質問: 微分方程式 線形 非線形 前回の質問の続きです。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q7818206.html ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、 ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは 理解できました。ありがとうございます。 微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と 非線形微分方程式を以下に示します。 線形微分方程式 (1)y”+y’-2x=0 (2)y’+xy=1 (3)(x-1)y''-xy'+y=0 非線形微分方程式 (1)(y”)^2+y’-2x=0 (2)x(y”’)^3+y’=3 (3)y・y’+xy=1 上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか? 非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか? y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか? 線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの でしょうか? ご回答よろしくお願い致します。
回答: 微分方程式というより、高校数iで「多項式の次数」を確認した方がよいかも。 複数の変数に関する次数は、各変数に別のひとつの変数を代入したときの 「別の変数」に関する次数と一致します。 例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について 2 次、 {u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について 3 次 ですからね。 これと同様に (a) yy’+xy=1 (b) xy’+xy=1 が {y,y'} について何次式かを考えると、(a) は 2 次式(項 yy' が 2 次)、 (b) は 1 次式になっています。項 xy' の x は、{y,y'} に入っていないので 微分方程式の次数には関係しません。