質問: 微分方程式について 次のような微分方程式があります d^2 x/dx^2 - (dy/dx)(4+x)/x +y*(6+2x)/x^2 =0 問題は以下です y=ux^2(uはxの関数)がこの微分方程式の解となるために uの満たすべき微分方程式を求めなさい。 要は u''=u'=u になればいいということじゃないのでしょうか ですがこれだと微分方程式になりません もしくはこれが解答でいいのでしょうか? ヒントのみでもいいので教えてください。
回答: y が u と x の函数、y=ux^2 で表わせるとして、元の微分方程式の y にこれを代入し y を消去し、u(x) の微分方程式を作れという意味です。 元の式は、d^2y/dx^2 - {d(ux^2)/dx}(4+x)/x +(ux^2)・(6+2x)/x^2 =0 ですね? そうだとして進めます。 d(ux^2)/dx=x^2・(du/dx)+2・ux d^2(ux^2)/dx^2=d/dx{x^2・(du/dx)+2・ux}=x^2・(d^2u/dx^2)+4x・(du/dx)+2u x^2・(d^2u/dx^2)+4x・(du/dx)+2u -{x^2・(du/dx)+2・ux}・{(4+x)/x} +(ux^2)・(6+2x)/x^2=0 x^2・(d^2u/dx^2)+(4x-x^2)・{(4+x)/x}・(du/dx) +2u-(2・ux)・{(4+x)/x}+(ux^2)・(6+2x)/x^2=0 x^2・(d^2u/dx^2)+(4^2-x^2)・(du/dx)=0 となりますね。 これから u(x) を求め、y=ux^2 を求めようというのです。