質問: 三角関数の方程式 y=x+√(3)*sin(x)-cos(x) 0<=x<=2π のときの微分係数が0になるxを求めたい。 y'=1+√(3)*cos(x)+sin(x) y'=0 より 1+√(3)*cos(x)+sin(x)=0 ---(1) (1)を解くのに cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使って sin(x)=√(1-co^2(x))を代入して求めたら x=π/2,3π/2,5π/6,7π/6 が得られたのですが、π/2と7π/6は y'が0になりません。 定義域の関係なのかよくわかりません。 なぜ得られたπ/2と7π/6をy'の式に代入したら0にならないか教えて下さい。
回答: sin(x)=√(1-cos^2(x))を入れた時点で sin(x)≧0かつsin(x)=-1-(√3)cos(x)≧0つまりcos(x)≦-1/(√3) を仮定するわけなので、変域は θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより小さい方)≦x≦π [※-1/(√3)=-(√3)/3で-(√3)/2より大きいからθは5π/6より小] となっているから、解は5π/6だけになり、 同様に、sin(x)=-√(1-cos^2(x))を入れれば変域は θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより大きい方)<x≦2π となるので、解は3π/2だけになります。 このような面倒なことや誤りを防ぐため、no1のかたの言っている ように合成で解く方がいいと思います。