質問: 正4面体の外接円について ある正4面体abcdの外接球をかんがえます。「外接球の中心をoとすると、aから底面bcdにおろした垂線の足をhとしたとき、 ab=ac=ad かつ ob=oc=od であることから対称性よりa,o,hは同一直線上にある」 と書いてあるんですが、よくわかりません。 感覚的に一直線上にんる事はわかるんですが、ちゃんとした証明がほしいです。 よろしくおねがいします。
回答: pb=pc=pd を満たす点pの軌跡を考えてみましょう。 まず、pb=pcを満たす点pの集合を考えましょう。 これは線分bcの中点をとおり線分bcに垂直な面になります。 同様にpc=pdを満たす点pの集合は線分cdの中点をとおり線分cdに垂直な面になります。 pb=pc=pdを満たす点pは上記の二つの面の共通部分、つまり二つの面の交線になります。 このa,oはpの条件を満たす点である以上この線に含まれます。 次に、この交線と面bcdの関係を考えてみましょう。 線分bcの中点をとおり線分bcに垂直な面 は 面bcdに垂直です。 線分cdの中点をとおり線分cdに垂直な面 は 面bcdに垂直です。 この二つの面の交線は面bcdに垂直になります。 つまり、この線はa(o)から面bcdに降ろした垂線になるのです。よって、hはこの線と面bcdの交点となります。