質問: メビウスの帯の面積は材料の二倍になることを・・・ メビウスの帯を作る前の材料になるまえの紙などの面積といえば裏表を足すということはしませんが,厳密な定義からすればこの紙の面積というのは裏表を足したものとすべきなのでしょうか?
回答: 厳密に言うと、メビウスの帯には向き付けができません。どちらが表か裏かが識別できませんよね。 したがって、メビウスの帯には面積要素 ( volume element ) が定義できないのです。 つまり、メビウスの帯の表面積というもの自体、微分幾何的には定義できないことになります。 一方、メビウスの帯を作る前の紙は向き付けができて、表面積が定義できます。