質問: 積分の問題1 以下、ご教授ください。 問題 f(x)=x√(4-x^2)(0<=x<=2) 関数y=f(x)のグラフと直線y=xのとで囲まれた図形の面積を求めよ。 解答 共有点のz座標が0,√3であることは求めることができています。 しかし、この範囲で積分しようとすると、 √3 ∫ {x*√(4-x^2)^1/2 - x} 0 となります。 この積分の仕方が分かりません。 解説をお願いします。
回答: 4-x2=t とおきます。 -2x=dt/dx x dx=(-1/2)dt x:0→√3 t:4→1 ∫[x:0→√3] {x√(4-x2) - x}dx =∫[x:0→√3] {√(4-x2) - 1}x dx =∫[t:4→1] (√t - 1)(-1/2)dt =(1/2)∫[t:1→4] (√t - 1)dt =(1/2) [(2/3)t^(3/2) - t] [t:1→4] =(1/2){(16/3 - 4) - (2/3 - 1)} =5/6