質問: 質問です。単原子分子理想気体の状態方程式を用いて準静的断熱曲線を(p,v)と(t,v)グラフに表せ。 質問です。単原子分子理想気体の状態方程式を用いて準静的断熱曲線を(p,v)と(t,v)グラフに表せ。また、準静的等温曲線を表し比較せよ。 お願いします。
回答: 単原子分子理想気体の状態方程式を用いて準静的断熱曲線を(p,v)と(t,v)グラフに表せ。また、準静的等温曲線を表し比較せよ。 1、等温変化 エンジンのシリンダーの中にnモルの気体が入っていて、体積はv、圧力はpとする。 理想気体の状態方程式はpv=nrt__1である。 準静的等温変化では1からpとvは反比例する(図1)。ピストンを使って急に圧縮するとtが上昇し、また、膨張させた時はtが下降し、等温変化からはずれる。この時、熱の移動(伝熱)があると、誤差となる。vとtの関係はv/t=nr/p=一定__2となる。vとtは比例する。(図2) 準静的等温変化は、少しでも発熱、伝熱があると、急な変化では等温でなくなるので、等温であるためには、変化はゆっくりであることが必要である。これを準静的という。 2、逆に断熱可逆過程は、熱が伝わる間もなく急劇に変化する事もあるので、等エントロピー過程(英語アイゼントロピック過程isentropic process,isentropic flow)という。例えば空気中の音速cの公式は c=√(γp/ρ)__3 ここでγ = cp/cvは等圧比熱cpと等積比熱cvの比,pは圧力,ρは密度である。音波の空気振動が伝わるのは断熱可逆過程であるが、準静的とは言えない動的な現象である。ジェットエンジンの中のガス流では、熱が伝わる間もなくガスが超音速で圧縮され、また膨張する。準静的と言う言葉は適しない。しかし、超音速の瞬間には衝撃波が発生し、これは、可逆過程となる。(教師が不適切な言葉を使うと、学生が間違った認識を持ってしまう。) 3、比熱 シリンダーの中のnモルのガスが持っている熱エネルギーを内部エネルギーuという。uは熱運動の運動エネルギーでtに比例する。比例定数を等積比熱cvといい、u=ncvt__4となる。エネルギー等分配則を使って自由度から計算すると、単原子分子では自由度は3(x,y,z方向の分子運動の速度)だからu=3(1/2)nrt__5となる。 等積加熱過程:ピストンを固定してガスを加熱すると、内部エネルギーがduだけ増加し、温度がdtだけ上昇する。du= ncvdt__6の関係にあり、増加率はdu/dt=ncv__7となる。cvは1モル当たりの定積比熱という。56からcv=3r/2__8となる。 二原子分子では分子回転運動の自由度2が増えてu=5(1/2)nrtとなりる。cv=5r/2となる。 等圧加熱過程:ピストンの固定をはずしてガスを加熱すると温度tが上昇するほかに、ガスが膨張して体積vも増加する。圧力はピストンの外の外圧とバランスしているので、pは一定であり、等圧加熱過程である。先の等積加熱と比べると、温度がdtだけ増加し、体積がdvだけ増加する。体積がdvだけ増加するためには、ガスは外部に対してpdvの仕事をしなければ膨張できない。従って等圧加熱でdtだけ温度を上昇させるためには、定積加熱の時のdu =ncvdt に加えてpdvの仕事に相当するエネルギーを必要とする。そのため、等圧加熱過程に必要な熱量はdu + pdv__9である。等圧加熱過程ではpは一定なので、du + pdv=d(u + pv)=dh__10となる。h=u+pv__11と置いて、hをエンタルピーという。温度dtの上昇のために必要なエネルギー(熱量)の増加率は(du + pdv)/dt=dh/dt=ncp__12となる。 cpを1モル当たりの定積比熱という。エンタルピーhは等圧加熱過程で、等温加熱の時のuの代わりの役割りを果たす。 状態方程式pv=nrt_1を使うと、式9のpdvはpdv=nrdt__13となるので、6と13を使うと12は ncp=(du + pdv)/dt=( ncvdt + nrdt)/dt =ncv+ nr cp=cv+r__14 となる。14をマイヤーの関係式という。8と14からcp=5r/2__15 比熱比γ= cp/ cv=(5r/2)(3r/2)=5/3=1.66 4、等エントロピー過程の関係式の導出 この系のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。 du=dw+dq 体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。 dw=−pdv 断熱可逆過程は熱を外界とやり取りしないので、dq=0となり、内部エネルギーuの変化は du=−pdv, du=ncvdtの式に従う。するとエンタルピーh=u+pvの変化は次の式に従う。 dh=du+pdv+vdp=vdp dh=ncpdt これから、比熱比γについて次の式が成り立つ。 γ=cp/cv=(ndh/dt)/(ndu/dt)=−vdp/pdv =−(dp/p)/(dv/v) γ(dv/v)+(dp/p)=0__14 γは上記理論により、単原子分子では5/3、二原子分子では7/5である。実験的にも合っている(he,20°C.1.66、ar,20°C.1.67、空気,20°C.1.40、)。 γは定数として式14を積分すると、∫γ(dv/v)+ ∫(dp/p)=γlogv+logp=log(p・v^γ)=定数 pv ^γ=pv ^(5/3)=一定__15 (図3 pとv^(5/3)は反比例する。) 断熱過程=等エントロピ―過程では、断熱圧縮してvを減少させると圧力pは定積過程より激しく増加する。 式1pv=nrtで15を割ると、左辺=v ^(γ− 1)=一定/nrt=右辺。これから次となる。 tv^(γ−1)=一定/nr=k。右辺の一定/nrは定数だから、これをkとした。 t=kv^(-2/3)となる。(図4 tとv ^(5/3)は反比例する。シリンダーの中のガスを断熱圧縮して、vを減少させる時、温度tが上昇する。準静的定温過程では温度は不変である。