質問: ばねの運動 大学で基礎力学を履修しているものです。 今、重心のところを習っているんですが、次の問題がわかりません。 「自然長l、ばね定数kのばねの下端に質量m1の物体a、上端に質量m2の物体bをとりつける。物体bを支えた状態から静かに離して自由落下させたときの運動を考える。鉛直下向きにz軸をとり、物体a,bのz座標をそれぞれz1,z2とする。時刻t=0における物体bの位置を原点とする。重力加速度の大きさをgとして次の問いに答えよ。 (1)t=0における物体の位置を求めよ (2)物体a,bの運動方程式をそれぞれ書き下せ (3)重心座標の運動方程式を求め、これをといて重心座標を時刻tの関数としてあらわせ (4)相対座標の運動方程式を求め、これをといて相対座標の運動方程式を時刻tの関数として表せ という問題です。 (1)はわかるんですが、(2)、(3)、(4)がわからないです。 (2)は、考えてみたところ、m1a=m1-k(l-z1) m2a=(m1+m2)gーk(l-z1)となりました(a=d^2x/dt^2)
回答: (1)aは重心とつりあう位置ですね。z1>z2ですね、念のため。 (2)ポイントは自然落下中でbの座標も変わるということ。 ばねの長さは(z1-z2),力は相反してl-(z1-z2)で伝わる。力の向きは考えてください。 (3)重心位置に変更を及ぼすものは重力しか存在しません。(内部の力は作用反作用で相殺し、重心には効果を及ぼしません)よって、初期の重心位置から自由落下する運動方程式。 (4)今度は並進の力を落とします。初期ののびから、ばねで結ばれただけの二つの物体の運動方程式を解きます。 ・重心を使って考えても相対を使って考えても結果は一緒という問題ですね。 数学的には(2)を解いた時点で(z1(t)+z2(t))/2=z(t)で(3)が、(z1(t)-z),(z2(t)-z)で(4)が求まるはずです。