質問: ゲーム理論 復習 手詰まりでわかりません。よろしければ教えてください。 企業1と企業2は互いに代替的な製品を生産し販売している。企業xが設定した製品価格をpx万円(x=1、2)としたとき、それぞれの製品に対する需要量は d1=a-p1+p2 d2=a-p2+p1 (aは正の定数) また各社はそれぞれ生産1あたりにc万円の費用がかかる(a>cとする)。各社は同時手番でそれぞれの利潤を最大化するように自社製品の価格を設定する。 [1]このゲームを一度だけプレイ (1)企業2の製品価格がp2と予想されるときの企業1の反応関数を求めよ (2)ナッシュ均衡での各社の製品価格として正しいのはどれか。 (3)ナッシュ均衡で各社が獲得する利益はいくらか、 (4)企業1がプライスリーダーとする。企業1が先に戦略を決め、それを見た後で企業2が戦略を決める。そのとき部分ゲーム完全なナッシュ均衡でプレイヤー1が設定する製品価格を求めよ。 (5)(4)のとき企業2の設定する製品価格を求めよ。 [2]上記の手番ゲームが無限回繰り返され、毎回の段階ゲームの結果は次の段階ゲームが始まる前に、各企業に観察されるものとする。各企業は共通の割引因子σ(0<σ<1)を用いて各段階ゲームで割引現在価値を最大にするように戦略を選ぶ。各企業はトリガー戦略(戦略xと呼ぶ)用いることによって均衡経路上では毎回必ずp=2a+cという製品価格を実現させようとする。戦略xでは以下のように指定されている。 ・第一回目の段階ゲームおよび過去に互いに設定し続けて迎えた段階ゲームでは価格をp*に設定する。 ・上記以外の段階ゲームでは(2)で求めた価格を設定する。 今企業2が戦略xをとると予想したとき、企業1が一回目の段階ゲームで戦略x から逸脱すればp1を(6)に設定することが短期的には最適である。逸脱によって得られる利潤の増加分は(7)である。しかしそれを踏まえ企業2も行動が変化するので、二回目以降の毎回の段階ゲームで企業1の獲得する利潤が、先の逸脱によって、少なくとも(8)万円減る。その結果逸脱によって(9)万円の長期的な損失を発生させる。したがって互いに戦略xをとり続ける必要十分条件は(10)以上の割引因子をもつことである。 (1)~(10)に答えよ。 という問題です。長いですが、考え方と解答を教えて頂ければと思います。よろしくお願いします。
回答: まず、[1]の静学ゲームからはじめましよう。各プレイヤー利得関数を求める。あるプレイヤーの利得関数とは、そのプレイヤーの利得がこのゲームのすべてのプレイヤーの戦略(行動)にどのように依存しているかを示す関数のこと。この場合、プレイヤーは企業1と2、各プレイヤー利得とは各企業の利潤、各プレイヤーの戦略は各企業が設定する価格、すなわわち、p1とp2のこと。いま、企業1の利潤をπ1と書くと、利得関数は π1= p1(d1-c) = p1(a-p1+p2-c) = p1(a-c+p2) - p1^2 として得られる。企業1は、企業2の価格を所与として(企業2の価格がp2と予想して)自己の利潤を最大にする価格p1(戦略)を選択 するから、利潤最大化の1階の条件はπ1をp1について微分して0とおくことで 0 = ∂π1/∂p1 = a - c + p2 -2p1 ⇒ p1 = (a-c+p2)/2 となる。後者の式が企業1の(最適)反応関数(最適応答関数ともいう)で、企業2が価格をp2に設定したとき、企業1は自分の利潤を最大にするためには自分の製品の価格p1を上の式(右側の式)の右辺の値に設定すればよいことを教えてくれる式だ。同様に、企業2の反応関数は p2 = (a-c+p1)/2 となる(なぜ?)。戦略の組(p1,p2)は、各プレイヤーの戦略が互いに相手プレイヤーの戦略の最適反応となっているとき、ナッシュ均衡という。では具体的にはこのゲームのナッシュ均衡を求めるにはどうしたらよいか?あとは、自分で解いて「補足」のところに示してください。p1とp2がわかれば、π1の式の右辺に代入して、企業1の利潤が得られる、同様に企業2の利潤は・・・・。[2]はこれらができてから・・・