質問: 点Pが円 (x-3)^2+y^2=1 上を動くとき、点Pと直線y=3x-1との距離が最小となる点Pの座標を求めよ。また、その時の長さを求めよ。
回答: 点Pが円C: (xー3)2+y2=1 上を動くとき、 点Pと直線l:y=3xー1・・・・1との距離が最小となる点Pの座標を求めよ。 また、その時の長さを求めよ。 「回答」 点Pとl上の点との距離が最小値を取るときのl上の点をQとする。 また円Cの中心を点O0(3,0)として,さらに線分O0Qの長さをdとする。 ➀式を直線の式の一般形に書きなおすと, 3x-y-1=0・・・・・➁となるので, 円の中心O0とlとの距離をdとすると, 「点と直線の距離の公式」から d=|9-0-1|/√[9+1] d=8/√10=(4√10/5)>1,であるから, 点Qは半径「1」の円Cの外側にあることがわかる。また,円C全体はその中心O0の位置からして直線lの下の領域にある。 すると,題意から,点Q,点P,点O0は一直線上にあり,(ここは解説略) PQの値は,点O0と直線lとの距離が最小になっているときに得られるから, 点Pと直線lとの距離の最小値PQは, d-1=(4√10-5)/5・・・・・・・・・「答その1」 また,このとき直線PO0をmとすると,mは点(3,0)を通り,直線lと直交しているので,mの傾きは➀式から「‐(1/3)」である。 すると,|PM/MO0|=|-1/3| また,√[12+32]=√10,であるから, PO0:PM:MO0=√10:1:3・・・・・・・3が成立する。 実際には,PO0=1(半径)であるから,上式から次の2つの「比の式」を得る。 ア,1:PM=√10:1,から,PM=1/√10=√10/10 イ,1:MO0=√10:3,から,MO0=3/√10 さらに,OM=3-(3/√10)=3(10-√10)/10 よって,アとイから, 点Pの座標は( 3( 10-√10)/10,(√10/10))「答その2」 最後に,ヤフ知恵には「いいね」のボタンはありません。あなたのように回答者を釣るような質問文は嫌でしたが,練習のために解かせていただきました。