質問: 微分方程式の解の求め方 dy/dx + a y^(1/2) =c 但しa,c は定数 y^(1/2)はルートyです この微分方程式の解を教えてください。c=0の場合の解は本に載っておりますが、これがある値をとる場合はどのように計算式を導いていけばよいか御教示お願い致します。
回答: dy/dx + a√y = c, c≠0 は変数分離形に変形可能なので,微分方程式そのものは,求積法で解けます.一般解は,mを積分定数とすると, x = m + ∫dy/(c - a√y) と書けます. 一般解が求まれば,「微分方程式を解く」という要求された作業は終わりです.後は,不定積分 ∫dy/(c - a√y) を計算する作業のみとなります. 「微分方程式を解く」という作業と不定積分を計算するという作業は,全く別物です. 実は,a,c (c≠0)を任意定数とすると,不定積分 ∫dy/(c - a√y) は,初等関数では表示できません. なお,与式の一般解は, y= ((c/a)^2)[w(z)+1]^2 z= (-1/c)exp(-(x+c1)a^2 -1), c1 は積分定数. で表されます.w(z)は,ランベルトのw関数です.下にランベルトのw関数のウイキペディアを貼っておきます.参考にして下さい. ランベルトのw関数(ウイキペディア) https://ja.wikipedia.org/wiki/w%e9%96%a2%e6%95%b0 以上です.