質問: ◇コイン50枚◇ 微分方程式、大学の範囲になります。 解き方、過程から詳しく書いて教えてください。 ベストアンサーの方にコイン50枚お渡しします。 よろしくお願いします。
回答: とても興味深い問題です。 アドバイスを受けながら完成しました。 通常のサイクロイド曲線は、 x=a(θ-sinθ) y=a(1-cosθ) ですが、 この問題は、 x=a(θ+sinθ) y=a(1-cosθ ) 通常のサイクロイド曲線を逆さにした放物線のような形ですね。 dx/dθ=a(1+cosθ) dy/dθ=asinθ dy/dx =(dy/dθ)(dθ/dx) =sinθ/(1+cosθ) 一般論 曲線の長さは微小部分Δsとすると、 (Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2 が成り立つから (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2 ds/dx=√(1+y'^2) ds=√(1+y'^2)dx s=∫√(1+y'^2)dx y'がxの式で与えられていればもとまるはず。 この問題で s=∫√(1+y'^2)dx を求めたいが、y'はθの関数だから dx=(dx/dθ)dθ と変換して dx=a(1+cosθ)dθ √(1+y'^2) =√[1+{sinθ/(1+cosθ)^2}] を使って、 s=a√2∫√(1+cosθ)dθ 1+cosθ=2cos^2(θ/2) だから、 s=a√(2∫√2cos(θ/2)dθ =4a•sin(θ/2) s=zで z=4a•sin(θ/2) (2) 法線ベクトルとy軸正方向のなす角をφとすれば、接線とx軸のなす角度もφとなる。 接線の傾きは、y'=tanφ だから、 tanφ=y' =sinθ/(1+cosθ) =2sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos^2(θ/2) =tan(θ/2) よってφ=θ/2 (3) 運転方程式(重力加速度gとすれば) 質点の位置は(x,y)=z で、運転方程式は F=md2z/dt2である。 質点にかかっている力は重力mgである。 質点は、軌道z上を接線方向に動いているので、 接線とx軸とのなす角度はφであるから、実際には重力はmgのsinφぶんだけ運転を妨げる方向に働いている。 すなわち、 -mgsinφだけの力が働いている。 よって運転方程式は md2z/dt2=-mgsinφ (1)より、z=4a•sin(θ/2) (2)より、φ=θ/2 だったから、結局、運転方程式は、 d2z/dt2=-(g/4a)•z になりました。 これは、単振動の運動方程式です。 g/(4a)=ω2とおくと d2z/dt2=-ω2t 一般解は y=Asin(ωt+B) です。 三角関数の周期は、 sin(ω(t+T))=sinωt sin(ωt+ωT)=sinωt を満たすTである。 sinの周期は2πだから ωT=2π が成り立つ。 T=2π/ω ω2=g/(4a)だったから ω=(1/2)√(g/a) よって、周期T=4π√(a/g)