質問: 実数体について 体とは, (1)加法に関してアーベル群 (2)乗法に関してアーベル群 (3)分配法則が成り立つ これらの条件を満たさなければならないはずですが,実数全体の集合は満たしているのでしょうか? (1)や(3)は当然満たしていることはわかります.しかし(2)はどうでしょうか? 実数は乗法においてそもそも”群”ではないので,もちろんアーベル群にもなりえないはずです. しかし色々調べてみても,「実数全体の集合は体になる」とあります. これはなぜなのでしょうか? そもそも自分のアーベル群の理解が違っているのでしょうか? 群のうち,可換なものがアーベル群ですよね? だとしたら,群となっていることは最低条件のはずです. 実数はそれを満たしていません. なのになぜ体になるのですか? よく分からないので教えてください.
回答: 体の加法単位元は、「零元」といって、 けっして乗法逆元を持つことがありません。 (1) と (3) から、零元に何を掛けても 積は零元になることが示せます。 だから、(2) は変ですね。 やはり、定義の確認が必要だと思います。