دایره

قطعه‌ای زینتی و دایره‌ای از جنس
یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)
نمای بالایی از اندرونی برج طغرل که به صورت دایره شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.
دایره یا پرهون مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطه ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد. نقطه ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازه شعاع دایره نامیده می‌شود.
در حقیقت، دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبق‌اند.
۲r= محیط دایره(3،14قطر)
r2= مساحت دایره (شعاع*شعاع*۳٫۱۴)
مساحت دایره و محیط آن
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین شده‌است.
اگر یک دایره مفروض را به چهار قطاع مساوی تقسیم کنیم و کنار هم به صورت زیر بچینیم:
دایره مفروضچیده شود به صورت250px
کنون شکل به دست آمده نا متعارف است اما اگر دایره مفروض را به قطاع‌های بیشتری تقسیم کنیم و به همین روند پیش برویم مشاهده می‌کنیم که شکل به دست آمده به متوازی الاضلاع نزدیک می‌شود. به عنوان نمونه در مرحله‌ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می‌شود؛ به شکل زیر خواهیم رسید که به متوازی الاضلاع نزدیک‌تر است:
250px
اما اگر فرض را بر این بگیریم که دایره به قطاع‌هایی بی‌شمار و مساوی تقسیم شده‌است آن گاه شکل ما متوازی الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است.
می‌دانیم که مساحت این متوازی الاضلاع با دایره مفروض برابر خواهد بود. پس بنابر مساحت متوازی الاضلاع، ارتفاع متوازی الاضلاع که همان شعاع دایره است را در ضلع بزرگ متوازی الاضلاع ضرب می‌کنیم و مساحت دایره به دست می‌آید. اگر کمی دقت کنید متوجه می‌شوید که اضلاع بزرگ متوازی الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند پس می‌توانیم بگوییم که یک ضلع بزرگ متوازی الاضلاع برابر با نصف محیط دایره مفروض خواهد بود آن گاه اندازه آن r خواهد بود و اندازه شعاع هم که r است پس مساحت دایره r. r = r2 خواهد بود.
برای بدست آوردن محیط نیز قطر دایره را بدست می‌آوریم و ضرب در عدد ( (۳/۱۴ می‌کنیم
افراز صفحه توسط دایره
دایره صفحه را به سه بخش افراز می‌کند:
داخل دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند I، که فاصله آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است؛
روی دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند M که فاصله آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است؛
خارج دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند E که فاصله آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.
وتر
یک دایره با دو وتر و یک قطر
پاره خطی که دو نقطه متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زه آن دایره نامیده می‌شود.
قطر : زهی که از مرکز دایره می‌گذرد، قطر آن دایره نامیده می‌شود.
هر ستبرا، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیمدایره یا نیمگردی نامیده می‌شوند.
زاویه مرکزی و زاویه محاطی
زاویه مرکزی
زاویه‌ای که راسش مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی می‌نامند و زاویه‌ای که راسش روی دایره باشد زاویه محاطی میگویند.
هر زاویه مرکزی یک کمان از دایره جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود.
اندازه کمان نظیر هر زاویه مرکزی در دایره برحسب درجه، همان اندازه زاویه مرکزی روبه روی آن کمان است.
هر زاویه محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویه محاطی گفته میشوذ.
اندازه کمان نطیر هر زاویه محاطی در دایره بر حسب درجه نصف اندازه زاویه محاطی روبروی آن کمان است.
قضیه‌های دایره
در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیر آن وتر را نصف می‌کند.
قطر عمود بر وتر دایره
در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و به وارون.
وتر بزرگتر به مرکز دایره نزدیکتر است
معادله‌های دایره
نمودار معادله دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r
مرکز شعاع: دایره‌ای که مرکزش (c(h,k و شعاعش r باشد، دارای معادله
است.
چرایی: نقطه (P(x,y روی دایره‌است اگر و فقط اگر
یعنی، اگر و فقط اگر
این درست است اگر و فقط اگر
نمودار معادله دایره‌ای به مرکز (۰٫۰) و شعاع r
معادله دایره‌ای به مرکز (۰٫۰):
چرایی: با گذاردن و در رابطه مرکز-شعاع دایره، به سادگی رابطه بالا بدست می‌آید.
شکل کلی: معادله زیر
که در آن و و ، شکل کلی معادله دایره نامیده می‌شود.