質問: 0.6 とする.このゲームを 100 回繰り返すとき,プレイヤーが勝利する回数が 50 未満の確率は 1/10 より大きいか否か理由と共に答えよ どうやって解くのか分からないんです。。。 どなたかご教授いただければ幸いです よろしければ途中式もお願いします。 よろしくお願いします
回答: 第 k ラウンドで持ち点が x である確率を q(k,x) と置くと、 問題の状況設定は q(k+1,-2) = q(k,-1)・(1-p), q(k+1,-1) = q(k,-2)・p + q(k,0)・(1-p), q(k+1,0) = q(k,-1)・p + q(k,1)・(1-p), q(k+1,1) = q(k,0)・p + q(k,2)・(1-p), q(k+1,2) = q(k,1)・p. q(0,0) = 1, q(0,2) = q(0,1) = q(0,-1) = q(0,-2) = 0. と書ける。 この q(k,x) を第 x+3 成分に持つベクトルを v(k) と置くと、 行列 a を用いて v(k+1) = a(k), v(0) = (0,0,1,0,0)^t. と書ける。 a = 0 1-p 0 0 0 p 0 1-p 0 0 0 p 0 1-p 0 0 0 p 0 1-p 0 0 0 p 0 である。 固有方程式が 5 次式になってしまうが、やってみると 意外と簡単に λ( λ^2 - (p-p^2) )( λ^2 - 3(p-p^2) ) = 0 と因数分解できてしまい、全て実数解になっている。 これを用いて a を対角化すれば q(k,x) を陽に書き下してしまうことができるので、 あとは (1) q(2k,2) と q(2k,-2) (2) σ[k=1→∞] q(k,2) この答えを r と置く。 (3) σ[n=1→100] n・(100cn){ r^n }{ (1-r)^(100-n) } (4) p=0.6 のときの σ[n=1→49] (100cn){ r^n }{ (1-r)^(100-n) } を計算する。