質問: 集合は有限集合と無限集合だけですか? 有限集合の元の数を考えるとき、 「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------(a) ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ところがここに無限集合の概念を導入すると 「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---(a’) ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。 ここでは、“超有限集合”=無限集合という関係が成り立ちます。 さて、公理的集合論の公理により、無限集合rから常にpower(r)が作れるので、 「いかなる無限集合よりも濃度の数が多い無限集合は存在しない」------(b) が成立しました。 一番大きな濃度の無限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ここで、有限、無限に続く第三の概念として、“超無限集合”=寿限無集合(仮名)という概念を導入します。 すると、(a)に対して(a’)が成り立ったように、(b)に対して(b’)が成り立ちます。 「いかなる濃度の無限集合よりも大きい集合として寿限無集合がある」---(b’) 質問1:このような寿限無集合はzfc公理系で無矛盾に定義できますか? 質問2:集合の種類は有限と無限の二種類でしたが、第三の概念を導入すると、無限集合では成り立たないが寿限無集合の世界だけで成り立つ定理も発見できると思うのですが、このような概念の拡張をした数学者はいましたか? 質問3:有限と無限以外に第三の概念を導入することが無意味であると立証できますか?
回答: ということで、また門外漢が失礼します。 公理系集合論 までやっていない代数屋(o`・ω・)ゞデシ!! また皆さんよろしくどうぞ m(_ _)m ∞+∞=2×∞ ですか? これで話がついているんだと思うのだけど。 どうでしょう? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)