質問: 微分方程式の問題です。 (1) P(x)をXの任意の関数とするとき、 f(x){dy/dx+y・P(x)}=d/dx{y.exp(∫P(x)dx)} が常に成り立つようなf(x)を求めよ。 (2) (1) の結果を用いて、微分方程式 dy/dx + y・P(x)=Q(x) の一般解を求めよ。 (3) x=πのとき y=2/πであるという条件を満たす微分方程式 dy/dx +y/x=x/sinx の特殊解を求めよ。
回答: (1) f(x)*{y'+y*p(x)} ={y*e^{∫P(x)dx}}' =e^{∫P(x)dx}*{y'+y*P(x)} から f(x)=e^{∫P(x)dx} (2) y'+y*P(x)=Q(x) {y*e^{∫P(x)dx}}'=Q(x)*e^{∫P(x)dx} y*e^{∫P(x)dx}=∫Q(x)*e^{∫P(x)dx}dx y(x)=e^{-∫P(x)dx}∫Q(x)*e^{∫P(x)dx}dx (3) y'+(y/x)=sin(x)/x (xy)'=sin(x) xy=Cーcos(x) y(x)={Cーcos(x)}/x y(π)=2/π から C=1。 y(x)={1ーcos(x)}/x