質問: 微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。 微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。 1.(1+x^2)y ́+2x(1+y)=0 2.2yy ́+logx+1=0 3.2x+y+(x-2y)y ́=0
回答: 1. (1+x^2)y ́+2x(1+y)=0 これを移項して変形すると (1+x^2)y ́=-2x(1+y) y ́/(1+y)=-2x/(1+x^2) 変形すると dy/(1+y)=[-2x/(1+x^2)]dx 積分定数を c として,これを積分すると ∫[1/(1+y)]dy=∫[-2x/(1+x^2)]dx +c この積分を計算すると log(1+y)=-log(1+x^2) +c log(1+y)+log(1+x^2)=c log[(1+y)(1+x^2)]=c (1+y)(1+x^2)=exp(c) ・・・ 1の一般解. 2. 2yy ́+logx+1=0 この式を変形すると (y^2) ́+logx+1=0 (y^2) ́=-logx -1 積分定数を c として,これを積分すると y^2=∫(-logx -1)dx+c y^2=-1/x -x+c ・・・ 2の一般解. 3. 2x+y+(x-2y)y ́=0 この式を変形すると (xy+x^2-y^2) ́=0 積分定数を c として,これを積分すると xy+x^2-y^2=c ・・・・・ 3の一般解 以上です.