質問: 数学 三角関数 関数 y=3cosθ+4sinθ (0≦θ≦π/2) について、 (1) yのとりうる値の範囲は□≦y≦□である。 (2) yが最大値をとるとき、sinθ=□、cosθ=□である。 (3) yが最大値をとるとき、z=3sin2θ+4cos2θの値は□である。 □の値を教えてください。 途中計算も欲しいです。 よろしくお願いします。
回答: (1) 三角関数の合成を行えばよい。 y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+α),ただし cosα=4/5,sinα=3/5 ...(☆) 0≦θ≦π/2 より α≦θ+α≦α+π/2, 0<sinα=3/5<sin(α+π/2)=cosα=4/5より ∴5sinα=3≦y≦5 (2) yが最大値5をとるとき θ+α=π/2 sinθ=sin(π/2-α)=cosα=4/5 (∵(☆)より) cosθ=cos(π/2-α)=sinα=3/5 (∵(☆)より) (3) yが最大値5をとるとき θ+α=π/2 x=3sin(π-2α)+4cos(π-2α) =3sin(2α)-4cos(2α) =6sinαcosα-4(cosα-sinα)(cosα+sinα) =6(3/5)(4/5)-4((4/5)-(3/5))((4/5)+(3/5)) (∵(☆)より) = .... ←小学生の分数計算です。