質問: 留数について 留数について f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。 留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz です。 1/z^2の積分は、-1/zですよね? 周回積分は0~2πですよね? ∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?
回答: >f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。 留数の定義は、f(z)をローラン展開したときのz^(-1)の項の係数です。 f(x) = 1/(z^2) = 1/(z^2) +0*(1/z) +0 +0*z +0*z^2 +... と見ると、z^(-1)の項の係数は0ですね。 >留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz >周回積分は0~2πですよね? >∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか? 発散しません。 周回積分のところで、 ∫[0~2π]{f(z)}dz を計算していませんか? 周回積分の正しい計算は ∫[c]{f(z)}dz (c:|z|=1) です。 |z|=1より、z=exp(i*t) (0≦t<2π)と書けます。 z=exp(i*t)と変数変換すると、 dz = i*exp(i*t)*dt ∫[c]{f(z)}dz = ∫[0~2π]{f(exp(i*t))*i*exp(i*t)}dt 右辺を計算すると0になります。 周回積分の計算方法を確認してください。