آنتروپی متقاطع

آنتروپی متقاطع بین دو توزیع احتمال p و q روی یک مجموعه داده شده، به صورت زیر تعریف می‌شود:
جایی که آنتروپی p و دیورژانس کولبک- لیبلر از p به q است.
برای p و q گسسته داریم:
که مشابه توزیع‌های پیوسته‌است. باید فرض کنیم که p و q با توجه به اندازه‌گیری مرجع r کاملا پیوسته هستند.
اگر P و Q توابع چگالی احتمال p وq با توجه به r باشند، بنابراین:
توجه داشته باشید که نوتیشین برای مفهوم دیگری برا pو q به نام آنتروپی توام نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.
محرک
در تئوری اطلاعات، قضیه کرافت-مک‌میلن هر کدام از روش‌های کد قابل قبول را برای کدگذاری یک پیام شناسایی از مجموعه‌ای از احتمالات ، ایجاد می‌کند. این امر می‌تواند به صورت یک توزیع احتمال ضمنی روی ، نشان داده شود، جایی که ، طول کد ، در حالت بیتی است؛ بنابراین آنتروپی متقاطع می‌تواند به عنوان طول پیام مورد انتظار در هر پایگاه داده تفسیر شود، زمانی که توزیع نادرست Q در حالی فرض می‌شود که داده‌ها توزیع P را دنبال می‌کنند. به همین دلیل است که توزیع احتمال مورد انتظار P است.
تخمین
موقعیت‌های زیادی وجود دارد که نیاز است آنتروپی متقاطع را اندازه‌گیری کرد، اما توزیع p نامعلوم است. یک مثال، مدل‌سازی زبان است جایی که مدل بر اساس مجموعه آموزشی T ایجاد می‌شود؛ و سپس آنتروپی متقاطع آن بر روی یک مجموعه آزمون، برای ارزیابی دقیق مدل در پیش‌بینی داده‌های آزمون اندازه‌گیری می‌شود. در این مثال،p توزیع درستی از کلمات در مجموعه‌ای از نوشته‌ها و q توزیع کلماتی است که توسط مدل، پیش‌بینی شده‌است. چون توزیع درست، نامعلوم است آنتروپی متقاطع نمی‌تواند مستقیما اندازه‌گیری شود. در این حالت تخمین آنتروپی متقاطع، به صورت زیر محاسبه می‌شود:
جایی که n طول مجموعه آزمون و احتمال وقوع رویداد x برآورد شده از مجموعه آزمون است. مجموع روی N محاسبه شده‌است. این یک تخمین مانته کورلو از آنتروپی متقاطع است، جایی که مجموعه آموزش به عنوان نمونه‌ای از مورد استفاده قرار می‌گیرد.
ارتباط با احتمال لگاریتم
در شرایط طبقه بندی ما می‌خواهیم احتمال نتایج مختلف را تخمین بزنیم. اگر برآورد احتمال از i مقدار باشد، در حالی که فرکانس i در مجموعه آموزشی، است و N نمونه برای مجموعه آموزشی موجود باشد، احتمال مجموعه آموزشی به صورت زیر است:
بنابراین احتمال لگاریتم که توسط N تقسیم شده، به صورت زیر است:
بنابراین برای به حداکثر رساندن احتمال، باید آنتروپی متقابل حداقل باشد.
مینیمم کردن آنتروپی متقاطع
بهینه‌سازی متقاطع آنتروپی در اغلب موارد در بهینه‌سازی و تخمین احتمال، احتمالی نادرست استفاده می‌شود. هنگام مقایسه یک توزیع q در برابر توزیع موجع ثابت p، آنتروپی متقاطع و دیورژانس KL یک ثابت افزایشی یکسان هستند: هر دو زمانی که p=q مقدار حداقل را می‌گیرند، که دیورژانس KL صفر و آنتروپی متقاطع است. در ادبیات مهندسی، اصل به حداقل رساندن دیورژانس KL را اصل به حداقل رساندن آنتروپی متقاطع می‌نامند. با این حال همانطور که در مقاله دیورژانس کولباک- لبلر بحث شده است، گاهی توزیع q یک توزیع پریور مرجع ثابت است و توزیع p برای نزدیک بودن به q با برخی از محدودیت‌ها بهینه سازی شده است. در این حالت دو معادله مساوی نیستند. این مسئله در نوشته‌ها باعث ابهاماتی شده است. برخی از نویسندگان برای حل ناپیوستگی با تعریف دوباره‌ای برای آنتروپی متقاطع که به جای باشد، تلاش می‌کنند.
تابع خطای آنتروپی متقاطع و رگرسیون لجستیک
آنتروپی متقاطع می‌تواند برای تعریف تابع زیان در یادگیری و بهینه سازی ماشین استفاده شود. احتمال درست یک برچسب واقعی است و توزیع داده شده ارزش پیش بینی شده از مدل فعلی است. به طور خاص اجازه دهید رگرسیون لجستیک را در نظر بگیریم، که (در فرم اصلی آن) با طبقه بندی یک مجموعه داده‌ای از داده‌ها به دو دسته ممکن می‌پردازد که با صفر و یک برچسب گذاری شده است. بنابراین مدل رگرسیون لجستیک یک خروجی را با توجه به ورودی \mathbf{x
پیش بینی می‌کند. احتمال با تابع لجستیک مدل می‌شود. یعنی احتمال یافتن خروجی به صورت زیر است:
جایی که بردار وزن w از طریق برخی الگوریتم‌های مناسب مثل سقوط گرادیان بهینه سازی شده است. به طور مشابه، احتمال مکمل یافتن خروجی به صورت زیر داده شده است:
احتمال واقعی (مشاهده شده) را می‌توان به صورت مشابه و بیان کرد. با قرار دادن نمادهای ما یعنی و ما می‌توانیم آنتروپی متقاطع را برای اندازه گیری عدم هماهنگی بین و استفاده کنیم:
تابع هزینه معمولی که از آن در رگرسیون لجستیک استفاده می‌شود با در نظر گرفتن میانگین تمام انتروپی‌های متقابل در نمونه محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، فرض کنید که ما N نمونه داریم برای هر نمونه نشان داده شده . تابع زیان به صورت زیر است:
\begin{align
J(\mathbf{w)\ -=\ \frac1N\sum_{n=1^N H(p_n,q_n)\ =\ -\frac1N\sum_{n=1^N\ \biggy_n \log \hat y_n + (1 - y_n) \log (1 - \hat y_n)\bigg\,,
\end{align
جایی که
با مثل قبل یک تابع لجستیک است.
زیان لجستیک معمولا آنتروپی متقاطع زیان نامیده می‌شود.
روش آنتروپی متقاطع
رگرسیون لجستیک
آنتروپی شرطی
برآورد درست‌نمایی بیشینه