質問: 逆関数について f(x)=x^3+ax^2+(b-a-1)x という関数についての問題なのですが、 (1)f(x)がx≧0で増加するような点(a,b)の範囲gを答えよ。 (2)y≧0におけるy=f(x)の逆関数をx=f^-1(y) (x≧0)とする。点(a,b)がgを動くとき、 j=∫(0→b)f^-1(y)dyの最小値を求めよ。 という問題がついています。(1)は「a≧0かつb≧a+1 または a<0かつb≧1/3a^2+a+1」と解けましたが、(2)において、解説ではxy平面上の面積によってjの値をa,bを使って求めていますが、よくわかりません。a,bで表された式から先は理解できました。jの値の求め方をどなたか解説していただけますでしょうか。 「^」の記号は、x^ー1(xのー1乗)というように使い、∫(0→b)は「0からbまでの積分」を表しています。
回答: 私の記憶と今の指導要領が同じなら、 逆関数の定積分はあまりとりあつかってないですよね。 しかたないので、自分で思いつかないといけないのですが。 f^-1(y)のグラフをじっと見つめましょう。 f^-1(y)、ないし、その不定積分を 直接求めるのはまず不可能なので、搦め手でいきます。 ヒント1 f^-1(b)は求められますか? ヒント2 ∫(0→b)f^-1(y)dyを求められなくても ∫(0→f^-1(b))f(y)dyは求められるな・・・ ヒント3 じゃあ、長方形から・・・を引けば求められるんじゃないか? ・・・が何かは考えてみてください。