質問: f(x)3x^2+6ax+a (0≦x≦4)のときの最大値と最小値を求めよ。場合分けはどのようになりますか?
回答: 平方完成すると、 f(x) =3(x^2+2ax)+a =3{(x+a)^2-a^2}+a =3(x+a)^2-3a^2+a となり、 軸がx=aの下に凸な放物線を 「xy平面上に」描けると分かります。 よって 軸の位置が 定義域より左か、 (軸の位置がx=0か) 定義域の中か、 (軸の位置がx=4か) 定義域より右か、 で最小値だけなら分けると思います。 しかし最大値については、 定義域の真ん中と、軸の位置との関係になります。 まとめると、 軸の位置が -a<0か (軸の位置がx=0か) 0<-a<2か、 (軸の位置が真ん中のx=2か) 2<-a<4か、 (軸の位置がx=4か) -a>4か、 になると思います。 カッコ書きしたところでは最小値または最大値が両側のものとつながるところになるので、どちらの範囲の不等号に=をつけてもいいかと思います。