質問: 正四面体の体積が√2/12a^3になることと、点pから△ab... ■どこまで理解しているか 正四面体の体積が√2/12a^3になることと、点pから△abc に垂線の足hを下ろしたときこの点hは△abcの重心にならないこと ■どこが具体的にわからないか この問題の解き方がわかりません。教えてください。
回答: 【1.hが底面△abcのどこにあるかを考えます】 pa=pb=pc=4のとき、pから△abcにおろした垂線の足をhとすると ah2+ph2=ap2bh2+ph2=bp2ch2+ph2=cp2 また、pa=pb=pcより、ha=hb=chよって、hは△abcの外接円の中心である。 【2.三角比を用いて△abcの面積を求めます】 △abcにおいて、余弦定理よりcos∠bac=(36+25-16)/2・6・5=3/4したがって、sin∠bac=√7/4 △abcの面積をsとすると、s=1/2・sin∠bac・ab・ac=15√7/4 【3.三角錐の高さを求めます】 △abcの外接円の半径をrとすると、正弦定理より、bc/sin∠bac=2rr=8√7/7つまり、ah=bh=ch=8√7/7 △aphにおいて、三平方の定理よりph=√(ap2-ah2)=4√21/7 【4.体積を求めます】 したがって、求める体積vはv=15√7/4・4√21/7・1/3=5√3