質問: 【ベクトルと平面図形】 点oを中心とし、半径1の円に内接する△abcが oa→+√3ob→+2oc→=0→を満たす。 (1)内積oa→・ob→、oa→・oc→は? (2)∠aob、∠aocは? (3)△abcの面積は? (4)辺bcの長さ、および頂点aから対辺bcに引いた垂線の長さは? 問題数が多いですが... 解ける方いらっしゃいますか(><)
回答: >点oを中心とし、半径1の円に内接する△abcが >oa→+√3ob→+2oc→=0→ ......(ア)を満たす。 △abcの外接円の半径が1ということだから、 |oa|=|ob|=|oc|=1 >(1)内積oa→・ob→、oa→・oc→は? (ア)より、oa+√3ob=-2oc 両辺を2乗して、|oa+√3ob|^2=4|oc|^2より、 |oa|^2+2√3(oa・ob)+3|ob|^2=4|oc|^2 1+2√3(oa・ob)+3×1=4×1 2√3(oa・ob)=0より、(oa・ob)=0 (ア)より、oa+2oc=-√3ob 同様にして、(oa・oc)=-1/2 >(2)∠aob、∠aocは? cos∠aob=(oa・ob)/|oa|・|ob|=0より、 ∠aob=π/2 同様にして、cos∠aoc=-1/2より、 ∠aoc=2π/3 >(3)△abcの面積は? ∠boc=2π-(π/2+2π/3)=5π/6 △abc=△aob+△aoc+△boc △aob=(1/2)×1×1=1/2 △aoc=(1/2)×1×1×sin(2π/3)=(1/2)×(√3/2)=√3/4 △boc=(1/2)×1×1×sin(5π/6)=(1/2)×(1/2)=1/4 よって、 △abc=(1/2)+(√3/4)+(1/4)=(3+√3)/4 >(4)辺bcの長さ、および頂点aから対辺bcに引いた垂線の長さは? △bocで、余弦定理より、 bc^2=1^2+1^2-2×1×1×cos(5π/6) =1+1-2×(-√3/2) =2+√3 よって、 bc=√(2+√3) =√{(4+2√3)/2} =(√3+1)/√2 =(√6+√2)/2 頂点aから対辺bcに引いた垂線は、△abcの高さだから、hとおくと、 (1/2)×bc×h=(1/2)×{(√6+√2)/2}×h=(3+√3)/4 (√6+√2)h=3+√3 h=(3+√3)/(√6+√2) =(3+√3)(√6-√2)/(5-2) =2√6/4 =√6/2 ......垂線の長さ (2)を解けば図が描けると思うので、図を描いて考えてみて下さい。