質問: 三角関数系が直交性を持つといいことがあるのか? フーリエ級数展開を説明する時に、三角関数系の直交性を用いることが多いと思います。 ただ、フーリエ級数展開のような展開を考えた時、直交でなくとも、1次独立であれば一意性をもって級数展開できるように思います。 直交性をもつ→1次独立が成り立つので、その点でフーリエ級数展開の説明で用いられ、分かりやすく説明できるのはわかりますが、直交性を持つメリットのようなものはないのでしょうか。係数が求めやすいのがメリットでしょうか。
回答: 関数の内積(言葉はどうでもいい,単に二つの関数の定義域上の重み付き積分)が定義できて,ある関数列がその内積に関して直交性があれば,その関数列で級数表示した場合の係数が,連立せず個々に独立して解ける,というだけの話ではないですか。だから,ベッセル関数もルジャンドルの多項式もある内積を定義すれば直交性を持つからベンリー。