質問: 二次関数の問題 放物線c:y=ax^2(a>0)と双曲線h:y=k/x(k>0)が右の図のように点aで交わっている。双曲線hが点(-4,-8)をとおり、点aのx座標が2であるとき、次の問いに答えなさい。 問題 双曲線h上に点bをとったとき、△oabの面積が24となった。ただし、点bのx座標は2より大きいものとする。このとき、点bの座標を求めなさい。 この問題なんですが、解説を読んでも理解できません。 解説 oa上に、dbとx軸が平行になるような点dをとる。 ここで、b(t、32/t)とする。 oaの式はy=8xであるから、 32/t=8x,x=4/tよりd(4/t,32/t) ここまで理解できました。 このとき。△oabの面積について、1/2bd×16=24,1/2(t-4/t)×16=24 しかし、なぜ△oabの面積が1/2×bd×16になるのかわかりません。 自分で図形を作って書いてみたのですが、この図形が間違っているのでしょうか? 教えてください。
回答: 解説通りにするのも良いのですが、私ならこうします。 すなわち、双曲線hが点(-4,-8)をとおり、点aのx座標が2であることから、点aは(2,16)であることが簡単に求まりますし、放物線cはy=4x^2、双曲線hはy=32/xと求まります。 点bは双曲線上の点ですので、座標を(b、32/b)と置きます。また点aからy軸に垂線をおろして交点をy(→(0,16))、点bからx軸に垂線をおろして交点をx(→(b、0))とおき、直線yaと直線xbトノ交点を点zとおくと、長方形oxzyから△oxbの面積と△oayの面積(これらは計算すると、いずれも16になる)と△abzの面積を引いたものが24になる。←この関係式からb=4と求まり、点b=(4,8)と求まります。 △abzの面積は、面倒に思えるかもしれませんが、点aと点bの座標を入れて計算してみてください。非常にきれいに解けます。 これならば、点dの座標を求めることもなく、方法論としては中学生でも理解できると思います。