math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 设有三个函数，第一个是$$y=\varphi \left( x \right)$$，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线$$x+y=0$$对称．那么第三个函数是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=-\varphi \left( x \right)$$ 
aoVal: B
content: $$y=-\varphi \left( -x \right)$$ 
aoVal: C
content: $$y=-{{\varphi }^{-1}}\left( x \right)$$ 
aoVal: D
content: $$y=-{{\varphi }^{-1}}\left( -x \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 第一个函数的图象与第二个函数的图象关于$$x-y=0$$对称，第二个函数的图象与第三个函数的图象关于$$x+y=0$$对称，所以第一个函数的图象与第三个函数的图象关于原点对称． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1988年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 命题``所有实数的平方都是正数''的否定为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 所有实数的平方都不是正数 
aoVal: B
content: 有的实数的平方是正数 
aoVal: C
content: 至少有一个实数的平方是正数 
aoVal: D
content: 至少有一个实数的平方不是正数 
Answer: D
Analysis: ∵``全称命题''的否定一定是``存在性命题''，  ∴命题``所有实数的平方都是正数''的否定是：``至少有一个实数的平方不是正数''．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->逻辑联结词
课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->全称量词命题与存在量词命题的否定
Source: 2016年湖南郴州高三三模理科第2题5分
2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
2016年湖南郴州高三三模文科第3题5分
Problem: 如果在区间$$[1,2]$$上，函数$$f(x)={{x}^{2}}+px+q$$与$$g(x)=x+\frac{1}{{{x}^{2}}}$$在同一点取相同的最小值，那么$$f(x)$$在该区间上的最大值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4+\frac{11}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$ 
aoVal: B
content: $$4-\frac{5}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$ 
aoVal: C
content: $$1-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$ 
aoVal: D
content: 以上答案都对 
Answer: B
Analysis: 在$$[1,2]$$上$$g(x)=x+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}$$，  ∵$$f(x)$$与$$g(x)$$在同一点上取相等的最小值，  当$$\frac{x}{2}=\frac{1}{{{x}^{2}}}$$，即$$x=\sqrt[2]{3}{\in }\left[ 1    2 \right]$$时，$$g{{(x)}_{最小}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}$$，  ∴$$-\frac{p}{2}=\sqrt[3]{2}$$，$$\frac{4q-{{p}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}$$，  解得：$$p=-2\sqrt[3]{2}$$，$$q=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$，  于是$$f(x)={{x}^{2}}-2\sqrt[2]{2x}+\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$，  由于$$\sqrt[3]{2}-1\textless{}2-\sqrt[3]{2}$$，  ∴$$f{{(x)}_{最大}}=f(2)=4-\frac{5}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 1996年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
Problem: 函数$$y={{\text{e}}^{x}}$$的图象与直线$$x=0$$、直线$$y=\text{e}$$所围成的区域面积是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\text{e}-1$$ 
aoVal: C
content: $$\text{e}$$ 
aoVal: D
content: $$2\text{e}-1$$ 
Answer: A
Analysis: 就是$$\int_{0}^{1}{\left( \text{e}-{{\text{e}}^{x}} \right)\text{dx}=1}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->积分
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设实数$$r\textgreater1$$，如果复平面上的动点$$z$$满足$$\textbar z\textbar=r$$，则动点$$\omega =z+\frac{1}{z}$$的轨迹是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 焦距为$$4$$的椭圆 
aoVal: B
content: 焦距为$$\frac{4}{r}$$的椭圆 
aoVal: C
content: 焦距为$$2$$的椭圆 
aoVal: D
content: 焦距为$$\frac{2}{r}$$的椭圆 
Answer: A
Analysis: 令$$z=r\left( \cos \theta +\text{i}\sin \theta \right)$$，则  $$\omega =r\left( \cos \theta +\text{i}\sin \theta \right)+\frac{1}{r}\left( \cos \theta -\text{i}\sin \theta \right)=\left( r+\frac{1}{r} \right)\cos \theta +\text{i}\cdot \left( r-\frac{1}{r} \right)\sin \theta $$，  设$$\omega =x+y\text{i}$$，则$$\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( r+\frac{1}{r} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( r-\frac{1}{r} \right)}^{2}}}=1$$，  这是一个椭圆．$${{c}^{2}}={{\left( r+\frac{1}{r} \right)}^{2}}-{{\left( r-\frac{1}{r} \right)}^{2}}=4$$，焦距为$$4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程
竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根
竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用
Source: 2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
2009年上海复旦大学自主招生千分考第23题
高三上学期单元测试《复数》自招第3题
Problem: 顶点在同一球面上的正四棱柱$$ABCD-{A}'{B}'{C}'{D}'$$中，$$AB=1$$，$$A{A}'=\sqrt{2}$$，则$$A$$，$$C$$两点间的球面距离为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\pi }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi $$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi $$ 
Answer: B
Analysis: 设球心为$$O$$，则$$O$$为正四棱柱对角线的交点，  因为$$AC=\sqrt{2}$$，$$A{C}'=2$$，  故$$OA=OC=1$$，$$\triangle OAC$$为直角三角形，  $$\angle AOC=\frac{ \pi }{2}$$，故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
Problem: 设$$f(x)$$是连续的偶函数，且当$$x\textgreater0$$时$$f(x)$$是单调函数，则满足$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)$$的所有$$x$$之和为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$-8$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$f(x)$$的性质知$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)\Rightarrow \left\textbar{} x \right\textbar=\left\textbar{} \frac{x+3}{x+4} \right\textbar$$，若$$x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+3x-3=0$$，有解，且两根之和为$$-3$$；  若$$-x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+5x+3=0$$，有解，且两根之和为$$-5$$，故总和为$$-8$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->抽象函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->函数奇偶性的运算
Source: 2017~2018学年10月北京海淀区清华大学附属中学高一上学期月考理科第5题
2008年高考真题辽宁卷理科第12题5分
2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 已知$$p:\sqrt{1+\sin 2\alpha }=\frac{4}{3}$$和$$q:\left\textbar{} \sin \alpha +\cos \alpha \right\textbar=\frac{4}{3}$$．则$$p$$是$$q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分但不必要条件 
aoVal: B
content: 必要但不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: C
Analysis: 因为$$\sqrt{1+\sin 2\alpha }=\sqrt{{{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^{2}}}=\left\textbar{} \sin \alpha +\cos \alpha \right\textbar=\frac{4}{3}$$，故$$p$$是$$q$$的充要条件．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知$$\text{sin}\left( \frac{\pi }{6}-\theta \right)=\text{cos}\left( \frac{\pi }{6}+\theta \right)$$，则$$\cos 2\theta =$$（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 1 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: 0 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，可得$$\tan \theta =-1$$，即可得到$$\theta =-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$，再根据诱导公式即可求出$$\cos 2\theta $$.\\ 【详解】\\ 因为$$\text{sin}\left( \frac{\pi }{6}-\theta \right)=\text{cos}\left( \frac{\pi }{6}+\theta \right)$$，所以$$\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\text{sin}\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\text{sin}\theta $$，\\ 所以$$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\text{sin}\theta =\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cos \theta $$，所以$$\tan \theta =-1$$，\\ 所以$$\theta =-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$，\\ 所以$$\cos 2\theta =\cos \left[ 2\times \left( -\frac{\pi }{4}+k\pi \right) \right]=\cos \left( -\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=\cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)=0,k\in \mathbf{Z}$$.\\ 故选：D. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式
Source: 2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题
2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题
2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题
2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题
2021~2022学年四川南充顺庆区四川省南充高级中学高二上学期开学考试理科第5~5题
Problem: 对于多少个整数$$x$$来说，点$$(x,-x)$$在以$$(5.5)$$为中心的半径为$$10$$的圆内或圆上？
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
aoVal: E
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: The equation of the circle is $$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=100$$. Plugging in the given conditions we have $$(x-5)^{2}+(-x-5)^{2}\leqslant 100$$. Expanding gives: $$x^{2}-10x+25+x^{2}+10x+25\leqslant 100$$, which simpifies to $$x^{2}\leqslant 25$$ and therefore $$x\leqslant 5$$ and $$x\geqslant -5$$. So $$x$$ ranges from $$-5$$ to $$5$$, for a total of $$\boxed{\rm (A)\textasciitilde11}$$ values. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程->圆的标准方程问题
美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle
Source: 2015年AMC10竞赛B第12题
Problem: 已知$\cos \alpha =\frac{1}{3}$，$\cos \left( \beta -\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0\textless{} \beta \textless{} \alpha \textless{} \pi $，则$\cos \beta =$
Options:
aoVal: A
content: $-\frac{5\sqrt{3}}{9}$ 
aoVal: B
content: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 
aoVal: C
content: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ 
aoVal: D
content: $\frac{5\sqrt{3}}{9}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用同角三角函数之间的关系求出$\sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3},\sin\left( \beta -\alpha \right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$，再利用$\cos \beta =\cos \left[ \left( \beta -\alpha \right)+\alpha \right]$求解即可.\\ 【详解】\\ $\because $ $\text{cos}\alpha =\frac{1}{3}$，$\text{cos}\left( \beta -\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0\textless{} \beta \textless{} \alpha \textless{} \pi $，\\ $\therefore -\pi \textless{} \beta -\alpha \textless{} 0$，\\ $\therefore \sin\alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\sin\left( \beta -\alpha \right)=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$，\\ $\therefore \cos \beta =\cos \left[ \left( \beta -\alpha \right)+\alpha \right]$\\ $=\cos \left( \beta -\alpha \right)\cos \alpha -\sin\left( \beta -\alpha \right)\sin\alpha $\\ $=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \left( -\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{5\sqrt{3}}{9}$，故选D.\\ 【点睛】\\ 三角函数求值有三类，(1)``给角求值''：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)``给值求值''：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于``变角''，使其角相同或具有某种关系．(3)``给值求角''：实质是转化为``给值求值''，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 
Source: 2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题
2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题
2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题
2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第8题
Problem: 设$$n$$为正整数，$$x={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}},  y={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n+1}}$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{y}}\textgreater{{y}^{x}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{y}}={{y}^{x}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{y}}\textless{}{{y}^{x}}$$ 
aoVal: D
content: 以上都有可能 
Answer: B
Analysis: 由于$$x=\frac{{{(n+1)}^{n}}}{{{n}^{n}}},  y=\frac{{{(n+1)}^{n+1}}}{{{n}^{n+1}}}$$，取对数易得$${{x}^{y}}={{y}^{x}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 甲、乙两人参加一次选举，已知结果：甲7票，乙5票，则计票过程中，甲的票数始终领先乙的概率以及甲的票数始终不落后于乙的概率分别为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\frac{1}{6},\frac{3}{8}$ 
aoVal: B
content: $\frac{1}{12},\frac{3}{8}$ 
aoVal: C
content: $\frac{1}{6},\frac{3}{13}$ 
aoVal: D
content: $\frac{1}{12},\frac{3}{13}$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据卡特兰数的模型可求甲的票数始终领先乙的概率以及甲的票数始终不落后于乙的概率.\\ 【详解】\\ 根据卡特兰数的模型，可得甲的票数不落后于乙的概率为$\frac{{\mathrm{C}}_{12}^{5}-{\mathrm{C}}_{12}^{4}}{{\mathrm{C}}_{12}^{5}}=\frac{297}{792}=\frac{3}{8}$．\\ 甲的票数领先乙的概率为（第一票必然为甲获得，相等于甲6票，乙5票的卡特兰模型）\\ $\frac{{\mathrm{C}}_{11}^{5}-{\mathrm{C}}_{11}^{4}}{{\mathrm{C}}_{12}^{5}}=\frac{132}{792}=\frac{1}{6}$．\\ 故选：A. 
Source: 竞赛第14题
Problem: 设正项等比数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{2}^{\^{10}}}{{S}_{30}}+{{S}_{10}}=({{2}^{10}}+1){{S}_{20}}$$，则数列$$ {{{a}_{n}} }$$的公比为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: $${{2}^{10}}\left( 1+{{q}^{10}}+{{q}^{20}} \right)+1=\left( {{2}^{10}}+1 \right)\left( 1+{{q}^{10}} \right)$$，解得$${{q}^{10}}=\frac{1}{{{2}^{10}}}$$，所以$$q=\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知$$ABC$$是平面上不共线的三点，$$G$$是三角形$$ABC$$的重心，动点$$P$$满足$$\overrightarrow{GP}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{GA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC} \right)$$，则点$$P$$一定为三角形$$ABC$$的．
Options:
aoVal: A
content: $$AB$$边中线的中点 
aoVal: B
content: $$AB$$边中线的三等分点（非重心） 
aoVal: C
content: 重心 
aoVal: D
content: $$AB$$边的中点 
Answer: B
Analysis: 由选项知，本题应该选择$$C$$为起点，  于是得：$$6\overrightarrow{CP}-6\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CG}-4\overrightarrow{CG}$$，  从而$$6\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$$，即$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$$，  取$$AB$$边的中点$$M$$，则$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$$，从而$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$$，  即点$$P$$为三角形中$$AB$$边上的中线的一个三等分点，且点$$P$$不是重心．  点评：由$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$$，$$\frac{1}{6}:\frac{1}{6}=1$$知点$$P$$在$$BC$$边的中线上；由$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$知，是中线上靠近$$C$$的一个三等分点，且不是重心，  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学运算
知识标签->素养->数学建模
知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量与三角形的“心”
知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->几何、代数、坐标进行的线性运算
知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的数乘运算及运算规则
知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 对$n$个正整数用\emph{k}种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设\emph{k}的最大值为$f(n)$，则（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$ 
aoVal: B
content: $\log _{2}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$ 
aoVal: C
content: $\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n$ 
aoVal: D
content: $\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{3}n+1$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用特例可判断BCD的正误，利用整除性和数学归纳法可判断A的正误.\\ 【详解】\\ 取$n=4$，则$f(4)=3$，将1234染成$ABBC$即可．因此选项CD错误．\\ 下面证明$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$．\\ 设$v(n,p)$为正整数\emph{n}中素数\emph{p}的幂次，即$p^{v(n,p)}\parallel n$．\\ 对于任意的正整数$m(1\leq m\leq n)$，将\emph{m}染成第$v(m,3)+1$种颜色，这样就用了$\left[\log _{3}n\right]+1$种颜色．\\ 此时对于任意不同色的正整数\emph{x}，\emph{y}，有$v(2x-y,3)=v(2y-x,3)=\min  {v(x,3),v(y,3) }$，\\ 因此$2x-y$和$2y-x$均与\emph{x}，\emph{y}之一同色，符合题意．这样就证明了$f(n)\geq \left[\log _{3}n\right]+1\textgreater{} \log _{3}n$．\\ 接下来设$2^{k}\leq n\textless{} 2^{k+1}\left(k\in \mathbf{N}^{\ast }\right)$，则右侧不等式即$f(n)\leq k+1$．\\ 对\emph{k}进行归纳，应用数学归纳法证明．\\ 当$k=1$时，$n=2,3$，此时$f(n)=2$，命题成立．\\ 假设命题对$k-1$成立，对已有$1,2,\cdots ,2^{k}-1$的染色，考虑1，2，\ldots，\emph{n}的染色，若其中有两种或两种以上新增的颜色，不妨设为红色和蓝色，且最小的红色数为\emph{x}，最小的蓝色数为\emph{y}，且$x\textless{} y$，则$2^{k}\leq x\textless{} y\leq n\textless{} 2^{k+1}\Rightarrow 2x-y\textgreater{} 0$，\\ 考虑正整数$2x-y$，它与异色数对$(x,y)$成等差数列，于是必然与\emph{x}，\emph{y}之一同色，但$2x-y\textless{} x\textless{} y$，这与之前假设的\emph{x}，\emph{y}的最小性矛盾．\\ 因此1，2，\ldots，\emph{n}的染色至多在之前的基础上增加1种，从而命题得证．\\ 综上所述，有$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$．\\ 接下来考虑$n=9$的情形，此时$f(n)=3$，排除选项B．\\ 故选：A. 
Source: 竞赛第16题
Problem: 已知正数$$a,b,c,d$$满足$$a+2b=1c+2d=1$$，则$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{16}$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$c+2d=1\geqslant 2\sqrt{2cd}\Rightarrow cd\leqslant \frac{1}{8}$$，所以  $$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{8}{b}=\left( \frac{1}{a}+\frac{8}{b} \right)\left( a+2b \right)=17+\frac{2b}{a}+\frac{8a}{b}\geqslant 17+8=25$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 将$$1,2,\cdots , 19 $$中任意两个互异的数作乘积．则所有这种乘积的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$15815$$ 
aoVal: B
content: $$16815$$ 
aoVal: C
content: $$17815$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 无 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用
课内体系->知识点->等式与不等式->等式->代数式化简求值
Source: 2019年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题10分
Problem: 甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一，设$${{p}_{n}}$$表示经过$$n$$次传递后球回到甲手中的概率，则$${{p}_{6}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{19}{81}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{20}{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{59}{243}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{61}{243}$$ 
Answer: D
Analysis: 经过一次传递后，球落在乙、丙、丁手中的概率分别为$$\frac{1}{3}$$，而落在甲手中的概率为$$0$$，因此$${{p}_{1}}=0$$．两次传递后球落在甲手中的概率为  $${{p}_{2}}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$．  下面考虑递推．要想经过$$n$$次传递后球落在甲的手中，那么在$$n-1$$次传递后球一定不在甲手中，所以$${{p}_{n}}=\frac{1}{3}(1-{{p}_{n-1}})$$，$$n=1,2,3,4,\cdots $$因此  $${{p}_{3}}=\frac{1}{3}(1-{{p}_{2}})=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$，  $${{p}_{4}}=\frac{1}{3}(1-{{p}_{3}})=\frac{1}{3}\times \frac{7}{9}=\frac{7}{27}$$，  $${{p}_{5}}=\frac{1}{3}(1-{{p}_{4}})=\frac{1}{3}\times \frac{20}{27}=\frac{20}{81}$$，  $${{p}_{6}}=\frac{1}{3}(1-{{p}_{5}})=\frac{1}{3}\times \frac{61}{81}=\frac{61}{243}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->概率->条件概率与事件的独立性->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式
知识标签->知识点->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质
知识标签->题型->概率->事件的独立性与条件概率->概率乘法公式问题
知识标签->素养->逻辑推理
Source: 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第10题9分
Problem: 把圆$${{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1$$与椭圆$$9{{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=9$$的公共点，用线段连接起来所得到的图形为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 线段 
aoVal: B
content: 不等边三角形 
aoVal: C
content: 等边三角形 
aoVal: D
content: 四边形 
Answer: C
Analysis: 圆$${{x}^{2}}+(y-1)=1$$与椭圆$$9{{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=9$$的交点$$A(xy)$$的坐标应满足方程，$${{x}^{2}}+\frac{{{(y+1)}^{2}}}{9}={{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}$$，  解得，$$y=2$$，或$$\frac{1}{2}$$．于是相应地求得$$x=0$$，或$$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$．这样．得到给定圆与椭圆的三个交点：$${{A}_{1}}(0,2)$$，$${{A}_{2}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}    \frac{1}{2} \right)$$，$${{A}_{3}}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}    \frac{1}{2} \right)$$易求得，$$\left\textbar{} {{A}_{1}}{{A}_{2}} \right\textbar=\left\textbar{} {{A}_{1}}{{A}_{3}} \right\textbar=\left\textbar{} {{A}_{2}}{{A}_{3}} \right\textbar=\sqrt{3}$$，  因此所得到的图形为正三角形．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程
Source: 1996年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题
Problem: 将曲线$$y={{\log }_{2}}x$$沿$$x$$轴正方向移动$$1$$个单位，再沿$$y$$轴负方向移动$$2$$个单位，得到曲线$$C$$．在下列曲线中，与$$C$$关于直线$$x+y=0$$对称的是．
Options:
aoVal: A
content: $$y={{2}^{x+2}}-1$$ 
aoVal: B
content: $$y=-{{2}^{x+2}}-1$$ 
aoVal: C
content: $$y=-{{2}^{2-x}}-1$$ 
aoVal: D
content: $$y={{2}^{2-x}}-1$$ 
Answer: C
Analysis: 曲线$$C$$：$$y={{\log }_{2}}\left( x-1 \right)-2$$，与$$C$$关于$$x+y=0$$对称：$$-x={{\log }_{2}}\left( -y-1 \right)-2$$，  化简得$$y=-{{2}^{2-x}}-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知点$$A$$为双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$$的左顶点，点$$B$$和点$$C$$在双曲线的右分支上，$$\triangle ABC$$是等边三角形，则$$\triangle ABC$$的面积是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$3\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$6\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 设点$$B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$和点$$C\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+y_{1}^{2}={{\left( {{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+y_{2}^{2}    x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=x_{2}^{2}-y_{2}^{2}=1   \end{array} \right.$$$$\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 \right)=0$$，  因为点$$B$$和点$$C$$在双曲线的右分支上，  所以$${{x}_{1}}={{x}_{2}}$$，$${{k}_{AB}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，  所以$$AB$$直线方程为$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( x+1 \right)$$，  联立$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( x+1 \right)    {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1   \end{array} \right.$$，  得$$\left\textbar{} AB \right\textbar=2\sqrt{3}$$，  $${{S}_{\triangle ABC}}=3\sqrt{3}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->双曲线
Source: 2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二上学期单元测试第1题
2000年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 一个信封里有八张钞票：$$2$$张$$1$$元，$$2$$张$$5$$元，$$2$$张$$10$$元，$$2$$张$$20$$元$$.$$ 不放回地随机抽出两张钞票，这两张钞票的总和大于等于$20$的概率是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{2}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: The only way to get a total of $$$20$$ or more is if you pick a twenty and another bill, or if you pick both tens. There are a total of $$\left(\begin{array}{l} 8    2 \end{array}\right)=\frac{8 \times 7}{2 \times 1}=28$$ ways to choose $2$ bills out of $8$. There are $12$ ways to choose a twenty and some other non-twenty bill. There is $1$ way to choose both twenties, and also $1$ way to choose both tens. Adding these up, we find that there are a total of $14$ ways to attain a sum of $20$ or greater, so there is a total probability of $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
Source: 2005年AMC12竞赛B第11题
Problem: 已知$$\triangle ABC$$是等边三角形，椭圆$$\Gamma $$的一个焦点为$$A$$，另一个焦点$$F$$在线段$$BC$$上，如果椭圆$$\Gamma $$恰好经过$$B$$，$$C$$两点，则它的离心率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$\triangle ABC$$边长为$$2$$，则$$4a=2\times 3=6$$，$$a=\frac{3}{2}$$，且$$F$$只能是$$BC$$中点，$$2c=\sqrt{3}$$，$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$．  故答案为：$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->直观想象
知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程
知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的简单几何性质->椭圆的离心率
知识标签->题型->平面解析几何->椭圆与双曲线中确定离心率的问题->求椭圆的离心率
知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线中确定基本量的问题->椭圆、双曲线、抛物线的基本量求解
Source: 2016年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第3题9分
Problem: 已知向量$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$的夹角为$$60{}^{}\circ $$，且$$\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right\textbar=\sqrt{13}$$，则$$\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: D
Analysis: $${{\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar}^{2}}-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{{\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}^{2}}=13$$，即$$1-2\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar+4{{\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}^{2}}=13$$，解得$$\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar=2$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 已知复数$$z=1-\text{i}$$，则$$\frac{{{z}^{2}}-2z}{z-1}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-2\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$2\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$-2$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{{{z}^{2}}-2z}{z-1}=\frac{{{\left( z-1 \right)}^{2}}-1}{z-1}=z-1-\frac{1}{z-1}=-\text{i}-\frac{1}{-\text{i}}=-\text{i}-\text{i}=-2\text{i}$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 当$$ab$$是两个不相等的正数时，下列三个代数式：  甲：$$(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})$$，  乙：$${{(\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}})}^{2}}$$，  丙：$${{(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b})}^{2}}$$中间，值最大的一个（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 必定是甲； 
aoVal: B
content: 必定是乙； 
aoVal: C
content: 必定是丙； 
aoVal: D
content: 一般并不确定，而与$$a$$、$$b$$的取值有关 
Answer: D
Analysis: 甲$$\mathsf{=}(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})=ab+\frac{1}{ab}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$  $$\textgreater ab+\frac{1}{ab}+2$$  $$={{(\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}})}^{2}}=$$乙．  $$\therefore $$ 甲\textgreater 乙．因此，最大者不会是乙，排除$$B$$只须比较甲、丙的大小．  取特殊值$$a=1\mathsf{，}b=2$$得  甲$$=(1+1)(2+\frac{1}{2})  =5$$，丙$$={{(\frac{3}{2}+\frac{2}{3})}^{2}}=4\frac{25}{36}$$  $$\therefore $$ 甲\textgreater 丙，因此，丙不会取最大的，排除$$C$$．  再令 $$a=1\mathsf{，}b=5$$，  甲$$=(1+1)(5+\frac{1}{5})=10\frac{2}{5}$$．  丙$$={{(\frac{6}{2}\mathsf{+}\frac{2}{6})}^{2}}=11\frac{1}{9}$$．  所以此时甲 ~\textless{} ~丙，所以甲也不会取最大值，排除$$A$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的证明
Source: 1982年全国高中数学联赛竞赛第8题
Problem: $$2006-AMC12A-11$$  Joe and JoAnn each bought $$12$$ ounces of coffee in a $$16$$-ounce cup. Joe drank $$2$$ ounces of his coffee and then added $$2$$ ounces of cream. JoAnn added $$2$$ ounces of cream, stirred the coffee well, and then drank $$2$$ ounces. What is the resulting ratio of the amount of cream in Joe\textquotesingle s coffee to that in JoAnn\textquotesingle s coffee?.  乔和乔安每人买了 12 盎司的咖啡，装在一个 16 盎司的杯子里。 乔喝了 2 盎司咖啡，然后加了 2 盎司奶油。 乔安加了 2 盎司奶油，将咖啡搅拌均匀，然后喝了 2 盎司。 乔的咖啡中的奶油量与乔安的咖啡中的奶油量的最终比是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{6}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{13}{14}$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{14}{13}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{7}{6}$$ 
Answer: E
Analysis: $\dfrac{2}{2-\dfrac{2}{14}\times2}=\dfrac{7}{6}$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->集合->容斥原理
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems
Source: 2006年AMC12竞赛B第11题
Problem: 直线$$y=5$$与$$y=-1$$在区间$$\left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$上截曲线$$y=m\sin \frac{\omega }{2}x+n (m\textgreater0,  n\textgreater0)$$所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$m\leqslant \frac{3}{2},n=\frac{5}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$m\leqslant 3,  n=2$$ 
aoVal: C
content: $$m\textgreater\frac{3}{2},n=\frac{5}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$m\textgreater3,  n=2$$ 
Answer: D
Analysis: 函数$${{y}_{1}}=m\sin \frac{\omega x}{2}$$，$$x\in \left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$的图象只有被$$y=a$$及$$ y=-a,  0\leqslant a\textless{}m$$这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数  $$y=m\sin \frac{\omega x}{2}+n,\quad x\in \left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$  的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为$$y=n+a,  y=n-a,  0\leqslant a\textless{}m$$，即有$$n+a=5,  n-a=-1 $$解得$$n=2$$，$$a=3$$．进而$$m\textgreater3$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分