質問: 高校数学の問題です。 解いてください。 「実数a,b,c,dが(a+b)(c+d)=2,(a+c)(b+d)=3,(a+d)(b+c)=4をみたすとき、a^2+b^2+c^2+d^2の最小値を求めよ。」
回答: (a+b+c+d)の二乗から考えます。 書きやすいようにa^2=A,b^2=B,c^2=C,d^2=Dとしますね。 先に与式の変形から。 (a+b)(c+d)=2 ac+ad+bc+bd=2 ...1 (a+c)(b+d)=3 ab+ad+bc+cd=3 ...2 (a+d)(b+c)=4 ab+ac+bd+cd=4 ...3 さて(a+b+c+d)の二乗。 (a+b+c+d)^2 =A+2ab+2ac+2ad+B+2bc+2bd+C+2cd+D ...4 4より、求める解はこのように表せる。 A+B+C+D =(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) ...4' 4'の後半は123の文字項と一致するので、これを代入する。 A+B+C+D =(a+b+c+d)^2-(2+3+4) =(a+b+c+d)^2-9