質問: 方向微分係数 画像のように教科書では方向微分係数を定義してあるのですが、 1画像のように、f(x,y)=√(x^2+y^2)sin3θ(x.y)(ただし、θ(x,y)とはoと(x、y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)に対して方向微分が(x、y)=(tcosθ0,tsinθ0)という直線上では、f(x,y)=tsin3θ0となるからあらゆる方向に方向微分可能というのがわかりません。 どのように計算しているのでしょうか? 2また、(0,0)でのx、yでの偏微分係数が0、-1となるのもピンときません。 おしえてください。
回答: f(x,y)=√(x^2+y^2)sin(3θ(x.y)) (ただし、θ(x,y)とはoと(x,y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする) に対して方向微分が(x,y)=(tcos(θ0),tsin(θ0))という直線上では、f(x,y)=tsin(3θ0)となり t=√(x^2+y^2)だから θ0方向微分は lim_{t→+0}{f(x,y)-f(0,0)}/t =lim_{t→+0}{tsin(3θ0)}/t =sin(3θ0) となるからあらゆる方向に方向微分可能である. (0,0)でのxでの偏微分とはx軸方向微分だからθ0=0だから f_x(0,0) =lim_{t→+0}{f(t,0)-f(0,0)}/t =lim_{t→+0}{tsin(0)}/t =sin(0) =0 (0,0)でのyでの偏微分とはy軸正方向微分だから y軸正方向とx軸正方向となす角は θ0=π/2だから f_y(0,0) =lim_{t→+0}{f(0,y)-f(0,0)}/t =lim_{t→+0}{tsin(3π/2)}/t =sin(3π/2) =-1 t=√(x^2+y^2) θ0=0とすると (x,y)=(tcos(0),tsin(0))=(t,0)だから lim{t→0}{f(x,y)-(-x)}/√(x^2+y^2) =lim{t→0}{f(t,0)-(-t)}/t =lim{t→0}{tsin(0)-(-t)}/t =lim{t→0}t/t =1 はxに対し無視できる無限小ではない θ0=0の方向なので y=tsin(0)=0 だから 「xに対し」としてある