math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 对任意正整数$$n$$与$$k$$（$$k\leqslant n$$），$$f(n,k)$$表示不超过$$\left[ \frac{n}{k} \right]$$，且与$$n$$互质的正整数的个数，则$$f\left( 100,3 \right)=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$13$$ 
aoVal: C
content: $$14$$ 
aoVal: D
content: $$19$$ 
Answer: C
Analysis: 不超过$$33$$且与$$100$$互质的正整数，即$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$\cdots $$，$$33$$中去掉$$5$$的倍数$$5$$，$$15$$，$$25$$，有$$14$$个．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->判定是否为函数
课内体系->特色题型->新定义
Source: 2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 数码$${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\cdots ,{{a}_{2006}}$$中有奇数个$$9$$的$$2007$$位十进制数$$\overline{2{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{2006}}}$$的个数为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}({{10}^{2006}}+{{8}^{2006}})$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{2}({{10}^{2006}}-{{8}^{2006}})$$ 
aoVal: C
content: $${{10}^{2006}}+{{8}^{2006}}$$ 
aoVal: D
content: $${{10}^{2006}}-{{8}^{2006}}$$ 
Answer: B
Analysis: 出现奇数个$$9$$的十进制数个数有$$A=\mathrm{C}_{2006}^{1}{{9}^{2005}}+\mathrm{C}_{2006}^{3}{{9}^{2003}}+\cdots +\mathrm{C}_{2006}^{2005}9$$．  又由于$${{(9+1)}^{2006}}=\sum\limits_{k=0}^{2006}{\mathrm{C}_{2006}^{k}{{9}^{2006-k}}}$$以及$${{(9-1)}^{2006}}=\sum\limits_{k=0}^{2006}{\mathrm{C}_{2006}^{k}{{(-1)}^{k}}{{9}^{2006-k}}}$$，从而得  $$A=\mathrm{C}_{2006}^{1}{{9}^{2005}}+\mathrm{C}_{2006}^{3}{{9}^{2003}}+\cdots +\mathrm{C}_{2006}^{2005}9=\frac{1}{2}\left( {{10}^{2006}}-{{8}^{2006}} \right)$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2006年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分
Problem: 若过点$$P\left( 1,0 \right)$$，$$Q\left( 2,0 \right)$$，$$R\left( 4,0 \right)$$，$$S\left( 8,0 \right)$$作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{16}{17}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{36}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{26}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{196}{53}$$ 
Answer: C
Analysis: 不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为$$a$$，面积为$$S$$，过$$P$$的直线的倾斜角为$$\theta (0\textless{}\theta \textless{}\frac{ \pi }{2})$$．  当过点$$P,Q$$的直线为正方形的对边所在的直线时，  $$\left\textbar{} PQ \right\textbar\sin \theta =a=\left\textbar{} RS \right\textbar\cos \theta \Leftrightarrow \sin \theta =4\cos \theta \Leftrightarrow \sin \theta =\frac{4}{\sqrt{17}}$$，  此时正方形的面积$$S={{(\left\textbar{} PQ \right\textbar\sin \theta )}^{2}}=\frac{16}{17}$$．  同理，当过点$$P,R$$的直线为正方形的对边所在的直线时，$$S=\frac{36}{5}$$；  当过点$$P,S$$的直线为正方形的对边所在的直线时，$$S=\frac{196}{53}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 2015年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
Problem: 体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$种 
aoVal: B
content: $$60$$种 
aoVal: C
content: $$120$$种 
aoVal: D
content: $$720$$种 
Answer: A
Analysis: 总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
Problem: 命题$$1$$：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．  命题$$2$$：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点．  命题$$3$$：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．  以上三个命题中正确的有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$个 
aoVal: B
content: $$1$$个 
aoVal: C
content: $$2$$个 
aoVal: D
content: $$3$$个 
Answer: B
Analysis: 由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题$$1$$正确．对于命题$$2$$和命题$$3$$，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题$$1$$正确．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
Source: 2001年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分
Problem: 内直径为$$\frac{4\sqrt{3}}{3}+2$$，高为$$20$$的圆柱形容器中最多可以放入直径为$$2$$的小球的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$33$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$39$$ 
Answer: C
Analysis: 圆柱的底部可以放$$3$$个两两相切的小球，上一层也放$$3$$个两两相切的小球，使每个小球与下层$$2$$个小球相切，按此方法依次向上放置小球，设共放$$k$$层，则总高度  $$H=2+\left( k-1 \right)\frac{2\sqrt{6}}{3}$$  当$$k=12$$时，$$H=\left( 2+\frac{22\sqrt{6}}{3} \right)\approx 19{}96\textless{}20$$；  当$$k=13$$时，$$H=\left( 2+\frac{24\sqrt{6}}{3} \right)\approx 21{}60\textgreater20$$．  故最多可放人$$12$$层共$$36$$个， 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 在正方形$$ABCD$$中，$$M$$为边$$BC$$的中点．若$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$，则$$\lambda +\mu =$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{4}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{5}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{15}{8}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 注意到，  $$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)+\mu \left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)+\mu \left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\left( \lambda -\mu \right)\overrightarrow{AB}+\left( \dfrac{1}{2}\lambda +\mu \right)\overrightarrow{AD}$$．  又$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$，  则$$\begin{cases}\lambda -\mu =1   \dfrac{1}{2}\lambda +\mu =1    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\lambda =\dfrac{4}{3}    \mu =\dfrac{1}{3}    \end{cases}$$，  故$$\lambda +\mu =\dfrac{5}{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知两个一元二次方程：$$a{{x}^{2}}+bx+c=0,u{{x}^{2}}+vx+w=0$$都有实根，这里$$a\ne u$$．若交换这两个方程的二次项系数，则$$wc\textgreater0$$是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有实根的 ．
Options:
aoVal: A
content: 充分但不必要条件 
aoVal: B
content: 必要但不充分条件 
aoVal: C
content: 充分且必要条件 
aoVal: D
content: 既不充分又不必要条件 
Answer: A
Analysis: 原来两个二次方程的判别式分别为$${{\Delta }_{1}}={{b}^{2}}-4ac$$；$${{\Delta }_{2}}={{v}^{2}}-4uw$$．  二次项系数交换后两个方程的判别式分别为$${{{\Delta }'}_{1}}={{b}^{2}}-4uc$$；$${{{\Delta }'}_{2}}={{v}^{2}}-4aw$$．  $$({{\Delta }_{1}}-{{{\Delta }'}_{1}})({{\Delta }_{2}}-{{{\Delta }'}_{2}})=16wc(u-a)(a-u)=-16wc{{(u-a)}^{2}}$$．  若$$wc\textgreater0$$，则$$({{\Delta }_{1}}-{{{\Delta }'}_{1}})({{\Delta }_{2}}-{{{\Delta }'}_{2}})\textless{}0$$，所以，或有$${{{\Delta }'}_{1}}\textgreater{{\Delta }_{1}}\geqslant 0$$，或有$${{{\Delta }'}_{2}}\textgreater{{\Delta }_{2}}\geqslant 0$$，即二次项系数交换后两个方程中至少有一个方程有实根，所以条件``$$wc\textgreater0$$''是充分的．  条件不必要，事实上，若$$wc=0$$，二次项系数交换后两个方程中至少有一个有$$x=0$$的实根．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数方程
Source: 2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 函数$$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{3}$$ 
Answer: C
Analysis: 法一：$$f(x)$$的定义域为$$5\leqslant x\leqslant 8$$，  由$${f}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}+\frac{-3}{2\sqrt{24-3x}}=\frac{\sqrt{24-3x}-3\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}\cdot \sqrt{24-3x}}=0$$，解得$$x=\frac{23}{4}$$．  因为$$f(5)=3$$，$$f(\frac{23}{4})=2\sqrt{3}$$，$$f(8)=\sqrt{3}$$，于是$$f{{(x)}_{\max }}=f(\frac{23}{4})=2\sqrt{3}$$．  法二：$$f(x)$$的定义域为$$5\leqslant x\leqslant 8$$，  $${{f}^{2}}(x)={{(1\cdot \sqrt{x-5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{8-x})}^{2}}\leqslant (1+3)(x-5+8-x)=12$$  当且仅当$$\frac{\sqrt{x-5}}{1}=\frac{\sqrt{8-x}}{\sqrt{3}}$$，即$$x=\frac{23}{4}$$时，$$f(x)$$取到最大值$$2\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
课内体系->知识点->函数的概念与性质
Source: 2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 若正方体的棱长为$$a$$，则与正方体对角线垂直的最大截面的面积为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3\sqrt{2}}{4}{{a}^{2}}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}{{a}^{2}}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: 最大截面过正方体的中心，是边长为$$\frac{\sqrt{2}}{2}a$$的正六边形，面积为  $$\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{1}{2}{{a}^{2}}\times 6=\frac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
Source: 2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
Problem: 已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则．
Options:
aoVal: A
content: 甲是乙的充分非必要条件 
aoVal: B
content: 甲是乙的必要非充分条件 
aoVal: C
content: 甲是乙的充分必要条件 
aoVal: D
content: 甲是乙的非充分非必要条件 
Answer: A
Analysis: 设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta {\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$） 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合
课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理
课内体系->素养->逻辑推理
Source: 全国全国高中数学联赛竞赛一试
Problem: 下列四个函数中，最小正周期为$$ \pi $$，且图象关于直线$$x=\frac{5}{12} \pi $$对称的函数是．
Options:
aoVal: A
content: $$y=\sin \left( \frac{x}{2}+\frac{ \pi }{3} \right)$$ 
aoVal: B
content: $$y=\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{ \pi }{3} \right)$$ 
aoVal: C
content: $$y=\sin \left( 2x-\frac{ \pi }{3} \right)$$ 
aoVal: D
content: $$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{3} \right)$$ 
Answer: C
Analysis: 对于函数$$y=\sin (\omega x+\varphi )$$，由最小正周期为：$$T=\frac{2 \pi }{w}= \pi $$，求得$$w=2$$，  ∴$$y=\sin (2x+\varphi )$$，  又∵函数的图象关于直线$$x=\frac{ 5\pi }{12}$$对称，  ∴$$2\times \frac{ 5\pi }{12}+\varphi =\frac{ \pi }{2}+k \pi $$，$$k\in \mathbf{Z}$$，  ∴$$\varphi =-\frac{ \pi }{3}+k \pi $$，$$k\in \mathbf{Z}$$，  结合选项，$$\varphi $$可取$$-\frac{ \pi }{3}$$，此时$$y=\sin \left( 2x-\frac{ \pi }{3} \right)$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 设$$M$$是正方体各条棱的中点的集合，则过且仅过$$M$$中$$3$$个点的平面的个数是．
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$81$$ 
aoVal: C
content: $$136$$ 
aoVal: D
content: $$145$$ 
Answer: A
Analysis: 通过$$M$$中$$3$$个点的平面一共有$$\text{C}_{12}^{3}=220$$（个）（包含重复的），共中过且仅过$$M$$中$$4$$个点的平面共$$\text{C}_{4}^{3}\times (9+12)=84$$（个）．  过$$M$$中$$6$$个点的平面共$$\text{C}_{6}^{3}\times 4=80$$（个）；所以过且仅过$$M$$中$$3$$个点的平面共有$$220-84-80=56$$（个）．故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
Source: 2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$是$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$100$$中的$$4$$个互不相同的数，满足$$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} \right)\left( a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2} \right)={{\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{3}}{{a}_{4}} \right)}^{2}}$$，则这样的有序数组$$\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} \right)$$的个数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$38$$ 
aoVal: B
content: $$40$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$44$$ 
Answer: B
Analysis: 由柯西不等式知，$$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} \right)\left( a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2} \right)\geqslant {{\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{3}}{{a}_{4}} \right)}^{2}}$$，等号成立的充分必要条件是$$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}$$，即$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$成等比数列．于是问题等价于计算满足$$\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} \right }\subseteq \left { 1,2,3,\cdots ,100 \right }$$的等比数列$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$的个数．设等比数列的公比$$q\ne 1$$，且$$q$$为有理数．记$$q=\frac{n}{m}$$，其中$$m$$，$$n$$为互素的正整数，且$$m\ne n$$．  先考虑$$n\textgreater m$$的情况．  此时$${{a}_{4}}={{a}_{1}}\cdot {{\left( \frac{n}{m} \right)}^{3}}=\frac{{{a}_{1}}{{n}^{3}}}{{{m}^{3}}}$$，注意到$${{m}^{3}}$$，$${{n}^{3}}$$互素，故$$l=\frac{{{a}_{1}}}{{{m}^{3}}}$$为正整数．相应地，$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$分别等于$${{m}^{3}}l$$，$${{m}^{2}}nl$$，$$m{{n}^{2}}l$$，$${{n}^{3}}l$$，它们均为正整数．这表明，对任意给定的$$q=\frac{n}{m}\textgreater1$$，满足条件并以$$q$$为公比的等比数列$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$的个数，即为满足不等式$${{n}^{3}}l\leqslant 100$$的正整数$$l$$的个数，即$$\left[ \frac{100}{{{n}^{3}}} \right]$$．  由于$${{5}^{3}}\textgreater100$$，故仅需考虑$$q=2$$，$$3$$，$$\frac{3}{2}$$，$$4$$，$$\frac{4}{3}$$这些情况，相应的等比数列的个数为$$\left[ \frac{100}{8} \right]+\left[ \frac{100}{27} \right]+\left[ \frac{100}{27} \right]+\left[ \frac{100}{64} \right]+\left[ \frac{100}{64} \right]=12+3+3+1+1=20$$．  当$$n\textless{}m$$时，由对称性可知，亦有$$20$$个满足件的等比数列$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$．  综上可知，共有$$40$$个满足条件的有序数组$$\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->整除问题
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
Source: 2016年全国高中数学联赛竞赛第8题
Problem: 已知$$\triangle ABC$$中，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，则$$\frac{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{5}$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，  所以$${{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}={{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$$．  因为$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=4\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，  所以$${{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}=4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$，则$${{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}={{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}$$．  于是$$\frac{{{\left( \left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar{} \right)}^{2}}}{{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}=\frac{{{\left( \left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar{} \right)}^{2}}}{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}}\leqslant 3$$，当$$2\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar=\frac{1}{2}\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar$$时取等号． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算
Source: 2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 已知集合$$M= {1, 2 }, N= {2a-1\textbar a\in M }$$，则$$M\cap N=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$ {1 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {1,2 }$$ 
aoVal: C
content: $$ {1,2,3 }$$ 
aoVal: D
content: 空集 
Answer: A
Analysis: 由于$$N= {2a-1\textbar a\in M }= {1,3 }$$，所以$$M\cap N= {1 }$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 记函数$$f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x+12}$$的最大值为$$M$$，最小值为$$m$$，则$$\frac{M}{m}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: D
Analysis: $$f\left( x \right)=\sqrt{2-x}+\sqrt{3}\sqrt{x+4}$$，则$${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\leqslant \left( 1+3 \right)\left( 2-x+x+4 \right)=24$$，$$f\left( x \right)\leqslant 2\sqrt{6}$$，所以$$M=2\sqrt{6}$$．  又$$-4\leqslant x\leqslant 2$$，所以$$f\left( x \right)\geqslant \sqrt{2-x}\geqslant \sqrt{2-\left( -4 \right)}=\sqrt{6}$$，$$m=\sqrt{6}$$．  因此$$\frac{M}{m}=2$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的概念
Source: 2018~2019学年11月广东深圳福田区深圳市实验学校高二上学期周测B卷第10题5分
2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 设实数$$x$$，$$y$$满足不等式组$$\begin{cases} x-y\leqslant 0    4x-y\geqslant 0    x+y\leqslant 3 \end{cases}$$，则$$z=x+2y-\frac{1}{x}$$的最大值为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{77}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{56}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{23}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: D
Analysis: $$z=x+2y-\frac{1}{x}=2(x+y)-\left( x+\frac{1}{x} \right)\leqslant 2\times 3-\left( x+\frac{1}{x} \right)\leqslant 2\times 3-2=4$$当且仅当$$\begin{cases} x=1    y=2 \end{cases}$$时，等号成立．  选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值
课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->利用不等式性质求代数式范围或最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
Source: 2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=ax+b\left( x\in \left[ 0,1 \right] \right)$$，则``$$a+2b\textgreater0$$''是``$$f\left( x \right)\textgreater0$$恒成立''的．
Options:
aoVal: A
content: 充分非必要条件 
aoVal: B
content: 必要非充分条件 
aoVal: C
content: 充要条件 
aoVal: D
content: 既不是充分条件，也不是必要条件 
Answer: B
Analysis: 由题意可知，选$$\text{B}$$， 
Knowledge points: 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语
Source: 2013年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
Problem: 命题``$\exists x\in\text R,x^{3}-x^{2}+1\textgreater0$''的否定是
Options:
aoVal: A
content: $\exists x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\textless{} 0$ 
aoVal: B
content: $\forall x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\leq0$ 
aoVal: C
content: $\exists x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\leq0$ 
aoVal: D
content: 不存在$x\in\mathrm R$，${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\textgreater0$ 
Answer: B
Analysis: 根据存在性命题的否定知，命题$\exists x\in R,{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\textgreater0$的否定是$\forall x\in R,{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\leqslant 0$.故选：$$\text{B}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->全称量词命题与存在量词命题的否定
Source: 2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第1题
Problem: 记集合$$T= {0,1,2,3,4,5,6 },M= {\frac{{{a}_{1}}}{7}+\frac{{{a}_{2}}}{{{7}^{2}}}+\frac{{{a}_{3}}}{{{7}^{3}}}+\frac{{{a}_{4}}}{{{7}^{4}}}\textbar{{a}_{i}}\in T,i=1,2,3,4 }$$，将$$M$$中的元素按从大到小顺序排列，则第$$2015$$个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{385}{2401}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{386}{2401}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{387}{2401}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{388}{2401}$$ 
aoVal: E
content: $$\frac{389}{2401}$$ 
Answer: B
Analysis: $$M$$中总共$${{7}^{4}}=2401$$个数，所求的数从小到大是第$$387$$个数，所以为$$\frac{386}{2401}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题8分
Problem: 已知函数$$f\left( x \right)=\frac{a}{x}-x$$，对任意$$x\in \left( 0,1 \right)$$，有$$f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right){\geqslant }1$$恒成立，则实数$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~.
Options:
aoVal: A
content: $$\left[-\frac{1}{4},1\right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[-1,\frac{1}{4}\right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)$$ 
aoVal: D
content: $$\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\frac{1}{4},+\infty\right)$$ 
Answer: C
Analysis: 记$$y=1-x\in \left( 0,1 \right)$$，则$$f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right)=f\left( x \right)f\left( y \right)=\left( \frac{a}{x}-x \right)\left( \frac{a}{y}-y \right)$$  $$=\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}-a\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{a}^{2}}}{xy}$$  $$=\frac{{{\left( xy \right)}^{2}}-a\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \right]+{{a}^{2}}}{xy}$$.  令$$xy=t$$，则$$t\in \left( 0{}\frac{1}{4} \right]$$，令  $$g\left( t \right)=f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right)=\frac{{{t}^{2}}-a\left( 1-2t \right)+{{a}^{2}}}{t}{\geqslant }1$$，即$${{t}^{2}}+\left( 2a-1 \right)t+{{a}^{2}}-a{\geqslant }0$$.  ①若$$\frac{1}{2}-a{\leqslant }0$$，即$$\frac{1}{2}{\leqslant }a$$，只需$$g\left( 0 \right){\geqslant }0$$，即$${{a}^{2}}-a{\geqslant }0$$，解得：$$a{\geqslant }1$$；  ②若$$0\textless{}\frac{1}{2}-a{\leqslant }\frac{1}{4}$$，即$$\frac{1}{4}{\leqslant }a\textless{}\frac{1}{2}$$，只须$$g\left( \frac{1}{2}-a \right){\geqslant }0$$，无解；  ③若$$\frac{1}{2}-a\textgreater\frac{1}{4}$$，即$$a\textless{}\frac{1}{4}$$，只需$$g\left( \frac{1}{4} \right){\geqslant }0$$，即$${{\left( a-\frac{1}{4} \right)}^{2}}{\geqslant }\frac{1}{4}$$，解得，$$a{\leqslant }-\frac{1}{4}$$.  所以，实数$$a$$的取值范围为$$ {a\textbar a{\geqslant }1$$或$$a{\leqslant }-\frac{1}{4} }$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元
Source: 2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
Problem: 向量$$\overrightarrow{a}=(1,-1)$$，$$\overrightarrow{b}=(-1,2)$$，则$$( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: C
Analysis: $$\overrightarrow{a}=\left( 1,-1 \right)$$，$$\overrightarrow{b}=\left( -1,2 \right)$$，$$\therefore ( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=\left( 1,0 \right)\cdot \left( 1,-1 \right)=1$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的数量积->线性运算和数量积综合问题
知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的数量积->几何、代数、坐标进行的数量积运算
知识标签->素养->数学运算
知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则
知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义
知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式
Source: 2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
Problem: 已知数列$$\sqrt{3}$$，$$\sqrt{7}$$，$$\sqrt{11}$$，$$\sqrt{15}$$，\ldots，则$$3\sqrt{11}$$是它的．
Options:
aoVal: A
content: 第$$23$$项 
aoVal: B
content: 第$$24$$项 
aoVal: C
content: 第$$19$$项 
aoVal: D
content: 第$$25$$项 
Answer: D
Analysis: $$3\sqrt{11}=\sqrt{99}$$，$$\frac{99-3}{4}+1=25$$ 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2009年竞赛珠海市第5题5分
Problem: 函数$$f(x)=\log _{2}^{(x\textbar x\textbar)}$$的单调递增区间是．
Options:
aoVal: A
content: $$(0,+\infty )$$ 
aoVal: B
content: $$(-\infty ,0)$$ 
aoVal: C
content: $$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$$ 
aoVal: D
content: $$(-\infty ,+\infty )$$ 
Answer: A
Analysis: $$f(x)={{\log }_{2}}^{(x\textbar x\textbar)}=2{{\log }_{2}}x$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
竞赛->知识点->函数->基本初等函数
Source: 2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 三棱锥$$P-ABC$$的底面$$\triangle ABC$$是边长为$$4$$的正三角形，$$PA=3$$，$$PB=4$$，$$PC=5$$，则三棱锥$$P-ABC$$的体积为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{39}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{11}$$ 
aoVal: D
content: $$2\sqrt{3}$$ 
Answer: B
Analysis: 解：$${{V}_{P-ABC}}={{V}_{A-PBC}}=\frac{1}{3}\times \left( \frac{1}{2}\times 3\times 4 \right)\times \sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{39}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->三棱锥体积问题->等体积法
竞赛->知识点->立体几何与空间向量
Source: 2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 某学校的数学课外小组有$$8$$个女生和$$6$$个男生，要从他们中挑选$$4$$人组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女生各$$2$$人的概率为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{10}{143}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{30}{143}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{60}{143}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{70}{143}$$ 
Answer: C
Analysis: 所求的概率为$$\frac{\text{C}_{8}^{2}\text{C}_{6}^{2}}{\text{C}_{14}^{4}}=\frac{60}{143}$$．故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->频率与概率问题
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件与基本事件空间->基本事件与基本事件空间
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数据分析
Source: 2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
Problem: 实数$$a,b$$满足$$\left\textbar{} a \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\leqslant 1$$，则$$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)$$的取值范围是．
Options:
aoVal: A
content: $$\left[ 0,\frac{9}{4} \right]$$ 
aoVal: B
content: $$\left[ -2,\frac{9}{4} \right]$$ 
aoVal: C
content: $$\left[ 0,2 \right]$$ 
aoVal: D
content: $$\left[ -2,2 \right]$$ 
Answer: B
Analysis: $$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\leqslant \frac{{{\left[ \left( a+1 \right)+\left( b+1 \right) \right]}^{2}}}{4}\leqslant \frac{{{3}^{2}}}{4}=\frac{9}{4}$$，当$$a=b=\frac{1}{2}$$时取等号．  $$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)=ab+\left( a+b \right)+1\geqslant ab\geqslant -\left\textbar{} b \right\textbar\geqslant -2$$，当$$a=1b=-2$$时取到等号． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法
Source: 2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设全集是实数，若$$A=\left { x\textbar\sqrt{x-2}\leqslant 0 \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}} \right }$$，则$$A\cap \overline{B}$$是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$ {2 }$$ 
aoVal: B
content: $$ {-1 }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar x\leqslant 2 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\varnothing $$ 
Answer: D
Analysis: 由$$\sqrt{x-2}\leqslant 0$$，得$$x=2$$，故$$A=\left { 2 \right }$$；由$${{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}}$$，得$${{x}^{2}}-x-2=0$$，故$$B= {-1,2 }$$．所以$$A\cap \overline{B}=\varnothing $$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
Source: 2000年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分