質問: 漸化式の... 漸化式のα=pα+qを利用する方程式の教科書説明で 「p、qを定数、p≠1として漸化式が an+1=pan+q で表されている時、この式がある値αを用いて an+1-α=p(an-α) と変形できたとすると、数列{an-α}は公比pの等比数列になる。」ってところで、何故数列{an-α}なのでしょう?数列{an+1-α}ではないのでしょうか?
回答: 簡単な等比数列を使って考えてみるとわかるかもしれません。 たとえば初項3、公比2の数列をbnとします。 bn = 3 × 2^(n-1) (2^nは、2のn乗) nは自然数として使います。 この数列の第1~4項まで書いてみると、 b1 = 3 b2 = 6 b3 = 12 b4 = 24 ある項の数値を2倍(というより公比倍)すると、 次の項の数値になりますよね? この関係を書いてみると、 b1 × 2 = b2 b2 × 2 = b3 b3 × 2 = b4 となってます。 これをnを使って表すと、nは自然数ですから bn × 2 = bn+1 (bn-1 × 2 = bn では駄目です。n=1の時に式が成立しません) ですよね? この式は「bn+1を作るには、bnを2倍する」というよりは、 「bnを2倍すると、bnの次の項であるbn+1が作れる。」 と考えた方が良いかもしれません。 等比数列bnの関係はbn × 2 = bn+1、 整理して bn+1 = bn × 2 という関係で表せました。 と言うことは、 an+1 - α=p ( an - α ) に関しても、数列 {an - α} が等比数列という事にはなりませんか? あともう一つ、数列 {an+1 - α} を等比数列とすると まずい(というより面倒くさくなる)点を書いておきます。 前の例でbnを出しました。この数列bnは等比数列ですので、 bn+1に関しても等比数列だと言えます。 この場合、初項6、公比2の数列になりますよね? ある数列cnが等比数列なら、数列cn+1も等比数列です。 これは等比数列の一般項の形から分かると思います。 では、ある数列dn+1が等比数列なら、数列dnも等比数列だと 言えるでしょうか? 答えはノーです。 dn+1 = 3 × 2^nとしてみましょう。すると d2=6 d3=12 d4=24 です。それではd1はどうですか? nに0を代入してd1を求めることはできません。nは自然数ですから。 d1 = 3という事が証明できないと、数列dnが等比数列だとは言えません。 しかしd1 = 3を証明する術が、この場合、全くありません。 例えばdnを dn = 1 (n = 1) dn = 3 × 2^(n-1) (2 ≦ n) というふうに数列dnを定めることもできます。 この時dnは等比数列にはなっていませんよね? なのでdn+1が等比数列でも、dnは等比数列ではない場合があります。 何を言いたかったのかというと、 {an+1 - α} を等比数列とし、 そのまま解いてan+1の一般項を求めたとします。 たとえば an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 ) となったとします。 この時、nの部分を(n-1)に置き換えて an = 2^n + 3n ―――― (*) としてanの一般項を求めるかもしれませんが、これでは まだ不完全です。 このanの一般項は「nが2以上の自然数」となります。 これはさっきの 「nに0を代入してd1を求めることはできません。」 というのと同じ理由からです。 an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 ) のnに0を代入してa1を求めることはできません(nは自然数なので)。 この場合、n=1でも(*)式が成り立つ事を証明する必要があります。 なので {an - α} が等比数列とした方が、手間が少なくなるので楽です。 テストの問題用紙に書く量が減って時間が短縮でき、その分 他の問題を解く時間を確保できるので一石二鳥です。 まあ、n=1でも成り立つ事を証明するのはそれほど大変というわけでは ないんですが...。