質問: n次の行列式の値の定義っていうのでΣとかsgnとかで書かれいるやつの 意味がわかりません・・・・ できるだけわかりやすく説明してください よろしくお願いします
回答: かなりおおざっぱすぎる質問ですが、わかりますよ。あれですね。(笑) 置換: 1からnまでのn個の自然数を考える。 この自然数1,2,3...nのそれぞれに、この今考えているn個の自然数 1,2,3....,nのどれか一つを対応させることを考える. このとき、ことなる自然数が同じ自然数に対応しないような対応のさせ方を n文字の置換という。 たとえば、1,2の両方が1に対応するならその対応は置換ではない。 ここで、aがbに対応することをb=σ(a)とかく。 またこの置換を行列にまねて次のようにかく | 1 2 3 ..... n | |σ(1) σ(2) σ(3) ......σ(n)| |は括弧 当然σ(1),σ(2),σ(3),......,σ(n)は相異なる1からnまでのn個の自然数 (σ(1),σ(2),σ(3),......,σ(n)のなかに同一の自然数があれば置換ではなくなってしまう) 例: σ= |1 2 3 4 5| |1 3 5 4 2| は置換で σ(1)=1,σ(2)=3,σ(3)=5,σ(4)=4,σ(5)=3 また、n文字の置換はn文字の並び替えともとれるので n文字の置換は全部でn!個あることがわかります。 ここでsgn(σ)を定義します。 sgn(σ)=(-1)^m :mは、a>bかつσ(a)<σ(b)となる組み合わせ(a,b)の個数。 なお、この組み合わせを反転という。 つまり、mはσの反転の個数 また、sgn(σ)をσの符号という。 例: σ= |1 2 3 4 5| |1 3 5 4 2| つまり 次を満たす置換σ: σ(1)=1,σ(2)=3,σ(3)=5,σ(4)=4,σ(5)=3 についてsgn(σ)を求める。 反転は(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) の4通りだから sgn(σ)=(-1)^4=1 行列式の定義: n次平方行列Aの行列式(|A|とかく)は以下のように定義される。 A:a(i,j)とすると S(n)はn文字の置換全体の集合 |A|=Σ(σ∈S(n)){a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ)) (ここで、a(i,j)は行列Aのi行目のj列目にある成分であることに注意します) この定義の意味は、S(n)つまり、全部でn!個あるn文字の置換全体の集合の要素の それぞれの置換σに対して a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ) を計算してその後、求めたn!個の数値すべて足しあわせると言うことです。 例: 定義に従って行列 A= |1 3| |5 2| の行列式を求めよう まず、今回はn=2だから まず、2文字の置換すべてを求める。 (2!個あるはずですね) σ1= |1 2| |1 2| と σ2= |1 2| |2 1| の二つ(2!=2ですので当然)しかない。 sgn(σ1)=(-1)^0=1 sgn(σ1)=(-1)^1=-1(反転は(1,2)の一つだけ) 次に、σ=σ1、σ2についてa(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ) を求めます。 σ=σ1のとき a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ) =a(1,1)×a(2,2)×1 =1×2×1=2 σ2についても同様に a(2,1)×a(1,2)×(−1) =5×3×(−1) =ー15 この二つを足しあわせれば |A|=2-15 = -13 と求められます。 これで、行列式の定義の意味が理解できたでしょうか。n=3,4,5... でも同じようにできますが計算が面倒です。 そのため、各種方法を使ってn<4に帰着させるのが一般的です。