معادله دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل یکی از معادله‌های ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتقهای مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربردی و فنی فراوان هستند.
معادلات دیفرانسیل در بسیاری پدیده‌های علوم رخ می‌دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده‌است می‌توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.
به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهد. در چنین شرایطی می‌توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.
شاخه بندی
متدهای حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد.
معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع جواب دارای تنها یک متغیر مستقل است.
معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع جواب دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.
هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع جواب هم دسته بندی کرد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات پاره‌ای را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هوموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.
مجسم سازی جریان هوا به داخل لوله که با معادلات ناویر-استوکس، مدل سازی شده‌است، مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل جزئی
روش‌های حل معادلات
به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند.
برخی از معادلات دارای جواب دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به جواب دقیق رسید.
معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد.
از روش‌های نیمه تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد.
روش‌های عددی دامنه وسیع‌تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد .
معادلات دیفرانسیل مشهور
قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
معادله موج
معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
معادلات پواسن
معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
فرمول انیشتین.
قانون گرانش نیوتن.
معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
معادله موج برای تار مرتعش.
نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
نظریه پتانسیل.
معادله موج برای غشای مرتعش.
معادلات شکار و شکارچی.
مکانیک غیر خطی.
مسئله مکانیکی آبل.
معادلات دسته لین-امدن
معادله ابرگاز کروی
معادله کوتوله سفید
معادلات امدن-فاولر
معادله جمعیتی ولترا
معادله توماس فرمی
معادله بلاسیوس
معادله فالکنر اسکن
معادله فوکر-پلانک
معادله لوتکا ولترا
معادله زابولوتسکایا-خوخولوف