質問: 材料力学の問題ですが 横断面が円形であるテーパ棒の両端を引張り力pで 引張ったときの棒の伸びλを求めよ ただし両端部のrはそれぞれr1、r2として棒の長さは lとする と言う問題ですが、答えは λ=lp/eπr1r2 となるのですが、 求め方がわかりません 断面毎に応力が変化するので λ=l/e∫[0 l]σ(x)dx とこれをとけばいいのかと思ったのですが ([0 l]は積分範囲です) どうしても答えが合いません どなたか教えて頂けないでしょうか?
回答: 数学的には,#1さんの回答でokだと思います。 が,材料力学の場合は次のような考え方をします。 まず,棒の太い方の端をa端(半径r1)他端をb端(半径r2)とし,(r1>r2),テーパーをb端側に伸ばすと,焦点(0)が出来ます。そして,a端と焦点(0)の距離を(l0),b端と焦点(0)の距離を(l1)とします。ここで棒上の任意の点から焦点までの距離を(x)とします。(l0>x>l1)。 ここで,任意の点の断面積をa(x)とすれば, a(x)=π(r1^2/l0^2)・x^2 任意の点の伸びは, σ(x)=p/a(x) λ(x)=(p・l0^2)/(e・π・r1^2・x^2) ここで棒の伸びはl0からl1までの積分に成るので λ=∫l0 l1/(e・π・r1^2・x^2)dx λ=(p・l0^2)/(e・π・r1^2)[1/l0-1/l1] 以後は,数学的に解いて,#1,さんと同じに成ると思います。