質問: 連続な凸関数であるための必要十分条件 岩波数学辞典の凸関数の項で、実関数 f(x)がa≦xb≦で連続な凸関数であるための必要十分条件は、適当な単調増加関数p(x)で f(x)=f(a)+∫p(x) と書かれる。(積分区間は、aからxです。) とありますが、その証明を探してもなかなか見つかりませんでした。 分かる方がいれば、よろしくお願いします。 。
回答: siegmund著「measure and integrals」(タイトル及び著者のスペルが間違ってる可能性高いですが)にちょうどその定理が載ってます。正確にはf'がほとんどいたるところ存在しp=f'としてあります。ただそのpはf'が可算集合を除いて単調増加であることよりsupによって拡張すれば岩波辞典の結果が得られます。