質問: アークsinx/aの微分がわかりません。 詳しく教えていただけるとありがたいです。
回答: y=arcsin(x/a) とおいて、yを微分します。 この関数は、x/a=sinyのことですから、左右にふれながらy方向に昇っていくグラフになります。グラフを見れば分かるように、あるxに対してyが1つではありません。ですからこのままでは「微分可能」ではありません。(「関数」でもありません。) だからyが1つになるような範囲、つまり昇っていくグラフの1周期分「π/2>y>-π/2」だけを考えます。そうすれば「微分可能」ということになります。 範囲をxで表しなおします。これが「定義域」になります。 「π/2>y>-π/2」のsinをとって「1>siny>-1」。 sinyをx/aに置き換えて「1>x/a>-1」 ということで範囲は、「a>x>-a」となります。 *定義域は答えに書き添えておく必要があります。 いきなり、dy/dxを計算しようとしないで、まずdx/dyを計算します。 x/a=sinyから、x=a・sinyより、dx/dy=a・cosyとなります。 ここで、dy/dx=1/(dx/dy)を使います。 dy/dx=1/(a・cosy) 続きを計算すると、 =1/(a・√(1-(siny)^2)=1/(a・√(1-(x/a)^2)=1/(√(a^2-x^2) つまり、 dy/dx=1/(√(a^2-x^2)、定義域はは(a>x>-a) 間違っていたらすみません。