質問: 大学数学です!こちらの、代数学の線形写像の問題を教えて頂けないでしょうか?
回答: qkc********さん ■ f(kx+y)=kf(x)+f(y) (k∈R, x,y∈U) が成り立つとする. (i) 加法性 条件で k=1 とおくと f(x+y)=f(x)+f(y) (ii) スカラー倍の保持 条件で k≠0, x=0 をとると f(y)=kf(0)+f(y) ⇒ kf(0)=0 ⇒ f(0)=0 ... k≠0 だから したがって, あらためて, 条件で y=0 とおくと f(kx)=kf(x)+f(0) ⇒ f(kx)=kf(x) したがって, f は線形写像である. ■ f は線形写像であるとする. 加法とスカラー倍が保持されるから, 任意の k∈R, x,y∈U にたいして f(kx+y) = f(kx)+f(y) = kf(x)+f(y) したがって f(kx+y)=kf(x)+f(y) (k∈R, x,y∈U) ⇔ f は線形写像である.