質問: 切断された正規分布 今ある標本(y,x)の組があって、その母集団が正規分布であることがわかっているとします。 ただ、得られた標本(y,x)はxがある閾値以上のものに限定されている(すなわち、正規分布の尾の部分のみが観測されている)としたとき、 母集団である正規分布の統計量を推定するにはどうすればよいでしょうか?
回答: 分かりやすく伝える自信はあまりないのですが... 一応,ご自分で問題を解決するためのとっかかり, になることを期待して,一通り説明してみます. 回答が長くなってしまったので,2つに分割しています. 以下の条件を仮定します. ・閾値は既知であり,値はz ・観測された標本の数はm まず,「閾値が設定されておらず,すべての標本が観測された」状況を考えます. ただし標本の数はm+nとします. この場合,平均と分散を計算するのは問題ないでしょう. ここから,「値がz未満の標本が失われた」状況を考えます. 失われた標本の数はnとします. この場合,残ったm個の標本だけから平均と分散を計算することはできませんが, 仮に失われたn個の標本が復元できたとすれば, m+n個の標本から平均と分散を計算することができます. つまり,何とかして失われたn個の標本を推測できれば, その推測を元に平均と分散を計算することができる,ということになります. 後は,どのようにしてn個の標本を推測すればよいか,です. 母集団が平均と分散が既知の正規分布であるならば, その母集団から値がある範囲に含まれる標本が観測される確率を計算することができます. つまり,何とかして平均と分散を決めてしまえば, 失われたn個の標本を推測できる,ということになります. ここまでを大雑把にまとめると, 「平均と分散が決まれば,失われた標本を推測できる」 「失われた標本を推測できれば,平均と分散を計算できる」 ということです.