質問: 数学の授業で3項間漸化式をやったとき ふと4項間漸化式の一般項が知りたくなりました。 しかしいろいろ試しましたが分かりません。 質問No.84673の「4項間漸化式」も見させていただきましたが、 結局、漸化式の問題ではないという感じで終わっていてよく分かりません。 たとえば3項間ならば特性方程式と二次方程式の解の公式から a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)=0 となるα,βを求め(α≠β) (
回答: KanjistX さんこんにちは まず、先ほど「怒らせる」と書いてしまいましたが、ミスタイプで「怒られる/怒らせてしまう」の間違いでした。 なんか喧嘩うっているような言い方ですよね。ちょっとどうしようかとおもっていましたので、 補足と合わせて書きこませていただきました。 私の回答(No.5)に対する質問の件ですが、 端的にいうと、一般項を解を実際にもとめずに、解{α,β,・・・,ω}をパラメータとして 含んだ形で得ると、その式は対称性をもつため、解と係数の関係を用いて表されるので、 5次以上であっても一般的に解がえられるのでは ? という意味です。 数列 { a(n) } のa(n),...,a(n-N+1) のN個の項で作られる漸化式に対応する方程式 Σc(k) x^k = 0 (k=0~Nの和) の解を{α(1),α(2),...,α(N)}として漸化式を変形して a(n)-{α(1)+α(2)+...+α(k-1)+α(k+1)+...+α(N)} a(n-1) + ... + (-1)^(N-1) α(1)α(2)...α(k-1)α(k+1)...α(N) a(n-N+2) =α(k) [ {α(1)+α(2)+...+α(k-1)+α(k+1)+...+α(N)} a(n-2) + ... + (-1)^(N-1) α(1)α(2)...α(k-1)α(k+1)...α(N) a(n-N+1) ] (k=1,...,N) (*) という連立漸化式(?)ですよね。 (このとき、{α(1),α(2), ... ,α(N)}を置換して α(1)=α(j1), α(2)=α(j2), ... , α(N)=α(jN) としてそれを 連立漸化式にいれても(*)全体としてはかわらないですよね。 本論とはあまり関係がありませんね。) それを解くと、それぞれ等比級数となって、 a(n),...,a(n-N+2) のN-1個の項でつくられる漸化式がN個できますよね。 これは本論と関係があるのですがここまでは、{α(1),α(2), ... ,α(N)}を 変数として含む形で計算が進められますよね。 ついでに、得られた式の組は{α(1),α(2), ... ,α(N)}の置換に対して N-1個の連立漸化式全体としては変わらないですよね。 したがって、たとえば見通しがいいように、それらの辺々を全部足すと、 a(n),...,a(n-N+2) のN-1個の項でつくられる漸化式で、かつ、 {α(1),α(2),...,α(N)}の対称式のみを係数とするような数列が得られると思います (なんといっても、もともとの連立漸化式がそういう対称性をもっているわけですから)。 そして、解と係数の関係からその式はΣc(n) x^n = 0の係数を使って表せるわけで 方程式の解を実際に解の公式で表される数(べき根拡大した数)で得られなくても計算ができるということです。 結局、a(n),...,a(n-N+2) のN-1個の項とΣc(k) x^k = 0の係数でつくられる漸化式が得られ それを順次解いていけば良いわけですから、数学的帰納法から、 最終的な一般項(一般式といってしまってましたね)を 解の公式で表される数(べき根拡大した数)を経ずに得られることになると思います (もちろん解の公式がない場合でも)。 つまり、上で得た一般式の最終的な形は、代数的に係数でつくられる数 の範囲に入っているのではないの?という意味です。