質問: 粘性抵抗、慣性抵抗を考慮した微分方程式 m(dv/dt)=mg-6πaηv-(πρa^2v^2)/4 が解けません。 ここではaは落下する物体の半径、ηは粘性係数、ρは密度を表します。 よろしくお願いします。
回答: m(dv/dt)=mg-6πaηv-(πρa^2v^2)/4 そのままでは複雑なので、 v=sV、t=bTとおきます。 b = 6*π*a*η/m, s = 24*η/(ρ*a),k=1/144*m*ρ*g/(π*η^2) とおくと微分方程式は dV/dT=-k-V-V^2 これを解くと V(t) = -1/2-1/2*tan(1/2*T*√(4*k-1)+1/2*C*√(4*k-1))*√(4*k-1) 境界条件 t=0のとき、v=v0=sV0 とおくと C=-2*arctan((s+2*v0)/(√(4*k-1)*s))/√(4*k-1) 代入して V(T) = -1/2-1/2*tan(1/2*T*√(4*k-1)-arctan((s+2*v0)/(√(4*k-1)*s)))*√(4*k-1) 係数を戻して v(t)=24*(-1/2-1/2*tan(1/12*t*m*√(1/36*m*ρ*g/(π*η^2)-1)/(π*a*η)-arctan(1/24*(24*η/(ρ*a)+2*v0)*ρ*a/(√(1/36*m*ρ*g/(π*η^2)-1)*η)))*√(1/36*m*ρ*g/(π*η^2)-1))*η/(ρ*a) 大変複雑な式となりました。ミスしていないという保障はありません。ご容赦願います。