質問: 合成関数の導関数を求める問題です。 解き方が分からない問題が3つあるので教えてください>< 合成関数の導関数を求める問題です。 ※ f(x)は微分可能とする。 (1){ f(sin x) }^n (2) f(sin^n x) (3) log(f(5x-1)) 問題の画像も添付しておきます。
回答: y=f(x)がxの関数で,g(y)がyの関数の時,f(g(x))はfとgの合成関数でxの関数です.その導関数は {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x) となります. (1)f(y)=y^n,g(x)=f(sinx)より ny^{n-1}{f(sinx)}'=nf(x)^{n-1}f'(sinx)cosx ----- --------- (2)f(y)=f(y),g(x)=sin^nxより f'(sin^nx)(sin^nx)'=f'(sin^nx)nsin^{n-1}xcosx ------ ------------ (3)f(y)=logy,g(x)=f(5x-1)より{1/f(5x-1)}{f(5x-1)}'={1/f(5x-1)}f'(5x-1)5 ------- ------- ----部分も合成関数の微分法を用いています.fの具体的な形がわからないとこれ以上計算できません. ※合成関数の場合は外の関数の定義域が中の関数の値域を含まなくてはなりません.上記の問題ではf(x)もそれを満たすようなものと考えています.