質問: 初めての複素関数の勉強 w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。 という問題です。 この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。 本を借りてきて調べると、どうやら虚軸または実軸に接する円になる、 というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように なるのかがよく分かりません。 この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、 それでいいんですよね? 解き方を教えてください。 よろしくお願いしますm(_ _)m
回答: z=a+iy w=u+iv =1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2) u=a/(a^2+y^2) v=-y/(a^2+y^2) u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a {u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2 w平面上のw=u+ivの実部uと虚部vの間に円の方程式の関係あり、 x平面上のx=a(実部一定)の直線がw平面上では円に写像されると言うわけです。円の中心zo=1/(2a)+i(0)、半径1/(2a)の円ですね。