質問: 余弦積分関数の公式の導出を教えて ある投稿で半波長アンテナの放射電磁界の電力を求めるとき余弦積分関数が出てくることを知りました。 色々調べたのですが次の公式の導出が解りません。教えていただけないでしょうか? ci(x)=-∫[x,∽]dt(cos t)/t=c+log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t c:オイラーの定数。
回答: オイラーの定数の一つの表し方 c = - ∫[0,∞]dt exp(-t) log t = - ∫[0,x]dt exp(-t) log t -∫[x,∞]dt exp(-t) log t から出発します。部分積分すると ∫[x,∞]dt exp(-t) log t = exp(-x) log x + e1(x) (e1(x)=∫[x,∞]dt exp(-t)/t は積分指数関数) より e1(x) = - c - ∫[0,x]dt exp(-t) log t - exp(-x) log x = - c - log x -∫[0,x]dt exp(-t) log t +[1-exp(-x)] log x = - c - log x -∫[0,x]dt [exp(-t) - 1]/ t この式と ci(x) = (-1/2)[e1(ix) + e1(-ix)] から ci(x) = c + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t が分かります。すなわち積分の発散する部分を分離するため exp(-x) log x = log x + [exp(-x) - 1 ] log x と変形する所が最大のポイントと言えるでしょう。