質問: 楕円の変数変換 楕円e:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して 面積 ∫∫_e dxdy を求めるとき、 変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 e の r,θ での表示 e' はどのようになるのでしょうか?
回答: e={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1} e'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π} または e'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π} で良いでしょう。 なお、積分の変数変換でヤコビアン|j|を忘れないようにして下さい。 つまり dxdy=|j|drdθ=abrdrdθ ∫[e] dxdy=∫[e'] abrdrdθ =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr =2πabr^2/2 =πab ということです。