質問: 対角要素がすべて0で、1行2列要素がーi、2行1列要素がiの2×2エルミート行列の固有値とそれに対応 対角要素がすべて0で、1行2列要素がーi、2行1列要素がiの2×2エルミート行列の固有値とそれに対応する固有列ベクトルの内、1行目が正の実数になる長さが1のものの求め方を教えてください。ただ単に固有値と固有値ベクトルを求める問題なのでしょうか?
回答: ただ単に固有値と固有ベクトルを求める問題です。 固有ベクトルは、スカラー倍を許すので一意ではありませんから、 求めた固有ベクトルの中で問題の条件に合うものを探しましょう。 a = 0 -i i 0 であれば、 0 = det(xe - a) = x^2 - 1 ⇔ x = ±1. 固有値 1 に対して (1e-a) v = 0 を解くと v // 1 i この v の中で「1行目が正の実数になる長さが1のもの」は v = 1/√2 i/√2, 固有値 -1 に対して (-1e-a) v = 0 を解くと v // -1 i この v の中で「1行目が正の実数になる長さが1のもの」は v = 1/√2 -i/√2.