質問: 三角形の数学的重心と物理的重心はなぜ一致するの? 三角形の数学的重心というのは、 △abcの3頂点のベクトルをa↑,b↑,c↑と表したときの、 p↑=(1/3)a↑+(1/3)b↑+(1/3)c↑ のことで、いわば、3点の位置平均です。 それに対して、三角形の物理的重心は、内部が詰まった三角形の薄い板があったとして、それをバランスよくささえることができる点のことです。 それらはなぜ一致するのですか? できれば、数式での数学的説明と、直感的な物理的説明の両側面からお願い申し上げます。
回答: 直感的な方だけ。 数学的重心は位置平均ですから、bcの中点と点aを結んだ直線上にあるはずで、また、acの中点と点bを結んだ直線上にあるはずなので、それらの直線の交点が数学的重心となるはずです。 一方、bcの中点と点aを結んだ直線で三角形を支えると釣り合い(この直線で分けられた二つの三角形をこの直線に平行で等距離にある直線で切った切片は等しいから)、acの中点と点bを結んだ直線で支えても釣り合うので、それらの直線の交点が物理的重心となるはずです。 従って、三角形の場合、数学的重心と物理的重心は一致します。