質問: 二次関数の場合分けの方法 関数f(x)で f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2aで y=┃f(x)┃【絶対値f(x)の意】の0≦x≦1における最小値を求める問題なのですが解等を見ると6つに場合分けしてありました。 解答しか載っていなくて困っています。。。 解法などを詳しくヨロシクお願いしますx_x
回答: f(x)=y=x^2-2(a+1)x+a^2+2a は y=(x-(a+1))^2-1 ・・・(1) と変形できるのはお分かりでしょうか。これは、座標(a+1,-1)を頂点とする下に凸の放物線です。 これが y=│f(x)│・・・(2) となるとx軸より下の部分が、x軸を対称軸にして折り返されたようなグラフになります(「w」のような形になります。グラフを書いて確認してみて下さい)。 この「w」型のグラフはyが最大または最小となる点が3つあります。 f(x)=y=0を満たす2点((1)のグラフとx軸の交点)で最小となり、点(a+1,1)で最大となります(y=0となる時のxの値は、(1)式=0を解くと出てきますので、出してみて下さい)。 ここで、仮にグラフの左(xの小さい方)から順にa(最小)、b(最大)、c(最小)とすると、上の計算で出した結果が正しければac間の距離は2になるはずです。グラフは左右対称の形をしていますので、ab間はその半分の「1」になります。つまり、0≦x≦1という区間の長さと同じということです。 そうなると、(2)のグラフがaの値によってx軸に並行に移動した場合に、与えられた区間0≦x≦1で最小値が変わってくるのは、その区間が 1)aより左(負)側にある時 2)aをまたぐ時 3)bをまたぐ時(bより左(負)側で最小値を取る場合) 4)bをまたぐ時(bより右(正)側で最小値を取る場合) 5)cをまたぐ時 6)cより右(正)側にある時 の6つの場合ということになります。書いてみたグラフを見ながら、その違いを確認してみて下さい。 ここまでのことが分かれば、後は方程式が解けるかどうかの問題です。とりあえず、以上のことをヒントにして解いてみて下さい。