質問: x(π−x)をフーリエ級数展開してください。 その結果を用いて以下の等式を証明してください。 1/( x(π−x)をフーリエ級数展開してください。 その結果を用いて以下の等式を証明してください。 1/(1^3)−1/(3^3)+1/(5^3)−1/(7^3)+•••=π^3/32
回答: ano.1・・! ちと記入漏れがあり訂正・・! (-1)の冖乗を書き忘れた! x(π-x)~-4/π・σ[n=1~∞]{1/n^3・(-1)^n-1/n^3}sin(nx) =(8/π)・σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3・sin(2k-1)x} x = π/2とすれば π^2/4 = (8/π)・σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3} ∴σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3} =π^3/32