質問: 幾何分布と指数分布の関係 確率変数xが平均λ^-1の指数分布に従っているとする。実数xに対して[x]をxを超えない最大の整数と定義して、整数値のみをとる確率変数y=[x]はどんな分布に従うかを考えるときに 指数分布は幾何分布の連続版のようなものだと聞いたことがあるので幾何分布になるのだろうと思いますがこれはどのように説明したらよいのでしょうか??またそのときパラメータpはどのようになるのでしょうか??教えてください。
回答: 平均がλ^(-1)ってことは、xの密度関数は f(x) = λ e^(-λx) ですね。 yの確率関数を求めるにあたり、次のように考えます。ある非負の整数yについて、 y=y ⇔ y≦x<y+1 したがって、 y = 0,1,2,...について pr(y=y)=∫f(x) dx, ただし積分の範囲は[y,y+1)です。 計算間違いが無ければ pr(y=y) = -e^[-λ(y+1)] + e^[-λy] になると思います。 幾何分布ではない。。。と思ったら、 pr(y=y) = -e^[-λ(y+1)] + e^[-λy] = [e^(-λ)]^y [1-e^(-λ)] = [1-{1-e^(-λ)}]^y [1-e^(-λ)] と書けるので、 y+1が、p=1-e^(-λ) の幾何分布にしたがっている、のかな。幾何分布は0をとりませんからね。