質問: 直交行列について a~a=aa~=iを満たすaは直交行列(~は転置 n次元の正規直交基底をn個並べたものは直交行列 とあります 正規直交基底a1,a2,,,,anを並べた行列をaとすると a~aは各ベクトルの内積を考えることになって ノルムは1 直交するから0→単位行列だってのはわかりますが aa~は内積を考えてるわけではないです でも計算してみると内積っぽい形をしているわけで y1をa1,a2,a3...anの第一成分を並べたベクトル ynをa1,a2,a3...anの第n成分を並べたベクトル と見れば aa~はyi(i=1,2,3...n) の各内積を考えることになり これも単位行列になるんだから結局yiも正規直交基底になっています これはなんでですか? a~a=aa~=iだからで片付けられるとなんだか面白くないので 他に証明のやりかたあったら教えてください
回答: a1,a2,・・,an は、基底だから e1=b11a1+b21a2+・・・+bn1an ・・・・ en=b1na1+b2na2+・・・+bnnan と置けて、 b11=(a1,e1)=a11,b21=(a2,e1)=a12,・・・,bn1=(an,e1)=a1n