質問: 位相 数学科2年のものです。 位相空間についての授業が始まったのですが、演習問題で、わからない問題があります。 初歩的な問題かもしれませんが、どなたか解答お願いします。 集合s={1,2,3,4}に部分集合族lを l={φ、{1}、{1,2}{1,3}{1,2,3}、s} により与える。sの部分集合{1,2,4}をtとおく。 (1)(s,l)は位相空間であることを示せ。 (2)位相空間(s、l)においてtの内部を求めよ。 (3)位相空間(s、l)においてtの閉包、境界を求めよ。 特に(1)の位相空間の定義の、「lに属する任意個の和集合がlに属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。
回答: (1) は「~を示せ」という問題ですが、"prove" とか "show" は大袈裟で、"verify" 程度の内容です。 位相空間の定義を教科書やノートで復習すれば、( s, l ) が位相空間であることの確認は、容易だと思うのですが。 >特に(1)の位相空間の定義の、「l に属する任意個の和集合が l に属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。 l が有限集合ですから、任意個といっても、実際には2個ずつで調べれば十分です。 位相空間の定義を理解するにおいて、なれてくるまでは、s の位相をすべて書き出してみるのが理想の勉強方法です。 しかし、この問題のように s の元が4個もある場合だと、時間的負担が大きすぎるかもしれません。 そこで、s の位相になっていない例を作ってみるのがお勧めです。 この問題では、l = { φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 2, 3 }, s } ですが、l の元から { 1, 2, 3 } を取り除いてしまった l’ は、位相にはなりません。 なぜなら、l’ = { φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, s } ですが、l’ の元 { 1, 2 } と { 1, 3 } の和集合 { 1, 2, 3 } が、l’ の元になっていないからです。 (2) は、講義で「内部」をどう定義しているか分からないので、回答しづらい感じもあります。 定義に忠実でないかもしれませんが、t の内部 int ( t ) を求めるには、t に含まれる開集合のみを取り出し、それらの和集合を求めればいいのです。 あるいは、t に含まれる開集合のうち、集合として最大のものを求めても正解が得られます。 もし t が開集合なら int ( t ) = t が成り立ちます。 この問題では t は開集合ではないので、int ( t ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。 (3) は、まず、位相空間 ( s, l ) の閉集合をすべて書き出します。 その中から t を含む閉集合のみを取り出し、それらの共通部分を求めれば、それが t の閉包 cl ( t ) です。 ただ、内部のときと同様、講義で習った閉包の定義とは異なるかもしれません。 cl ( t ) は、t を含む閉集合のうちで集合として最小のもの、ということもできます。 もし t が閉集合なら cl ( t ) = t が成り立ちます。 この問題では t は閉集合ではないので、cl ( t ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。 t の境界 ∂t を、t の内部 int ( t ) と t の閉包 cl ( t ) を使って表現するなら、 ∂t = { s ∈ s | s は int ( t ) の元でない かつ s は cl ( t ) の元 } となります。 また、cl ( t ) = int ( t ) ∪ ∂t も成り立ちます。 これを使う場合も、int ( t ) と ∂t は disjoint なので、int ( t ) と cl ( t ) が既知の場合、∂t は簡単に求めることができます。