質問: 三次関数の問題です。 一応自分でもやってみたのですが、途中でわからなくなりました。 次の問題です。 θは0°<=θ=>90°を満たす定数角とする。三次関数 f(x)=x^3-(3cos^2θ)x^2+(3cos2θ)x が極値を持ち、極大値をmとおくとき、次の各問いに答えよ。 (1) θのとり得る値の範囲を求め、mをθで表せ。 (2) (1)の範囲でθを変化させるとき、mのとり得る値の範囲を求めよ。 です。よろしくお願いします。
回答: f’(x)=3x^2-2(3cos^2θ)x+3cos2θ =3{x^2-2(cos^2θ)x+cos2θ} cos^2θ=(1+cos2θ)/2より、 =3{x^2-(1+cos2θ)x+cos2θ} =3(x-1)(x-cos2θ) f(x)が極値を持つためには、 方程式f’(x)=0が異なる2つの実数解をもつ。 すなわち、cos2θ≠1 よって、0°<θ≦90° また、この条件では、cos2θ<1より、(増減表省略) x=cos2θのとき極大となる。 m=(cos2θ)^3-(3/2)*(1+cos2θ)(cos2θ)^2+3(cos2θ)^2 =(1/2)*(cos2θ)^2*(3-cos2θ) (2) cos2θ=tとすると、0°<θ≦90° より -1≦t<1 m=(1/2)*(3t^2-t^3) 両辺をtで微分すると、 m’=(3t/2)(2-t) t=-1のときm=2 t=1のときm=1(最大値なしの状態が避けられることの確認) t=0のときm=0 これと増減表(略)より、 0≦m≦2