math-eval/TAL-SCQ5K huggingface dataset:
Problem: 等腰三角形的某个内角的外角是$$130{}^{}\circ $$，那么这个三角形的三个内角的大小是．
Options:
aoVal: A
content: $$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$ 
aoVal: B
content: $$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$或$$130{}^{}\circ $$，$$25{}^{}\circ $$，$$25{}^{}\circ $$ 
aoVal: C
content: $$50{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$ 
aoVal: D
content: $$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$或$$50{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$ 
Answer: D
Analysis: 由已知得等腰三角形的某个内角是$$50{}^{}\circ $$．若它是底角，则三个内角是$$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$；若它是顶角，则三个内角是$$50{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->等腰三角形的性质-等边对等角
课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->已知一角求其余两角
课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和为．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$5$$ 
aoVal: D
content: $$6$$ 
Answer: A
Analysis: 分三种情况进行讨论：  ①若$$2-m=1$$，即$$m=1$$时，满足已知等式；  ②若$$2-m=-1$$，即$$m=3$$时，  $${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}={{(-1)}^{4}}=1$$满足已知等式；  ③若$$2-m\ne \pm 1$$，即$$m\ne 1$$且$$m\ne 3$$时，  由已知，得$$\begin{cases}2-m\ne 0    {{m}^{2}}-m-2=0 \end{cases}$$，解得$$m=-1$$，  故满足等式$${{\left( 2-m \right)}^{{{m}^{2}}-m-2}}=1$$的所有实数$$m$$的和$$1+3+(-1)=3$$． 
Knowledge points: 知识标签->知识点->方程与不等式->不定方程
知识标签->题型->式->整式的乘除->幂的运算->题型：幂的综合运算
知识标签->数学思想->分类讨论思想
Source: 2015年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生
2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分
Problem: 已知$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}$$，则$$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}$$的值为（~ ~ ~）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{3}{2}$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{5}{2}$$ 
Answer: C
Analysis: 由已知等式得$$\frac{xy+zx}{x+y+z}=2$$，$$\frac{yz+xy}{x+y+z}=3$$，$$\frac{zx+yz}{x+y+z}=4$$，  所以$$\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=\frac{9}{2}$$．  于是，$$\frac{yz}{x+y+z}=\frac{5}{2}$$，$$\frac{zx}{x+y+z}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{xy}{x+y+z}=\frac{1}{2}$$．  所以$$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$$，$$\frac{z}{y}=3$$，$$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$$，  即$$z=3y=5x$$．  代入$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{\dfrac{5}{3}x+5x}=\frac{1}{2}$$，  解得$$x=\frac{23}{10}$$．  所以$$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{2}{x}+\frac{3}{\dfrac{5}{3}x}+\dfrac{4}{5x}=\frac{23}{5x}=2$$． 
<p>由通分然后取倒数得，</p>
<p>$$\frac{xy+xz}{x+y+z}=2$$，$$\frac{xy+yz}{x+y+z}=3$$，$$\frac{zx+yz}{x+y+z}=4$$，</p>
<p>$$\therefore \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{xy+zx}{x+y+z}\cdot \frac{1}{x}+\frac{xy+yz}{x+y+z}\cdot \frac{1}{y}+\frac{zx+zy}{x+y+z}\cdot \frac{1}{z}$$</p>
<p>$$=\frac{x+y+x+z+y+z}{x+y+z}=2$$．</p>
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-倒数法化简求值
Source: 2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
Problem: 在$$-0.1428$$中用数字$$3$$替换其中一个非$$0$$数码后，使所得的数最大，则替换的数字是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$4$$ 
aoVal: C
content: $$2$$ 
aoVal: D
content: $$8$$ 
Answer: B
Analysis: 实际上是比较$$-0.3428$$（$$3$$换$$1$$）、$$-0.1328$$（$$3$$换$$4$$）、$$-0.1438$$（$$3$$换$$2$$）、$$-0.1423$$（$$3$$换$$8$$）哪个最大，  即比较$$0.3428$$、$$0.1328$$、$$0.1438$$、$$0.1423$$哪个最小．  易知$$0.1328$$最小．  所以在$$-0.1428$$中用数字$$3$$换$$4$$，所得之数最大． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性
Source: 2016~2017学年湖北天门市岳口初级中学初一上学期期中第17题3分
1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第9题
Problem: 如果$$a\textless{}b\textless{}0$$，那么在下列结论中正确的是．
Options:
aoVal: A
content: $$a+b\textless{}-1$$ 
aoVal: B
content: $$ab\textless{}1$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{a}{b}\textless{}1$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{a}{b}\textgreater1$$ 
Answer: D
Analysis: 由$$a\textless{}b\textless{}0$$，知$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，  又由$$a\textless{}b$$，知$$\textbar a\textbar\textgreater\textbar b\textbar$$，  所以得$$\frac{a}{b}\textgreater1$$，  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质
Source: 2019~2020学年5月四川成都天府新区师大一中（麓山校区）初二下学期周测C卷第5题3分
1993年第4届希望杯初二竞赛第1题
2019~2020学年吉林白山长白朝鲜族自治县初一上学期期中第2题3分
Problem: 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为``和谐数''．如：$$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，$$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，$$2$$和$$26$$均为``和谐数''．那么，不超过$$2016$$的正整数中，所有的``和谐数''之和为．
Options:
aoVal: A
content: $$6858$$ 
aoVal: B
content: $$6860$$ 
aoVal: C
content: $$9260$$ 
aoVal: D
content: $$9262$$ 
Answer: B
Analysis: 方法一：$${{(2k+1)}^{3}}-{{(2k-1)}^{3}}$$  $$=\left[ (2k+1)-(2k-1) \right]\left[ {{(2k+1)}^{2}}+(2k+1)(2k-1)+{{(2k-1)}^{2}} \right]$$  $$=2(12{{k}^{2}}+1)$$（其中$$k$$为非负整数），  由$$2(12{{k}^{2}}+1)\leqslant 2016$$得，$$k\leqslant 9$$，  ∴$$k=0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$9$$，  即得所有不超过$$2016$$的``和谐数''，它们的和为  $$\left[ {{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}} \right]+({{3}^{3}}-{{1}^{3}})+({{5}^{3}}-{{3}^{3}})+\cdots +({{17}^{3}}-{{15}^{3}})+({{19}^{3}}-{{17}^{3}})={{19}^{3}}+1=6860$$．  方法二：``和谐数''设为$$m$$，它一定可以表示为$$m={{n}^{3}}-{{(n-2)}^{3}}$$，其中$$n$$为正整数．题目要求$$m\leqslant 2016$$，大致计算可得$$n$$最大为$$19$$，于是有  $$2={{1}^{3}}-{{(-1)}^{3}}$$，  $$26={{3}^{3}}-{{1}^{3}}$$，  $$\cdots $$  $$1946={{19}^{3}}-{{17}^{3}}$$，  等式右边两两相消是有  ``和谐数''总和$$={{19}^{3}}-{{(-1)}^{3}}=6860$$，选$$\text{B}$$. 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义
课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解
课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它
课内体系->能力->运算能力
Source: 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分
2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分
Problem: 一次函数$$y=kx+b$$的图象经过点$$\left( 0,5 \right)$$和$$B\left( 4,0 \right)$$，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有．
Options:
aoVal: A
content: $$6$$个 
aoVal: B
content: $$7$$个 
aoVal: C
content: $$8$$个 
aoVal: D
content: $$9$$个 
Answer: A
Analysis: 把点$$\left( 0, 5 \right)$$和$$B\left( 4,0 \right)$$代入$$y=kx+b$$得$$y=-\dfrac{5}{4}x+5$$．  当$$x=1$$时，$$y=\dfrac{15}{4}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 1,1 \right)$$，$$\left( 1,2 \right)$$，$$\left( 1,3 \right)$$；  当$$x=2$$时，$$y=\dfrac{5}{2}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 2,1 \right)$$，$$\left( 2,2 \right)$$；  当$$x=3$$时，$$y=\dfrac{5}{4}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 3, 1 \right)$$．  综上，共有$$6$$个． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与几何综合->一次函数与整点问题
Source: 初二其它
2018~2019学年11月浙江杭州滨江区杭州滨兰实验学校初中部初二上学期月考第8题3分
2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第10题
2016~2017学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期期末第6题3分
2016~2017学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期期末第6题
Problem: 若$$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$，则$${{x}^{6}}-2\sqrt{2}{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-2\sqrt{3}{{x}^{2}}+2x-\sqrt{2}$$的值是  ．
Options:
aoVal: A
content: $$-\sqrt{3}$$ 
aoVal: B
content: $$-\sqrt{2}$$ 
aoVal: C
content: $$\sqrt{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\sqrt{3}$$ 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$，则$${{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+2=3$$，$${{x}^{2}}-2\sqrt{3}x+3=2$$，  所求式$$={{x}^{4}}({{x}^{2}}-2\sqrt{2}x-1)+x({{x}^{2}}-2\sqrt{3}x+1)+x-\sqrt{2}=x-\sqrt{2}=\sqrt{3}$$． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式直接化简求值
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第15题
Problem: 如果$$2a+b=0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar$$等于（  ）
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: 由$$2a+b=0$$得$$b=-2a$$，进而有$$\frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}=\frac{a}{\left\textbar{} -2a \right\textbar}=\frac{a}{\left\textbar{} -2 \right\textbar\cdot \left\textbar{} a \right\textbar}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}$$，$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}=\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{-2a}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}$$  若$$a\textgreater0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar=\left\textbar{} \frac{1}{2}-1 \right\textbar+\left\textbar{} -\frac{1}{2}-2 \right\textbar=3$$，  若$$a \textless{} 0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar=\left\textbar{} -\frac{1}{2}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{2}-2 \right\textbar=3$$ ． 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
Source: 2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第8题
Problem: 在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A+\angle C=2\angle B$$，$$2\angle A+\angle B=2\angle C$$，则$$\triangle ABC$$是．
Options:
aoVal: A
content: 锐角且不等边三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 钝角三角形 
aoVal: D
content: 等边三角形 
Answer: A
Analysis: ∵$$\angle A+\angle C=2\angle B$$，  ∴$$\angle A+\angle B+\angle C=3\angle B$$．  ∵$$\angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle B=60{}^{}\circ $$．  ∵$$2\angle A+\angle B=2\angle C$$，  ∴$$2\angle A+60{}^{}\circ =2\angle C$$，  ∴$$2\angle A+60{}^{}\circ =2(120{}^{}\circ -\angle A)$$，  解得$$\angle A=45{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle C=180{}^{}\circ -45{}^{}\circ -60{}^{}\circ =75{}^{}\circ $$，  ∴$$\triangle ABC$$是锐角且不等边三角形． 
Knowledge points: 知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->题型：三角形的分类
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的内角、内角和
知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的概念及分类
Source: 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分
Problem: 已知$$a$$为实数，关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=24    2x+2y=a   \end{array} \right.$$有整数解，则$$a$$的个数为（~ ）
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 由$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=24    2x+2y=a   \end{array} \right.$$得$$\left( a-2 \right)x=24-a$$，∴$$x=\frac{24-a}{a-2}=-1+\frac{22}{a-2}$$；  由$$2x+2y=a$$，可知$$a$$必为偶数，又$$-1+\frac{22}{a-2}$$为整数，所以$$a=0,4,24,-20$$ 
Knowledge points: 课内体系->能力->运算能力
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组的含参整数解问题
课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组
Source: 2016年全国全国初中数学联赛初一竞赛
Problem: 已知点$$D$$在线段$$EF$$上，下列四个等式：①$$DE=2DF$$，②$$DE=\frac{1}{3}EF$$，③$$EF=2DF$$，④$$DF=\frac{1}{2}DE$$，其中能表示：点$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点的表达式是．
Options:
aoVal: A
content: ①②③ 
aoVal: B
content: ②③④ 
aoVal: C
content: ①②④ 
aoVal: D
content: ①③④ 
Answer: C
Analysis: 点$$D$$在线段$$EF$$上．  ①若$$DE=2DF$$，则$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以①正确．  ②若$$DE=\frac{1}{3}EF$$，同样点$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以②正确．  ④若$$DF=\frac{1}{2}DE$$，点$$D$$也是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以④正确．  综上可知①②④正确．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->几何图形初步->线
Source: 2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第5题
Problem: 计算：$$1+{{(-2)}^{2}}-\frac{-4\times {{(-1)}^{2}}}{4}=$$（~ ~ ~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$-2$$ 
aoVal: B
content: $$-1$$ 
aoVal: C
content: $$6$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: C
Analysis: $$1+{{(-2)}^{2}}-\frac{-4\times {{(-1)}^{2}}}{4}$$  $$=1+4+1$$  $$=6$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算
课内体系->能力->运算能力
Source: 2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: ``嫦娥一号''卫星在未打开太阳翼时，外形是长$$222$$厘米、宽$$172$$厘米、高$$220$$厘米的长方体．若在表面包裹$$1$$厘米厚的防震材料层，在这外面还有$$1$$厘米厚的木板包装箱．则木板包装箱所需木材的体积至少是．
Options:
aoVal: A
content: $$224\times 174\times 222-222\times 172\times 220$$立方厘米 
aoVal: B
content: $$223\times 173\times 221-221\times 171\times 219$$立方厘米 
aoVal: C
content: $$225\times 175\times 223-224\times 174\times 222$$立方厘米 
aoVal: D
content: $$226\times 176\times 224-224\times 174\times 222$$立方厘米 
Answer: D
Analysis: 因包装箱最外边的尺寸每个方向向外增加$$1$$厘米，长，宽，高就各增加$$2$$厘米，整个体积减去包裹了防震材料层的体积即是最少的木材用料．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题
Source: 2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第3题4分
Problem: 设$$a\textless{}0$$，在$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2009}}$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)$$中负数个数．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$2$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$4$$ 
Answer: B
Analysis: 因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$． 
Knowledge points: 知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：区分正负数
知识标签->知识点->数->有理数->正数和负数->正数和负数的定义
Source: 2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分
Problem: 已知$$m$$、$$n$$是整数，$$3m+2=5n+3$$，且$$3m+2\textgreater30$$，$$5n+3\textless{}40$$，则$$mn$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$70$$ 
aoVal: B
content: $$72$$ 
aoVal: C
content: $$77$$ 
aoVal: D
content: $$84$$ 
Answer: D
Analysis: 由题意得：$$\begin{cases}3m+2\textgreater30    3m+2\textless{}40    \end{cases}$$，  解得：$$\frac{28}{3}\textless{}m\textless{}\frac{38}{3}$$，  ∵$$m$$是整数，  ∴$$m=10$$或$$11$$或$$12$$，  由$$\begin{cases}5n+3\textgreater30    5n+3\textless{}40    \end{cases}$$，解得：$$\frac{27}{5}\textless{}n\textless{}\frac{37}{5}$$，  ∵$$n$$是整数，  ∴$$n=6$$或$$7$$，  根据$$3m+2=5n+3$$成立时，$$m=12$$，$$n=7$$，  则$$mn=12\times 7=84$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组
课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解
课内体系->能力->运算能力
Source: 2017~2018学年江苏南通崇川区南通市启秀中学初一下学期期中第8题3分
1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第9题
Problem: 从长度分别为$$2,4,6,7$$的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是(  )
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{1}{3}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{3}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 共有$$4$$种等可能的结果数，它们为$$2$$、$$4$$、$$6,2$$、$$4$$、$$7,2$$、$$6$$、$$7,4$$、$$6$$、$$7$$，其中能构成三角形的结果数为$$2$$种，  所以能构成三角形的概率$$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$．  故选$$\rm C$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形
课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率
Source: 2016年浙江宁波鄞州区初三中考一模第6题4分
2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第1题4分
2017~2018学年陕西宝鸡凤翔县初三上学期期末第4题3分
2018~2019学年浙江宁波鄞州区宁波兴宁中学初三上学期期中第8题3分
2019年陕西西安鄠邑区初三中考一模第4题3分
Problem: 某工厂到车站的路程为$$m$$公里，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为$$3a$$公里$$/$$小时，返回时的速度为$$2a$$公里$$/$$小时，那么这辆车往返一次的平均速度为．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{5}{2}a$$公里$$/$$小时 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{5}ma$$公里$$/$$小时 
aoVal: C
content: $$\frac{7}{3}a$$公里$$/$$小时 
aoVal: D
content: $$\frac{12}{5}a$$公里$$/$$小时 
Answer: D
Analysis: 该车从工厂到车站所用时间$${{t}_{1}}=\frac{m}{3a}$$（小时），  从车站返回工厂所用时间为$${{t}_{2}}=\frac{m}{2a}$$（小时）．  所以往返一次的平均速度为$$v=\frac{2m}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{2m}{\dfrac{m}{3a}+\dfrac{m}{2a}}=\frac{12}{5}a$$（公里$$/$$小时）．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算
Source: 1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第4题
Problem: 满足$$\left\textbar{} \left\textbar{} x-1 \right\textbar-\left\textbar{} x \right\textbar{} \right\textbar-\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x \right\textbar=1$$的$$x$$的值是．
Options:
aoVal: A
content: $$0$$ 
aoVal: B
content: $$\pm \frac{1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{4}$$ 
aoVal: D
content: $$\pm \frac{3}{4}$$ 
Answer: C
Analysis: 当$$x\leqslant 0$$，原方程为：$$\left\textbar{} (-x+1)-(-x) \right\textbar-(-x+1)+(-x)=1$$，  即$$1+x-1-x=1$$，无解；  当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (1-x)-x \right\textbar-(1-x)+x=1$$，  即$$\left\textbar{} 1-2x \right\textbar-1+2x=1$$，这种情况下当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant \frac{1}{2}$$ 时，$$1-2x-1+2x=1$$无解；  当$$\frac{1}{2} ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，$$2x-1-1+2x=1$$，$$x=\frac{3}{4}$$；  当$$x ~\textless{} ~1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (x-1)-x \right\textbar-(x-1)+x=1$$，  即$$1-(x-1)+x=1$$，无解．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简
Source: 2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第4题
Problem: 下列各组数可以成为三角形的三边长度的是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$，$$2$$，$$3$$． 
aoVal: B
content: $$a+1$$，$$a+2$$，$$a+3$$，并且$$a\textgreater0$$ 
aoVal: C
content: $$a$$，$$b$$，$$c$$，并且$$a+b\textgreater c$$． 
aoVal: D
content: $$1$$，$$m$$，$$n$$，并且$$1-m\textless{}n$$． 
Answer: B
Analysis: $$\text{A}$$选项：由$$(a+1)+(a+2)=2a+3\textgreater a+3$$（因为$$a\textgreater0$$)，所以$$a+1$$，$$a+2$$，$$a+3$$可以成为三角形的三边，而$$1+2=3$$，故排除$$\text{A}$$选项；  $$\text{C}$$选项：$$1+3\textgreater2$$，$$1$$、$$2$$、$$3$$不能构成三角形，故排除$$\text{C}$$选项；  $$\text{D}$$选项：$$1-2\textless{}1$$，$$1$$、$$1$$、$$2$$不能构成三角形，故排除$$\text{D}$$选项；  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 1993年第4届希望杯初二竞赛第5题
Problem: 实数$$a$$，$$b$$满足$$ab=1$$，记$$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$$，$$N=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$$，则$$M$$与$$N$$的关系是．
Options:
aoVal: A
content: $$M\textgreater N$$ 
aoVal: B
content: $$M=N$$ 
aoVal: C
content: $$M\textless{}N$$ 
aoVal: D
content: 不确定 
Answer: B
Analysis: 【方法一】将$$a=\frac{1}{b}$$分别代入$$M$$和$$N$$，  则$$M=\frac{1}{1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{1}{1+b}=1$$，  $$N=\frac{\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{b}}+\frac{b}{1+b}=\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1+b}=1$$，  所以$$M=N$$．选$$\text{B}$$，  【方法二】$$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{b+ab}+\frac{a}{a+ab}$$，  又由$$ab=1$$，  得到$$M=\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1}=N$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加法运算
Source: 1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第1题
Problem: 设$$a$$，$$b$$是实数，且$$\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}=\frac{1}{b-a}$$，则$$\frac{1+b}{1+a}+\frac{1+a}{1+b}$$的值是（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$3$$ 
aoVal: B
content: $$-3$$ 
aoVal: C
content: $$3(b-a)$$ 
aoVal: D
content: 无法确定的 
Answer: A
Analysis: 因为$$\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}=\frac{1}{b-a}$$，  所以$$\frac{1}{1+a}=\frac{1}{b-a}+\frac{1}{1+b}$$，  即$$\frac{1+b}{1+a}=\frac{1+b}{b-a}+1$$．  同理$$\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+a}-\frac{1}{b-a}$$，  即$$\frac{1+a}{1+b}=1-\frac{1+a}{b-a}$$．  两式相加，得$$\frac{1+b}{1+a}+\frac{1+a}{1+b}=\frac{1+b}{b-a}+1+1-\frac{1+a}{b-a}=3$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算
课内体系->思想->整体思想
Source: 2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分
初一单元测试《有条件的分式化解与求值》第23题
Problem: 我们规定这样一种运算：如果$${{a}^{b}}=N(a\textgreater0,N\textgreater0)$$，那么$$b$$就叫做以$$a$$为底$$N$$的对数，记作$$b={{\log }_{a}}{N}$$．例如：因为$${{2}^{3}}=8$$，所以$${{\log }_{2}}{8}=3$$，那么$${{\log }_{3}}{81}$$的值为．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$ 
aoVal: B
content: $$9$$ 
aoVal: C
content: $$27$$ 
aoVal: D
content: $$81$$ 
Answer: A
Analysis: ∵$${{3}^{4}}=81$$，  ∴$${{\log }_{3}}81=4$$．  故选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算
课内体系->能力->抽象概括能力
Source: 2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第12题3分
2019~2020学年四川宜宾叙州区初一上学期期中
2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第12题3分
2019~2020学年4月辽宁沈阳铁西区沈阳雨田实验中学初一下学期月考第5题3分
2019~2020学年四川宜宾叙州区四川省宜宾县第二中学校初二上学期期末模拟（一）第10题4分
Problem: 已知关于$$x$$的二次方程$$2{{x}^{2}}+ax-2a+1=0$$的两个实根的平方和为$$7\frac{1}{4}$$，则$$a$$的值．
Options:
aoVal: A
content: $$-11$$或$$3$$ 
aoVal: B
content: $$-11$$ 
aoVal: C
content: $$3$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: C
Analysis: 设方程的两个实根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，  则$$\begin{cases}\Delta ={{a}^{2}}-8\left( -2a+1 \right)={{a}^{2}}+16a-8\geqslant 0①    x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}                              ={{\left( -\dfrac{a}{2} \right)}^{2}}-2\cdot \left( \dfrac{-2a+1}{2} \right)=\dfrac{29}{4}②    \end{cases}$$，  整理②式得，$${{a}^{2}}+8a-33=0$$，  解得$$a=3$$或$$a=-11$$．  将$$a=3$$代入①式得$${{3}^{2}}+16\times 3-8\textgreater0$$．  将$$a=-11$$代入①式得$${{\left( -11 \right)}^{2}}+16\times \left( -11 \right)-8\textless{}0$$矛盾．  故选$$\text{C}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系
竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程根的判别式
Source: 1994年第5届希望杯初二竞赛第7题
Problem: 已知由小到大的$$10$$个正整数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$$\cdots \cdots $$，$${{a}_{10}}$$的和是$$2018$$（$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$$\cdots \cdots $$，$${{a}_{10}}$$中任何两个数都不相等），那么$${{a}_{5}}$$的最大值是．
Options:
aoVal: A
content: $$329$$ 
aoVal: B
content: $$330$$ 
aoVal: C
content: $$331$$ 
aoVal: D
content: $$332$$ 
Answer: D
Analysis: ∵$${{a}_{5}}$$最大，就要$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$最小，还要$${{a}_{6}}$$，$${{a}_{7}}$$，$${{a}_{8}}$$，$${{a}_{9}}$$，$${{a}_{10}}$$尽可能接近$${{a}_{5}}$$，  设$${{a}_{1}}=1$$，$${{a}_{2}}=2$$，$${{a}_{3}}=3$$，$${{a}_{4}}=4$$，  即剩下$$6$$个数的和为$$2018-\left( 1+2+3+4 \right)=2008$$，  设$${{a}_{6}}={{a}_{5}}+1$$，$${{a}_{7}}={{a}_{5}}+2$$，$${{a}_{8}}={{a}_{5}}+3$$，$${{a}_{9}}={{a}_{5}}+4$$，$${{a}_{10}}={{a}_{5}}+5$$，  ∴$${{a}_{5}}+{{a}_{5}}+1+{{a}_{5}}+2+{{a}_{5}}+3+{{a}_{5}}+4+{{a}_{5}}+5=2008$$，  ∴$$6{{a}_{5}}+15=2008$$，  ∴$$6{{a}_{5}}=1993$$，  ∵$$1993$$无法整除$$6$$，  ∵$$1992$$可以整除$$6$$，  ∴令$${{a}_{4}}=5$$，  即$$6{{a}_{5}}=1992$$，  ∴$${{a}_{5}}=332$$，  即当$${{a}_{1}}=1$$，$${{a}_{2}}=2$$，$${{a}_{3}}=3$$，$${{a}_{4}}=5$$时，  $${{a}_{5}}$$取得最大值为$$332$$．  故选$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质
Source: 2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第7题5分
Problem: 如果$${{a}^{2}}={{b}^{4}}\ne 0$$，则$$\frac{a}{{{b}^{2}}}$$的值（~ ）．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$0$$ 
aoVal: C
content: $$-1$$ 
aoVal: D
content: $$1$$或$$-1$$ 
Answer: D
Analysis: $${{a}^{2}}={{b}^{4}}\ne 0$$，则$$a={{b}^{2}}$$或$$-a={{b}^{2}}$$，∴$$\frac{a}{{{b}^{2}}}=1$$或$$-1$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->实数->平方根->利用平方根解方程
课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的定义
Source: 2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第4题
Problem: 化简$$\frac{b-c}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{c-a}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+\frac{a-b}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}$$
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{a-c}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{b-c}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{b-c}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{b-c}$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}$$ $$=\frac{2}{b-c}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-降次化简求值
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛
Problem: 若$$k$$为整数，则使得方程$$(k-1999)x=2001-2000x$$的解也是整数的$$k$$值有．
Options:
aoVal: A
content: $$4$$个 
aoVal: B
content: $$8$$个 
aoVal: C
content: $$12$$个 
aoVal: D
content: $$16$$个 
Answer: D
Analysis: $$x=\frac{2001}{k+1}$$为整数，又$$2001=1\times 3\times 23\times 29$$，  $$k+1$$可取$$\pm 1$$、$$\pm 3$$、$$\pm 23$$、$$\pm 29$$、$$\pm (3\times 23)$$、$$\pm (3\times 29)$$、$$\pm (23\times 29)$$、$$\pm 2001$$共$$16$$个值，  其对应的$$k$$值也有$$16$$个． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解
Source: 初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题
2001年第12届希望杯初一竞赛第10题
Problem: 化简$$\frac{b-c}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{c-a}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+\frac{a-b}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}=$$．
Options:
aoVal: A
content: $$\frac{2}{a-c}$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2}{b-c}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{3}{b-c}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{b-c}$$ 
Answer: B
Analysis: 原式$$=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}$$ $$=\frac{2}{b-c}$$ 
Knowledge points: 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值
课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-降次化简求值
Source: 2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛
Problem: 如果对于某一特定范围内的$$x$$的任一允许值，$$p=\left\textbar{} 1-2x \right\textbar+\left\textbar{} 1-3x \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} 1-9x \right\textbar+\left\textbar{} 1-10x \right\textbar$$为定值，则此定值为．
Options:
aoVal: A
content: $$2$$ 
aoVal: B
content: $$3$$ 
aoVal: C
content: $$4$$ 
aoVal: D
content: $$5$$ 
Answer: B
Analysis: ∵$$P$$为定值，  ∴$$P$$的表达式化简后与$$x$$无关，  即$$x$$的系数为$$0$$，  观察发现：$$2+3+4+5+6+7=8+9+10$$，  ∴只需$$1-7x\geqslant 0$$且$$1-8x\leqslant 0$$，  ∴$$\frac{1}{8}\leqslant x\leqslant \frac{1}{7}$$，  ∴$$P=(1-2x)+(1-3x)+(1-4x)+(1-5x)+(1-6x)+(1-7x)-(1-8x)-(1-9x)-(1-10x)$$  $$=3$$．  故选$$\text{B}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->零点分段法
课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义
课内体系->能力->运算能力
Source: 2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第6题
初一上学期单元测试《物以类聚》第19题
2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第2题3分
Problem: 如果$$a$$，$$b$$为给定的实数，且$$1 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~b$$，那么$$1$$，$$a+1$$，$$2a+b$$，$$a+b+1$$这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是．
Options:
aoVal: A
content: $$1$$ 
aoVal: B
content: $$\frac{2a-1}{4}$$ 
aoVal: C
content: $$\frac{1}{2}$$ 
aoVal: D
content: $$\frac{1}{4}$$ 
Answer: D
Analysis: 由绝对值的知识点可知$$1$$，$$a+1$$，$$2a+b$$，$$a+b+1$$这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是$$\text{D}$$． 
Knowledge points: 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->中位数
课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数
课内体系->能力->数据处理能力
Source: 2012年竞赛第3题4分
Problem: 若三角形的三个内角$$A$$，$$B$$、$$C$$的关系满足$$A\textgreater3B$$，$$C\textless2B$$，那么这个三角形是．
Options:
aoVal: A
content: 钝角三角形 
aoVal: B
content: 直角三角形 
aoVal: C
content: 等边三角形 
aoVal: D
content: 不等边的锐角三角形 
Answer: A
Analysis: ∵$$A\textgreater3B$$，$$C\textless2B$$ ，$$2B\textless3B$$ ．  ∴$$A\textgreater B$$，$$A\textgreater C$$，即$$A$$为最大的内角．  若:$$A≤90°$$，则$$B \textless{} 30°$$，$$C \textless{} 60°$$．  $$A+B+C ~\textless{} ~90{}^{}\circ +30{}^{}\circ +60{}^{}\circ =180{}^{}\circ $$与$$A+B+C=180{}^{}\circ $$矛盾．  故：可排除$$\text{B}$$，$$\text{C}$$，$$\text{D}$$，选$$\text{A}$$． 
Knowledge points: 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
Source: 2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第5题