質問: 微分方程式 微分方程式y''-(y')^2/y +y=0の解で初期条件y(0)=1,y'(0)=0を満たすものを y=y(x)とする。以下の問に答えなさい (1)z=logyとおくとき、z=z(x)の満たす微分方程式を求めなさい。 y=e^zとおいて、y''-(y')^2/y +y=0に代入するだけでいいと思います。 (2)yをもとめなさい。 y'=p y''=p・dp/dyとおきます。 dp/dy=p/y-y/p =(p^2-y^2)/gy 同時形を用いて u=p/yとおいて、p'=u'y+u 変数微分法を用いて u'y=-1/u ∫udu=-∫dy 1/2u^2=-logy+c となってさらに続くのですがここからよくわかりません。 そして、この手法はあっているでしょうか?? よろしくお願いしますm(__)m
回答: (1)ができれば(2)は簡単じゃないですか。 (1)微分方程式 y''- (y')^2/y + y = 0 で、y = e^z とおけば、 y' = e^z*z'、y'' = e^z*( z' )^2 + e^z*z'' だから、微分方程式は e^z*( z' )^2 + e^z*z'' - ( e^z*z' )^2/e^z + e^z = 0 両辺をe^z (<>0)で割ると ( z' )^2 + z'' - ( z' )^2 + 1 = 0 → z'' +1 = 0 (2)上の結果から z'' = -1 → z' = -x + c1 → z = -x^2/2 + c1*x + c2 y = e^z だから、y = e^( -x^2/2 + c1*x + c2 ) あとは、初期条件 y(0)=1,y'(0)=0 から、定数 c1, c2 を求めれば良いわけです。