質問: 2変数関数の極値について f(x,y)=(x^3)(y^2)の極値を求めよ という問題なのですが、偏導関数が0となる点を調べたところ x軸とy軸という解が出ました。しかし、これをdに代入すると d=0となり、極値の判定ができません。 d=0の場合、関数により対処法が違うということは知っているのですが この場合どうすればいいかわからないのでお力をお借りしたいです。 回答よろしくお願いします。
回答: dの定義式は何でしょうか? 停留点候補を(p,q)とすると d(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q) でいいですか? >偏導関数が0となる点を調べたところ >x軸とy軸という解が出ました。 停留点候補は (0,a),(b,0) (a, bは任意の実数) >この場合どうすればいいかわからないので d(0,a)=d(b,0)=0 (a, bは任意の実数) 極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。 極小値の定義(狭義の定義): (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)<f(x,y)を満たすとき (x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。 極大値の定義(狭義の定義): (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)>f(x,y)を満たすとき (x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。 これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について 停留点候補 (0,a),(b,0) (a, bは任意の実数) のいずれについても(狭義の意味での)極値を取らないことが分かります。 ∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a), f(0,a)=0<f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0), f(0,a)=0>f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0), 極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。 ∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b), f(b,0)=0<f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0) f(b,0)=0>f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0) 極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。 また停留点(0,0)について f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0) f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0) f(0,0)=0<f(t,t)=t^5 (t>0) f(0,0)=0>f(t,t)=t^5 (t<0) 極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。 以上から、(狭義の意味で)極値が存在しないことが言えます。 参考url:http://ja.wikipedia.org/wiki/極値