質問: 四角形の対角線の角度の求め方を教えてくださ。 四角形abcdのab,bc,cd.daの長さ及び対角線ac,bdが分かる場合の対角線の交わる角度を教えてください。簡単なようですが分かりません。
回答: 対角線の交点をeとすると対角線の交わる角度は ∠bec=∠aed=x, ∠aeb=∠ced=yです。 ここで x+y=π(=180°)です。 x=π-∠ebc-∠ecb cos(x)=-cos(∠ebc+∠ecb)=sin(∠ebc)sin(∠ecb)-cos(∠ebc)cos(∠ecb) ...(※) 余弦定理より cos(∠ebc)=cos(∠dbc)=(bc^2+bd^2-cd^2)/(2bc*bd) cos(∠ecb)=cos(∠acb)=(bc^2+ac^2-ab^2)/(2bc*ac) sin(∠ebc)=√{1-(cos(∠ebc))^2}=√{4(bc*bd)^2-(bc^2+bd^2-cd^2)^2}/(2bc*bd) sin(∠ecb)=√{1-(cos(∠ecb))^2}=√{4(bc*ac)^2-(bc^2+ac^2-ab^2)^2}/(2bc*ac) この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。 対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。 もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。