質問: 微分方程式 重ね合わせの原理 工学部機械科一年生です。 いま、単振動の微分方程式を解くところをやっています。 解がx1(t)=sinωt x2(t)=cosωt の二つが推測できるというのはわかります。 しかし、このあとで一般解を求めるのに重ね合わせの定理というのが出てきて、なぜこれが成り立つのかわかりません。 定理と書いてあるので、自分で証明したは方がいいのでしょうが、その証明方法がわからないのでわかりやすく教えてください! また、この定理を皆さんは覚えていますか? それとも、覚えないで理解した方がいいものですか?
回答: 「重ね合せの定理(または、原理)」は斉次線形微分方程式(または、線形斉次微分方程式)で成り立つものです(^^) 斉次線形微分方程式とは、 y" + ay' + by =0 で表される微分方程式の事です(簡単のため、2階定数係数の微分方程式を書いておきました)。 この方程式の解をy=u1,u2 としておきます。 すると、この微分方程式に代入して (u1)" + a(u1)' + b(u1)=0 (u2)" + a(u2)' + b(u2)=0 ですね(^^) さて、y=c1(u1) + c2(u2) (一般解) c1,c2:任意定数 を微分方程式の左辺に代入してみます。 (左辺)={c1(u1) + c2(u2)}" + a{c1(u1) + c2(u2)}' + b{c1(u1) + c2(u2)} これを整理すると、 (左辺)=c1{(u1)" + a(u1)' + b(u1)} + c2{(u2)" + a(u2)' + b(u2)} これは、明らかに (左辺)=0 ですね(^^) 単振動の場合、変位xを時刻t で微分する事になりますが、 d^2x/dt^2 + kx =0 ですから、斉次線形微分方程式になっています(◎◎!) 多分、証明が出来なかったのは、あらゆる微分方程式について成り立つと考えたからではないでしょうか?(^^;) で、この定理を憶えているかって話ですが、憶えるっーよりも、微分方程式の式の形から、当然だよねって見ている・・・そんな感じです(^^a) 参考になれば幸いです(^^v)