質問: 数2の問題(複素数と方程式)を教えてください。 数2の問題(複素数と方程式)を教えてください。 問題 aを実数の定数とする。3次方程式 x^3+(a-2)x^2+3x-a-2=0 ・・・・・(1) について、次の質問に答えよ。 [1]方程式(1)はaの値に無関係な解をもつことを示せ。 また、その解を求めよ。 [2]方程式(1)が虚数解をもち、その実部が-1であるとき、aの値を求めよ。 また、虚数解をすべて求めよ。 [3]方程式(1)が2重解と他の1つの解をもつとき、aの値を求めよ。 という問題です。 [1]、[2]と[3]の途中までやってみました。 解答 [1]f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x-a-2とおくと f(1)=1+a-2+3-a-2=0 より、f(x)は(x-1)を因数にもつので、 f(x)=(x-1)〔x^2+(a-1)x+a+2〕 と因数分解できる。よって、f(x)=0のとき、 x=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2 となり、題意は示された。 よって、求める解は、 x=1 (答) [2][1]よりx=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2であり、 虚数解をもつのは、a^2-6a-7<0のときであるから a^2-6a-7<0 ⇔ (a+1)(a-7)<0 ∴-1
回答: [1],[2]は合っていると思います。 [3] (ア) >a=-1,7 a=-1のとき(1)は x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0 x=1の3重解なので不適。 a=7のとき(1)は x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x+3)^2=0 x=1,x=-3(重解) 適する。 (イ) 「かつ???」を最初から考えるのではなく a=-1を(1)に代入して方程式を解けば「???」の部分のチェックができます。 a=-1を(1)に代入して x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^2=0 (1)の解がx=1(3重解)となるので(イ)の場合は不適(ありえない)。 >以上から、求めるaの値は a=7 ...(答)