質問: cos合成について xが実数、y≧0、x^2+y^2=2のとき2x-5yの最小値、最大値を求めよ という問題で、x=√2cosθ、y=√2sinθとおいて解きたいのですが 解説ではcosの合成で解いています。 私はsinの合成で解いたのですが答えが合いません。 ちなみに答えは最小値-√58 最大値2√2です。 この問題はsinの合成では解けないのでしょうか。 解けるなら解説をお願いします。 また、cosの合成を使った方がいい場合はどのようなときなのでしょうか。 質問が多くてすみません。回答お願いします。
回答: 「sinの合成」ってよくわかりませんが、 sinの加法定理を使うという意味なら z = 2x - 5y, x=√2cosθ、y=√2sinθ (θ=0~π)とすし z = 2√(2)cosθ-5√(2)sinθ=asin(θ+b) とすると asin(θ+b)=acosθsinb + asinθcosb なので 2√(2)=asinb, -5√(2)=acosb (asinb)^2 + (acosb)^2 = a^2 = (2√(2))^2 + (-5√(2))^2 = 58 a = √(58) sinb=5√(2)/√(58), cosb=-5√(2)/√(58) つまり b は第2象限 以上から z = √(58)sin(θ+b) θ+b は第2~4象限で変化するので、最小値は -√(58) 最大値はθ=0 だから z= 2√(2)