質問: 位数6の群を分類したいです。 gを位数が6の群とする g≅z/6z or s3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、 シローの定理からp3:3-sylow部分群 s3:p3の個数 p2:2-sylow部分群 s2:p2の個数 とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、 (1)s2=1の時は、g≅z/2z×z/3z≅z/6z ということは分かったのですが、 (2)s2=3の時はg≅s3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。 教えていただけませんですか?
回答: シローの定理より 2シロー群{e,a}が存在 3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない. そこで ab の位数 o(ab) を考える o(ab)=1,2,3,6である o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適 o(ab)=6ならば 位数6の群gに位数6の要素があるので gは巡回群z/6z o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1} つまり gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは 三次二面体群d_3すなわち3次対称群s_3 o(ab)=3ならば abが生成する巡回群は3シロー群 3シロー群はひとつしかないので ab=e,b,b^2 ab=eは不適 ab=bも不適 ab=b^2も不適 よってo(ab)は3とはならない 以上より 位数6の有限群は 巡回群か3次の対称群 実際はもっと強いことがいえて 素数p,qに対して 位数pqの群が決定できます シローの定理と自己同型の組合せ ♯ぐぐると力作のpdfがすぐ見つかります