توابع مثلثاتی

در ریاضیات، منظور از توابع مثلثاتی شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت است که این توابع رابطه میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند.
قدمت اولین متن‌های به جا مانده از توابع مثلثاتی به دوران پیش از میلاد در مصر و یونان بازمی‌گردد. قضیه تالس توسط تالس در سده ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از قضیه فیثاغورس به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود.
علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی در زمینه مثلثات داشتند که می‌توان به افرادی چون خوارزمی، بتانی، ابوالوفا محمد بوزجانی، شن کو، گو شوجینگ و رتیکوس اشاره کرد.
تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایه دایره واحد است که در این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم می‌شود و شعاعی با زاویه مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایه انتگرال، سری توانی و معادله دیفرانسیل بیان شده‌است که هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. برای نمونه در تعریف بر پایه سری توانی، از سری مکلورن استفاده می‌شود که در محاسبه مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد.
توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عملیات انجام می‌دهند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها در محاسبه اندازه ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نقشه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویه یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود یا در ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایه اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج استفاده می‌شود. برای نمونه قانون اسنل بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی است که در پدیده شکست نور به کار می‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی می‌توان به استفاده آن در صنعت برق و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد امواج سینوسی در جریان‌های متناوب و همچنین انواع مدولاسیون که برپایه همین امواج سینوسی انجام می‌شود.
تاریخچه
نمونه‌ای از جداول نجومی خوارزمی
شواهد به کارگیری توابع مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران پیش از میلاد از جمله در یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات که در متون تاریخی بیان شده، قضیه تالس است. تالس که در سده ششم پیش از میلاد در مصر تحصیل می‌کرد، برای حل مسئله محاسبه ارتفاع هرم خئوپس، روشی تازه را ارائه نمود که بعدا با عنوان قضیه تالس شناخته شد. می‌توان قضیه فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست. در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همین دلیل، او را پدر مثلثات می‌نامند. منلائوس مثلثات کروی را پایه‌گذاری کرد. بطلمیوس در المجسطی، رابطه سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرد.
مطالعه در زمینه توابع مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب سوریا سیدهانتا در سده چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در نجوم استفاده شده‌است. هم‌چنین به نظر می‌رسد که نام‌های سینوس و کسینوس، تغییر یافته توابع جیا و کوتیجیا در نجوم دوره گوپتای هند باشند. مدهاوه در سده چهاردهم سری تیلور تابع‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست آورد.
دوران طلایی اسلام، تاثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جمله آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمی، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد. مروزی جدول کتانژانت را تهیه کرد. در آثار بتانی در سده سوم شمسی (سده نهم میلادی)، مثلثات به‌طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کسکانت اشاره کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی در سده چهارم شمسی (سده دهم میلادی)، قانون سینوس‌ها را به دست آورد. ابوریحان بیرونی مثلث‌سازی را برای تهیه نقشه به کار گرفت. در پایان سده یازدهم، عمر خیام معادلات درجه سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. هم‌چنین غیاث‌الدین جمشید کاشانی در سده پانزدهم میلادی، سینوس زاویه °۱ را با حل معادله درجه ۳ برحسب زاویه °۳ تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.
دانشمندان چینی چندان به مطالعه مثلثات نمی‌پرداختند. دو ریاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را در زمینه توابع مثلثاتی انجام دادند. برای نمونه، شن کو یک رابطه تقریبی برای محاسبه طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر به دست آورد.
احتمالا رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود که در سده شانزدهم میلادی، توابع مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویه قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقاله اویلر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را به صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.
نام‌گذاری
در متون سانسکریت، از نام‌های جیوا (به معنی وتر) و کوجیوا برای نام‌گذاری دو تابع اصلی مثلثاتی (سینوس و کسینوس) استفاده می‌شد. در برگرداندن به زبان عربی، جیوا به جیب تبدیل شد که البته در فارسی هم مورد استفاده قرار گرفت.
دانشمندان مسلمان، سایر توابع مثلثاتی را نیز می‌شناختند و آن‌ها را نام‌گذاری کرده‌بودند. جدول زیر، نام‌های به کار رفته برای توابع مثلثاتی در متون دانشمندان مسلمان را نشان می‌دهد:
نام قدیم در فارسی
معنی نام
نام امروزی
جیب
گریبان
سینوس
جیب تمام
گریبان پر
کسینوس
ظل، ظل معکوس
سایه
تانژانت
ظل تمام، ظل مستوی
سایه پر
کتانژانت
قاطع، قطر ظل
برنده
سکانت
قاطع تمام
برنده پر
کسکانت
دانشمندان اروپایی که متن‌های عربی را به لاتین ترجمه می‌کردند، جیب را به صورت جیب می‌خواندند (که به معنی خلیج است). بنابراین آن را به سینوس (که واژه‌ای لاتینی به معنی خلیج است) برگرداندند.
تعریف بر پایه مثلث قائم‌الزاویه
شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویه C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویه دیگر، زاویه تند و متمم هستند، به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است. ضلع روبرو به زاویه C را وتر می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که زاویه قائمه را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویه A (و مقابل زاویه B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویه A (و مجاور زاویه B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی برای زاویه A به صورت زیر تعریف می‌شوند:
200px
سینوس زاویه A برابر است با نسبت ضلع مقابل آن به وتر. به بیان ریاضی:
کسینوس زاویه A برابر است با نسبت ضلع مجاور آن به وتر. به بیان ریاضی:
تانژانت زاویه A نیز به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور این زاویه محاسبه می‌شود:
بر پایه قضیه تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازه ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازه ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.
می‌توان برای زاویه B نیز توابع مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویه B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویه A است و ضلع مقابل زاویه B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویه A می‌باشد؛ بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویه B برابر با کسینوس زاویه A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویه متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:
با افزایش مقدار زاویه A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازه ضلع مجاور آن کاهش و اندازه ضلع مقابل، افزایش می‌یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویه A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایه قضیه فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است) در نتیجه، سینوس زاویه A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به‌طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویه A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویه A است) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود؛ بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.
سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:
سکانت (معکوس کسینوس):
کسکانت (معکوس سینوس):
کتانژانت (معکوس تانژانت):
رابطه میان دو زاویه متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.
به‌طور خلاصه، رابطه میان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:
نام
تعریف
رابطه
سینوس
سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به وتر
کسینوس
کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر
تانژانت
تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به ضلع مجاور
کتانژانت
کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت)
سکانت
سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس)
کسکانت
کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس)
مقدار توابع مثلثاتی برای زاویه‌های خاص
مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایره واحد.
برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار توابع مثلثاتی را به دست آورد.
در زاویه صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است. عکس آن در زاویه ۹۰ درجه، کسینوس صفر و سینوس ۱ می‌باشد؛ بنابراین:
مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویه °۴۵ داشته باشد، زاویه تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیه فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازه هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:
نشان دادن نحوه محاسبه سینوس زاویه ۳۰ درجه با استفاده از مثلث متساوی‌الاضلاع.
با استفاده از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل روبرو) می‌توان نشان داد که ضلع روبرو به زاویه °۳۰، نصف وتر است؛ بنابراین:
به همین ترتیب، اندازه ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیه فیثاغورس برابر ۳/۲√ به دست می‌آید. در نتیجه:
سایر توابع مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.
مقدار توابع مثلثاتی در زاویه‌های تند در جدول زیر خلاصه شده‌است:
تابع
۰°
۱۵° (/۱۲)
۳۰° (/۶)
۴۵° (/۴)
۶۰° (/۳)
۹۰° (/۲)
سینوس
۰