質問: 万有引力について 質量m、半径bの一様な質量密度の球があり、この球の中心からr(r<b)の距離に質量mの質点が受ける万有引力がf=-gmmo/r^2 (moは半径rよりも内側にある質量) であることをガウスの法則と同様な考え方を使って示せ。 という問題なのですが、どのようにガウスの法則を考えればよいのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
回答: 一様に電荷が分布している球の内部で、中心からの距離が r[m] の地点における電場e(r)は、ガウスの法則を使うと 半径 r の球の電荷q[c] がすべて球の中心に集中したときの電場と等しいことになるので e(r)=(4πkq)/(4πr^2) =k・q/(r^2) と表されます。kは、クーロンの法則における定数です。 この地点に点電荷q'[c]を持ってくると、この電荷は、電場から静電気力f[n]を受けますが、その強さは f=q'・e(r)=kqq'/(r^2) =k・q・q'/(r^2) 式(ア) この形は、質量がm,m'の2物体が距離r隔てて置かれているときに、互いに及ぼし合う万有引力f f=g・m・m'/(r^2) と酷似していることがわかります。 k→g q,q'→m,m' のように置き換えれば、本問における万有引力は f=g・m・m'/(r^2) と書けるはずだと期待できます。ただしm'は、半径rの球の質量で、題意から mo と置くべきものですから ∴f=g・m・mo/(r^2)