質問: 偏微分について 偏微分とは何をするための作業なのかを教えていただきたいです。あくまでも大学入試を受けるという範囲の話ということになります。 例えばc:楕円x^2/3+y^2=1について、yを固定して(yを実数と見て)xで微分すると、《質問(1)この表現は入試の解答用紙に使ってよいのでしょうか?それとも、偏微分すると、と書くべきでしょうか》2/3x+2yy'=0となります。この時y'に3を入れたとすると、x,yの一次方程式になりますが、この方程式とcを連立させるとcにおいて傾きが3となる接線が得られる点の2解になるようですが...《質問(2)結局この方程式はどういう意味だったのでしょうか?》 また積分方程式(微分方程式?)の問題で、 f(x)が微分可能でg(x)=logf(x)とする。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・..... ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⇔g(x+y)=g(x)+g(y)-xy これをxを固定してyで微分すると... とありましたがこれも偏微分ですよね?どうもこの表現は学校では習わないので、入試本番で使ってよいのか気になります。あと偏微分ではないのですが、質問(3)この問題でlogは微分可能、f(x)も微分可能、よってg(x)は微分可能な二つの関数の合成関数だから微分可能である。というのは入試で使ってよいのでしょうか? 色々と書いてしまいましたが、(特に(2)は言っている意味が分からないかもしれませんが...)何よりもお聞きしたいのは、やはり大学入試における偏微分の使い方と知識です。学校の授業ではどうも不足すぎる気がするので、ぜひともアドバイスお願いします。
回答: 2x/3+2yy'=0を求められていますが、これは偏微分ではありません。xで普通に微分しています。yをxの従属変数とみなして、合成関数の微分{y^2(x)}'=2y(x)y'(x)を使っているからです。純粋にyを固定してxに関する偏微分を取れば当然2x/3になります。 入試に偏微分の言葉を知っている必要はないと思いますが、「定数」と「変数」の違いを意識できるようにはなっておくべきだとは思います。 例えば y=x^2+ax+b は普通に微分できるでしょうが、先も出てきたように、 y^2=-x^2+1 などの場合のy'が求められるか、ということです。前者は文字が3種類ありますが、普通の人はa,bはただの文字定数だと思って微分するでしょう。これだって厳密に言えばxに関する偏微分です。たとえば右辺をaの関数だと思って、aに関して微分すると、 y'=x になったりもします。