質問: 大学数学の質問です。 次の問題を教えてください。 n次実... 大学数学の質問です。 次の問題を教えてください。 n次実正方行列s、n次正定値実対称行列tに対しあるn次正方行列pがあって s= pt+tp (1) が成り立つならば、他のn次正方行列q(≠p)に対して(1)が成り立たないことを示せ。 また、(1)が成立するとき、pt=tpとst=tsが同値であることも示せ。
回答: tの対角化がt'=a^-1taとして 左からa^-1右からaかけると a^-1sa=(a^-1pa)(a^-1ta)+(a^-1ta)(a^-1pa) s'=p't'+t'p' なので、元々tが対角行列として考えれば良い。 s=qt+tq を満たすとすると 0=(p-q)t+t(p-q) p-q=aとおいて、成分を計算すればa=0が分かります。