質問: 非対称行列の固有値と正定値性について 画像にあるように、非対称な行列について質問があります。 ある英語の本の問題で、画像に書いてある行列について以下のような問があります。 is the matrix positive definite? (これは正定値行列ですか?) 正定値行列がわからなかったので、調べたのですが、普通は対称行列に対して求めるもので、非対称な行列に対してそもそも取り扱われていないようでした。 また、正定値行列は固有値が全て正であるとのことだったのですが、この行列の固有値を求めたところ、複素数が出てきました。 これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか?
回答: nを整数とし aをn次実行列とし xを実列ベクトルとする (*^tを*の転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて s=x^t・a・x が正であるときaを正値であるという s=(s+s^t)/2=x^t・(a+a^t)・x/2 であるから aが正値⇄(a+a^t)/2が正値 m=(a+a^t)/2 は実対称行列であるから 行列が正値であるかどうかを論ずるときには 実対称行列だけを議論の対象にすればよい 今回の場合 √2・m= [1 0] [0 1] でありmの固有値は1/√2であり正であるから 与行列は正値である