質問: n次導関数 f(x)=1/(1+x)のn次導関数をもとめたいんですが f^(n)(x)=(-1)(-1-1)・・・(-1-n+1)(1+x)^(-1-n) になるのがわかりません。 f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で n回微分したら^(-2-n)だと思うのですが。 あと最後の項にxが残るのはなぜですか?
回答: f^(0)=[(1+x)^(-1)] f^(1)=(-1)[(1+x)^(-2)] f^(2)=(-1)(-2)[(1+x)^(-3)] f^(3)=(-1)(-2)(-3)[(1+x)^(-4)] f^(4)=(-1)(-2)(-3)(-4)[(1+x)^(-5)] f^(5)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)[(1+x)^(-6)] ・・・ ・・・ f^(n)=(-1)(-2)(-3)・・・(-n)[(1+x)^(-n-1)] =(n!)・[(-1)^n]・[(1+x)^(-n-1)] 係数は(-1)から始まって(-n)で終わっています。 係数の絶対値は、n!です。 符号は、奇数次導関数では負、偶数次導関数で正ですから、[(-1)^n]です。 (1+x)の次数は、 5 → (5+1) → -(5+1) n → (n+1) → -(n+1)=-n-1 となります。 納得できるまで、書いて見るのが良さそうです。