質問: 慣性モーメント 特に円錐の慣性モーメントが出せません。 どのようにすればいいのか教えてください
回答: 私、この問題をやったことがない初心者なんですけど、やってみます。 (重積分も理解していないので、地道にやります。) 軸の周りに、 ς質量×(軸からの距離)^2] という無限の足し算をやればよいんですよね? たぶん、こんな手順でよろしいかと。 底面の半径がr、高さをhと置きます。 頂点から底面に向かう方向の距離(低さ)をxと置きます。 低さxにおける断面(円)の半径をrと置けば、 r=r・x/h ですよね? そして、頂点の座標を(r、x)=(0,0)として、これを基準(始点)として考えます。 円錐の密度はρ[kg/m^3]と置きます。 1. 無限に薄く輪切りにしたときの、半径r、無限に薄い(=厚さdxの)円盤の慣性モーメントを求める。 2. 1で求めた円盤を、x=0からx=hまで足し算(積分)する。 = 円錐の慣性モーメント 1. この円盤の中心からの距離(座標)を、kと置きます。 円盤は、無限に細い(=太さdkの)「円の輪郭」(=円周部分)集まりです。 (厚さはdxですが、計算の途中に書くと煩雑なので、後で掛けます。)※ その、1つの円輪郭の質量は、ρ・2πk・dk これが中心からkの距離にあるので、その1つの円輪郭の慣性モーメントは、 ρ・2πk・dk・k^2 = 2πρ・k^3・dk 半径0から半径rまでの円輪郭の慣性モーメントの合計(積分)は、 2πρ∫k^3・dk = 2πρ[k^4/4 = 2πρ・r^4/4 = πρr^4/2 これが、厚さゼロの円盤の慣性モーメントです。 仕上げに、(上記の※の)厚さdxを掛けて、 πρr^4/2・dx が、円盤の慣性モーメントです。 2. 1の結果を、x=0からx=hまで足し算(積分)すれば、円錐の慣性モーメントです。 円錐の慣性モーメントは ∫πρr^4/2・dx = ∫πρ(r・x/h)^4/2・dx = πρr^4/(2h^4)・∫x^4・dx = πρr^4/(2h^4)・x^5/5 = πρr^4/(2h^4)・h^5/5 = πρhr^4/10 となりました。 (ρ:円錐の密度kg/m^3]、h:円錐の高さ、r:底面の半径) さて、 ここから先が必要かどうか不明ですが、円錐の質量をmとして、上記からρを消去してみます。 円錐の体積は、厚さdx、面積πr^2の円盤の集まり。 それから、さっきと同じで r=r・x/h 円錐の体積は ∫πr^2・dx = ∫π(r・x/h)^2・dx = πr^2/h^2・∫x^2・dx = πr^2/h^2・[x^3/3 = πr^2・h/3 だから、円錐の質量mは、 m = ρπr^2・h/3 したがって ρ = 3m/(πr^2・h) よって、円錐の慣性モーメントは πρhr^4/10 = π・3m/(πr^2・h)・hr^4/10 = 3/10・mr^2 (m:円錐の質量、r:底面の半径) 以上ですが、このような考え方でどうでしょうか? ちなみに、 私、計算が苦手なので(本当です)自信がありません。 とりあえず、2つの結果の次元が、どっちも、 キログラム×メートル×メートル にはなっているので、その点だけは大丈夫かも、です。 検証・検算してみてください。