質問: 実数全体の集合X=Rの位相を次のように定める。Xの閉集合全体は、空集合、X自身、およびXの有限部分集合全体から成るとする。このときXは連結か?
回答: ID非公開さん ※間違っています. この位相空間において, 無限集合というだけでは開集合の条件を満たしません. 空以外で無限集合であることは必要であるが, 十分ではないです. 空集合を除いて, 任意の開集合 V をとると, その補集合が有限集合なくてはならない. つまり, つぎの条件をみたすこと. V∪M = R V∩M = 空集合 M は有限集合 位相空間 X は連結である. 【証明】 ともに空でない開集合 U, V をとり U∪V = R U∩V = 空集合 とおくと, 定義から, U にたいして V は有限集合 かつ V にたいして U は有限集合でなくてはならないが, 和である R は無限集合だから, このような U, V は存在しない. したがって, X は連結である.