質問: a,bを自然数とするとき、 a!b!≦{(a+b/2)!}2は成立しますか?
回答: 残念ながら、符号が逆です。 a+b=2n(偶数)、a≧0、b≧0の時、 a!b! ≧ [{(a+b)/2}!]^2 これなら、いつでも成立します。 等号成立は、a=bの時です。 [証明] 便宜上、仮に a≧b とする。 a+b=偶数なので、aとbは整数nとmを用い、 a=n+m b=n-m (n≧m≧0) と、表せる。 この時、 n!/(n-m)! と (n+m)!/n! を比較すると、 n!/(n-m)!=n×(n-1)×......×(n-m+1) (n+m)!/n!=(n+m)×(n+m-1)×......×(n+1) となるため、明らかに (n+m)!/n! ≧ n!/(n-m)! (等号成立は、m=0の時) です。ここで n!>0、(n-m)!>0 なので、分母を整理すると (n+m)!(n-m)! ≧ (n!)^2 となりますが、これは a!b! ≧ [{(a+b)/2}!]^2 と、全く同じ式です。