質問: σ-加法族の公理に対する期待とは? こんにちは。早速ですが、ルベーグ積分を勉強しています。 そこで可測集合を定義するために、σ-加法族の公理を考えていますが(加算和で閉じる、補集合で閉じるなど) そもそも、これは何を狙ってこの公理を考えているのでしょうか。 この公理から、ボレル集合など理論が展開されていくのは分かるのですが、いまいち狙いが掴めません。直感的に"面積がみたすべき性質"を期待しているということでしょうか。
回答: >しかし、有限和でなく可算和を要請している事がすんなりとなじむ例などはありますでしょうか。 んーーと・・例えば測度として counting measure(wikipediaによると「数え上げ測度」というらしい)を 採用すると級数の和ってのが積分になるんだけど これは可算和を要請しないとできないんです wikipediaの「数え上げ測度」の項目にざっくり書いてあります. 他にも確率に絡めると無限和にしたほうが 確率の列とかを相手にできるし 無限和は有限和を含むから都合がいいのです. >あと面積の話に戻ると、積分をある値域aに対応する引き戻しf^-1(a)を"測る"ことができたら >積分が定義できる、ということで >可測関数、可測集合という概念を取り入れたのかな、と解釈しているのですが如何でしょうか。 あー,これを承知してるんですね. そー,リーマン積分は「縦割り」なんだけど ルベーグ積分は「横割り」なんですよね. 実際はルベーグとかがどう考えたかは分からないけど 積分ができるように逆に集合や関数のほうを規定したというほうが しっくりくるというのは同意です そうしても十分にたくさんの関数や集合が得られるんですよね >外測度などについても多少見ましたが、一般の公理から理論を作って行くアプローチで理解したいと思っています。 すでにみてるかもしれませんが コルモゴロフの本「確率論の基礎概念」が2010年にちくまから文庫ででてます 確率論の本ですが 測度論の公理を構築した原典に近い(提唱者本人の書籍)はずので 参考になるかもしれません(やさしい本ではないですが・・・) #私のころは東京図書から薄めのハードカバーで出てた あとは公理論的ではないけど 伊藤清三先生の裳華房のあの本とか 溝畑茂先生の岩波全書の本とかが名著ですね.