質問: 2.0×10^-6(c)の正電荷および、-1.0×10^-6の負電荷を 2.0×10^-6(c)の正電荷および、-1.0×10^-6の負電荷をもつ二つの小球a,bをa(m)話して固定する。電位が0となる点の位置を求めよ。 こういう問題なのですが、僕は電位が0になる点が3つできる(aの左に一つ、aとbの間にひとつ、bの右側に一つ)とかんがえたのですが、間違いでしょうか。 解説よろしくお願いします。
回答: 変な問題ですね。「電位が0となる点の集合を求めよ」ではないですか? それなら、答えはある球面になります。 まず、こういう問題に向かう時の基本的な姿勢として、電荷の位置をxyzの座標で表しましょう。計算を簡単にするため、正電荷を原点に、負電荷をz軸上正方向に置きましょう。つまり、正電荷の座標を(0,0,0)、負電荷の座標を(0,0,a)と置くわけです。 そうした上で、点(x,y,z)における電位を考えましょう。正電荷+2q(数字は面倒なので1.0×10^-6 [c]をqと置きます)と負電荷-qとが点(x,y,z)に作る電位e1,e2はそれぞれ次のように表されます。 e1 = (1/4πε)(2q/r1) e2 = (1/4πε)(-q/r2) ここで、r1とr2は、それぞれ点(0,0,0)と点(0,0,a)から点(x,y,z)までの距離です。 電位については「重ね合わせ」の法則が成り立ちますので、点(x,y,z)の電位eはe1とe2の和になります。 e = e1 + e2 問題の解は、e = 0 とおけば得られます。すなわち、 (1/4πε)(2q/r1) + (1/4πε)(-q/r1) = 0 ここから後は、高校数学の問題です。 移項して両辺を定数倍すれば 2/r1 = 1/r2 両辺にr1r2を掛けて 2r2 = r1 両辺を平方して 4r2^2 = r1^2 ピタゴラスの定理から 4[x^2+y^2+(z-a)^2] = x^2+y^2+z^2 移項して3で割ると x^2+y^2+z^2-(8az)/3+(4a^2)/3 = 0 zの部分について平方完成させると x^2+y^2+(z-4a/3)^2-(16a^2)/9+(4a^2)/3 = 0 定数項をまとめて右辺に移項すれば x^2+y^2+(z-4a/3)^2 = (4a^2)/9 これは、点(0,0,4a/3)を中心とする半径 2a/3 の球面を表す方程式です。これが答えです。 この球面とz軸との交点について敢えて求めれば、点(0,0,2a/3)と点(0,0,2a)になります。一つ目の点は小球aとbとの間、二つ目の点は小球bの上方になります。しかし、この2点だけを答えるのでは、不十分です。