math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: ---项铺路工程，如果甲队单独做$$100$$天可以完成，乙队单独做$$150$$天可以完成．现在两队同时施工，工作效率比单独做提高$$20 \%$$，当工程完成$$\frac{2}{5}$$时，正好赶上新冠疫情，影响施工进度，使得每天少铺$$70$$米，结果前后一起共用了$$90$$天完成这项工程．则整个工程铺路米． 
Options:
aoVal: A
content: $$6125$$ 
aoVal: B
content: $$6135$$ 
aoVal: C
content: $$6145$$ 
aoVal: D
content: $$6155$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 原来甲乙合作工效$$\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{150} \right)\times (1+20 \%)=\frac{1}{50}$$，  完成前面$$\frac{2}{5}$$的工作量需工时$$\frac{2}{5}\div \frac{1}{50}=20$$（天），  完成后面$$\frac{3}{5}$$的工作量需工时$$90-20=70$$（天），  工作效率是$$\frac{3}{5}\div 70=\frac{3}{350}$$，  工效之差为$$\frac{1}{50}-\frac{3}{350}=\frac{4}{350}=\frac{2}{175}$$，  总工作量为$$70\div \frac{2}{175}=6125$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第23题
Problem: 在$$1829$$年法国盲人路易布莱尔发明了点字，他是由一个框内的$$6$$个凸或者不凸的点组成，以凸点数的多少和位置的不同，代表不同的符号，因此可以变化组成（~ ）个不同的符号（没有任何凸点就不计数），这已成为现代国际上普遍采用的盲文形式． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$63$$ 
aoVal: D
content: $$64$$ 
Answer: C
Analysis: 由于没有任何凸点就不计数，则不同的符号有$${{2}^{6}}-1=63$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配
Source: 2016年全国世奥赛五年级竞赛A卷第7题5分
Problem: 先写出一个两位数$$62$$，接着在$$62$$右端写这两个数字的和$$8$$，得到$$628$$，再写末两位数字$$2$$和$$8$$的和$$10$$，得到$$62810$$，用上述方法得到一个有$$123$$位的整数：$$628101123$$$\cdots$，则这个整数的个位是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 此题要首先找出数字出现的规律：$$6281011235813471123581347$$\ldots，从第六个开始，每十个数字一个循环，然后按周期问题解答即可．  $$\left( 123-5 \right)\div 10=11\cdots 8$$；个位数字是周期中的第$$8$$个，即为$$3$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数形结合找规律
Source: 2006年第11届全国华杯赛竞赛复赛第5题
2017年湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）
Problem: 已知$$5$$个苹果与$$6$$根香蕉的重量相同，$$3$$根香蕉与$$4$$个橘子的重量相同，请问$$16$$个橘子与几个苹果的重量相同？ 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
aoVal: E
content: $$12$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可知$$6$$根香蕉与$$8$$个橘子的重量相同，从而$$5$$个苹果与$$8$$个橘子的重量相同．所以$$16$$个橘子与$$10$$个苹果的重量相同． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->列方程解应用题等量代换->等量代换替换型
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第12题4分
Problem: 有4名棋手进行循环比赛，每两人赛一局，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，如果每人得分互不相同，第一名不是全胜，那么至少有(  )局是平局. 
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: 2 
aoVal: C
content: 3 
aoVal: D
content: 4 
Answer: A
Analysis: 因为比赛共进行$$4\times \left( 4-1 \right)\div 2=6$$局，所以4名选手得分之和为$$2\times 6=12$$分.如果没有平局，那么4个选手得分是4个互不相同的偶数，所以4个选手得分依次为6分，4分，2分和0分，从而得知第一名三局得6分，即第一名三局全胜与题设条件矛盾，当第一名有一局为平局时，4个选手得分可以依次为5分，4分，2分和1分，符合题意，因此，至少有一局是平局. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->单循环赛
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第5题
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：$$A\to C$$，$$B\to E$$，$$C\to A$$，$$D\to B$$，$$E\to D$$．开始$$A$$、$$B$$拿着福娃，$$C$$、$$D$$、$$E$$拿着福牛，传递完$$5$$轮时，拿着福娃的小朋友是（ ~ ~ ~~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$C$$与$$D$$ 
aoVal: B
content: $$A$$与$$D$$ 
aoVal: C
content: $$C$$与$$E$$ 
aoVal: D
content: $$A$$与$$B$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意，$$A$$与$$C$$互相传，$$B$$、$$D$$、$$E$$之间则按$$B$$→$$E$$→$$D$$→$$B$$→\ldots 的顺序轮流传．开始时，两个福娃分别在$$A$$、$$B$$手上，其中$$A$$手上的福娃经过$$5$$轮的传递将到$$C$$的手里，$$B$$手上的福娃经过$$5$$轮的传递将到$$D$$的手里．所以传递完$$5$$轮时，拿着福娃的小朋友是$$C$$和$$D$$．正确答案为$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2011年北京五年级竞赛
小学高年级六年级其它小高著名杯赛拉分题第9题
2009年第14届全国华杯赛竞赛初赛第6题10分
Problem: $$2013$$年$$12$$月$$21$$日是星期六，那么$$2014$$年的春节，即$$2014$$年$$1$$月$$31$$日是星期（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: 一 
aoVal: B
content: 四 
aoVal: C
content: 五 
aoVal: D
content: 六 
Answer: C
Analysis: 解：$$10+31=41$$（天）  $$41\div 7=5$$（周）$$\cdots \cdots6$$（天）  余数是$$6$$，从星期六再过$$6$$天就是星期五。  答：$$2014$$年$$1$$月$$31$$日是星期五。  故选：C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 给出一列数：$$23+m$$，$$23+2m$$，$$23+3m$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$$23+2015m$$，这$$2015$$个数的和除以$$14$$的余数是（~ ）（其中$$m$$为正整数）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: $$23\times 2015+(1+2+\cdot \cdot \cdot +2015)m$$除以$$14$$的余数，由于$$1+2+\cdot \cdot \cdot +2015=2015\times 1008$$是$$14$$的倍数，那么只用看$$23\times 2015$$除以$$14$$的余数是$$5$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数性质综合
Source: 2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第7题
Problem: 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如$$2^{n}-1$$($$n$$为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数，例如：$$2^{2}-1=3$$就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$127$$ 
aoVal: D
content: $$2047$$ 
Answer: D
Analysis: 选项$$\rm A$$：$$2^{n}-1=4$$，$$n$$无整数解；  选项$$\rm B$$：$$2^{n}-1=15$$，$$n$$为$$4$$，但$$\text{n}$$不是质数，故舍去；  选项$$\rm C$$：$$2^{n}-1=127$$，$$n$$为$$7$$，$$127$$不是合数，故舍去；  选项$$\rm D$$：$$2^{n}-1=2047$$，$$n$$为$$11$$，$$n$$为质数，且$$2047=23\times 89$$，是合数，满足条件． 
<p>枚举$$n=2$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$11\cdots$ 当$$n=11$$时首次满足要求，$2^{11}-1=2047=23\times89$，是合数.</p>
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第2题
Problem: 一个儿童用棱长为$$1$$厘米的$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖．如果其底面的周长是$$18$$厘米，则这块砖的高是厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 因为棱长为$$1\text{cm}$$的$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖，  其底面的周长是$$18\text{cm}$$，  所以底面立方体个数一定小于$$18$$大于$$8$$，  因为$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖，  即可得出组合图形整除底面个数，  所以底面个数一定是整除$$42$$，  所以符合要求的只有：$$14$$，  所以底面立方体个数为$$14$$，  所以这个立体砖的高为：$$42\div14=3$$（厘米）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2013年第11届创新杯三年级竞赛初赛第4题6分
Problem: 将四个分数按从小到大的顺序排列，正确的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$ 
Answer: B
Analysis: 通分子$$\frac{5}{14}=\frac{60}{168}$$，  $$\frac{10}{27}=\frac{60}{162}$$，  $$\frac{12}{31}=\frac{60}{155}$$，  $$\frac{20}{53}=\frac{60}{159}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->分数通分法->通分母
Source: 2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题
2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题
Problem: $$4$$人握手，每两人之间都握一次手，一共要握次．（不能重复计数） 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 因为由题干可知，一共有$$4$$个人，每两人之间需要握一次手，我们可以将这$$4$$个人分别用$$A$$、$$B$$、$$C$$和$$D$$来指代，则所有的握手情况为：$$AB$$，$$AC$$，$$AD$$，$$BC$$，$$BD$$和$$CD$$，所以一共要握$$6$$次，故本题答案为$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->实践应用
Source: 2020年希望杯一年级竞赛模拟第2题
Problem: 某次小明坐缆车上山，从他坐上车开始，一路上他一直在数对面交错而过的缆车数量，一共是$$60$$辆，则在这一整条索道上（双向）共有多少辆缆车？ 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$辆 
aoVal: B
content: $$60$$辆 
aoVal: C
content: $$61$$辆 
aoVal: D
content: $$120$$辆 
Answer: C
Analysis: 缆车是循环的，它遇到的第一辆就是紧随其后的，那么他遇到的最后一辆就是它前面的，所以除了它自己这辆，还有$$60$$辆，一共是$$60+1=61$$辆． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为$$8$$千米/小时，平时逆水航行所用时间是顺水航行所用的时间的$$2$$倍．某天恰逢暴雨，水流速度是原来的两倍，这条船往返共用了$$9$$小时．问：甲、乙两地相距千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: B
Analysis: 平时逆水航行所用时间是顺水航行所用时间的$$2$$倍，所以顺水航行速度是逆水航行的$$2$$倍，即$${{V}_{水}}+8=2\times \left( 8-{{V}_{水}} \right)$$，解得：$${{V}_{}}=\frac{8}{3}$$，所以水速为$$\frac{8}{3}$$千米/小时，变为原来的$$2$$倍后变为$$\frac{16}{3}$$千米/小时．设甲、乙两地相距$$S$$千米，则：$$\frac{S}{\frac{16}{3}+8}+\frac{S}{8-\frac{16}{3}}=9$$ 解得：$$S=20$$，所以甲、乙两地相距$$20$$千米． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->转化与化归的思想
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第8题
Problem: 从$$1$$～$$11$$这$$11$$个整数中任意取出$$6$$个数，则下列结论正确的有（~ ~ ~ ~）个．  ①其中必有两个数互质；  ②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；  ③其中必有一个数的$$2$$倍是其中另一个数的倍数． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: B
Analysis: 对于``任意$$\cdots$$必有''这样的语句，应该考虑到``抽屉原理''．如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于$$6$$的  第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于$$6$$的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造（$$1$$，$$2$$，$$3$$）（$$4$$，$$5$$）（$$6$$，$$7$$）（$$8$$，$$9$$）（$$10$$，$$11$$）其实构造的方法不是唯一的，还有很多构造方法如：【（$$1$$，$$3$$，$$4$$）（$$2$$，$$9$$）（$$8$$，$$11$$）（$$5$$，$$6$$）（$$7$$，$$10$$）】；  第二句很容易举出反例，（$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$、$$10$$、$$11$$）最大的六个数就没有倍数关系，同样的还有：（$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$9$$、$$11$$）；  第三句，根据第二句话的反例，可以看出，第三句话是成立的，那么就要严谨的证明一下，还是要构造抽屉，按照什么构造呢，可以按照$$1$$到$$11$$中的$$5$$个质因数来构造$$5$$个抽屉，$$1$$放在哪个抽屉里都可以，（$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$）（$$3$$，$$6$$，$$9$$）（$$5$$，$$10$$）（$$7$$）（$$11$$）这五个抽屉中，要任意取$$6$$个数，必有两个数在同一个抽屉中，就必满足其中一个数的$$2$$倍是另一个数的倍数． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->抽象概括
Source: 2013年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第6题
Problem: 某个游戏满分为$$100$$分，每人可以做$$4$$次，以平均分为游戏的成绩．小乐的分数是$$85$$分，则他任何一次游戏的得分都不低于分． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$50$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$70$$ 
Answer: A
Analysis: 小乐$$4$$次游戏的部分是$$85\times 4=340$$（分），当他有$$3$$次游戏的分数最高时，剩余$$1$$次的分数最低．  因为游戏满分为$$100$$分，故最低分为$$3403\times 100=40$$（分）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数
Source: 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（一）第1题
Problem: 老师把某个两位数的六个不同因数分别告诉了$$A\sim F$$六个聪明诚实的同学．  $$A$$和$$B$$同时说：``我知道这个数是多少了．''  $$C$$和$$D$$同时说：``听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．''  $$E$$：``听了他们的话，我知道我的数一定比$$F$$的大．''  $$F$$：``我拿的数的大小在$$C$$和$$D$$之间．''  那么六个人拿的数之和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$141$$ 
aoVal: B
content: $$152$$ 
aoVal: C
content: $$171$$ 
aoVal: D
content: $$175$$ 
Answer: A
Analysis: （1）这个数的因数个数肯定不低于$$6$$个（假定这个数为$$N$$，且拿到的$$6$$个数从大到小分别是$$ABCDEF$$ ）  （2）有两个人同时第一时间知道结果，这说明以下几个问题：  第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在$$50\sim 99$$之间（也就是说$$A$$ 的$$2$$倍是$$3$$位数，所以$$A$$其实就是$$N$$）  第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果，但是具备以下条件：  这个数的约数少于$$6$$个，比如：有人拿到$$36$$，单他不能断定$$N$$究竟是$$36$$还是$$72$$．  这个数小于$$50$$，不然这个数就只能也是$$N$$了．  这个数大于$$33$$，比如：有人拿到$$29$$，那么他不能断定$$N$$ 是$$58$$还是$$87$$；这里有个特例是$$27$$，因为$$27\times 2=54$$，因数个数不少于$$6$$个；$$27\times 3=81$$，因数个数少于$$6$$个，所以如果拿到$$27$$可以判断$$N$$只能为$$54$$）  这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数．  最关键的是，这两人的数是$$2$$倍关系  但是上述内容并不完全正确，需要注意还有一些``奇葩''数：$$17$$、$$19$$、$$23$$也能顺利通过第一轮．  因此，这两个人拿到的数有如下可能：  （$$54$$，$$27$$）（$$68$$，$$34$$）（$$70$$，$$35$$）（$$76$$，$$38$$）（$$78$$，$$39$$）（$$92$$，$$46$$）（$$98$$，$$49$$）  （3）为了对比清晰，我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来：  （$$54$$，$$27$$，$$18$$，$$9$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$68$$，$$34$$，$$17$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$70$$，$$35$$，$$14$$，$$10$$，$$7$$，$$5$$，$$2$$，$$1$$）  （$$76$$，$$38$$，$$19$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$78$$，$$39$$，$$26$$，$$13$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$92$$，$$46$$，$$23$$，$$4$$，$$2$$，$$1$$）（$$\times$$）  （$$98$$，$$49$$，$$14$$，$$7$$，$$2$$，$$1$$）  对于第一轮通过的数，我们用红色标注，所以$$N$$不能是$$68$$、$$76$$、$$92$$中的任意一个．  之后在考虑第二轮需要通过的两个数．  用紫色标注的$$6$$、$$3$$、$$2$$、$$1$$，因为重复使用，如果出现了也不能判断$$N$$是多少，所以不能作为第二轮通过的数．  用绿色标注的$$14$$和$$7$$也不能作为第二轮通过的数，这样$$N$$也不是$$98$$．  那么通过第二轮的数只有黑色的数．  所以$$N$$ 只能是$$54$$、$$70$$、$$78$$中的一个．  我们再来观察可能满足$$E$$和$$F$$所说的内容：  （$$54$$，$$27$$，$$18$$，$$9$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  （$$70$$，$$35$$，$$14$$，$$10$$，$$7$$，$$5$$，$$2$$，$$1$$）  （$$78$$，$$39$$，$$26$$，$$13$$，$$6$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$）  因为$$F$$说他的数在$$C$$和$$D$$之间，我们发现上面的数据只有当$$N=70$$的时候，$$F=7$$，在$$CD$$$$(10$$和$$5)$$之间，是唯一满足条件的一种情况．  又因为$$E$$ 确定自己比$$F$$的大，那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的．所以$$E$$拿到的是$$14$$（$$N=70$$ ）．  所以$$N=70$$，六个人拿的数之和为：$$70+35+14+10+7+5=141$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第15题
Problem: 有$$32$$块石头，重量各不相同，无法从外观及手感区分它们的重量，现有一架无砝码的天平用来比较它们的重量．最少需要称（~ ~ ~ ）次，一定能称出最重的和第二重的石块． 
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$35$$ 
aoVal: C
content: $$61$$ 
aoVal: D
content: $$62$$ 
Answer: B
Analysis: 秤出最重的需要$$16+8+4+2+1=31$$（次），第二重的只用把和最重比较过的$$5$$块石头取出继续比较，还需要$$2+1+1=4$$（次），一共是$$35$$次． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->称重找假物->不知轻重
Source: 2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（一）第1题
Problem: 甲、乙、丙、丁做竞猜游戏，在一个箱子中装有大小一样的二十个球，编号分别为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdot \cdot \cdot $$、$$20$$，从中任意取出一个球，猜测球的号码的情况．甲猜：奇数；乙猜：偶数；丙猜：$$3$$的倍数；丁猜：含有数字$$1$$．赢得可能性最大的是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 甲 
aoVal: B
content: 乙 
aoVal: C
content: 丙 
aoVal: D
content: 丁 
Answer: D
Analysis: 甲：$$\frac{10}{20}$$；乙：$$\frac{10}{20}$$；丙：$$\frac{6}{20}$$；丁：$$\frac{11}{20}$$；丁最大． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性
Source: 2015年第13届全国创新杯五年级竞赛初赛第9题
Problem: 三年级二班的同学在上游泳课，男生戴蓝泳帽，女生戴红泳帽．  男体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$1$$个．''  女体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽多$$24$$个．''  根据两位体育委员的话，算出三年级二班共有（~~~~~ ）位同学． 
Options:
aoVal: A
content: $$35$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$37$$ 
aoVal: D
content: $$38$$ 
Answer: C
Analysis: 男体育委员少看到一个蓝色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$2$$个，女体育委员少看到一个红色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽多$$23$$个，红泳帽有$$(23-2)\div (4-1)=7$$（个），蓝泳帽有$$7+23=30$$（个），共有$$30+7=37$$（位）同学． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第10题
Problem: 计算：$$1-2+3-4+5-6+\cdots -\cdots +2019-2020+2021=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$1010$$ 
aoVal: B
content: $$1011$$ 
aoVal: C
content: $$2020$$ 
aoVal: D
content: $$2021$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 分组运算，$$1$$和$$2$$一组，$$3$$和$$4$$一组，$$\cdots \cdots 2019$$和$$2020$$一组，每组结果都是$$-1$$，一共有$$2020\div2=1010$$组，所以前面的和是$$-1010$$，$$2021-1010=1011$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第5题4分
2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第5题4分
Problem: $$100 - 99 + 98 - 97~ ~\cdots ~+4 - 3 + 2 - 1$$的结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$50$$ 
aoVal: B
content: $$150$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: $$50$$ 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法
Source: 2011年全国世奥赛三年级竞赛初赛
Problem: 美国前总统林肯说过：``最高明的骗子，可能在某个时刻欺骗所有人，也可能在所有时刻欺骗某些人，但不可能在所有时刻欺骗所有人。''如果林肯上述判定为真，则以下（  ）为假。 
Options:
aoVal: A
content: 林肯可能在某个时刻受骗    
aoVal: B
content: 林肯可能在所有时刻不受骗 
aoVal: C
content: 骗子可能在某个时刻受骗     
aoVal: D
content: 不存在某一时刻有人可能不受骗 
aoVal: E
content: 存在某一时刻，有人可能不受骗 
Answer: D
Analysis: A项，林肯可能遇到骗子并欺骗了他；B项，林肯可能一直遇不到骗子，从而不受骗；C项，骗子可能遇到骗子；D项，如果某一时刻有人未遇到骗子，则他可能不受骗，从而D为假；E项，骗子不可能在所有时刻欺骗所有人，故存在某一时刻，有人可能不受骗，选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2008年三年级竞赛学而思杯
Problem: 一个最简分数，如果分子加$$a$$，则等于$$\frac{1}{2}$$．原来的分数是，$$a$$是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{10}$$，$$3$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{10}$$，$$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{10}$$，$$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{10}$$，$$2$$ 
Answer: D
Analysis: 设原来的分数为$$\frac{\text{n}}{\text{m}}$$，则有$$\frac{\text{n+a}}{\text{m}}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{\text{n}}{\text{m+a}}=\frac{1}{4}$$，$$\text{2n=3a}$$，解得$$\text{m}=10$$，$$\text{n=3}$$，$$\text{a}=2$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（三）第3题
Problem: 老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：  甲：我不知道这个完全平方数是多少．  乙：不用你说，我也知道你一定不知道．  丙：我已经知道这个数是多少了．  甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．  乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．  请问这个数是的平方． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$28$$ 
aoVal: D
content: $$29$$ 
Answer: B
Analysis: 通过枚举不难发现，百位是$$6$$，$$8$$，$$9$$ 的满足条件的平方数分别只有$$625$$，$$841$$，$$961$$，  因此第一句说明百位不是$$6$$，$$8$$，$$9$$；  进而得知第二句说明十位不是$$2$$，$$4$$，$$6$$；  第三句说明这个数的个位在剩下所有可能中是唯一的，而只有当个位是$$4$$或$$9$$，$${{28}^{2}}=784$$，$${{17}^{2}}=289$$是唯一满足之前所有条件的数;  第四句说明甲在丙说话之前还不知道结果，而若百位是$$7$$，而$${{28}^{2}}=784$$，$${{17}^{2}}=289$$，  于是甲听完乙说话后已经知道结果了，因此百位只能是$$2$$．  从而这个数为$${{17}^{2}}=289$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第15题
Problem: 如果规定$$a*b=13\times a-b\div 8$$，那么$$17*24$$的最后结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$218$$ 
aoVal: B
content: $$208$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意知：$$a*b=13\times a-b\div 8$$，  则$$17*24=13\times 17-24\div 8=221-3=218$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算求解
拓展思维->思想->方程思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）
Problem: 小朋友玩游戏，老师让小朋友们站成一排，并从第一位开始依照$$1$$、$$2$$、$$3$$循环报数，最后一位小朋友报的数是$$2$$，请问这一排可能共有多少位小朋友？ 
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
aoVal: E
content: $$28$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可知这一派同学的人数除以$$3$$后所得的余数是$$2$$，在各个选项中只有选项$$\text{C}$$符合要求．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第18题4分
Problem: 五一到了，花花想要出去旅游，她有$$2$$顶帽子、$$3$$条项链、$$5$$种头花、$$2$$双鞋、$$3$$条白色裙子、$$4$$条粉色裙子、$$1$$条蓝色裙子，每类物品中各选一样进行搭配．那么，一共有种不同的搭配方法． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$160$$ 
aoVal: C
content: $$480$$ 
aoVal: D
content: $$720$$ 
Answer: C
Analysis: $$2\times 2\times 3=12$$（种）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
课内体系->能力->运算求解
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第10题
Problem: 计算．  $$124+129+106+141+237-500+113=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~ 
Options:
aoVal: A
content: $$370$$ 
aoVal: B
content: $$360$$ 
aoVal: C
content: $$350$$ 
Answer: C
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$$$$124+129+106+141+237-500+113$$  $$=\left( 124+106 \right)+\left( 129+141 \right)+\left( 237+113 \right)-500$$  $$=230+270+350-500$$  $$=500-500+350$$  $$=350$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数“好朋友数”的应用
Source: 2016年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题
Problem: 甲乙两地相距$$120$$千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行$$40$$千米，返回时每小时行$$60$$千米，这辆汽车往返两地的平均速度是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: 每小时$$100$$千米 
aoVal: B
content: 每小时$$50$$千米 
aoVal: C
content: 每小时$$48$$千米 
aoVal: D
content: 每小时$$24$$千米 
Answer: C
Analysis: 求平均速度的公式为：平均速度$$=$$总路程$$\div $$总时间  这辆汽车去时用了$$120\div 40=3$$(小时)，返回时用了$$120\div 60=2$$(小时)，那么这辆汽车的平均速度为：$$120\times 2\div \left( 3+2 \right)=48$$(千米/时)，选C 。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法
Source: 2004年第2届创新杯五年级竞赛初赛第5题
2004年五年级竞赛创新杯
Problem: 甲乙两人从相距$$600$$米的地方同向而行，甲走了$$1000$$米追上乙，如果甲每秒多走一米，那么走了$$900$$米就可以追上乙。如果一开始甲每秒少走一米，甲乙两人相向而行~\uline{~~~~~~~~}~秒相遇。 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$120$$ 
aoVal: D
content: $$150$$ 
Answer: B
Analysis: 甲速度不变时，他走$$1000$$米所用时间和追上乙的时间相同；速度提升时，甲走$$900$$的时间和追上乙所用时间相同。我们可以列出关系：$$\begin{cases}\frac{600}{{{V}_{\text{甲}}}-{{V}_{\text{乙}}}}\text{=}\frac{1000}{{{V}_{\text{甲}}}}    \frac{600}{\left( {{V}_{\text{甲}}}\text{+1} \right)-{{V}_{\text{乙}}}}\text{=}\frac{900}{{{V}_{\text{甲}}}\text{+}1}   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}{{V}_{\text{甲}}}\text{=}5    {{V}_{\text{乙}}}\text{=}2   \end{cases}$$。甲的速度减慢，两人相遇的时间为$$600\div \left( 4+2 \right)=100$$秒。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行
Source: 2018年华杯赛六年级竞赛模拟卷
Problem: 苗苗有一杯$$20 \%$$的盐水$$100$$克．向杯中再加入$$100$$克纯净水，此时盐水的浓度． 
Options:
aoVal: A
content: 等于$$10 \%$$ 
aoVal: B
content: 大于$$10 \%$$ 
aoVal: C
content: 小于$$10 \%$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: A
Analysis: 盐水浓度为$$\frac{100\times 20 \%}{100+100}\times 100 \%=10 \%$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2017年第8届广东广州羊排赛六年级竞赛第5题1分
Problem: 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．  老师问：是谁捡到的？  小东说：不是小西．  小西说：是小南．  小南说：小东说的不对．  小北说：小南说的也不对．  他们之中只有一个人说对了，这个人是． 
Options:
aoVal: A
content: 小东   
aoVal: B
content: 小西 
aoVal: C
content: 小南 
aoVal: D
content: 小北 
Answer: C
Analysis: 小东与小南说的话对立，所以两人中一定一对一错．已知只有一个人说对了，则小西和小北说的是错的．"小北说：小南说的也不对．"这句话是错的，可知小南说的是对的．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理
Source: 2013年华杯赛四年级竞赛初赛
2013年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 甲、乙两人原有的钱数之比为$$6:5$$，后来甲又得到$$180$$元，乙又得到$$30$$元，这时甲、乙钱数之比为$$18:11$$．那么原来两人的钱数之和为~\uline{~~~~~~~~~~}~元． 
Options:
aoVal: A
content: $$660$$ 
aoVal: B
content: $$580$$ 
aoVal: C
content: $$750$$ 
aoVal: D
content: $$800$$ 
Answer: A
Analysis: 两人原有钱数之比为$$6$$:$$5$$，如果甲得到$$180$$元，乙得到$$150$$元，那么两人的钱数之比仍为$$6$$:$$5$$，现在甲得到$$180$$元，乙只得到$$30$$元，相当于少得到了$$120$$元，现在两人钱数之比为$$18$$:$$11$$，可以理解为：两人的钱数分别增加$$180$$元和$$150$$元之后，钱数之比为$$18$$：$$15$$，然后乙的钱数减少$$120$$元，两人的钱数之比变为$$18$$:$$11$$，所以$$120$$元相当于$$4$$份，$$1$$份为$$30$$元，后来两人的钱数之和为$$30 \times (18 + 15) = 990$$元，所以原来两人的总钱数之和为$$990 - 180 - 150 = 660$$元．  设甲、乙原来各有$$6x$$、$$5x$$元，那么有$$(6x+180):(5x+30)=18:11$$，解比例方程得$$x=60$$，原来共有$$60\times (6+5)=660$$（元）．  由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变．为了让得到的钱数相同，可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱数都翻$$6$$倍，那么甲、乙原有钱数之比变为$$1:5$$，现有钱数之比变为$$3:11$$，统一差，变为$$2:10$$以及$$3:11$$，一份就是$$180$$元，所以原有钱数之和为$$(2+10\div 6)\times 180=660$$．  故答案为：$$660$$元． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->复杂的比例问题
课内体系->思想->逐步调整思想
Source: 2011年北京小学高年级五年级竞赛
Problem: 小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．现在知道：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任． 
Options:
aoVal: A
content: 班长，学习委员，体育委员 
aoVal: B
content: 学习委员，体育委员，班长 
aoVal: C
content: 学习委员，班长，体育委员 
aoVal: D
content: 班长，体育委员，学习委员 
aoVal: E
content: 体育委员，班长，学习委员 
Answer: C
Analysis: 由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题
Problem: 兄弟俩今年的年龄和是$$35$$岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，弟弟今年岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: 线段图 详见课程回放 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第1题5分
Problem: 一根绳子分成甲乙两段，甲占全长的$$\frac{3}{5}$$，乙长$$\frac{3}{5}$$米，两段绳子相比较（~~~~~~~~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 甲长 
aoVal: B
content: 乙长 
aoVal: C
content: 一样长 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: A
Analysis: 根据题意得，一根绳子分成甲乙两段，甲占全长的$$\frac{3}{5}$$，乙长$$\frac{3}{5}$$米，两段绳子相比较甲长，故答案为$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2008年陈省身杯小学高年级六年级竞赛
Problem: 一个数，减去$$15$$之后除以$$13$$，其结果加上$$3$$之后乘$$2$$，得到的结果是$$314$$，那么原来的这个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2015$$ 
aoVal: B
content: $$2016$$ 
aoVal: C
content: $$2017$$ 
aoVal: D
content: $$2018$$ 
Answer: C
Analysis: 倒推还原$$\left( 314\div 2-3 \right)\times 13+15=2017$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逆向思想
Source: 2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第2题4分
Problem: ``凑$$24$$点''游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下$$52$$张（如果初练也可只用$$1\sim10$$这$$40$$张牌），任意抽取$$4$$张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成$$24$$，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是$$3$$、$$8$$、$$8$$、$$9$$，那么算式为$$\left( 9-8 \right)\times 8\times 3$$或$$(9-8\div 8)\times 3$$等。在下面$$4$$个选项中，唯一无法凑出$$24$$点的是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$、$$2$$、$$3$$、$$3$$ 
aoVal: B
content: $$1$$、$$5$$、$$5$$、$$5$$ 
aoVal: C
content: $$2$$、$$2$$、$$2$$、$$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$、$$3$$、$$3$$、$$3$$ 
Answer: C
Analysis: 可以通过计算它们能达到的最大值，找到不能凑出$$24$$点的选项。  解：A、$$(1+2)\times 3\times 3=27\textgreater24$$，有可能凑出$$24$$点；  B、$$(1+5)\times 5\times 5=150\textgreater24,$$有可能凑出$$24$$点；  C、$$2\times 2\times 2\times 2=16 \textless{} 24$$，不可能凑出$$24$$点；  D、$$3\times 3\times 3\times 3=81\textgreater24$$，有可能凑出$$24$$点；  故选：C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->巧填算符
Source: 2016年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 奥运会足球小组赛分为上、下两个半长，每半长$$45$$分钟，中间休息$$15$$分钟．伦敦奥运会期间，某场足球小组赛于$$13:00$$开始，并且此赛事没有伤停与延长赛时间，请问这场足球小组赛在什么时刻结束？（~ ~ ） 
Options:
aoVal: A
content: $$13:45$$ 
aoVal: B
content: $$14:00$$ 
aoVal: C
content: $$14:30$$ 
aoVal: D
content: $$14:35$$ 
aoVal: E
content: $$14:45$$ 
Answer: E
Analysis: 此场足球赛时长$$45+45+15=105$$分钟，所以结束时间是$$14:45$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第16题4分
Problem: 甲要完成一批零件，原计划$$10$$天完成．实际上甲每天比原计划多做$$16$$个，结果$$8$$天完成．这批零件共个． 
Options:
aoVal: A
content: $$200$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$640$$ 
Answer: C
Analysis: 实际每天比原来多做$$16$$个，  则$$8$$天比原来多做：$$8\times 16=128$$（个），  多做的部分相当于原来$$10-8=2$$天的量．  所以原来每天做：$$128\div 2=64$$（个），  则这批零件共$$64\times 10=640$$（个）．  故选择：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->简单工程问题->具体量工程问题
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第2题6分
Problem: 把足够大的一张厚度为$$0.1mm$$纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过$$12mm$$，至少要对折扣（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$次 
aoVal: B
content: $$7$$次 
aoVal: C
content: $$8$$次 
aoVal: D
content: $$9$$次 
Answer: B
Analysis: 折$$n$$次变为原来的$${{2}^{n}}$$倍，$${{2}^{7}}=128$$，$$128\times 0.1=12.8mm$$，至少要折$$7$$次． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国创新杯五年级竞赛第2题5分
Problem: 设$$a_1$$，$$a_2$$，$$a_3$$，$$a_4$$，$$a_5$$是任意五个奇数，且$$a_1\textless{}a_2\textless{}a_3\textless{}a_4\textless{}a_5$$，$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=85$$，符合这些条件的五个奇数显然有很多，如$$a_1=1$$，$$a_2=3$$，$$a_3=7$$，$$a_4=11$$，$$a_5=63$$，或$$a_1=5$$，$$a_2=7$$，$$a_3=13$$，$$a_4=21$$，$$a_5=39$$，等等，在这些答案中，记$$a_5$$的最大值和最小值分别为$$M$$和$$m$$，则． 
Options:
aoVal: A
content: $$M=67$$，$$m=23$$ 
aoVal: B
content: $$M=67$$，$$m=19$$ 
aoVal: C
content: $$M=69$$，$$m=21$$ 
aoVal: D
content: $$M=69$$，$$m=17$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$a_1=1$$，$$a_2=3$$，$$a_3=5$$，$$a_4=7$$时，$$a_5$$最大，  所以$$M=85-(1+3+5+7)=69$$，  因为$$85\div5=17$$，  所以$$a_5$$最小时$$a_1=13$$，$$a_2=15$$，$$a_3=17$$，$$a_4=19$$，$$a_5=21$$，  所以$$m=21$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2005年第3届创新杯五年级竞赛复赛第8题