質問: 図形の相似条件について 図形の相似条件について質問があります。 問題:平行な二つの面の上面と底面の半径の比が1:2である円錐台を高さを3等分する二つの 平面で切断したときにできる3つの立体の体積比をもとめよ。 解答・・・ 3等分した高さをそれぞれh、円錐台の側面を延長してできる円錐の頂点をaと、 aから上面までの高さをxとすると、 上面の半径:底面の半径=1:2=x:x+3h よってx=3h aを頂点、4つの平面を底面とする4つの円錐は相似であり 相似比はx:x+h:x+2h:x+3h=3:4:5:6 よって体積比は27:64:125:216 円錐代を切断でいてできる3つの立体の体積を上から順にv1,v2,v3とすると v1:v2:v3=64-27:125-64:216-125=37:61:91 というのが流れなのですが、ここで分からないことがあります。 なぜ、「aを頂点、4つの平面を底面とする4つの円錐は相似」なのでしょうか? 私は、てっきりv1とv1+v2とv1+v2+v3が相似で、 高さの相似比がh:2h:3h=1:2:3なので それから体積比v1:v2:v3=1:2^3-1:3^3-2^3-1なのかと思いました。 実は、v1とv2とv3も相似な図形にみえます。 三角形は下記のような相似条件があって、 (1)3組の辺の比が等しい (2)2組の辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい (3)2組の角が、それぞれ等しい それにあてはまるか?を考えればいいのかと思うのですが、 立体の時は何をてがかりにしたらいいのでしょうか? 「aを頂点、4つの平面を底面とする4つの円錐」は相似で 「v1とv1+v2とv1+v2+v3」は相似ではない、 「v1とv2とv3も相似ではない」理由、判断の仕方を教えてください。 初歩的なことでお恥ずかしいのですが、よろしくおねがいいたします。
回答: #1です。 >でも、v1とv2とv3が相似ではないことは理解できました。 >でも、v1とv1+v2とv1+v2+v3が相似でない?のはなぜなんでしょう? v1の上面の半径を r1としてみると、v2、v3の上面の半径はそれぞれ v2の上面の半径:r2= 4/3* r1 v3の上面の半径:r3= 5/3* r1 となります。(質問中で添付している断面図を考えれば求められます) よって、上面の円の相似比は、3:4:5になります。 また、v2の上面は v1の下面になっています。 以下、同じように考えると下面の円の相似比は、4:5:6になっています。 すでに、この時点で上面と下面の相似比が違っています。