ضرب ماتریس

در جبر خطی ضرب ماتریس به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده‌ای یا یک ماتریس دیگر گفته می‌شود. در این مقاله سعی شده‌است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.
ضرب معمولی ماتریس‌ها
ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب یک ماتریس mدرn در یک ماتریس nدرp یک ماتریس mدرp است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس‌ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند (مانند mدرn ، nدرp ، pدرq ، qدرr) بعد ماتریس حاصل ضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون‌های آخرین ماتریس می‌آید (مثلا در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب mدرr خواهد بود). توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.
ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود
\overset{3\times 4 \text{ matrix{\begin{bmatrix
\cdot - \cdot - \cdot - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - \cdot \\
\color{Blue 1 - \color{Blue 2 - \color{Blue 3 - \color{Blue 4 \\
\end{bmatrix
\overset{4\times 5\text{ matrix{\begin{bmatrix
\cdot - \cdot - \cdot - \color{Reda - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - \color{Redb - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - \color{Redc - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - \color{Redd - \cdot \\
\end{bmatrix
\overset{3\times 5\text{ matrix{
\begin{bmatrix
\cdot - \cdot - \cdot - \cdot - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - \cdot - \cdot \\
\cdot - \cdot - \cdot - x_{3,4 - \cdot \\
\end{bmatrix
که در آن درایه برابر است با :
x_{3,4 =
({\color{Blue1, {\color{Blue2, {\color{Blue3, {\color{Blue4)\cdot
({\color{Reda, {\color{Redb, {\color{Redc, {\color{Redd)
{\color{Blue 1\times{\color{Red a
+{\color{Blue 2\times{\color{Red b
+{\color{Blue 3\times{\color{Red c
+{\color{Blue 4\times{\color{Red d .
برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول یا به صورت کلی‌تر سطر mم در ستون nم درایه mnم .
نحوه انجام ضرب ماتریس‌ها در انیمیشن توضیح داده شده است.
نمایش فرمولی
فرض کنید برای
و
در میدان که
، درایه‌های AB به صورت زیر بدست می‌آیند :
چکونگی انجام ضرب ماتریس‌ها به وسیله انمیشن توضیح داده ده است .
در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که و .
رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی
ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی و به صورت می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر :
A\cdot B = A^TB =
\begin{bmatrixa_1 - a_2 - \cdots - a_n\end{bmatrix
\begin{bmatrixb_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix
\begin{bmatrix a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n \end{bmatrix.
ضرب خارجی به صورت تعریف می‌شود که:
AB^T =
\begin{bmatrixa_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix
\begin{bmatrixb_1 - b_2 - \cdots - b_n\end{bmatrix
\begin{bmatrix
a_1 b_1 - a_1 b_2 - \cdots - a_1 b_n \\
a_2 b_1 - a_2 b_2 - \cdots - a_2 b_n \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
a_n b_1 - a_n b_2 - \cdots - a_n b_n \\
\end{bmatrix.
ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیه ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم :
\mathbf{A =
\begin{bmatrix
{\color{Red a_{1,1 - {\color{Reda_{1, 2 - \cdots - {\color{Red a_{1, n \\
{\color{ForestGreen a_{2,1 - {\color{ForestGreen a_{2, 2 - \cdots -
{\color{ForestGreen a_{2, n \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
{\color{Blue a_{m, 1 - {\color{Blue a_{m, 2 - \cdots -
{\color{Blue a_{m, n
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
{\color{Red A_1 \\ {\color{ForestGreen A_2 \\ \vdots \\ {\color{Blue A_m
\end{bmatrix
\mathbf{B =
\begin{bmatrix
{\color{Redb_{1,1 - {\color{ForestGreenb_{1, 2 - \cdots - {\color{Blueb_{1, p \\
{\color{Redb_{2,1 - {\color{ForestGreenb_{2, 2 - \cdots - {\color{Blueb_{2, p \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
{\color{Redb_{n, 1 - {\color{ForestGreenb_{n, 2 - \cdots - {\color{Blueb_{n, p
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
{\color{Red B_1 - {\color{ForestGreen B_2 - \cdots - {\color{Blue B_p
\end{bmatrix
که در اینجا و B_i = \begin{bmatrixb_{1, i - b_{2, i - \cdots - b_{n, i\end{bmatrix^T.
می‌باشند.
ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود :
\mathbf{AB =
\begin{bmatrix
A_1 \\
A_2 \\
\vdots \\
A_m
\end{bmatrix
\begin{bmatrix B_1 - B_2 - \dots - B_p
\end{bmatrix
\begin{bmatrix
(A_1 \cdot B_1) - (A_1 \cdot B_2) - \dots - (A_1 \cdot B_p) \\
(A_2 \cdot B_1) - (A_2 \cdot B_2) - \dots - (A_2 \cdot B_p) \\
\vdots - \vdots - \ddots - \vdots \\
(A_m \cdot B_1) - (A_m \cdot B_2) - \dots - (A_m \cdot B_p)
\end{bmatrix
ویژگی‌ها
ضرب ماتریسی خاصیت جابجایی ندارد.
اگر A و B دو ماتریس n در n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آن‌ها در ضرب بستگی ندارد.
اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آن‌ها جابجایی است.
ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:
ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:
اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکالر از آن میدان جابجایی خواهد بود:
در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.
ضرب اسکالر در ماتریس
ضرب اسکالر r در یک ماتریس A به این صورت تعریف می‌شود:
برای مثال اگر :
در نتیجه