روش گاوس-سایدل

روش گاوس سایدل در جبر خطی عددی روش تکراری است که برای حل دستگاه معادلات خطی استفاده می‌شود. نام این روش از روی ریاضی‌دانان آلمانی کارل فریدریش گاوس و فیلیپ لودویگ ون سایدل نهاده شده‌است. اگرچه از این روش می‌توان در هر ماتریسی که دارای درایه قطری صفر نباشد استفاده کرد، اما فقط در صورتی همگرایی تضمین می‌شود که ماتریس مثبت معین یا قطری‌غالب باشد.
توضیح
برای یک سیستم مربعی با n معادله خطی و دارای مجهول x داریم:
که در آن:
اگر A را به ماتریس پایین مثلثی و بالا مثلثی L * و U تجزیه کنیم:
معادلات خطی سیستم به شکل زیر بازنویسی خواهند شد:
روش گاوس سایدل از روش تکراری برای حل قسمت چپ عبارت جهت به دست آوردن x بهره می‌برد، و بدین منظور از مقدار قبلی x در سمت راست عبارت استفاده می‌کند. می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:
و با استفاده از خواص ماتریس مثلثی L * می‌توان x (k+1) را به صورت زیر به دست آورد:
در واقع برای محاسبه x i (k+1) به همه عناصر x (k) به جز خود x i (k) نیاز خواهد شد.
محاسبات تا زمانی ادامه داده می‌شود تا در تکراری خاص به خطایی کمتر از مقدار مورد نظر برسیم.
مثال
برای سیستمی که به شکل نمایش می‌دهیم داریم:
A=
\begin{bmatrix
16 - 3 \\
7 - -11 \\
\end{bmatrix
و b=
\begin{bmatrix
11 \\
13
\end{bmatrix.
می‌خواهیم از معادله زیر
به شکل
استفاده کنیم، که در آن:
و
باید به جمع دو ماتریس پایین مثلثی و بالا مثلثی و تجزیه شود:
L_*=
\begin{bmatrix
16 - 0 \\
7 - -11 \\
\end{bmatrix
و U =
\begin{bmatrix
0 - 3 \\
0 - 0
\end{bmatrix.
معکوس برابر است با:
L_*^{-1 =
\begin{bmatrix
16 - 0 \\
7 - -11
\end{bmatrix^{-1
\begin{bmatrix
0.0625 - 0.0000 \\
0.0398 - -0.0909 \\
\end{bmatrix
و حالا می‌توانیم مقدار زیر را پیدا کنیم:
T = -
\begin{bmatrix
0.0625 - 0.0000 \\
0.0398 - -0.0909
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0 - 3 \\
0 - 0
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix,
C=
\begin{bmatrix
0.0625 - 0.0000 \\
0.0398 - -0.0909
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
11 \\
13
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix.
و با استفاده از و مقدار را به صورت تکرار به دست می‌آوریم.
باید مقدار اولیه را به صورت حدس انتخاب کنیم، برای همین فرض می‌کنیم:
x^{(0)=
\begin{bmatrix
1.0 \\
1.0
\end{bmatrix.
حال می‌توانیم محاسبه کنیم:
x^{(1) =
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
1.0 \\
1.0
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.5000 \\
-0.8636
\end{bmatrix.
x^{(2)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.5000 \\
-0.8636
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8494 \\
-0.6413
\end{bmatrix.
x^{(3)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.8494 \\
-0.6413 \\
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8077 \\
-0.6678
\end{bmatrix.
x^{(4)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.8077 \\
-0.6678
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8127 \\
-0.6646
\end{bmatrix.
x^{(5)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.8127 \\
-0.6646
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8121 \\
-0.6650
\end{bmatrix.
x^{(6)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.8121 \\
-0.6650
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8122 \\
-0.6650
\end{bmatrix.
x^{(7)=
\begin{bmatrix
0.000 - -0.1875 \\
0.000 - -0.1193
\end{bmatrix
\times
\begin{bmatrix
0.8122 \\
-0.6650
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.6875 \\
-0.7443
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
0.8122 \\
-0.6650
\end{bmatrix.
و همانگونه که انتظار داشتیم به مقدار دقیق همگرا شد