質問: レイリー・ジーンズの式 化学系、大学2回生です。 勉強していて気になったことがあるのでお願いします。 分子による光の放射・吸収の量子論的な取扱いで、 古典論として、レイリー・ジーンズの法則を学びました。 その式の証明の作業なのですが・・・ 振動子の平均エネルギーをktとして、波長がλとλ+dλの間にある光エネルギー(du)はその範囲にある振動子の数をdn(λ)とすると、 du=kt・dn(λ) と表せます。 ここまではいいのですが、この後です↓↓ du=(8πkt/λ^4)dλ となるらしいのです。。 dn(λ)=(8π/λ^4)dλ ということなのでしょうか?? もし、そうだとすれば、なぜそうなるのでしょう...? おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。 おねがいします!!
回答: > du=kt・dn(λ) の式から続けて導く方法が知りたい これは、波長がλとλ+dλの間にある(単位体積当たりの)振動子の数 dn(λ) が dn(λ)=(8π/λ^4)dλ で与えられることを示せばいいわけですよね。 ano.1の参考urlの式(2.4)から、振動数がνからν+dνの間にある単位体積当たりの振動子の数 dn(ν) を求めると dn(ν)= 2*{式(2.4)/l^3} ...... 偏光の自由度があるので2倍している =2 * (1/8) * (4π/3) * (2ν/c)^3 * {(1+dν/ν)^3 - 1} =2 * (4π/3) * (ν/c)^3 * {(1+3dν/ν) - 1} ...... dνの2次以上の項を落とした =(8πν^2/ c^3) dν となります。ただし参考urlでのδνをdνにしました。式(2.4)を導く際、暗にδν=dν>0 が仮定されていますが、dν<0の場合は式(2.4)の符号が変わりますので、dν>0 の仮定を外せば、結局 dn(ν)=(8πν^2/ c^3) |dν| になります。この式の右辺にano.1のν=c/λ, dν=-(c/λ^2)・dλを代入すれば dn(λ)=(8π/λ^4) |dλ| 得られます。絶対値が付いているところがもともとの式とは違いますけど、もともとの式では dλ<0 のとき dn(λ)<0 になって不合理ですから、もともとの式では dλ>0 が暗に仮定されているのでしょう。 > これは原理的に無理なのでしょうか? dn(ν) を経由しないで導出することが可能か?という意味でしたら、「おそらくは可能」だと私は思います。が私自身は確認していないです。 参考urlの[問い2-1]にあるν = [(c√[((nx)^2+(ny)^2+(nz)^2)])/2l] という関係式が出発地点となる式ですから、これを ν=c/λ を使って波長の式に直してからスタートしてもゴールまで行けるはずです。いろいろ試して遊んでみて下さい。