質問: いつもお世話になります。 衝撃荷重値の算出方法について教えて下さい。 ・片持梁の先端に重さ0.3kgの物が時速100kmで衝突します。 ・この片持梁は先端に4000kgfの静荷重を負荷した時、5mmたわみます。 片持梁先端に加わる最大荷重値は どのような計算方法で見積もれば良いのでしょうか。 不足している情報があればご指摘いただけると助かります。 よろしくお願いいたします。
回答: 回答(2)さん回答で問題ないと思います。 質量mの物体が高さh(梁の高さをゼロとする)から落下して片持ち梁の先端に衝突すると考えます。 落下前の物体がもつ位置エネルギーは次式で与えられます。 U1=mgh (1) 落下して片持ち梁の先端で最大たわみδmaxを生じたときの物体の位置エネルギーは次式で与えられます。 U2=-mgδmax (2) このとき梁のたわみに費やされた仕事は次式となります。 ΔU=U1-U2=mgh+mgδmax (3) 片持ち梁のたわみの式から次式が得られます。 δmax=PmaxL^3/(3EI) (4) ここで、Pmax:梁の先端に作用する荷重、E:梁材料の縦弾性係数、I:梁の断面二次モーメント,L:梁の長さです。 δmaxは微小であるので、物体が梁に衝突したときに梁に作用する荷重と梁が最大たわみにあるときの荷重は同じであると仮定すると、梁が最大たわみにあるときの梁がもつ弾性エネルギーは、式(4)を考慮して次式となります。 ΔU=Pmaxδmax/2=Pmax^2・L^3/(6EI) (5) 式(5)に式(3),式(4)を代入して次式を得ます。 Pmax^2-2mgPmax-6EImgh/L^3=0 (6) 式(6)を解いて、Pmaxは正であることを考慮すると次式を得ます。 Pmax=mg(1+√(1+6EIh/(mgL^3))) (7) 式(7)が衝撃荷重に相当します。 式(4)に式(7)を代入して梁先端の最大たわみは次式となります。 δmax=δ0(1+√(1+6EIh/(mgL^3))) (8) ここで、δ0:片持ち梁の先端に静荷重mgを与えたときの先端のたわみです。 題意から、式(4)にPmax=39200 N、δmax=0.005 m代入して次式を得ます。 δmax/Pmax=L^3/(3EI)=1.276×10^(-7) s^2/kg (9) 物体を自由落下させたときの物体の速度は、空気抵抗を無視すると次式となります。 v=√(2gh) (10) 題意から、v=27.78 m/sであるので、これを式(10)に代入して次式を得ます。 h=v^2/(2g)=27.78^2/(2×9.8)=39.38 m (11) 式(9)、式(11)を式(7)に代入して次式が得られます。 Pmax=42597 N (12) これが題意を満たす最大荷重値になります。