質問: [σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(2^m-2) (m=2,3,・・・) について、一般項b_mがどうやら1/(m!)のようなのですが、 その証明がわかりません。 指数関数e^(2x)のテーラー展開と(e^x)のテーラー展開の 畳み込み結果とを係数比較することにより、上式を得るという ところはわかったのですが、もう少し直接的なアプローチが ないかと思い、識者の皆様に相談申し上げる次第です。 よろしくお願いいたします。
回答: 数学的帰納法、二項展開を使って高校生チックに証明ができます。 m=1のときはok。m-1まで成り立つとして、m(≧2)のとき示します。 b_m = [σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(2^m-2) =[1/{1!(m-1)!}+...+1/{(m-1)!1!}]/(2^m-2) (*) ここで、2^m=(1+1)^mを二項展開すると、 =mc0+mc1+...+mc(m-1)+mcm =1+m!/{1!(m-1)!}+...+m!/{(m-1)!1!}+1 したがって、 m!/{1!(m-1)!}+...+m!/{(m-1)!1!}=2^m-2 1/{1!(m-1)!}+...+1/{(m-1)!1!}=(2^m-2)/m! これを(*)に代入して、 b_m={(2^m-2)/m!}/(2^m-2)=1/m!