質問: 図形と計量・平面図形[数学i] 2009年センター試験追試改正の問題です。 わからないので解説して頂きたいです。 よろしくお願い致します。 △abcにおいて、ab=ac=6、cos∠bac=2/3とする。辺abを1:2に内分する点をdとする。 (1)cからabに垂線をひき、垂線との交点をhとする。このとき、ah=ア、ch=イ√ウであり、bc=エ√オ、cd=カ√キである。また、cos∠bcd=ク/ケである。 (2)bにおいて直線abに接し、cにおいて直線acに接する円の中心をoとする。cdと円との交点のうちcと異なる方をeとする。△bdeと相似な三角形は、コとサである。 したがって、be=シである。よって、ae=ス√セであり、△abeの面積はソ√タである。 aeの延長と円oとの交点のうちeと異なる方をfとするとき、af=(チツ√テ)/トである。
回答: (1)について cos∠bac=2/3=ah/ac=ah/6からah=ア=4 ch^2=6^2-4^2=36-16=20からch=イ√ウ=2√5 bc^2=ch^2+bh^2=20+(6-4)^2=20+4=24からbc=エ√オ=2√6 cd^2=ch^2+dh^2=20+(4-2)^2=20+4=24からcd=カ√キ=2√6 以上からbc=cd、よって△bcdは二等辺三角形になり、△bcdと△abcは∠abcを 共有しているので△bcdと△abcは相似、よって∠bac=cos∠bcdから cos∠bac=cos∠bcd=ク/ケ=2/3 (2)について db^2=de*dc(公式)より4^2=de*2√6、deについて解いてde=8/√6 de:db=8/√6:4=2:√6=4:2√6=db:dc 以上から△bdeと△bcdは∠bdcを挟む2辺の比が等しいので相似である。 従って(1)の結果と合わせて △bdeと相似な三角形は、コとサ=△bcdと△abcになる。 bd=be=シ=4 ae^2=ab^2+be^2-2*ab*be*cos∠abe ∠abe=∠bacであるからae^2=6^2+4^2-2*6*4*2/3=20よりae=ス√セ=2√5 △abeの面積=be*(sin∠abe)*ab/2 sin∠abe=√{(1-(cos∠abe)^2}=(√5)/3 従って△abeの面積=ソ√タ=4*6*(√5)/(3*2)=4√5=ソ√タ ae*af=ac^2(公式)よりaf=36/(2√5)=(18 √5)/5