質問: 行列の問題 ac=b^2とし行列 a=(5 -3) 2 0 b=(3 0) 0 2 p=(a b) c d とpの逆行列pインバースを考える (1) p(インバース)ap=bを満たすa,b,cのうちで、正の整数であって最小のものを求めよ (2)正の整数nに対して、b^nとa^nを求めよ det(xe-a)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 より、aの固有値は2と3 ap=pb ここから先がよくわかりません。 固有値を求めよというヒントだったので、出してみたのですが、ここからどうすればよいのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: #2です。お礼と補足ありがとうございます。 >> 3t u p=( ) 2t u なぜこのようになるのでしょうか? う~ん・・実際このときに、 p^(-1)apを計算してみると、 3 0 b=( ) 0 2 という対角行列になっています。 さて、何故そのような形になったかというと、 固有値は、2と3と出ましたので、 a-keを計算してみると、 k=2のとき、 3 -3 ( ) 2 -2 k=3のとき、 2 -3 ( ) 2 -3 となりますよね。 x それに、任意のベクトル( ) y をかけて、0ベクトルになるには、xとyの関係は、 k=2のとき、3x-3y=0より、x=y つまりベクトルは(x,y)=(u,u)←すみません、書きにくいので横に書いていますが、 k=3のとき、2x-3y=0より、 ベクトルは、(x,y)=(3t,2t) とおけるのです。 これらのベクトルを並べた行列が、pになることを覚えておかれたらいいですよ。 >固有値や固有ベクトルを使えるときというのは、bが対角行列の場合だけなのでしょうか? いえ、これは逆で、ある行列aの、固有値と固有ベクトルを求めれば、 それによって決まる行列をpとすれば、 p^(-1)apは、必ず対角行列になって、 p^(-1)ap=b (b:対角行列)とおけます。 このことから、b^nは計算しやすいので、 a^nも簡単に求められる、ということになります。 >固有値とか固有ベクトルとかは独学でやっているんですけど難しいです(^^; ややこしいですね~。 しかし、このご質問での手法は、覚えておかれて絶対損はないです。 いきなり、固有値などを経ずに「aのn乗を求めよ」とはならないと思うので 同じような問題をあと2回くらい解けば、コツもつかめると思います。 頑張ってください!!