質問: y=x^2のグラフ上を2点a、bが線分abの長さが一定になるように動く y=x^2のグラフ上を2点a、bが線分abの長さが一定になるように動くとき、 線分abの中点のy座標の最小値を求めよ。 a(α,α^2),b(β,β^2)とおく。ab^2=k^2とおく。 abの中点x=(α+β)/2,y=(α^2+β^2)/2 これらより、 12y^2-(64x^2+10)y+64x^4+16x^2-k^2=0 となりました。 これより、yの最小値をもとめようと思いましたが、 挫折しました。このような方法でよいのでしょうか。 よろしくおねがいします。
回答: a(α,α^2), b(β,β^2) ab=2k (2k)^2=(α-β)^2+(α^2-β^2) ..(1) abの中点(x,y) x=(α+β)/2 ..(2) y=(α^2+β^2)/2 ..(3) (2)(3)から, y=2x^2-αβ ..(4) (1)から, αβ=(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1) (4)へ代入して y=2x^2-(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1) y'=0 から, x=(2k-1)/2 したがって、最小値は、y=(4k-1)/4