質問: ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください ※a→は「aベクトル」という意味です。 oa=3、ob=2の平行四辺形oacbがあります。oaを3:1の比に外分する点をdとし、bdとacの交点をeとします。さらに、oeとabの交点をfとします。oa→=a→、ob→=b→とするとき、 (1)oe→、of→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) (2)∠aob=60°のとき、点fを通り、oeに垂直な直線とbcの交点をpとします。op→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)oe→=a→+(b→/3)、of→=(3a→/4)+(b→/4) (2)op→=(17a→/40)+b→ です。
回答: >oa=3、ob=2の平行四辺形oacbがあります。oaを3:1の比に外分する点をdとし、 >bdとacの交点をeとします。さらに、oeとabの交点をfとします。oa→=a→、ob→=b→とするとき、 >(1)oe→、of→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) od:ad=3:1なので、od:oa=3:2より、od=(3/2)oa=(3/2)a oc=oa+ob=a+b de:eb=s:1-sとすると、 oe=(1-s)od+sob=(1-s)×(3/2)a+sb ......(1) ae:ec=t:1-tとすると、 oe=(1-t)oa+toc=(1-t)a+t(a+b)=a+tb ......(2) (1)(2)より、係数比較すると、 (1-s)×(3/2)=1,s=t より、s=t=1/3 よって、oe=a+(1/3)b o,f,eは一直線上にあるから、of=koeとおける。 of=ka+(1/3)kb ......(3) af:fb=u:1-uとすると、 of=(1-u)a+ub ......(4) (3)(4)より、係数比較すると、 k=1-u,(1/3)k=uより、k=3/4,u=1/4 よって、of=(3/4)a+(1/4)b >(2)∠aob=60°のとき、点fを通り、oeに垂直な直線とbcの交点をpとします。 >op→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) 内積a・b=|a||b|cos60°=3×2×(1/2)=3 bp:pc=m:1-mとすると、 op=(1-m)ob+moc=(1-m)b+m(a+b)=ma+b ......(5) fp=op-of=(ma+b)-{(3/4)a+(1/4)b} =(m-3/4)a+(3/4)b 角ofp=90度だから、of・fp=0 of・fp ={(3/4)a+(1/4)b}・{(m-3/4)a+(3/4)b} =(3/4)(m-3/4)|a|^2+(3/4)^2(a・b) +(1/4)(m-3/4)(a・b)+(1/4)(3/4)|b|^2 =(3/4)(m-3/4)×3^2+(3/4)^2×3+(1/4)(m-3/4)×3+(1/4)(3/4)×2^2 =(30/4)m+(51/16)=0 より、m=17/40 (5)に代入して、 よって、op=(17/40)a+b 図を描いて、計算を確認して下さい。