質問: 定積分 次の曲線の長さを求めよ (1)y=(1/3)x^(3/2) (0≦x≦12) (2)y=x(2-x) (0≦x≦2) という問題なのですが、 (1)y ́=(1/2)x^(1/2) 公式より 長さs=∫[0→12]√(1+{(1/2)x^(1/2)}^2)dx =∫[0→12]√(1+(1/4)x)dx となるんですが、この積分の仕方がわかりません。 お願いします。 (2)y ́=2-2x 長さs=∫[0→2]√(1+{2-2x}^2)dx =∫[0→2]√(1+(4-8x+4x^2))dx =∫[0→2]√(4x^2-8x+5)dx =∫[0→2]√{((2x-2)^2)+1}dx t=2x-2とおくとdx=dt/2 x:0→2、t:-2→2 よって =∫-2→2√(t^2+1)dt 公式より =1/4[t√(t^2+1)+log(t+√(t^2+1))][-2→2] =1/4{ {-2√5+log(-2+√5)}-{2√5+log(2+√5)} } =1/4{-4√5+log(-2+√5)-log(2+√5)} となるんですが、答えは√5+1/2log(2+√5)です。 この計算であってますか。どうすれば、答えになるでしょうか? お願いします。
回答: (1) > =∫[0→12]√(1+(1/4)x)dx =(1/2)∫[0→12] (x+4)^(1/2) dx =(1/2)[(2/3)(x+4)^(3/2)] [0→12] 後はできますね。 (2) > この計算であってますか。 どうすれば、答えになるでしょうか? > =1/4[t√(t^2+1)+log(t+√(t^2+1))][-2→2] ここまで合っています。以下、2を代入したものから -2を代入したものを引く所を 逆に引いた為式の符号が逆になっています。 以下訂正して式を変形します。 > =1/4{ {-2√5+log(-2+√5)}-{2√5+log(2+√5)} } × =1/4{ {2√5+log(2+√5)}-{-2√5+log(-2+√5)} } > =1/4{-4√5+log(-2+√5)-log(2+√5)} × =1/4{4√5+log(2+√5)-log(-2+√5)} =√5+(1/4)log{(2+√5)/(-2+√5)} =√5+(1/4)log(2+√5)^2 =√5+(1/2)log(2+√5) これで正解と一致しましたね。