質問: 整式で表された関数f(x)が 整式で表された関数f(x)が、f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき、f(x)を求めよ。 という問題で、f(x)がn次式であるとすると、教科書では、 (a)n=0,1のときf(x)=ax+bとおけ、f'(x)=aより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=-x-1 (b)n>=2のとき左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、2(n-1)=n n=2より f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=(3/4)x^2+2x+2 ということらしいのですが、 n>=2のとき、例えば、f(x)=(1/2)x^2+cx+dのとき、f'(x)-xは定数(c)となり、左辺は1次式となって、 左辺は必ずしも2(2-1)=2次式とは言い切れないと思うのですが、どうでしょうか。解答として不十分なのでしょうか。 一度先生に質問してみたところ、n=2はあくまでも必要条件だから、このままでよいと言われましたが、 どういうことでしょうか。 解答お願いします。
回答: #1です。訂正です。 整式で表された関数f(x)が、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき f(x)がn次式であるとすると n=2のとき 左辺が1次式の時、右辺は2次式で 等号が成り立たず、 f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たしません (a) n=0,1のとき f(x)=ax+bとおけ, f'(x)=aより与式に代入して, 恒等的に解いて、 f(x)=-x-1 (b) n≧2のとき n>2を仮定すると 左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、 2(n-1)=n n=2となってn>2に矛盾 n=2より p≠0 f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、 恒等的に解いて、 f(x)=(3/4)x^2+2x+2