質問: 4次元空間について 4次元空間に半径1、原点中心の超球(x^2+y^2+z^2+w^2=1)があります。これを、4次元における平面(例えばa*x+b*y+c*z+d*w=eといった平面)で切り取った切片、つまりこの平面と超球の共通部分はおそらく3つの変数で表せると思うのですが、その切片を3次元空間で表すとどんな図形になるのでしょうか? 考えているのですがイマイチつかめません。 どなたかお力添えをおねがいします。
回答: ご自分で考えておられて、イメージが掴みにくいと云う話なので、イメージの話をします。どうして、こういうイメージあるいは図形になるかは、図形になるかの証明の式は、自分で考えてください(証明も欲しいということでしたら、それも記しますが、手間がかかりますので、簡単に述べます)。 まず、結果から云いますと、仰られている切片は、共通部分があれば、それは「球面」です。 それは、貴方が平面と思って記している式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、実は、四次元空間では、三次元空間になります。従って、四次元超球との共通部分があれば、それは、二次元図形になるのです。「球面」です(二次元図形とは、自由度二次元の意味です。これは四次元空間のなかの球面ですから、三次元の球面ではないのです。特定の三次元空間のなかに収まる球面ではありますが)。 四次元空間のなかの平面もある訳で、そういう平面が、四次元超球と共通部分があれば、その場合の切片は、「三次元の球体」です。 少し補足しますと(事実上、証明になりますが)。式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、四次元ヴェクトル(a,b,c,d)と(x,y,z,w)の内積が一定という意味です。三次元の場合、こういう特定ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトル全体の集合は、結果的に、特定ヴェクトルと直交し、かつ、その特定ヴェクトルの先端を通る平面になります。四次元の場合は、特定の四次元ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトルの集合体が描く図形は、特定ヴェクトルと直交する図形で、特定ヴェクトルの先端を通る図形、つまり、そのような三次元空間です。 四次元超球は、四次元的に任意の方向で、点対称になっています。従って、特定四次元ヴェクトル(a,b,c,d)は、切片の図形がどういうものかを考える時には、超球を原点を中心に任意に回転しても同じ図形でなるので、(0,0,0,d)ヴェクトルとの内積で考えてよいことになります。d*w=eと云う式は、第四の軸w軸のe/dという点を通る(直交する)三次元空間なのです。e/d=1という時、超球との切片は、「点」です。0<=e/d<1の時、これは、図形次元二次元の球面になります。(つまり、超球の式は、「x^2+y^2+z^2+w^2=1」ですが、これにw=e/dを代入すると、x^2+y^2+z^2=1-(e/d)^2<1 で、これは二次元図形で、かつ球面の式なのです)。