質問: y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値 y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値を求めよ。って問題で、自分は y=2sinχ+(1-2sin^2χ) =-2sin^2χ+2sinχ+1 にして sinχ=(1±√3)/2 を求める。 ―――★ ここの値が最大値と最小値なの?それとも -1≦sinχ≦1より (1)sinχ=-1代入して y=-3 (2)sinχ=1 代入して y=1 ―――☆ ★と☆より 最大値(1+√3)/2 最小値-3 ってこと? それとも見当違いですか? 教えてください。 今気付いたら、★のところまでしか求めてないから、見当違いっぽいですね!?(y=~にしてないし・・・。) そんなわけで、正答を・・・。 m(__)m
回答: hikaru_macです。 4人のかたが解答しているので、私はちょっと関係有るかもしれないアドバイスを、、、。 「y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値を求めよ。」ってことで y=-2((sinχ)^2)+2sinχ+1にしてるね。 そこからの事なんだけど、 これの最大値を考えるときに、まず xが変わればsin(x)がかわるね。そしてsin(x)が変わるとyもかわる。 もちっとくわしく考えてみる。 xがいろいろに変われば、sin(x)もいろいろに変わるか、、。 いや、実はsin(x)は1-から1までの間しか変わらない。 っで、いま、yの最大値と最小値が知りたいから sin(x)がいくらの時にyがいくらなかを考える。 sin(x)と書く代わりにtと書くと、もとの式は y=-2t^2+2t+1 である。 重要なのは、tはsin(x)のことだから、tも-1から1の間だよってこと。 それで、この「y=-2t^2+2t+1」はほかの4人がおっしゃるように、tの二次関数です。 ということで、縦軸y、横軸tのグラフを書いてみると、 どうやら t=-1のとき y=-3で最小 t=1/2のとき y=3/2で最大 らしい。 そして、最後。 t=1っていうのはsin(x)=1ってこと。 t=1/2っていうのはsin(x)=1/2ってこと。 ってことはつまり sin(x)=-1のとき y=-3でyは最小値になる sin(x)=1/2のとき y=3/2でyは最大値になる ってこと。 それで、sin(x)=-1とかsin(x)=1/2になってるときに いったいxはいくらなのか? これはまぁ、三角関数のところの教科書を読んで下さいな。 または後でしつもんしてくださいな。 かんたんに、xは何度かわかります。πを使ってラジアンという単位でこたえなきゃならないときもあります。 そんなかんじで、この問題は解けるんじゃないでしょうか? (ここから下はわかんなくてもいいけど) ところで sin(x)=-1とかsin(x)=1/2ってのは -1から1までのあいだなので、だいじょうぶなんだけど、 たとえば、t=3の時にyが最大、、なんてなっても、 tはsin(x)のことだから、sin(x)が3なになるはずがないから こまってしまうね。 実はyとtのグラフを書く時に、t(横軸)は-1から1までしか 書かないようにしなくちゃならないんです。 そうやてグラフを書けば、最大値も最小値もちゃんと-1から1までの 間になるんです。 --------終わり