質問: 不等式の同値関係がわからないので、質問します。 座標平面上で原点Oから出る半直線の上に2点P,Qがあり、OP・OQ=2を満たしている。 問、点P,Qの座標をそれぞれ(x,y)、(X,Y)とするとき、x,yをX,Yであらわせ。 点P(x,y),点Q(X,Y)がともに原点からでる半直線上にあるから、xX≧0,yY≧0・・・(1) OP・OQ=2を満たすとき、OP^2・OQ^2=4であるから (x^2+y^2)(X^2+Y^2)=4・・・(2) ここでわからなくなりました。x≠0のとき、X≠0 と解説には書いてあるのですが、 x=1,2,3・・・のときでも、X=0ならxX=0となり、xX≧0が成立すると思いました。 解説では、半直線OP,OQの傾きが等しいからy/x=Y/Xよって y=(Y/X)xこれを(2)に代入して、 xとXは同符号、x=0のときX=0、 yY≧0 などの条件に注意して、 x=2X/(X^2+Y^2),y=2Y/(X^2+Y^2)と答えを出しています。 どなたかxX≧0,yY≧0 ならば、x≠0のとき、X≠0となることを説明してください。お願いします。
回答: 題意より、 (OP*OQ)^2 = (x^2+y^2)(X^2+Y^2) = 2^2 = 4 ...(1) かつ、 y/x = Y/X = a ...(2) が成立。 (1) へ (2) を代入して、 x^2(1+a^2)*X^2(1+a^2) = x^2*X^2(1+a^2)^2 = 4 ↓ x^2 = 4/{ X*(1+a^2) }^2 x = ±2/{ X*(1+a^2) } を得るが、両辺の「正負」は一致するから、 (2 点 P, Q は原点から出る「半直線」の上にある) x = 2/{ X*(1+a^2) } ...といった調子。