質問: 伝達関数について 初めにゲイン線図の概形図が与えられており、このゲイン線図のようになる伝達関数を求めよ。 (図としては、【最初は傾き:-40[db/dec]で変化しており、ω=ω1から傾き:-20[db/dec]の変化になり、ω=ω2で0[db]を通って、最後はω=ω3で再び傾き:-40[db/dec]に戻る】という図です。) という問題があるのですが、その解き方が良く解りません;初めに私が考えた方法としては、 1.ω1~ω3に、適当に値を代入する。(例:ω1=0.1;ω2=1;ω3=10) 2.そのゲイン線図から実際に伝達関数を求めてみる。 (ω=0.01のときはグラフより60[db]となるので、その値となるように部分的に伝達関数を用意する等...) 3.求めた伝達関数の部品(?)を合成して、合成伝達関数を求める。 4.ω1~ω3を全て使って、その合成伝達関数が成り立つように式を立てる。 というようにして、 g(s)={(s+ω1)ω2ω3}/{s^(2)×(s+ω3)} という解を出したのですが、これでは明らかに図が複雑になったときに求めることは出来ませんし、4.のところではω1~ω3の色々な組み合わせを試さなければならないため、かなり時間がかかってしまい、実際に解くのはまず不可能と思います...; どなたか正しい考え方を教えていただけないでしょうか?
回答: ボード線図を頭に描いてください。 伝達関数をg(s)とすると、周波数、ゲイン共、対数表示するのはご存知のとおりです。 従って、周波数を上げていき、折点に達する都度、相当するゲインの対数を 加えていけばよいのです。 伝達関数が、kg(s)={k(τ1・s+1)(τ2・s+1)...}/{s^n(τa・s+1)(τb・s+1)...} のように表わされるとします。対数を取れば 20・logkg(s)=20・logk+20・log(τ1・s+1)+20・log(τ2・s+1)... -20・log(s^n)-20・log(τa・s+1)-20・log(τb・s+1)... となります。 今の場合、0~ω1=1/τ1 までは、-40(db/decade) なので、s=jωとした時 -20・log(s^n)/log(10)=-40・log|jω| より、n=2 で、ゲインは -log(s^n)=log(1/s^2) ω1~ω2=1/τ2 までは、-20(db/decade) なので、ω1を折点として、 ゲインは-20-(-40)=20(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ -40+20・log(τ1・s+1)/log(10) は、-20・log|jω| に漸近するので、ゲインは、k1・log(s+ω1) ω2~ω3=1/τ3 までは、0(db/decade) なので、ω2を折点として、 ゲインは0-(-20)=20(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ -20+20・log(τ2・s+1)/log(10) は、0・log|jω| に漸近するので、ゲインは、k2・log(s+ω2) ω3~∞ までは、-40(db/decade) なので、ω3を折点として、ゲインは、 -40-0=-40(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ 0-40・log(τ3・s+1)/log(10) は、-40・log|jω| に漸近するので、ゲインは、 -k3・log(s+ω3)^2=k3・log(s+ω3)^(-2) これらから、ゲイン g(s) は、 g(s)=k・{(s+ω1)(s+ω2)}/{s^2・(s+ω3)^2} となります。 なお、各折点間のゲインに現れる k1、k2・・は周波数に関係しませんのでひっくるめて、 kとしております。