質問: 3次元極座標から2次元極座標への発散の変換(θ=π/2) 三次元極座標(r,θ,φ)の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標になるはずですが、何度計算してもそうはなりません。なにか勘違いをしているのでしょうか? 以下で偏微分の記号をd/drに変えて書かせてせて頂きます。 三次元極座標においてベクトル場a(a1,a2,a3)発散のrに関する項は(θ=π/2としてd/dθの項を消す。ちなみにこの操作は発散のrに関する偏微分の項に何の影響も与えません) 1/(r^2) d/dr(r^2 * a1) です。 一方、二次元極座標においてベクトル場a(a1,a2,a3)の発散のrに関する項は 1/r d/dr(r * a1) となり、一致しません 。これが私の計算間違いなのかそもそも一致しないのが正しいのか また、一致しないとすればその本質的な原因はなんなのでしょう? どなたかご教授いただけないでしょうか?
回答: ano.2へのコメントについてです。 > もう少し時間がかかりそう つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。 ご質問にある > 三次元極座標(r,θ,φ)の発散 という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、 (1)ベクトル場aは3次元空間中の各点で定義されている、 という定義域の話と、 (2)ベクトル場aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応させる、 という値域の話とをごっちゃになさっているだけではないか? と推測される。というのは、ご質問にある、 > 三次元極座標においてベクトル場a(a1,a2,a3) ってところ、「三次元極座標においてベクトル場a」を考えているのなら、それは(1)を意味している。また、「ベクトル場a(a1,a2,a3)」という部分は(2)を意味している(っぽい)。両者は別々の話なのに、一緒くたにして書いてある。 「aはa:r^3→r^3であるものとする」とでも宣言してあれば何の話なのかはっきりするのだけれども、それがご質問に書いてないということは、「a:r^3→xである。その定義域r^3をある曲面に制限すると...」って話と「a:y→r^3である。その値(∈r^3)をある曲面(の接平面)に射影すると...」って話が混在していることが疑われるな、と思います。 (円柱座標であろうと何座標であろうと関係なしに)定義域が3次元空間に広がっていて値域が3次元ベクトルである場aについて、その定義域をひとつの平面上に限定して考えてみたって、「各点に3次元ベクトルが対応している」という値域についての話には何の違いもなく、なので、定義域を限定しただけじゃ2次元のdivergenceなんか出てこない。(わざわざ式を書いてみなくたって)当たり前ですけど、えーと、これは腑に落ちますかね? さて、 > そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致する の「消す」の意味ですけど、それは「消えるようにする」ということではなく、自分で勝手に「無視する」という意味でしょう。 この操作によって、r^2→r^2の別のベクトル場を作る。するだとすればそれはまさしく、ano.2でθ=0のところで説明した、射影で作ったベクトル場bのこと。 で、以下はano.2の繰り返しですけど: すなわち、bは、aの3つの成分のうち、z=0の平面と直交する成分を無視したもの。従って、bはこの平面上の各点にベクトルを対応させ、しかもそのベクトルはこの平面と平行な2次元ベクトルである。 そういう2次元ベクトル場bについてなら、3次元のdivergenceと2次元のdivergenceと「一致する」のは当たり前である。これはaとは何の関係もない話で、最初っから平面上で任意の2次元ベクトル場b:r^2→r^2を考えれば当たり前に成り立つことである。 θ≠0の場合には、円錐面上の各点について、その点で円錐面と直交する成分を無視してbを作る、という「操作」をする話になる。もちろんaとは関係なく、最初っから円錐面上で任意のベクトル場b(ただし、bの各点におけるベクトルはその点において円錐面と平行である、という制約がつく。)を考えれば良い。なお、bを直交座標で表現すれば、「bは各点に3次元ベクトルを対応させるが、ただし、その3次元ベクトルには制約がひとつ付く(ので、自由度は2つしかない)」というふうに書くことになる。 そして、特にご質問のθ=π/2の場合については円錐面が直線に縮退するんで、無視しないで残るのは成分ひとつだけ、つまりスカラー場。直線上にスカラー値が並んでいるわけで、すなわちbってのはただの、1変数の実関数 r→r のことです。