質問: 証明問題の解答を、お願いします! 問題は「nは自然数とする。このとき5^n(5のn乗)-1は4の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。」です。 n=1のとき5^1-1=4までは証明できるのですが、この後の証明方法が思い浮かびません。どなたか教えて下さい!宜しくお願いします。
回答: 5^i-1=i(n)と置きます。(i=1,2,3,...) n=1のとき、i(1)=5^1-1=5-1-4 と成り立ちます。 次に、n=iのとき、「i(i)=5^iー1=4zという4の倍数となると仮定する」と、n=i+1のとき、 i(i+1) =5^(i+1)-1 =5×5^i-1 =5×5^i-1 -4+4 =5×5^i-5+4 =(5×5^i-5)+4 =5×(5^i-1)+4 =5i(i)+4 =5×4z+4 =4(5z+1) よって、n=i+1でも成立する。 n=i=1でも成立する。 →n=i+1-2でも成立する。 →n=3でも成立。 →・・・ と証明できます。