質問: 集合と論理 「f(x)=x^2+ax+b とする。∀n∈z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件を求めよ。」 この問題に対して私は以下のように解答しました。 「(i)nが偶数 つまりn=2p(p∈z)と表わせるとき f(n)=f(2p)=2*2p^2+2ap+b f(n)が偶数となるとき bが偶数であることが必要 (ii)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈z)と表わせるとき f(n)=f(2q+1)=2*2q^2+2(a+2)q+a+b+1 f(n)が偶数となるとき a+b+1が偶数であることが必要 (i),(ii)より f(n)が∀n∈z に対して偶数となるとき aは奇数、bは偶数であることが必要 逆にaは奇数、bは偶数 すなわち a=2s+1(s∈z), b=2t(t∈z) であるとき f(x)=x^2+(2s+1)x+2t となり (a)nが偶数 つまりn=2p(p∈z)と表わせるとき f(n)=2*2p^2+2p(2s+1)+2t となり f(n)は偶数 (b)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈z)と表わせるとき f(n)=2*2q^2+2(2s+3)q+2t+2 となり f(n)は偶数 となるから f(n)は∀n∈z に対して偶数となる 以上よりn∈z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件は aが奇数で、bが偶数であること」 設問に対する証明はこれで良いのでしょうか。
回答: 合っていますよ。take_5さんの回答にあるように必要条件を出す時には、必ずしも一般的なものを代入する必要はないということは、ポイントじゃないですかね。 あとtake_5さんへ 先の問題のレスというか・・が遅れてすいませんね。もう打ち切られて返事できませんでしたけど、あれは勿論質問者へ対してです。「回答に書いてあるように」と書いておいたんですが分かりにくかったですかね。誤解が生じそうな書き方で申し訳ありませんでした。この場を借りさせて頂きますm(-.-)m