質問: sinxの無限積展開 sinπx=πxπ(1-x^2/m^2) の公式がどのようにして導出されるのか、疑問をもっています。 手元に解析概論(高木著)などがあり、γ関数やweiestrassの定理と関連があることぐらいはわかりましたが、具体的にどようにして導かれるのかがよくわかりません。 この公式の導出の仕方か、または、これらのことが詳しく書かれた専門書やページ数などがわかればお教え頂けないでしょうか? ※πはm=1,...,∞の積を表すものとする。
回答: sinx=x-1/3!*x^3+・・・=x(1-1/3!*x^2+・・・) また、 sinx=0 を 解くと、 x=0,±π,±2π,・・・ そこで、 sinx=c x(x±π)(x±2π)=x{c(±π)(±2π)+・・・} と 近似すると c(±π)(±2π)=1 c=1/(±π)(±2π)、よって sinx=1/(±π)(±2π)* x(x±π)(x±2π)=x(1+x/π)((1-x/π)(1+x/2π)(1-x/2π)