質問: 微積の問題です。 以下のような問題に頭を悩ませております。 ふたつの関数f(x),g(x)は次の(i)(ii)をみたしている。 この時次のf(x),g(x)をそれぞれ求めなさい。 (i)f(x)=πcosx+∫[π→x]g(t)dt (ii)g(x)=cosx+(2/π)∫[0→x]f'(t)dt []内は積分範囲 この問題の解答が、次のようになっております。 ??に挟まれた部分が私の疑問です。 (i)の両辺をxで微分して、 f'(x)=πcosx+g(x) ?何故πcosxなのか。πsinxではないのか? 上式を(ii)ヘ代入して、 g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]{πcost+g(t)}dt ?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか? ⇔g(x)=cosx+(2/π)∫[0→π]g(t)dt (a) 上式の積分項は定数。 以下省略 (a)の積分項が0と分かり、 従って g(x)=cosx f(x)=πcosx+sinx となっております。解答に記載されている式変形が理解できません。 分かる方、お教え頂けないでしょうか。
回答: type-rrr さんが問題や解答を写し間違えたりしていなければの話ですが、 かなりひどい解答ですね。 答えを(ii)に代入してみれば、解答が間違っていることはすぐにわかります。 >> ?何故πcosxなのか。πsinxではないのか? πcosx の微分は、-πsinx です。 >> ?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか? 当然、[0→x]であるべきです。 というわけで、(問題が正しいという前提で) 正しい計算をすると、得られる式は g(x) = ??? + ???∫[0→x] g(t) dt となります。これを微分すると、1階線形微分方程式になり、 微分方程式を解くと g(x) が得られます。 計算はご自身でやってみて下さい。正しい解答は、 g(x) = { 1 / (π^2 + 4) } { 6πsinx + 3π^2cosx + (-2π^2 + 4) e^(2x/π) } f(x) = { 1 / (π^2 + 4) } { 3π^2sinx + (π^3 - 2π)cosx + (-π^3 + 2π) e^(2x/π) - 6π + (π^3 - 2π) e^2 } となります。