質問: rの部分集合aに対し、 f(x)={0(x∈a).1(x∈r\a)} とおく。 a={-1,0,1} rの部分集合aに対し、 f(x)={0(x∈a).1(x∈r\a)} とおく。 a={-1,0,1}の時、fが[-1.1]でリーマン積分可能か。 この問題について、最大リーマン和と最小リーマン和が一致するからリーマン積分可能と証明したいのですが、どのように分割するのが正しいのでしょうか。 [-1,0][0.1]とかで場合分けは必要ですか? 又、aが有理数全体の集合にかわったときはどのようにリーマン積分不可能を示せば良いのでしょうか。
回答: rの部分集合aに対し、 f(x)={0(x∈a).1(x∈r-a)} とおく a={-1,0,1}の時、 -1≦x≦1の時f(x)≦1だから(最大リーマン和は) ∫[-1,1]f(x)dx≦∫[-1,1]1dx=1-(-1)=2...(1) -1