質問: 微分方程式の解き方について 3階定数係数非同次微分方程式 y'''+3y''-4y'-12y=cos4x の解き方を教えて下さい。 自分で調べたりして挑戦したのですが、どうしても答えまで導くことが出来なくて困っています。 出来れば、途中経過も詳しく書いて頂けると有難いです。 よろしくお願いします。
回答: ヒントのみ この式はyについて線形なので、y'''+3y''-4y'-12y=0の一般解y1と y'''+3y''-4y'-12y=cos4xの特殊解y2の和で表せる。y=y1+y2。 (1)y2は右辺の形から、y2=asin4x+bcos4xを代入して恒等式になるようにa・bを決める。 (2)y1の一般解は、y'''+3y''-4y'-12y=0をよく見ると、左辺=y'''+3y''-4(y'+3y)=(y'+3y)''-4(y'+3y)=0となっていることがわかるので、z=y'+3yとおいて、z''-4z=0。z'=pとおいて、z''=p(dp/dz)を代入すれば変数分離形。あとは任せます。