ماتریس

نمایش یک ماتریس با m سطر و n ستون
ماتریس به آرایشی مستطیلی شکل از اعداد یا عبارات ریاضی که بصورت سطر و ستون شکل یافته گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می‌دهد. هر یک از عناصر ماتریس درایه خوانده می‌شود. ماتریسی با ۲ سطر و ۳ ستون به این شکل است:
ماتریس‌های هم اندازه (با تعداد سطر و ستون برابر) را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد. ضرب دو ماتریس تنها در صورتی ممکن است که تعداد ستون‌های ماتریس نخست با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
در جبر خطی، می‌توان اثبات کرد که هر نگاشت خطی، از فضای به فضای ، یک‌ریخت با یک ماتریس (m سطر و n ستون) می‌باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند.
یکی از کاربردهای ماتریس‌ها در حل دستگاه معادلات خطی‌ست. اگر ماتریس مربعی باشد، برخی مشخصات آن را می‌توان از دترمینان آن دریافت. برای نمونه یک ماتریس مربعی معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر دترمینان آن ناصفر باشد.
مقدار ویژه و بردار ویژه اطلاعاتی درباره هندسه نگاشت‌های خطی می‌دهند.
ماتریس‌ها در بیشتر زمینه‌های دانش کاربرد دارند. در تمامی شاخه‌های فیزیک، شامل مکانیک کلاسیک، نورشناسی، الکترومغناطیس، مکانیک کوانتوم و الکترودینامیک کوانتومی ماتریس برای مطالعه پدیده‌های فیزیکی به کار می‌رود.
درایه
به هر یک از عناصر که درون ماتریس می‌آیند درآیه یا درایه می‌گویند. برای مشخص کردن هر درایه باید عدد ردیف و ستون آن را بصورت پایین‌نویس حرف کوچک نام ماتریس نوشت. برای نمونه اگر نام ماتریسی A باشد، درایه‌ای که در ردیف نخست و ستون دوم قرار دارد نوشته می‌شود a ۱۲ و خوانده می‌شود «درایه یک دو». درایه‌های یک ماتریس در حالت کلی می‌توانند حقیقی یا مختلط باشند.
ابعاد
ابعاد یک ماتریس با تعداد سطر و ستون آن تعیین می‌شود. ابعاد ماتریسی با m سطر و n ستون بصورت m × n نوشته و m در n خوانده می‌شود. برای نمونه ابعاد ماتریس A سه در دو (۲×۳) است.
\mathbf{A = \begin{bmatrix
-1.3 - 0.6 \\
20.4 - 5.5 \\
9.7 - -6.2
\end{bmatrix
ماتریسی که تنها یک سطر دارد بردار سطری و ماتریسی که تنها یک ستون دارد بردار ستونی نامیده می‌شود. ماتریسی که تعداد سطر و ستون برابر دارد ماتریس مربعی نامیده می‌شود. ماتریسی با تعداد سطر یا ستون (یا هر دو) بی‌نهایت ماتریس بی‌نهایت خوانده می‌شود. ماتریس تهی ماتریسی‌ست که سطر و ستونی ندارد.
نام
ابعاد
مثال
توضیح
بردار سطری
ماتریسی با یک سطر که گاهی برای نشان دادن بردار استفاده می‌شود
بردار ستونی
n × ۱
ماتریسی با یک ستون که گاهی برای نشان دادن بردار استفاده می‌شود
ماتریس مربعی
n × n
\begin{bmatrix
9 - 13 - 5 \\
1 - 11 - 7 \\
2 - 6 - 3
\end{bmatrix
ماتریسی با تعداد سطر و ستون برابر که گاهی برای نشان دادن نگاشت خطی از یک فضای بردار به خودش استفاده می‌شود مانند انعکاس و چرخش.
نگارش
ماتریس‌ها معمولا بصورت قلاب
\mathbf{A =
\begin{bmatrix
a_{11 - a_{12 - \cdots - a_{1n \\
a_{21 - a_{22 - \cdots - a_{2n \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
a_{m1 - a_{m2 - \cdots - a_{mn
\end{bmatrix
یا کمانک
\mathbf{A =
\left(\begin{array{rrrr
a_{11 - a_{12 - \cdots - a_{1n \\
a_{21 - a_{22 - \cdots - a_{2n \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
a_{m1 - a_{m2 - \cdots - a_{mn
\end{array \right)
نشان داده می‌شوند. ماتریس‌ها معمولا با حروف بزرگ (مثل A ) نشان داده می‌شوند. در این حالت حرف کوچک مورد نظر با دو پایین‌نویس (مثل a ۱۱ , یاa ۱،۱ ) نشان دهنده درایه‌ای از A است. یک درایه از ماتریس همچنین بصورت A ۱،۱، A ۱،۱ یا (۱،۱) هم نشان داده می‌شود. مثلا درایه (۱،۳) از ماتریس A (یا بطور معادل a ۱۳ ، a ۱،۳ ، A۱،۳ یاA ۱،۳ ) برابر ۵ است:
\mathbf{A=\begin{bmatrix
4 - -7 - \color{red{5 - 0 \\
-2 - 0 - 11 - 8 \\
19 - 1 - -3 - 12
\end{bmatrix
عملیات اصلی
کهاد ماتریس
اگر A= a ij ماتریسی n×n باشد ماتریسی که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس A بدست می‌آید یک زیرماتریس A است. دترمینان این زیرماتریس کهاد نامیده و با M ij نشان داده می‌شود.
معادله خطی
نگاشت خطی
ماتریس مربعی
ماتریسی را گویند که تعداد سطرها و ستون‌های آن برابر باشد. برای نمونه ماتریس ۳×۳ ماتریسی مربعی است که سه سطر و سه ستون دارد. در نمایش مرتبه این ماتریس به نوشتن یک ۳ بسنده می‌شود.
ماتریس وارون
یک ماتریس مربعی می‌تواند یک ماتریس وارون داشته باشد. ماتریس وارون یک ماتریس مربعی، ماتریسی است که حاصل ضرب ماتریسی آن با ماتریس مربعی ماتریس همانی می‌شود. به عنوان مثال اگر یک ماتریس باشد ماتریس وارون آن با نمایش داده می‌شود و حاصل ضرب ماتریسی آن با چه از سمت چپ چه از سمت راست ماتریس همانی می‌شود:
A^{-1 \times A = A \times A^{-1 = I
در اینجا ماتریس همانی است، ماتریس همانی همه جا صفر است بغیر از قطر اصلی که همگی یک است، یعنی تمام خانه‌های . البته همه ماتریسهای مربعی وارون‌پذیر نیستند، یعنی ماتریس وارون ندارند.
جبر خطی
عملگر
ماتریس هرمیتی
ماتریس هادامارد
ضرب ماتریس‌ها