math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 对于自然数$$n$$，将其各位数字之和记为$${{a}_{n}}$$，如$${{a}_{2009}}=2+0+0+9=11$$，$${{a}_{2010}}=2+0+1+0=3$$，则$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{2009}}+{{a}_{2010}}=$$ （~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$28062$$ 
aoVal: B
content: $$28065$$ 
aoVal: C
content: $$28067$$ 
aoVal: D
content: $$28068$$ 
Answer: D
Analysis: 根据弃九法，它和$$1$$到$$2010$$的和被$$9$$除的余数相等．每连续$$9$$个自然数之和被$$9$$整除，$$2010$$被$$9$$除余$$3$$，$$1+2+3=6$$，所以只有$$\text{D}$$符合． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数乘除混合运算
Source: 2010年全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 在凸$$10$$边形的所有内角中，锐角的个数最多是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 由于任何凸多边形的外角之和都是$$360{}^{}\circ $$，故外角中钝角的个数不超过$$3$$个，即内角中锐角最多不超过$$3$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 计算$$2020\times20212021-2021\times20202020$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2020$$ 
aoVal: D
content: $$2021$$ 
Answer: A
Analysis: $$2020\times20212021-2021\times20202020$$  $$=2020\times2021\times10001-2021\times2020\times10001$$  $$=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: $$A$$、$$B$$两地相距$$s$$千米．甲、乙的速度分别是$$a$$千米/小时，$$b$$千米/小时$$\left( a\textgreater b \right)$$．甲、乙都从$$A$$到$$B$$去开会，如果甲比乙先出发$$1$$小时，那么乙比甲晚到$$B$$地的小时数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{s}{a}-\left( \frac{s}{b}+1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{s}{b}-\left( \frac{s}{a}+1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{s}{a}-\left( \frac{s}{b}-1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{s}{b}-\left( \frac{s}{a}-1 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 走完全程乙用$$\frac{s}{b}$$小时，甲用$$\frac{s}{a}$$小时，  所以乙比甲晚到$$\frac{s}{b}-\left( \frac{s}{a}-1 \right)$$小时，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: 有下列三个命题：  （甲）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta $$是无理数；  （乙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$$是无理数；  （丙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }$$是无理数．  其中正确命题的个数是（~ ~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\alpha \beta +\alpha -\beta =\alpha \beta +\alpha -\beta -1+1=\left( \alpha -1 \right)\left( \beta +1 \right)+1$$，  只要令$$\alpha =1+\sqrt{2}$$，$$\beta =-1+\sqrt{2}$$，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta =3$$为有理数，故（甲）不对；  又若令$$\alpha =2\sqrt{2}$$，$$\beta =\sqrt{2}$$，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{3}$$为有理数，故（乙）不对；  又若令$$\alpha =\sqrt[3]{2}$$，$$\beta =-\sqrt{2}$$，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }=0$$为有理数，故（丙）不对．  因此正确命题个数是$$0$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义
Source: 初三上学期其它
1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 如果抛物线$$y={{x}^{2}}-\left( k-1 \right)x-k-1$$与$$x$$轴的交点分别为$$A$$，$$B$$，顶点为$$C$$，那么$$\triangle ABC$$面积的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 首先，$$\Delta ={{\left( k-1 \right)}^{2}}+4\left( k+1 \right)={{k}^{2}}+2k+5\textgreater0$$，  所以抛物线与$$x$$轴总有两个交点，设抛物线与$$x$$轴交点的横坐标分别为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，那么  $$\left\textbar{} AB \right\textbar=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{{{k}^{2}}+2k+5}$$．  又抛物线的顶点坐标是$$C\left( \frac{k-1}{2},-\frac{{{k}^{2}}+2k+5}{4} \right)$$，  所以  $${{S}_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{k}^{2}}+2k+5}\cdot \frac{{{k}^{2}}+2k+5}{4}$$  $$=\frac{1}{8}{{\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}+4 \right]}^{\dfrac{3}{2}}}\geqslant \frac{1}{8}\cdot {{4}^{\frac{3}{2}}}=1$$，  当$$k=-1$$时，等号成立．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与坐标轴交点
课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与面积
Source: 1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第5题5分
Problem: 满足$$a+c=2b$$的三位数$$\overline{abc}$$共有个．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$45$$ 
aoVal: D
content: $$49$$ 
Answer: C
Analysis: 若$$b=0$$，则$$a+c=0$$，不可能  若$$b=1$$，则$$a+c=2$$，有$$2$$种情况；  若$$b=2$$，则$$a+c=4$$，有$$4$$种情况；  若$$b=3$$，则$$a+c=6$$，有$$6$$种情况；  若$$b=4$$，则$$a+c=8$$，有$$8$$种情况；  若$$b=5$$，则$$a+c=10$$，有$$9$$种情况；  若$$b=6$$，则$$a+c=12$$，有$$7$$种情况；  若$$b=7$$，则$$a+c=14$$，有$$5$$种情况；  若$$b=8$$，则$$a+c=16$$，有$$3$$种情况；  若$$b=9$$，则$$a+c=18$$，有$$1$$种情况；  综上，共有$$2+4+6+8+9+7+5+3+1=45$$（种）情况． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第10题4分
Problem: 设$$S=\frac{1}{{{1}^{3}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{3}^{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{2011}^{3}}} $$，则$$4S$$的整数部分等于．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$k=2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$2011$$时，因为  $$\frac{1}{{{k}^{3}}} ~\textless{} ~\frac{1}{k({{k}^{2}}-1)}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{\left( k-1 \right)k}-\frac{1}{k\left( k+1 \right)} \right]$$，  所以$$1 ~\textless{} ~S=1+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{3}^{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{2011}^{3}}} ~\textless{} ~1+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2011\times 2012} \right) ~\textless{} ~\frac{5}{4}$$．  于是有$$4\leqslant 4S\leqslant 5$$，故$$4S$$的整数部分等于$$4$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年竞赛第5题4分
Problem: 若$$2x+5y+4z=0$$，$$3x+y-7z=0$$，则$$x+y-z$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: 不能求出 
Answer: A
Analysis: 根据题意得：$$\begin{cases}2x+5y+4z=0①    3x+y-7z=0②   \end{cases}$$，  把②变形为：$$y=7z-3x$$③，  代入①得：$$x=3z$$，  代入③得：$$y=-2z$$，  则$$x+y-z=3z-2z-z=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->方法->代入法
课内体系->方法->整体法
Source: 2019~2020学年4月山东潍坊奎文区潍坊德润国际双语学校初一下学期月考第6题3分
2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第2题4分
2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第2题4分
Problem: 题5：某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了$$24$$秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用$$56$$秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用．
Options:
aoVal: A
content: $$32$$秒 
aoVal: B
content: $$38$$秒 
aoVal: C
content: $$42$$秒 
aoVal: D
content: $$48$$秒 
Answer: C
Analysis: 设从楼上到楼下的路程为$$s$$，则自动扶梯每秒向下运动$$\frac{s}{56}$$的路程．  人沿向下运动的扶梯向下走，经过$$24$$秒，扶梯向下运动了$$24\times \frac{s}{56}=\frac{3s}{7}$$的路程，  人向下走了$$s-\frac{3}{7}s=\frac{4}{7}s$$的路程，  所以，人每秒向下走$$\frac{4}{7}s\div 24=\frac{s}{42}$$的路程，  那么，人走$$s$$的路程要用$$42$$秒，  即人沿不动的扶梯从楼上走到楼下要用$$42$$秒．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-顺风、顺水问题
竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第10题
Problem: 有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足$$a\textless{}b\textless{}0\textless{}c\textless{}d$$，并且$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c\textless{}\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，则$$a+b+c+d$$的值（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 大于$$0$$ 
aoVal: B
content: 等于$$0$$ 
aoVal: C
content: 小于$$0$$ 
aoVal: D
content: 与$$0$$的大小关系不确定 
Answer: A
Analysis: 解法一：  ∵$$b\textless{}0\textless{}c$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c$$，  ∴$$-b\textless{}c$$，  ∴$$b+c\textgreater0$$．  ∵$$a\textless{}0\textless{}d$$，$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，  ∴$$-a\textless{}d$$，  ∴$$a+d\textgreater0$$．  ∴$$a+b+c+d\textgreater0$$．  解法二：  取特殊值，依题设，可假定$$b=-2$$，$$c=3$$，$$a=-4$$，$$d=5$$，  则$$a+b+c+d=2\textgreater0$$，  故$$a+b+c+d$$的值大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
初一上学期单元测试《解读绝对值》第6题
Problem: 如果关于$$x$$的分式方程$$\dfrac{a}{x+1}-3=\dfrac{1-x}{x+1}$$有负分数解，且关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix}2(a-x)\geqslant -x-4    \dfrac{3x+4}{2}\textless{}x+1   \end{matrix} \right.$$的解集为$$x\textless{}-2$$，那么符合条件的所有整数$$a$$的积是．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: $$\left { \begin{matrix}2(a-x)\geqslant -x-4\&①    \dfrac{3x+4}{2}\textless{}x+1\&②   \end{matrix} \right.$$，  由①得：$$x\leqslant 2a+4$$，  由②得：$$x\textless{}-2$$，  由不等式组的解集为$$x\textless{}-2$$，得到$$2a+4\geqslant -2$$，即$$a\geqslant -3$$，  分式方程去分母得：$$a-3x-3=1-x$$，  把$$a=-3$$代入整式方程得：$$-3x-6=1-x$$，即$$x=-\dfrac{7}{2}$$，符合题意；  把$$a=-2$$代入整式方程得：$$-3x-5=1-x$$，即$$x=-3$$，不合题意；  把$$a=-1$$代入整式方程得：$$-3x-4=1-x$$，即$$x=-\dfrac{5}{2}$$，符合题意；  把$$a=0$$代入整式方程得：$$-3x-3=1-x$$，即$$x=-2$$，不合题意；  把$$a=1$$代入整式方程得：$$-3x-2=1-x$$，即$$x=-\dfrac{3}{2}$$，符合题意；  把$$a=2$$代入整式方程得：$$-3x-1=1-x$$，即$$x=1$$，不合题意；  把$$a=3$$代入整式方程得：$$-3x=1-x$$，即$$x=-\dfrac{1}{2}$$，符合题意；  把$$a=4$$代入整式方程得：$$-3x+1=1-x$$，即$$x=0$$，不合题意，  ∴符合条件的整数$$a$$取值为$$-3$$；$$-1$$；$$1$$；$$3$$，之积为$$9$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2018年重庆江津区四川省江津市第二中学初三中考一模（八校联考）第12题4分
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第6题5分
2017年四川达州渠县初三中考二模九校联合中考第9题3分
2016年重庆中考真题B卷第12题4分
Problem: 下面说法中，不正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 小于$$-1$$的有理数比它的倒数小 
aoVal: B
content: 非负数的相反数不一定比它本身小 
aoVal: C
content: 小于$$0$$的有理数的二次幂大于原数 
aoVal: D
content: 小于$$0$$的有理数的立方小于原数 
Answer: D
Analysis: 设$$a$$为有理数，当$$-1\textless{}a\textless{}0$$时，$${{a}^{3}}\textgreater a$$，∴$$\text{D}$$的说法不正确． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->倒数的定义
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第2题
Problem: 在平面直角坐标系中，点$$A(a-2,a-1)$$不可能在（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 第一象限 
aoVal: B
content: 第二象限 
aoVal: C
content: 第三象限 
aoVal: D
content: 第四象限 
Answer: D
Analysis: ∵$$a-2\textless{}a-1$$，  ∴当$$a-2\textgreater0$$时，不可能有$$a-1\textless{}0$$，  ∴点$$A(a-2,a-1)$$不可能在第四象限． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分
2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第三中学初一下学期期末第6题3分
Problem: 公园里准备修五条直的甬道，并在甬道交叉口处设一个报亭，这样的报亭最多可设．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$个 
aoVal: B
content: $$10$$个 
aoVal: C
content: $$11$$个 
aoVal: D
content: $$12$$个 
Answer: B
Analysis: 因为五条直线相交最多有$$10$$个交点，所以最多可设$$10$$个报亭．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->相交的定义
Source: 2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第5题4分
Problem: 当$$x=-\frac{7}{12}$$时，式子$${{(x-2)}^{2}}-2(2-2x)-(1+x)(1-x)$$的值等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{23}{72}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{23}{72}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{49}{72}$$ 
Answer: A
Analysis: 原式$$={{x}^{2}}-4x+4-4+4x-1+{{x}^{2}}$$  $$=2{{x}^{2}}-1$$，  当$$x=-\frac{7}{12}$$时，  $$2{{x}^{2}}-1=2\times {{\left( -\frac{7}{12} \right)}^{2}}-1=-\frac{23}{72}$$．  故选($$\text{A}$$)． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-直接代入化简求值
Source: 2005年第16届希望杯初一竞赛复赛第2题4分
Problem: 当$$x=\frac{2}{3}$$时，代数式$$1+3x$$的值是$$-\frac{1}{3}$$的．
Options:
aoVal: A
content: 绝对值 
aoVal: B
content: 倒数 
aoVal: C
content: 相反数 
aoVal: D
content: 倒数的相反数 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{2}{3}$$时，代数式$$1+3x$$的值是$$1+3\times \left( \frac{2}{3} \right)=3$$，而$$3$$是$$-\frac{1}{3}$$的倒数的相反数．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数
课内体系->能力->运算能力
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第5题
Problem: 已知实数$$a$$，$$b$$满足$${{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5a=1$$，$${{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+5b=5$$，则$$a+b=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: A
Analysis: 有已知条件可得$${{\left( a-1 \right)}^{3}}+2\left( a-1 \right)=-2$$，$${{\left( b-1 \right)}^{3}}+2\left( b-1 \right)=2$$，两式相加得$${{\left( a-1 \right)}^{3}}+2\left( a-1 \right)+{{\left( b-1 \right)}^{3}}+2\left( b-1 \right)=0$$，  因式分解得$$\left( a+b-2 \right)\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}-\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+\left( b-{{1}^{2}}+2 \right) \right]=0$$，  因为$${{\left( a-1 \right)}^{2}}-\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+2={{\left[ \left( a-1 \right)-\frac{1}{2}\left( b-1 \right) \right]}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left( b-1 \right)}^{2}}+2\textgreater0$$，  所以$$a+b-2=0$$，因此$$a+b=2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2018年全国初中数学联赛初一竞赛B卷
Problem: 已知一个正整数有$$48$$个正因数，它最多可以有多少个质因数？  It is known that a positive integer has $$48$$ positive factors, at most how many prime factors does it have?
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
aoVal: E
content: $$48$$ 
Answer: C
Analysis: $$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2018年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）初二竞赛决赛第23题8分
Problem: $$M$$表示$$a$$与$$b$$的和的平方，$$N$$表示$$a$$与$$b$$的平方的和，则当$$a=7$$，$$b=-5$$时，$$M-N$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-28$$ 
aoVal: B
content: $$70$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: $$M={{(a+b)}^{2}}$$，$$N=a+{{b}^{2}}$$．  $$M-N={{(a+b)}^{2}}-(a+{{b}^{2}})={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}-a-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab-a$$．  ∵$$a=7$$，$$b=-5$$，  ∴$$M-N={{7}^{2}}+2\times 7\times (-5)-7=-28$$．选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第12题
Problem: 在半径为$$1$$的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于$$1$$且小于$$\sqrt{2}$$，则这个多边形的边数必为（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 若满足条件的多边形的边数大于或等于$$6$$，则至少有一边所对的圆心角不大于$$60{}^{}\circ $$，由余弦定理知该边长必不大于$$1$$；同理，若存在满足条件的四边形，则它至少有一边长不小于$$\sqrt{2}$$．  故选$$\text C$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第4题
Problem: 不等式$$x-1\textless{}{{(x-1)}^{2}}\textless{}3x+7$$的整数解的个数．
Options:
aoVal: A
content: 等于$$4$$ 
aoVal: B
content: 小于$$4$$ 
aoVal: C
content: 大于$$5$$ 
aoVal: D
content: 等于$$5$$ 
Answer: A
Analysis: 注意到$$x-1\textless{}{{(x-1)}^{2}}\textless{}3x+7\Rightarrow \begin{cases}(x-2)(x-1)\textgreater0    (x+1)(x-6)\textless{}0    \end{cases}$$，  $$(x+1)(x-6)\textless{}0\Leftrightarrow -1\textless{}x\textless{}6$$．  于是原不等式的整数解是介于$$-1$$与$$6$$之间且不等于$$1$$，$$2$$的整数，即$$0$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$四个整数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->高次不等式
课内体系->能力->运算能力
Source: 1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第5题
Problem: 设$$a$$、$$b$$、$$c$$均为正数，若$$\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{b}{c+a}$$，则$$a$$、$$b$$、$$c$$三个数的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$c\textless{}a\textless{}b$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}c\textless{}a$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: D
content: $$c\textless{}b\textless{}a$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{c}{a+b}\textless\frac{a}{b+c}\textless\frac{b}{c+a}$$，  所以$$\frac{a+b}{c}\textgreater\frac{b+c}{a}\textgreater\frac{c+a}{b}$$，  所以$$\frac{a+b}{c}+1\textgreater\frac{b+c}{a}+1\textgreater\frac{c+a}{b}+1$$，  所以$$\frac{a+b+c}{c}\textgreater\frac{a+b+c}{a}\textgreater\frac{a+b+c}{b}$$，  所以$$c\textless a\textless b$$．  故选$$\text{A}$$． 
<p>由$$\frac{c}{a+b}&lt;\frac{a}{b+c}$$得$$c(b+c)&lt;a(a+b)$$，</p>

<p>$$b c+c^{2}-a^{2}-a b&lt;0$$，</p>
<p>$$(c-a)(a+b+c)&lt;0$$．</p>
<p>所以$$c&lt;a$$．</p>
<p>同理，由$$\frac{a}{b+c}&lt;\frac{b}{c+a}$$得$$a&lt;b$$．</p>
<p>所以$$c&lt;a&lt;b$$．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>

Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式比较大小
Source: 2016~2017学年广东广州天河区华南师范大学附属中学初二上学期期中第7题2分
2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第10题
2016年初一下学期其它
Problem: 不定方程$$3{{x}^{2}}+7xy-2x-5y-17=0$$的全部正整数解$$(x,y)$$的组数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$3{{x}^{2}}+7xy-2x-5y-17=0$$，得$$y=\frac{-3{{x}^{2}}+2x+17}{7x-5}$$，  因为$$x$$，$$y$$为正整数，  故$$x\geqslant 1$$，$$y\geqslant 1$$，  从而$$7x-5\textgreater0$$，  于是$$-3{{x}^{2}}+2x+17\geqslant 7x-5$$，$$3{{x}^{2}}+5x-22\leqslant 0$$，  即$$(x-2)(3x+11)\leqslant 0$$，  由$$x\geqslant 1$$，知$$3x+11\textgreater0$$，  故$$x-2\leqslant 0$$，$$x\leqslant 2$$，  故$$x=1$$或$$x=2$$．  当$$x=1$$时，$$y=8$$；  当$$x=2$$时，$$y=1$$．  故原不定方程的全部正整数解$$(x,y)$$有两组：$$(1,8)$$，$$(2,1)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．  Brush each surface of a box with integral centimeter of edge length into red, and then divide the box into several small cubes with an edge length of $$1$$ cm. If there are $$11$$ cubes without color on any side, the volume of the original box is~\uline{~~~~~~~~~~}~cubic centimeter.
Options:
aoVal: A
content: $$117$$ 
aoVal: B
content: $$99$$ 
aoVal: C
content: $$96$$ 
aoVal: D
content: $$84$$ 
aoVal: E
content: $$48$$ 
Answer: A
Analysis: 设该长方体的棱长分别为$$a$$厘米，$$b$$厘米，$$c$$厘米，$$(a\geqslant b\geqslant c)$$，  则由题意得$$(a-2)(b-2)(c-2)=11$$，  ∵$$11$$为质数，  ∴$$a-2=11$$，$$b-2=1$$，$$c-2=1$$，  ∴$$a=13$$，$$b=3$$，$$c=3$$，  ∴长方体的体积$$V=abc=117$$立方厘米． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分
Problem: 下列说法中，正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 若$$a\textgreater0$$，则$$a\textgreater\frac{1}{a}$$ 
aoVal: B
content: 若$$a\textgreater{{a}^{2}}$$，则$$a\textgreater1$$． 
aoVal: C
content: 若$$0\textless{}a\textless{}1$$，则$$a\textgreater{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: 若$$\left\textbar{} a \right\textbar=a$$，则$$a\textgreater0$$ 
Answer: C
Analysis: 取特殊值．  当$$a=\frac{1}{2}$$时，$$a\textless{}\frac{1}{a}$$，可知$$\text{A}$$错误；  当$$a=\frac{1}{2}\textless{}1$$时，$$\frac{1}{2}\textgreater{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$$，可知$$\text{B}$$错误；  当$$a=0$$时，$$\left\textbar{} 0 \right\textbar=0$$，可知$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分
Problem: $${{2}^{16}}-1$$能分解成$$n$$个质因数的乘积，$$n$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: 方法一：$${{2}^{16}}-1$$  $$=({{2}^{8}}+1)({{2}^{8}}-1)$$  $$=\cdots $$  $$=({{2}^{8}}+1)({{2}^{4}}+1)({{2}^{2}}+1)({{2}^{1}}+1)({{2}^{1}}-1)$$，  其中，除了$${{2}^{1}}-1=1$$外，其余$$4$$个括号内的数都是质数，  所以$${{2}^{16}}-1$$可以分解为$$4$$个质因数的乘积．  方法二：首先利用平方差公式分解因式，即可求得：  $$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)$$，  则问题得解．  ∵$$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 28-1 \right)=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 24-1 \right)$$  $$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 22-1 \right)$$  $$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)=257\times 17\times 5\times 3$$．  ∴$$n=4$$．  所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->公式法综合应用
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分
初一单元测试《分解方法的延拓（1）》第22题
Problem: 在直角坐标系中，点$$M(-3,-4)$$)先右移$$3$$个单位，再下移$$2$$个单位，则点$$M$$的坐标变为．
Options:
aoVal: A
content: $$(-6,-6)$$ 
aoVal: B
content: $$(0,-6)$$ 
aoVal: C
content: $$(0,-2)$$ 
aoVal: D
content: $$(-6,-2)$$ 
Answer: B
Analysis: 点$$M(-3,-4)$$，先右移$$3$$个单位，再下移$$2$$个单位后点的坐标为$$(-3+3,-4-2)$$，即$$(0,-6)$$，故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标系中的平移->坐标系中的平移-点的平移
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初二下学期单元测试《图形的平移与旋转》第4题3分
2018~2019学年广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一下学期期中（竞赛班）第2题2分
2019~2020学年10月安徽马鞍山金家庄区马鞍山市二中初二上学期月考第2题3分
Problem: 如果关于$$x$$的方程$$3\left( x+4 \right)=2a+5$$的解大于关于$$x$$的方程$$\frac{(4a+1)x}{4}=\frac{a(3x-4)}{3}$$的解，  那么．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater2$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}2$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}\frac{7}{18}$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater\frac{7}{18}$$ 
Answer: D
Analysis: 关于$$x$$的方程$$3\left( x+4 \right)=2a+5$$的解为$$x=\frac{2a-7}{3}$$，  关于$$x$$的方程$$\frac{(4a+1)x}{4}=\frac{a(3x-4)}{3}$$的解为$$x=-\frac{16}{3}a$$，  由题意$$\frac{2a-7}{3}\textgreater-\frac{16}{3}a$$，解得$$a\textgreater\frac{7}{18}$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 若$${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2020$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2021$$ 
aoVal: B
content: $$2020$$ 
aoVal: C
content: $$-2020$$ 
aoVal: D
content: $$-2021$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{2}}+x=2$$，  ∴$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$  $$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x-2x+2020$$  $$=x\left( {{x}^{2}}+x \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)-2x+2020$$  $$=2x+2-2x+2020$$  $$=2021$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整式加减条件化简求值
知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: 若$$abc=1$$，则$$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: A
Analysis: $$abc=1$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$均不为$$0$$．  $$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$$  $$=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ca+c+abc}$$  $$=\frac{1}{b+1+bc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{1}{a+1+ab}$$  $$=\frac{b+1}{b+1+bc}+\frac{abc}{a+abc+ab}$$  $$=\frac{b+1}{b+1+bc}+\frac{bc}{1+bc+b}$$  $$=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
2018~2019学年10月重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初一上学期月考第7题3分
Problem: 已知函数$$y=\begin{cases}-x,x\leqslant 0    {{x}^{2}},x\textgreater0    \end{cases}$$，若$$y=4$$，则数$$x$$值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-4$$或$$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-4$$或$$2$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$或$$4$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$或$$2$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$y=\begin{cases}-x,x\leqslant 0    {{x}^{2}},x\textgreater0    \end{cases}$$，  ∴当$$x\leqslant 0$$时，$$y=4$$，即$$-x=4$$，  解得$$x=-4$$，  当$$x\textgreater0$$时，$$y=4$$，即$${{x}^{2}}=4$$，  解得$$x=2$$或$$x=-2$$（舍去）．  综上所述，$$x$$的值为$$-4$$或$$2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数的相关概念->函数值
Source: 2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第5题4分
Problem: 当$$x\ne -\frac{5}{b}$$时，$$\frac{a+x}{-bx-5}=2$$成立，则$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$99.25$$ 
aoVal: D
content: $$99.75$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\frac{a+x}{-bx-5}=2$$，  所以$$a+x=2(-bx-5)$$，  即$$a+x=-2bx-10$$，  于是$$a=-10$$，$$b=-\frac{1}{2}$$，  所以$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=99.75$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分
Problem: 若$$\triangle ABC$$的三边长是$$a$$，$$b$$，$$c$$，且满足$${{a}^{4}}={{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}$$，$${{b}^{4}}={{c}^{4}}+{{a}^{4}}-{{a}^{2}}{{c}^{2}}$$，$${{c}^{4}}={{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}$$，则$$\triangle ABC$$是．
Options:
aoVal: A
content: 钝角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 等边三角形 
Answer: D
Analysis: 在$$\triangle ABC$$中，$${{a}^{4}}={{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}$$，且$${{b}^{4}}={{c}^{4}}+{{a}^{4}}-{{a}^{2}}{{c}^{2}}$$，$${{c}^{4}}={{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}$$，  三式相加得  $${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=2{{a}^{4}}+2{{b}^{4}}+2{{c}^{4}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{c}^{2}}$$，  所以$${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{c}^{2}}{{a}^{2}}=0$$．  所以$$2{{a}^{4}}+2{{b}^{4}}+2{{c}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-2{{b}^{2}}{{c}^{2}}-2{{c}^{2}}{{a}^{2}}=0$$.  所以$${{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+{{({{b}^{2}}-{{c}^{2}})}^{2}}+{{({{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}=0$$，  所以$${{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，即$$a=b=c$$．  所以$$\triangle ABC$$为等边三角形．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第6题
Problem: 若$$a＜b＜0＜c＜d$$，则以下四个结论中，正确的是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b+c+d$$一定是正数 
aoVal: B
content: $$d+c-a-b$$可能是负数 
aoVal: C
content: $$d-c-b-a$$一定是正数 
aoVal: D
content: $$c-d-b-a$$一定是正数 
Answer: C
Analysis: $$a+b+c+d$$不能确定正负；$$d+c-a-b$$一定为正；$$d-c-b-a$$一定是正数；$$c-d$$为负，$$-b-a$$为正，$$c-d-b-a$$不能确定正负． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第4题4分
2019~2020学年10月河南郑州中原区朗悦慧外国语中学初一上学期月考第8题3分
2019~2020学年10月河南郑州高新区郑州市枫杨外国语（西分）初一上学期月考第8题3分
2019~2020学年9月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第7题3分
Problem: ``$$a$$与$$b$$的和的立方''的代数式表示是．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$$ 
aoVal: B
content: $$a+{{b}^{3}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}^{3}}+b$$ 
aoVal: D
content: $${{(a+b)}^{3}}$$ 
Answer: D
Analysis: $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$$的意义是$$a$$立方与$$b$$立方之和；  $$a+{{b}^{3}}$$的意义是$$a$$与$$b$$立方之和；  $${{a}^{3}}+b$$的意义是$$a$$立方与$$b$$之和；  $${{(a+b)}^{3}}$$的意义是$$a$$与$$b$$的和的立方．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第3题