質問: lim[x→1]x^3=1 をε-δ論法で証明 任意の正の数εに対する正の数δを選ぶとして、δ<1を満たさなければいけないのは何故ですか? (模範解答にはy=x-1と置き換えて変形する方法がか書かれていましたがこれは上の疑問に関係ありますか?)
回答: |xー1|<δ のとき|x3ー1|<ε となることを言わなければいけません。 この2つの不等式を結びつけるために、t=xー1 とおきます。 このとき、x=t+1 より x3ー1 =(t+1)3ー1 =t3+3t2+3t+1ー1 =t3+3t2+3t =(xー1)3+3(xー1)2+3(xー1) となります。 この計算により |x3ー1| =|(xー1)3+3(xー1)2+3(xー1)| ≦|xー1|3+3|xー1|2+3|xー1| となります。 |xー1|<δ のとき|x3ー1|<ε となることを言いたいので、最後の式は|xー1|で揃っていた方がよいです。そこで、|xー1|<1 であるという条件をつけます。このとき、 0<|xー1|3≦|xー1|2≦|xー1| となりますから、 |xー1|3+3|xー1|2+3|xー1| ≦|xー1|+3|xー1+3|xー1| =7|xー1| となります。これがさらに <ε とつながればよいです。 このようになるためには、7|xー1|<ε となればよいです。すなわち |xー1|<ε/7 となればよいです。 ここまでのところで、|xー1|に関する条件は2つ出てきました。|xー1|<1 と|xー1|<ε/7 です。|xー1|がこの2つの条件を満たすためには、δ=min(1, ε/7) とおいて |xー1|<δ であるようにすればよいです。 ここまでに分かったことを用いて、ε-δ論法により lim[x→1]x3=1 を証明します。 任意のε>0 に対して、δ=min(1, ε/7)とおきます。 このとき、|xー1|<δ が成り立っているとすると |x3ー1| =|(xー1)3+3(xー1)2+3(xー1)| ≦|(xー1)3|+|3(xー1)2|+|3(xー1)| ≦|xー1|3+3|xー1|2+3|xー1| (絶対値の性質より) ≦|xー1|+3|xー1|+3|xー1| (0≦|xー1|<δ=min(1, ε/7)≦1 より) =7|xー1| <ε (0≦|xー1|<δ=min(1, ε/7)≦ε/7 より) すなわち |x3ー1|<ε が成り立ちます。 以上から、lim[x→1]x3=1 であることが示されました。