質問: 球の体積・表面積 球の体積・表面積の公式ってどうやって導けばいいのでしょうか? たしか球を無数の三角錐にわけたような気が。 わかるかたよろしくおねがいします!!
回答: こんにちは.esnaです. 極座標(r,θ,φ)で, (1)球の表面積(半径r) dθ,dφで作られる面積(球表面の微小な四角の面積)は, イメージ的には,四角錐の底面の部分は, 次の式で書けて r*rcosθdθdφ になります. よって,(0≦θ≦2π)(-π/2≦φ≦π/2)で積分すると, ∫∫r*rcosθdθdφ=r^2*2π*2 = 4πr^2 となります. (2)球の体積(半径r) (1)の場合に加えて,半径が(0≦r≦r)と変化するので (1)を半径を変えながら,重ねていくイメージで, ∫∫∫r*rcosθdrdθdφ = r^3/3 * 2π * 2 = 4πr^3/3 です.