معادلات ماکسول

معادله‌های ماکسول ، معادله‌هایی هستند که چگونگی ایجاد شدن میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانات الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر میدان دیگر را توصیف می‌کنند.
این معادله‌ها مبانی الکترومغناطیس (کلاسیک) و مهندسی برق به‌شمار می‌روند که اولین بار توسط فیزیکدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول فرمول‌بندی شده‌اند.
انواع فرمولبندی برای این معادله‌ها می‌توان ارائه داد.خود ماکسول این معادلات را در قالب ۸ معادله فرمولبندی کرده بود ولی در حالت ۳ بعدی مشهورترین فرمول بندی فرمول‌بندی هوی‌ساید این معادلات است که دو فرم دیفرانسیلی و انتگرالی دارد.
فرم هوی‌ساید این معادله‌ها عبارت هستند از:
نام معادله
معادله دیفرانسیلی
معادله انتگرالی
قانون گاوس:
غیر موجودیت تک‌قطبی مغناطیسی(قانون گاوس در مغناطیس):
قانون القای فارادی:
قانون آمپر به علاوه مکمل ماکسول:
\oint_C \mathbf{H \cdot d\mathbf{l = \int_S \mathbf{J \cdot d \mathbf{A +
{d \over dt \int_S \mathbf{D \cdot d \mathbf{A
در اینجا چگالی بار الکتریکی چگالی جریان الکتریکی،
شدت میدان الکتریکی، شدت میدان مغناطیسی و
و میدانهایی هستند که توسط چگالی قطبیت الکتریکی و مغناطیسی (به ترتیب و ) در ماده تعریف می‌شوند. در صورتی که ماده ما خطی باشد، داریم:
و برای این دو میدان به دست می‌آوریم:
\mathbf{D \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E + \mathbf{P \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E \ \
\ \ \varepsilon \mathbf{E
\mathbf{B \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H + \mathbf{M ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H \ \
\ \ \mu \mathbf{H
فرم تانسوری
فرم تانسوری چهاربعدی این معادلات این گونه است:
معادله دوم به اتحاد بیانکی مشهور است.
معادلات ماکسول
معادلات ماکسول (وسط - چپ) به عنوان یک بنای تاریخی در مقابل مرکز دانشگاه ورشو از فن‌آوری‌های جدید برجسته.
معادلات ماکسول مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مشتقات جزئی است که همراه با قانون نیروی لورنتس، تشکیل بنیاد کلاسیک الکترومغناطیس (که در قدیم الکترودینامیک نیز نامیده می‌شد)، اپتیک کلاسیک و مدارهای الکتریکی را می‌دهد . این رشته‌ها به نوبه خود زمینه برق و ارتباطات فناوری مدرن هستند . معادلات ماکسول پس از فیزیکدان و ریاضیدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول نامگذاری شده است، زیرا در شکل اولیه آن‌ها همه در یک مقاله چهار بخشی، "در خطوط فیزیکی از نیروی"، که او در میان سال‌های 1861 و 1862 منتشر شده‌است . فرم ریاضی قانون نیروی لورنتس نیز در این مقاله ظاهر شد . معادلات راه حل‌هایی که انتشار امواج در خلاء با یک سرعت ثابت را توصیف می‌کند. ماکسول همچنین تذکر داد که این سرعت با سرعت هم اندازه نور ، و به درستی حدس زده است که نور، مانند امواج رادیویی و اشعه X ، صورتی از تابش الکترومغناطیسی در محدوده طول موج خاص است.
معادلات ماکسول توصیف می‌کند که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی چگونه تولید می‌شوند و با بار و جریان در تغییر هستند. . معادلات دارای دو نوع تغییر اصلی هستند . "میکروسکوپی" مجموعه‌ای از معادلات ماکسول که از بار کل و جریان کل شامل سطح مشکل به محاسبه اتمی بار و جریان در مواد استفاده می‌کند. "ماکروسکوپی" مجموعه‌ای از معادلات ماکسول که دو رشته کمکی تعریف می‌کند که می‌توانیم گام به گام این بارهای "اتمی" اندازه‌گیری شده را بدانیم.
نوشتن معادلات ماکسول به اشکال دیگر که هنوز هم "معادلات ماکسول" نامیده می‌شوند اغلب مفید است.چندین فرمول طبیعی تعریف شده در چهار بعد فضا زمان، نسبتا فضا و کاملا زمان ، که آشکارا سازگار با نسبیت خاص و عام هستند وجود دارد. چنین چهار فرمول ابعادی به‌طور معمول در فیزیک انرژی بالا و گرانشی استفاده می‌شوند. در مکانیک کوانتوم، نسخه بر اساس پتانسیل‌های الکتریکی و مغناطیسی هستند ترجیح داده می‌شود.
از آنجا که معادلات ماکسول دلالت بر سرعت ثابت نور دارند، آن‌ها مدت‌ها معتقد بودند که این فقط برای یک ناظرساکن با توجه به فرض "اتر" معتبر است . انیشتین، در تئوری ویژه نسبیت نظریه‌ای به جای معادلات ماکسول داد که برای ناظر دلخواه(ساکن و متحرک) معتبر بود ، و نشان داد که این مفاهیم ازنظر فیزیکی مستقل از فضا و زمان ناظراست. از اواسط قرن 20، فهمیده شد که، با این حال، که معادلات ماکسول،قوانین دقیق جهانی نیستند اما تقریب دقیق‌تر از نظریه اساسی الکترودینامیک کوانتومی است.
توضیح مفهومی
به صورت مفهومی، معادلات ماکسول توصیف می‌کند چگونه بارهای الکتریکی و جریان‌های الکتریکی به عنوان منابع برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی عمل می‌کنند . علاوه بر این، آن را توضیح می‌دهد که چگونه یک میدان الکتریکی متغیر با زمان یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان تولید می‌کند و بالعکس. (برای توصیف ریاضی از این قوانین پایین را ببینید.) معادله از چهار معادله، دوتا از آنها، قانون گاوس و قانون گاوس برای مغناطیس، توصیف چگونه میدان‌ها از بارها سرچشمه می‌گیرند. (برای میدان مغناطیسی شارژ مغناطیسی و در نتیجه خطوط میدان‌های مغناطیسی در هیچ جا نه ابتدا و نه انتها وجود ندارد.).دو معادله دیگر توصیف می‌کند که چگونه میدان به دور منابع مربوطه در گردش می‌باشند؛ میدان مغناطیسی در اطراف جریان‌های الکتریکی و میدان الکتریکی مختلف در قانون آمپر با اصلاح توسط ماکسول، در حالی که میدان الکتریکی در اطراف میدان‌های مغناطیسی مختلف در قانون فارادی "گردش"می‌کند.
قانون گاوس
قانون گاوس ارتباط بین میدان الکتریکی و بارهای الکتریکی را توصیف می‌کند که به موجب آن: خطوط میدان الکتریکی به دور از بارهای مثبت و به سوی بار منفی است. در زمینه شرح خطوط میدان، خطوط میدان الکتریکی شروع تنها در بارهای مثبت الکتریکی و انتهای آن در بارهای منفی الکتریکی است. شمارش تعداد خطوط میدان در یک سطح بسته، بنابراین، کل بار احاطه شده توسط آن سطح است . به اصطلاح فنی‌تر،آن مربوط شار الکتریکی را از طریق هر سطح بسته فرضی "سطح گاوسی" به بار الکتریکی محصور است.
قانون مغناطیسی گاوس
قانون مغناطیسی گاوس بیان می‌کند که هیچ "بار مغناطیسی" وجود ندارد(تک قطبی‌های مغناطیسی هم نامیده می‌شود)، شبیه به بارهای الکتریکی است. به جای آن، میدان مغناطیسی به دلیل مواد پیکربندی به نام دو قطبی ساخته شده‌اند. دو قطبی‌های مغناطیسی به عنوان بهترین حلقه‌های جریان نشان داده شده، اما شبیه بارهای مغناطیسی مثبت و منفی، جداناپذیر به یکدیگر متصل می‌شوند، هیچ بار مغناطیسی خالصی وجود ندارد. در خطوط میدان، این معادله می‌گوید که خطوط میدان مغناطیسی و نه شروع می‌شوند و نه پایان می‌پذیرند، بلکه حلقه‌ها و گسترش تا بی‌نهایت ایجاد می‌کند و برگشت میکند. به عبارت دیگر، هر خط میدان مغناطیسی که وارد یک حجم می‌شوند باید در جایی از آن خارج شوند. معادل فنی جملات این است که مجموع شار مغناطیسی را از طریق هر سطح گاوسی، صفر است، یا این که میدان مغناطیسی یک میدان برداری سلنوئیدی است.
قانون فارادی
قانون فارادی توصیف می‌کند که چگونه میدان مغناطیسی متغیر با زمان یک میدان الکتریکی " القاء " میکند. این جنبه از القای الکترومغناطیسی باعث ایجاد عامل پشت بسیاری ژنراتورهای الکتریکی است: به عنوان مثال، چرخش آهنربا باعث ایجاد زمینه تغییر مغناطیسی، که باعث تولید میدان الکتریکی در نزدیکی سیم است. (توجه : دو معادله‌ی مرتبط با هم وجود دارد که قانون فارادی نامیده می‌شود.شکل استفاده شده در معادلات مکسول همیشه معتبراست اما محدود‌تر از فرم عمومی آن توسط مایکل فارادی است.)
قانون آمپر با تصحیح ماکسول
آن وانگs magnetic core memory (1954) is an application of قانون آمپر. Each core stores one bit of data.
قانون آمپر با تصحیح ماکسول بیان می‌کند که میدان مغناطیسی را می‌توان به دو روش تولید کرد:با جریان الکتریکی (این اصل "قانون آمپر" بود) و با تغییر میدان الکتریکی (این "تصحیح ماکسول" بود).
تصحیح ماکسول به قانون آمپر بسیار مهم است: آن را نشان می‌دهد که نه تنها نتیجه تغییرات میدان مغناطیسی القای میدان الکتریکی است، بلکه تغییر الکتریکی موجب القای یک میدان مغناطیسی است. بنابراین، این معادلات به" امواج الکترومغناطیسی " اجازه می‌دهد به صورت خودکار از بین فضای خالی عبور کنند. (مراجعه کنید به معادله موج الکترومغناطیسی.)
سرعت محاسبه شده برای امواج الکترومغناطیسی، که می‌تواند از آزمایش‌های بار و جریان پیش‌بینی شود، دقیقا منطبق با سرعت نور و در واقع، نور یک شکل از پرتوهای الکترومغناطیسی است (به عنوان اشعه‌های ایکس، امواج رادیویی، و …). ماکسول ارتباط بین امواج بین الکترومغناطیس و نور را در سال 1861 فهمید . به دنبال آن متحد شدن تئوری الکترو مغناطیس و اپتیک‌ها.
فرمول متداول در واحدهای SI
فرمول دقیق ازمعادله ماکسول، بستگی به تعریف دقیقی از مقدار مربوط است . قراردادهای سیستم واحد متفاوت است به دلیل تعاریف مختلف (وابعاد) با جذب عوامل ابعاد مانند سرعت نور C تغییر کرده‌است. این باعث می‌شود ثابت خروجی متفاوت باشند . معادلات این بخش در قراردادهای با استفاده از واحدهای SI داده شده‌است. واحدهای دیگر که معمولا استفاده می‌شود عبارتند از واحد گاوسی بر اساس سیستم(CGS) واحد لورنتس(Heaviside) (عمدتا درفیزیک ذرات استفاده می‌شود)،و واحدهای پلانک (که در رشته فیزیک نظری مورد استفاده قرار می‌گیرند). پایین را نگاه کنید برای فرمول‌های با واحدهای گاوسی است.
معادلات زیر فرمول‌های مرسوم از معادلات ماکسول وابسته به زمان در فضای 3 بعدی با استفاده از زبان بردار هستند. نمادهای پررنگ (bold) مربوط به مقادیر بردار، و نمادهای کج (ایتالیک) نشان دهنده مقدار عددی هستند. تعاریف اصطلاحات مورد استفاده در دو جدول معادلات در جدول دیگری بلافاصله پس ازآن داده شده‌است. برای شرح مفصلی از تفاوت بین میکروسکوپی (بار کل و جریان کل) و ماکروسکوپی (بار و جریان آزاد) انواع دیگری از معادلات ماکسول، پایین را ببینید.
ارتباط بین فرمولهای دیفرانسیل و انتگرال
فرمولهای معادلات دیفرانسیل و انتگرال ازنظر ریاضی معادل هستند. با قضیه دیورژانس در مورد قانون گوس و قانون گاوس برای مغناطیس، و توسط کلوین قضیه استوکس در مورد قانون فارادی و قانون آمپر. هر دو فرمول دیفرانسیل و انتگرال مفید هستند.فرمول انتگرال اغلب می‌تواند به سادگی و به‌طور مستقیم محاسبه میدان از توزیع متقارن بارها و جریان مورد استفاده قرار گیرد. از سوی دیگر، فرمول دیفرانسیل نقطه شروع طبیعی‌تر برای محاسبه میدان در موقعیت‌های پیچیده‌تر (کمتر متقارن) است، به عنوان مثال با استفاده از تجزیه و تحلیل المان محدود.
معادلات خلاء، امواج الکترومغناطیسی و سرعت نور
در یک منطقه بدون بار (0= ) و بدون جریان (J = 0) از جمله در خلاء، معادلات ماکسول را کاهش دهد :
\begin{align
\nabla \cdot \mathbf{E -= 0 \quad
-\nabla \times \mathbf{E = \ --\frac{\partial\mathbf B{\partial t,
\nabla \cdot \mathbf{B -= 0 \quad
-\nabla \times \mathbf{B = \frac{1{c^2 -\frac{\partial \mathbf E{\partial t.
\end{align
جایی که سرعت نور در خلا است.
با بحث درباره کرل و با استفاده از معادلات کرل می‌توان معادلات موج را بدست آورد
\frac{1{c^2\frac{\partial^2 \mathbf E{\partial t^2 - \nabla^2 \mathbf E = 0, \quad
\frac{1{c^2\frac{\partial^2 \mathbf B{\partial t^2 - \nabla^2 \mathbf B = 0
به عبارت دیگر، B و E معادله موج را برآورده می‌کنند. علاوه بر این، E و B در جهت انتشار موج متقابلا عمود بر یکدیگر هستند وبا یکدیگر هم فاز هستند. موج سینوسی هواپیما یک راه حل ویژه‌ای از این معادلات است. معادلات ماکسول توضیح می‌دهد که چگونه این امواج می‌تواند از طریق فضا انتشار یابند. تغییر میدان مغناطیسی باعث ایجاد تغییردر میدان الکتریکی ، از طریق قانون فارادی می‌شود. در حالی که میدان الکتریکی باعث ایجاد تغییر در میدان مغناطیسی طبق تصحیح قانون آمپر ماکسول است. به نوبه خود، که میدان الکتریکی ایجاد یک میدان مغناطیسی در حال تغییر از طریق اصلاح ماکسول قانون آمپر. حال این چرخه دائمی به این امواج، که به عنوان تابش الکترومغناطیسی شناخته شده است، اجازه می‌دهد تا از طریق فضا در سرعت c حرکت کنند.
معادلات در واحدهای گوسی
دستگاه یکاهای گاوسی یک دستگاه یکای پراستفاده است که زیرمجموعه‌ای از دستگاه سانتیمتر گرم ثانیه ( CGS )می‌باشد . استفاده از واحدهای گاوسی منجر به تعییر شکل ظاهری معادلات ماکسول می‌شود. معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی چنین هستند:
+ معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی
Name
معادلات میکروسکوپیک
معادلات ماکروسکوپیک
قانون گاوس
قانون مغناطیسی گاوس
مانند معادله میکروسکوپیک
معادله ماکسول-فارادی (القای فارادی)
مانند معادله میکروسکوپیک
قانون آمپر (با اصلاح ماکسول)
میکروسکوپی" در مقابل "ماکروسکوپی
نوع میکروسکوپی از معادله ماکسول بیانگر میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B در قوانین بار کل و جریان کل حاضر شامل بارها و جریان‌ها در سطح اتمی است. این گاهی اوقات صورت عمومی از معادلات ماکسول و یا "معادلات ماکسول در خلاء "نامیده می‌شود. نوع ماکروسکوپی معادله ماکسول به همان اندازه عمومی است ، با این حال، تفاوت…
"معادلات ماکروسکوپی ماکسول"، همچنین به عنوان معادلات ماکسول در ماده شناخته شده است، بیشتر شبیه به کسانی است که ماکسول خود معرفی کرد. بر خلاف معادلات "میکروسکوپی"، آن عامل به بار وجریان محدود برای به دست آوردن معادله‌ای که فقط به بار و جریان آزاد بستگی دارد است. هزینه این فاکتور این است که زمینه‌های اضافی، جابجایی میدان D و میدان مغناطیسی H، تعریف می‌شوند که نیاز به تعیین دارند. معادلات تشکیل دهنده پدیدارشناسانه به زمینه‌های اضافی میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B، اغلب از طریق یک رابطه خطی ساده مرتبط هستند.
میدانهای کمکی، قطبش و خاصیت مغناطیسی
تعریف‌های میدانهای کمکی عبارتند از :
که در آن P زمینه قطبش و M میدان مغناطیسی است به عنوان که در قوانین و مقررات از بار میکروسکوپی محدودشده و جریان محدود تعریف شده‌است. چگالی بار ماکروسکوپیک محدود شده b و چگالی جریان محدود Jb در شرایط استفاده از قطبش و مغناطش تعریف شده به عنوان :
اگر ما آزاد، محدود، و کل بار و چگالی جریان را تعریف کنیم
و با استفاده از روابط معینی برای حذف D وH معادلات ماکروسکوپیک ماکسول تبدیل به معادلات میکروسکوپی می‌شود.
روابط ساختاری
به منظور اعمال معادلات ماکروسکوپی ماکسول، مشخص کردن روابط میان جابجایی میدان D و E میدان الکتریکی، و همچنین به عنوان میدان مغناطیسی H و B لازم است. همچنین ، ما باید وابستگی قطبش P (افزایش شار محدود) و M خاصیت مغناطیسی (افزایش جریان محدود) در اعمال میدان الکتریکی و مغناطیسی را تعیین کنیم. معادلات تعیین شده به این روش، روابط ساختاری نامیده می‌شوند. دردنیای واقعی مواد ، روابط ساختاری به ندرت ساده هستند، به جز در حدود، و معمولاآنهایی که از طریق آزمایش تعیین شده‌است. برای توضیحات کاملتر مقاله اصلی را ببینید.
اشکال ماکروسکوپی معادلات ماکسول برای مواد مختلف در زیر ارائه شده‌است. در هر صورت، قانون فارادی از القاء و قانون گاوس برای مغناطیس همیشه یکسان است.
مواد بدون قطبش و خاصیت مغناطیسی ("خلاء")
روابط ساختاری عبارتند از :
برای مقادیر ثابت و چون هیچ بار مقیدی وجود ندارد بار کل آزاد و جریان با هم برابرند
قانون گاوس تبدیل می‌شود به :
قانون مداری آمپر تبدیل می‌شود به :
یک بخش کلیدی از محتوای فیزیکی معادله ماکسول این است که خلاء (به عنوان مثال در فضای بین ستاره‌ای ، و در داخل خود اتم‌ها یافت می‌شود) ساده‌ترین ارتباطات خطی سازنده دارد. در بازرسی نزدیکتر این سادگی به ساختار متریک فضا بستگی دارد. در واقع، در 4 بعدی فرمول نسبیت، رابطه ساختاری از خلاء فضای متریک فضا-خلا لورنتز از زمان تا مقیاس مشخص می‌کند. (یعنی هندسه فضا زمان همشکل) یا به‌طور برابر، مخروط‌های نور.
مواد غیرخطی
در مورد مواد غیر خطی (برای مثال به اپتیک غیر خطی نگاه کنید)، D و P به E الزاما مرتبط نیست، به‌طور مشابه B الزاما مرتبط نیست با H یا M. به‌طور کلی یک رابطه وجود دارد D = D (E، B، X، T) و
H = H (E، B، X، T) که پاسخ مواد فیزیکی راتوصیف می‌کند. برای یک شرح کامل نیز باید چگونگی رفتار جریان و چگالی بار در شرایط استفاده از E و B توصیف شود که احتمالا با دیگر مقادیر فیزیکی مانند جرم، چگالی، فشار و سرعت حمل ذرات بار همراه تزویج شده‌است.
فرمول‌های متغیر