質問: 幾何学 (1)e^3の2つの平面x+2y+z+1=0,2x+3y+z+3=0の共有点を1つ求めてください。 また共通集合である直線をもとめてください。 (2)e^3の平面p:x+y+2z+2=0と直線l:x=(3+2t,1+t,2+t)の交点を求めてください。 、あたこの交点を通り、pに含まれ、lに垂直な直線を求めてください。
回答: (1) x+2y+z+1=0 ... (1)、2x+3y+z+3=0 ... (2) (2)-(1)... x+y+2 = 0、ここで、x=t とおくと、x=t, y=-t-2、 これを(1)に代入すると、t + 2(-t-2) + z + 1 = 0 より、z = t+3 よって、共有点は (t,-t-2,t+3) と表すことができる。 ∴ t=0 のときの (0,-2,3) も、共有点の一つで、 交線の式は、(x,y,z) = (t,-t-2,t+3) = (0,-2,3) + t(1,-1,1) (または、tを消去して、x = -(y+2) = z-3) (2) pとlの交点は、 x+y+2z+2 = 0 に (x,y,z) = (3+2t,1+t,2+t) を代入した、 (3+2t)+(1+t)+2(2+t)+2 = 0 から、t = -2 となるので、 (x,y,z) = (3+2*(-2), 1+(-2), 2+(-2)) = (-1,-1,0) pの法線ベクトルは、(1,1,2) だから、 pに含まれる直線の方向ベクトルは、必ず、(1,1,2)に垂直、 求める直線の方向ベクトルは、同時に、lの方向ベクトル(2,1,1)にも垂直だから、 (1,1,2)×(2,1,1) = (1,-3,1) に平行、 よって求める直線の式は、(x,y,z) = (-1,-1,0) + t(1,-3,1) = (-1+t,-1-3t,t) (または、tを消去して、x+1 = -(y+1)/3 = z