質問: 関数とグラフ すみませんが、以下の問題がわかる人教えてください。 よろしくお願いします。 問題 放物線y=x^2+ax+bが点(1,1)を通り、直線y=2x-3に接するときの定数a,bの値を求めよ。ただし、a>0とする。
回答: こんなところでしょうか? 放物線y=x^2+ax+bが点(1,1)を通ることより、 1=1^2+a・1+b ∴b=-a --- (a) 放物線y=x^2+ax+bが直線y=2x-3と接することより、 2x-3=x^2+ax+b ∴x^2+(a-2)x+b+3=0 --- (b) また、放物線の傾き(xで微分したもの)をy'とし、 これが直線y=2x-3との接点においては2になることより、 y'=2x+a=2 ∴a=2-2x --- (c) 式(b)に式(a)を適用すると x^2+(a-2)x-a+3=0 さらに式(c)を適用すると x^2+((2-2x)-2)x-(2-2x)+3=0 x^2-2x^2+2x+1=0 -x^2+2x+1=0 x^2-2x-1=0 ∴x=1±√2 xの値と式(c)より、 x=1+√2のとき a=2-2(1+√2)=-2√2<0 x=1-√2のとき a=2-2(1-√2)=2√2>0 a>0より、 ∴a=2√2 aの値と式(b)より、 ∴b=-2√2 答え:a=2√2、b=-2√2