質問: 数学の問題がわからなくて困ってます... 二次関数の問題です...どなたか解説してくださいませんか? aを定数とし,f(x)=(a+1)x^2-2(a-3)x+2a について考える (1)a=2のとき、f(x)が最小となるxの値は x=(1)である。 (2)y=f(x)のグラフがx軸と異なる二点で交わるaの範囲は (2)<a<(3)、(4)<a<(5) (3)方程式f(x)=0が正の解と負の解をもつときのaの値の範囲は(6)<a<(7) (4)方程式f(x)の1つ解が-7と-6の間、他の解が0と1の間にあるときのaの値の範囲は(8)<a<(9) こたえ (1)-1/3 (2)-9 (3)-1 (4)-1 (5)1 (6)-1 (7)0 (8)-7/65 (9)0
回答: こんにちは。 (1)もわからないということは、今日(1)~(4)のすべてを理解することは無理です。 今日のところは(1)を理解することにし、少し余裕があれば(2)の理解にチャレンジすることにして、 (3)と(4)はあきらめましょう。 その代わり、(1)はしっかりマスターしましょう。 もしも宿題だとしても、(1)、(2)だけにして、「(3)と(4)はわかりませんでした」でよいと思います。 ちなみに、こういう問題は、センター試験の1問目辺りに出てくる典型的なパターンの問題ですよ。 (1) f(x) = 3x^2 + 2x + 4 xで微分すると、 f’(x) = 6x + 2 極小のときは f’(x) = 0 なので 6x + 2 = 0 x = -1/3 微分を使いたくなければ、 f(x) = 3x^2 + 2x + 4 = 3(x^2 + 2/3・x) + 4 = 3(x^2 + 2/3・x + 1/9) - 1/9 + 4 = 3(x + 1/3)^2 - 1/9 + 4 (x + 1/3)^2 は2乗なので、マイナスにはなりません。 ですから、(x + 1/3)^2 がゼロのときが最小です。 つまり、 x = -1/3 のとき f(-1/3) = 0 - 1/9 + 4 となるから最小です。 (2) 二次方程式f(x)=0 の判別式dが d>0 であればよいので、 d = (-2(aー3))^2 - 4(a+1)・2a = 4(a-3)^2 - 8a(a+1) d/4 = (a-3)^2 - 2a(a+1) = a^2 - 6a + 9 - 2a^2 - 2a = -a^2 - 8a + 9 = -(a^2 + 8a - 9) = -(a+9)(a-1) これがゼロより大きければよいので、 -(a+9)(a-1) > 0 (a+9)(a-1) < 0 -9 < a < 1 ただし、x^2の係数になっている a+1 がゼロの場合はf(x)が二次関数ではなくなり、x軸と2回交わらなくなってしまうので、 -9<a<1 かつ a≠-1 ということは、 -9<a<-1 または -1<a<1