質問: この問題が解けなくて困っています。 (1-1)の固有値λ1、2、4とλ2、4に ついての固有ベクトルまでは解けますが
回答: λ = 1 のとき [0 .. 0 .. 0][x]....[0] [0 .. 2 . -1][y] = [0] [0 . -1 .. 2][z]....[0] なので x = k (kは任意) 2y - z = 0, -y + 2z = 0 より y = z = 0 なので固有ベクトルは [x, y, z] = [k, 0, 0] = k[1, 0, 0] より [1, 0, 0] がとれます 従って λ = 2 のときの固有ベクトル 1/√2[0, 1, 1] λ = 4 のときの固有ベクトル 1/√2[0, -1, 1] より直交行列 P は P = [1 ...... 0 ....... 0] ......[0 . 1/√2 . -1/√2] ......[0 . 1/√2 ...1/√2] となり tを転置とすると P^t = [1 ....... 0 ...... 0] ..........[0 .. 1/√2 . 1/√2] ..........[0 . -1/√2 . 1/√2] 対角化は (P^t)AP を計算すれば これは自分で確認すること (P^t)AP = [1 . 0 . 0] ................[0 . 2 . 0] ................[0 . 0 . 4] となります A−1 の固有値は A の固有値の逆数なので対角化すると (P^t)A−1P = [1 .... 0 .... 0] ..................[0 . 1/2 .... 0] ..................[0 .... 0 . 1/4] より A−1 = P [1 .... 0 .... 0] P^t ............[0 . 1/2 .... 0] ............[0 .... 0 . 1/4] を計算すれば出せます A−1 = [1 .... 0 .... 0] .........[0 . 3/8 . 1/8] .........[0 . 1/8 . 3/8]