質問: 行列の証明 行列xとyが交換可能なときxy=yxが成り立つとする。 行列aとbは交換可能でないが、aとabは交換可能で、 aとbaも交換可能である。 (1)a=a b c d のとき、ad-bc=0を証明せよ。 っていう問題なんですけど、ad-bc=0って言うことは 逆行列を持たないことを証明すればいいんですよね? どうやって証明すればいいのでしょう? (2)aの2乗は零行列であることを証明せよ。 (1)を用いて地道に成分計算したんですけど、うまく 証明できないので助けてください。
回答: (1)aの逆行列a^(-1)があれば、aとabは交換可能なことから aab=aba⇔a^(-1)aab=a^(-1)aba⇔ab=ba これはaとbが交換可能でないことに矛盾する。 (2)a^2の成分計算をしてbc=ad(ad-bc=0)を代入すると a^2=(a+d)a またiを単位行列としてa^2-(a+d)a+(ad-bc)iの成分計算をして a^2-(a+d)a+(ad-bc)i=o 上の二つの式から a^2=o となる