質問: 開写像って、どんな写像ですか。 開写像は、開集合を開集合へ写しますが、どんな写像といえるのでしょうか。 連続写像は「近くにあるものたちを近くに写す写像」ですよね。写像が全単射であれば、逆写像が連続写像であることと同値であるので、「遠くにあるものたちを遠くに写す写像」といえるような気がします。 位相の強弱を考えても、domainの開集合が多ければ、「近いものたち」が少なくなり連続写像になりやすく、domainの開集合が少なければ、「遠いものたち」が少なくなり開写像になりやすいため、直観にも合っていると思います。(恒等写像で、domainにtrivial topology、codomainにdiscrete topologyを入れる例など) (全単射だと開写像であることと閉写像であることは同値になるので、普通に考えると、これは閉写像のイメージかもしれません。) しかしながら、全単射でなければ、例えばrから円周への写像f(x)=exp(2πix)は開写像なので、上記のような解釈はできません。いったい、開写像とは、どういう写像なのでしょうか。 ご回答よろしくお願いします。
回答: f(x)=exp(2πix)のような、連続開写像で考えます。f:x→yとして、同値関係、 r:f(x)=f(y) を考えれば、商空間x/rをつくれます。fが連続なので、x/rの商位相はもとの位相と両立します。つまりa⊂f(x)が開なら、g:x/r→f(x)をg(c(x))=f(x)として、ginv(a)はxのrに関する充満開集合でx/rでも開です。ここで、c(x)はrに関するxの同値類,ginv(a)はaの逆像です。 従ってgの定義により、gは連続な全単射で開写像です。問題は、x/rをどういう意味に読むかですが、それはケースバイケースになると思えます。