質問: 正方形のタイルを図のように1番目、2番目、...とならべていくとき、 n番目に必要なタイルは何枚になりますか? よろしくお願いします
回答: 添付している図を見て下さい。 これらは 1番目 から 4番目 までの図です。 (1) タイルを太線の部分で切り離して、色分けしているような4つのパーツに分割します。 (2) 4つのパーツを並べ替えて、大小2つの正方形を作ります。 (3) 大きい方の正方形に着目すると、 1番目では 1×1=1枚 2番目では 2×2=4枚 3番目では 3×3=9枚 4番目では 4×4=16枚 です。これより n番目では n×n=n^2枚 である事が分かります。 (4) 小さい方の正方形に着目すると 1番目では 0×0=0枚 2番目では 1×1=1枚 3番目では 2×2=4枚 4番目では 3×3=9枚 です。これより n番目では (n-1)×(n-1)=(n-1)^2枚 である事が分かります。 (5) 以上から必要なタイルは 1番目では 1+0=1枚 2番目では 4+1=5枚 3番目では 9+4=13枚 4番目では 16+9=25枚 です。これより n番目では n^2+(n-1)^2 =n^2+n^2-2n+1 =2n^2-2n+1枚 であることが分かります。 従って以上から答えは 2n^2-2n+1 枚 です。 以上です。