質問: aとbが互いに素な時、a+bとabは互いに素ですか?もしそうなら証明と共に教えてください。GCD(a、b)=1の時、GCD(a+b、ab)=1が成立するか、ということです。よろしくお願いします。
回答: 別証明ということで一つ。 aとbが互いに素なので xa+yb=1 となる整数x,yが存在します。 両辺を二乗すると x2a2+y2b2+2xyab=1 ∴(x2a+y2b)(a+b)-(x2+y2)ab+2xyab=1 ∴(x2a+y2b)(a+b)-(x-y)2ab=1 x2a+y2b, -(x-y)2は整数ですから、a+bとabは互いに素になります。■