質問: 無限集合の定義で ∃f:全単射 such that f:a→b (但し、bはaの真部分集合) の時、aを無限集合と言うのがデデキントの無限集合の定義だと思いますが 非可算集合の時にも(例えば実数体)このような全単射写像はするのでしょうか?
回答: 真の部分集合への全単射が存在すれば無限集合ということですね。 これは別に可算とか非可算とかはあんまり関係ないと思います。 実数体で考えると、指数関数は(-∞,∞)→(0,∞)の全単射です し、tanの逆関数arctanは(-∞,∞)→(-π/2,π/2)の全単射 ですし、グラフを描いてみるとわかりますが、他にもいくらでもありま す。 デデキントが無限集合をこういうとらえ方をしていたな、と久しぶりに 思い出しました。