質問: 数学における内容的真理?と構文について 再質問になります、ご容赦ください。 数学の質問になっていないかもしれません、自分としては真剣なのですが、単なる言葉遊びと見えてしまったら申し訳ありません。 ゲーデルの定理の解釈の文脈などで数学における内容的真理は構文的な公理と推論規則だけでは表現しきれないと言われることがあると思います。 しかし、フォーマル(数理論理の立場)には数学は記号変形のみを対象とするのではないでしょうか? つまり、記号変形のみを対象とするのであれば、どうして内容的真理があるということや内容的真理と構文論間のギャップがあるとわかるのでしょう。 これらはどの視点、観点から言えることなのでしょうか、恐らく、上でいうような内容的真理というものも異なる構文規則によって指定された文字列のことと思っているのですが、ならばどうやってその間の関係を考えることができるのでしょうか?(つまり、ただの文字列で内容は副次的なものとするとそれが表していること同士の関係を考えることなどできないのではないでしょうか) 厳密な数学の議論を日常言語に引っ張られて行ったせいで発生した擬似問題だと思うのですが、結構悩んでいるのでこの分野に詳しい方、教えて頂けるとありがたいです。
回答: 『しかし、フォーマル(数理論理の立場)には数学は記号変形のみを対象とするのではないでしょうか?』 この時点で、この「自然言語」で記述された質問じたいに答えることは不可能なのです。つまり、引用部の前後にある、 『ゲーデルの定理の解釈の文脈などで数学における内容的真理は構文的な公理と推論規則だけでは表現しきれないと言われることがあると思います。』 『つまり、記号変形のみを対象とするのであれば、どうして内容的真理があるということや内容的真理と構文論間のギャップがあるとわかるのでしょう。』 が『フォーマル』ではない、とご自身が定義される以上、この疑問は『フォーマル』には記述されていないのです。