質問: 4次方程式の解についての問題 f(x)=x^4-kx^2+4x+k+3で、f(x)=0が異なる4つの実数解をもち、4つの解a,b,c,dをa∞のとき、bcの値の極限値を求めよ、これは グラフから考えて、b->-1 だから、1になりました。
回答: >f(x)=(x+1){x^3-x^2+(1-k)x+k+3}だから、1つの解は-1とわかる。 これは合ってます。 >f(x)=0から、k=x^2+1-{4/(x+1)}となり、g(x)=x^2+1-{4/(x+1)}のグラフから、c=-1。 これは間違い。 実際はb=-1にならないといけません。 >x^3-x^2+(1-k)x+k+3=0の解が、a,b,dとなり解と係数から この解はa,c,dとなりますので以降駄目です。 g(x)=x^3-x^2+(1-k)x+k+3とおくと g(x)=0が異なる3つの解を持つことから g'(x)=3x^2-2x+1-k,d/4=1-3(1-k)=3(k-2/3)>0 ∴k>2/3...(☆) ∴g(-1)=2k>0 g(1)=4>0 g'(x)=0を満たすxは (1/3)(1±√(d/4))=(1±√(3k-2))/3 極大値g((1-√(3k-2))/3)>0(計算すればこうなる) 極小値g((1-√(3k-2))/3)<0(異なる3つの解を持つ条件)から k>9 このときg(x)=0の実数解をx1,x2,x3とおくと x1<-1,1a+c+dとacdをそれぞれkを用いて表せ。 g(x)=0の異なる3つの実数解は a=x1,c=x2,d=x3 で解と係数の関係から a+c+d=1,ac+ad+cd=1-k,acd=-(k+3) (k>9)...(■) なお(■)から bc=-c=(k+3)/ad=(k+3)/(1-k-c(a+d))=(k+3)/(1-k-c(1-c))=(1+(3/k))/(-1+(c^2-c+1)/k) ここで(△)からcは 1