質問: 木曜日までの宿題なんですけど誰か教えてください・・・。 注:以下のan+1,bn+1 などはn+1番目のa,bという意味です。わかりにくくてすいません。 0>a1>b1 , an+1=√(anbn) , bn+1=(an+bn)/2 (n=1,2,3,・・・) で与えられている数列{an},{bn}について、次を証明せよ。 (1){an}は増加関数、{bn}は減少関数である。 (2)lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn もう1問いいですか。 回転楕円形x^2+y^2+(z^2)/4=1の表面上で、f(x,y,z)=x+y+z を最大化するような座標を求めなさい。 むずかしいっすよね・・
回答: 0>a1>b1っておっしゃってますが不等号の向き、逆ですよね?じゃないと(1),(2)が成り立たないので。 an+1ってanとbnの相乗平均ですよね。bn+1は相加平均。要はそこに気付いたかどうかの問題。 相乗平均と相加平均が大小関係を保ちながら近付いて行く様が思い浮かべればこの問題の意図をクリアしたってことです。 (1) (相加平均>=相乗平均)より an <= √(anbn) <= (an+bn)/2 <= bn (等号成立はan=bnのとき) a1≠b1なので数学的帰納法によりすべてのnに対して等号が不成立となり、 an < an+1 < bn+1 < bn ゆえに{an}は単調増加数列、{bn}は単調減少数列。 (2) bn+1 - an+1 = (an + bn)/2 - √(anbn) < (an + bn)/2 - an (an < √(anbn) より) < (bn - an)/2 ∴bn - an < (1/2)^(n-1) (b1 - a1) → 0 (n→∞) ゆえに lim(n→∞)an = lim(n→∞)bn もう一問は分かりません。