کدگذاری هافمن

درخت هافمن، ایجاد شده از تعداد تکرار حرف‌های جمله «this is an example of a huffman tree». تعداد تکرارها و کد هر حرف، به همراه همان حرف در جدول زیر آمده‌است. رمز کردن این جمله به کمک این کد، به 135 بیت نیاز دارد.
حرف
تکرار
کد
space
۷
۱۱۱
a
۴
۰۱۰
e
۴
۰۰۰
f
۳
۱۱۰۱
h
۲
۱۰۱۰
i
۲
۱۰۰۰
m
۲
۰۱۱۱
n
۲
۰۰۱۰
s
۲
۱۰۱۱
t
۲
۰۱۱۰
l
۱
۱۱۰۰۱
o
۱
۰۰۱۱۰
p
۱
۱۰۰۱۱
r
۱
۱۱۰۰۰
u
۱
۰۰۱۱۱
x
۱
۱۰۰۱۰
درعلوم کامپیوتر و تئوری اطلاعات، کدگذاری هافمن یک الگوریتم کدگذاری برای فشرده‌سازی بی‌اتلاف اطلاعات است.
این تعبیر بر می‌گردد به استفاده از جدول کد طول متغیر برای کد کردن هر کدام از نشانه‌های مبدا (مانند نویسه‌های یک پرونده). جدول کد طول متغیر از روشی بخصوص مبنی بر احتمال وقوع هر کدام از نشان‌های مبدا بدست می‌آید.
این روش بوسیله دیوید هافمن توسعه یافت. وی دانشجوی دوره دکتری در دانشگاه MIT بود و در سال ۱۹۵۲ مقاله «روشی برای تولید کدی با کمترین تکرار زوائد» را منتشر کرد.
در کدگذاری هافمن، از روشی خاص برای انتخاب نحوه نمایش هر نماد استفاده می‌شود. روشی به نام کدهای بدون پیشوند (گاهی هم روش «کدهای پیشوندی» گفته می‌شود. یعنی در این روش رشته‌ای که نشان دهنده یک نویسه خاص است هیچ گاه پیشوند رشته دیگر که نمایانگر نویسه دیگر است، نمی‌باشد.). در این روش نویسه‌های پرکاربردتر با رشته‌های بیتی کوتاهتری نسبت به آن‌هایی که کاربردشان کمتر است، نشان داده می‌شوند.
هافمن موفق شد روشی که کارآمدترین کد برای فشرده سازی از این نوع را می‌سازد طراحی کند.(درخت هافمن)
بعدها روشی برای انجام این کار پیدا شد که این کار را در زمانی خطی انجام می‌داد.
برای مجموعه‌ای از نمادها با توزیع احتمالی یکنواخت و تعداد عضوهایی برابر با توانی از ۲، کد گذاری هافمن هم ارز با قطعه کد ساده دوجمله‌ای است. مانند کد گذاری اسکی.
کد گذاری هافمن روشی متداول برای ایجاد کدهای بدون پیشوند است بطوری‌که عبارت «کد هافمن» به گستردگی به عنوان مترادفی برای «کد بدون پیشوند» استفاده می‌شود، هرچند چنین کدی با الگوریتم هافمن بدست نیامده باشد.
اگرچه کد گذاری هافمن برای کد کردن نماد به نماد بهینه‌است، اما گاهی کارآمدی آن بیش از مقدار واقعی پنداشته می‌شود.
برای مثال، کد کردن حسابی و کد کردن LZW،
گاهی توانایی بالاتری در فشرده سازی دارند.
تاریخچه
در سال ۱۹۵۱ "David.A.Huffman" و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه MIT، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند. استاد "Robert M. Fano" موضوع تحقیق را مسئله پیدا کردن کارآمدترین کد دودویی تعیین کرد.
هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد‌ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید.
ایده استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار(frequency) وتوانست اثبات کند که این کارآمدترین روش است.
در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، کلود شانون برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت.
هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینه رمزگذاری شانون-فانو جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.
تعریف مسئله
توضیح غیررسمی
داریم: مجموعه‌ای از نمادها و وزن‌هایشان (معمولا متناسب با احتمال‌ها یشان)
پیدا کنید: کد دودویی بدون پیشوند، (مجموعه‌ای از کدها) با کمترین امید ریاضی برای طول کد.(به‌طور معادل، درختی با کمترین مسیر وزن دار)
تاریخچه
در سال ۱۹۵۱ (میلادی)، David.A.Huffman و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه ام‌آی‌تی، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند. استاد Robert M. Fano موضوع تحقیق را مسئله پیدا کردن کارآمدترین کد دودویی تعیین کرد. هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد‌ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید. ایده استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار (frequency) توانست اثبات کند که این کارآمدترین روش است. در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، Claude Shannon برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت. هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینه Shannon-Fano coding جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.
انواع
انواع مختلفی از کد گذاری هافمن وجود دارد، که بعضی از آن‌ها از الگوریتم‌هایی شبیه الگوریتم هافمن و بعضی دیگر از کدهای بهینه پیشوندی (با محدودیت‌های خاص برای خروجی)استفاه می‌کنند.
در حالت اخیر، نیاز نیست که روش، شبیه روش هافمن باشد و حتی ممکن است زمان اجرایی چندجمله‌ای هم نداشته باشد.
لیست کاملی از مقالات مربوط به انواع مختلف کد گذاری هافمن، در «درخت‌های کد و تجزیه برای کد کردن بی‌زیان اطلاعات» داده شده‌است.
کد هافمن n تایی
الگوریتم کد هافمن n تایی از الفبای {۰، ۱،… ، n − ۱ برای کد کردن پیام‌ها و ساختن درخت n تایی استفاده می‌کند. این روش دسترسی بوسیله هافمن و در مقاله‌اش بررسی شده بود.
کد هافمن انطباقی
نوع دیگری به نام کد هافمن انطباقی ، احتمالاتی را که به صورت پویا و بر اساس تکرار واقعی در منبع اصلی است، محاسبه می‌کند. این به گونه‌ای مربوط به خانواده الگوریتم‌های LZ است.
الگوریتم الگوی هافمن
بیشتر اوقات، وزن‌های مورد استفاده در اجرای کد هافمن، نمایانگر احتمالات عددی است ولی این الگوریتم چنین چیزی را نیاز ندارد بلکه فقط به راهی برای منظم کردن وزن‌ها و اضافه کردن آن‌ها نیازمند است.
الگوریتم الگو هافمن امکان استفاده از هر نوع وزنی را می‌دهد.(ارزش-تکرار-جفت وزن‌ها-وزن‌های غیر عددی) و هر کدام از روش‌های ترکیبی مختلف.
اینگونه الگوریتم‌ها می‌توانند مسائل فشرده سازی دیگر را نیز حل کنند.
کد هافمن با طول محدود
کد هافمن با طول محدود نوعی دیگر از کد هافمن است. این نوع هنگامی مورد استفاده قرار می‌گیرد که هدف هنوز بدست آوردن طول مسیر با کمترین وزن است اما یک شرط دیگر نیز وجود دارد و آن این است که اندازه هر کد، باید کمتر از مقدار ثابت خاصی باشد.
الگوریتم بسته بندی-ادغام این مشکل را به‌وسیله یک الگوریتم حریصانه ساده شبیه به همانی که در الگوریتم هافمن بکار رفته بود، حل می‌کند.
پیچیدگی زمانی این الگوریتم ، که ماکزیمم طول یک کدکلمه (codeword)است.
هیچ الگوریتمی شناخته نشده که این کا را در زمان linear or linearithmic انجام دهد، بر خلاف مسائل پیش مرتب شده و مرتب نشده هافمن.
کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت
در کد گذاری استاندارد هافمن، فرض شده‌است که هر نماد در مجموعه‌ای که کدها از آن استخراج می‌شوند، ارزشی یکسان با بقیه دارد: کد کلمه‌ای که طول آن N است ارزشی برابر N خواهد داشت، مهم نیست که چند رقم آن ۱ و چند رقم آن ۰ است.
وقتی با این فرض کار می‌کنیم، کم کردن هزینه کلی پیام، با کم کردن تعداد رقم‌های کل ۲ چیز یکسانند.
کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت به نحوی عمومیت یافته که این فرض دیگر صحیح نیست:
حروف الفبای کدگذاری ممکن است طول‌های غیر همسانی داشته باشند، به خاطر خصوصیت‌های واسطه انتقال.
مثالی بر این ادعا، الفبای کد گذاری کد مورس است، که در آن فرستادن یک خط تیره بیشتر از فرستادن یک نقطه طول می‌کشد، پس ارزش خط تیره در زمان انتقال بالاتر است.
درست است که هدف هنوز کم کردن میانگین طول وزنی کد است اما دیگر کم کردن تعداد نمادهای بکار برده شده در پیام، به تنهایی کافی نیست.
هیچ الگوریتمی شناخته نشده است که این را به همان روش و همان کارآیی کد قراردادی هافمن انجام دهد.
کد قانونی هافمن
اگر وزن‌های مربوط به ورودی‌های مرتب شده بر اساس الفبا، به ترتیب عددی باشند، کد هافمن طولی برابر طول کد الفبایی بهینه دارد که می‌تواند از طریق محاسبه بدست آید.
کد بدست آمده از ورودی‌های مرتب شده از نظر عددی، کد قانونی هافمن گفته می‌شود و کدی است که به خاطر سادگی رمز کردن و رمز گشایی، در عمل استفاده می‌شود.
تکنیک پیدا کردن این کد، اکثرا کد گذاری Huffman-Shannon-Fano نامیده می‌شود.
و این به خاطر آن است که مانند کدگذاری هافمن بهینه، ولی در احتمال وزن‌ها مانند کد گذاری رمزگذاری شانون-فانو الفبایی است.
کد هافمن Shannon-Fano مربوط به این مثال است که در آن طول کد کلمه‌ها، همان مقداری است که در حل اصلی آمده‌است.
کد اصلاح‌شده هافمن به کار رفته درماشین‌های فکس
فشرده‌سازی داده‌ها
لمپل-زیو-ولچ
سیستم‌های دودویی نامتقارن