質問: ユークリッド空間の境界点について質問です。 点集合A{a}とします。この時A∂Aであってますか?あっているならば証明を教えてください
回答: mac********さん ※n次元ユークリッド空間における1点集合 A={a}, a∈R^n とします. このとき, A=∂A です. (i) a∈∂A であること. a=(a_1,...,a_n) とする. 任意の ε>0 にたいして a の B(a,ε)={(x_1,...,x_n)∈R^n|√((x_1-a_1)^2+...+(x_n-a_n)^2)<ε} とおくと, (a_1+ε/2,0,...,0)∈B(a,ε) だから, B(a,ε) には a 以外の点が属する. すなわち B(a,ε)∩(A の補集合)≠空集合 また, a∈B(a,ε) ⇔ A⊂B(a,ε) は明らかだから B(a,ε)∩A≠空集合 したがって, a は a の境界点であるための条件を満たし, a∈∂A である. (ii) a 以外の点 b∈∂A でないこと. a 以外の任意の点 b=(b_1,...,b_n)∈R^n をとる. a,b の距離を d(a,b)=√((b_1-a_1)^2+...+(b_n-a_n)^2)=r とする. このとき, B(b,r/2) には b は属さない. すなわち ∃ε>0, ε=r/2, B(b,ε)∩A=空集合 b は a の境界点であるための条件を満たさない. すなわち x∈\A ⇒ x∈\∂A 以上の通り, A=∂A である.