質問: 回転する楕円の問題 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a, bは実数) で表される楕円を,原点oを中心としてxy平面内で回転させる. 今,各辺がx 軸または y 軸に平行,かつ,この楕円に外接する長方形を考える.このとき, 長方形の面積sの最大値と最小値を求めよ 問題です。 私の考えとしては、 まず (x) =(cosθ sinθ) (x) (y) (-sinθ cosθ)(y) でx,yをx,yで置き換え、回転する楕円の式に変える。 次に、式をxで微分して、dx/dyをだして、接線の方程式を求める。 最後に、x=0の接線とy=0の接線の積*4は長方形の面積sでこれを微分するなり、 変形するなり、最大値と最小値を求める。 こういうふうにやってみましたが、式が複雑でかなりの時間をかかりました。 この問題の制限時間は10分なので、自分のやり方が間違っているか、もっと 簡単な方法があると思います。 ですので、どなた分かる方、ご教授お願いします。
回答: > 自分のやり方が間違っているか、もっと簡単な方法があると思います。 間違ってないですよね。しかし時間制限があると大変だな。良い手はないかと考え込んでいる時間も惜しいわけで... 「回転する楕円の式」は a = 1/a, b = 1/b c = cosθ, s = sinθ u = (ac)^2 + (bs)^2 v = (as)^2 + (bc)^2 w = -sc(a^2 - b^2) という風に記号を整理すると u(x^2) +2wxy+ v(y^2) -1=0 かな。これをxの2次方程式だと思って、それが重解になる条件(判別式=0)からyを決めると、 y^2 = u/(uv-w^2) という形に解ける。(判別式がy^2の一次式になるのは、図形から明らかです。)また、同じ式を今度はyの2次方程式だと思って、それが重解になる条件からxを決めると、 x^2 = v/(uv-w^2) である。 この時点で、「θ=nπ/2が最小でθ=nπ/2+π/4が最大というのは視察から明らかである。」ってんで、とりあえず答だけ計算しておくと、時間切れになっちゃったときの保険になるかも。 さて、長方形の面積 s = 4 |xy| の代わりに s^2 = (xy)^2 = uv/(uv-w^2)^2 がどこで極値を取るか、を考えても同じこと。 uv = (a^4 + b^4)(sc)^2 + (ab)^2 w^2 = ((a^2 - b^2)^2)(sc)^2 だから、s^2は (sc)^2 だけの関数である。つまり、 t = (sc)^2 uv = (a^4 + b^4)t + (ab)^2 w^2 = ((a^2 - b^2)^2)t について、0≦t≦1/2におけるs^2の増減を調べて、「視察」の証明を示す。 10分で出来るかな?どうかな?かなり忙しそうだなあ。 あ、それからstomacmanは計算間違いの常習犯なので、信用しないように。