質問: 微分できない関数のべき級数展開 関数f(x)は奇関数であり、xが正の整数ならばf(x)=1とします。 この関数がべき級数展開可能かどうかの質問です。 f(x)=ax とおくと f(1)=1 から a=1 よって f(x)=x f(x)=ax+bx^3 とおくと f(1)=1, f(2)=1 から a=7/6, b=-1/6 よって f(x)=(7/6)x-(1/6)x^3 f(x)=ax+bx^3+cx^5 とおくと f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1 から a=37/30, b=-1/4, c= 1/60 よって f(x)=(37/30)x-(1/4)x^3+(1/60)x^5 この3つの結果からすると、このまま進めて行っても各係数は発散するとは限らないように思えます。 実際に各係数の極限値を求めるのは私の手に余るのですが、べき級数展開は可能ですか?
回答: #3 の f(x) は f(x) = 1 - sinc (πx) で十分だ. 2 がついていてもおかしなことにはならんけど意味もない.