質問: 0 <解答> (1)u=x f(2x-y)+g(2x-y) (2)u=f(3x+y)+g(x+y) (3)u=f(x+2y)+g(x-2y) いずれの方程式もv=x+py, w=x+qyとおき u(x,y)=u((qv-pw)/(q-p), -(v-w)/(q-p))=u(v,w)とし, ux, uxy, uyyw求めて元の方程式に代入して解こうとしましたが うまくいきません. よろしくお願いします。
回答: xの2次方程式 a・x^2+b・x+c=0 が二重解αをもつとき、 a・∂^2f/∂x^2+b・∂^2f/∂x∂y+c・∂^2f/∂y^2=0 を解くには、 u=α・x+y、v=x とおきます。 z=u(u、v)とする。 ∂^2u/∂x^2+4・∂^2u/∂x∂y+4∂^u/∂y^2=0・・・(*) において、 u=-2x+y、v=x とおいて計算すると、 ∂^2z/∂x^2=4・∂^2u/∂u^2ー4・∂^2u/∂u∂v+∂^2u/∂v^2、 ∂^2z/∂x∂y=ー2・∂^2u/∂u^2+∂^2u/∂u∂v、 ∂^2z/∂y^2=∂^2u/∂u^2. を得ますから(*)に代入して整理すると、∂^2u/∂v^2=0となります。これを解いて、 まず、∂u/∂v=a(u)、さらにvで積分して、u=v・a(u)+b(u) となります。(a、bはuの任意の関数) (2)、(3)も同様です。 (2)では、u=3x+y、v=x+y、(3)では、u=(1/2)x+y、v=(-1/2)x+yとおきます。