質問: 大学院試 線形代数 連立方程式の係数行列のランクと解の存在性 画像の院試過去問の問題で困っています。(東京大学院情報理工学研究所の2018年の問題です) (2)以前の問題は自力で解けているのですが、(3)以降の解法が分かりません。 (3)はa_1~a_nとbが線形独立な場合を想定していると思うのですが、その場合のノルムの最小値を与えるベクトルxの求め方が分かりません。 (4)はラグランジュの未定定数法をスカラーでなくベクトルに適用する方法が理解できず困っています。変数としてベクトルxを用いるのかxのノルムを用いるのかもよ分かっていません。 (5)も考え方の取っ掛かりが思い付かない現状です。 回答宜しくお願いします。m(__)m
回答: (3) x=(xi) とします。 ||b-ax||^2=||b-σaixi||^2 ||b-ax||^2が最小値をとるとき ∂||b-ax||^2/∂xj=-2aj(b-σaixi)=0 ajσaixi=ajb(j=1,...,n) よって (a^t)ax=(a^t)b ranka=nより(a^t)aは正則なので x=((a^t)a)^(-1)(a^t)b (4) https://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュの未定乗数法 一般の多次元の場合 を参考にしてください。 (5)は考えてみます。