質問: 3次関数の極値 3次関数f(x)=-2x^3+9x^2-10のグラフをcとする。f(x)の極値を与えるc上の2点をa、bとする。線分abの中点mはc上にあることを示せ。 という問題で、疑問なのは、解答では、 f'(x)=0からx=0,3を求めた後、増減表を書いてから、増減表がこのようになるから点a、bの座標は...としているのですが、増減表を書く必要はあるのでしょうか? 『3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ』なのだから、f'(x)=0の異なる2つの解が求まったらそれがa、bのx座標に決定すると思うのですが、違うのでしょうか?
回答: 3次関数の場合、『3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ』なのですが、 一般の微分可能な関数では、『f(x)がx=aで極値をもつ⇔f'(x)の符号がx=aの両側で異なる』であって、 f'(a) = 0 だけでは十分でありません。 解答例は、3次関数固有の性質に依存せず、極値の一般論を使って証明しようとしているのです。 そのため、x = 0, 3 のそれぞれ両側で f'(x) の符号が異なることを示す必要があり、 増減表を使っています。 そもそも、3次関数固有の性質を証明に使ってよいのなら、abの中点がc上にあること自体が 有名な事実なので、「自明」だけで証明が済んでしまいます。 そうではない解答がしたいなら、解答例のようにすべきでしょう。