質問: cosx/sinxの積分を教えてください cosx/sinx (=1/tanx) の積分がわからないです。 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、どう計算したらいいのかわかりませんでした。
回答: 時間が経ったので,もう,用済みかも知れませんが, まだ締め切られていないので,書き込んでおきます. 求める答えは ∫cosx/sinx dx ・ ・ ・ ・ ・(1) ですね.まず, w = sinx ・ ・ ・ ・ ・(2) とおきます.(2)式を微分すると,(dw/dx) = cosx なので, dw = cosx dx ・ ・ ・ ・ ・(3) が得らます.(1)式は,変形すると, ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx ・ ・ ・ ・ ・(4) と書けるので,この(4)式は(2)式と(3)式を用いて, ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx = ∫(dw)/w ・ ・ ・(5) となります.(5)式の ∫(dw)/w は ∫(1/w)dw のことなので, ∫(1/w)dw = ln(w) + c です. ln(w) は w の自然対数で,c は積分定数です. したがって,(2)式により,w = sinx なので,求める答えは, ∫cosx/sinx dx = ln(sinx) + c です.質問にある「答えは(sinx)^2」は (sinx)^2 を x で微分すると ((sinx)^2)' = 2 sinx cosx となるので,∫cosx/sinx dx の答えではありません.