質問: 一般相対性理論の方程式が知りたいのですがWikipediaに書かれているものと本に書かれているものが違います。 分かる方教えて下さい...
回答: 下付の添え字は_(アンダーバー)で,上付きの添え字は^で表す. アインシュタイン方程式について... 最も単純な表記は... G_μν = (8πG/c4)T_μν...1 となる.ここでG_μνをアインシュタイン・テンソルと呼ぶ.右辺のT_μνはエネルギー・運動量・テンソルと呼ぶ.ここでG_μνは以下のように定義される. G_μν≡R_μν - (1/2)g_μνR...2 g_μνは時空計量である.R_μνはリッチ・テンソル,Rはリッチ・スカラーであり,さらに以下のように定義される. R_μν ≡ g^{μν}R^α_μβν...3 R ≡ g^μνR_μν...4 ここでR^α_βμνはリーマン・テンソルであり,以下のように定義される. R^α_βμν ≡Γ^α_βν,μ - Γ^α_βμ,ν + Γ^α_σμΓ^σ_βν - Γ^α_σνΓ^σ_βμ...5 ここでΓはクリストッフェル記号で, Γ^α_βγ = (1/2)g^ασ(g_σβ,γ + g_σγ,β - g_βγ,σ)...6 となり, R^α_βμν≡(1/2)g^ασ(g_σν,βμ - g_σμ,βν + g_βμ,σν - g_βν,σμ)...7 となる. ここでまでで重要なことは,アインシュタイン方程式は,時空計量g_μνのみで記述可能であるということである.この時空計量こそがアインシュタイン方程式の解なのである. 言い換えれば,アインシュタイン方程式を直に扱わなくとも,時空計量さえわかれば,ほとんどの計算が可能である. ちなみに添え字の表記μやνに大した意味はなく,順番と上か下かが重要である.さらに添え字の上げ下げは,計量テンソルを掛けることで自由に行える.詳しくは教科書を参照. ★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆ ここまでが基本で,アインシュタイン方程式を宇宙論に適用する場合,宇宙が加速膨張しているので,Λ項(宇宙項)が1式の左辺に追加される. また右辺のエネルギー・運動量・テンソルT_μνは一般的に以下のように書くことが可能である(完全流体の場合). T_μν = (ρ+p)u_μu_ν + pg_μν...8 ρは密度,pは圧力である.この式と一様等方モデルの一般解であるロバートソン-ウォーカー計量をアインシュタイン方程式に代入して求めた方程式が,フリードマン方程式であり,この方程式が宇宙論の基礎方程式となる, これまた普通の計算であれば,アインシュタイン方程式を使わなくとも,フリードマン方程式のみで事足りるのである.宇宙年齢も地平距離も計算できる. 長々と書いたが,結局結論としては,アインシュタイン方程式の理解は学習においては重要だが(一度は自分で計算してみること),実用上は計量テンソルやフリードマン方程式で十分である.もちろん独自の,特殊な条件での計算はできないが,その場合は紙と鉛筆では解けないだろう.コンピュータで計算する必要があるだろう.私もそうだが,学習過程にある個人なら,まずは普通の計算ができるようになることが重要だ. もし誤字脱字が在ったらご容赦ください.