質問: センターレベル数学2b x軸上を動く動点aがあり最初は原点にある。確率pで表が出る硬貨を投げて表が出たら正の方向に1進み、裏が出たら負の方向に1進む。硬貨を投げる試行を100回行い、そのうち表が出る回数をxとし、動点aの座標をqとする (1)p=1/2とするとき確率変数xは、 平均e(x)=50 標準偏差σ(x)=5 の二項分布に従う。 (2)q=60のとき、表が出る回数はx=80回である。ここで試行回数100は十分大きいと考えられるので、r=x/100とおけば、q=60にあるとき、pに対する信頼度95%の信頼区間は、[?、?]と計算できる。 但し、zを標準正規分布に従う確率変数とするとき、p(-1.96≦z≦1.96)=0.95である。 ?に入る答えは、[0.72,0.88]です。 分かる方、解説をよければお願いします(>_<)
回答: センターレベルという事なので適当に近似して良いのでしょうか。 n = 100 を硬貨を投げた回数とする。 p の点推定値は p ≒ r = 0.8. x は二項分布に従うのでその分散の推定値は、 v[x] = n p (1-p) ≒ n r(1-r) =100 × 0.8 × 0.2 = 16. r の標準偏差の推定値は、 σ[r] = √(v[x/n]) = √(v[x]/n^2) ≒ 0.04. z = (r-p)/σ[r] が標準正規分布に従っていると見做しても良いとすると、 -1.96≦ (r-p)/σ[r] ≦1.96, r-1.96σ[r] ≦ p ≦ r+1.96σ[r], 0.7216 ≦ p ≦ 0.8784. 大体 p ∈ [0.72, 0.88]■.