質問: シニア数学演習40番 シニア数学演習の40番の解説おねがいします 放物線c1:y=x^2+2xの頂点をp 放物線c2:y=-x^2+ax+bの頂点をqとする。 次の3つの条件 (a)pとqは異なる (b)pはc2上にある (c)pとqを通る直線は点(1,3)を通る が成り立つときpとqを通る直線は y=アであり、a=イ、b=ウである。 ア、イ、ウを答えなさい。
回答: 放物線c1:y=x^2+2xの頂点をp 放物線c2:y=-x^2+ax+bの頂点をqとする。 各方程式を標準形に直して c1:y=(x+1)^2-1 c2:y=(x+a/2)^2+b-a^2/4 よって p(-1,-1),q(-a/2,b-a^2/4) 条件 (a)pとqは異なる→a≠2,b-a^2/4≠-1 (1) (b)pはc2上にある→-1=1-a+b b=a-2 (2) (c)pとqを通る直線lは点(1,3)を通る l:y+1=[(-1-b+a^2/4)/(-1+a/2)]*(x+1)=[(a^2-4b-4)/(2a-4)]*(x+1) (3) これが(1,3)を通ることから 4=[(a^2-4b-4)/(2a-4)]*2 b=(a-2)^2/4 (3) (2)、(3)から a^2-8a+12=(a-2)(a-6)=0 a=2またはa=6 (1)よりa≠2、よってa=6,このとき(2)よりb=4 (1)のもう一つの条件b-a^2/4=0≠-1をみたす。 pとqを通る直線は(3)にa,bの値を代入して y+1=2(x+1) ア:y=2x+1 イ:a=6、 ウ:b=4