質問: 力学的エネルギーの保存・弾性力(釘が打ってある振り子) この問題は、いくら考えていても分かりません: 水平な天井の点oから吊るされた、長さl、質量mの振り子がある。振り子の最下点bから高さhの点cには、釘が打ってある。振り子を鉛直線から角度θの点aから静かにはなした。 糸がたるむことなく振り子が最高点dを通り、釘に巻きつくための、θが満たすべき条件は? 答えは:cosθ<=1-(5h/2l) 振り子が動くにつき、何が、どう変わるかを、説明していただけないでしょうか。 質問ばかりで申し訳ありませんが、解説していただければ、ありがたいです。 よろしくお願いします。
回答: 糸が釘に巻き付くためには、aがdよりも高い位置であるだけではだめで、dを通過する時点で「糸の張力が正の値」で下りの回転軌道に入る必要があります。そうでないと、最高点dで糸がたるんで落下することも起こり得ます。 言葉でいえば、dを通過するときの遠心力が自重の重力よりも大きくなければいけません。(ループ型のジェットコースターの最高点を落下しない速度で通過しなければいけなのと同じです。そこで止まったら落ちます) つまり、 ・bでの速度を vb ・dでの速度を vd とすれば、各々のエネルギー保存より(空気の抵抗や摩擦は考えません) (1/2)mvb^2 = mgl(1 - cosθ) 1 (1/2)mvb^2 = (1/2)mvd^2 + mg*(2h) 2 そして、dでの糸の張力が正である、つまり「遠心力が重力よりも大きい」ということで mvd^2 /h ≧ mg 3 この条件から求めます。 12から mgl(1 - cosθ) = (1/2)mvd^2 + mg*(2h) → gl(1 - cosθ) - 2gh = (1/2)vd^2 4 3より vd^2 ≧ gh なので、4は gl(1 - cosθ) - 2gh ≧ (1/2)gh → 1 - cosθ ≧ (5/2)h/l → cosθ ≦ 1 - (5/2)h/l