質問: 積分の問題をわかりやすく解説していただきたいです。 (1) a>0,b>0とし点(a,b)を通る傾きが負の直線と、x軸、y軸の交点をp,qとする。pqの長さの最小値を求めよ。 (2) 曲線y=f(x)のa≦x≦bの部分の長さlを定積分で表し、それを区分求積法で証明せよ。 (3) y=x^2/2の0≦x≦1の部分の長さlを求めよ。 (4) x=(1+cost)cost、y=(1+cost)sint(0≦t≦π) で表される曲線をcとする。cとx軸で囲まれる部分の面積sを求めよ。 解法も書いていただきたいです。よろしくお願いいたします。
回答: (1) 点(a,b)を通る直線の方程式は、傾きをmとするとy=m(x-a)+b ...1。 点p、qは1でy=0、またはx=0とおくことで、p(a-(b/m),0)、q(0,-am+b)。 pq^2=(-am+b)^2+(a-(b/m))^2を求めて、mで微分して増減を調べる...ことになると思うが、図を書いてみると、直感で「pqの傾きm=-1(△poqは直角2等辺三角形)のとき最小じゃね?」ってことはなんとなく予想できるかと。この時、pq^2=2(a+b)^2。 題意よりa>0、b>0だから、pq=(a+b)√2。