質問: 直交変換の証明 直交行列aの表す直交変換をfとして、ベクトルp,qのfによる像をそれぞれ p',q'としたとき p'・q'=p・q と pとqのなす角とp'とq'のなす角を等しいことを証明したいのですが・・。 うまく左辺と右辺の関係を式に出来ずに進めません。 どう証明していけばいいのでしょうか? よろしくお願いします!
回答: ^*は転置(直交行列をユニタリ行列おきかえると共役転置) p'=a・pかつq'=a・qであるから (p',q')=(a・p,a・q)=(a・p)^*・(a・q)=p^*・a^*・a・q=p^*・(a^*・a)・q=p^*・q=(p,q) ここでaは直交行列だからa^*・a=e(定義)であることを使った。 なお pとqのなす角の余弦は(p,q)/√((p,p)・(q,q)) p'とq'のなす角の余弦は(p',q')/√((p',p')・(q',q'))