質問: 行列・非同次連立一次方程式 「非同次連立方程式の解が一意に決まるとき、係数行列と拡大行列の階数の関係と、その理由を説明せよ」という問題について、やや曖昧なところがあるので質問します。 まず階数の関係については、係数行列をm行n列としたとき、(係数行列の階数)=(拡大行列の階数)=nとなった場合に、解が一意に定まるという解答だと思うのですが、これで正しいでしょうか? 続いて、その理由について、係数行列がn列ということは、未知数がn個あり、階数がnということは式がn個並ぶはずなので、n個の未知数にn個の式で一意解になるというのは、なんとなくわかるのですが、やや説明が曖昧な気がして、悩んでいます。 もし、これよりも明解な理由があれば、ご教授願いたいです。よろしくお願いします。
回答: 定数項のベクトルが、係数行列の列ベクトルが張るベクトル空間に 含まれていれば、定数項を係数行列の列ベクトルの一次結合で表す 係数の組...すなわち、連立一次方程式の解が存在します。 そのための条件は、係数行列の列ベクトルが張るベクトル空間と 拡大係数行列の列ベクトルが張るベクトル空間の次元が等しいこと。 すなわち、係数行列の階数と拡大係数行列の階数が等しいことです。 その際、解空間の次元は、解ベクトルの成分数 - 係数行列の階数 ですから、これが 0 になることが、唯一解であるための条件です。