質問: 線形代数の問題です。 線形代数の問題です。 1.u,u'がそれぞれk上のn次元ベクトル空間とする。このとき線形写像f:u→u'が単射であることと全射であることが同値であることを証明せよ。 2. 行列aの固有値をλ1,λ2,...λnとしたとき、 行列a^2の固有値は、aの固有値をそれぞれ2乗したもの以外には存在しない。これは正しいか 3.aのすべての成分が正でかつ行列式が正なら、aの逆行列の成分もすべて正であることを示せ。 以上です。よろしくお願いします。
回答: 1. 「k上のベクトル空間」とは、体kをスカラー体とするベクトル空間という意味です。 日常よく使うベクトル空間は、スカラーが実数だったり、複素数だったりしますが、 ベクトル空間の一般的な定義から言えば、スカラー体は、任意の体でかまいません。 2. 正しい。aをジョルダン標準形で表して、二乗してみればよいです。やってみれば、 「行列a^2の固有値は、aの固有値をそれぞれ2乗したものである」とは言えない 理由も解ると思います。 3. 反例あり。 a = 2 1 1 1 と置くと、 aのすべての成分は正でかつ行列式も正だが、aの逆行列は a^-1 = 1 -1 -1 2 であって、負の成分を持つ。