質問: 正規部分群の特性部分群が正規部分群である証明 g:正規部分群、a:gの正規部分群、b:aの特性部分群 とするとき、bはgの正規部分群となること この証明が分かりません。 どうやって証明すればいいのでしょうか? ご教授よろしくお願いいたします。
回答: 定義からほとんど自明ではなかろうか・・・・ bの任意の元bとgの任意の元gをとって gbg^{1}がbの元であることを示せばよい. gの任意の元gに対してgの内部自己同型f(g)を f(g)(x)=gxg^{-1} で定める. aがgの正規部分群であるのだからf(g)(a)=a. よってf(g)はaの自己同型. さらに,bはaの特性部分群なのだから f(g)(b)=b つまり bの任意の元bとgに対して gbg^{-1}はbの元 よって bはgの正規部分群.