質問: 水分子の振動について 軽水と重水の対称伸縮モードにおける振動数の比を求めていて、少しわからないことがあり困っています。 ν(振動数)=√(k/μ)の式よりkが定数であるため、振動数は換算質量μに依存することはわかりました。 しかし、軽水と重水の対称伸縮モードにおける換算質量μの求め方がわかりません。 教えていただけるとありがたいです。
回答: もとの原理から考えるしかないかと思います。二原子分子でx方向の運動エネルギーを考えます。 t=(1/2)m1(dx1/dt)^2+(1/2)m2(dx2/dt)^2...(1) この分子が結合していてその結合がバネのようであればポテンシャルエネルギーvは v=(1/2)k(δr)^2...(2) となります。δrは原子間の距離rの変化分となります。 dδr/dt=dx1/dt-dx2/dt...(3) です。 さて(1)を次のように書き直していけます。 t=(1/2){(m1dx1/dt+m2dx2/dt)^2/(m1+m2)}+(1/2){m1m2/(m1+m2)}(dx1/dt-dx2/dt)^2 =(1/2){m1m2/(m1+m2)}(dδr/dt)^2...(4) この(4)の展開で(1/2){(m1dx1/dt+m2dx2/dt)^2/(m1+m2)}をゼロにしているのはこの項は分子全体の並進運動で振動とは関係ないからです。(2)と(4)は調和振動子の位置エネルギーと運動エネルギーを表す式となっています。よって振動数は ν=(1/2π)√(k/μ) でμは換算質量で μ=m1m2/(m1+m2) となります。m1=m2=mならばμ=(1/2)mです。ここまではそんなに大変でないのですが、 水のように三原子(質量がm1が一個、m2が二個)なら tx=(1/2)m1(dx0/dt)^2+(1/2)m2(dx1/dt)^2+(1/2)m2(dx2/dt)^2 ty=(1/2)m1(dy0/dt)^2+(1/2)m2(dy1/dt)^2+(1/2)m2(dy2/dt)^2 tz=(1/2)m1(dz0/dt)^2+(1/2)m2(dz1/dt)^2+(1/2)m2(dz2/dt)^2 から出発します。x0,x1,x2はそれぞれ1個目(質量m1で真ん中にある)、2個目、3個目(質量m2で両サイドにある)のx座標となります。これで並進と回転の運動成分を無視した運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを出すことになります。換算質量は全対称ならばm2、逆対称ならばm1m2/(m1+2m2)になると思います。水の場合全対称だとh2oでμ=m2=1にたいしてd2oでμ=m2=2で振動数の比は1/√2となり、逆対称だとμ=8/9に対してμ=8/5で振動数の比は1/√1.8になるはずです。(こっちの計算はやったわけでなく記憶に頼っているのであまり自信がないです。質問者さんご自身でお確かめ下さい。)