質問: Bの元xはA上整 ←→ A[x] はA上整 (環Bを環Aの拡大環とする) これは成り立ちますか?
回答: 整閉包が環をなすことの証明は難しい. 次の定理を示せば十分である. 【補題1】 a∈ S が R 上整ならば、R[a] は R 上有限生成になる。 (証明) a が R 上整ならば a^n+b_1a^{n-1}+...+b_n=0 となる b_i∈ R が存在し、この式より {1,a,...,a^{n-1}} が R[a] の生成系であることがわかる。□ 【補題2】 環Sが環R上有限生成ならばSはR上整である. (証明) 任意のa∈Sをとる. {a_1,...,a_n} を R 上 S の生成系とすると、各 i ごとに aa_i=b_{i1}a_1+...+b_{in}a_n (b_{ij}∈ R) とおける。b_{ij} を (i,j) 成分とする n 次正方行列 A と n 次単位行列 E に対し (aE-A) ^t(a_1,...,a_n)=0 である。両辺に aE-A の余因子行列をかけると、各 i ごとに det(aE-A)a_i=0 を得る。 1=c_1a_1+...+c_na_n (c_i∈ R) の両辺に det(aE-A) をかけることで a がモニック多項式 det(xE-A)∈ R[x] の根であることがわかる。□ 【定理】 a,b∈SがR上整であるとき,R[a,b]がR上整である. (証明) b は R 上整なので R[a] 上でも整であり、補題1 より R[a,b]=R[a][b] は R[a] 上有限生成である。R[a] は R 上有限生成なので、R[a,b] は R 上有限生成であり、補題2 より R 上整である。□ この定理から整閉包が環をなすことは明らか. 分野が違うから省略しているが余因子行列の存在証明とかも普通に難しい.