質問: 3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1におけ 3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1における最大値を求めたい。 まず、yはx=(ア)のときに極大値(イ)をとり、x=(ウ)のとき極小値(エ)をとり、さらに(ア)以外にy=(イ)となるようなxの値はx=(オ)である。 そこで、求める最大値をaの関数と考えてm(a)で表すと次のようになる。 a≧(カ)のとき m(a)=(キ) (カ)>a≧(ク)のとき m(a)=(ケ) (ク)>a>0のとき m(a)=(コ) という問題なんですが、(ア)~(オ)までは分かったんですが、 場合わけする部分がどうすれば解答にたどり着くか分かりません。 分かる方解説よろしくお願いします。 解答 (ア)a/3(イ)(4a^3)/27(ウ)a(エ)0(オ)4a/3 (カ)3(キ)a^2-2a+1(ク)3/4(ケ)(4a^3)/27(コ)a^2-2a+1
回答: dy/dx=3x^2-4ax+a^2 =(3x-a)(x-a) =0 とおくとx=a/3、a ですから、極大値はx=a/3のとき、極小値はx=aのときですね。ここで、この関数のグラフを書いてみましょう。原点を通り、x>0の領域で極大および極小値を持ちます。 問題になるのは0<=x<=1の領域ですから、x=1の直線がこのグラフとどういう位置関係にあるかで最大値が変わってきますよね? 例えばa/3>=1であればx=1の時が最大値、a/3<1<=aであればx=a/3のときが最大値というように。 グラフ中のいろいろな位置にy軸と平行な直線を書きこんで、どこが最大値になるか考えてみて下さい。