質問: vがベクトル空間でw1,w2がvの部分空間のとき w1 () w2もvの部分空間であることを示せ。 vがベクトル空間でw1,w2がvの部分空間のとき w1 () w2もvの部分空間であることを示せ。 ()は、キャップ(uの逆)です。 どうしても分かりません。 お願いします!
回答: 定義は判っていますか? 線型空間 v の部分集合 w が v の部分線型空間であるとは、 v のベクトル x, y とスカラー a について x∈w ならば ax∈w, x,y∈w ならば x+y∈w. が成り立つことを言います。 x∈w1∩w2 であれば、 x∈w1 で w1 が部分線型空間であることより ax∈w1, x∈w2 で w2 が部分線型空間であることより ax∈w2. よって ax∈w1∩w2. x,y∈w1∩w2 であれば、 x,y∈w1 で w1 が部分線型空間であることより x+y∈w1, x,y∈w2 で w2 が部分線型空間であることより x+y∈w2. よって x+y∈w1∩w2. 以上より、w1∩w2 は部分線型空間の定義を満たしています。