質問: vy + aωcosθ - aω'cosθ (v'yは衝突後の質量中心周りの回転速度) に代入したのですが、得られたのは v'y= vy - (aωcos^3θ+2vcos^2θ) とy方向の変位が振動する解となってしまいました。 この手順の訂正箇所をどなたか教えてください。 あと,v'xはx方向の力積を受けていないからvx=v'xでいいのでしょうか。
回答: ははあ、貴殿とのやり取りでようやく理解しました。私は剛体中心が支持されているという先入観に陥ってました。この問題は、剛体中心も自由ですね。no.3の回答は撤回します。剛体中心が自由という下で、解答いたします。 まず剛体の質量中心に対する慣性モーメントigは、平行軸の定理から ig=2*m*a^2 →{1} 次に質量中心回りの角運動量と力積のモーメントの関係は、 ig*ω'-ig*ω=a*⊿f*cosθ →{2} 次に剛体全体の運動量と力積の関係において、x軸方向は、 2*m*vx'-2*m*vx=0 →{3} y軸方向は、 2*m*vy'-2*m*vy=⊿f →{4} また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、 uy=vy-a*ω*cosθ 式{5}と同様に、 uy'=vy'-a*ω'*cosθ uy'=-uyですので、 vy'-a*ω'*cosθ=-vy+a*ω*cosθ →{5} vx'は式{3}から直ちに求まり、vx'=vx // 次に式{2}と式{4}から⊿fを消去すると、 2*m*a^2*ω'-2*m*a^2*ω=a*(2*m*vy'-2*m*vy)*cosθ ⇔ a*ω'-a*ω=vy'*cosθ-vy*cosθ ⇔ a*ω'=vy'*cosθ-vy*cosθ+a*ω →{6} これを式{5}に代入して、 vy'-(vy'*cosθ-vy*cosθ+a*ω)*cosθ=-vy+a*ω*cosθ ⇔ (sinθ)^2*vy'=-(1+(cosθ)^2)*vy+2*a*ω*cosθ よって、vy'=-((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*vy+(2*cosθ/(sinθ)^2)*a*ω // さらにこれを式{6}に代入して、 a*ω'=(-(1+(cosθ)^2)/((sinθ)^2)*vy+2*cosθ/((sinθ)^2)*a*ω)*cosθ-vy*cosθ+a*ω ⇔ a*ω'=-cosθ*(2*(cosθ)^2/(sinθ)^2*vy+(1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2*a*ω よって、ω'=-(2*cosθ/(tanθ)^2)*vy/a+((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*ω // いかがでしょう?