質問: 自然数nに対し n^9-n^3は9で割り切れることを証明せよ これの回答で、nを3の倍数で割ったときの余りに着目して証明していました。 なぜ、9の倍数の余りではなくていいのでしょうか 全ての自然数が、3の倍数で割ったときのの余りが0,1,2になるからその場合で証明できたら それは全ての場合で証明できたってことですか?
回答: n^9-n^3=n^3(n^6-1)...1 だから nが3の倍数ならn^3部分が9の倍数なんで1は9の倍数と言えますよね nが3で割って1余る場合や2余る場合も 同様に1が9の倍数であることは 模範解答が示してくれているはずです で、「nが1、2、3・・・10、・・・100・・・1000・・・」←←←2 のいずれの場合であっても1が9の倍数であると言えていればすべてのケースを網羅できたという事です 2に並んだ数は 3で割り切れる数、3で割ると1余る数 、3で割ると2余るかず のいずれかに分類されるので 模範解答のように場合分けすればすべての自然数nについて網羅できているのでokなのです 9で割るとあまりは・・・ と9つに場合分けしたければそれでやっても良いかもしれませんが、3つの場合分けやった方が遥かに楽ですよね