質問: 1 to ∞}c_k cos(2πkf) 周波数のうちわけを知るだけなら fft で十分なのに, なぜピリオドグラムというものが存在するのでしょうか。 不運にも私には,高校数学程度の理解しかありません。 ピリオドグラムのメリットとかデメリットが気になります。 ピリオドグラムをかみくだいて語ってくださると幸いです。
回答: ピリオドグラムというのは,つまり,確率的な信号についての,fftの平均値みたいなものです. 普通,信号解析をする場合,多かれ少なかれ,外部ノイズなどの確率的な現象を含む信号(時系列)を対象にしています. なんでスペクトル解析なんかをするときにも,確率的な取り扱いが入ってきます. 例えば,なんかの観測を無限回,繰り返したとします. 1回目は,時系列 f1(t) を観測, 2回目は,時系列 f2(t) を観測, ... f1(t),f2(t),...は,だいたい似ているわけですが,細かく見るとノイズなんかの影響でちょっとずつ異なります. なんで,f1(t),f2(t),...をそれぞれ,フーリエ変換(あるいはfft)したf1(ω),f2(ω),...もちょっとずつ違います. で,ピリオドグラムというのは,こいつらの各ωごとの平均のことです.つまり periodogram(ω) = e[ fn(ω) ]_{n=1,2,...} です.(つまり.確率空間全体にわたる平均のこと) あと,パワースペクトルというのもあります.これは fn(ω)の絶対値の2乗の平均のことです. 信号解析では,各周波数成分ごとのパワーのほうに興味があることが多いので,こっちのほうがよく使われます. つまり, powerspectrum(ω)= e[ |fn(ω)|^2 ]_{n=1,2,...} です,(これも,ほんとは,確率空間全体にわたる平均のこと) 注意しないといけないのは, powerspectrum(ω) ≠ |periodogram(ω)|^2 ということです.これは,ある確率変数xについて e[x^2] ≠ (e[x])^2 てことを考えればわかりますね. なんで,パワースペクトルを計算するには,普通は観測した時系列を直接fftするのではなくて, 時系列の自己相関をとってそれをfftします.(ウィーナー・ヒンチンの定理) 定義上は,各観測時系列直接fftして,それぞれ絶対値の2乗を計算してから,平均すればいいわけですが, これだと,収束性がものすごく悪いです.