質問: a)1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・1/n^2<2-1/nを証明せよ、ただしnは2以上 と a)1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・1/n^2<2-1/nを証明せよ、ただしnは2以上 という問題の発展で b)この極限値が2以下であることが分かるが、この極限値が5/3以下であることを証明せよ のaはわかったのですが、bが分かりませんどなたか教えて頂けないでしょうか?
回答: 「この極限値」って何や? ちゃんと n→∞ て書こうよ。 s(n) = σ[k=1...n] 1/k^2 < σ[k=1...n] 1/( k^2 - (1/2)^2 ) = σ[k=1...n] { 1/(k - 1/2) - 1/(k + 1/2) } = 1/(1 - 1/2) - 1/(n + 1/2) = 2 - 1/(n + 1/2). という計算は有名だが、 s(n) = 2 - 1/n は、それより評価が厳しい。 どうやったら導けるか弄っていたら、 s = 1 + σ[k=2...n] 1/k^2 < 1 + { 1/(2 - 1/2) - 1/(n + 1/2) } = 5/3 - 1/(n + 1/2) < 5/3. が出てきた。