質問: 極限値をあらわす f(x)が微分可能なとき次の極限値をf(a),f ’(a)であらわす問題で 1、lim f(a+2h)-f(a) / h h→∞ 2、lim x^2・f(a)-a^2・f(x) / x-a x→a の解き方を教えてください a 1、2f ’(a) 2、2a・f(a)-a^2・f ’(a)
回答: 1.h→∞であるとf(a+2h)→f(∞)であるのでこれがどうなるかがわからないと極限がわかりません.おそらくh→0の間違いではないかと思います.そうであるとして回答します. 2h=kとおくと {f(a+2h)-f(a)}/h={f(a+k)-f(a)}/(k/2) =2{f(a+k)-f(a)}/k h→0⇔k→0であるから極限値は lim_{k→0}2{f(a+k)-f(a)}/k =2lim_{k→0}{f(a+k)-f(a)}/k =2f'(a) 2.x-a=hとおくと, {x^2f(a)-a^2f(x)}/(x-a) ={(a+h)^2f(a)-a^2f(a+h)}/h ={(a^2+2ah+h^2)f(a)-a^2f(a+h)}/h ={-a^2{f(a+h)-f(a)}+h(2af(a)+hf(a))}/h =-a^2{f(a+h)-f(a)}/h+2af(a)+hf(a) x→a⇔h→0であるから極限値は lim_{h→0}[-a^2{f(a+h)-f(a)}/h+2af(a)+hf(a)] =-a^2f'(a)+2af(a)