質問: 関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=aだとする。このとき、 lim{b->∞}1/b 関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=aだとする。このとき、 lim{b->∞}1/b^2 ∫(0からb) g(x)dx を求めて下さい
回答: 大雑把な話、lim{x->∞} g(x) = a というのは ほとんどの x で g(x) ≒ a ということだから、 1/b^2 ∫(0からb) g(x)dx ≒ (1/b^2) ∫(0からb) adx = a/b であり、 b->∞ のとき (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx → 0 になりますよね。 これを、まともな数式で書けばよいわけで... 任意の正数 ε に対して、 x > δ ならば |g(x) - a| < ε になるような δ が在るのだから、 a-ε < g(x) < a+ε より、 十分大きい b に対して (a-ε)(b-δ) < ∫(δからb) g(x)dx < (a+ε)(b-δ) が成り立ちます。 よって、 s = ∫(0からδ) g(x)dx と置いて { s + (a-ε)(b-δ) }/b^2 < (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx < { s + (a+ε)(b-δ) }/b^2 が言えます。 この式で、ひとつの ε とそれにともなう δ を固定して b->∞ の極限をとれば、ハサミウチの定理により lim{b->∞} (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx = 0 です。