質問: 全てが分かりません。馬鹿でもわかるように教えて欲しいです
回答: xn+yn+zn-nxyz を x の多項式と見なし, P(x)=xn+yn+zn-nxyz=xn-nyzx+yn+zn とおく. x+y+z を x の多項式と見なせば, 因数定理より P(x) が x+y+z で割り切れる ⇔ P(-(y+z))=0 ⇔ (-1)n(y+z)n+nyz(y+z)+yn+zn=0 が成り立つ. 最後の等式で z=1 とすれば (-1)n(y+1)n+ny(y+1)+yn+1=0 ⇔ (-1)n(y+1)n+yn=-ny(y+1)-1 ⇔ [(-1)n+1]yn+(-1)n[C(n,1)yn−1+...+C(n,n)]=-ny(y+1)-1 が得られる. 最後の式において, もし n が偶数ならば 2yn+((n-1)次の項)=-ny(y+1)-1 となるから, 係数を比較して 2=-n, n=-2. これは n が正の整数であることに矛盾する. 一方, n が奇数ならば (-1)[C(n,1)yn−1+...+C(n,n)]=-ny(y+1)-1, すなわち -nyn−1+((n-2)次の項)=-ny(y+1)-1 が成り立つから, 次数を比較して n-1=2, n=3. 従って, xn+yn+zn-nxyz が x+y+z で割り切れるならば n=3 である. 逆に n=3 ならば xn+yn+zn-nxyz =x3+y3+z3-3xyz =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) より, x3+y3+z3-3xyz は x+y+z で割り切れる. 以上より n=3.