質問: 二次関数の最大と最小 今晩は 参考書の説明ではよく分からないので教えてください。 ---------------------------------------------------------------------- 例題: 二次関数y=x^2-2x+2のa≦x≦a+2に於ける最大値を求めよ ---------------------------------------------------------------------- 解説: 下に凸型のグラフでの最大値を求める問題で、区間の両端が決め手となる。 関数をy=f(x)とおくと、f(a)=f(a+2)を満たすaの値が、場合分けの境界値になる y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1 xの変域a≦x≦a+2の幅は2で一定 f(x)=x^2-2x+2とおくと f(a)=a^2-2a+2 f(a+2)=a^2+2a+2 f(a)=f(a+2)とすると、a=0 よって、 a<0のとき x=aで最大値a^2-2a+2をとる 0≦aのとき x=a+2で最大値a^2+2a+2をとる ---------------------------------------------------------------------- このようにありました。 ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。 xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大 値の時の関数を等しくするのですか? 宜敷御願い致します
回答: (最大値の時の関数)、(最小値の時の関数) と書いてありますが、 これは 、(関数/変数)と見ると混乱します。 --------- f(x)=(x^2)-2x+2 に、 x=0を代入すると、yの値は、f(0)=2 x=1を代入すると、yの値は、f(1)=1 x=2を代入すると、yの値は、f(2)=2 と表現されます。 各々の<数値/定数>を書く代わりに、 x=a を代入して、 f(a)=(a^2)-2a+2 ← <数値/定数> x=a+2を代入して、 f(a+2)=(a^2)+2a+2 ← <数値/定数> f(0),f(1),f(2)が数値/定数であると同様に、 f(a)もf(a+2)も数値/定数と見るのが、 自然な流れです。 曲線y=g(x)上の点pのx座標がaとき、 y座標は、g(a)で、 p(a, g(a))と表現されのは判ると思います。 このとき、g(a)が(関数)とは感じないはずです。 ただし、f(a)とf(a+2)を(関数)と見ても良いですが、 判り難く、微妙(ニュアーンスの違い)ですから、 今は(今回の問題では)、数値と見るのが賢明です。 ニュアーンスの違いがあるため、 テクストには明示的に書かれません。 関数/変数と見えるか、数値/定数と見えるか、 は無意識です。 多数の問題をこなす内に無意識の世界で、 数式を処理できるようになります。 無理に意識するのもスマートではないと思います。 --------------- f(a)、f(a+2)を数値/定数と見ないと、 解説の意味は判りません。 数値/定数と見えれば、 解説は自明と思えるはずです。 f(a)=f(a+2)の意味は、 ふたつのyの値が等しい。 ふたつのyの値が等し時、当然ですが、 x=a、x=a+2で同じ最大値をとります。 そのaが幾らであるかの計算が、 f(a)=f(a+2) (a^2)-2a+2= (a^2)+2a+2 a=0 です。 ● ← (a^2)-2a+2 ● ← (a^2)+2a+2 ● ● ● ● ● ↑ ↑ a a+2 ゼロ (1) 区間[a,a+2]が、これより少しでも右にずれると、 ゼロ<a となって、 x=a+2 で 最大値 f(a+2)=(a^2)+2a+2 。 (2) 区間[a,a+2]がこれより、少しでも左にずれると、 a<ゼロ となって、 x=a で 最大値 f(a)=(a^2)-2a+2 。 a=ゼロ は場合わけの境界ですから、 (1)(2)どちらに属しても良いとなります。 最小値の件は、等号で結ぶのではなく、 不等式を解く事になるので割愛しますが、 頂点が関与して境界は-1、1となるので、 3通りの場合分けになります。