質問: 微分の計算(記号の使い方) f(x)の逆関数をg(x)とする。f(1)=2、f‘(1)=2、f‘‘(1)=3のとき、g‘‘(2)の値をもとめよ。 y=g(x)とすると、f(x)はg(x)の逆関数だから、x=f(y)ゆえに、dx/dy=f‘(y)。 よって、g‘(x)=dy/dx=1/f`(y) g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx) (疑問) 私はg‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の部分で、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)=(d/dy)(1/(f`(y))^2)としてしまいました。 (d/dyをdy/dxにも適用してしまった)調べたところ、d/dyは直後の関数のみに適用するそうです。そうすると、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の変形のところで、私は分数のように考えてこの式へ変形したのですが、dy/dxは1/f`(y)の直後に書かなくてはならないですよね?(分数といっても交換して(d/dy)(dy/dx)(1/f`(y))のようにしてはダメ。) 合成関数の微分法で、分数のように変形する場合は直後に付け加えていくということでしょうか?
回答: 合成関数の微分法を漢文の書き下し かなにかと勘違いしてませんか? >私は分数のように考えてこの式 >へ変形した そんなことしてはいけません。 >dy/dxは1/f`(y)の直後に書かなく >てはならないですよね? そんなふうに考えてはいけません。 >分数のように変形する場合は そう考えることがマチガイ。 分数ではありませんから。 >g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の部分で 右辺の(d/dy)と(1/f`(y))とは掛け算 の関係ではありません。 yに1/f`(y)を対応させる関数をhとして (d/dy)(1/f`(y))=dh/dy と読むべきなのです。 妙なマチガイを防ぐには {(d/dy)(1/f`(y))}(dy/dx) などと{}をつけて強調しておくといいかも。 dy/dxは「dy割るdx」ではないんです。