math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若三角形的三边长$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a\textless{}b\textless{}c$$，且$${{a}^{2}}+bc=t_{1}^{2}$$，$${{b}^{2}}+ca=t_{2}^{2}$$，$${{c}^{2}}+ab=t_{3}^{2}$$，则$$t_{1}^{2}$$、$$t_{2}^{2}$$、$$t_{3}^{2}$$中．
Options:
aoVal: A
content: $$t_{1}^{2}$$最大 
aoVal: B
content: $$t_{2}^{2}$$最大 
aoVal: C
content: $$t_{3}^{2}$$最大 
aoVal: D
content: $$t_{3}^{2}$$最小 
Answer: C
Analysis: 由$$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=({{a}^{2}}+bc)-({{b}^{2}}+ca)=(a-b)(a+b-c)\textless{}0$$，得$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}$$，  由$$t_{2}^{2}-t_{3}^{2}=({{b}^{2}}+ca)-({{c}^{2}}+ab)=(b-c)(b+c-a)\textless{}0$$，  得$$t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$，所以$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->方法->作差法
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明
知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分
Problem: 对四堆石子进行如下``操作''：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中．若四堆石子的个数分别为$$2011$$，$$2010$$，$$2009$$，$$2008$$，则按上述方式进行若干次``操作''后，四堆石子的个数可能是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$，$$0$$，$$0$$，$$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$，$$0$$，$$0$$，$$2$$ 
aoVal: C
content: $$0$$，$$0$$，$$0$$，$$3$$ 
aoVal: D
content: $$0$$，$$0$$，$$0$$，$$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为，每操作一次四堆石子总数的减少是$$4$$的倍数，  而$$2011+2010+2009+2008=2009\times 4+2$$．所以，最后四堆石子的个数分别是$$0$$，$$0$$，$$0$$，$$2$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第5题
Problem: 设二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$的两根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，记$${{S}_{1}}={{x}_{1}}+1993{{x}_{2}}$$，$${{S}_{2}}=x_{1}^{2}+1993x_{2}^{2}$$，$$\cdots $$，$${{S}_{n}}=x_{1}^{n}+1993x_{2}^{n}$$，则$$a{{S}_{1993}}+b{{S}_{1992}}+c{{S}_{1991}}=$$  ．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$2010$$ 
aoVal: C
content: $$2011$$ 
aoVal: D
content: $$2012$$ 
Answer: A
Analysis: 由于方程两根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，  则$$ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c=0$$，$$ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c=0$$．  所以$$a{{S}_{1993}}+b{{S}_{1992}}+c{{S}_{1991}}$$  $$=a\left( {{x}_{1}}^{1993}+1993{{x}_{2}}^{1993} \right)+b\left( {{x}_{1}}^{1992}+1993{{x}_{2}}^{1992} \right)+c\left( {{x}_{1}}^{1991}+1993{{x}_{2}}^{1991} \right)$$  $$={{x}_{1}}^{1991}\left( a{{x}_{1}}^{2}+b{{x}_{1}}+c \right)+1993{{x}_{2}}^{1991}\left( ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c \right)$$  $$=0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->方程的构造
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第15题
Problem: 把$$2009$$表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$种 
aoVal: B
content: $$14$$种 
aoVal: C
content: $$12$$种 
aoVal: D
content: $$10$$种 
Answer: C
Analysis: $$\left( x+y \right)\left( x-y \right)=2009={{7}^{2}}\times 41$$有$$6$$个正因数，分别是$$1$$，$$7$$，$$41$$，$$49$$，$$287$$和$$2009$$，因此对应的方程组为$$\begin{cases}x+y=-1,-7,-41,-49,-287,    -2009,1,7,41,49,287,2009;    x-y=-2009,-287,-49,-41,-7,-1,    2009,287,49,41,7,1 \end{cases}$$．  故$$\left( x,y \right)$$共有$$12$$组不同的表示． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用平方差公式因式分解
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一其它
北京竞赛
Problem: 初二（$$1$$）班有$$48$$名同学，其中有男同学$$n$$名，将他们编成$$1$$号，$$2$$号，$$\cdots $$，$$n$$号，在寒假期间，$$1$$号给$$3$$名同学打过电话，$$2$$号给$$4$$名同学打过电话，$$3$$号给$$5$$名同学打过电话，$$\cdots \cdots $$，$$n$$号给全班一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是．
Options:
aoVal: A
content: $$22$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意，可知$$n$$号同学给$$(n+2)$$名同学打过电话，  所以$$n+2=48\div 2$$，$$n=22$$，  所以女同学有$$48-22=26$$（名）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第8题
Problem: 在正常情况下，一个司机每天驾车行驶$$t$$小时，且平均速度为$$v$$千米/小时，若他一天内多行驶$$1$$小时，平均速度比平时快$$5$$千米/小时，则比平时多行驶$$70$$千米，若他一天内少行驶$$1$$小时，平均速度比平时慢$$5$$千米/小时，他将比平时少行驶．
Options:
aoVal: A
content: $$60$$千米 
aoVal: B
content: $$70$$千米 
aoVal: C
content: $$75$$千米 
aoVal: D
content: $$80$$千米 
Answer: A
Analysis: 由题意知$$(t+1)\cdot (v+5)-vt=70$$，  即$$5t+v+5=70$$，  所以$$5t+v=65$$．  若每天少行驶$$1$$小时，且速度比平时慢$$5$$千米/小时，则  $$vt-(t-1)\cdot (v-5)=vt-vt+5t+v-5=60$$（千米）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 已知$$a$$，$$b$$ 满足等式$$x={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20$$，$$y=4\left( 2b-a \right)$$ ，则$$x$$，$$y$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$x\leqslant y$$ 
aoVal: B
content: $$x\geqslant y$$ 
aoVal: C
content: $$x\textless{}y$$ 
aoVal: D
content: $$x\textgreater{}y$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$x={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20$$，$$y=4\left( 2b-a \right)=8b-4a$$，  ∴$$x-y={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20-8b+4a$$  $$=\left( {{a}^{2}}+4a+4 \right)+\left( {{b}^{2}}-8b+16 \right)$$  $$={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}$$，  ∵$${{\left( a+2 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{\left( b-4 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，  ∴$${{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，  ∴$$x-y\geqslant 0$$，即$$x\geqslant y$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
课内体系->能力->运算能力
Source: 山西太原竞赛
2020~2021学年广东深圳龙岗区深圳市百合外国语学校初一下学期单元测试《整式的乘除》第9题3分
2019~2020学年四川成都金牛区成都外国语学校初二下学期单元测试《因式分解》第8题2分
Problem: 若关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix} 2-3x\geqslant 0    2x+m\textgreater0   \end{matrix} \right.$$没有实数解，则实数$$m$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$m\textless{}-\frac{4}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$m\leqslant -\frac{4}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$m\textgreater-\frac{4}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$m\geqslant -\frac{4}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 解不等式组$$\left { \begin{matrix} 2-3x\geqslant 0    2x+m\textgreater0   \end{matrix} \right.$$可得$$\left { \begin{matrix}x\leqslant \dfrac{2}{3}    x\textgreater-\dfrac{m}{2}   \end{matrix} \right.$$．  因为原不等式组没有实数解，  所以$$-\frac{m}{2}\geqslant \frac{2}{3}$$，  解得$$m\leqslant -\frac{4}{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的解集
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第6题4分
Problem: 数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是$$1$$厘米，若在这数轴上随意画出一条长为$$1995$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点有个．
Options:
aoVal: A
content: $$1994$$或$$1995$$ 
aoVal: B
content: $$1994$$或$$1996$$ 
aoVal: C
content: $$1995$$或$$1996$$ 
aoVal: D
content: $$1995$$或$$1997$$ 
Answer: C
Analysis: 若所画的长为$$1995$$厘米的线段的两个端点$$A$$与$$B$$均为整点时，  此时线段$$AB$$盖住的整点个数是$$1995+1=1996$$个．  若$$A$$点不是整点，则$$B$$点也不是整点，此时线段$$AB$$盖住的整点个数为$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$或$$1996$$个．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：数轴上的规律探究
知识标签->知识点->数->有理数->数轴
知识标签->学习能力->空间想象能力
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《有理数》数轴的概念及应用第10题
1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$均为有理数．在下列两个结论中，（~ ）．  甲：若$$a\textgreater b$$，则$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$．  乙：若$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$，则$$a\textgreater b$$．
Options:
aoVal: A
content: 甲、乙都真 
aoVal: B
content: 甲真，乙不真 
aoVal: C
content: 甲不真，乙真 
aoVal: D
content: 甲、乙都不真 
Answer: C
Analysis: 若$$c=0$$，甲不正确．  对于乙，若$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$，可推出$$c\ne 0$$，∴$${{c}^{2}}\textgreater0$$，进而推出$$a\textgreater b$$，乙正确．选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第6题
Problem: 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数$$y=x-3$$与$$y=kx-k$$（$$k$$为整数）的图象的交点是整点，则$$k$$的不同取值的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意得$$\begin{cases}y=x-3    y=kx-k \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}x=\dfrac{k-3}{k-1}    y=\dfrac{-2k}{k-1} \end{cases}$$，  ∴$$x=1-\frac{2}{k-1}$$，$$y=-2-\frac{2}{k-1}$$，  ∵交点是整点，  ∴$$k-1=\pm 1$$或$$\pm 2$$，且$$k-1\ne 0$$，  解得$$k=0$$，$$2$$，$$-1$$或$$3$$．  ∵$$k\ne 0$$，  ∴$$k$$的不同取值的个数是$$3$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 把多项式$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-4y-3$$因式分解之后，正确的结果是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(x+y+3)(x-y-1)$$ 
aoVal: B
content: $$(x+y-1)(x-y+3)$$ 
aoVal: C
content: $$(x+y-3)(x-y+1)$$ 
aoVal: D
content: $$(x+y+1)(x-y-3)$$ 
Answer: D
Analysis: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-4y-3$$  $$={{x}^{2}}-2x+1-({{y}^{2}}+4y+4)$$  $$={{(x-1)}^{2}}-{{(y+2)}^{2}}$$  $$=(x-1+y+2)(x-1-y-2)$$  $$=(x+y+1)(x-y-3)$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->拆添项法
Source: 初二其它
2020~2021学年北京海淀区清华大学附属初级中学初一上学期期中第9题2分
1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第2题
2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第8题
Problem: 设$$n$$是小于$$100$$的正整数且使$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，则符合条件的所有正整数$$n$$的和是．
Options:
aoVal: A
content: $$285$$ 
aoVal: B
content: $$350$$ 
aoVal: C
content: $$540$$ 
aoVal: D
content: $$635$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，  ∴$$5\textbar(5{{n}^{2}}+3n-5)$$，  ∴$$5\textbar3n$$，  ∴$$5\textbar n$$．  设$$n=5m$$（$$m$$是正整数），  则$$5{{n}^{2}}+3n-5=125{{m}^{2}}+15m-5=120{{m}^{2}}+15m+5({{m}^{2}}-1)$$．  又∵$$5{{n}^{2}}+3n-5$$是$$15$$的倍数，  ∴$${{m}^{2}}-1$$是$$3$$的倍数，  ∴$$m=3k+1$$或$$m=3k+2$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴$$n=5(3k+1)=15k+5$$或$$n=5(3k+2)=15k+10$$，其中$$k$$是非负整数，  ∴符合条件的所有正整数$$n$$的和为  $$(5+20+35+50+65+80+95)+(10+25+40+55+70+85)=635$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第6题7分
Problem: 已知$$\triangle ABC$$中，$$\angle B=60{}^{}\circ $$，$$\angle C\textgreater\angle A$$，且$${{(\angle C)}^{2}}={{(\angle A)}^{2}}+{{(\angle B)}^{2}}$$，则$$\triangle ABC$$的形状是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 直角或钝角三角形 
Answer: A
Analysis: $$\triangle ABC$$中，$$\angle B=60{}^{}\circ $$，$$\angle C\textgreater\angle A$$，设$$\angle C=60{}^{}\circ +x{}^{}\circ $$，则$$\angle A=60{}^{}\circ -x{}^{}\circ $$，  因为$${{(\angle C)}^{2}}={{(\angle A)}^{2}}+{{(\angle B)}^{2}}$$，  所以$${{(\angle B)}^{2}}={{(\angle C)}^{2}}-{{(\angle A)}^{2}}$$，  $$=(\angle C+\angle A)\cdot (\angle C-\angle A)$$，  所以$$3600=120\times 2x$$，所以$$x{}^{}\circ =15{}^{}\circ $$，  所以$$\angle C=75{}^{}\circ $$，$$\angle A=45{}^{}\circ $$．  故$$\triangle ABC$$是锐角三角形．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第6题
Problem: 在$${{2}^{77}}$$，$${{3}^{55}}$$，$${{5}^{44}}$$，$${{6}^{33}}$$这四个数中，最大的数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{77}}$$ 
aoVal: B
content: $${{3}^{55}}$$ 
aoVal: C
content: $${{5}^{44}}$$ 
aoVal: D
content: $${{6}^{33}}$$ 
Answer: C
Analysis: 将题设的四个数化成同指数的幂，得  $${{2}^{77}}={{({{2}^{7}})}^{11}}={{128}^{11}}$$，  $${{3}^{55}}={{({{3}^{5}})}^{11}}={{243}^{11}}$$，  $${{5}^{44}}={{({{5}^{4}})}^{11}}={{625}^{11}}$$，  $${{6}^{33}}={{({{6}^{3}})}^{11}}={{216}^{11}}$$，  所以最大的数是$${{5}^{44}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->利用幂的乘方比较大小
课内体系->能力->运算能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 在平面直角坐标系$$xOy$$中，满足不等式$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$的整数点坐标$$\left( x,y \right)$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$，得$$0\leqslant {{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 2$$，  因为$$x$$，$$y$$均为整数，所以有  $$\begin{cases}{{(x-1)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$或 $$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$，  解得：$$\begin{cases}x=1    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=2   \end{cases}$$，  以上共计$$9$$对$$(x,y)$$．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标与距离
Source: 2012年竞赛第2题3分
Problem: 一个长方形长变为原来的$$1.5$$倍，宽减少20\%，则原面积占新面积的几分之几？ ．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 在维度为$$10\times 10$$的矩形中，新的矩形将具有维度为$$15\times 8$$，新区域与旧区域比例为$$\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$$． 
Knowledge points: 美国amc8->知识点->几何->直线型->几何模型
Source: 2009年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 若$${{x}_{0}}$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$$的根，则判别式$$\Delta ={{b}^{2}}-4ac$$与平方式$$M={{(2a{{x}_{0}}+b)}^{2}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$\Delta \textgreater M$$ 
aoVal: B
content: $$\Delta =M$$ 
aoVal: C
content: $$\Delta \textless{}M$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 把$${{x}_{0}}$$代入方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$中得$$ax_{0}^{2}+b{{x}_{0}}=-c$$，  ∵$${{(2a{{x}_{0}}+b)}^{2}}=4{{a}^{2}}x_{0}^{2}+4ab{{x}_{0}}+{{b}^{2}}$$，  ∴$${{(2a{{x}_{0}}+b)}^{2}}=4a(a{{x}_{0}}^{2}+b{{x}_{0}})+{{b}^{2}}=-4ac+{{b}^{2}}=\Delta $$，  ∴$$M=\Delta $$．  故选$$\text{B}$$． 
<p>∵$$x_0$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$$的根，</p>
<p>&there4;$${{x}_{0}}=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$，</p>
<p>&there4;$${{b}^{2}}-4ac={{(2a{{x}_{0}}+b)}^{2}}$$，</p>
<p>&there4;$$\Delta =M$$．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第2题
初三上学期其它
Problem: 在代数式$$x{{y}^{2}}$$中，$$x$$和$$y$$的值各减少$$25 \%$$，则该代数式的值减少了（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$50 \%$$ 
aoVal: B
content: $$75 \%$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{37}{64}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{27}{64}$$ 
Answer: C
Analysis: ∵在代数式$$x{{y}^{2}}$$中，$$x$$和$$y$$的值各减少$$25 \%$$，  ∴知$${{x}^{\prime }}=\frac{3}{4}x$$，$${{y}^{\prime }}=\frac{3}{4}y$$，  ∴$${{x}^{\prime }}{{({{y}^{\prime }})}^{2}}=\left( \frac{3}{4}x \right)\times {{\left( \frac{3}{4}y \right)}^{2}}=\frac{27}{64}x{{y}^{2}}$$，  ∴该代数式的值减少了$$\frac{37}{64}$$．  故选$$\text{C}$$． 
<p>因为$$x(1-25\%)\cdot {{\left[ y(1-25\%) \right]}^{2}}=\frac{27}{64}x{{y}^{2}}$$</p>
<p>所以代数式的值减少了$$1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}$$</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除与实际问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第3题4分
2018~2019学年湖南常德澧县初一上学期期中第8题3分
2015~2016学年上海长宁区上海市复旦初级中学初一上学期期中第18题2分
2012~2013学年广东广州海珠区中山大学附属中学初一上学期期中第7题3分
Problem: $$a$$和$$b$$都是个位数字和十位数字相同的两位数，$$c$$是各位数字都相同的四位数，且$${{a}^{2}}+b=c$$，则$$a+b+c$$的最大值和最小值的差是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$6732$$ 
aoVal: B
content: $$3179$$ 
aoVal: C
content: $$6723$$ 
aoVal: D
content: $$3187$$ 
Answer: A
Analysis: 由分析可知：  若$$a=11$$，$${{a}^{2}}=121$$，$$c=1111$$，则$$b=990$$，不符合题意；  若$$a=22$$，$${{a}^{2}}=484$$，$$c=1111$$，则$$b=627$$，不符合题意；  若$$a=33$$，$${{a}^{2}}=1089$$，$$c=1111$$，则$$b=22$$，符合题意；  若$$a=44$$，$${{a}^{2}}=1936$$，$$c=2222$$，则$$b=296$$，不符合题意；  若$$a=55$$，$${{a}^{2}}=3025$$，$$c=3333$$，则$$b=308$$，不符合题意；  若$$a=66$$，$${{a}^{2}}=4356$$，$$c=4444$$，则$$b=88$$，符合题意；  若$$a=77$$，$${{a}^{2}}=5929$$，$$c=6666$$，则$$b=737$$，不符合题意；  若$$a=88$$，$${{a}^{2}}=7744$$，$$c=7777$$，则$$b=33$$，符合题意；  若$$a=99$$，$${{a}^{2}}=9801$$，$$c=9999$$，则$$b=198$$，不符合题意．  综上，满足条件的解有三组，即$$\left { \begin{matrix}a=33    b=22    c=1111   \end{matrix} \right.$$，$$\left { \begin{matrix}a=66    b=88    c=4444   \end{matrix} \right.$$，$$\left { \begin{matrix}a=88    b=33    c=7777   \end{matrix} \right.$$，  ∴$$a+b+c$$的值最大为$$7898$$，最小为$$1166$$，  ∴$$a+b+c$$的最大值和最小值的差是$$7898-1166=6732$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->枚举法
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分
Problem: 如果方程$$\left\textbar3x\right\textbar-ax-1=0$$的根是负数，那么$$a$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater-3$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 3$$ 
aoVal: C
content: $$a \textless{} 3$$ 
aoVal: D
content: $$a\leqslant -3$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$．  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 在一个圆形区域内随机选择一个点．此点距离圆心比距离圆周更近的概率是多少?
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 14$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 13$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 12$$ 
aoVal: D
content: $$\frac 23$$ 
aoVal: E
content: $$\frac 34$$ 
Answer: A
Analysis: 在一个圆形区域内随机选择一个点．此点圆心比离圆周更近的概率是多少?  画一个半径为$$2$$的圆．画一个半径为$$1$$的同心圆．这个内圆的边缘是所有点的集合，到中心和外圆分别为$$1$$和$$1$$．换句话说，它是到圆心与大圆等距的所有点的集合．半径为$$1$$的圆的内侧是所有点的集合，这些点比外圆的边界更靠近区域的中心．``垫圈''区域在半径$$1$$的圆外，但在半径$$2$$的圆内，是所有靠近边界而不是圆心的点的集合．  如果在区域$$B$$中选择一个随机点，则该点位于较小子区域$$A$$中的概率为$$\frac{A}{B}$$的比率．在这种情况下，$$B= \pi \cdot {{2}^{2}}=4 \pi $$，$$A= \pi \cdot {{1}^{2}}= \pi $$，面积比是$$\frac{ \pi }{4 \pi }=\frac{1}{4}$$．  故选$$\text{A}$$．  Draw a circle with a radius of $$2$$ . Draw a concentric circle with radius $$1$$ . The edge of this nner circle is the set of all points that are $$1$$ from the center, and $$1$$ from the outer circle. In other words, it is the set of all points that are equidistan t from the center of the circles to the outside of the big circle.  The inside of this circle of radius $$1$$ is the set of all points that are closer to the center of the region than to the boundary of the outer circle. The "washer" region that is outside the circle of radius $$1$$, but inside the circle of radius $$2$$, is the set of all points that are closer to the boundary than to the center of the circle.  If you select a random point in a region of area $$B$$, the probability that the point is in a smaller subregion $$A$$ is the ratio$$\frac{A}{B}$$. In this case, $$B=\pi \cdot {{2}^{2}}=4\pi $$,~ and $$A=\pi \cdot {{1}^{2}}=\pi $$, and the ratio of areas is $$\frac{\pi }{4\pi }=\frac{1}{4}$$, and the answer is $$\text{A}$$． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Geometric Probability
课内体系->知识点->统计与概率
Source: 1996年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 浓度为$$p \%$$的盐水$$m$$公斤与浓度为$$q \%$$的盐水$$n$$公斤混合后的溶液浓度是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{p+q}{2} \%$$ 
aoVal: B
content: $$(mp+nq) \%$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{(mp+nq)}{p+q} \%$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{(mp+nq)}{m+n} \%$$ 
Answer: D
Analysis: 设混合溶液浓度为$$x$$，则$$m\times p \%+n\times q \%=(m+n)x$$．  $$x=\frac{mp+nq}{m+n} \%$$．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第15题
Problem: 若$$\left\textbar{} a \right\textbar{} ~\textless{} ~\left\textbar{} c \right\textbar$$，$$b=\frac{a+c}{2}$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar{} ~\textless{} ~2\left\textbar{} a \right\textbar$$，$${{S}_{1}}=\left\textbar{} \frac{a-b}{c} \right\textbar$$，$${{S}_{2}}=\left\textbar{} \frac{b-c}{a} \right\textbar$$，$${{S}_{3}}=\left\textbar{} \frac{a-c}{b} \right\textbar$$，则$${{S}_{1}}$$，$${{S}_{2}}$$，$${{S}_{3}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $${{S}_{1}}\textless{{S}_{2}}\textless{{S}_{3}}$$ 
aoVal: B
content: $${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{2}}\textgreater{{S}_{3}}$$ 
aoVal: C
content: $${{S}_{1}}\textless{{S}_{3}}\textless{{S}_{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{3}}\textgreater{{S}_{2}}$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$b=\frac{a+c}{2}$$，  所以$${{S}_{1}}=\left\textbar{} \frac{a-b}{c} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-\dfrac{a+c}{2}}{c} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-c}{2c} \right\textbar$$.  $${{S}_{2}}=\left\textbar{} \frac{b-c}{a} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\dfrac{a+c}{2}-c}{a} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-c}{2a} \right\textbar$$，  因为$$\left\textbar{} a \right\textbar{} ~\textless{} ~\left\textbar{} c \right\textbar$$，  所以$${{S}_{1}} ~\textless{} ~{{S}_{2}}$$，  又$$\left\textbar{} b \right\textbar{} ~\textless{} ~2\left\textbar{} a \right\textbar$$，  所以$${{S}_{3}}=\textbar\frac{a-c}{b}\textbar\textgreater\textbar\frac{a-c}{2a}\textbar={{S}_{2}}$$  所以$${{S}_{1}} ~\textless{} ~{{S}_{2}} ~\textless{} ~{{S}_{3}}$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第4题
Problem: 已知$$a{{x}^{\left\textbar{} a+2 \right\textbar}}+3x+1$$为一次多项式，则$$a$$的所有取值之和为 ．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$-3$$ 
aoVal: D
content: $$-6$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a{{x}^{\left\textbar{} a+2 \right\textbar}}+3x+1$$为一次多项式，  ∴①$$a=0$$时，原式为$$3x+1$$满足条件，  ②$$\left\textbar{} a+2 \right\textbar=1$$时，$$a=-1$$或$$-3$$，  $$a=-1$$时原式为$$-x+3x+1=2x+1$$，满足条件，  $$a=-3$$时原式为$$-3x+3x+1=0$$，不满足条件，  ③$$\left\textbar{} a+2 \right\textbar=0$$时，$$a=-2$$，  原式$$=-2{{x}^{0}}+3x+1=3x-1$$满足条件，  综上$$a=0$$或$$-1$$或$$-2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->对称多项式 
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->由多项式的项和次数求参数的值
Source: 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初一竞赛（凤凰木杯）第9题3分
Problem: 已知$$\triangle ABC$$和$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$，$$D$$和$${{D}_{1}}$$分别是$$BC$$和$${{B}_{1}}{{C}_{1}}$$的中点，下列条件中能判定$$\triangle ABC$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\angle C=\angle {{C}_{1}}$$，$$AC={{A}_{1}}{{C}_{1}}$$，$$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$ 
aoVal: B
content: $$\angle B=\angle {{B}_{1}}$$，$$AB={{A}_{1}}{{B}_{1}}$$，$$AC={{A}_{1}}{{C}_{1}}$$ 
aoVal: C
content: $$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$BD={{B}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$CD={{C}_{1}}{{D}_{1}}$$ 
aoVal: D
content: $$\angle BAD=\angle {{B}_{1}}{{A}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$AB={{A}_{1}}{{B}_{1}}$$，$$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$\text{A}$$中，$$\text{SSA}$$不能证明$$\triangle ACD$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$$，进而也不能证明$$\triangle ABC$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$；  $$\text{B}$$中，$$\text{SSA}$$不能证明$$\triangle ABC$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$；  $$\text{C}$$中，任意两个斜边相等的直角三角形，都满足，不能证明$$\triangle ABC$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$；  $$\text{D}$$中，通过$$\text{SAS}$$可证明$$\triangle ABD$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{D}_{1}}$$，  ∴$$\angle B=\angle {{B}_{1}}$$，$$BD={{B}_{1}}{{D}_{1}}$$，  ∴$$BC={{B}_{1}}{{C}_{1}}$$，  ∴$$\triangle ABC$$≌$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->全等三角形->全等三角形的判定->SAS
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分
Problem: 已知$$A:B=\sqrt[3]{2}:\sqrt{3}$$，$$A=\sqrt{2}$$，$$C=\sqrt{\frac{29}{10}}$$，则$$B$$，$$C$$的大小关系是 .
Options:
aoVal: A
content: $$B\textgreater C$$ 
aoVal: B
content: $$B=C$$ 
aoVal: C
content: $$B\textless{}C$$ 
aoVal: D
content: $$uncertain$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\sqrt[3]{2}\textless{}\sqrt{2}$$，  则由题设得$$B=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}A\textgreater\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}A=\sqrt{3}$$，  而$$C=\sqrt{2.9}\textless{}\sqrt{3}$$，  所以$$B\textgreater C$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分
Problem: 若$$a\textless{}b$$，则$$(a-b)\left\textbar{} a-b \right\textbar$$等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{(a-b)}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{b}^{2}}-{{a}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$-{{(a-b)}^{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$a\textless{}b$$，所以$$a-b\textless{}0$$，此时$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=b-a$$．  所以$$(a-b)\left\textbar{} a-b \right\textbar=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-{{(a-b)}^{2}}$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第3题
Problem: 定义一种运算：$${\text{C}_{m}}^{n}=\frac{m\times \left( m-1 \right)\times \left( m-2 \right)\times \cdots~ \times \left( m-n+1 \right)}{n\times \left( n-1 \right)\times \left( n-2 \right)\times \cdots~ \times 1}$$，则$${\text{C}_{5}}^{3}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{10}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$\text{C}_{m}^{n}=\frac{m\times \left( m-1 \right)\times \left( m-2 \right)\times \cdots~ \times \left( m-n+1 \right)}{n\times \left( n-1 \right)\times \left( n-2 \right)\times \cdots \times 1}$$，  ∴$$\text{C}_{5}^{3}=\frac{5\times 4\times \left( 5-3+1 \right)}{3\times 2\times 1}=\frac{5\times 4\times 3}{6}=10$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第3题4分