質問: 2次元井戸型ポテンシャルの問題がわかりません 「ポテンシャルv(x、y)は {0<=x、y<=l}のとき0 それ以外の領域は∞ のときのエネルギー固有値と波動関数を求めよ」 という問題なんですがよくわかりません。 周期的境界条件ってこの場合ありますか? 流れだけでもいいですので教えてください。
回答: 井戸型ポテンシャルはschroedinger方程式を解く問題としては、比較的とっつきやすいものですね。 1. 波動関数をφ(x,y)と置き、schroedinger方程式を書き下す。 -a^2 ∇^2 φ(x,y)=e φ(x,y) (1) ここに、a^2は (planck定数を2πで割ったもの)^2/2m なる定数、mは粒子の質量。またこのとき定数をaでなくa^2とおいたのは後の計算上の技巧のため。 2. 変数分離型の解を求める。 すなわちφ(x,y)=x(x) y(y)とおき、上の式に代入する。 -a^2 (y(∂^2 x/∂x^2) +x(∂^2 y/∂y^2)) = e x(x) y(y) (2) 両辺をxyで除して -a^2 ((1/x)(∂^2 x/∂x^2) +(1/y)(∂^2 y/∂y^2)) = e (3) 第一項はxのみの関数、第二項はyのみの関数であり、(3)が恒等的に成り立つためには -a^2 (1/x)(∂^2 x/∂x^2) =e1 (4a) -a^2 (1/y)(∂^2 y/∂y^2) =e2 (4b) が必要十分である。ここにe1, e2は定数であり、e1+e2=eの関係を満たす。 この方程式は簡単な線形2階微分方程式に帰着しますからすぐに解けますね((4a)の両辺にxをかけるだけ)。普通の2次元膜の振動と本質的に同じ問題です。 3. 境界条件を検討する。 井戸の外ではではvは無限大です。計算してみると分かるのですがここでは波動関数は恒等的に0になります。波動関数が境界x,y=0およびx,y=lで滑らかにつながるという要請を考えると、 x(0)=x(l)=0 (5a) y(0)=y(l)=0 (5b) が境界条件として課されます。 4. 固有値を求める これは(4a)(4b)式に、得られた波動関数x(x), y(y)を代入することで求まります。 e1, e2をそれぞれ求めて、最後に足せばよいわけです。 周期的境界条件はこの場合関係ありません。(なぜなら、井戸は一個しかないわけですから) もし井戸が多数個並んでいて、かつ井戸の障壁が有限の高さであれば周期的境界条件が関係してきます。この場合は粒子が取りうるエネルギーに幅が生じるます。(固体のバンド構造の話へとつながっていきます) *解き方の大筋は上でよいはずですが、細かいところでタイプミス、計算ミスをしているかも知れません。検算しながら読んで頂ければ幸いです。