質問: 定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。グラフで証明したいのですが、正確性に欠ける気が...。 定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。 ᅠᅠᅠᅠᅠᅠ ∫0,n]1/(x+1)dx<1+1/2+・・・+1/n<1+∫[1,n dx を証明せよ という問題なのですが、この問題って真ん中はn個の長方形の面積の和で y=1/(x+1)とy=1/xのグラフを書けば図から明らかになってしまいます。 しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できておらず、正確性に欠ける気もします。 もっと良い証明方法はないでしょうか?分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。
回答: グラフのイメージを、そのまま式で表すのがよいでしょう。 ∫0,n]1/(x+1)dx<1+1/2+・・・+1/n<1+∫[1,n dx_1 の各辺は以下のように書き換えられます。 左辺=∫[0,n]1/(x+1)dx=σ[k=0~n-1]∫[k,k+1]1/(x+1)dx_2 中辺=1+1/2+・・・+1/n=σ[k=0~n-1]1/(k+1)_3 =1+σ[k=1~n-1]1/(k+1)_4 右辺=1+∫1,ndx=1+σ[k=1~n-1]∫[k,k+1]1/x)dx_5 式1の左辺と中辺の比較は、2と3を比較する。 ς[k=0~n-1]の記号は2と3で共通だから、その中身を比較する。項数が等しくnであること、和をとる最初の項と最後の項、および積分の下限と上限をよく確認する。 2の中身=∫k,k+1dx=∫[k,k+1]f(x)dx f(x)=1/x x=k~k+1 3の中身=1/(k+1)=∫[k,k+1]g(x)dx g(x)=1/x x=k一定 この二つの積分の、積分される関数のf(x)とg(x)の関数形は1/xで同じだが x=k~k+1の範囲を動くf(x)は、x=k一定のg(x)より小さいので 2<3が成立する。 式1の中辺と右辺の比較は、4と5を比較する。 初項1とσ[k=1~n-1]の記号は4と5で共通だから、その中身を比較する。項数が等しくn-1であること、和をとる最初の項と最後の項、および積分の下限と上限を確認する。 4の中身=1/(k+1)=∫[k,k+1]f1(x)dx, f1(x)=1/x x=k+1一定 5の中身=∫[k,k+1]1/xdx=∫[k,k+1]g1(x)dx, g1(x)=1/x x=k~k+1 この二つの積分の、積分される関数のf1(x)とg1(x)の関数形は1/xで同じだが x=k+1一定のf1(x)=1/(k+1)と、x=k~k+1の範囲を動くg1(x)を比較すると、 f1の分母k+1はg1の分母より大きいので、f1はg1より小さい。よって 4<5が成立する。