質問: 次のべき級数の収束域を求めてください。 1.σ(n=1→∞){(-1)^n/n^2}x^n 2. σ 次のべき級数の収束域を求めてください。 1.σ(n=1→∞){(-1)^n/n^2}x^n 2. σ(n=1→∞){1/√n}x^2n 3. σ(n=1→∞){(-1)^n+1/log(n+1)}x^n よろしくお願いいたします。
回答: ←補足 2. は、各 x^n についての lim[n→∞]a_(n+1)/a_n を考えると、 n が奇数の場合が問題になる。 x^2 = y とでも置いて、 y についてのべき級数にダランベールの収束半径をあてはめてもよいし、 もともとのダランベールの判定法に戻って適用する方法もある。no.1 では、そっちを行った。 ダランベールの級数収束判定法とは、σ[n=1→∞] a_n は lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| < 1 のとき収束、 lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| > 1 のとき発散、lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| = 1 やこの極限が収束しないときは ς[n=1→∞] a_n の収束はこの方法では判定できない...というもの。 これをべき級数にあてはめて a_n = (c_n)x^n と置くと、 lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| = |x| lim[n→∞] |c_(n+1)/c_n| だから、σ[n=1→∞] (c_n)x^n は |x| < lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| のとき収束、|x| > lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| のとき発散と判る。 この lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| を、σ[n=1→∞] (c_n)x^n の「収束半径」という。 1.3. は、端折ってこちらの計算を使った。