質問: 楕円の式の導出 数学の授業で楕円の性質として、「焦点から光を発し楕円形に配置した鏡面で反射させると、必ずもう一方の焦点を通る」と説明を受けた覚えがあります。この性質を数式化し変形したら、楕円の式を導出出来るのでしょうか? 焦点をs1(-s,0)、s2(s,0) s>0 曲線上の点をp(x,y) 方針: pにおける接線と線分s1pのなす角と、 pにおける接線と線分s2pのなす角が等しい 接線:y-y0=y'(y0)(x-x0) ただしy'(0)は接点p(x0,y0)における微分係数 線分s1p:y=y0/(x0+s)(x+s) 2直線のなす角の公式ってなんだっけ? もういい歳なので計算は中断しますが、このまま進めて結論は出るでしょうか? 露骨に言うと、どなたか代わりに算出頂けると大変有難いです。 あるいはもっと簡単な方法があるでしょうか?
回答: え~と、理系大学生をしているものです。 楕円の式を証明すればいいのでしょうか?? それとも「焦点から光を発し楕円形に配置した鏡面で反射させると、必ずもう一方の焦点を通る」ということを証明すればいいのでしょうか?? [楕円の式] 焦点s1,s2を結ぶ直線を x軸にとり線分s1s2の中点oを原点とし、s1,s2の座標をs1(s,0)、s2(-s,0)とする。 楕円の任意の点をpとすれば ps1+ps2=2a・・・・・・・・・・・・・・(1) 点pの座標を(x,y)とすれば、2点間の距離の公式により ps1=√(x-k)^2+y^2・・・・・・・・(2) ps2=√(x+k)^2+y^2・・・・・・・・(3) よって(1)の式に(2)、(3)を代入して整理すると (a^2-k^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-k^2) 明らかに a>k>0 なので a^2-k^2=b^2 [b>0] ゆえに 楕円の式⇒⇒ x^2/a^2+y^2/b^2=1 -------------------------------------------------