質問: △ABC において ∠A の二等分線と辺 BC の交点を P とす るとき,∠B, ∠C の外角の二等分線が辺 AC, AB の延長とそれぞ れ点 Q,R で交わるならば 3 直線 AP,BQ,CR は 1 点で交わるこ とを,チェバの定理の逆を用いて証 明せよ BQ,CRは交わっています。わかる方いらっしゃいますか。
回答: 2直線BQ,CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をP′とします。 このとき、チェバの定理より AR/RB⋅BP′/P′C⋅CQ/QA=1 ⋯1 また、条件の式より AR/RB⋅BP/PC⋅CQ/QA=1 ⋯2 1,2より BP′/P′C=BP/PC PとP′はともに辺BC上にあるから、PとP′は一致します。 したがって、3直線AP,BQ,CRは1点で交わるといえます。 ※角の二等分線というのがポイントです 三角形RBCと三角形QBCを下に広げたイメージです 下のリンクから抜粋