math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 关于数$$a$$有下面四个命题：  ①若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a$$必为$$0$$．  ②若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a$$，$$a+1$$，$$a-1$$中至少有一个为$$0$$．  ③若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a=0$$，或$$a=1$$．  ④若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$${{a}^{3}}-a$$的值必为$$0$$．  四个命题中正确的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，所以$$a=0$$，或$$a=1$$，或$$a=1$$．即命题``$$a$$必为$$0$$''是错误的．因为$$a=0$$，或$$a=1$$，或$$a=1$$，所以$$a$$，$$a+1$$，$$a-1$$中至少有一个为零．即命题②是正确的．由此可知命题③是错误的．因为$${{a}^{3}}-a=a\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)$$，所以$${{a}^{3}}-a=0$$，即命题④正确．所以正确的命题个数为$$2$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义
Source: 2008年第13届华杯赛初一竞赛初赛第2题
Problem: 如果关于$$x$$的方程$$3\left( x+4 \right)=2a+5$$的解大于关于$$x$$的方程$$\frac{(4a+1)x}{4}=\frac{a(3x-4)}{3}$$的解，那么．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater2$$ 
aoVal: B
content: $$a\textless{}2$$ 
aoVal: C
content: $$a\textless{}\frac{7}{18}$$ 
aoVal: D
content: $$a\textgreater\frac{7}{18}$$ 
Answer: D
Analysis: 关于$$x$$的方程$$3\left( x+4 \right)=2a+5$$的解为$$x=\frac{2a-7}{3}$$，  关于$$x$$的方程$$\frac{(4a+1)x}{4}=\frac{a(3x-4)}{3}$$的解为$$x=-\frac{16}{3}a$$，  由题意$$\frac{2a-7}{3}\textgreater-\frac{16}{3}a$$，解得$$a\textgreater\frac{7}{18}$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围
Source: 1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 一个三角形的三边长分别为$$2$$，$$4$$，$$a$$，如果$$a$$的数恰是方程$$4\textbar x-2{{\textbar}^{2}}-4\textbar x-2\textbar+1=0$$的根，那么三角形的周长为．
Options:
aoVal: A
content: $$7\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$8\frac{1}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$10$$ 
Answer: B
Analysis: 原方程为$${{(2\textbar x-2\textbar-1)}^{2}}=0$$，可得$$\textbar x-2\textbar=\frac{1}{2}$$，  所以$${{x}_{1}}=1\frac{1}{2}$$，$${{x}_{2}}=2\frac{1}{2}$$，若$$a=1\frac{1}{2}$$，则$$2+1\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\textless{}4$$，  故$$2$$，$$4$$，$$1\frac{1}{2}$$不能是三角形的三边长，又若$$a=2\frac{1}{2}$$，则  $$2+2\frac{1}{2}=4\frac{1}{2}\textgreater4$$，  故$$2$$，$$4$$，$$2\frac{1}{2}$$是三角形的三边长，周长为$$8\frac{1}{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->与三角形三边关系结合
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第4题
Problem: 若方程$${{x}^{2}}+2px-3p-2=0$$的两个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$满足$$x_{1}^{2}+x_{1}^{3}=4-(x_{2}^{2}+x_{2}^{3})$$，则实数$$p$$的所有可能的值之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$-\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$-\frac{5}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 因为方程$${{x}^{2}}+2px-3p-2=0$$两个不相等的实数根，  故$$\Delta ={{(2p)}^{2}}+4(3p+2)=4{{p}^{2}}+12p+8\textgreater0$$，  解得$$p\textless{}-2$$或$$p\textgreater-1$$．  因为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$满足$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2p$$，$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-3p-2$$，  故$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$  $$=4{{p}^{2}}+2(3p+2)$$  $$=4{{p}^{2}}+6p+4$$，  $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=({{x}_{1}}+{{x}_{2}})(x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})$$  $$=-2p(4{{p}^{2}}+6p+4+3p+2)$$  $$=-8{{p}^{3}}-18{{p}^{2}}-12p$$，  由$$x_{1}^{2}+x_{1}^{3}=4-(x_{2}^{2}+x_{2}^{3})$$得$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=4$$  即$$4{{p}^{2}}+6p+4-8{{p}^{3}}-18{{p}^{2}}-12p=4$$，  整理得$$p(4p^{2}+7p+3)=0$$，  解得$${{p}_{1}}=-\frac{3}{4}$$，$${{p}_{2}}=-1$$，$${{p}_{3}}=0$$．  ∵$$p\textless{}-2$$或$$p\textgreater-1$$，  ∴$$p=-\frac{3}{4}$$，  ∴实数$$p$$的所有可能的值之和为$$-\frac{3}{4}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
Source: 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分
Problem: 已知有理数$$a$$在数轴上原点的右方，有理数$$b$$在原点的左方，那么（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$ab\textless{}b$$ 
aoVal: B
content: $$ab\textgreater b$$ 
aoVal: C
content: $$a+b\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$a-b\textgreater0$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$a$$在数轴上原点右方，$$b$$在原点左方，  ∴$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$，  当$$a=1$$，$$ab=b$$，显然应排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$选项．  当$$a=1$$，$$b=-2$$时，$$a+b=-1\textless{}0$$，排除$$\text{C}$$选项．  当$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$时，$$a-b\textgreater0$$总成立，故$$\text{D}$$选项正确． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上的规律探究
课内体系->能力->运算能力
课内体系->思想->数形结合思想
Source: 2017~2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学初一上学期单元测试《数形结合谈数轴》第1题
1998年第9届希望杯初一竞赛第1题
Problem: 已知直角三角形的边长均为整数，周长为$$30$$，则它的外接圆的面积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{121}{4} \pi $$ 
aoVal: B
content: $$\frac{169}{4} \pi $$ 
aoVal: C
content: $$\frac{225}{4} \pi $$ 
aoVal: D
content: 以上答案都不对 
Answer: B
Analysis: 设直角三角形的三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a\leqslant b\textless{}c$$），则$$a+b+c=30$$．  显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长$$c$$，下面先求$$c$$的值．  由$$a\leqslant b\textless{}c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textless{}3c$$，  所以$$c\textgreater10$$．  由$$a+b\textgreater c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textgreater2c$$，  所以$$c\textless{}15$$．  又因为$$c$$为整数，  所以$$11\leqslant c\leqslant 14$$．  根据勾股定理可得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，  把$$c=30-a-b$$代入，化简得$$ab-30(a+b)+450=0$$，  所以$$(30-a)(30-b)=450=2\times {{3}^{2}}\times {{5}^{2}}$$，  因为$$a$$，$$b$$均为整数且$$a\leqslant b$$，  所以只可能是$$\begin{cases}30-a={{5}^{2}}    30-b=2\times {{3}^{2}} \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}a=5    b=12 \end{cases}$$，  所以，直角三角形的斜边长$$c=13$$，三角形的外接圆的面积为$$\frac{169}{4} \pi $$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的证明
课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理应用->勾股定理的综合应用
Source: 2012年全国全国初中数学联赛初一竞赛
2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第11题20分
Problem: 循环节长度是$$4$$的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$798$$个 
aoVal: B
content: $$898$$个 
aoVal: C
content: $$900$$个 
aoVal: D
content: $$998$$个 
Answer: C
Analysis: 设$$0.\dot{a}bc\dot{d}=\frac{\overline{abcd}}{9999}=\frac{q}{p}$$，$$(p,q)=1$$，$$q\textless{}p$$，$$p$$是$$9999$$的约数，且是三位数．  由于$$9999={{3}^{2}}\times 11\times 101$$，  所以，$$p$$的值只可能是$$101$$，$$303$$，$$909$$．  分母$$p=101$$时，因为$$101$$是质数，  所以，分子可以是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$100$$，共$$100$$个数满足条件；  分母$$p=303$$时，在$$1$$～$$302$$中，$$3$$的倍数有$$100$$个，$$101$$的倍数有$$2$$个，  所以，共有$$302-102=200$$个数满足条件；  分母$$p=909$$时，在$$1$$～$$908$$中，$$3$$的倍数有$$302$$个，$$101$$的倍数有$$8$$个，既是$$3$$的倍数又是$$101$$的倍数的数有$$2$$个：$$303$$，$$606$$，  所以，共有$$908-302-8+2=600$$个数满足条件．  综上，满足条件的数共有$$100+200+600=900$$个． 

<p>，故$$9999$$的三位数约数只有$$101$$，$$303$$，$$909$$，</p>
<p>即对于分数$$\frac{x}{909}$$，必有$$101|x$$，故共有$$900$$个．</p>

<p>即与$$9999$$约分后得$$3$$位数．</p>
<p></p>
<p>&there4;约分后为</p>
<p>①，与$$101$$互质的有$$100$$个，（$$x&gt;1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$100$$），</p>
<p>②，与$$303$$互质，（$$x=1$$，$$2$$，$$\cdots 302$$），</p>
<p>其中$$3$$的倍数有$$100$$个，加上$$101$$，$$202$$，共$$102$$个，</p>
<p>&there4;有$$200$$个符合的．</p>
<p>③，与$$909$$互质（$$x=1$$，$$2$$，$$\cdots 908$$），</p>
<p>其中$$3$$的倍数有$$302$$个，加上$$101$$，$$202$$，$$404$$，$$505$$，$$707$$，$$808$$，共$$308$$个．</p>
<p>&there4;有$$600$$个符合的．</p>
<p>综上，共$$900$$个这样的循环小数．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分
Problem: 今有长度分别为$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$9$$的线段各一条，现从中选出若干条线段组成``线段组''，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的``线段组''的组数有（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$组 
aoVal: B
content: $$7$$组 
aoVal: C
content: $$9$$组 
aoVal: D
content: $$11$$组 
Answer: C
Analysis: 显然用这些线段去拼接成正方形，至少要$$7$$条．  当用$$7$$条线段去拼接成正方形时，有$$3$$条边每边都用$$2$$条线段连接，而另一条边只用$$1$$条线段，其长度恰好等于其它$$3$$条边中每两条线段的长度之和．  当用$$8$$条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．  又因为$$1+2+\cdots +9=45$$，  所以正方形的边长不大于$$\left[ \frac{45}{4} \right]=11$$．  由于$$7=1+6=2+5=3+4$$；  $$8=1+7=2+6=3+5$$；  $$9=1+8=2+7=3+6=4+5$$；  $$1+9=2+8=3+7=4+6$$；  $$2+9=3+8=4+7=5+6$$．  所以，组成边长为$$7$$、$$8$$、$$10$$、$$11$$的正方形，各有一种方法；  组成边长为$$9$$的正方形，有$$5$$种方法．  故满足条件的``线段组''的组数为$$1\times 45=9$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法
Source: 其它
2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分
Problem: 设$$p$$，$$q$$均为大于$$3$$的素数，则使$${{p}^{2}}+5pq+4{{q}^{2}}$$为完全平方数的素数对$$(p,q)$$的个数为．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 设$${{p}^{2}}+5pq+4{{q}^{2}}={{m}^{2}}$$ ($$m$$为自然数)，则$${{(p+2q)}^{2}}+pq={{m}^{2}}$$，即  $$(m-p-2q)(m+p+2q)=pq$$．  由于$$pq$$为素数，且$$m+p+2q\textgreater p$$，$$m+p+2q\textgreater q$$，  所以$$m-p-2q=1$$，$$m+p+2q=pq$$，  从而$$pq-2p-4q-1=0$$，即$$(p-4)(q-2)=9$$，  所以，$$(p,q)=(5,11)$$或$$(7,5)$$．  所以，满足条件的素数对$$(p,q)$$的个数为$$2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数
课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->因式分解->分组分解法
课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用
Source: 2018年全国初中数学联赛竞赛A卷
Problem: 将一张$$1\text{m}\times 1\text{m}$$的正方形白纸对折$$8$$次（每一次都沿平行于正方形边的方向对折），那么所有折痕的长度的和的最小是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$32\text{m}$$ 
aoVal: B
content: $$30\text{m}$$ 
aoVal: C
content: $$16\text{m}$$ 
aoVal: D
content: $$14\text{m}$$ 
Answer: B
Analysis: 第一次折叠，折痕长度为$$1\text{m}$$，  第二次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{2}\times 2=1\text{m}$$，  第三次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{2}\times 4=2\text{m}$$，  第四次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{4}\times 8=2\text{m}$$，  第五次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{4}\times 16=4\text{m}$$，  第六次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{8}\times 32=4\text{m}$$，  第七次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{8}\times 64=8\text{m}$$，  第八次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{16}\times 128=8\text{m}$$，  ∴所有折痕的长度的和的最小是$$1+1+2+2+4+4+8+8=30\text{m}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->平行线的判定与性质->平行线的性质
课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->平行线的判定与性质->平行线相关折叠问题
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: 化简代数式$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$的结果是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$1+\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2+\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{2}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$y=\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$，$$y\textgreater0$$，  所以$${{y}^{2}}=3+2\sqrt{2}+2\sqrt{3+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{3-2\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}$$  $$=6+2\sqrt{9-8}$$  $$=8$$，  所以$$y=2\sqrt{2}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第1题
2019~2020学年四川眉山东坡区眉山东辰国际学校初三上学期期中第33题5分
Problem: 已知：$$243=3\times 3\times 3\times 3\times 3$$，表示成$$g\left( 243 \right)=5$$，那么$$g\left( 81 \right)$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$27$$ 
aoVal: D
content: $$81$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$${{3}^{4}}=81$$，  ∴$$g\left( 81 \right)=4$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第12题3分
2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第12题3分
Problem: 若定义$$a*b=ab+a+b$$，从左到右依次计算$$x=1*2*3*\cdots *(n-1)*n$$，则满足$$x\textgreater2016$$的最小正整数$$n$$是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$8$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: A
Analysis: $$1*2=1\times 2+1+2=5$$，  $$1*2*3=5*3=5\times 3+5+3=23$$，  $$1*2*3*4=23*4=23\times 4+23+4=119$$，  $$1*2*3*4*5=119*5=119\times 5+119+5=719$$，  $$1*2*3*4*5*6=719*6=719\times 6+719+6=5039\textgreater2016$$，  ∴$$n=6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分
Problem: 有理数$$a$$、$$b$$小于零，并且使$${{(a-b)}^{3}}\textless{}0$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{a}\textless{}\frac{1}{b}$$ 
aoVal: B
content: $$-a\textless{}-b$$ 
aoVal: C
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $${{a}^{2}}\textgreater{{b}^{4}}$$ 
Answer: C
Analysis: 由$${{(a-b)}^{3}}\textless{}0$$，得出$$a-b\textless{}0$$．即$$a\textless{}b$$．  ∵$$a$$，$$b\textless{}0$$，∴$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第11题
Problem: 已知$${{f}_{1}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}$$， $${{f}_{2}}=\dfrac{1}{2个\left { 1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}} \right.}$$ ，\ldots，$${{f}_{1990}}=\dfrac{1}{1990个\left { 1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-\ddots 1-\dfrac{1}{x}}} \right.}$$，将$${{f}_{1990}}$$化简，应等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{x}{x-1}$$ 
aoVal: B
content: $$1-x$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{x}$$ 
aoVal: D
content: $$x$$ 
Answer: A
Analysis: 计算：$${{f}_{1}}=\frac{x}{x-1}$$，$${{f}_{2}}=1-x$$，$${{f}_{3}}=\frac{1}{x}$$，$${{f}_{4}}=\frac{x}{x-1}$$，\ldots{}  可见$${{f}_{3n+1}}=\frac{x}{x-1}$$，而$$1990=3\times 663+1$$．  所以$${{f}_{1990}}=\frac{x}{x-1}$$．  故选（$$\mathbf{A}$$）． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律
Source: 1990年第1届希望杯初二竞赛第10题
Problem: $$A$$、$$B$$两班共有$$112$$名学生，且各班男生、女生的人数比分别是$$5:6$$，$$12:11$$，那么两班混合后男生、女生的人数比是．
Options:
aoVal: A
content: $$1:1$$ 
aoVal: B
content: $$12:11$$ 
aoVal: C
content: $$27:29$$ 
aoVal: D
content: $$25:31$$ 
Answer: C
Analysis: 此题暂无解析 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题
Source: 2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分
Problem: 已知$$\alpha $$为锐角，且$$\cos \alpha +2\sin \alpha =2$$，则$$\tan \alpha $$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$\cos \alpha +2\sin \alpha =2$$，  ∴$$\cos \alpha =2-2\sin \alpha $$．  又$${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$$，  ∴$${{\sin }^{2}}\alpha +{{(2-2\sin \alpha )}^{2}}=1$$，  整理得：$$5{{\sin }^{2}}\alpha -8\sin \alpha +3=0$$，  解得$$\sin \alpha =\frac{3}{5}$$或$$\sin \alpha =1$$，  ∵$$\alpha $$为锐角，  ∴$$\sin \alpha =\frac{3}{5}$$．  ∴$$\cos \alpha =2-2\sin \alpha =\frac{4}{5}$$，  ∴$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->正弦定理与余弦定理
知识标签->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->锐角三角函数的定义
Source: 2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第2题
Problem: 将长为$$12$$的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形．
Options:
aoVal: A
content: 不可能是等腰三角形 
aoVal: B
content: 不可能是直角三角形 
aoVal: C
content: 不可能是等边三角形 
aoVal: D
content: 不可能是钝角三角形 
Answer: D
Analysis: 可以构成的三角形的三条边长分别为$$3$$，$$4$$，$$5$$（直角三角形）；$$4$$，$$4$$，$$4$$（等边三角形）；$$5$$，$$5$$，$$2$$（等腰三角形）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形
Source: 2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第8题
Problem: 使方程$$3x+2y=200$$成立的正整数对$$(x,y)$$有．
Options:
aoVal: A
content: $$66$$个 
aoVal: B
content: $$33$$个 
aoVal: C
content: $$30$$个 
aoVal: D
content: $$18$$个 
Answer: B
Analysis: 因为$$3x+2y=200$$，$$x$$，$$y$$为正整数，所以  $$y=\frac{200-3x}{2}\textgreater0$$，  因此$$x\textless{}66\frac{2}{3}$$，  又因为$$x$$为正偶数，所以$$x$$可取$$2$$，$$4$$，$$6$$，$$\cdots $$，$$66$$，共$$33$$个数，  故原方程的正整数解有$$33$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解
竞赛->知识点->数论->不定方程
Source: 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 一条直线上距离相等地立有$$10$$根标杆，一名学生匀速地从第$$1$$杆向第$$10$$杆行走，当他走到第$$6$$杆时用了$$6.6$$秒，则当他走到第$$10$$杆时所用时间是．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$秒 
aoVal: B
content: $$13.2$$秒 
aoVal: C
content: $$11.88$$秒 
aoVal: D
content: $$9.9$$秒 
Answer: C
Analysis: 从第$$1$$根标杆到第$$6$$根标杆有$$5$$个间隔．  因而，每个间隔行进$$6.6\div 5=1.32$$（秒）．  而从第$$1$$根标杆到第$$10$$根标杆共有$$9$$个间隔．  所以行进$$9$$个间隔共用$$1.32\times 9=11.88$$（秒），  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第7题
Problem: 在平面直角坐标系$$xOy$$中，函数$$\sqrt{xy}+\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar=0$$的图象是（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: 直线$$x=0$$、$$y=0$$和$$x-y+1=0$$ 
aoVal: B
content: 直线$$x=0$$和$$x-y+1=0$$ 
aoVal: C
content: 点$$(0,0)$$和直线$$x-y+1=0$$ 
aoVal: D
content: 点$$(0,1)$$和$$(-1,0)$$ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\sqrt{xy}\geqslant 0$$，$$\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar\geqslant 0$$，  由题设$$\sqrt{xy}+\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar=0$$，  所以$$\left { \begin{matrix}xy=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$，  即$$\left { \begin{matrix}x=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}y=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$，  解得$$\left { \begin{matrix}x=0    y=1   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x=-1    y=0   \end{matrix} \right.$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质
课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数图象->函数的图象
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分
Problem: 若$$n+1={{2010}^{2}}+{{2011}^{2}}$$，则$$\sqrt{2n+1}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2011$$ 
aoVal: B
content: $$2010$$ 
aoVal: C
content: $$4022$$ 
aoVal: D
content: $$4021$$ 
Answer: D
Analysis: 由题设，得$$n={{2010}^{2}}+{{2011}^{2}}-1$$，  $$2n+1=2\times {{2010}^{2}}+2\times {{2011}^{2}}-2\times 1+1$$  $$=2\times {{2010}^{2}}+2\times {{(2010+1)}^{2}}-1$$  $$=2\times {{2010}^{2}}+2\times {{2010}^{2}}+4\times 2010+1$$  $$={{4020}^{2}}+2\times 4020+1$$  $$={{(4020+1)}^{2}}$$  $$={{4021}^{2}}$$．  所以$$\sqrt{2n+1}=4021$$． 
Knowledge points: 课内体系->方法->配方法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第5题4分
Problem: 一个三角形木架三边长分别是$$75\text{cm}$$，$$100\text{cm}$$，$$125\text{cm}$$，现要做一个与其相似的三角形木架，而只有长为$$40\text{cm}$$和$$120\text{cm}$$的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有．
Options:
aoVal: A
content: 一种 
aoVal: B
content: 两种 
aoVal: C
content: 三种 
aoVal: D
content: 四种 
Answer: C
Analysis: 由题知新形成的三角形钢架与原三角形钢架相似，则它们的对应边成比例．  （$$1$$）若以$$40\text{cm}$$的钢筋为三角形一边，去截$$120\text{cm}$$长的钢筋，且截成两段分别为$$x\text{cm}$$，$$y\text{cm}$$，  则有三种情况：  ①以$$40\text{cm}$$为最长边，则可列得$$\frac{40}{125}=\frac{x}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=32$$，$$y=24$$，且$$32+24=56\textless{}120$$，  所以此法可行；  ②以$$40\text{cm}$$为较长边时，则$$\frac{x}{125}=\frac{40}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=50$$，$$y=30$$，且$$50+30=80\textless{}120$$，  所以此法可行；  ③以$$40\text{cm}$$为最短边，则$$\frac{x}{125}=\frac{y}{100}=\frac{40}{75}$$，  解得：$$x=\frac{200}{3}$$，$$y=\frac{160}{3}$$，且$$\frac{200}{3}+\frac{160}{3}=120$$，  所以此法可行；  （$$2$$）若以$$120\text{cm}$$的钢筋为三角形一边，去截$$40\text{cm}$$长的钢筋，且截成的两段分别为$$x\text{cm}$$，$$y\text{cm}$$，  很容易的值$$120$$只能作为最长边，  则$$\frac{120}{125}=\frac{x}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=96$$，$$y=72$$，  但$$96\textgreater40$$，$$72\textgreater40$$，  所以此法不可行．  综上可知只有$$3$$种截法．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形的判定->相似三角形的判定-三边对应成比例
Source: 2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第7题4分
Problem: 已知：反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$与正比例函数$$y=x$$的图象交于$$A$$，$$B$$两点（$$A$$在第一象限），点$${{F}_{1}}\left( -2,-2 \right)$$，$${{F}_{2}}\left( 2,2 \right)$$在直线$$y=x$$上．设点$$P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$$是反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$图象上的任意一点，记点$$P$$与$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$两点之间的距离之差$$d=\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar$$，由反比例函数的定义可知$$d=\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar$$为常数，值为线段$$AB$$的长．现请你在反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$第一象限内的分支上找一点$$P$$，使点$$P$$到$${{F}_{2}}\left( 2,2 \right)$$和点$$C\left( 6,4 \right)$$的距离之和最小，则点$$P$$的坐标为．
Options:
aoVal: A
content: $$\left( 2,1 \right)$$ 
aoVal: B
content: $$\left( 1,1 \right)$$ 
aoVal: C
content: $$\left( 3,2 \right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left( 2,3 \right)$$ 
Answer: A
Analysis: 解由$$y=\frac{2}{x}$$和$$y=x$$组成的方程组可得$$A$$、$$B$$两点的坐标分别为，$$\left( \sqrt{2},\sqrt{2} \right)$$、$$\left( -\sqrt{2},-\sqrt{2} \right)$$，线段$$AB$$的长度$$=4$$，  ∵点$$P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$$是反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$图象上一点，  ∴$${{y}_{0}}=\frac{2}{{{x}_{0}}}$$，  ∴$$P{{F}_{1}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{{{x}_{0}}}+2 \right)}^{2}}}=\left\textbar{} \frac{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}+1}{{{x}_{0}}} \right\textbar$$，  $$P{{F}_{2}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{{{x}_{0}}}-2 \right)}^{2}}}=\left\textbar{} \frac{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+1}{{{x}_{0}}} \right\textbar$$，  ∴$$d=\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar=\left\textbar{} \left\textbar{} \frac{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}+1}{{{x}_{0}}} \right\textbar-\left\textbar{} \frac{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+1}{{{x}_{0}}} \right\textbar{} \right\textbar$$，  当$${{x}_{0}}\textgreater0$$时，$$d=4$$；当$${{x}_{0}}\textless{}0$$时，$$d=4$$，  因此，无论点$$P$$的位置如何，线段$$AB$$的长度与$$d$$一定相等．  由条件$$P{{F}_{2}}=P{{F}_{1}}-4$$，知$$P{{F}_{2}}+PC=P{{F}_{1}}+PC-4$$，  由$${{F}_{1}}$$，$$-P$$，$$C$$三点共线时最小，  此时可解得$$P\left( 2,1 \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数与代数综合->反比例函数与一次函数综合
课内体系->知识点->综合与实践->新定义->与函数有关的新定义
课内体系->特色题型->新定义
课内体系->能力->抽象概括能力
Source: 2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第10题4分
Problem: 已知$${{y}_{1}}=2a\left( a\ne 1 \right)$$，$${{y}_{2}}=\frac{2}{{{y}_{1}}}$$，$${{y}_{3}}=\frac{2}{{{y}_{2}}}$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$${{y}_{2017}}=\frac{2}{{{y}_{2016}}}$$ ，$${{y}_{2018}}=\frac{2}{{{y}_{2017}}}$$，则$${{y}_{1}}{{y}_{2018}}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 将$${{y}_{1}}=2a$$代入$${{y}_{2}}=\frac{2}{{{y}_{1}}}$$中得$${{y}_{2}}=\frac{1}{a}$$，同样的方法得出$${{y}_{3}}=2a$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，  则对于$${{y}_{n}}$$，当$$n$$为奇数时，$${{y}_{n}}=2a$$，当$$n$$为偶数时，$${{y}_{n}}=\frac{1}{a}$$，  所以$${{y}_{2018}}=\frac{1}{a}$$，  故$${{y}_{1}}\cdot {{y}_{2018}}=2a\cdot \frac{1}{a}=2$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律
Source: 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第4题3分
Problem: 已知$$a$$，$$b$$是整数，且$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar=1$$，则$${{(a-1)}^{2}}\times {{(b+2)}^{4}}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: C
Analysis: ∵$$a$$，$$b$$是整数，且$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar=1$$，  ∴$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-1 \right\textbar=1    \left\textbar{} b+2 \right\textbar=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-1 \right\textbar=0    \left\textbar{} b+2 \right\textbar=1   \end{matrix} \right.$$，  ∴$${{(a-1)}^{2}}\times {{(b+2)}^{4}}=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第4题
Problem: 把抛物线$$y=-(x-1)^{2}+1$$向右平移$$1$$个单位，再向下平移$$1$$个单位，得到新函数的解析式为．
Options:
aoVal: A
content: $$y=-x^{2}$$ 
aoVal: B
content: $$y=-x^{2}+2$$ 
aoVal: C
content: $$y=-(x-2)^{2}$$ 
aoVal: D
content: $$y=-(x-2)^{2}+2$$ 
Answer: C
Analysis: ∵抛物线$$y=-(x-1)^{2}+1$$的顶点坐标为$$(1,1)$$，  ∴向右平移$$1$$个单位，再向下平移$$1$$个单位后的顶点坐标是$$(2,0)$$，  ∴所得抛物线解析式是$$y=- (x-2)^{2}$$，  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数的几何变换->二次函数平移变换
Source: 2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第4题4分
Problem: 乘积为$$-240$$的不同的五个整数的平均值最大是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{17}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{18}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: 假设$$-240=-1\times b\times c\times d\times e$$，$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~c ~\textless{} ~d ~\textless{} ~e$$，$$-240=A\times B\times C\times D\times E$$，$$A ~\textless{} ~B ~\textless{} ~C ~\textless{} ~D ~\textless{} ~E$$，必有$$-1\geqslant A$$，且可以取$$b=B$$，$$c=C$$，$$d=D$$，$$e=\left\textbar{} A \right\textbar\times E$$，总有$$-1+b+c+d+e\geqslant A+B+C+D+E$$，故只需求出$$\left( b+c+d+e \right)$$的最大值即可，其中$$b\times c\times d\times e=240$$，取$$b=1$$，朋$$1\times {{c}^{\prime }}\times {{d}^{\prime }}\times {{e}^{\prime }}=240$$，且可以取$${{c}^{\prime }}=c$$，$${{d}^{\prime }}=d$$，$${{e}^{\prime }}=b\times e$$，则得到：$$1+{{c}^{\prime }}+{{d}^{\prime }}+{{e}^{\prime }}-b-c-d-e=1+be-b-e=\left( b-1 \right)\times \left( e-1 \right)\textgreater0$$，故只需求出$$1+{{c}^{\prime }}+{{d}^{\prime }}+{{e}^{\prime }}$$的最大值即可．依次类推可得：$$-240=-1\times 1\times 2\times 3\times 40$$，因此乘积为$$-240$$的不同的五个整数的平均值最大是$$9$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第6题
Problem: 已知$$m$$，$$n$$是实数，且满足 $${{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+m-\frac{4}{3}n+\frac{17}{36}=0$$，则$$-m{{n}^{2}}$$的平方根是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{1}{6}$$ 
Answer: B
Analysis: 由题设，得：  $$\left( {{m}^{2}}+m+\frac{1}{4} \right)+2\left( {{n}^{2}}-\frac{2}{3}n+\frac{1}{9} \right)+\frac{17}{36}-\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=0$$，  即$${{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2{{\left( n-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=0$$，  因为$${{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$$2{{\left( n-\frac{1}{3} \right)}^{2}}\geqslant 0$$，  所以$$m=-\frac{1}{2}$$，$$n=\frac{1}{3}$$，  $$-m{{n}^{2}}=\frac{1}{18}$$，它的平方根是$$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 将乘积$$0.\dot{2}4\dot{3}\times 0.3\dot{2}523\dot{3}$$化为小数，小数点后第$$2014$$位数字是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: D
Analysis: $$0.\dot{2}4\dot{3}\times 0.\dot{3}2523\dot{3}$$  $$=\frac{243}{999}\times \frac{325230}{999990}$$  $$=\frac{27\times 9}{27\times 37}\times \frac{32523}{99999}$$  $$=\frac{9}{37}\times \frac{879\times 37}{99999}$$  $$=\frac{7911}{99999}$$  $$=0.0\dot{7}91\dot{1}$$．  因为$$2014\div 5=402\cdots \cdots 4$$，所以，小数点后第$$2014$$位数字是$$1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第3题