math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 命题$$p$$：若$$a$$，$$b\in R$$，则$$\textbar a+b\textbar\textless{}1$$是$$\textbar a\textbar+\textbar b\textbar\textless{}1$$的充分而不必要条件；命题$$q$$：函数$$y=\sqrt{\textbar x+1\textbar-2}$$的定义域是$$\left( -\infty ,-3 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$，则．
Options:
aoVal: A
content: ``$$p$$或$$q$$''为假命题 
aoVal: B
content: ``$$p$$且$$q$$''为真命题 
aoVal: C
content: $$p$$为真命题，$$q$$为假命题 
aoVal: D
content: $$p$$为假命题，$$q$$为真命题 
Answer: D
Analysis: 由于$$\textbar a+b\textbar\leqslant \textbar a\textbar+\textbar b\textbar$$，  因此$$\textbar a+b\textbar\textless{}1$$是$$\textbar a\textbar+\textbar b\textbar\textless{}1$$的必要而不充分条件，  命题$$p$$为假命题；  由$$\textbar x+1\textbar-2\geqslant 0$$，得$$x\leqslant -3$$或$$\geqslant 1$$，命题$$q$$为真命题．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 在区间$$[-1, 1]$$上随机取一个数$$x,\cos \frac{\pi x}{2}$$的值介于$$0$$到$$\frac{1}{2}$$之间的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{\pi }$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\cos \frac{\pi x}{2}=\frac{1}{2}$$，得$$x=\pm \frac{2}{3}$$，又因为函数$$y=\cos \frac{\pi x}{2}$$的周期为$$4$$，由函数$$y=\cos \frac{\pi x}{2}$$的图象可知，使$$\cos \frac{\pi x}{2}$$的值介于$$0$$到$$\frac{1}{2}$$之间的点落在$$\left[ -1, -\frac{2}{3} \right]$$和$$\left[ \frac{2}{3}, 1 \right]$$之内．所以，所求概率$$P=\frac{2\times \frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 已知整数系数多项式$$f\left( x \right)={{x}^{5}}+{{a}_{1}}{{x}^{4}}+{{a}_{2}}{{x}^{3}}+{{a}_{3}}{{x}^{2}}+{{a}_{4}}x+{{a}_{5}}$$，若$$f\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)=0$$，$$f\left( 1 \right)+f\left( 3 \right)=0$$，则$$f\left( -1 \right)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$21$$ 
aoVal: E
content: $$24$$ 
Answer: E
Analysis: 解：设$${{x}_{0}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$，则$${{x}_{0}}-\sqrt{3}=\sqrt{2}$$，$${{\left( {{x}_{0}}-\sqrt{3} \right)}^{2}}=2$$，  于是$${{x}_{0}}^{2}-2\sqrt{3}{{x}_{0}}+3=2$$，$$2\sqrt{3}{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{2}+1$$．  $$\therefore {{\left( 2\sqrt{3}{{x}_{0}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{0}}^{2}+1 \right)}^{2}}$$，$${{x}_{0}}^{4}-10{{x}_{0}}^{2}+1=0$$．  $$\therefore {{x}_{0}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$是多项式$$g\left( x \right)={{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1$$的一个跟．  又$${{x}_{0}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$不可能是三次整数系数多项式、二次整数系数多项式的零点．  $$\therefore g\left( x \right)$$整除$$f\left( x \right)$$．  $$\therefore f\left( x \right)=g\left( x \right)\left( x-r \right)=\left( {{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1 \right)\left( x-r \right)$$，$$r$$为整数．  $$\therefore f\left( 1 \right)=-8\left( 1-r \right)=-8+8r$$，$$f\left( 3 \right)=-8\left( 3-r \right)=-24+8r$$．  由$$f\left( 1 \right)+f\left( 3 \right)=0$$，得$$\left( -8+8r \right)+\left( -24+8r \right)=0$$，$$r=2$$，  $$\therefore f\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1 \right)\left( x-2 \right)$$，$$f\left( -1 \right)=24$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->代数式化简求值
竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2018年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 若$$x$$、$$y$$满足$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 2x$$，且$$x\geqslant 1$$，则$$2x+y$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$-7$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 作出可行域，知$$2x+y$$在$$x=-1$$，$$y=-3$$时，取得最小值$$-5$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->线性规划
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 滿足$$10^{}x\cdot 100^{2x}=1000^{5}$$的$$x$$之値爲？  For what value $$x$$ does $$10^{}x\cdot 100^{2x}=1000^{5}$$?
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: We can rewrite $$10^{}x\cdot 100^{2x}=1000^{5}$$ as $$10^{5x}=10^{15}$$.  $$10^{}x\cdot 100^{2x}=10^{}x\cdot (10^{2})^{2x}$$  $$10^{}x\cdot 10^{4x}=(10^{3})^{5}$$  $$10^{5x}=10^{15}$$  Since the bases are equal, we can set the exponents equal, giving us $$5x=15$$. Solving the equation gives us $$x=3$$. 
<p>We can rewrite this expression as $$\log (10^x\cdot 100^{2x})=\log (1000^5)$$, which can be simplified to $$\log (10^x\cdot 10^{4x})=5\log (1000)$$, and that can be further simplified to $$\log (10^{5x})=5\log (10^3)$$.This leads to $$5x=15$$. Solving this linear equation yields $$x=3$$.</p>
Source: 2016年AMC10竞赛A第2题
Problem: 甲、乙两人之间进行一场打完$$7$$局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙为$$4$$ : $$3$$的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{35}{128}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{16}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{8}$$ 
Answer: A
Analysis: 符合条件的概率为$$\frac{C_{7}^{4}}{{{2}^{7}}}=\frac{35}{128}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
Source: 2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$种 
aoVal: B
content: $$60$$种 
aoVal: C
content: $$120$$种 
aoVal: D
content: $$720$$种 
Answer: B
Analysis: 总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$，设命题$$p$$：$${{2}^{x}}+{{2}^{y}}\ge 4$$，命题$$q$$：$$xy\ge 1$$，则$$p$$是$$q$$的（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 充分不必要条件 
aoVal: B
content: 必要不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 取特值，$$x=\frac{1}{3},y=2$$，满足$${{2}^{x}}+{{2}^{y}}\ge 4$$，不满足$$xy\ge 1$$；运用基本不等式得$$1\le xy\le {{\left( \frac{x\text{+}y}{2} \right)}^{2}}$$，即$$x\text{+}y\ge 2$$，由指数函数的单调性得$${{2}^{x\text{+}y}}\ge {{2}^{2}}=4$$，运用基本不等式和充分必要条件的定义 判断可得选项.\\ 【详解】\\ 解：当$$x=\frac{1}{3},y=2$$时，$${{2}^{\frac{1}{3}}}+{{2}^{2}}\ge 4$$满足$${{2}^{x}}+{{2}^{y}}\ge 4$$，但$$xy=\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}\textless{} 1$$，不满足$$xy\ge 1$$，所以$$p$$不是$$q$$的充分条件；\\ 当$$xy\ge 1$$，$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，$$1\le xy\le {{\left( \frac{x\text{+}y}{2} \right)}^{2}}$$，即$$x\text{+}y\ge 2$$，当且仅当$$x=y$$时取等号，所以$${{2}^{x\text{+}y}}\ge {{2}^{2}}=4$$，即$${{2}^{x}}\cdot {{2}^{y}}\ge 4$$，又$$4\le {{2}^{x}}\cdot {{2}^{y}}\le {{\left( \frac{{{2}^{x}}\text{+}{{2}^{y}}}{2} \right)}^{2}}$$，当且仅当$$x=y$$时取等号，\\ 解得$${{2}^{x}}+{{2}^{y}}\ge 4$$，所以$$p$$是$$q$$的必要条件，\\ 因此，$$p$$是$$q$$的必要不充分条件.\\ 故选：B. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件
Source: 2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第6题
2021~2022学年重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期月考（适应性月考六）第6题
2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第6题
Problem: 设对任意的正整数$$n$$，都有$$\frac{1}{n}\left[ \sqrt{1-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{1-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{1-{{\left( \frac{n-1}{n} \right)}^{2}}} \right]\textless{}a$$$$\textless{}\frac{1}{n}\left[ 1+\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{1-{{\left( \frac{n-1}{n} \right)}^{2}}} \right]$$  则实数$$a=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{ \pi }{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{ \pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{ \pi }{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{ \pi }{6}$$ 
Answer: C
Analysis: 设$$f(x)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$$，  把区间$$[0,1]$$平均分成$$n$$份，那么不等式的是$$n$$个矩形的面积（底为$$\frac{1}{n}$$，高取每个区间右侧的函数值），  右边是$$n$$个矩形的面积（底为$$\frac{1}{n}$$高取每个区间左侧的函数值）．  当$$n\to \infty $$时，左边$$=$$右边$$=f\left( x \right)$$在$$[0,1]$$的定积分$$=\frac{ \pi }{4}$$（四分之一圆）．  故中间的常数只能取$$\frac{ \pi }{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->导数模块->积分
课内体系->知识点->导数->定积分
Source: 2010年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题8分
2018~2019学年上海静安区上海市市北中学高三上学期期中第12题5分
Problem: 设函数$$f{}(x){}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\centerdot \left( \left\textbar{} x-2 \right\textbar+\frac{4}{{{2}^{x}}-1} \right)$$．考虑命题$$p:f{(}x{)}$$是奇函数；命题$$q{:}f{(}x{)}$$是偶函数．那么，正确的命题是．
Options:
aoVal: A
content: $$p{,}q$$ 
aoVal: B
content: $$p{,}\neg q$$ 
aoVal: C
content: $$\neg p{,}q$$ 
aoVal: D
content: $$\neg p{,}\neg q$$ 
Answer: B
Analysis: 注意$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left[ -1,0 \right)\cup \left( 0,1 \right]$$，所以  $$f\left( x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \left( 2-x+\frac{4}{{{2}^{x}}-1} \right)$$  $$=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \left( -x+2\centerdot \frac{{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1} \right)$$，  容易看出$$f\left( x \right)$$是奇函数，不是偶函数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数的概念
竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 多项式$${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{x}^{100}} \right)}^{3}}$$的展开式在合并同类项后，$${{x}^{150}}$$的系数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．（用数字作答）
Options:
aoVal: A
content: $$7431$$ 
aoVal: B
content: $$7651$$ 
aoVal: C
content: $$7653$$ 
aoVal: D
content: $$7831$$ 
aoVal: E
content: $$8315$$ 
Answer: B
Analysis: 由多项式乘法法则可知，  可将问题转化为求方程$$s+t+r=150$$①，  的不超过去$$100$$的自然数解的组数．  显然，方程①的自然数解的组数为$$\text{C}_{152}^{2}$$，  下面求方程①的超过$$100$$自然数解的组数．  因其和为$$150$$，故只能有一个数超过$$100$$，  不妨设$$s\textgreater100$$．将方程①化为$$(s-101)+t+r=49$$，  记$${s}'=s-101$$，则方程$${s}'+t+r=49$$的自然数解的组数为$$\text{C}_{51}^{2}$$，  因此，$${{x}^{150}}$$的系数为$$\text{C}_{152}^{2}-\text{C}_{3}^{1}\text{C}_{51}^{2}=7651$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题8分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，设$$BC=a$$，$$AC=b$$，$$AB=c$$，则等式$${{\sin }^{2}}\frac{A}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{C}{2}={{\cos }^{2}}\frac{B}{2}$$成立的充分必要条件是．
Options:
aoVal: A
content: $$c\cdot a={{b}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$a+b=2c$$ 
aoVal: C
content: $$b+c=2a$$ 
aoVal: D
content: $$c+a=2b$$ 
Answer: D
Analysis: $${{\sin }^{2}}\frac{A}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{C}{2}={{\cos }^{2}}\frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow \frac{1-\cos A}{2}+\frac{1-\cos B}{2}+\frac{1-\cos C}{2}=\frac{1+\cos B}{2}$$  $$\Leftrightarrow \cos A+\cos C=2-2\cos B$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}=4{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A-C}{2}=4\sin \frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A-C}{2}\sin \frac{A+C}{2}=4\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A+C}{2}$$  $$\Leftrightarrow \sin A+\sin C=2\sin B$$  $$\Leftrightarrow a+c=2b$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 抛两个各面上分别标有$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的均匀的正方体玩具，``向上的两个数之和为$$3$$''的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{36}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{18}$$ 
Answer: D
Analysis: 总的基本事件的个数为$$6\times 6=36$$种，``向上的两个数之和为$$3$$''的基本事件有$$\left( 1,2 \right)$$和$$\left( 2,1 \right)$$两种，  由古典概型知概率为$$P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件与基本事件空间->基本事件与基本事件空间
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型
课内体系->素养->数学运算
Source: 2009年竞赛珠海市第11题5分
Problem: 已知集合$A=\left { x\mid {{2}^{x}}\le 18 \right }$，则$A\cap \text{N}$的子集个数为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 8 
aoVal: B
content: 16 
aoVal: C
content: 32 
aoVal: D
content: 64 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 求出$A\cap \text{N= } ! ! { ! !\text{ 0,1,2,3,4 } ! ! } ! !\text{ }$，即可求解.\\ 【详解】\\ 由题得${{2}^{x}}\le 18={{2}^{{{\log }_{2}}18}}$，$\therefore x\le {{\log }_{2}}18$.\\ 因为${{\log }_{2}}16\textless{} {{\log }_{2}}18\textless{} {{\log }_{2}}32$，$\therefore 4\textless{} {{\log }_{2}}12\textless{} 5$.\\ 所以$A\cap \text{N= } ! ! { ! !\text{ 0,1,2,3,4 } ! ! } ! !\text{ }$.\\ 所以$A\cap \text{N}$的子集个数为${{2}^{5}}=32$个.\\ 故选：C. 
Source: 2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第1题
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\text{arctan}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是．
Options:
aoVal: A
content: $$(- \pi , \pi )$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$ 
Answer: D
Analysis: $$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\text{arctg}x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用单调性观察法求值域
课内体系->知识点->三角函数->反三角函数
课内体系->素养->数学运算
Source: 1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
Problem: 使得$$5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)$$对所有正实数$$x$$，$$y$$都成立的实数$$a$$的最小值为．
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: 前三个答案都不对 
Answer: B
Analysis: $$\because x$$，$$y$$均大于$$0$$，  $$\therefore 5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)\Rightarrow 5+12\sqrt{\frac{y}{x}}\leqslant a\left( 1+\frac{y}{x} \right)$$，  令$$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$$，$$t\in {{\mathbf{R}}^{*}}$$，  则$$a\geqslant \frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}}$$，  要使该式对所有$$t$$都成立，则$$a\geqslant {{\left( \frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}} \right)}_{\max }}$$，  令$$m=5+12t$$，  则$$\frac{5+12t}{1+{{t}^{2}}} =\frac{144m}{{{m}^{2}}-10m+169}=\frac{144}{m+\frac{169}{m}-10}\leqslant \frac{144}{2\times 13-10}=9$$，当且仅当$$m=13$$时，取等号，  故$${{a}_{\min }}=9$$，故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2020~2021学年10月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期月考第16题
竞赛
2020~2021学年11月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期周测A卷第9题
2020~2021学年北京高二单元测试
2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第9题5分
2020~2021学年北京高三单元测试
Problem: 函数$$f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+2x-3$$的零点所在的一个区间是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$(-1,0)$$ 
aoVal: B
content: $$(0,\frac{1}{2})$$ 
aoVal: C
content: $$(\frac{1}{2},1)$$ 
aoVal: D
content: $$(1,\frac{3}{2})$$ 
Answer: C
Analysis: 函数单调递增，  ∵$$f\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{e}+\frac{1}{2}-3\textless{}0$$，  $$f\left( 1 \right)=e+1-3=e-2\textgreater0$$，  ∴函数在$$(\frac{1}{2},1)$$内存在唯一零点． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->求零点所在区间的问题->判定函数零点所在区间（存在性定理）
课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点存在定理
Source: 2011~2012学年北京东城区高一上学期期末南片第5题3分
2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$a$$、$$b$$为正实数，记$$P=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}-\frac{a+b}{2}$$，$$Q=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$$，$$R=\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}$$，则下列判断正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$P\geqslant Q\geqslant R$$ 
aoVal: B
content: $$Q\geqslant P\geqslant R$$ 
aoVal: C
content: $$Q\geqslant R\geqslant R$$ 
aoVal: D
content: $$P$$、$$Q$$、$$R$$的大小关系不能确定 
Answer: B
Analysis: $$P\leqslant Q\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}+\sqrt{ab}\leqslant a+b$$  $$\Leftrightarrow 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\cdot ab}\leqslant \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+ab$$，  $$P\geqslant R\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}-\sqrt{ab}\geqslant \frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$$  $$\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+ab-\sqrt{2ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}\geqslant \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}-\frac{2ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}$$  $$\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}+\frac{2ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}\geqslant \sqrt{2ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->证明不等式的基本方法->综合法
Source: 2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知两个等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$与$$\left { {{b}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和分别为$${{S}_{n}}$$与$${{T}_{n}}$$，并且$$\frac{{{S}_{n}}}{{{T}_{n}}}=\frac{2n+4}{3n+7}$$，则$$\frac{{{a}_{5}}}{{{b}_{7}}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{11}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{7}{13}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{11}{23}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{9}{23}$$ 
Answer: C
Analysis: 因为等差数列$$n$$项和公式形如$$A{{n}^{2}}+Bn$$，可设$${{S}_{n}}=kn(2n+4)$$；$${{T}_{n}}=kn(3n+7)$$，则$${{a}_{5}}=22k$$，$${{b}_{7}}=46k$$，所以$$\frac{{{a}_{5}}}{{{b}_{7}}}=\frac{11}{23}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质
课内体系->素养->数学运算
Source: 2009年竞赛第20届全国希望杯数学邀请赛高二复赛第2题5分
Problem: 设$$f(x)$$是连续的偶函数，且当$$x\textgreater0$$时$$f(x)$$是单调函数，则满足$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)$$的所有$$x$$之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$-3$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$-8$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$f(x)$$的性质知$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)\Rightarrow \left\textbar{} x \right\textbar=\left\textbar{} \frac{x+3}{x+4} \right\textbar$$，若$$x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+3x-3=0$$，有解，且两根之和为$$-3$$；  若$$-x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+5x+3=0$$，有解，且两根之和为$$-5$$，故总和为$$-8$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->逻辑推理
知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->函数->函数的性质->抽象函数的问题->抽象函数与函数性质综合
知识标签->知识点->函数->函数的性质->单调性
知识标签->知识点->函数->函数的性质->奇偶性
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
2017~2018学年10月北京海淀区清华大学附属中学高一上学期月考理科第5题
2008年高考真题辽宁卷理科第12题5分
Problem: 点集$$\left { \left( x,y \right)\textbar\lg \left( {{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{y}^{3}}+\frac{1}{9} \right)=\lg x+\lg y \right }$$中元素的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: 多于$$2$$ 
Answer: B
Analysis: $$\lg \left( {{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{y}^{3}}+\frac{1}{9} \right)=\lg x+\lg y$$，  $$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{y}^{3}}+\frac{1}{9}=xy\mathsf{}x\textgreater0\mathsf{}y\textgreater0\mathsf{}$$，  由均值不等式，  $${{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{y}^{3}}+\frac{1}{9}\mathsf{\geqslant }3\sqrt[3]{({{x}^{3}})\left( \frac{1}{3}{{y}^{3}} \right)\left( \frac{1}{9} \right)}=xy\mathsf{}$$，  当且仅当 $$\begin{cases}{{x}^{3}}=\frac{1}{9}    \frac{1}{3}{{y}^{3}}=\frac{1}{9}\mathsf{}   \end{cases}$$，  上式等号成立，解此二方程得：  $$x=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}\mathsf{}y=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\mathsf{}$$，  故点集中有唯一点为：  $$\left( \sqrt[3]{\frac{1}{9}}，\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right)\mathsf{}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的概念
课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系
课内体系->素养->数学运算
Source: 1990年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
Problem: 四面体$$ABCD$$的六条棱长分别为$$7$$、$$13$$、$$18$$、$$27$$、$$36$$、$$41$$，且知$$AB=41$$，则$$CD=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$27$$ 
Answer: B
Analysis: 四面体中除$$CD$$外，其余的棱皆与$$AB$$相邻接，  若长为$$13$$的棱与$$AB$$相邻，不妨设$$BC=13$$，  根据构成三角形条件，可知$$AC\notin \left { 7,18,27 \right }$$，  因此$$AC=36$$，$$BD=7$$，可得$$ {AD,CD }= {18,27 }$$，  于是$$\triangle ABD$$中，两边之和小于第三边，矛盾．因此只有$$CD=13$$．  另一方面，使$$AB=41$$，$$CD=13$$的四面体$$ABCD$$可作出，  例如取$$BC=7$$，$$AC=36$$，$$BD=18$$，$$AD=27$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 求函数$$y={{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}-1}$$的值域.
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ 1,+\infty \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},1 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 易求得函数的定义域为$$ {x\textbar x{\geqslant }1$$或$$x{\leqslant }-1 }$$.  易知函数$$y={{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}-1}$$是$$\left[ 1,+\infty \right)$$上的增函数，所以，可得$$y{\geqslant }1$$.  当$$x{\leqslant }-1$$时，  $$y=x\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)=\frac{x\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$$  $$=\frac{x}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=\frac{1}{1-\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}$$.  因为$$x{\leqslant }-1$$，所以$$0{\leqslant }1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\textless{}1$$，$$1{\leqslant }1+\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}\textless{}2$$，所以$$\frac{1}{2}\textless{}\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{\leqslant }1$$，即$$\frac{1}{2}\textless{}y{\leqslant }1$$.  综上可知：$$y\textgreater\frac{1}{2}$$，故函数$$y={{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}-1}$$的值域为$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$ 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->方法->构造法
课内体系->思想->转化化归思想
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->解析法
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求复合函数的值域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用单调性观察法求值域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的概念
Source: 2013年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第11题20分
2013年湖北全国高中数学联赛高一竞赛初赛第11题20分
2013年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第11题20分
Problem: 空间中一点$$P$$到三条两两垂直的射线$$OA,  OB,  OC$$的距离分别为$$\sqrt{3},  2,\sqrt{5}$$，且垂足分别为$${A}',  {B}',  {C}'$$，则三棱锥$$P-{A}'{B}'{C}'$$的体积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$O{A}',  O{B}',  O{C}'$$的长度分别为$$a,  b,  c,$$则  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5,  {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3,  {{c}^{2}}+{{a}^{2}}=4\Rightarrow {{a}^{2}}=3,  {{b}^{2}}=2,  {{c}^{2}}=1,$$  由体积分割可得$$V=abc,$$ $${{V}_{P-{A}'{B}'{C}'}}=abc-\frac{4}{6}abc=\frac{1}{3}abc=\frac{\sqrt{6}}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分
Problem: 已知$$\alpha ,\beta \in \left( 0 ,\pi ~\right)$$，$$\tan \alpha ,\tan \beta $$是方程$${{x}^{2}}+3x+1=0$$的两个根，则$$\cos \left( \alpha -\beta \right)$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{5}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: 由韦达定理，$$\tan \alpha +\tan \beta =-3$$，$$\tan \alpha \tan \beta =1$$，  $$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }=1$$，得$$\cos \left( \alpha +\beta \right)=0$$，结合$$\tan \alpha +\tan \beta =-3$$，可知$$\alpha +\beta =\frac{3}{2} \pi $$．  $$\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right)}{\cos \alpha \cos \beta }=-\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta }=-3$$，所以$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{3}$$．  因此，$$\cos \left( \alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta =\frac{2}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$\textbar\vec{a}\textbar=\sqrt{2},\textbar\vec{b}\textbar=1,\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=1$$，则$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$的夹角为(~~~~~~~)
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2\pi }{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\pi }{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\pi }{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{9\pi }{4}$$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据向量的数量积计算运算律即可计算.\\ 【详解】\\ $$\vec{a}\cdot \left( \vec{a}-\vec{b} \right)=1\Rightarrow \textbar\vec{a}{{\textbar}^{2}}-\vec{a}\cdot \vec{b}=1\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=1$$，\\ $$\text{cos}\left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left\textbar{} {\vec{a}} \right\textbar\left\textbar{} {\vec{b}} \right\textbar}=\frac{1}{\sqrt{2}\times 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，\\ $$\because \left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle \in \left[ 0,\pi \right]$$，\\ $$\therefore \left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle =\frac{\pi }{4}$$.\\ 故选：C. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积
Source: 2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第6~6题
Problem: 从$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$300$$ 
aoVal: B
content: $$216$$ 
aoVal: C
content: $$180$$ 
aoVal: D
content: $$162$$ 
Answer: C
Analysis: 由题意知，本题是一个分类计数原理，  第一类：从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$中任取两个奇数和两个偶数，  组成没有重复数字的四位数的个数为$$\text{C}_{3}^{2}\text{A}_{4}^{4}=72$$，  第二类：取$$0$$，此时$$2$$和$$4$$只能取一个，$$0$$不能排在首位，  组成没有重复数字的四位数的个数为$$\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{2}^{1}\left( \text{A}_{4}^{4}-\text{A}_{3}^{3} \right)=108$$，  $$\therefore $$组成没有重复数字的四位数的个数为$$108+72=180$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排除法
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用
课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
Source: 2019~2020学年广东广州高二上学期期末
2019~2020学年宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中理科第12题5分
2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高二上学期期末第11题3分
2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第3题3分