نظریه آشوب

نمودار فضای فاز آونگ دوتایی با اصطکاک که لورنتس آن را نگاشته‌است.
نظریه آشوب یا نظریه بی‌نظمی‌ها شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه سیستم‌های دینامیکی آشفته می‌پردازد.
سیستم‌های آشفته یا پرهرج‌ومرج، سیستم‌های دینامیکی غیرخطی هستند که نسبت به شرایط اولیه خود (t = ۰) بسیار حساس بوده‌اند. تغییری اندک در شرایط اولیه چنین سیستم‌هایی باعث دگرگونی‌های بسیار در مرحله بعدی خواهد شد.
این پدیده در نظریه آشوب به اثر پروانه‌ای مشهور است که در آن؛ یک پروانه با بال‌زدن‌هایش در برزیل، می‌تواند (در شرایطی) باعث گردباد در تگزاس شود و بنابرین؛ ارائه پیش‌بینی طولانی مدت رفتار آن‌ها غیرممکن است.
رفتار سیستم‌های آشفته به ظاهر تصادفی می‌نماید. با این‌حال هیچ لزومی به وجود عنصر تصادف در ایجاد رفتار آشوبی نیست و سیستم‌های دینامیکی معینی (deterministic) نیز می‌توانند رفتاری آشفته از خود نشان دهند.
می‌توان نشان داد که شرط لازم وجود رفتار آشوب‌گونه در سیستم‌های دینامیکی زمان‌پیوسته مستقل از زمان (time invariant) و داشتن کمینه سه متغیر حالت است (سیستم مرتبه سه). دینامیک لورنتس نمونه‌ای از چنین سیستمی است.
برای سیستم‌های زمان‌گسسته، وجود یک متغیر حالت کفایت می‌کند. نمونه مشهور چنین سیستم‌ای، مدل جمعیتی بیان‌شده توسط نقشه لجستیک است.
تاریخچه
این نظریه، گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فیگن‌باوم می‌باشد. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد، مسئله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مسئله‌ای آشوبی و غیرقابل حل است. شاخه دیگر از نظریه آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته می‌شود که پیر لاپلاس و عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مسئله و پدیده پی برده بودند.
اولین آزمایش واقعی در زمینه آشوب توسط یک هواشناس به نام ادوارد لورنز انجام شد. در سال ۱۹۶۰، وی روی یک مسئله پیش‌بینی وضع هوا کار می‌کرد. وی بر روی کامپیوترش ۱۲ معادله برای پیش‌بینی وضع هوا درنظر گرفته بود. این معادلات وضع هوا را پیش‌بینی نمی‌کرد؛ ولی این برنامه کامپیوتری به‌طور نظری پیش‌بینی می‌کرد که هوا چگونه می‌تواند باشد. او می‌خواست دنباله مشخصی را دوباره ببیند. برای کاهش زمان، وی به جای شروع از اول، از وسط دنباله شروع کرد. او عددی را که دفعه قبل از دنباله در دست داشت وارد کرد و کامپیوتر را برای پردازش رها نمود و رفت. وقتی یک ساعت بعد برگشت، دنباله به صورتی متفاوت از دفعه قبل پیشرفت کرده بود. به جای حالت قبلی، الگوی جدید آن واگرا می‌شد و در آخر شکلی کاملا به هم ریخته نسبت به اولی پیدا می‌کرد. او بالاخره فهمید که مشکل کار کجاست. کامپیوتر تا ۶ رقم اعشار را در خود ذخیره
می‌کرد و برای اینکه وی کاغذ کمتری مصرف کند فقط تا ۳ رقم اعشار را برای خروجی درنظر گرفته بود. در الگوی اولیه، عدد بدست آمده در اصل۵۰۶۱۲۷/۰ بود ولی وی برای حالت بعدی فقط ۵۰۶/۰ را وارد کرد. براساس تمام ایده‌های آن زمان، این دنباله باید شبیه یا خیلی نزدیک به حالت اولیه می‌شد. رقم‌های پنجم و ششم، که برای بعضی از روش‌ها غیرقابل اندازه‌گیری هستند، نمی‌توانند تاثیر زیادی روی خروجی داشته باشند. لورنز این باور را رد کرد. این اثر به عنوان اثر پروانه‌ای شناخته شد. مقدار تفاوت بین نقاط شروع دو نمودار آنقدر کم است، که به اندازه بال زدن یک پروانه می‌تواند باشد: بال زدن یک پروانه تغییر بسیار اندکی در وضعیت اتمسفر ایجاد می‌کند. در طول یک دوره، اتمسفر از حالتی که باید می‌بود، عملا دور می‌شود. به همین دلیل، در طول یک دوره، یک گردباد که قرار بود سواحل اندونزی را تخریب کند، هیچ وقت اتفاق
نمی‌افتد یا ممکن است، گردبادی که اصلا قرار نبود اتفاق بیفتد، رخ دهد. این پدیده، به عنوان حساسیت بالا به شرایط اولیه نیز شناخته شده‌است.
آشوب دقیقا چیست؟
نظریه آشوب شاخه‌ای از علم ریاضی است که به بررسی سیستم‌های بسیار پیچیده‌ای می‌پردازد، که در خروجی آنها، با اعمال تغییرات کوچک (و ظاهرا قابل اغماض)، تغییرات بزرگی حاصل می‌شود. به بیان دیگر، پدیده‌هایی اتفاقی (Random) که تاکنون با عجز و ناتوانی، دلیلی برای آن‌ها نمی‌یافتیم، به کمک نظریه آشوب، توجیه می‌شوند، نظریه آشوب، بر پایه‌های ریاضی، فیزیک و حتی فلسفه استوار است، هر یک از این علوم، با ابزارهای خود این نظریه را بررسی و اثبات کرده‌اند.
نظریه آشوب پدیده جدیدی نیست، قانون علت و معلول در آن پا برجاست، فقط با ابزارهایی متفاوت، علت‌های بسیار بیشتری را برای یک معلول بررسی می‌کند.
اگر فقط ذره‌ای در هر سوی این بازه جابجا شود همه چیز به بی‌نهایت می‌رود! یک بار به هم خوردن بالهای یک پروانه کافیست تا شما با یک رفتار آشوبگونه روبرو شوید. این رفتار به آرامی به آشوبگونگی میل نمی‌کند بلکه سیستم از نقطه‌ای ناگهان به سمت بی‌نهایت می‌رود.
آیا در طبیعت پدیده‌ای – مثلا دانه‌های برف یا کریستال‌ها – وجود دارد که در قالب ابعاد کلاسیک طبیعت که تا به امروز می‌شناختیم نگنجد؟ پدیده‌هایی مثل دانه برف دارای ویژگی جالبی به نام خود متشابهی هستند به این معنا که شکل کلی شان از قسمت‌هایی تشکیل شده‌است که هرکدام به شدت شبیه به این شکل کلی هستند. ایده اصلی آشوب تعریف رفتار سیستم‌های مشخصی است که شدیدا به شرایط اولیه‌شان حساسند. ادوارد لورنتز در دهه ۶۰ میلادی اعلام کرد که معادلات دیفرانسیل می‌توانند خاصیت فوق را داشته باشند. این ویژگی اثر پروانه‌ای نام گرفت.
آشوب از دیدگاه ریاضی به چه معناست؟
یک سیستم جوی ساده را در نظر بگیرید. تابع برای تخمین دمای فردا از روی دمای امروز در دست است. اوربیت یک نقطه تحت یک تابع مجموعه اتفاقاتی است که در اثر تکرار تابع (دینامیک) برای آن نقطه می‌افتد. برای مثال اربیت نقطه ۱ تحت تابع ما این است که ۱ ابتدا ۳ سپس ۵ بعد ۷ و … می‌شود. مهمترین گونه اربیت‌ها نقطه ثابت است که هرگز تحت اجرای تابع تغییر نمی‌کند ولی تابع ما چنین نقطه‌ای ندارد. حال را در نظر بگیرید. این تابع ما را به دنیای آشوب می‌برد. به نظر می‌رسد اربیتهای تمام نقاط به بی‌نهایت میل می‌کنند. باید اشاره شود که نقاط پایانی هر بازه‌ای روی این تابع ثابتند. با اجرای تابع و ادامه دادن آن می‌بینیم که تمام نقاط داخل بازه به بی‌نهایت میل می‌کنند ولی حدود بازه همچنان متناهی‌اند. این رفتار یک رفتار آشوب گونه است.
مثلث سرپینسکی و پوست مار کخ دو فرکتال یا برخال معروف‌اند. در مورد پوست مار کخ جالب اینکه ناحیه متناهی ولی پارامتر نامتناهی دارد.
می‌توان سطح خود تشابهی در فرکتالها را با مفهوم جدیدی از بعد که مبتنی بر تعداد کپی‌های مجموعه‌های خودمتشابه در فرکتال و میزان بزرگنمایی هر مجموعه است اندازه‌گیری کرد.
به این معنی که بعد فرکتالی یک مجموعه از تقسیم لگاریتم تعداد کپی‌ها به لگاریتم بزرگنمایی به دست می‌آید. این مقدار برای مثلث سرپینسکی ۱٫۵۸۴ و برای پوست مار کخ ۱٫۲۶۱ است.