質問: 微分方程式 こんにちは^^ 微分方程式の問題でつまづいています。 m(d^2x/dt^2)=-kx^3 初期条件:t=0のときx=0、v=u という方程式なんですがどこから手をつけたらよいのか見当もつきません。 x=asin(wt+δ) とおいたりしてみたのですが、どうにもx^3というのがやっかいです汗 一般解の導き方を教えてください。よろしくお願いいたします。
回答: 私にも,手計算では,解けませんでしたので, インターネット上のコンピュータ・ソフト "wolfram|alpha computational knowledge engine" http://www.wolframalpha.com/ で,調べてみました.上記のソフトで, m(d^2x/dt^2)+kx^3=0 または, (d^2x/dt^2)+(k/m)x^3=0 と入力して,〓 ボタンを押すと出力(解)が得られます. 例えば,以下の通りです. (m^2 x(t)^2 (2 c_1-(k x(t)^4)/m) (2-(k x(t)^4)/(c_1 m)) _2 f_1(1/4, 1/2;5/4;(k x(t)^4)/(2 m c_1))^2)/(2 c_1 m-k x(t)^4)^2 = (c_2+t)^2 mathematica plaintext input: dsolve[{(k x[t]^3)/m + x''[t] == 0}, x[t], t] mathematica plaintext output: (m^2 hypergeometric2f1[1/4, 1/2, 5/4, (k x[t]^4)/(2 m subscript[c, 1])]^2 x[t]^2 (2 subscript[c, 1] - (k x[t]^4)/m) (2 - (k x[t]^4)/(m subscript[c, 1])))/(2 m subscript[c, 1] - k x[t]^4)^2 == (t + subscript[c, 2])^2 初等関数では,解は得られないようです. hypergeometric function ;「超幾何関数」などが出てきます. 以上,ご参考になりますでしょうか?