質問: 至急お願いします。 y=f(x)=cosxcos2xのn階導関数を求めよ。 この問題がよく分かりません。よろしくお願いします。
回答: ポイントは、3点あって ・三角関数の微分はpi/2ずらすした関数になる ・三角関数の積は三角関数の和に変換できる ・関数の積の微分よりも、関数の和の微分の方が楽 まず最初に一般的な三角関数のn階導関数を考えます。 g(x) = cosxとして、微分を繰り返すと以下のようになって、 最後の行の様に一般化できます。 g'(x) = -sinx = cos(x+1*pi/2) g''(x) = -cosx = cos(x+2*pi/2) g'''(x) = sinx = cos(x+3*pi/2) g''''(x) = cosx = cos(x+4*pi/2) g^(n)(x) = cos(x+n*pi/2) これがわかれば、問題はシンプルです。 三角関数の積を和に置き換えて、関数の和の微分は、それぞれの関数の微分の和なので、これを順番にやります。 f(x) = cosxcos2x = 1/2cosx + 1/2cos3x = 1/2 * g(x) + 1/2 * g(3x) f^(n)(x) = 1/2 * g^(n)(x) + 1/2 * g^(n)(3x) = 1/2 * cos(x+n*pi/2) + (3^n)/2 * cos(3x+n*pi/2) これが答えになります。 試しにn=2で確認すると、 f^(2)(x) = 1/2 * cos(x+pi) + 9/2 * cos(3x+pi) = -1/2 * cosx - 9/2 cos3x これを確認します。 検算するときは、違う方法で求めた方が安全なので、関数の積の微分のやり方にします。 f(x) = 1 cosx cos2x f'(x) = -1 sinx cos2x -2 cosx sin2x f''(x) = -1 cosx cos2x +2 sinx sin2X +2 sinx sin2x - 4cosx cos2x = 4 sinx sin2x -5 cosx cos2x = -4/2 cos3x + 4/2cosx -5/2 cos3x -5/2 cosx = -1/2 cosx -9/2 cos3x で同じになります。 と言う回答がサイトにありました。