質問: 大学数学、高校数学についての質問です!微分方程式についての問題の解答解説をお願いいたします。すべて(t>0)です。 (1)x'-{x(t+x)}/t^2
回答: 1) x’=ーx/tーx^2/t^2・・・1 x/t=u → x=tu → x’=u+tu’ よって、1は u+tu’=-u-u^2 tu’=-2u-u^2 du/(2u+u^2)=ーdt/t 1/2・(1/uー1/(u+2))du=-dt/t loguーlog(u+2)=ー2logt+c log(u/(u+2))=log(c/t^2) u/(u+2)=c/t^2 (u+2)/u=t^2/c 1+2/u=1+2・t/x=t^2/c 2t/x=t^2/c-1 x=2ct/(t^2ーc) 2) x’=-tx/(t^2+x^2) dx/dt=-tx/(t^2+x^2) dt/dx=ー(t/x+x/t) t/x=u → t=ux → t’=u’x+u u’x+u=ー(u+1/u) du/dx・x=-2u-1/u du/(2u+1/u)=ーdx/x u/(2u^2+1)・du=-dx/x 1/4・log(2u^2+1)=ーlogx+c log(2u^2+1)=log(c/x^4) 2u^2+1=c/x^4 2t^2/x^2+1=c/x^4 2t^2+x^2=c/x^2 x^2-c/x^2=-2t^2