نظریه دسته‌ها

نمایش شماتیک از یک دسته با اشیاء Xبا Yهای Z و مورفیزم‌های f, g, g ∘ f. (اگر صریح‌تر نمایش دهیم، سه مورفیزم همانی 1 X , 1 Y و 1 Z از دسته مورد نظر نیز در کنار حروف X و Y و Z به ترتیب نمایش داده می‌شوند که هر کدام به عنوان «محور» اش یک قوس دایره‌ای به اندازه تقریبا ۳۶۰ درجه را خواهد داشت)
نظریه دسته‌ها (رده‌ها یا کاتگوری‌ها) ساختارهای ریاضی و مفاهیم آن را در غالب دسته‌هایی از اشیاء و مورفیزم‌ها (همچنین فلش گفته می‌شود) صوری‌سازی می‌کند. یک دسته دارای دو خاصیت پایه‌ای است: توانایی ترکیب فلش‌ها به صورت شرکت پذیر و وجود یک عنصر همانی برای هر شیء. زبان نظریه دسته‌ها جهت فرمال‌سازی مفاهیم دارای سطحوح انتزاع مرتبه بالا، نظیر مجموعه‌ها، حلقه‌ها و گروه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.
تعدادی از عبارت‌های مورد استفاده در نظریه رده‌ها، از جمله «مورفیزم» متفاوت از آنچه در باقی ریاضیات است استفاده می‌شوند. در نظریه دسته‌ها، مورفیزم‌ها از شرایط مختص خود نظریه دسته‌ها پیروی می‌کنند.
ساموئل آیلنبرگ و ساندرز مک لین مفاهیم کاتگوری، عملگر (فانکتور) و تبدیلات طبیعی را در ۱۹۴۲–۱۹۴۵ طی مطالعات خود در توپولوژی جبری با هدف درک فرآیندهایی که ساختار ریاضی را حفظ می‌کنند، و تحت تاثیر ایده‌های مرتبط قبلی ریاضیدانان لهستانی و آلمانی معرفی نمودند. تئوری دسته‌ها، دارای کاربردهایی عملی در نظریه زبان‌های برنامه‌نویسی، و به‌طور خاص جهت مطالعه مونادها در برنامه‌نویسی تابعی است.
مفاهیم اساسی
کاتگوری‌ها، انتزاعی از دیگر مفاهیم ریاضی را نشان می‌دهند. دیگر مفاهیم ریاضی.
بسیاری از زمینه‌های ریاضیات می‌تواند توسط نظریه دسته‌ها، به عنوان دسته فرمال (صوری) شوند. از این رو دسته تئوری با استفاده از انتزاع این را ممکن می‌سازد که بسیاری از نتایج پیچیده و ظریف ریاضی در این زمینه‌ها را به نحوی بسیار ساده‌تر بیان و اثبات کرد.
یک مثال ابتدایی از یک کاتگوری، کاتگوری مجموعه‌ها ست، که اشیاء آن مجموعه‌ها، و مورفیزم‌های آن توابع از یک مجموعه به مجموعه‌ای دیگراند. اگرچه در حالت کلی، اشیاء یک کاتگوری، ضرورتی ندارد مجموعه باشند و مورفیزم‌ها نیز ضرورتی ندارد که تابع باشند. هر روشی از صوری‌سازی یک مفهوم ریاضی که شرایط ابتدایی حاکم بر اشیاء و مورفیزم‌ها را برآورده کند، یک کاتگوری مشروع است و تمامی نتایج نظریه دسته‌ها برای آن برقرار خواهد بود.
«مورفیزم»‌های نظریه دسته‌ها یا غالبا فرایندی را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم متصل می‌کند، یا در بسیاری از موارد، یک تبدیل «حافظ ساختار» را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم وصل می‌کند. اگرچه، موارد بسیاری هست که مفاهیم بسیار انتزاعی‌تری را با مورفیزم‌ها و اشیاء نشان می‌دهند. مهم‌ترین خاصیت مورفیزم‌ها این است که می‌توانند «ترکیب» شوند، یا به عبارتی، در یک دنباله‌ای چیده شوند که مورفیزم جدیدی را بوجود بیاورند.
کاربردهای دسته‌ها
کاتگوری‌ها، اکنون در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، برخی از شاخه‌های علوم کامپیوتر نظری که در آنجا با نوع‌ها مطابق می‌شوند، و ریاضی فیزیک که در آن آن‌ها می‌تواند برای توصیف فضاهای برداری مورد استفاده قرار گیرد، ظاهر می‌شوند.
ابزار
دسته‌ها، اشیاء و مورفیزم‌ها
مطالعه گاتگوری‌ها، تلاشی برای این است که آنچه در انواع مختلف ساختارهای ریاضی قابل دریافت است را توسط ارتباط دادن آن‌ها با توابع ساختار-نگهدار بین آن‌ها و به صورت اصل موضوعه‌ای نشان دهد. بنابر این، مطالعه نظام مند نظریه دسته‌ها، به ما این اجازه را می‌دهد که نتایجی کلی راجع به هریک از این ساختارهای ریاضیاتی را با استفاده از اصول موضوعه نظریه دسته‌ها به اثبات برسانیم.
مثال زیر را در نظر بگیرید. کلاس Grp از گروه‌ها، متشکل از تمام اشیاء دارای یک «ساختار گروهی» است. می‌توان با استنتاج از مجموعه‌ای از اصول موضوعه، قضایایی راجع به گروه‌ها را ثابت کرد. برای مثال، می‌توان با استفاده از اصول موضوعه، بلافاصله ثابت کرد که گروه همانی، منحصر بفرد است.
به جای تمرکز صرف بر روی اشیاء منفرد (به عنوان مثال گروه‌های) دارای یک ساختار داده شده، نظریه دسته‌ها بر فلش (مورفیزم)ها - نگاشت‌های حافظ ساختار - بین این اشیاء تمرکز می‌کنند؛ با مطالعه این فلش‌ها، قادر خواهیم بود در مورد ساختار اشیاء بیشتر بدانیم. در مورد گروه‌ها، مورفیزم‌ها همان همریختی‌های گروهی هستند. یک همریختی گروهی بین دو گروه، به معنایی دقیق «ساختار گروه را حفظ می‌کند» - این یک «فرایند» است که طی آن یک گروه به گروهی دیگر برده می‌شود، به نحوی که اطلاعات مربوط به گروه نخست را با خود به دومی حمل می‌کند. بنابر این، مطالعه همریختی‌های گروهی، ابزاری را برای مطالعه ویژگی‌های عمومی گروه‌ها و استنتاجات مبتنی بر اصول موضوعه گروه‌ها فراهم می‌کند.
گونه مشابه‌ای از بررسی‌ها در بسیاری از نظریه‌های ریاضی از قبیل مطالعه نگاشت‌های پیوسته (فلش‌ها) ی بین فضاهای توپولوژیکی در توپولوژی (که کاتگوری متناظر را با Top نشان می‌دهند)، و مطالعه توابع هموار (فلش‌ها) در نظریه خمینه‌ها رخ می‌دهد.
با این حال، اینطور نیست که همه کاتگوری‌ها شامل «توابع (مجموعه‌ای) حافظ ساختار» باشند؛ یک نمونه استاندارد، کاتگوری هموتوپی‌های بین فضاهای توپولوژیک نقطه‌ای است.
اگر به جای توابع، رابطه‌ها را اصول موضوعه‌سازی کنیم، نظریه‌ی تمثیلات بدست می‌آید.
فانکتورها
یک کاتگوری، خود یک نوع ساختار ریاضی است؛ بنابراین می‌توانیم به دنبال «فرایند»‌هایی بگردیم که به معنایی، این ساختار را حفظ می‌کنند. چنین فرایندی، یک فانکتور نامیده می‌شود.
نمودار جویی (تعقیب نمودار) روشی تجسمی از استدلال درباره «فلش»‌های مجرد است که در نمودارهای به هم متصل می‌شوند. فانکتورها توسط پیکان‌های بین کاتگوری‌ها نمایش داده می‌شوند، در صورتی که شروطی خاص مربوط به جابجایی‌پذیری را رعایت کنند. فانکتورها می‌توانند نمودارهای دسته‌ای (یا کاتگوریکال) را تعریف کنند (بسازند) (viz. Mitchell, 1965). یک فانکتور، به هر شی از دسته اول یک شی از دسته دیگر، و به هر پیکان در دسته اول یک پیکان در دومی متناظر می‌کند.
در واقع آنچه که ما انجام دادیم این است که یک دسته از دسته‌ها و فانکتورهای بینشان تعریف کرده‌ایم - که اشیاء، کاتگوری‌ها بوده و فلش‌ها (ی بین کاتگوری‌ها) همان فانکتورها هستند.
با مطالعه دسته‌ها و فانکتورها، ما نه تنها قادر به مطالعه کلاسی از ساختارهای ریاضی و پیکان‌های بینشان هستیم، بلکه روابط بین کلاس‌های گوناگونی از ساختارهای ریاضی را نیز مطالعه می‌کنیم. این ایده‌ای اساسیست که برای اولین بار در توپولوژی جبری ظاهر شد. سوالات دشوار توپولوژیکی را می‌توان به سوالاتی جبری مبدل کرد که اغلب، پاسخ دادنشان ساده‌تر است. سازه‌های مقدماتی مانند گروه بنیادی یا گروپوید بنیادی از یک فضای توپولوژیک را می‌توان بدین صورت، به عنوان فانکتورهایی به کاتگوری گروپویدها تببین کرد؛ و این مفهومی جامع در جبر و کاربردهای آن است.
تبدیلات طبیعی
با مجردسازی دوباره، برخی ساختارهای نموداری و/یا ساختارهای دنباله‌ای اغلب «به‌طور طبیعی مرتبط اند» – یک مفهوم مبهم در نگاه اول. این مسئله، منجر به مفهوم روشنگر تبدیل طبیعی می‌گردد؛ راهی برای «تصویر کردن» یکی فانکتور به فانکتوری دیگر. بسیاری از ساختارهای مهم در ریاضیات را می‌توان در این بافت مورد مطالعه قرار. «طبیعی بودن» یک اصل، مانند هموردایی عام در فیزیک است که عمیق‌تر از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد به پیش می‌رود. یک فلش (مورفیزم) بین دو فانکتور، زمانی که بحث طبیعی بودن یا شرایط جا به جایی خاصی است، یک تحول طبیعی است.
فانکتورها و تحولات طبیعی (طبیعی بودن) مفاهیم کلیدی در نظریه رده‌ها هستند.
نظریه دامنه
نظریه دسته‌های غنی
واژه‌نامه از رده تئوری
نظریه گروه
نظریه دسته‌های مرتبه بالا
جبر ابعاد بالا
آثار مهم نظریه رده‌ها
حساب لامبدا
طرح کلی نظریه دسته‌ها
جدول زمانی از نظریه دسته‌ها و ریاضیات مرتبط
یادداشت