質問: 「可測空間(a,b)上のf-可測集合全体mはσ集合体をなす」の証明 下記の命題の(iii)がどうしても示せません。 [定義]f:b→r∪{+∞}を可測空間(a,b)上の外測度。 ⇔(def) (i) f(2^a)⊂[0,∞],特にf(φ)=0 (ii) c⊂d(c,d∈2^a)⇒f(c)≦f(d) (iii) f(∪[n=1..∞]c_n)≦σ[n=1..∞]f(c_n) (c_n∈2^a (n∈n)) [定義]f:b→r∪{+∞}を可測空間(a,b)上の外測度とする。e(⊂a)は(a,b)上でf-可測(集合)。 ⇔(def) ∀c∈2^a,f(c)=f(c∩e)+f(c∩e^c) [命題] (a,b)を可測空間とする。(a,b)上のf-可測集合全体mはσ集合体をなす。 [証] (i) e∈m⇒e^c∈mは 今e∈mなので∀c∈2^a,f(c)=f(c∩e)∪f(c∩e^c)が成立。 これはf(c)=f(c∩e^c)∪f(c∩(e^c)^c)とも書けるのでe^c∈m (ii) φ∈m ∀c∈2^a,f(c)=f(c∩a)=f(c∩(φ∪φ^c))=f((c∩φ)∪(c∩φ^c))と書ける。 従って,f-可測の定義よりφ∈m (iii) e_i∈m (i∈n)⇒∪[i∈n]e_i∈m e_i∈mより∀c∈2^a,f(c)=f((c∩e_i)∪(c∩e_i^c))と書ける。 これからどうやって f(c)=f((c∩(∪[i∈n]e_i))+f(c∩(∪[i∈n]e_i)^c) が導けますでしょうか?
回答: p16~17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。