質問: 下記問題の回答をお願いします。 平面上に2点、о、pがあり、op=√6である。点oを中心とする円oと、 点pを中心とする円pが2点a、bで交わっている。 円oの半径は、√3-1、∠aop=45°である。 (1)円pの半径を求めよ。(整数値) (2)abの長さ。四角形aobpの面積を求めよ。 (3)cos∠apbを求めよ。 (4)二つの円が重なる部分の面積は、πを含む部分と含まない部分にわけると、 □×π-□。□にあてはまる数値を求めよ。
回答: >平面上に2点、о、pがあり、op=√6である。点oを中心とする円oと、 >点pを中心とする円pが2点a、bで交わっている。 >円oの半径は、√3-1、∠aop=45°である。 >(1)円pの半径を求めよ。(整数値) op=√6,oa=√3-1,円pの半径はap △aopで、余弦定理より、 ap^2=oa^2+op^2-2×oa×op×cos∠aop =(√6)^2+(√3-1)^2-2×√6×(√3-1)×cos45° =4より、ap=2 よって、半径は2 >(2)abの長さ。四角形aobpの面積を求めよ。 △aobで、oa=ob,∠aob=90°より直角二等辺三角形だから、 ab=√2・oa=√2×(√3-1)=√6-√2 四角形aobp=2×△aop=2×(1/2)×oa×op×sin45° =(√3-1)×√6×(1/√2) =3-√3 >(3)cos∠apbを求めよ。 △apbで、余弦定理より、 cos∠apb=(ap^2+bp^2-ab^2)/2×ap×bp ={2^2+2^2-(√6-√2)^2」/2×2×2 ={8-(8-4√3)}/8 =√3/2 >(4)二つの円が重なる部分の面積は、πを含む部分と含まない部分にわけると、 >□×π-□。□にあてはまる数値を求めよ。 cos∠apb=√3/2より、図から∠apbは鋭角だから、∠apb=30° △aob=(1/2)×(√3-1)^2=2-√3 扇形aob=(1/4)×(√3-1)^2×π={1-(√3/2)}π 重なる部分の右側=扇形aob-△aob ={1-(√3/2)}π-(2-√3) △apb=四角形aobp-△aob=(3-√3)-(2-√3)=1 扇形apb=2^2×π×(30/360)=π/3 重なる部分の左側=扇形apb-△apb =(π/3)-1 よって、 重なる部分の面積={1-(√3/2)}π-(2-√3)+{(π/3)-1} =(1/6)(8-3√3)π-(3-√3) でどうでしょうか?図を描いて計算を確認してみて下さい。