質問: 0 以外の整数解 a, b, c が存在しないことを証明せよ. ↑わかりやすく解説したい人がいるのですが、自分の学力では難しいため、わかる方いましたら途中経過等含め解説お願いします。
回答: (1) 以下では、ある数Xを5で割った時の余りをR(X)で表します。 整数aはR(a) = pの時 a = 5k+p (kは整数、p = 0,1,2,3,4のどれか) と表せるので、 a^2 = (5k+p)^2 = 25k^2 + 10kp + p^2 において25k^2と10kpは5の倍数である事から、 R(a^2) = R(p^2) となります。すなわち R(a) = 0 ⇒ R(a^2) = 0 R(a) = 1 ⇒ R(a^2) = 1 R(a) = 2 ⇒ R(a^2) = 4 R(a) = 3 ⇒ R(a^2) = 4 R(a) = 4 ⇒ R(a^2) = 1 です。 同様に整数bはR(b) = qの時 b = 5m+p (mは整数、q = 0,1,2,3,4のどれか) と表せるので、 2b^2 = 2(5m+q)^2 = 50m^2 + 20mq + 2q^2 において50m^2と20mqは5の倍数である事から、 R(2b^2) = R(2q^2) となります。すなわち R(b) = 0 ⇒ R(2b^2) = 0 R(b) = 1 ⇒ R(2b^2) = 2 R(b) = 2 ⇒ R(2b^2) = 3 R(b) = 3 ⇒ R(2b^2) = 3 R(b) = 4 ⇒ R(2b^2) = 2 です。 a^2 + 2b^2を5で割った余りは上記の25通りすべての組み合わせに おけるR(a^2 + 2b^2) = R(R(a^2) + R(2b^2))を計算すれば 求まります。例えば R(a) = 2, R(b) = 1の場合はR(a^2) = 4, R(2b^2) = 2なので R(a^2 + 2b^2) = R(4 + 2) = R(6) = 1 となります。他の組み合わせについては省略します。 (2) R(a^2)とR(2b^2)の表を見ると、 R(a^2) = 0か1か4 R(2b^2) = 0か2か3 である事が分かります。...(#1) さてa^2 + 2b^2 = 5c^2が成り立つならば、 5c^2が5の倍数である 事からa^2と2b^2の和も5の倍数になります。そして(#1)より a^2と2b^2の和も5の倍数になるのはR(a^2) = 0, R(2b^2) = 0の 場合のみである事が分かります。すなわちR(a) = 0, R(b) = 0です。 そこでa = 5k, b = 5mと置くと a^2 + 2b^2 = 25k^2 + 50m^2 これが5c^2に等しいので 25k^2 + 50m^2 = 5c^2 両辺を5で割って 5k^2 + 10m^2 = c^2 左辺は5の倍数なので右辺も5の倍数です。 c^2が5の倍数なのでcも5の倍数となり、 c = 5n と置けます。すると 5k^2 + 10m^2 = (5n)^2 5k^2 + 10m^2 = 25n^2 両辺を5で割って k^2 + 2m^2 = 5n^2 となりますが、これは元の等式 a^2 + 2b^2 = 5c^2 と同じ形です。 つまり(a,b,c) = (0,0,0)以外でa^2 + 2b^2 = 5c^2を満たす整数a,b,cが 存在すればそれぞれを5で割っても同じ式を満たすので、何回でも a,b,cを5で割って行く事で新たな整数解が見つかる事になります。 これは明らかに矛盾なので、(a,b,c) = (0,0,0)以外で a^2 + 2b^2 = 5c^2を満たす整数a,b,cは存在しません。