質問: 微分方程式 微分方程式の x^2y''+xy'-y=0 や (1-x)y''+xy'-y=0 などのxが掛かっていて右辺が0である二階線形微分方程式の解き方がわかりません。 どなたか答えてもらえないでしょうか?
回答: まず上の微分方程式から。一般にx^iと定数係数a_i(a_iという表記は数列)とyのi階微分(d^i/dx^i)yの積の級数 σ{i=0,n}a_i*x^i*d^i/dx^i)y=f(x) とすると、この微分方程式をオイラーの方程式と言います。これはx(t)=exp(t) ←大事 とおいて、y=y(x)に代入して z(t)=y(exp(t)) とzに変換するとzに関する定数係数のn階線形微分方程式になります。上の問題では、変換して整理すると z''-z=0 となりこれを解いて,yに戻せば一般解は y=ax+b/x (a,bは積分定数) となります。 次に二番目の方程式。 このタイプはとりあえず特解をさがしましょう。←大事 特解はy1=exp(λx)と置いてみます。←大事 そして代入して整理すると (1-x)λ^2+xλ-1=0 (a) となります。因数分解すると (λ-1){(1-x)λ+1}=0 (b) ここで、特解を代入して(a)になったのは、λを定数として考えて代入したからなので,(b)の解の λ=1/(x-1) は不適。よって λ=1となり y1=exp(x) となります。 次に別の特解をy2=c(x)y1と置きます。←大事 これを与微分方程式に代入して整理すると c''(1-x)+c'(2-x)=0 ここで z(x)=c'(x) ←大事 と置くと z'(1-x)+z(2-x)=0 となり、変数分離してzについて解くと z=a(1-x)exp(-x) よってこれを積分するとc(x)なので解いて c(x)=ax*exp(-x)+d よって y2={ax*exp(-x)+d}exp(x)=a+dexp(x) よって一般解yは y=ey1+fy2=gexp(x)+hx となります。 ここで,aからhまで積分定数ですが,その時に一番簡単な積分定数に直しました。 二番目の微分方程式は無理矢理解いたかもしれません。他にいい方法があるかもしれませんので他の人のも参考にして下さい。