質問: 高1数学 二次方程式の問題です y=x^2+mx+2の式があります。 定数mの値の範囲を求めなさい。 (1) この放物線と正の部分の2点と交わる。 (2) この放物線とx軸のx<-1の部分が異なる2点で交わる。 という問題があります。 この問題を考える時に、 軸の方程式は x=-(m/2) という事を考えなければいけません。 なぜこのようになるのでしょうか??? この問題の答えと解説、もしくは考え方やヒント、解くためのポイントなど・・・ なんでもいいのでおねがいします。 月曜日にテストなので宜しくお願いします。
回答: >二次方程式の問題です 2次方程式の問題だとわかってるなら、そのように解けば良い。 >(1) この放物線と正の部分の2点と交わる この問題文はおかしい。 この放物線が“x軸の”正の部分と2点で交わる、でないと可笑しい。 x軸の正の部分と2点で交わるから、y=x^2+mx+2 と y=0(x軸)と連立した、x^2+mx+2=0が正の解を2つ持つと良い。但し、重解も解が2個とする。 判別式≧。2解の和=-m>0、2解の積=2>0 のmの共通範囲を求める。 >(2) この放物線とx軸のx<-1の部分が異なる2点で交わる。 考えられる解き方はいくつかある。 (解法-1) 解と係数を使う。 2解をα、βとすると、α+1<0、β+1<0 だから、判別式≧0、(α+1)+(β+1)=(α+β)+2<0、(α+1)*(β+1)=αβ+(α+β)+1>0. これに解と係数から、α+β=-m、αβ=2を代入し、共通範囲を求める。 (解法-2) 解の分離の知識を使う。 f(x)=x^2+mx+2=0 と、すると 判別式≧0、f(-1)>0、軸(=-m/2)<-1.として共通範囲を求める。 なぜ、こうなるか? 放物線を考えてみると良い。 (解法-3) 本質的には、解法-2 と同じなんだが。 y=f(x)=x^2+mx+2=(x+m/2)^2+4-m^2/4 であるから、この放物線が、x軸のx<-1で交点を持つには、4-m^2/4<0、f(-1)>0、軸(=-m/2)<-1。 (解法-4) x^2+mx+2=0から、x^2+2=-mx と変形して、放物線:y=x^2+2 と 原点を通る直線:y=-mx がx<-1で2つの交点を持つ条件を考える。 と、いくつか方法はあるが、(解法-2)が一番簡単。この方法は、教科書で習ってるはずだが?