質問: 三角関数の複素フーリエ級数展開について 三角関数の複素フーリエ級数展開について質問させてください。 cos(x)を複素フーリエ展開すると係数はc(1)=c(-1)=1/2で、そのほかの係数は0になると思いますが、それを確認するために(1/2π)*∫(-π→π){cos(x)*e^(-inx)}dxを計算しました。 しかしn≠1のときは0だということが確認ましたが、n=1のときはcnを出すことができず、つまってしまいました(方程式の中でcnが消えてしまいます)。 どなたかうまく計算する方法を教えていただけると助かります。 また、もし可能であればsin(x)の計算方法も教えていただきたいです。
回答: そこにいくまでの手順を改めて確認してみてください. その式が出るということは, 積分を実行したときに 1/(n^2-1) という因子が出てきてるということですよね. でも, この因子は n = ±1 に対して ∞ にふっとんじゃうから, 実は その積分自体が n = ±1 に対しては適用できない んです. あえていえば x^n を積分すると x^(n+1)/(n+1) になるから x^(-1) を積分すると x^0/0 となる といっているようなものです. ということで, n = ±1 に対してはまじめに cos(x) e^(-ix) や cos(x) e^(ix) を定積分してください.