質問: 中学数学、図形の問題です。角度θを求めてください。どなたか解答よろしくお願いします。
回答: 左上の頂点をA、反時計回りに頂点を順にB、C、右の尖った頂点を 下からD、E、BDとCEの交点をF、AD上でAから 3 の距離にある点を Gとします。 ・△ABGは直角三角形で、AB=4、AG=3 なので、BG=√(3^2+4^2)=5 よって、BG=GD=5 なので、△GBDは二等辺三角形。GからBDに垂線 を下ろすと、その足はBDの中点になり、それを O とします。 ・O を中心、直径をBDとする円を書くと、∠BAD=90度なので、Aは 円O の円周上にある。 ・∠CAD=∠CBD=60度なので、4点A、B、C、Dは同一円周上にあり、 上記のことから、Cも円Oの円周上にあることが分かる。 ・BD=√(4^2+8^2) = √80 = 4√5. BO=DO=半径= 2√5、△GODについて、GO=√(5^2 -(2√5)^2) =√5 つまり、OGは半径の半分の長さになる。 ・△OBCは、底角が60度の二等辺三角形なので、正三角形。 ・Gを通って BDに平行に右に引いた直線と円Oとの交点をE’とします。 OE’= 円Oの半径 = 2*OG なので、△OGE’ は、3辺が、1:√3:2 の直角三角形で、∠E’OG=60度。なので、∠E’OD=30度。 ・ △OCE’は二等辺三角形で、∠E’OC= 360 - (60+90+60)=150度。 つまり、底角=∠OCE’=∠OE’C = (180-150)/2 = 15度。 ・ ∠BCD=90度で、∠BCO=60度なので、∠OCD=30度であり、 ∠E’CD=∠OCD - ∠OCE’= 30 - 15 = 15度。 よって、弧DE’に対応する円周角は、15度と分かります。 ・Gを通って BDに平行に右に引いた直線の上の動点E’’を考えて、 ∠DAE’’=15度となるような点がEになるわけですが、E’’=E’の 時に限り、∠DAE’’=∠E’CD=15度、となります。 つまり、元の図で ∠DAE=15度ということは、E=E’となっているということで、結局、 点Eも円Oの周上にあると分かります。 ・すると、△OEFについて、 ∠EFD=∠OEF +∠EOF =15+30 = 45度。 つまり、θ=45度となります。