質問: 6-5 高校数学の確率の問題です a,b2人がコインを1個ずつ持ち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら表の出た方に○、裏の出た方に×、またともに表かともに裏ならどちらにも△を与える、そして繰り返し投げて、間に×をはさまずに○を2個先に取ったほう(△をはさんでもよい)を勝ちとする このとき、n回目(n>=2)で勝負が決まる確率を求めよ 解説 n回中k回が△となる確立はn]c[k^k×(1/2)^(n-k)=[n]c[k]/2^n n回中k回が△であるという条件の下でn回目にまだ勝負がつかないのは、n回目までの△を除くn-k回についての星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●... となることで、このようになる確率は(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1) よってn回目にまだ勝負が付かない確率p[n]はp[n]=σ[k=0→n-1][n]c[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]c[n]/2^n=2(3/4)^n-1/2^n したがって求める確率はp[n-1]-p[n]=1/2×(3/4)^(n-1)-1/2^n とあったのですが 解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が (1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか? よってn回目に勝負が付かない確率はp[n]=σ[k=0→n-1][n]c[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]c[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません 求める確率がp[n-1]-p[n]で求まるのも良く分かりません
回答: 補足に対する回答 何で最初に負けの場合を考えないのですか?それはa,bのどちらかが勝ちから始まるとそれで分かるんですが、負けから始まるかもしれませんよね? >aの場合とbの場合で2倍してる。bが勝つ場合がaが負ける場合だよ。 面倒だから全部まとめて回答するから、あとは理解出来るまで自分で考えて下さい。 解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が (1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません >「星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●...」の確率は(1/2)^(n-k)、 これをaの星取表とするとbについても同じ星取表が考えられるので 全体の確率は2倍となり、2*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(-1)*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(n-k-1) 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか? >上で回答済み。 よってn回目に勝負が付かない確率はp[n]=σ[k=0→n-1][n]c[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]c[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません >p[n]=σ(n回中k(0≦k≦1)回が△となる確率)*(n-k回についての星取表の確率)+n回全てが△の確率 求める確率がp[n-1]-p[n]で求まるのも良く分かりません >求める確率=p[n-1]*ps(n回目の投げで事象sが生じる確率)とすると p[n]=p[n-1]*(1-ps)だからp[n]=p[n-1]-p[n-1]*ps すなわち、求める確率=p[n-1]-p[n]