質問: 【青チャート/空間ベクトルの内積】 赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか? 【青チャート/空間ベクトルの内積】 赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか? これだと普通の掛け算になってしまいますよね... https://naop.jp/topics/topics18.html こちらのサイトにも、ベクトルには積が無いと書かれてありますし、下記の事から『ベクトルの内積』と『ベクトルの掛け算』は少し意味が違うので、『ベクトルの内積』≠『ベクトルの掛け算』という事ですよね。 分かる方、何故この様な計算になるのか教えてください。 《ベクトルの内積》 ベクトルの内積▶答えがスカラー(線型代数学で言う、ベクトル空間のベクトルに対比するものとしての実数) 《ベクトルの掛け算》 平面ベクトルの掛け算▶答えも平面ベクトル(になるはず) 空間ベクトルの掛け算▶答えも空間ベクトル(になるはず) (※この様にはならない。つまりベクトルの掛け算という物は無い)
回答: ベクトルとは大きさと向きを持った量のことですよね 対して、向きは持たず大きさだけを持った量のことを「スカラー」といいます で、ベクトルの積にはベクトル積と、スカラー積の2種類があって 前者は外積とよばれ、後者が内積です ベクトルの積にはその結果がベクトルになるものと、スカラーになるもの の2種類があるのです ちなみに 表記の仕方は 外積が (→a)x(→b) というように 「x」記号を使うのに対して 内積は (→a)・(→b)と言うように 「・」で表すという区別があります (ただし、外積、ベクトル積については高校では習いません) で、高校範囲でもありますし、この問題では外積(貴方が言うベクトルの掛け算)とは全くの無関係です (以下、ベクトルの矢印は省略) oa=a で 計算結果から od=(2/3)b+(1/3)cのようですので 青で囲った公式の登場は後にとっておいて oa,odに代入を行って oa・od=a・{(2/3)b+(1/3)c} としただけなのです というのも、oa・od=|oa||od|cosθが適用できれば良いんですが |od| すなわちodの長さってわかっていますか? oaとodのなす角θ も不明ですよね(計算すれば求まるのかもしれませんが現時点では不明ですし、面倒なんで私はこれらを求めにはいきません) 不明なものが2つもあっては |oa||od|cosθが計算できないということになってしまうんです そういうときに、模範解答のようにoa,odを置き換え(代入) というのはよく行われる手段なんです 以下ベクトルの演算法則に従って oa・od=a・{(2/3)b+(1/3)c} =(3/2)a・b+(1/3)a・c (←←←模範解答は1/3をくくりだしているが この形でも同じこと) と変形できるので この段階になって初めて青囲み公式の登場というわけです a・c=1/2はすぐそばに書かれているから省きますが 青囲み利用で a・b=|a||b|cosθ=1x1xcos60=1/2なんで (3/2)a・b+(1/3)a・c の続きの計算が可能というわけです