質問: 接点 xy平面に二つの下に凸な曲線y=f(x)とy=g(x)がある。 また、f(x)もg(x)も全ての実数で微分可能であるとし、 これら二つの曲線はある一点のみで接しているとする。 その接点のx座標をaとする。 このとき、f(x)-g(x)はx=aの前後で符号を変えない、 というのは正しいですか?
回答: あれ? 「接する」はわたしの「ふつう」と同じだ.... まぁいいや. それを前提にして質問に戻れば, 実はちょっと考えればわかる通り (の「通り」を勘違いしたやつがいうのもアレだが) そんな決まりはない. 状況をイメージするなら接点の前後に 2本ずつ線があるはずで, それらを y=f(x) と y=g(x) にどう帰属させるかに自由度がある. 「どうしても式がないといや」というなら, 例えば f(x) = (x が正なら x^2, そうでなければ 0), g(x) = (x が負なら x^2, そうでなければ 0) を考えればいい.