آنالیز پایداری فون-نویمان

در آنالیزهای عددی، آنالیز پایداری فون-نویمان (که به عنوان آنالیز پایداری فوریه نیز شناخته می‌شود) یک فرایند برای بررسی پایداری روش تفاضل محدود است که به معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای اعمال می‌شود. اساس این آنالیز تجزیه سری فوریه خطاهای عددی است و پس از مقاله کوتاهی در سال ۱۹۴۷ توسط محققان انگلیسی، کرنک و نیکلسون، در آزمایشگاه ملی لس آلاموس توسعه یافت. این روش یک نمونه از انتگرال‌گیری زمانی صریح است که تابع توصیف‌کننده معادله حاکم در زمان جاری مقداردهی می‌گردد. بعدها، این روش به شکلی دقیق‌تر از سوی جان فون نویمان در مقاله دیگری ارائه شد.
پایداری عددی
پایداری روش عددی همراهی نزدیکی به خطای عددی دارد . یک روش تفاضل محدود زمانی پایدار است که خطاهای تولیدی در محاسبه یک گام زمانی باعث بزرگنمایی خطاها در ادامه‌ی محاسبه نشود .یک روش پایدار ذاتی ،روشی است که خطاها در طول محاسبات ثابت بمانند . اگر خطاها کاهش بیابند و در آخر از بین بروند ،روش عددی پایدار خوانده می‌شود .در غیر این صورت اگر خطاها با گذر زمان رشد کنند روش عددی را ناپایدار می‌خوانند . پایداری روش‌های عددی به وسیله‌ی آنالیز پایداری فون نیومن نیز می‌تواند مورد بررسی کرد . برای مسائل وابسته به زمان، پایداری ،بدست آمدن پاسخی کران دار به وسیله‌ی روش عددی را در حالتی که پاسخ دقیق معادلات دیفرانسیل کراندار باشد تضمین می‌کند .
تحقیق پایداری ، در کل امری مشکل است ،خصوصا زمانی که معادله‌ی مفروض غیر خطی باشد. در موارد مشخص ،پایداری فون نیومن برای پایداری در مفهوم لکس ریچمایر (استفاده شده در تئوری تعادلی لکس) ضروری و مناسب است: معادله‌ی PDE و روش اختلاف محدود مدل‌هایی خطی هستند .
معادله‌ی PDE مذکور،ضریب ثابت با شرطهای مرزی متناوب (پریودیک) است و تنها دو متغیر مستقل دارد ،و این روش برای بیشتر از 2 سطح زمانی استفاده نمی‌شوند. پایداری فون نیومن در موارد متنوع‌تری ضروری است . این روش به علت سادگی نسبی آن معمولا در مواردی که آنالیز دقیق‌تری برای آن که حدس خوبی در محدودیت‌های (اگر وجود داشته باشد) اندازهای گام بدست دهد استفاده می‌شود .
توضیح روش
روش فون نیومن بر اساس گسسته‌سازی خطاها به سری فوریه بنا شده‌است .
برای توضیح فرآیند ،معادله‌ی گرمای یک بعدی را فرض کنید .
\frac{\partial u{\partial t = \alpha \frac{\partial^2 u{\partial x^2
فاصله‌های درونی L به صورت زیر مشخص شده‌است :
\quad (1) \qquad u_j^{n + 1 = u_j^{n + r \left(u_{j + 1^n - 2 u_j^n + u_{j - 1^n \right)
در حالی که
و پاسخ معادله‌ی گسسته شده حل تحلیلی ، معادله‌ی حاکم PDE در مش را تخمین می‌زند .
خطای گرد کردن به صورت زیر تعریف می‌شود :
\epsilon_j^n = N_j^n - u_j^n
در حالی که پاسخ معادله‌ی گسسته شده‌ی (1) ممکن است در غیاب خطای گرد کردن محاسبه شده باشد و پاسخ عددی بدست آمده از دقت محدود است .از آن جایی که پاسخ باید معادله‌ی گسسته را دقیقا ارضا کند ،خطای نیز باید معادله‌ی گسسته را دقیقا ارضا کند .اینجا ما فرض کرده‌ایم که نیز معادله را ارضا می‌کند .(این تنها در دقت ماشین امکان پذیر است ) بنابراین :
\quad (2) \qquad \epsilon_j^{n + 1 = \epsilon_j^n + r \left(\epsilon_{j + 1^n - 2 \epsilon_j^n + \epsilon_{j - 1^n \right)
یک رابطه‌ی برگشتی برای خطا است . معادله‌ی 1 و 2 نشان می‌دهند که هر دوی خطا و پاسخ عددی در زمان یکسان ،رشد یا کاهش برابر دارند . برای معادلات دیفرانسیل خطی با شرط مرزهای متناوب ، تنوع فضایی خطا ممکن است در یک سری فوریه محدود گسترده شوند ،در L داخلی ، به صورتی که :
\quad (3) \qquad \epsilon(x) = \sum_{m=1^{M A_m e^{ik_m x
هنگامیکه عدد موج با و . وابستگی خطا به زمان شامل فرض دامنه‌ی خطا ، یک تابع زمان است .
از آن جایی که خطا کاهش یا رشدی توانی با زمان دارد ،فرض آن که دامنه نیز همراه زمان به صورت توانی تغییر می‌کند مناسب است .بنابراین :
\quad (4) \qquad \epsilon(x,t) = \sum_{m=1^{M e^{at e^{ik_m x
در حالی که یک ثابت است .
از آن جایی که معادله‌ی تفاضلی برای خطا خطی است (رفتار هر عبارت سری مشابه رفتار خود سری است) ،این کافی است تا رشد خطا نیز مانند عبارتی نوعی در نظر گرفته شود .
\quad (5) \qquad \epsilon_m(x,t) = e^{at e^{ik_m x
مشخصه‌های پایداری به این صورت تنها برای خطاهایی که در کل کم نمی‌شوند می‌تواند مورد مطالعه قرار گیرد . برای یافتن چگونگی تغییرات خطا در مراحل زمانی ،از معادلات (5) و (2) داریم:
\begin{align
\epsilon_j^n - = e^{at e^{ik_m x \\
\epsilon_j^{n+1 - = e^{a(t+\Delta t) e^{ik_m x \\
\epsilon_{j+1^n - = e^{at e^{ik_m (x+\Delta x) \\
\epsilon_{j-1^n - = e^{at e^{ik_m (x-\Delta x)
\end{align
حاصل (پس از ساده سازی):
\quad (6) \qquad e^{a\Delta t = 1 + \frac{\alpha \Delta t{\Delta x^2 \left(e^{ik_m \Delta x + e^{-ik_m \Delta x - 2\right)
با استفاده از تطابق :
\qquad \cos(k_m \Delta x) = \frac{e^{ik_m \Delta x + e^{-ik_m \Delta x{2 \qquad \text{و \qquad \sin^2\frac{k_m \Delta x{2 = \frac{1 - \cos(k_m \Delta x){2
معادله‌ی (6) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود :
\quad (7) \qquad e^{a\Delta t = 1 - \frac{4\alpha \Delta t{\Delta x^2 \sin^2 (k_m \Delta x/2)
عبارت تشدید به صورت زیر تعریف می‌شود :
G \equiv \frac{\epsilon_j^{n+1{\epsilon_j^n
وضعیت ضروری برای آن که خطا در مرز بماند ،اگر چه :
\quad (8) \qquad G = \frac{e^{a(t+\Delta t) e^{ik_m x{e^{at e^{ik_m x = e^{a\Delta t
بنابراین از معادله‌های (7) و (8) شرط پایداری به صورت زیر تعریف می‌شود :
\quad (9) \qquad \left\vert 1 - \frac{4\alpha \Delta t{\Delta x^2 \sin^2 (k_m \Delta x/2) \right\vert \leq 1
توجه داشته باشید عبارت همواره مثبت است .بنابراین از معادله‌ی (9) داریم:
\quad (10) \qquad \frac{4\alpha \Delta t{\Delta x^2 \sin^2 (k_m \Delta x/2) \leq 2
در محاسبه‌ی شرط بالا داریم :
\quad (11) \qquad \frac{\alpha \Delta t{\Delta x^2 \leq \frac{1{2
معادله‌ی (11) پایداری مورد نیاز FTCS برای انتقال حرارت یک بعدی را به ما می‌دهد .که بیان می‌کند برای یک داده شده ،مقدار باید به اندازه‌ی کافی کم باشد تا معادله‌ی (10) برقرار شود .