質問: 数学の問題についての質問です a(n)=1+1/2+・・・+1/n - log(n)とおく時、a(n+1)
回答: a(n)-a(n+1)=log(n+1)-logn-(1/(n+1)) =∫[n,n+1]{(1/t)-(1/(n+1))}dt. n1/(n+1)であるから、 a(n)>a(n+1). 任意の数列{c(k)}に対してΣ[k=2,1]c(k)=0とする。 a(n)=Σk=2,n-a(k-1))+a(1)≦a(1)=1. a(n)=Σk=2,n-a(k-1))+a(1) =-Σ[k=2,n]∫[k-1,k]{(1/t)-(1/k)}dt+1 ≧-Σ[k=2,n]∫[k-1,k]{(1/(k-1))-(1/k)}dt+1 =-Σ[k=2,n]{(1/(k-1))-(1/k)} +1 =-(1-(1/n)) +1 =1/n>0.