質問: ベクトルの証明?なのですが・・・ この間、物理学の授業でベクトルが出てきました。 ベクトルが苦手な私にはさっぱり・・・ そこで、自分で参考書などを使って勉強してみたのですが、初っ端からわからない問題に突き当たってしまって・・・ 単位ベクトルの問題なのですが、大きい文字のeとシータが入力できないので、 「単位ベクトル=e(→)」「単位ベクトル=i(→)」「単位ベクトル=j(→)」「シータ」とさせてください。 (1) e(→)r=(cosシータ)i(→)+(sinシータ)j(→) (2) e(→)シータ=(-sinシータ)i(→)+(cosシータ)j(→) 二次元直行座標の単位ベクトルi(→)、j(→)と、二次元極座標の単位ベクトルe(→)r、e(→)シータの間で上の2問のような関係が成り立つことを証明しなさい。 という問題なのですが、さっぱりわかりません。 単位ベクトルi(→)とj(→)はなんとなくわかるのですが・・・ わかりにくい書き方ですみませんが、わかる方がいたら易しく教えていただきたいと思います。 よろしくお願いします。
回答: まず,わからないところをご自分で勉強されるという姿勢に 敬意を表します(偉そうに聞こえましたら,失礼). (1) e(r) = cosθ i + sinθ j (2) e(θ) = -sinθ i + cosθ j ということですね. e(r),e(θ),i,j はベクトル. まず,言葉の意味(定義)をきちんと押さえないといけません. 私の経験では, 「なんとなくわかるのですが・・・」というのは, 初めて聞く言葉ではないが実は定義をきちんと押さえていない, ということがしばしばです. i, j は, それぞれ x 方向と y 方向を向いた単位ベクトル (大きさ1のベクトル)です. どの場所においても i,j は同じものです. 等幅のフォントで見てください. y r q │ ┌ ┐ │ \ / │ p │ / │ / │/θ ─────┼───── x │o │ では,e(r),e(θ) は何か? 図の ベクトル pq が e(r) の方向, それと直角方向(θが増える方向に取る) のベクトル pq が e(θ) の方向です. 方向がわかったので,大きさは? 単位ベクトルですから,大きさは1です. e(r) は r が増える方向の単位ベクトル, e(θ) はθが増える方向の単位ベクトル,というわけです. t q │ /│ │ / │ │ / │ │ / │ │/θ │ p─────s─ pq の長さが1ですから,ps の長さは cosθ,pt の長さは sinθ したがって, e(r) = cosθ i + sinθ j です. e(θ)についても全く同様です(ただし,方向に注意). 直交座標の単位ベクトル i,j はどの場所でも同じですが, 極座標の単位ベクトルは場所が変われば違ってしまうことが 重要な点です. 上の図で,p点を違うところに取ってみてください. e(r),e(θ) が変わりますね. それは(1)(2)の式にもあらわれています. pが変わると,i,j は不変ですがθが変わりますから. 余計なことかもしれませんが, 「物理学の授業でベクトルが出てきました」 というなら,先生に質問してみましょう. 「先生の授業でよくわからないところがあったので, 自分でいろいろ勉強してみたんですが...」 と言えば,ほとんどの先生は喜んで教えてくれると思います. それなりの経験がある先生なら, ちょっと会話を交わすだけであなたがどこでつまずいているかを即座に見抜き, 適切な説明をしてくれるでしょう. 私なら,質問に来た学生には 「e(r) とはどういうものでしたっけ?」 みたいなところからはじめます.