質問: ベクトルの問題です ベクトルの問題です。平面上の△0abが0a=0b=1を満たしてる。このとき、0a↑=0a↑、0b↑=0b↑ とし、内積a↑・b↑=kとおいて、 辺0aの垂直二等分線の方程式を媒介変数tとa↑、b↑、kを用いて表すと、1/2a↑+(ア ) となる。また△0abの外接円の中心をpとおくとき、位置ベクトル0p↑をa↑、b↑、kを用いて表すと(イ )となる。アとイを教えて下さい。宜しくお願いします。
回答: oaとobのなす角をθとします。bからoaに垂線を下ろし、この垂線とoaの 交点をqとすると、oqの長さは|ob|cosθとなります。よって、 ↑qb=↑ob-↑oq =↑ob-↑oa・|ob|cosθ/|oa|・・・(1) ここでkはcosθおよび|oa|、|ob|を用いて k=|oa|・|ob|・cosθ 辺oa、obの長さはいずれも1なので なので、cosθ=kとなり、(1)は ↑qb=↑ob-k・↑oa となります。↑qbは↑oaに垂直なので、辺oaの垂直二等分線は ↑oa/2+t↑qb=↑oa/2+t(↑ob-k・↑oa) と表すことができます。 点pは辺oaの垂直二等分線上にあるので、上記の結果を用いて ↑op=↑oa/2+t(↑ob-k・↑oa) ・・・(2) と表すことができます。また、点pは辺obの垂直二等分線上にも あるので、新たな媒介変数uを用いて ↑op=↑ob/2+u(↑oa-k・↑ob) ・・・(3) と表すことができます。(2)と(3)は等しいので係数を比較して t=1/2+uk u=1/2+tk u=1/2+k(1/2+uk) u(1-k^2)=(1+k)/2 u=(1+k)/2(1-k^2) =1/2(1-k) これはk=1ではない場合で、k=1の場合、cosθ=1、つまり θ=0となりaとbが一致してしまいます。△oabと問題文には あるので、k=1のケースは想定していないでしょう。