質問: ガロア拡大でない例について ガロア理論を勉強しています。ガロア拡大については、ある程度理解できたつもりなのですが、有理数体qに2の3乗根を添加した体q(3√2)がqのガロア拡大でない理由がわかりません。 (複素数体cが実数体rのガロア拡大になっていることはわかります。) もしもわかられる方がおられれば、お教えいただければ幸いです。
回答: 「gal(q(2^(1/3))/q)={1}」 gal(q(2^(1/3))/q) というのは、多分、q(2^(1/3))の自己同型全体から成る群という意味なのでしょうね。また、これが {1} に等しいというのは、恒等写像以外に自己同型が存在しないということでしょうね。 恒等写像以外に自己同型が存在しないことの証明は、簡単です。 記号が煩わしいので、 α = 2^(1/3) ω = e^(2πi/3) とします。また、σを、q(2^(1/3)) = q(α)の自己同型とします。q(α)の任意の元は、適当な有理数 a, b, c を使って、a + bα + cα^2 と表すことができます。これがσによってどういう元に移るかを考えます。 σ( a + bα + cα^2 ) =σ(a) + σ(b)σ(α) + σ(c)σ(α)^2 =a + bσ(α) + cσ(α)^2 です。よって、σ(α)が分かれば、σが完全に決定されることになります。一方、 α^3 = 2 ですから、 σ(α)^3 = 2 となります。すなわち、σ(α)は、方程式 x^3 = 2の根です。よって、σ(α)は、α、αω、αω^2のどれかです。ところが、αωとαω^2は、q(α)の元でないので、σ(α)がこれらに一致することは不可能です。よって、σ(α)=αでなければなりません。そこで、上の式に戻って、 σ( a + bα + cα^2 ) = a + bα + cα^2 を得ます。すなわち、σは、恒等写像です。 「τ(τ:a+b(2)^(1/3)→a-b(2)^(1/3))は何故gal(q(2^(1/3))/q)に含まれないのでしょうか?」 パスします。a+b(2)^(1/3) や a-b(2)^(1/3) が何を指しているのか分かりません。