math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在平面上有$$7$$个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，如果连接这$$7$$个点中的每两个点，最多可以得到~\uline{~~~~~~~~~~}~条线段；以这些线段为边，最多能构成~\uline{~~~~~~~~~~}~个三角形． 
Options:
aoVal: A
content: $21,35$ 
aoVal: B
content: $$21,50$$ 
aoVal: C
content: $$35,50$$ 
aoVal: D
content: $24,35$ 
Answer: A
Analysis: 每两个点确定一条线段，共有$$\text{C}_{7}^{2}=7\times 6\div 2=21$$条线段 ；  每三个点确定一个三角形，共有$$\text{C}_{7}^{3}=7\times 6\times 5\div (3\times 2\times 1)=35$$个三角形． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->抽象概括
Source: 2012年全国希望杯五年级竞赛复赛第7题
Problem: 有大、小两桶油共重$$44$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$10$$千克油，小桶原来装油千克． 
Options:
aoVal: A
content: $$18$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: C
Analysis: 倒了$$44-14-10=20$$千克，倒了相同多，小桶倒了$$20\div 2=10$$千克，小桶原来$$10+10=20$$千克。  故选：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 在一个七位数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被$$11$$或$$13$$整除的三位数，那么这个七位数最大是（~~~~~ ~~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$9981733$$ 
aoVal: B
content: $$9884737$$ 
aoVal: C
content: $$9978137$$ 
aoVal: D
content: $$9871773$$ 
Answer: B
Analysis: 任何三个连续排列的数字都构成一个三位数，说明没有数字$$0$$，$$\left. 11 \right\textbar990$$，$$\left. 13 \right\textbar988$$则首三位为$$988$$，选择题这是已经得到答案了！接着往下分析$$88$$，$$13\left\textbar{} 884 \right.$$，$$11\left\textbar{} 880 \right.$$，所以第四位最大为4，依次类推，得到答案，$$9884737$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除特征综合
Source: 2016年全国华杯赛小学高年级竞赛在线模拟第6题
Problem: 有一种特殊的计算器，当输入一个$$10\sim 49$$的自然数后，计算器会先将这个数乘以$$2$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果。那么，下列四个选项中，（  ）可能是最后显示的结果。 
Options:
aoVal: A
content: $$44$$ 
aoVal: B
content: $$43$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$41$$ 
Answer: A
Analysis: 解：A：$$44-2=42$$，颠倒后是$$24$$，$$24\div 2=12$$；$$12$$是$$10\sim 49$$的自然数，符合要求；  B：$$43-2=41$$，颠倒后是$$14$$，$$14\div 2=7$$，$$7$$不是$$10\sim 49$$的自然数，不符合要求；  C：$$42-2=40$$，颠倒后是$$4$$，$$4\div 2=2$$，$$2$$不是$$10\sim 49$$的自然数，不符合要求；  D：$$41-2=39$$，颠倒后是$$93$$，$$93\div 2=46.5$$，$$46.5$$不是$$10\sim 49$$的自然数，不符合要求。  故选：A。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题
Source: 2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯四年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
Problem: 把$$1\sim 5$$这$$5$$个自然数从左到右排成一排，要求从第三个数起，每个数都是前两个数的和或差，那么一共有（~~~~~~~ ）种放法． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: $$5$$只能在首位或者末位，$$52314$$，$$54132$$，$$41325$$，$$23145$$，所以选B． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举
Source: 2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第14题
Problem: 有一圆形花坛，绕它走一圈是$$120$$米，如果在花坛周围每隔$$6$$米栽一株丁香花，再在每  相邻的两株丁香之间栽$$2$$株月季花，共栽月季花朵． 
Options:
aoVal: A
content: $$38$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
Answer: B
Analysis: 这是一个环形植树问题，棵树$$=$$段数，故丁香花的数量为$$120\div 6=20$$（株），月季花的数量为$$20\times 2=40$$（株）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第1题
Problem: $$1$$角硬币分正面与反面．拿$$2$$个$$1$$角硬币一起投掷一次，得到$$1$$个正面和一个反面的可能性为． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{8}$$ 
Answer: B
Analysis: 全部情况有：$$2\times 2=4$$（种），  最终得到一个正面一个反面可有以下$$2$$种情况：  正反、反正，  故所求概率为$$\frac{2}{4}$$．  故答案为：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->抛硬币
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第8题3分
Problem: 小亚和小巧玩猜数游戏，每人每次出$$1$$至$$4$$中的一个数字．如果两人出的数字相加，和是奇数就算小亚赢，和是偶数就算小巧赢．那么，小亚赢的可能性（ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: 比小巧大 
aoVal: B
content: 比小巧小 
aoVal: C
content: 和小巧一样大 
aoVal: D
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: $$1$$至$$5$$的$$5$$个数中相加是偶数的是偶$$+$$偶$$=$$偶，奇$$+$$奇$$=$$偶，是奇数的可能性是奇$$+$$偶$$=$$奇，偶数的可能性比奇数的可能性大． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的加减规律
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第八套第8题4分
2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第九套第8题4分
Problem: 小明把$$6$$个数分别写在三张卡片的正面和反面，每一面写一个数，每张卡片上的$$2$$个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着$$28$$，$$40$$，$$49$$，反面上的数都只能被$$1$$和它自己整除，那么，反面上的三个数的平均数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$39$$ 
aoVal: D
content: $$40$$ 
Answer: B
Analysis: 由题目条件可知，反面的数为质数．又知反面数字和相等，故反面三个数依然相差$$12$$，$$9$$．  数学质数有$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$23$$．  $$2$$，$$11$$，$$23$$依次相差$$9$$和$$12$$，故确定其平均数为$$\left( 2+11+23 \right)\div 3=12$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题
Source: 2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第2题
2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第2题10分
Problem: 一副扑克牌共有$$54$$张（包括大王、小王），至少从中取张牌，才能保证其中必有$$2$$种花色． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: 取完一种花色加大王和小王，再取一张一定满足，$$13+2+1=16$$（张）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->简单抽屉原理
Source: 2017年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第6题
2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（二）第6题
Problem: 分母是$$2016$$的所有最简真分数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$288$$ 
aoVal: B
content: $$576$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$200$$ 
Answer: A
Analysis: 先把$$2016$$分解质因数，可得分子是$$2$$的倍数、$$3$$的倍数、$$7$$的倍数时，都不是最简分数，$$1\sim 42$$中，不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数有$$1$$，$$5$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$19$$，$$23$$，$$25$$，$$29$$，$$31$$，$$37$$，$$41$$总共$$12$$个，和为$$252$$，把这$$12$$个数分别加$$42$$，就得到了$$43\sim 84$$中不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数，和为$$252+12\times 42$$，以此类推，$$1\sim 2016$$中不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数的和是$$252+(252+12\times 42)+(252+12\times 42\times 2)+(252+12\times 42\times 3)+\cdots +(252+12\times 42\times 42)$$，求出和再除以$$2016$$即可．  $$2016=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 7$$，  所以分子是$$2$$的倍数、$$3$$的倍数、$$7$$的倍数时，都不是最简分数，  $$1\sim 42$$中，不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数有$$1$$，$$5$$，$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$19$$，$$23$$，$$25$$，$$29$$，$$31$$，$$37$$，$$41$$总共$$12$$个，和为$$252$$．  把这$$12$$个数分别加$$42$$，就得到了$$43\sim 84$$中不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数，  和为$$252+12\times 42$$  $$=252+504$$  $$=756$$，  以此类推，$$1\sim 2016$$中不是$$2$$，$$3$$，$$7$$倍数的数的和是  $$252+(252+12\times 42)+(252+12\times 42\times 2)+(252+12\times 42\times 3)+\cdots +(252+12\times 42\times 42)$$  $$=252+(252+504)+(252+1008)+(252+1512)+\cdots +(252+21168)$$  $$=252+756+1260+1764+\cdots +21420$$  $$=580608$$，  分母是$$2016$$的所有最简真分数的和是$$\frac{580608}{2016}=288$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->数据处理
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第3题5分
Problem: 海南省$$2015$$年最高寿的一个老人年龄是$$116$$岁，如果用字母$$S$$代表海南人的年龄，则（~ ）正确． 
Options:
aoVal: A
content: $$S$$可以``赋值''$$3$$ 
aoVal: B
content: $$S$$代表$$116$$这个特定的数 
aoVal: C
content: $$S$$可以取任何的整数 
aoVal: D
content: $$S$$仅代表一个特定的数 
Answer: A
Analysis: 按题意，$$S$$代表人的年龄，不是特定的数，不能任意取值；$$S$$代表海南人的年龄，不可以取任何整数，也不是仅代表特定的数，故（$$B$$），（$$C$$）和（$$D$$）都不正确． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->字母表示数
Source: 2017年全国华杯赛小学高年级竞赛
Problem: 科学家研究表明，$$10000{{\text{m}}^{2}}$$的森林在生长季节每周可吸收$$6.3$$吨二氧化碳．城北森林的面积是$$50000{{\text{m}}^{2}}$$，请计算一下，预计$$2020$$年$$2$$月这片森林一共可以吸收二氧化碳． 
Options:
aoVal: A
content: $$130.5$$吨 
aoVal: B
content: $$126$$吨 
aoVal: C
content: $$135$$吨 
aoVal: D
content: $$882$$吨 
Answer: A
Analysis: $$10000{{\text{m}}^{2}}$$的森林每天可吸收二氧化碳：$$6.3\div 7=0.9$$（吨），  $$10000{{\text{m}}^{2}}$$的森林$$29$$天可吸收二氧化碳：$$0.9\times 29=26.1$$（吨），  则$$50000{{\text{m}}^{2}}$$，$$2020$$年$$2$$月可吸收二氧化碳：$$26.1\times 5=130.5$$（吨）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->先归一再归总
Source: 2019年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第10题3分
Problem: 小鲸鱼说:``妈妈，我长到您现在这么大年龄时，您就31岁啦!''大鲸鱼说:``我像你这么大年龄时，你只有1岁''，则大鲸鱼现在(  )岁. 
Options:
aoVal: A
content: 18 
aoVal: B
content: 20 
aoVal: C
content: 21 
aoVal: D
content: 22 
Answer: C
Analysis: 设大鲸鱼现在$$x$$岁，小鲸鱼现在$$y$$岁，则 $$\begin{cases} x+\left( x-y \right)=31    y-\left( x-y \right)=1   \end{cases}$$ 即$$\begin{cases} 2x-y=31    2y-x=1   \end{cases}$$ 由两式化简可以解得$$x=21$$，所以大鲸鱼现在$$21$$岁. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->多元一次方程组->整数系数方程组
Source: 2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛B卷第2题5分
2008年五年级竞赛创新杯
Problem: 将从$$1$$开始的自然数分组如下：$$\left( 1 \right)$$，$$\left( 2,3,4 \right)$$，$$\left( 5,6,7,8,9 \right)$$，$$\left( 10,11,12,13,14,15,16\right)\cdots $$按此规律第$$15$$组第七个数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$203$$ 
aoVal: B
content: $$204$$ 
aoVal: C
content: $$205$$ 
Answer: A
Analysis: 每组的个数呈现等差数列，且公差为$$2$$，所以第$$14$$组的最后一个数为：$$1+3+5+7+\cdots \cdots +27=196$$，  故第$$15$$组的第$$7$$个数是：$$196+7=203$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第3题6分
Problem: 把$$3$$根吸管连在一块，好像一根魔术棒，每根吸管长$$20\operatorname{cm}$$，两根之间的接头重叠部分是$$2\operatorname{cm}$$，请问这根``魔术棒''的长度为多少$$\operatorname{cm}$$？ 
Options:
aoVal: A
content: $$54$$ 
aoVal: B
content: $$55$$ 
aoVal: C
content: $$56$$ 
aoVal: D
content: $$58$$ 
aoVal: E
content: $$60$$ 
Answer: C
Analysis: 若没有接头，$$3$$根吸管共长$$20\times 3=60(\text{cm})$$，一个接头重叠部分需$$2\text{cm}$$，两个接头重叠部分需$$4\text{cm}$$，则``魔术棒''长$$60-4=56(\text{cm})$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第14题4分
Problem: 新生开学后去远郊步行拉练，到达$$A$$地时比原计划时间$$10$$点$$10$$分晚了$$6$$分钟，到达$$C$$地时比原计划时间$$13$$点$$10$$分早了$$6$$分钟，$$A$$，$$C$$之间恰有一点$$B$$是按照原计划时间到达的，那么到达$$B$$点的时间是（~ ~ ~ ~）． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$点$$35$$分 
aoVal: B
content: $$12$$点$$5$$分 
aoVal: C
content: $$11$$点$$40$$分 
aoVal: D
content: $$12$$点$$20$$分 
Answer: C
Analysis: 到达$$\text{A}$$地实际是$$10$$点$$16$$分，到达$$\text{C}$$地是$$13$$点$$04$$分，从$$\text{A}$$地到$$\text{B}$$地共耗时$$168$$分钟；即实际比原计划少用时间$$12$$分钟．那么在远足过程中本来是应该要走$$180$$分钟，现在节约了$$12$$分钟，则每走一分钟就节约时间$$12\div 180=\frac{1}{15}$$分钟；如果按照正常情况，晚出发$$6$$分钟，应该晚$$6$$分钟到达$$\text{B}$$点，现在准时到达$$\text{B}$$点，那么从$$\text{A}$$到$$\text{B}$$的过程中节约了$$6$$分钟，则所用的时间应该为$$6$$除以$$\frac{1}{15}$$，则$$\text{A}$$到$$\text{B}$$耗时$$90$$分钟，则是$$11$$点$$40$$分钟到达$$\text{B}$$点． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题
Problem: 我们用$$(x,y)$$表示$$x$$，$$y$$这两数中较大的数减去较小的数所得的结果，比如：  $$(2,3)=(3,2)=3-2=1$$，$$(5,5)=5-5=0$$，$$\cdots $$  现将$$1\sim 2020$$这$$2020$$个自然数分成$$A$$，$$B$$两组（每组$$1010$$个数），并把$$A$$组的数从小到大排列得到$$a_1\textless a_2\textless\cdots \textless a_{1010}$$．而将$$B$$组的数从大到小排列得到$$b_1\textgreater b_2\textgreater\cdots \textgreater b_{1010}$$．则$$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)+(a_3,b_3)+\cdots +(a_{1009},b_{1009})+(a_{1010},b_{1010})$$的值为． 
Options:
aoVal: A
content: $$1000000$$ 
aoVal: B
content: $$1010025$$ 
aoVal: C
content: $$1020100$$ 
aoVal: D
content: $$1030225$$ 
aoVal: E
content: $$4080400$$ 
Answer: C
Analysis: 首先我们来证明，$$1\sim 2020$$中的后$$1010$$个数一定不会放到一组$$(x,y)$$中来计算．设$$1011\sim 2020$$这$$1010$$个数，有$$m$$个出现在$$A$$组，有$$n$$个出现在$$B$$组，则$$m+n=1010$$．  由于$$A$$组中的数是从小到大排列的，$$B$$组中的数是从大到小排列的，所以$$1011\sim 2020$$中的数如果出现在$$A$$组，其中最小的数应为$$a_{1010-m+1}=a_{1011-m}$$；这些数出现在$$B$$组，其中最小的数为$$b_n=b_{1010-m}$$．由此可以看出，不管$$m$$和$$n$$怎么取值，$$1011\sim 2020$$中的数都不会放到一组$$(x,y)$$中来计算．同理$$1\sim 1010$$中的数也不会放到一组$$(x,y)$$中来计算．那么每一组$$(x,y)$$中，必有一个来自于$$1\sim 1010$$，另一个来自于$$1011\sim 2020$$，得到的结果必然是后一半的数减前一半的数，我们要计算的算式可以改为：$$(1011+1012+\cdots+2019+2020)-(1+2+3+\cdots+1009+1010)$$$$=1010\times1010=1020100$$．  故选 $$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->符号代换->代数运算
Source: 2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第20题
Problem: 在等式$$\frac{1}{18}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$中，符号$$x$$，$$y$$，$$z$$分别代表三个不同的自然数，那么，这三个数的和为~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: B
Analysis: 首先估算，若没有$$\frac{1}{2}$$，则三个分数最大为：$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{18}\textless{}1$$，则必有$$\frac{1}{2}$$，依次类推，当有$$\frac {1}{3}$$时，满足题目条件，原式$$=\frac {1}{18}+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{z}=1$$，解得$$z=9$$，则$$x+y+z=2+3+9=14$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛决赛第16题
Problem: 若$$6\otimes 2=6+66=72$$且$$2\otimes 3=2+22+222=246$$，请问$$5\otimes 3$$的值为． 
Options:
aoVal: A
content: $$3735$$ 
aoVal: B
content: $$605$$ 
aoVal: C
content: $$615$$ 
aoVal: D
content: $$625$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意，发现规律$$a\otimes b=a+aa+aaa+\cdots +\underbrace{aa\cdots a}_{b}$$，则$$5\otimes 3=5+55+555=615$$，故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->逐步调整思想
Source: 2015年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分
Problem: 一根粗细均匀的木头长$$48$$分米，要锯成$$4$$分米长的木棍，每锯一次要$$3$$分钟，锯完一次要休息$$2$$分钟，全部锯完要用分钟． 
Options:
aoVal: A
content: $$53$$ 
aoVal: B
content: $$55$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
Answer: A
Analysis: 先用总长度除以每段的长度，求出一共有多少段，然后减去$$1$$，就是需要锯的次数；  用每锯一次需要的时间乘上锯的次数就是锯木头需要的时间，每锯一次需要休息$$2$$分钟，那么锯$$11$$次需要休息个$$2$$分钟，再由此求出休息的时间，然后加上锯木头的时间即可．  $$48$$米需要据$$48\div 4=12$$（段），而$$12$$段需要据：$$12-1=11$$（次），  锯木头需要的时间为：$$3\times 11=33$$（分钟），  休息的时间：$$2\times (11-1)=20$$（分钟），  总共需要：$$33+20=53$$（分钟）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2018年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第8题3分
Problem: $$2$$个人同时吃$$2$$个馒头用$$2$$分钟，$$10$$个人同时吃$$10$$个馒头用分钟．  It takes $$2$$ people $$2$$ minutes to eat $$2$$ buns at the same time.  $$10$$ people will take  minutes to eat $$10$$ buns at the same time. 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 两人同时吃两个馒头的时间与一个人吃一个馒头时间相同，与$$10$$个人同时吃$$10$$个馒头时间相同，都是两分钟．  The time taken for two people to eat two buns at the same time is $$2$$ minutes.  The time taken is the same for one person to eat one bun.  As such, the time taken for $$10$$ people to eat $$10$$ buns is still $$2$$ minutes. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第2题6分
Problem: \textbf{(2019 World Mathematical Olympiad, Primary 1, Question \#7)}  A square has $$4$$ angles, cut $$1$$ angle, and there are still （$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）angles left.  一个正方形有$$4$$个角，剪去$$1$$个角，还剩（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）个角． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: 以上都对 
Answer: D
Analysis: 一个正方形剪去一个角有$$3$$种情况，沿对角线剪开，则剩下$$3$$个角．从对角开始剪到一边，剩$$4$$个角．从一边剪到另一边，剩$$5$$个角．  故选择$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->图形认知
Overseas Competition->知识点->计数模块->几何计数->分类枚举法数图形->常规图形枚举计数->角计数
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 在下面四组数中，组中的数都是质数． 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$，$$21$$，$$17$$ 
aoVal: B
content: $$91$$，$$71$$，$$51$$ 
aoVal: C
content: $$43$$，$$53$$，$$73$$ 
aoVal: D
content: $$17$$，$$37$$，$$85$$ 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$中$$21$$不是质数，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$中$$51$$，$$91$$不是质数，故$$\text{B}$$错误．  $$\text{D}$$中$$85$$不是质数，故$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019~2020学年陕西宝鸡渭滨区五年级上学期期末第22题1分
2019~2020学年山东济南高新区五年级下学期期末第10题1分
2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第20题2分
Problem: 五年级$$2$$班的同学们一起去划船，但公园船不够多，如果每船坐$$4$$人，会多出$$10$$人；如果每船坐$$5$$人，还会多出$$1$$人，共有人去划船． 
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$46$$ 
aoVal: C
content: $$51$$ 
aoVal: D
content: $$52$$ 
Answer: B
Analysis: 盈盈类问题：共有$$(10-1)\div (5-4)=9$$只船，共有$$4\times 9+10=46$$人． 
Knowledge points: 拓展思维->知识点->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题
Source: 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第5题3分
2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第13题
Problem: 在小数$$2.857142$$的两个数字上方加$$2$$个循环点，得到以下循环小数，其中最小的是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$2.\dot{8}5714\dot{2}$$ 
aoVal: B
content: $$2.85\dot{7}14\dot{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2.857\dot{1}4\dot{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2.8571\dot{4}\dot{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 要使小数最小，则循环节开始的几位尽量小，因此从$$1$$开始循环，下一位为$$4$$，依次往下，最小的为$$2.857\dot{1}4\dot{2}$$. 
Knowledge points: 拓展思维->思想->逐步调整思想
Source: 其它改编自2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第3题
Problem: $$8$$和(~ ~ ~)的平均数是$$10$$? 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: C
Analysis: $$10\times2-8=12$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数
Source: 2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第25题
Problem: 现有$$1$$克、$$2$$克、$$4$$克、$$8$$克、$$16$$克的砝码各一个和一个天平，如果只允许在天平的一边放砝码，最多能称出种不同的质量． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$30$$ 
aoVal: D
content: $$31$$ 
Answer: D
Analysis: （$$1$$）$$1$$个砝码可以称出的重量有$$5$$种：$$1$$克，$$2$$克，$$4$$克，$$8$$克，$$16$$克；  （$$2$$）$$2$$个砝码可以称出的重量有$$10$$种：  $$1+2=3$$（克），$$1+4=5$$（克），$$1+8=9$$（克），  $$1+16=17$$（克）；  $$2+4=6$$（克），$$2+8=10$$（克），$$2+16=18$$（克）；  $$4+8=12$$（克），$$4+16=20$$（克），  $$8+16=24$$（克）；  （$$3$$）$$3$$个砝码可以称出的重量有$$10$$种：  $$1+2+4=7$$（克），$$1+2+8=11$$（克），  $$1+2+16=19$$（克），  $$1+4+8=13$$（克），$$1+4+16=21$$（克），  $$1+8+16=25$$（克），  $$2+4+8=14$$（克），$$2+4+16=22$$（克），  $$2+8+16=26$$（克），  $$4+8+16=28$$（克）；  （$$4$$）$$4$$个砝码可以称出的重量有$$5$$种：  $$1+2+4+8=15$$（克），$$1+2+4+16=23$$（克），  $$1+2+8+16=27$$（克），  $$1+4+8+16=29$$（克），$$2+4+8+16=30$$（克）；  （$$5$$）$$5$$个砝码可以称出的重量有$$1$$种：  $$1+2+4+8+16=31$$（克）．  因为$$5+10+10+5+1=31$$（种），  所以最多可以称出$$31$$种不同的重量，它们是$$1$$克$$-31$$克．  答：最多能称出$$31$$种不同重量的物体．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷第5题5分
Problem: 甲、乙、丙三人每分钟分别行$$60$$米、$$50$$米和$$40$$米，甲从$$B$$地、乙和丙从$$A$$地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后$$15$$分又遇到丙．$$A$$，$$B$$两地的距离为米． 
Options:
aoVal: A
content: $$1500$$ 
aoVal: B
content: $$16500$$ 
aoVal: C
content: $$15000$$ 
aoVal: D
content: $$1650$$ 
Answer: B
Analysis: 甲遇到乙后$$15$$分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：$$（60+40）\times15=1500$$（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要$$1500\div（50-40）=150$$（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了$$150$$分钟，所以$$A$$、$$B$$之间的距离为：$$（60+50）\times150=16500$$（米）．  甲遇到乙后$$15$$分钟，甲遇到了丙，设甲、乙相遇用时$$t$$分钟，则甲、丙相遇用时（$$t$$+$$15$$）分钟，再根据路程和相等，可列方程$$$$（$$60$$+$$50$$）$$\times t$$$$=$$$$$$（$$60$$+$$40$$）$$\times $$（$$t$$+$$15$$）$$$$ 解出：$$t=150$$，所以$$A$$、$$B$$之间的距离为：$$$$（$$60$$+$$50$$）$$\times150$$$$=$$$$16500$$（米）． 
Knowledge points: 知识标签->数学思想->对应思想
Source: 2011年北京五年级竞赛
Problem: $$420\times 814\times 1616$$除以$$13$$的余数为（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
Answer: A
Analysis: 解：$$420\times 814\times 1616\equiv 4\times 8\times 4\equiv 128\equiv 11$$（$$\text{mod }13$$）  故答案为：A。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->同余->同余定理
Source: 2014年中环杯五年级竞赛决赛
Problem: 如果$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要斤菠萝． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: B
Analysis: 根据$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要$$10\div2=5$$（斤）菠萝．故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->除法应用
Source: 2020年新希望杯二年级竞赛初赛（个人战）第4题
2020年新希望杯二年级竞赛决赛（8月）第4题
Problem: $$A$$ and $$B$$ are $$40$$ kilometers apart. Two people, Alice and Bob, start from $$A$$ and $$B$$ at the same time and travel in opposite directions, meeting after $$8$$ hours. If two people leave $${A}$$ at the same time and go to $${B}$$, Alice is $$5$$ kilometers ahead of Bob after $$5$$ hours. A travels  kilometers per hour.  $$A$$，$$B$$两地相距$$40$$千米．甲、乙两人，同时分别由$$A$$，$$B$$两地出发，相向而行，$$8$$小时后相遇．如果两人同时由$${A}$$地出发前往$${B}$$地，$$5$$小时后甲在乙前方$$5$$千米处．则甲每小时行千米． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: A
Analysis: 设甲的速度为$${a}$$千米/时，乙的速度为$${b}$$千米/时，  所以$$\left( {a}+{b} \right)\times 8=40$$ 从而推出$${a}+{b=}5$$．  $$\left( {a}-{b} \right)\times 5=5$$从而推出$${a}-{b=}1$$．  根据和差公式$${a=}\left( 5+1 \right)\div 2=3$$．  甲每小时行$$3$$千米．  速度和为$$40\div 8=5$$（千米$$/$$小时），  速度差为$$5\div 5=1$$（千米$$/$$小时），  甲速度为$$\left( 5+1 \right)\div 2=3$$（千米$$/$$小时）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1
Source: 2017年全国亚太杯四年级竞赛初赛第23题
Problem: 杰克和吉莉每人各有一只水壶，其中都装有$$1$$升水．第一天，杰克把他壶中的$$1$$毫升水倒入吉莉的壶中，第二天吉莉把她的壶中的$$3$$毫升水倒入杰克的壶中，第三天杰克把他壶中的$$5$$毫升水倒入吉莉的壶中，这样继续做下去，其中每个人倒出的水比前一天从对方得到的水多$$2$$毫升．那么第$$101$$天结束后，杰克壶中有毫升水？（$$1$$升$$=1000$$毫升） 
Options:
aoVal: A
content: $$799$$ 
aoVal: B
content: $$899$$ 
aoVal: C
content: $$900$$ 
aoVal: D
content: $$1000$$ 
Answer: B
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde1000-1+3-5+7-9+11-13+\cdots \cdots +199-201$$  $$=1000+\left( 3-1 \right)+\left( 7-5 \right)+\left( 11-9 \right)+\cdots \cdots +\left( 199-197 \right)-201$$  $$=1000+\underbrace{2+2+\cdots +2}_{50个2}-201$$  $$=1000+100-201$$  $$=899$$（毫升）．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2012年第10届创新杯四年级竞赛初赛第4题6分
Problem: 当天，游乐场的游客有很多，过山车项目排起了长队，小明数了数共有$$60$$人，其中男生人数有$$x$$人，且男生人数是女生人数的$$\frac{1}{3}$$，则下列关系式正确的是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$x+\frac{1}{3}x=60$$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
aoVal: B
content: $$x+3x=60$$~~~~~~~~~~ 
aoVal: C
content: $$x:60=1:\left( 1+\frac{1}{3} \right)$$~~~~~~~~~ 
aoVal: D
content: $$\frac{x}{60}=\frac{3}{1+3}$$ 
Answer: B
Analysis: 用字母表示数；男生人数有$$x$$人，女生人数是$$3x$$人，则关系式为$$x+3x=60$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第1题
Problem: 从自然数$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，$$2015$$，$$2016$$中，任意取$$n$$个不同的数，要求总能在这$$n$$个不同的数中找到$$5$$个数，它们的数字和相等。那么$$n$$的最小值等于(  ) 
Options:
aoVal: A
content: $$109$$ 
aoVal: B
content: $$110$$ 
aoVal: C
content: $$111$$ 
aoVal: D
content: $$112$$ 
Answer: B
Analysis: $$1$$到$$2016$$中，数字和最大$$28$$。数字和为$$28$$的只有$$1999$$这$$1$$个数，  最坏情况：取数字和$$1$$到$$27$$各$$4$$个，以及$$1999$$，共$$109$$个数。  再多取一个数就保证有$$5$$个数字和相等。$$n=110$$，选B。 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数学广角->鸽巢问题->利用抽屉原理解决实际问题
拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目确定
Source: 2016年华杯赛六年级竞赛初赛
Problem: 有一个两位数，如果在两个数字中间加一个$$0$$，所得的三位数比原数大$$6$$倍．那么，这个两位数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
Answer: A
Analysis: 设这个两位数是$$\overline{ab}$$，则$$\overline{a0b}=7\times \overline{ab}$$，拆开得$$b=5a$$，$$a=1$$，$$b=5$$．这个两位数是$$15$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第5题4分
Problem: 假期里小丁在一家餐馆里做兼职洗碗．每洗好一个碗可得到$$3$$元，每打破一个碗不仅不能得到洗这个碗的工资，还要另赔$$9$$元．一星期之内，他总共洗了$$500$$个碗，共领到了$$1368$$元．请问他一共打破了多少个碗？ 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
aoVal: E
content: $$11$$ 
Answer: E
Analysis: 洗$$500$$个碗，应该领到$$3\times 500=1500$$（元），但是小丁只领到了$$1368$$元，少领了$$1500-1368=132$$（元），那么原因是小丁打破了一些碗，洗一个碗，应得$$3$$元，但打破一个，需要赔偿$$9$$元，也就是说打破一个碗实际减少$$12$$元工资，故小丁共打破$$132\div 12=11$$个碗． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->乘法应用（顺口溜）
Source: 2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第15题4分
Problem: ``凑$$24$$点''游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下$$52$$张（如果初练也可以只用$$1-10$$这$$40$$张牌），任意抽去$$4$$张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成$$24$$．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如果抽出的牌是$$3$$，$$8$$，$$8$$，$$9$$，那么算式为$$(9-8)\times 8\times 3$$或$$(9-8\div 8)\times 3$$等．在下面$$4$$个选项中，唯一无法凑出$$24$$点的是（  ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$，$$2$$，$$2$$，$$3$$ 
aoVal: B
content: $$1$$，$$4$$，$$6$$，$$7$$ 
aoVal: C
content: $$1$$，$$5$$，$$5$$，$$5$$ 
aoVal: D
content: $$3$$，$$3$$，$$7$$，$$7$$ 
Answer: A
Analysis: 选项$$\rm B$$：$$(7+1-4)\times 6=24$$；  选项$$\rm C$$：$$(5-1\div 5)\times 5=24$$；  选项$$\rm D$$：$$(3+3\div 7)\times 7=24$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第1题
Problem: 三年级分成$$8$$个小队去种树，一共种了$$129$$棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了$$20$$棵，种树最少的小队最少种了棵． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$11$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: B
Analysis: 要使某一队种的树量少，则其它队伍种树越多越好，已知种树最多的小队种了$$20$$棵，且各小队种的棵树都不相同，则令其它几个小队的种树数量为：$$19$$，$$18$$，$$17$$，$$16$$，$$15$$，$$14$$．已知$$8$$个小队一共种$$129$$棵树，故最少的小队种树：  $$129-(20+19+18+17+16+15+14)$$  $$=129-(20+14)\times7\div 2$$  $$=129-34\times7\div 2$$  $$=129-238\div 2$$  $$=129-119$$  $$=10$$（棵）．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->加减法应用顺口溜
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第7题5分
Problem: 一房间中有红、黄，蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭．现在从$$1\sim 100$$编号的同学走过该房间，并将开关各拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数都是他的编号数；编号为偶数者，其编号可以写成$${{2}^{r}}\cdot p$$（其中$$p$$为正奇数，$$r$$为正整数），就拉$$p$$次．$$100$$人都走过房间后，房间灯的情况为． 
Options:
aoVal: A
content: 只有红灯亮 
aoVal: B
content: 只有红、黄灯亮 
aoVal: C
content: 三灯都亮 
aoVal: D
content: 三灯都不亮 
Answer: D
Analysis: 本题主要考查数的运算．  奇数和为$$1+3+5+\cdots +99=2500$$，  $$2$$的$$r$$次方$$\times P=2$$、$$4$$、$$6$$、$$8$$、$$10\cdots $$，  $$r$$分别为$$1\sim 6$$，$$6$$种．  其中$$r=1$$时，有$$25$$种，$$p$$值的和为$$1\sim 50$$内奇数的和．  $$r=2$$时，有$$13$$种，$$p$$值的和为$$1\sim 25$$内奇数的和．  $$r=3$$时，有$$6$$种，$$p$$值的和为$$1\sim 12$$内奇数的和．  $$r=4$$时，有$$3$$种，$$p$$值为$$1$$、$$3$$、$$5$$．  $$r=5$$时，有$$2$$种，$$p$$值为$$1$$、$$3$$．  $$r=6$$时，$$p=1$$．  所有$$p$$值的和为  $$1\times 6+3\times 5+5\times 4+\left[ \left( 11+7 \right)\times \frac{3}{2} \right]\times 3+\left[ \left( 25+13 \right)\times \frac{7}{2} \right]\times 2+\left( 27+49 \right)\times \frac{12}{2}$$  $$=6+15+20+81+266+456$$  $$=844$$．  总数$$2500+884=3344$$，  $$3344\div 4=838$$．  即灯全灭．  故本题正确答案为都不亮．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->分类讨论思想
Source: 2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第9题4分