質問: 2つの不等式について、同時に満たすxが存在しないaの範囲・・・ さっそくですが、質問させて頂きます。 2つの不等式、 x^2-10x-24>0・・・(1) x^2-(a^2-a-1)x-a^2+a<0・・・(2) を同時に満たすxが存在しないようなaの値の範囲を求めよ。 [03阪南大学] と言う問題ですが、 まず、(1)について、因数分解して(x+2)(x-12)>0より x<-2、12<x・・・(1)’ (2)については{x-a(a-1)}(x+1)<0で、 a(a-1)<x<-1もしくは-1<x<a(a-1)・・・(2)’ (1)’(2)’より-2≦a(a-1)≦12であればよいので、 i)a(a-1)≦12のときこれを解いて (a+3)(a-4)≦0より、-3≦a≦4 ii)-2≦a(a-1)のとき、 a^2-a+2=(a-1/2)^+7/4よりすべてのaについて成り立つ よって、-3≦a≦4・・・(答) となっています。 そこで私の質問はii)の場合で、 「a^2-a+2=(a-1/2)^+7/4≧0よりすべてのaについて成り立つ」の意味が分かりません。 「すべてのaについて成り立つ」ということは、同時に成り立つxが存在しないという意味なのか。それとも、別の意味があるのか、全く分かりません。 分かる方教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
回答: 文脈を補って多少丁寧に書くとこんな感じでしょうね。 --- 以下のaについての不等式 (a - 1/2)^2 + 7/4 > 0 全てのaについては成り立つ。したがって、これを変形した -2 < a(a - 1) もまた全てのaについて成り立つ。 したがって、aの値をどのように変化させても(全てのaについて)、xについての不等式(2)を満たす範囲の下限は -2 以下であることはない。 つまり、この範囲で不等式(1)(2)が同時に満たされることはない。