質問: 問) 4点o(0,0,0)、a(1,2,0)、b(2,0,-1)、c(0,-2,4)を頂点とする四面 問) 4点o(0,0,0)、a(1,2,0)、b(2,0,-1)、c(0,-2,4)を頂点とする四面体oabcについて考える。 (1)頂点oから平面abcに垂線ohを下ろしたとき、点hの座標を求めよ。 (2)→ohの大きさを求めよ。(→はベクトルです) (3)△abcの面積を求めよ。また、四面体oabcの体積を求めよ。 解説お願いします。
回答: ベクトルの矢印は省略 oh=(x,y,z)とする ab=(1,-2,-1) bc=(-2,-2,5) ca=(1,4,-4) 垂直なベクトル同士の内積=0 から oh・ab=(x-2y-z)=0 oh・bc=0 oh・ca=0 ⇒変数3つの式が3つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。 hの座標は(x,y,z) (2) |oh|2=x2+y2+z2 より |oh|=√(x2+y2+z2) に (1)の結果を代入します (3) △abc=(1/2)|ab||ac|sina ←←←ab,acはベクトル =(1/2)√(|ab|2|ac|2sin2a) =(1/2)√{|ab|2|ac|2(1-cos2a)} =(1/2)√{|ab|2|ac|2-(|ab||ac|cosa)2} =(1/2)√{|ab|2|ac|2-(ab・ac)2} ↑内積 より 面積に関する準公式 :△abc==(1/2)√{|ab|2|ac|2-(ab・ac)2}が導かれるのでこれを知っていると便利です。 この準公式に(1)で求めた各ベクトルの成分を当てはめれば、比較的簡単に△abcの面積が求まることでしょう! 次に 前述の結果を用いて 四面体の体積=底面積x高さx(1/3)=△abc・|oh|・(1/3) を計算すれば 答えが出るはずです。