質問: 三角関数 問題 三角形abcにおいて等式cosa+cosb-cosc=4cos(a/2)・cos (b/2)・sin(c/2)-1が成立することを証明せよ。 自分の答案 c=180-(a+b)より、cosc=-cos(a+b)・・・(1) また、cosa+cosb=2cos(a+b/2)・cos(a-b/2) ここまでは、来たのですが(1)をどのように処理すれば証明できるのでしょうか?できるだけ詳しく計算過程を書いて教えてください。また、どうして、その解法が浮かんだのかも書けるだけ書いてください。
回答: とりあえず、左辺から右辺への導き方だけ書いておきます。 (1) まず、cosa+cosbについて和積の公式を適用。 ⇒a+b+c=180を使うと、sin(c/2) が出てくる。 (2) 残った cosc については、(1) で出てきた sin(c/2) に着目しつつ2倍角の公式を適用。 ⇒「-1」の項を残すと、残りの項は sin(c/2) でくくることができる。 (3) sin(c/2) でくくった括弧の中をまとめる。 ⇒a+b+c=180を使うと、うまく和積の公式を使うことができて、右辺を導くことができる。 ちなみに、(1) で「cosb-cosc」や「cosa-cosc」の部分に和積の公式を適用しても (2) で 2倍角の公式をうまく使えば同様に証明する式の右辺を導くことができます。 まるまる答えを書いてしまうと規約違反になるので、この辺にしておきますね。 ご参考まで。