質問: 穴の開いた空のタンクへ水を入れた時の水位高さ 底面に穴の開いた空のタンクへ水を入れた時、水位高さがどうなるか教えて下さい。 (1)底面積120cm2、高さ2.5cmの空のタンク(容積300cm3つまり0.3l) (2)このタンク底面に直径6mmの穴が開いている(断面積0.283cm2) (3)このタンクに流量1l/minで上から水を入れる。 (4)環境は全て大気圧、損失等は無視する。 とした場合、タンクの水位は何cmの時に一定になるのでしょうか?また、水の入れ始めからの 経過時間は何sec後に一定になるのでしょうか? 各書籍を確認したところ、 十分な大きさのタンクに最初からある程度水が入っている場合なら(各単位を換算して)、 q=avより v=0.001/(60×π/4×0.006^2)=0.589m/s v=√(2gh)より h=(0.589^2)/(2g)=0.0177m=1.77cm で水位が一定となる と計算できました(水位一定になるまでの時間は不明)。 今回は最初から水のない場合なのですが、調べても参考となるものがなかったもので... 御教授よろしくお願いいたします。
回答: タンクの底面積をs,タンクの底の穴をsoとする. 水面の高さxのときの穴から出ていく流体の速度をvとするとベルヌーイの定理より ρgx=1/2 ρv^2 つまり v=√(2gx) とわかる.任意の高さでの流速がわかったので次に体積の時間変化について考えます.ある時刻でのタンクの中の体積をq(t)とすると, dq(t)/dt=qo-so=√(2gx) であり,q(t)=xsより dq(t)/dt=qo-so=√(2gq(t)/s) となります.これは変数分離型の微分方程式なので一般解がわかり,ほしい量はすべてわかります.