ترکیب تابع

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع
در ریاضیات، ترکیب تابع یک نگاشت نقطه به نقطه از یک تابع به تابعی دیگر است برای تولید تابعی سوم. برای مثال دو تابع و تابع می‌توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار در را به مقدار در نگاشت می‌کند. به‌طور شهودی، اگر حاصل تابع از باشد و حاصل تابع از باشد، بنابراین حاصل تابعی از است.
تابع حاصل که به صورت نماد می‌شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت نیز نوشته می‌شود- برای تمام‌های عضو به صورت (g ∘ f )(x) = g(f(x) تعریف می‌شود. نماد به صورت‌های " در دایره "، " دور "، "ترکیب با "، " بعد از "، " به دنبال " و " ی " و " ا "نیز خوانده می‌شود.
مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره‌ای بدست می‌آید. مشتق‌های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطه‌ی فادی برونو به دست می‌آیند.
ترکیب دو تابع حقیقی. تابع قدر مطلق و تابع درجه سه. که در ترتیب‌های متفاوت، نشان دهنده‌ی عدم خاصیت جابه‌جایی‌اند.
خواص
شرکت‌پذیری
ترکیب تابع همیشه شرکت پذیر است. به این معنا که اگر ، و سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می‌گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تاثیری ندارد، می‌توان آن‌ها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد.
خاصیت جابه‌جایی
گفته می‌شود دو تابع و با یکدیگر خاصیت جابه‌جایی دارند اگر g ∘ f = f ∘ g. در کل، ترکیب توابع تعویض پذیر نخواهند بود. تعویض‌پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می‌باشند و در موقعیت‌های خاص اتفاق می‌افتد. برای مثال،
فقط زمانی صادق است که .
مثال
به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان توسط تابع تعیین می‌شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع توسط تابع تعیین می‌شود. بنابراین تابع ( میزان تراکم اکسیژن درون هواپیما در زمان را تعریف می‌کند.
به توان رسیدن توابع
مقاله اصلی: تابع مکرر
اگر ، تابع می‌تواند با خودش ترکیب شود. این ترکیب در بعضی مواقع با f 2 نشان داده می‌شود. بنابراین:
ترکیب بیش از یک بار یک تابع با خودش، تابع مکرر نامیده می‌شود.
خواص ترکیب تابع:
برای n‌های طبیعی
بنابر تعریف: (تابع همانی در دامنه‌ی f)
اگر تابع ، تابع وارون داشته باشد، توان‌های منفی تابع ، به صورت توان تابع وارون تعریف می‌شوند.
نکته: اگر تابع مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای‌های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که به معنای ضرب بار در خودش نیز می‌باشد. (مثال f 2 (x) = f(x) · f(x )
برای توابع مثلثاتی، معمولا دومی مد نطر است (حداقل برای توان‌های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می‌رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: sin 2 (x) = sin(x) · sin(x. در عین حال برای توان‌های منفی (به خصوص −1) معمولا به وارون تابع اشاره می‌کند. مثلا: tan −1 = arctan (≠ 1/tan.
در بعضی مواقع، یک عبارت برای از می‌توان به دست آورد اگر مقادیر غیر صحیح باشند. این مضمون مکرر کسری نام دارد. برای مثال مکرر تابع تابعی مانند است که در رابطه‌ی صدق کند. در مثالی دیگر، اگر تابع جانشین باشد، .
این ایده می‌تواند به این صورت عمومی‌سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. این سیستم یک جریان نام دارد، که توسط راه حل‌های معادله‌ی شرودر مشخص می‌شود.
توابع مکرر و جریان‌ها به‌طور معمول در مطالعه‌ی فراکتال‌ها و سیستم‌های دینامیک ظاهر می‌شوند.
تکوارهای ترکیب
مقاله اصلی: تکوارهای دگرگونی
فرض کنیم دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. می‌توان رشته‌های بلند و بالقوه پیچیده‌ای از ترکیب این دو تابع تولید کرد، مثل . چنین رشته‌هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می‌باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می‌شوند. در کل، تکوارهای ترکیب، می‌توانند دارای ساختمان‌های بسیار پیچیده باشند. یک مثال خاص در این مورد منحنی د رام است. مجموعه‌ی تمام توابع ، یک نیم گروه کامل دگرگونی بر روی نامیده می‌شود.
اگر توابع دوسو باشند، مجموعه‌ی تمام ترکیب‌های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می‌دهند؛ و گفته می‌شود که این گروه از این توابع به دست آمده‌است.
مجموعه‌ی تمام توابع دوسوی ، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می‌سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می‌شود.
نماد گذاری‌های جایگزین
بسیاری از ریاضی دانان نماد ترکیب را حذف می‌کنند، و به جای ، می‌نویسند .
در اواسط قرن بیستم، بعضی از ریاضی دانان تصمیم گرفتند که نوشتن "" به این معنا که ابتدا اعمال شود و سپس ، زیادی گیج‌کننده است. آن‌ها "" را به جای "" و "" را به جای "" می‌نوشتند. این کار می‌تواند در بعضی موارد طبیعی‌تر و ساده‌تر از نوشتن تابع در سمت چپ به نظر برسد – مثلا در جبر خطی، وقتی یک بردار خطی باشد، و و دو ماتریس باشند و ترکیب آن‌ها به معنای ضرب ماتریسی باشد. این نمادگذاری جایگزین، نمادگذاری پسوند نام دارد. ترتیب در اینجا اهمیت دارد زیرا ضرب ماتریس‌ها جا به جایی پذیر نیست.
ریاضی دانانی که از نمادگذاری پسوند استفاده می‌کنند، ممکن است از عبارت "" به معنای "اول را اعمال کن و سپس " استفاده کنند که باعث به وجود آمدن ابهام می‌شود. دانشمندان علوم کامپیوتر برای رفع این ابهام از عبارت "f;g" بهره می‌گیرند.
عملگر ترکیب
مقاله اصلی: عملگر ترکیب
با استفاده از تابع ، عملگر ترکیب به صورت عملگری تعریف می‌شود که توابع را به هم مربوط می‌کند.
عملگرهای ترکیب در رشته‌ی نظریه عملگرها مطالعه می‌شوند.
عمومی سازی‌ها
ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده‌ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده‌ای-تئوری توابع، اصل‌گذاری شده‌است.
ترکیب برای توابع چند متغیره نیز امکان پذیر است. تابع به دست آمده هنگامی که جایگزین متغیر از تابع می‌شود، یک ترکیب و نامیده می‌شود و به صورت f x i = g نمادگذاری می‌شود.
هنگامی که یک ثابت ساده‌ی b باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می‌آید، که نتیجه‌ی آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده‌است.