質問: (2)の体積はどう求めればいいですか?
回答: Qの初期位置(0,0,1)において、辺OPの動く面は円錐面となります。 これをx軸を軸としてぐるっと回したものが求める回転体Kです。 うまく言葉に表せませんが、x軸に対して垂直に切ったときの断面を考えると、x軸からの距離が最も遠いのは円錐面上のふち(円周上)の点となります。(回転前の初期位置での円錐面の断面(面ではなく線になりますが)を考えたほうが分かりやすいかも) このままだと考えにくい(説明しにくい)ので、円錐面を、 底の円がx-y平面上(中心原点、半径√3/2)にあり、頂点がz軸上z=1/2と置き換えて考えます。 x軸となす角θ(問題文のθとは別物です)のときの底面円周上の点の、x軸との距離は r=√3/2 sinθ これを底辺とし、高さ1/2の直角三角形を考え、斜辺をxとすると、 x^2=1/4+(3/4)sin^2(θ) よってθの位置での回転体の断面積は、 S(θ)=πx^2 =π/4+(3π/4)sin^2(θ) なお、このS(θ)は求める回転体の断面そのものではなく、中まで詰まった、円の面積になっています。 これを積分して(x>=0の部分を考えます) V1=∫[0→π/2]S(θ)dθ =..... =(π^2)/8+3π/16 また、求める回転体の脇?には円錐状の穴が2つ開いており、その1個分の体積は V2=π/3・(1/2)^2・√3/2 =(√3)π/24 よって、求める体積Kは、 K=(V1-V2)*2 =(π^2)/4+(9-2√3)π/24 考え方はこれで合っていると思います。 計算はミスっているかもしれません。 ご参考まで。。。