質問: 外接円と内接円 もう一つ分からない問題があったので教えてください。 ab=acである二等辺三角形abcにおいてbc=2であり、頂点aからbcに下ろした垂線の長さが2であるとする。 このとき△abcの外接円と内接円の半径を求めよ。 という問題です。 お願いします。
回答: akeboshiさん、こんばんは。 三角関数を使わないでやります。 まず、三平方の定理から、abとacの長さを求めます。 ab^2=2^2+1^2=5=ac^2 なので、ab=ac=√5です。 まず、内接円の半径から求めます。 内心をiとすると、 △abc=△abi+△bci+△cai と3つに分割できます。 内心iから、それぞれの辺ab,bc,caまでおろした垂線の長さは等しいので (それがちょうど半径rになっているので) △abcの面積は、 △abc=底辺2×高さ2×(1/2)=2 △abiの面積=底辺√5×高さr×(1/2) △bci=底辺2×高さr×(1/2) △cai=底辺√5×高さr×(1/2) ----------------------------------足すと △abi+△bci+△cai=(√5+2+√5)r/2=2 これを解いて、r=2/(√5+1)=(√5-1)/2・・・答え 次に、外接円の中心をoとします。 外接円の半径はrとしましょう。 ao=bo=co=r なので、△aboは、二等辺三角形になっています。 さて、この面積は?? oからabにおろした垂線の足をhとします。 △aohにおいて、三平方の定理を使うと、 ah^2+oh^2=ao^2 (√5/2)^2+oh^2=r^2 oh^2=r^2-(√5/2)^2とおけます。 すると、△aboの面積は、 底辺をab=√5 高さはoh=√{r^2-(√5/2)^2} なので、面積は √5×√{r^2-(√5/2)^2}×(1/2)・・・(1) また、底辺をao=r 高さをbcの半分=1とみることもできるので、 面積はr×1×(1/2)・・・(2) (1)=(2)より、 r=5/4・・・答え のように求めることができます。 これらは、高校の数学ですと、三角関数を用いて求めることも可能です。 参考になればうれしいです。頑張って図を描いてみてくださいね!!