質問: 微分方程式の質問です。 微分方程式の質問です。 定数係数2階線形d.e.の一般解を求める問題で、特殊解は定数変化法で求めなければいけません。 y′′+4y=4/sin2x です。 解けなくて困っています。 回答おまちしております<(_ _)>
回答: y′′+4y=p(x) p(x) =4/sin2x (1) と置きます。 y1=exp(2ix), y2=exp(-2ix) (2) は(1) の斉次方程式 y′′+4y=0 の特殊解です。 (1) の2つの積分定数をc1,c2とするとc1とc2の間には 次の関係式が成立します。下記urlの「一元二階の場合」を参照 http://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%ae%9a%e6%95%b0%e5%a4%89%e5%8c%96%e6%b3%95 c1’y1 + c2’y2 = 0 (3-a) c1’y1’ + c2’y2’ = p(x) (3-b) (2)のy1とy2を(3-a,b)に代入しc1’,c2’に付いて解くと c1’ = -i/sin2x*exp(-2ix) c2’ = i/sin2x*exp(2ix) を得る。 これを積分すると c1 = -i(log|sin2x|-2ix)/2 c2 = i(log|sin2x|+2ix)/2 これより一般解は y = c1y1 + c2y2 = sin2x*log|sin2x| - 2xcos2x (4) 確かに(4)は(1)を満たします。 (4)の導出には積分公式∫dx/tanx = log|sinx| と オイラーの公式exp(ix) = cosx + isinxを活用します。