質問: 統計の問題です お願いします
回答: 正規分布に関する問題はどれも、標準化して標準正規分布表を見ることによって解決でします。 (1) X~N(50, 100)=N(50, 10^2) なので、標準化は Z=(X-50)/10です。よって、 P(X≦42)=P(Z≦(42-50)/10)=P(Z≦-0.8) 標準正規分布表で0.8のところの値を見ると0.2881です。 正規分布表は、通常はP(0≦Z≦t)の値を与えます(逆のものもあります)。 これは P(0≦Z≦0.8)=0.2881 ということで、対称性から P(Z≦-0.8)=P(Z≧0.8)=0.5-0.2881=0.2119 答えは0.2119です。 ここのところでは、P(Z≧t)=P(Z≧0)-P(0≦Z≦t)=1/2-P(0≦Z≦t)を使っています。 (2) n個の平均X'(バーが書けないのでこれで表します)について、その平均はXの平均、分散は(Xの分散)/n となります。すると X'~N(50, 100/25)=N(50, 4)=N(50, 2^2) なので、標準化は Z=(X'-50)/2 です。よって、 P(X'≦47)=P(Z≦(47-50)/2)=P(Z≦-1.5) 標準正規分布表で1.5のところの値は0.4332 なので、 P(Z≦-1.5)=0.5-0.4332=0.0668 答えは0.0668です。 (3) 二項分布B(n, p)の平均はnp, 分散はnp(1-p) で、またnが大きいとき、二項分布は正規分布で近似されます。 したがって、Y~B(100, 0.9) のとき、平均は100×0.9=90,、分散は100×0.9×0.1=9 なので、近似的にY~N(90, 9)=N(90, 3^2) となります。 このときの標準化は Z=(Y-90)/3 です。 よって、 P(92≦Y≦96)=P((92-90)/3≦Z≦(96-90)/3)=P(0.67≦Z≦2) 標準正規分布表で0.67のところの値は0.2486、2のところの値は0.4772 なので、 P(0.67≦Z≦2)=P(0≦Z≦2)-P(0≦Z≦0.67)=0.4772-0.2486=0.2286 答えは0.2286です。 (4) 2つの正規分布に従う確率変数が互いに独立であるとき、その和はやはり正規分布に従い、平均も分散もそれぞれの和になります。 X1-X2=X1+(-X2) と見ます。 X1~N(50, 100), -X2~N(-50, 100) より、 X1-X2=X1+(-X2)~N(50+(-50), 100+100)=N(0, 200)=N(0, (10√2)^2) となります。このときの標準化は Z=(X1-X2)/10√2 です。よって、 P(-15≦X1-X2≦7)=P(-15/10√2≦Z≦7/10√2)=P(-1.06≦Z≦0.49) 標準正規分布表で1.06のところの値は0.3554、0.49のところの値は0.1879なので、 P(-1.06≦Z≦0.49)=P(-1.06≦Z≦0)+P(0≦Z≦0.49)=0.3554+0.1879=0.5433 答えは0.5433 です。 (5) 標準正規分布に従う確率変数Zについて P(Z≦t)=0.2216 となるtを求める。tは負の数で、P(Z≦t)=1/2-P(t≦Z≦0) より、 P(t≦Z≦0)=0.5-0.2216=0.2784 正規分布表で、表の中の数値が0.2784になるのは0.77のときが一番近いので、t=-0.77 (ここのところ、通常の正規分布表で0.2784になるところはないので、厳密には0.76と0.77の間の3分の2ぐらいのところなのですが、近い方の0.77を使います。) さて、X'の標準化はZ=(X'-50)/2 なので、X'=2Z+50 よって、 P(Z≦-0.77)=P(X'≦2×(-0.77)+50)=P(X'≦48.46) 答えは C=48.46 です。 標準化による計算に慣れるようにしましょう。