質問: どなたか教えて頂きたいですm(__)m (1) f(x)=x^(3)-(3/2)x^(2)-6x+1の極大値,極小値を求め,y=f(x)のグラフを描け。 (2) g(x)=ax^(3)+bx^(2)+cx+dはx=-2で極大値2, x=1で極大値1をとる。このとき,定数a,b,c,dを求めよ。 解き方を詳しく教えて頂けるとうれしいです。よろしくお願いいたしますm(__)m
回答: (1) f(x)をxで微分すると f’(x)=3x^2-3x-6 これをゼロとおくと 3x^2-3x-6=0 3(x-2)(x+1)=0 x=-1、2 ・・・xがこの値のときf(x)のグラフの傾きはゼロ そしてその時のf(x)の値はそれぞれ9/2、-9 x<-1のとき f’(x)>0なので、この領域でf(x)は増加 -1<x<2のときf’(x)<0なので、この領域でf(x)は減少 2<xのときf’(x)>0なのでこの領域でf(x)は増加 よってx=-1のときf(x)=9/2で極大、x=2のときf(x)=-9 で極小 f(0)=1なので、このグラフは(0,1)を通る f(x)=0となるのはx≒-1.91、0.16、3.25なので、このグラフと x軸の交点は(-1.91、0)、(0.16、0)、(3.25、0)付近 →wolframで解いてみたらすごいことになりました。なので 概数で書いています。 これらの事をグラフにして下さい。 (2)g(x)をxで微分すると g’(x)=3ax^2+2bx+c ・・・(あ) 極大、極小値を与えるxの値よりg’(-2)=g’(1)=0、よって g’(x)=3a(x+2)(x-1) これを展開すると g’(x)=3a(x^2+x-2) =3ax^2+3ax-6a ・・・(い) (あ)と(い)の係数を比較すると 2b=3a 、c=-6a ・・・(う) また、f(-2)=2なので -8a+4b-2c+d=2 ・・・(え) f(1)=1なので a+b+c+d=1 ・・・(お) (う)~(お)の連立方程式を解けばg(x)の係数が判ります。