質問: 数学 二項定理について 二項定理を証明(教科書にのっているようなもの)するときに順列ではなく組み合わ 数学 二項定理について 二項定理を証明(教科書にのっているようなもの)するときに順列ではなく組み合わせを用いる理由を教えて下さい。よろしくお願いします。
回答: 展開におけるある項の係数は、項の文字を選ぶ方法の数が係数になるから、組み合わせを用いて表すことができます。 (a+b)^3 の展開を考えましょう。 (a+b)(a+b)(a+b) を展開すると、aaa , aab , abb , bbb の項ができます。 aaa の項は、3つの( )から a を3つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。 これが aaa の係数になります。よって、aaa の係数は 3c3(=3c0) aab の項は、3つの( )から a を2つ , bを1つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。 これが aab の係数になります。よって、aab の係数は 3c2(=3c1) abb の項は、3つの( )から a を1つ , bを2つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。 これが abb の係数になります。よって、abb の係数は 3c1(=3c2) bbb の項は、3つの( )から b を3つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。 これが bbb の係数になります。よって、bbb の係数は 3c0(=3c3) したがって、 (a+b)^3=3c3aaa+3c2aab+3c1abb+3c0bbb =aaa+3aab+3abb+bbb あるいは (a+b)^3=3c03aaa+3c1aab+3c2abb+3c3bbb =aaa+3aab+3abb+bbb (a+b)^n も同様です。