質問: 写像について質問させてください。 Xは有限集合とするとき, 1 写像f:X→X が単射 ⇒ fは全射 2 写像g:X→X が全射 ⇒ gは単射 は正しい命題でしょうか?
回答: 有限集合であるならそれは正しいです。 追記:異なる自然数に1:1対応が作れないことから。 補足:gが単射でなかったとするとgをXより真に小さい集合に制限して,全射であることを保ちながら単射にできる(g(a)=g(b)となるa,bのどちらかを除けばいい)。これはXより真に小さい集合とXの間の全単射になるから矛盾。