質問: (a * x + b * y + c) ^(1/2) (x:変数, y:xの関数, y':yの導関数, a,b,c:定数) 2問ともに適当な変数に置換することは予想がつくのですが,どう置き換えればいいかわかりません。 それと(1)は非同次形の線形微分方程式なんでしょうか? よろしくお願いします。
回答: (1)は,線形微分方程式ではありません.(1)は,1階非線形常微分方程式です. (1) の sin(x) * cos(y)^2 + y' * cos(x)^2 = c は,c = 0 のときのみ変数分離形として,初等関数を用いて解けます.c ≠ 0 のときには,初等関数を用いて積分で一般解を表示することができません. (1)を解くための,置換の方法が今は私も分かりません. (2) の y' = (a * x + b * y + c) ^(1/2) は,a, b, c を実数と考えて解こうとすると,やはり,初等関数を用いたのでは解けません.「ランベルトのw関数」という特殊関数を用いないと解が表せません. また,置換方法も思い浮かばない為,仕方なく,数式処理ソフト(wolframalpha)を使って解かせてみました. wolfram|alpha computational knowledge engine http://www.wolframalpha.com/ 上記を起動して, dy/dx = (a x + b y + c)^(1/2) を入力して,〓を押すと,解が表示されます.試してみて下さい.因みに,「ランベルトのw関数」は下記のウィキペディアを御覧下さい. ランベルトのw関数(wikipedia) http://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%a9%e3%83%b3%e3%83%99%e3%83%ab%e3%83%88%e3%81%aew%e9%96%a2%e6%95%b0 なお,余談ですが,ano.1 さんの,解の表示は,(1)の一般解にはなっていません.勘違いされているようです.なぜならば,右辺の積分の中に y が含まれているためです.念のため・・・.