質問: Euclid空間の有界部分集合が全有界であることの証明。
回答: R^nの元aを中心とし、半径ε>0の開球を B(a,ε)={x∈R^n | |x-a|<ε} とおく。 このとき明らかに M ⊂ M^a ⊂ ⋃_{a∈M}B(a,ε) が成り立つ. M^aはコンパクトだから有限個のB(a_k,ε) (k=1,2,...,m)が存在して M ⊂ M^a ⊂ ⋃_{k=1}^mB(a_k,ε) とできる。 したがってMは全有界である。