質問: 280(通り) 3!にする理由が深く分かりません。 3組の仕切り、壁をなくす、みたいなニュアンスですよね。 でも改めて解き直す時、また3!で割る考えは出ないと思います。 理解させてください。
回答: 9c3 × 6c3 × 3c3 通り と数えたときには、組が区別されています。 1つめの組に入る人の選びかたが 9c3 通り、 2つめの組に入る人の選びかたが 6c3 通りとか数えているからです。 そうすると、 #1〜#9 の 9 人を組分けした場合に { #1, #2, #3 }, { #4, #5, #6 }, { #7, #8, #9 } という分け方と { #4, #5, #6 }, { #1, #2, #3 }, { #7, #8, #9 } や { #7, #8, #9 }, { #1, #2, #3 }, { #4, #5, #6 } が別々に数えられています。 組に名前がついているとかの区別がなければ、これらは同じ組分けとみなせます。 { #1, #2, #3 } と { #4, #5, #6 } と { #7, #8, #9 } の 3 個を 並べ替える場合の数だけ重複が生じていますから、 9c3 × 6c3 × 3c3 を、 3個を並べ替える場合の数 3! で割っておけばよいのです。