質問: {0, 1} とする。 加法を以下のように定義する。 0+0=0, 0+1=1 1+0=1, 1+1=0 乗法を以下のように定義する。 0*0=1, 0*1=0 1*0=0, 1*1=1 この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。 ・交換法則と結合法則は、加法と乗法で成立する。 ・加法単位元は0で、-0=0, -1=1 となる。 ・乗法単位元は1で、1/0=0, 1/1=1 となる。 ・0≠1。 ・分配法則は成立しない。 -- ここまで -- この代数系で、べき乗を定義します。 べき乗:a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より 0^1=0, 0^2=1, 0^3=0, ... 1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, ... さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より 0^-1=0, 0^-2=1, 0^-3=0, ... 1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, ... そして a^0=a^-1*a より 0^0=1 1^0=1 となります。 以上の結果から、次のことが分かります。 加法の単位元を0で表し、乗法の単位元を1で表すとき、0^0=1となる。 ...という例が存在する。 つまり、0^0が未定義なのは、体に固有の問題であり、 分配法則が成立しない代数系では、0^0=1となることがある。 ここまでの計算とこの結論は妥当ですか?
回答: 素晴らしい。今回は論理の破綻が無い。 記号の使い方が少し紛らわしいようだから、 今回の成果を清書しておこう。 集合 g 上に二項演算 * が定義され、 群になっているとする。その単位元を e と置く。 g の元 a と整数 n に対して g の元を定める演算 a∧n を、以下のように定義する。 [1] a∧1 = a, [2] a∧(n+m) = (a∧n)*(a^m). この2式によって、a∧n は矛盾無く定義され、 g の任意の元 a について a∧0 = e が成り立つ。 群の単位元を 1 と書くことは普通に行われているから、 e を 1 と書いてもよいし、 g の元に 0 と名づけられたものがあっても構わない。 ただし、それらを整数 1 や 0 と混同しなければの話。 混同の恐れがあれば、添え字で区別して 1_g, 0_g のように書くのが、代数の教科書の習慣。 ともあれ、これで 0∧0 = 1 と書くことができた。 群 (g,*) が、質問文中の (x,*) であっても 何の問題も無い。ここで示された 0∧0 = 1 式中の各記号が何を意味しているのか、x に即して 確認しておくといい。 私は、今回の x なら、元の名前を 0 → -1 と付け替えたほうが、解りやすいと感じるが... x の + は、今回、定義しっぱなしでその後 登場していないから、「加法単位元」に注目する 理由は特に無いし、後で + を使うにしても、 x では分配法則が成立していないから、 二つの演算の一方を「乗法」と呼ぶ理由が無い。 例によっていつもの、そう定義しても構わないが、 そうしなければならない必然性は何も無い ...という議論になっている。 さて、その上で、今回の成果が 懸案の実数での a^p の話とどう関連してゆくのか...