質問: 数学ii 多項式の割り算 数学ii 多項式の割り算 nを自然数とし、多項式fn(x)=σ[k=0→n-1]x^kと定める。 x^2010をfn(x)で割るとき、余りが1となるnはいくつあるか。 という問題があります。 どうやって解いていいかわかりません。 とりあえず、自分の考えを載せておきます。これでできませんか? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ mod fn(x)において、 (x-1)fn(x)=x^n-1より、x^n≡1 ゆえに、x^2010=(x^n)^m(mは自然数)とすると、 x^2010≡1となればよい。 2010=2*3*5*67なので、2010の約数の数は、2*2*2*2=16個 nも2010の約数の時、x^2010≡1となる。(ただし、f1(x)は定数のため、余りは0) したがって、題意をみたすnは、16-1=15個 となりました。 解答がなく、しかも正解の値が分からないので、このやり方でやっていけるのかどうかすらわかりません。 nに適当な値を代入していくと、なんだか矛盾してくる気がしてなりません。 特に、mが自然数と決めつけてしまったところもやや怪しい気がします。 誰か教えてください!
回答: たしかに「n が 2010 の約数であれば x^2010 ≡ 1 mod fn」が言えています。 しかし、その逆はまだ言えていないように思われますが、どうですか?