質問: 中学三年数学です 教えてくださいお願いします 長さが10の線分abを直径とする半円周上に、線分acの長さが6となるような点cをとる。cからabへひいた垂線とabとの交点をdとし、cにおける円の接線と、baの延長線との交点をeとする。 (1)cdの長さを求めよ。 (2)∠abc=a°とするとき、∠cebをaの式であらわせ。 (3)aeの長さを求めよ。
回答: (1) △abcでac:ab=6:10=3:5→斜辺が5でその他の一辺が3、 また円周定理より∠acb=90° よって、この三角形は辺の比が3:4:5の直角三角形であることがわかる。 ゆえに、ac:bc=3:4,ac=6なので6:bc=3:4 ∴bc=8 △abcの面積を考えることにより、(1/2)*ac*bc=(1/2)*ab*cdが成り立つから、 (1/2)*6*8=(1/2)*10*cd ∴cd=24/5 (△abc∽△acdを使って、辺の比から導出してもよいです) (2) 円と接線の関係より、∠abc=∠ace よって∠ace=a° ∠bce=∠bca+∠ace=90+a △cebの内角の和は180°だから、 ∠ceb=180°-∠abc-∠bce=180-a-(90+a)=90°-2a° (3) △cbe∽△ace(証明は自分でやってみてください)でcb:ac=8:6より 相似比は4:3になる。よって面積比は4^2:3^2=16:9となる。・・・(※) ここで△aceの面積をsと置くと、 △cbe:△ace=△abc+△ace:△ace =(1/2)*10*(24/5)+s:s =24+s:s=16:9(∵(※)より) これを解くとs=216/7 △cbeに目を移し、線分acが2つの三角形に分けていることに注目すると、 ae:ab=△ace:△abc(←高さが同じなので、面積が底辺の比で表せる) ae:10=216/7:24 =9:7 ∴ae=90/7 かな?