質問: 直積集合の証明について 集合s、t、r、qがある。 (s∩r)×(t∩q)=(s×t)∩(r×q) これを証明しなさい。 よくわからないです。 教えて下さい。
回答: このパターンの証明には、そろそろ慣れてくる頃のはずです。 完全に機械的処理が可能で、頭の運動ではなく、手の運動に過ぎません。 片方の包含関係だけ証明しますので、他方は御自分で証明してください。 任意の (x, y) ∈ (s ∩ r) × (t ∩ q) に対して (x ∈ s ∩ r) かつ (y ∈ t ∩ q), すなわち (x ∈ s かつ x ∈ r) かつ (y ∈ t かつ y ∈ q) である。これより (x ∈ s かつ y ∈ t) かつ (x ∈ r かつ y ∈ q) がいえるので ((x, y) ∈ s × t) かつ ((x, y) ∈ r × q), すなわち (x, y) ∈ (s × t) ∩ (r × q) となる。 よって, (s ∩ r) × (t ∩ q) ⊂ (s × t) ∩ (r × q)