質問: 三角形ABCがある。AB=6、BC=10であり、AC上に点Dをとり、DCの長さを6とし、DBの長さを6とする。 また、ADの中点をEとする。辺ABを3:1に分ける点をFとする。 辺DBの延長と辺EFの延長して、交わった点をGとする。 このときAEの長さを求めよ。またBGの長さを求めよ。 と言う問題です。 わかっていることをまとめると 長さがわかっているのは AB=DC=DB=6 BC=10 ADを1:1に分ける点をE ABを3:1に分ける点をF △DBCと△ABDは二等辺三角形である と言うことが文章からわかると思います。 まずAEの長さを考えると 点DからBCに垂線を引き、その交点をHとする。 また△ABDは二等辺三角形だから、点Eと点Bを結ぶ △CDH∽△CBEであるから CD:CB=CH:CE 6:10=5:CE 6CE=50 CE=25/3 CD=6より DE=CE-CD =25/3-6 =7/3 となり DE=EAなので AE=7/3となりました。 次に 辺の比を使って何とかGBの長さを求めようとしたのですがさっぱりわかりません。 すいませんが、詳しい解説をお願いします。またこのような問題の考え方がありましたら教えてください。
回答: Bを通り、ACに平行な直線と線分GEとの交点をPとします。 すると、△AEF∽△BPFで、AF:BF=3:1だからAE:BP =3:1。 さらに、AE=DEだから、AE:BP=DE:BP=3:1。 そして、△GBP∽△GDEなので、上のことから、GD:GB=3:1。 GB=xcmとすると、BD=6cmであることも考えて (x+6):x=3:1