質問: 三次関数 三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。このときa,b,cの値と極小値を求めよ。 という問題です。答えa=-6,b=9,c=-3,f(3)=-3 答えだすのは問題ないんですけど、丁寧な模範解答にこう書かれていました。 「y=f(x)がx=1,3で極値をとるならばf’(1)=f’(3)=0が成立します。(f’(1)=f’(3)=0をそれぞれ計算し、a,bの値をだした後)、 a,bの値を出した直後はまだ必要条件だから、実際に x=1,3の前後でf’(x)の符号変化が起きているどうかを確認しておくべきです。十分性の確認というやつですね」 そこで質問ですが、問題文に「x=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。」とあるんだから、普通に前後で符号の変化が起こることが分かるのに、なぜわざわざ確認しないといけないんですか? 極値と、そこで傾きが0になる、は同値ではないことは理解しています。 だれかご教授お願いします!
回答: 問題文に「x=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。」とあるからこそ 確認が必要かと思いますよ。 ご自身でもおわかりのとおり、三次関数だと変曲点がありますよね。 f’(1)=f’(3)=0 から、a,b,cが出ましたけど、変曲点でもf’(x)=0になるわけですから、 それで問題文の条件とあう関数になっているかどうかはわからないじゃないですか。 問題文に「x=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。」とあるからこそ、 本当にそうなのかを確認する必要があるのではないでしょうか。 例えば、問題文が「x=1で変曲点となり、x=3で極小値をとる。」と なっていたらどうでしょうか。解き方は同じで同じ答えがでます。 で、このとき、実際に入れてみたらx=1では極大になるとしたら、 その解は不適です。解なしが正解かもしれません。 答えが今は一つしか出てきてないからいいじゃんと思うかもしれませんし、 実際、答えだけ書くのであればそれでいいかも~と思います。 ただ、もっと複雑な問題で答えの候補が複数でてきたとしたら、 やはり確認しなければならないはずなので、 候補がひとつの場合でも(厳密に考えれば)確認すべきと思いますし、 今からその癖をつけておいてね、ということかと思います。