質問: 標本空間がh(x,y)= ・2x/3 (x,y)はD1[0,1)×[0,1)に含まれる ・x^2+2y/9 (x,y)はD2[0,1)×[1,2)に含まれる ・0 その他 という条件で期待値E[Y]を求めよという問題なのですが、最初のYの確率密度関数を求めた結果2/3+2y/9となりました。そして期待値E[Y]=52/27となりましたが答えが違うと言われました。 そもそも確率密度関数があってるのかさえ分からないです。 そして関数を求めた後積分区間をどう分割してよいのかわからないです。 有識者の方回答お願いします。
回答: まず、密度関数が、 h(x,y)=(2x/3) (0≤x<1, 0≤y<1), (x^2+(2y/9)) (0≤x<1,1≤y<2) , 0, (その他) ということですね。 yの周辺密度は、h(x,y)をxについて積分すればOKですが、 yの値によって積分する関数が変わるだけのことです。 0≤y<1のときは、(2x/3) を(0≤x<1)でxについて積分、 1≤y<2のときは、(x^2+(2y/9))を(0≤x<1)でxについて積分、 ほかでは0。それがYの周辺密度です。 求めたら、検算としてyについて積分し、全確率が1になることを 確かめるのをお勧めします。 それができたら、Yの周辺密度にyをかけてyについて積分してやれば Yの期待値が求まります。 確かに求めた周辺密度が違うようですので、もう1度確かめてください。