質問: DをC(複素数)内の領域とします。もし、Dの空出ない部分集合Aで、Dの閉かつ開集合であるようなものが存在すれば実は、A=Dである。 という命題の照明をするとき、 (1)B=D-Aとおくと、BもD内の閉かつ開集合になる。 (2)B≠φ ならば、D=A∪B,A∩B=φとなるので、Dの連結性に反する。 (3)したがって、B=φであり、A=D と書いてあります。が、 (1)でBがD内の閉かつ開になぜなるのでしょうか? そもそも、Dが領域ということは、開で連結なだけで、閉、という条件は持たないのではないかと思います。 よろしくお願いします。
回答: 状況として、DにはC(複素平面)からの相対位相を入れる、という事でいいですね。で、この時『Dの開集合』というのは、 D∩U(UはCの開集合)と書けるもの、『Dの閉集合』というのは、D∩W(WはCの閉集合)と書けるもの、となるのでした。 で、Aが『Dの開集合』である時、A= D∩U(UはCの開集合)となるUが存在し、この時 D\A = (C\U)∩Dとなって(確認しましょう)、C\UはCの閉集合ですから、D\Aは確かに『Dの閉集合』となります。 で、先程の例で、D = {z ∈ C | |z| < 1 または |z| > 2} に対してC(複素平面)からの相対位相を導入した時、A= {z ∈ C | |z| < 1} はCの開集合で、D⊃Aですから、AはDの開集合です。一方、D\A = {z ∈ C | |z| >2} は、これもCの開集合なので、D\AはDの開集合、従ってA = D\(D\A)はDの閉集合です。あるいは、W = {z∈ C | |z|≦3/2} はCの閉集合で、A = D∩Wなので、AはDの閉集合である、という考え方も出来ます。 このように、今の場合Dが連結でないので、AのようにDの開かつ閉集合であって、Dでも空集合でもないものが存在します。