質問: 数学 三角比 三角形abcにおいて、頂点aから直線bcに垂直におろした垂線の長さは1、頂点bから直線caに下した垂線の長さは√2、頂点cから直線abに下した垂線の長さは2である。このとき、三角形abcの面積と、内接円の半径、および外接円の半径を求めよ。
回答: 三角形の面積をsとすると s=(1/2)bc=(√2/2)ca=ab ←*)がわかります。 よって、ab=s、bc=2s、ca=(√2)sと表されることがわかります。 ここで、余弦定理を使いますと、cosb=3/4がわかります。 また、三角比の定義よりabsinb=1は自明。 sinb=√1-cos^2b=√7/4から ab=4√7/7=sを得ます。 *)よりca=4√14/7、bc=8√7/7がわかります。 ところで、三角形の内接円の半径をrとしてs=(1/2)r(ab+bc+ca)と表されるので *、 r=2(3-√2)/7を得ます。 また外接円の半径をrとすると、ca/sinb=2rと表されるので、 r=8√2/7が得られます。 *について、じっくり考えればわかると思いますので、自分で証明するなりなんなりしてみて下さい。 正弦定理、余弦定理も証明を1度はしましょう。