質問: 漸化式について。 a_1=1, a_(n+1)=3a_n+4nで定められた数列{a_n}の一般項を求めよ。 という問題なんですが、解説を読んでも理解できません;; 解説には、b_n=a_n-(αn+β)とおいて、数列{b_n}が等比数列になるように、αとβを求め、一般項を出す、というやり方で書いてあります。 何故b_n=a_n-(αn+β)とおくのでしょうか?αn+βがどこから出てきたのか分かりません・・・。 また、{b_n}が等比数列になるようにαとβを求める、ということも理解できません。 何故、b_nは等比数列にならなければいけないのでしょうか? どなたか教えてください。お願いします。
回答: a(1)=1 a(n+1)=3a(n)+4n 4nでも、4(n^2)+3n+2でも、此の項を左右に振り分けるという技巧となります。 4nを左に2n、右に2n、と振り分けても、上手くいきません。 形としては、 【a(n+1)-[a(n+1)+b]】=3【a(n)-[an+b]】 になれば、【(n+1)の式】=3【nの式】 となって上手い事になります。 このようになるa、bが存在すればokです。 計算して見ると、 【a(n+1)-[a(n+1)+b]】=3【a(n)-[an+b]】 a(n+1)=3a(n)-3an-3b+an+a+b a(n+1)=3a(n)+(-2an+aー2b) ↑ が 4n -2a=4 aー2b=0 a=-2、 b=-1 と決定されます。 あとは、bnに置き換えても、置き換えなくてもokです。 ** 【a(n+1)-[-2(n+1)-1]】=3【a(n)-[-2n-1]】 【a(n)-[-2n-1]】は、 初項【a(1)-[-2-1]】=1+3=4 公比 3 の等比数列で、 【a(n)-[-2n-1]】=4(3^(n-1)) a(n)=4(3^(n-1))-(2n+1) --------------------------------------------------