質問: 積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4 定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4 この計算の仕方が分かりません。 x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。 ∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ ここまでは合ってますか? 次に半角の公式を使って(この半角の公式とやらがよく分からないのですが)1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり =π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。 また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう?
回答: ∫0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π^2dθ http://ja.ftext.org/2%e5%80%8d%e8%a7%92%e3%83%bb%e5%8d%8a%e8%a7%92%e3%81%ae%e5%85%ac%e5%bc%8f リンクの中の(2)の式のうち、(cosθ)^2 = (cos2θ + 1)/2を使えば、あとは簡単なコサインの積分です。