質問: (1)(2)の証明をそれぞれ教えてほしいです。
回答: (1) (i)m=0のとき f(0)=3×f(0)=0 より確かに成立する。 (ii)m=kで成立すると仮定 つまり、 f(3^k)=3^k...1 ここで、 f(3^(k+1)) =3f(3^k) =3×3^k(∵1) =3^(k+1) よって、k+1でも成立する。 (i)(ii)より、これは全ての自然数mで成立する。 (2) (i)n=0のとき f(0)=0 つまり、このとき等号で成立する。 (ii)n≦kの全てで成立していると仮定。 ここで、 f(k+1)=3f([(k+1)/3]) つまり、 3f([(k+1)/3])≦k+1 ...2 を示せばよい。 ここで、[(k+1)/3]はk≧1で [(k+1)/3]≦(k+1)/3<k であるから、仮定より f([(k+1)/3])≦[(k+1)/3] が成立する。 この両辺に3をかけて 3f([(k+1)/3])≦3[(k+1)/3]≦k+1 これより、2式が導けたため、成立する。 (i)(ii)より、これは全ての自然数nで成立する。 こんな感じです これを帰納法で解くっていうのも違和感なんですけどね...まあ 今回は0を自然数に含めました。f(0)が定義されてるから... 回答は省略がちょっと多いので質問あれば返信で、