質問: 点oから平面abcへ下ろした垂線の足hを求める公式 三角形oabがあったとします。点oから直線abへ下ろした垂線の足をhとするとき、hをベクトルを用いて表したいとします。 ベクトルoa=a、ベクトルob=b、ベクトルoh=hとします。 hは直線ab上にあるので、実数tを用いて、 h=ta+(1-t)b とかけます。 oh⊥abより、内積を用いて、 h・(bーa)=0 これらより、 t=b・(bーa)/|b-a|^2 となり、結局、 h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b などと表すことができました。 別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、h=ta+(1-t)bの自身の内積をとり、tで微分したときの値が0であることからも、tが計算できます。 しかし、これを空間に拡張して、四面体oabcがあったとします。点oから平面abcへ下ろした垂線の足をhとするとき、hをベクトルを用いて表すにはどうしたらよいのでしょうか? 表現方法がすごく煩雑になりそうですが、外積または行列式を用いれば簡単になり、また、さらなるn次元へ拡張した公式も推測できそうな気がするのですが。
回答: 勝手に面積と決めてしまい、失礼しました。垂線の長さでしたね。 垂線の長さ、ohは、oa、ob、またはoc のoh方向成分なので、 a、b、あるいはcと単位ベクトルhの内積を取ると求まります。 h={a・(b-a)×(c-a)}/|(b-a)×(c-a)| 分子は、a・(b×c)=[a,b,c]です。 そういえば、分母も|a×b+b×c+c×a|となりますね。 従って、改めて垂線の足をhと書けば、 h=[a,b,c]/|(a×b)+(b×c)+(c×a)| となります。