質問: dをデデキント環としてkをその商体、l/kを有限次分離拡大、oをdのlでの整閉包とするときoがデデキ dをデデキント環としてkをその商体、l/kを有限次分離拡大、oをdのlでの整閉包とするときoがデデキント環となることを示したいです。 oの0でない素イデアルbの極大性について教科書には p=b∩dとするとpはdの素イデアルとなります。 またo/bは体d/pの拡大環となります。故にo/bが0でない素イデアルを持つとするとo/b∩d/pはd/pの0でない素イデアルとなり矛盾するからo/bは体となる。 という証明が載っていました。ここで疑問があります。 o/bが体でないと仮定すると o/bが {o/b≠j≠{0},1∈o/b-j}となるような 素イデアル j を持つから j∩(d/p) は d/pの0でない素イデアルとなり d/pが体である事に 矛盾するから o/bは体となる。 と言いたいのですがj∩(d/p)≠0と言える理由が分かりません。どなたか教えてください。 一年ほど前にこの証明を教えていただき、納得したのですが再度まとめていてこの部分が引っかかりました。
回答: dをデデキント環 kをその商体 l/kを有限次分離拡大 oをdのlでの整閉包 bをoの0でない素イデアル p=b∩d o/b≠j≠{0} だから j⊃b⊃p j≠b⊃p だから x∈j-b⊂o⊂l x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(0)=0 (a(k)∈d) となる x,{a(k)}_{k=0~n-1} がある a(0)∈(j-b)∩d=(j∩d)-p だから a(0)+p∈j∩(d/p)≠{0} ∴ j∩(d/p)≠{0}