質問: 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります...! 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)u{5}(rの部分集合として) (2) {( x , y )∈r^2 ; 3 < x + y , x^2 > y}(r^2の部分集合として) (3) {( x , y , z )∈r^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1}(r^3の部分集合として)
回答: (1) s=(1,4)∪{5}={x;10が存在して |x-5|<ε となる任意のxに対して x∈s となるから x=5+ε/2 とすると |x-5|=|5+ε/2-5|=ε/2<εだからx∈s 一方 1<4<5y} (a,b)∈s とすると a+b>3 a+b-3>0 a^2>b a^2-b>0 だから ε'=min{(a+b-3)/4,(a^2-b)/4,1} ε=ε'/(2|a|+1) |x-a|<ε |y-b|<ε とすると a-εy だから (x,y)∈s だから s= {(x,y)∈r^2;3y} は開 (3) s={(x,y,z)∈r^3;x^2+y^2+z^2≦1} a=(a,b,c)∈r^3-s |a|=√(a^2+b^2+c^2)>1 ε=(|a|-1)/2 x=(x,y,z)∈r^3 |x|=√(x^2+y^2+z^2) |x-a|=√{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<ε とすると |x|+|x-a|≧|a| だから √(x^2+y^2+z^2) =|x| ≧|a|-|x-a| >|a|-ε =|a|-(|a|-1)/2 =(|a|+1)/2>1 だから x^2+y^2+z^2>1 だから (x,y,z)∈r^3-s だから r^3-sは開 だから s= {(x,y,z)∈r^3;x^2+y^2+z^2≦1} は閉