質問: 対称点の軌跡の問題で・・・ - - - - - - - - - 問題文 - - - - - - - - - - - - - 直線y=χ+1 に関して,点pと対称な点qをとる。 点pが直線y=2χ 上を動くとき,点qの軌跡を求めよ。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 頑張ってみましたが、解けませんでした。どうかフォローを お願いします。 私は、まず点pが直線y=2χ上にあることから、p(t,2t)とおき、 これを通り直線y=χ+1 に垂直な直線を求め、また点pと点qの中点が y=χ+1 上であることを使って解こうとしましたが、どうやら pのおき方がまずかったようです・・・
回答: まず、次のように定義してみます。 直線a:点pがある直線(y=2x) 直線b:y=x+1 直線c:点qがある直線(y=ax+b) 点pは直線a上にあるので、適当にp(3,6)などと決めてしまいましょう。 そして点pを通り、直線bに垂直な直線dの式を求めます。 「互いに垂直となる直線の傾きの積は-1」なので、 直線d:y=-x+d となり、点pを通るのですから 6=-3+d よってd=9 直線d:y=-x+9 となります。 次に、直線dと直線bの交点rを求めてみましょう。 直線b:y=x+1・・・(1) 直線d:y=-x+9・・・(2) (1)+(2)で2y=10 よってy=5 さらにx=4 よって点r(4,5) 点qの座標は点pと、直線bについて線対称であるので、 (点rのx座標-点pのx座標)=(点qのx座標-点rのx座標) です。これより、 4-3=qx-4 qx=5 点qは直線d上にあるので、 qy=-5+9=4 よって点qの座標は(5,4)となります。 ここまでで点p(3,6)のとき、点q(5,4)となることがわかりました。・・・(3) さて、ここで直線aと直線bの交点を求めてみましょう。 直線a:y=2x・・・(4) 直線b:y=x+1・・・(5) (4)-(5)で 0=x-1 よってx=1、y=2となります。 この交点は、点pの軌跡にも点qの軌跡にも共通の点であるので、(3)でわかった 点q(5,4)とこの交点(1,2)を通る直線が、点qの軌跡となります。 点qの軌跡である直線cは 直線c:y=ax+b なので、連立方程式をたててみると 2=a+b・・・・(6) 4=5a+b・・・・(7) となります。(6)-(7)より -2=-4a よって a=1/2 これにより b=3/2 となりますので、 点qの軌跡の直線cは 直線c: y=(1/2)x+(3/2) となります。