質問: あみだくじは何故絶対に答えが重ならないの?
回答: トポロジーでの証明はちょっと分かりませんが、 簡単な数学の概念(単射、全射)の概念で 説明を。 トポロジーということばを知っているということで 全射、単射の概念はしっていることは前提に します。 で、定理 (定理)有限集合Aについて、AからA自身の 写像について、全射であることと単射であるこ とは同値である。 証明は、鳩ノ巣原理(というまでもないか)から 簡単にできます。 で、あみだの話に戻ります。阿弥陀は1~nに 番号を振った上と下の写像とみなすことができ ます。上から下へができると同時に、下から上 へもできるわけですから、全射であることは明 らか。よって上の定理から、単射(答えがかさ ならない)であることが言えます。 あみだくじは数学の対象におきかえると置換群 の話であり、横棒ひとつは互換に当たります。 あみだはすなわち、互換の合成をやっていると いうことであり、互換の積は置換群の元である から、全射かつ単射であるともいえます。 置換群の考えであみだくじをエッセイ的にまとめた 記述が、小平邦彦編「数学の学び方」(岩波) に載っていた気がするので、ご関心あれば図書館 で借りて読まれてみればどうでしょう。