質問: 変形円錐形の展開図 円錐形の展開図は理解しておりますが、今回教えていただきたいのは「円錐形を真横から見て、底面にたいして平行に切れば高さが小さい円錐形が出来ますが、ある角度をつけて切った時の上方の展開図は、どのように作図すればよろしいのでしょうか?」どうぞよろしくご指導ください。
回答: no.2に書き間違いがありましたんで訂正です。ついでに胃痛を和らげるかも知れない処方として、座標を入れて、ベクトルを追放してみましょう。 円錐の頂点は座標(0,0,0)にあるとします。z軸が円錐の軸であるとします。 横軸をx, 縦軸をzにとった2次元の図(正面図)でお考えください。 高さcの円錐の、底面の円周上にある点rの座標は ( (√(1-c^2))cosθ, (√(1-c^2))sinθ, c) であり、点rと円錐の頂点との距離は1です。また、底面の円周の長さは2π√(1-c^2) です。 円錐面上にある点(x,y,z)は、方程式 x^2 + y^2 = (1-c^2)(z^2) を満たします。 (x,y,z)と頂点との距離をsとすると s^2 = x^2 + y^2 + z^2 なので、 s^2 = (1-c^2)(z^2) です。だから、rを利用して x = s (√(1-c^2))cosθ, y=s (√(1-c^2))sinθ, z = s c と書く事ができます。 円錐を切る平面はy軸と平行であるとします。この平面に原点からおろした垂線の足の座標を p=(|v|,0,|u|) とします。すると、平面上にある点(x,y,z)は方程式 |v|x + |u|z = |v|^2 + |u|^2 を満たします。右辺は定数なので、これを|p|^2と書く事にすると、 |v|x + |u|z = |p|^2 です。 平面と円錐の交点、すなわち「円錐面上にあって、しかもこの平面上にある点」の集合は、従って、方程式 |v|s(√(1-c^2))cosθ+ |u|s c = |p|^2 を満たします。ここでsはθにつれて変化する変数であり、他は全部定数です。 方程式をsについて解くと、 s =(|p|^2)/(|v|(√(1-c^2))cosθ + |u|c) となります。(このとき、円錐はまだ切らないで、円錐面上に切り取り線を描くだけにしておいた、と思っておきます。) 次に、θ=0で円錐を切り開いて展開図にします。展開図は扇形で、その上に切り取り線が描いてあります。扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周の長さなのだから2π√(1-c^2)です。従って、これが扇形の頂角の大きさに他なりません。 扇形の頂点から見て、円錐を切り開いた線からの角度をtとすると、tは θ= t/√(1-c^2) という関係になっています。なので、s(頂点から切り取り線までの距離)をtの関数として表すと、 s[t] =(|p|^2)/(|v|(√(1-c^2))cos( t/√(1-c^2)) + |u|c) となります。