質問: (1)dy/dx=-y+y^2 (2)dy/dx+y=(e^x)(y^2) の微分方程式の解き方を教 (1)dy/dx=-y+y^2 (2)dy/dx+y=(e^x)(y^2) の微分方程式の解き方を教えてください。
回答: (1) 与式を変形して、∫{ 1/(-y+y^2) }dy = ∫dx です。 左辺の積分は、被積分関数を部分分数分解すれば求められます。 ∫{ 1/(-y+y^2) }dy =∫{ 1/(y-1) - 1/y }dy = log|y-1| - log|y| + (定数) です。 log|y-1| - log|y| = x + c (cは定数) を整理して、 y = 1/{ 1 + ae^x } (a=±e^c) となります。 (2) 方程式の両辺を y^2 で割ると、 (1/y^2)(dy/dx) + (1/y) = e^x です。これを -(d/dx)(1/y) + (1/y) = e^x と見て、積分因子法で解くなら、 両辺に -e^-x を掛けて {(d/dx)(1/y)}e^-x + (1/y){(d/dx)e^-x = -1. この左辺は積の微分法の形になっていますから、 両辺を x で積分すると (1/y)e^-x = -x+c (cは定数). 整理して y = 1/{ (-x+c)e^x } です。