質問: 論理的にこの確率の問題がわかりません 右の図のような碁盤の目の道路(各碁盤の目は東西間、南北間の距離はすべて等しい)がある。 甲、乙2人が、それぞれa地点、b地点を同時に出発し、甲はbに、乙はaに向かって同じ速さで進むものとする。 ただし、2人とも最短距離を選ぶものとし、2通りの選び方のある交差点では、どちらを選ぶかは1/2の確率であるものとする。 このとき、次の確率を求めよ。 1甲がc地点を通る確率。 僕の解き方はまず確率とは場合の数を全事象で割ったにすぎないのでまず、甲がc地点を通る場合の数を考えます。 よって3c1×4c2=18通り よって全事象は7c3=35通り よって18/35としました。 しかし間違いでした。 なぜこのとき方では駄目なのでしょうか??? 論理的に教えて下さい。
回答: おそらく質問者さまの解き方は以下のような発想ではないかと推察します。 1、甲がaからbまで進むためには、縦に3ます、横に4ます(合計7ます)進む必要がある。 2、cを通るためには縦に1ます、横に2ます(合計3ます)進まなければならない。しかも縦は特定の3本のうちのどれか1本、横は特定の4本のうちの2本を通る必要がある。 3、従ってcを通る場合の数は3c1×4c2=18通りである。 4、全事象は縦横合わせて7ます分進む中から、cを通るまでの3ます分を選ぶ組み合わせで7c3=35通り 5、よって確率は18/35。 上の解き方には次のような問題点があります。 まず、cを通る場合の数は18通りもありません。縱・横のますは自由な組み合わせで選び得るのではないため3c1×4c2にならず、実際には(1)最初に縦1ます次に横2ます。(2)最初に横に1ます次に縦1ます最後に横1ます。(3)最初に横2ます次に縦1ます。3通りです。 また全事象も同様に縦に選んだますにより選びうる横のますが限定され、また後戻りができないため35通りもなく8通りです。(縦に3ます、横に4ますあるため、出発点aおよび1つ目、2つ目めの交差点の3か所すべてにおいて縦・横の選択が可能ですから2×2×2=8通りです。)したがって求める確率は3/8 ただし、この解き方よりも、#2さまのように、aを1として、最初に縦・横に1/2ずつ、次の交差点で(曲がれる場合は)順次1/2をかけて確率を計算する(2方向から合流する交差点では加える)樹形図のように考えたほうが、この場合は簡単ではないでしょうか。このやり方なら上記のcを通る3通りのうち、(1)+(2)の確率が1/4、(3)の確率が1/8で、合計して求める確率は3/8であることが比較的簡単に分かります。