質問: 波動方程式 高校で習った波の式 y=asin(ωt-kx) の意味は、わかるのですが 量子力学で、出てくる波動方程式 ψ=aexp(i(kx-ωt)) には,疑問があります。 まず、なぜ、expの形にしているのですか? 大学の先生に質問したら計算が楽になるから、なんちゃらかんちゃらと、言われましたが、計算が楽になるからといって勝手にそんなことをしていいのですか? それとまだあまり、計算問題を解いたりしたりしていないからかもしれませんが、どのへんが、楽になるのかもわかりません。 また、上の波の式では、ωt-kx なのに波動方程式では kx-ωtと順番が違うのですか?
回答: >まず、なぜ、expの形にしているのですか? 数学というのは物理現象を表現するための言語です。 言葉で物理現象を表現するのは大変ですよね?だから数学という言語を使って表現しています。 ところで、たとえば自分のことを言うときに、「私」「俺」「僕」「あたし」「拙者」等などいろんな表現があるのはご存知でしよう。 それと同じように、物理現象である波のを数学という言語で表すときに、なにもひとつの方法しかないわけではないのです。 いろんなあらわし方があるわけです。そして、その時々で都合のよい表現方法を使うわけです。 だから波がsinで表記されているからといって、波をsinで表記しなければならないという決まりはなく、ほかの数学的表現でもかまわないわけです。 ψ=aexp(i(kx-ωt)) というのは複素平面を使ったそういう物理現象の波を表す表記方法のひとつなのです。 >どのへんが、楽になるのかもわかりません。 例題を書いてみてもよいのですけど、まあそれはいずれやることなので省略します。 簡単に言うと、三角関数での表記の場合には、しばしば三角関数の公式を駆使して、式を整理しなければならないことがよくあります。ただこれは結構面倒な作業です。どの公式を適用できるのかじっくり眺めて考えねばなりません。 でもexp表記の場合にはそういう必要性がなくなるのです。 >また、上の波の式では、ωt-kx なのに波動方程式では kx-ωtと順番が違うのですか? これは波の進む方向をどちらにするのかという定義、そして時間が正の方向をどう定義するのかという問題に過ぎません。 つまり物理現象である波を説明するときに、数学の式を使って表現しますけど、そのときにはたとえば、tは時間、ωは....と定義していきますが、符号についてもやはり定義して使うのです。 まあ、一般的にはkx-ωtという表記がexp表記の場合には一番よく使われます。