質問: 微分方程式 dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に対しての次の問のとき方について教えてください (1)x^a が微分方程式の解となるように実数aを求めよ (2) a を(1)で求めたものとする。y=x^a+zを微分方程式に代入して,zの満たす微分方程式を求めよ。 (3)(2)で求めたzの微分方程式を解いて,もとの微分方程式の解yを求めよ (1)についてはa=2という答えだと思うのですが,(2)以降の解き方の手順がわかりません。解法がわかるのであればよろしくおねがいします。
回答: 計算を羅列しますから読み取って下さい. そして,質問者さんなりに解釈・理解して下さい. dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x ax^(a-1)-2x^2(e^x)x^a+(e^x)x^(2a)=2x-(x^4)e^x ax^(a-1)-2x^(a+2)(e^x)+(e^x)x^(2a)=2x-(x^4)e^x ax^(a-2)-2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)=2-(x^3)e^x -2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)+(x^3)e^x =2-ax^(a-2) -2x^(a+1)(e^x)+(e^x)x^(2a-1)+(x^3)e^x =0 2-ax^(a-2) =0 -2x^(a+1)+x^(2a-1)+x^3 =0 2=ax^(a-2) a=2 ・・・・・(1)の答え. -2x^(2+1)+x^(2*2-1)+x^3 =0 2=2x^(2-2) -2+1+1 =0 2=2 (2) の計算. y= x^2+z dy/dx = 2x+dz/dx 2x+dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^2+z)^2=2*x-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^2+z)^2=-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*( x^2+z)+e^x*( x^4+2zx^2+z^2)=-x^4*e^x dz/dx-2*x^2*e^x*x^2-2*x^2*e^xz+e^x*x^4+2e^x*zx^2+e^x*z^2=-x^4*e^x dz/dx-2*x^4*e^x-2*x^2*e^xz+e^x*x^4+2e^x*zx^2+e^x*z^2=-x^4*e^x dz/dx-2x^4 e^x-2x^2 e^x z+e^x x^4+2e^x z x^2+e^x z^2=-x^4 e^x dz/dx-x^4 e^x-2x^2 e^x z+2e^x z x^2+e^x z^2=-x^4 e^x dz/dx-2x^2 e^x z+2e^x z x^2+e^x z^2=0 dz/dx+(e^x) z^2=0 ・・・・・(2)の答え. (3)の計算. dz/dx=-e^x z^2 dz/z^2=-e^x dx ∫dz/z^2=-∫e^x dx+c ・・・c は積分定数. -1/z=-e^x +c 1/z=e^x -c z=1/(e^x -c) y=x^2+z y=x^2+1/(e^x -c) ・・・・・(3)の答え. なお, y=x^2+1/(e^x +c) ・・・・・(3)の答え. でもよい.検算: y=x^2+1/(e^x -c) dy/dx=2x -(e^x)/(e^x -c)^2 dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に代入すると, 2x -(e^x)/(e^x -c)^2-2*x^2*e^x*(x^2+1/(e^x -c)) +e^x*(x^2+1/(e^x -c))^2=2*x-x^4*e^x 2x -(e^x)/(e^x -c)^2-2*x^2*e^x*x^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x*(x^4+1/(e^x -c)^2+2x^2/(e^x -c))=2*x-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -c)^2-2*x^2*e^x*x^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x*x^4+e^x/(e^x -c)^2+2e^x*x^2/(e^x -c)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -c)^2-2*x^4*e^x-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x*x^4+e^x/(e^x -c)^2+2e^x*x^2/(e^x -c)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -c)^2-x^4*e^x-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x/(e^x -c)^2+2e^x*x^2/(e^x -c)=-x^4*e^x -(e^x)/(e^x -c)^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x/(e^x -c)^2+2e^x*x^2/(e^x -c)=0 -e^x/(e^x -c)^2-(2*x^2*e^x)/(e^x -c) +e^x/(e^x -c)^2+(2*x^2*e^x)/(e^x -c)=0 以上,検算おわり.