質問: 背理法 二つ問題があるのですが、よく分からないので教えて下さい。 1 nが自然数のとき、命題 n2は偶数⇒nは偶数 が成り立つ事を証明しなさい (1)この命題の対偶を作れ (2)(1)で作った対偶が成り立つ事を証明する事でもとの命題が成り立つ 事を証明せよ 2 √2が無理数である事を用いて、3+2√2が無理数であることを背理法で証明 せよ 教科書を読んでもイマイチ分からないので宜しくお願いします。
回答: 「イマイチ分からない」だから「だいたいわかるけどあやしい部分もある」かと思ったんだけど, そうじゃないんですね. まあ, いいけど. さておき, 「背理法」というのは「何かを仮定すると矛盾が生じてしまうので, 元の仮定がおかしい」とする証明法です. 2 の方で行きますが, 「3+2√2 は有理数である」と仮定すると「√2 は有理数である」という結論を導くことができます. ところが, 既に「√2 が無理数である」ことは分かっているのでこれは矛盾です. 矛盾を生じるということは「どこかがおかしい」ということですから (1) 元の仮定 (2) 途中の導出 の少なくとも一方は間違いであるということになります. 今の場合は調べてみると (2) の方には間違いが見当たらないので (1), つまり「3+2√2 は有理数である」という仮定がおかしいという結論になります. 1 は書いてある通りにやるだけ. 「背理法」といえば背理法だけど, 普通はそう呼ばない気がする. 「対偶証明」とかいうことはある.