質問: 数学iiの導関数と接線に関する問題です。 (問) 曲線c:y=x^3+ax^2+bx+c と放物線y=-x^2+x+1が点(1,1)において共通な接線を持つとき、 b=(アイ)a-(ウ) , c=a+(エ)である。 さらに、この共通な接線と曲線cが点(1,1)以外に共有点をもたないとき、 a=(オカ), b=(キ), c=(ク)である。 この問題のア~クを答えてもらいたいのですが、途中式と答えを導くための説明をかいてくださるとうれしいです。 とりあえず二つの式を微分しましたがそこからなにをどうすればようのか分かりません。
回答: y=x^3+ax^2+bx+cを微分すると y'=3x^2+2ax+b よってx=1における接線の傾きは y'=3+2a+b y=-x^2+x+1を微分すると y'=-2x+1 よってx=1における接線の傾きは y'=-1 x=1において共通な接線を持つから、傾きが等しいことより 3+2a+b=-1 ∴b=-2a-4 また、曲線cは点(1,1)を通るから x=1,y=1をy=x^3+ax^2+bx+cに代入して、 1=1+a+b+c c=-a-b =-a-(-2a-4)=a+4(∵b=-2a-4) ∴c=a+4 よって(アイ)=-2、(ウ)=4、(エ)=4となる。 次に、接線の方程式を求めておく。 y'=-1,点(1,1)を通ることより、 y-1=-(x-1) y=-x+2 この接線と曲線cの共有点の座標は、 接線と曲線cの連立方程式の解と等しいから、 2式からyを消去して x^3+ax^2+bx+c=-x+2 x^3+ax^2+(-2a-4)x+a+4=-x+2 x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2=0 接線と曲線cとの共有点がx=1しか持たないということは、 このxに関する方程式の解がx=1しか持たないということと同等である。 左辺をy=と置いて3次関数で考える。 y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2 y=0のときの解がx=1のみということは、 上記3次関数とx軸との交点がx=1のみであることと同等である。 3次関数y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2がx軸といくつ交点を持つか調べるために微分すると y'=3x^2+2ax+(-2a-3) ここでx=1を代入すると、y'=3+2a+(-2a-3)=0、すなわち y'=0の解のひとつがx=1となることがわかる。 ここでもしy'=0の解がx=1以外にももう一つあると考えると、 y'=0の実数解が2個出てきて、もとの3次関数が極値を2つ持つことになる。 そしてx=1のときy'=0なので、x=1が極小値、または極大値になる。 また、x=1のときのy=0になるので、(1,0)が極値となるから、3次関数とx軸の交点は2個 持つこととなり(←簡単なグラフを書いてみるとわかります)、題意に反する。 よって、3次関数y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2とx軸との交点がx=1のみであるという条件は、 y'=3x^2+2ax+(-2a-3)=0 の判別式d/4=a^2-3(-2a-3)=0であるということができる。(←3次関数が極値を持たない条件、 すなわち3次関数が単調増加関数となり、x軸との交点が1個となる条件。d/4>0のときは 異なる実数解が2つとなり、上記で説明したように題意に反する。またd/4<0も極値を持たない 条件ではあるが、この問題の場合ありえない。なぜなら、上記の説明にもあるように y'=0の一つの解は実数解x=1であるとわかっているから) これを整理し解くと、(a+3)^2=0 ∴a=-3 これをb=-2a-4,c=a+4に代入して、 ∴b=2,c=1 よって(オカ)=-3、(キ)=2、(ク)=1 ちょっと説明がまどろっこしかったですかね? 答案はもっとシンプルに書けばよいです。 追伸)答えを出すだけなら、a,b,cの値が整数のようなので判別式=0から一気に出せば よいのかも? ただ、いろいろな応用題を解く上では一つ一つの論理展開を丁寧に考えるクセを普段から つけておくのがよいと思います。