質問: 未定係数法で一般解を求めよ
回答: (A) y'-2y=-4x+8 (1) i)同次微分方程式 y'-2y =0 dy/dx=2y の一般解ygを求める。変数分離して dy/y=2dx 積分して log|y|=2x+c y=Cexp(2x)=yg ii)非同次微分方程式(1)の特殊解ysを未定係数法で y=ax+b (a,bは定数) の形で求める。 y'=a (1)に代入して a-2(ax+b)=-4x+8 係数比較して -2a=-4 : a=2 a-2b=8 : b=(a-8)/2=-3 y=2x-3=ys iii)以上より(1)の一般解yは y=yg+ys=Cexp(2x)+2x-3 (B) y'-2y=x^2+x+3 (2) i)同次微分方程式は(A)と同じなので y=Cexp(2x)=yg ii)非同次微分方程式(1)の特殊解ysを未定係数法で y=ax^2+bx+c (a,b,cは定数) の形で求める。 y'=2ax+b (1)に代入して 2ax+b-2(ax^2+bx+c)=x^2+x+3 係数比較して -2a=1 : a=-1/2 2a-2b=1 : b=(2a-1)/2=-1 b-2c=3 : c=(b-3)/2=-2 y=-(1/2)x^2-x-2 iii)以上より(1)の一般解yは y=yg+ys=Cexp(2x)-(1/2)x^2-x-2