質問: 大学数学の質問です。 添付画像に問題と自分が考えた証明があります。 この証明があっているか自信がありません。 I 証明の途中で両辺、和集合や共通集合をとっていますが こういう行為をしても大丈夫でしょうか。 II 一番最後の行で∪[n≧1]Anはmの影響をうけないから ∩[m≧1]∪[n≧1]An= [n≧1]Anとしていますが この議論は正しいでしょうか。 もし照明が間違っていれば正しい証明を教えて欲しいです。 よろしくお願いします。
回答: すべて正しいです。 自明な包含関係 ∩_{n≧1} An ⊂ liminf_{n≧1} An ⊂ limsup_{n≧1} An ⊂ ∪_{n≧1} An を使えるなら liminf_{n≧1} An = ∪_{n≧1} An を示せばOkです。 同様な結果として {An} が非増加集合列なら lim An = ∩_{n≧1} An である ことが成り立ちます。証明は limsup_{n≧1} An = ∩_{n≧1} An を示せばOKです。