質問: 第一の不完全性定理「いかなる論理体系に於いても、その論理体系によって作られる論理式の中には、
回答: 打ち破っていません。ヒルベルトの有限の立場の形式化とされている体系としてPRA(原始帰納的算術)があります。ペアノ算術PAはPRAを含んでいる(正確に言えばPRAの論理式からPAの論理式への適当な翻訳が存在する)ので、不完全性定理よりPRAはPAの無矛盾性を証明できません。ゲンツェンは、PRAに対し「ε0(ω^α=αを満たす最小の順序数α)までの超限帰納法」を付け加えることで有限の立場を拡張すれば、その中でPAの無矛盾性が証明できる、ということを証明したのです。これは不完全性定理を打ち破っているわけではありません。