質問: ルベーグ積分 大学数学、ルベーグ積分の問題です。 以下の問題の解き方が分かりません。ご回答よろしくお願いします。 (x,b,μ)を測度空間として、aをbを含むx上のσ-加法族とする。このとき、以下の2条 件は同値であることを示せ。 (1)「e∈b,f⊂e,μ(e)=0」⇒「f∈a」 (2)「e_1,e_2∈b,e_1⊂f⊂e_2,μ(e_2\e_1)=0」⇒「f∈a」
回答: (2)→(1) bもx上の完全加法族であるから0∈b。よって e_1 = 0, e_2 = eとおけば直ちに導かれる。 (1)→(2) e = e_2\e_1, f' = f\e_1に対し、(1)を適用する。 bもx上の完全加法族であるから、e∈b。e_1⊂f⊂e_2からf'⊂e。仮定からμ(e)=0。 従って(1)からf'∈aが導かれる。 e_1⊂fから、f = f'∪e_1。e_1∈b⊂a から、あとはaが完全加法族であることからf∈aが従う。