質問: 漸化式 第n番目の数列をa(n)とします。 次の漸化式を求めよ。 a(1)=0として、 a(n+1)+a(n)=2のn乗 ちなみに、この数列は0、2、2、6、10、22、のようになります。 わかる方宜しくお願いします。 解法のポイントなども教えていただければ助かります。特に勘違いしやすいところとか。
回答: a[n+1]+a[n]=2^n のようにr^nが出てきたら両辺をr^(n+1)で割ります。これが定石です。 a[n+1]/2^(n+1)+(1/2)a[n]/2^n=1/2 移項する a[n+1]/2^(n+1)=(-1/2)a[n]/2^n+1/2 x=(-1/2)x+1/2をとくとx=1/3だから1/3を引く a[n+1]/2^(n+1)-1/3=(-1/2)(a[n]/2^n-1/3) だからa[n]/2^n-1/3は公比が(-1/2)の等比数列です。 a[n]/2^n-1/3=(-1/2)^(n-1)*(a[1]/2^n-1/3)=(-1/2)^(n-1)*(-1/3) a[n]/2^n=1/3+(-1/2)^(n-1)*(-1/3) a[n]=(2^n)/3+(-1)^n*(2/3)=(2^n+2*(-1)^n)/3 勘違いしやすいところなどどこにもありません。