質問: 「x^2/36+y^2/64=1となるとき、xyの最大値を求めよ。」という問題の考え方 「x^2/36+y^2/64=1となるとき、xyの最大値を求めよ。」 という問題があるテストで出たのですが、いまいち考え方がわかりません。 自分の考えは、 「1/2+1/2=1よりx^2=18、y^2=32となるのでx=±3√2、y=±4√2となる。 上記のとき、最大値をとるのはx=3√2、y=4√2のときである。 したがって、xyの最大値は3√2・4√2=24となる。」 という感じなのですが、正直答えが合っているのかもわかりません。 仮に合っているとしても、なんとなくしっくりこないものがあります。 こういう問題の考え方で、いい方法はどんなものなのでしょうか?
回答: エレガントな方法には微分を使って解く方法などが有りますが、今回は地味な方法で。 x/6 = x y/8 = y とおくと、 「x^2 + y^2 = 1 のときに 48xy の最大値を求めよ」 と問題を書き換えることが出来ますよね。 したがって、 xy = 48 xy = k とおくと y = k/(48x) より x^2 + y^2 = x^2 + k^2/(48x^2) = 1 x^4 - x^2 + (k/48)^2= 0 ここで x^2 = z とおけば z^2 - z = -(k/48)^2 (z^2 -1/2)^2 = 1/4 - (k/48)^2 ≧ 0 したがって、 (k/48 - 1/2)(k/48 + 1/2) ≦ 0 -1/2 ≦ k/48 ≦ 1/2 -24 ≦ k ≦ 24 ∴ xy の最大値は 24