質問: 図形 縦の長さが8、横の長さが7の長方形の中に、 5個の合同な正方形が図のように詰め込まれているとき、 正方形の1辺の長さを求めよ。 図のように、正方形の1辺をx 図で左上に直角三角形があるが直角をつくる辺の短い方をa 長い方をbとして、相似を使って式を作っていきました。 3本できましたが、ここからxを求めれません。 よろしくお願いします。 (1)x^2=a^2+b^2 (2)a=14-3b (3)2a^2+6b^2+14a-ab-16b=0 の3本の式から、xを求めるのに挫折しました。
回答: 三角関数を使った別解を 大きい長方形の左上の頂点をa、他の頂点を左回りにb,c,dとし、 辺ab,bc,cd,daと正方形が接する点をe,f,g,hとします。 正方形の1辺をxとすれば、 eg=√10x fh=√13x sin(∠geb)=7/(√10x) sin(∠hfb)=8/(√13x) θ=∠aeh η=∠ahf α=∠geb-η β=∠hfb-θ とすれば、 θ+η=90° sinα=1/√10 cosα=3/√10 sinβ=3/√13 cosβ=2/√13 以上から、 sin(∠geb)=sin(α+η)=sinαcosη+cosαsinη=(1/√10)sinθ+(3/√10)cosθ=7/(√10x) sin(∠hfb)=sin(β+θ)=sinβcosθ+cosβsinθ=(3/√13)cosθ+(2/√13)sinθ=8/(√13x) 整理して、 sinθ+3cosθ=7/x 2sinθ+3cosθ=8/x これを解けば、x=√5 となります。