質問: 完備化と閉包をとることが同じに感じるのですがどこがちがうのでしょうか? 簡単な例で説明していただけるとうれしいです. よろしくおねがいいたします.
回答: 閉包を取れるのは、部分集合です。完備化ができるのは、空間全体です(もちろん部分空間を全空間と思っての完備化ならできる)。そういう意味ではまったく別物の操作です。 AN.01様の回答例でも出されているように、たとえば距離空間Qを取ったとします。ユークリッドノルムによる完備化はRですが、距離空間Qの閉包は?と言われれば、それはQ自身としかいいようがないです。ところが、QはRの部分集合と思えます。そこでRの部分集合とみて閉包をとると、それはRに一致します。 上で述べた事実は、次の意味では一般的に正しいです。距離空間Xがあって、その完備化Yを考えると、X⊂Yとみて、XをYの部分空間とみなせる。そこでXのYにおける閉包を取ると、それはYに一致する。もちろん、このことは完備化した空間の中に、もとの空間がdenseに含まれている、ということを言い直しただけですが、ある意味ではこのことが直感的に完備化と閉包を取る操作が同じに感じる原因でもあります。というか似たようなものというのは決して間違ってはいないわけです。完備化というのは直感的には、いちばん大きな閉包といった感じなので。