質問: こちらの問題は全てロピタルの定理が使えますか?
回答: bla********さん 2021/5/13 19:21 (5)以外はロピタルが使える。(5)は試してみたが、ロピタルが使えるかどうか不明。 1)limx→1/(3x2-4x+1) =2limx→1(2x+1)/(x-1)(3x-1) =2limx→1/(3x-1)=3 【別解】あえてロピタルの定理を使うと limx→1/(3x2-4x+1) 0/0 の不定形。ロピタルの定理 =limx→1/(6x-4)=3 2)略 3)ロピタルの定理を3回使う 【別解】マクローリン展開 cosx=1-x2/2!+x4/4!-...を使う 4)マクローリン展開 √(1+x)=1+x/2-x2/8+x3/16-... を使うと (与式)=lim[x→0]{x3/16+O(x5)}/x3 =lim[x→0]{1/16+O(x2)}=1/16 *O(x2)はランダウの記号。xの2次以上の多項式 【別解】0/0 の不定形。ロピタルの定理 (与式)=lim[x→0]{1/(2√(1+x))-1/2+x/4}/(3x2) =1/12 lim[x→0]{2/√(1+x)-2+x}/x2 0/0 の不定形。再びロピタルの定理 =1/12 lim[x→0]{-1/√(1+x)3+1}/(2x) =1/24 lim[x→0]{-1/√(1+x)3+1}/x 0/0 の不定形。再びロピタルの定理 =1/24 limx→0/√(1+x)5 =(1/24)(3/2)=1/16 5)tanx=x+x3/3+... ⇒ tan2x=x2+2x4/3+17x6/45+... ⇒ (tan2x-x2)/x4=2/3+17x2/45+... limx→0]x/tanx=lim[x→0cosx=1 *ロピタルの定理でも解ける ∴ 1/x2-1/tan2x=(x/tanx)2(tan2x-x2)/x4 → 12*2/3 = 2/3