質問: sl2(z/nz) を証明せよ。 (3)(2)の位数が(n^3)・π_(p|n) (1-1/(p^2))となることを証明せよ。 よろしくお願い致します。
回答: (1)について もう少し説明がないと、考えようがないですね。σ3(n)、σ5(n)、qが何なのかとか。 もし、最初の式が、「qを変数とするべき級数として0に等しい」という条件を満たすなら、 各係数 ≡ 0 (mod12^3) となるので、 5・σ3(n)+7・σ5(n)≡0 (mod4) と≡0 (mod3) は、当たり前になります。何かこれに類する条件が付いていませんか? (2)について sl2(z)の各元に対して、その4つの要素をそれぞれmod nで見ることにより、z/nzの元を要素とする2行2列行列を対応させることができます。そのように定義される写像をfとします。 このfが次の条件を満たすことは、すぐ分かると思います。 [1] fは、sl2(z)からsl2(z/nz)への全射準同型 [2] fの核(={x∈sl2(z) | f(x)がsl2(z/nz)の単位元})は、γ(n) [1]と[2]から、sl2(z) / γ(n) と sl2(z/nz) が同型であることが導かれます。 (3)について これは、a, b, c, dを未知数とする方程式 ad-bc=1 の解がz/nzの中に何個あるかを数えるだけの作業です。 若干、楽な方法を考えるとすれば、nが素数べき(n=p^k p:素数 k:自然数)のケースについてだけ数えれ良いということでしょうか。一般のnの場合の個数は、chinese remainder theorem により、それらの積になります。