質問: 問題は「不等式ax2+y2+az2-xy-yz-zx≧0が任意の実数x,y,zに対して成り立つような 問題は「不等式ax2+y2+az2-xy-yz-zx≧0が任意の実数x,y,zに対して成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。」です。 0<1-4aではないのは、(1-4a)z2+6xz+(1-4a)x2≦0...1だから、z2の係数が正だと下に凸の放物線で、重解か異なる2つの実数解を持ってしまい任意の実数にならないから、z2の係数が負、つまり1-4a<0でないと「任意の実数」にならないからですか? それと、この問題は要するに「任意の実数xかつ任意の実数yかつ任意の実数zに対して成り立つ定数aの値の範囲」を求める問題だから、まず任意の実数yに対して成り立つ条件を判別式で定めて、その判別式にxとzがいるから、その判別式が任意の実数zに対して成り立つ条件をまた判別式を使って定めて、その判別式にxがいるから任意の実数xに対して成り立つ条件をまた判別式を使って定めて、最終的に出てくるaだけが残った不等式は、任意の実数yかつ任意の実数zかつ任意の実数xに対して成り立つ条件を満たしている不等式だから、そのaだけの不等式を解けば、題意を満たすaの値の範囲が出る、という問題ですか?判別式を使いまくってaの条件を定めながら絞っていく、という問題ですか? 説明が下手で申し訳ないです。
回答: (1-4a)z2+6xz+(1-4a)x2≦0 (zは文字扱い、x,aは数字(定数)扱い)が任意のz、言い換えればすべてのzについて成り立たなければいけません グラフをイメージすると zの2次関数のグラフf(z)=(1-4a)z2+6xz+(1-4a)x2が、横軸(z軸)より上になってはいけないということです 下に凸の放物線では、必ず横軸より上になる部分ができてしまうので不適です ゆえに、1-4a>0では不適 2つ目の質問については、あなたが考えている通りだと思います すべてのyについて与えられた不等式が成り立つための条件は (1-4a)z2+6xz+(1-4a)x2≦0 ですが x,zも任意なので、これがすべてのx,zについて成り立たないといけない そのためには、1-4a<0かつ (1-a)(1+2a)x2≦0が成り立たないといけない・・・ここで、aの条件が少し限定されていることには留意です ただ、xは任意なので、これがすべてのxについて成り立たないといけない そのためには、x2の係数が0以下でないといけない というように、条件を表す式の中でもx、zが任意であることを意識すると 次々と新たな条件が見えてくるという流れです