質問: 複素数 教えて下さい。 z+w=zw |z|=|w|=1 をみたす複素数z,wを全て求めよ。
回答: |z|=|w|=1より z=1(cosα+isinα) w=cosβ+isinβ とおける 以下便宜上、wの偏角β>zの偏角α として考えてみる 複素数の積の性質から |zw|=|z||w|=1 zwの偏角はzのwの偏角の和で α+β ゆえに zw=cos(α+β)+isin(α+β) これら3点を複素数平面にプロット ただし、zwの偏角>wの偏角β>zの偏角α に注意 z+wの位置は2パターン z+wの位置がzwでz,w,zwはどれも大きさ1だからこれら3点とoは1辺1のひし形をなす。(対角線とひし形の2辺は正三角形) 1wの先でさらに60度回転した位置にz+wがくる場合 図からα+β-β=60° β=α+240 ⇔α=60,β=300 このことから z=cosα+isinα=(1/2)+i(√3/2) w=cosβ+isinβ=(1/2)+i(-√3/2) (zとwを入れ替え当た物また可能) 2,zよりさらに60度回転した位置にz+wがあり z+wから60°回転の位置にwがある場合 図からα+β=α+60+360 β=α+120 ⇔β=420 α=300 z=cos300+isin300 w=cos420+isin420 これは先のα=60,β=300の結果でz,wを入れ替えたものと一致 以上から z=(1/2)+i(√3/2) w=(1/2)+i(-√3/2) or z=(1/2)-i(√3/2) w=(1/2)+i(√3/2)