質問: 無限級数の収束、発散を調べ、収束するなら、和を求めよ。 無限級数の収束、発散を調べ、収束するなら、和を求めよ。 (1)1/3+(3/3^2)+(7/3^3)+(15/3^4)+(31/3^5)・・・ (2)σ^∞_(n=1) 1/{√n+√(n+1)} (1)は3/2,(2)は発散が解答でした。途中式がなくて、理解できません。よろしくお願いします。
回答: (1) 1/3+(3/3^2)+(7/3^3)+(15/3^4)+(31/3^5)・・・ =σ^∞_(n=1) (2^n-1)/(3^n) =σ^∞_(n=1) (2/3)^n - σ^∞_(n=1) (1/3)^n =2/{3(1-2/3)} - 1/{3(1-1/3)} =2 - 1/2 =3/2 (2) σ^n_(k=1) 1/{√k+√(k+1)} =σ^n_(k=1) {√k-√(k+1)}/{k-(k+1)} =σ^n_(k=1) {√(k+1)-√k} =(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+・・・・+(√(n+1)-√n) =√(n+1)-1 → ∞ (n→∞のとき)