質問: 三次関数の問題 ----------------------------------------------- 三次関数f(x)=x^3-(3/4)x , g(x)=ax^3+bx^2+cx+dがある 区間 -1≦x≦1 において、|g(x)|≦1/4である。 (1)h(x)=f(x)-g(x)とおくとき、h(-1),h(-1/2),h(1/2),h(1)と0との大小関係をそれぞれしらべよ (2)a=1のとき、すべてのxに対して、g(x)=f(x)が成り立つことを示せ ----------------------------------------------- それぞれ2問あります。 このうち(1)は解けたのですが、(2)でつまずきました。 (1)で利用したh(x)を利用するのかと思い、 h(x)=-bx^2-(3/4+c)x-d として、x=-1,-1/2,1/2,1の値をそれぞれ代入して不等式を作ったり また|g(0)=d|≦1/4からdの値の範囲を求めて・・・ などなど色々試行錯誤したのですが、どうも進みません。 どなたか、ヒントを教えていただけないでしょうか?
回答: 過去の質問を見ましたが、(1)の答えは h(-1)≦0 h(-1/2)≧0 h(1/2)≦0 h(1)≧0 でよいのでしょうか? だとしたらまずh(-1)≦0とh(1)≧0から -(c + 3/4) ≦ b + d ≦ (c + 3/4) が言えます。 この不等式は左と右がほとんど同じ形をしていますよね? 唯一違うのはプラスかマイナスかだけです。 この部分に着目すると、この不等式が成り立つのは 「(c + 3/4)が0以上」の時ですよね? でないと「正の数 ≦ 何らかの数 ≦ 負の数」という ありえない不等式になっちゃいます。 次にh(-1/2)≧0とh(1/2)≦0から (1/2)(c + 3/4) ≦ (1/4)b + d ≦ -(1/2)(c + 3/4) が言えます。 やはりこれも不等式の左と右が同じ形をしています。 ここにも(c + 3/4)が現れてますね。 最初に考えた不等式と比べやすくするため、両辺を2倍して (c + 3/4) ≦ (1/2)b + 2d ≦ -(c + 3/4) としておきます。 こちらも「正の数 ≦ 何らかの数 ≦ 負の数」という変な不等式にしないためには、 「(c + 3/4)は0以下」としなくてはいけません。 さて、「(c + 3/4)が0以上」と「(c + 3/4)は0以下」が同時に成り立つためには、 cの値をどうしないといけないでしょうか? これを考えるとcの値が一意に定まります。 ここで求めたcの値を2つの不等式 -(c + 3/4) ≦ b + d ≦ (c + 3/4) (c + 3/4) ≦ (1/2)b + 2d ≦ -(c + 3/4) に代入してあげると、bとdの値が求まると思います。