質問: 力学的エネルギーの散逸 yokkun831さんの説明に疑問があります。
回答: 回転を考慮しないモデルでは,運動エネルギー散逸の原因を初めから非弾性衝突に求めています。したがって,具体的な「抵抗力」=衝突の撃力をあらわにせず,運動方程式を mx'' + mx'^2/x = mg sinθ と得ました。 回転を考慮するモデルでは,並進運動エネルギーの散逸の原因を初めから回転運動のエネルギーに求めています。つまり,初めに力学的エネルギー保存ありきの議論なのです。ここにはひとつの難題が横たわっています。それは,並進運動については散逸の原因(抵抗力)をあからさまにせず mx'' + mx'^2/x = mg sinθ のまま使おうというわけですが,重心まわりの回転運動については抵抗力によるトルクτを導入せざるをえません。ここに単純化において生じる矛盾があります。回転の運動方程式は, Iω' + I' ω = τ となります。 これは,単に力学的エネルギー散逸のない巻き取りにおいて必然とされる抵抗力によるトルクを与える方程式となります。r = 一定のモデルでは τ = mgr sinα/2 を得ます。これを並進の運動方程式にそのよりどころを求めようとしてもうまくいかないのは当然といえると思います。 最後にもう一度確認しますが,このモデルは初めから並進運動エネルギーの散逸の原因となる力に言及していません。したがって上の結果は散逸が回転のエネルギーにすべて移行する過程で必要とされるトルクを求めたにすぎないのです。 --------------------------- その後さらに考えてみましたが,やはり無理な設定ですね。 そもそも I の値によって加速度は変わってきますよね? したがって,I = 1/2 mr^2 の設定はつじつまあわせの限定的なものということで,ashir_gikenさんのいうとおり,「たまたま回転の運動エネルギーと一致した」というのが正しい。むしろモデルとしては I = mr^2 の方が自然です。 ですから,紹介したモデルは現実的にかなり矛盾があるけれども,散逸のないモデルとしてつじつまがあいますよ,ということなのだろうと思います(いいわけがましいですが,私の考案ではないので...)。しかし,巻き取りモデルでも新たに付け加わっていく質量は付着の瞬間に円筒面との相対速度がゼロですから,散逸のないモデルは可能なのではないでしょうか? 「私の計算では...」という部分をぜひお聞きしたいものです。 ------------------------------------- 並進運動方程式と回転運動方程式の矛盾について考察を深めてみました。 斜面の長さx0にある全ての質量について運動方程式を立てます。 重心位置 X = (x0 + x^2/x0)/2 重心加速度 X'' = (xx'' + x'^2)/x0 重心の運動方程式 ρx0 X'' = ρx g sinθ すなわち x'' + x'^2/x = g sinθ 円筒の重心まわり慣性モーメント I = αmr^2 = αρx r^2 を仮定して全質量に対する重心Xまわりの回転の運動方程式を立てます。そうすることによって内力のトルクは消失します。 I' ω + I ω' + m'r^2ω + mr^2ω' = mgr sinθ x' = rωを仮定すると (α+ 1)(x'^2 + xx'') = xg sinθ 両式が矛盾なく成立するためには, α=0 でなければなりません。 慣性モーメントを適当に I = 1/2 mr^2 とおいて矛盾が生じるのはあたりまえといえるかもしれませんね。 ただし,以上の議論においてrはx0に対して十分小さいとし,巻き取りによる重心の斜面に垂直な方向への移動は無視しています(これはマズイかもしれない)。 上の展開でも単純化以上の誤りがあるかもしれません。ご検討ください。 ------------------------------------- 散逸のない系を仮定して,運動方程式がどのようになるべきかを考察してみました。 I = αρx r^2 とおきます。 ラグランジアン L = 1/2 ρ(1+α)xx'^2 + 1/2 ρg(x0^2+x^2)sinθ 係数および定数項をのぞいて L' = (1+α)xx'^2 + x^2g sinθ 運動方程式は x'' + x'^2/(2x) = g sinθ/(1+α) x''=a,x'=at,x=at^2/2 を仮定して a = g sinθ/{ 2(1+α) } α=1/2 のとき,「偶然」に回転を考慮しないモデルに一致することがわかります。 もちろん,この結果は力学的エネルギー保存から得られる結果と一致します。 1/2 mgx sinθ= (1+α)/2 mx'^2 x' = at,x=1/2 at^2 を仮定すると a = g sinθ/{ 2(1+α) } --------------------------------- ※補足について dr とあるところを見ると,円筒半径の変化を考慮しているのですね。 まさに「巻き取りモデル」ですね。勉強になります。 解読にはしばし時間がかかると思います。 回答へのコメントはないようですので,一応回答の目的は果たしたということになりましょうか。ご質問の目的が果たされていないとすれば,それはひとえに私の理解不足によるものとご容赦ください。 私には,すべりもない衝突もないように思われるモデルで,出てくる力Fとは重力(保存力)以外の一体何なのか,散逸の微視的な原因がどこに存するのかさえ,理解がおぼつかないところです。