質問: 某中学校入試問題 図形の辺の合計が同じならば、面積の一番大きな図形の形は? 某中学入試の問題です 「あるところに王様がいました。 王様は国民に同じ長さのロープを配って、こういいました。 ”このロープで地面を囲って好きな図形を描き、 一番面積を大きく囲った者にその土地を与えよう” さて、一番大きく土地を囲うためには、地面にどのような図形を描いたらいいでしょうか? 注)囲う事が条件なので、ロープの先頭と最後にすき間があってはなりません。 また結び目は考慮しません。囲うためにはロープの先頭と最後を接触させるだけでよいとします。 ロープの太さは無視します。土地は平らです。ガケや階段状、坂道などを囲うことはできません」 この問題、言い換えれば以下のようになると思います。 「図形の辺(円や円弧にあっては円周や弧)の合計が同じならば、図形の面積が最大になる形はどのような形か? これを証明せよ」 (まあ、証明せよ、は元の質問には書いてありませんが、証明しなければ政界であることを主張できませんから、証明までを質問文とします) さて、この問題はどの様に解いたらいいでしょうか?
回答: 面積が最大になるのが円のときであることは 多くの小学生が知っているとは思いますが、 その証明は中学生には難しすぎますね。 高校の数iiiでも道具が足りなくて、範囲としては 大学生のレポートのネタくらいにはなるかな。 小学生向けといえば、証明ではないけれど 「ロープ」を非常に軽い材料で作って床に置き、 中央に水を落とすのはどうでしょう? 材料と水の分量を上手く選べば、 ロープは広がって円形になるでしょう。