math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 当$$\textbar a\textbar\textless{}1$$，$$\textbar b\textbar\textless{}1$$，$$\textbar c\textbar\textless{}1$$时，给出下列判断：  ①$$\textbar abc\textbar\textless{}1$$；②$$\textbar a+b+c\textbar\textless{}3$$；③$$ab+bc+ca\textless{}1$$；④$$ab+bc+ca\textgreater-1$$．  其中，正确判断的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: ①因为$$\textbar a\textbar\textless{}1$$，$$\textbar b\textbar\textless{}1$$，$$\textbar c\textbar\textless{}1$$，  所以$$\textbar abc\textbar=\textbar a\textbar\cdot\textbar b\textbar\cdot\textbar c\textbar\textless1$$，正确．  ②$$\textbar a+b+c\textbar\leqslant \textbar a\textbar+\textbar b\textbar+\textbar c\textbar\textless{}3$$，正确．  ③令$$a=b=c=\frac{2}{3}$$，  可得$$ab+bc+ca=\frac{4}{3}$$，说法错误．  ④将$$ab+bc+ac+1$$看成$$a$$的函数，  则$$f(a)=ab+bc+ac+1=(b+c)a+bc+1$$是一次函数或常值函数，  在$$-1\textless a\textless1$$上的图象是一条线段．  因为$$f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)$$，且$$\textbar b\textbar\textless1$$，$$\textbar c\textbar\textless1$$，  所以$$f(1)\textgreater0$$．  因为$$f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)$$，且$$\textbar b\textbar\textless1$$，$$\textbar c\textbar\textless1$$，  所以$$f(-1)\textgreater0$$．  所以对任何$$-1\textless a\textless1$$，都有$$f(a)\textgreater0$$，  即$$ab+bc+ac+1\textgreater0$$，  即$$ab+bc+ca\textgreater-1$$，正确．  故正确的有$$3$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第5题4分
Problem: 已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{9}{16}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{12}{25}$$ 
Answer: A
Analysis: \textbf{（知识点：配方法求最值问题）}  $$t=2xy+yz+2zx$$  $$=2x(y+z)+yz$$  $$\leqslant 2x(y+z)+\frac{1}{4}{{(y+z)}^{2}}$$  $$=2x(1-x)+\frac{1}{4}{{(1-x)}^{2}}$$  $$=-\frac{7}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$  $$=-\frac{7}{4}{{\left( x-\frac{3}{7} \right)}^{2}}+\frac{4}{7}$$，  易知：当$$x=\frac{3}{7}$$，$$y=z=\frac{2}{7}$$时，  $$t=2xy+yz+2zx$$取得最大值$$\frac{4}{7}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 下面四个命题中，正确的命题是．
Options:
aoVal: A
content: 两个不同的整数之间必定有一个正数 
aoVal: B
content: 两个不同的整数之间必定有一个整数 
aoVal: C
content: 两个不同的整数之间必定有一个有理数 
aoVal: D
content: 两个不同的整数之间必定有一个负数 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$、$$\text{B}$$．$$-1$$与$$0$$是两个相邻的整数，它们之间既没有整数，也没在正数，故$$\text{A}$$、$$\text{B}$$错误；  $$\text{C}$$．事实上，$$a$$，$$b$$是两个不同的整数（设$$a\textless{}b$$），则$$\frac{a+b}{2}$$是有理数且成立$$a\textless{}\frac{a+b}{2}\textless{}b$$，即$$\frac{a+b}{2}$$在$$a$$，$$b$$之间，故$$\text{C}$$正确；  $$\text{D}$$．而两个正整数之间的数都是正数，故$$\text{D}$$错误；  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第7题
Problem: 设$$S=\frac{1}{{{1}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{99}^{3}}}$$．则$$4S$$的整数部分等于．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$n=2$$，$$3$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$$99$$时，  ∵$$\frac{1}{{{n}^{3}}}\textless{}\frac{1}{n({{n}^{2}}-1)}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)} \right]$$，  ∴$$1\textless{}S=\frac{1}{{{1}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{99}^{3}}}\textless{}1+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{99\times 100} \right)\textless{}\frac{5}{4}$$，  于是有$$4\textless{}4S\textless{}5$$，得$$4S$$的正数部分为$$4$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
Source: 2012年浙江宁波余姚中学自主招生第5题7分
2011年竞赛第5题3分
初一下学期单元测试《放缩法》第2题
Problem: 满足$$a+c=2b$$的三位数$$\overline{abc}$$共有个．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$49$$ 
aoVal: E
content: $$52$$ 
Answer: C
Analysis: 若$$b=0$$，则$$a+c=0$$，不可能  若$$b=1$$，则$$a+c=2$$，有$$2$$种情况；  若$$b=2$$，则$$a+c=4$$，有$$4$$种情况；  若$$b=3$$，则$$a+c=6$$，有$$6$$种情况；  若$$b=4$$，则$$a+c=8$$，有$$8$$种情况；  若$$b=5$$，则$$a+c=10$$，有$$9$$种情况；  若$$b=6$$，则$$a+c=12$$，有$$7$$种情况；  若$$b=7$$，则$$a+c=14$$，有$$5$$种情况；  若$$b=8$$，则$$a+c=16$$，有$$3$$种情况；  若$$b=9$$，则$$a+c=18$$，有$$1$$种情况；  综上，共有$$2+4+6+8+9+7+5+3+1=45$$（种）情况． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: (★★)若$$x+y=3$$，$$xy=1$$．则$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$33$$ 
aoVal: B
content: $$231$$ 
aoVal: C
content: $$123$$ 
aoVal: D
content: $$312$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$x+y=3$$，  所以$${{(x+y)}^{2}}=9$$，  即$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy=9$$．  因为$$xy=1$$，  所以$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7$$．  所以$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)=3\times (7-1)=18$$，  所以$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=({{x}^{3}}+{{y}^{3}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-{{(xy)}^{2}}(x+y)=18\times 7-{{1}^{2}}\times 3=123$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->立方和与立方差公式
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：和与差的立方公式
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
Problem: 计算$$\frac{1}{1-\sqrt[4]{3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{3}}+\frac{2}{1+\sqrt{3}}$$的值是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: D
Analysis: 通分得  原式$$=\frac{2}{1-\sqrt{3}}+\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{4}{1-3}=-2$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算
Source: 1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: $$a$$为有理数，则一定成立的关系式是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$7a\textgreater{}a$$ 
aoVal: B
content: $$7+a\textgreater{}a$$ 
aoVal: C
content: $$7+a\textgreater7$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\geqslant 7$$ 
Answer: B
Analysis: 若$$a=0$$，$$7\times 0=0$$，排除$$\text{A}$$；  $$7+0=7$$，排除$$\text{C}$$；  $$\left\textbar{} 0 \right\textbar\textless7$$，排除$$\text{D}$$；  事实上因为$$7\textgreater0$$，必有$$7+a\textgreater0+a=a$$．选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 在高速公路上，从$$3$$千米处开始，每隔$$4$$千米经过一个限速标志牌；并且从$$10$$千米处开始，每隔$$9$$千米经过一个速度监控仪．刚好在$$19$$千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是．
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$37$$ 
aoVal: C
content: $$55$$ 
aoVal: D
content: $$90$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$4$$和$$9$$的最小公倍数为$$36$$，$$19+36=55$$，所以第二次同时经过这两种设施是在$$55$$千米处．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2006年竞赛第1题6分
2018~2019学年浙江绍兴绍兴县绍兴市元培中学初一下学期期末第10题3分
Problem: 在用数字$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$组成的没有重复数字的三位数中，是$$9$$的倍数的数有（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$个 
aoVal: B
content: $$18$$个 
aoVal: C
content: $$20$$个 
aoVal: D
content: $$30$$个 
Answer: B
Analysis: 因为能被$$9$$整除的数的各位数字之和能被$$9$$整除，  所以从数字$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$中随机抽取$$3$$个数组成的没有重复数字的三位数，  且是$$9$$的倍数的数有以下三种情况：  （$$1$$）由数字$$1$$，$$3$$，$$5$$可组成$$6$$个三位数；  （$$2$$）由数字$$2$$，$$3$$，$$4$$可组成$$6$$个三位数；  （$$3$$）由数字$$1$$，$$2$$，$$5$$可组成$$6$$个三位数．  则共可组合$$18$$个满足题意的三位数，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第9题4分
Problem: 若$${{m}^{2}}=n+2$$，$${{n}^{2}}=m+2(m\ne n)$$，则$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: D
Analysis: $${{m}^{2}}=n+2$$，$${{n}^{2}}=m+2$$，  两式相减得到$${{m}^{2}}-{{n}^{2}}=n-m\Rightarrow (m-n)(m+n+1)=0$$．  又$$m\ne n$$，所以$$m+n=-1$$，  由立方和公式$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}=(m+n)({{m}^{2}}-mn+{{n}^{2}})-2mn$$  $$=-({{m}^{2}}-mn+{{n}^{2}})-2mn$$  $$=-{{m}^{2}}-mn-{{n}^{2}}$$  $$=-m(m+n)-{{n}^{2}}$$  $$=m-{{n}^{2}}$$．  又由已知条件$${{n}^{2}}=m+2$$，所以$${{m}^{3}}-2mn+{{n}^{3}}=m-{{n}^{2}}=-2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 已知$$xyz\ne 0$$，且$$x+2y+z=0$$，$$5x+y-4z=0$$，则$$\frac{{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}-10{{z}^{2}}}{3{{x}^{2}}-4yz+5{{z}^{2}}}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{46}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{15}{46}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$\begin{cases}x+2y+z=0    5x+4y-4z=0   \end{cases}$$得$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x=2z    y=-\dfrac{3}{2}z   \end{array} \right.$$，  ∴原式$$=\frac{4{{z}^{2}}+6\times \dfrac{9}{4}{{z}^{2}}-10{{z}^{2}}}{3\times 4{{z}^{2}}+6{{z}^{2}}+5{{z}^{2}}}=\frac{15}{46}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
Source: 2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第3题4分
Problem: 集合$$S$$ 只有一个子集，则集合$$S$$中有几个元素?.
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: none of these 
Answer: A
Analysis: The only set with exactly one sunset is the empty set.  集合 $$S$$只有一个子集 ， 集合 $$S$$中有多少个元素 ?  $$\text{A.}$$$$0$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{B.}$$$$1$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{C.}$$$$2$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{D.}$$没有选项  只有一个子集的集合是空集．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Inclusion-Exclusion Principle->Inclusion-Exclusion Principle for Two Sets
美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Inclusion-Exclusion Principle->Counting Number of Figures using Multi-Set Inclusion-Exclusion Principle
课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的解集
Source: 1978年竞赛第15题
1978年Math League竞赛(7年级[.org])第15题
Problem: 如果$${{(a+b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}=4$$，则一定成立的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$是$$b$$的相反数 
aoVal: B
content: $$a$$是$$-b$$的相反数 
aoVal: C
content: $$a$$是$$b$$的倒数 
aoVal: D
content: $$a$$是$$-b$$的倒数 
Answer: C
Analysis: 化简得$${{(a+b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}=4ab=4$$，  故$$ab=1$$，$$a$$是$$b$$的倒数． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2005年第16届希望杯初一竞赛复赛第1题4分
2018~2019学年3月江苏苏州苏州工业园区东沙湖学校初一下学期月考第8题2分
2019年河北保定莲池区初三中考一模第8题3分
Problem: 已知有理数$$a$$，$$b$$，$$x$$，$$y$$满足$$ax+by=3$$，$$ax-by=5$$，那么$$({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$225$$ 
aoVal: B
content: $$75$$ 
aoVal: C
content: $$54$$ 
aoVal: D
content: $$34$$ 
Answer: D
Analysis: $$({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$$  $$={{(ax+by)}^{2}}+{{(ax-by)}^{2}}$$  $$={{3}^{2}}+{{5}^{2}}$$  $$=34$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分
Problem: 1984年$$AMC8$$竞赛第$$36$$题  If $$3x=21$$, then $$21x=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$63$$ 
aoVal: D
content: $$147$$ 
Answer: D
Analysis: If $$3x=21$$, then $$7\times 3x=7\times 21$$ or $$21x=147$$.  如果$$3x=21$$，那么$$21x=$$．  $$\text{A}$$．$$3$$~ ~ ~ $$\text{B}$$．$$7$$~ ~ ~ $$\text{C}$$．$$63$$~ ~ ~ $$\text{D}$$．$$147$$  如果$$3x=21$$，那么$$21x=7\times 21=147$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Linear Equations
Source: 1984年竞赛第36题
Problem: 据报道目前用超级计算机找到的最大质数是$${{2}^{859433}}-1$$，这个质数的末尾数字是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: A
Analysis: $${{2}^{n}}$$的末位数字对指数以$$4$$为周期而变化，  $${{2}^{1}}=2$$，$${{2}^{2}}=4$$，$${{2}^{3}}=8$$，$${{2}^{4}}$$末位数是$$6$$．  一般地$${{2}^{4k+1}}$$末位数字为$$2$$，$${{2}^{4k+2}}$$末位数字为$$4$$，$${{2}^{4k+3}}$$末位数字为$$8$$，$${{2}^{4k+4}}$$末位数字是$$6$$（其中k是非负整数）．  $$859433=214858\times 4+1$$，$${{2}^{859433}}={{2}^{4\times 214858+1}}$$  ∴$${{2}^{859433}}$$末位数字为$$2$$．  ∴$${{2}^{859433}}-1$$末位数字为$$1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$的所有可能的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设$$a\leqslant b\leqslant c$$，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的性质
知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：含绝对的分式化简
知识标签->学习能力->推理论证能力
Source: 初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
2019~2020学年河南郑州金水区郑州八中初一上学期期中第8~8题3分
Problem: 在下列$$2021$$个数中：$$1^{2}$$，$$2^{2}$$，$$3^{2}$$，$$\cdots $$，$$2020^{2}$$，$$2021^{2}$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，则其代数和一定是．
Options:
aoVal: A
content: 奇数 
aoVal: B
content: 偶数 
aoVal: C
content: 负整数 
aoVal: D
content: 非负整数 
Answer: A
Analysis: 由于两个整数$$a$$，$$b$$前面任意添加``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性不变．  这个性质对$$n$$个整数也是正确的．  因此，$$1^{2}$$，$$2^{2}$$，$$3^{2}$$，$$\cdots $$，$$2020^{2}$$，$$2021^{2}$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性与$$(-1)+2-3+4-5+6-7+8-\cdots -1991+1992=996$$的奇偶性相同，是偶数，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$为正实数，且$${{a}^{2}}=2$$，$${{b}^{3}}=3$$，$${{c}^{4}}=4$$，$${{d}^{5}}=5$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中最大的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$ 
aoVal: B
content: $$b$$ 
aoVal: C
content: $$c$$ 
aoVal: D
content: $$d$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{a}^{2}}=2$$，$${{c}^{4}}=4$$，  所以$${{c}^{2}}=2={{a}^{2}}$$，$$a=c$$．  又因为$${{a}^{6}}={{({{a}^{2}})}^{3}}=8$$，$${{b}^{6}}={{({{b}^{3}})}^{2}}=9$$．  所以$$b\textgreater a=c$$．  最后比较$$b$$与$$d$$的大小．  因为$${{b}^{15}}={{({{b}^{3}})}^{5}}=243$$，$${{d}^{15}}={{({{d}^{5}})}^{3}}=125$$．  所以$$b\textgreater d$$．  所以$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中$$b$$最大．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第8题
Problem: 在平面直角坐标系中，若点$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，则$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$m ~\textless~ -1$$ 
aoVal: B
content: $$m\textgreater2$$ 
aoVal: C
content: $$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$ 
aoVal: D
content: $$1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，  ∴$$\begin{cases}m-2 ~\textless{} ~0    m+1\textgreater0   \end{cases}$$．  ∴$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
Source: 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第3题3分
Problem: 已知$$x$$，$$y$$为整数，且满足$$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{2}{3}\left( \frac{1}{{{x}^{4}}}-\frac{1}{{{y}^{4}}} \right)$$，则$$x+y$$的可能的值有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: 由已知等式得$$\frac{x+y}{xy}\cdot \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}{{y}^{4}}}$$，  显然$$x$$，$$y$$均不为$$0$$，  所以$$x+y=0$$或$$3xy=2(x-y)$$．  若$$3xy=2(x-y)$$，则$$(3x+2)(3y-2)=-4$$．  又$$x$$，$$y$$为整数，可求得$$\left { \begin{matrix}x=-1    y=2   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x=-2    y=1   \end{matrix} \right.$$  所以$$x+y=1$$或$$x+y=-1$$．  因此，$$x+y$$的可能的值有$$3$$个． 
<p><span><span><span>&nbsp;显然</span>$$x\ne y$$<span>（否则原式不成立），故原式两边可同时乘上</span></span></span>$$\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right)$$<span><span><span>，化为：</span>$$3k+1$$，</span></span></p>
<p><span><span><span>（$$1$$）若</span>$$\frac{1}{{{x}^{4}}}-\frac{1}{{{y}^{4}}}=0$$<span>，则</span>$$x=-y$$<span>，故</span>$$x+y=0$$<span>；</span></span></span></p>
<p><span><span><span>（$$2$$）若</span>$$f(x,y,z)=9(z+1)$$<span>，</span></span></span></p>
<p><span><span><span>则</span></span></span>$$-\frac{2}{3}\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right)$$<span><span>$$=1\Leftrightarrow x=\frac{2y}{2-3y}$$，</span></span></p>
<p style="text-align:justify"><span><span><span>因为</span>$$x$$，$$y$$<span>为整数，所以</span>$$3x=\frac{6y}{2-3y}=\frac{4}{2-3y}-2$$<span>为整数</span>．</span></span></p>
<p><span><span><span>易得：当</span></span></span>$$y=1$$<span><span><span>时，</span></span></span>$$x=-2$$<span><span><span>，符合题意，此时</span>$$x=z+2,y=z+1$$<span>；</span></span></span></p>
<p><span><span><span>当</span></span></span>$$y=2$$<span><span><span>时，</span></span></span>$$x=-1$$<span><span><span>，符合题意，此时</span>$$x+y=1$$．</span></span></p>
<p><span><span><span>所以</span>$$x+y$$<span>的可能的值有</span></span></span>$$3$$<span><span><span>个．</span></span></span></p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->分式方程->解复杂分式方程
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分
Problem: 一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小$$1$$，若分子和分母都减去$$1$$，则所得分数为小于$$\frac{6}{7}$$的正数，则满足上述条件的分数共有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$个 
aoVal: B
content: $$6$$个 
aoVal: C
content: $$7$$个 
aoVal: D
content: $$8$$个 
Answer: A
Analysis: 设$$a$$为正整数，该分数表示为$$\frac{a}{a+1}$$．  依题意$$\frac{a-1}{a}\textless{}\frac{6}{7}$$，解得$$0\textless{}a\textless{}7$$，  所以$$a$$可取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，六个值．  因此满足条件的分数共有$$5$$个：$$\frac{2}{3}$$，$$\frac{3}{4}$$，$$\frac{4}{5}$$，$$\frac{5}{6}$$，$$\frac{6}{7}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数$$y=x-3$$与$$y=kx-k$$（$$k$$为整数）的图象的交点是整点，则$$k$$的不同取值的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意得$$\begin{cases}y=x-3    y=kx-k \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}x=\dfrac{k-3}{k-1}    y=\dfrac{-2k}{k-1} \end{cases}$$，  ∴$$x=1-\frac{2}{k-1}$$，$$y=-2-\frac{2}{k-1}$$，  ∵交点是整点，  ∴$$k-1=\pm 1$$或$$\pm 2$$，且$$k-1\ne 0$$，  解得$$k=0$$，$$2$$，$$-1$$或$$3$$．  ∵$$k\ne 0$$，  ∴$$k$$的不同取值的个数是$$3$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 适合$$\textbar2a+7\textbar+\textbar2a-1\textbar=8$$的整数$$a$$的值的个数有．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: $$a$$是整数，$$2a$$表示偶数，  由已知$$\textbar2a+7\textbar+\textbar2a-1\textbar=8$$，即在数轴上表示$$2a$$的点到$$-7$$与$$+1$$的距离的和等于$$8$$，所以$$2a$$表示从$$-7$$到$$1$$之间的偶数，  所以$$2a=-6$$或$$2a=-4$$，或$$2a=-2$$或$$2a=0$$，  即$$a=-3$$或$$a=-2$$或$$a=-1$$或$$a=0$$，共有$$4$$个数值．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的几何意义
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第3题
2019~2020学年12月广东深圳福田区红岭中学园岭校区初一上学期月考第12题3分
Problem: 如果方程$$\left\textbar3x\right\textbar-ax-1=0$$的根是负数，那么$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater-3$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 3$$ 
aoVal: C
content: $$a \textless{} 3$$ 
aoVal: D
content: $$a\leqslant -3$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$时，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 平面上三条直线相互间的交点个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$3$$ 
aoVal: C
content: $$1$$或$$2$$或$$3$$ 
aoVal: D
content: 不一定是$$1$$，$$2$$，$$3$$ 
Answer: D
Analysis: 当平面上三条直线互相平行时，没有交点．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何图形初步->线
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 已知$$x$$，$$y$$，$$z$$为实数，满足$$x+2y-5z=3$$，$$x-2y-z=-5$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{11}$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{54}{11}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\begin{cases}x+2y-5z=3    x-2y-z=-5    \end{cases}$$，  可得$$\begin{cases}x=3z-1    y=z+2    \end{cases}$$，  于是$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=11{{z}^{2}}-2z+5=11\left( {{z}^{2}}-2\cdot z\cdot \frac{1}{11}+\frac{1}{121} \right)+5-\frac{1}{11}$$，  $$=11{{\left( z-\frac{1}{11} \right)}^{2}}+\frac{54}{11}\geqslant \frac{54}{11}$$，  因此，当$$z-\frac{1}{11}=0$$即$$z=\frac{1}{11}$$时，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$最小，最小值为$$\frac{54}{11}$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值
课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->配方法
Source: 2011年竞赛第2题4分
Problem: 已知$$x$$是实数，且$$\left( {{x}^{2}}-9x+20 \right)\sqrt{3-x}=0$$，那么$${{x}^{2}}+x+1=$$(  ).
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$21$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$13$$或$$21$$或$$31$$ 
Answer: C
Analysis: 提示：$$3-x\geqslant 0$$，$$\therefore x\leqslant 3$$．  又$$\because {{x}^{2}}-9x+20=\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)$$，  当$$x\leqslant 3$$时，$$\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\ne 0$$，  $$\therefore \sqrt{3-x}=0$$，$$\therefore x=3$$．  故$${{x}^{2}}+x+1={{3}^{2}}+3+1=13$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质
Source: 2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 若一个两位数恰等于它的各位数字之和的$$4$$倍，则这个两位数称为``巧数''，则不是``巧数''的两位数的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$82$$ 
aoVal: B
content: $$84$$ 
aoVal: C
content: $$86$$ 
aoVal: D
content: $$88$$ 
Answer: C
Analysis: 设两位数为$$10a+b$$，其中$$a$$，$$b$$是自然数，且$$1\leqslant a\leqslant 9$$，$$0\leqslant b\leqslant 9$$．  由题意，得$$10a+b=4(a+b)$$，  即$$b=2a$$．  因为满足$$b=2a$$的两位数只有$$12$$，$$24$$，$$36$$，$$48$$这$$4$$个，  所以``巧数''只有$$4$$个，  因此不是``巧数''的两位数共有$$90-4=86$$（个）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《走进美妙的数学世界》第15题
2018~2019学年湖南长沙岳麓区长郡双语实验中学初一上学期分班考试第1题5分
2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\textless{} z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$14$$ 
aoVal: D
content: $$14$$或$$17$$ 
Answer: A
Analysis: 由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$，$$z=x+1$$．  将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一下学期其它第17题
2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分
Problem: 若$$a+b=10$$，$$ab=24$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$76$$ 
aoVal: C
content: $$58$$ 
aoVal: D
content: $$52$$ 
Answer: D
Analysis: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(a+b)}^{2}}-2ab=100-48=52$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛初赛第1题