質問: 1000個の部品があります。各々故障している確率が0.003であるとき、実際部品が4個故障している確率をポアソン分布を用いて、近似してください。 よろしくお願いします。
回答: 二項分布がポアソン分布に近似できる条件があるらしいです。 (1)試行回数が非常に多きい場合。 (2)着目している事柄が起きる確率が非常に小さい場合。 数式として考えると np(二項分布の平均)=λ(ポアソン分布の平均) を定数として、 binomial(k:n,p)=n(n-1)...(n-k+1)/k!(λ/n)^x(1-λ/n)^{n-x} ここで、うまく式変形するらしいです... =λ^k/k! * n(n-1),,,(n-k+1)/n^k *(1-λ/n)^n * (1-λ/n)^{-k} ここで、nを無限に大きくしていくと、、、 分母にn^kをもつ項は0に収束。 (1-λ/n)^n -> e^{-λ} (こんな公式があったかと...) (1-λ/n)^{-k} -> 1 (λ/n -> 0) すると、 これがpoisson(np)に等しいことが確認できると思います。 今、問題文を見るとまぁまぁ良い近似ができると思います。 確率変数Xをpoisson(3)で与えると (∵1000*0.003=3) P(X=4)=e^{-3}3^4/4! おそらくこれで正しいかと、 間違っていたらごめんなさいm(_ _)m より良い回答が現れるとこに期待するばかりです...