कुछ गणितज्ञ अपने काम से, और सामान्य रूप से गणित से सौन्दर्य प्राप्त करते हैं, इसे ही गणितीय सौन्दर्य ( ) कहते हैं। गणितज्ञ इस प्रसन्नता को यह कहकर अभिव्यक्त करते हैं कि गणित (या, कम से कम, गणित के कुछ पहलू) 'सुन्दर' है। गणितज्ञ, गणित को कला का ही रूप समझते हैं, या कम से कम, एक रचनात्मक गतिविधि के रूप में समझते हैं। प्रायः इसकी तुलना संगीत और कविता के साथ की जाती है।

विधि में



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गणितज्ञ कौन? कब? सबूत की एक विशेष रूप से सुखद विधि को सुरुचिपूर्ण के रूप में वर्णित करते हैं।  संदर्भ के आधार पर, इसका अर्थ हो सकता है:

एक प्रमाण जो न्यूनतम अतिरिक्त मान्यताओं या पिछले परिणामों का उपयोग करता है।

एक प्रमाण जो असामान्य रूप से संक्षिप्त है।

एक सबूत जो एक आश्चर्यजनक तरीके से परिणाम प्राप्त करता है (उदाहरण के लिए, एक स्पष्ट रूप से असंबंधित प्रमेय या प्रमेयों के संग्रह से)।

एक प्रमाण जो नए और मूल अंतर्दृष्टि पर आधारित है।

सबूत की एक विधि जिसे समान समस्याओं वाले परिवार को हल करने के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण की खोज में, गणितज्ञ कौन? अक्सर कितनी बार? परिणाम साबित करने के लिए अलग-अलग स्वतंत्र तरीकों की तलाश करते हैंक्योंकि जो पहला प्रमाण मिलता है उसे अक्सर सुधारा जा सकता है।  जिस प्रमेय के लिए विभिन्न प्रमाणों की सबसे बड़ी संख्या खोजी गई है, वह संभवतः पाइथागोरस प्रमेय है, जिसके सैकड़ों प्रमाण आज तक प्रकाशित हो चुके हैं। एक और प्रमेय जो कई अलग-अलग तरीकों से सिद्ध किया गया है वह द्विघात पारस्परिकता का प्रमेय है।  वास्तव में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के पास अकेले इस प्रमेय के आठ अलग-अलग प्रमाण थे, जिनमें से छह को उन्होंने प्रकाशित किया

इसके विपरीत, परिणाम जो तार्किक रूप से सही हैं लेकिन श्रमसाध्य गणना, अति-विस्तृत तरीके, अत्यधिक पारंपरिक दृष्टिकोण या बड़ी संख्या में शक्तिशाली स्वयंसिद्ध या पिछले परिणाम शामिल हैं, आमतौर पर सुरुचिपूर्ण नहीं माने जाते हैं, और उन्हें बदसूरत या अनाड़ी के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

परिणामों में


0  1 से शुरू होकर,  की लंबाई के लिए किसी की स्थिति के सापेक्ष  वेग से यात्रा करना, और 1 जोड़ना, एक 0 पर आता है। (आरेख एक  आरेख है।)

कुछ गणितज्ञ गणितीय परिणामों में सुंदरता देखते हैं जो गणित के दो क्षेत्रों के बीच संबंध स्थापित करते हैं जो पहली नज़र में असंबद्ध प्रतीत होते हैं।  इन परिणामों को अक्सर गहरे के रूप में वर्णित किया जाता है।  हालांकि इस बात पर सार्वभौमिक सहमति प्राप्त करना मुश्किल है कि क्या कोई परिणाम गहरा है, कुछ उदाहरण दूसरों की तुलना में अधिक सामान्यतः उद्धृत किए जाते हैं।  ऐसा ही एक उदाहरण है यूलर की पहचान:

   10,.



यह सुरुचिपूर्ण अभिव्यक्ति पांच सबसे महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक (, , , 1, और 0) को दो सबसे सामान्य गणितीय प्रतीकों (, ) के साथ जोड़ती है।  यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है, जिसे भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने "हमारा गहना" और "गणित में सबसे उल्लेखनीय सूत्र" कहा था।  आधुनिक उदाहरणों में मॉड्यूलरिटी प्रमेय शामिल है, जो अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करता है (वह कार्य जिसके कारण एंड्रयू विल्स और रॉबर्ट लैंगलैंड्स को वुल्फ पुरस्कार दिया गया), और "मॉन्स्टरस मूनशाइन", जो राक्षस समूह को इससे जोड़ता है  स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से मॉड्यूलर कार्य करता है (जिसके लिए रिचर्ड बोरचर्ड्स को फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था)।

गहरे परिणामों के अन्य उदाहरणों में गणितीय संरचनाओं में अप्रत्याशित अंतर्दृष्टि शामिल है।  उदाहरण के लिए, गॉस का प्रमेय एग्रेगियम एक गहरा प्रमेय है जो एक स्थानीय घटना (वक्रता) को एक वैश्विक घटना (क्षेत्र) से आश्चर्यजनक तरीके से जोड़ता है।  विशेष रूप से, एक घुमावदार सतह पर त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की अधिकता के समानुपाती होता है और आनुपातिकता वक्रता होती है।  एक अन्य उदाहरण कैलकुलस का मौलिक प्रमेय है (और ग्रीन के प्रमेय और स्टोक्स के प्रमेय सहित इसके वेक्टर संस्करण)।

गहरे का विपरीत तुच्छ है।  एक तुच्छ प्रमेय एक परिणाम हो सकता है जो अन्य ज्ञात परिणामों से एक स्पष्ट और सीधे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, या जो केवल विशेष वस्तुओं के विशिष्ट सेट जैसे कि खाली सेट पर लागू होता है।  हालांकि, कुछ अवसरों पर, एक प्रमेय का कथन इतना मौलिक हो सकता है कि उसे गहन माना जा सकेभले ही उसका प्रमाण काफी स्पष्ट हो।

अपने 1940 के निबंध ए मैथेमेटिशियन्स एपोलॉजी में, जी. एच. हार्डी ने सुझाव दिया कि एक सुंदर प्रमाण या परिणाम में "अनिवार्यता", "अप्रत्याशितता", और "किफायती" होती है।

1997 में, जियान-कार्लो रोटा, सुंदरता के लिए एक आवश्यक शर्त के रूप में अप्रत्याशितता से असहमत थे और उन्होंने एक प्रति-उदाहरण प्रस्तावित किया:

गणित के बहुत से प्रमेय, जब पहली बार प्रकाशित हुए, आश्चर्यजनक प्रतीत होते हैं;  इस प्रकार उदाहरण के लिए कुछ बीस साल पहले 1977 से उच्च आयाम के क्षेत्रों पर गैर-समतुल्य अलग-अलग संरचनाओं के अस्तित्व के प्रमाण को आश्चर्यजनक माना जाता था, लेकिन किसी के पास इस तरह के तथ्य को सुंदर कहने का विचार नहीं था, तब या अब  

इसके विपरीत, मोनास्टिर्स्की ने 2001 में लिखा था:

मिल्नोर के सात-आयामी क्षेत्र पर विभिन्न विभेदक संरचनाओं के सुंदर निर्माण के लिए अतीत में एक समान आविष्कार को खोजना बहुत मुश्किल है... मिल्नोर का मूल प्रमाण बहुत रचनात्मक नहीं था, लेकिन बाद में ई. ब्रिसकोर्न ने दिखाया कि ये विभेदक संरचनाएं  अत्यंत स्पष्ट और सुंदर रूप में वर्णित किया जा सकता है। 10

यह असहमति गणितीय सुंदरता की व्यक्तिपरक प्रकृति और गणितीय परिणामों के साथ इसके संबंध दोनों को दर्शाती है: इस मामले में, न केवल विदेशी क्षेत्रों का अस्तित्व, बल्कि उनकी एक विशेष प्राप्ति भी है।

अनुभव में


एक "ठंड और सख्त सुंदरता" को पांच क्यूब्स के यौगिक के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है



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अनुभवजन्य अध्ययन से अलग शुद्ध गणित में रुचि विभिन्न सभ्यताओं के अनुभव का हिस्सा रही है, जिसमें प्राचीन यूनानी भी शामिल हैं, जिन्होंने "इसकी सुंदरता के लिए गणित किया"। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में गणितीय भौतिकविदों का अनुभव करने वाले सौन्दर्यपूर्ण आनंद को (दूसरों के बीच पॉल डिराक द्वारा) इसकी "महान गणितीय सुंदरता" के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है।  गणित की सुंदरता का अनुभव तब होता है जब वस्तुओं की भौतिक वास्तविकता को गणितीय मॉडल द्वारा दर्शाया जाता है।  बहुपद समीकरणों को हल करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए 1800 के दशक की शुरुआत में विकसित समूह सिद्धांत, प्राथमिक कणोंपदार्थ के निर्माण खंडों को वर्गीकृत करने का एक उपयोगी तरीका बन गया।  इसी तरह, गांठों का अध्ययन स्ट्रिंग सिद्धांत और लूप क्वांटम ग्रेविटी में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। 

कुछ कौन? का मानना है कि गणित की सराहना करने के लिए, किसी को गणित करने में संलग्न होना चाहिए। 

उदाहरण के लिए, मैथ सर्कल स्कूल के बाद का एक समृद्ध कार्यक्रम है जहां छात्र खेल और गतिविधियों के माध्यम से गणित करते हैं;  कुछ शिक्षक ऐसे भी हैं जो काइनेस्टेटिक लर्निंग में गणित पढ़ाकर छात्रों को व्यस्त रखने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।  एक सामान्य गणित वृत्त पाठ में, छात्र अपनी खुद की गणितीय खोज करने के लिए पैटर्न खोज, अवलोकन और अन्वेषण का उपयोग करते हैं।  उदाहरण के लिए, गणितीय सुंदरता 2 और 3 ग्रेडर के लिए डिज़ाइन की गई समरूपता पर मैथ सर्कल गतिविधि में उत्पन्न होती है, जहाँ छात्र कागज के एक चौकोर टुकड़े को मोड़कर और मुड़े हुए कागज़ के किनारों के साथ अपनी पसंद के डिज़ाइन को काटकर अपने स्नोफ्लेक बनाते हैं।  जब कागज को खोल दिया जाता है, तो एक सममित डिजाइन प्रकट होता है।  दैनिक प्राथमिक विद्यालय की गणित कक्षा में, समरूपता को एक कलात्मक तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है जहाँ छात्र गणित में सौंदर्य की दृष्टि से मनभावन परिणाम देखते हैं। 

कुछ कौन? शिक्षक गणित को सौंदर्य की दृष्टि से आकर्षक तरीके से प्रस्तुत करने के लिए गणितीय जोड़-तोड़ का उपयोग करना पसंद करते हैं।  हेराफेरी के उदाहरणों में बीजगणित टाइलें, भोजनालय की छड़ें और पैटर्न ब्लॉक शामिल हैं।  उदाहरण के लिए, कोई बीजगणित टाइलों का उपयोग करके वर्ग को पूरा करने की विधि सिखा सकता है।  व्यंजनों की छड़ों का उपयोग अंशों को पढ़ाने के लिए किया जा सकता है, और ज्यामिति को पढ़ाने के लिए पैटर्न ब्लॉकों का उपयोग किया जा सकता है।  गणितीय जोड़तोड़ का उपयोग करने से छात्रों को एक वैचारिक समझ हासिल करने में मदद मिलती है जो लिखित गणितीय सूत्रों में तुरंत नहीं देखी जा सकती है। 

अनुभव में सुंदरता के एक अन्य उदाहरण में ओरिगैमी का उपयोग शामिल है।  ओरिगेमी, पेपर फोल्डिंग की कला में सौंदर्य संबंधी गुण और कई गणितीय कनेक्शन हैं।  अनफ़ोल्ड ओरिगेमी टुकड़ों पर क्रीज़ पैटर्न देखकर कोई पेपर फोल्डिंग के गणित का अध्ययन कर सकता है। 

कॉम्बिनेटरिक्स, गिनती का अध्ययन, कलात्मक प्रतिनिधित्व है जो कुछ कौन? गणितीय रूप से सुंदर पाते हैं।  ऐसे कई दृश्य उदाहरण हैं जो संयोजक अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं।  कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रमों में दृश्य प्रस्तुतियों के साथ देखे गए कुछ विषयों और वस्तुओं में शामिल हैं, दूसरों के बीच चार रंग प्रमेय, यंग झांकी, परमुटोहेड्रोन, ग्राफ़ सिद्धांत, एक सेट का विभाजन।

सेमिर ज़ेकी और उनके सहयोगियों द्वारा किए गए मस्तिष्क इमेजिंग प्रयोग  दिखाते हैं कि गणितीय सुंदरता का अनुभव, एक तंत्रिका सहसंबंध के रूप में, मस्तिष्क के औसत दर्जे का ऑर्बिटो-फ्रंटल कॉर्टेक्स () के क्षेत्र 1 में गतिविधि है और यह गतिविधि पैरामीट्रिक रूप से है  सौंदर्य की घोषित तीव्रता से संबंधित।  गतिविधि का स्थान गतिविधि के स्थान के समान है जो अन्य स्रोतों से सौंदर्य के अनुभव से संबंधित है, जैसे कि संगीत या खुशी या दुःख।  इसके अलावा, गणितज्ञ अपने साथियों द्वारा दी गई विरोधाभासी राय के आलोक में गणितीय सूत्र की सुंदरता के अपने निर्णय को संशोधित करने के लिए प्रतिरोधी प्रतीत होते हैं।

दर्शन में
कुछ कौन? गणितज्ञों की राय है कि गणित का कार्य आविष्कार की तुलना में खोज के अधिक निकट है, उदाहरण के लिए:

कोई वैज्ञानिक खोजकर्ता नहीं है, कोई कवि नहीं, कोई चित्रकार नहीं, कोई संगीतकार नहीं है, जो आपको यह नहीं बताएगा कि उसने अपनी खोज या कविता या चित्र तैयार किया है - कि यह उसके पास बाहर से आया था, और यह कि उसने जानबूझकर इसे भीतर से नहीं बनाया  .

 विलियम किंग्डन क्लिफर्ड, रॉयल इंस्टीट्यूशन के एक व्याख्यान से शीर्षक "मानसिक विकास की कुछ शर्तें"

इन गणितज्ञों का मानना है कि जिस ब्रह्मांड में हम रहते हैं, उस पर निर्भरता के बिना गणित के विस्तृत और सटीक परिणामों को यथोचित रूप से सत्य माना जा सकता है।  उदाहरण के लिए, वे तर्क देंगे कि प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत मौलिक रूप से मान्य है, इस तरह से जिसके लिए किसी विशिष्ट संदर्भ की आवश्यकता नहीं है।  कुछ गणितज्ञों ने इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाया है कि गणितीय सौंदर्य सत्य है, कुछ मामलों में रहस्यवाद बन जाता है।

प्लेटो के दर्शन में दो दुनियाएँ थीं, एक भौतिक दुनिया जिसमें हम रहते हैं और दूसरी अमूर्त दुनिया जिसमें गणित सहित अपरिवर्तनीय सत्य शामिल है।  उनका मानना था कि भौतिक दुनिया अधिक परिपूर्ण अमूर्त दुनिया का एक मात्र प्रतिबिंब थी। 

हंगेरियन गणितज्ञ पॉल एर्डोस  ने एक काल्पनिक पुस्तक के बारे में बात की, जिसमें भगवान ने सभी सबसे सुंदर गणितीय प्रमाण लिखे हैं।  जब एर्डोस किसी प्रमाण की विशेष प्रशंसा व्यक्त करना चाहते थे, तो वे कहते थे, "यह पुस्तक से है!"

बीसवीं सदी के फ्रांसीसी दार्शनिक एलेन बडियू ने दावा किया कि सत्तामीमांसा गणित है।   बादीउ गणित, कविता और दर्शन के बीच गहरे संबंधों में भी विश्वास करते हैं।

हालांकि, कई मामलों में, प्राकृतिक दार्शनिकों और अन्य वैज्ञानिकों ने, जिन्होंने गणित का व्यापक उपयोग किया है, सौंदर्य और भौतिक सत्य के बीच अनुमान लगाने की छलांग लगाई है जो गलत निकला।  उदाहरण के लिए, अपने जीवन के एक चरण में, जोहान्स केपलर का मानना था कि सौर मंडल में तत्कालीन ज्ञात ग्रहों की कक्षाओं के अनुपात को परमेश्वर द्वारा पांच प्लेटोनिक ठोसों की संकेंद्रित व्यवस्था के अनुरूप व्यवस्थित किया गया है, प्रत्येक कक्षा पर स्थित है  एक बहुफलक की परिधि और दूसरे की परिधि।  जैसा कि वास्तव में पांच प्लेटोनिक ठोस हैं, केपलर की परिकल्पना केवल छह ग्रहों की कक्षाओं को समायोजित कर सकती है और यूरेनस की बाद की खोज से अस्वीकृत हो गई थी।

सूचना सिद्धांत में
1970 के दशक में, अब्राहम मोल्स और फ्रीडर नेक ने सौंदर्य, सूचना संसाधन और सूचना सिद्धांत के बीच संबंधों का विश्लेषण किया। 1990 के दशक में, जुरगेन श्मिटहुबर ने एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत के आधार पर पर्यवेक्षक-निर्भर व्यक्तिपरक सौंदर्य का एक गणितीय सिद्धांत तैयार किया: व्यक्तिपरक रूप से तुलनीय वस्तुओं के बीच सबसे सुंदर वस्तुओं में छोटे एल्गोरिदमिक विवरण (यानी, कोल्मोगोरोव जटिलता) होते हैं, जो पर्यवेक्षक पहले से ही जानता है। श्मिटहुबर स्पष्ट रूप से सुंदर और दिलचस्प के बीच अंतर करता है।  उत्तरार्द्ध विषयगत रूप से कथित सुंदरता के पहले व्युत्पन्न से मेल खाता है: पर्यवेक्षक लगातार दोहराव और समरूपता और भग्न स्व-समानता जैसी नियमितताओं की खोज करके टिप्पणियों की भविष्यवाणी और संपीड्यता में सुधार करने की कोशिश करता है।  जब भी पर्यवेक्षक की सीखने की प्रक्रिया (संभवतः एक भविष्य कहनेवाला कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क) बेहतर डेटा संपीड़न की ओर जाता है जैसे कि अवलोकन अनुक्रम को पहले की तुलना में कम बिट्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो डेटा की अस्थायी रुचि संपीड़न प्रगति के अनुरूप होती है, और आनुपातिक होती है  पर्यवेक्षक की आंतरिक जिज्ञासा पुरस्कार। 

कला में
मुख्य लेख: गणित और कला, गणित और संगीत, और गणित और वास्तुकला

संगीत

संगीत में गणित के उपयोग के उदाहरणों में इयानिस ज़ेनाकिस का स्टोकेस्टिक संगीत, टूल के लेटरालस में फाइबोनैचि अनुक्रम, जोहान सेबेस्टियन बाख का प्रतिरूप, पॉलीरिदमिक संरचनाएं (इगोर स्ट्राविंस्की के द राइट ऑफ स्प्रिंग के रूप में), इलियट कार्टर का मीट्रिक मॉड्यूलेशन, क्रमचय शामिल हैं।  अर्नोल्ड शॉनबर्ग के साथ शुरू होने वाले धारावाहिकवाद में सिद्धांत, और कार्लहेन्ज़ स्टॉकहौसेन के भजन में शेपर्ड टोन का अनुप्रयोग।  वे डेविड लेविन के सैद्धांतिक लेखन में संगीत में परिवर्तन के लिए समूह सिद्धांत के अनुप्रयोग को भी शामिल करते हैं।

विजुअल आर्ट्स


लियोन बत्तीस्ता अलबर्टी की 1435 डेला पिटुरा से आरेख, ग्रिड पर परिप्रेक्ष्य में स्तंभों के साथ

दृश्य कलाओं में गणित के उपयोग के उदाहरणों में कैओस थ्योरी और फ़्रैक्टल ज्यामिति के अनुप्रयोग कंप्यूटर जनित कला, लियोनार्डो दा विंची के समरूपता अध्ययन, पुनर्जागरण कला के परिप्रेक्ष्य सिद्धांत के विकास में प्रोजेक्टिव ज्यामिति , ऑप आर्ट में ग्रिड, ऑप्टिकल ज्योमेट्री शामिल हैं  गिआम्बतिस्ता डेला पोर्टा के कैमरे के अस्पष्ट में, और विश्लेषणात्मक घनवाद और भविष्यवाद में कई परिप्रेक्ष्य।

डच ग्राफ़िक डिज़ाइनर . .  ने गणितीय रूप से प्रेरित वुडकट्स, लिथोग्राफ़्स, और मेज़ोटिन्ट्स बनाए।  इनमें असंभव निर्माण, अनंत की खोज, वास्तुकला, दृश्य विरोधाभास और टेसेलेशन शामिल हैं।

कुछ चित्रकार और मूर्तिकार एनामॉर्फोसिस के गणितीय सिद्धांतों से विकृत काम बनाते हैं, जिनमें दक्षिण अफ़्रीकी मूर्तिकार जोंटी हर्विट्ज शामिल हैं।

ब्रिटिश निर्माणवादी कलाकार जॉन अर्नेस्ट ने समूह सिद्धांत से प्रेरित राहतें और पेंटिंग बनाईं।   निर्माणवादी और प्रणाली विचारधारा के कई अन्य ब्रिटिश कलाकार भी गणित के मॉडल और संरचनाओं को प्रेरणा के स्रोत के रूप में आकर्षित करते हैं, जिनमें एंथनी हिल और पीटर लोवे शामिल हैं। कंप्यूटर जनित कला गणितीय एल्गोरिदम पर आधारित है।

गणितज्ञों के उद्धरण

बर्ट्रेंड रसेल ने गणितीय सुंदरता की अपनी भावना को इन शब्दों में व्यक्त किया:

सही ढंग से देखे जाने पर, गणित में न केवल सच्चाई है, बल्कि सर्वोच्च सौंदर्य भी है - एक ठंडा और कठोर सौंदर्य, मूर्तिकला की तरह, हमारी कमजोर प्रकृति के किसी भी हिस्से के लिए अपील के बिना, पेंटिंग या संगीत के भव्य आकर्षण के बिना, फिर भी बेहद शुद्ध और सक्षम  एक कठोर पूर्णता की जैसे कि केवल सबसे बड़ी कला ही दिखा सकती है।  आनंद की सच्ची भावना, उत्कर्ष, मनुष्य से अधिक होने का भाव, जो उच्चतम उत्कृष्टता की कसौटी है, गणित में निश्चित रूप से कविता के रूप में पाया जाना है। 

पॉल एर्डोस ने गणित की अक्षमता पर अपने विचार व्यक्त करते हुए कहा, "संख्याएं सुंदर क्यों हैं? यह पूछने की तरह है कि बीथोवेन की नौवीं सिम्फनी सुंदर क्यों है। यदि आप नहीं देखते हैं, तो कोई आपको नहीं बता सकता है। मुझे पता है कि संख्याएं सुंदर हैं  यदि वे सुंदर नहीं हैं, तो कुछ भी नहीं है".

 सन्दर्भ 

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