質問: f(x)=x^2sinx-xsin^2xがx=0で極値をもつかを漸近展開により調べよ。という問題があります。 私の回答は f(0)=0であり、漸近展開してf(x)=1/6x^5+o(x^5)となり、[x→0]f(x)-f(0)=0であり、f(x)の式を見てxの近傍では正だからf(x)はその点で極小値をもつと考えました。 しかし解答は極値なしでした。どの解釈が間違っているのでしょうか?漸近展開した後の式は合ってます。
回答: f(x)= x5/6 + o(x5) ≒ x5/6(x≒0) * f(x)= x5/6 のグラフをイメージしてください よって(0,0)付近には f(x)より大きい値も小さい値も存在するので、当然、極値をとらない (補足) f(x)は奇関数だから原点を通り、しかも変曲点。したがって原点は極値点とはなり得ない。 偶関数なら極大点、極小点になり得ますが