質問: ベクトル 中心o、半径1の円周上に相異なる4つの点a,b,c,dを ∠aob=∠boc=∠cod=θ (0<θ<π/2)となるようにとる。 v(ob),v(oc)をそれぞれv(b),v(c)とするとき (1)v(od)をv(b),v(c),θを用いて表せ。 (2)線分acと線分bdの交点をpとするとき、v(op)をv(b),v(c),θを用いて表せ。 という問題なのですが、 (1)私では v(od)=-v(ob)+tv(oc)という風にしか表せそうにないのですが、 回答の形はθも使うのでどう表せばよいか全く分かりません。 ∠aob=∠boc=∠cod=θ なので、 弧ab=弧bc=弧cd,弦ab=弧bc=弧cd 円の半径から、oa=ob=oc=od であり、△oab、obc,ocdは二等辺三角形という事しか読み取れませんでした。
回答: 表記の簡単のため,ベクトルoa, ob, oc, od, opを それぞれa, b, c, d, pと書きます. (1) bの係数が-1だということが分かったのなら,あと少しです. d = -b + tc の両辺とcとの内積をとる.条件から |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a・b = b・c = c・d = cosθ だから, cosθ = -cosθ + t t = 2cosθ . 図を描けば簡単で,oに関してbと対称な円周上の点をb'とすると, 三角形ob'dは,角ob'd=odb'=θの二等辺三角形であり,b'dとocは平行.ゆえにbの係数は-1. また,oからb'dに下ろした垂線の足をqとすると,dq=b'q=cosθ. したがってb'd=2cosθで,d = -b + 2cosθ c. (2) (1)と同様にして,a = -c + 2cosθ b. pはac上にあり,かつbd上にあるから,実数k, lを用いて p = ka + (1-k)c p = lb + (1-l)d と表せる. これにd = -b + 2cosθ c,a = -c + 2cosθ bを代入して,係数を比較してk, lを求める. 機械的にやるなら上のような感じでしょう. ただし,これも図と対称性から簡単に解くことができます. 対称性からpは角bocの2等分線上にあるから,ある実数mがあって p = m(b+c) となる.いまocとbdは垂直(ocを二等辺三角形obdの角oの2等分線と見ればよい)だから,ocとdpも垂直で c・↑dp = 0 c・(p-d)=0 である. c・p = m(b・c+|c|^2)=m(cosθ+1) c・d = cosθ であるから,m=cosθ/(1+cosθ)を得て終了.