質問: 変数係数線形微分方程式 変数係数線形微分方程式の問題です。 与えられた特殊解を利用してこれに独立な他の特殊解を求める 一つの解は「t」 回答のほうよろしくお願いします。
回答: これは、オイラーの微分方程式で、定数係数にできるけど、 質問に従って、階数低下法で求める。 x''+px'+qx=0 この1つの特殊解x1がわかれば、もう1つの特殊解x2は、 x2=x1∫(t1→t)x1(s)^(-2)exp(-∫(t0→s)p(σ)dσ)ds で、求められるというのが階数低下法です。 t1、t0は、積分が収束するように適当にとる。 これは、適当なテキストで、勉強してください。 で、 質問の場合、 t^2で割ると、 y''+4/t・y'-4/t^2・y=0 で、 y1=t、p=4/t、q=-4/t^2 になる。したがって、 y2=t∫(0→t)s^(-2)exp(-∫(1→s)4/σ・dσ)ds =t∫(0→t)s^(-2)exp(-4log s)ds =t∫(0→t)s^(-2)exp(log s^(-4)))ds =t∫(0→t)s^(-2)・s^(-4)ds =t∫(0→t)s^(-6)ds =t・t^(-5)/5=-t^(-4)/5 これが、解になっているか確かめてください。 また、オイラー微分方程式の解き方で解くと、 y=c1t+c2t^(-4) となるでしょう。 間違っていたら、ごめんなさいね。