質問: 等式(=)と非等式(≠)に関する四則演算 等式(=)に関する四則演算は,加法に関して, ● 交換法則: a+b=b+a, ● 結合法則: (a+b)+c=a+(b+c), ● 簡約法則: a+c=b+c ⇔ a=b であり,乗法に関しては, ■ 交換法則:ab=ba, ■ 結合法則:(ab)c=a(bc), ■ 分配法則:a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc ■ 簡約法則:ac=bc ⇔ a=b ですが,それでは,非等式(≠)に関する四則演算は,加法に関して, ▲ 交換法則: a+b≠c+d ⇔ a+b≠d+c, b+a≠c+d ▲ 結合法則: (a+b)+c≠d+(e+f), ▲ 簡約法則: a+c≠b+c ⇔ a≠b 乗法に関しては, ▼ 交換法則:ab≠cd ⇔ ab≠dc, ba≠cd ▼ 結合法則:(ab)c≠d(ef), ▼ 分配法則:a(b+c)≠ad+ae, (a+b)c≠dc+ec ▼ 簡約法則:ac≠bc ⇔ a≠b のようになると考えられますが・・・??? 上記の▲と▼については,まだ証明していません. では,この非等式(≠)に対する「結合法則」,「交換法則」, 「分配法則」,「簡約法則」に関しての数学理論はありますか? 書物か雑誌記事をご存じの方,教えて下さい. なお,「非等式」なる用語は正式なものではありません.この場での造語です.
回答: 等号に関する論理と「非等号」に関するそれを別々に考えるのではなく, 「非等号」に関する論理はあくまで等号に関するそれを出発点に導出される,と考えるのがとりあえずは妥当に思えます. `a=b'を命題と考えると,`a≠b'という命題は`¬(a=b)'という命題の別表記である,と考えられます. すると,例えば「非等式の加法に関する交換法則」は, (∀a,b:(a+b=b+a))⇒(∀a,b,c,d:(¬(a+b=c+d)⇒¬(a+b=d+c))) (∀a,b:(a+b=b+a))⇒(∀a,b,c,d:(¬(a+b=c+d)⇒¬(b+a=c+d))) という命題が恒真であることを示すことで証明されます. #2の方が紹介してくださっていますが,これを証明するためには一階述語論理の知識が必要になります.