質問: 一様収束・絶対収束などの利用法 解析で、関数列や級数の収束・絶対収束・一様収束について勉強しているのですが、ε-δでの定義や様々な定義を見て、その記述に関しては、「ふむふむ、これを満たしていると○○収束なんだな」と理解できます。 しかし、関数列での○○収束や級数の○○収束など、定義が増えるにつれて、これらの○○収束がわかったとして、一体どういうふうに実際に役に立つんだ?と混乱してしまいます。 例えばですが、「関数列に関して、『極限をとったものの対数』と『対数をとったものの極限』が同じ、ということが○○収束から言える」というような何か具体的な○○収束の利用の仕方がわかれば、直感的に理解しやすくていいなぁと思うのです。もちろん、例を挙げるにとどまるには勿体無いほどの威力をもった概念なのだと思うのですが、理解の最初のステップとして、どなたか何かの例を教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 関数列の収束は確かに別に定義がありますが 本質的には数列や関数の収束に基づいてると思んですよ ただ、関数の定義をそのまま関数列に当てはめるって言うのはちょっと無理があるからルベーグ積分論なんかの 概収束とか測度収束とか色々定義したんだと思います そういうのは、後々どういうことと関わってくるかと言うと複雑な関数を単純な関数の一次結合で表すことに繋がると思います(フーリエ級数 etc) そして、波動(振動)方程式や拡散(熱伝導)方程式なんかの解もフーリエ展開を使って表したりと 多分そういう関係なんじゃないかと思いますが?