質問: できるだけ詳しく教えていただけると助かります。
回答: 1/(1-z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ... を使う訳ですよね。 (1) の方は、2つ考え方があり、 1/(1-z)^2 = 1/(1 - 2z + z^2) = 1/{1 - (2z-z^2)} だから、 上の式のzに当たるのが、下の式の(2z-z^2)、なので、 1/(1-z)^2 = 1 + (2z-z^2) + (2z-z^2)^2 + (z-z^2)^3 + ... のようにして、 または、 1/(1-z)^2 = {1/(1-z)}^2 = (1 + z + z^2 + ...)^2 と考えて、展開すると、各項の2乗の部分、 1 + z^2 + z^4 + z^6 + ... と、 2つの項をかけて2倍した項の部分、 2*1*z + 2*1*z^2 + 2*1*z^3 + ... + 2*z*z^2 + 2*z*z^3 + ... + 2*z^2*z^3 + ... + ... を合計したものになる、 と考えて出すか、ということになります。 上の方が、適当な次数まで出すには、便利かな? (2) の方は、 (log(1+z))' = 1/(1+z) (|z|<1 だから、絶対値不要) = 1/{1-(-z)} = 1 + (-z) + (-z)^2 + (-z)^3 + ... = 1 - z + z^2 - z^3 - z^4 + z^5 + ... すると、log(1+z) = ∫(1-z+z^2-z^3+...)dz と 考えられますが、こうすると、積分定数どうする というのが、問題になるので、 log(1+z) = ∫0,zdt とやれば、 (定積分だと、積分定数を気にしなくていいし、 log(1+0) = 0だから、定積分の積分範囲を[0,z]にすれば、 ∫[0,0]~dt = 0なので、ちょうど都合がいい) log(1+z) = [t - t^2/2 + t^3/3 - t^4/4 + ...]_[0,z] = z - z^2/2 + z^3/3 - z^4/4 + ... という具合にできます。