質問: 平面図形(三角形の内接円、外接円、傍接円)の問題を教えてください。 δabc の内接円の中心を i とする。 また、δabc の傍接円のうち、辺bc と接するものの中心を j とする。 さらに、δabc の外接円と線分 ij の交点を d とするとき、 (1) id=db が成り立つことを示せ。 (2) 4点 i,b,j,c が点 d を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。 という問題です。 内心、傍心の性質、円周角の定理などを使って、 ∠dbi=∠dib を示せばよいということですが、どうにもできません。 よろしくお願いします。
回答: 図に印を入れながら読んでください。 (1) 弧cdの円周角なので、∠cad=∠cbd・・・(ア) ∠dib=∠bai(∠bad)+∠iba・・・(イ) ∠dbi=∠cbd+∠cbi・・・(ウ) 仮定から∠cad=∠bad、∠cbi=∠ibaなので (ウ)は、∠dbi=∠cad+∠ibaとなり ∠dib=∠dbi よってid=db (2) 仮定から∠ibj=90°(内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2) 同様に、∠icj=90°。 四角形bjciは、対角の和がそれぞれ180°なので円に内接する。 直径の弧に対する円周角は90°であるから、ijが円の直径であり (1)からdはその中心となる。