質問: 大学数学の問題です。 問4.14をはさみうちの原理で解きた... 大学数学の問題です。 問4.14をはさみうちの原理で解きたいのですが、赤線部分をどう-εで下からおさえれば良いか分かりません。
回答: 定理2.1は平均の不等式なんですか? とりあえずa>0と仮定して証明します。 a=0の時は細かい処理が必要になります。 ε>0に対して、自然数nが存在して n>nならば|an-a|<ε となります。 ε<aとしておけば、a-ε>0なので n>nに対して 1/a[n]<1/(a-ε) よって 1/a[1]+...+1/a[n]+1/a[n+1]+...+1/a[n]<1/a[1]+...+1/a[n]+(n-n)×1/(a-ε) n/(1/a[1]+...+1/a[n]+(n-n)×1/(a-ε))<n/(1/a[1]+...+1/a[n]) です。 左辺→a-ε より a-ε≦lim[n]√(a[1]...a[n]) εは任意なので a≦lim[n]√(a[1]...a[n]) です。 もっと上手い方法がある気がします。