質問: 数列 漸化式 a(n+1)=2a(n)+n (初項a(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{b(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{b(n)=-n-1}がわかります。 この{b(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 a(n+1)=2a(n)+n b(n+1)=2b(n)+nの両辺を引いて a(n+1)-b(n+1)=2(a(n)-b(n))という等比数列が成り立つので、 a(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、b(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、a(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。
回答: a(n+1)=2a(n)+n 初項a(1)=1 という数列がある。 この数列の一般項a(n)を求めよ・・・という問いに対し 特に回答の仕方に指定が無ければ、私なら次のように解きます。 初項a(1)=1が与えられているので上の漸化式に暫時代入して a(5,6)くらいまで求める。これからb(n)が割と容易に求められる。 後は 公式 a(n) = a(1) + [1,n-1]σb(k) を用いる。 ちなみに a(n) = 2n^2-3n+2 となった。