質問: -4/3(4-x^2)^3/2 がありますが、微分して被積分関数になる式の作り方が良く分からないのですが、何かやり方があるのでしょうか? また、この解き方を用いるのはどのような場合の積分でしょうか?
回答: 微分して被積分関数になる式は不定積分を探していることになり、 「数学公式集の不定積分の公式の中で探す。」のが一般的です。 しかし見つからない場合の方が圧倒的に多いでしょう。 試験などで公式集が使えない場合、または手元にない場合、 置換積分が有効です。 むしろ置換積分の結論を示しているだけかと思われます。 ∫4x * sqrt(4-x^2) dx の場合 x=2sintと置くとdx=2costdtを用いて i=∫4x * sqrt(4-x^2) dx=32∫sintcos^2tdt d(cos^3t)/dt=-3sintcos^2tより i=(-32/3)cos^3t=-(4/3)(4-x^2)^(3/2)