質問: ベクトルの問題 1.任意のベクトルrを、単位ベクトルeに平行な成分と垂直な成分とに分けよ。 2.ベクトルbに関して、ベクトルaに線対称なベクトルを求めよ。 3.ベクトルbとcで定められる平面に関して、ベクトルaに面対称なベクトルを求めよ。 抽象的なベクトルの問題でアプローチの仕方からわかりません。 どのように解くのか教えてください。
回答: 図を描きながら読んでくださいね。 1.について 内積の幾何学的意味 r・e = |r||e|cos(θ) = |r|cos(θ) より、 r・eが、rをeに投影したときの影の長さだという事がわかりますか? それってつまりは、r・eが今求めたいeに平行な成分の大きさということですね。 eに平行な成分は、大きさがr・eで方向がeですから、 (eに平行な成分) = (r・e)e となりますね。 eに垂直な成分は、ベクトルの引き算を思い出して (eに垂直な成分) = r - (eに平行な成分) と書けます。これは図に描いて確かめてください。 2.について 基本的に1の応用で出来ます。 今、方向がbの単位ベクトルをeとしましょう。 つまりは e = b/|b| です。 このとき1.を使って、aをeに平行な成分とeに垂直な成分に分けましょう。 ベクトルbに関してベクトルaに線対称なベクトルa'とは、eに平行な成分はaのそれと同じ、eに垂直な成分はaのそれと反対方向になりますね。 式で書けば a' = (aのeに平行な成分) -(aのeに垂直な成分) ですね。 図を描いて確かめてくださいね。 あとは1.を踏まえてこれを具体的にa,bを用いて書けばokです。 3.について これも2.の応用です。 bとcで定められる平面に対して垂直な単位ベクトルeは外積を用いて、 e = (b×c)/|b×c| と書けますね。 ここで再びaをeに平行な成分とeに垂直な成分とに分けますね。 例によってaに面対称なベクトルa'は a' = -(aのeに平行な成分) +(aのeに垂直な成分) ですね。 これも図に描いて確かめてください。 さっきよりも少し複雑になりますが、これをa,b,cを用いて具体的に書けばokです。