質問: 漸化式a1=c, an+1= √(an + 2)(n=1,2 ,...)によって定まる数列{an}を考える。 (1)漸化式a1=c, an+1= √(an + 2)(n=1,2 ,...)によっ て定まる数列{an}を考える。ただしcはc≧-2をみたす定数と する。anを求めよ。 <解答> 極限値があるとしその値をxとおき、漸化式においてn→∞の極限をとると、 x=lim(n→∞)an+1=lim √(an + 2)=√(x+c)を得る。 x≧0でなければならないことに注意して、両辺を2乗すると x^2-x-2=0 この2次方程式の正の実数解x=2を得る。 従って、lim(n→∞)an が存在するなら値は2でなれけばならない。 次に実際2に収束することを示す。 an+1 - 2= √(an + 2)-2 ここで、分母分子に √(an + 2)+2を掛けると an+1 - 2=(an - 2)/ {√(an + 2)+2} √(an + 2)+2≧2より (an - 2)/ {√(an + 2)+2}≦ (an - 2)/ 2 はさみうちの原理より、 an - 2≦(an-1 - 2)/ 2≦(an-2 - 2)/ 2^2≦(an-3 - 2)/ 2^3≦・・・ ・・・≦(a1 - 2)/ 2^(n-1) よって、n→∞とすると。右辺→0。すなわち、an - 2→0 ∴lim(n→∞)an=2 上のように解いたのですが、はさみうちの説明が不十分でしょうか? 助言をお願い致します。
回答: >はさみうちの説明が不十分でしょうか? 「はさみうち」って位だから、絶対値をとった方がよいでしょう。 そうしないと、例えば a1 = -2 のときは a_n - 2 <= 0 になるから破綻します。