質問: サンプルの離散値化による平均値の誤差はどれくらいか 先日、質問の中に 「整数でサンプルを取って得た平均値は、小数点以下は意味がない」 という意味の文章があったので、私は「そんなことはない」と書きました。 質問者の意図からは少しずれましたが...。 (http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=494822) それはいいのですが、その後、 「サンプルで得た平均値は、真の平均値と正確に同じか?」 という疑問が湧き起こってきました。 事前の仮定として、確率変数は正規分布n(μ, σ^2)するとします。 (↑これも多少問題はあるけれど) サンプル数は十分に多く、連続量として取り扱えるものとします。 サンプル値を四捨五入して整数として取り扱い、得られた平均μ0が、 真の平均μと一致するかどうかです。 正規分布は左右対称だから、 μが整数の時には一致することはわかります。 またμの小数部分が0.5だったときも、同様に一致することはわかります。 問題はその中間です。 誤差が出るにしても、それほど大きくないことは常識でわかるのですが、 真に一致するかどうかわかりません。 統計学は大学の時に(簡単に)やったのですが、これについては調べられませんでした。 自分で積分しようかとも思ったのですが、積分は苦手なので...。 それで、質問ですが、 ・この値は正確に一致するのか? ・誤差があるとすれば上限はどれくらいか? ・これについて定理があるとすれば、その定理には何か名前が付いているか? を知りたいのです。 よろしくおねがいします。
回答: 質問の意味が難解なので勝手に解釈して質問と回答を提示してみます 質問: 確率変数xの密度関数をp(x)としたとき xを四捨五入してできる確率変数yの密度関数q(y)と平均λを求めよ 回答: q(y)= σ(-∞<n<∞)・δ(y-n)・∫(n-0.5<x<n+0.5)dx・p(x) λ=∫(-∞<y<∞)dy・y・q(y)= σ(-∞<n<∞)・n・∫(n-0.5<x<n+0.5)dx・p(x) なお ψ(n)=∫(n-0.5<x<n+0.5)dx・p(x) は数値計算するしかありません