質問: フーリエ余弦級数 周期の決め方 f(x)=x(2-x) (0≦x≦2) のフーリエ余弦級数を求めたいのですが、周期がわかりません。 答えは2l=4でl=2としているのですが、周期は2であることがグラフから明らかなので2l=2になるのではないのでしょうか? 2l=2で計算するとa(0)=0となり、答えと異なる値になります。 偶関数になるように拡張しなくても、0≦x≦2の範囲を1周期としてはいけない理由でもあるのであれば教えていただきたいです
回答: 「f(x)=x(2-x) (0≦x≦2) のフーリエ余弦級数を求めよ」 という問題から,出題者の意図を推測して,正しい問題に書き換えよ。 という質問ですね。 余弦級数に展開するのだから,偶関数に拡張しなければならない。 0≦x≦2という不等式が,周期を表しているらしい。 こうやって出題者が言いたかっただろうことを推測して, f(x)=x(2-x) (0≦x≦2) f(x)=x(2+x) (-2≦x≦0) で周期4の関数がある。フーリエ余弦級数に展開せよ。 という問題に変形するわけです。 もっとも偶関数に拡張した波形は,0≦x≦2を1周期と考えた周期関数と全く同じです。 周期2だと思って計算した答と一致するはずです。違うなら,質問者さんの計算違いですね。 f(x)は直流成分を含んでいる(平均すると正の値になる)から, a(0)=0になる訳がないのだけど。