質問: 0 ...(4) の3条件を満たします。 上の4つの式について、a~dは全て0ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。 したがって行列式 |x y z 1| |a b c 1| |d e f 1| |g h i 1| が0となります。 ここまでは分かったのですが、教科書ではこの(行列式)=0 が求める平面の方程式と述べています。 しかし(行列式)=0 はあくまで(1)~(4)が非自明解を持つ条件なので、そうなる理由が分かりません。 (1)~(4)の連立方程式を解き、その非自明な解(a,b,c,d)を(1)に代入した結果が求める方程式だと思うのですが... 分かる方いましたら回答よろしくお願いします。
回答: 点に名前がないと書きにくいので座標原点を o, 与えられた 3点をそれぞれ p, q, r とし, 平面pqr 上の任意の点を x(x, y, z) とします. このとき「x が平面pqr 上にある」ことから位置ベクトルox は op, oq, or を使って書け, その式をじっと見るとまさに「その行列式の値が 0 となる」ことがわかります. 逆に, その行列式が 0 になるという条件から ox を op, oq, or で書くと「x が平面pqr 上にある」という式になります.