質問: x,yは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ^2(シグマの2乗)とする。 x,yは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ^2(シグマの2乗)とする。 ax+byがμの不偏推定量で、その分散を最小にするa,b の値を求めよ という問題が分かりません。 私なりに考えてみたものの、 正規母集団からの標本分布がn(ax+by,σ^2/2)になることしか分かりません。あってますか?? どなたか分かりやすく教えて下さい。
回答: そもそも正規分布しているものかもわからないのでは? 一般に期待値が離散変数について e[x]=σxipi...(1) のようにあらわせるのはよいですね。xiは変数のとる値であり、piはその値が出てくる確率です。この場合は期待値は平均値になっています。n個の集合についてすべてのpiが等しくて(1/n)ならば(1)は標本の総和をnで割る形になっています。平均値をμとして、 e[(x-μ)^2]=σpi(xi-μ)^2=σ^2...(2) となり標準偏差になっているのもo.k.ですね。この計算の性質上 e[(x-μ)^2]=e[x^2-2μx+μ^2]=e[x^2]-2μe[x]+μ^2=e[x^2]-2μ^2+μ^2=e[x^2]-μ^2...(3) になります。(2),(3)から e[x^2]-μ^2=σ^2 となります。更にもしxとyが互いに独立であるならば e[xy]=e[x]e[y]...(4) というのは、互いに独立な変数ということの定義です。 さて問題に入ります。 e[ax+by]=ae[x]+be[y]=aμ+bμ=(a+b)μ...(5) これがμに等しいというのですから a+b=1...(6) です。分散はμがax+byの期待値(平均値)でありますのでax+byの分散をsと書けば、 s=e[(ax+by-μ)^2]=e[a^2x^2+b^2y^2+μ^2+2abxy-2axμ-2byμ] =a^2e[x^2]+b^2e[y^2]+μ^2+2abe[xy]-2aμe[x]-2bμe[y]...(7) ここでe[x^2]=μ^+σ^2、e[xy]=e[x]e[y]=μ^2などを使っていきます。 s=(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abe[x]e[y]-2aμ^2-2bμ^2 =(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-(2a+2b)μ^2...(8) (6)よりa^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab s=(1-2ab)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-2μ^2 =(1-2ab)(μ^2+σ^2)+(2ab-1)μ^2 =(1-2ab)σ^2...(9) となります。ここでまた(6)を使えば s=(1-2a(1-a))σ^2=(1-2a+2a^2)σ^2...(10) となります。1-2a+2a^2の最小値を求めるのは容易で、たとえばこれを微分すれば-2+4aですからa=1/2で最小となります。この時b=1/2です。そして(10)よりs=(1/2)σ^2になります。なんだか当たり前の結果ですが。