質問: ダイアディックについて 下記の数式について、左辺から右辺を導きたいのですがわかりません。ちなみに『m』はベクトル、『△』はラプラシアン、『×』は外積を表しています。 -m×(m×△m)=△m+(l∇ml^2)m 右辺第二項の『∇m』はダイアディックで、『l∇ml』は絶対値記号(?)のなかに『∇m』が入っているものと思われます。 ベクトル三重積の公式を使えば、右辺第一項は導けるのですが、第二項については見当もつきません。詳しく教えてください。もし、これがある参考文献、ulr等ございましたら海外サイト問わず教えてください。
回答: ichiro0000さん、こんにちは。mをa倍するとm×(m×△m)はa^3倍になりますが△mはa倍にしかなりません。したがってご質問の式は|m|^2=1 のような条件がなければ成立しないと思われます。以下ではこれを仮定します。 εijkを完全反対称テンソルとします。すなわちi,j,kはそれぞれ1から3の値をとり、 εijk = 1 ((i,j,k)が(1,2,3)の偶置換のとき) εijk = -1 ((i,j,k)が(1,2,3)の奇置換のとき) εijk = 0 ((i,j,k)の中に同じものがあるとき) とします。ベクトルの外積は (a×b)k = εijkaibj と書けます。すると [-m×(m×△m)]k = -εijk mi(m×△m)j = -εijk mi(εjmn mm△mn) = εikjεmnj mimm△mn ただし2回現れる添字については1から3まで和をとるものとします。するとδijをクロネッカーのδとするとき εikjεmnj = δimδkn - δinδkm という公式を使うと [-m×(m×△m)]k = (δimδkn - δinδkm)mimm△mn = |m|^2 △mk - mnmk△mn となります。∂/∂xiを∂iと書くことにすると mnmn = 1 を微分して ∂i(mnmn) = 2(∂imn)mn = 0 ∂i∂i(mnmn) = 2(∂i∂imn)mn + 2(∂imn)(∂imn) = 0 だから mn△mn = -|∇m|^2 よって [-m×(m×△m)]k = △mk + |∇m|^2mk