質問: f=3x^2+4xy+6y^2 g=x^2+y^2-1 g=0のもとでのfの最大値を求めたいです ラグランジュの解き方教えてください。
回答: L=f(x,y)-λg(x,y) =3x^2+4xy+6y^2-λ(x^2+y^2-1) 極値を与える点は以下の条件を満たす。 ∂L/∂x=6x+4y-2λx=0 (1) ∂L/∂y=4x+12y-2λy=0 (2) ∂L/∂λ=-(x^2+y^2-1)=0 (3) (1) : (λ-3)x=2y (1)' (2) : (λ-6)y=2x (2)' x=0とすると(1)よりy=0:これは(3)を満たさない。 よってx≠0、y≠0とする。 (1)'×(2)' (λ-3)(λ-6)xy=4xy xy≠0なので (λ-3)(λ-6)=4 λ^2-9λ+14=0 (λ-2)(λ-7)=0 λ=2, 7 (i)λ=2 (1)' : -x=2y (2)' : -4y=2x よって x=-2y (3)に代入 5y^2=1 : y=±1/√5, x=∓2/√5 f=3x^2+4xy+6y^2=12/5-8/5+6/5=2 (最小) (ii)λ=7 (1)' : 4x=2y (2)' : y=2x よって y=2x (3)に代入 5x^2=1 : x=±1/√5, y=±2/√5 f=3x^2+4xy+6y^2=3/5+8/5+24/5=7 (最大) 答 x=±1/√5, y=±2/√5のとき、最大値7