質問: 級数・関数 xを2と異なる実数とするとき無限級数 (x-4)+x(x-4)/(2x-4)+x^2(x-4)/(2x-4)^2+・・・+x^n-1(x-4)/(2x-4)^n-1 を考える。 (1)この無限級数が収束するとき実数xのとりうる値の範囲を求めよ。 (2)(1)で求めた範囲のxに対して,与えられた無限級数の和をf(x)で表す。 (i)f(0),f(4)を求め、f(x)=6となるxを求めよ。 (ii)関数y=f(x)のグラフと直線y=x/2+kが共有店を持つような実数kの範囲を求めよ。 (iii)関数y=f(x)のグラフは放物線y=x^2/4-4と3個の共有店を持つ。 それらの点のx座標を小さいほうから順に答えよ。 答(1)x<4/3,x≧4 (2)(i)f(0)=-4,f(4)=0,f(5)=6 (ii)k≦-2,k>2 (iii)x=0,4,8 自分でやってみると例えば(1)が何度やってみてもx>4/3,x≧4になったりとおかしなことになってしまいました。 どうすれば全てちゃんとした答にたどりつくのか解説をお願い致します。
回答: malxさん、こんにちは。 >xを2と異なる実数とするとき無限級数 (x-4)+x(x-4)/(2x-4)+x^2(x-4)/(2x-4)^2+・・・+x^n-1(x-4)/(2x-4)^n-1 を考える。 (1)この無限級数が収束するとき実数xのとりうる値の範囲を求めよ。 まず、この答えが合わないということですが、 この無限等比級数の公比は、 x/(2x-4)ですよね。 無限等比級数が収束する条件は、公比が -10 3x^2-10x+8>0 たすきがけで 3 -4 -4 1 -2 -6 ------------------ -10 (3x-4)(x-2)>0 となるので、 x<4/3,x<2となります。 1)2)を合わせた範囲は、x<4/3,4≦x となるので、答えと合っています。 ご参考になればうれしいです。