質問: nを自然数とする。1個のさいころを続けて2回投げ、1回目に出た目の数をx,2回目に出た目の数をyとする。 |x-n|+|y-n|≦nとなる確率をPnで表すとき、次の問いに答えよ。 (1)P1を求めよ。 (2)
回答: いろいろ試してみましたが、スマートな解法はみつかりませんでした。 コツコツ解きましたが、その方がわかり易く意外と簡単でした。 (1) |x-1|+|y-1|≦1となる確率をP1 x=1、y=1の1通り x=2、y=1とx=2、y=1の2通り ∴P1=3/6^2=1/12です。 (2) 劇的に簡単になる方法が見つからないので、書き出しますか。 n=6、|x-6|+|y-6|≦6となる確率をP6 x=6のとき、|y-6|≦6、y=6~1 x=5のとき、|y-6|≦5、y=6~1 x=4のとき、|y-6|≦4、y=6~2 x=3のとき、|y-6|≦3、y=6~3 x=2のとき、|y-6|≦2、y=6~4 x=1のとき、|y-6|≦1、y=6~5 P6=(6+6+5+4+3+2)=26/36 n=5、|x-5|+|y-5|≦5となる確率をP5 x=6のとき、|y-5|≦4、y=6~1 x=5のとき、|y-5|≦5、y=6~1 x=4のとき、|y-5|≦4、y=6~1 x=3のとき、|y-5|≦3、y=6~2 x=2のとき、|y-5|≦2、y=6~3 x=1のとき、|y-5|≦1、y=6~4 P5=(6+6+6+5+4+3)=30/36 n=4、|x-4|+|y-4|≦4となる確率をP4 x=6のとき、|y-4|≦2、y=6~2 x=5のとき、|y-4|≦3、y=6~1 x=4のとき、|y-4|≦4、y=6~1 x=3のとき、|y-4|≦3、y=6~1 x=2のとき、|y-4|≦2、y=6~2 x=1のとき、|y-4|≦1、y=5~3 P4=(5+6+6+6+5+3)/36=31/36 n=3、|x-3|+|y-3|≦3となる確率をP3 x=6のとき、|y-3|≦0、y=3 x=5のとき、|y-3|≦1、y=4~2 x=4のとき、|y-3|≦2、y=5~1 x=3のとき、|y-3|≦3、y=6~1 x=2のとき、|y-3|≦2、y=5~1 x=1のとき、|y-3|≦1、y=4~2 P4=(1+3+5+6+5+3)/36=23/36 n=2、|x-2|+|y-2|≦2となる確率をP2 x=6のとき、なし、x=5のときなし x=4のとき、|y-2|≦0、y=2 x=3のとき、|y-2|≦1、y=3~1 x=2のとき、|y-2|≦2、y=4~1 x=1のとき、|y-2|≦1、y=3~1 P2=(1+3+4+3)/36=11/36 n=7、|x-7|+|y-7|≦7となる確率をP7 x=6のとき、|y-7|≦6、y=6~1 x=5のとき、|y-7|≦5、y=6~2 x=4のとき、|y-7|≦4、y=6~3 x=3のとき、|y-7|≦3、y=6~4 x=2のとき、|y-7|≦2、y=6~5 x=1のとき、|y-7|≦1、y=6 P7=(6+5+4+3+2+1)/36=21/36 n=8、|x-8|+|y-8|≦8となる確率をP8 x=6のとき、|y-8|≦6、y=6~2 x=5のとき、|y-8|≦5、y=6~3 x=4のとき、|y-8|≦4、y=6~4 x=3のとき、|y-8|≦3、y=6~5 x=2のとき、|y-8|≦2、y=6 x=1のとき、|y-8|≦1、y=なし P8=(5+4+3+2+1+0)/36=15/36 P9>P10>・・ したがって、n=4のときPnは最大でP4=31/36です (3) n=7で組み合わせは、(6+5+4+3+2+1)通り n=8で組み合わせは、(5+4+3+2+1+0)通り ・・ n=12で組み合わせは、1通り 実際計算で確認。 n=12、|x-12|+|y-12|≦12 x=6のときy=6の1通り x=5のとき、|y-12|≦5で満たすyはない。 P12=1/36 n=12です。