عرض درخت

در نظریه گراف، عرض درختی یک گراف بدون جهت، عددی است که مربوط به آن گراف است. این عدد می‌تواند به طرق مختلفی تعریف شود: اندازه‌ی بزرگ‌ترین راس در تجریه‌ی درختی آن گراف، اندازه‌ی بزرگ‌ترین خوشه در تکمیل وتری و … .
مفهوم عرض درختی یک گراف، در ابتدا توسط Umberto Bertelé و Francesco Brioschi در سال ۱۹۷۲ معرفی شد. بعدها به‌صورت جدی توسط Neil Robertson و Paul Seymour در سال ۱۹۸۴ مجددا معرفی گردید. برای تعریف عرض درختی یک گراف، ابتدا باید تجریه‌ی درختی گراف را تعریف کنیم.
تجزیه‌ی درختی
تجزیه‌ی درختی گراف ، درختی است مانند با رئوس (به این رئوس کیف یا bag می‌گویند) که در آن هر یک زیرمجموعه‌ای از است که شرایط زیر را ارضا کند:
اجتماع تمامی‌ها، مجموعه‌ی باشد.
تمامی رئوس (کیف‌های) درخت که شامل راس هستند، تشکیل یک زیردرخت هم‌بند بدهند.
برای هر یال مانند در گراف ، حداقل یک راس (کیف) مانند در درخت باشد که شامل هر دو راس و است.
تجزیه‌ی درختی یک گراف، یکتا نیست. بدیهی‌ترین تجزیه‌ی درختی، قراردادن تمامی رئوس گراف در یک کیف است که در این صورت هر گراف یک تجزیه با عرض دارد؛ بنابراین برای هر گراف تجزیه‌های درختی متعددی وجود دارد.
عرض درختی یک تجزیه‌ی درختی، برابر است با سایز بزرگ‌ترین کیف آن منهای یک.
عرض درختی یک گراف نیز که با نمایش داده می‌شود، برابرست با کم‌ترین عرض درختی میان تمامی تجریه‌های درختی آن گراف.
مثال:
در شکل زیر گراف و یک تجزیه‌ی درختی از آن را می‌بینید. عرض این تجزیه‌ی درختی، ۲ می‌باشد.
یک گراف به همراه یک تجزیه درختی از آن با عرض ۲
مثال:
عرض درختی تمام درخت‌ها برابر با یک است.
تجزیه‌ی درختی نرم
تجزیه‌ی درختی با عرض k نرم می‌گوییم اگر:
نکته : هر تجزیه‌ی درختی را می‌توان به یک تجزیه‌ی درختی نرم تبدیل کرد.
مجموعه‌ی مستقل بر روی تجزیه‌ی درختی
فرض کنید یک تجزیه‌ی درختی برای گراف باشد به طوری که عرض آن حداکثر باشد. می‌خواهیم الگوریتمی از ارائه دهیم تا بزرگ‌ترین مجموعه‌ی مستقل این گراف را پیدا کنیم.
ابتدا درخت را از راس دلخواه r ریشه دار می‌کنیم. به ازای هر ، را برابر با بزرگ‌ترین مجموعه‌ی مستقل که می‌توان در زیر درخت i پیدا کرد به شرط آن که اشتراک راس‌های مجموعه‌ی مستقل و دقیقا راس‌های U باشد تعریف می‌کنیم. حال الگوریتم جستجوی عمق اول را روی درخت اجرا می‌کنیم. سپس به ازای هر راس i یکی از کارهای زیر را انجام می‌دهیم:
اگر راس یک برگ بود، به ازای هر اگر U یک مجموعه‌ی مستقل در گراف بود در نظر می‌گیریم در غیر این صورت
اگر راس برگ نبود و فرزندان راس باشند آنگاه:
جواب نیز برابر خواهد شد با:
تعداد حالاتی که مقادیر آن‌ها را پیدا می‌کنیم برابر با است. هم‌چنین برای به دست آوردن مقدار یک خانه باید به ازای تمام زیرمجموعه از بسته‌های فرزندانش مقدار ماکسیمم حساب شود و همچنین باید بررسی شود که راس‌ها به هم یال نداشته باشند که مرتبه‌ی این قسمت نیز از است. در نتیجه زمان اجرای الگوریتم خواهد شد.
به ازای k‌های کوچک اثبات شده است که گرافی که مجموعه‌ی گراف‌های زیر را به عنوان￼ ماینور شامل نمی‌شود ، عرض درختی کمتر مساوی k دارد.
بیش از ۷۵ نوع گراف
الگوریتم‌های محاسبه عرض درختی یک گراف
در حالت کلی، پاسخ به این سوال که آیا گراف عرض درختی‌اش حداکثر است یا نه یک مسئله (ان‌پی کامل) است. اما برای‌های مشخص با اندازه‌ی کوچک الگوریتمی با زمان اجرای خطی وجود دارد. زمان اجرای این الگوریتم بر اساس سایز ورودی خطی ولی بر اساس نمایی‌ست و لذا فقط برای‌های ثابت و کوچک عملی است.
مسئله‌ی دزد و پلیس‌ها
در این مثال در یک گراف تعدادی پلیس حضور دارند که در راس‌های مختلف گراف قرار دارند. یک دزد نیز در یکی از راس‌های گراف پنهان شده است. در هر مرحله اگر k پلیس داشته باشیم ، پلیس‌ها k راس را در نظر می‌گیرند و به آن می‌روند. سپس دزد یک راس را در نظر می‌گیرد که در آن پلیس نیست و از راسی که در آن حضور دارد به راس مقصد مسیری وجود داشته باشد که راس‌های این مسیر شامل راس‌های اشتراک مکان‌های قبلی پلیس‌ها و مکان‌های جدید پلیس‌ها نباشد. پلیس‌ها برنده می‌شوند اگر بعد از تعداد محدودی مرحله ، دزد راسی برای فرار کردن به آن نداشته باشد.
قضیه : اگر عرض درختی گراف G حداکثر k باشد ، آنگاه 1 + k پلیس می‌توانند دزد را دستگیر کنند.
اثبات : چون عرض درختی گراف حداکثر k است ، یک تجزیه‌ی نرم برای آن وجود دارد.
حال تجزیه‌ی نرم آن را در نظر می‌گیریم. ابتدا آن را از راسی ریش‌دار می‌کنیم. پلیس‌ها در مرحله اول در 1 + k راس در بسته‌ی ریشه قرار می‌گیرند. دزد نیز در این مرحله در راسی دیگر قرار گرفته است. حال راسی که دزد در آن قرار گرفته را در نظر می‌گیریم. مجموعه‌ی بسته‌هایی که راس دزد در آن قرار دارد یک مجموعه‌ی همبند در یکی از زیر درخت‌های فرزندان ریشه است. پلیس‌ها در این مرحله آن فرزند را انتخاب می‌کنند و به راس‌های آن منتقل می‌شوند و از آن جا که اشتراک بسته‌ی جدید با بسته‌ی قبل k است و یک برش در گراف را تشکیل می‌دهد ، دزد نمی‌تواند از آن خارج شود. اگر پلیس‌ها به همین روند ادامه دهند در آخر دزد را در یک بسته برگ گیر می‌اندازند.