質問: q(x)yn(n≠0,1)は線形微分方程式であることを示せ。
回答: 問題(5)について: 微分方程式 y'+ p(x)y = q(x)y^n の両辺に 1/y^n を掛けると, y'/y^n+ p(x)(y/y^n) = q(x) y'/y^n+ p(x)(1/y^{n-1}) = q(x) y'*y^[-n]+ p(x)*y^[1-n] = q(x) ここで, z=y^[1-n] とおき,この両辺を x で微分すると, z'=(1-n)y'y^[-n] となります.この式から y'y^[-n] =z'/(1-n) なので,この式と z=y^[1-n] を y'*y^[-n]+ p(x)*y^[1-n] = q(x) に入れると, z'/(1-n)+ p(x)z = q(x) z' + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x) となり,z に関する1階線形常微分方程式となります. 以上により(5)が線形微分方程式であることが示せました.