質問: 「収束」を定義すれば、位相も定義できる? 位相空間では、点列の収束という概念が定義されていると思います。手元に適当な本がないので、不確かな記憶ですが、 位相空間xの点列(a_n)がαに収束する ⇔αを含む任意の開集合oについて、あるnが存在して、n≧nならばa_n∈oである という雰囲気の定義だったと思います。(nは自然数のような離散的な値ではなくてもよいはずですが、自然数と考えて問題ありません) さて、ある空間x上の点列(a_n)に対して「収束(極限)」の概念を定義したとしたとします。 この時、空間xに適当な位相構造を入れてやる事で、位相空間xにおける収束と、ここで定義した収束が一致するようにする事は可能でしょうか?(もし、必要なら、xはベクトル空間としても構いません) そもそも何を「収束」と呼ぶべきかすら分からないですが、一般的な定義あるのであればその定義と考えて差し支えありません。(ないのであれば、困ってしまうのですが、きっとあるでしょう) 具体的な例としては、ヒルベルト空間の線型演算子には、「弱収束」や「強収束」と言った概念がありますよね。これらの意味の収束を与える位相は存在するのか、という事です。(具体的にどう構成するのかは知りませんが、「弱位相」とか「強位相」と呼ばれる位相があったと思います)
回答: ヒルベルト空間上の線形作用素にいろいろ位相は導入できます。それらはすべて局所凸位相と呼ばれるもので一般にあるセミノルム族が与えられたときにそれらから定義される開近傍系を基に作られる位相です。ここら辺の話は関数解析の本に載っていると思いますが詳しく知りたいのなら一般的な関数解析よりも作用素環論、作用素論の本の最初の部分などを参照すると良いと思います。 回答に戻りますが参考になるかどうかかなり怪しいですが一応質問者さんの言いたいことを踏まえたつもりになると。。ヒルベルト空間上線形作用素の場合に絞りますがその場合上で述べたセミノルムというものが定義されていますよね?すなわちa→|<ψ|a|φ>|という写像です。 これはある意味各aに対して距離(もしくはノルム)みたいな数値が決められていて点列{a_n}がaに(この尺度で)収束するということを |<ψ|a-a_n|φ>|→0で定義しているわけです。 これは自然に次の開集合系(開近傍系とも呼ばれる)を誘導します: v(b: ψ,φ:ε)={b: |<ψ|a-b|φ>| < ε} これらの形の集合の有限個の共通部分、任意和からなる集合を開集合と定義します。するとこれはもとの意味での収束と同じ収束を意味しています。近づくという感覚はε>0という任意の正数を導入したところにあります。若干ここで注意すべきところは「この位相でa_nがaに近づくということは高々有限個の上の形の開集合(b=a)が存在してある番号以上のすべてのnに対してa_nがその有限個の集合に含まれている」ということです。無限個の共通部分ではないということですね。このような話は位相の基本ですがweak-topology,weak operator-topology(wo-topology), strong-topology(norm-topology), strong operator-topology(so-topology), weak*-topologyなどいろいろ導入されていて面白い作用素環論の本が個人的にはお勧めです。すでに知ってらっしゃるかもしれませんが蛇足ながらフォンノイマン環の話はこれらの位相のひとつで閉じているある部分空間は代数的に特徴付けられる(double commutantと呼ばれるもの)という基本定理から始まっていてなかなか興味深いものです。