質問: 微分方程式 こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。 次のx(t)に関する微分方程式 d^2x/dt^2=-1/x^2 ただし初期条件はt=0でx=x0(x0>0),dx/dt=√2であるとする。 (1) 与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。 必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2) (2)0
回答: > (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=d/dt*(1/x) > (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2) > 両辺xで積分すると 両辺をtで積分すると (1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+c...(a) t=0とおくと (1/2)2=1/x0+c c=1-(1/x0) (a)に代入 (1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+1-(1/x0)...(b) dx/dt=0となる時、t=tm、x=xmとおくと、 t=tmの時 1/xm=(1/x0)-1=(1-x0)/x0 xm=x0/(1-x0)...(c) d^2x/dt^2(t=tm)=-1/xm^2<0 従ってt=tmでx(t)は上に凸 ...(d) (b)のグラフを横軸にx,縦軸にy=dx/dtをとって(yを変化させてxをプロットする陰関数のグラフとして)描くと 0