質問: バナッハ-タルスキーの定理って何? しつこくてすみません。mori0309です。 バナッハ-タルスキーの定理って何ですか? 自分で調べるべきなんでしょうけど、他の方たちにも この魅惑の世界を知っていただきたいです。 またまたstomachmanさんお願いします。 (急ぎでないです) もちろん他の方でもokです。
回答: バナッハ-タルスキーの定理。これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて.... ●「3次元の実数空間(つまり(x,y,z): x,y,zは実数)の中で、半径1の球体(中身が詰まっている)を考えます。この球体を(ある内緒の方法で)有限個の部分集合に分割します。(つまり重複も余りもないように分けます。)そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ(ある内緒の方法で)向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径1の球体(中身が詰まっている)を2個作れます。」 これがバナッハ-タルスキーの定理です。 金でできた球体を2倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在することは証明できるが、やり方は分からない。」不可知なんです。 ●金の球体は、たかだか有限個の金の原子の集まりです。実数の個数どころか、自然数の個数どころか、たかが有限個に過ぎない。数学的な球体とは全然別物です。だから仮に「ある内緒の方法」が分かったとしても、金の球には使えませんね。 ●また、体積という概念も実はええかげんなものです。実際、金の原子の並んでいる間隔を変えるだけで球は大きくなる。加熱してやればいいんですね。ましてや、表面積なんてものは(原子や素粒子のサイズまで考えれば)幻想としか言いようがない。 ●3次元の実数空間や、幾何学図形は、我々の住む空間や物の形のモデルとしてとても役に立ちますが、適用出来る限度というものがあるようだ。そういうことです。 なお、バナッハ-タルスキーの定理を「球体を有限個の部分に切り分けて並べ替えると....」と表現することがありますが、たとえば数直線を「小数点以下1桁目が1のもの」と「それ以外」に分けると、(集合としては2つに分けたんですが)手に持てるような部品2個にはならず、ばらばらに切れた無限個の「部分」になってしまいますよね。「バナッハ-タルスキーの定理において、有限個の、連結した部分集合に分けられる」という証明があるんでしょうか?これは知りません。(多分無理だと思います。) おおっと、おあとが宜しいようで...