質問: ニュートンの理論の公理は? 文科系なので質問が意味をなしてなかったらすみません。 数学の本を見ていたら、理論ごとに 定数記号、関数記号、述語記号を用意して それらを組み合わせて論理式をつくる。 その論理式の中からいくつかを選んで公理とする。 あとは公理から許される規則を使ってで別の論理式を得て理論が展開されるように書いてありました。 それでニュートンの理論と言った時には 公理はどういったものになるのでしょうか?
回答: 私の回答は「高度」すぎません。 少なくとも、あなた方が展開している議論に比べたら。 説明が下手で申し訳ありません。わかりやすく書くのが信条なので。 どこまでを「物理の」専門用語とか使ってよいのか 難しいので、お許しください。 さて、 >別に力の種類が電磁気力でも良いのです。 そこに線引きが1つあるのですね。 「そこ」というのが、何を指すのかわかりませんが、 f = m a の = のところに線引きがあります。 左辺が、 各時代の物理の最先端で興味がある話題で、 力の理論です。 つまり、力の種類を明らかにしていく課題です。 電磁気力ならば、maxwell の方程式を公理とする電磁気の理論。 重力ならば、古典ならば万有引力の法則、発展編ならばアインシュタインの一般相対論から展開される理論という感じになります。もっとも、一般相対論は、運動方程式の右辺にも影響を与えるので、難しいけど。 運動方程式の右辺が、 通常の用語として「ニュートン力学」として語られる内容です。 量子力学や特殊相対性力学なども、右辺の内容を修正した 右辺の内容に関する数学理論と思ってよいです。 (もっとも、量子力学は修正の度合いが大きいので、運動方程式よりは、この前から解説している別の公理を修正したって思うのが妥当ですけど、大雑把なイメージとしては、要は力はやはり与件として与える) 要するに、 力の場(空間を定義域として、そのすべての点の関数として力を与える)と初期条件(物体のある時点での速度と位置)を与えたときの 6n 次元空間上の軌道の数理的性質を初期条件と関係付けるのが 「理論」の内容です。 線形変換によってもとのベクトルと行き先がどう関係付けられるのか?っていうのと似たような感じ。 で、no10. でもちょっと言及したけど、 物体の興味ある形のクラス(複数の原子からなる)や 力の興味深い分類 などを 新たに 解析学における「連続」などのように 定義として導入してやり、 それらに対して定理を作っていくのが、 解析力学理論の課題ですね。 もちろん、純粋数学と違って、 「興味深い」という基準は外的世界とつながっているけど。 ちなみに、万有引力まで公理を固定しちゃうと、 あまりに狭くなりすぎて、 数学理論としてほとんどインパクトを持ちません。 聞いたことあると思うけど、 「保存力」などの言葉(力のひとつのクラス)は、力学理論の肝だと思います。