توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی در ریاضیات، معکوس تابع‌های مثلثاتی‌اند که طبق تعریف تابع وارون، برد آن‌ها زیرمجموعه دامنه تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابع‌های مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمون خط افقی).
برای نمونه اگر تعریف کنیم آنگاه است امابازای یک x یکتا می‌توان چندین y پیدا کرد که به ازای آن شود، مانند y مساوی صفر،  و ۲ که به ازای همه آن‌ها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin می‌تواند می‌تواند چندین جواب داشته باشد درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت برد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:
نام
نماد ریاضی
تعریف
بازه x برای خروجی‌های حقیقی
برد تابع(رادیان)
برد تابع(درجه)
آرک‌سینوس
y = arcsin x
x = sin y
۱ ≥ x ≥ ۱−
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک‌کسینوس
y = arccos x
x = cos y
۱ ≥ x ≥ ۱−
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک‌تانژانت
y = arctan x
x = tan y
تمامی اعداد حقیقی
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک‌کتانژانت
y = arccot x
x = cot y
تمامی اعداد حقیقی
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک‌سکانت
y = arcsec x
x = sec y
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x
۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°
آرک‌کسکانت
y = arccsc x
x = csc y
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x
°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°
برخی تعاریف:
آرک‌سینوس یک عدد مفروض زاویه‌ای است که سینوس آن برابر آن عدد مفروض است
آرک‌کسینوس یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کسینوس آن برابر آن عدد مفروض است
آرک‌تانژانت یک عدد مفروض زاویه‌ای است که تانژانت آن برابر آن عدد مفروض است
آرک‌کتانژانت یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کتانژانت آن برابر آن عدد مفروض است.
رابطه میان تابع‌های وارون مثلثاتی
نمودار تابع‌های (قرمز) و (آبی) در صفحه مختصات دکارتی.
نمودار تابع‌های (قرمز) و (آبی) در صفحه مختصات دکارتی.
نمودار تابع‌های (قرمز) و (آبی) در صفحه مختصات دکارتی.
زاویه‌های مکمل:
ورودی‌های با علامت مخالف:
ورودی‌های وارون شده:
در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:
هرگاه از ریشه دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشه با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).
با استفاده از رابطه نیم-زاویه خواهیم داشت:
رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی
راه حل کلی
تابع‌های مثلثاتی در مجموعه اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازه ۲ مقدار همه آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دوره تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲k − /۲ (به ازای kهای عضو مجموعه اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲k + /۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازه ۲k + /۲ تا ۲k + ۳/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دوره تناوب کسینوس و سکانت از ۲k شروع می‌شود و در ۲k +  تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصله میان ۲k +  تا ۲k + ۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دوره تناوب تانژانت از ۲k − /۲ شروع می‌شود و در ۲k + /۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲k + /۲ تا ۲k + ۳/۲ مرتب تکرار می‌شود. دوره تناوب کتانژانت از ۲k شروع می‌شود و در ۲k +  تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲k +  تا ۲k + ۲ بر روی خودش باز می‌گردد.
این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:
مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی
مشتق ساده این نوع تابع‌ها، به ازای xهای مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
\begin{align
\frac{d{dx \arcsin x - {= \frac{1{\sqrt{1-x^2\\
\frac{d{dx \arccos x - {= \frac{-1{\sqrt{1-x^2\\
\frac{d{dx \arctan x - {= \frac{1{1+x^2\\
\frac{d{dx \arccot x - {= \frac{-1{1+x^2\\
\frac{d{dx \arcsec x - {= \frac{1{x\,\sqrt{x^2-1\\
\frac{d{dx \arccsc x - {= \frac{-1{x\,\sqrt{x^2-1
\end{align
رابطه‌های زیر ویژه xهای حقیقی است:
\begin{align
\frac{d{dx \arcsec x - {= \frac{1
\frac{d{dx \arccsc x - {= \frac{-1
\end{align
برای مشتق ساده اگر باشد، آنگاه داریم:
استفاده از انتگرال‌های معین
عبارت انتگرالی برابر با تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
\begin{align
\arcsin x -{= \int_0^x \frac {1 {\sqrt{1 - z^2\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x -{= \int_x^1 \frac {1 {\sqrt{1 - z^2\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x -{= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1\,dz,\\
\arccot x -{= \int_x^\infty \frac {1 {z^2 + 1\,dz,\\
\arcsec x -{= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arcsec x -{= \pi + \int_x^{-1 \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1\,dz, \qquad x \leq -1\\
\arccsc x -{= \int_x^\infty \frac {1 {z \sqrt{z^2 - 1\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x -{= \int_{-\infty^x \frac {1 {z \sqrt{z^2 - 1\,dz, \qquad x \leq -1
\end{align
سری‌های نامتناهی
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد:
\begin{align
\arcsin z - {= z + \left( \frac {1 {2 \right) \frac {z^3 {3 + \left( \frac {1 \cdot 3 {2 \cdot 4 \right) \frac {z^5 {5 + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 {2 \cdot 4 \cdot 6 \right) \frac{z^7 {7 + \cdots\\
- {= \sum_{n=0^\infty \left( \frac {(2n)! {2^{2n(n!)^2 \right) \frac {z^{2n+1 {(2n+1)
\qquad | z | \le 1
\end{align
\begin{align
\arccos z - {= \frac {\pi {2 - \arcsin z \\
- {= \frac {\pi {2 - (z + \left( \frac {1 {2 \right) \frac {z^3 {3 + \left( \frac {1 \cdot 3 {2 \cdot 4 \right) \frac {z^5 {5 + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 {2 \cdot 4 \cdot 6 \right) \frac{z^7 {7 + \cdots ) \\
- {= \frac {\pi {2 - \sum_{n=0^\infty \left( \frac {(2n)! {2^{2n(n!)^2 \right) \frac {z^{2n+1 {(2n+1)
\qquad | z | \le 1
\end{align
\begin{align
\arctan z - {= z - \frac {z^3 {3 +\frac {z^5 {5 -\frac {z^7 {7 +\cdots \\
- {= \sum_{n=0^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1 {2n+1
\qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align
\begin{align
\arccot z - {= \frac {\pi {2 - \arctan z \\
- {= \frac {\pi {2 - ( z - \frac {z^3 {3 +\frac {z^5 {5 -\frac {z^7 {7 +\cdots ) \\
- {= \frac {\pi {2 - \sum_{n=0^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1 {2n+1
\qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align
\begin{align
\arcsec z - {= \arccos {(1/z) \\
- {= \frac {\pi {2 - (z^{-1 + \left( \frac {1 {2 \right) \frac {z^{-3 {3 + \left( \frac {1 \cdot 3 {2 \cdot 4 \right) \frac {z^{-5 {5 + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 {2 \cdot 4 \cdot 6 \right) \frac{z^{-7 {7 + \cdots ) \\
- {= \frac {\pi {2 - \sum_{n=0^\infty \left( \frac {(2n)! {2^{2n(n!)^2 \right) \frac {z^{-(2n+1) {(2n+1)
\qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align
\begin{align
\arccsc z - {= \arcsin {(1/z) \\
- {= z^{-1 + \left( \frac {1 {2 \right) \frac {z^{-3 {3 + \left( \frac {1 \cdot 3 {2 \cdot 4 \right) \frac {z^{-5 {5 + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 {2 \cdot 4 \cdot 6 \right) \frac {z^{-7 {7 +\cdots \\
- {= \sum_{n=0^\infty \left( \frac {(2n)! {2^{2n(n!)^2 \right) \frac {z^{-(2n+1) {2n+1
\qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align
همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:
هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است.
همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:
انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی
برای تمامی xهای حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:
\begin{align
\int \arcsin x\,dx -{= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2 + C\\
\int \arccos x\,dx -{= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2 + C\\
\int \arctan x\,dx -{= x\,\arctan x - \frac{1{2\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx -{= x\,\arccot x + \frac{1{2\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx -{= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt\over x^2\right)\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx -{= x\,\arccsc x + \ln\left(x\left(1+\sqrt\over x^2\right)\right) + C
\end{align
تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی‌اند:
\begin{align
\int \arcsec x\,dx -{= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx -{= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1\right) + C
\end{align
تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء قابل دستیابی است.
نمونه
با استفاده از داریم:
\begin{align
u -{=-\arcsin x -\quad\quad\mathrm{dv = \mathrm{dx\\
\mathrm{du -{=-\frac{\mathrm{dx{\sqrt{1-x^2-\quad\quad{v = x
\end{align
آنگاه:
با استفاده از تغییر متغیر:
پس:
و
دوباره x را جایگزین می‌کنیم