質問: 留数のところが・・・。 f(z)=1/{z・sin(z)} の特異点と、留数を求めよ。 という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3...)ですよね? ここから、留数のもとめかたがわかりません。 詳しい方お願いします。 留数の定理は一応しっております。
回答: > 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3...)ですよね? あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3...)が特異点ですよ. z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります. z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です. z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です. さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が (2) f(z) = a/z^2 + b/z + c + dz + ez^2 + ... の形になるわけですから, (3) z^2 f(z) = a + bz + cz^2 + dz^3 + ... です. したがって,係数 b (すなわち,留数)は (4) b = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)} で求められます. 同様に,z=nπ ならローラン展開は (5) f(z) = b/(z-nπ) + c + d(z-nπ) + e(z-nπ)^2 + ... ですから, (6) b = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)} です. 計算は容易ですからお任せします. 公式にするなら, f(z) が z=a において k 位の極を持つときには,そこでの留数は (7) {1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)} ということになります. (4)は k=2,(6)は k=1 の場合ですね.