質問: ∫f(x){dg(x)/dx}dx この2つの式は正しいですよね? (2)については実際に具体的に計算してみた限りは正しかったのですがどうでしょう。
回答: (1)は“パラメータ表示の関数の微分法”です。 f(x)がxで微分可能、g(x)がxで微分可能、dg(x)/dx≠0 ならば 合成関数の微分法により {df(x)/dg(x)}{dg(x)/dx}=df(x)/dx ゆえに、(1)が成立。 (2)は“置換積分法”です。 g(x)がxで微分可能、∫f(x)dg(x) がdg(x)で微分可能ならば、合成関数の微分法により (d/dx)∫f(x)dg(x) = {dg(x)/dx}(d/dg(x))∫f(x)dg(x) = f(x){dg(x)/dx} ゆえに、(2)が成立。 ふつう、 x = g(t)とおいて ∫f(x)dx = ∫f(g(t)){dg(t)/dt}dt と表示してあります。