質問: \hbar √2|s=1,m_s=0> 分かっていますよね。これをcを用いて表すと、 どうなるのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 大学で物理の研究と教育をやっている siegmund です. おっしゃるとおり s=1/2 に対しては s^+ = σ_i c^†_{i↑} c_{i↓} s^- = σ_i c^†_{i↓} c_{i↑} ですね. 式も注意深く書かれて,見やすいし誤解のおそれもありません. latex お使いのようですから当然ですかね(偉そうに聞こえましたら失礼). 念のため s^z = (1/2)σ_i (c^†_{i↑} c_{i↑} - c^†_{i↓} c_{i↓}) で,c^† と c は それぞれフェルミオンの生成と消滅の演算子. さて,s>1/2 に対してですが,上のような(あるいは簡単に拡張した)表式は存在しません. パウリ原理によりフェルミオン個数は0か1に限定されていますので, 例えば s=1 は表現できないのです. それならばフェルミオンを2種類持ってくればいいのではないか? 確かにそうですが,それは s=1/2 を2個持ってきて s=1 を表すことになります. そうすると,角運動量合成により s=1/2 が2個からは s=1 で s^z = +1,0,-1 および s=0 の状態が生成されます. 波動関数で言えば,順に |↑↑>,(1/√2)(|↑↓> + |↓↑>),|↓↓>,(1/√2)(|↑↓> - |↓↑>) で,最初の3つがいわゆる3重項状態(triplet),最後が1重項状態(singlet)です. したがって,単にフェルミオンを2種類持ってくると s=1 より余分な状態 (つまり s=0 状態,あるいは singlet 状態)が入ってきてしまいます. これを取り除くように拘束条件を付ければよいのですが, その拘束条件は各スピン毎に必要で(こういうのを局所的拘束条件といいます), 具体的問題が与えられたときに取り扱いが非常に困難です. 以上のような事情で普通の教科書には s>1/2 のフェルミオン表現が書かれてないのです. 研究論文レベルではそういう試みもあります. フェルミオンでなくてボソンを使えば1種類で済みますが, ボソンだと個数が何個でも可能ですから,今度は個数が 2s 個以下という拘束条件 (各スピンに必要なのでまた局所的)が必要になります. ボソンを使う方法だと,holstein-primakoff 変換,dyson-maleev 変換,schwinger ボソン法, などがあります. また,1次元の s=1/2 スピン系に限ってはフェルミオンで表す方法(質問とは違った変換)として jordan-wigner 変換があります.