質問: ∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません ∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません 答えは ( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) ) となるようですが、過程がまったくわかりません。 部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。 見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。 よろしくおねがいします。
回答: 1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2 = 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2 と分解しよう。 ∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、 ∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、 部分積分する。 ∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、 知らなければどうしようもない。 (x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)