بیضی

در هندسه، بیضی یک خم مسطح (خم محصور در صفحه اقلیدوسی) است که از برخورد یک صفحه با یک استوانه به گونه‌ای یک خم بسته ایجاد شود، حاصل می‌شود. دایره حالت خاص بیضی است که هنگامی به دست می‌آید که صفحه برخوردکننده بر محور استوانه عمود باشد. در هندسه تحلیلی، بیضی به صورت مجموعه نقاطی تعریف می‌شود که نسبت فاصله هر نقطه از یک نقطه (که آن را کانون بیضی گویند) به فاصله آن از یک خط راست (که آن را خط هادی گویند) یک عدد ثابت (که آن را برون‌مرکزی یا e گویند) کوچکتر از یک باشد. تعریف دیگر عبارت است از مکان هندسی نقاطی از صفحه که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطه ثابت مساوی با ثابتی مثبت باشد.
مفهوم بیضی مترادف با مقطع استوانه محدود است. هر مقطع استوانه از برخورد یک استوانه با صفحه‌ای که از محور استوانه می‌گذرد تشکیل می‌شود.
دو نوع خم دیگر نیز از برخورد صفحه با مخروط می‌توانند ایجاد شوند، اما این خم‌ها همگی باز و نامحدودند و سهمی و هذلولی خوانده می‌شوند.
اجزای بیضی
یک بیضی و برخی ویژگی‌های ریاضی آن.
یک بیضی یک خم بسته‌است که نسبت به محورهای عمودی و افقی خود متقارن است. دو نقطه بر روی محیط بیضی که در دو سوی مخالف هم قرار دارند، یا به بیان دیگر، دو نقطه که خط واصل میان آن‌ها از مرکز بیضی عبور می‌کند هنگامی در دورترین فاصله نسبت به هم قرار دارند که بر روی قطر بزرگ بیضی یا محور تقارن بزرگتر بیضی قرار گرفته باشند؛ و هنگامی کمترین مقدار را دارد که آن دو نقطه بر روی محور عمود بر قطر بزرگ، یعنی محور تقارن کوچکتر یا قطر کوچک بیضی قرار گرفته باشند.
نیم‌قطر بزرگ (که در شکل با a نمایش داده شده‌است) و نیم‌قطر کوچک بیضی (که در شکل با b نمایش داده شده‌است) به ترتیب نیمی از قطر بزرگ و نیمی از قطر کوچک بیضی‌اند که گاهی به آن‌ها شعاع بزرگ (major radius) و شعاع کوچک (minor radius) نیز می‌گویند. همچنین در انگلیسی به آن‌ها major semi-axes و minor semi-axes نیز گفته می‌شود.
همان گونه که گفته شد بیضی دارای دو محور عمود برهم است. چهار نقطه‌ای که حاصل از گذشتن این دو محور از محیط بیضی می‌باشند راس نام دارند و با a/-a و b/-b نشان داده می‌شوند.
علاوه بر بیشترین و کمترین فاصله از مرکز، این چهار نقطه مکان‌هایی هستند که انحنای بیضی در آنها به بیشترین و کمترین حد خود می‌رسد.
دو کانون یا نقاط کانونی یک بیضی دو نقطه ویژه F1 و F2 نام دارند که روی محور اصلی بیضی قرار دارند و فاصله آنها تا نقطه مرکزی به یک اندازه است.
جمع فواصل هر نقطه‌ای مانند P روی محیط بیضی تا این دو کانون برابر است با اندازه محوراصلی.
خروج از مرکز خطی
فاصله نقطه کانونی از مرکز بیضی تقسیم بر اندازه نیم قطر بزرگ (a) را خروج از مرکز خطی می‌نامند. خروج از مرکز یک بیضی مقداری بین صفر و یک است، زمانی که خروج از مرکز صفر باشد، کانون با نقطه مرکزی برخورد می‌کند و به شکل دایره در می‌آید؛ و اگر خروج از مرکز به یک نزدیک شود، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند. در این حالت اگر دو کانون در یک فاصله از هم جدا و محدود قرار بگیرند بیضی به شکل یک پاره خط در می‌آید، واگر یکی از کانون‌ها در جای خود ثابت باقی بماند و دیگری آزادانه جابه‌جا شود بیضی به شکل یک سهمی نزدیک می‌شود.
معادله‌های متعارف بیضی‌هایی که مرکزشان در مبدا قرار دارد
کانون‌ها روی محور xها:
X 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 a>b
فاصله مرکز تا کانون: 1/2 (c=(a 2 -b 2
کانونها:(۰،c +_ )
راسها:(۰،a +_ )
کانون‌ها روی محور yها:
X 2 /b 2 +y 2 /a 2 =1 a>b
فاصله مرکز تا کانون :c=(a 2 -b 2 ) 1/2
کانونها:(c +_ ،۰)
راسها:(a +_ ,۰)
در هر حالت a نصف طول قطر بزرگ و b نصف طول قطر کوچک است.
محیط بیضی
محیط بیضی به کمک انتگرال‌های کامل بیضوی نوع دوم قابل محاسبه‌است. البته فرمول صریحی همانند مساحت بیضی که برابر می‌باشد برای محیط بیضی وجود ندارد؛ و محیط بیضی تنها بوسیله سری نامتناهی قابل محاسبه‌است:
یا
در روابط فوق خروج از مرکز بیضی است.
در ضمن خروج از مرکزیت بیضی برابر با فاصله دو کانون تقسیم بر قطر اطول(۲a) می‌باشد.