質問: <微分(数3)>lim・・・ の値を求める 「f(x)は微分可能な関数で、f(-x)=f(x)+2x、f'(1)=1、f(1)=0を満たす。 (1)f'(-1)の値を求めよ。 (2) f(x)+f(-x)-2 lim =――――――――――の値を求めよ x→1 x-1 という問題です。 (1)は f'(-1)=-3と出たのですが、 (2)が解答の意味がよくわかりません。 f(x)=f(x)+f(-x)-2とおいたあと f(1)=0が示してあり、 f'(x)=f'(x)-f'(-x)となってlimの式が f(x)-f(1) lim =――――――― と変えられて x→1 x-1 その後答えが4と出ています。 これは微分の定義にもっていきたいがために このような操作をしているのでしょうか? 教えていただけると幸いです。
回答: f(-x) = f(x) + 2x だから f(x) + f(-x) - 2 = 2f(x) + 2x - 2 なので lim(x→1) [f(x) + f(-x) - 2]/(x-1) = 2lim(x→1) f(x)/(x-1) + 2 = 2f'(1) + 2 = 4 の方が素直かも.