質問: -kxとなります。重力にしても同様に求まります。 ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。 偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。 どうぞ宜しくお願いします。
回答: ano.3です.私も含め回答者とのやりとりを拝見していると,質問者様の疑問の根は「数学」にあると思います. スカラ値やベクトル値の関数とその全微分,偏微分をしっかり理解しないと,難しいと思います. xyz空間が真空ではなくて,重力場のようにそこにある物体に何かの影響を与える性質を帯びているときその空間には場u(x,y,z)が存在するといいます.この場をポテンシャル(潜在的な何か)と呼ぶのです. 具体的にはポテンシャルu(x,y,z)の座標(x,y,z)に物体の位置(x_1(t),x_2(t),x_3(t))を代入すると,u(x_1(t),x_2(t),x_3(t))は物体のポテンシャルエネルギーを表すのです.物体の速度 v=(dx_1(t)/dt,dx_2(t)/dt,dx_3(t)/dt) および運動エネルギー t=(1/2)mv^2 について, (☆)dt/dt=mv・dv/dt=(mdv/dt)・mv=f・v が成り立ちます.これはtの定義と運動方程式に数学的操作を施したものです.力学的意味は,fは物体に働く力で,右辺はfが物体にする仕事率です.運動エネルギーtとポテンシャルエネルギーuの和は力学的エネルギーとして一定値eです. t=e-u(x_1(t),x_2(t),x_3(t)) を時間で微分すると, dt/dt=-du(x_1(t),x_2(t),x_3(t))/dt ですが,合成関数の微分法則(これは数学公式)により du(x_1(t),x_2(t),x_3(t))/dt=(∂u/∂x)dx_1(t)/dt+(∂u/∂x)dx_2(t)/dt+(∂u/∂x)dx_3(t)/dt=∇u(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v です.ここにどうしても偏微分がでてきます. (★)dt/dt=-∇u(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v (☆)(★)から f・v=-∇u(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v すこし強引ですが f=-∇u(x_1(t),x_2(t),x_3(t)) となることがわかりました.∇は偏微分の記号です.右辺は∇u(x,y,z)を計算した後(x,y,z)→(x_1(t),x_2(t),x_3(t))とすることを意味します. んー,わかりにくいですかね. ※物理とそれに必要な数学を丁寧に説明した教科書シリーズがあります.もうお持ちかもしれませんが 岩波書店「物理入門コース」のシリーズ とくに,「物理のための数学」は最初から読んでおいたほうがいいです.