math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 三棱锥$$A-BCD$$的顶点$$A$$在底面$$BCD$$内的射影为点$$O$$，且点$$O$$到三个侧面的距离均相等，则点$$O$$一定是$$\triangle BCD$$．
Options:
aoVal: A
content: 重心 
aoVal: B
content: 垂心 
aoVal: C
content: 内心 
aoVal: D
content: 外心 
Answer: C
Analysis: 设$$OE\bot $$面$$ABC$$于点$$E$$，$$OF\bot $$面$$ACD$$于点$$F$$．  延长$$AE$$、$$AF$$分别交$$BC$$、$$CD$$于点$$G$$、$$H$$，  连接$$OG$$、$$OH$$．在$$\text{Rt}\triangle OEA$$和$$\text{Rt}\triangle OFA$$中，  $$OE=OF$$，$$OA=OA$$，故$$\text{Rt}\triangle OEA\simeq \text{Rt}\triangle OFA$$，  可知$$\angle OAE=\angle OAF$$，于是$$\text{Rt}\triangle OAG\simeq \text{Rt}\triangle OAH$$，$$OG=OH$$．  又因为$$OE\bot BC$$，$$OF\bot CD$$及$$AO\bot $$面$$BCD$$，  因此$$BC\bot $$面$$AOG$$，$$CD\bot $$面$$AOH$$，  则$$BC\bot OG$$，$$CD\bot OH$$．  从而知$$O$$是$$\triangle BCD$$的内心．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 正项数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足$$\frac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}+\frac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}}=1(n\in {{N}^{*}})$$，$${{a}_{1}}+{{a}_{3}}=6$$，$${{a}_{1}}$$、$${{a}_{2}}$$、$${{a}_{3}}$$单调递增且成等比数列，$${{S}_{n}}$$为$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项和，则$$[{{S}_{2008}}]$$的值是($$[x]$$表示不超过实数$$x$$的最大整数)．
Options:
aoVal: A
content: $$5352$$ 
aoVal: B
content: $$5353$$ 
aoVal: C
content: $$5357$$ 
aoVal: D
content: $$5358$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知有$${{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}+{{a}_{n+2}}={{a}_{n}}{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$$①  所以$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}={{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$$，  而$${{a}_{1}}{{a}_{3}}=a_{2}^{2}$$，因此$$a_{2}^{3}={{a}_{2}}+6$$，  可知$$({{a}_{2}}-2)(a_{2}^{2}+2{{a}_{2}}+3)=0$$，  解得$${{a}_{2}}=2$$．又因为$${{a}_{1}}$$、$${{a}_{2}}$$、$${{a}_{3}}$$成等比数列，  所以$${{a}_{1}}+\frac{4}{{{a}_{1}}}=6$$，解得$${{a}_{1}}=3\pm \sqrt{5}$$，  由$${{a}_{1}}$$、$${{a}_{2}}$$、$${{a}_{3}}$$单调递增知$${{a}_{1}}=3-\sqrt{5}$$．  再由①式得$${{a}_{n+1}}+{{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}={{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}{{a}_{n+3}}$$②  ②-①得$$({{a}_{n+3}}-{{a}_{n}})(1-{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}})=0$$，  因此$${{a}_{n}}={{a}_{n+3}}$$，故$$ {{{a}_{n}} }$$是以$$3$$为周期的数列可知$${{a}_{2008}}={{a}_{1}}=3-\sqrt{5}$$，  因此$${{S}_{2008}}={{S}_{2007}}+{{a}_{2008}}$$  $$=\frac{2007}{3}\times (6+2)+(3-\sqrt{5})$$  $$=5352+(3-\sqrt{5})$$，  则$$[{{S}_{2008}}]=5352$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: $$2008-AMC10A-8$$  Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store $$A$$ offers $$15 \%$$ off the sticker price followed by a ＄$$90$$ rebate, and store $$B$$ offers $$25 \%$$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves ＄$$15$$ by buying the computer at store $$A$$ instead of store $$B$$. What is the sticker price of the computer, in dollars?  希瑟比较了两家不同商店的新电脑的价格。 商店 $$A$$ 提供15\%的标价折扣，然后是$$90$$美元返券，$$B$$商店提供相同标价 25\%的折扣，没有返券。 Heather 通过在商店 $$A$$ 而不是商店 $$B$$ 购买计算机，会节省$$15$$美元。 这台电脑的标价是多少，以美元计？（
Options:
aoVal: A
content: $$750$$ 
aoVal: B
content: $$900$$ 
aoVal: C
content: $$1000$$ 
aoVal: D
content: $$1050$$ 
aoVal: E
content: $$1500$$ 
Answer: A
Analysis: Let the sticker price be $$x$$. The price of the computer is $$0.85x-90$$ at store $$A$$, and $$0.75x$$ at store $$B$$.  Heather saves ＄$$15$$ at store $$A$$, so $$0.85x-90+15=0.75x$$.  Solving, we find $$x=750$$, and the thus answer is $$(\text{A})$$.  The ＄$$90$$ in store $$A$$ is ＄$$15$$ better than the additional $$10 \%$$ off at store $$B$$.  Thus the $$10 \%$$ off is equal to ＄$$90-$$＄$$15=$$＄$$75$$, and therefore the sticker price is ＄$$750$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->等式的性质与方程的解集
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
Source: 2008年AMC10竞赛A第8题
2008年AMC12竞赛A第6题
Problem: $$2008-AMC10A-12$$  In a collection of red, blue, and green marbles, there are $$25 \%$$ more red marbles than blue marbles, and there are $$60 \%$$ more green marbles than red marbles. Suppose that there are $$r$$ red marbles. What is the total number of marbles in the collection?  在红色、蓝色和绿色弹珠的集合中，红色弹珠比蓝色弹珠多 $$25 \%$$，绿色弹珠比红色弹珠多 $$60 \%$$。 假设有 $$r$$ 个红色弹珠，则弹珠总数是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$2.85 r$$ 
aoVal: B
content: $$3 r$$ 
aoVal: C
content: $$3.4 r$$ 
aoVal: D
content: $$3.85r$$ 
aoVal: E
content: $$4.25r$$ 
Answer: C
Analysis: The number of blue marbles is $$\dfrac{4}{5}r$$, the number of green marbles is $$\dfrac{8}{5}r$$, and the number of red marbles is $$r$$. Thus, the total number of marbles is $$\dfrac{4}{5}r+\dfrac{8}{5}r+r=3.4r$$, and the answer is $$(\text{C})$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法
Source: 2008年AMC10竞赛A第12题
Problem: 给定平面向量$$\overrightarrow{a}=\left( 1,  1 \right)$$，那么，平面向量$$\overrightarrow{b}=\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$$是向量$$\overrightarrow{a}$$经过．
Options:
aoVal: A
content: 顺时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得 
aoVal: B
content: 顺时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得 
aoVal: C
content: 逆时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得 
aoVal: D
content: 逆时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得 
Answer: C
Analysis: 设两向量所成的角为$$\theta $$，则  $$\cos \theta =\frac{\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)\cdot \left( 1,  1 \right)}{2}=\frac{1}{2}$$，  又$$\theta \in \left[ 0{}^{}\circ ,  180{}^{}\circ \right]$$，所以$$\theta =60{}^{}\circ $$．又  $$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\textgreater0$$，  所以$$\text{C}$$正确． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设$$A= {x\textbar1\leqslant x\leqslant 9,x\in Z }$$，$$B= {(a,b)\textbar a,b\in A }$$，定义$$B$$到$$Z$$的映射$$f$$：$$(a,b)\to ab-a-b$$，则满足$$(ab)\xrightarrow{f}11$$的有序数对共有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$对 
aoVal: B
content: $$6$$对 
aoVal: C
content: $$8$$对 
aoVal: D
content: $$12$$对 
Answer: A
Analysis: 因为$$f(a,b)=ab-a-b=11$$，  即$$(a-1)(b-1)=2\times 6=3\times 4=1\times 12$$．  则$$\begin{matrix}\begin{cases}a-1=2    b-1=6 \end{cases}\begin{cases}a-1=6    b-1=2 \end{cases}\begin{cases}a-1=3    b-1=4 \end{cases}    \begin{cases}a-1=4    b-1=3 \end{cases}\begin{cases}a-1=1    b-1=12 \end{cases}\begin{cases}a-1=12    b-1=1. \end{cases}   \end{matrix}$$  解得符合题设条件的有序数对为$$\left( 3,7 \right)$$，$$\left( 7,3 \right)$$，$$\left( 4,5 \right)$$，$$\left( 5,4 \right)$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 如果$$\triangle ABC$$中，$$A$$、$$B$$为锐角，且$${{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\sin C$$，则对$$\triangle ABC$$的形状描述最准确的是．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形 
aoVal: B
content: 等腰三角形 
aoVal: C
content: 等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 以上均不对 
Answer: A
Analysis: $${{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\sin C$$  $$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B-\sin A\cos B-\cos A\sin B=0$$  $$\Leftrightarrow \sin A\left( \sin A-\cos B \right)+\sin B\left( \sin B-\cos A \right)=0$$  于是当$$A\textgreater\frac{ \pi }{2}-B$$或$$A\textless{}\frac{ \pi }{2}-B$$时，上式均不成立．  因此$$A+B=\frac{ \pi }{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: $$2004-AMC10A-12$$  Henry\textquotesingle s Hamburger Heaven offers its hamburgers with the following condiments: ketchup, mustard, mayonnaise, tomato, lettuce, pickles, cheese, and onions. A customer can choose one, two, or three meat patties, and any collection of condiments. How many different kinds of hamburgers can be ordered?  Henry\textquotesingle s Hamburger Heaven 提供带有以下调味品的汉堡包：番茄酱、芥末、蛋黄酱、番茄、生菜、泡菜、奶酪和洋葱。 顾客可以选择一个、两个或三个肉饼，以及任何调味品系列。 可以订购多少种不同的汉堡包？
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$256$$ 
aoVal: C
content: $$768$$ 
aoVal: D
content: $$40$$,$$320$$ 
aoVal: E
content: $$120$$,$$960$$ 
Answer: C
Analysis: For each condiment, a customer may either choose to order it or not. There are $$8$$ total condiments to choose from. Therefore, there are $$2^{8}=256$$ ways to order the condiments. There are also $$3$$ choices for the meat, making a total of $$256\times3=768$$ possible hamburgers.$$\boxed {(\text{C}) 768}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Counting->Classification Counting and Step Counting
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
Source: 2004年AMC10竞赛A第12题
Problem: 已知实数$$x,y$$满足$$17{}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}){}-30xy-16=0$$，则$$\sqrt{16{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-16xy-12x+6y+9}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $${}\sqrt{29}$$ 
aoVal: C
content: $${}\sqrt{19}$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$17\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){-}30xy-16=0$$，  得$${{\left( x+y \right)}^{2}}+16{{\left( x-y \right)}^{2}}=16$$  $$16={{\left( x+y \right)}^{2}}+16{{\left( x-y \right)}^{2}}$$$\geqslant\dfrac{1}{25}\left( 12\left\textbar{} x-y\right\textbar+4\left\textbar{} x+y\right\textbar\right)^{2}\geqslant\dfrac{16}{25}\left( 4x-2y\right)^{2}$  则$-5\leqslant4x-2y\leqslant5$  $$f\left( x,y \right)=\sqrt{16{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-16xy-12x+6y+9}$$  $$=\sqrt{{{\left( 4x-2y \right)}^{2}}-3\left( 4x-2y \right)+9}$$  的最小值为7 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 设函数$$f\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}{{\left( x-3 \right)}^{4}}$$，则函数$$y=f\left( x \right)$$的极大值点为．
Options:
aoVal: A
content: $$x=0$$ 
aoVal: B
content: $$x=1$$ 
aoVal: C
content: $$x=2$$ 
aoVal: D
content: $$x=3$$ 
Answer: B
Analysis: 由图象可知$$x=1$$为函数极大值点，$$x=3$$是极小值点，$$x=0{,}2$$不是极值点． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: B
Analysis: 在公有一个项点的三个两两互相垂直的面上，各有一对角线共同组成唯一的正三角形，这样在正三角形和顶点之间建立了一一对应，而正方体共有$$8$$个顶点，所以恰好有$$8$$个正三角形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
Source: 1991年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 使得$$5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)$$对所有正实数$$x$$，$$y$$都成立的实数$$a$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: B
Analysis: $$\because x$$，$$y$$均大于$$0$$，  $$\therefore 5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)\Rightarrow 5+12\sqrt{\frac{y}{x}}\leqslant a\left( 1+\frac{y}{x} \right)$$，  令$$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$$，$$t\in {{\mathbf{R}}^{*}}$$，  则$$a\geqslant \frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}}$$，  要使该式对所有$$t$$都成立，则$$a\geqslant {{\left( \frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}} \right)}_{\max }}$$，  令$$m=5+12t$$，  则$$\frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}} =\frac{144m}{{{m}^{2}}-10m+169}=\frac{144}{m+\frac{169}{m}-10}\leqslant \frac{144}{2\times 13-10}=9$$，当且仅当$$m=13$$时，取等号，  故$${{a}_{\min }}=9$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 竞赛
Problem: 设$$0\textless{}a\textless{}1$$，若$${{x}_{1}}=a,{{x}_{2}}={{a}^{{{x}_{1}}}},{{x}_{3}}={{a}^{{{x}_{2}}}},\cdots ,{{x}_{n}}={{a}^{{{x}_{n-1}}}},\cdots $$，则数列$$\left { {{x}_{n}} \right }$$．
Options:
aoVal: A
content: 是递增的 
aoVal: B
content: 是递减的 
aoVal: C
content: 奇数项是非递减，偶数项是递减的 
aoVal: D
content: 偶数项是递增的，奇数项是递减的． 
Answer: C
Analysis: 首先考虑数列的前三项，  $${{x}_{1}}=a{}{{x}_{2}}={{a}^{a}}{}{{x}_{3}}={{a}^{{{a}^{a}}}}$$  ∵$$0\textless{}a\textless{}1$$，  ∴$$a\textless{}{{a}^{a}}\textless{}1$$  $$a\textless{}{{a}^{{{a}^{a}}}}\textless{}{{a}^{a}}$$．  即 $${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{3}}\textless{}{{x}_{2}}$$．  此已表明数列既非递增又非递减，且奇数项也不是递减的． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题
Source: 1985年全国高中数学联赛竞赛一试第6题
Problem: 从满足$${{a}_{1}}={{a}_{2}}=1$$，$${{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}(n\geqslant 1)$$的数列$$ {{{a}_{n}} }$$中，依次抽出能被$$3$$整除的项组成数列$$ {{{b}_{n}} }$$，则$${{b}_{100}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}_{100}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{200}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{300}}$$ 
aoVal: D
content: $${{a}_{400}}$$ 
Answer: D
Analysis: 易知$${{a}_{4k}}(k\geqslant 1)$$能被$$3$$整除，故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 将$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$6$$，$$8$$，$$9$$，$$12$$，$$15$$共$$8$$个数排成一行，使得任意相邻两个数的最大公约数均大于$$1$$，则所有可能的排法共有（~ ~ ）种．
Options:
aoVal: A
content: $$720$$ 
aoVal: B
content: $$1014$$ 
aoVal: C
content: $$576$$ 
aoVal: D
content: $$1296$$ 
Answer: D
Analysis: 这$$8$$个数的两两之间的公约数的质因子只有$$2$$和$$3$$，只含因子$$2$$的有$$3$$个数：$$2$$，$$4$$，$$8$$，只含因子$$3$$的有$$3$$个数：$$3$$，$$9$$，$$15$$，$$2$$和$$3$$因子都含的有$$2$$个数：$$6$$，$$12$$．记$$A=\left { 2,4,8 \right }$$，$$B=\left { 3,9,15 \right }$$，$$C=\left { 6,12 \right }$$．  $$A$$中的数和$$B$$中的数显然不能相邻，$$C$$中的数可以任意放置，于是$$A$$中的$$3$$个数必须连续排在一起或$$B$$中的$$3$$个数连续排在一起．  $$A$$或$$B$$中的数只有$$1$$个是连续排在一起时，首先$$C$$中的$$2$$个数全排，有$$2$$种方法．这$$2$$个数形成$$3$$个空隙，从$$3$$个空中挑一个放$$A$$（或$$B$$）中的$$3$$个数，有$$\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{A}_{3}^{3}$$种．然后剩下的两个空隙放剩下的$$3$$个数，且这$$3$$个数不连续排在一起，有$$\mathrm{2A}_{3}^{3}$$种方法．$$2\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{A}_{3}^{3}\cdot \mathrm{2A}_{3}^{3}=864$$．  $$A$$和$$B$$中的数都连续排在一起，类似的，有$$2\cdot \mathrm{A}_{3}^{2}\cdot \mathrm{A}_{3}^{3}\cdot \mathrm{A}_{3}^{3}=432$$种．  综上，所有可能的排法共有$$864+432=1296$$种．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法
Source: 2016年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 平面上满足约束条件$$\begin{cases}x\geqslant 2    x+y\leqslant 0    x-y-10\leqslant 0 \end{cases}$$的点$$(x,y)$$形成的区域为$$D$$，区域$$D$$关于直线$$y=2x$$对称的区域为$$E$$，则区域$$D$$和区域$$E$$中距离最近的两点的距离为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{6\sqrt{5}}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{8\sqrt{3}}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{16\sqrt{3}}{5}$$ 
Answer: B
Analysis: 三条直线的交点为$$A(2,-2),B(2,-8),C(5,-5)$$，区域$$D$$为$$\triangle ABC$$，点$$A$$距直线$$y=2x$$最近，距离为$$\frac{\left\textbar{} 2\times 2-1\times (-2) \right\textbar}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$$．所以，区域$$D$$和区域$$E$$中距离最近的两点的距离为$$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
竞赛->知识点->不等式->线性规划
Source: 2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设集合$$A=\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right }$$是集合$$\left { 1,2,\cdots ,16 \right }$$的子集，满足$${{a}_{1}}+7\leqslant {{a}_{2}}+4\leqslant {{a}_{3}}$$，则这样的子集$$A$$共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．
Options:
aoVal: A
content: $$86$$ 
aoVal: B
content: $$102$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$165$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$8\leqslant {{a}_{1}}+7\leqslant {{a}_{2}}+4\leqslant {{a}_{3}}\leqslant 16$$，所以$$8\leqslant {{a}_{1}}+7\textless{}{{a}_{2}}+5\textless{}{{a}_{3}}+2\leqslant 18$$．  问题等价于从$$89\cdots 18$$中取$$3$$个互不相同的数，有$$\text{C}_{11}^{3}=165$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2017年上海全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分
Problem: 关于非零向量$$a$$和$$b$$有两个命题．命题甲：$$a\bot b$$；命题乙：函数$$f(x)=(xa+b)\cdot (xb-a)$$为一次函数．则有．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分不必要条件 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要不充分条件 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: D
content: 甲是乙的既不充分也不必要条件 
Answer: B
Analysis: $$f(x)=a\cdot b{{x}^{2}}+$$（$$b^{2}-a^{2}$$）$$x-a\cdot b$$，$$a\bot b\Leftrightarrow a\cdot b=0$$.$$f(x)$$为一次函数$$\Rightarrow a\cdot b=0$$，而$$a·b=0$$时$$f(x)$$有可能是常数函数，不一定为一次函数，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与向量结合
课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->命题的概念
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->解析法
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->求函数的解析式->用待定系数法求解析式
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量的正交分解及坐标表示
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量基本定理及其意义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用数量积解决向量垂直问题（非坐标运算）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2010年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设$$a$$是实数，要使得对任何$$x\in \left( -\infty ,1 \right)\cup \left( 5,+\infty \right)$$，都有$${{x}^{2}}-2\left( a-2 \right)x+a\textgreater0$$，所有满足上述要求的$$a$$组成的集合是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,5 \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,4 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 1,7 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 1,5 \right]$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( a-2 \right)x+a$$，则$$\Delta =4{{\left( a-2 \right)}^{2}}-4a=4\left( {{a}^{2}}-5a+4 \right)$$，  ①$$\Delta \textless{}0$$，解得$$1\textless{}a\textless{}4$$，满足要求；  ②$$\Delta \geqslant 0$$，则$$f\left( 1 \right)\geqslant 0$$，$$f\left( 5 \right)\geqslant 0$$，对称轴$$1\textless{}a-2\textless{}5$$，解得$$4\leqslant a\leqslant 5$$．  所以，$$a$$的取值范围是$$1\textless{}a\leqslant 5$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的表示方法->区间表示法
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质
课内体系->素养->数学运算
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
2016年高考真题天津卷
Problem: 已知集合$$M=\left { 1,2,3,\cdots ,10 \right }$$，$$A$$是$$M$$的子集，且$$A$$中各元素的和为$$8$$，则满足条件的子集$$A$$共有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$个 
aoVal: B
content: $$7$$个 
aoVal: C
content: $$6$$个 
aoVal: D
content: $$5$$个 
Answer: C
Analysis: $$8=1+7=2+6=3+5=1+2+5=1+3+4$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系
课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算
课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集
Source: 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知当$$1\leqslant x\leqslant 5$$时，关于$$x$$的不等式$$\textbar x{}^{2}+px+q\textbar\leqslant 2$$恒成立，则$$p+q=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: $f\left( x\right)=x^{2}+px+q$，则①$$-2\leqslant f\left( 1 \right)=p+q+1\leqslant 2$$，②$$-2\leqslant f\left( 5 \right)=5p+q+25\leqslant 2$$，进而由①+②得$$-2\leqslant 3p+q+13\leqslant 2$$，另一方面，有③$$-2\leqslant f\left( 3 \right)=3p+q+9\leqslant 2$$，因而必有$$3p+q+9=-2$$，且$$p+q+1=2$$，及$$5p+q+25=2$$，解出$$p=-6，q=7$$，故$$p+q=1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->二次函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 高一上学期单元测试《二次与对勾函数》竞赛第22题
Problem: 若函数$$f(x)=\sqrt{3}\sin (x-\theta )-\cos (x-\theta )$$的图像关于直线$$x=\frac{ \pi }{3}$$对称，则$$\theta $$的值不能是．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{4}{3} \pi $$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3} \pi $$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{3} \pi $$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x)=2\sin \left( x-\theta -\frac{ \pi }{6} \right)$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第3题5分
Problem: 在等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，$${{a}_{1}}+2{{a}_{8}}+{{a}_{15}}=96$$，则$$2{{a}_{9}}-{{a}_{10}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$-8$$ 
Answer: A
Analysis: $${{a}_{1}}+2{{a}_{8}}+{{a}_{15}}=4{{a}_{8}}=96$$，$${{a}_{8}}=24$$．  $$2{{a}_{9}}-{{a}_{10}}={{a}_{8}}=24$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
高考真题
Problem: 设$$a,b,c,d$$都是实数，$$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 待定系数，由柯西不等式，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{{{\left[ \left( {{x}_{1}}+{{x}_{5}} \right)a+\left( {{x}_{2}}+{{x}_{5}} \right)b+\left( {{x}_{3}}+{{x}_{5}} \right)c+\left( {{x}_{4}}+{{x}_{5}} \right)d \right]}^{2}}}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}+{{x}_{5}}^{2}}$$令$${{x}_{1}}+{{x}_{5}}=1$$，$${{x}_{2}}+{{x}_{5}}=2$$，$${{x}_{3}}+{{x}_{5}}=3$$，$${{x}_{4}}+{{x}_{5}}=4$$，  则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{10}{{{\left( 1-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 2-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 3-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{x}_{5}}^{2}}$$  $$=\frac{10}{5{{x}_{5}}^{2}-20{{x}_{5}}+30}=\frac{10}{5{{\left( {{x}_{5}}-2 \right)}^{2}}+10}$$  取$${{x}_{5}}=2$$，得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant 1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分
Problem: 等边$$\triangle ABC$$的边长为$$2\sqrt{2}$$，$$AD$$是$$BC$$边上的高，将$$\triangle ABD$$沿$$AD$$折起，使之与$$\triangle ACD$$所在平面成$$120{}^{}\circ $$的二面角，这时$$A$$点到$$BC$$的距离是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{26}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{13}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{5}$$ 
Answer: A
Analysis: 注意到折叠后，$$\angle BDC$$即为二面角的平面角，从而$$D$$到$$BC$$的距离为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，又$$AD=\sqrt{6}$$，从而$$A$$到$$BC$$的距离是$$\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{(\sqrt{6})}^{2}}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2009年竞赛珠海市第10题5分
Problem: 若直线$$ax-by+1=0$$过圆$$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0$$的圆心，则$$ab$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,\frac{1}{4} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -\infty ,\frac{1}{8} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 0,\frac{1}{4} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 0,\frac{1}{8} \right]$$ 
Answer: B
Analysis: 因为直线$$ax-by+1=0$$过圆$$C:{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$$的圆心$$\left( -1,2 \right)$$，所以$$-a-2b+1=0$$，即$$a+2b=1$$；当$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$时，$$1=a+2b\geqslant 2\sqrt{2ab}$$，解得$$0\textless{}ab\leqslant \frac{1}{8}$$ (当且仅当$$a=2b$$时等号成立)；当$$a=1$$，$$b=0$$时，$$ab=0$$；当$$a=-1,b=1$$时，$$ab\textless{}0$$；所以$$ab$$的取值范围是$$\left( -\infty ,\frac{1}{8} \right]$$．  选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用
课内体系->素养->数学运算
课内体系->方法->均值不等式法
Source: 2016~2017学年天津高二上学期期中理科六校联考第7题
2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 在平面直角坐标系中，方程$${{x}^{2}}+2x\sin \left( xy \right)+1=0$$所表示的图形是．
Options:
aoVal: A
content: 直线 
aoVal: B
content: 抛物线 
aoVal: C
content: 一个点 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: D
Analysis: 易知$$x=-1$$，$$\sin \left( xy \right)=1$$，或$$x=1$$，$$\sin \left( xy \right)=-1$$．从而该方程所表示的图形由点列$$\left( -1,  2k \pi -\frac{ \pi }{2} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$和点列$$\left( 1,  2k \pi -\frac{ \pi }{2} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$构成． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程
Source: 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 已知集合$${{S}_{1}}=\left { \left( x,  y \right)\left\textbar{} {{\log }_{2}}\left( 1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\leqslant 1+{{\log }_{2}}\left( x+y \right) \right. \right }$$，并且集合  $${{S}_{2}}=\left { \left( x,  y \right)\left\textbar{} {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\geqslant -2+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x+y \right) \right. \right }$$，则$${{S}_{2}}$$与$${{S}_{1}}$$的面积比为．
Options:
aoVal: A
content: $$2:1$$ 
aoVal: B
content: $$4:1$$ 
aoVal: C
content: $$6:1$$ 
aoVal: D
content: $$8:1$$ 
Answer: C
Analysis: $${{S}_{1}}$$表示圆内部（包括圆周）：$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 1$$，面积为$$ \pi $$．$${{S}_{2}}$$表示圆内部（包括圆周）：$${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 6$$，面积为$$6 \pi $$．因此，$${{S}_{2}}$$与$${{S}_{1}}$$面积比为$$6:1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
Source: 2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，$${{a}_{1}}\textgreater0$$，$${{a}_{2003}}+{{a}_{2004}}\textgreater0$$，$${{a}_{2003}}\cdot {{a}_{2004}}\textless{}0$$，则使前$$n$$项和$${{S}_{n}}\textgreater0$$成立的最大自然数$$n$$为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4005$$ 
aoVal: B
content: $$4006$$ 
aoVal: C
content: $$4007$$ 
aoVal: D
content: $$4008$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$${{a}_{2003}}+{{a}_{2004}}\textgreater0$$，$${{a}_{2003}}\cdot {{a}_{2004}}\textless{}0$$，  ∴$${{a}_{2003}}$$和$${{a}_{2004}}$$两项中有一正数一负数，  ∵$${{a}_{1}}\textgreater0$$，∴公差为负数，否则各项总为正数，  ∴$${{a}_{2003}}\textgreater{{a}_{2004}}$$，即$${{a}_{2003}}\textgreater0$$，$${{a}_{2004}}\textless{}0$$．  ∴$${{S}_{4006}}=\frac{4006({{a}_{1}}+{{a}_{4006}})}{2}=2003({{a}_{2003}}+{{a}_{2004}})\textgreater0$$，  $${{S}_{4007}}=\frac{4007}{2}\cdot ({{a}_{1}}+{{a}_{4007}})=4007\cdot {{a}_{2004}}\textless{}0$$．  故使前$$n$$项和$${{S}_{n}}\textgreater0$$成立的最大自然数$$n$$为$$4006$$，故选$$B$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用->等差数列角标和性质的应用
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质
Source: 2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
2016~2017学年北京海淀区北京石油学院附属中学高一下学期期中第10题
2004年高考真题重庆卷理科第9题5分