質問: 集合の問題で教えて欲しい問題があります❗ 3種類の検査を83人の人にしたところ、Aに55人、Bに60人、Cに58人が合格した。 またAとBに41人、BとCに45人、CとAに42人が合格した。 いずれの調査にも不合格の人は6人で
回答: まず、この手の問題は、 「少なくとも1つの検査に合格した人」について考え始めます。 これを合格者数とすると、 合格者数=A合格者数+B合格者数+C合格者数-AB合格者数-BC合格者数-CA合格者数+ABC合格者数 です。 「合格者数」は、「全体」-「どれにも不合格な人の数」であることに注意し、あとは、ABC合格者数について解くと、 ABC合格者数 =全体-不合格者数-A合格者数-B合格者数-C合格者数+AB合格者数+BC合格者数+CA合格者数 =83-6-55-60-58+41+45+42 =32 となることが分かります。 また、 「ABの少なくとも1つを合格した人の数」などが聞かれる場合も、 =A合格者数+B合格者数-AB合格者数 -※1 と分解して上式に代入して考えると、必ず求める数について解くことができます。 基本となる上式 AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C はすぐに式化できるように、直感的に理解しておいた方がいいと思います。 例えば、AUBUCは、添付画像の左図の領域ですが、 この値を求めようと、A+B+Cをすると、 右図のように、A∩B、B∩C、C∩Aの部分が2段に、 A∩B∩Cの部分が3段になってしまいます。 つまり、重複して足している箇所があるのですね。 その分を解消するために、今度はA∩B、B∩C、C∩Aをそれぞれ引いて、 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩Aとすると、今度はA∩B∩Cの部分が3回引かれ、真ん中に穴があいてしまいます。それを埋め合わせる為に、最後にA∩B∩Cを足して、 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C となることが、感覚的に理解できると思います。 また、○が2つの場合(※1が成り立つこと)も、同様の想像で理解できます。