質問: 大学数学の解析学の問題です。 xとyを実ノルム空間とし、tをxからyへの線形演算子とします。 (i) 大学数学の解析学の問題です。 xとyを実ノルム空間とし、tをxからyへの線形演算子とします。 (i)tの有界性と連続性の定義を述べなさい。 (ii)tの有界性と連続性が同等であることを証明しなさい。 回答よろしくお願いします!
回答: 教科書を見れば分かるレベルかと思いますが...... (i) 有界性: あるm>0があって |tx|≦m|x| 連続性: 任意のε>0に対してあるδ>0があって |x-y|<δ ならば |tx-ty|<ε ただし定義は教科書によって異なることがあるので要確認。 (ii) 有界性→連続性: ε>0に対してδ=ε/mととると |tx-ty|=|t(x-y)|≦m|x-y|