質問: 物理の質問です。 f(x)= -du(x)/dx(u(x)はポテンシャルエネルギー) であらわされる。 u(x) は x=0,φ に極小値をもち、u(x)= εx^2 (x-φ)^2 であるとき f(x)は調和振動の運動方程式で近似できることを示せ。 教えてください。よろしくお願いします。
回答: 「f(x)は調和振動の運動方程式で近似できることを示せ」ですが、「f(x)による運動は、調和振動の運動方程式で近似できることを示せ」と解釈します。 最初に調和振動子(単振動)を考えれば明らかと思いますが、振動一般の話として、振動するためには振動範囲に釣り合い点「f(x)=0」が含まれている必要があります。f(x)=-du/dxです。そこでu(x)=εx^2 (x-φ)^2と-du/dxのグラフを書いてみると、添付図のようになります。ε=φ=1としてます。図より、x=0,φ/2,φが釣り合い点です。力f(x)の正の方向は、座標xの正の方向に一致させるのが普通です。それを考慮すると-du/dxは、ポテンシャルu(x)の傾きのマイナス符号なので、f(x)=-du/dxを図示すればグラフの中の矢印のようになります。 x=0,φでは、xの±の変動(運動)に対してf(x)は∓の力になるのでx=0,φへの復元力となり、x=0,φでは振動可能とわかります。一方x=φ/2では、x=φ/2からちょっとでもずれると、ずれとf(x)が同じ方向を向いてるので、運動はx=φ/2へ戻ってきません。ポテンシャルの極小点が安定釣り合い点,極大点は不安定釣り合い点と言われる由縁です。 振動可能と考えられるx=0,φまわりの微小運動(~0で概ね0を表すとして、x~0,x-φ~0)を考えます。u(x)をx=0,φまわりでテーラー展開します。x~0,x-φ~0としてるので、考えるxは収束半径以内であると、当然のように仮定します(^^;)。添付図の式(1)と(2)を得ますが、x~0,x-φ~0としてるので、3次以上の項は微小として無視し、f(x)=-du/dxを計算してそれらを運動方程式の右辺におけば(1'),(2')が得られ、調和振動で近似できる事がわかります。 以上の話は力学の教科書に、「微小振動」という項目で必ず出てくる話題です。目次などで調べてみて下さい。