質問: ベクトルの問題 三角形oabがあり、oa=a,ob=bとおくとき |a|=1,|a+b|=|2a+b|=√7 が成り立つ。 (1)|ab|を求めよ。 (2)点pが三角形oabの外接円上を動くとき、三角形pabの面積の最大値を求めよ。 (3)点qがoを中心とし、半径|oa|の円上を動くとき、三角形qabの面積の最大値を求めよ。 この問題の解説よろしくお願いします。 (1) は√13という値を求めることができました。
回答: (1) |a+b|^2=(√7)^2 より |a|^2+2ab+|b|^2=7 |a|=1, |a+b|=√7 を代入して 1+2ab+|b|^2=7 2ab+|b|^2=6 ・・・・・・ 1 |2a+b|^2=(√7)^2 より 4|a|^2+4ab+|b|^2=7 |a|=1, |a+b|=√7 を代入して 4+4ab+|b|^2=7 4ab+|b|^2=3 ・・・・・・ 2 1-2より -2ab=3 ab=-(3/2) 1 に代入して -3+|b|^2=6 |b|^2=9 |b|>0 より |b|=3 よって |ab|^2=|b-a|^2=|b|^2-2ab+|a|^2=9+3+1=13 |ab|>0 より |ab|=√13 (2) ab=|a||b|cos∠aob より -(3/2)=1・3・cos∠aob cos∠aob=-(1/2) 0°<∠aob<180° より ∠aob=120° ∠aob が鈍角だから △pabの面積を最大にする点pは、 辺abの垂直二等分線と△oabの外接円の交点のうち、oと反対側にある点である。 四角形oapbがこの円に内接するから ∠apb=60° よって、△pabは正三角形になる。 したがって、 △pab=(1/2)・√13・√13・sin60°=(1/2)・√13・√13・(√3)/2=(13√3)/2 (3) △qabの面積を最大にする点qは、 oを通り、辺abに垂直な直線と円o交点のうち、点oと同じ側にある点が点qである。 oから辺abに引いた垂線の足をhとすると oh=ta+(1-t)b oh⊥ab より oh・ab=0 (ta+(1-t)b)・(b-a)=0 tab-t|a|^2+(1-t)|b|^2-(1-t)ab=0 -(3/2)t-t+9(1-t)+(3/2)(1-t)=0 -(3/2)t-t+9-9t+(3/2)-(3/2)t=0 13t=21/2 t=21/26 よって oh=(21/26)a+(5/26)b これより |oh|^2=|(21/26)a+(5/26)b| =(1/26)^2(441|a|^2+210ab+25|b|^2) =(1/26)^2(441-315+225) =351/(26)^2 |oh|> より |oh|=(3√39)/26 qh=qo+oh=1+(3√39)/26=(26+3√39)/26 したがって、 △qab=(1/2)・ab・qh =(1/2)・√13・(26+3√39)/26 =(26√13+39√3)/52 (=(√13)/2+(3√3)/4)