質問: φ(r)f(t) のように変数分離して f(t) の具体的な形を求めることで 0 になることがわかりました. 問題は第2項目なのですが,これはポテンシャルvが 実数でなければ0にならないと思います. 「定常状態 ⇔ ポテンシャルは実数」 ということは言えるのでしょうか? また,上の式変形も自信がないので すでにおかしなことをやっているのであればご指摘ください.
回答: #6さんが解答している通りだと思います。 物理量は、エルミートでなければなりません。ところで、ポテンシャルvを複素数とすると、どんなことが言えるかを考えてみましょう。vを実部と虚部に分解してv=v1+iv2とします。フラックスは、 j(r,t) = (h/2mi)[ψ*∇ψ - (∇ψ*)ψ] ...(1) ですね。シュレディンガー方程式は、 -(h^2/2m)△ψ+[v1+iv2]ψ=ih∂ψ/∂t ...(2) (1)の複素共役をとると、 -(h^2/2m)△ψ*+[v1-iv2]ψ*=-ih∂ψ*/∂t ...(3) (1),(2),(3)より、 ∂(ψ*ψ)/∂t+div j =-2/h(ψ*ψ)v2 となります。連続の方程式を満たすためには右辺のv2が0でなければなりません。ちなみに、右辺は単位時間あたりの粒子の吸収される割合です。言い換えれば、粒子の吸収がない限り、ポテンシャルvは実数です。