質問: 線形代数についての質問です。すべての問題でなくても構いませんので、どなたか教えていただけますか。
回答: (1) (tx)p(tq)x = (tx)Bx について B は対称行列なので両辺にを転置させると (tx)q(tp)x = (tx)Bx となります☆ よってこの 2 つの式を足して 2 で割れば (tx){(1/2)(p(tq) + q(tp))}x = (tx)Bx であり (1/2)(p(tq) + q(tp)) は対称行列なので B = (1/2)(p(tq) + q(tp)) が得られます♪ (2) x を固有値 0 に対する固有ベクトルとすると (tx){(p(tq) + q(tp))/2}x = 0 です☆ よって x = p×q とすれば (tq)(p×q) = (tp)(p×q) = 0 なので 条件を満たしますね(b^-^) よって p×q が求める固有ベクトルです♪ (3) ||p|| = ||q|| = k, (p, q) = 0 とすると Bp = (k2/2)q, Bq = (k2/2)p なので この 2 つの式を足せば B(p+q) = (k2/2)(p+q) この 2 つの式を引けば B(p-q) = (-k2/2)(p-q) となりそれぞれ固有値と固有ベクトルです☆ 以上より P = [p×q p+q p-q] とすれば P−1AP = diag[0 k2/2 -k2/2] (4) ||q|| = k とすると (p, q) = k2/2 なので Bp = (k2/4)p + 2k2q ... 1 Bp = (k2/2)p + (k2/4)q ... 2 より 1 + 22 とすれば B(p+2q) = (5k2/4)(p+2q) 1 - 22 とすれば B(p-2q) = (-3k2/4)(p-2q) となりそれぞれ固有値と固有ベクトルです♪ 以上より P = [p×q p+2q p-2q] とすれば P−1AP = diag[0 5k2/4 -3k2/4] となりますね(*◕ ◡◕)✿♫♬