質問: 楕円の周の求め方 楕円の周の求め方を教えてください。 高校時代に習ったような、習っていないような思い出せず気持ち悪いです。 どなたかご存知の方、ご回答お願いします。
回答: ▼これは高校では習っていないと思います・・・すんごいことになりますよ。 さて、一般に曲線上の点の位置ベクトルをrとすれば、曲線は r=r(t) (1) というベクトル方程式で表すことができます。ここでtは任意の変数です。曲線上の任意の点で、 dr/dt=lim⊿r/⊿t(limにおいて⊿t→0) (2) というベクトルをとると曲線に接し、これを接線ベクトルといいます。この接線ベクトルの長さを所定の範囲で積分して、曲線の長さsを s=∫√{(dr/dt)・(dr/dt)}dt =∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt (3) として求めることができます。 楕円の中心を原点にとり、x軸方向に2aの長軸、y軸方向に2bの短軸をとると、周上の点(x,y)は、 x=acosθ, y=bsinθ (4) と表すことができます。ここでθは原点の周りのx軸からの角度で、式(1)の変数tに対応します。式(3)と式(4)より、楕円の周の長さsは、 s=4∫√{(-asinθ)^2+(bcosθ)^2}dθ =4∫√{a^2-(a^2-b^2)(sinθ)^2}dθ =4a∫√{1-(a^2-b^2)/a^2・(sinθ)^2}dθ (5) で与えられます。ただし積分範囲は0からπ/2です。式(5)はおなじみの第2種完全楕円積分を含んでいます。いま、 k^2=(a^2-b^2)/a^2 (6) とおくと、求める曲線の長さsは、 s=4ae(k) (7) となります。ここで、第2種完全楕円積分e(k)は、 e(k)=π/2[1-(1/4)k^2-(3/64)k^4-・・・ ・・・-{(2r-1)!!/(2r)!!}^2・k^2r/(2r-1)-・・・] (8) で与えられます。ただし、n!!は、 nが奇数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・3・1 nが偶数のとき n!!=n(n-2)(n-4)・・・4・2 nが零のとき 0!!=1 (9) と定義します。 というようなわけで、ベクトル解析とか楕円積分とかの知識が必要です。やっぱり大学レベルの話だと思います。また、上記説明の中にも間違いがあるかもしれませんので、じっくりと検算をお願いいたします。