質問: 2次関数、三角比の問題を教えてください。 わからないことがあります。(^2は二乗) 【1】mx^2+(1-5m)x+4m=0の2つの実数解が1より大であるような定数mの範囲を求めよ。 という問題で、解答が まず、実数条件からm≦1/9、1≦m ・・・(1) 次に、実数解をα、βとすると、 α>1、β>1⇔α-1>0、β-1>0 ∴(α-1)+(β-1)>0、(α-1)(β-1)>0 解と係数の関係を用いて変形すると (α-1)+(β-1)=(3m-1)/m>0(両辺にm^2をかけて計算するんだよ!)∴m<0、1/3<m ・・・(2) (以下略) とあるのですが、私はmをかけて計算したので、(2)の部分では1/3<mしか出ませんでしたが、結局その後の計算でm<0も出たので答えは合いました。なのでmでも良いのかと思ったのですが、似たような他の問題を解いたら二乗をかけないと答えが間違ってしまう問題がありました。、「両辺にm^2をかけて計算するんだよ!」と書いてある場所にはなぜmではなくてmの二乗をかけないといけないのでしょうか? 【2】(cosθ+sinθ)/(cosθ-sinθ)=√2-1のとき、tanθ、cos^2θの値を求めよ。 という問題で、解答が 与式から cosθ+sinθ=(√2-1)cosθ-(√2-1)sinθ ∴√2sinθ=(√2-2)cosθ ∴tanθ=√2(1-√2)/√2=1-√2 (以下略) と書いてあるのですが、√2sinθ=(√2-2)cosθからどのように計算してtanθ=√2(1-√2)/√2=1-√2になるのでしょうか?私はtanθ=sinθ/cosθを使ってやろうとしたのですが、よくわからなくて答えを見たのですが答えを見てもいまいち理解出来ません。tanθ=sinθ/cosθを使っているのだと思うのですが、sinθの係数が分母に、cosθの係数が分子になっているのはなぜでしょうか? どちらか一方でも良いのでどなたかお願いします!
回答: 【1】についてですが 「(3m-1)/m>0」の両辺をm倍するという考えは、 基本的のは間違っていないと思います。 しかし、不等式の両辺を何倍かするときは、その符号に注意しなければなりません。 したがって、m倍するのであれば m>0のとき と m<0のとき に場合分けしなければなりません。 その解答は、次のとおりです。 (ア)m>0のとき m倍すると 3m-1>0となり m>1/3 m>0より m>1/3 (イ)m<0のとき m倍すると 3m-1<0となり m<1/3 m<0より m<0 (ア)(イ)より m<0,1/3<m となります。 それに対して、m^2倍するというのは m^2>0となることを利用しています。 m^2 倍すると m(3m-1)>0となり、m<0,1/3<m であることが簡単に求められますね。