質問: 数学の問題の過程 直線x+7/2=y+8/2=z-3/-1を含み、点(1,1,2)をとおる平面の方程式をax+by+cz=5(a,b,cは定数)と表すとき、a b cをそれぞれ求めよ という問題を友達と解きあってみたのですが、 私はx+7/2=y+8/2=z-3/-1=kでおいてxyzをすべてkであらわし、 友達は、x=y+1 z=y+2/-2としてax+by+zc=5に代入して解いていったのですが、 どちらの答えも違う値になってしまいました。 これは、どちらの方でといたのが正しいのでしょうか? 二人とも数学は苦手なので、考え方が違うのであれば、それも ご指摘していただけたら幸いです。
回答: 補足には、 >私はx+7/2=y+8/2=z-3/-1=kでおいてxyzをすべてkであらわし、 のやり方が書いていませんが、どうやったのでしょうか? no.3さんのように k を与えて解いたと推測します。 kは直線のパラメータなので、これをkではなくx、y、zのひとつをパラメータとしても、同じやり方ができます。例えば x、zをyで表して平面の方程式に代入し、yに適当な2値を与えて式二つをたて、点(1,1,2)を通る条件とあわせて解くわけです。kでもx,y,zのひとつであっても、それは任意の値をとれるパラメータとみなすのだということに注意してください。 さて、補足にある解き方ではx、y、zそれぞれを直線のパラメータとして平面の方程式に代入してそれぞれ式を立てています。これはそれぞれのパラメータ表示で、点が直線上を動くときに平面に含まれているということを表したものです。 1)で x=1 を与えたのは、y=0、z=-1、つまり直線上の点(1,0,-1)を平面の方程式に代入したことになり、a-c=5、 2)で y=1 を与えたのは、x=2、z=-3/2、つまり直線上の点(2,1,-3/2)を平面の方程式に代入したことになり、2a+b-(3/2)c=5 3)で z=2 を与えたのは、x=-5、y=-6、つまり直線上の点(-5,-6,2)を平面の方程式に代入したことになります。-5a-6b+2c=5 (ちなみに補足の2)は間違っています。) 従って、補足ではそれぞれ、「(x,y,z)=(1,1,2)なので○=1を代入すると」と書いてありますが、意味を間違えています。 必要なのは 1),2),3)のうちどれか二つ(どれでもよい)で、三つ全部はいりません。その二つと4)でa,b,cが求まります。答えは(a,b,c)=(7,-6,2)です。検算してください。 さて、no.3さんや質問者様のやり方は、 (1) 直線上の2点と、平面上の定点(1,1,2)を3条件として求める。 という方法です。従って、質問者様の補足にあるようにわざわざパラメータの式を代入してから定点の座標値を与えるのは非効率です。まず適当な2点を直線上に選び、その座標値を代入するのが早くて簡単です。パラメータがkであろうがx,y,zのひとつであろうが同じことです。2点の座標値を直線の方程式に従って求めればよいのです。そのため、x、y、z座標のどれかひとつが必ず0になるような点を選べば、平面の方程式に代入した後のa,b,cの表式が簡単になります。この問題では(0,-1,-1/2),(1,0,-1),(-1,-2,0)のうちの2点ですね。 ところで、この問題では直線が平面に含まれるという条件だけでは、直線の回りで平面が回転できるので、その自由さをなくし平面を固定するために直線上にない一点を通る条件が与えられています。直線は2つの定点で決定できますから、平面は3点で決定できることになり、上の解法はそれを用いたわけです。 しかしまた、直線は別の二つの条件、1定点と直線に平行なベクトルによっても決定でき、与えられた直線の方程式はまさにそれそのものです。つまり、直線 (x+7)/2=(y+8)/2=(z-3)/-1 は定点(-7,8,3)を通り、ベクトル(2,2,-1)に平行です。これらと点(1,1,2)でも平面は決定できます。 (2)直線上の定点および平行なベクトルと、平面上の定点を用いて求める。 no.1で書いた3条件はこのことです。 平行ベクトルは平面にも平行なので、平面に垂直なベクトルに直交します。平面の方程式から垂直なベクトルは(a,b,c)です。直交条件は内積が0になることです。よって、 ア) 内積、(a,b,c)・(2,2,-1) = 2a+2b-c = 0 イ) 直線上の定点(-7,8,3)、 -7a+8b+3c=5 (他の点でもよい、例(1,0,-1)、a-c=5) ウ) 平面上の定点(1,1,2)、 a+b+2c=5 これら3式から解決します。このようなことはすでに学習していますね? 最後に、no.2さんの方法について述べておきましょう。 パラメータは kでもx,y,zのうちの一つでもどれでも良いですが、今kを用いると、 x=2k-7、y=2k-8、z=-k+3 これを平面の方程式に代入して整理すると、 (2a+2b-c)k -7a-8b+3c-5 = 0 kは任意の実数なので、これはkについての恒等式です。従って、 2a+2b-c = 0、-7a-8b+3c = 5 これらを上のア)、イ)と比べると同じであることがわかりますね。つまり第一式はベクトルの直交条件であり、第二式は直線上の定点を通る条件です。 そうなるのは、直線の方程式をベクトル表示すると良くわかります。 r = kv + d ベクトル r = (x,y,z) ; 直線上の任意の点の位置ベクトル ベクトル d = (-7,8,3) ; 直線上の定点の位置ベクトル ベクトル v = (2,2,-1) ; 直線に平行なベクトル これは直線のパラメータkによる式をベクトルにまとめたものです。 一方平面に垂直なベクトル n = (a,b,c) とおくと、平面の方程式は、 n・r = 5 (ax+by+cz=5) 従って、 r = d + kv の両辺と n の内積をとれば、 n・r = k(n・v) + n・d = 5 これが、(2a+2b-c)k -7a-8b+3c = 5 に対応しています。 n・v = 0 (平面に垂直なベクトルと直線に平行なベクトルの直交) なので、これが 2a+2b-c = 0 です。また、k(n・v) + n・d = 5 に n・v=0 を代入すると、 n・d = 5 です。これが -7a-8b+3c = 5 に対応しています。 以上のように、パラメータ表示して恒等式の条件を使うのは、ベクトルの直交条件と定点の2条件を用いることと全く同じことであることがわかりますね。