質問: 円盤の慣性モーメントが求めれません。 面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント j=(mr^2)/2 となるのですがどうしてなるのか分かりません。 よろしくお願いします!
回答: 慣性モーメントの定義から入りましょう。 回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdjは次式で与えられます。 dj=r^2dm (1) ここで、dmは微小要素の質量です。 この円盤の慣性モーメントjは、円盤全域でdjを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。 つまり、 j=∫dj=∫r^2dm (2) となるわけです。 ここで、dmは次のように表されます。 dm=ρda (3) ρは面密度、daは円盤の微小要素の面積です。 次に、daをrを使って表すことを考えましょう。 da=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4) で求まります。実際にやってみます。 da=π(r+dr)^2-πr^2 =π(r^2+2rdr+dr^2-r^2) =π(2rdr+dr^2) (5) となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。 da=2πrdr (6) ですね。この式(6)を式(3)に代入します。 dm=2πρrdr (7) 式(7)を式(2)に代入します。 j=∫r^2・2πρrdr =2πρ∫r^3dr (8) 見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~rです。 回転軸から端っこまでですから♪ 積分を実行すると、 j=(πρr^4)/2 (9) になります。 ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。 m=πρr^2 (10) 式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪ j=(mr^2)/2 (11)