質問: 連続関数が有界閉区間上で可積分であることや、連続関数列の広義一様収束列の極限関数が、連続であることは証明なしで用いてよい。
回答: (1) 部分積分から、 an]=(-f(2π)+f(0)+∫[0→2πcos(nx))dx)/n なので、三角不等式から、 |a[n]|<=C/n ただし、 C=|f(2π)|+|f(0)|+∫[0→2π]|f'(x)|dx と置けば良い。 fはR上のC^1級実数値関数なので、fの導関数f'は閉区間[0, 2π]上連続なので、 |f'(x)|は上に有界な(一様)連続関数となり、∫[0→2π]|f'(x)|dxはRIemann可積分であることに注意する。 (2) K⊂Rを任意のコンパクト集合(=有界閉集合(Heine-Borelの定理から))とする。 すると、微積分学の基本定理より、 fn=∫[0→x]f[n]'(y)dyなので、 fn-∫[0→x]g(y)dy =∫0→x-g(y))dy となる。 すると、三角不等式から、 |∫0→x-g(y))dy| <=∫[0→x]|f[n]'(y)-g(y)|dy <=sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}・∫[0→x]dy =x・sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|} f[n]'(x)がg(x)にR上で広義一様収束するので、 lim[n→∞]sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}=0 ゆえに、 sup{x∈K||∫0→x-g(y))dy|} <=μ(K)・sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|} →0 (n→∞) ただし、μ(K)はKの面積であり、Kは有界閉集合なので、μ(K)<∞であることに注意。 はさみうちの原理から、 limn→∞] sup{x∈K||∫[0→x-g(y))dy|}=0 となる。 (3) |a[k]sin(kx)|<=|a[k]|<=C/k^{3} (足されるxの関数がxに依存しないkの関数で上から押さえられていることがポイント) であり、 Σ[k=1→n]C/k^{3}<∞である。 したがって、WeierstrassのM判定法から、 命題が従う。