質問: 三角形の合同条件についての質問です 三角形の合同条件で、2つの辺と1つの角を利用する条件は 「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」です。 しかし、角の位置は、分かっている2辺の間でなくても必ず合同になる場合があります。 添付データの図1のような場合がそれです。 図2のように、分かっている2つの辺のうち、 長い方の辺の端の角が分かっている場合、三角形は2通り考えられますが、 図1のように、短い方の辺の端の角が分かっている場合、 三角形は1通りに決定できると思います。 このことを合同条件の文として記述すると、次のようになるでしょうか。 「2辺と、その短い方の辺の端の角がそれぞれ等しい」 または、 「2辺と、その長い方の辺の対角がそれぞれ等しい」 このような三角形の合同条件が教科書等で紹介されていないのには、 何か理由があるのでしょうか。 確かにこの条件は条件文も冗長であり、よく知られている3つの合同条件に比べると美しさに欠けるものだと思います。 しかし、様々な三角形の合同の証明問題を考えるとき、 他の3つの条件には当てはまらないが、 この条件には当てはまる箇所が等しいと分かる場合もあるはずです。 そういう意味では、4つ目の合同条件として認められてもよいのではないかと思うのですが...。 いずれにせよ、このことについて議論された記事等を、私はこれまで見たことがありません。 yahoo知恵袋にも同様の質問をしましたが、満足で着る回答をいただけませんでした。 詳しくご存知の方がいらっしゃいましたら、ご回答をお待ちしています。
回答: なかなか興味深い内容だと思いました。 「確実に」合同であると言い切れない「条件付き」になってしまうという点で、 4つ目にはなれないと思います。 余弦定理の式を用いることで定量的に説明がつきます。 2辺の長さ a, bと一つの角 bについて、 余弦定理を用いて辺の長さ cを表すことを考えます。 (図中では角「c」と書かれていますが、通例にあわせることにします。) これらの条件から、cの長さが「確定」すれば合同条件となるはずです。 cは 2次方程式の解として与えられますが、 辺の長さ関係によって正の解が1つになったり、2つになったりします。 あと、角bが鈍角になると、a<bのときしか解が存在しないことになります。 (図を描けば、明らかですが) ・「条件付き」になってしまうこと ・解が 2とおりになることがあること から、やはり合同条件としては難しいと思います。