質問: 数学 (1)sin45°×cos150°×sin30°×cos135° (2)ab=2ルート2、ca=ルート5、b=45°で角cが鋭角である△abcの辺bcの長さ。 (3)ab=13、bc=5、ca=12である△abcの内接円の半径。 (4)bc=2ルート2、b=30°、c=105°である△abcの辺caの長さ。
回答: (1) 1/√2 × (-√3/2) × 1/2 × (-1/√2) = √3/8 (2) 余弦定理より (∠cに注目) √5^2 = (2√2)^2 + bc^2 -2×2√2×bc×cos45° 5 = 8 + bc^2 -4×bc bc^2 -4bc +3 =0 よってbc=1 ,3 ここで bc=1 のとき abが最大辺となる。bc^2+ca^2-ab^2=6-8<0 で∠cは鈍角 よって 不適 bc=3 のとき bcが最大辺となるので ab は最大辺でないので ∠cは鋭角 よってbc=3 (3)この三角形は底辺5,高さ12の直角三角形なので面積は 1/2×5×12=30 また内接円の半径をrとすると この三角形の面積は 1/2×(5+12+13)×r= 15r この2つが等しいので r=2 (4) 三角形の内角の和より a=45° 正弦定理より 2√2/sin45° = ca / sin30° よって ca = 2√2 × sin30° / sin45° = 2√2 × 1/2 ÷ 1/√2 = 2 いかがでしょうか?