質問: 数3の回転体の体積の求め方について、教えてください。 次のような問題の場合について、教えてください。 ■一辺の長さが1の正四面体abcdにおいて、abとcdの中点をm,nとするとき、この立体の直線mnを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。■ というような問題なのですが、 mnの長さは普通に求めて(今回は、1/√2でした)、 mnに垂直にこの立体を切り、その断面積の回転体をs(t)として、∫s(t)dt で求めるという方針で解こうと思っています。 そこで、疑問なのですが、その断面積を求めるときに、 どのような断面になるかが、全くイメージできません。 答えは、長方形のような断面積になるらしいのですが、 そこまでたどりつくためのコツを教えてください。 よろしくお願いします。
回答: #2です。回転体の立体図は添付図のようになります。 体積vは以下の式で計算できます。 体積v=π∫[-1/√2,1/√2] {r(x)}^2 dx ここで,xにおける半径の二乗は(r(x)}^2=(1+2x^2)/4 で与えられます。 vの積分は v=(π/2)∫[0,1/√2] (1+2x^2)dx と簡単な式になりますので、積分は出来ますね?