質問: 次の証明を教えていただけると嬉しいです。
回答: まず部分列とは何かを復習します。 ちょっと個人的な好みで、a_nのことをa(n)と書くことにします。 [定義-部分列] {a(n)}を数列とする。 {a(n)}から無限個の項を抜き出して、順番を保ったまま並べてできる点列を{a(n)}の部分列という。 より厳密には、自然数の狭義単調増加数列{n(k)}(つまり、i>kならn(i)>n(k)}に対し、{a(n(k))}のことを部分列という。 さて、 (1)⇒(2)を示します。αが{a(n)}の部分列の極限であれば、ある自然数の狭義単調増加数列n(k)に対し、{a(n(k))}はαに収束します。 つまり、任意のε>0に対して、ある自然数Kが存在して、k>Kならば、|a(n(k))-α|<εであると言えます。 Kより大きい自然数は無限個あるので、|a(n(k))-α|<εを満たすn(k)も無限個あります。これは、無限に多くのnについて|a(n)-α|<εが成立することを意味します。よって(2)が言えました。 今度は(2)⇒(1)を示します。「任意の ε>0 に対し,無限に多くの n について、| a(n) - α | <ε が成り立つ」と仮定します。 まずε=1とおくと、|a(n)-α|<1となるようなnが(無限に)存在するので、ひとつ取ってきてそれをn(1)とします。 次にε=1/2とおくと、|a(n)-α|<1/2となるようなnが無限に存在するので、 n(1)より大きいものでそのようなnが存在します。それをn(2)とします。 (もしn(1)以下にしか|a(n)-α|<1/2が成立するnが無いとすると、n(1)以下の自然数は有限個しかないので、|a(n)-α|<1/2となるnが有限個しかないことになり矛盾します) これを繰り返すことで、n(1)