質問: アフィン空間 集合 一次結合 アフィン空間について調べている際に、線形空間は、任意の一次結合について閉じていなければならないが、 アフィン空間は、係数の和が1である場合にだけ閉じていれば良い。 つまり線形空間1はアフィン空間である。 という説明がありました。 一次結合について閉じていなければならないというのは、 (vを実数上の線形空間とし、rを実数事全体とすると) vのr個のベクトルa1,・・・arの線形結合は k1a1+・・・krar (k1,・・・kr∈r) rは実数全体なので、閉じているということは理解できます。 係数の和が1ということは、k1+・・・kr=1ということですよね。 なぜ、係数の和が1の線形空間はアフィン空間となるのでしょうか? ちなみに、アフィン空間はユークリッド空間から長さや角度などと言った計量の概念を取り除いた空間であると認識しています。
回答: 係数の和が 1 の一次結合について閉じている 空間がアフィン空間である理由は、 何故も何も、それがアフィン空間の定義だからです。 アフィン空間とは、大雑把な話、 部分線型空間を平行移動したような物ですから、 計量は、定義されていても構いません。 線型空間に、計量がある場合も無い場合もある のと同様です。 ユークリッド空間から計量を取り去ったら、 残るのは、ただの有限次元ベクトル空間ですよ。