質問: リーマンテンソルについて リーマンテンソルについて 『一般相対論入門』 須藤靖 著 p46 問題[2.10] をやっています。 1次元、2次元、3次元でのリーマンテンソル:r_αβγδを計量テンソルg_μνやリッチテンソルr_μνやスカラー曲率rを用いて表わ問題なのですが、どうしても納得できない箇所があります。 1次元の場合はできました。 2次元の場合、答えには、 自由度は1となるから r_αβγδ=(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f という形になるはずであると答えには書かれているのですがなぜこのようになるのかわかりません。 対称性などからこの表式が成り立つのはわかるのですが、このように一意に表わせられるという保証はいったいどこから来たのでしょうか?? どなたかお願いします。
回答: 残念ながら、その本はもっていないので、 完全な解答ではないことをあらかじめ断っておきます。 まず、2次元のリーマンテンソルは、その2^4=16個の要素のうち、 反対称性から12個の要素が0になり、 r_1212=-r_1221=-r_2112=r_2121 のみが残って、実質自由度1になります。 なので、 >r_αβγδ=(g_αγg_βδ-g_αδg_βγ)f これは上記以外で0になることは保証されますから、結局、 r_1212=(g_11 g_22 - g_12^2)f が示されればよいわけですね。 ですが、これを計算しても、この形にできませんでした。 ()内は計量テンソルの行列式なわけですが、 一般にリーマンテンソルは、計量テンソルの(2階)微分を含むので、こうできるのかわかりません。 1自由度ということから、この微分による項は消えないとならないのか、など考えてみましたが、 まだ詰められていません。 このfの部分は最終的にどうなるのか教えていただけるともう少し道筋をつけやすいと思うので、補足していただけると助かります。