質問: 大学の重積分の問題です。 こんにちは。また知恵を貸していただきたく、質問いたします。 ∮∮d(|x|+|y|)dxdy d:|x|+|y|≦1 の積分の値はいくつでしょうか? 絶対値をどのように処理するのかわかりません...。 範囲的には菱形?の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: >∮∮d(|x|+|y|)dxdy d:|x|+|y|≦1 「∮」の記号は閉じた積分路に沿った周回積分(閉路積分)の場合に使います。今回の積分は該当しませんので 普通の積分記号「∫」を使ってください。 v=∫_d(|x|+|y|)dxdy, d:{(x,y)| |x|+|y|≦1} >絶対値をどのように処理するのかわかりません...。 >範囲的には菱形?の左右対称になると思うのですが、どうでしょうか。 被積分関数(|x|+|y|)も積分領域もx軸およびy軸に対称なので 積分領域を d → e:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1} に変換すれば積分領域eでは絶対値を外せ、 積分領域dにおける積分は、積分領域eにおける積分の4倍になります。 v=4∫_e(x+y)dxdy, e:{(x,y)| x+y≦1,x≧1,y≧1} =4∫0→1]dx∫[0→1-xdy =4∫[0→1]dx [xy+y^2/2][0→1-x] =4∫[0→1] [x(1-x)+(1-x)^2/2] dx =4[x^2/2 -x^3/3 -(1-x)^3/6][0→1] =4(1/2 -1/3 +1/6) =4/3