質問: 積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。 積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。 部分積分を用いてx*arcsin(2x)-∫x/(√1-4x^2) dx としたのですが、後半部分の積分がうまくいかず、 解答である x*arcsin(2x)+{(√1-4x^2)/2}になりません。 恐縮ですがご教授いただけると幸いです。よろしくお願いします。
回答: x(1-x^2)^{-1/2}の原始関数は求められますか? f(x)=1-x^2とおけば x(1-x^2)^{-1/2} = (-1/2) f'(x) f(x)^{-1/2} なんだから合成関数の微分を逆に考えればいいのです. つまり原始関数は (-1/2) 2f(x)^{1/2} = f(x)^{1/2} これが分かれば,x(1-4x^2)^{-1/2}もほぼ同じです.