質問: 無限級数 定積分∫[{1-e^(-x^2)}/x^2]dx を小数2桁まで求めよ。(0→1) やり方は、解答によると {1-e^(-x^2)}/x^2 =1-(x^2/2!)+(x^4/3!)-(x^6/4!)+....... このベキ級数はすべてのxに対して収束する。したがって、0≦x≦1で一様収束するので(ベキ級数の一様収束性),項別積分ができて ∫{1-e^(-x^2)}/x^2]dx =[x-(x^3/3*2!)+(x^5/5*3!)-(x^7/7*4!)... =1-0.1666+0.0333-0.0060+...=0.86 そもそも、なぜ、{1-e^(-x^2)}/x^2 =1-(x^2/2!)+(x^4/3!)-(x^6/4!)+...... となるのかがよく分かりません。 マクローリン展開だと思うのですが。 微積を始めたばかりの文系の学生(=私)でも分かるように、教えてください。 微積のはじめのところでテイラー展開などは1度やったのですが、級数のところで出てきてさらに勉強しているところです。 よろしくお願いします。
回答: まず、 1-(e^(-x^2))=1-(1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!...) =x^2-x^4/2!+x^6/3!-x^8/4!... ということで、 {1-e^(-x^2)}/x^2=1-x^2/2!+x^4/3!-x^6/4!... になると思います。