質問: 2離れた奇数が互いに素なことの証明 整数 n が奇数のとき、n+2 も奇数です。 このことは自明ですか? 自明であるとすれば、その簡潔な理由が知りたいです。 自明でなければ、上手な証明をしたいのですが、どうしたらよいでしょう?
回答: 質問者さまの 背理法を用います。 奇数 n と n+2 が互いに素ではないと仮定する。 このとき、3 以上の素数 p が存在して、 n と n+2 はともに p の倍数である。 ∴ n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。 この場合 n=7、n+2=9の時7と9は、3 以上の素数pの倍数ではない。 n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が必ずしも存在するとは言えない。 3 以上の素数 p が存在して、には、奇数 n と n+2の奇数を意識しているのは見え見えです。 素数に唯一偶数の2が含まれているからね。 加えて、同じ素数の倍数で全ての奇数は表せませんよ。 さらに、互いに素の数と素数は別物ですね。