質問: 曲面と点の距離 曲面と点の距離 二葉双曲面の片側(z>0)と点との距離の求め方を教えてください。 例 x^2+y^2-z^2+1=0 (3/√2,3/√2,-√2)
回答: 二葉双曲面f(x,y,z)=0の点(x,y,z)における法線ベクトル =(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)=(2x、2y、-2z) 二葉双曲面上の点(p,q,r)と点(3/√2,3/√2,-√2) を結ぶベクトルは、上記法線ベクトルと平行であることから、 (p-3/√2):(q-3/√2):(r+√2)=2p:2q:(-2r) ∴この比=k、1/(1-k)=tとおくと、パラメータtを用いて、 p=3t q=3t r=-2t/(2t-1) を書ける。これを双曲面の式に代入、 p^2+q^2-r^2+1=t^2(18-4/(2t-1)^2)+1=0 ∴72t^4-72t^3+18t^2-4t+1=0 ・・・(※) これを解いてt、更に(p,q,r)を求め、点(3/√2,3/√2,-√2) との距離を求めればよいです。 (※)は、00)の条件から、前者の方になります。ただこの 4次方程式は簡単には解き難い感じですね。