質問: 全体の標準偏差についての質問です。 下記の例題について教えてください。 知識がかなり浅いので、噛み砕 全体の標準偏差についての質問です。 下記の例題について教えてください。 知識がかなり浅いので、噛み砕いて説明して頂けると幸いです。 〈例題〉 1クラス3人、3クラスの学年があったとし、数学のテストを行いました。 そのときの、 『各クラスの標準偏差と、3つのクラスの標準偏差の標準偏差を求めよ。』 といった問題があった場合に、3つのクラスの標準偏差の標準偏差の求め方を教えてください。(質問1) また、各標準偏差の標準偏差を求めた場合、3σなどの確率にも影響してくるのでしょうか。(質問2) 仮に正規分布だった場合、各クラスの標準偏差にも1σ、2σ、3σと確率があり、さらに3つのクラスの標準偏差の標準偏差を求めた場合に1σ、2σ、3σへの確率に影響するのでは?と疑問に感じました。 (確率を重ねているため?) 標準偏差の求め方については、まだまだ理解は浅いですが、ある程度理解しているつもりですので、各クラスの標準偏差については私が求めた答えを記載致します。 公式だけではなく、下記の数学の点数に当てはめた場合は、どうなるかも合わせて教えて頂きたいです。(質問3) また、データの分析はエクセルを用いて行う予定ですので、全体の標準偏差を求める場合に使用するような関数などがあれば教えてください。(質問4) 1組 aさん 100点 bさん 50点 cさん 0点 1組の平均 50点 1組の標準偏差 40.82 2組 dさん 40点 eさん 50点 fさん 60点 2組の平均 50点 2組の標準偏差 8.16 3組 gさん 89点 hさん 90点 iさん 91点 3組の平均 90点 3組の標準偏差 0.81 各クラスの標準偏差40.82、8.16、0.81 私の解釈が間違っており、質問の意味が伝わらなかった場合は申し訳ありません。 お忙しい中恐縮ですが、ご教示くださいませ。
回答: 1組 aさん 100点 bさん 50点 cさん 0点 1組の平均 μ1 = (100 + 50 + 0)/3 = 50 (点) 1組の分散 σ1^2 = [ (100 - 50)^2 + (50 - 50)^2 + (0 - 50)^2 ]/3 ≒ 1666.67 1組の標準偏差 σ1 = √1666.67 ≒ 40.82 (点) 2組 dさん 40点 eさん 50点 fさん 60点 2組の平均 μ2 = (40 + 50 + 60)/3 = 50 (点) 2組の分散 σ2^2 = [ (40 - 50)^2 + (50 - 50)^2 + (60 - 50)^2 ]/3 ≒ 66.67 2組の標準偏差 σ2 = √66.67 ≒ 8.16 (点) 3組 gさん 89点 hさん 90点 iさん 91点 3組の平均 μ3 = (89 + 90 + 91)/3 = 90 (点) 3組の分散 σ3^2 = [ (89 - 90)^2 + (90 - 90)^2 + (91 - 90)^2 ]/3 ≒ 0.6667 3組の標準偏差 σ3 = √0.6667 ≒ 0.816 (点) >3つのクラスの標準偏差の標準偏差の求め方を教えてください。(質問1) 「3つのクラスの標準偏差の標準偏差」というものは、通常使いません。 「3つのクラス全体の標準偏差」であれば 3つのクラス全体の平均 μ4 = (100 + 50 + 0 + 40 + 50 + 60 + 89 + 90 + 91)/9 ≒ 63.333 (点) 3つのクラス全体の分散 σ4^2 = [ (100 - 63.333)^2 + (50 - 63.333)^2 + (0 - 63.333)^2 + (40 - 63.333)^2 + (50 - 63.333)^2 + (60 - 63.333)^2 + (89 - 63.333)^2 + (90 - 63.333)^2 + (91 - 63.333)^2 ]/9 ≒ 933.556 3つのクラス全体の標準偏差 σ4 = √933.556 ≒ 30.55 (点) もし、「3つの数 40.82、8.16、0.81」の標準偏差ということであれば(この3つの数が「何かの標準偏差」であろうが「石の重さ」であろうが、その意味に関係なく) 「3つの数 40.82、8.16、0.81」の平均 μ5 = (40.82 + 8.16 + 0.81)/3 = 16.60 「3つの数 40.82、8.16、0.81」の分散 σ5^2 = [ (40.82 - 16.60)^2 + (8.16 - 16.60)^2 + (0.81 - 16.60)^2 ]/3 ≒ 302.39 「3つの数 40.82、8.16、0.81」の標準偏差 σ5 = √302.39 ≒ 17.39 >各標準偏差の標準偏差を求めた場合、3σなどの確率にも影響してくるのでしょうか。(質問2) いいえ。正規分布においては、 平均値± σ の範囲に、全体の 68.3% が入る 平均値±2σ の範囲に、全体の 95.4% が入る 平均値±3σ の範囲に、全体の 99.7% が入る という特性は変わりません。 http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_2_1.htm 「標準偏差の標準偏差」などというものは存在しませんので、上の例でいえば、「1組の標準偏差 σ1」も「3つのクラスの標準偏差 σ4」も「3つの数 40.82、8.16、0.81 の標準偏差 σ5」も、各々「平均値±3σ の範囲に、全体の 99.7% が入る」確率であることに変わりはありません。 >公式だけではなく、下記の数学の点数に当てはめた場合は、どうなるかも合わせて教えて頂きたいです。(質問3) 上に書いた通りです。「公式」は書いてありませんが、各々の計算式を書きました。 >データの分析はエクセルを用いて行う予定ですので、全体の標準偏差を求める場合に使用するような関数などがあれば教えてください。(質問4) エクセルを使おうが電卓を使おうが、通常の演算を行えば計算できます。計算式は上に書いた程度のものですから。 エクセル上の表のデータに対して標準偏差を計算するなら、「stdevp」関数を使えば計算できます。 http://www.pursue.ne.jp/document_xls/xls0023.htm 似たような関数で「stdev」がありますが、こちらは「母集団の標準偏差の推定値」を計算しますから、間違えて使わないように。