質問: 積分 級数 画像の答えの導出を教えてください。 (1)は平均値の定理を使用してみましたがうまくいきませんでした.
回答: (1) f は単調増加なので、k ≦ x ≦ k+1 の範囲で f(k) ≦ f(x) ≦ f(k+1)。 この式を k ≦ x ≦ k+1 の区間で積分すると、f(k) ≦ ∫[k~k+1]f(x)dx ≦ f(k+1)。 この式を k = 1, 2, ..., n-1 について総和すると、与式となる。 (2) (1)の式を変形して、f(1) + f(n) ≦ f(1) + f(2) + ... + f(n) ≦ f(n) + f(n)。 f(x) > 0 より f(n) > 0 だから、式を f(n) で割って、 1 + f(1)/f(n) ≦ { f(1) + f(2) + ... + f(n) }/f(n) ≦ 1 + f(n)/f(n)。 ここで n→∞ の極限をとれば、ハサミウチの原理により、 1 ≦ 1 + lim[n→∞]f(1)/f(n) ≦ lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + ... + f(n) }/f(n) ≦ 1 + lim[n→∞]f(n)/f(n) = 1。 すなわち、lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + ... + f(n) }/f(n) = 1。