質問: ベルヌーイの微分方程式 ベルヌーイの微分方程式が全くわかりません。お願いします、解いてください x>oのとき x・dy/dx+y=y^2・logx
回答: 1) 変数変換を行って、微分方程式を変形させる。 両辺をxで割って、ベルヌーイの微分方程式 の標準的な形にします。 dy/dx+y/x=log(x)/x y^2 ここで、ベルヌーイの微分方程式 と比べますと、m=2 となっていることが分かりますので、 u=y^(1-2)=1/y (∴du=-dy/y^2) と置きます。 http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/kougi/linb/lin_03.pdf この変数変換を用いて元の微分方程式を変形させますと、次のようになります。 du/dx-u/x=-log(x)/x ・・・☆ 2) 同次微分方程式と見なして一般解を得る。 式☆の右辺を0と見なすと、変数分離形になるので、次の一般解が得られます。 u=vx (v:積分定数) ・・・(1) 3) 定数変化法で、式☆の非同次微分方程式の一般解を得る。 式(1)の積分定数vをxの関数とすると、 du=xdv+vdx なので、これを式☆に代入すると、次の微分方程式を得ます。 dv=-log(x)/x^2 dx ∴v=log(x)/x+1/x+c (c:積分定数) 4) 変数を元に戻す。 ∴u=log(x)+1+cx ∴y=1/{log(x)+1+cx}