بتا اسکلت

بتا اسکلت 1.1 مبتنی بر دایره (یال‌های ضخیم و پررنگ) و بتا اسکلت 0.9 ( یال‌های خط‌چین و نازک) برای 100 نقطه تصادفی در یک مربع.
در هندسه محاسباتی و نظریه گراف هندسی، بتا اسکلت یک گراف بدون جهت است که بر روی مجموعه‌ای از نقاط هندسه اقلیدسی تعریف می‌شود. دو نقطه p و q در صورتی توسط یک یال به یکدیگر متصل می‌شوند که همه زاویه‌های prq از آستانه تعیین شده توسط پارامتر عددی  کمتر باشد.
تعریف مبتنی بر دایره
ناحیه‌های خالی R pq که اسکلت بتا مبتنی بر دایره را تعریف می‌کنند. سمت چپ:  1
اگر  یک عدد حقیقی مثبت باشد، زاویه  با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آید:
برای هر دو نقطه p و q در صفحه، R pq را مجموعه‌ای از نقاط در نظر بگیرید به‌طوری‌که زاویه prq از  بزرگتر باشد. در این صورت به ازای  ≥ 1 و  ≤ /2 مجموعه R pq به صورت اجتماع دو دایره با اندازه قطر d(p,q) در خواهد آمد و به ازای  ≤ 1 و  ≥ /2 مجموعه R pq به صورت اشتراک دو دایره به قطر d(p,q)/ خواهد شد. در صورتی که  = 1 باشد هر دو فرمول بالا جواب  = /2 را خواهند داد و مجموعه R pq به صورت یک دایره به قطر pq خواهد شد.
اگر S یک مجموعه مجزا از نقاط در صفحه هندسه اقلیدسی باشد، بتا اسکلت آن یک گراف بدون جهت است که در آن دو نقطه p و q در صورتی با یال pq به یکدیگر متصل می‌شوند که R pq حاوی هیچ یک از نقاط مجموعه S نباشد. در حقیقت بتا اسکلت یک گراف ناحیه خالی می‌باشد که با ناحیه‌های R pq تعریف شده‌اند. هنگامی که مجموعه S شامل نقطه r باشد به‌طوری‌که زاویه prq بزرگتر از  باشد، pq یال بتا اسکلت نخواهد بود؛ بتا اسکلت شامل آن جفت pq‌هایی می‌باشد که همچین نقطه r ای برای آن‌ها وجود نداشته باشد.
تعریف مبتنی بر هلال
بعضی از نویسنده‌ها تعریف دیگری را بیان می‌کنند که در آن ناحیه‌های خالی R pq به ازای  > 1 اجتماع دو دایره نیستند بلکه عدسی می‌باشند (در این متن به آن‌ها هلال می‌گوییم )، یعنی اشتراک دو دایره متناجس به قطر d(p,q) هستند به‌طوری‌که پاره خط pq بر روی شعاع هر دو دایره قرار می‌گیرد و همچنین دو نقطه p و q روی مرز تقاطع دایره‌ها قرار خواهند گرفت. همانند تعریف مبتنی بر دایره، بتا اسکلت مبتنی بر هلال نیز، در صورتی دارای یال pq می‌باشد که ناحیه R pq از نقاط دیگر خالی باشد. با توجه به این تعریف، گراف همسایه مرتبط یک حالت خاص از بتا اسکلت با  = 2 می‌باشد. هر دو تعریف مبتنی بر دایره و مبتنی بر هلال به ازای  ≤ 1 یکسانند اما برای مقادیر بزرگ‌تر ، تعریف بتا اسکلت مبتنی بر دایره زیر گرافی از بتا اسکلت مبتنی بر هلال می‌باشد.
یک تفاوت مهم میان بتا اسکلت مبتنی بر دایره و هلال در این است که به ازای هر مجموعه نقاطی که روی یک خط قرار نداشته باشند، همیشه یک مقدار به اندازه کافی بزرگ برای  وجود دارد که بتا اسکلت مبتنی بر دایره آن یک گراف تهی باشد. در مقابل اگر یک جفت نقاط p و q دارای این ویژگی باشند که برای همه نقاط r دیگر، یکی از دو زاویه pqr و qpr منفرجه شود، در آن صورت بدون توجه به این‌که  چقدر بزرگ باشد بتا اسکلت مبتنی بر هلال حتما حاوی یال pq خواهد بود.
تاریخچه
بتا اسکلت اولین بار توسط به عنوان یک گونه مستقل از مقیاس از شکل‌های آلفای مطرح شد. نام “بتا اسکلت” به این علت ایجاد شده‌است که بتا اسکلت از بعضی جهات شکل یک مجموعه نقاط را شرح می‌دهد به همان طریقی که اسکلت توپولوژی شکل ناحیه‌های دوبعدی را بیان می‌کند. انواع بسیار دیگری از گراف‌های بتا اسکلت وجود دارند که با ناحیه‌های خالی دیگر تعریف می‌شوند.
ویژگی‌ها
اگر  به صورت پیوسته از 0 تا ∞ تغییر کند، -اسکلت‌های مبتنی بر دایره دنباله‌ای از گراف‌ها را، از گراف کامل تا گراف تهی، تشکیل می‌دهند. حالت خاص =1 گراف گابریل را نتیجه می‌دهد که شامل درخت پوشای کمینه اقلیدسی است. بنابراین، زمانی که ≤1، یک -اسکلت شامل گراف گابریل و درخت پوشای کمینه هم هست.
برای هر  ثابت، می‌توان از یک ساختار فراکتال که نمایانگر نسخه مسطح برف‌دانه کخ باشد برای مشخص کردن دنباله‌ای از گروه نقطه‌ها که -اسکلت‌های آن‌ها مسیرهایی به طول دلخواه در یک مربع واحد است، استفاده کرد. بنابراین، برخلاف مسئله مرتبط مثلث‌بندی دیلانی، -اسکلت‌ها پوشای هندسی نیستند.
الگوریتم‌ها
یک الگوریتم بدیهی که برای هر سه‌تایی ، و عضویت را در محدوده بررسی می‌کند، می‌تواند برای هر مجموعه تایی از نقاط، -اسکلت را در زمان بسازد.
به ازای ≥1، یک -اسکلت (با هر یک از تعریف‌ها) زیرگرافی از گراف گابریل است که آن هم زیرگرافی از مثلث‌بندی دیلانی است. اگر یکی از یال‌های مثلث‌بندی دیلانی باشد که به -اسکلت تعلق ندارد، آن‌گاه نقطه ، یکی از دو نقطه‌ای که در مثلث‌بندی دیلانی با و تشکیل مثلث می‌دهند، زاویه بزرگ را درست می‌کند. در نتیجه، برای این مقادیر ، یک -اسکلت مبتنی بر دایره با محاسبه مثلث‌بندی دیلانی و حذف کردن یال‌های اضافی با این آزمون برای یک مجموعه شامل نقطه در زمان ساخته می‌شود.
به ازای <1 الگوریتم دیگری از ساختن -اسکلت را در زمان ممکن می‌سازد. کران بالای بهتری برای زمان اجرا در بدترین حالت ممکن نیست. زیرا برای هر مقدار ثابت  در محدوده ۰ تا ۱، در حالت کلی مجموعه‌هایی از نقاط وجود دارند که -اسکلت آن‌ها یک گراف کامل است که تعداد یال‌هایش با توان دوم تعداد نقاط متناسب است. همچنین تمام طیف  (دنباله -اسکلت‌های مبتنی بر دایره که از تغییر مقدار  به‌دست می‌آیند) در زمان مشابه (درجه دو) محاسبه می‌شود.
کاربردها
از -اسکلت مبتنی بر دایره می‌توان در آنالیز تصویر برای بازسازی شکل یک شیء دو بعدی با داشتن مجموعه‌ای از نقاط نمونه روی مرز آن شیء استفاده کرد.(شکل محاسباتی بازی وصل کردن نقاط، که در آن ترتیب نقطه‌ها در صورت مسئله نیست و باید توسط یک الگوریتم به دست آید.) اگرچه برای این کار باید مقدار مناسبی برای پارامتر  اتخاذ شود، ثابت می‌شود به ازای =1.7، در صورتی که نسبت تراکم نمونه‌ها به انحنای موضعی سطح به اندازه کافی زیاد باشد، -اسکلت تمام مرز هر سطح صاف را بازسازی می‌کند و هیچ یال اضافی‌ای تولید نمی‌کند. البته در عمل، مقدار =1.2 در یک سامانه اطلاعات جغرافیایی برای بازسازی نقشه خیابان‌ها از روی مجموعه‌ای از نقاط که روی خط میانی خیابان‌ها بودند مناسب‌تر بود. برای حالت‌های تعمیم‌یافته روش -اسکلت برای بازسازی سطوح در سه بعد، را ببینید.
از -اسکلت‌های مبتنی بر دایره برای یافتن زیرگراف‌های مثلث‌بندی با وزن کمینه‌ی یک مجموعه از نقاط استفاده می‌شود: برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ ، هر یال -اسکلت به مثلث‌بندی با وزن کمینه تعلق دارد. اگر نقاط ورودی با این یال‌ها یک گراف همبند را تشکیل دهند، یال‌های باقی‌مانده مثلث‌بندی با وزن کمینه با برنامه‌نویسی پویا در زمان چندجمله‌ای به دست می‌آیند. البته مسئله مثلث‌بندی با وزن کمینه در حالت کلی ان‌پی-سخت است و یال‌های به دست آمده با این روش الزاما یک گراف همبند درست نمی‌کنند.
علاوه بر این، -اسکلت‌ها در یادگیری ماشین برای حل مسائل شناسایی هندسی و در شبکه‌های بی‌سیم ادهاک به عنوان یک سازوکار برای کنترل پیچیدگی ارتباط، با انتخاب یک زیرمجموعه از جفت ایستگاه‌های بی‌سیم که توانایی ارتباط با یک‌دیگر را دارند، کاربرد دارند.
پانوشت‌ها