質問: dx を変数として扱える理由 高校の数学では、微分を次のように習いました。 y=f(x) ...f(x)はxの関数 yをxで微分することを次のように書く。 dy/dx=df(x)/dx 例えば y=f(x)=x^2+3x+4 なら dy/dx=2x+3 高校の授業で数学の先生の漏らした言葉に、 dx は、ひとつの変数と扱って計算してよい。 とすると dy=(2x+3)dx と書ける。 ここで積分の魔法をかけると ∫dy=∫(2x+3)dx y+a=x^2+3x+b (a,bは定数) なんと、これはa,bを b-a=4とすれば 最初のf(x)と一致してます。 このようなめちゃくちゃな話をそのまま信じるのも あれなので、こんな計算が許される理由を教えてください。
回答: dy/dxとか、∫f(x)dx とかいう表記は、ライプニッツという人が考えたものなんですが、実際、不思議なほどよくできてますね。 dxとかdyという単体の記号が何を表わすのかというのは、いろんな解釈の仕方があって、まあ、数学の世界で一番よく使われているのは、大学で習う、微分幾何というものでの定義です。普通は、大学3年くらいで習うでしょうかね。(もしかしたら理学系じゃないと習わないかも) 実は、その前に大学1年くらいで、全微分っていうのを習うはずで、そのときには、dxなどの単体の記号が必然的にでてくるんですけど、そのときには、たいてい、その意味するところをちゃんとやらないまま、なんとなくで済ます場合が多いです。 というわけで、大学3年になるまで待って、としかいいようがないかな。 ただ、物理や工学の人なら、そんなことを気にせずに、ばんばん、そういう計算をやりますし、物理や工学の世界で出てくるような普通の世界の問題ならば、それで実際何も問題ないです。 ただ、とりあえず、そこに書いてあること自体は、微積分の基本定理(微分と積分が互いに逆演算である)そのものですね。 dy/dx=2x+3 の両辺をxで積分して ∫(dy/dx)dx = ∫(2x+3)dx で、左辺をyで置換積分した、と言うことなので、高校範囲でも理由は説明できますね。