math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若$${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{1000}}$$的展开式为$${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{2000}}{{x}^{2000}}$$，则$${{a}_{0}}+{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}+\cdots +{{a}_{1998}}$$的值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{3}^{333}}$$ 
aoVal: B
content: $${{3}^{666}}$$ 
aoVal: C
content: $${{3}^{999}}$$ 
aoVal: D
content: $${{3}^{2001}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由于要求的是展开式中每间隔两项系数的和，所以联想到$$1$$的单位根，用特殊值法．  取$$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$$，则$${{\omega }^{3}}=1$$，$${{\omega }^{2}}+\omega +1=0$$．  令$$x=1$$，得$${{3}^{1000}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{2000}}$$；  令$$x=\omega $$，得  $$0={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\omega +{{a}_{2}}{{\omega }^{2}}+\cdots +{{a}_{2000}}{{\omega }^{2000}}$$；  令$$x={{\omega }^{2}}$$，得  $$0={{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{\omega }^{2}}+{{a}_{2}}{{\omega }^{4}}+{{a}_{3}}{{\omega }^{6}}+\cdots +{{a}_{2000}}{{\omega }^{4000}}$$．  三个式子相加得  $${{3}^{1000}}=3\left( {{a}_{0}}+{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+\cdots +{{a}_{1998}} \right)$$．  ∴$${{a}_{0}}+{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+\cdots +{{a}_{1998}}={{3}^{999}}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2001年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 已知虚数$$z$$满足$${{z}^{3}}+1=0$$，$$z\ne -1$$．则$${{\left( \frac{z}{z-1} \right)}^{2018}}+{{\left( \frac{1}{z-1} \right)}^{2018}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$z$$ 
aoVal: D
content: $$-z$$ 
Answer: B
Analysis: 由$${{z}^{3}}+1=0$$  $$\Rightarrow \left( z+1 \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=0$$  $$\Rightarrow {{z}^{2}}-z+1=0$$，  则$${{\left( \frac{z}{z-1} \right)}^{2018}}+{{\left( \frac{1}{z-1} \right)}^{2018}}$$  $$=\frac{{{z}^{2018}}+1}{{{\left( {{z}^{2}} \right)}^{2018}}}=\frac{{{z}^{2}}+1}{{{z}^{4}}}=\frac{{{z}^{2}}+1}{-z}=-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
课内体系->知识点->复数->复数的运算
Source: 2018年浙江竞赛第5题8分
Problem: 使得$$\frac{x+1}{{{x}^{2}}-3x+3}$$的值为整数的无理数$$x$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$\frac{x+1}{{{x}^{2}}-3x+3}=k$$，则$$k{{x}^{2}}-(3k+1)x+3k-1=0$$，  若$$k=0$$，则$$x=-1$$；  若$$k\ne 0$$，由$$\Delta \geqslant 0$$，得$$\frac{5-2\sqrt{7}}{3}\leqslant k\leqslant \frac{5+2\sqrt{7}}{3}$$，  则$$k$$只能取$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$；  当$$k=1$$时，$$x=2\pm \sqrt{2}$$；  当$$k=2$$时，$$x=1$$，$$\frac{5}{2}$$；  当$$k=3$$时，$$x=2$$，$$\frac{4}{3}$$，  因此这种无理数只有$$x=2\pm \sqrt{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$(\sqrt{3}\sin B-\cos B)(\sqrt{3}\sin C-\cos C)=4\cos B\cos C$$，且$$AB+AC=4$$，则$$BC$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$(2,4)$$ 
aoVal: B
content: $$(2,4]$$ 
aoVal: C
content: $$[2,4)$$ 
aoVal: D
content: $$[2,4]$$ 
Answer: C
Analysis: 由已知  $$ 3\sin B\sin C-\sqrt{3}\sin B\cos C-\sqrt{3}\cos B\sin C+\cos B\cos C=4\cos B\cos C$$  $$\sqrt{3}(\sin B\cos C+\cos B\sin C)=-3(\cos B\cos C-\sin A\sin C)$$，  $$\sqrt{3}\sin (B+C)=-3\cos (B+C)$$，  $$\tan (B+C)=-\sqrt{3}$$．  因为$$0\textless{}B+C\textless{}\pi $$，所以$$B+C=\frac{2\pi }{3}$$，$$A=\pi -(B+C)=\frac{\pi }{3}$$．  由$$AB+AC=4$$，得$$AB=4-AC$$．  $$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB \cdot ~AC\cos A$$  $$={{(4-AC)}^{2}}+A{{C}^{2}}-(4-AC)\cdot AC$$  $$=3A{{C}^{2}}-12AC+16$$  $$=3{{(AC-2)}^{2}}+4$$  $$\geqslant 4$$  当且仅当$$AC=2$$时，上式取等号，所以$$BC\geqslant 2$$．又$$BC\textless{}AB+AC=4$$．所以$$BC$$的取值范围为$$[2,4)$$．故选$$\text{C}$$． 
<p>由已知</p>
<p>$$(\sqrt{3}\tan B-1)(\sqrt{3}\tan C-1)=4$$，</p>
<p>$$3\tan B\tan C-\sqrt{3}\tan B-\sqrt{3}\tan C+1=4$$，</p>
<p>$$\sqrt{3}(\tan B+\tan C)=3(\tan B\tan C-1)$$，</p>
<p>$$\tan (B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}=-\sqrt{3}$$．</p>
<p>以下同方法$$1$$．</p>

Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 若实数$$x$$满足$$\arcsin x\textgreater\arccos x$$，则关系式$$f\left( x \right)=\sqrt{2{{x}^{2}}-x+3}+{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}}$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $[3,+\infty)$ 
aoVal: B
content: $[2,+\infty)$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 若$$-1\leqslant x\leqslant 0$$，则$$\arcsin x\in \left[ -\frac{\pi }{2},0 \right]$$，$$\arccos x\in \left[ \frac{\pi }{2},\pi \right]$$，  此时$$\arcsin x \textless{} \arccos x$$，不合条件，故$$0 \textless{} x\leqslant 1$$．  此时$$\arcsin x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，$$\arccos x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$$．  而$$y=\sin x$$在区间$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上为增函数，所以由条件得$$\sin \left( \arcsin x \right)\textgreater\sin \left( \arccos x \right)$$，  即$$x\textgreater\sqrt{1-{{x}^{2}}}$$，解得$$\left\textbar{} x \right\textbar\textgreater\frac{\sqrt{2}}{2}$$，又$$0 \textless{} x\leqslant 1$$，所以$$\frac{\sqrt{2}}{2} \textless{} x\leqslant 1$$．  而由$$\begin{cases}2{{x}^{2}}-x+3\geqslant 0    {{x}^{2}}-x\geqslant 0   \end{cases}$$，知$$x\in \left( -\infty ,0 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$．  因此$$x\in \left { 1 \right }$$，故关系式$$f\left( x \right)$$的取值为$$\left { 3 \right }$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->反三角函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域
Source: 2016年高考真题山东卷文科
2016年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分
Problem: 设多项式$${{(1+x)}^{2008}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+\ldots +{{a}_{2 008}}{{x}^{2008}}$$，则$${{a}_{0}}{{a}_{1}}\ldots {{a}_{2008}}$$中偶数的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$127$$ 
aoVal: B
content: $$1003$$ 
aoVal: C
content: $$1005$$ 
aoVal: D
content: $$1881$$ 
Answer: D
Analysis: 熟知$$n!$$中含素数$$p$$的次数为$${{v}_{p}}\left( n! \right)=\frac{n-{{\tau }_{p}}\left( n \right)}{p-1}$$，其中$${{\tau }_{p}}\left( n \right)$$表示$$n$$在$$p$$进制下的数字和$$\text{C}_{2008}^{k}=\frac{2008!}{k!\left( 2008-k \right)!}$$中含$$2$$的次数为  $${{v}_{2}}\left( \text{C}_{2008}^{k} \right)=\left( 2008-{{\tau }_{2}}\left( 2008 \right) \right)-\left( k-{{\tau }_{2}}\left( k \right) \right)-\left( 2008-k-{{\tau }_{2}}\left( 2008-k \right) \right)$$  $$={{\tau }_{2}}\left( k \right)+{{\tau }_{2}}\left( 2008-k \right)-{{\tau }_{2}}\left( 2008 \right)$$  $${{\tau }_{2}}\left( \text{C}_{2008}^{k} \right)=0$$当且仅当在二进制下$$k$$与$$2008-k$$相加时不产生进位．  因为$$2008={{\left( 11111011000 \right)}_{2}}$$，所以$$k$$的选择有$${{2}^{7}}=128$$种，因此$${{\tau }_{2}}\left( \text{C}_{2008}^{k} \right)\textgreater0$$的情况共有$$2009-{{2}^{7}}=1881$$，即$${{a}_{0}},{{a}_{1}},\cdots ,{{a}_{2018}}$$中共有$$1881$$个偶数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 对任意实数$$m$$，过函数$$f(x)={{x}^{2}}+mx+1$$图象上的点$$(2,  f(2))$$的切线恒过一定点$$P$$，则点$$P$$的坐标为．
Options:
aoVal: A
content: $$(0,  3)$$ 
aoVal: B
content: $$(0,  -3)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{3}{2},  0 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\frac{3}{2},  0 \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${f}'(x)=2x+m$$，故$${f}'(2)=4+m$$．于是过$$(2,  f(2))$$的切线方程是：$$y-(5+2m)=(4+m)(x-2)$$，即$$y=(m+4)x-3$$，因此切线方程恒过$$(0,  -3)$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 设$$0\textless{}a\textless{}1$$，若$${{x}_{1}}=a,{{x}_{2}}={{a}^{{{x}_{1}}}},{{x}_{3}}={{a}^{{{x}_{2}}}},\cdots ,{{x}_{n}}={{a}^{{{x}_{n-1}}}},\cdots $$，则数列$$\left { {{x}_{n}} \right }$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 是递增的 
aoVal: B
content: 是递减的 
aoVal: C
content: 奇数项是递丧失，偶数项是递减的 
aoVal: D
content: 偶数项是递增的，奇数项是递减的． 
Answer: C
Analysis: 首先考虑数列的前三项，  $${{x}_{1}}=a\mathsf{}{{x}_{2}}={{a}^{a}}\mathsf{}{{x}_{3}}={{a}^{{{a}^{a}}}}$$  ∵$$0\textless{}a\textless{}1$$，  ∴$$a\textless{}{{a}^{a}}\textless{}1$$  $$a\textless{}{{a}^{{{a}^{a}}}}\textless{}{{a}^{a}}$$．  即 $${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{3}}\textless{}{{x}_{2}}$$．  此已表明数列既非递增又非递减，且奇数项也不是递减的． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 已知$$0\textless{}x\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\sin x-\cos x=\frac{ \pi }{4}$$，若$$\tan x+\frac{1}{\tan x}$$可以表示成$$\frac{a}{b-{{ \pi }^{c}}}$$的形式，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$是正整数，则$$a+b+c$$= ．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$32$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
Answer: D
Analysis: 由条件知，$${{(\sin x-\cos x)}^{2}}={{\left( \frac{ \pi }{4} \right)}^{2}}$$，因此$$\sin x\cos x=\frac{16-{{ \pi }^{2}}}{32}$$，  所以$$\tan x+\frac{1}{\tan x}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{32}{16-{{ \pi }^{2}}}$$，  因此$$a+b+c=32+16+2=50$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 设函数$$y=f\left( x \right)$$对一切实数$$x$$都满足$$f\left( 3+x \right)=f\left( 3-x \right)$$，且方程$$f\left( x \right)=0$$恰有$$6$$个不同的实根，则这$$6$$个实根的和为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: 若$$3+\alpha $$是$$f(x)=0$$的一个根，则由已知  $$f\left( 3-\alpha \right)=f\left( 3+\alpha \right)=0$$  即$$3-\alpha $$也是一个根．因此可设方程$$f\left( x \right)=0$$的六个根为  $$3{\pm }{{\alpha }_{1}}$$，$$3{\pm }{{\alpha }_{2}}$$，$$3{\pm }{{\alpha }_{3}}$$．  于是它们的和等于$$18$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数基础->函数的图像与性质
Source: 1991年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 已知球的半径为$$2$$，球面上的三个大圆所在的平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{16}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{32}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{64}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$32$$ 
Answer: B
Analysis: $$\frac{1}{3}\cdot \left( 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2} \right)\cdot 2\times 2=\frac{32}{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->数形结合思想
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->空间几何体的内切球、外接球问题
课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$都是实数，那么$$p$$：$$ac\textless{}0$$，是$$q$$：关于$$x$$的方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$有一个正根和一个负根的．
Options:
aoVal: A
content: 必要而不充分条件 
aoVal: B
content: 充要条件 
aoVal: C
content: 充分而不必要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: B
Analysis: 若$$ac\textless{}0$$，则$$a\ne 0$$，且$$\Delta ={{b}^{2}}-4ac\textgreater0$$，两根之积$$\frac{c}{a}\textless{}0$$，充分性成立；  若$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$有一个正根和一个负根，则$$\frac{c}{a}\textless{}0$$，从而$$ac\textless{}0$$，必要性也成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2009年竞赛珠海市第1题5分
Problem: 一個用$$2016$$個銅板所排成的三角形陣列， 第一列排放$$1$$個銅板，第二列排放$$2$$個銅板，第三列排放$$3$$個銅板， 依此繼續排放，直到第$$N$$列排放$$N$$個銅板恰好排完．試問$$N$$各個位數的數字和爲多少？  A triangular array of $$2016$$ coins has $$1$$ coin in the first row, $$2$$ coins in the second row, $$3$$ coins in the third row, and so on up to $$N$$ coins in the Nth row. What is the sum of the digits of $$N$$?
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
aoVal: E
content: $$10$$ 
Answer: D
Analysis: We are trying to find the value of $$N$$ such that $$1+2+3\cdots +(N-1)+N=\frac {N(N+1)}2=2016$$.  Noticing that $$\frac {63\cdot 64}2=2016$$, we have $$N=63$$, so our answer is $$9$$.  Notice that we were attempting to solve $$\frac {N(N+1)}2=2016\Rightarrow N(N+1)=2016\cdot 2=4032$$. Approximating $$N(N+1)\approx N^{2}$$, we were looking for a square that is close to, but less than $$4032$$. Since $$64^{2}=4096$$, we see that $$N=63$$ is a likely candidate. Multiplying $$63\cdot 64$$ confirms that our assumption is correct. 
Source: 2016年AMC12竞赛A第6题