質問: 相対論的速度の合成について 相対論において、運動方向と水平な速度の合成は比較的容易に理解できるのですが、水平成分と垂直成分の合成がよくわかりません。 図のように、ox上を速度vで等速直線運動する車から、o点においてy方向に小球を同じ速度vで発射します。(単純にするために、あえて同じ速度vとしました。) このときの小球の動きを静止系から観察します。静止系でのt秒後車はx点に到達します。 ニュートン力学で考えれば、小球の運動はベクトルoxとoyを合成してベクトルoaで表されます。当然θ=45°です。 これを相対論的に考えてみます。静止系からみると運動系では時間が遅れます。静止系でt秒経過しても、車の系ではまだt秒よりも短いt’秒しか経過しません。 x点において車の乗員からみれば、小球はa点(距離=vt)の手前のb点(距離=vt’)までしか到達していないことになります。 であれば、静止系から観測すると小球の運動はベクトルobで表されます。合成速度ob<oa、θ’<45°になります。 相対論的に速度の合成を考える時、単純なベクトル合成で考えていけないのはあきらかなのですが、大雑把に言えば、上記のような考え方で正しいのでしょうか?何か落とし穴にはまっているような気もします。 ご教授よろしくおねがいします。
回答: 特に問題は無いと思います。ただローレンツ変換で 考えるとあまりあれこれ悩まなくて済みます。 v を幾何座標の速度(光速との比)とすると 運動系の座標を(x', y', t'), 静止系の座標を (x, y, t) とすれば、ローレンツ変換は x = (1/√(1-v^2))x' + (v/√(1-v^2))t' y = y' t = (v/√(1-v^2))x' + (1/√(1-v^2))t' a'=(x', y', t') = (0, 0, 0) でy'方向に投げた小球 は運動系の1秒後に b'= (x', y', t') = (0, v, 1) に届きますが これをローレンツ変換すると a = (x, y, t) = (0, 0, 0) b = (x, y, t) = (v/√(1-v^2), v, 1/√(1-v^2)) となり、事象ab間のx方向の変位はy方向の変位より大きくなります。 また、静止系では事象間で時刻差が1秒以上になることが判ります。 以上から、静止系から見ると小球のy方向の速度は v より 遅いということになります。