質問: a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 とご教示頂きました。 定義[1],[2]について考えると、 [1]が成り立てば、[2]は成り立つと思います。 [1]はa+b=1によらず、f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立ちますから。 翻って、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと 言う事になりませんか?この点で混乱しています・・・ ご回答よろしくお願い致します。
回答: 線型変換を定義するとき、[1] の他に... [1'] 体 k 上のベクトル空間 v 上の変換 f で、 x,y∈v, a∈k について常に f(x+y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 [1''] 体 k 上のベクトル空間 v 上の変換 f で、 x,y∈v, a,b∈k について a+b=1 のとき f(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 ...などとしても善いです。 [1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることは 簡単に示すことができます。 高校の教科書では、[1] より [1'] のほうが お馴染みじゃないかな? で、[1''] と [2] を比べてみると、 線型変換とアフィン変換の対比が よりハッキリするかと。 線型変換では、スカラー倍するという操作が 変換の前後で保存されることから、 スカラー倍の相似中心である原点の存在が 重要になってくるのです。