質問: 微分方程式について こんにちは。 今、独学で微分方程式の勉強を行っているのですが、問題集に載っていた下記の問題の解き方が分からず困っています。 ・(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解を求める 完全微分方程式ではないので、積分因子を求める必要があり、u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが、途中で、n-m=4x^2 3n-4ym=-6 という式が出てきてしまい、計算が出来ません。 ・(y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1 2変数の初期値問題はどのように解けば良いのでしょうか? 何度も解いてみたのですが、答えを求める事は出来ませんでした。 少しでもアドバイスを頂ければ幸いです。
回答: (1) (2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解 >u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが ここの置き方は μ=x^m y^n として、後でx,yについての恒等式にした方がいいですよ。 m≡2y+3xy^2, n≡2x+4x^2y^2 μm=2x^m y^(n+1)+3x^(m+1) y^(n+2) μn=2x^(m+1)y^n+4x^(m+2)y^(n+1) ∴(∂/∂y)(μm)=2(n+1)x^m y^n +3(n+2)x^(m+1) y^(n+1) (∂/∂x)(μm)=2(m+1)x^m y^n +4(m+2)x^(m+1) y^(n+2) (∂/∂y)(μm)=(∂/∂x)(μm) として係数を比較すると m=n, n+2=m+2=0 ∴m=n=-2 となるので 積分因子は次式の通りだと分かります。 μ=1/(x^2 y^2) ∴μm=2/(x^2 y) +3/x, μn=2/(xy^2)+4 従って、微分方程式の一般解は 次のようになります。 -2/(x^2 y^2)+3log|x|+4y=c (c:積分定数) (2) (y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1 これも積分因子の考え方で求められます。 m≡y^2+2ye^x, n≡2y+e^x ∂m/∂y=2y+2e^x, ∂n/∂x=e^x ∴∂m/∂y-∂n/∂x=2y+e^x この計算で ∂m/∂y-∂n/∂x=n だということに気づきますので、積分因子は次式に通りだと分かります。 μ(x)=exp{∫(∂m/∂y-∂n/∂x)/n dx}=exp(∫dx)=aexp(x) (a:定数) ここで、a=1 の積分因子 e^x をとると、 μ(x)m=y^2 e^x+2ye^(2x), μ(x)n=2ye^x+e^(2x) となりますので、微分方程式の一般解は次のようになります。 ∴ y^2 e^x+ye^(2x)=c (c:定数) ここで初期値y(0)=1 を考えると 1+1=c ∴c=2 となりますので、次式が解となります。 ∴ y^2 e^x+ye^(2x)=2