質問: 微分方程式の問題 次の微分方程式を解いてください。 p=dy/dxとする。 (1)y=2xp+yp^2 (2)y=p+√(1+p^2) よろしくお願いします。
回答: p=dy/dxとする。 >(1)y=2xp+yp^2 z=y^2とすると、z'=dz/dx=2y(dy/dx)=2pyより、py=z'/2 両辺を2乗して、 y^2=2xpy+y^2p^2 z=xz'+z'^2/4 4z=4xz'+z'^2 ......(1) 両辺を微分して、 4z'=4z'+4xz''+2z'z''より、 2z''(2x+z')=0より、z''=0または、z'=-2x z''=0より、z'=c (1)に代入して、 4z=4xc+c^2 より、z=cx+(c^2/4) よって、y^2=cx+(c^2/4)(一般解) >(2)y=p+√(1+p^2) y-p=√(1+p^2) 両辺を2乗して、 (y-p)^2=1+p^2 y^2-2py+p^2=1+p^2より、 2py=y^2-1 2y(dy/dx)=y^2-1 {y/(y^2-1)}dy=(1/2)dx (1/2){(y^2-1)'/(y^2-1)}dy=(1/2)dxより、 {(y^2-1)'/(y^2-1)}dy=dx 両辺を積分して、 log|y^2-1|=x+c =loge^x・e^c |y^2-1|=e^ce^x y^2-1=±e^ce^x ±e^c=cとおくと、 y^2=ce^x+1 になりました。