質問: 代数学なのですが次の問題が分かりません。 集合r^2=r×r上の二項演算⚪︎を(x,y)⚪︎(z,w 代数学なのですが次の問題が分かりません。 集合r^2=r×r上の二項演算⚪︎を(x,y)⚪︎(z,w)=(x+z,ye^z+w)で定める。 行列の積・に関して集合gは g={(1段目 e^x 0 2段目 y 1);x,y∈r }は郡をなすことを示せ。 どなたか御教授お願いいたします。
回答: ああ、これ↓の群の定義がここにあった。 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11836955.html 実正方行列のうち行列式が 0 でないものを集めると 乗法について群になることは知っていますね? 一般線型群 gl(n,r) というやつです。 質問の g の元は、行列式の値が e^x で、 0 ではないので、 g は gl(2,r) の部分集合になっています。 群の部分集合が部分群であるかどうか調べるには、 演算について閉じていることと 逆元が含まれていることを確認すれば十分です。 g1 = e^x1 0 y1 1, g2 = e^x2 0 y2 1 に対して、 g1 g2 = (e^x1)(e^x2) 0 (y1)(e^x2)+y2 1 ←[*] なので、 x3 = x1 + x2, y3 = (y1)(e^x2)+y2 と置けば g1 g2 = e^x3 0 y3 1 の形となり、g の元であると判ります。 つまり、g は行列積について閉じています。 次に、[*]の結果を参考に x2 = - x1, y2 = - (y1)e^x2 = - (y1)/e^x1 と置けば、 g1 g2 = e^0 0 0 1 と、積が単位行列になります。 この g2 が g1 の逆行列であり、 g の元の逆行列は g の中にあります。 よって、g は gl(2,r) の部分群であり、群をなします。