質問: a,bは、定数とする。関数f(x)x^3+ax^2-9x+bはx-1で極大になる。
回答: (1) f(x)=x3+ax2-9x+b f’(x)=3x2+2ax-9 x=-1で極大になるから f’(-1)=3-2a-9=0 ∴ a=-3 (2) (1)から f’(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 故に、f(x)はx=3で極小値をとる。 (3) (1)から f(x)=x3-3x2-9x+b f’(x)=3(x+1)(x-3) f(x)=0が異なる3個の実数解を持つとき、f(x)は異なる3点でx軸と共有点を持つ。 このとき、極大値>0 かつ 極小値<0 となるから f(-1)=5+b>0 f(3)=-27+b<0 ∴ -5<b<27 (4) f(x)が極大値でx軸と接するから f(-1)=5+b=0 b=-5 b=-5のとき f(x)=x3-3x2-9x-5=(x+1)2(x-5) f(x)はx軸とx=-1で接し、x=5で交わる。 -1≦x≦5の範囲でf(x)≦0である。 求める面積 =∫[-1→5]f(x)dx =(54/4+53-9×52/2-5×5)-((-1)4/4+(-1)3-9×(-1)2/2-5×(-1)) =(54+4×53-18×52-4×52)/4-(1/4-1-9/2-5) =23×25/4-(-41/4) =154 計算ミスがあったら m(_ _)m