質問: 大学1年レベルの級数に関する問題です ∞ ∞ f(x)=σ(a_n・x^n)に対して、σa_n/(n+1)が収束すれば n=1 n=1 1 ∞ ∫f(x)dx=σa_n/(n+1) が成立することを示せ。 0 n=1 という問題についてなのですが 私はこの問題を見たとき、次の定理 閉区間a=[a,b]上の連続関数f_n:a→r(n=1,2,・・・)を一般項とする関数項級数σf_n(x)がa上で一様収束していれば a ∞ ∞ b ∫ σf_n(x)dx=σ ∫f_n(x)dx が成立する。 b n=1 n=1 a という、項別積分の定理を使おうと思いました。 それで、f_n(x)=a_n・x^nとし、この問題において与えられたσa_n/(n+1)が収束という条件から、σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導こうとしたのですが、うまくいきませんでした。 しかし、σa_n/(n+1)が収束ではなく絶対収束だったら、σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導けました。 具体的には、 σa_n/(n+1)が絶対収束より、σ{a_n/(n+1)}x^nの収束半径rは1<rを満たす。また、σ{a_n/(n+1)}x^nとσa_n・x^nの収束半径は等しい。 ここで 「整級数σa_n・x^n=σf_n(x)の収束半径をrとする。0
回答: σa[n]/(n+1) が収束することから、 | a[n]/(n+1) | < 1、 n≧n となる n が存在する。 ゆえに、 |a[n]| < n+1 ∴ | a[n]x^n | < (n+1)x^n、n≧n 今、 f(x) = σfn 、 f[n] = a[n]x^n と書くと、 σfn が一様収束するための必要充分条件は、部分和 s[n]を sn] = σ[1~n]f[k として、任意のεに対して | s[n] - s[m] | < ε、 n > m ≧ n となる n が x と無関係に定まることである。 つまり、 | s[n > m] - s[m] | → 0 (m→∞) さて、 tn] = σ[1~nx^k と書くと、 | σm+1~n]a[k]x^k | ≦ σ[m+1~n] | a[k]x^k | < σ[m+1~nx^k であるから、 | s[n] - s[m] | < t[n] - t[m] ここで、 t[n] = (2x-x^2-(n+2)x^(n+1)+(n+1)x^(n+2)) / (1-x)^2 であるから、 t[n] - t[m] = { -(n+2)+(n+1)x }x^(n+1)/(1-x)^2 + { (m+2)-(m+1)x }x^(m+1)/(1-x)^2 → 0 ( n > m→∞ ) 従って | sn] - s[m] | → 0 (m→∞) だから σf[n は一様収束する。 で、いかがでしょうか。