داوید هیلبرت

داوید هیلبرت ( ۲۳ ژانویه ۱۸۶۲ در کنیگسبرگ، پروس شرقی - ۱۴ فوریه ۱۹۴۳ در گوتینگن آلمان)، ریاضی‌دان آلمانی و یکی از مشهورترین ریاضی‌دانهای قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم. او یکی از تاثیرگذارترین ریاضی‌دانان در گسترش و پیدایش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت می‌باشد. از کارهای دیگر او، بنیان‌ریزی و گسترش آنالیز تابعی است.
او در کونیگسبرگ متولد شد و در سال ۱۸۸۴ از دانشگاه این شهر دکتری گرفت و قریب ۱۰ سال را به تدریس در آن دانشگاه گذراند. سپس در ۱۸۹۵ به استادی دانشگاه گوتینگن رسید و تا آخر عمر در این شهر زیست.
زندگی‌نامه
دیوید هیلبرت در ۲۳ ژانویه ۱۸۶۲ در شهر کونیگسبرگ، شهری در روسیه فعلی، متولد شد و در ۱۴ فوریه سال ۱۹۴۳ در شهر گوتینگن آلمان چشم از جهان فروبست. وی از سال ۱۸۸۶ تا ۱۸۹۵ به تدریس ریاضیات در دانشگاه کونیگسبرگ Albertus-Universität Königsberg اشتغال داشت و ما بقی عمر پربار علمی خود را در فاصله سال‌های ۱۸۹۵ تا ۱۹۳۰ در دانشگاه گوتینگن سپری کرد. هیلبرت را می‌توان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی دانان در تمامی عصرها دانست. هیلبرت فرزند اول و تنها فرزند از اتو و ماریا هیلبرت می‌باشد. او در پاییز ۱۸۷۲ وارد مدرسه Friedrichskolley، همان مدرسه‌ای که ایمانوئل کانت ۱۴۰ سال پیش در آن تحصیل داشت، شد. اما پس از مدتی به دلیل نارضایتی نقل مکان می‌کند. او در پاییز ۱۸۷۹ بیش از پاییز ۱۸۸۰ در دانشگاه ویلهم فارغ‌التحصیل شد. پس از فارغ‌التحصیلی او در پاییز ۱۸۸۰ در دانشگاه کنیگسبرگ ثبت نام کرد. از بهار سال ۱۸۸۲ با دوستان با استعداد خود یعنی هرمان مینکوفسکی و آدولف هورویتس (دانشیار در Gottingen) که با آن‌ها تبادل شدید علمی و ثمربخشی داشت آشنا شد.
هیلبرت در ۱۸۸۵ دکتری خود را با یک پایان‌نامه تحت فردیناند فون لیندمن با عنوان خواص ثابت ویژه شکل باینری، توابع هارمونیک به پایان رساند. او به عنوان استاد کنیگسبرگ در سال‌های ۱۸۹۵–۱۸۸۶ باقی ماند. در سال ۱۸۹۲ با Käthe Jerosch دختر یک تاجر در همان شهر ازدواج کرد، که آن‌ها اعلام کردند می‌خواهند با استقلال نسبت به ثروت پدرش زندگی کنند. در سال ۱۸۹۵ با ارتباط از طرف فلیکس کلاین از موضع رئیس ریاضی در دانشگاه گوتینگن بهره برد، همان جایی که در آن زمان بهترین مرکز تحقیقات ریاضیات در جهان بود. هیلبرت کتاب «مبانی هندسه» را در سال ۱۸۹۹ منتشر کرد که هدف آن مربوط کردن اصل‌های موضوعه هندسه به اصل حساب بود. وی در این کتاب به شرح نتیجه‌های مطالعات خود در این زمینه پرداخته‌است.
مقبره هیلبرت: ما باید بدانیم ما خواهیم دانست
اصول موضوعه هندسه
یکی از مهم‌ترین کارهای وی در صورت بندی اصل‌های هندسه اقلیدسی (و به‌طور کلی هندسه اصل موضوعی) است.
هیلبرت بنیان‌گذار یکی از مکاتب اصلی فلسفه ریاضی با نام «صورت‌گرائی»، در اوایل قرن ۲۰ بوده‌است؛ در حقیقت این مکتب بعد از اتمام مطالعات وی در بررسی اصل موضوعی هندسه بنیان گذاشته شد. هیلبرت در کشف و توسعه گسترده دامنه اساسی از ایده‌ها و نظریه‌های ثابت و اصول در حوزه‌های مختلف هندسه نقش داشته‌است.
اصل توازی هیلبرت (یا اصل توازی هیلبرت برای هندسه اقلیدسی) چنین است: «هر چه باشد خط L و هر چه باشد نقطه A غیر واقع بر خط L و P صفحه شامل A و L باشد. آن گاه حداکثر یک خط در صفحه P، گذرا از A موجوداست که شامل هیچ نقطه‌ای از L نیست.»
به بیانی ساده‌تر:
تعریف (توازی):
دو خط با هم موازی‌اند هرگاه همدیگر را نبرند، یعنی نقطه‌ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد.
اصل توازی: به ازای هر خط و هر نقطه غیر واقع برآن یک و تنها یک خط به موازات خط مذکور وجود دارد که از نقطه مورد نظر می‌گذرد .
خود اقلیدس اصل توازی را این‌گونه بیان کرده‌است:
هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را ببرد و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد اگر این خط را امتداد دهیم سر انجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است یکدیگر را می‌برند.
هیلبرت هم چنین علاقه مخصوصی به برخی زمینه‌های فیزیک داشت و کارهای مهمی نیز در این زمینه‌ها انجام داده‌است. این علاقه به‌طور خاص در تعامل‌های وی با اینشتین و در راستای صورت بندی «نسبیت عام» نمود پیدا کرده‌است. هیلبرت را اغلب به عنوان ریاضی‌دانی مطلقا محض می‌شناسند. اما او رئیس سمینار فیزیک اتمی مشهور گوتینگن بود که تاثیر عظیمی بر توسعه نظریه کوانتوم داشت.
متن derGeometric Grudlagen در سال ۱۸۹۹ توسط هیلبرت در پیشنهاد مجموعه‌ای به نام اصول موضوعه هیلبرت که جایگزین اصول موضوعه از اقلیدس که جنبه سنتی داشت و با اجتناب از نقاط ضعف آن که در آن زمان هنوز در کتاب‌های درسی استفاده می‌شد. در همین حال و به‌طور مستقل با او ۱۹ دانشجوی آمریکایی رابرت لی مور به چاپ مجموعه‌ای از اصول موضوعه پرداخته بودند که برخی از این اصول همزمان، در سیستم مور و هیلبرت بودند و بالعکس. رویکرد هیلبرت روزنه‌هایی از تغییر جهت به سمت مدرن شدن در اصول موضوعه را ایجاد کرد در این کار هیلبرت ابتدا مفاهیم تعریف نشده مانند نقطه، خط، تجانس جفت از نقاط، تجانس زاویه‌ها و خط و فضا را برشمرد و سپس هر دو هندسه یعنی هندسه مسطحه اقلیدس و هندسه فضایی را در یک سیستم واحد متحد کرده بود.
در سال ۱۹۰۰ و در کنگره بین‌المللی ریاضی دانان، هیلبرت فهرستی از ۲۳ مسئله را ارائه کرد که با جرات می‌توان گفت که با قرار گرفتن «حل این مسئله‌ها» در صدر هدف‌های ریاضی‌دان‌ها، عملا خط مشی پیشرفت ریاضیات در قرن بیستم تعیین شد، که در ادامه به بیان این مسائل می‌پردازیم.
از بین مسئله‌های معروف هیلبرت تاکنون ۱۸ سوال به‌طور کامل حل شده‌است! از ۵ سوال دیگر: یک سوال به‌طور موضعی حل شده‌است، ۲ سوال حل نشده باقیمانده‌اند، صورت یک سوال مبهم است و یک سوال هم به زمینه‌ای غیر از ریاضیات –فیزیک- اختصاص دارد.
فرمالیسم
برنامه هیلبرت
نتایج و دستاوردها
هیلبرت یکی از موسسان ریاضیات قرن بیستم و در بسیاری جهات، به‌وجود آورنده مکتب صورتگرایی ریاضیات است که در ریاضیات محض این قرن نفوذ زیادی داشته‌است. یکی از دستاوردهای اساسی او در صورتگرایی و در مبانی هندسه است، که برخلاف مبانی اصل موضوعی نسبتا شهودی‌تر اقلیدس، در بنا کردن هندسه بر مبنای اصل موضوعی محض مطرح شده‌است. کارهای ریاضی او بسیار عمیق و متنوع است. از جمله می‌توان نظریه ناورداها، نظریه میدان‌های جبری و تحقیق در مبانی هندسه و در مبانی ریاضیات، و معادلات انتگرالی و فیزیکی را ذکر کرد. او سهم عظیمی در آنالیز ریاضی داشت. فضاهای برداری بی‌نهایت بعدی ابداعی او که به فضاهای هیلبرت مشهور اند راه را برای بنیانگذاری آنالیز تابعی گشود.
۲۳ مسئله
در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت در دومین کنگره بین‌المللی ریاضی دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمان ویل درباره آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می‌شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسائل اساسی در نظریه پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گائوس و وبر در گوتینگن به چاپ رساند. هرویتز (Hurwitz) در نامه‌ای به هیلبرت درباره این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینه شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می‌توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او طی این سخنرانی ۲۳ مسئله در رابطه با ریاضیات را عنوان نمود که عناوین آن به شرح زیر هستند:
مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار
سازگاری اصول موضوعه حساب
تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر
مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه
مفهوم لی (Lie) از گروه‌های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق‌پذیری توابع تعریف‌کننده گروه‌ها
ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک
گنگ و متعالی بودن اعدادی معین
مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ریمان
اثبات کلی‌ترین اصل تقابل در هر میدان
آیا یک الگوریتم برای تعیین حل‌پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد.
ارائه یک نظریه برای فرم‌های درجه دوم با ضرایب عددی جبری
تعمیم قضیه کرونکر برای میدان‌های آبلی به هر ساختار جبری گویا
ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر
اثبات متناهی بودن دستگاه‌های کامل و مشخص از توابع
ارائه مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)
مسئله توپولوژی منحنی‌ها و رویه‌های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل‌های حدی دستگاه‌های چندجمله‌ای در صفحه
نمایش فرم‌های مشخص توسط مربع جملات
ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروه‌های چند وجهی
آیا جواب‌های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوما تحلیلی‌اند؟
ارائه یک نظریه کلی برای مسائل شرط مرزی
اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده
یکنواخت‌سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک
توسعه بیشتر روش‌های حساب تغییرات.
فضای هیلبرت
جدال براور و هیلبرت