質問: 確率変数独立性 確率変数 {x_i}n=1,.... は{s_i}(iは1からmの自然数、s_iは実数値)の値をとる。 そして各iに対してp(s_i)の値を定める。(p(s_i)の和は1で、0以上1以下) このとき、確率変数 {x_i}n=1,....が独立であることが知りたいです。 すいません宜しくお願いします。
回答: 再びno1です。 「公平なコインを投げる」とかいた時点で、 n回目のコインが裏か表かについては、 独立であることを仮定しています。 なので、 p(∩{x_a=s_a})も(1/2)^nとなります。 1回目が表のときに、2回目の表裏の確率が変わる、 なんてことが起こっていたら、公平とはいえませんからね。 なので、補足に書かれてある質問は、 明らかに独立だと言えます。 (「公平」というところに独立性を仮定しているから) でも、あえて独立であることを式で書くなら、 no2で書いたことを示すのですが、 結局左辺の計算で独立性を使うので、 あまり議論をする意味がありません。 では、公平なコインの裏表に関する確率変数は 常に独立になるかといえば、そういうわけではありません。 たとえば、 1回目表⇒x1=1、1回目裏⇒x1=0、 1回目表2回目表または1回目表2回目裏⇒x2=1、 1回目裏2回目表または1回目裏2回目裏⇒x2=0、 という確率変数x1、x2を考えると、 p(x1=1,x2=1)=p(x1=1)=1/2、 p(x1=1)p(x2=1)=1/2×1/2 となり、独立ではありません。 この例は、x1もx2も1回目の裏表だけに依存して確率が決まるので 定義からも独立でないことはわかりますが、 このように、確率変数をどう作るかによって (もともとの事象には関係なく)独立性は変化します。 ちなみに、本質的なことではありませんが、 「p(∩{x_a=s_a})」と 「任意のaに対してp(x_1=s_1,x_2=s_2,...,x_a=s_a) 」 は違います。 たとえば、aが偶数の集合の中を走るとしたら、2つ目は、 「p(x_2=s_2,x_4=s_4,...) 」 となるからです。細かいですけど。。。