質問: 不偏分散での「すべての可能な標本・・」とは? 数学を趣味で勉強してる者です よろしくお願いします。 解説書に「すべての可能な標本の不偏分散の平均は、母分散に一致する」とあり、 例えば 母集団の大きさが、5 標本の大きさが、2 のときの、すべての可能な標本には、5*5=25通りとあります。 と言うことは、この場合の2つの標本は、同じもの(重複している)も、ありえるという前提と 解釈すればいいのでしょうか。 つまり、標本の採り方は、必ず元に戻すが基本なのでしょうか? またどうしても、2つの標本が必ず異なる(標本を戻さない)場合は、 不偏分散の考え方とは異なる、別の考え方があるのでしょうか? 理解不十分で、すみません、アドバイスお願いします。
回答: 重複を許さない無作為抽出の場合、いわゆる「不偏分散」の期待値(平均)は、母分散より大きくなります。 誤解がないように、きちんと記述してみます。 母集団サイズをnとして、{x1, x2, ... , xn}を各客体の値とします。このとき、次のμを「母平均」、σ^2を「母分散」といいます。 μ= (1/n)σ[i=1 to n]xi σ^2= (1/n)σi=1 to n^2 次に、サンプルサイズをnとして、{x1, x2, ... ,xn}をサンプル内の各客体の値とします。各xiは、x1, x2, ... , xnのどれかです。サンプルによってxiの値が変わるので、xiは、確率変数です。このとき、次のmを「標本平均」、s^2を「不偏分散」ということにします。 m = (1/n)σ[i=1 to n]xi s^2 = (1/(n-1))σi=1 to n^2 以下、重複を許す場合と、重複を許さない場合で、各種の指標を比較します。期待値をe、分散をv、共分散をcovで表します。また、「無作為抽出」とは、「すべてのサンプルが等確率」で抽出されるような抽出を指します。 (重複を許す無作為抽出) a1 サンプルの個数= n^n a2 1つのサンプルが選ばれる確率= 1/n^n a3 e(xi) =μ a4 v(xi) =σ^2 a5 i≠jのとき、cov(xi, xj) = 0 実際は、x1, x2, ... ,xnが独立である。 a6 e(m) =μ a7 v(m) = (1/n)σ^2 a8 e(s^2) =σ^2 (重複を許さない無作為抽出) b1 サンプルの個数= n!/(n-n)! b2 1つのサンプルが選ばれる確率= (n-n)!/n! b3 e(xi) =μ b4 v(xi) =σ^2 b5 i≠jのとき、cov(xi, xj) = -1/(n-1) x1, x2, ... ,xnは独立でない。 b6 e(m) =μ b7 v(m) = (1/n)((n-n)/(n-1))σ^2 b8 e(s^2) = (n/(n-1))σ^2 ご質問の「すべての可能な標本の不偏分散の平均は、母分散に一致する」とは、a8のことを意味します。重複を許さない場合、対応する式は、b8です。 なお、b5に注目してください。重複を許さない無作為抽出の場合、各客体の値は独立でありません。このことが、いろいろな場面で、重複を許さない場合の取り扱いを面倒にしているのです。