質問: a^b+b^c+c^a=2abcを満たす整数abcの組を全... a^b+b^c+c^a=2abcを満たす整数abcの組を全て求めよ
回答: こんばんは! 自身でどこまで考えたのか、ちゃんと述べましょうね。いきなり「求めよ」と言われても... さて本題ですが、a,b,c の中に負の数があるとちょっと複雑なので、a,b,c が自然数の場合に限定して概要を述べます。 以下、対称性より a≤b≤c とします。まず b≥4 とします。このとき、ab+bc+ca=2abc≤2b2c であるため、bc<2b2c とわかります。したがって 0">2b2c−bc>0 です。2b2c−bc=b2(2c−bc−2) なので 0">2c−bc−2>0  が必要ですが、2c−bc−2≤2c−4c−2 ですので 0">2c−4c−2>0 が必要です。しかし、b≥4 より c≥4 なので、上式を満たすような c は存在しません。ここで矛盾が生じるので、b≤3 とわかります。 以下、具体的に計算していきましょう。 <b=3 のとき>a3+3c+ca=6ac かつ a≤3≤c となるような自然数 a,c を求めます。a3+3c+ca=6ac≤18c (∵a≤b=3 ) より 3c<18c となり、これより c=3 です。したがって a3+33+3a=18a なる自然数 a で 3 以下のものを求めればよいのですが、これを満たすような a は存在しません。 <b=2 のとき>a2+2c+ca=4ac をみたすような自然数 a,c を求めます。・a=1 のとき1+2c+c=4c であり、c=3 のみがこれを満たします。・a=2 のとき4+2c+c2=8c ですが、これをみたすような自然数 c は存在しません。 <b=1 のとき>a=1 となり、1+1+c=2c より c=2 と求まります。 以上より (a,b,c)=(1,2,3),(1,1,2) と求めることができました。実際には a,b,c の大小関係の制限はないので、これらの並び替えも正解です。 ... a,b,c を自然数と限定しない場合についても、一応考えてみますね。