質問: 1:高校受験数学の問題で、四角柱の頭部を切断した残り部分の体積を求める公式として 底面積x(a+b+c+d)/4(abcdはそれぞれ底面に垂直な辺の長さ) つまり、体積=底面積☓底面に垂直な辺の長さの平均 があるそうですが、なぜそうなるのですか? 同じ立体を重ねるという考え方、例えば という説明がありますが、手元にある「塾で教える高校入試 数学 塾技100 (シグマベスト)」によると >> (公式が成り立つ理由は)切断後に残った体積の上に、それを鏡に映した時にできる立体(鏡像という)を逆さにしたものをくっつけ、高さがa+c(b+d)(原文ママ)になる直方体を考えればすぐわかるので、自分で確かめてみよう。 << とあります。なぜ「塾技100」ではこのような説明をしているのか疑問が湧きましたが、恥ずかしいことに空間図形に弱く、自分で確かめられませんでした。(高さがa+c(b+d)になる、というのも意味がわかりませんでした。) どなたか、詳しい解説をいただけると幸いです。
回答: a+c(b+d)という書き方が誤解の原因です。これだとa+c×(b+d)のことと誤解されて当然ですが、a+cすなわちb+dのように書くべきです。ですから、 体積=底面積×(a+c)/2=底面積×(b+d)/2=底面積x(a+b+c+d)/4 です。 三角錐を切る場合は鏡映して重ねる方法は使えませんから別な方法で示します。ただし、その際に角錐の体積の公式を使っていますから、問い詰め出すと中学校の範囲では厳密には示せません。