質問: x^3 - 5x + 1上の点a(2, 1)における接線の方程式を求めよ。 とあります。 答えは今は出せるのですが、 微分することによって、f’(x) =3x^2 - 5にして そこに2を代入すると7が得られます。 ■どこが具体的にわからないか 微分の考え方の根本を少し質問させてください。 それ(7)が傾きになる、というのはどういうことでしょうか? 説明いただけると助かります。
回答: こんにちは! ある微分可能な関数 y=f(x) 上の点 (a,f(a)) における接線の傾きは、その点における導関数の値 f′(a) となります。 そもそも導関数は、f′(x)=limh→0hf(x+h)−f(x) のように計算されるものでした。これは平均変化率の極限であり、それが接線の傾きになるのでしたね。(グラフ上の2点を近づけていくと、それら2点の間の平均変化率が接線の傾きに近くという趣旨の図が、教科書などに載っているはずです。) 今回の場合 y=x3−5x+1 であり、これよりdxdy=3x2−5 ですので、点 (2,−1) における接線の傾きは3⋅22−5=7 となります。