質問: 二次方程式 共通解の問題 2つの二次方程式、x^2+2mx+10=0、x^2+5x+4m=0がただひとつの共通な実数解をもつとき、定数mの値とその共通解を求めよ。 共通解をαとおいて、αと定数mの連立方程式を解いて出た答えの、m=5/2、α=2をなぜそのまま答えとしてはいけないのか、その理由を教えてください。 答えはmが-7/2、αが2。 m=5/2を代入したら判別式が<0になるからとかそういうことは聞いてません。 ちゃんとした理由がほしいので詳しい回答お願いします。
回答: >2つの二次方程式、 x^2+2mx+10=0 (1) x^2+5x+4m=0 (2) がただひとつの共通な実数解をもつとき、定数mの値とその共通解を求めよ。 解に対する条件は2つです。 1)(1)、(2)が実数解をもつ 2)(1)、(2)が唯一の共通解をもつ 最初に考慮すべきは1)です。この条件下に共通解を求めるべきです。 「解答」 (1)の実数解条件 d=m^2-10≧0 m≧√10またはm≦√10 (3) (2)の実数解条件 d=25-16m≧0 m≦25/16 (4) (3)、(4)より m≦-√10 (5) (1),(2)が唯一の共通解をもつ条件: 共通解をαとするとこれは(1)、(2)を満たすので α^2+2mα+10=0 (6) α^2+5α+4m=0 (7) (6)-(7): 2mα+10-5α-4m=0 (α-2)(2m-5)=0 (5)の条件下において 2m-5≠0 よって α=2 これを(6)または(7)に代入して m=-7/2 これを(1)、(2)に代入して (1):x^2-7x+10=(x-2)(x-5)=0 x=2または5 (2):x^2+5x-14=(x-2)(x+7)=0 x=2または-7 たしかにx=-2を唯一の共通解に持つ。