質問: ロピタルの定理を使う定積分 ∫1から∞ {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx を解こうと思ったのですが、 最初の(1/(1+x))をロピタルの定理を使い定積分すると、不定形になってしまい解けません。 この問題は最初にどのような式変形をして解いていけばいいのでしょうか? 教えてください。
回答: >最初の(1/(1+x))をロピタルの定理を使い定積分すると、不定形になってしまい解けません。 発散するものはロピタルを使っても解けませんよ。 最初の項だけ分離して積分しようとするから、できる積分も出来なくなります。 (1/(1+x))-log(1+1/x) =(x/(1+x)-(x/x)-log{(1+x)/x} =-x*[log{(1+x)/x}]'-(x)'*log{(1+x)/x} =-(xlog{(1+x)/x)})' なので ∫ {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx=-xlog{(1+x)/x)}+c ∫[0→∞] {(1/(1+x))-log(1+1/x)}dx =lim[x→0]xlog{(1+x)/x)}-lim[x→∞] xlog{(1+x)/x)} ここでロピタルの定理を使うと =0-1=-1 となります。 やってみてください。 分からなければ、やった途中計算を書いた上で、 行き詰って分からない箇所を質問して下さい。