مورفیزم (ریاضیات)

در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، مورفیزم (به انگلیسی: morphism) (یا فلش و یا پیکان ) اشاره به یک نگاشت حافظ ساختار از یک ساختار ریاضی به ساختاری دیگر دارد. مفهوم مورفیزم، در بیشتر ریاضیات معاصر به چشم می‌آید. پیکان‌ها در نظریه مجموعه‌ها، توابع؛ در جبر خطی، نگاشت‌های خطی؛ در نظریه گروه‌ها، همریختی‌های گروهی، و در توپولوژی، توابع پیوسته هستند و غیره.
در نظریه دسته‌ها، یک پیکان ایده‌ای بسیار مشابه است، اما تا حدودی مجرد‌تر: اشیاء ریاضی درگیر، لزومی نیست که مجموعه باشند و ارتباط بین آنها ممکن است چیزی عام‌تر از یک نگاشت باشد.
مطالعه فلش‌ها و ساختارها (به نام «اشیاء») که به روی آنها تعریف شده‌اند، ایده‌ای اساسی در نظریه دسته هاست. بسیاری از اصطلاحات مربوط به مورفیزم‌ها و همچنین شهود پشتشان، از کاتگوری‌های محسوس می‌آیند، که در آنها اشیاء به سادگی مجموعه‌هایی با ساختار اضافی و مورفیزم‌ها، توابع حافظ ساختارند.
تعریف
یک دسته (یا کاتگوری) C شامل دو کلاس است: یکی از اشیاء و دیگر از مورفیزم‌ها.
به هر مورفیزم، دو شی منتسب می‌شود: مبدا و مقصد (هدف).
برای بسیاری از کاتگوری‌های رایج، اشیاء مجموعه (معمولا با ساختاری بیشتر) بوده و مورفیزم‌ها، توابع از یک شی به شی دیگر هستند؛ بنابراین مبدا و مقصد یک مورفیزم، اغلب به ترتیب با نام‌های دامنه و هم-دامنه شناخته می‌شوند.
یک مورفیزم f با مرجع X و هدف Y را به صورت f: X → Y می‌نویسند. در نتیجه یک مورفیزم توسط یک پیکان از مبدا آن به مقصدش نمایش داده می‌شود.
مورفیزم‌ها مجهز به یک عمل دودویی جزئی به نام ترکیب هستند. ترکیب دو مورفیزم f و g تعریف می‌شود اگر و تنها اگر مقصد f، مبدا g باشد، و با g∘f نمایش می‌دهند. مبدا g∘f مبدا f و مقصد g∘f، مقصد g است. ترکیب، دو اصل موضوعه را ارضاء می‌کند:
همانی
برای هر شی X، مورفیزم id X : X → X به نام مورفیزم همانی در X وجود دارد به طوری که برای هر مورفیزم f: A → B، داریم id B ∘ f = f = f ∘ id A .
شرکت پذیری
h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f هر زمان که عملیات ترکیب سازی تعریف شدنی باشد، یعنی وقتی که مقصد f، مبدا g بوده و مقصد g، مبدا h باشد.
برای یک کاتگوری محسوس (یعنی که اشیاء اش مجموعه‌های با ساختار اضافه و پیکان‌هایش، نگاشت‌های حافظ ساختارند) مورفیزم همانی، همان تابع همانی بوده و ترکیب، همان ترکیب توابع معمولی است؛ لذا شکرت پذیری، نتیجه می‌شود چرا که ترکیب توابع شرکت پذیر است.
ترکیب مورفیزم‌ها اغلب توسط یک نمودار جابجایی نشان داده می‌شود. برای مثال،
پرونده:Commutative_diagram_for_morphism.svg
مجموعه تمام مورفیزم‌های از X به Y را با hom C (X,Y) یا به ساده‌تر، با hom(X, Y) نشان می‌دهند و به آن و به نام هوم-ست بین X و Y می‌گویند. برخی مولفین، می‌نویسند Mor C (X,Y)، Mor(X,Y) یا C(XY). توجه داشته باشید که هوم-ست، اسمی نامناسب است؛ چرا که خانواده مورفیزم‌ها لزوما مجموعه نیست. یک کاتگوری را که در آن hom(X,Y) بازای همه اشیاء X و Y، مجموعه است، موضعا کوچک می‌گویند.
توجه داشته باشید که دامنه و هم-دامنه در واقع بخشی از اطلاعات تعیین کننده یک مورفیزم است. برای مثال در کاتگوری مجموعه‌ها، که در آن مورفیزم‌ها توابعند، دو تابع ممکن است به عنوان مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یکسان باشند (ممکن است دارای برد یکسانی باشند) در حالی که هم-دامنه‌های متفاوتی دارند. در نتیجه بسیاری از مولفین نیاز دارند که هوم-کلاس‌های hom(X,Y) مجزا باشند. در عمل این یک مشکل نیست چرا که اگر این گسستگی برقرار نباشد، آنگاه می‌توان مطمئن شد که با اضافه کردن دامنه و هم-دامنه به مورفیزم‌ها (به عبارتی، به عنوان مولفه‌های دوم و سوم از یک سه تایی مرتب) این مسئله برقرار می‌شود.
مثال
در کاتگوری‌های محسوس که در جبر جهانی مورد مطالعه قرار می‌گیرند (گروه، حلقه، ماژول و غیره)، مورفیزم‌ها معمولا همریختی هستند. به همین ترتیب مفاهیم خودریختی، اندومورفیزم، اپی مورفیزم، همسان ریختی، یکریختی و مونومورفیزم، همگی در جبر جهانی کابرد می‌یابند.
در این کاتگوری فضاهای توپولوژیک، مورفیزم‌ها توابع پیوسته هستند و یکریختی‌ها، همان همسان ریختی‌ها هستند.
در کاتگوری منیفلدهای هموار، مورفیزم‌ها توبع هموارند و به مورفیزم‌ها، هموارریختی می‌گویند.
کاتگوری کاتگوری‌های کوچک، فانکتورها را می‌توان به عنوان پیکان حساب کرد.
در یک کاتگوری فانکتوری، مورفیزم‌ها هستند تبدیلات طبیعی هستند.
برای نمونه‌های بیشتر، مدخل نظریه دسته‌ها را ببینید.
مورفیزم نرمال
مورفیزم صفر