質問: 解析 教えてください! 以下の関数の極値を求めよ f(x,y)=8x^(3)-y^(3)-6x+3y
回答: 参考urlの定理2を使って極値の判別をすれば良いでしょう。 f(x,y)=8x^(3)-y^(3)-6x+3y fx=24x^(2)-6=6(2x+1)(2x-1) fy=-3y^(2)+3=-3(y+1)(y-1) 停留点を求めると fx=fy=0より (x,y)=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/k111.pdf,(1/2,-1),(-1/2,1),(-1/2,-1) fxx=48x,fyy=-6y,fxy=fyx=0 (x,y)=(1/2,1)について fxx(1/2,1)=24>0,fyy(1/2,1)=-6,fxy(1/2,1)=fyx(1/2,1)=0, ヘッシアンdet(h)=24(-6)-0=-144<0 定理2により(x,y)=(1/2,1)は鞍点。極値をとらない。 (x,y)=(1/2,-1)について fxx(1/2,-1)=24>0,fyy(1/2,-1)=6,fxy(1/2,-1)=fyx(1/2,-1)=0, ヘッシアンdet(h)=24*6-0=144>0 定理2により(x,y)=(1/2,-1)は極小点。極小値f(1/2,-1)=-4 (x,y)=(-1/2,1)について fxx(-1/2,1)=-24<0,fyy(-1/2,1)=-6,fxy(-1/2,1)=fyx(-1/2,1)=0, ヘッシアンdet(h)=-24(-6)-0=144>0 定理2により(x,y)=(-1/2,1)は極大点。極大値f(-1/2,1)=4 (x,y)=(-1/2,-1)について fxx(-1/2,-1)=-24<0,fyy(-1/2,-1)=6,fxy(-1/2,-1)=fyx(-1/2,-1)=0, ヘッシアンdet(h)=-24*6-0=-144<0 定理2により(x,y)=(-1/2,-1)は鞍点。極値を持たない。 (答) 極小値f(1/2,-1)=-4 、極大値 f(-1/2,1)=4 参考url:http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/k111.pdf