質問: 一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方 1辺aの立方体に質量mの内部構造のないnコの同種粒子からなる気体がある。 一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。 e=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a) hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。 という問題で 「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」 というのがテストで出たんですがわかりませんでした。 答えあわせをしてくれないので困ってます。 どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣
回答: 例によって答を教えてくれない先生ですか. どうも困ったもんですね~. 同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です. 状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます. 最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の ただ1通りだけ. したがって基底状態の縮退度は1. 最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6 ですね. nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります. すなわち,縮退度は3. 2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで, これも3通りの可能性があるから,縮退度は3. つまり,エネルギーを決めると,nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので, これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です. 一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと 複雑そうです. 幾何学的には,nx,ny,nz の3次元空間で,球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を 決めたとき,その球面が通る格子点の数はいくつか,と言う問題になっています. 通常は,a が十分大きいとして,エネルギーの連続極限をとってしまいますが, そこらあたりまで要求されているんでしょうか? それから,もし粒子が電子だとすると,nx,ny,nz を指定しても, その他にスピンの自由度2があります. スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.