質問: 空間上の3点をA(0,1,3) B(-1,3,2) C(1,2,-1)とする。この3点を通る平面上にD(a,b,1)があるとき、aとbの関係式を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: ごく基本的な(教科書的な)手法を回答します。 心構えは,「答を出そう」と思わないで,「今何ができるか」を考える事です。では...... 点Dが平面ABC上にあるとき,ベクトルAD(テキスト画面の都合上単にABと書きます)は2つのベクトルAB,ACの一次結合で表すことができます。つまりm,nを実数として AD=mAB+nAC と表すことができます。 Oを原点としましょう。 AB=OB-OA=(-1,3,2)ー(0,1,3)=(-1,2,-1) 同様にして,AC=(1,1,-4),AD=(a,b-1,-2) となります。 従って AD=mAB+nAC から (a,b-1,-2)=m(-1,2,-1)+n(1,1,-4) (a,b-1,-2)=(-m,2m,-m)+(n,n,-4n) (a,b-1,-2)=(-m+n,2m+n,-m-4n) これから a=-m+n......(1) b-1=2m+n......(2) -2=-m-4n......(3) を得ます。 (あとは,計算だけです。文字4個,式3本ですから,各文字の値が定数で求まることはありませんね。関係式が出てきます) (1)(2)をm,nの連立方程式として解けば m=-1/3(a+b+1),n=1/2(2a+b-1) となりますから,このm,nを(3)に代入すればa,bの関係式,7a+5b=11が出てきます。 ※(おまけ)空間ベクトルの問題でも,3点が与えられれば,そこで一平面が定まり,その平面のうえで考ている事になるのですね。