質問: 微分方程式 練習問題を解いてみたのですが、あっているかどうかわからないので見てもらえないでしょうか? 個人的には出てきた答えが胡散臭い気がするのですが... 微分方程式 1+xp^2-tp^3=0,(p=dx/dt)を解け。 両辺tで微分して整理しますと (3xp-3tp^2)(dp/dt)=0...(1) また 1+xp^2-tp^3=0 より、p=0だから xp=tp^2-(1/p)...(2) (1),(2)からxを消去して (tp^3+2)(dp/dt)=0 が得られます。 i)tp^3+2=0のとき p^3=-2/t より p=(-2)^(1/3)*t^(-1/3) 問題で与えられた微分方程式に代入して整理すると (-2)^(2/3)*xt^(-2/3)+3=0 これは特異解でしょうか? ii)dp/dt=0 のとき p=c, cは定数。 問題で与えられた方程式に代入して 1+(c^2)x-(c^3)t=0 これは一般解でしょうか? さて、答えが胡散臭いと思った理由ですが、一般解をパラメーターで微分した式と一般解の式からパラメーターcを消去すると特異解が得られるはずですが、わたしが計算した限りそうなってくれないからです。 どなたかご教授お願いします。
回答: (2x-3tp)p(dp/dt)=0から i) 2x-3tp=0のとき dx/dt-(2/(3t))x=0 x=at^(2/3)(ここでaは定数)となる p=dx/dtより、p=(2/3)at^(-1/3) このとき、xを与式 1+xp^2-tp^3=0に代入すると 1+at^(2/3)(4/9)a^2t^(-2/3)-t(8/27)a^3t^(-1)=0 1+(4/9)a^3-(8/27)a^3=0 1+(4/27)a^3=0 x=-(27/4)^(1/3)t^(2/3)が特異解 ii) dp/dt=0のとき p=c(ここでcは定数) またp=dx/dtより x=ct+d(ここでdは定数)となる このとき、xを与式 1+xp^2-tp^3=0に代入すると 1+(ct+d)c^2-tc^3=0 1+dc^2=0 となるので、x=ct-1/c^2(ここでcは定数)が一般解 iii) p=0のとき (p=dx/dtよりx=c (ここでcは定数)となる) このとき、xは与式 1+xp^2-tp^3=0をみたさないようです。 以上より> 一般解 x=ct-1/c^2 とそれををパラメーターで微分した式 0=t+2c^(-3) からパラメータcを消去すると 特異解x=-(27/4)^(1/3)t^(2/3)がでるようです。