質問: 16の4乗根は±2ではない!? タイトルの通りです。 高2です。先生や友達に聞いても、「説明しにくい・・」と言われて納得いく答えがかえってきません。 √4=±2ですよね!? よろしくおねがいします。
回答: >実数に限定されての話ですが、どうして+2だけなのでしょう・・ ああ,なるほど。やっと元の質問の意味が分かりました。 これは,「xの平方根」と「√x」との関係に似ています。 以下の話ではすべて,xは正の実数とします。 まず,2乗してxになる数は2つあります。この数を(両方あわせて)xの平方根といい,そのうち正のほうを√xと書きます。もう一つのほうは-√xになります。 同様に,4乗してxになる数は(複素数の範囲で考えると)4つあります。この4つの数をxの4乗根といい,そのうち正の実数のものを[4]√xと書きます。 (本当は小さい4を√記号に乗せるわけですが,画面では表示できないので,ここでは便宜的に[4]としておきます。) 残りの3つは,-[4]√x,([4]√x)i,-([4]√x)iとなります。 つまり,平方根は2つ,4乗根は4つあるけれど,√xと書いたら,そのうち正の実数になるものだけを指し,それ以外の根は√xにマイナス記号やiなどをつけて表す,というわけです。 質問のタイトルに「16の4乗根は±2ではない!?」とありますが,これに対する答えは, 16の「4乗根」といったら,±2および±2iの4つ, [4]√16といったら,+2だけ, になります。 ちなみに,xを正の実数とした時,3乗根は3つあり,そのうち1つは正の実数,残り2つは複素数になります。このときも同様に,正の実数のものを[3]√xと書きます。(この場合,2乗根や4乗根などと違って,残りの2つの根は,[3]√xにちょこっと記号をつけ足せばすむというわけにはいきません。) 5乗根から先も同様です。 このあたりは,複素平面のところで,xのn乗根とか,ドゥ・モアブルの定理などを学ぶと理解が早いのですけどね(従来は数学bで出てきていた)。 なお,今年から高校にも新しい指導要領が導入され,教科書の内容も変わっています。数学bからは複素平面が消えました。 ただし,高校の場合は「学年進行」といって,今の1年生(や来年以降入ってくる1年生)は卒業までずっと新しい指導要領で行きますが,今の2年・3年は前の指導要領時代に入学しているので,卒業まで前の内容の教科書を使います(留年しない限り)ので,もし数学bの教科書をもっていれば,複素平面も載っているはずです(1学期が始まったばかりですので,まだそこまで進んでいないかもしれませんが)。