質問: 頂点がAの三角形ABCがある。 ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。 ただし、AB=4 AC=6、∠BAD=60°∠CAD=60°とする。 という例問題で、 1/2×4×AD×sin60°+ 1/2×6×AD×sin60°=1/2×4×6×sin120° ここで、sin60°=sin120°=2√3だから、4×AD+6×AD=4×6 よって、AD=24/10=12/5 ..の「ここで、」から、解らなくなっています。 確かにsin120°=2√3ですが、4×AD+6×AD=4×6の式がどう成立して出来たのか、考えが及びません。sin120°は何に消されて、どうして=4×6なのでしょうか..
回答: こんな問題は、ドラフターで図面を描いた経験がある昔人間なら、フリーハンドでマンガ絵を 描きます。 そして、三角形の面積なら∠Aである120°を二等分して60°と60°にする記述で、ピ~ンと きて、直角三角形30°&60°は1:2:√3の辺長さ構成になるで計算すると考えます。 すると、△ABDの面積 + △ADCの面積 = △ABCの面積計算に関しては、 先ず、△ABDの面積は、点BからADへ垂線を下ろし交わった点までの長さが“高さ”となり、 その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=4(AB):2√3(高さ)となり、底辺×高さ÷2 がAD×2√3×1/2となります。 次に、△ADCの面積は、点CからADのD側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが “高さ”となり、その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=6(AC):3√3(高さ)となり、 底辺×高さ÷2がAD×3√3×1/2となります。 最後に、△ABCの面積は、点BからACのA側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが “高さ”となり、その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=4(AB):2√3(高さ)となり、 底辺×高さ÷2がAC×2√3×1/2となり、AC=6なので6×2√3×1/2となります。 以上を纏めると、、△ABDの面積 + △ADCの面積 = △ABCの面積計算は、 AD×2√3×1/2 + AD×3√3×1/2 = 6×2√3×1/2で、今一度マンガ絵を見ると △ABD面積の2√3は4(AB)×sin60°で、△ADC面積の3√3は6(AC)×sin60°で、△ABC面積は 4(AB)×sin60°です。(小生は、マンガ絵から△ABC面積の高さはAC×sin60°としますが、 例題は4(AB)×sin120°としているのですね。でも、sin60°=sin120°です) 因って、 AD×(4×sin60°)×1/2 + AD×(6×sin60°)×1/2 = 6×(4×sin60°)×1/2は、 1/2×sin60°×(4×AD+6×AD)= 1/2×sin60°×4×6となり、 1/2×sin60°×(4×AD+6×AD)÷(1/2×sin60°)= 1/2×sin60°×4×6÷(1/2×sin60°) と処理して、4×AD+6×AD=4×6の式が成立します。 やたらsinやcos、tanの三角関数を使用して計算すると、計算ミスやtanを使用する処を sinを使用する使用ミスをします。 設計や製図を志す方は、やはりマンガ絵を描く習慣を身に付けた方が、ミスが減ります。 また、客先打ち合わせ時等のスケッチが上手になります。 A ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ B ・ ・ D ・ ・ ・ C ・・・・・・・が垂線 ↓ ・ ・ A ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ B ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ D ・ ・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ C のような図です。