質問: uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 この問題なのですが1階線形になることは示せたのですが、その次の1階線形微分方程式の解法がよく分かりません。 教えてください。よろしくお願いします。 ↓ y'-2y/x=xy^3 y'/y^3-2/xy^2=x u=1/y^2とおく ∴u'=-2y'/y^3 これを上式に代入すると -u'/2-2u/x=x ⇔u'+4u/x=-2x
回答: いわゆる「定数変化法」をやってみる。 u' + 4u/x = -2x よりも、両辺を x 倍して xu' + 4u = -2x^2 のほうが少し扱い安いかな。 斉次化方程式 xv' + 4v = 0 は、変数分離形なので 容易に解けて、v'/v = -4/x より、log v = -4 log x すなわち v = c/x^4 (c は定数) となる。 v の積分定数を変数で置き換えた u = w/x^4 と置いて 原式ヘ代入すると、w' = -2x^5 すなわち w = (-1/3)x^6 + d (d は定数)。 w を消去すれば u = (-1/3)x^2 + d/x^4 となる。 1/y^2 = u へ代入すると、y = (±√3)(x^2)/√(e - x^6)。 e は定数(e=3d)で、初期条件により定まる。 右辺先頭の ± も初期条件で定まる。