質問: 微分積分の問題。微分係数の問題です。 次の関数について()内の点における値と微分係数を求めよ。 (1)y=sin^-1 x/2 (x=1) (2)y=(tan^-1x)^2 (x=-1) 値は分かるんですけど微分係数の求め方が分かりません。 lim(h→0) {f(a+h)-f(a)}/h で求めるんでしょうか?でも求まらないような......。 途中式含め教えて下さい。お願いします。
回答: (1)はy = arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね? y = (arcsin x)/2 ではないですよね? (1) x = 1のときy = arcsin(1/2) = π/6. y = arcsin(x/2)より x = 2sin y dx/dy = 2cos y ∴dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3. (2) x = -1のときy = (arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2. y = (arctan x)^2より arctan x = ±√y. この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており, arctan x = -√y. x = tan(-√y) = -tan √y dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y) ∴dy/dx = 1/(dx/dy) = -(2√y)cos^2 √y = -2・(π/4)・cos^2(π/4) = -2・(π/4)・1/2 = -π/4. ※ついうっかり符号の処理を誤ってしまいそう. [別解] (arcsin x)' = 1/√(1 - x^2), (arctan x)' = 1/(x^2 + 1) を用いると, (1) dy/dx = 1/{2√(1 - (x/2)^2)} = 1/√(4 - x^2) = 1/√3 = (√3)/3. (2) dy/dx = (2 arctan x)/(x^2 + 1) = (2 arctan(-1))/2 = -π/4. ※符号の処理をしなくていいから,こっちのほうが間違いは少ないかも...