質問: 第n項までの部分和s_nを求めた上で、s_nを用いて級数の和を求める問題 次の級数を、" 第n項までの部分和s_nを求めた上で " 、 " s_nを用いて " 級数の和を求めよ。 ただし、級数が発散する場合はそのように書け。 (1) σ[n=1 ∞] (1/3)^(n-1) (2) σ[n=1 ∞] (5/4)^(n-1) " " で強調した箇所は重要なようです。 詳細に解説をつけてくださると助かります。
回答: " 第n項までの部分和s_nを求めた上で " 、 " s_nを用いて " 級数の和を求める という視点ではどうなるでしょうか? >それがまさに、「lim[n→∞]sn」です。 snを求めるという事は数列{(1/3)^(n-1)}が有限でどこまでも続くことは無いとしてその和を第n項まで求めるという事です。(質問者さんの挙げたリンク先にあるとおり) それを求めたうえで、n→∞とすると、第n項は無限に遠くなるので、無限に遠い第n項までの和を「lim[n→∞]sn」と表すことができるわけです。無限に遠い第n項までの和とは、σ[n=1 ∞] (1/3)^(n-1) の事ですからlim[n→∞]snが求めるべき和という事になるのです。 ちなみに (1)(2)共に「無限等比級数(無限に続く等比数列の項を+記号で結んだもの)」ですから、定理によりsnを求めずに答えを出すこともできます。その解法は次の通り 無限等比級数の定理 1収束条件:|r|<1 2和:a1/(1-r) これに基づくと (1) r=1/3で1を満たしているので 2により 求めるべき和は=1/(1-1/3)=3/2 (2) r=5/4で1を満たしていないので、与えられた級数は発散する と簡単にわかってしまいます。 本問は、定理は使わずにlim[n→∞]snから答えを求めよと言うのが趣旨です。 だから、#5のように求めたわけですよ!^^ (予備知識:級数とは数列a1 a2 a3・・・の各項を+記号で結んだもの 。つまりa1+a2+a3+・・・を言い表します。)