質問: 物理の二乗平均速さなのですが 高校の物理についてですが、 二乗平均速度と平均速さvの二乗は同じってことでよろしいのでしょうか? また平均速さの二乗について、 ^2=^2+^2+^2 は成り立つのでしょうか。 頭が混乱してしまいました。
回答: no.3です。いつの間にか「補足」が付いていたのですね。 私は、単純にブラケット <> は「特に意味がない」ものとして扱っていました。 「平均」という意味でお使いなのでしょうか。 2つのケースで考えてみましょうか。 まず、二乗平均のケース。 no.3に書いたとおり、速度ベクトルが v1, v2, v3 あるとすると、 →v1 = →vx1 + →vy1 + →vz1 →v2 = →vx2 + →vy2 + →vz2 →v3 = →vx3 + →vy3 + →vz3 として、絶対値記号は省略して、そのベクトルの大きさは v1^2 = vx1^2 + vy1^2 + vz1^2 v2^2 = vx2^2 + vy2^2 + vz2^2 v3^2 = vx3^2 + vy3^2 + vz3^2 と書けるので、「二乗和」は v1^2 + v2^2 + v3^2 = ( vx1^2 + vx2^2+ vx3^2 ) + ( vy1^2 + vy2^2+ vyx3^2 ) + ( vz1^2 + vz2^2+ vz3^2 ) (a) となるのは分かりますね? これが、no.3で言っている「ベクトルの大きさの加算」です。 これを使って「平均」を計算しましょう。<>を平均の意味にして ・速度ベクトル v1, v2, v3 の二乗平均: = ( v1^2 + v2^2 + v3^2 ) / 3 ・x成分 vx1, vx2, vx3 の二乗平均: = ( vx1^2 + vx2^2 + vx3^2 ) / 3 ・y成分 vy1, vy2, vy3 の二乗平均: = ( vy1^2 + vy2^2 + vy3^2 ) / 3 ・x成分 vz1, vz2, vz3 の二乗平均: = ( vz1^2 + vz2^2 + vz3^2 ) / 3 これらと(a)式から、 = + + となっていることはお分かりと思います。 これと質問本文にある ^2 = ^2 + ^2 + ^2 とは全く違うことはお分かりですか? この式では、単に「ベクトル の x, y, z 成分が , , 」ということです。 この場合には、 →v = →v1 + →v2 + →v3 を考えると →v = (→vx1 + →vx2 + →vx3 ) + (→vy1 + →vy2 + →vy3 ) + (→vz1 + →vz2 + →vz3 ) ですから、x成分は →vx = →vx1 + →vx2 + →vx3 であって、 vx^2 = |→vx1 + →vx2 + →vx3 |^2 ≠ vx1^2 + vx2^2+ vx3^2 です。(極端なケースとして、 →vx1 = - →vx2 ≠ 0 で考えれば分かる) 従って、ここでの「→vx」は、上のケースで求めている の平方根とは全く違うことは分かりますよね? マイナスになることだってあります。 この場合では、しいてこじつければ → = ( →v1 + →v2 + →v3 ) / 3 → = ( →vx1 + →vx2 + →vx3 ) / 3 → = ( →vy1 + →vy2 + →vy3 ) / 3 → = ( →vz1 + →vz2 + →vz3 ) / 3 ですから、 → = → + → + → で ^2 = ^2 + ^2 + ^2 です。 no.3にも書いたとおり、「平均の二乗」と「二乗平均」とは別物と考えた方がよいです。「二乗平均」は、全て「プラスの値」から平均を求めるので必ずプラスになりますが、「ただの平均」では「プラスとマイナスの単純平均」ですから「ゼロ」になることもあり得ます。