質問: x^3-x^2+1をR[x]の素元分解するのってどうやってしますか?
回答: Rは実数体だと考えます. Rは体なので,R[x]の素元は既約元と一致します. R[x]の元f(x)を取りましょう. f(x)は複素数の範囲では必ず根を持ちます. 実数根aを持つなら, f(x)=(x-a)g(x) とR[x]の中で分解できます. (g(x)∈R[x]ということ) x-aは明らかにR[x]の既約元なので,素元です. 虚数根aを持つ場合を考えましょう. f(x)はaの複素共役bも根に持ちます. (複素共役のバーが表せないので別の文字で代用) a≠bなので,f(x)は(x-a)(x-b)で割りきれます. p(x)=(x-a)(x-b)はR[x]の元だと分かるので, f(x)=p(x)g(x) とR[x]の中で分解できます. p(x)の根は共に虚数なので,これはR[x]で既約で,従って素元です. 以上により,R[x]の素元は, ・1次式 ・根が共に虚数である2次式(つまり判別式が負) の何れかです. y=x3-x2+1のグラフを考えると,実数根aを1つだけ持ちます. a3-a2+1=0を使うと, x3-x2+1=(x-a)(x2+(a-1)x+a2-a) と素元分解できます. aは有理数ではありません. 具体的な表示は例えばCardanoの公式より求めてください. ちなみに有理数根を持たないので, 有理数体Q上の多項式環Q[x]では既約元(或いは素元)です.