質問: 行列の積 内積 の関係について 行列の積 内積 の関係について 行列の積と内積は同じであると説明があったのですが、 よく分かりません・・・ 例えば、a=(3、-2,1),b=(4,6,7)のベクトルの内積は a・b=(3×4)+(-2×6)+(1×7)=7となるのですが、 行列の積は(1行3列)×(1行3列)で計算できません。 どちらかのベクトルを転置化すれば計算できるのですが・・・ 列ベクトルや行ベクトルは転置しても同じベクトルなのでokと言う事でしょうか? 内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は 行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? 列ベクトルや行ベクトルの積の場合はスカラーとなるのでしょうか? a=(3、-2,1),b=(4,6,7)において、ベクトルbを転置化してtbとすれば a×tb=(7)となります。これはスカラーとなりますでしょうか? (追加質問) また、以前ノルムに関して質問させて頂きました。 ご回答頂いた内容で大凡理解できたのですが、追加で一点だけ質問させて下さい。 vのベクトルaに対して、ノルムは ||a||=√(a・a)とされますが、これを||a||=√(a^2)と表記するのはおかしいのでしょうか?
回答: 同じであるという表現は正しくなくて、似たようなものと思ってもよい、ぐらいなら許されるかも知れないですね。 行列a、bに対して、積の行列abは第ij成分が、行列aの第i行と、行列bの第j列の内積で与えられるもの という言い方は出来ます。一般にベクトルは1行または1列の行列と同一視できますが、内積と行列の積が同じものとみなせるのは、行ベクトルと列ベクトルの積を取る場合だけです。特に、行ベクトルaと、列ベクトルbに対して、行列としての積abはスカラーになり、二つのベクトルa、bの内積ともいえますが、積の順番を変えて、baとするとこれはもはや内積ではなく、行列になってしまいます。内積は掛ける順番によらず交換法則が成り立つのだから、その意味ではまったく同じというわけにもいかないでしょう。似て非なるものというのが正確で、特別な場合は同じものと考えてもよい、というのが正しい認識だと思います。 それから、物理などではa・aをa^2と書くことがあるかもしれませんが、個人的には推奨されない表記だと考えます。a^2というのはa×aのことですが、積がどういう演算なのかはっきりしないのです。ベクトル同士の演算に、内積以外の積を考えることもあるだろうし、さらに平方根でさえスカラー以外の対象に定義を拡張することは考えられます。そういう意味で、a^2はaとaの内積を表す略号である、と断った上で使うのならいいでしょうけど、暗黙の状態で使うのであれば適切ではないと思います。もちろん、そういう暗黙の使用が許可されたフィールドならよいのでしょうが、a・aと書けば誤解は皆無なのですから、そう書くほうが自然だし、親切だし、間違いないと思います。