質問: ベクトルポテンシャルと磁界について このような問題があります 長さlの直線電流iによって生じるベクトルポテンシャルと磁界を求めよ 設定は電流の流れる直線をz軸とするような円柱座標系を選び、p(r,ψ,z)におけるベクトルポテンシャルを求めてそれから磁界を求めるように解答に書いてあります。 ベクトルポテンシャルazを求めるところまでは理解できたんですが、次の磁界を求めるところで、解答には「直線電流はz方向に流れ、かつ軸対称であることからar=aψ=0かつδ/δψ=0となる。μh=∇×aからhr=hz=0となり、hψは次式で与えられる。hψ=・・・・」 と書いてあります。 まず、「直線電流はz方向に流れ、かつ軸対称であることからar=aψ=0かつδ/δψ=0となる」になる理由がわかりません。ベクトルポテンシャルはz軸成分のみなのでar=aψ=0になるところはわかるんですが、ψ、r成分は一様なのでδ/δψ=0のみですがδ/δrも0になるのではないでしょうか。 あと、次の問題では、「半径aの長い円柱ないを密度がjなる一様な定常電流が円柱の軸方向に流れているとき、この電流分布によって真空中に生じるベクトルポテンシャルおよび磁界を求めよ」という問題です。 その解答は「電流分布の中心軸をz軸とするような円柱座標系を選ぶと、電流密度の成分はz軸方向成分となる。ベクトルポテンシャルもz軸方向のみとなる。系の対称性からδ/δψ=δ/δzとなる」と書いてあります。このδ/δψ=δ/δz=となるのはなぜでしょうか。 そもそも系の対称性からある成分の微分が0になったり、上のように等しくなる意味が分かりません。 対称性や一様性から、どのような場合にある成分の微分が0になったり等しくなるのでしょうか。
回答: 質問前半に関し、ベクトルポテンシャルは電流から遠ざかる程小さくなるので、δ/δrは負の値を取るのではないでしょうか。 質問後半に関し、電流の向きに対して直交する断面のベクトルポテンシャルを考えた時、ベクトルポテンシャルの向きは断面に垂直で大きさと分布は何処(z)を切っても金太郎飴のように同じだからδ/δz=ゼロ、また電流の向きに平行で、かつ電流の中心軸を含むような断面で切った場合には、どの角度(ψ)で切ってもベクトルポテンシャルの向きは電流の向きと同じで大きさと分布は中心で大きく周辺で小さくなる同じパターンになるからδ/δψ=ゼロ、ということではないでしょうか。 http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%a5%d9%a5%af%a5%c8%a5%eb%a5%dd%a5%c6%a5%f3%a5%b7%a5%e3%a5%eb%a4%c8%a4%cf%b2%bf%a4%be%a4%e4%a1%a9 の、3番目に出てくる図と、 http://www.lbm.go.jp/toda/physics/vector/node9.html の、「円柱座標での表現」が、参考になりませんでしょうか。