質問: ベクトルの成分の条件がわからないので質問します。 uべクトルを→uと書きます。また内積の記号は・を使います。お願いします。 xyz空間の点Pを通り、2つの空間ベクトル→u,→vに直交する直線を求めよ。 解答、P(a_1,a_2,a_3)、→u(u_1,u_2,u_3)、→v(v_1,v_2,v_3)としましょう。求める直線の方向ベクトル、つまり直線と同じ向きを向いたベクトルの1つを、 →w(w_1,w_2,w_3)とおきます。すると→wと→u、→vと直交するので、 →w・→u=→w・→v=0が成り立ちます。これを成分で表すと、 w_1u_1+w_2u_2+w_3u_3=0・・・(1) w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=0・・・(2)ここからがわからないところです。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。これは平面ベクトルで →u(u_1,u_2)、→v(v_1,v_2)が線形独立であるための必要十分条件なので、空間ベクトルでつかっていいとは思えません。本では、すると(1)*v_2-(2)*u_2を計算して、w_1=-(u_3v_2-u2v_3)*w_3/(u_1v_2-u_2v_1)。同様に(1)*v_1-(2)*u_1より w_2=-(u_3v_1-u1v_3)*w_3/(u_2v_1-u_1v_2)がえられ、そこで、w_3=u_1v_2-u_2v_1とすると、 →w=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)と方向ベクトルを求めています。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。お願いします。
回答: >直交する平面など想像できるように、... 「ご質問だけ」からの推察で、まずは「幾何学的イメージ」のレスにとどめました。 直交条件として「内積ゼロ」を利用した (1), (2) 式は、 u1w1 + u2w2 = -u3w3 ...(1)’ v1w1 + v2w2 = -v3w3 ...(2)’ となる。 「u1v2 - u2v1≠0」という条件は、左辺の「係数行列式」の値がゼロだということ。 つまり、(1)’, (2)’の解は「平面」。 ... というのが「代数的なイメージ」。