質問: 2変数の2次導関数の離散化(差分) 関数f(x,y)の2次導関数である∂f(x,y)/∂x∂yを数値計算により, より高精度で計算したいと考えているのですが,∂f(x,y)/∂x∂x のように同じ変数に対する偏導関数の離散化方法しか見つけることが できませんでした. そこで,ご存じの方がいらっしゃいましたら,∂f(x,y)/∂x∂yのような2変数の導関数の高次計算法をご教示頂けないでしょうか. 宜しくお願い致します. またそれらについて詳細に記述された文献等もあれば,教えて頂ければ幸いです.
回答: 2階偏微分方程式を差分法を用いて離散化する時は境界内をx方向にh、y方向にkのメッシュを掛けて、その交点(i,j)における値f(i,j)と隣接する点との関係に書きなおす必要があります。ご質問の,∂f(x,y)/∂x∂yは ∂f(x,y)/∂x∂y=(f(i+1,j+1)-f(i+1,j-1)-f(i-1,j+1)+f(i-1,j-1))/(4hk) で与えられます。さらに隣までの関係を取り入れれば差分式としての精度は上がりますが、私の経験では面倒なだけで上式が扱いやすく、メッシュの切り方が適切ならば非線形の場合も収束もが早かったように思います。 境界条件も差分化して適切に処理すれば数値解としての正解に辿りつくはずです。