質問: ベクトルの問題教えてください。 [question]oを原点とする座標空間内に3点a(2,0,a),b(0,2,b),c(2,2,4)がある。4点oabcが同一平面状にあるとき、四角形oabcの面積の最小値を求めよ。 4点oabcが同一平面上にあるとき実数m,nを用いて oc[vector]=moa[vector]+nob[vector]とあらわされる。 よって、m=[ア],n=[イ]となり、bはaを用いて、b=[ウ]a+[エ]とあらわされる。したがって、四角形oabcは[オ]である。ただし、[オ]に当てはまるものを次から選べ。 (1)台形(2)長方形(3)平行四辺形(4)ひし形 また、四角形oabcの面積sはaを用いてs=√([カ]a^2-[キク]a+[ケコ])とあらわされる。よって、sはa=[サ],b=[シ]の時最小値[ス]√[セ]をとる。 まず、同一平面上にあるという意味がわかりません。 座標はしっかりx,y,zまであるのに・・・・。
回答: 机の上に3次元の座標があるとしてみてください。 ボール紙に4角形を書きます。 この紙を机の上で斜めに立ててみてください。 3次元の空間の中にある4点が同一平面上にあるという状態が実現できました。 oabcの4つの点の中で 原点o(0,0,0)とc(2,2,4)は動きません。 a(2,0,a)、b(0,2、b)は動きます。 底面が2×2の直方体の4つの鉛直線上に4つの点があるのです。 牛乳パックをそばに置いて考えるといいでしょう。 底面の1辺の長さを2とします。 底面の1つの角をoとします。oの対角線の位置にある角の上、高さが4のところにcを取ります。aとbは残りの2つの角に立つ鉛直線上にあります。 oとcを通る平面で牛乳パックを切るとaとbが決まります。o、cを通る平面が傾けばa,bの位置が変わってきます。 面積が最小になるのはaとbの高さが等しくなるようにカットしたときです。高さはcの半分です。 最大になるのはaまたはbの高さが0になる(この時、bまたはaの高さは4になる)カットの仕方だろうという予想もできます。 これをベクトルを用いて解いているのです。 でも空間的なイメージがないとしんどいでしょうね。 幾何的に考える方が計算も楽であるように思います。