質問: 空間図形の点と直線の距離の公式について xyz空間内の点p(p,q,r)から平面ax+by+cz=dにおろした垂線の長さを求めよ という問題(というか公式を示す証明)を見たときに、 (解) 平面ax+by+cz=dに垂直なベクトルのひとつを v→=(a,b,c) とする。平面ax+by+cz=d上にa(x0,y0,z0)をとると、求める長さは h=|ap→・v→|÷|v→| である。 (x0,y0,z0)がax0+by0+cz0=dを満たすことから、 h=|ap→・v→|÷|v→| =|(p-x0,q-y0,r-z0)・(a,b,c)|÷√(a^2+b^2+c^2) =|ap+bq+cr-d|÷√(a^2+b^2+c^2) となっていたのですが、どうしても h=|ap→・v→|÷|v→|である。 の部分が理解できません。検索して調べてみても分からず、結局内積とはなんだろう?と言うところまで調べてみたのですが、2つのベクトルがどれだけ似ているかを示す量、とだけ書いてあるくらいでさっぱり分かりません。 そこで、 (1)なぜ、hが上の式のようになるのでしょうか? (2)幾何学的な意味としては内積は何を表すものなのでしょうか? 以上2点、よろしくお願いいたします。
回答: 内積の定義から ap→・v→=|ap→||v→|cosθだから (θはap→とv→のなす角) |ap→・v→|÷|v→|=|ap→||v→||cosθ|÷|v→|=|ap→||cosθ| |ap→||cosθ| はpと平面の距離 h なのはokですね。 内積の幾何学的な意味について、気持ちのよい答えはないと思います。 定義を覚えて、その便利さを実感するのが良いと思います。