質問: 写像の一致とは?? f,gを位相空間sからrへの(実数値)連続写像とする。 sが距離空間と仮定して、sの至るところ稠密な部分集合d上でfとgが一致するなら(つまりf|_d=g|_d)、fとgはs上全体で一致する(つまり同じ写像)を示せ。また一般の位相空間に対しても成り立つことを示せ。 この問題で、写像の一致とはなにをしめせばいいか、どのように用いればいいのかわかりません。教えてください。
回答: 先に直接的な証明を与えましたが、位相空間論的に重要な事実を 組み合わせた証明も紹介します。 位相空間論の基本的な事実として (1) 空間xがhausdorff空間(=t_2空間)であるための必要十分条件は 直積空間x×xの部分集合δ={(x,x)|x in x}が閉集合であることである。 (2) f:x→y,g:x→zに対しh:x→y×zを h(x)=(f(x),g(x)) for all x in x で定義する。このとき、f,gは連続⇔hは連続。 が知られています。 これらを用いれば次のような証明も可能です。 h:x→r×rをh(x)=(f(x),g(x))で定義するとき、(2)の事実から hは連続である。ところで、fとgはd上で一致することから d⊂h^{-1}(δ) (δ={(x,x)|x in r}です。) (1)からδはr×rの閉集合であって、hの連続性からh^{-1}(d)はsの 閉集合となる。故に、 x=cl(d)⊂cl(h^{-1}(δ))=h^{-1}(δ) これは、任意のx in xについて h(x) in δ 即ち、f(x)=g(x)が成り立つことを示している。