math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 椭圆$${{x}^{2}}+k{{y}^{2}}=1$$与双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{5}=1$$有相同的准线，则$$k$$等于 ．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{16}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{16}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 双曲线的准线方程是  $$x=\pm \frac{4}{\sqrt{4+5}}=\pm \frac{4}{3}$$，  椭圆的准线方程是$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{k}}}$$，因此由方程$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{k}}}=\frac{4}{3}$$得$$1-\frac{1}{k}=\frac{9}{16}$$，解得$$k=\frac{16}{7}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->圆锥曲线->圆锥曲线的第二定义->椭圆的第二定义
课内体系->知识点->圆锥曲线->圆锥曲线的第二定义->双曲线的第二定义
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第7题9分
2016年高考真题天津卷
Problem: 已知$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$分别为双曲线$$C:\frac{{{x}^{2}}}{9}-\frac{{{y}^{2}}}{27}=1$$的左、右焦点，点$$A$$的坐标为$$\left( \frac{9}{2},\frac{\sqrt{135}}{2} \right)$$，则$$\angle {{F}_{1}}A{{F}_{2}}$$的平分线与$$x$$轴交点$$M$$的坐标为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 2,  0 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( -2,  0 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 4,  0 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -4,  0 \right)$$ 
Answer: A
Analysis: $${{F}_{1}}\left( -6,  0 \right),  {{F}_{2}}\left( 6,  0 \right)\Rightarrow \frac{\left\textbar{} A{{F}_{1}} \right\textbar}{\left\textbar{} A{{F}_{2}} \right\textbar}=2\Rightarrow \frac{\left\textbar{} M{{F}_{1}} \right\textbar}{\left\textbar{} M{{F}_{2}} \right\textbar}=2\Rightarrow M\left( 2,  0 \right)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 已知三棱锥$$S-ABC$$，在三棱锥内任取一点$$P$$，使得$${{V}_{p-ABC}}\textless\frac{1}{2}{{V}_{S-ABC}}$$的概率是（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$P$$在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，$$P=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与体积有关的几何概率的计算
Source: 2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知平面内三点$$A,  B,  C$$满足$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar=5$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{CA} \right\textbar=6$$，则$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-55$$ 
aoVal: B
content: $$-45$$ 
aoVal: C
content: $$-35$$ 
aoVal: D
content: $$-25$$ 
Answer: C
Analysis: 由余弦定理，知$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{BA} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  同理  $$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{CA} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{CB} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  $$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  从而得  $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$  $$=-\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}{2}=-35$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用
Source: 2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 羅拉把兩個三位正整數相加．若這兩個正整款的六個位數的數字都不相同，且羅拉計算出來之和是一個三位數$$S$$，則$$S$$的所有各位救字之和的最小可能値為何？  Laura added two three---digit positive integers. All six digits in these nunbers are different. Laura\textquotesingle s sun is a three---digit number $$S$$. What is the smallest possible value for the sun of the digits of $$S$$?
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
aoVal: E
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: Let the two three$$-$$digit numbers she added be $$a$$ and $$b$$ with $$a+b=S$$ and $$a\textless b$$. The hundreds digits of these numbers must be at least $$1$$ and $$2$$, so $$a\geqslant 100$$ and $$b\geqslant 200$$.  Say $$a=100+p$$ and $$b=200+q$$; then we just need $$p+q=100$$ with $$p$$ and $$q$$ having different digits which aren\textquotesingle t $$1$$ or $$2$$. There are many solutions,  but $$p=3$$ and $$q=97$$ give $$103+297=400$$ which proves that $$\left(\text{B}\right) 4$$ is attainable.  For this problem, to find the $$3-$$digit integer with the smallest sum of digits, one should make the units and tens digit add to $$0$$ . To do that, we need to make sure the digits are all distinct. For the units digit, we can have a variety of digits that work. $$7$$ works best for the top number which makes the bottom digit $$3$$. The tens digits need to add to $$9$$ because of the $$1$$ that needs to be carried from the addition of the units digits. We see that $$5$$ and~ $$4$$ work the best as we can\textquotesingle t use $$6$$ and $$3$$. Finally, we use $$2$$ and $$1$$ for our hundreds place digits.  Adding the numbers $$257$$ and $$143$$, we get $$400$$ which means our answer is $$\left(\text{B}\right) 4$$. 
Source: 竞赛第6题5分
Problem: 已知多项式$$f\left( x \right)={{x}^{12}}-{{x}^{6}}+1$$除以$${{x}^{2}}+1$$的商式为$$q\left( x \right)$$，余式$$r\left( x \right)=ax+b$$，其中，$$a$$，$$b$$为实数．则$$b$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: 注意到，$${{\text{i}}^{2}}+1=0$$．  令$$x=\text{i}$$，得$${{\text{i}}^{12}}-{{\text{i}}^{6}}+1=a\text{i}+b$$  $$\Rightarrow a\text{i}+b=3\Rightarrow a=0$$，$$b=3$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->多项式与复数综合
Source: 2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 羅傑每週從零用錢中支付一張電影票和一杯汽水． 上周，羅傑的零用錢是$$A$$美元． 他的電影票的價格是$$A$$和他的汽水價格差的$$20 \%$$，而他的汽水價格是$$A$$和他的電影票價格差的$$5 \%$$． 按最接近整數的百分比计算，羅傑為他的電影票和汽水支付$$A$$的百分之多少？  Every week Roger pays for a novie ticket and a soda out of his allowance. Last week, Roger\textquotesingle s allowance was $$A$$ dollars. The cost of his movie ticket was $$20$$\% of the difference between $$A$$ and the cost of his soda, while the cost of his soda was $$5$$\% of the difference betreen $$A$$ and the cost of his movie ticket. To the nearest whole percent, what fraction of $$A$$ did Roger pay for his movie ticket and soda?
Options:
aoVal: A
content: $$9$$\% 
aoVal: B
content: $$19$$\% 
aoVal: C
content: $$22$$\% 
aoVal: D
content: $$23$$\% 
aoVal: E
content: $$25$$\% 
Answer: D
Analysis: A patten starts to emerge as the function is continued. The repeating patten is $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$2$$, $$1$$ $$\ldots$$. The problem asks for the sum of eight consecutive terms in the sequence.  Because there are eight numbers in the repeating sequence, we just need to find the sum of the numbers in the sequence, which is $$(\rm D) 9$$. 
Source: 2017年AMC10竞赛第14题4分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x-\frac{ \pi }{6} \right)\left( \omega \textgreater0 \right)$$的最小正周期为$$ \pi $$，则$$\omega $$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: $$f\left( x \right)=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x-\frac{ \pi }{6} \right)$$  $$=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x+\frac{ \pi }{3}-\frac{ \pi }{2} \right)$$  $$=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)=3\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right).$$  因为$$T=\frac{2 \pi }{\omega }$$，所以$$\frac{2 \pi }{\omega }= \pi $$，即$$\omega =2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2013年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 函数$$y={{\cos }^{2}}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$$在区间$$\left[ -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4} \right]$$上的值域是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ -\frac{1}{2},1 \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 0,\frac{3}{2} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ 0,\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意得：$$y={{\cos }^{2}}x+\sqrt{3}\sin x\cdot \cos x$$  $$=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$$  $$=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)+\frac{1}{2}$$，  由$$x\in \left[ -\frac{ \pi }{6},\frac{ \pi }{4} \right]$$，  且据$$\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)+\frac{1}{2}$$的单调性可知，  当$$x=-\frac{ \pi }{6}$$时，$$y$$取最小值$$0$$，  当$$x=\frac{ \pi }{6}$$时，$$y$$取最大值$$\frac{3}{2}$$．  因此$$y\in \left[ 0,\frac{3}{2} \right]$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的余弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质
Source: 2017~2018学年广东湛江高三上学期期中文科第9题5分
2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 如果曲线$$y=2\sin \frac{x}{2}$$两条互相垂直的切线交于$$P$$点，则$$P$$点的坐标不可能是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( ~\pi , \pi ~\right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 3 \pi ,- \pi ~\right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 5 \pi ,- \pi ~\right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 7 \pi ,- \pi ~\right)$$ 
Answer: C
Analysis: 函数$$y=2\sin \frac{x}{2}$$的图象在$$x={{x}_{i}}$$处的切线斜率为$$\cos \frac{{{x}_{i}}}{2}$$，因此，若$${{x}_{1}}$$和$${{x}_{2}}$$处的切线互相垂直，则$$\cos \frac{{{x}_{1}}}{2}\cos \frac{{{x}_{2}}}{2}=-1$$不妨设$$\cos \frac{{{x}_{1}}}{2}{\leqslant }\cos \frac{{{x}_{2}}}{2}$$，则从上式可得$$\cos \frac{{{x}_{1}}}{2}=-1$$，$$\cos \frac{{{x}_{2}}}{2}=1$$，即$$\frac{{{x}_{1}}}{2}=\left( 2a+1 \right) \pi $$，$$\frac{{{x}_{2}}}{2}=2b \pi $$，$$a$$，$$b\in \mathbf{Z}$$．进一步，可求出两条切线的交点$$P$$的坐标为$$\left( {{x}_{0}}{,}{{y}_{0}} \right)=\left( \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}{2},\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{2} \right)$$．可见，$$P$$的横坐标都是$$ \pi $$的奇数倍，且两者之差是$$4 \pi $$的整数倍．四个选项中只有$$C$$．不符合这一特征． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 设$$A$$ ，$$B$$为两个互不相同的集合，命题P：$$x\in A\cap B$$， 命题q：$$x\in A$$或$$x\in B$$，则$$p$$是$$q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分且必要条件 
aoVal: B
content: 充分非必要条件 
aoVal: C
content: 必要非充分条件 
aoVal: D
content: 非充分且非必要条件 
Answer: B
Analysis: $$p$$是$$q$$的充分非必要条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 若$$0 \textless{} x \textless{} \frac{\pi }{2}$$，且$$\frac{{{\sin }^{4}}x}{9}+\frac{{{\cos }^{4}}x}{4}=\frac{1}{13}$$，则$$\tan x$$的值是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{2}$$ 
Answer: D
Analysis: 解：由柯西不等式$$\left( 9+4 \right)\left( \frac{{{\sin }^{4}}x}{9}+\frac{{{\cos }^{4}}x}{4} \right)\geqslant {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}$$，由取等条件知$$\frac{{{\sin }^{4}}x}{81}=\frac{{{\cos }^{4}}x}{16}\Rightarrow \tan x=\frac{3}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式
竞赛->知识点->三角函数
Source: 2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 下面四个图形中，哪一个面积最大？
Options:
aoVal: A
content: $$\mathsf{\triangle }ABC:\angle A=60{}^{}\circ ，\angle B=45{}^{}\circ ，AC=\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: 梯形：两对角线长度分别为$$\sqrt{2}$$和$$\sqrt{3}$$，夹角为$$75°$$ 
aoVal: C
content: 圆：半径为$$1$$ 
aoVal: D
content: 正方形：对角线的长度为$$2.5$$ 
Answer: C
Analysis: 先计算出△$$ABC$$的外接圆半径$$R$$，有  $$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin 45{}^{}\circ }=1$$  现在把$$A$$与$$C$$比较，当然$$C$$的面积大，再由凸四边形面积等于对角线乘积再乘以它们夹角的正弦的一半，可得  B的面积与$$D$$的面积相比较  $$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}\sin 75{}^{}\circ ~~\textless{} ~\frac{1}{2}\cdot 2.5\cdot 2.5\sin 90{}^{}\circ $$．  所以$$C$$大于$$B$$，再比较$$C$$与$$D$$．  C的面积为$$\pi $$．$$D$$的面积为$$\frac{6.25}{2}=3.125$$，$$C$$的面积最大． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->面积问题
Source: 1981年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 已知等比数列$$ {{{a}_{n}} }$$的公比$$q\textless{}0$$，其前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$${{a}_{9}}{{S}_{8}}$$与$${{a}_{8}}{{S}_{9}}$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}_{9}}{{S}_{8}}\textgreater{{a}_{8}}{{S}_{9}}$$ 
aoVal: B
content: $${{a}_{9}}{{S}_{8}}\textless{}{{a}_{8}}{{S}_{9}}$$ 
aoVal: C
content: $${{a}_{9}}{{S}_{8}}={{a}_{8}}{{S}_{9}}$$ 
aoVal: D
content: 与$${{a}_{1}}$$的值有关 
Answer: A
Analysis: $${{a}_{9}}{{S}_{8}}-{{a}_{8}}{{S}_{9}}=\frac{a_{1}^{2}{{q}^{7}}}{1-q}[q(1-{{q}^{8}})-(1-{{q}^{9}})]=-a_{1}^{2}{{q}^{7}}\textgreater0$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 四面体的$$6$$个二面角中钝角个数最多为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 假设四边形的四个内角都是钝角，那么这四个内角的和$$\textgreater360{}^{}\circ $$，  与四边形的内角和定理矛盾，  所以四边形的四个内角不能都是钝角，  即钝角个数最多有$$3$$个，故选$$\text{A}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->平面几何->完全四边形（二试）
Source: 2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 设$$\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{b}$$为两个相互垂直的单位向量．已知$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{OR}=r\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$$，若$$\triangle PQR$$为等边三角形，则$$k,   r$$的取值为．
Options:
aoVal: A
content: $$k=r=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$k=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2},  r=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$k=r=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$k=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2},  r=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: $$\left\textbar{} PQ \right\textbar=\left\textbar{} QR \right\textbar=\left\textbar{} PR \right\textbar$$，  即$$\sqrt{{{r}^{2}}+{{(k-1)}^{2}}}=\sqrt{{{(r-1)}^{2}}+{{k}^{2}}}=\sqrt{2}$$,  解得$$r=k=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知$$a,b,m,n,x,y$$都是正数，且$$a\textless{}b$$，又知$$a,m,b,x$$成等差数列，$$a,n,b,y$$成等比数列，则有．
Options:
aoVal: A
content: $$m\textgreater n,x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$m\textgreater n,x\textless{}y$$ 
aoVal: C
content: $$m\textless{}n,x\textgreater y$$ 
aoVal: D
content: $$m\textless{}n,x\textless{}y$$ 
Answer: B
Analysis: $$m=\frac{a+b}{2}\textgreater\sqrt{ab}=n$$，由$$b=\sqrt{ny}=\frac{m+x}{2}\textgreater\sqrt{mx}$$及$$m\textgreater n$$可知$$y\textgreater x$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第5题5分
Problem: 当$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$时,函数$f(x)=\frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos x\sin x-{{\sin }^{2}}x}$的最小值是
Options:
aoVal: A
content: $\frac{1}{4}$ 
aoVal: B
content: $\frac{1}{2}$ 
aoVal: C
content: $2$ 
aoVal: D
content: 4 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 分子与分母同除以${{\cos }^{2}}x$，得$f(x)=\frac{1}{\tan x-{{\tan }^{2}}x}$利用二次函数求最值即可解答\\ 【详解】\\ 分子与分母同除以${{\cos }^{2}}x$，得$f(x)=\frac{1}{\tan x-{{\tan }^{2}}x}$，$\begin{array}{*{35}{l}}\textless{} br/\textgreater{} \because 0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4},\therefore 0\textless{} \tan x\textless{} 1,\therefore \tan x-{{\tan }^{2}}x=-{{\left( \tan x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}   \textless{} br/\textgreater{} {}   \textless{} br/\textgreater\end{array}$\\ $\therefore \tan x=\frac{1}{2}$时，$\tan x-{{\tan }^{2}}x$的最大值为$\frac{1}{4}$\\ 综上，$f(x)=\frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos x\sin x-{{\sin }^{2}}x}$的最小值为4\\ 故选D\\ 【点睛】\\ 本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 
Source: 2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第3题
Problem: 若实数$$a,b$$满足$$\begin{cases}a+b-2\geqslant 0    b-a-1\leqslant 0    a\leqslant 1 \end{cases}$$，则$$\frac{a+2b}{2a+b}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a,b$$满足的条件知$$1\leqslant \frac{b}{a}\leqslant 3$$，所以$$\frac{a+2b}{2a+b}=2-\frac{3}{2+\frac{b}{a}}\leqslant \frac{7}{5}$$，当$$(a,b)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$$取等号． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->线性规划
Source: 2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第5题4分
2015年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 若$$0\textless{}\theta \textless{}2 \pi $$，并且$${{\sin }^{5}}\theta +3\sin \theta \textgreater{{\cos }^{5}}\theta +3\cos \theta $$，则$$\theta $$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( \frac{ \pi }{4},\frac{5}{4} \pi ~\right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( \frac{ \pi }{4},\frac{3}{4} \pi ~\right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{ \pi }{2},\frac{5}{4} \pi ~\right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi ~\right)$$ 
Answer: A
Analysis: $${{\sin }^{5}}\theta +3\sin \theta -({{\cos }^{5}}\theta +3\cos \theta )$$  $$=(\sin \theta -\cos \theta )({{\sin }^{4}}\theta +{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta +3)$$  而$${{\sin }^{4}}\theta +{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta +3$$  $$={{({{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta )}^{2}}+{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +3$$  $$={{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +4\textgreater0$$，  所以原不等式等价于$$\sin \theta -\cos \theta \textgreater0$$，因此$$\frac{ \pi }{4}\textless{}\theta \textless{}\frac{5}{4} \pi $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第9题5分
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$都是正整数，且$${{a}^{3}}={{b}^{2}}$$，$${{c}^{5}}={{d}^{4}}$$，$$c-a=77$$，求$$d-b$$．
Options:
aoVal: A
content: $231$ 
aoVal: B
content: $$240$$ 
aoVal: C
content: $233$ 
aoVal: D
content: $$235$$ 
aoVal: E
content: $$240$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意可设$$a={{x}^{2}}$$，$$b={{x}^{3}}$$，$$c={{y}^{4}}$$，$$d={{y}^{5}}$$，从而$${{y}^{4}}-{{x}^{2}}=77$$，因式分解得$$({{y}^{2}}-x)({{y}^{2}}+x)=77$$，从而$${{y}^{2}}-x=7$$，$${{y}^{2}}+x=11$$，解得$$x=2$$，$$y=3$$，因此$$d-b={{y}^{5}}-{{x}^{3}}=235$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质
竞赛->知识点->多项式与方程->因式定理
Source: 2021年北京海淀区清华大学竞赛（科学领军人才培养计划）第1题
Problem: 已知点$$P$$为正三棱柱$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$上底面$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$的中心，作平面$$BCD\bot AP$$，与棱$$A{{A}_{1}}$$交于$$D$$，若$$A{{A}_{1}}=2AB=2$$，则三棱锥$$D-ABC$$的体积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{48}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{24}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{16}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{3}}{12}$$ 
Answer: A
Analysis: 过$$A{{A}_{1}}$$和$$BC$$中点$$M$$作截面，$$AP$$在这个截面内．  由$$AP\bot MD$$，可得$$AD=\frac{1}{4}$$．  所以，$${{V}_{D-ABC}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{48}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 化简三角有理式$$\frac{{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\sin x+\cos x$$ 
aoVal: C
content: $$\sin x\cos x$$ 
aoVal: D
content: 1+$$\sin x\cos x$$ 
Answer: A
Analysis: 分母$$=({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x)+2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$$ $$={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分
2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 下列函数中，以$$\frac{\pi }{2}$$为最小正周期的偶函数是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=\sin 2x+\cos 2x$$ 
aoVal: B
content: $$y=\sin 2x\cos 2x$$ 
aoVal: C
content: $$y={{\sin }^{2}}x+\cos 2x$$ 
aoVal: D
content: $$y={{\sin }^{2}}2x-{{\cos }^{2}}2x$$ 
Answer: D
Analysis: 在$$\text{A}$$选项中，取$$x=\frac{\pi }{4}$$，则$$y=1$$；取$$x=-\frac{\pi }{4}$$，则$$y=-1$$，从而$$y$$不是偶函数；在$$\text{B}$$选项中，$$y=\frac{1}{2}\sin 4x$$，它不是偶函数；在$$\text{C}$$选项中，$$y=\frac{1+\cos 2x}{2}$$，它的最小正周期为$$\pi $$；在$$\text{D}$$选项中，$$y=-\cos 4x$$，符合条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 甲、乙、丙三人一起玩``剪刀、石头、布''的游戏．每一局甲、乙、丙同时出``剪刀、石头、布''中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为$$\xi $$，则随机变量$$\xi $$的数学期望$$E\xi $$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: $$P(\xi =0)=\frac{3\times 4}{27}=\frac{4}{9}$$,$$P(\xi =1)=\frac{3\times 4}{27}=\frac{4}{9}$$,$$P(\xi =2)=\frac{3\times 1}{27}=\frac{1}{9}$$,  于是$$E\xi =\frac{4}{9}\times 0+\frac{4}{9}\times 1+\frac{1}{9}\times 2=\frac{2}{3}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知直线$$AB$$与抛物线$${{y}^{2}}=4x$$交于$$A$$，$$B$$两点，$$M$$为$$AB$$的中点，$$C$$为抛物线上一个动点，若$${{C}_{0}}$$满足$$\overrightarrow{{{C}_{0}}A}\cdot \overrightarrow{{{C}_{0}}B}=\min \left { \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} \right }$$，则下列一定成立的是．
Options:
aoVal: A
content: $${{C}_{0}}M\bot AB$$ 
aoVal: B
content: $${{C}_{0}}M\bot l$$，其中$$l$$是抛物线过$${{C}_{0}}$$的切线 
aoVal: C
content: $${{C}_{0}}A\bot {{C}_{0}}B$$ 
aoVal: D
content: $${{C}_{0}}M=\frac{1}{2}AB$$ 
Answer: B
Analysis: $$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AM})\cdot (\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{BM})$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}-\overrightarrow{CM}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AM} \right\textbar}^{2}}$$  $$\Rightarrow \min \left { \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} \right }$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}_{\min }$$  $$\Leftrightarrow CM\text{//}l$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）
课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->直线与圆锥曲线的位置关系判断
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系
课内体系->素养->直观想象
Source: 2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 空间四点$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$满足$$\textbar\overrightarrow{AB}\textbar=3$$，$$\textbar\overrightarrow{BC}\textbar=7$$，$$\textbar\overrghtarrow{CD}\textbar=11$$，$$\textbar\overrightarrow{DA}\textbar=9$$，则$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$=~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: 只有一个 
aoVal: B
content: 有二个 
aoVal: C
content: 有四个 
aoVal: D
content: 有无穷多个 
Answer: A
Analysis: 注意到$${{3}^{2}}+{{11}^{2}}=1130={{7}^{2}}+{{9}^{2}}$$，由于$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$$，  则$$D{{A}^{2}}={{\overrightarrow{DA}}^{2}}={{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2({{\overline{BC}}^{2}}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$$，  即$$2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}-C{{D}^{2}}=0$$，∴$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$只有一个值得$$0$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分