質問: 院試の線形代数の問題です。 (2)からがわからないので、どなたか解いていただけませんでしょうか?
回答: (1) 固有値はRe(a)±√(Re(a)2-1)の2つです. (2) 実数x>1を任意に選んだとき, 複素数a,bであって, ・x=Re(a) ・|a|2-|b|2=1 を満たすものが必ず存在します. よって(2)は次の問題に帰着されます: 関数 y=x±√(x2-1) のx>1における値域をそれぞれ求めよ. (3) 単純にAの対角化をするだけです. 正則行列Rと対角行列Pであって R−1AR=P となるものを見つけましょう. (4),(5)のためにRも求めておきましょう. (4) R−1AR=Pの両辺をn乗しましょう. 一般のnで分からなければ n=2とかn=3で試してください. 文字のまま計算すると パターンが見えやすいです. (5) r_nをAの冪乗とr_0で表しましょう. n=1とかn=2で試してみると パターンが見えやすいです. Aの冪乗の計算は(4)での議論を使うといいです.