質問: tanh(x)がx>>1のときの近似式 tanh(x)がx>>1のときの近似式 tanh(x)がx>>1のとき以下の近似式が成り立つそうなのですが、 どうしてこういう近似式が成り立つのかわかりません。 どなたか教えていただけると助かります。 tanh(x)≒1-2*exp(-2x)
回答: tanh(x) = ( e^x - 1/e^x )/( e^x + 1/e^x ) = { e^x - e^(-x) }/{ e^x + e^(-x) } というのは分かりますね。 この右辺の分子と分母を e^x (≠0)で割って式を書き直すと tanh(x) = { 1 - e^(-2*x) }/{ 1 + e^(-2*x) } --- (1) となります。ここで、x >> 1 のとき 0 < e^(-2*x) << e^(-2*1) = 0.135 < 1 なので 0 < e^(-2*x) << 1 ということになります。つまり、x >> 1 のときは、e^(-2*x) は 0 に非常に近い値になります。 式(1)の e^(-2*x) を x と置き換えたときの式 tanh(x) = ( 1 - x )/( 1 + x ) を x = 0 の周りで テイラー展開すれば tanh(x) = 1 - 2*x + 2*x^2 - 2*x^3 + ・・・ となりますが、x は 0 に近い値なので、x の高次の項はほとんど 0 として無視すれば tanh(x) ≒ 1 - 2*x と近似できます。これに x = e^(-2*x) を代入すれば tanh(x) ≒ 1 - 2*e^(-2*x) となります。 添付図は y = tanh(x) と y = 1 - 2*e^(-2*x) のグラフですが、 2 < x ではその近似が成り立っていることが分かります。