質問: 円のベクトル方程式 平面上に異なる定点a、bと定円oの上を動く点pがあるaqベクトル=3×paベクトル+2×pbベクトルによって点qを定めるとき次の問いに答えよ。 〔1〕点qはどんな図形をえがくか? 〔2〕円oと直線abが共有点を持たないならば、点qの描く図形と直線abも共有点をもたないことを証明せよ
回答: 円oの中心oをとし、aqベクトルをaq,線分aqの長さを|aq|と表します。 (1)について |op|=r とおく。aq=3pa+2pbを始点をoにすると 5op=oq+2(oa+ob) となりoc=-2(oa+ob)とおくと 5op=oq-oc=cq よって、|5op|=|cq| つまり、|cq|=5r したがって、点qは点cを中心とし半径5rの円を描く。 (2)について 直線abをlとする。2点o,cからlに垂線oh,ciを引き、 直線ocとlとの交点をdとする。 |oh|=h、|ci|=i とおくとき、題意より h>r ならば i>5r を示せばよい。 点cのとり方に注意すると|od|:|oc|=1:4であるから 3角形odhと3角形cdiが相似なことより h:i=|od|:|cd|=1:5 よって、i=5h ゆえに、h>r ならば i>5rである。 (2)は別解がいろいろあると思います。