الگوریتم‌های تصادفی

نحوه عملکرد الگوریتم‌های تصادفی
در این مقاله شما با الگوریتم‌های تصادفی و انواع آن و تاریخچه الگوریتم‌های تصادفی آشنا می‌شوید و همچنین به بررسی و تحلیل الگوریتم‌های تصادفی می‌پردازیم .
در ضمن در انتها چند مثال از الگوریتم‌های تصادفی را بررسی می‌کنیم.
چکیده
بطور خلاصه، تحلیل احتمالی ، استفاده از احتمال در تحلیل مسئله می‌باشد این موضوع معمولا موقعی به کار می‌رود که بدترین حالت اجرای یک الگوریتم دارای احتمال ناچیزی باشد و می‌خواهیم کارایی برنامه را در حالت متوسط بدست بیاوریم و این موضوع را می‌توان با تحلیل احتمالی به راحتی بدست آورد.
الگوریتم تصادفی به الگوریتمی گفته می‌شود که رفتارش نه تنها به اندازه‌ی ورودی بلکه همچنین با مقادیر تولید شده توسط یک مولد تصادفی تعیین می‌شود.بنابراین در این نوع الگوریتم فرض می‌کنیم ماشینی که در آن الگوریتم خود را پیاده سازی می‌کنیم باید قابلیت تولید کننده یاعداد تصادفی را داشته باشد.
الگوریتم تصادفی
الگوریتمی است که در آن ماشین به تولید اعداد تصادفی دسترسی دارد و از آن در الگوریتم خود استفاده می‌کند. این الگوریتم نوعا با هدف بالا بردن کارایی در حالت‌های معمول از یک ورودی دودویی کمکی برای رفتارهای خود استفاده می‌کند. کارایی الگوریتم با یک متغیر تصادفی که به بیت‌های تصادفی داده شده است بستگی دارد و تغییر می‌یابد که باعث مشود امید ریاضی خوبی را شامل شود. احتمال وقوع بدترین حالت بسیار کم است و می‌توان از آن صرفنظر کرد.
میزان نزدیکی به واقعیت در مورد الگوریتم‌های تصادفی
میزان واقعیت الگوریتم‌های تصادفی
همان طور که در شکل سمت چپ مشخص است با افزایش محور افقی و با احتمال نزدیک به ۱۰۰ درصد نتیجه‌ی حاصل نزدیک به واقعیت می‌باشد.
(برای اطلاعات بیشتر از نحوه بدست آوردن این صفحه می‌توانید به لینک آن مراجعه نمایید.)
مرتب‌سازی سریع یکی از مهمترین الگوریتم‌های تصادفی می‌باشد که
وقوع بدترین حالت خیلی کم است و با تحلیل احتمالی این موضوع را نشان می‌دهیم
و همچنین نوع Randomize Quick Sort که یک الگوریتم تصادفی است فقط به ورودی
آرایه‌ای مربوط نمی‌باشد بلکه به یک عدد تصادفی تولید شده نیز مربوط است .
به عنوان مثال فرض کنید در آرایه‌ای که شامل اعداد صفر و یک می‌باشد بطوری که نصف آن‌ها صفر و نیمی دیگر یک هستند می‌خواهیم با عمل جستجو کردن از ابتدای آرایه اولین عنصر با مقدار بک را بیابیم. این مسئله در بدترین حالت باید (N/2) نیمی از خانه‌های آرایه را بررسی کنیم تا اولین یک را پیدا کنیم احتمال وقوع چنین حالتی بسیار کم است .از طرفی در حالت متوسط تعداد عمل جستجو برای این آرایه و پیدا کردن اولین یک کمتر از پیدا کردن اولین یک در حالت بدترین است.
موارد استفاده الگوریتمهای تصادفی
۱.الگوریتم‌های تصادفی بویژه در مواردی استفاده دارند که با یک دشمن یا مهاجم بد خواهی! مواجهیم که از روی عناد ورودی بدی را برای ما فراهم می‌کند(آنالیز رقابتی). به همین دلیل انتخاب تصادفی پایه رمزنگاری را تشکیل می‌دهد. این بدین معنی است که دشمن شما(!) نمی‌تواند با یک ورودی خاص بدترین حالت (Worst Case)شما را پدید بیاورد چون که به اعداد تصادفی تولید شده نیز مربوط می‌باشد.
۲.از الگوریتم‌های تصادفی معمولا برای بررسی پدیده‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرند که در آنها تعداد زیاد باشد.برای مثال واپاشی یک هسته پرتوزا را در نظر می‌گیریم.برای بررسی این پدیده که چه زمانی یک اتم از آن واپاشی می‌کند ناچار به استفاده از احتمال هستیم.یعنی بهتر است بگوییم احتمال واپاشی این اتم چه قدر است.حالا اگر تعداد اتمها زیاد باشد، دیگر مسئله را از طریق تحلیلی نمی‌توان حل کرد.بلکه باید به روش‌های عددی روی آورد.در حقیقت الگوریتم‌های تصادفی، راهی برای حل عددی اینگونه مسائل هستند.
انواع الگوریتم‌های تصادفی
در مثال بالا الگوریتم تصادفی همیشه درست جواب می‌دهد تنها احتمال کوچکی وجود دارد که زمان زیادی برای رسیدن به پاسخ صرف کند. در بعضی مواقع ما از الگوریتم با اجازه دادن ایجاد احتمال کمی خطا انتظار سرعت بالاتر را داریم. الگوریتمهای از نوع اول را لاس وگاس (Las Vegas algorithms) و نوع اخیر را مونت کارلو (Monte Carlo algorithms) می‌نامند. مشاهده می‌کنیم که هر الگوریتم لاس وگاس با گرفتن جوابی احتمالا نادرست در زمانی مشخص و محدود شده به الگوریتم مونت کارلو تبدیل می‌شود.
از الگوریتم‌های تصادفی معمولا برای بررسی پدیده‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرند که در آنها تعداد زیاد باشد.برای مثال واپاشی یک هسته پرتوزا را در نظر می‌گیریم.برای بررسی این پدیده که چه زمانی یک اتم از آن واپاشی می‌کند ناچار به استفاده از احتمال هستیم.یعنی بهتر است بگوییم احتمال واپاشی این اتم چه قدر است.حالا اگر تعداد اتمها زیاد باشد، دیگر مسئله را از طریق تحلیلی نمی‌توان حل کرد.بلکه باید به روش‌های عددی روی آورد.در حقیقت الگوریتم‌های تصادفی، راهی برای حل عددی اینگونه مسائل هستند.
در آزمایشگاه لوس آلاموس در آمریکا دانشمندانی که بر روی پروژه سری منهتن کار می‌کردند، برای بررسی سیستم‌هایی که درآنها تعداد ذرات بالااست، مجبور به ابداع روش یا الگوریتمی شدند که بعدها نام «مونت کارلو» بر آن قرار دادند.این الگوریتم برای نمونه گیری آماری از سیستم‌هایی با تعداد فضای فاز بالا به کار می‌رود.همچنین از این الگوریتم برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال گیری معین استفاده می‌شود.
دو الگوریتم مشهور مونت کارلو عبارتند از:
الگوریتم متروپلیس
الگوریتم مونت کارلو جنبشی یا n-fold way.
این الگوریتم‌ها بیشتر بر این مبنا کار می‌کنند که:ابتدا یک پیکر بندی از سیستم مورد بررسی انتخاب می‌شود.سپس راه‌های موجود برای اینکه سیستم به آنها گذار کند مشخص احتمال آنها محاسبه می‌شود.آنگاه با تولید یک عدد تصادفی احتمالات موجود مورد سنجش قرار می‌گیرند، و سیستم به یکی از حالات ممکن گذار می‌کند.دوباره قسمت دیگری از سیستم انتخاب شده و مراحل قبلی تکرار می‌شود.
مثال: مسئله استخدام
فرض کنید شما به استخدام یک منشی در شرکت خود نیاز دارید و چون تلاش‌های گذشتهی شما بی‌نتیجه مانده است از یک آژانس کاریابی کمک می‌گیرید. این آژانس هر روز برای شما یک داوطلب استخدام می‌فرستد. شما با فرد متقاضی مصاحبه کرده و تصمیم می‌گیرید که او را استخدام کنید یا نه. شما هر بار برای مصاحبه با یک نفر باید مبلغ کمی به آژانس پرداخت کنید. شما می‌خواهید هر بار بهترین فرد ممکن را به عنوان منشی استخدام کنید و این کار با اخراج منشی قبلی و استخدام فرد جدید و پرداخت پول هم راه است. برای آن که همیشه بهترین فرد منشی استخدامی شما باشد بعد از مصاحبه با هر نفر اگر او از فرد قبلی بهتر بود او را استخدام می‌کنید. شما می‌خواهید هزینه این کار را قبل از شروع استخدام تخمین بزنید.
در زیر یک الگوریتم ساده که گویای این عملیات است ارائه شده است:
پرونده:hiring.jpg
مصاحبه کردن برای استخدام قیمت کمی را در بر دارد که آن را با ci عنوان می‌کنیم ولی آگهی استخدام قیمت بالایی در بر دارد که با ch نشان می‌دهیم. اگر از بین n نفر m تایشان استخدام شوند هزینه کل از O(nci + Onch) l است.
در بدترین حالت ما باید همه داوطلبان را استخدام کنیم که هزینه از O(nch)l می‌شود.
برای آن که بتوانیم متوسط هزینه استخدام را تخمین بزنیم فرض می‌کنیم داوطلبان به صورت رندوم می‌آیند. این به این معناست که ما گویی قبل از ورود داوطلبان جایگاه هر کدام از نظر خوب‌تر بودن را به ترتیب می‌دانیم و هرروز به صورت رندوم از میان این n نفر یکی را انتخاب می‌کنیم.(می‌دانیم که این انتخاب ما به صورت رندوم یک انتخاب خوب است) برای محاسبه هزینه میانگین با این توضیحات از ایده متغیر تصادفی استفاده می‌کنیم.
تحلیل
X را یک متغیر تصادفی می‌گیریم که برابر است با تعداد دفعاتی که ما یک منشی استخدام می‌کنیم. می‌دانیم:
پرونده:Sigma1.jpg
ولی محاسبه این سیگما هنوز مشکل است. پس X را به n متغیر تصادفی دیگر تقسیم می‌کنیم.
پرونده:I1.jpg
و می‌دانیم:
پرونده:Sum.jpg
طبق قوانین ریاضی می‌نویسیم:
پرونده:Sigma2.jpg