質問: 双曲線関数の逆関数に関する問題 双曲線関数sinh(x)の逆関数の存在を示す問題です。 逆関数の存在を示すには、元の関数が単射であることを示せば良いのですが、そのための証明方法として、導関数が常に非負関数であるということから、関数が単調増加であることを利用しました。 この問題、実は数学の演習として出題された内の「チャレンジ問題」として扱われたものなのですが、この証明方法では「チャレンジ問題」にしては簡単過ぎであるため、私のアプローチの仕方が間違っていると判断し、どなたかの御教示を頼った次第です。大学数学らしい解法をお願い致します。
回答: こんばんは! 単射であることを示すとき、juklio さんの方法でももちろん正解です。狭義単調増加であることを言えば十分だからです。 一方、単射の定義に立ち返って証明するならば、例えば次のようになります。最後の赤字が、単射であることを示しています。