質問: 近似曲線の数式を手計算で出したい。 エクセルを用いずに、近似曲線の数式をエクセルを用いずに算出したいです。 資料となるデータはあるし、計算機もあるのですが、エクセルは手元にないという状態です。 手計算で近似曲線のy=ax+bという数式を出すには、どのような計算をしたら算出できるのか、ご存じの方いらっしゃったら、どうか詳しく計算過程を教えて下さい。お願いします。
回答: 線形近似においては、最小二乗法による推定が最も優れている(不偏かつ分散が小さい)ことがガウス=マルコフ定理によって証明されています。 最小二乗法とはデータが(x1,y1),(x2,y2),・・・(xi,yi)のように示されていると思うので、そのもとで ς(yi-axi-b)^2 (i=1,2,3・・・) を最小化するようなa,bの組を見つけるという方法です。a,bの偏微分によって求めます。 具体的な式としては、xの平均をx'、yの平均をy'とし、データ数(標本数)をnとすると、 a=(σxiyi-nx'y')/(σxi^2-nx'^2), b=y'-ax' (i=1,2,3・・・) を得ます。 なお、σxiyiというのはx1・y1+x2・y2+・・・を意味し、σxi^2とはx1^2+x2^2+・・・を意味します。 例えば(x,y)=(10,6),(12,9),(14,10),(16,10)というデータを考えると、標本数は4、xの平均は13、yの平均は8.75、σxi^2=696、σxiyi=468なので、これを代入して a=(468-4×13×8.75)/(696-4×13^2)=0.65, b=8.75-0.65×13=0.3となり、 求める式はy=0.65x+0.3となります。