質問: 数ii 一次式の積に因数分解する問題 問)2x^2-3xy-ky^2-10x+(7-k)y+12 が一次式の積となるような定数kの値を定めよ。 解) xについての2次方程式 2x^2-(3y+10)x-ky^2+(7-k)y+12=0 ...(1) の判別式をdとすると、(1)の解は、 x=(3y+10±√d)/4 より、与式は、 (与式)=2{x-(3y+10+√d)/4}{x-(3y+10-√d)/4} と因数分解できる。 d=(8k+9)y^2+2(4k+2)y+4 8k+9=0 つまり、 k=-9/8 のとき、 d=-5y+4 となり、与式はx,yの一次式の積とはならない。 ...☆ k≠-9/8 のとき...略 (多分、この先はわかります) ☆について理由がわかりません。 √が外れないと何故一次式ではなくなるのでしょうか。 もし、√を外さなかったら何次式になりますか。 (一次式の定義も一緒に教えてください。)
回答: d = (9+8k){y^2 + 4(1+2k)y/(9+8k)} + 4 = (9+8k)(y + 2(1+2k)/(9+8k))^2 + {4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2} 従って、4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2 = 0 から (3k+4)(k+1) = 0 k = -1 又は -4/3 k=-1の時、√d = y-2 となりx,yの一次式になる。 k=-4/3の時、√(9+8k) = √-5/3 となるので√dは虚数になる。 従って、k = -1 (この場合、k=-9/8 の議論は必要ないと思います。)