質問: 複素関数の問題 複素関数の問題です。 f(z)=z/sinhzがz=0を除いてcで正則であることを示したいのですが、どうすれば良いのでしょうか? コーシーリーマンでやろうとz=x+yiと置いて途中まで変形しましたが、式が複雑になり正則であることを示せません。 教えてください。
回答: z=0は除去される特異点になる sinhz=z+z^3 /6+z^5/120+... よって sinhz/z=1+z^2/6+z^4/120+... は零点をもたない z/sinhz=1/(1+z^2/6+z^4/120+...) は、|z|<1で =1-(z^2/6+z^4/120+...)+ (z^2/6+z^4/120+...)^2+... と級数展開できる。分母≠0だから全ての複素平面で正則である