300मैंडलब्रॉट सेट भग्न का एक प्रसिद्ध उदाहरण है

फ्रक्टल () एक "विषम या खंडित ज्यामितीय आकार है जिसे हिस्से में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) संपूर्ण की लघु-आकार प्रतिलिपि है," एक गुण जो स्व-समानता कहलाता है। भग्न के गणितीय सख्त उपचार की जड़ें कार्ल वेइर्स्ट्रास, जार्ज कैंटर और फ़ेलिक्स हौसड्राफ़ द्वारा किए गए प्रकार्यों के अध्ययन में खोजी जा सकती हैं, जिन्होंने ऐसे प्रकार्यों का अध्ययन किया जो विश्लेषणात्मक थे, पर विभेदक नहीं; तथापि, 1975 में भग्न के लिए अंग्रेज़ी शब्द  बेनोइट मेंडेलब्रॉट ने गढ़ा और यह लैटिन के  से व्युत्पन्न है, जिसका तात्पर्य है "टूटा हुआ" या "खंडित". एक गणितीय भग्न एक ऐसे समीकरण पर आधारित है जो पुनरावृत्ति से गुज़रता है, जो प्रत्यावर्तन पर आधारित एक प्रकार का प्रतिसूचना प्रारूप है।

एक भग्न में अक्सर निम्नलिखित सुविधाएं होती हैं:
 इसमें मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर एक उत्तम संरचना होती है।
 यह काफ़ी अनियमित है जिसे आसानी से पारंपरिक यूक्लिडियन ज्यामितीय भाषा में आसानी से वर्णित नहीं किया जा सकता है।
 यह स्व-समान है (कम से कम लगभग या प्रसंभात्य रूप से).
 इसमें हौसडॉर्फ़ आयाम है जो कि सांस्थितिक आयाम से बढ़ कर है (हालांकि हिल्बर्ट वक्र जैसे रिक्त-पूर्ति वक्रों द्वारा यह अपेक्षा पूरी नहीं की जाती).हिल्बर्ट वक्र नक्शा होमियोमॉरपिस्म नहीं है, इसलिए यह सांस्थितिक आयाम को सुरक्षित नहीं रखता है। सांस्थितिक आयाम और  2 में हिल्बर्ट नक्शे की छवि के हौज़ड्राफ़ आयाम दोनों ही 2 हैं। तथापि, ध्यान दें कि हिल्बर्ट नक्शे के ग्राफ का संस्थानिक आयाम ( 3 में सेट) 1 है।
 इसकी सरल और पुनरावर्ती परिभाषा है।

क्योंकि वे आवर्धन के सभी स्तरों पर समान दिखाई देते हैं, भग्नों को अक्सर (अनौपचारिक संदर्भ में) अत्यधिक जटिल माना जाता है। प्राकृतिक वस्तुएं, जोकि एक अंश तक भग्नों के अनुरूप हैं, में शामिल हैं बादल, पर्वत श्रृंखला, वज्रपात, तट-रेखाएं, हिमलव, विभिन्न सब्जियां (फूलगोभी और ब्रोकोली) और जानवर के रंगाई पैटर्न. बहरहाल, सभी स्व-समान वस्तुएं भग्न नहीं हैंउदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा (एक सीधी यूक्लिडियन रेखा) औपचारिक रूप से स्व-समान है लेकिन इसमें अन्य भग्न विशेषताएं मौजूद नहीं; जैसे कि यह पर्याप्त रूप से नियमित है कि इसे यूक्लिडियन शब्दों में वर्णित किया जा सकता है।

भग्न की छवियां भग्न-व्युत्पादक सॉफ्टवेयर के उपयोग द्वारा तैयार की जा सकती हैं। इस तरह के सॉफ्टवेयर द्वारा उत्पादित छवियों को सामान्य रूप से भग्न कह कर संदर्भित किया जाता है, भले ही उनमें उपरोक्त विशेषताएं नहीं हों, जैसे कि जब भग्न के एक क्षेत्र में ज़ूम करना संभव हो तो वह भग्न की किसी भी विशेषता को प्रदर्शित नहीं करता है। इसके अलावा, इनमें गणना या प्रदर्शक मानव-निर्मित वस्तुएं शामिल हो सकती हैं जोकि असली भग्न की विशेषता नहीं है।

 इतिहास 
200एक सिएरपिन्स्की त्रिभुज का एनिमेटेड निर्माण, अनंत की केवल नौ पीढ़ियों तक जानेवालीबड़ी छवि के लिए क्लिक करें.

250कोच हिमलव बनाने के लिए, एक समबाहु त्रिभुज के साथ शुरूआत करते हैं और फिर प्रत्येक रेखा खंड के मध्य तीसरे को रेखा खंडों की जोड़ी से स्थानापन्न करते हैं जो एक समबाहु "उभार" बनाता है। बाद में अनंत तक, परिणामी प्रत्येक रेखा खंड पर वही स्थानापन्न निष्पादित किया जाता है। हर पुनरावृत्ति के साथ, इस आकार की परिधि पिछली लंबाई के एक तिहाई से बढ़ जाती है। कोच हिमलव इन पुनरावृत्तियों की अनंत संख्या का परिणाम है और इसकी लंबाई अनन्त है, जबकि इसका क्षेत्र परिमित रहता है। इस कारण से, कोच हिमलव और समरूप निर्माण कभी-कभी "पैशाचिक वक्र" कहलाते थे।

17वीं सदी में भग्न के पीछे गणित ने आकार लेना शुरू किया जब गणितज्ञ और दार्शनिक गॉटफ़्राइड लेइबनिज़ ने पुनरावर्ती स्व-समानता पर विचार किया (हालांकि उन्होंने यह सोचने की ग़लती की कि इस अर्थ में केवल सीधी रेखा स्व-समान है). 

1872 में जाकर एक फलनक प्रकट हुआ, जिसके ग्राफ़ को आज भग्न माना जाता है, जब कार्ल वेइअरस्ट्रैस ने हर जगह सतत लेकिन कहीं भी जो विभेदक ना हो ऐसे असहज गुण सहित एक फलनक का उदाहरण दिया. 1904 में, हेल्ज वॉन कोच ने वेइअरस्ट्रैस की निरपेक्ष और विश्लेषणात्मक परिभाषा से असंतुष्ट होकर, इसी प्रकार के फलनक के लिए अधिक ज्यामितीय परिभाषा दी, जो आज कोच वक्र कहलाता है। (दाईं ओर छवि में तीन कोच वक्र साथ डाले गए हैं जो सामान्यतः कोच हिमलव कहलाने वाले स्वरूप की रचना करता है।) वाकलॉ सिएरपिन्स्की ने 1915 में त्रिकोण और एक वर्ष बाद, अपने कार्पेट की रचना की. मूलतः इन ज्यामितीय भग्नों को उनके आधुनिक निर्माणों में विख्यात 2 आकारों के बजाय वक्र के रूप में वर्णित किया गया था। स्व-समान वक्रों की कल्पना को पॉल पिएरे लेवी ने, जिन्होंने अपने 1938 के लेख प्लेन ऑर स्पेस कर्व्स एंड सर्फ़ेसस कन्सिस्टिंग ऑफ़ पार्ट्स सिमिलर टू द होल में नए भग्न वक्र को वर्णित किया, जो लेवी  वक्र कहलाता है। जार्ज कैन्टर ने असामान्य गुणों के साथ वास्तविक रेखा के उप-समुच्चयों के उदाहरण भी दिएइन कैन्टर समुच्चयों को भी अब भग्न के रूप में मान्यता मिली है।

19वीं सदी के उत्तरार्द्ध और 20वीं सदी के प्रारंभ में हेनरी पोइनकेयर, फ़ेलिक्स क्लीन, पिएरे फ़टाउ और गैस्टन जूलिया द्वारा जटिल समतल में पुनरावर्ती फलनकों की जांच की गई। आधुनिक कंप्यूटर ग्राफिक्स की सहायता के बिना, तथापि, उनके द्वारा खोजी गई कई वस्तुओं के सौंदर्य की कल्पना करने के साधनों की उनके पास कमी थी।

1960 के दशक में, बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने हाऊ लॉन्ग इज़ द कोस्ट ऑफ़ ब्रिटेन? जैसे काग़ज़ातों में स्व-समानता की छानबीन शुरू कर दी.स्टैटिस्टिकल सेल्फ़-सिमिलैरिटी एंड फ़्रैक्शनल डाइमेशन, जो ल्युइस फ़्राइ रिचर्डसन के पिछले कार्य पर बना था। अंत में, 1975 में मैंडलब्रॉट ने एक ऐसी वस्तु को निरूपित करने के लिए, जिसका हौसडॉर्फ़-बेसिकोविच आयाम उसके सांस्थितिक आयाम से अधिक है, "फ़्रैक्टल" शब्द गढ़ा. उन्होंने इस गणितीय परिभाषा को असाधारण कंप्यूटर-निर्मित कल्पना सहित सोदाहरण वर्णित किया। इन छवियों ने लोकप्रिय कल्पना को ग्रहण किया; जिनमें से कई प्रत्यावर्तन पर आधारित थे, जो "फ़्रैक्टल" शब्द के प्रचलित तात्पर्य को स्पष्ट करता है।

 उदाहरण 
एक जूलिया सेट, मैंडलब्रॉट सेट से संबंधित एक भग्न

कैंटर सेट द्वारा एक उदाहरण वर्ग यथा सायरपिन्स्की त्रिकोण और कार्पेट, मंजर स्पॉन्ज, ड्रैगन वक्र, स्थान-पूर्ति वक्र और कोच वक्र दिया गया है। भग्न के अतिरिक्त उदाहरणों में शामिल हैं लाइअपुनोव भग्न और क्लीनियन समूहों के सीमित सेट. भग्न निर्धारक (उपर्युक्त सभी) या प्रसंभात्य (अर्थात् अनिर्धारक) हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में ब्राउनियन गति के समछेदी में 2 का हौसड्रॉर्फ़ आयाम मौजूद होता है।

भग्न के साथ कभी-कभी अव्यवस्थित गतिशील प्रणालियां जुड़ी होती हैं। गतिशील प्रणाली के प्रावस्था काल में वस्तुएं भग्न हो सकती हैं (देखें अट्रैक्टर). प्रणालियों के वर्ग हेतु प्राचल काल में भी वस्तुएं भग्न हो सकती हैं। एक दिलचस्प उदाहरण है मैंडेलब्रॉट सेट. इस सेट में शामिल हैं पूरे डिस्क, अतः इसके 2 के सांस्थितिक आयाम के बराबर हौसडॉर्फ़ आयाम होता है-पर वास्तव में अंचभे में डालने वाली बात यह है कि मैंडेलब्रॉट सेट की सीमा में भी 2 का हौसडॉर्फ़ आयाम (जब कि 1 का सांस्थितिक आयाम) मौजूद है, जो परिणाम 1991 में मित्सुहिरो शिशिकुरा ने साबित किया। एक निकट से संबंधित भग्न है जूलिया सेट.

 भग्न सृजन 
पूरा मैंडलब्रॉट सेट
मैंडलब्रॉट ज़ूम 6
मैंडलब्रॉट ज़ूम 100 
मैंडलब्रॉट ज़ूम 2000यहां तक कि मैंडेलब्रॉट सेट का 2000 गुणा आवर्धन भी पूरे सेट के समरूप बढ़िया विवरण दिखाता है।

भग्न सृजित करने के चार आम तकनीक हैं:

 पलायन काल भग्न - (जो "ऑर्बिट्स" फ़्रैक्टल के रूप में भी विख्यात हैं) इसे सूत्र या काल के प्रत्येक बिंदु पर आवर्ती संबंध द्वारा (संश्लिष्ट समतल जैसे) परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार के उदाहरण हैं मैंडेलब्रॉट सेट, जूलिया सेट, दग्ध पोत भग्न, नोवा भग्न तथा लाइपुनोव भग्न. एक या दो पलायन-काल सूत्रों की पुनरावृत्ति द्वारा जनित 2 सदिश क्षेत्र भी भग्न आकार का सृजन कर सकते हैं जब बिंदुओं को (यो पिक्सेल डेटा) बारंबार इस क्षेत्र के ज़रिए गुज़रने दें.
 आवर्ती फलनक प्रणालियां - इनमें एक निश्चित ज्यामितीय प्रतिस्थापन नियम मौजूद है। कैंटर सेट, सिएरपिन्स्की कार्पेट, सिएरपिन्स्की गैसकेट, पीएनो वक्र, कोच हिमलव, हार्टर-हाईवे ड्रैगन वक्र, -वर्ग, मेंजर स्पॉन्ज, ऐसे भग्नों के कुछ उदाहरण हैं।
 यादृच्छिक भग्न - निर्धारक प्रक्रियाएं नहीं बल्कि प्रसंभात्य द्वारा सृजित हैं, उदाहरण के लिए, ब्राउनियन गति के समछेदी, लेवी फ़्लाइट, भग्न परिदृश्य और ब्राउनियन वृक्ष. परवर्ती द्वारा तथाकथित आकार या द्रुमाकृतिक भग्न पैदा किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रसार-सीमित एकत्रीकरण या प्रतिक्रिया-सीमित एकत्रीकरण समूह.
 अजीब अट्रैक्टर - नक्शे की आवृत्ति द्वारा या अव्यवस्था दर्शाने वाले प्रारंभिक-मूल्य विभेदक समीकरणों की प्रणाली के समाधान द्वारा सृजित होता है। 

 वर्गीकरण 
भग्नों को उनके स्व-समानता के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है। भग्नों में तीन प्रकार की समानताएं पाई गई हैं:

 सटीक स्व-समानता - यह स्व-समानता का सबसे प्रभावशाली प्रकार है; भग्न विभिन्न मानों में एक जैसा प्रतीत होता है। आवर्ती फलनक प्रणालियों द्वारा परिभाषित भग्न अक्सर एक जैसी स्व-समानता दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की त्रिकोण और कोच हिमलव एकसमान स्व-समानता दर्शाते हैं।
 अर्ध-स्व-समानता - यह स्व-समानता का ढीला रूप है; भग्न विभिन्न मानों पर लगभग (पर बिल्कुल एक जैसे नहीं) समान लगते हैं। अर्ध-स्व-समानता भग्न में पूरे भग्न के विकृत और बिगड़े रूपों की छोटी प्रतिलिपियां शामिल होती हैं। आवर्ती संबंधों द्वारा निर्दिष्ट भग्न अक्सर अर्ध-स्व-समान होते हैं, बिल्कुल स्व-समान नहीं. मैंडेलब्रॉट सेट एक अर्ध-स्व-समान है, चूंकि अनुषंगी पूरे सेट के सन्निकटन हैं, पर सटीक प्रतिलिपियां नहीं.
 सांख्यिकीय स्व-समानता - यह स्व-समानता का सबसे कमज़ोर प्रकार है; भग्न के संख्यात्मक या सांख्यिकीय माप मौजूद होते हैं जिन्हें पैमानों पर संरक्षित किया जाता है। "भग्न" के अति उचित परिभाषाओं में सांख्यिकीय स्व-समानता का कोई न कोई रूप सतही तौर पर समाविष्ट होता है। (भग्न आयाम स्वयं ही एक संख्यात्मक माप है जो पैमाने पर संरक्षित है।) यादृच्छिक भग्न, सांख्यिकीय तौर पर स्व-समान भग्नों के उदाहरण हैं, पर सटीक या अर्ध-स्व-समान के नहीं. ब्रिटेन के समुद्र तट एक और उदाहरण है; किसी आवर्धक शीशे से तट के एक छोटे खंड को देख कर सूक्ष्मदर्शी ब्रिटेन (विकृत भी) देख पाने की आशा नहीं की जा सकती.

किसी वस्तु को भग्न कहने के लिए स्व-समानता की मौजूदगी ही एकमात्र कसौटी नहीं है। स्व-समान वस्तुओं के उदाहरणों में, जो भग्न नहीं हैं, लॉगरिदमिक सर्पिल और सीधी रेखाएं शामिल हैं, जिनके आवर्धक छोटे पैमानों पर अपनी ही प्रतिलिपियां मौजूद होती हैं। ये योग्य नहीं है, चूंकि इनमें सांस्थितिक आयाम के समान वही हौसडॉर्फ़ आयाम मौजूद है।

 प्रकृति में 

प्रकृति में सन्निकट भग्न आसानी से पाए जाते हैं। ये वस्तुएं एक विस्तृत, पर सीमित, पैमाने की सीमा में स्व-समरूप संरचना प्रदर्शित करती हैं। उदाहरणों में शामिल है बादल, हिमलव, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखला, बिजली, नदियों के जाल, फूलगोभी या ब्रोकोली और रक्त वाहिकाएं तथा फुफ्फुसीय वाहिकाओं की प्रणालियां. तटीयरेखाओं को मोटे तौर पर स्वरूप से भग्न माना जा सकता है।

वृक्षों और फर्नों का स्वरूप भग्न होता है और पुनरावर्ती एल्गोरिदम के उपयोग द्वारा कंप्यूटर पर प्रतिरूप बनाया जा सकता है। यह पुनरावर्ती प्रकृति इन उदाहरणों में स्पष्ट झलकती है एक वृक्ष की शाखा या फ़र्न का प्रपर्ण संपूर्ण की लघु प्रतिकृति है: एक या एक शाखा से एक पेड़ है स्पष्ट में इन उदाहरणों एक से समान प्रतिकृति की एक पूरी लघु है: समान नहीं, लेकिन समरूप स्वरूप की. भग्न और पत्तियों के बीच संबंध का वर्तमान में यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा रहा कि वृक्षों में कितना कार्बन निहित है।"छिपे आयाम की तलाश." नोवा . . -मेरीलैंड. 28 अक्टूबर 2008

1999 में, कुछ स्व समान भग्न आकारों में "फ़्रीक्वेन्सी निश्चरता" का गुण पाया गयामैक्सवेल समीकरणों सेचाहे फ़्रीक्वेन्सी कोई भी हो, वही एकसमान विद्युतचुंबकीय गुण (देखें भग्न एंटेना.

 रचनात्मक कार्यों में 

भग्न पैटर्न अमेरिकी कलाकार जैक्सन पोलॉक अमेरिकी के चित्रों में पाए गए हैं। जबकि पोलॉक के चित्र अव्यवस्थित टपकन और छिड़काव से रचित प्रतीत होते हैं, कंप्यूटर विश्लेषणों ने उनके काम में भग्न पैटर्न पाया है। ,  .    .   :          ?   

डीकैल्कोमैनिया, मैक्स अर्नस्ट जैसे कलाकारों द्वारा प्रयुक्त एक तकनीक, भग्न जैसे पैटर्न तैयार कर सकता है।माइकल फ़्रेम और बेनोइट बी. मैंडलब्रॉट द्वारा         इसमें दो सतहों के बीच में रंग को दबाना और उन्हें खींच कर अलग करना शामिल है।

भग्न अफ़्रीकी कला और वास्तुकला में भी प्रचलित है। गोलाकार घर घेरों के घेरों में, आयताकार घर आयतों के आयतों में और इसी तरह अन्य, प्रतीत होते हैं। इस तरह के स्केलिंग पैटर्न अफ़्रीकी वस्त्र, मूर्तिकला और कॉर्नरो केशविन्यास में भी पाए गए हैं। .  :     .    :    1999.   

1996 के एक साक्षात्कार डेविड फॉस्टर वालेस ने स्वीकार किया कि उनकी इनफ़िनिट जेस्ट उपन्यास की संरचना भग्नों से प्रेरित थी, विशेष रूप से सायरपिंस्की त्रिकोण से.

कलाकार फ़ोर टेट द्वारा पॉज़ (एल्बम) से गीत "हिलेरियस मूवी ऑफ़ द नाइनटीज़" में भग्नों का उपयोग किया गया है।:.

 अनुप्रयोग 

जैसा कि ऊपर वर्णित है, वास्तविक दुनिया के अनेक काफ़ी अनियमित वस्तुओं को वर्णित करने के लिए यादृच्छिक भग्नों का इस्तेमाल किया जा सकता है। भग्नों के अन्य अनुप्रयोगों में शामिल हैं:
 चिकित्सा में ऊतक-रोगविज्ञान स्लाइडों का वर्गीकरण
 भग्न परिदृश्य या तट-रेखा जटिलता
 एन्ज़ाइम  एन्ज़ाइमिकी (माइकेलिस-मेनटेन कैनेटिक्स)
 नए संगीत की पीढ़ी
 सिग्नल और छवि संपीड़न
 डिजिटल फ़ोटो परिवर्धनों की रचना
 भूकम्प विज्ञान
 मृदा यांत्रिकी में भग्न
 कंप्यूटर और वीडियो गेम डिज़ाइन,, विशेष रूप से जैविक वातावरण के लिए कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और उत्पादन प्रक्रिया के अंश के रूप में
 फ़्रैक्टोग्राफ़ी और भंजन यांत्रिकी
 भग्न एंटेना - भग्न आकार का उपयोग करते हुए छोटे आकार के एंटेना
 विखंडित विषम प्रणालियों का लघु कोण प्रकीर्णन सिद्धांत
 टी शर्ट और अन्य फ़ैशन
  जैसे छलावरण के लिए पैटर्न की रचना
 डिजिटल धूपघड़ी
 मूल्य श्रृंखला का तकनीकी विश्लेषण (देखें इलियट तरंग सिद्धांत)

 इन्हें भी देखें 

 विभाजन सिद्धांत
 तितली प्रभाव
 अव्यवस्था सिद्धांत
 जटिलता
 निर्माण सिद्धांत
 संकुचन मान-चित्रण प्रमेय
 हीरा-वर्ग एल्गोरिदम
 ड्रॉस्ट प्रभाव
 फ़ेइजेनबाम प्रकार्य
 भग्न संपीड़न

 भग्न ब्रह्मांड-विज्ञान
 भग्न लौ
 भग्न परिदृश्य
 प्रभाजित
 फ़्रैक्टिन्ट
 ग्राफ़्टाल
 ग्रीबल
 लैक्यूनारिटी
 हॉसडोर्फ़ आयाम द्वारा भग्नों की सूची
 भग्न ज्यामिति में प्रकाशन

 बहुभग्न
 न्यूटन भग्न
 प्रत्यावर्तनवाद
 धार्मिक ज्यामिति
 स्व-संदर्भ
 रिक्ति-पूरक वक्र
 अजीब पाश
 उग्रता

 सन्दर्भ 

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