質問: ma=fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=f 高校の物理で習うma=fというニュートンの第2法則ですが、 これを微分方程式m・d^2r/dt^2=fで解くと何がより分かるように なるのでしょうか? またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて 頂けないでしょうか? よろしくお願いします
回答: >ところで、高校物理学では微分・積分は使いませんが、出てくる関係式は全て微分方程式で書き換えることができるのでしょうか? 必要になれば書き換えますし、そうでなければ扱いやすい形の式のままです。電磁気の遠隔作用説の式も、使って問題ないときはどしどし使います。 >例えば、理想気体の状態方程式pv=nrtやオームの法則i=v/rなどです。 これらも同様に、そのまま使える問題であれば、そのまま使います。 微分方程式で得られるメリットは「場」という考え方ができることです。電荷が二つあって、その間に働く力だけを考えてよいのであれば、近接作用説に基づく微分方程式にする必要はなく、遠隔作用説の式を使ってしまえばいいのです。近接作用説の微分方程式で関係式を作って、微分方程式を解いたら遠隔作用説の式が出てくるだけです。 しかし、力学なら振動の時々刻々の変化を考慮するとか、電磁気学なら交流を扱うときは、場の概念を用いない場合でも微分方程式になります。pv=nrtも同様です。 i=v/rだとメリットはありませんが、コンデンサやコイルだと直流電源であっても、定常状態になるまでの間の変化を記述するときは、時間変化δt(δ:デルタは小さい変化を示すときによく用いる)の間に、電圧変化δv、電流変化δiがあるとして式を作り、δt、δv、δiが微分のdt、dv、diになるとして式を作ります。それも微分方程式になります。交流だと複雑になりますが、やはり微分方程式を立てて解いていくことになります。 微分方程式を使うのは、二つの物体の間に働く力を、一つの物体の周りの場と考えられるようにする場合と(これは対象となる分野の物理学の書き換えになる)、状態が時々刻々変化する場合の、二つの場合に主に用いられます。後者は、解くときに単純に積分するだけのことも多いです(それも、一応は微分方程式の解き方です)。 どちらも必要ないなら、単純でそのまま計算できる、微分方程式でない式を用いるのが普通です(練習問題として、近接作用説の微分方程式のが、対応する遠隔作用説の簡素な式と一致するのを確かめることはあるけれど、実用で用いることは事実上ない)。