質問: なぜ、z-aはrではなく、re^iθなのでしょうか? 図を描いてみましたがイマイチわかりません。 なぜ、z-aはrではなく、re^iθなのでしょうか? 図を描いてみましたがイマイチわかりません。
回答: まず、図の意味から 縦軸が虚軸(虚数を意味する)、横軸が実軸(実数を意味する)として 虚数aが a=s+itと表せるとき aの実部sと虚部tを見て 図上で座標が(s,t)である位置に打点したものが aで表された点の位置です! (aの点は原点から右にsだけ移動して、真上にtだけ移動したに位置している!) 同様にして z=u+ivとすればzの点の座標は(u,v) で、一旦図から離れて純粋な式変形だけを考える 虚数同士の引き算を行い r=z-aとすると z-a=(u+iv)-(s+it) =(u-s)+i(v-t)なんで r=(u-s)+i(v-t) ここでrの実部、虚部について u-s=rcosθ、v-t=rsinθとすると(ただしθはrの偏角 図の直角三角形の斜辺と横軸のなす角度) r=rcosθ+irsinθ この式について図と連携させれば r=z-a=(u-s)+i(v-t)=rcosθ+irsinθ なんで、zとaの差である虚数rについて、 r=z-aの実数部の差(横軸をx軸とすれば、zとaの点のx座標の差)は zとaの実部の差=u-s=直角三角形の底辺の長さ=rcosθ ですよね 同様にして r=z-aの虚数部の差(たて軸をy軸とすればy座標の差)は zとaの虚部の差=v-t=直角三角形の高さ=rsinθ です このとき三平方の定理などにより 直角三角形の斜辺の長さ=√(底辺2+高さ2) =√{(rcosθ)2+(rsinθ)2} =r このことから、rとは図上(複素数平面上)における zで表される点とaで表される点の距離(斜辺の長さ)のことなんです お気づきの通り、距離(斜辺の長さ)だけを表すrは 横軸との角度θ(偏角θ)の情報を含んでいないんです つまり rとrの関係は r=|r|ということ rには偏角θの情報が含まれるが、rにはθの情報が含まれていない ということは z-a=r=|r|ではないですよね(z-a≠r=|r|) もし、z-a=rだとするとこの式の左辺はrに相当で偏角の情報を含む 右辺は偏角の情報が抜けている、もしくは偏角がθではなくて0という意味になってしまうので矛盾なんです ということで オイラーの公式:cosθ+isinθ=e^iθ を用いて 虚数rの偏角をθ、 |r|=r とすれば z-a=r =|r|(cosθ+isinθ) =r(cosθ+isinθ) =re^iθ という事ですがrを用いれば =|r|e^iθ という意味なんです 図のrと虚数z,aの差rは別物ということがポイントなんです