質問: 熱力学の問題です。 答えを導出する式が分かりません。わかる方いませんか?
回答: 古典論では各自由度に対して(1/2)RTのエネルギーが配分されます。 そしてそれぞれの運動の内部エネルギーへの寄与は(1/2)RTです。定積比熱は(∂U/∂T)_v、定圧比熱CpはCv+Rです。 (1)二原子分子は直線分子で並進運動の自由度がx, y, z方向で3つ、回転主軸が2つあり、回転運動の自由度が2つあります。よって全体の自由度は5です。これにより内部エネルギーは5x(1/2)RT=(5/2)RTとなります。従って Cv=(∂U/∂T)_v=(5/2)R Cp=Cv+R=(7/2)R となります。 因みに比熱比κはκ=Cp/Cv={(7/2)R}/{(5/2)R}=7/5=1.4となります。 (2)単原子分子;並進運動の自由度3、回転運動の自由度0、 合計3 2原子分子;並進運動の自由度3、回転運動の自由度2、合計5 3原子分子;並進運動の自由度3、回転運動の自由度は非直線分子なら自由度3、合計6 (3) He Rg=2.077、 定積比熱=(3/2)Rg=3.115、定圧比熱=3.115+2.077=5.192 Cp実測=5.193 N2 Rg=0.297、 定積比熱=(5/2)Rg=0.742、定圧比熱=0.742+0.297=1.039 Cp実測=1.041 CO2(自由度6) Rg=0.189、 定積比熱=(6/2)Rg=0.567、定圧比熱=0.567+0.189=0.756 Cp実測=0.8518 CO2(自由度7) Rg=0.189、定積比熱=(7/2)Rg=0.661、定圧比熱=0.661+0.189=0.850 Cp実測=0.8518 CO2は自由度が7とするとCpの計算値が実測とあいます。 さて比熱比Cp/Cvは単原子分子なら5/3=1.67でHe、Arなどは合っています。直線分子なら7/5=1.4です。O2, N2, 空気(N2とO2よりなる)は合っています。 しかるにCO2は1.293で1.4より小さくなっています。 κ=Cp/Cv=(Cv+R)/Cv=1+R/Cv ですから比熱比1.292とは R/Cv=0.292 Cv=R/0.292=3.42R を意味します。つまり内部エネルギーに寄与する自由度が3.42x2=6.85個あることになります。このうち3つは並進運動です。CO2を非直線分子と考えれば回転の自由度が3です。残り0.85ですが、考えられるのは特定の振動モードの比熱への寄与です。(普通は振動は効いてこない) ただCO2についてのデータをもっていないので以上の説明は一つの推量です。