質問: 不定積分 ∫√(x^2-2)dx (1)部分積分で、x√(x^2-2)-∫x^2/√(x^2-2)dx この後進まず。 (2)置換積分で考えました ア 三角関数でxを置き換え替えようとしましたが、sin,cos,tanいずれもダメなように思う イ 他はあるのか 方針が分かればいいので、よろしくお願いします。
回答: i=∫√(x^2-2)dx=x√(x^2-2)-∫x^2/√(x^2-2)dx i1=∫x^2/√(x^2-2)dx=∫(x^2-2+2)/√(x^2-2)dx =∫√(x^2-2)dx +2∫1/√(x^2-2)dx i=x√(x^2-2)-i1=x√(x^2-2)-i-2∫1/√(x^2-2)dx 右辺のiを左辺に移項 2i=x√(x^2-2)-2∫1/√(x^2-2)dx i=(x/2)√(x^2-2)-∫1/√(x^2-2)dx =(x/2)√(x^2-2)-i3 i3=∫1/√(x^2-2)dx=log|x+√(x^2-2)|+c=cosh^-1(x/√2) +c この積分i3は積分公式にあります。 参考url http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sekibun/iroirona-kansuu-no-sekibun.html の■その他の中の最後の公式です。 t=x+√(x^2-2) または x=(√2)cosh(t) という変数変換をすれば積分できます。 ここで、cosh(t)は双曲線関数です。