質問: 「静電場」の定義とは何でしょうか?
回答: 電磁気学は「場」と「物質」の両方が空間に分布していて、それらのなす力学を記述する理論です。だから、場が静的であるというとき、他の量についても言及するのが親切な定義です。 まず一般に「場が定常」である、という概念からはじめます。場が定常である、とは、場のどんな量も時間的に不変である、ということです。数学的には時間並進に対しての対称性を持つ、ということです。すなわち、電磁気学的な基本量(電場、磁場、電荷分布、電流密度)の時間微分がすべて0である、ということです。 dE/dt=dB/dt=dρ/dt=dj/dt=0 (微分は偏微分) palaisblancさん の認識は、ここで止まっておられるようです。別に、このお方が嘘を教えたわけでなくて、実用上は、静電場などというとき大抵、具体的に静的な系が与えられてますので、いちいち第一原理、即ちMaxwell方程式に戻る必要はないのです。palaisblancさん は数学系ということなので、このような生粋の物理系に関して深くお考えになる機会がなかったためにこれで十分と認識し、たまたま考え落とされえてるのでしょうが、実はこれは数学的にはこれでは不十分で、静的である為にはさらに条件が加わります。 「場が静的」である、という概念はもっと強い概念です。即ち、時間並進対称性に加えて時間反転対称性も要請します。つまり、時間の軸を逆転させても、状況が変わらないということを要求するのです。この条件のために、 「静的な系では、電流が存在しない」 という大きな結果が出ます。 実際物理的には電流(密度)という概念は流れの向きが存在し、それによって時間の流れの向きを判断できてしまうので、電流があると時間反転対称性が破れます。数学的には電流は電荷分布と連続の式でつながっていて、 dj/dt+∇ρ=0 ですが、時間部分は時間反転で奇、なのに第二項は時間反転で偶なので、電流密度は時間反転に関して奇でなければならないなどと納得できます。 結局、電流がないのでMaxwell方程式は、磁場には発散も回転もないということを要求してきます。発散も回転もない場は定数の場だけです。だから「場が静的である」とは、定常電場、定常電荷、定数磁場を意味します。これがいわゆる「静電場」です。 **以上で静電場の定義は終わりです。以下は注釈 上では「電磁場が静的」である、ということが、定常電場、定常電荷、定数磁場に至る、ということを見たわけですが、「いままでたくさん静電場の系を見てきたが、磁場なんか気にしてこなかったぞ?それはいいのか?」と思われるかもしれません。 でも少し考えれば問題ないことがわかるでしょう。実際、定数磁場が表に現れるのは、Lorentz力、即ち、電荷を持った粒子が移動するときのことです。移動は速度を伴いこの量は電流と同じく時間反転に奇です。だからこんな定数磁場が表に出る状況は静的な系ではありません。従って、定数磁場があってもなくても、静電場の配位は変わらないし、電荷分布が定常であるために、それを考える上で定数磁場があるのかどうかを気にする必要がないです。