質問: ε−δ論法についてです。
回答: lim f(x)=L x→c とは 任意の(いかなる)正の数 ε に対しても、「0<|x-c|<δ ならば |f(x)-L|<ε」となるような正の数δが存在する ということです。 高校数学で 「xの値が限りなくcに近づくときf(x)の値は限りなくLに近づく」 と言っている内容を正確に述べようと考えます。 「f(x)の値は限りなくLに近づく」というときの「限りなく」は感覚的で曖昧な表現です。どこまで近づくかの境界をはっきりと述べる必要があります。 そこで、その境界としてLの前後εを設定します。Lーε < f(x) < L+εとなるようにできるのか? ということです。εは任意の正の数ですから、f(x)が入るべき範囲をいくらでも狭く厳しくすることができます。 どういうときに Lーε < f(x) < L+εとできるのか? といえばもちろん、xの値が十分にcに近ければ、です。その十分に近いという近さを設定しているのがδです。cーδ < x < c+δ となるほどxの値がcに近ければ、ということです。 (*)「どんなに厳しい条件 Lーε < f(x) < L+ε で挑んできたとしても、cーδ < x < c+δ が成り立つほどxの値がcに近ければ Lーε < f(x) < L+ε が確かに成り立つ」ということが言えれば、「xの値が限りなくcに近づくときf(x)の値は限りなくLに近づく」ことが言えたことになるでしょう。 これが、ε-δ論法によるx=cにおいてf(x)が連続であることの定義 For any ε>0 there exists δ>0 s.t. 0<|x-c|<δ→|f(x)-L|<ε です。 εとδの順番は、(*)にあるとおりεが先です。 なお、単に 0<|x-c|<δ ですから、xがcに近づくときの近づき方は自由です。「正の方から」や「負の方から」という方向の指定はありません。xはcの周りを自由に動き回りながら最終的にcに限りなく近づきます。どんな近づき方をしてもf(x)の値は限りなくLに近づく、というのが極限値の意味です。