質問: 広義積分の計算この問題の解法がわかりません。 特に、今回の場... ■どこまで理解しているか 広義積分の計算 ■どこが具体的にわからないか この問題の解法がわかりません。 特に、今回の場合、どのαで場合分けをすべきなのかわかっておりません。 直感的に、0<α<1、α=1、α>1でわけたら良いのかな?と思っております。
回答: わんばんこ。 ε∈(0,1) に対して、f(ε,α)=∫_[x:ε→1] x^{-α}e^{-x}dx とおきます。 広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}e^{-x}dx が収束するとは、極限 lim_[ε↓0] f(ε,α) が収束する、 ということなんですね(広義積分の定義は教科書に載っていると思うので参照していただければ幸いに思います)。 ε∈(0,1) を固定すると、f(ε,α) は有限の値になる。だけど、ε↓0の極限をとってしまった時にはf(ε,α)は単調に増大してしまっているのでf(ε,α)は無限大になるかもしれない。発散しないαを教えてね、 というのが今回の問題なのですよ。具体的な値がどうなるかということは全く聞かれていません。 今回の問題と若干違いますが、 広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}dx が収束するαの範囲を求めよ、 という問題はおそらく教科書に載っているのではないでしょうか(載ってなかったらすいません)。 そこでの解答はおそらく次のような感じ。 ε∈(0,1) に対して、g(ε,α)=∫_[x:ε→1] x^{-α}dx とおく。 このとき、 g(ε,α)=1/(1-α) (1-ε^{-α+1}) (ただし、0<α<1 のとき)、g(ε,α)=1/(1-α) (1-ε^{-α+1}) (ただし、α>1 のとき)、g(ε,α)=-log(ε) (ただし、α=1 のとき) である(これは普通に定積分すれば分かります)。これによると、g(ε,α) が収束するのは α<1 のときで、これ以外の場合は g(ε,α) は正の無限大に発散する。 よって、広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}dx が収束するαの範囲は α<1。ちなみにα<1のときは、lim[ε↓0]g(ε,α)=1/(1-α) です。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 今回の問題はこれをちょっとだけいじったものです。 ε∈(0,1)を固定するとき、 e^{-1} x^{-α}≦x^{-α}e^{-x}≦e^{-0} x^{-α}・・・(1) が区間[ε,1]の上で成り立ちますよね。e^{-0}=1 です。 (1)の両辺を区間[ε,1]上で積分すると、 e^{-1}g(α,ε)≦f(α,ε)≦g(α,ε)・・・(2) が成り立ちます。 α<1 のときは、lim_[ε↓0] g(α,ε)=1/(1-α) でしたから上の(2)の右側の不等式を利用して、 lim[ε↓0]f(α,ε)≦1/(1-α) がでます。 一方α≧1のときは、ε↓0 のとき g(α,ε) は発散していましたから(2)の左側の不等式から f(α,ε) も発散することが分かります。 以上より、 α<1 のときに 広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}e^{-x}dx が収束する、 ということが分かるわけです。 今回の問題では、α>0 が前提になっていますから、0<α<1 というのが答えになるわけですね。