質問: 三角関数の問題がわかりません・・・ 三角関数の問題がわかりません・・・ 関数f(θ)=6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1について、 (1)sin2θ+cos2θ=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。 (2)f(θ)をtを用いて表せ。 (3)f(θ)の最大値を求めよ。 という問題なのですが、 丸投げな質問ですみません。ですが問題がさっぱり?で解こうにも解けませんでした。 この問題のヒントとして (2)は f(θ)=sin2θ+cos2θ+2sin2θcos2θ と書いてあったのですがこれも?でした。どうか解き方を教えてください。お願いします!
回答: (1)sin2θ+cos2θ=tはθに制限がないとき単振動の合成より t=√2sin(2θ+π/4)よって -√2≦t≦√2 (2)倍角公式より 6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1 =3sin2θ-4sin2θ(sin^2θ)+cos2θ =sin2θ(3-4sin^2θ)+cos2θ =sin2θ(4cos^2θ-1)+cos2θ =sin2θ(4cos^2θ-2+1)+cos2θ =sin2θ(2cos2θ+1)+cos2θ =2sin2θcos2θ+sin2θ+cos2θ =2sin2θcos2θ+t sin2θ+cos2θ=tより t^2=1+2sin2θcos2θ 2sin2θcos2θ=t^2-1 よって f(θ)=t^2+t-1 (3)-√2≦t≦√2のとき f(θ)=t^2+t-1 のグラフを書いて考えればよい。 1-√2≦f(θ)≦1+√2