質問: 極限値Slim(n→∞)1/n^2{√n^2-1^2+√n^2-2^2+·····+√n^2-(n-1)^2}を求めよ。 √はn^2-1^2 など繋がっています。
回答: S = lim(n→∞)1/n^2{√n^2-1^2+√n^2-2^2+·····+√n^2-(n-1)^2} = lim(n→∞)1/n{√(1-(1/n)^2) + √(1-(2/n)^2) +·····+ √(1-(n-1/n)^2) } (1/nを各ルートのなかに入れました。) = 1/nΣ[k=1→n-1]√(1-(k/n)^2) (シグマでまとめました。) = ∫[0→1]√(1-x^2) (区分求積法より) この積分は半径1の円の面積の1/4なので(y=√(1-x^2)とおくとx^2+y^2=1となりこれは原点中心の半径1の円であり、プラス側の関数で積分区間が0→1なので第一象限の部分の面積になる) S = π*1^2*1/4 = π/4 いかがでしょうか?