質問: 数学です。証明お願いします。 △ABCにおいて∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとするとき、∠B,∠Cの外角の二等分線が辺AC,ABの延長とそれぞれ点Q,Rで交わるならば3直線AP,BQ,CRは1点で交わることを、チェバの定理の逆を用いて証明せよ。(チェバの定理の逆を用いる際にBQ,CRが交わることは認める。)
回答: 直線APと直線RQの交点をP'、 AB=c、BC=a、CA=bとします。 ∠RAP'=∠CAP'から 内角の二等分線の性質より RP'/P'Q=AB/AC=c/b ∠CBQ=∠QBRから 外角の二等分線の性質より AB/BR=AC/BC=b/a 同様に ∠BCR=∠RCQから AC/CQ=AB/BC=c/a よって AB/BR・RP'/P'Q・QC/CA=b/a・c/b・a/c=1 チェバの定理の逆より AP'、BQ、CRは一点で交わる。 すなわち AP、BQ、CRは一点で交わる。