質問: 二項定理 高校1年生の者です。明日テストなのですが、 どうしても解けない問題があり、とても焦っています; 二項定理で nc0+nc2+・・・・+nc(n-1)=nc1+nc3+・・・・+ncn=2^(n-1) を証明せよ。(ただしnは奇数とする。) という問題です。(見にくくてすみません) 解説を読んだのですが全く解りません・・・; nc0×2^n-nc1×2^(n-1)+nc2×2^(n-2)-・・・+(-1)^n×ncn=1 という問題は解くことができます。 ------------------------------- また、違う問題でもう1問解らないものがあります。 (2つ質問することは駄目ですよね・・・; ご説明してくださる場合は片方だけで結構です;) 11^100-1の末尾に並ぶ0の個数を求めよ。 という問題です。 11^100を(10+1)^100にして考えるところまではいったのですが、 その後どうしてよいかわかりません; 普通に計算していくのは大変ですよね。 どうやって考えればよいのでしょうか。 焦っていて至らない場所があるかもしれません; すみません。 もし宜しければご説明お願い致します。
回答: (1-1)^n=0 だから、 nc0(1)^n*(-1)^0 +nc1(1)^(n-1)*(-1)^1+・・・+ncn(1)^0*(-1)^n=0 nが奇数だから nc0-nc1+nc2-・・・-ncn=0 移項して最初の等式がでて、 (1+1)^n=nc0+nc1+・・・+ncn=(nc0+・・・ncn-1)+(nc1+・・・+ncn)=2^n だから、 ( )=2^n/2=2^(n-1) となります。 11^100=(10+1)^100=100c0+100c1*10+100c2*10^2+100c3*10^3+ ・・・+100c100*10^100 =1+1000+495000+50*33*98*1000+・・・ となって、・・・より後の項は、10000より大きい。 とるすと、***6000 となって、0は3つ並ぶ。