質問: 不定積分の問題 (1)∫dx/{(2x+1)√(1-x^2)} (2)∫√(x^2+2x+2)dx/x という問題です。解答と自分の答えが合わず、どこがまちがっているのか分かりません。指摘していただけないでしょうか。よろしくお願いします。 (1)t=√{(1+x)/(1-x)}とおく。 dt=1/(1-x)^2*√{(1-x)/(1+x)}dx 与式=∫1/{(2x+1)√(1-x^2)}*(1-x)^2√{(1+x)/(1-x)}dt =∫(1-x)/(2x+1)dt =2/3∫1/(t^2-1)dt ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。 また、解答は1/√3*log{(x+1/2)/(x+2+√(3-3x^2))}となっているのですがどうしてこうなるのかさっぱりです。 (2)t=√(x^2+2x+2)+xとおく。 dt={(x+1)/√(x^2+2x+2)+1}dx =(t+1)/√(x^2+2x+2)dx 与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt ここから分かりません。 解答はarcsinh(x+1)+√2log{x/(x+2+√(2x^2+4x+4))+√(x^2+2x+2)}となっています。 解答までの導き方も合わせて教えていただけると助かります。 略解しかなく、本当に困っています。 どうかよろしくお願いします。
回答: (1) 非積分関数が定義されるxの範囲は -1=(2/3)∫1/(t^2-1)dt=j >ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。 これは部分分数に直せば積分できる形です。 j=(1/3)∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt =(1/3)ln|(t-1)/(t+1)|+ c (2) >与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt なぜ(あなたが)出来ない変数変換をするんですか? i=∫√(x^2+2x+2)dx/x=∫√{(x+1)^2+1}dx/x なのでまず x+1=t という変数変換をします。 i=∫√(t^2+1)/(t-1) dt 続いて t=tan(s) という変数変換をします。 i=∫sec^3(s)/(tan(s)-1) ds 更に tan(s/2)=u という変数変換をします。 i=2∫(u^2+1)^2/{(u^2-1)^2*(u^2+2u-1)} du 部分分数展開して i=4∫du/(u^2+2u-1)+∫du/(u+1)-∫du/(u-1)-∫du/(u+1)^2+∫du/(u-1)^2 =4∫du/{(u+1)^2-2} +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +c1 ...(■) 初項の積分 i1=4∫du/{(u+1)^2-2} u+1=v√2と変数変換をして i1=2∫√2dv/(v^2-1) 部分分数展開して i1=√2{∫dv/(v-1)-∫dv/(v+1)} =√2ln|(v-1)/(v+1)| +c2 =√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +c2 (■)に代入 i=√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +c (積分定数c=c1+c2) 後は変数変換を逆順にu→s→t→xと行えば良いですね。