質問: 8∫[b,0]∫[a√(1-y^2/b^2),0]z dxdy という式を立てて解こうとしたのですが、積分がうまく出来ませんでした...。 【 解答をみると、断面積をもとにして立体の体積を求める。...x=tで立体を切ると... 】 という解きかたで解いていました。 私のやり方では解けないでしょうか?あるいは、そもそも式の立て方が間違っているでしょうか? よろしくお願いします。
回答: > そもそも式の立て方が間違っているでしょうか? 間違いです。 dxdyの積分の中になぜzがあるのですか? a,b,c>0として v = 8∫[0,b]dy∫[0,a√(1-y^2/b^2)] c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2) dx 簡単のためにx=x/a,y=y/bとおくと v = 8abc∫[0,1]dy∫[0,√(1-y^2)] √(1-x^2-y^2) dx ここでx=r cosθ,y=r sinθ とおくと ヤコビアン|j|=rより dxdy=rdrdθ v = 8abc∫[0,π/2]dθ∫[0,1] r√(1-r^2) dr = 8abc(π/2)*[-(1/3)(1-r^2)^(3/2)] [0,1] =4abcπ/3