質問: 高校数学「数列」の問題です 自然数nに対して、正の整数an,bnを (3+√2)^n=an+bn√2 によって定める。このとき、次の問いに答えよ。 (1) a1,b1とa2,b2を求めよ。 (2) an+1,bn+1をan,bnを用いて表せ。 ―――――― (1) a1=3,b1=1 a2=11,b2=6 (2)の解法を教えて下さい。 よろしくお願いします。
回答: #1です。 >展開したときの係数ということは、二項定理を用いるのでしょうか?? 何もヒントがなければ、二項定理という話になるかもしれませんが、 ある意味「バカ正直」に考えると・・・ 数列 {a[n]}と {b[n]}の定義から、 (3+ √2)^n= a[n]+ b[n]√2 (3+ √2)^(n+1)= a[n+1]+ b[n+1]√2 のようになります。 第2式の左辺は (3+ √2)^n* (3+ √2)とかけますから、 ここへ第1式を代入するだけです。 定義に従うことで、深く考えすぎずに一般項を求められる例になります。 ちなみに、(3+ √2)^n= a[n]+ b[n]√2と表すことができる。ということ自体は 数学的帰納法を用いれば証明できます。 その場合も、上のような考え方(nと n+1のとき)を使います。