رگرسیون لجستیک

تعریف
وایازش لوجستیک یک مدل آماری رگرسیون برای متغیرهای وابسته دوسویی مانند بیماری یا سلامت، مرگ یا زندگی است. این مدل را می‌توان به عنوان مدل خطی تعمیم‌یافته‌ای که از تابع لوجیت به عنوان تابع پیوند استفاده می‌کند و خطایش از توزیع چندجمله‌ای پیروی می‌کند، به‌حساب‌آورد.
منظور از دو سویی بودن، رخ داد یک واقعه تصادفی در دو موقعیت ممکنه است. به عنوان مثال خرید یا عدم خرید، ثبت نام یا عدم ثبت نام، ورشکسته شدن یا ورشکسته نشدن و … متغیرهایی هستند که فقط دارای دو موقعیت هستند و مجموع احتمال هر یک آن‌ها در نهایت یک خواهد شد. کاربرد این روش عمدتا در ابتدای ظهور در مورد کاربردهای پزشکی برای احتمال وقوع یک بیماری مورد استفاده قرار می‌گرفت. لیکن امروزه در تمام زمینه‌های علمی کاربرد وسیعی یافته‌است. به عنوان مثال مدیر سازمانی می‌خواهد بداند در مشارکت یا عدم مشارکت کارمندان کدام متغیرها نقش پیش‌بینی دارند؟ مدیر تبلیغاتی می‌خواهد بداند در خرید یا عدم خرید یک محصول یا برند چه متغیرهایی مهم هستند؟ یک مرکز تحقیقات پزشکی می‌خواهد بداند در مبتلا شدن به بیماری عروق کرنری قلب چه متغیرهایی نقش پیش بینی‌کننده دارند؟ تا با اطلاع رسانی از احتمال وقوع کاسته شود.
رگرسیون لوجستیک می‌تواند یک مورد خاص از مدل خطی عمومی و رگرسیون خطی دیده شود. مدل رگرسیون لوجستیک،بر اساس فرض‌های کاملا متفاوتی (درباره رابطه متغیرهای وابسته و مستقل) از رگرسیون خطی است.تفاوت مهم این دو مدل در دو ویژگی رگرسیون لوجستیک می‌تواند دیده شود.اول توزیع شرطی یک توزیع برنولی به جای یک توزیع گوسی است چونکه متغیر وابسته دودویی است. دوم مقادیر پیش‌بینی احتمالاتی است و محدود بین بازه صفر و یک و به کمک تابع توزیع لوجستیک بدست می‌آید رگرسیون لوجستیک احتمال خروجی پیش‌بینی می‌کند.
این مدل به صورت
است که
برآورد پارامترهای بهینه
برای بدست آوردن پارامترهای بهینه یعنی می‌توان از روش برآورد درست نمایی بیشینه (Maximum Likelihood Estimation) استفاده کرد. اگر فرض کنیم که تعداد مثالهایی که قرار است برای تخمین پارامترها استفاده کنیم n
است و این مثالها را به این شکل نمایش دهیم . پارامتر بهینه پارامتری است که برآورد درست نمایی را بیشینه کند، البته برای سادگی کار برآورد لگاریتم درست نمایی را بیشینه می‌کنیم. لگاریتم درست نمایی داده برای پارامتر را با نمایش میدهیم:
L(D, \vec{\beta) = \log \left(\prod_{i=1^{n Pr(y_i=1|\vec{x^{i; \vec{\beta)^{y_i \times Pr(y_i=0|\vec{x^{i; \vec{\beta)^{1-y_i\right) =
\sum_{i=1^{n y_i \times \log Pr(y_i=1|\vec{x^{i; \vec{\beta) + (1-y_i) \log Pr(y_i=0|\vec{x^{i; \vec{\beta)
اگر برای داده‌ام باشد، هدف افزایش است و اگر صفر باشد هدف افرایش مقدار است. ازینرو از فرمول استفاده می‌کنیم که اگر باشد، فرمول به ما را بدهد و اگر بود به ما را بدهد.
حال برای بدست آوردن پارامتر بهینه باید یی پیدا کنیم که مقدار را بیشینه کند. از آنجا که این تابع نسبت به مقعر است حتما یک بیشینه مطلق دارد. برای پیدا کردن جواب می‌توان از روش گرادیان افزایشی از نوع تصادفی‌اش استفاده کرد (Stochastic Gradient Ascent). در این روش هر بار یک مثال را بصورت اتفاقی از نمونه‌های داده انتخاب کرده، گرادیان درست نمایی را حساب می‌کنیم و کمی در جهت گرادیان پارامتر را حرکت می‌دهیم تا به یک پارامتر جدید برسیم. گرادیان جهت موضعی بیشترین افزایش را در تابع به ما نشان میدهد، برای همین در آن جهت کمی حدکت میکنیم تا به بیشترین افزایش موضعی تابع برسیم. اینکار را آنقدر ادامه می‌دهیم که گرادیان به اندازه کافی به صفر نزدیک شود. بجای اینکه داده‌ها را بصورت تصادفی انتخاب کنیم می‌توانیم به ترتیب داده شماره تا داده شماره را انتخاب کنیم و بعد دوباره به داده اولی برگردیم و این کار را بصورت متناوب چندین بار انجام دهیم تا به اندازه کافی گرادیان به صفر نزدیک شود. از لحاظ ریاضی این کار را می‌توان به شکل پایین انجام داد، پارامتر را در ابتدا بصورت تصادفی مقدار دهی می‌کنیم و بعد برای داده‌ام و تمامی‌ها، یعنی از تا تغییر پایین را اعمال می‌کنیم، دراینجا همان مقداریست که در جهت گرادیان هربار حرکت می‌کنیم و
\left(y_i - \frac{1{1+e^{-\left(\beta_0 + \beta_1 x_{1,i + \cdots + \beta_k x_{k,i\right)\right)\vec{x^{i_j مشتق جزئی داده‌ام در بعد ام است:
\begin{cases\mbox{Initialize\,\,\vec{\beta^{\,old\,\, \mbox{randomly\\\mbox{loop until convergence :\\ \,\,\mbox{for\,\,\,\,i=0\,\,\,\,\mbox{to\,\,\,\,n :\\\,\,\,\,\,\,\mbox{for\,\,\,\,j=0\,\,\,\,\mbox{to\,\,\,\,m: \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\beta^{\,new_j = \vec{\beta^{\,old_j + \alpha \left(y_i - \frac{1{1+e^{-\left(\beta^{\,old_0 + \beta^{\,old_1 x_{1,i + \cdots + \beta^{\,old_k x_{k,i\right)\right)\vec{x^{i_j\\\,\,\,\,\,\,\beta^{\,old= \beta^{\,new\end{cases
تحلیل تفکیک خطی
پرویبت
پرسپترون
شبکه عصبی مصنوعی
کاوش‌های ماشینی در داده‌ها