質問: 0 という形になった場合、これはベッセルの微分方程式ではない、ということになるでしょうか。左辺最終項の形が標準形と違います。ある文献で”ベッセルの微分方程式になる”と断言されているのですが、標準形にならないので思案しています。例えば、独立変数を変換して式も変換すると標準形になるのでしょうか。よろしくお願いします。 よく、ベッセル、ラゲールなどの微分方程式は級数解を使いますが、いろんな現象から式を変形して標準形に本当にきれいに帰着できるものでしょうか。ちょっと違うとか亜種があるのかなと思いますが。 よろしくお願いします。
回答: 一つのやり方として・・、 x2(d2f/dx2)+x(df/dx)+ x c f = 0 d2f/dx2+(1/x)*df/dx+cf/x= 0・・・(1) f=uxとおくとf'=u'x+u , f"=u"x+2u' (1)に代入して整理すれば u"+3u'/x+(c+1/x2)u=0 ここで円筒関数に帰着される微分方程式の中 u"+(1-2α)u'/x+(β2+(α2-ν2)/x2)u=0 と比較してみると α=-1 , β=√c , ν=0のベッセル微分方程式に帰着させられる 解はu=(1/x)*z0((√c)x) (z0(x)は円筒関数)