質問: 2ni + i^2としても、i=0なので0ですよね? このa[0] * x^nはどうやって導いたのでしょうか? 教えてください。お願いします。
回答: 模範解答で、y = x^c σ[i=0,∞] a[i] x^i が y'' + (1/x)y' - (n^2/x^2)y = 0 の解であるために、 c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,...) が必要であること を導いたところまでは解ったのですね? 後は、十分性を確認すればよい。 質問文の「自分で考えてみますと」の部分のように計算すると、 c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,...) でさえあれば、a[0] の値には依らず、 σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] x^(i+c-2) = 0 が成立する ことが判ります。 { 0 } a[0] x^(n-2) = 0 は、a[0] の値が何であっても成立しますからね。 これにより、c = n かつ a[i] = 0 (i=1,2,3,...) であることが、 y = x^c σ[i=0,∞] a[i] x^i が微分方程式の解になる必要十分条件と判り、 c と a[i] (i=1,2,3,...) を代入して、 解は y = x^n σ[i=0だけ] a[i] x^i = a[0] x^n と書ける ことが解るのです。