質問: 0の0乗=1......かな? 0の0乗はいったい何なのかを考えていたら、ある本の中にあった、lim(n→∞)n^1/n=1の証明を見て少しひらめきました。 f(x)=(1+x)^n-(1+nx) という関数はx>0で微分可能ですから。 f'(x)=n(1+x)^n-1-n=n{(1+x)^n-1-1}>0 である事がわかります。すると、f(0)=0であり、f(x)はx>=0で増加するから、x>0のときf(x)>0で、つまり (1+x)^n>(1+nx) ここで、x=1/√nとおくと (1+1/√n)^n>1+√n>√n この式の左辺と右辺を2n乗すると (1+1/√n)^2n^2>n^n ここでn>1ならn^n>1ですから (1+1/√n)^2n^2>n^n>1 さらにlim(n→0)とすると (1+1/√n)^2n^2→1 となり、n^nは1で両側から挟み撃ちにされるので lim(n→0)n^n=1 つまり、0の0乗は1ってことにならないでしょうか。長々とした証明でした。読んでくださってありがとうございました。
回答: 0^0自体は不定形ですので定義できません。 f(x)=x^xの場合、x→+0とすると この場合はf(x)→1です。 コンピュータでグラフを書くと一番わかりやすいかと思います。証明は他の方が書いているので割愛します。 例えばf(x、y)=x^yでx→+0、y→+0の場合xがゼロに近づくスピードや近づき方とyがゼロに近づくスピードや近づき方によってこの値は1になりませんので0^0は1になりません。 例えばy=x^xにそってx→+0、y→+0とした場合f(x,y)→1にならないのでは。