質問: 微分方程式を用いた文章題です。 (1)空気中の炭素のうちc12が安定的に存在するのに対し、放射性同位元素c14はその個数が y’=-λy+αに従うことが知られている。従って、同位体比もy’=-λyに従う。時間が十分長く経 った後(λt→∞)、同位体比がその初期値に関わらず一定値に収束することを示せ。 (2)植物中の同位体比は、その植物が生きている間は空気中と同じ一定値であるが、その植物 が死んだ後は変化する。c14の個数がy’=-λyに従うためである。死んでいる植物における 現在の同位体比rであるとき、その植物が死んだ年代を求めよ。 炭素の年代測定法を用いるのかなとは思うんですが、いまいちどう使っていいか わからないです。解答よろしくお願いします。
回答: (1) y'=-λy+αのとき y'=-λ{y-(α/λ)} y'/{y-(α/λ)}=-λ log{y-(α/λ)}=λt+c c=e^cとすると y(t)=ce^{-λt}+(α/λ) lim_{t→∞}y(t)=lim_{t→∞}{ce^{-λt}+(α/λ)]=α/λ t→∞のときy(t)はα/λに収束する y'=-λyのとき y(t)=ce^{-λt} lim_{t→∞}y(t)=lim_{t→∞}ce^{-λt}=0 t→∞のときy(t)は0に収束する (2) 植物が死んだ時から現在まで空気中の同位体比は同じものとする 植物が死んだ時から現在まで植物中の同位体比は減少するものとする 現在の植物中の同位体比と空気中の同位体比の比をr:1 r<1 tの単位は年 とすると 空気中の同位体比は変化しないから y(0)=c 現在の植物中の同位体比は y(t)=ce^{-λt} だから y(t):y(0)=r:1 y(t)/y(0)=e^{-λt}=r 植物が死んだ年代は t=(1/λ)log(1/r) 年前となる