質問: uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 この問題を教えて下さい。 よろしくお願いします。
回答: 与えられた方程式を次のようであるとします. y'-(2/x)y-xy^3=0 u=y^{-2}とおくと, u'=-2y^{-3}y'=-2y^{-4}yy'=-2u^2yy' y'=u'/(-2u^2y) ∴u'/(-2u^2y)-(2/x)y-xy^3=0 (-1/2)u'/u^2-(2/x)y^2-xy^4=0 (-1/2)u'/u^2-(2/x)(1/u)-x(1/u^2)=0 (☆)u'+(4/x)u+2x=0 まず,この同次形 u'+(4/x)u=0 の一般解を求める. u'/u=-4/x∴∫u'dx/u=-4∫dx/x,logu=-4log|x|+c,logu=log(e^c/x^4) u=e^c/x^4 e^c=aとおくと u=a/x^4=ax^{-4} そこで定数変化法によって u=a(x)x^{-4}とおくと, u'=a'x^{-4}+a(-4)x^{-5}=a'x^{-4}-4u/x ☆に代入すると a'x^{-4}-4u/x+(4/x)u+2x=0 a'x^{-4}+2x=0 a'=-2x^5 a(x)=b-x^6/3 ∴u=(b-x^6/3)x^{-4} ∴y=±√(1/u)=±x^2/√(b-x^6/3)(bは定数)