質問: 数学ですが、34歳の私に手ほどきを願いします。 ある三角形に対する、内心Iと傍心Jを直線で結びます。 (※傍心は1つの三角形に3つ考えられますが、どれか1つを代表して考えてください) この三角形の外接円と線分IJとの交点Mを考えます。 この時、交点Mは、必ず線分IJの中点になるそうなのですが、理屈がいまいちわからないため、教えていただければ幸いです。
回答: 「外接円とIJの交点がIJの中点になる」ことと「IJの中点が外接円上にある」ことは同じことなので、 後者を証明します。実際に図を書きながら読んでみてください。 三角形ABCがあります。内心をIとし、傍心のうち∠BACの二等分線上にあるものをJとします。 まず、∠IBJに着目します。 これは 1/2∠ABC+1/2(∠ABCの外角)ですので、90度になります。 同様に、∠ICJも90度となります。 このことから、線分IJを直径とする円を描くと、B,Cはその円周上にあることになります。 この円の中心をMと置きます。これはIJの中点です。 この点Mが、三角形ABCの外接円上にあることを証明すればいいわけです。 ∠BMC = 2∠BJC 円周角と中心角から = 2(180-∠BIC) 四角形IBJCの内角の和から = 2(∠IBC + ∠ICB) 三角形IBCにおいて、∠BICの外角は残り2つの内角の和 = ∠ABC + ∠ACB = 180 - ∠BAC よって、∠BMC + ∠BAC = 180度になります。 定理「向かい合う内角の和が180°の四角形は,円に内接する」(*証明略) より、四角形ABMCは円に内接します。 この円はもちろん三角形ABCの外接円でもあるため、点Mは三角形ABCの外接円上にあります。(証明終) (*)の証明がもし必要ならば、 を参考にしてください。