質問: オイラー定数 https://ja.m.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数 が1/ オイラー定数 https://ja.m.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数 が1/2より大きいことをオイラー定数の定義から示してください。
回答: { 1/k + 1/(k+1) }/2 > ∫[k,k+1] dx/x をσするとき、 k=1,2,...,n-1 でσすると 1/2 + σ[k=2,...,n-1] 1/k + 1/(2n) > ∫[1,n] dx/x から ς[k=1,...,n] 1/k - log n > 1/2 - 1/(2n) が導かれるが、 k=2,3,...,n-1 でσすれば 1/4 + σ[k=3,...,n-1] 1/k + 1/(2n) > ∫[2,n] dx/x から ς[k=1,...,n-1] 1/k - log n > 5/4 - log 2 - 1/(2n) が導かれる。 よって、γ = lim[n→∞] { σ[k=1,...,n-1] 1/k - log n } ≧ 5/4 - log 2. あとは、 log 2 の近似値。 log のテイラー展開 log(1+x) = σ[k=1→∞] { (1/k)(-1)^(k-1) }x^k の収束半径は 1 だが、 x = 1 のとき ς[k=1→∞] (1/k)(-1)^(k-1) = σ[j=1→∞] 1/(2j-1) - 1/(2j) = σ[j=1→∞] 1/{ (2j-1)(2j) } < σ[j=1→∞] 1/(2j-1)^2 = 1 + σ[j=2→∞] 1/(2j-1)^2 < 1 + σ[j=2→∞] ∫[j-1,j] 1/x^2 dx = 1 + ∫[1,∞] 1/x^2 dx = 1 + { 0 - (-1) } = 2. で優級数収束定理より収束する。 よって、 log 2 = σ[k=1→∞] (1/k)(-1)^(k-1). 右辺は交代減少級数だから、 log 2 < σ[k=1→9] (1/k)(-1)^(k-1) と打ち切れる。 以上より γ ≧ 5/4 - { 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 } = 1271/2520 > 1/2. 最後のとこで 9 項まで足さなきゃならなかったのには 泣きそうになった。 log 2 の評価は、もっとマシな方法を探すべきか。