質問: 漸化式と数列 漸化式 f(k+1)=[{f(k)}^2]/16+3 , f(1)=10 で定まる数列で、 極限値αが存在するとして、αを求めると12,4 さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、 減少数列であることを示すには、 f(k+1)<f(k)が成り立つはずなので、 f(k)-[{f(k)}^2]/16-3>0を解いて 4<f(k)<12が成り立つから よって、f(k)は減少数列である、 で正しいでしょうか?
回答: 4<f(k)<12 から f(k+1)<f(k) を示しただけでは、 4<f(k+1) が示されていないので、 数学的帰納法としては、不十分です。 この部分を補えば、「下有界な減少列は収束する」ことから lim[k→∞] f(k) の存在が言えて、 目論見どおり、α=(α^2)/16+3 に持ち込むことができます。