質問: 次の数列{cn}の一般項cnを求めよ 1,2,5,6,9,10,13... どのようにすれば解けます 次の数列{cn}の一般項cnを求めよ 1,2,5,6,9,10,13... どのようにすれば解けますか?
回答: 数列{cn}の階差数列を{bn}、数列{bn}の階差数列を{an}とします。 {cn} 1,2,5,6,9,10,13... {bn} 1,3,1,3,1,3,... {an} 2,(-2) ,2,(-2),... an=2・(-1)^(n-1) n≧2 のとき、 bn=1+σ[k:1→(n-1)] an =1+σ[k:1→(n-1)] 2・(-1)^(n-1) =1+2 σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1) =1+2 [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)} =1+1 - (-1)^(n-1) =2 - (-1)^(n-1) n=1 のときも成り立つ。 bn=2 - (-1)^(n-1) n≧2 のとき、 cn=1+σ[k:1→(n-1)] bn =1+σ[k:1→(n-1)] {2 - (-1)^(n-1)} =1+σ[k:1→(n-1)] 2 - σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1) =1+2(n-1) - [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)} =1+2n - 2 -1/2 + (-1)^(n-1)/2 =2n - 3/2 + (-1)^(n-1)/2 ={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2 n=1 のときも成り立つ。 したがって、 cn={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2