質問: x^2 + 2kx + k^2 - 2 という二次関数の方程式があるとします。 その方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつとき、次の問題に答えよ。 という設定があり、(1)の問題 α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。 だったとします。 この問題を解くにあたって、既に問題文に「実数解α、β(α≦β)をもつ」とある場合 もう判別式をつくる必要はないのですか? 普通なら、「判別式が正」「この問題の場合、軸の場合分け」「x=1のときyが負」という三つの条件が必要ですよね? しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある場合は、判別式は必要ありませんか?
回答: >その方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつとき、 これがこの問題の仮定ですから、この仮定を使って、 >α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。 を、計算していくことになります。ですから、 条件「方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつ」 と、「α、βがα≦1≦βをみたす」 から、 (1)判別式d≧0 (2)α≦1≦β つまり、f(1)≦0 の条件を使うことになります。 ただ、この例の、2次式 y=x^2+2kx+k^2-2 は、判別式が正の条件をすでに満たしているので、この場合 には使う意味がないことになります。 さらに言えば、上の条件(2)から条件(1)が導かれるの で、この場合、(2)の条件だけですむことになります。 >しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある >場合は、判別式は必要ありませんか? 書いてあるからこそ、この仮定を使えるということです。 問題文に仮定されていることしか使えませんから、使うこと が、「絶対必要」なのです。普通は、使わない条件は問題文に、 書かれていないと考えた方が良いです。 (2)の条件から(1)の条件が導かれる例です。 2次式が f(x)=x^2+ax+b の場合。 (2)は、f(1)=a+b+1≦0 このとき、b≦-a-1 よって、-4b≧4a+4 したがって、a^2-4b≧a^2+4a+4=(a+2)^2≧0 ゆえに、d=a^2-4b≧0 (2)から(1)が示せました。