質問: 集合と論理 「a,b∈r ab≧1⇒a^2+b^2≧a+bであることを証明せよ。」 この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて a^2+b^2≧2√a^2b^2=2|ab|≧2 などと色々計算しましたが、なかなか証明できません。 証明方法についてご回答宜しくお願いします。
回答: take_5さんのようにx=a+b,y=abと置き換える方法はよく使うので推奨します。 回答に書いてありますが、この置き換えの際にx,yが実数(a,b∈r) をとる条件として 「t^2-(a+b)t+ab=t^2-xt+y=0の2解a,bが実数解をもつ」という制約がかかるのに注意してください。つまり判別式d=x^2-4y≧0の範囲の(x,y)しか取れないということです。 この制約条件を書かないと減点対象です。 余談失礼しました。