質問: ベクトルの問題 この問題がわからないのでどなたか教えてください。 平面上に,1辺の長さがaの正三角形abcと点pがある。点a,b,c,pの位置ベクトルをそれぞれa→,b→,c→,p→とし,点pは 3p→=(1+t)a→+(1+2t)b→+(1-3t)c→(tは実数)という関係を保って動く。 (1)動点pの軌跡はベクトル(ア)に平行な直線である。 (2)ap→をab→,ac→を使って表すと ap→=(イ)ab→+(ウ)ac→ となる。ap//bcとなるのは,t=(エ)のときで,このとき,4点a, b,c,pが作る台形の面積は(オ)である。
回答: 以下でa,b,c,p,ab,ac,ap,bc等はベクトルです。上に→を付けてね。また正三角形の一辺の長さはここでは大文字のaとしました。 (ア)は色々な答えが可能です。 [解答] (1)与えられた式3p=(1+t)a+(1+2t)b+(1-3t)cを変形して、 p=1/3(a+b+c)+1/3(a+2b-3c)t これは、動点pが三角形abcの重心を通り、ベクトル1/3(a+2b-3c)に平行な直線上を動くことを示す。 (2)ap=mab+nac・・・・(*)とする。すなわち、 p-a=m(b-a)+n(c-a) ⇔ p=(1-m-n)a+mb+nc ⇔1/3(1+t)a+1/3(1+2t)b+1/3(1-3t)c=(1-m-n)a+mb+nc これより、係数比較して、 1+t=3-3m-3n・・・・(1), 1+2t=3m・・・・(2), 1-3t=3n・・・・(3) (2)、(3)より、 m=(1+2t)/3, n=(1-3t)/3 (→それぞれイ、ウの答え) また、このm,nは(1)を満たす。 次に、ap//bcとなるのは、適当な実数kを用いて、ap=kbc すなわち、 ap=k(ac-ab)=-kab+kac となるときだが、これと(*)より、このときm=-k, n=kすなわち、 (1+2t)/3=-k, (1-3t)/3=k である。この2式からkを消去して、 1+2t+1-3t=0 ⇔ t=2 (エの答) このとき、3p=3a+5b-5c ⇔ p-a=5/3(b-c) ⇔ ap=5/3cbだから、 点aを通り辺cbに平行な直線を引いたとき、その直線上のap=5/3cbとなる点(ただし辺abに対し点cとは反対側) が点pの位置である(実際に書いてみてください)。 台形acbpの面積は線分ap、線分acを隣り合う二辺とする平行四辺形の面積の4/3倍で、正三角形abcの面積は √3/4・a^(2)なので、求める面積はこれの8/3倍。すなわち、 2√3/3a^(2) (←オの答え)■ 以上ですが、ちょっと酔っ払いながら書いたのでどこかミスがあったら御報告下さい。 イとウは、このような穴埋め形式では表面的には問題にならないのですが、(2)と(3)から出てきたm,nが(1)をも満たす ことが言えて、初めて答えになります。 あっそうそう、√3は「ルート3」のつもりです。