質問: 離散距離空間である 集合X上のd(x、y)= 0 (x=yのとき) 、 1 (x≠yのとき) の、任意の部分集合は開集合であり、かつ閉集合でもあることを示しなさい。 証明を詳しくお願いします。
回答: 離散距離空間を(X,d)とします。 〔距離空間において〕 ※開集合であることの定義の表現方法は微妙に違っていたりしますが、概念・定義の基本は同じです。ここでは「点xがAの内点であるとは、∃ε>0をとるとき、xのε-近傍にはA以外の点が含まれないこと、言いかえれば、xのε-近傍はAに含まれていること」 および 「Xの部分集合Aが開集合であるとは、AがXの内点のみの集合であること」、これらを使って本文で証明します。 ※閉集合であることの定義は複数有ります。距離空間は位相空間であり、位相空間では「閉集合は開集合の補集合」というシンプルな定義になりますが、位相空間は未知の段階と想定し、ここでは定義として「点xがAの集積点であるとは、∀ε>0にたいして、xのε-近傍には点xではないAの点が属していること」 および 「Xの部分空間Aが閉集合であるとは、AはAの集積点全体を含むこと」を使います。 〔証明〕 離散距離空間を(X,d)、Xの任意の部分集合をAとおく。 (1) 開集合であること Aの任意の点xについて、ε=1/2をとると、離散距離の定義から、xのε-近傍 N(x;ε) には点x以外の点は属さない。するとAに属する任意の点は内点となり、開集合の定義にしたがってAは開集合である。 (2) 閉集合であること Aの任意の点xについて、ε=1/2をとると、離散距離の定義から、N(x;ε)には点x以外の点は属さないから、点xはAの集積点ではない。するとAの集積点全体(導集合)は空集合であり、AはAの集積点全体を含むから、閉集合の定義にしたがってAは閉集合である。