質問: 親戚の高校生に質問され、答えられませんでした。 相対性理論によれば、時間をtとし、-t^2は距離の2乗と同じ単位のようなので、虚数単位をiとして、iメートルは何秒なのかと聞かれ、答えに窮しました。私には、答えがあるのかどうかもわかりませんが、確かに虚数の距離は時間になるようにも思えます。 お分かりになる方、宜しくお願いします。
回答: 空間x、時刻tをミンコフスキー空間上の座標と考えると、一般にはこれらの間には何の関係もありませんので、xとtの間に何らかの関数形を与えない限りは、xを決めたからといって、tを得ることはできません。時間というのは2つの時刻の差ですから、ご質問の条件では解答は難しいかと思います。 しかし、これだけでは意味がないので、ご親戚の高校生の方がなぜこのような質問を考えたのか推測して見ます。 ミンコフスキー空間でローレンツ変換不変な量は、 ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 ...(1) と表せます。(本などでc=1と置かれている場合は、自然単位系で考えています)ここで、因果律が保たれている場合(dx=vdt, v<=c)は、ds^2 >= 0になります。 逆に、ds^2 >= 0の条件ありきとすると、(1)の式から、 dx=iw(w:実数)...(2) などと置いても条件を満たしそうです。このため、ご親戚の方はxが虚数の場合を着想されたのではないでしょうか。 では、これにはどんな意味があるのでしょう。この着想には、一つの論理のジャンプがあります。それは、当初、xやtは実数だという前提で理論を構成したはずなのに、突然それが複素数まで拡張されていることです。このような手法は解析接続と呼ばれます。 一般には、ある関数が解析接続可能であるかは自明ではありませんので、議論なくこのようなことはできません。(ですが、物理量の関数は解析接続可能であるとして議論を進めることも多いです。) いま、解析接続可能であるとした場合、(2)は何を意味しているのでしょうか。(1)に(2)を代入すると、 ds^2 = c^2 dt^2 + dw^2 ...(3) となります。(3)はよく見慣れた距離の定義ですよね。(2)のような操作をユークリッド化とかWick回転とか呼びます。ある物理量を計算するときに、(2)のようにおいた方が計算しやすいので使われる数学的手法です。 では、このWick回転したあとの"時刻"wに物理的意味はあるのでしょうか?これに関しては様々な意見があるかもしれませんが、単なる数学的な操作であると見る向きが多数かと思います。 こんなところでいかがでしょうか。ご親戚の方は高校生ということですし、ご不明の点があれば、高校の物理の先生に質問をぶつけてみるのも一つの手かとは思います。