質問: 命題 条件pに合致する集合pが,条件qに合致する集合qに含まれている,すなわちp⊂qならば「pならばq」ですが,このときp⊂qを成り立たなくすれば、否定したことになるのでしょうか?
回答: 正確に書くと次のようになります。 uを全体集合とします。p,qは命題関数p(x),q(x)の真理集合で p = { x∈u | p(x)=真 } q = { x∈u | q(x)=真 } により定義されます。このとき、p(x)→q(x)の真理集合は pbar ∪ q となります(但し、pbarはpの補集合)。 ご質問に書かれていることは、次のように言いかえることが出来ます(⇔は両辺が必要十分条件であることを表すとします)。 "∀x∈u : p(x)→q(x)" ⇔ pbar ∪ q = u ⇔ p⊂ q このとき、¬を否定として ¬(p⊂q) ⇔ ¬(∀x∈u : p(x)→q(x)) ⇔ ∃x∈u :¬(p(x)→q(x)) となります。 つまり、p⊂qが成り立たないことと、p(x)→q(x)でないxが存在することが同値になります。もちろん、これは"全てのxについてp(x)→q(x)でない"ということではありません。