math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 波力士醫院在一年中多胞胎嬰兒出生數的統計如下：雙胞胎、三胞胎及四胞胎共出生$$1000$$個婴儿，其中三胞胎之组數是四胞胎組數的$$4$$倍，雙胞胎組数是三胞胎组数的$$3$$倍，則在此$$1000$$個嬰兒中四胞胎的婴儿人數總共多少？  At Megapolis Hospital one year, multiple$$-$$birth statistics were as follows: Sets of twins, triplets, and quadruplets accounted for $$1000$$ of the babies born. There were four times as many sets of triplets as sets of quadruplets, and there was three times as many sets of twins as sets of triplets. How many of these $$1000$$ babies were in sets of quadruplets?
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$64$$ 
aoVal: D
content: $$100$$ 
aoVal: E
content: $$160$$ 
Answer: D
Analysis: We can set up a system of equations where $$a$$ is the sets of twins, $$b$$ is the sets of triplets, and $$c$$ is the sets of quadruplets. $$\begin{array}{l} {2a+3b+4c=1000}  {b=4c}  {a=3b} \end{array}$$.  Solving for $$c$$ and $$a$$ in the second and third equations and substituting into the first equation yields $$\begin{array}{l} {2\left( 3b\right)+3b+4\left( 0.25b\right)=1000}  {6b+3b+b=1000}  {b=100} \end{array}$$.  Since we are trying to find the number of babies and NOT the number of sets of quadruplets, the solution is not $$c$$, but rather $$4c$$. Therefore, we strategically use the second initial equation to realize that $$b=4c$$, leaving us with the number of babies born as quadruplets equal to$$\left(\text{D}\right) 100$$. 
<p>Say there are $$12x$$ sets of twins, $$4x$$ sets of triplets, and $$x$$ sets of quadruplets.</p>
<p>That&#39;s $$12x\cdot2=24x$$ twins, $$4x\cdot3=12x$$ triplets, and $$x\cdot4=4x$$ quadruplets. A tenth of the babies are quadruplets and that&#39;s $$\dfrac{1}{10}\left( 1000\right)=\left( \text{D}\right)100$$.</p>
Source: 2016年AMC10竞赛B第13题
Problem: 设$$\alpha \ne \frac{k \pi }{2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$，$$T=\frac{\sin \alpha +\tan\alpha }{\cos \alpha +\cot\alpha }$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$T$$取负值 
aoVal: B
content: $$T$$取非负值 
aoVal: C
content: $$T$$取正值 
aoVal: D
content: $$T$$取值可正可负 
Answer: C
Analysis: 作恒等变形，易得  $$T=\frac{\sin \alpha+\tan\alpha}{\cos \alpha+\cot\alpha}=\frac{\tan\alpha(\cos \alpha+1)}{\cot\alpha(\sin \alpha+1)}=\frac{{\cot^{2}}\alpha(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+1}\textgreater0$$  （其中$$\alpha\ne \frac{k \pi }{2}$$，$$k=0$$，$$\pm 1$$，$$\pm 2$$，\ldots）． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 1981年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 已知集合$$A=\left { 1,  b,  a+b \right },  B=\left { a-b,  ab \right }$$，且$$A\cap B=\left { -1,  0 \right }$$，则$$a,  b$$的值分别为．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$，$$0$$ 
aoVal: B
content: $$0,  -1$$ 
aoVal: C
content: $$-1,  1$$ 
aoVal: D
content: $$1,  -1$$ 
Answer: A
Analysis: 提示：因为$$1\notin A\cap B$$，所以$$b$$和$$a+b$$中必有一个为$$0$$，一个为$$-1$$，但是$$a\ne 0$$，否则集合$$A$$中有两个元素相同，因此必有$$a=-1,  b=0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 在棱长为$$1$$的正四面体$$ABCD$$中，$$G$$为$$\triangle BCD$$的重心，$$M$$是线段$$AG$$的中点，则三棱锥$$M-BCD$$的外接球的表面积为（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$ \pi $$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2} \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{6}}{4} \pi $$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{6}}{8} \pi $$ 
Answer: B
Analysis: 易算出$$AG=\frac{\sqrt{6}}{3}$$，所以$$MG=\frac{\sqrt{6}}{6}$$．因为$$GD=\frac{\sqrt{3}}{3}\textgreater MG$$，所以外心$$O$$在$$MG$$的延长线上．  设$$MG$$的延长线交外接球于另一点$$N$$，由射影定理，$$D{{M}^{2}}=MG\cdot MN$$，  即$$D{{G}^{2}}+M{{G}^{2}}=MG\cdot 2R$$（$$R$$是外接球半径），解得$$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$．  所以外接球表面积$$S=4 \pi {{R}^{2}}=\frac{3}{2} \pi $$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->直观想象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->空间几何体的内切球、外接球问题
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征
Source: 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: $$5$$名志愿者随进入$$3$$个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{50}{81}$$ 
Answer: D
Analysis: $$5$$名志愿者随进入$$3$$个不同的奥运场馆的方法数为$${{3}^{5}}=243$$种．每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第$$1$$类 ，一个场馆去$$3$$人，剩下两场馆各去$$1$$人，此类的方法数为$$\text{C}_{3}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{3}\cdot \text{A}_{2}^{2}=60$$种；第$$2$$类，一场馆去$$1$$人，剩下两场馆各$$2$$人，此类的方法数为$$\text{C}_{3}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{4}^{2}=90$$种．故每个场馆至少有一名志愿者的概率为$$P=\frac{60+90}{243}=\frac{50}{81}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知集合$M= {-1,1,3,5\text{ } },N= {-2,1,2,3,5\text{ } }$，则$M\cap N=$（~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left { -1,1,3 , \right }$ 
aoVal: B
content: $\left { 1,2,5 , \right }$ 
aoVal: C
content: $\left { 1,3,5 , \right }$ 
aoVal: D
content: $\phi $ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据交集的定义，直接运算求解即可.\\ 【详解】\\ $\because $$M= {-1,1,3,5\text{ } },N= {-2,1,2,3,5\text{ } }$，\\ $\therefore $$M\cap N=$$\left { 1,3,5 , \right }$\\ 故选：C 
Source: 2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第1题
Problem: 由甲城市到乙城市$$t$$分钟的电话费由函数$$g(t)=1.06\times (0.75[t]+1)$$给出，其中$$t\textgreater0$$，$$[t]$$表示大于或等于$$t$$的最小整数，则从甲城市到乙城市$$5.5$$分钟的电话费为．
Options:
aoVal: A
content: $$5.83$$元 
aoVal: B
content: $$5.25$$元 
aoVal: C
content: $$5.56$$元 
aoVal: D
content: $$5.04$$元 
Answer: A
Analysis: $$g(5.5)=1.06\times (0.75\times 6+1)=5.83$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质
Source: 2009年竞赛珠海市第3题5分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\text{arctg}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(- \pi , \pi )$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}\mathsf{\leqslant }\text{arctg}x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}\mathsf{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用单调性观察法求值域
课内体系->知识点->三角函数->反三角函数
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 隨意從$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$五數中選出$$2$$個不同的數相乘，試問乘積爲偶數的機率是多少？  Two different numbers are selected at random from ($$1$$,$$ 2$$, $$3$$,$$4$$,$$5$$) and multiplied together. What is the probability  that the product is even?
Options:
aoVal: A
content: $$0.2$$ 
aoVal: B
content: $$0.4$$ 
aoVal: C
content: $$0.5$$ 
aoVal: D
content: $$0.7$$ 
aoVal: E
content: $$0.8$$ 
Answer: D
Analysis: The product will be even if at least one selected number is even, and odd if none are. Using complementary counting, the chance that both numbers are odd is $$\dfrac{\left( \begin{array}{l} {3}  {2} \end{array}\right)}{\left( \begin{array}{l} {5}  {2} \end{array}\right)}=\dfrac{3}{10}$$,  so the answer is $$1-0.3$$ which is $$\left(\text{D}\right) 0.7$$. 
Source: 竞赛第12题5分
Problem: 小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：``我得第一名''；小明：``小红没得第一名''；小马：``小明没得第一名''；小红：``我得第一名''．已知他们四个人中只有一人说真话，且只有一人得第一．根据以上信息可以判断出得第一名的人是．
Options:
aoVal: A
content: 小明 
aoVal: B
content: 小马 
aoVal: C
content: 小红 
aoVal: D
content: 小方 
Answer: A
Analysis: 由小明与小红所说，知两人一真一假．  若小明所说为真，则其余三人所说均为假，由此推出小明得第一名，满足条件．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->推理与证明->合情推理与演绎推理->演绎推理
Source: 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 若正数$$x$$，$$y$$满足$$x+3y=5xy$$，则$$3x+4y$$的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $\frac{14}{3}$ 
aoVal: C
content: $3$ 
aoVal: D
content: $\frac{\sqrt{15}}{2}$ 
Answer: A
Analysis: 由$$x+3y=5xy$$，$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$，可得$$\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}=1$$，  所以$$3x+4y=\left( 3x+4y \right)\left( \frac{1}{5y}+\frac{3}{5x} \right)=\frac{9}{5}+\frac{4}{5}+\frac{3x}{5y}+\frac{12y}{5x}\geqslant \frac{13}{5}+2\sqrt{\frac{3x}{5y}\cdot \frac{12y}{5x}}=5$$．  当且仅当$$\frac{3x}{5y}=\frac{12y}{5x}$$，即$$x=1$$，$$y=\frac{1}{2}$$时，等号成立，  此时$$3x+4y$$取得最小值为$$5$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016~2017学年北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期期中第20题6分
2016年广东全国高中数学联赛高三竞赛初赛第2题8分
2015~2016学年上海闵行区上海市七宝中学高一上学期期中第10题4分
2016~2017学年江苏连云港赣榆县赣榆县海头中学高二上学期期中联考第7题5分
2018~2019学年天津南开区天津中学高二上学期期中第15题
2016~2017学年江苏连云港海州区江苏省海州高级中学高二上学期期中联考第7题5分
2018~2019学年天津和平区天津市第一中学高二上学期期中第14题
Problem: 2003AMC12A, 24  If $$a\geqslant b\textgreater1$$, what is the largest possible value of $$\log_a\left(\frac{a}{b}\right)+\log_b\left(\frac{b}{a}\right)$$?  若$$a\geqslant b\textgreater1$$, $$\log_a\left(\frac{a}{b}\right)+\log_b\left(\frac{b}{a}\right)$$的最大值为? ．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
aoVal: E
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: $$\log_a\left(\frac{a}{b}\right)+\log_b\left(\frac{b}{a}\right)=1-\log_a{b}+1-\log_b{a}=2-(\log_a{b}+\log_b{a})$$  $$=2-\left(\log_a{b}+\frac{1}{\log_a{b}}\right)\leq 2-2=0$$, 选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
Source: 2003年AMC12竞赛A第24题
Problem: 极坐标方程$$\rho =\frac{1}{1-\cos \theta +\sin \theta }$$所确定的曲线是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 圆 
aoVal: B
content: 椭圆 
aoVal: C
content: 双曲线 
aoVal: D
content: 抛物线 
Answer: C
Analysis: 原方程化简为 $$\rho =\frac{1}{1-\sqrt{2}\cos \left( \theta +\frac{ \pi }{4} \right)}$$．  由离心率$$e=\sqrt{2}\textgreater1$$，知所确定的曲线是双曲线．  另解 原方程变形为．$$\rho -\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =1$$，化为直角坐标方程为  $$\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=x-y+1$$．  化简得 $$2xy-2x+2y=1$$  即 $$\left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=\frac{1}{2}$$可知，它所确定的曲线是双曲线． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系
Source: 1982年全国高中数学联赛竞赛第2题
Problem: 设$$k=\int_{0}^{ \pi }{(\sin x-\cos x)\text{d}x}$$，若$${{(1-kx)}^{8}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+\cdots +{{a}_{8}}{{x}^{8}}$$，则$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{8}}$$等于
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: $$k=2$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->积分
竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 一个等比数列的前三项的积为$$2$$，最后三项的积为$$4$$，且所有项的积为$$64$$，则该数列有．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$项 
aoVal: B
content: $$11$$项 
aoVal: C
content: $$12$$项 
aoVal: D
content: $$13$$项 
Answer: C
Analysis: 设等比数列为$${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}$$，由题设，$${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}=2$$，$${{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}=4$$，$${{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}=64$$．  由等比数列的性质得，$$a_{2}^{3}=2$$，$$a_{n-1}^{3}=4$$，$${{\left( {{a}_{2}}{{a}_{n-1}} \right)}^{\frac{n}{2}}}=64$$．  因此，$${{2}^{\frac{n}{2}}}=64$$，解得$$n=12$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知点$$P\left( \cos \alpha ,\sin \alpha \right)$$在直线$$l$$：$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$上，且$$l\bot OP$$（$$O$$为坐标原点），则．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b=1$$ 
aoVal: B
content: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设$$\frac{\cos \alpha }{a}+\frac{\sin \alpha }{b}=1,\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{a}{b}$$，不难推出$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1$$；当然也可以数形结合，由$$\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot 1=\frac{1}{2}ab$$，可得$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第3题4分
Problem: 函数$$f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 法一：$$f(x)$$的定义域为$$5\leqslant x\leqslant 8$$，  由$${f}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}+\frac{-3}{2\sqrt{24-3x}}=\frac{\sqrt{24-3x}-3\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}\cdot \sqrt{24-3x}}=0$$，解得$$x=\frac{23}{4}$$．  因为$$f(5)=3$$，$$f(\frac{23}{4})=2\sqrt{3}$$，$$f(8)=\sqrt{3}$$，于是$$f{{(x)}_{\max }}=f(\frac{23}{4})=2\sqrt{3}$$．  法二：$$f(x)$$的定义域为$$5\leqslant x\leqslant 8$$，  $${{f}^{2}}(x)={{(1\cdot \sqrt{x-5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{8-x})}^{2}}\leqslant (1+3)(x-5+8-x)=12$$  当且仅当$$\frac{\sqrt{x-5}}{1}=\frac{\sqrt{8-x}}{\sqrt{3}}$$，即$$x=\frac{23}{4}$$时，$$f(x)$$取到最大值$$2\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 椭圆$${{x}^{2}}+k{{y}^{2}}=1$$与双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{5}=1$$有相同的准线，则$$k$$等于 ．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{14}{7}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{15}{7}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{16}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{17}{7}$$ 
Answer: C
Analysis: 双曲线的准线方程是  $$x=\pm \frac{4}{\sqrt{4+5}}=\pm \frac{4}{3}$$，  椭圆的准线方程是$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{k}}}$$，因此由方程$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{k}}}=\frac{4}{3}$$得$$1-\frac{1}{k}=\frac{9}{16}$$，解得$$k=\frac{16}{7}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->平面解析几何->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程
知识标签->知识点->平面解析几何->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的定义
知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程
知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义
知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线中确定基本量的问题->椭圆、双曲线、抛物线的基本量求解
知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线的第二定义问题
Source: 2016年高考真题天津卷
2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第7题9分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A={{120}^{\circ }}$$，$$AB=5$$，$$BC=7$$，则$$\frac{\sin B}{\sin C}$$的值为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{8}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 由余弦定理，得$$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos A$$，  即$$49=25+A{{C}^{2}}-2\times 5\cdot AC\cdot \cos {{120}^{\circ }}$$，解得$$AC=3(AC=-8$$舍去$$)$$，  由正弦定理，得$$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->解三角形->余弦定理
课内体系->知识点->解三角形->正弦定理
课内体系->素养->数学运算
Source: 2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 【2019辽南期中11】  设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质
Source: 2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分
2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 对于集合$$M$$、$$N$$，定义$$M-N= {x\textbar x\in M$$，且$$x\notin N }$$，$$M\oplus N=(M-N)\cup (N-M)$$，设$$A= {y\textbar y={{x}^{2}}-3x,x\in R }$$，$$B= {y\textbar y=-{{2}^{x}},x\in R }$$，则$$A\oplus B=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( -\frac{9}{4},0 \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{9}{4},0 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left[ 0,+\infty \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left( 0,+\infty \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意可得$$A=\left[ -\frac{9}{4},+\infty \right)$$，$$B=\left( -\infty ,0 \right)$$，  所以$$A\oplus B=\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left[ 0,+\infty \right)$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．（全等的三角形视为形状相同）
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
aoVal: E
content: $$10$$ 
Answer: A
Analysis: 问题等价于将$$13$$分成$$3$$个正整数的和的方式的种数，  最小数是$$1$$时，$$13=1+1+11=1+2+10=1+3+9=1+4+8=1+5+7=1+6+6$$，有$$6$$种；  最小数是$$2$$时，$$13=2+2+9=2+3+8=2+4+7=2+5+6$$，有$$4$$种；  最小数是$$3$$时，$$13=3+3+7=3+4+6=3+5+5$$，有$$3$$种；  最小数是$$4$$时，$$13=4+4+5$$，有$$1$$种．  总共$$6+4+3+1=14$$种．  故答案为：$$14$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理
竞赛->知识点->组合->图论（二试）
Source: 2016年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第6题9分
Problem: 下列函数中，既是奇函数，又是区间$$\left( -\infty ,  +\infty \right)$$上单调递增的函数为．
Options:
aoVal: A
content: $$y={{x}^{2}}+x$$ 
aoVal: B
content: $$y=x+2\sin x$$ 
aoVal: C
content: $$y={{x}^{3}}+x$$ 
aoVal: D
content: $$y=\tan x$$ 
Answer: C
Analysis: 逐一验证． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为$$a$$的正三角形，这样的两个  多面体的内切球的半径之比是一个最简分数$$\frac{m}{n}$$,那么积$$m\cdot n$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: C
Analysis: 利用等体积法，可以求出$$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$$，所以$$m\cdot n$$等于$$6$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2010年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知数列$$ {{{a}_{n}} }$$的通项$${{a}_{n}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}}-1 \right]$$，则下列表述正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 最大项为$${{a}_{1}}$$，最小项为$${{a}_{4}}$$ 
aoVal: B
content: 最大项为$${{a}_{1}}$$，最小项不存在 
aoVal: C
content: 最大项不存在，最小项为$${{a}_{3}}$$ 
aoVal: D
content: 最大项为$${{a}_{1}}$$，最小项为$${{a}_{3}}$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意可得$${{a}_{1}}=0$$，$${{a}_{2}}=-\frac{2}{9}$$，$${{a}_{3}}=-\frac{20}{81}$$．  当$$n\geqslant 3$$时，$$t={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}}$$为减函数，且$$0\textless{}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1}}\leqslant {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\textless{}\frac{1}{2}$$．  又因为$${{a}_{n}}=t(t-1)$$为$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$上的减函数，  所以$${{a}_{n}}$$单调递增，即有$$0\textgreater{{a}_{n}}\textgreater{{a}_{n-1}}\textgreater\cdots \textgreater{{a}_{4}}\textgreater{{a}_{3}}$$．  因此$${{a}_{1}}$$最大，$${{a}_{3}}$$最小．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 如果满足$$\angle ABC=60{}^{}\circ $$，$$AC=12$$，$$BC=k$$的$$\triangle ABC$$恰有一个，那么$$k$$的取值范围是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$k=8\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$0\textless{}k\leqslant 12$$ 
aoVal: C
content: $$k\geqslant 12$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}k\leqslant 12$$或$$k=8\sqrt{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 这是``已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形''这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论$$\text{D}$$．  故选$$\text{D}$$． 
<p>（$$1$$）当$$AC&lt;{}BC\sin \angle ABC$$，即$$12&lt;{}k\sin 60{}^\circ $$，即$$k&gt;8\sqrt{3}$$，三角形无解；</p>
<p>（$$2$$）当$$AC=BC\sin \angle ABC$$，即$$12=k\sin 60{}^\circ $$，即$$k=8\sqrt{3}$$时，三角形有一解；</p>
<p>（$$3$$）当$$AC&lt;{}BC\sin \angle ABC&lt;{}BC$$，即$$k\sin 60{}^\circ &lt;{}12&lt;{}k$$，</p>
<p>即$$12&lt;{}k&lt;{}8\sqrt{3}$$，三角形有二个解；</p>
<p>（$$4$$）当$$0&lt;{}BC\leqslant AC$$，即$$0&lt;{}k\leqslant 12$$时，三角形有一个解．</p>
<p>综上所述：当$$0&lt;{}k\leqslant 12$$或$$k=8\sqrt{3}$$时，三角形恰有一个解．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形
Source: 2016年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三零模理科第5题5分
2001年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
2017~2018学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二上学期月考第9题5分
2019~2020学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期期末理科第10题5分
2019~2020学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期期末文科第10题5分
2019~2020学年3月四川成都锦江区四川师范大学附属中学高一下学期月考第8题5分
Problem: 某地举行一次民歌大奖赛，六个省中每个省各有两名歌手参加决赛，现要选出$$4$$名优胜者，则选出的$$4$$名选手中有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{16}{33}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{33}{128}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{32}{33}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{11}$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意知本题是一个古典概型，  试验发生的总事件是从$$12$$名选手中选出$$4$$个优胜者，共有$$\text{C}_{12}^{4}$$种结果，  而满足条件的是选出的$$4$$名选手中恰有且只有两个人  是同一省份的歌手表示从$$6$$个省中选一个省，  它的两名选手都获奖，同时从余下的$$10$$名选手中选一个，  再从剩下的$$4$$个省中选一个，共有$$\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}$$种选法，  ∴$$P=\frac{\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}}{\text{C}_{12}^{4}}=\frac{16}{33}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->概率->事件与概率->古典概型问题->古典概型的概率计算公式
知识标签->知识点->计数原理->排列与组合->组合
知识标签->知识点->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质
知识标签->知识点->概率->事件与概率->古典概型
知识标签->素养->数学运算
Source: 2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
2016年北京海淀区中国人民大学附属中学高三零模理科第6题5分
Problem: 复数$$z={{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}\left( 2+\text{i} \right)$$的虚部为．
Options:
aoVal: A
content: $$-2\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$4\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: $$z={{(1+\text{i})}^{2}}(2+\text{i})=2\text{i}(2+\text{i})=4\text{i}-2$$，虚部为$$4$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的加法和减法
课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合
课内体系->素养->数学运算
Source: 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的公差不为零，$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中的部分项$${{a}_{{{k}_{1}}}}$$，$${{a}_{{{k}_{2}}}}$$，$${{a}_{{{k}_{3}}}}$$，\ldots，$${{a}_{{{k}_{n}}}}$$，\ldots 构成等比数列，其中$${{k}_{1}}=1$$，$${{k}_{2}}=5$$，$${{k}_{3}}=17$$，则$${{k}_{1}}+{{k}_{2}}+{{k}_{3}}+\cdots +{{k}_{n}}$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $${{3}^{n}}-n-1$$ 
aoVal: B
content: $${{3}^{n}}+n-1$$ 
aoVal: C
content: $${{3}^{n}}-n+1$$ 
aoVal: D
content: 都不对 
Answer: A
Analysis: 设公差为$$d$$，由题设，$${{a}_{5}}^{2}={{a}_{1}}{{a}_{17}}$$，即$${{({{a}_{1}}+4d)}^{2}}={{a}_{1}}({{a}_{1}}+16d)\Rightarrow {{a}_{1}}=2d$$，所以$${{a}_{n}}=(n+1)d$$，于是$${{a}_{5}}=6d，{{a}_{17}}=18d$$，公比为$$3$$，$${{a}_{{{k}_{n}}}}=2d\times {{3}^{n-1}}$$，因而$${{k}_{n}}=2\times {{3}^{n-1}}-1$$，  因此$${{k}_{1}}+{{k}_{2}}+\cdots +{{k}_{n}}=2\times (1+3+\cdots +{{3}^{n-1}})-n={{3}^{n}}-n-1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2009年竞赛珠海市第6题5分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，角$$A,B,C$$满足$$A\textless{}B\textless{}C$$，且$$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=\sqrt{3}$$，则$$\angle B=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\pi}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\pi}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\pi}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\pi}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 通分后利用辅助角公式，得$$\sin \left( A-60{}^{}\circ \right)+\sin \left( B-60{}^{}\circ \right)+\sin \left( C-60{}^{}\circ \right)=0$$．  由和差化积公式，$$2\sin \frac{A+C-120{}^{}\circ }{2}\cos \frac{A-C}{2}+\sin \left( B-60{}^{}\circ \right)=0$$，  即$$2\sin \frac{60{}^{}\circ -B}{2}\cos \frac{A-C}{2}+2\sin \frac{B-60{}^{}\circ }{2}\cos \frac{B-60{}^{}\circ }{2}=0$$，  $$\sin \frac{B-60{}^{}\circ }{2}\left( -\cos \frac{A-C}{2}+\cos \frac{B-60{}^{}\circ }{2} \right)=0$$，  因为$$90{}^{}\circ \textgreater\frac{A-C}{2}\textgreater\left\textbar{} \frac{B-60{}^{}\circ }{2} \right\textbar$$，所以$$-\cos \frac{A-C}{2}+\cos \frac{B-60{}^{}\circ }{2}\ne 0$$，  因此$$\sin \frac{B-60{}^{}\circ }{2}=0$$，$$B=60{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2015年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题8分
Problem: 已知$$x,  y$$均为正实数，则$$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{x+2y}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 解法一 令$$s=2x+y,,t=x+2y$$，则  $$x=\frac{1}{3}(2s-t),  y=\frac{1}{3}(2t-s)$$  所以$$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{x+2y}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(\frac{t}{s}+\frac{s}{t})\leqslant \frac{2}{3}$$．  解法二 令$$t=\frac{y}{x}$$， 则$$t\in (0,+\infty )$$， 此时  $$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{x+2y}=\frac{1}{t+2}+\frac{t}{2t+1}=f(t)$$，  即有$$f^{}\prime (t)=-\frac{3({{t}^{2}}-1)}{{{(t+2)}^{2}}{{(2t+1)}^{2}}}$$．  显然当$$t\textless{}1$$时，$$f^{}\prime (t)\textgreater0$$；当$$t\textgreater1$$时，$$f^{}\prime (t)\textless{}0$$，所以函数$$f(t)$$在$$t=1$$, 即$$x=y$$时取得最大值$$f(1)=\frac{2}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 已知函数$$f(x)=\frac{{{x}^{4}}+({{k}^{2}}+2k-4){{x}^{2}}+4}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+4}$$的最小值是$$0$$，则非零实数$$k$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$-4$$ 
aoVal: B
content: $$-2$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: $$f(x)=1+({{k}^{2}}+2k-6)\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+4}$$，  因为$${{x}^{4}}+4\geqslant 4{{x}^{2}}$$，故  $$0\leqslant \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+4}\leqslant \frac{1}{6}$$．  当$${{k}^{2}}+2k-6\geqslant 0$$时，$${{f}_{\min }}=1$$，不合题意；  当$${{k}^{2}}+2k-6\textless{}0$$时，$${{f}_{\max }}=1,  {{f}_{\min }}=1+\frac{1}{6}({{k}^{2}}+2k-6)$$，  由条件知  $$1+\frac{1}{6}({{k}^{2}}+2k-6)=0$$，  解得$$k=-2$$或0（舍去）．故选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分