質問: この不定積分わかる人いますか
回答: ∫(1-x)/(x^2+1)dx=∫1/(x^2+1)dxー∫x/(x^2+1)dx ここで∫1/(x^2+1)dxについてx=tanθとすると、dx/dθ=1/(cosθ)^2 つまり、dx=dθ/(cosθ)^2 また、{(tanθ)^2+1}=1/(cosθ)^2より、逆数を取って 1/{(tanθ)^2+1}=(cosθ)^2 よって∫1/(x^2+1)dx =∫1/{(tanθ)^2+1} dθ/(cosθ)^2 =∫(cosθ)^2×dθ/(cosθ)^2 =∫dθ=θ+C=tan^(-1)x+C(Cは積分定数) またlog(x^2+1)を微分すると(x^2+1)'/(x^2+1)=2x/(x^2+1)だから ∫x/(x^2+1)dx=(1/2)×∫2x/(x^2+1)dx =(1/2)×log(x^2+1)+C(Cは積分定数) 以上より、∫(1-x)/(x^2+1)dx=tan^(-1)x+(1/2)log(x^2+1)+C(答) ※Cは積分定数、tan^(-1)xは逆三角関数で、arctanxとも表記する