質問: 【問】f(x)=1+2x+3x^2+∫[-x...x]tf ́(t)dt・・・・(*)を満たす整式f(x)を求めよ。 皆様なら問題文を読んでどういう解答を思いつきますか? 以下自分の解答と模範解答です。 (整式決定はやはり先に次数を決めるというのが一般的?) [my answer] (*)を微分して f ́(x)=2+6x+xf ́(x)-xf ́(-x)・・・(1) また f ́(-x)=2-6x-xf ́(-x)+xf ́(x)・・・(2) (1)(2)からf ́(-x)を消去して f ́(x)=12x^2+6x+2 積分して f(x)=∫(12x^2+6x+2)dx=4x^3+3x^2+2x+C (Cは積分定数) (*)からf(0)=1だからC=0 ∴f(x)=4x^3+3x^2+2x+1 「模範解答」(かなり端折りました) f(x)を奇数次の項a(x)と偶数次(0次も含めて)の項b(x)とにわけると f(x)=a(x)+b(x)・・・・(1) f(x)=1+2x+3x^2+2∫[0...x]tb ́(t)dt(∵∫[-x...x]ta ́(t)dt=0) a(x)=2x+2∫[0...x]tb ́(t)dt・・・(2)(∵∫[0...x]tb ́(t)dtは奇数次) b(x)=1+3x^2・・・(3) (2)に(1)を代入して計算。→これと(1)(3)をあわせて f(x)=4x^3+3x^2+2x+1
回答: >皆様なら問題文を読んでどういう解答を思いつきますか? 私が思い付いたのは、[my answer]とほぼ同じ方法ですね。 (*)を見て、とりあえず、微分したくなって、 そのまま突っ走れば、解けてしまうので、別の方法を考えることすらしないと思います。 でも、この問題って、「模範解答」のようにすれば、微分しなくても、解けるんですね~。ちょっと感心しました。