質問: 調和振動子の素朴な疑問 あたりまえ過ぎてか、本で調べても載ってないのですが、 1次元調和振動子シュレディンガー方程式の 波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか? これは推測と実験による仮定なのですか? あとこの振動子の生成消滅演算子の関数は どうやって求めたものなのでしょうか? どなたか答えて頂ければありがたいです。 どうかよろしくおねがいします。
回答: 生成消滅演算子の関数というのは、 a = √(mω/2h) (x + i(2/mω)p) a* = √(mω/2h) (x - i(2/mω)p) (ただしhはエイチ・スラッシュを表わす) という座標・運動量から生成消滅演算子への変換のことでしょうか。 (1) どうやってこれを思い付くことができるのか (2) 調和振動子以外に演算子の代数で解くことができる系はあるのか というのは多くの人が感じる疑問であると思います。しかし、これに応えてくれる本は多くありません。 閉じた系は非相対論的にはガリレイ変換に対する不変性を持ちますが、相互作用の形によっては付加的な対称性を持つこともあります(dynamical symmetry)。運動方程式を不変にするリー代数がある場合、交換関係を使って解くとこができます。例えば水素原子はo(3,1)という対称性を持ち、runge-lenzベクトルという保存量があります。この保存量があるためにエネルギー順位は縮退し、ハミルトニアンの固有値はrunge-lenzベクトルの交換関係から求めることができます。一般論の詳しい説明は次の文献を見て下さい。 k. mariwalla ; dynamical symmetries in mechanics, physics reports 20, (1975), 287 ma. olshanetsky and am perelomov ; quantum integrable systems related to lie algebras, physics reports 94, (1983), 313