質問: n階導函数を求める問題です。 f(x)=1/(1+2x) これを詳しく学びたいので、途中式を書いて教えていただきたいです。 どうかよろしくお願いします。
回答: f(x)=1/(2x+1) f'(x)=-1*2/(2x+1)^2 f''(x)=-1*(-2)*2*2/(2x+1)^3 f'''(x)=-1*(-2)*(-3)*2*2*2/(2x+1)^4 ... ということで、 fn=n!(-2)^n/(2x+1)^(n+1) となりそうです。これを帰納法で証明すれば答えです。 n=1のときは上記で計算済。 n=kのとき、fn=k!(-2)^k/(2x+1)^(k+1) と仮定すると、 fn+1=k!(-2)^k*{-(k+1)}*(2x+1)'/(2x+1)^(k+2) =(k+1)!(-2)^(k+1)/(2x+1)^(k+2) よって、n=k+1のときも成り立つ。 帰納法により、 fn=n!(-2)^n/(2x+1)^(n+1)