質問: 1) で一意に表せるとき、bはアフィン基底である。 ●問題 mを実ベクトル空間vのアフィン部分集合だとする。m⊆v。 (1) 集合 m+a (全てのa∈v) が affine であることを示せ。 (2) 零ベクトル 0∈m だとすると、mは部分空間であることを示せ。 (3) m=u+a となるような a∈v と 部分空間uがあることを示せ。 (4) uはmによって一意的に定まることをしめせ。また、aはmによって定まるか? (5) dimm=k (有限) だとする。mが少なくとも一つ k+1 の元からなるアフィン基底を持つことを示せ。また、mのすべてのアフィン基底がちょうど k+1 の元から成ることを示せ。 (6) m={x=(x,y,z,w)∈r^4 : x-2y+z=3, x+5z-2w=1}だとする。mのアフィン基底ひとつを求めよ。 部分的には分かるのですが、なかなか全体の話がみえません。 詳しく答えて下さると、有り難いです。よろしくお願いします。
回答: 教育的でいい問題ですね (1)それでok ただし, >mがアフィン部分集合であることと >m+aがアフィンであることって同値ですよね? このかき方だと (a) mがaffineである (b) 任意のa∈vに対して m+aがaffineである (c) あるa∈vに対して m+aがaffineである としたとき (a)と(b)が同値なのか,(a)と(c)が同値なのか それとも(a)(b)(c)のすべてが同値なのか さてどうでしょう. 微妙なところですがきっちりしないとだめです. (2) これは問題としては(1)とは無関係. 単に,affineなmがたまたま0を含んでいるなら mはベクトル空間になるということを示せということ. ちょっとテクニカルな変形が必要な気がするけど 部分空間の定義に従えばいい. (3) (1)と(2)を用いてuを実際に構成すればいい. まあ,ぶっちゃけ,mの任意の元aをとってきて u={x-a| xはmの元}と定めるとこのuは何か ということ. mは空集合じゃないというのは 仮定されているとみなしていいでしょう (4) 一意性を示す常套手段を使えばいい. つまり,条件を満たすuとvがあったとしてu=vとなることを示す. 「a」の一意性についてはこの過程でどうなるかは見えるはず. (5) これは問題文にある「affine基底」の定義に従えばいい. そこときに(4)や有限次元ベクトル空間の基底の性質を 用いることになる. (6) ただ計算するだけ.単なる連立方程式の問題. ただし実際に計算すれば,(1)から(5)の具体例となり 理解に役立つというか直感の形成に寄与する. もちろん(1)から(5)の方法を使ってもいい. ただし,この問題はちょっと微妙. ここで定義されているmがaffineであるかは 証明が必要です(ほとんど自明だけど) きちんと問題文にするなら m={x=(x,y,z,w)∈r^4 : x-2y+z=3, x+5z-2w=1}だとする。 mがr^4のaffine部分集合であることを示し,←これが必要 mのアフィン基底ひとつを求めよ。