質問: f(x,y)(x^3-xy^2)/(x^2+y^2) (xy0),0(その他)のとき、fは(0,0)で全微分可能かという問題についてです。誘導で∂f(0,0)/∂x1,∂f(0,0)/∂y0は分かっています。以下のぼくの解答は正しいでしょうか?
回答: 【定義】⊿z=(fx)⊿x+(fy)⊿y+o(√⊿x2+⊿y2)のとき全微分可能という 原点における増分を(x , y)とすると o(√⊿x2+⊿y2)=⊿z-(fx)⊿x-(fy)⊿y =f(x,y)-f(0,0)-x fx(0,0)-y fy(0,0) A=lim[(x,y)→(0,0)]{f(x,y)-f(0,0)-x fx(0,0)-y fy(0,0)}/√(x2+y2) この極限値が0かどうか調べればいい。 f(0,0)=fy(0,0)=0, fx(0,0)=1であるから A=lim[(x,y)→(0,0)]{(x3-xy2)/(x2+y2)-x}/√(x2+y2) 極座標変換 =cosθ(cos2θ-sin2θ-1)≠0 よって(0,0)で全微分可能でない