質問: この問題の(4)ですが、どうすればよいかわかりません。一見、(2)と(3)から次元定理が成り立つことを示すのかと思いましたが、違いますよね。。。
回答: A を行の基本変形で階段行列に変形します。すると A ⇒ 100-2 010-1 0010 0000 です。 (1) rank A = 3 (2) Im f = <(1,0,-2,0)^T, (-4,-1,4,-1)^T, (1,2,2,1)^T> (3) 次元定理より din Kerf = 1 (4) Ax=0 の一般解は、階段行列を見て x=c(2,1,0,1)^T, c は任意定数 です。(2,1,0,1)^T は A の4列ですから、階段行列を見ると (2,1,0,1)^T = (-2)・(1,0,-2,0)^T + (-1)・(-4,-1,4,-1)^T ∈ Im f となっています。従って Ker f ⊂ Im f であり、 Ker f + Im f = Im f ≠ R^4 です。