質問: z,wを複素数とします.このとき,微分方程式dy/dz=yを用いて,指 z,wを複素数とします.このとき,微分方程式dy/dz=yを用いて,指数法則 e^z・e^w=e^(z+w) を示せという問題なのですが,どのようにしたらいいでしょうか? dy/dz=yを満たす冪級数を y=σcn・z^n (cn:定数) とすると,y=co・e^zになるところまでは出来たのですが, そこから積についてどのように示したら良いかわかりません. よろしくお願いします.
回答: 微分方程式 dy/dx = y の解が y = c e^z であることを既知としてよいなら... f(z) = e^z・e^w - e^(z+w) と置くと、 df/dz = f が成り立つから、f(z) = c e^z であるが、 f(0) = 0 だから、結局 f(z) ≡ 0。