質問: 環上の加群(単射準同型について) r:可換環、a,b:環r上の射影加群 この時a→bへの単射準同型とb→aへの単射準同型が存在する時, a≃bは言えますか? (濃度についてのカントルの定理を流用しようとしたところ、全単射は言えましたが準同型で止まりました。何か別の証明方法があれば教えていただきたいです)
回答: aは射影加群だから a⊂f_aとなるような最小r自由加群f_aが存在する 自由加群f_aの基底でaを生成する 基底をe_aとすると aの任意の元はe_aの元にr係数をかけたものの有限和となる bは射影加群だから b⊂f_bとなるような最小r自由加群f_bが存在する 自由加群f_bの基底でbを生成する 基底をe_bとすると bの任意の元はe_bの元にr係数をかけたものの有限和となる aとbの濃度が等しいのだから e_aとe_bの濃度は等しい e_aからe_bへの全単射 が存在するから f_aからf_bへの同型写像 f:f_a→f_b が存在する a,bが自由加群であれば a~(同型)~b