خودهمبستگی

نمودار نشان دهنده 100 عدد تصادفی با یک تابع مثلثاتی "پنهان" و خود همبستگی (correlogram) از سری‌های پایین.
خود همبستگی ، همبستگی متقابل یک سیگنال با خودش است. بطور غیر رسمی، خود همبستگی، همسانی بین مشاهدات به عنوان تابعی از زمان جدایی بین آن‌ها می‌باشد. این مفهوم، یک ابزار ریاضی برای یافتن الگوهای تکراری مانند حضور یک سیگنال تناوبی است که تحت نویز پوشانده شده‌است، یا شناسایی فرکانس اساسی گم شده در سیگنال ضمنی فرکانس‌های هارمونیک. از خود همبستگی، اغلب در پردازش سیگنال برای تحلیل توابع یا مجموعه‌ای از مقدارها از جمله حوزه زمان سیگنالها استفاده می‌شود.
تعریف
زمینه‌های مختلف مطالعه، تعاریف متفاوتی از خود همبستگی ارائه می‌دهند و هیچیک از این تعاریف، یکسان نیستند. در بعضی از زمینه‌ها، خود همبستگی را می‌توان به جای اتوکوواریانس بکار برد.
آمار
در آمار، خود همبستگی یک فرایند تصادفی همبستگی بین مقدارهای فرایند در نقاط مختلف زمان را به عنوان تابع دو زمانه یا تفاضل زمانی توصیف می‌کند. اگر X فرایندی تکرارپذیر باشد و i نقطه‌ای از زمان بعد از آغاز فرایند (i ممکن است عدد صحیح برای فرایندی با گسستگی زمان یا عدد حقیقی برای فرایندی با پیوستگی زمان باشد). بنابراین X i مقدار (یا تحقق) تولید شده بوسیله اجرای فرایند داده شده در زمان i است. فرض کنید فرایند، برای میانگین  i و واریانس  ۲ i برای همه زمان‌های i تعریف شده‌است. بنابراین تعریف خود همبستگی بین هر دو زمان s و t عبارت است از:
R(s,t) = \frac{\operatorname{E(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s){\sigma_t\sigma_s\, ,
که "E" عملگر مقدار مورد انتظار است. توجه کنید که این بیان برای همه فرایندها یا سریهای زمانی، خوش تعریف نیست، چون ممکن است واریانس برابر صفر (برای یک فرایند ثابت) یا بینهایت باشد. اگر تابع R خوش تعریف باشد، مقدار آن باید در محدوده ۱،۱- قرار گیرد، که ۱ نشان دهنده همبستگی کامل و ۱- نشان دهنده ضد همبستگی کامل است.
اگر X t یک فرایند ثابت مرتبه دوم باشد بنابراین میانگین  و واریانس  ۲ مستقل از زمان هستند و خود همبستگی فقط به تفاضل t و s بستگی دارد: همبستگی فقط به فاصله زمانی بین دو مقدار بستگی دارد اما به موقعیت آن‌ها در زمان بستگی ندارد. این موضوع بیان می‌کند که این خود همبستگی می‌تواند به عنوان تابع تاخیر زمانی بیان شود، و همچنین باید یک تابع زوج از  = s − t باشد.
R(\tau) = \frac{\operatorname{E(X_t - \mu)(X_{t+\tau - \mu){\sigma^2\, ,
و با توجه به زوج بودن این تابع، می‌توانیم بگوییم:
R(\tau) = R(-\tau).\,
این عمل مشترک در برخی رشته‌ها به غیر از آمار و تحلیل سریهای زمانی، برای نرمال کردن به وسیله  ۲ و استفاده از "خود همبستگی" مترادف با "اتو کوواریانس" است. به هر حال، نرمال کردن به دو دلیل اهمیت دارد: به علت تفسیر خود همبستگی به عنوان یک همبستگی که مقدار بدون مقیاس "قدرت وابستگی آماری" را فراهم می‌کند و چون نرمال کردن روی خصوصیات آماری خود همبستگی‌های برآورد شده موثر است.
پردازش سیگنال
در پردازش سیگنال، تعریف بالا اغلب بدون نرمال کردن استفاده می‌شود.یعنی بدون کسر میانگین و تقسیم بر واریانس. وقتی تابع خود همبستگی به وسیله میانگین و واریانس نرمال شده‌است، گاهی اوقات به ضریب خودهمبستگی مربوط می‌شود.
برای سیگنال معین ، خودهمبستگی پیوسته غالبا به صورت انتگرال همبستگی متقابل پیوسته با خودش، با تاخیر تعریف می‌شود:
که مزدوج مختلط و اپراتور کانولوشن را نشان می‌دهند. برای یک تابع حقیقی، .
خود همبستگی گسسته R با تاخیر j برای یک سیگنال گسسته به صورت زیر است:
تعریف‌های بالا برای سیگنالهایی کاربرد دارند که دو بار انتگرال پذیرند یا دو بار جمع پذیرند.
برای سیگنالهایی با فرایندهای تصادفی با روند ثابت، خود همبستگی بر اساس مقادیر مورد انتظار تعریف می‌شوند:
برای فرایندهایی که ثابت نیستنداین روابط، توابعی از t و n نیز خواهند بود.
برای فرایندهایی که ارگودیک نیز هستند، امید می‌تواند توسط حد یک میانگین زمانی جایگزین شود. خود همبستگی یک فرایند ارگودیک گاهی به صورت زیر تعریف می‌شود :
این تعاریف این مزیت را دارند که برای توابع متناوب نتایج تک پارامتری خوش تعریف معقولی می‌دهند، حتی وقتی این توابع، خروجی فرایندهای ارگودیک ثابت نیستند.
سیگنالهایی که همیشه میتوانند به وسیله تحلیل یک تابع خود همبستگی کوتاه مدت اجرا شوند (برای یک فرایند وابسته، به تبدیل فوریه کوتاه مدت نگاه کنید)
خود همبستگی چند بعدی بطور مشابه تعریف شده‌است. برای مثال، در سه بعد، خود همبستگی یک سیگنال گسسته دوبار جمع پذیر عبارت است از:
وقتی مقدارهای میانگین از سیگنالها کسر می‌شوندقبل از محاسبه یک تابع خود همبستگی، تابع نتیجه معمولا یک تابع کوواریانس نامیده می‌شود.
خصوصیات
در ادامه، تنها خصوصیات خود همبستگی‌های تک بعدی را شرح خواهیم داد، چون بیشتر خصوصیات به آسانی از یک مورد تک بعدی به موارد چند بعدی قابل تبدیل است.
ویژگی اساسی خود همبستگی، تقارن است، ، که اثبات آن از تعریف به سادگی به دست می‌آید. در موارد پیوسته، خود همبستگی یک تابع زوج است.
وقتی f یک تابع حقیقی و خود همبستگی یک تابع هرمیتی است.
وقتی f یک تابع مختلط است.
تابع خود همبستگی پیوسته در مبدا به قله خود می‌رسد، که در آن یک مقدار حقیقی را می‌دهد. برای مثال برای هر تاخیر ، . این، یک نتیجه نامساوی کوشی شوارتز است. همین نتیجه در مورد گسسته نیز بدست می‌آید.
خود همبستگی یک تابع متناوب، متناوب است با همان دوره تناوب.
خود همبستگی مجموع دو تابع کاملا غیر همبسته (همبستگی متقابل برای همه‌ها صفر است)، برابر مجموع خود همبستگی‌های هر تابع به‌طور جداگانه است.
چون خود همبستگی نوع خاصی از همبستگی متقابل است، همه خصوصیات همبستگی متقابل را حفظ می‌کند.
خود همبستگی یک سیگنال نویز سفید با پیوستگی زمانی، یک پیک شدید خواهد داشت (بوسیله یک تابع دلتای دیراک نشان داده شده) در و برای همه‌های دیگر مطلقا صفر خواهد بود.
قضیه کینچین-وینر، تابع خود همبستگی را به چگالی طیفی توان به وسیله تبدیل فوریه مرتبط می‌سازد:
برای توابع با مقدار حقیقی، تابع خود همبستگی متقارن یک تبدیل متقارن حقیقی دارد. بنابراین قضیه وینر-کینچین می‌تواند تنها بر حسب کسینوس حقیقی دوباره بیان شود:
محاسبه کارایی
برای اطلاعات بیان شده به عنوان یک ترکیب گسسته، لازم است خود همبستگی با کارایی بالا محاسبه کنیم. هنکامی که الگوریتم brute force مرتبه است، چندین الکوریتم کارا وجود دارد که می‌تواند خود همبستگی را در مرتبه محاسبه کند. برای مثال، قضیه وینر-کیچین، محاسبه خود همبستگی از داده‌های خام با دو تبدیل سریع فوریه (FFT)را ممکن می‌سازد.
که IFFT، معکوس FFT را نشان می‌دهد، * نشان دهنده مزدوج مختلط است.
یک همبستگی چندگانه می‌تواند با استفاده از محاسبه brute force برای مقدارهای پایین اجرا شود، و سپس تدریجا استخراج داده‌های با یک چگالی لگاریتمی برای محاسبه مقدارهای بزرگتر، با همان کارایی اما با حافظه مورد نیاز کمتر.
برآورد
برای یک فرایند گسسته به طول n که به صورت با میانگین و واریانس معلوم، ین تخمین خود همبستگی به صورت زیر بدست می‌آید:
برای هر عدد صحیح مثبت . وقتی میانگین صحیح و واریانس معلومند، این براورد، بدون تورش است. اگر میانگین و واریانس فرایند نامعلوم باشند چند احتمال وجود دارد:
اگر و به وسیله فرمول استاندارد برای میانگین نمونه و واریانس نمونه جایگزین شده باشد، این براورد تورش دار است.
یک براورد بر اساس periodogram، در فرمول بالا را با جایگزین می‌کند. این براورد همیشه تورش دار است، به هر حال معمولا میانگین مربعات خطای کمتری دارد
احتمال دیگر از رفتار دو بخش از داده‌های و به‌طور جداگانه و محاسبه میانگین‌های نمونه و/یا واریانس‌های نمونه برای استفاده در تعریف براورد، مشتق می‌شود.
مزیت براوردهای نوع اخیر این است که مجموعه خود همبستگی‌های براورد شده، به عنوان تابعی از k، به صورت تابعی است که دارای خود همبستگی معتبر است به این معنی که می‌توان فرایند تئوریکی تعریف کرد که دقیقا همان خود همبستگی را داشته باشد. براوردهای دیگر می‌توانند از این مسئله رنج ببرند که اگر برای محاسبه واریانس یک ترکیب خطی از Xها استفاده شوند، واریانس محاسبه شده ممکن است منفی بدست آید.
تحلیل رگرسیون
در تحلیل رگرسیون داده‌های سری زمانی، خود همبستگی خطاها یک مشکل است. خود همبستگی خطاهایی که غیر قابل مشاهده‌اند، می‌تواند به‌طور کلی بخاطر تولید خود همبستگی در residualهای قابل مشاهده نمایان شود. (خطاها در اقتصاد سنجی، "عناصر خطا" نامیده می‌شوند.)
خود همبستگی، فرض حداقل مربعات معمولی (OLS) که عناصر خطا ناهمبسته‌اند را نقض می‌کند. زمانی که براورد ضرایب OLS بدون تورش است، خطاهای استاندارد وقتی خود همبستگی خطاها در lagهای پایین مثبت است، کمتر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود (و t-مقدار بیشتر از مقدار واقعی). آزمون مرسوم برای وجود خود همبستگی مرتبه اول، آماره دوربین-واتسون است، یا اگر متغیرهای توضیح دهنده شامل متغیر وابسته لنگی باشد، آزمون انعطاف پذیرتر برای پوشش خود همبستگی مراتب بالاتر و برای اینکه آیا رگرسورهای شامل متغیر وابسته لنگی قابل اجراست یا نه، تست براش-گادفری است. این شامل یک رگرسیون کمکی است، در جایی که residualهای به دست آمده از برآورد مدل مورد علاقه روی (الف) رگرسور اصلی و (ب) k باقی‌مانده لنگی، رگرس شده‌اند، که k مرتبه آزمون می‌باشد. ساده‌ترین تفسیر آماره آزمون از این رگرسیون کمکی، TR ۲ است که T اندازه نمونه و R ۲ ضریب تعیین هستند. تحت فرضیه صفر (عدم وجود خود همبستگی) این آماره به‌طور مجانبی، توزیع با k درجه آزادی دارد.
پاسخ به خود همبستگی غیر صفر شامل حداقل مربعات تعمیم یافته و تخمین زن Newey-West HAC (واریانس ناهمسانی و خود همبستگی سازگار) می‌باشد.
کاربردها
بعضی از کاربردهای خود همبستگی به شرح زیر است:
یک کاربرد خود همبستگی، اندازه‌گیری طیف نوری و اندازه‌گیری پالس‌های نوری خیلی کوتاه مدت تولید شده به وسیله لیزرها است.هردو با استفاده از autocorrelator اپتیکال انجام می‌شوند.
برای اندازه‌گیری توزیع اندازه ذرات micelles یا ذرات بسیار ریز معلق در مایع. یک لیزر به مخلوط می‌تابانند که با حرکت ذرات در ارتباط است.
خود همبستگی سیگنال عکسی از سرعت انتشار ذرات می‌دهد. از این، ویسکوزیته مایع و اندازه‌های ذرات محاسبه می‌شود.
در پردازش سیگنال، خود همبستگی می‌تواند در مورد رویدادهای تکرار شونده مانند ضربان موسیقی (برای مثال، برای تعیین گام)یا فرکانس پولسار باشد، اگرچه نمی‌تواند موقعیت را در زمان ضربه بگوید. همچنین می‌تواند برای براورد گام تن موسیقی استفاده شود.
در اپتیک، خود همبستگی نرمال شده و همبستگی متقابل، درجه انسجام یک فیلد الکترومغناطیس را می‌دهد.
در ضبط موسیقی، خود همبستگی به عنوان یک الگوریتم تعیین گام قبل از پردازش صوتی، به عنوان یک اثر اعوجاج، یا برای حذف اشتباهات و خطاهای نامطلوب به کار می‌رود.
خود همبستگی در فضا نسبت به زمان، از طریق تابع Patterson، به وسیله انکسار X-ray برای کمک به بهبود "اطلاعات فاز فوریه" روی موقعیت‌های غیر قابل دسترس اتم تنها از طریق پراش به کار می‌رود.
در آمار، خود همبستگی فضایی بین موقعیت‌های نمونه به براورد مقدار میانگین عدم قطعیت وقتی نمونه‌گیری از یک جامعه نا متجانس باشد، کمک می‌کند.
در داده‌های پانل، خود همبستگی فضایی به همبستگی یک متغیر با خودش در تمام فضا اشاره دارد.
پیوست به بیرون
Autocorrelatio