質問: にゃんこ先生の自作問題、3つの無理数の和と積が無理数か有理数かにおいて、すべての可能性がありうるか? にゃんこ先生といいます。 2つの有理数a,bがあるとき、その和と積は閉じています。 2つの無理数a,bがあるとき、その和と積は閉じていないですが、次のようにすべての可能性の例があることを調べました。 a+b=有、a*b=有、の例:a=√2、b=-√2 a+b=有、a*b=無、の例:a=√2、b=1-√2 a+b=無、a*b=有、の例:a=√2、b=√2 a+b=無、a*b=無、の例:a=√2、b=√3 では、3つの無理数a,b,cがあるとき、その和a+b+cと、積abcと、ここで仮に積和と呼ぶab+bc+caと、ここで仮に和積と呼ぶ(a+b)(b+c)(c+a)が、有理数か無理数かにおいて、すべての可能性はあるのでしょうか? 和と積と積和と和積がそれぞれ有理数か無理数かにおいては、2^4=16通りの可能性がありますが、すべての可能性の例はあるのでしょうか?それともありえないパターンはあるのでしょうか?
回答: 3つの基本対称式でいいなら, 解と係数の関係から 3次方程式の解に関する議論に転換でき, 結論としては「全ての可能性がある」となると思います>#2.