質問: この正規分布表を使う問題はある? 正規分布表の、pとzを逆にした表があります。 普通の正規分布表はよく使うのですが、 この添付ファイルの表は、「一体いつ使うの・・・?」と不思議です。 これまでに、一問も、そうした問題が出てきていません。 どういう時に、これを使うのでしょうか?
回答: 累積分布関数(cdf)の逆関数ですね。実際の応用において、どの様な使い方が最も一般的なのかは分かりませんが、次の様な例は知っています。 ※以降では説明の為、件の正規分布表で与えられる関数を invnormalcdf とします。つまり、z = invnormalcdf(p)。 (1) x = [0,1] の一様乱数から任意の分布の乱数 z を得るのに、z = invcdf(x) 等として cdfの逆関数が使えます。 つまり、cdf の逆関数を知っていれば計算機で任意の分布の擬似乱数を作るのに使えます。但し、標準正規分布の場合に限れば、より高速な「一様分布→正規分布」の変換方法(box-muller変換)が知られているので、この方法は余り使われないですね。 (2) 「信頼度 p で帰無仮説を棄却するのにどれくらい離れた値が出たらいいのか」を知るのに使えます。 例えば、片側検定で、信頼度0.95 (有意水準0.05) で「z~n(0,1) (z は平均0分散1の正規分布に従う) とは言えない」と主張するには、z > invnormalcdf(0.95) の z が(一発目で)測定できれば良い訳です。つまり、その目安(閾値)は何かなと思った時は invnormalcdf(0.95) を見れば良い訳です。 (3) 事象の珍しさを表す「~σ」の値を求めるのに使います (only in 素粒子実験?) 先ず「~σ」について: 例えば、素粒子実験で「ヒッグスを発見した」と主張する為に検定を行う訳ですが、これは世界に発表する物なので慎重にならなくてはなりません。実際に、有意水準を~0.0000003というとても小さな値に設定しています。この有意水準は「5σ」等と呼ばれます。更に、もっと詳細な議論をする為に 0 がもう少し少ない有意水準や、0 がもっと沢山ある有意水準がしばしば出てきます。しかし、0 が沢山並んでいる数は分かりにくいので、これらの小さな数値を表すのに「~σ」を使います。「○○σ」というのは「正規分布n(0,σ)に従う変数 z が(z > ○○σ) となる確率」に対応しています。この様な正規分布を使った表現は(慣れてくれば)感覚的に非常に分かりやすいので素粒子実験などの分野では多用されます。 (しかし、逆に、素粒子以外の分野で使われている例は知りませんね...。) さて、ある珍しい事象が測定されたとします。仮に測定の誤差が正規分布に従うとすると、結果が○○σなのかは、単に測定された偏差を標準偏差σで割り算すれば良いだけですが、実際には(特に裾野の方は)正規分布からずれます。その補正の為に invnormalcdf が登場します。まず、測定値を一旦確率(有意水準)に換算します: α=cdf(測定値), (ただし cdf は実際の分布(正規分布でない)の累積分布関数) そして、今度は f (標準正規分布の逆cdf = invnormalcdf) を適用します: ○○ = invnormalcdf(α) = invnormalcdf(cdf(測定値)) こうすれば、測定したのが「○○σに対応する」という事が分かります。 因みに受験で出てくる「偏差値」は、「○○σ」の○○を使って、 偏差値 = 50 + 10 × ○○ と求められます。しかしながら、得点分布が正規表現からずれる事の補正を普通は行わないので、その意味において受験の偏差値は統計的には「怪しい値」であると言えましょう。 ※ところで、現代ではプログラム上からコンピュータに用意されている関数を呼び出すので、わざわざ直接表を操る事は学習の時以外は余りありません。しかし、コンピュータの中では、正規表現表(に対応する物)が色々な目的で大活躍しています。