maixbach/insert-vnese-accent huggingface dataset:
Một đặc điểm khác thường của chủ nghĩa liên bang Bỉ là việc các cộng đồng và vùng của Bỉ duy trì các quan hệ quốc tế riêng của họ, bao gồm ký kết các hiệp ước. Do đó, có một số thể chế quốc tế Hà Lan-Vlaanderen như Liên minh tiếng Hà Lan hoặc các thể chế kiểm soát sông Scheldt, trong đó chỉ có Vlaanderen tham gia. Tương tự như vậy, chỉ có Cộng đồng người Bỉ nói tiếng Pháp tham gia Cộng đồng Pháp ngữ. Bỉ duy trì các quan hệ đặc biệt với các cựu thuộc địa của họ là Cộng hoà Dân chủ Congo, Rwanda và Burundi, song thường có sóng gió.
Các lực lượng vũ trang Bỉ gồm khoảng 47.000 binh sĩ tại ngũ. Năm 2010, ngân sách quốc phòng của Bỉ đạt tổng cộng 3,95 tỉ euro (chiếm 1,12% GDP). Họ được tổ chức thành một cấu trúc thống nhất gồm bốn thành phần: Lục quân, Không quân, Hải quân và Quân y. Quyền chỉ huy điều hành bốn binh chủng thuộc về Bộ tham mưu về hành quân và huấn luyện thuộc Bộ Quốc phòng, đứng đầu là Phó tham mưu trưởng hành quân và huấn luyện, và thuộc về Tổng tư lệnh Quốc phòng (Chef de la Défense).Ảnh hưởng từ Chiến tranh thế giới thứ hai khiến cho an ninh tập thể là một ưu tiên trong chính sách đối ngoại của Bỉ. Bỉ ký kết Hiệp ước Bruxelles và gia nhập NATO vào năm 1948. Tuy nhiên, công việc nhất thể hoá lực lượng vũ trang vào NATO chỉ bắt đầu từ sau Chiến tranh Triều Tiên. Bỉ cùng với Luxembourg phái một phân đội tiểu đoàn đi chiến đấu tại Triều Tiên với tên gọi là Bộ tư lệnh Liên Hợp Quốc Bỉ. Đây là sứ mệnh đầu tiên trong số các sứ mệnh của Liên Hợp Quốc được Bỉ hỗ trợ. Hiện nay, Hải quân Bỉ hoạt động gắn bó mật thiết với Hải quân Hà Lan theo quyền chỉ huy của Đô đốc Benelux.
Đến cuối thập niên 1980, các chính sách kinh tế vĩ mô của Bỉ dẫn đến nợ chính phủ luỹ tích đạt khoảng 120% GDP. Năm 2006, ngân sách được cân bằng và nợ công ngang với 90,3% GDP. Năm 2005 và 2006, mức tăng trưởng GDP thực lần lượt là 1,5% và 3,0%, cao hơn một chút khu vực đồng euro. Tỷ lệ thất nghiệp là 8,4% vào năm 2005 và 8,2% vào năm 2016, gần với trung bình khu vực. Đến tháng 10 năm 2010, tỷ lệ này tăng lên 8,5% trong khi mức trung bình của Liên minh châu Âu là 9,6%. Từ năm 1832 đến năm 2002, đơn vị tiền tệ của Bỉ là franc Bỉ. Bỉ chuyển sang dùng đồng euro vào năm 2002.
Bỉ có ba ngôn ngữ chính thức là tiếng Hà Lan, tiếng Pháp và tiếng Đức, ngoài ra một số ngôn ngữ thiểu số phi chính thức cũng được nói tại đây. Không có số liệu thống kê chính thức về phân bố hoặc sử dụng ba ngôn ngữ chính thức hoặc các phương ngữ của chúng. Tuy nhiên, các tiêu chuẩn như ngôn ngữ của cha mẹ, của giáo dục, hoặc tình trạng ngôn ngữ thứ hai của người sinh tại nước ngoài có thể đưa đến các con số giả thuyết. Một ước tính cho rằng 60% dân số Bỉ nói tiếng Hà Lan (thường gọi là tiếng Vlaanderen), và 40% nói tiếng Pháp. Người Bỉ nói tiếng Pháp thường được gọi là người Wallonie, song người nói tiếng Pháp tại Bruxelles không phải người Wallonie.
Tổng số người nói tiếng Hà Lan là hơn 6,2 triệu, tập trung tại vùng Vlaanderen miền bắc, còn người nói tiếng Pháp có hơn 3,3 triệu tại Wallonie và ước tính có 870.000 (chiếm 85%) tại Bruxelles-Vùng thủ đô. Cộng đồng nói tiếng Đức gồm 73.000 người tại phía đông của vùng Wallonie; với khoảng 10.000 người Đức và 60.000 công dân Bỉ nói tiếng Đức. Có khoảng 23.000 người nói tiếng Đức nữa sống trong các khu tự quản gần ranh giới chính thức của cộng đồng này.Tiếng Hà Lan-Bỉ và tiếng Pháp-Bỉ đều có khác biệt nhỏ về từ vựng và sắc thái ngữ nghĩa với các dạng được nói tại Hà Lan và Pháp. Nhiều người Vlaanderen vẫn nói các phương ngữ của tiếng Hà Lan trong môi trường địa phương của họ. Tiếng Wallon được nhìn nhận là một phương ngữ của tiếng Pháp hoặc là một ngôn ngữ Roman riêng biệt, song hiện nay chỉ thỉnh thoảng được hiểu và nói, hầu hết là trong nhóm người cao tuổi. Tiếng Walloon là tên gọi chung cho bốn phương ngữ tiếng Pháp tại Bỉ. Các phương ngữ của tiếng Wallonie, cùng với các phương ngữ của tiếng Picard, không được sử dụng trong đời sống công cộng và đã bị tiếng Pháp thay thế.
Từ khi Bỉ độc lập, Công giáo La Mã giữ thế cân bằng với các phong trào tự do tư tưởng mạnh, và có được một vai trò quan trọng trong nền chính trị Bỉ. Tuy nhiên, Bỉ là một quốc gia thế tục ở mức độ lớn do hiến pháp thế tục quy định tự do tôn giáo, và chính phủ nói chung đều tôn trọng quyền này trong thực tiễn. Dưới thời trị vì của Albert I và Baudouin, quân chủ Bỉ có danh tiếng vì sùng bái Công giáo.Công giáo La Mã có truyền thống là tôn giáo đa số tại Bỉ; đặc biệt mạnh mẽ tại Vlaanderen. Tuy nhiên, tỷ lệ dự lễ nhà thờ ngày Chủ nhật vào năm 2009 chỉ là 5% trên toàn quốc; riêng Bruxelles là 3%, còn Vlaanderen là 5,4%. Mức dự lễ nhà thờ năm 2009 tại Bỉ bằng khoảng một nửa so với mức năm 1998 (11%). Mặc dù mức dự lễ nhà thờ giảm sút, song bản sắc Công giáo vẫn là một phần quan trọng trong văn hoá Bỉ.Theo Eurobarometer 2010, 37% công dân Bỉ cho biết rằng họ tin có Thượng đế, 31% tin rằng có một số loại linh hồn hoặc lực sống, 27% không tin rằng có bất kỳ loại linh hồn nào, cũng như Thượng đế hay lực sống nào. Theo Eurobarometer 2015, 60,7% tổng dân số Bỉ trung thành với Cơ Đốc giáo, trong đó Công giáo La Mã là giáo phái lớn nhất với 52,9%, Tin Lành chiếm 2,1% còn Chính thống giáo là 1,6%. Lượng người không theo tôn giáo nào chiếm 32% dân số và gồm người theo thuyết vô thần (14,9%) và thuyết bất khả tri (17.1%). 5,2% dân số là người Hồi giáo và 2,1% tin vào các tôn giáo khác. Một khảo sát tương tự vào năm 2012 cho thấy rằng Cơ Đốc giáo là tôn giáo lớn nhất tại Bỉ, với 65% dân số là tín đồ.Về mặt tượng trưng cũng như hữu hình, Giáo hội Công giáo La Mã vẫn có một vị trí thuận lợi. Bỉ công nhận chính thức ba tôn giáo: Cơ Đốc giáo (Công giáo, Tin Lành, Chính thống giáo và Anh giáo), Hồi giáo và Do Thái giáo.Vào đầu thập niên 2000, có khoảng 42.000 người Do Thái tại Bỉ. Cộng đồng người Do Thái tại Antwerpen (khoảng 18.000 người) là một trong các cộng đồng lớn nhất tại châu Âu, và là một trong những cộng đồng lớn cuối cùng trên thế giới có ngôn ngữ chính là tiếng Yiddish. Hầu hết trẻ em Do Thái tại Antwerpen tiếp nhận một chương trình giáo dục Do Thái. Có một vài tờ báo Do Thái và hơn 45 thánh đường Do Thái hoạt động trên toàn quốc (30 trong số này là tại Antwerpen).
Một cuộc điều tra vào năm 2006 tại Vlaanderen, là vùng được cho là sùng đạo hơn so với Wallonie, cho thấy rằng 55% nhận mình theo tôn giáo và 36% tin rằng Thượng đế tạo ra vũ trụ. Mặt khác, Wallonie trở thành một trong các vùng thế tục nhất/ít sùng đạo nhất tại châu Âu, hầu hết cư dân của vùng nói tiếng Pháp không cho rằng tôn giáo là một phần quan trọng trong cuộc đời họ, và có đến 45% dân số nhận rằng họ không theo tôn giáo. Điều này đặc biệt chính xác tại miền đông Wallonie và các khu vực dọc biên giới với Pháp.
Một ước tính vào năm 2008 cho thấy rằng khoảng 6% dân số Bỉ (628.751 người) là người Hồi giáo. Người Hồi giáo chiếm 23,6% dân số tại Bruxelles, 4,9% dân số Wallonie và 5,1% dân số Vlaanderen. Đa số người Hồi giáo tại Bỉ sống trong các thành phố lớn như Antwerpen, Bruxelles và Charleroi. Nhóm người nhập cư lớn nhất tại Bỉ là người Maroc, còn người Thổ Nhĩ Kỳ là nhóm Hồi giáo lớn thứ nhì.
Người Bỉ có sức khoẻ tốt, theo ước tính năm 2012 thì tuổi thọ dự tính trung bình của họ là 79,65 năm. Từ năm 1960, tuổi thọ dự tính của người Bỉ tăng lên hai tháng mỗi năm, giống với trung bình của châu Âu. Tử vong tại Bỉ chủ yếu là do rối loạn tim mạch, ung thư, rối loạn hệ thống hô hấp và các nguyên nhân phi tự nhiên (tai nạn, tự vẫn). Các nguyên nhân tử vong phi tự nhiên và ung thư là các nguyên nhân tử vong phổ biến nhất đối với nữ giới từ 24 tuổi trở xuống và nam giới từ 44 tuổi trở xuống.Y tế tại Bỉ được tài trợ thông qua đóng góp an sinh xã hội và thuế. Bảo hiểm y tế có tính chất bắt buộc. Dịch vụ y tế được đáp ứng bởi một hệ thống hỗn hợp công lập và tư nhân gồm các thầy thuốc độc lập, các bệnh viện công lập, đại học và bán tư nhân. Bệnh nhân phải thanh toán cho dịch vụ y tế, sau đó sẽ được các thể chế bảo hiểm y tế hoàn trả, song với các hạng mục không đủ tiêu chuẩn (của bệnh nhân và dịch vụ) thì sẽ tồn tại cái gọi là hệ thống thanh toán bên thứ ba. Hệ thống y tế Bỉ được chính phủ liên bang, chính phủ cấp vùng Vlaanderen và Wallonie giám sát và tài trợ; Cộng đồng nói tiếng Đức cũng giám sát và chịu trách nhiệm gián tiếp.
Giáo dục tại Bỉ có tính chất nghĩa vụ đối với người từ 6 đến 18 tuổi. Trong số các quốc gia OECD vào năm 2002, Bỉ có tỷ lệ cao thứ ba về số người từ 18 đến 21 tuổi nhập học tại bậc giáo dục sau trung học, với 42%. Mặc dù theo ước tính có 99% dân số trưởng thành Bỉ biết chữ, song có lo ngại gia tăng về vấn đề mù chữ chức năng. Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA), phối hợp với OECD, vào năm 2016 xếp hạng giáo dục Bỉ tốt thứ 19 trên thế giới, cao hơn đáng kể mức trung bình của OECD. Giáo dục được tổ chức riêng biệt bởi mỗi cộng đồng, Cộng đồng Vlaanderen có thành tích giáo dục cao hơn đáng kể so với các Cộng đồng Pháp và Cộng đồng nói tiếng Đức.Phán ánh cấu trúc kép của bối cảnh chính trị Bỉ trong thế kỷ XIX, do các đảng Tự Do và Công giáo xác định đặc điểm, hệ thống giáo dục Bỉ được tách biệt trong một phân đoạn thế tục và một phân đoạn tôn giáo. Nhánh giáo dục thế tục nằm dưới quyền kiểm soát của các cộng đồng, các tỉnh hay các khu tự quản; còn nhánh giáo dục tôn giáo, chủ yếu là Công giáo, được tổ chức bởi giới chức tôn giáo, song được các cộng đồng trợ cấp và giám sát.
Bỉ có đóng góp đặc biệt phong phú cho hội họa và kiến trúc. Nghệ thuật Mosa, hội họa sơ kỳ Vlaanderen, Phục hưng Vlaanderen và Baroque và các điển hình về Kiến trúc Roman, Gothic, Renaissance và Baroque là những dấu mốc trong lịch sử nghệ thuật. Nghệ thuật tại Các vùng đất thấp vào thế kỷ XV chịu sự chi phối từ hội họa tôn giáo của Jan van Eyck và Rogier van der Weyden, đến thế kỷ XVI thì có đặc điểm là đa dạng hơn về phong cách như tranh phong cảnh của Pieter Bruegel còn Lambert Lombard tiêu biểu cho phong cách cổ điển. Phong cách Baroque của Peter Paul Rubens và Anthony van Dyck thăng hoa vào đầu thế kỷ XVII tại miền nam Nederland, song về sau dần bị suy thoái.Trong thế kỷ XIX và XX, nhiều họa sĩ lãng mạn, biểu hiện và siêu thực của Bỉ nổi lên, như James Ensor và các nghệ sĩ khác thuộc nhóm Les XX, Constant Permeke, Paul Delvaux và René Magritte. Phong trào CoBrA có tính tiên phong xuất hiện trong thập niên 1950, còn nhà điêu khắc Panamarenko vẫn là một nhân vật xuất sắc của nghệ thuật đương đại. Các nghệ sĩ đa lĩnh vực Jan Fabre, Wim Delvoye và Luc Tuymans là các nhân vật nổi tiếng quốc tế khác trong lĩnh vực nghệ thuật đương đại.
Văn hoá dân gian có vị thế lớn trong đời sống văn hoá Bỉ, quốc gia này có một số lượng tương đối cao các đám rước, đoàn cưỡi ngựa, cuộc diễu hành, ommegangs và ducasses, kermesse và các lễ hội địa phương khác, chúng gần như luôn có nguồn gốc tôn giáo hoặc thần thoại. Carnival Binche cùng với các Gilles nổi tiếng của lễ hội này; và những người khổng lồ và rồng trong đám rước tại Ath, Bruxelles, Dendermonde, Mechelen và Mons được UNESCO công nhận là kiệt tác di sản truyền khẩu và phi vật thể của nhân loại.Các điển hành khác là Carnival Aalst; các đám rước vẫn còn mang tính sùng đạo rất cao mang tên Thánh Huyết (Heilig Bloedprocessie) tại Brugge, Vương cung thánh đường Virga Jesse tại Hasselt và Vương cung thánh đường Đức mẹ Hanswijk tại Mechelen; lễ hội ngày 15 tháng 8 tại Liège; và lễ hội Walloon tại Namur. Có nguồn gốc từ năm 1832 và được phục dựng trong thập niên 1960, Gentse Feesten đã trở thành một truyền thống hiện đại. Một ngày lễ phi chính thức quan trọng là ngày Thánh Nicholas, đây là một ngày hội cho trẻ em, còn tại Liège là cho sinh viên.
Nhiều nhà hàng Bỉ được xếp hạng cao được xuất hiện trong các sách chỉ dẫn nhà hàng có ảnh hưởng nhất như sách Michelin Guide. Bỉ nổi tiếng với bia, sô-cô-la, waffel và khoai tây chiên với mayonnaise. Khoai tây chiên có nguồn gốc tại Bỉ, song không rõ địa điểm chính xác. Các món ăn quốc gia là "thịt nướng và khoai tây chiên với salad", và "trai với khoai tây chiên".Các nhãn hiệu sô-cô-la và kẹo nhân quả của Bỉ như Côte dOr, Neuhaus, Leonidas và Godiva có được danh tiếng, cũng như các nhà sản xuất độc lập như Burie và Del Rey tại Antwerpen và Marys tại Bruxelles. Bỉ sản xuất trên 1.100 loại bia khác nhau. Bia Trappist (tu sự dòng Luyện tâm) của Tu viện Westvleteren nhiều lần được xếp hạng là bia tuyệt nhất thế giới. Hãng rượu bia lớn nhất thế giới xét về dung tích là Anheuser-Busch InBev, có trụ sở tại Leuven.
Kể từ thập niên 1970, các câu lạc bộ và liên đoàn thể thao tại Bỉ được tổ chức riêng biệt trong mỗi cộng đồng ngôn ngữ. Bóng đá là môn thể thao phổ biến nhất trên toàn nước Bỉ; các môn thể thao rất phổ biến khác là đua xe đạp, quần vợt, bơi, judo và bóng rổ.Bỉ có số lượng tay đua vô địch Tour de France chỉ sau Pháp. Họ cũng có nhiều chiến thắng nhất tại giải vô địch thế giới đường trường UCI, Philippe Gilbert là nhà vô địch thế giới vào năm 2012. Một tay đua Bỉ khác đang nổi tiếng là Tom Boonen. Với năm chiến thắng tại Tour de France và nhiều thành tích đua xe đạp khác, tay đua người Bỉ Eddy Merckx được xem là một trong các tay đua vĩ đại nhất mọi thời đại. Cựu thủ môn người Bỉ Jean-Marie Pfaff được nhìn nhận là một trong những thủ môn vĩ đại nhất trong lịch sử bóng đá.Bỉ từng đăng cai Giải vô địch bóng đá châu Âu 1972, và đồng đăng cai Giải vô địch bóng đá châu Âu 2000 cùng Hà Lan. Đội tuyển bóng đá quốc gia Bỉ từng đứng thứ nhất trong bảng xếp hạng của FIFA vào tháng 11 năm 2015 và tháng 9 năm 2018.
Quần đảo Cayman thuộc lãnh thổ hải ngoại của Vương quốc Liên hiệp Anh và Bắc Ireland, nằm ở phía Tây vùng biển Caribe, bao gồm 3 đảo: Grand Cayman, Cayman Brac và đảo Little Cayman. Với điều kiện tự nhiên thuận lợi (nước biển sâu, thắng cảnh đẹp...), nơi đây đang là điểm đến hấp dẫn cho những khách du lịch đam mê môn thể thao lặn biển.
Ngày 10 tháng 5 1503, Christopher Columbus quan sát thấy quần đảo Cayman trong chuyến hành trình thứ tư của mình đi tìm Tân thế giới, và ông đặt tên cho quần đảo vừa nhìn thấy được là Las Tortugas theo tên loài rùa biển địa phương. Theo ghi nhận, người đầu tiên đặt chân lên đảo là Phó Đô đốc người Anh Francis Drake năm 1586. Cái tên Cayman chính thức có từ đây (Cayman có cách đọc gần giống Caiman - dùng để chỉ loài cá sấu Nam Mỹ sống ở các quốc gia vùng Caribe và đảo Taino (Zayas, 1914).
Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không ngừng về những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học. Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được, có lẽ là về các con số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.
Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể vật lý, con người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những đại lượng trừu tượng như thời gian - ngày, mùa, và năm.Đến khoảng năm 3000 trước Tây lịch thì toán học phức tạp hơn mới xuất hiện, khi người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, và hình học trong việc tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng, và trong quan sát thiên văn. Toán học được sử dụng sớm nhất trong thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt, và trong việc ghi nhớ thời gian.
Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân, và chia) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300 trước Tây lịch, người Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống về toán học như một ngành học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp. Kể từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai. Ngày nay, những phát minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện làm cho toán học ngày càng đa dạng hơn.
Toán học nảy sinh ra từ nhiều kiểu bài toán khác nhau. Trước hết là những bài toán trong thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn học; ngày nay, tất cả các ngành khoa học đều gợi ý những bài toán để các nhà toán học nghiên cứu, ngoài ra còn nhiều bài toán nảy sinh từ chính bản thân ngành toán. Chẳng hạn, nhà vật lý Richard Feynman đã phát minh ra tích phân lộ trình (path integral) cho cơ học lượng tử bằng cách kết hợp suy luận toán học với sự hiểu biết sâu sắc về mặt vật lý, và lý thuyết dây - một lý thuyết khoa học vẫn đang trong giai đoạn hình thành với cố gắng thống nhất tất cả các tương tác cơ bản trong tự nhiên - tiếp tục gợi hứng cho những lý thuyết toán học mới. Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã giúp tạo ra chúng, và được áp dụng để giải các bài toán khác trong lĩnh vực đó. Nhưng thường thì toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực, và đóng góp vào kho tàng các khái niệm toán học.
Các nhà toán học phân biệt ra hai ngành toán học thuần túy và toán học ứng dụng. Tuy vậy các chủ đề toán học thuần túy thường tìm thấy một số ứng dụng, chẳng hạn như lý thuyết số trong ngành mật mã học. Việc ngay cả toán học "thuần túy nhất" hóa ra cũng có ứng dụng thực tế chính là điều mà Eugene Wigner gọi là "sự hữu hiệu đến mức khó tin của toán học". Giống như trong hầu hết các ngành học thuật, sự bùng nổ tri thức trong thời đại khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học đã dài tới 46 trang. Một vài lĩnh vực toán học ứng dụng đã nhập vào những lĩnh vực liên quan nằm ngoài toán học và trở thành những ngành riêng, trong đó có xác suất, vận trù học, và khoa học máy tính.
Những ai yêu thích ngành toán thường thấy toán học có một vẻ đẹp nhất định. Nhiều nhà toán học nói về "sự thanh lịch" của toán học, tính thẩm mỹ nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Họ coi trọng sự giản đơn và tính tổng quát. Vẻ đẹp ẩn chứa cả bên trong những chứng minh toán học đơn giản và gọn nhẹ, chẳng hạn chứng minh của Euclid cho thấy có vô hạn số nguyên tố, và trong những phương pháp số giúp đẩy nhanh các phép tính toán, như phép biến đổi Fourier nhanh. Trong cuốn sách Lời bào chữa của một nhà toán học (A Mathematicians Apology) của mình, G. H. Hardy tin rằng chính những lý do về mặt thẩm mỹ này đủ để biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy những tiêu chuẩn sau đây đóng góp vào một vẻ đẹp toán học: tầm quan trọng, tính không lường trước được, tính không thể tránh được, và sự ngắn gọn. Sự phổ biến của toán học vì mục đích giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều người tìm thấy sự sảng khoái trong việc giải toán...
Ngôn ngữ toán học có thể khó hiểu đối với người mới bắt đầu. Những từ như hoặc và chỉ có nghĩa chính xác hơn so với trong lời nói hàng ngày. Ngoài ra, những từ như mở và trường đã được cho những nghĩa riêng trong toán học. Những thuật ngữ mang tính kỹ thuật như phép đồng phôi và khả tích có nghĩa chính xác trong toán học. Thêm vào đó là những cụm từ như nếu và chỉ nếu nằm trong thuật ngữ chuyên ngành toán học. Có lý do tại sao cần có ký hiệu đặc biệt và vốn từ vựng chuyên ngành: toán học cần sự chính xác hơn lời nói thường ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của ngôn ngữ và logic là "tính chặt chẽ."
Trước thời kì Phục Hưng, toán học chỉ được phân ra thành hai lĩnh vực chính là số học - nghiên cứu các phép toán với những con số và hình học - nghiên cứu về các hình dạng. Kể cả những ngành ngụy khoa học như thần số học và thiên văn học, khi đó cũng chưa được tách biệt rõ ràng khỏi toán học.Trong thời kì Phục Hưng, hai lĩnh vực mới xuất hiện. Các kí hiệu toán học làm nảy sinh đại số, ngành mà ở đó nghiên cứu tập trung vào các công thức. Giải tích - với giới hạn và tích phân - nghiên cứu tập trung vào các hàm số liên tục, và sự thay đổi của chúng theo các biến cho trước. Một vài lĩnh vực như cơ học thiên thể hay cơ học vật rắn khi đó cũng được nghiên cứu bởi toán, nhưng giờ lại là các phân ngành chính của vật lý học.Tổ hợp cũng được nghiên cứu nhiều trong lịch sử, nhưng chỉ trở thành một lĩnh vực riêng kể từ thế kỉ thứ mười bảy.Cuối thế kỉ mười chín, những nghiên cứu triết học về nguồn gốc của toán học và kết quả của sự hệ thống hóa của các tiên đề đã tạo ra nhiều ngành toán học mới. Phân lớp Lĩnh vực Toán học (tiếng Anh: Mathematics Subject Classification - MSC) năm 2020 đã chỉ ra rằng có ít nhất sáu mươi ba ngành toán học độc lập, một vài trong số đó chỉ xuất hiện từ thế kỉ XX là logic toán học và nguồn gốc toán học.
Để làm rõ nền tảng toán học, lĩnh vực logic toán học và lý thuyết tập hợp đã được phát triển. Logic toán học bao gồm nghiên cứu toán học về logic và ứng dụng của logic hình thức trong những lĩnh vực toán học khác. Lý thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu các tập hợp hay tập hợp những đối tượng. Lý thuyết phạm trù, liên quan đến việc xử lý các cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng bằng phương pháp trừu tượng, vẫn đang tiếp tục phát triển. Cụm từ "khủng hoảng nền tảng" nói đến công cuộc tìm kiếm một nền tảng toán học chặt chẽ diễn ra từ khoảng năm 1900 đến 1930. Một số bất đồng về nền tảng toán học vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Cuộc khủng hoảng nền tảng nổi lên từ một số tranh cãi thời đó, trong đó có những tranh cãi liên quan đến lý thuyết tập hợp của Cantor và cuộc tranh cãi giữa Brouwer và Hilbert.
Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết khả tính (computability theory), lý thuyết độ phức tạp tính toán, và lý thuyết thông tin. Lý thuyết khả tính khảo sát những giới hạn của những mô hình lý thuyết khác nhau về máy tính, bao gồm mô hình máy Turing nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp nghiên cứu khả năng có thể giải được bằng máy tính; một số bài toán, mặc dù về lý thuyết có thể giải được bằng máy tính, cần thời gian hay không gian tính toán quá lớn, làm cho việc tìm lời giải trong thực tế gần như không thể, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một ví dụ là bài toán nổi tiếng "P  NP?". Cuối cùng, lý thuyết thông tin quan tâm đến khối lượng dữ liệu có thể lưu trữ được trong một môi trường lưu trữ nhất định, và do đó liên quan đến những khái niệm như nén dữ liệu và entropy thông tin.
Việc nghiên cứu về lượng (quantity) bắt đầu với các con số, trước hết với số tự nhiên và số nguyên và các phép biến đổi số học, nói đến trong lĩnh vực số học. Những tính chất sâu hơn về các số nguyên được nghiên cứu trong lý thuyết số, trong đó có định lý lớn Fermat nổi tiếng. Trong lý thuyết số, giả thiết số nguyên tố sinh đôi và giả thiết Goldbach là hai bài toán chưa giải được.
Khi hệ thống số được phát triển thêm, các số nguyên được xem như là tập con của các số hữu tỉ. Các số này lại được bao gồm trong số thực vốn được dùng để thể hiện những đại lượng liên tục. Số thực được tổng quát hóa thành số phức. Đây là những bước đầu tiên trong phân bố các số, sau đó thì có các quaternion (một sự mở rộng của số phức) và octonion. Việc xem xét các số tự nhiên cũng dẫn đến các số vô hạn (transfinite numbers), từ đó chính thức hóa khái niệm "vô hạn". Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích cỡ (size), từ đó sinh ra số đếm (cardinal numbers) và rồi một khái niệm khác về vô hạn: số aleph, cho phép thực hiện so sánh có ý nghĩa kích cỡ của các tập hợp lớn vô hạn.
Nhiều đối tượng toán học, chẳng hạn tập hợp những con số và những hàm số, thể hiện cấu trúc nội tại toát ra từ những phép biến đổi toán học hay những mối quan hệ được xác định trên tập hợp. Toán học từ đó nghiên cứu tính chất của những tập hợp có thể được diễn tả dưới dạng cấu trúc đó; chẳng hạn lý thuyết số nghiên cứu tính chất của tập hợp những số nguyên có thể được diễn tả dưới dạng những phép biến đổi số học. Ngoài ra, thường thì những tập hợp có cấu trúc (hay những cấu trúc) khác nhau đó thể hiện những tính chất giống nhau, khiến người ta có thể xây dựng nên những tiên đề cho một lớp cấu trúc, rồi sau đó nghiên cứu đồng loạt toàn bộ lớp cấu trúc thỏa mãn những tiên đề này. Do đó người ta có thể nghiên cứu các nhóm, vành, trường, và những hệ phức tạp khác; những nghiên cứu như vậy (về những cấu trúc được xác định bởi những phép biến đổi đại số) tạo thành lĩnh vực đại số trừu tượng. Với mức độ tổng quát cao của mình, đại số trừu tượng thường có thể được áp dụng vào những bài toán dường như không liên quan gì đến nhau. Một ví dụ về lý thuyết đại số là đại số tuyến tính, lĩnh vực nghiên cứu về các không gian vectơ, ở đó những yếu tố cấu thành nó gọi là vectơ có cả lượng và hướng và chúng có thể được dùng để mô phỏng các điểm (hay mối quan hệ giữa các điểm) trong không gian. Đây là một ví dụ về những hiện tượng bắt nguồn từ những lĩnh vực hình học và đại số ban đầu không liên quan gì với nhau nhưng lại tương tác rất mạnh với nhau trong toán học hiện đại. Toán học tổ hợp nghiên cứu những cách tính số lượng những đối tượng có thể xếp được vào trong một cấu trúc nhất định.