گروه لی

گروه‌های لی (Lie group) گروه‌های لی در حد فاصل بین دو شاخه بزرگ ریاضی یعنی جبر و توپولوژی قرار دارند. ویژگی جبری آنها از اصول موضوعه گروه گرفته می‌شود و خواص هندسی آنها از پارامتریزه کردن عناصر این گروه‌ها بوسیله نقاطی از یک خمینه دیفرانسیل پذیر تحصیل می‌شود.
مقدمه
تبدیلات پیوسته توسط ماریوس سوفوس لی به عنوان یک ابزار برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی معرفی شدند. این کار لی به تعریف و مطالعه گروه‌های لی منجر شد. او دریافت که ساختار گروه مربوط به یک معادلات دیفرانسیل معمولی مشخص می‌کند که آن معادله قابل حل یا ساده شدن هست یا نه و علاوه بر آن راه و روشی برای حل یا ساده‌تر کردن معادله ارائه می‌دهد. لی در ادامه به بررسی گروه‌هایی از معادلات دیفرانسیل پرداخت که ناوردا باشند. پس از آن او به مطالعه فرزندانی که این نظریه خواهد داشت پرداخت که امروزه ما آنها را با گروه‌های لی می‌شناسیم.
گروه‌های لی بسیار زیبا هستند، آنقدر زیبا که خود به تنهایی به عنوان ابزاری برای حل معادلات دیفرانسیل و مطالعه توابع خاصی که توسط دسته خاصی از این معادلات تعیین می‌شود به کار می‌رود.
تقسیم‌بندی گروه‌های لی
گروه‌های لی به دو دسته پایه‌ای تقسیم می‌شوند: گروه‌های لی ساده و حل پذیر .
گروه‌های ساده این ویژگی را دارند که خود را تحت خاصیت جابجایی باز تولید می‌کنند. گروه‌های حل پذیر این گونه نیستند و شامل زنجیره‌ای از زیر گروه‌های هستند که هر کدام یک زیرگروه ناوردا از قبلی‌اش است.
گروه‌های ساده و حل پذیر خشت‌های بنای گروه‌های لی هستند. گروه‌های نیم ساده ضرب مستقیم گروه‌های لی ساده‌اند. گروه‌های غیرنیمه ساده ضرب نیم مستقیم گروه‌های (نیم) ساده با زیر گروه‌های ناوردای حل پذیر است.
گروه‌های حل پذیر مربوط به معادلات دیفرانسیل حل پذیر یا حداقل ساده شونده است. اما گروه‌های ساده به قدری موضوعات جالبی را پیش می‌کشند که بیشتر تلاش ریاضی دانان در یک قرن اخیر تنها در دسته‌بندی کردن و شمارش کامل و بررسی ویژگی‌های آنها مصروف گشته است. با این وجود هنوز یک دسته‌بندی کامل از گروه‌های لی حل پذیر و بنابراین گروه‌های لی غیر نیمه ساده انجام نگرفته است.
ویژگی‌های جبری
گروه‌های لی ساختاری بیش از گروه دارند. به طور عمومی هر عضو از گروه لی ( ) یک نقطه بر روی یک خمینه بعدی است، به گونه‌ای که می‌توانیم بنویسیم یا به صورت ساده‌تر . ضرب گروه را می‌توان به صورت
g_i\circ g_j=g_k\to
g(x)\circ g(y)=g(z)
که در آن ، ، است. معکوس اعضای گروه را به صورت می‌توان نوشت.
ویژگی‌های توپولوژیکی
ویژگی توپولوژیکی گروه لی از مشخص کردن هر عنصر گروه در یک فضای توپولوژیکی: نشات می‌گیرد. به بیان دیگر اندیس به یک یا چند متغیر حقیقی پیوسته وابسته است.
فضای توپولوژیکی که عناصر یک گروه لی را پارامتریزه می‌کند یک خمینه است.
اصول موضوعه توپولوژیگی گروه‌های لی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
پیوستگی ترکیب : تصویر که بوسیله قانون ترکیب تعریف می‌شود، دیفرانسیل پذیر است.
پیوستگی معکوس : تصویر که توسط قانون معکوس گروه تعریف می‌شود، دیفرانسیل پذیر است.
گروه‌های لی ماتریسی
اگر چه تمام گروه‌های لی ماتریسی نیستند، اما بسیار جالب است بگوییم که تقریبا هر گروه لی ظاهر شده در فیزیک یک گروه لی ماتریسی است. همه این گروه‌ها یک زیرگروه از گروه‌های خطی عمومی با تا ماتریس ناتکینه بر روی میدان می‌باشند. همه این گروه‌ها به ترتبیب دارای بعد حقیقیی می‌باشند. زیرگروه‌های خاص به صورت زیرگروه‌هایی از تا ماتریس با دترمینان تعریف می‌شوند. به بیان دیگر است اگر باشد.
گروه‌هایی که متریک را ثابت نگه می‌دارند ، طول را در فضاهای برداری خطی ناوردا نگه می‌دارند. ماتریسهایی که در رابطه صدق می‌کنند. این شرایط گروه‌های اورتوگونال و گروه‌های یکانی را تعریفی می‌کند.
گروه
توپولوژی
جبر لی
خطی کردن یک گروه لی