質問: 半径a, 中心角60度の一様な扇型板の重心をgとしたとき、扇の中心oから重心gまでの距離を求める問題 半径a, 中心角60度の一様な扇型板の重心をgとしたとき、扇の中心oから重心gまでの距離を求める問題が解けません。どうやって解けばいいでしょうか?
回答: お示しのような「扇形」であれば、「中心角」方向には「中心角 30°」上に重心があることは明らかですので、「半径方向にどの位置か」を調べればよいです。 「重心」とは、その扇形の各部分の「力のモーメント」が、「全質量が重心にある」ときの力のモーメントに等しくなる点ということです。 この場合には、扇形がその一部である「円」の中心周りの力のモーメントを考えるのが一番楽でしょう。 扇型板の単位面積あたりの質量(面密度)を ρ としましょう。 扇形のうち、半径 r ~ r+dr と θ ~ θ+dθ に囲まれた微小面の面積は ds = dr * rdθ = rdrdθ です。この部分の質量が ρds = ρrdrdθ ですから、「円」の中心周りの力のモーメントは dm = r * ρds = ρr^2drdθ です。 従って、扇形全体にわたる力のモーメントの合計は、これを r :0~a、θ : 0~60°=0~パイ/3 で積分すればよいので m = ∫[0→a]∫[0→パイ/3]ρr^2drdθ = ρ(パイ/3)∫[0→a]r^2dr = ρ(パイ/3)[ r^3 /3][0→a] = ρ(パイ/9)a^3 1 重心位置を「円の中心」から r の距離とすると、扇形の面積が s = パイa^2 * (60/360) = (パイ/6)a^2 なので、その質量は m = ρs = ρ(パイ/6)a^2 従って、重心位置の力のモーメントは mg = r*m = rρ(パイ/6)a^2 2 12が等しいので rρ(パイ/6)a^2 = ρ(パイ/9)a^3 よって r = (2/3)a つまり、扇の中心oから重心gまでの距離は (2/3)a です。