math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设质数$$p$$，满足存在正整数$$xy$$使得$$p-1=2{{x}^{2}},{{p}^{2}}-1=2{{y}^{2}}$$，则符合条件的质数$$p$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知，得$$2{{y}^{2}}=\left( p-1 \right)\left( p+1 \right)=2{{x}^{2}}\left( p+1 \right)\Rightarrow p+1={{\left( \frac{y}{x} \right)}^{2}}$$，只能$$\frac{y}{x}\in {{\mathbf{N}}^{*}}$$，设$$\frac{y}{x}=k$$，则$$p={{k}^{2}}-1=\left( k+1 \right)\left( k-1 \right)$$，于是$$k=2$$，$$p=3$$．经检验$$p=3$$满足要求． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 长方体$$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$$的八个顶点都在球$$O$$的球面上，其中$$A{{A}_{1}}=1,  AB=2\sqrt{2  },  AD=3\sqrt{3}$$，则经过$$B,  C$$两点的球面距离是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2 \pi }{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4 \pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: 2$$ \pi $$ 
aoVal: D
content: $$4 \pi $$ 
Answer: C
Analysis: 球$$O$$的半径$$R=\frac{1}{2}\sqrt{1+{{(2\sqrt{2})}^{2}}+{{(3\sqrt{3})}^{2}}}=3$$，在$$\triangle OBC$$中$$OB=OC=3$$，$$BC=AD=3\sqrt{3}$$，则$$\cos \angle BOC=-\frac{1}{2}$$，从而$$\angle BOC=\frac{2 \pi }{3}$$．  所以，经过$$BC$$两点的球面距离是$$2 \pi \times 3\times \frac{1}{3}=2 \pi $$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 若$$a$$为正实数，且$$f(x)=\log _{2}(a x+\sqrt{2 x^{2}+1})$$为奇函数，则$$f(x)\textgreater\frac{3}{2}$$的解集为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\left(\frac{7}{8},+\infty\right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left(\frac{5}{8},+\infty\right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left(\frac{3}{8},+\infty\right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left(\frac{1}{8},+\infty\right)$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$f(x)+f(-x)=0$$$$\Rightarrow(a x+\sqrt{2 x^{2}+1})(-a x+\sqrt{2 x^{2}+1})=1$$$$\Rightarrow\left(2-a^{2}\right) x^{2}=0 \Rightarrow a=\sqrt{2}$$，  由于$$\sqrt{2} x+\sqrt{2 x^{2}+1}$$在区间$$(0,+\infty)$$上为增函数，于是，$$f(x)$$在区间$$(0,+\infty)$$上为增函数．  结合$$f(x)$$为奇函数，知$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上为增函数．  则方程$$f(x)=\frac{3}{2}$$$$\Leftrightarrow \sqrt{2} x+\sqrt{2 x^{2}+1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2}$$$$\Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2}+1}=\sqrt{2}(2-x)$$$$\Rightarrow x=\frac{7}{8}$$．  故$$f(x)\textgreater\frac{3}{2}$$的解集为$$\left(\frac{7}{8},+\infty\right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数方程和对数不等式->解对数不等式
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数型复合函数的性质->对数型函数的其它类型
Source: 2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第8题9分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right)\left( \sqrt{3}\cos x-\sin x \right)$$的最小正周期为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\pi }{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2\pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\pi $$ 
aoVal: D
content: $$2\pi $$ 
Answer: C
Analysis: 由题给条件知：  $$f\left( x \right)=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)$$，  故$$f\left( x \right)$$的最小正周期为$$\pi $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 函数$$f(x)$$的定义域为$$R$$，若$$f(x+1)$$与$$f(x-1)$$都是奇函数，则．
Options:
aoVal: A
content: $$f(x)$$是偶函数 
aoVal: B
content: $$f(x)$$是奇函数 
aoVal: C
content: $$f(x+3)$$是奇函数 
aoVal: D
content: $$f(x+3)$$是偶函数 
Answer: C
Analysis: 因为$$f(x+1)$$是奇函数，所以  $$f(x+1)=-f(-x+1), f(x)=-f(-x+2)$$．①  同理，由$$f(x-1)$$是奇函数，可得  $$f(x)=-f(-x-2)$$．②  由①、②可得，$$f(-x+2)=f(-x-2)$$，所以$$f(x+2)=f(x-2), f(x+4)=f(x)$$，即$$f(x)$$是周期为$$4$$的函数．  又因为$$f(x-1)$$是奇函数，所以$$f(x+3)$$是奇函数，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: $$\dfrac{2^{2022}+2^{2020}}{2^{2022}-2^{2020}}$$ 等于多少? (改编自 2013 AMC10 A 第$$8$$题)
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\dfrac{5}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$2013$$ 
aoVal: E
content: $$2^{4024}$$ 
Answer: C
Analysis: Factoring out, we get: $$\dfrac{2^{2020}\left( 2^{2}+1\right)}{2^{2020}\left( 2^{2}-1\right)}$$.  Cancelling out the $$2^{2020}$$ from the numerator and denominator, we see that it simplifies to $$\left( \text{C}\right)\dfrac{5}{3}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation
课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
Source: 2013年AMC10竞赛A第8题
Problem: 若函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}+m-1\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$的图象和$x$轴有交点，则实数$m$的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left[ 1,+\infty \right)$ 
aoVal: B
content: $\left( 0,1 \right)$ 
aoVal: C
content: $\left( -\infty ,1 \right)$ 
aoVal: D
content: $\left[ 0,1 \right)$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 将题意等价转化为函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点，根据指数函数的性质可得$0\textless{} {{a}^{\textbar x\textbar}}\le 1$，列出关于$m$的不等式，解出即可.\\ 【详解】\\ 函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}+m-1\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$的图象和$x$轴有交点，即方程${{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}=1-m\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$，\\ 等价于函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点，\\ $0\textless{} a\textless{} 1$时，$0\textless{} {{a}^{\textbar x\textbar}}\le 1$，\\ 即$0\textless{} 1-m\le 1$，解得$0\le m\textless{} 1$，\\ 即实数$m$的取值范围是$\left[ 0,1 \right)$，\\ 故选：\emph{D}.\\ 【点睛】\\ 本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题，将问题转化为函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点是解题的关键，属于基础题. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题
课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数
Source: 2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第6题
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar=2$$ ，$$\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar=3$$，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}\textgreater0$$ ，且$$\triangle ABC$$的面积为$$\frac{3}{2}$$，则$$\angle BAC$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $${{150}^{\circ }}$$ 
aoVal: B
content: $${{30}^{\circ }}$$ 
aoVal: C
content: $${{120}^{\circ }}$$ 
aoVal: D
content: $${{60}^{\circ }}$$ 
Answer: A
Analysis: $$\triangle ABC$$的面积$${{S}_{\triangle ABC}}$$$$=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin \angle BAC$$  $$=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \sin \angle BAC$$$$=\frac{3}{2}$$，  所以$$\sin \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  又由已知$$\angle BAC$$为纯角，  从而$$\angle BAC={{150}^{\circ }}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->定义法
课内体系->特色题型->选择压轴
课内体系->知识点->解三角形->三角形面积公式
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求夹角
课内体系->思想->数形结合思想
课内体系->素养->数学运算
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知实数\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，\emph{d}，\emph{e}满足$\begin{cases} a+b+c+d+e=8,   a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=16, \end{cases}$则\emph{e}的取值范围是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $[-2,2]$ 
aoVal: B
content: $[0,1]$ 
aoVal: C
content: $[0,2)$ 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据柯西不等式可求\emph{e}的取值范围.\\ 【详解】\\ 根据柯西不等式，有$-\sqrt{4}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}\leq a+b+c+d\leq \sqrt{4}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$，\\ 从而$\textbar{} 8-e\textbar{} \leq 2\sqrt{16-e^{2}}\Rightarrow 0\leq e\leq \frac{16}{5}$，\\ 因此\emph{e}的取值范围是$\left[0,\frac{16}{5}\right]$．\\ 故选：D. 
Source: 竞赛第7题
Problem: 已知$a={{\text{e}}^{0.2}}-1,b=\ln 1.2,c=\tan 0.2$，其中$\text{e}=2.71828\cdots $为自然对数的底数，则（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $c\textgreater a\textgreater b$ 
aoVal: B
content: $a\textgreater c\textgreater b$ 
aoVal: C
content: $b\textgreater a\textgreater c$ 
aoVal: D
content: $a\textgreater b\textgreater c$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 观察$a={{\text{e}}^{0.2}}-1,b=\ln 1.2,c=\tan 0.2$，发现都含有$0.2$，把$0.2$换成$x$，自变量在$(0,1)$或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较$a,b,c$的大小.\\ 【详解】\\ 令$f(x)={{\text{e}}^{x}}-1-\tan x=\frac{\cos x{{\text{e}}^{x}}-\cos x-\sin x}{\cos x}$，$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$，\\ 令$g(x)=\cos x{{\text{e}}^{x}}-\cos x-\sin x$，${g}\textquotesingle(x)=(-\sin x+\cos x){{\text{e}}^{x}}+\sin x-\cos x=({{\text{e}}^{x}}-1)\cdot (\cos x-\sin x)$，\\ 当$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$时，${g}\textquotesingle(x)\textgreater0$，$g(x)$单调递增，\\ 又$g(0)=1-1=0$，所以$g(x)\textgreater0$，又$\cos x\textgreater0$，\\ 所以$f(x)\textgreater0$，在$(0,\frac{\pi }{4})$成立，所以$f(0.2)\textgreater0$即$a\textgreater c$，\\ 令$h(x)=\ln (x+1)-x$，${h}\textquotesingle(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，$h(x)$在$x\in (0,\frac{\pi }{2})$为减函数，所以$h(x)\textless{} h(0)=0$，即$\ln (x+1)\textless{} x$，\\ 令$m(x)=x-\tan x$，${m}\textquotesingle(x)=1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$，$m(x)$在$x\in (0,\frac{\pi }{2})$为减函数，所以$m(x)\textless{} m(0)=0$，即$x\textless{} \tan x$，\\ 所以$\ln (x+1)\textless{} x\textless{} \tan x$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$成立，\\ 令$x=0.2$，则上式变为$\ln (0.2+1)\textless{} 0.2\textless{} \tan 0.2$，所以$b\textless{} 0.2\textless{} c$\\ 所以$b\textless{} c$，\\ 所以$b\textless{} c\textless{} a$.\\ 故答案为：B.\\ 【点睛】\\ 比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->基本初等函数
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质
Source: 2023年陕西榆林绥德县实验中学高三上学期高考模拟（第四次模拟）第12题
2022~2023学年9月辽宁高三上学期月考（名校联盟）第8题
2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第8题
2022年四川成都青羊区四川省成都市石室中学高三上学期高考模拟理科（一诊模拟）第12题
Problem: 设抛物线$${{y}^{2}}=4x$$的焦点为$$F$$，顶点为$$O,  M$$是抛物线上的动点，则$$\frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 由条件知$$F\left( 1,  0 \right)$$，$$O\left( 0,  0 \right)$$，点$$M$$坐标为$$\left( x,  y \right)$$，显然$$x\geqslant 0$$，则  $${{\left( \frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar} \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}+2x+1}$$ $$=\frac{4}{3}-3{{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{3} \right)}^{2}}\leqslant \frac{4}{3}$$．  当$$x=2$$时等号成立，故$$\frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar}$$的最大值为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2012年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$均为实数，函数$$f\left( x \right)=\frac{a}{3}{{x}^{3}}+\frac{b}{2}{{x}^{2}}+cx+d$$（$$a\textless{}0$$）有两个极值点$${{x}_{1}}$$、$${{x}_{2}}$$（$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$），满足$$f\left( {{x}_{2}} \right)={{x}_{1}}$$，则方程$$a{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+b\left[ f\left( x \right) \right]+c=0$$的实根个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: $${f}'\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$$，由于$$a\textless{}0$$，$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$，则$$f\left( x \right)$$在$$\left( -\infty ,  {{x}_{1}} \right)$$单调递减，在$$\left( {{x}_{1}},  {{x}_{2}} \right)$$单调递增，在$$\left( {{x}_{2}},  +\infty \right)$$单调递减．  且$$ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c=0$$，$$ax_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c=0$$．  若$$f\left( x \right)={{x}_{1}}$$，此时方程有两个根，若$$f\left( x \right)={{x}_{2}}$$，此时方程有一个根．  所以，方程应有三个实根． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 已知函数$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}}$$，则$$f(x)$$的值域为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -\sqrt{3},  1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2},  1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 0,  1 \right)$$ 
Answer: B
Analysis: $$x\textgreater0$$时，$$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{x}+1}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{1}}=1$$；  $$x=0$$时，$$f\left( x \right)=0$$；  $$x\textless{}0$$时，$$f\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{x}+1}}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( \frac{2}{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}}\geqslant -\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$$．  所以，$$f\left( x \right)$$的值域为$$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->定义法
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求复合函数的值域
课内体系->素养->数学运算
Source: 2011年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第2题8分
Problem: 在$${\triangle }ABC$$中，$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}$$，则$${\triangle }ABC$$是．
Options:
aoVal: A
content: 等腰三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 等腰直角三角形 
aoVal: D
content: 以上均不对 
Answer: A
Analysis: 所给数量积等式可转化为$$\overrightarrow{BC}\cdot \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)=0$$．若记$$BC$$的中点为$$D$$，$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$$，从而$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=0$$．这表明$$BC$$与中线$$AD$$垂直，因此$$\triangle ABC$$是等腰三角形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用
竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 已知等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足，$${{a}_{1}}\textgreater0$$，$$5{{a}_{8}}=8{{a}_{13}}$$ ，则前$$n$$项和$${{S}_{n}}$$取最大值时，$$n$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$21$$ 
aoVal: C
content: $$22$$ 
aoVal: D
content: $$23$$ 
Answer: B
Analysis: 设数列的公差为$$d$$，由$$5{{a}_{8}}=8{{a}_{13}}$$得$$5\left( {{a}_{1}}+7d \right)=8\left( {{a}_{1}}+12d \right)$$，解得$$d=-\frac{3}{61}{{a}_{1}}$$，  由$${{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left( n-1 \right)d={{a}_{1}}+\left( n-1 \right)\left( -\frac{3}{61}{{a}_{1}} \right)\geqslant 0$$，可得$$n\leqslant \frac{64}{3}=21\frac{1}{3}$$，  所以数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$前$$21$$项都是正数，以后各项都是负数，  故$${{S}_{n}}$$取最大值时，$$n$$的值为$$21$$.  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->求等差数列前n项和的最值  
课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用
课内体系->素养->数学运算
Source: 2015~2016学年3月陕西西安雁塔区唐南中学高一下学期月考理科第10题4分
2013~2014学年10月辽宁沈阳沈阳铁路实验中学高二上学期月考第6题5分
2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 若一無窮等比級數之和是一正數$$S$$，且級數的第$$2$$项是$$1$$，則$$S$$的最小可能値爲何？  The sum of an infinite geometric series is a positive number S, and the second tern in the series is $$1$$. What is  the smallest possible value of $$S$$?
Options:
aoVal: A
content: $$ \frac{1+ \sqrt{5}}{2} $$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$ \sqrt{5} $$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: E
Analysis: The sum of an infinite geometric series is of the form: $$S=\dfrac{a_{1}}{1-r}$$ where $$a_{1}$$ is the first term and $$r$$ is the ratio whose absolute value is less than $$1$$.  We know that the second term is the first term multiplied by the ratio. In other words: $$\begin{array}{l} {a_{1}\cdot r=1}  {a_{1}=\dfrac{1}{r}} \end{array}$$ Thus, the sum is the following: $$\begin{array}{l} {S=\dfrac{\dfrac{1}{r}}{1-r}}  {S=\dfrac{1}{r-r^{2}}} \end{array}$$.  Since we want the minimum value of this expression, we want the maximum value for the denominator, $$-r^{2}+r$$. The maximum x$$-$$value of a quadratic with negative $$a$$ is $$\dfrac{-b}{2a}$$. $$\begin{array}{l} {r=\dfrac{-\left( 1\right)}{2\left( -1\right)}}  {r=\dfrac{1}{2}} \end{array}$$ Plugging $${r=\dfrac{1}{2}}$$ into the quadratic yields: $$\begin{array}{l} {S=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\left( \dfrac{1}{2}\right)^{2}}}  {S=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}} \end{array}$$.  Therefore, the minimum sum of our infinite geometric sequence is $$\left( \text{E}\right)4$$. $$\left({}\right.$$Solution by akaashp$$11\left.{}\right)$$ As an extension to find the maximum value for the denominator we can find the derivative of $$-r^{2}+r$$ to get $$1-2r$$. we know that this changes sign when $$r =\dfrac{1}{2}$$ so plugging it in into the original equation we find the answer is $$\left( \text{E}\right)4$$.  After observation we realize that in order to minimize our sum $$\dfrac{a}{1-r}$$ with $$a$$ being the reciprocal of $$r$$.  The common ratio $$r$$ has to be in the form of $$\dfrac{1}{x}$$ with $$x$$ being an integer as anything more than $$1$$ divided by $$x$$ would give a larger sum than a ratio in the form of $$\dfrac{1}{x}$$.  The first term has to be $$x$$, so then in order to minimize the sum, we have minimize $$x$$.  The smallest possible value for $$x$$ such that it is an integer that\textquotesingle s greater than $$1$$ is $$2$$. So our first term is $$2$$ and our common ratio is $$\dfrac{1}{2}$$. Thus the sum is $$\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}$$ or $$\left( \text{E}\right)4$$. Solution $$2$$ by No_One.  We can see that if $$a$$ is the first term, and $$r$$ is the common ratio between each of the terms, then we can get~ $$S=\dfrac{a}{1-r}\Rightarrow S-Sr=a$$ Also, we know that the second term can be expressed as $$a\cdot r$$ notice if we multiply $$S-Sr=a$$ by $$r$$, we would get $$r\left( S-Sr\right)=ar\Rightarrow Sr-Sr^{2}=1\Rightarrow Sr^{2}-Sr+1=0$$ This quadratic has real solutions if the discriminant is greater than or equal to zero, or $$S^{2}-4\cdot S\cdot1\geqslant0$$ This yields that $$S\leqslant0$$ or $$S\geqslant4$$. However, since we know that $$S$$ has to be positive, we can safely conclude that the minimum possible value of $$S$$ is $$\left( \text{E}\right)4$$. 
Source: 竞赛第16题5分
Problem: 设$$M=1!2!3\cdots 99!100!$$，$$N$$是$$M$$末位连续零的个数，试求$$N$$被$$1000$$除所得的余数．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$104$$ 
aoVal: C
content: $$124$$ 
aoVal: D
content: $$224$$ 
aoVal: E
content: $$634$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$M=1!2!3!\cdots 99!100!$$．  那么$$N$$等于$$M$$含有的因子$$5$$的个数．  注意到$$M={{1}^{100}}\cdot {{2}^{99}}\cdot \cdots \cdot {{99}^{2}}\cdot {{100}^{1}}$$，  其中每出现一个$$5$$的倍数产生一个$$5$$的因子，  每出现一个$$25$$的倍数就额外加增加一个$$5$$的因子．  $$5$$的倍数一共有$$96+91+86+\cdots +1=970$$个，  $$25$$的倍数一共有$$76+51+26+1=154$$个，  所以最终$$M$$末尾零的个数为$$970+154=1124$$，  故所得的余数为$$124$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）
课内体系->知识点->计数原理
Source: 2006年第24届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第4题
Problem: 设$$\text{sin }\alpha \textgreater0$$，$$\cos \alpha \textless{}0$$，且$$\sin \frac{\alpha }{3}\textgreater\cos \frac{\alpha }{3}$$，则$$\frac{\alpha }{3}$$的取值范围是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{6},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$ 
aoVal: B
content: $$\left( \frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{6},\frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{3} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)\cup \left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\sin \alpha \textgreater0$$，$$\cos \alpha \textless{}0$$，得$$\alpha \in \left( 2k \pi +\frac{ \pi }{2},2k \pi + \pi ~\right),k\in \mathbf{Z}$$  从而有$$\frac{\alpha }{3}\in \left( \frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{6},\frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{3} \right),k\in \mathbf{Z}$$  又因为$$\sin \frac{\alpha }{3}\textgreater\cos \frac{\alpha }{3}$$，所以又有$$\frac{\alpha }{3}\in \left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{5 \pi }{4} \right),k\in \mathbf{Z}$$  于是$$\frac{\alpha }{3}$$的范围为$$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)\cup \left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right),k\in \mathbf{Z}$$．  故选$$\text{D}$$． 
<p>$$\sin \alpha &gt;0$$，$$\cos \alpha &nbsp;&nbsp;&lt; &nbsp;0$$，$$\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3} &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\alpha }{3} &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$$，</p>
<p>$$k=3n$$，$$\frac{\pi }{6}+2n\pi &nbsp;&nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\alpha }{3} &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\pi }{3}+2n\pi $$，$$\sin \frac{\alpha }{3}&gt;\cos \frac{\alpha }{3}$$，</p>
<p>$$\frac{\pi }{4}+2n\pi &nbsp;&nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\alpha }{3} &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{5\pi }{4}+2n\pi $$，从而$$\frac{\pi }{4}+2n\pi &nbsp;&nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\alpha }{3} &nbsp;&lt; &nbsp;\frac{\pi }{3}+2n\pi $$，</p>
<p>同理$$k=3n+1$$，$$k=3n+2$$，可得答案．</p>
<p>故选：$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->直观想象
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦型三角函数的图象与性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦函数的图象和性质
Source: 2000年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线$$y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}$$的距离中的最小值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{34}}{170}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{34}}{85}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{20}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{30}$$ 
Answer: B
Analysis: 设整点坐标$$(m,n)$$，则它到直线$$25x-15y+12=0$$的距离为  $$d=\frac{\left\textbar{} 25m-15n+12 \right\textbar}{\sqrt{{{25}^{2}}+{{(-15)}^{2}}}}=\frac{\left\textbar{} 5(5m-3n)+12 \right\textbar}{5\sqrt{34}}$$，  由于$$m,n\in \mathbf{Z}$$，故$$5\left( 5m-3n \right)$$是$$5$$的倍数，只有当$$m=n=-1$$，时$$5\left( 5m-3n \right)=-10$$与$$12$$的和的绝对值最小，其值为$$2$$，从而所求的最小值为$$\frac{\sqrt{34}}{85}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 2000年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$$的左、右准线$${{l}_{1}},{{l}_{2}}$$将线段$${{F}_{1}}{{F}_{2}}$$三等分（其中$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率$$e$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意得$$2c=3\times \frac{2{{a}^{2}}}{c}$$，解得$$e=\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=4{{\sin }^{3}}x-\sin x+2{{\left( \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2} \right)}^{2}}$$的最小正周期为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2\mathrm{ }\pi $$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\mathrm{ }\pi }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}\mathrm{ }\pi $$ 
aoVal: D
content: $$\mathrm{ }\pi $$ 
Answer: C
Analysis: $$f\left( x \right)=4{{\sin }^{3}}x-\sin x+2\left( 1-\sin x \right)=-\sin 3x+2$$.  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->直观想象
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的余弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
Source: 2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 已知函数$$f(x)$$满足对所有的实数$$x$$、$$y$$，都有$$f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2{{x}^{2}}+1$$，则$$f(10)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-49$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: 25 
Answer: A
Analysis: 令$$x=10$$，$$y=5$$，得$$f(10)+f(25)+250=f(25)+200+1$$，  所以$$f(10)=-49$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 设集合$$S=\left { {{A}_{0}},{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right }$$，在$$S$$上定义运算``$$\oplus $$''为：$${{A}_{i}}\oplus {{A}_{j}}={{A}_{k}}$$，其中$$k$$为$$i+j$$被$$4$$除的余数，$$i,j=0,1,2,3$$．则满足关系$$\left( x\oplus x \right)\oplus {{A}_{2}}={{A}_{0}}$$的$$x\left( x\in S \right)$$的个数为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$x={{A}_{i}}$$，由题意，$$2i+2$$被$$4$$除余$$0$$，$$i=1,3$$，有$$2$$个．  故选$$\text{B}$$． 
<p>当$$x={{A}_{0}}$$时，原式$$=\left( {{A}_{0}}\oplus {{A}_{0}} \right)\oplus {{A}_{2}}={{A}_{0}}\oplus {{A}_{2}}={{A}_{2}}$$，不符合．</p>
<p>当$$x={{A}_{1}}$$时，原式$$=\left( {{A}_{1}}\oplus {{A}_{1}} \right)\oplus {{A}_{2}}={{A}_{2}}\oplus {{A}_{2}}={{A}_{0}}$$，符合．</p>
<p>当$$x={{A}_{2}}$$时，原式$$=\left( {{A}_{2}}\oplus {{A}_{2}} \right)\oplus {{A}_{2}}={{A}_{0}}\oplus {{A}_{2}}={{A}_{2}}$$，不符合．</p>
<p>当$$x={{A}_{3}}$$时，原式$$=\left( {{A}_{3}}\oplus {{A}_{3}} \right)\oplus {{A}_{2}}={{A}_{2}}\oplus {{A}_{2}}={{A}_{6}}$$，符合．</p>
<p>综上，$$x={{A}_{1}}$$或$$x={{A}_{3}}$$成立，合计$$2$$个．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合中元素的性质
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->特色题型->新定义
Source: 2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2007年6月高考真题陕西卷理科第12题5分