質問: 複素関数 x^2+y^2+i2xy x^2-y^2+i2xy x^2+y^2-i2xy x^2-y^ 複素関数 x^2+y^2+i2xy x^2-y^2+i2xy x^2+y^2-i2xy x^2-y^2-i2xy 上の4つの関数で正則関数はどれになりますか? また、どのように判別すればよいのでしょうか。
回答: c=(全複素数の集合) としたとき 複素関数 x^2+y^2+i2xy といった場合 x,yも複素数で f:c^2→c (x,y)∈c^2→f(x,y)=x^2+y^2+i2xy という 2変数複素関数となってしまい 通常の(1変数)複素関数とは 微分の定義 正則の定義 が違うものになってしまうので 問題を次のように変更します f:c→c z∈c,z=x+iy,(x,yは実数)とする 1 f(x+iy)=x^2+y^2+i2xy とfを定義した場合 u(x,y)=x^2+y^2 v(x,y)=2xy u_x=2x u_y=2y v_x=2y v_y=2x u_x-v_y=0 だけれども u_y+v_x=2y+2y=4y≠0 だから f(x+iy)=x^2+y^2+i2xyは 正則でない 2 f(x+iy)=x^2-y^2+i2xy とfを定義した場合 f(x+iy)=u+iv とすると u(x,y)=x^2-y^2 v(x,y)=2xy u_x=2x u_y=-2y v_x=2y v_y=2x u_x-v_y=2x-2x=0 u_y+v_x=-2y+2y=0 だから f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則 3 f(x+iy)=x^2+y^2-i2xy とfを定義した場合 f(x+iy)=u+iv とすると u(x,y)=x^2+y^2 v(x,y)=-2xy u_x=2x u_y=2y v_x=-2y v_y=-2x u_y+v_x=2y-2y=0 だけれども u_x-v_y=2x+2x=4x≠0 だから f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則でない 4 f(x+iy)=x^2-y^2-i2xy とfを定義した場合 f(x+iy)=u+iv とすると u(x,y)=x^2-y^2 v(x,y)=-2xy u_x=2x u_y=-2y v_x=-2y v_y=-2x u_x-v_y=2x+2x=4x≠0 u_y+v_x=-2y-2y=-4y≠0 だから f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則でない