質問: 平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。 平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。 3点a(1,-1,0)b(3,1,2)c(3,3,0)を通る平面の方程式を求めよ という問題で、求める法線ベクトルをnベクトル=(a,b,c)とすると、 nベクトルとabベクトルは垂直だからnベクトル×abベクトル=0 ゆえに2a+2b+2c=0(1) nベクトルとacベクトルも垂直であるから nベクトル×acベクトル=0ゆえに 2a+4b=0・・・(2) (1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1) nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない ゆえに求める平面は点a(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面であるので 2x-y-z-3=0である。 という解説があったのですが、 [(1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1) nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない ゆえに求める平面は点a(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面である。] の部分がわかりません。 まず、 「(1)と(2)よりnベクトル=b(-2,1,1)」という式は理解できます。 「nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」・・・これもわかります。 「ゆえに求める平面は点a(1.-1,0)を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直は平面である。]・・・ これが理解できません。nベクトル=b(-2,1,1)なのに、なんでbが消えているんでようか? それと「ゆえに」とありますが、前文の「nベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」 とこのことは関係があるのでしょうか? もしかして、「3点a,b,cが一直線上にあるときacベクトル=kabベクトルとなる実数kがある」 という基本事項がありますが、nベクトル=b(-2,1,1)もその形なので、(-2,1,1)と垂直といえるってことですか?そのために、bが0だとこの式が成り立たないので、b=0ではないってことを いっているんでしょうか?
回答: こんばんわ。 b≠ 0であることは、平面が平面として存在するために必要な条件ですね。 このまま bを消さなくても、平面の方程式を求めることができます。 以下で bを消さない場合の解答(の書き方)を記しておきます。(1)と(2)より n→の成分は b* (-2, 1, 1)(b:定数)と表される。 n→は 0→ではないから、b≠ 0である。 法線ベクトル:n→= (-2b, b, b)(b≠ 0)より、この平面の方程式は -2bx+ by+ bz+ d= 0 と表される。 そして、この平面は点a(1, -1, 0)を通るから -2b- b+ 0+ d= 0 d= 3b 求める平面の方程式は、 -2bx+ by+ bz+ 3b= 0 -2x+ y+ z+ 3= 0(∵ b≠ 0) ベクトルの大きさだけを握っている bの値には関係ないことがわかると思います。 あくまでも「方向=成分の値の比」だけが重要なので、b= 1とおいても構わないということになります。 ベクトルの定数倍は「平行」という意味になりますね。