質問: 連続性・一様連続性についての問題 【問】 区間i=(0,1)で定義された関数f(x)で、iで連続であるが一様連続でないような例をひとつ挙げよ。 という問題について、f(x)=1/x という例を思いつきました。これは正しいでしょうか。 また、これがiで連続であること、一様連続でないことを証明しようと思ったのですができませんでした。この例が正しければ、証明を教えていただきたく思います。 連続であることは自明であるように思えますが、ε-δ論法を用いて証明しようとするとできませんでしたので、できればε-δ論法を用いた証明を教えていただきたく思います。 よろしくお願いします。
回答: #1の補足の「証明」は少し変です。 >ここでn>1としてx=1/n,y=1/2nとおくと1/2n<δ⇒n<ε >1/2n<δ⇔1/2δ1を与えているのに後からn=1/2δ+ε+1と 値を勝手に書き換えているのがおかしい。 つまり、証明になっていません。 こういうときは以下のようにしましょう。 ↓ ε=1と置くと、∀δ>0に対して1/δ<2nなる自然数nをとると x=1/n、y=1/(2n)とおけば|x-y|=1/(2n)<δとなり、 |f(x)-f(y)|=|n-2n|=n≧1=ε これが一様連続でないことの証明になっています。 >連続であるほうの証明が分かりません。 そうなんですか?連続性は一様連続性より条件がゆるいの で扱いが楽なりますから、一様連続性についてはわかるけど 連続性がわからないというのは変です。 ヒント: 例えば a,x∈iについて|x-a|