math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 若$$\textbar x+y\textbar=y-x$$，则有．
Options:
aoVal: A
content: $$y\textgreater0$$，$$x\textless{}0$$ 
aoVal: B
content: $$y\textless{}0$$，$$x\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$y\textless{}0$$，$$x\textless{}0$$ 
aoVal: D
content: $$x=0$$，$$y\geqslant 0$$或$$y=0$$，$$x\leqslant 0$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$\textbar x+y\textbar=y-x$$，  ∴①当$$x+y\geqslant 0$$时，  $$x+y=y-x$$，即$$x=0$$；  ②当$$x+y\leqslant 0$$时，  $$-x-y=y-x$$，即$$y=0$$，  综上所述，$$x=0$$，$$y\geqslant 0$$或$$y=0$$，$$x\geqslant 0$$．  故$$\text{D}$$选项正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第4题
2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学初一上学期单元测试《有理数》第20题
Problem: 已知甲瓶盐水浓度为$$8 \%$$，乙瓶盐水浓度为$$5 \%$$，混合后浓度为$$6.2 \%$$．那么四分之一的甲瓶盐水与六分之一的乙瓶盐水混合后的浓度为．
Options:
aoVal: A
content: $$5.5 \%$$ 
aoVal: B
content: $$6 \%$$ 
aoVal: C
content: $$6.5 \%$$ 
aoVal: D
content: $$7.5 \%$$ 
Answer: C
Analysis: 设甲瓶盐水重$$x$$，乙瓶盐水重$$y$$，所以$$8 \%x+5 \%y=6.2 \%\times \left( x+y \right)$$，  解之得$$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$$，若从甲瓶取$$\frac{1}{4}$$盐水，从乙瓶取$$\frac{1}{6}$$盐水，则混合后的浓度为$$6.5 \%$$，运算如下：$$\frac{8 \%\times \dfrac{1}{4}x+5 \%\times \dfrac{1}{6}y}{\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}y}=\frac{2x+\dfrac{5}{6}y}{\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}y} \%=\frac{2\times \dfrac{x}{y}+\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{6}} \%=\frac{2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}} \%=\frac{13}{2} \%=6.5 \%$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程与实际问题->分式方程的其他实际问题
Source: 2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第5题
Problem: 若实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$$，代数式$${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}$$的最大值是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$27$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: A
Analysis: $${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{(a+b+c)}^{2}}\leqslant 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=27$$．  当且仅当$$a+b+c=0$$时成立． 
<p>$${{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}=2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})-2(ab+bc+ca)$$，</p>
<p>考虑到等式$${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)$$，</p>
<p>将两个等式相加得到$${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{(a+b+c)}^{2}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=27$$，</p>
<p>当$$a+b+c=0$$时，$${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}$$有最大值$$27$$．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>

<p>原式$$=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2ab-2bc-2ca=18-2ab-2bc-2ca=18-\left[ {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right]=27-{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\leqslant 27$$，</p>
<p>&there4;原式的最大值为$$27$$，当$$a+b+c=0$$时取到．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>

Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->均值不等式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017~2018学年4月安徽滁州明光市鲁山中学初一下学期月考第2题4分
2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第3题4分
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$都是正整数，并且$$abc=2008$$，则$$a+b+c$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$257$$ 
aoVal: B
content: $$506$$ 
aoVal: C
content: $$1007$$ 
aoVal: D
content: $$2010$$ 
Answer: A
Analysis: $$2008$$分解成$$2\times 4\times 251$$时，  $$a+b+c=2+4+251=257$$．  这时$$a+b+c$$的值最小． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->分解素因数
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第11题
Problem: 满足$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+ab=1$$的非负整数（$$a$$，$$b$$）的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 由条件得$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-b \right\textbar=1    ab=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-b \right\textbar=0    ab=1   \end{matrix} \right.$$，则满足条件的数对有$$(0  ,  1)$$，$$(1  ,  0)$$，$$(1  ,  1)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《有理数》绝对值的应用第24题
2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第4题
1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 直角三角形$$ABC$$的面积为$$240$$，且$$\angle BAC=90{}^{}\circ $$，$$AD$$是斜边上的中线，过$$D$$作$$DE\bot AB$$于$$E$$，连$$CE$$交$$AD$$于$$F$$，则$$\triangle AFE$$的面积为．
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$44$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: C
Analysis: $$C$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与中线或等分线有关的等积变换
课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的性质->直角三角形斜边中线性质以及应用
Source: 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 如果$$a\textgreater b$$，且$$c\textless{}0$$，那么在下面不等式中：  ①$$a+c\textgreater b+c$$；②$$ac\textgreater bc$$；③$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$；④$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$．成立的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 已知$$a\textgreater b$$，$$c\textless{}0$$，由不等式的基本性质，得  $$a+c\textgreater b+c$$，成立，$$ac\textgreater bc$$不成立，$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$成立，$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$不成立．  所以只有①③成立，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->判断不等式的变形是否正确
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第9题
Problem: 方程$$1995x+6y=420000$$的一组整数解$$\left( x,y \right)$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 61,48723 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 62,48725 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 63,48726 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 64,48720 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$x$$，$$y$$均为整数，且满足$$1995x+6y=420000$$．  则$$5\textbar1995x$$，$$5\textbar420000$$，所以$$5\textbar6y$$．  但$$\left( 5,6 \right)=1$$，因此$$5\textbar y$$．所以排除$$\text{A}$$，$$\text{C}$$．  对$$\text{B}$$，$$\left( 62,48725 \right)$$不满足方程．  事实上，$$1995\times 64+6\times 48720=420000$$成立．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第6题
Problem: 已知$$4{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+4=0$$，则$$x+\frac{1}{x}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$或$$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$4{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+4={{(1+x)}^{2}}(4{{x}^{2}}-5x+4)=0$$，  ∴$$1+x=0$$或$$4{{x}^{2}}-5x+4=0$$，  当$$1+x=0$$，则$$x=-1$$，∴$$x+\frac{1}{x}=-2$$．  当$$4{{x}^{2}}-5x+4=0$$，两边同时除以$$x$$，得$$4x-5+\frac {4}{x}=0$$，  ∴$$4\left (x+\frac {1}{x}\right )=5$$，  ∴$$x+\frac {1}{x}=\frac {5}{4}$$. 
<p>原方程化为$$4\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+3\left( x+\frac{1}{x} \right)-2=0$$．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
课内体系->能力->运算能力
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第6题
Problem: 整数$$x$$、$$y$$满足不等式$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1\leqslant 2x+2y$$，则$$x+y$$的值有．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: C
Analysis: 由题意，有$${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-2y+1\leqslant 1$$，即$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 1$$.  $$\because {{\left( x-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{\left( y-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$$x$$、$$y$$为整数，  $$\therefore \begin{cases}x-1=0    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=\pm 1    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=0    y-1=\pm 1 \end{cases}$$，  解得$$\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)\left( 2,1 \right)\left( 0,1 \right)\left( 1,2 \right)\left( 1,0 \right)$$，故$$x+y$$的不同值是$$1$$、$$2$$、$$3$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第3题
2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 关于多项式$$\frac{1}{2}{{x}^{3}}y+5{{y}^{4}}{{x}^{2}}-2{{y}^{7}}+4$$，有以下叙述：  ①该多项式是六次三项式；  ②该多项式是七次四项式；  ③该多项式是七次三项式；  ④该多项式最高次项的系数是$$-2$$；  ⑤该多项式常数项是$$-4$$．  其中，正确的是．
Options:
aoVal: A
content: ①④ 
aoVal: B
content: ③⑤ 
aoVal: C
content: ②④ 
aoVal: D
content: ②⑤ 
Answer: C
Analysis: 该多项式为七次四项式，最高次项的系数为$$-2$$，常数项为$$4$$．故正确的是②④． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->整式加减->整式有关的概念->求多项式的项和次数
知识标签->知识点->式->整式的加减->多项式->多项式的项和次数
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分
Problem: 一支队伍在前$50$场比赛中赢了$40$场比赛，这支队伍在剩下的$$40$$场比赛中至少赢多少场才能保证自己整个赛季的胜率能超过$$70 \%$$？
Options:
aoVal: A
content: $$20$$ 
aoVal: B
content: $$23$$ 
aoVal: C
content: $$28$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
aoVal: E
content: $$35$$ 
Answer: B
Analysis: 一个队伍赢了开始$$50$$场比赛中的$$40$$场．这只队在剩下来的$$40$$场比赛中必须最少赢多少场才能让它恰好整个赛季胜率为$$70 \%$$？  注意到$$70 \%$$与$$\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$$相等，当$$x$$是$$40$$场比赛中获胜的数量时，获胜的分数是$$\frac{40+x}{50+40}=\frac{40+x}{90}$$，我们所要做的就是把它们相等：$$\frac{40+x}{90}=\frac{7}{10}$$，$$40+x=63$$，$$x=(\text{B})23$$．  另外，我们可以注意到他们总共会打$$40+50=90$$场比赛，必须赢得$$0.7(90)=63$$场比赛．因为他们赢了$$40$$场比赛，他们还需要$$63-40=(\text{B})23$$场比赛．  Noting that $$70 \%$$ is the same as $$\frac{70}{100}= \frac{7}{10}$$, and that, when x is the amount of wins in the last $$40$$ games, the fraction of games won is $$\frac{40+x}{50+40}= \frac{40+x}{90}$$, all we have to do is set them equal:  $$\frac{40+x}{90}= \frac{7}{10}$$, $$40+x=63$$, $$x=23$$.  Alternatively we can note that they will play a total of $$40+50 =90$$ games and must win $$0.7(90) = 63$$ games. Since they won $$40$$ games already they need $$63-40=23$$ more games. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率
美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability
Source: 1995年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 有如下四个命题：①最大的负数是$$-1$$；②最大的负整数是$$-1$$；③最小的整数是$$1$$；④最小的正整数是$$1$$；其中真命题有个．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: B
Analysis: $$-0.1$$大于$$-1$$，所以①不正确；整数包括负整数，显然整数没有下界，所以③不正确．正整数自$$1$$开始，$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，所以④正确；同样，②正确． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 2006年第11届华杯赛初一竞赛初赛第2题
Problem: 下面有$$4$$个判断：  ①互为相反数的两个数的绝对值相等；  ②如果$$n$$的绝对值等于$$n$$，则$$n$$一定为正数；  ③点$$M$$在数轴上距原点$$2$$个单位长度，且位于原点右侧．若将$$M$$向左移动$$5$$个单位长度，则此点对应的值为$$-3$$；  ④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数．  其中，正确判断的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: ①正确；  ②$$n$$为$$0$$时也满足要求，故错误；  ③正确；  ④如$$(-1)+(-2)=-3$$，$$-3\textless{}-2$$且$$-3\textless{}-1$$，故错误．  综上，正确的个数为两个． 
Knowledge points: 知识标签->题型->数->有理数->有理数基础运算->题型：有理数乘法的计算题
知识标签->知识点->数->有理数->数轴
知识标签->知识点->数->有理数->有理数的运算->有理数加法的运算
知识标签->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的性质
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第2题
Problem: 对于$$x=7$$，以下哪一项是最小的？．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac 6x$$ 
aoVal: B
content: $$\frac 6{x+1}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac 6{x-1}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac x6$$ 
aoVal: E
content: $$\frac {x+1}6$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$x=7$$，下面哪个最小？  最小的分数形式是$$b$$，其中$$b$$大于$$a$$．  在这个问题中，我们需要所有给定值中的最大可能值以分母表示．这个值是$$x+1$$或8  分子越小，就是$$6$$．  带有$$\frac {6}{x+1}$$的答案选项是$$\rm B$$．  为每个答案选项代入$$x$$会给出  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  从这里，我们可以看到最小的是答案选项$$\rm B$$．  The smallest fraction would be in the form $$\frac{a}{b}$$ where $$b$$ is larger than $$a$$.  In this problem, we would need the largest possible value out of all the given values to be in the denominator. This value is $$x+1$$ or $$8$$.  The smaller would go on the numerator, which is $$6$$.  The answer choice with $$\frac{6}{x+1}$$ is $$\text{B}$$.  Plugging $$x$$ in for every answer choice would give  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  From here, we can see that the smallest is answer choice $$\text{B}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->分数
美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Operations
Source: 1998年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为$$10$$，则底边的长为．
Options:
aoVal: A
content: 一切偶数 
aoVal: B
content: $$2$$或$$4$$或$$6$$或$$8$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$4$$或$$6$$ 
aoVal: D
content: $$2$$或$$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设等腰三角形的腰长为$$a$$，底边为$$b$$，  所以$$2a+b=10$$，$$b=10-2a$$．  所以$$b$$是偶数．  又$$b ~\textless{} ~2a$$，  所以$$2b ~\textless{} ~10$$，  解得$$b ~\textless{} ~5$$，  所以$$b$$为小于$$5$$的偶数．  所以$$b=2$$或$$b=4$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第6题
Problem: 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边．
Options:
aoVal: A
content: 乘同一个数 
aoVal: B
content: 乘同一个整式 
aoVal: C
content: 加上同一个代数式 
aoVal: D
content: 都加上$$1$$ 
Answer: D
Analysis: 对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于$$0$$的数，所以排除$$\text{A}$$．  我们考察方程$$x-2=0$$，易知其根为$$x=2$$．若该方程两边同乘一个整式$$x-1$$，得$$(x-1)(x-2)=0$$，其根为$$x=1$$及$$x=2$$，不与原方程同解，排除$$\text{B}$$．  若在方程$$x-2=0$$两边加上同一个代数式$$\frac{1}{x-2}$$得$$\frac{1}{x-2}+(x-2)=\frac{1}{x-2}$$，此方程误解，失去了原方程$$x=2$$的根，所以应排除$$\text{C}$$．  事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对$$\text{D}$$，这里所加常数为$$1$$，因此选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的定义
课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 有一组五个正整数，它们的平均值是$$5$$，中位数是$$5$$，唯一的众数是$$8$$．这组数中的最大整数和最小整数之间的差是什么?
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
aoVal: E
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 有一组五个正整数，它们的平均值是$$5$$，中位数是$$5$$，唯一的众数是$$8$$．集合中最大整数和最小整数之间的差是什么?  当这些数字按升序排列时，中间值$$5$$就在中间，这是左边的第三个整数．由于$$8$$是唯一的已知数，$$5$$右边的两个整数都必须是$$8$$．由于平均值是$$5$$，整数的和是$$25$$，这意味着$$2$$个最左边的整数必须和是$$4$$．$$2$$和$$2$$无效，因为这将导致两种模式．但是，$$1$$和$$3$$可以，所以我们的答案是$$8-1=7$$．  When these numbers are ordered in ascending order, $$5$$, the median, falls right in the middle, which is the third integer from the left. Since there is a unique mode of $$8$$, both integers to the right of $$5$$ must be $$8\rm s$$. Since the mean is $$5$$, the sum of the integers is $$25$$, which means the $$2$$ leftmost integers have to sum to $$4$$. $$2$$ and $$2$$ does not work because that would result in two modes. However, $$1$$ and $$3$$ does, and so our answer is $$8-1=7$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Fun Problems in Math->Fun Math Problems
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->中位数
Source: 1997年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: $${{3}^{2016}}+5$$除以$${{3}^{2013}}-1$$，所得的余数是（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{3}^{15}}-1$$ 
aoVal: B
content: $${{3}^{12}}-1$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: $${{3}^{2016}}+5$$  $$={{3}^{3}}\times {{3}^{2013}}+5$$  $$={{3}^{3}}\times ({{3}^{2013}}-1)+{{3}^{3}}+5$$  $$={{3}^{3}}\times ({{3}^{2013}}-1)+32$$，  ∴$${{3}^{2016}}+5$$除以$${{3}^{2013}}-1$$，所得的余数是$$32$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分
Problem: 下列说法中正确的是（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$的平方根和$$1$$的立方根相同 
aoVal: B
content: $$0$$的平方根和$$0$$的立方根相同 
aoVal: C
content: $$\sqrt{4}$$的平方根是$$\pm 2$$ 
aoVal: D
content: $$8$$的立方根是$$\pm 2$$ 
Answer: B
Analysis: $$\text{A}$$、$$1$$的平方根为$$\pm 1$$，$$1$$的立方根为$$1$$，二者不相等，故$$\text{A}$$选项错误；  $$\text{B}$$、$$0$$的平方根和立方根均为$$0$$，正确；  $$\text{C}$$、可知$$\sqrt{4}=2$$，所以$$2$$的平方根为$$\pm \sqrt{2}$$，故$$\text{C}$$选项错误；  $$\text{D}$$、$$8$$的立方根为$$2$$，故$$\text{D}$$选项错误；  故答案选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->平方根->开平方
课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第1题
2018~2019学年10月四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学初二上学期周测A卷第6题3分
Problem: 已知$$\triangle ABC$$的三边的长分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，且$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b+c}{b+c-a}$$，则$$\triangle ABC$$一定是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 等边三角形 
aoVal: B
content: 腰长为$$a$$的等腰三角形 
aoVal: C
content: 底边长为$$a$$的等腰三角形 
aoVal: D
content: 等腰直角三角形 
Answer: B
Analysis: ∵$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  ∴$$a\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  $$\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  ∵$$b+c\textgreater0$$．  ∴$$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$$．  ∴$$ab+ac-{{a}^{2}}-bc=0$$．  ∴$$(b-a)(c-a)=0$$．  ∴$$a=b$$或$$c=a$$．  ∴$$\triangle ABC$$为以$$a$$为腰长的等腰三角形． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的判定->等腰三角形的判定-两边相等
Source: 2018年四川成都武侯区成都七中初三自主招生第7题5分
初二上学期单元测试《等腰三角形的判定》第24题
2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第7题
Problem: 若$$xy\ne 0$$，$$x+y\ne 0$$，$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$与$$x+y$$成反比，则$${{(x+y)}^{2}}$$与$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$．
Options:
aoVal: A
content: 成正比 
aoVal: B
content: 成反比 
aoVal: C
content: 既不成正也不成反比 
aoVal: D
content: 的关系不确定 
Answer: A
Analysis: 题设$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$和$$x+y$$成反比，可令  $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{k}{x+y}$$（$$k$$为常数，且$$k\ne 0$$），  则$${{(x+y)}^{2}}=kxy$$，  所以$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{(x+y)}^{2}}-2xy=(k-2)xy$$，  $$\frac{{{(x+y)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{kxy}{(k-2)xy}=\frac{k}{k-2}$$，  $${{(x+y)}^{2}}=\frac{k}{k-2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$$，  因为$$xy\ne 0$$，  那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=(k-2)xy\ne 0$$，  故有$$k\ne 2$$．  即$$k$$为常数，且$$k\ne 0$$，$$k\ne 2$$，所以$$\frac{k}{k-2}$$是不等于$$0$$的常数，可知$${{(x+y)}^{2}}$$与$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$成正比．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数基础->反比例函数的定义
课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数基础->根据反比例函数定义解题
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第8题
Problem: 当$$a\textless{}-1$$时，方程$$\left( {{a}^{3}}+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}+1 \right)x-\left( a+1 \right)=0$$的根的情况是．
Options:
aoVal: A
content: 两负根 
aoVal: B
content: 一正根、一负根且负根的绝对值大 
aoVal: C
content: 一正根、一负根且负根的绝对值小 
aoVal: D
content: 没有实数根 
Answer: C
Analysis: $$a\textless{}-1$$时，$${{a}^{3}}+1\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+1\textgreater0$$，$$a+1\textless{}0$$．而若方程的两根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，则有  $${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-\frac{a+1}{{{a}^{3}}+1}\textless{}0$$，表示有一正根一负根．又$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{{{a}^{2}}+1}{{{a}^{3}}+1}\textgreater0$$，表示负根的绝对值小于正的绝对值．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第14题
Problem: 设非零实数$$a$$，$$b$$，$$c$$，满足$$\begin{cases}a+2b+3c=0    2a+3b+4c=0    \end{cases}$$，则$$\frac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知得$$a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c)=0$$，  故$${{(a+b+c)}^{2}}=0$$，  于是$$ab+bc+ca=-\frac{1}{2}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$$，  ∴$$\frac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=-\frac{1}{2}$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
Source: 2013年竞赛第1题4分
初一下学期其它第16题
Problem: 使得不等式$$\frac{9}{17}\textless{}\frac{n}{n+k}\textless{}\frac{8}{15}$$对唯一的整数$$k$$成立的最大正整数$$n$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$142$$ 
aoVal: B
content: $$143$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$145$$ 
Answer: C
Analysis: 由条件得$$\frac{7}{8}\textless{}\frac{k}{n}\textless{}\frac{8}{9}$$，  由$$k$$的唯一性，得$$\frac{k-1}{n}\leqslant \frac{7}{8}$$且$$\frac{k+1}{n}\geqslant \frac{8}{9}$$，  所以$$\frac{2}{n}=\frac{k+1}{n}-\frac{k-1}{n}\geqslant \frac{8}{9}-\frac{7}{8}=\frac{1}{72}$$，  所以$$n\leqslant 144$$．  当$$n=144$$时，由$$\frac{7}{8}\textless{}\frac{k}{n}\textless{}\frac{8}{9}$$可得$$126\textless{}k\textless{}128$$，$$k$$可取唯一整数值$$127$$．  故满足条件的正整数$$n$$的最大值为$$144$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第8题7分
Problem: $$\triangle ABC$$的三个内角$$A$$，$$B$$，$$C$$的外角依次记为$$\alpha $$，$$\beta $$，$$\gamma $$，若$$\beta =2B$$，$$\alpha -\gamma =40{}^{}\circ $$，则三个内角$$A$$，$$B$$，$$C$$的度数依次是．
Options:
aoVal: A
content: $$60{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$30{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$40{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$50{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$70{}^{}\circ $$ 
Answer: C
Analysis: 由题意得$$\begin{cases}\beta +B=180{}^{}\circ    \beta =2B   \end{cases}$$$$\Rightarrow B=60{}^{}\circ $$，$$A+C=120{}^{}\circ $$，  因此 $$\alpha +\gamma =2\times 180{}^{}\circ -120{}^{}\circ =240{}^{}\circ $$，  又知$$\alpha -\gamma =40{}^{}\circ $$，解得 $$\alpha =140{}^{}\circ $$，$$\gamma =100{}^{}\circ $$，  所以 $$A=40{}^{}\circ $$，$$C=80{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->思想->方程思想
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第10题4分
Problem: $$-\frac{1999}{2000}$$，$$-\frac{1998}{1999}$$，$$-\frac{998}{999}$$，$$-\frac{999}{1000}$$这四个数从小到大的排列顺序是（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{998}{999}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1999}{2000}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}\textless{}-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{1998}{1999}$$ 
Answer: A
Analysis: $$-\frac{1999}{2000}=-1+\frac{1}{2000}$$，$$-\frac{1998}{1999}=-1+\frac{1}{1999}$$，  $$-\frac{998}{999}=-1+\frac{1}{999}$$， $$-\frac{999}{1000}=-1+\frac{1}{1000}$$．  因为$$\frac{1}{2000}\textless{}\frac{1}{1999}\textless{}\frac{1}{1000}\textless{}\frac{1}{999}$$，  所以$$-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 初一下学期其它
2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 全班$$43$$名同学参加校庆，每人不是持彩旗，就是举鲜花．现有$$10$$位男同学持彩旗，$$30$$人举鲜花．如果全班有$$15$$名女同学，问：她们中有多少人举鲜花?
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
aoVal: E
content: $$9$$ 
Answer: C
Analysis: 全班持彩旗的人数为$$43-30=13$$（人），其中持彩旗的女同学有$$13-10=3$$（人）．由于全班女同学共$$15$$人，所以女同学中举鲜花的人数为$$15-3=12$$（人）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->平面向量->向量的分解与线性组合
竞赛->知识点->组合->容斥原理
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛第3题
Problem: 已知数据$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$的平均数是$$a$$，方差是$$b$$，则数据$$x_{1}^{2}$$，$$x_{2}^{2}$$的平均数是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{b+2{{a}^{2}}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$b+2{{a}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{b+{{a}^{2}}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$b+{{a}^{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$${{x}_{1}}$$、$${{x}_{2}}$$平均数为$$a$$，  ∴$$\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=a$$，  又$${{x}_{1}}{{x}_{2}}$$方差为$$b$$，  ∴$$\frac{{{\left( {{x}_{1}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-a \right)}^{2}}}{2}=b$$  $$\frac{x_{1}^{2}-2a{{x}_{1}}+{{a}^{2}}+x_{2}^{2}-2a{{x}_{2}}+{{a}^{2}}}{2}=b$$  $$\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}-a{{x}_{1}}-a{{x}_{2}}+{{a}^{2}}=b$$  $$\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}=a\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+b-{{a}^{2}}$$，  又$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2a$$，  ∴$$\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}-2{{a}^{2}}-{{a}^{2}}+b$$  $$={{a}^{2}}+b$$，  即$$x_{1}^{2}$$，$$x_{2}^{2}$$平均数为$${{a}^{2}}+b$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->统计综合
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差
Source: 2019年第2届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第1题5分
Problem: 已知$${{b}^{2}}-4ac$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$$的一个实数根，则$$ab$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$ab\geqslant \frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$ab\leqslant \frac{1}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$ab\geqslant \frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$ab\leqslant \frac{1}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：判别式的应用）}  方法一：由求根公式得到方程的根为$$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$，设$$\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}=y$$，又因为$${{y}^{2}}={{b}^{2}}-4ac$$是原方程的根，所以$${{y}^{2}}=\frac{-b+y}{2a}$$或者$${{y}^{2}}=\frac{-b-y}{2a}$$，因为$$a\ne 0$$，这两个方程可化成关于$$y$$的一元二次方程$$2a{{y}^{2}}\pm y+b=0$$，考虑这个方程的判别式得到$$1-8ab\geqslant 0$$，所以$$ab{\leqslant } \frac{1}{8}$$，选择$$\text{B}$$．  方法二：因为方程有实数解，所以$${{b}^{2}}-4ac{\geqslant }0$$，由题意，  有$$\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}={{b}^{2}}-4ac$$或$$\frac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}={{b}^{2}}-4ac$$．  令$$u=\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}$$，得方程$$2a{{u}^{2}}-u+b=0$$或$$2a{{u}^{2}}+u+b=0$$，  因为$$u=\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}$$是该方程的解，所以方程的判别式非负，即$$1-8ab{\geqslant }0$$，所以$$ab{\leqslant }\frac{1}{8}$$．所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
Source: 2019~2020学年9月湖北武汉武昌区武汉市武珞路实验初级中学初三上学期周测A卷第8题3分
2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第5题
Problem: 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边$$20$$米处，玩具店位于书店东边$$100$$米处，小明从书店沿街向东走了$$40$$米，接着又向东走了$$-60$$米，此时小明的位置在（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 文具店 
aoVal: B
content: 玩具店 
aoVal: C
content: 文具店西边$$40$$米 
aoVal: D
content: 玩具店东$$-60$$米 
Answer: A
Analysis: 向东走了$$-60$$米就是向西走了$$60$$米．  所以，小明从书店向东走了$$40$$米，再向西走$$60$$米，  结果是小明的位置在书店西边$$20$$米，也就是文具店的位置． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第3题