ریشه دوم

عبارت ریاضی ریشه دوم x
در ریاضیات، ریشه دوم یا جذر یک عدد حقیقی غیرمنفی به صورت نشان داده می‌شود و نتیجه آن عددی حقیقی غیر منفی است که مجذورش (عدد حاصل از ضرب یک عدد در خودش) برابر است.
برای مثال، جذر عدد ۹ برابر ۳ است (به صورت نمایش می‌یابد) زیرا داریم
جذر اغلب در هنگام حل معادله درجه دوم یا معادله‌های به شکل استفاده می‌شود، زیرا متغیر به توان دو رسیده‌است.
طبق قانون بنیادی جبری، دو جواب برای ریشه دوم یک عدد وجود دارد (این دو جواب در ریشه دوم عدد صفر با هم یکی هستند). برای هر عدد حقیقی مثبت دو جواب برای ریشه دوم وجود دارد که این دو جواب عددی هستند که یک بار منفی و یک بار مثبت است (به شکل ).
ریشه دوم اعدادی که مربع کامل نیستند همواره عددی گنگ است، یعنی اعداد را نمی‌توان به صورت کسری از دو عدد صحیح گویا کرد. برای مثال، را نمی‌توان دقیقا به صورت m/n نوشت، که در آن n و m اعدادی صحیح هستند.
در هر حال این عدد اندازه قطر مربعی به ضلع یک است. از مدت‌های گذشته، عدد را عددی گنگ می‌دانستند و آن را به فیثاغورث نسبت می‌دادند.
نماد ریشه دوم ( ) برای اولین بار در قرن شانزدهم استفاده شد. به نظر می‌رسد که این علامت از حرف کوچک r برگرفته شده‌است، که بیانگر واژه لاتین radix به معنای ریشه است.
خواص
تابع ریشه دوم ، ، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی به خودش.
تابع ریشه دوم همواره مقداری منحصربه‌فرد برمی‌گرداند.
برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را x 1 بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا x 2 به دست آید (x 2 = ۰ − x 1 ).
خواص زیر، مهم‌ترین خواص ریشه دوم هستند که براhello material fuchjsnsnsnsnhdhی هر عدد حقیقی مثبت و صحیح هستند:
ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. عددی گویا است، اگر و تنها اگر عددی گویا باشد که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد مربع کامل نشان داد. به طور کلی، عددی گنگ است.
در هندسه، تابع ریشه دوم نگاشتی از سطح یک مربع به طول اضلاعش.
خلاف یک اشتباه رایج، لزوما برابر نیست. این برابری تنها در مواردی که غیرمنفی باشد صدق می‌کند. اما اگر باشد، طبق تعریف است و این یعنی . در نتیجه برای هر عدد حقیقی داریم . (قدرمطلق را ببینید)
\sqrt{x^2 = \left|x\right| =
\begin{cases
x, - \mbox{if x \ge 0 \\
-x, - \mbox{if x
۰ استفاده کنیم:
همین رویه را می‌توان به صورت زیر داشت:
این روش برای تمام مقادیر ، یک مقدار گویا می‌دهد، مانند:
ریشه دوم بیست عدد صحیح مثبت
۱
۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳ ۷۳۰۹۵۰۴۸۸۰ ۱۶۸۸۷۲۴۲۰۹ ۶۹۸۰۷۸۵۶۹۶ ۷۱۸۷۵۳۷۶۹۴ ۸۰۷۳۱۷۶۶۷۹ ۷۳۷۹۹۰۷۳۲۴ ۷۸۴۶۲
۱٫۷۳۲۰۵۰۸۰۷۵ ۶۸۸۷۷۲۹۳۵۲ ۷۴۴۶۳۴۱۵۰۵ ۸۷۲۳۶۶۹۴۲۸ ۰۵۲۵۳۸۱۰۳۸ ۰۶۲۸۰۵۵۸۰۶ ۹۷۹۴۵۱۹۳۳۰ ۱۶۹۰۹
۲
۲٫۲۳۶۰۶۷۹۷۷۴ ۹۹۷۸۹۶۹۶۴۰ ۹۱۷۳۶۶۸۷۳۱ ۲۷۶۲۳۵۴۴۰۶ ۱۸۳۵۹۶۱۱۵۲ ۵۷۲۴۲۷۰۸۹۷ ۲۴۵۴۱۰۵۲۰۹ ۲۵۶۳۸
۲٫۴۴۹۴۸۹۷۴۲۷ ۸۳۱۷۸۰۹۸۱۹ ۷۲۸۴۰۷۴۷۰۵ ۸۹۱۳۹۱۹۶۵۹ ۴۷۴۸۰۶۵۶۶۷ ۰۱۲۸۴۳۲۶۹۲ ۵۶۷۲۵۰۹۶۰۳ ۷۷۴۵۷
۲٫۶۴۵۷۵۱۳۱۱۰ ۶۴۵۹۰۵۹۰۵۰ ۱۶۱۵۷۵۳۶۳۹ ۲۶۰۴۲۵۷۱۰۲ ۵۹۱۸۳۰۸۲۴۵ ۰۱۸۰۳۶۸۳۳۴ ۴۵۹۲۰۱۰۶۸۸ ۲۳۲۳۰
۲٫۸۲۸۴۲۷۱۲۴۷ ۴۶۱۹۰۰۹۷۶۰ ۳۳۷۷۴۴۸۴۱۹ ۳۹۶۱۵۷۱۳۹۳ ۴۳۷۵۰۷۵۳۸۹ ۶۱۴۶۳۵۳۳۵۹ ۴۷۵۹۸۱۴۶۴۹ ۵۶۹۲۴
۳
۳٫۱۶۲۲۷۷۶۶۰۱ ۶۸۳۷۹۳۳۱۹۹ ۸۸۹۳۵۴۴۴۳۲ ۷۱۸۵۳۳۷۱۹۵ ۵۵۱۳۹۳۲۵۲۱ ۶۸۲۶۸۵۷۵۰۴ ۸۵۲۷۹۲۵۹۴۴ ۳۸۶۳۹
۳٫۳۱۶۶۲۴۷۹۰۳ ۵۵۳۹۹۸۴۹۱۱ ۴۹۳۲۷۳۶۶۷۰ ۶۸۶۶۸۳۹۲۷۰ ۸۸۵۴۵۵۸۹۳۵ ۳۵۹۷۰۵۸۶۸۲ ۱۴۶۱۱۶۴۸۴۶ ۴۲۶۰۹
۳٫۴۶۴۱۰۱۶۱۵۱ ۳۷۷۵۴۵۸۷۰۵ ۴۸۹۲۶۸۳۰۱۱ ۷۴۴۷۳۳۸۸۵۶ ۱۰۵۰۷۶۲۰۷۶ ۱۲۵۶۱۱۱۶۱۳ ۹۵۸۹۰۳۸۶۶۰ ۳۳۸۱۸
۳٫۶۰۵۵۵۱۲۷۵۴ ۶۳۹۸۹۲۹۳۱۱ ۹۲۲۱۲۶۷۴۷۰ ۴۹۵۹۴۶۲۵۱۲ ۹۶۵۷۳۸۴۵۲۴ ۶۲۱۲۷۱۰۴۵۳ ۰۵۶۲۲۷۱۶۶۹ ۴۸۲۹۳
۳٫۷۴۱۶۵۷۳۸۶۷ ۷۳۹۴۱۳۸۵۵۸ ۳۷۴۸۷۳۲۳۱۶ ۵۴۹۳۰۱۷۵۶۰ ۱۹۸۰۷۷۷۸۷۲ ۶۹۴۶۳۰۳۷۴۵ ۴۶۷۳۲۰۰۳۵۱ ۵۶۳۰۷
۳٫۸۷۲۹۸۳۳۴۶۲ ۰۷۴۱۶۸۸۵۱۷ ۹۲۶۵۳۹۹۷۸۲ ۳۹۹۶۱۰۸۳۲۹ ۲۱۷۰۵۲۹۱۵۹ ۰۸۲۶۵۸۷۵۷۳ ۷۶۶۱۱۳۴۸۳۰ ۹۱۹۳۷
۴
۴٫۱۲۳۱۰۵۶۲۵۶ ۱۷۶۶۰۵۴۹۸۲ ۱۴۰۹۸۵۵۹۷۴ ۰۷۷۰۲۵۱۴۷۱ ۹۹۲۲۵۳۷۳۶۲ ۰۴۳۴۳۹۸۶۳۳ ۵۷۳۰۹۴۹۵۴۳ ۴۶۳۳۸
۴٫۲۴۲۶۴۰۶۸۷۱ ۱۹۲۸۵۱۴۶۴۰ ۵۰۶۶۱۷۲۶۲۹ ۰۹۴۲۳۵۷۰۹۰ ۱۵۶۲۶۱۳۰۸۴ ۴۲۱۹۵۳۰۰۳۹ ۲۱۳۹۷۲۱۹۷۴ ۳۵۳۸۶
۴٫۳۵۸۸۹۸۹۴۳۵ ۴۰۶۷۳۵۵۲۲۳ ۶۹۸۱۹۸۳۸۵۹ ۶۱۵۶۵۹۱۳۷۰ ۰۳۹۲۵۲۳۲۴۴ ۴۹۳۶۸۹۰۳۴۴ ۱۳۸۱۵۹۵۵۷۳ ۲۸۲۰۳
۴٫۴۷۲۱۳۵۹۵۴۹ ۹۹۵۷۹۳۹۲۸۱ ۸۳۴۷۳۳۷۴۶۲ ۵۵۲۴۷۰۸۸۱۲ ۳۶۷۱۹۲۲۳۰۵ ۱۴۴۸۵۴۱۷۹۴ ۴۹۰۸۲۱۰۴۱۸ ۵۱۲۷۶
ساختار هندسی ریشه دوم
ریشه دوم می‌تواند به صورت منحنی ساخته شود. اقلیدس روشی را برای بدست آوردن میانگین هندسی دو عدد مختلف ساخته‌است: و . میانگین هندسی دو عدد و برابر است با و در صورتی که باشد می‌توان از استفاده کرد.
چنین روشی را رنه دکارت هم گفته بود، که می‌توانید آن را در تمرین دوم ببینید. اگر چه دکارت هیچ ادعایی برای اینکه مطلبی جدید را آورده نداشت و همه افراد آن را از آن اقلیدس می‌دانستند.
پیشینه
در هند باستان، استفاده از ریشه دوم به سولبا سوتراس برمی گردد، که حدود ۵۰۰–۸۰۰ سال قبل از میلاد بوده‌است. اولین روش برای یافتن ریشه دوم عدد ۲ و ۳ توسط بودایانا سولبا سوترا ارائه شده بود.
آریاباتا در آریاباتیا (قسمت ۲٫۴) هم روشی برای به دست آوردن ریشه دوم اعداد چندرقمی داده بود.
د.ا. اسمیت در کتاب تاریخ ریاضی گفته‌است، «در اروپا چنین روش‌هایی (برای پیدا کردن ریشه دوم و مربع یک عدد) قبل از کاتنو (۱۵۴۶) استفاده نمی‌شده‌است. او روش‌هایی را برای به دست آوردن ریشه دوم، با استفاده از روش آریاباتا ارائه کرده بود.