質問: 線形代数の問題 線形代数の問題なんですがわからなくて困ってます! 次の連立1次方程式が(1)ただ一つの解をもつ(2)無数の解をもつ(3)解をもたない、ようにcの値をそれぞれ定めよ x+y-z1 2x+3y+cz=3 x+cy+3z=2 なるべく早めにお願いします。
回答: >x+y-z1 >2x+3y+cz=3 >x+cy+3z=2 変数名を大文字、小文字をまぜこぜにしないで統一する。 第一式に等号が抜け落ちていませんか? x+y-z=1 ...(a) 2x+3y+cz=3 ...(b) x+cy+3z=2 ...(c) (1)ただ一つの解をもつということは、 (a),(b),(c)が解けるということ。 係数行列が逆行列を持つこと。つまり 係数行列式=-(c-2)(c+3)≠0 c≠2,c≠-3 ←(答) この時連立方程式の解は x=1, 1/(c+3), 1/(c+3) (2)無数の解をもつ (a),(b),(c)のうち、1次独立でない方程式が存在し、1次独立な方程式が1~2になる場合で、かつ1次独立な2方程式が残っても、両立しない独立な方程式(グラフ的に平行な2平面になる場合)とならない場合である。 つまり、係数行列式=-(c-2)(c+3)=0の場合を調べればよい。 c=2の場合、独立な方程式は2つで x+y-z=1 x+2y+3z=2 → y+4x=1 これを解くと aを任意定数として x=5a, y=1-4a, z=a と無数の解をもつことになる。 c=-3の場合は x+y-z=1 2x+3y-3z=3, x-3y+3z=2→ 3x=5 これを解くと aを任意定数として x=5/3, y=a-2/3, z=a と無数の解を持つことになる。 以上まとめて c=2, -3 ← (答) (3)解をもたない。 この場合は、3つの方程式中、2つ以上の方程式のグラフが平行な平面(重なる場合を除く)となる場合です。 係数行列の行が比例し、拡大行列の3列目要素が比例してない場合なので このような場合は存在しない。←(答)