質問: 高校数学です!解き方と答えを教えてください!
回答: 数列{an}の階差数列{bn}を考えます。 つまり、 bn=an+1-an(n=1,2,3,...) とすると、数列{an}が -5,1,8,17,29,45,66,... なので、階差数列{bn}は 6,7,9,12,16,21,... となります。 ここで、数列{bn}の階差数列{cn}を考えます。 つまり、 cn=cn+1-cn(n=1,2,3,...) とすると、数列{bn}が 6,7,9,12,16,21,... なので、階差数列{cn}は 1,2,3,4,5,... となります。 このことから、数列{cn}の一般項はcn=nと分かります。 すると、n≧2において、 bn=b1+Σ{k=1~n-1}ck で求められるので、 bn=6+Σ{k=1~n-1}k =6+(1/2)(n-1)n =(1/2)n2-(1/2)n+6 となります。 n=1のとき、(1/2)×12-(1/2)×1+6=6となるため、n=1のときも成り立っているため、全ての自然数nについて数列{bn}の一般項が bn=(1/2)n2-(1/2)n+6 となることが分かります。 さらに、n≧2において、 an=a1+Σ{k=1~n-1}bk で求められるので、 an=(-5)+Σ{k=1~n-1}{(1/2)k2-(1/2)k+6} =-5+(1/2)(1/6)(n-1)n(2n-1)-(1/2)(1/2)(n-1)n+6(n-1) =-5+(1/12)(2n3-3n2+n)-(1/4)(n2-n)+6n-6 =(1/12)(2n3-3n2+n)-(1/4)(n2-n)+6n-11 =(1/12){2n3-3n2+n-3(n2-n)+12(6n-11)} =(1/12)(2n3-6n2+76n-132) =(1/6)(n3-3n2+38n-66) となります。 n=1のとき、(1/6)×(13-3×12+38×1-66)=-5となるため、n=1のときも成り立っているため、全ての自然数nについて数列{an}の一般項が an=(1/6)(n3-3n2+38n-66) となることが分かります。