質問: 2階微分方程式について yy"+(y')^2+1=0 解:(x+a)^2+y^2=b^2 の解き方がわかりません。 dy/dx=pとして d^2y/dx^2=dp/dx=dy/dx・dp/dy=p(dp/dy) . yp(dp/dy)+p^2+1=0......(1)問題式にd^2y/dx^2、dy/dx=pを代入する。 p(dp/dy)+p^2/y+y.......(2)両辺に1/yをかける。 . ベルヌーイ形なので,u=p^2 (du/dy=2p・dp/dy)を代入して、 1/2du/dy+u/y=-y.....(3) . uとyの、線形微分方程式として解いて、 u=p^2=1/y^2(-1/2・y^4+c)......(4) . p=±1/y√(-1/2・y^4+c)........(5) この後(5)を積分して解が出ると思うのですが、 (それ以前に考え方自体が間違っているかもしれませんが) 右辺の積分の仕方がわからず解けなくて困っています。 どなたか教えてください
回答: ano.2さんではないですが、補足します。 >>(p^2+1)y^2=b^2 (e^c=b^2とおく) >のところで、すぐに、e^c=b^2と置けるというのが理解できません。 >この問題特有の置き方なのでしょうか。 これはano.2さんの回答内においての下記変換を予測?しているからかと思います。違ったらすみません。。 >∫dx=∫y/√(b^2-y^2)dy >ここからy=bsinθとおいて >x+d=∫bsinθdθ=bcosθ 回答2ではe^cをすぐにb^2を置きなおしてしますが、適当な定数でもかまいません。 たとえばこのときに b^2=d ととりあえず置いて計算を進めると、 ∫y/√(d-y^2)dy を解くことになります。 この形は ∫y/√(b^2-y^2)dy の積分の形にして y=bsinθ と置くと解きやすいことがわかっているので、d=b^2 と置きなおして計算します(この辺の置換テクニックは教科書とか公式集とかにあったはず)。 置きなおさずに y=√dsinθ で計算するのももちろんアリです。 この場合は(そのままでも正解だとおもいますが)積分をといた後に d=b^2 とすると求める解の形になります。