質問: 帰納法、不等式の証明問題です 数学的帰納法がサッパリわかりません。 特に不等式の証明が、、、。 たとえばこんな問題です。 (1/1^2)+(1/3^2)+(1/5^2)+...+1/(2n-1)^2<(3/2)-1/4n が全ての自然数nで成り立つことを証明せよ。 この問題だと、どう解けばいいのでしょうか。 そして、不等式の成立の証明を数学的帰納法でする場合、「コレをしろ!」みたいなコツはあるのでしょうか。 かなり困ってます。 どなたかよろしくお願い申し上げます。
回答: こんばんわ。 基本的には、等式のときと同じです。 「n=1のときを示す。n=kのとき成立すると仮定して、n=k+1のときも成立することを示す。」 数学的帰納法で示す式は、 たいていの場合右辺か左辺が「数列の和」の形になっています。 そして、その和は単純に表すことができない形です。 和の形をなくすことを考えればよいことになります。 不等式の証明の場合は、不等式の左辺を l(n)、右辺を r(n)と書くと r(k+1)- l(k+1)> (n= kの不等式を用いて変形した式)> 0 という形で示すことが多いです。 最終的に示すべき n= k+1のときの不等式を書き下し、 ジグソーパズルのピースを合わせる感じで n= kのときの不等式を当てはめることを考えてみてください。