質問: 1 をみたしている。このとき、線分 oa, ob, oc のうち 少なくともひとつは長さが 1 以下であることを示せ。 教えてください。なるべく詳細な解説をお願いします。
回答: (↑oa,↑ob)=(↑ob,↑oc)=(↑oc,↑oa)=1 |ob|<|oa|の時aとbの変数名を入れ替えて |oa|≦|ob|とする |oc|<|oa|の時aとcの変数名を入れ替えて |oa|≦|oc|とする とする 1<|oa| と仮定する 1=(↑oa,↑ob)=|oa||ob|cos∠aob |oa||ob|cos∠aob=1 |ob|cos∠aob=1/|oa| (|ob|cos∠aob)^2=1/|oa|^2 (|ob|sin∠aob)^2={(|oa||ob|^2)-1}/|oa|^2 |ob|sin∠aob=[±√{(|oa||ob|)^2-1}]/|oa| 1=(↑oa,↑oc)=|oa||oc|cos∠aoc |oa||oc|cos∠aoc=1 |oc|cos∠aoc=1/|oa| (|oc|cos∠aoc)^2=1/|oa|^2 (|oc|sin∠aoc)^2={(|oa||oc|)^2-1}/|oa|^2 |oc|sin∠aoc=[±√{(|oa||oc|)^2-1}]/|oa| 1 =(↑ob,↑oc) =|ob||oc|cos∠boc =|ob||oc|cos(∠aob-∠aoc) =|ob|cos(∠aob)|oc|cos(∠aoc)+|ob|sin(∠aob)|oc|sin(∠aoc) =(1±√[{(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1}])/|oa|^2 1=(1±√[{(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1}])/|oa|^2 |oa|^2=1±√[{(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1}] ↓|oa|>1だから |oa|^2-1=√[{(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1}] (|oa|^2-1)^2={(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1} |ob|≧|oa|だから |oa||ob|≧|oa|^2 |oa||ob|-1≧|oa|^2-1 (|oa||ob|)^2-1≧(|oa||ob|+1)(|oa|^2-1) |oc|≧|oa|だから |oa||oc|≧|oa|^2 |oa||oc|-1≧|oa|^2-1 (|oa||oc|)^2-1≧(|oa||oc|+1)(|oa|^2-1) {(|oa||ob|)^2-1}{(|oa||oc|)^2-1}≧(|oa||ob|+1)(|oa||oc|+1)(|oa|^2-1)^2 だから (|oa|^2-1)^2≧(|oa||ob|+1)(|oa||oc|+1)(|oa|^2-1)^2 ↓両辺を(|oa|^2-1)^2で割ると 1≧(|oa||ob|+1)(|oa||oc|+1) となって (|oa||ob|+1)(|oa||oc|+1)>1に矛盾するから ∴ |oa|≦1