質問: 偏微分方程式 ラプラス方程式 ポアソン方程式 微分方程式で用いられる線形,非線形の意味がよくわかりません。 どのように区別されるのでしょうか? また、ラプラス方程式は、一階の偏微分方程式の例でよくでてきて、 ポアソン方程式は、二階の偏微分方程式の例でよくでてきます。 ラプラス方程式,ポアソン方程式はどちらも線形なのでしょうか? テキストや参考書にある解法に習えば、例題や練習問題は解けるのですが、 用語の意味がまるで理解できていません・・・ ご回答よろしくお願い致します。
回答: #1のものです。 与えられた、微分方程式を見ただけでは線形なのか非線形 なのかわからないと言うことでしょうか? そんなことはありません。見れば大体線形か非線形かの区別はつきます。 微分作用素で表される式をd(∂/∂x,∂/∂y)としたとき d(∂/∂x,∂/∂y)φ(x,y)=0 と変形できればまあ線形でしょう。(dが線形作用素でなければなりませんが微分演算自体は線形性を持っているので線形になることがおおい) 右辺が"0"になること、左辺が全てφの前にかかることが重要です。 たとえば物理学で出てくるシュレーディンガー方程式 hψ(x,y,z)=eψ(x,y,z) h={-1/(2m)}δ+v(x,y,z) e:定数 は (h-e)ψ(x,y,z)=0 と変形できますのでこの方程式は線形です。 物理学で非線形の例としてよく挙げられるのがソリトンです。ソリトンの例としてよく挙げられるkdv方程式は ∂u/∂t+6u*∂u/∂x+∂^3u/∂x^3=0 となりますが、右辺は"0"ですが左辺はduの形に変形することができません。そのためこの方程式は非線形だとわかります。 (∂φ/∂x)^2とか、φ*∂φ/∂xのようにφの含まれる式を掛け合わせたものが出てくると非線形と見てよいでしょう。 ∇u(x,y,z)=x についてですが、 ∇^2u(x,y,z)=xの間違いでしょうか? ∇は「ナブラ」で後ろに関数が来て、一階の偏微分を行う微分演算子 ですよね? 間違いの修正ありがとうございます。ご指摘のとおりです。 2変数の場合、φ(x,y),f(x,y)として、 ラプラス方程式は、 δφ(x,y)=0 ポアソン方程式は、 δφ(x,y)=f(x,y) と表されますが、 ラプラス方程式と、ポアソン方程式の違いは右辺だけだと理解しています。 右辺に、関数f(x,y)があるだけで、ポアソン方程式は線形でなくなって しまうのでしょうか? そうです。 実際に二つの解をφ(x,y)=u(x,y),v(x,y)としたとして代入してみるとよいでしょう。 ラプラス方程式の場合 δu(x,y)=0,δv(x,y)=0ですので δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*δu(x,y)+bδv(x,y)=a*0+b*0=0 となりますのでa*u(x,y)+b*v(x,y)もラプラス方程式の解になります。 ポアソン方程式の場合 δu(x,y)=f(x,y),δv(x,y)=fx,y)ですので δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*δu(x,y)+bδv(x,y)=a*f(x,y)+b*f(x,y)=(a+b)*f(x,y) となりますのでこれは与えられたポアソン方程式の解ではありません。