質問: 半区間展開について 次の関数をsinにより半区間展開せよ g(t)=t 0≦t≦π こちらの問題の解き方が全く分かりません... 誰か教えてください お願いしますm(_ _)m
回答: >sinにより半区間展開せよ。 この意味がはっきりしませんが 「0≦t≦π」の範囲でsin関数とその高調波を使って展開せよ。 ということであればg(t)が奇関数の性質を持たせるために g(t)=t (-π≦t≦π)に拡張してフーリエ級数展開してから 0≦t≦πだけの範囲を取れば良い。 b[n]=(2/π)∫[0,π] t sin(nt)dt =(2/π)[-t cos(nt)/n+∫cos(nt)/n dt][0,π] =(2/π)[-t cos(nt)/n+sin(nt)/n^2][0,π] =(2/π)[-πcos(nπ)/n] =(2/n)(-1)^(n+1) (n=1,2,3, ... ) (答) g(t)=σ[n=1,∞] ((-1)^(n+1))(2/n)sin(nt) =2sin(t)-sin(2t)+(2/3)sin(3t)-(1/2)sin(4t)+ ... (0≦t≦π)