क्रमगुणित:- 1 से लेकर  तक की लगातार संख्याओं के गुणनफल को क्रमगुणित कहते हैं। इसे ! से दर्शाते हैं। !0111223642451206720750408403209362880103628800113991680012479001600136227020800148717829120015130767436800016209227898880001735568742809600018640237370572800019121645100408832000202432902008176640000701004501000324910000252061000002050231000000172350820000001000000014842907

गणित में किसी अऋणात्मक पूर्णांक  का क्रमगुणित या 'फैक्टोरियल' वह संख्या है जो उस पूर्णांक  तथा उससे छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुननफल के बराबर होता है। इसे !, से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिये,

0! का मान  1 होता है।

गणित के अनेकों क्षेत्रों में क्रमगुणित का उपयोग करना पड़ता है, जिनमें से क्रमचय-संचय, बीजगणित तथा गणितीय विश्लेषण प्रमुख हैं।

 इतिहास 
क्रमगुणित की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है:

 भारतीय गणित में, फैक्टोरियल का सबसे पहला ज्ञात विवरण अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जो जैन साहित्य के प्रामाणिक कार्यों में से एक है, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 ईसवी तक की तिथियां दी गई हैं।. पृष्ठ 211 पर तिथि निर्धारण की चर्चा देखें। यह वस्तुओं के एक समूह के क्रमबद्ध और उलटे क्रम को अन्य ("मिश्रित") क्रमों से अलग करता है, तथा क्रमगुणित के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणन नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था।.   . .            27 (3): 231249, 1992, . पृष्ठ 363 देखें हिंदू विद्वान कम से कम ११५० के बाद से क्रमगुणित सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में क्रमगुणित का उल्लेख किया था, एक समस्या के संबंध में कि विष्णु अपने चार विशिष्ट वस्तुओं (शंख, चक्र, गदा, और कमल का फूल) को अपने चार हाथों में कैसे पकड़ सकते हैं, और दस-हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।

 मध्य पूर्व के गणित में, सृष्टि की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफर यतिजिराह, जो कि तल्मूडिक काल (200 से 500 ई.) की है, में 7! तक के क्रमगुणित की सूची दी गई है, जो कि हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच का एक हिस्सा है।   ,  ,  4 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी ने भी इसी तरह के कारणों से क्रमगुणित का अध्ययन किया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिन्हें अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, सी. 965 - सी. 1040) क्रमगुणित को अभाज्य संख्या से जोड़ने वाले विल्सन प्रमेय को तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे।

 यूरोप में, हालांकि यूनानी गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में 5,040 (एक क्रमगुणित) का इस्तेमाल किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण, क्रमगुणित के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे कि शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जिसमें सेफर यतिज़िराह मार्ग की व्याख्या की गई थी। पृष्ठ 111 देखें। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फेबियन स्टेडमैन ने चेंज रिंगिंग में क्रमगुणित के अनुप्रयोग का वर्णन किया, जो एक संगीत कला है जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों को बजाना शामिल है।       ".."      ,          ,     ""  .

15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से क्रमगुणित पश्चिमी गणितज्ञों के अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की एक समस्या के संबंध में 11! तक के क्रमगुणित की गणना की। पृष्ठ 126 देखें। क्रिस्टोफर क्लैवियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की एक टिप्पणी में फैक्टोरियल पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मैरिन मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर, 64! तक के फैक्टोरियल की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) सारणियां प्रकाशित कीं। घातांकीय फलन के लिए घात श्रेणी, इसके गुणांकों के लिए फैक्टोरियल के पारस्परिक के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को लिखे एक पत्र में तैयार किया गया था। क्रमगुणित पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज, अब्राहम डी मोइवर द्वारा 1721 में  के बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग द्वारा डी मोइवर को 1729 का एक पत्र जिसमें बताया गया था कि स्टर्लिंग का सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा उसी समय क्रमगुणित फलन के गामा फलन तक निरंतर विस्तार को सूत्रबद्ध करने का कार्य शामिल है।
 एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने लीजेंड्रे का सूत्र शामिल किया, जिसमें अभाज्य घातों में क्रमगुणित के कारकीकरण में घातांकों का वर्णन किया गया था, संख्या सिद्धांत पर 1808 के एक पाठ में।    . 263.

क्रमगुणित के लिए संकेतन  फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा 1808 में पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। बाद के एक और संकेतन , जिसमें क्रमगुणित का तर्क एक बॉक्स के बाएं और निचले हिस्से से आधा घिरा हुआ था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन इसका इस्तेमाल बंद हो गया, शायद इसलिए क्योंकि इसे टाइप करना मुश्किल है। "फैक्टोरियल" शब्द (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरियल) का पहली बार प्रयोग 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगास्ट द्वारा किया गया था, फाआ डी ब्रूनो के सूत्र पर पहले काम में, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का उल्लेख करते हुए। यह नाम जिन "कारकों" को संदर्भित करता है, वे क्रमगुणित के लिए गुणन सूत्र के पद हैं।

 परिभाषा 
एक धनात्मक पूर्णांक  का क्रमगुणित फलन  से छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है।

इसे उत्पाद संकेतन में और अधिक संक्षिप्त रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

यदि इस गुणन सूत्र को अंतिम पद को छोड़कर बाकी सभी पदों को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक छोटे क्रमगुणित के लिए समान रूप का एक गुणनफल परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार क्रमगुणित फलन का प्रत्येक मान पिछले मान को  से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:

उदाहरण के लिए, 

 शून्य का क्रमगुणित 
 क्रमगुणित  या प्रतीकों में,  इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:

  के लिए,  की परिभाषा में गुणनफल के रूप में किसी भी संख्या का गुणनफल शामिल नहीं है, और इसलिए यह व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली गुणनफल, बिना किसी कारक का गुणनफल, गुणात्मक पहचान के बराबर है। 

 शून्य वस्तुओं का बिल्कुल एक क्रमचय है: क्रमचय करने के लिए कुछ भी न होने पर, कुछ भी नहीं करना ही एकमात्र पुनर्व्यवस्था है।

 यह परिपाटी क्रमचय-संचय में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी वैध विकल्पों के लिए वैध बनाती है। उदाहरण के लिए,  के एक सेट से सभी  तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या  एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल 

  के साथ, क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध  पर वैध रहता है। इसलिए, इस परिपाटी के साथ, क्रमगुणित की पुनरावर्ती गणना के लिए आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, जिससे गणना सरल हो जाएगी और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता नहीं होगी।

  सेट करने से कई सूत्रों, जैसे कि घातांकीय फलन, को घात श्रेणी के रूप में संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति मिलती है: 

 यह विकल्प गामा फलन  से मेल खाता है और गामा फलन का सतत फलन होने के लिए यह मान होना चाहिए।

 अनुप्रयोग 
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 गुण 
 विकास और सन्निकटन 
फैक्टोरियल, स्टर्लिंग सन्निकटन और सरल सन्निकटन  की दोहरे लघुगणकीय पैमाने पर तुलना
1.6सापेक्ष त्रुटि एक संक्षिप्त स्टर्लिंग श्रृंखला बनाम पदों की संख्या में

 के एक फलन के रूप में, क्रमगुणित चरघातांकीय वृद्धि की तुलना में तेज़ है, लेकिन दोहरे चरघातांकीय फलन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। इसकी वृद्धि दर  के समान है, लेकिन एक घातांकीय कारक द्वारा धीमी है। इस परिणाम तक पहुँचने का एक तरीका क्रमगुणित का प्राकृतिक लघुगणक लेना है, जो इसके उत्पाद सूत्र को योग में बदल देता है, और फिर एक समाकल द्वारा योग का अनुमान लगाता है:

परिणाम को घातांकित करना (और नगण्य  पद को अनदेखा करना)  को  के रूप में सन्निकट करता है।
ट्रेपेज़ॉइड नियम का उपयोग करके, ऊपर और नीचे दोनों योग को एक समाकल द्वारा अधिक सावधानी से बांधने से पता चलता है कि इस अनुमान को एक सुधार कारक की आवश्यकता है जो  के समानुपाती हो। इस सुधार के लिए आनुपातिकता का स्थिरांक वालिस उत्पाद से पाया जा सकता है, जो  को क्रमगुणित और दो की घातों के सीमित अनुपात के रूप में व्यक्त करता है। इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का सन्निकटन है:

यहाँ,  प्रतीक का अर्थ है कि, जैसे-जैसे  अनंत की ओर जाता है, बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अनुपात सीमा में एक के करीब पहुँचता है।
स्टर्लिंग का सूत्र असममितीय श्रृंखला में पहला पद प्रदान करता है जो अधिक संख्या में पदों के लिए ले जाने पर और भी अधिक सटीक हो जाता है:

एक वैकल्पिक संस्करण सुधार पदों में केवल विषम घातांक का उपयोग करता है:

इन सूत्रों के कई अन्य रूप भी श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य द्वारा विकसित किए गए हैं।

तुलना सॉर्टिंग का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणित के बाइनरी लघुगणक को स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। नीचे दिए गए सूत्र में,  पद बड़ा  संकेतन को आमंत्रित करता है।

 विभाज्यता और अंक 

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 निरंतर प्रक्षेप और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण 
1.6गामा फलन (क्रमगुणित से मिलान करने के लिए एक इकाई बाईं ओर स्थानांतरित) क्रमगुणित को गैर-पूर्णांक मानों में लगातार प्रक्षेपित करता है
जटिल गामा फलन के निरपेक्ष मान, गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर ध्रुवों को दर्शाते हुए

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 गणना 
 -50, एक 1975 कैलकुलेटर जिसमें क्रमगुणित कुंजी है (तीसरी पंक्ति, बीच में दाईं ओर)
क्रमगुणित फलन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक सामान्य विशेषता है। इसे वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग लाइब्रेरीज़ जैसे कि पायथन गणितीय फलन मॉड्यूल में भी शामिल किया गया है।     .      ,    :                                .

           
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 संबंधित अनुक्रम एवं फलन 

कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम क्रमगुणित के समान या उससे संबंधित हैं:

प्रत्यावर्ती क्रमगुणित
प्रत्यावर्ती क्रमगुणित पहले  क्रमगुणित के प्रत्यावर्ती योग का निरपेक्ष मान है,  इनका अध्ययन मुख्यतः उनकी प्रधानता के संबंध में किया गया है; इनमें से केवल सीमित संख्या में ही अभाज्य संख्याएं हो सकती हैं, लेकिन इस रूप के अभाज्य संख्याओं की पूरी सूची ज्ञात नहीं है।. "43:    ". . 152153.
भार्गव क्रमगुणित
भार्गव क्रमगुणित, मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जिसमें क्रमगुणित के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण होते हैं, जिसमें एक विशेष मामले के रूप में क्रमगुणित स्वयं भी शामिल होते हैं।
दोहरा क्रमगुणित
किसी विषम धनात्मक पूर्णांक  तक के सभी विषम पूर्णांकों के गुणनफल को  का दोहरा क्रमगुणित कहा जाता है, तथा इसे  द्वारा दर्शाया जाता है।  ,   , . दोहरे क्रमगुणित का उपयोग त्रिकोणमितीय इंटीग्रल में, अर्ध-पूर्णांक पर गामा फलन और हाइपरस्फेयर के आयतन के लिए अभिव्यक्तियों में,. और बाइनरी ट्री और परफेक्ट मैचिंग की गिनती में किया जाता है।.
घातांकीय क्रमगुणित
जैसे कि त्रिकोणीय संख्याएँ   तक की संख्याओं का योग करती हैं और फैक्टोरियल उनका गुणनफल लेते हैं, वैसे ही घातांकीय फैक्टोरियल घातांकित होता है। घातांकीय फैक्टोरियल को पुनरावर्ती रूप से  के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 4 का घातांकीय भाज्य  है। ये संख्याएं नियमित भाज्य की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ती हैं।
 
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 इन्हें भी देखें 
 गामा फलन
 क्रमचय-संचय

 सन्दर्भ 

 बाहरी कड़ियाँ 
 सन्निकटन सूत्र
 क्रमगुणित नोटेशन ! के बारे में सब कुछ
 "डबल क्रमगुणित व्युत्पन्न"
क्रमगुणित कैलकुलेटर और एल्गोरिदम
 क्रमगुणित कैलकुलेटर: तुरन्त 1014! तक के क्रमगुणित ढूंढता है
 एनिमेटेड क्रमगुणित कैलकुलेटर: सामान्य प्राथमिक विद्यालय के एग्लॉरिथम का उपयोग करके हाथ से गणना किए गए क्रमगुणित को दर्शाता है
 "क्रमगुणित" एड पेग, जूनियर और रॉब मॉरिस द्वारा, वोल्फ्राम डेमोंस्ट्रेशन प्रोजेक्ट, 2007.
 तेज़ क्रमगुणित फलन (जावा, सी, सी, स्काला और गो में स्रोत कोड के साथ)

श्रेणी:क्रमचय-संचय