質問: テイラー展開とべき級数展開の違いは何ですか? http://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%99%e3%83%83%e3%82%bb%e3%83%ab%e9%96%a2%e6%95%b0 ずっとテイラー展開とべき級数展開は同じものであると思っていたのですが、 上記のページをみると 「第1種ベッセル関数はまた、x=0のまわりでのテイラー展開(非整数の に対しては、より一般にべき級数展開)によって定義することもできる。」 と書かれているのですが、 テイラー展開とべき級数展開ってどう違うのでしょうか?
回答: 結論から言うと,その記事の言葉の用法がマイナーで, 通常は(原点中心の)テイラー展開とべき級数展開は同じ意味で使われます. その記事のその部分では,ベッセル関数の級数展開がαが非整数だと テイラー展開になっていない,ということを注意したかったのだと思います. しかし,現状では不正確な書き方になっていて, (1) 負の整数に対してもテイラー展開にならない. (2) 非整数べきの現れる級数を単にべき級数と呼ぶことは少ない. という2点を考慮して,適当に直すべきです. ちなみにその記事は,英語版の記事を和訳したものですが,英語版では (a) 該当部は単に taylor series expansion となっている. (b) integer or non-integer のコメントは,この文でないところに入っている. という状況になっています. きっと和訳した人が (a) はマズイと思って補足したのでしょうが, そのときに (b) を誤って取り入れてしまい,こんなことになったのだと思います.