質問: 回転体の体積 放物線y=x^2 と、この放物線上の点(2,4) における接線、およびx軸とで 囲まれ 回転体の体積 放物線y=x^2 と、この放物線上の点(2,4) における接線、およびx軸とで 囲まれる部分をfとおく。 (1)fをx軸周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。 (2)fをy軸周りに1回転してできる立方体の体積を求めよ。 これらを教えていただけないでしょうか?
回答: まずはグラフを書いてみよう。 計算はこれでいいと思うのだが・・・。 (1) ∫(0→1)π・(x^2)^2 dx+∫(1→2){π・(x^2)^2-π・(4x-4)^2}dx =∫(0→1)π・(x^4)dx+∫(1→2){π・(x^4-16(x^2-2x+1)^2}dx =π・(4/5)x^5-16π・(1/3)x^3-x^2+x =π・(4/5)・32-16π・{(8/3-4+2)-(1/3-1+1)} =π{(128/5)-(16/3)} =π(304/15) =304π/15 (2) ∫(0→4)π・{(1/4)y+1}^2 dy-∫(0→4)π・(√y)^2 dy =(1/16)・π・∫(0→4)(y^2+8y+16)dy-π・∫(y)dy =(1/16)・π・y^3/3+4y^2+16y-π・y^2/2 =(1/16)・π・(64/3+64+64)-8π =(4/3+8-8)π =4π/3