質問: 代数学について質問です x^3 − 1, x^4 − 1, x^5 − 1 の分解体の Q 上の次数をそれぞれ求めよ。 x^3-1(x-1)(x^2+x+1) x^4-1(x^2+1)(x+1)(x-1) x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
回答: f_n(x)=x^n-1と置きます. f_nのQ上の分解体は, Qにf_nの根を全て添加した体に等しいです. ζ_n=e^(2πi/n)と置くと, f_nの根は ζ_n^i (i=0,1,...,n-1) なので, f_nのQ上の分解体はQ(ζ_n)です. なのでζ_nの最小多項式を求めればいいです. f_nの既約多項式分解が出来ているなら, ζ_nの最小多項式は求まったも同然です. よって分解体のQ上の次数も自ずと分かりますよ.