質問: 微分方程式の特殊解の候補を求める問題なのですが 以下の微分方程式の特殊解の候補を求める問題なのですが 1. y"+y=t^2+t 2. y"+4y'+3y=sint+2cost 3. y"-2y'=e^tsint 4.y"+5y'+4y=18e^(-t) 例題はあったのですがいまいち問題の解き方がつかめないので、参考にどの問題でもよいので解いてもらえるとありがたいです。 例題)y"-4y'+3y=e^2t 解)右辺のe^2tは斉次方程式の一般解y=c1e^t+c2e^3tに含まれていない。したがって、特殊解の候補はy=ae^2t。
回答: 今回御提示の問題の特殊解を求めるは、一部理論的、一部経験的なとことが あります。 1)y"+y=t^2+t 経験的に、 y''と yで t~2+tですので, y=at^2+bt+cとおけば成立しそうだと予測を立てて、それを実際に計算します a= 1 b=1 c=-2 となります。 2) y"+4y'+3y=sint+2cost これも y'',y'と微分したものが sin と cos ですので y=a sin t + b cos t とおきます。これを計算すると a=1/2 b= - 1/4 です。 3) ,4)も同じ発想で y'',y'がそのような形になるかを想像して yを仮定します。