質問: 群で単位元について分かりません。 群を学習するにあたって、単位元というのが出てくるのですが、 教科書には、 もし、演算に単位元が存在するならば、それは一意である。というようなことが書かれていたのですが、 それは、単位元が演算によって決定されるということなんでしょうか? 勿論、仮に二つ単位元が存在した場合、 a,b=単位元 a=a*b=b*a=b となり、a=bとなることはわかります。 ですが、群全体の単位元がaだとして、部分群の単位元がbだとすると、 かならずしもa=bでは無いんじゃないでしょうか? というのも、例えば、掛け算で、r空間全体が群として勿論単位元は1です。 ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。 a=0, 単位元をbとするとb=0 a*b=b*a=a=0 だからです。 ということは、同じ演算で作られた群でも、違う集合で違う単位元が存在できるということですよね? つまり、教科書で言っているのは、ある特定の群に対し、単位元は一つしかない。 ということであっているでしょうか?? どなたかよろしくお願いします。
回答: 0を含んだら掛け算での0の逆元が無いので群になりません。なので、そのようなことは起きませんからご安心を。