質問: ゲーデルの不完全性定理 不完全性定理って結局、数学は不完全であるということが証明されたってことですよね?だとしたら、これから数学を研究することに何の意味があるのでしょうか?
回答: その「不完全」という意味は日常会話などで 使われる意味での「不完全」とは違います。 数学基礎論においては、完全性とは、ある公理系が 与えられたときその公理系において全ての恒真命題が 証明可能であることを言います。また、証明可能とは 公理から有限の手順で結論が導かれることを言います。 この意味での完全性から転じて、不完全性とは、ちょっと アバウトな言い方ですが、真ではあるが公理から 導けない命題が存在することを言います。 ゲーデルの不完全性定理は、再び厳密さに欠ける アバウトな言い方ですが、矛盾のない体系には証明 できない命題が存在することを示しています。 つまり、不完全性定理は数学になにか瑕疵があることを 意味しているわけではありません。 数学の分野もかなり現代では裾野が広いですが、 それだけ未解決問題も多くあります。ゲーデルの 不完全性定理によって数学基礎論ではある種の決着 がついたのかもしれませんが、まだまだ多く残る 未解決問題に手をつけることにより発展の余地は 多く、未踏の地平は広大です。