質問: (x^3/√(x^2+1))の不定積分 申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。 (x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。 部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・ よろしくおねがいします。
回答: 置換積分でできると思います。 ∫(x^3/√(x^2+1))dx =∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt =(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt =(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+c =(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+c =(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+c =(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+c =(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+c でどうでしょうか?確認してみて下さい。