質問: 円周率の無理性を証明したいと思っています。 下記の間違えを教えて下さい。 よろしくお願いします。 【補題】|sinx|≦|x|(等号成立はx=0の時)である. xを任意の実数とする. f(x)=|x|-|sinx|とおく. 1)π/2<xの時,|x|は1より大きいので,明らかにf(x)>0 2)x<-π/2の時,同様にf(x)>0 3)0≦x≦π/2の時, f(x)=x-sinx f'(x)=1-cosx≧0 よって,f(0)=0で最小値かつf(x)は単調増加なので,f(x)≧0 4)-π/2≦x≦0の時, f(x)=-x-{-sin(x)}=-x+sinx f'(x)=-1+cosx≦0 よって,f(0)=0で最小値かつf(x)は単調減少なので,f(x)≧0 以上より,f(x)≧0なので,|sinx|≦|x|(等号成立はx=0の時) 【証明】円周率は無理数である. a,bをある正の整数とし π=b/a(既約分数)の有理数と仮定する. b>a, 3.5>π>3, a>2 である. aπ=b. e^(2iaπ)=1. aπ=bより e^(2iaπ)=e^(2ib). よって e^(2ib)=1. x=2bとおく. e^(ix) =cos(x)+i(sin(x)) =1 である. また sin(x) =0 =|sin(x)| である. ところが |x|≧|sin(x)|(等号成立はx=0の時)であるから |x|=|sin(x)|=0より |sin(x)|=0のとき|x|=0 である. これは不合理である. これは円周率が有理数だという仮定から生じたものである. したがって円周率は無理数である.
回答: |x|≧|sin(x)|(等号成立はx=0の時)であるから |x|=|sin(x)|=0より |sin(x)|=0のとき|x|=0 のところ、変。 sin(355) = -0.000030...