質問: ラプラシアンの二次元極座標について質問です。 このサイトによると 添付画像の計算で偏微分における合成関数の連鎖則を使っているのですがここで微分の順番を変えて先にxで微分して前に計算したfのx微分を代入すると違う結果になってしまいます。この場合は順番を入れ替えられないのでしょうか。順序を入れ替えられない理由を知りたいです。
回答: 従属変数での偏微分は、 独立変数での偏微分に変換したら 偏微分になんらかの関数がかかっているので、順序を交換できない。 たとえば ∂_x = ∂r/∂x ∂_r + ∂θ/∂x ∂_θ だか、この変数変換の背景では ∂_x は ∂_rは順序交換できない。 (x,r)座標系で考えていて、 x, r の2階偏微分が全て連続なときには ∂_x, ∂_rは交換するが、 これは、上に挙げた∂_x, ∂_rとは 定義が異なっている別物 うえでは、それぞれ、y固定、θ固定 下はそれぞれ、r固定、x固定