質問: 2次不等式の解について 2次方程式 f(x)=x^2-2x-a^2+2a について考えよう。 f(x)=0 の解は x=a,x=2-a であり、 『a-(2-a)=2(a-1) であるから2次方程式f(x)<0 の解は a<1のとき a=1のとき 解なし a>1のとき 2-a である。』 という問題なのですが、f(x)=0の解は出せるのですが、『』内の計算が何をやっているのか全然分からないんです。2次「方程式」は解けるのですが2次「不等式」になったら考え方がイマイチよく分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか?
回答: グラフを書いてみましょう。 f(x)の二次の係数が正ですから下に凸のグラフですね。 aと2-aがf(x)=0の解ですから、グラフはaと2-aでx軸と交わります。 ただし、この段階では、aと2-aはどちらが大きいか(どちらが右でどちらが左か)判りません。 そこで、aと2-aの差a-(2-a)=2(a-1)を取って場合分けするわけです。 aから2-aを引いて負であれば、すなわち、2(a-1)<0⇒a<1であれば、a<2-a。 2(a-1)=0⇒a=1であれば、a=2-a 2(a-1)>0⇒a>1であれば、2-a