質問: 位相空間論 連結空間の問題です。ご教授お願いします。
回答: いろいろな説明付けが可能だと思いますがどれも大同小異になるでしょう。 (1)は例えば対偶を示すとすれば,A の境界が空とすると開かつ閉集合となるので前提条件から A は空か X です。 (2)は(1)の結果を使えというのが出題意図なのでしょうか。 その意図に添えば, 仮定の条件から C∩A は「C での」空でない真部分集合だとわかりますから (1)の結果からその 「C での」境界は空でないので境界点があります。必然的にその点の任意の(X での)近傍は A とも A の補集合とも交わるので結論が言えます。