質問: 重積分の等式について 2∫[0,π]{∫[0,y] f(sin x)dx}dy =∫[0,π]{∫[ 重積分の等式について 2∫[0,π]{∫[0,y] f(sin x)dx}dy =∫[0,π]{∫[0,π] f(sin x)dx}dy が成り立つと思いますが、どのように証明したら良いでしょうか?
回答: i=∫[0,π]{∫[0,π] f(sin x)dx}dy=π∫[0,π] f(sin x)dx j=2∫[0,π]{∫[0,y] f(sin x)dx}dy =2{∫[0,π]{∫[x,π] f(sin x)dy}dx・・・・・積分順序の変更 =2{∫[0,π]{f(sin x)(π-x)}dx・・・・・1 =2{π∫[0,π] f(sin x)dx-∫[0,π] f(sin x)x dx} =2{i-∫[0,π] f(sin x)x dx}・・・・2 1で z=π-xと変数変換すると j=2∫[π,0]f(sin z) z (-dz)=2∫[0,π] f(sin x)x dx これを2にいれると j=2i-j → j=i つまり、命題が証明された。