جسم افلاطونی

در هندسه اقلیدسی، جسم افلاطونی ، یک چندوجهی منتظم و محدب با وجه‌هایی به‌صورت چندضلعی منتظم هم‌نهشت است که تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر راس با یکدیگر برخورد می‌کنند.
نام این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی گرفته شده‌است.
تاریخ
تصور یوهانس کپلر از منظومه شمسی، تشکیل‌شده از اجسام افلاطونی از رموز جهان (۱۵۹۶)
تقارن، کمال ساختاری، و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده،
و ویژگی‌های شگفت‌انگیز آنها مشغله معمول محققان از روزگار افلاطون تا به رنسانس بود.
تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطه اوج کتاب پایانی اصول اقلیدس است.
نخستین مطالعه سیستماتیک درباره اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند.
ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانه سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعب استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب بود. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود.
خود فیثاغورث (ح. ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ. م) احتمالا چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت.
به نوشته اقلیدس (ح. ۳۰۰ پ. م)، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون تئائتتوس (ح. ۴۱۷–۳۶۹ پ. م) بود.
از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ ) نظریات فیثاغوری‌ها را در در دیالوگ تیمائوس تکرار کرده بود، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید.
افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌دهد. به نوشته او:
او از دوازده‌وجهی منتظم پنجم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که درباره آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.»
افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه درباره تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد.
کیهان‌شناسی افلاطون در تیمائوس راهنمای مهم یوهانس کپلر (۱۵۷۱–۱۶۳۰) در وضع قوانین کپلر بود.
کپلر در مدلش از هستی، ایده استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسه جهان را احیا کرد.
او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار آسمان‌ها می‌دانست.
کپلر در سال ۱۵۹۶ در کتاب رموز جهان هر کدام از شش سیاره شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند.
هدف کپلر در واقع این بود که فاصله میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند.
او دریافت اگر کره‌ا و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند.
تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱) نظریات کپلر را درباره شکل منظومه شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانه او در پراگ برود. کپلر در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.
ابوالوفا بوزجانی هم با مطالعه در اجسام افلاطونی «به کمک دوایر عظیمه کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخته و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زده… در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از چند ضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند.» پژوهش‌های بوزجانی در هندسه ترسیمی که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است، کرده‌است. از جمله می‌توان به کاربرد اشکال ساده هندسی به صورت ترکیبی در گنبدها و سقف‌ها در معماری دوره اسلامی اشاره نمود.
به گفته گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی الاضلاع، مربع و پنج ضلعی منتظم بر بدنه کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چند ضلعی منتظم استوار است.»
اثبات
تعریف هندسی
یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر
همه وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از راس‌ها به هم برسند.
به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک راس v به هم می‌رسند «هرم راس» گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعده این هرم ممکن است مسطح نباشد.
اگر مجموع زوایای بین ضلع‌های که در یک راس (v) به هم می‌رسند کمتر از باشد، آن راس «محدب» دانسته می‌شود. برای اینکه یک چندوجهی محدب باشد، همه رئوس آن باید محدب باشند.
حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است.
اثبات هندسی
وجه‌های سه‌ضلعی
با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است.
همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت.
وجه‌های چهارضلعی
با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم (مربع) در هر راس، شش‌وجهی منتظم (مکعب) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم (مکعب) جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم (مربع) در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت.
وجه‌های پنج‌ضلعی
با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر راس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار پنج‌ضلعی منتظم در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک راس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت.
وجه‌های شش‌ضلعی و بیشتر
با به‌هم رسیدن سه شش‌ضلعی منتظم در هر راس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از چهاروجهی منتظم، شش‌وجهی منتظم (مکعب)، هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، و بیست‌وجهی منتظم.
اثبات توپولوژیک
ویژگی‌های ترکیبی
+ اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی
جسم افلاطونی
تعداد وجوه(F یا q)
تعداد اضلاع(E یا p)
تعداد رئوس(V)
چهاروجهی
۴
۶
۴
شش‌وجهی(مکعب)
۶
۱۲
۸
هشت‌وجهی
۸
۱۲
۶
دوازده وجهی
۱۲
۳۰
۲۰
بیست وجهی
۲۰
۳۰
۱۲
هر جسم افلاطونی با نماد شلفلی {p, q نشان داده می‌شود که p تعداد اضلاع (یا راس‌های) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر راس به یکدیگر می‌رسند.
همه اطلاعات ترکیبی این چندوجهی‌ها، شامل تعداد راس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو راس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطه زیر برقرار است:
مشخصه اویلر
رابطه دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از مشخصه اولر بدست می‌آید:
یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوه تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مثلا در مکعب . مشخصه اویلر، که برای همه چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی اجسام افلاطونی به کار رفت.
ماتریس موقعیت
ویژگی‌های هندسی
زاویه‌ها
زاویه دوسطحی، زاویه داخلی بین هر دو وجه چندوجهی است. اندازه زاویه دوسطحی، ، برای چندوجهی {p,q با استفاده فرمول زیر بدست می‌آید:
کاستی زاویه‌ای هر راس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر راس و ۲ است. کاستی زاویه‌ای، ، در هر راس جسم افلاطونی {p,q، با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید:
با استفاده از تئوری دکارت، این مقدار برابر است با ۴ تقسیم بر تعداد راس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همه راس‌ها ۴ است).
معادل ۳-بعدی زاویه سطحی، زاویه فضایی است. زاویه فضایی، ، در راس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویه دوسطحی، به‌صورت زیر بدست می‌آید:
زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. مقدار زوایای فضایی بر حسب استرادیان داده شده‌است. ثابت  = (۱+√۵)/۲، نسبت طلایی است.
Polyhedron
زاویه دوسطحی
زاویه راس
کاستی زاویه‌ای ( )
زاویه فضایی راس ( )
زاویه فضاییوجه
چهاروجهی
۷۰٫۵۳°
۶۰°
مکعب
۹۰°
۹۰°
هشت‌وجهی
۱۰۹٫۴۷°
۶۰°, ۹۰°
دوازده‌وجهی
۱۱۶٫۵۷°
۱۰۸°
بیست‌وجهی
۱۳۸٫۱۹°
۶۰°, ۱۰۸°
شعاع‌ها، مساحت و حجم
همه اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند:
کره محیطی که از همه راس‌ها عبور می‌کند،
کره میانی که بر همه اضلاع در نقطه وسط ضلع مماس است،
کره محاطی که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است.
شعاع این کره‌ها، شعاع محیطی، شعاع میانی و شعاع داخلی نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از راس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‌یطی R و شعاع داخلی r برای چندوجهی {p, q با طول ضلع a از رابطه زیر بدست می‌آید:
که ، زاویه دوسطحی است.
مساحت سطح، A، برای یک جسم افلاطونی {p, q به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها، F، در مساحت p-ضلعی منتظم بدست می‌آید: شعاع میانی  با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید:
حجم اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم هرمی با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r:
جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. در این جدول، طول ضلع a، ۲ در نظر گرفته شده‌است.
Polyhedron (a = 2)
شعاع داخلی (r)
شعاع میانی ()
شعاع محیطی (R)
مساحت سطح (A)
حجم (V)
چهاروجهی
مکعب
هشت‌وجهی
دوازده‌وجهی
بیست‌وجهی
ثوابت  و  در جدول بالا عبارتند از:
تقارن
چندوجهی مزدوج
با وصل کردن نقطه وسط وجه‌های یک چندوجهی (یا به عبارت دیگر جابجا کردن تعداد وجه‌ها و راس‌ها) مزدوج آن چندوجهی حاصل می‌شود. مزدوج هر جسم افلاطونی هم یک جسم افلاطونی است:
راست
با متصل کردن نقطه وسط وجوه یک چهاروجهی منتظم، یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی (۴) با هم برابر است).
راست
چپ
با متصل کردن نقطه وسط وجوه یک شش‌وجهی منتظم (مکعب)، یک هشت‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطه وسط وجوه یک هشت‌وجهی منتظم، یک شش‌وجهی منتظم (مکعب) به‌دست می‌آید (تعداد وجوه مکعب با رئوس هشت‌وجهی (۶) برابر و رئوس آن (۸) با وجوه هشت‌وجهی برابر است).
راست
چپ
با متصل کردن نقطه وسط وجوه یک دوازده‌وجهی منتظم، یک بیست‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطه وسط وجوه یک بیست‌وجهی منتظم، یک دوازده‌وجهی منتظم به‌دست می‌آید (تعداد وجوه دوازده‌وجهی با رئوس بیست‌وجهی (۱۲) برابر و رئوس آن (۲۰) با وجوه بیست‌وجهی برابر است).
کره‌های مرتبط
برای هر جسم افلاطونی، سه کره هم‌مرکز خاص وجود دارد. یکی کره‌ای که همه رئوس جسم را در سطح خود دارد (کره محیط)، دومی کره‌ای که همه نقاط مرکزی وجوه جسم را در سطح خود دارد (کره محاط) و سومی کره‌ای که همه نقطه‌های وسط اضلاع جسم را در سطح خود دارد.
گروه‌های تقارن
کاربرد
از جسم‌های افلاطونی به شکل گسترده به عنوان تاس استفاده می‌شود.
از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود.
کعبه
چندوجهی‌ها مرتبط
در بعدهای بالاتر
تصویر یک تصویرسازی سه‌بعدی از ۶۰۰-خانه، شیئی چهاربعدی که شرایط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی انداخت.
در سال ۱۸۵۲، لودویگ شلفلی ریاضی‌دان ثابت کرد که در فضای چهاربعدی شش «چندوجهی» هست که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.
در فضای پنج‌بعدی و فضاها در ابعاد بالاتر همیشه تنها سه «چندوجهی» وجود دارد که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.
این چندبرها، که تعمیمی از اجسام افلاطونی هستند، عبارتند از ابرمکعب (مکعب n-بعدی)، سیمپلکس (چهاروجهی n-بعدی)، و ارتوپلکس (هشت‌وجهی n-بعدی).
علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به ۲۴-خانه، ۱۲۰-خانه، و ۶۰۰-خانه هست.
چندوجهی منتظم
یادداشت