質問: 連続関数・・・・ (問) 閉区間[a,b]で連続なf(x)について、a≦f(x)≦bならば、f(c)=cとなるcが[a,b]に存在することを証明せよ。 (解) f(a)=aまたはf(b)=bならば、このaまたはbがcである。 ↑ってのは、分かるんですが、 a<f(a),f(b)<bの場合はどのように求めるのでしょうか? ある参考書には、似たような問題で g(x)=f(x)-x という連続関数を[a,b]で考える みたいなことが書いてあったんですが、これを利用しもいいのかどうかも分かりません。
回答: (解)に書いてあるのは中間値の定理以外の部分で,それ以外は中間値の定理を使いなさい,という意味だと思います. それ以外の部分は,おっしゃるとおり,g(x)を使えばいいです. この場合, g(a)=f(a)-a>0 g(b)=f(b)-b<0 ですから, 中間値の定理より, g(c)=0となるcが[a,b]に存在する. つまり,f(c)-c=0となるcが存在する. つまり,f(c)=cとなるcが存在する.