質問: 三角関数の問題について y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2)の最大値と最小値を求めよ。 2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。 この二つの問題の解き方がいまいち分かりません。 できるだけ詳しく解説お願いします。
回答: ●「y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2)の最大値と最小値を求めよ。」 右辺について・・一見したところ何から取り掛かっていいのか困惑しているかと思います。 (詳しい解説を希望とありましたが、そばに実際の解答などがあるのでしたら、あえてヒント的なお話しとしておきますので、嫌気がさしていなければ再挑戦してみてください・・・ごめんね^^a) ・【sin^2x+cos^2x=1】から →「cos^2x=1-sin^2x」を使って式変形してみてください。 ・【sin2x=2sinxcosx】から →「sinxcosx=(1/2)sin2x」を使って式変形してみてください。 ・【(√5/2)sin2x+cos2x】から →「三角関数の合成:asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin・・・(あえて省略)」と使って式変形してみてください。 ●「2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。」 4y+3x-2=0 から、y=(-3/4)x+1/2 (1) -3y+x+5=0 から、y=(1/3)x+5/3 (2) (1)と(2)のそれぞれがx軸の正方向となす角をα、βとします。 (→二直線を原点まで平行移動してきても、なす角α、βに変化はありませんから、結局のところ二直線の「傾き」だけが必要となりますね。) 上のカッコ内のことを踏まえて、求める(1)、(2)のなす角θとすれば・・・ θ=α+β また、グラフから「tanα=-3/4、tanβ=1/3」ということになります。 (実際にグラフにしてみてみるともっと分かりやすいと思います) ・・・あとは、θのtanを考えて・・・ tanθ=tan(α+β)=・・・省略・・・ (・・・この辺からそろそろ再挑戦してみてください、きっと解答できると思いますよ。^^v)