質問: なんでケプラーの法則は、ほとんどの太陽系の天体に成立するんですか?
回答: >なんでケプラーの法則は、ほとんどの太陽系の天体に成立するんですか? つまりこういうことですね? 水星 R=0.3871 T=0.241 (0.3871^3=0.058、0.241^2=0.058) 金星 R=0.7233 T=0.615 (0.7233^3=0.378、0.615^2=0.379) 地球 R=1.0000 T=1.000 (1^3=1、1^2=1) 火星 R=1.5237 T=1.881 (1.5237^3=3.538、1.881^2=3.538) 木星 R=5.2026 T=11.862 (5.2026^3=140.819、11.862^2=140.707) 土星 R=9.5388 T=29.459 (9.5388^3=867.923,29.459^2=867.833) 天王星 R=19.1914 T=84.023 (19.1914^3=7068.381、84.023^2=7059.864) 海王星 R=30.0611 T=164.772 (30.0611^3=27165.306,164.772^2=27149.812) 木星から以降は少し数値がずれますが、まあ成立していますね。 これだけ見ていてはさっぱり理由が分かりませんが、 実は物理的に意味のある法則 V^2×R=一定=k というのがこの法則の背景にあります。 この法則があるから、R^3=T^2 が成り立つのです。 それで V^2×R=一定=k・・・1 これと、遠心力の公式 f=V^2/R・・・2 をくみあわせると f=k/R^2 が得られます。 つまり、半径の二乗に反比例している力が惑星に働いているということです、すべての惑星に。 今日ではkはk=GMで表し、 ちからfも単位質量当たりではなく惑星の質量mを考慮し F=mGM/R^2 と表し、このFのことを万有引力と呼んでいます。 しかし厳密には惑星は楕円軌道を描いています。 惑星はほとんど円形ですから今までの説明でほぼ足りますが、ぺったんこの楕円軌道の彗星ではこの法則が当てはまるんかい? そう思いますよね? ところが、例えばハレー彗星でやってみると、 R=17.834au(17.834^3=5672.131) T=75.3年(75.3^2=5670.090) とほぼ成り立っていることが分かります。 びっくりです。 なぜでしょう? 何故楕円運動が円運動に置き換えることが出来るのでしょう? それは下図のような関係が円軌道と楕円軌道とにあるからです。 つまり短軸端c点に等速円運動の速度Voが現れ、そのVoはbの値に依存しないからです。 つまり円であろうと楕円であろうと常に等しくなるからです。 このことに気づいたのがニュートンです。 凄すぎます。