質問: 導関数の問題 y=√{(1-√x)/(1+√x)}の1次導関数と2次導関数を求めよ。 という問題ですが、1次導関数を解いたところ y=√{(1-√x)/(1+√x)}=(1-√x)^1/2*(1+√x)^-1/2として、 y'=-1/4√(x-x^2) -√(1-√x)/{4√(x+x√x)}*1/(1+√x) になりましたが答えはあっているのでしょうか?
回答: 意外と複雑な微分になります.この関数をいきなり微分してゆくのは, 天才的・微分暗算の達人でないと出来ませんので, 順を追って,確実に,ゆっくりと計算しないと間違えます. y=√{(1-√x)/(1+√x)} これを,次のように,おきます, y=√{u} u=(1-√x)/(1+√x) すると,合成関数の微分法により, y'=(dy/du)*(du/dx) です.まず,(du/dx) を計算しておきます.この微分は分数の微分法を使います. この計算の中で,√x の導関数を使いますので,これは, (√x)'=(1/2)*(1/√x)=(1/2)*x^(-1/2) です.(du/dx)を計算してゆきます. (du/dx)=[(1-√x)/(1+√x)]' ={(1-√x)'(1+√x)-(1-√x)(1+√x)'}/(1+√x)^2 ={[-(1/2)*x^(-1/2)]*(1+√x)-(1-√x)[(1/2)*x^(-1/2)]}/(1+√x)^2 =[(1/2)*x^(-1/2)]{-(1+√x)-(1-√x)}/(1+√x)^2 =[(1/2)*x^(-1/2)]{-1-√x-1+√x}/(1+√x)^2 =[(1/2)*x^(-1/2)]{-2}/(1+√x)^2 =[-x^(-1/2)]/(1+√x)^2 =-1/[(√x)*(1+√x)^2] (du/dx)=-1/[(√x)*(1+√x)^2] となります.次に,(dy/du) の計算です. y=√{u} ですから, (dy/du)=d√{u}/du=(1/2)*u^{(1/2)-1} =(1/2)*u^(-1/2) =(1/2)*[(1-√x)/(1+√x)]^(-1/2) =1/{2√[(1-√x)/(1+√x)]} (dy/du)=1/{2√[(1-√x)/(1+√x)]} となります.y'=(dy/du)*(du/dx) により, y'=(dy/du)*(du/dx) y'=【dy/du】*【du/dx】 y'=【1/{2√[(1-√x)/(1+√x)]}】*【-1/[(√x)*(1+√x)^2]】 y'=-1/【{2√[(1-√x)/(1+√x)]}*[(√x)*(1+√x)^2]】 y'=-1/【2(√x)*√[(1-√x)/(1+√x)]*[(1+√x)^2]】 y'=-1/【2(√x)*√[(1+√x)^4*(1-√x)/(1+√x)]】 y'=-1/{2(√x)*√[(1-√x)*(1+√x)^3]} y'=-1/{2(√x)*√[(1-x)*(1+√x)^2]} y'=-1/{2(√x)*(1+√x)*√(1-x)} y'=-1/{2*(x+√x)*√(1-x)} です.これが,y=√{(1-√x)/(1+√x)} の1次導関数です. #1さんと答えが一致しているので,間違いは無いでしょう.