質問: ∫a,b+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明 ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。 有界なf(x),g(x)がa,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。 定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。 #以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。 ヒント fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,δ)、s(f,δ)というふうに書けば、s(f,δ)+ s(g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f,δ)+ s(g,δ) に注意せよ。 同書の略解 分割δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,δ)+ s(g,δ)=σn(i)(a(i)-a(i-1)) + σp(i)(a(i)-a(i-1))≦σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,δ)同様にs(f+g,δ)≦s(f,δ)+ s(g,δ) だから、inf(s(f,δ))=sup(s(f,δ))、inf(s(g,δ))=sup(s(g,δ))なら、inf(s(f+g,δ))=sup(s(f+g,δ))=、sup(s(f,δ))+sup(s(g,δ)) となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。 s(f,δ)+ s(g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f,δ)+ s(g,δ) からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。 よろしくお願いいたします。
回答: 記法から想像するに高木貞治先生の解析概論ですか? 書くのがつらいので関数fの上積分・下積分をs(f), s(f)と書きます inf(s(f,δ))=s(f) sup(s(f,δ))=s(f)です ダルブーの定理より, s(f,δ)+ s(g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f+g,δ)≦s(f,δ)+ s(g,δ) において,δの幅 -> 0 の極限を考えることにより s(f)+s(g) <= s(f+g) <= s(f+g) <= s(f) + s(g) fとgはリーマン積分可能だから s(f)=s(f),s(g)=s(g)となるので この不等式の最右辺と最左辺が等しいので s(f+g)=s(f+g)=s(f)+s(g)=s(f)+s(g) つまり f+gはリーマン積分可能で ∫a,b+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx 解析概論だったら,多分この前にダルブーの定理が 証明つきででてると思います. ダルブーの定理の証明そのものはどうするんでしたっけ(^^;;;