質問: 円に内接するn角形Fがある。ただしnはn>4なる整数とする。対角線のうちどの3本をとってもFの頂点以外の同一点で交わらないものとする。全ての対角線を全ての交点で線分に分割する。これらの線分のうち、Fの頂点を端
回答: n角形の頂点を4つ選ぶと、それらを頂点とする四角形ができ、その 2本の対角線で一つの交点が決まります。つまり交点の数は n個の 点から4つを選ぶ選び方の数だけあります。これらの交点で対角線 が線分に分けられるわけですが、この線分の中でFの頂点を一端と するものが、n(n-3)個あります。なぜかというと、Fの頂点Sから 出るFの対角線は、頂点Sとその隣りの2頂点を除く(n-3) 個のFの 頂点とSとを結ぶ対角線で、そのS側の線分が(n-3)個あり、Fのn個 の頂点それぞれで同じことが言えるためです。 で、交点で分割される線分の数ですが、1個の交点Pを一端とする 線分は4つあります。X型の形の交点がP,4つの端点をA,B,C,D とすると、線分はPA,PB,PC,PDの4つです。なので、他の交点でも 同様に考え、4*nC4 で全部の線分の数を出しています。 ただし、たとえば、交点AがFの頂点でないなら、交点Aについて もAをX型の中心とする4つの線分があります。その中の一つは APであり、これは PをX型の中心とする線分PAでもあり、点Pの 線分について4倍した中で数えられています。つまり、4*nC4 の 計算では、どの線分も2回数えられています。ただし、線分の一端 がFの頂点になっている線分は、1度しか数えられていません。 (交点にはFの頂点は含まれていないので。) なので、Fの内部にある線分の数を求めるには、4*nC4 から n(n-3)を引き、それを2で割ればよいことになります。 n=5, 6 の時などで確認してみると良いでしょう。