質問: 高校の物理の問題です。 高校の物理の問題です、皆さん、教えていたたけませんか。 ばねに質量mのおもりをつけて下げた。図1のようにはじめにばねの長さが自然長になる位置でおもりを板で支えた。次に板をゆっくり下げたところ、図2のようにばねがdだけのびたところでおもりは板を離れて静止した。図1の状態のバネとおもりの力学エネルギーの和をu1とし、図2の状態のバネとおもりの力学エネルギーの和をu2とする、 (u2-u1)はいくらか。 正解はー0.5mgdだそうですが、どうやって解けるのか教えていたたけませんか 宜しくお願いいたします
回答: 力学的エネルギー=運動ネルギー+位置エネルギー です。 物体の質量をm,速度をvとすると 運動ネルギーk=(1/2)・m・v^2 ですが。本問では、オモリはゆっくり移動させられているので、常に 速度v=0 だったと考えて良いです。 ∴運動ネルギーkは、ずっと0のまま、つまりその変化量も0です。 位置エネルギーとは、物体に働いている保存力の1つ1つについて考えられる量ですが、本問では、重力mgと弾性力とが保存力ですので、これら2つの保存力について位置エネルギーを計算しなければなりません。 (1)弾性力による位置エネルギーukは、 uk=(1/2)・k・x^2 ここで、kはバネ定数,xは自然長からの伸び(または、縮み)です。 図1では、x=0ですから uk=0 図2では x=dですから uk=(1/2)・k・d^2 差し引き、(1/2)・k・d^2 だけ増加しています。 (2)重力による位置エネルギーuは、その基準点の採り方が任意ですから、図1の時のオモリ位置(高さ)での位置エネルギーuを0としましょう。 図2では、基準位置よりdだけ下がっていますから u=mg(-d)=-mgd 差し引き、 mgd だけ減っています。 ところで、図2では、弾性力と重力とが釣り合っているのですから mg=kd が成立しています。この関係を使って、ukの変化量を評価し直すと (1/2)・k・d^2 だけ増加=(1/2)mgd だけ増加 となります。 集計すると、(運動エネルギーの変化量は0でしたから) 力学的エネルギーの変化量は、 (1/2)mgd だけ増加と mgd だけ減少の和となり (1/2)mgd-mgd=-(1/2)mgd となります。 オーソドックスな解法は以上ですが、別のアプローチもあります。 力学的エネルギーは、物体に働く力が、保存力だけだったとすると、一定値に保たれます(力学的エネルギー保存の法則です)。しかし、非保存力が仕事wをすると、力学的エネルギーは、そのwの分だけ変化します。wが正なら力学的エネルギーは増加しますが、wが負だったら減少します。 さて、本問で、非保存力とは何でしょうか? 重力と弾性力とは保存力でしたが、板が支えている力は保存力ではありません。ということは、この板がした仕事wだけ、力学的エネルギーは変化するわけですから、このwこそが答だと言うこともできるのです。 板が支えている力は、物体の高さによって変化します。下に行くほど小さくなることはイメージできるでしょう。そこで、支える力の平均値fを求めてみます。 図1ではオモリの重さがモロに掛かっていますからmgですが、図2では板が無くてもそのまま、つまり板が支える力は0です。結局、平均値fは単純平均値 f=(mg+0)/2=(1/2)mg となります※ fは当然のように上向きの力です。オモリは、このfが働く向きとは反対方向にdだけ移動するのですから、fがした仕事wは、仕事の定義から w=f・d・cos180°=-(1/2)mgd ※板が支える力は非常に単純で、板が下がった距離に単純に比例して小さくなっていきます。こんな場合は、力の平均値は単純平均値で表して構いません。 心配なら、板が下がった距離をxとして、その位置で板が支える力をxの関数として表し、x~x+δx の移動に要する仕事δwを求め、区間x=0~dで、δwを積分すれば、より厳密な解き方になります。