質問: 位相空間の問題なんですが... (x,d)距離空間とし、x=a∪bにおいて 連続写像 f:(a,d)→(y,ρ) g:(b,d)→(y,ρ)であり 写像 h:(x,d)→(y,ρ) f(x) if x∈a h(x)={ と定義する。 g(x) if x∈b このときa、b共に(x,d)の開集合(閉集合)ならば、hは連続であることを証明せよ。 という問題です。わかる方、証明のアイデアだけでも結構です。宜しくお願いします。
回答: (y,ρ)も距離空間だとほとんど自明ですね 仮定から xがaに含まれれば任意の正数のεにたいして適当な整数δが存在し d(x,d)<δならばd(f(x,d))<εであり xがbに含まれれば任意の正数のεにたいして適当な整数δが存在し d(x,d)<δならばd(g(x,d))<εである 従ってh(x)の定義から xがaに含まれれば任意の正数のεにたいして適当な整数δが存在し d(x,d)<δならばd(h(x,d))<εであり xがbに含まれれば任意の正数のεにたいして適当な整数δが存在し d(x,d)<δならばd(h(x,d))<εである いっぱい書いているようだけどコピーだからね