質問: 高校数学 背理法 tan4°が無理数であることを、背理法を使って証明してください!できるだけ詳しくお願いします。
回答: 加法定理により tan60°=tan(64-4)=(tan64-tan4)/(1+tan64・tan4)...1 tan60=√3は無理数だから1右辺は無理数 ところで、倍角公式利用で tan64=tan(2・32)=2tan32/(1-tan232)...2 tan32=tan(2・16)=2tan16/(1-tan216)...3 tan16=tan(2・8)=2tan8/(1-tan28)...4 tan8=tan(2・4)=2tan4/(1-tan24)だが...5 ここで、tan4°は有理数であると仮定すると 有理数x有理数=有理数 有理数/有理数=有理数 だから 5右辺=(有理数x有理数)/(有理数-有理数2)=有理数なので 連鎖的に4、➂、2とたどってtan64は有理数となる このとき1右辺は (有理数-有理数)/(有理数+有理数x有理数)=有理数となり 本来1右辺が無理数であることに矛盾 その原因は tan4°は有理数であると仮定したことにあり 正しくはtan4°は無理数である ということになります (流れはこんな感じなんで自分なりに正式な答案に仕上げてください)