質問: 解答とその理由をおねがいします。 実数xに対し、xを超えない整数のうちの最大のものを記号[x]で表す。 (1) mを整数とするとき、[x+m]=[x]+mが成り立つことを示せ。 (2) xが整数でないとき、[x]+[-x]=-1が成り立つことを示せ。 (3) [x]+[x+1/2]=[2x]が成り立つことを示せ。
回答: こんばんわ。 いずれの場合も、xを整数部分と小数部分に分けて考えれば示すことができます。 つまりはガウス記号の定義に則って考えるということです。 x= n+α(nは整数、αは 0≦α< 1なる実数)と表します。 (1)はそのまま代入していけば示すことができます。 (2)も代入しますが、-x= -(n+α)= -n-αであることに注意します。 (3)はαの大きさで場合分けを考えます。 そして左辺、右辺をそれぞれ計算して等しくなることを示します。