質問: 1階の線形微分方程式 1階の線形微分方程式 次の微分方程式の解き方が分かりません。いちおう、自分でもやりましたが、答えを先生が教えてくれないので困っています。さらに(3)はさっぱりです。 (1)y'+2y=6e^x (2)y'+y=sinx (3)xy'-2y=x^3e^x (1),(2)の自分なりで解いてみた答え (1) λ+2=0 λ= -2 よってこの微分方程式の一般解は y1=ce^-2x ここで、yp=k1*e^x とおいて、ypを微分方程式内に代入をすると、 yp'+2yp=k1*e^x+2k1*e^x=3k1*e^x=6e^x k1=2 y2=2e^x よって y=y1+y2=c*e^-2x+2e^x (2) λ+1=0 λ= -1 よって、求める一般解は y1=ce^-x ここで、特殊解を考えると yp=l*sinx+m*cosx yp'=l*cosx-m*sinx これを微分方程式に代入して yp'+yp=(l*sinx+m*cosx)+(l*cosx-m*sinx)=(l-m)sinx+(l+m)cosx ここで、 l-m=1 l+m=0 これを解いて l=1/2,m=-1/2 y2=1/2*sinx-1/2*cosx よって、y=y1+y2=ce^-x+1/2*sinx-1/2*cosx
回答: (3): x^3 で割る.