質問: 二項定理について。 次の3のx∧nの係数がなぜそうなるのかが分かりません。ご教授下さい。
回答: (1 + x)^n = nc0 + nc1x + nc2x^2 + ... + nc(n-1)x^(n-1) + ncnx^n・・・1 x^rの項は、ncr(1)^(n-r)x^r・・1’ (1 ‐x)^n = nc0 +(-1) nc1x +(-1)2 nc2x^2 + ... + (-1)^(n-1)nc(n-1)x^(n-1) +(-1)^n ncnx^n・・・2 x^(n-r)の項は、nc(n-r)(-1)^rx^(n-r)・・2’ よって、x^nの係数は1'x2’=(ncr)^2(-1)^r 全部で (nc0)^2-(nc1)^2+(nc2)^2-(nc3)^2+-----+(-1)^n(ncn)2 (1 – x2)^n = nc0 +(-1) nc1x2 +(-1)^2 nc2x^4 + ... +(-1)^(n-1) nc(n-1)x^2(n-1) + (-1)^(n)ncnx^2n n=2k+1{奇数}の時、x^(2k+1)の項は存在しないので、0 (nc0)^2-(nc1)^2+(nc2)^2-(nc3)^2+-----+(-1)^n(ncn)2=0 n=2kの時(偶数)の時、x^2kは最後の項の係数(-1)^(k)nckしかない。 2k=nで表すと、(-1)^(n/2)nc(n/2) (nc0)^2-(nc1)^2+(nc2)^2-(nc3)^2+-----+(-1)^n(ncn)2= (-1)^(n/2)nc(n/2)