質問: 閉集合 閉じている 閉じていると閉集合って同じ事なのでしょうか? ベクトル空間の定義で、a,b∈v→a+b∈vとありこれは加法が閉じていることを示しますが、この閉じているというのは閉集合と関係があるのでしょうか? 閉集合は、∀xが集合uの境界点で、x∈uの場合です。 閉じていると閉集合は関係あるように思うのですが、どうなのでしょうか? 同じ場合、なぜ2つの言葉で表すのでしょうか?使い分け方などあるのでしょうか?
回答: 位相的に閉じている集合=閉集合 という事になると思います。 >ベクトル空間の定義で、a,b∈v→a+b∈vとありこれは加法が閉じていることを・・・ は、vが「加法」について「代数的に」閉じているという事です。 「閉じている」「閉である」は、状況に応じてちょっといい加減に(つまり慣用句として)使われる場合も多いと思います。 例えば、完備な集合は、コーシー列の極限に関して閉じている(と言われるかも知れない). 測度論の方では、σ加法族は、可算無限演算について閉じている(と言っちゃう人が、いるかも知れない). などです。ほかにも何か、いっぱいありそうですよね?。 最後に大きなお世話ですが、 >閉集合は、∀xが集合uの境界点で、x∈uの場合・・・ は、ちょっと不足です(意味はわかります)。何故なら、xを位相空間とした時、xは常に閉集合で(定義により)、xは境点を持たないからです。 正確には、 ∀のuの集積点xが、x∈u の場合です。それが閉包の意味です。