質問: **Link先で、下記式が掲載されているのですが、意味が分かりません。** ![画像の説明をここに入力](https://i.stack.imgur.com/MRZoO.png) --- **Q** ・これは座標ですか? ・どうして[]で囲っているのでしょうか? ・どうして縦に並べているのでしょうか? X,Yのように横に並んでいない理由は? ・これが、バーンスタイン基底関数ですか? ・それとも、二項係数??
回答: > > ・これは座標ですか? > > > はい。二次元座標を表しています。 > > ・どうして]で囲っているのでしょうか? > > ・どうして縦に並べているのでしょうか? X,Yのように横に並んでいない理由は? > > > ベクトルには横ベクトルと縦ベクトルという2つの表し方があります。 ベクトルも行列だと思うと、(1×2)行列か(2×1)行列かの違いです。 ベクトルを横にするか縦にするかは流儀によって異なります。 慣習的に縦か横を決めたり、スペースの都合に合わせて決めたりします。 日本の高校数学だと横ベクトルが多いかもしれませんが、大学数学だと縦のことも多いです。 カッコが [ ] になっているのは、ベクトルのカッコをそう書いているだけでしょう。 (丸括弧でなくても良いというだけです。) > > ・これが、バーンスタイン基底関数ですか? > > ・それとも、二項係数?? > > > これは、1次の場合のバーンスタイン多項式に t = 0.5 を代入した形です。二項係数ではありません。 一般のn次バーンスタイン多項式 P(t) は、制御点が P0, P1, ..., Pn とあったときに、下の式で表されます。ただし nCi は二項係数です。 ![一般のバーンスタイン多項式です 「バーンスタイン基底関数」は、上の式で赤い下線を引いた部分のことです。 バーンスタイン多項式はバーンスタイン基底関数と制御点を掛けて足したもの(つまり、線型結合したもの)になっています。 これに n = 1 を代入すると、記事にもあるように、1次の場合のバーンスタイン多項式が出てきます。 !n = 1 のときのバーンスタイン多項式の導出です 上の式は t をパラメータとした多項式であり、0≦t≦1 のとき、図形としては線分 P0P1 を表しています。 たとえばこの式に t = 0.5 を代入すると、質問文の中に書いてある 0.5(P0 + P1) という式が出てきます。 また、上と同様に n = 2 の場合を求めると、2次の場合のバーンスタイン多項式、つまり、(2次)ベジエ曲線の式が導出できることが分かると思います。