質問: nの階乗と2のn乗の比較 n! > 2^n -- (式1) という記載を微積分の本で見ました。 式(1)を帰納法で解こうとしました。 k! > 2^k と仮定 k! / 2^k > 1 -- (式2) となる。 ---- (k+1)! / 2^(k+1) > 1 上記の左辺は (k+1) k! / (2 * 2^k) となり (k+1) / 2 * (k! / 2^k) -- (式3) 式(2)より (k+1) / 2 -- (式4)が1以上となる時は式(3)>1が成り立つ。 式(4)が1以上となるのはk>=1の時。 よって、すべてのk>=1において式1は成り立つ。 ---- というような解き方で正しいでしょうか? 他にもっと簡単な解き方はあるのでしょうか?
回答: 階乗ですから、n≧1でしょうね。 n=1:1!=1, 2^1=1、よって不成立。 n=2:2!=2, 2^2=4、よって不成立。 n=3:3!=6, 2^3=8、よって不成立。 n=4:4!=24, 2^4=16、よって成立。 n=5:5!=120, 2^5=32、よって成立。 n=6:6!=720, 2^6=64、よって成立。 nが4以上のとき成立するようですね。まず、nが3以下のとき、どうして不成立なのか考えてみます。 3!=1・2・3です(わざと、通常と逆順で書いています)。一方、2^3=2・2・2です。両者の左辺を左から順に比べると、2<1、2=2、3>2です。2<1ということから、この二つの掛け算では3!が2^3より大きいかどうか不明になっています。そして、3>2で埋め合わせできるかといえば、3×1/2=1.5<2ですから、できません。 n=4だと、4>2であることで、ようやく埋め合わせができて、n!>2^nが成立しています。 ですから、1≦n≦3で不成立であることは認め、n=4で成立することを元に、n≧5でも成立するかどうか考えればよさそうです。 自然数:1, 2, 3, 4, 5, ...を数列と考えれば、n!(n≧5)と2^nを比較してみるのには、n!のうち、4!・5・6...・nと、2^4・2^(n-4)の大小を判定すればよいです。 これの大小は自明です。もう「4!>2^4」は分かっています。n-4個の5, 6, ..., nと、n-4個の2を比べれば、5, 6, ..., nはどれも2より大きいです。それなら、かけ合わせたら、5・6...・n>2^(n-4)であることは、もう証明不要でしょう。そして、n!の残りの部分の4!と2^4の大小は分かっていますから、それぞれを不等式の左辺と右辺にかけても、大小関係は変わりません。 以上を、証明っぽくかけばいいのではないかと思います。もちろん、帰納法で書いても何ら問題ありません。