質問: 傾斜面での単振動 水平面acから30°傾いた斜面abに沿って、質量の無視できるバネの一端を斜面下端のついたてに固定し、他方の端に大きさの無視できる質量mの物体aを固定した。 バネは自然長からlだけ縮んでつりあったこの位置を原点oとする。 重力加速度をg、バネ定数をkとする。このとき斜面に沿って上方にdだけひっぱって手を離したときの角振動数を求めなさい。 自分は角振動数を求めるときは、運動方程式をたてて加速度について解き 加速度=-ω二乗(振動の中心からの変位-振動の中心) とくらべて解いてたのですが、今回運動方程式を立てたら加速度をa として ma=mgsin30-kd という式となりこれをaについて、解いて式を比べようと思ったのですが、解答ではmgsin30を無視してma=-kdの式についてくらべていました。 単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。 どうか教えてくださいよろしくお願いいたします。
回答: まず,ばねが自然長のときの位置を原点,斜面下向きを正としてx軸を取って運動方程式を立ててみると,加速度をaとして ma = mgsin30-kx となります(上向き正としても,mgsin30にマイナスの符号がつくだけですね).これを変形すると ma = -k(x-(mgsin30)/k) ですから,x=x-(mgsin30)/kとしてやれば(座標を変換してやるということですね.aはxの2階の時間微分です.xを時間で2回微分しても結局,定数項の時間微分が消えてxの2回微分になり,座標を変換してもやっぱり加速度はaのままです) ma = -kx となります.こんな風に,単振動の運動方程式に重力の項が入ってくる場合には,重力の効果を変位に入れ込んでしまうことができます. xを見てみると,力のつり合いの位置でx=0ですね.問題文の「バネは自然長からlだけ縮んでつりあったこの位置を原点oとする」というのは,「重力の影響を変位に押し込んでしまった後の運動方程式で考えなさい」という指示だったわけです.だから,解答の式では重力の項を無視してしまっているのです. ちなみに,「斜面に沿って上方にdだけひっぱって手を離した」という条件は,運動方程式を解く場合に必要になりますが,角振動数を求める場合には使いません.