質問: ボルツマン因子について 統計物理の分野において、ボルツマン因子(exp(-ei/τ))や、ギブス因子というものが出てきて、ある状態の確立に比例する(テーラー展開等によって得られた結果)...という事項が出てくるのですが、これは、これらボルツマン因子等における数学的な意味合いであって物理的な意味合いでは無いと思い、より物理的な意味合いを考えているのですが...浅学でしていまいちよくわかりません。 どなたかボルツマン因子の物理的な意味合いを教えていただけるでしょうか?また、分配関数(z=σexp(ei/τ))は規格化定数といった意味合い以外にあるでしょうか?? 記号について、ei=状態iにおけるエネルギー τ=kt(k;ボルツマン定数 t;絶対温度) としました。また、σは状態iについて足し合わせましたm_ _m
回答: ボルツマン因子は以下のような考察から簡単に導出できます。 温度tの外界に接する系a,bがあり、両者の運動が独立であるとする。 a,bがエネルギ状態ea,ebにある確率をそれぞれpa(ea),pb(eb)とすれば、 abが1つの系としてe=ea+ebのエネルギを持つ確率p(e)は p(e)=pa(ea)pb(eb) ただし e = ea + eb この式をeaで微分すると dp(e)/dea = {dpa(ea)/dea}*pb(eb) = dp(e)/de*de/dea = dp(e)/de つまり dp/de = pb*dpa/dea 両辺をp=papb で割ると (dp/de)/p = (dpa/dea)/pa 左辺はeだけの、右辺はeaだけの関数であるから、この式が成立する ためには両辺がある定数に等しくなければならない。 (dp/de)/p = const = -β p(e) = const* exp(-βe) つまり熱的に接触する熱平衡にある系がエネルギeを持つ確率として 求まります。 βは気体分子運動論から 1/ktと定められます。 exp(-e/kt)は統計力学の計算で頻繁に出てくるのでボルッマン因子と 呼ばれますが、今日ではこの呼び方はあまり一般的では無いようです。 確率ですから可能なエネルギeの全てに付いての積分を取り規格化する 必要が有ります。 この積分(和)が分配関数と呼ばれますが、物理的な意味は可能な エネルギeを取り得る状態の数です。 no.1の回答に有るように分配関数からは種々の熱力学的量が求められます。