質問: 閉区間[-1,1]がコンパクトである事の証明は? こんにちは。 閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか? rはt:={(a,b)∈2^r;a,b∈r}を位相として位相空間をなしますよね。 [-1,1]の開被覆の集合{a∈2^t;[-1,1]⊂∪[b∈a]b}:=c ∀a∈cを採った時、どのように有限個のb1,b2,...,bn∈aを選べば [-1,1]⊂∪[i=1..n]bi と出来るのでしょうか?
回答: どうしても任意の開被覆から有限被覆を選べることを証明したいという ことであれば、ちょっと趣旨の違う回答になってしまうかもしれません が、コンパクト性を証明するのは区間縮小法(実数の連続性)を使って 証明することができます。つまり、[-1,1]に任意に無限点列を与えた 場合、この中から[-1,1]の点に収束する部分列が選べることを示しま す。これは点列コンパクトの意味でのコンパクト性です。しかし、距離 空間においては、「点列コンパクト」であるということと「任意の開被 覆から有限被覆が選べる」ということは同値である、という定理があり ます。位相幾何(たとえば、トポロジー入門(松本幸夫))の本に証明 がありますが、ここで書くと非常に長くなりますし、私も正確に理解し ているわけではないので、要約を説明する自信もなく、とりあえずご紹 介まで。ネットでは、「ハイネ・ボレルの定理」で検索すると良いかと 思います。失礼しました...