質問: 広義重積分の積分範囲について 次の積分を求めよ。 (1) d={(x,y):0≦y<x≦1}のときの∫∫_d(1/√(x-y))dxdy (2) e={(x,y):0<x≦y≦1}のときの∫∫_e(1/√(x^2+y^2))dxdx という二つの問題についてですが、解答を見て(1)についてはdをd_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、(2)についてはe_nを決めることが出来ません。解答には「e_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにe_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。 これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0<xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか?また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか?(この問題に関して) まだ何題かしか解いていないのでイマイチ範囲の取り方がつかめません。何かポイントがありましたらアドバイスよろしくお願いします!
回答: no1,2,3です。 a#3のつづきの補足です。 (2)の1/nを使わない方の重積分ですが、 (1/nを使った積分にも適用可能でしょう) i=∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx h=∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx とおいておきます。 hの積分で0<x≦y≦1から(この積分ではyは0<y≦1の範囲の定数) x=y tanθとおくと xの積分範囲[0→y]はθの積分範囲[0→π/4]に変わります。 dx=y dθ/(cosθ)^2 1/{1/√(x^2+y^2)}=1/[y√{(tanθ)^2 +1}]=(1/y)cosθ であることから h=∫0→π/4dθ =log[{1+tan(θ/2)}/{1-tan(θ/2)}][0→π/4] =log[{1+tan(π/8)}/{1-tan(π/8)}] =log(1+√2) i=∫[0→1]{log(1+√2)}dy =log(1+√2) となりました。 (ヤコビアンを使って変数変換しないで済みました。) 1/nで極限を取る方法で 上記の積分法を適用しみて積分値が同じになるか確認してみてください。