質問: デデキント切断の問題です。解いたのですが解答がなく困ってます。
回答: Nは自然数全体からなる集合、Qは有理数全体ならなる集合として、回答します。 全順序集合Sについて、(A, B)がSのデデキント切断となるとは (1) A, B⊂S (2) S=A∪B (3) A≠φ かつ B≠φ (4) 任意のa∈A, 任意のb∈Bに対して、a<b がすべて成り立つことです。 ■ アは、デデキント切断ではありません。 10はSの元ですが、Aの元でもBの元でもないのでA∪Bの元ではなりません。 よって、S≠A∪B したがって、(2)が成り立たないので、デデキント切断ではありません。 ■ イは、デデキント切断です。 S=Nのなので、A={a∈N|a≦1}, B={b∈N|2≦b}となります。 よって、 (1) A, B⊂S (2) S=A∪B (3) A≠φ かつ B≠φ が成り立ち、 (4)については 任意のa∈A, b∈Bに対して a≦1<2≦bなので、a<b となるので成り立ちます。 したがって、(A, B)はSのデデキント切断です。 ■ ウは、デデキント切断ではありません。 3/2はSの元ですが、Aの元でもBの元でもないのでA∪Bの元ではなりません。 よって、S≠A∪B したがって、(2)が成り立たないので、デデキント切断ではありません。