質問: 三角形の3つの頂角の二等分線は1点で交わる ということをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。 どうやって証明すればいいのかがわかりません! 教えてください。( ;∀;) ;
回答: チェバの定理の逆は先ほどの回答を参考にしてください。 △ABCにおいて、 ∠Aの二等分線とBCの交点をP、 ∠Bの二等分線とCAの交点をQ、 ∠Cの二等分線とABの交点をRとします。 APは∠Aの二等分線なので、 AB:AC=BP:PC これを言い換えると、 CA/AB=PC/BP...1 BQは∠Bの二等分線なので、 BA:BC=AQ:CQ これを言い換えると、 AB/BC=QA/CQ...2 CRは∠Cの二等分線なので、 CB:CA=BR:AR これを言い換えると、 BC/CA=RB/AR...3 ここで、RB/AR・PC/BP・QA/CQの値は 1、2、3より、 CA/AB・AB/BC・BC/CAとなり、約分すると1です。 つまり、RB/AR・PC/BP・QA/CQ=1が 成り立つので、チェバの定理の逆から、 三角形の3つの頂角の二等分線は1点で交わる ことが言えます。