質問: σ集合体の証明 集合体の証明の問題です。 問:fをσ集合体とするとき、以下を示せ。 (1)fは集合体である (2)a1,a2,...,an,...∈f ⇒ ∪(i=1,∞)ai∈f (i)∩(i=1,∞)ai∈f (ii)lim(n→∞)supan∈f (2)の記述がわかりづらいですが、a1から始まる無限大の和集合がfに含まれる、(i)はa1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。 (1)は、集合体であるための定義、 ・φ∈f ・a∈f⇒ac(aの補集合)∈f ・a,b∈f⇒a∪b∈f を示せればよいのでしょうか? そうだとしたら、σ集合体であるということは、 ・φ∈f ・a∈f⇒ac(aの補集合)∈f ・a1,a2,...,an,...∈f⇒ ∪(i=1,∞)ai∈f ということなので、これらを使って証明していけばいいのでしょうか? (2)については証明の予想が立ちません...。 わかる方、解説お願いします!
回答: 問題は 「fをσ集合体とする。すなわち (1)fは集合体である (2)a1,a2,...,an,...∈f ⇒ ∪(i=1,∞)ai∈f を満たすとき、以下を示せ。 (i)∩(i=1,∞)ai∈f (ii)lim(n→∞)supan∈f 」 というものであると思われます。また lim(n→∞)supan = ∩(i=1,∞)(∪(n=i,∞)an) ですね。 (i)a1,a2,...,an,...∈f のとき集合体の定義より a1c,a2c,...,anc,...∈f, ∪(i=1,∞)aic∈f ドモルガンの法則より ∩(i=1,∞)ai = (∪(i=1,∞)aic)c∈f (ii)σ集合体の性質と(i)より明らか。 このサイトで質問するより自分で調べたり考えることをお勧めします。このサイトは「自称専門家」がとんでもない回答をしたりしているのですから。