質問: 三次関数の問題です。教えて下さい。 3次関数f(x)=xの三乗-(a+3)xの二乗+3ax-2b(a,bは定数)があり、 f′(2)=-3を満たしている。 関数f(x)の極大値をm、極小値をmとする。m-2m=7であるときのbの値を求めよ。 また、x≦bにおけるf(x)の最大値がbの二乗-15であるときbの値を求めよ。 また、x≦bにおけるf(x)の最大値がbの二乗-15であるときbの値を求めよ。の部分 の考え方と解き方が分かりません・・ 詳しい解説を書いていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。
回答: f(x)=x^3 -(a+3)x^2 +3ax-2b ...(1) f'(x)=3x^2 -2(a+3)x+3a ...(2) f'(2)=-3より f'(2)=12-4(a+3)+3a=-a=-3 ∴a=3 f(x)=x^3 -6x^2 +9x -2b f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) f'(x)=0とするxは x=1,3 x^3の係数1>0より x=1の時極大値f(1)をとり、x=3の時極小値f(3)をとるから m=f(1)=4-2b, m=f(3)=-2b m-2m=7より 4-2b+4b=7 2b=3 b=3/2 >「また、x≦bにおけるf(x)の最大値がbの二乗-15であるときbの値を求めよ。」の部分 の考え方と解き方が分かりません・・ bの範囲で最大値がf(1)となったりf(b)となって、変わるので、bの範囲で場合分けして考えるようにします。 x≦bの時の最大値=b^2-15であるから b≦1の時最大値f(b)=b^3-6b^2+7b=b^2-15 b^3-7b^2+7b+15=0 (b+1)(b-3)(b-5)=0 b≦1より b=-1 1≦b<4の時最大値f(1)=4-2b=b^2-15 b^2+2b-19=0 1≦b<4より b=2√5 -1 4≦bの時最大値f(b)=b^3-6b^2+7b=b^2-15 b^3-7b^2+7b+15=0 (b+1)(b-3)(b-5)=0 4≦bより b=5 以上まとめると条件を満たすbは以下の3通り存在します。 b=-1, 2√5 -1, 5