質問: 自然数からなる単調増加数列a[n]で、 任意の自然数n≧2に対して、 a[n]はnで割り切れないが、 φ(a[n])はnで割り切れる、
回答: 一番簡単には pが素数なら、φ(p)=p-1 なので、p-1 が n の倍数 になるように、順に素数を選んでいけばよいと思います。 a[2]=3, a[3]=7, a[4]=13, a[5]=31, a[6]=37, a[7]=43, a[8]=73,, とかです。つまり、a[n] に対しては、a[n-1]より大きく、kn+1 が素数 になるような k を探すと。 ディリクレの算術級数定理によって、kn+1 (k=1,2,3,...)の形の整数の 中に素数は無限個出てくるので、上記の選び方は常に可能です。