質問: 微分方程式の求め方について はじめまして、微分方程式の解き方がわからず困っております。 問題は以下となります。 dδf/dt=-5δf-0.5 から δf(t=0)=0として上記の微分方程式を解くと以下の式になる δf(t)=-0.1{1-exp(-t/0.2)} このδf(t)=-0.1{1-exp(-t/0.2)}がどうやって導いたのかがわからないです。 (ラプラス変換でも解けるみたいですが・・・) ご教授のほどお願いいたします。
回答: (△f = g として) (dg/dt) = -5g - 0.5t = -5(g + 0.1) {1/(g+0.1)}dg = -5dt {(g+0.1)'/(g-0.1)}dg = -5dt (積分して) log( g+0.1 ) = -5t + c' g+0.1 = exp(-5t+c') = c・exp(-5t) [ここでc=exp(c')] (t=0を代入して) g(0)+0.1 = c ∴c = 0.1 [∵g(0)=δf(0)=0] g = -0.1 + 0.1・exp(-5t) = -0.1{ 1-exp(-5t) } ∴g = -0.1{ 1-exp(-t/0.2)} [∵5 = 1/0.2] (なので) ∴δf = -0.1{ 1-exp(-t/0.2) }