質問: 高校数学の問題について xの二次方程式x^2-38x+338の値がある整数の二乗になるとき整数xの値を求めよ。 という問題で解答では、初めに与式=y^2(yは負でない整数)とおくとあるのですがこの負でない整数にする理由がよくわかりません。どうせ二乗するから負でもいいんじゃないか?とおもうのですが......答えはyが整数で考えてもダブりますがでてきます。このダブりをなくすためでしょうか?
回答: x^2-38x+338=y^2 整理して (x-19+y)(x-19-y)=23 x,yが整数という条件なので x-19+y=±23 x-19-y=±1 (復号同順) 又は x-19+y=±1 x-19-y=±23 (復号同順) これらの解は (x,y)=(31,±11),(7,±11) で、結局yがプラスかマイナスかは決着がつかないのですが、これは問題を振り返ってみると当然ともいえます。 従って、最初からy>0としてもx=31または7という解は落としていないわけです。 しかしy=-11はどうなのかというとこれも立派な正解を与えます。 従って最初にyについて断るときに 「yは正の整数とする。しかし絶対値が同じで負のyも当然同じ解を与えるので±yが条件を満たすものである。」 とでも言っておくべきです。 「yは正の整数とする。」というのは、可能な限り解を限定してかかるのが余計な結果が紛れ込ませないようにするための適切なやり方だと思われます。