質問: △ABCの内部に点Gをとり、 AGとBCの交点をP、 BGとCAの交点をQ、 CGとABの交点をR とする。 △ABC∽△PQRであるとき 点Gは△ABCの重心である
回答: スマートではないかもしれませんが、次の証明はどうでしょうか。 △ABCの三辺の中点をPQRとすると、 △PQR∽△ABC △ARQと△BRPの外接円の交点をKとすると、 ∠PKQ=∠A+∠B よって、 ∠PKO+∠C=∠A+∠B+∠C=180° △CPQの外接円は点Kを通る。 円周角より、 ∠PQR=∠KQR+∠PQK=∠RAK+∠KCP =∠B よって、 ∠KAC+∠KCA=(∠A-∠RAK)+(∠C-∠KCP)=∠A+∠C-∠B で一定なので、 ∠AKCも一定 同様に、 ∠BKCも∠BKAも一定なので、点Kは定点である。 また、 ∠QKR=180°-∠Aが一定、∠KQR=∠RAKも一定だから、 △PQRが相似を保ちながら動くとき△KQRはも相似に動く。 したがって、 △PQR∽△DEFとすると、 △KQR∽△KEF 同様に △KPQ∽△KDE、△KRP∽△KFD KR:KF=KQ:KE=KP:KD ∠RKF=∠QKE=∠PKD △KFR∽△KEQ∽△KDP よって、 RF=kKRとすると、QE=kKQ、PD=kKP △ABCと点D、E、Fで、BP=a、CQ=b、AR=c、KP=d、KQ=e、KR=f とすると、チェバの定理より (BD/DC)・(CE/EA)・(AF/FB) =(a-kd)/(a+kd)・(b-ke)(b+ke)・(c-kf)(c+kf)=1 これを解いて、 k(abf+ace+bcd+defk2)=0 a、b、c、d、e、fは正の数だから k=0 すなわち、題意を満たすのは△PQRしかない。 このときAP、BQ、CRの交点Gは重心である。