質問: 関数の連続性について 現在、高校2年の者です。 数学の問題で教えていただきたいことがあります。 (1)y=f(x)=xsinx (2)y=f(x)=x+√(x^2-1) (3)y=f(x)=cos(1/x) 上記(1)~(3)の定義域とその定義域で連続かどうかを調べるのですが、定義域で連続かどうかを調べる方法がよく分かりません。 一応、以下のように考えております。 定義域については、 (1)すべての実数 (2)根号条件より、x^2-1≧0⇔x≦-1,1≦x (3)(分母)≠0より、0以外のすべての実数 連続性については、(1)~(3)のすべてにおいて、 定義域の任意に実数aについて、lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)を示す? あと、(2)の定義域の端点(x=-1とx=1)と(3)の定義域のx>0とx<0の0の付近の示し方が? アドバイスいただけないでしょうか。よろしくお願いします。
回答: y=f(x)=xsinx について x=a+h と x=a で、 h→0 のときに |f(a+h)-f(a)|=|(a+h)sin(a+h)-asin(a)|=|a(sin(a+h)-sin(a))+hsin(a+h)| <= |a||sin(a+h)-sin(a)|+|h||sin(a+h)| <=|a||2*cos(a+h/2)*sin(h/2)|+|h|*1 <=|a|*2*|sin(h/2)| + |h| →0 よって、 x=a で連続。