質問: 逆写像について 逆写像について質問です。 教科書で定義を見てもいまいち理解できません。 具体的な例を挙げます。 いま、a={a,b,c,d,e}とし、aからaへの写像fを f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)} とするとf^(-1)の値はどうなるか? 自分が考えたのは、単にそのまま逆にして f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)} となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか? 逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。 よろしくお願いします。
回答: 定義は 写像f:x→yの逆写像f(-1):y→xとは、y∈yに対してf(x)=yとなるx∈x を対応させる規則のことですね。 これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。 たとえば f:{a,b,c}→{a,b,c} を f(a)=a f(b)=a f(c)=b などと定義すると、 f(-1)(a)はaとbの2つ f(-1)(b)=c f(-1)(c)はない などとなって、f(-1)が定義できません。 これは、fが単射でも全射でもないからです。 また、 f:{a,b,c}→{a,b,c,d} を f(a)=a f(b)=b f(c)=c と定義すると、 f(-1)(a)=a f(-1)(b)=b f(-1)(c)=c f(-1)(d)はない となって、f(-1)は定義できません。 これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。 しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:x→yに関して、 f(-1)の定義域をf(x)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。 また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。 集合xとyの間に全単射f:x→yが定義できるときにxとyは対等といって、 x~yなどと書きます。xとyが有限集合なら、xとyの要素の個数が等しいときのみ可能です。 xとyが無限集合でも、たとえば、 x:自然数全体の集合、y:偶数全体の集合 として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、x~yであり、 f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。 すなわち、xもyも無限の度合いが同じということです。 また、x:自然数全体の集合、y:有理数全体の集合 としても全単射f:x→yがちゃんと定義でき、x~yです。 すなわち、有理数全体の集合は1、2、3、・・・と番号付けを することができます。 (これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール の考えた方法で、本当です。) しかし、x:自然数全体の集合、y:実数全体の集合とすると、 全単射f:x→yは定義できないので、x~yではありません。 すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より 高いということで、1、2、3、・・・と番号を付けてすべてを数 え上げることはできません。 逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが 肝心です。 どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。 (ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。)