質問: 4番がわかりません。教えてください
回答: 1149934713 さん (1) 地表での万有引力が重力に等しいとして、 GMm/R2 =mg ∴ g=GM/R2 (2) 球の体積は半径の3乗に比例することから、 半径z の球の質量 M(z) は、 M(z)=M・(z/R)3 だから、質点の位置がz のときに受ける重力 f は、 f=-G M(z) m/z2 =-GM・(z/R)3・m/z2 =-(GMm/R2)・z/R =-mg・z/R =-(mg/R)・z (3) ma =-(mg/R)・z (4) (3)より、力の比例定数 k が、mg/R だから、 mg/R =mω2 より、 ω=√(g/R) (5) 単振動の周期T は、 T=2π/ω =2π√(R/g) だから、単振動の端から端までの時間tは、 t =T/2 =π√(R/g) (6) 地球の半径:R=6.37×106 [m] 重力加速度の大きさ:g=9.8 [m/s2] とすると、 t =3.14√(6.37×106 /9.8) =3.14√(0.65×106) =3.14×0.806×103 =2.53×103 [s] → 2.5×103 [s] =42.1... → 42 [分] (7) 単振動の位置エネルギーU=(1/2)kz2 を用いると、 力学的エネルギー保存の法則より、 0 +(1/2)kR2 =(1/2)mv2 +(1/2)kz2 (k/m)R2 =v2 +(k/m)z2 v2 =(k/m)(R2-z2) (4)より、k=mg/R だから、 v2 =(g/R)(R2-z2) =gR [1 -(z/R)2] ∴ v =√{gR[1 -(z/R)2]} (8) 速さが最大になるのは、 振動の中心 z=0 の位置を通過するときだから、 速さの最大値 Vm は、(7) より、 Vm=√(gR) (9) (6)の値を用いて、 Vm=√(9.8×6.37×106) =√(62.4×106) =7.89×103 → 7.9×103 [m/s] =7.9 [km/s] 第一宇宙速度と同じ値である。 となります。