گراف (ساختار داده)

گرافی با 5 راس و 7 یال
در علوم رایانه یک گراف ، داده‌ساختاری انتزاعی است که به صورت گراف جهت دار و بدون جهت پیاده سازی می‌شود و . هدفش به کارگیری مفهوم گراف از ریاضیات و به خصوص نظریه گراف است.
یک داده ساختار گراف اساسا از یک مجموعه متناهی زوج‌های مرتب موسوم به یال شامل واحدهایی به نام راس یا گره تشکیل می‌شود؛ همان‌طور که در ریاضیات به ازای یک یال (u,v) می‌گوییم که u به v می‌رود یا u و v مجاورند. همچنین میتوان به هر یال یک گراف یک عدد نسبت داد که در این صورت گراف وزن دار بوجود می‌آید .
عملیات‌ها
عملیات ابتدایی ارائه شده توسط یک ساختار داده گراف G معمولا شامل :
مجاورت (G, x, y): امتحان اینکه آیا یک یال از راس x به راس y وجود دارد؛
همسایه‌ها (G, x):لیست تمام راس‌ها را به طوری که یک یال از راس x به راس y وجود دارد؛
درج راس(G, x) :راس x را در صورت عدم وجود اضافه می‌کند؛
حدف راس (G, x) :راس x را در صورت وجود حذف می‌کند ؛
درج یال (G, x, y): یک یال از راس x به راس y اضافه می‌کند ؛
حذف یال (G, x, y): یال از راس x به راس y را در صورت وجود حذف می‌کند؛
گرفتن ارزش راس (G, x): مقدار مربوط به راس x را برمی گرداند؛
مقداردهی راس (G, x,v) :مقدار مربوط به راس x را v قرار می‌دهد؛
در گراف وزن دار دستورات زیر نیز وجود دارد :
گرفتن ارزش یال (G, x,y):مقدار مربوط به یال گذرنده از (x، y) را باز می‌گرداند؛
مقدار دهی یال (G, x, y, v): مقدار مربوط به لبه (x، y) را به v تنظیم می‌کند؛
نمایش گراف‌ها
ساختار داده‌های مختلفی برای نمایش گراف‌ها در عمل استفاده می‌شود :
لیست مجاورت
راس‌ها به عنوان سوابق یا اشیا ذخیره می‌شوند و هر راس لیستی از راس‌های مجاور را ذخیره می‌کند. این ساختار داده‌ها اجازه ذخیره سازی داده‌های اضافی در راس‌ها را می‌دهد. داده‌های اضافی را می‌توان ذخیره کرد اگر یال‌ها نیز به عنوان اشیا ذخیره شوند، در این صورت هر راس یال‌های حادث بر خود را ذخیره می‌کند و هر یال راس حاد خود را ذخیره می‌کند.
ماتریس مجاورت
یک ماتریس دو بعدی، که در آن ردیف‌ها نشان دهنده راس مبدا و ستون‌ها نشان دهنده راس مقصد هستند. داده‌ها در یال‌ها و راس‌ها باید در خارج از ماتریس ذخیره شوند. فقط هزینه یک یال می‌تواند بین هر جفت راس ذخیره شود.
ماتریس وقوع
یک ماتریس بولی دو بعدی، که در آن ردیف‌ها نشان دهنده راس‌ها و ستون هانشان دهنده یال‌ها هستند. ورودی‌ها نشان می‌دهند که آیا راس یک ردیف به یال یک ستون متصل است یا خیر.
جدول زیر، هزینه پیچیدگی زمانی را برای انجام عملیات مختلف در گراف‌ها، برای هر یک از این نمایش‌ها،
تعداد لبه هاست .
لیست پیوندی
ماتریس مجاورت
ماتریس وقوع
ذخیره گراف
درج راس
درج یال
حذف راس
حذف یال
سوال: آیا راس X و Y مجاور هستند؟
(فرض بر این است که موقعیت ذخیره سازی آنها شناخته شده است)
هر سه راه قابل اجرا برای گراف جهت دار و بدون جهت است. نمایش لیست مجاورت معمولا ترجیح داده می‌شود چرا که یک روش فشرده برای نمایش گراف‌های کم یال فراهم می‌کند. اگر گراف متراکم یا همان پر یال باشد، نمایش ماتریس مجاورت مقدم است. همچنین در مواقعی که نیاز داریم سریعا بدانیم که آیا به ازای دو راس داده شده
یال متصل‌کننده بینشان وجود دارد یا خیر، از لیست مجاورت استفاده می‌کنیم.
طبقه‌بندی انواع دوگان گراف دوگان گراف‌هایی که تاکنون در علوم مختلف تعریف و استفاده شده‌اند، بر اساس نحوه استخراج به دو گروه بر مبنای گراف اولیه و مفهومی تقسیم‌بندی شده‌اند. در ادامه وجه تسمیه و مشخصات آن‌ها شرح داده شده‌اند.
این نوع دوگان گراف از گراف اولیه استخراج می‌شود. به عبارت این نوع دوگان گراف از گراف اولیه دیگر بعد از اینکه گراف اولیه بر اساس دیدگاه‌های رایج آن استخراج شد، سپس دوگان گراف آن بر اساس قوانین خاصی استخراج می‌شود. در این طبقه دو نوع دوگان یعنی دوگان گراف ورونی و دوگان گراف خطی را می‌توان گنجاند.
دوگان گراف ورونی
تعریف: دوگان گراف ورونی یک گراف مسطح، گرافی است که گره‌های آن نماهای گراف اولیه بوده و یالهای آن بیانگر ارتباطات همجواری در گراف اولیه باشد
این نوع دوگان دارای ویژگی‌های زیر است:
-دوگان گراف ورونی یک گراف مسطح یک گراف مسطح است (که ممکن است یال موازی و حلقه نیز داشته باشد(.
- اگر G یک گراف همبند وG‘، دوگان گراف ورونی آن باشد، آنگاه G نیز، دوگان گراف ورونیG‘ خواهد بود.
-- دوگانهای گراف ورونی یک گراف منحصر به فرد نیستند ویک گراف می‌تواند چندین دوگان گراف ورونی غیر یک ریخت داشته باشد. زیرا با تغییر نمایش گراف اولیه دوگان گراف ورونی آن نیز تغییر می‌کند
این نوع دوگان گراف بیشتر در مسائلی که در آن‌ها نیاز به تقسیم‌بندی فضا است استفاده شده‌است. به عنوان مثال الگوریتم تولید پلیگونهای تیسن از روی تعدا نقاط یمی از موارد کاربرد این نوع دوگان است.
از دوگان ورونی گراف برای تقریب الگوریتمهای کوتاه‌ترین مسی بر مبنای معیار فاصله استفاده کرده‌اند. چون تعداد گره‌ها در دوگان ورونی گراف به مراتب کمتر از گراف اولیه است، به همین دلیل آن‌ها نشان داده‌اند که جواب تقریبی مسئله کوتاه‌ترین مسیر بر مبنای فاصله را می‌توان در دوگان ورونی گراف اولیه محاسبه کرد.
Wallgrun نشان داده‌است که از دوگان ورونی گراف می‌توان در مسائل طراحی حرکت رباتها استفاده برد. طراحی حرکت یک ربات در یک محدوده بسته باید بر اساس مشاهدات لحظه‌ای ربات انجام شود به نحوی که بدون برخورد با موانع و دیوارها با پیمودن کوتاه‌ترین مسیر به مقصد مورد نظر برسد. وی نشان داده‌است که ربات مورد نظر باید بر روی دوگان ورونی گراف مشاهداتش حرکت کند. وی همچنین چگونگی استخراج این دوگان ورونی گراف را بر اساس مشاهدات ربات بیان کرده‌است .
الگوریتم‌های گراف
الگوریتم‌های گراف زمینه مهم علاقه در علوم رایانه به حساب می‌آیند. برخی از عملیات مربوط به گراف‌ها عبارتند از: پیدا کردن مسیری بین دو گره، مانند جستجوی عمق اول و جستجوی سطح اول و پیدا کردن کوتاهترین مسیر از یک گره به دیگری، مانند الگوریتم دیکسترا. یک روش برای پیدا کردن کوتاهترین مسیر بین هر گره و تمام گره‌های دیگر هم وجود دارد به نام الگوریتم فلوید-وارشال.
همچنین ببینید
پیمایش گراف
پایگاه داده‌های گراف
نظریه گراف
جستجوی عمق اول
جستجوی سطح اول