質問: rc回路の過渡応答について 抵抗rに生じる電圧vrを電荷qであらわすとvr=ri=r(dq/dt) またコンデンサの両端に生じる電圧vcは同様にqを用いて vc=1/c∮i dt=1/c∮(dq/dt) dt=1/c∮ dq=q/c ここからe=vr+vcにより e=r(dq/dt)+q/cになるのですが、ここからqを求めたいのですが 計算のやり方がわかりません。 どなたか、出来るだけ細かく説明していただけませんか。 よろしくお願いします。
回答: >e=r(dq/dt)+q/c [教科書的方法] q=ec+q'と変数変換する。 ecは定数なのでdq/dt=dq'/dt e=r(dq'/dt)+(ec+q')/c 両辺からeを引いて 0=r(dq'/dt)+q'/c dq'/dt=-q'/(rc) 変数分離する。左辺にq',右辺にtを集める。 dq'/q'=-dt/(rc) 両辺を積分して ∫dq'/q'=-∫dt/(rc) log(q')=-t/rc+k kは積分定数 対数を指数関数に直す。 q'=exp(k-t/rc) q=ec+q'と置いたので, q=ec+exp(k-t/rc) =ec+q0*exp(-t/rc) q0は初期値で決まる定数 t=0のときq=0であったのなら, q=ec{1-exp(-t/rc)} [目の子的方法] 一階の微分方程式なので, 解は指数関数になることが分かっている。そこで q=q1+q2*exp(-t/τ)と仮定する。 τは時定数,q1,q2は初期値や電源条件で決まる定数。 微分方程式 e=r(dq/dt)+q/c に代入する。 e=-r*q2*/τ*exp(-t/τ)+q1/c+(q2/c)*exp(-t/τ) 変形して [1/c-r/τ]*q2*exp(-t/τ)+[q1/c-e]=0 これが任意のtについて成り立つので, 定数項[q1/c-e]=0かつ exp(-t/τ)の係数[1/c-r/τ]=0である。 これよりq1=e*c,τ=rcとなる。 よって, q=e*c+q2*exp{-t/(rc)} q2は初期値で決まる定数。 t=0のときq=0であったのなら,q2=-e*c q=e*c*[1-exp{-t/(rc)}]