質問: 和集合と濃度の関係について こんにちは。 集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。 わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合mをとることができるというところです。 自然数の集合nのベキ集合をb^1(n)とし、そのベキ集合のベキ集合をb^2(n)とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|n|<|b^1(n)|<|b^2(n)|<...<|b^n(n)|<...」として得られます。 このとき、m=⋃(n=1から∞)b^n(n)とおけば、「|b^n(n)|<|m|」が導かれるというのです。 私の疑問は、「n=1から∞」までのb^n(n)の和集合の濃度が、本当に|b^n(n)|を超えるのか?というところです。 といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にb^n(n)より大きくなるとは言えないんじゃないか?と思うからです。 この論理の根拠は(すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は)どのようなものなのでしょうか? アドバイスお願いします。
回答: そもそも無限が絡む議論をしているのに、そんな「感覚」で捕えようとしてどうするのですか。一つ一つ「定義は何か」ということを、感覚でとらえないで定義から正確に把握して議論してください。 例えば数列(a_n)が与えられた時、lim_(n→∞)a_nというのは「∞」というのを使わない形で定義されているでしょう?数列におけるlim_(n→∞)a_nというのはどういう定義だったでしょうか。 それと同様にそもそも⋃(n=1から∞)b^n(n)の定義を正確に理解しているでしょうか?一度補足に書いてください。その上で、私が書いた説明について不明な点があれば、改めて書いてください。