質問: ベクトルの質問です。 △oabにおいて、oa=3 ob=√3 cos∠aob=-√3/3である。辺abを1:2に内分する点をpとする。また、oaベクトル=aベクトル obベクトル=bベクトルとする。 (1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。また、opベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。 (2)oqベクトル=topベクトル(tは実数)となる点qをとる。aq⊥oqとなるとき、tの値をもとめよ。 (3直線opに関して点aと対称な点をcとする。)直線abと直線ocとの交点をrとするとき orベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。
回答: >△oabにおいて、oa=3 ob=√3 cos∠aob=-√3/3である。辺abを1:2に内分する点をpとする。 >また、oaベクトル=aベクトル obベクトル=bベクトルとする。 |a|=3,|b|=√3 ...(1) >(1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。 >また、opベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。 a・b=|a||b|cos∠aob=3×√3×(-√3/3)=-3...(2) ap:pb=1:2より、op=(2/3)oa+(1/3)ob=(2/3)a+(1/3)b >(2)oqベクトル=topベクトル(tは実数)となる点qをとる。aq⊥oqとなるとき、 >tの値をもとめよ。 oq=topより、 =(2/3)ta+(1/3)tb aq=oq-oa =(2/3)ta+(1/3)tb-a ={(2/3)t-1}a+(1/3)tb...(3) aq・oq =[{(2/3)t-1}a+(1/3)tb]・{(2/3)ta+(1/3)tb} ={(2/3)t-1}・(2/3)t|a|^2+{(2/3)t-1}・(1/3)t(a・b) +(1/3)t・(2/3)t(a・b)+(1/3)t・(1/3)t|b|^2 (1)(2)を代入し、展開して整理すると =t(3t-5) =0 t≠0より、t=5/3 >(3直線opに関して点aと対称な点をcとする。)直線abと直線ocとの交点をrとするとき >orベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。 (2)より、qはop上の点で、aq⊥oqだから、aq⊥op opに関して点aと対称な点をcとするだから、ac⊥opだから、qをacの中点と考えると ac=2aq (3)にtの値を代入すると、aq=(1/9)a+(5/9)bだから、 ac=(2/9)a+(10/9)b oc-oa=(2/9)a+(10/9)b oc=(2/9)a+(10/9)b+a =(11/9)a+(10/9)b ......(4) ar:rb=s:(1-s)とすると、 or=(1-s)oa+sob=(1-s)a+sb o、r,cは一直線上にあるから、 oc=korとおけるから、 oc=(1-s)ka+skb ......(5) (4)(5)を係数比較すると、 (1-s)k=11/9,sk=10/9 連立で解くと、k=7/3,s=10/21 よって、or=(11/21)a+(10/21)b