質問: 高校で数学を勉強してるときに思ったんですが、ある式が与えられて積分せよといわれたとき、いろいろなとき方があると思いますが(例えば置換積分や部分積分など)、どんなやり方を使っても積分できない式とかってのはあるんですか?また、これらの解き方ってのはだんだん開発されていったんだと思いますが、積分の技術が未熟だった頃は、解けない式とかもいっぱいあったんでしょうか?
回答: >積分の生い立ちについて聞きたいんですが、 >積分って言う考え方の最初ってのは、面積を求めることが目的だったと聞きましたが >区分求積法の発明に始まったんでしょうか? まあ、そうです。 面積を求める技術は古代エジプトやメソポタミアの時代から、ありましたが、 体系的・理論的に求めようという試みはギリシアから始まると考えていいと思います。 で、積分ですが、現代的な積分は、 まず、グラフというか関数という概念がないと定義できませんよね。 ギリシアで扱っていたのは、球とか円錐とかがんばって2次曲線までです。 座標という概念を導入したのはデカルトだと言われています。(おそらく先駆者はいたと思いますが。) なので、グラフに囲まれた面積を求める技術はそれ以降、 もっと言うとニュートン・ライプニッツ以降ということになります。 >それから区分求積法でも解けないものについては、 >置換積分など色々なものが発明されて言ったと >言う認識でいいんでしょうか? 区分求積法は積分を数値的に求めるアルゴリズムで、 下に書いているような変なものでなければ、そして精度を問題にしなければ、一応どんな定積分にも適応可能なはずです。 置換積分は、不定積分を求めたり、厳密に定積分を行うために使われるものですから、 そもそも、区分求積法とは用途が違います。 >コンピュータを使えばどんな式でも積分できるって事でいいんでしょうか? 高校生には少々難しいですが、 例えば、f(x)=0(if x=無理数) =1(if x=有理数) みたいな関数も積分できます。(ルベーグの意味で) ただし、これをコンピュータでもって積分というのは無理でしょう。 コンピュータによる数値積分の基礎は、 区分求積法にあるからです。