質問: e^(1/z)の漸近展開の求め方 独学中のものです。 f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+...+(a_n)/z^n ...(1) 関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),...は次のようにして求められる。 『lim[|z|→∞]f(z)=a_0 lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1 lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2 ...................................................... (ただし z∈d ) 』...(2) このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。 たとえば|argz|<π/2ならばre(z)>0であって、そこでlim[|z|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|z|>0, |argz|<π/2 において、 e^(1/z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+... ...(3) e^(1/z)+e^(-z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+... ...(4) すなわち、この二つの関数は同一の漸近展開を持っている。以上は教科書からの抜粋です。 (3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第2、第3式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。 分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。
回答: e^x のマクローリン展開を計算してみてください.