質問: 四面体の外接球の半径を求めるには 3辺が与えられた三角形の内接円の半径rは、 △abc=(a+b+c)r/2 で求めます。 3辺が与えられた三角形の外接円の半径rは、 正弦定理 で求めます。 6辺が与えられた四面体の内接球の半径rは、 四面体abcd=(△abc+△abd+△acd+△bcd)r/3 で求めます。 では、6辺が与えられた四面体の外接球の半径rは、どうやって求めるのでしょうか。
回答: 前の続き θ(c)を ( 0 ab^2 1 ad^2 ) * ( 0 c^2 1 d^2 ) ( ba^2 0 1 bd^2 )=( c^2 0 1 e^2 ) ( ca^2 cb^2 1 cd^2 ) * ( b^2 a^2 1 f^2 ) ( da^2 db^2 1 0 ) * ( d^2 e^2 1 0 ) θ(d)を ( 0 ab^2 ac^2 1 ) * ( 0 c^2 b^2 1 ) ( ba^2 0 bc^2 1 )=( c^2 0 a^2 1 ) ( ca^2 cb^2 0 1 ) * ( b^2 a^2 0 1 ) ( da^2 db^2 dc^2 1 ) ( d^2 e^2 f^2 1 ) と定義する。 すると上の(あ)~(え)の4つの連立方程式は1つの行列の方程式 θ(κ,λ,μ,ν)^t=2(r^2)(1,1,1,1)^t ・・・(か) となる。ここに(1,1,1,1)^tなどは (1,1,1,1)などの転値行列を表す。detθ≠0がはっきりしないが、cramer(クラーメル)の公式より、(か)から (detθ)κ=2(r^2)(detθ(a)) ・・・(き),(detθ)λ=2(r^2)(detθ(b)) ・・・(く) (detθ)μ=2(r^2)(detθ(c)) ・・・(け),(detθ)ν=2(r^2)(detθ(d)) ・・・(こ) となる。 (き)~(こ)をへんぺん加えて (detθ)(κ+λ+μ+ν)=2(r^2)[detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)] ⇔ detθ=2(r^2)[detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)] ・・・(さ) となる。(∵ (お) ) ここで detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d) =-2(ad)^2{(b^2+e^2)+(c^2+f^2)-(a^2+d^2)}-2(be)^2{(c^2+f^2)+(a^2+d^2)-(b^2+e^2)} -2(cf)^2{(a^2+d^2)+(b^2+e^2)+2(c^2+f^2)}+2{(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2+(abc)^2} =-2(12v)^2<0 (∵ (3) ) ・・・(し)となる。(計算略) 特に detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)<0 ・・・(す) よって (さ)の右辺を 2[detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)]で割って r^2=(detθ)/[2{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)}] ・・・(せ)となる。 これにdetθ=-(ad+be+cf)(be+cf-ad)(cf+ad-be)(ad+be-cf)(計算略)と(し)とを代入して r^2=(ad+be+cf)(be+cf-ad)(cf+ad-be)(ad+be-cf)/{2・2(12v)^2} =(ad+be+cf)(be+cf-ad)(cf+ad-be)(ad+be-cf)/[(24v)^2} が導かれ、 (2)がでる。 なおこのとき、(き)と(せ)からκ=detθ(a)/{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)},同様にして λ=detθ(b)/{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)}, μ=detθ(c)/{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)}, ν=detθ(d)/{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)} となり、(7)に代入して [po]=[1/{detθ(a)+detθ(b)+detθ(c)+detθ(d)}]× (detθ(a)[pa]+detθ(b)[pb}+detθ(c)[pc]+detθ(d)[pd]) ・・・(そ) となり、「外心o」の[位置ベクトル」も具体的にa,b,c,d,e,fで表される。(略) 以上は[理系の数学2011年8月号-重心座標による幾何学」によった。詳細はそちらを参照してください。