質問: 90°(垂線だから) ∴△owa≡△oya ∴ow=oy 同様に、ow=ox=oy=oz ゆえに、oは内接球の中心である。 このとき、oと各面との接点はw,x,y,zである。 逆は難しくてどうしてもわかりません。内接円の類推で、内接球の中心が二等分「面」上にあることを使うのだと思うのですが。 よろしくお願いします。
回答: 球と正四面体の対称性から二つの球の中心が一致するのは明らかというのはだめですか? つまり, 外接球は4つの頂点を通る球で一意的に定まる。 内接球は4つの各面の中央に接する球で一意的にに定まる。 二つの球の中心を結ぶ線分を考える。 この線分の対称性と正四面体の対称性が一致する必要がある。 線分の対称性とは線に平行な回転軸への回転対称性と 線分の中点に対する反転対称性。 一方,正四面体の対称性は正四面体の中央と頂点を結ぶ3回対称性。 正四面体の一つの頂点の周りの3回対称性に線分の軸をあわせると, これ以外の頂点に対する3回対象性を満たすためには 線分の長さが有限であっては不可能なので,線分の長さは0。 つまり一致する。