مسئله پایان خوش

مسئله پایان خوش: هر مجموعه‌ای شامل پنج نقطه با موقعیت عمومی، دارای رئوس یک چهارضلعی محدب هستند..
مسئله پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزاره ذیل است:
قضیه. هر مجموعه پنج تایی از نقاط در صفحه که دارای موقعیت عمومی هستند، یک زیرمجموعه متشکل از چهار نقطه دارد که این نقاط راس‌های یک چهار ضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.
این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریه رمزی شد.
قضیه پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، راس‌های یک بدنه محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعه نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطه درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.
تخمین اردوش-سیکریس رابطه کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعه نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به طور دقیق بیان می‌کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده است.
چندضلعی‌های درجه بالاتر
یک مجموعه از ۸ نقطه با موقعیت عمومی و بدون پنج‌ضلعی محدب.
دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را بصورت زیر تعمیم داده‌اند:
قضیه. برای هر عدد صحیح مثبت N، هر مجموعه بزرگ ناتهی و کافی از نقاط در صفحه که هیچ سه تایی از آن‌ها روی یک خط نباشند و هیچ دوتایی از آن‌ها روی هم نباشند (موقعیت عمومی)، شامل یک زیرمجموعه از N نقطه است که رئوس چندضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.
اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیه زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.
فرض کنید (f(N کمترین مقدار M را نشان دهد که برای هر مجموعه از M نقطه در موقعیت عمومی یک Nضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:
f(۳) = ۳، بدیهی.
f(۴) = ۵.
f(۵) = ۹. مجموعه‌ای از هشت نقطه که پنج ضلعی محدب ندارند در شکل نشان داده شده است، که نشان می‌دهد f(5)> ۸ است. قسمت دشوارتر اثبات این است که نشان دهیم هر مجموعه از ۹ نقطه در وضعیت معمولی دارای رئوس یک پنج‌ضلعی محدب است.
f(۶) = ۱۷.
مقدار f برای اعداد بیشتر از ۶ نامعلوم است، اما با توجه به نتیجه مقاله اردوش-سیکریس (۱۹۳۵) می‌دانیم مقدار متناهی دارد.
بر مبنای مقادیر مشخص (f(N، یعنی برای N = ۳, ۴, ۵، اردوش و سیکریس در مقاله اصلی خود رابطه زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N ≥ ۳
بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:
اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N ≥ ۷ است، بصورت زیر است:
چندضلعی‌های خالی
ممکن است سوال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعه کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئله پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همان‌طور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.
برای مدت طولانی این سوال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعه کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. بصورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f(۹ نیست. (f در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازه (f(۲۵ است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f(۹، یعنی به اندازه (f(۱۵ که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد.
مسائل مرتبط
مسئله پیدا کردن مجموعه‌عای شامل n نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیم خط مستقیم یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم n باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست.
به طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازه کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از k نقطه خواهند داشت که راس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر k بزرگ‌تر از بعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن k-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازه کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیداکردن K نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به طور مشخص، در d بعد، هر d + ۳ نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d + ۲ نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر d و k> d، عدد (m(d, k وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از (m(d, k نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از k نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی را تشکیل می‌دهد.
نکات