質問: 複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz c:|z|=1 ついて 複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz c:|z|=1 ついて |z|=1 よりz=cosθ+isinθ とおきました。 すると、dz/dθ=-sinθ+icosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+isinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+isinθ)となり、上手く進みません。 ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。
回答: cos(z)をテーラー展開すると cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-... なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-... となります。 そして ∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1) を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります ちなみに ∫[c]z^{-1}dz=2πi という公式もあります。 求め方は i=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1] に対し z=e^{iθ} とおくと dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π) なので i=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ n=-1のときは i=i∫[0→2π]dθ=2πi n!=-1のときは i=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ =(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0