質問: rc並列回路(直流)の微分方程式が分かりません rc並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。 初期状態で,電荷qがコンデンサに蓄えられています。 回路動作のイメージは出来ているのですが・・・。 どなたか,助けていただけませんか? もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。
回答: スイッチsを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,時刻t (> 0)におけるキルヒホフの第1法則を考えます.時刻tにおけるコンデンサの電荷をqとし,添付図のオレンジの矢印(電流)に沿って考えると, 起電力は電池eのみ. 電圧降下は,抵抗によるri,およびコンデンサによるq/cです. ※電流の矢印に沿って考えるとコンデンサを正極から負極へとたどることになるから,電圧は下がるはず(つまり電圧降下は正).で,コンデンサの電圧vと電荷qとの間には q = cv の関係があるから, v = q/c となります. 以上より, e = ri + q/c という関係が成り立ちますが,電荷qが増加するということはコンデンサの正極に電流iが図の向きに流入することであり,時刻t = 0におけるコンデンサの電荷がqであれば,時刻tにおけるコンデンサの電荷qは次のように表されます: q = q + ∫[0,t]i(t')dt' 積分の部分は時刻t = 0の後に流入した電流によるコンデンサの電荷の増加を表します. したがって,次の積分方程式が得られます: e = ri + (1/c}{q + ∫[0,t]i(t')dt'}. この積分方程式は次の初期条件付き微分方程式と等価です: 0 = r di/dt + (1/c)i, e = ri(0) + q/c. あとは,微分方程式を解いて,一般解は i = i exp(-t/cr) (iは任意定数). このうち,初期条件を満たすのは i = {(e - q/c)/r}exp(-t/cr).