質問: 一辺の長さが1である正四面体OABCにおいて、辺OA、BC上に、それぞれ、点P、Qをとる。 OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトル、 |OPベクトル|=s、|BQベクトル|=tとするとき、次の問いに答えよ。 (1)PQベクトル を、s, t, aベクトル, bベクトル, cベクトル, を使って表せ。 (2)PQベクトル垂直OAベクトル かつ PQベクトル垂直BCベクトルのとき、定数 s, tの値を求めよ。 みにくくてすみません。この問題が分かりません。解き方を教えて下さい。
回答: 「ベクトル」を省略します. [1]OP=sa.BQ:QC=t:(1-t)だから OQ={(1-t)OB+tOC}/{t+(1-t)}=(1-t)b+tc ∴PQ=OQ-OP =(1-t)b+tc-sa =-sa+(1-t)b+tc [2]PQ⊥a,PQ⊥(c-b)より (1)PQ・a=0 (2)PQ・(c-b)=0⇔b・PQ=c・PQ a,b,cの内積について a・a=b・b=c・c=1 a・b=b・c=c・a=1・1・cos60°=1/2 であるから, (1):-s+(1-t)/2+t/2=-s+1/2=0 (2):-s/2+1-t+t/2=-s/2+(1-t)/2+t,1/2=t つまり s=t=1/2