質問: 振動力学の問題が分からないので教えてください。 図に示すように長さlのひもに質量mの球が張力tで取りつけられている。水平位置を基準として上下に微小振動している。 (1)この振動系の振動方程式を求めよ。 (2)固有振動数ωnはどのような式で表されるか。 (3) l=500(mm)、m=2(kg)、張力t=2(kn)の場合実用振動数fnを求めよ。 (1)の振動数方程式がたてられません。どなたか教えていただけると助かります。
回答: 左側の壁とヒモのくっついている所をa、右側の壁のそれをbとします。 で、ヒモが水平の状態から、ヒモと質量mのなす角をθa、θbとします。 すると、 張力tの垂直方向の成分は、tsinθa、tsinθbとなります。 でですね、 xが大きくない場合、 sinθa ≒ tanθa = x/(l/3) = 3x/l sinθb ≒ tanθb = x/(2l/3) = 3x/(2l) なので、 運動方程式は、 mx'' = -tsinθa - tsinθb = -t{3x/l + 3/(2l)) = -{9t/(2l)}・x x'' = -{9t/(2lm)}・x 角速度ω = √{9t/(2lm)} = 3√{t/(2lm)} となるのではあるまいか。 ───計算を平気で間違えるわたしの計算をうかつに信じると、地獄を見ることになります。 あくまで、考え方を参考にして、ご自分で計算してください。─── ”重りの重力分「-mg」はどうするのだ!!”などと、 細かいことを気にしてはいけない。 この項は、あってもなくても、角加速度ωは変わらない。 なおも細かいことを気にするヒトには、 「上に引っ張る前では、ヒモは直線abより下側に伸びているんです。 その平衡している位置からの変位がxです」 とか言って煙に巻く(ポリポリ)。 mx'' = -mg -tsinθa - tsinθb としても、「-mg」部分は定数なので、固有角振動数ωには関係しないしね~。 ───重力分の「-mg」を加えたこの微分方程式を真面目に解けば、このことは分かります─── 細かいことを言い出したら、 そもそも張力tが一定という仮定もおかしいし。 ケチをつけようと思えば、この問題の仮定そのものにいくらでもケチをつけられるし。 xを重りの質量で下に伸びている状態からの変位とするか、 この下側への伸びは無視できるほど小さいとするか(つまり、直線abとあまり変わらない)、 それとも、 運動方程式に-mgを加えるかは、 質問者さんの判断にお任せします。 繰り替えしますが、 あくまで考え方を参考にして、自分でこの問題を解いてください。 自慢ではありませんが、 わたしの計算力は、はっきり言って、小学生以下です(エヘン)。