質問: 自身への写像が全単射となることの証明 (1) 写像f:a→aとする。aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(a) は a の部分集合。 f(a)≠a と仮定すると、a とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでaが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。
回答: > 無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 aを自然数の集合とした時、「aの元を2倍にする」という写像は反例になりませんか?