math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 2009AMC12A, 24  \uline{The tower function of twos} is defined recursively as follows: $$T\left(1\right)=2$$ and $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ for $$n\geqslant 1$$. Let $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ and $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. What is the largest integer $$k$$ such that $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$ is defined?  2的\uline{塔函数}定义如下: $$T\left(1\right)=2$$ , $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ ($$n\geqslant 1$$). 令 $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ , $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. 使得 $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$有意义的最大整数 $$k$$是多少?
Options:
aoVal: A
content: $$2009$$ 
aoVal: B
content: $$2010$$ 
aoVal: C
content: $$2011$$ 
aoVal: D
content: $$2012$$ 
aoVal: E
content: $$2013$$ 
Answer: E
Analysis: 记$\log_2$为$\log$.  由条件, 有$\log{T(n+1)}=T(n)$.  我们对$B$求几次对数看看情况.  $\log{B}=A\log{T(2009)}=A\cdot T(2008)=T(2009)^{T(2009)}T(2008)$  $\log{\log{B}}=T(2009)\log{T(2009)}+\log{T(2008)}=T(2009)T(2008)+T(2007)$  再往下似乎不太好求了, 不过我们可以进行一些适当的舍入.  $\log{\log{B}}=T(2009)T(2008)+T(2007)=T(2009)\left(T(2008)+\frac{T(2007)}{T(2009)}\right)$  $\Rightarrow\log\log\log{B}=\log{T(2009)}+\log{\left(T(2008)+\frac{T(2007)}{T(2009)}\right)}\approx\log{T(2009)}+\log{T(2008)}=T(2008)+T(2007)$  考虑到$T(2007)=\log\log{T(2009)}\textless\textless T(2009)$, 这里的舍入是合理的.  故技重施,  $\log\log\log\log{B}=\log{\left(T(2008)\left(1+\frac{T(2007)}{T(2008)}\right)\right)}=\log{T(2008)}+\log{\left(1+\frac{T(2007)}{T(2008)}\right)}\approx T(2007)$  到这里就好求了, 从$T(2007)$再往下求$$2007$$层, 会得到$$1.$$ 考虑到我们在计算过程中做了一些舍入, 实际上这时的值会略大于$$1.$$ 再求一层, 得到一个略大于$$0$$的值$$.$$ 再求一层, 得到一个负值$$.$$ 之后再往下，就没有意义了.  因此, 总层数$=2+2007+4=2013$, 选E. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Mapping and Correspondence
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
Source: 2009年AMC12竞赛A第24题
Problem: 设$$f(x)={{x}^{2}}- \pi x$$，$$\alpha =\arcsin \frac{1}{3}$$，$$\beta =\text{arctg}\frac{5}{4}$$，$$\gamma =\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$$，$$\delta =\text{arcctg}\left( -\frac{5}{4} \right)$$，则（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$f(\alpha )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\delta )\textgreater f(\gamma )$$ 
aoVal: B
content: $$f(\alpha )\textgreater f(\delta )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\gamma )$$ 
aoVal: C
content: $$f(\delta )\textgreater f(\alpha )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\gamma )$$ 
aoVal: D
content: $$f(\delta )\textgreater f(\alpha )\textgreater f(\gamma )\textgreater f(\beta )$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意，$$f(x)$$的图像关于直线$$x=\frac{\mathsf{\pi }}{2}$$对称，且在$$\left( -\infty ,\frac{ \pi }{2} \right)$$单调减少，在$$\left( \frac{ \pi }{2},+\infty \right)$$单调增加．所以$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textgreater\left\textbar{} {{x}_{2}}-\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar$$时，有$$f({{x}_{1}})\textgreater f({{x}_{2}})$$．又易知$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{6}$$，$$\frac{\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\beta \textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{3}$$，$$\frac{\mathsf{\pi }}{2}\textless{}\gamma \textless{}\frac{2\mathsf{\pi }}{3}$$，$$\frac{3\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\delta \textless{}\frac{5\mathsf{\pi }}{6}$$，  所以，$$0\textless{}\left\textbar{} \gamma -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{6}\textless{}\left\textbar{} \beta -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\left\textbar{} \delta -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{3}\textless{}\left\textbar{} \alpha -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{2}$$．故有： $$f(\alpha )\textgreater f(\delta )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\gamma )$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角函数->反三角函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 全国高中数学联赛竞赛复赛一试
Problem: 若函数$$y={{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-ax+1 \right)$$有最小值，则$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$1\textless{}a\textless{}2$$ 
aoVal: B
content: $1\lt a\leqslant2$ 
aoVal: C
content: $a\gt2$ 
aoVal: D
content: $a\geqslant2$ 
Answer: A
Analysis: 因为$${{x}^{2}}-ax+1$$无最大值，所以$$a\textgreater1$$．函数有最小值，则$${{x}^{2}}-ax+1$$有最小值，$$\Delta \textless{}0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2015年广东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分
Problem: 若三位数$$\overrightarrow{abc}$$被$$7$$整除，且$$a,b,c$$成公差非零的等差数列，则这样的整数共有个．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 设三位数为$$\overline{\left( b-d \right)b\left( b+d \right)}=111b-99d{}0{\leqslant }b\textless{}9{,}-9\textless{}d\textless{}9,d\ne 0{}$$，由$$7\textbar{}111b-99d{}$$ $$\Rightarrow 7\textbar{}b+d{}\Rightarrow b=1,d=-1;b=2,d=-2;b=3,d=-3;b=4,d=3,-4;b=5,d=2;b=6,d=1;b=8,d=-1;$$．所以，所有的三位数为$$210$$，$$420$$，$$630$$，$$147$$，$$840$$，$$357$$，$$567$$，$$987$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 将号码分别为$$1$$、$$2$$、\ldots、$$9$$的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为$$a$$，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为$$b$$．则使不等式$$a-2b+10\textgreater0$$成立的事件发生的概率等于（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{52}{81}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{59}{81}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{60}{81}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{61}{81}$$ 
Answer: D
Analysis: 甲、乙二人每人摸出一个小球都有$$9$$种不同的结果，故基本事件总数为$${{9}^{2}}=81$$个．由不等式$$a-2b+10\textgreater0$$得$$2b ~\textless{} ~a+10$$，于是，当$$b=1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$时，每种情形$$a$$可取$$1$$、$$2$$、\ldots、$$9$$中每一个值，使不等式成立，则共有$$9\times 5=45$$种；当$$b=6$$时，$$a$$可取$$3$$、$$4$$、\ldots、$$9$$中每一个值，有$$7$$种；当$$b=7$$时，$$a$$可取$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$中每一个值，有$$5$$种；当$$b=8$$时，$$a$$可取$$7$$、$$8$$、$$9$$中每一个值，有$$3$$种；当$$b=9$$时，$$a$$只能取$$9$$，有$$1$$种．于是，所求事件的概率为$$\frac{45+7+5+3+1}{81}=\frac{61}{81}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 若对任意的$$x\in R$$，函数$$f(x)$$满足$$f(x+2009)=-f(x+2008)$$，且$$f(2009)=-2009$$，则$$f(-1)=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2009$$ 
aoVal: D
content: $$-2009$$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x+2009)=-f(x+2008)=-f(x-1)+2009)=f(x-1+2008)=f(x+2007)$$  所以$$f(x)$$是以$$2$$为周期的周期函数，从而有  $$f(-1)=f(2009-2\times 1005)=f(2009)=-2009$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 在$$5$$件产品中有$$4$$件正品、$$1$$件次品．从中任取$$2$$件，记其中含正品的个数为随机变量$$\xi $$，则$$\xi $$的数学期望$$E\xi $$是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{6}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{8}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{9}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 数学期望是：$$1\times \frac{\text{C}_{4}^{1}}{\text{C}_{5}^{2}}+2\times \frac{\text{C}_{4}^{2}}{\text{C}_{5}^{2}}=\frac{8}{5}$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知抛物线$$C$$：$${{y}^{2}}=2px$$（$$p\textgreater0$$）与动直线$$l$$：$$y=hx+b$$（$$k$$、$$b$$为参变量，且$$k\ne 0$$，$$b\ne 0$$）交于$$A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$、$$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$两点，直角坐标系原点为$$O$$，记直线$$OA$$、$$OB$$的斜率分别为$${{k}_{OA}}$$、$${{k}_{OB}}$$，若$${{k}_{OA}}{{k}_{OB}}=\sqrt{3}$$恒成立，则当$$k$$ 变化时，直线$$l$$恒过的定点为．
Options:
aoVal: A
content: $$(-\sqrt{3}p,0)$$ 
aoVal: B
content: $$(-2\sqrt{3}p,0)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}p,0 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3}p,0 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 将直线方程与抛物线方程联立，消去$$y$$后整理得$${{k}^{2}}{{x}^{2}}+(2kb-2p)x+{{b}^{2}}=0$$，  故$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2kb+2p}{{{k}^{2}}}$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{k}^{2}}}$$，  因为$${{k}_{OA}}{{k}_{OB}}=\sqrt{3}$$，  所以$${{y}_{1}}{{y}_{2}}=\sqrt{3}{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，  则$${{y}_{1}}{{y}_{2}}=(k{{x}_{1}}+b)(k{{x}_{2}}+b)$$  $$={{k}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}+kb({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{b}^{2}}$$  $$=\frac{2bp}{k}$$  $$=\sqrt{3}{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$  $$=\frac{\sqrt{3}{{b}^{2}}}{{{k}^{2}}}$$，  由于$$b\ne 0$$，于是$$b=\frac{2pk}{\sqrt{3}}$$，  故$$y=kx+\frac{2pk}{\sqrt{3}}=k\left( x+\frac{2}{\sqrt{3}}p \right)$$，  因此，直线$$l$$恒过定点$$\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3}p,0 \right)$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线
Source: 2016~2017学年4月湖南高三下学期月考理科第11题5分
2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 掷两次骰子，用$$X$$记两次掷得点数的最大值，则下列各数中，与期望$$E\left( X \right)$$最接近的数是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$4.5$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$5.5$$ 
Answer: B
Analysis: $$X=1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，则：  $$P\left( X=1 \right)=\frac{1}{36}$$，$$P\left( X=2 \right)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$，$$P\left( X=3 \right)=\frac{5}{36}$$，  $$P\left( X=4 \right)=\frac{7}{36}$$，$$P\left( X=5 \right)=\frac{9}{36}$$，$$P\left( X=6 \right)=\frac{11}{36}$$．  所以，$$E\left( X \right)=\frac{1}{36}+\frac{2}{12}+\frac{15}{36}+\frac{28}{36}+\frac{45}{36}+\frac{66}{36}=\frac{161}{36}=4\frac{17}{36}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->统计与概率->概率->随机变量及其分布->离散型随机变量的数字特征->离散型随机变量的数学期望
课内体系->知识点->统计与概率->概率->随机变量及其分布->离散型随机变量的分布列
Source: 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
2016年高考真题天津卷
Problem: 已知函数$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+4}}$$，则$$f(x)$$的值域为（）．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty~ \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3} \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$$ 
Answer: B
Analysis: $$x\textgreater0$$时，$$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{x}+1}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{1}}=1$$；  $$x=0$$时，$$f\left( x \right)=0$$；  $$x\textless{}0$$时，$$f\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{x}+1}}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( \frac{2}{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}}\geqslant -\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$$．  所以，$$f\left( x \right)$$的值域为$$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$． 
Knowledge points: 知识标签->思想->分类讨论
知识标签->方法->定义法
知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->函数->函数及其表示->函数的值域
知识标签->题型->函数->函数及其表示->函数的值域->求复合函数的值域
Source: 2011年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第2题8分
Problem: 平面上有三个点集$$M$$，$$N$$，$$P$$：（~ ）．$$M=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\textless{}1 \right }$$，$$N=\left { \left( x,y \right)\textbar\sqrt{\left( x-\frac{1}{2} \right)+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}},+\sqrt{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}\textless{}2\sqrt{2}, \right }$$，$$P=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x+y\textbar\textless{}1,\textbar x\textbar\textless{}1,\textbar y\textbar\textless{}1 \right }$$则．
Options:
aoVal: A
content: $$M\subset P\subset N$$； 
aoVal: B
content: $$M\subset N\subset P$$； 
aoVal: C
content: $$P\subset N\subset M$$； 
aoVal: D
content: $$\text{A,B,C}$$都不成立 
Answer: A
Analysis: $$M$$是正方形$$BCEF$$内部，$$P$$是六边形$$ABCDEF$$内部，$$N$$是从$$AD$$为长轴的椭圆内部，易知正方形顶点在椭圆内．故答Ａ． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 1988年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 多项式$${{(a+b+c+d)}^{8}}$$的展开式中，每一字母的指数均不为零的项共有．
Options:
aoVal: A
content: $$35$$项 
aoVal: B
content: $$42$$项 
aoVal: C
content: $$45$$项 
aoVal: D
content: $$50$$项 
Answer: A
Analysis: $${{(a+b+c+d)}^{8}}$$的展开式中的项$$p{{a}^{{{x}_{1}}}}{{b}^{{{x}_{2}}}}{{c}^{{{x}_{3}}}}{{d}^{{{x}_{4}}}}\frac{1}{2}$$，  若其每一字母的指数不为零，则$${{x}_{i}}\geqslant 1,i=,2,3,4,$$  且$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=8$$．  令$${{u}_{1}}={{x}_{1}},{{u}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}},{{u}_{3}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}},{{u}_{4}}=8$$，  则有$$1\leqslant {{u}_{1}}\textless{}{{u}_{2}}\textless{}{{u}_{3}}\leqslant 7$$．  $$\left { {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}} \right }$$是集合$$\left { 1,2,\cdots ,7 \right }$$的一个$$3$$元子集．  显然，任一这样的$$3$$元子集，  只要令$${{x}_{1}}={{u}_{1}},{{x}_{i}}={{u}_{i}}-{{u}_{i-1}},i\geqslant 2$$，  即可得一组符合要求的$$\left { {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right }$$．所以，所要求的项数为$$\text{C}_{7}^{3}=35$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$D$$是$$BC$$边的中点，若$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$$，则$$\tan A+2\tan C$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: B
Analysis: 取$$AB$$的中点$$E$$，则$$DE//AC$$，$$\angle ADE=90{}^{}\circ $$，$$\angle DAE=A-90{}^{}\circ $$，  记$$AC=b$$，$$AD=m$$，  则$$\tan C=\frac{m}{b}$$，$$\tan (A-90{}^{}\circ )=\frac{b}{2m}$$，  即$$-\cot A=\frac{b}{2m}$$，  所以$$\tan A=\frac{-2m}{b}$$，  因此$$\tan A+2\tan C=0$$，  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 四面体$$S-ABC$$中，三组对棱分别相等，依次为$$5,4,x$$，则$$x$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$(2,\sqrt{41})$$ 
aoVal: B
content: $$(3,9)$$ 
aoVal: C
content: $$(3,\sqrt{41})$$ 
aoVal: D
content: $$(2,9)$$ 
Answer: C
Analysis: 将四面体嵌入到长方体中，设长方体的棱长分别为$$a,b,c$$，  则$$\begin{cases}{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{4}^{2}}    {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{5}^{2}} \end{cases}$$，从而$$0\textless{}c\textless{}4$$．  所以$$x=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}-2{{c}^{2}}}\in (3,\sqrt{41})$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 对所有满足$$1\leqslant n\leqslant m\leqslant 5$$的$$m$$，$$n$$，极坐标方程$$\rho =\frac{1}{1-\text{C}_{m}^{n}\cos \theta }$$表示的不同双曲线条数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$12$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: $$e=\text{C}_{m}^{n}$$，∴$$m\textgreater n$$．注意离心率相同的情形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系
Source: 1984年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
2006年上海复旦大学自主招生千分考第22题
Problem: 设$$x$$，$$y$$是正实数，且$$x+y=1$$，则$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{5}$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$x+2=s$$，$$y+1=t$$，则$$s+t=x+y+3=4$$，  所以$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$  $$=\frac{{{(s-2)}^{2}}}{s}+\frac{{{(t-1)}^{2}}}{t}$$  $$=\left( s-4+\frac{4}{s} \right)+\left( t-2+\frac{1}{t} \right)$$  $$=(s+t)+\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-6$$  $$=\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-2$$．  因为$$\frac{4}{s}+\frac{1}{t}=\frac{1}{4}\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)(s+t)$$  $$=\frac{1}{4}\left( \frac{4t}{s}+\frac{s}{t}+5 \right)\geqslant \frac{9}{4}$$，  当且仅当$\left {\begin{align}\&\frac{4t}{s}=\frac{s}{t}  \&s+t=4\end{align}\right.$即$\left {\begin{align}\&s=\frac83  \&t=\frac43\end{align}\right.$也即$\left {\begin{align}\&x=\frac23  \&y=\frac13\end{align}\right.$时取等，  故当$x=\frac23,y=\frac13$时，$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$取得最小值$\frac{1}{4}$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->素养->数学运算
Source: 2016年天津河北区高三二模文科第14题5分
2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分
2016年天津河北区高三二模理科第14题5分
2017~2018学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二上学期期中理科第14题4分
2016年天津河北区高三一模理科第13题5分
Problem: 已知不等式$${{m}^{2}}+({{\cos }^{2}}\theta -5)m+4{{\sin }^{2}}\theta \geqslant 0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$0\leqslant m\leqslant 4$$ 
aoVal: B
content: $$1\leqslant m\leqslant 4$$ 
aoVal: C
content: $$m\geqslant 4$$或$$x\leqslant 0$$ 
aoVal: D
content: $$m\geqslant 1$$或$$m\leqslant 0$$ 
Answer: C
Analysis: $${{m}^{2}}+({{\cos }^{2}}\theta -5)m+4{{\sin }^{2}}\theta ={{m}^{2}}+\left( -4-{{\sin }^{2}}\theta \right)m+4{{\sin }^{2}}\theta =\left( m-4 \right)\left( m-{{\sin }^{2}}\theta \right)\geqslant 0$$，  所以$$m\geqslant 4$$或$$m\leqslant {{\sin }^{2}}\theta $$恒成立，则$$m\geqslant 4$$或$$m\leqslant 0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知$$x,y,z\in (0,1)$$且$$x+y+z=2$$，则$$xy+yz+zx$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 1,\frac{4}{3} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{4}{3},2 \right)$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$S=xy+yz+zx$$，则$${{(x+y+z)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2S$$．  由于$$x,y,z\in (0,1)$$，所以$$S\textless{}3$$，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\textless{}x+y+z=2$$，  即$$4\textless{}2+2S$$，所以$$S\textgreater1$$．  又$${{S}^{2}}\leqslant {{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{2}}={{(4-2S)}^{2}}$$，$$(3S-4)(S-4)\geqslant 0$$，  解得$$S\leqslant \frac{4}{3}$$或$$S\geqslant 4$$，但是$$S\textless{}3$$，所以$$S\leqslant \frac{4}{3}$$，  且当$$x=y=z=\frac{2}{3}$$时，$$S=\frac{4}{3}$$．  综上可得$$1\textless{}S\leqslant \frac{4}{3}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 高二上学期单元测试《代数变形1》自招第2题
2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 函数$$y={{x}^{2}}$$的图象$${{F}_{1}}$$与它按向量$$\overrightarrow{a}=(m,1)$$平移后的函数图象$${{F}_{2}}$$在$$x=1$$处的切线互相垂直，则实数$$m$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-\frac{5}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{4}$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$${y}'(1)=2$$，故$${{F}_{2}}$$的函数为$$y={{(x-m)}^{2}}-1$$，其在$$x=1$$处的切线的斜率为$${{k}_{2}}=2(1-m)$$，由$$2\times 2(1-m)=-1$$知$$m=\frac{5}{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->导数
Source: 2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: $$2014-AMC10A-11$$  For the consumer, a single discount of $$n \%$$ is more advantageous than any of the following discounts:  ($$1$$) two successive $$15 \%$$ discounts  ($$2$$) three successive $$10 \%$$ discounts  ($$3$$)a $$25 \%$$ discount followed by a $$5 \%$$ discount  What is the smallest possible posiive integer value of $$n$$?  对于消费者来说，单次折扣$n \%$$比以下任何一种折扣都更具优势：  ($$1$$) 连续两次 $$15 \%$$ 折扣  ($$2$$) 连续三次 $$10 \%$$ 折扣  (3) 25\%折扣，然后是 5\%折扣  $$n$$ 的最小可能正整数值是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$27$$ 
aoVal: B
content: $$28$$ 
aoVal: C
content: $$29$$ 
aoVal: D
content: $$31$$ 
aoVal: E
content: $$33$$ 
Answer: C
Analysis: Let the orginal price be $$x$$. Then, for option $$1$$, the discounted price is $$(1-0.15)(1-0.15)x=0.7225x$$. For option $$2$$, the discounted price is $$(1- 0.1)(1-0.1)(1-0.1)x=0.729 x$$. Finally, for option $$3$$, the discounted price is $$(1-0.25)(1-0.05)=0.7125x$$. Therefore, $$n$$ must be greater than max $$(x-0.7225x,x-0.729x,x-0.7125x)$$. It follows $$n$$ must be greater than $$0.2875$$. We multiply this by $$100$$ to get the percent value, and then round up because $$n$$ is the smallest integer that provides a greater discount than $$28.75$$, leaving us with the answer of $$\boxed{(\text{C})29}$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数
Source: 2014年AMC10竞赛B第11题
Problem: 已知$$a\in [-1,  1]$$，则$${{x}^{2}}+(a-4)x+4-2a\textgreater0$$的解为．
Options:
aoVal: A
content: $$x\textgreater3$$或$$x\textless{}2$$ 
aoVal: B
content: $$x\textgreater2$$或$$x\textless{}1$$ 
aoVal: C
content: $$x\textgreater3$$或$$x\textless{}1$$ 
aoVal: D
content: $$1\textless{}x\textless{}3$$ 
Answer: C
Analysis: 不等式的左端看成$$a$$的一次函数，$$f(a)=(x-2)a+({{x}^{2}}-4x+4)$$  由$$f(-1)={{x}^{2}}-5x+6\textgreater0,  f(1)={{x}^{2}}-3x+2\textgreater0\Rightarrow x\textless{}1$$或$$x\textgreater3$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 函数$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x-2 \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} x-10 \right\textbar$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$65$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\in \left[ 5,6 \right]$$时取得最小值$$25$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数基础->函数的概念
竞赛->知识点->函数基础->函数综合
Source: 2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第10题9分
Problem: 六个家庭依次编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$．每家三人，大家一起聚会做游戏，游戏按每组三人依次进行，那么同一组的成员来自不同家庭的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{68}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{15}{68}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{45}{68}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{204}$$ 
Answer: C
Analysis: 从$$18$$个人中选出$$3$$人，不同的选法共有$$\text{C}_{18}^{3}=\frac{18\times 17\times 16}{3\times 2\times 1}=816$$．  因为一个家庭的三个人编号是相同的，为使所选的组员编号不同，  应先从$$6$$个编号中选取$$3$$个号，有$$\text{C}_{6}^{3}$$种选法，对每一个编号再选人，  又有$$3$$种选法．从而，选出的小组成员来自不同家庭的选法为  $$\text{C}_{6}^{3}\cdot {{3}^{3}}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times {{3}^{3}}=5\times 4\times {{3}^{3}}=540$$．  故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为  $$\frac{540}{816}=\frac{5\times 4\times {{3}^{3}}}{3\times 17\times 16}\times \frac{5\times {{3}^{2}}}{17\times 4}=\frac{45}{68}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为$$\sqrt{3}$$，则其外接球的表面积是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$3 \pi $$ 
aoVal: B
content: $$6 \pi $$ 
aoVal: C
content: $$9 \pi $$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: 三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，  设其外接球的半径为$$R$$，则有$${{(2R)}^{2}}={{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}=9$$，  所以外接球的表面积为$$S=4\pi {{R}^{2}}=9\pi $$．  在棱长为$$\sqrt{3}$$的正方体$$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$$中，以截面$$BD{{A}_{1}}$$为底面，$$A$$为顶点的三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为$$\sqrt{3}$$的三棱锥，而正方体一定有一个外接球，该外接球也是所述三棱锥的外接球，正方体的体对角线是其外接球的直径，于是，所求三棱锥外接球的表面积是$$4 \pi \times {{\left( \frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3} \right)}^{2}}=9 \pi $$．  故答案为：$$9 \pi $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年高考真题福建卷理科第15题4分
2008年高考真题福建卷文科第15题4分
2009年河南全国高中数学联赛高一竞赛初赛第2题5分
Problem: 有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为$$a$$，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应就为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}a$$ 
aoVal: B
content: $$(\sqrt{2}+\sqrt{6})a$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}a$$ 
aoVal: D
content: $$(1+\sqrt{3})a$$ 
Answer: A
Analysis: 将四棱锥的侧面向外展开到底面，则$$4$$个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，边长为$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}a$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 函数$$f(x)={{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x(x\in R)$$的最小正周期是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: C
content: $$ \pi $$ 
aoVal: D
content: $$2 \pi $$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：$$f\left( x+\frac{ \pi }{2} \right)={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x$$  $$={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x $$  $$={{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x=f(x)$$，  又因为$$f(0)=1$$，$$f\left( \frac{ \pi }{4} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ne f(0)$$，故选$$\text{B}$$．  方法二：$$f(x)={{\cos }^{4}}x+1-{{\cos }^{2}}x$$  $$={{\cos }^{2}}x({{\cos }^{2}}x-1)+1=1-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x$$  $$=1-\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{8}\cos 4x+\frac{7}{8}$$，  可知$$f(x)$$的最小正周期为$$\frac{2 \pi }{4}=\frac{ \pi }{2}$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2004年高考真题北京卷理科第12题5分
2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
2004年高考真题安徽卷理科第12题5分
Problem: 直线$$x-2y-1=0$$与抛物线$${{y}^{2}}=4x$$交于$$A$$，$$B$$两点，$$C$$为抛物线上的一点，$$\angle ACB=90{}^{}\circ $$，则$$C$$点的坐标为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$(1,-2)$$或$$(9,-6)$$ 
aoVal: B
content: $$(1,2)$$或$$(9,6)$$ 
aoVal: C
content: $$(1,2)$$或$$(9,-6)$$ 
aoVal: D
content: $$(1,-2)$$或$$(9,6)$$ 
Answer: A
Analysis: 设$$A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，$$C({{t}^{2}},2t)$$，由$$\begin{cases}x-2y-1=0    {{y}^{2}}=4x         \end{cases}$$  得$${{y}^{2}}-8y-4=0$$，则$${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=8$$，$${{y}_{1}}\cdot {{y}_{2}}=-4$$．  又$${{x}_{1}}=2{{y}_{1}}+1$$，$${{x}_{2}}=2{{y}_{2}}+1$$，所以  $${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2({{y}_{1}}+{{y}_{2}})+2=18$$，$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=4{{y}_{1}}\cdot {{y}_{2}}+2({{y}_{1}}+{{y}_{2}})+1=1$$．  因为$$\angle ACB=90{}^{}\circ $$，所以$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$$，即有  $$({{t}^{2}}-{{x}_{1}})({{t}^{2}}-{{x}_{2}})+(2t-{{y}_{1}})(2t-{{y}_{2}})=0$$，  即$${{t}^{4}}-14{{t}^{2}}-16t-3=0$$，  即$$({{t}^{2}}+4t+3)({{t}^{2}}-4t-1)=0$$．  显然$${{t}^{2}}-4t-1\ne 0$$，否则$${{t}^{2}}-2\cdot 2t-1=0$$，则点$$C$$在直线$$x-2y-1=0$$上，从而点$$C$$与点$$A$$或点$$B$$重合．  所以$${{t}^{2}}+4t+3=0$$，解得$${{t}_{1}}=-1$$，$${{t}_{2}}=-3$$．  故所求点$$C$$的坐标为$$(1,-2)$$或$$(9,-6)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式
课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的一般式方程
课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->直线和椭圆的位置关系
课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->定点问题
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数学抽象
Source: 2011年全国高中数学联赛竞赛复赛一试第7题8分