質問: 0 (ただしp1,p2...pnは定数)の解y1,y2...ynの線形和 y =σciyi(ciは定数) が再び解になることを証明せよ。 これってどうすればいいのでしょうか?
回答: 微分作用素は線形だから、 y^(k)=σciyi^(k)(k=0,1,2,...,n) が成り立つ。 これで、y^(n)+p1y^(n-1)+p2y^(n-2)+...+pnyを作ってみれば、 σの中がciでくくれて、yiが解であることから、0になる。 k階の微分作用素をd^(k)と表わすと、d^(k)y=y^(k)で、この微分方程式 は、 (d^(n)+p1d^(n-1)+p2d^(n-2)+...pn)y=0 と表せ、yにかかっている微分作用素をd1とおくと、 d1y=0 と表せる。 d1はd1(c1y1+c2y2)=c1d1y1+c2d1y2のように線形の性質がある。 (これが線形微分方程式の線形といわれるゆえんである。) つまり、d1は関数空間の間の線形写像になっている。 d1y=0の解を求めるということは、線形代数でいうところの線形写像d1 の核(kernel)を求めるということで、当然、解全体の集合は線形空間 (部分空間)をなしている。したがって、解の線形結合も解になってい る。