質問: ディジタル信号処理についての質問です。 つぎの差分方程式で定義されるシステムの周波数特性を伝達関数から求めよ (1) y(n)=x(n)-ay(n-1) (|a| < 1, a=/ 0) という問題です。 解答例は 伝達関数はH(z)=1/(1+az^-1)である。 したがって周波数特性は H(e^jω)=1/1+ae^-jω=1/1+a cos(ω)-jsin(ω) =1e^jφ(ω)/√1+a^2+2acos(ω) でした。 なぜこうなるのか途中の計算式を詳しく知りたいです。
回答: 与式の漸化式を単位階段関数u(n)を使って nに応じた場合分けをして表すと n=0のとき y(n)=x(0)-a y(-1) n>0のとき y(n)=(x(n)-a y(n-1))u(n-1) これを離散デルタ関数δ(n)を使って 一つの漸化式として表すとn≧0において y(n)=(x(0)-a y(-1))δ(n)+(x(n)-a y(n-1))u(n-1) となる。ここで単位階段関数は u(n-1)=u(n)-δ(n) という性質があり y(n)=(x(0)-a y(-1))δ(n)+(x(n)-a y(n-1))u(n-1) =(x(0)-a y(-1))δ(n)+x(n)u(n-1)-a y(n-1)u(n-1) =(x(0)-a y(-1))δ(n)+x(n)u(n)-x(n)δ(n)-a y(n-1)u(n-1) =(x(0)-a y(-1)-x(n))δ(n)+x(n)u(n)-a y(n-1)u(n-1) この両辺をz変換して Y(z)=(x(0)-a y(-1)-x(0))+X(z)-a z^(-1)Y(z) =(0-a*0-0)+X(z)-a z^(-1)Y(z) =X(z)-a z^(-1)Y(z) ただし、Y(z)およびX(z)はそれぞれy(n)およびx(n)のz変換、 z変換のシフト則 Z[y(n-1)u(n-1)]=z^(-1)Z[y(n)u(n)]、 離散デルタ関数のz変換 Z[f(n)δ(n)]=f(0)を用いた。 また伝達関数H(z)の定義はx(n)とy(n)の 初期値を全て0にしたときのY(z)とX(z)の比だから、 x(0)=0、y(-1)=0を適用した。 この式を整理して Y(z)=X(z)/(1+a z^(-1)) ∴Y(z)/X(z)=1/(1+a z^(-1)) となりH(z)を得る。 つぎに周波数特性の定義はH(z)にz=e^(jω)を代入した式だから、 ただしjは虚数単位でj^2=-1。 H(e^(jω)) =1/(1+a (e^(jω))^(-1)) =1/(1+a e^(-jω)) ここで分母分子に1+a e^(jω)をかけて、 =(1+a e^(jω))/((1+a e^(-jω))(1+a e^(jω)) ) =(1+a e^(jω))/(1+a(e^(jω)+e^(-jω))+a^2 ) ここでオイラーの公式e^(jθ)=cosθ+j sinθから cosθ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2なので =(1+a(cosω+jsinω))/(1+2a cosω+a^2) =(1+a cosω+ja sinω)/(1+2a cosω+a^2) ここで、複素平面において実軸の長さ1+a cosω、 虚軸の長さが a sinωの直角二等辺三角形を考えれば、 仰角φ(ω)、および斜辺の長さr(ω)は φ(ω):=arctan(a sinω/(1+a cosω)) r(ω):=√((1+a cosω)^2+(a sinω)^2) =√(1+2a cosω+a^2 cos^2ω +a^2 sin^2ω) =√(1+2a cosω+a^2) となり分子は 1+a cosω+ja sinω=r(ω)e^(jφ(ω)) と極形式で表せ、 =r(ω)e^(jφ(ω))/(1+2a cosω+a^2) =r(ω)e^(jφ(ω))/(r(ω))^2 =e^(jφ(ω))/r(ω) =e^(jφ(ω))/√(1+2a cosω+a^2) となり所望の式を得る。