質問: *『解析教程』(E.ハイラー / G.ヴァンナー著)に載っている演習問題 定義 二つの級数 Σ[i=0~∞]ai と Σ[j=0~∞]bj のコーシー積とは Σn=0~∞ =a0b0+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b0+a2b0)+... 定理 級数 Σ[i=0~∞]ai が収束し、Σ[j=0~∞]bj が絶対収束するなら、そのコーシー積も収束し、 (Σ[i=0~∞]ai)(Σ[j=0~∞]bj) =Σn=0~∞ となる。 メルテンスの証明(1875)。 級数 Σ[i=0~∞]ai が収束し、Σ[j=0~∞]bj が絶対収束するので、あるM>0が存在し、任意のmに対して Σ[i=0~m]|ai|<M , Σ[j=0~m]|bj|<M であり、任意の ε>0 に対して、あるNが存在し、任意のm>n≧N に対して Σ[i=n~m]|ai|< ε/(2M) Σ[j=n~m]|bj|< ε/(2M) ...(*) となっている。以下略 ここで質問ですが、(*)の両式が成り立つ理由がわかりません。 独学なので、きく人がいません。 おわかりになる方、どうかご教授とご解説よろしくお願いいたします。
回答: 部分和の列が Cauchy 列になるからではないでしょうか? なお、ai の絶対値の付け方がおかしいと思います。 誤:Σ[i=0~m] |ai| < M 正:| Σ[i=0~m] ai | < M 誤:Σ[i=n~m] |ai| < ε/(2M) 正:| Σ[i=n~m] ai | < ε/(2M)