質問: 大学院の入試問題 大学院の入試問題を解いていますが、解けなくて困ってます。 質問させてください。 1. 微分方程式を解け。(変数分離だと思うんですが、分離した後がうまく解けません) xy(1+x^2 ) dy/dx=1+y^2 あと、ベクトル解析に関してなんですが 例えば、∫adrの線積分や∫∫adsを求めよなどの問題に関してです。 このような問題は解く際に、そのまま線積分で解く場合と、ガウスの発散定理やストークスの定理を使って解く場合がありますが、問題によって、そのまま解けばよいのか、定理を使って解くのか区別できません。 教えてくださると嬉しいです。
回答: 変数分離すると ∫y/(1+y^2) dy=∫(1+x^2)/x dx ですよね。左辺は2y=(1+y^2)を利用して部分積分で、 右辺は1/x+xに直してから個別に積分して、 (1/2)log(1+y^2)=logx+(1/2)x^2+c 全体をlogにまとめると log(1+y^2)=logc(x^2)(e^x^2) 最後に変形して y^2=c(x^2)(e^x^2) 面倒なのでcは区別してませんけど、こんな感じですかね。