質問: オイラー関数について f(n)=p^k•q^l•r^m(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r) の証明を高校の範囲での オイラー関数について f(n)=p^k•q^l•r^m(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r) の証明を高校の範囲での証明がわかりません。
回答: 厳密な証明ではないですが、考え方のヒントとしてどうぞ 任意の自然数を選択した際、それがj(自然数)の倍数である確率は1/j。 故にjの倍数でない確率は1-1/j(←余事象の考え方)。特にjが素数である場合、これはjと互いに素である確率を示す。 よってn個の自然数の中からjの倍数でない数の個数は n(1-1/j)と表される。 p^k·q^l·r^m以下の自然数の中で、p(素数)と互いに素である数の個数は p^k·q^l·r^m·(1-1/p)・・・1 さらにこの数からqと互いに素な数の個数を求めるには、 1×(1-1/q) とすれば良い。 これをさらにrでも行えば例の式が得られる。