質問: 数ii 恒等式、等式、不等式証明 数ii 恒等式、等式、不等式証明です。 緑で丸してあるところが分かりません 教えてください
回答: 2 5 6 ( 2 ) 基本事項 因数分解(やや難) a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c = ( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a ) 証明 a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c = ( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a ) より a + b + c = 0 を 代入して a^3 + b ^3 + c^3 - 3 a b c = 0 → a^3 + b^3 + c^3 = 3 a b c 証明終 ( 3 ) x / ( b - c ) = y / ( c - a ) = z / ( a - b ) = k とおくと、 x = k ( b - c ) , y = k ( c - a ) , z = k ( a - b ) より x + y = k ( b - a ) , y + z = k ( c - b ) , z + x = x + z = k ( a - c ) 両辺 たすと、 x + y + z = 0 つぎに ax + by + cz = ( a + b + c ) ( x + y + z ) - ( b + c ) x - ( a + c ) y - ( a + b ) z = ( a + b + c ) ( x + y + z ) - a ( y + z ) - b ( x + z ) - c ( x + y ) = ( a + b + c ) ( x + y + z ) - a ( c - b ) k - b ( a - c) k - c ( b - a ) k = (a + b + c ) ( x + y + z ) + ( - a c + a b - a b + b c - b c + a c ) k = ( a + b + c ) × 0 + 0 = 0 証明終 2 5 7 ( 1 ) 左辺ー右辺= ( x^2 + 1 ) ( y^2 + 1 ) - ( x y + 1 )^2 = x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1 - ( x^2 y^2 + 2 x y + 1 ) x^2 + y^2 - 2 x y = ( x - y )^2 ≧ 0 等号はx=y のときに 成立。 ( 2 ) a > 0 , b > 0 より 両辺2乗したものを 左辺ー右辺>0 を 示す。 ( √a + 2 √b )^2 - ( √ ( a + 4 b ) )^2 = a + 4 √ ( a b ) + 4 b - ( a + 4 b ) = 4 √ ( a b ) > 0 ゆえに √ a + 2 √ b > √ ( a + 4 b ) 証明終 ( 3 ) 基本事項 相加平均 ≧ 相乗 平均 a > 0 , b > 0 のとき a + b ≧ 2 √ ( a b ) ( 等号は a = b のときに 成立 ) ( a / b ) + ( b / a ) ≧ 2 √ ( (a / b ) × ( b / a ) ) = 2 ( 等号は ( a / b ) = ( b / a ) 、 つまり a ^ 2 = b^2 → a > 0 , b > 0 より a = b のときに 成立) 証明終 以上です。 違ってたら すみません。