質問: だれか漸化式について教えてください(第二段) 簡単の為以下の例を採りあげます。 an+1=2an-1 ・・・・・(1) a1=2、n>=1 (1)式は an+1-1= 2(an-1)・・・・・(2) と変形できるので数列{an-1}は公比2の等比数列で あることが判ります。 {an-1}の初項はa1-1=2-1=1 したがって数列{an-1}の一般項は an-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3) を満たし、一般項anは an=2の(n-1)乗+1・・・・・(4) となります。 ------------------ 読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。 疑問1.(2)式は“an+1-1”が公費2の等比数列である ことを示しているのではないか? どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい ので“an+1-1”としたほうがよいと思うのです。 疑問2. 数列{an-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して “an-1”を計算していきました。すると 1、2、4、8、・・・となりますした。 公式an=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数 (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた のに突然等比数列になっています。 それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。 スッキリ納得できる方法はないでしょうか。
回答: >どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい >ので“an+1-1”としたほうがよいと思うのです。 そうすると、数列{a(n+1)-1}の初項a2-1は、どうやって求めるのでしょうか。