質問: x^2+y^2<1の点集合をSとするとき、x^2+y^2=1上の点は集合Sに関して集積点ですか? また、x^2+y^2≦1の点集合をTとするとき、x^2+y^2=1+ε上の点はTに関して集積点ですか? 大学数学の予習
回答: ※添付した図を参照してください。この図では、黒丸が点P、赤丸が点Qです。 x^2+y^2<1の点集合をSとするとき、x^2+y^2=1上の点は集合Sに関して集積点です。 x^2+y^2=1上の点Pの任意の近傍を取ったときに、点Pを除外しても、x^2+y^2<1の点を含むからです。 x^2+y^2≦1の点集合をTとするとき、x^2+y^2=1+ε (ただし∃ε>0) 上の点はTに関して集積点ではありません。 その理由は、0<δ<√(1+ε)-1 という正数δを取って、x^2+y^2=1+ε (ただし∃ε>0) 上の任意の点Qのδ-近傍を考えると、x^2+y^2≦1の点を含まないから、点QはTに関して集積点ではありません。 【補足】にお答えします。 x^2+y^2≦1 の集積点は x^2+y^2<1 と同じく、x^2+y^2=1 上の任意の点だけではありません。 x^2+y^2<1 という点集合と x^2+y^2=1 という点集合の和、すなわち、x^2+y^2≦1 の集積点全体は自分自身です。 (また、誤解無きように書いておきますが、) 同様に x^2+y^2<1 の集積点全体は x^2+y^2≦1 を満たす点集合です。 ※質問本文と質問補足では、必要条件と十分条件という違いが有ります。