質問: 4次以下整式、f(1+x)+f(1-x)=2x^2 整式 f(x)は, f(1+x)+f(1-x)=2x^2, f(3)=-3f(-1) を満たしており,方程式 f(x)=0 は2重解をもつ. このような整式で次数が4次以下のものを求めよ、という問題なのですが、 答えは、x(x-1)^2 と (2±√3)/4 * (x-1)(x+3∓2√3)^2 とのことです。 どうか教えていただけないでしょうか。
回答: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e とおいて、 f(1+x)+f(1-x)を計算すると、4次の項が消えないので、a=0であることが分かります。 つまり、f(x)の次数は3次以下です。 f(x)=0 の2重解をaとすると、 f(x)=(x-a)^2(bx-c) と表すことができます。 f(1+x)+f(1-x)=2x^2 にx=0を代入すると、 f(1)+f(1)=0 より、 f(1)=0 f(1+x)+f(1-x)=2x^2 にx=2を代入すると、 f(3)+f(-1)=8 f(3)=-3f(-1) であることから、 f(-1)=-4 f(3)=12 以上から、 (1-a)^2(b-c)=0 (1) (-1-a)^2(-b-c)=-4 (2) (3-a)^2(3b-c)=12 (3) (1)式から、a=1またはb=cとなりますが、これを(2)(3)に代入して連立方程式を解けば求める答がでてきます。