質問: 微分方程式の問題です。 以下の問題の解答のチェックをお願いします。 図のyに関する微分方程式について、以下の問いに答えよ。 (a)y=e^zとおき、微分方程式をzに関する微分方程式に書き換えよ。 (b)dz/dx=v とおき、(a)で得られた微分方程式をvについて解け。 (c)微分方程式(1)の一般解を求めよ。 (a) z''-2(z')^2-z'=0 (z'=dz/dx) (b) v=ce^x/(1-2ce^x) (c) y=c1・(1-c2e^x)^(-1/2) 特に(c)が自信がありません。。。
回答: y'=z'e^z を微分すると y"=z"e^z+e^z(z')^2 となる所で y"=z"e^z と間違っているため (a)が間違っているため(b),(c)がすべて間違っています (a) z"-2(z')^2-z'=0ではなく z"-(z')^2-z'=0 です yy"-2(y')^2-yy'=0...(1) y=e^z...(2) ↓とおき両辺をxで微分すると y'=z'e^z...(3) ↓両辺をxで微分すると y"=z"e^z+e^z(z')^2 y"={z"+(z')^2}e^z これに(2)をかけると yy"={z"+(z')^2}e^{2z}...(4) (3)の両辺を2乗すると (y')^2=e^{2z}(z')^2 両辺に2をかけると 2(y')^2=2e^{2z}(z')^2 これを(4)から引くと yy"-2(y')^2={z"+(z')^2}e^{2z}-2e^{2z}(z')^2 yy"-2(y')^2=z"e^{2z}+e^{2z}(z')^2-2e^{2z}(z')^2 yy"-2(y')^2=z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2...(5) (2)と(3)をかけると yy'=z'e^{2z} これを(5)から引くと yy"-2(y')^2-yy'=z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2-z'e^{2z} これと(1)から z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2-z'e^{2z}=0 両辺をe^{2z}で割ると z"-(z')^2-z'=0 (b) v=ce^x/(1-2ce^x)ではなく v=ce^x/(1-ce^x) です z"-(z')^2-z'=0 ↓z'=vとおくと v'-v^2-v=0 ↓両辺にv^2+vを加えると v'=v^2+v ↓両辺をv^2+vで割ると v'/(v^2+v)=1 v'/{v(v+1)}=1 v'{1/v-1/(v+1)}=1 v'/v-v'/(v+1)=1 ↓両辺をxで積分すると logv-log(v+1)=x+c log{v/(v+1)}=x+c ↓c=e^cとすると v/(v+1)=ce^x 両辺にv+1をかけると v=(v+1)ce^x v=vce^x+ce^x ↓両辺からvce^xを引くと v-vce^x=ce^x v(1-ce^x)=ce^x 両辺を-ce^xで割ると v=ce^x/(1-ce^x) (c) y=c1・(1-c2e^x)^(-1/2)ではなく y=c1/|1-c2e^x| です v=z'だから z'=c2e^x/(1-c2e^x) ↓両辺をxで積分すると z+c=-log|1-c2e^x| ↓両辺にlog|1-c2e^x|-z-cを加えると log|1-c2e^x|=-z-c ↓c1=e^{-c}とすると |1-c2e^x|=c1e^{-z} ↓両辺にe^z/|1-c2e^x|をかけると e^z=c1/|1-c2e^x| ↓y=e^zだから y=c1/|1-c2e^x|