質問: 極限値 a>1,p>0で (1)lim x^n/a^x (n∈n) (x→∞) (2)lim x^p/a^x (x→∞) この2つの問題がどういうふう極限値を求めたらいいか分かりません。“コーシーの平均値の定理”や“ロピタルの定理”を使って解くと思うんですが、どうしたらいいか分からないのでよろしくお願いしますm(_ _)m
回答: ロピタルの定理を使ったら両方とも一発なんですけど 以後、x→∞は省略します。 (1) lim(x^n/a^x)=lim{n/(loga)}*{x^(n-1)/a^x}=lim{n(n-1)/(loga)^2}*{x^(n-2)/a^x}=...=lim{n!/(loga)^n}*{1/a^x}=0 (2) m-1<p≦mとなるようなmを考える lim(x^p/a^x)=lim{p/(loga)}*{x^(p-1)/a^x}=lim{p(p-1)/(loga)^2}*{x^(p-2)/a^x}=...=lim[{p(p-1)*...*(p-m+1)}/{(loga)^m}]*{x^(p-m)/a^x}=lim[{p(p-1)*...*(p-m+1)}/{(loga)^m}]*[1/{x^(m-p)}a^x]=0