質問: 数学の得意な方、添付写真のiiiの 問題について お教えいただけませんでしょうか? 途中経過も含めてわかりやすく教えていただけると助かります。 どうぞよろしくお願いいたします。 アイウ924 エオカ,420, キクケ120 コサシ918 スセソ.252
回答: (i) すべての道順は {(7-1)×2}C(7-1)=12C6=924通り そのうち、点(3,3)を経由する道順は {(3-1)×2}C(3-1)×{(7-3)×2}C(7-3)=4C2×8C4=6×70=420通り (ii) 4C2×(8-2)C(4-1)=6×6C3=6×20=120通り (iii) 点(a,b)を「特別点」と表すことにすると、問題の趣旨は次の通りです。 (これが、非常に分かり難いです。) (ii)の点(3,3)を「特別点」とすると、点(3,3)が「特別点」でないときの 点(3,3)を経由する道順は420通りであるから、点(3,3)を経由しない道順は 924-420=504通り また、点(3,3)が「特別点」であるときの点(3,3)を経由する道順は120通り であるから、点(3,3)が「特別点」であるときの道順の数は 504+120=624通り つまり、このように考えたときの道順の数の最大と最小を求めることになります。 {(a-1)+(b-1)}C(a-1)×{(7-a)+(7-b)}C(7-a) ={(a+b)-2}C(a-1)×{14-(a+b)}C(7-a)-1 {(a+b)-2}C(a-1)×[{7-(a+1)}+{7-(b+1)}]C{7-(a+1)} ={(a+b)-2}C(a-1)×{12-(a+b)}C(6-a)-2 点(a,b)を「特別点」としたときの道順の数を求める一般式は、次のようになります。 924-(1-2) =924-{(a+b)-2}C(a-1)×[{14-(a+b)}C(7-a)-{12-(a+b)}C(6-a)] これが最大となるのは、点(1,6)または点(6,1)が「特別点」のときで 924-(7-1)=924-6=918通り また、これが最小となるのは、点(1,1)が「特別点」のときで 924-(12C6-10C5)=10C5=252通り なお、点(1,1)が「特別点」であると、実質的に点(2,2)が出発点になるので、盲点(落とし穴)かもしれません。 以上から、 アイウは924、エオカは420、キクケは120、コサシは918、スセソは252 ※追記 (iii)について、最大または最小となる道順の数は、対称性に着目して直感で求めました。 なお、確実に求めるためには、すべての格子点が7×7=49個あり、これから (1,7)(2,7)(3,7)(4,7)(5,7)(6,7)(7,7)(7,6)(7,5)(7,4)(7,3)(7,2)(7.1) の13個の点を除いた49-13=36個の点について、「特別点」としたときの道順の数を求めて比較すればいいのですが、このうち(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)の6個の点を除く例えば点(1,2)と点(2,1)は対称になるので、既に求めた(1,1)(1,6)(6,1)の3個の点を除いて、 (6-1)+{36-3-(6-1)}/2=5+14=19個 の点を「特別点」としたときの道順の数を求めて比較すればいいことになります。 (より効率的な解法があるかもしれないので、気付いたら補足します。) 因みに、点(6,6)を「特別点」としたときの道順の数は 924-{(6+6)-2}C(6-1)×[{14-(6+6)}C(7-6)-{12-(6+6)}C(6-6)] =924-10C5×(2C1-1)=924-252=672通り(残りは18個です。) さらに付け加えると、この問題では格子点が対称に位置するので、道順の数が最大または最小となるのは、極端な位置にある(1,1)(6,6)(1,6)(6,1)の4個の点の何れかが「特別点」のときであると、大体決まっています。 よって、直感で求められる訳です。