質問: 解析学の問題です。わからないので教えてほしいです!
回答: f(x,y)=x2+6xy-4y3+3y2 1)(0,0) , (3,-1) 2)(0,0)のまわり f(x,y)=x2+6xy+3y2+R3 は明らか x-3=X, y+1=Y f(x,y)=(X+3)2+6(X+3)(Y-1)-4(Y-1)3+3(Y-1)2 =26+(X2+6XY+15Y2)-4Y3 =26+(X2+6XY+15Y2)+R3 【別解】f(x,y) を (a,b) でテイラー展開 f(x,y)=f(a,b)+(1/1!){fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)} +(1/2!){fxx(a,b)(x-a)2+2fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fyy(a,b)(y-b)2}+... 3)(0,0)付近では f(x,y) ≒ x2+6xy+3y2=(x+3y)2-3y2 よって(0,0)付近では f(0,0)=0より大きい値も小さい値も存在するので、(0,0)では極値をとらない *(0,0)は鞍点 (3,-1)付近では f(x,y)=26+(X+3X)2+6Y2 ≧ 26 = f(3,-1) よって f(3,-1)=26 は極小値