質問: 関数の連続 関数f(x),g(x)が区間[0,2]で定義されている. ともにx=1で連続であるとするとき, f(x)+g(x)がx=1で連続であることを示せ. という問題なのですが,limを使って 大きい方から1に近づけた値と,小さい方から1に 近づけた値が等しいことを示すのかな... というイメージはあるのですが,式に表して 答案用紙を書くことが出来ません. どなたかよろしくお願いします.
回答: εδを使ってよいなら(大学生以上なら) 任意の正数ε(>0)に対して、f(x)の連続性から、 あるδ_1(>0)が関数f(x)とεに応じて定まって、しかも、 |f(1+h)-f(1)|<ε, |h|<δ_1 を満たします。 直感的には1のそばではf(x)の値はf(1)に近いということです。 同様にδ_2(>0)もg(x)とεに応じて定まり、しかも、 |g(1+h)-g(1)|<ε, |h|<δ_2 を満たします。そこで、δ=min{δ_1,δ_2}とおけば、|h|<δのとき、 |{f(1+h)+g(1+h)}-{f(1)+g(1)}| ≦|f(1+h)-f(1)|+|g(1+h)-g(1)|(三角不等式より) <2ε となります。εは任意の正数なので、f(x)+g(x)もx=1で連続です。 高校生レベルでやる場合は、limを使って答案を書くしかない気がします。 一例ですが、 lim_{x→1}{f(x)+g(x)}=lim_{x→1}f(x)+lim_{x→1}g(x)=f(1)+g(1). したがってh(x)=f(x)+g(x)とおいたとき、 lim_{x→1}h(x)=h(1)となるので、h(x)=f(x)+g(x)はx=1で連続。