質問: 1.2.....nの中の2つのもじk,lをとるとき、 h={σ⊂s_n | σ(k)=k, σ(l)=l 1.2.....nの中の2つのもじk,lをとるとき、 h={σ⊂s_n | σ(k)=k, σ(l)=l}は置換群であることを示すにはどのようにしたらよいでしょうか? また、この置換群の位数は(n-1)!であると考えたのですが、会っていますでしょうか?
回答: h が s_n の部分群であることを言えばいいのですね。 部分群であることを示すには、 h が演算と逆元について閉じていることを言えばいい。 σ,ρ∈h のとき、σ(k)=k, σ(l)=l, ρ(k)=k, ρ(l)=l より (σρ)(k) = σ(ρ(k)) = σ(k) = k, (σρ)(l) = σ(ρ(l)) = σ(l) = l なので σρ∈h. すなわち演算について閉。 σ(k)=k より (σ^-1)(k)=k, σ(l)=l より (σ^-)(l)=l なので σ^-1∈h. すなわち逆元について閉です。 h の位数は (n-2)! です。 1,2,...,n から k と l を除いた n-2 個を置換するのだから、 h は s_(n-2) に同型ですよね。