質問: 確率変数Xの分布関数F(x)がF(0)=0を満たすとき、Xの期待値について
回答: 分布関数において F(x)=0 な成り立つならば y<=x を満たす y について F(y)=0 を満たす。 (∵分布関数は広義単調増加) また、確率の定義から F(x)<=1 はすべての x で満たし、 lim[x→∞]F(x)=1 である。 簡単のため、Xは連続分布であるとするが、 微分積分学の基本定理により ∫[t=-∞,x]f(t)dt=F(x) であり、 F(0)=0 という条件が加わると、先に示したとおり x<=0 において f(x)=0 となるから ∫[t=0,x]f(t)dt=F(x) が言える。 さらに、∫[t=0,∞]f(t)dt=1 でもあるから、 これらを合わせると x>=0 で ∫[t=x,∞]f(t)dt=1-F(x) となる。 積分区間の上端を x にしたいので、さらに両辺に -1 をかけることで ∫[t=∞, x]f(t)dt=-(1-F(x)) これが、f(x) の原始関数を -(1-F(x)) として計算している背景である。 Xが離散分布の場合は∫~dx を Σ[i]x[i]Pr(X=x[i]) と読み替えること。