質問: 正弦定理と余弦定理で答が違う? 三角形の残りの角と辺の長さを求めよという問題で、余弦定理を用いると答が一つなのに、正弦定理も用いて解くと答が二つになってしまうことがあります。 例えば、 a=2,b=√6,c=-1+√3 で、最初に余弦定理からa=45°と出し、その後、正弦定理からb=60°、120°となるのですが、余弦定理だとb=120°となります。だけれど、問題の答はa=45°,b=120°,c=15°です。 どうすれば良いんでしょう? テスト近いので少し焦ってます。よろしくお願いします。
回答: >一つに決まるのなら、値を二つ出してしまう正弦定理ってあまりいい定理じゃありませんよね。なぜそんな定理が認められるのでしょうか? 確かに、(三角形の)角度のみに関心がある場合には余弦定理の方が解が一つに決まるので正弦定理より優れていると言えなくも無いですが、正弦定理で複数解が出てくることに関しては、前の方がおっしゃっているように、図的な考察から対処できますし、正弦定理の式には余弦定理に出てこない外接円の半径が含まれていますね。正弦定理は外接円の半径と三角形の角・辺の長さを結びつける、という意味で重要な式なわけです。 このような(外接円の関係しない)問題で正弦定理を用いる場合の最大の利点は、二乗の計算をしなくても答えが出せる、ということです。辺の長さに根号が含まれているときは、二乗の計算をしないと鈍角か鋭角かの判断が難しいかもしれませんが、それでも余弦定理を用いるよりも計算量は少なくて済むことが多いのです。 あと、これはちょっと受験テクニック的な話ですが、センター試験の様な形式のマーク試験の場合、例えば正弦定理から60度と120度の2つの答えがでてきた場合はマークの形(2桁か3桁か)からどちらが答えか判断できてしまいまうので、余弦定理を使うよりもだいぶ短い時間で解答できます。