質問: 解説お願いします!対数方程式,最大最小,微分 【問1】実数aに対し、xの方程式log2(x-2)+2log4(5-x)=log2(a-x)...(1)を考える。 これを解くことは、ア<x<イかつx<aの範囲で、方程式-x^2+ウx-エオ=a...(2)を解くことと同じである。 (1)方程式(2)は、a=カのとき重解x=キをもつ。 したがって、方程式(1)がただ1つの解をもつのはa=カまたはク<a≦ケのときである。 (2)a=ケのとき、方程式(1)の解はx=コである。また、そのときの(1)の右辺の値はサである。 【問2】 (1)不等式x^2-2x≦0を満たすxの値の範囲はア≦x≦イである。 xがこの範囲にあるときy=4^(x)-2^(x+2)+5の最大値と最小値を求めよ。 x=2^xとおくと、xのとりうる値の範囲はウ≦x≦エであり、y=(x-オ)^カ+キである。 したがって、yはx=クのとき最大値ケをとり、x=コのとき最小値サをとる。 (2)aは定数とする。関数y=log3(1x/2+2a)においてx=3のときy=mであり、x=15のときy=nであるとすると、3^n-3^m=シである。 更に、m,nがともに正の整数であるとすると、m=ス、n=セとなり、a=ソ/タである。 【問3】oを原点とする座標平面において、放物線y=2x-x^2をcとする。 c上でx座標がaである点をp、2-aである点をqとする。ただし、0<a<1とする。 また、点pからx軸に垂線を下ろし、直線oqとの交点をrとする。このとき、点rのy座標はa^アである。よって、pr=-イa^2+ウaであり、三角形pqrの面積sをaを用いて表すとs=エa^3-オa^2+カaとなる。 したがって、s ́=キ(クa-ケ)(a-コ)となり、sはa=サ/シのとき最大値ス/セソをとる。
回答: >【問1】実数aに対し、xの方程式log2(x-2)+2log4(5-x)=log2(a-x)...(1)を考える。 > これを解くことは、ア<x<イかつx<aの範囲で、方程式-x^2+ウx-エオ=a...(2)を解くことと同じである。 真数条件より、xー2>0,5-x>0,a-x>0より、2<x<5,x<a ......ア=2 イ=5 log2+2log2/log2]4=log2 log[2]4=log[2]2^2=2より、 log2+log2=log[2 log2(5-x)=log2より、(x-2)(5-x)=a-xから、 よって、-x^2+8x-10=a ......ウ=8 エオ=10 >(1)方程式(2)は、a=カのとき重解x=キをもつ。 a=6のとき、2<x<5 かつ x<6より、2<x<5 -x^2+8x-10=6より、x^2-8x+16=(x-4)^2=0より、x=4 ......カ=6 キ=4 > したがって、方程式(1)がただ1つの解をもつのはa=カまたはク<a≦ケのときである。 -x^2+8x-10=aより、 y=-x^2+8x-10=-(x^2-8x+16)+16ー10=-(x-4)^2+6のグラフと、 y=aのグラフの交点を、2<x<5の範囲で考えると、上に凸な放物線で、x=4のとき最大値y=6で、 x=2のときy=2,x=3,5のときy=5だから、 最大値a=6のときと、2<a≦5で、ただ1つの解をもつ。......ク=2 ケ=5 (グラフをかいてみればわかります。) > (2)a=ケのとき、方程式(1)の解はx=コである。また、そのときの(1)の右辺の値はサである。 a=5のとき、2<x<5 かつ x<5より、2<x<5 -x^2+8x-10=5より、x^2-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 2<x<5から、x=3 ......コ (1)の右辺=log2=log[2]2=1 ......サ >【問2】 > (1)不等式x^2-2x≦0を満たすxの値の範囲はア≦x≦イである。 x(x-2)≦0より、0≦x≦2 ......ア イ > xがこの範囲にあるときy=4^(x)-2^(x+2)+5の最大値と最小値を求めよ。 y=(2^x)^2-2^2・2^x+5 より、y=(2^x)^2-4・2^x+5 >x=2^xとおくと、xのとりうる値の範囲はウ≦x≦エであり、y=(x-オ)^カ+キである。 x=2^x(>0)は、2>1だから、増加関数で、0≦x≦2だから、2^0≦2^x≦2^2 よって、1≦x≦4 ......ウ=1 エ=4 y=x^2-4x+5=(x^2-4x+4)-4+5=(x-2)^2+1 ......オ=2 カ=2 キ=1 > したがって、yはx=クのとき最大値ケをとり、x=コのとき最小値サをとる。 x=2のとき、最小値y=1 このとき、2^x=2より、x=1 ......コ=1 サ=1 x=1のとき、y=2,x=4のとき、y=5 だから、 x=4のとき、最大値y=5 このとき、2^x=4=2^2より、x=2 ......ク=2 ケ=5 > (2)aは定数とする。関数y=log3(1x/2+2a)においてx=3のときy=mであり、x=15のときy=nであるとすると、 >3^n-3^m=シである。 x=3のとき、m=log3+2a)より、 log3]3^m=log[3+2a)から、3^m=(3/2)+2a......(1) x=15のとき、n=log3+2a)より、3^n=(15/2)+2a......(2) 3^n-3^m={(15/2)+2a}-{(3/2)+2a}=12/2=6 ......シ > 更に、m,nがともに正の整数であるとすると、m=ス、n=セとなり、a=ソ/タである。 m=1,n=2のとき、3^2-3^1=9-3=6 ......ス=1 セ=2 (1)から、3^1=(3/2)+2aより、2a=3ー(3/2)=3/2 よって、a=3/4 ......ソ/タ これを、(2)に代入すると、 (15/2)+2・(3/4)=18/2=9=3^2 より、n=2のとき、(2)を満たす。 >【問3】oを原点とする座標平面において、放物線y=2x-x^2をcとする。 > c上でx座標がaである点をp、2-aである点をqとする。ただし、0<a<1とする。 y=f(x)とおくと、 f(a)=2aーa^2,f(2-a)=2(2-a)-(2-a)^2=2a-a^2より、 点p(a,2a-a^2),点q(2-a,2a-a^2) 0<a<1より、a<1<2から、2-a>0 > また、点pからx軸に垂線を下ろし、直線oqとの交点をrとする。このとき、点rのy座標はa^アである。 直線oqは原点を通るから、傾き=(2a-a^2)/(2-a)=aより、y=ax 点rは、x座標がaで直線oqを通るから、y座標は、y=a・a=a^2 ......ア=2 点r(a,a^2) >よって、pr=-イa^2+ウaであり、三角形pqrの面積sをaを用いて表すとs=エa^3-オa^2+カaとなる。 pとrはx座標が同じだから、pr=(2a-a^2)-a^2=-2a^2+2a ......イ=ウ=2 pとqはy座標が同じだから、pq=(2-a)-a=2-2a pq⊥pr(pqはx軸に平行、prはx軸に垂直だから)より、 △pqrの面積s(a) =(1/2)・pq・pr=(1/2)・(2-2a)・(-2a^2+2a) =2a^3-4a^2+2a ......エ=2 オ=4 カ=2 > したがって、s ́=キ(クa-ケ)(a-コ)となり、sはa=サ/シのとき最大値ス/セソをとる。 s(a)=2a^3-4a^2+2a(0<a<1) s'(a)=6a^2-8a+2=2(3a^2-4a+1) =2(3a-1)(a-1) ......キ=2 ク=3 ケ=コ=1 増減表をかくと、 0<a<1/3のとき、s'(a)>0,1/3<a<1のとき、s'(a)<0より、 a=1/3のとき、極大かつ最大 よって、a=1/3のとき、......サ/シ 最大値s(1/3)=2・(1/27)-4・(1/9)+2・(1/3)=8/27 ......ス/セソ (図をかいて確認してみてください)