質問: 代数のオイラー関数についての質問です。 自然数nのオイラーの関数φ(x)について、φ(x)=4n/5が成り立つ時、nがどのような数になるのか調べたいのですが、自分で計算したときに途中で行きずまってしまいました。 <自分の解答> nの素因数分解のn=p1^e1*p2^e2*・・・*ps^es(ps>0)とする。このとき、 φ(x)/n=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)となるので ゆえに 1/2=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps) 通分して整理すると、5*p1^e1*p2^e2*・・・*ps=4*(p1-1)(p2-1)・・・(ps-1) とここからどのようにしていいのかわかりません(泣)
回答: xではなくnでは? また、 1/2=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps) とあるのは 4/5=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps) では? すると、p1,...,psのなかに5がなくてはならない。 p1=5とすると、 1=(1-1/p2)・・・(1-1/ps) となる。 ところが、右辺は1より小さいので矛盾する。 よって、s=1でなければならない。 (素因数の種類は1個) ゆえに、n=5^e1の形の数のみがφ(n)=4n/5を満たす。