質問: 不完全性定理を自然科学に敷衍できるか。 数学基礎論の林晋先生の「ゲーデルの謎を解く」という本を読んで疑問に感じていることがあります。 この本の最初に「ホーキングの疑問」と銘打って天才物理学者の下記の疑問をゲーデルの不完全性定理になぞらえています。 「本当に完全な統一理論があるならばそれは人類の行動をも決定するだろう。ということは、統一理論自体が、人類の統一理論探求の行方を決定することになる! だとしたら、どうして、人類が正しい結論にたどり着ける、と決まっているだろう?」 もし、統一理論がニュートン力学と初歩的な電磁気学で構成されていたとしたら、そのような世界では、ニュートン力学を理解できるような知性は生まれえないということでしょうか。 自然科学は暫定的な仮説の総体と言っても良いはず。無矛盾を前提に証明された不完全性定理を自然科学に適用するにはもっと慎重であるべきではないかと思います。 統一理論(というより宇宙)の自己言及性という問題があるとすれば、次のような状況ではないかと考えます。宇宙の全要素の状態を超巨大コンピューターに入力できて、宇宙のすべての状態を把握できるようになる。そうするとコンピューター自身も宇宙の一部ですから、そのデータも自分自身に入れなくてはなりません。 つまり人間の能力は余りにも小さいので、自然科学分野では不完全性定理が障害となるような事態はあり得ないと考えています。 以上のような私の考えに対してサゼスチョンがあれば聞かせていただきたいと思います。 勝手ながら、回答は数学科か哲学科の方か同等の知識のある方にお願いいたします。
回答: no.2,3,7,9,13,14です ご希望に添うような形で回答することが、あまりできなかったようで申し訳ございません。 ゲーデル関係の書物が引越の後の段ボール箱内部に眠ってしまっており、一冊だけ見つけ出しました。 林氏の「ゲーデル・不完全性定理」(岩波文庫、青944-1)ですが、お読みになられましたでしょうか? 前半の72ページが「ゲーデル不完全性定理」そのものの翻訳なのですが、林氏の内容の濃い解説が、その4倍程度のページに渡って記述されています。そのうち、興味深い解説がp.250以降、とくにp.265以降にあります。 関連しそうな一部を引用しておきます。 >>> 不完全性定理をめぐる歴史解説の最後に、比較的最近の数学基礎論的展開について触れておきたい。最近の展開を知っておくことは、いわゆるポストモダン系の議論に多い、ゲーデルの定理を「根拠」とする素朴な相対主義的・限界論的結論の解毒剤としても有効である。 (中略)1967年、ビショップは、排中律、非可術的集合、ブラウワーの原理のいずれも使わない、通常の数学的推論方法の一部分だけで解析学の非常に大きな部分を再構築してみせた。(中略)これらの論理のポイントは数学概念の定義にあった。非可術的集合論や排中律は、数学の証明で常に必要なのではない。これらの理論が明らかにしたのは、非可術的定義や排中律などの「問題のある」原理は、少なくとも20世紀初頭までの数学に限れば、滅多に使われることはなく、無限算術化における実数などの基礎概念の定義と、その基本性質を示す部分などの、比較的限定された場所、ワイルの言葉を借りれば「数学の辺境」に集中しているという事実であった。 そのために、無限算術化を原型のまま、可術的集合論や排中律のない数学で実行しようとすると、基本的性質の部分、つまり最初でつまづく。最初だけにその印象は強い。しかし、そういう部分は、基礎として重要ではあるが、多くの数学者が数学の本質とは見なさない部分なのである。(中略)ビショップたちの方法では、実数のそういう基本的性質を証明することは断念し、そういう性質を持つものが実数だと定義してしまうのである。(中略)アプリオリな保証はない。しかし、ビショップたちは、それが本当に実行可能であることを実際にやってみせたのである。(中略)ビショップの構成的数学が直感的な概念の定義、つまり、広い意味での形式化の方法を変更して成功を収めたという事実は、非形式的概念の形式化自体に「恣意性」あるいは「不確定性」があることを物語っている。(後略) <<< ※排中律:http://ja.wikipedia.org/wiki/%e6%8e%92%e4%b8%ad%e5%be%8b さらに面白い解説が続くのですが、ご質問内容に関連して私が提示させていただいた無限(実数概念)に関連するであろう部分だけを抜き出しました。 また、この部分の記述は、量子力学的な不可思議な領域を理解せずとも、マクロ系での世界について(比較的)精度高く理論を当てはめることができるということと相同的であり、興味深いところでもあります。 no.14では、お答えいただき、ありがとうございました。私の立場は現時点では「二元論を追い求め続ける一元論者」ということにしております。 勝手なことばかり書き立ててしまいましたが、ご参考になれば、幸いです。