質問: { x+y | x∈M , y∈M^⊥ } この証明に行き詰っております。 定理:ユークリッド空間Rnは、その部分空間とその直交補空間に直和分解される ↑を参考に解いてみたのですが、ユークリッド空間R^nでのみしか証明されていませんでした。 ユークリッド空間R^n ⇒ ヒルベルト空間H に変われば、証明も変わってくると思うのですが、どのようにすればいいのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 参照先の証明は、 「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」のほうの形をとっているようです。 内積空間 H の線型部分空間 M に対して、 M⊥ を、x ∈ M⊥ ⇔ ∀y∈M, x・y = 0 で定義する。 この M⊥ が M の補空間となることを示すために、補空間の定義に沿って、 (1) M ∩ M⊥ = { 0 } (2) ∀x∈H, ∃y∈M, ∃z∈M⊥, x = y + z を示す。 (1) x ∈ M ∩ M⊥ とすると、M⊥ の定義より、x・x = 0 が成り立つ。 よって、内積の定義により、x = 0 である。 (2) M の一組の正規直交基底を { e_λ | λ∈Λ } とする。 y = Σ[λ∈Λ] (x・e_λ) e_λ z = x - y と置くと、 e_λ が基底であることより、y ∈ M。 内積の線型性により、x・z = ...中略... = 0 となる。よって、z ∈ M⊥。 もとの証明では、内積の線型性や、x・x = 0 ⇒ x = 0 などの性質を、 R^n の「自然な内積」の具体的な式形によって説明していましたが、 一般的な内積空間について証明するときには、これらは、内積の公理です。 ちょっと気になる箇所は、部分空間 M に正規直交基底が存在するのか?です。 R^n では、M に基底が存在することは自明で、あとはグラム・シュミットの直交化 によって正規直交基底を構成することができますが、H が一般の内積空間だと、 特に M が有限次元でない場合、基底が存在するかどうかが問題になります。 実は、選択公理の下では、任意の線型空間に基底が存在することが言えます。 しかし、H がただの内積空間でなく、ヒルベルト空間であることを使って、 もう少しスマートに基底の存在が示せれば、そのほうが良いと思います。