質問: 調和測度、鏡像の原理
回答: C_2 上の円弧 J と J を境界にもつΩの部分領域 U をとります。 実軸上の区間 I と I を境界にもつ上半面の領域 V があって、一次変換 φ で V を U に写像することができます。J=φ(I) です。下図参照。 u(z)=ω_k(φ(z)) は V で調和、I 上で 0 であるので鏡像の原理により、V と対称な領域 V~ に接続できます。 よって、ω_k(z)=u(φ^{-1}(z)) は J に関して U と対称な領域 U~ (U~=φ(V~)) に接続されます。 J は任意なので ω_k は C_2 を超えて接続できることになります。