質問: ベクトルポテンシャルの並進対称性 z方向に一様な磁場が印加されている場合を考えます。 このとき、ベクトルポテンシャルとしてx,y方向に並進対称性を持つベクトルポテンシャルを取ることは出来ません。 数式上は全くその通りなのですが、いまいち納得出来ません。 電場の場合には一様な電場が加えられていたら、それと垂直な方向にはポテンシャルが同じなのは納得できます。 磁場もそれと同じように考えたくなるのですが、先に申しましたようにそうではありません。 なぜそうなるのかを物理的なイメージを元に説明くださるとありがたいです。
回答: xy平面でx,y軸に平行な正方形を取る。その1辺の長さをaとし、この面の積分を考える。 もし、aが併進対称性だったら、axはyが変化しても同じ、 ayはxが変化しても同じだから b=rot a → ∫b・ds=∫rota・ds=∲a・dl → ba2=ax(a-a)+ay(a-a)=0 となる。ba2≠0 だから矛盾。 物理的なイメージとは何のことかよくわからないが、rot とは ∫b・ds=∫rota・ds=∲a・dl という関係にあり、bの面積分と、面の周囲の積分が一致するという数学的ないイメージが なりたつ。 大体、電界にしても、ポテンシャルの傾きが電界と言う、数学的なイメージでしかない。