質問: 困ったー、わからないよー y=2sinx(1-2cosx)+cosx(4-3cosx)として t=sinx+2cosxとおくとき、yをtの式で表すことが出来ません。どうすればよいか教えてください。あとyが最大値をとるときのtの値と、このときのcosxの値はどうなるかもおしえてください。よろしくお願いします。
回答: こういうときはとりあえずtを2乗してみてください。 t=sinx+2cosx t^2=sin^2(x)+4sin(x)cos(x)+4cos^2(x) t^2 -1=4sin(x)cos(x)+3cos^2(x)・・・<1> y=2sinx(1-2cosx)+cosx(4-3cosx) =2sin(x)-4sin(x)cos(x)+4cos(x)-3cos^2(x) =(t^2 -1)+2sin(x)+4cos(x) こんな感じで<1>が使えます。 ここで t=sinx+2cosx より (t^2 -1)+2sin(x)+4cos(x) =t^2 -1 + 2t 整理して y=t^2 +2t -1 yが最大となるのはこの曲線が上に凸であることより dy/dt=2t+2=0となるときですから、 (この説明で分からない場合は実際に頂点を求め、グラフを描いてみてください) t=-1 そのとき -1=sinx+2cosx 0=4sin(x)cos(x)+3cos^2(x) この連立方程式を解いて sin(x)=2cos(x)-1 0=4(2cos(x)-1)cos(x)+3cos^2(x) 0=8cos^2(x)-4cos(x)+3cos^2(x) 0=11cos^2(x)-4cos(x) 0=(11cos(x)-4)cos(x) ゆえに、cos(x)=0, 4/11