質問: 左固有ベクトルの幾何学的意味は,何でしょうか? 左固有ベクトルの幾何学的意味は,何でしょうか? できれば直観的な説明を教えていただければ,幸いです.また,以下の記述におかしなところがありましたらご指摘願います. 右固有ベクトルに関しては,分かり易いです.右固有ベクトルuは,行列aに右側から掛けられますから,aによる変換を「受ける」立場にあります.変換「する」のはa,変換「される」のはuです.その幾何学的意味は,変換されも方向は変わらず(要素間の値の比は変わらず),大きさだけが変化する(各要素が,等しくl倍になる.このlが固有値)ということです.2次元あるいは3次元座標を紙に書いて,図示による説明も分かり易いです. 一方,左固有ベクトルvは,行列aの左側に位置しますから,変換を「受ける」のはaのほうです.変換「する」のはv,変換「される」のはaです.変換の結果,a次正方行列であるaは,1行a列行列になります.その幾何学的意味は,??? よろしくお願い致します.
回答: 「幾何学的に」「直観的に」ということなので、例えば、3次元座標空間内で言うと、 uはaの表す変換によりそれ自身に移る不動直線の方向ベクトルですが、 vはaの表す変換によりそれ自身に移る不動平面の法線ベクトルです。 vと垂直な不動平面をpとして、空間内の任意の点とpとの距離が変換aによりどう変わるか見ると 点の取り方によらず、aによる変換の前後では一定の比になります。 これがvに対する固有値に相当します。 変換後の点の位置は、固有値が正なら変換前と平面の同じ側、負なら反対側になります。