質問: オイラーの公式 e^jkx=coskx+jsinkxを利用して次の問い オイラーの公式 e^jkx=coskx+jsinkxを利用して次の問いに答えなさい。 問「cos3x+cos2xをsinx、cosxの関数で表しなさい」という問題があります。 答えは3cos^2xsinx-sin^3x+cos^2x-sin^2xです。 なのですが、どうやってこの答えに辿りつくのかわからないです。 途中の計算式とできればちょっとした解説も交えて教えてください。
回答: オイラーの公式 cos3x=(e^i3x+e^(-i3x))/2 cos2x=(e^i2x+e^(-i2x))/2 を最大限活かすと 2(cos3x+cos2x) ={exp(i3x)+exp(-i3x)} + {exp(i2x)+exp(-i2x)} ={exp(ix)+exp(-ix)}^3 + {exp(ix)+exp(-ix)}^2 - 3exp(2ix)exp(-ix) - 3exp(ix)exp(-2ix) - 2exp(ix)exp(-ix) =2^3*(cosx)3 + 2^2(cosx)^2 -3(exp(ix) + exp(-ix)) - 2 =8cos^3x + 4cos^2x -6cox -2 したがって cos3x+cos2x = 4cos^3x + 2cos^2x -3cox -1 という簡単な形に成ります。 no.2の回答は sin^2x = 1 - cos^2x と置けば上の式に還元されます。 質問者が回答として挙げている式 3cos^2xsinx - sin^3cos^2x -sin^2x は cos^2x = 1 - sin^2x とおくと = 1 + 3sinx - 2sin^2x - 4sin^3x となります。 問題の趣旨はオイラーの公式を活用することでしょうが、 答えは間違っているか中途半端です。