質問: (d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件 (d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。 これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。 そこで、 (d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。 もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。
回答: 積分と微分の順序交換については 必要十分条件は一般にはありません. ただし,十分条件は知られています. リーマン積分の範囲だと f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx くらいがいえるはずです. #積分区間とかは省きます. その十分条件で一番便利だろうと思われるものは ルベーク積分の言葉で記述されます. 興味があれば,「ルベーク積分」の本を 追いかけてください. ・ルベークの有界収束性定理 ・l^1空間 というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.