質問: 次の R[x]3 の部分集合が,R[x]3 の部分空間となる か調べよ.ただし,R[x]3 は実数を係数とする 3 次 以下の多項式全体で,通常の多項式の和と定数倍に よってベクトル空間になるものとする.
回答: bab********さん (i) 零元の存在 ⇔ 空でないこと R[x]3 の零元が 0 であることは明らか. 0∈W1 である. (ii) 和で閉じていること 任意の f(x),g(x)∈W1 について f(2)=0, g(2)=0 ⇒ f(2)+g(2)=0 ⇒ f(x)+g(x)∈W1 和で閉じている. (iii) スカラー倍で閉じていること 任意の f(x)∈W1 について 任意の k∈R をとって f(2)=0 ⇒ kf(2)=0 ⇒ kf(x)∈W1 スカラー倍で閉じている. 以上から, W1 は R[x]3 の部分空間である.