質問: この3つの微分方程式が解けないです。 ご教授お願いします。
回答: (1)y''+y=1,v(x)=sin x y''+y= 0 の一般解は,y=Asin x+Bcos x (A,Bは任意定数)なので, y=A(x)sin x+B(x)cos x の形の特殊解を1つ見つける。 A'sin x+B'cos x=0 ......1 とすると, A'cos x-B'sin x=1 ......2 より, A'=cos x , B'=-sin x , A=sin x , B=cos x から 特殊解 y=1 を得る。 よって,与式の一般解は, y=1+Asin x+Bcos x (A,Bは任意定数) (2) y''-4y=x,v(x)=e^{2x} y''-4y= 0 の一般解は,y=Ae^{2x}+Be^{-2x} (A,Bは任意定数)なので, y=A(x)e^{2x}+B(x)e^{-2x} の形の特殊解を1つ見つける。 A'e^{2x}+B'e^{-2x}=0 ......1 とすると, 2A'e^{2x}-2B'e^{-2x}=x , A'e^{2x}-B'e^{-2x}=x/2......2 より, A'=xe^{-2x}/4 , B'=-xe^{2x}/4 , A=xe^{-2x}/(-8)+e^{-2x}/16, B=-xe^{2x}/8-e^{2x}/16 から 特殊解 y=(1-2x)/16+(-2x-1)/16=-x/4 を得る。 よって, 与式の一般解は, y=-x/4+Ae^{2x}+Be^{-2x} (A,Bは任意定数) (3) 以上のごとく変数変化法は面倒なので 特殊解の1つを y=a e^{2x} とおくと, 与式は,(4a+2a-2a)e^{2x}=e^{2x} となり,a=1/4, y=e^{2x} /4 を得る。 y''+y'-2y= 0 の一般解は,特性方程式:x^2+x-2=0, x=1,-2 から y=Ae^{x}+Be^{-2x} (A,Bは任意定数)なので, 与式の一般解は, y=e^{2x} /4 +Ae^{x}+Be^{-2x} (A,Bは任意定数) とやるのが速いです。