質問: 不定積分と漸化式 in=∫1/(x^2+1)^n dx (n=0,1,2,・・・・) の漸化式を求めなさい。 という問題です。 解答のみしか分からず困っています。 【解】in+1=2n-1/2n *in + x/2n(x^2+1)^n (n≧1) どなたか、解説よろしくお願いします!!
回答: #2です。 a#2の補足の質問について >>4→5行目の式変形が分かりません。 >ここが部分積分ですか? その通りです。 >=∫1/(x^2+1)^n dx+∫ x*(-x)/(x^2+1)^(n+1) dx >=in + x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx 第一項は in=∫1/(x^2+1)^n dx そのものです。 第2項を部分積分します。 ∫ x*(-x)/(x^2+1)^(n+1) dx =x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx ∫(-x)/(x^2+1)^(n+1) dx=(1/(2n))/(x^2+1)^n + c であることは右辺を微分すれば被積分関数になる事から分かるでしょう。