質問: 三角比の2円の関係した問題 平面状に2点o,pがあり、op=√6である。 点oを中心とする円oと点pを中心とする円pが、 2点a,bで交わってる。 円pの半径は2であり、∠aop=45°である。 円oの半径を√3-1としたとき、abの長さを求めよ。 この問題なんですけど、参考書によると、直線opに関しては上下対称となるので、△oabはoa=obの直角二等辺三角形になることから、ab=√2×oaとなる。 って書いてあるんですけど、∠aop=45°なのは分かりますが、どうして∠bop=45°なのもわかるのでしょうか。線分opがなぜ∠aobを二等分してるのかがどうしてもわかりません! また、ab=√2×oaって式もなんでこうなるのかわからないんですけど、どなたか解説できるかたよろしくお願いします!
回答: 円は中心に対して点対称な図形ですから、 円の中心を通る線(直径や問題のopなど)に対しても円は線対称になる性質があります。 すなわち、2つの円はopに対して線対称となるので、円周上の点aと点bも直線opに対して線対称になります。 このことから ∠aop=45°なら ∠bop=45°となるわけです。 これは直線opに対してoaとob が線対称(鏡の像の関係)なので opは∠aobの2等分線になっているともいえます。 さらに、 ∠aob=∠aop+∠bop=45°+45°=90° となるので、△aobは直角三角形となります。 同時にoaとobも直線opに対して線対称かつ同じ円の半径なので 直角三角形の△oabは二等辺三角形にもなるのです。 直角を挟む二辺が等しい直角三角形の辺の比は oa:ob:ab=1:1:√2=oa:oa:√2×oa となります。 従って ab=√2×oa となりませんか? 円oの半径のoa=√3-1を代入すれば abの長さが出てきますね。