質問: √(6) としてはいけないのでしょうか。よろしくお願いいたします。
回答: まず、ルートの定義をはっきりさせましょう。 実は、√x は次のように定義されています。 x が実数で x > 0 のとき → 2乗して x になる数のうち、正のもの x が実数で x = 0 のとき → 0 (これは当たり前ですね) x が実数で x < 0 のとき → √(|x|) i 例を挙げれば、 √4 = 2 √(-4) = √(|-4|) i = √(4) i = 2i となります。ですから、 √(-2) × √(-3) = √(|-2|) i × √(|-3|) i = √(2) i × √(3) i = √2 × √3 × i^2 = √6 × (-1) = -√6 となり、a<0 , b<0 であれば、√a×√b = √ab は成り立たなくなってしまいます。 不可解に思えるかもしれませんが、それには理由があります。 √x の定義を x ≧ 0 の場合から拡張するときに、 どうしても無理が生じてしまうのです。 ルートの中身を複素数まで広げて考えると、そのことがよくわかります。 x が複素数のとき、√x は次のように定義されています。 x が下記の例外に当てはまらない場合 → 2乗して x になる数のうち、実数部が正のもの 例外として、x が実数で x < 0 の場合 → 2乗して x になる数は √(|x|) i と - √(|x|) i だが、 どちらか一方に定義しなければならないため、 √x = √(|x|) i と定義する この定義によると、 i^2 = (-i)^2 = -1 なので、2乗して -1 になる数は i と -i だが、 定義により、√(-1) = i である (0.00001 - i)^2 = (-0.00001 + i)^2 = -0.9999999999 - 0.00002i なので、 2乗して -0.9999999999 - 0.00002i になる数は 0.00001 - i と -0.00001 + i だが、定義により√は実数部が正のものなので √(-0.9999999999 - 0.00002i) = 0.00001 - i となります。 -1 のルートをとると i ですが、 -1 に非常に近い数である -0.9999999999 - 0.00002i のルートをとると、 i とは反対側の、-i に近い数になってしまいます。 これは不可解に思えるかもしれませんが、こう定義するより他にないのです。 そんなわけで、ルートの定義を拡張すると、例えば √a×√b = √ab のような、 当たり前と思える公式も成り立たなくなってしまうのもやむを得ないといえます。