質問: 半順序集合 X,Y の上部集合全体のなす集合族は, X,Y の位相です。 このとき,写像 f : X → Y に関して f は連続 ⇔ x, y ∈ X が x ≤ y をみたすなら,f(x) ≤ f(y) となる を示してください。 ※半順序集合 X の部分集合 U が x ∈ U かつ x ≤ y ∈ X ⇒ y ∈ U をみたすとき,U を上部集合といいます。
回答: (⇒) x∈Xに対してU:={a∈Y|f(x)≤a}はYの上部集合 fは連続なのでf−1(U)はXの上部集合 f(x)≤f(x)よりf(x)∈Uなのでx∈f−1(U) x≤yよりy∈f−1(U) f(y)∈Uよりf(x)≤f(y) (⇐) UをYの上部集合とする。 x∈f−1(U),x≤yとする。 f(x)≤f(y),f(x)∈U,U:上部集合よりf(y)∈U よってy∈f−1(U)となるためf−1(U)はXの上部集合 従ってfは連続