質問: この問で(1)はa>0とa<0で場合分けしているんですが、なぜですか?
回答: 任意の実数xに対して、e^[x}>=ax+bが成り立つためには、 関数f(x)=e^{x}-(ax+b)とおいた時、任意の実数xに対して、 f(x)の最小値が0以上であれば良い。 f(x)=e^{x}-(ax+b)について、 f'(x)=e^{x}-a であり、a<0の時は、任意の実数xに対して、f'(x)>0だから、 f(x)は任意の実数xに対して単調増加関数となる。 つまり、f(x)<0となる実数xが必ず存在するので、不適。 a=0の時、任意の実数xに対して、f(x)=e^{x}-b>=0となるためには、b<=0であれば良い。 a>0の時、f'(x)=0となる実数xが存在する。x=log(a) x............log(a).............. f'(x)...-.......0.......+........ f(x).........極小................ f(log(a))=a-alog(a)-b である。 したがって、a>0の時、a-alog(a)-b>=0であれば良い。 まとめると、 a>0かつa-alog(a)-b>=0, a=0かつb<=0 (2) ∫0→1)dx=e-(1/2)a-b-1 である。 領域D={(a, b)|a>0かつa-alog(a)-b>=0}∪{(a, b)|a=0かつb<=0} 上で、e-(1/2)a-b-1の最小値を求める。 k=e-(1/2)a-b-1とおく。 すると、b=-(1/2)a+e-1-k となる。kが最小値を取るとき、e-1-kは最大となる。 (a, b)平面において、直線b=-(1/2)a+e-1-kが、 曲線 b=a-alog(a) と接する時、e-1-kは最大となる。 b=a-alog(a)上の接点を(s, s-slog(s)) とすると、接点(s, s-slog(s))における接線の方程式は、 b=(-log(s))a+s となる。 b=(-log(s))a+s とb=-(1/2)a+e-1-k が一致すれば良い。 (-log(s))=-1/2 かつs=e-1-k である。 したがって、s=e^{1/2}, k=e-e^{1/2}-1 となる。 したがって、最小値はe-e^{1/2}-1 この時のa, bの値は、 a=e^{1/2}, b=e^{1/2}-e^{1/2}log(e^{1/2})=(1/2)e^{1/2} となる。