質問: 統計学の仮説検定は、両側検定しかありえないのでは? 統計学の仮説検定では、両側検定しかありえないのではないかと考えますが、ご意見をお聞かせ下さい。 コイン投げにおいて、表が出る確率をp(h)、裏が出る確率をp(t)とします。 帰無仮説が「p(h)=0.5」である場合、対立仮説を「表が出やすい。p(h)>0.5」とすると片側検定、「コインに偏りがある。p(h)>0.5またはp(t)>0.5」とすると両側検定と説明されます。帰無仮説は同じだでれども、対立仮説が何であるかによって片側検定か両側検定かが決まる、という説明が少なくとも2つの教科書に書かれています。 しかし私は、帰無仮説と対立仮説は互いに排反で、かつ2者で標本空間をカバーし尽くせる(起こりうる全ての事象をカバーできる)ものでなければいけない、と思います。 帰無仮説「p(h)=0.5」に対する対立仮説は「コインに偏りがある。p(h)>0.5またはp(t)>0.5」であるべきだと考えます。そして、「p(h)=0.5」とp(h)の値が特定の1つの値であれば、コインを投げる回数が決まれば(例えば10回)、表が出る回数(0~10回)の確率分布を得ることが可能なので、検定できるわけです。 対立仮説を「表が出やすい。p(h)>0.5」とするのであれば、帰無仮説は「p(h)<=0.5」であるべきだと思います。そうでないと標本空間をもれなく考慮したことになりません。ところが、p(h)=0.5はさておき、p(h)<0.5のもとでは、p(h)の値が無数にあります。ということは、例えば10回中表が0回の確率は無数にあります。10回中表が1回の確率も同様です。したがって、表が出る回数(0~10回)の確率分布を得ることができないので、検定できません。 以上の理由で、統計学の仮説検定では、両側検定しかありえないのではないかと考えますが、ご意見をお聞かせ下さい。
回答: 貴方の質問には二つのことが含まれています。 一つは仮説をどう立てるかの話で、もう一つは立てた仮説にたいしてどう検定するかという話です。 まず一つ目について。 > 対立仮説を「表が出やすい。p(h)>0.5」とするのであれば、帰無仮説は「p(h)<=0.5」であるべきだと思います。 「p(h)<0.5」があり得ないということが分かっていれば、 帰無仮説は「p(h)=0.5」 対立仮説は「p(h)>0.5」 で検定することは別におかしいことではないと思いますが、貴方はそれでも 帰無仮説は「p(h)<=0.5」 対立仮説は「p(h)>0.5」 で検定すべきということですか? それとも、「p(h)<0.5」があり得ないとしているのがおかしいいうことでしょうか? 前者の意味であるなら、不要な仮説を入れる意味がないですし、後者なら根拠によりけりと考えます。 二つ目については、数理統計学の検定論を学ぶことをお勧めします。 > したがって、表が出る回数(0~10回)の確率分布を得ることができないので、検定できません。 複合仮説の話ですね。 帰無仮説での全てのp(h)で棄却域に落ちる確率が有意水準以下になるように、対立仮説での全てのp(h)で棄却域に落ちる確率を最大にするような棄却域を設定して検定します。 上の仮説の場合でそういう風に棄却域を決めると、片側検定となります。