کانولوشن

Convolution of two square pulses: the resulting waveform is a triangular pulse. The integral of their product is the area of the yellow region.
Convolution of a square pulse (as input signal) with the impulse response of an RC circuit in order to obtain the output signal waveform. The integral of their product is the area of the yellow region.
کانولوشن یا همگشت در ریاضیات یا به‌طور دقیق‌تر آنالیز تابعی، یک عملگر ریاضی است که بر روی دو تابع f و g عمل کرده، و تابع سومی را تولید می‌کند که می‌توان به عنوان نسخه تصحیح شده یکی از دو تابع اصلی نگریسته شود. کانولوشن مشابه تابع هم بستگی است. کاربردهای این عملگر شامل آمار، بینایی رایانه‌ای، پردازش تصویر، پردازش سیگنال، مهندسی برق و معادلات دیفرانسیل می‌شود.
کانولوشن (همگشت) را می‌توان برای توابعی از گروه‌های غیر از فضای اقلیدسی تعریف کرد. در حالت خاص، کانولوشن حلقوی را می‌توان برای توابع متناوب (یعنی توابع روی دایره) تعریف کرد، و کانولوشن گسسته را می‌توان برای توابع مجموعه اعداد صحیح تعریف کرد. چنین تعمیم‌هایی از کانولوشن دارای کاربردهایی در زمینه تحلیل عددی، جبر خطی عددی، و در طراحی و اجرای فیلترهای پاسخ ضربه محدود در پردازش سیگنال دارند.
محاسبه معکوس کانولوشن (همگشت)، دکانولوشن نام دارد.
تاریخچه
عمل
به ازای
حالت خاص ضرب ترکیبی است که ریاضیدان ایتالیایی ویتو ولترا آن را مطرح کرده‌است.
کانولوشن اصولا به نام "faltung" (که همان folding انگلیسی باشد)، توسط یک ریاضیدان آلمانی به نام گوستاو دوچ معرفی شد.
تعریف
کانولوشن (همگشت) ƒ و g به صورت ƒ*g نوشته می‌شود. این تعریف به صورت انتگرال حاصلضرب دو تابع که یکی از آن‌ها برعکس شده و روی یکدیگر می‌لغزند تعریف می‌شود. با این تعریف، کانولوشن یک نوع خاص از تبدیل انتگرالی است
(commutativity)
با این که t در رابطه بالا مورد استفاده قرار گرفته‌است، لزومی برای کار در دامنه زمان نداریم؛ ولی در متون علمی، فرمول کانولوشن را می‌توان به عنوان میانگین وزنی تابع (ƒ( با مومنتوم t در نظر بگیریم که وزن‌ها توسط (g(− به اندازه t جابجا می‌شوند (لغزش می‌کنند). با تغییر t، تابع وزنی قیمت هاب مختلف تابع ورودی را برجسته می‌کند. به‌طور کلی، اگر f و g بر روی R d توابع با مقدار مختلط باشند، آنگاه کانولوشن را می‌توان به صورت انتگرال زیر تعریف کرد:
شرح تصویری کانولوشن
۱. بیان هر تابع بر حسب متغیر زائد .
معکوس کردن یکی از توابع: → .
افزودن فاصله زمانی(t) که را در راستای محور جابجا می‌کند.
با شروع t از ∞- تا ∞+. هر زمان که دو تابع با هم برخورد کردند، انتگرال حاصلضرب آن‌ها را پیدا کنید. به عبارت دیگر، میانگین وزنی تابع متحرک را زمانی که تابع وزنی آن تعریف شده باشد را بدست آورید.
شکل موج بدست آمده (که در اینجا نمایش داده نشده‌است) کانولوشن تابع f و g است. اگر (f(t تابع ضربه باشد، نتیجه این عمل همان (g(t خواهد بود، که پاسخ ضربه نامیده می‌شود.
400px
کانولوشن (همگشت) دایره‌ای
وقتی یک تابع g T متناوب باشد (که T دوره تناوب آن است)، آنگاه برای تابع ƒ (به‌طوری‌که ƒ∗g T وجود داشته باشد)، کانولوشن نیز متناوب و یکتا خواهد بود:
که t o یک مقدار انتخاب است. جمع، یک بسط متناوب از تابع ƒ خوانده می‌شود.
اگر g T بسط متناوب یک تابع دیگر (مثلا g) باشد، آنگاه رابطه ƒ∗g T را کانولوشن دایره‌ای ƒ و g می‌نامند.
کانولوشن گسسته
برای توابع دارای مقدار مختلط ƒ، g بر روی مجموعه اعداد صحیح Z تعریف شده‌است، انتگرال گسسته ƒ و g با رابطه زیر بدست می‌آید:
(جابجا پذیری)
زمانی که دو چندجمله‌ای را ضرب می‌کنیم، ضرایب حاصلضرب توسط کانولوشن توالی ضرایب اصلی بدست می‌آید، که برای جلوگیری از ایجاد جمله‌های تعریف نشده با عدد صفر بسط داده می‌شوند؛ این عمل تحت عنوان حاصلضرب کوشی ضرایب دو چند جمله‌ای شناخته می‌شود.
کانولوشن گسسته دایره‌ای
وقتی یک تابع g N (با تناوب N) متناوب است، آنگاه برای توابعی مانند ƒ، به‌طوری‌که ƒ∗g N وجود داشته باشد، کانولوشن متناوب و یکتا خواهد بود:
حاصل این مجموع بر روی k را بسط دوره‌ای تابع ƒ می‌نامند.
اگر g N بسط دوره‌ای یک تابع دیگر باشد، g، آنگاه عبارت ƒ∗g N را کانولوشن دایره‌ای ƒ و g می‌نامند.
زمانی که طول زمانی غیرصفر هر دو تابع ƒ و g به محدوده 0, N-۱ مقید شود، آنگاه ƒ∗g N به صورت زیر کاهش خواهد یافت:
نماد برای کانولوشن دایره‌ای یادآور کانولوشن بر روی گروه دایروی یک integers modulo N است.
الگوریتم‌های کانولوشن سریع
در برخی حالات، کانولوشن گسسته می‌تواند به کانولوشن دایره‌ای تبدیل شود تا بتوان از خواص کانولوشن برای اجرای تبدیل سریع توسط کامپیوتر بهره برد. برای مثال، کانولوشن توالی رقمی یک عمل بسیار مهم ضرب اعداد چند رقمی است، که در نتیجه می‌تواند به صورت بهینه‌ای با تکنیک‌های تبدیل پیاده‌سازی شود(; ).
به ازای هر مقدار خروجی به N عمل محاسباتی نیاز دارد و در نتیجه N 2 عمل برای N خروجی؛ که این مقدار محاسبات با استفاده از هر کدام از الگوریتم‌های سریع به‌طور چشمگیری می‌تواند کاهش یابد. پردازش سیگنال دیجیتال و دیگر کاربردهای مهندسی معمولا از الگوریتم‌های کانولوشن سریع برای کاهش هزینه محاسبات کانولوشن با پیچیدگی از درجه O(N log N) استفاده می‌کنند.
مرسوم‌ترین الگوریتم کانولوشن سریع، از الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع (FFT) قضیه کانولوشن دایره‌ای استفاده استفاده می‌کنند. در حالت خاص، کانولوشن دایره‌ای دو توالی با طول محدود را می‌توان با اعمال FFT هر کدام، ضرب نقطه به نقطه، و سپس اعمال FFT معکوس بدست آورد. در نتیجه انواع کانولوشن تعریف شده در بالا را به صورت بهینه می‌توان با استفاده از تکنیک‌هایی همراه با افزودن و/یا کاهش صفر خروجی پیاده‌سازی کرد. الگوریتم‌های کانولوشن سریع دیگر، مثل الگورستم شون هاگه- اشتقاسن، نیز از تبدیل فوریه سریع در حلقه دیگ استفاده می‌کنند.
دامنه تعریف
کانولوشن دو تابع با مقدار مختلط بر روی R d
خوش تعریف است، تنها اگر ƒ و g به اندازه کافی در بینهایت افت سریع خواهد داشت که انتگرال آن وجود داشته باشد. شرایط وجود کانولوشن تا حدودی ما را به اشتباه می‌اندازد، زیرا یک انفجار (blow up) در تابع g در بینهایت به راحتی با افت سریع تابع ƒ در بینهایت جبران می‌شود. در نتیجه مسئله وجود کانولوشن شامل شرایط دیگری بر روی ƒ و g می‌شود.
توابع کاملا پشتیبان شده
اگر ƒ و g توابع ریاضی کاملا پشتیبان شده باشند، آنگاه کانولوشن آن‌ها وجود دارد، و همچنین تابع بدست آمده کاملا پشتیبانی شده و پیوسته می‌باشد . اصولا اگر یکی از توابع (مثلا ƒ) کاملا پشتیبانی شده و دیگری انتگرال پذیر بومی باشد، آنگاه ƒ∗g خوش تعریف و پیوسته خواهد بود.
توابع انتگرال پذیر
کانولوشن ƒ و g وجود دارد اگر ƒ و g هر دو توابع انتگرال پذیر لبسگو (در L 1 ( R d )) باشند؛ در این حالت ƒ∗g نیز انتگرال پذیر است . این بیان، یک نتیجه‌گیری از قضیه تونلی است. به همین صورت، اگر ƒ ∈ L 1 ( R d ) و g ∈ L p ( R d ) که ۱ ≤ p ≤ ∞، آنگاه ƒ∗g ∈ L p ( R d ) و
در حالت خاص p= ۱، شاین رابطه نشا می‌دهد که L 1 یک جبر باناچ تحت کانولوشن است (و تساوی دو طرف برقرار است اگر f و g در تمام نقاط غیر منفی باشند).
به‌طور کلی‌تر، نامساوی یونگ بیان می‌کند که کانولوشن یک نگاشت دوطرفه پیوسته بین فضاهای L p مناسب است. به‌طور خاص، اگر ۱ ≤ p,q,r ≤ ∞ رابطه زیر را ارضا کنند
آنگاه
در نتیجه، کانولوشن نگاشت دوطرفه پیوسته از L p ×L q به L r است.
توابع با نزول سریع
علاوه بر توابع با پشتیبانی کامل و توابع انتگرال پذیر، توابعی که دارای سرعت نزول سریع در بینهایت هستند نیز می‌توانند تحت کانولوشن قرار بگیرند. یکی از ویژگی‌های مهم کانولوشن آن است که اگر ƒ و g هر دو سریعا نزولی باشند، آنگاه ƒ∗g نیز به سرعت نزول می‌کند. با در نظر گرفتن این واقعیت که کانولوشن معمولا با دیفرانسیل‌گیری همراه است (به خصوصیات مراجعه کنید)، باعث می‌شود که کلاس توابع شوارتز تحت کانولوشن بسته باشند.
توزیع‌ها
تحت برخی شرایط، می‌توان کانولوشن یک تابع با یک توزیع، یا دو توزیع را تعریف کرد. اگر ƒ یک تابع کاملا پشتیبانی شده باشد و g یک توزیع باشد، آنگاه ƒ∗g یک تابع نرم است که توسط فرمول توزیعی زیر تعریف می‌شود
در حالت کلی‌تر، می‌توان تعریف کانولوشن را بسط داد که به‌طور یکتا، قانون زیر حتی در حالتی که ƒ یک توزیع باشد، و g یک توزیع کاملا پشتیبانی شده در نظر بگیریم، بر قرار باشد :
اندازه‌ها
کانولوشن هر دو اندازه بورل  و  از تغییر محدود، اندازه  است که با رابطه زیر تعریف می‌شود:
این رابطه زمانی که  و  را توزیع در نظر بگیریم با کانولوشن‌های تعریف شده در بالا مطابقت دارد؛ همچنین برای کانولوشن توابع L 1 وقتی که  و  نسبت به اندازه لبسگو مطلقا پیوسته باشند.
همچنین، کانولوشن اندازه‌ها نسخه دیگری از نامعادله یونگ که در زیر آمده‌است را ارضا می‌کنند
که نرم، تغییر کلی اندازه است. از آنجا که فضای اندازه تغییر محدود یک فضای باناخ است، با کانولوشن اندازه می‌توان مشابه روش‌های استاندارد تحلیل تابعی که قابل اعمال به توزیع‌ها نیست برخورد کرد.
خواص
خواص جبری
کانولوشن یک ضرب را بر روی فضای برداری توابع انتگرال پذیر است. این حاصلضرب خواص ریاضی زیر را ارضا می‌کند، که به معنی آن است که فضای توابع انتگرال پذیر با حاصل کانولوشن یک جبر جابجا پذیر است بدون عنصر خنثی . دیگر فضاهای برداری توابع، مثل فضای توابع پیوسته کاملا پشتیبانی شده، تحت کانولوشن بسته هستند، و در نتیجه جزء جبرهای جابجاپذیر هستند.
جابجایی
انجمنی
توزیع پذیری
؛ خاصیت انجمنی با یک عدد اسکالر
به ازای هر عدد حقیقی (مختلط)
خنثی در ضرب
هیچ عمل جبری توابع، یک عامل خنثی در ضرب را برای کانولوشن ایجاد نمی‌کنند. کمبود عامل خنثی در ضرب عملا مشکل بزرگی به حساب نمی‌آید، زیرا زیرا اکثر توابعی که کانولوشن روی آن‌ها انجام می‌شود را می‌توان با یک توزیع دیراک مورد کانولوشن قرار داد، یا حداقل (مثلا برای حالت L 1 ) می‌توان تقریبی از عامل خنثی را برای آن در نظر گرفت . ولی فضای برداری توزیع‌های کاملا پشتیبانی شده، اجازه حضور عامل خنثی در ضرب را تحت کانولوشن به ما می‌دهند. به خصوص اینکه
که  توزیع دلتا است.
؛ عنصر معکوس
برخی توزیع‌ها برای کانولوشن یک عنصر معکوس دارند، S −1 ، که با رابطه زیر تعریف می‌شوند
مجموعه‌ای از توزیع‌های معکوس پذیر یک گروه آبلی را تحت کانولوشن تشکیل می‌دهند.
مزدوج مختلط؛
انتگرال‌گیری
اگر ƒ و g توابع انتگرال پذیر باشند، آنگاه انتگرال کانولوشن آن‌ها در تمام فضا، از حاصلضرب انتگرال آن‌ها بدست می‌آید:
این رابطه از قضیه فوبینی بر گرفته شده‌است. نتیجه مشابهی نیز برقرار است در صورتی که ƒ و g فقط توابع قابل اندازه‌گیری غیر منفی باشند توسط قضیه تونلی بیان می‌شود.
دیفرانسیل‌گیری
در حالت یک متغیری داریم
که d/dx همان مشتق است. به‌طور کلی، در حالتی که توابعی از متغیرهای مختلف داشته باشیم، فرمول مشابهی با استفاده از مشتق پاره‌ای برقرار است
یک نتیجه خاص این رابطه ان است که کانولوشن را می‌توان به شکل یک عمل «هموار کنندگی» نگاه کرد: کانولوشن ƒ و g به تعداد مرتبه‌ای که ƒ و g قابل دیفرانسیل‌گیری هستند، قابل دیفرانسیل‌گیری است.
این خاصیت تحت شرایطی برقرار است که ƒ و g مطلقا انتگرال پذیر باشند و به عنوان یکی از نتایج نامعادله یونگ حداقل یکی از آن‌ها دارای absolutely integrable (L 1 ) weak derivative. برای مثال، زمانی که ƒ مشتق پذیر پیوسته با پشتیبانی کامل باشد، و g یک تابع دلخواه و انتگرال پذیر محدود باشد، آ
These identities also hold much more broadly in the sense of tempered distributions if one of ƒ or g is a compactly supported distribution or a Schwartz function and the other is a tempered distribution. On the other hand, two positive integrable and infinitely differentiable functions may have a nowhere continuous convolution.
In the discrete case, the روش تفاضلات محدود D ƒ(n) = ƒ(n + 1) − ƒ(n) satisfies an analogous relationship:
قضیه کانولوشن
قضیه کانولوشن بیان می‌دارد که:
که بیان‌کننده تبدیل فوریه تابع است، و یک عدد ثابت است که وابسته به نرمالیزه تبدیل فوریه است (به «خوصصیات تبدیل فوریه» مراجعه کنید). برخی نسخه‌های دیگر این قضیه برای تبدیل لاپلاس، تبدیل لاپلاس دوسویه، تبدیل z و تبدیل ملین برقرار است.
همچنین می‌توانید به قضیه کانولوشن تیشمارش که اهمیت کمتری دارد مراجعه کنید.
ترجمه واریانس
کانولوشن با ترجمه همراه می‌شود، به این معنی که
where  x ƒ is the translation of the function ƒ by x defined by
If ƒ is a Schwartz function, then  x ƒ is the convolution with a translated Dirac delta function  x ƒ = ƒ∗ x . So translation invariance of the convolution of Schwartz functions is a consequence of the associativity of convolution.
Furthermore, under certain conditions, convolution is the most general translation invariant operation. Informally speaking, the following holds
Suppose that S is a نقشه طولی acting on functions which commutes with translations: S( x ƒ) =  x (Sƒ) for all x. Then S is given as convolution with a function (or distribution) g S ; that is Sƒ = g S ∗ƒ.
Thus any translation invariant operation can be represented as a convolution. Convolutions play an important role in the study of سیستم تغییرناپذیر با زمان، and especially نظریه سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان. The representing function g S is the پاسخ ضربه of the transformation S.
A more precise version of the theorem quoted above requires specifying the class of functions on which the convolution is defined, and also requires assuming in addition that S must be a continuous linear operator with respect to the appropriate مکان‌شناسی. It is known, for instance, that every continuous translation invariant continuous linear operator on L 1 is the convolution with a finite Borel measure. More generally, every continuous translation invariant continuous linear operator on L p for 1 ≤ p < ∞ is the convolution with a توزیع (ریاضیات) whose تبدیل فوریه is bounded. To wit, they are all given by bounded Fourier multipliers.
کانولوشن بر روی گروه‌ها
If G is a suitable group endowed with a measure , and if f and g are real or complex valued integrable functions on G, then we can define their convolution by
In typical cases of interest G is a locally compact Hausdorff topological group and  is a (left-) Haar measure. In that case, unless G is unimodular, the convolution defined in this way is not the same as . The preference of one over the other is made so that convolution with a fixed function g commutes with left translation in the group:
Furthermore, the convention is also required for consistency with the definition of the convolution of measures given below. However, with a right instead of a left Haar measure, the latter integral is preferred over the former.
On locally compact abelian groups, a version of the convolution theorem holds: the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of the Fourier transforms. The circle group T with the Lebesgue measure is an immediate example. For a fixed g in L 1 ( T ), we have the following familiar operator acting on the فضای هیلبرت L 2 ( T ):
The operator T is compact. A direct calculation shows that its adjoint T* is convolution with
By the commutativity property cited above, T is normal: T*T = TT*. Also, T commutes with the translation operators. Consider the family S of operators consisting of all such convolutions and the translation operators. Then S is a commuting family of normal operators. According to spectral theory, there exists an orthonormal basis {h k that simultaneously diagonalizes S. This characterizes convolutions on the circle. Specifically, we have
which are precisely the characters of T . Each convolution is a compact multiplication operator in this basis. This can be viewed as a version of the convolution theorem discussed above.
A discrete example is a finite گروه دوری of order n. Convolution operators are here represented by circulant matrices, and can be diagonalized by the تبدیل فوریه گسسته.
A similar result holds for compact groups (not necessarily abelian): the matrix coefficients of finite-dimensional unitary representations form an orthonormal basis in L 2 by the Peter-Weyl theorem, and an analog of the convolution theorem continues to hold, along with many other aspects of harmonic analysis that depend on the Fourier transform.
کانولوشن اندازه‌ها
Let G be a topological group.
If  and  are finite Borel measures on a group G, then their convolution ∗ is defined by
for each measurable subset E of G. The convolution is also a finite measure, whose total variation satisfies
In the case when G is locally compact with (left-)Haar measure , and  and  are absolutely continuous with respect to a , so that each has a density function, then the convolution ∗ is also absolutely continuous, and its density function is just the convolution of the two separate density functions.
If  and  are probability measures, then the convolution ∗ is the توزیع احتمال of the sum X + Y of two independent random variables X and Y whose respective distributions are  and .
Bialgebras
Let (X, , ∇, , ) be a bialgebra with comultiplication , multiplication ∇, unit , and counit . The convolution is a product defined on the endomorphism algebra End(X) as follows. Let ,  ∈ End(X), that is, ,: X → X are functions that respect all algebraic structure of X, then the convolution ∗ is defined as the composition
The convolution appears notably in the definition of Hopf algebras . A bialgebra is a Hopf algebra if and only if it has an antipode: an endomorphism S such that
کاربردها
ردپای کانولوشن و عملیات مورد نظر در بسیاری از کاربردهای مهندسی و ریاضی پیداست.
در مهندسی برق، کانولوشن یک تابع (سیگنال ورودی) با یک تابع دوم (پاسخ ضربه) خروجی یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را برمی‌گرداند. خروجی سیستم در هر لحظه برابر با اثر جمعی تمام مقادیر پیشین تابع ورودی است، که آخرین مقادیر معمولا بیشتریت تاثیر را دارند (که با عامل شرب شوندگی بیان می‌شود). تابع پاسخ ضربه این عامل را برای ما مهیا می‌کند که تابعی از اثر مقدار ورودی در زمان‌های گذشته‌است.
در کاربردهای پردازش سیگنال رقمی و پردازش تصویر، تابع ورودی به‌طور کامل در دسترس است و لذا می‌توان هر قسمت از خروجی را بدست آورد. در این نوع، می‌توان از مزیت این که خروجی تنها به چند ورودی اخیر بستگی دارد بهره برد.
کانولوشن هر مولفه فرکانسی را به‌طور مستقل بدون وابستگی به دیگر فرکانس‌ها تقویت و با تضعیف می‌کند.
در آمار، همان‌طور که اخیرا بیان شد، کانولوشن در واقع یک میانگین متحرک وزن دار است.
در تئوری احتمال، توزیع احتمال مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با کانولوشن توزیع‌های مستقل.
در نورشناخت، بسیاری از انواع "بلور" را با کانولوشن بیان می‌کنند. یک سایه (مثلا سایه روی یک میز، زمانی که دست خود را بین میز و نور قرار می‌دهید) را می‌توان کانولوشن یک شکل از منبع نور (که قالب سایه را تشکیل می‌دهد) و یک عنصر (که سایه آن تشکیل می‌شود) دانست. یک عکی خارج از فوکوس، کانولوشن یک عنصر شفاف با لبه‌های تیز با یک نمودار عنبیه مانند است. اصلاح مرسوم برای این حالت را بوکه است.
به‌طور مشابه، در پردازش سیگنال رقمی، فیلتر کانولوشنی نقش مهمی را در الگوریتم‌های تشخیص لبه و کابردهای مشابه بازی می‌کند.
در صداشناسی، یک پژواک کانولوشن صدای اصلی با تابعی است که عناصر بازپس دهنده صدا را توصیف می‌کند.
در همهمه مصنوعی (پردازش سیگنال رقمی، صدای پس زمینه)، کانولوشن برای نگاشت پاسخ ضربه یک اتاق واقعی بر روی سیگنال صوتی رقمی استفاده می‌شود.
In time-resolved fluorescence spectroscopy, the excitation signal can be treated as a chain of delta pulses, and the measured fluorescence is a sum of exponential decays from each delta pulse.
در سیستم‌های برنامه‌ریز درمان رادیویی، قسمت اعظم محاسبات کدها از الگوریتم‌های برهم‌نهی کانولوشن استفاده می‌کنند.
در فیزیک، هر جا که سیستم خطی با "اصل برهم‌نهی" همراه می‌شود، کانولوشن را نیز خواهیم دید.
در سامانه اطلاعات مکانی، پاسخ تقریب هسته‌ای تابع شدت یک الگوی نقطه‌ای، کانولوشن ایزوتروپیک هسته گوسی یک انحراف استاندارد با وزن‌های نقطه‌ای (برای هر نقطه داده) است. می‌توانید به the documentation of the "Kernel Smoothed Intensity of Point Pattern" of the SDA4PP QGIS plugin مراجعه کنید.
نظریه سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان
ماتریس توپلیتس (convolutions can be considered a Toeplitz matrix operation where each row is a shifted copy of the convolution kernel)
Circulant matrix
Cross-correlation
دکانولوشن
ضرب دیریکله
Titchmarsh convolution theorem
Convolution power
پردازش سیگنال پیوسته
Convolution for optical broad-beam responses in scattering media
List of convolutions of probability distributions
Jan Mikusinski