質問: 三角関数について kは定数とする。θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π) について次の問いに答えよ。 (1)t=√3sinθ-cosθとおくとき、tをrsin(θ+α)の形(r>0、-π<α≦π)に変形せよ。また、tの取りうる値の範囲を求めよ。 (2)(1)のtについてt^2を計算して、 √3sin2θ+cos2θをtの式で表せ。 (3)θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π)の解の個数を分類しなさい。 この問題で (1) t=2sin(θ+2/3π) -1≦t≦2 (2)√3sin2θ+cos2θ=-t^2+2 と答えがでて、 (3)y=kとy=-t^2+2t+2が共有点について調べればよい。までわかったんですが、そこからθの個数について分類するまでが分かりません。 解答は k<-1,3<kのとき解θは0個 -1≦k<2のとき解θは1個 k=2,3のとき解θは2個 2<k<3のとき解θは3個 となっていますが、0個の分類はわかるんですが、1~3個までの分類の仕方が分からないので教えてください。
回答: (1)は2sin(θ+α)=√3sinθ-cosθから cosα=√3/2、sinα=-1/2なので、α=-π/6 じゃないでしょうか? (3) f(t)=-t^2+2t+2=-(t-1)^2+3(-1≦t≦2)のグラフと直線f(t)=k をかきましたよね。すると、 a.k<-1,3<kで交点なし b.-1≦k<2とk=3で1点で交わる c.2≦k<3で2点で交わる とわかります。 ここで、θ-π/6=x(5π/6≦x≦-π/6)とするとt=2sinx、つまり t/2=sinxのxの値がt/2の値によって何個になるか考えて おきます。(単位円をかいてみてください) (それから、xの個数はそのままθの個数でもあります) xの範囲を考えると、 (ア)-1/2≦t/2<1/2とt/2=1でxは1つ、 (イ)1/2≦t/2<1でxは2つ になります。 すると、k=2などは特別だと頭において、さっきのグラフを 見ながら、 ・k=3は、t=1(つまりt/2=1/2)だから(イ)のパターンで xは2つ。 ・k=2は、t=0,2(つまりt/2=0,1)だからどちらも(ア)の パターンでxは合計2つ。 ・2<k<3は、0<t≦1(つまり0<t/2≦1/2)だから(ア) のパターンでxは1つと、1<t<2(つまり1/2<t/2<1) だから(イ)のパターンでxは2つ の合計3つ。 ・-1≦k<2では、-1≦t<1(つまり-1/2≦t/2<1/2)だから (ア)のパターンでxは1つ と場合分けができることがわかります。 話をしながらなら簡単だけど、書いてみるとなんだかわからない かもしれません。 そのときは、どうぞスルーしてくださいな。