質問: 自然科学は不完全性定理をもコントロールするか gpsに特殊相対論と一般相対論による補正がされているというのは有名ですが、とくに一般相対論はリーマン幾何学をもちいています。 リーマン幾何学は非ユークリッド幾何学を扱うことができ、この際、平行線の公理を選択的にコントロールすることで、空間の歪みを叙述することが可能ということがいえるのではないかと思います。 平行線の公理といえば、ゲーデルの不完全性定理が関与するところですが、このようにアインシュタインのような天才は不完全性定理さえも物理学の道具として使いこなした、という印象を私は持っています。この印象は正しいでしょうか。 #ここでの近くのご質問に刺激を受けました。ちょっと筋が違うので新しく質問を立てました。
回答: はじめまして、hidocchiと申します。 少し補足させていただきます。 > 「人間の能力はときとして余りにも大きく、自然科学分野では不完全性定理に制限されることなく理論が展開され、しかもそれが現実レベルである程度証明され(重力レンズ効果などなど)、実用面で大きな貢献をすることがある(gpsの補正などなど)。」ということになります。 確かに、自然科学の研究者は、そのように考えてきましたし、現在もそうかもしれません。実際、ゲーデルの不完全性定理は数学科の学生さんにはあまり人気もなく、これをさらに進めていこうとする学生さんはほとんどいないといわれています。この不完全性定理が現代にも(特に哲学を学んでいるひとに)影響を及ぼしているのは、それなりに理由があろうかと思われます。それは以下の2点からだと思われます。 ・科学的進歩という人間理性を過信し過ぎたための反省: つまり、多くの環境汚染や大量殺戮兵器の開発を人類はしてきましたが(実際、実行もしました)、これらへの反省があろうかと考えられます。 ・もう一つは、人間理性を高らかに謳い上げた“マルクス主義”の反省およびそれに対する反論:マルクス主義が実際はどうだったかにつきましては、おそらく説明は不要かと思われます。ソ連軍のチェコへの侵攻、ルーマニアの独裁政権等です。つまり、そもそも人間理性を推し進めていった結果は、惨劇だったのではないか? ということです。 これらの反省から、ゲーデルの不完全性定理が利用されてきた経緯がございます。さらに申し上げますと、不完全性定理という一種の“懐疑論的思考法”を用いた、理性万能を信じきっているものたちに対する反論でもあるわけです。 従いまして、むしろ科学万能教に対するアンチテーゼと受け取った方がよろしいかと存じます(ゲーデルが証明した動機のひとつに、「公理系以外の何かプラスα(おそらく神)の助けが必要である」という説もございます。何しろ敬虔なキリスト教徒でしたから)。 そこで、まことに僭越ながら、以下にお薦めのものを列記させていただきました。 やはり、1冊ぐらいは読破されることをお薦めいたします。なお、ゲーデルにつきましては、高橋氏の方がやさしいかと思いますし、これを正確に読めば、別段ナーゲル氏の本は省略してもよろしいかと思います。適当に本屋さんで選んでみてくださいませ。もちろん、これらの書籍に限定する必要はございません。 1. 高橋昌一郎著「ゲーデルの哲学―不完全性定理と神の存在論」(講談社現代新書) 2. e. ナーゲル著「ゲーデルは何を証明したか―数学から超数学へ」白揚社 1. 山田克哉著「量子力学のからくり―「幽霊波」の正体」(ブルーバックス) 2. 都筑卓司著「新装版 不確定性原理―運命への挑戦」(ブルーバックス) お役に立つところがございましたら、幸いでございます。