質問: 統計学で困ってます。教えてください 信頼区間の推定 表に8尾の体調測定の結果を示しています。母集団は正規分布であるが分散の値は道である場合、平均値の95%の信頼区間を計算しなさい 番号 1 2 3 4 5 6 7 8 体長 28.0 29.6 31.8 28.1 34.3 33.1 31.4 28.9 私は統計学だけでなく理系科目がが苦手なようです...(号泣) どうかよろしくお願いします。
回答: >私は統計学だけでなく理系科目がが苦手なようです... 統計って、みんな面倒がるけど、基本はそんなに難しくはありません。 ランダムに起こること(世の中のほとんどのものがそうです)が従う「正規分布」というものをきちんと理解すれば、だいたいのことがわかります。 得られたデータを処理する「記述統計」よりも、お示しのような得られた標本のデータから、未知の母集団の特性を推定する「推測統計」こそが統計の活躍の場です。 8つの「体長」測定結果から、母集団の「平均」も「8つの標本の平均」のあたりにありそうだと推定できますね。でも、どの程度ずれるかが推定できない。 もし「母集団の分散」が分かっていれば、「8つの標本の平均」の周りの「母集団の分散」程度の範囲内にあることがわかります。 ということで、「8つの標本の分散」(ばらつき方)から、「母集団の分散」を推定します。 「8つの標本の分散」は、「8つの標本の平均」からの各々の「ずれ」(偏差)を2乗したもの(2乗偏差)の平均です。つまり「2乗偏差の合計」を「標本の個数:8」で割って求めます。 では、「母集団の分散」は、この「8つの標本の分散」と同じとみなしてよいか、というと、そうはなりません。「母集団の分散」は「母集団の平均」の周りのばらつきですが、「8つの標本の分散」は「8つの標本の平均」の周りのばらつきなので、そもそも「8つの標本の平均」と「母集団の平均」が一致しているのかすらわからないので、「標本の2乗偏差の合計」には不確定要素がたくさん含まれていることになります。 ということで、「母集団の分散」を推定するときには、「2乗偏差の合計」を「標本の個数:8」で割るのではなく、標本数よりも1少ない「8 - 1 = 7」で割ります。これが「不偏分散」と呼ばれるものです。要するに「8つの標本の分散」が不確実な分、そこから少し大きめに「母集団の分散」を推定するわけです。 そして、その「推定した母分散」から「8個の標本」をとってきたときの標本平均は「自由度 7 (= 8 - 1)のt分布をする」ということを使って、「95%の信頼区間」ということなら、得られた標本の平均がt分布の「2.5%~97.5%(その間が 95%、範囲外となるのは「両側 5%」)」になるような範囲が「母集団の平均の95%の信頼区間」になります。 ちょっと端折って書いていますが、教科書にはきちんと詳しく書いてあると思います。 与えられた標本のデータを電卓で処理するのはちょっと辛いので、エクセルなどの表計算ソフトを使ってください。 そうすれば ・平均:30.65 ・分散:4.8625 ・不偏分散:5.5571 となります。 さらに、自由度 7 のt分布の「両側 5%」となる値は、下記の「t分布表」から 2.3646 となります。 ↓ t分布表 https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/td.htm 以上から、母集団の平均を μ とすると -2.3646 ≦ (30.65 - μ)/√(5.5571/8) ≦ 2.3646 が成立することになります。 ここから μ の範囲を求めれば -1.97 ≦ 30.65 - μ ≦ 1.97 → 28.68 ≦ μ ≦ 32.62 これが「母平均の95%の信頼区間」です、 「母平均は、95% の確からしさでこの範囲内にある」ということです。