質問: 回転運動のエネルギー 大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。 回転運動のエネルギーを求める公式とその証明を教えて下さい。お願いします。
回答: 回転運動のエネルギーの証明ということですが 回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の エネルギーは軸の周りの慣性モーメントiとして 1/2iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分 を考えます。その各微小部分(質量δm)の運動エネルギーは 1/2δmv^2=1/2δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。 軸から距離r+δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+δr)ωです。 それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、 それが結局回転のエネルギーということになります。 u=σ1/2δmv^2=σ1/2δm(rω)^2=1/2(σδmr^2)ω^2 ここで、σδmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。i=σδm(r)r^2よって u=1/2(σδmr^2)ω^2=1/2iω^2となります。