質問: 位相の問題です。以下の主張の誤りを指摘してください。f:[ 0,1)→S(1) (1次元球面)をf(t)= exp(2πi t)で定義すると全単射,連続で,逆写像も連続だから,fは同相写像である。
回答: ID非公開さん ※まず, [0,1) は1次元ユークリッド空間の部分空間であり, S(1) は2次元ユークリッド空間 R^2 と C を位相空間として同一視したときの部分空間であることが前提とします. (特に断り書きが無いときはこのような前提条件は当然ですが, 例えば, 両者ともに離散位相を入れた場合, 同相写像になります.) f の逆写像 f^(-1) が連続でないことを示します. 【証明】 0 の開近傍 [0,ε), 0<ε<1 をとる. [0,ε) の f^(-1) による逆像, すなわち, f による像は f([0,ε)) = {exp(2πit) | 0≦t<ε} である. f([0,ε)) は 0∈C を端点として持つ弧であり, 0 は S(1) の境界点であるから, f([0,ε)) は S(1) の開集合ではない. 以上の通り, f^(-1) は連続ではないから, f は同相写像ではない.