質問: 量子論について 調和振動子のシュレディンガー方程式の基底状態と第一励起状態のエネルギー準位と波動関数を求めなさい。 この問題の趣旨と答えがわかりません。 教えてください。
回答: まず、シュレディンガー方程式を整理すると、 d^2u/dt^2 + 2m/h^2(e - 1/2・mω^2)u = 0 (1) という2階の微分方程式になります。 ここで、uは波動関数、h=プランク定数/2π このままですと、計算が大変なので、 ξ = αx、 α = √(mω/h)、 λ = 2e/hω (2) として、(1)を書き換えると、 d^2u/dt^2 + (λ-ξ^2)u = 0 (3) (3)の微分方程式を解けばいい(ニコニコ)。 (3)を解くのは、実は、結構、大変。 そこで、 u = e^(-1/2・ξ^2)・h(ξ) と仮定して、(3)の微分方程式を書き換えると、 d^2h/dx^2 - 2ξdh/ξ + (λ-1)h = 0 (4) となるので、これの級数解を求める・・・。 ガンバレ~!! 質問者さんの数学力がどの程度なのか知らないのですが、 たぶん、解けないと思うので・・・、 たとえば、 http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/qmi10/qmi10_chap09.pdf などをご覧になってください。 ここでは、ξがsになっているけれどもね。 ここに求めるものは全て出ています。 ちなみに、 基底状態はλ=1、第一次励起状態はλ=3です。 微分方程式は解けなくても、 エネルギー準位だけは λ = 2e/hω の式から出てきます。 hの正体は、エルミート多項式と呼ばれるものです。 この微分方程式の解き方は、他にもあることはあるのだけどね。 これが一番オーソドックスな解き方です。