質問: Q上において、x^4-3の最小分解体をL⊂Cとします。 このとき、σ,τ∈Gal(L/Q)に対して σ(4√3)=i4√3 σ(i)=i τ(4√3)=4√3 τ(i)=-i と定めます。 Gal(L/Q)の位数が4となるような部分群を全て求め、各部分群に対しての不変体を求めたいのですが、イマイチ最善な方法がわからず手間取っています。 例えば位数が2であれば、{1,σ2}や{1,τ2}が部分群であると思うのですが(違ったらごめんなさい)、これは難しいことを考えず、2乗してもとに戻ってくれば良いかを確かめれば出てくると考えました。 しかし、4乗してもとに戻ってくるような元を探すにあたり、こんな非効率的な方法ではなく、何かいい方法があるのでしょうか。 Gal(L/Q)の元は、計算したところ、全てで11個あったため、なかなか気分が乗りません笑 ぜひご教授お願いします。
回答: L=Q(∜3,i)ですね. G=Gal(L/Q)と置きます. M=Q(∜3)とします. ∜3のQ上の最小多項式はx4-3より, M/Kの拡大次数は[M:K]=4. またL=M(i)であり, iのM上の最小多項式はx2+1より, L/Mの拡大次数は[L:M]=2. よって, |G|=[L:K]=[L:M][M:K]=8. Gの元は∜3とiの行先で定まり, 共にQ共役な元にしか行きません. a=0,1,2,3, b=0,1に対し L→L, ∜3↦i^a ∜3, i↦(-1)^b i は相異なるGの元でこれで全てなので, |G|=8が改めて分かります. 一応Gの構造を求めましょう. σは位数4の元,τは位数2の元です. よって σ^a τ^b (a=0,1,2,3, b=0,1) は相異なるGの元です. 従ってGの元はこれで全てで, G=⟨σ,τ⟩ が成り立ちます. また σ4=τ2=ε στστ=ε (εはL上の恒等写像,Gの単位元) が共に成り立ちます. すると位数8の二面体群 D4=⟨ s,t | s4=t2=1, stst=1 ⟩ からGへの全射準同型写像 D4→G, s↦σ, t↦τ が定まり, |D4|=|G|=8 よりこれは同型写像になります. Gの元は ε,σ,σ2,σ3,τ,στ,σ2τ,σ3τ の8つです. 位数を考えると, 位数1...ε 位数2...σ2,τ,στ,σ2τ,σ3τ 位数4...σ,σ3 となります. HをGの位数4の部分群とします. Hの元の位数を考えるとHは Z/4Z,Z/2Z×Z/2Z のどちらかに群として同型です. H≅Z/4Zなら位数4の元で生成されます. 生成元の選び方は2通りですが 出て来る部分群は1つです. H≅Z/2Z×Z/2Zなら 位数2の元2つで生成されます. 生成元をκ,λとすると H={1,κ,λ,κλ} と書けますが, μ=κλと置くと, H={1,κ,λ,κλ}={1,κ,μ,κμ}={1,λ,μ,λμ} が成り立ちます. 更にHは可換群なのでκλκ−1λ−1=εです. これらを踏まえると, 生成元2つの選び方は10通りですが, 出て来る部分群は2つです. ここの部分は頑張って計算するしかない気がします. 注 位数2の部分群は素数位数なので巡回群で, 位数2の元により生成されます. 不変体について考えましょう. H≅Z/4Zとして生成元をκとすると, α∈Lがκで固定されれば不変体はQ(α)です. αはすぐに見つかると思います. 問題はH≅Z/2Z×Z/2Zの場合です. 生成元をκ,λとすると, α∈Lがκ,λで固定されれば不変体はQ(α)です. この場合のαの見つけ方は2通りあります. 一つ目は一般的な方法です. L/QのQ基底を∜3とiで表しましょう. そしてαをその基底によるQ線形結合で表し, κ,λで共に不変となるように係数を定めましょう. 二つ目は拡大次数を考える方法です. G/Hの指数とQ(α)/Qの拡大次数は 一致して共に2です. よってαは2次方程式の根であり, 特にα=√n (nは整数)とすることが出来ます. √n∈Lとなるnは少し考えると分かると思います. 全部で3つ出てきて,うち一つはH≅Z/4Zの場合です. 残り2つがH≅Z/2Z×Z/2Zの場合で, それぞれどの部分群に対応するかは, 生成元κ,λで固定されるか否か確かめればいいです.