質問: 一様連続性 y=1/xが(0,1)で一様連続でないことの説明として(0,1)はコンパクトではないからという記述があったのですが、 コンパクトな距離空間の距離空間への連続写像は一様連続ですが、上の説明はどういう風に考えているのですか?
回答: で、それをやってみると... 所与の正数 a, e に対して |1/x - 1/a| < e となる x の範囲は、 不等式を同値変形して、(1 - ae)/a < 1/x < (1 + ae)/a. e が十分小さいならば、a/(1 + ae) < x < a/(1 - ae) より -(a^2)e/(1 + ae) < x - a < (a^2)e/(1 - ae). 区間 |x - a| < d がこの中に入るためには d ≦ (a^2)e/(1 + ae) でなくてはならない。 これを満たす正数 d が a 非異存に存在することが一様連続だが、 lima→+0e/(1 + ae) = 0 であるため、そうできない。 よって、1/x は (0,1) で一様連続ではない。