مسائل هیلبرت

مسائل هیلبرت شامل بیست‌وچهار سوال ریاضی است که در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضی‌دان آلمانی دیوید هیلبرت منتشر شد. مسائل همگی در آن زمان حل نشده بودند و بعضی از آن‌ها تاثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند. هیلبرت ۱۰ تا از این سوالات (۱ ،۲ ،۶ ،۷ ،۸ ،۱۳ ،۱۶ ،۱۹ ،۲۱ و ۲۲) را در کنگره جهانی ریاضیدانان، در هشتم آگوست در سوربن پاریس ارائه کرد. لیست کاملی از ۲۳ سوال بعدها در مجله انجمن ریاضی آمریکا عمدتا با ترجمه انگلیسی ماری فرانسیس وینستون نیوسون آمد.
طبیعت و اثر مسائل
مسائل هیلبرت از لحاظ محتوا و دقت متفاوت هستند. بعضی از آن‌ها مانند سوال سوم (احتمالا راحت‌ترین سوال برای درک توسط غیرمتخصص‌ها و اولین سوال حل شده از بین مسائل) یا سوال مشهور هشتم (فرضیه ریمان)، به اندازه‌ای دقیق تعریف شده‌اند که جوابی روشن برای رد یا قبولشان وجود دارد. مسائل دیگری (مانند مسئله ۵) وجود دارند که متخصصان به تفسیری واحد از مسئله رسیده‌اند و پاسخی نیز برای آن تفسیر ارائه شده ولی به نظر می‌رسد هنوز بخشی از مسئله که شاید مورد نظر هیلبرت نیز بوده بدون حل باقی‌مانده است. گاهی بیان هیلبرت به اندازه‌ای دقیق نیست که مسئله مشخصی را مشخص کند ولی باعث تعریف مسائل مشخصی در حیطه مورد نظر شده است. برای مثال بسیاری از دانشمندان حوزه نظریه اعداد احتمالا سوال ۹ام را اشاره‌ای به تناظر Langland به نمایندگی از گروه گالوایی مطلق یک میدان عددی می‌دانند. مسائل دیگری (مانند مسئله ۱۱ام و ۱۶ام) مورد توجه رشته‌های فرعی در حال پیشرفت ریاضی مانند نظریه فرم‌های درجه‌دوم و خم‌های جبری حقیقی قرار گرفته‌اند.
مسائل ۶ام و ۴ام نه تنها هنوز حل نشده‌اند بلکه با توجه به استانداردهای جدید قابل حل نیستند. مسئله ششم، ساختاری اصول‌مند برای فیزیک می‌خواست، که با توجه به پیشرفت‌های قرن بیستم فیزیک (از جمله اینکه به عنوان شاخه‌ای مستقل از ریاضی شناخته شد) به نظر می‌رسد دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. همچنین سوال چهارم که ساختار هندسه را در نظر داشت به نظر می‌رسد که دیگر جواب قطعی ندارد.
بیست‌ویک مسئله دیگر همگی مورد توجه زیاد ریاضی‌دانان قرار گرفتند و کار روی آنها اهمیت زیادی داشت به گونه‌ای که پائول کوهن برای کارش روی مسئله اول در سال ۱۹۶۶ و ماتیاسویچ برای ارائه پاسخ منفی سوال دهم (ادامه کار دیویس، پوتنام، رابینسون) در سال ۱۹۷۰ مدال فیلد گرفتند، و اثبات تقیض راه حل مسئله دهم در دهه ۱۹۷۰ توسط ماتیاسویچ نیز فیلد را به خود اختصاص داد. جنبه‌های این مسائل همچنان یکی از مورد علاقه‌ترین زمینه‌های تحقیق امروزی است.
ابهام
بعضی از مسائل هیلبرت به گونه‌ای عجیب یا حتی اذیت کننده برای هیلبرت حل شده‌اند. هیلبرت پیرو فرگه و راسل به دنبال تعریف منطقی با استفاده از سیستم فرمال، یعنی اثبات‌هایی متناهی از اصول موضوعه پذیرفته‌شده، برای ریاضیات بود. یکی از مسائل هیلبرت (مسئله دوم) در واقع خواستار اثباتی متناهی برای استحکام اصول موضوعه منطق است. به هر حال تئوری عدم کمال دوم گودل با دقت نشان می‌دهد که می‌توان ثابت کرد که چنین اثبات متناهی برای استحکام منطق غیرقابل ارائه است. هیلبرت ۱۲ سال بعد از گودل زندگی کرد ولی به نظر نمی‌رسد جواب رسمی به کارهای گودل نوشته باشد. بدون شک کارهای گودل بر روی کل ریاضیات (و نه تنها منطق) بسیار حائز اهمیت است هر چند که باعث حل شدن عجیب و شاید ناراحت‌کننده یکی از سوالات هیلبرت شد.
مسئله دهم هیلبرت نمی‌پرسد که آیا الگوریتمی برای حل معادله دیوفانتی وجود دارد یا نه. بلکه ساختار چنین الگوریتمی را مورد نظر دارد. «ارائه پروسه‌ای که با انجام متنهای عمل بتوان معین کرد که آیا یک معادله در اعداد گویا قابل حل است یا خیر.» حل این مسئله که نشان می‌داد چنین الگوریتمی وجود ندارد برای وی بسیار عجیب بود.
با توجه به نظر وی که هر مسئله ریاضی حتما راه‌حلی دارد او این اجازه را داد که راه‌حل مسئله اثبات این باشد که حل مسئله اصلی امکان‌پذیر نیست. مشهور است که او بیان کرده مهم این است که آیا راه‌حلی وجود دارد یا نه؛ و او عقیده داشت که ما همواره می‌توانیم این نکته را بفهمیم. یعنی در ریاضیات گزاره دارای ابهام (گزاره‌ای که هرگز ارزش درستی آن معلوم نشود) وجود ندارد. واضح نیست که آیا او پاسخ سوال دهم را دارای ابهام تلقی کرده است یا نه: آنچه که ما اثبات نمی‌کنیم که مسئله پاسخ طبیعی ندارد بلکه تنها می‌توانیم بفهمیم که آیا مسئله در حالت کلی دارای جواب است یا خیر.
از سوی دیگر وضعیت مسئله اول و دوم پیچیده‌تر است. هیچ اتفاق نظر واضح ریاضی وجود ندارد که آیا نتایج گودل (در مورد سوال دوم) یا گودل و کوهن (در مورد سوال اول) جواب منفی قطعی به مسئله می‌دهند یا نه. از آنجایی که این راه‌حل‌ها به شکل خاصی از سوال جواب می‌دهند و ممکن این شکل‌بندی تنها شکل بندی موجود برای این دو مسئله نباشد.
مسئله بیست‌وچهارم
هیلبرت در واقع ۲۴ مسئله در لیستش آورده بود ولی از انتشار سوال بیست‌وچهارم جلوگیری کرده بود. مسئله بیست‌وچهارم (ملاکی برای سادگی در نظریه اثبات) توسط رودیگر تیله تاریخ‌دان آلمانی از دست‌نوشته‌های هیلبرت به دست آمد.
دنباله
از سال ۱۹۰۰ ریاضیدانان و مراکز ریاضی لیست‌هایی از مسائل را منتشر می‌کردند ولی این لیست‌ها به اندازه مسائل هیلبرت تاثیر نداشت و برای ریاضی‌دانان کار ایجاد نمی‌کرد!
یکی از موارد استثنای این لیست‌ها سه حدسی بودند که توسط آندره ویل در اواخر دهه چهل میلادی ارائه شد (حدس‌های ویل). حدس‌های ویل در زمینه هندسه جبری و نظریه اعداد و ارتباط بین این دو بسیار مهم بودند. حدس اول توسط برنارد دیورک اثبات شد و اثباتی کاملا متفاوت برای حدس اول و دوم توسط الکساندر گروتندیک با استفاده از همریختی مرتبه اول ارائه شد. آخرین و عمیق‌ترین حدس ویل توسط پییر دلین! اثبات شد. هر دوی گروتندیک و دلین! مدال فیلدز گرفتند؛ ولی حدس‌های ویل در زمینه خود به اندازه یک سوال هیلبرت اهمیت دارند و ویل هرگز آن‌ها را برنامه‌ای برای ریاضیات نخواند. این کمی طعنه‌آمیز است زیرا به اقرار بسیاری ویل ریاضی‌دان دهه‌های چهل و پنجاه میلادی بود که در شاخه‌های مختلف ریاضی نظری وارد شد و در گسترش آن‌ها اهمیت داشت و به بهترین نحو نقش هیلبرت را در آن برهه از زمان بازی کرد. پال اردوش به خاطر طرح صدها بلکه هزاران سوال ریاضی مشهور است. بعضی از سوالات وی عمیق هستند. اردوش برای مسائلش بسته به سختی پیش‌بینی شده‌اش جایزه‌ای در نظر می‌گرفت. پایان هزاره دوم که مصادف با صدمین سالگرد انتشار مسائل هیلبرت بود زمان طبیعی مناسبی برای ارائه مجموعه جدید مسائل هیلبرت به شمار می‌رفت. چند تن از ریاضی‌دانان از جمله استیو اسمیل، برنده مدال فیلدز درخواست ولادیمیر آرنولد را پذیرفت و لیستی شامل ۱۸ مسئله را پیشنهاد داد. جامعه ریاضی اقبال چندانی به مسائل اسمیل نشان نداد و هنوز روشن نیست این مسائل چقدر مورد توجه ریاضی‌دانان قرار گیرند. حداقل در جریان اصلی جامعه متناظر مسائل هیلبرت برای قرن بیست‌ویکم لیستی از هفت مسئله جایزه هزاره است که توسط موسسه ریاضی کلی در سال ۲۰۰۰ انتخاب شدند. بر خلاف مسائل هیلبرت که جایزه اصلی آن‌ها تحسین هیلبرت و جامعه ریاضی بود، هر سوال به اندازه یک میلیون دلار جایزه دارد. مانند سوالات هیلبرت یکی از مسائل جایزه هزاره (حدس پوانکاره) نیز تقریبا با فاصله اندکی از زمان انتشار حل شد.
حدس ریمان که هم در هر سه لیست هیلبرت، اسمیل و جایزه هزاره -حتی شبیه هندسه‌ای آن در حدس‌های ویل- آمده است. از چنان اهمیتی برخوردار است که هنوز هم ریاضی‌دانان با آن درگیر هستند و بسیاری از متخصصین عقیده دارند که این مسئله تا قرن‌ها در لیست مسائل خواهد آمد. هیلبرت خود اعلام کرده: "اگر از یک خواب هزاران ساله بیدار شوم اولین سوالم این خواهد بود که آیا حدس ریمان اثبات شده است؟" در سال ۲۰۰۸ دارپا لیست ۲۳تایی خود از مسائل ریاضی را اعلام کرد و امید داشت که این لیست به پیشرفت‌های بزرگی در ریاضیات منجر شود. "در نتیجه توانایی‌های علمی و فنی دپارتمان دفاعی را تقویت می‌کند."
خلاصه
برای مسائل ۳، ۷، ۱۰، ۱۱، ۱۳، ۱۴، ۱۷، ۱۹، ۲۰و ۲۱ که به صورت واضحی فرموله شده‌اند، راه‌حل‌هایی پیدا شده‌اند که توسط اجتماع ریاضی قبول شده‌اند؛ ولی برای مسائل ۱، ۲، ۵، ۹، ۱۵، ۱۸ + و ۲۲ راه‌حل‌هایی وجود دارد که مورد پذیرش بخشی قرار گرفته‌اند البته بحث‌هایی وجود دارد که آیا آن راه‌حل‌ها مسائل را حل کرده‌اند یا نه.
علامت + در بالای ۱۸ برای این است که راه حل حدس کپلر یک اثبات به کمک کامپیوتر است. اشاره‌ای نامربوط و تا حدی بحث‌برانگیز به مسئله هیلبرت، به خاطر این که خواننده انسانی نمی‌تواند در زمانی منطقی اثباتی برای آن بیابد.
سوالات ۱۶، ۸ (حدس ریمان) و ۱۲ حل نشده‌اند. در این طبقه‌بندی سوالات ۴، ۱۶ و ۲۳ به اندازه‌ای مبهم هستند که حل شده محسوب می‌شوند. مسئله ۲۴ که بعدا ارائه شد نیز در این دسته قرار می‌گیرد. سوال ۶ نیز بیشتر سوالی فیزیکی محسوب می‌شود تا ریاضی.
مسائل هیلبرت
۲۳ مسئله هیلبرت به شرح زیر است:
مسئله
توضیح مختصر
وضعیت
سال حل
اول
مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار
ثابت شود.
۱۹۶۳
دوم
سازگاری اصول موضوعه حساب
۱۹۳۶؟
سوم
تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر
۱۹۰۰
چهارم
مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه
پنجم
مفهوم لی (Lie) از گروه‌های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده گروه‌ها
۱۹۵۳؟
ششم
ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک
هفتم
گنگ و متعالی بودن اعدادی معین
۱۹۳۵
هشتم
مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و حدس ریمان
نهم
اثبات کلی‌ترین اصل تقابل در هر میدان
دهم
آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد.
۱۹۷۰
یازدهم
ارائه یک نظریه برای فرم‌های درجه دوم با ضرایب عددی جبری
داوزدهم
تعمیم قضیه کرونکر برای میدان‌های آبلی به هر ساختار جبری گویا
سیزدهم
ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر
۱۹۵۷
چهاردهم
اثبات متناهی بودن دستگاه‌های کامل و مشخص از توابع
۱۹۵۹
پانزدهم
ارائه مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)
شانزدهم
مسئله توپولوژی منحنی‌ها و رویه‌های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل‌های حدی دستگاه‌های چندجمله‌ای در صفحه
هفدهم
نمایش فرم‌های مشخص توسط مربع جملات
۱۹۲۷
هجدهم
ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروه‌های چند وجهی
نوزدهم
آیا جواب‌های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوما تحلیلی‌اند؟
۱۹۵۷
بیستم
ارائه یک نظریه کلی برای مسائل شرط مرزی
بیست و یکم
اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده
بیست‌ودوم
یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک
بیست‌وسوم
توسعه بیشتر روش‌های حساب تغییرات.