質問: ニューステージ数学演習ia・iib 174 領域 こんにちは。 ニューステージ数学演習ia・iibの174番についての質問です。 数学が苦手で教科書や参考書を見てもわかりません。 座標平面上で、連立不等式 x^2+y^2≦1 , x+y≦1 , 3x-y≦3 の表す領域をdとし、原点を中心とする半径1の円をcとする。aを実数とし、点a(5/3,0)を通り、傾きがaの直線をlとする。lとdが共有点をもつようなaの最大値と最小値を求めよう。 (1) cと直線 x+y=1 の共有点の座標は (0,ア) , (イ,0) であり、cと直線 3x-y=3 の共有点の座標は (ウ/エ,オカ/エ) , (キ,0) である。 (2) cとlが接するのは、a=ク/ケ または a=-ク/ケ のときであり、このときの接点のx座標は コ/サ である。 したがって、lとdが共有点をもつようなaの最大値は シ/ス であり、最小値は セソ/タ である。 答え (ア) 1 (イ) 1 (ウ)/(エ) 3/4 (オカ)/(エ) -3/5 (キ) 1 (ク)/(ケ) 3/4 (コ)/(サ) 3/5 (シ)/(ス) 3/4 (セソ)/(タ) -3/5 です。詳しい解説お願いします。
回答: > 座標平面上で、連立不等式 x^2+y^2≦1 , x+y≦1 , 3x-y≦3 の表す領域をdとし、原点を中心とする半径1の円をcとする。aを実数とし、点a(5/3,0)を通り、傾きがaの直線をlとする。lとd が共有点をもつようなaの最大値と最小値を求めよう。 文章で問題が書かれて分からないときは、 図を描いてそれを見ながら考えてみましょう。 まず、この文章どおりに領域dと直線lを描いて下さい。 aの値を変化させると直線の傾きが変わりますが、 この直線を領域dにくっつけたまま、傾きaを最大にしたらどんな図になりそうですか? 同様に、線を領域dにくっつけたまま、傾きaを最小にしたらどんな図になりそうですか? この2つの図を元に今回の問題を考えて下さい。 > (1) cと直線 x+y=1 の共有点の座標は (0,ア) , (イ,0) であり、cと直線 3x-y=3 の共有点の座標は (ウ/エ,オカ/エ) , (キ,0) である。 共有点の座標は連立方程式を立てれば求まります。 二直線の交点を求める時は、その2つの直線の式を連立させた方程式を解きますよね。 今回もそれと同じです。 ここで求めた情報を、先ほど描いた図にも書き込みましょう。 > (2) cとlが接するのは、a=ク/ケ または a=-ク/ケ のときであり、このときの接点のx座標は コ/サ である。 接するかどうかを半題する時は、判別式を利用していましたよね。 今回もそうします。 > したがって、lとdが共有点をもつようなaの最大値は シ/ス であり、最小値は セソ/タ である。 今まで描いた図と、(2)の結果を元に、 直線lの傾きを最大、最小にするにはどうしたらよいかを考えてみましょう。 そしてそれを元にaの値を求めましょう。