質問: 自然数の定義はこれで正しい? 自然数の定義を知りたく思っております。 peanoの公理というものを見つけました。いちいちよく分かりませんでしたが 集合a(≠φ)に対し, {f:写像 ; 「fは単射」,且つ,「f(a)\aの元はただ一つでそれをeで表す」,且つ,「{s(⊂a) ; e∈s,f(s)⊂s}={a}}≠φ の時、aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、aの元を自然数という。 言い換えれば、 集合a(≠φ)に対し, (i) fは単射 (ii) f(a)\aの元はただ一つでそれをeで表す (iii) {s(⊂a) ; e∈s,f(s)⊂s}={a} なる写像fが採れる時、aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、aの元を自然数という。 このようなaは複数(無数)取れるが構造(体系?)が同じものを同一視すればこのような集合はただ一つしか存在しない。 この時、aを(ゴシック体の)nで表す。 と自分なりに解釈したのですが正しいでしょうか?
回答: うーん、(ii)はa\f(a)={e}だね。強すぎると思う。単にa\f(a)が空でない(eという元を含む)だけで良いのでは? a\f(a)の元が一つしかないことは(iii)から出せる。 # s={e}∪f(a)と置けばf(s)={f(e)}∪f(a)=f(a)⊂sよりs=a。従ってa\f(a)={e} 参考urlにwikipediaのページを置いとく。ここのペアノシステムが一番近いと思うけど。