質問: 万有引力の問題 万有引力で物体同士が引き合う場合、もし角速度が0であれば、最終的にはぶつかってしまいます。 このとき距離rを時間tの関数として求めたいのですが、 運動方程式は、 mr"=-gmm/r^2 となり、この微分方程式が解けません。 ちょっと考えてみて、なんとなく時間がたつにつれて距離が縮まって、速さが大きくなるような関数だということはわかります。結構単純な関数のような気がして色々考えてみたのですが、わかりそうで中々わかりません。気になってしょうがないのですが、どなたかわかる人いませんか。
回答: mr" = -gmm / r^2 についてですが、両辺に2r'をかけてみてください。 そうすると、両辺ともにtで積分できる形になるはずです。 積分してみると、今度はrとr'の一階非線形の方程式になります。 ここで、r'=pとおくと、この方程式はr=f(p)と表せます。 さらに、p=dr/dtより、 dt = dr/p = dr/dp・dp/p = df/dp・dp/p となりますが、右辺はpだけで表せたことになるので、 変数分離形で積分することが出来ます。 これと、r=f(p)の式を連立することで、 r=r(t)の形で表せるはずです。 ちょっと難しいですが... 一階非線形になったあとの解き方は、 微分方程式の教科書などにはたいてい載っています。