質問: 全順序集合aが整列集合でない⇔z(-)⊂a 次の問題を解いているのですが...。 よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。 [[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。z(-)を負整数全体の集合とする。 (i) 全順序集合aが整列集合でない⇔z(-)⊂a. (ii) aが全順序集合且つaの任意の可算な部分集合が整列集合⇒aは整列集合 [(i)の証] 十分性を示す。 a=z(-)と採れば{2z;z∈z(-)}⊂aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 よってaは全順序だが整列集合とならない。 必要性を示す。 ∃b⊂a;minbが存在しない。その時,z(-)⊂aを言えばいいのですがどうすればいえますでしょうか? [(ii)の証] 対偶「aは整列集合でないならば(aは全順序集合でない∨(∃b⊂a;bは可算だが非整列))」となる。 もし,aが非整列ならaは全順序ではない場合もありうる。 もし,aが非整列だがaは全順序の場合,∃b⊂a;(bは可算∧minbが存在しない)でなければならない。これは,(i)の必要性よりz(-)⊂a (z(-)は可算)と言えるのでb:=z(-)と採ればよい。 この時,b非整列なので(∵最小値を持たないbの部分集合としてbを採ればよい) aが全順序集合且つaの任意の可算な部分集合が整列集合⇒aは整列集合 が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?
回答: [(ii)の証]ですが、対偶 >対偶「aは整列集合でないならば(aは全順序集合でない∨(∃b⊂a;bは可算だが非整列))」となる。 としていますが、「背理法で証明すれば」(i) から容易に導けると 思います。全順序まで否定してはいけません。すなわち aが全順序集合且つaの任意の可算な部分集合が整列集合であるのに 「aは整列集合でない」と仮定する。 すると(i) から、aは「整数全体の集合と順序同型な」z(-)を含む z(-)⊂a あとは、整列集合の定義がわかっていれば終わりです。 よって [(i)の証明]がポイントです。 命題「全順序集合aが整列集合である」の否定の命題は 「整列集合である」の定義から、どういうことか、書き出してみましょう。