mainkilora/Persian-Wikipedia-Corpus huggingface dataset:
جدول علائم ریاضی به ترتیب تاریخ اختراع

جدول زیر بسیاری از علائم متداول در ریاضیات را به ترتیب تاریخ اختراع یا تاریخ استفاده نشان داده‌است.
+علامت‌های ریاضی
علامت
نام
تاریخ اولین استفاده
اولین نویسنده‌ای که علامت را استفاده کرده‌است.
جمع
۱۳۶۰
نیکل اورسم
تفریق
۱۴۸۹ (اولین ظهور این علائم در چاپ)
ژوهان ویدمن
رادیکال (برای ریشه دوم)
۱۵۲۵ (بدون سرکش روی رادیکال)
کریستف رودولف
پرانتز (برای گروهبندی اولویت دار)
۱۵۴۴ (در یادداشتهای دستنویس)
میشائل شتیفل
۱۵۵۶
نیکولو تارتالیا
تساوی
۱۵۵۷
رابرت ریکرده
ضرب
۱۶۱۸
ویلیام آوترد
جمع-تفریق
۱۶۲۸
تناسب
n √
رادیکال (برای ریشه nام)
۱۶۲۹
آلبر ژیرار
بزرگتر و کوچکتر
۱۶۳۱
توماس هریوت
x y
توان
۱۶۳۶ (استفاده از اعداد رومی به عنوان توان)
جیمز هیوم
۱۶۳۷ (به شکل فعلی)
رنه دکارت
√ ̅
رادیکال (برای ریشه دوم)
۱۶۳۷ (با سرکش بالای رادیکال)
رنه دکارت
درصد
۱۶۵۰
نامعلوم
تقسیم
۱۶۵۹
یوهان رآن
بینهایت
۱۶۵۵
جان والیس
بزرگتر مساوی و کوچکتر مساوی
۱۶۷۰ (با خط افقی روی علامت نامساوی)
۱۷۳۴ (با دو تا خط افقی زیر علامت نامساوی)
پیر بوگر
d
دیفرانسیل
۱۶۷۵
گوتفرید لایبنیتس
انتگرال
دو نقطه (برای تقسیم)
۱۶۸۴ (اقتباس از استفاده دو نقطه برای نمایش کسرها مربوط به سال۱۶۳۳)
نقطه (برای ضرب)
۱۶۹۸
خط مورب (اسلش) (برای تقسیم)
۱۷۱۸ (اقتباس از خط کسری اختراع شده توسط اعراب در قرن ۱۲)
توماس تووینگ
نامساوی
نامعلوم
لئونارد اویلر
حاصل جمع
۱۷۵۵
تناسب
۱۷۶۸
ویلیام امرسون
دیفرانسیل جزئی
۱۷۷۰
مارکی دو کندورسه
x′
پریم (برای مشتق)
ژوزف لویی لاگرانژ
همانی (برای روابط متجانس (هم ارز))
۱۸۰۱ (اولین ظهور در چاپ، استفاده شده در نوشته‌های شخصی گاوس قبل از این تاریخ)
کارل فریدریش گاوس
x
جزء صحیح
۱۸۰۸
حاصل ضرب
۱۸۱۲
فاکتوریل
۱۸۰۸
کریستین کرامپ
شمول مجموعه (زیرمجموعه و فرامجموعه)
۱۸۱۷
جوزف گرگون
۱۸۹۰
ارنست شرودر
قدر مطلق
۱۸۴۱
کارل وایرشتراس
دترمینان ماتریس
آرتور کیلی
نمایش ماتریس
۱۸۴۳
نابلا (برای دیفرانسیل برداری)
۱۷۴۶ (سابقا به عنوان عملگری چند منظوره توسط همیلتون استفاده می‌شده‌است)
ویلیام همیلتون
اشتراک و اجتماع
۱۸۸۸
جوزپه پینو
عضویت
۱۸۹۴
سور وجودی
۱۸۹۷

الف (برای عدد اصلی (cardinal number)مجموعه‌های نامحدود)
۱۸۹۳
گئورگ کانتور
کمانک (برای نمایش مجموعه)
۱۸۹۵
N
N دو خطی (برای مجموعه اعداد طبیعی)
جوزپه پینو
نقطه (برای ضرب داخلی)
۱۹۰۲
جوسایا ویلارد گیبز؟
ضرب (برای ضرب خارجی)
یای منطقی (OR منطقی)
۱۹۰۶
برتراند راسل
نمایش ماتریس
۱۹۰۹
جرارد کووالسکی
۱۹۱۳
کاتبرت ادموند کولییس
انتگرال بسته
۱۹۱۷
آرنولد سامرفلد
Z
Z دوخطی (برای مجموعه اعداد صحیح)
۱۹۳۰
ادموند لانداو
دهه ۱۹۳۰ (میلادی)
گروه نیکلا بورباکی
Q
Q دو خطی (برای مجموعه اعداد گویا)
سور عمومی
۱۹۳۵
گرهارد گنتسن
مجموعه تهی
۱۹۳۹
آندره وی / نیکلا بورباکی
C
C دو خطی (برای مجموعه اعداد مختلط)
ناتان جاکوبسون
پیکان (فلش) (برای نمایش تابع)
۱۹۳۶ (برای تفکیک اشکال عناصر خاص)
کویستین ار
۱۹۴۰ (به شکل فعلی f: X → Y)
ویلتورد هورویز
⌊x⌋
جزء صحیح
۱۹۶۲
کنت ای آیورسن
انتهای اثبات
نامعلوم
پاول هالموس
رده:نخست وزیران

نخست وزیران
رده:نخست‌وزیران

نخست‌وزیران
رده:نخست وزیران زن

نخست وزیران زن
رده:نهاوند

نهاوند
رده:سوسیالیست‌ها

سوسیالیست‌ها
شهرستان بیوت، کالیفرنیا

شهرستان بوت شهرستانی در دره مرکزی شمال مرکز ایالت کالیفرنیا، ساکرامنتو در آمریکا می‌باشد.
برابر با سرشماری سال ۲۰۰۰ جمعیت این شهرستان معادل ۲۰۳،۱۷۱ نفر می‌باشد و برآورد سال ۲۰۱۰ جمعیت را ۲۲۰،۰۰۰ نفر نشان می‌دهد.
بخشداری آن اوروویل می‌باشد. شهرستان بوت «سرزمین ثروت‌های طبیعی و زیبایی» می‌باشد.
رودخانه‌های فدر و ساکرامنتو در این شهرستان جریان دارند.
بوت کرک و بیگ چیکو کرک جریان‌های همیشگی هستند که از ساکرامنتو منشعب می‌شوند.
آبشار فدر فال ششمین آبشار بزرگ ایالت متحده نیز در این شهرستان قراردارد.
در این شهرستان دانشگاه ایالتی کالیفرنیا، چیکو و کالج منطقه‌ای بوت قراردارند.
آلوین و سمورچه‌ها (فیلم)

آلوین و سمورچه‌ها نام یک فیلم برای کودکان است.
داستان
داستان درباره سه سنجاب به نام‌های تئودور، آلوین و سایمون است که استعداد فراوانی در موسیقی دارند و به طور اشتباهی وارد جامعه انسان‌ها شده‌اند.
جوایز
جایزه برگزیده کودکان نیکلودین :
2008 Kids Choice Awards Favorite Movie
بازیگران
جیسون لی
بث رایزگرف
جاستین لانگ
متیو گری گابلر
جسی مک‌کارتنی
دیوید کراس
کامرون ریچاردسون
جین لینچ
سلستیانا آلدکوبا
کوین سیمونز
فرانک ماهراج
بازی
آیدا کیخایی

آیدا کیخائی (زاده آذر ۱۳۵۳ در مشهد) از هنرپیشگان ایرانی و دانش‌آموخته رشته تئاتر از دانشکده هنرهای زیبا دانشگاه تهران است.
جوایز
دیپلم افتخار از پانزدهمین جشن‌واره تئاتر فجر سال ۱۳۷۵ به خاطر بازی در نمایش بر کرانه باد (کارگردان: مینا ابراهیم‌زاده)
جایزه دوم بازیگری از جشن‌واره دانش‌جویی سال ۱۳۷۶ به خاطر بازی در نمایش ستاره‌های کوچک خاموشی (کارگردان: علی‌رضا اولیایی)
جایزه اول بازیگری از جشن‌واره دانش‌جویی سال ۱۳۷۷ به خاطر بازی در نمایش زیتون (کارگردان: شکوفه ماسوری)
جایزه اول بازیگری از جشن‌واره ایران زمین سال ۱۳۷۸ به خاطر بازی در نمایش خیش‌خانه (کارگردان: حسین کیانی)
جایزه سوم کارگردانی از یازدهمین جشن‌واره دانشگاهی سال ۱۳۸۷ برای نمایش خداحافظ، نوشته محمد یعقوبی
تئاتر
بازیگری
نام نمایش
سال
کارگردان
ماه در آب
۱۳۹۵
محمد یعقوبی
دل سگ
۱۳۹۳
محمد یعقوبی
هیولاخوانی
۱۳۹۳
محمد یعقوبی
خشکسالی و دروغ
۱۳۹۳
محمد یعقوبی
برهان
۱۳۹۱
محمد یعقوبی
۳۳٪ نیل سایمون
۱۳۹۱
افسانه ماهیان
خشکسالی و دروغ
۱۳۹۰
محمد یعقوبی
زمستان ۶۶
۱۳۹۰
محمد یعقوبی
نوشتن در تاریکی
۱۳۸۹
محمد یعقوبی
دهانی پر از پرنده
۱۳۸۹
فارس باقری
خشکسالی و دروغ
۱۳۸۸
محمد یعقوبی
بیداری خانه نسوان
۱۳۸۶
حسین کیانی
ماچیسمو
۱۳۸۶
محمد یعقوبی
ماه در آب
۱۳۸۵
محمد یعقوبی
تنها راه ممکن
۱۳۸۴
محمد یعقوبی
گل‌های شمعدانی
۱۳۸۳
محمد یعقوبی
قرمز و دیگران
۱۳۸۲
محمد یعقوبی
یک دقیقه سکوت
۱۳۸۰
محمد یعقوبی
خیش‌خانه
۱۳۷۸
حسین کیانی
بر کرانه باد
۱۳۷۷
مینا ابراهیم‌زاده
زیتون
۱۳۷۷
شکوفه ماسوری
ستاره‌های کوچک خاموشی
۱۳۷۶
علی‌رضا اولیایی
چهارمین نامه
۱۳۷۴
مهدی مکاری
کارگردانی
نام نمایش
سال
محل نمایش
شام با دوستان تابستان
۱۳۹۲
تماشاخانه ایرانشهر
یک دقیقه سکوت
۱۳۸۹
خداحافظ
۱۳۸۷
بازیگری
سینمایی
ما همه خوبیم (میرباقری، ۱۳۸۳)
خشکسالی و دروغ (پدرام علیزاده، ۱۳۹۳)
تلویزیونی
سلام زندگی (مسعود شامحمدی)
روزگار جوانی (اصغر توسلی)
ایستگاه (منوچهر عسگری‌نسب)
دختران (اصغر توسلی)
نوعروس (بیژن میرباقری)
نیمکت (محمد رحمانیان)
و خدا عشق را آفرید (مسعود شامحمدی)
تله‌فیلم
شیفت بعدی (به کارگردانی ژرژ هاشم‌زاده)
تئاترهای تلویزیونی
تاجر ونیزی (به کارگردانی تاجبخش فنائیان)
زمستان ۶۶ (نوشته و کار محمد یعقوبی، ۱۳۸۴)
دل سگ (نوشته و کار محمد یعقوبی)
خانم سویج عجیب (کارگردان: محمد یعقوبی)
کارگردانی فیلم کوتاه
ماه عسل (بر اساس نمایش‌نامه‌ای به همین نام نوشته محمد یعقوبی)
زبان ازبکی

زبان ازبکی یکی از زبان‌های ترک‌تبار است. ازبکی زبان رسمی کشور ازبکستان است و حدود ۳۵ میلیون نفر گویش‌ور دارد.این زبان از شاخه قارلوق زبان‌های ترکی است. گویش برخی از این واژه‌ها در زبان ازبکی نسبت به زبان فارسی، کمی تفاوت دارد ولی بسیاری از آن‌ها همانند کلمات فارسی به کار می‌رود. بیش‌تر کتاب‌های قدیمی و تاریخی ازبکستان نیز به زبان فارسی یا به زبان ازبکی با استفاده از الفبای عربی نگاشته شده که در کتاب‌خانه‌ها و موزه‌های این کشور به نمایش گذاشته شده‌است.
در کتاب‌خانه ابوریحان بیرونی دانشمندان ترک‌تبار در ازبکستان ۴۳ هزار نسخه خطی نگه‌داری می‌شود که ۳۹ هزار تای آن‌ها به زبان فارسی است.
ازبکی یک اصطلاح نوظهور است و امروزه به جای اصطلاح ترکی در ازبکستان استفاده می‌شود. تا سال ۱۹۰۴ به مانند سایر زبان‌های آسیای مرکزی، ازبکی نیز با الفبای عربی‌ترکی نوشته می‌شد. از ۱۹۲۴ تا ۱۹۴۰ ازالفبای لاتین استفاده شد و از ۱۹۴۰ تا ۲۰۰۲ نیز از الفبای کریل برای نگارش آن استفاده شد و از سال ۲۰۰۲ به بعد نیز دوباره الفبای لاتین مخصوص ازبکی مورد استفاده قرار گرفت.
تعداد گویشوران
تخمین‌ها از تعداد گویش‌وران این زبان بسیار اختلاف دارند. دانشنامه سوئدی Nationalencyklopedin تعداد گویش‌وران بومی را ۳۷ میلیون نفر تخمین زده‌است. منابع دیگر گویش‌وران ازبکی را به صورت زیر تخمین زده‌اند: ۳۲ میلیون نفر در ازبکستان، ۳٫۴ میلیون نفر در افغانستان، ۹۰۰ هزار نفر در تاجیکستان، ۸۰۰ هزار نفر در قرقیزستان، ۵۰۰ هزار نفر در قزاقستان، ۳۰۰ هزار نفر در ترکمنستان و ۳۰۰ هزار نفر در روسیه.
خط نوشتاری
الفبای سیریلیک ازبکی :



































الفبای لاتین ازبکی :

B b
V v
G g
D d

Yo yo
J j
Z z
I i
Y y
K k
L l
m
N n

P p
R r
S s
t
U u
F f
X x
Ts ts
Ch ch
Sh sh
E e
Yu yu
Ya ya
O o
Q q
G g
H h
زبان ازبکی شمالی
زبان ازبکی جنوبی
حمله انتحاری در اورشلیم (۲۰۰۸)

در ۲ ژوئیه ۲۰۰۸ یک جوان عرب فلسطینی به نام حسام دویات ساکن بیت‌المقدس شرقی که برای یک شرکت ساختمانی در اورشلیم به کار مشغول بود، با بولدوزری که در اختیار داشت به عمد با خودروها، وسایل حمل و نقل عمومی و مردم در حال تردد در خیابان یافو در مرکز اورشلیم برخورد کرد که باعث کشته شدن ۳ نفر و زخمی شدن بیش از ۳۰ نفر گردید. حسام دوایات که در جریان این حمله خود نیز به دست پلیس اسرائیل کشته شد در هیچ سازمان خاصی عضو نبوده و سابقه خرابکاری نداشته است.
رده:فیلم‌های دهه ۲۰۰۰ (میلادی)

فیلم‌های دهه ۲۰۰۰ (میلادی)
راه‌های کوکتبل

راه‌های کوکتبل فیلمی از بوریس خلبنیکوف و الکسی پوپوگربسکی، محصول سال ۲۰۰۳ کشور روسیه است.
رده:فیلم‌های روسی

فیلم‌های روسی
کری‌ریشا

نقش کری‌ریشا در نقش برجسته کورانگون در فهلیان فارس که یکی از نقوش برجسته بازمانده تمدن عیلام است.
صحنه مرکزی نقش برجسته کورانگون
کری‌ریشا ایزدبانوی تمدن عیلام و همسر نپیریشا، خدای بزرگ لیان و عیلام است. در کتیبه‌های شوش با عنوان بانوی لیان (بوشهر امروزی) آمده است. از دیگر القاب او همسر بزرگ، مادر خدایان، و محافظ شاهان است.
تاریخچه
نام او برای اولین بار در آجرنوشته‌ای در معبد هومبان نومنا، شاه عیلام آمده است، که در آن آجر نوشته، معبد را به خدای بزرگ کری‌ریشا و خدایان محافظ زمین اهدا کرده است.
شیلهاک اینششیناک در متنی،از هومبان نومنا با عنوان بنیانگذار مراسم مذهبی این ایزدبانو در شوش نام میبرد.همچنین این ایزد بانو جایگاهی بسیار بالا در زمان به سلطنت رسیدن شوتروک ناهونته و دو پسرش در عیلام پیدا میکند.
همسری او با نپیریشا
در بعضی از کتیبه‌های عیلامی نام او به جای همراهی با نپیریشا؛ همسرش، با اینشوشینک خدای بزرگ شوش آمده است. شیلهاک اینشوشینک خود را خدمتگزار محبوب کری‌ریشا و اینشوشینک میداند. اما در منابع رسمی ملی عیلام همیشه کری‌ریشا به عنوان همسر نپیریشا، خدای بزرگ انشان، معرفی میشود. به نظر میرسد که موقعیت او در شوش کمی پیچیده‌تر بوده باشد.
ویژگیهای کیریریشا
براساس کتیبه‌های عیلامی، کری‌ریشا، به همراهی اینشوشینک، ایشنیکرب و لکمر به داوری در دنیای مردگان میپردازد.
کری‌ریشا به عنوان نماد زنانه در مثلث خدایی عیلام همراه با همسرش نپیریشا و اینشوشینک خدای بزرگ شوش آمده است. در زیگورات چغازنبیل در شوش هم معبد این 3 خدا از معابد اصلی محسوب میشود.
حضور کری‌ریشا در نقش برجسته کورانگون
در مورد ایزد و ایزدبانوی موجود در این نقش برجسته نظریات متعددی وجود دارد، دنیل پاتس باستان شناس استرالیایی با توجه به شواهد موجود در این نقش برجسته، مانند دو جریان آب و ارتباط آن با ائا خدای بین النهرین و برابری ائا با نپیریشیا در فرهنگ عیلامی، خدای اصلی را نپیریشا و ایزدبانوی کنار او را همسرش کری‌ریشا میداند.
در این نقش برجسته کری‌ریشا در روی صندلی کنار همسر خود نشسته است، در حالی که کلاه شاخدار به سر دارد و صفی از نمازگزاران در روبروی او قرار دارند.
خارج از آفریقا

خارج از آفریقا فیلمی در ژانر زندگینامه‌ای، درام و رمانس به کارگردانی سیدنی پولاک است که در سال ۱۹۸۵ توزیع شد.
این فیلم ۷ جایزه اسکار، از جمله جایزه اسکار بهترین فیلم را در سال ۱۹۸۵ بدست آورد.
هومبان

هومبان یا خومبان خداوند عیلامی آسمان است. معادل سومری آن «آنو» است. چندین پادشاه ایلامی، که عمدتا از دوره نوایلامی بودند، به افتخار هومبان نامگذاری شده بودند. در اسطوره میان‌رودی، هومان به‌عنوان هوواوا/ هومبابا، نگهبان جنگل سدار در حماسه گیلگمش تلقی شده‌است. بااین‌حال، این تحول باید جداگانه از خدا هومبان، خدای ایلامی، باشد.
او با انلیل، خدای میان‌رودی، مرتبط است. وی همسر الهه پینکیر و کری‌ریشا بوده‌است.
آیین ایلامیان
شرایط مهرورزی

دوران مهرورزی فیلمی در ژانر کمدی، درام و رمانس به کارگردانی جیمز ال. بروکس محصول سال ۱۹۸۳ است.
این فیلم در ۵ رشته جایزه اسکار گرفت، از جمله جایزه اسکار بهترین فیلم را در سال ۱۹۸۳ به دست آورد.
داستان
آورورا و اما مادر و دختری هستند که با هم زندگی می‌کنند. اما با فلپ، جوانی که دبیر دبیرستان است و درآمد چندانی ندارد ازدواج می‌کند. مادر اما با این ازدواج مخالف است و از فلپ خوشش نمی‌آید. مادر اما با مرد همسایه‌اش (جک نیکلسون) که قبلا فضانورد بوده است رابطه‌ای را آغاز می‌کند.
زندگی اما، فلپ و سه کودک‌شان کم‌کم دچار مشکلاتی می‌شود؛ اما، فلپ را در حال گفتگو با زن جوانی می‌بیند و با ناراحتی همراه با بچه‌ها به خانه مادرش برمی‌گردد. پس از چند روز با تماس فلپ، او و بچه‌ها باز به خانه برمی‌گردند. بین اما و مردی که کارمند بانک است هم رابطه‌ای شکل می‌گیرد.
در پایان فیلم مشخص می‌شود اما سرطان سینه دارد. رابطه مادر او و مرد فضانورد جدی‌تر می‌شود و اما در بیمارستان می‌میرد.
قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:
تصویر یک مثلث
اثبات
اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه باز
اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه تند
چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.
حالت زاویه باز:
در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.
حالت زاویه تند
بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده

گراف تعداد ارقام در بزرگترین عدد اول شناخته شده بر حسب سال از زمان به‌وجود آمدن رایانه‌های الکترونیکی. توجه کنید که مقیاس‌های عمودی لگاریتمی هستند.
بزرگترین عدد اول شناخته شده ، بزرگترین عدد صحیحی می‌باشد که می‌دانیم عددی اول است. اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد. بسیاری از ریاضی‌دانان و محققین تفننی سرگرم جستجوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است.
از آنجایی که اجرای FFT آزمون لوکاس-لمر برای اعداد مرسن سریعتر از هر آزمون دیگری برای انواع دیگر اعداد اول است، بسیاری از بزرگترین اعداد اول شناخته شده عدد اول مرسن هستند؛ در میان ۱۰ بزرگترین عدد اول شناخته شده تا دسامبر ۲۰۰۷، ۶ عدد جزو اعداد مرسن بودند. آخرین ۱۳ عدد اولی که کشف شده‌اند عدد اول مرسن بودند. استفاده از کامپیوترهای الکترونیکی کشف‌ها را شتاب بخشیده‌اند، به طوری که همه اعداد اول کشف شده از ۱۹۵۱ تاکنون به وسیله این کامپیوترها کشف شده‌اند. تعداد ارقام بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال ۱۹۹۹ از مرز یک میلیون گذشت و باعث دریافت جایزه‌ای ۵۰،۰۰۰ دلاری شد. در ژانویه سال ۲۰۱۳ میلادی بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده تاکنون که ۱۷٫۴۲۵٫۱۷۰ رقم دارد، توسط پروژه GIMPS کشف شد:
این عدد توانست سه سال این رکورد را به نام خود ثبت کند.
این پروژه در جشن ۲۰ امین سالگرد افتتاح خود در ۷ ژانویه ۲۰۱۶ اقدام به معرفی یک عدد اول جدید کرده‌است. اکنون بزرگترین عدد اول شناخته شده این عدد است:
این عدد ۲۲ میلیون و ۳۳۸ هزار و ۶۱۸ رقم دارد.
پروفسور «کریس کوپر» از دانشگاه میزوری به عنوان داوطلب بر فرایند کشف و محاسبه این عدد نظارت داشته‌است و البته «اسکات کورووسکی» و «آرون بلاسر» نیز از GIMPS در این فرایند و کشف این عدد همکاری داشته‌اند. این سومین رکورد پروفسور کوپر در کشف اعداد اول است. برای کشف این عدد ۳۱ روز محاسبه رایانه‌ای بر روی یک رایانه با پردازشگر اینتل I7-4790 CPU زمان صرف شده‌است و این رایانه برای کشف این عدد، عدد ۲ را ۷۴ میلیون و ۲۰۷ هزار و ۲۸۱ بار در خود ضرب کرده و سپس ۱ را از آن کم کرده‌است. در نهایت نتیجه به دست آمده به عنوان یک عدد اول تایید شده‌است.
تاریخچه
جدول زیر تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده به‌ترتیب سال پیدا شدن را نشان می‌دهد. در زیر M همان تابع مرسن است که به‌صورت تعریف می‌شود.
عدد
تعداد ارقام
سال (میلادی)
M ۱۲۷
۳۹
۱۸۷۶
۷۹
۱۹۵۱
M ۵۲۱
۱۵۷
۱۹۵۲
M ۶۰۷
۱۸۳
۱۹۵۲
M ۱۲۷۹
۳۸۶
۱۹۵۲
M ۲۲۰۳
۶۶۴
۱۹۵۲
M ۲۲۸۱
۶۸۷
۱۹۵۲
M ۳۲۱۷
۹۶۹
۱۹۵۷
M ۴۴۲۳
۱،۳۳۲
۱۹۶۱
M ۹۶۸۹
۲،۹۱۷
۱۹۶۳
M ۹۹۴۱
۲،۹۹۳
۱۹۶۳
M ۱۱۲۱۳
۳،۳۷۶
۱۹۶۳
M ۱۹۹۳۷
۶،۰۰۲
۱۹۷۱
M ۲۱۷۰۱
۶،۵۳۳
۱۹۷۸
M ۲۳۲۰۹
۶،۹۸۷
۱۹۷۹
M ۴۴۴۹۷
۱۳،۳۹۵
۱۹۷۹
M ۸۶۲۴۳
۲۵،۹۶۲
۱۹۸۲
M ۱۳۲۰۴۹
۳۹،۷۵۱
۱۹۸۳
M ۲۱۶۰۹۱
۶۵،۰۵۰
۱۹۸۵
۶۵،۰۸۷
۱۹۸۹
M ۷۵۶۸۳۹
۲۲۷،۸۳۲
۱۹۹۲
M ۸۵۹۴۳۳
۲۵۸،۷۱۶
۱۹۹۴
M ۱۲۵۷۷۸۷
۳۷۸،۶۳۲
۱۹۹۶
M ۱۳۹۸۲۶۹
۴۲۰،۹۲۱
۱۹۹۶
M ۲۹۷۶۲۲۱
۸۹۵،۹۳۲
۱۹۹۷
M ۳۰۲۱۳۷۷
۹۰۹،۵۲۶
۱۹۹۸
M ۶۹۷۲۵۹۳
۲،۰۹۸،۹۶۰
۱۹۹۹
M ۱۳۴۶۶۹۱۷
۴،۰۵۳،۹۴۶
۲۰۰۱
M ۲۰۹۹۶۰۱۱
۶،۳۲۰،۴۳۰
۲۰۰۳
M ۲۴۰۳۶۵۸۳
۷،۲۳۵،۷۳۳
۲۰۰۴
M ۲۵۹۶۴۹۵۱
۷،۸۱۶،۲۳۰
۲۰۰۵
M ۳۰۴۰۲۴۵۷
۹،۱۵۲،۰۵۲
۲۰۰۵
M ۳۲۵۸۲۶۵۷
۹،۸۰۸،۳۵۸
۲۰۰۶
M ۴۳۱۱۲۶۰۹
۱۲،۹۷۸،۱۸۹
۲۰۰۸
M ۵۷۸۸۵۱۶۱
۱۷،۴۲۵،۱۷۰
۲۰۱۳
عدد اول
اعداد مرسن
کلاس پیچیدگی

کلاس پیچیدگی در نظریه پیچیدگی محاسباتی به مجموعه مسائلی اطلاق می‌شود که دارای پیچیدگی شبیه به هم هستند و تعریفی به شکل زیر دارند:
مجموعه مسائلی که می‌توان آنها را توسط ماشین انتزاعی M با مرتبه یا Order تابعی از n با استفاده از منبع R حل کرد که n اندازه ورودی است.
برای مثال کلاس NP مجموعه‌ای از مسئله‌های تصمیم‌گیری هستند که توسط ماشین تورینگ غیرقطعی در زمان چندجمله‌ای حل می‌شوند در حالی که PSPACE مجموعه‌ای از مسئله‌های تصمیم‌گیری هستند که توسط ماشین تورینگ قطعی در فضای چندجمله‌ای حل می‌شوند.بعضی از کلاس‌های پیچیدگی مجموعه‌هایی از مسئله‌های تابع هستند مانند FP .
روابط بین کلاس‌های پیچیدگی
جدول زیر بعضی از کلاس‌های پیچیدگی که از مسئله تصمیم مشتق می‌شوند را نشان می‌دهد. اگر X با خط پررنگ به Y در زیر خود وصل باشد، Y زیرمجموعه اکید X است و با خط تیره وصل باشد، Y زیرمجموعه یا مساوی X است.
مسئله تصمیم‌گیری
پرونده:solidLine.png
پرونده:solidLine.png
نوع صفر - شمارش‌پذیر به صورت بازگشتی
غیرقابل تصمیم‌گیری
پرونده:solidLine.png
قابل تصمیم‌گیری
پرونده:solidLine.png
EXPSPACE
پرونده:dottedLine.png
EXPTIME
پرونده:dottedLine.png
PSPACE
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
نوع اول - حساس به متن
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
PSPACE-Complete
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
Co-NP
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
NP
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
BPP
BQP
NP-Complete
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
P
پرونده:solidLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:dottedLine.png
پرونده:solidLine.png
NC
P-Complete
پرونده:solidLine.png
پرونده:solidLine.png
نوع دوم - متن آزاد
پرونده:solidLine.png
نوع سوم - عادی
مهم‌ترین کلاس‌ها
روابط بین مهمترین کلاسهای پیچیدگی.
تا کنون نزدیک به 500 کلاس پیچیدگی معرفی شده‌اند که در اینجا مهم‌ترین آنها را می‌آوریم:
P: قابل حل در زمان چندجمله‌ای
NP: جواب‌های «بله» قابل بررسی در زمان چندجمله‌ای
Co-NP: جواب‌های «نه» قابل بررسی در زمان چندجمله‌ای توسط ماشین غیرقطعی
NP-complete: سخت‌ترین مسائل در NP
PH: اجتماع کلاس‌ها در سلسله‌مراتب چندجمله‌ای
PSPACE: قابل حل با حافظه چندجمله‌ای
EXP: قابل حل در زمان نمایی
NC: قابل حل به صورت کارامد در زمان چندجمله‌ای لگاریتمی روی کامپیوترهای موازی(پردازنده‌های موازی)
L: قابل حل در فضای لگاریتمی
P/poly: قابل حل در زمان چندجمله‌ای با یک «رشته راهنما» که فقط به اندازه ورودی بستگی دارد.
BPP: قابل حل در زمان چندجمله‌ای توسط الگوریتم‌های تصادفی (جواب احتمالا درست است.)
MA: قابل حل در زمان چندجمله‌ای توسط پروتکل مرلین-آرتور
AM:قابل حل در زمان چندجمله‌ای توسط پروتکل آرتور-مرلین
BQP:قابل حل در زمان چندجمله‌ای روی کامپیوتر کوانتوم (جواب احتمالا درست است.)
P#: شمارش راه‌حل‌های یک مسئله NP
PP: چندجمله‌ای به صورت احتمالاتی (جواب با احتمال اندکی بزرگتر از 1⁄2 درست است.)
ماتریس هادامارد

در ریاضیات، ماتریس هادامارد یک ماتریس مربعی است که همه درایه‌هایش +۱یا −۱ هستند ردیف‌ها از دو طرف متعامد هستند به این معناست که هر دو ردیف متفاوت در یک ماتریس هادامارد بردار عمودی هستند این گونه ماتریس‌ها اکثرا به‌طور مستقیم برای کد تصحیح خطا با استفاده از کد هادامارد و همچنین توسط امارگران برای تخمین واریانس استفاده می‌شود
ویژگی‌ها
ماتریس هادامارد دارای درایه‌های ۱ و -۱ می‌باشد و
فرم یک ماتریس هادامارد از مرتبه n به صورت زیر بیان می‌شود:
که I n ماتریس همانی n × n می‌باشد بنابراین می‌باشد. فرض کنید که M یک ماتریس مرکب از مرتبه n باشد که همه درایه‌هایش کراندار|M ij | ≤۱ برای هر i, j بین ۰وn.
بنابراین دترمینان هادامارد بیان می‌کند:
مرتبه یک ماتریس هادامارد از مرتبه ۱و۲یا مضربی از ۴ می‌باشد
ساختار sylvester
مثالهایی از ماتریس هادامارد اولین بار توسط جیم جوزف سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ساخته شد. اگر ماتریس هاداماردH از مرتبه n باشد آنگاه به صورت: جزءبندی شده‌است یک ماتریس هادامارد از مرتبه 2n است این کار می‌تواند به صورت تکرای انجام و منجر به دنباله‌ای از ماتریس‌های زیر که ماتریس‌های والش نامیده می‌شوند.
H_1 = \begin{bmatrix
1 \end{bmatrix,
H_2 = \begin{bmatrix
1 - 1 \\
1 - -1 \end{bmatrix,
and
H_{2^k = \begin{bmatrix
H_{2^{k-1 - H_{2^{k-1\\
H_{2^{k-1 - -H_{2^{k-1\end{bmatrix = H_2\otimes H_{2^{k-1,
برای که ضرب کرونکر(kroncker product) می‌باشد.
سیلوستر ماتریس‌های هادامارد را از مرتبه ۲ k که k هر عدد صحیح نامنفی، ارائه کرد.
ماتریس‌های سیلوستر چند ویژگی خاص دارند این ماتریس‌ها متقارن و بی‌اثر اند مقادیر در اولین ستون واولین ردیف همگی مثبت هستند مقادیر در دیگر ستون‌ها و ردیف‌ها به صورت هموار به مثبت و منفی تقسیم می‌شوند.
ساختار تناوبی
اگر مقادیر ماتریس هادامارد را با استفاده از گروه هم‌ریختی با متناظر کنیم می‌توانیم ساختار تناوبی ماتریس هادامارد را توصیف کنیم ابتدا ماتریس را در نظر می‌گیریم که ستون‌هایش اعدادn بیتی به ترتیب صعودی مرتب شدند را می‌توان به صورت بازگشتی تعریف کنیم با استقرا:
F_1=\begin{bmatrix
0 - 1\end{bmatrix
F_n=\begin{bmatrix
0_{1\times 2^{n-1 - 1_{1\times 2^{n-1 \\
F_{n-1 - F_{n-1 \end{bmatrix.
می‌توان با استقرا نشان داد که تصویر ماتریس هادامارد تحت هم ریختی بالا به صورت:
H_{2^n=F_n^TF_n.
است.
فرضیه هادامارد
مهم‌ترین سوالی در مورد ماترس هادامارد، موجودیت انهاست فرضیه هادامارد پیشنهاد می‌کند که یک ماتریس هادامارد از مرتبه 4k برای هر عدد مثبت k وجود دارد ساختار سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ماتریس‌های از مرتبه ۱،۲،۴،۸،۱۶،۳۲ و غیره ارائه کرد پس ماتریس هادامارد از مرتبه ۱۲و ۲۰ توسط هادامارد (در سال ۱۸۹۳) ساخته شد بعدا در سال ۱۹۳۳، ریماند پالی نشان داد که چگونه یک ماتریس هادامارد از مرتبه q+1 کهq یک عدد اول به پیمانه‌ی ۴ برابر ۳، ساخت او همچنین ماتریس‌هایی از مرتبه 2(q+۱) برای عدد اول q که به پیمانه ۴ بربر ۱، ساخت.
فرضیه هادامارد به پالی نسبت داده شد. کوچکترین مرتبه‌ای که با روش پالی و سیلوستر ساخته نمی‌شود ۹۲ است روش‌های متعدد دیگری تا به حال برای ساختن ماتریس‌های هادامارد ارائه شده در حال حاضر ۶۶۸ کوچکترین مرتبه‌ای است که هیچ ماتریس هاداماردی برایش ساخته نشده‌است.
اعداد فوق کامل

در ریاضیات یک عدد فوق کامل عددی صحیح مانند n است که در رابطه زیر صدق کند
که در آن  تابع تقسیم کننده می‌باشد.
اولین اعداد فوق کامل عبارتند از :۲، ۴، ۱۶، ۶۴، ۴۰۹۶، ۶۵۵۳۶، ۲۶۲۱۴۴. اگر n یک عدد فوق کامل زوج باشد باید به شکل توانی از ۲ مانند ۲ k باشد به طوری که۲ k+۱ -۱ یک عدد اول مرسن باشد.
هنوز مشخص نیست که آیا عدد فوق کامل فردی وجود دارد یا نه. یک عدد فوق کامل فرد مانند n باید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم ((n حداقل بر ۳ عدد اول متمایز بخشپذیر باشند. هیچ عدد فوق کامل فردی کوچکتر از ۷x۱۰ ۲۴ وجود ندارد.
اعداد کامل و فوق کامل زیر مجموعه‌ای از دسته‌ای بزرگتر از اعداد به نام (m،k)-کامل هستند که در رابطه زیر صدق می‌کنند
با این نماد گذاری اعداد کامل (۱،۲)-کامل هستند و اعداد فوق کامل (۲،۲)-کامل می‌باشند. دسته‌های دیگری از اعداد (m،k)-کامل عبارتند از :
m
k
(m،k)-کامل
دنباله OEIS
۲
۳
۸، ۲۱، ۵۱۲
۲
۴
۱۵، ۱۰۲۳، ۲۹۱۲۷
۲
۶
۴۲، ۸۴، ۱۶۰، ۳۳۶، ۱۳۴۴، ۸۶۰۱۶، ۵۵۰۰۹۵، ۱۳۷۶۲۵۶، ۵۵۰۵۰۲۴
۲
۷
۲۴، ۱۵۳۶، ۴۷۳۶۰، ۳۴۳۹۷۶
۲
۸
۶۰، ۲۴۰، ۹۶۰، ۴۰۹۲، ۱۶۳۶۸، ۵۸۲۵۴، ۶۱۴۴۰، ۶۵۴۷۲، ۱۱۶۵۰۸، ۴۶۶۰۳۲، ۷۱۰۴۰۰، ۹۸۳۰۴۰، ۱۸۶۴۱۲۸، ۳۹۳۲۱۶۰، ۴۱۹۰۲۰۸، ۶۷۰۴۳۳۲۸، ۱۱۹۳۰۴۱۹۲، ۲۶۸۱۷۳۳۱۲، ۱۹۰۸۸۶۷۰۷۲
۲
۹
۱۶۸، ۱۰۷۵۲، ۳۳۱۵۲۰، ۶۹۱۲۰۰، ۱۵۵۶۴۸۰، ۱۶۱۲۸۰۰، ۱۰۶۱۵۱۹۳۶
۲
۱۰
۴۸۰، ۵۰۴، ۱۳۸۲۴، ۳۲۲۵۶، ۳۲۷۳۶، ۱۹۸۰۳۴۲، ۱۳۹۶۶۱۷۹۸۴، ۳۲۵۸۷۷۵۲۹۶
۲
۱۱
۴۴۰۴۴۸۰، ۵۷۶۶۹۹۲۰، ۲۳۸۶۰۸۳۸۴
۲
۱۲
۲۲۰۰۳۸۰، ۸۸۰۱۵۲۰، ۱۴۹۱۳۰۲۴، ۳۵۲۰۶۰۸۰، ۱۴۰۸۹۶۰۰۰، ۴۵۹۸۱۸۲۴۰، ۷۷۵۸۹۸۸۸۰، ۲۲۵۳۱۸۹۱۲۰
۳
any
۱۲، ۱۴، ۲۴، ۵۲، ۹۸، ۱۵۶، ۲۹۴، ۶۸۴، ۹۱۰، ۱۳۶۸، ۱۴۴۰، ۴۴۸۰، ۴۷۸۸، ۵۴۶۰، ۵۸۴۰، …
۴
any
۲، ۳، ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۵، ۱۸، ۲۱، ۲۴، ۲۶، ۳۲، ۳۹، ۴۲، ۶۰، ۶۵، ۷۲، ۸۴، ۹۶، ۱۶۰، ۱۸۲، …
نظریه اعداد
عدد کامل
اصل همدلی

در فلسفه و علوم بلاغی، اصل هم‌دلی تلاشی است برای ارائه معقول‌ترین و قابل دفاع‌ترین تعبیر ممکن از مدعای گوینده. در واقع هدف از این اصل متدولوژیک پرهیز از نسبت دادن دروغ و مغالطه‌های منطقی نسبت به مدعای دیگری است تا وقتی که تعبیر عقلانی دیگری از آن مدعا وجود دارد. به گفته سیمون بلک‌برن (۱۹۹۴): «این مفسر را مجبور می‌کند حقیقت یا عقلانیت را در مدعا بیشینه کند.»
اصل هم‌دلی در سال ۱۹۵۸–۵۹ توسط نیل ال. ویلسون نام‌گذاری شد و ویلارد فان اورمان کواین و دانلد دیویدسن صورت‌بندی‌های مختلف این اصل را ارائه داده‌اند. دیویدسن گاهی آن را اصل سازگاری عقلانی نیز می‌خواند. او این اصل را بدین صورت جمع‌بندی می‌کند: «ما از طریق تفسیرآراء و افکار دیگران به روشی که به کم‌ترین تناقض ممکن بینجامد بیش‌ترین درک را از آن‌ها به دست می‌آوریم.» از سوی دیگر کواین این اصل را تلاشی برای فهم استدلال‌های منطقی می‌داند مخصوصا زمانی که مطمئن نیستیم معنای سخن گوینده را کاملا درک کرده‌ایم.
از زمان کواین و دیگران، فلاسفه دست‌کم چهار روایت مختلف از این اصل را ارائه داده‌اند.
دیگری از کلمات به شیوه متداول استفاده می‌کند؛
مدعای دیگری صحیح است؛
شیوه استدلال دیگری صحیح است؛
دیگری سخن جالبی می‌گوید.
اصل انسانیت –که متممی برای اصل هم‌دلی است– می‌گوید هنگام تفسیر سخن دیگری باید فرض کنیم باورها و خواسته‌های او به نوعی با هم و با حقیقت پیوستگی دارند و «ما گزاره‌هایی را به گوینده نسبت می‌دهیم که اگر خودمان در آن شرایط می‌بودیم به کار می‌بردیم.»
اصل انسانیت در سال ۱۹۷۳ توسط ریچارد گرندی نام‌گذاری شد.
فهرست مغالطه‌ها
مغالطه پهلوان‌پنبه
مسئله جمع زیرمجموعه‌ها

در علوم رایانه مسئله جمع زیرمجموعه‌ها از اهمیت مهمی در تئوری پیچیدگی و رمزنگاری برخوردار است، مسئله این است که اگر مجموعه‌ای از اعداد صحیح داشته باشیم ایا زیرمجموعه ناتهی وجود دارد که جمع اعضایش برابر ۰ شود؟
برای مثال در مجموعه {۱،۳،-۲،-۵،۹،۴ زیرمجموعه‌ای مانند {-۵،-۲،۳،۴ وجود دارد که جمع اعضایش برابر ۰ است. مسئله جمع زیرمجموعه‌ها NP است و احتمالا یکی از اسانترین انان است.
صورت دیگر این مسئله این است که ایا زیرمجموعه ناتهی از مجموعه‌ای از اعداد صحیح وجود دارد که جمع اعضایش برابر عدد صحیح s شود؟
مسئله دیگری که به نام subset sum problem معروف است این مسئله‌است که درمجموعه‌ای از اعداد طبیعی، اگر مجموع اعضای زیر مجموعه‌ها را در نظر گیریم، عدد که بیشترین تکرار را دارد، چند بار تکرار می‌شود؟
پورکتر در سال ۱۹۸۲ این مسئله را برای مجموعه {۱،۲،۳… حل کرد. برای n=1،۲،… جواب برابر است با ۱، ۱، ۲، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۴، ۲۳،… و تعداد اعداد متفاوت ایجاد شده برای n=1،۲،… برابر است با ۲، ۴، ۷، ۱۱، ۱۶، ۲۲، ۲۹، ۳۷، ۴۶، ۵۶،…. برای مثال برای n=3، زیر مجموعه‌های مجموعه {۱،۲،۳می بینیم:
پس عددی که بیشتر از همه ظاهر می‌شود عدد ۳ است که ۲ بار تکرار می‌شود و ۷ عدد متفاوت ایجاد می‌شود.
این مسئله را می‌توان با استفاده از توابع مولد حل نمود. اگر تعداد روشهای انتخاب m عدد از میان Mعدد باشد بصورتی که جمعشان برابر s باشد و اگر تابع مولد زیر را داشته باشیم:
با نوشتن بر حسب توان‌های y داریم:
برای مثال فرض کنید می‌خواهیم m شی را از {۱،۲،۳،۴،۵ انتخاب کنیم؛ تابع مولد بصورت زیر است:
و برای مثال انتخاب m=3 دارای تابع مولد زیر است:
پس تعداد روشهای انتخاب ۳ عدد از میان ۵ عدد که جمعشان عددی بین ۱۲،۱۱،…،۶ باشد ضرایب است که همان می‌باشد که برابر ۱،۱،۲،۲،۲،۱،۱ است.
۶ (۱، ۲، ۳)
۷ (۱، ۲، ۴)
۸ (۱، ۲، ۵)، (۱، ۳، ۴)
۹ (۱، ۳، ۵)، (۲، ۳، ۴)
۱۰ (۱، ۴، ۵)، (۲، ۳، ۵)
۱۱ (۲، ۴، ۵)
۱۲ (۳، ۴، ۵)
رده:ناحیه‌های فدرال مالزی

ناحیه‌های فدرال مالزی
لم زرن

لم زرن یکی از مفیدترین اصولی است که هم ارز اصل انتخاب است، اصلی است که اولین بار در سال ۱۹۱۴ مطرح شد و به نام لم زرن معروف است،
لم زرن به صورت زیر مطرح می‌شود:
اگر یک مجموعه مرتب جزیی باشد، بطوریکه هر زیر مجموعه کاملا مرتب آن، دارای کران بالا (در A) باشد، آنگاه A دارای عضو ماکزیمال است.
اثبات
با توجه به اصل ماکزیمالی هاسدورف، دارای زیر مجموعه کاملا مرتبی مانند B است که نسبت به رابطه شمول ماکزیمال است. بنا به فرض، Bدارای یک کران بالا به نام u است. نشان می‌دهیم که u یک عضو ماکزیمال از A است.اگر عضوی مانند وجود داشته باشد، بطوریکه ، آنگاه ، زیر مجموعه کاملا مرتبی از Aاست که شامل زیر مجموعه ماکزیمال کاملا مرتب B می‌باشد. در نتیجه می‌بایست باشد که نتیجه می‌دهد .
این ثابت می‌کند که u عضو ماکزیمال مجموعه است.
لم فوق نمونه‌ای از یک خاصیت وجودی است که ادعا می‌کند عضو ماکزیمال در مجموعه مرتب جزئی خاص وجود دارد.اما اثبات این قضیه، روشی را برای تعیین این عضو ماکزیمال ارائه نمی‌دهد.
به عنوان کاربرد لم زرن، قضیه زیر را بیان و اثبات می‌کنیم.
قضیه
اگر A،Bدو مجموعه غیر تهی باشند، آنگاه تابع یک به یکی از Aبه Bو یا یک تابع یک به یک از Bبه A وجود دارد.
اثبات
فرض می‌کنیم X مجموعه تمام زوجهای مرتب که زیر مجموعه‌ای از A و همچنین تابعی یک به یک است، باشند. رابطه را روی X به طریق زیر تعریف می‌کنیم :
مسلما این رابطه ترتیبی جزئی است. به منظور استفاده از لم زرن، باید مطمئن شویم که هر زیر مجموعه کاملا مرتب از X دارای یک کران بالاست. یک حدس خوب برای کران بالای مجموعه T، است.
قرار می‌دهیم:
آنگاه طوری است که اگر ، آنگاه
برای اثبات خوش تعریف بودن ، فرض می‌کنیم که x به زیر مجموعه دیگری مانند هم باشد . آنگاه یا ، که در هر حالت داریم ، که نشان می‌دهد ، خوش تعریف است.
حال نشان می‌دهیم که تابعی یک به یک است.برای این منظور فرض می‌کنیم، به ازای خواهیم داشت . آنگاه دو زوج مرتب چنان وجود دارند که . دوباره مثل قبل :
یا
بدون اینکه در اثبات خللی وارد شود، فرض می‌کنیم .
از فرض اخیر نتیجه می‌شود ، که و لذا با توجه به یک به یک بودن داریمx=y.به این ترتیب اثبات یک به یک بودن تکمیل می‌شود. بنابراین:
به ازای هر ، داریم . پس در شرایط لم زرن صدق می‌کند و در نتیجه Xدارای عضو ماکزیمال است که آن را به صورت مشخص می‌کنیم.در اینجا دو حالت ممکن است اتفاق بیفتد:
۱-
در این حالت، همان تابع یک به یک مورد نظر است.
۲-
در این حالت فرض می‌کنیم و ادعا می‌کنیم که در این حالت، تابع یک به یک در واقع تناظری یک به یک است.(زیرا در غیر این صورت، این تابع پوشا نبود و عضوی مانند وجود دارد). حال تابع را به صورت و ، به ازای هر تعریف می‌کنیم. مسلما ، یک به یک است و . نامساوی اخیر با فرض ماکزیمال بودن در تناقض است.
لذا تناظری یک به یک است و در نتیجه تابع یک به یک مطلوب از B به زیر مجموعه از A است. به این ترتیب اثبات قضیه تکمیل می‌شود.
نتیجه
اگر A،B دو مجموعه باشند، آنگاه یا .بنابراین اگر m،n دو عدد اصلی متمایز باشند، داریم، n<m یا m<n.
ایستگاه متروی دروازه شمیران

ورودی و خروجی ایستگاه دروازه شمیران
ایستگاه دروازه شمیران مترو تهران ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در محله دروازه شمیران تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در تقاطع خط دو و خط چهار مترو تهران قرار دارد.
دروازه شمیران
متروی تهران
ایستگاه متروی بهارستان

ایستگاه متروی بهارستان ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در میدان بهارستان در نزدیکی ساختمان مجلس شورای اسلامی تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط دو مترو تهران واقع شده‌است.
ایستگاه متروی ملت

ایستگاه متروی ملت ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در خیابان ملت تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط دو مترو تهران واقع شده‌است.
ایستگاه متروی حسن‌آباد

ایستگاه متروی حسن‌آباد ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در میدان حسن‌آباد تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط دو مترو تهران قرار دارد.
ایستگاه متروی دانشگاه امام علی

ایستگاه متروی دانشگاه امام علی ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در تقاطع خیابان امام خمینی (سپه) و خیابان ولیعصر و در نزدیکی دانشگاه امام علی تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط دو مترو تهران واقع شده‌است. در آینده‌ای نزدیک این ایستگاه، ایستگاه تقاطعی خط ۲ با خط ۳ خواهد شد.
ایستگاه متروی میدان حر

ایستگاه متروی میدان حر ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که درنزدیکی میدان حر و در تقاطع خیابان دانشگاه جنگ و خیابان پاستور تهران قرار دارد. این ایستگاه در خط دو مترو تهران واقع شده‌است.
ایستگاه متروی شهید نواب صفوی

ایستگاه مترو شهید نواب صفوی ، یکی از ایستگاه‌های خط ۲ و خط ۷ است که در آغاز بزرگراه شهید نواب صفوی تهران و در تقاطع خیابان آذربایجان واقع شده است.
در ۲۰ خرداد ۱۳۹۶، ایستگاه مترو شهید نواب صفوی از خط ۷ مترو گشوده شد و در ژرفا ۴۵.۲ متری از سطح زمین می‌باشد.
ایستگاه مترو شهید نواب صفوی ایستگاه تقاطعی بین خطوط ۲ و ۷ است.
ایستگاه متروی شادمان

ایستگاه متروی شادمان یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در خیابان آزادی تهران تقاطع خیابان شادمان قرار دارد. این ایستگاه در تقاطع خطوط دو و چهار متروی تهران واقع شده‌است. این ایستگاه از ابتدای بهره‌برداری به نام آزادی نامگذاری شده بود اما در مرداد ماه سال ۱۳۹۴ تصمیم گرفته شد که نام آن به شادمان تغییر پیدا کند. زیرا در همین خط ایستگاهی به نام میدان آزادی وجود دارد و نامگذاری قبلی ممکن بود باعث بروز اشتباه برای مسافران گردد.
ایستگاه متروی دانشگاه شریف

ایستگاه مترو دانشگاه شریف یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در نزدیکی دانشگاه صنعتی شریف (دانشگاه صنعتی آریامهر سابق) در تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط دو مترو تهران واقع شده‌است.
ایستگاه متروی طرشت

ایستگاه متروی طرشت ، یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در طرشت تهران واقع شده‌است. این ایستگاه در خط ۲ مترو تهران واقع شده‌است.
ایستگاه متروی صادقیه

ایستگاه متروی صادقیه یکی از ایستگاه‌های متروی تهران است که در ضلع جنوب غربی فلکه دوم با فاصله حدود ۲۰۰ متری از فلکه دوم صادقیه تهران واقع شده‌است. این ایستگاه اولین ایستگاه در خط دو و پنج متروی تهران می‌باشد. این ایستگاه در سال ۱۳۹۱ شلوغ‌ترین ایستگاه مترو تهران شد.
ایزیدور اپستاین

ربی دکتر ایزیدور اپستاین (۱۹۶۲-۱۸۹۴) یک ربی ارتدکس بود که مدت زمان زیادی به عنوان رئیس کالج یهودیان لندن فعالیت می‌کرد.
کتاب یهودیت: بررسی تاریخی از ربی اپستاین در سال ۱۳۸۵ توسط موسسه حکمت و فلسفه ایران، در ایران چاپ و منتشر شد.
ارضاپذیری هورن

در منطق صوری ارضاپذیری هورن عبارت است از مسئله تعیین اینکه آیا مجموعه مفروضی از عبارتهای هورن گزاره‌ای ارضا پذیر است یا نه. یک عبارت هورن عبارتی با حداکثر یک لفظ مثبت که سر عبارت نامیده می‌شود و هر تعدادی لفظهای منفی که بدنه عبارت را تشکیل می‌دهد .
یک فرمول هورن یک فرمول گزاره ایست که به وسیله پیوند دادن عبارت‌های هورن شکل یافته‌است.
مسئله ارضاپذیری هورن در زمان چندجمله‌ای قابل حل است. یک الگوریتم زمان چندجمله‌ای برای ارضاپذیری هورن متکی بر قاعده انتشار واحد است.
اگر فرمول شامل یک عبارت مرکب از یک لفظ تک (یک عبارت واحد) باشد آنگاه همه عبارتهای شامل حذف می‌شوند و در همه عبارتهای شامل نیز این لفظ حذف می‌شود، نتیجه قاعده دوم ممکن است خود یک عبارت واحد باشد که به همین شیوه انتشار می‌یابد. فرمول ارضا پذیر است اگر این تغییرات موجب ایجاد یک زوج عبارت‌های واحد مخالف و نشود.
ارضاپذیری هورن عملا یکی از "سخت‌ترین" یا " بیان‌کننده‌ترین" مسائلی است که می‌دانیم در زمان چندجمله‌ای قابل حل است، به این مفهوم که یک مسئله پ-کامل(P-complete) است.
این الگوریتم همچنین امکان تعیین انتصاب صدق به فرمول‌ها فرم ارضا پذیر می‌دهد : به همه متغیرهای موجود در یک عبارت واحد مقداری داده می‌شود که آن عبارت واحد را ارضا کند. همه لفظ‌های دیگر کاذب شمرده می‌شوند. انتصاب حاصل یک مدل حداقل فرمول هورن است یعنی در این انتصاب مجموعه حداقلی متغیرها صدق نسبت داده شده و در آن، مقایسه با استفاده از گنجاندن در مجموعه انجام می‌شود.
با استفاده از الگوریتم خطی برای انتشار واحد الگوریتم در اندازه فرمول خطی است.
منطقی است که بپرسیم آیا می‌توان با تبدیل هر مسئله SAT به Horn_SAT و سپس حل آن در زمان چندجمله‌ای، Horn_SAT را برای اثبات NP = P به کار برد؟ مسئله اینجا دو جنبه دارد : اول اینکه تبدیل مسئله SAT به Horn_SAT زمان نمایی لازم دارد و دوم اینکه تبدیل حاصل از حیث طول نمایی است .
تعمیم طبقه فرمول‌های هورن، تعمیم فرمول‌های نام‌گذاری پذیر هورن هستند که عبارت است از مجموعه فرمول‌هایی که می‌توان با جایگزین کردن برخی از متغیر با منفی مربوطه آن‌ها در شکل هورن جای داد. بررسی وجود چنین جایگزینی‌ای می‌تواند در زمان خطی انجام شود، بنابراین ارضاپذیری این‌گونه فرمول هادر P است که می‌توان آن را چنین حل کرد که نخست این جابجایی را انجام داد و سپس ارضاپذیری فرمول هورن حاصل را کنترل کرد.
ستی در خانه

لوگوی SETI@home
ستی در خانه یک پروژه رایانش داوطلبانه مبتنی بر اینترنت است که با استفاده از کامپیوتر داوطلبان انجام می‌شود و از چارچوب BOINC استفاده می‌کند. SETI سرواژه Search for Extra-Terrestrial Intelligence (جستجو برای هوش فرازمینی) است.
این پروژه در لابراتوار علوم فضایی دانشگاه برکلی کالیفرنیا اداره می‌شود. این پروژه وابسته به پردازشگرهای مردم جهان است، به طوری که هر کس می‌تواند با در اختیار قرار دادن کامپیوتر خود از طریق اینترنت در پیشرفت این پروژه کمک کند.
هدف پروژه
هدف این پروژه یافتن سیگنال‌های تکرار شونده در داده‌هایی است که از سوی تلسکوپ‌های رادیویی جهان جمع آوری می‌شود. در صورت یافتن چنین چیزی، می‌توان انتظار داشت که یک موجود هوشمند فرازمینی این امواج را فرستاده باشد.
عدد قدرتمند

عدد طبیعی مثبت n قدرتمند است اگر به ازای هر عدد اول p که n را عاد می‌کند، عدد نیز n را عاد کند. می‌توان نشان داد هر عدد قدرتمند مانند m را می‌توان به صورت نوشت که a, b هر دو اعدادی طبیعی هستند.
در زیر فهرستی از اعداد قدرتمند کوچکتر از ۱۰۰۰ را می‌بینیم:
۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲، و ۱۰۰۰.
همچنین جفت‌های متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:
(۸،۹), (۲۸۸،۲۸۹), (۶۷۵،۶۷۶), (۹۸۰۰،۹۸۰۱), (۱۲۱۶۷،۱۲۱۶۸), (۲۳۵۲۲۴،۲۳۵۲۲۵), (۳۳۲۹۲۸،۳۳۲۹۲۹) و (۴۶۵۱۲۴،۴۶۵۱۲۵).
اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به‌طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیرا نشان داده شده‌است که ۳ حکم زیر معادلند ( قضیه مولین و والاش ):
سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت وجود دارند.
عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که m \equiv 7 \pmod{7
و و k عدد طبیعی فردی است که kامین عدد زوج قدرتمند است و kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.
گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت (4k-1,4k+1) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید به صورت (4k-1,4k.4k+1) باشند.
گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بی‌نهایت عدد اول p وجود دارد که مضربی از نباشد.
اعداد دوست

عدد دوست در نظریه اعداد یک عدد طبیعی مثبت است که نسبت بین مجموع مقسوم علیههای آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگر همانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست نامیده می‌شوند. دسته‌های بزرگ‌تر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که چنین دوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده می‌شود.
خاصیت مورد نظر عبارت است از عدد غیر موهومی (n) / n است که در آن  نشان دهنده تابع تقسیم‌کننده (مجموع تمام مقسوم علیه‌ها) است. n یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشد به‌طوری که(m) / m = (n) / n.
اعداد ۱ تا ۵ همگی تنها هستند. کوچکترین عدد دوست ۶ است که زوج دوست (۲۸،۶) که در ان ۶/(۶) مساویست با ۶ / (۶ + ۳ + ۲ + ۱) مساویست با ۲ همانطور که۲۸ / (۲۸) مساویست با ۲۸ / (۲۸ + ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱) مساویست با ۲. مقدار مشترک ۲ در این مورد یک عدد صحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.
مسائل حل نشده بسیاری در رابطه با اعداد دوست وجود دارد. به‌رغم مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بین اعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شامل تابع تقسیم است.
تابع تقسیم
اگر n یک عدد مثبت طبیعی باشد ((n جمع مقسوم علیههای ان است. مثلا ۱۰ به ۵، ۲،۱ و ۱۰ بخش پذیر است و لذا (۱۰) = ۱ + ۲ + ۵ + ۱۰ = ۱۸.
قرابت و دوستی
قرابت یا (K(n برای یک عدد مثبت طبیعی n به صورت عدد غیر موهومی (n)/n تعریف می‌شود
مثلا (۱۰) = ۱۸/۱۰ = ۹ / ۵ .
کلمه قرابت و نشانه (K(n کاربردهای استاندارد نیستند و در اینجا فقط برای تسهیل بیان به کار رفته‌است.
اعدادی که قرابت آن‌ها مثل هم باشد دوست هستند مثلا K(۴۹۶) = K(۲۸) = K(۶)=۲ اعداد ۶، ۲۸ و ۴۹۶ همه کامل هستند و بنابراین دوست هستند به عنوان مثالی دیگر: (۳۰ و ۱۴۰) یک زوج دوستی هستند از آنجا که(K(۳۰) =K(۱۴۰:
دوست بودن یک رابطه هم ارزی است و لذا شامل تقسیم اعداد صحیح به دسته‌هایی از اعداد دوست هست.
اعداد تنها
اعدادی که به یک دسته واحد تعلق دارند چون عدد دوست دیگری نیستند اعداد تنها هستند.
همه اعداد اول و توانهایشان کامل هستند، به‌طور عام‌تر هر جا اعداد n و((n اول هستند به این معنا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۱ است به‌طوری‌که (n)/n یک تابع کاهش نا پذیر است عدد n تنهاست.
برای یک عدد اول p داریم (p) = p + ۱ که مانند p عدد اول است. روشی عمومی برای این که بفهمیم یک عدد کامل است یا تنها وجود ندارد.
کوچکترین عددی که طبقه‌بندی آن معلوم نیست (تا سال ۲۰۰۷) ۱۰ است و حدس زده می‌شود که تنها باشد اگر نباشد کوچکترین دوست آن یک عدد نسبتا بزرگ خواهد بود.
دسته‌های بزرگ
این مسئله باقی است که ایا دسته‌های بی‌نهایت بزرگ اعداد دوست وجود دارد؟ اعداد کامل یک دسته را تشکیل می‌دهند و حدس زده می‌شود که بی‌نهایت عدد کامل وجود دارد.(دست کم به اندازه تعداد اعداد اول مرسن) اما دلیلی برای ان نداریم.
تا سال ۲۰۰۸،۴۴ عدد کامل شناخته شده‌است که بزرگترین انها ۱۹ میلیون رقم در سیستم ده دهی دارد. دسته‌های دیگری با اعداد شناخته شده بیشتر به خصوص آن‌هایی که از اعداد کامل چند گانه تشکیل می‌شوند که اعدادی هستند که قرابت آن‌ها عدد صحیح است.
تا اوایل سال ۲۰۰۸ دسته اعداد دوست با قرابت مساوی ۹، ۲۰۷۹ عدد شناخته شده بوده‌است گرچه می‌دانیم برخی از انها بسیار بزرگ هستند دسته‌های اعداد کامل چند جانبه (به استثنای خود اعداد کامل) حدس زده می‌شود که متناهی باشد.
زمان نجومی

تفاوت روز نجومی و روز خورشیدی در شکل بالا نشان داده شده‌است.
زمان نجومی یا روز نجومی اندازه‌گیری حرکت وضعی زمین بر اساس عبور متوالی یک ستاره ثابت یا به اعتباری دیگر نقطه اعتدال بهاری (یا یک نصف النهار خاص) است (شبانه روز نجومی).
از سویی با زمان خورشیدی (شبانه روز خورشیدی) که عبور متوالی خورشید طی حرکت وضعی زمین است متفاوت و کوتاهتر است چرا که خورشید در جابجایی ظاهری روزانه نزدیک به ۱درجه در زمینه ستارگان به شرق نوسان می‌کند و ناظر همواره عبور متوالی یک ستاره ثابت را در یک حرکت وضعی به اندازه ۴دقیقه از خورشید زودتر خواهد دید.
همچنین «روز نجومی» با معیار عبور متوالی یک ستاره بعلت تفاضل زمان حرکت تقدیمی در بعد طی یک روز (ms ۸٫۴ = یا جابجایی سالانه ۳٫۳۵۲۲۷۶۷ثانیه)، با روز نجومی با معیار یک نصف النهار خاص متفاوت و کوتاهتر است.
در دهه اخیر (۲۰۱۰+ میلادی) مقدار شبانه روز نجومی بر اساس یک نصف النهار خاص ۲۳ h ۵۶ m ۴٫۰۹۰۵۳ s که با اعمال تعدیل زمان تقدیمی نسبت به یک ستاره ثابت ۲۳ h ۵۶ m ۴٫۰۸۱۳۸ s می‌باشد.
تفاضل زمان نجومی و خورشیدی
بعبارتی، مدت زمان واقعی که طول می‌کشد زمین به دور خودش بچرخد، ۲۳:۵۶:۴ است، اما در این مدت زمین هم کمی (حدود ۱درجه) در مدار انتقالی خود حرکت می‌کند. بنابراین خورشید در جای سابق خود دیده نمی‌شود ولی ستارگان به همان صورت دیده می‌شوند و ناچار زمین برای تمام شدن روز خورشیدی باید ۳ دقیقه و ۵۶ ثانیه دیگر حرکت کند؛ که در این صورت جای ستارگان متفاوت خواهد بود. به آن زمان کوتاه‌تری که در طی آن جای ستارگان تغییر نمی‌کند «شبانروز نجومی» می‌گویند.
رده:فیلم‌های دهه ۱۹۹۰ (میلادی)

فیلم‌های دهه ۱۹۹۰ (میلادی)
رده:فیلم‌های ۱۹۹۳ (میلادی)

فیلم‌های ۱۹۹۳ (میلادی)
رده:فیلم‌های ۱۹۹۱ (میلادی)

فیلم‌های ۱۹۹۱ (میلادی)
مسیر همیلتونی

در نظریه گراف، مسیر همیلتونی مسیری در یک گراف غیرجهت‌دار است که هر راس را دقیقا یک بار مشاهده می‌کند. مدار همیلتونی (یا دور همیلتونی) مداری در یک گراف جهت‌دار است که دقیقا یک بار هر راس را مشاهده کرده و همچنین به راس آغازین برمی گردد.در این گراف بر خلاف گراف اویلری نیازی نیست که از همه یال‌ها عبور کنیم.
مسیر و مدار همیلتونی به نام ویلیام رومن همیلتون* نام گذاری شده‌اند. ویلیام همیلتون بازی ایکوسیان را، که امروزه به نام پازل همیلتون معروف است اختراع کرد. این بازی شامل یافتن یک مدار همیلتونی در گراف یالی یک دوازده سطحی است.
تعاریف
شکل (1)مداری همیلتونی در یک گراف(رنگ قرمز)
شکل (2)مسیری همیلتونی(آبی) در یک گراف(مشکی)
شکل (3)گراف همیلتون
مسیر همیلتونی
یک مسیر همیلتونی یا مسیر قابل تعقیب، مسیری است که هر راس را دقیقا یک بار مشاهده کند. گرافی را که دارای مسیر همیلتنی باشد، گراف قابل تعقیب یا نیمه همیلتنی می‌نامند. هم چنین گرافی همیلتن-متصل است اگر برای هر زوج از رئوس آن، مسیری همیلتونی بین آن دو راس وجود داشته باشد.
مدار همیلتونی
مدار همیلتونی یا دور همیلتونی، مداری است که هر راس را دقیقا یک بار مشاهده می‌کند.(به جز راسی که هم به عنوان آغاز و هم پایان می‌باشد. در نتیجه این راس دو بار دیده می‌شود.) به طور قراردادی، گرافی کوچک شامل یک گره، دارای مدار همیلتونی است، ولی گراف متصلی دارای دو گره، شامل مدار همیلتونی نیست.
گراف همیلتونی
گرافی که دارای مدار همیلتونی باشد، گراف همیلتونی نامیده می‌شود. هر گراف کامل که بیشتر از دو راس داشته باشد، همیلتونی است.
گرافی با نام گراف همیلتون وجود دارد که یک دوازده وجهی منتظم است و دارای دورهای همیلتونی زیبا می‌باشد.(شکل(۳))
مدار همیلتونی مسئله‌ای از نوع NP
مسئله فروشنده دوره‌گرد برای دانشمندانی که روی مسائل NP کار می‌کنند، بسیار آشناست. صورت این مسئله به این گونه‌است که فرض کنید فروشنده دوره گردی داریم که می‌خواهد برای فروش کالاهای خود، به چند شهر سفر کند. فرض کنید بین این چند شهر راه‌های مختلفی با طول مسیرهای مختلفی وجود دارد. حال این فروشنده دوره گرد از چه راه‌هایی برود تا همه شهرها را یکبار بپیماید، و در کوتاه‌ترین مسیر حرکت کرده و در کمترین زمان به شهر اولی که از آن شروع کرده بود برسد. این مسئله ابتدا به صورت ریاضی مدل می‌شود و تبدیل به مسئله مدار همیلتونی در علم ریاضی و نظریه گراف‌ها می‌شود و سپس برای حل آماده می‌گردد. بسیاری از دانشمندان برای حل مسائل NP بیشتر روی مسئله فروشنده دوره گرد کار می‌کنند.
تعیین شرط یا شروط لازم و کافی برای وجود داشتن مسیر یا دور همیلتونی در یک گراف هنوز به عنوان یک مسئله لاینحل باقی‌مانده‌است، ولی شروط لازم خوبی وجود دارند که به صورت قضیه مطرح شده‌اند. همچنین الگوریتمی احتمالی که توسط آقای ویلف(۱۹۹۴) شرح داده شده‌است، می‌تواند برای یافتن مسیر و مدار همیلتنی مفید باشد.
خواص و قضایا
هر مدار همیلتونی می‌تواند با حذف یکی از یال‌هایش به یک مسیر همیلتونی تبدیل شود. اما یک مسیر همیلتونی زمانی می‌تواند به یک مدار همیلتونی توسعه یابد که نقاط انتهایی آن مجاور و همسایه باشند.گراف خط یک گراف همیلتونی، خود همیلتونی است. همچنین گراف خط یک گراف اویلری نیز همیلتونی است.
همان طور که ذکر شد شرط لازم و کافی برای گفتن همیلتونی بودن یک گراف هنوز یافت نشده‌است. ولی دو قضیه زیر شرظ خوبی برای همیلتونی بودن یک گراف هستند.
قضیه : اگر G یک گراف ساده با ۳ n، آنگاه گراف G هامیلتونی است.
قضیه دیراک: اگر در گراف ساده و همبند G با ۳= n/۲ (که V راس دلخواه از G است.) آنگاه گراف G همیلتونی است.
رابط‌های منطقی

در منطق، دو جمله (چه در زبانی صوری و چه زبانی طبیعی) ممکن است به وسیله ادات منطقی به هم وصل شوند تا یک جمله مرکب بسازند. ارزش راستی این ترکیب منحصرا از روی ارزش راستی جملات ساده‌تر مشخص می‌شود. به این ترتیب ادات منطقی تابعی را نشان می‌دهند که در صورتی که ارزش جمله مرکب یک ارزش راستی باشد، آن را یک تابع راستی می‌نامند و ادات منطقی را یک «ادات تابع راستی» خواهند خواند.
تابع راستی عطف، فصل و التزام را شامل می‌شود.
380px
350px
در گفتار
در زبان،دو جمله بوسیله حرف‌های ربط به هم می‌پیوندند و جملات مرکبی بوجود می‌آورند که الزاما معنا و مقدار صحیح ندارند.برای نمونه به مثال زیر توجه کنید:
"علی از تپه بالا رفت"
"سینا از تپه بالا رفت"
"علی از تپه بالا رفت و سینا از تپه بالا رفت"
"علی از تپه بالا رفت همینطور سینا از تپه بالا رفت."
از ترکیب جملات اول و دوم جملات مرکب سوم و چهارم ایجاد شده‌اند.درستی جمله‌ی سوم به درستی جملات اول و دوم وابسته است اما جمله چهارم الزاما برای درستی به جمله‌های اول و دوم وابسته نیست. در جمله چهارم می‌توان گفت که سینا برای عکاسی به بالای تپه رفته نه بخاطر اینکه علی از تپه بالا رفته است.
بهاران خجسته باد

بهاران خجسته باد » نام سرودی انقلابی و امیدبخش و جزو معروفترین و نخستین سرودهایی بود که پس از انقلاب ۱۳۵۷ و سقوط نظام شاهنشاهی، در گرامیداشت سالروز کشته‌شدن خسرو گلسرخی و کرامت‌الله دانشیان به‌دست حکومت پهلوی از رادیو و تلویزیون پخش شد و هنوز پخش می‌شود. شاعر این چکامه دکتر عبدالله بهزادی است که آن را در همدردی با همسر انقلابی جانباخته کنگویی «پاتریس لومومبا» در سال ۱۳۳۹ نوشته است. کرامت دانشیان، بخشی از این شعر را تبدیل به سرود کرد و اسفندیار منفردزاده آنرا با کمترین امکانات به کمک دوستان و همکارانش در آستانه پیروزی انقلاب ۱۳۵۷ به اجرا درآورد.
تاریخچه سرود
چند هفته پس از کشته‌شدن پاتریس لومومبا رهبر انقلابی جنبش ملی کنگو در آفریقا، شعری با نام «سرود بهار» از دکتر عبدالله بهزادی از اعضای حزب توده ایران در سوگ لومومبا و در همدردی و خطاب به همسر او در اسفند ماه سال ۱۳۳۹، در هفته‌نامه «سپید و سیاه» به‌چاپ رسید که بخشی از آن چنین بود:
سال‌ها پس از آن «کرامت دانشیان» با چند بیت از این شعر سرودی ساخت که خود آنرا می‌خواند و حتی به بچه‌های مدرسه روستای سلیران هم آنرا آموخته بود و آنها صبح‌ها سر صف مدرسه، به جای سرود شاهنشاهی این سرود را می‌خواندند. زمانی‌که «دانشیان» بار اول به‌خاطر فعالیتهای سیاسی‌اش به زندان افتاد، این سرود را به همراه دیگر رفقا در زندان می‌خواندند. بعدها با اوج‌گیری قیام مردمی و آزادی زندانیان سیاسی، این سرود نیز توسط زندانیانی که آنرا می‌شناختند به میان مردم آمد و در یک هفته فاصله بین انقلاب بیست و دوم بهمن ۵۷ و سالروز اعدام دانشیان و گلسرخی، رفقای کرامت دانشیان که خود را آماده برگزاری بزرگداشت این سالروز می‌نمودند به پیشنهاد پدرام اکبری، تصمیم به اجرای آن سرود که به «بهاران خجسته باد» در بین آنان معروف شده بود می‌گیرند.
وظیفه نوشتن نت این سرود به اسفندیار منفردزاده آهنگساز معروف، که خود نیز در رابطه با پرونده خسرو گلسرخی توسط ساواک دستگیر و مدتی زندانی بود، سپرده می‌شود و او به دلیل نبودن امکانات کافی و دسترسی نداشتن به ارکستر، خود به تنهایی تمام سازها را ابتدا تک تک می‌نوازد و بعد همه را با هم میکس می‌کند. خوانندگان سرود «علی برفچی»، «عبدالله» و «ابوالفضل قهرمانی»، «فرهاد مافی»، «حسن فخار» «پدرام اکبری» و خود منفردزاده بودند.
سرانجام، هنگامی که مراسم یادبود و بزرگداشت «کرامت» و «خسرو» در مدرسه عالی تلویزیون در حال برگزار شدن بود، رفقا خسته، نوار ضبط شده و آماده «بهاران خجسته باد!» را مستقیما از استودیو به سالن برگزاری مراسم می‌آورند و برای نخستین بار این سرود پخش می‌شود.
منفردزاده خود درباره سابقه اجرای این سرود بعدها چنین می‌گوید:
«. . . سرود «بهاران خجسته‌باد» با شتاب و با سازهایی در حد اسباب بازی، با وسائل ضبط زیر متوسط سال انقلاب - یعنی بسیار ابتدائی امروز - با صداهایی کاملا غیر حرفه‌ای در منزل و نه در استودیو، ضبط شده است. . . اگر سرود «بهاران خجسته‌باد» بدون کمک امتیازات ویژه با چنین اقبالی ماندگار می‌شود، عشق و ایثار انسانی بزرگ و عاشق، نیروی پرتوان ماندگاری آن بوده است، نه موسیقی و اجرا با صدای من. . .»
بسیاری سراینده شعر سرود «بهاران خجسته‌باد!» را «کرامت دانشیان» می‌پندارند؛ که شاید دلیلش این باشد که این سرود را اولین بار از زبان او شنیده‌اند. حتی در نشریات مختلفی که در سال نخست پس از انقلاب منتشر شد، بر بالای متن چاپ شده ابیات این سروده، نوشته می‌شد: «سروده‌ای از کرامت دانشیان». و چه بسا این باور و برداشت از مطالعه همان نشریات سرچشمه گرفته باشد.
اشعار
سرودهای انقلابی ایران
بهمن خونین جاویدان
پریش

در ترکیبیات یک پریش یک جایگشت است که هیچ‌کدام از عناصر در مکان اصلی خود نمی‌باشند در حقیقت یک رابطه وجود دارد از مجموعه به خودش بدون آن که هیچ عضوی با خودش رابطه داشته باشد یعنی برای همه‌های عضو داریم مخالف است .
و یک مشکل تکراری محاسبه تعداد پریش‌ها است مشکل شمارش پریش‌ها اولین بار در سال ۱۷۰۸ توسط Pierre Reymond بررسی شد و البته هم‌زمان Nicholas Bernoulli روی این موضوع کار می‌کرد.
مثال‌ها
فرض کنید یک استاد می‌خواهد ۴ تا آزمون را بین ۴ تا دانشجو تقسیم کند که دانشجوی آزمون و دانشجوی هم آزمون را بدهد و و هم همین طور ولی پروفسور هنگام پخش برگه‌ها دچار اشتباه می‌شود و اکنون هیچکدام از دانشجویان برگه خود را ندارد چندین راه برای برگه‌ها در دست دانشجویان وجود دارد؟ از میان ۲۴ تا جایگشت فقط ۹تا از آن‌ها پریش هستند.
BADC, BCDA, BDAC
,CADB, CDAB, CDBA
,DABC, DCAB, DCBA
و در هر کدام از جایگشت‌های دیگر حداقل یکی از دانشجویان برگه خودش را دارد.
و یا مثلا می‌توان مسئله را این چنین بیان کرد که تا نامه داریم که نامه۱ باید به نفر اول و نامه۲ به نفر دوم و … برسد و اگر پستچی دچار اشتباه شود به چند طریق ممکن است هیچکس نامه خودش را نگیرد؟باز هم محاسبه پریش !
شمارش پریش‌ها
برای شمارش تعداد پریش‌ها اصل متمم را به کار می‌بریم، نخست تعداد کل جایگشت‌های تایی را می‌شماریم که برابر است و اکنون با توجه به اصل متمم تعداد جایگشت‌هایی که دست کم یکی از آن‌ها در جای خودش باشد را از آن کم می‌کنیم که تعداد آن برابر است با
و اکنون می‌بینیم جایگشت‌هایی که دو تا از آن‌ها در جای خودشان هستند دو بار کم شده‌اند پس طبق اصل شمول و عدم شمول یک بار دیگر آن‌ها را جمع می‌کنیم که تعداد آن‌ها برابر است با
و به همین ترتیب داریم…
پس تعداد کل پریش‌ها برابر است با
محاسبه تعداد پریش‌ها وقتی به سمت میل می‌کند
وقتی به سمت میل می‌کند آن گاه مقدار
به سمت می‌رود پس تعداد کل پریش‌ها برابر می‌شود با
پیوند بیشتر