質問: 標準正規分布のモーメント母関数 標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。
回答: モーメント母関数をm(t)とすると、モーメント母関数の定義により、m(t)=e(exp(tx))です。ただし、xは、標準正規分布に従う確率変数で、e( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、 m(t) = exp(t^2/2) となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。 m'(t) = t・exp(t^2/2) m''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2) m'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2) m'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2) よって、 0回りの3次モーメント = m'''(0) = 0 0回りの4次モーメント = m''''(0) = 3 となります。