質問: 集合、濃度の問題について教えてください。 (1)は解決できました。(2)、(3)の考え方と解法がつかめません。よろしくお願いします。 問題 集合xの濃度を♯xであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ=0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}=1である。集合xから集合yへの写像全体の集合をy^xと表す。 更に、濃度のべき乗〖(♯y)〗^(♯x)を♯(y^x)と定義する。以下の問いに答えよ。 (1)♯x_1=♯x_2かつ♯y_1=♯y_2ならば、〖(♯y1)〗^(♯x1)=〖(♯y2)〗^(♯x2)を証明せよ。 (2)0^(♯x)を求めよ。 (3)特に、00を求めよ。 (2)について、0^(♯x)は、問題文の定義より、♯(φ^x)と書き表せます。 ただ、∮;x→φという写像の全射かつ単射を示すにはどうすればよいでしょうか? また、どのような答えにいきつくのでしょうか? (3)については、0しか含まない集合zから0しか含まない集合wという写像kを考えて、全単射がわかるという形で大丈夫でしょうか? ※(1)は以下のようになりました。 ♯x_1=♯x_2より、fという全単射(f;x1→x2)が存在。 ♯y_1=♯y_2より、gという全単射(g;y1→y2)が存在。(仮定より) ゆえに φ:(y1)^(x1)→(y2)^(x2) と置き、全単射が存在すればいい。 φが全単射で示された。
回答: (1)質問の中に書かれた答えでは不足です。 φを具体的にf,gから構成してください。 (2)定義と(1)から0^(♯x)=♯(φ^x) ♯(φ^x)は{f:x→φ}の濃度です。 xが空集合でないとき、x∈xに対してf(x)∈φですから、そんなfは存在できません。 従って{f:x→φ}=φです。 従って、0^(♯x)=♯(φ^x)=♯(φ)=0 x=φのときは、空な関数f:φ→φが唯一存在します。 従って、0^(♯φ)=♯(φ^φ)=#({φ})=1 (3)(2)の最後の部分から0^0=0^(♯φ)=1