質問: ∫∫(x^4*exp(xy))/y dxdy D={(x,y)|1≦x≦√2,x≦y≦x^3}は解くことは可能ですか?凄く難しいのですが
回答: y から積分を処理しようとするととっても大変なことになるので 積分順序の交換により x から積分を行っても初等関数の範囲では処理できないだろう。 z=xy, w=x^2 としてみてはどうだろうか。 x=√(w), y=z/√(w) より、 ∂(x,y)/∂(z,w)={{0, 1/(2√(w))}, {1/√(w), -z/(2w√(w))}} よりヤコビアンは -1/(2w) よって、被積分関数は変数変換により (1/(2w))(w^(5/2) exp(z)/z) =(w^(3/2) e^z)/(2 z) D={(x,y)| 1<=x<=√2, x<=y<=x^3 } ={(x,y)| x>0, 1<=x^2<=2, x^2<=xy<=x^4 } ={(z,w)| 1<=w<=2, w<=z<=w^2 } ={(z,w)| 1<=w<=2, w<=z<=w^2 } ={(z,w)| (1<=z<=2, √(z)<=w<=z) ∨ (2<=z<=4, √(z)<=w<=2)} とできる。 一応、これで変数分離形にはなったので、w から積分を行えば 何とか一変数の問題に帰着させるところまではたどり着ける。 (1/10)∫z=1,2-2z^(1/4))exp(z)dz +(1/10)∫z=2,4/z-2z^(1/4))exp(z)dz ただ、これでもなお原始関数が初等関数にはならないので 解析解を求めるのは困難である。 数値解でよければ次のリンク先を参照のこと。 http://ja.wolframalpha.com/input/?i=Integral%5BPiecewise%5B%7B%7B(E...+-E%5Ez+z%5E(1%2F4)+)%2F5,+z%3C2%7D%7D,+(8+Sqrt%5B2%5D+E%5Ez+-+2+E%5Ez+z%5E(5%2F4))%2F(10+z)%5D,+%7Bz,1,4%7D%5D) 特に変数変換、積分順序の変更をせずに計算させた結果も 次のリンク先に示す。 http://ja.wolframalpha.com/input/?i=Integral%5B(x%5E4+E%5E(x+y))%2F...)%2Fy,+%7Bx,+1,+Sqrt%5B2%5D%7D,+%7By,+x,+x%5E3%7D%5D)