質問: 物理 物理の問題です 苦手なのでぜひ教えて欲しいです 丁寧に教えていただけると嬉しいです よろしくお願いします ( 1 )~( 7 )を埋めよ。 軽いバネとゴムひもがあり、ともに自然 長はlである。バネのバネ定数はkとし、ゴムひもは、伸びたときだけxの伸びに対して、kxのの張力を与えるものとする。バネの上端に質量mのおもりa、下端に質量mのおもりbをつけ、ゴムひもをおもりaにつないだ。ゴムひもを鉛直に引き上げ、自然長になったところでゴムひもの上端を固定した。この状態でのおもりaの位置を点pとし、ゴムひもが自然長 lになる位置をqとする。以下では、おもりは鉛直方向だけに運動するものとし、重力加速度はgとする。 1.おもりaをhだけ引き下げて離すと、おもりaは点pを中心として、振幅pqの長さより小さな単振動を始めた。このときhは条件h<( 1 )を満たしており、単振動の周期は( 2 )である。 2.次におもりaを引き下げる長さhを大きくしたところ、おもりbは動かずにおもりaは振幅がpq間の長さより大きな上下の振動を始めた。この振動において、おもりaが点pを通過するときの速さは( 3 )であり、点qを通過するときの速さは( 4 )である。またこの運動の間におもりaが到達する一番上の点は点pから( 5 )だけ上であり、このとき点bは上方向の力( 6 )受けている。 3.以上の結果から、最初におもりaを引き下げる長さhを大きくしていって ( 7 )より大きくなると、おもりaの運動の途中で、おもりbはバネに引っ張られて床から離れることがわかる。
回答: 本問は、おもりaがゴムひもの自然長点qより下方に位置するときは、バネの力とゴムひもの力が作用しますが、点qより上方に位置するときは、バネの力だけが作用する点で特異性を持っています。 1.aが点pに存在する場合バネは自然長であるということから、バネにはaの重力が寄与していない、すなわちaの重力とゴムひもの力が釣り合っているということが言えます。よって、 m*g=k*x0 ⇔ x0=m*g/k より、m*g/k が点pq間の距離です。ここでおもりaが点qの下方で運動するケースを考えます。点pを原点に取って鉛直上向きを正とし、加速度をa、aの位置をxとおくと、運動方程式は、 m*a=「バネによる力」+「ゴムひもによる力」+「重力」=-k*x+k*(x0-x)-m*g=-2*k*x →(1) 式(1)を変形して a=-2*k/m*x →(2) 運動が x≧x0 の範囲に及ぶと、ゴムひもによる力が0となるため、単振動ではなくなります。 すなわち単振動となる条件は、初期振幅が m*g/k より小さいことが必要です。よって、 h<m*g/k 単振動の周期は式(2)より、角振動数をωとすると a=-ω^2*x の関係がありますので、周期をtとすると ω=2*π/t より、 t=π*√(2*m/k) 2.「運動エネルギー」+「バネによる位置エネルギー」+「ゴムひもによる位置エネルギー」+「重力による位置エネルギー」は保存されますので、aをhだけ引き下げたとき速度は0であることを考慮し、エネルギーの総和は、 1/2*m*0^2+1/2*k*h^2+1/2*k*(x0+h)^2+m*g*(-h)=k*h^2+1/2*(m*g)^2/k →(3) 点pを通過するときの速度をv0とし、バネは自然長、および点pを原点に取ったことから x=0 を考慮し、エネルギーの総和は、 1/2*m*v0^2+1/2*k*0^2+1/2*k*x0^2+m*g*0=1/2*m*v0^2+1/2*(m*g)^2/k →(4) 式(3)、(4)より、 k*h^2+1/2*(m*g)^2/k=1/2*m*v0^2+1/2*(m*g)^2/k ⇔ v0=h*√(2*k/m) 点qを通過するときの速度をv1とし、ゴムひもは自然長であることを考慮し、エネルギーの総和は、 1/2*m*v1^2+1/2*k*x0^2+1/2*k*0^2+m*g*x0=1/2*m*v1^2+3/2*(m*g)^2/k →(5) 式(3)、(5)より、 k*h^2+1/2*(m*g)^2/k=1/2*m*v1^2+3/2*(m*g)^2/k ⇔ v1=√((2*k/m)*h^2-(2*m/k)*g^2) aが到達する一番上の位置をx2とおくと、その位置での速度は0、かつ点qより上方ではゴムひもの影響は受けないことを考慮すると、エネルギーの総和は、 1/2*m*0^2+1/2*k*x2^2+m*g*x2=1/2*k*x2^2+m*g*x2 →(6) 式(3)、(6)より、 k*h^2+1/2*(m*g)^2/k=1/2*k*x2^2+m*g*x2 ⇔ x2^2+2*m*g/k*x2-2*h^2-2*(m*g/k)^2=0 →(7) 式(7)は、x2の2次方程式となります。x2について解くと、 x2=-m*g/k±√(2*h^2+2*(m*g/k)^2) x2>0より、aが到達する一番上の位置は、 x2=-m*g/k+√(2*h^2+2*(m*g/k)^2) 3.おもりaが一番上の位置に達する際のバネによる力は、 k*x2=-m*g+√(2*(k*h)^2+2*(m*g)^2) おもりbには、この力が鉛直上方に作用します。このとき、おもりbの重力よりも大きい場合、おもりbは床から離れます。よって、 k*x2>m*g ⇔ ((m+m)*g)^2<2*(k*h)^2+2*(m*g)^2 ⇔ h>g/k*√((m+m)^2/2-m^2) いかがでしょう?