مسائل هزاره

مسائل هزاره ۷ مسئله در ریاضیات هستند که توسط انجمن ریاضی کلی در سال ۲۰۰۰ طرح شده‌اند. تا ژانویه سال ۲۰۱۳، ۶ تا از آنها حل نشده باقی‌مانده‌اند. جواب درست برای هر کدام از سوالات منجر به جایزه ۱ میلیون دلاری (که با نام جایزه هزاره مشهور است) می‌شود که توسط انجمن داده می‌شود. حدس پوانکاره, تنها مسئله‌ای که اخیرا حل شده است، توسط گریگوری پرلمان حل شده است، اما او این جایزه را در سال ۲۰۱۰ نپذیرفت.
مسائل
P در برابر NP
سوال این است که آیا برای تمام مسائلی که الگوریتمی می‌تواند درستی یک جواب را بررسی کند (در زمان چند جمله‌ای)، الگوریتمی وجود دارد که بتواند آن جواب را به همان سرعت پیدا کند. الگوریتم اول، دسته‌ای از پرسش‌ها را که NP نامیده می‌شوند توصیف می‌کند و الگوریتم دوم، دسته p را توصیف می‌کند. پرسش اصلی این است که آیا تمام پرسش‌هایی که در مجموعه NP هستند، در مجموعه P هم هستند یا خیر. مسئله P و NP به طور عمومی یکی از مهمترین سوال‌های باز در ریاضیات و علوم نظری رایانه شناخته می‌شود. زیرا نتایج و تاثیرات زیادی بر روی مسائل دیگر در ریاضیات، زیست‌شناسی، فلسفه و رمزنگاری دارد (به نتایج اثبات مسئله P در برابر NP مراجعه کنید).
"اگر P=NP باشد، دنیا مکان کاملا متفاوتی از چیزی که همیشه تصور می‌کرده‌ایم خواهد بود. زمانی که آن را پیدا کنیم، دیگر ارزش ویژه‌ای در جهش‌های خلاق یا اختلاف بنیادین بین حل کردن یک مسئله و پیدا کردن راه‌حل آن نخواهد بود. هرکسی که بتواند یک سمفونی را تحسین کند، موتزارت خواهد بود و هرکس که بتواند برهانی را قدم به قدم دنبال کند، گاوس…"
- اسکات اندرسون، ام آی تی
بیشتر ریاضیدانان و دانشمندان علوم کامپیوتر، انتظار دارند که P≠NP باشد.
بیان رسمی این مسئله توسط استفن کوک ارائه داده شده است.
حدس هاج
حدس هاج این است که برای چندگونا‌های تصویری جبری است، دورهای هاج ترکیب خطی گویای دورهای جبری هستند.
گفتار رسمی این مسئله توسط پیر دلین ارائه شده است.
حدس پوانکاره (اثبات شده)
در توپولوژی، یک کره با سطح دوبعدی با این حقیقت رده بندی می‌شود که این فشرده و همبند ساده است. حدس پوانکاره این است که حتی برای بعد بالاتر نیز درست است. مسئله برای تمام بعدهای دیگر حل شده است. این حدس نقش محوری در مسئله دسته بندی 3-manifolds ایفا می‌کند.
گفتار رسمی این مسئله توسط جان میلنور داده شده است.
اثبات این حدس توسط گریگوری پرلمان در سال ۲۰۰۳ داده شده است؛ بازبینی آن در اگوست سال ۲۰۰۶ کامل شد، و پرلمان انتخاب شد تا مدال فیلدز را به خاطر راه حلش دریافت کند اما او نپذیرفت. پرلمان به طور رسمی مفتخر به دریافت جایزه هزاره در ۱۸ مارس ۲۰۱۰ شد، ولی باز جایزه مالی انجمن کلی را نپذیرفت زیرا "آژانش خبری اینترفکس" به نقل از پرلمان گفت که بنظرش جایزه ناعادلانه بوده است. پرلمان به اینترفکس گفت که به نظرش میزان مشارکتش در حل حدس پوانکاره بیشتر از زحماتی که ریچارد همیلتون، ریاضی‌دان دانشگاه کلمبیا کشیده، نبوده است."
فرضیه ریمان
بنابر حدس ریمان، تمام صفرهای نابدیهی تابع تحلیلی زتای ریمان دارای بخش حقیقی ۱⁄۲ هستند. اثبات یا رد این مسئله نقش مهمی در نظریه اعداد، و به طور ویژه در توزیع اعداد اول دارد. این سوال، هشتمین سوال از مسائل هیلبرت بوده، سر مایکل آتیا از حل این مساله ریاضی خبر داده که در 160 سال اخیر راه حلی برای آن یافت نشده است. در صورتی که درستی راه حل این ریاضی دان انگلیسی به اثبات برسد، وی جایزه یک میلیون دلاری تعیین شده را تصاحب خواهد کرد. هم اکنون راه حل یادشده در حال بررسی مقدماتی است.
بیان رسمی این مسئله توسط انریکو بومبیری ارائه داده شده است.
وجود و شکاف جرم یانگ-میلز
در فیزیک، نظریه کلاسیک یانگ - میلز تعمیم نظریه الکترومغناطیس ماکسول است که در آن میدان الکترومغناطیس کرومی خودش حامل بار است. به عنوان یک مسئله میدان کلاسیک، این سوال، جواب‌هایی دارد که با سرعت نور حرکت می‌کنند به‌طوری که نسخه کوانتمی این سوال باید ذرات بدون جرم (گلوئون) را توصیف کند. با این وجود پدیده بدیهی بهم‌پیوستگی رنگی که فقط حالات محدودی را برای گلوئون‌ها امکان‌پذیر می‌سازد، ذرات سنگینی را تشکیل می‌دهد. این همان شکاف جرم است. نمود دیگر بهم‌پیوستگی، آزادی مجانبی است که باعث می‌شود وجود نظریه کوانتمی یانگ-میلز بدون محدودیت‌های مقیاس‌های کم انرژی امکان‌پذیر باشد. مسئله، معین کردن دقیق وجود نظریه کوانتمی یانگ-میلز و شکاف جرم است.
بیان رسمی این مسئله توسط آرتور جاف و ادوارد ویتن ارائه داده شده است.
وجود و نرمی ناویه-استوکس
معادلات ناویه-استوکس حرکت مایعات را توضیح می‌دهد. اگرچه آنها در قرن ۱۹ ام پیدا شدند، اما آنها هنوز به درستی درک نشده‌اند. مشکل اینجاست که پیشرفت در یک قضیه ریاضیاتی که دید کامل و واضحی نسبت به معادله تولید کند، ایجاد کنیم.
گفتار رسمی این مسئله توسط چارز ففرمن داده شده است.
حدس بیرش و سوینرتون-دایر
حدس بیرش و سوینرتون-دایر در مورد نوع خاصی از معادلات است که منحنی‌های بیضوی را بر روی اعداد گویا تعریف می‌کنند. حدس این است که راهی ساده وجود دارد که می‌توان مشخص کرد آیا چنین معادله‌ای دارای تعداد متناهی یا غیر متناهی جواب گویا است یا خیر. مسئله دهم هیلبرت در مورد یک نوع کلی‌تر معادله هم هست که در آن شرایط ثابت شده است که هیچ راهی وجود ندارد که توسط آن مشخص شود یک معادله دیوفانتی دارای جواب است یا خیر.
بیان رسمی مسئله توسط اندرو ویلز ارائه داده شده است.
مسائل هیلبرت
مسئله‌های حل نشده ریاضی
پاوول ولفشر (جایزه‌ای نقدی برای حل قضیه آخر فرما اختصاص داد)