math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: $$\left {2,3,4,5,6,7,8,9\right }$$的多少个子集至少包含一个素数？  How many subsets of $$\left {2,3,4,5,6,7,8,9\right }$$ contain at least one prime number?
Options:
aoVal: A
content: $$128$$ 
aoVal: B
content: $$192$$ 
aoVal: C
content: $$224$$ 
aoVal: D
content: $$240$$ 
aoVal: E
content: $$256$$ 
Answer: D
Analysis: Consider finding the number of subsets that do not contain any primes.There are four primes in the set：$$2$$, $$3$$, $$5$$, and $$7$$.This means that the number of subsets without any primes is the number of subsets of $$\left {4, 6, 8,9\right }$$,~ which is just $$2^{4}=16$$. The number of subsets with at least one prime is the number of subsets minus the number of subsets without any primes.The number of subsets is $$2^{8}=256$$. Thus, the answer is $$256-16=(\rm D)\textasciitilde240$$. 
<p>Well, there are $$4$$ composite numbers, and you can list them in a $$1$$ number format, a $$2$$ number, $$3$$ number, and a $$4$$ number format. Now,&nbsp; we can use combinations.&nbsp;&nbsp;$$\left( \begin{array}{l} {4}\\{1} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{2} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{3} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{4} \end{array}\right)=15$$. Using the answer choices, the only multiple of $$15$$ is $$(\rm D)~240$$.</p>
<p>Subsets of $$\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$$ indude a singe digit up to all eight numbers.Therefore,we must add the combinations of all possible subsets and subtract from each of the subsets fomed by the composite numbers.</p>
<p>Hence：</p>
<p>$$\left( \begin{array}{l} {8}\\{1} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{1} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{2} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{2} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{3} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{3} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{4} \end{array}\right)-1+\left( \begin{array}{l} {8}\\{5} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{6} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{7} \end{array}\right)+1=(\rm D)~240$$.</p>
Source: 2018年AMC10竞赛B第5题
Problem: 我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有$$10$$个车次的正点率为$$0.97$$，有$$20$$个车次的正点率为$$0.98$$，有$$10$$个车次的正点率为$$0.99$$，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．
Options:
aoVal: A
content: $$0.97$$ 
aoVal: B
content: $$0.98$$ 
aoVal: C
content: $$0.99$$ 
aoVal: D
content: 以上皆不是 
Answer: B
Analysis: ∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有$$10$$个车次的正点率为$$0.97$$，  有$$20$$个车次的正点率为$$0.98$$，有$$10$$个车次的正点率为$$0.99$$，  ∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：  $$\frac{(10\times 0.97+20\times 0.98+10\times 0.99)}{10+20+10}=0.98$$．  故答案为：$$0.98$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数据分析
课内体系->知识点->统计与概率->统计->用样本估计总体->众数、中位数、平均数
课内体系->知识点->统计与概率->统计->用样本估计总体->用样本的数字特征估计总体的数字特征问题
Source: 2019~2020学年山东济南历下区山东省济南第七中学高二上学期期中第21题3分
2019年高考真题全国卷II理科第13题5分
2018~2019学年安徽合肥包河区合肥市第一中学高一下学期期末第16题4分
2019~2020学年12月北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期月考第14题5分
2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州第十中学高一下学期开学考试第14题4分
2019~2020学年8月广东广州荔湾区广东实验中学高三上学期月考理科第13题5分
2019年高考真题全国卷II文科第14题5分
2019~2020学年天津南开区高二上学期期末第13题5分
2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第15题3分
2019~2020学年四川成都高新区成都市第七中学（高新校区）高三上学期开学考试理科第13题5分
Problem: 定义${{f}_{M}}(x)=\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} 1,x\in M,     -1,x\not\in M,     \end{array}M\o\times N=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }{{f}_{M}}(x)\cdot {{f}_{N}}(x)=-1\text{ } \right }\text{ }$，已知集合$A=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x\textless{} \sqrt{2-x}\text{ } \right }$，集合$B=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x(x+3)(x-3)\textgreater0\text{ } \right }$，则不包含于$A\o\times B$的取值集合为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: $(-\infty ,-3]$ 
aoVal: B
content: $[0,1)$ 
aoVal: C
content: $[1,3)$ 
aoVal: D
content: $(3,+\infty )$ 
Answer: C
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 根据新运算的定义可得$A\o\times B=\left(A\cap \left(\complement _{\mathrm{R}}B\right)\right)\cup \left(B\cap \left(\complement _{\mathrm{R}}A\right)\right)$，故可求$A\o\times B$.\\ 【详解】\\ 根据题意，有$A=(-\mathrm{\infty },1),B=(-3,0)\cup (3,+\mathrm{\infty })$，\\ 于是$A\o\times B=(-\mathrm{\infty },-3]\cup [0,1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$，\\ 因此$[1,3)$是不包含于$A\o\times B$的取值集合，\\ 故选：C. 
Source: 竞赛第3题
Problem: 对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会．
Options:
aoVal: A
content: 相等 
aoVal: B
content: 不相等 
aoVal: C
content: 无法确定 
aoVal: D
content: 与抽取的次数有关 
Answer: A
Analysis: 根据简单随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的机会都是相等的．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->简单随机抽样
Source: 2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第1题3分
Problem: 数列$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\cdots ,\frac{1}{m+1},\frac{2}{m+1},\cdots ,\frac{m}{m+1},\cdots $$的前$$40$$项的和是．
Options:
aoVal: A
content: $$23\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$19\frac{1}{9}$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$18$$ 
Answer: C
Analysis: 设第$$40$$项$${{a}_{40}}$$的分母为$$m+1$$，  则$$\frac{m(m-1)}{2}\textless{}40\leqslant \frac{m(m+1)}{2}$$，  解得$$m=9$$，所以$$\frac{m(m-1)}{2}=36$$，故$${{a}_{40}}=\frac{4}{10}$$．  $${{S}_{40}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times (1+2)+\frac{1}{4}\times (1+2+3)+\cdots +\frac{1}{9}\times (1+2+3+\cdots +8)+\frac{1}{10}\times (1+2+3+4)$$  $$=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+\cdots +\frac{7}{2}+4+1=19$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
Problem: 函数$$f\left( x \right)={{3}^{2-x}}+{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{x-1} \right)$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 由题意可算得$$f(x)$$的定义域为$$1\leqslant x\textless{}5$$，而$${{3}^{2-x}}$$和$${{\log }_{2}}(2-\sqrt{x-1})$$在$$[1,5)$$上都是减函数，故$$f(x)$$的最大值为$$f(1)=4$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质
Source: 第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第7题4分
Problem: 在等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中，若$$\frac{{{a}_{11}}}{{{a}_{10}}}\textless{}-1$$，且它的前$$n$$项和$${{S}_{n}}$$有最大值，那么当$${{S}_{n}}$$取最小正值时，$$n=$$ ．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$10$$ 
aoVal: C
content: $$19$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 设该等差数列的公差为$$d$$．显然 $$d\textless{}0$$．由$$\frac{{{a}_{11}}}{{{a}_{10}}}\textless{}-1$$，知  $${{a}_{10}}\textgreater0,{{a}_{11}}\textless{}0,$$ 且$${{a}_{11}}+{{a}_{10}}\textless{}0$$．因此  $${{S}_{20}}=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{20}}}{2}\times 20=10({{a}_{10}}+{{a}_{11}})\textless{}0,$$  $${{S}_{19}}=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{19}}}{2}\times 19=19{{a}_{10}}\textgreater0$$．  由$${{a}_{11}}+{{a}_{10}}\textless{}0,$$ 知$$2{{a}_{1}}+19d\textless{}0$$．从而有  $${{S}_{19}}-{{S}_{1}}=19{{a}_{1}}+\frac{19\times 18}{2}d-{{a}_{1}}=18{{a}_{1}}+9\times 19d=9(2{{a}_{1}}+19d)\textless{}0$$  所以$$n=19$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
Source: 2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分
Problem: 给定正数$$p$$，$$q$$，$$a$$，$$b$$，$$c$$，其中$$p\ne q$$，若$$p$$，$$a$$，$$q$$是等比数列，$$p$$，$$b$$，$$c$$，$$q$$是等差数列，则一元二次方程$$b{{x}^{2}}-2ax+c=0$$（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 无实根 
aoVal: B
content: 有两个相等实根 
aoVal: C
content: 有两个同号相异实根 
aoVal: D
content: 有两个异号实根 
Answer: A
Analysis: ∵$$p$$，$$a$$，$$q$$成等比，  ∴$${{a}^{2}}pq$$，  ∵$$p$$，$$b$$，$$c$$，$$q$$成等差，  ∴$$p+c=2b$$，$$b+q=2c$$，  ∴$$b=\frac{2p+q}{3}$$，$$c=\frac{p+2q}{3}$$，  故$$b\cdot c=\frac{p+p+q}{3}\cdot \frac{p+q+q}{3}\textgreater\sqrt[3]{{{p}^{2}}q}\cdot \sqrt[3]{p{{q}^{2}}}=pq(p\ne q)$$，  $$\Delta =4{{a}^{2}}-4bc=4pq-4bc=4(pq-bc) ~\textless{} ~0$$．  因此，方程无实数根．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->函数方程
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2000年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
Problem: 已知两个实数集合$$A=\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{100}} \right }$$与$$B=\left { {{b}_{1}},{{b}_{2}},\cdots ,{{b}_{50}} \right }$$，若从$$A$$到$$B$$的映射$$f$$使得$$B$$中的每一个元素都有原象，且$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，则这样的映射共有．
Options:
aoVal: A
content: $$\text{C}_{100}^{50}$$ 
aoVal: B
content: $$\text{C}_{90}^{50}$$ 
aoVal: C
content: $$\text{C}_{100}^{49}$$ 
aoVal: D
content: $$\text{C}_{99}^{49}$$ 
Answer: D
Analysis: 本题直接考虑集合$$A$$中每一个元素在$$B$$中的象的情况非常困难．  注意到集合$$B$$中每个元素都有原象，即$$A$$中有$$50$$``组''元素分别与$$B$$中的$$50$$个元素对应；现将集合$$A$$中的$$100$$个元素按原有的顺序分成$$50$$组，每组至少一个元素；将集合$$B$$中的元素按从小到大的顺序排列为$$B=\left { {{{{b}'}}_{1}},{{{{b}'}}_{2}},\cdots ,{{{{b}'}}_{50}} \right }$$；  ∵$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，  ∴$$A$$中的``第$$1$$组''元素的象为$${{{b}'}_{1}}$$，``第$$2$$组''元素的象为$${{{b}'}_{2}}$$，``第$$50$$组''元素的象为$${{{b}'}_{50}}$$，此处没有排列的问题，即只要$$A$$中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而$$A$$中元素的分组可视为在由这$$100$$个元素所形成的$$99$$个``空''中插上$$49$$块``挡板''，所以有$$\text{C}_{99}^{49}$$种分法，即映射共有$$\text{C}_{99}^{49}$$个．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->逻辑推理
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->映射
课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合
Source: 2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 已知集合$$M=\left { x\textbar{{x}^{2}}-2x-3\leqslant 0\text{ },\text{ }x\in \text{R} \right }$$，$$N=\left { x\textbar\left\textbar{} x \right\textbar{} \textless{} 2\text{ },\text{ }x\in \text{R} \right }$$，则$$M\cap N$$等于（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$\varnothing $$ 
aoVal: B
content: $$\left { x\textbar-1\leqslant x \textless{} 2 \right }$$ 
aoVal: C
content: $$\left { x\textbar-2\leqslant x \textless{} -1 \right }$$ 
aoVal: D
content: $$\left { x\textbar2\leqslant x \textless{} 3 \right }$$ 
Answer: B
Analysis: 【命题立意】本题考查不等式的解法、集合的运算，难度较小. 【解题思路】化简集合后利用交集的定义求解.因为$$M=\left { x\textbar{{x}^{2}}-2x-3\leqslant 0 \right }=\left { x\textbar-1\leqslant x\leqslant 3 \right }$$，$$N=\left { x\textbar\left\textbar{} x \right\textbar{} \textless{} 2 \right }=\left { x\textbar-2 \textless{} x \textless{} 2 \right }$$，所以$$M\cap N=\left { x\textbar-1\leqslant x \textless{} 2 \right }$$，故选B. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集
课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算
课内体系->素养->数学运算
Source: 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分
Problem: 若集合：$${{S}_{1}}=\left { \left( x,  y \right)\textbar\lg \left( 1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\leqslant 1+\lg \left( x+y \right) \right }$$，$${{S}_{2}}=\left { \left( x,  y \right)\textbar\lg \left( 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\leqslant 2+\lg \left( x+y \right) \right }$$，则$${{S}_{2}}$$的面积与$${{S}_{1}}$$的面积比为
Options:
aoVal: A
content: $$99:1$$ 
aoVal: B
content: $$100:1$$ 
aoVal: C
content: $$101:1$$ 
aoVal: D
content: $$102:1$$ 
Answer: D
Analysis: $${{S}_{1}}$$表示圆内部（包括圆周）：$${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}\leqslant 49$$，面积为$$49 \pi $$．$${{S}_{2}}$$表示圆内部（包括圆周）：$${{\left( x-50 \right)}^{2}}+{{\left( y-50 \right)}^{2}}\leqslant 4998$$，面积为$$4998 \pi $$．因此，面积比为$$102:1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程->圆的标准方程问题
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数方程和对数不等式
课内体系->思想->数形结合思想
课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->直观想象
Source: 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
Problem: 在平面直角坐标系中，纵横坐标均为有理数的点称为有理点．若$$a$$为无理数，则过点$$(a,0)$$的所有直线中（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 
aoVal: B
content: 恰有$$n\left( 2\mathsf{\leqslant }n\textless{}+\infty \right)$$条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 
aoVal: C
content: 有且仅有一条直线至少通过两个有理点 
aoVal: D
content: 每条直线至多通过一个有理点 
Answer: C
Analysis: 若直线$$l$$过点$$(a,0)$$且通过两个有理点$$({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，则必有$${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$$．  若不然，$$l$$的方程必为$$x=a$$，于是$${{x}_{1}}={{x}_{2}}=a$$，这与$$({{x}_{1}},{{y}_{1}})$$，$$({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，是有理点矛盾．  又直线$$l$$的斜率为$$k=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}-a}$$，  从而$${{y}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}({{x}_{1}}-a)$$．  因为$$a$$为无理数，所以上式成立的充要条件是$${{y}_{1}}={{y}_{2}}$$，  故过点$$(a,0)$$且过两个有理点的直线有且只有一条，它的方程为$$y=0$$．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程
Source: 1987年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
Problem: 已知$$x$$，$$y$$都在区间$$(-2,2)$$内，且$$xy=-1$$，则函数$$u=\frac{4}{4-{{x}^{2}}}+\frac{9}{9-{{y}^{2}}}$$的最小值是（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{8}{5}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{24}{11}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{12}{7}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{12}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 由已知得$$y=-\frac{1}{x}$$，故$$u=1+\frac{35}{37-\left( 9{{x}^{2}}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \right)}$$，而$$x\in \left( -2,\frac{1}{2} \right)\cup \left( \frac{1}{2},2 \right)$$，故当$$9{{x}^{2}}=\frac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{2}{3}$$时有最小值$$\frac{12}{5}$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件
Source: 2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
Problem: 设$S= {1,2,3,\cdots ,2020 }$，集合\emph{T}是\emph{S}的\emph{n}元子集，且其中任意两个元素互质，对任意符合要求的集合\emph{T}，均至少包含一个质数，则\emph{n}的最小值为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 15 
aoVal: B
content: 16 
aoVal: C
content: 17 
aoVal: D
content: 18 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 先根据特例可得$n\geq 16$，再证明对任意$A\subseteq S,n=\textbar{} A\textbar{} =16$，\emph{A}中任意两数互质，则\emph{A}中必存在一个质数，从而可得正确的选项.\\ 【详解】\\ 首先，我们有$n\geq 16$．\\ 事实上，取集合$A_{0}=\left {1,2^{2},3^{2},5^{2},\cdots ,41^{2},43^{2}\right }$，\\ 其元素，除1以外，均为不超过43的素数的平方，则$A_{0}\subseteq S,\left\textbar{} A_{0}\right\textbar{} =15,A_{0}$中任意两数互质，但其中无质数，这表明$n\geq 16$．\\ 其次，我们证明：对任意$A\subseteq S,n=\textbar{} A\textbar{} =16$，\emph{A}中任意两数互质，则\emph{A}中必存在一个质数.利用反证法，假设\emph{A}中无质数，记$A=\left {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{16}\right }$，分两种情况讨论：\\ \textbf{情形一}~~~若$1\not\in A$，则$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{16}$均为合数，\\ 又因为$\left(a_{i},a_{j}\right)=1(1\leq i\textless{} j\leq 16)$，所以$a_{i}$与$a_{j}$的质因数均不相同，\\ 设$a_{i}$的最小质因数为$p_{i}$，不妨设$p_{1}\textless{} p_{2}\textless{} \cdots \textless{} p_{16}$，则\\ $a_{1}\geq {p}_{1}^{2}\geq 2^{2}$，\\ $a_{2}\geq {p}_{2}^{2}\geq 3^{2}$，\\ \ldots，\\ $a_{15}\geq {p}_{15}^{2}\geq 47^{2}\textgreater{} 2020$，\\ 矛盾．\\ \textbf{情形二}~~~若$1\in A$，则不妨设$a_{16}=1,a_{1},\cdots ,a_{15}$均为合数，同情形一所设，同理有\\ $a_{1}\geq {p}_{1}^{2}\geq 2^{2}$，\\ $a_{2}\geq {p}_{2}^{2}\geq 3^{2}$，\\ \ldots，\\ $a_{15}\geq {p}_{15}^{2}\geq 47^{2}\textgreater{} 2020$，\\ 矛盾．\\ 综上所述，反设不成立，从而\emph{A}中必有质数，即$n=\textbar{} A\textbar{} =16$时结论成立，\\ 因此所求\emph{n}的最小值为16．\\ 故选：B. 
Source: 竞赛第22题
Problem: 过抛物线$${{y}^{2}}=8\left( x+2 \right)$$的焦点$$F$$作倾斜角为$$60{}^{}\circ $$的直线，若此直线与抛物线交于$$A$$、$$B$$两点，弦$$AB$$的中垂线与$$x$$轴交于$$P$$点，则线段$$PF$$的长等于（~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{16}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{8}{3}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{16\sqrt{3}}{3}$$ 
aoVal: D
content: $$8\sqrt{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 易知此抛物线焦点$$F$$与坐标原点重合，故直线$$AB$$的方程为$$y=\sqrt{3}x$$，因此，$$A$$，$$B$$两点的横坐标满足方程$$3{{x}^{2}}=8x+16$$，由此求得$$AB$$中点的横坐标$${{x}_{0}}=\frac{4}{3}$$，纵坐标$${{y}_{0}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$$，进而求得其中垂线方程为$$y-\frac{4}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac{4}{3})$$，令$$y=0$$，得$$P$$点的横坐标$$x=\frac{16}{3}$$，即$$PF=\frac{16}{3}$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->素养->数学运算
课内体系->素养->数学抽象
课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的点斜式方程
课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->弦长求解问题
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系
课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程
Source: 2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
Problem: 2009年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$19$$题  Circle $$A$$ has radius $$100$$. Circle $$B$$ has an integer radius $$r\textless{} 100$$ and remains internally tangent to circle $$A$$ as it rolls once around the circumference of circle $$A$$. The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle $$B\textquotesingle\rm s$$ trip. How many possible values can $$r$$ have?  圆 $$A$$ 的半径为 $$100$$。 圆 $$B$$ 有一个整数半径 $$r\textless{} 100$$ 并且在它绕圆 $$A$$ 的圆周滚动一次时保持与圆 $$A$$ 内切。 这两个圆在圆 $$B$$ 轨迹的起点和终点具有相同的切点。 $$r$$ 可以有多少个可能的值？
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$8$$ 
aoVal: C
content: $$9$$ 
aoVal: D
content: $$50$$ 
aoVal: E
content: $$90$$ 
Answer: B
Analysis: The circumference of circle $$A$$ is $$200\pi$$ , and the circumference of circle $$B$$ with radius r is $$2r\pi$$. Since circle $$B$$ makes a complete revolution and ends up on the same point, the circumference of $$A$$ must be a multiple of the circumference of $$B$$, therefore the quotient must be an integer. Thus, $$\dfrac{200 \pi}{2 \pi \cdot r}= \dfrac{100}{r}$$. Therefore $$r$$ must then be a factor of $$100$$, excluding $$100$$ (because then circle $$B$$ would be the same size as circle $$A$$). $$100 =2^{2}\cdot5^{2}$$. Therefore $$100$$ has $$(2+1)\cdot (2+1)$$ factors*. But you need to subtract $$1$$ from $$9$$, in order to exclude $$100$$. Therefore the answer is $$8$$. 
Knowledge points: 美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle
课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程
Source: 2009年AMC10竞赛A第19题
Problem: \textbf{294．}已知三棱锥$$S-ABC$$，在三棱锥内任取一点$$P$$，使得$${{V}_{p-ABC}}\textless\frac{1}{2}{{V}_{S-ABC}}$$的概率是．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{7}{8}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: A
Analysis: 当$$P$$在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，$$P=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$． 
Knowledge points: 知识标签->素养->数学抽象
知识标签->素养->数学运算
知识标签->题型->概率->事件与概率->几何概型问题->与体积有关的几何概率的计算
知识标签->知识点->概率->事件与概率->几何概型
Source: 2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
Problem: 设$$a,b,c,d$$都是实数，$$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: B
content: $$1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$2$$ 
Answer: B
Analysis: 待定系数，由柯西不等式，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{{{\left[ \left( {{x}_{1}}+{{x}_{5}} \right)a+\left( {{x}_{2}}+{{x}_{5}} \right)b+\left( {{x}_{3}}+{{x}_{5}} \right)c+\left( {{x}_{4}}+{{x}_{5}} \right)d \right]}^{2}}}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}+{{x}_{5}}^{2}}$$令$${{x}_{1}}+{{x}_{5}}=1$$，$${{x}_{2}}+{{x}_{5}}=2$$，$${{x}_{3}}+{{x}_{5}}=3$$，$${{x}_{4}}+{{x}_{5}}=4$$，  则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant \frac{10}{{{\left( 1-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 2-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 3-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+{{x}_{5}}^{2}}$$  $$=\frac{10}{5{{x}_{5}}^{2}-20{{x}_{5}}+30}=\frac{10}{5{{\left( {{x}_{5}}-2 \right)}^{2}}+10}$$  取$${{x}_{5}}=2$$，得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}\geqslant 1$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
Source: 2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分
Problem: 2007 AMC12A 第$$11$$题  A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with the terms $$247$$, $$475$$, and $$756$$ and end with the term $$824$$. Let $$S$$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime factor that always divides $$S$$?  三位数的有限序列具有以下性质：每项的十位和个位分别为下一项的百位和十位，最后一项的十位和个位分别为百位 和第一项的十位数字。 例如，这样的序列可能以 247、$$475$$ 和$$756$$开头，并以$$824$$结尾。 令 S 是序列中所有项的总和。 能被$$S$$整除的最大质因数是什么？
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$7$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$37$$ 
aoVal: E
content: $$43$$ 
Answer: D
Analysis: A given digit appears as the hundreds digit, the tens digit, and the units digit of a term the same number of times. Let $$k$$ be the sum of the units digits in all the terms. Then $$S=111k=3\times37k$$, so $$S$$ must be divisible by $$37\rm(D)$$. To see that it need not be divisible by any larger prime, the sequence $$123$$, $$231$$, $$312$$ gives $$S=666=2\cdot3^{2}\cdot37\Rightarrow\boxed{\rm(D)}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数列->数列的实际应用
美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Prime Factorization and Factors
Source: 2007年AMC10竞赛A第22题
2007年AMC12竞赛A第11题
Problem: 若动点$$P\left( x,y \right)$$以等角速度$$\omega $$在单位圆上逆时针运动，则点$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$的运动方程是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: 以角速度$$\omega $$在单位圆上顺时针运动 
aoVal: B
content: 以角速度$$\omega $$在单位圆上逆时针运动 
aoVal: C
content: 以角速度$$2\omega $$在单位圆上顺时针运动 
aoVal: D
content: 以角速度$$2\omega $$在单位圆上逆时针运动 
Answer: C
Analysis: 将动点$$P\left( x,y \right)$$的坐标表为参数形式．  $$\begin{cases}x=\cos \omega t    y=\sin \omega t \end{cases}$$ $$(\omega \textgreater0)$$  则 $$-2xy=-\sin 2\omega t=\cos \left( -2\omega t+\frac{3}{2} \pi ~\right)$$  $${{y}^{2}}-{{x}^{2}}=-\cos 2\omega t=\sin \left( -2\omega t+\frac{2 \pi }{3} \right)$$．  则点$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$运动轨迹的参数方程为  $$\begin{cases}{x}'=\cos \left( -2\omega t+\frac{3}{2} \pi ~\right)    {y}'=\sin \left( -2\omega t+\frac{2 \pi }{3} \right) \end{cases}$$  很显然$$\omega t$$与$$-2\omega t$$的旋转方向是相反的，$$P\left( x,y \right)$$在单位圆上逆时针运动，所以$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$以角速度$$2\omega $$在单位圆上顺时针运动． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->解析几何->极坐标与参数方程（二试）
Source: 1984年全国高中数学联赛竞赛一试第7题
Problem: 设正数数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项之和为$${{b}_{n}}$$，数列$$ {{{b}_{n}} }$$的前$$n$$项之积为$${{c}_{n}}$$，且$${{b}_{n}}+{{c}_{n}}=1$$，则数列$$\left { \frac{1}{{{a}_{n}}} \right }$$中最接近$$2011$$的数是．
Options:
aoVal: A
content: $$1980$$ 
aoVal: B
content: $$2010$$ 
aoVal: C
content: $$2040$$ 
aoVal: D
content: $$2070$$ 
Answer: A
Analysis: 由已知$${{b}_{n}}=\frac{{{c}_{n}}}{{{c}_{n-1}}}(n\geqslant 2),  {{c}_{1}}={{b}_{1}}$$，所以$$\frac{{{c}_{n}}}{{{c}_{n-1}}}+{{c}_{n}}=1,  {{c}_{1}}={{b}_{1}}=\frac{1}{2}$$．所以$$\frac{1}{{{c}_{n}}}-\frac{1}{{{c}_{n-1}}}=1$$．所以$$\left { \frac{1}{{{c}_{n}}} \right }$$是以$$2$$为首项，以$$1$$为公差的等差数列．  所以$$\frac{1}{{{c}_{n}}}=2+(n-1)\cdot 1=n+1,  {{c}_{n}}=\frac{1}{n+1},  {{b}_{n}}=\frac{n}{n+1}$$．  因此$${{a}_{n}}={{b}_{n}}-{{b}_{n-1}}=\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n(n+1)},\frac{1}{{{a}_{n}}}=n(n+1)$$．  因为$$44\times 45=1980,  45\times 46=2070$$，所以数列$$\left { \frac{1}{{{a}_{n}}} \right }$$中最接近$$2011$$的数是$$1980$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
Source: 2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
Problem: 设$$a=\ln 2$$，$$b=\lg 3$$，$$c={{\log }_{3}}2$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$a\textgreater c\textgreater b$$ 
aoVal: B
content: $$a\textgreater b\textgreater c$$ 
aoVal: C
content: $$b\textgreater c\textgreater a$$ 
aoVal: D
content: $$c\textgreater a\textgreater b$$ 
Answer: A
Analysis: 因为$$c={{\log }_{3}}2=\frac{\ln 2}{\ln 3}\textless{}\ln 2=a$$，$$2b=\lg 9\textless{}1$$，$$2c={{\log }_{3}}4\textgreater1\Rightarrow c\textgreater b$$，所以$$a\textgreater c\textgreater b$$；  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->函数->基本初等函数
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数比大小
课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->换底公式及其变形运用->利用换底公式求值
课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
课内体系->素养->数学运算
Source: 2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 在四个函数$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar,  y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar,  y=\left\textbar{} \tan x \right\textbar,  y=-\ln \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$中，以$$ \pi $$为周期、在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上单调递减且为偶函数的是
Options:
aoVal: A
content: $$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$ 
aoVal: B
content: $$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$ 
aoVal: C
content: $$y=\left\textbar{} \tan x \right\textbar$$ 
aoVal: D
content: $$y=-\ln \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$ 
Answer: D
Analysis: 由于$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$不是周期函数，故$$A$$错；由于$$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$是最小正周期为$$2 \pi $$的周期函数，故$$B$$错；由于$$y=\left\textbar{} \tan x \right\textbar$$在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$单调递增，故$$C$$错；函数$$y=-\ln \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$符合题设要求． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质
Source: 2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
Problem: 在一次竞赛中有\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三道题．\\ ①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题；\\ ②仅解出一题的学生中，解出\emph{C}题的人数占一半；\\ ③解出\emph{A}题的学生人数等于仅解出\emph{B}题的学生人数；\\ ④仅解出\emph{A}，\emph{B}题的人数等于仅解出\emph{B}，\emph{C}题的人数；\\ ⑤仅解出\emph{A}题的人数等于4；\\ ⑥仅解出\emph{A}，\emph{C}题的人数是仅解出\emph{A}，\emph{B}题的人数的一半．\\ 则同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数为（~~~~~~~）
Options:
aoVal: A
content: 0 
aoVal: B
content: 1 
aoVal: C
content: 2 
aoVal: D
content: 3 
Answer: B
Analysis: \hfill\break 【分析】\\ 设只解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}的人数分别为\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，仅解出$AB,BC,CA$的人数分别为\emph{z}，\emph{x}，\emph{y}，同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的人数为\emph{w}，则可得关于诸参数的方程组，用$x$表示其他的量后可得其值，从而可求同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数.\\ 【详解】\\ 设只解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}的人数分别为\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，仅解出$AB,BC,CA$的人数分别为\emph{z}，\emph{x}，\emph{y}，同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的人数为\emph{w}，则\\ $\left {\begin{array}{l} a+b+c+x+y+z+w=30,   c=a+b,   a+z+y+w=b,   z=x,   a=4,   2y=z, \end{array}\right.\Rightarrow \left {\begin{array}{l} a=4,   b=\frac{26-x}{3},   c=\frac{38-x}{3},   y=\frac{1}{2}x,   z=x,   w=\frac{28-11x}{6}, \end{array}\right.$\\ 于是$x=2$，且$w=1$，因此同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数为1．\\ 故选：B 
Source: 竞赛第2题