سیستم رمزنگاری کوله پشتی مرکل-هلمن

سیستم رمزنگاری کوله پشتی  مرکل-هلمن یکی از اولین رمزنگاری‌های کلید عمومی است که توسط رالف مرکل و مارتین هلمن در سال 1987 ارائه شد . با وجود اینکه ایده‌های این الگوریتم ساده‌تر و بسیار هوشمندانه‌تر از الگوریتم آر اس ای است، این سیستم رمزنگاری شکسته شده‌است.
تعریف
روش مرکل-هلمن، یک روش رمزنگاری نامتقارن است. به این معنی که برای ارتباط، به دو کلید نیاز داریم: یک کلید عمومی و یک کلید خصوصی. همچنین بر خلاف الگوریتم RSA، یک طرفه است. یعنی از کلید عمومی فقط برای رمزنگاری و از کلید خصوصی فقط برای رمز گشایی استفاده می‌شود.بنابراین توسط امضای دیجیتال تصدیق نمی‌شود.
سیستم مرکل-هلمن بر پایه‌ی مسئله جمع زیرمجموعه‌ها ( نوع خاصی از مسئله کوله‌پشتی ) بناشده است. مسئله جمع زیر مجموعه‌ها از این قرار است: مجموعه‌ای از اعداد به نام و عددی به نام داده شده‌اند. زیر مجموعه‌ای از را بیابید که جمع اعضایش برابر با شود. در حالت کلی، این مسئله NP کامل است. اما اگر مجموعه‌ی اعداد (یا همان کوله پشتی) سوپر افزایشی باشد، مسئله در زمان چندجمله‌ای با استفاده از الگوریتم حریصانه قابل حل می‌شود. منظور از سوپر افزایشی این است که: هر عضو در مجموعه، از جمع اعضای قبل از آن اکیدا بزرگتر باشد.
تولید کلید
در سیستم مرکل-هلمن، کلیدها همان کوله پشتی‌ها هستند. کلید عمومی یک کوله پشتی سخت و کلید خصوصی یک کوله پشتی آسان، یا سوپرافزایشی، است. اما برای کلید خصوصی، از تغییر هوشمندانه‌ای استفاده می‌کنیم: با استفاده از یک ضریب و یک پیمانه . به این ترتیب که هر عدد دلخواه را به عدد: تبدیل می‌کنیم. این تبدیل یک کوله پشتی ساده از نوع سوپرافزایشی را به یک کوله پشتی سخت تبدیل می‌کند. بار دیگر از اعداد و برای تبدیل جمع زیرمجموعه‌ی مسئله‌ی سخت به جمع زیر مجموعه‌ی مسئله‌ی ساده، که در زمان چندجمله‌ای حل می‌شود، استفاده می‌شود.
رمز نگاری
برای رمز کردن یک پیغام، زیر مجموعه‌ای از کوله پشتی سخت انتخاب می‌شود. به این ترتیب که متن را که در قالب تعدادی 0 و 1 نمایش داده می‌شود با مسئله‌ی کوله پشتی‌ای با طول مشابه مقایسه می‌کنیم. اگر در جایگاه‌ام متن، 1 دیدیم، شی شماره را انتخاب می‌کنیم و در غیر این صورت انتخاب نمی‌شود. اعضای زیرمجموعه‌ی انتخاب شده با هم جمع کرده، و جمع نهایی همان پیام رمز شده‌است.
رمز گشایی
رمز گشایی پیغام به این صورت انجام می‌گیرد: ضریب و پیمانه‌ای که برای تبدیل کوله پشتی ساده به سخت، استفاده شدند، می‌توانند برای تبدیل پیام رمز شده به جمع اعضای مورد نظر کوله پشتی سوپرافزایشی نیز مورد استفاده قرار گیرند. سپس با استفاده از یک الگوریتم حریصانه‌ی ساده، مسئله‌ی کوله پشتی آسان با مرتبه‌ی زمانی O(n) حل می‌شود و پیغام رمزگشایی می‌شود.
روش ریاضی
تولید کلید
برای رمز نگاری پیام‌های n- بیتی، یک رشته‌ی سوپرافزایشی مانند
را انتخاب کنید که از عدد طبیعی ناصفر تشکیل شده‌است. سپس دو عدد صحیح تصادفی و را طوری انتخاب کنید که :
و بزرگترین مقسوم علیه مشترک و برابر با 1 باشد. (یعنی دو عدد نسبت به هم اول باشند.)
به گونه‌ای انتخاب شده که پیام رمز شده به‌طور یکتا تعیین شود. اگر کوچکتر از این مقدار باشد، ممکن است بیش از یک پیام به یک رمز تبدیل شوند. هم باید نسبت به q اول باشد، در غیر این صورت به پیمانه‌ی وارون نخواهد داشت. وجود وارون برای رمزگشایی ضروری است.
حال رشته‌ی  را محاسبه کنید :
که
. کلید عمومی
و کلید خصوصی
است.
رمز نگاری
برای رمزکردن یک پیام n-بیتی:
که
بیت
ام پیام است و
، مقدار:
را محاسبه کنید. پیام رمز شده همان است.
رمز گشایی
برای رمزگشایی پیام رمز شده‌ی ، دریافت‌کننده‌ی پیام باید بیت‌های را پیدا کند، طوری که:
این مسئله در صورتی که‌ها مقادیری تصادفی باشند، بسیار دشوار است. زیرا دریافت‌کننده‌ی پیام باید مسئله‌ای از نوع جمع زیرمجموعه‌ها را حل کند، که در حالت کلی NP-سخت است. اما‌ها طوری انتخاب شده‌اند که اگر کلید خصوصی معلوم باشد، پیام به سادگی رمز گشایی شود.
برای رمزگشایی، باید عدد صحیح را طوری بیابیم که وارون پیمانه‌ای  به پیمانه‌ی باشد. یعنی در نامساوی:
صدق می‌کند یا به عبارتی، عدد صحیح وجود دارد طوری که:
از آنجایی که طوری انتخاب شده بود که ، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته می‌توان و را محاسبه نمود. سپس دریافت‌کننده‌ی پیام، محاسبات زیر را انجام می‌دهد:
بنابراین:
از آنجایی که و داریم:
بنابراین:
مجموع تمام مقادیر کوچکتر از است. بنابراین هم در بازه‌ی قرار دارد. بنابراین دریافت‌کننده‌ی پیام، باید مسئله‌ی جمع زیر مجموعه‌ها ی زیر را حل کند:
مسئله ساده است زیرا یک دنباله‌ی سوپرافزایشی است. بزرگترین عضو را در نظر بگیرید؛ فرض کنیم باشد. اگر باشد، و در غیر اینصورت است. سپس را از کم کنید و این مراحل را تکرار کنید تا به‌طور کامل بدست آید.
مثال
در ابتدا، یک دنباله‌ی سوپر افزایشی می‌سازیم و آن را نام‌گذاری می‌کنیم:
این پایه‌ی کلید خصوصی است. از این دنباله، جمع اعضا را محاسبه کنید:
سپس عدد را طوری انتخاب کنید که بزرگتر از مجموع باشد:
همچنین عدد را طوری انتخاب کنید که در محدوده‌ی بوده و نسبت به q اول باشد:
کلید خصوصی از ، و تشکیل شده‌است.
برای محاسبه‌ی کلید عمومی، دنباله‌ی را با ضرب کردن هر عضو در و باقی‌مانده گرفتن نسبت به بدست می‌آوریم:
زیرا:
دنباله‌ی ، کلید عمومی را می‌سازد.
برای مثال فرض کنید آلیس می‌خواهد رشته‌ی را رمز کند. ابتدا باید را به صورت دودویی نمایش داده، به رشته‌ای از 0 و 1 تبدیل کند. (با استفاده از ASCII یا UTF-8 )
او بیت ام را در عضو شماره از دنباله‌ی ضرب کرده، آن‌ها را با هم جمع می‌کند:
و در نهایت عدد بدست آمده، یعنی 1129 را به دریافت‌کننده‌ی پیام می‌فرستد.
باب برای رمزگشایی پیام، عدد 1129 را در ضرب می‌کند. (برای اطلاعات بیشار وارون پیمانه‌ای را ببینید.)
حال باب بزرگترین عضو را که کمتر یا مساوی 372 باشد، انتخاب می‌کند. آن را از 372 کم می‌کند (باقی‌مانده را بنامید) و به‌طور مشابه ادامه می‌دهد. یعنی بزرگترین عضور از را که کوچکتر یا مساوی باشد انتخاب می‌کند و این فرایند را تا زمانی که به باقی‌مانده‌ی 0 برسد ادامه می‌دهد:
اعضایی که از کلید خصوصی انتخاب کردیم، متناظر با بیت‌های یک پیام
بودند. وقتی از حالت دودویی به رشته‌ای از حروف تبدیل می‌شود، مشاهده می‌شود پیام دریافتی به درستی رمزگشایی شده و همان پیام فرستاده شده‌است.