質問: このとき逆にたしかに成立? 僕は京大目指して数学の勉強を独学でしているのですが、 たまに解答に~~だからこのとき確かに成立する、とか 解説にこの時十分であることを示さなければいけない、とか でてきます。数学好きなのにたまに出てくるこれらの意味が全く分かりません。 どういう時に逆に成立する事を確かめなければいけないのでしょうか? また、十分条件についても教えてください・・。 お願いします。
回答: 全般的な話しは既に回答されているとおりと思いますので, 蛇足ながらよく議論になる具体例を1つ追加してみます. 例題:[部分分数分解] 1/(x-2)(x+1) = a/(x-2) + b/(x+1) が(常に)成り立つような定数a,b を求めよ. この問題では, (1) x は,x = 2, -1 以外の任意の実数 (2) このような実定数a,b は存在する といったことが,題意として「暗黙の前提」となっています. ここで「普通の解法」としては, 右辺をまとめて,恒等式の性質から,連立方程式を解いて求めるでしょうが,別解として, 別解:このような実定数a,bがあったとしたら, 与式の両辺に(x-2)(x+1) をかけて, 1 = a(x+1)+b(x-2) ・・・(3) ここで,この式は(1) よりxについての恒等式だから, x = 2 のときを考えると,(3) の式は 1=a*3 となり, a=1/3 ・・・(4) と求まります(!?) 同様にして, x = -1 のときを考えると, 1=b*(-3) となり, b=-1/3 ・・・(5) と求まります(!?) さあ,この別解は正しいでしょうか? 実はこの答(4),(5) は「正解」です. しかし,この別解では,もし解があったとしたらこうならないといけない, という最低限必要な条件(いわゆる「必要条件」)を示しているだけであって, この答(条件)であれば十分だ(いわゆる「十分条件」),ということはまだ示されていない, ということなのです! つまり,この「別解」では正確には, 答が出た(4),(5) の後で,これらの値を(初めの)与式にそれぞれ代入して, 与式を満たしていることを確かめないといけないのです! この確かめによって,(4),(5) で出てきた答が, 与えられた条件を十分に満たす答 である,ということが示されて,「正解」となります. ですから,こうした問題の場合には,「逆」も確かめないといけないのです. (なお,入試などで答だけ書けばいいような場合に, この例題ような問題の答を求めるのには,実際に「逆」まで確かめる必要はないでしょう.)