質問: 数学Cや線形代数に出る「行列」はどのような場面で活用されるのでしょうか? (例) ベクトルや微分積分は物理学で扱われる 複素数は3Dの回転などで使われる etc... よろしくお願い
回答: 行列というのは写像(関数)の一種です。 関数というのは、入力を受け取ったら何かを出力する装置です。 具体的には f(x) = 2x というのは入力xを受け取ったら、2倍して出力する関数です。 これは1つの入力に対して1つの出力をします。 次に、 f(x, y) = 2x + 3y は入力(x, y)を受け取ったら、xを2倍し、yを3倍したものを足して出力します。 これは2つの入力に対して1つの出力を行います。 この調子で、 f(x, y) = (x + y, x - y) を考えると、これはxとyを足した値と、xからyを引いた値の2つを出力します。 すなわち2つの入力に対して、2つの出力をします。 これは縦ベクトル(x, y)'に対して、左から(1, 1 ; 1, -1)を掛けることで得られる関数です。 すなわち関数fというものを行列Aで表現できるということです。(「'」は転置、 「;」は改行を意味している。) すると線形代数に関する1つの考え方は、多入力多出力の関数を扱うということです(よりフォーマルには多次元の関数)。しかし、制限があります。行列が表現できるのは、ベクトルの入力「(x,y)」があった場合は出力ベクトルの成分は「ax + by」しか取りえません。定数項が入ったりは出来ないのです。これが「線形」と呼ばれる所以です。 正比例 f(x) = ax 直線 微分 f(x) = x^2 f'(a) = 2a f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) 高次関数の一次近似 行列 f(x,y) = (ax + by, cx + dy) 多次元 と学んだ後、微分と行列が組み合わさって、多次元の高次関数の一次近似を扱えるようになります(ベクトル解析)。これは物理学の基礎にもなっており(というより電磁気学で生まれた)、あなたが力学に微積を使うと感じるのと同じようにベクトル解析を電磁気学で使います。そしてベクトル解析には線形代数が必需品です。 あと行列はベクトルの拡大・縮小・回転という操作の組み合わせに帰着します。ですから3Dの回転に行列を使うことも当然出来ます。 ハッキリ言って線形代数めちゃくちゃ大事です。