質問: この関数fは単射であるが全射でないことを示せ。 カントールの定理 r^2=r×rの濃度も連続体濃度で この関数fは単射であるが全射でないことを示せ。 カントールの定理 r^2=r×rの濃度も連続体濃度である|r|= א 証)1対1対応r⇔j=(0,1)を作ることができてr^2⇔j^2を引き起こす。したがって再帰単射列 1:1 f 1:1 x → (x,0) r^2 ⇔ j^2 → j ⇔ r → r^2 が作れるので|r^2|= אである。 ただしここでf: j^2 → jはx,y∈jを無限10進数より、 x=0.x_1x_2・・・, y=0.y_1y_2・・・と表して x,y∈j → 0.x_1y_1x_2y_2・・・∈jでされる写像。 とあるのですが、最後の0.x_1y_1x_2y_2とあり、どうやったら全射でなく、単射であるのか示したらいいのか分からなくなってしまいました。数学に詳しい方がおりましたらご教授してくださると助かります!
回答: no.1 さんが注意されているように,(0,1) の数は無限少数表現(例えば,0.123000・・・は0.122999・・・とする)を使うことを確認しておかないといけません。 そうすれば,簡単だったはずです。 この確認のもとで,(0,1)の数を z = 0.a_1 a_2 a_3 a_4 ・・・と表すと,各 a_n はzに対して一意的に決まります。 f(x,y) = z となる x, y は zから x = 0.a_1 a_3・・・,y = 0. a_2 a_4 ・・・ と一意的に決まります。すなわち f : j^2 → j は単射です。 z = 1/99 = 0.010101・・・ は f :j^2 → j の像に含まれません(x = 0.000・・・は (0,1) に含まれない)。 すなわち f は全射ではない。