質問: Φ=cosΘiのとき riで偏微分したいのですが cosΘi=(rij,rik)/|rij||rik| です。 解き方と答えを教えてください。
回答: #2でsiegmundさんが書かれた定義 「点P(i),P(j),P(k)があり、 点P(i)からP(j)へのベクトルをrijと表す。」 を採用します。もし問題文を見て定義が違うようなら、読み替えてください。 また問題は「3次元直交座標系」で考えてよいと思われるので、その条件の元で考えていきます。 そこで、まず点P(i)の座標を(xi,yi,zi)と表すことにすると、内積およびベクトルの大きさの定義により、 (rij,rik)=(xj-xi)(xk-xi)+(yj-yi)(yk-yi)+(zj-zi)(zk-zi).....(1) |rij|=√{(xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 + (zj-zi)^2}.....(2) となりますね。 これを用いて Φ=cosΘi=f(xi,xj,xk,yi,yj,yk,zi,zj,zk) と表すことができます。(関数fの具体的な形は定義式に実際に式(1)(2)を代入してみてください) これより、P(i)でのΦの∇は、 ∇Φ=(∇iΦ,∇jΦ,∇kΦ) =(∂Φ/∂xi,∂Φ/∂yi,∂Φ/∂zi) となりますね。 こいつをゴリゴリと計算する方法が、一番原始的ですが、確実です。 別解として、余弦定理 |rij|^2 + |rik|^2 - 2*(rij,rik) = |rjk|^2.....(3) を用いると、 Φ = cosΘi = (1/2)*{|rij|/|rik| + |rik|/|rij| - |rjk|^2/|rij||rik|}.....(4) となります。 ここで ∂|rij|/∂xi = (xi-xj)/|rij|.....(5) (これは式(2)を使って実際にやってみてください) ∂(1/|rij|)/∂xi = (∂(1/|rij|)/∂|rij|)*(∂|rij|/∂xi) = - (xi-xj)/(|rij|^3).....(6) (これは式(5)を使って実際にやってみてください) を用いて計算をすすめていくと、 ∂Φ/∂xi = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{(xi-xj)/|rij|^2} + {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{(xi-xk)/|rik|^2}.....(7) となるので、まとめると、 ∇Φ = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{rji/|rij|^2} + {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{rki/|rik|^2}.....(8) となりました。 (最後がちゃんとベクトルになってるのを確認してください。もしわからないようなら、また補足してください。)