質問: 【構造力学】相反作用の問題について 【構造力学】相反作用の問題についての質問 構造力学の相反作用における下記問題の解説において、下記1の箇所が理解できないので御教授お願いします。 【問題】 図i(添付図参照)のように、短bで支持されている長さl、曲げ剛性eiの梁abの中央に荷重pをかけた。このとき、固定端aにおけるモーメント反力の大きさm(a)を求めよ。 ただし、梁の自重は無視する。 なお、図iiのように、長さl、曲げ剛性eiの片持梁cdの先端に荷重pをかけたときの、自由端dにおけるたわみδ(d)、たわみ角θ(d)はそれぞれ δ(d)=pl3/3ei 、 θ(d)=pl2/2ei である。 【解説】 図iiにおいて、固定端から1/2の点をe点として変位δ(e)を求めると、 ei・(d2v/dx2)=p(l-x) ei・(dv/dx)=plx-(1/2)・px2+c1 ei・v=(1/2)・plx2-(1/6)・px3+c1x+c2 境界条件より、c1=c2=0なので、 v=(px2/6ei)・(3l-x) δ(e)=5pl3/48ei 相反作用の定理より、 pδ(e)=r(b)δ(d) ・・・・・・1 だから、r(b)=5p/16 つりあい式よりa点での曲げモーメントは、 m(a)+(1/2)・pl-(5/16)・pl=0 m(a)=-(3/16)・pl となり、モーメント反力の大きさは、(3/16)・plとなる。 【不明な点】 pδ(e)=r(b)δ(d) ・・・・・・1 上記式1において、「ベッティの相反作用」を適用した場合、荷重作用点と変位点の関係を考えると、式1が理解できません。 d点、e点における荷重とたわみをp(d)、δ(d)、p(e)、δ(e)とし、相反作用の法則をすると以下の式が成り立つと思います。 p(d)δ(e)=p(e)δ(d)...2 しかし式1 pδ(e)=r(b)δ(d) は上記式2にあてはまらないので、式1の成り立ちがいまいちわかりません。 ※該当する質問分野がわからなかった為、複数の分野で投稿しています。
回答: 解説が言葉足らず,あるいは,すっ飛ばしすぎなのでは? まず下の図の場合,点 d に p を与えたときの梁先端 d のたわみは δ(d) です。そして,中央 e のたわみが δ(e) です。とすると, 相反定理によって,中央点 e に p を与えたときの先端 d のたわみは δ(e) と同じ値になります。ここが相反定理。 ここで上の図の不静定梁に戻ります。支点反力に相当する r を 右端に載せたときの右端のたわみ δ(b) は,線形問題なので, δ(b) = δ(d) x r / p でいいですよね。そしてこの不静定の梁では右端はたわみがゼロです から,中央の p による先端のたわみ δ(e) と,この r による先端の たわみ δ(b) が等しくないといけません。したがって δ(b) = δ(e) -> δ(d) x r / p = δ(e) -> p δ(e) = r δ(d) となります。この最後の式は,右端が支えられているからたわまないと いう,幾何学的な制約条件で,これそのものは相反定理ではありませんが, 上のように,相反定理を用いています。しかし,この解説,δ(e) の 求め方が問題の題意を無視しています。問題の後半の情報 δ(d) と θ(d) から δ(e) は簡単に計算できて δ(e) = δ(d;l/2 の梁) + θ(d;l/2 の梁) x (l/2) = p/(3ei) (l/2)^3 + p/(2ei) (l/2)^2 x (l/2) = 5pl^3/(48ei) ですから,微分方程式なんかは解く必要はありません。