質問: AC>AB → ∠B>∠C ・・・1 AC=AB → ∠B=∠C ・・・2 AC<AB → ∠B<∠C ・・・3
回答: まず、正弦定理。 △ABCの外心OからBCへおろした垂線の足をHとし、外接円の半径をRとする。 ∠A=∠BOC×(1/2)=∠HOC BC=2R×sin∠HOC=2RsinA , 2R=BC/sinA 。他の角も同様なので、2R=BC/sinA=CAsinB=ABsinC 、正弦定理。 鋭角三角形では、 0°<θ<90°の範囲で、sinθは単調増加。 ...... A<B ⇔ sinA<sinB 90°≦A<180°の範囲では、 ...... △の内角の和は180°なので、 ...... B<90° ∧ B<180°―A ...... sinB<sin(180°―A)=sinA ...... この場合も、A<B ⇔ sinA<sinB 従って、0°<A<180°の範囲で、 ...... A<B ⇔ sinA<sinB また、正弦定理より、BC=2RsinA,CA=2RsinB ...... A<B ⇔ sinA<sinB ⇔ BC<CA ...... つまり、A<B ⇔ BC<CA ...... 対偶を取ると、A≧B ⇔ BC≧CA ...... A=B ⇔ BC=CA ...... A>B ⇔ BC>CA