質問: 集合の証明について この問題をベン図を使わずに証明することはできますか? 集合aと集合bがある。 「aub=a」⇔「bとaの補集合は排他的(bとaの補集合の共通部分は空集合)」 左から右と右から左の証明ってどうやってやるんですか?
回答: 「a∪b=a」⇔「b∩a^c=φ」 定義に従って順番にやればいいだけ ちなみにベン図を使うだけのは,証明には まったくなっておらず「説明」でしかない ものすごくレポートっぽいけど ここまで基礎すぎると,これだけわかってもだめかも・・ ←の証明 a∪b ⊃ a は明らか つぎに a∪bの任意の元 a をとる. aはaの元かbの元である aの元ではないとする(a∈ a^c) このとき,aはbの元である つまり,a ∈ b∩a^c これは b∩a^c=φ に反する したがって,a∈ a よってa∪b ⊂ a したがって a∪b=a →の証明 b∩a^cがφではないとすれば ある元 x ∈b∩a^c が存在する よって, x ∈b∩a^c ⊂ b ⊂ b∪a = a これは x ∈b∩a^c ⊂ a^c に矛盾 したがって b∩a^c=φ