質問: 楕円周上点と円周上の点のキョリ (x^2)/4+y^2/3=1(y≧0)の周上をl、 (x+1)^2+y^2=1(y≦0),(x-1)^2+y^2=1(y≦0)の周上をm,nとして(桃型?) l,m,n上に点p,q,rをおいたとき、pq+prの最大値を求めたいのです。 楕円の焦点はf(1,0)、f'(-1,0)で、 「pfrもpf'qもともに一直線になるときに最大値になる」と思うのですがはっきりとした根拠が出せません。
回答: まず楕円の焦点と円の中心は一致していますね。 ある点から円周上の点までの距離の最大値は、中心を通るときが 最大になります。 これは証明なしでも大丈夫かと思うのですが、一応証明しておけば 円の中心と円周上の点、それに最初の点と結んで三角形を作れば 三角形の2辺の和のほうが1辺より長い、それが直線に なるときが最大です。 fを楕円の焦点と円の中心という両面で考えるのがここでは大事です。 (ご質問に対する解答はここまでで良いでしょうか?) 念のためもう少し続きです。 そうするとfrとf'rは一定と考えてpf+pf'が最大になるpを求める、 ということになりますが、これは楕円のほうで考えればいいです。