質問: 極限 証明 極限 証明 lim[x→∞](1+(1/x))^x=eの証明はどのようにすれば良いでしょうか? [証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分係数は1である。 したがって,微分係数の定義式から lim[h→0](log(1+h)-log1)/h=1 左辺を変形して lim[h→0](1/h)・(log(1+h))=lim[h→0]log(1+h)^(1/h)=1 また、 1/h=x すなわち h=1/x とおくと,x→±∞のときh→0であるから limx→∞^x =limx→-∞^x =limh→0^1/h=e また、以下が理解できません・・・ limx→∞^x=limx→-∞^xはなぜ等しいのでしょうか? そして、limh→0^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる? logはどこにいったのでしょうか?
回答: log(1+h)^(1/h)=t とおくと (1+h)^(1/h)=e^t → e^1=e また limx→∞^x=limh→+0^(1/h)=limh→0^(1/h) limx→-∞^x=limh→-0^(1/h)=limh→0^(1/h)