質問: e^c -e^-kt/m -----7 その後 v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧0) となりました 質問 (1)初期条件ってなんですか? (2)4→5の過程はなぜやるんですか?変数分離型ってなんですか? (3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか? (4)よければx(t)の答えを教えて下さい とても困っています!部分的でもよいので教えて下さい、お願いします
回答: (1) たとえば、1個200円のお菓子をx個買うとして、箱代が必ずa円かかるとすると、 支払うお金 = y = 200x + a ですよね? ここで、 「5個買ったら、合計1100円だった」(x=5のときy=1100) という条件を与えると、 1100 = 200×5 + a より a=100 となって、箱代100円が定まり、 y = 200x + 100 というふうに関数も定まります。 初期条件というのは、 「5個買ったら、合計1100円だった」 のことです。 (2) dv/dt = -k/m(v-mg/k) のままで積分しようとすると、 ∫dv/dt = ∫-k/m(v-mg/k) となるので、変ですよね? だから、dなんちゃらが左と右に1個ずつ、しかも分母にならないように来るように変形すると、 (1/v-mg/k)dv = -k/m dt となります。 この式を見ると、vやdvは左辺にしかなく、tやdtは(この場合はtはありませんが)右辺にしかありません。 2つの変数が左右にうまく分離できているので、「変数分離」と言います。 (3) 6の両辺の指数を取っているだけです。 たとえば、log[2]8 = 3 ですが、底の2を使って両辺の指数を取ると、 8 = 2^3 となりますよね? 見た目、log[2]が消えたように見えますが、実際は指数を取っています。 左辺のlogが消えたことの代償(?)として、右辺は指数関数になっています。 それと同じことです。 右辺は、c-kt/m のeの指数を取って e^(c-kt/m) = e^c・e^(-kt/m) 左辺は、 e^(log[e]{v(t)-mg/k}) = {v(t)-mg/k} (4) 式3を見るとわかりますが、 x = ∫vdt なので、上でも求まったvの式をぶち込んでtで積分するだけです。