質問: 3次関数f(x)=x^3+ax^2+bxの 3次関数f(x)=x^3+ax^2+bxは極大値と極小値をもち、 それらを区間-1≦x≦1内でとるものとする。 この条件を満たす実数の組(a,b)の存在範囲を図示せよ。 教えてください。 一度質問が出てる問題なのですが、 解説で 題意から f'(x)=0 が -1≦x≦1 に相異2実数解をもてばよいので -1<-(1/3)a<1 かつ f((-1/3)a)<0 かつ f'(-1)≦0 かつ f'(1)≦0 ⇔ -3
回答: f'(x)=3x^2+2ax+bが-1≦x≦1で2つの実数解を持てばよいというのは大丈夫なんですね。 これを満たすグラフを書いてみればいいです。(添付図参照) すると、x軸と2つの交点を持つことより、d>0(または頂点のy座標が<0と考えてもいいです。またはf'(-a/3)<0と考えてもいいです。) それと、 f'(-1)≧0かつf'(1)≧0 これだけでは不十分で、軸を定めないといけません。 軸はx=-a/3とでます。 これが-1<-a/3<1を満たしていなければ添付図のようになりません。(軸がこれを満たしていないと例えば添付図の左下のようなグラフを排除できません) この条件の思いつき方ですが、y=f'(x)がどういうグラフになれば条件を満たすかを書いて、そのグラフになる条件を見つけ出します。