質問: 角運動量と慣性モーメントの問題について 力学の問題です。 下図のように、剛体円盤aとbが、なめらかな(x,y)平面上にある。質量はともにm、半径はともにrであり、単位面積当たりの質量は一定であるとする。円盤aが、速さvでx方向に回転せずに運動し、静止している円盤bに衝突した。衝突前の円盤aの中心はy=–rで与えられる直線上に、円盤bの中心は原点にあったとする。2つの円盤は衝突の瞬間に接点で完全に付着し、その後、一体となって運動したとする。以下の設問(1),(2)に答えよ。 (1)2つの円盤の重心系での全角運動量の大きさlを、m、r、vのうち必要なものを用いて表せ。 (2)付着後の2つの円盤の重心を通る(x,y)平面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント(慣性能率)iを、m、r、vのうち必要なものを用いて表せ。 教えてください。よろしくお願いします。
回答: (1) 2つ円盤の重心は 速度 v/2 で x 方向に進みますが、 運動量保存則により、この運動は衝突の前後で変わりませんので これを基準に考えるとわかりやすいと思います。 重心が静止した系からみると、衝突前に円盤は回転しておらず、 x軸に平行に進みますが、両円盤のそれぞれの重心が進む直線は重心から (1/2)r 離れていて 速度は (1/2)v なので、(1/4)rmvの角運動量を持ちます。2つ合わせて (1/2)rmv です。 角運動量保存則により、衝突の前後でこの値は変わりません。 (2) 各円盤の慣性モーメント = 円盤の中心に対する慣性モーメント + 円盤の中心から回転軸がずれたための増加量 = (1/2)r^2m + mr^2 = (3/2)r^2m なので円盤2個で 3r^2m