質問: この逆関数の求め方は間違っていますか? 「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」 という問題が分かりません. 与式を変形して2y=e^x-e^(-x) e^2x-2ye^x-1=0 e^x>0を考慮して,解の公式よりe^x=y+√(1+y^2) 両辺の対数をとって(表現が間違っているかもしれません) x=log{y+√(1+y^2)} yを変数xについての関数とするために入れ替えて y=log|x+√(1+x^2)| (与式の値域より右辺の真数>0となるよう,絶対値記号を用いています.) とすれば解答と一致します. ですが,次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます. y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2 f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より,f(x)は増加関数 逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます. 逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1) この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+c 関数y=f(x)は(0,0)を通るから,逆関数も(0,0)を通る.このことからc=-π/2を得る. よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2 ですが,これは先ほどの解答とは異なる気がします. 後半の解法はどこが間違えているのですか?
回答: rnakamraさんの回答を少し言い換えると 問題の関数fの逆関数f^(-1)に関して成り立つのは (f^(-1)) '(x) = 1/f '(f^(-1)(x)) (1) という等式です。 (1)は、 f^(-1) (f(x))=x の両辺を微分して得られる等式を変形して、x=f^(-1)(y)を代入し、最後にyをxで置き換えれば得られます。 (1)の代わりに (f^(-1)) '(x) = 1/f '(x) としてるのが、質問文中の [f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)} ではないでしょうか。 これは必ずしも成り立ちません。 あと、細かい点ですが、すべての実数xで x+√(1+x^2)>0 ですから、絶対値記号はなくても構いません。