質問: 線形代数の証明問題
回答: ⇒ rankA=rのとき、Aにはr個の一次独立な行ベクトルが存在し、それをa1,a2,...,arとする。この行ベクトルからなる行列をCとすると、Cには一次独立なr個の列ベクトルb1,b2,...,brが存在し,この列ベクトルからなるr次正方行列をArとする。このとき |Ar|≠0であり、これはAの小行列である。またArを含むr+1次の小行列Br+1の行ベクトルはすべてAのr+1個の行ベクトルの一部であり、rankA=rより、Br+1の行ベクトルの中の任意の1行は他の行の一次結合で表せるので、|Br+1|=0である。 ⇐ |Ar|≠0のようなr次小行列があり、これを含むr+1次小行列をBr+1とする。|Br+1|=0よりBr+1のArに含まれない部分の1列は他のr個の列ベクトルの一次結合で書ける。この1列はAの中のArに含まれない列から任意にとってこれるので、Br+1の行ベクトルが含まれているAのr+1個の行ベクトルからなる行列をC'とすると、rankC'=rとなる。よってC'にはr個の一次独立な行ベクトルが存在し(これはArの行ベクトルが含まれている部分の行である)、残りの1行は他のr個の行ベクトルの1次結合で書ける。この残りの1行は最初のBr+1の取り方によってAの任意の行からもってこれるので、Aの行ベクトルの中で一次結合なものはr個である。よってrankA=r