質問: 高校入試・平面図形の問題【2】 次の問題が分かりません。分かりやすく教えてください。 /////////////////////////////////////////////////////// 【1】下の図で、3点a、b、cは円oの周上にあり、△abcはab=acの二等辺三角形である。弧ac上に点dをとり、線分bd上に、be=cdとなるように点eをとる。このとき次の問いに答えなさい。 [問1] ab=5cm, ae=bc=4cmのとき edの長さを求めよ。 [問2] 2つの線分ac、bdの交点をfとする。[問1]のとき、△bcfと△dcfの面積の比を求めよ。 /////////////////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。
回答: (1)△abeとacdに注目します。 問題の設定よりbe=cd、ab=ac ∠abe=∠acd(いずれもadに対する円周角だから) なので、二つの三角形は合同です。よってda=ea=4cmとなり、△aedは二等辺三角形です。 さらに∠adbと∠acbはいずれもabに対する円周角なのでひとしくなります。よって△abcとaedに注目するといずれも二等辺三角形で∠acbと∠adeは等しいので両者は相似形です。対応する辺の長さの比はab:ae=5:4なので、edの長さはbcの長さ*4/5となります。 (2)△dabと△cbaに着目すると、 ∠bda=∠acb(いずれもabに対する円周角なので) ∠dab=∠abd(いずれも長さ4cmの弧に対する円周角なので) ad=bc なので二つの三角形は合同です。よってbdの長さは5cmで、edの長さは16/5cm(前問より)なのでbe=cd=9/5cmとなります。 ここで△dcfに着目すると、∠dcfと∠fdcはいずれも長さ4cmの弧に対する円周角なので二つの角は等しく、かつ∠fab、∠fbaとも等しくなります。よって△fabと△fcdは二つの角が等しいので相似形であり、対応する辺の長さはab:cd=5:9/5です。よってbfとfdの長さの比も5:9/5になるので、△bcfとdcfの面積の比も5:9/5=25:9です。