質問: 大学の力学の問題です。 次の問題を解いて下さい、お願いします。 質量mの惑星が定点oに静止している質量mの太陽からの万有引力を受けて運動している。 万有引力定数をgとして次の問いに答えよ。 定点oを原点とする2次元極座標を用いて、平面内を運動する惑星の位置ベクトルを(rcosφ,rsinφ)と表す。 加速度ベクトルの動径方向(r方向)の成分、方位角方向(φ方向)の成分を求めよ。 また、これを用いて惑星の動径方向(r方向)の運動方程式、および方位角方向(φ方向)の運動方程式を記せ。
回答: 方針と途中結果のみ示します。 r~は位置ベクトル、e_r,e_φはr方向およびφ方向の単位ベクトル(基底)を表します。また時間微分(ドット、ダブルドット)を’および”で示します。 r~ = r・e_r r~' = r'e_r + r(e_r)' = r'e_r + rφ'e_φ r~" = r"e_r + r'(e_r)' + r'φ'e_φ + rφ"e_φ + rφ'(e_φ)' ・・・と計算していきます。ただし、e_r,e_φは動いていくので (e_r)' = φ'e_φ、 (e_φ)' = -φ'e_r の関係が成立します。これは回転の角速度φ'であることやまたは直交座標の基底に書き戻すことで容易に証明できます。基底を用いない方法は下記を参照ください。 http://www14.plala.or.jp/phys/tools/9.html 結果、 a_r = r" - rφ'^2 、 a_φ = rφ" + 2r'φ' = (r^2φ')'/r となり、動径方向の運動方程式は遠心力項を含むものになり、方位角方向の運動方程式は角運動量保存すなわち面積速度一定の方程式になります。