質問: ∇ ^2 E(r,t)−εμ×∂/∂t^2(E(r,t))−σμ× ∂ /∂t(E(r,t))0
回答: マクスウェル方程式を電場Eと磁束密度Bの関係で表すと ∇・E = ρ/ε ・・・[1] ∇・B = 0 ・・・[2] ∇×E = −(∂B/∂t) ・・・[3] ∇×B = μσE+με(∂E/∂t) ・・・[4] ただし、ρ:電荷密度、ε:誘電率、μ:透磁率、σ導電率 系内に点電荷が存在せずρ= 0 の場合、 [1]式は ∇・E = 0 ・・・[1]' 次に[3]式の両辺の回転をとると、右辺はベクトル演算の性質から ∇×∇×E = ∇(∇・E) - ∇2E さらに[1]'式が成り立つ条件では、以下のようになる。 ∇×∇×E = - ∇2E ・・・[5] 一方[3]式の回転の右辺は ∇×(−∂B/∂t) = −(∂/∂t)(∇×B) となり、さらに[4]式から以下のように変形できる。 −(∂/∂t)(∇×B) = −μσ(∂E/∂t) −με(∂2E/∂t2) ・・・[6] [5]式と[6]式は一致するから ∇2E = μσ(∂E/∂t) +με(∂2E/∂t2) すなわち、∇2E - μσ(∂E/∂t) -με(∂2E/∂t2) = 0 ・・・[7] が導かれる。 ちなみに、[7]の方程式は電信方程式と呼ばれます。 とくに真空中では、導電率σ = 0 として ∇2E -με(∂2E/∂t2) = 0 ・・・[8] これは、いわゆる波動方程(電磁波の方程式)で、 係数μεの平方根の逆数が光速度となります。 逆に金属のような導体中では、誘電率εが極めて小さいため ∇2E - μσ(∂E/∂t) = 0 ・・・[9] これは、熱伝導方程式(または拡散方程式)で、金属に高周波 電流が流れるときに生じる表皮効果を説明します。