質問: f(x)=xe^-2xの極大値 f(x)=xe^-2xの極大値を求める問題で答えが1/2eなのですが途中式が分かりません。教えてください!
回答: 増減表を作ってグラフを描けば最大値が求まると思います。 増減表の作り方はどの教科書でも関数の極大値・極小値の所に載っていますし、例題も載っているはずです。授業でもやってるはずですので、復習して見てください。 f(x)=x e^(-2x) f'(x)=1*e^(-2x)+x(-2)e^(-2x)=(1-2x)e^(-2x) 極値を与えるxは f'(x)=0より x=1/2 f"(x)=-2e^(-2x)+(1-2x)(-2)e^(-2x)=4(x-1)e^(-2x) 変曲点はf"(x)=0より x=1 極値を調べると x=1/2で f"(1/2)=-2/e<0 なので上に凸 x=1/2で極大値f(1/2)=(1/2)/e=1/(2e)をとる。 x<1/2でf'(x)>0 なのでf(x)は単調増加。 x>1/2でf'(x)<0 なのでf(x)は単調減少。 従ってx=1/2における極大値f(1/2)=1/(2e)が最大値となる。 f(0)=0, x<0でf(x)<0,f"(x)<0より上に凸,x→-∞でf(x)→-∞ x>0でf(x)>0,01でf"(x)>0で下に凸 x→∞でf(x)→+0(y=0が漸近線) 増減表を書いて、それからグラフの概形は自身で描いてみて下さい。 (参考)グラフを添付します。