質問: 「(a+b)のn乗が素数ならば(ab)のn乗は有理数である ただしa,bはそれぞれの項が一つずつである」をどなたか証明お願いします。
回答: (a+b)^n=pならa+b=p^(1/n)である。 ここで、(ab)^n=rとおくとab=r^(1/n)である。 a,bは x^2+p^(1/n)x+r^(1/n)=0 の解である。 x^2+p^(1/n)x+r^(1/n)=0 を解くと x=(-p^(1/n)±√(p^(2/n)-4r^(1/n)))/2 である。 このxの項は1つと仮定されているので、pは素数より p^(2/n)-4r^(1/n)=p^(2/n)R^2(Rは有理数) と書ける。 よって、 r=p^2[(1-R^2)/4]^n と書けるので、r=(ab)^nは有理数である。