تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال یا تابع وایبول در آمار و احتمالات به تابعی اطلاق می‌شود که توزیعی آماری را به شکل انتگرالی نمایش دهد. مقدار این تابع غیر منفی است.
توزیع پیوسته یک متغیره
تابع N(0,  2 ).
احتمال آنکه متغیر تصادفی در بازه a,b واقع شود از رابطه زیر بدست می‌آید:
همچنین کل مساحت زیر نمودار برابر است با ۱؛ یعنی:
در نتیجه تابع توزیع تجمعی را می‌توان بصورت زیر نوشت:
و اگر f تابعی پیوسته باشد:
تعریف
متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که مقدار آن در فضای اندازه تعریف شده و توزیع احتمال آن اندازه X ∗ P در است، آنگاه چگالی X نسبت به اندازه مرجع  در بواسطه مشتق رادون−نیکودیم به شکل زیر تعریف می‌شود:
بعبارت دیگر، به ازای هر مجموعه اندازه‌پذیر ،
f می‌تواند هر تابع قابل اندازه‌گیری با ویژگی زیر باشد:
برخلاف احتمالی که به یک متغیر تصادفی گسسته نسبت داده می‌شود، تابع چگالی احتمال می‌تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند. به‌طور مثال توزیع یکنواخت در بازه چگالی احتمالی f(x) = 2 برای 0 ≤ x ≤ 1⁄2 دارد و f(x) = 0 برای خارج این بازه دارد
با داشتن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X می‌توان مقدار امید ریاضی آن را به شکل زیر محاسبه کرد
\operatorname{EX = \int_{-\infty^\infty x\,f(x)\,dx.
چند روش محاسبه
از روش‌های بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X مشتق گیری از تابع توزیع تجمعی (F X (x آن است و که به صورت زیر تعریف می‌شود
\frac{d{dxF(x) = f(x).
یک روش دیگر برای بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X تخمین مقدار آن در یک بازه کوچک مانند : است.
\Pr(x
0, Y> 0 \right)
= \int_0^\infty \int_0^\infty f_{X,Y(x,y)\,dx\,dy.
جمع دو متغیر تصادفی مستقل
تابع چگالی احتمال دو متغیر مستقل U و V، که هر یک دارای یک تابع چگالی احتمالند، کانولوشن تابع چگالی تک تک آن هاست:
f_{U+V(x) = \int_{-\infty^\infty f_U(y) f_V(x - y)\,dy
\left(f_{U * f_{V \right) (x)
می‌توان رابطه بالا را به N متغیر مستقل، با چگالی‌های U 1 , …, U N تعمیم داد:
f_{U_{1 + \ldots + U_{N(x)
\left(f_{U_{1 * \ldots * f_{U_{N \right) (x)
متغیرهای وابسته و تغییر متغیر
اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به صورت (f X (x داده شده باشد، می‌توان (ولی معمولا غیرضروری است، زیر را مشاهده کنید) تابع چگالی احتمال متغیری مانند (Y = g(X را محاسبه کرد. به این کار «تغییر متغیر» می‌گویند و در عمل برای تولید متغیر تصادفی با شکل دلخواه f g(X) = f Y با استفاده از مولد عدد تصادفی شناخته شده (برای مثال یکنواخت)، مورد استفاده قرار می‌گیرد.
اگر تابع g یکنواخت باشد، در آن صورت تابع چگالی حاصل به صورت زیر است:
در اینجا منظور از g −1 ، تابع معکوس و منظور از g، تابع مشتق است.
این به دنبال این حقیقت ناشی می‌شود که احتمال در ناحیه مشتق گیری تحت تاثیر تغییر متغیر، باید ثابت بماند. یعنی:
یا
برای توابعی که یکنواخت نیستند، تابع چگالی احتمال "y" به صورت زیر است:
که در آن (n(y تعداد جواب‌های "x" برای رابطه g(x) = y و (g −1 k (y‌ها همان جواب‌ها هستند.
حال وسوسه انگیز است که در مورد امید ریاضی((E(g(X نیز بیاندیشیم. به این منظور ابتدا باید چگالی احتمال(f g(X را برای متغیر تصادفی جدید (Y = g(X بیابیم. به جای محاسبه
بهتر است
را محاسبه کرد.
دو انتگرال در تمامی شرایط در حالی که X و (g(X دارای تابع توزیع چگالی باشند، جواب یکسانی دارند. هیچ الزامی وجود ندارد که تابع g یک تابع یک به یک باشد. برخی مواقع انتگرال دوم، بسیار راحت‌تر از اولی قابل محاسبه است.
متغیرهای چندگانه
فرمول بالا را می‌توان به متغیرهایی (که آن‌ها را دوباره y می‌نامیم) وابسته به چند متغیر تصادفی تعمیم داد. (f(x 0 , x 1 , …, x m−1 را می‌توان به عنوان تابع چگالی احتمال y در نظر گرفت که به آن‌ها وابسته است که این وابستگی به صورت y = g(x 0 , x 1 , …, x m−1 ) است. در نتیجه تابع چگالی به صورت زیر بدست می‌آید:
که در آن انتگرال روی m-1 بعد است و باید dV را متناسب با این انتگرال پارامتریزه جایگزین کرد. متغیرهای تصادفی x 0 , x 1 , …, x m−1 بالطبع توابعی از این پارامتریزه کردن‌ها هستند.
شاید بصری به نظر برسد، ولی این ناشی از مطلب زیر است: فرض کنید x یک متغیر تصادفی n-بعدی با تابع چگالی احتمال f است. اگر y = H( x ) و H تابعی دوسویه و تشخیص پذیر باشد، y دارای چگالی احتمال g است:
که مشتق در نظر گرفته شده، ماتریس ژاکوبی معکوس تابع H نسبت به y است.
با استفاده از تابع دلتا، (و فرض بر استقلال) جواب یکسانی به صورت زیر بدست می‌آید.
اگر تابع چگالی احتمال متغیرهای تصادفی مستقل X i , i = ۱, ۲, …n به صورت (f Xi (x i داده شده باشند، می‌توان تابع چگالی احتمال متغیرهایی مانند (Y = G(X 1 , X 2 , …X n را حساب کرد. فرمول زیر ارتباطی بین تابع چگالی احتمال y که با (f Y (y نشان می‌دهیم و (f Xi (x i با استفاده از تابع دلتای دیراک برقرار می‌کند