質問: 分からないので教えてください。 解答の過程を書いていただけるとありがたいです。 お願いします。 分からないので教えてください。 解答の過程を書いていただけるとありがたいです。 お願いします。
回答: [1] f(0) = 1, [2] ∫[0,x]√{ 1 + f’(x)^2 }dx = e^2x + f(x) - 2. [2]を微分して、1 + f’(x)^2 = 2e^2x + f’(x). 整理すると f’(x) = 1/2 ± √( 2e^2x - 3/4 ). x ≧ 0 のため 2e^2x - 3/4 ≠ 0 であり、上式の ± を乗り換える枝は無い。 それぞれの枝を積分して、[1]より f(x) = 1 + ∫[0,x]{ 1/2 ± √( 2e^2x - 3/4 ) }dx = 1 + (1/2)x ± ∫[0,x] √( 2e^2x - 3/4 ) dx = 1 + (1/2)x ± { ∫[1,r]{ 1 - 1/(1 + (4/3)r^2) } dr ; r = √(2e^2x - 3/4) = 1 + (1/2)x ± { (r - 1) - ∫[arctan(2/√3),θ] (√3/2)dθ ; r = (√3/2)tanθ = 1 + (1/2)x ± { (r - 1) - (√3/2)(θ - arctan(2/√3)) } = 1 + (1/2)x ± { √(2e^2x - 3/4) - (√3/2)arctan((2/√3)√(2e^2x - 3/4)) + (√3/2)arctan(2/√3) - 1 }. 上にも書いたように、± に対応した2本の曲線がある。 ...ほんまかいな。