質問: 統計学を教えて 次の問題に苦しんでいます。教えてくれると助かります。 確率変数x.yは独立で、それらの平均と分散は、e(x)=μ1、e(y)=μ2、v(x)=σ1^2、v(y)=σ2^2 であるとする。εはベルヌーイ分布ber(p)に従う確率変数であり、x.yとは独立であるとする。そのとき、確率変数z=εx+(1-ε)yの平均と分散を求めよ。 出来れば、解説もしてもらえると助かります。
回答: εってのは、確率pで1, 確率(1-p)で0になる確率変数。ですから、 zのサンプルは分布d1に従っているか、分布d2に従っているかのどちらかである。サンプルが分布d1に従う確率はpである。d1, d2それぞれの平均と分散が既知のとき、サンプルの平均と分散は? という話に過ぎません。 これでまだピンと来ないようでしたら:n個のサンプルのうち、サンプルz[1]~z[pn]がd1に従い、残りz{pn+1]~z[n]がd2に従うものとする。そして、z[1]~z{n]の平均と分散を総和σを使って表しておいて、これを、d1, d2の平均と分散とpとで表す。最後にn→∞にする、という風に考えれば分かり易いでしょう。 平均の方はとても簡単ですから、まずは平均についてお考えになると良いかと。