質問: 高校ベクトルの問題 oa=4,ob=3,ab=6である三角形oabがあり、その重心をgとする (1)ベクトルoaとベクトルobの内積をもとめよ (2)線分ogの長さを求めよ (3)点gを通り、直線ogに垂直な直線と直線oa,obの交点をそれぞれd,eとする (i)ベクトルod=sベクトルoa、oe=tベクトルobとなる実数s、tの値を求めよ (ii)dg:geを求めよ。 わかりやすくお願いします。
回答: (1) ab=6 より | ab↑ |^2 = 36 | ob↑ - oa↑ |^2 = 36 | ob↑ |^2 - 2 oa↑・ob↑ + | oa↑ |^2 = 36 9 - 2 oa↑・ob↑ + 16 = 36 oa↑・ob↑ = -11/2 ...(答) (2) og↑ = (1/3) (oa↑ + ob↑) より 9 | og↑ |^2 = | oa↑ + ob↑ |^2 = | oa↑ |^2 + 2 oa↑・ob↑ + | ob↑ |^2 = 16 - 11 + 9 = 14 | og↑ |^2 = 14/9 より og = √14 / 3 ...(答) (3) (i) og ⊥ dg より og↑ ・ dg↑ = 0 og↑ ・ (og↑ - od↑) = 0 | og↑ |^2 - og↑・od↑ = 0 ここで | og↑ |^2 = 14/9 og↑・od↑ = (1/3) ( oa↑ + ob↑ ) ・s oa↑ = (s/3) ( | oa↑ |^2 + oa↑・ob↑ ) = (s/3) (16 - 11/2) = (7/2)s よって 14/9 - (7/2)s = 0 より s = 4/9 ...(答) og ⊥ eg より og↑ ・ eg↑ = 0 og↑ ・ (og↑ - oe↑) = 0 | og↑ |^2 - og↑・oe↑ = 0 ここで | og↑ |^2 = 14/9 og↑・oe↑ = (1/3) ( oa↑ + ob↑ ) ・t ob↑ = (t/3) ( oa↑・ob↑ + | ob↑ |^2 ) = (t/3) (-11/2 + 9) = (7/6)t よって 14/9 - (7/6)t = 0 より t = 4/3 ...(答) (ii) dg↑ = og↑ - od↑ = (1/3) ( oa↑ + ob↑ ) - (4/9) oa↑ = (-1/9) oa↑ + (1/3) ob↑ ge↑ = oe↑ - og↑ = (4/3) ob↑ - (1/3) ( oa↑ + ob↑ ) = (-1/3) oa↑ + ob↑ よって 3 dg↑ = ge↑ より dg : ge = 1 : 3 ...(答) でしょうか。