質問: 複素解析で、極の位数の求め方 無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、 http://www.f-denshi.com/000tokiwajpn/12cmplx/100cmp.html によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。 極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?
回答: limz→a^m*f(z) (m≧1) が有限の値(≠0)に収束するときz=aがf(z)のm位の極であるといえます。 たとえば f(z)=1/{1-cos(z)} とすると、 lim[z→0]z^2*f(z)=lim[z→0]2/cos(z)=2 ですから、z=0はf(z)の2位の極であることがわかります。 (もちろん、1-cos(z)をマクローリン展開して一番低い次数の項がz^2の項であることから簡単にわかりますが)