質問: 空間座標とベクトルの問題です どうしても回答法が分からない問題があります(>_<) 《問題》 四面体oabcがあり,oa⊥oc,ob⊥oc,oa=oc=1,ob=2,cos∠aob=-1/4である。点oから辺ab,平面abcに垂線を下ろし,それらの交点をそれぞれd,eとする。また,↑oa=↑a,↑ob=↑b,↑oc=↑cとする。 (1)点dは線分abを【ア】:【イ】に内分しており,|↑od|=【ウ】である。また,四面体oabcの体積は【エ】である。 (2)↑oe=【オ】↑a+【カ】↑b+【キ】↑cであり,↑dc=【ク】↑deであるので,3点d,e,cは同一直線上にある。 《答え》 ア..1 イ..3 ウ..(√10)/4 エ..(√15)/12 オ..6/13 カ..2/13 キ..5/13 ク..13/5 よろしくお願いしますm(_ _)m
回答: (2) 点eは△abc上にあるので →oe=l(→a)+m(→b)+n(→c) (l+m+n=1---(1)) oe⊥ab、oe⊥acだから、(→oe)・(→ab)=(→oe)・(→ac)=0 →ab=(→b)-(→a) →ac=(→c)-(→a) (→oe)・(→ab)=0 {l(→a)+m(→b)+n(→c)}・{(→b)-(→a)} =-l|→a|^2+m|→b|^2+(l-m){(→a)・(→b)}+n{(→b)・(→c)}-n{(→a)・(→c)}=0 ここで|→a|^2=1^2=1、|→b|^2=2^2=4、|→c|^2=1^2=1 (→a)・(→b)=|→a||→b|cos∠aob=1×2×(-1/4)=-1/2 (→b)・(→c)=|→b||→c|cos∠boc=2×1×0=0 (→a)・(→c)=|→a||→c|cos∠aoc=1×1×0=0 -l+4m+(-1/2)l-(-1/2)m=0 (-3/2)l+(9/2)m=0 同じ様に (→oe)・(→ac)={l(→a)+m(→b)+n(→c)}・{(→c)-(→a)}=0に上の値を代入 して求めると l=6/13,m=2/13,n=5/13 (→oe)=(6/13)(→a)+(2/13)(→b)+(5/13)(→c)となる。----->(オ)(カ)(キ) (→dc)=(→oc)-(→od) (1)より点dは線分abを1:3に内分しているので (→dc)=(→c)-{(3/4)(→a)+(1/4)(→b)} =(-3/4)(→a)-(1/4)(→b)+(→c) (→de)=(→oe)-(→od) =(6/13)(→a)+(2/13)(→b)+(5/13)(→c)-[(→c)-{(3/4)(→a)+(1/4)(→b)}] =(-15/52)(→a)-(5/52)(→b)+(5/13)(→c) =(5/13){(-3/4)(→a)-(1/4)(→b)+(→c)} (→de)=(5/13)(→dc)より (→dc)=(13/5)(→de)---->(ク) 3点decは一直線上にある