質問: 教えてください! 生産関数Y=K^2/3*L^1/3で 資本賃貸率2、労働賃金率1とする。 生産物Yを10作るとき、利潤最大となるKを求めよ。
回答: この問題は重要な情報が欠けていますね!生産物の価格の情報がありません。この点を説明しましょう。 生産物10単位を与えられて条件のもとで最小費用で生産するためにはいくらかかるか、という問題には答えることができるので、それを計算してみましょう! 最小費用は 技術的限界代替率=生産要素の価格比率(=労働賃金率/資本賃貸率) (∂Y/∂L)/(∂Y/∂K) = 1/2 [(1/3)K^(2/3)L^(-2/3)]/[(2/3)K^(-1/3)L^(1/3)] = 1/2 のとき実現します。よって、費用を最小化するLとKの組み合わせは (*) K/L =1 を満たす。一方、10単位の生産物を生産するLとKの組み合わせは (**) 10 = K^(2/3)L^(1/3) を満たす。(*)を(**)に代入してLを消去すると、K = 10を得る。このとき、(*)より、L=10である。すなわち、10単位の生産物を生産するためのLとKの組み合わせは K=L=10である、ということだ。このときの、総費用Cは C = L + 2K = 10 + 20 = 30 すなわち、生産物1単位当たり30/10 = 3の費用がかかる。いま、生産物の価格が3より高いときは、この資本と労働の組み合わせで利潤がでるのですが、生産物価格が3より低く、たとえば2だったら、(2-3)×10=-10、すなわち、10単位の生産をすると10の損失が発生するので、この企業が利潤の最大化をする企業なら、生産は0のほうがよい、したがってK=L=0が最適な行動ということになる。 しかし、Y=10というのが至上命題なら、この企業が最大限できることはK=L=10の資本と労働を雇用することだとはいえる。その意味では、「Y = 10作るときの、利潤最大となるK」はK=10ということになる。 非常にトリッキーな質問だといえますね!より素直な問いは、「生産物Yを10作るとき、費用最小となるKを求めよ」ということでしょう! 一般に、生産関数がコブダグラスのときの利潤最大化問題にはいぜん回答したことがありますので、ここ(↓)を参照してください。