質問: 接点の存在範囲と内積の最大最小 xy平面上の3点o(0,0)、a(6,2)、b(1,3)に対して、 点cをoc=soa+tob(ベクトル)で定める。 (1)s、tがs+t=1の条件を満たしながら、変化するとき、 cの描く図形は傾き[ア]の直線であり、x軸と([イ]、0)で交わる。 (2)s、tがs≧0、t≧0、0≦s+t≦1の条件をみたしながら変化するとき、 cの存在する範囲の領域の面積は[ウ]である。 (3)s、t、がs≧0、t≧0、1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するとき cの存在す領域をfとする。 oc=2s・(1/2)oa+tob(ベクトル)より、fに属する点のうち y座標が最大となる点は([エ]、[オ])であり、 y座標が最小となる点は([カ]、[キ])である。 fの面積は[ク]である。 (4)fに属する2点p、q(p=qでもよい)について、 内積op・oq(ベクトル)の最大値は[ケ]、最小値は[コ]である。 問題がかなり長くて申し訳ないです・・・ 最後の問題が難しいらしいです。 (1)(2)の問題を記述で書くとき どのようにあらわしたらよいでしょうか? 解けるかたがいらっしゃいましたら 解説お願いしますm(__)m
回答: ベクトル省略します。 (1)s+t=1を満たすとき、点cの描く図形は直線abとなる。 直線abは点a(6,2)、点b(1,3)を通るから、傾きは(3-2)/(1-6)=-1/5 直線の方程式はy-3=-1/5(x-1) x軸との交点を求めるためにy=0を代入すると、x=16 (2)0≦s+t≦1かつs≧0かつt≧0を満たすとき、点cは△oabの内部に存在する(境界線上を含む)。△abc=1/2|6*3-2*1|=8 ※公式を忘れてしまっていたら、この程度の問題なら図を書いて3点を長方形で囲って、3つの直角三角形を引くという中学レベルの知識を使って解いてもいいです。 ※i s+t=1、s≧0なら、 oc=soa+tob=soa+(1-s)ob=ob+sabから点cは半直線ab上の点になります。 ii s+t=1、t≧0なら、 oc=(1-t)oa+tob=oa+tbaから点cは半直線ba上の点になります。 iii s+t=1、s≧0かつt≧0なら、 s=1-t≧0からt≦1となり、0≦t≦1となるので、点cは線分abの内分点とみなせ、点cは線分ab上の点となることがわかります。 s+t=2とかs+t/2=2になっても考え方はまったく同じ。 このあたりのことはわかれば簡単なのでしっかり整理して実践で使えるようにしておくとよいと思います。 (3)以降は時間があったら回答しますね。