質問: 楕円を回転 体積 xyz空間内に 楕円c:x^2/4+y^2=1、z=0 直線l:z=x+2、y=0 がある。 楕円cの周及び内部を直線lのまわりに1回転してできる立体の体積vを求めよ この問題なのですが、直線に垂直な面で切って断面積を考えて、それを積分するという方針で解こうと思っているのですが、断面積の出し方がよくわからなくて困っています。 回答いただければ幸いです。お願いします
回答: 直線に垂直な面を考えると楕円との交線ができるのはわかりますか? 直線を回転させるとその交線が回転し その面上で直線と交線の一番近い点との距離、一番遠い点との距離 を半径としたドーナツ状の円ができると思います 交線の一番近い点とはx軸上の点、遠い点とは楕円の周上の点になります 直線のある点を(t,0,t+2)で考えると 直線の垂線はx-z平面で考えると z=-x+2t+2なりますので x軸との交点は(2t+2,0,0) つまり(t,0,+2)できった交線は 楕円上のx=2t+2の直線です よって一番近い点との距離が |(t,0,t+2)-(2t+2,0,0)| 一番遠い点との距離が |(t,0,t+2)-(2t+2,1-(2t+2)^2/4,0)| となります あとは遠い方の円の面積から近い方の円の面積を 引けばokです