質問: \sum_{k=1}^n i_k \qquad i_k は区間 \end{equation} が成立する。
回答: 任意の自然数nについて e= u_{k=1}^n i_k : i_kは区間 について k≠j→i_k∩i_j=φ とすると {i_k}_{k=1~n}は e⊂u_{k=1}^n i_k を満たす区間列だから m^*(e)≦σ_{k=1~n} |i_k| {l_j}_{j=1~∞}を e⊂u_{j=1~∞} l_j を満たす任意の区間列すると e=u_{j=1~∞} (e∩l_j)=u_{j=1~∞,k=1~n}(i_k∩l_j) k≠l→i_k∩i_l=φ→σ_{k=1~n} |i_k∩l_j|≦|l_j| σ_{k=1~n}|i_k|>σ_{j=1~∞}|l_j|を仮定すると ∃ε(0<ε<(σ_{k=1~n}|i_k|-σ_{j=1~∞}|l_j|)/2) ∃ε_j(ε=σ_{j=1~∞}ε_j,ε_j>0) ∃開区間g_{j,k}⊃i_k∩l_j,|g_{j,k}|<|i_k∩l_j|+ε_j/n ∃閉区間f_k⊂i_k,|f_k|>|i_k|-σ_{j=1~∞}ε_j/n f_k⊂i_k=u_{j=1~∞}i_k∩l_j⊂u_{j=1~∞}g_{j,k} f_kはコンパクトだから ∃m_k(f_k⊂u_{j=1~m_k}g_{j,k}) m=max_{k=1~n}(m_k) σ_{k=1~n}|i_k|-ε <σ_{k=1~n}(|i_k|-ε_j/n) <σ_{k=1~n}|f_k| ≦σ_{j=1~m,k=1~n}|g_{j,k}| <σ_{j=1~m,k=1~n}(|i_k∩l_j|+ε_j/n) <σ_{j=1~m,k=1~n}|i_k∩l_j|+ε ≦σ_{j=1~∞,k=1~n}|i_k∩l_j|+ε ≦σ_{j=1~∞}|l_j|+ε σ_{k=1~n}|i_k|<σ_{j=1~∞}|l_j|+2ε<σ_{k=1~n}|i_k|で矛盾 ↓ σ_{k=1~n}|i_k|≦σ_{j=1~∞}|l_j| ↓ σ_{k=1~n}|i_k|≦inf_{l_j,j=1~∞}σ_{j=1~∞}|l_j|=m^*(e) ↓ m^*(e)=σ_{k=1~n} |i_k|