質問: 交代群とkleinの4元群について kleinの4元群v4は交代群a4の正規部分群になりますが,これを示すには地道に計算するしかないのでしょうか? kleinの4元群は v4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} です. そうすると,かなりの数の計算をしないとなりませんが,もう少しうまいやり方はあるのでしょうか?
回答: 1 a4の位数はたったの12ですから、地道に計算しても大した手間暇でありません。地道な計算も、存外、馬鹿にしたものでもありません。この作業をすることにより、問題の構造を体感できて、一般論への手掛かりが得られるからです。 2 一般論からのアプローチ (巡回置換型) 置換を互いに素な巡回置換の積で表すとき、その長さの組み合わせを「巡回置換型」と言います。例えば、s4の中で、(13)(24)の巡回置換型は{2,2}、(134)の巡回置換型は{31}、単位元eの巡回置換型は、{1111}です。 容易に分かるように、 [1] 「snの元aとbがsnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要十分条件」 です。したがって、 [2] 「anの元aとbがanで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要条件」 です。 (kleinの4元群) v4は、巡回置換型が{1111}の元1個と、巡回置換型が{22}の元3個から成っていて、これで{1111}または{22}の巡回置換型を持つ元がすべて尽くされます。よって、上の[2]により、v4の元の共役元は、すべて、v4の中にあることになります。