質問: 極限の計算について lim(n→∞)(1+x/n)^n=e^x ですが、 n→∞ のとき、f(x)→ 極限の計算について lim(n→∞)(1+x/n)^n=e^x ですが、 n→∞ のとき、f(x)→α (定数) ならば lim(n→∞)(1+f(x)/n)^n=e^α は成り立つでしょうか? また、成り立つ場合の証明をお教えください。
回答: 成り立ちます。 (1+f(x)/n)^n = { (1+f(x)/n)^(n/f(x)) }^f(x) なので、 y = n/f(x) と置けば limn→∞^n = { limy→∞^y }^lim[n→∞]f(x) = e^α.