質問: 0≦x<2πにおいてt=sinxとすると、 y=cos2x+2sinx+1は、y=-2t2+2+2と 0≦x<2πにおいてt=sinxとすると、 y=cos2x+2sinx+1は、y=-2t2+2+2となる。 この時のyの最大値、最小値と、その時のxの値を求めよ また、y=cosxのグラフをx軸に関して対称移動するとy=(ア)のグラフとなる これらの求め方と答えを教えてください!
回答: 前半は、-1 ≦ t ≦ 1 という定義域での y = -2t^2 + 2t + 2 = -2(t - 1/2)^2 + 5/2 の最大・最小を求める問題です。 これが t-y 曲線上で、頂点が (1/2, 5/2) で上に凸の放物線であると分かればすぐ解けるでしょう。 とりあえずグラフを書いてみて。 -1 ≦ t ≦ 1 という定義域に頂点があるので ・t = 1/2 のとき最大。最大値は 5/2。 0≦x<2パイ で t = sin(x) = 1/2 となるのは x=(1/6)パイ、(5/6)パイ。 ・放物線の「軸」t = 1/2 に対する左右対称性から、最小となるのは t = -1 のとき。最小値は -2。 0≦x<2パイ で t = sin(x) = -1 となるのは x=(3/2)パイ。 後半は、「x軸に関して対称移動」するので、同じ x に対して y → -y になるということですよ? だから -y = cos(x) → y = -cos(x) です。