質問: 球殻の慣性モーメントi=2/3mr^2 を用いて質量mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。 球殻の慣性モーメントi=2/3mr^2 を用いて質量mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答: 慣性モーメントは、「全体の質量:m」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。 この問題も、「球殻のm」と「球のm」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。 #1 さんのように、まずは「球のm」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のm」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。 ρ = m/[ (4/3)パイr^3 ] = 3m/(4パイr^3) 1 次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積です。 dv = 4パイr^2 dr 2 これと、1の密度を使えば、この「薄い球殻」の質量は dm = ρ*dv = 4パイρr^2 dr 3 となります。 この球殻の慣性モーメントが、問題で与えられた式になります。与えられた式の「m」(球殻の質量)が、3の「dm」に相当するわけです。当然、与えられた式の「r」が3の「r」に相当します。 従って、球殻の慣性モーメント di は di = (2/3)dm*r^2 = (8/3)パイρr^4 dr と書けることになります。 球全体では、これを r : 0~l (l:球の半径)に積分すればよく i = ∫[0→l]di = (8/3)パイρ∫[0→l]r^4 dr = (8/3)パイρ[r^5 /5][0→l] = (8/15)パイρl^5 これを、1を使って「球の質量」で表せば ρ = 3m/(4パイl^3) ですから i = (2/5)ml^2