質問: 9で割れる整数の規則性 たとえば3桁の整数で「351」だったら、それぞれの位の数字を足すと3+5+1=9になります。 この数字が9で割り切れることができれば、もとの数字「351」も9で割り切れるというのをご存知の方も多いと思いますが、これってなんでそうなるのか分かる方いらしたら教えてください。 宜しくお願いします。
回答: 各位の数を足すと9の倍数になる場合、その数は9の倍数になります。 証明は簡単です。 n桁の整数をa1、a2、・・、anとすると、その整数は a1×10^(n-1)+a2×10^(n-2)+・・・+an×10^0 とあらわされます。これを下記のように変更します。 {a1×(10^(n-1)-1)+a2×(10^(n-2)-1)+・・・+an×(10^0-1)} +{a1+a2+・・・+an} pcでは表現がややこしいので、ご自身で紙に書かれることをお勧めします。 {a1×(10^(n-1)-1)+a2×(10^(n-2)-1)+・・・+an×(10^0-1)} の部分が9の倍数であるので、{a1+a2+・・・+an}が9の倍数ならこの数は全体で9の倍数となります。 そして、{a1+a2+・・・+an}は各位の数の和になります。 ※10^(n-1)-1が9の倍数になる理由がわからないようであれば、もう一度ご質問ください。 同様に各位の数を足すと3の倍数になる場合、その数は3の倍数になることも示せます。