質問: 導関数の応用 2つの関数 f(x)=x^3-3x+p と g(x)=x^3+qx^2-1 が等しい極大値と等しい極小値をもつように,定数p,qの値を求めなさい。ただし,q>0とする。 という問題の解き方を教えてください。どこから手を付ければよいのかさっぱりです。
回答: 次のように進めていってください。 1)f(x)、g(x)を微分する。 2)f'(x)=0と置いて、f(x)の極大値・極小値を求める。 このとき3次関数でx^3の係数が正のグラフでは、極値が存在すれば、xが小さい方が極大値で、xが大きい方が極小値になることを利用してください。 答えは次のようになると思います。 極大値: f(-1)=2+p、 極小値: f(1)=-2+p 3)g'(x)=0と置いて、g(x)の極大値・極小値を求める。 q>0なので、答えは次のようになると思います。 極大値: g(-2q/3)=4q^3/27-1、 極小値: g(0)=-1 4)f(x)とg(x)の極大値・極小値がそれぞれ等しいので、次の連立方程式が成り立ちます。 2+p=4q^3/27-1、 -2+p=-1 これらを解けば、次のような答えが得られると思います。 ∴p=1、q=3