質問: 不定積分 1/{e^(3x)+4}を不定積分せよ。 この問題は、ただ単にlog|e^(3x)+4|にならないんですか。
回答: 置換積分は、やっていませんが、 せっかく、 >>log{(e^(3x))+4)} とかいてあるので、 [log{(e^(3x))+4)}]'=3(e^(3x))/{(e^(3x))+4} 分母・分子を睨んで、[3x-log{(e^(3x))+4)}]'を考えます。 [3x-log{(e^(3x))+4)}]' =3-{3(e^(3x))/{(e^(3x))+4)}} ={3((e^(3x))+12-(3(e^(3x))}/{(e^(3x))+4)} 上手く、((e^(3x))が消えて、 =12/{(e^(3x))+4)} 係数を合わせるために、(1/12)倍して微分します。 [(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}}]' =1/{(e^(3x))+4)} ----- と完成して、 ∫{1/{e^(3x)+4}}dx =(1/12){3x-log{(e^(3x))+4)}} =(1/4)x-(1/12)log{(e^(3x))+4)}。