質問: 平面上の3点O(0.0)、A(4.0)、B(0.4)を頂点とする三角形の辺OA上に点P、辺OB上に点Qがある。三角形OPQの面積が三角形OABの面積の1/4になるように点P、点Qが動くとき線分PQの取りうる点の存在範囲を図示せよ。
回答: P(p,0), Q(0,q) (p,q∈[0,4]) とすれば、 △OAB=8, △OPQ=pq/2 であり、 面積の仮定から pq/2=8/4=2 すなわち pq=4 をみたす。 これにより、p,q∈[1,4] であると言える。 一方、P,Qを通過する直線は q(x-p)+py=0 すなわち qx+py=pq と表される。 さらに、pq=4 より qを消去して整理すると、 yp^2-4p+4x=0 となる (p≠0 は確認しているのでこれは同値変形である)。 あとは、これをpに関する二次方程式と見なし、 1<=p<=4 なる解をもつ範囲を言えば、 *直線*PQの軌跡となる。 ここからは2次方程式の解の存在範囲の問題なので詳細は端折るが、 結論は、 x>=0, y>=0 の範囲で (4x+y-4)(x+4y-4)<=0 または {xy<=1, 4x+y-4>=0, x+4y-4>=0} を満たす部分となる。■ (前者が pの方程式の2解のうち1つだけが1<=p<=4を満たし、 後者が pの方程式の2解がともに 1<=p<=4 を満たすことに相当する。)