math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 完全平方数是指可以分解成两个相同自然数乘积的数．在整数$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots \cdots 99$$、$$100$$中，合数的个数为$$x$$，偶数的个数为$$y$$，完全平方数的个数为$$z$$．则$$x+y+z$$等于． 
Options:
aoVal: A
content: $$85$$ 
aoVal: B
content: $$130$$ 
aoVal: C
content: $$134$$ 
aoVal: D
content: $$135$$ 
aoVal: E
content: $$136$$ 
Answer: C
Analysis: 合数是指在大于$$1$$的整数中除了能被$$1$$和本身整除外，还能被其他数（$$0$$除外）整除的数．与之相对的是质数，$$1$$到$$100$$中，合数的个数有：$$74$$个；所以$$x=74$$；  偶数有$$50$$个，所以$$y=50$$；  完全平方数分别是：$$1$$、$$4$$、$$9$$、$$16$$、$$25$$、$$36$$、$$49$$、$$64$$、$$81$$、$$100$$这$$10$$个；即$$z=10$$；  $$x+y+z=74+50+10=134$$；所以选择$$\text{C}$$选项． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第1题5分
Problem: 【闯关1】下列说法正确的是． 
Options:
aoVal: A
content: 互质的两个数没有公因数 
aoVal: B
content: $$12$$和$$18$$的最小公倍数是$$72$$ 
aoVal: C
content: $$24$$和$$30$$的最大公因数是$$6$$ 
aoVal: D
content: 两个质数的和一定是偶数 
Answer: C
Analysis: $$\text{A}$$选项：互质的两个数公因数为$$1$$，$$\text{B}$$选项：$$12$$和$$18$$的最小公倍数是$$36$$，$$\text{D}$$选项：$$2+3=5$$为奇数． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->赋值思想
Source: 2017年第13届湖北武汉新希望杯五年级竞赛决赛第1题
Problem: 桌上放着$$100$$张卡片，二人轮流每次取卡片，每次最少取$$1$$张、最多取$$5$$张，规定谁取走最后一张卡片谁获胜．如果第一个取的人想获胜，第一次他应该取张卡片． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 由题干可知：每次每人最少取$$1$$张卡片，最多取$$5$$张卡片，  $$100\div \left( 5+1 \right)=100\div 6=16$$（组）$$\cdots \cdots 4$$（张），  所以首先他先拿$$4$$张，剩下的$$6$$张卡片为一组，  保证每次与对方共取一组，这样最后一张卡片必是他的．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第6题3分
2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第6题3分
Problem: 音乐课上，聪聪坐在音乐教室的第$$4$$列、第$$2$$行，用数对表示是$$(3,1)$$，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 3,2 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$(4,1)$$ 
aoVal: C
content: $$(4,2)$$ 
aoVal: D
content: $$(5,2)$$ 
Answer: A
Analysis: 聪聪的正后方的第一个位置和聪聪的列数相同，行数加一，所以表示为$$\left( 3,2 \right)$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->方向与坐标->坐标
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第7题3分
Problem: 有一个整数，除以$$3$$余数是$$2$$，除以$$5$$余数是$$3$$，除以$$7$$余数是$$4$$，这个数可能是． 
Options:
aoVal: A
content: $$67$$ 
aoVal: B
content: $$53$$ 
aoVal: C
content: $$158$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
Answer: C
Analysis: 设这个数为$$a$$，则$$\begin{cases}a\div 3\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2    a\div 5\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3    a\div 7\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 4 \end{cases}$$，整理得$$\begin{cases}a\div 3\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 11    a\div 5\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3    a\div 7\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 11 \end{cases}$$，所以$$a=21k+11$$  所以当$$k=7$$时，$$a=158$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->中国剩余定理->逐级满足法
Source: 2016年第14届全国创新杯小学高年级五年级竞赛复赛第1题
Problem: 根据数串的规律，括号中应填的数是．  1，$$4$$，$$7$$，$$10$$，，16 
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
Answer: B
Analysis: 等差数串，每两个数之间的差是3 
Knowledge points: 拓展思维->思想->数形结合思想
Source: 2020年希望杯二年级竞赛模拟第4题
Problem: 一次外语小测验只有两道题，结果全班有$$10$$人全对．第一题有$$25$$人做对，第二题有$$18$$人做错，那么两题都做错的有（~ ）人． 
Options:
aoVal: A
content: $$8$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: C
Analysis: 第一题做对的$$25$$人中，有$$10$$人是全部做对，则有$$25-10=15$$人是只做对第一题，而做错第二题的．已知第二题总共有$$18$$人做错，则多余的$$3$$人就是全错的． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2016年陕西西安小升初交大附中入学真卷5第11题
2016年河南郑州K6联赛六年级竞赛第12题2分
Problem: 两个连续奇数的乘积是$$783$$，那么这两个奇数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$52$$ 
aoVal: B
content: $$56$$ 
aoVal: C
content: $$60$$ 
aoVal: D
content: $$64$$ 
Answer: B
Analysis: $$783=27\times 29$$，  则这两个连续奇数的和为：$$27+29=56$$．  故选择$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第5题5分
Problem: 把$$150$$块糖分成若干份，每份最少$$1$$块，任意两份数量都不相同，则最多可以分成份． 
Options:
aoVal: A
content: $$14$$ 
aoVal: B
content: $$15$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$17$$ 
Answer: C
Analysis: 根据等差数列求和公式（首项$$+$$末项）$$\times $$项数$$\div 2$$可得$$\left( 1+n \right)\times n\div 2\leqslant 150$$，则$$n=16$$，所以答案选择$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第4题5分
Problem: 已知$$a$$，$$b$$，$$c$$是三个自然数，且$$a$$与$$b$$的最小公倍数是$$60$$，$$a$$与$$c$$的最小公倍数是$$270$$．求$$b$$与$$c$$的最小公倍数是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$540$$ 
aoVal: B
content: $$108$$ 
aoVal: C
content: $$A$$,$$B$$都对 
aoVal: D
content: $$A$$,$$B$$都不对 
Answer: C
Analysis: 如果$$b$$不是$${{2}^{2}}$$的倍数，因为$$\left[ \text{a,b} \right]={{2}^{2}}\times 3\times 5$$，则$$a$$一定是$${{2}^{2}}$$的倍数．由此可知$$\left[ \text{a,c} \right]$$一定是$${{2}^{2}}$$的倍数，但是$$\left[ \text{a,c} \right]={{2}^{2}}\times 3\times 5$$不是$${{2}^{2}}$$的倍数．所以$$b$$是$${{2}^{2}}$$的倍数．同理可得$$c$$是$${{3}^{3}}$$的倍数，所以$$\left[ \text{b,c} \right]={{2}^{2}}\cdot {{3}^{3}}$$整除．  因为$$\left[ \text{a,b} \right]=60$$，$$\left[ \text{a,c} \right]=270$$，所以$$60$$是$$b$$的倍数，$$270$$是$$c$$的倍数，所以$$b$$，$$c$$的最小公倍数$$\left[ \text{b,c} \right]$$是$$\left[ 60,270 \right]$$的约数．因为$$\left[ 60,270 \right]={{2}^{2}}\cdot 3\cdot 5$$，所以$$\left[ \text{b,c} \right]={{2}^{2}}\cdot 3\cdot 5$$=540，或$$\left[ \text{b,c} \right]={{2}^{2}}\cdot 3$$=108．  当$$a=1$$,b=60,c=270时，$$\left[ \text{a,c} \right]=60$$，$$\left[ \text{a,c} \right]=270$$，$$\left[ \text{b,c} \right]=540$$；  当$$a=5$$,b=12,c=54时，$$\left[ \text{a,c} \right]=60$$，$$\left[ \text{a,c} \right]=270$$，$$\left[ \text{b,c} \right]=108$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数的认识->数的特征->倍数->最小公倍数
Source: 2009年第14届全国华杯赛竞赛复赛第11题
2016年浙江杭州五年级模拟考试卓学一周一练12第3题
2009年全国华杯赛竞赛复赛第11题
Problem: 由数字$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，则$$35214$$是第（ ）个数。 
Options:
aoVal: A
content: $$72$$ 
aoVal: B
content: $$70$$ 
aoVal: C
content: $$71$$ 
aoVal: D
content: $$69$$ 
Answer: D
Analysis: 比$$35214$$小的五位数（由数字$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$组成的没有重复数字的五位数）有以下三类：  （I）以$$1$$或$$2$$开头的五位数：形如$$12345$$的有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（个）；如$$21345$$的有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（个）；  （II）以$$31$$、$$32$$或$$34$$开头的五位数：形如$$31245$$的有$$3\times 2\times 1=6$$（个）；同理，形如$$32145$$，$$34512$$的各有$$6$$个；  （III）以$$351$$开头的五位数有$$2\times 1=2$$（个）。  所以$$35214$$是第$$24\times 2+6\times 3+2+1=69$$（个）数。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->排列
Source: 2009年五年级竞赛创新杯
Problem: 老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学$$1$$个田格本、$$3$$个横线本和$$5$$个练习本．这时横线本还剩$$24$$个，那么田格本和练习本共剩了~\uline{~~~~~~~~~~}~个． 
Options:
aoVal: A
content: $$48$$ 
aoVal: B
content: $$50$$ 
aoVal: C
content: $$54$$ 
aoVal: D
content: $$56$$ 
Answer: A
Analysis: 同倍数变化问题．把$$1$$个田格本和$$3$$个练习本捆绑成一组，那么每发$$3$$个横格本，就发一组田格本和练习本，田格本和练习本的总量是横线本的$$2$$倍，每次发的数量也是$$2$$倍，所以剩下的也是$$2$$倍，即$$48$$本． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2009年全国迎春杯小学中年级四年级竞赛初赛第2题
Problem: 甲乙两数的最大公因数是$$50$$，最小公倍数是$$600$$，这两个数的差最小是． 
Options:
aoVal: A
content: $$25$$ 
aoVal: B
content: $$50$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$200$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$600\div 50=12$$，$$12=1\times 12=2\times 6=3\times 4$$，所以这两个数有如下情况：  $$50\times 1=50$$；$$50\times 12=600$$；$$50\times 2=100$$；$$50\times 6=300$$；  $$50\times 3=150$$；$$50\times 4=200$$；  差依次是：$$600-50=550$$；$$300-100=200$$；$$200-150=50$$，最小是$$50$$，  故选答案$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第3题5分
Problem: 甲、乙、丙、丁四人对$$A$$先生的藏书数目作了一个估计．甲说：``$$A$$先生有$$500$$本书．''乙说：``$$A$$先生至少有$$1000$$本书．''丙说：``$$A$$先生的书不到$$2000$$本．''丁说：``$$A$$先生最少有$$1$$本书．''实际上这四个人的估计中只有一句是对的．请问：$$A$$先生究竟有~\uline{~~~~~~~~~~}~本书． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$500$$ 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: A
Analysis: 假设甲对：则丙也是对的，矛盾，假设不成立；假设乙对：则丁也是对的，矛盾，假设不成立；假设丙对：则其他三人的话可以全错，假设可以成立，此时，$$A$$先生有$$0$$本书；假设丁对：则其他三人必须全错，看甲、$$A$$先生藏书不是$$500$$本，看乙、$$A$$先生藏书不够$$1000$$本，看丙、$$A$$先生藏书至少$$2000$$本，出现矛盾，所以假设不成立．所以，丙说的对，$$A$$先生实际上没有书，$$0$$本． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾
Source: 2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第4题
其它改编题
Problem: 从$$1$$到$$50$$这五十个自然数中，取两个数相加，要使它们的和大于$$50$$，共有种不同取法． 
Options:
aoVal: A
content: $$560$$ 
aoVal: B
content: $$605$$ 
aoVal: C
content: $$625$$ 
aoVal: D
content: $$750$$ 
Answer: C
Analysis: 从$$1$$到$$50$$这$$50$$个自然数中，取两个数相加，  要使它们的和大于$$50$$，这样的数太多了，  我们计数时可以首先取$$50$$，  它与$$1$$、$$2$$、$$3\cdots 49$$的和都大于$$50$$，  有$$49$$个数；然后再取$$49$$，  和它前面的数字$$2$$、$$3$$、$$4\cdots 48$$的和都大于$$50$$，  有$$47$$个；  依次向前取$$48$$，和它的和大于$$50$$的有$$45$$个数；  $$\cdots $$直到取数字$$26$$，  只有$$25+26=51$$大于$$50$$，$$1$$个数字；  这样分步完成，符合加法原理，是一组等差为$$2$$的数字，因此得解．  $$49+47+45+43+\cdots +1$$  $$=(1+49)\times 25\div 2$$  $$=25\times 25$$  $$=625$$（种）．  答：从$$1$$到$$50$$这$$50$$个自然数中，取两个数相加，要使它们的和大于$$50$$，共有$$625$$种不同的取法．  故答案为：$$625$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛A卷第7题5分
Problem: 一群学生排成长方形队形．小明所站的位置，从前面数是第$$4$$列，从后面数是第$$7$$列，从左边数是第$$3$$行，从右边数是第$$9$$行．请问这群学生共有多少名？ 
Options:
aoVal: A
content: $$90$$ 
aoVal: B
content: $$100$$ 
aoVal: C
content: $$110$$ 
aoVal: D
content: $$120$$ 
aoVal: E
content: $$132$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意可知长方形队形中每列有$$3+9-1=11$$（名），每行有$$4+7-1=10$$（名），所以学生总数为$$11\times 10=110$$（名）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵基本问题
Source: 2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第13题4分
Problem: 在下面的``$$\bigcirc $$''中选出相同的数，使等式成立．  $$4.3\times \bigcirc -1.1=1.3\times \bigcirc +3.7$$ 
Options:
aoVal: A
content: $$0.6$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$1.6$$ 
aoVal: D
content: $$2.3$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意，本题属于算式谜，解题关键是先化简；  首先把$$3.7$$和$$1.1$$相加，把$$\bigcirc $$想成未知数；  得到算式$$4.3\times \bigcirc -1.3\times \bigcirc =3.7+1.1$$，进一步解答，求出$$\bigcirc $$所代表的数即可．  $$4.3\times \bigcirc -1.1=1.3\times \bigcirc +3.7$$  $$4.3\times \bigcirc -1.3\times \bigcirc =3.7+1.1$$  $$3\times \bigcirc =4.8$$  $$\bigcirc =1.6$$  因此$$\bigcirc $$代表的数字是$$1.6$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第7题3分
Problem: 在$$1991991\cdots\cdots$$这串数中，从第三个数开始，每个数都是前两个数相乘后积的尾数（个位数字），那么把这串数字写到第$$40$$位时，各个数位上的数字和是．（某年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛） 
Options:
aoVal: A
content: $$290$$ 
aoVal: B
content: $$248$$ 
aoVal: C
content: $$250$$ 
Answer: B
Analysis: 观察此数字串是按照如下规律排列：$$199199199199\cdots $$以$$199$$为数字循环节，  第$$40$$位时共有$$13$$个$$199$$，然后是$$1$$，  所以总和为$$13\times (1+9+9)+1=248$$．  不难发现，这串数有周期性的规律；$$1$$，$$9$$，$$9$$循环出现．  $$40\div3=13$$（组）$$\cdots\cdots 1$$（个），  $$13\times (1+9+9)+1=248$$，  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第10题3分
Problem: $$Maria$$、$$Peter$$、$$Richard$$ 和$$Tina$$ 在教室里踢足球，其中一个人打碎了一扇窗户．校长询问是谁干的，得到以下回答：  $$Maria$$说：``是$$Peter$$干的．"  $$Peter$$说： `` 是$$Richard$$干的．  $$Richard$$ 说：``不是我．"  $$Tina$$说：``不是我．''只有一个孩子说了实话．请问是谁打碎了窗户 
Options:
aoVal: A
content: $$Maria$$ 
aoVal: B
content: $$Tina$$ 
aoVal: C
content: $$Peter$$ 
aoVal: D
content: $$Richard$$ 
aoVal: E
content: 无法确定 
Answer: B
Analysis: Peter said that Richard did it, while Richard said that he didn't do it. Among these two sentences, one must be true and the other must be false. Since only one child among the four told the truth, the remaining two people, Maria and Tina, must have both told lies. Therefore, Tina's statement that she didn't do it is a lie. The one who broke the window is Tina. Choose B.  $$Peter$$说是$$Richard$$干的，而$$Richard$$说不是他干的，这两句话当中必定有一句真一句假，而四个人当中只有一个孩子说了真话，因此剩下的两个人$$Maria$$和$$Tina$$说的一定都是假话，因此$$Tina$$说不是她干的是假话，打碎窗户的就是$$Tina$$，选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理
Source: 2023年袋鼠数学竞赛(Math Kangaroo)小学高年级竞赛第14题4分
Problem: 若$$A=\underbrace{111\cdots 1}_{2018个1}$$，那么$$A$$除以$$7$$的余数是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: $$111111$$可被$$7$$整除，$$2018\div 6=336\cdots \cdots 2$$，最后剩下两个$$1$$，$$11\div 7=1\cdots \cdots 4$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2018年湖北武汉新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（五）第5题
Problem: 一群$$5$$至$$12$$岁的孩子去看电影．这些孩子的年龄的乘积是$$3080$$．请问这些孩子的年龄的和是多少？ 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: B
Analysis: $$3080=2^{3}\times5\times7\times11$$,  $$5+7+8+11=31$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Overseas Competition->知识点->数论模块->分解质因数
Source: 2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛
Problem: 乘积$$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \cdots \cdots \times 49\times 50$$可以简记为$$50$$！，读作$$50$$的阶乘，这个乘积能被$$3$$整除，如果把这个乘积去反复除以$$3$$，直到不能被$$3$$整除为止，从第一次除以$$3$$开始算共可除以$$3$$次． 
Options:
aoVal: A
content: $$21$$ 
aoVal: B
content: $$22$$ 
aoVal: C
content: $$23$$ 
aoVal: D
content: $$24$$ 
Answer: B
Analysis: 这是分解质因数的方法（一直除到商比质因数$$3$$小为止）：  $$50\div 3=16\cdots 2$$；$$16\div 3=5\cdots 1$$；$$5\div 3=1\cdots 2$$．  把商求和得$$16+5+1=22$$．  其他质因数的指数也可用这种方法．常见的题目就是求阶乘的尾零个数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数（式）
Source: 2014年第26届广东广州五羊杯六年级竞赛第6题4分
Problem: 某阅览室有不同的文科类图书$$60$$本，不同的理科类图书$$80$$本，如果每类图书都最多只能借一本，则共有种不同的借法． 
Options:
aoVal: A
content: $$80$$ 
aoVal: B
content: $$140$$ 
aoVal: C
content: $$4800$$ 
aoVal: D
content: $$4940$$ 
Answer: D
Analysis: 文科书有$$60$$本，所以单借一本文科书有$$60$$种借法；  理科书有$$80$$本，所以单借一本理科书有$$80$$种借法；  同时借一本文科书和一本理科书有$$60\times80=4800$$种借法．  则共有$$60+80+4800=4940$$种借法．  故选：$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第8题5分
Problem: 计算：$$30 \%\div 1\frac{2}{5}\times(\frac{1}{3}+\frac{1}{7})=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{21}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{21}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{49}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{49}$$ 
Answer: D
Analysis: $$30 \%\div 1\frac{2}{5}\times(\frac{1}{3}+\frac{1}{7})=\frac{3}{10}\times \frac{5}{7}\times \frac{10}{21}=\frac{5}{49}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数四则混合运算
Source: 其它改编自2013年全国希望杯六年级竞赛初赛第1题
Problem: 若$$a = \underbrace {1515 \cdots 15}_{1004个15} \times \underbrace {333 \cdots 3}_{2008个3}$$，则整数$$a$$的所有数位上的数字和等于（ ~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$18063$$ 
aoVal: B
content: $$18072$$ 
aoVal: C
content: $$18079$$ 
aoVal: D
content: $$18054$$ 
Answer: B
Analysis: $${a = \underbrace {1515 \cdots 15}_{1004 个 15}~ \times ~\underbrace {333 \cdots 3}_{2008个3}}$$  $${ = \underbrace {505050 \cdots 5}_{1004个 5 和 1003 个0}\times ~ \underbrace {999 \cdots 9}_{2008个9}}$$  $${ = \underbrace {505050 \cdots 5}_{1004个 5 和 1003 个0}\times~ （1 \underbrace {0000 \cdots 0}_{2008个0} - 1}）$$  $${ = \underbrace {505050 \cdots 50}_{1004个50} \underbrace {0000 \cdots 0}_{2007个0} ~ - \underbrace {505050 \cdots 5}_{1004个 5 和 1003 个0}}$$  $${ = \underbrace {505050 \cdots 50}_{1003个50}\underbrace {494949 \cdots 49}_{1004个49}{5}}$$  所以整数$$a$$的所有数位上的数字和$$ = 1003 \times 5 + 1004 \times 4 + 9 + 5 = 18072$$ ． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数分配律->整数乘法巧算之分配律->拆数法构造分配律
Source: 2008年第13届全国迎春杯竞赛初赛第5题10分
2008年全国华杯赛竞赛初赛第5题
小学高年级六年级其它小高著名杯赛拉分题第4题
Problem: 有四个数，它们的和是$$45$$，把第一个数加$$１$$，第二个数减$$１$$，第三个数乘$$2$$，第四个数除以$$2$$，得到的结果都相同．那么，原来这四个数依次是． 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$，$$10$$，$$10$$，$$20$$ 
aoVal: B
content: $$12$$，$$8$$，$$20$$，$$5$$ 
aoVal: C
content: $$9$$，$$11$$，$$5$$，$$20$$ 
aoVal: D
content: $$9$$，$$11$$，$$12$$，$$13$$ 
Answer: C
Analysis: 设相同的结果为$$x$$，根据题意有：$$x-１+x+１+2x+0.5x=45$$，$$\Rightarrow x=10$$  易知原来的$$4$$ 个数依次是$$9$$，$$11$$，$$5$$，$$20$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第4题
Problem: 计算：$$1-2+3-4+5-6+\cdots -\cdots +2019-2020+2021=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$1010$$ 
aoVal: B
content: $$1011$$ 
aoVal: C
content: $$2020$$ 
aoVal: D
content: $$2021$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: B
Analysis: 分组运算，$$-2$$和$$+3$$一组，$$-4$$和$$+5$$一组，$$\cdots \cdots -2020$$和$$+2021$$一组，每组结果都是$$1$$，一共有$$2020\div2=1010$$组，所以和是$$1010$$，前面还剩下一个$$1$$，$$1+1010=1011$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解->运算符号应用
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第5题4分
2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第5题4分
Problem: $$\frac{6}{7}$$化成小数后，小数点后面前2007位数字之和等于（ ）. 
Options:
aoVal: A
content: 9038 
aoVal: B
content: 9040 
aoVal: C
content: 9041 
aoVal: D
content: 9044 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{6}{7}=0.857142857142\cdots $$，所以(一个循环的数字和)$$8+5+7+1+4+2=27$$，又$$2007=6\times 334+3$$，因此，小数点后面前$$2007$$位数字之和为$$27\times 334+\left( 8+5+7 \right)=9038$$. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->循环小数->分数化循环小数
Source: 2007年五年级竞赛创新杯
2007年第5届创新杯五年级竞赛第6题5分
2007年第5届创新杯五年级竞赛第6题5分
Problem: $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$、$$F$$六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得$$3$$分，负者得$$0$$分，平局每队各得$$1$$分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第$$3$$名的队得了$$8$$分，那么这次比赛中共有~\uline{~~~~~~~~~~}~场平局． 
Options:
aoVal: A
content: $$7$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$3$$ 
Answer: E
Analysis: 六个足球队进行单循环比赛，总共有$$5+4+3+2+1=15$$（场）比赛．  平局的两队总分为$$1+1=2$$（分），非平局总分为$$0+3=3$$（分），因此，如果全是非平局总分有$$15\times 3=45$$（分），否则多一场平局总分减少$$1$$分．  由于第$$3$$名得了$$8$$分，最后一名至少$$0$$分，所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过$$8\div 3=2\frac{2}{3}$$（分），只可能为$$1$$分或$$2$$分．  如果各队得分的构成的等差数列公差为$$1$$，则这六个队的总分为$$（8+7）\times 3=45$$（分），则有$$0$$场平局，每场比赛每队都得$$0$$分或$$3$$分，则每支队的得分都应是$$3$$的倍数，与第$$3$$名得$$8$$分不符．  如果各队得分的构成的等差数列公差为$$2$$，则这六个队的总分为$$（8+6）\times 3=42$$（分），有$$45-42=3$$（场）平局，符合题意．所以这次比赛中共有$$3$$场平局． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->3-1-0 积分制
Source: 2017年天津陈省身杯六年级竞赛国际青少年数学邀请赛第16题
2009年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第5题
六年级其它
2017年天津陈省身杯六年级竞赛第16题
2009年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第5题8分
Problem: 算式：$$\text{猫}\times\text{鼠} \times \overline{\text{猫鼠}}=\overline{\text{鼠鼠鼠}}$$，其中猫和鼠各代表一个一位数，则猫$$+$$鼠$$=$$（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$15$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$10$$ 
aoVal: D
content: $$13$$ 
Answer: C
Analysis: 设猫$$=a$$，鼠$$=b$$，猫$$\times $$鼠$$\times \overline{\text{猫鼠}}=\overline{\text{鼠鼠鼠}}=a\cdot b\cdot \overline{ab}=\overline{bbb}=b\times 111=b\times 3\times 37$$，可知$$a\times \overline{ab}=3\times 37$$，所以$$a=3$$，$$b=7$$，则猫$$+$$鼠$$=3+7=10$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜
Source: 2011年四年级竞赛明心奥数挑战赛
Problem: 一部电影共放映了$$85$$分钟，结束时正好是$$20:40$$分．这部电影是开始放映的． 
Options:
aoVal: A
content: $$18:15$$ 
aoVal: B
content: $$19:15$$ 
aoVal: C
content: $$22:05$$ 
Answer: B
Analysis: 根据题意分析可知，$$60$$分钟$$=1$$小时，$$85$$分钟$$=1$$小时$$25$$分钟，  用结束的时间减去放映的时长即可得到开始放映的时间，  故列式为：$$20:40-1:25=19:15$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->时间计算
Source: 2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第6题2分
Problem: 一个自然数被$$3$$、$$5$$、$$7$$除的余数分别为$$1$$、$$2$$、$$4$$，三个商的整数部分之和是$$257$$，那么这个自然数除以$$11$$的余数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: D
Analysis: 余数问题．假设这个数是$$N$$，根据$$N\div 3\cdots 1$$、$$N\div 5\cdots 2$$、$$N\div 7\cdots 4$$，  由逐级满足法可得$$N=105k+67$$，  $$[\frac{67}{3}]+[\frac{67}{5}]+[\frac{67}{7}]=44$$，  $$(257-44)\div ([\frac{105}{3}]+[\frac{105}{5}]+[\frac{105}{7}])=3$$，  所以$$N=105\times 3+67=382$$，$$382\div 11=34\cdots 8$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->中国剩余定理->逐级满足法
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛决赛第2题
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$13$$，这$$13$$个不同的自然数重新排成一行，记作$${{a}_{1}}=13$$，$${{a}_{2}}=1$$．并使得$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k}}$$能被$${{a}_{k+1}}$$整除（$$k=1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$12$$），求$${{a}_{3}}+{{a}_{13}}$$的值． 
Options:
aoVal: A
content: $$9$$ 
aoVal: B
content: $$11$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$15$$ 
Answer: A
Analysis: $$1$$到$$13$$的加和一定是$${{a}_{13}}$$的倍数，$$1+2+3\cdots \cdots +13=7\times 13$$，所以$${{a}_{13}}$$是$$7$$，由于$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}=14$$，所以$${{a}_{3}}$$只能是$$2$$，所以$${{a}_{3}}+{{a}_{13}}=9$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2015年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛（中国赛区）第40题5分
2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛
Problem: 【$$2021$$三年级卷第$$30$$题】某个闰年的元旦是星期日，那么这一年的$$2$$月有$$5$$个． 
Options:
aoVal: A
content: 星期一 
aoVal: B
content: 星期二 
aoVal: C
content: 星期三 
aoVal: D
content: 星期四 
aoVal: E
content: 星期五 
aoVal: F
content: 星期六 
aoVal: G
content: 星期日 
Answer: C
Analysis: 周期问题：  元旦$$1$$月$$1$$日是星期日，则周期：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六$$\cdots\cdots$$  从$$1$$月$$1$$日到$$2$$月$$1$$日一共有$$31+1=32$$（天），  $$32\div7=4$$（周）$$\cdots\cdots4$$（天），  所以$$2$$月$$1$$日是星期三，则$$2$$月份的周期：星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二$$\cdots\cdots$$  闰年的$$2$$月有$$29$$天，$$29\div7=4$$（周）$$\cdots\cdots1$$（天），  所以$$2$$月$$29$$日是星期三，  因此这一年的$$2$$月有$$5$$个星期三． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期
Source: 2021年新希望杯三年级竞赛初赛第30题5分
Problem: 甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是$$72$$岁．几年前（至少一年）甲是$$22$$岁时，乙是$$16$$岁．又知道，当甲是$$19$$岁的时候，丙的年龄是丁的$$3$$倍（此时丁至少$$1$$岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有种情况． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$6$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: 甲乙的年龄差是$$22-16=6$$岁；当甲$$19$$岁时，乙 $$13$$岁；至少一年前甲$$22$$岁，所以当甲$$19$$岁的时候，此时至少是$$4$$年前的年龄，那么甲今年至少是$$23$$岁；甲$$19$$岁时，丙的年龄是丁的$$3$$倍，假设丁为$$1$$岁，丙为$$3$$岁，此时四人的年龄和至少是$$19+13+1+3=36$$岁；且甲今年的年龄至多为$$19+\left(72-36 \right)\div 4=28$$；所以甲今年的年龄可能是$$23$$，$$24$$，$$25$$，$$26$$，$$27$$，$$28$$；共$$6$$种，所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型
Source: 2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第5题
2017年全国小升初八中入学备考课程
Problem: 明明、亮亮和刚刚三个人是好朋友，一位是工人，一位是医生，一位是解放军战士．请你根据下面三句话，判断是工人．  （$$1$$）明明不是工人．  （$$2$$）亮亮不是医生．  （$$3$$）明明和亮亮正在听解放军讲战斗故事． 
Options:
aoVal: A
content: 明明 
aoVal: B
content: 亮亮 
aoVal: C
content: 刚刚 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 根据第（$$3$$）句话可知，明明和亮亮都不是解放军，所以刚刚是解放军．那么亮亮既不是解放军也不是医生，所以亮亮是工人  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第10题5分
Problem: 梅森质数是形如``$${{2}^{p}}-1$$''的质数，这里$${{2}^{p}}$$表示$$p$$个$$2$$相乘的积，而且$$p$$也是一个质数．目前用超级计算机已找到了$$51$$个梅森质数，其中第二大的梅森质数是$${{2}^{77232917}}-1$$．以下各数中，能被$$15$$整除的是． 
Options:
aoVal: A
content: $${{2}^{77232917}}-2$$ 
aoVal: B
content: $${{2}^{77232917}}+1$$ 
aoVal: C
content: $${{2}^{77232917}}+2$$ 
aoVal: D
content: $${{2}^{77232917}}+3$$ 
Answer: A
Analysis: $${{2}^{n}}\div 3$$的余数周期为$$2$$，$$1$$，  $$77232917\div 2\cdots \cdots 1$$，$${{2}^{77231917}}\div 3\cdots \cdots 2$$，  $${{2}^{n}}\div 5$$的余数周期为$$2$$，$$4$$，$$3$$，$$1$$．  $$77232917\div 4\cdots \cdots 1$$，$${{2}^{77232917}}\div 5\cdots \cdots 2$$，  $$3\times 5+2=17$$，$${{2}^{77232917}}\equiv 17\equiv 2\left( \bmod 15 \right)$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2020年希望杯五年级竞赛模拟第29题
2020年新希望杯五年级竞赛第29题
Problem: 两个数的最大公因数是$$5$$，最小公倍数是$$75$$，那么这两个数的和是． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$80$$ 
aoVal: C
content: $$40$$或$$50$$ 
aoVal: D
content: $$40$$或$$80$$ 
Answer: B
Analysis: 公因数：两个或多个数都有的因数叫\textbar 做公因数公倍数，  两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数，  两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数，  两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数），  两个数的最大公因数是$$5$$，最小公倍数是$$75$$，那么这两个数可以是$$5$$和$$75$$，它们的和就是$$80$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第2题5分
Problem: 一串数：$$1$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，$$\cdots $$即从第三个数起，每个数都等于前面相邻两个数的和．则第$$2021$$个数被$$6$$除的余数是． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: E
Analysis: 把每一个数除以$$6$$的余数依次写出来，观察余数的变化规律，  这串数除以$$6$$的余数依次是$$1$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$2$$、$$1$$、$$3$$、$$4$$、$$1$$、$$5$$、$$0$$、$$5$$、$$5$$、$$4$$、$$3$$、$$1$$、$$4$$、$$5$$、$$3$$、$$2$$、$$5$$、$$1$$、$$0$$、$$1$$、$$1\cdots \cdots $$，  可以看出来周期是$$1$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$2$$、$$1$$、$$3$$、$$4$$、$$1$$、$$5$$、$$0$$、$$5$$、$$5$$、$$4$$、$$3$$、$$1$$、$$4$$、$$5$$、$$3$$、$$2$$、$$5$$、$$1$$、$$0$$，一共有$$24$$个，  $$2021\div 24=84\cdots \cdots 5$$，  所以第$$2021$$个数除以$$6$$的余数和第五个数除以$$6$$的余数相同，第五个除以$$6$$的余数为$$5$$．  故选$$\text{E}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数找规律
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第12题4分
Problem: 在算式$$\square +5=13-6$$中，请问$$\square $$中应填入什么数才能使算式正确？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: $$2+5=13-6$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数减法运算->减法横式
Source: 2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第2题3分
Problem: 小明将$$27$$个苹果分给若干位小朋友．这些小朋友得到的苹果数是一些连续的正整数，请问这些小朋友最多有多少位？ 
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
aoVal: E
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: $$27=3\times 3\times 3$$，$$27$$分成一些连续的正整数，$$27$$一定是中间数的整数倍，所以小朋友最多有$$3$$位． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->枚举型最值问题
Source: 2014年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第5题4分
Problem: 下列时刻中，时针和分针所成的角最接近$$30{}^{}\circ $$是． 
Options:
aoVal: A
content: $$3:27$$ 
aoVal: B
content: $$4:17$$ 
aoVal: C
content: $$5:14$$ 
aoVal: D
content: $$6:22$$ 
aoVal: E
content: 7:33 
Answer: B
Analysis: 略． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->图形认知
Source: 2011年第7届全国新希望杯六年级竞赛第3题4分
Problem: 有四个数，它们的和是$$45$$，把第一个数加$$2$$，第二个数减$$2$$，第三个数乘$$2$$，第四个数除以$$2$$，得到的结果都相同。那么，原来这四个数依次是（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$，$$10$$，$$10$$，$$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$，$$8$$，$$20$$，$$5$$ 
aoVal: C
content: $$8$$，$$12$$，$$5$$，$$20$$ 
aoVal: D
content: $$9$$，$$11$$，$$12$$，$$13$$ 
Answer: C
Analysis: 解：设相同的结果为$$2x$$，  根据题意有：$$2x-2+2x+2+x+4x=45$$，  解得$$x=5$$，  所以原来的$$4$$个数依次是$$8$$，$$12$$，$$5$$，$$20$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题
Source: 2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第2题3分
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2014年迎春杯四年级竞赛初赛
2014年迎春杯三年级竞赛初赛
2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第2题3分
2014年迎春杯四年级竞赛初赛