質問: 微分方程式で解法がわからない問題があります cosxdx-4sinxdy=y^2dy 上記の問題です。 当方、お恥ずかしながら知識不足につき解くことが出来ませんでした。 厚かましいお願いで恐縮ですが、できれば解説もご一緒にして頂けると幸いでございます。よろしくお願い致します!
回答: cosxdx-4sinxdy=y^2dy cosxdx=(4sinx+y^2)dy p=4sinx+y^2 とすると cosxdx=pdy dp=4cosxdx+2ydy=4pdy+2ydy=(4p+2y)dy (dp/dy)-4p=2y (d/dy)(pe^{-4y})={(dp/dy)-4p}e^{-4y}=2ye^{-4y} pe^{-4y}=∫2ye^{-4y}dy ={(-ye^{-4y})/2}-{(e^{-4y})/8}+c ={(-4y-1)(e^{-4y})/8}+c p={(-4y-1)/8}+ce^{-4y} 4sinx+y^2={(-4y-1)/8}+ce^{-4y} ∴ 32sinx+8y^2+4y+1+ce^{-4y}=0 c=0のとき y={-1±√(-64sinx-1)}/4 なお xはyに対して定数ではない変数なので ∫4sinxdy≠4sinx∫dy sinx-4ysinx≠(y^3)/3 d(sinx-4ysinx)= cosxdx-4sinxdy-4ycosxdx =y^2dy-4ycosxdx ≠y^2dy =d((y^3)/3)