質問: lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} の値をロピタルを使わずに高校数学で求められますか?
回答: lim[x→∞]log((1+x)^(1/x)) =lim[x→∞]log(1+x)/x =lim[t→∞] t/(e^(t)-1) =lim[t→∞] (e^(t)/(e^(t)-1))•(t/e^(t)) =lim[t→∞] (1/(1-e^(-t)))•(t/e^(t)) ここで, t>0のとき (e^(t)-t2/2)''=e^(t)-1>0 より (e^(t)-t2/2)' は t>0 で単調増加であるから (e^(t)-t2/2)'=e^(t)-t>1. これより e^(t)-t2/2 も t>0 で単調増加であるから e^(t)-t2/2 > 1 ⇔e^(t) > t2/2 + 1 > t2/2 ゆえに, t>0 のとき 0 < t/e^(t) < t/(t2/2) = 2/t lim[t→∞] 2/t = 0 であるから, はさみうちの原理より lim[t→∞] t/e^(t) = 0 また, lim[t→∞] 1/(1-e^(-t))=1 より lim[t→∞] (1/(1-e^(-t)))•(t/e^(t)) = 0 ゆえに, limx→∞^(1/x) = 1