質問: ペアノの算術と自然数の最小値が1である事 画像は数学ガール「ゲーデルの不完全性定理」の1ページです。 ペアノの算術は「ペアノの公理」「加算の公理」「乗算の公理」「不等号の公理」からなると思います。「ペアノの公理」と「加算の公理」で自然数の順序性は出てくると思います。 しかし「順序 not= 大小」ですし、又「ペアノの公理」「加算の公理」「乗算の公理」から定理として「最小値が1である」と導かれるとも思えません。 ここは単純に「不等号の公理」から自然数の最小値は1と考えて宜しいのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 最小値は不等号の定義によって決まるのですから、何が最小の自然数か、またそれ以前に 自然数に最小値が存在するかどうかも、不等号の公理に由来する以外にありません。 事実、写真の不等号の公理の1本目で、1より小さい自然数は存在しないと書いてあります。 1が自然数の最小値であることは、この公理で決められているのです。 自然数の定義は、1から始める場合と0から始める場合があります。 どちらにするかは、ペアノの公理の1本目で決まります。写真の例では1からを採用しています。 そこを0∈nに置き換えた公理系もある...というか、そちらのほうがメジャーではあります。 不等号の公理も、加算の公理や乗算の公理も、写真を見ると1本目には1が登場しています。 ペアノの公理の1本目が0∈nであるような体系では、そこに1の替りに0が登場することになります。 そういうわけで、1が自然数の最小値であることは、正式にはというか形式的には不等号の公理により、 不等号の公理がそのようになっている理由はペアノの公理にあります。心情的にはペアノの公理による とでもいうべきでしょうか。