質問: p > 1 とする.このとき級数 1/xのp乗 が収束することを示せ.
回答: x∈Nとしていいのでしょうか。 それならば、Σx=1,∞^p<Σx=1,∞^2 =1+Σ[x=2,∞]1/x^2<1+Σ[x=2,∞]1/(x(x-1)) ここで、S[n]=Σ[i=2,n]1/(i(i-1))とすると、1/i(i-1)=1/(i-1)-1/iより、 S[n]=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n=(n-1)/n n→∞でS[n]→1 ∴1+Σx=2,∞]1/(x(x-1))=2より、Σ[x=1,∞^p<2で上に有界。 かつ、Tn]=Σ[x=1,n^pについて、T[n]