質問: 急ぎです 曲線r(u,v)、dで与えられる曲面積は∮∮_d |r_u × r_v|dudvである。今 急ぎです 曲線r(u,v)、dで与えられる曲面積は∮∮_d |r_u × r_v|dudvである。今、u=u(ξ,η),v=(ξ,η)とするとき、曲面積が∮∮d′|r′_ξ ×r′_η| dξdηで与えられることを示せ。ただしr_uはrに対するuの偏微分、×は外積、| |は 絶対値を表す。 と言う問題で、合成関数の微分則や2変数関数の変数変換、ヤコビアンをどう作用していいかわかりません。文字がごちゃごちゃになっちゃいます、、。 この証明を教えてください。
回答: 変数変換して ∫_d |r_u × r_v|dudv=∫_d' |(r_u × r_v)| ∂(u,v)/∂(ξ,η) dξdη・・・・1 となる。 連鎖律から r=r(u,v) , r'=r'(ξ,η) として r′_ξ=r_u u_ξ+r_v v_ξ , r′_η=r_u u_η+r_v v_η すると r_u×r_u=r_v×r_v=0 だから r′_ξ ×r′_η=(r_u×r_v)(u_ξ u_η)+(r_v×r_u)(v_ξ u_η) =(r_u×r_v){(u_ξ u_η)-(v_ξ u_η)}=(r_u×r_v)∂(u,v)/∂(ξ,η) となるから ∫_d' |r′_ξ ×r′_η| dξdη=∫_d' |r_u × r_v|∂(u,v)/∂(ξ,η) dξdη となり、➀から ∫_d' |r′_ξ ×r′_η| dξdη=∫_d |r_u × r_v|dudv となる。