質問: n!/r!(n-r)! で与えられます. n と r,(n≧r)を任意に与えて,総個数が C(n,r) 個あるこの組合せの全てを,下記に示す数式(漸化式)で算出できます. この論文では,下に示す"組合せ網羅漸化式"(仮称)を用いた計算結果が,数多く示されています. 具体的には,例えば,組合せの要素を,1,2,3,4,5 で表し,この5個の要素から,4個を取り出した組み合せは, 〈1,2,3,4〉〈1,2,3,5〉〈1,2,4,5〉〈1,3,4,5〉〈2,3,4,5〉の5種類です. この5種類ような組合せも数式を用いて算出する方法が記述されています. この様な例のほか,全ての組み合せについて,ひとつの組合せ網羅漸化式を用いて組合せの全体が算出できます. 下記の数式以外で,これと同等の考え方・目的・主旨をもって創られている数式が存在すれば,それを教えて下さい. コンピューターを用いる数値計算で組合せを構成する方法は除きます.閉じた代数計算式の存在を問います.
回答: しらみつぶしにするとしか言っていない式のどこが代数的なのかが相変わらずさっぱりですが... 別解を挙げよとのことなので、 C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r) に対応する組み合わせ列挙方法を述べます。 (1, 2, ..., n)からr個を重複なく取り出す組み合わせは、以下の2群に分けられます。 (i) (1, 2, ..., n-1)からr個を重複なく取り出した組み合わせ。 (ii) (1, 2, ..., n-1)からr-1個を重複なく取り出した組み合わせのそれぞれにb_r=nを追加したもの。 なおr=0の場合はすべての組み合わせは{()}(空集合1個)となります。 r=nの場合はすべての組み合わせは{(1, 2, ..., n)}(集合1個)となります。 以上の定義を再帰的に適用することにより、すべての組み合わせを算出することができます。 これももちろん既知のアルゴリズムです。どこかの参考書には書いてありそうなレベルの内容です。