質問: dxやdyの本当の意味は? 宜しくお願いします。 昔、高校で dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して...」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか? (何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました) 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。
回答: #2さんにも出ていますが、微分幾何での接空間の基底を∂/∂x、接空間の双対空間の基底をdxと書く、と定義するのが最も一般的かつ、しっくりくる定義だと思います。 変数変換のときに、(見かけ上)両辺にdxをかけるとかも、双対空間上での変数変換を考えれば、一応説明がつきます。 ただ確かに 工学分野でのdx=無限小の変位というイメージに直接つながらないんですよね。。