質問: 関数解析の問題です こんばんは。 今回の期末試験に次のような問題がでました。 問. xは複素バナッハ空間でuは複素平面cの開集合であるとする。各z∈uに対してx上の有界線形作用素t(z)が定義され、任意のz、w∈uに対して等式 t(z)-t(w)=(w-z)t(z)t(w) が成立しているとする。 (1)任意のz、w∈uに対し、t(z)とt(w)は可換であることを示せ。 (2)t(z)の値域はz∈uに依存しないことを示せ。 (3)あるz0∈uに対してt(z0)が単射ならば、任意のz∈uに対してt(z)は単射であることを示せ。 (4)あるz0∈uに対してt(z0)がコンパクト作用素ならば、任意のz∈uに対してt(z)はコンパクト作用素であることを示せ。 (1)はできたのですが(2)で詰まってしまいました。 与えられた等式をt(z)について解いて評価してみたのですがうまくいきません。 (3)(4)についても等式をどのようにして用いればよいのかさっぱりです。 単射、コンパクト作用素の定義はもちろん知っているのですが・・・ どなたか教えていただけないでしょうか?
回答: 前の回答で 「|w-z|<∥t(w)∥となるようにzをとれば右辺は収束して」 とあるのは 「|w-z|< 1/∥t(w)∥となるようにzをとれば右辺は収束して」 に訂正させていただきます。 (4)について t(z0)がコンパクト作用素ならば、任意のz∈uに対してxの単位球に含まれる任意の点列{x_n}に対して適当な部分列{x_ni}をとると t(z0)x_niは強収束する。このとき ∥t(z)x_ni - t(z)x_nj∥=∥(t(z0)+(z0-z)t(z)t(z0))(x_ni - x_nj)∥ ≦∥t(z0)(x_ni - x_nj)∥+|z0-z|∥t(z)∥∥t(z0))(x_ni - x_nj)∥ 右辺は収束するからt(z)x_niも強収束、すなわちt(z)はコンパクト。