質問: 大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもとで2つの 大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもとで2つの質点が周期τで互いに円運動をしている。ある瞬間に2つの質点を止め、次に放すと2つの質点は時間τ/4√2後に衝突することを示せ”という問題です。お手上げ状態です。出来るだけ分かり易く教えてください。お願いします。
回答: 途中の煩雑な計算過程は省略し,概略のみ示します。 まずは円運動。 2質点間の距離をr0,質量をm,mとおきます。 換算質量μ= mm/(m+m)として,円運動の方程式は, μ・r0(2π/τ)^2 = gmm/r0^2 (質点個別に立ててもこの式に帰着します) ∴ τ = 2πr0^(3/2)/√{g(m+m)}次に後半の接近。 2質点間の距離をr(t),r(0)=r0として,運動時間を求めます。 エネルギー保存は 1/2 μr'^2 - gmm/r = -gmm/r0 ただし,r'=dr/dt (質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着します) 整理すると, dr/dt = -√{ 2g(m+m)(1/r - 1/r0) } 求める時間tは, t = 1/√{2g(m+m)}×i,i = ∫[0~r0]dr/√(1/r - 1/r0) 積分iを計算します。u=√(1/r - 1/r0) とおくと, i = 2∫[0~∞]du/(u^2 + 1/r0)^2 さらに,u = tanθ/√r0 とおくと, i = 2r0^(3/2)∫[0~π/2]cos^2θdθ = πr0^(3/2)/2 したがって, t = πr0^(3/2)/[ 2√{2g(m+m)} ] = τ/(4√2) を得ます。