質問: r ^2 から1点を除いた集合は連結であることの証明がよくわかりません。連結でないと仮定して背理法か r ^2 から1点を除いた集合は連結であることの証明がよくわかりません。連結でないと仮定して背理法から導くのか、あるいは先に弧状連結であることを示してから定理 "弧状連結ならば連結" をつかって証明するのか、はたまたより便利な方法があるのか。詳しく教えていただけるとありがたいです。
回答: 除く1点をxとする。 平面から、x以外の点を2つ選び、p,qとする xを中心とする同心円で、pを通るものと、qを通るものをつくる xとpを結ぶ線分とxとqを結ぶ線分を考える 同心円の一部と、直線状の線分をとって、p,qを結ぶ道をつくる これらのことを、(x、y)座標とxを中心とする極座標で書いて見る 変数t(0<=t<=1として)で道 f(t)を表現する これで、弧状連結の状態となる。 あとは、省略 孤をきちんと表現することが、唯一の問題だと思う。 直接p、qを結ぶ線分を作ると、除外する点xを通ってしまう可能性があるので 安全な道を作ること。