گراف جهت‌دار

یک گراف جهتدار
در ریاضیات و به‌طور خاص در نظریه گراف، گراف جهت‌دار یا گراف سودار گرافی (مجموعه‌ای از گره‌ها که با یال‌ها به هم متصل شده‌اند) است که در آن به هر یال جهتی نسبت داده شده‌است. به زبان ریاضی، یک گراف جهت‌دار زوج مرتبی به صورت است (گاهی به صورت نیز نمایش داده می‌شود) که در آن
V مجموعه‌ایست که اعضایش را راس یا گره می‌نامند
A مجموعه‌ای از زوج‌های مرتبی از راس‌ها است که کمان، یال جهت‌دار، فلش یا گاهی یال نامیده می‌شوند (که در حالت اخیر مجموعه متناظر را به جای A، با E نمایش می‌دهند).
گراف جهت‌دار با گراف معمولی (بدون جهت) متفاوت است: در گراف معمولی، E به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های نامرتب از راس‌ها تعریف شده و معمولا یال نامیده می‌شود.
یک گراف جهت‌دار ساده نامیده می‌شود اگر هیچ طوقه و یال چندگانه‌ای نداشته باشد (یال‌های چندگانه یعنی یال‌هایی که ابتدا و انتهای یکسانی دارند). در یک گراف چندگانه جهت‌دار یال‌ها تشکیل یک مجموعه چندگانه (به جای مجموعه) از زوج‌های مرتب راس‌ها می‌دهند و این گراف‌ها می‌توانند طوقه و یال چندگانه داشته باشند (طوقه یالی است که ابتدا و انتهایش راس یکسانی است). در برخی متون، گراف جهت‌دار (بدون ذکر ویژگی ساده بودن) می‌تواند طوقه، یال چندگانه یا هر دو را داشته باشد.
اصطلاحات پایه‌ای
یال دارای جهت از به در نظر گرفته می‌شود. ابتدا و انتهای یال نامیده می‌شود. را راس مابعد مستقیم و را راس ماقبل مستقیم می‌نامند. اگر مسیری متشکل از یک یا چند یال رو به جلو از به وجود داشته باشد، به راس مابعد و به راس ماقبل می‌گویند. به یال معکوس یال می‌گویند.
جهت‌دار کردن یک گراف ساده بدون جهت یعنی نسبت دادن جهت به هر یال آن گراف. هر گراف جهت‌داری که به این طریق ساخته شود گراف جهت‌دار شده نامیده می‌شود. یک گراف جهت‌دار، یک گراف ساده جهت‌دار شده‌است اگر و تنها اگر نه طوقه داشته باشد و نه حلقه دوتایی (یال چندگانه).
گراف جهت‌دار وزن‌دار گراف جهت‌داری است که به هر یالش وزنی نسبت داده شده‌است، درست مانند گراف بدون جهت وزن‌دار. در نظریه گراف به گراف جهت‌دار با یال‌های وزن‌دار، شبکه می‌گویند.
ماتریس مجاورت یک گراف جهت‌دار (با طوقه و یال‌های چندگانه) ماتریسی دارای مقادیر صحیح است که سطرها و ستون‌هایش متناظر با گره‌ها هستند و در آن، مولفه غیر قطری تعداد یال‌ها از راس i به راس j و مولفه قطری تعداد طوقه‌های راس i است. ماتریس مجاورت یک گراف جهت‌دار (با یکسان در نظر گرفتن جایگشت‌های سطرها و ستون‌ها) یکتاست. نمایش ماتریسی دیگری برای یک گراف، ماتریس وقوع آن است.
درجه ورودی و درجه خروجی
یک گراف جهت‌دار که راس‌هایش به صورت (درجه خروجی,درجه ورودی) برچسب گذاری شده‌اند.
برای هر گره، تعداد راس‌های ابتدایی مجاور، درجه ورودی و تعداد راس‌های انتهایی مجاور، درجه خروجی (در درخت‌ها ضریب انشعاب) نامیده می‌شود.
درجه ورودی با و درجه خروجی با نمایش داده می‌شود. راس با صفر منبع نامیده می‌شود (چون مبدا همه‌ی یال‌های متصل به خودش است) و به‌طور مشابه راس با صفر چاه نامیده می‌شود.
رابطه مجموع درجات بیان می‌کند که برای یک گراف جهت‌دار:
اگر برای هر گره ، گراف را یک گراف جهت‌دار متعادل می‌نامیم.
همبندی گراف جهت‌دار
می‌گوییم یک گراف جهت‌دار ضعیفا همبند است (یا همبند است ) اگر گراف زمینه آن (که با حذف جهت یال‌ها به دست می‌آید) یک گراف همبند باشد. می‌گوییم یک گراف جهت‌دار قویا همبند است (یا قوی است) اگر برای هر جفت راس u و v مسیر جهتداری از u به v و مسیر جهتداری از v به u داشته باشد. مولفه‌های قوی ، زیرگراف‌های قویا همبند ماکزیمال هستند.
انواع گراف‌های جهت‌دار
گراف جهت‌دار G متقارن نامیده می‌شود اگر برای هر کمان متعلق به G، معکوس آن کمان نیز متعلق به G باشد. یک گراف جهت‌دار متقارن بدون طوقه معادل یک گراف بدون جهت است که با گذاشتن یک یال به جای هر جفت کمان معکوس هم به دست می‌آید (و بنابراین تعداد یال‌هایش نصف تعداد کمان‌های گراف اولیه است).
یک گراف جهت‌دار ساده بی‌دور
یک گراف جهت‌دار بی‌دور یا گراف بی‌دور جهت‌دار، گرافی جهت‌دار است که هیچ دور جهت‌داری ندارد. درخت‌های چندگانه (گراف‌هایی که در آن‌ها هیچ دو مسیر جهت‌داری که از یک گره شروع شده‌اند دوباره در یک گره مشترک تمام نمی‌شوند)، درخت‌های جهت‌دار یا چنددرخت‌ها (گراف‌های جهت‌داری که از جهت‌دار کردن یال‌های یک گراف بدون جهت بی‌دور ساخته می‌شوند) و درخت‌های ریشه‌دار (درخت‌های جهت‌داری که تمام یال‌های درخت بدون جهت زمینه آن به سمت دور شدن از ریشه جهت‌دار شده‌اند) حالت‌هایی خاص از گراف‌های جهت‌دار بی‌دور هستند.
تورنمنتی با چهار راس
یک تورنمنت گرافی جهت‌دار است که از جهت‌دار کردن همه‌ی یال‌های یک گراف کامل بدون جهت به دست می‌آید.
در نظریه‌ی گروه‌های لی، یک quiver، گرافی جهتدار است که دامنه‌ی نمایش v (که به عنوان عملگر تعریف شده) می‌باشد (و بنابراین مشخص کننده‌ی شکل V است)؛ به ویژه شیئی از طبقه عملگری FinVct K F(Q) است که (F(Q طبقه آزاد روی Q و تشکیل شده از مسیرهای Q است و FinVct K طبقه فضای برداری با بعد متناهی روی میدان K است. نمایش‌های یک quiver راس‌های آن را با فضاهای برداری و یال‌هایش (و در نتیجه مسیرهایش) را به‌طور سازگاری با تبدیلات خطی بین این فضاها و تبدیل از طریق تبدیلات طبیعی برچسب‌گذاری می‌کند.
گراف
نظریه گراف
ریاضیات گسسته