質問: [a(1/2)^ n + 10(1/3)^ n] u [n] $です。 $ x_2 [n] =( - 1)^ n $の場合、出力は$ y_2 [n] =(7/4)( - 1)^ n $ *em>。このシステムの伝達関数と数$ a $の値を求めます。** > > **この解は、$ x_1 $と$ y_1 $のz変換を決定し、伝達関数を$ H(z)= Y_1(z)/ X_1(z)$とすることによって進められます。 しかし、入力が$(1/6)^ n $ならば、このシステムは$(1/2)^ n +(1/3)^ n $の出力を生成することは不可能であると私には思われます。質問は幾分工夫されていますが、私の他の質問に関する議論を参照してください。 私はここで何が欠けていますか?**](https://dsp.stackexchange.com/questions/25087/output-of-discrete-time-lti-system-guaranteed-to-be-same-form-as-input)
回答: **注:答えは完全ではありません。しかし、問題は解決できないようです。** 入力信号には以下のz変換があります。 X 1(z)= \ frac {1} {1-(1/6)\ cdot z ^ { - } $ $ x_1 [n] =(1/6)^ n \ cdot u [n] 1}} $$ $$ x_2 [n] =(-1)^ n \ quad \ longleftrightarrow \ quad X_2(z)= \ frac {1} {1 + z ^ { - 1}} $$ 出力信号には、以下のz変換があります。 $$ y_1 [n] = [a(1/2)^ 2 + 10(1/3)^ n] u [n] \ quad \ longleftrightarrow \ quad Y_1(z)= a \ frac {1} {1- (1/2)\ cdot z ^ { - 1}} + 10 \ frac {1} {1-(1/3)\ cdot z ^ { - 1}} $$ (1/4)$(1/4)\ n \ quad \ longleftrightarrow \ quad $ 両方の信号ペアについて、伝達関数は$ H(z)= \ frac {Y(z)} {X(z)} $に等しいことがわかります。 $ \ {X_2(z)、Y_2(z)\}から$ H(z)= 7/4 $を知ることができます。 ]、y_2 [n] \} $)。 残るのは$ Y_1(z)= H(z)\ cdot X_1(z)$を$ a $に解くことです。しかし、私は適切な結果を得ていません。 **EDIT:** Another way to appraoch this last step is to solve the following: $$a\frac{2}{2-z^{-1}} + b\frac{3}{3-z^{-1}} = c\frac{6}{6-z^{-1}}$$ where you may choose $b=10$ if desired. マトリックス表現では: $$ \ mathbf {A} \ left [\ begin {array} {1} a \\ b \\ c \ end {配列} \ right] = \ mathbf {b} $$ 行列$ \ mathbf {A} $は完全ランクサイズの3×3行列であり、$ H(z)= c $と$ b = 10 $のスカラー解が存在しないことを示しています。 **EDIT2:** The solution seems to be that $H(-1)=7/4$ and $a=-9$. We already found that $H(z)=7/4$ for any $z$, based on the signals $\{X_2(z), Y_2(z)\}$. When evaluating $\{X_1(z),Y_1(z)\}$ for $z=-1$, the solution $a=-9$ follows easily. However, for another value of $z$, say $z=-2$ we obtain $a\approx -9.375$. **結論として、分解は$ z = -1 $に対してのみ成り立ちます。**