質問: 2重積分 変数変換をする場合 どなたか教えていただけないでしょうか? 1.∫∫(x^2+y^2)dxdy d={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1} 2.∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy d={(x,y)|0≦x,0≦y} 上記の問題について、変数変換を使用するんだろうなとは解るのですが、そこから実際どうやって解いていくのかわかりません。 1については(x-1)=rcosθ,y=rsinθとして変数変換するのでしょうか? 2については、x=rcosθ,y=rsinθとして考えてみたのですが、dの領域が座標変換した場合にどうなるのかさっぱり見当が付きません。 変数変換をするところから答えを導出するまで、詳しい過程を教えていただける方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。
回答: 考え方はだいたい合ってますよ。 (1)について、 (x-1)=rcosθ,y=rsinθと変数変換すれば 集合e={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦2π}が 集合dに一対一にうつる。 ヤコビアンj=rで、 x^2+y^2=(rcosθ+1)^2+(rsinθ)^2 =r^2+2rcosθ+1 だから、 ∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫∫(r^2+2rcosθ+1)|r|drdθ として、あとはどちらを先に積分しても 計算できると思いますが、θを先にした方がよいかと思います。 結果は、∫2π*(r^3+r)dr=2π[r^4/4+r^2/2] =2π(1/4+1/2)=3π/2 かな?間違っていたらすいません。