質問: 線形代数 行列式 分からないのは以下の問題です. 次の連立1次方程式を考える。 (1+λ[1])x[1] + λ[1]x[2] + λ[1]x[3] + ・・・+λ[1]x[n] =λ[1] λ[2]x[1] + (1+λ[2])x[2] + λ[2]x[3] + ・・・+λ[2]x[n] =λ[2] ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ λ[n]x[1] + λ[n]x[2] + λ[n]x[3] + ・・・+(1+λ[n])x[n] =λ[n] 以下の問いに答えよ. (a)この連立1次方程式の係数行列をaとする.aの行列式|a|を求めよ. (b)|a|≠0のとき,この連立1次方程式の会を求めよ. (a)は |a|= |(1+λ[1]) + λ[1] + λ[1] + ・・・+λ[1]| |λ[2] + (1+λ[2]) + λ[2]+ ・・・+λ[2] | | ・ ・ ・ ・| | ・ ・ ・ ・| | λ[n] + λ[n] + λ[n] + ・・・+(1+λ[n])| となり (1+λ[1]+λ[2]+・・λ[n])でくくりだせて、計算していくと (1+λ[1]+λ[2]+・・λ[n])となるのですが、答えはこれで合っているのでしょうか? (b)はわかりません。 答えがないので分かる方、教えてください。
回答: (a)はokです。 (b) a*x=b x={a^(-1)}*b を計算すればいいです。 一般式でなくn=3~5位の場合で計算してみて下さい。 そうすると一般のnに対する計算がどうなるか分かるはずです。 最初からnですると行列要素の文字数の多さのために、計算ミスや計算用紙を沢山消耗するだけで無駄な努力に終わるのが落ちでしょう。 私はn=5の場合についてやって見ましたが、それでも結構式が複雑で長くなります。n=4位で計算してみることをお勧めします。 a^(-1)を求めてbに掛ける行列計算をするだけです。 逆行列の求め方や行列の積の計算は大抵の教科書や参考書に載っています。 それらの計算を一般のnに拡張すればいいでしょう。 やってみた結果は以下のようになりました。 x[i]=λ[i]/(1+σ[j=1,n]λ[j]) i=1,2,...,n #1さんのa#1(2)の式と同じ結果が出てきました。