質問: 直積集合の証明問題 a×b、c×dは直積集合をして、 (a×bがc×dの部分集合) ⇔ (aはcの部分集合、かつbはdの部分集合) という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、 逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。 どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。 よろしくお願いします。
回答: a,b,c,dは空ではないとします。 e⊆fとは「x∈e⇒x∈f」のことでした。 e×f={(x,y)|x∈eかつy∈f}なので、 「(x,y)∈e×f⇔(x∈eかつy∈f)」です。 証明: (=>)a×b⊆c×dを仮定する。 x∈aとすると... bは空でないので適当なb∈bをとれば、 直積の定義により(x,b)∈a×b。 仮定によって(x,b)∈c×d。 直積の定義によってx∈cを得る。 同様にx∈bとするとx∈dを得る。 故にa⊆cかつb⊆d。 (<=)a⊆cかつb⊆dと仮定する。 (x,y)∈a×bとすると... 直積の定義によってx∈aかつy∈b。 仮定は、x∈aからx∈cをy∈bからy∈dを導く。 直積の定義によって(x,y)∈c×d。 空が混じってる場合、例えば、a≠b=c=d=空のときは、どうなるでしょう? 自信はないですよ。