質問: 複素積分の問題を教えてください ∫c z^2/(z^3 + z^2 - 2)dz cはlzl=2で与えられる単一閉曲線で正の向きをもつものとする. という問題です. 留数定理をつかい解こうとしたのですが,留数を求める計算が複雑になりわからなくなってしまいました. 解き方がわからないので教えてほしいです.
回答: f(z)=z^2/(z^3+z^2-2) 特異点はf(z)の分母=0から z^3+z^2-2=(z-1)(z+1+i)(z+1-i)=0 z=1, -1±i これらのf(z)の3個の1位の特異点はいずれも積分路c:|z|=2の内部に存在する。 |1|=1<2, |-1±i|=√2<2 f(z)の留数を求めると res(f(z),1)=lim(z→1) f(z)(z-1)=lim(z→1) z^2/(z^2+2z+2)=1/5 res(f(z),-1+i)=lim(z→-1+i) z^2/((z-1)(z+1+i)) =(-1+i)^2/((-2+i)(2i))=(2+i)/5 res(f(z),-1-i)=lim(z→-1-i) z^2/((z-1)(z+1-i)) =(-1-i)^2/((-2-i)(-2i))=(2-i)/5 留数定理より ∫c z^2/(z^3 +z^2 -2)dz =2πi{res(f(z),1)+res(f(z),-1+i)+res(f(z),-1-i)} =2πi{(1/5)+((2+i)/5)+((2-i)/5)} =2πi(1+4)/5 =2πi ← (答え)