質問: ε-δ論法の証明問題 こちらは理工学部物理学科で大学新一年生の者です。 ε-δ論法の問題で解答が分からないものがあり、その本に解答が載っていないのでここで質問させていただきます。 問) lim(n→∞)(a_(n+1)-a_n)=αのとき、lim(n→∞){(a_n)/n}=αになることを証明せよ。 よろしくお願いします。
回答: 基本通りの計算練習。 lim(n→∞)(a_(n+1)-a_n)=α だから、 ∀ε>0, ∃n, n>n⇒|a_(n+1)-a_n-α|<ε. この n を使って、n>n のとき、 |a(n)-a(n)-α(n-n)|=|σ[k=1~n-n]{a(n+k)-a(n+k-1)-α}| ≦σ[k=1~n-n]|a(n+k)-a(n+k-1)-α)| <ε(n-n). よって、|{a(n)-a(n)}/(n-n)-α|<ε. すなわち、lim(n→∞){a(n)-a(n)}/(n-n)=α. lim(n→∞)a(n)/n = lim(n→∞){a(n)-a(n)}/(n-n)・(n-n)/n + a(n)/n = lim(n→∞){a(n)-a(n)}/(n-n)・lim(n→∞)(n-n)/n + a(n)・lim(n→∞)1/n = α・1 + a(n)・0 となる。 δa(n)≒α から a(n)≒αn という本音が見えれば、 上記のような建前に行き着くはず。