質問: 線形代数の問題の解き方を教えてください。 線形代数の問題の解き方を教えてください。 2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルx=(x1,x2)t および行列aを用いてxtaxと表すものとする。 (1)aを求めよ (2)行列aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルx1,x2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを1に正規化するものとする。 (3)f(x1,x2)を求めよ。 (4)f(x3)を求めよ。ただしx3=(1-α)x1+αx2,0≦α≦1とする。またf(x3)を最小とするαを求めよ。 という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
回答: >簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。 そうなら線形代数の参考書を入手されたら如何。 解くだけのことを習っているはずなのでこのような問題を解いているのではないかと思います。 (1) 2次形式式の標準形の所を調べて見て下さい。 a11=1,a22=2,a21=a12=0 a= [1 0] [0 2] (2) λは書きにくいのでtで代用します。 固有方程式 det(a-te)=(t-1)(t-2)=0 t1>t2から 固有値は t1=2,t2=1 固有ベクトルは t1のとき (a-2e)(x1,x2)t=0(tは転置)から -x1=0 x1= (0.1)(正規化形式) t2のとき (a-e)(x1,x2)t=0(tは転置)から x2=0 x2= (1.0)(正規化形式) (3) >f(x1,x2)を求めよ。 問題ミスですね。 正:f(x1),f(x2) f(x1)=f(0,1)=2x2^2=2 f(x2)=f(1,0)=x1^2=1 (4) αは書き辛いのでaと書くと x3=(1-a)x1+ax2=(1-a)(0,1)+a(1,0)=(a,1-a) f(x3)=f(a,1-a)=a^2+2(1-a)^2=3a^2-4a+2=3(a-2/3)^2+2/3≧(2/3)(等号はa=2/3のとき) 0<=a<=1より a=2/3のとき f(x3)の最小値は f(2/3,1/3)=2/3