質問: 1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1 1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1 ∴ 1=-1 は明らかにおかしいですが具体的にはどこがおかしいのでしょうか? 色々調べてみたところ, √(-1)(-1)=√(-1)√(-1) というところがおかしいみたいで,「√(ab)=√a√b」が成り立つのは,"a,b≧0"のときだけということまではわかりました. なので上のような変形はできないとのことです. では,a≧0,b<0のときはどうなのでしょうか? つまり,a≧0を実数として, √(-a)=√(-1)a=√(-1)√a=i√a はなぜ大丈夫なのでしょうか? 上の議論だと,-1<0なので「√(ab)=√a√b」が適用できず,単純に √(-1)a=√(-1)√a としていいのだろうかと感じました. それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか? 混乱してしまったので教えてください.
回答: 記号の意味を考えればいいのです √(-1)は「二乗して-1になる数」のうちの一つで,これを i と書く √(-2)は「二乗して-2になる数」のうちの一つで,これを臨時に x とかく. さて,一方,√2 iを考えると (√2 i)^2 = √2 i√2 i = √2 √2 ii = -2 したがって, xは √2 iか -√2 i そこで,xとして √2 i の方を採用することにして #iの係数として「正の実数」をとることにする #これは「2の平方根のうち正の方を√2とする」 #ということのアナロジー √(-2) = √2 i こうすると,見た目上 √(-2) = √((-1)(2)) = √(-1) √2 = √2 i となって都合がいい あとは 2 を一般の a に置き換えればいい. 裏側には「代数学の基本定理」があり, さらに計算があとあと容易になるように ある意味恣意的に記法を定めるという常套手段です. 理論上,これらは完全に正当化されます. 具体的には,実数rに対して,r係数の多項式の集合r[x]をつくり r[x]をイデアル(x^2+1)で割った,r[x]/(x^2+1) を考え,これをcとおく (1) cは体である (2) cの元[1] [x]はcを生成する (3) [1]と[x]はr上一次独立 (3) cの部分集合で[1]で生成されるものはrと同型 (4) r係数の多項式はc内で解を持つ(代数学の基本定理) となることが証明できます. #(1)から(3)は大学3年生程度の代数の問題.ただし代数学の基本定理は #純粋な代数だけじゃ無理でどっかに「実数の連続性」が必要. [1]を1,[x]をiと書くことで見慣れたものになります.