質問: q.xを自然数全体の集合nの部分集合とするとき、|x|>アレフゼロを証 q.xを自然数全体の集合nの部分集合とするとき、|x|>アレフゼロを証明せよ。 以下、ネットでのどなたかの回答を参考に、私なりにテキストを読み返すなどして解釈して、作成しました。 テスト問題としての解答として、 「修正および補足」などをお願いします。 a. |x|=|n|と仮定すると、nからxへの全単射fが存在する。 ∀n∈n ⇒ f(n)=m, ∃m∈x ∀m∈x ⇒ f(n)=m, ∃n∈n つまり 1 ←→ m1 2 ←→ m2 ・ ・ n ←→ mn ・ ・ このとき、左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき、 n∈mn または n?mnとなる。 次に集合m'を以下のように定義する。 (1) n∈mnのときnを要素としない。 (2) n?mnのときnを要素とする。 この集合は一意に決まり、また自然数だけを要素に持つ集合となり、明らかに自然数の部分集合を意味する。 つまりm'∈xであるが、このm'は定義により、上の対応関係からは外れている。 これはnとxとが全単射できたという仮定に矛盾する。 |x|≠アレフゼロ また、写像g:n→xをgn={n}とすると、これは単射であるから |n|=アレフゼロ≦|x| 以上より、アレフゼロ<|x|
回答: x={1}は自然数全体の集合nの部分集合です。