質問: ルーレットの確率について 確率について詳しい方にお聞きしたいのですが、 0~36までのルーレットで、1が出現した後に、再び1が出現する確率は、1/37で変わらない、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ということはわかるのですが、1が2回連続で出現するのと、50回連続で出現するのとでは、後者の方が圧倒的に起こりにくい事象のように思えるのですが、これは錯覚でしょうか? ルーレットを延々と回していって、『1が2回連続出現』と、『1が50回連続出現』の回数をチェックした場合、『1が2回連続出現』という事象の方が、回数としては多くなるのでは、と想像するのですが、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』ということを考えると、やはり錯覚かなと思うのですが、どうも釈然としないのです。 確率論で考えた場合、どのようなことになるでしょうか? おわかりになる方がおられましたら、どうぞ宜しくお願い致します。
回答: > 『1が2回連続出現』と、『1が50回連続出現』の回数をチェックした場合、『1が2回連続出現』という事象の方が、回数としては多くなるのでは、と想像する.. ご想像の通りyesです。 次のように考えてみてはどうでしょう?(説明が長くてスミマセンが) ルーレットを50回回していった時に、 1→1→1→1→・・・ と50回全部「1」 2→2→2→2→・・・ と50回全部「2」 1→2→1→2→・・・ と50回全部「1→2」の繰り返し 3→1→4→1→・・・ と円周率の50桁分の数字 の出現する確率は全て等しく、どれも(1/37)の50乗です。"50回全部1"に限らず、たった一通りしかない特定の数字の並びになる確率はみんな同じです。一方、ルーレットを50回回していった時に『1が2回連続出現』する事象を考えてみると、 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・ 3→3→・・・→3→1→1→3→・・・ 4→4→・・・→4→1→1→4→・・・ 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・ でも、いきなり、 1→1→2→2→・・・ 1→1→3→3→・・・ 1→1→4→4→・・・ でも、50回試行のうちに1回でなくて、2回でも3回でも、 2→2→・・・→2→1→1→2→・・・→2→1→1→2→・・・ 3→3→・・・→3→1→1→3→・・・→3→1→1→3→・・・ のように数多くの組合せがあり得ます。そこで、『1が2回連続出現』する確率は、これら「1回でも『1が2回連続出現』する」事象全体の合計になります。だから、当然『1が2回連続出現』する確率は『1が50回連続出現』する確率よりもはるかに大きくなります。 『1が(ちょうど)50回(だけ)連続出現』という事象は、 (a1) まず、「1」以外が出現 (a2) それから「1」が"49回"連続出現 (a3) "50回目"も「1」が出現 (a4) "51回目"は「1」以外が出現 ということですね。このことから、『1が(ちょうど)50回(だけ)連続出現』する確率は、(a1)の確率×(a2)の確率×(a3)の確率×(a4)の確率、というように考えることができます。一方、『1が(ちょうど)2回(だけ)連続出現』する事象は、 (b1) まず、「1」以外が出現 (b2) 次に「1」が"1回"出現 (b3) "2回目"も「1」が出現 (b4) "3回目"は「1」以外が出現 ということで、『1が(ちょうど)2回(だけ)連続出現』する確率は同様に、(b1)の確率×(b2)の確率×(b3)の確率×(b4)の確率、というように考えることができます。ここで、『直前にどんな目が出ようとも、次に出る目に影響を及ぼすことは無い』というのは、単に、この中の"(a3)の確率"と"(b3)の確率"が同じであるということを言っているにすぎないのです。"(a1)の確率"と"(b1)の確率"や"(a4)の確率"と"(b4)の確率"は当然同じですから、『1が50回連続出現』する確率と『1が2回連続出現』する確率の違いは、結局、"(a2)の確率"と"(b2)の確率"の違いであることが分かりますね。