質問: 写像の問題なのですが... 写像の問題なのですが... rで実数全体の集合を表す。 f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7をそれぞれ次の式で定義されたrからrへの写像とする。 f1(x)=x-2 f2(x)=x^2 f3(x)=x^3 -4 f4(x)=x^3 -4x f5(x)=e^x f6(x)=f2?f5 f7(x)=f2?f1?f5 これらの写像が、全単射、単射だが全射でない、全射だが単射でない、 のいずれであるかを判定しなさい。(証明は必要なし) という問題があるのですが、f4,f5,f6,f7の図がうまく描けず、 答えがないためあっているか不安です。 もしよろしければ、教えてほしいです。 お願いします。
回答: f:r→r (f 全射)←def→(f(r)=r) (f 単射)←def→({a,b}⊂r,f(a)=f(b)→a=b) ∀y∈r→∃y+2∈r,f1(y+2)=y→f1(r)=r→f1 全射 {a,b}⊂r,f1(a)=f1(b)→a-2=b-2→a=b→f1 単射 →f1全単射 f2(x)=x^2≧0>-1だからf2(x)=-1となるxは無い→f2は全射でない f2(1)=1=f2(-1)だからf2は単射でない →f2全射でも単射でもない ∀y∈r→∃(y+4)^{1/3}∈r,f3((y+4)^{1/3})=y→f3(r)=r→f3 全射 {a,b}⊂r,f3(a)=f3(b)→a^3-4=b^3-4→(a-b)((a-(b/2))^2+(3b^2)/4)=0→a=b→f3 単射 →f3全単射 ∀y∈r→f4(-y^2-3)0だからf5(x)=0となるxは無い→f5は全射でない {a,b}⊂r,f5(a)=f5(b)→e^a=e^b→a=b→f5 単射 →f5 単射だが全射でない f6(x)=f2(f5(x))=e^{2x} f2は全射でない→f6(r)⊂f2(r)≠r→f6(r)≠r→f6は全射でない {a,b}⊂r,f6(a)=f6(b)→e^{2a}=e^{2b}→a=b→f6 単射 →f6 単射だが全射でない f7(x)=f2(f1(f5(x)))={(e^x)-2}^2 f2は全射でない→f7(r)⊂f2(r)≠r→f7(r)≠r→f7は全射でない f7(log3)=1=f7(0)だからf7は単射でない →f2全射でも単射でもない