質問: 三角関数の問題です。 三角関数の問題です。 cos3θ+sin2θ+cosθ>0を満たすθの範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。 という問題です。次の様に解答したのですが、間違いや、つっこまれそうな所があったら指摘して下さると助かります。 cos3θ=4cos^3θ-3cosθより、 cos3θ+sin2θ+cosθ=4cos^3θ-3cosθ+2sinθcosθ+cosθ =cosθ(4cos^2θ+2sinθ-2)=cosθ{4(1-sin^2θ)+2sinθ-2} =cosθ(-4sin^2θ+2sinθ+2)=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0 ∴cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0 (1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負 2sinθ+1>0, sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π 2sinθ+1<0, sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 (2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正 2sinθ+1>0, sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 2sinθ+1<0, sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、7/6π<θ<3/2π (1),(2)から、求めるθの範囲は、0≦θ<π/2,7/6π<θ<3/2π,11/6π<θ<2π 宜しくお願いします。
回答: こんばんわ。 特にいけないというところはないと思います。^^ もうちょっと、「わかりやすく」というか単純にするには、次のような書き方もあります。 ・場合分けについて >(1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負 >(2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正 ここは、 (1) cosθ> 0、すなわち 0≦θ<π/2、3π/2<θ<2πのとき 2sinθ+ 1> 0でなければならない。 よって、・・・ (2) cosθ< 0、すなわち π/2<θ<3π/2のとき 2sinθ+ 1< 0でなければならない。 よって、・・・ 「すなわち」で範囲を書いてしまった方が、場合分けが明確になっていいと思います。 ・回答には、もう少し言葉を書いた方がいいですね。 >2sinθ+1>0, >sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π 2sinθ+ 1> 0ならば、sinθ -1< 0でなければならない。 これを満たすθの範囲は・・・ >2sinθ+1<0, >sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。 2sinθ+ 1< 0ならば、sinθ -1> 0でなければならない。 ところが -1≦ sinθ≦ 1であるから、これを満たすθは存在しない。 (存在しない理由を明確にしておくと betterですね。) 参考になれば、幸いです。^^