پوش محدب

پوش محدب: مثال کش.
در ریاضیات، پوشش محدب(Convex hull) یا لفاف محدب مجموعه از نقاط در صفحه اقلیدسی یا فضای اقلیدسی، کوچکترین مجموعه محدبی است که شامل این مجموعه می‌باشد. به عنوان مثال، هنگامی که X یک زیر مجموعه محدود از نقاط در صفحه است، پوشش محدب ممکن است به شکل نواری نشان داده شود که در اطراف X کشیده شده‌است. برای این که تصور بهتری از پوش محدب به دست آورید، نقاط صفحه را مانند میخ‌هایی در نظر بگیرید که به دیوار کوبیده شده‌اند.حال کش تنگی را درنظر بگیرید که همه میخ‌ها را احاطه کرده‌است. در این صورت پوش محدب نقاط شکلی خواهد بود که کش به خود می‌گیرد.
مسئله یافتن پوشش محدب مجموعه نامحدود از نقاط در صفحه یا دیگر فضاهای اقلیدیسی یکی از مسائل اساسی در هندسه محاسباتی است.
الگوریتم‌هایی جهت یافتن پوش محدب
ما در این قسمت دو الگوریتم برای یافتن پوش محدب مجموعه‌ای از نقاط ارائه خواهیم داد.خروجی هر دوی این الگوریتمها رئوس پوش محدب در جهت پادساعتگرد خواهد بود.
الگوریتم پیمایش گراهام
مجموعه نقاط ورودی را Q در نظر بگیرید.الگوریتم پیمایش گراهام با در نظر گرفتن یک پشته از نقاط کاندید، پوش محدب را پیدا می‌کند(ما این پشته راs می‌نامیم).در این روش همه نقاط یک بار در پشته اضافه می‌شوند و نقاطی که بر روی محیط پوش محدب قرار ندارند در نهایت از پشته حذف می‌شوند و در نتیجه در پایان الگوریتم مجموعه نقاطی که در s قرار دارند همان رئوس پوش محدب است.
شبه کد زیر الگوریتم پیمایش گراهام را پیاده‌سازی می‌کند.
1 let p0 be the point in Q with the minimum y-coordinate
or the left most such point in case of a tie
2 letp1,p2,…,pm be the remaining points in Q,
sorted by polar angle in counterclockwise order around p0
(if more than one point has the same angle, remove all but
the one that is farthest from p0)
3 PUSH(p0, S)
4 PUSH(p0,S)
5 PUSH(p2,S)
6 for i ← 3 to m
7 do while the angle formed by points NEXT-TO-TOP(S), TOP(S),
and pi makes a nonleft turn
8 do POP(S)
9 PUSH(pi,S)
10 return S
در خط 1 این کد ابتدا از بین نقاط Q نقطه‌ای را که کمترین مختصه y را دارد انتخاب می‌کند و آن را می‌نامد. و سپس در خط 2 نقاط باقی‌مانده را نسبت به زاویه قطبی آن‌ها نسبت به مرتب می‌کند. در این مرتب‌سازی در صورتی که دو نقطه زاویه برابری داشتند آن نقطه‌ای را که فاصله کمتری تا دارد را حذف می‌کند و در پایان نقاط مرتب شده را درآرایه p قرار می‌دهد و نقاط و و را به پشته s اضافه می‌کند. در خطوط 6 تا 10 که در واقع قسمت اصلی الگوریتم است یک بار کل نقاط s را پرمایش می‌کند. در هر مرحله به ازای هر نقطه تا زمانی که زاویه بین دو نفر آخر پشته s و بیش از 180 درجه باشد نفر آخر پشته را حذف می‌کند.
در زیر پیاده‌سازی این الگوریتم در زبان C# آمده‌است.
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace GrahamScan
class GrahamScan
const int TURN_LEFT = 1;
const int TURN_RIGHT = -1;
const int TURN_NONE = 0;
public int turn(Point p, Point q, Point r)
return ((q.getX() - p.getX()) * (r.getY() - p.getY())
- (r.getX() - p.getX()) * (q.getY() - p.getY())).CompareTo(0);
public void keepLeft(List hull, Point r)
while (hull.Count > 1 --
turn(hull , hull , r) != TURN_LEFT)
//Removing Point ({0, {1) because turning right
hull.RemoveAt(hull.Count - 1);
if (hull.Count == 0
hull
r)
//Adding Point ({0, {1)
hull.Add(r);
public double getAngle(Point p1, Point p2)
float xDiff = p2.getX() - p1.getX();
float yDiff = p2.getY() - p1.getY();
return Math.Atan2(yDiff, xDiff) * 180.0 / Math.PI;
public List MergeSort(Point p0, List arrPoint)
if (arrPoint.Count == 1)
return arrPoint;
List arrSortedInt = new List ();
int middle = (int)arrPoint.Count / 2;
List leftArray = arrPoint.GetRange(0, middle);
List rightArray = arrPoint.GetRange(middle, arrPoint.Count - middle);
leftArray = MergeSort(p0, leftArray);
rightArray = MergeSort(p0, rightArray);
int leftptr = 0;
int rightptr = 0;
for (int i = 0; i
value.getY())
p0 = value;
//the left most such point in case of a tie
List order = new List ();
order.Add(p0);
foreach (Point value in points)
if (p0 != value)
order.Add(value);
//sorted by polar angle in counterclockwise order around p0
//if more than one point has the same angle, remove it
order = MergeSort(p0, order);
//add first 3 point
List result = new List ();
result.Add(p0);
result.Add(order0);
result.Add(order1);
//remove 2 element form order list
order.RemoveAt(0);
order.RemoveAt(0);
//Current Convex Hull
foreach (Point value in order)
keepLeft(result, value);
return result;
پیچیدگی الگوریتم پیمایش گراهام
در این جا نشان می‌دهیم که زمان اجرای الگوریتم گراهام از است. خط 1 الگوریتم زمان را مصرف می‌کند چون یک جستجوی ساده بر روی نقاط است. خط 2 الگوریتم را در صورتی که با الگوریتم مرتب‌سازی ادغامی پیاده‌سازی کنیم در زمان اجرا شود. در قسمت‌های بعد نیز ما فقط با پشته s کار می‌کنیم و چون هر نقطه دقیقا یک بار به پشته اضافه می‌شد و حداکثر یک بار از آن حذف می‌شود پس بقیه کد نیز در زمان اجرا می‌شود پس در کل الگوریتم پیمایش گراهام در زمان اجرا می‌شود.
الگوریتمJarviss march
نمونه‌ای از فرایند اجرای الگوریتمJarviss march.
Jarviss march از روشی به نام بسته‌بندی بستهبرای یافتن پوش محدب مجموعه Q از نقاط صفحه استفاده می‌کند.
این الگوریتم به این صورت عمل می‌کند که ابتدا نقاط را بر اساس مختص Yشان مرتب کرده و در صورتی که Y برابری داشته باشد بر اساس X آن‌ها را مرتب می‌کند و در آرایه P نگه می‌دارد. در این صورت نقطه حتما یکی از نقاط پوش محدب است. پس آن را در یک آرایه به نام C وارد می‌کند. حال از بین سایر نقاط نقطه‌ای را پیدا می‌کند که کمترین زاویه قطبی را وابسته به نقطه دارد و آن را نیز در آرایه C اضافه می‌کند و همین فرایند را برای نقطه تکرار می‌کند تا این که به آخرین نقطه آرایه p برسد. به مجموعه کنونی که در C قرار دارد زنجیره راست می‌گوییم.
برای ساختن زنجیره چپ از (آخرین نقطه مجموعه P)شروع کردهودوباره نقطه‌ای را انتخاب می‌کنیم که نسبت به کمترین زاویه قطبی را دارد اما این بار نسبت به قسمت منفی محور X و آن نقطه را نیز به مجموعه C اضافه می‌کنیم و این کار را برای این نقطه تکرار می‌کنیم تا به نقطه اولیه بر گردیم. در این صورت مجموعه C ساخته شده همان پوش محدب مورد نظر است.
پیچیدگی الگوریتم
این الگوریتم از است که در آن n تعداد نقاط است و h تعداد رئوس پوش محدب است. زیرا به ازای هر کدام از رئوس پوش محدب یک بار هر یک از نقاط را با عملی از چک می‌کنیم.