質問: 微分方程式 微分方程式を2問ほど解けません お願いします 1問目 (x+y)y'+x-y=0 y'=((y/x)-1)/(1+(y/x)) y/xをtとおくと y’=t+xt' 以上より (t-1)/(1+t)=t+xt' (t+1)dt/(t^2+1)=-dx/x・・(1) 左辺=-logx+logc まではわかるのですが(1)の右辺が解けません 2問目 y'+2xy-x-x^3=0 y'+2xy=x^3+x 両辺にexp(x^2)をかけて exp(x^2)y=∫(x^3+x)exp(x^3)dx ここまではできたのですが右辺の積分ができません どちらか片方でも良いので教えてもらえると助かります
回答: 途中まで計算しているので、丸投げでもないようですが... 1問目 普通に部分分数分解すれば、 (t+1)/(t^2+1) = (1/2){ (1+i)/(t+i) + (1-i)/(t-i) } となって、(1)の左辺の積分は、 ∫{ (t+1)/(t^2+1) }dt = (1/2){ (1+i) log(t+i) + (1-i) log(t-i) } です。 複素係数が嫌いなら、 (t+1)/(t^2+1) = (1/2)(2t+0)/(t^2+1) + 1/(t^2+1) と変形すればよいのですが、この式の右辺を積分するためには、 ∫dt/(t^2+1) の公式を覚えていないとなりません。 2問目 ∫(x^3+x) exp(x^2) dx の間違いですね。 x^2 = t と置換してみましょう。