質問: 置換積分のイメージ 置換積分についての質問です。 数式の処理は出来ます。 ただ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du [ただしu=g(x)] という置換積分の式についてイメージができません。 左辺はdxなのに右辺はduである理由も、なんとなくわかっているようなわかっていないような、すごく曖昧な理解しか出来ていません。 そこでこの置換積分の式についての理解を深めさせていただきたいです。 この数式の意味をなるべく言葉で教えて欲しいと思います。 よろしくお願いします。
回答: 疑問の意味がとてもよくわかります。 以下は、わたしなりのイメージです。 わたしは、媒介変数のイメージでやってます(笑)。 「aとbをtが媒介する。aが変わればtが変わる、tが変わればbも変わる」→「aが変わればbも変わる」。「aをtで積分し、tをbで積分する」→「bで積分すればaが積分される」 以上を面積でいえば「二重の縄目のある縄(タオル)を絞る」の逆イメージでイメージします。表面を絞ると、連動して内部の縄が絞られます。逆に、内部の縄を膨らませると、連動して表面の縄がふくらみます。この連動の様相を式に表したもものが「dx→dt」とすれば、感動的ですらあります。 置換積分も連動しているというイメージが大事です。置換がサインやコサインの場合にこそ、このよじれた縄のイメージがとてもいいと私はかってに思っています。 数学的には形式的に等式を等式でつなげているだけのだ、どこにも矛盾はないと、割り切ることも、このさい試みてください。まえの回答者さまもおっしゃていますが、合成関数の積分の証明がどの教科書にものっていますが、置換積分に不安を感じたとき(ほんとにこれでいいのと思ったとき)そこをじっくり読み込んだ記憶があります。 とりとめもなく、参考にはならないかもしれません(たぶん)。