質問: 微分方程式との類似、漸化式a[n+1]+p*a[n]=q(n) よく知られていますように、微分方程式と漸化式は似ています。 微分方程式 (dy/dx)+ay=q(x) の一般解は、 y=e^(-ax) {∫e^(ax)q(x)dx+c} となるようです。 http://www12.plala.or.jp/ksp/mathinphys/constonelineardiffeq/ を参照しました。 では、漸化式 a[n+1]+p*a[n]=q(n) の一般解はどのように表されるのでしょうか? q(n)が0や定数や一次関数のときは、高校数学でよく扱われる漸化式ですが、一般の関数(多項式とも限らない)のときはどのように表されるのでしょうか?
回答: 前にもちょっとありましたけど、行列風にやるのも面白いかなと思い ます。 常に値が1の数列bnを導入します。 すると、 a(n+1)=-p・an+q(n)bn b(n+1)=0・an+1・bn となって、行列風に書くと、 (a(n+1),b(n+1))=a(an,bn) ( , )は縦ベクトルの意味 ここに、aは -p q(n) 0 1 のような上三角行列。 a^nを計算すると、1行1列は(-1)^n・p、1行2列はちゃんと計算してませ んがpとq(n)の何か積和で予測可能でしょう、2行1列は0、2行2列は1 になる。 こうして、a^nの計算からanが求まる。 ポイントはa^nの1行2列のところ。