質問: 数学のベクトルに関する質問です。 数学のベクトルに関する質問です。 四面体oabcにおいて、辺abを1:2に内分する点をp、線分pcを2:3に内分する点をqとする。また、辺oaの中点をd、辺obを2:1に内分する点をe、ocを1:2に内分する点をfとする。平面defと線分oqの交点をrとするとき、or:rqを求めなさい。 という問題です。この問題を教えてください。
回答: こうゆうのは、淡々と計算です。 点 a,b,c,p,q,d,e,f,r の位置ベクトルを それぞれ a,b,c,p,q,d,e,f,r と置きます。 oabc が四面体であることから、 { a,b,c } は一次独立です。 問題の条件を、ベクトル方程式へ直訳すると、 p = (2/3)a + (1/3)b, q = (3/5)p + (2/5)c, d = (1/2)a, e = (2/3)b, f = (1/3)c, r = wq = xd + ye + zf, x + y + z = 1 ただし w,x,y,z は実数。 (この立式が分からなければ、内分外分のベクトル表示 について、教科書の復習が必要です。) 以上の式から、ベクトル p,q,d,e,f,r を消去すると、 w{ (3/5){ (2/3)a + (1/3)b } + (2/5)c } = x(1/2)a + y(2/3)b + z(1/3)c, ←[*] x + y + z = 1 ←[0] となります。 { a,b,c } が一次独立であることから、 [*] の両辺で a,b,c の成分を比較して、 w(3/5)(2/3) = x(1/2), ←[1] w(3/5)(1/3) = y(2/3), ←[2] w(2/5) = z(1/3). ←[3] [0][1][2][3] を連立一次方程式として解くと、 w = 10/23, x = 8/23, y = 3/23, z = 12/23. です。 r = wq だったので、or:rq = w:(1-w) = 10:13 ですね。