質問: △ABCにおいて、Aの二等分線、Bから対辺の中点に引いた中線、Cから対辺へ下ろした垂線、これら3本の直線が共点を持つための必要十分条件は tanAcosBsinC であることを示せ。
回答: 共点を持つとき Cからの垂線の足をP ∠Aの二等分線とBCの交点をQ とすると 正弦定理より AB/sinC=BC/sinA sinC=AB*sinA /BC =AB*(CP/AC) /BC =(CP/BC)*(AB/AC) ...................1 tanA*cosC=(CP/AP)*(PB/BC) =(CP/BC)*(PB/AP) ..................2 チェバの定理より (AP/PB)*(BQ/QC)*(1/1)=1 PB/AP=BQ/QC=AB/AC ..............3 123より tanA・cosC=sinC逆は AQとCPの交点と Bを通る直線とACの交点をR としたとき 12と tanA・cosC=sinC より 3のチェバの定理をつかって CR=RA を導けばよいでしょう。