質問: 漸化式 よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=2、an+1=an/(1+an) (n=1、2、3、......) [解] 条件により a1=2/1、a2=2/3、a3=2/5、a4=2/7 よって、一般に an=2/(2n-1) ・・・・・・(1) となることが推測される。 一般項が(1)である数列{an}が、条件を満たすことを示す。 [1] (1)でn=1とおくと a1=2 [2] (1)をan/(1+an)に代入すると an/(1+an)=2/(2n-1)÷{1+2/(2n-1)} =2/(2n-1)÷(2n+1)/(2n-1) =2/(2n+1) =2/{2(n+1)-1} よって、an+1=an/(1+an) が成り立つ。 [1]、[2]から、求める一般項は an=2/(2n-1)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、a1は初項、anは第n項、an+1は第n+1項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 [2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。
回答: 1/a[n+1]=1+1/a[n]