質問: リアプノフ関数とは何ですか? http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=general&action=download&file=2004-6726-20041207-5,6.pdf&type=cal ここのページに書かれてあるように 「リアプノフ関数は一般的な求め方はなく、物理的なエネルギーに関するものが使われることが多い」 そうなのですが、そんなものでなぜ運動が安定かどうかを判別することが出来るのでしょうか? 適当に関数を決めてやれば、どれか一つ安定なものや不安定なものもあるように思うのですが、 一体これはどういうものなのでしょうか?
回答: ここには詳しい方もおられるのかも知れませんが、解説をすると長くて面倒と思われているのかもしれません。たとえば詳細な議論を知ろうとするのでしたらポントリャーギン「常微分方程式」(千葉克裕訳)の「安定性」の解説を読まれたらと思います。以下ど素人の冴えない話ですみませんが... 簡単な例でx=(x1,x2,...xn)の変数系で dxi/dt=fi(x1,x2,...xn)...(1) あるいはベクトル表示で dx/dt=f(x)...(1)' となる自律方程式系(tがあらわな形で独立変数に含まれないもの)の平衡点(f(ξ)=0を満たす点ξ)の安定性を議論するものですね。もしも、線型定係数同次方程式でベクトル表示で dx/dt=ax...(2) と書けるものについては解くのも簡単ですし、この時固有値の実数部分がすべて負なら安定になります。e^(-λt)の線型結合型の解をみれば直感的に解のリヤプノフに意味での安定性もわかります。(数学者でないのならやかましい議論はいらないです。) 非線形については質問者さんが添付された資料に書いてあるようにリヤプノフ関数がみつかれば安定というだけですね。しかしv(x)>0のほかにdv(x)/dt<0があり、この時に嫌でもdx/dt=f(x)が入ってきますので、縛りはあります。v(x)>0でなんでもありではありません。 リヤプノフ関数でないものはいくらでも出てきてよいはずです。例えば質問者さんの例でもv(x)=(sinx)^2とすればv(0)=0かつv(x)>0(x≠0)で連続微分可能な関数ですがdv(x)/dt=-2k(sinx)^2(cosx)となり、これは常に負にはなってくれませんのでリヤプノフ関数ではありません。逆に見つかるものなら複数の可能性があるみたいですね。dx/dt=-ksinxの例でv(x)=x^4でもよさそうに見えます。 リヤプノフ関数がみつかれば安定、というのは見つからないときに判断にこまりますね。 熱力学ではエントロピーの2次微分についてδ^2s<0(2次形式になります)、これの時間変化について∂(δ^2s)/∂t>0という裏返しの関係をつかってリヤプノフの意味での安定性を考えますね。