質問: 次の問題を問いてください、お願いします! 次の二次関数に最大値・最小値があれば、それを求めなさい。 また、そのときのxの値を求めなさい。 問1 y=x^2-6x+9 問2 y=-2x^2+2x+1
回答: これは右辺を『平方完成』といって、(x-a)^2の形にすることを目指す問題です。教科書の該当箇所にも説明がありますから、参考にしてみてくださいね。 まず、中学校で習った因数分解の式は覚えていますか? x^2 + 2ax + a^2 = (x + a) ^ 2 、 x^2 - 2ax + a^2 = (x - a) ^ 2 、 x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)等の式があったと思います。問1はこれらのうち、どれかの型にあてはまりますね。問2は一筋縄ではいかなそうですね。 まず、平方完成の流れを書いておきます。教科書にも載っていると思います。最終的には自力で書けるようになると良いですね。 y = ax^2 + bx + c ⇒(xが含まれている項をaでくくり、定数項c(ふつうの数字)は、とりあえず放置します。) = a(x^2 + b / a x ) + c ⇒(これでは2乗の形には持って行けない・・・困った。) ここで、無理やり x^2 + 2ax + a^2 = (x + a) ^ 2 の 2ax の形を作り出すために、ax = 2ax × 1/2とします。すると、 = a (x^2 + 2 b/2ax) + c ⇒(こんどa^2をつくりだすために、a^2を作り出します。作り出した分は引いておきます。) = a (x^2 + 2 b/2ax + b^2 / 4a) + c - b^2 / 4a ⇒(これでカッコ内を2乗の形にすることができます。) = a (x + b / 2a)^2- ( b^2 - 4ac )/ 4a このグラフの頂点の座標は、x = - b / 2a 、 y = - ( b^2 - 4ac )/ 4a となります。判別式d = b^2 - 4ac ですが、グラフの頂点のy座標を - d / 4a とも表せます。グラフの頂点がx軸より上にあるか、下にあるかで x軸との交点の数が変わってきます。x軸との交点の数を調べるときは、判別式か、グラフの頂点のどちらかで求めることができます。 これらを活用していきます。長文失礼しました。 問1 y = x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2・3x + 3^2 = (x - 3)^2 となり、下に凸のグラフであることが分かります。図を描いて確かめてみましょう。上に伸びるので最大値は無し、最小値は x = 3 の時に、y = 0 となります。 問2 y = -2x^2 + 2x + 1 = -2 (x^2 - x) + 1 = -2 (x^2 - 2 ・1 / 2x ) + 1 = -2 (x^2 - 2 ・ 1/ 2x + 1/4) + 1 + 1/2 = -2 (x - 1/2)^2 + 3 /2 となります。上に凸のグラフです。図を描いて確かめてみましょう。下に伸びるので最小値は無し、最大値はx = 1/2 の時に、y = 3 / 2 となります。