質問: an -an-1 が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ (2) an<2 となることを示せ (3) lim an を求めよ うまく数列の小さい文字(aの右下の1とかn)が打てないので ワードで書いたものを添付します。あと、√の中には1+anまで入ります。よろしくお願いします。
回答: 証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、 { a[n+1] }^2 - { a[n] }^2 = { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2 = (1 + a[n]) - (1 + a[n-1]) = a[n] - a[n-1] となります。 左辺を因数分解して、 (a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、 漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。 従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。 a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、 任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。 a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、 (2) も、帰納法で示せます。 (1) より前に、(2) を兼ねて、 0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、 話の流れがスムースかもしれません。 (1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、 lim[n→∞] a[n] は収束します。 よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。 両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。 (*) bolzano-weierstrass の定理 http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c5327a4480f1694a1c9.html