質問: A={(x,y):x^2+y^2<1} B={(1/n,0):n∈N} とR^2の部分集合A,Bを定める。 Aの内点、外点、境界点、集積点、 触点の集合をそれぞれ求めよ。 解析学の問題なのですが回答が わかる方、解説
回答: 〔Aについて〕 ・点pの適当なε>0を取れてε-近傍がAに含まれるように出来るとき、点pがAの内点であり Aの内点全体 = A ・点pの適当なε>0を取れてε-近傍がAの点を含まないように出来るとき、点pがAの外点であり Aの外点全体 = {(x,y);x^2+y^2>1} ・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍がAの点およびAの補集合の点を含むとき、点pがAの境界点であり Aの境界点全体 = {(x,y);x^2+y^2=1} ・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍が点pを除外したAの点を含むとき、点pがAの集積点であり、集積点には内点と孤立点を除く境界点を含み Aの集積点全体 = {(x,y);x^2+y^2≦1} ・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍がAの点を含むとき、点pがAの触点であり、触点には集積点と孤立点を含む。Aの孤立点は存在しないから、この場合にはAの集積点全体に等しくて Aの触点全体 = {(x,y);x^2+y^2≦1} 〔Bについて〕 (1) まず、点pの適当なε>0を取れて点pの近傍に点p以外にはBの点を含まないように出来るときにBの孤立点であるという。したがってBの点は孤立点のみである。孤立点は境界点であり集積点ではなく触点である。 (2) 次に、n→∞ のとき 1/n→0 であるから、点(0,0)の任意のε-近傍にはBの点が含まれていて、同時にBの補集合の点(-ε/2,0)も含むから、点(0,0)は境界点であり集積点であり触点である。 (3) そして、Bの点と点(0,0)を除いたR^2の部分集合の点は、その近傍にBの点を含まないようにできるから、Bの外点である。 (4) 内点は外点でなく境界点でない。 以上より Bの内点全体 = 空集合 Bの外点全体 = R^2-(B∪{(0,0)}) ... B∪{(0,0)}の補集合 Bの境界点全体 = B∪{(0,0)} Bの集積点全体 = {(0,0)} Bの触点全体 = B∪{(0,0)}