質問: ベクトルの問題です 空間において、二点p.qは直線l;2x=y=zと直角に交わる直線上あって、直線pqはlによって常に1:2の比に内分されているとする。pが平面5x+2y-z=1の上を動くとき、qが描く図形の方程式を求めよ。 解答 直線l;2x=y=zの方向ベクトルはl→=(1.2.2)である。 ア.p(x、y、z)、q(x,y,z)とするとき pq→がl→に垂直であるから、 l→・pq→=(x-x)+2(y-y)+2(z-z)=0 ..(a) イ.線分pqを1:2に内分する点rは ( (2x+x)/3 , (2y+y)/3 , (2z+z)/3 ) であり、これがl上にあるから 2(2x+x)=2y+y=2z+z.......(b) ウ.pは平面 5x+2y-z=1上にあるから 5x+2y-z=1......(c) 以上からx、y、zを消去すればよい。 (b)から y=2x+x-y/2、z=2x+x-z/2 これは(a)、(c)に代入して整理すると、それぞれ -3x-x+y+z=0 .....(d) 14x+2x-2y+z=2 ......(e) d×14+e×3 -8x+8y+17z=6 よって、点q(x,y,z)のえがく図形は、平面 8x-8y-17z+6=0 である。 質問1:直線l;2x=y=zの方向ベクトルがなぜ、(1.2.2)なのですか?確か係数の部分が方向ベクトルに成ると学んだ気がするのですが、そうすると(2.1.1)と考えましたけど>_<?? 質問2:線分pqを1:2に内分する点rは2x+x/3 etc.. となってましたが、分母が3になるのは、1:2で3と見てるからだと思いますが、なぜ分子が2x+xetc..となってるのでしょうか? どなたか教えてください、宜しくお願いします!!
回答: まいりました。 ひたすら、解答通りに検算し、 凄い計算力! また、どうやって、この手順を! と思って、 質問1 を読んで愕然! なんのために検算したんだ! せめて、質問2に何かある、と。 質問2 を 見て唖然! 解答者がもう既にいるから終了してる!!! で、気を取り直して、#1を読もう。 質問1 は終了(そりゃそうだ) 質問2 んんん ちょっと書く余地あり 当方は前問、前々問に関与しました。 いまだに、前々問の計算終了したのか、とひっかかています。もう計算捨ててしまったけど。 あと、別解書く心算たけど、・・・ 余談かいてたら、きりがない・・・ ーーーーーーー で本論 >>質問2:線分pqを1:2に内分・・・ #1様は証明かいてるみたいけど・・・ 証明はどこにでも出てるから、当方は3行程・・・ #1様ゴメン なんでこんなに難解なの・・・ 以下 p、q、c は p、q、c の 位置vector 点p(p)、点q(q)を m:nに内分をする点を、点c(c)とする。 内分点の公式(m、nの一方が負なら外分) 合わせて<分点の公式>・・・vectorでなくても同形 c=(np+mq)/(m+n) 本問では1:2 即 c=(2p+q)/3 終了ーーーううう(涙)