質問: 8人でトーナメント線をすると、対戦の組み合わせは何通りあるでしょう という問題で、答えが315なので 8人でトーナメント線をすると、対戦の組み合わせは何通りあるでしょう という問題で、答えが315なのですが、 (8c2×6c2×4c2)/4!で、105だと思いました どうしてこの考え方は違うのですか?
回答: 考え方はいろいろとありますが、 8人でのトーナメントというのは、1回戦が任意の2人ずつで4試合を行い、2回戦(準決勝)を1回戦の勝者の任意の2人ずつで2試合を行い、2回戦の勝者同士で決勝戦を行うということでしょう。 仮にここで、1回戦をa-b,c-d,e-f、g-hの4試合を行い、2回戦はa-bとc-dの勝者、e-fとg-hの勝者が行い、2回戦の勝者で決勝戦を行うとします。 そうすると、決勝戦はabcdの中の1人とefghの中の1人が戦います。 したがって、abcdとefghの2グループに分けるのは8c4/2=35通りです。 abcdの1回戦の組み合わせは3通り、同様にefghの組み合わせは3通り、したがって、 35×3×3=315通りになります。 もう一つの考え方は・・・・・ 同様のトーナメント表で、重複した組み合わせがいくつあるかということです。 8人の順列は8! 1回戦では4試合それぞれでa-bもb-aも同じなので2^4の重複があります。 2回戦も2試合でa-bの勝者とc-dの勝者でもc-dの勝者とa-bの勝者でも同じなので、2^2の重複があります。 決勝戦でも右の山と左の山を入れ替えても同じなので、2通りの重複があります。 したがって、8!/(2^4・2^2・2)=8!/2^7=315通り ※もっと単純に7試合なのでそれの入れ替わりがあるので、重複は2^7でも構いません。