質問: 軌跡の問題 点(3,0)を通る直線と円(χ-1)^2+y^2=1が異なる2点a,bで交わるとき、 線分abの中点mの軌跡を求めよ。 解答お願いします
回答: 点(3,0)を通る直線は 傾きをmと置くと y=m(x-3) と表せます。 これを円の方程式に代入してxの2次方程式 (m^2+1)x^2-2(3m^2+1)x+9m^2=0 を得ます。 この2次方程式の判別式を4で割ったものをdと置けば d=(3m^2+1)^2-9m^2(m^2+1)>0 ∴-1/√3 < m < 1/√3 ・・・・・・・・・・(1) 線分abの中点m(x,y)と置きますと、xは2次方程式の解と係数の関係から x=(3m^2+1)/(m^2+1) =3-2/(m^2+1) ・・・・・・・・・・・(2) また点mは直線 y=m(x-3) 上の点なので、 y=2m/(m^2+1) ・・・・・・・・・・(3) y=m(x-3) から m≠0 のとき m=y/(x-3) これを式(2)に代入して整理すると (x-2)^2+y^2=1 ・・・・・・・・・・・☆ m=0 のときx=1,y=0 で式☆を満足させます。 -1/√3 < m < 1/√3 は 1 ≦ x<3/2 に対応しますので、求める軌跡は 点(2,0を中心とした半径1の円周(x-2)^2+y^2=1 上で 1≦x<3/2 の範囲になります。