質問: ncr=n-rcr-1 + n-1crについて 数aの組み合わせの公式で この公式について自分の使っている参考書の解説で この公式を理解するには nの中の特定の一人に注目すればいい。特定の人をaくんとして n人の中からr人を選びだす時にaくんは選ばれるか選ばれないかのいづれかでこれらは排反である。 a君がr人に選ばれる時 r人のうち1つの席はa君のために用意されているので 残りn-1人からr-1人を選ぶことになるので n-1 c r-1 aがr人に選ばれない時、残りn-1人からr人を選ぶことになる。 n-1cr a君が選ばれる(n-1 c r-1) a君が選ばれない( n-1cr) これらは排反なので 和の法則よりncr=n-rcr-1 + n-1cr が導かれる。 とのことなのですが いまいち理解ができません。 なぜ(n-1 c r-1)と( n-1cr)が排反であれば和が ncr こうなるのでしょうか?
回答: 結構解りやすく書いてあるので、一番いいのは質問文を繰り返し読み理解することですね。 それか、何も考えずに公式を丸暗記してしまうのも一つの手です。 大事なことは、 確率の世界なら、起こる確率+起こらない確率=1(全体) 組み合わせなら、起こる組み合わせ+起こらない組み合わせ=全体の組み合わせ数 ってことです。 一応この説明文の通りにいくと、 ncrは 『n人の中からr人を選ぶ際の組み合わせ』 となります。 例として数字を入れちゃいます。 『10人の中から3人を選ぶ際の組み合わせ』としましょう。 ここでa君に注目します。 10人の中からa君が選ばれる(3人の中に入っている)組み合わせ と a君が選ばれない(3人の中に入っていない)組み合わせ の合計って勿論『10人の中から3人を選ぶ組み合わせ』になりますよね。 10人の中からa君が選ばれる(3人の中に入っている)・・・9c2 a君が選ばれない(3人の中に入っていない) ・・・9c3 なので 10c3=9c2 +9c3 となります。