質問: -(ω^2)ax の形にまとめると、 a=( 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 ) となることを示せ。 (2) この系の固有振動の振動数と各固有振動における各質点の相対的変位 (振動モード) を求めよ。
回答: つりあい位置にあるときのばねの伸びをaとします。 座標x_{n}にある質点について, 左にあるばねの伸びは,x_{n} - x_{n-1} + a 右にあるばねの伸びは,x_{n+1} - x{n} + a となります。すると合力は, -k(x_{n} - x_{n-1} + a) + k(x_{n+1} - x{n} + a) = -k(- x_{n-1} + 2x_{n} - x_{n+1}) となりますから,運動方程式は m d^2(x_{n})/dt^2 = -k(- x_{n-1} + 2x_{n} - x_{n+1}) すなわち,aのn行目は a_{n,n-1} = -1 , a_{n,n} = 2 , a_{n,n+1} = -1 , その他 0 となります。ただし,第1行と第n行は3つ並びの端が切れるわけです。