تونل‌زنی کوانتومی

thumb
تونل‌زنی کوانتومی اشاره به فرایند کوانتومی تونل زنی ذره در طول یک سد -که از نظر کلاسیک ذره قادر به عبور از آن نیست- دارد. این اتفاق مهم در چندین پدیده فیزیکی دیده می‌شود. برای مثال، در واکنش‌های هسته‌ای که در ستارگان رشته اصلیمثل خورشید اتفاق می‌افتد، به چشم می‌خورد. همچنین کاربردهای مهمی در وسایل مدرن و جدید مانند دیود تونلی دارد. این پدیده در اوایل قرن بیستم پیش‌بینی شده بود و در اواسط همین قرن به عنوان یک پدیده کلی فیزیکی پذیرفته شد.
تونل زنی معمولا با عنوان اصل عدم قطعیت هایزنبرگ توضیح داده می‌شود. در واقع مفاهیم مکانیک کوانتومی حول این پدیده می‌باشند، و می‌توان گفت تونل زنی کوانتومی یکی از تعاریف ویژگی‌های مکانیک کوانتومی و خاصیت دوگانگی موج – ذره در جسم می‌باشد.
تاریخچه
تونل زنی کوانتومی در ابتدا با مطالعه تابش گسترش یافت و در سال ۱۸۹۶ توسط Henri Becquerel کشف شد. مسئله تابش بعدها توسط Piere Curie و Marie آزمایش شد، که منجر به دریافت جایزه نوبل فیزیک در سال ۱۹۰۳ توسط آن‌ها شد. Ernest Rutherford وEgon schweidler طبیعت تابش را مطالعه کردند که بعدها توسط Fredrich Kohlrausch به صورت تجربی اثبات شد. بعدها نظریه نیمه عمر و عدم امکان پیش‌گویی واپاشی از کار آن‌ها ارائه شد.
Friedrich Hund اولین کسی بود که در سال ۱۹۲۷ وقتی که حالت پایه چاه دوتایی را محاسبه می‌کرد به پدیده تونل زنی توجه کرد. اولین کاربرد این پدیده یک توضیح ریاضی برای واپاشی ذرات آلفا بود که در سال ۱۹۲۸ توسط George Gamow انجام شد. دو محقق دیگر بنام‌های Ronald Gurney و Edward Condon هم مستقلا این کار راانجام دادند.
این دو محقق به‌طور هم‌زمان معادله شرودینگر را برای یک پتانسیل هسته‌ای و یک رابطه بین نیم عمر ذره وانرژی تابشی یافتند که مستقیما به احتمال ریاضی تونل زنی وابسته بود.
بعد از ارائه یک سمینار توسط Gamow، فردی به نام Maxborn کلیت تونل زنی را دریافت. او پی برد که تونل زنی محدود به فیزیک هسته‌ای نیست بلکه یک نتیجه کلی از مکانیک کوانتومی است که در چندین سیستم مختلف ظاهر می‌شود. اندکی بعد، هر دو گروه موضوع تونل زنی ذرات به درون هسته را مطرح کردند.
در پی آن، مطالعه مواد نیمه رسانا و گسترش ترانزیستورها و دیودها منجر به پذیرش تونل زنی الکترون در جامدات، در سال ۱۹۵۷شد. کار Leo Esaki و Ivar Giaver و Brian David Josephson، زوج‌های کوپر ابررسانایی را پیش‌بینی کرد که در سال ۱۹۷۳ جایزه نوبل فیزیک را برای آن‌ها به ارمغان آورد.
مقدمه‌ای بر مفهوم
تونل زنی کوانتومی در یک سد. انرژی ذره تونل زده همان است ولی دامنه کاهش یافته‌است.
تونل زنی کوانتومی شامل حوزه مکانیک کوانتومی است. آنچه که در مقیاس کوانتومی اتفاق می‌افتد به‌طور مشخص قابل مشاهده نیست، اما برای درک بیشتر، در اندازه‌های ماکروسکوپیک مجسم شده است، که مکانیک کلاسیک به اندازه کافی قادر به توضیح آن است.
برای درک این پدیده می‌توان ذره‌هایی را که سعی در عبور بین دو چاه پتانسیل دارند را با توپی که دور یک تپه می‌چرخد مقایسه کرد.
مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک در این زمینه رفتارهای متفاوتی دارند. مکانیک کلاسیک پیش‌بینی می‌کند که ذره‌ای که انرژی کافی برای عبور کلاسیکی از چاه ندارند قادر به رسیدن به سمت دیگر نیست، پس یک توپ بدون انرژی کافی برای عبور از تپه پس زده شده (بازتاب) یا در بهترین حالت داخل تپه نفوذ خواهد کرد (جذب).
در مکانیک کوانتومی این ذره‌ها می‌توانند با احتمال خیلی کم به آن طرف تونل برسند پس می‌توانند از سد عبور کنند. در این مثال توپ نمی‌تواند از اطراف خود انرژی بگیرد پس برای تونل زدن در طول دیوار یا گذر از تپه با پس دادن انرژی، الکترون‌های بازتابی تولید کرده و در نتیجه انرژی بیشتری نسبت به آنچه در سمت دیگر خواهد داشت، دارد. این تناقض به دلیل رفتار ذره، هم به عنوان ذره و هم به عنوان موج در مکانیک کوانتومی است.
یک تفسیر دیگر از این دوگانگی شامل اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است که ضمن آن حدی برای دقت در اندازه‌گیری مکان و تکانه ذره در یک زمان مشخص تعیین شده‌است.
این موضوع دلالت بر این دارد که هیچ جوابی با احتمال دقیقا صفر یا یک وجود ندارد. پس ممکن است یک جواب به بی‌نهایت برسد؛ بنابراین احتمال حضور یک ذره در سمت مخالف یک سد غیر صفر است و در این صورت است که ذره‌ها -بدون هیچ اثری از عبور فیزیکی از سد- ظاهر خواهند شد و با همین احتمال ذره در سمت دیگر با یک فرکانس متناسب، ظاهرمی شوند.
مسئله تونل زنی
یک بسته موج الکترونی به یک سد پتانسیل برخورد می‌کند. به لکه سمت راست توجه کنید که نشان دهنده تونل زنی الکترون هاست.
هر پدیده‌ای که می‌توان به عنوان یک سیستم فیزیکی در نظر گرفت، با تابع موج ذره به‌طور مختصر بیان می‌شود.
اگرچه مسائل در فیزیک کوانتومی متمرکز به تحلیل تابع موج ذره است، با استفاده از فرمول‌های ریاضی مکانیک کوانتومی نظیر معادله شرودینگر، تایع موج حل خواهد شد و این موضوع مستقیما به چگالی احتمال مکان ذره وابسته است که احتمال حضور ذره در مکان را توصیف می‌کند. البته در حد سدهای بزرگ احتمال تونل زنی کاهش پیدا می‌کند (سدهای بلندتر و عریض‌تر).
برای نمونه‌های ساده تونل زنی سد، مثل سد مستطیلی یک راه حل تحلیلی وجوددارد. معمولا مسائل در واقعیت حتی یک راه حل هم ندارند. پس روش‌های نیمه کلاسیکی یا شبه کلاسیکی برای راه حل‌های تقریبی این مسائل، مثل تقریب WKB، گسترش یافتند. احتمال‌ها ممکن است نتیجه‌ای با دقت دلخواه باشند.
پدیده‌های وابسته
چندین پدیده وجود دارد که رفتاری شبیه تونل زنی کوانتومی دارند، پس می‌توان آن‌ها را دقیقا با تونل زنی توصیف کرد. پدیده‌هایی مانند جفت شدگی موج ناپایدار (کاربرد معادله موج ماکسول برای نور).
این آثار برای سد پتانسیل مستطیلی شبیه‌سازی شده‌اند. در این مثال‌ها یک ناحیه عبور وجوددارد، که درراستای انتشار موج یا در نزدیکی همان مسیر است و محیط دومی هم وجوددارد که در راستایی قرار دارد که موج به‌طور متمایز طی می‌کند. این را می‌توان به عنوان یک ناحیه باریک B بین دو ناحیه باریک A تعریف کرد. حال می‌توان تحلیل یک سد مستطیلی بوسیله معادله شرودینگر را با آثار دبگر وفق داد، با این شرط که معادله موج دارای جواب موج گذرنده از محیط A باشد اما جواب نمایی حقیقی در محیط B باشد.
در اپتیک محیط A خلا است، البته زمانی که محیط B شیشه باشد. در صوت شناسی محیط A می‌تواند مایع یا گاز باشد و محیط B یک جامد باشد. برای هردو حالت محیط A ناحیه‌ای از فضاست که انرژی کل ذره بزرگتر از انرژی پتانسیلش است و محیط B سد پتانسیل است.
این حالت‌ها یک موج ورودی دارند و موج برآیند درهردو جهت خواهد بود. هم چنین می‌توان ناحیه‌ها و سدهای بیشتری داشت و لزوما نباید این سدها گسسته باشند، تقریب نیز در این مثال‌ها مفید است.
کاربردها
تونل زنی در سدهایی با ضخامت حدود ۳–۱نانومتر و کمتر اتفاق می‌افتد و دلیل بسیاری از پدیده‌های فیزیکی ماکروسکوپی است. برای مثال تونل زنی در نتایج جریان توان ذاتی و تکنولوژی موبایل دیده می‌شود.
واپاشی رادیواکتیو
واپاشی رادیواکتیو عبارت است از انتشار ذرات و انرژی از هسته ناپایدار یک اتم برای تشکیل یک حالت پایدار. این پدیده در اثر تونل زنی کوانتومی ذره خارج از هسته انجام می‌شود (تونل زنی ذره درون هسته جاذبه الکترون است)، که اولین کاربرد تونل زنی کوانتومی بود و به اولین تقریب سوق داد.
گسیل سرد
گسیل سرد الکترون‌ها مربوط به فیزیک نیمه رساناها و ابر رساناهاست. این پدیده شبیه پدیده گرمایونی است.
اتصال تونلی
یک سد ساده را می‌توان بااستفاده از دو رسانا و یک عایق نازک ایجاد کرد، که اتصال تونل هستند و مطالعه آن نیازمند تونل زنی کوانتومی است.
اتصالات جوزفسوناز تونل زنی کوانتومی و ابررسانایی تعدادی نیمه رسانا بهره گرفته تا اثر جوزفسون را تولید کند. این اثر در اندازه‌گیری دقیق ولتاژ و میدان مغناطیسی مثل سلول‌های خورشیدی چند اتصالی، کاربرد دارد.
سازوکار یک دیود تونلی تشدید شده، بر اساس پدیده تونل زنی کوانتومی در یک سد پتانسیل
دیود تونلی
دیودها قطعات نیمه رسانای الکترونیکی هستند که این امکان را به جریان می‌دهند که در یک جهت بیشتر از بقیه برقرار شوند. سازوکار این قطعه وابسته به ناحیه تهی، بین نیمه رسانای نوع nونوع p می‌باشد. وقتی اینها کاملا پر شوند، ناحیه تهی می‌تواند به قدر کافی برای تونل زدن باریک شود. پس از آن اگر بایاس مستقیم کمی اعمال شود جریان حاصل از تونل زنی بسیار قابل توجه خواهد بود، و مقدار حداکثر در جایی است که ولتاژ بایاس طوری است که سطح انرژی در نوار رسانایی p و n یکسان است. هم‌زمان با افزایش ولتاژ بایاس، دیود به‌طور ایده‌آل عمل می‌کند. چون جریان تونل زنی به سرعت از بین می‌رود، می‌توان دیود تونلی با ولتاژ متغیر برای کاهش جریان با افزایش ولتاژ، تولید کرد. این ویژگی خاص در چندین مورد کاربرد دارد. دیود تونلی تشدید شده، استفاده از تونل زنی کوانتومی را در روش‌های مختلف برای دسترسی به نتایج شبیه به این ممکن می‌سازد. این دیود در جریان زیاد ولتاژ خاصی را ایجاد می‌کند که ولتاژ تشدید گفته می‌شود. اینجا یک چاه پتانسیل کوانتومی ایجاد می‌شود که دارای حداقل سطح انرژی گسسته است. وقتی که این مقدار انرژی بیشتر از انرژی الکترون باشد هیچ تونل زنی اتفاق نمی‌افتد و دیود در بایاس معکوس است.
ترانزیستور وابسته به میدان تونلی(FET)
یک پروژه تحقیقاتی اروپایی اثبات کرد که FETهایی که در آن‌ها Gate ورودی با تونل زنی کوانتومی بیش از پاشش گرمایی کنترل می‌شود، ولتاژ Gateرا از ۱ ولت تا ۰٫۲ ولت همچنین توان مصرفی را نیز تا ۱۰۰ برابر کاهش می‌دهند.
رسانایی کوانتومی
می‌توان با استفاده از تونل زنی کوانتومی پدیده برخورد و رفتار الکترون‌ها را توضیح داد. وقتی یک بسته موج الکترون آزاد به آرایه‌ای از چند سد برخورد می‌کند، قسمت بازتابیده موج با قسمت عبور کرده تداخل می‌کند، در نتیجه مواردی با صد در صد عبور وجود دارد. این نظریه پیش‌بینی می‌کند که اگر هسته با بار مثبت آرایه مستطیلی کاملی تشیل دهد، الکترون‌های درون فلز به عنوان الکترون‌های آزاد تونل می‌زنند و این کار منجر به رسانایی بالا می‌شود.
میکروسکوپ تونل زنی
میکروسکوپ تونل زنی(STM)که توسط Gred binning وHeinrich rohrer ابداع شده است، امکان تصویر برداری و مطالعه سطح فلزات و بعضی نیمه رساناها را به ما می‌دهد. این وسیله با بهره‌گیری از رابطه بین تونل زنی کوانتومی با فاصله عمل می‌کند. وقتی نوک سوزن STM خیلی نزدیک به سطح رسانایی که ولتاژ بایاس دارد قرار گیرد با اندازه‌گیری جریان الکترون‌هایی که در حال تونل زدن بین سوزن و سطح رسانا هستند، فاصله بین سوزن و سطح را می‌توان اندازه گرفت. این کار با استفاده از میله پیزوالکتریک که اندازه‌اش تغییر می‌کند، انجام می‌شود. پس از اعمال ولتاژ در دو سر آن‌ها ارتفاع نوک را می‌توان تنظیم کرد و این کار برای تثبیت جریان تونل زنی می‌باشد. ولتاژ متغیر با زمان که به این میله‌ها اعمال می‌شود نیز ثبت می‌شود که برای تصویر برداری از سطح رسانا به کار برده می‌شود. STMها دقتی در حدود0.001 nm یا حدود ۱٪ ضخامت اتمی دارند.
ریاضیات تونل زنی کوانتومی
این بخش فرمول بندی ریاضی تونل زنی کوانتومی را توصیف می‌کند.
معادله شرودینگر
معادله مستقل از زمان شرودینگر برای ذره در یک بعد را می‌توان به صورت زیر نوشت:
یا
در اینجا (ثابت پلانک)، m (جرم ذره)، x (نشان دهنده جابجایی در جهت حرکت ذره)، (تابع موج شرودینگر)،V (انرژی پتانسیل ذره) و E (انرژی ذره) است که وابسته به حرکت ذره در راستای xو M کمیتیاست که با V(x)-E توضیح داده می‌شود و نام پذیرفته شده‌ای در فیزیک ندارد.
جواب معادله شرودینگر در مقدارهای مختلفx و با توجه به اینکه M مثبت است یا منفی متفاوت خواهند بود. اگر M ثابت و منفی باشد، می‌توان معادله شرودینگر را به صورت زیر نوشت:
جواب این معادله موج عبوری با ثابت فاز –k یا +k را نشان می‌دهد. همچنین اگر M ثابت و مثبت باشد، می‌توان معادله شرودینگر را به صورت زیر نوشت:
جواب‌های این معادله به صورت نمایی به شکل موج نا پایدار در حال افزایش و کاهش است. وقتی M با مکان تغییر می‌کند، بسته به این کهM مثبت است یا منفی، همین تفاوت در رفتار هم رخ می‌دهد. یعنی اینکه علامت M تعیین تعیین‌کننده است.M مثبت متناظر با محیط Aو M منفی متناظر با ناحیه Bاست. همچنین این علامت تعیین می‌کند که جفت شدگی موج ناپایدار می‌تواند اتفاق بیفتد البته اگر ناحیه باM مثبت بین دو ناحیه باM منفی قرار بگیرد؛ بنابراین یک سد پتانسیل ایجاد می‌کند.
ریاضیات مربوط با شرایطی کهM با x تغییر می‌کند سخت و مشکل استبه جز حالت‌هایی خاص که معمولا در واقیت اتفاق نمی‌افتد. یک روش تقریبی نیمه کلاسیکی که در کتاب‌های فیزیک طرح شده‌است در قسمت بعدی بررسی خواهد شد. یک روش ریاضی کامل و پیچیده در سال ۱۹۶۵ در مقاله‌ای توسط Froman ذکر شده‌است. این نظریه در کتاب‌های فیزیک ثبت نشده است اما تصحیح آن، نتایج کمی اندکی در پی داشت.
تقریب WKB
تابع موج به صورت نمایی بیان شده است:
, where
سپس به قسمت‌های موهومی و حقیقی تقسیم شده است:
که A و B توابعی با مقدارهای حقیقی‌اند.
با جاگذاری معادله دوم در معادله اول و استفاده از این موضوع که قسمت موهومی باید صفر باشد، داریم:
برای حل این معادله با استفاده از تقریب نیمه کلاسیکی، هر تابع باید به صورت سری توانی ازħ بسط داده شود. از معادله داریم که سری توانی باید با جمله حداقل از مرتبه۱- ħ شروع شود تا قسمت حقیقی معادله را ارضا کند. برای یک حد کلاسیکی خوب شروع با بیشترین توان ثابت پلانک بهتر است که منجر می‌شود به:
و
با همان فرض جملات کمترین توان داریم:
و
در اینصورت می‌توان درباره دو حالت نهایی بحث کرد:
حالت اول
وقتی دامنه به آهستگی در مقایسه با A(x)=۰ تغییر می‌کند و
که متناظر با حرکت کلاسیکی است. جواب مراتب بعدی بسط نتیجه می‌دهد:
حالت دوم
وقتی فاز به آهستگی در مقایسه با دامنه B(x)=۰ تغییر می‌کند و
که متناظر با تونل زنی است. جواب مراتب بعدی بسط نتیجه می‌دهد:
در هر دو حالت می‌توان از مخرج دریافت که هر دو جواب تقریبی همان‌طور که نشان داده شده، نزدیک نقطه برگشت کلاسیکی هستند . دور از چاه پتانسیل، ذره مثل یک موج نوسان‌کننده آزاد رفتار می‌کند. تحت اثر چاه پتانسیل دامنه حرکت ذره به صورت نمایی تغییر می‌کند. با در نظر گرفتن رفتار در این حدود و نقطه برگشت کلاسیک، می‌توان یک جواب کلی ساخت.
برای شروع یک نقطه برگشت کلاسیک انتخاب کرده و را به صورت سری توانی حول بسط می‌دهیم:
فقط جمله مرتبه اول به صورت خطی رفتار می‌کند:
با استفاده از این تقریب، معادله نزدیک به معادله دیفرانسیلی تبدیل می‌شود.
می‌توان این معادله را با استفاده از حل کرد.
با استفاده از این جواب برای همه نقاط برگشت کلاسیکی می‌توان یک جواب ساخت که جواب‌های حدی را به هم وصل می‌کند. ضریب ۲ به یک طرف نقطه برگشت کلاسیکی و ضریب ۲ به طرف دیگر نقطه برگشت کلاسیکی می‌دهیم تا با استفاده از این جواب موضعی آن‌ها را به هم وصل کنیم.
پس جواب تابع Airy در حدود مناسب با sinx و cosx و تابع نمایی مجانب خواهد بود. رابطه بین و به صورت زیر است.
و
با ضرایب به دست آمده، جواب کلی محاسبه می‌شود. هم چنین ضریب عبور برای ذره که در یک سد پتانسیل تونل می‌زند به صورت زیر است:
که دو نقطه عطف کلاسیکی برای حد پتانسیل هستند.