質問: z=e^(x+y)について2変数のマクローリン展開を2次の項まで求め、それが1変数のマクローリン展開 z=e^(x+y)について2変数のマクローリン展開を2次の項まで求め、それが1変数のマクローリン展開の積に等しいことを求めよという問題が出たのですが、この関数に限らず、多変数のマクローリン展開は各変数に関するマクローリン展開の積によって表すことができるのでしょうか。もしよろしければ上記の問題を解くことで説明して頂けますか?
回答: 指数関数のマクローリン展開が e^z = σk=0→∞z^k なので、 e^(x+y) を x,y のべき級数に展開すると、e^(x+y) = σk=0→∞(x+y)^k です。 右辺で x,y について2次以下の項が現れるのは k が2以下の部分だけなので、 e^(x+y) の2次近似は σk=0→2(x+y)^k = 1 + (x + y) + (1/2)(x^2 + 2xy + y^2). これを、(e^x)(e^y) = { σm=0→∞x^m }{ σn=0→∞y^n } の 2次以下の項と比較せよということですね。 下式の右辺で x,y について2次以下の項が現れるのは m,n が2以下の部分だけなので、 { σm=0→2x^m }{ σn=0→2y^n } = { 1 + x + (1/2)x^2 }{ 1 + y + (1/2)y^2 } = 1 + x + y + (1/2)x^2 + xy + (1/2)y^2 + { (1/2)xy^2 + (1/2)(x^2)y + (1/4)(x^2)y^2 }. を計算して、上式と比較すればよいです。 確かに、2次以下の項が一致していますね。 k, m, n を ∞ まで残したまま { σm=0→2x^m }{ σn=0→2y^n } を展開して 各項を比較すると、e^(x+y) = (e^x)(e^y) を証明することもできます。 (e^x=1+x+x^2/2! は酷いなあ...)