質問: 多項式 実数を係数とする多項式p(x)で、 任意の実数xに対してp(x)≠0であるが、 任意の正の実数εに対してある実数aが存在して|p(a)|<ε となるようなものは存在しますか? 理由とともにお願いします。
回答: ないです。 1/p(x) という有理関数を考えてみましょう。 任意の正数 ε に対して |p(a)|<ε となる実数 a がある ということは、 任意の正数 1/ε に対して |1/p(a)|>1/ε となる実数 a がある ということです。 すなわち、 1/p(x) は有界ではないということ。 有理関数は、極を除いて連続ですから、1/p(x) は極を持つか lim[x→±∞] |1/p(x)| = ∞ かのどちらかになります。 1/p(x) が極を持つことは、任意の実数 x に対して p(x)≠0 であることに反します。 lim[x→±∞] |1/p(x)| = ∞ であれば、lim[x→±∞] p(x) = 0 ですが、 そのような多項式は定数関数 0 のみであり、やはり p(x)≠0 に反します。