質問: 無限集合の連続体濃度のよりも大きな濃度? http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#carginality 上記のサイトを眺めておりましたところ、下記の記述に出会いました。 ===引用=== 余談になりますが、 この記号 א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 א0 , א1 , א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました (aleph, beth, gimel, daleth, ・・・)が、 読めないし、写植の上でもなかなか表示できないので、 アレフの右下に添字を付ける今の表記法になりました。 ===引用終わり=== 恥ずかしながら、無限集合の濃度の事を聞いて以来、無限集合の濃度は下限が א0で上限がא1なのかと勝手に思っておりました。 ところが、上述のように、 א0 , א1 , א2 , ・・・ ということでありますと、俄然  א2の濃度を持つ無限集合に興味が湧いてまいりました。 連続体濃度よりも濃度が大きい無限集合とはどのような集合でしょうか? 数学の素人なものですから、直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けるとありがたいです。
回答: 正整数の集合n から素数の集合p への*全射でない単射*を作ってみましょう. fn = 2^(2^n)+1 をフェルマー数とします. すべての m, n に対して fn と fm が互いに素であることは容易に証明できます. つまり, 任意の n に対して「fn の最小素因数」が相異なることになります. そこで f(n) = 「フェルマー数fn の最小素因数」 とおけばこの f(n) は n から p への単射であり, かつ (f(n) = 2 となる n は存在しないので) 「全射ではない」ことが分かります. あと, 「未だに「実数+リンゴ」と「実数」の間には全単射があることを説明できません。」ということですが, これは「リンゴ」と π を対応させれば後は「π でない実数全体」と「実数全体」との間に全単射があるかどうかという問題に落ちます. 説明できない? ついでにいえば, 「部分集合でありながら一対一対応ですか?」という疑問を持っているようですが, 「整数と偶数の間に 1対1 の対応がある」ことは不思議に思いませんか? また, この性質は実は「整数が無限に存在する」ことと等価です. なぜなら, 無限集合は必ず「1対1 対応が存在するような真部分集合を持つ」からです.