質問: 高校数学の問題です。 解いてください。 「積が和の12倍に等しいような相異なる3つの正の整数の組はいくつあるか?」
回答: abc=12(a+b+c) 対称性から、a<=b<=c として一般性を失わない。 abc<=12×3c ab<=36 ...1 1を満たす正の整数(a,b)の組は (a,b)=(1,36)(2,18)(3,12)(4,9) (a,b)=(1,36)のとき、 36c=12(37+c) 3c=37+c 2c=37 より、不適。 (a,b)=(2,18) のとき、 36c=12(20+c) 3c=20+c c=10 となり、a<=b<=cに反するが、 対称性より、(a,b,c)=(2,10,18) とすれば組が存在する。 (a,b)=(3,12)のとき、 36c=12(15+c) 3c=15+c 2c=15 より不適。 (a,b)=(4,9)のとき、 36c=12(13+c) 3c=13+c 2c=13 より不適。 以上より、求める(a,b,c)の組は (a,b,c)=(2,10,18) であり、a,b,cの 並び変えを考慮して、3!=6通りある。