質問: クリストフェルの公式、複素関数論 Ahlforsを読んでおります。
回答: (5)式は(3)から『直接的に』導かれるものではありません。 直接的に計算すると以下のようになります。 上半平面 Imξ>0 を単位円 |w|<1 に写像する一次変換 w=φ(ξ) をとります。z=F(φ(ξ)) は Imξ>0 を多角形の内部に写像します。 φ としては何でもいいけれど、例えば w=φ(ξ)=(ξ-i)/(ξ+i) とし、実軸上の点ξ_k を w_k=φ(ξ_k) とします。0=φ(i), w_k=(ξ_k-i)/(ξ_k+i), dw=2i/(ξ+i)^2・dξ であるので F(φ(ξ))=C∫_i^ξ Π_{k=1}^n ((ξ+i)/(ξ+i)-(ξ_k-i)/(ξ_k+1))^{-β_k}・2i/(ξ+i)^2・dξ+C' =C∫_i^ξ Π_{k=1}^n (2i(ξ-ξ_k)/((ξ+i)(ξ_k+1)))^{-β_k}・2i/(ξ+i)^2・dξ+C' =D∫_i^ξ Π_{k=1}^n (ξ-ξ_k)^{-β_k} dξ+C' ここで、積分記号の中の定数はすべて D に繰り込みました。Σ_{k=1}^n β_k=2 であるので、分母にある (ξ+i)^2 は消えています。 ξ をw に変え、F(φ(w)) を改めて F(w) と書いて F(w)=D∫_i^w Π_{k=1}^n (w-ξ_k)^{-β_k} dw+C' を得ます。∫_i^w を∫_i^w=∫_0^w-∫_0^i に変更し、 ∫_0^i Π_{k=1}^n (w-ξ_k)^{-β_k} dw は定数であるので C' に繰り込むことで Im w>0 をΩに写像する F(w)=D∫_0^w Π_{k=1}^n (w-ξ_k)^{-β_k} dw+C' ...(3') を得ます。 (5)式を導くためには、(3')を若干修正する必要があります。 ξ_n を∞に写像する一次変換 w=-1/ζ+ξ_n を考えます。ξ_k に対応する点を ζ_k とすれば ∫_0^w Π_{k=1}^n (w-ξ_k)^{-β_k} dw =∫_{1/ξ_n}^ζ Π_{k=1}^n (-1/ζ+ξ_n-ξ_k)^{-β_k}・(1/ζ)^2 dζ =∫_{1/ξ_n}^ζ Π_{k=1}^n (-1/ζ+1/ζ_k)^{-β_k}・(1/ζ)^2 dζ ここで、ξ_k=-1/ζ_k+ξ_n を使って整理しています。ζ_n=∞ なので =∫_{1/ξ_n}^ζ Π_{k=1}^{n-1} (-1/ζ+1/ζ_k)^{-β_k}・(-1/ζ)^{β_n}・(1/ζ)^2 dζ =∫_{1/ξ_n}^ζ Π_{k=1}^{n-1} (ζ-ζ_k/ζζ_k)^{-β_k}・(-1/ζ)^{-β_n}・(1/ζ)^2 dζ 分母の ζ^2 は消えます。定数はすべて D に吸収させ、∫_{1/ξ_n}^ζ を ∫_0^ζ に変更することで発生する定数は後ろの定数に吸収させると (5) F(w)=C∫_0^w Π_{k=1}^{n-1} (ζ-ζ_k)^{-β_k} dζ+C' を得ます。 (5)の形のときは、w=∞ が多角形の一つの頂点に対応しています。(3')の形のときは、w=∞ は多角形の一つの辺上の点に対応しています。(3') と (5) ではそういう(たったそれだけの)違いがあります。