質問: 制御工学 制御工学の問題で、 k/{s(s+3)(s+4)+k}となるフィードバック系の伝達関数で、極の実部がー1以下になるようなkの値の範囲を求めよという問題がでたのですが、どのようにしてといたらよろしいでしょうか? また極がー1以下になることで制御工学的にはどのような意味があるのでしょうか(こちらの方は、もしあればでいいです) よろしくお願いします。
回答: 「全て」の極の実部が-1以下となるkの範囲ですね。 伝達関数の分母は3次多項式ですから、 3次方程式の解の公式が使えますが、 煩雑なので次の方法を試されてはどうでしょうか? まず極が (1) 3つとも実数の場合 (2) 1つが実数で残り2つが虚数の場合 に場合分けしましょう。 (1)の場合は, y=s(s+3)(s+4) y=-k の二つのグラフが交点を2つ以上もつ場合と同じです。 ですから、高校数学の範囲で解けるはずです。 (2)の場合は、 s(s+3)(s+4)+kの解をa,b,cとすれば, (cのみ実数) 2つの虚数は a = r1 + ji1 b = r2 - ji2 ですから、実部はa=(a+b)/2ですね。 解と公式の関係から a+b+c = -7 ab+bc+ca = 12 abc = -k が成り立つので、cをaで表してからkをaで k=a^3+14a^2+61a+84 とかけるはずです。 これもあとは a=<-1 or c=<-1 の条件で高校数学で解けるはずです。 あと、極が負であるというのは システムが安定(原点が漸近安定) という意味ですね。