質問: 環を局所化すると局所環になるのですか?
回答: いいえ。 局所環とは、極大イデアルが1つしかない環のことです。 たとえば、Rを有理整数環Z、Sを2で生成される乗法的集合{1, 2, 4, 8, ...}とすれば、RのSによる局所化S^(-1)Rは、局所環ではありません。実際、2以外の素数pで生成される単項イデアル(p)はすべてS^(-1)Rの極大イデアルです。 環の局所化が局所環となる例としては、以下のようなものがあります。 Rを可換環、PをRの素イデアル、S = R\Pとすると、Pが素イデアルであることから、Sは乗法的集合になります。RのSによる局所化S^(-1)Rは、Pで生成されるイデアルを唯一の極大イデアルに持つ局所環となります。 代数幾何学(スキーム)における局所環はこれです。これはPに対応する部分スキーム上で零にならない関数のなす環です。