質問: 微小振動する角振動数 はじめまして。 おそらく振り子の問題だと思うのですが、あまりよく理解できません。 簡単な問題かもしれませんが、ご回答お願い致します。 図のように、質量m、長さ12lの細い一様な棒が、棒の中心からhの距離にある点hを支点として微小振動した場合の角振動数ω(h)を求めよ。 ただし、点hを通る軸周りの慣性モーメントは、 i(h)=12ml^2+mh^2 とする。 図を解説すると、棒を縦に立てて(少し傾いている)、棒の中心から棒に沿って距離h上方を支点hとしています。 教科書の似た問題を見ると、この問題と関係ないかもしれませんが、 回転の式 i・dω/dt=-mghsinθ となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。 微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか? 慣性モーメントと回転の式などの正負の関係があまり理解できないので、この点に関しても、よろしければご回答お願いいたします。
回答: >回転の式 i・dω/dt=-mghsinθ >となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。 ω=dθ/dt はθが増える方向が正ですよね? 右辺のトルク (力のモーメント)はθを増やすまいとする方向だからです。 通常θは反時計回りを正にとります(本当はθは回転方向を ねじの回る方向としてねじの進む方向へのベクトルとして 扱うのが普通です)。一方トルクも反時計回りに回転させる 作用を正とします(トルクももちろん通常はθと同じ決め方を したベクトルとして扱います)。今両者は逆向きですよね? 同じ向きだったらどんどん回転が速くなっていって,振動には なりません。これは,もっと初歩的にはばね振り子の運動方程式 m dv/dt = -kx と形式的に同じ形をしていますよね。 >微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか? ダメです。それでは運動することになりません。 sinθ=θ-θ^3/3!+・・・という無限級数からθの1次の項まで とって近似します。すなわち,sinθ≒θと近似します。 そうすることで,ばね振り子と同じ形 m d^2x/dt^2 = -kx ←→ id^2θ/dt^2 = -mghθ になって初歩的に解くことができるようになるわけです。