質問: 二重積分 ∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy (積分領域はx≧0,y≧0) の求め方が分かりません。 色々置き換えなどをやってみたのですが (例えばx+y=u,x=vとかx+y=u,x-y=vなど) うまくいきません。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
回答: u=x+y,v=xとおくと、積分範囲は、d={(u,v)|u≧0, 0≦v≦u} ヤコビアンを考えて、dxdy=dudv ∫∫_{d} e^(-u^2) dudv =∫{u:0→∞}e^(-u^2)*{∫{v:0→u}dv}du =∫{u:0→∞}ue^(-u^2)du =[(-1/2)*e^(-u^2)] =1/2 ・・・極座標より、よっぽど簡単だと思いますが。