質問: 極限関数を求め、一様収束か判定せよ 大学のテストで出たのですが、どうやればいいかわかりません。 1、fn(x)=1/1+(x-n)^2 (-∞
回答: 1. f_n(x)=1/{1+(x-n)^2} ∀正実数ε>0に対して ∃自然数n_0>(1/ε)+|x|+1 ∀自然数n>n_0に対して n-x>n_0-x>(1/ε)+1 (n-x)^2>(n_0-x)^2>{(1/ε)+1}^2 (n-x)^2+1>(n_0-x)^2+1>{(1/ε)+1}^2+1 |f_n(x)| =|1/{(n-x)^2+1}|<1/{(n_0-x)^2+1}<1/[{(1/ε)+1}^2+1]<ε/{(1/ε)+2+2ε}<ε ∴ lim_{n→∞}f_n(x) =lim_{n→∞}[1/{1+(x-n)^2}]=0 ∀自然数nに対して f_n(n)=1 だから一様収束しない 2. 0≦x≦1 g_n(x)=σ_{k=1~n}{(k^2)x/{1+(k^3)x^2}-{(k+1)^2}x/[1+{(k+1)^3}x^2]} とすると g_n(x)=σ_{k=1~n}(k^2)x/{1+(k^3)x^2}-σ_{k=2~n+1}(k^2)x/[1+(k^3)x^2] ={x/(1+x^2)}-{(n+1)^2}x/[1+{(n+1)^3}x^2] g_{n-1}(x)={x/(1+x^2)}-(n^2)x/{1+(n^3)x^2} ∀正実数ε>0に対して x>0のとき ∃自然数n_0>{1/(εx)}+1 ∀自然数n>n_0に対して |g_{n-1}(x)-{x/(1+x^2)}| =(n^2)x/{1+(n^3)x^2} =1/{1/{(n^2)x}+nx} <1/(nx) <1/{(n_0)x} <ε x=0のとき ∀自然数nに対して |g_n(0)|=0<ε だから 0≦x≦1で lim_{n→∞}g_n(x)=x/(1+x^2) ∀自然数nに対して ∃x=1/(n√n) |g_{n-1}(1/(n√n))-{x/(1+x^2)}| =(n^2)(1/(n√n))/{1+(n^3)(1/(n√n))^2} =(√n)/2≧1/2 だから一様収束しない