質問: 三角関数の問題 【2sinxcosx(2cosx+1)=0を解け。(0≦x<2π)】という問題があるのですが、 私は与式をsin2x(2cosx+1)=0として (i)sin2x=0のとき 2x=0、π ∴x=0、1/2π (ii)cosx=-1/2のとき x=2/3π、4/3π としたのですが解答を見ると 与式は問題文で与えられた通りになっていて (i)sinx=0のとき x=0、π (ii)cosx=0のとき x=1/2π、3/2π (ii)cosx=-1/2のとき x=2/3π、4/3π としているのですが、私の解答が何故違うのかは分かりません。ご回答よろしくお願い致します。
回答: >(i)sin2x=0のとき >2x=0、π >∴x=0、(1/2)π ここが間違い。 0≦x<2πなので 0≦2x<4π この範囲で sin2x=0 の解は 2x=0,π,2π,3π ∴x=0,π/2,π,(3/2)π となります。 解答の2つの場合 >(i)sinx=0のとき >x=0、π >(ii)cosx=0のとき >x=(1/2)π、(3/2)π を合せたものに対応します。 注)2sinxcosx=sin(2x)=0なので「sinx=0,cos(x)=0」と「sin(2x)=0」は等価なので解は意一致しないといけない。 > (iii)cosx=-1/2のとき >x=(2/3)π、(4/3)π こちらは合っています。