質問: 積分の計算 次の計算式が解けないです。 ∫(9x+4)^2 √{(9x+4)^2-36}dx ((9x+4)^2-36までルートの中です。) 9x+4をtとおいてt^2√(t^2-36) として計算すればいいのかなと 思ったのですが、答えが5択でどれも 1/72[(9x+4){2(9x+4)^2 -36}] √{(9x+4)^2-36}-1296ln|(9x+4)+√{9x+4(^2)-36}| といった解答なのでとき方が正しくないのかなと思ってしまいました。 この積分の途中式と答えを教えていただけますか? また、lim x→0+ (e^x + 9x)^(4/x) をl'hopital's ruleを使って解いたんですが、答えがe+9になりました。自信がないので、途中式と答えを教えてくださるとうれしいです。 よろしくお願いします。
回答: 微積の教科書または演習書を参照していただくと、 (1/9)∫t^2√(t^2-36) dt の解法の1つとして、 s=t+√(t^2-36) と置換する方法が載っていると思います。 こうすると、 s-t=√(t^2-36) →s^2-2st=-36 →t=(s/2 + 18/s) dt=(1/2 - 18/s^2)ds 、 s-t=s/2 - 18/s などから (1/9)∫(s/2 + 18/s)^2*(s/2 - 18/s)(s/2 - 18/s)ds/s =(1/9)∫(1/s)(s^2/4 - 324/s^2)^2 ds =(1/9)∫(1/s)(s^4/16 -162 + 104976/s^4) ds =(1/9)∫(s^3/16 -162/s +104976/s^5) ds =(1/9)(s^4/64 -162log|s| -26244/s^4) =s^4/576 -18log|s| -2916/s^4 で、s→t→xと変数を戻すと答えです。 連続有界であるとして、 y=(e^x+9x)^(4/x) とおくと logy=(4/x)log(e^x+9x)=4*{log(e^x+9x)}/x →4*(e^x+9)/(e^x+9x) →4*10/1=40 (x→0+) y→e^40 (x→0+) だと思います。