تابع Càdlàg

در ریاضیات یک تابع càdlàg یا corlol تابعی است که روی اعداد حقیقی یا زیرمجموعه‌ای از آن تعریف می‌شود به صورتی که همه جا از راست پیوسته است و از چپ دارای حد (ریاضی) است. توابع càdlàg در مطالعه‌ی فرایندهای تصادفی اهمیت دارند به گونه‌ای که برخلاف حرکت براونی که مسیر نمونه‌هایی پیوسته دارد ، نا پیوستگی را در مسیرهای نمونه‌ای قابل قبول می‌داند. مجموعه توابع càdlàg روی یک دامنه به عنوان فضای Skorokhod شناخته می‌شود.
دو اصطلاح مرتبط عبارتند از càglàd برای بیان càdlàg چپ-راست بازگشتی و càllàl برای تابعی که روی هر نقطه‌ای از دامنه به هر دو صورتcàdlàg یا càglàd قابل معاوضه است.
تعریف
توزیع تجمعی توابع نمونه‌هایی از توابع càdlàg .
فرض کنید (M, d) یک فضای متریک و همچنین E ⊆ R باشد. یک تابع ƒ: E → M ،تابع càdlàg نامیده می‌شود اگر برای هر t ∈ E:
حد چپ (ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s وجود داشته باشد، و
حد راست موجود (ƒ(t+) := lims↓t ƒ(s و برابر (ƒ(t باشد.
که این بدان معناست که ƒ از راست پیوستگی و از چپ حد دارد.
نمونه‌ها
تمام توابع پیوسته ، càdlàg هستند.
به عنوان یک نتیجه از تعریف توابع càdlàg ، تمام توابع توزیع تجمعی càdlàg هستند. برای نمونه احتمال تجمعی در نقطه‌ی r میزان احتمالی است که یک متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر از r باشد ، .
مشتق راست هر تابع محدب f که روی یک بازه‌ی باز تعریف شده باشد ،یک تابع cadlag افزایشی است.
فضای Skorokhod
مجموعه‌ی تمام توابع càdlàg از E تا M اغلب به صورت (D(E; M (و یا برای سادگی D) نمایش داده می‌شود و فضای Skorokhod نامیده می‌شود. می‌توان به فضای Skorokhod یک توپولوژی نسبت داد که مستقیما ما را قادر می‌سازد "فضا و زمان را قدری دگرگون سازیم" (درحالی که توپولوژی‌های سنتی مربوط به همگرایی یکنواخت تنها اجازه‌ی دگرگونی اندک فضا را می‌دهد)
برای سادگی E = 0, T و M = R n — برای بررسی بیشتر ساختار به Billingsley مراجعه کنید.
نخست لازم است که یک ماژول پیوستگی مشابه تعریف شود:
(′ƒ( .برای هر F ⊆ E، قرار دهید :
w_{f (F) := \sup_{s, t \in F | f(s) - f(t) |
و برای > 0 ماژول càdlàg را چنین تعریف کنید:
\varpi_{f (\delta) := \inf_{\Pi \max_{1 \leq i \leq k w_{f (t_{i - 1, t_{i)),
که در آن مقدار infimum روی تمام اجزای , k ∈ N , با min i (t i − t i−1 )>  محاسبه می‌شود. این شیوه‌ی تعریف برای توابع غیر càdlàg شهودا پذیرفتنی است و می‌توان نشان داد که ƒ در اینجا càdlàg است اگر و تنها اگر ′ ƒ () → 0 جایی که  → 0.
فرض کنید  مجموعه تمام توابع دوسویه پیوسته و strictly increasing از E به خودش باشد.(اینها "دگرگونی در زمان" هستند) فرض کنید:
\| f \| := \sup_{t \in E | f(t) |
نرم (ریاضی) یکنواخت روی تابع E را مشخص کند. متریک Skorokhod زوی  در D به صورت زیر تعریف شود:
\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \,
که در آن I: E → E تابع همانی است. در بیان "wiggle" ، مقدار برابر است با "wiggle در زمان" و ااندازه‌ی "wiggle در فضا" را مشخص می‌کند.
توپولوژی  تولید شده توسط  توپولوژی Skorokhod توپولوژی در Dاست.
خواص فضای Skorokhod
تعمیم توپولوژی یکنواخت
فضای C از توابع پیوسته E یک زیرفضا از D است. توپولوژی Skorokhod با C هم‌زمان با, توپولوژی وجود دارد.
کامل بودن
می‌توان نشان داد که، اگرچه D با معیار Skorokhod یک فضای کامل نیست ، یک معیار معادل توپولوژیکی  0 وجود دارد که D با توجه به آن کامل است.
جدایی‌پذیری
با در نظر گرفتن هر کدام از  یا  0 ، فضا ی D یک فضای تفکیک پذیر است بنابراین Skorokhod یک فضای polish است.
تنگی در فضای Skorokhod
به عنوان یک کاربرد از با قضیه Arzelà–Ascoli می‌تواند نشان داد که یک دنباله ,…n)n=1,2) از اندازه‌گیری‌های احتمالاتی روی فضای D سخت است اگر و تنها اگر : \lim_{a \to \infty \limsup_{n \to \infty \mu_{n\big( \{ f \in D \;|\; \| f \| \geq a \ \big) = 0,
و
\lim_{\delta \to 0 \limsup_{n \to \infty \mu_{n\big( \{ f \in D \;|\; \varpi_{f (\delta) \geq \varepsilon \ \big) = 0\text{ for all \varepsilon> 0.
ساختار جبری و توپولوژیکی
تحت توپولوژی Skorokhod و جمع نقطه‌ای توابع ، D یک گروه توپولوژیکال نیست ، به عنوان مثال:
فرض کنید بازیه‌ی واحد باشد و در نظر بگیرید که یک دنباله از توابع مشخصه باشد . برخلاف این واقعیت که در توپولوژی ، دنباله‌ی به 0 همگرا نمی‌شود.