math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 在$$-4$$，$$-1$$，$$-2.5$$，$$-0.01$$与$$-15$$这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$225$$ 
aoVal: B
content: $$0.15$$ 
aoVal: C
content: $$0.0001$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: B
Analysis: $$-4$$，$$-1$$，$$-2.5$$，$$-0.01$$与$$-15$$中最大的数是$$-0.01$$，绝对值最大的数是$$-15$$，$$(-001)\times (-15)=0.15$$．选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第13题
Problem: 在本埠投寄平信，每封信质量不超过$$20\text{g}$$时付邮费$$0.80$$元，超过$$20\text{g}$$而不超过$$40\text{g}$$时付邮费$$1.60$$元，依次类推，每增加$$20\text{g}$$需增加邮费$$0.80$$元（信的质量在$$100\text{g}$$以内)．如果某人所寄一封信的质量为$$72.5\text{g}$$，那么他应付邮费．
Options:
aoVal: A
content: $$2.4$$元 
aoVal: B
content: $$2.8$$元 
aoVal: C
content: $$3$$元 
aoVal: D
content: $$3.2$$元 
Answer: D
Analysis: 因为$$20\times 3\textless{}72.5\textless{}20\times 4$$，所以根据题意，可知需付邮费$$0.8\times 4=3.2$$（元）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2003年竞赛第2题6分
Problem: 如果对于某一特定范围内$$x$$的任意允许值, $$p=\left\textbar{} 1-2x \right\textbar+\left\textbar{} 1-3x \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} 1-9x \right\textbar+\left\textbar{} 1-10x \right\textbar$$ 的值恒为一常数，则此值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$P$$为定值，  ∴$$P$$的表达式化简后与$$x$$无关，  即$$x$$的系数为$$0$$，  观察发现：$$2+3+4+5+6+7=8+9+10$$，  ∴只需$$1-7x\geqslant 0$$且$$1-8x\leqslant 0$$，  ∴$$\frac{1}{8}\leqslant x\leqslant \frac{1}{7}$$，  ∴$$P=(1-2x)+(1-3x)+(1-4x)+(1-5x)+(1-6x)+(1-7x)-(1-8x)-(1-9x)-(1-10x)$$  $$=3$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->零点分段法
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第2题3分
初一上学期单元测试《物以类聚》第19题
2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第6题
Problem: （2002年全国初中联赛题）设$$a\textless{}b\textless{}0$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$$，则$$\frac{a+b}{a-b}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: A
Analysis: $$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$ 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛
Problem: 已知$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$，且$${{x}^{8}}+1={{x}^{4}}(6y+8)$$，则$$y$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$30$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$，  所以$${{x}^{2}}=5+2\sqrt{6}$$，  所以$${{x}^{2}}+{{x}^{-2}}=5+2\sqrt{6}+\frac{1}{5+2\sqrt{6}}$$  $$=5+2\sqrt{6}+\frac{5-2\sqrt{6}}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$$  $$=5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}$$  $$=10$$，  于是$${{x}^{4}}+{{x}^{-4}}={{({{x}^{2}}+{{x}^{-2}})}^{2}}-2={{10}^{2}}-2=98$$．  因为$${{x}^{8}}+1={{x}^{4}}(6y+8)$$，  所以$$y=\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{-4}}-8}{6}=15$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分
Problem: 如果一个凸多边形的内角和等于外角和的$$3$$倍，那么，这个多边形的边数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: C
Analysis: 设多边形的边数为$$n$$，  则$$(n-2)\times 180{}^{}\circ =3\times 360{}^{}\circ $$，  解得$$n=8$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的外角和定理
Source: 2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分
2018年贵州铜仁地区中考真题第7题4分
Problem: 某校初三两个毕业班的学生和教师共$$100$$人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数$$≥3$$），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案种数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: B
Analysis: 设最后一排有$$k$$个人，共有$$n$$排，那么从后往前各排的人数分别为$$k$$，$$k+1$$，$$k+2$$，\ldots，$$k+\left( n-1 \right)$$，由题意可知：  $$kn+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=100$$，  即$$n\left[ 2k+\left( n-1 \right) \right]=200$$．因为$$k$$，$$n$$都是正整数，且$$n\geqslant 3$$，所以$$n\leqslant 2k+\left( n-1 \right)$$，且$$n$$与$$2k+\left( n-1 \right)$$的奇偶性不同．将$$200$$分解质因数，可知$$n=5$$或$$8$$．当$$n=5$$时，$$k=18$$；当$$n=8$$时，$$k=9$$．共有两种不同方案．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2003年竞赛第5题6分
Problem: 若$${{x}^{2}}-3x+2=0$$，则$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+10$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+10$$  $$=x({{x}^{2}}-3x+2)+2({{x}^{2}}-3x+2)+6$$  $$=0+0+6$$  $$=6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第4题4分
Problem: 正整数$$x$$，$$y$$满足$$(2x-5)(2y-5)=25$$，则$$x+y$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$26$$ 
aoVal: D
content: $$10$$或$$18$$ 
Answer: D
Analysis: $$(2x-5)(2y-5)=25$$，$$x$$及$$y$$都是正整数．  所以$$\begin{cases}2x-5=1    2y-5=25   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}2x-5=5    2y-5=5   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}2x-5=25    2y-5=1   \end{cases}$$．  所以$$\begin{cases}x=3    y=15   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=5    y=5   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=15    y=3   \end{cases}$$．  所以$$x+y=18$$或$$x+y=10$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->特殊方程
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第7题4分
Problem: 已知实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$2a+13b+3c=90$$，$$3a+9b+c=72$$，则$$\frac{3b+c}{a+2b}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$ 
Answer: B
Analysis: 已知等式可变形为$$2(a+2b)+3(3b+c)=90$$，$$3(a+2b)+(3b+c)=72$$，解得$$a+2b=18$$，$$3b+c=18$$．所以$$\frac{3b+c}{a+2b}=1$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组
Source: 2017年全国初中数学联赛竞赛
Problem: 若三角形的三边长$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a\textless{}b\textless{}c$$，且$${{a}^{2}}+bc=t_{1}^{2}$$，$${{b}^{2}}+ca=t_{2}^{2}$$，$${{c}^{2}}+ab=t_{3}^{2}$$，则$$t_{1}^{2}$$、$$t_{2}^{2}$$、$$t_{3}^{2}$$中．
Options:
aoVal: A
content: $$t_{1}^{2}$$最大 
aoVal: B
content: $$t_{2}^{2}$$最大 
aoVal: C
content: $$t_{3}^{2}$$最大 
aoVal: D
content: $$t_{3}^{2}$$最小 
Answer: C
Analysis: 由$$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=({{a}^{2}}+bc)-({{b}^{2}}+ca)=(a-b)(a+b-c)\textless{}0$$，得$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}$$，  由$$t_{2}^{2}-t_{3}^{2}=({{b}^{2}}+ca)-({{c}^{2}}+ab)=(b-c)(b+c-a)\textless{}0$$，  得$$t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$，所以$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分
Problem: $$\frac{1}{\sqrt{30}-\sqrt{31}}$$与$$\sqrt{30}+\sqrt{31}$$的关系是．
Options:
aoVal: A
content: 相等 
aoVal: B
content: 互为相反数 
aoVal: C
content: 互为倒数 
aoVal: D
content: 互为负倒数 
Answer: B
Analysis: 因为$$\frac{1}{\sqrt{30}-\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{31}}{(\sqrt{30}-\sqrt{31})(\sqrt{30}+\sqrt{31})}=-(\sqrt{30}+\sqrt{31})$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: 某天，黑河凌晨的温度比上午$$9$$点的温度低$$12$$℃，中午$$12$$点的温度比凌晨的温度高$$20$$℃，晚上$$9$$点的温度比中午$$12$$点的温度低$$19$$℃，若当天上午$$9$$点的温度记为$$a$$℃，则当天晚上$$9$$点的温度应记为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( a-32 \right)$$℃ 
aoVal: B
content: $$\left( a-11 \right)$$℃ 
aoVal: C
content: $$\left( 32-a \right)$$℃ 
aoVal: D
content: $$\left( 11-a \right)$$℃ 
Answer: B
Analysis: 由题意知，上午$$9$$点的温度是$$a$$℃，  凌晨的温度是$$(a-12)$$℃，  中午$$12$$点的温度是$$(a-12)+20=(a+8)$$℃，  晚上$$9$$点的温度是$$(a+8)-19=(a-11)$$℃． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分
Problem: 若$$a+1\textless{}0$$，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$，$$-1$$，$$1$$，$$-a$$ 
aoVal: B
content: $$-a$$，$$-1$$，$$1$$，$$a$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$，$$-a$$，$$a$$，$$1$$ 
aoVal: D
content: $$-1$$，$$a$$，$$1$$，$$-a$$ 
Answer: A
Analysis: 由$$a+1\textless{}0$$，知$$a\textless{}-1$$，所以$$-a\textgreater1$$．  于是由小到大的排列次序应是$$a\textless{}-1\textless{}1\textless{}-a$$，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第5题
Problem: 某工厂去年的生产总值比前年增长$$a \%$$，则前年比去年少的百分数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a \%$$ 
aoVal: B
content: $$(1+a) \%$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{a+1}{100a}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{a}{100+a}$$ 
Answer: D
Analysis: 设前年的生产总值是$$m$$，则去年的生产总值是$$m(1+\frac{a}{100})$$，  前年比去年少$$m(1+\frac{a}{100})-m=\frac{ma}{100}$$，  这个产值差占去年的$$\frac{\frac{ma}{100}}{m(1+\frac{a}{100})}=\frac{a}{100+a}$$．应选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
Problem: 已知关于$$x$$的方程$$(3a+8b)x+7=0$$无解，则$$ab$$是．
Options:
aoVal: A
content: 正数 
aoVal: B
content: 非正数 
aoVal: C
content: 负数 
aoVal: D
content: 非负数 ~ 
Answer: B
Analysis: 整理原方程得：$$(3a+8b)x=-7$$，  ∵原方程无解，  ∴$$3a+8b=0$$，  ∴$$a=-\frac{8}{3}b$$，故$$a$$、$$b$$异号或都为$$0$$，  ∴$$ab\leqslant 0$$，  ∴$$ab$$是非正数 . 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期单元测试《一元一次方程》第8题
2017~2018学年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初二上学期开学考试第11题3分
1998年第9届希望杯初一竞赛第4题
2019~2020学年浙江温州鹿城区温州市实验中学初一下学期期中模拟第2题
2019~2020学年9月浙江杭州下城区杭州观成中学初一上学期月考第22题4分
2018~2019学年湖北武汉江夏区武汉外国语学校初一上学期期末第8题3分
Problem: 直角三角形的两个锐角的外角平分线所夹的锐角的大小是．
Options:
aoVal: A
content: $$30{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$45{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$15{}^{}\circ $$或$$75{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 两个外角分别等于其不相邻的锐角与直角之和，因此两个外角之和等于$$270{}^{}\circ $$．  两个外角的角平分线的夹角$$=180{}^{}\circ -\frac{270{}^{}\circ }{2}=45{}^{}\circ $$，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第3题
Problem: 计算：$$(11+4 \sqrt{7})^{\frac{3}{2}}+(11-4 \sqrt{7})^{\frac{3}{2}}$$，结果等于．
Options:
aoVal: A
content: $$58$$ 
aoVal: B
content: $$38 \sqrt{7}$$ 
aoVal: C
content: $$24 \sqrt{7}$$ 
aoVal: D
content: $$32 \sqrt{7}$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=(7+2\times 2\sqrt{7}+2^{2})^{\dfrac{3}{2}}+(7-2\times 2\sqrt{7}+2^{2})^{\dfrac{3}{2}}$$  $$=[(\sqrt{7}+2)]^{\dfrac{3}{2}}+[(\sqrt{7}-2)^{2}]^{\dfrac{3}{2}}$$  $$=(\sqrt{7}+2)^{3}+(\sqrt{7}-2)^{3}$$  $$=(\sqrt{7})^{3}+3\times (\sqrt{7})^{2}\times 2+3\times\sqrt{7}\times 2^{2}+2^{3}+(\sqrt{7})^{3}-3\times(\sqrt{7})^{2}\times 2+3\times \sqrt{7}\times 2^{2}-2^{3}$$  $$=2\times 7\sqrt{7}+6\sqrt{7}\times 4=38\sqrt{7}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 若$$\frac{3+4+5+6+7}{5}=\frac{1993+1994+1995+1996+1997}{N}$$，则$$N=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1991$$ 
aoVal: B
content: $$1993$$ 
aoVal: C
content: $$1995$$ 
aoVal: D
content: $$1997$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$\frac{3+4+5+6+7}{5}=\frac{1993+1994+1995+1996+1997}{N}$$，  ∴$$\frac{5\times 5}{5}=\frac{5\times 1995}{N}\Rightarrow N=1995$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程
Source: 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$这$$8$$个数排成一行，要使$$8$$的两边各数的和相等，则不同的排法一共有．
Options:
aoVal: A
content: $$1152$$种 
aoVal: B
content: $$576$$种 
aoVal: C
content: $$288$$种 
aoVal: D
content: $$144$$种 
Answer: A
Analysis: 因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分
Problem: 已知$$p$$，$$q$$均为质数，且满足$$5{{p}^{2}}+3q=59$$，则以$$p+3$$，$$1-p+q$$，$$2p+q-4$$为边长的三角形是（~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 锐角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 等腰三角形 
Answer: B
Analysis: 由方程知$$5{{p}^{2}} ~\textless{} ~59$$，所以$$p ~\textless{} ~4$$，又$$p$$为质数，所以$$p$$只可能是$$2$$或$$3$$，代回方程$$5{{p}^{2}}+3q=59$$中，因为$$q$$也是质数，只有当$$p=2$$时$$q=13$$为质数．  所以$$p=2$$，$$q=13$$．  由$$p$$，$$q$$的值得到三角形三边长为$$5$$，$$12$$，$$13$$，由勾股定理逆定理得到这是个直角三角形．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的逆定理
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股逆定理的应用
Source: 2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第2题
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$是不全相等的任意实数，若$$x={{a}^{2}}-bc$$，$$y={{b}^{2}}-ca$$，$$z={{c}^{2}}-ab$$，则$$x$$，$$y$$，$$z$$．
Options:
aoVal: A
content: 都不小于$$0$$ 
aoVal: B
content: 都不大于$$0$$ 
aoVal: C
content: 至少有一个小于$$0$$ 
aoVal: D
content: 至少有一个大于$$0$$ 
Answer: D
Analysis: $$x+y+z={{a}^{2}}-bc+{{b}^{2}}-ca+{{c}^{2}}-ab=\frac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}]\textgreater0$$，  ∴$$x$$，$$y$$，$$z$$中至少有一个大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第2题6分
初一上学期其它
Problem: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$是不全相等的任意实数，若$$x={{a}^{2}}-bc$$，$$y={{b}^{2}}-ca$$，$$z={{c}^{2}}-ab$$，则$$x$$，$$y$$，$$z$$（ ）．
Options:
aoVal: A
content: 都不小于$$0$$ 
aoVal: B
content: 都不大于$$0$$ 
aoVal: C
content: 至少有一个小于$$0$$ 
aoVal: D
content: 至少有一个大于$$0$$ 
Answer: D
Analysis: $$x+y+z={{a}^{2}}-bc+{{b}^{2}}-ca+{{c}^{2}}-ab=\frac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}]\textgreater0$$，  ∴$$x$$，$$y$$，$$z$$中至少有一个大于$$0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性
课内体系->能力->运算能力
Source: 初一上学期其它
1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第2题6分
Problem: 下列计算正确的是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}}y=6{{x}^{5}}$$ 
aoVal: B
content: $$2{{a}^{2}}\cdot 3{{a}^{3}}=6{{a}^{5}}$$ 
aoVal: C
content: $$(-2x)\cdot \left( -5{{x}^{2}}y \right)=-10{{x}^{3}}y$$ 
aoVal: D
content: $$(-2xy)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}y$$ 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据单项式乘单项式、同底数幂的运算法则逐一计算即可得出答案．\\ 【详解】\\ 解：A.$$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}}y=6{{x}^{5}}y$$，计算错误，不符合题意；\\ B.$$2{{a}^{2}}\cdot 3{{a}^{3}}=6{{a}^{5}}$$，计算正确，符合题意；\\ C.$$(-2x)\cdot \left( -5{{x}^{2}}y \right)=10{{x}^{3}}y$$，计算错误，不符合题意；\\ D.$$(-2xy)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$ ，计算错误，不符合题意；\\ 故选B．\\ 【点睛】\\ 本题考查了单项式乘单项式、同底数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第1题
2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第1题
2021~2022学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨市松雷中学校初二上学期期中第4题
Problem: $$x$$，$$y$$为实数，设$$a=\dfrac{\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}}}{\left\textbar{} -x \right\textbar}$$，$$b=\dfrac{y}{{{\left( \sqrt{-y} \right)}^{2}}}$$，$$c=\dfrac{3+\dfrac{1}{4}}{4-\dfrac{1}{2}}$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系为．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}b\textless{}c$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}a\textless{}c$$ 
aoVal: C
content: $$b\textless{}c\textless{}a$$ 
aoVal: D
content: $$a=b\textgreater c$$ 
Answer: C
Analysis: $$a=\frac{\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}}}{\left\textbar{} -x \right\textbar}=\left\textbar{} \frac{-x}{-x} \right\textbar=1$$，  $$b=\frac{y}{{{\left( \sqrt{-y} \right)}^{2}}}=\frac{y}{-y}=-1$$，  $$c=\dfrac{3+\dfrac{1}{4}}{4-\dfrac{1}{2}}=\frac{13}{14}$$．  所以$$b\textless{}c\textless{}a$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->知识点->数->实数->实数运算->含二次根式的实数的运算
课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较
Source: 2019~2020学年4月四川绵阳游仙区绵阳中学英才学校初一下学期月考A卷第12题3分
1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第6题
Problem: 若$$m=\frac{2009\times 2010+2010\times 2011}{2}$$，则$$m$$是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 奇数，且是完全平方数 
aoVal: B
content: 偶数，且是完全平方数 
aoVal: C
content: 奇数，但不是完全平方数 
aoVal: D
content: 偶数，但不是完全平方数 
Answer: B
Analysis: $$m=\frac{2009\times 2010+2010\times 2011}{2}$$  $$=\frac{2010\times (2009+2011)}{2}$$  $$=\frac{2010\times 2010\times 2}{2}$$  $$={{2010}^{2}}$$．  故$$m$$是偶数，且是完全平方数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分
Problem: 设实数$$m$$，$$n$$满足$${{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+10mn+16=0$$，则有．
Options:
aoVal: A
content: $$\begin{cases}m=2,    n=2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=-2.    \end{cases}$$ 
aoVal: B
content: $$\begin{cases}m=2,    n=2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=2,    n=-2.    \end{cases}$$ 
aoVal: C
content: $$\begin{cases}m=2,    n=-2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=2.    \end{cases}$$ 
aoVal: D
content: $$\begin{cases}m=-2,    n=-2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=2.    \end{cases}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为$${{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+10mn+16=0$$，  所以$$({{m}^{2}}{{n}^{2}}+8mn+16)+({{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}})=0$$，  所以$${{(mn+4)}^{2}}+{{(m+n)}^{2}}=0$$．  又因为$${{(mn+4)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{(m+n)}^{2}}\geqslant 0$$，  所以$${{(mn+4)}^{2}}=0$$，$${{(m+n)}^{2}}=0$$，  即$$\begin{cases}mn+4=0    m+n=0    \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}m=2,    n=-2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=2.    \end{cases}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第2题
Problem: $$105$$的负约数的和等于．
Options:
aoVal: A
content: $$-105$$ 
aoVal: B
content: $$-87$$ 
aoVal: C
content: $$-86$$ 
aoVal: D
content: $$-192$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$105=1\times 3\times 5\times 7$$，  所以$$105$$的负约数为$$-1$$，$$-3$$，$$-5$$，$$-7$$，$$-15$$，$$-21$$，$$-35$$，$$-105$$，  它们的和为$$-\left( 1+3+5+7+15+21+35+105 \right)=-192$$．  故选 $$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第3题4分
Problem: 对于彼此互质的三个正整数$$a$$，$$b$$，$$c$$，有以下判断：①$$a$$，$$b$$，$$c$$均为奇数；②$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数；③$$a$$，$$b$$，$$c$$没有公因数；④$$a$$，$$b$$，$$c$$必有公因数．  其中，不正确的判断的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 令$$a=2$$，$$b=3$$，$$c=5$$，知①不正确；  令$$a=7$$，$$b=3$$，$$c=5$$，知②不正确；  因为$$1$$显然是$$a$$，$$b$$，$$c$$的公因数，所以③不正确，④正确．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类
课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明
课内体系->思想->分类讨论思想
课内体系->能力->抽象概括能力
竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第8题4分
Problem: 设实数$$a$$，$$b$$满足不等式$$\textbar\textbar a\textbar-(a+b)\textbar{} ~\textless{} ~\textbar a-\textbar a+b\textbar\textbar$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater0$$且$$b\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$a ~\textless{} ~0$$且$$b\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$a\textgreater0$$且$$b ~\textless{} ~0$$ 
aoVal: D
content: $$a ~\textless{} ~0$$且$$b ~\textless{} ~0$$ 
Answer: B
Analysis: 取$$a=-1$$，$$b=2$$可否定$$\text{A}$$，$$\text{C}$$，$$\text{D}$$，选$$\text{B}$$．  一般地，对已知不等式平方，有$$\textbar a\textbar(a+b)\textgreater a\textbar a+b\textbar$$．  显然$$\textbar a\textbar\textbar(a+b)\textbar\textgreater0$$（若等于$$0$$，则与上式矛盾），有$$\frac{a+b}{\textbar a+b\textbar}\textgreater\frac{a}{\textbar a\textbar}$$．  两边都只能取$$1$$或$$-1$$，故只有$$1\textgreater-1$$，即有$$a ~\textless{} ~0$$且$$a+b\textgreater0$$，从而$$b\textgreater-a\textgreater0$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解含绝对值的一元一次不等式（组）
课内体系->能力->运算能力
Source: 1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第6题
Problem: 在整数$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$，$$9$$中，设质数的个数为$$x$$，偶数的个数为$$y$$，完全平方数的个数为$$z$$，合数的个数为$$u$$．则$$x+y+z+u$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$17$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$11$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$x=4$$，$$y=5$$，$$z=4$$，$$u=4$$．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
Source: 1991年第2届希望杯初二竞赛第9题
Problem: 一副扑克牌有$$4$$种花色，每种花色有$$13$$张，从中任意抽牌，最小要抽张才能保证有$$4$$张牌是同一花色的．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: B
Analysis: $$4$$种花色相当于$$4$$个抽屉，  设最少要抽$$x$$张扑克，  问题相当于把$$x$$张扑克放进$$4$$个抽屉，至少有$$4$$张牌在同一个抽屉，有  $$x=3\times 3+4=13$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的其他实际问题
Source: 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第5题5分
2020~2021学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初三上学期期中（加试）第2题5分
Problem: 若三角形的三边长$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$a\textless{}b\textless{}c$$，且$${{a}^{2}}+bc=t_{1}^{2}$$，$${{b}^{2}}+ca=t_{2}^{2}$$，$${{c}^{2}}+ab=t_{3}^{2}$$，则$$t_{1}^{2}$$、$$t_{2}^{2}$$、$$t_{3}^{2}$$中．
Options:
aoVal: A
content: $$t_{1}^{2}$$最大 
aoVal: B
content: $$t_{2}^{2}$$最大 
aoVal: C
content: $$t_{3}^{2}$$最大 
aoVal: D
content: $$t_{3}^{2}$$最小 
Answer: C
Analysis: 由$$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=({{a}^{2}}+bc)-({{b}^{2}}+ca)=(a-b)(a+b-c)\textless{}0$$，得$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}$$，  由$$t_{2}^{2}-t_{3}^{2}=({{b}^{2}}+ca)-({{c}^{2}}+ab)=(b-c)(b+c-a)\textless{}0$$，  得$$t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$，所以$$t_{1}^{2}\textless{}t_{2}^{2}\textless{}t_{3}^{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明
知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法
知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式
知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->方法->作差法
Source: 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分
Problem: 一个角的补角的$$\frac{1}{17}$$是$$6{}^{}\circ $$，则这个角是( ~ )．
Options:
aoVal: A
content: $$68{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$78{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$88{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$98{}^{}\circ $$ 
Answer: B
Analysis: 设这个角为$$\alpha $$，$$\alpha $$的补角等于$$180{}^{}\circ -\alpha $$，其$$\frac{1}{17}$$为$$\frac{180{}^{}\circ -\alpha }{17}$$，所以$$\frac{180{}^{}\circ -\alpha }{17}=6{}^{}\circ $$．解得$$\alpha =78{}^{}\circ $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->角->角度的运算->角的和差的计算与证明->角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->余角和补角
Source: 2015年初一上学期其它
1999年第10届希望杯初一竞赛第6题
Problem: 若$${{8.047}^{3}}=521.077119823$$，则$${{0.8047}^{3}}$$等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0.521077119823$$ 
aoVal: B
content: $$52.1077119823$$ 
aoVal: C
content: $$571077.119823$$ 
aoVal: D
content: $$0.00521077119823$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$${{(\frac{a}{10})}^{3}}=\frac{{{a}^{3}}}{{{10}^{3}}}$$，  ∴将$${{8.047}^{3}}=512.077119823$$的小数点向前移三位得$$0.512077119823$$，即为$${{0.8047}^{3}}$$的值，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第1题
Problem: 以$$x$$为未知数的方程$$2007x+2007a+2008b=0$$（$$a$$，$$b$$为有理数，且$$b\textgreater0$$）有正整数解，则$$ab$$是．
Options:
aoVal: A
content: 负数 
aoVal: B
content: 非负数 
aoVal: C
content: 正数 
aoVal: D
content: 零 
Answer: A
Analysis: 方程两边同乘$$b$$得：  $$2007bx+2007ab+2008{{b}^{2}}=0$$，  ∴$$ab=-\frac{2007bx+2008{{b}^{2}}}{2007}$$，  ∵$$b\textgreater0$$，是$$x$$为正整数，  ∴$$ab\textless{}0$$，为负数．  所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->由一元一次方程的解求参数的值
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解
Source: 2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第9题4分
初一上学期单元测试《一元一次方程》第17题
Problem: 若实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$$，代数式$${{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$27$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$12$$ 
Answer: A
Analysis: $${{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}=3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{(a+b+c)}^{2}}\leqslant 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=27$$．  当且仅当$$a+b+c=0$$时成立．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 1997年第14届全国初中数学联赛竞赛第3题
2020~2021学年浙江宁波奉化区奉化实验中学初二上学期期中第29题5分
2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第3题4分
Problem: 已知有理数$$x$$满足方程$$\frac{1}{2012-\dfrac{x}{x-1}}=\frac{1}{2012}$$，则$$\frac{{{x}^{4}}-2009}{{{x}^{9}}+49}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-41$$ 
aoVal: B
content: $$-49$$ 
aoVal: C
content: $$41$$ 
aoVal: D
content: $$49$$ 
Answer: A
Analysis: 由有理数$$x$$满足方程$$\frac{1}{2012-\dfrac{x}{x-1}}=\frac{1}{2012}$$，  易知$$x\ne 1$$，$$\frac{x}{x-1}\ne 2012$$，即$$x\ne \frac{2012}{2011}$$，  整理，得$$\frac{x}{x-1}=0$$，  因为$$x-1\ne 0$$，  所以$$x=0$$．  所以$$\frac{{{x}^{4}}-2009}{{{x}^{9}}+49}=\frac{-2009}{49}=-41$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分
Problem: 已知$${{m}^{2}}+m-1=0$$，那么代数式$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1997$$ 
aoVal: B
content: $$-1997$$ 
aoVal: C
content: $$1996$$ 
aoVal: D
content: $$-1996$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${{m}^{2}}+m-1=0$$，  所以$${{m}^{2}}+m=1$$，  所以$${{m}^{3}}+2{{m}^{2}}-1997$$  $$=m({{m}^{2}}+m)+{{m}^{2}}-1997$$  $$=m+{{m}^{2}}-1997$$  $$=1-1997$$  $$=-1996$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题
初一下学期其它