質問: 微分方程式を使わないと解けない問題は何ですか? 微分方程式を使わないと解けない問題は何ですか? 重力加速度を=9.8m/s^2 とすると 距離を求める公式を作るのに積分が役に立ちます 速さ=9.8時間 速さ'=距離=9.8/2時間^2 これを使えば、50mから落ちると 50=4.9時間^2 時間=3.19秒で地面に激突する、と分かります。 この様にして私は、微分積分の使い方、実用性が分かりました。 同様に、微分方程式での実感として役に立ったと 感じるような、問題を教えてください。
回答: こんにちは。 まず >>> 速さ=9.8時間 速さ'=距離=9.8/2時間^2 これを使えば、50mから落ちると 50=4.9時間^2 時間=3.19秒で地面に激突する、と分かります。 についてですが、積分するときに積分定数をつけるのを忘れていますよ。 また、上方向をプラスとするのが常道ですので、9.8ではなく-9.8を使わないといけません。 加速度 = -9.8 速度 = -9.8×時刻 + 積分定数その1 時刻=0 のときの速度を「初速」と置けば、 初速 = -9.8×0 + 積分定数その1 = 積分定数その1 なので 積分定数その1 = 初速 速度 = -9.8×時刻 + 初速 位置 = -9.8×時刻^2/2 + 初速×時刻 + 積分定数その2 時刻=0 のときの位置を0と決めれば、 0 = -9.8×0^2/2 + 初速×0 + 積分定数その2 なので、 積分定数その2 = 0 >>>同様に、微分方程式での実感として役に立ったと感じるような、問題を教えてください。 ある時刻からその1秒後までに故障する確率が常に1万分の1である機械がたくさんある。 故障ゼロ台からスタートして、故障せずに生き残っている装置の台数が、初期の10分の1になるのは何秒後か。 時刻をtと置く。 生き残っている台数をnと置く。 ある時刻からその1秒後までに故障する確率をλと書く。 時間当たりのnの減少は、nとλに比例し、符号は逆なので dn/dt = -λn と書ける。 dn/n = -λdt ∫1/n・dn = -λ∫1・dt logn = -λt + 定数 n = e^(-λt+定数) = e^定数・e^(-λt) t=0 のときのnの個数をno と置くと no = e^定数・e^(-λ×0) = e^定数 よって、 n = no・e^(-λt) n/no = e^(-λt) 実際の数を当てはめて、 1/10 = e^(-t/10000) -log10 = -t/10000 t = 10000log10 ≒ 10000×2.30 = 23000(秒) 23000秒後までに90%が故障することがわかりました。 これは、理科の各分野で頻出する式です。 たとえば、あまり透明でないガラスを透過する光の減衰とか、放射能の減衰とか、洗浄回数と汚れの残りの関係とか、電気回路の動作スピードの計算とか・・・ (直感的にわかりやすい例としては、ケーキを半分に切り、残りを半分に切り、そのまた残りを半分に切り・・・) 以上、ご参考に。