質問: 力学の証明問題 (1)~(3)までの証明手順が分からなくて困っています...。 文章で書くと長くなってしまい、見辛いところがあると思います...。 (1)だけでも良いので、証明方法を記載していただけると嬉しいです。 助けてください。 問題 質量mの物体が力fベクトルを受けて運動するとき、時間tにおける物体の運動は運動方程式 m*dv(t)ベクトル/dt=fベクトル にしたがう。ここで物体の速度vベクトル=dr(t)ベクトル/dtで、r(t)ベクトルは位置を表すベクトルである。以下の問に答えよ。 (1)力が中心力の場合fベクトル=rベクトル*f(r)/rのとき、角運動量lベクトル=rベクトル×(mvベクトル)が保存することを運動方程式を用いて示せ。 (2)中心力が万有引力fベクトル=-gmm*rベクトル/r^3 (mは中心にある物体の質量、gは万有引力定数)である場合を考える。運動を行う2次元平面を極座標(r,θ)で表すと運動方程式は(m*d~2r/dt^2)-l^2/mr^3=-gmm/r^2、l=mr^2*dθ/dtとなる。 ここで(1)の結果から中心力では角運動量lが保存することを用いた。以下の[a]、[b]について答えよ。 [a]u=1/rの変数変換をすると、dr/dt=-l/m*du/dθとなることを示せ。 [b] [a]を用いてrを角度θの関数として求め、l,g,m,mなどを用いて表せ。 (3)vベクトル×lベクトル-gmmrベクトル/rが時間によらず一定であることを示せ。
回答: 「角運動量が保存する」というのをどう数学的に表現するか, だけの勝負だろうねぇ.