質問: Aを距離空間(X,d)の部分集合とする。 A^a:集合Aの触点全体の集合 A^d:集合Aの集積点全体の集合 とするとき A^ad=A^d を示せ。
回答: やはり順当にA^adから任意に元xをとってそれがA^dに含まれる、という方法でやるのでしょうか? そのとおりだと思いますよ。 (A^a)^dの任意の元Xに対して、次のような点列{Xn}がとれる。 0<d(Xn,X)<1/n ... 1 Xn∈A^a...2 2よりXnに対して、A^aは触点全体の集合なので、次のようなYnがとれる。 0≦d(Xn,Yn)<d(Xn,X) ... 3 Yn∈A ... 4 13より d(Yn,X)≦d(Yn,Xn)+d(Xn,X)<2d(Xn,X)<2/n となり、n→∞のときYnはXに収束する。 また、三角不等式より d(Xn,X)-d(Xn,Yn)≦d(Yn,X) となり、3より d(Yn,X)>0 Yn≠X...5 45より、点列{Yn}はXと異なり、Xに近づくAに含まれる点列だと分かります。 つまり、XはAの集積点ということです。 したがって示したい包含関係が示せました。