質問: y'+ayQ(x)の解はy(e^-ax)∫(e^ax)Q(x)dxであることを導け
回答: Q(x)の関数形が具体的にわかっていない場合は未定係数法は定数変化法に帰着する。 y'+ay=Q(x) (1) (i)同時方程式 y'+ay=0 の一般解ygは 特性方程式 p+a=0 より p=-a yg=ce^(-ax) (ii)(1)の特殊解ysを ys=C(x)e^(-ax)とおく。 ys'=C'(x)e^(-ax)-aC(x)e^(-ax) これらを(1)に代入する。 C'(x)e^(-ax)-aC(x)e^(-ax)+aC(x)e^(-ax)=Q(x) C'(x)e^(-ax)=Q(x) C'(x)=Q(x)e^(ax) C(x)=∫Q(x)e^(ax)dx ys=e^(-ax)∫Q(x)e^(ax)dx (iii)(1)の一般解y y=yg+ys=ce^(-ax)+e^(-ax)∫Q(x)e^(ax)dx =e^(-ax)[c+∫Q(x)e^(ax)dx]