質問: α + γ を満たすとき, aの値を求めよ。 解答: (1)(1)にx=1を代入すると1+a+b=0 ∴b=-a-1 (2)(1)はx=1を解にもつから、(x-1)で割り切れる。 よって、(1)⇔(x-1)(x^2+(a+1)x+(a+1))=0 (割り算の筆算を行ってください。) ここで、2次方程式x^2+(a+1)x+(a+1)=0がx=1を除く異なる2つの実数解をもてばよい。 x≠1だから、x=1を代入するとa=-(3/2)より、a≠-(3/2) ...(1) この2次方程式の判別式をdをおくと、d>0であればよい。 d=(a+1)^2-4(a+1)=(a+1)(a-3)>0 ∴a<-1, 3<a ...(2) (1)(2)より、a<-(3/2),-(3/2)<a<-1,3<a (3)(1)はx=1を解にもつが、α、β、γのいずれにもなりうる。それについて場合分けする。 (a)β=1のとき 2次方程式x^2+(a+1)x+(a+1)=0 から解の公式より、x=(-(a+1)±√(a+1)(a-3))/2 この2つの解がα、γだから、α+γ=-(a+1) また、2β=2だから、2β=α+γより、-(a+1)=2 ∴a=-3(これは(2)の解を満たすためよい。) (b)α=1のとき 2次方程式x^2+(a+1)x+(a+1)=0 から同様に、x=(-(a+1)±√(a+1)(a-3))/2 (β,γ)=((-(a+1)±√(a+1)(a-3))/2,(-(a+1)?√(a+1)(a-3))/2)(複号同順)だから、 2β=α+γより、(中略) ±3√(a+1)(a-3)=a+3 両辺を2乗し、(中略) 2a^2-6a-9=0 解の公式より、a=(3±3√3)/2 これらは(2)を満たす。 (c)γ=1のとき αとγの対称性より、(b)からa=(3±3√3)/2 (a)~(c)よりa=-3, (3±3√3)/2 (3)のcについてですが、αとγの対称性とは一体何のことですか?よろしくお願いします。
回答: 3次方程式は,3つの実数解を持つ場合、 1つの実数解,2つの対称性を持つ解の3つの解を持つのです. この場合、β=1と1つの実数解が求まったので, あとは, x3 + ax2 + b = 0 これが(x-1)(xの二次式)=0 と因数分解できるのです. その(x-1)ではない方の (xの二次式)=0 すなわち 二次方程式が2つの異なる実数解を持つ ということを 解の公式から判るように±があることを 『αとγの対称性』と表現しているだけなのです. 特に,深い意味はありません. 普通に『二次方程式が2つの異なる実数解を持つ』と表現してもよいのです. その解がα,γとなる訳です. どちらとも区別が付かないので,『対称性』という言葉を遣っているだけです. まぁ,α<γという設定を最初にしていたら, 『対称性』という表現はできなうなり, αは小さい方の解,γは大きい方の解と限定されます. 単にこれだけのことです.