質問: アステロイドの面積の出し方を教えて下さい 積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。 どうやってだすんですか?
回答: アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0) の囲む面積sならば s=4∫(0からaまで)ydx だから x=a(cost)^3で置換すると dx=-3a(cost)^2・sintdt s=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt =12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt =12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt =12a^2(i(4)―i(6)) i(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると i(n)=((n-1)/n)・i(n-2) i(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分) i(4)=3π/16,i(6)=5π/32 s=(3πa^2)/8 (終)