質問: 問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からtまで(0<=t<π/2 問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からtまで(0<=t<π/2))をしろという問題で積分すると、-log(1-sint)になりました。 問2が (√(1+sinx))/((1-sinx)^a)dxの積分 (x:0からπ/2)が収束するようなaの範囲を求め、その時の広義積分を求めよ。どうやって解けばいいでしょうか?
回答: ∫_{0~π/2-0}{√(1+sinx)}/{(1-sinx)^a}dx √(1+sinx)}/{(1-sinx)^a}=cosx/(1-sinx)^{a+(1/2)}だから =∫_{0~π/2-0}[cosx/(1-sinx)^{a+(1/2)}]dx t=1-sinxとすると t=1~+0 dt=-cosxdxだから =∫_{1~+0}[-t^{-a-(1/2)}]dt a=1/2の時 =∫_{1~+0}(-1/t)dt =[-logt]_{1~+0} =∞ a>1/2の時 =[2/{(2a-1)t^(a-1/2)}]_{1~+0} =∞ a<1/2の時 =[2t^{(1/2)-a}/(2a-1)]_{1~+0} =2/(1-2a) ∴ a<1/2 の時 2/(1-2a)