質問: 4-18 研究 高校数学の漸化式 a[1]=2,b[1]=1の時 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せ 回答 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から 2a(n+1)-5b(n+1)=4an-5an=-an 5b(n+1)=2a(n+1)+an a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1]=2a(n+1)+2a(n+1)+an a(n+2)=4a(n+1)+an λ^2-4λ-1=0 →λ=2-√5, 2+√5 →α=2-√5, β=2+√5 a(n+2)-αa(n+1)=β{a(n+1)-αa(n)}(1) a(n+2)-βa(n+1)=α{a(n+1)-βa(n)}(2) ふたたび a[n+1]=2a[n]+5b[n]と b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から得られる a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1] を(1)(2)に代入して 2a[n+1]+5b[n+1]-αa(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-αa(n)}(1)' 2a[n+1]+5b[n+1]-βa(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-βa(n)}(2)' α=2-√5, β=2+√5を代入して 2a[n+1]+5b[n+1]-(2-√5)a(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-(2-√5)a(n)}・・・(1)'' 2a[n+1]+5b[n+1]-(2+√5)a(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-(2+√5)a(n)}・・・(2)'' (1)''⇔√5a(n+1)+5b[n+1]=β{√5a[n]+5b[n]}・・・(1)''' (2)''⇔√5a(n+1)-5b[n+1]=α{√5a[n]-5b[n]}・・・(2)''' これはともに等比数列の漸化式 わかりにくければ置き換えて c[n]=√5a[n]+5b[n]=√5(a[n]+√5b[n]) d[n]=√5a[n]-5b[n]=√5(a[n]-√5b[n])とおいて (1)'''⇔c(n+1)=βcn・・・(1)'''' (2)'''⇔d(n+1)=αdn・・・(2)'''' [これはともに等比数列の漸化式] (1)'''',(2)''''をβ^(n+1),α^(n+1)でわれば c(n+1)/β^(n+1)=c(n)/β^n=....=c[1]/β={√5a[1]+5b[1]}/β=(2√5+5)/β =√5(2+√5)/β=√5 d(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α =√5(2-√5)/α=√5 とあったのですが、c(n)/β^n=....=c[1]/βですが何故これらが等しいのですか? 後最後のd(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α =√5(2-√5)/α=√5 ここからどうやってa[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せるのですか?
回答: c[n] = (√5)(a[n] + (√5)b[n]) d[n] = (√5)(a[n] - (√5)b[n]) と定義する。c[n]>0なのはa[n]>0, b[n]>0から明らか。 これを連立一次方程式だと思ってa[n], b[n]について解き、ちょっといじくると a[n]/b[n] = (√5) (1 + d[n]/c[n])/(1 - d[n]/c[n]) ...★ が得られる。つまり問題は「n→∞のとき★の右辺はどうなる?」という話。 その話はさておき、 c[n]は公比βの等比数列、d[n] は公比αの等比数列になってる。というのが(1)''', (2)'''までの所。だから c[n+1] = (β^n) c[1] d[n+1] = (α^n) d[1] です。 ってことは d[n]/c[n] =((α/β)^(n-1)) (d[1]/c[1]) である。そして 0<(α/β)<1 である。だから数列 d[n]/c[n] の絶対値は単調減少だし、そればかりかn→∞とすると0に収束する。 これを使って(話を戻して)★の右辺がn→∞でどうなるかをやれば完了。 ご自分で出来るしょ。 ところで(ここから先はどうでもいいし、妙にこんぐらがった書き方をしてあるんですが、)要するに値が既知であるa[1], b[1]を使ってc[1], d[1]を計算すると、 c[1] = β d[1] = α である。というのが「とあったのですが」までの部分で、だから d[n]/c[n] =(α/β)^n である。これを使うと、★の右辺がもうちょっと簡単に書けますね。