質問: lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3} ∫{dx/√(1-(x^2))} lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3} ∫{dx/√(1-(x^2))} ∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx 上記の3つの計算です。 どうぞよろしくお願いします。 解説や使う公式などももしあれば助かります。
回答: lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}__1 ∫{dx/√(1-(x^2))} __2 ∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__3 を求める。 (1)式1の分子と分母を2^n割る。 4^n÷2^n=2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}_1 = lim[n→∞] {2^n-1/2^n}/{2+3/2^n} = lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞ (2)x=sinθの置換積分を行う。 ∫{dx/√(1-(x^2))} __2 0≦x<1のときx=sinθ_4とすると、0<θ<π/2。 4をθで微分するとdx/dθ=cosθ_5 dx= cosθdθ_6 46を2に入れると ∫{dx/√(1-(x^2))}_2 =∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/cosθ}=∫dθ=θ+c=arcsin x+c__7 (3) y=x^2__8による置換積分を行う。 8を微分するとdy/dx=2xとなるからdy=2xdx dx=dy/(2x)__9。 積分範囲はy=0~1となる。3に89を入れると ∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx__3 =∫[0 1]x/{(y)+2} dy/(2x) =∫[0 1]dy/{y+2}dy/2 =(1/2)[log(y+2)] [0 1] =(1/2)[log(3)-log(2)]=(1/2)log(3/2) またはloge√1.5