質問: v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+...+(v,en)en+... から f(x)=(f(x), v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+...+(v,en)en+... から f(x)=(f(x), e1)e1+(f(x), e2)e2+...+ と出来るそうなのですが、なぜベクトルvを関数f(x)に置き換えられたのでしょうか? ベクトルと関数は v=2v1^2+5v1→f(x)=2x^2+5x的な感じで vをf(x)に置き換えられないでしょうか? 仮に置き換えられないならなぜ置き換えられないのでしょうか? また、置き換えられる場合はなぜ置き換えられるのでしょうか? また、なぜ内積(f(x),f(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・f(x)}dx)=1と出た際にf(x)同志は直交していないのに正規直交基底と 名前に直交が入るのでしょうか? どうかわかりやすく教えてください。
回答: 何がきききたいのか、だいたい想像はできるんだけど、 質問文があまりにも説明不足で、想像するしかない。 本で読んだ内容がしっかりできない理由も、そういう なんとなく式をいじって考えていて、自分が何をしているのか ちゃんと把握できてないとこから来るんじゃないかなあ... > なぜベクトルvを関数f(x)に置き換えられたのでしょうか? 関数はベクトルの一種だから。 このことが、一連の話の はじまりにしてすべてだから、ここはきちんと理解しよう。 「ベクトル」は、中学の教科書に出てきた (1,2) とかが 全てではなくて、抽象化された「ベクトル空間」の定義を 満たす集合の元が皆、ベクトルと呼ばれる。 ベクトル空間の定義は、ちゃんと本で確認してほしいが、 とりあえず見るなら、これとか↓ https://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%99%e3%82%af%e3%83%88%e3%83%ab%e7%a9%ba%e9%96%93#%e5%ae%9a%e7%be%a9 同じページに、関数空間がベクトル空間のひとつであることの説明もある↓ https://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%99%e3%82%af%e3%83%88%e3%83%ab%e7%a9%ba%e9%96%93#%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%a9%ba%e9%96%93 > ベクトルと関数は v=2v1^2+5v1→f(x)=2x^2+5x的な感じで > vをf(x)に置き換えられないでしょうか? 意味不明。 それは、 v を f(x) で置き換えたのではなくて、 f(v) という関数を考えているのではないだろうか。 > なぜ内積(f(x),f(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・f(x)}dx)=1と出た際に > f(x)同志は直交していないのに正規直交基底と 名前に直交が入るのでしょうか? これも、話の流れが見えない。 関数空間に (f(x),g(x)) = ∫[-π,π] f(x)g(x)dx で内積を定義したとき ある f(x) が (f(x),f(x)) = 1 を満たしたという話で、 その f(x) が 関数空間のとある正規直交基底の基底ベクトルのひとつだというのなら、 その (f(x),f(x)) = 1 は、正規直交基底の「直交」ではなく「正規」の部分に 関係している。 実3次元ベクトル空間の正規直交基底 { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } で、 基底ベクトルのひとつ (0,1,0) は (0,1,0)・(0,1,0) = 1 を満たしている とか、そういう話。