質問: 三角関数の問題について 数学の問題です。解ける方よろしくお願いします f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ) ただし0<=θ<2π (1)t=sinθ+cosθとおくとき,f(θ)をtで表しなさい (2)f(θ)の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めなさい よろしくお願いします・・・!
回答: (1) 準備として、次の式をtで表します。 t=sinθ+cosθ から sin(2θ) =2sinθcosθ =(sinθ+cosθ)^2-{(sinθ^2+(cosθ)^2} =t^2-1 sinθ-cosθ =±√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ} =±√{t^2-2sin(2θ)} =±√{t^2-2(t^2-1)} =±√(2-t^2) cos(2θ) =(cosθ)^2-(sinθ)^2 (∵ cosの2倍角の公式) =(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ) =干t√(2-t^2) (複号同順) sin(3θ)-cos(3θ) =sinθcos(2θ)+cosθsin(2θ)-{cosθcos(2θ)-sinθsin(2θ)} (∵ sin(θ+2θ),cos(θ+2θ)の加法定理) =cos(2θ)(sinθ-cosθ)+sin(2θ)(cosθ+sinθ) =干t√(2-t^2)×{±√(2-t^2)}+(t^2-1)t (複号同順) =-t(2-t^2)+t(t^2-1) =t(2t^2-3) =2t^3-3t あとは、これらをf(θ)の式に代入していきます。 f(θ)=(2t^3-3t)+3(t^2-1)-9t =2t^3+3t^2-12t-3 (2) t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) なので、0≦θ<2π の範囲で -√2≦t≦√2 この範囲でのf(θ)の最大・最小を求める。 f(θ)=2t^3+3t^2-12t-3 ∴df(θ)/dt=6(t+2)(t-1) ∴ f(θ)のt^3の係数は正なので f(θ)は t=-2 で極大値、 t=1 で極小値をとる。 従って、f(θ)は t=-1 のとき 最小値 f(θ)=-10 をとる。 このときのθは θ=π、3π/2 。 t=±√2 のとき f(θ)=3干8√2 (複号同順) なので t=-√2 のときのf(θ)の方がt=√2のときのf(θ)より大きい。 故に、 f(θ)は t=-√2 のとき 最大値 f(θ)=3+8√2 をとる。 このときのθは θ=5π/4 。 以上をまとめて、f(θ)は θ=5π/4(t=-√2) のとき 最大値 3+8√2 θ=π、3π/2(t=-1)のとき 最小値 -10 をとると言える。