質問: 逆関数の意義 関数y=sinx(-π/2≦x≦π/2)の逆関数をg(x)とする。 i=∫[0→1]g(x)dx を求めよ。 という問題なんですが、もちろんこの場合逆関数は簡単には求まりませんよね?といいますか、傍用問題集に載ってるような計算で求められる逆関数はむしろ特別な場合をやっているに過ぎないと教わりました。 さて本問についてですが、さっぱり分からなかったので解説を受けたのですが、その説明はこういうものでした。 「与えられた関数にx1という値を入れるとy座標はy1(=sinx1)になるとする。このとき逆にy1を入れてx1に至る関数を本問での逆関数と呼ぶ。これをx=g(y)とする。このときグラフ自体はまったく同じものであるが、関数はxを入れてyに至るというのが一応の決まりとなっているのでxとyを入れ替えてy=g(x)とする。したがってもともとyを入れてxに至るのが逆関数であったのでiは次のように書き換えられる」 i=∫[0→1]g(y)dy という説明でした。はっきり申しますとさっぱりこの説明の意味が分かりません。こんな曖昧な状態では全く応用が利かないです。もちろん上のように書き換えられたならば積分は計算できるのですが、そこまでのプロセスの理解はやはり皆無です。そもそも教科書にしてもチャートなどの問題集にしても、逆関数を求めるだけという単純な計算問題しか書かれていないのでその本質がまったく見えません。逆関数が試験にでるというのはまだ一度も見たことは無いのですが、一応受験範囲が(3)cだけですのでここもしっかり理解しておきたいです。上の解説文などは完全に無視していただいて構いませんのでアドバイスよろしくお願いします!
回答: 逆関数がなんたるかという問いと思われますが、とりあえずこの問題に対して俗っぽく言えば・・・ y=sinxのグラフを ・時計回りに90度回転させて ・上下を反転させると ちょうどx軸とy軸が入れ替わる形になりますよね? という説明ではどうでしょう? 例として、f[x]=2x+1の逆関数はf^(-1)[x]=(x-1)/2ですが、y=2x+1のグラフに対して上記の操作をすると、y=(1/2)x-1/2のグラフが出てきます。 ちなみに、上の操作をするとわかると思いますが、i=∫0→π/2dxになると思います。