گراف k-مکعب

درمیان گرافهای دو بخشی، k – مکعب‌ها از اهمیت خاصی برخوردار دارند.
تعریف
گراف k- مکعب گرافی است که رئوس آن دنباله‌های غیر تکراری k تایی از 0 و 1 به صورت (a 1 , a k , … , a 1 ) باشد. و یالهای آن، میان رئوس رسم شوند که دقیقا در یک جایگاه متفاوت باشند.
این گراف‌ها را که با Q k نمایش می‌دهند خصوصیت‌های جالبی دارند که پس از چند مثال به خواص آن‌ها می‌پردازیم.
پرونده:Graph-k1.jpg
دقت کنید گراف مکعب همان Q 3 می‌باشد که گاهی به صورت زیر نیز رسم می‌گردد.
پرونده:Graph-k2.jpg
دقت کنید Q 3 ,Q 2 ,Q 1 به ترتیب بیانگر فضاهای یک بعدی (خط)، دو بعدی (صفحه) و سه بعدی (فضا) بوده‌اند.
قضیه اول(همبندی)
ثابت کنید گراف k- مکعب همبند است.
کافی است به ازای هر دو راس v,u با دنباله‌های زیر، مسیری میان آن دو بیابیم.
u=(a 1 , a 2 , … , a k )
v=(b 1 , b 2 , … , b k )
به‌طور خلاصه اگر اثبات را بیان کنیم داریم:
اگر u با v در m جایگاه تفاوت داشته باشد، از u نخست به راسی می‌رویم که با u در جایگاه اول از آن m جایگاه متفاوت باشد.سپس از آن به راسی می‌رویم که علاوه بر جایگاه اول در جایگاه دوم از آن m جایگاه با u متفاوت باشد و به همین ترتیب ادامه می‌دهیم تا به v برسیم.
واضح است چنین مسیری وجود خواهد داشت.
تمرین(تعداد یال‌ها)
تعداد یالهای گراف k- مکعب را بدست آورید.
حل
برای این منظور نخست تعداد راسها را بدست می‌آوریم:
چون رئوس دنباله‌های متفاوت k تایی از 0 و 1 می‌باشند پس بنابر اصل ضرب تعداد آن‌ها 2 k تا می‌باشد.سپس درجه هر راس را بدست می‌آوریم:
از آنجا که به هر راس یک دنباله k تایی از 0 و 1 متناظر شده و هر راس تنها به رئوسی متصل می‌گردد که دقیقا در یک جایگاه با آن تفاوت دارند پس همسایه‌های هر راس عبارتند از:
راسی که فقط درجایگاه اول با آن تفاوت دارد
و راسی که فقط در جایگاه دوم با آن تفاوت دارد
و…
تا راسی که فقط در جایگاه k ام با آن تفاوت دارد.
و این یعنی درجه هر راس k می‌باشد
پس
تعداد یالها =
نتیجه
به راحتی دیده شد گراف k- مکعب، k منتظم می‌باشد.
قضیه دوم(دو بخشی)
ثابت کنید Q k گرافی دو بخشی می‌باشد.
مثال: در Q 3 ، رئوس آبی متعلق به یک بخش و رئوس سیاه متعلق به بخش دیگر گراف دو بخشی خواهند بود
برای این منظور بایستی رئوس آن را به دو بخش A، B به گونه‌ای افراز کرد که یالی ما بین رئوس داخل یک بخش موجود نباشد:
بدین منظور:
رئوسی که دنباله آن تعداد زوجی عدد 1 دارند = A
رئوسی که دنباله آن تعداد فردی عدد 1 دارند = B
حال یالی میان رئوس A وجود نخواهد داشت زیرا اگر وجود داشته باشد. و آن یال uv باشد که v,u ∈ A پس خواهیم داشت:
زیرا v,u دقیقا در یک جایگاه تفاوت دارند 1± تعداد 1های u = تعداد 1های v
پس v,u نمی‌توانند از لحاظ زوجیت و فردیت مانند هم باشند.
پس یالی که رئوس A را به هم یا رئوس B را به هم وصل کند وجود نداشته و گراف دو بخشی خواهد بود.(مثال)
قضیه سوم(همیلتونی)
ثابت کنید که گراف k- مکعب همیلتونی است (k≥2).
اثبات با استقرا
برای k=2 که بدیهی است:
پرونده:Graph-k4.jpg
فرض می‌کنیم برای m-1) ,k=m-1)- مکعب همیلتونی باشد یعنی دنباله‌ای از رئوس به صورت u 1 u 2 u 3 … u 2 m-1 u 1 وجود دارد که هر کدام به بعدی یال داشته و u 2 m-1 هم به u 1 یال داشته باشد.
می‌خواهیم برای k=m، ثابت کنیم دنباله رئوسی به صورت
u 1 u 2 u 3 … u 2 m u 1
وجود دارد که v i = a i 1 a i 2 … a i m و تشکیل یک دور همیلتونی را بدهند.
از روی فرض استقرا دنباله v i‌ها را به صورت زیر می‌سازیم:
w 1 w 2 … w 2 m-1 X 2 m-1 X 2 m-1 -1 … X 2 X 1 … w 1
که
یعنی به سر رشته u i یک 1 اضافه می‌کنیم w i = (1,u i )
یعنی به سر رشته u i یک 10 اضافه می‌کنیم X i = (0,u i )
واضح است که در این دنباله هر راس دقیقا یکبار آمده. ولیکن باید ثابت کنیم هر دو راس متوالی مجاور نیز هستند.
برای اثبات آنکه هر دو راس متوالی، مجاورند حالات زیر را داریم:
1. رئوس متوالی w i , w i+1 باشند که واضح است چون
پرونده:Graph-k5.jpg
2. رئوس متوالی X i , X i+1 باشند(مانند بالا)
3. رئوس متوالی w 2 m-1 , X 2 m-1 باشند که داریم:
پرونده:Graph-k6.jpg
4. رئوس متوالی w 1 , X 1 باشند که مانند قبل داریم:
پرونده:Graph-k7.jpg
لذا دنباله w 1 w 2 … w 2 m-1 X 2 m-1 X 2 m-1 -1 … X 2 X 1 … w 1 معرف دور همیلتونی خواسته شده می‌باشد.
پانویس‌ها
cubic graph