質問: 実数値関数の収束を示してください 実数値関数fがf(x)=1/x^(3) , x=1,2,3.....で与えられるとするとき∑(n, x=1) f(x)が収束することを示してください。
回答: ∑[x=1〜n] f(x) は、収束するも何も項数 n の有限和です。 lim[n→∞] ∑[x=1〜n] f(x) のことを言っているのかな? 優級数収束定理というのがあって、各項が正の級数は それぞれの項がより大きい級数が収束すれば収束します。 ∀n, 0 ≦ a(n) ≦ b(n). かつ σ[n=1→∞] b(n) が収束するならば ς[n=1→∞] a(n) は収束。 2以上の自然数 n と実数 x に対して n-1 ≦ x < n で 0 < 1/n^3 < 1/x^3 であることから、 x で積分して 0 < (1/n^3) ∫[n-1,n] dx = 1/n^3 < ∫[n-1,n] 1/x^3 dx. これを使って、 0 ≦ σ[n=1→∞] 1/n^3 ≦ 1 + σ[n=2→∞] ∫[n-1,n] 1/x^3 dx = 1 + ∫[1,∞] 1/x^3 dx = 1 + [ (-1/2)x^-2 ]_(1,∞) = 1 + { limx→∞x^-2 - (-1/2)1^-2 } = 1 + { 0 + 1/2 }. 優級数 σ[n=2→∞] ∫[n-1,n] 1/x^3 dx が収束するから、 ς[n=2→∞] 1/n^3 は収束する。 よって σ[n=1→∞] 1/n^3 も。