質問: ベクトルの問題です。 ベクトルの問題がわかりません。 とても急いでいるので協力してください。 三点abcの定点oに関する位置ベクトルをベクトルa,ベクトルb、ベクトルcが、 ベクトルa+ベクトルb+ベクトルc=0ベクトル それぞれのベクトルの大きさは等しい。(キ0) このとき三角形abcはどのような形になるか。 という問題です。 答えは正三角形なんですけど、ベクトルを用いて解くことができません。 お願いします。
回答: abベクトル、bcベクトル、caベクトルの大きさが全部同じであることを示せばよいので、 (1)|ab|^2=|b-a|^2=|b|^2+|a|^2-2a・b (2)|bc|^2=|c-b|^2=|c|^2+|b|^2-2b・c (3)|ca|^2=|c-a|^2=|a|^2+|c|^2-2c・a (1)=(2)=(3)を示せばよいことになります。 題意より|a|=|b|=|c|なので結局、 a・b = b・c = c・a を示せばよいことになります。そこで、 |a|^2=|-b-c|^2=|b|^2+|c|^2+2b・c 変形して b・c=(|a|^2-|b|^2-|c|^2)/2 |a|^2=|b|^2=|c|^2 = k とおくと b・c=-k/2 |b|^2 と |c|^2 でも同じ計算をして c・a=-k/2 a・b=-k/2 よって a・b = b・c = c・a 故に(1)=(2)=(3)で三角形abcは正三角形であると証明できます。