質問: 微分方程式についてです。 y’y/x+1とy’siny+cosx0の一般解を求めて貰いたいです。途中式もよろしくお願いします。
回答: y’=y/x+1 y'-(1/x)y=1 (1) 一般に y'+P(x)y=Q(x) において F(x)=exp(∫P(x)dx) を積分因子という。 (註 exp(x)=e^x) 問題ではP(x)=-1/xよって F(x)= exp(∫(-1/x)dx)=exp(-logx)=1/x 積分因子F(x)を(1)の両辺にかける。 y'/x-(1/x^2)y=1/x 左辺は y'/x-(1/x^2)y=d[y/x]/dx (右辺を微分して確認すること) よって d[y/x]/dx=1/x 積分して y/x=∫(1/x)dx=log|x|+C y=x(log|x|+C) y’siny+cosx=0 sinydy/dx=-cosx 変数分離して sinydy=-cosxdx 積分して -cosy=-sinx+C cosy=sinx-C y=arccos(sinx-C) とy’siny+cosx=0