質問: 箱型ポテンシャル 波動関数はψ(x)={(2/l)^1/2}sin(nπx/l)である。 一次元の箱型ポテンシャル中の自由粒子の運動量pおよびp^2、位置xおよびx^2に対するそれぞれの期待値を求めよ という問題を解いていたのですが、この問題の場合、n=1,2、・・・などとおくことが出来るのでしょうか? そうしないと答がものすごく長くなってしまうのですが・・・それとも長くなるのは計算ミスでしょうか?
回答: #2のkenzouです。 >=(1/2)nπになったのですが計算ミスでしょうか・・・ 計算ミスですね。特に難しい積分計算ではないので注意深くやれば答えがでます。と、ここで終わってもいいのですが、いきがかかり上、以下に略解を書いておきますので、詳しくはご自分でフォローしてみてください。 x=nπx/lとおくと ∫[0,l]sin(nπx/l)xsin(nπx/l)dx=(l/nπ)∫[0,nπ]xsin^2xdx だから∫xsin^2xdxの積分が計算できればよい。これは部分積分を使うと簡単に計算できる。 ∫xsin^2xdx=(1/2)∫x(1-cos2x)dx=(1/2)[x^2/2-∫xcos2xdx] (1) ∫xcos2x=(x/2)sin2x-(1/2)∫sin2xdx =(x/2)sin2x+(1/4)cos2x (2) (2)を(1)に代入すると ∫xsin^2xdx=[(1/4)x^2-(x/4)sin2x-(1/8)cos2x] (3) ここでxを元のxに戻し、積分範囲を入れて(3)を計算すれば答えがでます。 ところで期待値というのは電子の平均位置座標を意味しますね。今の場合、その座標は箱の真ん中になるということです。もし=(1/2)nπということになれば、基底状態(n=1)で電子の位置は(1/2)πということになり、箱の長さlには全く関係しない位置ということになりますね。これは物理的に考えておかしいぞ、と考えなければなりません。ということで、単に計算だけを追うのでなく常に物理的描像を頭に描いて勉強を進めるのがポイントです(←余計な老婆心か)。