質問: 濃度の問についてご教授願います。 (1)は途中まで解いてみました。(2)(3)はどのように証明してゆけばよいのでしょうか?お願いいたします。 問題 集合xの濃度を♯xであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ=0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}=1である。集合xから集合yへの写像全体の集合をy^xと表す。 更に、濃度のべき乗〖(♯y)〗^(♯x)を♯〖(y〗^x)と定義する。以下の問いに答えよ。 (1)♯x_1=♯x_2かつ♯y_1=♯y_2ならば、〖(♯y1)〗^(♯x1)=〖(♯y2)〗^(♯x2)を証明せよ。 (2)0^(♯x)を求めよ。 (3)特に、00を求めよ。 <解答> (1)♯x_1=♯x_2より、fという全単射が存在。♯y_1=♯y_2より、gという全単射が存在。(仮定より) また、〖(♯y1)〗^(♯x1)よりhという写像がおける。〖(♯y2)〗^(♯x2)より、iという写像がおける。(示すべきものより) これより、 φ:〖(♯y1)〗^(♯x1)→〖(♯y2)〗^(♯x2) が全単射であることを言えばよいと分るのですが、「全射をどのようにして、定義にもちこむか、単射をどのようにして、定義にもちこむか」が不明です。お願いします。 (※h=g−1◦i◦f、i=(g)◦h◦f−1と表せますが、何か使えますでしょうか)
回答: 〖(y〗^x の 定義はなんですか? それをまず、考えたらもっと進めるとおもいますが。