質問: |a・b|=re(a・b) について (内積) 複素空間での内積で |a・b|=re(a・b) という式が成り立つのはどうしてですか? 内積は、実数ではなく複素数として現れるのでしょうか? また、そうだとしても、この式がどうやって導き出されるのかがわかりません。考え方等をご教授願います。
回答: a#5の補足の回答です。 >re(a・b)=1/2{(a・b)+((a・b)のバー)} ↑この式のドットは内積でなく単なる複素数の掛け算です。(ドットを書くと内積と間違える恐れがあります。) a b = (a1b1-a2b2)+i(a1b2+a2b1) (a b)~ = (a1b1-a2b2) - i(a1b2+a2b1) ですから re(a b) = (a1b1-a2b2) (1/2){a b + (a b)~}=(1/2){2 re(a b)} = re(a b) で成り立ちますね。 本来の質問の式に戻ると 内積のドットと単なる複素数の積を使い分けて書いてない質問の式であったため、a#1~a#5でドット「・」を内積を表すドットと解釈した場合は正しい説明となり、質問の式は当然成り立ちません。 単なる複素数aとbの掛け算と内積を使い分けて質問の式が書いてあれば回答のような質問の式が成り立たないという結果とならなかったと思います。 質問の式の書き方は以下のように書いてあれば成立します。 re(a b)= |a・b| (内積はユニタリ内積の定義を採用) (前半にドットがないことに注意) a=a1+ia2, b=b1+ib2と置けば a b =(a1+ia2)(b1+ib2)=(a1b1-a2b2)+i(a1b2+a2b1) re(a b)=a1b1-a2b2 一方 |a・b| = a1b1-a2b2 (ユニタリ内積です) となって等式の左辺と右辺が同じになります。 複素ベクトルの内積(スカラ量)、外積(2次元の場合はスカラ量)と 複素数の掛け算 を区別しないと混乱の元ですね。 単なるドット「・」ですが、掛け算の意味と内積の意味の使い分けをしないといけないですね。