質問: 極限、不連続 f(x)=x^2sin(1/x)(x≠0のとき)f(x)=0(x=0のとき)とする。このとき導関数f(x)がx=0において不連続であることを示せ。という問題が分かりません。 x^2sin(1/x)が0に近づくとき0にならないことを証明すればそいのかと考えましたが解けずにいます。
回答: 微分係数の定義と 連続の定義に従うだけです ( f(x)-f(0) )/ (x-0) = f(x)/x = x sin(1/x) = sin(1/x) / (1/x) → 1 (x→0) したがって,f(x)はx=0で微分可能で f'(0)=1 一方,x≠0のとき f'(x) = 2x sin(1/x) + x^2 (-1/x^2) cos(1/x) =2x sin(1/x) - cos(1/x) なので x→0のとき,f'(x)は1には収束しない #実際は振動 ここまでくれば後は明らかでしょう