質問: 極限 a(1)=1,a(n+1)(←添え字です)=a(n)÷{a(n)+3}、の漸化式で与えられる数列について、初項が上に書いてあるように1であるときはこの数列の極限値は0であるというのはグラフで考えても納得いくのですが、初項が例えば-4のときはグラフで考えてみると-∞に発散すると思うのですが、漸化式を解いて極限値を調べてみると初項が1の時と同じく0に収束するという結果になってしまったのですが、どちらが正しいのでしょうか???? 長文失礼しました。
回答: a(n+1)=a(n)/{a(n)+3}が収束するなら、極限をaとしてa=a/(a+3)から解は0と-2となります。後者の例はa1=-2です。 そこで帰納法により、an>0とするとa(n+1)=1-{3/(an+3)}からa(n+1)>0が見つけられます。またa1<-3であればa2>0がわかり、結局a1<-3かa1>0ならばan>0が結論されます。 これらは今回の質問の条件です。 an>0ならば0