質問: 正規分布を使って確率を求める問題なのですが、わからなくて困っています。 回答過程も一緒に教えてください。よろしくお願いします。
回答: 標本比率の問題です。 この問題の場合、「賛成が21.8%」というのは、一人一人について、「賛成」と答える確率が0.218ということです。この確率を「母比率」といい、pで表します。 これに対し、抽出したn人のうちX人が「賛成」と答えたときの割合 X/n を 「標本比率」といい、これは標本をとるたびに変わる確率変数です。 【ここから詳しく説明しますが、このような説明が必要なければ、下の※まで飛ばして結構です】 n人の人について、そのうち「賛成」と答える人数Xは「表の出る確率がpであるコインをn回投げたときの表の回数」と同じ(問題文にある「復元抽出」とはこの意味です)で、二項分布B(n, p)に従います。 すなわち X ~ B(n, p) で、この問題の場合、X~B(100, 0.218)です。 ところで、「ドモアブル・ラプラスの定理」と呼ばれる定理により、nが大きいときは二項分布を正規分布で近似できることが知られています。 二項分布B(n, p)の平均はnp、分散はnp(1-p) ですから、nが大きいとき、これは近似的に正規分布N(np, np(1-p))に従うとみてよいことになります。 つまり X~N(np, np(1-p)) とみてよいわけです。 すると標本比率 X/n については、平均が1/n倍、分散は1/n^2倍になるため、上の平均と分散をそれぞれnと n^2 で割って、平均はp、分散は p(1-p)/n となります。したがって、 ※標本比率X/n ~ N(p, p(1-p)/n) この問題の場合、X/n ~ N(0.218, 0.218×0.782/100)=N(0.218, 0.0017)となります。分散は0.0017ですが、必要なのは標準偏差ですので、平方根を取ると、標準偏差は 0.0413 程度になります。 さて、問題は、この標本比率が20%以下になる確率、すなわちP(X/n≦0.2)を求めることです。 上に述べたように、標本比率X/n ~ N(0.218, (0.0413)^2)ですが、正規分布表を用いるためには標準化(=平均を引いて標準偏差で割る)を行って、標準正規分布に直さなければなりません。 標準化したものをZで表すと、この問題の場合、 Z=(X/n-0.218)/0.0413 で、 P(X/n≦0.2)=P(Z≦(0.2-0.218)/(0.0413))=P(Z≦-0.436) となります。正規分布表は通常小数第2位までしかないので、 P(Z≦-0.44)を求めましょう。 正規分布表は通常 0≦Z≦u の範囲にある確率をuの値のところに表示しますが、Z≧u の確率を示している表もあるので注意が必要です。使っている表がどちらなのか、よく確認してください。 0≦Z≦u の範囲にある確率を示す表であれば、u=0.44 のところの確率を見ると0.1700、Z≧u の確率を示す表なら 0.3300 と表示されているはずです。 0≦Z≦u の表にある確率からZ≧u の確率を求めるには、0.5から表の値を引けばよいのです。 したがって、この問題の答えは、 P(X/n≦0.2)=P(Z≦-0.44)=P(Z≧0.44)=0.3300 すなわち約33%となります。