質問: 数2の問題(複素数と方程式)を教えてください。 数2の問題(複素数と方程式)を教えてください。 問題 aを実数の定数とする。4次方程式 x^4-ax^3+(a+7)x^2-ax+1=0 ・・・・・(1) について、次の質問に答えよ。 [1]t=x+(1/x)とおくとき、方程式(1)をtの2次方程式に直せ。 [2]方程式(1)が2重解をもつとき、aの値をすべて求めよ。 [3]方程式(1)が異なる4つの正の解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 という問題です。 [1]だけやってみましたが、[2][3]はわかりません。 解説と模範解答をよろしくお願いします。 解答 [1]与えられた方程式はx=0を解に持たないから、両辺をx^2で割ると x^2-ax+a+7-(a/x)+(1/x^2)=0 ⇔ (x^2+(1/x^2))-a(x+(1/x))+a+7=0 ⇔ [(x+(1/x))^2-2]-a(x+(1/x))+a+7=0 ∴t^2-at+a+5=0 (答)
回答: [2], [3] は元の 4次方程式と置き換えてできた 2次方程式との関係を考えるのが普通でしょう. たぶん [2] より [3] の方が見通しは立つと思います.