質問: わかる方お願いします!
回答: [4] (1) y=x3-x ...1 上の点(t, t3-t)における接線の方程式を求めると、 y=(3t2-1)(x-t)+t3-t y=(3t2-1)x-2t3 ...2 2がA(u,-u)を通るとき -u=(3t2-1)u-2t3 2t3-3ut2=0 t2(2t-3u)=0 t=0、3u/2 u>0 から 3u/2≠0 だから tの値が異なる2つの実数に決まる。 故に、点Aから引くことができる接線は2本である。 (2) t=0のとき y=-x t=3u/2のとき y=(27u2/4-1)x-27u3/4 2本の接線が直交するとき (-1)×(27u2/4-1)=-1 → u2=8/27 u>0 だから u=2√2/3√3=2√6/9 (3) (2)のとき y=-x ...3 y=x-4√6/9 ...4 3と4の交点Aを求めると、 u=2√6/9 だから A(2√6/9,-2√6/9) 1と3の接点をO(0, 0)とし、1と4の接点をB(√6/3,-√6/9)とすると、 OA=√{(2√6/9)2+(-2√6/9)2}=4√3/9 AB=√{(2√6/9-√6/3)2+(-2√6/9+√6/9)2}=2√3/9 OA⊥AB だから △OABの面積S1 =(1/2)×(4√3/9)×(2√3/9) =4/27 1と直線OBで囲まれた部分の面積をS2とすると、 OB:y=-(1/3)x だから S2=∫[0→√6/3]{-x3+(2/3)x}dx=1/9 故に、S=S1-S2=1/27 [5] (1) f(x)=x3-3a2x f’(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a) a>0 だから x<-aのとき f(x):単調増加 -a<x<aのとき f(x):単調減少 a<xのとき f(x):単調増加 極大値f(-a)=2a3 極小値f(a)=-2a3 f(x)とy=bが異なる3点で交わるとき、f(x)=bは相異なる3個の実数解を持つ。 ∴ -2a3<b<2a3 (2) f(x)=bの相異なる3実数解を α<β<γとすると、 α<-a<β<a<γ 更に 1<β だから α<-a<1<β<a<γ 1<a -a<x<aにおいてf(x)は単調に減少する -a<1<β<aのとき f(a)<f(β)<f(1) -2a3<b<1-3a2 故に、1<a かつ -2a3<b<1-3a2 計算ミスがあったら m(_ _)m