質問: 1/√(x2乗+1)の不定積分の求め方を教えてください。 解答では、{x+√(x2乗+1)}の自然対数を微分したら、1/√(x2乗+1)になることが利用されていましたが、そのようなことを思いつくのは
回答: (x^2 + 1) ^(1/2)の微分は (1/2)・(x^2 + 1) ^(-1/2)・2x , 即ち、x/√(x^2 +1) です。 これに 1 を加えた 1 + x/√(x^2 +1) = (x + √(x^2 +1) )/√(x^2 +1) ですから、 (1 + x/√(x^2 +1))/(x + √(x^2 +1) ) = 1/√(x^2 +1) です。 処で、この左辺は log[e] (x + √(x^2 +1) ) の微分ですね。 つまり、右辺の式の積分は、log[e] (x + √(x^2 +1) ) です。 と云う次第です。