質問: 座標平面上の3点A(4,5)B(2,1)C(6,2)を頂点とする三角形ABCにおいて 頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとするとき、三角形ABHの面積を求めよ 自分が思っているやり方としては、 (1)AB、BC,CAの距離を求める (2)余弦定理を使いcosΘ、相互関係の式からsinΘを出す。 (3)S=1/2・二辺・その間のなす角で面積を出す。 (4)S=底辺×高さ×1/2の公式に(3)でだした面積を代入し高さであるAHの値を求める。 ここからどういう風に求めていけばいいのかわかりません。 まず、上の自分の考え方があってるかどうか教えて下さい。それから解説解答をお願いいたします。
回答: ANo.3の別解です。 (1) 点Bと点Cを通る直線の方程式は、 y=(2-1)/(6-2)(x-2)+1=(x-2)/4+1=x/4+1/2 よって、点Hは(a,a/4+1/2)と表わせる この直線の傾きは1/4なので、点Aと点Hを通る直線の傾きは-4 これから、(a/4+1/2-5)/(a-4)=-4→a=82/17、a/4+1/2=29/17、点Hは(82/17,29/17) 以上から、線分AHと線分BHの長さが求められるので、直角三角形ABHの面積も求められる (2) (1)からベクトルAHの成分は(a-4,a/4+1/2-5)=(a-4,a/4-9/2) また、ベクトルBCの成分は(6-2,2-1)=(4,1) これらが直交するので内積は0 よって、4(a-4)+a/4-9/2=0→a=82/17、a/4+1/2=29/17、点Hは(82/17,29/17) 以下、(1)と同様