質問: 複2次式の因数分解で、x^2の項を補って和と差の積を用いることでしか因数分解できない場合、有理数係数の範囲だと1次式の積にまで因数分解できないことはどう示しますか?
回答: x4+x2+1やx4-3x2+4のことですかね. 次の定理を使えばいいでしょう. ~~~~~~~~~~~~ 定理 f(x)をn次整数係数多項式とし, 最高次x^nの係数をa_n, 定数項をa_0とする. このとき有理数qに対し, f(q)=0⇒q=(a_0の約数)/(a_nの約数). (ただし約数は負の数も含める) ~~~~~~~~~~~~ 証明はq=s/tと既約分数表示し, f(q)=0を変形して分母を払い, sで割り切れる項,tで割り切れる項 それぞれに注目するといいです. 整数係数多項式f(x)を因数分解したとき, f(x)が1次因子ax-bを持つ ⇔f(b/a)=0 ⇔b/aはf(x)の根 が成り立ちます. f(x)の有理数根の候補は上の定理から有限個なので, その有限個の数q全てに対しf(q)を計算すれば, f(x)が1次因子を持つか否かが判定できます. 例1 x4+x2+1を考えましょう. x4+x2+1の有理数根候補は ±1 の2つですが,どちらも根ではないです. よってこれは1次因子を持ちません. (そもそも実数xに対しx4+x2+1>0より自明) 例2 x4-7x2+9について同様に, 有理数根候補は ±1,±3 の4つで,全て根でないので, 1次因子を持ちません.