質問: 幾何学のコンパクトです。 誰かお助けください! 離散距離空間(X,d)が点列コンパクトであるための、必要十分条件は、Xが有限集合であることを示せ。
回答: (まず大切なのは、問題のどういう点が特殊なのかを十分認識することです。 今の場合、「離散距離空間」「有限集合」という部分がポイントです。 「点列コンパクト」って重要そうに見えますが、所詮ただの満たすべき性質であって標語みたいなものです。) Xが点列コンパクトであるとする。 任意の点列x1, x2, x3, ...において、収束する部分列y1, y2, ...がとれる。(分かりやすくするために文字を変えましたが、部分列ですからynはもとの点列のどれか、例えばxmとかと一致します、分かってるとは思いますが念のため。) (そしてここからが離散距離を用いた重要な点です!) 今、Xが有限集合でないと仮定する。点列xnとしてxn = a∈X s.t. a ≠ xk, 1 ≦ k ≦ n-1がとれる。 (つまり、常に今まで取ったことの無い点を選ぶ、ということです。有限集合でなければ候補はいくらでもありますから、大丈夫ですよね。) このとき、任意の部分列ynについて、d(yn, ym) =1 (n ≠ m)であるから、ynは収束せず、点列コンパクトであることに矛盾。 よってXは有限集合である。 (今は背理法を使いましたが、回りくどいと思うなら対偶を証明するという形で「Xが有限集合でないならば、点列コンパクトではない」ことを証明すれば良いでしょう。) (点列コンパクト⇒有限集合が示せましたから、今度は逆向きです。) Xが有限集合であるとする。X上の任意の点列xnをとる。X上のある点aについて、xn = aとなるnは無限個存在しなければならない。 (すべての点について有限個しか対応するものがなければ、点の数が有限個なのですから、数列が有限で終わってしまいます!) このようなaについて、xnの部分列ymをxn = aとなるすべての点、とすれば、収束する部分列となる。 (常に一定の場所に留まっているのですから、収束していると言えますね。) 以上より示された。 というわけです。 このまま丸写ししても答えにはなると思いますが、出来ればこの内容を消化して、自分の言葉で書くと理解が深まるでしょう。