質問: ベクトルの問題 ad//bc、bc=2adである四角形abcdがある。点p,qが ↑pa+2↑pb+3↑pc=↑qa+↑qc+↑qd=↑0 を満たすとき、 (1)abとpqが平行であることを示せ。 (2)3点p,q,dが一直線上にあることを示せ。 (1) ad//bc,bc=2adから ↑bc=2↑ad=2↑ad ↑ac-↑ab=2↑ad ↑ac=↑ab+2↑ad・・・(1) さらに↑pa+2↑pb+3↑pc=↑0から、 (↑aa-↑ap)+2(↑ab-↑ap)+3(↑ac-↑ap)=↑0 6↑ap=2↑ab+3↑ac (1)を代入すると 6↑ap=2↑ab+3(↑ab+2↑ad) =5↑ab+6↑ad ↑ap=(5/6)↑ab+↑ad・・・(2) また、↑qa+↑qc+↑qd=↑0から (↑aa-↑aq)+(↑ac-↑aq)+(↑ad-↑aq)=↑0 3↑aq=↑ac+↑ad (1)を代入すると、 3↑aq=(↑ab+2↑ad)+↑ad =↑ab+3↑ad ↑aq=(1/3)↑ab+↑ad・・・(3) ここで、↑pq=↑aq-↑ap を 計算すると(2)、(3)より、 ↑pq={(1/3)↑ab+↑ad}-{(5/6)↑ab+↑ad} =(-1/2)↑ab・・・(4) ∴ ↑pq=(-1/2)↑ab よって、abとpqが平行である。 (2)3点p,q,dが一直線上にあることを示せ。 ↑pd=↑ad-↑ap (2)を代入して、 ↑pd=↑ad-{(5/6)↑ab+↑ad} =(-5/6) ↑ab =(5/3)↑pq よって、3点p,q,dは一直線上にある こうやると教えてもらったんですけど、合っていますか? こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか? それとも他にいいやり方があるんですかね?(x_x;)
回答: #2です。 #2でおもりを使って考えるというのをやっています。でもやはり余りなじまない方法でしょう。 ベクトルでやってみます。 ac,bcの中点をm,nとします。 dmnは同一直線上にあってabに平行です。 p,qはdmn上にあるという事を示せば(1)(2)の両方に答えた事になります。 ・qについて qa+qc=2qm 2qm+qd=0 m、q、dは同一直線上にあります。 (mq:qd=1:2) ・pについて ab上に点rを取ります。 pa+2pb=3pr 3pr+3pc=0 pr+pc=0 r,p,cは同一直線上にあります。 点pはrcの中点です。 rcとmnの交点でrcは2等分されますから点pはmn上にあります。 ※p,qは重心であるという事は使っていません。 でも重心であるというイメージがあってこういう解き方が出てきています。 結果を図で確かめるというのもこのイメージがあるとしやすいです。 でも思いつきのきっかけになった内容が解答に出てくるとは限らないのです。 #2の最初に書いた「qは△acdの重心である」という事が出発点になっています。