質問: kkt条件について教えてください。 kkt条件はどのようなものかわかるのですが、具体的な数値例がわかりません。 以下の2次計画問題のkkt条件を教えて下さい。 最小化:x1^2+x2^2 (x1の2乗+x2の2乗) 条件:x1+2x2=1 ,x1≧0,x2≧0
回答: ラクランジュの未定乗数法(の拡張版)で極値問題を解く話ですね。 > kkt条件はどのようなものかわかるのですが、 と仰っているけれど、本当にお分かりであれば自明のはずですぜ? minimize f(x1,x2) subject to g(x1,x2)=0, p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0 において、解の必要十分条件は、 l(x1,x2,a,b,c) = f(x1,x2) + a g(x1,x2) + b p(x1,x2) + c q(x1,x2) としたときに、(1)~(5)を全て満たすこと。 ∂l/∂x1 = 0, ∂l/∂x2 = 0 ...(1) ∂l/∂a = 0 ...(2) b p(x1,x2) = 0, c q(x1,x2) = 0 ...(3) p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0 ...(4) b ≧0, c≧0 ...(5) このうち(3)をkkt条件(カルッシュ・クーン・タッカーの相補条件)と呼びます。たとえばb p(x1,x2) = 0 ってのは、bかp(x1,x2)の少なくとも一方が0であることを要求している。これは、「解がp(x1,x2)=0の曲線上にない場合には、b=0でなくちゃいけない」ってことです。 f(x1,x2)のグラフを等高線で描き、様々な(x1,x2)におけるf(x1,x2)の最大傾斜方向を描き込んで、さらにg(x1,x2)=0, p(x1,x2)=0, q(x1,x2)=0の曲線も重ねて描いてみると、(1)~(5)の意味が見えて来るでしょう。