質問: ベクトルa,b,cが1次独立のとき、次のベクトルの組みは1次独立か (1)a,a+b,a+b+c (2)a-b,b-c,c-a がわかりません。教えてください
回答: (1)a,a+b,a+b+c 一次独立の定義から ax+(a+b)y+(a+b+c)z=0 を満たす実数x,y,zがx=y=z=0だけであれば一次独立になります。 変形すると ax+ay+by+az+bz+cz=0 a(x+y+z)+b(y+z)+cz=0 a,b,cは一次独立なので、 x+y+z=y+z=z=0 が成り立ちます。 これを解くとx=y=z=0となるため、a,a+b,a+b+cは一次独立です。 (2)a-b,b-c,c-a 一次独立の定義から (a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=0 を満たす実数x,y,zがx=y=z=0だけであれば一次独立になります。 しかし、x=y=z=1とすると (a-b)+(b-c)+(c-a) = a-b+b-c+c-a = 0 となるため、a-b,b-c,c-aは一次独立ではありません。