質問: ライプニッツの公式 導関数 fn(x)=x^n*logx fn(x)のn+1階導関数を求める問題で ライプニッツの公式を使うためのx^nの導関数を求めるのはわかります。 場合分けするのも分かりますが、 t≦nのとき n!x^n-tではない理由がよくわかりません。 あとライプニッツの公式を使う際どちらの関数をf,gとおくか迷います。 判断基準はありますか? 画像3行目 x^nのt階導関数です。 4行目x^-1 ですがx^n-tです。 間違えました
回答: 一点め: n に具体的な自然数を代入して、 t = 1, 2, 3, ..., n-1, n, n+1, ... について (d/dx)^t x^n を計算してみなさい。 例えば、n = 4 について (d/dx) x^4 = 4x^3, (d/dx)^2 x^4 = 4・3x^2, (d/dx)^3 x^4 = 4・3・2x, (d/dx)^4 x^4 = 4・3・2・1, (d/dx)^5 x^4 = 0, (d/dx)^6 x^4 = 0, (d/dx)^7 x^4 = 0, ... です。 (d/dx)^t x^n = {n!/(n-t)!}x^(n-t) が成り立つのは、 t がどんな範囲にあるときですか? 二点め: (d/dx)^t f(x)g(x) に関するライプニッツの公式は、 f, g について対称です。どちらを f どちらを g としても 同じ結果になります。 もとの関数を、どう分解して f と g に分けるか という点には、経験からくる勘が必要かもしれませんが。