質問: 3x^2 + 3p ≧ 0 から 0 - 4*3*3p ≦ 0 ←(1) -36p ≦ 0 よって p ≧ 0 でいいんでしょうか?とすると、なぜ、判別式を持ち出して (1)のような不等式を立てるのでしょうか? よろしくお願いします。 ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。
回答: >>なぜ、判別式を持ち出して (1)のような不等式を立てるのでしょうか? 3x^2 + 3p ≧ 0 が常に(xがいくつであっても)成り立つための条件です。 判別式がゼロ以下である、ということは 3x^2 + 3p = 0 という方程式の解が 1:重解である 2:存在しない のいずれかということです。 x^2の係数が正なので、これは下に凸の2次関数ですから、 y =3x^2 + 3p のグラフは負の数を取らないことが分かります。 つまり、3x^2 + 3p ≧ 0 です。 >>ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。 極地であるための必要条件は1次導関数がゼロなので 3x^2 + 3p = 0 が解を持つ必要がある。 これは、判別式が非負のときだから、 p≦0. 十分条件は、2次導関数が正(極小値)か負(極大値)であること(つまりはゼロでない)こと。 これは、まず 3x^2 + 3p = 0 を解いて x = √(-p) という極地候補を求めておく。 2次導関数は 6x これが極地候補でゼロにならないためにはpがゼロでなければいい。 したがって、 p>0が必要十分条件になります。