質問: 数列と極限に関して 分数の質問なのか極限の質問か判断が付かなかったため 極限の質問とすれば、分数の質問だとしても問題無いだろうと思い、極限の質問とさせていただきます。 先日極限を習いました。 ただ8割方理解はできずに終わりました。 極限を調べる箇所は因数分解→約分→xを代入というような流れのものもあったりで、分かる箇所もありはしましたが。 で、無限吸収の収束、発散を調べる問題で(収束する場合は和を求める) 1/[1・3]+1/[2・4]+1/[3・5]+.........+1/[n(n+2)]+......... という問題です。 見にくいかと思ったので分母を[]で囲みました。 で、聞きたいのは結果付近の計算についてなのですが 指名された生徒さんも、あまり分かっていなかったようで 先生が、ものすごくヒントをだしまくって答えに導いてらっしゃいました。 で、最終的に 1/2(1+1/2)になったのですが この解答をその生徒さんが 1/2×3/2=3/4と書きました。 で、先生はそれを○にしましたし、他の生徒さんからもそれに対しての指摘等は上がりませんでしたが 私はこの式が理解できませんでした。 答えは3/4で合っているのは分かるのですが(それまでの計算は分かっていないので、私は1/2(1+1/2)だけを見ています) なぜ、符号を変えたのかが分かりません 私がこれを解くとしたら 1/2+1/4を通分して3/4にします。 符号を変えたから後半が3/2になったのかなとも思いますが そもそも+を×の式に替えるやり方があるのですか? +の向きが曲がってしまい×に見えたのかなとも思いましたが そうすると3/2を書いた意味が分かりませんし... 分数の問題として見るとおかしいけど 極限の問題だから、こういうような書き方になるという可能性も 極限を理解できてない私には考えられたので 極限の質問としてさせていただきました。 解答お願いします。
回答: 問題の理解としてどうでもいいようなところに悩むなよ。 極限の計算をしたあとで、整理する方法としてどっちが簡単かの話。 1/[n(n+2)] =(1/2)[1/n - 1/(n+2)] これを n = 1 から 順番に書くと あ)(1/2)[1/1 - 1/3] い) (1/2)[1/2 - 1/4] う)(1/2)[1/3 - 1/5] え)(1/2)[1/4 - 1/6] 途中 順番に 数列が続いて た)(1/2)[1/(n-2) - 1/(n)] ち)(1/2)[1/(n-1) - 1/(n+1)] つ)(1/2)[1/n - 1/(n+2)] 全部を足すと あ)の - 1/3 と う)の + 1/3 い)の ー1/4 え)の + 1/4 た)の - 1/n つ)の +1/nが消し合うので あ)(1/2)[1/1] い) (1/2)[1/2] ち)(1/2)[ - 1/(n+1)] つ)(1/2)[ - 1/(n+2)] が残る nが ∞ になると ち) つ) が 0になるので (1/2)[1/1] + (1/2)[1/2] これをどの順番で足すかは、どうでもいい