math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 已知关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}2a+3x\textgreater0    3a-2x\geqslant 0   \end{cases}$$恰有$$3$$个整数解，则$$a$$的取值范围是（~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{3}\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{3}\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{3} ~\textless{} ~a\leqslant \frac{3}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{3}\leqslant a ~\textless{} ~\frac{3}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 由于不等式组有解，则$$-\frac{2a}{3} ~\textless{} ~x\leqslant \frac{3a}{2}$$，必定有整数解$$0$$，  ∵$$\left\textbar{} \frac{3a}{2} \right\textbar\textgreater\left\textbar{} -\frac{2a}{3} \right\textbar$$，  ∴三个整数解不可能是$$-2$$，$$-1$$，$$0$$．  若三个整数解为$$-1$$，$$0$$，$$1$$，则不等式组$$\begin{cases}1\leqslant \frac{3a}{2} ~\textless~ 2   -3\leqslant -\frac{2a}{3} ~\textless~ -2   \end{cases}$$无解；  若三个整数解为$$0$$，$$1$$，$$2$$，则$$\begin{cases}2\leqslant \frac{3a}{2} ~\textless{} ~3    -1\leqslant -\frac{2a}{3} ~\textless{} ~0   \end{cases}$$，  解得$$\frac{4}{3}\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年5月四川绵阳涪城区绵阳南山中学双语学校初一下学期月考第12题3分
2017~2018学年湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校初一下学期期中第12题3分
2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期单元测试《不等式》第8题
2007年第18届希望杯初二竞赛第2试第7题
Problem: 小王与小李约定下午$$3$$点在学校门口见面，为此，他们在早上$$8$$点将自己的手表对准，小王于下午$$3$$点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢$$4$$分钟．如果小李按他自己的手表在$$3$$点到达，则小王还需要等（~ ）．（正确时间）
Options:
aoVal: A
content: $$26$$分钟 
aoVal: B
content: $$28$$分钟 
aoVal: C
content: $$30$$分钟 
aoVal: D
content: $$32$$分钟 
Answer: C
Analysis: 小李的表在$$7$$小时内比正确时间慢$$7\times 4=28$$分．  下午$$3$$时的时候，小李的表才$$2$$时$$32$$分，  小李的表走$$28$$分，正确的时间是$$28\times \frac{60}{56}=30$$（分）． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分
Problem: 掷$$2$$次骰子，第一次掷出的点数（骰子落地后，朝上一面的点数）记为$$a$$，第二次掷出的点数记为$$b$$，则点$$(a  ,  b)$$在直线$$y=2x$$上的概率为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{12}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{9}$$ 
Answer: B
Analysis: 总共有$$36$$种可能，其中$$a=1$$，$$b=2$$或$$a=2$$，$$b=4$$或$$a=3$$，$$b=6$$这三种结果能使点$$(a  ,  b)$$在直线$$y=2x$$上，  ∴点$$(a  ,  b)$$在直线$$y=2x$$上的概率为$$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的定义
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第3题
Problem: 有一架不准确的天平（左臂长为$$a$$厘米，右臂长为$$b$$厘米，$$a\ne b$$）某人用它来计量某件重物．先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用$${{m}_{1}}$$千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘，需用$${{m}_{2}}$$千克使天平平衡，于是用$$Q=\frac{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{2}$$千克估算重物的实际重量，若重物的实际重量为$$P$$千克，那么．
Options:
aoVal: A
content: $$Q\textgreater P$$ 
aoVal: B
content: $$Q=P$$ 
aoVal: C
content: $$Q\leqslant P$$ 
aoVal: D
content: $$Q ~\textless{} ~P$$ 
Answer: A
Analysis: 重物的实际重量为$$P$$，  ∴$$Pa={{m}_{1}}b$$，  ∴$${{m}_{1}}=\frac{a}{b}P$$，  同理$${{m}_{2}}=\frac{b}{a}P$$，  $$Q=\frac{1}{2}({{m}_{1}}+{{m}_{2}})$$  $$=\frac{1}{2}\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)P$$  $$=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2ab}P$$  $$=\frac{{{(a-b)}^{2}}+2ab}{2ab}P$$  $$=\left[ \frac{{{(a-b)}^{2}}}{2ab}+1 \right]P$$，  ∵$$a\ne b$$，  ∴$${{(a-b)}^{2}}\textgreater0$$，  ∴$$Q\textgreater P$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第10题4分
Problem: 已知直角三角形的边长均为整数，周长为$$30$$，则它的外接圆的面积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{121}{4} \pi $$ 
aoVal: B
content: $$\frac{169}{4} \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{225}{4} \pi $$ 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: B
Analysis: 设直角三角形的三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a\leqslant b\textless{}c$$），则$$a+b+c=30$$．  显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长$$c$$，下面先求$$c$$的值．  由$$a\leqslant b\textless{}c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textless{}3c$$，  所以$$c\textgreater10$$．  由$$a+b\textgreater c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textgreater2c$$，  所以$$c\textless{}15$$．  又因为$$c$$为整数，  所以$$11\leqslant c\leqslant 14$$．  根据勾股定理可得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，  把$$c=30-a-b$$代入，化简得$$ab-30(a+b)+450=0$$，  所以$$(30-a)(30-b)=450=2\times {{3}^{2}}\times {{5}^{2}}$$，  因为$$a$$，$$b$$均为整数且$$a\leqslant b$$，  所以只可能是$$\begin{cases}30-a={{5}^{2}}    30-b=2\times {{3}^{2}} \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}a=5    b=12 \end{cases}$$，  所以，直角三角形的斜边长$$c=13$$，三角形的外接圆的面积为$$\frac{169}{4} \pi $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的证明
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理应用->勾股定理的综合应用
课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第11题20分
2012年全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 若$${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{1994}^{z}}$$（其中$$a$$，$$b$$是自然数），且有$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$$，则$$2a+b$$的一切可能的取值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1001$$ 
aoVal: B
content: $$1001$$，$$3989$$ 
aoVal: C
content: $$1001$$，$$1996$$ 
aoVal: D
content: $$1001$$，$$1996$$，$$3989$$ 
Answer: C
Analysis: 由$${{a}^{x}}={{1994}^{x}}$$及$${{b}^{y}}={{1994}^{z}}$$可得$${{a}^{\frac{1}{z}}}={{1994}^{\frac{1}{x}}}$$及$${{b}^{\frac{1}{z}}}={{1994}^{\frac{1}{y}}}$$．  故$${{(ab)}^{\frac{1}{z}}}={{1994}^{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}}}={{1994}^{\frac{1}{z}}}$$．  因此$$ab=1994=1\times 1994=2\times 997$$．  但$$a$$，$$b$$均不为$$1$$，故有$$a=2$$，$$b=997$$，或$$a=997$$，$$b=2$$．  于是，$$2a+b=1001$$或$$1996$$．  故选 C． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->同底数幂的乘法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->积的乘方
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第8题6分
Problem: 方程$${{x}^{2}}+667x+1992=0$$的较大的那个实根的负倒数等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{664}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1}{667}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{1992}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 设较大的那个实根为$$x$$，  则当$$-\frac{1}{x}=\frac{1}{664}$$时，$$x=-664$$，  当$$-\frac{1}{x}=-\frac{1}{667}$$时，$$x=667$$，  当$$-\frac{1}{x}=\frac{1}{1992}$$时，$$x=-1992$$，  当$$-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$$时，$$x=-3$$．  由于方程$${{x}^{2}}+667x+1992=0$$不能有非负根，所以$$x=667$$排除，  剩下的$$-664$$，$$-1992$$，$$-3$$这三个数中，最大者为$$-3$$，  以$$-3$$代入原方程，恰好满足方程．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 已知抛物线$$y={{x}^{2}}-4x+3$$与$$x$$轴相交于点$$A$$，$$B$$（点$$A$$在点$$B$$左侧），顶点为$$M$$．平移该抛物线，使点$$M$$平移后的对应点$${M}'$$落在$$x$$轴上，点$$B$$平移后的对应点$${B}'$$落在$$y$$轴上．则平移后的抛物线解析式为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$y={{x}^{2}}+2x+1$$ 
aoVal: B
content: $$y={{x}^{2}}+2x-1$$ 
aoVal: C
content: $$y={{x}^{2}}-2x+1$$ 
aoVal: D
content: $$y={{x}^{2}}-2x-1$$ 
Answer: A
Analysis: 令$$y=0={{x}^{2}}-4x+3$$，$${{x}_{1}}=1$$，$${{x}_{2}}=3$$，  ∵$$A\left( 1,0 \right)$$，$$B\left( 3,0 \right)$$，$$y={{x}^{2}}-4x+3={{\left( x-2 \right)}^{2}}-1$$，  ∴$$M\left( 2,-1 \right)$$，  ∵平移后$${{M}^{\prime }}$$落在$$x$$轴上，  ∴图像向上平移$$1$$个单位，  ∵平移后$${{B}^{\prime }}$$落在$$y$$轴上，  ∴图像向左平移$$3$$个单位，  ∴平移后的解析式为$$y=(x-2+3){{}^{2}}-1+1=(x+1){{}^{2}}={{x}^{2}}+2x+1$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数的几何变换->二次函数平移变换
Source: 2018~2019学年10月天津河西区天津市海河中学初三上学期月考第12题3分
2017~2018学年1月陕西西安雁塔区西安市第八十五中学初三上学期月考第10题3分
2019~2020学年12月河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三上学期周测B卷第24题
2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛第8题4分
2017年天津中考真题第12题3分
2017~2018学年山东济宁汶上县初三上学期期末第9题3分
2018年陕西西安新城区西光中学初三中考二模第10题3分
2018年山东德州夏津县初三中考二模第11题4分
2017~2018学年3月陕西咸阳秦都区陕西科技大学附属中学初三下学期月考第1次（四模）第10题3分
2019~2020学年陕西西安雁塔区西安高新逸翠园学校初三上学期期末（西安高新第三中学联考）第8题3分
2017~2018学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初三上学期期中第8题3分
2019~2020学年山东威海文登区初三上学期期末（五四制）第8题3分
2017~2018学年2月天津天津市第二南开中学初三下学期月考第11题3分
2017~2018学年陕西西安高新区西安高新第一中学初三上学期期末第8题3分
2019~2020学年天津河北区天津外国语大学附属外国语学校初三上学期期末第10题3分
2017~2018学年9月浙江金华义乌市义乌市绣湖中学初一上学期月考第6题
2019年广东广州荔湾区广雅实验学校初三中考二模第8题3分
Problem: 数学课上，全班同学每人各报一个数．如果男生所报的数之和与女生所报的数之和相等，且男生所报数的平均值是$$-\frac{3}{8}$$，女生所报数的平均值是$$-\frac{1}{4}$$，那么全班同学所报数的平均值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{3}{12}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{5}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{3}{10}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{5}{12}$$ 
Answer: C
Analysis: 设男生人数为$$x$$，女生人数为$$y$$，所有男生所报数的和为$$S$$．根据题意，$$S=-\frac{3}{8}x=-\frac{1}{4}y$$，该班男生与女生的人数之比，与它们的平均数之比成反比，则女生人数是男生人数的$$\frac{y}{x}=\left( -\frac{3}{8} \right)\div \left( -\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{2}$$．则女生人数为$$y=\frac{3}{2}x$$．于是，全班所报数的平均数是：$$\frac{-\dfrac{3}{8}\times x+\left( -\dfrac{1}{4} \right)\times \dfrac{3}{2}x}{x+\dfrac{3}{2}x}=\left( -\frac{3}{4} \right)\div \left( 1+\frac{3}{2} \right)=-\frac{3}{10}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用
Source: 2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第5题
Problem: 若$$a+b+c=0$$，则$${{a}^{3}}+{{a}^{2}}c-abc+{{b}^{2}}c+{{b}^{3}}$$的值为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: $${{a}^{3}}+{{a}^{2}}c-abc+{{b}^{2}}c+{{b}^{3}}$$  $$=\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)c-abc$$  $$=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)c-abc$$  $$=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-ab\left( a+b \right)+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)c-abc$$  因为$$a+b+c=0$$，所以$$a+b=-c$$．  所以原式$$=-c\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+abc+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)c-abc=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第1题
Problem: 贝拉开始从她的房子走向她的朋友艾拉的房子．与此同时，艾拉开始骑自行车向贝拉的家走去．他们每个人都保持恒定的速度，$$Ella$$骑的速度是$$Bella$$走路速度的$5$倍．他们家之间的距离是$2$英里，也就是$10560$英尺，贝拉每走一步就走$2.5$英尺．当$$Bella$$遇到$$Ella$$的时候她会走多少步?
Options:
aoVal: A
content: $$704$$ 
aoVal: B
content: $$845$$ 
aoVal: C
content: $$1056$$ 
aoVal: D
content: $$1760$$ 
aoVal: E
content: $$3520$$ 
Answer: A
Analysis: Since Ella rides $$5$$ times as fast as Bella, Ella rides at a rate of $$2.5\times5=12.5$$. Together,they move $$15$$ feet towards each other every "step". Dividing $$10560$$ by $$15$$ to find the number of steps Ella takes results in the answer or $$\boxed{ (\rm A)704}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Travel Word Problems->Travel Word Problems on Straight Road
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-相遇问题
Source: 2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 下面的四个判断中，不正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$34{{x}^{3}}{{y}^{6}}$$与$$34{{a}^{3}}{{b}^{6}}$$不是同类项 
aoVal: B
content: $$3x$$和$$-3x+1$$不能互为相反数 
aoVal: C
content: $$4(x-7)=6(5-27x)$$和$$6(5-27y)=4(y-7)$$不是同解方程 
aoVal: D
content: $$3$$和$$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$$不能互为倒数 
Answer: C
Analysis: ①$$34{{x}^{3}}y6$$与$$34{{a}^{3}}{{b}^{6}}$$，因字母不同，不是同类项，所以$$\text{A}$$是正确的，排除$$\text{A}$$．  ②若$$3x$$与$$-3x+1$$互为相反数，则$$-(3x)=-3x+1$$得出$$0=1$$的矛盾．所以``$$3x$$和$$-3x+1$$不能互为相反数''这句话正确，排除$$\text{B}$$．  ③$$4(x-7)=6(5-27x)$$的解为$$\frac{29}{83}$$．  $$6(5-27y)=4(y-7)$$的解也是$$\frac{29}{83}$$．  因为这两个方程的解相同，因此，它们是同解方程．即$$\text{C}$$``$$4(x-7)=6(5-27x)$$和$$6(5-27y)=4(y-7)$$不是同解方程''这句话不正确．  ④若$$3$$与$$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$$互为倒数，则$$\frac{1}{3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow 0=\frac{1}{a}$$，矛盾．所以``$$3$$和$$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$$不能互为倒数''这句话是正确的，所以排除$$\text{D}$$．  综上所述，应选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第3题
Problem: 设$$b\ne c$$，且满足$$(\sqrt{3}+1)(a-b)+\sqrt{2}(b-c)=a-c$$，则$$\frac{a-b}{b-c}$$的值．
Options:
aoVal: A
content: 大于零 
aoVal: B
content: 等于零 
aoVal: C
content: 小于零 
aoVal: D
content: 正负号不确定 
Answer: C
Analysis: 因为$$(\sqrt{3}+1)(a-b)+\sqrt{2}(b-c)=a-c$$，  所以$$(\sqrt{3}+1)(a-b)+\sqrt{2}(b-c)-(a-b)-(b-c)=0$$，  所以$$\sqrt{3}(a-b)+(\sqrt{2}-1)\cdot (b-c)=0$$，  即$$\sqrt{3}(a-b)=(1-\sqrt{2})(b-c)$$，  因为$$b\ne c$$，$$b-c\ne 0$$，  所以$$\frac{a-b}{b-c}=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\textless{}0$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: $$-\frac{1997}{1998}$$，$$-\frac{97}{98}$$，$$-\frac{1998}{1999}$$，$$-\frac{98}{99}$$这四个数由小到大的排列顺序是（ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{98}{99}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{97}{98}$$ 
aoVal: C
content: $$-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{1998}{1999}$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{1997}{1998}$$ 
Answer: B
Analysis: ~将每个数都加$$1$$，大小次序不变．  $$-\frac{1997}{1998}+1=\frac{1}{1998}$$，$$-\frac{97}{98}+1=\frac{1}{98}$$．  $$-\frac{1998}{1999}+1=\frac{1}{1999}$$，$$-\frac{98}{99}+1=\frac{1}{99}$$．  因为$$\frac{1}{1999}\textless{}\frac{1}{1998}\textless{}\frac{1}{99}\textless{}\frac{1}{98}$$．  所以$$-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{97}{98}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 1999年第10届希望杯初一竞赛第7题
初一上学期其它
Problem: 如果$$a+\sqrt{2}ab+b=\sqrt{2}$$，且$$b$$是有理数，那么．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$是整数 
aoVal: B
content: $$a$$是有理数 
aoVal: C
content: $$a$$是无理数 
aoVal: D
content: $$a$$可能是有理数，也可能是无理数 
Answer: C
Analysis: 若$$a$$是有理数，由$$a+\sqrt{2}ab+b=\sqrt{2}$$，可知$$a+b=0$$，故$$-{{a}^{2}}\sqrt{2}=\sqrt{2}$$，$$-{{a}^{2}}=1$$，矛盾，$$a$$是无理数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数运算与参数问题
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$2014$$中选出不能表示成两个整数的平方差的数，这些数的和是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$507024$$ 
aoVal: B
content: $$508032$$ 
aoVal: C
content: $$1014049$$ 
aoVal: D
content: $$1015056$$ 
Answer: B
Analysis: 若整数$$a$$是奇数，  则$$a={{\left( \frac{a+1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a-1}{2} \right)}^{2}}$$．  若整数$$a$$是$$4$$的倍数，  则$$a={{\left( \frac{a}{4}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{4}-1 \right)}^{2}}$$．  若整数$$a$$是偶数，并且不是$$4$$的倍数，则$$a=4k\pm 2$$，  此情形下$$a$$不能表示成两个整数的平方差，理由如下：  设整数$$a=4k\pm 2$$可表示为$$a={{p}^{2}}-{{q}^{2}}$$，则$$p$$，$$q$$有相同的奇偶性．  当$$p$$，$$q$$都是奇数时，  有$$a={{p}^{2}}-{{q}^{2}}$$  $$={{(2m+1)}^{2}}-{{(2n+1)}^{2}}$$  $$=4({{m}^{2}}-{{n}^{2}}+m-n)$$，  则$$a$$是$$4$$的倍数，与$$a=4k\pm 2$$矛盾；  当$$p$$，$$q$$都是偶数时，  有$$a={{p}^{2}}-{{q}^{2}}$$  $$={{(2m)}^{2}}-{{(2n)}^{2}}$$  $$=4({{m}^{2}}-{{n}^{2}})$$，  则$$a$$也是$$4$$的倍数，与$$a=4k\pm 2$$矛盾．  因此，只有$$4k+2$$（$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$503$$）不能表示成两个整数的平方差．  它们的和是  $$2+6+10+\cdots +(4k+2)+\cdots +2006+2010+2014$$  $$=\frac{(2014+2)\times 504}{2}$$  $$=508032$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分
Problem: 等腰三角形的周长为$$a\text{cm}$$．一腰的中线将周长分成$$5:3$$，则三角形的底边长为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{a}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{5}a$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{a}{6}$$或$$\frac{3}{5}a$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{5}a$$ 
Answer: A
Analysis: 设等腰三角形的腰长为$$b\text{cm}$$，底边长为$$c\text{cm}$$，$$c=a-2b$$，分两种情形讨论：  （$$1$$）若$$\dfrac{b+\dfrac{b}{2}}{c+\dfrac{b}{2}}=\frac{5}{3}$$，即$$\frac{\dfrac{3}{2}b}{a-\dfrac{3}{2}b}=\frac{5}{3}$$，  解得$$b=\frac{5}{12}a$$，所以$$c=a-2\times \frac{5}{12}a=\frac{a}{6}$$．  （$$2$$）若$$\frac{c+\dfrac{b}{2}}{b+\dfrac{b}{2}}=\frac{5}{3}$$，即$$\frac{a-\dfrac{3}{2}b}{\dfrac{3}{2}b}=\frac{5}{3}$$，  解得$$b=\frac{a}{4}$$，所以$$c=a-2\times \frac{a}{4}=\frac{a}{2}$$．  这是不可能的，因此选$$\text{A}$$．  事实上，$$\frac{3}{5}a$$已超过$$a$$的一半，即三角形有一边大于其他两边之和，这是不可能的，所以排除$$B$$，$$C$$，$$D$$，．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形
Source: 1992年第3届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 有理数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} a-b \right\textbar$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b\geqslant 0$$ 
aoVal: B
content: $$a+b\textless{}0$$ 
aoVal: C
content: $$ab\textless{}0$$ 
aoVal: D
content: $$ab\geqslant 0$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} a-b \right\textbar$$有$${{\left( a+b \right)}^{2}}\textless{}{{\left( a-b \right)}^{2}}$$，  即$${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\textless{}{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$$．  不等式两边都减去$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$，然后除以$$2$$，则有$$ab\textless{}-ab$$，  只有$$ab\textless{}0$$时才能成立，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第9题
Problem: 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：``你若给我$$2$$元，我的钱数将是你的$$n$$倍''，小玲对小倩说：``你若给我$$n$$元，我的钱数将是你的$$2$$倍''，其中$$n$$为正整数，则$$n$$的可能值的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 设小倩所有的钱数为$$x$$元，小玲所有的钱数为$$y$$元，$$x$$，$$y$$均为非负整数，由题设可得$$\begin{cases}x+2=n(y-2)    y+n=2\left( x-n \right)   \end{cases}$$，  消去$$x$$得$$\left( 2y-7 \right)n=y+4$$，  $$2n=\frac{\left( 2y-7 \right)+15}{2y-7}=1+\frac{15}{2y-7}$$，  因为$$\frac{15}{2y-7}$$为正整数，所以$$2y-7$$的值分别为$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$15$$，所以$$y$$的值只能为$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$11$$，从而$$n$$的值分别为$$8$$、$$3$$、$$2$$、$$1$$，$$x$$的值分别为$$14$$、$$7$$、$$6$$、$$7$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第4题4分
2012年竞赛第4题4分
Problem: 三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$9$$种 
aoVal: B
content: $$10$$种 
aoVal: C
content: $$11$$种 
aoVal: D
content: $$12$$种 
Answer: C
Analysis: 设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\left { \begin{matrix}y+z=30-x    3y+4z=100-2x   \end{matrix} \right.$$，  解得$$\left { \begin{matrix}y=20-2x    z=10+x   \end{matrix} \right.$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分
Problem: 如果方程$$\left\textbar3x\right\textbar-ax-1=0$$的根是负数，那么$$a$$的取值范围是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater-3$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 3$$ 
aoVal: C
content: $$a \textless{} 3$$ 
aoVal: D
content: $$a\leqslant -3$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$时，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第10题
Problem: 化简分式$$\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x-y} \right)$$的结果是．
Options:
aoVal: A
content: $${{y}^{2}}-{{x}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{2}}-4{{y}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x+y} \right)$$  $$=\frac{{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+4xy}{x-y}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4xy}{x+y}$$  $$=\frac{{{(x+y)}^{2}}}{x-y}\cdot \frac{{{(x-y)}^{2}}}{x+y}$$  $$=(x+y)(x-y)$$  $$={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 1996年第7届希望杯初二竞赛第1题4分
Problem: 一个凸多边形剪去一个角后形成的多边形的内角和是$$2520{}^{}\circ $$，则原多边形的边数是．
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$15$$或$$16$$ 
aoVal: D
content: $$15$$或$$16$$或$$17$$ 
Answer: D
Analysis: 设这个多边形的边数是$$n$$．  由题意得：$$(n-2)\times 180{}^{}\circ =2520{}^{}\circ $$，  解得$$n=16$$．  所以这个多边形的边数是$$16$$．  故原多边形的边数为$$15$$或$$16$$或$$17$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第7题
2018~2019学年浙江杭州下城区杭州观成中学初二下学期单元测试《平行四边形》第8题3分
Problem: 每只玩具熊的售价为$$250$$元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$， $$8$$．卖家说：``第$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$\cdots $$，$$8$$号饰物依次要收$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$，$$\cdots $$，$$128$$元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．''若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$元 
aoVal: B
content: $$-5$$元 
aoVal: C
content: $$6$$元 
aoVal: D
content: $$-6$$元 
Answer: B
Analysis: $$1+2+4+8+16+32+64+128=255$$（元）．  $$250-255=-5$$（元）．  则这只熊比原售价便宜了$$-5$$元．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第2题4分
Problem: 这个算式的值是多少$$4\cdot (-1+2-3+4-5+6-7+\cdots +1000)$$?．
Options:
aoVal: A
content: $$-10$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$500$$ 
aoVal: E
content: $$2000$$ 
Answer: E
Analysis: 求$$4\cdot (-1+2-3+4-5+6-7+\cdots +1000)$$．  注意，我们可以每两个数字配对，得出$$\left( -1+2-3+4-\cdot \cdot \cdot +1000 \right)=\left( \left( -1+2 \right)+\left( -3+4 \right)+\cdot \cdot \cdot +\left( -999+1000 \right) \right)$$$$=\left( 1+1+\cdot \cdot \cdot 1 \right)=500$$，  因此答案是$$4\times 500=2000$$．  故选$$\text{E}$$．  Notice that we can pair up every two numbers to make a sum of $$1$$:  $$(-1+2-3+4-\cdots+1000)$$  $$=((-1+2)+(-3+4)+\cdots+(-999+1000))$$  $$=(1+1+\cdots+1)$$  $$= 500$$  Therefore, the answer is $$4\cdot500=\boxed{(\text{E})2000}$$. 
Knowledge points: 美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Integers->Addition and subtraction of integers
课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->分组求和
Source: 2013年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 已知$$a$$为实数，关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=22    2x+2y=a   \end{array} \right.$$有整数解，则$$a$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=22    2x+2y=a   \end{array} \right.$$得$$\left( a-2 \right)x=22-a$$，∴$$x=\frac{22-a}{a-2}=-1+\frac{20}{a-2}$$；  由$$2x+2y=a$$，可知$$a$$必为偶数，又$$-1+\frac{20}{a-2}$$为整数，所以$$a=0,4,6,-2,12,-8,22,-18$$ 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->题型：含参整数解问题
知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：加减消元法
知识标签->学习能力->运算能力
Source: 2016年全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 若方程$${{x}^{2}}+2px-3p-2=0$$的两个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$满足$$x_{1}^{2}+x_{1}^{3}=4-(x_{2}^{2}+x_{2}^{3})$$，则实数$$p$$的所有可能的值之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{5}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 因为方程$${{x}^{2}}+2px-3p-2=0$$两个不相等的实数根，  故$$\Delta ={{(2p)}^{2}}+4(3p+2)=4{{p}^{2}}+12p+8\textgreater0$$，  解得$$p\textless{}-2$$或$$p\textgreater-1$$．  因为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$满足$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2p$$，$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-3p-2$$，  故$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$  $$=4{{p}^{2}}+2(3p+2)$$  $$=4{{p}^{2}}+6p+4$$，  $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=({{x}_{1}}+{{x}_{2}})(x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})$$  $$=-2p(4{{p}^{2}}+6p+4+3p+2)$$  $$=-8{{p}^{3}}-18{{p}^{2}}-12p$$，  由$$x_{1}^{2}+x_{1}^{3}=4-(x_{2}^{2}+x_{2}^{3})$$得$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=4$$  即$$4{{p}^{2}}+6p+4-8{{p}^{3}}-18{{p}^{2}}-12p=4$$，  整理得$$p(4p^{2}-7p-3)=0$$，  解得$${{p}_{1}}=\frac{7+\sqrt{97}}{8}$$，$${{p}_{2}}=\frac{7-\sqrt{97}}{8}$$，$${{p}_{3}}=0$$．  ∵$$p\textless{}-2$$或$$p\textgreater-1$$，  ∴$$p=\frac{7\pm\sqrt{97}}{8}$$，  ∴实数$$p$$的所有可能的值之和为$$\frac{7}{4}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分
Problem: $$x$$是正数，$$\textless{}x\textgreater$$表示不超过$$x$$的质数的个数，如$$\textless{}5.1\textgreater=3$$．即不超过$$5.1$$的质数有$$2$$，$$3$$，$$5$$共$$3$$个．那么$$\textless{}\textless{}19\textgreater+\textless{}93\textgreater+\textless{}4\textgreater\times \textless{}1\textgreater\times \textless{}8\textgreater\textgreater$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: $$\textless{}19\textgreater$$为不超过$$19$$的质数，有$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$19$$共$$8$$个．  $$\textless{}93\textgreater$$为不超过$$93$$的质数，共$$24$$个，易知$$\textless{}1\textgreater=0$$．  所以$$\textless{}\textless{}19\textgreater+\textless{}93\textgreater+\textless{}4\textgreater\times \textless{}1\textgreater\times \textless{}8\textgreater\textgreater=\textless{}\textless{}19\textgreater+\textless{}93\textgreater\textgreater=\textless{}8+24\textgreater=\textless{}32\textgreater=11$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第9题