質問: 複素関数について 自分は大学で複素関数を習っています。 コーシーの積分の定理でわからないことがあります。 cの範囲が0~2πのときは∳f(z)=0となるのはわかるのですが、cの範囲が0~πになったり、 0~π/2になったりするとまったくわかりません。 こういったときはどうやって積分の値を出せばよいのでしょうか? 例などもあるとうれしいです。 よろしくお願いします。
回答: >cの範囲が0~2πのときは∳f(z)=0となるのはわかるのですが なぜ分かるのですか? cが1つの正則な領域に含まれていなければ、つまりc内に正則でない特異点が含まれている場合は=0がゼロとは限りませんよ。 >cの範囲が0~πになったり、 0~π/2になったりするとまったくわかりません。 こういったときはどうやって積分の値を出せばよいのでしょうか? 参考urlの「コーシーの積分定理」の(特に定理などの)所をよく読んで見てください。 正則領域内では積分路はどうとっても構わないですね。角度で範囲を指定していませんね。 あくまでも積分経路cの形状(単一閉路)については正則領域内ではどのように変形させて形状をどのように変形させても構わない、つまり積分しやすいようにcの形状を作ってやっても積分に影響がないということです。多くの場合積分路は積分のしやすさから、円弧(円の一部)、直線・線分(特に実軸や虚軸に沿った経路)に分割して、全体として単一閉路を作ります。この際、直線・線分部分の経路が積分のしやすさから実軸または虚軸に沿った(平行な)経路にとられるために、円弧が全円(0~2π)、半円(0~π)、4半分円(0~π/2)になることが多いだけです。円弧部分の積分路の中心角の範囲は積分閉路cの全体形状をどう取るかで決まってきます。円弧経路は半径を固定して中心角θだけの積分にできますので、実軸・虚軸に沿った(軸上の、または軸に近接した平行直線上の)経路積分とあわせて多用されますね。 ■複素積分は「コーシーの積分定理」、「コーシーの積分公式」、「留数定理」の3つが全てです。これらを1セットで使いこなせるるようにしてください。 例題はネット上に沢山ありますので自身で検索してください。