質問: 高校数学a 3つの互いに素な自然数を三辺の長さとする直角三角形が無数にあることの証明 問題 (1)任意の自然数kに対して、連続する二つの自然数kとk+1は互いに素であることを示せ。 (2)nを3以上の奇数とする。n^2は奇数であるから、ある自然数kがあって、n^2=2k+1と表せる。このとき、3つの自然数n,k,k+1は互いに素であることを示せ。 (3)3つの互いに素な自然数を3辺の長さとする直角三角形は無数にあることを示せ。 この問題で(1)と(2)は証明できたとします。そこで(3)の証明の解答例を下に書きますが、なぜ以下の記述で無数にあることを証明できているのかを教えて下さい! 証明 3以上の奇数nをとる。このときn^2=2k+1と表され、n^2=2k+1=(k+1)^2-k^2 ∴n^2+k^2=(k+1)^2 よってn,k,k+1は直角三角形の3辺。▮ 自分の解釈では、nが文字で置かれていることから、nにどんな奇数を入れてもkが定まり、結論の式が成り立ち、かつ奇数は無限に存在するからだと考えています。 ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>
回答: お考えの通りです。特に「奇数は無限に存在する」を忘れなかったのはgoodです。