math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 由$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$五个数字组成没有重复数字的三位数，各个数字之和为偶数的共有（~ ~ ~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$6$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$36$$ 
aoVal: D
content: $$42$$ 
Answer: C
Analysis: 数字之和为偶数的数有$$123$$、$$125$$、$$134$$、$$145$$、$$235$$、$$345$$，而每种选法又可以有五种不同三位数，所以$$6\times 6=36$$个不同的三位数． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛邀请赛训练题（一）
Problem: 设二次函数$$y={{x}^{2}}+2ax+\frac{{{a}^{2}}}{2}$$的图象的顶点为$$A$$，与$$x$$轴的交点为$$B$$，$$C$$．当$$\triangle ABC$$为等边三角形时，其边长为 (~ ~ ) .
Options:
aoVal: A
content: $$\sqrt{6}$$ 
aoVal: B
content: $$2\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2\sqrt{3}$$ 
aoVal: D
content: $$3\sqrt{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 由题设知$$A\left( -a,-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)$$．设$$B({{x}_{1}},0)$$，$$C({{x}_{2}},0)$$，  二次函数的图象的对称轴与$$x$$轴的交点为$$D$$，  则$$BC=\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{ }}_{2} \right\textbar=\sqrt{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-4\times \frac{{{a}^{2}}}{2}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}$$.  又$$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}BC$$，则$$\left\textbar{} -\frac{{{a}^{2}}}{2} \right\textbar=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{2{{a}^{2}}}$$，解得$${{a}^{2}}=6$$或$${{a}^{2}}=0$$ (舍去)  所以，$$\triangle ABC$$的边长$$BC=\sqrt{2{{a}^{2}}}=2\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与等边三角形结合
Source: 2018年全国全国初中数学联赛初一竞赛A卷
Problem: 已知$$a=2$$，$$b=3$$，则．
Options:
aoVal: A
content: $$a{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$和$$b{{m}^{3}}{{n}^{2}}$$是同类项 
aoVal: B
content: $$3{{x}^{a}}{{y}^{3}}$$和$$b{{x}^{3}}{{y}^{3}}$$是同类项 
aoVal: C
content: $$b{{x}^{2a+1}}{{y}^{4}}$$和$$a{{x}^{5}}{{y}^{b+1}}$$是同类项 
aoVal: D
content: $$5{{m}^{2b}}{{n}^{5a}}$$和$$6{{n}^{2b}}{{m}^{5a}}$$是同类项 
Answer: C
Analysis: 由同类项的定义可知，当$$a=2$$，$$b=3$$时，  $$\text{A}$$为：$$2{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$和$$3{{m}^{2}}{{n}^{2}}$$，显然不是同类项．  $$\text{B}$$为$$3{{x}^{2}}{{y}^{3}}$$和$$3{{x}^{3}}{{y}^{3}}$$，$${{x}^{2}}$$与$${{x}^{3}}$$不同，所以也不是同类项．  $$\text{C}$$为$$3{{x}^{2\times 2+1}}{{y}^{4}}$$和$$3{{x}^{5}}{{y}^{3+1}}$$，即$$3{{x}^{5}}{{y}^{4}}$$和$$3{{x}^{5}}{{y}^{4}}$$，是同类项．  $$\text{D}$$为$$5{{m}^{2}}\times 3{{n}^{5\times 2}}=5{{m}^{6}}{{n}^{10}}$$和$$6{{n}^{2\times 3}}{{m}^{5\times 2}}=6{{n}^{6}}{{m}^{10}}$$，显然不是．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义
Source: 2000年第11届希望杯初一竞赛第4题
Problem: 若$$a$$、$$c$$、$$d$$是整数，$$b$$是正整数，且满足$$a+b=c$$，$$b+c=d$$，$$c+d=a$$，那么$$a+b+c+d$$的最大值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-1$$ 
aoVal: B
content: $$-5$$ 
aoVal: C
content: $$0$$ 
aoVal: D
content: $$1$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$a+b=c$$，∴$$a=c-b$$．  又∵$$b+c=d$$，$$c+d=a$$，  ∴$$c=-2b$$，$$a=-3b$$，$$d=-b$$，  ∴$$a+b+c+d=-5b$$．  ∵$$b$$是正整数，其最小值为$$1$$，  ∴$$a+b+c+d=-5b$$的最大值是$$-5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合
Source: 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第6题
初一下学期单元测试《二元一次方程组》三元一次方程组第8题
2022年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第3题
Problem: 若$${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2019$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2020$$ 
aoVal: B
content: $$2021$$ 
aoVal: C
content: $$-2020$$ 
aoVal: D
content: $$-2021$$ 
Answer: B
Analysis: $${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{2}}+x=2$$，  ∴$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2019$$  $$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x-2x+2019$$  $$=x\left( {{x}^{2}}+x \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)-2x+2019$$  $$=2x+2-2x+2019$$  $$=2021$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-降次化简求值
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: 若$${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$=．
Options:
aoVal: A
content: $$2009$$ 
aoVal: B
content: $$2008$$ 
aoVal: C
content: $$-2008$$ 
aoVal: D
content: $$-2009$$ 
Answer: A
Analysis: $${{x}^{2}}+x-2=0$$，则$${{x}^{2}}+x=2$$，  ∴$${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+2007$$  $$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x-2x+2007$$  $$=x\left( {{x}^{2}}+x \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)-2x+2007$$  $$=2x+2-2x+2007$$  $$=2009$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-降次化简求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分
Problem: 互不相等的有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$在数轴上的对应点分别为$$A$$，$$B$$，$$C$$．如果$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$，那么在点$$A$$，$$B$$，$$C$$中，居中的是点~\uline{~~~~~~~~~~}~．
Options:
aoVal: A
content: $$A$$ 
aoVal: B
content: $$B$$ 
aoVal: C
content: $$C$$ 
Answer: B
Analysis: 当$$a\textless{}b\textless{}c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=b-a+c-b=c-a=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$；  当$$a\textgreater b\textgreater c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=a-b+b-c=a-c=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$；  所以点$$B$$在点$$A$$与点$$C$$之间．  当点$$B$$不在$$A$$，$$C$$两个点之间时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$不成立．  事实上，当$$b\textless{}a\textless{}c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=a-b+c-b=a+c-2b$$，$$\left\textbar{} c-a \right\textbar=c-a$$．  这时不可能有$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$，  否则，$$a+c-2b=c-a$$，即$$2a=2b$$，  得出$$a$$和$$b$$相等，与题设条件矛盾．类似地可以讨论其他情形． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->知识点->数->有理数->数轴
Source: 2010年第15届华杯赛初一竞赛决赛第1题
Problem: 在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设$$k$$ 为整数，当直线$$y=x-3$$ 与$$y=kx+k$$ 的交点为整数时，$$k$$ 的值可以取．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 个 
aoVal: B
content: $$4$$ 个 
aoVal: C
content: $$6$$ 个 
aoVal: D
content: $$8$$ 个 
Answer: C
Analysis: 由题意得：$$\begin{cases}y=kx+k    y=x-3   \end{cases}$$ ，  解得：$$\begin{cases}x=\dfrac{k+3}{1-k}    y=\dfrac{4k}{1-k}   \end{cases}$$ ，  ∴$$\begin{cases}x=-1+\dfrac{4}{1-k}    y=-4+\dfrac{4}{1-k}   \end{cases}$$ ，  ∵交点为整数，  ∴$$k$$ 可取的整数解有$$0$$ ，$$2$$ ，$$3$$ ，$$5$$ ，$$-1$$ ，$$-3$$ 共$$6$$ 个．  故选$$\text{C}$$ ． 
<p>由题意可知，$$x-3=k\left( x+1 \right)$$，</p>
<p>所以$$k=\frac{x-3}{x+1}=1-\frac{4}{x+1}$$，</p>
<p>但$$k$$为整数，</p>
<p>于是$$x+1=\pm 1$$，$$\pm 2$$，$$\pm 4$$，$$k$$可取$$6$$个值，</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组的含参整数解问题
课内体系->能力->运算能力
Source: 2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第5题7分
Problem: 已知$$a$$是正整数，方程组$$\begin{cases}ax+4y=8    3x+2y=6 \end{cases}$$的解满足$$x\textgreater0$$，$$y\textless{}0$$，则$$a$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$，$$5$$，$$6$$以外的其他正整数 
Answer: B
Analysis: $$\begin{cases}ax+4y=8 ①   3x+2y=6 ②\end{cases}\begin{matrix}     \end{matrix}$$，  ①$$-$$②$$\times 2$$：$$ax-bx=8-12$$  ∴$$(a-b)x=-4$$  ∵$$x\textgreater0$$，  ∴$$a-b\textless{}0$$，$$a\textless{}b$$．  ①$$\times 3-$$②$$\times a$$：$$12y-2ay=24-6a$$，  ∴$$(6-a)y=12-3a$$．  ∵$$y\textless{}0$$且$$a\textless{}6$$，  ∴$$12-3a\textless{}0$$，  ∴$$a\textgreater4$$，  ∴$$4\textless{}a\textless{}6$$，  又∵$$a$$为正整数，  ∴$$a=5$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围
课内体系->能力->推理论证能力
Source: 其它
2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 方程组$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} x \right\textbar+y=10    x+\left\textbar{} y \right\textbar=4   \end{matrix} \right.$$的解有（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$组 
aoVal: B
content: $$2$$组 
aoVal: C
content: $$3$$组 
aoVal: D
content: $$4$$组 
Answer: A
Analysis: 当$$x\geqslant 0$$，$$y\geqslant 0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}x+y=10    x+y=4   \end{matrix} \right.$$，两个方程互相矛盾，无解；  当$$x\textless{}0$$，$$y\textless{}0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}-x+y=10    x-y=4   \end{matrix} \right.$$，两个方程互相矛盾，无解；  当$$x\geqslant 0$$，$$y\textless{}0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}x+y=10    x-y=4   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}x=7    y=3   \end{matrix} \right.$$，与条件矛盾，舍去；  当$$x\textless{}0$$，$$y\geqslant 0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}-x+y=10    x+y=4   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}x=-3    y=7   \end{matrix} \right.$$，符合条件．  综上所述，原方程组只有一组解． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组
课内体系->能力->运算能力
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分
Problem: 某研究所全体员工的月平均工资为$$5500$$元，男员工月平均工资为$$6500$$元，女员工月平均工资为$$5000$$元，则该研究所男、女员工人数之比是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$2:3$$ 
aoVal: B
content: $$3:2$$ 
aoVal: C
content: $$1:2$$ 
aoVal: D
content: $$2:1$$ 
Answer: C
Analysis: 设该研究所有$$x$$名男员工，$$y$$名女员工，  由题意，得$$\frac{6500x+5000y}{x+y}=5500$$，  整理，得$$y=2x$$，  所以$$x:y=1:2$$．  即该研究所男、女员工人数之比是$$1:2$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程与实际问题->分式方程的其他实际问题
课内体系->能力->分析和解决问题能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分
初一单元测试《列方程解应用题—设元的技巧》第8题
Problem: 有一批长度分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$，$$9$$，$$10$$和$$11$$厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取$$3$$根木条作为$$3$$条边，可围成一个三角形．如果规定底边是$$11$$厘米长，你能围成个不同的三角形?
Options:
aoVal: A
content: $$24$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$42$$ 
aoVal: D
content: $$48$$ 
Answer: B
Analysis: 规定底边长是$$11$$厘米，其余两边长分别是$$a$$及$$b$$时，不妨设$$a\leqslant b$$．任意一个三角形，它的任意两条边的长度之和，总比余下的一条边要长，即必有$$11\textless{}a+b$$．于是$$\left( a,b \right)$$的可能的值便有：$$\left( 11,11 \right)$$；$$\left( 10,10 \right)$$，$$\left( 10,11 \right)$$；$$\left( 9,9 \right)$$，$$\left( 9,10 \right)$$，$$\left( 9,11 \right)$$；$$\left( 8,8 \right)$$，$$\left( 8,9 \right)$$，$$\left( 8,10 \right)$$，$$\left( 8,11 \right)$$；$$\left( 7,7 \right)$$，$$\left( 7,8 \right)$$，$$\left( 7,9 \right)$$，$$\left( 7,10 \right)$$，$$\left( 7,11 \right)$$；$$\left( 6,6 \right)$$，$$\left( 6,7 \right)$$，$$\left( 6,8 \right)$$，$$\left( 6,9 \right)$$，$$\left( 6,10 \right)$$，$$\left( 6,11 \right)$$；$$\left( 5,7 \right)$$，$$\left( 5,8 \right)$$，$$\left( 5,9 \right)$$，$$\left( 5,10 \right)$$，$$\left( 5,11 \right)$$；$$\left( 4,8 \right)$$，$$\left( 4,9 \right)$$，$$\left( 4,10 \right)$$，$$\left( 4,11 \right)$$；$$\left( 3,9 \right)$$，$$\left( 3,10 \right)$$，$$\left( 3,11 \right)$$；$$\left( 2,10 \right)$$，$$\left( 2,11 \right)$$；$$\left( 1,11 \right)$$．  可见，总数等于$$2\times \left( 1+2+3+4+5 \right)+6=36$$ （个）．  答：能围成$$36$$个不同的三角形． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系
竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1999年第4届华杯赛初一竞赛复赛第12题
Problem: 若代数式$${{x}^{2}}-6x+b$$可化为$${{(x-a)}^{2}}-1$$，则$$b-a$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$5$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: A
Analysis: 由题意$$\left { \begin{matrix}2a=6    b={{a}^{2}}-1   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}a=3    b=8   \end{matrix} \right.$$，于是$$b-a=5$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->方法->配方法
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第1题
Problem: 已知$$abc\ne 0$$，并且$$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=p$$，  那么直线$$y=px+p$$一定通过第象限．
Options:
aoVal: A
content: 一、二 
aoVal: B
content: 二、三 
aoVal: C
content: 三、四 
aoVal: D
content: 一、四 
Answer: B
Analysis: 由条件得：①$$a+b=pc$$，②$$b+c=pa$$，③$$a+c=pb$$，  三式相加得: $$2\left( a+b+c \right)=p\left( a+b+c \right)$$．  ∴$$p=2$$或$$a+b+c=0$$．  当$$p=2$$时，$$y=2x+2$$．则直线通过第一、二、三象限．  当$$a+b+c=0$$时，不妨取$$a+b=-c$$，于是$$p=\frac{a+b}{c}=-1$$，  ∴$$y=-x-1$$，则直线通过第二、三、四象限．  综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->函数->一次函数->一次函数的图象与性质->一次函数的图象与系数的关系
知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算
知识标签->学习能力->运算能力
知识标签->题型->函数->一次函数->一次函数基础->题型：一次函数图象与性质
知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值
知识标签->数学思想->数形结合思想
Source: 2012年四川成都青羊区成都树德实验中学初三自主招生第8题5分
2017~2018学年福建泉州鲤城区泉州市第六中学初二下学期期中第10题4分
1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第4题6分
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$12$$，$$13$$这$$13$$个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大$$10$$，这样的分组方法（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 只有一种 
aoVal: B
content: 恰有两种 
aoVal: C
content: 多于三种 
aoVal: D
content: 不存在 
Answer: D
Analysis: 设一组数的和为$$x$$，另一组数的和为$$y$$，由$$\left { \begin{matrix}x+y=91    x-y=10   \end{matrix} \right.$$，得$$2y=81$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->能力->分析和解决问题能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题
课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第10题4分
初一其它
Problem: 满足$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar=ab\left( ab\ne 0 \right)$$的有理数$$a$$、$$b$$，一定不满足的关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$ab \textless{} 0$$ 
aoVal: B
content: $$ab\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$a+b\textgreater0$$ 
aoVal: D
content: $$a+b \textless{} 0$$ 
Answer: A
Analysis: 若$$a\geqslant b$$，$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar={{(a-b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}=0\ne ab$$，  若$$a \textless{} b$$，$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar={{(a-b)}^{2}}+{{(b-a)}^{2}}=2{{(a-b)}^{2}}=ab$$，  从平方的非负性我们知道$$ab\geqslant 0$$，且$$ab\ne 0$$，所以$$ab\textgreater0$$，则选项$$\text A$$一定不满足． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式
Source: 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第9题
Problem: 有以下$$5$$个命题：  ①两组邻角互补的四边形是平行四边形  ②有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形  ③一边上的两个角相等的梯形是等腰梯形  ④对角线相等的四边形是矩形  ⑤菱形的面积等于两条对角线的乘积  其中，正确的命题有（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: A
Analysis: 两组邻角互补的四边形可能是梯形，命题①不正确；  有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，命题②正确；  一边上的两个角相等的梯形可能是直角梯形，命题③不正确；  对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，命题④不正确；  菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，命题⑤不正确．  故正确的命题的个数是$$1$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的判定及应用->矩形的判定-从平行四边形
课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->菱形->菱形的周长与面积
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分
Problem: 实数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$满足：①$$a+b=c+d$$；②$$a+d\textless{}b+c$$；③$$c\textless{}d$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$的大小关系是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textless{}c\textless{}d\textless{}b$$ 
aoVal: B
content: $$b\textless{}c\textless{}d\textless{}a$$ 
aoVal: C
content: $$c\textless{}d\textless{}a\textless{}b$$ 
aoVal: D
content: $$c\textless{}d\textless{}b\textless{}a$$ 
Answer: A
Analysis: 由①，知$$a-d=c-b$$，④  ②$$+$$④，得$$2a\textless{}2c$$，即$$a\textless{}c$$，⑤  因为$$c\textless{}d$$，  所以$$a\textless{}c\textless{}d$$，  又由①，知$$b-d=c-a\textgreater0$$，  所以$$b\textgreater d$$，  所以$$a\textless{}c\textless{}d\textless{}b$$． 
<p>①$$+$$②得：$$2a+b+d &nbsp;&lt; &nbsp;2c+b+d$$，故$$a &nbsp;&lt; &nbsp;c$$，</p>
<p>①$$-$$②得：$$b-d&gt;d-b$$，故$$b&gt;d$$，</p>
<p>又∵$$c &nbsp;&lt; &nbsp;d$$，&there4;$$a &nbsp;&lt; &nbsp;c &nbsp;&lt; &nbsp;d &nbsp;&lt; &nbsp;b$$．</p>
<p>设$$a=1$$，$$b=6$$，$$c=3$$，$$d=4$$，满足条件，故$$a &nbsp;&lt; &nbsp;c &nbsp;&lt; &nbsp;d &nbsp;&lt; &nbsp;b$$．</p>
<p>故选$$\text{A}$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分
Problem: 设$$x$$是实数，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$．下列四个结论：  Ⅰ．$$y$$没有最小值~  Ⅱ．只有一个$$x$$使$$y$$取到最小值~  Ⅲ．有限多个$$x$$(不止一个)使$$y$$取到最大值~  Ⅳ．有无穷多个$$x$$使$$y$$取到最小值~  其中正确的是（~ ）.
Options:
aoVal: A
content: I 
aoVal: B
content: Ⅱ 
aoVal: C
content: Ⅲ 
aoVal: D
content: Ⅳ 
Answer: D
Analysis: 因为$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar$$，$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$分别表示数轴上点$$x$$到点$$1$$和点$$-1$$的距离，  因此，当$$-1\leqslant x\leqslant 1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2$$，  当$$x ~\textless{} ~-1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2+2\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$，  当$$x\textgreater1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2+2\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$，  而在$$-1$$与$$1$$之间有无穷个实数$$x$$，故有无穷多个$$x$$使$$y$$取到最小值. 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用绝对值求最值
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->思想->分类讨论思想
Source: 1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第3题
Problem: $$\triangle ABC$$的内角分别为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$，若$$\angle 1=\angle A+\angle B$$，$$\angle 2=\angle B+\angle C$$，$$\angle 3=\angle A+\angle C$$，则$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 至少有一个锐角 
aoVal: B
content: 三个都是钝角 
aoVal: C
content: 至少有两个钝角 
aoVal: D
content: 可以有两个直角 
Answer: C
Analysis: 因为三角形的内角中至少有$$2$$个锐角，  而$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$是三角形的三个外角，  所以$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中至少有两个钝角． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分
Problem: 当$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\leqslant 6$$时，函数$$y=x\left\textbar{} x \right\textbar-2x+1$$的最大值是 ．
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$24$$ 
aoVal: D
content: $$34$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\leqslant 6$$解得$$-7\leqslant x\leqslant 5$$．  当$$0\leqslant x\leqslant 5$$时，$$y={{x}^{2}}-2x+1={{(x-1)}^{2}}$$，此时$${{y}_{最大}}={{(5-1)}^{2}}=16$$．  当$$-7\leqslant x\leqslant 0$$时，$$y=-{{x}^{2}}-2x+1=2-{{(x+1)}^{2}}$$，此时$${{y}_{最大}}=2$$．  因此，当$$-7\leqslant x\leqslant 5$$时，$$y$$的最大值是$$16$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式
课内体系->能力->运算能力
Source: 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第10题8分
Problem: 黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$2012$$ 
aoVal: B
content: $$101$$ 
aoVal: C
content: $$100$$ 
aoVal: D
content: $$99$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$a+b+ab+1=(a+1)(b+1)$$得，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加$$1$$后的乘积不变，  设经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数为$$x$$，  则$$x+1=(1+1)( \frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)\cdots (\frac{1}{100}+1)$$，  解得$$x=100$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->式->因式分解->因式分解综合应用
知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：其他方法
Source: 2016年山东青岛竞赛二中杯
初二其它
Problem: 某位同学在代数变形中，得到下列四个式子．  ①$$^{3}\sqrt{-{{(1-x)}^{3}}}=1-x$$．  ②当$$x$$$$=\pm 2$$时，分式$$\frac{\left\textbar{} x\left. {} \right\textbar-2 \right.}{{{x}^{2}}-x-6}$$的值均为$$0$$．  ③分解因式:$$$$$${{x}^{n+1}}-3{{x}^{n}}+2{{x}^{n-1}}={{x}^{n}}.x-3{{x}^{n}}+{{x}^{n}}\frac{2}{x}={{x}^{n}}(x-3+\frac{2}{x})$$．  ④$${{9997}^{2}}=({{9997}^{2}}-{{3}^{2}})+9=(9997+3)(9997-3)+9=99940009$$．  其中正确的个数是 ．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$个 
aoVal: B
content: $$2$$个 
aoVal: C
content: $$3$$个 
aoVal: D
content: $$4$$个 
Answer: A
Analysis: 显然①式不成立；在②当中，当$$x=-2$$时，分母为$$0$$，故②式不成立；当$$x=0$$时，③式不成立；只有④式成立．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法
竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：提公因式法
竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简
Source: 1995年第6届希望杯初二竞赛第3题
Problem: 轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 增多 
aoVal: B
content: 减少 
aoVal: C
content: 不变 
aoVal: D
content: 增多、减少都有可能 
Answer: A
Analysis: 设两码头之间距离为$$s$$，船在静水中速度为$$a$$，水速为$${{v}_{0}}$$，则往返一次所用时间为$${{t}_{0}}=\frac{s}{a+{{v}_{0}}}+\frac{s}{a-{{v}_{0}}}$$，  设河水速度增大后为$$v(v\textgreater{{v}_{0}})$$，则往返一次所用时间为$$t=\frac{s}{a+v}+\frac{s}{a-v}$$．  计算：$${{t}_{0}}-t=\frac{s}{a+{{v}_{0}}}+\frac{s}{a-{{v}_{0}}}-\frac{s}{a+v}-\frac{s}{a-v}$$  $$=s[(\frac{1}{a+{{v}_{0}}}-\frac{1}{a+v})+(\frac{1}{a-{{v}_{0}}}-\frac{1}{a-v})]$$  $$=s[\frac{v-{{v}_{0}}}{(a+{{v}_{0}})(a+v)}+\frac{{{v}_{0}}-v}{(a-{{v}_{0}})(a-v)}]$$  $$=s(v-{{v}_{0}})[\frac{1}{(a+{{v}_{0}})(a+v)}-\frac{1}{(a-{{v}_{0}})(a-v)}]$$．  由于$$v-{{v}_{0}}\textgreater0$$，$$a+{{v}_{0}}\textgreater a-{{v}_{0}}$$，$$a+v\textgreater a-v$$  所以$$(a+{{v}_{0}})(a+v)\textgreater(a-{{v}_{0}})(a-v)$$，  因此$$\frac{1}{(a+{{v}_{0}})(a+v)}\textless\frac{1}{(a-{{v}_{0}})(a-v)}$$，  即$$\frac{1}{(a+{{v}_{0}})(a+v)}-\frac{1}{(a-{{v}_{0}})(a-v)}\textless0$$．  ∴$${{t}_{0}}-t\textless0$$，即$${{t}_{0}}\textless t$$．因此河水速增大所用时间将增多，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算
Source: 1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第10题
2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学中考模拟（一）第10题3分
Problem: 中国古代``五行''学说认为：``物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．''从五种属性互不相同的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{3}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 基本事件为：金、木；金、水；金、火；金、土；木、水；木、火；木、土；水、火；水、土；火、土．  共计$$10$$种，  其中不相克的事件数为$$m=10-5=5$$（种），  所以抽取的两种物质不相克的概率是$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->统计与概率->概率->概率公式
知识标签->题型->统计与概率->概率->题型：概率计算公式
Source: 2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分
Problem: 已知$$abc\ne 0$$，且$$a+b+c=0$$，则代数式$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$1$$ 
aoVal: D
content: $$0$$ 
Answer: A
Analysis: $$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{bc}+\frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{ac}+\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}$$  $$=\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6$$  $$=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-1-1-1+6$$  $$=3$$． 
<p>把$$a=-\left( b+c \right)$$，$$b=-\left( a+c \right)$$，$$c=-\left( a+b \right)$$代入，</p>
<p>原式$$=\frac{-\left( b+c \right)\cdot a}{ab}+\frac{-\left( a+c \right)\cdot b}{ac}+\frac{-\left( a+b \right)\cdot c}{ab}$$</p>
<p>$$~~~~~=-\left( \frac{ba+ca}{bc} \right)-\left( \frac{ab+cb}{ac} \right)-\left( \frac{ac+bc}{ab} \right)$$</p>
<p>$$~~~~~=-\left( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right)-\left( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right)-\left( \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right)$$</p>
<p>$$~~~~~=\frac{-\left( b+c \right)}{a}+\frac{-\left( a+c \right)}{b}+\frac{-\left( a+b \right)}{c}$$</p>
<p>$$~~~~~=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}$$</p>
<p>$$~~~~~=3$$，</p>
<p>$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$</p>
<p>$$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}$$</p>
<p>$$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc+3abc}{abc}$$</p>
<p>$$=\frac{\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)+3abc}{abc}$$</p>
<p>$$=\frac{3abc}{abc}$$</p>
<p>$$=3$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第3题5分
2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题
初一下学期其它
2018~2019学年湖北襄阳市樊城区襄阳市第五中学初三上学期期末（培优班）第7题
Problem: 设实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足：$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，则$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$$a+b+c=3$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4$$，  ∴$$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2-c}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2-a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2-b}$$  $$=\frac{4-{{c}^{2}}}{2-c}+\frac{4-{{a}^{2}}}{2-a}+\frac{4-{{b}^{2}}}{2-b}$$  $$=2+c+2+a+2+b$$  $$=a+b+c+6$$  $$=3+6$$  $$=9$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分
Problem: 将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$种 
aoVal: B
content: $$3$$种 
aoVal: C
content: $$4$$种 
aoVal: D
content: $$5$$种 
Answer: D
Analysis: 设$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$，$${{a}_{5}}$$是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$的一个满足要求的排列．  首先，对于$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．  又如果$${{a}_{i}}\left( 1\leqslant i\leqslant 3 \right)$$是偶数，$${{a}_{i+1}}$$是奇数，则$${{a}_{i+2}}$$是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．  所以$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$，$${{a}_{5}}$$只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下$$5$$种情形满足条件：  $$2$$，$$1$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$；  $$2$$，$$3$$，$$5$$，$$4$$，$$1$$；  $$2$$，$$5$$，$$1$$，$$4$$，$$3$$；  $$4$$，$$3$$，$$1$$，$$2$$，$$5$$；  $$4$$，$$5$$，$$3$$，$$2$$，$$1$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2008年竞赛第5题6分
Problem: 如果$$x$$和$$y$$是非零实数，使得$$\left\textbar{} x \right\textbar+y=3$$和$$\left\textbar{} x \right\textbar y+{{x}^{3}}=0$$，那么$$x+y$$等于．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$\sqrt{13}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$4-\sqrt{13}$$ 
Answer: D
Analysis: 将$$y=3-\left\textbar{} x \right\textbar$$代入$$\textbar x\textbar y+{{x}^{3}}=0$$，得$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3\textbar x\textbar=0$$．  （$$1$$）当$$x\textgreater0$$时，$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x=0$$，方程$${{x}^{2}}-x+3=0$$无实根；  （$$2$$）当$$x\textless{}0$$时，$${{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x=0$$，得方程$${{x}^{2}}-x-3=0$$．  解得$$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$$，正根舍去，从而$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$．  于是$$y=3-\left\textbar{} x \right\textbar=3+\frac{1-\sqrt{13}}{2}=\frac{7-\sqrt{13}}{2}$$，  故$$x+y=4-\sqrt{13}$$．  因此，结论$$\text{D}$$是在正确的． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合
Source: 2004年竞赛第5题6分
Problem: 方程组$$\begin{cases}3x+y=7    5x-8y=31   \end{cases}$$的解$$(x,y)$$是．
Options:
aoVal: A
content: $$(3,-2)$$ 
aoVal: B
content: $$(2,1)$$ 
aoVal: C
content: $$(4,-5)$$ 
aoVal: D
content: $$(0,7)$$ 
Answer: A
Analysis: 以$$(3,-2)$$，$$(2,1)$$，$$(4,-5)$$，$$(0,7)$$代入方程组检验，只有$$(3,-2)$$满足方程组，故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
Source: 1998年第9届希望杯初一竞赛第6题