質問: 度々訂正を被ったことを深くお詫び申し上げます。 [質問] △ABCにおいて、AB=4,AC=3,∠BAC=60°とする。また、三角形ABCの外接円をKとする。このとき、 BC=√13であり、△ABCの面積をS,外接円Kの半径をRとすると、 S=3√3, R=√39/3である。 (1)点Bにおける円Kの接線と点Cにおける円Kの接線を交点をDとし、直線ADと辺BCの交点をEとする。また、接線BD上に点Bに対して点Dと反対側に点Fをとる。 (図参照) (i)円Kの中心をOとすると、∠BOC=120°だから∠BDC=60°となり、BD=CD=√13である。 (ii)∠ABF=∠BCAだから, sin∠ABD=6/√39となる。 したがって△ABDの面積とT1とすると、 T1=4√3 となる。 同様にして,△ACDの面積をT2とすると, T2=9√3/4となる。 以上より, BE:EC=16:9を得る。 とありますが、∠ABDと△ACDの面積が求めれなくて困ってます。 接弦定理を使うのはわかってますが、答えが出ませんでした。 解説お願いします。
回答: #3です。 その後いろいろ考えてみたのですが、まあ正弦余弦定理を知らなくても解けるのか、と思い直し再び筆をとった(=キーボードに向かった?)しだいです。 まず#2も言っているように、BD=DC(=BC=√13)を確認というか、証明しましょう。円の外の点から円に向かって接線を引いたとき(内側の点からは引けないけど)、接線は2本引けますが、それの長さが等しい(厳密には、円外の点から接点までの距離が等しい)というのは、自明ですが、これを自明として処理できるか、それともきちんと証明をつけないといけないのか、この辺は私は現役ではないのでよくわかりません。履修レベルによっても変わってくるかもしれません。 欲しい結論は BD=√13 です。 次に△ABDにおいて底辺をBDとすると高さはどれ? ということです。文中にsinが出てきているので、sinが何ぞやということはお分かりいただいているという前提で話を進めますが、高さに相当するのは、ABsin∠ABDかADsin∠ADBです。わかっている方を使えばいいのですが、話の流れからすると、ABsin∠ABDを使えといっているようですね。 sin∠ABDとsin∠ABFが等しいことは、どうなのかな。式的には sin(π-θ)=sin(θ)なんですけど、このことお分かりいただけているのでしょうか。 △ABDについては底辺も高さもわかったので面積は計算できますね。 △ACDは辺CDを底辺として・・と思ったのですが、まともにやると、加法定理の理解が必要になります。むしろ△ABC+△BDC=△ABD+△ADCから算出する方が楽かもしれません。 以上私の早とちりの弁明も含めて回答とします。