مدل خودهمبسته میانگین متحرک

در علم آمار و پردازش سیگنال مدل خودرگرسیو میانگین متحرک (autoregressive moving average model) که به مدل آرما (ARMA) مشهور است و گاهی به آن مدل Box-Jenkins نیز می‌گویند، مدلی است که معمولا برای سنجش داده‌های سری زمانی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
برای داده‌های سری زمانی به صورت X t ، مدل آرما ابزاری برای مطالعه و شاید پیش‌بینی مقادیر آتی چنین سری‌هایی است. این مدل شامل دو بخش Autoregressive به اختصار(AR) و Moving Average به اختصار (MA) است. بنابراین مدل آرما را در ادبیات علمی به صورت (ARMA (p,q نمایش می‌دهند. که در آن p مرتبه مدلAR و q مرتبه مدل MA است.
مدل خودرگرسیو
مدل AR با مرتبه p به صورت زیر است:
که در آن پارامترهای مدل هستند. ثابت مدل و خطای وایت نویز مدل است. گاهی ترم خطا برای سادگی توسط بعضی نویسندگان حذف می‌شود.
برای مانایی چنین مدلی به اعمال بعضی محدودیت‌ها بر ارزش پارامترها نیاز داریم. برای مثال مدل (AR(۱ با | ۱ | ≥ ۱ مدل مانا نیست.
مدل میانگین متحرک
مدل MA با مرتبه q به صورت زیر تعریف می‌شود:
در این مدل،  ۱ ,… ,  q پارامترهای مدل هستند.  امید ریاضی است (و اغلب برابر صفر در نظر گرفته می‌شود). ، ،… نیز ترم‌های خطای وایت نویز مدل می‌باشند.
مدل خودرگرسیو میانگین متحرک
مدل(ARMA(p, q مدلی است با مرتبه p اتورگرسیو و مرتبه q میانگین متحرک. و شامل دو مدل ذکر شده در بالا می‌گردد.
در باب ترم‌های خطا
به‌طور کلی فرض می‌شود مقادیر خطای ، مقادیری احتمالی با توزیع i.i.d یا independent identically-distributed هستند. و یک توزیع نرمال با میانگین صفر دارند که در آن  ۲ واریانس خطاست.
تبیین مدل با استقاده از عملگر lag
در بعضی متون مدل‌های مذکور به کمک عملگر lag نشان داده می‌شوند. بر این اساس مدل AR از مرتبه P به صورت:
نشان داده شده و در آن است.
مدل MA از مرتبه q نیز در این حالت می‌شود:
که است.
و در نهایت مدل(ARMA(p, q را خواهیم داشت:
که به توجه به تعاریف بالا می‌توان آن را به صورت بازنویسی کرد.
مدل‌های اقتصادسنجی قابل اعمال
به‌طور کلی می‌توان به کمک روش حداقل مربعات یعنی با مینیمم کردن مقادیر خطای مدل، تخمینی از پارامترهای مدل ARMA به دست داد. برای یافتن مقادیر مناسب pوq در مدل (ARMA(p,q می‌توان از رسم نمودار توابع خود همبستگی نسبی(Partial Autocorrelation Function) برای p و رسم نمودار توابع خودهمبستگی (Autocorrelation Function) برای تخمین q، مدد جست. استفاده از ملاک AIC نیز برای تعیین مقادیر p,q توسط برخی محققان توصیه شده‌است.
کاربردها
مدل آرما زمانی مناسب است که سیستم تابعی از شوک‌های مشاهده ناپذیر باشد. برای مثال قیمت سهام که علاوه بر شوکهای اطلاعاتی در بازار تحت تاثیر شوک‌های رفتاری آحاد نیز هست.
صورت‌های عمومی‌تر مدل
وابستگی متغیر X t به مقادیر پیشین خود و مقادیر خطای  t معمولا اگر به‌طور خاص قید نگردیده باشد، خطی فرض می‌شود. اگر این وابستگی غیر خطی باشد. این مدل‌ها را nonlinear autoregressive moving average یا NARMA می‌خوانند.
مدل‌های آرما صورت‌های عمومی‌تر دیگری نیز دارند. مانند مدل‌های autoregressive conditional heteroskedasticity یا ARCH و autoregressive integrated moving average یا ARIMA.
اگر مطالعه روی سری‌های زمانی چندگانه باشد، یک مدل برداری آریما یا به عبارتی VARIMA خواهیم داشت. اگر سری‌های زمانی مذکور دارای حافظه بلندمدت باشند یک مدل بخشی (Fractional) آریما یا به عبارتی FARIMA مناسب خواهد بود. اگر داده‌ها دارای تاثیرات فصلی بود (seasonal effects) آنگاه مدل Seasonal ARIMA یاSARIMA را خواهیم داشت.
مدل دیگر مدل ARMAX است که در آن علاوه بر p ترم اتورگرسیو و q ترم moving average با b ترم سری زمانی برونزای نیز مواجهیم. مدل در واقع به صورت زیر است:
که در آن پارامترهای سری‌های برونزای هستند.