質問: 『ばねの質量』を考慮に加えた単振動の振動数解析 ばねの一端に質量mの物体を付け単振動させる。ばね自身の質量をmとする。 このときの振動数は質量m+m/3の質点を付け、ばねの質点を無視した時の振動と同じである事を示せ。 但し、ばねと質点は同じ位相で伸び縮みするものとする。 それぞれの運動方程式を求めようとしたのですが、どうも「ばね自身の質量がある場合」での運動方程式が違っているようで その先に進めません。。。 分かる方は解き方でけでもよろしくお願いします。。
回答: mixture518さん こんばんは。 以下のように考えてはどうでしょうか。 ばねの自然長をlとし、均質だとするとその線密度σ=m/lとなります。 ここで、おもりが振動の中心を通過するときの速さをv0とし、ばねを微小な区間にδx(その質量σδx)に分割します。ばねの固定点付近の微小部分ではその速さは0、おもり付近微小部分ではほぼv0の速さをもちます。その間の微小部分の速さは固定点からの距離xに比例します。次に各微小部分の運動エネルギーの和を求めますが、分割を無限に多くしていきますと、この和はxの積分で以下のように求められます。 ∫0,l(m/l)(v0x/l)^2 dx = (1/2)(m/3)(v0)^2 したがって、これとおもりの運動エネルギーの和は(1/2)(m+m/3)(v0)^2となり、質量が0のばねに質量(m+m/3)のおもりがついた場合と同じになります。