質問: 積分 ∫sin^3(x/2)cos(x/2)ln(sin(x/2))dx のとき方を教えて下さい。 よろしくおねがいします。
回答: 参考程度に ∫sin^3(x/2)cos(x/2)ln(sin(x/2))dx y=sin(x/2) と置いてみましょう。 dy=(1/2)cos(x/2)dx 2*dy=cos(x/2)dx だからこれを使えば、 ∫sin^3(x/2)cos(x/2)ln(sin(x/2))dx =∫2*y^3*ln(y)dy と簡単になりますね。 部分積分を使えば i=(2/4)*y^4*ln(y)-∫2*y^4*(1/y)dy =(2/4)*y^4*ln(y)-∫2*y^3dy =(1/2)*y^4*ln(y)-(2/4)y^4 =(1/2)*y^4{ln(y)-1} で積分できますね。 そこでy=sin(x/2) で元に戻せばいいんですね。 そんな感じでしょうかね。 係数なんかは確認してくださいね。