質問: 円周率が定数であることの証明 円周率πが3.14...と半径によらず一定であることの証明って、どうすればよいのでしょうか。 定義は π=【円周の長さ】/【直径(2r)】 ですよね。 直径が既知だとそて、円周の長さも求めなくてはならないとき、半径rの円とその円に内接する正n角形(周長=ln)を考えた際に、 円周の長さが【lim(n→∞)ln】で近似されることも前段階として示す必要がある気がします。 つまり、 (i) lim(n→∞)lnが存在すること(=収束すること?) (ii) lim(n→∞)lnが円周の長さとして適当か。 ってことなんですけど・・・。 (i)も(ii)も感覚的には収束すると思うし、適当だと思うんですけどうまく証明ができません。 最終的にはπが定数であることの証明がしたいのですが、その前段階のことも気になりました。 どなたか教えてください。お願いします。
回答: 内接正多角形とか外接正多角形の周の長さの極限として円周の長さを求 めるとすると、円の半径がrのときの内接正多角形・外接正多角形の周 の長さは、円の半径が1の時の内接正多角形・外接正多角形の周の長さ のr倍になっているので(三角形の相似からわかる)、内接正多角形・ 外接正多角形の周の長さと半径の比は一定である。極限をとって考えて もこの比は変わらず、半径と円周の長さは比例する。 積分を知っていれば、変数変換により、円周の長さと半径が比例するこ とがわかる。 円周率の定義(いくつかある)は意外と知らないで、何となく通過して しまっていることが多く、最近では円周率は約3などという悲しい事態 になっているので、この辺の基礎は結構重要と思います。