質問: 円周角の定理の証明 こんにちは。中学2年生の者です。 この前学校で円周角の定理を習いました。 ---------------定理-------------------------- 1つの弧に対する円周角はすべて等しく, その弧に対する中心角の半分である。 ∠apb=1/2∠aob (点a,b,p,は円周上の任意の点,点oは中心とし ∠apbは円周角,∠aobは中心角とする。) --------------------------------------------- この証明を授業中にしたのですが点pを通る直径pcをひき 二等辺三角形と外角の性質をつかって ∠aoc=2∠apc,∠cpb=2∠cobより ∠apb=∠aoc+∠cpb=1/2∠aob というものでした。 確かにこの証明では定理の中の, 円周角は中心角の半分であるということは 証明できていますがひとつの円の弧に対する 「円周角はすべて等しい」 という部分の証明にはなっていないと思うのですが。。。 ちょっと納得いかないところがあって。。。 是非どなたか教えてくださいm(_ _)m
回答: 点aと点bを仮定した地点で ∠aobは一定です。 ここでpとは異なる弧 ab 上に無い円 o の円周上の点qを取るとすると、 同様に ∠aoc=2∠aqc,∠cqb=2∠cobより ∠aqb=∠aoc+∠cqb=1/2∠aob となる。 ∠apb = 1/2∠aob ∠aqb = 1/2∠aob よって ∠apb = ∠aqb 同様にq,r,s,t・・・と様々な点を取ったとしても その角度は常に1/2∠aobで等しくなる(どこに点をとっても成り立つ)