質問: この確率漸化式の問題の解き方をわかりやすく教えてください!(1)ができれば(2)もできるのですが、 (2)にいつもたどり着けません...... この確率漸化式の問題の解き方をわかりやすく教えてください! (1)ができれば(2)もできるのですが、 (2)にいつもたどり着けません...... 確率漸化式を解く時のコツとか考え方とかを知りたいです。 すごく苦手です涙 だれかお願いします!
回答: 確率漸化式、難しいですよね!💦 でもゆっくり考えればほとんどの問題はクリアできます。 確率漸化式の解き方にはパターンがあるからです! 基本必勝パターン✌️(確実に覚えて使えるようになりましょう) 1$n$ 回目の状態から $n+1$ 回目の状態にどう移るかを考える ・まず $n$ 回目の状態を全て書き出す ・次に $n+1$ 回目の状態を全て書き出す ・$n$ 回目の状態から、$n+1$ 回目の状態にどう移るか? ・それぞれの移動する確率を考えて、式にする 2それぞれの回で、確率を全て合計すると1になる この12だけをしっかり覚えて、(1)の問題に取り掛かってみましょう! (1) ・まず $n$ 回目の状態を全て書き出す $n$ 回目、これまでの数字の合計は「偶数 or 奇数」の2パターンのみです。 そして、偶数である確率が $p_n$ ですよね。 「確率を全て合計すると1になる」ので、奇数である確率が $1 - p_n$ です。 $n$ 回目 偶数($p_n$) 奇数($1 - p_n$) ・次に $n+1$ 回目の状態を全て書き出す $n+1$ 回目、これまでの数字の合計は「偶数 or 奇数」の2パターンのみですよね。 $n+1$ 回目 偶数($p_{n+1}$) 奇数($1 - p_{n+1}$) ・$n$ 回目の状態から、$n+1$ 回目の状態にどう移るか? 今は、$p_n$ と $p_{n+1}$ の関係を知りたいのです。そこで 「$n+1$ 回目に偶数になるのはどんな時か???」と考えましょう。 $n+1$ 回目に偶数になるのはどんな時か??? パターン1:$n$ 回目に偶数で、次に偶数の玉を取り出す。 パターン2:$n$ 回目に奇数で、次に奇数の玉を取り出す。 この2パターンに限られます! ・それぞれの移動する確率を考えて、式にする パターン1: $n$ 回目に偶数($p_n$)で、次に偶数の玉を取り出す($\dfrac{2}{5}$)。 →パターン1からの確率は $\dfrac{2}{5} p_n$ です。 パターン2: $n$ 回目に奇数($1 - p_n$)で、次に奇数の玉を取り出す($\dfrac{3}{5}$)。 →パターン2からの確率は $\dfrac{3}{5} (1 - p_n)$ です。 なので、$n+1$ 回目に偶数になる確率($p_{n+1}$)は $$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \text{パターン1からの確率} + \text{パターン2からの確率} \\ &= \dfrac{2}{5} p_n + \dfrac{3}{5} (1 - p_n) \\ &= - \dfrac{1}{5} p_n + \dfrac{3}{5} \end{aligned} $$ これが確率漸化式です! (答)$p_{n+1} = - \dfrac{1}{5} p_n + \dfrac{3}{5}$