質問: 極限値 (1) lim[n→∞]√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1) 分子有理化をして、 分子分母に√(x+3)-√(x)をかけて、 lim[n→∞] 3 /{√(x+2)-√(x+1)}{√(x+3)-√(x)} さらに分子分母をxで割りました。 3/∞になって0になります。 しかし、解答は3です。 (2) 数列{a_n}の極限値を求める。 a_n=1^2+2^2+...+n^2/n^3 こちらは全く分かりません。 分子分母をn^2で割りましたが、 なにも進みません...。 なにかヒントをお願いします。
回答: (1) >(1)lim[n→∞]{√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1) lim[x→∞] {√(x+3)-√(x)}/{√(x+2)-√(x+1)} 分子分母に{√(x+3)+√(x)}{√(x+2)+√(x+1)}をかける。 =lim[x→∞] (3/1)*{√(x+2)+√(x+1)}/{√(x+3)+√(x)} =lim[x→∞] 3*{√(1+(2/x))+√(1+(1/x))}/{√(1+(3/x))+1} =3 (2) 公式σ[k=1→n] k^2=1^2+2^2+...+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1) を使って下さい。 a_n=(1^2+2^2+...+n^2)/n^3=(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→1/6 (n→∞)