質問: 微分方程式d2x/dt2ω2xの一般解はどう求めるんですか?
回答: 微分方程式を解くということは関数を積分するということです。 ご存じのように微分は公式に従って機械的に計算できますが、 積分は予め何を微分したら元の式になるのか知っていないと 計算できないことも多いです。 したがって微分方程式を解くには、持っている数学の知識を 総動員する必要があります。 微分方程式 d2x/dt2=ω2x について、 xをtの関数 x(t)、その2階微分をx"(t)として書き直すと、 x"(t) = ω2x(t) ・・・[1] と表せます。 [1]式は関数x(t)を2階微分すると、元の関数x(t)に 定数ω2を掛けた関数になることを意味しています。 そのような関数x(t)は指数関数か三角関数と推定されます。 ただし三角関数は2階微分すると元の関数にマイナス符号がつきます。 たとえば(sin t)" = (cos t)' = −sin t、(cos t)" = (−sin t)' = −cos t [1]式は右辺の係数がω2と正であるため、残る候補は指数関数のみ。 仮に x(t) = e^(ωt) とおいても x(t) = e^(−ωt) とおいても 微分方程式[1]は成立するため、[1]の一般解はC1、C2を定数として x(t) = C1 e^(ωt) + C2 e^(−ωt) ・・・[2] と表すことができます。 更に[2]式で、C1 = C2 だった場合、ハイパボリック関数を用いて x(t) = C1{e^(ωt) + e^(−ωt)} = 2C1 cosh(ωt) と表せます。