質問: A{(x,y)∈R^2|xy0}は多様体でないことを示してください
回答: ほぼ明らかですが、ガチガチに証明してみます。 Aはx軸とy軸の和集合です。 (0,0)を含むR^2の開集合Uを取り, U∩AからRの開集合Vへの同相写像φが存在すると仮定します。 あるr>0が存在してB(0,r)⊂Uとなります。 この時B(0,r)∩A⊂U∩Aで、 φのB(0,r)∩Aへの制限はφ(B(0,r)∩A)への同相写像になります。 B(0,r)∩AはAの連結開集合なのでφ(B(0,r)∩A)は連結開集合です。 φ(B(0,r)∩A)=(a,b)とします。 B(0,r)∩A={(x,0)|-r