質問: この問題が分かりません。解説付きでおしえてください
回答: 下図の赤い線のように線分PA、PB、PCを引いて△ABP、△BCP、△CAPを作ります。 このとき、 △ABPは底辺AB、高さPDの三角形なので、面積はAB×PD÷2 △BCPは底辺BC、高さPEの三角形なので、面積はBC×PE÷2 △CAPは底辺CA、高さPFの三角形なので、面積はCA×PF÷2 になります。 そして△ABP、△BCP、△CAPの面積の合計は△ABCの面積に等しくなっているので、 AB×PD÷2+BC×PE÷2+CA×PF÷2=△ABC (AB×PD+BC×PE+CA×PF)÷2=△ABC となります。 更に、△ABCは正三角形なので、AB=BC=CAなので、左辺は (AB×PD+BC×PE+CA×PF)÷2 =(BC×PD+BC×PE×BC×PF)÷2 =BC×(PD+PE+PF)÷2 とでき、結果として BC×(PD+PE+PF)÷2=△ABC...1 が得られます。 一方、下図の青い線のように線分OA、OB、OCを引いて△ABO、△BCO、△CAOを作ると、これらはいずれも合同な二等辺三角形になっています。 (つまり、△ABO≡△BCO≡△CAOが成り立っています) △BCOについて、これは底辺がBCで高さが内接円Oの半径rに等しい三角形と考えることができるので、面積はBC×r÷2となります。 そして△ABO、△BCO、△CAOの面積の合計は△ABCの面積に等しくなっていて、△ABOと△CAOの面積はいずれも△BCOの面積に等しいことから、 (BC×r÷2)×3=△ABC BC×3r÷2=△ABC...2 が成り立ちます。 12より BC×(PD+PE+PF)÷2=BC×3r÷2 が成り立つことが分かるので、両辺を2倍してBCで割ることで、 PD+PE+PF=3r となることが分かります。