質問: 底が-の数字の指数関数は高校では扱わないのですか? よろしくお願いいたします。 対数関数での真数条件、底の条件を考えてみました。 真数は指数関数はすべてy軸よりプラスだからだな 底が1だと指数関数にならないから定義しないのだな までフムフムと思っていたのですが 底の条件の底が0以上とところで、、-の底はなかったっけ? と考えてしまいました。 数列などでは-の底の指数関数を目にします。なぜ、この場合-の底を定義しないと なるのでしょうか? ご教授ください
回答: 対数の定義が可能か、ということから 対数の底aの条件は a>0 かつ a≠1 ということは高校のどの教科書にも書かれています。 対数の底を[a]で表すと y=log[a]x ... (1) これをxについて解くと x=a^y ... (2) ですね。 この式でxとyを入れ替えた y=a^x ... (3) は(1)の逆関数に当たりますが、 逆関数の条件が成り立っていなければ逆関数といえません。 ●実数xの定義領域の全てのxについて(1)および(3)のyが定義されること。 ●実数xの定義領域で(1)および(2)が一価関数であること。 この観点からa<0の場合を検証して見るといいでしょう。 (3)についてa=-5としてみると y=(-5)^x={(-1)^x}(5^x) (5^x)は実数xに対して定義されますが (-1)^xは実数の範囲では、xが整数のときのみ定義され「+1または-1」 のいずれかの値をとります。 したがって、y=(-5)^xは実数の範囲で考えると xが整数でない場合は定義できません。 このことから-5を負の実数a(<0)の時についても 実数の範囲で考える場合はxが整数以外では(3)が定義されないことが 容易に類推できるでしょう。 このことから (1)を(3)の逆関数と仮定した場合、a<0に対して、xの定義域が実数領域で まともに定義できません。(1)でyが整数の場合以外は定義できませんので x=a^y (yは整数のみ) a<0では(1)がx=a^n(nは整数)の時のみしかyが存在せず、その他の実数xでは(1)のyが定義できません。 こういうことから y=log[a]x はa<0の場合は実数x(>0)に対して a>0(a≠0)の場合のように連続関数として定義できません。 したがって(1)の底の条件として a<0の範囲を除外している のでしょうね。