質問: エネルギー保存と運動量 ┌―――――――――┐ | m | | | └―○――┬――○―┘ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ │ │ │ ●m 摩擦は無視できる。 質量mの台車aに質量mの物体bを吊り下げて、aを初速度vで動かす。 紐が再び鉛直になったときのaの速さを求めよ。 といふ問題ですが 水平方向の運動量は保存される(んですよね?)ので mv=mv'+mv' v'=aの速さ、v'=bの速さ エネルギーも保存される。 (1/2)mv^2=(1/2)mv'^2+(1/2)mv'^2 これを連立すると(v'、v')=(v、0)、(0、v) ってなります。 そこからどうして紐が鉛直のとき(v'、v')=(0、v)といえるのでしょうか?
回答: こんにちは、oneoneさんのご質問の趣旨は、 「「水平方向の運動量は保存する」「エネルギーも保存する」の2つの条件は常に成り立つはずである。「紐が鉛直になった時」という条件は式の上で特に課しておらず本来は条件が不足なのに、式は何故か解けてしまい(0, v)という値が出てきてしまう。それがどうして「紐が鉛直になったとき」に相当するのかが分からない」 ということですよね。 結論から申し上げるとエネルギーの保存式を (1/2)mv^2 = (1/2)mv'^2+(1/2)mv'^2 (1) と置くことが、「紐が鉛直になったとき」と等価な条件を課したことになるからです。 下の図をご覧下さい。(等幅フォントでご覧下さい) 下の図では問題を一般化するために紐が鉛直でない場合も含めて考えることとします。また台車aの質量をm、物体bの質量をmとおいています(必要に応じ後でm=mとすればよい)。さらに物体bの速度vを水平(x)方向vx、垂直(y)方向vyの成分に分解して表示しています。 台車a ┌─────┐ │ m │→vx └◎─\─◎┘ ━━━━\━━━━━ \ \物体b 質量m vx←● ↓ vy この時、 水平方向の運動量保存 m vx = m v'x +m v'x (2) エネルギー保存 (1/2)m vx^2 = (1/2)m v'x^2+(1/2)m (v'x^2+v'y^2) (3) の2つの式が常に成り立ちます。(これが紐が鉛直でない場合にまで拡張した方程式です) 念のために申し上げておくと(3)の最後の項、 (1/2)m (v'x^2+v'y^2) (4) は、 v'^2=v'x^2+v'y^2 (5) すなわち三平方の定理で単に速度を合成しただけです。 さてお尋ねの問題に立ち返って、m=mおよび題意の数値を代入すると(3)のエネルギー保存式は (1/2)m v^2 = (1/2)m v'^2+(1/2)m (v'x^2+v'y^2) (6) となります。これを(1)とにらみ合わせると最後の項が違うことが分かります。 一般には(5)のように v'^2=v'x^2+v'y^2 ←この式でのv'は水平方向の速度のことでなく、垂直成分も持つ速度なので注意!! なのですが、紐が鉛直の時に限って速度の垂直成分vy(v'y)がゼロになり v'^2=v'x^2 (7) になります。 つまりv'を水平方向の速度と等しいとみなして(垂直成分はゼロとして)、運動エネルギーの保存式を(1)のように書き下した時点で「紐が鉛直」の条件を取り込んでいることになるわけです。 余談ですが式を解いて出てくる解(v,0) (0,v) のうち、前者は紐が鉛直になるもう一つのタイミング(台車に初速度vを与えた時)に相当することは申し上げるまでもありません。