質問: 濃度について。 無限集合の濃度をアレフ(n)と書きます。 (1) アレフ(0)<アレフ(1)<アレフ(2)< ・・・ (2) アレフ(n)<アレフ(k)<アレフ(n+1) kの存在はzfでは肯定も否定もできない。 数学基礎論はおろか対角線論法も1度理解出来たと思った瞬間があっただけで今は図を見ていても頭痛するだけで全く理解できません。 質問です。 ○不等号(<)の使用法は普通の演算3<4とは相違していると思いますがどうなのでしょうか。 ○アレフ(0)は代表として自然数の濃度なのでアレフ(-1)は考慮しなくて良い、集合そのものが存在しないという事で良いでしょうか。 ○有限集合の濃度=アレフ0とやると何か変なので濃度という用語は無限集合だけに適用されるということでしょうか。 みっつも質問がありますが知っている人は知っていて知らない人は覚えたいので宜しく御願い致します。
回答: 1個ずつ: ・まず不等号の使い方: 有限基数 (ほぼ普通の非負整数のこと) で「a < b」と書けば「a は b より小さい」という意味ですが, 無限の基数においても同じように「a < b」は「a は b より小さい」ことを意味します. もちろん無限基数の場合は単純な大小関係が付かないので「濃度が a である集合 a」と「濃度が b である集合 b」の間に「a から b への単射が存在するが b から a への単射は存在しない」ときに「a < b」の関係が成り立つことになります. ・次: aleph0 は自然数の濃度ですが, 実は「aleph0 より小さな無限基数は存在しない」ことが証明されています. だから「それより小さいものはない」という意味を込めて aleph0 と「0」を付けています. ・最後に「濃度」という用語の使い方ですが, 本質的には有限集合・無限集合を問わず「濃度」ということは可能です. うまくイメージできないので「要素数」とか言うことが多いと思いますが.