質問: p>0に対してガンマ関数γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとお p>0に対してガンマ関数γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとおく。(0→∞) (1)p>0に対してγ(p+1)=pγ(p)を示せ。 (2)nを自然数としてγ(n)を求めよ。 詳しく教えてください。 よろしくお願いします。
回答: タイピング簡略のためγ=gとする 普通、この手の問題は、まずgが収束していることを示す必要あるのだけど・・・。 (1)部分積分するだけ。 g(p+1) =int[0,∞]exp(-x)x^pdx =[-exp(-x)x^p][0,∞]+int[0,∞]exp(-x)px^{p-1}dx =pg(p) (2) 普通に積分してg(1)=1. g(n)=(n-1)g(n-1)=(n-1)(n-2)g(n-2)=...=n!g(1)=n!.