質問: 物理の問題でわからないものがあります。 「滑らかな水平面上で質量m1とm2の二つのおもりをバネ定数kのバネでつなぎ、静止した状態からばねの伸縮方向に一次元的に振動させる。この時の振動の周期として妥当なものはどれか。。ただし、おもりは質点とみなすことができ、釣り合いの位置でばねは自然の長さにあるものとする。なお、質量m1のおもりと質量m2のおもりの釣り合いの位置からの右向きの変位をそれぞれx1、x2とすると、二つのおもりの重心が動かないのでm1x1+m2x2=0が成り立つ」で答えが2π√(m1m2/k(m1+m2))なのですが解説がなくて困っています。運動方程式かと思ったのですが、うまくいきません。どなたか解き方を教えてください。
回答: いくつか方法があります。 (1)運動方程式による(「'」は時間微分) m1x1'' = k ( x2 - x1 ) ∴x1'' = k/m1 ( x2 - x1 ) m2x2'' = k ( x1 - x2 ) ∴x2'' = k/m2 ( x1 - x2 ) 辺々引いて x1'' - x2'' = - k ( 1/m1 + 1/m2 )( x1 - x2 ) 得られた結果は,相対運動の方程式であり, 1/μ = 1/m1 + 1/m2 で与えられるμは換算質量と呼ばれます。 上記を相対座標x1-x2の運動方程式と見れば,振動の周期 t = 2π√(μ/k ) = 2π√{ m1m2/k(m1+m2) } を得ます。 (2)エネルギー保存 1/2 m1x1'^2 + 1/2 m2x2'^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定 運動エネルギー部分は,重心運動と相対運動に分けることができます。 1/2 (m1+m2) xg'^2 + 1/2 μ(x1'-x2')^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定 ここで,m1x1+m2x2=0を用いると xg=0 となるので, 1/2 μ(x1'-x2')^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定 これを単振動のエネルギー保存と見れば,(1)と同じ結果を得ます。 (3)重心位置でばねを分割する 重心は動かないので,運動はばねを重心位置で固定したものに等しくなります。ばねをm2:m1に分割して考えると,m1の運動方程式はばね定数が(m1+m2)/m2×kとなるので m1x1'' = -(m1+m2)/m2 kx1 これをx1の単振動の方程式と見れば,その周期を得ます。x2についても同様の結果が得られます。 重心の座標は, xg = (m1x1+m2x2)/(m1+m2) = 0 といっているので,(3)が問題文に沿う最も初歩的な解法といえるでしょう。