質問: 部分群であることの証明 部分群であることの証明 gを群、hをその部分集合とし、a,b∈gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈h」なる~ が同値関係であるとする。このとき、hはgの部分群であることを証明してほしいです。 部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、 同値関係の定義については理解しています。 ですが証明文を書くことができず、困っています。 回答よろしくお願いします。
回答: ハイ お疲れ様 ヾ(@⌒ー⌒@)ノ ほとんど終わったね。 惜しいけどね・・・・ えっと、「~」の記号の意味は、だいたいokでしょう。 もうちょっと簡単にいくと、「結果的に同じことになるよ」と言うことです。 「0」「1」「2」のたとえで(n=0,±1,±2,・・・・を3で割ったときのあまり) #3を底とする剰余 などとも言います。 (1)~(3)まできれいにやって見てくれているから、 ダイジョウブだとは思います。 要は「結果的に同じになっている」と言うこと(!)。 これが大事なんですよ♪ で、惜しいのは、a=bではないんです。 #これが代数の厄介なところ(><) 結果的にはこうなっているけど、数値が必ず一致するとは限らない。 #あるいは、写像とかそういうものでも。 ので、部分群hの中に、aのインバース が含まれているという、 根拠を示しておかないといけないんです。 つまり、「bのインバースがaのインバースと同じものになります」と、 これが分かれば、okです。 だけどもダイジョウブです。a~b が成立するように、2つの要素を持ってくれば、 お互いのインバースも ~ の関係は成立するはずですよ。 これを示すだけ、残っているのは。 何度も言っていますが、代数学は記号だけで理解しようとしてはダメだよ。 必ず言葉で、意味を理解しないと辛いからね。 文系の要素は強いんですよ ^-^ 定理とか、定義なんかは、2の次3の次でいいよ♪ 問題は、それが何を意味しているのか分かっているかどうかだから。 数字や記号ばかり追いかけていると、この分野は辛いよ。 いろんなことをやってみたほうが、いいかもしれないよ ^-^ 何はともあれ、一段落いけたと思います。お疲れ様でしたm(_ _)m ついでに、部分群h と z との大きさを比較してみて? zの取り方によっては、hは部分群ではなく、zと等しくなるかもしれないよ♪