質問: 無限の濃度に関する問題 雑誌、newton別冊「ゼロと無限の科学」で扱われている内容に、以下のようなものがあります。 (文章は適当に削ったり、変えたりしています) ・問題設定 無限に広い平面があり、その平面には正方形の格子模様が書かれている、その正方形の格頂点には垂直に、太さがない棒が立てられている。 今、1つの頂点から、ある方向へ光線を発射する。 この光線は、いずれかの棒にぶつかるだろうか? また、光線も太さのないものとする。 ・newtonの解答 問題を単純化するために、xy座標と、格子点(x,yともに整数であるような座標)を考え、 原点から光線を発射するものとする。 そうすると、光線の道筋は1次関数y=axで表せる。 このとき、傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。 たとえば、a=2/3であれば、(3,2)という点を通る。 だが、傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。 つまり、ある実数aを無作為に選んだとき、それが有理数か無理数であるか。という問題に帰着できる。 ここで、有理数の個数はアレフゼロの無限であり、無理数の個数はアレフワンの無限である。 これは無理数の個数が圧倒的に有理数より多いことを示している。 (有理数より無理数の方が圧倒的に多いことは前のページで述べられています) つまり、光線は、直感に反し、ほぼ100%の確率で、棒にぶつかることなく無限の彼方に飛んでいくことになる。 これがnewtonに書かれていることなのですが、 最後の「ほぼ100%の確率で」というところが引っかかります。 ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか? (恐らくできないから、具体的な数値が書いてないのだと思いますが・・・) 高校レベルの数学しか理解してないのですが、 この程度の知識でこの問題に答えは出せますか?
回答: 棒の数はアレフ0、と考えてよいのでしょう。 > 傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。 この場合は、100% 棒にぶつからない。 > 傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。 この場合は、棒にぶつかる。 光は、そのどちらかの傾きの方に飛ぶ。 従って、ぶつかることのない確率は100%ではない。