質問: π というのは分かるのですが、sinをcosに変えると同じような方法がうまくいかずに困ってしまいます。 アドバイスをお願いします。
回答: べき関数のフーリエ変換の話であれば、相手にしているのは関数というより超関数である(フーリエ変換は超関数から超関数への変換である)と思った方が見通しが良いでしょう。 たとえば定数関数 h(x) = 1 のフーリエ変換は、この定数関数を超関数だと思えばなんでもないけれども、普通の関数の範囲で考えると答が出ません。一般に、n次の多項式のフーリエ変換も、多項式を超関数とみなすことによって計算でき、答には超関数(具体的にはδ関数のn階導関数)がアカラサマに現れて来ます。 同様に、1/xのフーリエ変換を考えるに際して、「超関数f(x)はx≠0において 1/x と一致するような奇の超関数である」と定義して(「奇」であるから、f(0)=0)、この超関数f(x)をフーリエ変換すると宜しいでしょう。 といのは、 g(x) = f(x)+aδ(x) (aは任意の定数) であっても gは x≠0において 1/x と一致します。「x≠0において 1/x と一致する」というだけではaδ(x)の分だけ不定性があるわけです。言い換えれば、f(x)が「奇」であることを要請したこと(つまり a=0にしたこと)によって、コーシーの主値に寄与する成分以外をあらかじめ捨てたことになっています。 さて、f(x)は奇であるから ∫(-∞→∞)cosx f(x) dx = 0 であり、従ってf(x)のフーリエ変換は純虚数を値とする超関数になります。で、その中に符号関数 sgn が現れますね。じゃ、sgn(x)はx=0のところで一体どうなってるんでしょうか? sgn(x)の場合も、奇であるということを要請しないとsgn(x)+a δ(x) と区別できなくなります。「sgn(x)のフーリエ変換をしろと言われたらx=0のところだけ飛ばして積分すればいいじゃん」というのは、a δ(x) の成分を捨てて計算するということと同義であり、コーシーの主値を計算しているということとも同義です。 つまり、1/xもsgn(x)も、普通の関数の意味で定義したのでは「x≠0のところでは...という性質を持つもの」とだけしか指定できていませんから、δ関数を加えてもこの性質は変わらない。けれども、フーリエ変換するとδ関数が定数項になって、はっきり見えてしまう。だから、超関数の世界で話をした方がδ(x)の成分を明示的に扱えて見通しが良い、って仕掛けです。