質問: 微分方程式 次の、微分方程式の一般解を求めよ。 (1-4x-3y^2+12xy^2)dy/dx=4 この解き方教えてください。 答えは y-(2/3)y^2=-log(x-1/4)+c です
回答: (1 - 4x)(1 - 3y^2)(dy/dx) = 4 ですね? まず、x ≠ 1/4 の範囲で解きます。 (1 - 3y^2)(dy/dx) = -1/(x - 1/4) の両辺を x で積分して、 y - y^3 = - log |x - 1/4| + c (c は任意定数) です。 この形の解は、x > 1/4 のものも、x < 1/4 のものも、 x = 1/4 と交わることがありません。 常に x = 1/4 であるような直線が解かどうかは、 式の解釈によって微妙です。 ここでは、dy/dx を字句通りに解釈して、 x = 1/4 は解でない...としておきます。 よって、解は、初期条件により、 y - y^3 = - log (x - 1/4) + c (c は任意定数) と y - y^3 = - log (- x + 1/4) + c (c は任意定数) の 二種類です。 答えを y - y^3 = - log |x - 1/4| + c のように書くと、 x の変域に関して、あらぬ誤解を誘導するので、 粗末な書き方は避けること。 書き方を工夫して x = 1/4 + a e^(y^3 - y) (a は 0 でない定数) とすれば、 解を二種類に区別することなく書くことができます。