質問: 無限級数の計算について教えて下さい すみません、無限級数の問題ですが、よく分からなくて、どなたか分かりやすく計算方法(公式?)を教えて頂けると助かります ■問題 σ[n=1 to ∞]9/10nの値は? (うまく表現できませんが、9÷(10のn乗)です) ■答え 1
回答: こんにちは。理系のおっさんです。 等比数列ですね。 >>>(うまく表現できませんが、9÷(10のn乗)です) 9/10^n と書けばよいですよ。 さて、 公式については、すでにいくつも回答がありますが、 私は暗記が苦手なので、すぐ導出できる公式は暗記しませんでした。 (どこか1箇所でも間違えて覚えると、アウトですので。) s = σ[k=1→n] c・a^k = c・σ[k=1→n] a^k = c(a + a^2 + a^3 + ・・・ + a^(n-2) + a^(n-1) + a^n) 両辺にaをかけると、 as = c(a^2 + a^3 + a^4 + ・・・ + a^(n-1) + a^n + a^(n+1)) 上の2つの式の差を取って、 as - s = (a-1)s = c(a^(n+1) - a) = ca(a^n - 1) よって、 s = ca(a^n - 1)/(a-1) = σ[k=1→n] c・a^k これで、公式の完成です。 結構簡単でしょ? ここで、c=9、a=1/10 を代入すればよいので、 σ[k=1→n] 9・1/10^k = 9・1/10・(1/10^n - 1)/(1/10 - 1) = 9/10・(1/10^n - 1)/(-9/10) = -(1/10^n - 1) n→∞ のとき、 σ[k=1→∞] 9/10^k = lim[n→∞] -(1/10^n - 1) = -(0 - 1) = 1