質問: 以下の統計学の問題の解説をお教えください。 以下の統計学の問題の解説をお教えください。 (1)100人の学生の現在と10年前の身長を記録したデータによれば、現在の身長の平均は170cm、標準偏差は10cmであり、10年前の身長の平均は150cm、標準偏差は6cmである。このデータから、各学生の現在と過去の身長の和を計算すると、その平均と標準偏差はどのようになると考えられるか。以下の選択肢a-fの中から最も正しいと思われるものを二つ選べ。 a.和の平均は320cmである b.和の平均は320cm以上である c.和の平均は320cm以下となる d.和の標準偏差はほぼ12cmとなる e.和の標準偏差はほぼ16cmとなる f.和の標準偏差はほぼ13cm以上16cm以下となる (2)以下の中から正しいものを全て選べ。 1.分布が単峰の場合、中央値は、平均値と最頻値の間にある。 2.ヒストグラムを描いたときに、左裾が長い分布の歪度は負となる。 3.標準正規分布をする確率変数が1.96を超える確率は約0.025である。 4.ひとつの変数群を、他の変数群で説明しようとする統計的手法の典型的なものは、回帰分析と呼ばれている。 5.tが自由度5のt分布をする確率変数、zが標準正規分布をする確率変数である場合、pr(t>1.96)のほうがpr(z>1.96)よりも小さい。 6.統計的検定を行う場合、直接にコントロールされるのは、第1種の過誤のみで、第2種の過誤は間接的にコントロールされる場合が多い。 7.通常、第2種の過誤を犯す確率は、サンプル数を増やすと大きくなる。 8.カイ二乗分布は、比率の標本分布として用いられることが多い。 9.二つの確率変数が独立の場合、その和の分散は、それぞれの分散の和となる。 10.順序尺度水準で測定されている変数を使った分析の結果は、その変数に単調増加変換を施した別の変数を用いた分析結果と変わらないはずである。 (3)ある世論調査で、内閣支持率が35%でその95%信頼区間の幅が±5%と出ていた。この解釈として最も適当なものを選べ。 a.内閣支持率は、ほぼ30%から40%の間にある b.内閣支持率が35%であるという仮説は5%水準で有意である c.内閣支持率が35%でないという仮説は5%水準で有意である d.内閣支持率が35%である確率は5%である
回答: (1) 二つの確率変数 x,y について、 平均 e[ ] については、x,y が独立か従属かに依らず e[x+y] = e[x] + e[y] が成り立つ。 分散 v[ ] については、v[x+y] = v[x] + v[y] + 2v[x,y] である。ただし、v[x,y] は、x,y の共分散で、 x,y の相関係数 ρ[x,y] との間には ρ[x,y] = v[x,y]/√{ v[x] v[y] } の関係がある。 よって、x,y が独立すなわち ρ[x,y] = 0 ならば v[x+y] = v[x] + v[y] だが、 一般には、そうとは限らない。特に、x,y に正の相関があるとき、 v[x+y] > v[x] + v[y] となる。 よって、答えは _ と _。(上記を読めば、書かなくても判るよね? 十年前背が高かった人は、たぶん今も高い。) (2) uzeh (3) 35% と ±5% の「%」は、内閣支持率の単位。95% の「%」は、区間の信頼度を現す確率値の単位。 それを理解すれば、要するに、内閣支持率が 35±5% の区間に入っている確率が 95% だという話だと判る。 よって、答えは _ 。(まさか、b とか言わないよね?)