質問: 任意のn(自然数)に対してs^(n-1)がr^n\{0}の変位レトラクトである 任意のn(自然数)に対してs^(n-1)がr^n\{0}の変位レトラクトであることを示していただきたいです。
回答: x=r^n-{0} a=s^(n-1) i=[0,1] とする x上の関数fを f(x)=x/|x| と定義すると |f(x)|=|x|/|x|=1だから f(x)∈a だから f:x→a は連続で x∈aの時 |x|=1だから f(x)=x/|x|=x だから aはxのレトラクトで fはレトラクションである x×iからxへの関数fを f:x×i→x f(x,t)=(1-t)x+tx/|x| と定義すると f(x,0)=x f(x,1)=x/|x|=f(x) fは連続だから x上の恒等写像 1_x と レトラクション f は ホモトープ f~1_x だから a=s^(n-1)はx=r^n-{0}の変位レトラクトである