جدول ارزش

در منطق، جدول ارزش یا جدول درستی (Truth table) به جدولی اطلاق می‌شود، که در آن درستی و نادرستی گزاره‌ها درج گردد. منظور از درستی یا صدق در هر گزاره، مطابقت آن با واقع؛ و منظور از نادرستی یا کذب عدم مطابقت آن با واقع است. هر گزاره درست در این جدول‌ها با «د» یا «T» و هر گزاره غلط با «ن» یا «F» نشان داده می‌شود.
عملگرهای یگانی(تک ورودی)
همانی
عملگر همانی ورودی را بدون تغیر به خروجی می‌برد.
+ عملگر همانی
p
p
د
د
ن
ن
نقیض
نقیض عملگری است که هرگاه قضیه‌ای (گزاره‌ای) صادق و درست باشد، آن را به قضیه‌ای کاذب و نادرست تبدیل خواهد کرد. معمولا نقیض گزاره p را با عبارت « ~p» یا « p» نشان می‌دهند که خوانده می‌شود « نه p » یا « چنین نیست که p ».
+ تناقض منطقی
p
p
د
ن
ن
د
عملگرهای دودویی
جدول درستی برای تمام توابع دودویی
در اینجا جدول عملگرهای دودویی برای 16 تابع ممکن امده است
P
Q
F
NOR
Xq
p
q
XOR
NAND
AND
XNOR
q
IF/Then
p
Then/IF
OR
T
د
د
ن
ن
ن
ن
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
د
د
د
د
د
ن
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
ن
د
ن
ن
د
د
ن
ن
د
د
ن
ن
د
د
ن
ن
د
د
ن
ن
ن
د
ن
د
ن
د
ن
د
ن
د
ن
د
ن
د
ن
د
کلید:
نام عملگر
0
Opq
F
false
تناقض
1
Xpq
NOR
نقیض فصلی
2
Mpq
Xq
Converse nonimplication
3
Fpq
Np
p
نقیض
4
Lpq
Xp
Material nonimplication
5
Gpq
Nq
q
نقیض
6
Jpq
XOR
ترکیبفصلی ضمنی
7
Dpq
NAND
نقیض عطفی
8
Kpq
AND
ترکیب عطفی
9
Epq
XNOR
اگر و تنها اگر
نقیض فصلی ضمنی
10
Hpq
q
Projection function
11
Cpq
XNp
if/then
ترکیب شرطی
12
Ipq
p
Projection function
13
Bpq
XNq
then/if
ترکیب دوشرطی
14
Apq
OR
ترکیب فصلی
15
Vpq
T
true
راستگو
ترکیب عطفی(AND)
عملگری است که در آن دو قضیه به وسیله حرف عطف «و» با هم ترکیب می‌شوند. قضیه حاصل از ترکیب عطفی درست خواهد بود؛ اگر و فقط اگر هر دوی قضایای ساده تشکیل‌دهنده آن درست باشند. ترکیب عطفی p و q چنین نوشته می‌شود «p.q»
+ ترکیب عطفی
p
q
p ∧ q
د
د
د
د
ن
ن
ن
د
ن
ن
ن
ن
q و p اگر هر دو درست باشند، ترکیب عطفی p ∧ q درست است؛ اگر یکی از قضایای p و q یا هر دو نادرست باشند، آن گاه ترکیب عطفی p ∧ q نادرست است.
ترکیب فصلی(OR)
هرگاه دو قضیه حملی ساده را با حرف «یا» ترکیب کنیم، قضیه مرکب تشکیل شده را ترکیب فصلی می‌نامند. تنها وقتی قضیه حاصل از ترکیب فصلی، نادرست خواهد بود که هر دو قضیه تشکیل‌دهنده آن نادرست باشد. ترکیب فصلی را به صورت « p ∨ q» یا « p
q» یا « p + q» نشان می‌دهند، و خوانده می‌شود: « p یا q»
+ ترکیب فصلی
p
q
p ∨ q
د
د
د
د
ن
د
ن
د
د
ن
ن
ن
ترکیب شرطی(IF)
در ترکیب شرطی به صدق قضیه دوم در فرض صدق قضیه اول و کذب قضیه دوم حکم می‌شود. در ترکیب شرطی، قضیه اول را مقدم و قضیه دوم را تالی می‌گویند. ترکیب شرطی به صورت « p → q» یا « p ⇒ q» و خوانده می‌شود « اگر p آنگاه q» یا « p ایجاب می‌کند q را»
+ ترکیب شرطی
p
q
p → q
د
د
د
د
ن
ن
د
د
د
ن
ن
د
ترکیب دو شرطی(IF ONLY IF)
ترکیب دوشرطی برابری منطقی است و از دو ترکیب شرطی تشکیل می‌شود، که مقدم و تالی یکی از آن‌ها، به ترتیب مقدم و تالی دیگری باشد.ارزش ترکیب دوشرطی درست خواهد بود، اگر و فقط اگر، هر دو قضیه تشکیل‌دهنده ترکیب دوشرطی صادق یا کاذب باشند. ترکیب دوشرطی نوشته می‌شود: ، p ↔ q یا p ≡ q و خوانده می‌شود: « اگر و فقط اگر p آنگاه q» یا « q شرط لازم و کافی‌است برای p»
+ ترکیب دوشرطی
p
q
p ≡ q
د
د
د
د
ن
ن
ن
د
ن
ن
ن
د
ترکیب فصلی ضمنی(XOR)
در ترکیب فصلی ضمنی، ارزش دو گزاره در این ترکیب درست خواهد بود، اگر و فقط اگر یکی از اجزای آن درست باشد، و نه هر دوی آن. ترکیب فصلی ضمنی را با علامت p ⊕ q نشان می‌دهند.
+ ترکیب فصلی ضمنی
p
q
p ⊕ q
د
د
ن
د
ن
د
ن
د
د
ن
ن
ن
عملگر NAND
این عملگر دو عملوند دارد و فقط در حالتی نادرست است که هر دو عملوند درست باشند.
آن را با ↑ نشان می‌دهند.
+ عملگر NAND
p
q
p ↑ q
د
د
ن
د
ن
د
ن
د
د
ن
ن
د
این عملگر هم ارز با (p ∧ q) و (p) ∨ (‌q‌) است.
p
q
p ∧ q
(p ∧ q)
p
q
(p) ∨ (‌q‌)
د
د
د
ن
ن
ن
ن
د
ن
ن
د
ن
د
د
ن
د
ن
د
د
ن
د
ن
ن
ن
د
د
د
د
عملگر NOR
عملگر NOR دو عملوند دارد و فقط در حالتی درست است که هر دو عملوند نادرست باشند.
آن را با ↓ نشان می‌دهند.
+ عملگر NOR
p
q
p ↓ q
د
د
ن
د
ن
ن
ن
د
ن
ن
ن
د
این عملگر با (p ∨ q) و (p) ∧ (‌q‌) هم ارز است.
p
q
p ∨ q
(p ∨ q)
p
q
(p) ∧ (‌q‌)
د
د
د
ن
ن
ن
ن
د
ن
د
ن
ن
د
ن
ن
د
د
ن
د
ن
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
کاربرهای جدول درستی
از جدول درستی میتوان برای اثبات روابط منطقی استفاده کرد. مثلا :
+ (p → q) = (‌p ∨ q)
p
q
p
p ∨ q
p → q
د
د
ن
د
د
د
ن
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
ن
ن
د
د
د
جدول درستی برای توابع پرکاربرد
در زیر جدول درستی برای 6 تابع پرکاربرد امده است.
د
د
د
د
ن
د
د
د
د
د
ن
ن
د
د
ن
ن
د
ن
ن
د
ن
د
د
ن
د
ن
ن
ن
ن
ن
ن
ن
د
د
د
د
کاربرد جدول درستی در مدارهای منطقی
در مدارهای منطقی از جدول درستی استفاده می‌کنند تا ارتباط ورودی وو خروجی‌ها را به‌طور خلاصه و بدون استفاده از گیت‌ها و کد نشان دهند.
برای مثال جدول درستی برای جمع دو عدد باینری یک بیتی در زیر امده است:
A B | C R
1 1 | 1 0
1 0 | 0 1
0 1 | 0 1
0 0 | 0 0
where
A = عملوند اول
B = عملوند دوم
C = نقلی (Carry)
R = جواب
توجه کنید که این جدول توابع لازم برای پیاده‌سازی را نشان نمی‌دهد و فقط ارتباط ورودی و خروجی را مشخص می‌کند.
در این حالت می‌توان آن را فقط برای ورودی‌های ساده و خروجی مانند 1 و 0 استفاده کرد و با افزایش تعداد ورودی و خروجی اندازه جدول افزایش می‌یابد.
مثال بالا را یک نیم جمع‌کننده می‌نامند. یک تمام جمع‌کننده علاوه بر ورودی‌های بالا یک نقلی ورودی C* نیز دارد. جدول درستی آن به صورت زیر است:
A B C* | C R
0 0 0
0 0
0 1 0
0 1
1 0 0
0 1
1 1 0
1 0
0 0 1
0 1
0 1 1
1 0
1 0 1
1 0
1 1 1
1 1
C* = زقم نقلی وروردی
جبر بولی