質問: 3次元球面の曲率を考える時、なぜ4次元を考える? 3次元球面の曲率や曲率半径を考えています。 『なっとくする 宇宙論』(二間瀬敏史)p101によると 半径rの3次元球面を考えよう。これは4次元の平坦なユークリッド空間のなかの3次元球面を指す。平坦な4次元空間にデカルト座標系(x,y,z,ω)をとると、この球面の方程式は、 x^2+y^2+z^2+ω^2=r^2 となる。 (引用以上) 質問としては、なぜ3次元球面の曲率半径を考える時に4次元空間を考えるのでしょうか? どうしてω項が入るのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: いや別に5次元空間を考えてもいいと思いますが。 例えば、(x,y,z,ω1,ω2)の空間で、 x^2+y^2+z^2+ω1^2=r^2 ω2=0 でもこれだと、なぜω2みたいな変数を入れるのか?という 疑問が湧くと思います。 つまり、なるべく理論は簡単にしたいという動機があります。 オッカムのカミソリで検索してみてください。