質問: お願いします。だれか説明してください。 f(x)=log(x)について以下のことについて答えてください。 グラフを作成した後、その結果を参考に、x<0のときlog(x)がどのような値になる説明せよ。 (ヒント:オイラーの公式) だれか説明できる人いますか?
回答: グラフを参考にすると、 実関数 log(x) は定義域に x < 0 を含まないことが想像できる。 ちゃんと考察すると、 y = log(x) は x = e^y と同値 というのが高校流での log の定義だから、 指数関数の地域を考えれば x > 0 であることが判る。 よって、 x < 0 のとき log(x) はどのような値にもならない。値が存在しない。 (ヒント:オイラーの公式) といことは、複素関数 log(x) を考えているのだろうか? それだと、話は変わってくる。 複素関数の場合も y = log(x) ⇔ x = e^y に違いはないが、複素指数関数が周期 2πi を持つ周期関数であるため、 その逆関数というだけでは log は一意に定義されない。 これを解決する方法はいくつかあるが、ここでは よく使われるもののひとつとして 0 ≦ (log(x))/i < 2π となるような log(x) の値を選ぶこことする。 すると、 y = u + vi (u,v は実数)として オイラーの公式より x = e^(u + vi) = (e^u)(cos(v) + i sin(v)). x < 0 となるのは、 sin(v) = 0, cos(v) < 0 のときだから、 v = π である。 また、|x| = e^u でもある。 これらにより、 log(x) = y = u + vi = log|x| + πi になる。 こんなことは、グラフから読み取ることはできそうにない。