質問: expを含む無限等比?級数 無限級数 σ x^{2(n-1)} ・ exp(inθ) [n=1~∞] =exp(iθ)/{1-(x^2) ・exp(iθ)} ・・・(*) となるそうなのですが、どのように計算すれば良いのでしょうか。x^nではなくx^{2(n-1)}の無限等比級数の形に更にexpも掛かっているので高校数学の公式を直接使えない...と思ったのですが、参考書の途中計算を見ると無限等比級数の公式a/(1-r)の式をそのまま使ってるようにも思えます。また、x^{2(n-1)}の中のx^(-2)の項はどのように計算したのでしょうか。 どなたかお願いします。
回答: 公比の見つけ方が分からないという感じですかね? (何かの数)^(n-1) みたいな形を作ることを目的にして式をいじれば見つけられます。指数をn-1にするわけですね。例えば、x^(2(n-1))なら指数法則によって(x^2)^(n-1)となりますし、exp(inθ)ならこれはexp(iθ)^n=exp(iθ)*exp(iθ)^(n-1)となりますね。よって、 σ x^(2(n-1))*exp(inθ) = σ exp(iθ)*(x^2*exp(iθ))^(n-1) つまりこれは初項exp(iθ)、公比x^2*exp(iθ)の等比数列の級数ですから、 = exp(iθ)*(1-limk→∞)^k)/(1-x^2*exp(iθ)) ここまでは計算したのですが|x|<1かなんかそんな条件がないですかね?それがあったらlimk→∞)^k)=0ですから、 = exp(iθ)/(1-x^2*exp(iθ)) が導けるのですが。 まあ、公比はxじゃなくてx^2*exp(iθ)とかにもなりうるってことですかね。 >また、x^{2(n-1)}の中のx^(-2)の項はどのように計算したのでしょうか。 これについては質問の意図がよく分かりませんでした...公比が分からないってことが根本の原因なら先の説明で納得していただけると思うのですが... 回答が的を射てなかったらすいません。