質問: 立方体の導線の電気抵抗 立方体の導線の電気抵抗 図のように、一様な導線で立方体を作った。 一辺の電気抵抗をrとすると、 ag間の電気抵抗はいくらか。
回答: 立体の対称性からag間に直流電圧eを印加したとき、 aから流入する電流iは、ab、ad、aeにi/3ずつに等分割して流れ、b, d,eのそれぞれの接点でさらに1/2のi/6の電流に等分割して枝電流として流れ、 それらの枝電流i/6がc,f,hでi/6+i/6=i/3の電流に合流しcg,fg、hgに それぞれ枝電流i/3のとして流れる。それらの枝電流がgで合流し元のiになり電源に戻る。 したがって、節点b、d、eの電位は等しく同じ電位になるためb,d,eを短絡しても 回路の電流や電位に影響を与えない。また同様に接点c、f、hもどう電位になる ので短絡しても回路の電流や電位に影響を与えない。 これらのことから、b、d、eを短絡(ab,ad,aeの抵抗rは3個並列接続になるので合成抵抗はr/3となる)、c、f、hも短絡 (cg間の合成抵抗r/3,bc間の合成抵抗はbc,dc,dh,eh,ef,bfの6個の抵抗rが並列接続 になるので合成抵抗はr/6)した回路と電流、電位的に等価となる。 したがって、全体の合成電気抵抗roは、r/3とr/6とr/3の直列接続と考えてよいので ro=r/3+r/6+r/3=5r/6 となります。