質問: それ証明なしにに成り立つことにしちゃっていいの?
回答: 証明なしに成り立つことにしちゃって良い法則の場合としちゃってる法則の場合があります。 前者の場合には一般的に物理法則と言われるのものです。例えばニュートンの運動法則なぜかはわからないけど、観察してみると自然界ではma=fが成り立つ。万有引力やクーロンの法則なぜかはわからないけど距離の二乗に反比例して力が生じる。など、とりあえず過去の先人たちが見出した法則をもとに物理学は記述していくものなので、これらは前提として受け入れる必要があります。 後者は本当は理論的背景があるけど高校数学の中では証明できないので、そうゆうことにしてるというものです。例えば質問のバネの位置エネルギーは背景としてニュートンの運動方程式のより正確な表記として md^2x/dt^2=-kxという微分方程式になります。この両辺をxで積分してやるとバネのエネルギー保存が示せます。また円運動の場合も束縛条件(物体がどうゆう運動をしているか)として質点が円軌道を描くとするとそこから御所望の加速度が示せます。そうゆうのは高校範囲外なので教科書では仕方なく軽い説明になっています。もしそうゆうのが知りたいのであれば大学生向けの物理の教科書を見るか、物理の先生に「もっと詳しく教えてくれよ!」と言うのが良いと思います。物理現象をちゃんと数学的に示すのは楽しいので頑張ってください。