質問: minamino です、高校数学質問1 東大有名問題 こんにちは、宜しく御願いします。 問題 何卒、宜しく御願い致します。
回答: 円周率πの定義は、 π=円周の長さ/直径 なので、 これを基準にして、πの値を昔の人は求め ていきました。 半径rの円に内接する正n角形の周の長さは 2nrsin(π/n) なので、 半径rの円に内接する正n角形の周の長さより、 円周の長さの方が大きいので、 2nrsin(π/n)<2πrとなります。 従って、 nsin(π/n)<π となります。 nに具体的な数字を代入します。 n=12のとき、半角の公式から、 12sin(π/12) =12sin(π/3-π/4) =3(√6-√2) となる。 (√6-√2)^{2}-(3.1/3)^{2} =8-4√3-(3.1^{2}/9) =(62.39-36√3)/9 =(√3892.5121-√3888)/9 >0 なので、 (√6-√2)^{2}>(3.1/3)^{2} 従って、 √6-√2>3.1/3 ゆえに、 3(√6-√2)>3.1 従って、 3.1<3(√6-√2)=12sin(π/12)<π となる。