質問: ゲーデルの不完全性定理が理解できない。特に対角化の必要性の意味 数学ガール;ゲーデルの不完全性定理;を読んでいます。 この本の9章までは順調に進みましたが、肝心の10章”ゲーデルの不完全性定理”で完全に息詰まっています。 この本でもそうですが、以下のウィキペディア ゲーデルの不完全性定理 <>の <<ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法(を形式化したもの)が必要である。>>が理解しかねています。 <<自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数 >>は、コンピュータのプログラムを想像すれば良く理解できますが、<<自己言及に用いられる対角化の技法>>が理解できません。 対角化の技法そのものは自己言及であり”ラッセルのパラドックス”と同じ手法と理解していますが、何故”対角化”が有効なのかが理解できてません。 その理由としましては、対角化(この手の自己言及)をすれば、対角化(自己言及)の命題はパラドックスを含み、ゲーデルの不完全定理は成立してしまうのではないか?という疑問です。 この本を読む前にラッセルのパラドックスを読みましたが、自己言及すればパラドックスが生まれます。それと同じように対角化(自己言及)するゲーデルの不完全性定理は、対角化の命題ですので、ほとんどのケースで成立してしまうのではないかという疑問です。 対角化によっても、それを回避しているというならどの様にして回避しているのでしょうか? これが1番目の疑問点です。 2番目としましては、<<自己言及で用いられる対角化の技法>>の何故”対角化”という名がついているのかという疑問です。 数を並べて扱う証明の、カントールの対角線論法が<<対角線>>と付く理由は十分理解できますが、論理学での扱いである”自己言及”が、図形的イメージの”対角化”が付くのは理解できません。これが2番目の疑問点です。 またゲーデルの不完全性定理の良い参考書があれば教えてください。 特に集合論と論理学(ゲーデルの不完全性定理を含む)が関連付けてある本はご存知でしょうか? 数学ガールだけではゲーデルの不完全性定理は手に負いかねると思っています。 良い本があれば御教授願います。 以上3点よろしくお願いします。
回答: 数学ガールは、雰囲気だけを伝える本で、内容を解説していません。 そのような定理があるのを知り、興味をもつことに役立ちますが、それだけです。 貴方は当に興味をひかれたわけで、これを機会に、こんどは本当に数学の本を 読んでみるのもよいかもしれないし、そんなことをしたら数学廃人へまっしぐら なのかもしれません。よく考えて、どうするか決めてください。 不完全性定理について、あまり易しい本はないと思います。 ぱっと見て読みやすそうな本は、一見数学書の体裁をとっていても 大概数学ガールと類似の内容なので、 初見でめんどくさそうに見えるものがむしろお勧めです。 比較的に読みやすいものとして、これ↓なんかどうでしょうか。 https://www.hanmoto.com/bd/isbn/9784621304785 1番目については、単に、ゲーデルの理論は、対角線論法によって 自己言及を避けているのではなく、逆に ある種の性質をもつ形式論理では自己言及が再現できてしまう ことを示しているのです。避けられないんだよという結論を導くためにです。 2番については、対角線論法を行うための具体的な道具として ノルムを使ったことを思い出してみましょう。2変数関数の引数に 同じ値を代入することを「対角線」と呼んでいるのでしょう、たぶん。