質問: 線形代数・連立方程式 4次の正方行列 a=(1 α β 0) (2 β 10 α) (α 4 β -4) (1 2 3 -4) とベクトルbを用いて表される4元連立1次方程式ax=bについて、解空間が t(x1 x2 x3 x4)=t(5+2s -3s+2t 1+s-t 3-s+t) s,tは実数 で与えられているときの、α、βを求めたいのですが、どのような条件を使って考えていけばよいのでしょうか?同次方程式を考えたりしてみたのですが、うまくいきません。どなたかお力添えをお願いします。 なを、カッコの前のtは転置行列という意味で使用させていただきました。大変読みにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。
回答: そのようなα, βは存在しません.問題の写し間違えでしょうか? 2つの解 x, x' を取ると a (x - x') = 0 となります. ここで解空間の具体形より,x - x' は一般に x - x' = (2s, -3s + 2t, s - t, -s + t) と,実数のパラメータ s, t を用いて表すことができます. さらに,s, t が任意なので a (2, -3, 1, -1) = 0 a (0, 2, -1, 1) = 0 の2式が同時に満たされなければいけません. 以下これを解けば話はオシマイなのですが,今の場合,解がありません. (1つ目の式を計算すると,第4成分が非ゼロの定数になる). まあ,もし写し間違えてだったとしても,この方針で解けるはずです.