質問: 漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自然数nで 漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自然数nで 一般項an,bnを求めよ。 次のように考えましたが、分からないがありますので よろしくおねがいします。 a(n+1)+b(n+1)√3=(2+√3)(2+√3)^n これより a(n+1)=2an+3bn..(1),b(n+1)=an+2bn..(2) 次に、a(n+1)-αb(n+1)=β(an-αbn)とおく。 これに(1)(2)を代入すると、 (2-α-β)an=(-3+2α-αβ)bn...(3) ア、2-α-β=0のとき、 -3+2α-αβ=0で、これより、α^2=3となり、........ イ、2-α-β=0 でないとき、 (3)を2-α-βでわると an=kbn とおける。k=(-3+2α-αβ)/(2-α-β) これを、(1)に代入すると、kb(n+1)=(2k+3)bn ここら辺から、自分で何をやっているのか、分からなく収拾がつかなくなってきました。 よろしく、おねがいします。
回答: イがだめなのはそのように具体的に数値を代入してもわかりますし, 数値を入れなくても分かります. つまり, kb(n+1)=(2k+3)bn から k an = 3bn なので an = k bn とあわせると k^2 = 3 で k は有理数にならない.