質問: a f(x) が成り立つもの。 定義[1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか? また、定義[1'']におけるa+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。
回答: vを体 k 上のベクトル空間 v fをv上の線形変換とする vの次元をnとして vのn個の基底ベクトルを{e_i}_{i=1~n}⊂vとすると ∀x∈v→∃{x_i}_{i=1~n}⊂k ( x=σ_{i=1~n}x_ie_i ) f(x)=f(σ_{i=1~n}x_ie_i)=σ_{i=1~n}x_if(e_i) ∃a={{a_{j,i}}_{j=1~n}}_{i=1~n} ( f(e_i)=σ_{j=1~n}a_{j,i}e_j ) f(x)=σ_{j=1~n}(σ_{i=1~n}a_{j,i}x_i)e_j=ax 線形変換は、一次関数で表せますが、 一次関数は、線形変換ではありません。 例) c≠0,b∈r f:r→r,x∈r→f(x)=bx+c とすると、 fは一次関数だが x,y∈r →f(x)+f(y)-f(x+y)=bx+c+by+c-(b(x+y)+c)=c≠0 →f(x)+f(y)≠f(x+y) a≠1 →af(x)-f(ax)=a(bx+c)-(bax+c)=(a-1)c≠0 →f(ax)≠af(x) →fは線形変換でない