質問: 位置ベクトル △oabにおいてベクトルa=ベクトルoa,ベクトルb=ベクトルobとする。 辺oaの中点をm,辺obを2:1に内分する点をnとする。 直線anとbmの交点をpとする。 ベクトルopをベクトルa,ベクトルbで表すと、ベクトルop=ア/イ ベクトルa+ウ/エ ベクトルbである。 また点pは線分anをオ:カに内分する点である。 この問いの解き方、解説を教えてください。 答えはベクトルop=1/4ベクトルa+1/2ベクトルb、pはanを3:1に内分 となるようです。
回答: 「題意」から、 om = a/2 on = 2b/3 o から、n, a を結ぶ直線上の点 r に向かうベクトル or は、 or = on + s(a-on) = (2b/3) + s{a - (2b/3) } = (1-s)(2b/3) + sa ...(1) ; s は実係数 o から、m, b を結ぶ直線上の点 q に向かうベクトル oq は、 oq = om + t(b - om) = (a/2) + t{b - (a/2) } = (1-t)a/2 + tb ...(2) ; t は実係数 or と oq の交点 p は? (1) = (2) を満たす点だから、 (1-s)(2b/3) + sa = (1-t)a/2 + tb (1-2s-t)a/2 - (1-s-3t/2)(2b/3) = 0 ↓ a と b が平行でなけりゃ、 1-2s-t = 0 & 1-s-(3t/2) = 0 ↑ これを連立で解くと、 s=1/4, t=1/2 つまり、 op = (3/4)(2b/3) + (1/4)a = (1/4)a + (1/2)b また (1) により、 np = op-on = s*na = (1/4)*na