قضیه هال

قضیه هال یا قضیه هال (۱۹۳۵) قضیه‌ای مربوط به شاخه ترکیبیات و قضیه‌ی گراف در ریاضی است. این قضیه که به ریاضی‌دان انگلیسی، فیلیپ هال نسبت داده می‌شود، شرط لازم و کافی برای وجود تطابق کامل در گراف‌های دوبخشی را بیان می‌کند. گراف‌های دوبخشی به گراف‌هایی گفته می‌شوند که راس‌ها به دو دسته مجزا قابل افراز هستند بگونه‌ای که تمامی یال‌های گراف بین گره‌های بین دو دسته مختلف باشند.
تعاریف
۱-مسیر M-متناوب: مسیری است که یالهای آن یکی در میان در تطابق M باشد.
۲-مسیر M-افزوده: مسیر M-متناوبی است که یالهای ابتدایی و انتهایی آن داخل تطابق M نباشد.
در تطابق بیشینه مسیر M-افزوده وجود ندارد زیرا اگر فرض کنیم که یک مسیر M-افزوده در تطابق بیشینه ما وجود داشته باشد می‌توان با حذف یالهایی از مسیر افزوده که در تطابق هستند از تطابق و اضافه کردن یالهایی که در تطابق نیستند به تطابق اندازه تطابق را یک یال افزایش داد که این متناقض با بیشینه بودن تطابق است.
قضیه‌ی ازدواج هال و نظریه گراف
کمک گفتن از قضیه‌ی گراف برای اثبات قضیه‌ی هال به کمک گراف‌های دو بخشی،که اثبات می‌شود شرایط کافی و لازم برای وجود حداقل یک تطابق برای یک سمت گراف وجود دارد.
(G(X+Y,E را یک گراف دو بخشی محدود با دو بخش X و Y در نظر بگیرید برای یک مجموعه از رئوس از مجموعه X مجموعه N را تعریف می‌کنیم که به هسایگی‌هایی از w در G(مجموعه‌ای از ئوس از Y که در همسایگی با بعضی از عنصرهای w هستند براساس قضیه‌ی ازدواج هال یک تطابق وجود دارد که کل x را پوشش دهد اگر و تنها اگر برای هر زیر مجموعه w از X رابطه روبرو برقرار باشد: |N|>= |w| یعنی هر زیر مجموعه w از X به اندازه کافی راس همسایه در Y دارد.
برای یگ گراف دو بخشی (G(X+Y,E که با دو بخش X و Y با اندازه یکسان تئوری هال یک شرایط کافی و لازم برای وجود یک تطابق کامل در گراف است.
یک راه حل برای گراف اصلی که الزاما دو بخشی نیست توسط قضیه‌ی Tutte ارائه می‌شود.
اثبات قضیه هال به کمک قضیه‌ی گراف
ابتدا اثبات می‌کنیم که اگ گراف دو بخشی (G(X+Y,E دارای یک تطابق کامل برای X است آنگاه |N|>= |w| برای همه w‌هایی که زیر مجموعه X هستند.
فرض کنید M یک تطابق است که هر درجه از X را در بر می‌گیرد همه رئوس Y را که توسط M برای یک w مطابق شده‌اند به صورت (M(w نشان می‌دهیم بنابراین
حال اثبات می‌کنیم اگر برای همه w‌های زیر مجموعه X آنگاه (G(X+Y,E یک تطابق که هر راس را در X پوشش می‌دهد.
شرایطی را فرض کنید که (G(X+Y,E یک گراف دو بخشی است که هیچ تطابقی برای آن که همه راس‌های X را پوشش دهد وجود نداردM را یک تطابق ماکسیمم در نظر بگیرید و u را یک راس که توسط M پوشش داده نشده است در نظ بگیرید مسیرهای تناوبی را در نظر بگیرید(مسیرهایی از G که به‌طور تناوبی از راس‌های بیرون و درون M استفاده می‌کند از u شروع می‌کنیم مجموعه‌ی همه راس‌هایی از Y که به u متصل هستند در مسیر تناوبی را T می‌نامیم و همه راس‌هایی از X که به u متصل هسند توسط مسیر تناوبی را (که شامل خود u می‌شود) را w در نظر بگیرید.
ر راس در T را به وسیله‌ی M به راس مطابق شده‌است در مقابل هر راس v در Y که به راس w در W مطابق شده‌است T توسط M یک به یک و پوشانسبت به T است که نتیجه می‌دهد:
W| = |T| +1|
از طرف دیگر(N(W زیرمجموعه Tاست v را در Y که به راس w از W وصل است در نظر بگیرید اگر یال (W,N) در M وحود داشته باشد آنگاه v براساس قسمت قبلی اثبات در T قرار دارد در غیر اینصورت ما میتوانیم یک مسیر تناوبی که در w به پایان می‌رسد بیابیم و آن را به N گسترش دهیم بک مسیر افزایشی در نظر بگیرید و نشان دهید که v در T است از این رو |W| -1 =|T| = |N|
اثبات قضیه هال
left
لزوم شرط : اگر برای یک مجموعه S شرط فوق برقرار نباشد چون تعداد همسایه‌ها کمتر است پس راسی وجود دارد که برای تطبیق راسی ندارد.
کفایت شرط : داریم به ازای هر زیرمجموعه S از X، تعداد همسایه‌های S از تعداد اعضای S ناکمتر است. اگرM مجموعه X را اشباع نکند یک مجموعه S را پیدا می‌کنیم که شرط را نقض کند. فرض کنید u یک راس اشباع نشده در تطابق M باشد. S و T به ترتیب مجموعه راسهایی در X و Y است که از u می‌توان با مسیرهای M-متناوب به آن‌ها رسید. ادعا می‌کنیم که M، مجموعه T را با S-u جور می‌کند. مسیرهای M-متناوب از u بوسیله یالهایی که در تطابق وجود ندارد به Y و بوسیله یالهایی که در M باشد به X می‌رسد. چون هیچ مسیر M-افزوده وجود ندارد، هر راس از T در M وجود دارد. علاوه بر این، هر راس از S به جز u از راه یالی در M از راسی در T در دسترس است. از این رو این یالهای M یک نگاشت دوسویی میان T و S-u برقرار می‌کند و داریم :
تطابق میان T و S-u مستلزم آن است که T زیر مجموعه همسایه‌های S باشد. در واقع، T برابر مجموعه همسایه‌های S است. یک یال میان S و یک راس y عضو Y-T می‌توانست یالی باشد که در M نباشد؛ این می‌توانست یک مسیر M-متناوب با y بسازد، که با اینکه y در T نباشد در تناقض است. با در نظر گرفتن اینکه T برابر مجموعه همسایه‌های S است درمیابیم که تعداد همسایه‌های S که همان T است برابر است که کمتر از S است. بنابراین هجموعه S با فرض قضیه در تناقض است.