質問: 関数の連続性と微分可能性 以前お世話になりました、大学受験生です。 数学本の中に「明らか」としか述べられていない話があって、 もやもやしているので質問させていただきます。 その文章は以下のもので、 実数全体で連続な関数f(x)が原点を除いたところで何回でも微分可能 で(c^∞級と言うらしいです)、lim[x→0]f'(x)がある実数aに 収束しているならばf(x)は原点でも微分可能であって、 またf'(x)は実数全体で連続(つまりf'(0)=a)となっている。 です。 どう証明したらよいのでしょうか。恥ずかしながら見当がつかないのです。 それから勝手に自分で進めていることなのですが、 たとえば関数e^(-1/x^2)というのがあったとして、 原点以外でc^∞級であることを既知としていれば、原点でも 微分可能であるということになるのですか。 わかる方、長くなってもよいので詳しいご教授願います。 よろしくお願いいたします。
回答: >実数全体で連続な関数f(x)が原点を除いたところで何回でも微分可能 で(c^∞級と言うらしいです)、 >lim[x→0]f'(x)がある実数aに収束しているならばf(x)は原点でも微分可能であって、 >またf'(x)は実数全体で連続(つまりf'(0)=a)となっている。 平均値の定理より、 (平均値の定理は、閉区間で連続、開区間で微分可能なら成り立ちます) {f(h)-f(0)}/h = f'(y) (0