質問: G : GL(n, R) とし, H : { g ∈ G |(tg)g e } としたら HはGの部分群と証明したいのですが、
回答: 1 e ∈ H 単位元 e ∊ G は (te)e = eより e ∈ H が成り立ちます 2 a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H 任意の a, b ∈ H に対して t(ab)(ab) = (tbta)(ab) = (tb)(ta)ab = (tb)eb = (tb)b = e より ab ∈ H が成り立ちます 3 a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H 任意の a ∈ H に対して t(a−1)(a−1) = (ta)−1(a−1) (※) ここで (ta)a = e の両辺左から (ta)−1を掛けると (ta)−1(ta)a = (ta)−1 より (ta)−1 = a となるので (※)は t(a−1)(a−1) = (ta)−1(a−1) = a(a−1) = e となり a−1 ∈ H がわかります 以上より H は G の部分群となります