ماتریس الحاقی

در جبر خطی ماتریس الحاقی یک ماتریس مربعی، ترانهاده کهاد آن است. از ماتریس الحاقی برای محاسبه ماتریس وارون استفاده می‌شود.
تعریف
فرض کنید A ماتریسی مربعی باشد.
کهاد ام ام ماتریس عبارت است از دترمینان ماتریس مربعی که از حذف سطر ام و ستون ام ماتریس بدست می‌آید و آنرا با نشان می‌دهیم.
همسازه ماتریس A از رابطه زیر به دست می‌آید:
حال ماتریس الحاقی A برابر است با ترانهاده C:
مثال‌ها
ماتریس ۲ × ۲
ماتریس الحاقی ماتریکس ۲ × ۲
برابر است با
ماتریس ۳ × ۳
ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید
\mathbf{A = \begin{pmatrix
A_{11 - A_{12 - A_{13 \\
A_{21 - A_{22 - A_{23 \\
A_{31 - A_{32 - A_{33
\end{pmatrix
\begin{pmatrix
1 - 2 - 3 \\
4 - 5 - 6 \\
7 - 8 - 9
\end{pmatrix .
ماتریس الحاقی، ترانهاده ماتریس همسازه آن است، پس
\mathbf{C = \begin{pmatrix
+\left| \begin{matrix A_{22 - A_{23 \\ A_{32 - A_{33 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{21 - A_{23 \\ A_{31 - A_{33 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{21 - A_{22 \\ A_{31 - A_{32 \end{matrix \right| \\
-\left| \begin{matrix A_{12 - A_{13 \\ A_{32 - A_{33 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{11 - A_{13 \\ A_{31 - A_{33 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{11 - A_{12 \\ A_{31 - A_{32 \end{matrix \right| \\
+\left| \begin{matrix A_{12 - A_{13 \\ A_{22 - A_{23 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{11 - A_{13 \\ A_{21 - A_{23 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{11 - A_{12 \\ A_{21 - A_{22 \end{matrix \right|
\end{pmatrix = \begin{pmatrix
+\left| \begin{matrix 5 - 6 \\ 8 - 9 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 4 - 6 \\ 7 - 9 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 4 - 5 \\ 7 - 8 \end{matrix \right| \\
-\left| \begin{matrix 2 - 3 \\ 8 - 9 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 1 - 3 \\ 7 - 9 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 1 - 2 \\ 7 - 8 \end{matrix \right| \\
+\left| \begin{matrix 2 - 3 \\ 5 - 6 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 1 - 3 \\ 4 - 6 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 1 - 2 \\ 4 - 5 \end{matrix \right|
\end{pmatrix
بنابرین خواهیم داشت
\operatorname{adj(\mathbf{A) = \begin{pmatrix
+\left| \begin{matrix A_{22 - A_{23 \\ A_{32 - A_{33 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{12 - A_{13 \\ A_{32 - A_{33 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{12 - A_{13 \\ A_{22 - A_{32 \end{matrix \right| \\
-\left| \begin{matrix A_{21 - A_{23 \\ A_{31 - A_{33 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{11 - A_{13 \\ A_{31 - A_{33 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{11 - A_{13 \\ A_{21 - A_{23 \end{matrix \right| \\
+\left| \begin{matrix A_{21 - A_{22 \\ A_{31 - A_{32 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix A_{11 - A_{12 \\ A_{31 - A_{32 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix A_{11 - A_{12 \\ A_{21 - A_{22 \end{matrix \right|
\end{pmatrix = \begin{pmatrix
+\left| \begin{matrix 5 - 6 \\ 8 - 9 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 2 - 3 \\ 8 - 9 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 2 - 3 \\ 5 - 6 \end{matrix \right| \\
-\left| \begin{matrix 4 - 6 \\ 7 - 9 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 1 - 3 \\ 7 - 9 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 1 - 3 \\ 4 - 6 \end{matrix \right| \\
+\left| \begin{matrix 4 - 5 \\ 7 - 8 \end{matrix \right| -
-\left| \begin{matrix 1 - 2 \\ 7 - 8 \end{matrix \right| -
+\left| \begin{matrix 1 - 2 \\ 4 - 5 \end{matrix \right|
\end{pmatrix
که
\left| \begin{matrix A_{im - A_{in \\ \,\,A_{jm - A_{jn \end{matrix \right|=
\det\left( \begin{matrix A_{im - A_{in \\ \,\,A_{jm - A_{jn \end{matrix \right) .
خواص
ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد
برای تمام ماتریس‌های مربعی A و B