質問: iを虚数単位とします。 √i+√-iは実数?虚数?
回答: √i=a+bi(a,b:実数)とする。 両辺2乗して i=(a2-b2)+2abi ∴(a+b)(a-b)=0,2ab=1 (1) a=bの時ab=1/2より a=b=±1/√2 (2)a=-bのとき a,bが実数なので不適。 √i=±(1/√2)±(1/√2)(複号同順) 同様に√-i=a+biとする -i=a2-b2+2abi (a+b)(a-b)=0,2ab=-1 (1)a=bのとき、2ab=-1 よって不適 (2)a=-bの時2ab=1より a=±1/√2、b=∓1/√2 √i=±(1/√2)∓(1/√2)i (複号同順) よって √i=(1/√2)+(1/√2)i √-i=(1/√2)-(1/√2)i のとき √i+√-i=√2 √i=(1/√2)+(1/√2)i √-i=-(1/√2)+(1/√2)i のとき √i+√-i=√2i √i=-(1/√2)-(1/√2)i √-i=(1/√2)-(1/√2)i のとき √i+√-i=-√2i √i=-(1/√2)-(1/√2)i √-i=-(1/√2)+(1/√2)i のとき √i+√-i=-√2 ∴ √i+√-i=√2,-√2,√2i,-√2i