質問: 2次式の最小値 x+y+z=1 のとき x^2+2y^2+3z^2 の最小値の求め方を教えてください。 x^2+y^2+z^2 の最小値なら、相加平均相乗平均の関係から1/3とわかるのですが、 2、および3、という係数がついたときどうしてよいかわかりません。 よろしくお願いします。
回答: #1です。なるほど、そういう風にすれば、相加相乗を使って解けるんですね。#1に書いたのは、余計な事でしたね。すいませんでした。 コーシーシュワルツの不等式とは (a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2 (等号成立はa:b=x:y) (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2 (等号成立は a:b:c=x:y:z) などの不等式です。こんな風に書くと難しいかもしれませんが、p,qをベクトル(矢印は省略)としたら、 |p|^2|q|^2≧(p・q)^2 (等号成立はp//q) という式です。(p・qは内積) (p・q)^2=|p|^2|q|^2(cosθ)^2ですから、上の式が成り立つのは分かるでしょう。 p=(a,b),q=(x,y)とすれば、上の不等式が、 p=(a,b,c),q=(x,y,z)とすれば、下の不等式がでてきますよね。 ですので、p=(a,b,c,...),q=(x,y,z,...)といくら増やしても成り立ちます。 もし、p=(1,1,1)、q=(x,y,z)とすると、 (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)≧(x*1+y*1+z*1)^2=1^2 より、(x^2+y^2+z^2)≧1/3 等号成立はx:y:z=1:1:1よりx=y=z=1/3 となるので、x^2+y^2+z^2の最小値は1/3と求める事ができます。 x^2+2y^2+3z^2の方は少し技が必要なんですが、 p=(1,1/√2,1/√3),q=(x,√2y,√3z) とすると、#3さんへのお礼に書いてあるような答えが出てきます。