質問: μ(A) + μ(B) + μ(C) −μ(A∩B)−μ(B∩C)−μ(C∩A) + μ(A∩B∩C ) が成り立つことを示せ。 という問題なのですが、全くわかりません。よろしくお願いします。
回答: βやらμやらの定義が書かれていないので勝手に解釈します。 μ(X)=μ((X∩Y)∪(X∩Y^c))=μ(X∩Y)+μ(X∩Y^c) よりμ(X∩Y^c)=μ(X)-μ(X∩Y) μ(Y)=μ((X∩Y)∪(X^c∩Y))=μ(X∩Y)+μ(X^c∩Y) よりμ(X^c∩Y)=μ(Y)-μ(X∩Y) μ(X∪Y) =μ((X∩Y^c)∪(X∩Y)∪(X^c∩Y)) =μ(X∩Y^c)+μ(X∩Y)+μ(X^c∩Y)) =μ(X)-μ(X∩Y)+μ(X∩Y)+μ(Y)-μ(X∩Y) =μ(X)+μ(Y)-μ(X∩Y) μ(A∪B∪C) =μ((A∪B)∪C) =μ(A∪B)+μ(C)-μ((A∪B)∩C) =μ(A)+μ(B)-μ(A∩B)+μ(C)-μ((A∩C)∪(B∩C)) =μ(A)+μ(B)+μ(C)-μ(A∩B)-{μ(A∩C)+μ(B∩C)-μ((A∩C)∩(B∩C))} =μ(A)+μ(B)+μ(C)-μ(A∩B)-μ(A∩C)-μ(B∩C)+μ(A∩B∩C)