質問: 交流並列回路の力率cosθについて確認させて下さい 図のように並列回路があり、並列回路の力率cosθ 交流並列回路の力率cosθについて確認させて下さい 図のように並列回路があり、並列回路の力率cosθはz/rです 例えばこの回路の合成インピーダンスを計算して2-j2(ω)だった場合 図のように2ωと-j2(ω)の抵抗が直列接続した状態と考える事ができるので直列回路の力率cosθ=r/zよりこの回路の力率もr/zと考えてもいいのでしょうか 力率cosθは電源に流れる電流と電源電圧との位相差なのでこれでもいいのかなと考えました
回答: なんか、いろいろと変です。 まず、並列回路の構成要素が抵抗 r と リアクタンス x だとすると、力率は z/r にはなりません。しかも「 z/r 」では複素数だし。 下のほうでは、これが r/z となって分子分母が逆転しているし。 また、当然ながら、そのときの並列合成インピーダンスは z = r + jx ではありません。 まず、並列回路の構成要素が抵抗 r と リアクタンス x であるときの合成インピーダンス z を求めましょう。 1/z = 1/r + 1/jx より z = jr*x/(r + jx) = jr*x*(r - jx) / (r^2 + x^2) = (r*x^2 + jr^2 *x) / (r^2 + x^2) になります。 次に、この並列回路の力率を求めます。 電圧 v のとき、電流は i = v/z = v * (x - jr)/rx 従って、電力は w = v*i = v^2 (x - jr)/rx 皮相電力は |w| = [v^2 √( x^2 + r^2) ] / |rx| 有効電力は p = v^2 /r よって、力率 f は f = p/|w| = |x| / √( x^2 + r^2) = |x| / |z| 1 となります。(分母は z そのものではなく z の絶対値、分子は |x| です) 次に、この並列回路とインピーダンスが等価な直列回路の力率を求めます。この直列回路では 抵抗:r1 = r*x^2 / (r^2 + x^2) 2 リアクタンス:x1 = r^2 *x / (r^2 + x^2) 3 の直列接続ということになります。 流れる電流を i1 とすれば 全体の電圧 v1 = i1*z = i1* (r*x^2 + jr^2 *x) / (r^2 + x^2) 従って、回路全体の電力は w1 = v1*i1 = i1^2 * (r*x^2 + jr^2 *x) / (r^2 + x^2) 皮相電力は |w1| = [i1^2 √[ (r*x^2)^2 + (r^2 *x)^2) ] / (r^2 + x^2) = i1^2 * |rx| / √(r^2 + x^2) 有効電力は p1 = i1^2 r*x^2 / (r^2 + x^2) よって、力率 f1 は f1 = p1/|w1| = |x| / √( x^2 + r^2) = |x| / |z| となります。 つまり、上の並列回路の力率1と同じです。 なお、直列の場合には、23のように、直列の抵抗を r1、リアクタンスを x1, 流れる電流を i1 で書けば 全体の電圧 v1 = i1*z = i1* (r1 + jx1) 従って、電力は w1 = v1*i1 = i1^2 * (r1 + jx1) 皮相電力は |w1| = i1^2 √(r1^2 + x1^2) = i1^2 * |z| 有効電力は p1 = i1^2 *r1 = i1^2 * r1 より、力率 f1 は f1 = p1/|w1| = r1 / |z| となります。 ただし、ここでいう r1 は直列の抵抗2であって、2で使っている並列回路の r とは違います。 質問者さんの画像で言えば、直列の合成インピーダンス 2 - j2 に対応した r1 = 2 x1 = -2 であって、このとき直列回路の力率は 力率 = r1 / √(r1^2 + x1^2) = 2/ √[ 2^2 + (-2)^2 ] = 2/√8 = 1/√2 = √2 /2 4 です。 そして、上の並列回路の合成インピーダンスが 2 - j2 になるためには、23より r1 = r*x^2 / (r^2 + x^2) = 2 x1 = r^2 *x / (r^2 + x^2) = -2 になる必要があるので、これを解けば r = 4, x = -4 になります。 このときの並列回路の力率1は f = |x| / |z| = 4 / √(4^2 + 4^2) = 1/√2 = √2 /2 5 で、直列回路の力率4と同じになります。 結局のところ、異なった回路や図で、違った意味の r や z を共通に使って混乱や誤解をしているということのようです。