math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$满足$$\frac{1}{a-2013}=\frac{1}{b+2014}=\frac{1}{c-2015}=\frac{1}{d+2016}$$，请问下列哪一项关于$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$的大小顺序是正确的？ 
Options:
aoVal: A
content: $$b\textless{}d\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$d\textless{}b\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: C
content: $$d\textless{}a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: D
content: $$d\textless{}b\textless{}c\textless{}a$$ 
aoVal: E
content: $$b\textless{}d\textless{}c\textless{}a$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$\frac{1}{a-2013}=\frac{1}{b+2014}=\frac{1}{c-2015}+\frac{1}{d+2016}$$，  所以$$a-2013=b+2014=c-2015=d+2016$$，  所以$$d\textless{}b\textless{}a\textless{}c$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分
Problem: 练1：甲乙两人对同一数作除法，甲将其除以$$8$$，乙将其除以$$9$$，甲所得的商与乙所得的余数之和为$$13$$，则甲所得的余数为． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 解法一:设这个相同的数为$$8m+n$$或$$9\left( m-1 \right)+a$$，即$$8m+n=9\left( m-1 \right)+a$$，又$$m+a=13$$，所以$$n=m+a-9=13-9=4$$，故选$$\text{C}$$.  解法二:设这个相同的数为$$a$$，则$$\begin{cases}a=8m+n\left( 0\leqslant n \textless{} 8 \right)    a=9{{m}^{'}}+{{n}^{'}}    m+{{n}^{'}}=13   \end{cases}$$① 所以，$$a=9{{m}^{'}}+13-m$$② ①$$-$$②得$$9m-9{{m}^{'}}+n-13=0$$，所以$$9\left( m-{m}' \right)=13-n$$，又$$5 \textless{} 13-n\leqslant 13$$，所以$$5 \textless{} 9\left( m-{m}' \right)\leqslant 13$$，因此，$$m-{{m}^{'}}=1$$，从而$$9=13-n$$，故$$n=4$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->不定方程->不定方程组
Source: 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第8题
2006年五年级竞赛创新杯
2006年五年级竞赛创新杯
Problem: 下面的数中一个``零''也不读出来的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$235001$$ 
aoVal: B
content: $$60015$$ 
aoVal: C
content: $$107000$$ 
Answer: C
Analysis: $$235001$$读作二十三万五千零一，故$$\text{A}$$错误；  $$60015$$读作六万零一十五，故$$\text{B}$$错误；  $$107000$$读作十万七千，故$$\text{C}$$正确．  所以一个``零''也读不出来的是$$\text{C}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第7题3分
Problem: \textbf{(2019 Youth Mathematics Olympics, Primary 4, Question \#3)~}  There are $$4$$ distinct natural numbers whose average is $$10$$. The largest of them is at least（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）．  有$$4$$个互不相同的自然数，它们的平均数是$$10$$．其中最大的数至少是（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: C
Analysis: 欲求最大的数至少为多少，则这$$4$$个不同的自然数越接近越好．则为$$8$$，$$9$$，$$11$$，$$12$$．故最大的数至少为$$12$$，所以选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: Overseas Competition->知识点->应用题模块->加减法应用->最值问题
拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第3题5分
Problem: 某一年的二月份，星期六的天数都比其余星期中的日子之天数还多，请问这个月最后一天是星期几？ 
Options:
aoVal: A
content: 星期三 
aoVal: B
content: 星期四 
aoVal: C
content: 星期五 
aoVal: D
content: 星期六 
aoVal: E
content: 星期日 
Answer: D
Analysis: 若为平年，则二月份有$$28$$天．  因$$28$$为$$7$$的倍数，故在二月份无论是星期几，都各有$$4$$天，  即不会有一个日子比其余星期中的日子之天数还多，  所以该年为闰年，且由$$29=4\times7+1$$知共有$$5$$个星期六，  故最后一天是星期六，故$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第15题4分
Problem: 数字和等于$$218$$的最小自然数是个$$n$$位数，则$$n=$$（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$22$$ 
aoVal: B
content: $$23$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: D
Analysis: 数字和一定，且数最小，则要保证数位最少，因此要尽可能多的$$9$$  $$218\div 9=24\cdots \cdots 2$$,故该数为$$2\underbrace{999999\cdots \cdots 999}_{24}$$  则$$n=25$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆->简单拆分->加法拆数（无要求）
Source: 2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题
2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题10分
Problem: 甲、乙两人进行$$100$$米赛跑，甲冲过终点线时，乙正好在甲后面$$20$$米处，第二次比赛时甲的起跑线比原起跑线推后$$20$$米，且两次比赛中各自速度不变，问第二次比赛结果是． 
Options:
aoVal: A
content: 两人同时到达 
aoVal: B
content: 甲到终点线时，乙正好在甲后面$$2$$米 
aoVal: C
content: 甲到终点线时，乙正好在甲后面$$4$$米 
aoVal: D
content: 乙到终点线时，甲正好在乙后面$$2$$米 
Answer: C
Analysis: 由题意得每跑$$1$$米，  甲胜的距离为：$$\frac{20}{100}=0.2$$米，  $$20\times0.2=4$$（米）．  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2006年第4届创新杯六年级竞赛初赛B卷第6题
Problem: 在一个两位数的两个数字中间加一个$$0$$，所得三位数比原数大$$6$$倍．这个两位数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
Answer: A
Analysis: 设这个两位数为$$\overline{ab}$$，根据题意有$$\overline{aob}=\left( 6+1 \right)\times \overline{ab}$$，位值原理拆开化简得：$$5a=b$$，又因为$$a$$，$$b$$均为$$0 \tilde{  } 9$$的数字，所以得$$a=1$$，$$b=5$$，则这个两位数是$$15$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）
Problem: 一艘客船在长为$$176$$千米的河流中顺流而下再逆流而上共用时$$19$$小时，逆流用时比顺流用时多$$3$$小时．有一只船速为每小时$$12$$千米的小船在这条河中顺流而下$$10$$小时走了千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$120$$ 
aoVal: B
content: $$140$$ 
aoVal: C
content: $$150$$ 
aoVal: D
content: $$160$$ 
Answer: C
Analysis: 先分别求出顺流与逆流用时：  顺流：$$(19-3)\div 2$$  $$=16\div 2$$  $$=8$$（小时）  逆流：$$8+3=11$$（小时）  再求出水流速度：  顺流速度：$$176\div 8=22$$（千米每小时）  逆流速度：$$176\div 11=16$$（千米每小时）  则水流速度：$$(22-16)\div 2$$  $$=6\div 2$$  $$=3$$（千米每小时）  则$$(12+3)\times 10$$  $$=15\times 10$$  $$=150$$（千米）  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->流水行船问题->基本流水行船问题->四个速度->基本行程
Source: 2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第7题3分
Problem: 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁$$4$$位同学有如下的对话：  甲：``丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款''  乙：``丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款''  丙：``你们$$3$$人中至少有$$2$$人捐了款''  丁：``你们$$3$$人中至多有$$2$$人捐了款''  已知这$$4$$位同学说的都是真话且其中恰有$$2$$位同学捐了款，那么这$$2$$位同学是． 
Options:
aoVal: A
content: 甲、乙 
aoVal: B
content: 丙、丁 
aoVal: C
content: 甲、丙 
aoVal: D
content: 乙、丁 
Answer: D
Analysis: 因为恰有$$2$$位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少$$2$$人捐款，所以丙没捐款；  再据甲所说知丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；  再据乙所说知丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；  恰有$$2$$位同学捐了款，即恰有$$2$$位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理
Source: 2015年北京华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第3题
2015年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第3题
Problem: 将非$$0$$自然数依照下列形式不断写下去：$$123456\cdots \cdots $$，第$$2019$$个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: A
Analysis: 一位数有数字：$$9\times1=9$$（个），  两位数有数字：$$90\times2=180$$（个），  三位数有数字：$$900\times3=1800$$（个）  则四位数有数字：$$2019-9-180-1800=30$$（个）．  $$30\div4=7$$（组）$$\cdots \cdots2$$（个），  则四位数有$$1000$$，$$1001$$，$$1002$$，$$1003$$，$$1004$$，$$1005$$，$$1006$$，  所以还剩下的$$2$$个数字分别为$$1$$，$$0$$．  故第$$2019$$个数字为$$0$$．  所以答案选择$$\text{A} $$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第10题5分
Problem: 二（$$1$$）班有$$50$$名同学参加语文、数学期末测试，每个学生至少有一门是优．语文得优的有$$38$$人，数学得优的有$$42$$人，语文、数学都得优的有人． 
Options:
aoVal: A
content: $$80$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 把语文得优秀的人数与数学得优秀的人数相加，即：$$38+42=80$$（人），$$80$$人比参加语文、数学期末测试的$$50$$人多$$80-50=30$$（人），多出的$$30$$人就是语文、数学都得优秀的人数．  $$38+42-50=30$$（人）．  答：语文、数学都得优秀的有$$30$$人． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第10题5分
Problem: 是否存在两个数，使得它们的和为$$222$$，差为111. 
Options:
aoVal: A
content: 有 
aoVal: B
content: 没有 
Answer: B
Analysis: 偶数$$+$$偶数$$=$$偶数，偶数$$-$$偶数$$=$$偶数  奇数$$+$$奇数$$=$$偶数，奇数$$-$$奇数$$=$$奇数  观察可得，如果两个数的和为偶数，则差不可能为奇数。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的应用
Source: 2018年华杯赛六年级竞赛模拟卷
Problem: 四位数$$2013$$的各位数字和为$$6$$，且各位数字均不相同．在具有这些性质的四位整数中，按由小到大顺序排列，$$2013$$是第个． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意，只能由$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$四个数字来组成四位数．  以``1''开头的四位数有$$3\times2=6个$$，  因此以``$$2$$''开头的最小数应是$$2013$$，  因此$$2013$$是第$$7$$个．  答︰$$2013$$是第$$7$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2013年第11届创新杯三年级竞赛初赛第2题6分
Problem: $$A$$、$$B$$均为小于$$1$$的小数，算式$$A\times B+0.1$$的结果． 
Options:
aoVal: A
content: 大于$$1$$ 
aoVal: B
content: 小于$$1$$ 
aoVal: C
content: 等于$$1$$ 
aoVal: D
content: 无法确定和$$1$$的大小 
Answer: D
Analysis: $$0.2+0.3+0.1=0.16\textless{}1$$  $$0.99\times 0.99+0.1=1.081\textgreater1$$  又因为小数是连续的，因此可以取到等于$$1$$的$$A$$、$$B$$值，故$$A\times B+0.1$$的计算结果与$$1$$的大小无法比较． 
<p>因为$$A$$，$$B$$都小于$$1$$，</p>
<p>所以无法确定$$A\times B$$与$$0.9$$的大小关系．</p>
<p>①当$$A\times B&lt;{}0.9$$，则$$A\times B+0.1&lt;{}1$$，</p>
<p>②当$$A\times B=0.9$$，则$$A\times B+0.1=1$$，</p>
<p>③当$$A\times B&gt;0.9$$，则$$A\times B+0.1&gt;1$$．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->思想->赋值思想
Source: 2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题
2020年重庆渝中区重庆市巴蜀中学校小升初（十一）第2题2分
2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题10分
Problem: 有$$10$$种不同的小球各$$100$$个放入同一个袋子里．从袋子中取出若干个小球，要想在取出的小球中必须有$$3$$种同样的球并有$$10$$个以上（含$$10$$个）的话，那么最少要从袋子中取出个小球． 
Options:
aoVal: A
content: $$274$$ 
aoVal: B
content: $$273$$ 
aoVal: C
content: $$272$$ 
aoVal: D
content: $$271$$ 
Answer: B
Analysis: 考察抽屉原理中的最不利原则，  $$2\times100+8\times9+1=273$$（个），  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第7题4分
Problem: 计算：$$2788\div 4\div 27+565\div (27\times 5)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$300$$ 
aoVal: C
content: $$27$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: D
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde2788\div 4\div 27+565\div (27\times 5)$$  $$=697\div 27+565\div 5\div 27$$  $$=697\div 27+113\div 27$$  $$=(697+113)\div 27$$  $$=810\div 27$$  $$=30$$．  故答案为：$$30$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数除法巧算之提取公除数（普通型）
Source: 2021年新希望杯四年级竞赛初赛第15题
Problem: 如果一个数的所有因数中恰好有$$3$$个因数为合数．这样的数就称为``思维数''．比如$$16$$就是一个``思维数''，因为它的所有因数中，正好有$$4$$，$$6$$，$$8$$为合数．在所有小于$$100$$的正整数中，``思维数''一共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 分析易知思维数质因数分解后形式只有$${{a}^{4}}$$，$$a{{b}^{2}}$$两种形式．  $${{a}^{4}}$$，此时$$a$$只能是$$2，3$$  $$a{{b}^{2}}$$，当$$b$$是$$2$$，$$a$$可以是$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$19$$，$$23$$共$$8$$个；  当$$b$$是$$3$$，$$a$$可以是$$2$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$共$$4$$个；  当$$b$$是$$5$$，$$a$$可以是$$2$$，$$3$$共$$2$$个；  当$$b$$是$$7$$，$$a$$可以是$$1$$共$$1$$个；  综上共有$$17$$个． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理逆应用
Source: 2017年湖北武汉中环杯五年级竞赛初赛第17题
Problem: 在一个减法算式中，如果被减数减少$$10$$，差减少$$20$$，要使等式成立，减数应该． 
Options:
aoVal: A
content: 减少$$10$$ 
aoVal: B
content: 减少$$30$$ 
aoVal: C
content: 增大$$30$$ 
aoVal: D
content: 增大$$10$$ 
Answer: D
Analysis: 设这个算式原来是：$$50-30=20$$，  被减数减少$$10$$，差减少$$20$$，  $$40-40=0$$，  减数由原来的$$30$$变为$$40$$，增加了$$10$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第9题3分
Problem: 把$$1$$到$$5$$这$$5$$个自然数从左到右排成一排，要求从第三个数起，每个数都是前两个数的和或差，那么一共有（  ）种排法。 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 解：$$5$$只能在首位或者末位，$$52314$$，$$54132$$，$$41325$$，$$23145$$。  故选:B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛复赛
Problem: 在$$10-1000$$之间，个位数是$$3$$或$$8$$的数的个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$200$$ 
aoVal: B
content: $$198$$ 
aoVal: C
content: $$196$$ 
aoVal: D
content: $$194$$ 
Answer: B
Analysis: 每十个数之间，就包含个位数是$$3$$或者$$8$$的数各一个，$$(1000-10)\div 10\times 2=198$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛决赛第2题
Problem: 已知三个合数$$A$$，$$B$$，$$C$$两两互质，且$$A\times B\times C=11011\times 28$$，那么$$A+B+C$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$1601$$ 
aoVal: B
content: $$1626$$ 
aoVal: C
content: $$1673$$ 
aoVal: D
content: $$14027$$ 
aoVal: E
content: $$22031$$ 
aoVal: F
content: $$77081$$ 
aoVal: G
content: 我不会 
Answer: B
Analysis: 因为$$11011\times 28=11\times 11\times 13\times 7\times 2\times 2\times 7=2^{2}\times7^{2}\times11^{2}\times13$$，要使$$A+B+C$$最大，且$$A$$、$$B$$、$$C$$为两两互质的合数，则$$A=11\times 11\times 13=1573$$，$$B=7\times 7=49$$，$$C=2\times 2=4$$，那么$$A+B+C=1626$$．  故答案为：$$1626$$．  乘积一定时，差小和小，差大和大.  $$11011\times 28=2^{2}\times 7^{2}\times 11^{2}\times 13$$，三个合数之间两两互质，所以$$A=2^{2}$$，$$B=7^{2}$$，$$C=11^{2}\times 13$$时，$$(A+B+C)$$最大为$$1626$$. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2009年第14届全国华杯赛竞赛复赛第6题
2021年新希望杯五年级竞赛模拟（考前培训100题）第17题
Problem: 根据规律，选出你认为括号中正确的数：（~ ~ ~ ），$$1$$，$$1$$，$$1$$，$$\frac{9}{11}$$，$$\frac{11}{13}$$，$$\frac{13}{17}$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$~~~~~ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: 找规律；将中间三个$$1$$化成分数是$$\frac{3}{3}$$，$$\frac{5}{5}$$，$$\frac{7}{7}$$，分子是连续的奇数，分母是从$$2$$开始不断递增的质数，则第一个数是$$\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数
Source: 2017年河南郑州联合杯竞赛第4题4分
Problem: 等腰三角形的两个角之比为$$2:5$$，则这个三角形是什么三角形（按角分类）？ 
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 钝角三角形或者锐角三角形 
Answer: D
Analysis: 这个等腰三角形的三个内角之比为$$2:2:5$$或者$$2:5:5$$，前一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+2+5 \right)\times 5={100}^{}\circ$$；后一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+5+5 \right)\times 5={75}^{}\circ$$．所以这个等腰三角形是钝角三角形或者锐角三角形． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第15届全国希望杯六年级竞赛
Problem: 从$$1$$至$$11$$这$$11$$个自然数中至少选出几个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为$$12$$? 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 把和为$$12$$的两个数分成一组，这样就把这$$11$$个数分成$$6$$组：$$(1,11)$$，$$\left( 2,10 \right)$$，$$\left( 3,9 \right)$$，$$(4,8)$$，$$(5,7)$$，$$(6)$$．要保证一定有两个数的和为$$12$$，就要保证至少有两个数属于同一组．  由抽屉原理可知，从这$$12$$个数中选出$$7$$个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是$$12$$．  如果我们从$$6$$组中各取一个数，则取出的这$$6$$个数中，没有两个数的和是$$12$$，因此本题的答案就是至少选出$$7$$个不同的数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->构造型抽屉原理
课内体系->思想->整体思想
Source: 2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第5题
其它改编题
Problem: 母亲今年$$37$$岁，女儿今年$$7$$岁，年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 年龄问题，$$(37-7)\div (4-1)=10$$（岁）．  年龄问题的特点是两人的年龄差始终不变，即几年后两人增加的年龄是相同的，根据这个特点解决题目中的问题即可．设$$x$$年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍，可得方程$$(7+x)\times 4=37-x$$，解得$$x=3$$．即$$3$$年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->对应思想
Source: 2018~2019学年四川成都双流县四川师范大学附属圣菲小学六年级上学期开学考试第1题3分
2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第5题2分
2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第5题2分
2019年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初第1题3分
Problem: 已知自然数$$n$$有$$10$$个因数，$$2n$$有$$20$$个因数，$$3n$$有$$15$$个因数，那么$$6n$$的因数个数为（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$20$$个 
aoVal: B
content: $$25$$个 
aoVal: C
content: $$30$$个 
aoVal: D
content: $$40$$个 
Answer: C
Analysis: 依题意不妨假设$$n=a{{b}^{4}}\left( a\ne b \right)$$，则$$2n=2a{{b}^{4}}\left( a\ne b\ne 2 \right)$$，$$3n=3a{{b}^{4}}={{a}^{2}}{{b}^{4}}\left( a=3 \right)$$，所以$$6n=6a{{b}^{4}}=2{{a}^{2}}{{b}^{4}}$$．因此$$6n$$的因数个数为：$$\left( 1+1 \right)\times \left( 2+1 \right)\times \left( 4+1 \right)=30$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（四）
Problem: 某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时$$12$$千米，下桥速度为每小时$$24$$千米．而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿．问这个人骑车过这座桥，往返的平均速度是每小时千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 设上桥的路程为$$24$$千米，则下桥的路程也为$$24$$千米．  所以上桥的时间为：$$24\div12=2$$（小时），  下桥的时间为：$$24\div24=1$$（小时），  所以全程的平均速度为：$$(24+24)\div (1+2)=16$$（千米/小时）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 小王老师外出开会，$$7$$天没有回家，回来后一次撕下这$$7$$张日历，发现这$$7$$张日期数相加得$$119$$，那么，王老师回家这天是（  ）号。 
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$21$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$119\div 7=17$$，所以第四天也就是中间一天是$$17$$号，故这$$7$$天的日期为：$$14\text{、}15\text{、}16\text{、}17\text{、}18\text{、}19\text{、}20$$，因此，回家是$$20+1=21$$（号）。故选D。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->等差数列实际应用
Source: 2006年四年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第2题
Problem: 【$$2020$$五年级卷第$$29$$题】梅森质数是形如``$${{2}^{p}}-1$$''的质数，这里$${{2}^{p}}$$表示$$p$$个$$2$$相乘的积，而且$$p$$也是一个质数．目前用超级计算机已找到了$$51$$个梅森质数，其中第二大的梅森质数是$${{2}^{77232917}}-1$$．以下各数中，能被$$15$$整除的是． 
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{77232917}}-2$$ 
aoVal: B
content: $${{2}^{77232917}}+1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{77232917}}+2$$ 
aoVal: D
content: $${{2}^{77232917}}+3$$ 
Answer: A
Analysis: $${{2}^{n}}\div 3$$的余数周期为$$2$$，$$1$$，  $$77232917\div 2\cdots \cdots 1$$，$${{2}^{77231917}}\div 3\cdots \cdots 2$$，  $${{2}^{n}}\div 5$$的余数周期为$$2$$，$$4$$，$$3$$，$$1$$．  $$77232917\div 4\cdots \cdots 1$$，$${{2}^{77232917}}\div 5\cdots \cdots 2$$，  $$3\times 5+2=17$$，$${{2}^{77232917}}\equiv 17\equiv 2\left( \bmod 15 \right)$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2020年新希望杯五年级竞赛第29题
2020年希望杯五年级竞赛模拟第29题
Problem: 有$$3$$名医生、$$3$$名护士被分配到$$3$$所小学为学生体检，每所学校$$1$$名医生、$$1$$名护士。 共有~\uline{~~~~~~~~}~种不同的分配方法。 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: C
Analysis: 设三所学校为$$A$$校，$$B$$校和$$C$$校，先考虑$$3$$名医生分配方法：第一名医生有$$3$$种分配方法；第二名有$$2$$种分配方法，第三名有$$1$$种分配方法，所以有$$3\times 2\times 1=6$$（种）分配方法。同理，$$3$$名护士也有$$6$$种分配方法。因此，共有$$6\times6=36$$（种）不同的分配方法。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配
Source: 2007年第5届创新杯五年级竞赛第3题5分
2007年五年级竞赛创新杯
2007年第5届创新杯五年级竞赛第3题5分
Problem: 进步先生在不断提高他的考试成绩．他前两次考试的平均分是$$86$$，前三次考试的平均分是$$87$$，前四次考试的平均分是$$88$$，他第四次考了分？ 
Options:
aoVal: A
content: $$88$$ 
aoVal: B
content: $$89$$ 
aoVal: C
content: $$90$$ 
aoVal: D
content: $$91$$ 
Answer: D
Analysis: $$88\times 4-87\times 3=91$$分． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->逻辑分析
Source: 2015年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛（中国赛区）第38题5分
2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛
Problem: 一种录音机，现在售机$$90$$元，比原来降低$$10  \% $$，降低了（~ ）元． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$81$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: 原价为$$90\div \left( 1-10  \% ~\right)=100$$(元)，降低了$$100-90=10$$(元)． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年河南郑州K6联赛六年级竞赛第18题2分
Problem: 如果甲数$$\times 1.2=$$乙数$$\div 1.2$$（甲数、乙数$$\ne 0$$），那么． 
Options:
aoVal: A
content: 甲数$$=$$乙数 
aoVal: B
content: 甲数$$\textgreater$$乙数 
aoVal: C
content: 甲数$$\textless{}$$乙数 
Answer: C
Analysis: $$1.2=\frac{6}{5}$$，即甲数$$\times \frac{6}{5}=$$乙数$$\times \frac{5}{6}$$（且甲、乙$$\ne 0$$），根据积的特性，当积一定时，一个因数越大，则另一个因数越小；  那么$$\frac{6}{5}\textgreater\frac{5}{6}$$，则甲$$\textless{}$$乙． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->整体思想
Source: 2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市行知小学五年级上学期期中期中竞赛第19题1分
Problem: 设$$a\ne 2$$，在下列结论中，（~ ）是错误结论． 
Options:
aoVal: A
content: $$2x+3=ax-3$$和$$\left( 2x+3 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)=\left( ax-3 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)$$是同解方程 
aoVal: B
content: $$2x+3=ax-3$$和$$2\left( 2x+3 \right)+{{m}^{2}}-1=2\left( ax-3 \right)+{{m}^{2}}+1$$是同解方程 
aoVal: C
content: $$2x+3=ax-3$$和$$2\left( 2x+3 \right)\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2\left( ax-3 \right)\left( {{m}^{2}}-1 \right)$$是同解方程 
aoVal: D
content: $$2x+3=ax-3$$和$$\left( a-2 \right)x=6$$是同解方程 
Answer: C
Analysis: 对于任何$$m$$的值，$${{m}^{2}}+1$$都不等于$$0$$，由原理二，（$$\text{A}$$）正确；由原理一和二，$$\text{B}$$）正确；由原理一，（$$\text{D}$$）正确；当$$m=1$$时，$${{m}^{2}}-1=0$$，所以（$$\text{C}$$）是错误结论． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年全国华杯赛小学高年级竞赛
Problem: 某班级的数学期末考试的结果为满分$$100$$分有$$4$$位学生﹑得$$90$$分至$$99$$分有$$6$$位学生、得$$80$$分至$$89$$分有$$18$$位学生、得$$70$$分至$$79$$分有$$12$$位学生、得$$69$$分以下有$$10$$位学生．已知全班平均分数为$$81.4$$分．请问该班学业生数学期末考试的总得分为多少分？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4050$$ 
aoVal: B
content: $$3750$$ 
aoVal: C
content: $$4070$$ 
aoVal: D
content: $$3820$$ 
aoVal: E
content: 不能确定 
Answer: C
Analysis: 由题意可知这个班级总共有$$4+6+18+12+10=50$$位学生，所以该班学生数学期末考试的总得分为$$81.4\times 50=4070$$分，故$$\text{C}$$正确；  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2017年IMAS小学高年级竞赛（第二轮）第2题4分
Problem: 有一个自然数，用它分别去除$$62$$、$$90$$、$$130$$都有余数，这三个余数的和是$$24$$．这三个余数中最大的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
aoVal: E
content: $$20$$ 
Answer: D
Analysis: 假设这个自然数为$$n$$，$$n$$除$$62$$、$$90$$、$$130$$的余数分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，  则$$62-a$$，$$90-b$$，$$130-c$$都是$$n$$的倍数，  可得$$\left( 62-a \right)+\left( 90-b \right)+\left( 130-c \right)=62+90+130-\left( a+b+c \right)$$，  得$$282-24=258$$，$$258=2\times 3\times 43$$，  则$$n$$可能为$$2$$、$$3$$、$$6$$、$$43$$，  又由于三个余数的和为$$24$$，  则$$abc$$中至少有一个要大于$$8$$，  由于除数大于余数，  因此$$n=43$$，  所以$$a=19$$，$$b=4$$，$$c=1$$，  因此三个余数中最大的是$$19$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->同余->同余定理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 黑板上有$$11$$个$$1$$，$$22$$个$$2$$，$$33$$个$$3$$，$$44$$个$$4$$．做以下操作：每次擦掉$$3$$个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写$$2$$个．例如：某次操作擦掉$$1$$个$$1$$，$$1$$个$$2$$，$$1$$个$$3$$，那就再写上$$2$$个$$4$$．经过若干次操作后，黑板上只剩下$$3$$个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: B
Analysis: 这类题需要抓住操作的本质：无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加$$3$$和减$$3$$三种情况，  （比如说$$1$$和$$2$$的个数，要么同时减少一个；要么$$1$$的个数加$$2$$个，$$2$$的个数少一个；要么$$1$$的个数少$$1$$个，$$2$$的个数加$$2$$个，分别对应：个数差不变，加$$3$$，减$$3$$）  而事实上，更进一步刻画这个特征：任意两个数的个数差，同余$$3$$（即：除以$$3$$的余数保持不变）  那么继续，看$$1$$的个数和$$2$$的个数，用$$2$$的个数减去$$1$$的个数，他们的差是$$22-11=11$$，$$11$$除以$$3$$的余数是$$2$$，那就是说当数字$$2$$的个数比$$1$$的个数多时，他们的差一定是除以$$3$$余$$2$$的；但如果数字$$1$$的个数比$$2$$多的话，那么这个差除以$$3$$的余数一定是$$1$$，（可以试着操作几次，让$$1$$的个数多于$$2$$的个数）．这样都算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现$$1$$的个数和$$4$$的个数，它们的差是$$33$$，正好是$$3$$的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的$$1$$的个数和$$4$$的个数要么一样多，要么个数差$$3$$．再根据题意，最后只剩下$$3$$个数，如果$$1$$的个数为$$3$$，那么$$2$$的个数必然为$$2$$，不合题意．如果$$3$$的个数为$$3$$，而$$1$$和$$2$$不可能都为$$0$$个，所以操作到最后时$$1$$的个数和$$4$$的个数都只能为$$0$$，而$$2$$的个数一定是$$2$$，那么$$3$$的个数就是$$1$$，所以剩下的三个数是$$2$$个$$2$$和$$1$$个$$3$$，他们乘积是$$12$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2013年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第9题
Problem: 把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，和最小是．  $$\square \square +\square \square $$ 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$74$$ 
aoVal: C
content: $$92$$ 
aoVal: D
content: $$146$$ 
aoVal: E
content: $$188$$ 
Answer: B
Analysis: 要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题
Problem: 恰好有两位数字相同的三位数共有（ ）个。 
Options:
aoVal: A
content: $$270$$ 
aoVal: B
content: $$243$$ 
aoVal: C
content: $$240$$ 
aoVal: D
content: $$267$$ 
Answer: B
Analysis: 若三位数中恰有两位数字相同，那么相同的两个数位有以下三种情况：  ①百位数与十位数相同：因为百位数不能为$$0$$，所以百位数与十位数有$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$9$$，有$$9$$种可能；个位数可在$$0\sim 9$$中去掉一个已经作为百位数外的$$9$$个数中选取，也有$$9$$种可能，因此这样的三位数有$$9\times 9=81$$（个）。  ②百位数与个位数相同：同理有$$81$$个三位数。  ③十位数与个位数相同：分两种情况。  （I）个位与百位都为$$0$$，百位有$$9$$种；  （II）当个位与百位不为$$0$$时，个位与百位有$$9$$种，百位有$$8$$种，共$$9\times 8=72$$（种）；  所以共$$72+9=81$$（种）。  因此，恰有两位数字相同的三位数共有$$81\times 3=243$$（个）。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->组合的基本运算
Source: 2009年五年级竞赛创新杯
Problem: 一项工作，甲单独完成需要$$24$$天，乙单独完成需要$$36$$天，丙单独完成需要$$48$$天．现在甲乙丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为$$1:2$$，乙、丙工作的天数比为$$3:5$$，那么，完成这项工作一共用了多少天？ 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$天 
aoVal: B
content: $$38$$天 
aoVal: C
content: $$19$$天 
aoVal: D
content: $$48$$天 
Answer: B
Analysis: 甲乙丙的工作天数之比是$$3:6:10$$，  设甲工作$$3x$$天，乙工作$$6x$$天，丙工作$$10x$$天，  那么$$\frac{1}{24}\times 3x+\frac{1}{36}\times 6x+\frac{1}{48}\times 10x=1$$，  解得：$$x=2$$，  故完成这项工作一共用了$$\left( 3+6+10 \right)\times 2=38$$（天）． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题
Source: 2016年北京学而思杯小学高年级五年级竞赛第11题7分
2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第14题4分
Problem: $$6$$个互不相同的正整数的和是$$2002$$，则这$$6$$个数的最大公因数最大是． 
Options:
aoVal: A
content: $$182$$ 
aoVal: B
content: $$154$$ 
aoVal: C
content: $$143$$ 
aoVal: D
content: $$91$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$6$$个互不相同的正整数的最大公因数为$$a$$，则$$a$$为正整数，  $$6$$个互不相同的正整数为$$a{{x}_{1}}$$，$$a{{x}_{2}}$$，$$a{{x}_{3}}$$，$$a{{x}_{4}}$$，$$a{{x}_{5}}$$，$$a{{x}_{6}}$$，  则$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，$${{x}_{5}}$$，$${{x}_{6}}$$为$$6$$个互不相同的正整数，  ∴$$a{{x}_{1}}+a{{x}_{2}}+a{{x}_{3}}+a{{x}_{4}}+a{{x}_{5}}+a{{x}_{6}}=2002$$，  ∴$$a({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}})=2002$$，  ∵$${{x}_{1}}$$到$${{x}_{6}}$$为$$6$$个互不相同的正整数，  则$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}$$最小为$$1+2+3+4+5+6=21$$，  $$2002\div 21=95\cdots \cdots 7$$，  故$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}=21$$时不满足题意，  当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}=22$$时，  $$2002\div 22=91$$，  ∴$$a$$最大为$$91$$．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第6题5分
Problem: 淘气家的挂钟时针长$$7\text{cm}$$，一昼夜这根时针扫过的面积为平方厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$153.86$$ 
aoVal: B
content: $$87.92$$ 
aoVal: C
content: $$307.72$$ 
aoVal: D
content: $$76.43$$ 
Answer: C
Analysis: 首先要明确的是：经过一昼夜，时针围钟面转了两周，而转一周所走过的面积是以时针长度$$7$$厘米为半径的圆的面积．利用圆的面积$$S=\pi {{r}^{2}}$$即可求解．  $$3.14\times {{7}^{2}}\times 2=3.14\times 49\times 2=307.72$$（平方厘米）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->数形结合思想
Source: 2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛A卷第9题3分