توابع وابسته لژاندر

در ریاضیات، چندجمله ای‌های وابسته لژاندر جواب‌های متعارف:
از معادله زیر موسوم به معادله لژاندر هستند:
که در آن شاخص l و m (که اعداد صحیح هستند) به عنوان مرتبه و درجه چند جمله‌ای لژاندر وابسته می‌باشند. این معادله دارای جواب‌های غیر صفر است و تنها در صورتی در −1, 1 غیر منفردند که اعداد صحیح l و m در شرط 0 ≤ |m| ≤ |l| صدق کنند. هنگامی که شاخص m زوج باشد، این تابع یک چند جمله‌ای است. هنگامی که m برابر صفر و l مقداری صحیح باشد، این توابع با چندجمله ای‌های لژاندر معادلند. به‌طور کلی هرگاه l و m اعداد صحیح هستند، راه حل‌ها معمولا به عنوان «چندجمله ای‌های لژاندر وابسته» خوانده می‌شود، حتی زمانی که m مقداری فرد بوده و معادله یک چندجمله‌ای نباشد. به‌طور کلی رده عمومی این توابع با مقادیر واقعی یا مرکب دلخواه از l و m توابع لژاندر هستند. در این حالت پارامترها معمولا با حروف یونانی برچسب گذاری می‌شوند.
معادله دیفرانسیل معمولی لژاندر اغلب در فیزیک و سایر زمینه‌های فنی کاربرد دارد، به ویژه در زمان حل معادله لاپلاس (و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته) در مختصات کروی. توابع وابسته لژاندر نقشی حیاتی در تعریف هماهنگ‌های کروی دارد.
تعریف برای پارامترهای صحیح و غیر منفی l و m
این توابع به صورت که در آن بالانویس نشان دهنده ترتیب تابع است، و نه توان P. در تعریف دقیق‌تر، آنها تعیین‌کننده مرتبه مشتق چندجمله‌ای‌های لژاندر هستند. (m ≥ ۰)
توابع توصیف شده در این معادله با مقادیر مشخص شده از پارامترهای l و m معادله دیفرانسیل عمومی لژاندر را برآورده می‌کنند. پاسخ معادله لژاندر Pl با تفکیک m به شرح زیر است:
علاوه بر این، بر طبق فرمول رودریگز داریم:
که Pml را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:
این معادله گستره m را به −l ≤ m ≤ l محدود می‌کند. طبق تعریف P l ±m ، حاصل عبارت فوق با جایگزینی ±m، متناسب است. ضمن اینکه ضرایب توان در دو طرف معادله باید برابر باشد.
\frac{d^{\ell-m{dx^{\ell-m (x^2-1)^{\ell = c_{lm (1-x^2)^m \frac{d^{\ell+m{dx^{\ell+m(x^2-1)^{\ell,
که از آن نتیجه می‌دهد ثابت تناسب برابر است با
c_{lm = (-1)^m \frac{(\ell-m)!{(\ell+m)! ,
بطوری که
P^{-m_\ell(x) = (-1)^m \frac{(\ell-m)!{(\ell+m)! P^{m_\ell(x).
نمادگذاری جایگزین
نمادگذاری زیر نیز در نوشته‌ها استفاده می‌شود:
تعامد
با فرض 0 ≤ m ≤ l، این توابع شرط تعامد را به ازای مقدار ثابت m برآورده می‌کنند:
که در آن  k, l همان تابع دلتای کرونیکر است.
همچنین، این توابع شرط تعامد را به ازای مقدار ثابت l نیز برآورده می‌کنند:
مقادیر منفی m و/یا l
این معادله دیفرانسیل نسبت به تغییر علامت m کاملا ناوردا است.
این توابع برای مقادیر منفی m همانگونه که در بالا نشان داده شدبرابر با مقادیر مثبت m هستند:
(این رابطه حاصل تعریف فرمول رودریگز است. این تعریف همچنین نشان می‌دهد که روابط بازگشتی مختلف برای مقادیر مثبت یا منفی m برقرار است.)
این معادله دیفرانسیل همچنین تحت تغییر از l تا −l − 1 ناوردا است، و تابع برای مقادیر منفی l به صورت زیر تعریف می‌شود
پاریته
طبق تعریف تایید می‌شود که توابع وابسته لژاندر هم زوج یا فرد می‌شوند، بطوری که
چند گزینه نخست از توابع وابسته لژاندر
توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۰
توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۱
توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۲
چند گزینه اول از توابع وابسته لژاندر، که شمال مقادیر منفی m نیز می‌باشند، عبارتند از:
رابطه بازگشتی
این توابع دارای تعدادی روابط بازگشتی‌اند:
اولین روابط بازگشتی:
پارامتربندی زاویه‌ای
این توابع زمانی که متغیر از نوع زاویه‌ای لحاظ می‌شود بسیار مفیدند، مانند :
با استفاده از رابطه ، چند نمونه از لیست ذکر شده در بالا، به عنوان اولین چند جمله ای‌های وابسته لژاندر بصورت زیر تبدیل می‌شوند:
\begin{align
P_0^0(\cos\theta) - = 1 \\8pt
P_1^0(\cos\theta) - = \cos\theta \\8pt
P_1^1(\cos\theta) - = -\sin\theta \\8pt
P_2^0(\cos\theta) - = \tfrac{1{2 (3\cos^2\theta-1) \\8pt
P_2^1(\cos\theta) - = -3\cos\theta\sin\theta \\8pt
P_2^2(\cos\theta) - = 3\sin^2\theta \\8pt
P_3^0(\cos\theta) - = \tfrac{1{2 (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\8pt
P_3^1(\cos\theta) - = -\tfrac{3{2 (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\8pt
P_3^2(\cos\theta) - = 15\cos\theta\sin^2\theta \\8pt
P_3^3(\cos\theta) - = -15\sin^3\theta \\8pt
P_4^0(\cos\theta) - = \tfrac{1{8 (35\cos^4\theta-30\cos^2\theta+3) \\8pt
P_4^1(\cos\theta) - = - \tfrac{5{2 (7\cos^3\theta-3\cos\theta)\sin\theta \\8pt
P_4^2(\cos\theta) - = \tfrac{15{2 (7\cos^2\theta-1)\sin^2\theta \\8pt
P_4^3(\cos\theta) - = -105\cos\theta\sin^3\theta \\8pt
P_4^4(\cos\theta) - = 105\sin^4\theta
\end{align
روابط متعامدی که در بالا ذکر شد، در این فرمول آمده‌است:
برای مقدار ثابت m, به ازای پارامتر  در بازه :
همچنین، به ازای l ثابت:
در ازای ، جواب‌های معادله زیر است
به عبارت دقیق‌تر، با توجه به صحیح بودن m 0، معادله فوق تنها زمانی دارای پاسخ‌های نامعمول خواهد بود که رابطه برای هر l صحیح بزرگتر از m صدق کند، و این پاسخ‌ها متناسبند با .