質問: 三次関数の問題です 関数f(x)=xの3乗-3(a-1)xの二乗-12ax(aは実数の定数)のついて、f(x)の極大値m(a)のグラフをかけ。 という問題がどうしても解けません。緊急を要しています。誰か助けてください。
回答: >f(x)=x^3-3(a-1)x^2-12axなら f'(x)=3x^2-6(a-1)x-12a f"(x)=6x-6(a-1) f'(x)=0→x^2-2(a-1)x-4a=0を解いてx=2a、x=-2 f"(x)=0→x-(a-1)=0からx=a-1 よってf(x)のグラフの形は∩<(a-1)<∪、x=a-1は変曲点 よって、f(x)の極大値m(a)は2a<a-1<-2のときm(a)=f(2a)・・・(1) -2<a-1<2aのときm(a)=f(-2)・・・(2) a=-1ではf'(x)=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2≧0で極大値m(a)は存在せず m(a)のグラフはa=-1で不連続となる。 f(2a)=(2a)^3-3(a-1)(2a)^2-12a(2a)=-4a^3-12a^2=-4(a+3)a^2 f(-2)=-8-12(a-1)+24a=12a+4 以上からa<-1のときm(a)=-4a^3-12a^2=-4(a+3)a^2・・・(1) a=-3でm(a)=0、 m'(a)=-12a^2-24a=-12(a+2)a、a<-2でm(a)減少、 a=-2でm(-2)=-16(極小)、-2<a<-1でm(a)増加、m(-1)=-8 -1<aのときm(a)=12a+4・・・(2)、a=-1でm(a)=-8、a=0でm(a)=4 以上からグラフを描くと添付図の通りになります。