質問: 体積 曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれた図形をx軸まわりに1回転してできる立体の体積を求める問題 1回転すると楕円形みたいな形になりますが。 どうやって体積を求めるのでしょうか? v=∫π(y^2)dxというしきになるのが分かりません。
回答: >>> v=∫π(y^2)dxというしきになるのが分かりません。 なるほど。 お気持ち、よく分かります。 では、最も簡単な例を挙げてみましょう。 y=r (rは定数)という関数で、xの範囲は0からhとします。 これをx軸の周りに1回転します。 すると、底面積がπr^2、高さがhの円柱になりますから、 体積はπhr^2になるはずです。 円柱を輪切りにして、厚さdxの非常に薄い円板に分けます。 すると、その円板の体積は、πr^2・dxです。 円板の体積を全部足し算(積分)すれば円柱の体積になります。 ∫x=0→h] πy^2・dx = ∫[x=0→h] πr^2・dx = πr^2・∫[x=0→h]dx ・・・(πr^2・∫[x=0→h]1・dxのこと) = πr^2・[x = πr^2・h-0] = πhr^2 ほらね? 見事に一致しました。 次に、円錐もやってみましょう。 y=rx/h (r、hは定数)という一次関数で、xの範囲を0~hとします。 x軸の周りに1回転すると、円錐になることはイメージできますね? 底面の半径(x=hのときのyの値)はrです。 円錐の体積の公式より、 底面積×高さ÷3=πhr^2/3 (同じ底面積、高さの円柱の体積の3分の1) となるはずです。 これもやはり輪切りにして、厚さdxの非常に薄い円板に分けます。 1枚の円板の半径はxによって変わり、それがy(=rx/h)です。 よって、1枚の円板の半径は、πy^2 = π(rx/h)^2 です。 1枚の円板の体積は厚さdxを掛けて π(rx/h)^2・dx です。 これをx=0~hの範囲で全部足し算(積分)すると、求める体積になります。 ∫[x=0→h]πy^2 dx = ∫[x=0→h]π(rx/h)^2 dx = πr^2/h^2∫[x=0→h]x^2 dx = πr^2/h^2[x^3/3 = πr^2/h^2[h^3/3-0^3/3] = πhr^2/3 ほらね? 見事に一致しました。