質問: 3次関数の微分の問題 こんにちは。 数研出版「ベーシックスタイル三訂版」の163、164の問題です。 解説が無いので分からず困っています。 [163] 3次関数f(x)=x^3-ax^2が、0<x<1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。 [答え] a≦0、3/2≦a [164] 関数f(x)=1/3x^3-a^2x-1(a>0)の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。 [答え] a=5/3 以上です。 どちらか一方だけでもかまいませんので、分かるかたよろしくお願いします。
回答: こんにちは。 [163] 3次関数f(x)=x^3-ax^2が、0<x<1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。 [答え]a≦0、3/2≦a fが極値を持たないということは、fを微分したf’がゼロになることがないということです。 f’= 3x^2 -2ax = x(3x-2a) xは正の数なので、あとは、3x-a がゼロにならなければよいわけです。 3x-2a=0 のとき x=2a/3 0<x<1 なので、 0<2a/3<1 0<a<3/2 これが、xが 0<x<1 でfがゼロになる条件です。 ですから、fがゼロにならない条件は、その範囲の外なのですから a≦0 または 3/2≦a [164] 関数f(x)=1/3x^3-a^2x-1(a>0)の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。 [答え] a=5/3 まず、x^3 の係数がプラスの数なので、グラフに描くと、極大値が極小値より先に来ることはわかりますよね。 f’= x^2 - a^2 = (x+a)(x-a) aは正の数なので、x=-a のときにfは極大、x=a のときに極小です。 ですから、差が 9/16 になる条件は、 f(-a)-f(a) = 16 です。