質問: 線形代数学の行列式の質問です。 行列Aのあるr行とr列から成る小行列式が0でなく、それらの行と列を含むr+1次の小行列式がすべて0であるとする。そのときrankArであることを証明せよ。
回答: 当該小行列は1〜r行列として良い。それをPとして PQ RS とブロックで見る。 Pを簡約させるように基本変形することで DQ’ R’S D=diag(1,..,1,0,..,0) と変形できる。Pの正則性よりDは単位行列。 Dの行(列)の定数倍をDの外の行(列)に加えることでさらに DO OS’ と変形できる。さらにS’を簡約させるように基本変形することで DO OD’ D’=diag(1,...,1,0,..,0) と変形できる。ここまでの変形について一つ一つ確認すればDを含む(r+1)次小行列はすべて0であることがわかる。 従ってD’=OであるからrankA=r。