فرمول هرون

A triangle with sides a, b, and c.
در هندسه هندسه فرمول هرون فرمولی است که با استفاده از آن می‌توان مساحت یک مثلث را بدون داشتن ارتفاع آن به دست آورد. نام آن از نام هرون اسکندرانی گرفته شده‌است.
فرمولاسیون
این فرمول به صورت زیر بیان شده است:
در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث میباشند.
فرمول هرون به روش‌های زیر نیز میتواند نوشته شود
مثال
فرض کنیم مثلثی باشد با اضلاع , and .
\پس در اینجا نصف محیط مثلث یا p برابر است با , and the area is
در این مثال اندازه هر ضلع مثلث به صورت عدد صحیح وارد شده است، با این حال فرمول هرون برای مثلهایی که یک یا هر سه ضلع آن از اعداد غیر صحیح و اعشاری باشد نیز کاربرد دارد.
اثبات
با استفاده از جبر و قوانین نسبت‌های مثلثاتی می‌توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است.
مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می‌گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس‌ها از قانونی از کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می‌خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با: مجموع مربعات دو ضعلی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲ برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می‌باشد و به بیان ریاضی داریم:
ضمنا مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس بدست می‌آید (رابطه دومی که در زیر ملاحظه می‌کنید)
مساحت مثلث را با T نشان می‌دهیم. این اثبات در ریاضیات دوم دبیرستان انجام شده‌است یعنی باید از طریق رابطه سینوس و کشیدن یک مثلث با یک ارتفاع و نوشتن رابطه مساحت مثلث یعنی قائده ضربدر ارتفاع تقسیم بر ۲ و ادغام این‌ها باهم رابطه را نتیجه گرفت که همان رابطه زیر است:
\begin{align
-T = \frac{1{2 ab\sin \widehat C \\
- = \frac{1{4\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 \\
- = \frac{1{4\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2)) \\
- = \frac{1{4\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2) \\
- = \frac{1{4\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c) \\
- = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c){16 \\
- = \sqrt{\frac{(c -(a -b)){2\frac{(c +(a -b)){2\frac{((a +b) -c){2\frac{((a +b) +c){2 \\
- = \sqrt{\frac{(b + c - a){2\frac{(a + c - b){2\frac{(a + b - c){2\frac{(a + b + c){2 \\
- = \sqrt{\frac{(a + b + c){2\frac{(b + c - a){2\frac{(a + c - b){2\frac{(a + b - c){2 \\
- = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right).
\end{align
p یک نماد قراردادی است که همان نصف محیط مثلث است و قرار داد می‌شود که نصف محیط مثلث را p بنامیم پس اگر این حرف را عوض کنیم اشکال ندارد فقط باید بدانیم منظور همان نصف محیط مثلث است. ضمنا از روش‌های مربع کامل سازی و اتحاد مزدوج استفاده شده‌است. همان‌طور که گفته شد ما می‌خواستیم مساحت را با استفاده از اضلاع بدست آوریم (بدون داشتن ارتفاع) پس از قوانینی و روابطی استفاده کردیم که در بر دارنده متغیرهای اضلاع باشد یعنی در ان روابط، اضلاع مثلث وجود داشته باشد بنابراین به سراغ نسبت‌های مثلثاتی و اتحادهای آن‌ها رفتیم که به خوبی پاسخگوی نیازهای ما در قبال سوالات ریاضی در مبحث مثلثات باشد. حال شاید پرسش شما این باشد که چرا از آن اتحاد مجموع مربع سینوس و مربع کسینوس استفاده شده، در پاسخ به این سوال باید بگویم این تنها اتحاد ساده و خوبی است که مارا در حل مسئله و ادغام روابط بالا کمک می‌کند و البته می‌شود از اتحادهای دیگر نیز کمک گرفت. این اتحاد به خوبی دو نسبت مهم و اساسی در این فرمول را پوشش می‌دهد و ساده‌تر می‌توان به نتیجه رسید یعنی بدون سر در گمی و زیاد شدن محاسبات.
اثبات مثلثاتی با استفاده از قانون کسینوس
مدرک مدرن و روشی جدید است، که از جبر استفاده می‌کند و کاملا از آنچه که توسط Heron (در کتاب Metrica ) ارائه شده متفاوت است، مرجع.
فرض کنیم, , به عنوان اضلاع مثلث باشد و , , زاویهداخلی مثلت باشد.
بر اسا قانون کسینوسها ، داریم:
From this proof we get the algebraic statement that
The ارتفاع (مثلث) of the triangle on base has length , and it follows
\begin{align
A - = \frac{1{2 (\mbox{base) (\mbox{altitude) \\
- = \frac{1{2 ab\sin \gamma \\
- = \frac{1{4\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 \\
- = \frac{1{4\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2)) \\
- = \frac{1{4\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2) \\
- = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c){16 \\
- = \sqrt{\frac{(b + c - a){2\frac{(a + c - b){2\frac{(a + b - c){2\frac{(a + b + c){2 \\
- = \sqrt{\frac{(a + b + c){2\frac{(b + c - a){2\frac{(a + c - b){2\frac{(a + b - c){2 \\
- = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c).
\end{align
فاکتور اختلاف دو مربع در دو مرحله مختلف مورد استفاده قرار گرفت.