質問: 実数解について
回答: (1) log[2]xはx>0において全ての実数をとり得る単調増加関数であるから、ある1つのx>0に対応するlog[2]xの個数も1つである。 よって、与方程式においてt=log[2]xとおくと t^2 -4kt+4k+3=0 がtについての実数解をもつ条件を求めればよい。 この方程式の判別式をDとすると D/4=4k^2 -4k-3≧0 したがって k≦-1/2, 3/2≦k ...(答) (2) 解と係数の関係により log[2]α+log[2]β=4k (log[2]α)(log[2]β)=4k+3 log[α]β+log[β]α ={(log[2]α)^2 +(log[2]β)^2}/(log[2]α)(log[2]β) =[{(log[2]α)+(log[2]β)}^2 -2(log[2]α)(log[2]β)]/(log[2]α)(log[2]β) =(16k^2 -8k-6)/(4k+3) =4k-5 +9/(4k+3) y=4k+3とおくと 4k-5 +9/(4k+3)=y-8 +9/y, y≦1, 9≦y f(y)=y-8 +9/y とおく。 f'(y)から増減表を作成すると f(y)≦-14, 2≦f(y)を得る。 したがって log[α]β+log[β]α≦-14、2≦log[α]β+log[β]α ...(答) (補足) 4k-5 +9/(4k+3)とは(16k^2 -8k-6)/(4k+3)において分子の次数を下げた式です。 つまり(4k-5)+{9/(4k+3)}ということであり、分数関数を扱う際の定石「分数式は富士の山」に従ったものです。 -5と+9/(4k+3)の間にスペースが入っているのはそこを強調するためでした。 y=4k+3とおいたのは、定石的に(4k-5)+{9/(4k+3)}の最小値を求める際にkについての制約が無い場合(といってもk≠-3/4であることは自明ですが)、相加相乗平均の関係を使えるように(4k+3) +{9/(4k+3)}-8という式変形を施すことが多く、しかも変数をkで扱うより式を簡単にするためです。 ただ、今回は(1)からkについての制約があったので、それに伴いyも制約が付加され、したがってyについての関数f(y)=(y-8)+(9/y)の最大値、最小値を微分して調べたわけです。 もちろん、微分しなくても数Iの知識で解くことは可能ですが、場合分けをかなり慎重に行う必要があり、実戦的ではありません。 life_toushin20さんは過去の質問を拝見したところ数IIIまで履修しておられるようなので、微分という方法をとりました。 それでもなお分かりにくい場合はsitesnk@yahoo.co.jpまでご連絡くだされば模範解答をお送りいたします。