質問: 微分方程式の解法。 現在、私は微分方程式が解けなくて困っています。 その微分方程式は次のようになります。 (d^2/dr^2)t+(1/r)(d/dr)t=(1/k)(d/dt)t をラプラス変換した、 t''+(1/r)*t'-(s/k)*t=0 です。 式のsはラプラス演算子で、kは定数です。 この式の解法を調べたところ、上のような微分方程式はベッセルの変形微分方程式というものであることがわかり、一般解を導出し、計算したのですが、ラプラス逆変換が困難で挫折しました。 なにか他の解法はありませんか? 今、考えているのが解を次のように仮定し、 t=a*exp(-rs)+b*exp(-rs) 上の式に代入し、境界条件によってaとbを決定する方法です。 この方法はまずいですか? 困っているので回答お願いいたします。
回答: これは円筒座標系での熱伝導方程式のようですね。私の場合はまずは t=r(r)q(t) とでも解の形を仮定して、元の方程式に代入して、両辺をr(r)q(t)でわれば、左辺がrのみの関数で右辺がtのみの関数になるので、左辺・右辺それぞれが「ある定数に等しくなくてはならない」という「変数分離法」を使うほうが簡単かなと思います。 あるいは、green関数を求める方法もいいかもしれません。 今村勤「物理とグリーン関数」岩波全書などは安価で分り易いと思いますが。今でも売っていると思いますが。