質問: 微分する、とは? こんにちは 突然ですが、「微分する」、とはどのようなことなのでしょうか? 微分方法は分かるのですが、微分することによって何がどうなるのかがイメージできません。 辞書で調べてみると、微分とは「ある関数の導関数を求めること」と書かれています。 今度は導関数を調べてみると、「関数f(x)を微分して得られる関数f'(x)を、もとの関数の導関数という」と書かれています。 要は、導関数とは「関数f'(x)」のことでしょうか。 では、微分しこの導関数を求めることによって、何がどうなるのでしょうか? 何のために求めるのでしょうか? 私は数学にはあまり詳しくありません。(数iiに関する知識も殆ど忘れてしまっています;) ですので、出来ましたら端的にわかり易くご説明していただけると、とても助かります。 お手数ですが、よろしくお願いします。
回答: 最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。 f(x)=x^2 上の点p(x,x^2) ここから、hだけx座標が増加したところのf(x)上の点q(x+h,(x+h)^2) 平均変化率を求める式は、(x+h)^2-x^2 / x+h-x =2hx + h^2 / h =h(2x + h) / h =2x+h このh を限りなく0に近づけていく、だから、2x。 f'(x)=2x だと導けます。 そうすると、pにおける接線の傾き(その瞬間の変化率)が求まると私は理解しています。 具体的な数値で考えれば、よりわかりやすいかもしれません。 p(2,4)だったとして、q(5,25) だったとしましょうか。 x座標は3増えて、y座標は21増えている。 この間の平均変化率は、21÷3=7 pqを結ぶ直線の傾き。 ここでいう「3」をどんどん小さくしていく、限りなくゼロに近づけていくというイメージを私は持っています。 点qが、点pに近づいて行って、最終的には限りなく一致するところまで行きます。 となると、pqを結ぶ直線は、pにおける接線となる、という感じでしょうか。