質問: lim (x,y)→(0,0) (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) の極限値ってありますか?
回答: あります。 x=rcosθ y=rsinθ (r>0) と置きます。 r→0のとき、(x,y)→(0,0)です。 (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) = (x(x^2+y^2))/(x^2+y^2+xy) = (rcosθ・r^2)/(r^2+r^2cosθsinθ) = rcosθ/(1+cosθsinθ) = 2rcosθ/(2+sin2θ) |2rcosθ/(2+sin2θ) - 0| < 2r であり、r→0のとき、2r→0であるため、 lim (x,y)→(0,0) (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) → 0 となります。