質問: ベクトルの問題 oを原点とする座標平面状の4点p1,p2,p3,p4で、条件 op(n-1)ベクトル+op(n+1)ベクトル=(3/2)opnベクトル (n=2,3)...(a) を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。 (1)p1,p2が曲線xy=1上にあるとき、p3はこの曲線上にはないことを示せ。 (2)p1,p2,p3が円周x^2+y^2=1上にあるとき、p4もこの円周上にあることを示せ。 これに対する解答ですが、pn(xn,yn)とおいて(a)から x(n-1)+x(n+1)=(3/2)xnとyに関しても同様の式を得て、 p1,p2が曲線xy=1上にあるからx1・y1=1かつx2・y2=1が言えるとして さらに(a)がn=2のときの式からx1とx2を消して x3・y3=(13/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)を得て、 y1とy2が同符号のとき相加相乗平均より、y1/y2+y2/y1≧2 x3・y3≦(1/4)<1 さらにy1とy2が異符号のときy1/y2+y2/y1<0 x3・y3=1+(9/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)>1 となり、p3はxy=1上にない と言えますか? また(2)も同様に式を使って(x4)^2+(y4)^2=1を得て示すのは解答として問題あるでしょうか?
回答: こんにちは。 正しい解答だと思います。無駄の無い答案の書き方、相加相乗の適切な使い方など、 実力者ですね。 別解を示してみます。記号は、applegate さんと同じです。 [解答] (1)背理法で示す。3点p1, p2, p3 が曲線 xy=1 上にあるものとして矛盾を導く。 p1+p3=(3/2)p2 より、(x3, y3)=(1/2)(3x2-2x1, 3y2-2y1) となる。 x1・y1=1, x2・y2=1 より、 x3・y3=(1/4)(13-6(x1/x2+x2/x1))=1 x1/x2=t とおいて整理すると、2t^2-3t+2=0 ・・・(ア) 2次方程式(ア)の判別式は、9-16<0 となるので、 (ア)は実数解を持たない。 すなわち、p1, p2 が曲線上にあるとき、p3 は曲線上には存在しない。 (証明終わり)