質問: 固有値 一次独立 代数学の本に (定理) n次正方行列aが対角化可能であるための必要十分条件は、aのn個の固有ベクトルx(1)、x(2)、・・・、x(n)で1次独立なものが存在することである。 このとき、p=(x(1)、x(2)、・・・、x(n))とすると、pは正則で p^-1ap=|t(1) | | t(2) | | t(n)| ti(i=12・・n)はaの固有値 xi(i=12・・・n)はtiに対する固有ベクトル とが書いてありますが どのようなことをいっているのでしょうか? また、固有値の時の一次独立とはどのようなことをさすのでしょうか? 最後に固有値とは、tを媒介変数として、連立方程式の解を行列によって導き出すと考えていいのでしょうか? よろしくおねがいします。
回答: 教科書をしっかり読み直してください。 で済ませてしまったらミもフタもなく ここの存在そのものが意味がなくなってしまうので (ちょっと大げさか) 2次の場合について考えて見ましょう。 ax=tx を満たすtが固有値(スカラー)、xは列ベクトル 成分で書くと (2×2型と思ってみてください。) (a,b)(x) (x) (c,d)(y)= t(y) (a、b)(x) (t、0)(x) (c、d)(y)= (0、t)(y) (a-t, b)(x) (0) ( c ,d-t)(y)=(0) x,yが0,0でなければ行列には逆行列が無く (a-t)(d-t)-bc=0 tについての2次方程式だから解は2つあります。 それに対応する列ベクトルxも2つあります。 これが固有値と固有ベクトルです。 固有値が異なれば固有ベクトルは1次独立で・・・ やっぱりここで簡単に説明できるようなことではないです。教科書をしっかり読みましょう。 ベクトルの1次独立は大事な概念です。 索引で調べて読み直してください。