質問: フーリエ係数 mitのopencoursewareで学習しておりますが、 分からない問題があるので教えていただきたいです。 http://ocw.mit.edu/ocwweb/electrical-engineering-and-computer-science/6-003fall-2003/exams/index.htm のquiz 1のproblem 4のpart a,bです。 part aにおいては、 周期的な三角波x(t)があり、その波は座標軸上で(0,0),(1/4,1),(1/2,0),(3/4,-1)(1,0)を取ります。 この波のフーリエ係数akを求めよという問題があり、私はt=1,ω=2*πとして、 ak=1/t∫[t]x(t)*e^(-j*k*ω*t)dt =∫[1]x(t)*e^(-j*k*ω*t)dt =∫[0-1/4]4*t*e^(-j*k*ω*t)dt + ∫1/4-3/4*t*e^(-j*k*ω*t)dt + ∫3/4-1*t*e^(-j*k*ω*t)dt =1/(-j*k*ω){[4*t*e^(-j*k*ω*t)][1/4-0] - ∫[0-1/4]4*e^(-j*k*ω*t)dt + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt + [(-4*t-2)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt} =1/(-j*k*ω){(1/(j*k*ω))*(4*e^((-j*k*π)/2) - 4/(j*k*ω)) - e^((-3*j*k*π)/2) - (1/(j*k*ω))*(4*e^((-3*j*k*π)/2) - 4*e^((-j*k*π)/2)) - 6*e^(-2*j*k*π) + 5*e^((-3*j*k*π)/2) - (1/(j*k*ω))*(4*e^(-2*j*k*π) - 4*e^((-3*j*k*π)/2))} =1/((-j*k*ω)^2){(6*j*k*ω+4)*e^(-2*j*k*π) + (8-4*j*k*ω)*e^((-3*j*k*π)/2) - 8*e^((-j*k*π)/2)} となったのですが、正解とは異なります。 どうすればいいでしょうか? また、mitが解答として出している解説が答えと一緒に乗っているのですが、 これの解説もなぜあのように書くことが出来るのかわかりません。 またpart bでは、 h(j*ω)をどうすれば導出出来るのかが分かりません。 よろしくお願いいたします。
回答: >=∫[0-1/4]4*t*e^(-j*k*ω*t)dt > + ∫1/4-3/4*t*e^(-j*k*ω*t)dt > + ∫3/4-1*t*e^(-j*k*ω*t)dt この行は以下のミスです。 + ∫3/4-1*t*e^(-j*k*ω*t)dt >=1/(-j*k*ω){[4*t*e^(-j*k*ω*t)][1/4-0] - ∫[0-1/4]4*e^(-j*k*ω*t)dt > + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt + (-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4*e^(-j*k*ω*t)dt > + [(-4*t-2)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt} この行もミスが重なりました。 + [(4*t-4)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4] 4*e^(-j*k*ω*t)dt} この先も計算を待ち合えないようにやってみてください。(ωは2πを入れた方がいいですね。) フーリエ係数を計算する場合 積分区間を-t/2~t/2、つまり -1/2~1/2 x(t)が奇関数であることを上手く使うと 計算が簡単になるかと思います。