質問: (n+1) a_[n+1] * x^(n+1) - a_[n] * x^n これらを使って「xの次数ごとに両辺の係数を比較する」んですよね。 しかし左辺だけでも、xの次数が1つずつズレていますよね・・・? これらと x^k を具体的にどうやって比較するのでしょうか? x^2ならx^2だけでまとめるんですか? それともx^3とx^2が混ざった形で比較するのですか(どうやってやるのか分かりませんけども)? どうか教えてください。お願いします。
回答: ano.1です.お礼について. (☆)x^k=-a_0+σi=1,∞a_ix^i >ここまでギリギリ理解できました。 >3. (i-1)a_i=1(i=k) (i=1,2,・・・) >3. はi=k=3だとすると、2a_[3] * x^3 = (1) * x^3 ・・・なので、2a_[3] = 1 ですね・・・あれ? >これは a_[3] = 1/2 になりませんか? それでいいのですよ.k=3の場合の解 y=a_1x+x^k/(k-1) は y=a_1x+x^3/2 であり,a[3]=1/2ですよ. >ただ、任意の定数 a_1 と x を掛け合わせたものを足す理由が分かってないです、すみません・・・。これも教えていただけませんか?お願いします。 ☆をよーく見て下さい.x^kのべき級数展開が右辺ですよね.ところがx^kはすでにべき級数展開されているのです.つまり x^k=0+0x+0x^2+・・・+0x^{k-1}+1x^k+0x^{k+1}+・・・(1) これはx_kの係数だけ1で後はすべて0です.一方☆の右辺は具体的に -a_0+σi=1,∞a_ix^i =-a_0+(1-1)a_1x+(2-1)a_2x^2+・・・+(k-2)a_{k-1}x^{k-1}+(k-1)a_kx^k+ka_{k+1}x^{k+1}+・・・(2) (1)と(2)のxのべきの係数を比べると,xの係数以外では, a_0=0,a_2=0,・・・,a_{k-1}=0,a_k=1/(k-1),a_{k+1}=0,・・・ のようにx^kの係数のみ0でないです.xの係数はどうなっているかというと (1)→0=0a_1←(2) となっています.これはa_1がなんでもよいことを示します.だからa_1は0でない可能性があるので残すわけです.もちろん残るのはべき級数解 y=σ[i=1,∞]a_ix^i においてa_k=1/(k-1)とともに残るのですよ.