質問: 数学の問題教えて下さい。 (3) (オ)を求めるという問題です。 a1=11 an+1-10=an-10/2n(an-10)+1 (n=1.2.3・・・)で定義されて数列{an}がある。 bn=1/an-10 (n=1.2.3.・・)とおくことで、{an}の一般項を求める事が出来、 a11=(オ)である。 ※解き方を教えて下さい。
回答: a(1)=11 a(n+1)-10={a(n)-10}/[2n{a(n)-10}+1] (n=1,2,3...)で定義された数列{a(n)}がある. b(n)=1/{a(n)-10} (n=1,2,3,...)とおくと b(1)=1/{a(1)-10}=1/(11-10)=1 b(n+1) =1/{a(n+1)-10} =[2n{a(n)-10}+1]/{a(n)-10} =2n+1/{a(n)-10} =2n+b(n) だから b(n+1)=2n+b(n) ↓両辺からb(n)を引くと b(n+1)-b(n)=2n ↓nをkで置き換えると b(k+1)-b(k)=2k ↓両辺をk=1~nまで加えると σ_{k=1~n}{b(k+1)-b(k)}=2σ_{k=1~n}k ↓σ_{k=1~n}{b(k+1)-b(k)}=b(n+1)-b(1) ↓σ_{k=1~n}k=n(n+1)/2だから b(n+1)-b(1)=n(n+1) ↓b(1)=1だから b(n+1)-1=n(n+1) ↓両辺に1を加えると b(n+1)=n^2+n+1 ↓b(n+1)=1/{a(n+1)-10}だから 1/{a(n+1)-10}=n^2+n+1 ↓両辺に{a(n+1)-10}/(n^2+n+1)をかけて左右を入れ替えると a(n+1)-10=1/(n^2+n+1) ↓両辺に10を加えると a(n+1)=10+1/(n^2+n+1) ↓nをn-1で置き換えると a(n)=10+1/{(n-1)^2+n} ∴ a(n)=10+1/(n^2-n+1) ↓n=11とすると a(11)=10+1/(11^2-11+1) a(11)=10+1/111 ∴ a(11)=1111/111