質問: 位相空間論の連結性に関する質問です。 ハウスドルフ空間の連結集合は無限集合なのでしょうか?
回答: asb********さん ※定義として : 位相空間 X の部分集合 A が連結であるとは, A に X の相対位相を入れたとき, 部分空間 A が連結であること. X を位相空間とする. (i) 1点集合は連結である. a∈X について, 任意の1点集合 {a} が連結であることは明らか. (a∈X を含む任意の2個の開集合の共通部分には a が属していて空でないから) (ii) 2点以上の有限集合は連結ではない. 任意の2点以上の有限集合 A は {a_1,...,a_n}, a_i∈X, 2≦n と表せる. X がハウスドルであることから, a_1 のある開近傍 V(a_1) と, a_1 ではない a_i のある開近傍 V(a_i) が存在して, その共通部分が空集合であるようにできる. V(a_1) ∩ V(a_i) = Φ, i≠1 ⇒ V(a_1) ∩ {∪[2≦i≦n]V(a_i)} = Φ ⇒ A ∩ (V(a_1) ∩ {∪[2≦i≦n]V(a_i)}) = Φ ⇒ (A∩V(a_1)) ∩ {∪2≦i≦n)} = Φ A∩V(a_1) も ∪2≦i≦n) も部分空間 A の空ではない開集合である. そして (A∩V(a_1)) ∪ {∪2≦i≦n)} = A であるから, A は空ではなく共通部分が空である2個の開集合の和として表せる. ゆえに, A は連結ではない.