質問: 教えて下さい 長さ1の線分abを直径とする円周上を動点pが動くとき 2ap+3bpの最大値を求めよで、角bap=zとおく 隣辺/斜辺=cosz 対辺/斜辺=sinz この三角関数がわからないとします。しかし座標をつくって原点をa、第一象限内に長さ1の線分abがaを中心として動き角bax=z とします。角baxのxはx軸のことだとします。bからx軸に垂線を引き交点をpとします。b(x,y)とします。x/ab=cosz y/ab=sinzとかんがえて解くことをおもいつきました。 ap/ab=x/ab、bp/ab=y/ab ところでこの図の変形は一つでしたが、pがaと一致するとき、pがbと一致するとき、pがaとbと一致しない場合の3個の図をかいてそれぞれを変形させるのはおかしいでしょうか。但しどうしてもこの変形する考え方にするとします。またこの考え方をするのは結局は最初の考え方と一緒だからおかしいでしょうか。
回答: ややこしいことをお考えのようですが、以下のように解けばよいのではないでしょうか。(図を書きながら読んでください) abの中点(つまり円の中心)をc、点cからapに下ろした垂線の足をd、点cからbpに下ろした垂線の足をeと置く。また、∠bapをθと置く。 このとき、∠abp=90°-θである。 (∵△apbは∠p=90°の直角三角形だから) また、0°≦θ<90°である。 すると、△cap、△cbpはともに二等辺三角形なので、 ap=2ad=2×(1/2)cosθ=cosθ bp=2be=2×(1/2)cos(90°-θ)=sinθ よって、 2ap+3bp=2cosθ+3sinθ =√13sin(θ+α) (三角関数の合成公式による) (ただし、αは、sinα=2/√13、cosα=3/√13となるような角) となる。 今、0°≦θ<90°であるから、α≦θ+α<90°+αであり、また、0°<α<90°なので、この範囲において、sin(θ+α)は最大値1をとる(θ+α=90°のとき) よって、2ap+3bpの最大値は√13である。 なお、pがbに一致するときはθ=0°であり、また、pがaに一致するときはθ→90°と見なされる。