math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 四位歌手轮唱一首含有四个相等乐段的歌曲，每人把这首歌曲唱三遍就结束，第一位歌手开始唱第二乐段时第二位歌手开始唱，第一位歌手开始长第三乐段时第三位歌手开始唱，第一位歌手开始唱第四个乐段时第四人同时开始唱．则第四个人同时唱的时间占总的歌唱时间的（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{15}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{5}{15}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: D
Analysis: 所有歌手都将整个歌曲唱了三遍，故易知总时间段有$$15$$段，其中$$9$$段是重合（同时在唱）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第8题5分
2016年创新杯五年级竞赛训练题（四）第8题
Problem: 《红楼梦》第二十回中，写贾环和丫鬟莺儿掷骰子的情节．骰子，古代汉族民间娱乐用来投掷的博具．骰子是很容易制作和取得的乱数产生器．如若当两枚骰子的点数之和大于$$7$$时，莺儿得$$1$$分，否则贾环得$$1$$分，这个游戏公平吗？（~ ） 
Options:
aoVal: A
content: 公平~~~~~~ 
aoVal: B
content: 贾环获胜可能性大 
aoVal: C
content: 莺儿获胜的可能性大 
aoVal: D
content: 无法判断 
Answer: B
Analysis: 点数之和大于$$7$$的可能情况有$$15$$种，而点数之和不大于$$7$$的可能情况有$$21$$种，所以贾环获胜的可能性大． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年河南郑州豫才杯五年级竞赛初赛第5题
Problem: 从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$\cdots$$，$$15$$，$$16$$这十六个自然数中，任取出$$n$$个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的$$3$$倍，则$$n$$最小是~\uline{~~~~~~~~~~}~． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$13$$ 
aoVal: D
content: $$14$$ 
Answer: C
Analysis: 有$$3$$倍关系的数放入一组：（$$1$$，$$3$$，$$9$$）、（$$2$$，$$6$$）、（$$4$$，$$12$$）、（$$5$$，$$15$$），  其余$$7$$个数每个数放入一组，第一组最多取$$2$$个（$$1$$和$$9$$），其余每组最多只能取$$1$$个，  因此最多取$$12$$个保证没有$$3$$倍关系，再多取一个就可以保证有一个数是另一个数的$$3$$倍． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->整体思想
Source: 2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第17题
Problem: \textbf{2016年 AMC 8 第$$19$$题}  The sum of $$25$$ consecutive even integers is $$10000$$. What is the largest of these $$25$$ consecutive integers? 
Options:
aoVal: A
content: $$360$$ 
aoVal: B
content: $$388$$ 
aoVal: C
content: $$412$$ 
aoVal: D
content: $$416$$ 
aoVal: E
content: $$424$$ 
Answer: E
Analysis: 翻译：$$25$$个连续的偶数和是$$10000$$，那么这$$25$$个连续偶数中最大的一个是？  等差数列的中间项是$$10000\div 25=400$$，比$$400$$大的还有$$(25-1)\div 2=12$$（项），所以最大的一项是$$400+12\times 2=424$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Overseas Competition->知识点->计算模块->数列与数表->等差数列
Source: 2016年全国AMC六年级竞赛8第19题
Problem: 自动扶梯由下向上行驶，男孩沿着扶梯从顶向下走到底，他走了$$150$$级．女孩沿着扶梯从下向上走到顶，走了$$75$$级．如果男孩行走的速度是女孩的$$3$$倍．那么，可以看到的自动扶梯的级数是~\uline{~~~~~~~~~~}~级． 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$120$$ 
aoVal: C
content: $$150$$ 
aoVal: D
content: $$90$$ 
Answer: B
Analysis: 假设女孩速度是$$1$$级$$/$$秒，则男孩速度为$$3$$级$$/$$秒．  则男孩逆扶梯行走时间：$$150\div3=50$$秒，  女孩顺扶梯行走时间为：$$75$$秒．  则扶梯长度$$=50\times $$（$$3-$$扶梯速度）①，  扶梯长度$$=75\times$$（$$1+$$扶梯速度）②，  ①$$\times2+$$②$$\times3$$得：$$5$$扶梯长度$$=600$$，可得扶梯长度$$=120$$级． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第20题5分
Problem: 小青从家里走去学校，速度为$$30$$米/分；放学回家走同一段路，速度为$$60$$米/分．那么小青走这段路时的平均速度是米/分． 
Options:
aoVal: A
content: $$40$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$48$$ 
Answer: A
Analysis: 设这段路长度为$$60$$，则平均速度为$$(60\times 2)\div (60\div 30+60\div 60)=40$$（米/分）．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->设数法
Source: 2015年第4届广东广州羊排赛六年级竞赛第7题1分
Problem: 用$$0$$、$$1$$、$$2$$三个数可以组成很多的自然数，将其从小到大依次排列起来，分别是：$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$10$$，$$11$$，$$\cdots $$，则$$2012$$是其中的第个数． 
Options:
aoVal: A
content: $$57$$ 
aoVal: B
content: $$58$$ 
aoVal: C
content: $$59$$ 
aoVal: D
content: $$60$$ 
Answer: D
Analysis: 我们首先考虑在$$2012$$之前有多少个数，在$$2012$$之前的数考虑其各个数位可以选择的数字，我们把$$2012$$前面的所有数当做是四位数，没有的数位拿$$0$$占位置，此时千位数字：$$0$$或$$1$$；百位、十位、个位数字为$$0$$，$$1$$，$$2$$；共$$2\times 3\times 3\times 3=54$$（个）．当千位数字为$$2$$时：即自第$$55$$个开始：$$2000$$，$$2001$$，$$2002$$，$$2010$$，$$2011$$，$$2012$$为第$$60$$个数． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->组数问题->一般组数问题
Source: 2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第3题
Problem: 暗箱中有五张分别写$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$数字的卡片，从中随机摸出三张，由这三张上的数字组成三位数中，能被$$3$$整除的可能性是． 
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{10}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{5}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{2}{5}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{5}$$ 
Answer: C
Analysis: 五张卡片取三张共有$$\text{C}_{5}^{3}=10$$种取法，又因为$$1+2+3+4+5=15$$是$$3$$的倍数，故取走$$2$$张和为$$3$$的倍数的卡片都满足条件．枚举可得$$1+2$$、$$1+5$$、$$2+4$$、$$4+5$$共有$$4$$种情况，可能性为$$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第9题
Problem: 设$$a$$，$$b$$都表示数，规定：若$$a\textgreater b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=a-b$$；若$$a=b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=0$$；若$$a\textless{}b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=b-a$$．  现在请你从$$1\backsim 100$$这$$100$$个自然数中任选$$50$$个数，从小到大记为$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{50}}$$；再将剩下的$$50$$个数从大到小记为$${{b}_{1}}$$，$${{b}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{b}_{50}}$$，计算：$$\left\textbar{} {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right\textbar+\left\textbar{} {{a}_{2}}-{{b}_{2}} \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} {{a}_{50}}-{{b}_{50}} \right\textbar=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$900$$ 
aoVal: B
content: $$1600$$ 
aoVal: C
content: $$2500$$ 
aoVal: D
content: $$2700$$ 
aoVal: E
content: 以上都不对 
Answer: C
Analysis: 构造$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}\cdots \cdots $$，$${{a}_{50}}$$分别是$$51$$，$$52$$，$$\cdots \cdots 100$$，$${{b}_{1}}$$ ，$${{b}_{2}}$$，$$\cdots \cdots {{b}_{50}}$$分别是$$50$$，$$49\cdots \cdots 1$$，则原式$$=51-50+52-49+53-48+\cdots \cdots +100-50=1+3+5+\cdots \cdots 100=2500$$．  答案：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->分类讨论型定义新运算
Source: 2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第3题4分
Problem: 本学期前五次测验的平均分为$$92$$，第六次的测验成绩比六次测验成绩的平均分高$$5$$分，请问第六次的测验成绩是分． 
Options:
aoVal: A
content: $$95$$ 
aoVal: B
content: $$97$$ 
aoVal: C
content: $$98$$ 
aoVal: D
content: $$99$$ 
Answer: C
Analysis: 因为由题干可知，本学期前五次测验的平均分为$$92$$，  则前五次测验的总分为：$$92\times 5=460$$（分），  第六次的测验成绩比六次测验成绩的平均分高$$5$$分，  设第六次的测验成绩为$$x$$分，  则可列方程为：$$x-\left( 460+x \right)\div 6=5$$，  解得$$x=98$$，  所以第六次的测验成绩是$$98$$分．  故选$$\text{C}$$． 
<p>移多补少：现在的平均数是$92+5\div5=93$，</p>
<p>所以第六次测验成绩是$93+5=98$．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型
Source: 2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第4题3分
Problem: 从$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$中任取$$3$$个组成一个三位数，其中不能被$$3$$整除的三位数有（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$30$$ 
aoVal: B
content: $$36$$ 
aoVal: C
content: $$40$$ 
aoVal: D
content: $$42$$ 
Answer: B
Analysis: 不能取$$\left( 1,2,3 \right)$$、$$\left( 1,3,5 \right)$$、$$\left( 23,4 \right)$$、$$\left( 3,4,5 \right)$$，$$A_{5}^{3}-4\times A_{3}^{3}=60-24=36$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->运算求解
Source: 2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（二）第7题
Problem: 若一个整数中某个数字等于其他所有数字之和，则称这样的整数为``$$S$$数''（如$$871$$，$$8=7+1$$）．那么最大的四位``$$S$$数''与最小的四位``$$S$$数''的差是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$8899$$ 
aoVal: B
content: $$7789$$ 
aoVal: C
content: $$6689$$ 
aoVal: D
content: $$5589$$ 
Answer: A
Analysis: 根据题意可得最大的``$$S$$数''为$$9900$$，最小的``$$S$$数''为$$1001$$，则两者之间的差为$$8899$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第4题
Problem: 一块肥皂使用一次，它的体积减少10\%，当肥皂使用n次后，它的体积小于原来的一半，那么n的最小值是(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 5 
aoVal: B
content: 6 
aoVal: C
content: 7 
aoVal: D
content: 8 
Answer: C
Analysis: 由于$${{\left( 1-10 \% \right)}^{6}}\approx53.1 \%$$，$${{\left( 1-10 \% \right)}^{7}}\approx47.8 \%$$，所以$$n$$的最小值为7. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->转化单位1
Source: 2008年六年级竞赛创新杯
2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第7题4分
Problem: 有$$2012$$名学生排成一行，从左向右依次编成$$1$$，$$2$$，\ldots，$$2012$$号．第一次从左向右``$$1$$，$$2$$''报数，凡报到$$2$$的学生留下；从第二次起，每次都是让留下的学生从左向右``$$1$$，$$2$$，$$3$$''报数，凡报到$$3$$的学生留下，直到只留下$$1$$名学生．请问这名最后留下的学生编号是？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1279$$ 
aoVal: B
content: $$1458$$ 
aoVal: C
content: $$2000$$ 
Answer: B
Analysis: 第一次报数后留下：$$2$$、$$4$$、$$6$$、\ldots\ldots（$$2$$的倍数）；  第二次报数后留下：$$6$$、$$12$$、$$18$$、\ldots\ldots（$$6=2\times 3$$的倍数）；  第三次报数后留下：$$18$$、$$36$$、$$54$$、\ldots\ldots（$$18=2\times {{3}^{2}}$$的倍数）；  第四次报数后留下：$$54$$、$$108$$、$$162$$、\ldots\ldots（$$54=2\times {{3}^{3}}$$的倍数）；  第五次报数后留下：$$162$$、$$324$$、$$486$$、\ldots\ldots（$$162=2\times {{3}^{4}}$$的倍数）；  第六次报数后留下：$$486$$、$$972$$、$$1458$$、\ldots\ldots（$$486=2\times {{3}^{5}}$$的倍数）；  第七次报数后留下：$$1458$$（$$1458=2\times {{3}^{6}}$$的倍数）；  即最后留下的学生编号是$$1458$$．  或者可以按照规律，最后留下的学生的编号是$$2\times {{3}^{n}}$$，$$n$$要尽可能大；  取$$n=6$$，可得最后留下的学生编号是$$2\times {{3}^{6}}=1458$$． 
Knowledge points: 知识标签->课内知识点->数学广角->推理->解决简单逻辑推理问题
Source: 2013年第12届上海小机灵杯小学中年级四年级竞赛初赛第18题8分
Problem: 某班在一次数学考试中，平均成绩为78分，男生的平均成绩为75.5分，女生的平均成绩为81分，则班上男、女生人数之比为(  ). 
Options:
aoVal: A
content: 5:4 
aoVal: B
content: 6:5 
aoVal: C
content: 7:6 
aoVal: D
content: 7:5 
Answer: B
Analysis: 设男生人数为$$a$$人，女生人数$$b$$人. $$75.5a+81b=78 \times \left( a+b \right)$$， $$25a=30b$$， $$\frac{a}{b}=\frac{30}{25}=\frac{6}{5}$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->设而不求
Source: 2006年五年级竞赛创新杯
Problem: 大李和小李比赛吃包子，大李比小李多吃$$20$$个，大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，大李和小李一共吃了个． 
Options:
aoVal: A
content: $$26$$ 
aoVal: B
content: $$30$$ 
aoVal: C
content: $$32$$ 
aoVal: D
content: $$36$$ 
Answer: C
Analysis: 根据题意大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，  则大李比小李多$$3$$倍加$$2$$个，  即小李吃的包子数$$\times3+2=20$$（个）．  小李吃了$$(20-2)\div3=6$$（个），大李吃了$$6+20=26$$（个），  两个人一共吃了$$26+6=32$$（个）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->非整数倍差倍剩余
Source: 2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第3题5分
Problem: 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把$$1$$、$$3$$、$$6$$、$$10$$．这样的数称为``三角形数''，而把$$1$$、$$4$$、$$9$$、$$16$$$$\cdots \cdots $$这样的数称为``正方形数''，从上图中可以发现，任何一个大于$$1$$的``正方形数''都可以看作两个相邻的``三角形数''之和．下列等式中，符合这一个规律的是． 
Options:
aoVal: A
content: $$13=3+10$$ 
aoVal: B
content: $$25=9+16$$ 
aoVal: C
content: $$36=15+21$$ 
aoVal: D
content: $$49=24+25$$ 
Answer: C
Analysis: 任何一个大于$$1$$的``正方形数''都可以看作两个相邻``三角形数''之和，由于``正方形数''为两个``三角形数''之和，正方形数可以用代数式表示为：$${{\left( n+1 \right)}^{2}}$$，两个三角形数分别表示为$$\frac{1}{2}n(n+1)$$和$$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$$，所以由正方形数可以推得$$n$$的值，然后求得三角形数的值，  $$\text{A}$$项，$$13$$不是``正方形数''，故$$\text{A}$$项错误；  $$\text{B}$$项，$$9$$与$$16$$不是``三角形数''，故$$\text{B}$$项错误；  $$\text{C}$$项，$$36$$为``正方形数''，$$15$$、$$21$$为两个相邻``三角形数''，故$$\text{C}$$项正确；  $$\text{D}$$项，$$24$$与$$25$$不是``三角形数''，故$$\text{D}$$项错误．  故答案为：$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数形结合找规律
Source: 2016年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第9题3分
Problem: 车间里，甲和乙每小时都能装配$$1$$辆汽车．甲装配$$3$$辆汽车要用$$1$$小时维护，乙装配$$4$$辆汽车要用$$1.5$$小时维护．甲、乙同时工作，装配$$200$$辆汽车最少要用小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$134$$ 
aoVal: B
content: $$135$$ 
aoVal: C
content: $$136$$ 
aoVal: D
content: $$137$$ 
Answer: C
Analysis: $$3+1=4$$与$$4+1.5=5.5$$的最小公倍数是$$44$$，前$$44\times 3=132$$个小时共装配$$\frac{132}{4}\times 3+\frac{132}{5.5}\times 4=195$$辆，再过$$4$$小时，前$$2.5$$小时装$$2.5\times 2=5$$辆，后$$1.5$$小时装完．共需$$132+4=136$$小时． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数
Source: 2016年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第3题
Problem: 甲，乙，丙，丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲，乙，.丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是(  )场. 
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: 1 
aoVal: C
content: 2 
aoVal: D
content: 3 
Answer: A
Analysis: 依题意可知甲、乙、丙、丁四人的比赛一共要赛6场.因为，甲胜丁，所以甲至少胜一场.①当甲胜一场时，由于乙、丙与甲胜的场数相同，所以乙、丙也各胜一场，则甲、乙、丙三人共胜3场，则还剩下三场.又因为乒乓球比赛不存在着平局的可能，所以丁胜3场，与``甲胜丁''矛盾.② 当甲胜2场时，则乙、丙也各胜2场，此时，甲、乙、丙三人已胜了6场，故丁只能胜0场.因此，由以上可知丁胜的场数是0场，故选A. 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理
Source: 2006年四年级竞赛创新杯
2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第8题
Problem: 某学校组织一次远足活动，计划$$10$$点$$10$$分从甲地出发，$$13$$点$$10$$分到达乙地但出发晚了$$5$$分钟，却早到达了$$4$$分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: $$11$$点$$40$$分 
aoVal: B
content: $$11$$点$$50$$分 
aoVal: C
content: $$12$$点 
aoVal: D
content: $$12$$点$$10$$分 
Answer: B
Analysis: 相当于两辆车$$A$$，$$B$$在同一条路上，一辆按原速行驶，一辆按新的速度行驶．那么，晚出发五分钟相当于$$B$$追已经行驶了$$5$$分钟的$$A$$在丙地追上，当$$B$$到达乙地的时候$$A$$还有$$4$$分钟的路程，这样就是两次追击问题，速度差不变追击路程的比是$$5:4$$所以，（甲地到丙地的距离）:（丙地到乙地的距离）$$=5:4$$，所以时间比为$$5:4$$，所以选择$$B$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例
Source: 2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第5题
Problem: 一个等腰三角形的周长是$$80$$厘米，其中两条边长度的比是$$1:2$$，则底长厘米． 
Options:
aoVal: A
content: $$16$$ 
aoVal: B
content: $$20$$ 
aoVal: C
content: $$16$$或$$20$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{80}{3}$$ 
Answer: A
Analysis: 三边之比为$$1:2:2$$，$$80\div (1+2+2)=16$$（厘米）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第5题
2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第5题
Problem: 有一个两位数，如果把数码$$1$$加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把$$1$$写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差$$414$$，求原来的两位数． 
Options:
aoVal: A
content: $$56$$ 
aoVal: B
content: $$57$$ 
aoVal: C
content: $$58$$ 
aoVal: D
content: $$59$$ 
aoVal: E
content: $$60$$ 
Answer: B
Analysis: 设原来的两位数为$$x$$则依题意可得$$x+100+414=10x+1$$解得$$x=57$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的整体换元
Source: 五年级其它五升六讲义
2019年陕西西安长安区交通大学附属中学航天学校小升初入学真卷6第13题7分
2016年第3届广东深圳鹏程杯六年级竞赛集训材料第十章从算术到代数第9题
Problem: 在下图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，这个算式的乘积是 . 
Options:
aoVal: A
content: $$837$$ 
aoVal: B
content: $$827$$ 
aoVal: C
content: $$297$$ 
aoVal: D
content: $$397$$ 
Answer: A
Analysis: 如图 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2012年全国迎春杯四年级竞赛初赛第3题
Problem: 甲、乙两根同样长的绳子，甲绳先剪去$$\frac{1}{3}$$，再剪去$$\frac{1}{3}$$米；乙绳先剪去$$\frac{1}{3}$$米，再剪去剩下部分的$$\frac{1}{3}$$．两根绳子剩下部分的长度相比较，是． 
Options:
aoVal: A
content: 甲绳剩下的部分长 
aoVal: B
content: 乙绳剩下的部分长 
aoVal: C
content: 同样长 
aoVal: D
content: 不能确定 
Answer: B
Analysis: 设甲、乙两根绳子的长度都为$$9$$米，则：  甲剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde9\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{3}$$  $$=6-\frac{1}{3}$$  $$=5\frac{2}{3}$$（米），  乙剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left( 9-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)$$  $$=\frac{26}{3}\times \frac{2}{3}$$  $$=5\frac{7}{9}$$（米），  $$5\frac{2}{3}$$米$$ ~\textless{} ~5\frac{7}{9}$$米．  答：乙绳剩下部分长．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1
Source: 2004年六年级竞赛创新杯
2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第5题
2021年广东广州番禺区执信中学附属小学小升初（分班考）第17题1分
Problem: 有一列数，第$$1$$个数是$$22$$，第$$2$$个数是$$12$$，从第$$3$$个开始，每个数是它前面两个数的平均数，这列数的第$$10$$个数的整数部分为． 
Options:
aoVal: A
content: $$13$$ 
aoVal: B
content: $$14$$ 
aoVal: C
content: $$15$$ 
aoVal: D
content: $$16$$ 
Answer: C
Analysis: 第$$3$$个数为$$17$$，第$$4$$个数为$$14.5$$，第$$5$$个数为$$15.75$$，第$$6$$个数为$$15.125\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$整数部分一直都是$$15$$，所以第$$10$$个数的整数部分为$$15$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->归纳递推->斐波那契数列递推
Source: 2013年第11届全国创新杯小学高年级五年级竞赛第2题5分
Problem: 从甲地到乙地的路只有上坡与下坡，全程$$21$$千米．如果上坡的速度是$$4$$千米/时，下坡的速度是$$6$$千米/时，从甲地到乙地需$$4.25$$小时，那么从乙地到甲地需要~\uline{~~~~~~~~~~}~小时． 
Options:
aoVal: A
content: $$3.5$$ 
aoVal: B
content: $$4.5$$ 
aoVal: C
content: $$5.5$$ 
Answer: B
Analysis: 假设从甲到乙全为上坡：$$21\div 4=5.25\rm h$$，$$5.25-4.25=1\rm h$$，  每$$1\rm km$$下坡算成上坡，多算$$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}\rm h$$，$$1\div \dfrac{1}{12}=12\left( \rm km \right)$$．  乙到甲上坡$$12\rm km$$，下坡$$9\rm km$$，用时$$12\div 4+9\div 6=4.5\left( \rm h \right)$$． 
Knowledge points: 课内体系->思想->转化与化归的思想
拓展思维->七大能力->实践应用
Source: 2014年第13届上海小机灵杯小学高年级五年级竞赛初赛第12题8分
Problem: 小笨以$$60$$元的价格卖了两块猪肉．其中一块盈利$$20  \% $$，另一块亏损$$20  \% $$，则小笨最后~\uline{~~~~~~~~~~}~（填``盈利''或``亏损''）了~\uline{~~~~~~~~~~}~元． 
Options:
aoVal: A
content: 盈利；5 
aoVal: B
content: 亏损；5 
aoVal: C
content: 盈利；12 
aoVal: D
content: 亏损；12 
Answer: B
Analysis: 盈利$$20  \% $$，则原价是$$50$$元；亏损$$20  \% $$，则原价是$$75$$元，所以原价总共是$$125$$元，而卖出 价总共是$$120$$元，所以小笨最后亏损了$$5$$元钱．  方程解法：盈利部分，$$1.2x=60$$，得$$x=50$$，亏损部分，$$0.8x=60$$，$$x=75$$，盈利$$10$$元和亏损$$15$$元，一共亏损$$5$$元。 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析
Source: 2017年第15届全国希望杯六年级竞赛
Problem: 餐厅有面粉$$240\text{kg}$$，原计划使用$$8$$天．改变食谱后，每天比原计划少用$$6\text{kg}$$．请问这批面粉实际使用了多少天？ 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$12$$ 
aoVal: C
content: $$16$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: A
Analysis: 按照原计划，每天使用$$240\div 8=30\text{kg}$$．  改变食谱后，每天使用$$30-6=24\text{kg}$$．  得知这批面粉实际使用了$$240\div 24=10$$天．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第5题3分
Problem: 我们定义一种新运算``$$\oplus $$''如下：当$$a\textgreater b$$时，$$a\oplus b=2\times b-1$$；当$$a\leqslant b$$时，$$a\oplus b=a+1$$．则$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=$$． 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$7$$ 
aoVal: D
content: $$9$$ 
Answer: B
Analysis: $$\left( 2\oplus 3 \right)=2+1=3$$，$$\left( 5\oplus 4 \right)=2\times 4-1=7$$，$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=3\oplus 7=3+1=4$$． 
Knowledge points: 知识标签->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型
Source: 2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛
Problem: 用$$300$$粒种子做发芽试验，结果有$$5 \%$$的种子没有发芽，发芽的种子有多少粒？ 
Options:
aoVal: A
content: $$60$$ 
aoVal: B
content: $$600$$ 
aoVal: C
content: $$285$$ 
aoVal: D
content: $$275$$ 
Answer: C
Analysis: 因为有$$5 \%$$的种子没有发芽，那么有$$1-5 \%=95 \%$$的种子发芽了，  所以发芽的种子有$$300\times95 \%=285$$（粒）．  故答案为：$$285$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1
Source: 2020年广东广州海珠区广州为明学校卓越杯六年级竞赛初赛第25题4分
Problem: $$2021$$最多可以表示成~\uline{~~~~~~~~~~}~个连续自然数的和． 
Options:
aoVal: A
content: $$100$$ 
aoVal: B
content: $$42$$ 
aoVal: C
content: $$58$$ 
aoVal: D
content: $$47$$ 
aoVal: E
content: $$39$$ 
Answer: D
Analysis: 本题考查学生的拆分乘积的能力和计算能力  $$2021=43\times47$$，所以将$$43$$看作连续自然数的中间数，所以连续的数为$$20$$，$$21$$，$$22$$，$$\cdots~ $$，$$43$$，$$\cdots $$，$$66$$，此和为$$2021$$.  因此，$$2021$$最多可表示$$47$$个自然数的和． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数的应用->已知乘积求因数
Source: 2021年新希望杯六年级竞赛初赛第22题5分
Problem: 已知十位数$$\overline{1a2a3a4a5a}$$能被$$11$$整除，则$$a=$$（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: 根据能被$$11$$整除的数的特征可得．奇数位上的数字之和：$$a+a+a+a+a=5a$$，偶数位上的数字之和：$$5+4+3+2+1=15$$，因为$$\textbar5a-15\textbar=11n$$，$$n$$为整数；当$$n=0$$时，$$a=3$$，当$$n\text{\textgreater}0$$时，$$a$$没有小于$$10$$的整数解，所以$$a=3$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->基础复合数字的整除特征
Source: 2011年五年级竞赛创新杯
Problem: 一个物体的$$2016$$度逆时针旋转，与它的多少度顺时针旋转是一样的？ 
Options:
aoVal: A
content: $$36$$ 
aoVal: B
content: $$72$$ 
aoVal: C
content: $$144$$ 
aoVal: D
content: $$252$$ 
Answer: C
Analysis: 逆时针旋转的度数$$+$$顺时针旋转的度数和是$$360$$的倍数，因此选$$\text {C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->枚举思想
Source: 2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛
Problem: 【能1-2】甲、乙两人出售成本相同的同一种商品，甲按$$20  \% $$的利润率定价，售出了$$15$$个；乙按照$$15  \% $$的利润率定价，售出了$$24$$个，比较甲乙所获利润的多少，你的结论为． 
Options:
aoVal: A
content: 甲获利润多 
aoVal: B
content: 乙获利润多 
aoVal: C
content: 两人利润相同 
aoVal: D
content: 无法比较谁多 
Answer: B
Analysis: 假设成本为$$100$$元，则甲的利润$$ =100\times 20 \%\times 15 =300$$（元），乙的利润$$=100\times 15 \%\times 24=360$$（元）． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->赋值思想
Source: 2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第1题4分
Problem: 青蛙从井底向井口跳，井深$$15$$米，青蛙每次向上跳$$6$$米，又会滑下来$$3$$米，这样青蛙需要跳次才可以出井． 
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: 第一次跳时，向上跳$$6$$米，又下滑$$3$$米，此时距离井底$$3$$米，第二次跳完距离井底$$6$$米，第三次跳完距离井底$$9$$米，第四次先向上跳$$6$$米，此时青蛙跳出了井． 
Knowledge points: 拓展思维->思想->对应思想
Source: 2017年河南郑州联合杯竞赛第2题4分
Problem: 将各位数字的和为$$4$$的自然数由小到大排成一列，$$2011$$是第（~ ）个． 
Options:
aoVal: A
content: $$23$$ 
aoVal: B
content: $$24$$ 
aoVal: C
content: $$25$$ 
aoVal: D
content: $$26$$ 
Answer: D
Analysis: 枚举法：各位数字和为$$4$$的自然数依次为$$4$$，$$13$$，$$22$$，$$31$$，$$40$$，$$103$$，$$112$$，$$121$$，$$130$$，$$202$$，$$ 211$$，$$220$$，$$301$$，$$310$$，$$400$$，$$1003$$，$$1012$$，$$1021$$，$$1030$$，$$1102$$，$$1111$$，$$1210$$，$$1300$$，$$2002$$，$$2011$$，即$$2011$$是第$$26$$个． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理
Source: 2011年全国创新杯五年级竞赛第1题
Problem: 一辆小汽车每秒行驶$$20$$米，刚驶入隧道时，发现一辆客车正在前面$$180$$米处向前行驶。如果两车速度保持不变，$$1.5$$分钟后两车同时驶出隧道，那么客车每秒行驶（  ）米。 
Options:
aoVal: A
content: $$10$$ 
aoVal: B
content: $$16$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
aoVal: D
content: $$20$$ 
Answer: C
Analysis: 速度差：$$180\div 1.5=120$$（米/分）$$=2$$（米/秒），  客车的速度：$$20-2=18$$（米/秒）。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行
Source: 2011年四年级竞赛创新杯
2011年第9届创新杯四年级竞赛初赛第5题6分
Problem: 用$$2015$$减去它的$$\frac{1}{2}$$，再减去余下的$$\frac{1}{3}$$，再减去余下的$$\frac{1}{4}$$，$$\cdots $$，以此类推，一直减去余下的$$\frac{1}{31}$$，那么最后的得数为（  ）。 
Options:
aoVal: A
content: $$31$$ 
aoVal: B
content: $$65$$ 
aoVal: C
content: $$62$$ 
Answer: B
Analysis: 解：$$2015\times \left( 1-\frac{1}{2} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{4} \right)\times \cdots \times \left( 1-\frac{1}{31} \right)$$  $$=2015\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \cdots \times \frac{30}{31}$$  $$=2015\times \frac{1}{31}$$  $$=65$$  故答案为：$$65$$。 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数巧算->连锁约分
Source: 2015年走美杯六年级竞赛初赛
Problem: 两数之和为$$17$$，两数之差为$$7$$，较小的数为． 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
Answer: B
Analysis: $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(17-7)\div 2$$  $$=10\div 2$$  $$=5$$  因此较大数是$$12$$，较小数是$$5$$．选$$\text{B}$$．  $$\text{A}$$、$$\text{C}$$为干扰项，排除． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和明差
Source: 2013年走美杯三年级竞赛初赛
Problem: 将分数$$\frac{22}{7}$$化成小数后，请问应取到小数点后第几位才能使得结果与$$3.14159$$的差最小（不需要做四舍五入且用大数减小数）？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
aoVal: E
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: $$\frac{22}{7}=3.\overset{\centerdot }{\mathop{1}} ,4285\overset{\centerdot }{\mathop{7}} ,$$，逐一取小数点后的数，得到  $$3.14159-3.1=0.04159$$  $$3.14159-3.14=0.00159$$  $$3.142-3.14159=0.00041$$  $$3.1428-3.14159=0.00121$$  $$3.14258-3.14159=0.00126$$  $$\cdots$$  由上面可知，取到小数后第$$3$$位时结果与$$3.14159$$的差最小．  若取小数点后的数位超过$$3$$，则结果与$$3.14159$$的差不断增大．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分、百、小相互转化
Source: 2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第8题3分
Problem: 甲乙丙站成一排，甲比乙矮，丙比乙高．他们三人分别穿红黄蓝的衣服．最高的人不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，最矮的人和穿红色衣服的人相邻．甲乙丙的衣服颜色分别是． 
Options:
aoVal: A
content: 蓝红黄 
aoVal: B
content: 蓝黄红 
aoVal: C
content: 红黄蓝 
aoVal: D
content: 黄蓝红 
aoVal: E
content: 红蓝黄 
Answer: A
Analysis: 根据甲比乙矮，丙比乙高，可以推理得：丙最高，然后是乙，甲最矮．  最高的人不穿红色，即丙不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，说明丙和穿蓝色衣服的人不是同一个人，即丙不穿蓝色，所以丙穿黄色．最矮的人和穿红色衣服的人相邻，即甲和穿红色衣服的人相邻，说明甲和穿红色衣服的人不是同一个人，即甲不穿红色，那么甲只能穿蓝色（丙已经穿黄色了），所以剩下的乙穿红色．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理
Source: 2020年新希望杯一年级竞赛初赛（巅峰对决）第8题
Problem: 张迪的书架分为上、下两层，共有书$$90$$本，若把上层的书取$$7$$本放至下层，则下层的书的数量比上层的两倍还多$$9$$本．则原书架下层的书有本． 
Options:
aoVal: A
content: $$27$$ 
aoVal: B
content: $$34$$ 
aoVal: C
content: $$56$$ 
aoVal: D
content: $$63$$ 
Answer: C
Analysis: 解：设原来上层有书$$x$$本，则原来下层有书$$(90-x)$$本．  $$2(x-7)+9=90-x+7$$，解得$$x=34$$，  $$90-34=56$$（本）  所以原来下层有书$$56$$本．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2013年第25届广东广州五羊杯六年级竞赛第9题5分
Problem: 在$$A$$地植树$$1000$$棵，$$B$$地植树$$1250$$棵，甲、乙、丙每天分别能植树$$28$$、$$32$$、$$30$$棵，甲在$$A$$地、乙在$$B$$地、丙跨$$A$$与$$B$$两地，同时开始、同时结束，丙在$$A$$地植树棵． 
Options:
aoVal: A
content: $$150$$ 
aoVal: B
content: $$300$$ 
aoVal: C
content: $$450$$ 
aoVal: D
content: $$600$$ 
Answer: B
Analysis: 工程问题．从开始到结束三人一共用了$$(1000+1250)\div (28+32+30)=2250\div 90=25$$天，甲在$$A$$地植树$$28\times 25=700$$棵，则丙在$$A$$地植树$$1000-700=300$$棵． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Source: 2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛决赛第1题
Problem: 一根电线截去$$\frac{3}{4}$$后，还剩下$$\frac{3}{4}$$米，截去的和剩下的相比（~ ~ ~ ）． 
Options:
aoVal: A
content: 截去的长 
aoVal: B
content: 剩下的长 
aoVal: C
content: 一样长 
aoVal: D
content: 无法比较 
Answer: A
Analysis: 截去$$\frac{3}{4}$$，则剩下$$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$，所以截去的多． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->实践应用
Source: 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第六套第5题4分
Problem: 在一列数$$8$$、$$6$$、$$4$$、$$2$$、$$6$$、\ldots 中，从第$$3$$个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数字．在这串数中，哪几个数在重复循环呢？ 
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: $$2$$、$$2$$、$$4$$、$$8$$、$$2$$、$$6$$、$$2$$、$$2$$、$$4$$、$$8$$\ldots 发现$$6$$个一循环，$$2004\div 6=334$$（组），所以第$$2004$$个数和第$$6$$个相同为$$6$$． 
Knowledge points: 拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理
Source: 2004年希望杯二年级竞赛复赛
2004年希望杯三年级竞赛复赛
2004年希望杯一年级竞赛复赛
2004年希望杯四年级竞赛复赛
2004年希望杯五年级竞赛复赛
2004年第2届希望杯五年级竞赛复赛第3题
2004年希望杯六年级竞赛复赛
Problem: 一个奇质数和一个偶质数的和是$$9$$．这个奇质数是？ 
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$5$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$7$$ 
Answer: D
Analysis: $$9=7+2$$ 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定->质数与合数的认识
Source: 2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第28题
Problem: 十进制数$$25$$转换成二进制数是． 
Options:
aoVal: A
content: $${{\left( 11101 \right)}_{2}}$$ 
aoVal: B
content: $${{\left( 10011 \right)}_{2}}$$ 
aoVal: C
content: $${{\left( 10101 \right)}_{2}}$$ 
aoVal: D
content: $${{\left( 11001 \right)}_{2}}$$ 
Answer: D
Analysis: $$25=16+8+1$$，则$$25$$转换成二进制数是$${{\left( 11001 \right)}_{2}}$$． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->进制的性质与应用->进制间的互化
Source: 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题
Problem: \textbf{(2019 World Mathematical Olympiad,~Primary 4, \#10)}  某啤酒厂做促销活动，$$3$$个空瓶可以换$$1$$瓶啤酒．爸爸共买了$$13$$瓶啤酒，他一共可以喝到（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）瓶啤酒． 
Options:
aoVal: A
content: $$19$$ 
aoVal: B
content: $$17$$ 
aoVal: C
content: $$18$$ 
Answer: A
Analysis: $$13\div3=4$$（瓶）$$\ldots\ldots1$$（瓶），（喝$$13$$瓶$$+4$$瓶），  $$（4+1）\div3=1$$（瓶）$$\ldots\ldots2$$（瓶），（喝$$1$$瓶$$+1$$瓶），  所以一共是$$13+4+1+1=19$$（瓶）． 
Knowledge points: 拓展思维->拓展思维->组合模块->智巧趣题->数学趣题->空瓶换水问题->不可借空瓶
Source: 2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第10题5分