質問: 大学数学(幾何学)についてです。 ユークリッド空間R^2において、R^2の部分集合A={(x,y)|(x-4)^2+(y-5)^2<4}-{(x,y)|x=4}を考える。 (1)Aをxy平面上に図せよ。 (2)R^2∋p=(4,4),q=(5,5)について、p,rはそれぞれAの内点・外点・境界点のうちどれか。証明も述べること。 (3)Aの境界を図示せよ。またそれが境界であることを証明せよ。 (4)Aは開集合であるか。また、閉集合であるか。それぞれ理由をつけて述べよ。 (1)は分かりました。 (2)は p(4,4) Aにx=4、y=4を代入して(4-4)^2+(4-5)^2=1<4で、さらに点(4,4)は直線x=4上にある為、境界点 q(5,5) pと同様にして、計算して(5-4)^2+(5-5)^2=1<4で、直線x=4上にないことから内点 というふうに答えました。 (3)は図は書けたんですが、証明がわかりません、、 (4)はAに属する点は常に内点で、境界点は含まない為開集合であり、閉集合でないというふうに答えました。 (2)と(4)はあってるでしょうか、、(特に(4)についてが心配で、もう少し詳しい照明が必要なのではと思うのですが、、) また(3)の証明方法を教えて頂きたいです。 お願いします。
回答: 内点、外点の定義に沿っての解答が 求められているのです。 (2)p=(4,4)は境界点。 p∈{(x,y)∈R2|x=4}、p∈Ā pのどの近傍にも{(4+1/(n+10) , 4)∈A | n∈N}が 入って来ている。 q=(5,5)は内点。 球近傍{(x,y) | (x−5)2+(y−5)2<(1/2)2}⊂Aが まるごとAに含まれている。 (3)境界は、{(x,y)|(x−5)2+(y−5)2=4}∪{(x,y)|x=4} この境界の点(x,y)∈Āに対して、どの近傍にも {(x+1/(n+10) , y)∈A | n∈N}が入って来ている。