質問: 同次系の微分方程式の問題で、積分ができません。 問: x+(√(x^2+t^2)-t)x’=0 解: 同次系の微分方程式の問題で、積分ができません。 問: x+(√(x^2+t^2)-t)x’=0 解: x^2=c^2-2ct x’=dx/dt、cは任意定数です。 途中まで解いてみましたがわかりませんでした。 同次系なので、x=tu、x’=u+tu’とおいて与式を整理すると、 u√(u^2+1)+(√(u^2+1)-1)tu’=0 ∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du=-∫1/t dt ここの左辺の積分ができなくて困ってます。教えていただきたいです。 よろしくお願いします。
回答: t = √(u^2+1) で置換して、 ∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du = ∫(t-1)/(ut) (t/u)dt = ∫(t-1)/(t^2-1) dt = ∫1/(t+1) dt = log|t+1| + c ;cは定数 = log|√(u^2+1) + 1| + c