質問: 空間図形です。 空間上に4点o,a、b,cがあり、oa=3、ob=oc=4 ∠boc=∠coa=∠aob=π/ 3であるとき3点a、b、cを通る平面に垂線ohをおろす。直線chと直線abの交点をdとするとき、長さの比ch:hd、ad:dbをそれぞれ求めよ。という問題ですが、よろしくお願いします。
回答: >ベクトルを使わずに解くと △obcは正三角形だからbc=4、 余弦定理によりab^2=3^2+4^2-2*3*4cosπ/3=13、ab=√13 △oab∽△oacだからac=ab=√13 bcの中点をeとするとoe=2√3 △abeで三平方の定理によりae^2=ab^2-be^2=13-4=9、ae=3 △oaeは四面体oabcを二等分するので、面oaeと面abcは直交 するので、点hはae上の点であり、oh⊥ae。 △oheでoh^2+he^2=oe^2=12 △oahでoh^2+ah^2=oh^2+(ae-he)^2=oh^2+(3-he)^2=oa^2=9 両式を連立で解いてhe=2。ah=ae-he=3-2=1。 △abcにメラニウスの定理を適用すると (ad/db)*(bc/ce)*(he/ah)=1だから(ad/db)*(4/2)*(2/1)=1 よりad/db=1/4・・・・・(1) 同様に(ce/eb)*(ba/ad)*(dh/hc)=1だから (2/2)*(5/1)*(dh/hc)=1よりdh/hc=1/5・・・・・(2) (2)(1)よりch:hd=5:1、ad:db=1:4・・・答