Матрица (математика). Ма́трица — математикаҕа объект. Строка уонна столбец холбоһуга, быһа охсуһар быыстарыгар элеменнара бааллар, бэйэтэ көнө муннук таблицаҕа суруллар. Матрица размерын кини строката уонна столбецтара туруораллар.
Матрицалар улаханнык алгебраическай уонна дифференциальнай тэҥнэбили суоттуурга туһалыыллар. Бу түгэҥҥэ матрица строкатын размера тэҥнэбил ахсааныгар тэҥнэһэр, онтон биллибэт элеменнар ахсааннара - столбец ахсаанын. Линейнай тэҥнэбил системата түмүгэр матрицанан суоттанар.
Матрицаҕа бу алгебраическай операциялар ананаллар:
Дакаастаммыта: хас биир n-мернай пространствоҕа сылдьар линейнай операторга соҕотох n-бэрээдэктээх квадратнай матрицаны туруоран биэриэххэ сөп; уонна инник курдук - хас биир n-бэрээдэктээх квадратнай матрицаҕа соҕотох, бу пространствоҕа үлэлиир линейнай оператор туруоран биэриэххэ сөп. Матрица свойствата линейнай оператор свойстволарыгар сөп түбэһэр. Быстах түбэлтэҕэ матрица чыыһылалара - оператор бэйэтин чыыһылалара буолаллар.
Билинейнай форма туһунан эмиэ ити курдук этиэххэ сөп.
Математикаҕа матрица элбэх арааһа көрүллэр. Ол курдук: единичнай, симметрическай, кососимметрическай, уо. д. а. матрицалар.
Матрица теориятыгар улахан суолталаах оруолу "нормальные формы" - матрица каноническай арааһа оонньуур.
Устуоруйата.
Матрица аан бастаан былыргы Китайга үөскээбитэ, "аптаах квадрат" диэн ааттанара. Кини туһата диэн - линейнай уравнениелары суоттааһына этэ. Кыратык хойут "аптаах квадрат" араб математиктарыгар баар буолбута, матрица эбсиитин принциба ол бириэмэлэргэ үөскээбитэ. 17 үйэ бүтүүтүгэр определителлэр туһунан теорияны сайыннарбыттарын кэннэ Габриэль Крамер "Крамер быраабылатын" 18 үйэҕэ саҕалаан баран 1751 сылга биллэрбитэ. Бу бириэмэлэргэ "Метод гаусса" үөскээбитэ. 19 үйэҕэ Уильям Гамильтон уонна Артур Кэли матрица теориятын үөскэппиттэрэ. "Матрица" диэн термины Джеймс сильвестр 1850 сылга айбыта.
Киирии.
Матрицалар линейнай тэҥнэбил систематын суоттуурга уонна линейнай кубулуйууга көмө буолаллар.
Линейнай тэҥнэбил системата.
Маннык араас линейнай тэҥнэбил систематын көрүоххэ:
Бу система formula_2 линейнай тэҥнэбилтэн уонна formula_3 биллибэттэн турар. Кини бу курдук суруллуон сөп :
манна
Матрица formula_6 - линейнай тэҥнэбил систематын коэффициенынан буолар, вектор-столбец formula_7 — биллибэт вектор, онтон туруору вектор formula_8 — ханнык эрэ бэриллибит вектор.
Система суоттанарын гына, хайаан даҕаны вектор formula_8 остуолба линейнай комбинациятынан буолуон наада formula_6, оччоҕуна вектор formula_7 — formula_8 вектор коэффициэннарын ыһыллыыларын муһар formula_6 матрица столбецтарынан.
Матрица тылыгар линейнай тэҥнэбил суоттанарыгар көҥүл усулуобуйата баар теоремы Кронекера-Капелли:
formula_6 столбецтан уонна formula_8 столбецтан турар.
Линейнай кубулуйуулар.
formula_18 линейнай кубулуйууну көрүөххэ, formula_3-мернай векторнай пространства formula_20 в formula_2-мерное векторное пространство formula_22 :
Матрица форматынан: 
formula_6 матрица - линейнай кубулуйуу коэффициэннарын матрицалара.
formula_26
Если рассмотреть действие линейного преобразования formula_26 на векторы вида 
составляющие базис пространства formula_20, то formula_30 — это есть "j"-ый столбец матрицы formula_6.
Таким образом, матрица formula_6 полностью описывает линейное преобразование formula_26, и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.
Быһаарыы.
Көнө муннук матрица.
Икки конечнай матрциа баар: 
Матрица formula_6 размердаах formula_39 (читается formula_2 на formula_3) (formula_2 - строк, formula_3 - столбцов) элеменнардаах из некоторого кольца или поля formula_44 отображение вида formula_45. Матрица суруллар. 
где элемент матрицы formula_47 находится на пересечении formula_48-й "строки" и formula_49-го "столбца".
Манна матрица элеменын ахсаана formula_54 тэҥнэһэр.
В соответствии с этим
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве formula_59, имеющем размерность formula_60. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Квадратнай матрица.
Өскөтүн матрицаҕа formula_2 строка ахсаана кини formula_3 столбеһын ахсаанын кытта тэҥнэһэр буоллаҕына, инник матрица квадратнай диэн ааттанар, онтон formula_63 квадратнай матрица "размерынан" эбэтэр бэрээдэгинэн ааттанар.
Строка-вектор уонна столбец-вектор.
Матрицы размера formula_64 и formula_65 являются элементами пространств formula_58 и formula_56 соответственно:
Матрица элементарнай кубулуйуулара.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:
Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.
Матрица рангата.
Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:
Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). 
Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Бэлиэлэрэ.
Матрицаны алфавит улахан буукубатынан суруйаллар: холобур 
оччоҕуна formula_6 — матрица, көнө массив элеменнара поле formula_44 араас formula_79, ханна
маннык гынан, formula_82 — матрица элемена formula_6, formula_48-й строка уонна formula_49 столбец быһа охсуһуутугар сытар. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера formula_39:
или просто
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:
а
Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:
и по строкам:
Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Транспонированнай матрица.
Хас биир матрицаҕа formula_98 
размера formula_39
матрица тутуохха сөп 
formula_100 
размера formula_101,
у которой formula_102 
для всех formula_80 и 
formula_81.
Маннык матрица транспортированнай диэн ааттанар, уонна formula_105 маннык суруллар.
При транспонировании строки (столбцы) матрицы formula_6 становятся столбцами (соответственно - строками) 
матрицы formula_107.
formula_108.
Для матриц над кольцом formula_44 транспонирование является изоморфизмом 
formula_44 - модулей матриц, поскольку
Диагональнай матрица.
Диагональнай матрица диэн - квадратнай матрица, ол гынан кини элеменнара - нулевые formula_114, иногда записывается как:
Единичнай матрица.
Единичнай матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для её обозначения чаще всего используется обозначение "I" или "E", а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера formula_117, определяемый как:
Нулевой матрица.
Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например formula_121.
Матрицаны кытта үлэлээһин.
Матрица эбиитэ.
Тэҥ размердаах эрэ матрицалары эбиэххэ сөп.
Тэҥ размердаах эрэ матрицалары эбиэххэ сөп.
"Матрицалар эбсиилэрэ" formula_122 диэн formula_123 матрицаны булааһын буолар, бары элеменнара попарнай эбсиилэригэр бары элементов матриц formula_6 и formula_125, ол аата хас биир матрица элеменэ formula_123 тэҥнэһэр
 Матрица эбсиитин свойстволара: 
Бары свойствалар линейных операций аксиомалары хатылыыллар линейного пространства ол иһин маннык теорема баар:
Элбэх тэҥ размердаах матрицалар "m"x"n" полеттан "P" элеменнэрдээх (поля всех действительных эбэтэр комплексных чисел) линейное пространство Р поле үрдүнэн уөскэтэллэр (хас-биир маннык матрица бу эйгэ вектора буолар). 
Матрицаны чыыһылаҕа төгүллээһин.
formula_6 Матрицаны formula_129 чыыһылаҕа төгүллээһинэ маннык буолар
formula_130.
Свойства умножения матриц на число:
Матрицалар төгүллэрэ.
"Умножение матриц" (обозначение: formula_131, реже со знаком умножения formula_132) — есть операция вычисления матрицы formula_123, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице formula_6 должно совпадать с количеством строк в матрице formula_125, иными словами, матрица formula_6 обязана быть согласованной с матрицей formula_125. Если матрица formula_6 имеет размерность formula_140, formula_125 — formula_142, то размерность их произведения formula_143 есть formula_144.
Свойства умножения матриц:
Векторы матрицаҕа төгүллээһин.
Матрица быраабылатынан матричнай төгүл матрица хаҥас столбец векторыттан саҕаланар, уонна вектор-строка уҥа матрицаҕа төгуллэнэр. Вектор-столбец уонна вектор-строка элеменнарын биир индексынан суруйуохха сөбүн иһин бу төгүлү маннык суруйуохха сөп:
столбец-векторга "v" (получая новый вектор-столбец "Av"):
строка-векторга "s" (получая новый вектор-строку "sA"):
Вектор-строка, матрица уонна вектор-столбец бэйэ-бэйэлэригэр төгүллэниэхтэрин сөп, скалярнай чыыһыла биэрэллэр:
(Бэрээдэгэ наадалаах: вектор-строка слева, вектор-столбец матрицаттан уҥа).
 Бу дьайыылар матричнай представление линейнэй оператордарын уонна координататын линейнэй кубулуйуутун основата буолар.
Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор "Av", полученный из исходного вектора "v" преобразованием, представимым умножением на матрицу "A", преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу "B", получив "B(Av)", то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы "(BA)", представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.
Комплекснай сопряжение.
Өскөтүн матрица элеменнарынан formula_149 комплекснай чыыһылалар буолар буоллахтарына, "комплексно сопряжённай" матрица тэҥнэһэр formula_150. Манна formula_151 — чыыһыла, комплексно сопряжённое к formula_152.
Транспонирование уонна эрмитово сопряжение.
Транспонирование үөһээ көрүллүбүтэ: өскөтүн formula_149, оччоҕуна formula_154. Комплекснай матрицаларга быдан барсар "эрмитово сопряжение": formula_155. Матрицаны операторнай өттүттэн көрдөххө, транспонированнай уонна эрмитово сопряжённай матрица — диэн оператор матрицалара, сопряжённого холоонноох скалярного эбэтэр эрмитова төгүллэр, сөптөөхтүк.