質問: 大学数学(線形代数、微分方程式)の問題です。
回答: (a) 成分で書くと i*v'+m*u=E*u, i*u'-m*v=E*v. u=e^{ikx}u_0, v=e^{ikx}v_0 を代入して (E-m)*u_0+k*v_0=0, k*u_0+(E+m)*v_0=0. (u_0,v_0) が (0,0) 以外の解を持つ条件は 左辺を行列で書いたときの, 行列式=(E-m)*(E+m)-k^2=0, よって k^2=E^2-m^2. (b) (i) E>m のとき k=±(E^2-m^2)^{1/2} の2解があって, v_0=-[(E-m)/(E+m)]^{1/2}*u_0, ・・・・ k>0, v_0=+[(E-m)/(E+m)]^{1/2}*u_0, ・・・・ k<0. (ii) E