質問: 解の存在条件 x^2+y^2=1・・(1),y=x+k・・(2) 実数解(x,y)が存在するためのkの値の範囲を 求めよ。 (1)に(2)を代入して、まとめると、2x^2+2kx+k^2-1=0 これが実数解をもつから、 判別式から、-√2=
回答: 定義域を「暗に含む」式を変形したとき、 定義域が「暗に含まれなくなる」なら、 変形後の式に別途定義域を明示してやる必要があります。 具体的な例をあげてみます。 y = √x のとき、x, yの定義域は x ≧ 0, y ≧ 0 ですが、 これを単純に辺々2乗してしまうと、 y^2 = x となり、y ≧ 0 が見えなくなってしまいます。 ですから、 y = √x ⇔ y^2 = x , y ≧ 0 と定義域を引き継いでやる必要があります。 今回の問題で、(2)式を代入したあとの式を見ると、 x^2 + (x+k)^2=1 ... (3) となり、|x|≦1 はまだ式の中に含まれています。 # x^2 + ○^2 = 1 と書けば分かりやすいですね。 ですから、これ以上式の外に「|x|≦1」と書いてやる必要は無いのです。 (3)式を経由せずに、いきなり展開した形を見ると、 確かに定義域をフォローしたくなりますね。 しかし、(3)式を見れば、それが不要なのが分かります。