質問: 数列の解き方について質問させてください。 ∑k=1,n^2 は、 (2k-1)^2=4k^2-4k+1 としてから考えますよね。 これって、 ∑[k=1,n]k^2={n(n+1)(2n+1)}/6 のkと2k-1を置き換えて、 ∑k=1,n^2={(2n-1)2n(4n-1)}/6 と考えてはいけないんでしょうか。
回答: いけませんよ。 Σ:Sum、Σk=1、n]akの意味は、 a1+a2+a3+・・・・・・・・+an、とa1~anの和を表します。 Σ[k=1、n]k^2、とΣ[k=1、n^2、は、 Σk=1、n]k^2=1^2+2^2+3^2+・・・・・・・+n^2、であり、 Σ[k=1、n^2=1^2+3^2+5^2+・・・・・・・+(2n-1)^2、であり、 明らかに異なります。 多分、数列などの添え字、 a(n)とa(n-1)の(n)を(n-1)に置き換えるように、 k^2と(2k-1)^2の(k)を(2k-1)に、 置き換えてもと・・・お考えになったと思えます。 Σの「公式」 Σ[k=1、n]c(定数)、Σ[k=1、n]k、 Σ[k=1、n]k^2、Σ[k=1、n]k^3、などの成立ちを 理解しておかれるとよいかと思います。