質問: 多項式環の問題です。
回答: I+J=(X,Y,Z,W) IJ=(XZ,XW,YZ,YW) は正しいですよ. {xy|x∈I,y∈J}=(XZ,XW,YZ,YW) が間違いです. (⊂)は成り立ちます.(証明は簡単) 逆の(⊃)は成り立ちません. {xy|x∈I,y∈J}の元の和を考えてみましょう. すると和で閉じていないことが分かります.