質問: 有理関数を部分分数展開する際に・・・ 今、有利関数を部分分数展開するところを学習しているのですが、ちょっと疑問に思ったことがあるので質問させていただきます。 参考書には例として以下のように乗っています。 p(x)/q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2 =a/(x-1) + b/(x+3) + c/(x+3)^2 + d/(x+3)^3+ex + f/(x^2+2x+2) + gx+h(x^2+2x+2)^2 (但し(pの次数)<(qの次数)) のように載っています。つまりは積分ができるように変形しているにすぎないのですが、ここで1つ疑問ができたのです。 分母の次数より分子の次数が小さくしなければならにわけですが、分母が(x+3)^2や(x^2+2x+2)の次数は2時ですので次数は定数か1次になるわけです。 部分分数展開するときは分子を文字で置くのがセオリーですが、定数か1次式でおく判断はどのようにつけたらいいのでしょうか?(分子をaとおくのかax+bとおくのか) ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりしてます。 例 1/(x-1)(x^2+1)^2 =a/(x-1) + bx+c/(x^2+1) + dx+e/(x^2+1)^2 とおくのが正解になっています。第1項は納得なのですが 第2項は分母が2次なので2次より小さければよいので定数ではいけないのか?第3項に至っては分母が4次式になるので分子を3次式もしくは2次式、定数でなくてはいいのか?というのが質問の核となる部分です。 随分ながくなりましたがどうかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願い致します。
回答: >ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、 >ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりし >てます。 これが、「分母(x+3)^2に対する分子を定数と置くこと」に対する疑問であれば、次の式変形で納得いきませんか? a/(x+3) + (bx+c)/(x+3)^2 = a/(x+3) + {b(x+3)+(c-3b)}/(x+3)^2 = (a+b)/(x+3) + (c-3b)/(x+3)^2 = a/(x+3) + b/(x+3)^2