質問: ∫x^2√(4-x^2)dxの積分 ∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。 以下のように解いて見たんですが, ∫x^2√(4-x^2)dx =1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx =1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx} =1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx} =1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx} =1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2} 右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると 4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2} 両辺を3倍して 4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2 よって ∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2} となりました。途中式・解答はあってますか?よろしくお願いします。
回答: 1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています. でも,2行目でしっかり微分されているので,okです. 4行目の第3項に記号∫が抜けていますが,5行目でしっかり積分されているのでok! 後は合っていますが,最後の答えの中に ∫(4√(4-x^2)dx が残っており,まだ積分の計算は完了していません. ∫(4√(4-x^2)dx の積分は,x = 2sint と置き換えて積分すれば ∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2} が求められますので,計算してみてください. 上記とあわせると,答えは ∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2 となるはずです.