質問: 可算であることの証明 可算についてなのですが、次の2つがどうしても証明出来ません。 1.可算集合の無限部分集合は可算である 2.有理数a,bを端点とする開区間(a,b)全体の集合は可算である 一応濃度、可算集合については一通り勉強したのですが...。 言っている事はなんとなくわかるのですが、自分でいざ問題を解いてみる(証明してみる)と何をどう書いてよいのやらまったくのお手上げです。 きちんと理解できていないのが原因だと思うのですが、いろいろな本を読み漁ってもこの”集合論”という分野、いまいちピンときません。 どうか回答のほどよろしくお願いします。
回答: 2.について。 このような集合の要素はaとbの値によって一意に決まりますから、結局 有理数の無限部分集合×有理数の無限部分集合(×は直積)という集合になります。(1.による) 可算集合×可算集合の濃度は加算ですから(ということの説明が#1さんの2.の説明です)求める集合も可算です。 なお#2さんは(a,b)の要素と(a,b)を要素とする集合を誤解してらっしゃるので、 連続濃度だとおっしゃっているのですね。