質問: この図形問題の解法を教えてください 三角形abcがある。(ab=5,bc=6,ca=4)この三角形に外接する円oがある。また、辺abと辺caと円oに内接する円pがある。この円pの半径を求めなさい。 以上です。よろしくお願いいたします。 ペイントで作成した画像が添付できませんでした;;すみません。
回答: 概略です。 ●図を参照してください。 △abcの内接円の中心をi,半径をr △abcの外接円の中心をo,半径をr 辺abと辺caと円oに内接する円の中心をp,半径をp 辺abと円iとの接点をd 辺abの中点をm 辺abと円pとの交点をe 円oと円pの接点をq oから線分peに引いた垂線とpeとの交点をf ●準備i 余弦定理より、cosa=1/8 三角比の相互関係より、sina=(3/8)√7 正弦定理より、r=(8/7)√7 面積の公式より、△abc=(15/4)√7 面積と内接円の半径,辺の長さの関係より、r=(1/2)√7 内接円の接点と頂点の距離の関係から、ad=(3/2) mがabの中点なので、am=5/2 ●準備ii △aid∽△apeより、ad:ae=id:peで、 ad=3/2,id=r=(1/2)√7,pe=pより ...ae=(3/7)√7p oはabの垂直二等分線上にあるので、直角三角形aomで am=5/2,ao=r=(8/7)√7より ...om=(9/14)√7 ●直角三角形ofpについて (1)opについて ...円oと円pが接することから、op=oqーpq=(8/7)√7-r (2)ofについて ...of=me=ae-am=(3/7)√7p-(5/2) (3)pfについて ...pf=pe-fe=peーom=p-(9/14)√7 op^2=of^2+pf^2 から、pについての方程式をp>0で解き ...p=(8/9)√7