質問: 至急お願いします。 表面積一定の直円錐の体積が最大になる時の高さと底面の半径の比を求めよ。 という問題です。 解は2√2:1になるそうです。 詳しくお願い致します。
回答: 底面の円の半径r、側面の扇形の半径R、角度θとすると、円周と扇形の円弧の部分の長さが等しいため、 2πr=Rθ そして、表面積は円と扇形を足して、 S=πr^2+R^2θ/2 この2つを連立させて、 R=(S-πr^2)/πr...(1) 一方、円錐の高さをhとして、r,R,hで直角三角形を作るため、 h^2=R^2-r^2=(R+r)(R-r) であり、式(1)を代入して、rで表すと、 h^2=S(S-2πr^2)/π^2 r^2...(2) したがって、体積をVとすると、 V^2=(πr^2 h/3)^2=π^2 r^4 h^2 /9=S(Sr^2 -2πr^4) このため、t=r^2とすると、V^2はtの2次式であることがわかり、 t=r^2=S/4π つまり、 r=(S/4π)^(1/2) の時にV^2つまりVが最大となる。なお、式(2)に代入して、 h=(2S/π)^(1/2)=2√2r であり、高さは半径の2√2倍である。