質問: lim[x→∞] (2^n+3^n)/(4^n+5^n) lim[x→∞] x/(e^x-1) ∫[ lim[x→∞] (2^n+3^n)/(4^n+5^n) lim[x→∞] x/(e^x-1) ∫[0 1] dx/√(1-x^2) 上記3つの計算をお願いします。2つ目から苦戦しています。使用する公式などありましたら、付記くださるとありがたいです。
回答: lim[x→0] x/(e^x-1) のなかの x/(e^x-1)は1/{(e^x-1)/x}と変形できますね。 そして 1/{(e^x-1)/x}の分母(e^x-1)/xはさらに(e^x-e^0)/xと変形できて x→0のとき(e^x-1)/x=(e^x-e^0)/xの極限値はx=0におけるe^xの 微分係数の定義式になっているのです。 x=0におけるe^xの微分係数は1だから x→0のとき x/(e^x-1)=1/{(e^x-1)/x}→1/1=1 となります。