質問: 余弦定理をどのように使えば・・・? 原点中心、半径rの円に内接する正三角形をabc、弧bc上の点をpとする。ap2乗+bp2乗+cp2乗が一定値をとることを示せ。なお、ap=bp+cpであることを使ってもよい。 (→ap2乗+bp2乗+cp2乗をrの式で表せば良い。) この問題を昨日から考えているのですが解けません。 先生からは、余弦定理を使うと解ける、と言われました。 私は、△apc、△abp、△bpcで余弦定理を使って、 ac2乗=cp2乗+ap2乗-2ap・cp・cos60° ab2乗=bp2乗+ap2乗-2bp・ap・cos60° bc2乗=bp2乗+cp2乗-2pb・pc・cos120° と出し、これをすべて足したのですが、どうしてもpbとpcが消去できません。 この方法では間違っていますか。また、余弦定理を使った正しい回答も、教えていただきたいです。
回答: △oabで∠abo=120°,余弦定理より ab^2=r^2+r^2-2r*rcos120°=3r^2 ab=r√3=bc=ca...(★) (∵△abcは正三角形) 3つの式を加えると 3ab^2=2(ap^2+bp^2+ca^2)+pb*pc-ap*cp-ap*bp 9r^2=2(ap^2+bp^2+ca^2)+pb*pc-ap*(cp+bp) >ap=bp+cpであることを使ってもよい。 を使うと 9r^2=2(ap^2+bp^2+cp^2)+bp*cp-(bp+cp)^2 2(ap^2+bp^2+cp^2)=9r^2-(bp^2+cp^2+bp*cp)...(■) △obcで∠boc=120°,余弦定理より bc^2=bp^2+cp^2-2bp*cpcos120°=bp^2+cp^2+bp*cp...(●) (★)から bp^2+cp^2+bp*cp=(r√3)^2=3r^2 (■)に代入 2(ap^2+bp^2+cp^2)=9r^2-3r^2=6r^2 ∴ap^2+bp^2+cp^2=3r^2