質問: 集積点が、まったく分かりません!! 集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。
回答: manifestさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので 答えにくいのですが、 集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な 用語くらいはご存知だと仮定して説明します。 距離空間はご存知でしょうね。 xをある位相空間、aをxのある部分集合とします。 x∈xがaの集積点であるとは xの任意の近傍とaの共通部分にx以外のaの点が少なくとも1つは含まれる ような点のことです。 xが距離空間なら、これは 「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のaの要素が存在するような点」 と言い替えられます。 直観的な言い方をすれば、x∈xがaの集積点であるとは 「xのどんな近くにも(x以外の)aの点がある」 と言う条件をみたすような点のことです。 ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。 集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。 すなわちx∈xがaの孤立点であるとは xがaの要素であり ...(s1) かつxのある近傍とaの共通部分にx以外のaの点が含まれない。...(s2) ような点のことです。 xが距離空間なら、これは 「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなaの要素はxだけであるような点」 となります。 注意していただきたいのはx∈aであることはxがaの集積点であるためには 必要でも十分でもないということです。 xがaの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、aの点でないような aの集積点も存在します。 しかし孤立点と言う概念は集合aの要素に対して与えられる概念ですから、aに 属さない点が(s2)の条件だけ満たしてもそれをaの孤立点とは呼びません。 あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい 例(1)xを2次元ユークリッド空間として a={(x,y)∈x| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0) とします。つまりaは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。 するとaの集積点(の集合)は {(x,y)∈x| x^2 + y^2 ≦ 1} すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。 点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。 例(2)xを2次元ユークリッド空間として a={(x,y)∈x| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) } とします。aの集積点(の集合)はa自身と集合 b={(0,y)∈x| y∈[-1,1] } の和集合です。 例(3)xを1次元ユークリッド空間として a= { 1/n | n=1,2,...} とします。原点{0}はaの集積点です。しかしa自身の点はすべて孤立点です。 例(4)xを1次元ユークリッド空間として aは開区間(0,1)の有理点。すなわち a= { x∈(0,1)|xは有理数 } とします。aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。