質問: 漸化式と数学的帰納法 問題集をやっていたらわからないところ2つがあったで誰かわかる方教えてください。途中までやったのですがわからなくなりました。 数列はa(1)、 a(2)、と表しています。 一般項を求めなさいという問題で (1)a(1)=2,a(n+1)=a(n)+n^2-2n(n=1,2,3...) (2)a(1)=2,a(n+1)=3(an)-1(n=1,2,3...) の問題ですが途中まで解いたのを書いておきます。 (1)漸化式よりすべての自然数kについて次の式が成り立つ。 a(k+1)-a(k)=k^2-2k よって数列{a}の階差数列の第k項はk^2-2kであるから n≧2 a(n)=a(1)+σ{k^2-2k} ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 σはn-1のk=1です。 (2) n=k+1とすると a(k+2)=3a(k+1)-1 n=kとすると a(k+1)=3a(k)-1 この2辺の辺々と引くと a(k+2)-a(k+1)=3{a(k+1)-a(k)}...(1) 数列{a(n)}は階差数列を{b(n)}とすると(1)は b(n+1)=3b(k) となる。{b(n)}は公比3の等比数列であり、また、 b(1)=a(2)-a(1)=5-2=3 b(k)=3・3^k-1 したがって、n≧2のとき a(n)=a(1)+σb(k)=2・σ3・3^k-1 ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 σはn-1のk=1です。 両方とも途中までは一応やったのですが途中までもあっているかわかりません。 誰か判る方がいましたら教えてください。
回答: (1)は9^2ではなく9n^2です. また,12+2n^3-9n^2-7n/6ではなく,括弧をつけて(12+2n^3-9n^2-7n)/6←このように書いたほうが見やすいです. (2)も正解です. 3・3^(n-1)=3^nですね.