質問: 再:ルベーグ測度,直積測度の零集合 x,yをユークリッド空間r^m,r^nの部分ルベーグ測度空間(x,yはルベーグ可測集合で測度有限)とします。 φ(x,y)をx∈x,y∈yを自由変数とする論理式、例えば「f(x,y)=g(x,y)」(f,gは可測関数)とします。 「φ(x,y) a.e ((x,y)∈x×y)」 ならば 「「φ(x,y) a.e (x∈x) 」 a.e (y∈y)」 は成り立ちますか。また、成り立たない場合はどのような反例がありますか。 但し、x×yはxとyの直積測度空間です。簡単な場合として、m=n=1,x=y=[0,1]としてもらっても構いません。 全くわからないので、よろしくお願いします。
回答: 自信がないが... x, yがσ-有限の場合、 f(x,y) = 0 (φ(x,y)), 1(¬(φ(x,y))とすると、f(x,y) = 0 a.e. x×yで、 ∫_{x×y} f(x,y) d(x×y) = 0. fubiniの定理より、f(x,・) はa.e. yでx-可積分で、且つ∫_{x} f(x,y)dxはy可積分 かつ、 0 = ∫_{x×y} f(x,y) d(x×y) = ∫_{y} ( ∫_{x} f(x,y) dx) dy chebyshevの不等式から、 μ({y∈y, ( ∫_{x} f(x,y) dx)≧ ε) ≦ (1/ε)∫_{y} ( ∫_{x} f(x,y) dx) dy = 0より、 結局μ({y∈y, ( ∫_{x} f(x,y) dx) > 0) = ∪_n (μ({y∈y, ( ∫_{x} f(x,y) dx)≧ 1/n)) = 0から ∫_{x} f(x,y) dx = 0 a.e. y もう一回chebyshevの不等式を使って、{f(x,y) = 0 a.e. x} a.e. y