質問: 微分方程式 次の微分方程式の一般解を求めよ。 (x^3+1)y ́=3x^2y この問題と解いていくと、 log|y|=log|x^3+1|+c このようになりますが、y=の形にしたいのですが、わかりません。 教えてください。 ちなみに答えは、y=c(x^3+1)です。
回答: 細かいですが一応 |y|=e^(c+log|x^3+1|) y=±e^c*(x^3+1) ですね。で、±e^cをcと置いたわけです。 しかし、これだとc≠0です。 なんですが、元の微分方程式を解いて、 log|y|=log|x^3+1|+c を導くとき、途中で両辺をyで割ったわけですから、もともと、y≠0の場合のみ考えていたわけです。 なんで、y=0 が微分方程式の解かどうかは、別に確かめないといけません。 で、元の微分方程式に y=0 を代入してみると、これも解だということがわかります。 したがって、y=c(x^3+1) で、c=0の場合もokということで、 結局、cには何の制限もなくなって、単に、y=c(x^3+1) が一般解ということになります。(c:全ての実数)