質問: 確率の問題です。 (1-3)がわかりません。 よろしくお願いします。
回答: 0≦X+Y+Z+W≦1 の範囲で密度関数を求める。 U(0,1) に従うX, Y , Z, W の密度関数はどれも f(x)=1 (0≦x≦1)であるから、 X+Y の密度関数を g(y) とすれば 畳込みにより、 g(y)=∫[-∞,∞] f(x)f(y-x) dx 0≦x≦1,0≦y-x≦1⇔0≦x≦1,y-1≦x≦y より 0≦y≦1 のとき、g(y)=∫[0,y] 1 dx=y また、X+Y+Z の密度関数を h(z) とすれば、 h(z)=∫[-∞,∞] g(y)f(z-y) dy より 0≦z≦1 のとき、h(z)=∫[0,z] y dy=z^2/2 さらに、X+Y+Z+W の密度関数を s(w) とすれば、 s(w)=∫[-∞,∞] h(z)f(w-z) dz より 0≦w≦1 のとき、 s(w)=∫[0,w] z^2/2 dz=w^3/6 したがって、X+Y+Z+W<0.9 となる確率は ∫[0,0.9] w^3/6 dw=0.9^4/24≒0.027 備考) 0≦X+Y+Z≦1 のとき、X+Y+Z の分布関数が z^3/6 となることから、 X+Y+Z+W の密度関数を w^3/6 とする考え方があるかも知れません。 また、四次元の直角三角形の体積が w^4/24 であると思われるので、これから直ちに答えが得られますが、どちらについても説明できるほど詳しくはありません、