質問: 数列の問題です。教えて下さい!
回答: 初項をまず求める。S1=a1 だから、4a1=5a1-4-1 従って、a1=5 4Sn=5an-4n-1 なので、n-1番めに関しては、 4S(n-1)=5a(n-1)-4(n-1)-1 それぞれ両辺を引くと、an=Sn-S(n-1)に注意して、 4an=5an-5a(n-1)-4 即ち an=5a(n-1)+4 これは、 an+1=5{a(n-1)+1} 見やすくするためにAn=an+1 とすると An=5A(n-1) で、等比数列で、A1=a1+1=6, 等比数列の和を計算して ΣAn=6(1-5^n)/(1-5)=3(5^n-1)/2 一方、ΣAn=Σ(an+1)=Σan+n で、 Σan+n=3(5^n-1)/2 Sn=Σan=3(5^n-1)/2-n (n=1,2,3,....) でこれが答えである。 因みに、S1=3(5-1)/2-1=6-1=5 S2=3(25-1)/2-2=36-2=34 S3=3(125-1)/2-3=3*62-3=183 で正しいことが検算される。