質問: 位相の問題が分かりません。 次の問題をどなたか解いていただけないでしょうか? 特にrにユークリッド空間として通常の位相を入れた場合に、 1「一般の位相空間における内部の定義」と「ユークリッド空間r^nにおける内部の定義」が同値であることを示せ。 2「一般の位相空間における閉包の定義」と「ユークリッド空間r^nにおける閉包の定義」が同値であることを示せ。
回答: ●「 ... が同値であることを示せ 」というのがどういう意味なのか、私にはつかめませんでした。 ●「 r^n から任意に選んだ 1つ の部分集合 m の内部 」とは「 m の内点全部の集合 」のことであると、私は認識しています。 そして、「 m の内点 a 」とは「 適当な正の数 ε を選べば、『 a 自身 』および『 a との距離が ε より小さい点全部 』を m に含めることができるような点 」のことであると、私は認識しています。 そして、「 r^n の開集合 m 」とは「 m と『 m の内部 』とが同じとなる集合 」のことであると、私は認識しています。 freedomdn さん がお求めになっている回答とは、次のようなことになりますでしょうか。 r^n から任意に選んだ 1つ の部分集合を m と表わすとき、「 m の内部 」が m に含まれる最大の開集合になっていることの証明。 ● その証明でしたら、次のようになるではないかと、私は思います。ただし、以下の証明は上記の私の認識が土台となっています。 「 m の内部 」が m に含まれることは、r^n における内部の定義より明らかなので、それを示すことは省きます。 「 m の内部 」から任意に選んだ 1つ の点を a とします。適当な正の数 ε を選べば、「 a 自身 」と「 a との距離が ε より小さい点全部 」を m に含めることができます。 いま、「 a 自身 」と「 a との距離が ε より小さい点全部 」を要素とする集合を b(a;ε) と表わすことにします。 b(a;ε) ⊆ m r^n における内部にかかわる定理 (*1) により、「 b(a;ε) の内部 」は「 m の内部 」に含まれます。 (b(a;ε) の内部) ⊆ (m の内部) r^n における開集合にかかわる定理 (*2) により、「 b(a;ε) の内部 」は b(a;ε) と同じです。 b(a;ε) ⊆ (m の内部) ゆえに、a は「『 m の内部 』の内部 」に含まれます。ゆえに、「 m の内部 」は「『 m の内部 』の内部 」に含まれます。 (m の内部) ⊆ ((m の内部) の内部) 「『 m の内部 』の内部 」が「 m の内部 」に含まれることは、r^n における内部の定義より明らかなので、それを示すことは省きます。 以上の結果より、「 m の内部 」と「『 m の内部 』の内部 」は同じになります。 (m の内部) = ((m の内部) の内部) ゆえに、r^n における開集合の定義により、「 m の内部 」は開集合になります。 次に、m に含まれるすべての開集合から任意に選んだ 1つ の開集合を n と表わすことにします。 n ⊆ m r^n における内部にかかわる定理 (*1) により、「 n の内部 」は「 m の内部 」に含まれます。 (n の内部) ⊆ (m の内部) n は開集合ですから、r^n における開集合の定義により、「 n の内部 」は n と同じです。ゆえに、n は「 m の内部 」に含まれます。 n ⊆ (m の内部) ゆえに、「 m の内部 」は m に含まれる最大の開集合である。 ● 上記における (*1) (*2) は証明が必要かもしれません。もし必要ならお知らせください。 もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。