質問: 0.999...=1の証明について、疑問を見つけた気がしてきました。 1:S=0.999...とおく。 2:10SーS=9.999...-0.999...=9 3:よって9S=9より、S=0.999...=1 この証明は、ひょっとして、1の段階ですでに結論を先取していないでしょうか? この証明は「0.999...がなにか一つの完結した数として存在する」という前提の上に成り立っている様に思え、その前に「0.999...が一つの完結した数として存在する」ことを、別口で示しておかないといけないような気がしてきました。 例えば、収束しない(もしくは収束するかどうかわからない)のものを一つの数として存在すると勝手に前提して考えると 1:S=1-1+1-1... 2:S=(1-1)+(1-1)...=0 2':S=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1 3:あれ? みたいな間違いをすることになるそうですが。 実は、そういうのはきちんと解決されているのだろうと思っていますが、数学者はどう処理しているのかとかその処理は一般人でも理解できるものなのかとか、ひょっとして私の疑問自体が成り立たないものであるとか、そういった点をご教授いただけると幸いです。 よろしくお願いします。
回答: その証明だと 「上に有界な単調増加数列は収束する。」を暗黙に認めています。 しかし、何かは認めなければいけません。きちんと学びたければ実数の連続性について学びましょう。 実数の連続性