質問: 微分方程式の初期値問題 友達とも考えてみたのですが、どうにもわからないので質問します。 以下の微分方程式の初期値問題の解を求めよ。 y''+y=r(x) y(0)=0,y'(0)=0 (0≦x≦π)の時 r(x)=1-(x/π) (x>π)の時 r(x)=0 0≦x≦πの時は初期条件によってちゃんと任意定数が定まるのですが、x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。x>πの時、任意定数を求めることができるかどうか教えてください。よろしくお願いします。
回答: y=c1sin(x)+c2cos(x)+r(x) y(0)=c2+1=0 y'=c1cos(x)-c2sin(x)+r'(x) y'(0)=c1-(1/π)=0 ∴c1=1/π, c2=-1 と任意定数が決まります。 > x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。 勘違いされていませんか? (0≦x≦π)の時 r'(x)=-1/π (x>π)の時 r'(x)=0 r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。 r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の1つの関数やその微分に過ぎません。 一般解は「x≧0」で y=c1sin(x)+c2cos(x)+r(x) であり その微分が y'=c1cos(x)-c2sin(x)+r'(x) です。 初期条件は x=0でのy,y'に与えて任意定数c1,c2を決めればいいです。 x>πの場合分けと初期条件は関係ありません。 r(x)は場合分けが入っていますが、x≧0で定義された単なる1つの関数です。初期条件とは関係ありません。r(x)が折れ線になっているかといって 一般解は「x≧0」で y=c1sin(x)+c2cos(x)+r(x) で一般解なのです。 xをπの前後で場合分けしてもちゃんと同じもとの 微分方程式を満足していると思います。 r(x)を一つの関数と考えて下さい。場合わけに惑わされないようにして下さい。