質問: ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください ※a→は「aベクトル」という意味です。 四面体oabcがあり、頂点aから平面obcに下ろした垂線と平面obcとの交点をhとします。 oa→=a→、ob→=b→、oc→=c→とおきます。|a→|=|b→|=2、|c→|=1、a→・b→=c→・a→=1/2、∠boc=60°のとき、 (1)△bocの面積を求めてください。(途中式もお願いします。) (2)ah→をa→、b→、c→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) (3)四面体oabcの体積を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)√3/2 (2)ah→=-a→+(c→/2) (3)√5/4
回答: 以下*は掛け算を表します (1)|b→|=2、|c→|=1、∠boc=60 ゚より、面積公式は「1/2*ob*oc*sin∠boc」なので、面積は1/2*2*1*sin60 ゚=√3/2」 (2)b→・c→=|b→||c→|cos60 ゚=1 点hは△boc上にあるので、oh→(以下h→)=sb→+tc→...(1)(s、tは実数)とおける。 ここでah(=h→-a→)⊥面bocより、 ah→・ob→=(h→-a→)・b→=0⇔h→・b→=a→・b→=1/2...(2) ah→・oc→=(h→-a→)・c→=0⇔h→・c→=c→・a→=1/2...(3) (2)(3)に(1)を代入すると (2)⇔(sb→+tc→)・b→=s|b→|`2+tb→・c→=4s+t=1/2...(4) (3)⇔(sb→+tc→)・c→=sb→・c→+t|c→|`2=s+t=1/2...(5) (4)(5)を連立して解くとs=0、t=1/2 よって(1)よりh→=1/2c→ 故にah→=-a→+h→=-a→+1/2c→」 (3)|ah→|`2=|-a→+1/2c→|`2=|a→|`2-a→・c→+|1/4c→|`2=4-1/2+1/4=15/4 よって|ah→|=√15/2(←これが四面体の高さに相当) 四面体の底面積は(1)より√3/2なので、求める体積は、1/3*√3/2*√15/2=√5/4」 分かりにくかったらすみませんm(__)m