質問: pを5以上の素数としたとき(x+1)(x+2)...(x+p-1)を展開したとき、定数項と最高次数の係数以外はpの倍数となることを示せ。 これがどうしてもできません 解法教えてください!
回答: f(x)=(x+1)(x+2)...(x+p-1)-(x^(p-1)+(p-1)!)とおくと、これはp-2次以下の多項式で、a=1、2、...、p-1の時、mod pで f(a)≡0+(1-1)=0(ウィルソンの定理とフェルマ-の小定理) 又、f(0)=(p-1)!-(p-1)!=0 よって、f(x)はmod pでp-1個の異なる根を持つのでf≡0(mod pで) 従って (x+1)(x+2)...(x+p-1)≡x^(p-1)+(p-1)! これは題意を示している■ ※一般に、fのn次多項式 がn個以下の根しか持たないことはよく知られていますが、 pが素数であればfのn次多項式はmod pでn個以下の根しか持たないことも成り立ちます(証明は一般の場合とおなじ)