質問: ∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方 ∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。
回答: こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え します。広義積分を習っていることを仮定しますが... でも、 ∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx についてだけです。 まず、上の積分が収束するかという問題があります。 (実際には、絶対収束します。) この収束を示すことが必要なら補足しますので、 ここでは省きます。 (ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。) 以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、 i=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x と変数変換すると i=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx i=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx となります。これらは、右辺の広義積分が収束して 値がiに等しいことを意味します。一方、 2i=∫_{x=0~π}log (sinx) dx であり、x=2tとおくと i=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt =π/2*log 2+2i ∴ i=ーπ/2*log 2 となります。ご参考までに。