質問: 昨日、ヨビノリたくみ さんの動画で、線形代数とういうものに初めて触れました。
回答: 連立方程式を解く文脈でしょうか? 2式1,2の連立方程式があるとします 方程式で大事なのは同値性です。好きな数字(任意の実数)k(≠0)に対して 1,2⇔1,1+k2 が知られています。 ここでk2は2の両辺をk倍したもののことで、1+k2はその両辺と1の両辺をたしあわせたものです。 1,1+k2というのは言葉で言うと「連立してできた式(1+k2)と元の式のうち片方(1)」のことです。 まずなぜ同値性が大事かと言うと 1かつ1+k2から連立方程式の答えがx1=○,x2=△と求まったとしましょう。 まずこの解は1,1+k2を解いて出たものなので、1,1+k2を満たします。そして1,1+k2⇒1,2 (同値性のうちの片方、「戻れる」という性質)により、1,2も満たすので、たしかに元の方程式の解です。 あと問題なのは他にも解が無いのか、という問題ですが これは1,2⇒...⇒...⇒解 と求まっている以上、1,2が成り立っている時に「確実に言える」ものが求めた解なので、そこから漏れてしまったものは解ではありません。対偶を取るとより分かりやすいです。 「求めた解でない⇒1かつ2が成り立たない」となるので。 というわけで同値性は「過不足なく解が求まる」から大事です 次になぜ1,2⇔1,1+k2が成り立つかですが 連立しているだけだから⇒は当たり前です そして←も連立しているだけと捉えることができます。 1,1+k2のとき1はとりあえず成り立ちます。 (1+k2)-1=k2と連立させる事でk2も成り立ち、その両辺をk≠0で割れば、2も成り立ちます よって1,1+k2⇒1,2 そしてこの「同値性」がその行列変形で言う「可逆性」です。2つ行を取り出して片方Aはそのままに、もう片方BにAの定数倍を加える、みたいな操作があったと思うんですが1,1+k2とおんなじですよね。 というわけで 何故操作を行っていいのか?←同値性があるから 可逆性がないとダメか?←「戻れない」とき、即ち「元の方程式⇒求めた解」という関係しか無い時は解が多すぎてしまう、即ち元の方程式を成り立たせない解を生じさせてしまうので、ダメです。