質問: 数三 積分法の問題です y=-x^4+2x^2(x≧0)とx軸で囲まれた部分をy軸の周りに一回転しててきる回転体の体積を求めよ。 やり方を詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。
回答: この問題を解くにあたってはy=f(x)=-x^4+2x^2のグラフが正確に書けることが必要。 y'=-4x^3+4x=-4x(x+1)(x-1), f(±1)=1 y=0となるのはx=0、±√2 x≧0、y≧0、の範囲では、 x=0においてy=0,曲線はx軸に接しxの増加とともにyは増加し、x=1においてyは極大で最大となり、最大値1.x=1を過ぎるとyは減少し、x=√2においてy=0となり、その後も単調減少する。 増減表を書いて上記の挙動を示すこと。 求める回転体の体積iは今はやりのバウムクーヘン積分によって求める。 i=∫(x:0→√2)2πxydx=∫(x:0→√2)2πx(-x^4+2x^2)dx =2π∫(x:0→√2)(-x^5+2x^3)dx=2π-x^6/6++2x^4/4 =2π-x^6/6++2x^4/4=4π/3 バウムクーヘン積分はネットで調べること。