質問: <微分> 3次関数の微分の問題 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=1で極小値-1/12をとり、x=2で極大値1/12をとる。 定数a,b,c,dを求めよ という問題です。 f'(x)=3ax^2+2bx+c として、 f'(1)=0 f'(2)=0 f(1)=-1/12 f(2)=1/12 この4つの式からabcdを使った式を出したのですが、 どのように変形すれば答えが出るのでしょうか? 教えていただければ幸いです。
回答: それぞれの式に代入して,a,b,c,dに関する4元連立一 次方程式を解いてもいいわけですが,めんどくさいです よね。だから,文字数をできるだけ減らしましょう。具 体的には以下の通りです。 f'(1)=f'(2)=0 なので f'(x)=3a(x-1)(x-2)=3ax^2-9ax+6a となるから,係数比較して 2b=-9a⇔b=-9a/2, c=6a よって f(x)=ax^3+(-9a/2)x^2+6ax+d となり,bとcが消去できたのでずっとラクです。 ここから f(1)=-1/12 f(2)=1/12 を代入すればいいです。ちなみに答えは a=-1/3,b=3/2,c=-2,d=3/4 です。 x=pで極値⇒f'(p)=0(逆は成り立たない) をうまく使って下さい。