質問: 障害物周りの圧力の変化について
回答: ベルヌーイは、水や油のような、 ほとんど圧縮性のない、非圧縮性流体で、かつ非粘性の定常流について、 実験し、この流体の1本の流線の上で、速度Vと圧力Pと高さZに関する、 ポテンシャルの和が、任意の位置で、同じであると言う、 ベルヌーイの定理を発見した(損失によるポテンシャルの減少は無視すれば)。 式で書けば、 {(V^2)/2}+(P/ρ)+g Z=一定 ------------------(1) ここで、g=9.80665[m/s^2]重力加速度。ρは密度[kg/m^3]。 質問者は流体として空気を考えているが、ここではまず、水を考えよう。 さて、(1)を圧力表記に直せば次式となる。 {(ρ V^2)/2}+P+g ρ Z=一定 -------------------(2) 今、障害物の影響を受けない場所の圧力Pを1気圧、流速Vを50[m/s]としよう。 障害物に流れが当たって流速が0となる所を「よどみ点」と言うが、 この点の圧力をPsとする。また、高さに変化がないものとすればZは同値で、 (2)のZの項は消去できる。さらに、非圧縮性から、よどみ点の密度は障害物から離れた場所の密度ρと同じである。すると下式が成立する。 {(ρ V^2)/2}+P=Ps ------------------------------(3) ここで、ρ=1000[kg/m^3]、V=50[m/s]、P=101325[Pa]。 これらを(3)へ代入すれば下の結果を得る。 Ps={(1000*50^2)/2}+101325=1351325[Pa]=13.3365[気圧] よどみ点には大きな圧力が発生するのが解る。 さて、空気の場合である。圧縮性を持つが、非粘性の定常流に対する、 ベルヌーイの式(ポテンシャル表記)は、 ポアソンの法則 P ∝ ρ^γ--------------------------------------------(4) を用いて、次のように書ける。 (V^2)/2+{γ/(1-γ)}(P/ρ)=一定-------------------(5) ここで、γは空気の比熱比(定圧比熱Cp/定容比熱Cv)で、 乾燥した空気の場合、γ=1.403である。 また、空気の0[°C]、1気圧における密度ρ=1.293[kg/m^3]。 (5)から流体が水の場合と同様に、よどみ点の圧力Psを求めよう。 ただし、水の場合と異なるのは、 よどみ点の密度は、圧縮性のため、障害物から遠い場所の密度と異なる。 これをρsとしよう。式で書けば (V^2)/2+{γ/(1-γ)}(P/ρ)={γ/(1-γ)}(Ps/ρs)-----(6) となる。(6)のρsをPsで表すため、(4)を用いて、 ρs=C1 Ps^(1/γ) -----------------------------------------(7) となる、C1をもとめる。 ポアソンの法則は圧力Pと体積Qとの間の関係として表せて、 P Q^γ=Co (定数)-----------------------------------(8) である。(8)からQを求めると、 Q=(Co/P)^(1/γ)-----------------------------------(9) 体積Qの流体の質量をMとすれば、密度ρは ρ=M/Q ---------------------------------------------(10) (10)へ(9)を代入すれば ρ=M/Q=M/{(Co/P)^(1/γ)}-------------------------(11) よって、よどみ点では ρs={M/Co^(1/γ)} Ps^(1/γ)=C1 Ps^(1/γ)-----------(12) すなわち C1=M/Co^(1/γ)} ------------------------------------(13) (12)を(6)へ代入すると (V^2)/2+{γ/(1-γ)}(P/ρ)={γ/(1-γ)}{Ps/(C1 Ps^(1/γ)} =(1/C1){γ/(1-γ)}Ps^(1-1/γ) =(1/C1){γ/(1-γ)}Ps^{(γ-1)/γ} したがってPsについて整理すれば、 Ps=([(V^2)/2+{γ/(1-γ)}(P/ρ)]{C1(1-γ)/γ})^{γ/(1-γ)} ---(14) 障害物から遠方の流速と圧力は水の場合と同じとし、 空気の温度は0[°C]で、変化が速く断熱変化としよう。 すると、(8)式のCoは、体積1[m^3]について考えると、 Co=101325*1^1.403=101325 ------------------(N1) 体積1[m^3]の空気の質量Mは0[°C]、P=1気圧で M=1.293[kg]だから、この値と(N1)を(13)へ代入して C1=1.293/{101325^(1/1.403)} =1.293/(101325^0.712758)=3.4972309*10^(-4)-----(N2) これを(14)へ代入すれば Ps=[{(50^2)/2+(1.403/0.403)(101325/1.293)} x(3.4972309*10^(-4))(0.403/1.403)]^(1.403/0.403) =102947.5952[Pa]-------------------------------(N3) 障害物から遠い場所の圧力を1気圧としたので、 [Pa]の単位で表せば、P=101325[Pa]。これと比較すると、 空気の流れの中の障害物のよどみ点圧力Psはわずかに高くなっている。 %で表記すれば 100*(Ps-p)/p=100*(102947.5952-101325.0)/101325.0=1.601[%] 程度の増加ではある。しかし、1気圧ではない。 話は大変長くなったが、質問者に理解いただけただろうか。 この結果から、船のよどみ点抵抗は大変大きく、 航空機や自動車のそれは、あまり大きくないことがわかる。 抵抗は、よどみ点の抵抗だけはないことは無論である。 以上