عضو بیشین

عضو بیشین (ماکسیمال) در ریاضیات، به ویژه در نظریه ترتیب (order)، از یک زیرمجموعه به نام S از برخی مجموعه جزئا مرتب(poset) یک عنصر از S است که از هیچ عنصر دیگری در s کوچکتر نیست. به‌طور مشابه یک عضو کمیین (مینیمال) از یک زیر مجموعه به نام S از برخی مجموعه مرتب جزئی تعریف شده‌است، یک عنصر از s که بزرگتز از هیچ عنصر دیگری در s نیست.
مفاهیم عضوهای بیشین (ماکسیمال) و کمین (مینیمال) ضعیف‌تر از بزرگترین عضو و کوچکترین عضو -که به ترتیب ماکسیمم و مینیمم نامیده می‌شوند - هستند. ماکسیمم یک زیرمجموعه s از مجموعه مرتب جزئی عنصری است از s که بزرگتر یا مساوی با هر عنصر دیگری از s است، و مینیمم مجموعه S به‌طور مشابه تعریف می‌شود. مجموعه مرتب جزئی می‌تواند حداکثر یک ماکسیمم و مینیمم داشته باشد. در حالی که ممکن است چندین عضو بیشین و کمین داشته باشد. برای یک مجموعه ترتیب کامل (خطی) مفاهیم عنصر بیشین و ماکسیمم به‌طور همزمان وجود دارند، و همچنین مفاهیم عنصر کمین و مینیمم.
به عنوان مثال در مجموعه
مرتب شده بر اساس محدود کردن، {d, o عضو کمین، {g, o, a, d عضو بیشین،{d, o, g هیچ‌کدام از آنها، و {o, a, f هم عضو بیشین و هم کمین می‌باشد. طبق قرارداد، هیچ حداکثر و هیچ حداقلی برای S وجود ندارد.
Zorn لم تعیین می‌کند که همه مجموعه‌های مرتب جزئی برای هر زیر مجموعه مرتب خطی یک کران بالا شامل حداقل یک عضو بیشین است. این لم با قضیه خوش ترتیبی و اصل انتخاب و نتیجه‌های دلالت عمده در زمینه‌های ریاضی دیگری مثل قضیه هان–باناخ قضیه و قضیه Tychonoff موجودیت هامل اساس برای همه فضاهای برداری و بستار جبری برای همه رشته‌ها برابری می‌کند.
تعریف
مجموعه جزئا مرتب و . آنگاه است یک عضو بیشین اگر
برای همه با قرار دهیم
تعریف عضو کمین با استفاده از ≤ به جای ≥ حاصل می‌شود.
وجود و منحصر به فرد
یک حصار که فقط از فقط عضوهای بیشین و کمین تشکیل شده است (مثال 3).
عناصر بیشین لزوما وجود ندارند.
مثال 1: قرار دهید S = 1,∞) ⊂ R برای تمام m∈S ما s=m+1∈S اما m<s) m≤s است ولی m=s نیست).
مثال 2: قرار دهید S = {s∈Q: 1≤s 2 ≤2 ⊂ Q و به یاد بیاورید که ∉Q.
به‌طور کلی ≤ فقط یک مرتب جزیی روی S است. اگر m یک عضو بیشین و s∈S باشد، احتمال اینکه نه s≤m و نه m≤s باشد، باقی می‌ماند. این، احتمال اینکه آنجا بسیاری ازعضوهای بیشین هست را باقی می‌گذارد.
مثال 3: در محدوده a1 a2 a3 … , همه ai عضو کمین هستند و همه biها عضو بیشین هستند، شکل را ببینید.
عضو بیشین و بزرگ‌ترین عضو
قدرت مجموعه {xباyباz تا حدی به دستور ⊂. بزرگترین عنصر {xباyباz است تنها خود را حداکثر عنصر است.
به نظر می‌رسد که m باید بزرگترین عضو یا ماکسیمم باشد ولی در حقیقت الزاما اینطور نیست، این تعریف از عضو بیشین تا حدودی ضعیف است. فرض کنید s ∈ S و max S ≤ s بنابراین، با توجه به تعریف بزرگترین عضو، s ≤ max S پس s = max S. به عبارت دیگر، اگر ماکسیمم وجود داشته باشد، همان عضو بیشین (یکتا) است.
معکوس آن درست نیست: عضوهای بیشین می‌توانند وجود داشته باشند درحالیکه هیچ ماکسیممی وجود ندارد. مثال 3 نمونه‌ای از وجود مقدار زیادی اعضای بیشین بدون وجود ماکزیمم است. مجددا دلیل این مسئله این است که در حالت کلی ≥ فقط یک ترتیب جزئی روی S است. اگر m یک عضو بیشین باشد و s ∈ S، این امکان همچنان باقی می‌ماند که نه m ≤ s و نه s ≤ m.
اگر تعدادی اعضای بیشین وجود داشته باشد، آن‌ها در برخی متن‌ها frontier نامیده شده‌اند. همچنان که در Pareto frontier.
البته زمانی که محدودیت به یک کل منظور این مفاهیم حداکثر عنصر و بزرگترین عنصر بوده‌است. اجازه تواند حداکثر عنصر برای هر یا یا . در مورد دوم تعریف حداکثر عنصر نیاز به بنابراین نتیجه می‌گیریم که . به عبارت دیگر بزرگترین عنصر است.
نهایتا اجازه دهید اینطور بیان کنیم که برای اینکه S یک مرتب کامل (خطی) باشد، شرط کافی این است مطمئن باشیم که عضو بیشین، بزرگترین عضو است؛ ولی این شرط لازم نیست.
برای مثال، هر مجموعه توانی (P(S از مجموعه S فقط یک عضو بیشین خواهد داشت. یعنی خود S، که بزرگترین عضو یکتا هم دارد ولی تقریبا مجموعه توان، مرتب کامل نیست. با شکل مقایسه کنید.
مجموعه‌های جهت دار
در مجموعه‌های مرتب کامل، ترم‌های عضو بیشین و بزرگترین عضو برهم انطباق دارند، که دلیل اینکه هر دو ترم در زمینه‌هایی مانند آنالیز که فقط مرتب‌های کلی در نظر گرفته می‌شوند، به جای یکدیگر به کار می‌روند نیز همین است. این مشاهده فقط در مورد مجموعه‌های مرتب کامل از هر مرتب جزئی صدق نمی‌کند، بلکه همچنین در مجموعه‌های جهت دار هم صادق است. در مجموعه‌های مستقیم، هر جفت از المان‌ها (به خصوص جفت‌هایی که عضوهای غیرقابل مقایسه دارند) دارای که کران بالای مشترک در داخل مجموعه هستند. هر عضو بیشین از هر زیرمجموعه یکتا خواهد بود (بر خلاف آنچه در یک poset است). علاوه بر این، این عضو بیشین یکتا، یک بزرگترین عضو هم هست.
نتیجه‌گیری مشابهی برای عضوهای کمین نیز صدق می‌کند.
اطلاعات مقدماتی بیشتری در مقاله مرتب کامل وجود دارد.
A subset of a partially ordered set is said to be a lower set of if it is downward closed: if and then . Every lower set of a finite ordered set is equal to the smallest lower set containing all maximal elements of .