質問: (a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,dがそれぞれ異なる自然数の時 (a+c)(a-c)=x (d+b)(d-b)=x とした時、xが成立する最小の自然数は15だというのはわかるのですが、それを証明する術を教えてください。
回答: 命題はつぎのように書けます。 自然数xは、2通りの自然数の積で表せる。 それぞれの積は、別の自然数の和と差で表せる。 このような自然数xのうち最小のものは15である。 1から15までで考えればいいので、全部確認してもいいと思いますが、条件を絞っていきます。 no.1さんのいうように xは、奇数か、4の倍数 (1) 2通りの積で表せることから xは素数ではない (2) xは素数の2乗ではない (3) 以上より、候補は8か15になります。 8=8x1=4x2 15=15x1=5x3 別の自然数の和と差の積であることから、 x=奇数x奇数 または 偶数x偶数 になり、候補は15のみになります。 実際に別の自然数の和と差の積で表せるか確認すると (a,c,b,d)=(8,7,4,1) となることがわかり、条件を満たす最小値は15であることが分かります。