質問: 楕円の問題 楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1がある。(a>b>0) 点aを(a,0)とする。 このとき原点をo、楕円上の点をpとすると、角opa<90°となるa,bの関係を求めよ。 という問題がありました。 僕はまず、角opaが90°になる奇跡を考えて、当然円になります。 pがこの円の外側にあれば条件を満たせます。 この円は中心(a/2,0)、半径a/2であるので方程式は、 (x-a/2)^2+y^2=a^2/4 これと楕円とは(a,0)でだけ接すればよいので、楕円の方程式を変形してy^2=の形にして、円の方程式に代入して判別式を使ったら、a=√2×bと出てきました。 しかし答えはa≦√2×bでした。 ぼくの解答のどこがまずいのでしょうか? 添削お願いします。
回答: > (x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0)...(a) > (x-a/2)^2+y^2=a^2/4...(b) こう置いた段階で2円はa(a,0)で接します。 なぜなら2円のa(a,0)における接線の式がx=aで 共通接線となっているからです。 (a)と(b)を連立にして解くと x=a,y=0(重解)...(c)が出てきます。 > これと楕円とは(a,0)でだけ接すればよいので、 これを満たしていますね。 他にx軸に対称な交点の解が x=(ab^2)/(a^2-b^2),y=±ab{√(a^2-2b^2)}/(a^2-b^2)...(d) 出てきます。 この交点が存在する条件は√内(つまり判別式d)=a^2-2b^2≧0 等号が成り立つ時は(d)は重解(c)(点a)に一致して4重解となります。 等号でない時は(d)はa(a,0)とは異なる交点q,q'になる。 >判別式=0を使ったら、a=√2×bと出てきました。 これが上で説明した4重解(x,y)=(a,0)の条件になります。 >しかし答えはa≦b√2でした。 これは√内=a^2-2b^2=(a-b√2)(a+b√2)≦0の条件です。 a>b>0から(a+b√2)>0なので (a-b√2)≦0、つまりa≦b√2となります。 ab√2>0の場合(接点以外に(d)の2つのq,q'が存在) p<(ab^2)/(a^2-b^2),(p/a)^2+(q/b)=1を満たす点p(p,q) ここで、問題を考えてみると、 a(a,0)を除く楕円上のすべての点pで∠opa<90°となるa,bの条件を求めよ。というのであれば(i)の「0