math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设$$f(x)=\cos \omega x$$的最小正周期为$$6$$．则$$\sum_{i=1}^{2018} f(i)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 由最小正周期为$$6\Rightarrow 6 \omega=2 \pi \Rightarrow \omega=\frac{\pi}{3}$$，  于是，当$$k$$为整数时，  $$\sum_{i=1}^{6} f(6 k+i)=0$$，  即每个完整周期内的六个函数值之和为零，  注意到，$$2018=6 \times 336+2$$，  故原式$$=f(1)+f(2)=\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{2 \pi}{3}=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性判断
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦型三角函数的图象与性质
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 已知函数$$f(x)=(\frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2}){{x}^{2}}+bx+6$$ （$$a,  b$$为常数，$$a\textgreater1$$），且$$f(\lg {{\log }_{8}}1000)=8$$，则$$f(\lg \lg 2)$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$-4$$ 
aoVal: D
content: $$-8$$ 
Answer: B
Analysis: 由已知可得  $$f(\lg {{\log }_{8}}1000)=f(\lg \frac{3}{3\lg 2})=f(-\lg \lg 2)=8.$$  又$$\frac{1}{{{a}^{-x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{{a}^{x}}}{1-{{a}^{x}}}+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{1-{{a}^{x}}}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{{{a}^{x}}-1}-\frac{1}{2}$$  令$$F(x)=f(x)-6$$，则有$$F(-x)=-F(x)$$ 从而有  $$f(-\lg \lg 2)=F(\lg \lg 2)+6=F(\lg \lg 2)+6=8$$  即知$$F(\lg \lg 2)=-2,  f(\lg \lg 2)=F(\lg \lg 2)+6=4$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 对于无理数$$\text{e}=2.71828182845\cdots $$，定义函数$$f(n)=k$$，定义域为正整数，其中，$$k$$为$$\text{e}$$的小数点后第$$n$$位的数字，规定$$f(0)=2$$，则$$f(f(f(n)))$$的值域为．
Options:
aoVal: A
content: $$ {3,4,6,9 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {2,0,1,9 }$$ 
aoVal: C
content: $$ {0,3,5,9 }$$ 
aoVal: D
content: $$ {1,2,7,8 }$$ 
Answer: D
Analysis: 易知，$$f(n)$$的值域为$$ {0,1,\cdots ,9 }$$，  $$f(f(n))$$的值域为$$ {1,2,7,8 }$$．  则$$f(f(f(n)))$$的值域为$$ {1,2,7,8 }$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2019年北京高一竞赛初赛（中学生数学竞赛）第3题6分
Problem: 2007AMC12B, 21  The first $$2007$$ positive integers are each written in base $$3$$. How many of these base- $$3$$ representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)．  把前$$2007$$个正整数用$$3$$进制来表示。这些$3$进制表示中有多少是回文数？（回文数，指正着或倒着读都一样的数。）．
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$101$$ 
aoVal: C
content: $$102$$ 
aoVal: D
content: $$103$$ 
aoVal: E
content: $$104$$ 
Answer: A
Analysis: 首先把$2007_{10}$转化成$$3$$进制, 得到$2202100_3$.  于是我们就要数出有多少不超过$2202100_3$的$$3$$进制正回文数$$.$$ 按位数分类计数, 然后求和, 是一个可行的思路.  1位的$$3$$进制回文数有$$2$$个, 1和$$2$$（注意题目要求正整数）.  2位的有$$2$$个, $11$和$22$.  3位的有$2\times 3=6$个, $1(\cdot)1$和$2(\cdot)2$.  4位的有$2\times 3=6$个, $1(\cdot)(\cdot)1$和$2(\cdot)(\cdot)2$.  算到这里, 我们发现$2k-1$位的回文数和$2k$位的回文数的个数理应是相同的, 且都等于$2k-2$位的回文数的个数$\times 3$.  于是$$5$$位和$$6$$位的回文数各有$6\times 3=18$个.  7位的回文数有$18\times 3=54$个.  注意我们要求的是不超过$2202100_3$的回文数, 因此再之后的就就不用求了, 而且我们还需要剔除几个太大的数.  7位且大于$2202100_3$的回文数只能是$22(x)(y)(x)22$的形式, 且$x\neq0$.因此需要剔除的数共有$2\times3=6$个.  于是我们的结果是$2\times(2+6+18)+54-6=100$个, 选$$\text{A}$$.  拓展: 如果把这前$$2007$$个正整数用$$10$$进制表示, 其中的回文数又有多少个? 用其它进制表示呢? 回文数的数量与进制存在关系吗? 
Knowledge points: 课内体系->知识点->算法与框图->算法案例->进位制
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)
Source: 2007年AMC12竞赛B第21题
Problem: 设$$a=\pi -3$$，$$b=\ln \pi -\ln 3$$，$$c=\text{e}^{\pi}-\text{e}^{3}$$，其中，$$\pi $$是圆周率，$$\text{e}$$是自然对数的底数．则$$a$$、$$b$$、$$c$$的关系为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless b\textless c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless c\textless a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless b\textless a$$ 
aoVal: D
content: $$b\textless a\textless c$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$f(x)=x-\ln x$$．  则$$f^{\prime}(x)= \frac{x-1}{x}$$ ．  于是，$$f(x)$$在区间$$(1,+\infty)$$上单调递增．  故$$f(\pi )\textgreater f(3)$$，  $$\Rightarrow \pi -\ln \pi \textgreater3-\ln 3$$，  $$\Leftrightarrow \pi -3\textgreater\ln \pi -\ln 3$$，  $$\Rightarrow a\textgreater b$$．  设$$g(x)=\text{e}^{}x-x$$．  则$$g^{}\prime (x)=\text{e}^{}x-1$$．  于是，$$g(x)$$在区间$$(0,+\infty )$$上单调递增．  故$$g(\pi )\textgreater g(3)$$，  $$\Rightarrow \text{e}^{x}--\pi \textgreater\text{e}^{3}-3$$  $$\Leftrightarrow \text{e}\pi -\text{e}^{3}\textgreater\pi -3$$  $$\Rightarrow c\textgreater a$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 2005AMC12A, 21  How many ordered triples of integers $$(a, b, c)$$, with $$a\geqslant2$$, $$b\geqslant1$$, and $$c\geqslant0$$, satisfy both $$\log_ab=c^{2005}$$ and $$a+b+c= 2005$$?  有多少个整数 $$(a, b, c)$$ 的有序三元组，其中 $$a\geqslant2$$、$$b\geqslant1$$ 和 $$c\geqslant0$$ 满足 $$\log_ab =c^{2005}$$ 和 $$a+b+c= 2005$$?
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由$\log_a{b}=c^{2005}$可知$b=a^{c^{2005}}$.  又由$a+b+c=2005$知$a\textless2005$, 故$c=0$或$c=1$.  $c=0$时, $b=a^{0}=1$, $a=2005-b-c=2004$.  $c=1$时, $b=a^{1}=a$, 再由$a+b+c=2005$知$(a,b,c)=(1002, 1002, 1)$.  共两种, 选$$\text{C}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->指对化简求值
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Solve Quadratic Equations
Source: 2005年AMC12竞赛A第21题
Problem: 设实数\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}满足$a,b,c\geq 1$且$ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\frac{3}{2}abc$，则\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}之间的大小关系是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $a\textgreater{} b\textgreater{} c$ 
aoVal: B
content: $a=b=c$ 
aoVal: C
content: $a\textless{} b\textless{} c$ 
aoVal: D
content: 不能比较大小 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用二次函数的性质或基本不等式可求$a=b=c=2$，故可得正确的选项.\\ 【详解】\\ \textbf{解法一}~~~题中等式可以变形为$\sqrt{\frac{c-1}{c^{2}}}+\sqrt{\frac{b-1}{b^{2}}}+\sqrt{\frac{a-1}{a^{2}}}=\frac{3}{2}$，\\ 而$\sqrt{\frac{c-1}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)^{2}}\leq \frac{1}{2}$，所以只能有$\sqrt{\frac{c-1}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{b-1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{a-1}{a^{2}}}=\frac{1}{2}$，\\ 解得$a=b=c=2$．\\ \textbf{解法二}~~~令$x=\sqrt{a-1},y=\sqrt{b-1},z=\sqrt{c-1}$，\\ 则有$x,y,z\geq 0$且题中条件变为：\\ $2z\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)+2y\left(x^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)+2x\left(z^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)=$\\ $3\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)$，\\ 而$2z\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)\leq \left(z^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)$，\\ $2y\left(x^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)\leq \left(y^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)$，\\ $2x\left(y^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)\leq \left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)$，\\ 故$2z\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)+2y\left(x^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)+2x\left(z^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)\leq$\\ $3\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)\left(z^{2}+1\right)$，当且仅当$x=y=z=1$时等号成立，\\ 故$a=b=c=2$.\\ 故选：B 
Source: 竞赛第8题
Problem: $$\triangle ABC$$内有$$2015$$个点，加上三个顶点，共有$$2018$$个点，把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$4031$$ 
aoVal: B
content: $$4032$$ 
aoVal: C
content: $$4033$$ 
aoVal: D
content: $$4034$$ 
aoVal: E
content: $$4036$$ 
Answer: A
Analysis: 所有小三角形的内角和为$$2015\cdot 2 \pi + \pi =4031 \pi $$，所以小三角形的个数有$$4031$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
课内体系->知识点->计数原理
Source: 2015年广西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分
Problem: 已知$$a={{\log }_{8}}5$$，$$b={{\log }_{4}}3$$，$$c=\frac{2}{3}$$，则$$a$$、$$b$$、$$c$$的大小关系是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
aoVal: C
content: $$b\textgreater a\textgreater c$$ 
aoVal: D
content: $$c\textgreater b\textgreater a$$ 
Answer: C
Analysis: 解：$$a={{\log }_{2}}\sqrt[3]{5}\textgreater0$$，$$b={{\log }_{2}}\sqrt{3}\textgreater1$$，$$c=\frac{2}{3} \textless{} 1$$，  $$\because {{5}^{2}} \textless{} {{3}^{3}}$$，$$\therefore \sqrt[3]{5} \textless{} \sqrt{3}$$，$$\therefore c \textless{} a \textless{} b$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式
Source: 2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 设$$A=\left[ -2,4 \right)$$，$$B=\left { x\left\textbar{} {{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0 \right. \right }$$，若$$B\subseteq A$$，则实数$$a$$取值范围为(  )
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -3,0 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -2,0 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 0,2 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 0,3 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-ax-4$$开口向上，  且$$\left\textbar{} x \right\textbar{{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0\left\textbar{} \subseteq \left[ -2,4 \right) \right.$$，  知$$f\left( -2 \right)\geqslant 0$$，$$f\left( 4 \right)\textgreater0\Rightarrow a\in \left[ 0,3 \right)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合
Source: 2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 若对所有实数$$x$$，均有$${{\sin }^{k}}x\cdot \sin kx+{{\cos }^{k}}x\cdot \cos kx={{\cos }^{k}}2x$$，则$$k$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: 记$$f\left( x \right)={{\sin }^{k}}x\cdot \sin kx+{{\cos }^{k}}x\cdot \cos kx-{{\cos }^{k}}2x$$ ，  则由题意知对于任意的$$x$$，$$f\left( x \right)$$恒为$$0$$．  若取$$x=\frac{ \pi }{2}$$，可得$$\sin \frac{k \pi }{2}={{\left( -1 \right)}^{k}}$$，  故选项中只有$$k=3$$满足题意．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 一个不透明箱子内装有$$20$$个大小，形状均相同的小球，分别标有号码$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$20$$，从中任意取出两个球．则这两个球的号码之和能被$$3$$整除的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{38}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{32}{95}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11}{95}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{37}{190}$$ 
Answer: B
Analysis: 易知，从$$1\sim 20$$被$$3$$整除的数有$$6$$个，被$$3$$除余$$1$$的数有$$7$$个，被$$3$$除余$$2$$的数有$$7$$个．故两数之和能被$$3$$整除的概率为  $$P=\frac{\text{C}_{6}^{2}+\text{C}_{7}^{1}\text{C}_{7}^{1}}{\text{C}_{20}^{2}}=\frac{64}{190}=\frac{32}{95}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设$${{A}_{k}}=\left { x\textbar x=kt+\frac{1}{kt},\frac{1}{{{k}^{2}}}\leqslant t\leqslant 1 \right }\left( k=2,  3,\cdots ,  2012 \right)$$，则所有$${{A}_{k}}$$的交集为．
Options:
aoVal: A
content: $$\varnothing $$ 
aoVal: B
content: $$\left { 2 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 2,\frac{5}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 2,\frac{{{2012}^{2}}+1}{2012} \right]$$ 
Answer: C
Analysis: 由``对号''函数性质$${{A}_{k}}=\left[ 2,  k+\frac{1}{k} \right]$$，$$k+\frac{1}{k}$$在$$k\in \left[ 2,  +\infty \right)$$递增，因此所有$${{A}_{k}}$$的交集为$${{A}_{2}}=\left[ 2,\frac{5}{2} \right]$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 对任何$$\varphi \in (0，\frac{\pi }{2})$$，都有(~ ~ )．~
Options:
aoVal: A
content: $$\sin \sin \varphi ~~\textless{} ~\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \cos \varphi $$ 
aoVal: B
content: $$\sin \sin \varphi \textgreater\cos \varphi \textgreater\cos \cos \varphi $$ 
aoVal: C
content: $$\sin \cos \varphi \textgreater\cos \varphi \textgreater\cos \sin \varphi $$ 
aoVal: D
content: $$\sin \cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \sin \varphi $$ 
Answer: D
Analysis: 由于$$(0\mathsf{，}\frac{ \pi }{2})$$$$$$中，$$\sin x ~\textless{} ~x$$  易知$$0 ~\textless{} ~\cos x ~\textless{} ~1 ~\textless{} ~\frac{ \pi }{2}$$  所以$$\sin \mathsf{(}\cos \varphi \mathsf{)} ~\textless{} ~\cos \varphi $$  由在$$(0\mathsf{，}\frac{ \pi }{2})$$中，$$\varphi \textgreater\sin \varphi \mathsf{，}\cos x$$单调递减得  $$\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \mathsf{(}\sin \varphi \mathsf{)}$$．  $$\therefore $$ $$\sin \cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \sin \varphi $$成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 1982年全国高中数学联赛竞赛第5题
Problem: 考虑集合$$S=\left { 1  ,2  ,\cdots ,  10 \right }$$的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是``好子集''，则``好子集''的数目有个．
Options:
aoVal: A
content: $$631$$ 
aoVal: B
content: $$633$$ 
aoVal: C
content: $$635$$ 
aoVal: D
content: $$637$$ 
Answer: D
Analysis: 方法一：设一个``好子集''中有$$i\left( i=1,2,3,4,5 \right)$$个偶数，则奇数的数目可以有$$j=0,1,\cdots ,i$$个，因此``好子集''的数目为  $$\sum\limits_{i=1}^{5}{\left( \text{C}_{5}^{i}\sum\limits_{j=0}^{i}{\text{C}_{5}^{j}} \right)}=\text{C}_{5}^{1}\left( \text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1} \right)+\text{C}_{5}^{2}\left( \text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2} \right)$$  $$+\text{C}_{5}^{3}\left( \text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3} \right)$$  $$+\text{C}_{5}^{4}\left( \text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3}+\text{C}_{5}^{4} \right)$$  $$+\text{C}_{5}^{5}\left( \text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3}+\text{C}_{5}^{4}+\text{C}_{5}^{5} \right)=637$$.  故选$$\text{D}$$．  方法二：$$S$$的非空子集共有$${{2}^{10}}-1=1023$$（个），根据子集中偶数与奇数个数的多少可为三类：（1）偶数多于奇数；（2）奇数多于偶数；（3）奇数与偶数个数相等．由于$$S$$中的$$10$$个元素偶数与奇数的个数相等，所以（1）、（2）的子集数相等．现考虑第三类，分别考虑含有$$2$$、$$4$$、$$6$$、$$8$$、$$10$$个元素子集的数目，则共有子集数为$$\text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}\cdot \text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3}\cdot \text{C}_{5}^{3}+\text{C}_{5}^{4}\cdot \text{C}_{5}^{4}+1=251$$．  所以，第一类子集数为$$\frac{1}{2}(1023-251)=386$$．  因此，``好子集''的数目为$$386+251=637$$（个）．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知实数$$x,y$$满足$$17{}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}{}-30xy-16=0$$，则$$\sqrt{16{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-16xy-12x+6y+9}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $${}\sqrt{29}$$ 
aoVal: C
content: $${}\sqrt{19}$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$17\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){-}30xy-16=0$$，  得$${{\left( x+y \right)}^{2}}+16{{\left( x-y \right)}^{2}}=16$$，$${{\left( \frac{x+y}{4} \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=1$$．  令$$\begin{cases}x+y=4\cos \theta    x-y=\sin \theta \end{cases}{}\theta \in \mathbf{R}{}$$，得  $$f\left( x,y \right)=\sqrt{16{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-16xy-12x+6y+9}$$  $$=\sqrt{{{\left( 4x-2y \right)}^{2}}-3\left( 4x-2y \right)+9}$$  $$=\sqrt{[3\left( x-y \right)+\left( x+y \right)\left] ^{2}-3 \right[3\left( x-y \right)+\left( x+y \right)]+9}$$  $$=\sqrt{{{\left( 3\sin \theta +4\cos \theta \right)}^{2}}-3\left( 3\sin \theta +4\cos \theta \right)+9}$$  $$=\sqrt{[5\sin \left( \theta +\alpha \right)\left] ^{2}-3 \right[5\sin \left( \theta +\alpha \right)]+9}$$，  其中$$\alpha =\text{arc}\sin \frac{4}{5}$$;当$$\theta =\frac{3 \pi }{2}-\alpha $$时，$$\sin \left( \theta +\alpha \right)=-1,f{(}x,y{)}$$取得最大值$$7$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 如果$$\triangle ABC$$中，$$\tan A$$、$$\tan B$$、$$\tan C$$都是整数，且$$A\textgreater B\textgreater C$$，则以下说法中错误的是．
Options:
aoVal: A
content: $$A\textless{}80{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$B\textless{}60{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$C\textless{}50{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$A\textgreater65{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 由于$$A\textgreater B\textgreater C$$，所以$$B$$、$$C$$都是锐角，$$\tan B$$、$$\tan C$$都是正整数，这样  $$\tan A=-\tan \left( B+C \right)=\frac{\tan B+\tan C}{\tan B\tan C-1}\textgreater0$$，  可见$$A$$也是锐角．这时，$$\tan C\geqslant 1$$，$$\tan B\geqslant 2$$，$$\tan A\geqslant 3$$．我们有  $$\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}=\tan C\geqslant 1$$，  即$$\left( \tan A-1 \right)\left( \tan B-1 \right)\leqslant 2$$．但是$$\tan A-1\geqslant 2$$，$$\tan B-1\geqslant 1$$，比较可知只可能$$\tan A=3$$，$$\tan B=2$$，$$\tan C=1$$．因此，$$C=45{}^{}\circ $$，选项$$\text{C}$$正确．由$$\tan B\textgreater\sqrt{3}$$可知$$B\textgreater60{}^{}\circ $$，选项$$B$$是错误的．至于选项$$A$$和$$D$$，由$$\tan 75{}^{}\circ =2+\sqrt{3}\textgreater\tan A$$可知$$A\textgreater75{}^{}\circ $$，选项$$\text{A}$$正确；由$$A+B=135{}^{}\circ $$和$$A\textgreater B$$可知$$A\textgreater65{}^{}\circ $$，选项$$\text{D}$$正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: (★★)函数$$f(x)$$的定义域为$$R$$，若$$f(x+1)$$与$$f(x-1)$$都是奇函数，则．
Options:
aoVal: A
content: $$f(x)$$是偶函数 
aoVal: B
content: $$f(x)$$是奇函数 
aoVal: C
content: $$f(x+3)$$是奇函数 
aoVal: D
content: $$f(x+3)$$是偶函数 
Answer: C
Analysis: 因为$$f(x+1)$$是奇函数，所以  $$f(x+1)=-f(-x+1), f(x)=-f(-x+2)$$．①  同理，由$$f(x-1)$$是奇函数，可得  $$f(x)=-f(-x-2)$$．②  由①、②可得，$$f(-x+2)=f(-x-2)$$，所以$$f(x+2)=f(x-2), f(x+4)=f(x)$$，即$$f(x)$$是周期为$$4$$的函数．  又因为$$f(x-1)$$是奇函数，所以$$f(x+3)$$是奇函数，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->利用定义判断函数奇偶性
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设非零复数$$x$$，$$y$$满足$${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=0$$，则代数$${{\left( \frac{x}{x+y} \right)}^{1990}}+{{\left( \frac{y}{x+y} \right)}^{1990}}$$的值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{-1989}}$$ 
aoVal: B
content: $$－1$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: B
Analysis: 令$$y=\omega x\mathsf{}\omega \ne 1\mathsf{}$$代入已知条件得  $$1+\omega +{{\omega }^{2}}=0\Rightarrow (1-\omega )(1+\omega +{{\omega }^{2}})=0$$，  进而  $${{\omega }^{3}}=1\mathsf{}$$，  故 原式=$$\frac{1}{{{(1+\omega )}^{1900}}}+\frac{{{\omega }^{1990}}}{{{(1+\omega )}^{1900}}}$$，  $$=\frac{1+{{\omega }^{1990}}}{{{(1-{{\omega }^{2}})}^{1990}}}=\frac{1+\omega }{{{\omega }^{2}}}=-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根
Source: 1990年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 设$$z$$是复数，$$a(z)$$表示满足$${{z}^{n}}=1$$的最小正整数$$n$$，则对虚数单位$$\text{i},\alpha (\text{i})=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{\text{i}}^{1}}=1, {{\text{i}}^{2}}=-1, {{\text{i}}^{3}}=-1, {{\text{i}}^{4}}=1$$，所以满足$${{z}^{n}}=1$$的最小正整数$$n=4$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 在正方体的$$12$$条面对角线和$$4$$条体对角线中随机的选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{30}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{20}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{15}$$ 
aoVal: D
content: 以上结果都不对 
Answer: B
Analysis: 与任一条面对角线异面的对角线有$$7$$条，与任一条体对角线异面的对角线有$$6$$条，所以异面直线对的数目为$$\frac{1}{2}\left( 7\times 12+6\times 4 \right)=54$$，所求概率$$\frac{54}{\text{C}_{16}^{2}}=\frac{9}{20}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 把$$2008$$表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有种．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 设$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2008$$，即$$(x+y)(x-y)=2008$$．$$2008$$有$$8$$个正因数，分别为$$1$$、$$2$$、$$4$$、$$8$$、$$251$$、$$502$$、$$1004$$、$$2008$$．而且$$(x+y)(x-y)$$只能同为偶数，因此对应的方程组为  $$\begin{cases}x+y=-2    x-y=-1 004 \end{cases},\begin{cases}x+y=-4    x-y=-502 \end{cases}$$  $$\begin{cases}x+y=-502    x-y=-4 \end{cases},\begin{cases}x+y=-1 004    x-y=-2 \end{cases}$$  $$\begin{cases}x+y=2    x-y=1 004 \end{cases}, \begin{cases}x+y=4    x-y=502 \end{cases}$$  $$\begin{cases}x+y=502    x-y=4 \end{cases},\begin{cases}x+y=1 004    x-y=2 \end{cases}$$  故$$\left( x,y \right)$$共有$$8$$组不同的值：$$\left( 503,501 \right)$$，$$\left( -503,-501 \right)$$，$$\left( -503,501 \right)$$，$$\left( 503,-501 \right)$$，$$\left( 253,249 \right)$$，$$\left( -253,-249 \right)$$，$$\left( -253,249 \right)$$，$$\left( 253,-249 \right)$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形
Source: 高二上学期单元测试《代数变形（3）》自招第10题
2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 让$$♣(x)$$表示正整数$x$的所有数字之和．例如, $$♣(8)=8$$ ， $$♣(123)=1+2+3=6$$. 有多少个两位数 $$x$$ 满足 $$♣(♣(x))=3$$?
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
aoVal: E
content: $$10$$ 
Answer: E
Analysis: Let $$a$$ and $$b$$ be the digits of $$x$$.  ♣$$($$♣$$(x))=a+b=3$$.  Clearly ♣$$(x)$$ can only be $$3$$, $$12$$, $$21$$, or $$30$$ and only $$3$ and $$12$$ are possible to have two digits sum to.  If ♣$$(x)$$ sums to $$3$$, there are $$3$$ different solutions: $$12$$, $$21$$, or $$30$$.  If ♣$$(x)$$ sums to $$12$$, there are $$7$$ different solutions: $$39$$, $$48$$, $$57$$, $$66$$, $$75$$, $$84$$, or $$93$$.  The total number of solutions is $$3+7=10\Rightarrow \rm E$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)
课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集
Source: 2003年AMC12竞赛B第8题
2003年AMC10竞赛B第13题
Problem: 设函数$$f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$均为非零整数）．若$$f(a)={{a}^{3}}$$，$$f(b)={{b}^{3}}$$，则$$c$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-16$$ 
aoVal: B
content: $$-4$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设，$$f\left( x \right)-{{x}^{3}}=a{{x}^{2}}+bx+c$$有$$2$$个根$$ab$$，所以  $$a+b=-\frac{b}{a}$$，$$ab=\frac{c}{a}$$  因为$$abc$$都是非零整数，所以$$a\textbar b$$，$$a\textbar c$$，设$$b=ka$$，$$k\in \mathbf{Z}$$，则  $$a+ka=-k$$，即$$\left( a+1 \right)\left( k+1 \right)=1$$  只能$$a+1=k+1=-1$$，$$a=k=-2$$，$$b=ka=4$$，  因此，$$c={{a}^{2}}b=16$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->方法->构造法
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->已知零点情况求参数的取值范围
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念
课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
Source: 2018年四川南充高三零模理科第11题5分
2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
Problem: 如果不等式$${{x}^{2}}\textless{}\left\textbar{} x-1 \right\textbar+a$$的解集是区间$$\left( -3,3 \right)$$的子集，则实数$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,7 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -\infty ,7 \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\infty ,5 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,5 \right]$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$x{\geqslant }1$$时，原不等式成为$${{x}^{2}}-x+1-a\textless{}{0}$$，其解  集中不含任何$$\geqslant 3$$的数，故当$$x{\geqslant }3$$时总有$${{x}^{2}}-x+1{-}a{\geqslant 0}$$成立，由此得到$$a{\leqslant }7$$．  当$$x\textless{}1$$时，原不等式成为$${{x}^{2}}+x-1-a\textless{}0$$，其解集中不含任何小于等于$$-3$$的数，故当$$x{\leqslant -}3$$时总有$${{x}^{2}}+x-1-a{\geqslant }0$$成立，由此得到$$a{\leqslant }5$$．  综上，$$a\in \left( -\infty ,5 \right]$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 若$$n❤m=n^{3}m^{2}$$, 则$$\dfrac{2❤4}{4❤2}$$為何值？  If $$n❤m=n^{3}m^{2}$$, what is $$\dfrac{2❤4}{4❤2}$$?
Options:
aoVal: A
content: $$\dfrac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\dfrac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: $$\dfrac{2^{3}\left( 2^{2}\right)^{2}}{\left( 2^{2}\right)^{3}2^{2}}=\dfrac{2^{7}}{2^{8}}=\dfrac{1}{2}$$ which is $$\left(\text{B}\right)$$. 
<p>We can replace $$2$$ and $$4$$ with a and b respectively. Then substituting with n and m we can get $$\dfrac{a^{3}b^{2}}{b^{3}a^{2}}=\dfrac{a}{b}$$ and substitute to get $$\dfrac{2}{4}=\boxed &nbsp;{~~\dfrac{1}{2}~~}$$ which is $$\left(\text{B}\right)$$.</p>
Source: 2016年AMC10竞赛B第2题
Problem: 设$f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+1}-\frac{1}{3}$，若$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，则函数$y=\left[ f\left( x \right) \right]$的值域是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left { 0,-1 \right }$ 
aoVal: B
content: $\left { 0,1 \right }$ 
aoVal: C
content: $\left { -1,1 \right }$ 
aoVal: D
content: $\left { -1,0,1 \right }$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先化简分析$f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+1}-\frac{1}{3}$的值域,再分析$y=\left[ f\left( x \right) \right]$的值域即可.\\ 【详解】\\ $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{1+\frac{1}{{{3}^{x}}}}-\frac{1}{3}$,因为${{3}^{x}}\in \left( 0,+\infty \right)$,故$1+\frac{1}{{{3}^{x}}}\in \left( 1,+\infty \right)$,故$\frac{1}{1+\frac{1}{{{3}^{x}}}}\in \left( 0,1 \right)$\\ 故$\frac{1}{1+\frac{1}{{{3}^{x}}}}-\frac{1}{3}\in \left( -\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right)$,由$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数知$\left[ f\left( x \right) \right]=-1$或0\\ 故选A\\ 【点睛】\\ 本题主要考查函数的值域求解以及取整函数的值域等.属于基础题型. 
Source: 2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第7题
Problem: 已知关于$$x$$的不等式$$\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\geqslant k$$有实数解，则实数$$k$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$(0,2]$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,0]$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,0)$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty ,2]$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$y=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$$，$$0\leqslant x\leqslant 2$$  则$${{y}^{2}}=x+(2-x)+2\sqrt{x(2-x)}\leqslant 4$$．  故$$0\textless{}y\leqslant 2$$，且$$x=2-x$$，即$$x=1$$时等号成立，  所以实数$$k$$的取值范围是$$(-\infty ,2]$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分