質問: 1回のゲームを行うと1/3の確率で3つの商品の中から1つを入手できるゲームがあります(どれが貰えるか 1回のゲームを行うと1/3の確率で3つの商品の中から1つを入手できるゲームがあります(どれが貰えるかは等確率である商品は2回以上貰えます)例えばある商品を1回のゲームで入手できる確率は1/9です 5回のゲームで商品全てを入手できる確率はどうなりますか?
回答: 5回のゲームで賞品がもらえる回数とその確率は、以下です。 0回:5c0 x (2/3)5 x (1/3)0 = 32/243 1回:5c1 x (2/3)4 x (1/3)1 = 80/243 2回:5c2 x (2/3)3 x (1/3)2 = 80/243 3回:5c3 x (2/3)2 x (1/3)3 = 40/243 4回:5c4 x (2/3)1 x (1/3)4 = 10/243 5回:5c5 x (2/3)0 x (1/3)5 = 1/243 このうち、3回~5回当たると、全てを入手できる可能性があるので、 それぞれに場合分けして、確率を計算します。 ・3回貰える場合: 全てを入手できる確率は、 1 x 2/3 x 1/3 = 2/9 また、3回貰える確率は、以上から、40/243なので、 この場合の確率は 2/9 x 40/243 = 80/2187 ・4回貰える場合: 1種類だけしか貰えない確率は、 (1/3)4 x 3 = 1/27 2種類だけしか貰えない確率は、 {(2/3)4 - (1/3)4 x 2} x 3 = 14/27 よって、全てを入手できる確率は、 1 - 1/27 - 14/27 = 12/27 = 4/9 また、4回貰える確率は、以上から、10/243なので、 この場合の確率は 4/9 x 10/243 = 40/2187 ・5回貰える場合: 1種類だけしか貰えない確率は、 (1/3)5 x 3 = 1/81 2種類だけしか貰えない確率は、 {(2/3)5 - (1/3)5 x 2} x 3 = 30/81 よって、全てを入手できる確率は、 1 - 1/81 - 30/81 = 50/81 また、5回貰える確率は、以上から、1/243なので、 この場合の確率は 50/81 x 1/243 = 50/19683 求める確率は、以上の3通りを合計して、 80/2187 + 40/2187 + 50/19683 = (720+360+50)/19683 = 1130/19683