質問: aは正の定数とする。関数y=-x^2+4x-3(0≦x≦a)の最大値を求めよ。 解き方が分かりません aは正の定数とする。関数y=-x^2+4x-3(0≦x≦a)の最大値を求めよ。 解き方が分かりません。解説も入れてくださると助かります。お願いします。
回答: 二次関数の最大最小を考えるときは、 その二次関数が上凸か下凸かと 軸の位置をまず考えましょう。 今回は、y = -(x-2)^2+1 と平方完成 できるので、上凸で軸は x = 2 です。 x の変域については、その両端と 中央の計3点を軸と比べるのだ ←[!] ということを覚えておきましょう。 今回は、0≦x≦a ですから、3点は x = 0, a/2, a です。 これと x = 2 の大小関係は、 0≦2≦a/2≦a, 0≦a/2≦2≦a, 0≦a/2≦a≦2 のどれかです。 それぞれの場合にグラフの簡単な略図 を書いてみると、 0≦2≦a/2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、 0≦a/2≦2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、 0≦a/2≦a≦2 の場合、x = a のとき y が最大値 であることがわかります。 整理すると、 2≦a の場合、最大値は 1、 0≦a≦2 の場合、最大値は -a^2+4a-3 です。 今回は、区間の中央と軸の比較が 答えに何も影響しませんでしたが、 類似の問題をいくつか解いてみると [!]が重要であることが解ってくると思います。