質問: 「f(x)=2x+∫(1~0)(x+t)f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。」 という問題で、 a=∫(1~0)(x+t)f(t)dtとおい 「f(x)=2x+∫(1~0)(x+t)f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。」 という問題で、 a=∫(1~0)(x+t)f(t)dtとおいてf(x)=2x+a...(1)として、 f(x)=2x+∫(1~0)(t+x)(2t+a)dt =2x+2/3*t^3+1/2*(a+2x)t^2+axt =(a+3)x+a/2+2/3...(2) と計算してみたのですが、(1)と比較したところ、(1)と(2)を同時に満たすaが存在しませんでした。 どこで間違えたのでしょうか? それともこの解き方自体間違ってるのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: a=∫(1~0)(x+t)f(t)dt とおくのが誤りです。 右辺に変数xが含まれているので、定数とおいてはいけません。 まず、tでの積分においては定数の機能をはたすxを外に出して f(x)=2x+x∫(1~0)f(t)dt+∫(1~0)tf(t)dt ここで ∫(1~0)f(t)dt=a ・・・ (1) ∫(1~0)tf(t)dt=b ・・・ (2) と定数で置きかえられます。 すると f(x)=2x+ax+b f(x)=(a+2)x+b これを、(1)と(2)の左辺に代入し積分計算をすれば、a,bが決定します。 尚、(1~0)の意味が、0から1なのか、1から0なのか不明です。