質問: フーリエ変換の問題 f(x)のフーリエ変換f(x)は f(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。 a>0として、 f(x)={0 (x>0 ) {-exp(ax) (x<=0) という問題があります。 私は f(x)=(iω-a)^(-1)exp(a-iω)xまでやりました。 ここで、ちょっとわからないところがあります。 exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。 でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。 普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて... 問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。 ご指導お願いします!
回答: 指数法則により exp{(a-iω)x}=exp(ax)*exp(-iωx) となります。 ωxが実数の時、|exp(-iωx)|=1 となります。ですので 0<|exp{(a-iω)x}|=|exp(ax)|*|exp(-iωx)|=exp(ax)*1=exp(ax) となります。 x→-∞とするとexp(ax)→0 (a>0の場合) となりますのではさみうちの定理により |exp{(a-iω)x}|→0 となります。