質問: 可算無限についてお願いします 集合xが有限集合の時、 ∪{xの、要素数kの部分集合を全て集めた集合} (k=0,1,2...|x|) は、xのべき集合(2^x)と同じものですよね。 でも集合xが有限集合ではなく、自然数の集合nであった場合、 ∪{nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合} (k=0,1,2...) は可算無限であり、nのべき集合(2^n)は非可算無限だと聞きましたが、 その違いはいったいなぜ起こるのですか? ※ 集合y(≠∅ )に対し f:y→2^y となる全射が存在しないので、x=nとすることで2^nが非可算である事は理解しています。
回答: >しかし、その前者が{2,3,4・・・}という要素を本当に持たないのか気になります。 ∪{nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合} (k=0,1,2...) という定義から明らかでは? a=∪{nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合} (k=0,1,2...) とすると aは,nの無限部分集合を要素として持たない. それらしく書けば,aの任意の要素xをとると xはaの定義により,ある自然数kが存在し, {nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合} の要素となる.つまり,xは要素数kのnの部分集合. 決して,k=0,1,2,...としたって,和集合に 「k=∞」のときが含まれるわけではないのです.