質問: 層流速度分布について 流体の問題なのですが... 非圧縮性粘性流体が水平円管内を定常流れで層流になって流れるとするとき、 円管内の層流速度分布を求めたい。 参考書などを調べたところ 管内速度vz(半径r0の円)は vz=-(1/4μ)(dp/dz)(r0^2-r^2) とありました。(多分、この式だと思います) このことから円管内の速度分布は回転放物面であると 考えられる、とあるのですが、 なぜこの式が出てきて、この式から回転放物面と分かるのでしょうか? また、速度分布を求めよと言われた場合 これは式で表すのでしょうか?それともグラフにするのでしょうか? 流体力学の知識がほとんどないため、全く分かりません...。 うまく伝えられないのですが、どなたか解説お願いします。
回答: 補足です。 解き方ですが、最初に変形します。 (d^2vz/dr^2)+(1/r)dvz/dr=(1/μ)dp/dz と (1/r)×d(r×(dvz/dr))/dr=(1/μ)dp/dz (1) は同じですよね。(1)式でr(r)=r×(dvz/dr)と置くと (1/r)×dr(r)/dr=(1/μ)dp/dz ですから、dr(r)/dr=(1/μ)dp/dz×r です。これを解くと r(r)=(1/2μ)dp/dz×r^2+a です。r(r)=r×(dvz/dr)と置いてるので戻すと r×(dvz/dr)=(1/2μ)dp/dz×r^2+a → dvz/dr = (1/2μ)dp/dz×r+a/r これより vz=(1/4μ)dp/dz×r^2+alogr+b (2) が出てきます。 >あと、境界条件のr=0のときmaxになるというのはなぜ分かるのでしょうか?実験結果からなのでしょうか? このurlのr=0でmaxという条件は適切ではないかも知れませんね。別にmaxである必要はなくて、流れが有限速度になる必要があります。この世の中の流れは有限の速度ですので、a=0でないとalogrの項が円管の中央のr=0で-∞になり困ります。ですので a=0でないといけません。 後は壁面で速度がゼロの条件(r=r0: vz=0)からbの値が出てきます。