質問: 線形代数の問題、n次正方行列Aとn次単位行列E_nに対して、次を示せ。 (1)E_nと相似な行列はE_nのみである。
回答: (1) 行列 En が B と相似であるとすると n次正則行列 Pが存在し En = P−1BP となります 両辺左から P 右から P−1 を掛けると PEnP−1 = B En = B となるので En と相似な行列は En のみとなります (2) A が正則で 正則行列Pによって対角化可能であるとし A の固有値をλ1, λ2, ..., λn とすると P−1AP は対角成分に 0 を含まない対角行列であり 対角成分は diag(λ1, λ2, ..., λn) となります また (P−1AP)−1 = P−1A−1P の対角成分は diag(1/λ1, 1/λ2, ..., 1/λn) であり A−1 も P で対角化可能となります