質問: 数学の定理、公理、定義、仮定、命題、証明、公式。これらをつなげてください。別々のものですが、いざ考えるときよくわからなくなります。
回答: 7つの単語をとりあえず自分なりに2つに分けます。 公理、定義、定理、命題 仮定、証明、公式 この中で一番根源的なものはおそらく公理です。 例えば、自然数や整数で四則演算を行うときに、 分配法則や交換法則、結合法則が成り立つ というのが公理です。 要は「これは成り立つものとして話を進めていく」という主張が公理です。 次に根源的なものはおそらく定義です。 自然数とは何か、整数とは何かといった、どのような対象をその名前で呼ぶかを主張しているものです。 定理と命題は正直区別が難しいと思います。 命題は真偽が必ず判定できる文章のことです。例えば、 どんな整数nもn^2は0以上である という主張は真の命題です。 定理は真の命題で、よく使われたり、かなり強い主張を述べているものがそう呼ばれる気がします。 例えば、自然数における素因数分解の一意存在性が定理に該当すると思います。 後半の3つは前半の4つとは性質が異なるものです。 仮定は命題における前提条件となる主張です。 上の命題においては「すべての整数」の部分が仮定に当たります。 証明は命題の真偽についてなぜそうなるかを説明する理由です。 上の命題では (-1)×(-1)=1よりしたがう というので十分でしょう。 公式は定理や命題が数式で記述できる場合にそう呼ばれます。 整数論における公式が思いつかないので例は挙げられません。すみません。 少なくとも、命題・定理・公式を別のもとのして捉えるのは間違いです。 正直、質問の内容はそれぞれの単語の意味を全く理解できていない人のものに思えます。 こんなところで質問せずに、学校の先生のようなプロに聞いて見るのがオススメですよ