質問: 位相空間について 次の問題がわかりません。。 実数の集合rにおいて、次の部分集合族oを考える。 まずr,φ∈oである。 u≠r,φのとき、u∈o⇔u=r-a(a:有限集合)と定義する。 (1)oが開集合系であることを示せ (2)写像f:(r,o)→(r,o) f(x)=x^2は連続であることを示せ。 (3)写像g:(r,o)→(r,o) g(x)=sin x は連続ではないことを示せ。 (1)については ()r、φ∈oは定義よりok ()u1、u2∈o⇒u1∩u2∈oは無限集合の積集合は無限集合 ()wλ∈o⇒∪wλ∈oは無限集合の和集合は無限集合 な感じでよろしいでしょうか? (2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のu∈oに対してf‐1(u)は無限集合 (3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のw∈oに対してg‐1(w)は有限集合 みたいな感じでよろしいのでしょうか? 解答や書き方がわからなくて困ってます・・・
回答: >()u1、u2∈o⇒u1∩u2∈oは無限集合の積集合は無限集合 >()wλ∈o⇒∪wλ∈oは無限集合の和集合は無限集合 >な感じでよろしいでしょうか? だめです.きちんと定義に従ってください そもそもoに属することと無限集合であることは まったく違うことです. #無理数全体は無限集合だが,けっして実数全体から #有限集合をとりのぞくことでは得られない #したがって,無理数全体はoには入らない無限集合 したがって, >(2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のu∈oに対してf‐1(u)は無限集合 これもだめです. そもそも,値域がどうかかわっているのか不明(説明不足). きちんと,f^{-1}(u)を考えて,oの定義に当てはめてください. >(3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のw∈oに対してg‐1(w)は有限集合 これはもっとだめです. 値域のかかわりも不明(説明不足)だし,そもそも 本当にg^{-1}(w)はつねに有限ですか? たとえばw=r-{0}とした場合,g^{-1}(w)は? #g^{-1}(r-{0})がわかれば「連続ではない」理由はみえるわけで #決して値域がどうこうということ話ではないことも見える.