質問: 微分と積分の関係 微分と積分の関係を説明するときに、定積分を使うのはなぜですか? すなわち、 f(t)の原始関数の一つをf(t)として、 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){f(x)-f(a)}=f'(x)=f(x) (∫[a,x]は、下端がaで、上端がxです。) のように定積分を使って、微分と積分の関係を説明するのはなぜですか? 不定積分を使うのはだめなのでしょうか? すなわち、 f(x)の原始関数の一つをf(x)として、 (d/dx)∫f(x)dx=(d/dx){f(x)+c}=f'(x)=f(x) というふうにして、微分と積分が逆演算であることを説明するのはだめなのでしょうか? 個人的には、f(t)が出てきてよく分からなくなってしまう定積分の説明よりも、後者の説明の方がいいと思うのですが、どうなのでしょうか? とても困っています。 回答よろしくお願いいたします。
回答: 後者を使うときの最大の問題点は 「原始関数」ってなんだ というところにあります. ちなみに歴史的にいうと定積分と不定積分は完全に別々に発達しています. つまり「面積 (など) を求める定積分」と「微分の逆演算としての不定積分」とはもともと無関係でした.