質問: 角の二等分線と比の定理の証明問題 数aの角の二等分線と比の定理2の証明ができなくて困っています。 定理2である、「ab≠acである△abcの頂点aにおける外角の二等分線と辺bcの延長との交点qは、辺bcをab:bcに外分する。」をab>acの場合について証明せよ。 という問題です。 △abcと△bqaで「二つの角がそれぞれ等しい」という相似条件を使って証明すると思うのですが、どうしても等しい角が見つかりません。 補助線なども利用するのでしょうか? ご教授よろしくお願いします。
回答: なにか紙を用意して、そこに図を書き、説明を書き込むと分かりやすいと思います。 ちなみに私の証明方法で、△abcと△bqaで「二つの角がそれぞれ等しい」は使いません。 まず、点cからaqに平行な直線ceとおきます。 すると平行線の錯角より、∠caq=∠eca--(1)であることがわかります。 また、abの延長のさき(どこでもいいです)をmとします。 さらに、平行線の同位角より、∠cea=∠qam--(2)となります。 よって、(1)と(2)より、∠eca=∠ceaつまり、三角形aecは二等辺三角形であることがわかりました。 よって、ae=ce ここで、ceとqaは平行なので、ba:ae=bq:qc ae=ceを代入して、ba:ce=bq:qc したがって、証明されたはずです。