質問: 位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし 位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか? シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |g| ==> gは位数p^rの部分群をもつ よってシローp-部分群は存在する (2)h: gのp-部分群とすれば hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにg共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈z,k≧0)
回答: 位数45の群をg、gの位数9の部分群をpとする。 ><シローの定理> >(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈z,k≧0) がポイント しかもシローp-部分群の個数は|g:p|だから、|g|=45 の約数である。 45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである したがってgのシロー9-部分群の個数は1個である。 gから元kを任意にとる。 群kpk^(-1)を考えるとkpk^(-1)の位数は9である。 ところが、のシロー9-部分群は1個だからkpk^(-1)=p でなければならない。 したがってpはgの正規部分群である。