質問: にゃんこ先生の自作問題、4実数a,b,c,dとその基本対称式の符号の可能性 にゃんこ先生といいます。 3実数a,b,cと、基本対称式a+b+c,ab+bc+ca,abcにおいて、その符号の可能性を下のように調べました。 a,b,cの符号が分かると、abcの符号は一通りに決まるので、それは省略します。 a>0,b>0,c>0ならばa+b+c>0,ab+bc+ca>0 a>0,b>0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca>0の例:a=3,b=3,c=-1 a>0,b>0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=1,c=-1 a>0,b>0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=1,c=-3 a>0,b>0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca>0はありえない。 a>0,b<0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca>0はありえない。 a>0,b<0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca<0の例:a=3,b=-1,c=-1 a>0,b<0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca>0の例:a=1,b=-3,c=-3 a>0,b<0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=-1,c=-1 a<0,b<0,c<0ならばa+b+c<0,ab+bc+ca>0 では、4実数a,b,c,dと、基本対称式a+b+c+d,abc+abd+acd+bcd,ab+ac+ad+bc+bd+cd,abcd(これは省略する)において、その符号の可能性はどうなるのでしょうか?
回答: f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) として、 f'(0) = ab+ac+ad+bc+bd+cd f''(0) = 2(abc+abd+acd+bcd) ... とかを考えるか。 逆に、 g(x) = x^4 + αx^3 + βx^2 + γx + δ が4つの実数解をもつ条件を考えるのか。 もっと頭いい方法がある気もします。