مثلث خیام

مثلث خیام پاسکال تا سطر سی‌ام
مثلث خیام یا مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.
نام‌گذاری و پیشینه
«مثلث خیام» را «مثلث خیام-پاسکال» و گاه به‌ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده است، و در زبان‌های گوناگون نام‌های مختلفی دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریت پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تاثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید . بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.
توضیح
مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله‌ای گفته می‌شود.
خواص مثلث خیام-پاسکال
برای مطالعه‌ی خواص جمله‌های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم
در مثلث خیام هرععد جمع دو عدد بالاسری خود می‌باشد.
دنباله‌های ویژه در داخل مثلث خیام-پاسکال
دنباله توان ۲:
دنباله توان ۲ به صورت زیر می‌باشد
2^0 = 1, \; 2^1 =2, \; 2^2 = 4, \; 2^3 =8, \; 2^4 = 16, \; …
الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان ۲ وجود دارد:
\begin{align
2^0 = 1\\
2^1 = 1 + 1 = 2\\
2^2 = 1 + 2 + 1 = 4\\
2^3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\\
2^4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\\
\end{align
جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان ۲ ایجاد می‌کند
با توجه به رابطه (۳٫۳)اگر:
2^n = \binom{n{0 + \binom{n{1 + … + \binom{n{n (n \ge 0)
اگر a=۱وb=-۱به رابطه زیر می‌رسیم:
0^n = \binom{n{0 - \binom{n{1 + … + (-1)^n \binom{n{n (n \ge 0)
در رابطه اخیر اگر n=۰قرارداد ۱=۰۰
با مشتق‌گیری از طرفین از طرفین رابطه (۳٫۳)برای a=xوb=۱داریم
حال اگر x=۱یا x=-۱باشد
پرونده:merrytahoorasf7.jpg
با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطه (۴٫۳)به روابط دیگری دست می‌یابیم با تعویض عمل مشتق‌گیری با روابط دیگری به دست می‌اید.
##دنباله توان‌های عدد ۱۱:
پرونده:merrytahoorasf8.jpg
در حالت کلی اگر جمله‌های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان … نگاهکنیم وبدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله‌ای خیام عدد Nnتوانی از ۱۱ است
پرونده:merrytahoorasf9.jpg
مثلا:
پرونده:merrytahoorasf10.jpg
در مورد سطر ۷ام دقت کنید. الگوی زیر رعایت شده.
پرونده:merrytahoorasf11.jpg
دنباله اعداد مصور
در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی وقطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند.
پرونده:merrytahoorasf12.jpg
با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به‌طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم:
دنباله فیبوناتچی
اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم.داریم:
پرونده:merrytahoorasf34.jpg
مجموعه اعداد روی قطرها دنباله‌ی :
…و13و8و5و3و1و1
تشکیل می‌دهد.در این دنباله جمله اول ودوم 1 است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی‌اش می‌شوند
F1=F2=1 Fn+2=Fn+1+Fn
اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است.
اگرشیب قطرهای فیبوناچی را بیشتر کنیم.به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت
پرونده:merrytahoorasf13.jpg
اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم
G1=G2=G3=1 Gn+2=Gn+1+Gn-1
تعمیم‌های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.
دنباله (c(2n,n
دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می‌گیریم… و۲۵۲و۷۰و۲۰و۶و۲و۱
\begin{align
1 = 1^2 \\
2 = 1^2 + 1^2\\
6 = 1^2 + 2^2 + 1^2 \\
20 = 1^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2\\
70 = 1^2 + 4^2 + 6^2 + 4^2 + 1^2\\
\end{align
تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است:
\binom{2n{n = \binom{n{0^2 + \binom{n{1^2 + \binom{n{2^2 + … + \binom{n{n^2 (n \ge 0)
به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله‌های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می‌باشد.
پرونده:merrytahoorasf16.jpg
ویژگی هندسی فانگ
ایا دو عدددر مثلث پاسکال می‌توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟
عناصر واقع در قطر 3، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع 2 عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است.اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد.داریم:
Tn+Tn+1=n2
واین نتیجه می‌دهد.
پرونده:merrytahoorasf17.jpg
برای تفریق داریم
پرونده:merrytahoorasf18.jpg
پرونده:merrytahoorasf19.jpg
ویژگی چوب چوگان
تساوی زیر را در نظر بگیرید.
اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید
پرونده:merrytahoorasf21.jpg
اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم(رابطه بالا را تعمیم دهید)
پرونده:merrytahoorasf22.jpg
ضرب صلیبی
در اینجا مستطیل‌هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می‌گیریم.رئوس این مستطیل‌ها که بر روی درایه‌های این مثلث واقع شده‌اند در اینجا رابطه‌ای بر حسب درایه‌های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می‌اوریم.
نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطه‌ی cدر طول قطر (در امتداد پیکان)جا به جا شود
همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بوذ
پرونده:merrytahoorasf23.jpg
پرونده:merrytahoorasf24.jpg
ستاره داود
در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مستطیل‌ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه‌های
مثلث خیام قرار گیرند.به تساوی زیر میرسیم:
در مرکز این ستاره عنصر قرار دارد
مثلث خیام–پاسکال و مثلث سرپینسکی
حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال».
در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه اعداد و ترکیبیات.
حال می‌خواهم یکبرخال
ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها یعنی سیستم‌های دینامیکی پیدا کند.
مسئله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»:
پرونده:merrytahoorasf30.jpg