質問: 直線と平面の交点 「四面体oabcにおいて、辺bcの中点をd、辺oaを3:2に内分する点をeとする。線分deを1:2に内分する点をfとし、直線ofと平面abcの交点をgとする。ベクトルoa=ベクトルa、ベクトルob=ベクトルb、ベクトルoc=ベクトルcとするとき、ベクトルogをベクトルa、ベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。」という問題の答えは『ベクトルog=3/8ベクトルa+5/16ベクトルb+5/16ベクトルc』で合ってますか?
回答: ベクトルは、省略して書きます。 点eは、辺oaを3:2に内分する点だから、 oe=(3/5)a 点dは、辺bcの中点だから、 od=(1/2)b+(1/2)c 点fは、辺deを1:2に内分する点だから、 of=(2/3)od+(1/3)oe =(2/3){(1/2)b+(1/2)c}+(1/3)(3/5)a =(1/5)a+(1/3)b+(1/3)c 直線ofと平面abcの交点をgとするから、 og=kof=(k/5)a+(k/3)b+(k/3)c ・・・・・・(1) また、gは平面abc上の点だから、 og=oa+sob+toc =a+s(b-a)+t(c-a) =(1-s-t)a+sb+tc ・・・・・・(2) (1)、(2)より、 (k/5)a+(k/3)b+(k/3)c=(1-s-t)a+sb+tc a、b、c は一次独立だから、 k/5=1-s-t ・・・・・・(3) k/3=s ・・・・・・(4) k/3=t ・・・・・・(5) (4)、(5)を(3)に代入して、 k/5=1-k/3-k/3 3k=15-5k-5k 13k=15 k=15/13 したがって、(1)より、 og=(3/13)a+(5/13)b+(5/13)c と、なりました。