تجزیه مقدارهای منفرد

برش ماتریس . در ابتدا دیسک واحد را با رنگ آبی با دو بردار واحد مشاهده می‌کنید. در ادامه تاثیر را بر روی دیسک می‌بینم که دیسک را به بیضی تبدیل می‌کند. تجزیه مقدارهای منفرد به سه تغییردهنده ساده تبدیل می‌شود: در ابتدا ماتریس دوران و تجانس در امتداد محورهای مختصاتی و در انتها چرخش . طول و محورهای بیضی مقدار منفرد هستند، یعنی و .
تجزیه ضرب ماتریس‌ها در تجزیه مقدارهای منفرد
به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیه مقدارهای منفرد یا تجزیه مقدارهای تکین (Singular value decomposition) قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید.
مثال‌ها
ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:
\begin{bmatrix
1 - 0 - 0 - 0 - 2\\
0 - 0 - 3 - 0 - 0\\
0 - 0 - 0 - 0 - 0\\
0 - 4 - 0 - 0 - 0\end{bmatrix.
تجزیه مقدارهای منفرد این ماتریس برای به صورت زیر است:
\begin{align
\mathbf{U -= \begin{bmatrix
\color{Green0 - \color{Blue0 - \color{Cyan1 - \color{Emerald0 \\
\color{Green0 - \color{Blue1 - \color{Cyan0 - \color{Emerald0 \\
\color{Green0 - \color{Blue0 - \color{Cyan0 - \color{Emerald-1 \\
\color{Green1 - \color{Blue0 - \color{Cyan0 - \color{Emerald0
\end{bmatrix \\
\boldsymbol{\Sigma -= \begin{bmatrix
2 - 0 - 0 - 0 - \color{Gray\mathit{0 \\
0 - 3 - 0 - 0 - \color{Gray\mathit{0 \\
0 - 0 - \sqrt{5 - 0 - \color{Gray\mathit{0 \\
0 - 0 - 0 - \color{Red\mathbf{0 - \color{Gray\mathit{0
\end{bmatrix \\
\mathbf{V^* -= \begin{bmatrix
\color{Violet0 - \color{Plum1 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet0 - \color{Plum0 - \color{Magenta1 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet\sqrt{0.2 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple\sqrt{0.8 \\
\color{Violet0 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid1 - \color{Purple0 \\
\color{Violet-\sqrt{0.8 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple\sqrt{0.2
\end{bmatrix
\end{align
توجه داشته باشید که خارج از خط مورب صفر (خاکستری ایتالیک) است و یک عنصر مورب صفر (قرمز پررنگ) است. علاوه بر این، به دلیل اینکه ماتریس‌های و یکتا هستند، ضرب آن‌ها توسط ترانهاده مزدوج آن‌ها ضرب می‌شود، همان‌طور که در زیر نشان‌داده شده‌است. در این حالت، به دلیل اینکه و حقیقی هستند، هر کدام یک ماتریس متعامد هستند.
\begin{align
\mathbf{U \mathbf{U^T -=
\begin{bmatrix
\color{Green0 - \color{Blue0 - \color{Cyan1 - \color{Emerald0 \\
\color{Green0 - \color{Blue1 - \color{Cyan0 - \color{Emerald0 \\
\color{Green0 - \color{Blue0 - \color{Cyan0 - \color{Emerald-1 \\
\color{Green1 - \color{Blue0 - \color{Cyan0 - \color{Emerald0
\end{bmatrix
\cdot
\begin{bmatrix
\color{Green0 - \color{Green0 - \color{Green0 - \color{Green1 \\
\color{Blue0 - \color{Blue1 - \color{Blue0 - \color{Blue0 \\
\color{Cyan1 - \color{Cyan0 - \color{Cyan0 - \color{Cyan0 \\
\color{Emerald0 - \color{Emerald0 - \color{Emerald-1 - \color{Emerald0
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
1 - 0 - 0 - 0 \\
0 - 1 - 0 - 0 \\
0 - 0 - 1 - 0 \\
0 - 0 - 0 - 1
\end{bmatrix
\mathbf{I_4 \\
\mathbf{V \mathbf{V^T -=
\begin{bmatrix
\color{Violet0 - \color{Violet0 - \color{Violet\sqrt{0.2 - \color{Violet0 - \color{Violet-\sqrt{0.8 \\
\color{Plum1 - \color{Plum0 - \color{Plum0 - \color{Plum0 - \color{Plum0 \\
\color{Magenta0 - \color{Magenta1 - \color{Magenta0 - \color{Magenta0 - \color{Magenta0 \\
\color{Orchid0 - \color{Orchid0 - \color{Orchid0 - \color{Orchid1 - \color{Orchid0 \\
\color{Purple0 - \color{Purple0 - \color{Purple\sqrt{0.8 - \color{Purple0 - \color{Purple\sqrt{0.2
\end{bmatrix
\cdot
\begin{bmatrix
\color{Violet0 - \color{Plum1 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet0 - \color{Plum0 - \color{Magenta1 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet\sqrt{0.2 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple\sqrt{0.8 \\
\color{Violet0 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid1 - \color{Purple0 \\
\color{Violet-\sqrt{0.8 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple\sqrt{0.2
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
1 - 0 - 0 - 0 - 0 \\
0 - 1 - 0 - 0 - 0 \\
0 - 0 - 1 - 0 - 0 \\
0 - 0 - 0 - 1 - 0 \\
0 - 0 - 0 - 0 - 1
\end{bmatrix
\mathbf{I_5
\end{align
در حالت خاص در صورتی که به صورت زیر انتخاب شود این تقسیم دیگر منحصر به فرد نیست.
\mathbf{V^* = \begin{bmatrix
\color{Violet0 - \color{Plum1 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet0 - \color{Plum0 - \color{Magenta1 - \color{Orchid0 - \color{Purple0 \\
\color{Violet\sqrt{0.2 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid0 - \color{Purple\sqrt{0.8 \\
\color{Violet\sqrt{0.4 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid\sqrt{0.5 - \color{Purple-\sqrt{0.1 \\
\color{Violet-\sqrt{0.4 - \color{Plum0 - \color{Magenta0 - \color{Orchid\sqrt{0.5 - \color{Purple\sqrt{0.1
\end{bmatrix
همچنین یک تقسیم معتبر ارزش ویژه است.
جبر خطی عددی
تحلیل مولفه‌های اصلی
ویژه‌مقدار