質問: 大学数学 (素朴的)集合論 距離空間あるいはユークリッド空間において 「内部が導集合(集積点全体の集合)に含まれる」 は真ですか?
回答: sho********さん 偽である. 【反例】 内部の定義は内点全体のことだから, 内点が集積点でない例を示す. 2元以上の任意の集合 X に離散距離を入れる. すなわち, 距離関数 d として x=y ⇔ d(x,y)=0 x≠y ⇔ d(x,y)=1 と定義する. 空でない A⊂X をとるとき a∈A, B(a,1/2) = {x∈X | d(x,a)<1/2} ⊂ A であり, 内点の定義から, a は A の内点である. 一方, B(a,1/2) - {a} = 空集合 であり, 集積点の定義から, a は集積点ではない. 以上から, 離散距離空間では内部が導集合に含まれない.