質問: 外積の成分の求め方 外積a×bの成分を求めるときに、図を用いて考える場合についてなのですが。 点a,bがありそれぞれの位置ベクトルをa=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)とし、点a,bをxy平面に投影したときの点をa',b'とすれば、点a',b'への位置ベクトルはa'=(ax,ay,0),b'=(bx,by,0)となりますよね?a×bとz軸とのなす角をγ(ガンマ)とすれば、 |a×b|cosγ=2△oabcosγ=2△oa'b' となるそうなのですが、理解できません。教えてください。
回答: △oabや△oa'b'と、oからa×b伸ばした先の点をcとする、 という図を書いてみてください。 a×bの大きさ|a×b|は、aとbで作られる菱形の面積であるということは解るでしょうか?(つまり△oabの二倍) つまり、 |a×b|=2△oab ってのは外積の定義(?)からくることなんですが。 ここで△oabと△oa'b'の角度っていくつでしょう? △oa'b'の面積は△oabとコサインとγでどう表せますか? って話なんでしょう。 外積の定義から、a×bが△oabと直交するというのは良いですよね? あとは中学の図形の相似みたいな話で、直角三角形関係で合同な角を探せ、みたいなことで。 で、関係ないけどここでcを考えてみます。 このcのz方向の高さって、occosγってのは良いでしょうか。 つまり、=|a×b|cosγなんですけど。 2△oa'b'ってのはoccosγというz軸上の点で表せるんだよって事でしょう。 (数学屋やベクトル屋ではないので、座標を使ったエレガントとは言い難い理解ですが)