質問: 数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか? 【問題】 数列{An}は A1=6 A(n+1)=2An-3n+1 (n=1,2,3...) (1)Bn=An-3n-2(n=1,2,3...)で定められる数列{Bn}が等比数列であることを示せ (2){An}の一般項をもとめよ An=2^(n-1)+3n+2 となりますが A(n+1)=2An-3n+1 のように 漸化式に『数列』と『n』が混在している時 この問題では Bn=An-3n-2 として考える誘導がついていましたが どうしてこのような数列を考えたのでしょうか? これはたまたま上手くいくからなのでしょうか? それとも何か理由があるのでしょうか?
回答: a[n+1] = a[n]・c + f(n) というタイプの漸化式の場合、 初項は無視して、何かひとつ g(n+1) = g(n)・c + f(n) となる g( ) を見つければ、 辺々引き算して a[n+1] - g(n+1) = { a[n] - g(n) }・c となります。 g( ) を探す時点で、a[1] = g(1) である必要はありません。 a[n] - g(n) が等比数列と判って a[n] - g(n) = { a[1] - g(1) }・c^(n-1) と解けるので、 これに a[1] の値を代入すれば完了です。 このようなやりかたを、「特殊解を用いて非斉次漸化式を 斉次化する」と言います。 たまたまというか、ひらめきによって g( ) を発見しなくては ならないので、いつでも使えるとは限りませんが、 g( ) を思いついたときには、便利に使うことができます。 質問の誘導は、g(n) = 3n+2 が使えるよ ...と教えているのです。