質問: 大学入試数学問題集数学I・A・II・B オービタルの204の問題がわかりません。問題は下記のとおりです。解説していただけませんか?
回答: 1,3,7,13,21,31... これの差分を取り,{bn}とすると b1=2, b2=4, b3=6... となり,bn=2nとなります。 an=1+Σ(k=1, k=n-1)2k=1+2*{(1/2)(n-1)(n-1+1)}=1+n(n-1)となります。...(1) Sn=Σ(k=1, k=n)(1+k(k-1)) ここで1+k(k-1)=1-k+k^2より, Sn=Σ1-Σk+Σk^2=n-(1/2)n(n+1)+(1/6)n(n+1)(2n+1) n(n+1)=n^2+n, n(n+1)(2n+1)=(n^2+n)(2n+1)=2n^3+3n^2+nより, Sn=(1/3)n^3+(5/6)nとなります...(2) つまり,S4=(1/3)*64+(5/6)*4=148/6=73/3, S5=(1/3)*125+(5/6)*5=275/6となり,S5=275/6<2S4=296/6です。...(3a) ここで数学的帰納法を利用します。 S(k+1)<2Sk (k>=4)と仮定し,S(k+2)<2S(k+1)を証明すれば良いです。...(3b) S(k+2)=S(k+1)+a(k+2) 2S(k+1)=2Sk+2a(k+1) ここでa(k+2)=1+(k+2)(k+1)=k^2+3k+3, 2a(k+1)=2(1+(k+1)k)=2k^2+2k+2 {an}=1,3,7,13,21,31,43,57...より,n>=4では2a(k+1)>a(k+2)です ...(3c) これより,n>=4においてS(n+1)<2Snが証明されます