質問: 4次方程式の問題がわかりません. 4次方程式の問題がわかりません. aを実数の定数とするとき (x^2-2x)^2-2(a+2)(x^2-2x)+4a+20=0・・・・(1) t=x^2-2x・・・・(2)とする. 方程式(1)が異なる4つの実数解を持つとき,aのとり得る値の範囲を求めよ. という問題がわかりません. (2)を(1)に代入するとt^2-2(a+2)t+4a+20=0・・・・(3)となりますよね. また(2)が異なった2つの実数解をもつにはt>-1であればよい. (3)のtが実数解を持つのはa^2>16,すなわちa<-4,4<a・・・・(4) また(3)のtが異なった2つの実数解をt>-1の範囲に持てばよいから t=(a+2)±√(a^2-16) よって(a+2)+√(a^2-16)>(a+2)-√(a^2-16)>-1 上の式の中辺(?)と右辺より a>-25/6・・・・(5) (4)と(5)をあわせて -25/6<a<-4,4<a かと思いました. しかし,答えはa>4 解説にはa>-3も満たしていなければならないとありました. なぜなのですか?
回答: その通り。 √(a~2 - 16) > 0 なので、 a + 3 > √(a~2 - 16) には、 既に a + 3 > 0 が含まれています。 それなのに、 (a + 3)~2 > a~2 - 16 のほうは、 a + 3 ≦ 0 でも成立してしまうことがあるから、 変形したときに「かつ a + 3 > 0」を別記して 残しておく必要があるのです。