質問: 回転行列初心者です。 任意既存の直交座標系XYZ を新しい直交座標系X'Y'Z'にする回転行列をもとめたいです。 わかっているのは
回答: 回転行列は「正規直交行列」で、行列の3つの列をそれぞれベクトルとしたとき、それらのベクトルは互いに直交する関係にあり、それらベクトルの大きさは1です。従って、このうちの2つのベクトル同士の外積は、もう一つのベクトルと一致します。 また、3つの行をそれぞれベクトルとしたときも同様です。 直交座標系XYZの各軸方向の単位ベクトル(基底ベクトル)を次のように表します。 ex⇡ :X軸方向単位ベクトル ey⇡ :Y軸方向単位ベクトル ez⇡ :Z軸方向単位ベクトル この軸ベクトルを用いて座標系XYZは次のように表されます。 R=( d11, d12, d13 d21, d22, d23 d31, d32, d33 ) =(ex⇡, ey⇡, ez⇡) ex⇡=( d11 d21 d31 ) ey⇡=( d12 d22 d32 ) ez⇡=( d13 d23 d33 ) 正規直交座標系の座標軸ベクトルには次の関係が成り立ちます。 |ex⇡|=1, |ey⇡|=1, |ez⇡|=1 ex⇡×ey⇡=ez⇡, ey⇡×ez⇡=ex⇡, ez⇡×ex⇡=ey⇡ 従って、(ex⇡, ey⇡, ez⇡)から見た回転後の座標軸ベクトルを(px'⇡, py'⇡, pz'⇡)と表すと、 px'⇡=( a b c ) py'⇡=( d e f ) pz'⇡=px'⇡×py'⇡=( bf-ce cd-af ae-bd ) 直交座標系XYZから直交座標系X'Y'Z'への回転は次のように表されます。 (ex'⇡, ey'⇡, ez'⇡)=(ex⇡, ey⇡, ez⇡)・(px'⇡, py'⇡, pz'⇡) (ex⇡, ey⇡, ez⇡) :回転前の直交座標系XYZ (ex'⇡, ey'⇡, ez'⇡) :回転後の直交座標系X'Y'Z' よって、直交座標系XYZから直交座標系X'Y'Z'への回転行列は、次のように表されます。 (px'⇡, py'⇡, pz'⇡)=( a, d, bf-ce b, e, cd-af c, f, ae-bd )