روش بارهای تصویر

روش بارهای تصویری ( روش تصاویر یا روش بارهای آینه‌ای ) یک ابزار پایه در حل مسایل الکتروستاتیک است.این نام برای این روش از آنجا سرچشمه می‌گیرد که ما در این روش عناصر خاصی را در ساختار اولیه مسئله، با بارهای تصویری که همان شرایط مرزی را تکرار می‌کنند، جایگزین می‌کنیم.
قضیه یکتایی
قضیه یکتایی بیان می‌کند که پاسخی از معادله لاپلاس که در شرایط مرزی صدق می‌کند، تنها پاسخی از این نوع است که وجود دارد.واین پاسخ به‌طور یکتا با شرایط مرزی تعیین می‌شود.
برای بهتر روشن شدن مطلب، حلقه بسته‌ای را که یک ناحیه و سطح روی آن را مشخص می‌کند در نظر بگیریم.اگر داشته باشیم:
درون ناحیه وروی سطح
در این صورت منحصربه‌فرد خواهد بود.
بیان دیگری از قضیه یکتایی به این صورت است که::دو پاسخ معادله لاپلاس که در شرایط مرزی یکسانی صدق کنند، یا با هم برابرند یا اختلافشان حداکثر یک عدد ثابت است.
بار نقطه‌ای در نزدیکی صفحه رسانا
thumb
مثال ساده‌ای برای روش بارهای تصویری همان مسئله بار نقطه‌ای در نزدیکی صفحه رساناست.
بار نقطه‌ای q را به فاصله a از صفحه رسانای نامتناهی متصل به زمین در نظر بگیرید.
می‌خواهیم بدانیم پتانسیل در بالای صفحه چقدر است.
به علت القای بار الکتریکی توسط q روی صفحه، پتانسیل تنها پتانسیل ناشی از بار نقطه‌ای نخواهد بود.
شرایط مرزی از این قرارند:
در z=0 داریم (صفحه رسانا به زمین متصل شده‌است.)
وبرای نقاط دور
قضیه یکتایی تضمین می‌کند که اگر ما با هر شگردی پاسخی یافتیم که در شرایط مرزی صدق کرد، این تنها پاسخ موجود و جواب مورد نظر ما خواهد بود.
حالا دو بار نقطه‌ای q ,q- را در مختصات z=a و z=-a قرار می‌دهیم و صفحه رسانا را حذف می‌کنیم. پتانسیل حاصل از این پیکر بندی در مختصات استوانه‌ای به این شکل است:
که در z=0 و برای نقاط دور مقدار این پتانسیل صفر خواهد بود که این دقیقا همان شرایط مرزی مورد نظر ماست. پس پیکر بندی جدید برای z>0 دارای پتانسیل پیکربندی نخست است.
چگالی بار سطحی روی سطح رسانا از رابطه
در می‌آید.
حالا کل بار القایی روی سطح انتگرال تابع خواهد بود.این انتگرال گیری در مختصات کروی یا استوانه‌ای راحت‌تر خواهد بود.در مختصات استوانه‌ای داریم:
که پاسخی است که انتظارش را داشتیم.
میدان حاصل از این بار نقطه‌ای در نزدیکی صفحه رسانا را در تصویر ش 1 می‌بینید.
تعمیم
300px
روش بارهای تصویری را می‌توان به حضور 2 یا تعداد بیشتری بار نقطه‌ای در نزدیکی رسانا تعمیم داد.که در این صورت صفحه با تصویر همه بارها جایگزین می‌شود.از آنجا که پتانسیل الکتروستاتیکی کل همان جمع نرده‌ای پتانسیل هاست، پس پتانسیل هر بار نقطه‌ای در محل صفحه با پتانسیل تصویرش خنثی می‌شود.ازین رو پتانسیل هر جایی در محل صفحه صفر خواهد بود، که همان شرایط مرزی مسئله ماست.
در صورت وجود دو قطبی الکتریکی در فاصله a از صفحه، باید صفحه را با یک دو قطبی معکوس و متقارن واقع در a- جایگزین کنید.
روش بارهای تصویری برای کره رسانا
تصویر ش3.
مسئله‌ای را در نظر بگیرید که در آن بار نقطه‌ای q در داخل کره رسانای متصل به زمین به شعاع R قرار دارد(ان بار در شکل با رنگ سبز نشان داده شده‌است).می‌خواهیم پتانسیل داخل کره را طور بدست بیاوریم که پتانسیل هر جایی روی کره صفر شود.
دستگاه مختصات را به این صورت در نظر می‌گیریم که مبدا مختصات در مرکز کره و بار q در فاصله p از مبدا روی محور z قرار دارد.می‌خواهیم پتانسیل را در داخل کره در نقطه‌ای به فاصله r از مبدا روی محور r بیابیم.شرط مرزی موجود این است که پتانسیل در صفر باشد.
از تقارن معلوم است که بار تصویری باید روی محور z باشد.توجه کنید که بارهای تصویری همواره باید در خارج محلی که پتانسیل را در آن محاسبه می‌کنیم باشند.(بار تصویری در شکل با رنگ قرمز نشان داده شده‌است.)
حالا پتانسیل حاصل از این دو بار در نقطه‌ای در درون کره به این صورت خواهد بود:
\varphi(\mathbf{r)=\frac{1{4\pi \epsilon_0\left\mathbf{r-\mathbf{p
می‌خواهیم در پتانسیل صفر باشد.بردار یکانی در راستی محور r را و در راستای محورz را در نظر می‌گیریم.
\varphi(\mathbf{r)=\frac{1{4\pi \epsilon_0\leftr\mathbf{\hat{r-p\mathbf{\hat{z
در جمله اول در مخرج ازp و در جمله دوم از r فاکتور می‌گیریم و پتانسیل را درr=R مساوی صفر قرار می‌دهیم.
\varphi(\mathbf{r)=\frac{1{4\pi \epsilon_0\left\frac{R{p\mathbf{\hat{r-\mathbf{\hat{z=0
که می‌دهد:
و
یا
و
برای اینکه پتانسیل سطح کره به جای صفر هر ثابت دیگری مثل V باشد کافیست بار نقطه‌ای دیگری را در مر کز کره قرار دهیم.
حال می‌خواهیم بدانیم پتانسیل در نقاط خارج کره به چه صورت است. برای چگالی بارهای سطحی در مختصات قطبی کروی داریم:
\sigma(\theta)
\epsilon_0 \frac{\partial \varphi{\partial r \Bigg|_{r=R
که با انتگرال گیری روی سطح کره می‌دهد:
Q=-q
که همان بار القایی روی سطح داخلی کره است.