質問: 三角形の面積の問題 三辺の長さがbc=a,ca=b,ab=cの三角形がある。 abをa:bに内分する点をd,bcをb:cに内分する点をe,caをc:aに内分する点をfとする。 このとき、△abcと△defの面積比を求めよ。 ただしa≦b≦cかつa^2+b^2>c^2である。 答えはabc:def=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが その導き方が全くわかりません。 どなたか教えてください。
回答: >答えはabc:def=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが これにちょっと、a,b,c=3,4,5を代入してみてください(直角三角計ですが)。 △abc(=2*3*4*5=120)<△def(=7*8*9=504)になってしまい、 当然△abcのほうが大きいはずですので、これはおかしいですよね? (ちなみに「a≦b≦cかつa^2+b^2>c^2」なので、a,b,c=3,4,5は実際ダメですが、 c=4.99999(5より僅か小さい数)ならばよく、このことで大小関係は不変です) 正解は、反対になった「abc:def=(a+b)(b+c)(c+a):2abc」だと思います。 さて、△abc=(1/2)*b*c*sina と正弦定理を使ってアプローチしてみます。 ごく普通に、△abcから△defを引いた余りの部分の 「3つの三角形の面積」を、順に出していきます。 例えば、辺の長さを比によって分けた、ad=c*{a/(a+b)}などを用いて、 △adf=(1/2)*{ac/(a+c)}*{bc(b+c)}*sina のように式を立ててみます。 これに、a/sina=2rのような正弦定理を使えば、 =(abc/4r){a^2/(a+b)(a+c)} (実際に計算してみてください) そうやって「3つの三角形の面積の和」の式を出します(煩雑なので省略)。 次に、△abc = (1/2)*b*c*sina = abc/4r ですので、 出た式をこれから引きますと、 △def=(abc/4r){2abc/(a+b)(b+c)(c+a)} となるはずです。 そうして、△abc:△def=1:2abc/(a+b)(b+c)(c+a)となります。 (1)例えば正弦定理などを用い、式を整理された形で立てる (2)間違わず、煩雑な式を地道に計算していく(頑張ってください!) この辺がポイントだと思います。