質問: -b x aになるような数体系」ということくらいしか書いていませんでした。 すこし興味があるのですが、グラスマン数について数学にあまり詳しくない人間でもフィーリングで理解できるように説明していただけませんでしょうか。 あるいは、そのような本があればご紹介いただけると幸いです(専門書は理解できませんので、お許しください)。
回答: 下のお二方のように難しい議論はできませんが、 フィーリングで理解したいということですから書いておきます。 > グラスマン数とはa x b = -b x aになるような数体系 グラスマン代数と呼ばれる代数系で扱う数のことのようですね。 (ようですね、というのは、グラスマン数というのは知らなかったので。 グラスマン代数なら知ってましたが。) グラスマン代数は外積代数とも呼ばれ、平たく言えばベクトルの外積を抽象化 したものです。 ベクトルの外積は、簡単に言うと右ねじの原理です。 右ねじは右に回すとねじが引っ込み、左に回すとねじがゆるんで上がってきます。 たとえば簡単のために、aをx軸方向(横方向)に長さ1のベクトル、 bをy軸方向(縦方向)に長さ1のベクトルを考えてみます。 aをbの方向にbに重なるように回します。 つまり90度だけ反時計回りに回すということです。 この時のねじの進んだ方向(この場合は上方向)のベクトルをaとbの外積といい、 a×bで表します。 a×bはねじがゆるんで上がってくる方向ですが、 b×aはbの位置からaの方向へ回すので、時計回り。 つまりねじが締まって引っ込みます。 向きが正反対なので、a×b = -b×a です。 もう少し一般的に書くと、次のようになります。 aとbを平面上の2つのベクトルとし、aとbのなす角をθとします。 この時、ベクトルの外積a×bを次のように定義します。 【定義】a×bとは、 aをbの方向にbに重なるように回した時の、ねじの進む方向を示すベクトル。 その長さを|a|・|b|・sinθとする。 a×b = -b×a の式で b = aとおくと、a×a = -a×aとなるので、a×a = 0。 (マイナスを取っても等しいのはゼロしかないということです。) これが#2さんが言われた自分自身を2乗するとゼロという根拠です。 これならフィーリングでわかるでしょうか? なおフェルミオン云々は、私は門外漢なのでわかりません。 参考url:http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_gaiseki_daisuu.htm