質問: ベクトルについて △oabにおいてoa=a ob=bとする。oaを2:1に内分する点をp obを3:2に内分する点をq bpとaoの交点をrとする。 oa=5 ob=6 ab=9のとき線分orの長さを求めよ。 お願いします。
回答: 先ず、「bpとaoの交点をr」は、「bpとaqの交点をr」の誤りですね。 aq=3b/5-a、bp=2a/3-b or=a+maq(mは定数)と表せるので、 or=a+m(3b/5-a)=(1-m)a+3mb/5-(1) 同様に、or=b+nbp(nは定数)と表せるので、 or=b+n(2a/3-b)=2na/3+(1-n)bー(2) 式(1)と(2)におけるaとbの係数は等しいので、 1-m=2n/3→3-3m=2n-(3) 3m/5=1-n→3m=5-5n-(4) 式(3)と(4)から、n=2/3 これを式(2)に代入すると、 or=4a/9+b/3 |or|^2 =(4a/9+b/3)・(4a/9+b/3) =(4/9)^2×5^2+2×4/9×1/3×(a・b)+(1/3)^2×6^2 =400/81+8/27×(a・b)+36/9 ここで、△oabにおいて余弦定理から、 cos∠aob=-(9^2-5^2-6^2)/(2×5×6)=-(81-25-36)/60=-20/60=-1/3 よって、a・b=5×6×(-1/3)=-10 以上から、 |or|^2=400/81+8/27×(-10)+36/9=400/81-240/81+324/81=484/81 →or=22/9