質問: ブラックホールの事象の地平 ブラックホールに落ちていく物体は、事象の地平に近づくとその速度がゆっくりになるというといいますが 落ちていく物体から、ブラックホール近辺でホバリングしている宇宙船を見るとどのように観測されるのでしょうか。 a:宇宙船で流れる時間 b:宇宙船自体の速度 の二通りについて説明をお願いします。 1.極限に速く進む 2.極限に遅く進む 3.どちらでもない 常識的に考えれば、時間がゆっくり進んでいる物体から見れば外界の時間は速く進むといえます。 しかし相対速度が光速に近づくので外界の時間はゆっくり進むとも言えます。 物体は強い重力場にいるとも表現でき、それでいながら自由落下しているので慣性系にいるとも言えます。 結局どの考えをどのように適用すればよいのでしょう。 必ず結果まで添えてご回答ください。
回答: 実際の光学観測は置いておきましょう。たとえば、特殊相対論の「双子のパラドクス」の解法でも、慣性系全域を考えます。必要に応じて、ドップラー効果などを加味して、一点からの光学観測を考えていきます。 ブラックホールに落ちて行くのは、特殊相対論で言っているような相対的な現象ではありません。互いに相手の時計が遅れていると主張して、どちらも正しいといったこととは違ってきます。 少しだけ数式に付き合ってください。特殊相対論では、時間も含めた距離sを以下のように表します(「^2」は2乗を表す)。 s^2=x^2`-(ct)^2 空間を1次元にしてxとしました。cは光速度、tは時間です。通常のユークリッド幾何学では2乗の足算で距離の2乗なんですが、時間だけは引算になります。それが、速度が速いほど時間が遅く進むことにつながったりします。 一般相対論での重力方程式を加味して、星(重力源)までの時空の距離sを表すと、以下のようになります(ご質問に不要な係数や微分的な部分は省略しました)。これは、ブラックホールの外で、ブラックホールに対して一定の距離を保っている視点からのものです。 s^2=r^2-(ct)^2/(r-a) rは向かっている星の中心までの空間の距離、aは星の質量で決まる、星の中心からの、ある距離です。なお、r>aが上記式の前提となっています。 引算になっている時間的な距離の方は、rがaに近づくに従い、どんどん大きくなってしまい、r=aで無限大になります。時間的な距離が無限大ということは、時間が停止することを意味します。 ブラックホールに落ちていく物体を観測していると、普通なら1秒でたどり着ける距離を行くのに、ブラックホールに近づいて行くにつれ、それが10秒になり、10時間になり、10年になりと、だんだん時間を要するようになっていきます。そして、ついには少しでも進むのに無限大の時間がかかるようになります。 そのaという距離が事象の地平面です。そこを超えて行くとすれば、無限大より長い時間がかかることになり、有限の時間では何物も事象の地平面を超えられません。 これを、落下して行く方の視点に切り替えると、次のような状況になります。 ブラックホールに落ちて行きながら外界を観測すると、外界ではだんだん時間の経過が速くなります。こちらの1秒が外界の10秒になり、10時間になり、10年になりと、だんだん外界の時間の流れが速くなります。そして、ついに外界の時間の流れる速さが無限大になります。 外界の時間の流れる速さが無限大となるとき、ブラックホールに落下していく方は事象の地平面に到達しています。落下して行く方は、事象の地平面のはずの距離に到達しても、そこに何ら特別なものは見えません。 しかし、そこより遠方の外界が、無限大の速さで時間が経過して行くという、なんだか異常な状態になっています。言葉を変えれば、宇宙が無限に年老いた姿を見ることができるわけです(実際の見え方は、光速度を考慮する必要がありますが、割愛します)。 こうした、ブラックホールを外から眺めている方と、ブラックホールに落下して行く方とで、互いに同じにならない非対称性は、重力の性質から来ています。重力源に近いほど重力が強いということですね。 一般相対論では、重力を重力場として、空間の歪みであると表現します。場所により、明らかに空間の状態が異なるわけですね。特殊相対論は、歪んでいない空間、つまり、どこでも同じという前提の理論であるため、空間の歪みである重力場も考慮すると、特殊相対論的な相対性は成り立たなくなります。