質問: 指針の3〜4行目の説明で、x=f-1(x)=tan yと書かれてますが、このxはただ元の関数をx,y入れ替えただけで、xについて解いたものではないですよね? すると3行目に書いてある説明と噛み合ってないと思うんですが、、
回答: まず、次の動画をみてください。 【高校数学の美しい物語】から 下記の逆関数の説明1, 2, 3はいずれも逆関数の定義と考えることができます。 1 ある関数に対して「もとにもどす」関数を逆関数と呼ぶ。 2 y=f(x) を x=g(y) となったとき, y=g(x) を f(x) の逆関数と呼ぶ。 3 y=x に関して対称なグラフを逆関数と呼ぶ。 逆関数の3つの姿のメリット,デメリットを挙げてみます。 1「もとにもどす」...............................................................(※) メリット:定義域や値域が明確に分かる。(単射なら)どんな関数でも使える。 デメリット:抽象的なので具体的な式やグラフの形が分からない。 2「x について解く」 メリット:実際に逆関数の関数形をきちんと与えることができる。 デメリット:x について解ける場合しか使えない。 3「グラフによる定義」 メリット:グラフを使うのでイメージしやすい。 デメリット:グラフが簡単に描ける場合しか使えない。 (回答) (※)を使う。 具体的な例 y=5x の逆関数は x=(1/5)y です。 ???なら教科書の逆関数の定義をみてください。 逆関数の入力側の文字はyで、出力側の文字はxです。 『数学を学ぶ初心者は、 入力側の文字をx,出力側の文字をyとして表す"慣習(流儀,お行儀, お約束)"があるのでx=(1/5)y をy=(1/5)x と書くことにする場合が多い』 これが、混乱の元凶です。 従って逆関数の微分を求めるためには y=tanx の場合 ...........................................1 両辺をyで微分します。 (d/dy) (y)=(d/dy) tanx 1=(d/dx) tanx (dx/dy) (合成関数の微分) 1=(1/(cosx)^2) (dx/dy) dx/dy = (cosx)^2 dx/dy = 1/(1 + (tanx)^2) dx/dy = 1/(1 + y^2) よって、お行儀よく慣例に倣って、x,y を入れ替えて 逆関数の微分は dy/dx = 1/(1 +x^2) 別解: 1 をxで微分する場合は dy/dx=1/(cosx)^2 dy/dx= 1 +(tanx)^2 逆関数の微分の公式を使って (合成関数の微分) dx/dy=1/(dy/dx) より dx/dy= 1/(1 +(tanx)^2) dx/dy= 1/(1 +y^2) お行儀よく逆関数は、x,yを入れ替えて dy/dx= 1/(1 +x^2) (備考) このことが分かっていないと arctanx (正接の逆関数を理解できません。)(何をやっているのかが・・・) ♦︎y=f(x) の関数fに対しての逆関数をf^{-1}で表すと (fインバース) f^{-1}を上の式の両辺に左から合成してやると (作用、機能、変換、働き) f^{-1} (y)= f^{-1}○f( x) (○は合成という意味) 右辺のf^{-1}○f という合成は、xに対して、fという操作をした後 fの逆の操作をしたという意味だから何もしないということ。xを変化させないということ。 よって f^{-1} (y) = x x= f^{-1} (y) が y=f(x) に対しての逆関数。