質問: {v_1, v_2, ..., v_m}をvの基底とする。f: u → v を線形写像とし、aをφ,βに関するfの表現行列とする。 そこで、f:= φ_v ⚪︎ f ⚪︎ φ_u^-1: r^n → r^m について、r^nとr^mの標準基底に関するfの表現行列を求めよ。 という問題なのですが、表現行列の証明がよく分かっていないので、とりあえず書いてみたのですが、すごくむずかしいので、数学に詳しいかたに間違いを指摘してもらいたいです。どうかお願いします! どうかお願いします。
回答: φ = { u_i } が u の基底なのですね? 前の質問の続きかな。 各 f(u_i) は v の元なので、基底 β 上に f(u_i) = σj=1..mv_j と成分表示されます。この a_i,j を使って、u の元 u=σi=1..nu_i の f による像は f(u) = σi=1..nf(u_i) = σi=1..nσj=1..mv_j = σj=1..m]{σ[i=1..n(x_i)}v_j ですから、 f(u) の β 上の成分表示を f(u) = σj=1..mv_j とすれば y_j = σi=1..n(x_i) と書けます。この一次変換を表す行列が f の基底 φ,β 上での表現行列です。 ちゃんと書かれてはいないけれど、前の質問からの流れからおそらく φ_u(u_i) = e_i, { e_i } は r^n の標準基底、 φ_v(v_j) = b_j, { b_j } は r^m の標準基底という話なのでしょう。 上記の結果を使って計算すると、 f は r^n の元 x = σi=1..ne_i を f(x) = σj=1..mb_i, y_j = σi=1..n(x_i) へ移します。 f の φ,β 上での表現行列と f の { e_i },{ b_j } 上での表現行列は同じ行列だということです。 a の j 行 i 列成分が a_i,j だというわけです。