質問: 『叱られないと 勉強しない』 の対偶は 『勉強すると 叱られる』 というのは誤りだそうで、正しい対偶は 『(今)勉強してるのは、(過去に)叱られた(から)』 だそうですが、納得いきません。 『叱られない』の反対は『叱られる』ですし、 『勉強しない』の反対は『勉強する』なので、命題の対偶を忠実に取 ると、『勉強すると 叱られる』が正しいと思いますし、 『勉強してるのは 叱られたから』というのは、対偶を正しくするた めに、わざと時制を都合の良いように解釈しているように思えます。 どなたか、へそまがりのわたしが納得の行くような説明をしていただ けないでしょうか?
回答: adagioさんの質問の意図は, 「論理学は本来, 『AならばB』といった文のAやBに どんな内容が入ろうとも 共通に成り立つ性質を研究して, 推論を機械的に行なえるように するのが目的であるはずなのに, 内容によって個別に対応する必要があるのは おかしいのではないか?」 ということですよね. その疑問はもっともだと思います. しかし, 「『Aでない ならば Bでない』と, その対偶の『A ならば B』とは真偽が一致する」 という定理が成り立つためには(他の定理もそうですが), 「AやBには『命題』が入る」 という当たり前の前提があるということを忘れてはなりません. ここで命題とは,「真か偽かはっきり定まる文」のことと理解してください. この例ではAは「叱られる」であり,Bは「勉強する」ですが, これだけでは明らかにAやBは真偽の定まる文とは言えません. 少なくとも誰が叱られて誰が勉強するのか,という主語が必要ですし, また「叱られる」と「勉強する」の時間関係はどうなっているのか, あるいはそもそも時間関係があるのか,ということも明らかにする必要があります. 最低限上で述べたことだけでも考慮してこの文を命題らしく書き直すと, 「『太郎君が,前に勉強したときから現在までの間に少なくとも一度は叱られた』のでないならば, 『太郎君がこの先勉強することがある』のではない」 となります. つまり,せめてこれくらい文章の意味を厳密にしておかないと, そもそも命題論理の定理が適用できないのです. このとき文章が少々不自然になるのはやむを得ません. 上の対偶をとれば 「『太郎君がこの先勉強することがある』ならば 『太郎君が,前に勉強したときから現在までの間に少なくとも一度は叱られた』」 となり,何の問題もありません. しかし,上の命題は 「叱られないと勉強しない」という文章の たくさん有る解釈の中の, (おそらく最も現実に即した) 一つの解釈に過ぎません. この文章を 「『太郎君がこの先少なくとも一度は叱られる』のでないならば, 『太郎君が現在までに勉強をしたことがある』のではない」 と解釈することもできるわけで, どちらの解釈が正しいか,ということは 論理学的には決められないはずです. あとのほうの解釈で行けば,対偶の意味はまさしく 「勉強したら叱られる」になるわけです. 対偶をとるときになって初めて 個々の意味を考慮して都合をつけているとすれば, それは確かにうさんくさいことだと思いますし, あってはならないことです. しかし,もとの文章が 「そもそも論理学で扱ってもらえる資格」 を持つようにするには, 個々の意味を考えた上で それを厳密にしておかざるを得ない, というわけです. 参考になれば幸いです.