質問: xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29
回答: f(x)は整式であるという条件があるのではないかと思います。以下、この条件のもとで考えます。 f(x)はn次式であるとし、f(x)=a_nx^n+...と表せるとしましょう。 このとき、f(x^2-1)=a_n(x^2-1)^+...より、f(x^2-1)は2n次式です。 よって、xf(x^2-1)は2n+1次式です。 xf(x^2-1)の方が-5f(x)よりも次数が高いので、左辺は2n+1次式です。 次に右辺についてですが、(x^3+1)f(x-1)はn+3次式です。 -2(x-1)f(x+1)-4x-29はこれよりも次数が低いので、右辺はn+3次式です。 恒等式の両辺の次数は等しいので、 2n+1=n+3 が成り立ちます。これより、 n=2となります。 あとは、改めてf(x)=ax^2+bx+cとおき、 xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 をa,b,cで表して係数を比較することによって、a,b,cを求めます。