math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 用$$\min \left( a,b \right)$$表示$$a$$、$$b$$两数中的较小者，用$$\max \left( a,b \right)$$表示$$a$$、$$b$$两数中的较大者，例如$$\min \left( 3,5 \right)=3$$，$$\max \left( 3,5 \right)=5$$，$$\min \left( 3,3 \right)=3$$，$$\max \left( 5,5 \right)=5$$．设$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是互不相等的自然数，$$\min \left( a,b \right)=p$$，$$\min \left( c,d \right)=q$$，$$\max \left( p,q \right)=x$$，$$\max \left( a,b \right)=m$$，$$\max \left( c,d \right)=n$$，$$\min \left( m,n \right)=y$$，则（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater y$$ 
aoVal: B
content: $$x\textless{}y$$ 
aoVal: C
content: $$x=y$$ 
aoVal: D
content: $$x\textgreater y$$和$$x\textless{}y$$都有可能 
Answer: D
Analysis: 因为$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$大小关系不定，取$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$为$$4$$、$$3$$、$$2$$、$$1$$，$$p=3$$，$$q=1$$，$$x=3$$，$$m=4$$，$$n=2$$，$$y=2$$，故$$x\textgreater y$$，若取$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$为$$4$$、$$3$$、$$2$$、$$1$$，得$$x=2$$，$$y=3$$．故$$x\textless{}y$$都有可能． 
<p>若$$\begin{cases}a=1 \\ b=2 \\ c=3 \\ d=4 \\ \end{cases}$$，那么$$\begin{cases}x=\max \left[ \min \left( 1,2 \right),\min \left( 3,4 \right) \right]=\max \left( 1,3 \right)=3 \\ y=\min \left[ \max \left( 1,2 \right),\max \left( 3,4 \right) \right]=\min \left( 2,4 \right)=2 \\ \end{cases}$$，那么$$x&gt;y$$；</p>
<p>若$$\begin{cases}a=1 \\ b=4 \\ c=3 \\ d=2 \\ \end{cases}$$，那么$$\begin{cases}x=\max \left[ \min \left( 1,4 \right),\min \left( 3,2 \right) \right]=\max \left( 1,2 \right)=2 \\ y=\min \left[ \max \left( 1,4 \right),\max \left( 3,2 \right) \right]=\min \left( 4,3 \right)=3 \\ \end{cases}$$，那么$$x&lt;{}y$$；</p>
<p>即$$x&gt;y$$和$$x&lt;{}y$$都有可能，故选$$\text{D}$$．</p>

Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2014年全国创新杯五年级竞赛第3题5分
Problem: 三个同学进行计算比赛，比赛内容是：在$$9$$、$$10$$、$$11$$、$$\cdots \cdots $$、$$67$$、$$68$$这$$60$$个自然数的相邻两数之间任意添加符号``$$+$$''或``$$-$$''，然后进行计算．三个同学得到的结果分别是$$2274$$、$$2003$$、$$2320$$，老师看后指出．这三个结果中只有一个是正确的．这个正确的结果是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2274$$ 
aoVal: B
content: $$2003$$ 
aoVal: C
content: $$2320$$ 
Answer: A
Analysis: 由于$$9+10+11+\cdots 68=2310$$，由此可知$$2320$$是错误的．由于$$2274$$、$$2003$$、$$2300$$都小于小于$$2310$$，所以减的数较多，由于减一个数，总和里面就要少这个数的$$2$$倍，如减$$2$$，则是$$2310-2\times 2=2306$$，所以只要是小于$$2310$$．据此分析即  $$9+10+11+\cdots 68=2310$$，$$2320\textgreater2310$$，故$$\text{C}$$错误；  $$\left( 2310-2274 \right)\div 2=18$$，$$18\div 2=9$$，所以在$$9$$前是减号即可，符合题意．  $$\left( 2310-2003 \right)=307$$非偶，错误．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第9题
Problem: 现有$$2000$$克浓度为$$15  \% $$的盐水，要配制浓度为$$20  \% $$的盐水，需要加入（~ ）克浓度为$$24  \% $$的盐水． 
Options:
aoVal: A
content: $$1800$$ 
aoVal: B
content: $$2000$$ 
aoVal: C
content: $$2400$$ 
aoVal: D
content: $$2500$$ 
Answer: D
Analysis: 假设需要的重量为$$x$$克，列方程$$2000\times 15  \% +24  \% \times x=20  \% \times \left( 2000+x \right)$$，解得：$$x=2500$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（五）第2题
Problem: $$a$$、$$b$$、$$c$$三个数字共可组成六个无重复数字的三位数，这六个三位数的和为$$3774$$，那么这六个三位数中最大数与最小数的差最小是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$99$$ 
aoVal: B
content: $$297$$ 
aoVal: C
content: $$369$$ 
aoVal: D
content: $$396$$ 
Answer: B
Analysis: 这六个三位数之和为$$222\times \left( a+b+c \right)=3774$$，即$$a+b+c=17$$．要使最大和最小的差最小，即  让三个数尽可能接近，即为$$4$$、$$6$$、$$7$$，此时最大减最小为$$764-467=297$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的综合应用
Source: 2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第4题4分
Problem: 过年包饺子时，在饺子里放一枚硬币，吃到硬币的人在新的一年会运气好，事事顺意，是一种好运的象征．妈妈包了$$50$$个饺子，其中有$$1$$个饺子包了硬币，煮好后平均分成$$5$$碗，你从这$$5$$碗中随便选$$1$$碗，能吃到包有硬币的饺子的概率是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$2 \%$$ 
aoVal: B
content: $$10 \%$$ 
aoVal: C
content: $$20 \%$$ 
aoVal: D
content: $$50 \%$$ 
Answer: C
Analysis: 五碗中一定有$$1$$碗是的，那么概率即为$$\frac{1}{5}=20 \%$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年第17届世奥赛六年级竞赛决赛第4题
Problem: 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，形如$${{2}^{n}}-1$$（$$n$$为质数）的数为梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数。例如：$${{2}^{2}}-1=3$$就是第一个梅森质数。那么第一个梅森合数是（  ） 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$127$$ 
aoVal: D
content: $$2047$$ 
Answer: D
Analysis: 解：选项A：$${{2}^{n}}-1=4$$，$$n$$无整数解；  选项B：$${{2}^{n}}-1=15$$，$$n$$为$$4$$，$$n$$不是质数，故舍去；  选项C：$${{2}^{n}}-1=127$$，$$n$$为$$7$$，$$127$$不是合数，故舍去；  选项D：$${{2}^{n}}-1=2047$$，$$n$$为$$11$$，$$n$$为质数，且$$2047=23\times 89$$，是合数，满足条件。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数
Source: 2016年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出不同颜色的龙珠，按$$4$$颗红珠，$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是． 
Options:
aoVal: A
content: 红珠 
aoVal: B
content: 黄珠 
aoVal: C
content: 绿珠 
aoVal: D
content: 白珠 
Answer: D
Analysis: $$2000\div (4+3+2+1)=200$$（组）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题
Problem: 有一圆形花坛，绕它走一圈是$$120$$米，如果在花坛周围每隔$$6$$米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香之间栽$$2$$株月季花，共栽月季花朵． 
Options:
aoVal: A
content: $$38$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
Answer: B
Analysis: 这是一个环形植树问题，棵树$$=$$段数，故丁香花的数量为$$120\div 6=20$$（株），月季花的数量为$$20\times 2=40$$（株）． 
Knowledge points: 拓展思维->七大能力->实践应用
Source: 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第1题
Problem: 对于所有的数$$a$$、$$b$$，把运算$$a*b$$定义为$$a*b=ab-a+b$$，则方程$$5*x=17$$的解是$$x=$$(  ). 
Options:
aoVal: A
content: $$3\frac{2}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3\frac{2}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: $$5*x=17$$  $$5x-5+x{=}17$$  $$6x=22$$  $$x=3\frac{2}{3}$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型
Source: 2007年华杯赛六年级竞赛初赛
2007年华杯赛五年级竞赛初赛
2007年华杯赛四年级竞赛初赛
Problem: 祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．（2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第$$8$$题） 
Options:
aoVal: A
content: 红珠 
aoVal: B
content: 黄珠 
aoVal: C
content: 绿珠 
aoVal: D
content: 白珠 
Answer: D
Analysis: $$2000\div (4+3+2+1)=200$$（组）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题
Problem: ~某工程，可由若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟$$\frac{2}{3}$$小时做完，那么一台机器完成这个工程需要（~ ）小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$60$$ 
aoVal: C
content: $$58$$ 
aoVal: D
content: $$42$$ 
Answer: A
Analysis: 增加两台机器后，时间比为$$8:7$$，可以得到机器数比为$$7:8$$，那么原来应该有$$14$$台机器；若减少两台机器，推迟$$\frac{2}{3}$$小时，可以得到时间比为$$6:7$$，原来时间为$$4$$小时，因共有$$14$$台机器，所以每台机器完成需$$14\times 4=56$$小时． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第10题4分
Problem: 甲商品打$$8$$折后的价格是乙商品原价的$$4$$倍，小华分别以$$8$$折和$$7$$折的价格买下甲、乙两种商品，支出总额比甲商品原价少$$6$$元，乙商品实际售价是（~ ）元． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$28$$ 
Answer: B
Analysis: 设乙原价为$$x$$元．  $$4x+0.7x=\frac{4x}{0.8}-6$$，$$x=20$$，$$20\times 0.7=14$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2016年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第2题
Problem: 盒子里有黑棋子和白棋子若干，若取出一枚黑子，则余下的黑子数与白子数之比为$$9:7$$，若取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为$$7:5$$，那么盒子里原有的黑子比白子多个 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: E
Analysis: 取出一粒黑子后，盒子内棋子的总数与取出一粒白子后，盒子内棋子的总数相等，$$\left[ 9+7,7+5 \right]=\left[ 16,12 \right]=48$$，因此，取出一粒黑子后，黑白子之比为$$9:7=27:21$$,取出一粒白子后，黑白子之比为$$7:5=28:20$$，黑子增加了$$1$$粒，从$$27$$份增加到$$28$$份，因此$$1$$份就是$$1$$粒，于是，盒子里原有$$28$$粒黑子、$$21$$粒白子，一开始黑子比白子多$$7$$个。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2013年华杯赛六年级竞赛初赛
2020年第24届YMO五年级竞赛决赛第8题3分
2013年华杯赛五年级竞赛初赛
Problem: 一根$$5$$米长的绳子，平均分成$$3$$段，每段是这根绳子的$$\frac{\left( {          } \right)}{\left( {          } \right)}$$，每段长$$\frac{\left( {          } \right)}{\left( {          } \right)}$$米． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$，$$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{6}$$，$$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$，$$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$，$$\frac{1}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 绳子总共分为$$3$$段，每段是全长的$$\frac{1}{3}$$；每段长：$$5\div 3=\frac{5}{3}$$（米）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数的认识->认、读、写数->分数->分数的意义
拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分数的意义
Source: 2017年河南郑州联合杯六年级竞赛初赛
Problem: 现有大、小油瓶共$$50$$个，每个大瓶可装油$$4$$千克，每个小瓶可装油$$2$$千克，大瓶比小瓶共多装$$20$$千克，问：大瓶有个． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$25$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: C
Analysis: （头和脚差型；分组法）分组时，$$1$$个大瓶配$$2$$个小瓶，这样每组大瓶小瓶装油重量相等；  由于大瓶比小瓶共多装$$20$$千克，所以共有$$20\div 4=5$$ （个）多余的大瓶．  组数：$$(50-5)\div 3=15$$ （组）；  大瓶有：$$15+5=20$$（个）；  小瓶有：$$15\times 2=30$$（个）．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第7题2分
Problem: 式子$$\frac{2014}{x+1}$$为整数，则正整数$$x$$有（~ ~ ~ ~）种取值． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$2014=2\times 19\times 53$$，$$x+1$$可能的取值为：$$2$$、$$19$$、$$53$$、$$38$$、$$106$$、$$1007$$、$$2014$$共七种． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: $$9$$个正方形放在一行，第$$1$$个正方形的面积为$$1$$，从第$$2$$个正方形开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和与第$$1$$个正方形面积的大小． 
Options:
aoVal: A
content: 第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和大 
aoVal: B
content: 第$$1$$个正方形面积大 
aoVal: C
content: 一样大 
aoVal: D
content: 不能判断 
Answer: B
Analysis: 第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和为$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$$  $$=\frac{1}{256}\left( 128+64+32+16+8+4+2+1 \right)$$  $$=\frac{255}{256}\textless{}1$$ 
Knowledge points: 拓展思维->思想->数形结合思想
Source: 2017年第15届全国希望杯小学高年级六年级竞赛
Problem: 从$$19$$，$$20$$，$$21$$，$$22$$，···，$$73$$，$$74$$这些数中，任取两个数，使其和为偶数的选法共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种． 
Options:
aoVal: A
content: $$656$$ 
aoVal: B
content: $$756$$ 
aoVal: C
content: $$856$$ 
aoVal: D
content: $$956$$ 
aoVal: E
content: $$1056$$ 
Answer: B
Analysis: 无 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合
Source: 2022年第九届鹏程杯四年级竞赛初赛第27题5分
Problem: 五个互不相等的奇数之和等于$$85$$，其中最大的一个为$$M$$，则$$M$$的取值范围是(  ) 
Options:
aoVal: A
content: $$23\leqslant M\leqslant 69$$ 
aoVal: B
content: $$19\leqslant M\leqslant 67$$ 
aoVal: C
content: $$21\leqslant M\leqslant 69$$ 
aoVal: D
content: $$17\leqslant M\leqslant 69$$ 
Answer: C
Analysis: 当其余四个数为$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$时，$$M$$有最大值$$69$$。设最大的一个等于$$x$$，其余四个数为$$x-2$$， $$x-4$$，$$x-6$$，$$x-8$$时，$$M$$有最小值，由$$x+\left( x-2 \right)+\left( x-4 \right)+\left( x-6 \right)+\left( x-8 \right)=85$$，解得$$x=21$$，所以$$21\leqslant M\leqslant 69$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目确定
Source: 2009年六年级竞赛创新杯
Problem: 一群$$5$$至$$12$$岁的孩子去看电影．这些孩子的年龄的乘积是$$3080$$．请问这些孩子的年龄的和是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: B
Analysis: $$3080=2^{3}\times5\times7\times11$$,  $$5+7+8+11=31$$． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛
Problem: 计算：$$18+9-8=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
aoVal: E
content: $$21$$ 
Answer: D
Analysis: $$18+9-8=18-8+9=10+9=19$$． 
Knowledge points: 海外竞赛体系->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数同尾相减
Source: 2014年全国学而思杯一年级竞赛第1题
Problem: 计算：$$9+99+999+9999+99999+999999$$．  Find the value of $$9+99+999+9999+99999+999999$$. 
Options:
aoVal: A
content: $$1111104$$． 
aoVal: B
content: $$1111114$$． 
aoVal: C
content: $$1111105$$． 
Answer: A
Analysis: $$9+99+999+9999+99999+999999$$$$=10-1+100-1+1000-1+10000-1+100000-1+1000000-1$$$$=1111110-6=1111104‬$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2014年全港小学数学挑战赛四年级竞赛初赛A卷第11题3分
Problem: 参考附图，观察图中规律，从左至右数，第$$13$$个图形是什么？ $$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\cdots$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$\blacksquare$$ 
aoVal: B
content: $$\blacktriangle$$ 
aoVal: C
content: $$\bigstar$$ 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: A
Analysis: 根据规律，「$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$」为一个周期  他的顺序是：  $$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$、$$\blacktriangle$$、$$\bigstar$$、$$\blacksquare$$  故答案为：$$\blacksquare$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数学广角->简单的周期->简单的周期规律
Source: 2016年全国华夏杯小学低年级一年级竞赛初赛香港賽區第9题5分
Problem: 小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．已知：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任． 
Options:
aoVal: A
content: 班长，学习委员，体育委员 
aoVal: B
content: 学习委员，体育委员，班长 
aoVal: C
content: 学习委员，班长，体育委员 
aoVal: D
content: 班长，体育委员，学习委员 
Answer: C
Analysis: 由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题
Problem: 12. 同学甲、同学乙两人在游乐场的直行道上进行$$200$$米赛跑，当同学甲跑到终点时．同学乙还差$$40$$米，现在两人重新跑，而且速度和原来一样，要使两人同时到达终点，那么同学甲的起跑线应往后退米． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$45$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$55$$ 
Answer: C
Analysis: 比例解行程；相等的时间内，甲跑了$$200$$米时，乙跑了$$160$$米，甲乙的速度比是$$200:160=5:4$$，要使两人同时到达终点，乙跑了$$200$$米的时间内甲要跑$$200\div 4\times 5=250$$米，所以同学甲的起跑线应后退$$250-200=50$$米． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第5题
Problem: $$6$$支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得$$3$$分，平一场各得$$1$$分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有$$4$$场平局，且其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，则第$$6$$支球队得了~\uline{~~~~~~~~~~}~分． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: A
Analysis: 每场平局两队共得$$2$$分，如果分出胜负则两队共得$$3$$分．$$6$$支球队共要比$$6\times 5\div 2=15$$场比赛，  其中有$$4$$场平局，所以有$$15-4=11$$场分出了胜负，那么$$6$$支球队总得分为$$2\times 4+3\times 11=41$$分，  其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，所以第$$6$$支球队得了$$41-31=10$$分． 
Knowledge points: 知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断六年级竞赛年度教学质量监测第12题
Problem: $$1\times 2\times 3\times \cdots \times 99\times 100={{12}^{n}}M$$，其中$$M$$为自然数，$$n$$为使得等式成立的最大的自然数．下面有$$4$$个答案：其中正确． 
Options:
aoVal: A
content: $$M$$能被$$2$$整除，但不能被$$3$$整除 
aoVal: B
content: $$M$$能被$$3$$整除，但不能被$$2$$整除 
aoVal: C
content: $$M$$能被$$4$$整除，但不能被$$3$$整除 
aoVal: D
content: $$M$$不能被$$3$$整除，也不能被$$2$$整除 
Answer: A
Analysis: $$1$$至$$100$$中，  $$3$$的$$1$$次方的倍数共有$$100\div 3$$，整商$$=33$$个，  $$3$$的$$2$$次方的倍数共有$$100\div \left( 3\times 3 \right)$$，整商$$=11$$个，  $$3$$的$$3$$次方的倍数共有$$100\div \left( 3\times 3\times 3 \right)$$，整商$$=3$$个，  $$3$$的$$4$$次方的倍数共有$$100\div \left( 3\times 3\times 3\times 3 \right)$$，整商$$=1$$个，  所以$$1\times 2\times 3\cdots \times 99\times 100$$的结果包含质因数$$3$$的次数是$$33+11+3+1=48$$，  $$2$$的$$1$$次方的倍数共有$$100\div 2$$，整商$$=50$$个，  $$2$$的$$2$$次方的倍数共有$$100\div \left( 2\times 2 \right)$$，整商$$=25$$个，  $$2$$的$$3$$次方的倍数共有$$100\div \left( 2\times 2\times 2 \right)$$，整商$$=12$$个，  $$2$$的$$4$$次方的倍数共有$$100\div \left( 2\times 2\times 2\times 2 \right)$$，整商$$=6$$个，  $$2$$的$$5$$次方的倍数共有$$100\div \left( 2\times 2\times 2\times 2\times 2 \right)$$，整商$$=3$$个，  $$2$$的$$6$$次方的倍数共有$$100\div \left( 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2 \right)$$，整商$$=1$$个，  所以$$1\times 2\times 3\cdots \times 99\times 100$$的结果包含质因数$$2$$的次数是$$50+25+12+6+3+1=97$$，  $${{2}^{97}}={{4}^{48}}\times 2$$，  $${{3}^{48}}\times {{4}^{48}}={{12}^{48}}$$，  ∴$$1\times 2\times 3\cdots \times 99\times 100$$的结果包含因数$$12$$的最大次数是$$48$$，  ∴$$M$$能被$$2$$整除，但不能被$$3$$整除．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2019年广东深圳华杯赛小学高年级竞赛第6题10分
Problem: 父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚$$4$$岁；当父亲$$79$$岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$54$$ 
aoVal: B
content: $$64$$ 
aoVal: C
content: $$52$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
aoVal: E
content: $$60$$ 
Answer: A
Analysis: $$\left( 79-4 \right)\div 3=75\div 3=25$$（岁），  $$79-25=54$$（岁），  答：父亲现在的年龄是$$54$$岁．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Overseas Competition->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2021年春蕾杯六年级竞赛第2题2分
2020年春蕾杯六年级竞赛第7题2分
Problem: 薇儿今天要去公园玩，妈妈给薇儿准备了$$3$$件上衣、$$2$$条裙子，还有$$2$$顶帽子，薇儿出门必须挑选一件上衣和一条裙子，帽子可以戴也可以不戴．请问，薇儿一共有种不同的搭配方法． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$种 
aoVal: B
content: $$8$$种 
aoVal: C
content: $$12$$种 
aoVal: D
content: $$18$$种 
Answer: D
Analysis: 帽子可以戴也可以不带，那么在帽子上面就有$$3$$种选择，所以共有$$3\times 2\times 3=18$$（种）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理
Source: 2018年第8届北京学而思综合能力诊断一年级竞赛年度教学质量第14题
Problem: 有一串数：$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，$$21$$，$$34$$，$$55$$，$$89$$$$\cdots \cdots $$，其中第一个数是$$2$$，第二个数是$$3$$，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和．那么在这串数中，第$$2019$$个数被$$3$$除后所得余数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 将这一串数写成除以$$3$$的余数，则为：$$2$$，$$0$$，$$2$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$，$$2$$，$$0$$，$$2\cdots \cdots $$  所以重复的为：``$$2$$，$$0$$，$$2$$，$$2$$，$$1$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$''，  故周期为$$8$$．$$2019\div 8=252$$（组）$$\cdots \cdots 3$$（个），则答案为$$2$$，故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->转化与化归的思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第5题5分
Problem: 三个自然数$$A$$、$$B$$、$$C$$之和是$$111$$，已知$$A$$、$$B$$的平均数是$$31$$，$$A$$、$$C$$的平均数是$$37$$，那么$$B$$、$$C$$的平均数是（~ ~ ~ ~~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$34$$ 
aoVal: B
content: $$37$$ 
aoVal: C
content: $$43$$ 
aoVal: D
content: $$68$$ 
Answer: C
Analysis: $$A+B+C=111$$，$$A+B=31\times 2=62\Rightarrow C=111-62=49$$，  $$A+C=37\times 2=74\Rightarrow B=111-74=37$$．  所以，$$(B+C)\div 2=(49+37)\div 2=43$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 2013年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛B卷第2题
Problem: 从$$1\sim 20$$这$$20$$个整数中任意取$$11$$个数，其中必有两个数的和等于（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$21$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
Answer: C
Analysis: 解：构造抽屉，把这$$20$$个数分组，看成$$10$$个抽屉：$$\left { 1,20 \right }$$，$$\left { 2,19 \right }$$，$$\cdots $$，$$\left { 10,11 \right }$$。  从这$$10$$个数组的$$20$$个数中任取$$11$$个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于$$21$$，  故选：C。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->构造型抽屉原理
Source: 2017年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 下列说法中，不能实现的个数为．  ①桌子上有$$7$$只杯子，$$3$$只杯口向上，$$4$$只杯口向下．每次任意翻转其中$$2$$只，经过若干次翻转后，可将$$7$$只杯子全变成杯口向下；  ②有两堆石子，一堆有$$1234$$颗，另一堆有$$4321$$颗．现有两种操作，一种操作是从两堆石子中拿走相同数量的石子（每次拿的数量可以不同），另一种操作是从其中一堆中拿出若干石子放入另一堆，则若干次操作后可以将两堆的石子同时取光；  ③有$$777$$个孩子，依次编为$$1\sim 777$$号，能够将这些孩子分成若干组，使每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子的号码数的和；  ④走廊上六盏全部都关着的灯，依次编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，经过$$9988$$次循环往复的拉动（从$$1$$号到$$6$$号拉动，再从$$1$$号到$$6$$号拉动），最后可以将$$4$$号灯拉亮． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: ①每个杯子翻动奇数次才能改变杯子的状态，开始时有$$3$$个杯口向上，$$4$$个杯口向下，要使所有的杯子都杯口向下，则开始时向上的杯子每个需要翻动奇数次，$$4$$个杯口向下的需要翻动偶数次，总共需要翻动奇$$+$$奇$$+$$奇$$+$$偶$$+$$偶$$+$$偶$$+$$偶$$=$$奇数次，但是每次任意翻动$$2$$只，只翻动了偶数次，不论翻动多少次，总翻动的次数都是偶数，偶数不等于奇数，所以不能实现；  ②每次操作要么从两堆中拿走相同数量的石子，即石子的总数减少偶数个，要么从其中一堆中拿出若干个石子放入另一堆，则石子的总数不变，所以每次操作时，两堆石子的总数奇偶性不变，原来总共有$$1234+4321=5555$$颗石子，为奇数，那每次操作后石子的数量还是奇数，所以不可能若干次操作后可以将两堆石子同时取光，所以②不能实现；  ③若每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子的号码数的和，则每组的号码和都是偶数，那么总共的号码和也是偶数，但是$$1+2+3+\cdots \cdots +777=$$奇数，所以③不能实现；  ④要改变灯的状态必须拉动奇数次，$$9988\div 6=1664\cdots \cdots 4$$，说明$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$都拉动了$$1664+1=1665$$次，为奇数，则$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$的状态都改变了，原来是关，最后就是亮，$$5$$、$$6$$拉动了$$1664$$次，为偶数，状态没变，还是关，所以④可以实现．  所以不能实现的是①②③，共$$3$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->翻杯子问题
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第25题4分
Problem: $$5$$个人围坐在一张圆桌旁就餐，有（  ）种不同的坐法。（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种） 
Options:
aoVal: A
content: $$22$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
Answer: B
Analysis: 圆桌可以旋转，先固定$$1$$人，剩下的$$4$$人进行全排列即可，所以有$$1\times\text{A}_{\text{4}}^{\text{4}}=1\times4\times3\times2\times1=24$$（种）。  故选：B。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->排列->排列的基本应用
Source: 2014年走美杯五年级竞赛初赛
Problem: 一只青蛙$$8$$点从深为$$12$$米的井底向上爬，它每向上爬$$3$$米，因为井壁打滑，就会下滑$$1$$米，下滑$$1$$米的时间是向上爬$$3$$米所用时间的三分之一。$$8$$点$$17$$分时，青蛙第二次爬至离井口$$3$$米处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为(  )分钟。 
Options:
aoVal: A
content: $$22$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$17$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: A
Analysis: 解：以爬$$3$$米，滑一米为一个周期；$$\left( 3-1 \right)\times 3+3=9\text{（m）}$$，青蛙第一次爬至离井口$$3$$米之处，$$\left( 3-1 \right)\times 4+1=9\text{（m）}$$，青蛙第二次爬至离井口$$3$$米之处，此时，青蛙爬了$$4$$个周期加$$1$$米，用时$$17$$分钟，所以青蛙每爬$$1\text{m}$$或滑$$1\text{m}$$所用时间为$$1$$分钟； $$\left( 12-3 \right)\div \left( 3-1 \right)=4\cdots \cdots 1$$，青蛙从井底爬到井口经过$$5$$个周期，再爬$$2\text{m}$$，用时$$5\times \left( 3+1 \right)+2=22$$（分钟）；  故选：A。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->蜗牛爬井问题
Source: 2013年华杯赛六年级竞赛
2013年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．现在知道：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任． 
Options:
aoVal: A
content: 班长，学习委员，体育委员 
aoVal: B
content: 学习委员，体育委员，班长 
aoVal: C
content: 学习委员，班长，体育委员 
aoVal: D
content: 班长，体育委员，学习委员 
Answer: C
Analysis: 由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题
Problem: 有盐水若干克，第一次加水若干，浓度变为$$4 \%$$；然后又加入同样多的水，浓度变为$$3 \%$$；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为． 
Options:
aoVal: A
content: $$1 \%$$ 
aoVal: B
content: $$2 \%$$ 
aoVal: C
content: $$2.4 \%$$ 
aoVal: D
content: $$2.8 \%$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，设第一次加入一定量的水后，盐水为$$100$$克，  则第二次加水后盐水有$$100\times 4 \%\div 3 \%\approx 133$$（克），  $$133-100=33$$（克），说明每次加的水为$$33$$克；  只含盐$$100\times 3 \%=3$$（克），第三次又加入水$$33$$克，  所以第三次加入同样的水后盐水浓度为：  $$3\div (133+33)=3\div 166\approx 2 \%$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第4题5分
Problem: ~判定自然数$$2017$$是质数还是合数，答案为（~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 是合数 
aoVal: B
content: 是质数 
aoVal: C
content: 都不是 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: 用筛法去判定，因为$$2017\textless4{{7}^{2}}$$，用$$47$$以内的质数去试除都无法整除，所以$$2017$$为质数，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（四）
Problem: 某班学生的达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{4}$$，如果又有$$2$$人达标，这时达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{3}$$，那么全班人数是(  )人． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$50$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: B
Analysis: 由达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{4}$$知：  达标人数占总人数的$$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$．又有$$2$$人达标后，  达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{3}$$，  那么这时达标人数占总人数的$$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$．  所以这个班的总人数为$$2\div \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right)=40$$(人)，  故而选$\text{B}$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2005年第3届创新杯六年级竞赛初赛第6题
Problem: 阿基米德是古希腊伟大的数学家，在物理学、工程学上也有卓越贡献，传授阿基米德为判金王冠中是否掺银而冥思苦想，最后在洗澡时悟出了浮力定律，并利用它解决王冠的难题．由于水对物体的浮力作用，纯金和纯银完全浸入水中称重时，分别减轻约$$\frac{1}{20}$$和$$\frac{1}{10}$$．假定一顶王冠重$$0.9$$千克，浸入水中称重，减轻了$$\frac{1}{18}$$，则可断定其中掺入了白银，那么这顶王冠中含银（~ ）千克． 
Options:
aoVal: A
content: $$0.1$$ 
aoVal: B
content: $$0.2$$ 
aoVal: C
content: $$0.3$$ 
aoVal: D
content: $$0.4$$ 
Answer: A
Analysis: 方法一：方程法  设王冠中含有银千克，则金的质量为千克  则可列方程为，解得  故含有银的量为千克  方法二：十字交叉（两种物体混合的问题都可以转化成类浓度问题，用十字交叉解决，如行程、浓度、工程、降级问题都可以）  根据题目可知，剩余金的和银的是整个王冠的，即  金：银的质量比，则银的质量为千克． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->方程思想
Source: 2016年全国世奥赛竞赛A卷第5题
2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第5题
Problem: 思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$组成的四位编码（数字可以重复使用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，$$0000$$是红色的、$$1000$$是黄色的、$$2000$$是蓝色的，那么：  (1) 下列编码中，一定不是红色的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$0102$$ 
aoVal: B
content: $$0312$$ 
aoVal: C
content: $$2222$$ 
aoVal: D
content: $$0123$$ 
Answer: C
Analysis: $$2222$$与$$0000$$的每一位数字均不相同，故$$2222$$一定不是红色，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
课内体系->思想->逐步调整思想
Source: 2013年全国学而思杯五年级竞赛A卷第20题
Problem: $$6$$年前，母亲的年龄是儿子的$$5$$倍。$$6$$年后母子年龄总和是$$78$$岁。问：母亲今年岁。 
Options:
aoVal: A
content: $$66$$ 
aoVal: B
content: $$54$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$45$$ 
Answer: C
Analysis: $$6$$年前，母子的年龄和为$$78-\left( 6+6 \right)\times 2=54$$岁，儿子那时$$54\div \left( 5+1 \right)=9$$岁，母亲那时$$9\times 5=45$$岁，母亲今年$$45+6=51$$岁 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->年龄问题
Source: 2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第10题2分
Problem: 有四位小朋友，其中每三位小朋友的岁数之和分别为$$22$$、$$20$$、$$17$$、$$25$$，请问这四位小朋友中年龄最大的比年龄最小的大岁． 
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 设这$$4$$个小朋友的年龄分别为$$a$$岁，$$b$$岁，$$c$$岁，$$d$$岁，  根据题意，可列出$$\begin{cases}a+b+c=22 ①    a+b+d=20 ②    b+c+d=17  ③   a+c+d=25 ④   \end{cases}$$，  ①$$+$$②$$+$$③$$+$$④，  $$3a+3b+3c+3d=22+20+17+25$$，  $$3(a+b+c+d)=84$$，  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde a+b+c+d$$  $$=84\div 3$$  $$=28$$，  所以$$4$$个人年龄和为$$28$$岁，  又因为$$17 ~\textless{} ~20 ~\textless{} ~22 ~\textless{} ~25$$，  所以年龄最大的比年龄最小的大：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(28-17)-(28-25)$$  $$=11-3$$  $$=8$$（岁）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第10题3分