質問: 大学入試 整数問題の解法 数学で、以下の問題の解法が分かりません。 ご存じの方いらっしゃいましたら、教えていただきたいです。 途中までは考えたのですが、そこから上手くいきません。違うやり方でスマートな方法があるのでしょうか。 __________________________________ 『3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ』 (答えはa=625のみだそうです) __________________________________ 途中まで考えた部分を載せておきます。 (1)まず10000を素因数分解して2^4・5^4と表し、a^2-aはa(a-1)と表せてaが奇数であるからa-1=k・2^4としました。(kは自然数) a(a-1)=2^4・5^4・p (pは自然数)として、先ほど考えたa-1を代入するとa=5^4・(p/k)となりますが、ここで(p/k)が整数ではないため、どうやって求めていけばいいのか... (2)他の考え方として、最初にa(a-1)=2^4・5^4・pとaの偶奇からa=5^4・sとa-1=2^4・tと置くことも考えたのですが、偶数部分であるa-1が5の累乗を因数にもたないとは限らないため、sは整数とは限らない...(結局(1)の論理と同じことになりますが) 長文となってしまい申し訳ございません。 どなたか分かる方、説明していただける方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。
回答: (1)の考えにのっとっていきます。出てくる文字はすべて非負整数です。 a-1=16k a(a-1)=16*625*p (16k+1)*k=625p ここでk=625qと仮定するとa=16k+1=10000q+1となって題意に適しません。 したがって 16k+1=625r 両辺を5で割って余りに矛盾がないようにするにはk=5l+4です。 16(5l+4)+1=625r 80l+65=625r 16l+13=125r 両辺を5で割って余りに矛盾がないようにするにはl=5m+2です。 16(5m+2)+13=125r 80m+45=125r 16m+9=25r 両辺を5で割って余りに矛盾がないようにするにはm=5n+1です。 16(5n+1)+9=25r 80n+25=25r 16n+5=5r 両辺を5で割って余りに矛盾がないようにするにはn=0です。 したがってm=1,l=7,k=39,a=16k+1=625となります。