質問: 三角関数の公式 三角関数の公式でsin,cosの2乗の和は1に等しいって言うのがありますが 以下の証明って知られてますか? 0=0 よりxを実数として 2sinxcosx-2sinxcosx=0 積分定数をcとしてxについて積分すると (sinx)^2+(cosx)^2=c x=π/4を代入すると c=1 よって (sinx)^2+(cosx)^2=1
回答: たいへんまっとうな証明だと思います。 特に、sin, cos をべき級数によって定義した場合には、 質問の証明がむしろ標準的な方法でしょう。 no.2さんが書いておられるように、基本的な事項の証明は 循環論法に陥り易いので注意が必要ですが、 三角関数のたいていの定義では、 f(θ) = (cosθ)^2 + (sinθ)^2 に対して f'(θ) = 0 から f(θ) が定数であることを示した部分に循環は生じない気がします。 一抹不安が残るのは、最後に θ = π/4 を代入した点です。 sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 であることは、どうやって計算しましたか? この式に現れた √ には、(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 の香りがわずかに漂います。 いやいや、可能性があると言っただけで、クロ認定したわけではありません。 でも、検証するには、1/√2 を得た過程を見る必要がありますよね。 θ = 0 でも代入したほうが安心感があったかな?というのが感想です。