質問: 微分積分を用いた力学について 物体が空気中で落下運動する時、物体は空気中から抵抗力を受ける。抵抗力の大きさは、物体の速度に比例するとする。すなわち、物体の速度がvのときの抵抗力は-γvと表される。ただしγは正の定数である。 質量mの物体を時刻0において空気中で静かに話し、落下運動させた。鉛直下向きを正の向きにとる。時刻tにおける物体の速度をv、重力加速度をgとすると、物体の運動方程式は m((dv)/(dt))=mg-γv と表されその解はv=aexp(-λt)+b で与えられる。ただし、a、bおよびλは、条件によって決まる定数である。次の各問いに答えよ。 (1)十分時間が経過すると、物体は一定の速度に達する。この速度を終端速度と呼ぶ。その速度はいくらか。 (2)初期条件(t=0でv=0)および(1)の結果よりa,bを定めよ。 (3)解を運動方程式に代入し、任意の時刻tにおいて等式が成立することを考慮すると、λは決まる。λはいくらになるか。
回答: (1)は関数の極限値の話ではありません。 物体は一定の速度に達する、ということは加速度が0であるということです。つまり m((dv)/(dt))=mg-γv という運動方程式で、tが十分大きければ dv/dt=0 となる、ということを言っています。これはtが十分大きいところで 0=mg-γv となるということです。つまり v=mg/y が終端速度になります。 (2)を考えるときにはexp(-x)のx→∞の極限値が0であることを知っていなけれはなりません。exp(x)がx→∞で無限大に発散するのですから、exp(-x)は当然0に収束しますね。 このことを知らなかったのなら覚えておかなければなりません。あるいはエクセルでもなんでもいいですから、exp(x)のグラフを書いてこの関数が決まった値に収束しないことを感じておくといいです。 このことを知っていれば終端速度がbと表すことができることがわかります。aexp(-λt)の項が0に収束するからです。 一方(1)で終端速度をmg/yと求めたのですから b=mg/y です。 また、t=0でv=0なのですから 0=aexp(-λ・0)+b です。つまり a=-b となります。 a=-mg/y です。 (3)では解を運動方程式に代入してごらんと書いてあるのですから、そうしてみましょう。 m(-λ)aexp(-λt)=mg-γv aは上で求めていますから、これも使って書き直すと m(-λ)mg/yexp(-λt)=mg-yv t=0でv=0なのですから m(-λ)mg/y=mg です。"任意の時刻tにおいて等式が成立することを考慮"して、t=0の所で計算すれば十分だと考えました。この式を整理すれば、 λ=-y/m ということになります。 いかが?