質問: ■至急■数列の問題です。教えてください。 入試が目前で困ってます。 どなたか解る方、解き方と答えを教えていただけないでしょうか。 (1)は、s1=1、a2=2、だと思うのですが、自信がありません。 初項が1である数列{an}と、その初項からn項までの和snについて、 2an-sn=1 (2、3、・・・) が成り立つとき、次の問いに答えよ。 (1)s1、a1を求めよ (2)snを満たす漸化式を求めよ (3)snを求めよ よろしくお願いします。
回答: 2an-sn=1・・・(ア) 2a(n+1)-s(n+1)=1・・・(イ) 両辺の差をとって2(an-a(n+1))-(sn-s(n+1))=0 s(n+1)=sn+a(n+1)ですから、 2(an-a(n+1))-(sn-s(n+1))=2(an-a(n+1))-(sn-sn-a(n+1)) =2an-a(n+1)=0 よって、a(n+1)=2an→an=2a(n-1)・・・(ア) n=2の時、a2=2a1、2a2-s2=4a1-(s1+a2)=4a1-(s1+2a1) =2a1-s1=1→s1=2a1-1 s1=a1ですから、上の式はa1=2a1-1→a1=1、s1=1になります。 このa1=1、s1=1と(ア)式よりこの数列は、 1、2、4、8、・・・の公比2の等比数列となり、 一般項はan=2^(n-1)となるので、snを満たす漸化式は sn=s(n-1)+an=s(n-1)+2^(n-1)となります。 等比数列の和の公式より sn=(1-2^(n+1))/(1-2)=2^(n+1)-1となります。