質問: W1={(x,y,z,w)⊂R^4|x+y+w=0,z=0} W2={(x,y,z,w)⊂R^4|x+z+w=0,y=0} について、 問1)dimW1を求めよ 問2)(dimW1+dimW2)を求めよ. この問題について教えてください。
回答: 問1) W1 = {(x, y, z, w) ⊂ R4| x + y + w = 0, z = 0} x + y + w = 0 より y = s, w = t (s, t は任意の実数) とおくと x = -s - t (x, y, z, w) = (- s - t, s, 0, t) = s(-1, 1, 0, 0) + t(-1, 0, 0, 1) より dimW1 = 2 問2) 同様に W2 = {(x, y, z, w) ⊂ R4| x + z + w = 0, y = 0} x + z + w = 0 より z = u, w = v (u, v は任意の実数) とおくと x = -u - v (x, y, z, w) = (- u - v, 0, u, v) = u(-1, 0, 1, 0) + v(-1, 0, 0, 1) より dimW2 = 2 また W1∩W2 は x + y + w = 0, z = 0 x + z + w = 0, y = 0 を満たす x, y, z, w を 考えればいいので y = z = 0 x + w = 0 より x = -w となるので w = k (k は任意の実数) とおくと x = -k (x, y, z, w) = (-k, 0, 0, k) = k(-1, 0, 0, 1) より dim(W1∩W2) = 1 より dim(W1+W2) = dimW1 + dimW2 - dim(W1∩W2) = 2 + 2 - 1 = 3