質問: 3×2行列の混合戦略のナッシュ均衡の問題 1 / 2 戦略1 戦略2 戦略1 4,0 2,5 戦略2 1,2 5,1 戦略3 2,6 3,3 この混合戦略のナッシュ均衡を解くことができません。 1が戦略1・2・3をとる確率をそれぞれp、q、1-p-q、2が戦略1・2をとる確率をs、1-sとおいて、期待利得を導くまではできるのです。 1の期待利得 戦略1:4s+2(1-s)=2s+2 戦略2:s+5(1-s)=-4s+5 戦略3:2s+3(1-s)=-s+3 2の期待利得 戦略1:2q+6(1-p-q)=-6p-4q+6 戦略2:5p+q+3(1-p-q)=2p-2q+3 まず1ですが、期待利得が2種類である2×2行列と違って、期待利得が3種類存在します。 また、2については変数がp・qの2種類あるので、どう処理してよいものかわかりません。 支配戦略が存在しないので、消去して2×2行列にするわけでもなさそうです。 ここから先の解法を教えてください。よろしくお願いします。
回答: > 1の期待利得 戦略1:4s+2(1-s)=2s+2 戦略2:s+5(1-s)=-4s+5 戦略3:2s+3(1-s)=-s+3 ここから プレイヤー1の利得は p(2s+2)+q(-4s+5)+(1-p-q)(-s+3)=p(5+s)+q(8-5s)+(3-s) になるので プレイヤー1の最適反応戦略は s>1/2のときはp=1、q=0で戦略1 s<1/2のときはp=0、q=1で戦略2 s=1/2のときはp+q=1で戦略1または戦略2 となります 同様に プレイヤー2の利得は s(-6p-4q+6)+(1-s)(2p-2q+3)=s(3-8p-2q)+(3+2p-2q) になるので プレイヤー2の最適反応戦略は 8p+2q<3のときはs=1で戦略1 8p+2q>3のときはs=0で戦略2 8p+2q=3のときはs=不定で戦略1または戦略2 となります ここから p=1/6、q=5/6、s=1/2 が導かれるでしょう。