質問: [返済期間の計算と72] 「返済期間の計算をするのには、72をその利率を割れば良い」 と、政治経済の先生が仰っていたのですが、
回答: 72の法則とは元本が複利で2倍になるまでの期間と利率との関係ですね。 それには連続複利(瞬間複利)の知識が必要です。 通常、利率というのは1年複利(1年毎に利息が付くの複利)の値を示します。 半年複利(半年毎に利息が付くの複利)の場合はその利率を半分にして、利息が付く回数を2倍にします。 利率をrとすると、半年複利では1年後に元利合計で、元本×(1+r÷2)×(1+r÷2)となるわけです。 月複利(1月毎に利息が付くの複利)なら、利率は12分の1となり、1年後の元利合計は元本×(1+r÷12)×(1+r÷12)×...×(1+r÷12)と、元本に(1+r÷12)を12回かけます。 日複利なら、元本×(1+r÷365)×...×(1+r÷365)と、元本に(1+r÷365)を365回かけます。 複利の回数をより大きくし、間隔を短くして、時間複利、分複利、秒複利と増やして、複利の回数を無限大に増やし、時間的に連続である仮想のケースを考えると、1年後には元利合計で元本×e^(利率)となります。 eは自然対数の底(ネイピア数)です。 ^の記号はベキ乗を表わします。 これを連続複利(瞬間複利)と呼びます。 2年後なら元本×e^(利率×2)、3年後なら元本×e^(利率×3)となります。 72の法則は元本が2倍になるケースを考えているのでe^(利率×年数)の部分が2である、すなわち2=e^(利率×年数)ということです。 この両辺の自然対数をとると、ln(2)=ln{ e^(利率×年数) }=(利率×年数)ln(e)=利率×年数 となります(lnは自然対数です)。 ln(2)は0.693147181ですから、0.693147181=利率×年数です。 利率は%で表わす場合が多く、それは小数点表示を100倍したものですので、利率を%表示とすると、69.3147181=利率×年数 となります。 本来は72の法則ではなく、69.31の法則なんです。 でも69.31では計算しずらいので、たくさんの整数で割りやすい72を使っているのです。 そのため72の法則は、計算はしやすいものの、69.31を72にしていることと、さらに連続複利という仮想的な状況を想定しているので誤差が発生してしまいます。 ※自然対数の知識がない場合は習ってからまたこの回答を読んでみてください。