質問: 大学の微分の方程式です。わかる方途中式含め丁寧に解説して欲しいです。よろしくお願いします。
回答: (1) ベルヌーイ形 -3xy'/y4 +3/y3 = -3x4 x(1/y3)' + 3/y3 = -3x4 u=1/y3 とおく xu' + 3u = -3x4 (1階線形) x3u' + 3x2u = -3x6 7(x3u)' = -21x6 7x3u = -(3x7 + C) y3 = -7x3/(3x7 + C) (2) リッカチ形 y=x は解の1つである y=x+u とおくと, u' - 3x2u + 3x2u2 = 0 (ベルヌーイ形) -u'/u2 + 3x2/u = 3x2 (1/u)' + 3x2/u = 3x2 v = 1/u とおくと v' + 3x2v = 3x2 (1階線形) e^(x3)v' + 3x2e^(x3)v = 3x2e^(x3) (e^(x3)v)' = 3x2e^(x3) e^(x3)v = e^(x3) + C y = e^(x3)/(e^(x3) + C) + x (3) リッカチ形 y=1/x2 は解の1つ y=1/x2 + u とおくと u' + u/x + (x2-x)u2 = 0 (ベルヌーイ形) -u'/u2 - (1/x)(1/u) = x2 - x (1/u)' - (1/x)(1/u) = x2 - x v = 1/u とおくと v' - v/x = x2 - x (1階線形) v'/x - v/x2 = x - 1 (v/x)' = x - 1 v/x = (x2 -2x + C)/2 y = 2/(x3 - 2x2 + Cx) + 1/x2 (4) ベルヌーイ形 3x2y2y' + 3xy3 = 3 x2(y3)' + 3xy3 = 3 y3 = u とおくと x2u' + 3xu = 3 (1階線形) x3u' + 3x2u = 3x 2(x3u)' = 6x 2x3u = 3x2 + C 2x3y3 - 3x2 = C (5) リッカチ形 y=e^(x) は解の1つ y=e^(x)+u とおくと u' - u - u2 = 0 (変数分離形) (1/u - 1/(u+1))u' = 1 (log|u/(u+1)|)' = 1 u/(u+1) = Ce^(x) y = Ce^(x)/(1-Ce^(x)) + e^(x) (6) 変数分離形 y'/(1+y2) = x + 1 (arctan(y))' = x + 1 y = tan((x2+2x+C)/2)