質問: ディラックの方程式 何度もすみません。皆様のおかけで大体解けたのですが・・・肝心なところが理解できてないような気がして、終わった気がしません。 【1】 非相対論では手で入れたスピンがディラック方程式では何で自動的に入っているのかわかりません。 【2】 もしかしたら【1】と同じことかもしれませんが、非相対論のときは普通にschrodingerの方程式を解いても、スピンは出てきませんよね?何かを無視したから出てこなかったのですか?何を無視したんですか? 【3】 γ行列は最低4×4行列ってあるんですが、もし6×6行列としたらどうなるのですか?やろうとしたのですが、6×6行列のγの関係式を満たすエルミート行列の作り方がわからなく、手も足も出ませんでした。 と、ディラック方程式をほとんど理解できない状態です。エネルギー固有値を出しても、結局何をやっていたのかサッパリです。 1つでもいいので教えていただければ助かります。
回答: >そうの通りだと思うのですが・・・。もう大学卒業で、これが最後の課題でして、どうしても理解したいのです。 そういう事情でしたか。 >【3】大貫義郎「ポアンカレ群と波動方程式」、岩波(1976), p.105に乗ってるって事ですか?でも、私の大学の図書館にはないんですよね・・・。 #2でgrothendieckさんが言っていることが私の言いたかったことです。 「可約」とは基底を適当にとると表現行列をブロック対角化できるということです。 「既約」とはそうでないもの、つなわち、どのような基底の取り方をしても、 表現行列をブロック対角化出来ないことを言います。 従って、既約表現が4×4行列に限られるとを認めれば、 (その証明自体を理解することは別として) 6×6行列の既約表現はないのはほぼ自明ということが分ります。 説明不足でした。申し訳けありません。 なお、反交換関係{γ^μ ,γ^ν}=η_{μν} を満たす4つの2×2のエルミート行列は存在しない ということを証明するだけなら簡単です。 以下に1つの証明を与えます。 反交換関係 {γ^μ ,γ^ν}=η_{μν} をみたす4つの2×2行列のエルミート行列があったとします。 このとき、 γ^5 =i γ^0 γ^1 γ^2 γ^3 を定義すると、それは、他のすべてのγ行列と反可換で、自乗が単位行列1です。 すなわち、 {γ^5 ,γ^μ}=0、(γ^5)^2=1 このとき、γ^μ (μ=5,0,1,2,3)の5つの行列の1次結合が0行列 になったとする: a_μ γ^μ = 0 (μ=5,0,1,2,3) ここで、上式と、γ^μ (μ=5,0,1,2,3)との反交換関係をそれぞれとると、 各係数が0になることが容易に分ります。 すなわち、γ^μ (μ=5,0,1,2,3)の5つの行列が1次独立。 ところが、2×2行列のエルミート行列の基底は 単位行列1(これが#2の補足では抜けていますね)及びパウリ行列の計4つ。 したがって矛盾です。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=764957 の#2で私が答えたのは基本的にこの線での回答で、 γ(^5)だけでなく、 1,γ(^μ),γ(^μ)γ(^ν),γ(^μ)γ(^5),γ(^5) の1+4+6+4+1=16この行列が1次独立になるので、 表現する基底は最低16次元の線型空間でなければなりません。 これは、4×4のエルミート行列がなす線形空間の次元になっています。 従って、4×4のエルミート行列で表現できる可能性があり、実際にできるわけです。 もちろん、既約表現がそれに限るということをきちんと証明するのは、 もっと難しい話ですが。 ちなみに、たしか、 佐藤 光 (著) 物理数学特論 群と物理 パリティ物理学コース に、ローレンツ群や回転群のスピノール表現について 比較的分かりやすい説明があったような気がします。 【1】【2】に関して、私が#1で書いたことの理解の助けになるかも知れません。