可能是$$8$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->求三角形第三边的取值范围
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第5题
Problem: ~已知$$a=1999x+2000    ， b=1999x+2001    ，c=1999x+2002$$，则多项式$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$$的值为（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: 原式$$=\frac{1}{2}\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]=\frac{1}{2}\times \left[ 1+4+1 \right]=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->配方法
Source: 2019~2020学年5月四川成都金牛区成都外国语学校初一下学期周测A卷第4题3分
2014~2015学年广东深圳罗湖区初一下学期期中第12题3分
2002年竞赛第2题5分
Problem: 设$$a$$，$$b$$是常数，不等式$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，则关于$$x$$的不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$x\textless{}-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater-\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$x\textless{}\frac{1}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 原不等式变形得：$$\frac{x}{a}\textgreater-\frac{1}{b}$$，  ∵$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，  ∴$$a\textless{}0$$．  解不等式得：$$x\textless{}-\frac{a}{b}$$，$$-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$$，即$$b=-5a$$．  ∴$$-5ax-a\textgreater0$$，  ∴$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  因为不等式等$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x ~\textless{} ~\frac{1}{5}$$，故必有$$a ~\textless{} ~0$$，所以$$\frac{-a}{b}=\frac{1}{5}$$，并且$$b\textgreater0$$，所以由$$bx-a\textgreater0$$得到$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
Source: 2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题
2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分
初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为（~ ）.
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{\text{3}}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{\text{6}}$$ 
aoVal: C
content: 2 
aoVal: D
content: 3 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 爸爸给女儿园园买了一个（圆柱形的）生日蛋糕，园园想把蛋糕切成大小不定相等的若干块（不少于$$10$$块），分给$$10$$个小朋友，若沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切刀．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 易知，$$2$$条直线至多可以分圆面为$$4$$块；$$3$$条直线至多分圆面为$$7$$块；$$4$$条直线至多分圆面为$$11$$块，因此要把蛋糕分成不少于$$10$$块，至少需要切$$4$$刀．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第3题
Problem: 方程$${{x}^{2}}+2xy+3{{y}^{2}}=34$$的整数解$$(x,y)$$的组数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 方程变形得：$${{(x+y)}^{2}}+2{{y}^{2}}=34$$，  ∵$$34$$与$$2{{y}^{2}}$$是偶数，  ∴$$x+y$$必须是偶数，  设$$x+y=2t$$，  则原方程变为：$${{(2t)}^{2}}+2{{y}^{2}}=34$$，  ∴$$2{{t}^{2}}+{{y}^{2}}=17$$，  它的整数解为$$\begin{cases}t=\pm 2    y=\pm 3 \end{cases}$$，  则当$$y=3$$，$$t=2$$时，$$x=1$$；  当$$y=3$$，$$t=-2$$时，$$x=-7$$；  当$$y=-3$$，$$t=2$$时，$$x=7$$；  当$$y=-3$$，$$t=-2$$时，$$x=-1$$．  ∴原方程的整数解为：$$(1,3)$$，$$(-7,3)$$，$$(7,-3)$$，$$(-1,-3)$$共$$4$$组． 
<p>$${{\left( x+y \right)}^{2}}+2{{y}^{2}}=34$$ 尝试可知，$${{\left( x+y \right)}^{2}}=16$$，$$ {{y}^{2}}=9$$，</p>
<p>&there4;$$\begin{cases}x=1 \\ y=3 \\\end{cases}$$，$$\begin{cases}x=-1 \\ y=-3 \\\end{cases}$$，$$\begin{cases}x=7 \\ y=-3 \\\end{cases}$$，$$\begin{cases}x=-7 \\ y=3 \\\end{cases}$$．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组）
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第5题5分
Problem: 若$$({{a}^{m}}{{b}^{n+2}})\cdot ({{a}^{2n}}{{b}^{2m}})={{a}^{5}}{{b}^{3}}$$，则$$m+n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$({{a}^{m}}{{b}^{n+2}})\cdot ({{a}^{2n}}{{b}^{2m}})={{a}^{m+2n}}{{b}^{2m+n+2}}={{a}^{5}}{{b}^{3}}$$，  ∴$$m+2n=5$$，$$2m+n+2=3$$，  两式相加，得$$m+n=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分
Problem: ①若$$a=0$$，$$b\ne 0$$，则方程$$ax=b$$无解；  ②若$$a=0$$，$$b\ne 0$$，则不等式$$ax\textgreater b$$无解；  ③若$$a\ne 0$$，则方程$$ax=b$$有唯一解$$x=\frac{b}{a}$$；  ④若$$a\ne 0$$，则不等式$$ax\textgreater b$$的解为$$x\textgreater\frac{b}{a}$$，则．
Options:
aoVal: A
content: ①、②、③、④都正确 
aoVal: B
content: ①、③正确，②、④不正确 
aoVal: C
content: ①、③不正确，②、④正确 
aoVal: D
content: ①、②、③、④都不正确 
Answer: B
Analysis: 若$$a=0$$，$$b=-1$$，则$$0x\textgreater-1$$，可见②无解不正确．  若$$a\ne 0$$，比如$$a=-1$$，$$-x\textgreater b\Rightarrow x\textless{}-b$$，④不正确．  只有①③正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 将$$a$$千克含盐$$10 \%$$的盐水配制成含盐$$15 \%$$的盐水，需加盐$$x$$千克，则由此可列出方程为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a(1-10 \%)=(a+x)(1-15 \%)$$ 
aoVal: B
content: $$a\times 10 \%=(a+x)\times 15 \%$$ 
aoVal: C
content: $$a\times 10 \%+x=a\times 15 \%$$ 
aoVal: D
content: $$a(1-10 \%)=x(1-15 \%)$$ 
Answer: A
Analysis: 加盐前后，水的含量不变，  加盐前含水$$a(1-10 \%)$$，加盐后含水$$(a+x)(1-15 \%)$$，  可列出方程为$$a(1-10 \%)=(a+x)(1-15 \%)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->按要求写出一元一次方程
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的浓度问题
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分
Problem: 已知$$\frac{5x+11}{2{{x}^{2}}+7x-4}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+4}$$，其中$$A$$、$$B$$为常数，求$$4A-3B$$的值（~ ~ ~）.
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: C
Analysis: 将已知等式右边通分得$$\frac{5x+11}{2{{x}^{2}}+7x-4}=\frac{\left( A+2B \right)x+\left( 4A-B \right)}{2{{x}^{2}}+7x-4}$$  于是$$\begin{cases}A+2B=5    4A-B=11 \end{cases}$$，解得$$A=3,B=1$$  故$$4A-3B=4\times 3-3\times 1=9$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式通分
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛
Problem: 由$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$这四个数字组成四位数$$\overline{abcd}$$（数字可重复使用），要求满足$$a+c=b+d$$．这样的四位数共有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$个 
aoVal: B
content: $$40$$个 
aoVal: C
content: $$44$$个 
aoVal: D
content: $$48$$个 
Answer: C
Analysis: 分为$$4$$类：  ①由同一个数字组成如$$1111$$共$$4$$个数；  ②由两个不同数字组成如$$1221$$，$$1122$$，$$2112$$，$$2211$$，而从$$4$$个数里面取$$2$$个，  共六种取法故此类可构成$$4\times 6=24$$个数；  ③由三个不同数字组成如$$1232$$，$$3212$$，$$2123$$，$$2321$$，  此类只有两种组合，即$$1+3=2+2$$和$$2+4=3+3$$，  故可构成$$2\times 4=8$$个数；  ④由四个不同数字组成如$$1243$$，$$1342$$，$$4213$$，$$4312$$，$$2134$$，$$2431$$，$$3124$$，$$3421$$，共$$8$$个．  综上所有的数共$$4+24+8+8=44$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 若$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=-2015$$，则$$x=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-2015$$ 
aoVal: B
content: $$-403$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=-2015$$，  ∴$$\frac{3+2+1}{6}x=-2015$$，  ∴$$x=-2015$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第1题
Problem: 已知$$A=\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}+1}+\frac{1}{{{2}^{3}}+2}+\cdots +\frac{1}{{{2}^{4}}-1}$$，则$$A$$与$$1$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$A\textgreater1$$ 
aoVal: B
content: $$A=1$$ 
aoVal: C
content: $$A\textless{}1$$ 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: C
Analysis: 从$$\frac{1}{{{2}^{3}}}$$到$$\frac{1}{{{2}^{4}}-1}$$共有$$\left( {{2}^{4}}-1 \right)-{{2}^{3}}+1={{2}^{3}}$$个数，故$$A\textless{}\underbrace{\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{2}^{3}}}}_{{{2}^{3}}}=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第5题4分
初一其它
Problem: 已知$$\triangle ABC$$三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$，面积为$$s$$．$$\triangle {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$$的三边长分别为$${{a}^{\prime }}$$、$${{b}^{\prime }}$$、$${{c}^{\prime }}$$，面积为$${{s}^{\prime }}$$，且$$a\textgreater{{a}^{\prime }}$$，$$b\textgreater{{b}^{\prime }}$$，$$c\textgreater{{c}^{\prime }}$$，则$$s$$与$${{s}^{\prime }}$$的大小关系一定是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$s\textgreater{{s}^{\prime }}$$ 
aoVal: B
content: $$s\textless{}{{s}^{\prime }}$$ 
aoVal: C
content: $$s={{s}^{\prime }}$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: D
Analysis: 分别构造$$\triangle ABC$$与$$\triangle {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$$如下：  ①作$$\triangle ABC\backsim \triangle {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$$，显然$$\frac{s}{{{s}^{\prime }}}={{\left( \frac{a}{{{a}^{\prime }}} \right)}^{2}}\textgreater1$$，  ∴$$s\textgreater{{s}^{\prime }}$$．  ②设$$a=b=\sqrt{101}$$，$$c=20$$，则$${{h}_{c}}=1$$，$$s=10$$，  设$${{a}^{\prime }}={{b}^{\prime }}={{c}^{\prime }}=10$$，则$${{s}^{\prime }}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 100\textgreater10$$，  ∴$$s\textless{}{{s}^{\prime }}$$．  ③设$$a=b=\sqrt{101}$$，$$c=20$$，则$${{h}_{c}}=1$$，$$s=10$$，  $${{a}^{\prime }}={{b}^{\prime }}=\sqrt{29}$$，$${{c}^{\prime }}=10$$，则$${{h}_{c}}=2$$，$${{s}^{\prime }}=10$$，  ∴$$s={{s}^{\prime }}$$，  ∴$$s$$与$${{s}^{\prime }}$$的大小关系不确定． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形基础->相似三角形的性质
课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形的判定->相似三角形的性质与判定综合
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2015年四川成都金牛区成都外国语学校初三自主招生第14题3分
2000年竞赛（全国初中数学竞赛）第6题5分
Problem: 化简：$$\frac{{{2}^{n+4}}-2\times {{2}^{n}}}{2\times {{2}^{n+3}}}$$得（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{n+1}}-\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$-{{2}^{n+1}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 原式$$=\frac{{{2}^{n+4}}- {{2}^{n+1}}}{{{2}^{n+4}}}=\frac{{2}^{n+1}(8-1)}{{{2}^{n+4}}}=\frac{7}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题5分
2019~2020学年5月浙江杭州萧山区杭州萧山金山初中初一下学期周测C卷第5题
Problem: 若$$M=3{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}}-4x+6y+13$$（$$x$$，$$y$$是实数），则$$M$$的值一定是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 负数 
aoVal: C
content: 零 
aoVal: D
content: 整数 
Answer: A
Analysis: $$M=3{{x}^{2}}-8xy+9{{y}^{2}}-4x+6y+13$$  $$=(2{{x}^{2}}-8xy+8{{y}^{2}})+({{x}^{2}}-4x+4)+({{y}^{2}}+6y+9)$$  $$=2{{(x-2y)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}$$，  ∵$${{(x-2y)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(x-2)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(y+3)}^{2}}\geqslant 0$$，  又∵$$x-2y$$，$$x-2$$，$$y+3$$三项不能同时取$$0$$，  ∴$$M=2{{(x-2y)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}\textgreater0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值
Source: 2005年竞赛第2题6分
初一单元测试《分解方法的延拓（2）》第21题
初三上学期其它
Problem: 某次足球比赛的计分规则是:胜一场得$$3$$分，平一场得$$1$$分，负一场得$$0$$分．某球队参赛$$15$$场，积$$33$$分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$15$$种 
aoVal: B
content: $$11$$种 
aoVal: C
content: $$5$$种 
aoVal: D
content: $$3$$种 
Answer: D
Analysis: 设该队胜$$x$$场，平$$y$$场，负$$z$$场，$$x$$，$$y$$，$$z$$都为整数，且$$0\leqslant x,y,z\leqslant 15$$，  则$$\left { \begin{matrix}x+y+z=15    3x+y=33   \end{matrix} \right.$$，  解得$$x=11-\frac{y}{3}$$，则$$y=0$$，$$3$$，$$6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
Source: 初一其它
2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 在平面直角坐标系$$xOy$$中，满足不等式$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$的整数$$\left( x,y \right)$$的对数为．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$，得$$0\leqslant {{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 2$$，  因为$$x$$，$$y$$均为整数，所以有  $$\begin{cases}{{(x-1)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$或 $$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$，  解得：$$\begin{cases}x=1    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=2   \end{cases}$$，  以上共计$$9$$对$$(x,y)$$．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标与距离
Source: 2012年竞赛第2题3分
Problem: 已知$$abc\ne 0$$，并且$$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=p$$，那么直线$$y=px-p$$一定通过第象限．
Options:
aoVal: A
content: 一、二 
aoVal: B
content: 二、三 
aoVal: C
content: 三、四 
aoVal: D
content: 一、四 
Answer: D
Analysis: 由条件得：①$$a+b=pc$$，②$$b+c=pa$$，③$$a+c=pb$$，  三式相加得: $$2\left( a+b+c \right)=p\left( a+b+c \right)$$．  ∴$$p=2$$或$$a+b+c=0$$．  当$$p=2$$时，$$y=2x-2$$．则直线通过第一、三、四象限．  当$$a+b+c=0$$时，不妨取$$a+b=-c$$，于是$$p=\frac{a+b}{c}=-1$$，  ∴$$y=-x+1$$，则直线通过第一、二、四象限．  综合上述两种情况，直线一定通过第一、四象限．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值
知识标签->题型->函数->一次函数->一次函数基础->题型：一次函数图象与性质
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算
知识标签->知识点->函数->一次函数->一次函数的图象与性质->一次函数的图象与系数的关系
知识标签->数学思想->数形结合思想
Source: 2012年四川成都青羊区成都树德实验中学初三自主招生第8题5分
2017~2018学年福建泉州鲤城区泉州市第六中学初二下学期期中第10题4分
1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第4题6分
Problem: 要使代数式$$\frac{\sqrt{\textbar x-3\textbar-2}}{{{x}^{2}}-4x+3}$$有意义，那么实数$$x$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$1 \textless{} x\leqslant 5$$ 
aoVal: B
content: $$x \textless{} 1$$或$$x\geqslant 5$$ 
aoVal: C
content: $$x\leqslant 1$$或$$x\geqslant 5$$ 
aoVal: D
content: $$x \textless{} 1$$或$$x\textgreater5$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意，必须使分式和二次根式同时有意义，得$$\begin{cases}{{x}^{2}}-4x+3\ne 0    \textbar x-3\textbar-2\geqslant 0   \end{cases}$$  $${{x}^{2}}-4x+3\ne 0$$得$$x\ne 1$$且$$x\ne 3$$，由$$\textbar x-3\textbar-2\geqslant 0,$$得$$x\leqslant 1$$或$$x\geqslant 5$$  从而$$x$$的取值范围是$$x \textless{} 1$$或$$x\geqslant 5$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件
课内体系->能力->运算能力
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 在$${{(-1)}^{2007}}$$，$${{\left\textbar{} -1 \right\textbar}^{3}}$$，$$-{{(-1)}^{18}}$$，$$18$$这四个有理数中，负数共有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: B
Analysis: $${{(-1)}^{2007}}=-1\textless{}0$$，$${{\left\textbar{} -1 \right\textbar}^{3}}=+1\textless{}0$$，$$-{{(-1)}^{18}}=-1\textless{}0$$，$$18\textgreater0$$，所以这四个有理数中，共有两个负数．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 若$$1\times 2\times 3\times \ldots \times 99\times 100={{12}^{n}}M$$，其中$$M$$为自然数，$$n$$为使得等式成立的最大的自然数，则$$M$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 能被$$2$$整除，但不能被$$3$$整除 
aoVal: B
content: 能被$$3$$整除，但不能被$$2$$整除 
aoVal: C
content: 能被$$4$$整除，但不能被$$3$$整除 
aoVal: D
content: 不能被$$3$$整除，也不能被$$2$$整除 
Answer: A
Analysis: 在$$1\times 2\times 3\times \ldots \times 100$$的质因数分解中，$$2$$的因子有$$\left[ \frac{100}{2} \right]+\left[ \frac{100}{{{2}^{2}}} \right]+\left[ \frac{100}{{{2}^{3}}} \right]+\ldots +\left[ \frac{100}{{{2}^{6}}} \right]$$  $$=50+25+12+6+3+1=97($$个$$)$$，  $$3$$的因子有  $$\left[ \frac{100}{3} \right]+\left[ \frac{100}{{{3}^{2}}} \right]+\left[ \frac{100}{{{3}^{3}}} \right]+\left[ \frac{100}{{{3}^{4}}} \right]$$  $$=33+11+3+1=48($$个$$)$$  所以$$1\times 2\times 3\times \ldots \times 100$$  $$={{2}^{97}}\times {{3}^{48}}\times P$$  $$={{12}^{48}}\times 2P$$，其中$$2$$不整除$$P$$，$$3$$不整除$$P$$，因而$$M=2P$$，故选$$A$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->整除的条件
Source: 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第5题