質問: 斜面と斜面を滑り降りる物体の運動 前に質問されたことのあるとおもう問題ですが、検索ワードが思いつかなかったので、質問します。 床、斜面の摩擦は無視できる。 水平な床の上に質量m、傾きθ、の三角台qの上に 質量mの小物体pをのせる。 水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、重力加速度をgとする。 運動方程式 小物体のx、y軸方向の加速度=a、b 三角台のx、y軸方向の加速度=a、b pとqの抗力=n、床とqの抗力=s として ma=-nsinθ mb=ncosθ-mg ma=nsinθ mb=s-mg-ncosθ b=0 b=(a-a)tanθ 最後の式ですが、これを出すのにベクトルを使って、 pの変位を(δx、δy)、qの変位をδxとして δy=(δx-δx)tanθ・・・☆ 二回tで微分して b=(a-a)tanθ とやるらしいのですが、☆の式が立てられないのですが説明していただけますか? もうふたつ 1、pがl滑り降りたときのqの変位を求める問題。 2、そのときのpとqの運動エネルギーの和を求める問題。 がありまして、1、はまったくわかりません。 2、求めるエネルギーの式は pの各軸方向の速度をvx、vy 同様にqの速度をvx、vy (1/2)m(vx^2 +vy^2) +(1/2)m(vx^2 +vy^2)=・・・ となるのですが これを出すのに最初の運動方程式をつかって a=dvx/dt、b=dvy/dt、a=dvx/dt、b=dvy/dt なので mvx(dvx/dt)=-nsinθ・vx mdvy(vy/dt)=(ncosθ-mg)vy mvx(dvx/dt)=nsinθ・vx mvy(dvy/dt)=(s-mg-ncosθ)vy また vysinθ=(vx-vy)cosθ なのでこれらから d/dt{(1/2)m(vx^2 +vy^2) +(1/2)m(vx^2 +vy^2)} となるらしいですがこの式のつくり方がわからないんです。 そしてそれから先どうするかわかりません。 長々となりましたがよろしくお願いします。
回答: >δy=(δx-δx)tanθ・・・☆ >二回tで微分して >b=(a-a)tanθ 2つの式は矛盾してませんか. x軸,y軸の正の向きはそれぞれ右向き,上向きでいいのでしょうか. 斜面が右上がり(左端が尖っている)なら δy=(δx-δx)tanθ・・・(*) b=(a-a)tanθ もしその逆なら右辺が逆符号です. δy=(δx-δx)tan(-θ)=-(δx-δx)tanθ b=-(a-a)tanθ いずれも,台に対する小物体の相対変位 δx-δx(x方向) と δy-0=δy(y方向) との間に,「台からみて小物体は斜面方向にのみ動ける(今の状況では,浮き上がったりめり込んだりはしない)」 という条件を幾何学的に書けば出ます. 残りの問題はこれらの式を全て解けば出ますが,解かなくても出ます. [別解] >1、pがl滑り降りたときのqの変位を求める問題。 1,は式(*)と δx-δx=-l・・・(a) (台に対し左にlだけ変位) (または傾きが逆なら逆符号) から y方向の変位はδy=-ltanθ つまり,下向きにltanθ 一方,重心の定義 (m+m)x_g=mx+mx より (m+m)δx_g=mδx+mδx かつ,水平方向には外力が働かないので,重心は静止したままで,δx_g=0 よって mδx+mδx=0・・・(b) (重心からの距離が質量の逆比) (a),(b)より x方向の変位:δx=-ml/(m+m) つまり斜面が右上がりなら 左向きにml/(m+m) >2、そのときのpとqの運動エネルギーの和を求める問題。 力学的エネルギー保存が成立するので, 和は mgltanθ >d/dt{(1/2)m(vx^2 +vy^2) +(1/2)m(vx^2 +vy^2)} 左辺を実際微分すれば d/dt(1/2)mvx^2=(1/2)md/dtvx^2=(1/2)m・2vx・dvx/dt=mvx・dvx/dtから言えます.