質問: 微分方程式 次の微分方程式を解けという問題がわかりません。 y''+4y=sin2x 特性方程式s^2+4=0よりs=±2i(虚数解) 補助方程式の一般解はy=asin2x+bcos2x 与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、 これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、 特殊解を求めるために、 y1=ax^2*sin2xとおく y1'=2a(xsin2x+x^2cos2x) y1''=2a(sin2x+4xcos2x-2x^2sin2x) これらを与方程式に代入すると 2asin2x+8axcos2x-4ax^2sin2x+4ax^2sin2x=sin2x となってしまって解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか?
回答: > 解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか? > 与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、 > これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、 これは重複度1としないといけません。 何故なら, sin2x と cos2x は微分すると互いの関数になって、独立な特殊解として扱えないという事です。 なので、特殊解を仮に y=x(a sin2x+b cos2x)とおいて、微分方程式に代入して a,bを求めて下さい。 a=0, b=-1/4 と出てきます。