質問: 数列{an}を次のように定める。 a1=2 an+1=(2n/n+1)an+2^(n+1)/n+1 数列{an}を次のように定める。 a1=2 an+1=(2n/n+1)an+2^(n+1)/n+1 (n=1,2,3...) (1)a2,a3,a4を求めよ。 (2)一般項anを推測し、それが正しいことを数学的帰納法によって示せ。 (3)次の極限値を求めよ。 lim(n→∞)σa[k]^2/(σa[k])^2 ςは1からnです この問題を教えてください。
回答: (1) a[2] = {(2・1)/(1+1))}a[1] + 2^(1+1)/(1+1), a[3] = {(2・2)/(2+1))}a[2] + 2^(2+1)/(2+1), a[4] = {(2・3)/(3+1))}a[3] + 2^(3+1)/(3+1) を、順に、地道に計算しましょう。 a[2] = 4, a[3] = 8, a[4] = 16 です。 (2) 上記の結果を見て、 a[n] = 2^n っぽい感じはしますね。 推測が得られれば、漸化式から数学的帰納法で それを証明する手もあります。 今回の場合は、式変形で一般項を求めるのが 簡単なので、 a[n+1] = {(2n/{n+1}}a[n] + 2^(n+1)/(n+1) ↓ 両辺を n+1 倍して (n+1) a[n+1] = 2n a[n] + 2^(n+1) ↓ 両辺を 2^(n+1) で割って (n+1) a[n+1]/2^(n+1) = n a[n]/2^n + 1 数列 n a[n]/2^n が公差 1 の等差数列と判るので、 n a[n]/2^n = 1・a[1]/2^1 + 1・(n-1) = n よって a[n] = 2^n. 「これは推測と合ってた」と書いて終わるもよし。 (3) a[k] = 2^k が判ってしまえば、 ς[k=1..n] a[k] = σ[k=1..n] 2^k = 2(1 - 2^n)/(1 - 2) = 2(2^n - 1), ςk=1..n^2 = σ[k=1..n] 4^k = 4(1 - 4^n)/(1 - 4) = (4/3)(4^n - 1) ですから、 ς(a[k]^2)/(σa[k])^2 = (4/3)(4^n - 1) / {2(2^n - 1)}^2 = (4/3)(4^n - 1) / {4(4^n - 2・2^n + 1)} = (1/3){1 - (1/4)^n}/{1 - 2(1/2)^n + (1/4)^n} → 1/3 (when n→∞).