質問: 1階線形微分方程式
回答: dy/dx=(x-1)y/x+1/2x dy/dx-[(x-1)/x]y=1/2x (1) 一般に dy/dx+P(x)y=Q(x) において F(x)=exp(∫P(x)dx) を積分因子という。 (註 exp(x)=e^x) 問題ではP(x)=-[(x-1)/x]=1/x-1よって F(x)= exp(∫(1/x-1)dx)=exp(logx-x)=exp(logx)/exp(x)=xexp(-x) 積分因子F(x)を(1)の両辺にかける。 (dy/dx)xexp(-x)-[(x-1)/x]yxexp(-x)=(x/2)xexp(-x)=(x^2/2)exp(-x) 左辺は (dy/dx)xexp(-x)-[(x-1)/x]yxexp(-x)=d[yxexp(-x)]/dx (右辺を微分して確認のこと) よって d[yxexp(-x)]/dx=(x^2/2)exp(-x) 積分して yxexp(-x)=∫(x^2/2)exp(-x)dx =(x^2/2)(-exp(-x))-∫(x)(-exp(-x))dx (部分積分) =-(x^2/2)exp(-x)+∫xexp(-x)dx =-(x^2/2)exp(-x)+x(-exp(-x))-∫(-exp(-x))dx =-(x^2/2)exp(-x)-xexp(-x))+∫exp(-x)dx =-(x^2/2)exp(-x)-xexp(-x))-exp(-x)+C =-(x^2+2x+2)exp(-x)/2+C y=-(x+1+2/x)/2+Cexp(x)/x