حدس بازسازی

حدس بازسازی برای اولین بار در سال ۱۹۴۲ مطرح شد. حدس بازسازی ادعا می‌کند هر گراف با استفاده از
کارت‌های خود (زیرگراف‌های راس حذفی)، قابل‌بازسازی است. اگرچه تلاش‌های زیادی پیرامون این حدس صورت گرفته، اما مسئله در حالت کلی باز
مانده‌است.
مقدمه
در این بخش ما مقدمه و تاریخچه‌ای مختصر از حدس بازسازی گراف را از سال ۱۹۴۱ بیان می‌کنیم.
حدس بازسازی ادعا می‌کند که هر گراف ساده با حداقل ۳ راس از روی زیرگراف‌های راس‌حذفی آن با تقریب
یکریختی قابل‌بازسازی است.
حدس بازسازی یکی از مشهورترین مسایل نظریه گراف است، که همواره ذهن بسیاری از ریاضی‌دانان را
به خود مشغول کرده‌است. هراری
از این مسئله به خاطر ماهیت مسری آن به عنوان بیماری گرافی یاد می‌کرد.
بر اساس گزارش‌های ثبت شده، ویسکنسین در ۱۹۴۱، کلی
و الام
به عنوان اولین قربانیان این بیماری شناخته می‌شوند.
نمادها با توجه به نمادگزاری کتاب باندی و مورتی
انتخاب شده‌است؛ بنابراین گراف دارای مجموعه راس‌های , مجموعه یال‌های ؛ همچنین دارای
راس و یال است. زیرگراف زیرگراف حاصل از حذف راس به همراه تمام یال‌های متصل به آن است. شکل(۱) زیرگراف‌های راس‌حذفی گراف را نشان می‌دهد.
شکل(۱): زیرگراف‌های راس‌حذفی یک گراف
برای فرمول بندی دقیق حدس نیاز به دو مفهوم زیر داریم:
تعریف
یک بازسازی از گراف ، یک گراف است، به‌طوری‌که و برای هر ، داشته باشیم .
همچنین می‌گوییم قابل‌بازسازی است، اگر هر بازسازی از با خود یکریخت باشد.
به عنوان مثال و بازسازی یکدیگرند. حدس بازسازی ادعا می‌کند این دو، تنها گراف‌های غیرقابل‌بازسازی هستند.
حدس بازسازی: تمام گراف‌های متناهی، ساده و غیرجهت‌دار با حداقل سه راس قابل‌بازسازی هستند.
نگاه به مسئله به عنوان کارت‌هایی که هر زیرگراف روی آن‌ها رسم شده، خالی از لطف نیست. به‌طور نمونه گراف در شکل(۲)
دارای دسته کارتی مانند شکل(۵)است (ارائه، توسط هراری ).
نمایش مسئله با کارت‌ها، به‌طوری‌که گراف‌هایی که کارت‌ها را تولید می‌کنند بیابیم بسیار مرسوم است (البته در حالت متناهی). ولی مسئله یافتن الگوریتمی برای ساختن گراف نیست، بلکه ما می‌خواهیم هر الگوریتمی نتیجه یکسان داشته باشد (خالی از لطف نیست اگر خواننده سعی کند با کارت‌های شکل(۱)گراف را بسازد).
شکل(۲): دسته کارت‌های گراف شکل(۱)
گزاره
اگر یک گراف ساده، قابل‌بازسازی باشد، آنگاه مکمل آن نیز قابل‌بازسازی است.
به نظرنمی‌رسد گزاره‌ی۱٫۲ که توسط کلی
بیان شده‌است، حدس را ساده‌تر کند، ولی کمک شایانی به ساختن مثال نقض و همچنین بررسی محاسباتی مسئله می‌کند.
تا سال ۱۹۷۷ گراف‌های با حداکثر ۹ راس بررسی شدند و دارای هیچ مثال نقضی نبودند
(کلی،
هراری و پالمر،
استک‌مایر،
مک‌کی
و ناین هاس ).
در کامل کردن مطلب بالا که شامل آخرین نتایج محاسباتی بر روی بازسازی گراف‌های کوچک است، قضیه زیر از مک‌کی
را داریم.
گزاره
کلاس‌های زیر از گراف‌ها به‌طور یکتا توسط دسته کارت تحدید یافته‌ی(isomorph-reduced deck)
(دسته کارت با حذف گراف‌های تکراری) خود مشخص می‌شوند:
گراف‌ها از مرتبه ۴ تا ۱۱.
گراف‌ها از مرتبه ۱۲ با حداکثر درجه ۵.
گراف‌های خالی از مثلث(triangle-free) از مرتبه ۴ تا ۱۴.
گراف‌های خالی از مربع(square-free) از مرتبه ۴ تا ۱۵.
گراف‌های دوبخشی از مرتبه ۴ تا ۱۵.
گراف‌های دوبخشی از مرتبه ۱۶ با حداکثر درجه ۵.
تعریف
کلاس را فضای گراف‌های تصادفی روی درنظر بگیرید، که هر یال با احتمال موجود باشد. یک عضو این کلاس را با نشان می‌دهیم. می‌گوییم تقریبا تمام‌ها داری ویژگی هستند هرگاه، احتمال اینکه دارای ویژگی باشد به ۱ میل کند هنگامی
که به میل می‌کند.
علاوه بر این مولر
نشان داد:
گزاره
تقریبا تمام گراف‌ها قابل‌بازسازی هستند.
اگرچه این مسئله می‌تواند شاهدی بر درستی حدس باشد، ولی باید پذیرفت که تاکنون شواهد متقاعد
کننده‌ای برای درستی آن یافت نشده‌است.
توجه
دو گردآوری(survey)
بسیار ارزشمند در مورد حدس بازسازی در 1977
و 1978
نوشته شدند. این دو مقاله، با لیست کاملی از مراجع وضعیت این مسئله را تا آن زمان نشان داده‌اند. بعد از آن نیز گردآوری‌های دیگری نیز منتشر شد
دو مقاله بالا، مخصوصا اولی،
برای کمک به کسی که به‌طور جدی خواستار کار بر روی مسئله است توصیه می‌شود. همچنین کتاب
شامل چهار فصل در مورد حدس بازسازی است.
همچنین یک گردآوری در حدس بازسازی توسط محمد جواد مقدس‌مهر در ۲۰۱۷ نوشته شده‌است .