質問: 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。 もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。 以上、ご指導のほどよろしくお願いします。
回答: (1) △ (2)△ (3)× (4)× (5)○ (6)○ (7)× (8)△ 極限の(x,y)→(0,0)は、xとyをどちらかを固定して0に近づけるという意味ではない。だから、解答のように2方向からの極限を示すだけでは不十分である。どういう近づけかたをしても、同じ値に収束するということをいわねばならない。それには、普通は距離√(x^2+y^2)を使って比較する。距離の式としては、ほかに|x|+|y|とか、max(|x|,|y|)などを使ってもよい。逆に、収束しないことを示す場合なら、2方向からの極限が一致しないことを示せば十分なので、解答の通りでよい。 (1) (xy)/√(x^2+y^2)=x/√(x^2+y^2)・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2) ≦1・1・√(x^2+y^2) →0 という形で示す方がよい。 (2)も、 (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0 (3)は収束しない。 y=0としたときの、x→0での極限は0だが、 x=yを保ったまま、x→0とすると、 (xy)/(x^2+2y^2)→1/3となって、極限が定まらない。 (4)は収束しない。計算も間違っている。 lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = limx→0) =limx→0となって発散。 (5)と(6)はok (7)収束しない。 y=0としたときの、x→0での極限は0だが、 x=yを保ったまま、x→0とすると、1/2となる。 (8)収束する (x^2y)/(x^2+y^2)=(x/√(x^2+y^2))^2・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2) ≦1^2・1・√(x^2+y^2)→0