質問: そもそも無限粒子系の保存則って数学化できるんですか 運動量保存則、総エネ保存則・・・他には、角運動量保存則とかありますが、数学的に記述できるのは有限粒子系の場合はいいと思いますが、無限粒子系では、あやふやのままではありませんか? 例えば、質点2個の場合、mr(2)+mr(2)=0 で運動量保存則を記述しましたが 有限個の場合も m1r1(2)+・・・+miri(2)=0 * r(2):位置の2階微分だと思って下さい でいいと思いますが、 可算個の粒子の場合 ς[i∈n]miri(2)=0 と書いたはいいですが、 上の式の収束をどう定義するかが問題になると思います 普通、数学で習う収束の定義だと、iを十分大きく取るとmiri(2)の絶対値が0に近づかないと収束しません. (cf ε-δ論法による数列や関数の定義) ですが、可算粒子系で|miri(2)|→0(i→∞)を要請するのも変だと思います ( 数える順番によって変わることもあってはなりませんし) 同様に 連続濃度粒子系についても同じようなことがいえると思います ∫(r∈r^3)σ(r)rdr=0 |σ(r)r|→0(|r|→∞) この辺、数学的にきちんとしたいときはどう考えたらいいですか? 教えて下さい. よろしくお願いします.
回答: 非常に良いご質問だと思います。量子電気力学によれば振動数νの光子がn個あるとき、(n+1/2)hνのエネルギーを持ちます。考えている領域の大きさをlとすると ν=nπc/l (n=1,2,3,...) となります。光子が1個もないとしてこれを全ての振動数について和をとると σ(1/2)πc/l = ∞ 真空のエネルギーでもすでに発散している! 「観測にかかるのはエネルギーの差だけだから、真空のエネルギーを基準点にすれば真空のエネルギーは考えなくて良い」というわけにはいきません。真空のエネルギーはカシミール効果としてちゃんと観測にかかります。また真空のエネルギーが宇宙項を作っているのではないかとも考えられます。有限自由度の系では保存則とはラグランジアンがある変換の下で不変であることでした。場の量子論でも形式的には保存則はラグランジアンのある変換の下での不変性として定式化されます。しかしラグランジアンが数学的に定義されるのかがそもそも怪しい、少なくともくり込みでラグランジアンがどんどん変わって行くので摂動の各次数で保存則が成立していることを示す必要があるでしょう。だからエネルギー保存が成り立たないのではないかと考える人はいませんが、ラグランジアンだけ見ると不変であるように見えるが保存則は成り立たないことはしばしばあり、anomalyと呼ばれています。