質問: たたみこみで下の問題の解き方を教えてください。 あと、ラプラス変換もお願いします。 t^2*e^t
回答: (f*g)(t)=∫[0→t]f(u)g(t-u)du であるから,f(t)=t2,g(t)=e^tとして t2*e^t =∫[0→t]u2e^(t-u)du =e^t∫[0→t]u2e^(-u)du ∫[0→t]u2e^(-u)duを部分積分により, ∫[0→t]u2e^(-u)du=e^(-t) (-2+2e^t-2t-t2) であるから, t2*e^t =e^t ・e^(-t) (-2+2e^t-2t-t2) =-2+2e^t-2t-t2【答】 上の結果のラプラス変換を行うと, L[t2*e^t] =L[-2+2e^t-2t-t2] =-2L[1]+2L[e^t]-2L[t]-L[t2] =-2/s+2/(s-1)-2/s2-2/s3 =2/{s3(s-1)}【答】 なお,一般的にf(t)とg(t)の畳み込み積分のラプラス変換は f(t)のラプラス変換L[f(t)]とg(t)のラプラス変換L[g(t)]の積になります。 すなわち, L[(f*g)(t)]=L[f(t)]L[g(t)] が成り立ちます。 実際,f(t)=t2,g(t)=e^tとすると, L[f(t)]=2/s3,L[g(t)]=1/(s-1)であるから, L[t2*e^t]={2/s3}{1/(s-1)}=2/{s3(s-1)} となり,答と一致していることがわかります。