مجموعه‌های فازی

مجموعه‌های فازی از تعمیم نظریه کلاسیک مجموعه‌ها حاصل می‌آید که در منطق فازی کاربرد دارد. تئوری این مجموعه‌ها توسط لطفعلی عسکرزاده (که در جوامع علمی به Lotfi A. Zadeh معروف است) ابداع گردید.
مجموعه فازی
مجموعه فازی براساس تابع عضویت تعریف می‌شود که تصویر مجموعه فراگیر در بازه صفر و یک است.
هر یک از اعضا درجه عضویت دارند. مجموعه فازی از تعمیم و عمومیت دادن تئوری مجموعه‌های کلاسیک ایجاد شد. در تئوری مجموعه‌های کلاسیک، عضویت اعضا در یک مجموعه به صورت جملات باینری بر اساس شرط دودوئی تعیین می‌شوند که یک عضو یا به مجموعه تعلق دارد یا ندارد. در حالی که در تئوری فازی درجات نسبی عضویت اعضا در مجموعه مجاز است.
تابع و درجه عضویت
تابع عضویت تابعی است از تصویر مجموعه کلی به Ù نسبت به بازه بسته 0،1. مجموعه فازی A با تابع عضویت A در U تعریف شده‌است.
عددی که تابع به هر عضو ارزش‌دهی می‌نماید درجه عضویت آن عضو در آن مجموعه را مشخص می‌سازد.اگر درجه عضویت یک عنصر از مجموعه برابر با صفر باشد آن عضو کاملا از مجموعه خارج است واگر درجه عضویت یک عضو برابر با یک باشدآن عضو کاملا در مجموعه قرار دارد می‌توان نتیجه گرفت مجموعه کلاسیک یک حالت مجموعه فازی یعنی زیرمجموعه مجموعه فازی است. و حال اگر درجه عضویت یک عضو مابین صفر و یک باشد این عدد بیانگر درجه عضویت تدریجی می‌باشد.
از لحاظ مفهومی در ضمن می‌تواند هر مجموعه بصورت تداخلی با درجه‌ای در مجموعه دیگر قرار گیرد.
مثلا در متغیر زبانی سن صفت جوانی را مد نظر بگیریم حال با توجه به انتخاب تابع عضویت مانند گاوسیان صفت میان سالی با درجه عضویت کم می‌تواند در مجموعه صفت جوانی قرار گیرد و صفت پیری نیز با درجه عضویت کمتری در مجموعه صفت جوانی ظاهر می‌شود.
عضو پشتیبان
اعضای ازمجموعه اصلی‌اند برای آن‌ها درجه عضویت غیر صفر براساس تابع عضویت تعیین می‌گردد درواقع حامی وپشتیبان مجموعه فازی‌اند.
آلفا برشها:
فرض کنیم A یک مجموعه فازی باشد برای این مجموعه برشهای آلفا را تعریف می‌کنیم.(آلفا برش A برابر است با xهایی که مجموعه عضویت xها بزرگتر از آلفا باشد.)
برش آلفا
مجموعه‌ای از تمام عناصر مربوط به دامنه‌ای از مجموعه اصلی با درجه عضویت آلفا یا بزرگتر از آن.
کانون
اعضای کانون اعضایی از مجموعه اصلی‌اند که برای آن‌ها درجه عضویت، براساس تابع عضویت برابر «یک» ارزشدهی می‌شود.
بلندی
دامنه فوقانی درجات عضویت را گویند درحالت استاندارد برابر"یک" است.
مجموعه مساوی یا تراز
مجموعه‌ای که درجات عضویت آن با درجات عضویت مجموعه مورد نظر برابر است.
زیرمجموعه
مجموعه‌ای که تمامی درجات عضویت آن ازدرجات عضویت مجموعه موردنظر کمتراست.
مجموعه تهی فازی
مجموعه مجموعه فازی  است که برای تمامی عناصر آن، ارزش تابع عضویت صفر باشد .
اعمال اساسی مجموعه‌ها
اجتماع : اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با ماکزیمم تابع عضویت مجموعه B,A و آن را به صورتA∪B(x) نشان می‌دهیم.
A∪B(x) = max(A(x),B(x))
اشتراک : اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آن‌ها برابر است با مینیمم تابع عضویت مجموعه B,A و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
A∩B(x) = min(A(x),B(x))
متمم : اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم مجموعهA حاصل کسر تمام اعضای A ازیک است و آن را با Ā یا not A(x) نشان می‌دهند.
Ā(x) = 1-A(x))
خواص اعمال مجموعه‌ای
اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع، اشتراک، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.
بافرض Aو B و C به ترتیب توابع عضویت برای مجموعه‌های فازیAو BوC از مجموعه کل p باشد:
x = A(p),
y = B(p)
z = C(p)
دارای خاصیت جابجایی‌اند.
خاصیت جابجایی اجتماع :A ∪ B = B ∪ A در مجموعه فازی Max(A,B)=Max(B,A)
خاصیت جابجایی اشتراک A∩B = B∩A در مجموعه فازی Min(A,B)=MIN(B,A)
شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
max(x,max(y,z)) = max(max(x,y),z)
min(x,min(y,z)) = min(min(x,y),z)
متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است:
1 - (1 - x) = x
اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی نیست و اجتماع آن‌ها باهم برابر مجموعه عناصر (S) نمی‌باشد.
قوانین دمورگان ( ́AUB) ́ = (A ́∩B) یا ( ́A∩B) ́ = (A ́UB)
تفاوت مجموعه کلاسیک و مجموعه فازی
دلیل اصلی تقسیم بندی مجموعه کلاسیک و مجموعه فازی با وجود تشابهات خاص، عدم تبعیت بعضی از قوانین است:
در تئوری مجموعه فازی توابع عضویت بکار می‌رود .
اشتراک مجموعه با متممش خالی نیست. ( نفی قانون «طرد شق ثالث» یا «استحاله ارتفاع نقیضین The law of excluded middle)
اجتماع مجموعه با متممش برابربایک مجموعه کل نیست. نفی قانون عدم تضاد contradiction
منطق فازی