質問: この問題がわかりません ある時点(0年物)で、同じ容量の2つの空の樽a,bに新味噌を一杯入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。次の(カ)~(コ)に適切な式を記入せよ。 ただし味噌の量は自然に減少しないとする。 bの味噌を半分取り除き、aの味噌の半分をbを移す。さらに、aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。 以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを(x+1)年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌はx+y/2年物と呼ぶ。 n年後に上記の操作を行った直後のa,bの味噌をそれぞれan年物、bn年物と表す。 例えば(a1、b1)=(1/2、1)、(a2、b2)=【 (カ) 】となる。 自然数nに対し、an+1をanで表すとan+1=【 (キ) 】 となり、数列{an}の一般項はan=【 (ク) 】となる。この式を用いることで、数列{bn}の漸化式bn+1=【 (ケ) 】を得る。ここでcn=2^n(bn-3)とおき、数列{cn}の一般項を求めることにより、数列{bn}の一般項はbn=【 (コ) 】となることがわかる。 お願いします。
回答: こんにちは。 aはbに影響を受けませんね。 aだけとりあえず書いてみると、 1年後 a1 = (0+1)×1/2 + 0×1/2 = 1/2 2年後 a2 = (1/2+1)×1/2 + 0×1/2 = 3/4 3年後 a3 = (3/4+1)×1/2 + 0×1/2 = 7/8 4年後 a4 = (7/8+1)×1/2 + 0×1/2 = 15/16 5年後 a5 = (15/16+1)×1/2 + 0×1/2 = 31/32 というわけで、 an = (2^n - 1)/2^n = 1 - 1/2^n であることがわかってしまいます。 途中式をじっと見ると、 an+1 = (an + 1)×1/2 + 0×1/2 = (an + 1)/2 であることもわかります。 ここまで来ると、ほかのところの解き方もわかってきませんか?