math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 实数$$a$$，$$b$$满足$$ab=1$$，记$$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$$，$$N=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$$，则$$M$$与$$N$$的关系是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$M\textgreater N$$ 
aoVal: B
content: $$M=N$$ 
aoVal: C
content: $$M\textless{}N$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 方法一：将$$a=\frac{1}{b}$$分别代入$$M$$和$$N$$，  则$$M=\frac{1}{1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{1}{1+b}=1$$，  $$N=\frac{\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{b}}+\frac{b}{1+b}=\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1+b}=1$$，  所以$$M=N$$．选$$\text{B}$$，  方法二：$$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{b+ab}+\frac{a}{a+ab}$$，  又由$$ab=1$$，  得到$$M=\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1}=N$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加法运算
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 若$${{x}_{1}},{{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$的两个根，且$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，则$$m$$的值为（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$或$$2$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-2$$ 
aoVal: C
content: $$-2$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: D
Analysis: 根据韦达定理，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1$$．  $${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，  ∴$$2m=1-({{m}^{2}}-m-1)$$，  解得$$m=-2$$或$$1$$，  而$$\Delta =4{{m}^{2}}-4({{m}^{2}}-m-1)\geqslant0$$，  ∴$$m\textgreater-1$$． 
<p>∵$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$两个根，</p>
<p>&there4;$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m$$，$${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1$$．</p>
<p>∵$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$，</p>
<p>&there4;$$2m=1-({{m}^{2}}-m-1)$$，即$${{m}^{2}}+m-2=0$$，</p>
<p>解得：$${{m}_{1}}=-2$$，$${{m}_{2}}=1$$．</p>
<p>∵方程$${{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1=0$$有实数根，</p>
<p>&there4;$$\Delta ={{(-2m)}^{2}}-4({{m}^{2}}-m-1)=4m+4\geqslant 0$$，</p>
<p>解得：$$m\geqslant -1$$．</p>
<p>&there4;$$m=1$$．</p>
<p>故选$$\text{D}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系
课内体系->能力->运算能力
Source: 2018年山东淄博临淄区初三中考一模第6题4分
2019~2020学年9月四川达州渠县四川省渠县中学初三上学期月考第8题3分
2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第2题5分
2018~2019学年山东济宁曲阜市初三上学期期中第7题3分
2017~2018学年山东临沂蒙阴县初三上学期期末第6题3分
2018~2019学年山东济宁曲阜市曲阜市实验中学初三上学期期中第7题3分
2017~2018学年广东东莞市万江区东莞市北师大翰林实验学校初三上学期期中第6题3分
2018年陕西西安灞桥区西安铁一中滨河学校初三中考四模第6题3分
Problem: 已知$$m$$，$$n$$是实数，且满足 $${{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+m-\frac{4}{3}n+\frac{17}{36}=0$$，则$$-m{{n}^{2}}$$的平方根是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{6}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{1}{6}$$ 
Answer: B
Analysis: \textbf{（知识点：配方法）}  由题设，得：  $$\left( {{m}^{2}}+m+\frac{1}{4} \right)+2\left( {{n}^{2}}-\frac{2}{3}n+\frac{1}{9} \right)+\frac{17}{36}-\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=0$$，  即$${{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2{{\left( n-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=0$$，  因为$${{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$$2{{\left( n-\frac{1}{3} \right)}^{2}}\geqslant 0$$，  所以$$m=-\frac{1}{2}$$，$$n=\frac{1}{3}$$，  $$-m{{n}^{2}}=\frac{1}{18}$$，它的平方根是$$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$．  所以选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
Source: 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 在下列$$2021$$个数中：$$1^{2}$$，$$2^{2}$$，$$3^{2}$$，$$\cdots $$，$$2020^{2}$$，$$2021^{2}$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，则其代数和一定是．
Options:
aoVal: A
content: 奇数 
aoVal: B
content: 偶数 
aoVal: C
content: 负整数 
aoVal: D
content: 非负整数 
Answer: A
Analysis: 由于两个整数$$a$$，$$b$$前面任意添加``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性不变．  这个性质对$$n$$个整数也是正确的．  因此，$$1^{2}$$，$$2^{2}$$，$$3^{2}$$，$$\cdots $$，$$2020^{2}$$，$$2021^{2}$$的每一个数前面任意添上``$$+$$''号或``$$-$$''号，其代数和的奇偶性与$$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}-\cdots -2014^{2}+2015^{2}+2016^{2}-2017^{2}+2018^{2}-2019^{2}-2020^{2}+2021^{2}=55$$（八项归零）的奇偶性相同，是奇数，所以选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算
Source: 1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题
Problem: 有以下两个数串：$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，\ldots，$$1991$$，$$1993$$，$$1995$$，$$1997$$，$$1999$$和$$1$$，$$4$$，$$7$$，$$10$$，\ldots，$$1990$$，$$1993$$，$$1996$$，$$1999$$．同时出现在这两个数串中的数共有（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$333$$ 
aoVal: B
content: $$334$$ 
aoVal: C
content: $$335$$ 
aoVal: D
content: $$336$$ 
Answer: B
Analysis: 第一个数串是$$1 \tilde{  } 1999$$的整数中被$$2$$除余$$1$$的数，共有$$1000$$个，第二个数串是$$1 \tilde{  } 1999$$的整数中被$$3$$除余$$1$$的数，共有$$667$$个，同时出现在这两个数串中数是$$1 \tilde{  } 1999$$的整数中被$$6$$除余$$1$$的数，它们是：$$1$$，$$7$$，$$19$$，$$25$$，\ldots，$$1993$$，$$1999$$，共$$334$$个．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->同余->同余的概念与进制性质
竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第8题
Problem: 若$$a-b$$的相反数是$$2b-a$$，则$$b=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$a-b$$的相反数是$$2b-a$$，  所以$$a-b+2b-a=0$$，  解得$$b=0$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义
课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分
Problem: $$\rm Bella$$從自己家向$$\rm Ella$$的房子前進．與此同時 $$\rm Ella$$ 騎車朝 $$Bella$$ 的家行進．她們各自保持恒定速度，且$$\rm Ella$$的速度是$$\rm Bella$$的$$5$$倍．她們的房子相距$$2$$英裏，即$$10560$$英尺，又知$$\rm Bella$$每步前进 $$2.5$$英尺．在她們相遇時$$B$$走了多少步？  Bella begins to walk from her house toward her friend Ella\textquotesingle s house. At the same time, Ella begins to ride her bicycle toward Bella\textquotesingle s house. They each maintain a constant speed, and Ella rides $$5$$ times as fast as Bella walks. The distance between their houses is $$2$$ miles, which is $$10,560$$ feet, and Bella covers $$2\frac 12$$ feet with each step. How many steps will Bella take by the time she meets Ella?．
Options:
aoVal: A
content: $$704$$ 
aoVal: B
content: $$845$$ 
aoVal: C
content: $$1056$$ 
aoVal: D
content: $$1760$$ 
aoVal: E
content: $$3520$$ 
Answer: A
Analysis: 因為艾拉騎得比貝拉快$$5$$倍，艾拉騎的速度是$$\frac{25}{2}$$或$$12\frac{1}{2}$$．它們一起移動$$15$$英尺每個單位．將$$10560$$除以$$15$$，得出的結果是$$704$$．  故選$$\text{A}$$． 
<p>由于 ella 骑得比 bella 快$$5$$倍，它们的速度比是$$5:1$$．这意味着贝拉行驶了$$\frac{1}{6}$$的路程，$$\frac{1}{6}$$的$$10560$$英尺是$$1760$$英尺．贝拉也一步行走$$2.5$$英尺，$$1760$$除以$$2.5$$就是$$704$$．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>
<p>Since Ella rides $$5$$ times as fast as Bella, Ella rides at a rate of $$\frac{25}{2}$$ or $${12 \frac{1}{2}}$$. Together,they move $$15$$ feet towards each other every unit. Dividing $$10560$$ by $$15$$ to find the number of steps Ella takes results in the answer or $$\boxed{ (\rm A)704}$$.</p>
<p>Since Ella rides $$5$$ times faster than Bella, the ratio of their speeds is $$5:1$$. This means that Bella travels $$\frac{1}{6}$$ of the way, and $$\frac{1}{6}$$ of $$10560$$ feet is $$1760$$ feet. Bella also walks $$2.5$$ feet in a step, and $$1760$$ divided by $$2.5$$ is $$704$$.</p>
Source: 2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛
Problem: 一辆汽车从$$A$$地匀速驶往$$B$$地，如果汽车行驶的速度增加$$a \%$$，则所用的时间减少$$b \%$$，则$$a$$，$$b$$的关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$b=\frac{100a}{1+a \%}$$ 
aoVal: B
content: $$b=\frac{100}{1+a \%}$$ 
aoVal: C
content: $$b=\frac{a}{1+a}$$ 
aoVal: D
content: $$b=\frac{100a}{100+a}$$ 
Answer: D
Analysis: 设$$A$$，$$B$$两地之间的距离为$$s$$，汽车行驶的速度为$$v$$，汽车从$$A$$地到$$B$$地所用的时间为$$t$$，  则有$$s=vt=v(1+a \%)\cdot t(1-b \%)$$，  即$$\frac{100+a}{100}\cdot \frac{100-b}{100}=1$$，  解得$$b=\frac{100a}{100+a}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分
Problem: 如果$$1\textless{}x\textless{}2$$，则代数式$$\frac{\left\textbar{} x-2 \right\textbar}{x-2}-\frac{\left\textbar{} x-1 \right\textbar}{x-1}+\frac{\left\textbar{} x \right\textbar}{x}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$1\textless{}x\textless{}2$$时，$$x\textgreater0$$，$$x-1\textgreater0$$，$$x-2\textless{}0$$．  ∴$$\left\textbar{} x \right\textbar=x$$，$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar=x-1$$，$$\left\textbar{} x-2 \right\textbar=2-x$$．  ∴$$\frac{\left\textbar{} x-2 \right\textbar}{x-2}-\frac{\left\textbar{} x-1 \right\textbar}{x-1}+\frac{\left\textbar{} x \right\textbar}{x}=\frac{2-x}{x-2}-\frac{x-1}{x-1}+\frac{x}{x}=-1-(-1)+1=1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
Source: 1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: ~关于$$x$$的方程$$\left\textbar{} \frac{{{x}^{2}}}{x-1} \right\textbar=a$$仅有两个不同的实根．则实数$$a$$的取值范围是（ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater0$$ 
aoVal: B
content: $$a\geqslant 4$$ 
aoVal: C
content: $$2\textless{}a\textless{}4$$ 
aoVal: D
content: $$0\textless{}a\textless{}4$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$a\textless{}0$$时，无解；  当$$a=0$$时，$$x=0$$只有一解，不合题意；  当$$a\textgreater0$$时，原方程化为$$\frac{{{x}^{2}}}{x-1}=\pm a$$，整理得  $${{x}^{2}}-ax+a=0$$ ①  或$${{x}^{2}}+ax-a=0$$．②  因为方程②的判别式大于$$0$$，所以方程②有两个不同实根；  又因为原方程仅有两个不同的实根，故必有方程①的判别式小于0，从而$$0\textless{}a\textless{}4$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解
Source: 初三上学期其它
2018年全国竞赛
Problem: 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为``和谐数''．如：$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，$$2$$和$$26$$均为``和谐数''．那么，不超过$$2016$$的正整数中，所有的``和谐数''之和为（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$6858$$ 
aoVal: B
content: $$6860$$ 
aoVal: C
content: $$9260$$ 
aoVal: D
content: $$9262$$ 
Answer: B
Analysis: $${{(2k+1)}^{3}}-{{(2k-1)}^{3}}$$  $$=\left[ (2k+1)-(2k-1) \right]\left[ {{(2k+1)}^{2}}+(2k+1)(2k-1)+{{(2k-1)}^{2}} \right]$$  $$=2(12{{k}^{2}}+1)$$（其中$$k$$为非负整数），  由$$2(12{{k}^{2}}+1)\leqslant 2016$$得，$$k\leqslant 9$$，  ∴$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$9$$，  即得所有不超过$$2016$$的``和谐数''，它们的和为  $$\left[ {{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}} \right]+({{3}^{3}}-{{1}^{3}})+({{5}^{3}}-{{3}^{3}})+\cdots +({{17}^{3}}-{{15}^{3}})+({{19}^{3}}-{{17}^{3}})={{19}^{3}}+1=6860$$． 
<p>&ldquo;和谐数&rdquo;设为$$m$$，它一定可以表示为$$m={{n}^{3}}-{{(n-2)}^{3}}$$，其中$$n$$为正整数．题目要求$$m\leqslant 2016$$，大致计算可得$$n$$最大为$$19$$，于是有</p>
<p>$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，</p>
<p>$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，</p>
<p>$$\cdots $$</p>
<p>$$1946={{19}^{3}}-{{17}^{3}}$$，</p>
<p>等式右边两两相消是有</p>
<p>&ldquo;和谐数&rdquo;总和$$={{19}^{3}}-{{(-1)}^{3}}=6860$$，选$$\text{B}$$.</p>

Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分
2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分
Problem: 在$$2009$$年$$8$$月，台风``莫拉克''给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难，台湾当局领导人马英九在追悼``八八水灾''罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到，大陆同胞购款金额约$$50$$亿新台币，是台湾接到的最大一笔捐款，展现了两岸人民血浓于水的情感．$$50$$亿新台币折合人民币约$$11$$亿多元．若设$$1.1=m$$，则$$11$$亿这个数可表示成（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$9m$$ 
aoVal: B
content: $${{m}^{9}}$$ 
aoVal: C
content: $$m\times {{10}^{9}}$$ 
aoVal: D
content: $$m\times {{10}^{10}}$$ 
Answer: C
Analysis: $$11$$亿$$=1100000000=1.1\times {{10}^{9}}$$，  因为$$1.1=m$$，  所以$$11$$亿这个数可表示成$$m\times {{10}^{9}}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分
Problem: $$\triangle ABC$$的一个内角的大小是$$40{}^{}\circ $$，且$$\angle A=\angle B$$，那么$$\angle C$$的外角的大小是．
Options:
aoVal: A
content: $$140{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$80{}^{}\circ $$或$$100{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$100{}^{}\circ $$或$$140{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$80{}^{}\circ $$或$$140{}^{}\circ $$ 
Answer: D
Analysis: ①若$$\angle A=40{}^{}\circ $$，则$$\angle B=40{}^{}\circ $$，$$\angle C=100{}^{}\circ $$，$$\angle C$$的外角为$$80{}^{}\circ $$．  ②若$$\angle C=40{}^{}\circ $$，则$$\angle C$$的外角为$$140{}^{}\circ $$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质
Source: 1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第5题
Problem: 若关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+a=0 \end{cases}$$没有实数解，则．
Options:
aoVal: A
content: $$ab=-2$$ 
aoVal: B
content: $$ab=-2$$且$$a\ne 1$$ 
aoVal: C
content: $$ab\ne -2$$ 
aoVal: D
content: $$ab=-2$$且$$a\ne 2$$ 
Answer: A
Analysis: 整理方程得$$\begin{cases}bx+aby+b=0    bx-2y+a=0    \end{cases}$$，  则$$\left( ab+2 \right)y=a-b$$，  要使方程组没有实数解，则$$\begin{cases}ab=-2    a-b\ne 0    \end{cases}$$，  ∵$$ab=-2\textless{}0$$，  ∴$$a$$不可能等于$$b$$，  ∴满足$$ab=-2$$即可． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分
Problem: $$a$$，$$b$$都是有理数，现有$$4$$个判断：  ①如果$$a+b ~\textless{} ~a$$，则$$b ~\textless{} ~0$$．②如果$$ab ~\textless{} ~a$$，那么$$b ~\textless{} ~0$$．  ③如果$$a-b ~\textless{} ~a$$，则$$b\textgreater0$$．④如果$$a\textgreater b$$，那么$$\frac{a}{b}\textgreater1$$．  其中正确的判断是．
Options:
aoVal: A
content: ①② 
aoVal: B
content: ②③ 
aoVal: C
content: ①④ 
aoVal: D
content: ①③ 
Answer: D
Analysis: 由$$a+b ~\textless{} ~a\Rightarrow b ~\textless{} ~0$$，所以①判断正确．  当$$a=2$$，$$b=\frac{1}{2}$$时，$$ab=1 ~\textless{} ~2=a$$．而$$b=\frac{1}{2}\textgreater0$$，所以判断②不正确．  由$$a-b ~\textless{} ~a\Rightarrow -b ~\textless{} ~0\Rightarrow b\textgreater0$$．③判断正确．  当$$a=2$$，$$b=-1$$时，显然$$a\textgreater b$$，但$$\frac{a}{b}=-2 ~\textless{} ~1$$．所以④判断不正确．  综上分析可知，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第8题
Problem: 甲用$$1000$$元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利$$10 \%$$，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了$$10 \%$$．最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 盈亏平衡 
aoVal: B
content: 盈利$$1$$元 
aoVal: C
content: 盈利$$9$$元 
aoVal: D
content: 亏损$$1.1$$元 
Answer: B
Analysis: 甲将股票卖给乙的价格是$$1000\times (1+10 \%)=1100$$（元），  乙将股票卖给甲的价格是$$1000\times (1-10 \%)=990$$（元），  甲再卖给乙的价格是$$990\times (1-10 \%)=891$$（元），  因此甲先赚了$$1100-1000=100$$（元），接着又亏了$$990-891=99$$（元），  故甲盈利$$1$$元． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
Source: 2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分
Problem: 设$$a$$是有理数，用$$[a]$$表示不超过$$a$$的最大整数，如$$[1.7]=1$$，$$[-1]=-1$$，$$[0]=0$$，$$[-1.2]=-2$$，则在以下四个结论中，正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$[a]+[-a]=0$$ 
aoVal: B
content: $$[a]+[-a]=0$$或$$1$$ 
aoVal: C
content: $$[a]+[-a]\ne 0$$ 
aoVal: D
content: $$[a]+[-a]=0$$或$$-1$$ 
Answer: D
Analysis: 当$$a=1.1$$时，$$[a]=1$$，$$[-a]=-2$$，所以$$\text{A}$$、$$\text{B}$$不成立．  当$$a=1$$时，$$[a]=1$$，$$[-a]=-1$$，所以$$\text{C}$$不成立．  当$$a\geqslant 0$$时，$$a$$可以写成$$a=[a]+ {a }$$，而 $$0\leqslant  {a } ~\textless{} ~1$$，$$-a=-[a]- {a }$$．  如果$$ {a }=0$$，即$$a$$是正整数，则$$[-a]=-[a]$$，所以 $$[a]+[-a]=0$$．  如果$$ {a }\textgreater0$$，则$$[-a]=-[a]=-1$$，所以$$[a]+[-a]=-1$$．  当$$a ~\textless{} ~0$$时，令$$b=-a\textgreater0$$，将上面讨论中的$$a$$换成$$b$$，仍可以得到$$[a]+[-a]=0$$或$$-1$$．  故选$$\text{D}$$. 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2019~2020学年河北邯郸复兴区邯郸市锦玉中学初一上学期期末第15题2分
2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第9题4分
Problem: 设实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足：$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}=$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$12$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，  ∴$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}$$  $$=\frac{4-{{c}^{2}}}{2-c}+\frac{4-{{a}^{2}}}{2-a}+\frac{4-{{b}^{2}}}{2-b}$$  $$=2+c+2+a+2+b$$  $$=a+b+c+6$$  $$=3+6$$  $$=9$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第1题7分
Problem: 在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如由$$A$$、$$B$$、$$C$$三个顶点形成$$\angle ABC$$，$$\angle BAC$$，$$\angle ACB$$），一共可以作出$$168$$个角，那么这些角中最小的一个一定．
Options:
aoVal: A
content: 小于或等于$$20^{\circ}$$ 
aoVal: B
content: 小于或等于$$22.5^{\circ}$$ 
aoVal: C
content: 小于或等于$$25^{\circ}$$ 
aoVal: D
content: 小于或等于$$27.5^{\circ}$$ 
Answer: B
Analysis: 凸八边形的$$8$$个内角的和为$$6\times180^{\circ}=1080^{\circ}$$，其中至少有一个内角小于等于$$1080^{\circ}\div8=135^{\circ}$$．  不妨设$$\angle A \leqslant 135^{\circ}$$，在八边形中除$$A$$点及它的两个相邻顶点外，还有$$5$$个顶点，它们与$$A$$连$$5$$条对角线，把$$\angle A$$分成$$6$$个角，在这$$6$$个角中必有一个角小于等于$$135^{\circ}\div6=22.5^{\circ}$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
Source: 2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 古人用天干和地支记次序，其中天干有$$10$$个：甲乙丙丁度己庚辛壬癸．地支有$$12$$个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的$$10$$个汉字和地支的$$12$$个汉字分别循环排列成如下两行：  甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸$$\cdots \cdots $$  子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥$$\cdots \cdots $$  从左向右数，第$$1$$列是甲子，第$$2$$列是乙丑，第$$3$$列是丙寅$$\cdots \cdots $$，  则当第$$2$$次甲和子在同一列时，该列的序号是．
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$61$$ 
aoVal: C
content: $$91$$ 
aoVal: D
content: $$121$$ 
Answer: B
Analysis: ``甲''在第一行出现的位置是$$10m+1$$，$$m=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，``子''在第二行出现的位置是$$12n+1$$，$$n=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$．  所以``甲''和``子''在同一列时应有  $$10m+1=12n+1$$，  即$$10m=12n$$，  当$$m=n=0$$时是第一次``甲''\,``子''同列，第二次``甲''\,``子''同列时应是使得$$10m=12n$$成立的最小正整数$$m$$和$$n$$，即$$m=6$$，$$n=5$$．  所以，应是第$$61$$号位置．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->组合->排列与组合
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第8题
Problem: 数$$a$$的任意正奇数次幂都等于$$a$$的相反数，则．
Options:
aoVal: A
content: $$a=0$$ 
aoVal: B
content: $$a=-1$$ 
aoVal: C
content: $$a=1$$ 
aoVal: D
content: 不存在这样的$$a$$值 
Answer: A
Analysis: 根据题意，对任意正奇数$$n$$，$${{a}^{n}}=-a$$，  如果$$a\textless{}0$$，则$$-a\textgreater0$$，  而$${{a}^{n}}\textless{}0$$，$${{a}^{n}}\ne -a$$，  因此$$a$$不能是负数，  如果$$a\textgreater0$$，则$$-a\textless{}0$$，  而$${{a}^{n}}\textgreater0$$，$${{a}^{n}}\ne -a$$，  因此$$a$$不能是正数，  由于$$0$$的相反数是$$0$$，  所以$$a=0$$时，$${{a}^{n}}={{0}^{n}}=0=-a$$成立，  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第1题
Problem: $${{19}^{93}}+{{93}^{19}}$$的末位数字是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: C
Analysis: $${{19}^{93}}={{19}^{2\times 46+1}}$$，$${{93}^{19}}={{93}^{4\times 4+3}}$$  所以$${{19}^{93}}$$与$${{19}^{1}}$$的末位数相同是$$9$$、$${{93}^{19}}$$与$${{93}^{3}}$$末位数字相同是$$7$$．  因此$${{19}^{93}}+{{93}^{10}}$$末位数字是$$9+7=16$$的末位数字$$6$$，选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
Source: 1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第5题
Problem: 设$$q=mn$$，$$p=\sqrt{q+n}+\sqrt{q-m}$$，其中$$m$$，$$n$$是两个连续的自然数（$$m\textless{}n$$）．则$$p$$（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 总是奇数 
aoVal: B
content: 总是偶数 
aoVal: C
content: 有时是奇数，有时是偶数 
aoVal: D
content: 有时是有理数，有时是无理数 
Answer: A
Analysis: 由$$m$$，$$n$$是两个连续的自然数（$$m\textless{}n$$），得$$n=m+1$$，  所以$$q=mn=m(m+1)={{m}^{2}}+m$$．  从而$$p=\sqrt{q+n}+\sqrt{q-m}$$  $$=\sqrt{{{m}^{2}}+m+m+1}+\sqrt{{{m}^{2}}+m-m}$$  $$=m+1+m$$  $$=2m+1$$．  可知，$$p$$总是奇数． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分
Problem: $$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$可能的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$1$$或$$-1$$ 
aoVal: C
content: $$2$$或$$-2$$ 
aoVal: D
content: $$0$$或$$-2$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
Source: 2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分
2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分
2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分
初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题
Problem: 已知$${{b}^{2}}-4ac$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$$的一个实数根，则$$ab$$的取值范围为．
Options:
aoVal: A
content: $$ab\geqslant \frac{1}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$ab\leqslant \frac{1}{8}$$ 
aoVal: C
content: $$ab\geqslant \frac{1}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$ab\leqslant \frac{1}{4}$$ 
Answer: B
Analysis: 由求根公式得到方程的根为$$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$，设$$\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}=y$$，又因为$${{y}^{2}}={{b}^{2}}-4ac$$是原方程的根，所以$${{y}^{2}}=\frac{-b+y}{2a}$$或者$${{y}^{2}}=\frac{-b-y}{2a}$$，因为$$a\ne 0$$，这两个方程可化成关于$$y$$的一元二次方程$$2a{{y}^{2}}\pm y+b=0$$，考虑这个方程的判别式得到$$1-8ab\geqslant 0$$，所以$$ab{\leqslant } \frac{1}{8}$$，选择$$\text{B}$$． 
<p>因为方程有实数解，故$${{b}^{2}}-4ac{\geqslant }0$$，由题意，</p>
<p>有$$\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}={{b}^{2}}-4ac$$或$$\frac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}={{b}^{2}}-4ac$$．</p>
<p>令$$u=\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}$$，得方程$$2a{{u}^{2}}-u+b=0$$或$$2a{{u}^{2}}+u+b=0$$，</p>
<p>因为$$u=\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}$$是其解，所以方程的判别式非负，即$$1-8ab{\geqslant }0$$，故$$ab{\leqslant }\frac{1}{8}$$．</p>
<p>故选$$\text{B}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->思想->方程思想
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式
课内体系->能力->推理论证能力
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年9月湖北武汉武昌区武汉市武珞路实验初级中学初三上学期周测A卷第8题3分
2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第5题
Problem: 甲、乙、丙、丁$$4$$名跑步运动员的速度依次是$${{v}_{1}}$$，$${{v}_{2}}$$，$${{v}_{3}}$$，$${{v}_{4}}$$，且$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，他们沿直跑道进行追逐赛的规则如下：①$$4$$人在同一起跑线上，同时同向出发；②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁，谁就是冠军．则．
Options:
aoVal: A
content: 冠军是甲 
aoVal: B
content: 冠军是乙 
aoVal: C
content: 冠军是丙 
aoVal: D
content: 甲、乙、丙同时遇到丁 
Answer: C
Analysis: 出发时间$$t$$后，甲、乙、丙与丁的距离为$${{s}_{i}}=({{v}_{i}}-{{v}_{4}})t$$，$$i=1$$，$$2$$，$$3$$．  甲、乙、丙反向后，遇到丁的时间为$${{t}_{i}}^{\prime }=\frac{({{v}_{i}}-{{v}_{4}})t}{{{v}_{i}}+{{v}_{4}}}=\left( 1-\frac{2{{v}_{4}}}{{{v}_{i}}+{{v}_{4}}} \right)t$$．  已知$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，  所以有$${{t}_{1}}\textgreater{{t}_{2}}\textgreater{{t}_{3}}$$，  即丙先遇到丁，丙是冠军． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题
课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第7题4分
Problem: 有理数$$a$$、$$b$$满足$$a=1997b$$，则（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\geqslant b$$ 
aoVal: B
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\leqslant b$$ 
aoVal: C
content: $$a\geqslant \left\textbar{} b \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $$\left\textbar{} a \right\textbar\geqslant \left\textbar{} b \right\textbar$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$1997\textgreater0$$，可以确定有理数$$a$$、$$b$$同是正数，或同是负数，或同是$$0$$．  又∵$$1997\textgreater1$$，所以必须$$\left\textbar{} a \right\textbar\geqslant \left\textbar{} b \right\textbar$$，选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第8题
Problem: 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即``逢二进一''，如$${{(1101)}_{2}}$$表示二进制数，将它转换成十进制形式是$$1\times {{2}^{3}}+1\times {{2}^{2}}+0\times {{2}^{1}}+1\times {{2}^{0}}=13$$，那么将二进制数$${{(11111)}_{2}}$$转换成十进制形式的数为．
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$31$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$33$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$${{(1101)}_{2}}=1\times {{2}^{3}}+1\times {{2}^{2}}+0\times {{2}^{1}}+1\times {{2}^{0}}=13$$，  ∴$${{(11111)}_{2}}=1\times {{2}^{4}}+1\times ~{{2}^{3}}+1\times {{2}^{2}}+1\times ~{{2}^{1}}+1\times {{2}^{0}}$$，  $$=16+8+4+2+1$$  $$=31$$．  故选：$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->抽象概括能力
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第11题3分
2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第11题3分
2020~2021学年10月湖南长沙岳麓区长郡集团郡维学校初一上学期月考第10题3分
Problem: $${{2}^{16}}-1$$能分解成$$n$$个质因数的乘积，$$n$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$3$$ 
Answer: C
Analysis: $${{2}^{16}}-1$$  $$=({{2}^{8}}+1)({{2}^{8}}-1)$$  $$=\cdots $$  $$=({{2}^{8}}+1)({{2}^{4}}+1)({{2}^{2}}+1)({{2}^{1}}+1)({{2}^{1}}-1)$$，  其中，除了$${{2}^{1}}-1=1$$外，其余$$4$$个括号内的数都是质数，  所以$${{2}^{16}}-1$$可以分解为$$4$$个质因数的乘积． 
<p>首先利用平方差公式分解因式，即可求得：</p>
<p>$$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)$$，</p>
<p>则问题得解．</p>
<p>∵$$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 28-1 \right)=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 24-1 \right)$$</p>
<p>$$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 22-1 \right)$$</p>
<p>$$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)=257\times 17\times 5\times 3$$．</p>
<p>&there4;$$n=4$$．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>

Knowledge points: 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->公式法综合应用
课内体系->能力->运算能力
Source: 2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分
初一单元测试《分解方法的延拓（1）》第22题