質問: (解答) 半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。 円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は △ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。 ∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば 当然α+β+γ=2πである。 さて、△ABCの面積Sは公式より S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ) である。 ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。 γ=2π-(α+β) なので、上式からγを消去すると f'=sinα+sinβ+sinγ =sinα+sinβ+sin(2π-(α+β)) =sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β) ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると f'=cosα-sin(α+β)-cos(α+β) =cosα-{sin(α+β)+cos(α+β)}=0 cosα=sin(α+β)+cos(α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ したがってα=β よって面積が最大となるのは、α=β=γのとき、 すなわち△ABCが正三角形のときである。 上のように解いたのですが、説明は十分でしょうか? 助言をお願い致します。
回答: 質問者の方法に従うのなら以下のようにすればよい。 但し、高校数学に、偏微分は使えない。 F=sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))=sinα+sinβ-sin(α+β)= (1-cosβ)sinα-sinβcosα+sinβ≦√{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}*cos(α+θ)+sinβ≦ √{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}+sinβ=cos(β/2)+sinβ として、求める。