質問: 螺旋の周長の求め方 半径rの円筒に巻きつけた糸をもどしながらできる螺旋上のある点から別の点までの周長の算出方法を知りたいのですが、どなたかご教示ください。なお、当方、高校程度の数学しか知識がありません。できるだけ、やさしくおねがいしたいのですが。
回答: no.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います. これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です. 糸を巻き付ける図形は円 (質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です) だけでなくて,いろいろな図形が可能です. さて,mame594 さんの長さの式 (1) s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが, 積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません. この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます. ちょいと数値積分をしてみました. α=π/2 s = 2.26449 α=π s = 6.54664 α=2π s = 22.0094 です.円の半径を1としてあります. 半径 a なら,上の数値を a 倍して下さい. 今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います. アルキメデスの螺旋は (2) r = bθ であらわされます. lp レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています. 他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋) (3) r = e^(cθ) や,双曲線螺旋 (4) r = d/θ があります.