質問: e_i (i=1,2,...,n) で定める。 (1)任意のuがuに属するに対して、φ_u(u)=[u]_φであることを示せ。ただし[u]_φはφに関するuの成分を表す。 (2)φ,r^nの標準基底に関するφ_uの表現行列を答え、φ_uが同型写像であることを示しなさい。 という問題で以下の写真に書いてあるように示して見ました。まだ計算には疎いのでもし良ければどなたか検証し、間違いがあれば指摘してほしいです。 お願いします。
回答: (1) >[u]_φはφに関するuの成分を表す ??? φ_u(u) は r^n の元、「φに関するuの成分」はスカラーですから、 文章をそのまま受け取ると、イコールにはなりません。 u の φ 上での成分表示を u = σi=1..nu_i とすれば、 φ_u(u) = φ_u(σi=1..nu_i) = σi=1..nφ_u(u_i) = σi=1..ne_i です。 この最右辺のことを [u]_φと呼んだ ということなのでしょう。きっと。 問題の表現力の問題ですね。 φ が u の基底であることは、問題文中で仮定されているので、 改めて示す必要はありませんよ。 (2) (1)で、φ_u が σi=1..nu_i を σi=1..ne_i へ移す ことを示しました。基底 { u_i }, { e_i } 上の φ_u の表現行列は 任意の数対ベクトル (x_1,x2,...,x_n) を (x_1,x2,...,x_n) へ移す 一次変換の行列ですから、要するに単位行列です。 φ_u が線型写像であることは仮定で与えられていますから、 全単射なら同型写像です。 φ_u は、表現行列が単位行列なので、全単射ですね。