質問: 座標平面上に、原点Oを中心とする円C1がある。円C1上の点A(1,-2)における接線をl、円C1と点Aで接する円をC2とする。 (1)円C1の方程式を求めよ。
回答: (1)x2+y2=5 (2)x-2y=5,,,,,,,y=x/2-5/2 (3) 円C1の中心(0,0), 円C2の中心を結ぶ直線は、(2)の接線に垂直より、 傾きは-2、(0,0)を通るので、y=-2x この直線上に、円C2の中心がある。y軸に接するので、 x座標はx=r(半径,r>0)置くと、y座標は、y=-2x=-2r 中心(r,-2r)となる。 円C1,C2が接するので、 中心間距離は、内接する時は半径の差、外接するときは半径の和より、 内接の時、 √(r2+4r2)=√5-r、(√5)r=√5-r, (√5+1)r=√5, r=√5/(√5+1) r=(5-√5)/4 外接の時、 √(r2+4r2)=√5+r、(√5)r=√5+r, (√5-1)r=√5, r=√5/(√5-1) r=(5+√5)/4 答え、半径=(5±√5)/4 (4) 円C2の中心が(2,-4)より、外接する。 (x-2)2+(y+4)2=r2 (1,-2)を通るので、 (1-2)2+(-2+4)2=r2, r2=5 円C2:(x-2)2+(y+4)2=5 l以外の2つの接線は、2円の中心を結んだ直線と平行より、 2円の中心を結んだ直線の傾きは、-4/2=-2 よって、2つの接線をy=-2x+mと置く。どちらの円にも接するので、 円C1で計算する。中心(0,0)と接線2x+y-m=0の距離が√5より、 |2x+y-m|/√(4+1)=|-m|/√5 これが√5より、|-m|/√5=√5, |-m|=5, m=±5 答え、2x+y=±5