math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 空间四点$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$满足$$\textbar\overrightarrow{AB}\textbar=3$$，$$\textbar\overrightarrow{BC}\textbar=7$$，$$\textbar\overrightarrow{CD}\textbar=11$$，$$\textbar\overrightarrow{DA}\textbar=9$$，则$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$=~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: 只有一个 
aoVal: B
content: 有二个 
aoVal: C
content: 有四个 
aoVal: D
content: 有无穷多个 
Answer: A
Analysis: 注意到$${{3}^{2}}+{{11}^{2}}=1130={{7}^{2}}+{{9}^{2}}$$，由于$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$$，  则$$D{{A}^{2}}={{\overrightarrow{DA}}^{2}}={{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2({{\overline{BC}}^{2}}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB})$$  $$=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$$，  即$$2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=A{{D}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}-C{{D}^{2}}=0$$，∴$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$$只有一个值得$$0$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量
Source: 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 某乡间小路的一侧共有12盏路灯，因行人较少，为节约用电，每晚仅开4盏灯，要求道路两头的路灯都不开，任何两盏开的路灯都不相邻，则不同的开灯方法共有（~~~~~~~）种．
Options:
aoVal: A
content: 32 
aoVal: B
content: 35 
aoVal: C
content: 42 
aoVal: D
content: 46 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 利用组合可求不同的开灯方法.\\ 【详解】\\ 根据题意，不同的开灯方法数共有${\mathrm{C}}_{7}^{4}=35$种．\\ 故选：B. 
Source: 竞赛第15题
Problem: 已知关于$$x$$、$$y$$的方程组$$\begin{cases}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{k}^{2}}   kx-y=2k \end{cases}$$仅有一组实数解，则符合条件的实数$$k$$的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 若$$k=0$$，显然方程组仅有一组解$$(0,0)$$，故$$k=0$$符合条件；若$$k\ne 0$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{k}^{2}}$$的图象是一个以$$(0,0)$$为圆心，以$$r=\sqrt{2}\textbar k\textbar$$为半径的圆，而$$kx-y=2k$$表示直线．由题设条件知$$\frac{\textbar2k\textbar}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\sqrt{2}\textbar k\textbar$$，即$$\frac{4{{k}^{2}}}{1+{{k}^{2}}}=2{{k}^{2}}$$，解得$$k=\pm 1$$．  综上所述，符合条件的实数$$k$$共有$$3$$个． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2015~2016学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第11题5分
2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，设内角$$A$$、$$B$$、$$C$$的对边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$．命题$$p$$：$$B+C=2A$$，且$$b+c=2a$$；命题$$q$$：$$\triangle ABC$$是正三角形，则命题$$p$$是命题$$q$$的（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 充要条件 
aoVal: B
content: 充分不必要条件 
aoVal: C
content: 必要不充分条件 
aoVal: D
content: 既不是充分条件也不是必要条件 
Answer: A
Analysis: 当$$B+C=2A$$时，则$$A=60{}^{}\circ $$．  由余弦定理，$${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos 60{}^{}\circ ={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc$$．  又$$b+c=2a$$，则$${{b}^{2}}+2bc+{{c}^{2}}=4{{a}^{2}}=4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc \right)\Rightarrow b=c$$，所以$$\triangle ABC$$是正三角形．  反之，若$$\triangle ABC$$是正三角形，显然有$$B+C=2A$$和$$b+c=2a$$成立．  因此，$$p$$是$$q$$的充要条件． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件
课内体系->知识点->解三角形->正余弦定理的综合应用->正余弦定理综合判断三角形形状
课内体系->知识点->解三角形->正弦定理
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用
Source: 2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 已知$$ABC$$是平面上不共线的三点，$$O$$是三角形$$ABC$$的重心，动点$$P$$满足$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} \right)$$，则点$$P$$一定为三角形$$ABC$$的（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$AB$$边中线的中点 
aoVal: B
content: $$AB$$边中线的三等分点（非重心） 
aoVal: C
content: 重心 
aoVal: D
content: $$AB$$边的中点 
Answer: B
Analysis: 由选项知，本题应该选择$$C$$为起点，  于是得：$$6\overrightarrow{CP}-6\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}-4\overrightarrow{CO}$$，  从而$$6\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$$，即$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$$，  取$$AB$$边的中点$$M$$，则$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$$，从而$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$$，  即点$$P$$为三角形中$$AB$$边上的中线的一个三等分点，且点$$P$$不是重心．  点评：由$$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$$，$$\frac{1}{6}:\frac{1}{6}=1$$知点$$P$$在$$BC$$边的中线上；由$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$知，是中线上靠近$$C$$的一个三等分点，且不是重心，  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数学建模
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量与三角形的“心”
课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的数乘运算及运算规则
Source: 2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
2019~2020学年3月天津南开区天津市南开中学高一下学期周测B卷第12题2分
Problem: 已知函数$$y=f(x)$$有反函数$$y={{f}^{-1}}(x)$$，将$$y=f(x)$$的图象绕$$(1,  -1)$$逆时针旋转$$90{}^{}\circ $$，所得曲线的方程是．
Options:
aoVal: A
content: $$y={{f}^{-1}}(-x)-2$$ 
aoVal: B
content: $$y=-{{f}^{-1}}(-x)-2$$ 
aoVal: C
content: $$y={{f}^{-1}}(-x+1)-1$$ 
aoVal: D
content: $$y={{f}^{-1}}(-x-1)+1$$ 
Answer: A
Analysis: 点$$(t,  f(t))$$绕$$(1,  -1)$$旋转$$90{}^{}\circ $$，得到$$(-f(t),  t-2)$$．令$$x=-f(t)$$，则$$t={{f}^{-1}}(-x)$$，因此$$y=t-2={{f}^{-1}}(-x)-2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数综合
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 2013年$$AMC10$$竞赛$$B$$第$$15$$题  A wire is cut into two pieces, one of length $$a$$ and the other of length $$b$$. The piece of length $$a$$ is bent to form an equilateral triangle, and the piece of length $$b$$ is bent to form a regular hexagon. The triangle and the hexagon have equal area. What is $$\frac ab$$?  一根电线被切成两块，一块长度为 $$a$$，另一块长度为 $$b$$。 长度$$a$$ 弯曲形成等边三角形，长度$$b$$ 弯曲形成正六边形。 三角形和六边形的面积相等。 求 $$\frac ab$$？
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 
Answer: B
Analysis: Using the area formulas for an equilateral triangle $$\left(\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}\right)$$ and regular hexagon $$\left(\frac{3s^{2}\sqrt{3}}{2}\right)$$ , with side length $$s$$ and plugging $$\frac a3$$ and $$\frac b6$$ into each equation, we find that $$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{36}= \frac{b^{2}\sqrt{3}}{24}$$. Simplifying this, we get $$\frac ab=\boxed{\rm(B)\textasciitilde\frac{\sqrt{6}}{2}}$$.  The regular hexagon can be broken into $$6$$ small equilateral triangles, each of which is similar to the big equilateral triangle. The big triangle\textquotesingle s area is $$6$$ times the area of one of the little triangles. Therefore each side of the big triangle is $$\sqrt{6}$$ times the side of the small triangle. The desired ratio is $$\frac{3 \sqrt{6}}{6}= \frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow (B)$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->解三角形->三角形面积公式
美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Regular Polygon
Source: 2013年AMC10竞赛B第15题
Problem: 2005AMC12A, 19  A faulty car odometer proceeds from digit $$3$$ to digit $$5$$, always skipping the digit $$4$$, regardless of position. If the odometer now reads $$002005$$, how many miles has the car actually traveled?  一个有故障的汽车里程表，它会从数字$$3$$ ，越过数字$$4$$，直接跳到数字$$5$$，在每一位上都是如此。 如果里程表现在显示$$002005$$，汽车实际行驶了多少英里？
Options:
aoVal: A
content: $$1404$$ 
aoVal: B
content: $$1462$$ 
aoVal: C
content: $$1604$$ 
aoVal: D
content: $$1605$$ 
aoVal: E
content: $$1804$$ 
Answer: B
Analysis: 这实际上是一个考察进制的题。  在这个错误的里程表上，每位上可取的数字从$0 9$变成了$0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9$，也就是从$$10$$个变成了$$9$$个。因此这是一个$$9$$进制里程表，它每一位上的$0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9$，分别对应$$9$$进制中的$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$。  那么，实际里程数$=2004_9=4+2\times 9^{3}=1462$（注意里程表上的$$5$$对应的是$$9$$进制的4），选$$\text{B}$$。 
Knowledge points: 课内体系->知识点->算法与框图->算法案例->进位制
美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning
Source: 2005年AMC12竞赛A第19题
Problem: 2002年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$19$$题  Spot\textquotesingle s doghouse has a regular hexagonal base that measures one yard on each side. He is tethered to a vertex with a two-yard rope. What is the area, in square yards, of the region outside of the doghouse that Spot can reach?  Spot 的狗窝有一个规则的六边形底座，每边长一码。 他被一根两码长的绳子拴在一个顶点上。 Spot 可以到达的狗窝外区域的面积是多少平方码？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac {2\pi }3$$ 
aoVal: B
content: $$2\pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac {5\pi }2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac {8\pi} 3$$ 
aoVal: E
content: $$3\pi $$ 
Answer: E
Analysis: Part of what Spot can reach is $$\frac {240}{360}=\frac 23$$ of a circle with radius $$2$$, which gives him $$\frac {8\pi }3$$. He can also reach two $$\frac {60}{360}$$ parts of a unit circle, which combines to give $$\frac {\pi }3$$. The total area is then $$3\pi $$, which gives $$\rm E$$.  Note   We can clearly see that the area must be more than $$\frac {8\pi }3$$, and the only such answer is $$\rm E$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Regular Polygon
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧长公式与扇形面积
Source: 2002年AMC10竞赛A第19题
Problem: 实数$$x,  y,  z$$满足$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$$，则$$xy+yz$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$1=\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{2}{{y}^{2}} \right)+\left( \frac{1}{2}{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$$ $$\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+2\sqrt{\frac{1}{2}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}$$ $$=\sqrt{2}\left( xy+yz \right)$$，  所以$$xy+yz\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$$．  又当$$x=1,  y=\frac{\sqrt{2}}{2},  z=1$$时取到等号，故最大值为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式
Source: 2012年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第8题10分
Problem: 设数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足：$${{a}_{1}}=1$$，$$4{{a}_{n+1}}-{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+4{{a}_{n}}=9$$．则$${{a}_{2018}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设得$$(4-{{a}_{n}})(4-{{a}_{n+1}})=7$$，  设$${{b}_{n}}=4-{{a}_{n}}$$，则$${{b}_{n}}{{b}_{n+1}}=7$$，  又$${{b}_{1}}=4-{{a}_{1}}=3$$，故$${{b}_{2}}=\frac{7}{3}$$，  一般地，有$${{b}_{2k-1}}=3$$，$${{b}_{2k}}=\frac{7}{3}$$，  于是，$${{a}_{2k}}=4-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}$$，$${{a}_{2018}}=\frac{5}{3}$$．  故答案为：$$\frac{5}{3}$$． 
Knowledge points: 知识标签->思想->转化化归思想
知识标签->思想->函数思想
知识标签->题型->数列->数列的概念->数列的函数特性问题->数列的周期性问题
知识标签->题型->数列->数列的概念-> 数列求通项问题->常见数列的通项公式
知识标签->素养->数学运算
知识标签->素养->逻辑推理
知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性
知识标签->知识点->数列->数列的概念->递推数列与递推方法
知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式
Source: 2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题10分
Problem: 已知$$C$$是以$$O$$为圆心、$$r$$为半径的圆周，两点$$P$$、$${P}'$$在以$$O$$为起点的射线上，并且满足$$\left\textbar{} OP \right\textbar\cdot \left\textbar{} O{P}' \right\textbar={{r}^{2}}$$，则称$$P$$、$${P}'$$关于圆周$$C$$对称．那么，双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$$上的点$$P\left( x,y \right)$$关于单位圆周$$C$$：$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$$的对称点$${P}'$$所满足的方程为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{x}^{4}}+{{y}^{4}}$$ 
aoVal: B
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)$$ 
aoVal: D
content: $${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$$ 
Answer: B
Analysis: 化为极坐标系，则$$P\left( \rho ,\theta \right)$$关于圆周$$C$$对称的点为$${P}'\left( \frac{{{r}^{2}}}{\rho },\theta \right)$$，  ∴双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$$，即$${{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta =1$$，  关于单位圆周$$C$$对称的方程为$$\frac{1}{{{\rho }^{2}}}{{\cos }^{2}}\theta -\frac{1}{{{\rho }^{2}}}{{\sin }^{2}}\theta =1$$，即$${{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta ={{\rho }^{4}}$$，  也即$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系
Source: 2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
2010年上海复旦大学自主招生千分考第26题
Problem: $$\text{i}$$为虚数单位，则$${{\left( \frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\right)}^{2011}}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{{{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}}{1-{{\text{i}}^{2}}}=\text{i}$$，所以$${{\left(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}} \right)}^{2011}}={{\text{i}}^{2011}}={{\text{i}}^{4\times502+3}}={{\text{i}}^{3}}=-\text{i}$$，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题
知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法
Source: 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
2011年高考真题湖北卷理科第1题
Problem: $${{7}^{1}}+{{17}^{2}}+{{27}^{3}}+{{37}^{4}}+\cdots +{{2017}^{202}}$$的末位数字是．
Options:
aoVal: A
content: $5$ 
aoVal: B
content: $6$ 
aoVal: C
content: $7$ 
aoVal: D
content: $8$ 
Answer: B
Analysis: $${{7}^{k}}$$的末位数字依次是$$7,9,3,1,7\cdots $$，成周期为$$4$$的周期数列，所以  $${{7}^{1}}+{{17}^{2}}+{{27}^{3}}+{{37}^{4}}+\cdots +{{2017}^{202}}$$的末位数字为$$\frac{202}{4}\left( 7+9+3+1 \right)+7+9=1026$$的末位数字． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列
Source: 2017年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分
Problem: 设$$a=\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}$$，其中$$x+y+z=1$$，$$x,y,z\geqslant 0$$，则$$\left[ a \right]=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $2$ 
aoVal: B
content: $3$ 
aoVal: C
content: $4$ 
aoVal: D
content: $5$ 
Answer: C
Analysis: 由柯西不等式，$${{\left( \frac{a}{3} \right)}^{2}}\leqslant \frac{\left( 3x+1 \right)+\left( 3y+1 \right)+\left( 3z+1 \right)}{3}=2$$，所以$$a\leqslant 3\sqrt{2}$$；  另外，当$$0\leqslant x\leqslant 1$$时，$$\sqrt{3x+1}\geqslant \sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}=x+1$$，  于是$$a\geqslant \left( x+1 \right)+\left( y+1 \right)+\left( z+1 \right)=4$$．  因此$$\left[ a \right]=4$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
Source: 2015年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分
Problem: 2017 AMC10B P23  Let $$N=123456789101112\ldots 4344$$ be the $$79$$-digit number that is formed by writing the integers from $$1$$ to $$44$$ in order, one after the other. What is the remainder when $$N$$ is divided by $$45$$?  设$N=123456789101112\ldots 4344$$是$79$位数，由$$1$$至$$44$$的整数依次写成。当$N$除以$$45$$时，余数是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
aoVal: E
content: $$44$$ 
Answer: C
Analysis: We only need to find the remainders of N when divided by $$5$$and $$9$$ to determine the answer. By inspection，$$N=4$$ (mod$$5$$)，$$The$$ remainder when Nis divided  by $$9$$is$$1+2+3+4+\ldots +1+0+1+1+1+2+\ldots +4+3+4+4$$，but  $$sin c{{e}^{10=1(mod9)}}$$，$$we$$ can also write this  $$a{{s}^{1+2+3+\cdots +10+11+12+\cdots 43+44=\frac{44\cdot 45}{2}=22\cdot 45}}$$，$$which$$ has a remairder of 0 rod$$9$$. Therefoer，$$by$$ inspection，$$the$$ answer is ($$\text{C}$$)$$9$$  Note：$$the$$ sum of the digits or N is$$270$$.  Noting the solution above，$$we$$ try to find the sum of the digits to figure out its remainder when divided by$$9$$. From1thru$$9$$，$$the$$ sum is$$45$$，$$10$$ thru$$19$$，$$the$$ sum is$$55$$，$$20$$ thru$$29$$is$$65$$，and$$30$$thru$$39$$is$$75$$．$$Thus$$ the sum of the digits is$$45+55+65+75+4+5+6+7+8=240+30=270$$，$$and$$ thus N is divisible by$$9$$. Now.refer to the above solution $$^{N=4\left( mod5 \right)}an{{d}^{ N=0\left( mod9 \right)}}$$From this information，$$we$$ can conclude this information, we can conclude that $$^{N\equiv 54 \left( mod 5 \right)}and{{ }^{N\equiv 54\left( mod 9 \right)}}$$.  Therefore $$^{N=54\left( md 45 \right)}an{{d}^{N=9\left( md 45 \right)}}$$ so the remainder is ($$\text{C}$$)$$9$$.  Because a number is equivalent to the sum of its digits modulo$$9$$，$$we$$ have that $$^{N\equiv 1+2+3+4+5+\cdots +44\equiv \frac{44\times 45}{2}\equiv 0(mod9)}$$Furthemore，$$we$$ see that $$N-9$$ends in the digt$$5$$and thus is divisible by$$5$$，$$so$$ $$N-9$$is divisible by$$45$$，$$meaning$$ the remainder is($$\text{C}$$)$$9$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Divisibility Rules of Certain Numbers (2/3/5/9/11)
Source: 2017年AMC10竞赛B第23题
2017年AMC12竞赛B第19题
Problem: 在直三棱柱$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$中，$$A{{A}_{1}}=AB=AC$$，$$AB\bot AC$$，$$M$$是$$C{{C}_{1}}$$的中点，$$Q$$是$$BC$$的中点，点$$P$$在$${{A}_{1}}{{B}_{1}}$$上，则直线$$PQ$$与直线$$AM$$所成的角等于．
Options:
aoVal: A
content: $$30{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$45{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$60{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$90{}^{}\circ $$ 
Answer: D
Analysis: 可取$$AC$$的中点$$N$$，连接$${{A}_{1}}N$$、$$QN$$，  可得$$\left. \begin{matrix}AB\bot AM    AB//NQ   \end{matrix} \right }\Rightarrow \left. \begin{matrix}AM\bot NQ    AM\bot {{A}_{1}}N   \end{matrix} \right }$$，  所以有$$AM\bot $$面$${{A}_{1}}{{B}_{1}}QN$$，  又$$PQ\subset $$面$${{A}_{1}}{{B}_{1}}QN$$，  可得$$AM\bot PQ$$，故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 方程组$$\begin{cases}x+y+z=0    xyz+z=0    xy+yz+xz+y=0    \end{cases}$$的有理数解$$(x,y,z)$$的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 若$$z=0$$，则$$\begin{cases} x+y=0    xy+y=0 \end{cases}$$解得$$\begin{cases} x=0    y=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases} x=-1    y=1 \end{cases}$$，  若$$z\ne 0$$，则由$$xyz+z=0$$得$$xy=-1$$①，  由$$x+y+z=0$$得$$z=-x-y$$②，  将②代入$$xy+yz+xz+y=0$$得$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-y=0$$③，  由①得$$x=-\frac{1}{y}$$，代入③化简得$$(y-1)({{y}^{3}}-y-1)=0$$，  易知$${{y}^{3}}-y-1=0$$无有理数根，故$$y=1$$，由①得$$x=-1$$，由②得$$z=0$$，与$$z\ne 0$$矛盾，故该方程组共有两组有理数解$$\begin{cases} x=0    y=0    z=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases} x=-1    y=1    z=0 \end{cases}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）
Source: 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 已知$$f\left( x \right),g\left( x \right)$$，$$h\left( x \right)$$为一次函数，若对实数$$x$$满足  $$\left\textbar{} f\left( x \right) \right\textbar-\left\textbar{} g\left( x \right) \right\textbar+h\left( x \right)=\begin{cases}-1,x\textless{}-1    3x+2,-1{\leqslant }x\textless{}0    -2x+2,x{\geqslant }0 \end{cases}$$．  则$$h\left( x \right)$$的表达式为．
Options:
aoVal: A
content: $$h\left( x \right)=x-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$h\left( x \right)=-x-\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$h\left( x \right)=-x+\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$h\left( x \right)=x+\frac{1}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: $$h\left( x \right)=\frac{-2x+2+\left( -1 \right)}{2}=-x+\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
Problem: 设$${{A}_{1}},  {{A}_{2}}$$为椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(ab0)$$的左、右顶点，若在椭圆上存在异于$${{A}_{1}},  {{A}_{2}}$$的  点$$P$$，使得$$\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{P{{A}_{2}}}=0$$，其中$$O$$为坐标原点，则椭圆的离心率$$e$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( \frac{1}{2},  1 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设知$$\angle OP{{A}_{2}}=90{}^{}\circ $$，设$$P(x,  y)(x\textgreater0)$$，以$$O{{A}_{2}}$$为直径的圆方程为$${{\left( x-\frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}$$，与椭圆方程联立得$$\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right){{x}^{2}}-ax+{{b}^{2}}=0$$．由题设知，要求此方程在$$(0,  a)$$上有实根．由此得$$0\textless{}\frac{a}{2\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}\textless{}a$$化简得$${{e}^{2}}\textgreater\frac{1}{2}$$，所以$$e$$的取值范围为$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$．故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 已知命题$$p:x\textgreater1$$，命题$$q:{{x}^{2}}\textgreater x$$，则$$\neg q$$是$$\neg p$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分不必要条件 
aoVal: B
content: 必要不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: ∵$$p:x\textgreater1$$，  命题$$q:{{x}^{2}}\textgreater x$$，得$$x\textless{}0$$或$$x\textgreater1$$，  ∴$$\neg p:x\leqslant 1$$，$$\neg q:0\leqslant x\leqslant 1$$，  根据充分必要条件的定义可判断：  $$\neg q$$是$$\neg p$$的充分不必要条件．  故选：$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与不等式结合
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第6题3分
Problem: 阿米莉亞有一枚硬幣有$$ \frac{1}{3} $$概率落在正面，布萊恩有一枚硬幣有$$ \frac{2}{5} $$ 概率落在正面．阿米莉亞和布萊恩交替投擲硬幣，直到有人是正面；第一個是正面的人獲勝．所有拋硬幣的事件都是獨立的．阿米莉亞先拋，她獲勝的概率為$$ \frac{p}{q} $$，其中$$p$$和$$q$$是互質的正整數．$$q−p$$是多少？  Amelia has a coin that lands heads with probability$$ \frac{1}{3} $$ , and Blaine has a coin that lands on heads with probability$$ \frac{2}{5} $$ melia and Blaine alternately toss their coins untill someone gets a head; the first one to get a head wins. All coin tosses are independent. Amelia goes first. The probability that Amelia wins is$$ \frac{p}{q} $$ , where p and q are relatively prime positive integers. What is $$q---p$$?
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: D
Analysis: Let $$P$$ be the probability Amelia wins. Note that $$P=$$ chance she wins on her first turn $$+$$ chance she gets to her turn again$$·P$$, as if she gets to her turn again, she is back where she started with probability of winning $$P$$. The chance she wins on her first turn is $$\dfrac{1}{3}$$. The chance she makes it to her turn again is a combination of her failing to win the first turn$$-\dfrac{2}{3}$$ and Blaine failing to win $$-\dfrac{3}{5}$$. Multiplying gives us $$\dfrac{2}{5}$$. Thus,~ $$P= \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{5}P$$. Therefore, $$p=\dfrac{9}{5}$$, so the answer is $$9-5=(\rm D)4$$.  Let $$P$$ be the probability Amelia wins. Note that $$P=$$ chance she wins on her frst turn $$+$$ chance she gets to her second turn $$\cdot\dfrac{1}{3}+$$ chance she gets to her third turn $$\cdot\dfrac{1}{3}\ldots$$. This can be represented by an infinite geometric series. $$p=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{6}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{9}$$. Therefre $$P= \dfrac{5}{9}$$, so the answer is $$9-5=(\rm D)4$$. 
Source: 2017年AMC10竞赛第18题4分
Problem: 已知$$[x]$$表示不超过$$x$$的最大整数，则$$\left[ {{\log }_{2}}1 \right]+\left[ {{\log }_{2}}2 \right]+\left[ {{\log }_{2}}3 \right]+\cdots +\left[ {{\log }_{2}}2009 \right]$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$18054$$ 
aoVal: B
content: $$18044$$ 
aoVal: C
content: $$17954$$ 
aoVal: D
content: $$17944$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意，当$${{2}^{k}}\leqslant n\textless{}{{2}^{k+1}}$$时，$$[{{\log }_{2}}n]=k\left( k\in N \right)$$，于是  $$M=0\cdot \left( {{2}^{1}}-{{2}^{0}} \right)+1\cdot \left( {{2}^{2}}-{{2}^{1}} \right)+2\cdot \left( {{2}^{3}}-{{2}^{2}} \right)+\cdots +9\cdot \left( {{2}^{10}}-{{2}^{9}} \right)+10\cdot \left( 2009-{{2}^{10}}+1 \right)=18054$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质
Source: 2009年高二竞赛广州市第4题6分
Problem: 已知复数$${{z}_{1}}$$，$${{z}_{2}}$$，且$$\left\textbar{} {{z}_{1}} \right\textbar=2\left\textbar{} {{z}_{2}} \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right\textbar=\sqrt{7}$$，则$$\left\textbar{} {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right\textbar$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{7}$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: D
Analysis: 因为  $$\left\textbar{} {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right\textbar=\sqrt{2{{\left\textbar{} {{z}_{1}} \right\textbar}^{2}}+2{{\left\textbar{} {{z}_{2}} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} {{z}_{1}}+{{z}_{1}} \right\textbar}^{2}}}=\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 已知$$a$$、$$b$$、$$c$$均为大于$$0$$的实数，设命题$$P:$$以$$a$$、$$b$$、$$c$$为长度的线段可以构成三角形的三边，命题$$Q:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\textless{}2(ab+bc+ca)$$，则$$P$$是$$Q$$的．
Options:
aoVal: A
content: 充分但不必要条件 
aoVal: B
content: 必要但不充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不充分也不必要条件 
Answer: A
Analysis: 一方面，若$$P$$成立，则$$b+c\textgreater a$$，故$$a(b+c)\textgreater{{a}^{2}}$$，即$$ab+ac\textgreater{{a}^{2}}$$．  同理$$ba+bc\textgreater{{b}^{2}},ca+cb\textgreater{{c}^{2}}$$．所以，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\textless{}2(ab+bc+ca)$$，  即$$Q$$成立．  另一方面，若$$Q$$成立，取$$b=c=1,a=2$$，这时以$$a$$、$$b$$、$$c$$为长度的线段不能构成三角形的三边，即$$P$$不成立．  综上所述，$$P$$是$$Q$$的充分但不必要条件． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的证明
Source: 2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分