質問: 球と円柱の共通部分の体積 「原点を中心とする半径rの球x^2+y^2+z^2=r^2と半径r/2の円柱x^2+y^2≦rxの共通部分の体積を求めよ。」 この問題ののアプローチが分かりません。 どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。 分かる方、指南よろしくお願いいたします。
回答: 体積vは、共通部分は、底面[d] x^2+y^2≦rx、0≦y、でz方向に0→√(r^2-x^2-y^2)だから、 v=∫∫[d] √(a^2-x^2-y^2) dxdy 極座標変換すると、 x=rcosθ=(r/2)+(r/2)cos(2θ) y=rsinθ=(r/2)sin(2θ) r=√(x^2+y^2)=√{(r^2/2)+(r^2/2)cos(2θ)}=rcosθだから、 r:0→rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、 v/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→rcosθ] √(r^2-r^2) rdr =(1/3)∫[0→π/2] {r^3-r^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)r^3 4倍して、 v=(4/3)(π/2 -2/3)r^3 ={(2/3)π-(8/9)}r^3 (参考url)以下の過去の質問でa→rと置き換えて下さい。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158 参考url:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158