質問: 三項間漸化式の方程式の解がα、βのとき 一般項がan=Aα^n+Bβ^nの形で表せるのはなぜですか?
回答: a[n]=p・a[n-1]+q・a[n-2] ... 1 のとき、x2-px-q=0 の2解をα, βとすれば α+β=p, αβ=-q ... 2 α≠βのとき、1は次のように変形できる a[n]-α・a[n-1]=β(a[n-1]-α・a[n-2]) ... 3 a[n]-β・a[n-1]=α(a[n-1]-β・a[n-2]) ... 4 (いずれも2を使って整理すれば、1と同値) 3より a[n]-α・a[n-1]=β(a[n-1]-α・a[n-2])=...=βn−2(a[2]-α・a[1])=B'βn−2 (B'=a[2]-α・a[1] とおいた) β・a[n]-αβ・a[n-1]=B'βn−1 ... 3' 同様に、4より α・a[n]-αβ・a[n-1]=A'αn−1 ... ➃' (➃'-3')/(α-β)より a[n]=(A'αn−1-B'βn−1)/(α-β) ここで、A=A'/{α(α-β)}, B=-B'/{β(α-β)}と置き換えれば a[n]=Aαn+Bβn を得る