質問: 数学的帰納法 nは自然数とする。5^(n+1) + 6^(2n-1) は31で割り切れることを証明せよ。という問題です。 数学的帰納法でとくと・・・ (1)n=1のとき 5^(n+1) + 6^(2n-1) =5^(1+1) + 6^(2-1) =5^2 + 6 =25+6 =31 となり、成り立っている。 (2)n=kのときも成り立っていると仮定すると 5^(k+1) + 6^(2k-1)となり、これは31の倍数である。 よって5^(k+1) + 6^(2k-1)=31mとあらわすことができる(m:整数) n=k+1のとき 5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1) =5^(k+2) + 6^(2k+1) ここまではわかりました。 この問題はn=k+1のときも31の倍数であることを証明すればいいのですよね? しかし5^(k+2) + 6^(2k+1)から 31{・・・・}となるように持っていくことができませんでした。 (私の考えが違っていたらすいません。) 解答を見たら(n=k+1のときの前までは解答と同じでした。) n=k+1のとき 5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1) =5(5^(k+1) + 6^(2k+1)+31・6^2k-1 となっています。 これは31の倍数であるから、n=k+1のときも成り立つ。 (1)(2)より、すべての自然数について命題が成り立つ。 となっていました。 どうやって、5(5^(k+1) + 6^(2k+1)+31・6^2k-1に持っていたのですか? できる限り詳しく教えてください。お願いします。
回答: 解答が間違っているようです。 5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1) =5(5^(k+1)) + 36(6^(2k-1)) =5(5^(k+1)) + 5(6^(2k-1)) + 31(6^(2k-1)) =5(5^(k+1) + 6^(2k-1)) + 31(6^(2k-1)) =5×31m + 31(6^(2k-1)) こうなると思います。