質問: 円の面積 積分を利用して半径aの円の面積を求めよ。
回答: a>0 x2+y2=a2 x軸に関しても、 y軸に関しても対称。 y2=a2-x2 y≧0のとき、 y=√(a2-x2) 求める面積を、s 0≦θ≦π/2において、 x=a・sinθ と置くと、 dx/dθ=a・cosθ x|0.→..a| θ|0→π/2| 0≦θ≦π/2において、 cos≧0より、 √(a2-x2) =√{a2-(a・sinθ)2} =√{a2・(1-sin2≧)} =√(a・cosθ)2 =a・cosθ ..a ∫√(a2-x2)dx ..0 π/2 =∫a・cosθ・a・cosθ dθ ...0 .........π/2 =a2・∫cos2θ dθ ..........0 ..........π/2 =a2・∫{(1+cos2θ)/2}dθ ..........0 ..................................π/2 =(a2/2)・[θ+(1/2)・sin2θ] .....................................0 =(a2/2)・(π/2) =(1/4)・π・a2 求める面積sは、 s=4・(1/4)・π・a2 =π・a2