質問: 数列の和と漸化式について 現在高2です。できれば、かなり混乱してますので、わかりやすく教えていただきたいです。よろしくお願いします。 数列{an}の初項から第n項までの和をsnとする。sn=1-nan (n=1,2,3,...)が成り立つとき、この数列の一般項anを求める。このような問題です。 sn-s(n-1)=an を使うことは、わかります。 すると、 sn=1-nanとs(n-1)=1-(n-1)a(n-1) の、差は、sn-s(n-1)=-nan+(n-1)a(n-1)となり、sn-s(n-1)=an だから、結局この式は、 an=-nan+(n-1)a(n-1)になるはずです。 現在ここからわかりません。この後、どのように考えて、続けるか全く分からない状態なので、よろしくお願いします。 答えは、an=1/(n+1)n になるみたいです。
回答: まず、s1=a1=1-a1ですから、a1=1/2です。 また、an/a(n-1)=(n-1)/(n+1) ここまではいいですか? a2を求めてみましょう。 n=2のとき、a2/a1=(2-1)/(2+1)=1/3 そこで、a2=1/3・a1 次にa3を求めましょう。 n=3のとき a3/a2=(3-1)/(3+1)=2/4 そこで、a3=(2/4)・a2=(2/4)・(1/3)・a1 次にa4を求めましょう。n=4のとき a4/a3=(4-1)/(4+1)=3/5 そこで、a4=(3/5)・a3=(3/5)・(2/4)・(1/3)・a1 となります。 このように(n-1)/(n+1)がn=2から順に掛け算になっていくでしょう。 これを続けると、 an={(n-1)/(n+1)}・・・(4/6)・(3/5)・(2/4)・(1/3)・a1 分子と分母ごとにまとめると、 an={(n-1)(n-2)・・・4・3・2・1}/{(n+1)・n・(n-1)・・・5・4・3}a1 約分すると、an={2・1}/{(n+1)・n}・a1=={2・1}/{(n+1)・n}・(1/2) ゆえに、an=1/{n(n+1)} これでどうですか?