質問: 行列の証明問題です。
回答: (1)Aε={a[i,j]}とすると a[i,j]=δ[i,ε(j)]=δ[i,j]より i=jならばa[i,j]=1 i≠jならばa[i,j]=0 なのでA=E (2)Aσ={a[i,j]},Aτ={b[i,j]},AσAτ={c[i,j]}とすると c[i,j]=∑[k=1,2,...,n] a[i,k]b[k,j] =∑[k=1,2,...,n] δ[i,σ(k)]δ[k,τ(j)] =δ[σ−1(i),τ(j)] (∵k=σ−1(i)の時のみδ[i,σ(k)]=1だから。) =δ[i,στ(j)] (∵σが全単射だから。) よりAσAτ=Aστ (3)AσA(σ−1)=Aσσ−1=Aε=Eより(Aσ)−1=A(σ−1) (4)detAσ =∑[τ∈Sn] sgn(τ) a[1,τ(1)]a[2,τ(2)]...a[n,τ(n)] =∑[τ∈Sn] sgn(τ) δ[1,στ(1)]δ[2,στ(2)]...δ[n,στ(n)] =sgn(σ−1) (∵τ=σ−1の時のみδ[1,στ(1)]δ[2,στ(2)]...δ[n,στ(n)]が全て1になるから。) =sgn(σ)