質問: ベクトルの外積の問題 ベクトルaの向きをx軸の方向ベクトルa=(a,0,0)に、ベクトルbを(x,y)平面にとるとベクトルb=(bx,by,0)=b(cosθ、sinθ、0)であるからベクトルc=ベクトルa×ベクトルb=ab(0,0,sinθ) このベクトルの大きさはabsinθ=a(bsinθ)=(asinθ)bと表せるので、大きさaとベクトルaに垂直なベクトルbの成分との積、あるいは大きさbとベクトルbに垂直なベクトルaの成分との積である。 ベクトルaとベクトルbとで作る平行四辺形の面積で、向きがベクトルaとベクトルbとで作る平面な垂直なベクトルになる。 問題1 ベクトルa×ベクトルaを計算せよ。 問題2 ベクトルa=(ax,ay,0)=a(cosα,sinα,0)とベクトルb=(bx,by,0)=b(cosβ,sinβ,0)の外積ベクトルc=ベクトルa×ベクトルbを作り、三角関数の加法定理を使い、大きさ|c|とその方向の意味を考えよ。 全く解けません。どなたか教えていただけますか?
回答: 次の式で外積を求めることが出来ます。 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)とおくと |i j k| a×b=|ax ay az| |bx by bz| =(aybz-byaz)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k ここでi,j,kは単位ベクトルです。 i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) これに当てはめて考えてみます。 問1 a×a=(0*0-0*0)i+(0*a-a*0)j+(a*0-0*a)k=0 問2 a×b=(asinα*0-bsinβ*0)i+(0*bcosβ-acosα*0)j+(acosα*bsinβ-asinα*bcosβ)k =ab(cosα*sinβ-sinα*cosβ)k =(0,0,ab(cosα*sinβ-sinα*cosβ))=(0,0,absin(β-α)) よって大きさ|c|=|absin(β-α)、方向はz成分です。|