質問: ヒルベルト空間について ∀x∈h:ヒルベルト空間について sup{| ∥y∥≦1 y∈h}=∥x∥ を示したいのですが。 (但し、<、> はhでの内積、∥・∥は内積から入るノルムとします。) ユークリッド空間ならば、yはxと方向が同じで長さが1のベクトルだということはイメージできるのですが。ヒルベルト空間だとうまく証明できません。よろしくお願いします。
回答: きちんと示しましょう。 0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2 より 0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)