質問: 物理の問題です。 摩擦のない水平な台に沿ってx軸をとり、質量mの質点をx軸の正方向に初速v0ですべらせる。質点が速度に比例する空気抵抗(比例定数mη)をうけるとき、この物体が止まるまでに進む距離を運動方程式をたててとけ。 という問題なんですが、 答えがv0/2ηになりました。 答えはこれでいいのでしょうか? 長い文で申し訳ありません。
回答: すこしズルをします。 m・dv/dt = -mηv (1) dv/dt = -ηv dv/dt = (dv/dx)・(dx/dt) = vdv/dx = -ηv dv/dx = -η v = -ηx + c x=0で速度がv0なので、 v = -ηx + v0 停止するときは、v = 0なので、 x = v0/η 真面目に微分方程式(1)を解くと、 v = v0e(-ηt) x = (v0/η)・{1-e^(-ηt)} やっぱり、 x = v0/η になるのではないですかね~。 質点が静止することはないのですけれど。。。 (数学でこんな書き方をすると怒られちゃいますけれども、t=∞で静止します) ちなみに、運動方程式は(1)ではなくて、 mx'' = -mη・x' でもいいですよ。 これの一般解は、 x = c1・e^(-ηt) + c2 これに初期条件を入れれば解けます。 こっちの方が楽だな、きっと。