質問: 代数の確率の問題で、 2個のサイコロABを同時に投げ、でためをそれぞれa.bとする。 (1)二次方程式 x2条-ax-b=0のすべての解が整数となる確率を求めない。 という問題で、簡単に二次方程式を解く、当てはめる方法を
回答: (1) 二次方程式 x2-ax-b=0(1≦a≦6,1≦b≦6)において: 足して-1、掛けて-2 → (x+1)(x-2)=x2-x-2 → (a,b)=(1,2)。 足して-2、掛けて-3 → (x+1)(x-3)=x2-2x-3 → (a,b)=(2,3)。 足して-3、掛けて-4 → (x+1)(x-4)=x2-3x-4 → (a,b)=(3,4)。 足して-4、掛けて-5 → (x+1)(x-5)=x2-4x-5 → (a,b)=(4,5)。 足して-5、掛けて-6 → (x+1)(x-6)=x2-5x-6 → (a,b)=(5,6)。 足して-1、掛けて-6 → (x+2)(x-3)=x2-x-6 → (a,b)=(1,6)。 したがって、二次方程式 x2-ax-b=0(1≦a≦6,1≦b≦6)において、すべての解が整数となる確率=6/(6×6)=1/6。 (2) >どうして3なのですか? b/a=3のとき、直線y=3x+6とは平行線になるので交わりません(∵傾きが互いに3)。 ↓ 与式より、bx/a=3x+6 → bx/a-3x=6 → bx-3ax=6a → (b-3a)x=6a → x=6a/(b-3a)。 a=1のとき、x=6/(b-3)。つまり、b≠3であれば成立する。言い換えれば、b=1,2,4,5,6のとき成立する。 a=2のとき、x=12/(b-6)。つまり、b≠6であれば成立する。言い換えれば、1≦b≦5のとき成立する。 a=3のとき、x=18/(b-9)なので、1≦b≦6。 ・・・・・・・・・・・・ a=6のとき、x=36/(b-18)なので、1≦b≦6。 ってことは、(a,b)≠(1,3)≠(2,6)。つまり、b/a≠3。それ以外の組合せで成立するわけですね。 したがって、直線y=bx/aが直線y=3x+6と交わる確率=1-2/36=1-1/18=17/18。