質問: 信頼区間の求め方が分かりません 学校で出された問題ですが、全くわからないので お願いします。 ある町の駅で乗降客400人を任意に抽出して調べたところ、 196人がその町の住人であった。乗降客中、その町の住人 の比率に関する信頼区間を信頼係数99%で推定せよ。 どう解けばいいのでしょうか、どなたかお願いします・・。
回答: 「信頼区間」とは、母集団(全体)の平均値や分散値などがあると考えられる区間のことです。よく、95%信頼区間、99%信頼区間などといいますが、それは、母集団(全体)の値がこの区間にある確率が95%や99%であることを表しています。言い換えれば「100回サンプリングしたら、95回(99回)はこの範囲内に値が当てはまる(という確率)」といえます。 簡単に言うと、「誤差の範囲」(許容できる誤差)ということです。 今回は、400人中196人だったので、その割合は「49.0%」でしたが、これでもって、乗降客のうちのその町の住人の割合は「常に49.0%」である、と結論付けるのは危険です。全数調査ではありませんので、当然誤差が生じます。その範囲(上限と下限)はどうか、というのを数学的に算出するわけです。 算式は次のとおりです。(excel風に表記します) ・下限値 (町民数/乗降客数)-(1.96*sqrt((町民数/乗降客数)*(1-(町民数/乗降客数))/乗降客数)) ・上限値 (町民数/乗降客数)+(1.96*sqrt((町民数/乗降客数)*(1-(町民数/乗降客数))/乗降客数)) これは、信頼係数が95%の場合です。信頼係数が99%であれば、「1.96」を「2.58」に変えてください。実際の計算はご自分でどうぞ。 ちなみに、信頼係数が95%の場合は、「44.1%~53.9%」となります。つまり、100回サンプリングすれば、95回はこの「44.1%~53.9%」の範囲内に納まるはず、という意味です。 以下、厳密性には欠けますが、ダーツに例えますので、イメージしてみてください。 母集団(全体)の平均値(真の値)が「的の中心」で、標本の平均値(調査値)が「矢」だとします。そして、サンプリングを「矢を投げること」、信頼係数を「命中率」、回答率を「腕前」とします。 ではこの場合、信頼区間(誤差の範囲)は何に相当するでしょうか?そう、「的の大きさ」です。 さて、矢を投げて、的の中心に当てるのは難しいですが、的そのものに当てるのであれば、その的が一般的な大きさであれば、そんなに難しいことはないですよね。 しかし、的が小さい場合(信頼区間≒許容誤差が小さい場合)、的に当たれば、それは中心(真の値)に近いことを示しますが、命中率(信頼係数)は下がります。 この状態で命中率(信頼係数)を上げたければ、腕前(回答率)を上げるしかありません。 一方、同じ腕前(回答率)で命中率(信頼係数)を上げたければ、的を大きくすれば(信頼区間≒許容誤差を大きく取れば)よいのですが、それだと、的に当たったとしても、中心(真の値)からは遠いかもしれません(近いかもしれませんが、それは分かりません)。(ちなみに、先ほど「実際の計算はご自分でどうぞ」と言いましたが、信頼係数を95%から99%に上げるということは...?もうお分かりですね。) ざっくり言うと、こういう関係になっているのです。イメージできましたでしょうか? もっとも、実はあんまり正確な例えではないんですよね。というのは、信頼区間(許容誤差)の「場所」がちょっと違うのです。 「場所」とはどういうことかというと、上記のダーツの例では、信頼区間(許容誤差)を「的の大きさ」に例えました。これでは、矢を投げて(サンプリングして)、その矢(調査値)が的に当たるかどうか(信頼区間≒許容誤差の範囲内に納まるかどうか)という話になりますよね。でも、ちょっと違うのです。 本当は、誤差がある場所は「矢」(調査値)の方なのです。矢を中心に信頼区間(許容誤差)が設定され、投げると(サンプリングすると)、その許容誤差が、中心(真の値)を含むかどうか、というのが正しい理解なのです。 例え直すと、ダーツではなく、輪投げのイメージですね。つまり、輪の中心が「調査値」、輪の直径が「信頼区間(許容誤差)」、的棒が「真の値」というわけです。命中率が「信頼係数」、腕前が「回答率」であることは変わりません。 このごろ「内閣支持率が下がってきた」という世論調査をよく目にしますが、新聞等の世論調査でいつも思うのは、どの社でも信頼区間と信頼係数を載せていないということです。1ポイントや2ポイントの変化なんて許容誤差の範囲であり、前回調査における許容誤差を超えるような変化があって初めて「低下」や「上昇」といえると思います。さすがに今回は15ポイント前後下落しましたので「低下」といえると思いますが。いずれにせよ、参考値として信頼区間と信頼係数を載せればよいと思っています。(つまり、支持率は「25%」ではなく「22%~27%」という具合に。一般読者にとっても有意義です。もっとも、記事中に与えられたデータで、上記の式を使って自分で計算することもできますが、一般読者で上記の式を知っている人は少ないし、知っていても設問数が多ければ面倒、ということもあります。) いかがでしょうか?この回答が、ご理解の一助になれば嬉しいです。頑張ってください!