質問: ラプラス変換が可能な範囲とは 関数 f(t)=aexp{-at} をラプラス変換せよ。 という問題が出されれば、 l{f(t)}=a/(s+a) と皆さん答えられると思うのですが、ここで 「ラプラス変換可能な範囲を答えよ。」 という漠然とした問題が出されたとき、 一般的にはどのように答えれば良いのでしょうか。 tの範囲を答えれば良いのか、 或いはsの範囲を答えれば良いのかも分かりません。 私の未熟さが諸に出る質問ですが、ご教授願います。
回答: sの範囲だと思います。というのは、tの積分範囲は 0~∞と、ラプラス変換では定まっていますから。 f(t)=aexp{-at}のラプラス変換は ∫e^-st・aexp{-at}dt[0~∞] =∫ae^-(s+a)tdt[0~∞] ですが、sは複素数ですからs=c+biとおくと ∫ae^-(a+c)t・e^-btidt[0~∞]となります。 この積分が複素平面上で、絶対値が発散しないためには、a+c≧0,つまりc≧-aとなる必要があります。 これは、sの範囲が複素平面で、-aという虚軸に平行な 直線から右半分の複素数のみがラプラス変換したときに意味があるということだと思います。