هندسه اقلیدسی

300px
هندسه اقلیدسی به مجموعه گزاره‌های هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایای هندسی عمدتا توسط یونانیان باستان کشف و توسط اقلیدس اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتاب «اصول» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تاثیرگذارترین کتاب‌ها چه به لحاظ محتوا و چه از نظر روش اصل موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.
پیشینه
در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینه هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شد. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان را گرد آورد که به مدت دو هزار سال بصورت مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشه محض سر و کار دارد و از راه آزمون و خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.
برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به‌طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
اصول موضوعه
تمام هندسه اقلیدسی (تمام قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیه فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصل موضوعه زیر استخراج شوند:
از هر دو نقطه متمایز یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.
هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت روی خط راست امتداد داد.
با یک نقطه به عنوان مرکز و یک پاره‌خط به عنوان شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
همه زوایای قائمه با هم برابر اند. (این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد)
اگر یک خط دو خط دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمع زوایای داخلی تولید شده توسط خط مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).
برای بیان این اصول موضوعه به مفاهیمی مانند نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدون اثبات بپذیریم تا بقیه گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدون تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصول هندسه اقلیدسی به جز اصل پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمان اقلیدس ریاضیدانان بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدان ایرانی) تلاش کرده‌اند اصل آزاردهنده پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلاف اصل پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌های دارای اصل پنجم متفاوت دیده نشد به آن‌ها نام هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسئله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تایید می‌کند. نظریه نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.
پس از اقلیدس
۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسه او یگانه هندسه موجود بود.
چهار ضلعی ساکری
اصل توازی پلی‌فیر
فهرست بنداشت‌ها
هندسه‌های نااقلیدسی
هندسه هذلولوی
هندسه ریمانی
هندسه بیضوی
اصل موضوع
فهرست بنداشت‌ها