質問: 角度を求める問題で 正方形abcdの辺bc上に点eを取り、二点a.eを通る直線と辺dcの延長との交点をfとする。aeとbdの交点をg、線分efの中点をhとする時、角gchの大きさを求める問題です。回答は、hcとhfが同じ長さだということと、三角形bcgと三角形bagの合同だということを利用して解いています。どうしてhcとhfが同じ長さだといえるのかが分かりません。何かの法則を忘れてるだけかもしれないのですが、教えてください。
回答: #1です。 「かなり」は言い過ぎたかも。 #1で示した「直角三角形の斜辺の中点から、各頂点への距離は全て等しい」という性質は結構応用が効きますので、覚えておいて損はないです。 ちなみに∠gch = 90°ですね。 一応、説明しておきましょうか。 △bcgと△bagにおいて bg=bg (共通) bc=ba (正方形の一辺なので) ∠bcg=∠bag(=45°bg(bd)は対角線より) より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから △bcg≡△bag よって、∠bcg=∠bag ---(1) hc=hf(#1より)より、△hcfは二等辺三角形なので ∠hcf=∠hfc ---(2) 一方、ab//df (平行)なので、錯角の関係から ∠bag=∠hfc ---(3) (1)~(3)より ∠hcf=∠bcg ---(4) ∠gch=∠bcg+∠bch=∠hcf+∠bch=∠bcf=90° となりますね。