質問: 関数について。 実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c) を考える。-2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるならば、 max{|a|,|b|,|c|,|d|}≦|e| が成り立つことの証明を教えて下さい。
回答: 実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c) を考える。 -2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるとする h(x)=f(x)-g(x)とすると h(x)=f(x)-g(x) =ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-4ax^2-3bx+2a-2c =ax^4+bx^3+(c-4a)x^2+(d-3b)x+e+2a-2c =a(x^4-4x^2+2)+b(x^3-3x)+c(x^2-2)+dx+e =a{(x^2-2)^2-2}+bx(x^2-3)+c(x^2-2)+dx+e ≧0 h(0)=2a-2c+e≧0 h(1)=-a-2b-c+d+e≧0 h(-1)=-a+2b-c-d+e≧0 h(2)=2a+2b+2c+2d+e≧0 h(-2)=2a-2b+2c-2d+e≧0 h(√2)=-2a-b√2+d√2+e≧0 h(-√2)=-2a+b√2-d√2+e≧0 h{√(2+√2)}=b(√2-1)√(2+√2)+c√2+d√(2+√2)+e≧0 h{-√(2+√2)}=-b(√2-1)√(2+√2)+c√2-d√(2+√2)+e≧0 h{√(2-√2)}=b(-√2-1)√(2-√2)-c√2+d√(2-√2)+e≧0 h{-√(2-√2)}=-b(-√2-1)√(2-√2)-c√2-d√(2-√2)+e≧0 h(√3)=-a+c+d√3+e≧0 h(-√3)=-a+c-d√3+e≧0 {h(2)+h(-2)}/2=2a+2c+e≧0 h(0)/2+{h(2)+h(-2)}/4=2a+e≧0 e≧-2a {h(√2)+h(-√2)}/2=-2a+e≧0 e≧2a ↓これとe≧-2aから e≧2|a|≧|a| {2h(1)+h(-2)}/3=-2b+e≧0 e≧2b {2h(-1)+h(2)}/3=2b+e≧0 e≧-2b ↓これとe≧2bから e≧2|b|≧|b| {h{√(2+√2)}+h{-√(2+√2)}/2=c√2+e≧0 e≧-c√2 {h{√(2-√2)}+h{-√(2-√2)}/2=-c√2+e≧0 e≧c√2 ↓これとe≧-c√2から e≧|c|√2≧|c| {h(0)+2h(√3)}/3=2d/√3+e≧0 e≧-2d/√3 {h(0)+2h(-√3)}/3=-2d/√3+e≧0 e≧2d/√3 ↓これとe≧-2d/√3から e≧2|d|/√3≧|d| ∴ max(|a|,|b|,|c|,|d|)≦|e|