質問: 微分方程式の解き方 自分の趣味で、{f(x)}^2-f'(x)=0 という微分方程式が解けるかどうかやってみました。 解答 (1) f(x)=0は、与えられた微分方程式を満たす。 (2) f(x)=a (aは0以外の任意の実数の定数)は与えられた微分方程式を満たさないのでf(x)≠0、f'(x)≠0とする。 {1/f(x)}^2=1/f'(x)...(a) {1/f(x)}'=-f'(x)/{f(x)}^2 より {-1/f(x)}'=1とすると、{-1/f(x)}'=f'(x)/{f(x)}^2 f'(x)/{f(x)}^2=1 1/{f(x)}^2=1/f'(x) よって(a)と同じ式になる。 なので{-1/f(x)}'=1の両辺を積分して -1/f(x)=x+c (cは任意定数) f(x)=-1/(x+c) となる。 (1),(2)より、一般解はf(x)=-1/(x+c)、特殊解はf(x)=0である。 これでokでしょうか? この解き方が正しいか教えていただきたいですm(__)m
回答: 一般解はf(x)=-1/(x+c)で良いですが,f(x)=0は特殊解ではありません. 特殊解というのは,一般解の積分定数 c に特別な数値を与えた解です. f(x)=0が特殊解だとするとf(x)=-1/(x+c)から 0=-1/(x+c) となり, 0・(x+c)=-1,ゆえに 0=-1 となり,矛盾です.与えられた常微分方程式の 特殊解とは f(x)=-1/x や f(x)=-1/(x+1) などのことをいいます. あなたが (1)に f(x)=0 と書かれており,(2)に f(x)≠0 と書かれていること自体が矛盾です.また,(1)で勝手に f(x)=0 と置いたことも誤りです. なぜならば,与えられた常微分方程式に f(x)=0 という解は存在しません. なぜならば,一般解 f(x)=-1/(x+c) は x と c に如何なる数を与えても 0 にはならないからです.