質問: 全微分で2階導関数を求めるについて z=f(x,y),x=φ(t)y=ψ(t)がc2級のときtの関数z=f(φ(t),ψ(t))の2階導関数を求める問題の解き方が分かりません。 1階導関数は、全微分の公式を用いてすぐ求めることができるのですが、2階導関数の場合、d/dtを両辺に掛けたとき1階導関数を求めたときに式に現れる∂z/∂xに対してどのように式を変形していけばいいのかわかりません。回答よろしくお願いします。
回答: #1です。 補足を拝見しました。 >でも両辺をdt^2で割った式が、 >d^2z/dt^2=(∂^2z/∂x^2)dx^2/dt^2+2(∂^2z/∂x∂y)dx/dt・dy/dt+(∂^2z/∂y^2)dy^2/dt^2+(∂z/∂x)d^2x/dt^2+(∂z/∂y)d^2y/dt^2 >となるみたいですが、なぜ後半の式が二つ増えるのかがわからないです。 zのtに関する2階微分が欲しかったのですね。 気が付かずに、ごめんなさい。 最後の2つの項が増える理由は、たとえば(∂z/∂x)dxの微分でdxに対してもtで微分しかければならないからです。 元の式から説明してみます。 dz/dt=(∂z/∂x)dx/dt+(∂z/∂y)dy/dt この右辺の第1項をtで微分してみますと、積の微分を考慮して、次のようになります。 (第1項の微分)={∂/∂x(∂z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂z/∂x)dy/dt}dx/dt+(∂z/∂x)d/dt(dx/dt) =(∂^2z/∂x^2)dx^2/dt^2+(∂^2z/∂x∂y)dy/dt・dx/dt+(∂z/∂x)d^2x/dt^2 同様に、第2項をtで微分しますと、次のようになります。 (第2項の微分)={∂/∂x(∂z/∂y)dx/dt}dy/dt+{∂/∂y(∂z/∂y)dy/dt}dy/dt+(∂z/∂y)d/dt(dy/dt) =(∂^2z/∂x∂y)dx/dt・dy/dt+(∂^2z/∂y^2)dy^2/dt^2+(∂z/∂y)d^2y/dt^2 これらを足し合わせて整理すると、お示しになった式が得られます。