質問: 不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+cの証明で 不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+c を証明ですが、 x=sin(θ)と置換すると、 dx=cos(θ)dθより、 ∫dx/√(1-x^2) =∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ)) =∫cos(θ)dθ/|cos(θ)| ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?
回答: 不定積分で x=sin(θ) と置いた場合、θ=0~π/2 で、cos(θ)>0 だから、√cos^2(θ)=cos(θ) です。 よって、∫cos(θ)dθ/√{cos^2(θ)}=∫dθ=θ=sin^-1(x)+c ですよ。 なお、定積分の場合、x が 0~a で、θ が 0~π/2 なら、cosθ>0 で、√cos^2θ=cosθ ですが、もし、θ が π~π/2 になるなら、√cos^2θ=-cosθ にする必要があります。