تابع تحلیلی مختلط

تابع تحلیلی مختلط یا توابع هولومورف موضوع اصلی در مطالعه آنالیز مختلط هستند. آن‌ها توابعی هستند که بر روی یک زیر مجموعه باز از صفحه مختلط C تعریف شده‌اند با مقادیری در C که در هر نقطه مشتق مختلط دارند. iهولومورف بودن یک شرط قویتر از مشتق‌پذیری مختلط است و دلالت بر این دارد که تابع بینهایت بار مشتق‌پذیر است و می‌تواند با سری تیلوراش نشان داده شود. واژه تابع تحلیلی اغلب بطور قابل معاوضه به جای «تابع هولومورف» استفاده می‌شود. اگرچه دقت شود که عبارت اول معانی دیگری نیز دارد. تابعی که بر کل صفحه مختلط هولومورفیک باشد تابع تام نامیده می‌شود. عبارت «هولومورفیک در نقطه a» به معنی نه تنها مشتق‌پذیر در a، بلکه مشتق‌پذیر در هر جا درون یک دیسک باز به مرکز a (یک همسایگی a) در صفحه مختلط است.
تعریف
اگر U یک زیر مجموعه باز از C و f: U
→ C یک تابع باشد، می‌گوییم f در نقطه z ۰ از U مشتق مختلط دارد اگر حد
f(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0 {f(z) - f(z_0) \over z
- z_0
وجود داشته باشد.
در اینجا حد بر روی تمام دنباله‌های اعداد مختلط که به z ۰ میل می‌کنند گرفته شده‌است، و برای تمام چنین دنباله‌هایی حد باید به عدد f (z ۰ ) میل کند. به‌طور مستقیم، اگر f در z ۰ مشتق‌پذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z ۰ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f (z ۰ ) r به f(z ۰ ) نزدیک می‌شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتق‌پذیری چند خصوصیت مشترک با مشتق‌پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعده زنجیری تبعیت می‌کند.
اگر f در هر نقطه z ۰ از U مشتق‌پذیر مختلط باشد، می‌گوییم f بر U هولومورفیک است. می‌گوییم f در نقطه z ۰ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z ۰ هولومورفیک باشد. می‌گوییم f در مجموعه غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعه باز شامل A هولومورفیک باشد.
یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f ( x +
i y ) =
u +
i v هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.
مثالها
تمام توابع چندجمله‌ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک‌اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به‌طور نزدیک وابسته به تابع نمایی‌اند و به وسیله فرمول اویلر می‌توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخه اصلی تابع لگاریتم در مجموعه C - {z ∈ R : z ≤ ۰ هولومورفیک است. تابع ریشه می‌تواند به صورت
\sqrt{z =
e^{\frac{1{2\ln z
تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. تابع ۱/z بر {z: z ≠ ۰ هولومورفیک است.
مشخصات
از آنجا که مشتق‌گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعده زنجیری تبعیت می‌کند، مجموع‌ها، ضرب‌ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک‌اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد.
هر تابع هولومورفیک بینهایت با مشتق‌پذیر در هر نقطه است. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملا درون دامنه U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل ۰ نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. برای اثبات به توابع هولومورفیک تحلیلی‌اند مراجعه کنید.
اگر C را با R ۲ نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع از دو متغیر حقیقی‌اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند.
نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آنها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می‌کنند.
فرمول انتگرال کوشی می‌گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماما با مقادیرش روی حاشیه دیسک مشخص می‌شود.
از دید جبری مجموعه توابع هولومورفیک بر یک مجموعه باز یک حلقه جابجایی و یک فضای برداری مختلط اند.
گسترش به آنالیز تابعی
مفهوم تابع هولومورفیک می‌تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود.
اصطلاحات فنی
امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورف» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می‌دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی‌تری است. این هم‌چنینی به این دلیل است که یک نتیجه مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به‌طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیما تعاریف را دنبال نمی‌کند. با این وجود عبارت «تحلیلی» همچنان پرکاربرد است.
کلمه «هولومورف» از کلمه یونانی «الس» (ὅ)، به معنی «همه»، و «مرفه» ()، به معنی «صورت» یا «ظاهر» مشتق شده‌است.
همچنین نگاه کنید به
تابع مرومورفیک
تابع تام