質問: 1.sinx/(1+sinx) の問題でtan(x/2)=tを使って sinx=2t/1+t^2 , dx=2dt/1+t^2 を代入して解くと思うんですが、どうしたらいいか分かりません。答えは一応載っていて x+{2/(tan(x/2)+1)}になります。 2.x^4/(x^3-1) の問題でx^4=(x-1)(x^2+x+1)にまずすると思うんですが、そこからがわかりません。しかも答えを見てもlogやtanが出てきていてどうしたのか分かりません。答えは (1/2)x^2+(1/3)log|x-1|-(1/6)log(x^2+x+1) +(1/√3)tan^(-1)(1/√3)(2x+1) よろしくお願いします。
回答: 1.I=∫{sinx/(i+sinx)}dx=∫{4t/(1+t^2)(1+2t+t^2)}dt(上記の置き換えで)となり、Iを部分分数分解すれば、I=∫2/(1+t^2)dt-∫2/(1+2t+t^2)dtとなります。最初の項はx、後の項は2/{tan(x/2)+1}になりますよ。