質問: 中学数学の図形についてです。 画像にて、線分ab,bc,de,ef,ac,dfはどう平行なa,b,cに対して平行にスライドしても長さが変わらないので、 ab:bc=de:efは成り立ちますが、ab:ac=de:dfも成り立ちますか?
回答: 2つの直線lとmの位置関係がどのような場合でも、dがaと重なる位置に来るようにmを平行移動させることができます。平行線との交点をそれぞれd'(=a)、e'、f'とすると、de=d'e' 、ef=e'f' です。 また三角形abe'と三角形acf'は対応する三つの角がそれぞれ等しい(頂角は共通、他の2角は平行線の同位角)ので相似です。したがって、ab:ac=d'e:d'f' つまり ab:ac=de:df が常に成り立つことは明らかです。 なお同様にeがbと重なるように直線mを平行移動させれば三角形abd"と三角形ce"f"が相似になるので、ab:bc=d"e":e"f" つまりab:bc=de:ef が常に成り立つことも明らかです。