質問: taylor展開について f(x)が[a,b]でc[n-1]級で、(a,b)でn回微分可能なとき、 f(b)=f(a)+{f'(a)/1!}*(b-a)+{f''(a)/2!}*(b-a)^2+・・・ +{fn-1/(n-1)!}*(b-a)^(n-1) +r[n] rn]={f[n/n!}*(b-a)^n となるような、cがa
回答: fushigichanさんが答えられていますので詳細にお答えされていますので、以下は補足として読んでください。 ○c[1]級の関数・・・微分可能な関数(f(x))で導関数'(x)が連続な関数のこと。 ○c[2]級の関数・・・2階の導関数f"(x)まで存在し、2階導関数f"(x)が連続な関数のこと。 : ○c[n]級の関数・・・n階の導関数d^nf(x)/dx^nまで存在し、n階導関数が連続な関数のこと。 : ○c[∞]級の関数・・・無限回微分関数可能な関数で、且つ連続な関数のこと。 なんでcと書くのかということですが、これは区間を意味する記号のように使われていますね。但し、正式な記法は >c[n]級と書いたのは、cのn乗と区別するためでしたが >cの右肩に小さくnを書きます。 とfushigichanさんが書かれているとおりですので念のため。 1変数のテイラー展開は書かれているとおりです。2変数の場合は、関数f(x,y)が点(a,b)と少しずらした点(a+h,b+k)の区間でc[n]級の関数であるとしますと f(a+h,b+k)=f(a,b)+(h∂/∂x+k∂/∂y)f(a,b) +(1/2!)(h∂/∂x+k∂/∂y)^2f(a,b)+・・・ +(1/n!)(h∂/∂x+k∂/∂y)^nf(a,b)+r[n+1] と展開できます。ここでr[n+1]は余剰項というもので r[n+1]={1/(n-1)!}(h∂/∂x+k∂/∂y)^(n+1)f(a+θh,b+θk) 0<θ<1を満たすθが存在する、ということになります。 >taylor展開についてレポートを書かなきゃいけないので 「テイラー展開」でweb検索をかければレポートのネタくらいはどっさりと集まると思いますよ(←不謹慎な言いかた)。 参考urlにはテイラー展開のことが詳しく書かれています。