質問: ある授業には受講生が177名いる.過去のデータに基づく大数法則によって,
回答: 不合格かそうでないかの二択ですから、不合格者数Xは二項分布に従います。 不合格率0.14のくじ引きが、177名について一人一回、つまり177回行われるのと同じことです。つまり、試行回数177、成功確率0.14ですから、不合格者数Xは二項分布B(177, 0.14)に従います。 ちなみに、確率そのものはスプレッドシート(EXCELなど)で直接計算できます。 = BINOM.DIST(30, 177, 0.14, 1) - BINOM.DIST(19, 177, 0.14, 1) = 0.765913801820875 以下の近似計算が正しいかどうかの目安となります。 問題では正規分布で近似するよう指示されています。 まずは、平均、分散・標準偏差を求めます。二項分布ですから簡単です。 平均:177 * 0.14 = 24.78 分散:177 * 0.14 * (1 - 0.14) = 21.3108 標準偏差:√(177 * 0.14 * (1 - 0.14)) = 4.61636220416033 以上より、二項分布B(177, 0.14)を、正規分布N(24.78, 21.3108)で近似します。 知りたい確率はP(20 ≦ X ≦ 30)ですが、正規分布は連続分布なので、P(19.5 ≦ X ≦ 30.5)の確率を考えます。連続補正というやつです。 この確率も直接計算できます。なかなか良い近似です。 = NORM.DIST(30.5, 24.78, 4.616, 1) - NORM.DIST(19.5, 24.78, 4.616, 1) = 0.766014930149673 ただ、この問題の意図するところは「(スプレッドシートは使用せずに)標準正規分布表を用いて解け」だと思います。なので、そのように解答します。 端点について、Z値を計算します。 19.5のZ値:(19.5 - 24.78)/√21.3108 = -1.14375773964218 30.5のZ値:(30.5 - 24.78)/√21.3108 = 1.23907088461236 ここまでの操作(X→Zへの変数変換)で、P(19.5 ≦ X ≦ 30.5)をP(-1.14 ≦ Z ≦ 1.24)に帰着させたことになります。 さらに、P(-1.14 ≦ Z ≦ 1.24) = P(-1.14 ≦ Z ≦ 0) + P(0 ≦ Z ≦ 1.24)です。 そして、標準正規分布はy軸に対称ですから、P(-1.14 ≦ Z ≦ 0) = P(0 ≦ Z ≦ 1.14)です。 これで役者がそろいました。標準積分布表でZ = 1.14とZ = 1.24を引いて和を取れば、求める確率となります。0.3729 + 0.3925 = 0.7654です。 求める確率は、P(20 ≦ X ≦ 30)ですが、離散分布を連続分布で近似するので、P(19.5 ≦ X ≦ 30.5)を考えます。 P(19.5 ≦ X ≦ 30.5) = P(-1.14 ≦ Z ≦ 1.24) = P(-1.14 ≦ Z ≦ 0) + P(0 ≦ Z ≦ 1.24) = P(0 ≦ Z ≦ 1.14) + P(0 ≦ Z ≦ 1.24) = 0.3729 + 0.3925 = 0.7654 %表示だの、四捨五入だのはお任せいたします。