質問: 0.0500922361 + 0.602116527 i ・ ・ と計算をやってみて、それぞれの点を複素平面にプロットしていったところ、 複素平面上でぐるぐると回っていき、最終的に i^i^i^i^i^i^...=i^(i^(i^(i^(i^(...))))) は、ある一定値に近づいていきそうなことがわかりました。 だいたい、 i^i^i^i^i^i^...=0.4383+0.36059i なのですが、この値を簡単な数式(e、π、√、logなど) であらわすことは可能でしょうか?よろしくお願いします。
回答: 面白そうだったので,やってみました. 複素数 u の複素数 c 乗は (1) u^c = exp(c log(u)) が定義ですが,log(u) のところが多価関数です. ここは主値をとることにして(質問の計算がそうなっています), 今は u = i ですから log(i) = iπ/2 です. n 回目の値を z_n とすると,漸化式が (2) z{n+1} = i^(z_n) = exp{iπz_n/2} です. 極限値を z と書くと,z は(2)で z_n=z_{n+1}=z とおいた (3) z = exp{iπz/2} を満たします. (4) z = x + iy として実数 x, y に対する連立方程式にしますと (5) x = exp(-πy/2) cos(πx/2) (6) y = exp(-πy/2) sin(πx/2) になります. (6)÷(5)で (7) y = x tan(πx/2) がわかりますから,x 単独の方程式 (8) x = exp{-(π/2) x tan(πx/2)} cos(πx/2) になりますが,一見して解析解は求まりませんね. Mathematica でも試しましたが,ダメでした. というわけで rndwalker7 さんのご希望通りにはなりません. 数値計算で解くのは容易で (7) x = 0.438283 (8) y = 0.360592 が数値解で,rndwalker7 さんの質問文の予想と同じものが得られます.