質問: 集合・位相 集合・位相初心者です。 授業で開集合と閉集合、近傍の定義を教えてもらったのですが、理解できず、困っています。 以下は、授業で使っているプリントに載っている定義です。 x:集合 t:xの部分集合からなる集合族 (x,t):位相空間 とする。 xの部分集合uがtの元であるとき、uを開集合という。 また、xの部分集合fの補集合がtの元であるとき、fの閉集合という。 点x∈xに対して x∈u ゚ を満たすxの部分集合uを近傍という。また、このような近傍全体のなす集合族をxの近傍系といい、u(x)で表す。 具体的な例で教えて頂けると助かります。 例えば、集合x={1,2,3,4,5}、位相t={φ,{3},{4},{3,4},{1,3},{1,3,4},x}として、位相空間(x,t)をつくると、この(x,t)の開集合、閉集合、点3の近傍(点は適当に選びました)はどうなるのか。 集合・集合は初心者なので、詳しく教えて頂けると嬉しいです。 ご教授、よろしくお願い致します。
回答: まずは、あなたが挙げた例が位相空間を成していることの証明を補足にどうぞ。