質問: 数研出版 メジアン 50番 数研出版のメジアンのp17の50番の(2)の解き方(解答)がわかりません。 (1)はすぐに解けたのですが、(2)は見当がつきません。数時間考え込んでもよくわからなかったので解答をおしえてほしいです。よろしくお願いします。 問題を下に書いておきます。(xの2乗の表記の仕方がわからなかったので下では(xの2乗)と表記しました。) 2次方程式a: (xの2乗)-x-a=0 b: (xの2乗)-ax-1=0について (1)aが異なる2つの実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。 (2)(1)のとき、aの2つの解の間にbの解がただ1つあるようなaの値の範囲を求めよ。
回答: f(x)=x^2-x-a=0、g(x)=x^2-ax-1=0とする。 f(x)=0の2つの実数解をα、β、g(x)=0の2つの実数解をm、nとすると、グラフを書くと分ると思うが、f(m)*f(n)<0であると良い。 m+n=a、mn=-1 ....(1) である事から、f(m)*f(n)=(mn)^2-mn*(m+n)-a*(m^2+n^2)+mn+a*(m+n)+a^2<0 ....(2) (2)に(1)を代入して整理すると、a*(a-1)^2>0 であるから、a>0、a≠1. 同じことだが、g(α)*g(β)<0でも良い。こっちで計算してみて。 他には、x≠0より、y=a=x^2-x=x-(1/x)の交点を考える方法もあるが、おそらく、y=x-(1/x)のグラフを書けないだろうから、止めとく。