質問: 完全な普遍性は存在し得るのでしょうか? 『不完全性定理』には完全な普遍性が備わっているだろう、 と未熟な私には強く感じられますが、 其の内容が定義された際にも、 例外群の排除が伴っていたのでしょうか? そもそも定義が立ち上げられる過程の途上では、 其の定義へ当て嵌まらない例外的な諸概念の排除が避けられ得ない、 と過去の私は勝手に考えていましたので、 其の意外性が気になったものですから、私の誤解の排除の為にも、 御教授を賜れませんでしょうか?
回答: 不完全性定理を語るなら、不完全性定理を理解して下さい。 「不完全性定理が普遍的かどうか?」と問う前に、 不完全性定理は、あらゆる公理系の「普遍性」に ついて記述しているものだからです。 ゲーデルは、不完全性定理と同時に、完全性定理 というものも証明しています。 「限定された条件において、公理系は完全=普遍的 であり得る」というものです。 それは、異なる公理系の存在(それも「正しい」)を 示唆しています。 その延長において、「公理系は不完全ゆえに無矛盾 たり得る」という不完全性定理を証明したのです。 「あらゆる論理」をリシャール数を用いて普遍化し、 「私の言う事は全て嘘である」といった自己言及的な 言明を形式化して、先の結論を得る過程は、如何なる 芸術より美しいもので、こんな所で結論だけ聞いて 分かった気になるのは、人生の損失です。 ぜひ、ご自分で学んで下さい。