فرایند مارکوف

به فرایندی تصادفی که احتمالات آینده آن از طریق مقادیر اخیر آن محاسبه می‌شود، فرایند مارکوف می‌گویند. این فرایند از روی نام ریاضیدان روسی به نام آندری مارکوف نامگذاری شده‌است.
فرایند مارکف: markov process
دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی را در نظر گرفته و فرض کنید مجموعه مقادیر ممکن که این متغیرها انتخاب می‌کنند برابر با باشد.اگر را به عنوان حالتی از یک سیستم در لحظه در نظر گرفته و چنین تفسیر کنیم که سیستم در لحظه در حالت است هرگاه باشد انگاه دنباله متغیرهای تصادفی اصطلاحا تشکیل یک زنجیر مارکف می‌دهد.اگر هروقت سیستم در حالت است با احتمال ثابتی که ان را می‌نامیم به حالت تغییر حالت دهد. برای همه مقادیر داریم :
اگر این احتمال‌ها را درون یک ماتریس قرار دهیم ماتریسی به شکل زیر بدست میآد که به آن ماتریس احتمال انتقال transition probability matrix یا ماتریس مارکف گویند.
اگر به سطر i+۱ ام نگاه کنیدتوزیع احتمالX_{n+۱ را به شرط آنکه X_n =i باشد به شما نشان می‌دهد.
مثال
۱ - مجموع متغیرهای تصادفی و مستقل همتوزیع (قدم زدن تصادفی کلی ):
فر ض کنید مستقل و همتوزیع باشد
باشند اگر فرض کنید
آنگاه یک فرایند مارکف است که برای آن قدم تصادفی کلی گوییم
این نوع قدم زدن در مسایل بسیاری کار برد دارند برای مثال در مدل بندی بردهای قمارباز یا در قیمت‌های متوالی شرکت معینی که در بازار سهام فهرست شده‌اند. هم چنین در تحلیل سیستم‌های صف بندی ورشکستگی کاربرد دارند.
۲-قدم زدن تصادفی ساده: قدم زدن
که در آن
را قدم زدن تصادفی ساده گوییم اگر Pیی موجود باشد به قسمی که
بنابراین در فرایند قدم زدن تصادفی همیشه۱ پله با احتمال به بالا میرود و با احتمال به پایین می‌آید.
قضیه: اگر زنجیر مارکف گسسته زمان باشد به‌علاوه اگر P ماتریس احتمال انتقال ۱ مرحله‌ای باشد نشان می‌دهیم که ماتریس احتمال انتقال n مرحله‌ای خواهد بود.
اثبات: اثبات به روش استقراست ابتدا برای n=۲ ثابت می‌کنیم
\begin{alignat{3
P_{ij^{(2) - =Pr\{X_{k+2 \mid \ X_k =i\=\frac{Pr\{X_{k+2 , X_k =i\{Pr\{X_k =i\\\
-= \frac{\sum_{l=1^\infty Pr\{X_{k+2 =j, X_{k+1 =l , X_k =i\{ Pr\{X_k =i\ \\
-=\sum_{l=1^\infty \frac {Pr\{X_{k+2 =j , X_{k+1 =l , X_k =i\{ Pr\{X_{k+1 =l , X_k =i \\times \frac {Pr\{X_{k+1 =l , X_k =i\{ Pr\{ X_k =i \\\
\end{alignat
با توجه به خاصیت مارکف هر مرحله فقط به یکی قبل از خود بستگی دارد
\sum_{l=1^\infty { Pr\{X_{k+2 =j\mid\ X_{k+1 =l \\times { Pr\{X_{k+1 =l \mid \ X_k =i\=\sum_{l=1^\infty P_{il P_{lj =P_{ij^{(2)
حال اگر فرض کنیم که این رابطه برای n=k درست باشد آن را برای k+۱ ثابت می‌کنیم.
\begin{alignat{7
-P^{n+1=(P_{ij^{(n+1))\\
-P_{ij^{(n+1) =Pr\{X_{n+k+1 \mid \ X_k =i\\\
-=\frac{Pr\{X_{n+k+1 , X_k =i\{Pr\{X_k =i\\\
-= \frac{\sum_{l=1^\infty Pr\{X_{n+k+1 =j, X_{k+n =l , X_k =i\{ Pr\{X_k =i\ \\
-=\sum_{l=1^\infty \frac {Pr\{X_{n+k+1 =j , X_{k+n =l , X_k =i\{ Pr\{X_{k+n =l , X_k =i \\times \frac {Pr\{X_{k+n =l , X_k =i\{ Pr\{ X_k =i \\\
-=\sum_{l=1^\infty { Pr\{X_{k+n+1 =j\mid\ X_{k+n =l \\times { Pr\{X_{k+n =l \mid \ X_k =i\\\
-=\sum_{l=1^\infty P_{il^{(n) P_{lj =P^{(n)P=P^nP=P^{n+1
\end{alignat
برابری چپمن – کولموگروف
اگر احتمال تغییر وضعیت n مرحله‌ای را برابر بگیریم داریم:
اثبات: با توجه به قضیه بالا داریم:
دسته بندی وضعیت‌های زنجیر مارکف
۱- وضعیت‌های در دسترس (Accessible State)
وضعیت j در دسترس وضعیت i نامیم و با
نشان می‌دهیم اگر و تنها اگر
اگر
j در دسترس i است.
۲- وضعیت‌های مرتبط(Communicate State)
وضعیت iوj را مرتبط می‌نامیم اگر و تنها اگر j در دسترس iو iدر دسترس j باشد
مرتبط بودن را با نماد مشخص می‌کنیم
قضیه
مرتیط بودن یک رابطه هم ارزی است.
اثبات: بدیهی است چون
مرتبط بودن دارای خاصیت بازتابی است.
i\leftrightarrow j \equiv \exists n \in \{0,1,…\ P_{ij^n>0 \exists m \in\{0,1,…\ P_{ij^m>0
\equiv j\leftrightarrow i
مرتبط بودن دارای خاصیت تقارنی است.
میدانیم
P_{ik^{n+n_1= \sum_{l=1^\infty P_{il^nP_{lk^{n_1 \ge P_{ij^n P_{jk^{n_1>0
بنا بر این مرتبط بودن یک کلاس هم ارزی است.