質問: 等速円運動についての関係式2 連日質問して申し訳ないです。 今回は加速度についての質問です。 加速度:ax=-acosθ,ay=-asinθが与えられていて、a=2πv/t=v^2/rを導く 自分なりに考えてしまいましたが、途中で行き詰まってしまいました。 前回の速さのときに与えられていた関係式vx=-vsinθ,vy=vcosθを用いて、 ax=dvx/dθ=-v(sinθ)'-(v)'sinθ =-vcosθ-sinθ ay=dvy/dθ=v(cosθ)'+(v)'cosθ =-vsinθ+cosθ a=√(ax)^2+(ay)^2 =√(-vcosθ-sinθ)^2+(-vsinθ+cosθ)^2 =v+1 こうなってしまったのですが、この先どうすればいいのやら・・・というかそもそもこの方針でいいのかどうかすらよくわかりません。 どなたか助けてください、お願いします。
回答: またお会いしましたね。(笑) まず、 ax = dvx/dθ = -v(sinθ)'-(v)'sinθ = -vcosθ-sinθ という考え方は、2つの意味で、非常にまずいです。 なぜかというと、 axの次元は、長さ/時間^2 -vcosθ の次元は、長さ/時間^2 -sinθ の次元は、無次元。 物理では、次元の違うもの同士の足し算引き算、あるいは、それら同士を等号で結ぶことは厳禁です。 また、 x方向の加速度によって、x方向の速度が決まり、 y方向の加速度によって、y方向の速度が決まる、 というふうに分離できるわけではないです。 この問題は直線運動ではなく円運動ですから、加速度の方向と速度の方向とは、一致しません。(互いに垂直です。) では、本題。 まず、θを時刻tの関数で表すことが必要です。 θがtの一次関数であることが既知であるとして、 θ = ωt と表す。 θが0から2πまで変化する時間が周期tなので、 2π-0 = ω(t-0) よって、 ω=2π/t ax = -acos(ωt) ay = -asin(ωt) cos(ωt) = -ax/a sin(ωt) = -ay/a 加速度を時刻tで積分すれば速度。 vx = -∫acosθ dt = -a∫cos(ωt) dt = -a/ω・sin(ωt) +積分定数 vy = -∫asinθ dt = -a∫sin(ωt) dt = a/ω・cos(ωt) +積分定数 円運動では、等速直線運動の成分はないので、積分定数はゼロ vx = -a/ω・sin(ωt) = -a/ω・(-ay/a) = ay/ω vy = a/ω・cos(ωt) = a/ω・(-ax/a) = -ax/ω |v| = √(vx^2 + vy^2) = √[ay^2 + (-ax)^2]/ω = |a|/ω = |a|/(2π/t) = |a|t/(2π) よって、 |a| = 2π|v|/t さらに、rも算出されたいのであれば下記。 速度を積分すれば位置。 x = ∫vx dt = -a/ω∫sin(ωt) dt = a/ω^2・cos(ωt) +積分定数 = a/ω^2・(-ax/a) +積分定数 = -ax/ω^2 +積分定数 = -ax/(2π/t)^2 +積分定数 y = ∫vy dt = a/ω∫cos(ωt) dt = a/ω^2・sin(ωt) +積分定数 = a/ω^2・(-ay/a) +積分定数 = -ay/ω^2 +積分定数 = -ay/(2π/t)^2 +積分定数 円の中心を(0,0)とすれば、積分定数はゼロ x = -ax/(2π/t)^2 y = -ay/(2π/t)^2 r = √(x^2 + y^2) = √[(-ax)^2 + (-ay)^2] /(2π/t)^2 = |a|t^2/(4π^2) = 2π|v|/t・t^2/(2π)^2 = |v|t/(2π) よって、 t = 2πr/|v| よって、 |a| = 2π|v|/t = 2π|v|/(2πr/|v|) = v^2/r