質問: 高校数学の問題です。 「nを正の整数とする。任意の三角形はn^2個の合同な三角形に分割可能なことを示せ。」
回答: 三角形を、底辺に並行な線でn個に等分すると、 1番上は三角形で2段目以降は台形になる。 一番上の3角形の底辺をa、高さをbとすると、 m段目は上底が(m-1)a、下底がmaで高さはbの台形である。 この台形は、(2m-1)個の、1番上の三角形と合同な3角形に分割できる。 つまり、3角形全体は 1+3+5+・・・+(2n-1)個の3角形に分割できる。 これは初項1交差2の等差数列なのでその和は (1+(2n-1))n/2 =(2n^2)/2 =n^2 よって、すべての3角形はn^2個の合同な三角形に分割可能である。