質問: 問題に導関数を求めよという問題があります。 仮に f(x)=3x^2-2x-1 とします。 この際,微分してしまえば簡単にf(x)'=6x-2となりますよね。 でも,問題は導関数となっていますので,途中式を書くとなるとf(x)'=lim(h→0)=f(x+h)-f(x)/hの公式を用いた計算をしなければならないのですか?
回答: > それでは,logcosxの導関数を求めよは, > y=log[cosx]とおいて, > y'=(log[cosx])' > =1/[cosx]' > =1/[-sinx] > =1/sinx > といっても良いんですよね? 3つ違うところがあります。 (1) [-sinx] = sinxと変形できません。 絶対値記号のはずし方は、[a] = a(aが0以上)または[a] = -a(aが負の数)です。 -sinxは負の数になるとは限りません。 マイナスがついてても、負の数にならないことだってあります(例えば-(-3)等)。 -sinxも、x = π/2の時正の数になります。この場合、[-sinx] = -sinxです。 (2) log[x]を微分すると、1/xです。 絶対値記号はなくなります。 (3) 合成関数の求め方が違います。 もう一度、教科書や参考書でやり方を確認してください。 二種類やり方を載せておきます。 < 1 > y = f(x), cosx = uと置きます。 f(x) = log[cosx] ↓ y = log[u] f'(x) = dy/dx = (dy/du)(du/dx)です。 dy/du = 1 / u du/dx = -sinxなので、 dy/dx = (1 / u)(-sinx) u = cosxを代入すると dy/dx = (1 / cosx)(-sinx) = (-sinx) / (cosx) = -tanx よってf'(x) = -tanxです。 < 2 > 合成関数g(h(x))を微分すると { g(h(x)) }' = { g'(h(x)) }{ h'(x) } ...... (*) f(x) = log[cosx]の場合、g(x) = log[x], h(x) = cosxの合成関数と見なせます。 g(x)とh(x)を微分すると、それぞれ g'(x) = 1/x h'(x) = -sinx となります。 ここから、合成関数の微分の式((*)式のことです)の g'(h(x))に当てはまるものは、1 / cosxであることが分かります。 よって f'(x) = { g(h(x)) }' = { g'(h(x)) }{ h'(x) } = (1 / cosx)(-sinx) = (-sinx) / (cosx) = -tanx