اصل (منطق)

اصل یا بنداشت یا بن قانون ، در فلسفه، ریاضیات، منطق و فیزیک، گزاره‌ای است که بدون اثبات و به شکل پیش‌فرض پذیرفته می‌شود و از روی آن سایر گزاره‌ها استخراج می‌شوند.
اصل یا بدیهیات آنچنانکه در فلسفه کلاسیک تعریف شده است، گزاره‌ای است (در ریاضیات اغلب بصورت نمادین ارائه می‌شود) که پرواضح یا بدیهی است و بدون اینکه بحث یا سوالی در مورد آن مطرح باشد، مورد پذیرش است. بنابراین، اصل می‌تواند به عنوان مبنایی برای استدلال یا ادعا مورد استفاده قرار گیرد؛ آنچنان که در منطق یا ریاضیات مرسوم است. این واژه از واژه یونانی (axíōma (ἀ گرفته شده است که مفهوم کاملا درست، مناسب، واضح یا بدیهی را منتقل می‌کند.
در منطق مدرن، اصل، پیش‌فرض یا نقطه شروعی برای استدلال است. صحت بدیهی بودن یک اصل مفهومی یا به صورت نمادهای ریاضی، موضوعی است که در فلسفه ریاضیات، بوسیله ریاضیدانان مورد بررسی قرار می‌گیرد.
اصل، در ریاضیات دارای دو مفهوم متمایز است: «اصول منطقی» و «اصول غیرمنطقی». اصول منطقی معمولا به بیانیه‌هایی گفته می‌شود که از نظر سیستم منطق صحیح هستند (برای مثال (الف و ب) دلالت بر الف دارد)، در حالیکه اصول غیرمنطقی (مانند الف + ب = ب + الف) بیانگر مفاهیمی ذهنی در مورد دامنه یک نظریه ریاضی خاص، می‌باشند (مانند حساب).
اصول موضوعه می‌توانند بدیهی نباشند، اما به‌هرحال نقطه آغاز کار است و به همین دلیل نمی‌توان آن‌ها را از هیچ گزاره دیگری استخراج کرد. گزاره‌ای که از یک یا چند اصل دیگر استنتاج شود قضیه (theorem) نام دارد.
اصول موضوعه نسبیت خاص، معمولا به عنوان مثال اصل غیر بدیهی آورده می‌شود. در سنت ایرانی معمولا اصول موضوعه را از اصول متعارفه -که بدیهی به نظر می‌آیند و ادعا می‌شود هرکس آن‌ها را می‌پذیرد- جدا می‌کنند. اگر بخواهیم این کاربرد را در انگلیسی داشته باشیم باید برای اصول موضوعه و متعارفه به ترتیب postulate و axiom را به کار ببریم.
معمولا هنگامی که نظریه‌ای (معمولا در فیزیک یا ریاضیات) داریم اصل موضوع‌بندی آن، بسیار لذت‌بخش و زیبا خواهد بود. این کار نشان می‌دهد که تمام گزاره‌های آن نظریه را می‌توان با پذیرفتن تعداد بسیار اندکی "اصل موضوع" به دست آورد.
تاریخچه
اصل‌ها و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند. ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتاب‌های خود، بارها از «اصل» و «قضیه» استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتاب اصول خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.
شماری از اصل‌ها را، اقلیدس پوستلا (postulate ~ خواست) نامیده است. برای نمونه، نخستین پوستلا در اصول اقلیدس، به این ترتیب تنظیم شده است: «کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه خط راستی است که آنها را به هم وصل می‌کند.»
اصول هندسه اقلیدسی
تمام قصایای هندسه اقلیدسی (برای مثال قضیه فیثاغورس) از پنج اصل زیر استخراج می‌شوند:
اصل اول: هر دو نقطه یک خط منحصربه‌فرد را مشخص می‌سازد.
اصل دوم: هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت روی خط راست امتداد داد.
اصل سوم: با یک نقطه به عنوان مرکز و یک پاره‌خط به عنوان شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
اصل چهارم: همه زوایای قائمه با یک دیگر قابل انطباق‌اند.
اصل پنجم: به ازای هر خط L و نقطه P غیر واقع بر آن، تنها یک خط مانند M وجود دارد چنانچه از P می‌گذرد و با L موازی است.
برای بیان این اصول موضوعه، به مفاهیمی مانند نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدون اثبات بپذیریم تا بقیه گزاره‌ها استخراج شوند، لازم است چند مفهوم را نیز بدون تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصول هندسه اقلیدسی، به جز اصل پنجم، بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌نمایند.
قانون فلسفی
قانون، گزاره‌ای منطقی است که در دستگاه فلسفی مشخصی، "بدیهی" فرض شده یا درستی آن اثبات شده است و مبنای دیگر قضایای آن دستگاه فلسفی خواهد شد.
مثلا قانون اول نیوتون می‌گوید اجسام به وضعیت حرکت یا سکون خود ادامه می‌دهند مگر اینکه به آنها نیرویی وارد شود. این بیان قانون است در دستگاه فلسفی نیوتون و مثلا در دستگاه فلسفی ارسطو گزاره‌ای نادرست است. پس قوانین فیزیک وابستگی شدید به دستگاه فلسفی تعریف شده دارند.
در هندسه نیز قوانین هندسه نااقلیدسی با هندسه اقلیدسی در تضاد است.
فهرست بنداشت‌ها
چهار ضلعی ساکری
اصل توازی اقلیدسی
اصل پلی‌فیر
هندسه نااقلیدسی
هندسه اقلیدسی
نظریه مجموعه‌ها