質問: 高校数学c、行列の問題です。分かる方、お願いします ※行列は(左上、右上、左下、右下)、(上、下)(2×1行列)とします。 問題 行列a=( 2,3,1,2 ) , p=( √3,-√3,1,1 )に対して、b=p^(-1)apとおく。 また、n=1,2,3,・・・に対して、an,bnを ( an,bn )=a^n(2,0)で定める。次の問いに答えよ。 (1) p^(-1)およびbを求めよ。 (2) an,bnを求めよ。 (3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき [(2+√3)^n]=an-1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。 また cn=(2+√3)^n-[(2+√3)^n] とするとき、 lim(n→∞)cn の値を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: (1) p^(-1)およびbを求めよ。 p^(-1)=(pの逆行列)=(1/(2√3))(1,√3,-1,√3) p^(-1)a=(1/(2√3))(2+√3,3+2√3,-2+√3,-3+2√3) b=(1/(2√3))(6+4√3,0,0,-6+4√3)=(2+√3,0,0,2-√3) (2) an,bnを求めよ。 aの固有値α、βを計算する。単位ベクトルをe(1,0,0,1)とする。 α=(1/2)(2+2+√((2+2)^2-4(2*2-3*1)))=(1/2)(4+√(16-4)) =2+√3 β=2-√3 よってa^n=(((2+√3)^n-(2-√3)^n)/(2√3))a +(((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n)/(2√3))e ((2+√3)^n-(2-√3)^n)/(2√3)=k ((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n)/(2√3)=hとして a^n=ka+he=(2k,3k,1k,2k)+(h,0,0,h)=(2k+h,3k,k,2k+h) a^n(2,0)=(4k+2h,2k)よって an=4k+2h=(1/√3)(2(2+√3)^n-2(2-√3)^n) +(1/√3)((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n) =(1/√3)((2+√3-2)(2-√3)^n+(2-2+√3)(2+√3)^n) =(2-√3)^n+(2+√3)^n bn=2k=(1/√3)((2+√3)^n-(2-√3)^n) (3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき [(2+√3)^n]=an-1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。 0<(2-√3)^n<1 (2+√3)^n<(2+√3)^n+(2-√3)^n<1+(2+√3)^n -1+(2+√3)^n<-1+(2+√3)^n+(2-√3)^n<(2+√3)^n -1+(2+√3)^n<an-1<(2+√3)^n anを二項展開すると an=(2-√3)^n+(2+√3)^n =∑[k=0→n]nck((2^k)(-√3)^(n-k)+(2^k)(√3)^(n-k)) =∑[k=0→n]nck(2^k)((-√3)^(n-k)+(√3)^(n-k)) ここで(-√3)^(n-k)+(√3)^(n-k)は(n-k)が奇数の時は0、 (n-k)が偶数の時は2*3^((n-k)/2)すなわち整数となるので、 anそしてanー1も整数となり、-1+(2+√3)^n<an-1<(2+√3)^n から[(2+√3)^n]=an-1が成立する。 また cn=(2+√3)^n-[(2+√3)^n] とするとき、 lim(n→∞)cn の値を求めよ。 cn=(2+√3)^n-(an-1)=(2+√3)^n-(2-√3)^n-(2+√3)^n+1 =1-(2-√3)^n ここで0<2-√3<1であるからlim(n→∞)(2-√3)^n=0 よってlim(n→∞)cn =lim(n→∞)(1-(2-√3)^n)=1