質問: 利潤を求める問題 完全競争下にある企業は利潤(π): π=y-rk-wlを生産関数y=ak^αl^1-α を制約として最大化する。ここで、y,k,l,r,wはそれぞれ、産出量、資本(需要)、労働(需要)、資本コスト(金利 と捉えてもよい)、 賃金を示す。aは、生産技術を示し、外生的に与えられるとする。 という設問で、〇利潤を求めなさいという問題について質問があります。 生産関数がコブダグラス型で与えられているので、費用関数を求めるために min c=rk + wlすなわちy=ak^al^(1-a) の費用最小化をといて求めたc(y)を π=y-c(y)という形で求めるというアプローチであっているでしょうか。 最初は利潤のyに生産関数を代入してl,kをそれぞれ偏微分して解こうと思ったのですがうまくいかなくて、先のアプローチで解いています。途中計算で躓いてしまって過程の考え方があっているかお聞きしたいです。
回答: コスト最小化の1階の条件はあなたの最初のコメントにあるように mpl/mpk=w/r これを計算すると、 k=(w/r)(a/(1-a))l (*) となる。あなたもこれは導出している。(*)を等費用曲線 c=rk+wl のkに代入して、 c=(1/(1-a))wl (**) を得る。つぎに、(*)を 生産関数 y=ak^al^(1-a) のkに代入し、 y=a(w/r)^a・(a/(1-a))^al よって l = (1/a)[(r/w)(1-a)/a]ay (***) 最後に,(***)を(**)のlに代入すると、cをyの関数として表すと、私の費用関数が得られる。各ステップを確認されたい!!