質問: どこかの大学入試の積分の問題で、logxが入っている式なのに積分区間が0から何かまでになっている問題を見たことがあります どこかの大学入試の積分の問題で、logxが入っている式なのに積分区間が0から何かまでになっている問題を見たことがあります あれは何なのでしょうか?うろ覚えですみません...
回答: 「広義積分」という考え方で適用可能です。 例えば以下の積分を考えてみましょう。 $$ j = \int_0^{4} x \log x \, dx $$ まず、十分に0に近い正の実数 $\varepsilon \; (0 < \varepsilon < 4)$ を用意します。そして、$\varepsilon$ から $4$ までの積分を考えるのです。 $$ k = \int_\varepsilon^{4} x \log x \, dx $$ 最後に $\varepsilon \to 0$ とすれば $k \to j$ となります。 実際に計算すると $$ k = \left[ x (x \log x - x) \right]_\varepsilon^{4} - \int_\varepsilon^{4} (x \log x - x) \, dx \\ 2k = 16(2\log 2 - 1) - \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 8 - \dfrac{\varepsilon^2}{2} \\ k = 8 (2 \log 2 - 1) - \dfrac{1}{2} \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 4 - \dfrac{\varepsilon^2}{4} $$ $\varepsilon \to 0$ として $$ j = 16 \log 2 - 4 $$ と求められるのです。 大学入試の範囲で出題して良いのかどうかはわかりませんが、実際に誘導つきで出題されている事はあるようですね!