質問: この問題の解き方を教えてください 線形代数 ベクトル空間
回答: (v1(θ), v2(θ)) = cosθ, -sinθ sinθ, cosθ なので、逆行列は (v1(θ), v2(θ))^(-1) = cosθ, sinθ -sinθ, cosθ = (v1(-θ), v2(-θ)) となります。 以下転置ベクトルを t(u, v) で表します(列ベクトル)。 (i) t(a, b)=(v1(θ), v2(θ))・(v1(θ), v2(θ))^(-1)・t(a, b) =(v1(θ), v2(θ))・[(v1(-θ), v2(-θ))・t(a, b)] =(v1(θ), v2(θ))・t(acosθ+bsinθ, -asinθ+bcosθ) =(acosθ+bsinθ)v1(θ) + (-asinθ+bcosθ)v2(θ) 注: (v1(-θ), v2(-θ))・t(a, b) = t(acosθ+bsinθ, -asinθ+bcosθ) となることは直接計算です。 (ii) 小問 (i) により v1(θ') = (cosθ'cosθ+sinθ'sinθ)v1(θ) + (-cosθ'sinθ+sinθ'cosθ)v2(θ) =cos(θ'-θ)・v1(θ) + sin(θ'-θ)・v2(θ) v2(θ') = (-sinθ'cosθ+cosθ'sinθ)v1(θ) + (sinθ'sinθ+cosθ'cosθ)v2(θ) =-sin(θ'-θ)・v1(θ) + cos(θ'-θ)・v2(θ) (iii) {v1(θ),v2(θ)},0 ≦ θ < 2π, は正規直交基底であり θ は無限個の値を取る。