معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی که به اختصار PDE (مخففPartial Differential Equations) خوانده می‌شوند، به دسته‌ای از معادلات دیفرانسیل گفته می‌شود که در آن‌ها توابع مجهول بر حسب چند متغیر مستقل به همراه مشتق پاره‌ای توابع نسبت به آن متغیرها شرکت داشته‌باشند. به این دسته از معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل پاره‌ای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادلات دیفرانسیل جزئی گفته می‌شود.
معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی‌های زیر رده بندی می‌شوند.
نوع عادی یا جزئی
معادله شامل متغیر مستقل x، تابع ( y = f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامیم. معادله‌ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامیم.
مرتبه: عبارت است‌از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.
معمولا یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی می‌نامند.
ساختار معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگی‌های متفاوتی دارد:
معادلات مرتبه اول از درجه اول؛
با متغیرهای جدایی پذیر ؛
همگن؛
خطی برنولی؛
با دیفرانسیل‌های کامل؛
معادلات مرتبه دوم؛
معادلات خطی با ضرایب ثابت
۱. همگن
۲. ناهمگن
تکنیکهای تقریب زدن
۱. سری‌های توانی؛
۲. روش‌های عددی
صور مختلف معادلات دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.
Mdx + Ndy = ۰
در معادله فوق هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله جواب بدست می‌آید. یعنی:
M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫
معادله دیفرانسیل همگن
گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.
dy/dx + py = Q
معادله را که بتوان آن را به صورت
M (x,y) dx + N(x,y) dy = ۰
نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.
M/∂y = ∂N/∂x∂
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:
F (x,y،dy/dx,d2y/dx2) = ۰
این گونه معادلات را معمولا با یک متغیر مناسب مثل dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد
معادلات دیفرانسیل خطی
معادله دیفرانسیل
را که در آن توابع ، ، …، و بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام می‌نامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = ۰ و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه می‌کنیم.
حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی
معادله دیفرانسیل
را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:
، و …
همین طور با جاگذاری سری مربوط به ( F(xو تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم.
کاربردها
کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند.
در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند.
مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آن‌ها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند.
در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند
همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.
معادله حرارت
معادله لاپلاس
معادله موج
معادلات ماکسول
معادلات ناویه-استوکس
حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی