質問: 極座標の基本ベクトルについて 3次元空間を考えます。 任意のベクトルaは極座標系の任意の3つの基本ベクトルer,eθ、eφを用いて、 a=arer+aθeθ+aφeφと表せる。 とあるのですが、 er=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)eθ=(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)eφ=(-sinφ,cosφ,0)とxyz座標系を用いて表せて、er,eθ、eφはθとφによって異なるので、極座標系では基本ベクトルが無数にあると考えてよいのでしょうか?(初学者、独学中なので、イメージが湧きません) θ=φ=30°のときの基本ベクトルを用いてaを表した場合とθ=φ=60°の基本ベクトルを用いて表した場合では、それぞれのer,eθ、eφの係数(成分)が異なると思うのですが、どの角度の基本ベクトルを使うのかは自由に決めていくと考えてよいのでしょうか?
回答: > er,eθ、eφはθとφによって異なるので、 > 極座標系では基本ベクトルが無数にあると考えてよいのでしょうか? > ベクトルを用いて表した場合では、それぞれのer,eθ、eφの係数(成分)が異なると思うのですが、 >どの角度の基本ベクトルを使うのかは自由に決めていくと考えてよいのでしょうか? e_r,e_θ、e_φはθとφによって異なるのはそのとおりです. 無数にあるというよりは,問題にしている場所によって基本ベクトルが異なる, というのが正しい言い方でしょう. どの角度の基本ベクトルを使うのかは勝手に決めてはいけません. その場所その場所でのθとφを使ったものが基本ベクトルになります. わかりやすく地球上を考えましょう(地球を完全な球とします). 普通に考えると,上下方向,南北方向,東西方向で3次元座標系が作れます. しかし,東京での上下,南北,東西の方向とロンドンのそれらとは当然異なります (地球儀見れば明らか). 上下,南北,東西の方向の単位ベクトルが本質的に3次元極座標系の基本ベクトルなのです. 地球の中心を原点,回転軸を z 軸にとり,北極側を z の正の側とすると, e_r が地表から上向き方向の単位ベクトル,e_θが南向きの単位ベクトル, e_φが東向きの単位ベクトル,になります. 直角座標系では基本ベクトルがどの場所でも同じですが, 一般の直交曲線座標系については基本ベクトルは場所によって異なります. 直角座標系が特別なのです. 点が動くことを考えるとき,直角座標系で表しているときは座標成分の変化だけ考えればよいですが, 極座標系(一般の直交曲線座標系)では場所が動けば基本ベクトルも変化するのですから 成分の変化と同時に基本ベクトルの変化も考えないといけません.