質問: 数列の問題...教えて下さい 以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか?ヒントを下さいませ。 数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,...) により与えられるとき以下の問いに答えよ。 (1)すべての番号n=1,2,...に対し,a_n > 2 が成り立つことを示せ. (2){a_n}が単調減少数列であることを示せ. (3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.
回答: 繰り返しのようになりますが・・・ (1)は、no.1さんのおっしゃるとおり、数学的帰納法が分かりやすいでしょうね。 (2)については、no.1さんやno.2さんのおっしゃるとおりですが、この数列はすべての項が正の数で、ルートを含んだ数列ですから、各項の2乗を考えると、a_{n+1} - a_n > 0 を示しやすいのでは? (3)については、まず(1),(2)よりこの数列は単調減少で有界な数列ですから、収束する訳ですよね。そして、問題はその極限値ですが、これはno.2さんのおっしゃるように、存在すると判ればそれを例えばxと置いて、式を作って解けば求まります。 なお、ご参考までに、蛇足を述べると、 (1) この数列は、一般に、初項が-2より大きいどんな数の場合でも、2に収束します。(初項a_1 が、-2 < a_1 < 2 のときは、単調増加しながら2に収束します。) (2) 漸化式が一般に、 a_{n+1} = √{a_n +k} (n=1,2,...) のとき、k ≧ 0 のときは、この数列は収束するようです。(極限値は簡単に求まります。) (3) さらに一般に、漸化式が例えば、 a_{n+1} = √{2×a_n +3} (n=1,2,...) などのような場合でも、この数列は収束するようです。