質問: 数学、直交の分野に関することです。 l={u∈l^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1
回答: l^2(-1,1)について考えますから、部分集合のtに関する条件はルベーグ測度での「ほとんど,いたるところ」 になります。例えば、l={u∈l^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1閉部分空間になるのはなぜか、 l^2ノルムでlの関数列u_nがuに収束するとしますと、ある部分列u_nk がほとんどいたるとろ uに収束します。つまり、ほとんどいたるところのtに対して、u(t)=limit_k u_nk(t), u(-t)=limit_k u_nk(-t)。ここで、すべてのk について、u_nk(t)=u_nk(-t)だから、u(t)=u(-t)。これでu∈lが示されました。 >3行目l^⊥がこのように与えられるのはなぜか、 l^⊥は正しくは l^⊥={u∈l^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1 ∫_a v(t)dt+∫_-a -v(-t)dt (aの定義より) =∫_a v(t)dt-∫_-a v(-t)dt=0(a上のvとーa上のv(-t)は、任意の区間に値をとる定義域のルベーグ測度が同じなので、背積分値も同じ) より、∫uv=0になりません。 >5行目射影plがこのようになるのは 1/2・(u(t)+u(-t))がlに属し、さらにu(t)=1/2・(u(t)+u(-t))+{u(t)-1/2・(u(t)+u(-t))} とuを分解して表現すると、u(t)-1/2・(u(t)+u(-t))が l^⊥={u∈l^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1