質問: {cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでに質問あります。 (f,g)=∫_{-l~ {cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでに質問あります。 (f,g)=∫_{-l~l}f(x)g(x)dx と 定義して f=f(x) g=e0(x) とすると 内積より (f(x),e0(x))=∫_{-l~l}f(x)g(x)dxより=e0(x)∫_{-l~l}f(x)dxと出来る そして、 (定理) 2lを周期にもつ周期関数f(x)について a(n)=(1/l)∫_{-l~l}f(x)cos(nπx/l)dx (n=0,1,2,...) b(n)=(1/l)∫_{-l~l}f(x)sin(nπx/l)dx (n=1,2,...) とすると f(x)=a(0)/2+σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nπx/l)+b(n)sin(πx/l)} とフーリエ級数展開できる ----------------------- という定理から a(0)=(1/l)∫_{-l~l}f(x)dx がいえるのです これから a(0)l=∫_{-l~l}f(x)dx 内積の定義 (f,g)=∫_{-l~l}f(x)g(x)dx から (f(x),e0(x))=e0(x)∫_{-l~l}f(x)dx ↓a(0)l=∫_{-l~l}f(x)dxだから (f(x),e0(x))=e0(x)a(0)l ↓両辺にe0(x)をかけると (f(x),e0(x))e0(x)=a(0)l{e0(x)}^2 までは理解できるのですが、 その後の故に、 先に定理からフーリエ級数展開してから {cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けるとのことですが、 何度読み返しても、 {cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導ける理由がわかりません。 また、なぜ(f(x),e0(x))=∫_{-l~l}f(x)g(x)dxを導くために(f(x),e0(x))=∫_{-l~l}f(x)g(x)dxと式を作った理由がわかりません。
回答: {cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けません間違いです f(x)の周期は2lなので {1,cos(nx),sin(nx)}は基底になりません {1,cos(nπx/l),sin(nπx/l)}が基底になります en(x)とは(正規直交)基底なのです 基底とはどの空間の基底なのかによって決まるものなのです 今は 2lを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っているのだから 基底は 当然 2lを周期にもつ周期関数でなければなりません