質問: フーリエ変換の問題について f(x)=e^(-ax^2) (-∞≦x≦∞,a>0) のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。
回答: フーリエ変換の定義が分からないので、積分 ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx の部分だけ解法を紹介します。 被積分関数は e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^{ -a*x^2 - i*ω*x } = e^{ -a*( x^2 + i*ω*x/a ) } = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 - { i*ω/(2*a) }^2 ] ] = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 +{ ω/(2*a) }^2 ] ] = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 ] ]*e^{ - ω^2/(4*a) } と変形できます。 ここで x + i*ω/(2*a) = x とおくと e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^( -a*x^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) } dx = dx 積分範囲は -∞≦x≦∞ したがって ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = ∫[-∞≦x≦∞] e^( -a*x^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) } dx = e^{ - ω^2/(4*a) }*∫[-∞≦x≦∞] e^( -a*x^2 ) dx a > 0 のとき、∫[-∞≦x≦∞] e^( -a*x^2 ) dx はガウス積分と呼ばれ、その値は √(π/a) つまり ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = √(π/a)*e^{ - ω^2/(4*a) } ガウス積分 http://www12.plala.or.jp/ksp/mathinphys/gaussintegral/