質問: 連続写像についての質問です。
回答: ■1■ まず、離散距離空間のイメージはつかめていますか? すべての点が孤立している空間です。たとえば、自然数全体の集合のような感じ。(距離がちょっと違いますが、本質的に同じことです) 実数全体の集合Rだと、ある実数a 以外の数からなる数列でa に収束するものがありますよね。 たとえば a+1/2, a+1/3, a+1/4, ...。aのいくらでも近いところに別の数があります。このような距離空間は離散的ではありません。 これに対し、自然数全体の集合Nは様子が違います。 a を自然数とします。a 以外の自然数からなる数列 a1, a2, a3, ... が a に収束することってあるでしょうか? たとえば3 に収束する(3以外の)自然数の数列が考えられますか? 無理ですよね。これが離散距離空間です。 イメージが把握できていないと証明はむりです。 いろいろな離散距離空間の具体例を考えてみてください。 ■2■ 答えのヒントを出しましょう。 x1, x2について、d(x1, x2) < 1/2 のとき d( f(x1), f(x2)) はどうなりますか? 数学の証明では特に断らない限り x1 = x2 の場合も許すことに注意。 ■3■ これ以上はあなたの宿題ですからがんばってください。