質問: 数学 中学 整数 最小公倍数 最小公約数 2けたの整数が2つあって、その最大公約数が2~2 × 3、最小公倍数が、2~4 × 3 × 5 である。 2つの整数を求めよ。
回答: 最大公約数が2^2 × 3=2・2・3=12 最小公倍数が、2^4 × 3 × 5=2・2・2・2・3・5=240 このどちらも、ある2ケタの整数AとBとおくとき、 A=最小公約数×a B=最小公約数×b のとき、a×b×最小公約数=最大公倍数・・・1 ここで、A=12a、B=12b a・b・12=240 となるので、a・b=20 かけて20になるのはいくつかあります。 (1,20)(2,10)(4,5) A=12a、B=12bがそれぞれ2ケタになるためには、20や10をかけると3ケタなので、5と4となります。 つまり、12・5=60と、12・4=48となります。 1の仕組みについて。 2つの数XとYがあり、X=a×b、Y=a×cで、bとcが「互いに素(たがいにそ=1以外に共通の約数をもたない)」であるとき、 最大公約数はa、最小公倍数はa×b×c=最大公約数×b・cです。 2つの整数のXとYのどちらにもある「割り切れる数a」が最大のとき、最大公約数、 XとYを掛け合わせてできる最小の倍数、つまり、最大公約数と素数b・cを掛け合わせてできたものを最小公倍数 というのです。 つまり今回は、 最大公約数が12=2・2・3 最小公倍数が、240=2・2・2・2・3・5 なので、AとBどちらにもあるのは、12×なんとかとなるということがわかります。 そして、最大公倍数=最大公約数×2・2・5 2・2・5は、2つの整数を構成するものになります。 2ケタという条件がなければ、A=12×2でもいいし、A=12×2・5でもいいのです。 今回は、2・2・5=20として、かけて20となる2つの数字から、12にかけて2ケタとなるものを探しました。