質問: 以下の「三文字a,x,bからなる等式ax+b=0についてのstatement」に関して誤った点をご教示下さいませ。 【質問】 「a,x,bの三文字の数からなる等式(A)ax+b=0をxについて解きなさい。」(について解く際に) 【私が陥った難点......本来はこの問題を解く際には踏み込まなくてよかった】 上式を解く際には「除算a/bについてはb=0の場合は定義されないという点につき『定義』は『証 明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』」となりえない。故に数が「0」が割れないと いう「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる(高等学校数学課程の範囲内でおさまるか きわめて微妙な問題)。 i) a=0の場合 a=0を等式(A)に代入して、xの値にかかわらずb=0を得る。 即ち、a=b=0の場合にはxの値にかかわらず、等式(A)は成立する。 この場合は、等式(A)は、xの値にかかわらずに成立するので、xに関しての「恒等式」となる。 ii) a≠0の場合 α) b=0の場合 b=0を等式(A)に代入して、ax=0 ここでa≠0だから上式の両辺をaで割ってx=0を得る。 β)b≠0の場合 ax+b=0の両辺よりbを引き ax=-b更にa≠0なので、両辺をaで割って x=-b/aを得る。 この場合をxに関しての「(一次)方程式」となる。
回答: >「実数は0で割れない」と定義されるとされますが、 >「果たして、そこに矛盾はないのか」を証明する必要はないのか 「矛盾」という語の捉え方がオカシイのではないでしょうか? 実際に「0で割れる」とか「0で割れない」とか以前に、 もし定義すればできるものを敢えて定義しなかったとしても、 そのことによって矛盾が生じることはありません。 無矛盾な論理系から公理の数を減らしても、 無矛盾であることは変わらないからです。 実数論の無矛盾性とソレとは、また別の話題だと思います。 一方、数学の他の部分と一貫しない余計な定義を置くと、 そのことによって矛盾が生じることは有り得ます。 0で割った商を勝手に定義したりすれば、そのようなことが起こります。 それを避けるために、「0で割った商」を、または「0で割ること」を 定義しないのです。 「割れない」と定義されているのではなく、 「割れる」とは定義しない。これは、似ているようで全く違うことです。 その辺が理解できれば、0除算に関する曖昧な疑問は自己解決できる ような気がしますね。質問者自身が No.5 への補足に挙げている リンク先には、まさにその事が書いてあるのですが。