質問: xlogxを+側から0に近づける時 xlogx をプラス側から0に近づける時について質問です。 lim xlogx をx→+0 の時、 xはプラスの値をとりながら0に近づきますよね? logx は-∞に近づきますよね? この時、xlogx 全体としては0に近づくのでしょうか?それとも-∞に近づくのでしょうか? 教えてください。 お願いします。
回答: log(x) が-∞に近づく速さに比べ xが0に近づく速さが圧倒的なため、 lim[x → +0] x・log(x) = 0 になります。 証明は次の通り: log(x)=tとおいてみると、x→+0をt→-∞といいかえることが出来ます。 lim[x → +0] x・log(x) =lim[t → -∞] exp(t)・t =lim[t → +∞] exp(-t)・(-t) =lim[t → +∞] (-t)/exp(t) t → +∞ のとき分母、分子ともに発散するのでロピタルの定理を適用することが出来ます。 つまり、 分子の導関数 = -1 分母の導関数 = exp(t) なので =lim[t → +∞] (-1)/exp(t) =0 が極限値になります。 この証明と同じ方法で、例えば lim[x → +0] x・(log(x))^100 = 0 なども示すことが出来ます。 そのくらい、x → +0 での log(x)の発散のスピードはのろいのです。