質問: c1e^(-x) + (c2x + c3)^2x c1,c2は任意定数 となるという考え方であってるのでしょうか?はたまたこの式だからこういう考え方ができるというだけのでしょうか?
回答: no1です。ひとつひとつ計算していきましょう。 y=a(x)*e^(2x) とすると、 y'=(a' +2a)*e^(2x) y''=(a'' + 4a' +4a)*e^(2x) y'''=(a''' + 6a'' + 12a' +8a)*e^(2x) となります。 ついでだからその先まで書きますと、、、 上の式をy''' - 3y'' + 4y = 0に代入して、 a'''+3a''=0 この微分方程式を解いて、 a''=(c4)e^(-3x) a'=(-1/3)*(c4)e^(-3x) + (c5) a=(1/9)*(c4)e^(-3x) + (c5)*x + (c6) となる。 よって、y''' - 3y'' + 4y = 0の一般解は、 y=(c1)*e^(-x) + { (1/9)*(c4)e^(-3x) + (c5)*x + (c6)}*e^(2x) ={(c1) + (1/9)*(c4)}*e^(-x) + {(c5)*x + (c6)}*e^(2x) = a*e^(-x) + (b*x + c)*e^(2x) (←係数を改めて設定) となります。 実のところ、テストで厳密に解答するとき以外は、特性方程式に2重根が出てきたら即、 「(b*x + c)*e^(2x)も解となる」 としていいですよ。