ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار

ویژه‌بردار یک نگاشت خطی، برداری است ناصفر که جهت بردار با نگاشت خطی تغییر نمی‌کند. اگر T یک نگاشت خطی در فضای بردای X باشد و x برداری باشد ناصفر در این فضای برداری. x ویژه‌بردار این نگاشت خطی است اگر نگاشت بردار x برابر باشد با خود بردار x ضرب در یک عددی، که این عدد را ویژه‌مقدار می‌نامند. به بیان ریاضی:
اگر فضای برداری دارای بعد بی‌کران نباشد، می‌شود نگاشت خطی را با یک ماتریس مربعی و ویژه‌بردار را با یک ماتریس ستونی بازنمود؛ و معادله ویژه‌مقداری بالا به ضرب ماتریسی تبدیل می‌شود.
مسئله ویژه‌مقدار از جمله پرکاربردترین ابزارها در بسیاری از زمینه‌های دانش مانند فیزیک می‌باشد.
فضای برداری با بعد متناهی
در فضاهای برداری متناهی، می‌توانیم مسئله ویژه‌مقداری را به شیوه ضرب ماتریسی بنویسیم. ماتریس مربعی نگاشت خطی است. بردار ناصفر را ویژه‌بردار و عدد را ویژه‌مقدار آن می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر بین آنها برقرار باشد:
در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: ویژه‌بردار و ویژه‌مقدار . پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.
برای نمونه:
ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:
A =
\begin{bmatrix
1 - 2 \\
2 - 1 \\
\end{bmatrix
معادله ماتریسی بالا خواهد شد:
\begin{bmatrix
1 - 2 \\
2 - 1 \\
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
\lambda
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:
\begin{pmatrix
\begin{bmatrix
1 - 2 \\
2 - 1 \\
\end{bmatrix
\lambda
\begin{bmatrix
1 - 0 \\
0 - 1 \\
\end{bmatrix
\end{pmatrix
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
0
در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:
\begin{bmatrix
1 - \lambda - 2 \\
2 - 1 - \lambda \\
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
0
معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:
که در اینجا عددی ثابت است. متغیر مجهول ، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:
که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.
برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه x =
\begin{bmatrix
x_1 \\
x_2 \\
\end{bmatrix
لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس می‌انجامد. پس، داریم:
با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:
نکات و اشارات
تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار موثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:
ضرب ماتریس در بردار در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته است.
فضاهای بی‌نهایت بعدی
توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مولفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.
عمل‌گر مشتق‌گیری
به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:
در این جا عمل‌گر بر روی تابع مشتق‌پذیر عمل نموده و تابع را به دست داده است.
مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:
در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:
چرا که داریم:
از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل فیزیک ریاضی -تبدیل فوریه- تولد می‌یابد.
نظریه طیفی
تبدیلات فوریه
آنالیز مودی با استفاده از اف‌ای‌ام
روش‌های طیفی فوریه
نظریه طیفی گراف‌ها
مکانیک کوانتومی