質問: 振動です 図のように、2つのばねk1,k2と2つの質量m1,m2がとり付けられています。xo(t)=xosinωtで支持部が変位するとき (1)この振動系の運動方程式を導出しなさい 私の回答 m1(d^2 x1 /dt^2)=-k1(x1-xo)+k2(x2-x1) と m2(d^2 x2 /dt^2)=-k2(x2-x1) (2)k1=2k , k2=k ,m1=m ,m2=m/2 の時、設問(1)の運動方程式はどう書き直せるか。ωo=√(k/m)を用いて記述せよ 私の回答 (d^2 x1 /dt^2)=-2(ωo^2)(x1-xo)+(ωo^2)(x2-x1) (d^2 x2 /dt^2)=-2(ωo^2)(x2-x1) (3)ωo=1rad/sのとき、設問(2)の運動方程式を用い、固有角振動数ωnを求めよ。 この問題を見た瞬間、あれωoが(不減衰)固有角振動数でないの?って思いました。ωoとωn何が違うのですか? それと設問(1)(2)は正しいですか?教えてください
回答: (1)(2)は、正しいです。 (3) ωo=1を代入すると、 (d2/dt2)x1=-3*x1+x2+2*x0 →(式1) (d2/dt2)x2=2*x1-2*x2 →(式2) 系の固有振動数に外部入力は影響しないことを考慮し、x0=0の下で(式1)(式2)を満たす解を、 x1=a*cos[ωn*t+φ] x2=b*cos[ωn*t+φ] とおいて(式1)(式2)に代入して係数をまとめると、 (ωn^2-3)*a+b=0 →(式3) 2*a+(ωn^2-2)*b=0 →(式4) この連立方程式が、a≠0、b≠0の解を持つ条件は、 (ωn^2-3)*(ωn^2-2)-2=0 ⇔ (ωn^2-1)*(ωn^2-4)=0 よって求める固有振動数は、 ωn=1、2 です。 蛇足ですが、ωn=1のとき(式3)(式4)から、a:b=1:2 ωn=2のとき(式3)(式4)から、a:b=1:-1 以上より、外部入力が0のときの一般解は、 x1=a1*cos[t+φ1]+a2*cos[2*t+φ2] x2=2*a1*cos[t+φ1]-a2*cos[2*t+φ2] となります。ここでa1、a2、φ1、φ2は、積分定数で初期条件により決まります。 また外部入力による応答を考えると、x0=x0*sin[ω*t]より、特性解を x1=a'*sin[ω*t] x2=b'*sin[ω*t] として(式1)(式2)に代入し、a'、b'を求めると、 a'=-2*(ωn^2-2)/((ωn^2-1)*(ωn^2-4))*x0 b'=4/((ωn^2-1)*(ωn^2-4))*x0 であり、外部入力を含めた一般解は、 x1=a1*cos[t+φ1]+a2*cos[2*t+φ2]+a'*sin[ω*t] x2=2*a1*cos[t+φ1]-a2*cos[2*t+φ2]+b'*sin[ω*t] と表現でき、外部入力の振動数が固有振動数に近づくと、共振現象が起こることが分かります。 いかがでしょう?