質問: コイン500枚です。積分の解き方を教えてください。 ∫(x+1)/{(a-x)^2+b^2}dx (-1→0の定積分) 置換積分するのが良いと思うのですが、分母をtと置いても、a-xをtと置いても上手く解けません。 どのように解いたら良いのでしょうか?
回答: I=∫(x+1)/{(a-x)2+b2}dx 積分を以下の2つに分けます J=∫x dx/{(a-x)2+b2} K=∫dx/{(a-x)2+b2} I=J+K Jはa-x=tと置換すれば,積分範囲はa→a+1 ∫(a-t)/(t2+b2)dt =(a/b)[arctan(t/b)]-(1/2)[log(t2+b2)] =(a/b){arctan((a+1)/b)-arctan(a/b)}+(1/2)log[(a2+b2)/{(a+1)2+b2}] =(a/b)arctan(b2/(a2+b2+1))+(1/2)log[(a2+b2)/{(a+1)2+b2}] Kもa-x=tと置換積分すれば,積分範囲はa→a+1 先に行ったarctanの積分がもう一度出てきます. K=(1/b)arctan(b2/(a2+b2+1)) したがって I=J+K ={(a+1)/b}arctan(b2/(a2+b2+1))+(1/2)log[(a2+b2)/{(a+1)2+b2}]