質問: 下の関数のを z=i を中心としてローラン展開する方法を教えてください。場合わけのある場合はそれもお 下の関数のを z=i を中心としてローラン展開する方法を教えてください。場合わけのある場合はそれもお願いします。
回答: また今回も、回答した質問が削除された直後に 同じ質問が投稿されているようです。 非常に頻繁ですね。まあ、そういうサイトなので しかたがないんですけど。 f(z) = 2z/(z^2 + 1) が任意定数を含まないので 場合分けは起こりようがありません。 まず、 z = i が f(z) の極であることを確認し、 その位数を求めます。 (z - i) f(z) = 2z/(z + i) が z = i で正則ですから、 1 位の極ですね。 次に、 その (z - i) f(z) を z = i 中心にテイラー展開します。 一般には、高次微分係数を求めてコツコツ計算する 必要があるのですが、今回は、等比級数だけでいけます。 (z - i) f(z) = 2 - 2i/(z + i) = 2 - 2i/{ (z - i) + 2i } = 2 - 1/{ (z - i)/(2i) + 1 } = 2 - 1/{ 1 - (i/2)(z - i) } = 2 - σ[n=0→∞] ((i/2)(z - i))^n. 両辺を (z - i) で割って、 f(z) = 2/(z - i) - σ[n=0→∞] (i/2)^n (z - i)^(n-1).