質問: の変形が分かりません。 根本的に解き方が違うのでしょうか?
回答: 次のような解法と解の表示の仕方もあります. y'' + y = 0 の両辺に y' を乗ずる. y'' y' + y y' = 0 これを変形すると ((y')^2)' + (y^2)' = 0 a を積分定数として,上式の両辺を x で積分すると (y')^2 + y^2 = a y' を求めると (y')^2 = a - y^2 y' =±(a - y^2)^(1/2) b を積分定数として,上式の両辺を x で積分すると y =±∫(a - y^2)^(1/2) dx + b この式は,微分方程式 y'' + y = 0 の一般解です. (検算) y =±∫(a - y^2)^(1/2) dx + b y' =±(a - y^2)^(1/2) y'' =±(1/2)・(-2 y y')・[(a - y^2)^(-1/2)] y'' =±(1/2)・(-2{±∫(a-y^2)^(1/2)dx+b}・ ・{±(a-y^2)^(1/2)})・[(a-y^2)^(-1/2)] y'' =±(1/2)・(-2{∫(a-y^2)^(1/2)dx+b}・ ・{(a-y^2)^(1/2)})・[(a-y^2)^(-1/2)] y'' =±(-{∫(a-y^2)^(1/2)dx+b}) y'' + y =±(-{∫(a-y^2)^(1/2)dx+b}) +[±∫(a - y^2)^(1/2) dx + b]=0 となり, y =±∫(a - y^2)^(1/2) dx + b が一般解であることを確認できました.