質問: 行列の基本変形が基底を取り直す操作であるのは何故でしょうか。
回答: 1 A を (m, n) 行列とします。線形写像と見ると f_A(x):=Ax:R^n → R^m であり、行列 A はこの線形写像 f_A の標準基(R^n, R^m 共に標準基です)に関する表現行列です。 2 行の基本変形は左から3種の基本行列を有限個掛け算することで実行されます。従って、今 A に行の基本変形を k 回行って B が得られた とします。このとき ∃Q1, Q2 ・・・, Qk (基本行列);Qk・Q_{k-1}・・・Q2・Q1・A=B です。ここで Q=Qk・Q_{k-1}・・・Q2・Q1 とすれば、Q は正則行列であり、 QA=B となります。今,正則行列 Q^(-1) による R^m の基底の変換 {e1, e2, ・・・, em} ⇒ {v1, v2, ・・・, vm} を行います。即ち (e1, e2, ・・・, em)・Q^(-1)=(v1, v2, ・・・, vm)・・・・・(*) を考えます(基底の変換行列は旧基底の右側から掛かります)。このとき新しい基底 R^n の基は標準基のまま,R^m の基は変換した {v1, v2, ・・・, vm} についての f_A(x):=Ax の表現行列は {Q^(-1)}^(-1)・A・E=Q・A=B となります。 従って R^m の基を(*)により取り換えると、表現行列 A は B に変わります。 3 列の基本変形は、右から基本行列を有限個掛けることで実現します。この場合は、R^n の基底の取り換えで実現されます。 今、A に列の基本変形を行って C になったとします。即ち ∃P(基本行列の有限個の積) ;A・P=C です。今度は、正則行列 P による R^n の基底の変換 標準基 ⇒ {u1, u2, ・・・, un}, (e1, e2, ・・・, en)・P={u1, u2, ・・・, un} をすれば、A は (Em)^(-1)・A・P=A・P=C となります。