質問: 調和測度の性質 Ahlforsを読んでいます。 領域Ωと境界C1~C3に対応する調和測度w1~w3が定まっているとします。
回答: 質問に回答する前に以下をお読みください。読んでみて納得してもらえるならばよし、疑問点があるならば返信ください。 第4章 6 調和関数 6.1 定義と基本的な性質 の(60)式の直前に In a simply connected region the integral of *du vanishes over all cycles, and u has a single-valued conjugate function v which is determined up to an additive constant. In the multiply connected case the conjugate function has periods ∫_{γ_i} *du=∫_{γ_i} (∂u/∂n)|dz| corresponding to the cycles in a homology basis. という記述があります。 単連結の場合は、*du の積分が 0 になって、よって、共役調和関数が存在するが、多重連結の場合は、各サイクル γ_i に対する *du の積分が 0 になるとは限らず、一価な共役調和関数は存在するとは限らない、ということです。換言すれば、 ∫_{γ_i} *du がすべて 0 ならば、一価な共役調和関数が存在します。 Ωにおける調和関数ω=λ_1ω_1+λ_2ω_2+...+λ_{n-1}ω_{n-1} に対し、 ∫_{C_i} *dω は 0 とは限らないが、もし、∫_{C_i} *dω=0 (i=1,2,...,n) であるならば、ωは一価な共役調和関数をもちます。 したがって (13) λ_1α_{1j}+λ_2α_{2j}+...+λ_{n-1}α_{n-1,j}=0 (j=1,...,n-1) は、ω=λ_1ω_1+λ_2ω_2+...+λ_{n-1}ω_{n-1} が一価な共役調和関数をもつための条件です。 しかしながら、少し前に確認したように、(13) は λ_1=λ_2=...=λ_{n-1}=0 のときしか成り立たず、よって、 λ_1ω_1+λ_2ω_2+...+λ_{n-1}ω_{n-1} が一価共役調和関数をもつ ⇔ λ_1=λ_2=...=λ_{n-1}=0 ※ 線形代数の理論が出てくるのはこの続きの部分であり、ここまでは線形代数は関係ないです。