質問: cos(x)......[2] だったので、-cos(x)+c と不定積分が求まったかに見えます。 ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数(sin(x)を切ったもの)を積分し、不連続な関数(-cos(x)を切ったもの)が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。 このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。
回答: じゃ、今度は回答。 初めは、高校で習うリーマン積分のレベルで考えたらどうなのか。 ●●不定積分て何ですか。何に使いますか。計算問題に出てくるだけ。現実の問題では最終的にはこんなもん要らないんです。と開き直ってみましょう。 確かに微分方程式を解いて、一般解が不定積分で表される。そういうことはあります。でも、結局境界値に合うように「積分定数」なるへんてこりんを調節しますね。ですから本質的には定積分 f(a,x) = integral {s=a~x} f(s) ds があれば良い。ここでf(a,x)をxの関数だと考えて、aの方はどうでもいいやってんで、「積分定数」なるものに押しつけた。これが不定積分。不逞の積分です。逆に言えば、aを決めてやれば、積分定数など出てこない筈じゃないか。 積分定数というのが、要するに曲者である。 ●そういうわけでして、 sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) これをやったときにも、 t=1/x を積分する場合でも、積分範囲の中に特異点(tが定義されない点)があったら、その前後をちょっと削って計算する。そして削る幅を→0にして、収束すればよし、おかしくなっちゃったらお手上げ(超関数論に行く)というのが正しい態度であろうかと思います。仰るとおりの意味で積分範囲が「不連続」です。 ●この立場では、「収束すればよし」の場合、ホントの答じゃなくて収束値を書いちゃうんですね。だから等号の意味が違う。"="と書いてあっても「等しい」と「収束する」の違いがあります。 「その収束値が、前後の値ときれいに繋がって微分可能である」という具合に行く場合、つまり関数として「連続」である場合、これはもう「等しい」と「収束する」は意地を張らずに同一視してしまった方が便利じゃないか。という訳です。たとえばフーリエ変換を勉強したら必ず出てくる sinc(x) = (sin x)/x という関数(シンク関数)があります。これ、x=0ではsinc(0)=1なんですよ。分母が0のくせに平気でこう扱う。もちろん x→+0でもx→-0でもsinc(x) →1に収束してくれて、しかもx=0で微分可能であるから、まあいいや、という事なんですね。 ●じゃあ、 k(x) = integral {s=-∞~x} 1/(s^2) ds = (-1/x ) はどうなんだろ。x<0ならk(x)>0ですね。そりゃそうでしょう、被積分関数1/(s^2)はいつでも正ですもん。k(x)は正に決まってるじゃありませんか。 ところが、x>0になったとたんにk(x) <0になります。被積分関数1/(s^2)はsによらず正なんですよ。それが何でk(x)<0になるんですか!! つまり、s=0のところで変なことが起こって、積分定数に相当する何かを勝手にいじっているに違いない。 ●●そういうわけでリーマン積分から逸脱して、ちょっと超関数の世界を覗いてみましょう。 或る無限小(凄く小さい正の値) ε>0 を考えて、 (1) [1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|<εなら q/ε という関数と考えます。(qは未知数。)これはs=0のごく近辺以外では1/(s^2)と同じである関数です。そして、 s=integral{s=-∞~∞} [1/(s^2) ] ds = 0 とであることを要求して、qを決めてみましょう。すると s = integral{s=-∞~-ε} [1/(s^2) ] ds +integral{s=-ε~ε} [1/(s^2) ] ds +integral{s=ε~∞} [1/(s^2) ] ds s= integral{s=-∞~-ε} 1/(s^2) ds +integral{s=-ε~ε} q/ε ds +integral{s=ε~∞} 1/(s^2) ds s= 1/ε +2q +1/ε s =0ですから、 2/ε + 2q = 0 である。 ゆえにq = -1/εである。つまり、 (1') [1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|<εなら -1/(ε^2) は s=integral{s=-∞~∞} [1/(s^2) ] ds = 0 を満たす。 1/(s^2)の代わりにこの[1/(s^2) ]を使ってみますと、0<ε