فرمول لایب‌نیتز برای دترمینان

در جبر، فرمول لایب‌نیتز ، دترمینان یک ماتریس مربعی را نشان می‌دهد. فرمول به افتخار گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دان آلمانی نام‌گذاری شده است و عبارت است از:
برای یک ماتریس n×n که sgn تابع علامت مخصوص جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌های S n است که مقدار +۱ یا -۱ را به ترتیب برای جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌های فرد برمی‌گرداند.
یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:
که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.
اثبات
قضیه
تنها یک تابع چون
وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازای ماتریس همانی برابر است با ۱:
یکتایی: فرض می‌کنیم که چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم که یک ماتریس است. را به عنوان ام از ماتریس می‌خوانیم به عنوان مثال . بنابراین داریم:
هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که ستون ام از ماتریس یکه را نشان دهد.
حال می‌توانیم هر یک از ستون‌های را بر حسب نمایش دهیم:
از آن‌جا که خطی است داریم:
\begin{align
F(A)- = F\left(\sum_{k_1 = 1^n a_{k_1^1 E^{k_1, A^2, \dots, A^n\right)\\
- = \sum_{k_1 = 1^n a_{k_1^1 F\left(E^{k_1, A^2, \dots, A^n\right)\\
- = \sum_{k_1 = 1^n a_{k_1^1 \sum_{k_2 = 1^n a_{k_2^2 F\left(E^{k_1, E^{k_2, A^3, \dots, A^n\right)\\
- = \sum_{k_1, k_2 = 1^n \left(\prod_{i = 1^2 a_{k_i^i\right) F\left(E^{k_1, E^{k_2, A^3, \dots, A^n\right)\\
- = \cdots\\
- = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1^n \left(\prod_{i = 1^n a_{k_i^i\right) F\left(E^{k_1, \dots, E^{k_n\right).
\end{align
از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر آن‌گاه:
\begin{align\\
F\left(\dots,E^{k_1,\dots,E^{k_2,\dots\right) -= -F\left(\dots,E^{k_2,\dots,E^{k_1,\dots\right)\\
F\left(\dots,E^{k_1,\dots,E^{k_2,\dots\right) -= -F\left(\dots,E^{k_1,\dots,E^{k_2,\dots\right)\\
F\left(\dots,E^{k_1,\dots,E^{k_2,\dots\right) -= 0
\end{align
As the above sum takes into account all the possible choices of ordered -tuples ، and because implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as
Because F is alternating, the columns can be swapped until it becomes the identity. The sign function is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:
\begin{align
F(A)- = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1^n a_{\sigma(i)^i\right) F(I)\\
- = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) \prod_{i = 1^n a_{\sigma(i)^i
\end{align
as is required to be equal to .
Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with .
Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.
Multilinear:
\begin{align
F(A^0, \dots, cA^j, \dots) - = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) ca_{\sigma(j)^j\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\\
- = c \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) a_{\sigma(j)^j\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\\
-=c F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
F(A^0, \dots, b+A^j, \dots) - = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma)\left(b_j + a_{\sigma(j)^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\\
- = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma)
\left( \left(b_j\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\right) + \left(a_{\sigma(j)^j\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\right)\right)\\
- = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) b_j\prod_{i = 1, i \neq j^n a_{\sigma(i)^i\right)
+ \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) \prod_{i = 1^n a_{\sigma(i)^i\right)\\
-= F(A^0, \dots, b, \dots) + F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\end{align
Alternating:
\begin{align
F(\dots, A^{j_1, \dots, A^{j_2, \dots)
- = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2^n a_{\sigma(i)^i\right) a_{\sigma(j_1)^{j_1 a_{\sigma(j_2)^{j_2\\
\end{align
Now let be the tuple equal to with the and indices switched. It follows from the definition of that .
\begin{align\\
F(\dots, A^{j_1, \dots, A^{j_2, \dots)
- = \sum_{\omega \in \mathfrak S_n -\sgn(\omega) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2^n a_{\omega(i)^i\right) a_{\omega(j_1)^{j_1 a_{\omega(j_2)^{j_2\\
- = -F(\dots, A^{j_2, \dots, A^{j_1, \dots)\\
\end{align
Finally، :
\begin{align\\
F(I) - = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n \sgn(\sigma) \prod_{i = 1^n I_{\sigma(i)^i\\
- = \sum_{\sigma = (1,2,\dots,n) \prod_{i = 1^n I_{i^i\\
- = 1
\end{align
Thus the only functions which are multilinear alternating with are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function
with these three properties.
References
Determinant
Lloyd N. Trefethen and David Bau، Numerical Linear Algebra (SIAM، 1997).