質問: 四角の部分がわかりません。解説お願いします。高校数学 四角の部分がわかりません。解説お願いします。高校数学
回答: 下に凸の放物線と、直線とで囲まれた部分の面積を求め、それを最小にする直線のパラメータを求めるのですね? ここでは、本来「直線の式 - 放物線の式」とするところを、二次関数の x2 の係数を「正」にしたいため f(x) = 放物線の式 - 直線の式 とおいています。 このとき、f(x) = 0 となる x が交点の x 座標ということは分かりますね? この交点の x 座標を α、β とおけば f(α) = 0 f(β) = 0 なのだから、 f(x) = k(x - α)(x - β) と書けることは分かりますね? この問題の場合には、f(x) の x2 の係数が「1」なので k=1 で f(x) = (x - α)(x - β) になります。 これを積分すれば ∫[α→β]f(x)dx = ∫[α→β](x - α)(x - β)dx = ∫[α→β](x^2 - (α + β)x + αβ)dx = [ x^3 /3 - (α + β)x^2 /2 + αβx ][α→β] = (β^3 - α^3)/3 - (α + β)(β^2 - α^2)/2 + αβ(β - α) = (1/6)(β - α)[ 2(β^2 + αβ + α^2) - 3(α + β)(β + α) + 6αβ ] = (1/6)(β - α)[ 2β^2 + 2αβ + 2α^2 - 3β^2 - 6αβ - 3α^2 + 6αβ ] = (1/6)(β - α)[ -β^2 + 2αβ - 2^2 ] = -(1/6)(β - α)^3 1 これが、上に書いてある「1/6 公式」ですね。 この「1/6 公式」は、高校数学・受験数学では「時間短縮」のためによく使うようなので、覚えておいた方がよいようです。(もちろん、上のように時間をかければちゃんと導けます。符号に注意!) ただし、将来はあまり使いません。 1式から、求める面積は s = -∫[α→β]f(x)dx = (1/6)(β - α)^3 ということになり、この「最小値」は「(β - α) の最小値」ということになります。 あとは、二次方程式の一般解の式から x = (m ± √d)/2 ですから、 α<β なので α = (m - √d)/2 β = (m + √d)/2 と書けることから β - α = √d なので、「(β - α) の最小値」は「d の最小値」ということになります。 解の公式から(あるいは判別式の公式から) d = m^2 - 4(m - 2) = m^2 - 4m + 8 = (m - 2)^2 + 4 ←m の二次式を「平方完成」 y=d(m) は、下に凸の放物線で、頂点が (2, 4) ということで、d は m=2 のとき最小になり、そのときの最小値は d=4 です。 従って、 m=2 のとき ・d が最小(d=4) → (β - α) が最小(β - α = √d = 2) → 面積が最小(s = (1/6)(β - α)^3 = 8/6 = 4/3 ということになります。