質問: 物理(衝突) 教えてください ばね(自然長l、ばね定数k)でつながれた質量m1の質点bと質量m2の質点cがなめらかで水平な床の上に静止している。床上を速度v0で滑ってきた質量m0の質点aが質点bに衝突(弾性衝突)した。 (1)質点b,cの重心の座標xとばねの伸びyは? (2)xとyを満たす方程式は? (3)初期条件はt=0のときx1=0、x2=およびx1''=v1,x2''=0 x(t),y(t)は? (4)質点b、cを質量m1+m2の1つの物体とみなしたとき、質点aとこの物体との跳ね返り係数eは?この値は1より小さくなる。 質点aが持っていた運動エネルギーの一部が質点b、cからなる質点系の( )の運動のエネルギーに使われるからである。( )に当てはまる言葉は? 質点b、cについての運動方程式は、 mx1''=k(x2-x1-l) mx2''=-k(x2-x1-l)と求めました。 (3)はx=(x1+x2)/2,y=(x1+x2-l)/2と考えましたが、間違っている場合ご指摘お願します。
回答: (1)(2)からやってかないとだめでしょうね。 問題でどの量が与えられてるのか定かではありませんが、図を参照して (1)重心xは定義から x(t) = (m1 x1(t) + m2 x2(t) )/(m1+m2) バネの伸びyはそのまま y(t) = x2(t) - x1(t) - l (2) b,cについての運動方程式はあっているので、 そのまま加えて m1 x1''(t) + m2 x2''(t) = d^2/dt^2 (m1 x1(t) + m2 x2(t) ) = d^2/dt^2 (m1+m2) x(t) = (m1+m2) x''(t) = 0 それぞれm1, m2で割って引き算すると x2''(t) - x1''(t) = d^2/dt^2(x2-x1) = d^2/dt^2(x2-x1-l) = -(1/m1+1/m2)k(x2-x1-l) 換算質量μが1/μ = 1/m1 + 1/m2で定義されるので, y(t)に置き換えて μ y''(t) = -k y(t) (3)(2)の方程式から一般解を求めて x(t) = a + bt y(t) = c cosωt + dsinωt, ω=√(k/μ) 微分して x'(t) = b y'(t) = -ωc sinωt + ωdcosωt 初期条件を使って x(0) = (m1 x1(0) + m2 x2(0) )/(m1+m2) = m2 l / (m1+m2) = a x'(0) = (m1 x1'(0) + m2 x2'(0) )/(m1+m2) = m1 v1/(m1+m2) = b これから x(t) = (m2 l + m1 v1 t)/(m1+m2) y(0) = x2(0) - x1(0) - l = 0 = c y'(0) = x2'(0) - x1'(0) = -v1 = ωd ∴ d = -v1/ω したがって y(t) = -(v1/ω)sinωt (4) aとbは弾性衝突なので (v0' - v1)/(v0 - 0) = -1 から v0' = v1-v0 b+cは重心を考えてはね返り係数を求めると、定義より e = - (v0' - x'(0))/(v0-0) = -[(v1-v0)-m1v1/(m1+m2)]/v0 = 1 - m2v1/v0(m1+m2) この値は1より小さくなる。 質点aが持っていた運動エネルギーの一部が質点b、cからなる質点系の(相対運動)の運動のエネルギーに使われるからである。