質問: ⟨x,y⟩ + ⟨x,z⟩ (d) ⟨x,αy⟩=α⟨x,y⟩ さらに,⟨x, y⟩ は V 上の 2 変数関数として,強連続であるとする。すなわち, lim⟨xn, yn⟩= ⟨x0, y0⟩. (xn →x0 ,yn →y0) このとき,次を示せ。 ∃r > 0 s.t. ∀x ∈ V, |⟨x,x⟩| ≤ r∥x∥^2.
回答: 成り立たないとする r=n^2 を考えると、全ての n に対してある x_n があり |⟨x_n,x_n⟩| >(n^2) ||x||^2 y_n = x_n/(n||x||) とおくと |⟨y_n,y_n⟩| >1 他方で ||y_n||=1/n なので y_n→0 (n→∞のとき) これは強連続に矛盾