質問: 数学の歴史上で、それまで正しいと思われていた公理が間違っていたと証明された事例ってありますか? 公理は昔からずっと同じですか?
回答: ラッセルのパラドックスにより集合論の公理系が整備されたのはこれに近いでしょう。 さすがに現代数学では、公理系の矛盾(公理は真なので、真かつ偽が示されること)が証明されることはないと思います。 「昔からずっと同じ」かどうかは、昔がどのくらいを指すのかによります。数学史は知りませんが、初等幾何以外は、「最近(19-20世紀に)」公理系が整備されたのではないでしょうか。皆が納得する公理系ができるまでは紆余曲折の議論があったと想像されます。