質問: 数学についての質問です lim(n→∞)anbn=(lim(n→∞)an)(lim(n→∞)bn)の証明です an→α、bn→βで αβ―anbn=(α‐an)β+an(β‐bn) ここで|β|<m、|an|<mとすると |αβ‐anbn|≦m(|α‐an|+|β‐bn|)となるらしいんですがよくわかりません 数学があまり得意ではないのでわかりやすくお願いします。
回答: >|αβ‐anbn|≦m(|α‐an|+|β‐bn|)となるらしいんですがよくわかりません 絶対値の大小関係と分かっている大小関係から次のように示していけばよいと思います。 αβ―anbn=(α‐an)β+an(β‐bn) だから |αβ‐anbn| =|(α‐an)β + an(β‐bn)| ≦|(α‐an)β| + |an(β‐bn)| (等号成立は (α‐an)βan(β‐bn)≧0 のとき) (∵ |x+y|≦|x|+|y| ) =|α‐an||β| + |an||β‐bn| ≦|α‐an|m + m|β‐bn| (等号成立は α-an = β-bn = 0 のとき) (∵ |β|