質問: 関数決定問題について疑問です 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極小値0をとり、x=2で極大値4をとるようなa,b,c,d,の値を求めよ。の問題で解き方は分かるのですが、解説のところでf'(0)=0,f'(2)=0,f(0)=0,f(2)=4は必要条件であって逆を調べる必要があると書かれているのですが、3次関数の場合2つの条件f'(0)=0,f'(2)=0があるので必ず極値は存在する、よって逆を調べる必要がないような気がするのですがどうなんでしょうか?それと 次の条件を満たす3次関数f(x)を求めよ。f'(2)=3,f'(1)=-2,f(1)=1,f(2)=1,という問題では逆を調べる必要があると書かれていませんでした。なぜこっちの問題だと逆を調べる必要はないのですが?わからないので教えてください
回答: x=aの近傍で導関数f'(x)が存在するとき x=aで極値をもつならば,f'(a)=0 は成立しますが,f'(a)=0だからといって そこで極値をとるとは限りません 例:f(x)=x^3 f'(0)=0ですが,x^3はx=0で極値はとりません. したがって,必要条件しか求めていないので 十分性の確認が必要です 後半の問題では,条件を満たす値を ただ求めるだけで,一般には 四元一次連立方程式の方程式を解くことと 同値であって必要十分であるからです もっとも解の吟味をすることは重要なので 検算の意味もかねてチェックしても 全く問題ありません