質問: 漸化式 数列{a_n}の一般項を求めよ。 (1)a_1=-2, a_n+1=5a_n+12 (2)a_1=5,a_n+1=-4a_n+10 (3)a_1=1,a_n+1=(1/2)a_n+2 この解法と答えを教えてください。
回答: どの漸化式も、a_(n+1) = b a_n + c という形をしている。 b ≠ 1 であれば、x = b x + c という一次方程式には解があって、 x = c/(1-b) となる。 ふたつの式の辺々を引き算すると、a_(n+1) - x = b { a_n - x } となって、式から c が消え、数列 a_n - x が等比数列だと判る。 よって、a_n - x = (a_1 - x) b^(n-1)。 x を代入消去すれば、a_n = c/(1-b) + {a_1 - c/(1-b)} b^(n-1)。 後は、各漸化式の b, c, a_1 を代入する。