質問: 行列AとBが可換であるとき、(A+B)nを展開せよ。(スカラーのa,bに対する二項展開を思い出そう) という問題がわかりません。
回答: 例えば(A+B)2を展開することを考えましょう. 分配法則を「愚直」に使うと, (A+B)2 =(A+B)(A+B) =A(A+B)+B(A+B) =AA+AB+BA+BB =A2+AB+BA+B2 となりますね. さて,もしA,Bがそれぞれスカラーa,bの場合, ab=ba が成り立つから, (a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 と整理できます. A,Bが行列の場合,AB=BAは成り立つとは限らないため, A2+AB+BA+B2 より簡単には出来ません. しかし今回は仮定よりAB=BAなので, スカラーの場合と同様に変形できます. 一般のnについても同様です. 証明はnについての数学的帰納法がいいでしょう.