هم‌ریختی

در جبر مجرد، هم‌ریختی یا همومورفیسم، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم.
کلمه همومرفیسم در زبان قدیم یونان از کلمه ὁ (homos) به معنی «یکسان» و  (morphe) به معنی «ریخت» یا «شکل» گرفته شده است.
یکریختی (isomorphism)، اتومورفیسم (automorphism) و اندومورفیسم (endomorphism) انواع خاصی از هم ریختی (homomorphism) می‌باشند.
تعریف
تعریف ۱
در گروه‌ها
فرض کنید و گروه باشند، نگاشت : G → G را یک هم‌ریختی از G به توی G گوییم، هرگاه:
عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شده می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در ) در G است ولی حاصل‌ضرب در G می‌باشد. از تعریف فوق چنین استنباط می‌شود که هر هم‌ریختی ساختار G را به ساختار G مربوط می‌کند.
در حلقه‌ها
از آنجایی که حلقه‌ها شامل دو عمل هستند، هم‌ریختی‌ها نیز باید برای هر دو عمل تعریف شوند. مثلا اگر حلقه‌هایمان را با دو عمل جمع و ضرب در نظر بگیریم در آن صورت نگاشت : R → R از حلقه R به توی حلقه R یک هم‌ریختی است اگر به ازای هر a,b R داشته باشیم و .
تعریف ۲
اگر و دو سیستم جبری باشند که از یک نوع بوده و «o» و «*» عملگرهای باینری باشند. نگاشت g: X →Y یک همومورفیسم (و یا به اختصار یک مورفیسم) از به نامیده می‌شود اگر
x ۱ , x ۲ ∈X: g (x ۱ o x ۲ ) = g (x ۱ ) * g (x ۲ )∀
اگر چنین نگاشت g وجود داشته باشد، به طور عادی گفته می‌شود تصویر همومورفیک است. مفهوم همومورفیسم محدود به سیستم‌های جبری با یک عملگر دودویی نیست. این تعریف می‌تواند به هر دو سیستم جبری از یک نوع گسترش یابد. هنگامی که در یک همومورفیسم عملگرها حفظ شوند، ویژگی‌های این عملگرها نیز حفظ می‌گردند.
تعریف ۳
اگر g یک همومورفیسم از به بوده و g: X →Y پوشا نیز باشد، آنگاه g یک اپی مورفیسم (epimorphism) نامیده می‌شود. اگر g: X →Y یک به یک باشد، آنگاه g یک مونومورفیسم (monomorphism) نامیده می‌شود. در صورتی که نگاشت g: X →Y یک به یک و پوشا باشد، g یک یکریختی نامیده می‌شود.
تعریف ۴
برای دو سیستم جبری هم نوع و اگر یک نگاشت ایزومورفیک g: X →Y وجود داشته باشد، آنگاه دو سیستم جبری و را ایزومورفیک گویند.
هنگامی که و ایزومورفیک باشند، آنگاه دو سیستم جبری از نظر ساختاری یکسان خواهند بود؛ در اصل آنها فقط در برچسب‌های استفاده شده برای عناصر مجموعه‌ها و عملگرهای مورد نظر، متفاوت هستند. به آسانی می‌توان دید که معکوس یک ایزومورفیسم هم ایزومورفیسم است. همچنین همه ویژگی‌های عملگرها در یک ایزومورفیسم حفظ می‌شوند.
تعریف ۵
اگر و دو سیستم جبری باشند که در آن Y ⊆ X، آنکاه هر همومورفیسم g از به را یک اندومورفیسم نامند. اگر Y = X، آنگاه یک ایزومورفیسم از به یک اتومورفیسم نامیده می‌شود.
روابط بین انواع مختلفی از همومورفیسم:
Hom = مجموعه از همومورفیسم‌ها
Mon =مجموعه از مونومورفیسم‌ها
Epi = مجموعه از اپی مورفیسم‌ها
Iso = مجموعه از ایزومورفیسم‌ها
End = مجموعه‌ای از اندومورفیسم‌ها
Aut = مجموعه از اتومورفیسم‌ها
تعاریف دیگر
- سیستم جبری یک نیم گروه است، هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد.
- سیستم جبری یک گروه است، هرگاه G تحت * بسته، شرکت پذیر، دارای عضو خنثی و همچنین هر عضو G دارای وارون باشد.
- سیستم جبری یک مونوئید (Monoid) نامیده می‌شود، هرگاه یک نیم گروه بوده و علاوه بر آن دارای عضو همانی نیز باشد.
- سیستم جبری را حلقه می‌نامیم، هرگاه گروهی جایجایی و یک نیم گروه باشد و همچنین به ازای a , b , c عضو R دو خاصیت (a o (b * c)=(a o b) * (a o c و (b * c) o a= (b o a) * (c o a) برقرار باشد.
- همومورفیسم حلقه‌ای، نوعی همومورفیسم می‌باشد که ساختار حلقه‌ای را حفظ می‌کند.
- گروه آبلی، گروهی هست که در خاصیت جابجایی برقرار باشد.
- همومورفیسم جبری، نوعی همومورفیسم می‌باشد که ساختار جبری را حفظ می‌کند.
- همومورفیسم ماژول، نوعی همومورفیسم می‌باشد که ساختار ماژولی خود را حفظ می‌کند.
اجباری وجود ندارد که همه ویژگی‌های گفته شده در بالا را یک ساختار همومورفیسمی وجود داشته باشد. به عنوان مثال امکان دارد سیستم جبری وجود داشته باشد که نیم گروه باشد ولی مونوئید نباشد.
ساختار جبری امکان دارد که بیش از چند عمل داشته باشد، و در نتیجه همومورفیسم باید روی هرکدام از عمل‌ها برقرار باشد. برای مثال حلقه هردو عمل جمع و ضرب را دارد و هم چنین دارای هم ریختی از حلقه (R, +, ∗, ۰, ۱) به حلقه (R′, +′, ∗′, ۰′, ۱′) به طوری که برای هر r و s عضو دامنه حلقه داشته باشیم: f (r + s) = f (r) +′ f (s) , f (r ∗ s) = f (r) ∗′ f (s) و f (۱) = ۱′.
بنابه تعریف جبر جهانی، همومورفیسم f: X →Y تابعی بین دو ساختار جبری از یک نوع می‌باشد به طوری که برای هر عمل n، -تایی و به ازای تمامی مقادیر a ۱ , … , a n ∈ A داشته باشیم :
f( A (a ۱ , … , a n )) =  B (f(a ۱ ), … , f(a n ))
مثال‌ها
فرض کنید G گروه تمام اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب و G گروه اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب باشد و : G → G را با (a) = a تعریف کنیم. در این صورت  یک هم‌ریختی از G به توی G است.
اعداد حقیقی یک حلقه هست که دارای عمل‌های ضرب و جمع می‌باشد. مجموعه همه ماتریس‌های دو بعدی نیز همچنین حلقه می‌باشد. حال اگر تابعی بین دو حلقه به صورت زیر تعریف کنیم:
= f (r)
f تابعی همومورفیسم از حلقه‌ها می‌باشد، در نتیجه برای جمع و ضرب داریم:
\begin{alignat{2 f(r + s ) = \ \end{alignat \begin{pmatrix r + s - 0 \\ 0 - r + s \end{pmatrix = \begin{pmatrix r - 0 \\ 0 - r \end{pmatrix
+ \begin{pmatrix s - 0 \\ 0 - s \end{pmatrix = \begin{align f(r) + f(s) \end{align
تابع هم ریخت مونوئید(monoid) f از مونوئید ( N , +, ۰) به ( N , ×, ۱) که تابع f به صورت f (x) = ۲ x تعریف شده است. f یک به یک می‌باشد ولی پوشا نمی‌باشد.
\begin{alignat{2 f(rs) \end{alignat = \begin{pmatrix rs - 0 \\ 0 - rs \end{pmatrix = \begin{pmatrix r - 0 \\ 0 - r \end{pmatrix\begin{pmatrix s - 0 \\ 0 - s \end{pmatrix
\begin{alignat{2 f(r)f(s)\end{alignat
به عنوان مثالی دیگر اگر تابع f را تابعی از اعداد مختلط غیر صفر به اعداد حقیقی غیر صفر تعریف کنیم به طوری که:
f(z) برابر مقدار قدرمطلق عدد مختلط غیر صفر z می‌باشد. در نتیجه این تابع همومورفیسمی از گروه‌ها می‌باشد چون خاصیت ضرب را حفظ می‌کند:
f (z ۱ z ۲ ) = |z ۱ z ۲ | = |z ۱ | |z ۲ | = f (z ۱ ) f (z ۲ )
ولی f را نمی‌توانیم به عنوان همومورفیسمی از حلقه‌ها دانست؛ چون تابع f خاصیت جمع را حفظ نمی‌کند:
بحث
از آنجایی که جبر مجرد مجموعه‌ها را با بهره‌مندی از عملگرها (operation) مطالعه می‌کند، در نتیجه ساختارها و ویژگی‌های جالبی روی مجموعه‌ها به وجود می‌آید. توابعی که عملگرها را حفظ می‌کنند، بسیار مهم می‌باشند. به این توابع، توابع همومورفیسم (یا هم ریختی) گفته می‌شود.
برای مثال، اعداد طبیعی را با عمل جمع در نظر بگیرید. تابعی که خاصیت جمع را حفظ می‌کند، باید دارای خاصیت زیر باشد:
f (a + b) = f (a) + f (b)
برای مثال تابع f (x) = 3x تابعی همومورفیسم می‌باشد، زیرا f (a + b) = ۳ (a + b) = ۳a + 3b = f (a) + f (b).
همومورفیسم‌ها (هم ریختی) نباید مجموعه‌هایی که دارای عمل‌های یکسانی هستند را به هم نگاشت کنند. برای مثال توابعی که عمل خاصی را حفظ می‌کنند بین مجموعه اعداد حقیقی با عمل جمع و مجموعه اعداد حقیقی مثبت با عمل ضرب وجود دارند. تابعی که بتوان با این ویژگی برای این دو مجموعه نوشت باید ویژگی f (a + b) = f (a) * f (b) را داشته باشد، چون عمل جمع مربوط به مجموعه اول و عمل ضرب مربوط به مجموعه دوم می‌باشد. برای مثال تابع f (x) = e x در این شرط برقرار می‌باشد :
e ۲ * e ۳ = e ۵ و ۵ = ۲ + ۳
اگر برای مجموعه‌ای چندین عمل در نظرگرفته شود، برای هر کدام از عمل‌ها باید تابعی در نظر گرفته شود که در شرط فوق صدق کند. حتی در صورتی که مجموعه‌ها یکی باشند، امکان دارد تابعی همومورفیسم گروه باشد (یک عمل دودویی، عمل معکوس، عمل همانی و …) ولی همومورفیسم حلقه نباشد (دو عمل دودویی و …) چون ممکن است نتواند ساختار مونوئید که لازمه تعریف حلقه می‌باشد را حفظ کند.
هسته
هر تابع همومورفیسم f: X →Y رابطه هم‌ارزی ~ را روی X به صورت a ~ b اگر و تنها اگر f (a) = f (b) تعریف می‌کند. رابطه ~ هسته تابع f نامیده می‌شود. رابطه تناسب نیز روی X وجود دارد. ساختار شئی می‌تواند به مجموعه خارج قسمت X / ~ داده شود، به عبارتی دیگر x ∗ y = x ∗ y. در موردی که تصویر X در Y تحت هم ریختی می‌باشد، f لزوما یک ریخت است به X / ~; این حقیقت یکی از تئوری‌های یک ریختی می‌باشد.
ساختارهای رابطه‌ای
در نظریه مدلها، مفهوم ساختار جبری با ساختارهایی که شامل هر دوی عمل‌ها و رابطه‌ها می‌باشند، سازمان دهی شده است. فرض کنیم L زبان ی باشد که شامل علائم توابع و رابطه‌ها باشد و A و B دو نمونه از ساختار L باشند. سپس همریختی از A به B نگاشت h از A به B از دامنه A به دامنه B می‌باشد، به طوری که:
h (F A (a 1 , … , a n )) = F B (h (a ۱ ) , … , h (a n )) به ازای هر تابع n-تایی با نماد F در L.
R A (a 1 , … , a n ) -> R B (h (a ۱ ) , … , h (a n )) به ازای هر رابطه n-تایی با نماد R در L.