質問: 直和分解とは? 同値関係、同値類 同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。 それぞれどういったつながりがあるのですしょうか? ある同値関係を自分でつくり、それが直和分解になっていることを示しなさいという問題に行き詰っています。 回答よろしくお願いします
回答: >「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね? あってるというか・・・ やっぱり「関係」という考え方が理解できてない感じですよ. 「a-bは偶数」という同値関係 (同値関係であることを証明できますか?)で 「関係がある」(同値である)ものを一個にまとめるんです. それが「同値類」です. #同値の三つの条件がないと,このようにうまくは分解できません. 今の例では,「自然数だけ」を相手にしてるとして 何かの数 a と「関係がある」(同値である)ものは aが偶数のときは,「偶数」 aが奇数のときは,「奇数」です. すなわち,例えば 1と同値なものの集合は{1,3,5,7,9,...},奇数全体の集合 2と同値なものの集合は{2,4,6,8,10,...},偶数全体の集合 これらが,「a-bは偶数」という同値関係での「同値類」であり, これによって自然数の集合の直和分解 {1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...} が構築されます. 「同値関係」というもので「関係がある」ものに全部ひもをつけて ひもでつながっているものを「一個」のものとみなす というイメージで,そのそれぞれの「一個のもの」が「同値類」, その同値類を全部集めたものが数学用語では「類別」、 類別されたものを合併させたのが「直和分解」かな 「a-bは偶数」の例では {1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}:それぞれ同値類 { {1,3,5,7,9,...},{2,4,6,8,10,...}}:類別 {1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}:直和分解 です. 逆に直和分解が与えられれば 二つものa,bが関係があるということを a,bが同じ「分解の各要素」にあると定義することで 同値関係が定義できます.