質問: どうやって 2θ+α=π/2を求められるかどうして2θ+α=π/2でzの最小値と最大値を求められる? どうやって 2θ+α=π/2を求められるかどうして2θ+α=π/2でzの最小値と最大値を求められる? この問題の解説によると2θ+α=π/2の時 (13/2)sin(2θ+α)と(12sin2θ+5cos2θ)/2+17/2で最大値と最小値をぞれぞれ求められるけど、どうしてその2つの数式で最大値と最小値を求められるか説明されていない。それになんで2θ+α=π/2なのかわからない。説明していただけませんか。 参考にすることができるように答えを埋めた。
回答: 質問文がいまいち日本語になってなくて、 解説のどの部分が解らないのかが判らないが... c が x = cosθ, y = sinθ でパラメータ表示できる ことは理解できているとして、それを z = 11x2 + 12xy + 6y2 へ代入すれば z = 11(cosθ)2 + 12(cosθ)(sinθ) + 6(sinθ)2 ←[1] = 6sin(2θ) + (5/2)cos(2θ) + 17/2 ←[2] = (13/2)sin(2θ+α) + 17/2 ←[3] となる。 [1]から[2]へは、 (cosθ)2 + (sinθ)2 = 1, (cosθ)2 - (sinθ)2 = cos(2θ), 2(cosθ)(sinθ) = sin(2θ) を使って式変形している。 [2]から[3]への変形は、いわゆる「三角関数の合成」で cosα = 12/13, ←[4] sinα = 5/13 ←[5] であるような α を持ってきて、sin の加法定理を使っている。 [4][5]より、tanα = 5/12 になる。 こうして、 z が1個の sin で表せたので、 z の最大最小は簡単に判るようになった。 φ = 2θ+α と置けば、その先の話が見やすいだろうか。 0 ≦ θ ≦ π/2 であり、α は定数なので、 φ の変域は α ≦ φ ≦ π+α. この範囲での z = (13/2)sinφ + 17/2 の最大最小を見つければよい。 [4][5]で cosα > 0, sinα > 0 であったことから α は 0 < α < π/2 の範囲にとることができる。 以上を踏まえて sin のグラフを描いて考えると、 ←[6] (13/2)sinφ が最大になるのは φ = π/2 のとき、 最小になるのは φ = (3/2)π のときであり、 z の最大最小もそれぞれそのときである。 解説の末尾の文を読み違えているようだが、 z が定数関数でない限り、最大値と最小値が 同じ φ = π/2 のときのわけがない。 あの文は、 「2θ+α のとき、 (z は最大値 15 をとり、 z の最小値は 6 である。)」 と区切るのではなく、 「(2θ+α のとき、 z は最大値 15 をとり、) z の最小値は 6 である。」 と区切って読む。 解文説の日本語も感心はしないが、これが読めないのは相当ヤバイ。 もし、[6]について再度「なぜ?」と質問するのであれば、それは 補足に自分で書いた sin のグラフを挙げてからにしてほしいと思う。