کره ریمان

در ریاضیات، کره ریمان که به نام برنارد ریمان لقب گرفت؛ تنها راه برای نمایش صفحه گسترش یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافه یک نقطه در بینهایت) به‌طوری‌که دقیقا نقطه در بی‌نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می‌شود. کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش یافته است (که می‌توانند در بینهایت تعریف شوند یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی‌نهایت بگیرند). به همین طریق می‌توانند در نقطه بی‌نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند.
از دید هندسی صفحه که با نقاط، خطوط، و زوایا به استثنای فاصله‌ها سروکار دارد، کره ریمان با اضافه کردن یک نقطه در بی‌نهایت که تمام خطوط را قطع می‌کند ساخته می‌شود که در آن نفطه، خطوط موازی مماس بایکدیگر و بقیه خطها با همان زاویه‌ای که در نقطه برخورد موجود دارند یکدیگر را قطع می‌کنند. این هندسه به عنوان هندسه کره دو بعدی شناخته می‌شود که از صفحه گسترش یافته مختلط با استفاده از کنج نگاری شکل گرفته‌است. به فرمی که خطها، در صفحه مختلط به دایره‌هایی از میان بینهایت تبدیل می‌شوند. زاویه‌ها در کره ریمان همان زاویه‌ها در صفحه مختلط هستند (و به همان درستی، زوایا در بی‌نهایت همان زوایا با انتخاب طبیعی بین دو خط می‌باشند.)
از نظر توپولوژیکی کره ریمان فشرده‌سازی تک نقطه‌ای از صفحه مختلط است. کره ریمان را می‌توان به راحتی با یک کره دو بعدی هندسی تعریف کرد .
در نگاه کلی نقطه بی‌نهایت نقش یکسانی در قبال تمام نقاط واقع در صفحه مختلط دارد.
مقدمه هندسی
تعریف می‌کنیم (برای مثال صفحه مختلط گسترش یافته).کره زیمان بر اساس یک تبدیل از به در فرم است.
که
and
ما کره زیمان را به مثابه یک کره در فضای سه بعدی تصور می‌کنیم.مثلا در .
در ارتباط با تبدیل بالا هر نقطه دو مولفه و
است که کره را به خودش تبدیل می‌کند.
کنج نگاری
تناظر یک به یک میان کره (نموده شده بایک دایره )و صفحه مختلط گسترش یافته (نموده شده با یک خط ).
برای بر قراری تناظر یک به یک میان نقاط روی صفحه مختلط گسترش یافته و کره ریمان، ما نخست صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می‌دهیم . و سپس کنج نکاری را از قطب جنوب کره اعمال می‌کنیم .به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحه مختلط و کره را قطع می‌کند را رسم می‌کنیم .که تناظر یک به یک منحصربه‌فرد مطلوب را ایجاد می‌کند.
برای کامل کردن این تناظر یک به یک ما پیرو قاعده بالا قطب جنوب را . قرار می‌دهیم، با توجه به این که قطب شمال است .
تناظر بین صفحه و کره ریمان از راه دیگری نیز ممکن است . به سادگی "وارون" می‌کنیم و صفحه را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحه قرار می‌دهیم، به گونه‌ای که وصل می‌شود به و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می‌دهیم و قطب شمال را تعریف می‌کنیم .حالا هر نقطه روی کره
و همپایه خود را در تبدیل بالا دارد .
شکل سمت راست نمایش دو بعدی کنج نگاری را از سمت راست نشان می‌دهد . با وجود این که شباهت به هم خورده‌ای از نگاشتن به است، مخصوص به کره ریمان نیست .
نوع دیگر از کنج نگاری
روش دیگر کنج نگاری صفحه‌ها را روی خط استوا قرار می‌دهد . اما تقابل آن‌ها را حفظ می‌کند . لذا صفحه‌ها از نطر هندسی متمایز نیستند .
این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است . اما به نظر می‌رسد که در فیزیک محبوب است . برای مثال راجر پنروز در پیشبرد نظریه حافظه پیچشی از آن استفاده کرده‌است .
خصوصیات هندسی مطلب
تبدیلات موبیوس که از به هستند یک خود ریختی از کره ریمان هستند
که ،
، و ad
- bc \neq 0 . اینها کره ریمان رت به خودش می‌نگارند و زاویه‌ها و جهت‌ها را حفظ می‌کنند .
این می‌تواند مستقیما دیده شود، زیرا آن‌ها می‌توانند به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند .
(که r و اعداد حقیقی هستند و یک عدد مختلط است )
اینها مرتب هستند .
اتساعها، چرخشهاو تبدیلهای ابتدایی و وارون‌سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایره واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند .استفاده از
به ما اجازه می‌دهد که درستی آن را در بی‌نهایت چک کنیم .
ساختمان مختلط
ساختمان منیفلد مختلط رو صفحه ریمان به وسیله یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده‌است.
این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می‌افتند . در این روی هم افتادگی تابع‌گذار به صورت z →
1/zداده شده‌است . که به وضوح هلومورفیک است . و بدینگونه ساختمان مختلط را تعریف می‌کند .
کره ریمان همان توپولوژی S 2 را دارد . که کره به شعاع 1 در فضای اقلیدسی R 3 است. یک همومورفیزم بین آن‌ها به وسیله کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحه مختلط داده می‌شود . نقطه‌ها در S 2 بصورت(x 1 ,
x 2 , x 3 ) که همومورفیزم این است:
این، قطب جنوب را به مرکز صفحه مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند .
بر حسب مختصات کروی (,
)، با :
(\theta, \phi)\to
e^{-i\phi\cot\frac{\theta{2.
رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب را به ∞ نقش می‌کند . با فرمول زیر :
یا در مختصات کروی :
(\theta, \phi)\to
e^{i\phi\tan\frac{\theta{2.
خط انعکاسی مختلط
کره ریمان را می‌توان با خط انعکاسی مختلط , , CP 1 فهمید.صریحا با رابطه زیر ایزومورفیزم داده می‌شود:
که مختصات متوافق روی CP 1 هستند، با توجه به اینکه صفحه مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می‌نشیند .
در حالی که نقطه در بینهایت به وسیله در مختصات متوافق داده می‌شود .
خصوصیات
در رده بندی رویه‌های زیمان گروه اتومورفیزم از کره ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است اینها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL 2 C روی
CP 1 هستند .
کره ریمان یکی از سه رویه متصل شده ساده ریمان است. دو تای دیگر صفحه مختلط و صفحه هایپربولیک هستند . این عبارت با قضیه یکنواخت سازی شناخته می‌شود و برای رده بندی رویه‌های ریمان مهم است .
همچنین نگاه کنید به
صفحه مختلط