math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 布袋中有$$27$$个同样大小的小球，其中白球$$9$$个，红球$$12$$个，蓝球$$6$$个．从布袋中摸出若干个球，为保证剩下的球中至少有$$8$$个球同色，摸出的球数最多为（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$7$$个 
aoVal: C
content: $$8$$个 
aoVal: D
content: $$21$$个 
Answer: A
Analysis: 逆向思考至少留几个才能保证有$$8$$个球同色显然$$6+7+7+1=21$$，因此最多取$$21-15=6$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第4题4分
Problem: 甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是$$25$$元，为了促销，甲店先提价$$10 \%$$，再降价$$20 \%$$；乙店则直接降价$$10 \%$$．那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，~\uline{~~~~~~~~~~}~店的售价更便宜，便宜~\uline{~~~~~~~~~~}~元． 
Options:
aoVal: A
content: 甲；$$0.5$$ 
aoVal: B
content: 甲；$$1$$ 
aoVal: C
content: 乙；$$0.5$$ 
aoVal: D
content: 乙；$$1$$ 
Answer: A
Analysis: 甲：$$25\times (1+10 \%)\times (1-20 \%)=22$$（元）；乙：$$25\times(1-10 \%)=22.5$$（元），$$22.5-22=0.5$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->利润基本公式->已知成本利润率求利润
Source: 其它改编自2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第9题
Problem: $$4$$吨葡萄在新疆测得含水量为$$99 \%$$，运抵武昌后测得含水量为$$98 \%$$，运抵武昌后葡萄重(  )吨。 
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: 2 
aoVal: C
content: 3 
aoVal: D
content: 4 
Answer: B
Analysis: 不妨称不含水的葡萄为``干葡萄''.设运抵武昌后葡萄还剩x吨，由于运输途中``干葡萄''的重量不变，所以$$x\times \left( 1-98 \% \right)=4\times \left( 1-99 \% \right)$$，解得$$x=2$$，所以运抵武昌后葡萄剩下2吨. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题
Source: 2009年六年级竞赛创新杯
Problem: 高速智能化办公是当代企业的发展趋势，市面上各种办公软件也是五花八门．甲方要传输一分文件给乙方，若单用$$A$$软件传输，需$$10$$分钟；若单用$$B$$软件传输，需$$8$$分钟；若同时用$$A$$、$$B$$软件传输，$$A$$、$$B$$软件每分钟共少传输$$0.2$$页．已知$$A$$、$$B$$同时传输，$$5$$分钟传完了整份文件，那么这份文件的页数为（~ ~ ~ ）页． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 找到功能做效率的等量关系列出方程，设这份文件总共有$$x$$页，$$\frac{x}{10}+\frac{x}{8}-0.2=\frac{x}{5}$$，解得$$x=8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第7题
Problem: 小明和小东拿着同样的钱去买铅笔，小明买了$$5$$支，小东买了$$7$$支，买的铅笔便宜． 
Options:
aoVal: A
content: 小明 
aoVal: B
content: 小东 
aoVal: C
content: 一样 
Answer: B
Analysis: 从题干中可以知道：小明和小东拿着同样的钱去买铅笔，也就是二者钱数相同；  问谁买的铅笔便宜一些，也就是看谁可以用相同的钱买到更多的笔；  小明买了$$5$$支，小东买了$$7$$支，所以小东买的铅笔便宜．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第1题6分
Problem: 小明参加有奖竞猜，共有$$30$$道选择题，评分标准是：自己答对一题得$$4$$分；现场求助答对得$$2$$分；不答不得分；答错一题倒扣$$3$$分（现场求助的题打错也扣$$3$$分）．小明最后得分为$$50$$分，而且他自己答对的和不打的题一样多；现场求助答对的题比不答的多$$1$$题，那么他现场求助的题有（~ ）题． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: D
Analysis: 设自己答对的和答不对的共有$$x$$道，则求助答对有$$x+1$$道，则答错的为$$30-(3x+1)$$道． 根据题目可列$$4x+2(x+1)-3(29-3x)=50$$解得$$x=9$$，则求助的有$$10$$道题． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第2题
Problem: 算式$$\frac{25\times 8+1\div \frac{5}{7}}{2014-201.4\times 2}$$的计算结果是（~~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{8}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\frac{25\times 8+1\div\frac{5}{7}}{2014  -201.4\times 2}=\frac{200+1.4}{201.4\times 10-201.4\times2}=\frac{201.4}{201.4\times 8}=\frac{1}{8}$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->繁分数->繁分数计算
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第1题
Problem: 珍妮花$$50$$美金买了一条围巾．她一开始准备以$$60$$美金卖出，然后把价格增加$$25 \%$$，再把新的价格减少$$20 \%$$并且出售．在这笔交易之中，她（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 赚了$$7$$美金 
aoVal: B
content: 赚了$$10$$美金 
aoVal: C
content: 亏了$$7$$美金 
aoVal: D
content: 亏了$$10$$美金 
Answer: B
Analysis: 算出实际花的钱，还有实际收入的钱，最终的结果是赚了$$10$$美元． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2015年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第39题
Problem: （2019 Math League, Grade 3, Question\# 11）  Helen wrote out all the numbers from $$1$$ to $$60$$ on a piece of paper. How many times did she write the digit $5$?  海伦在纸上写下了从$1$到$60$的所有数，请问她一共写了多少个数字$5$? 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: 海伦把从$$1$$到$$60$$的所有数字写在一张纸上．她写了多少次数字$$5$$？  在$$1\sim 10$$中，$$5$$出现$$1$$次，  在$$11\sim 60$$中，$$5$$在十位上出现$$10$$次，在个位上出现$$5$$次，  所以一共出现了$$1+10+5=16$$（次）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2019年美国数学大联盟杯三年级竞赛初赛第11题5分
Problem: 甲乙丙三人参加比赛，他们得了前$$3$$名（无并列）．  甲说：``我是第一．''  乙说：``我不是第一．''  丙说：``我不是第三．''  三人中只有一个人说真话，则第一名是~\uline{~~~~~~~~~~}~. 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 逻辑推理．假设法：假设甲说真话，那么乙说的肯定是真话，不符题意；假设乙说真话那丙说了假话，丙是第三，乙只能是第二，甲只能是第一，与前提矛盾；那么只能是丙说了真话，甲乙说了假话．推断出甲第三，乙第一，丙第二．故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2015年全国迎春杯四年级竞赛网络版第1题
Problem: 价格相同的一种商品，甲店：买四赠一．乙店：优惠$$\frac{1}{4}$$．如果只从经济折扣方面考虑，你选择去哪？ 
Options:
aoVal: A
content: 甲店 
aoVal: B
content: 乙店 
aoVal: C
content: 都一样 
Answer: B
Analysis: 设此商品的单价为$$a$$元，``买四赠一''即用$$4$$件的钱买了$$5$$件商品，购买单价为$$\frac{4}{5}a=0.8a$$；``优惠$$\frac{1}{4}$$''表示每件单价为$$\left( 1-\frac{1}{4} \right)a=0.75a$$，故选择乙店． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年全国希望杯小学高年级五年级竞赛初赛考前100题
Problem: 若$$P$$和$${{P}^{3}}+5$$都是质数，那么$${{P}^{5}}+5$$（~ ~ ~ ~）. 
Options:
aoVal: A
content: 一定是质数 
aoVal: B
content: 一定是合数 
aoVal: C
content: 可为质数，也可为合数 
aoVal: D
content: 既不是质数也不是合数 
Answer: A
Analysis: 若$$P$$为奇数，那么$${{P}^{3}}+5$$为偶数，又大于$$2$$的偶数都是合数，那么$$P$$是偶数，又$$P$$是质数，所以$$P=2$$，则$${{P}^{5}}+5={{2}^{5}}+5=37$$．选$$\rm A$$. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2005年第3届创新杯五年级竞赛复赛第2题
Problem: $$a\vee b$$表示$$a$$、$$b$$两个数中取较大的一个，$$a\wedge b$$表示$$a$$、$$b$$两个数中取较小的一个，则$$\left( 2006\vee 2008 \right)\wedge \left( 2007\vee 2009 \right)$$等于（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$2006$$ 
aoVal: B
content: $$2007$$ 
aoVal: C
content: $$2008$$ 
aoVal: D
content: $$2009$$ 
Answer: C
Analysis: $$2006\vee 2008$$两个数中取较大的是$$2008$$，$$2007\vee 2009$$两个数中取较大的是$$2009$$，$$2008\wedge 2009$$两个数中取较小的是$$2008$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型
Source: 2006年走美杯四年级竞赛
2006年走美杯五年级竞赛
2006年走美杯六年级竞赛
Problem: 仅用$$1$$和$$2$$两个数码组成的，能被$$9$$整除的八位数有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$32$$ 
Answer: A
Analysis: 能被$$9$$整除的八位数，则这个八位数的数字和必须是$$9$$的倍数，  又因为只能由数字$$1$$和$$2$$构成，  所以数字和只能$$9$$，则能是七个$$1$$和一个$$2$$，  所以只用给$$2$$选一个位置就可以，一共是八位数，所以有八个．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->和系整除特征应用
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第20题4分
Problem: 有糖水若干克，第一次加水若干，浓度变为$$4 \%$$；然后又加入同样多的水，浓度变为$$3 \%$$；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为．【本题欣赏题】答案：C 
Options:
aoVal: A
content: $$1 \%$$ 
aoVal: B
content: $$2 \%$$ 
aoVal: C
content: $$2.4 \%$$ 
aoVal: D
content: $$2.8 \%$$ 
Answer: C
Analysis: 原浓度为 $$4 \%=\frac{4}{100}=\frac{12}{300}\overrightarrow{加水}$$ 后来浓度为$$3 \%=\frac{3}{100}=\frac{12}{400}$$，可理解为原有$$12$$克糖（只加水，前后糖不变），原来有糖水$$300$$克，加$$100$$克水，变成$$400$$克糖水．最后再加$$100$$克水，浓度变成$$\frac{12}{500}=\frac{24}{1000}=2.4 \%$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量
Source: 2014年第26届广东广州五羊杯六年级竞赛第1题4分
Problem: $$10$$个小朋友排一队，从前面数小红排在第$$2$$个，小军排在小红后面第$$4$$个，那么小军从后往前数排第个． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 从前往后数，小军排第$$2+4=6$$个，则从后往前数，小军排：$$10-6+1=5$$个．  故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 一个两位奇数除$$1477$$，余数是$$49$$，那么这个两位奇数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$59$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$61$$ 
Answer: C
Analysis: 本题是利用了除法算式中各部分的关系求解．  根据被除数$$=$$除数$$\times $$商$$+$$余数，  除数应是被除数$$-$$余数的因数，除数大于余数，由此解决问题．  $$1477-49=1428$$，  $$1428=7\times 2\times 2\times 3\times 17$$，  所以$$1428$$大于$$49$$的两位数因数有：  $$17\times 3=51$$，  $$2\times 2\times 17=68$$，  $$2\times 2\times 3\times 7=84$$，  所以这个两位奇数是$$51$$、$$68$$、$$84$$．  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第7题5分
Problem: 已知一个长方体的长宽高分别为$$3$$个连续自然数，并且这三个自然数均为合数，那么，这个长方体的体积最小是． 
Options:
aoVal: A
content: $$210$$ 
aoVal: B
content: $$720$$ 
aoVal: C
content: $$504$$ 
Answer: B
Analysis: $$3$$个连续自然数最小为$$8$$，$$9$$，$$10$$，  则体积为：$$8\times 9\times 10=720$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第1题6分
Problem: 在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄得到$$47$$，$$61$$，$$60$$，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是． 
Options:
aoVal: A
content: $$28$$ 
aoVal: B
content: $$27$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: A
Analysis: 设三人的年龄为$$X$$、$$Y$$、$$Z$$，  则有$$\frac{X+Y}{2}+Z=47$$，  $$\frac{X+Z}{2}+Y=61$$，  $$\frac{Y+Z}{2}+X=60$$，  可将上三式变化为：  $$X+Y+3Z=94(1)$$  $$X+Z+2Y=122(2)$$  $$Y+Z+2X=120(3)$$  $$(2)-(3)Y-X=2(4)$$，  $$2\times (3)-(1)Y+3X=146(5)$$，  $$(5)-(4)4X=144$$，  ∴$$X=36$$，  ∴由（$$4$$）可得$$Y=38$$，  把$$X$$、$$Y$$代入（$$1$$）中得$$Z=10$$，  ∴极差为$$38-10=28$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2006年第4届创新杯六年级竞赛初赛B卷第9题
Problem: 某班军训时进行射击比赛，几名教官在讨论该班的成绩  ~ ~ ~ ~王教官说：``这次军训时间太短，这个班没有人射击成绩会是优秀．''  ~ ~ ~ ~孙教官说：``不会吧，有几个人以前训练过，他们的射击成绩会是优秀．''  ~ ~ ~ ~周教官说：``我看班长或是体育委员能打出优秀成绩．''  结果发现三位教官中只有一人说对了．  由此可以推出以下~\uline{~~~~~~~~~~}~选项肯定为真． 
Options:
aoVal: A
content: 全班所有人的射击成绩都不是优秀 
aoVal: B
content: 班里所有人的射击成绩都是优秀 
aoVal: C
content: 班长的射击成绩是优秀 
aoVal: D
content: 体育委员的射击成绩不是优秀 
Answer: D
Analysis: 王教官和孙教官的说法矛盾，二人必有一对一错，因为只有一个人对，故周教官是错的，因此班长和体育委员都不优秀，选$$\rm D$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（四）第13题
2014年全国世奥赛五年级竞赛第11题5分
Problem: 五年级举行安全知识竞赛，共有$$20$$道试题．做对一道得$$5$$分，做错或没做一道都要扣$$3$$分．笑笑得了$$60$$分，那么她做对了道题． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 利用方程法来解：设笑笑做对了$$x$$道题，  $$5x-3\times (20-x)=60$$，  解：$$\textasciitilde5x-60+3x=60$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde8x=120$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde x=15$$，  所以：笑笑做对了$$15$$道题．  答案选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第23题2分
Problem: 以下哪个数是质数？ 
Options:
aoVal: A
content: $$2013$$ 
aoVal: B
content: $$2015$$ 
aoVal: C
content: $$2017$$ 
aoVal: D
content: $$2019$$ 
Answer: C
Analysis: $$2013$$是$$3$$的倍数，$$2015$$是$$5$$的倍数，$$2019$$是$$3$$的倍数． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛
Problem: 有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式． 
Options:
aoVal: A
content: $$149$$ 
aoVal: B
content: $$244$$ 
aoVal: C
content: $$264$$ 
aoVal: D
content: $$274$$ 
Answer: D
Analysis: 设第$$n$$级有$${{a}_{n}}$$种登的方式，  则第$$n-3$$，$$n-2$$，$$n-1$$级再分别登$$3$$，$$2$$，$$1$$级可到第$$n$$级，  则$${{a}_{n}}={{a}_{n-3}}+{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-1}}$$，  而$${{a}_{1}}=1$$，$${{a}_{2}}=1+1=2$$，$${{a}_{3}}=1+1+2=4$$，  故$${{a}_{4}}=1+2+4=7$$，  $${{a}_{5}}=2+4+7=13$$，  $${{a}_{6}}=4+7+13=24$$，  $${{a}_{7}}=7+13+24=44$$，  $${{a}_{8}}=13+24+44=81$$，  $${{a}_{9}}=24+44+81=149$$，  $${{a}_{10}}=44+81+149=274$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分
Problem: 选择``$$+$$、$$-$$、$$\times $$、$$\div $$''填入圆圈中，使得等式$$21\bigcirc 10\bigcirc 2\bigcirc 8=24$$成立． 
Options:
aoVal: A
content: $$\times $$；$$\div $$；$$+$$． 
aoVal: B
content: $$\times $$；$$\div $$；$$-$$． 
aoVal: C
content: $$-$$；$$\div $$；$$-$$． 
aoVal: D
content: $$-$$；$$\div $$；$$+$$． 
Answer: D
Analysis: $$21-10\div 2+8=24$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数与运算->混合运算->整数四则混合运算
Source: 2017年世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛A卷第8题5分
Problem: 从山下到山上的路程是$$1200$$米，小华上山时平均速度为每分钟走$$60$$米，下山时平均每分钟走$$120$$米，则小华往返行程中的平均速度是每分钟走米． 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$75$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
Answer: B
Analysis: 路程$$=$$速度$$\times $$时间，而平均速度$$=$$总路程$$\div $$总时间，因此上山的时间为：$$1200\div 60=20$$（分），下山时间为$$1200\div 120=10$$（分），总时间为$$20+10=30$$（分），总路程为$$1200\times 2=2400$$（米） ，平均速度:$$2400\div 30=80$$（米/分），故选：$\text{B}$． 
<p>$$\quad\left(1+1\right)\div\left(\frac{1}{60}+ \frac{1}{120}\right)$$</p>
<p>$$=2 \div \frac{1}{40}$$</p>
<p>$$=80$$（米），</p>
<p>或$$\left(1200+1200\right)\div\left(\frac{1200}{60}+ \frac{1200}{120} \right)$$</p>
<p>$$=2400\div30$$</p>
<p>$$=80$$（米）．</p>
<p>所以$$\text{B}$$选项是正确的．</p>
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法
Source: 2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第9题
Problem: 奶茶店用$$2$$份红茶、$$3$$份水和$$5$$份牛奶调配制作成奶茶，如果这三种材料都是$$5$$千克，当红茶全部用完时，水需要增加多少千克？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1.5$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$2.5$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 茶$$:$$水$$:$$牛奶$$=2:3:5$$，  红茶为$$2$$份，用了$$5$$千克，则$$1$$份为$$5\div 2=2.5$$（千克），  则水需要：$$2.5\times 3=7.5$$（千克），  水需要增加：$$7.5-5=2.5$$（千克），  则牛奶需要：$$2.5\times 5=12.5$$（千克），  牛奶需要增加：$$12.5-5=7.5$$（千克）．  答：水需要增加$$2.5$$千克，牛奶需要增加$$7.5$$千克． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->应用题模块
拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛第1题12分
Problem: 甲、乙两所小学，甲校的人数是乙校人数的$$\frac{2}{5}$$，甲校的女生人数占全校人数的$$40 \%$$，乙校男生人数占全校人数的$$60 \%$$．如果将甲、乙两校合并，女生人数占总人数的$$ \%$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
aoVal: E
content: $$60$$ 
Answer: B
Analysis: 设甲乙两校人数分别为$$2$$份和$$5$$份，则女生共$$2\times 40 \%+5\times (1-60 \%)=2.8$$，占$$2.8\div (5+2)=40 \%$$，实际上，从甲乙两校女生都占各自的$$40 \%$$即可得出结论． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2014年北京学而思杯六年级竞赛B卷第6题
2014年全国学而思杯六年级竞赛B卷第6题
Problem: $$120$$有个因数． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$120$$的因数有：$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$8$$、$$10$$、$$12$$、$$15$$、$$20$$、$$24$$、$$30$$、$$40$$、$$60$$、$$120$$，所以一共有$$16$$个因数．  或者使用公式法：$120=2^{3}\times3\times5$，$$120$$的因数个数是：$\left( 3+1\right)\times\left( 1+1\right)\times\left( 1+1\right)=16$（个）.  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第10题3分
Problem: 小明今年$$7$$岁，小刚今年$$4$$岁，$$2$$年后，小明比小刚大岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意分析可知，今年小明比小刚大：$$7-4=3$$（岁），年龄差是一直不变的，所以$$2$$年后小明也比小刚大$$3$$岁，故选答案：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第1题5分
Problem: 某校师生到郊外植树，已知老师人数是学生人数的$$\frac{1}{3}$$，若每位男生种$$13$$棵树，女生每人种$$10$$棵树，每个老师种$$15$$棵树，他们一共种了$$201$$棵树，那么老师有（~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设男生有$$a$$人，女生有$$b$$人，则老师人数为$$\frac{a+b}{3}$$，有  $$13a+10b+5\left( a+b \right)=201$$，化简得$$6a+5b=67$$，  考虑到$$a+b$$为整数，只有一组解$$a=2$$，$$b=10$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->不定方程解应用题
Source: 2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第8题4分
Problem: 有一种特殊的计算器，当输入一个$$10$ $49$$的数$$A$$后，计算器会先算$$A+A$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果．那么，下列四个选项中，可能是最后显示的结果． 
Options:
aoVal: A
content: $$41$$ 
aoVal: B
content: $$42$$ 
aoVal: C
content: $$43$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
Answer: D
Analysis: 倒推．$$44$$ 对应的是$$44-2=42$$，颠倒后是$$24$$，平均分后为$$12$$．符合条件．其他的均不符合条件． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第8题
Problem: 7.5：x=24:12，则x=~\uline{~~~~~~~~~~}~ 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$0.5$$ 
aoVal: D
content: $$1.5$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{8}{9}\times \left[ \frac{3}{4}-\left( \frac{7}{16}-\frac{1}{4} \right) \right]=0.5$$．  $$\frac{8}{9}\times \left[ \frac{3}{4}-\left( \frac{7}{16}-\frac{1}{4} \right) \right]$$  $$=\frac{8}{9}\times \left( \frac{3}{4}-\frac{7}{16}+\frac{1}{4} \right)$$  $$=\frac{8}{9}\times \frac{9}{16}$$  $$=\frac{1}{2}$$  $$=0.5$$ 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第1题2分
2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第1题2分
Problem: 上午$$8$$点整，甲从$$A$$地出发匀速去$$B$$地，$$8$$点$$20$$分甲与从$$B$$地出发匀速去$$A$$地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的$$3$$倍，乙速度不变；$$8$$点$$30$$分，甲，乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从$$B$$地出发时是$$8$$点分． 
Options:
aoVal: A
content: $$05$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 本题考查比的应用和路程问题；首先，根据题意可知甲在相遇前的路程即为乙在相遇后的路程，甲在相遇后的路程即为乙在相遇前的路程；  相遇后，甲从$$A$$地出发到与乙相遇的$$20$$分钟路程乙用了$$10$$分钟，可知乙的速度是甲原速度的$$2$$倍；遇后甲将速度提高到原来的$$3$$倍，可知乙的速度：甲相遇后的速度$$=2:3$$，因此，甲在相遇后花了十分钟，因此乙相遇前所花时间$$:$$甲相遇后所花时间$$=3:2$$，乙在相遇前花了$$(30-20)\div \frac{2}{3}=15$$分钟，  $$8$$时$$20$$分$$-8$$时$$15$$分$$=8$$时$$5$$分，  所以乙从$$B$$地出发时是$$8$$点$$5$$分．  故选Ａ． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第15题2分
Problem: 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．  老师问：是谁捡到的？  小东说：不是小西．  小西说：是小南．  小南说：小东说的不对．  小北说：小南说的也不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是． 
Options:
aoVal: A
content: 小东   
aoVal: B
content: 小西 
aoVal: C
content: 小南 
aoVal: D
content: 小北 
Answer: C
Analysis: 小东与小南说的话对立，所以两人中一定一对一错．已知只有一个人说对了，则小西和小北说的是错的．"小北说：小南说的也不对．"这句话是错的，可知小南说的是对的．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理
Source: 2013年华杯赛四年级竞赛初赛
2013年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间$$66$$分．那么，这只旧钟的$$24$$小时比标准时间的$$24$$小时（~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 快$$12$$分 
aoVal: B
content: 快$$6$$分 
aoVal: C
content: 慢$$6$$分 
aoVal: D
content: 慢$$12$$分 
Answer: D
Analysis: 时针速度为每分钟$$0.5$$度，分针速度为每分钟$$6$$度．分钟每比时针多跑一圈，即多跑$$360$$度，时针分针重合一次．经过$$\frac{360}{6-0.5}=\frac{720}{11}$$（分），旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间$$66$$分钟；则旧钟的$$24$$小时，相当于标准时间的$$\frac{24\times 60}{\frac{720}{11}}\times 66=1452$$（分），所以比标准时间$$24$$小时对应的$$24\times 60=1440$$分钟多了$$1452-1440=12$$（分），即慢了$$12$$分钟． 
<p>正常时钟分针和时针重合一次需要$$\frac{360}{360-30}\times 60=\frac{720}{11}$$（分），而旧钟需要$$66$$分，因此旧钟比正常时钟慢，且正常时钟和旧钟的时间比为$$\frac{720}{11}:66=\frac{720}{726}=\frac{120}{121}$$，所以正常时钟走$$24$$小时，旧钟需要走$$24$$小时多$$12$$分钟，因此这只旧钟比标准时间慢$$12$$分钟．</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2016年第20届四川成都华杯赛小学中年级竞赛B卷第1~6题60分
2015年北京华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第5题
Problem: 蛋君举办了一年一度的汽车大赛，本次有$$4$$辆汽车进行了$$4$$场比赛，每场比赛结果如下：  （$$1$$）$$1$$号汽车比$$2$$号汽车跑得快；  （$$2$$）$$2$$号汽车比$$3$$号汽车跑得快；  （$$3$$）$$3$$号汽车比$$4$$号汽车跑得慢；  （$$4$$）$$4$$号汽车比$$1$$号汽车跑得快．  汽车跑得最快． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$号 
aoVal: B
content: $$2$$号 
aoVal: C
content: $$3$$号 
aoVal: D
content: $$4$$号 
Answer: D
Analysis: 根据（$$1$$）可知，$$1$$号比$$2$$号快．根据（$$2$$）可知，$$2$$号比$$3$$号快．根据（$$3$$）可知，$$4$$号比$$3$$号快．根据（$$4$$）可知，$$4$$号比$$1$$号快．所以$$4$$号快于$$1$$号，$$1$$号快于$$2$$号，$$2$$号快于$$3$$号．故最快的是$$4$$号．故$$\text{ABC}$$错误，$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第6题5分
Problem: 小王说：小南比我高；小南说：我比园园矮；小朱说：我还没有小王高  呢；问四个小朋友哪个最高？答． 
Options:
aoVal: A
content: 小王 
aoVal: B
content: 小南 
aoVal: C
content: 小朱 
aoVal: D
content: 园园 
Answer: D
Analysis: 根据题意分析可知，小胖比小王高，所以小胖的身高高于小王，小胖说比园园矮，所以园园的身高高于小胖，小朱没有小王高，所以小王的身高高于小朱，由此可知，四个人的身高从高到低位：园园$$\textgreater$$小胖$$\textgreater$$小王$$\textgreater$$小朱．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理
Source: 2015年第14届春蕾杯一年级竞赛初赛第5题1分
Problem: $$P$$、$$Q$$、$$R$$、$$S$$四位小朋友在计算$$\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{9}{11}$$时，$$P$$不小心把$$\frac{4}{5}$$的分子、分母颠倒了，$$Q$$不小心把$$\frac{5}{6}$$的分子、分母颠倒了，$$R$$不小心把$$\frac{7}{9}$$的分子、分母颠倒了，$$S$$不小心把$$\frac{9}{11}$$的分子、分母颠倒了．请问哪一位小朋友计算出来的结果与正确答案的值相差最小？ 
Options:
aoVal: A
content: $$P$$ 
aoVal: B
content: $$Q$$ 
aoVal: C
content: $$R$$ 
aoVal: D
content: $$S$$ 
aoVal: E
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 解法$$1$$：$$P$$不小心把$$\frac{4}{5}$$的分子、分母颠倒了，所以他算出来的和比正确的值大$$\frac{5}{4}-\frac{4}{5}=\frac{9}{20}$$；  $$Q$$不小心把$$\frac{5}{6}$$的分子、分母颠倒了，所以他算出来的和比正确的值大$$\frac{6}{5}-\frac{5}{6}=\frac{11}{30}$$；  $$R$$不小心把$$\frac{7}{9}$$的分子、分母颠倒了，所以他算出来的和比正确的值大$$\frac{9}{7}-\frac{7}{9}=\frac{32}{63}$$；  $$S$$不小心把$$\frac{9}{11}$$的分子、分母颠倒了，所以他算出来的和比正确的之大$$\frac{11}{9}-\frac{9}{11}=\frac{40}{99}$$．  可知$$\frac{11}{30}\textless{}\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$而$$\frac{9}{20}\textgreater\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$$、$$\frac{32}{63}\textgreater\frac{1}{2}\textgreater\frac{2}{5}$$、$$\frac{40}{99}\textgreater\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$$，所以$$Q$$所求出的和与正确值相差最小．故选$$\text{B}$$．  解法$$2$$：两个小于$$1$$的分数，如果$$a\textgreater b$$，则$$\frac{1}{a}\textless{}\frac{1}{b}$$，从而$$\frac{1}{a}-a\textless{}\frac{1}{b}-b$$，所以分子、分母写颠倒的分数应该是四个分数中最大的那个，这样才能使得所求的和与正确值相差最小．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数加减
Source: 2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第20题4分
Problem: 有$$16$$个小朋友，其中$$9$$岁的有$$11$$人，$$11$$岁的有$$2$$人，$$13$$岁的有$$3$$人，那么这$$16$$个小朋友的平均年龄是． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$岁 
aoVal: B
content: $$9$$岁 
aoVal: C
content: $$10$$岁 
aoVal: D
content: $$11$$岁 
Answer: C
Analysis: $$\left( 9\times 11+11\times 2+13\times 3 \right)\div 16=10$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数
Source: 2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第1题4分
Problem: 过年了，小明家买了很多瓶果汁。年三十喝了总量的一半少$$1$$瓶；初一又喝了剩下的一半；初二又喝了剩下的一半多$$1$$瓶，这时还剩$$2$$瓶没有喝，那么小明家一共买了（  ）瓶果汁。 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: B
Analysis: 解：初二没喝之前有：$$(2+1)\times 2=6$$（瓶），  初一没喝之前有$$6\times 2=12$$瓶，  一共有：$$\left( 12-1 \right)\times 2$$  $$=11\times 2$$  $$=22$$（瓶）  答：小明家一共买了$$22$$瓶果汁。  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛复赛
Problem: $$3+33+333+\cdots+\underbrace{33\cdots3}_{8个3}$$的结果个位数字是~\uline{~~~~~~~~~~}~。 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: 原式的末三位和每个数的末三位有关系，有$$2007$$个$$3$$，$$2006$$个$$30$$，$$2005$$个$$300$$，则$$2007\times 3+2006\times 30+2005\times 300=6021+60180+601500=667701$$，原式末三位数字为$$701$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->多位数计算->多位数的加减运算
Source: 2021年新希望杯五年级竞赛模拟（考前培训100题）第2题
Problem: 将数码和为$$3$$且不含数码$$2$$的所有正整数从小到大排列，请问最小三个数的和是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$63$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$206$$ 
aoVal: E
content: $$414$$ 
Answer: C
Analysis: 可知$$3=1+1+1$$，故这样的数由小至大依序为$$3$$、$$30$$、$$111$$、$$300$$、$$\cdots $$．  所以最小三个数的和是$$3+30+111=144$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和明差
Source: 2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第7题3分
Problem: 小元和小芳合作进行一项$$10000$$字的打字作业，但他们都非常马虎，小元每打$$10$$个字，就会打错$$1$$个；小芳每打$$10$$个字，就会打错$$2$$个。最后，当两人完成工作时，小元打正确的字数恰好是小芳打正确的字数的$$2$$倍。那么，两人打正确的字共有（  ）个。 
Options:
aoVal: A
content: $$5000$$ 
aoVal: B
content: $$7320$$ 
aoVal: C
content: $$8000$$ 
aoVal: D
content: $$8640$$ 
Answer: D
Analysis: 解：依题意可知小元每打$$10$$份的字数就会打错$$1$$份，小芳每打$$10$$份的字数就会打错$$2$$份，即小芳打$$5$$份的字数只能正确$$4$$份，打错$$1$$份。  小元和小芳每错一份正确的字数比为$$9:4$$。因为总的正确数量比为$$2:1$$。那么小元和小芳的答错题的份数比为$$\frac{2}{9}:\frac{1}{4}=8:9$$，  小元和小芳答正确的份数为$$(8\times 9):(4\times 9)=72:36$$。  小元答题总数为：$$72\div 9\times 10=80$$（份）  小芳答题总数为：$$36\div 4\times 5=45$$（份）  总字数份数为：$$80+45=125$$（份）  每份字数为：$$10000\div 125=80$$（字）  小元和小芳共正确的字数为：$$(72+36)\times 80=8640$$（字）  故选：D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->已知工时反推->多人合作
Source: 2014年迎春杯四年级竞赛复赛
Problem: 把奇数按以下规律进行分组：$$\left( 1 \right)$$，$$\left( 3,5 \right)$$，$$\left( 7,9,11 \right)$$，$$\cdots $$其中第$$1$$组有$$1$$个数，第$$2$$组有$$2$$个数，第$$3$$组有$$3$$个数，第$$4$$组有$$4$$个数\ldots\ldots 那么第$$100$$组中的$$100$$个数的和为． 
Options:
aoVal: A
content: $$10000$$ 
aoVal: B
content: $$100000$$ 
aoVal: C
content: $$1000000$$ 
aoVal: D
content: $$10000000$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: 第一组和为$$1={{1}^{3}}$$，第二组和为$$8={{2}^{3}}$$，第三组和为$$27={{3}^{3}}$$，则第$$n$$组和$$={{n}^{3}}$$，  所以第$$100$$组和$$={{100}^{3}}=1000000$$．  答案：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->连续自然数立方和公式
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第1题4分
Problem: 将$$1$$千克甲种盐水与$$2$$千克浓度为$$20 \%$$的乙种盐水混合后，浓度变为$$25 \%$$，甲种盐水的浓度为（~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$30 \%$$~~~~~~~ 
aoVal: B
content: $$35 \%$$~~~~~~~ 
aoVal: C
content: $$40 \%$$~~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$45 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 混合溶液为$$1+2=3$$（千克），其中盐有$$3\times 25 \%=0.75$$（千克），甲中含盐：$$0.75-2\times 20 \%=0.35$$（千克），甲浓度：$$\frac{0.35}{1}\times 100 \%=35 \%$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量
Source: 2017年第13届湖北武汉新希望杯小学高年级六年级竞赛决赛第4题
Problem: 小林家住九楼，放学回家时，从$$1$$楼走到$$4$$楼共用了$$48$$秒；照这样，小林回到家还要秒． 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
Answer: B
Analysis: 从题干可以知道，小林家住九楼，放学回家时，从$$1$$楼走到$$4$$楼共用了$$48$$秒，  也就是爬了三层楼用了$$48$$秒，爬一层楼需要：$$48\div3=16$$（秒），  小林还需要爬$$5$$层楼，$$16\times5=80$$（秒），也就是还需要$$80$$秒．  故选$$\text{B}$$； 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都有->爬楼梯问题
Source: 2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第8题2分