質問: ストークスの定理 ストークスの定理を使ってこの積分を解きたいのですが、どうストークスの定理を使えばよいか教えてください。 x=cos(t), y=sin(t), z=sin(t)の間で一周積分 ∮xdy
回答: 積分路をcとすると,cは添付した図のようになっています. で,ベクトル場aを a = (0,x,0) と置くと,問題の積分は次のように書けます: ∮_c x dy = ∮_c a・dr. ただし,drは曲線cに沿った微小変位ベクトルです. さて,添付図において平面上y = zのcに囲まれた領域をsと置くと, ストークスの定理は ∮_c a・dr = ∫_s (rot a)・n ds と表せます.この右辺において, rot a = k = (0, 0, 1) であり,単位法線ベクトルは n = (0, -1, 1)/√2 なので, ∫_s (rot a)・n ds = k・n ∫_s ds = (1/√2) ∫_s ds であり,∫_s ds はcに囲まれた領域(長半径√2,短半径1の楕円)の面積であるから, ∫_s (rot a)・n ds = (1/√2)×(√2)π = π. 以上より,求める積分は ∮_c x dy = ∮_c a・dr = ∫_s (rot a)・n ds = π. 検算も兼ねて,ストークスの定理を使わずに計算すると(この場合,こっちのほうが楽) ∮_c x dy = ∫[0,2π] cos^2 t dt = (1/2)∫[0,2π] (1 + cos 2t)dt = π となって,確かに一致します.