質問: 合同方程式の解 整数論に関する問題です。 pを4|p-1 を満たす素数とする。 このとき x^4≡1(mod p) には法pで 4つの解があることを示せ。 4|p-1とは4がp-1を割り切るという ことです。 解の数とはpを法として互いに合同でないもの の個数のことです。 整数論が苦手で、どうしてもわかりません。 どなたかよろしくお願いします。
回答: sをp未満の自然数としたときx^(p-1)-1をx-sでわった商のp-2次多項式をg(x)としあまりをrすると x^(p-1)-1=(x-s)・g(x)+r x=sとするとフェルマーの定理よりp|rでなけれなならない事がわかるから x^(p-1)-1≡(x-s)・g(x) (mod p) sは1,2,3,・・・,p-1とできるから x^(p-1)-1≡(x-1)・(x-2)・(x-3)・・・(x-(p-1)) (mod p) 注) 0