質問: 定数関数? 2問続けての投稿なんですが・・・・・。 (問) 閉区間[a,b]で連続なf(x)のとる値が常に有理数だけならば、f(x)は[a,b]で定数関数である。このことを証明せよ。 (回答) 定数関数でないとすると、f(a)≠f(c),c∈(a,b]のcが存在する。 これから背理法で証明しようとしたのですが、行き詰ってしましました。どのようにすればいいのでしょうか? それとも、背理法以外の解き方がいいのでしょうか?
回答: 「[a,b]上連続なgがg(a)>0,g(b)<0を満たしていればあるc∈[a,b]が存在してg(c)=0」が中間値の定理の主張です。 これを今の場合g(x)=f(x)-yに適用します。 具体的には無理数yの取り方からf(a)-yとf(b)-yの符号は異なるのでg(x)=0の解がaとbの間に存在することが上の主張から分かりfが無理数の値を持つことになって矛盾というわけです。