質問: δζ /(z-ζ-δζ)(z-ζ) まで分かるんですが・・・ {f(ζ+δζ)}-{f(ζ)}/δζ - ∫_γ {φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz=δζ*∫_γ{(z-ζ-δζ)(z-ζ)^2}/φ(z)dz・・・(*)が得られる。 0<p<rを固定。z∈γ;ζ,ζ+δζ∈cp(a)ならば、|z-ζ|,|z-ζ-δζ|>r-pとなり、|φ(z)|(z∈γ)は有界。よって、ある(ζ、δζに無関係な)正定数kがあって、式(*)の右辺の絶対値は≦k|δζ|である。よってf(ζ)はcr(a)において正則で、f'(ζ)=∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dzが成立する。 からが分かりません!! 細かい解説、よろしくお願いします(/_;)
回答: f(ζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ)dz f(ζ+δζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ-δζ)dz {f(ζ+δζ)-f(ζ)}/δζ=∫_γφ(z)/{(z-ζ-δζ)(z-ζ)}dz {f(ζ+δζ)-f(ζ)}/δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz=δζ∫_γφ(z)/{(z-ζ-δζ)(z-ζ)^2}dz...(*) 00に対して、∃δ=ε/k 0<|δζ|<δ→|{f(ζ+δζ)-f(ζ)}/δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz|≦k|δζ|<ε だから f'(ζ)=lim_{δζ→0}f(ζ+δζ)-f(ζ)}/δζ=∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz