質問: 平面曲線の特異点について こんばんは。大学の数学で分からないところがあるので質問させて頂きます。 平面曲線の特異点についてなのですが、教科書では、 「f(x,y)=0となる点(x,y)の点の集合のなかの点(a,b)での、 (∂f/∂x)=(∂f/∂y)=0 となる点を特異点、そうでない点を通常点と呼ぶ」 とあります。 そして、問題演習で分からなくなってしまったのですが、 f(x,y)=x^3+y^3-3xy=0 について、特異点を求めるときに、解答では 「∂f/∂x=3x^2-3y・・・(1) ∂f/∂y=3y^2-3x・・・(2) だから特異点は原点(0,0)だけ」 となっていたのですが、点(1,1)を代入しても(1)、(2)式は0になりますよね?(1,1)は特異点にはならないのでしょうか?他の演習問題も同じ理由でつかえています。 どなたかご指導お願い致します。
回答: 「特異点」という言葉は、文字通り「何か特別のことが起こっている点」という程度の意味で、 杓子定規には、「~の性質に関する特異点」と書かなければ、本当は意味が定まりません。 関数の微分可能性に関する特異点のことを、単に「特異点」と呼ぶ慣習が普及していますが、 そのテキストが扱っている話題によっては、別のものを「特異点」と呼びます。 ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 となる (x,y) のことを f の「臨界点」、 f(x,y) = 0 となる (x,y) のことを f の「零点」と言うのですが、 臨界点のことを特異点と呼んだり、零点や極のことを特異点と呼んだりする文脈があるのです。 個々の例で、どの意味で「特異点」と言っているのか、確認する必要があります。 # 臨界点の中には、「鞍点」「極小点」「極大点」などがあります。 # 「極」は、1/f(x,y) の零点になる (x,y) のことで、「極小点」「極大点」とは違います。