質問: 固有値、固有ベクトル、対角化...何のため? 私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... (1)何のために固有値を求めるのでしょうか? (2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? (3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。 例) ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ! ...などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。 やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~; 本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m
回答: 話の切り口とか視点という言葉があると思いますが、固有値、固有ベクトルというのはそれに近いものがあります。 事象に対してすべてを不足なく記述しているのが行列による表現で、確かに計算機でガリガリ計算するのには適していますが、人間には何のことやらわからなかったり、計算するにしろえらく効率がわるいわけです。 これは日常にもよくあることで、起こった出来事全部見れば、情報としては十分なのですが、本質が何かわからなくなってしまうわけです。で、よく報告書であるとか、記事というものには切り口や視点というものが求められます。このとき、個人の経験や感性によって、その軸がきまることになり、その軸で「事実」を整理することで「真実」を浮かび上がらせるわけです。 翻って、行列の場合はどうかというと、実は行列の表現に落とし込んだ時点で、適切な切り口や視点というのを行列自身がもっていますよ!というのが、固有値、固有ベクトルの話なわけで、ありがたい話なので、線型代数のハイライトなわけです。で、固有ベクトルという、行列から決められる軸を選ぶことで、「本質」がみえるようになるよ(しかも、それは外部から与えられるのではなくて、行列が内在的にもっているものなのだよ)といっているのです。しかも、すごいのは、一般の生活のなかでは、切り口や視点を選ぶことは、他の側面を切り捨てることに他ならないのですが、行列の場合は、切り捨てるのではなく、固有値、固有ベクトルによって、本質を浮かびあがらせながら、情報を切り捨てることなく扱えますよ!というところがすごいのです。 これにより、 【1】切り口や視点というのが、主観によらずに決まる(内在的に決まる)ので、客観的にできること、 【2】情報としてシンプルかつ不足がないので、情報処理が簡潔かつ抜けの無い処理ができること、 とうのが固有値、固有ベクトルの意味としてのベースとなるところなのではないでしょうか?たとえば、これを露骨にやるのが社会科学でいうところの因子分析というやつですよね。 面白いのは【1】内在性が人文的な場合と違うのと、【2】が計算機科学や工学を支えているというところですかね。