質問: 不定積分の問題 不定積分の問題です。mを自然数とするとき、 n (1)∫(cosx)^(2m-1)dx=σa(k)(sinx)^k+c k=1 (cは積分定数) (a(k)のkは添え字です。) を満たす自然数nおよび実数a(k)(k=1,2,...,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dx=g(sinx)+c (cは積分定数) を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。 という問題です。 (1)はn=2m-1 a(k)=0(k=2.4....n-1) (k=1,3,...n)のときは式が複雑なので記載するのは控えます。 分からないのは(2)で解答には n f(t)=σb(k)t^k とおけるので、n=2l-1とおくと k=0 l f(t)-f(-t)=σ2b(2m-1)t^(2m-1) m=1 となっているんですが、なぜ n=2l-1とおくのか、f(t)-f(-t)の右辺のσのmが1→l なのかがわかりません。 宜しくお願いします。
回答: (1)よりf(x)がどんな多項式関数でも ∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dxはsinxの奇数次になることが言えます. ∵ ∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dx = ∫(f(cosx)-f(-cosx))dx ここでf(x)=σa(k)x^k (k=0,...,2n a(2n)≠0 or a(2n-1)≠0 )とすると ∫(f(cosx)-f(-cosx))dx = ∫(σ2a(k)(cosx)^k)dx (但しk=1,3,...,2n-1) = 2σ∫(a(k)(cosx)^k)dx i.e. この式は(1)よりsinxの奇数次の多項式の和で表せる 上で奇数次になる証明の中で(2)も示されたと思います.