math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 阿曼達$$4$$個表兄弟的平均年齡是$$8$$，年齡的中位數是$$5$$，則阿曼達的表兄弟中最年長者與最年輕者的年齡和爲何？  The mean age of Amanda\textquotesingle s $$4$$ cousins is $$8$$, and their median age is $$5$$. What is the sum of the ages of Amanda\textquotesingle s youngest and oldest cousins?
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
aoVal: E
content: $$25$$ 
Answer: D
Analysis: The sum of the ages of the cousins is $$4$$ times the mean, or $$32$$. There are an even number of cousins, so there is no single median, so $$5$$ must be the median of the two in the middle. Therefore the sum of the ages of the two in the middle is $$10$$. Subtracting $$10$$ from $$32$$ produces $$\left(\text{D}\right) 22$$. 
Source: 2016年AMC10竞赛B第5题
Problem: 已知$$-\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\alpha ~~\textless{} ~\frac{ \pi }{2}$$，$$2\tan \beta =\tan 2\alpha $$．$$\tan \left( \beta -\alpha \right)=-2\sqrt{2}$$，则$$\cos \alpha =$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 令$$\tan \alpha =u$$．由  $$\tan \beta =\frac{1}{2}\tan 2\alpha =\frac{\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }=\frac{u}{1-{{u}^{2}}}$$，得  $$\tan \left( \beta -\alpha \right)=\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$  $$=\frac{\dfrac{u}{1-{{u}^{2}}}-u}{1+u\cdot \frac{u}{1-{{u}^{2}}}}$$  $$=\frac{u-u\left( 1-{{u}^{2}} \right)}{1-{{u}^{2}}+{{u}^{2}}}={{u}^{2}}$$．  由$${{u}^{3}}=-2\sqrt{2}$$，得$$u=\tan \alpha =-\sqrt{2}$$．  已知$$-\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\alpha ~~\textless{} ~\frac{ \pi }{2}$$，故$$-\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\alpha ~~\textless{} ~0$$，所以  $$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}\alpha }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正切
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式
课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正切
Source: 2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: $$2003-AMC12A-10$$  Al, Bert, and Carl are the winners of a school drawing for a pile of Halloween candy, which they are to divide in a ratio of $$3:2:1$$, respectively. Due to some confusion they come at different times to claim their prizes, and each assumes he is the first to arrive. If each takes what he believes to be the correct share of candy, what fraction of the candy goes unclaimed?  Al、$$Bert$$ 和 Carl 是学校为一堆万圣节糖果绘制的获胜者，他们将分别以 3:2:1 的比例分配这些糖果。 由于一些混乱，他们在不同的时间来领奖，每个人都假设他是第一个到达的人。 如果每个人都拿走他认为正确的糖果份额，那么有多少糖果无人认领？
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{18}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{9}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{18}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{5}{12}$$ 
Answer: D
Analysis: 假设有$$6$$个糖果，$$A$$来拿走一半，剩下三个，$$B$$来拿走三分之一，剩下$$2$$个，$$C$$来拿走六分之一，剩下$\dfrac{5}{3}$个，占比$\dfrac{5}{18}$ 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems
课内体系->知识点->推理与证明->合情推理与演绎推理->合情推理->归纳推理
Source: 2003年AMC12竞赛A第10题
Problem: 有$$6$$个座位连成一横排，三人就座，恰有两个空位相邻的不同排法共有．
Options:
aoVal: A
content: $$48$$种 
aoVal: B
content: $$60$$种 
aoVal: C
content: $$72$$种 
aoVal: D
content: $$96$$种 
Answer: C
Analysis: 方法一：将座位按顺序编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$．  若相邻空位是$$1$$、$$2$$或$$5$$、$$6$$时，各有排法$$\text{C}_{3}^{1}\cdot \text{A}_{3}^{3}$$种．  若相邻空位是$$2$$、$$3$$，$$3$$、$$4$$或$$4$$、$$5$$时，各有排法 $$\text{C}_{2}^{1}\cdot \text{A}_{3}^{3}$$种．  所以恰有两个空位相邻的不同排法共有$$\text{2C}_{3}^{1}\cdot \text{A}_{3}^{3}+3\text{C}_{2}^{1}\cdot \text{A}_{3}^{3}=72$$（种）．故选$$\text{C}$$．  方法二：先把两个空位作为一人（另一空位暂不考虑），  这样，四人就座共$$\text{A}_{4}^{4}=24$$（种）排法．  对每一种这样的排法，再把另一空位安插到与两空位不相邻的地方，  共有$$5-2=3$$（种）插法．所以共有$$\text{3A}_{4}^{4}=72$$（种）不同排法．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
Problem: ``函数$$f(x)$$在$$\left[ 0, 1 \right]$$上单调''是``函数$$f(x)$$在$$\left[ 0, 1 \right]$$上有最大值''的．
Options:
aoVal: A
content: 必要非充分条件 
aoVal: B
content: 充分非必要条件 
aoVal: C
content: 充分且必要条件 
aoVal: D
content: 既非充分也非必要条件 
Answer: B
Analysis: $$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上单调，则$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上有最大值，充分性成立；  反之，若$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上有最大值，则$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上不一定单调，比如$$f\left( x \right)={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$．  所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 已知定义域是全体实数的函数$$y=f(x)$$满足$$f(x+2 \pi )=f(x)$$且函数  $$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$,$$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$  如果定义函数$$p(x)$$、$$q(x)$$为$$p(x)=\begin{cases}\frac{g(x)-g(x+ \pi )}{2\cos x},\left( x\ne k \pi +\frac{ \pi }{2} \right)    0,\left( x=k \pi +\frac{ \pi }{2} \right) \end{cases}$$，$$q(x)=\begin{cases}\frac{h(x)+h(x+ \pi )}{2\sin 2x},\left( x\ne \frac{k \pi }{2} \right)    0,\left( x=\frac{k \pi }{2} \right) \end{cases}$$，其中$$k\in Z$$，那么下列关于$$p(x),q(x)$$叙述正确的是．
Options:
aoVal: A
content: 都是奇函数且周期为$$ \pi $$ 
aoVal: B
content: 都是偶函数且周期为$$ \pi $$ 
aoVal: C
content: 均无奇偶性但都有周期性 
aoVal: D
content: 均无周期性但都有奇偶性 
Answer: B
Analysis: 显然，$$g(-x)=g(x)$$，$$h(-x)=-h(x)$$．  因为$$f(x+2 \pi )=f(x)$$，  所以$$g(x+2 \pi )=\frac{f(x+2 \pi )+f(-x-2 \pi )}{2}$$  $$=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$$，  $$h(x+2 \pi )=\frac{f(x+2 \pi )-f(-x-2 \pi )}{2}$$  $$=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=h(x)$$，  当$$x\ne k \pi +\frac{ \pi }{2}$$时，  $$p(-x)=\frac{g(-x)-g(-x+ \pi )}{2\cos (-x)}=\frac{g(x)-g(x- \pi )}{2\cos x}$$  $$=\frac{g(x)-g(x+ \pi )}{2\cos x}=p(x)$$，  $$p(x+ \pi )=\frac{g(x+ \pi )-g(x+2 \pi )}{2\cos (x+ \pi )}=\frac{g(x+ \pi )-g(x)}{-2\cos x}$$  $$=\frac{g(x)-g(x+ \pi )}{2\cos x}=p(x)$$，  当$$x=k \pi +\frac{ \pi }{2}$$时，$$p(-x)=p(x)=p(x+ \pi )=0$$．  因此$$x\in R$$时，$$p(-x)=p(x)p(x+ \pi )=p(x)$$．  同理可得$$x\in R$$时，$$q(-x)=q(x)$$及$$q(x+ \pi )=q(x)$$．故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
Problem: 小美列出$$1$$到$$30$$所有的整數，小龍複製小美列出的所有整數，並將原出現數字是$$2$$的都改爲$$1$$．小美將她所列的數加起來，小龍也將他更改過的數加起來．試問小美所得的和比小龍所得的和大多少？  Ximena lists the whole numbers $$1$$ through $$30$$ once. Emilio copies Ximena\textquotesingle s numbers, replacing each occurrence of the digit $$2$$ by the digit $$1$$. Ximena adds her numbers and Emilio adds his numbers. How much larger is Ximena\textquotesingle s sum than Emilio\textquotesingle s?
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$26$$ 
aoVal: C
content: $$102$$ 
aoVal: D
content: $$103$$ 
aoVal: E
content: $$110$$ 
Answer: D
Analysis: For every tens digit $$2$$, we subtract $$10$$, and for every units digit $$2$$, we subtract $$1$$. Because $$2$$ appears $$10$$ times as a tens digit and $$2$$ appears $$3$$ times as a units digit, the answer is $$10\cdot 10+1\cdot 3=103$$. 
Source: 2016年AMC10竞赛A第6题
Problem: 若正数$$xyz$$使等式$$\frac{6}{xyz}\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z} \right)=1$$成立，则$$\left( \frac{1}{x}+\frac{3}{z} \right)\left( \frac{2}{y}+\frac{3}{z} \right)$$的最小值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{2}{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$\frac{1}{x}=a,\frac{2}{y}=b,\frac{3}{z}=c$$，则已知条件化为$$abc(a+b+c)=1$$．所求的式子为$$(a+c)(b+c)$$，  因为$${{\left[ (a+c)(b+c) \right]}^{2}}={{\left[ ab+(ac+bc+{{c}^{2}}) \right]}^{2}}\geqslant 4ab(ac+bc+{{c}^{2}})=4abc(a+b+c)=4$$，所以$$(a+c)(b+c)\geqslant 2$$，仅当$$ab=ac+bc+{{c}^{2}}$$时等好成立，故最小值为$$2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
Source: 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第10题5分
Problem: 函数$$f(x)={{\log }_{\frac{1}{2}}}(-{{x}^{2}}-2x+3)$$的递增区间是 ．
Options:
aoVal: A
content: $$(-3,-1)$$ 
aoVal: B
content: $$[-1, 1)$$ 
aoVal: C
content: $$(-3,-1]$$ 
aoVal: D
content: $$(-1,1]$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$-{{x}^{2}}-2x+3\textgreater0$$，得$$-3\textless{}x\textless{}1$$．抛物线$$y=-{{x}^{2}}-2x+3$$的顶点坐标为$$(-1,4)$$．所以函数$$y=-{{x}^{2}}-2x+3$$在$$[-1,1)$$上递减，又底数$$\frac{1}{2}\textless{}1$$，从而知函数$$f(x)={{\log }_{\frac{1}{2}}}(-{{x}^{2}}-2x+3)$$的递增区间为$$[-1,1)$$． 
<p>由$$-{{x}^{2}}-2x+3&gt;0$$，得$$-3&lt;{}x&lt;{}1$$．$${f}&rsquo;(x)={{\log }_{\frac{1}{2}}}\text{e}\cdot \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+3)}\geqslant 0$$得$$x+1\geqslant 0$$，即$$x\geqslant -1$$．所以函数$$f(x)={{\log }_{\frac{1}{2}}}(-{{x}^{2}}-2x+3)$$的递增区间为$$[-1,1)$$．故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->素养->数学抽象
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域
课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->求单调区间
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->判断复合函数单调性
课内体系->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性->利用导数求函数的单调性、单调区间
课内体系->知识点->导数->导数的运算->复合函数的求导法则
课内体系->知识点->导数->导数的运算->利用公式和四则运算法则求导
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 函数$$f\left( x \right)=\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 由柯西不等式，$${{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\leqslant \left( 3+2+6 \right)\left( \frac{2x-7}{3}+\frac{12-x}{2}+\frac{44-x}{6} \right)={{11}^{2}}$$，所以$$f\left( x \right)\leqslant 11$$，当且仅当$$x=8$$时等号成立． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2017年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 设$$\left[ x \right]$$表示不超过$$x$$的最大整数，则方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的所有实数根的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: D
Analysis: 由  $$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$  $$\Rightarrow 10\left( x-1 \right)\textless{}10\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+3\leqslant 10x$$  $$\Rightarrow \frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 3$$．  当$$\frac{1}{3}\leqslant x\textless{}1$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$无解．  当$$1\leqslant x\textless{}2$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的解为$$x=\sqrt{\frac{7}{3}}$$．  当$$2\leqslant x\textless{}3$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的解为$$x=\sqrt{\frac{17}{3}}$$．  当$$x=3$$时，符合满足方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式
竞赛->知识点->函数->二次函数
Source: 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
Problem: 已知$$f\left( x \right)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4$$（$$a$$，$$b$$为实数），且$$f\left( \lg {{\log }_{3}}10 \right)=5$$，则$$f\left( \lg \lg 3 \right)=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-5$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: 随$$a$$，$$b$$取不同值而取不同值 
Answer: C
Analysis: ∵$$f(x)-4$$是奇函数，  故$$f(-x)-4=-(f(x)-4)$$，  即$$f{}(-x){}=-f{}(x){}+8$$，而$$\lg \lg 3=-\lg {{\log }_{3}}10$$．  ∴$$f(\lg \lg 3)=f(-\lg {{\log }_{3}}10)=-f(\lg {{\log }_{3}}10)+8$$  $$=-5+8=3$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 1993年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
2007年上海复旦大学自主招生千分考第17题
Problem: 已知$$\text{i}$$是虚数单位，则$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k}} \right)}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-1010-1010\text{i}$$ 
aoVal: B
content: $$1010+1010\text{i}$$ 
aoVal: C
content: $$-1010+1010\text{i}$$ 
aoVal: D
content: $$1010-1010\text{i}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$S=\text{i}+2{{\text{i}}^{2}}+3{{\text{i}}^{3}}+\cdots +2019{{\text{i}}^{2019}}+2020{{\text{i}}^{2020}}$$，  则$$\text{i}S={{\text{i}}^{2}}+2{{\text{i}}^{3}}+3{{\text{i}}^{4}}+\cdots +2019{{\text{i}}^{2020}}+2020{{\text{i}}^{2021}}$$，  两式相减，得：  $$S-\text{i}S=\text{i}+{{\text{i}}^{2}}+{{\text{i}}^{3}}+\cdots +{{\text{i}}^{2020}}-{{2020}^{2021}}$$  $$=\dfrac{\text{i}\left( 1-{{\text{i}}^{2020}} \right)}{1-\text{i}}-2020{{\text{i}}^{2021}}$$  $$=-2021\text{i}$$，  故$$S=-\dfrac{2020\text{i}}{1-\text{i}}=1010-1010\text{i}$$，  即$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k}} \right)}=1010-1010\text{i}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
Problem: 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 $${{(\left\textbar{} x \right\textbar-1)}^{2}}+{{(\left\textbar{} y \right\textbar-1)}^{2}}\textless{}2$$的整点$$(x,y)$$的个数是（  ）．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$25$$ 
Answer: A
Analysis: 由$${{\left( \textbar x\textbar-1 \right)}^{2}}+{{\left( \textbar y\textbar-1 \right)}^{2}}\textless{}2$$，  可得$$\left( \left\textbar{} x \right\textbar-1,\left\textbar{} y \right\textbar-1 \right)$$为$$\left( 0,0 \right)$$，$$\left( 0,1 \right)$$，$$\left( 0,-1 \right)$$，$$\left( 1,0 \right)$$或$$\left( -1,0 \right)$$．  从而，不难得到$$\left( x,y \right)$$共有$$16$$个． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->针对不等式变形判断正误
Source: 1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 过椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1$$的右焦点$${{F}_{2}}$$作倾斜角为$${{45}^{\circ }}$$弦$$AB$$，则$$\left\textbar{} AB \right\textbar$$为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 椭圆的右焦点为$$（1，0）$$，则弦$$AB$$为$$y=x-1$$代入椭圆方程得  $$3{{x}^{2}}-4x=0\Rightarrow {{x}_{1}}=0,  {{x}_{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow \left\textbar{} AB \right\textbar=\sqrt{2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->椭圆
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$f(x)=\frac{x}{\lg x}$$，则下列大小关系正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $${{f}^{2}}(x)\textless{}f({{x}^{2}})\textless{}f(x)$$ 
aoVal: B
content: $$f({{x}^{2}})\textless{}{{f}^{2}}(x)\textless{}f(x)$$ 
aoVal: C
content: $$f(x)\textless{}f({{x}^{2}})\textless{}{{f}^{2}}(x)$$ 
aoVal: D
content: $$f({{x}^{2}})\textless{}f(x)\textless{}{{f}^{2}}(x)$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$f(x)=\frac{x}{\lg x}\textless{}0$$，  $$f({{x}^{2}})=\frac{{{x}^{2}}}{\lg {{x}^{2}}}\textless{}0$$，$${{f}^{2}}(x)={{\left( \frac{x}{\lg x} \right)}^{2}}\textgreater0$$．  又因为$$\frac{x}{\lg x}-\frac{{{x}^{2}}}{\lg {{x}^{2}}}=\frac{2x-{{x}^{2}}}{2\lg x}=\frac{(2-x)x}{2\lg x}\textless{}0$$．  所以 $$f(x)\textless{}f({{x}^{2}})\textless{}{{f}^{2}}(x)$$． 故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->函数综合
Source: 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 设$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{n}}$$均为非负实数，若有：$$\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}\geqslant \frac{k}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}}$$恒成立，求实数$$k$$的最大值．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: 根据柯西不等式，得$$\left( \frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}} \right)\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}} \right)$$  $$\geqslant {{\left( \sqrt{\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}+\sqrt{\frac{a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}}+\cdots +\sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}} \right)}^{2}}$$，  于是，只需证明  $$\left( \sqrt{\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}+\sqrt{\frac{a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}}+\cdots +\sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}} \right)\geqslant 2$$．  根据均值不等式，有  $$\sqrt{\frac{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}}}\leqslant \frac{1}{2}\left( \frac{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}}+1 \right)=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{2a_{1}^{2}}$$，  同理可得$$\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqslant \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{2a_{2}^{2}}$$，$$\cdots \cdots $$，$$\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}{a_{n}^{2}}}\leqslant \frac{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}{2a_{n}^{2}}$$，  所以$$\sqrt{\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}+\sqrt{\frac{a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}}+\cdots +\sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}^{2}}}$$  $$\geqslant \frac{2a_{1}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}+\frac{2a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}+\cdots +\frac{2a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\cdots +a_{n}^{2}}=2$$，  等号成立的条件：$$n$$个数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{n}}$$中，有两个相等，其余为$$0$$．  故值不等式得证． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第15题
Problem: 设$$a$$、$$b$$、$$c$$是实数，那么对任何实数$$x$$，不等式$$a\sin x+b\cos x+c\textgreater0$$都成立的充分必要条件是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a$$、$$b$$同时为$$0$$，且$$c\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=c$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless{}c$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textgreater c$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$a$$，$$b$$不同时为零时，  $$a\sin x+b\cos x+c\textgreater0$$①  $$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin (x+\varphi )+c\textgreater0$$  $$\Leftrightarrow \sin (x+\varphi )\textgreater-\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$$②  而②式成立的充分必要条件是$$-\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\textless{}-1$$，即$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless{}c$$，当$$a$$，$$b$$同时为零时，此时不等式成立的充要条件是$$c\textgreater\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$，这一结论含于$$\text{C}$$中．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
Source: 1994年全国高中数学联赛竞赛一试第1题
1994年全国高中数学联赛竞赛
Problem: 若\emph{x}，\emph{y}，\emph{z}均为正整数，则下列不等式中不一定成立的是（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $\left(x+y+z\right)\ln \frac{x+y+z}{3}\geq x\ln x+y\ln y+z\ln z$ 
aoVal: B
content: $\left(xyz\right)^{\frac{x+y+z}{3}}\leq x^{x}y^{y}z^{z}$ 
aoVal: C
content: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq x+\frac{1}{x}$ 
aoVal: D
content: $\textbar{} x-y\textbar{} \leq \textbar{} x-z\textbar{} +\textbar{} y-z\textbar$ 
Answer: A
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据特例可判断A的正误，根据指数函数的性质可判断B的正误，根据因式分解可判断C的正误，根据绝对值不等式可判断D的正误.\\ 【详解】\\ 对于选项A，取$(x,y,z)=(4,1,1)$，\\ 则$\left(x+y+z\right)\ln \frac{x+y+z}{3}=6\ln 2,x\ln x+y\ln y+z\ln z=4\ln 4=8\ln 2$，\\ 因此选项A不一定成立．\\ 对于选项B，该不等式即$(xyz)^{x+y+z}\leq x^{3x}y^{3y}z^{3z}\Rightarrow x^{y+z}y^{z+x}z^{x+y}\leq x^{2x}y^{2y}z^{2z}$，\\ 而$\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}\geq 1\Rightarrow x^{x}y^{y}\geq x^{y}y^{x}$，\\ 两边作轮换积即得该不等式，因此选项B一定成立.\\ 对于选项C，该不等式即$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\geq 0\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}+1\right)\left(x+\frac{1}{x}-2\right)\geq 0$，\\ 命题成立，因此选项C一定成立，\\ 对于选项D，根据绝对值不等式，有$\textbar{} x-z\textbar{} +\textbar{} y-z\textbar{} \geq \textbar{} (x-z)-(y-z)\textbar{} =\textbar{} x-y\textbar$，\\ 命题成立，因此选项D一定成立．\\ 故选：A. 
Source: 竞赛第5题
Problem: 有多少个小于$$1000$$的正整数$$N$$使得方程$${{x}^{\left[ x \right]}}=N$$有解（$$\left[ x \right]$$表示小于或等于$$x$$的最大整数）？
Options:
aoVal: A
content: $$412$$ 
aoVal: B
content: $$415$$ 
aoVal: C
content: $$418$$ 
aoVal: D
content: $$421$$ 
aoVal: E
content: $$425$$ 
Answer: A
Analysis: 对于正整数$$k$$、考虑当$$\left[ x \right]=k$$时方程$${{x}^{\left[ x \right]}}=N$$有解的$$N$$的个数．  这时$$x=\sqrt[k]{N}$$，由于$$k\leqslant xk+1$$，故$${{k}^{k}}\leqslant {{x}^{k}}=N\leqslant {{\left( k+1 \right)}^{k}}-1$$，  因此，存在$${{\left( k+1 \right)}^{k}}-{{k}^{k}}$$个可能的$$N$$使得$${{x}^{k}}=N$$有解．  因$${{5}^{4}}\textless1000$$且$${{5}^{5}}\textgreater1000$$，  故所求的满足条件的$$N$$的个数为$$\sum\limits_{k=1}^{4}{\left[ {{\left( k+1 \right)}^{k}}-{{k}^{k}} \right]}=1+5+37+369=412$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->取整函数（高斯函数）
竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式
Source: 2009年第27届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第6题
Problem: 设$$G$$为$$\triangle ABC$$的重心．若$$BG\bot CG$$，$$BC=\sqrt{2}$$，则$$AB+AC$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{5}$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 设$$BC$$的中点为$$D$$，  由$$\triangle BCG$$为直角三角形知$$GD=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  又因为$$G$$是$$\triangle ABC$$的重心，  所以，$$AD=3GD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$，  由三角形中线长公式得：$$A{{D}^{2}}=\frac{1}{4}(2A{{B}^{2}}+2A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}})$$，  则$$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{D}^{2}}+\frac{1}{2}B{{C}^{2}}=10$$，  故$$AB+AC\leqslant 2\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}}=2\sqrt{5}$$，  当且仅当$$AB=AC$$时，上式等号成立，  因此，$$AB+AC$$的最大值为$$2\sqrt{5}$$．  故答案为$$2\sqrt{5}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->平面几何->欧拉线上的心（二试）->重心（二试）
Source: 2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题10分
Problem: 一个边长为$n$的木质立方体的六个面都被涂成红色，然后被切割成$n^{3}$的单位立方体．单位立方体总面数中正好有四分之一是红色.$n$是多少？
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
aoVal: E
content: $$7$$ 
Answer: B
Analysis: Since there are $$n^{2}$$ little faces on each face of the big wooden cube, there are $$6n^{2}$$ little faces painted red.  Since each unit cube has $$6$$ faces, there are $$6n^{3}$$ little faces total.  Since one-fourth of the little faces are painted red,  $$\dfrac{6n^{2}}{6n^{3}}=\dfrac{1}{4}$$  \hspace{0pt}$$\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{4}$$  $$n=4\Rightarrow\left( \rm B\right)$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Dyeing and Covering
课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征
Source: 2005年AMC10竞赛A第11题
Problem: 函数$$f(x)=\begin{cases} 1-{{5}^{-x}} x\geqslant 0    {{5}^{x}}-1 x\textless{}0 \end{cases}$$，则该函数为．
Options:
aoVal: A
content: 单调增加函数、奇函数 
aoVal: B
content: 单调递减函数、偶函数 
aoVal: C
content: 单调增加函数、偶函数 
aoVal: D
content: 单调递减函数、奇函数 
Answer: A
Analysis: 由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 定义集合运算： $$A\otimes B=\left { z\textbar z=xy,x\in A,y\in B \right }$$．设$$A=\left { 2,0 \right }$$，$$B=\left { 0,8 \right }$$，则集合$$A\otimes B$$的所有元素之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$18$$ 
aoVal: C
content: $$20$$ 
aoVal: D
content: $$22$$ 
Answer: A
Analysis: 集合$$A\otimes B$$的元素：$${{z}_{1}}=2\times 0=0$$，$${{z}_{2}}=2\times 8=16$$，  $${{z}_{3}}=0\times 0=0$$，$${{z}_{4}}=0\times 8=0$$，  故集合$$A\otimes B$$的所有元素之和为$$16$$．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 当$$x,  y$$满足条件$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$时，变量$$z=x-y+2$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,  3 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 1,  3 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$时， $$-1\leqslant x-y\leqslant 1$$， 所以$$z=x-y+2$$的取值范围是$$\left[ 1,  3 \right],$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知圆$C\colon x^{2}+y^{2}=r^{2}$，点\emph{P}，$P\textquotesingle$在以\emph{O}为起点的射线上，且满足$\textbar{} OP\textbar{} \cdot \left\textbar{} OP\textquotesingle\right\textbar{} =r^{2}$，则称点\emph{P}，$P\textquotesingle$关于圆周\emph{C}对称，那么抛物线$y=x^{2}$上的点$P(x,y)$关于单位圆$x^{2}+y^{2}=1$的对称点满足的方程为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $x^{4}-y^{2}=0$ 
aoVal: B
content: $\left(x^{2}+y^{2}\right)x^{2}=y$ 
aoVal: C
content: $y^{4}-x^{2}=0$ 
aoVal: D
content: $\left(x^{2}+y^{2}\right)y=x^{2}$ 
Answer: D
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 求出抛物线的极坐标方程，利用极坐标系下曲线关于圆周的对称的曲线方程公式可求对应曲线的极坐标方程，从而可得所求的直角方程.\\ 【详解】\\ 以直角坐标系的原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系.\\ 于是$y=x^{2}$的极坐标方程为$\sin \theta =\rho \cos ^{2}\theta$.\\ 因为$\Gamma \colon f(\rho ,\theta )=0$关于圆周\emph{C}对称的曲线$\textquotesingle\colon f\left(\frac{r^{2}}{\rho },\theta \right)=0$．\\ 于是方程$\sin \theta =\rho \cos ^{2}\theta$关于单位圆对称的曲线为$\sin \theta =\frac{1}{\rho }\cos ^{2}\theta$，\\ 其对应的直角方程为$\left(x^{2}+y^{2}\right)y=x^{2}$．\\ 故选：D 
Source: 竞赛第11题
Problem: 从正$$1680$$边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$3432$$ 
aoVal: B
content: $$3532$$ 
aoVal: C
content: $$3632$$ 
aoVal: D
content: 以上都不对 
Answer: A
Analysis: 若$$a\textbar1680$$，则存在$$\frac{1680}{d}$$个正$$d$$边形，$$2 ~\textless{} ~d ~\textless{} ~1680$$，  所以，正多边形的个数为$$\sum\limits_{d\textbar1680，2~ \textless{} ~d ~\textless{} ~1680}{d}$$，  而$$1680={{2}^{4}}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$，正约数之和为$$\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}} \right)\left( 1+3 \right)\left( 1+5 \right)\left( 1+7 \right)=5952$$，  正多边形个数为$$5952-1680-\frac{1680}{2}=3432$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
Source: 2017年江苏全国高中数学联赛高二竞赛复赛
2017年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第8题8分