math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$，$$m$$都是有理数，并且$$a+2b+3c=m$$，$$a+b+2c=m$$，那么$$b$$与$$c$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 互为相反数 
aoVal: B
content: 互为倒数 
aoVal: C
content: 互为负倒数 
aoVal: D
content: 相等 
Answer: A
Analysis: 因为$$a+2b+3c=m=a+b+2c$$，  所以$$b+c=0$$，即$$b$$，$$c$$互为相反数，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第9题
Problem: 已知$$\triangle ABC$$的两条高线的长分别为$$5$$和$$20$$，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$\triangle ABC$$的面积为$$S$$，  所求的第三条高线的长为$$h$$，  则三边长分别为$$\frac{2S}{5}$$，$$\frac{2S}{20}$$，$$\frac{2S}{h}$$．  显然$$\frac{2S}{5}\textgreater\frac{2S}{20}$$，  于是由三边关系，得$$\left { \begin{matrix} \dfrac{2S}{20}+\dfrac{2S}{h}\textgreater\dfrac{2S}{5}    \dfrac{2S}{20}+\dfrac{2S}{5}\textgreater\dfrac{2S}{h}   \end{matrix} \right.$$，  解得$$4\textless{}h\textless{}\frac{20}{3}$$．  所以$$h$$的最大整数值为$$6$$，即第三条高线的长的最大值为$$6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->整数边问题
Source: 北京初二上学期单元测试《三角形的边与角》第24题
2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到$$47$$、$$61$$、$$60$$，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是(  )．
Options:
aoVal: A
content: $$28$$ 
aoVal: B
content: $$27$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: A
Analysis: 设三人年龄各为$$x$$、$$y$$、$$z$$，则：  $$\begin{cases}\dfrac{x+y}{2}+z=47    \dfrac{y+z}{2}+x=61    \dfrac{x+z}{2}+y=60   \end{cases}$$得$$\begin{cases}x+y+2z=94    2x+y+z=122    x+2y+z=120   \end{cases}$$．  三个方程相加得$$x+y+z=84$$，$$\therefore x=38$$，$$y=36$$，$$z=10$$．  $$\therefore x-z=38-10=28$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第9题
Problem: 绝对值小于$$100$$的所有被$$3$$除余$$1$$的整数之和等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-32$$ 
aoVal: C
content: $$33$$ 
aoVal: D
content: $$-33$$ 
Answer: D
Analysis: 即求$$-100$$与$$100$$之间被$$3$$除余$$1$$的整数之和，  在$$0$$到$$100$$之间被$$3$$除余$$1$$的整数是$$1$$，$$4$$，$$7$$，$$\cdots $$，$$91$$，$$94$$，$$97$$共计$$33$$个．  在$$-100$$到$$0$$之间被$$3$$除余$$1$$的整数是$$-98$$，$$-95$$，$$-92$$，$$-89$$，$$\cdots $$，$$-8$$，$$-5$$，$$-2$$共$$33$$个．  其总和为$$-33$$．选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第8题
Problem: 在绝对值小于$$1000$$的整数中，完全平方数的个数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$62$$ 
aoVal: B
content: $$63$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$31$$ 
Answer: C
Analysis: 在绝对值小于$$1000$$的整数中，共计$$1999$$个整数，  其中$$-1999$$，$$-1998$$，$$\cdots $$，$$-2$$，$$-1$$，这$$999$$个负整数都不能写成整数的平方．  因此可以写成整数的平方的数只能在$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$998$$，$$999$$这一千个整数中去找．  $$0={{0}^{2}}$$，$$1={{1}^{2}}$$，$$4={{2}^{2}}$$，$$\cdots $$，$$961={{31}^{2}}$$．共计$$32$$个，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
Source: 1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 2009年$$AMC8$$竞赛第$$5$$题  $$(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2)=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-5$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2{{x}^{2}}-5$$ 
aoVal: D
content: $$2{{x}^{2}}+3$$ 
Answer: B
Analysis: $$(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2)=({{x}^{2}}-1)-({{x}^{2}}-4)={{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}+4=3$$，  故选Ｂ． 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Algebraic expression
课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式
Source: 2009年竞赛第5题
Problem: 三角形三边的长$$a$$，$$b$$，$$c$$都是整数，且$$[a,b,c]=60$$，$$(a,b)=4$$，$$(b,c)=3$$．（注：$$[a,b,c]$$表示$$a$$, $$b$$, $$c$$ 的最小公倍数；$$(a,b)$$表示$$a$$，$$b$$的最大公约数），则$$a+b+c$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意知$$b$$既能被$$4$$整除，又能被$$3$$整除，  所以$$b$$能被$$12$$整除．  又$$60$$能被$$b$$整除，  所以$$b=12$$或$$60$$．  若$$b=12$$，则$$60\div b=5$$，  因为$$(5,4)=1$$，$$(5,3)=1$$，  所以，$$a$$，$$c$$中至少有一个含因数$$5$$．  若$$a$$含因数$$5$$，则$$a\geqslant 20$$，  又$$c\geqslant 3$$，  所以$$a+b+c\geqslant 20+12+3=35$$；  若$$c$$含因数$$5$$，则$$c\geqslant 15$$，  又$$a\geqslant 4$$，  所以$$a+b+c\geqslant 4+12+15=31$$，  取$$a=4$$，$$b=12$$，$$c=15$$能构成三角形．  若$$b=60$$，则$$a+b+c\textgreater60\textgreater31$$．  综上知：$$a+b+c$$的最小值为$$31$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->求三角形第三边的取值范围
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
Source: 2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第7题4分
Problem: 若$$x+y=3$$，$$xy=1$$．则$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$33$$ 
aoVal: B
content: $$231$$ 
aoVal: C
content: $$123$$ 
aoVal: D
content: $$312$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$$x+y=3$$，  所以$${{(x+y)}^{2}}=9$$，  即$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy=9$$．  因为$$xy=1$$，  所以$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7$$．  所以$${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)=3\times (7-1)=18$$，  所以$${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=({{x}^{3}}+{{y}^{3}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-{{(xy)}^{2}}(x+y)=18\times 7-{{1}^{2}}\times 3=123$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->高次方公式
课内体系->能力->运算能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
Problem: 下列四个等式：$$\frac{a}{b}=0$$，$$ab=0$$，$${{a}^{2}}=0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$$中，可以断定$$a$$必等于$$0$$的式子共有（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$1$$个 
aoVal: D
content: $$0$$个 
Answer: A
Analysis: $$\frac{a}{b}=0$$，由于分母$$b\ne 0$$，所以$$a=0$$；  $$ab=0$$，可得$$a=0$$或$$b=0$$，$$a$$未必为$$0$$；  $${{a}^{2}}=0$$，可得$$a=0$$；  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$$，则$$a=0$$且$$b=0$$．  所以$$a$$必为$$0$$的式子共有$$3$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0
课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
Source: 2018~2019学年10月重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初一上学期月考第3题3分
1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第3题
Problem: 让$$k$$依次取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①$$k+2$$，②$${{k}^{2}}$$，③$$2k$$，④$${{2}^{k}}$$就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是．
Options:
aoVal: A
content: ①$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$④ 
aoVal: B
content: ②$$ ~\textless{} ~$$①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$④ 
aoVal: C
content: ①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$④ 
aoVal: D
content: ③$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$①$$ ~\textless{} ~$$④ 
Answer: C
Analysis: 可逐个试验：  当$$k=1$$时，②$$ ~\textless{} ~$$③$$=$$④$$ ~\textless{} ~$$①；  当$$k=2$$时，①$$=$$②$$=$$③$$=$$④；  当$$k=3$$时，①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$④$$ ~\textless{} ~$$②；  当$$k=4$$时，①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$②$$=$$④；  当$$k\geqslant 5$$时，①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$④．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算
Source: 2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$种 
aoVal: B
content: $$10$$种 
aoVal: C
content: $$11$$种 
aoVal: D
content: $$12$$种 
Answer: C
Analysis: 设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\begin{cases}y+z=30-x    3y+4z=100-2x \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}y=20-2x    z=10+x \end{cases}$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的配套问题
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分
Problem: 设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x(x+1)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: $$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，$$2x=\sqrt{5}-3$$ ，$$2x+3=\sqrt{5}$$， 两边同时平方整理得，$${{x}^{2}}+3x=-1$$．  $$x(x+1)(x+2)(x+3)=({{x}^{2}}+3x)({{x}^{2}}+3x+2)$$$$=-1\times (-1+2)=-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第3题5分
Problem: 设$$P$$是等边$$\triangle ABC$$内任意一点，从点$$P$$作三边的垂线$$PD$$，$$PE$$，$$PF$$，点$$D$$，$$E$$，$$F$$是垂足，则$$\frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 取特殊点法．  当$$P$$点为$$\triangle ABC$$三条垂直平分线交点时，因为$$\triangle ABC$$为等边三角形．  故$$P$$点既是$$\triangle ABC$$内心又是重心．  $$PD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{6}AB$$．  又$$PD=PE=PF$$，$$AB=AC=BC$$．  ∴$$\frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}=\frac{\sqrt{3}}{6}$$，  选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为``和谐数''．如：$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，$$2$$和$$26$$均为``和谐数''．那么，不超过$$2016$$的正整数中，所有的``和谐数''之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$6858$$ 
aoVal: B
content: $$6860$$ 
aoVal: C
content: $$9260$$ 
aoVal: D
content: $$9262$$ 
Answer: B
Analysis: $${{(2k+1)}^{3}}-{{(2k-1)}^{3}}$$  $$=\left[ (2k+1)-(2k-1) \right]\left[ {{(2k+1)}^{2}}+(2k+1)(2k-1)+{{(2k-1)}^{2}} \right]$$  $$=2(12{{k}^{2}}+1)$$（其中$$k$$为非负整数），  由$$2(12{{k}^{2}}+1)\leqslant 2016$$得，$$k\leqslant 9$$，  ∴$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$9$$，  即得所有不超过$$2016$$的``和谐数''，它们的和为  $$\left[ {{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}} \right]+({{3}^{3}}-{{1}^{3}})+({{5}^{3}}-{{3}^{3}})+\cdots +({{17}^{3}}-{{15}^{3}})+({{19}^{3}}-{{17}^{3}})={{19}^{3}}+1=6860$$．  ``和谐数''设为$$m$$，它一定可以表示为$$m={{n}^{3}}-{{(n-2)}^{3}}$$，其中$$n$$为正整数．题目要求$$m\leqslant 2016$$，大致计算可得$$n$$最大为$$19$$，于是有  $$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，  $$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，  $$\cdots $$  $$1946={{19}^{3}}-{{17}^{3}}$$，  等式右边两两相消是有  ``和谐数''总和$$={{19}^{3}}-{{(-1)}^{3}}=6860$$，选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分
2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分
Problem: 对于三角形的三个外角，下面结论中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 可能有两个直角 
aoVal: B
content: 最少有一个锐角 
aoVal: C
content: 不可能有三个钝角 
aoVal: D
content: 最多有一个锐角 
Answer: D
Analysis: 由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，  所以它的三个外角中，不可能有两个直角，  可能有三个钝角（此时三角形的三个内角均为锐角）．  否定了$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，$$\text{C}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$的所有可能的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ ~ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分
初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分
Problem: 设$$a ~\textless{} ~0$$，则下述命题中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$的偶次方的偶次方是负数 
aoVal: B
content: $$a$$的奇次方的偶次方是负数 
aoVal: C
content: $$a$$的奇次方的奇次方是负数 
aoVal: D
content: $$a$$的偶次方的奇次方是负数 
Answer: C
Analysis: 有理数的偶次方得非负数．即可排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$．  $$a ~\textless{} ~0$$而$$a$$的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除$$\text{D}$$，因此应选$$\text{C}$$．  事实上$$a ~\textless{} ~0$$，$$a$$的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第4题
Problem: 如果$$a$$，$$b$$，$$c$$是三个任意整数，那么$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$．
Options:
aoVal: A
content: 都不是整数 
aoVal: B
content: 至少有两个整数 
aoVal: C
content: 至少有一个整数 
aoVal: D
content: 都是整数 
Answer: C
Analysis: 因为$$a$$，$$b$$，$$c$$是任意整数，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中至少有两个同为奇数或同为偶数，而两个奇数或两个偶数的和是偶数，故$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$中至少有一个是整数，如当$$a=1$$，$$b=2$$ ，$$c=3$$时，$$\frac{a+c}{2}=2$$，$$\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}=\frac{5}{2}$$．此时，恰有一个整数．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分
Problem: 小王沿街匀速行走，发现每隔$$6$$分钟从背后驶过一辆$$18$$路公交车，每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车．假设每辆$$18$$路公交车行驶速度相同，而且$$18$$路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$18$$路公交车的速度是$$x$$米/分，小王行走的速度是$$y$$米/分，同向行驶的相邻两车的间距为$$s$$米．  每隔$$6$$分钟从背后开过一辆$$18$$路公交车，则  $$6x-6y=s$$．①  每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车，则  $$3x+3y=s$$．②  由①②得，$$s=4x$$，所以$$\frac{s}{x}=4$$.  即$$18$$路公交车总站发车间隔的时间是$$4$$分钟． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的行程问题
Source: 2008年竞赛第7题6分
2016~2017学年福建泉州南安市南安市实验中学初一下学期期中第16题4分
2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市之江实验中学初一下学期期末第18题4分
2016~2017学年10月河南郑州二七区郑州实验外国语中学初一上学期月考第11题3分
Problem: 在一次视力检查中，初二$$(1)$$班的$$50$$人中只有$$8$$人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是．
Options:
aoVal: A
content: $$64.8{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$57.6{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$48{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$16{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 周角为$$360{}^{}\circ $$，对应全体学生，则表示视力达标的扇形的圆心角为  $$\frac{8}{50}\times 360{}^{}\circ =57.6{}^{}\circ $$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第1题
Problem: 1994年全美数学竞赛（AMC）竞赛  The number halfway between $$\frac{1}{6}$$ and $$\frac{1}{4}$$ is．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{24}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{7}{24}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{5}{12}$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{1}{6}$$和$$\frac{1}{4}$$中间的数是．  中间的数字是平均数，  $$\frac{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}}{2}=\frac{\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}}{2}=\text{C}\frac{5}{24}$$．  The number halfway between is the average.  $$\dfrac{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}}{2}=\dfrac{\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}}{2}=\dfrac{5}{24}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Basics
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
Source: 1994年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 已知关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}-6x-4{{n}^{2}}-32n=0$$的根都是整数，则整数$$n$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$或$$-18$$ 
aoVal: B
content: $$0$$或$$-8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$或$$-18$$或$$0$$或$$-8$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: 利用求根公式得到$$x=3\pm \sqrt{4{{n}^{2}}+32n+9}$$，  为使$$x$$为整数，只要求$$4{{n}^{2}}+32n+9={{k}^{2}}$$$$\left( k\geqslant 0 \right)$$，（这种方法在处理完全平方数的问题中很常用）  配方得到$${{\left( 2n+8 \right)}^{2}}-{{k}^{2}}=55$$，  即$$\left( 2n+8+k \right)\left( 2n+8-k \right)=55$$，  考虑到$$k$$是非负的，所以$$2n+8+k=55$$或$$11$$或$$-1$$或$$-5$$，  对应的$$2n+8-k=1$$或$$5$$或$$-55$$或$$-11$$．  得到$$n=10$$或$$0$$或$$-18$$或$$-8$$．  由题方程$${{x}^{2}}-6x-4{{n}^{2}}-32n=0$$的根都是整数，  则$${{b}^{2}}-4ac=36-4(-4{{n}^{2}}-32n)=4(4{{n}^{2}}+32n+9)$$为一个完全平方数，  所以$$4{{n}^{2}}+32n+9$$为一个完全平方数，  不妨设$$4{{n}^{2}}+32n+9={{k}^{2}}$$$$(k\geqslant 0)$$，（这种方法在处理完全平方数的问题中很常用）  配方得到$${{(2n+8)}^{2}}-{{k}^{2}}=55$$，  即$$(2n+8+k)(2n+8-k)=55$$，考虑到$$k$$是非负的，  所以$$2n+8+k=55$$或$$11$$或$$-1$$或$$-5$$，  对应的$$2n+8-k=1$$或$$5$$或$$-55$$或$$-11$$．得到$$n=10$$或$$0$$或$$-18$$或$$-8$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
Source: 2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题
2004年第21届全国初中数学联赛竞赛（第二试A）第1题
Problem: 设$$b\textless{}a\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{5}{2}ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$-3$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: 由$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{5}{2}ab$$，得  $${{(a+b)}^{2}}=\frac{9}{2}ab$$，$${{(a-b)}^{2}}=\frac{1}{2}ab$$，  即$${{\left( \frac{a+b}{a-b} \right)}^{2}}=9$$．  又$$b\textless{}a\textless{}0$$，  所以$$a+b\textless{}0$$，$$a-b\textgreater0$$，  所以$$\frac{a+b}{a-b}=-3$$．  故选($$\text{C}$$）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第2题4分
Problem: 下列命题正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$是最小的正有理数 
aoVal: B
content: $$-1$$是最大的负有理数 
aoVal: C
content: $$0$$是最小的正整数 
aoVal: D
content: $$0$$是最大的非正整数 
Answer: D
Analysis: $$\text{A}$$、$$\text{B}$$．没有最小的正有理数，也没有最大的负有理数，故$$\text{A}$$、$$\text{B}$$错误；  $$\text{C}$$．$$0$$既不是正数也不是负数，故$$\text{C}$$错误；  $$\text{D}$$．$$0$$是最大的非正整数，故$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
Source: 2019~2020学年9月四川成都青羊区成都市树德中学初一上学期周测A卷第4题3分
1999年第10届希望杯初一竞赛第2题
Problem: 分式$$\frac{6{{x}^{2}}+12x+10}{{{x}^{2}}+2x+2}$$可取得的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{6{{x}^{2}}+12x+10}{{{x}^{2}}+2x+2}=\frac{6{{x}^{2}}+12x+12-2}{{{x}^{2}}+2x+2}=6-\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+2}=6-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1}\geqslant 6-\frac{2}{1}=4$$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->式->分式->分式的基础->分式的值
知识标签->题型->式->分式->分式的运算->题型：分式约分
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛
Problem: 已知$$a$$是非零实数，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{{{a}^{2}}}{\textbar{{a}^{2}}\textbar}+\frac{{{a}^{3}}}{\textbar{{a}^{3}}\textbar}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$或$$-1$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$或$$1$$ 
aoVal: C
content: $$3$$或$$1$$ 
aoVal: D
content: $$-3$$或$$-1$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$a\textgreater0$$时，$$\textbar a\textbar=a$$，  ∴原式$$=1+1+1=3$$；  当$$a\textless{}0$$时，$$\textbar a\textbar=-a$$，$$\textbar{{a}^{3}}\textbar=-{{a}^{3}}$$，  ∴原式$$=-1+1-1=-1$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简
Source: 1995年第6届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 设$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，$$\frac{c}{d}\textgreater0$$．有如下四个结论：  ①如果$$ad\textgreater bc$$，则必定有$$\frac{a}{b}\textgreater\frac{c}{d}$$  ②如果$$ad\textgreater bc$$，则必定有$$\frac{a}{b} ~\textless{} ~\frac{c}{d}$$  ③如果$$ad ~\textless{} ~bc$$，则必定有$$\frac{a}{b} ~\textless{} ~\frac{c}{d}$$  ④如果$$ad ~\textless{} ~bc$$，则必定有$$\frac{a}{b}\textgreater\frac{c}{d}$$  其中正确结论的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 取$$a=-2$$，$$b=-3$$，$$c=4$$，$$d=5$$，$$\frac{a}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$$，$$\frac{c}{d}=\frac{4}{5}$$即$$\frac{a}{b}$$和$$\frac{c}{d}$$是正数，且$$ad\textgreater bc$$，此时结论①不成立；  取$$a=4$$，$$b=5$$，$$c=2$$，$$d=3$$，即$$\frac{a}{b}$$和$$\frac{c}{d}$$是正数，并且$$ad\textgreater bc$$，此时结论②不成立；  若③正确，则①正确；  若④正确，则②正确．所以，$$4$$个结论无一正确．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数的乘法法则
Source: 2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第5题
Problem: 已知三角形的三个内角度数之比为$$1:2:3$$，若这个三角形的最短边长为$$\sqrt{2}$$，那么它的最长边等于．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为$$1:2:3$$，容易得出三个内角为$$30{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$，$$30{}^{}\circ $$角对边为最短边，由题设知，它的边长为$$\sqrt{2}\cdot 90{}^{}\circ $$角所对边为最长边，即直角三角形的斜边，其长应为$$30{}^{}\circ $$角对边的$$2$$倍，即为$$2\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的性质->30°特殊角的性质应用
课内体系->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形->解直角三角形的综合应用
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->能力->运算能力
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第2题
Problem: 有下列三个命题：  （甲）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta $$是无理数；  （乙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$$是无理数；  （丙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }$$是无理数．  其中正确命题的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\alpha \beta +\alpha -\beta =\alpha \beta +\alpha -\beta -1+1=\left( \alpha -1 \right)\left( \beta +1 \right)+1$$，  只要令$$\alpha =1+\sqrt{2}$$，$$\beta =-1+\sqrt{2}$$，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta =3$$为有理数，所以（甲）不对；  又若令$$\alpha =2\sqrt{2}$$，$$\beta =\sqrt{2}$$，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{3}$$为有理数，所以（乙）不对；  又若令$$\alpha =\sqrt[3]{2}$$，$$\beta =-\sqrt{2}$$，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }=0$$为有理数，所以（丙）不对．  因此正确命题个数是$$0$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义
Source: 1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第6题7分
初三上学期其它
Problem: 若$${{a}^{2}}\geqslant {{a}^{3}}\geqslant 0$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{a}\geqslant \sqrt[3]{a}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{a}\leqslant \sqrt[3]{a}$$ 
aoVal: C
content: $$a\geqslant 1$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}a\textless{}1$$ 
Answer: B
Analysis: 由$${{a}^{3}}\geqslant 0$$，得$$a\geqslant 0$$，  由$${{a}^{2}}\geqslant {{a}^{3}}$$得，$${{a}^{2}}(1-a)\geqslant 0$$，  又$${{a}^{2}}\geqslant 0$$得，$$1-a\geqslant 0$$，$$a\leqslant 1$$，  即$$0\leqslant a\leqslant 1$$，  所以$$\sqrt{a}\leqslant \sqrt[3]{a}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->二次不等式
Source: 2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 若$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，且$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，则$$\angle AOB$$的度数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$54{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$81{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$99{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$162{}^{}\circ $$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，  ∴$$\angle AOB+\angle BOC=180{}^{}\circ $$．  ∵$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle AOB-\angle BOC=18{}^{}\circ $$．  两式相加，化简得$$\angle AOB=99{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->角->角度的运算->角的和差的计算与证明->角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 设$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$是三个连续的正整数，则（~ ）．  （说明：$$a$$可被$$b$$整除，记作$$b\textbar a$$．）
Options:
aoVal: A
content: $$a_{1}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$ 
aoVal: B
content: $$a_{2}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$ 
aoVal: C
content: $$a_{3}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$ 
aoVal: D
content: $${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$ 
Answer: B
Analysis: 依题意，设$${{a}_{1}}=n$$（$$n$$为正整数），  则$${{a}_{2}}=n+1$$，$${{a}_{3}}=n+2$$．  所以$${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}}=n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)\left[ n(n+2)+1 \right]={{(n+1)}^{3}}=a_{2}^{3}$$，  所以$$a_{2}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
Problem: ``$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$成等差数列''是``$$a+d=b+c$$''的（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 充分而不必要条件 
aoVal: B
content: 必要而不充分条件 
aoVal: C
content: 充分必要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: 由等差数列的性质可知命题的充分性，取$$a=1$$，$$b=2$$，$$c=4$$，$$d=5$$可知不满足必要性，即为充分不必要条件． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与数列结合
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2020~2021学年广东广州天河区广州中学高二上学期期中第7题5分
2016年北京西城区高三二模理科第5题5分
2017~2018学年山东泰安高三上学期期中理科第2题5分
2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
2016~2017学年北京西城区高二下学期期末文科第5题5分
2016~2017学年北京丰台区北京市第十二中学高二上学期期末理科第2题5分
2017~2018学年山东泰安高三上学期期中文科第2题5分
Problem: 设$$-1\textless{}a\textless{}0$$，$$\theta =\arcsin a$$，那么不等式$$\sin x\textless{}a$$的解集为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left { x\textbar2n \pi +\theta \textless{}x\textless{}\left( 2n+1 \right) \pi -\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$ 
aoVal: B
content: $$\left { x\textbar2n \pi -\theta \textless{}x\textless{}\left( 2n+1 \right) \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi +\theta \textless{}x\textless{}2n \pi -\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi- \theta \textless{}x\textless{}2n \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$ 
Answer: D
Analysis: ∵ $$-1\textless{}a\textless{}0$$，  ∴$$\theta =\arcsin a\in \left( -\frac{ \pi }{2},0 \right)$$．  在区间$$(- \pi , \pi )$$中，  满足方程$$\sin x=a$$的解为：  $$x=- \pi -\arcsin a$$或$$x=\arcsin a$$．  因此，不等式$$\sin x\textless{}a$$的解集为：  $$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi -\theta \textless{}x\textless{}2n \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->反三角函数
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 1986年全国高中数学联赛竞赛一试第1题