質問: 「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の概念について フーリエ級数について勉強しているのですが、 「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。 (1) 「区分的に連続」な関数の私のイメージは 周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、 なのですが、どこか不十分でしょうか? (2) 「区分的に滑らか」な関数とは、 「その関数が区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、 「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、 これは正しいでしょうか? よろしくお願いします。
回答: それぞれの「具体例」を作れますか? 「区分的に連続」 区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない つまり 発散は関係ありません. 例: f(x) = -1 (x<0) = 0 (x=0) = 1 (x>1) いわゆる「符号関数」の類です. x=0だけで連続ではないので区分的に連続です. 例:y=1/x x=0で定義されていないが それ以外では連続 「区分的に滑らか」 例:y=|x| x=0で微分可能ではなく,他では微分可能 要は「折れ線」が代表的なもの