質問: 部分空間wの生成系 部分空間wの生成系を求めたいのですが、求め方がわかりません。やり方を教えてください。 答えは(-27,15,2,0),(-21,11,0,2)だそうです。
回答: 2つの1次方程式で未知数が2つ以上あるから、2つの未知数を残ったもので表すのですよ。そうすると、生成系がわかります。 私なら第一式から「z で表す」ことはしませんな。でも答えからすると z と w で表しているようです。仕事が減らせるのに。 たとえば、x と y を定数扱いして z と w の連立1次方程式と見て解いたものが z=3x-5y w=2x+4y だったとすると (x,y,z,w)=(x, y, 3x-5y, 2x+4y) =(x, 0, 3x, 2x)+(0, y, -5y, 4y) =x(1,0,3,2)+y(0,1,-5,4) となり、〈 (1,0,3,2), (0,1,-5,4) 〉を生成系に選ぶことができる、というわけです。 ふつう分数が出てきますが、もしも z=(-2/3)x+(5/3)y w=(7/2)x-(9/4)y な感じになったら、同様にして (x,y,z,w)=(x/6)(6,0,-4,21)+(y/12)(0,12,20,-27) とし、係数を書き直すと x'(6,0,-4,21)+y'(0,12,20,-27) とできるから、生成系を〈 (6,0,-4,21), (0,12,20,-27) 〉にすることができる、というわけです。 先にも書いてますが、z と w を定数扱いして x と y の連立1次方程式と見れば、答えと同じものが出ますよ、きっと。