質問: 10n/(n3+n2+n+1)が整数となるような正の整数nはどうなりますか?
回答: JMO 2015 本選第一問ですね。 知恵袋だと見にくいかもしれませんが、ご了承ください。 ユークリッドの互除法より、 gcd(n2+1,n+1)=(n+1,2) (なぜなら、n2+1=(n+1)(n-1)+2) よって、2数の最大公約数は1または2 一方、条件よりn+1,n2+1は2の倍数、または5の倍数である。 どちらも2の倍数でないことはない。なぜなら、n+1,n2+1≠1より、どちらも5の倍数になってしまい、最大公約数が1または2に矛盾するからである。 また、片方が2の倍数である時、 n≡1(mod2)だが、このとき、もう一方も2の倍数になるからである。 しかし、n2≡0,1(mod4)より、 n2+1≡1,2 (mod4) どちらも2の倍数だから n2+1≡2 (mod4) これは、n2+1が2の因数をただ一つ持つことを表す。 また、n2+1が5の倍数でない時、 n2+1=2 つまりn=1だが、これは不敵である。 以上のことから、 n+1=2^k n2+1=2・5^l と表すことができる。 k=2のとき、n=3でこれは題意を満たす。 以下k≧3の時について考える。 よって、 (2^k-1)2+1=2・5^l これを変形すると、 2^k・(2^(k-1)-1)=5^l-1 lが偶数の時、 5^l-1≡0 (mod8) lが奇数の時、 5^l-1≡4 (mod8)より、右辺が8の倍数であることが必要なので、 l=2mとおける。 すると、 2^k・(2^(k-1)-1)=(5^m+1)(5^m-1)と因数分解でき、5^m+1≡2 (mod4)より、 5^m-1=2^(k-1)・tとおける。(tは奇数) 2^(k-1)-1=t・(2^(k-2)・t+1) 1 ここで、t≧3のとき、 t・(2^(k-2)・t+1) > 2^(k-2)・2+1>2^(k-1)-1 より矛盾。 故に、t=1である。 したがって、1の式を解いて、k=3つまり、n=7 よって、n=3,7である。