質問: 波動関数と複素数 量子力学初心者です。 いろいろ本を読んでみたのですが、波動関数を複素数で表すのは単に便利であるとか、オイラーの式とか、二乗すれば確率となる...など数学的には分かりますが、波動関数を複素数で表す直感的で本質的な理由はあるのでしょうか? また、電子などが粒子性と波動性を持つことと、波動関数が複素数であることは関係しているのでしょうか? 最後に電気・電子回路でも複素数を用いますが、単に便利さのためでしょうか? よろしくお願い致します。
回答: 直感的な理由は残念ながらありません。 なぜなら、複素数の絶対値の2乗なら観測できるが、複素数(虚数)そのものを反映する観測結果は得られないからです。 複素数の絶対値の2乗を観測できると言うのは、電子波の干渉のことです。外村さんの実験をご存知でしょうか.... 電子波(ドブロイ波)の干渉の結果によるスクリーン上の明暗には、 どこにも虚数を意味する実験結果などありません。 量子力学で虚数が現れるのは、そうしないとつじつまが合わないというだけです。1/c^2(∂^2u/∂t^2)=∂^2u/∂x^2という通常の、つまり 実数の波動方程式だと、粒子のエネルギーをe=hν=p^2/2m, 運動量p=h/λという、粒子の波動性と粒子性、双方を満たすような条件にしたときに式が満たされないからです。 e=hν=p^2/2m,p=h/λという式が正しいであろうことは、それ以前から 言われていたから、それらは満たされていなければならず、 そうして矛盾なく完成された波動方程式にih∂ψ/∂t=hψというように 時間に関して一階微分の拡散型になり、さらに虚数iが含まれていたというだけの話です。h=hバーです。 なお、電気回路における虚数は、完全な便法です。 sinやcosで電流や電圧を表すより、e^jωtとした方が微分ごとに 形が変わらなくてすむということ、 初めに電圧をcos(sin)とすれば計算の最後に、電圧として実数部(虚数部)を取れば、途中の計算は全てe^jωtでやってしまってよいからです。何故なら、複素数の実数部と虚数部は、全く関係なく分離されて計算できるからです。電圧をcosωtとしましょうか... tについて二回微分すれば、v"(t)=-ω^2cosωtです。 では、e^jωtをtについて二回微分して、最後に実数部を取ります。 d^2/dt^2(e^jωt)=d^2/dt^2(cosωt+jsinωt) =-ω^2cosωt-jsinωtですから、 res[d^2/dt^2(e^jωt)]=-ω^2cosωtですよね。つまり、 オイラーの公式により、実数部と虚数部は独立して微分できるから、 電圧としてcosをとれば実数部にのみ注目すれば良いし、 sinなら虚数部のみ見ればいいのです。それで、もちろん実際の計算では初めからe^jωtをわざわざオイラーの公式で分解する必要などなく、 e^jωtの微分をやっていればいいのです。最後に実数部か虚数部を取ればいいだけです。