質問: (a/2)√(π/c) ガウスの積分公式∫[-∞→∞] exp(-nx^2) dx =√(π/n) を使い、x/a-c/x=zと変数変換しようとしましたがうまくいきません。 ご存知の方よろしくお願いいたします。
回答: ∫[0→∞] exp{-c(x/a-b/x)^2} dx = (a/2)√(π/c) 一つの方法として・・、 以下のラプラス変換l{f(t)}を既知として計算してみる・・! f(t) = 1/(√(πt))・exp(-k^2/4t)のラプラス変換l{f(t)}は l{1/(√(πt))・exp(-k^2/4t)} = (1/√s)・exp(-k√s) ∫[0→∞]{exp{-c(x/a-b/x)^2}}dx = e^(2bc/a)・∫[0→∞]exp{(-c/a^2)・x^2}・exp(-cb^2/x^2)dx x^2 = tとおくと2xdx = dt , dx = (1/2)・dt/√t 与式 = e^(2bc/a)・(1/2)・∫[0→∞]{exp{(-c/a^2)・t}(1/√t)・exp(-cb^2/t)}dt c/a^2 = s , cb^2 = k^2/4 と見れば ∫[0→∞]{exp{(-c/a^2)・t}(1/√t)・exp(-cb^2/t)}dt = (√π)・∫[0→∞]{exp(-st)・(1/√(πt))・exp(-k^2/4t)}dt = (√π)・(1/√s)・exp(-k√s) となるので、s , kを戻せば 1/√s = a/√c exp(-k√s) = exp(-2b√c・√c/a) = e^(-2bc/a) よって 与式 = (1/2)・e^(2bc/a)・√π・(a/√c)・e^(-2bc/a) = (a/2)・√(π/c)