質問: 微分方程式 微分可能な関数f(x)が, ∫[0~x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0~x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をf(x), 右辺をg(x)とおくと, f(x)=g(x) ⇔ f'(x)=g'(x) かつ f(a)=g(a)となるような定数aが存在するー(※) f(0)=g(0)=0より, (※) ⇔ f'(x)=g'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0~x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0~x]+∫[0~x]f(x-t)dt=-xf(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+f(x)-f(0)=3x^2-6x+1+∫[0~x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき, du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.
回答: 惜しい。 最後に初期条件を入れるところに凡ミスあり。 y = (eのx乗)-6x であって、± は要らない。 「u≠0 のとき?」の扱いに悩んでいるのなら、 式を du/dx - u = ... と変形しておいて 両辺に eの-x乗 を掛けてから積分する という手もある。 どうせなら、(1) を微分せずにそのまま f(x) についての微分方程式と見て、 上記の手を使うと、話が早い。