質問: 速度と微分方程式 速度と微分方程式 1.最初、20m/sの早さで走っていた自動車が一定の加速度で速さを増し、4.0秒後には40m/sになった。 (1)加速度一定の条件を用いて、早さに関する微分方程式を書け。 (2)初期条件を書け。 (3) (1)の微分方程式を(2)の初期条件を元に解け。 (4)速さの時間に関する式を求めよ。 (5) (4)を基に微分方程式を書け。これを解いて、この間に進んだ距離を求めよ。 (1) a=dv/dt ∫dv=a∫dt v+c=at+c v=at+c (2) 初期条件 t=0のときv=20m/s (3) 初期条件より v=5t+20 (3)までの答えはこれでいいでしょうか? (4)と(5)がわからないのでどなたかよろしくお願いします。
回答: こんばんは。 >>>(1)加速度一定の条件を用いて、早さに関する微分方程式を書け。 >>>a=dv/dt aが定数であることを書かないといけませんね。 たとえば、 dv/dt = const. = a と書いてもよいし、 dv/dt = a (aは定数) と書いてもよいです。 解けとは言われていないので、これで完了です。 >>>(2)初期条件を書け。 >>>初期条件 t=0のときv=20m/s tに単位をつけないで、vだけ単位をつけているのは、ちょっといただけませんね。 t=0 のとき v=20 あるいは t=0[s] のとき v=20[m/s] です。 >>>(3) (1)の微分方程式を(2)の初期条件を元に解け。 >>>∫dv=a∫dt >>>v+c=at+c >>>v=at+c 両辺にcを書いてはいけません。確実に減点されます。 右辺だけに書きましょう。 dv/dt = a dv = adt ∫dv = a∫dt v = at + c t=0 のとき v=20 20 = a・0 + c c = 20 よって、 v = at + 20 >>>(4)速さの時間に関する式を求めよ。 t=4.0 のとき v=40 という情報からaが求まるということに気づけば、超簡単です。 40 = a×4.0 + 20 a = (40-20)/4.0 = 20/4.0 = 5.0 (有効数字に注意してください。 有効数字2桁同士の割り算の結果ですので、 a=5 ではなく a=5.0 です。) よって、 v = 5.0t + 20 >>>(5) (4)を基に微分方程式を書け。これを解いて、この間に進んだ距離を求めよ。 これは、速度を時刻で積分すれば位置(距離)になるということを知っていれば解けます。 位置をxと置いて、 v = dx/dt = 5.0t + 20 ∫dx = 5.0∫tdt + 20∫dt x = 2.5t^2 + 20t + c t=0 のときの位置を xo と置けば、 xo = 2.5×0^2 + 20×0 + c = c したがって、 x = x(t)= 2.5t^2 + 20t + xo と書ける。 t=0 のときの位置は、上記より x(0) = xo t=4.0 のときの位置は、 x(4.0) = 2.5×4.0^2 + 20×4.0 + xo = 40 + 80 + xo = 120 + xo 進んだ距離は、 x(4.0) - x(0) = (120 + xo) - xo = 120 [m] (120は、40+80 の結果なので、有効数字は3桁です。 ですから、1.2×10^2 と書かなくてよいです。) 上記では、t=0 のときの位置を xo と置きましたが、 t=0 のときの位置を 0 と置いても、たぶん減点されません。 なお、私、計算ミスをすることがあるので、検算してくださいね。 以上、ご参考になりましたら。