質問: ......数学aの問題...... x、y、zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい (1) x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zxを示し、等号が成り立つときの x、y、zの条件を求めなさい。 (2)x+y+z=1のとき、 xy+yz+zx≦1/3を示し、 等号が成り立つときのx、y、zの値を全て求めなさい。 を、教えてください(泣)
回答: (1)(左辺)-(右辺)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =(1/2)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2) =(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2} ≧0(∵(x-y)^2≧0,(y-z)^2≧0,(z-x)^2≧0) よって、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx なお、等号が成立するのは、 x=y,y=z,z=xすなわちx=y=zのとき。 (2) (1)の結果を使います。 x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx・・・(i) (x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx≧xy+yz+zx 今、x+y+z=1だからこれを上式に代入して、 1≧3xy+3yz+3zx ∴xy+yz+zx≦1/3・・・(ii) 等号成立条件は、(1)よりx=y=zのとき(∵(ii)の証明に(i)式を利用したから、 (ii)の等号成立条件は(i)と同じ) 今題意よりx+y+z=1なので、 x=y=z=1/3