質問: 至急です!! tan^-1(x)+tan^-1(1/x)=π/2 (x>0) の証明がどうしてもわかりません。。。 教えていただきたいです。
回答: arctanx=tan^{-1}(x) と表現する。 (d/dx)(arctanx+arctan(1/x)) ・d/dx(arctanx)=1/(1 +x^2) で .......................1 ・(d/dx)(arctan(1/x)) は t=1/x とおいて dt/dx=-1/x^2 (d/dx)(arctan(1/x)) =(d/dt)(arctan(t))(dt/dx) (合成関数の微分) =(1/(1 +t^2))(-1/x^2) =(1/(1 +(1/x)^2)(-1/x^2) =-1/(x^2 +1) ...............................................................2 12より (d/dx)(arctanx+arctan(1/x))=0 積分すると arctanx + arctan(1/x) = c (cは積分定数) 上の式は0<xである任意の数について成り立つから x=1 とすると、arctan1 +arctan(1/1) = π/4 +π/4 =π/2 よって、 arctanx + arctan(1/x) = π/2