質問: 集合論についての質問です。 次の問題がわかりません。解答や、解くためのヒント、アドバイスよろしくお願いします<(_ _)> aは可算集合でf:a→bは写像とする。 f(a)が無限集合ならば、f(a)は可算集合であることを示せ。 よろしくお願いします。
回答: 以下はたぶん、#2さんと同じですが、少し見やすい(?)形で・・・。ただし、aは高々可算という意味に取りました y∈f(a)に対して、その逆像をf^(-1)(y)と書きます(f^(-1)(y)⊂aです。念のため)。y1,y2∈f(a)かつy1≠y2について、 ・f^(-1)(y1) ∩ f^(-1)(y2)=φ は明らかです(写像の定義)。そうすると関係r、 ・r: f(x)=f(y)(x,y∈a) は、a上の同値関係であろうと、すぐ見当が付きます(すぐ示せます)。rによるxの同値類をc(x),rによるaの商集合をzとすると、 f=j・h・i: a→z→f(a)→b (・は写像の合成) i: x→c(x) は全射 (x∈x,c(x)∈z) h: c(x)→f(x) は全単射 (f(x)∈f(a)) j: f(x)→y は単射 (y=f(x)∈b) も、i,h,j の定義より、ほぼ明らかです。 hが全単射なので、cardで集合の濃度を表せば、 ・card(f(a))=card(z) (濃度の定義) です。さらに、i が全射なので、 ・card(f(a))=card(z)≦card(a) (濃度の定義) になります。従ってf(a)の濃度は、可算無限以下。よってf(a)が無限集合なら、可算無限と同濃度(任意の無限濃度は、可算無限以上でもあるから)。 #2さんの方法は、f=j・h・i を、f(a)の側からたどったような感じです。