math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 代数式$$\frac{\textbar\pi-3 \cdot 1416\textbar}{3 \cdot 1415-\pi}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 是零 
aoVal: B
content: 在$$0$$与$$1$$之间 
aoVal: C
content: 在$$-1$$与$$0$$之间 
aoVal: D
content: 等于$$1$$或$$-1$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$\pi=3.141592 \cdots\textless3.1416$$，  所以$$\frac{\textbar\pi-3.1416\textbar}{3.1415-\pi}$$  $$=\frac{3.1416-\pi}{3.1415-\pi}$$  $$=1+\frac{0.0001}{3.1415-\pi}$$  $$=1-\frac{0.0001}{0.00009 \cdots}$$  $$\approx-\frac{1}{9}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 若关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+a=0 \end{cases}$$无实数解，则．
Options:
aoVal: A
content: $$ab=-2$$ 
aoVal: B
content: $$ab=-2$$且$$a\ne 1$$ 
aoVal: C
content: $$ab\ne -2$$ 
aoVal: D
content: $$ab=-2$$且$$a\ne 2$$ 
Answer: A
Analysis: 题设方程组没有实数解得条件是$$\frac{1}{b}=\frac{a}{-2}\ne \frac{1}{a}$$，  即$$\begin{cases}ab=-2    {{a}^{2}}\ne-2    a\ne b \end{cases}$$．  当$$ab=-2$$时，$$ab\ne 0$$，$$a$$，$$b$$异号，则$$a\ne b$$，  又$${{a}^{2}}\ne -2$$在实数范围内成立，  所以$$ab=-2$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组
知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->题型：二元一次方程组解的情况
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分
Problem: 已知直线$$y=kx+b$$（$$k\ne 0$$）与$$x$$轴的交点在$$x$$轴的正半轴上，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$k\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$k\textless{}0$$，$$b\textless{}0$$ 
aoVal: C
content: $$kb\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$kb\textless{}0$$ 
Answer: D
Analysis: 令$$y=0$$，$$x=-\frac{b}{k}\textgreater0$$，  所以$$\frac{b}{k}\textless{}0$$，即$$kb\textless{}0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分
Problem: 设$$a=\sqrt{7}-1$$，则代数式$$3{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-6a-12$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$4\sqrt{7}+10$$ 
aoVal: D
content: $$4\sqrt{7}+12$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意得$$a+1=\sqrt{7}$$，即$${{a}^{2}}=6-2a$$，  所以$$3{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-6a-12=3a\left( 6-2a \right)+12\left( 6-2a \right)-6a-12$$  $$=-6{{a}^{2}}-12a+60$$  $$=-6\left( 6-2a \right)-12a+60$$  $$=24$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值
课内体系->方法->代入法
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年竞赛第1题3分
Problem: 计算：$$1+{{(-2)}^{2}}-\frac{-4\times {{(-1)}^{2}}}{4}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 解：原式=$$1+4-\frac{-4\times {1}}{4}$$  $$=1+4+1$$  $$=6$$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->数->有理数->有理数的运算->有理数的混合运算
知识标签->题型->数->有理数->有理数基础运算->题型：有理数四则综合运算
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 已知二次函数$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$（$$a\ne 0$$）的图象的顶点在第二象限，且过点$$(1,0)$$．当$$a-b$$为整数时，$$ab=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: B
Analysis: 依题意知$$a\textless{}0$$，$$-\frac{b}{2a}\textless{}0$$，$$a+b+1=0$$，  故$$b\textless{}0$$且$$b=-a-1$$，  ∴$$a-b=a-(-a-1)=2a+1$$，  于是$$-1\textless{}a\textless{}0$$，  ∴$$-1\textless{}2a+1\textless{}1$$，  又$$a-b$$为整数，  ∴$$2a+1=0$$，  故$$a=-\frac{1}{2}=b$$，  ∴$$ab=\frac{1}{4}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->函数->二次函数->二次函数的图象及性质->二次函数的图象和系数的关系
知识标签->题型->函数->二次函数->二次函数图象与性质->图象与系数的关系
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第3题7分
Problem: 一个三角形的三边长分别是$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数），且$$a+b+c=16$$，则这个三角形是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 直角三角形 
aoVal: B
content: 等腰三角形 
aoVal: C
content: 等边三角形 
aoVal: D
content: 直角三角形或等腰三角形 
Answer: B
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$c$$均为质数且$$a+b+c=16$$，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有一数为$$2$$，设$$a=2$$，则$$b+c=14$$，  所以$$\textbar b-c\textbar\textless{}2$$．从而有$$\textbar b-c\textbar=0$$或$$\textbar b-c\textbar=1$$．当$$\textbar b-c\textbar=1$$时，$$b$$，$$c$$均不是整数，不合题意．因  此，只有$$\textbar b-c\textbar=0$$，即$$a=2$$，$$b=c=7$$，所以三角形是等腰三角形． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第2题
Problem: 已知非零实数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} 2a-4 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}+4=2a$$，则$$a+b$$等于（~ ） ．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: 由条件得$$a\geqslant 3$$，原等式为$$\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}=0$$，$$a+b=1$$． 
<p>由题意$$(a-3){{b}^{2}}\geqslant 0$$，∵$${{b}^{2}}\geqslant 0$$，&there4;$$a-3\geqslant 0$$，&there4;$$2a-4&gt;0$$，</p>
<p>&there4;原式可化简为$$2a-4+|b+2|+\sqrt{(a-3){{b}^{2}}}+4=2a$$，$$|b+2|+\sqrt{(a-3){{b}^{2}}}=0$$，</p>
<p>&there4;$$b+2=(a-3){{b}^{2}}=0$$，&there4;$$a=3$$，$$b=-2$$，选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质
Source: 2014~2015学年北京海淀区科迪实验中学初一下学期期中第10题
2020~2021学年四川内江市中区内江市第六初级中学校初二上学期期中第12题3分
2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期期中第16题2分
2009年竞赛第1题7分
Problem: 已知$$abc\ne 0$$，且$$a+b+c=0$$，则代数式$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: 方法一：$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{bc}+\frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{ac}+\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}$$  $$=\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6$$  $$=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-1-1-1+6$$  $$=3$$．  方法二：把$$a=-\left( b+c \right)$$，$$b=-\left( a+c \right)$$，$$c=-\left( a+b \right)$$代入，  原式$$=\frac{-\left( b+c \right)\cdot a}{ab}+\frac{-\left( a+c \right)\cdot b}{ac}+\frac{-\left( a+b \right)\cdot c}{ab}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=-\left( \frac{ba+ca}{bc} \right)-\left( \frac{ab+cb}{ac} \right)-\left( \frac{ac+bc}{ab} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=-\left( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right)-\left( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right)-\left( \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\frac{-\left( b+c \right)}{a}+\frac{-\left( a+c \right)}{b}+\frac{-\left( a+b \right)}{c}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=3$$，  方法三：$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc+3abc}{abc}$$  $$=\frac{\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)+3abc}{abc}$$  $$=\frac{3abc}{abc}$$  $$=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第3题5分
2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题
初一下学期其它
2018~2019学年湖北襄阳市樊城区襄阳市第五中学初三上学期期末（培优班）第7题
Problem: 已知正整数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{10}}$$满足$${{a}_{1}}\leqslant {{a}_{2}}\leqslant \cdots \leqslant {{a}_{10}}$$，且其中任意三个都不能成为三角形的三边长，则$$\frac{{{a}_{10}}}{{{a}_{1}}}$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$34$$ 
aoVal: B
content: $$55$$ 
aoVal: C
content: $$89$$ 
aoVal: D
content: $$144$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}$$，$${{a}_{2}}+{{a}_{3}}\leqslant {{a}_{4}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{8}}+{{a}_{9}}\leqslant {{a}_{10}}$$，  所以$${{a}_{1}}+2{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{4}}$$，$$2{{a}_{1}}+3{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{5}}$$，$$3{{a}_{1}}+5{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{6}}$$，  $$5{{a}_{1}}+8{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{7}}$$，$$8{{a}_{1}}+13{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{8}}$$，$$13{{a}_{1}}+21{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{9}}$$，$$21{{a}_{1}}+34{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{10}}$$．  所以$$55{{a}_{1}}\leqslant {{a}_{10}}$$，即 $$\frac{{{a}_{10}}}{{{a}_{1}}}\geqslant 55$$．  另一方面，当$${{a}_{1}}={{a}_{2}}=1$$，$${{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$$，$$n=1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$8$$时， $$\frac{{{a}_{10}}}{{{a}_{1}}}=55$$．  所以，$$\frac{{{a}_{10}}}{{{a}_{1}}}$$的最小值是$$55$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2011年竞赛第4题4分
Problem: 有理数$$a$$，$$b$$满足$$20a+11\left\textbar{} b \right\textbar=0$$（$$b\textgreater0$$），则$$\frac{a}{{{b}^{2}}}$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 负数 
aoVal: C
content: 非正数 
aoVal: D
content: 非负数 
Answer: B
Analysis: 由$$20a+11\left\textbar{} b \right\textbar=0$$（$$b\textgreater0$$），  得$$a=-\frac{11}{20}\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}0$$，  所以$$\frac{a}{{{b}^{2}}}\textless{}0$$，为负数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为``和谐数''．如：$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，$$2$$和$$26$$均为``和谐数''．那么，不超过$$2020$$的正整数中，所有的``和谐数''之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$6858$$ 
aoVal: B
content: $$6860$$ 
aoVal: C
content: $$9260$$ 
aoVal: D
content: $$9262$$ 
Answer: B
Analysis: $${{(2k+1)}^{3}}-{{(2k-1)}^{3}}$$  $$=\left[ (2k+1)-(2k-1) \right]\left[ {{(2k+1)}^{2}}+(2k+1)(2k-1)+{{(2k-1)}^{2}} \right]$$  $$=2(12{{k}^{2}}+1)$$（其中$$k$$为非负整数），  由$$2(12{{k}^{2}}+1)\leqslant 2020$$得，$$k\leqslant 9$$，  ∴$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$9$$，  即得所有不超过$$2020$$的``和谐数''，它们的和为  $$\left[ {{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}} \right]+({{3}^{3}}-{{1}^{3}})+({{5}^{3}}-{{3}^{3}})+\cdots +({{17}^{3}}-{{15}^{3}})+({{19}^{3}}-{{17}^{3}})={{19}^{3}}+1=6860$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分
2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分
Problem: $$A$$，$$B$$两地相距$$60$$千米，甲、乙两人驾车（匀速）从$$A$$驶向$$B$$，甲的时速为$$120$$千米，乙的时速为$$90$$千米，如果乙比甲早出发$$6$$分钟，则当甲追上乙以后，乙再经过（~ ）分钟可以到达$$B$$．
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可知，甲每分钟行驶$$2$$千米，乙每分钟行驶$$1.5$$千米．  设甲$$t$$分钟追上乙，则$$2t=1.5(6+t)$$，  解得$$t=18$$．  这时乙离$$B$$地还有$$60-1.5\times \left( 18+6 \right)=24$$（千米），  所以，乙还要走$$24\div 1.5=16$$（分钟）．  答：当甲追上乙以后，乙再经过$$16$$分钟可以到达$$B$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-追及问题
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分
初一单元测试《列方程解应用题-有趣的行程问题》第21题
Problem: 若$$n$$是正整数，并且有理数$$a$$，$$b$$满足$$a+\frac{1}{b}=0$$，则必有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{a}^{n}}+{(\frac{1}{b})^{2n}}=0$$ 
aoVal: B
content: $${{a}^{2n}}+{(\frac{1}{b})^{2n+1}}=0$$ 
aoVal: C
content: $${{a}^{2n}}+{(\frac{1}{b})^{3n}}=0$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2n+1}}+{(\frac{1}{b})^{2n+1}}=0$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$b\ne 0$$，$$a+\frac{1}{b}=0$$，所以$$a=-\frac{1}{b}$$，$$a\ne 0$$．  易知，当$$n$$为自然数时，$${{a}^{2n+1}}={(-\frac{1}{b})^{2n+1}}=-{(\frac{1}{b})^{2n+1}}$$，  所以$${{a}^{2n+1}}+{(\frac{1}{b})^{2n+1}}=0$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第4题
Problem: 瓶子里有$$10$$个标号为$$1$$到$$10$$的小球． Jack 把手伸进去，然后随机拿走了一个小球．然后 Jill 也把手伸进去随机拿走了一个不同的小球．那有多大概率小球上两个数字的和为偶数？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{9}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{9}{19}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{10}{9}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{5}{9}$$ 
Answer: A
Analysis: 瓶子里有$$10$$个标号为$$1$$到$$10$$的小球． Jack 把手伸进去，然后随机拿走了一个小球．然后 Jill 也把手伸进去随机拿走了一个不同的小球．那有多大概率小球上两个数字的和为偶数？  为了使两个数的和为偶数，它们必须具有相同的奇偶性．有五个偶数和五个奇数．  不管杰克选择什么，具有相同奇偶性的数字的数目是$$4$$．一共有九个数字，所以吉尔选择一个与杰克的相同的奇偶性的数字的概率是$$\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{A}$$．  我们发现，只有当所加的数都是偶数或奇数时，和才可能是偶数．当我们加一个偶数和一个奇数时，我们会得到一个奇数．我们可以使用互补计数来帮助解决这个问题．因为杰克可以选择$$10$$个数字，吉尔可以选择$$9$$个，所以总共有$$90$$种可能性．  两个数字不同的情况有$$50$$种，因为杰克可以选择$$10$$个数字中的任何一个，吉尔必须从集合中的$$5$$个数字中选择与杰克选择的具有不同奇偶性的数字．所以和为奇数的概率是$$\frac{5}{9}$$，$$1$$减去这个数，得到答案$$\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{A}$$．  For the sum of the two numbers removed to be even, they must be of the same \uline{parity}. There are five even values and five \uline{odd} values.  No matter what Jack chooses, the number of numbers with the same parity is four. There are nine numbers total, so the probability Jill chooses a number with the same parity as Jack\textquotesingle s is $$\frac{4}{9}$$.  We find that it is only possible for the sum to be even if the numbers added are both even or odd. We will get an odd number when we add an even and an odd. We can use \uline{complementary counting} to help solve the problem. There are a total of $$90$$ possibilities since Jack can chose $$10$$ numbers and Jill can pick $$9$$. There are $$50$$ possibilities for the two numbers to be different since Jack can pick any of the $$10$$ numbers and Jill has to pick from $$5$$ numbers in the set with a different \uline{parity} than the one that Jack picks. So the probability that the sum will be odd is $$\frac{50}{90}=\frac{5}{9}$$. Subtracting this by one gets the answer $$\frac{4}{9}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability
课内体系->知识点->统计与概率
Source: 1987年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{9}{16}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{12}{25}$$ 
Answer: A
Analysis: $$t=2xy+yz+2zx$$  $$=2x(y+z)+yz$$  $$\leqslant 2x(y+z)+\frac{1}{4}{{(y+z)}^{2}}$$  $$=2x(1-x)+\frac{1}{4}{{(1-x)}^{2}}$$  $$=-\frac{7}{4}{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$  $$=-\frac{7}{4}{{\left( x-\frac{3}{7} \right)}^{2}}+\frac{4}{7}$$，  易知：当$$x=\frac{3}{7}$$，$$y=z=\frac{2}{7}$$时，  $$t=2xy+yz+2zx$$取得最大值$$\frac{4}{7}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 如果$$a\textgreater b$$，且$$c\textless{}0$$，那么在下面不等式中：  ①$$a+c\textgreater b+c$$；②$$ac\textgreater bc$$；③$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$．成立的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 已知$$a\textgreater b$$，$$c\textless{}0$$，由不等式的基本性质，得  $$a+c\textgreater b+c$$，成立，$$ac\textgreater bc$$不成立，$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$成立，$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$不成立．  所以只有①③成立，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->判断不等式的变形是否正确
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第9题
Problem: 若三角形的三边长$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a\textless{}b\textless{}c$$，且$${{a}^{2}}+bc=t_{1}^{2}$$，$${{b}^{2}}+ca=t_{2}^{2}$$，$${{c}^{2}}+ab=t_{3}^{2}$$，则$$t_{1}^{2}$$、$$t_{2}^{2}$$、$$t_{3}^{2}$$中．
Options:
aoVal: A
content: $$t_{1}^{2}$$最大 
aoVal: B
content: $$t_{2}^{2}$$最大 
aoVal: C
content: $$t_{3}^{2}$$最大 
aoVal: D
content: $$t_{3}^{2}$$最小 
Answer: C
Analysis: 由$$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=({{a}^{2}}+bc)-({{b}^{2}}+ca)=(a-b)(a+b-c)\textless{}0$$，得$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}$$，  由$$t_{2}^{2}-t_{3}^{2}=({{b}^{2}}+ca)-({{c}^{2}}+ab)=(b-c)(b+c-a)\textless{}0$$，  得$$t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$，所以$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式
知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算
知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法
知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明
知识标签->方法->作差法
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分
Problem: 在黑板上按下面的方案写数：在第一行写数$$1$$；在第二行写两个数$$2$$和$$3$$；在第三行写三个数$$3$$，$$4$$和$$5$$；以此类推（在第$$n$$行写由$$n$$开始的$$n$$个连续的自然数），一直写完$$2000$$行，这时在黑板上共出现$$2018$$次．
Options:
aoVal: A
content: $$991$$ 
aoVal: B
content: $$993$$ 
aoVal: C
content: $$995$$ 
aoVal: D
content: $$997$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意，第$$n$$行从$$n$$开始，写到$$n+n-1$$，  令$$n+n-1=2018$$，解得$$n=1009.5$$，  所以从第$$1010$$行，$$2018$$开始出现，  所以$$2018$$一共出现$$2000-1010+1=991$$（次）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-其他数列规律
Source: 2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第9题4分
Problem: 上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$时$$30$$分 
aoVal: B
content: $$10$$时$$5$$分 
aoVal: C
content: $$10$$时$$5\frac{5}{11}$$分 
aoVal: D
content: $$9$$时$$32\frac{8}{11}$$分 
Answer: D
Analysis: 设再次转成直角的时间间隔为$$x$$，则  $$(6-\frac{1}{2})x=180$$，  ∴$$x=32\frac{8}{11}$$．  所以下一次时针与分针成直角的时间为$$9$$时$$32\frac{8}{11}$$分． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的钟表问题
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第3题
初一上学期单元测试《几何图形初步》角第16题
Problem: 如果正比例函数$$y=ax\left( a\ne 0 \right)$$与反比例函数$$y=\frac{b}{x}(b\ne 0)$$的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为$$(-3,-2)$$，那么另一个交点的坐标为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 2,3 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 3,-2 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -2,3 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 3,2 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设知，$$-2=a\cdot (-3)$$，$$(-3)\cdot (-2)=b$$，  所以$$a=\frac{2}{3}$$，$$b=6$$，  解方程组$$\begin{cases}y=\dfrac{2}{3}x    y=\dfrac{6}{x}   \end{cases}$$， 得$$\begin{cases}x=-3    y=-2   \end{cases}$$， 或$$\begin{cases}x=3    y=2   \end{cases}$$，  所以另一个交点的坐标为$$(3,2)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->反比例函数->反比例函数与一次函数综合
Source: 2013年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生
2012年竞赛第2题4分
Problem: 已知$$x=\sqrt{5}$$，$$y$$是不大于$$x$$的最大整数，则$$\frac{1}{x-y}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{5}-2$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{5}+2$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{5}-1$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{5}+1$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$2\textless{}x\textless{}3$$，  所以$$y=2$$，  则$$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分
Problem: 不等式$$(x-7)(x+2)\textless{}0$$的整数解的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 原不等式可化为$$\left { \begin{matrix}x-7\textgreater0    x+2\textless{}0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x-7\textless{}0    x+2\textgreater0   \end{matrix} \right.$$，  解$$\left { \begin{matrix}x-7\textgreater0    x+2\textless{}0   \end{matrix} \right.$$得$$x\textgreater7$$或$$x\textless{}-2$$，不成立，舍去；  解$$\left { \begin{matrix}x-7\textless{}0    x+2\textgreater0   \end{matrix} \right.$$得$$-2\textless{}x\textless{}7$$，  ∴$$x$$的整数值有$$-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，共$$8$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->高次不等式
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 若一次函数$$y=x+5$$的图象经过点$$P(a,b)$$和点$$Q(c,d)$$，则$$ad+bc-ac-bd$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$-25$$ 
Answer: D
Analysis: ∵一次函数$$y=x+5$$的图象经过点$$P(a,b)$$和点$$Q(c,d)$$，  ∴$$b=a+5$$，$$d=c+5$$．  ∴$$b-a=5$$，$$d-c=5$$．  ∴$$ad+bc-ac-bd$$  $$=a(d-c)-b(d-c)$$  $$=(a-b)(d-c)$$  $$=-25$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛初赛第2题
Problem: 若$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$且$$a\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则下列关系式中正确的是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-b\textgreater a\textgreater-a\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$b\textgreater a\textgreater-b\textgreater-a$$ 
aoVal: C
content: $$-b\textgreater a\textgreater b\textgreater-a$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater b\textgreater-a\textgreater-b$$ 
Answer: A
Analysis: 已知$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$且$$a\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$．  在数轴上直观表示出来，$$b$$到原点的距离大于$$a$$到原点的距离，  所以$$-b\textgreater a\textgreater-a\textgreater b$$，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数轴
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第3题
Problem: 已知$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$$，则$${{a}^{2005}}+{{b}^{2005}}+{{c}^{2005}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{2005}}$$ 
aoVal: D
content: $$3\times {{2}^{2005}}$$ 
Answer: B
Analysis: 解法一：  由$$a+b+c=3$$可知$$c=3-a-b$$，将其代入$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$$并化简得  $${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}-3a-3b+3=0$$．以下同例$$14$$第（$$2$$）问．  解得$$a=1$$，$$b=1$$，此时$$c=3-a-b=1$$，故$${{a}^{2005}}+{{b}^{2005}}+{{c}^{2005}}=3$$．  解法二：  由$$a+b+c=3$$可得$${{(a+b+c)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2(ab+bc+ac)=9$$，  又因$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$$，解得$$ab+bc+ca=3={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$，可知$$a=b=c$$，  代入$$a+b+c=3$$中得$$a=b=c=1$$，故$${{a}^{2005}}+{{b}^{2005}}+{{c}^{2005}}=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 初三上学期其它
2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第2题7分
Problem: 如果方程$$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=0$$的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$0\leqslant m\leqslant 1$$ 
aoVal: B
content: $$m\geqslant \frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{4}\leqslant m\leqslant 1$$ 
Answer: C
Analysis: 显然，方程的一个根为$$1$$，另两根之和为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\textgreater1$$，三根能作为一个三角形的三边，须且只须$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar\textless{}1$$，  又$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left\textbar{} a \right\textbar}=\sqrt{4-4m}\textless{}1$$，  有$$0\leqslant 4-4m\textless{}1$$，  解得$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$，  但作为选择题，只须取$$m=\frac{3}{4}$$代入，得方程的根为$$1$$、$$\frac{3}{2}$$、$$\frac{1}{2}$$，不能组成三角形，故包括$$\frac{3}{4}$$的$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均可否定，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第3题
Problem: $$a$$和$$b$$是满足$$ab\ne 0$$的有理数，现有四个命题：  ①$$\frac{a-2}{{{b}^{2}}+4}$$的相反数是$$\frac{2-a}{{{b}^{2}}+4}$$；  ②$$a-b$$的相反数是$$a$$的相反数与$$b$$的相反数的差；  ③$$ab$$的相反数是$$a$$的相反数和$$b$$的相反数的乘积；  ④$$ab$$的倒数是$$a$$的倒数和$$b$$的倒数的乘积．  其中真命题有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: 因为$$-\frac{a-2}{{{b}^{2}}+4}=\frac{2-a}{{{b}^{2}}+4}$$，  所以命题①是真命题；  因为$$a-b$$的相反数为$$-(a-b)=-a-(-b)$$，  所以命题②是真命题；  因为$$ab$$的相反数为$$-ab$$，$$(-a)(-b)=ab$$，又$$ab\ne 0$$，  所以$$-ab\ne ab$$，因此，③不是真命题；  因为$$ab\ne 0$$，  所以$$ab$$的倒数为$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}$$，因此，④是真命题．  故选($$\text{C}$$)． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->相反数
课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: 小张上周工作$$a$$小时，每小时的工资为$$b$$元，本周他的工作时间比上周减少$$10 \%$$，而每小时的工资数额增加$$10 \%$$，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比．
Options:
aoVal: A
content: 增加$$1 \%$$ 
aoVal: B
content: 减少$$1 \%$$ 
aoVal: C
content: 增加$$1.5 \%$$ 
aoVal: D
content: 减少$$1.5 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 小张上周的工资总额为$$ab$$元，他本周的工作时间为$$a(1-10 \%)$$小时，每小时工资金额为$$b(1+10 \%)$$．  所以$$a(1-10 \%)\cdot b(1+10 \%)=0.99ab$$．  所以本周与上周工资相比，减少$$1 \%$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除与实际问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第10题
Problem: 如果$$\frac{a}{b}=0$$，那么有理数$$a$$，$$b$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 都是零 
aoVal: B
content: 互为相反数 
aoVal: C
content: 互为倒数 
aoVal: D
content: 不都是零 
Answer: D
Analysis: 当$$b=0$$时，$$\frac{a}{b}$$无意义，故排除$$\text{A}$$；  当$$a=0$$且$$b=1$$时，$$\frac{a}{b}=0$$，易知$$1$$与$$0$$不互为相反数，也不互为倒数，排除$$\text{B}$$、$$\text{C}$$．  因此选$$\text{D}$$．  事实上，$$\frac{a}{b}=0$$，只能$$a=0$$，$$b\ne 0$$，此时$$a$$，$$b$$不都是零． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第2题
Problem: 三角形的三边长分别为$$2{{n}^{2}}+2n$$，$$2n+1$$，$$2{{n}^{2}}+2n+1$$ （$$n$$是自然数），这样的三角形是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 锐角三角形或直角三角形 
Answer: B
Analysis: 因为$$n$$是自然数，  所以  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde{{(2{{n}^{2}}+2n+1)}^{2}}-{{(2{{n}^{2}}+2n)}^{2}}$$  $$=\left[ (2{{n}^{2}}+2n+1)+(2{{n}^{2}}+2n) \right]\left[ (2{{n}^{2}}+2n+1)-(2{{n}^{2}}+2n) \right]$$  $$=4{{n}^{2}}+4n+1$$  $$={{(2n+1)}^{2}}$$，  所以三角形的三边长满足勾股定理，  所以，该三角形是直角三角形．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->直角三角形
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第6题4分
Problem: 若$$a\ne b$$，$$a$$，$$b$$，$$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$都是有理数，那么$$\sqrt{a}$$和$$\sqrt{b}$$（~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 都是有理数 
aoVal: B
content: 一个是有理数，另一个是无理数 
aoVal: C
content: 都是无理数 
aoVal: D
content: 是有理数还是无理数不能确定 
Answer: A
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$都是有理数，  所以$$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$是有理数．  所以$$\sqrt{a}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$是有理数，$$\sqrt{b}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$也是有理数．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->两个数运算后判断是否为无理数
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第1题