質問: 二次方程式の解について。 二次方程式が実数の範囲で解を持つか、または複素数の範囲で解を持つかは、二次方程式の解の公式の「判別式」で判断することができますよね。 そこで、この判別式を使って、二次方程式の解が実根になる確率と虚根になる確率と、どっちが大きいのか考えてみました。 まず、簡単にするために二次方程式 ax^2+bx+c=0 の両辺をaでわって、新しくできる係数をp,qとします。そうしてできた二次方程式の判別式は p^2-4q となりますよね。この判別式が0に等しいとして、この式を変形していきます... p^2-4q=0 4=p^2/q つまり数直線で考えると、p^2/qが丁度4になったとき二次方程式は一つの解しか持たないことになります(重根でしたか?)。同様に考えると(-∞,4)の範囲で二次方程式は虚根を、(4,∞)の範囲で二次方程式は実根をもつはずです。 そう考えると、虚根を持つ範囲の方が4つ分広いので確率が高いとおもったのですが、どうなるのでしょうか? それとも、私の考え方がどこか間違っていたのでしょうか?
回答: p^2-4q=0 4=p^2/q ではなくて p^2-4q=0 q=p^2/4 と考えてあげます。 すると、p,q平面で(分かりづらかったら、pをx、qをyと考えてあげて) y=x^2/4 のグラフを考えます。 y>x^2/4 の範囲は、p^2-4q>0ですから2つの異なる実数解を持ち、 y<x^2/4 の範囲は、p^2-4q<0ですから2つの異なる虚数解を持つことになります。 ですから、正しいと思います。 虚根を持つ範囲の方が広いので確率が高い思います。 全角半角入り乱れてごめんなさい。