質問: 一階微分方程式 この微分方程式の解き方がわかりません。どなたかわかる人がいらしたら、教えてください。 mdv(t)/dt=-ζv(t)+a*sin(ωt) 初速度をv(0)とおくと、この線形微分方程式の解は、 v(t)=(v(0)+(aω/m)/(ω^2+(ζ/m)^2)exp(-ζt/m)+(a/m)sin(ωt-δ)/√(ω^2+(ζ/m)^2) 公式どおり計算てみましたが、部分積分のところが上手に出来ません。その部分積分は、 v(t)=exp(-ζt/m)[a/m∫exp(ζt/m)*sin(ωt)dt+v(0)] のインテグラルの部分です。
回答: i=∫exp(αt)*sin(ωt)dtと置いて部分積分を2回実行します。 i=(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)-(1/α)*∫exp(αt)*cos(ωt)dt =(1/α)*exp(αt)*sin(ωt) -(1/α)*{(1/α)*exp(αt)*cos(ωt)+(1/α)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt} =(1/α)*exp(αt)*sin(ωt) -(1/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(1/α^2)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt =(1/α)*exp(αt)*sin(ωt) -(1/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(1/α^2)*i 両辺に現れたiについて解けば∫exp(αt)*sin(ωt)dtが出ます。 sinとcosのパートを合成すれば片付くように見えますが参考になりますか?