質問: 電磁気の問題です。解説お願いします。
回答: 以下の表現で大文字で表したもの(点の名称を除く)は すべてベクトルとする。 双極子をE=0の無限遠方から電場Eの所まで運び、 そこで双極子のモーメントPがEと角θをなすよう、 双極子を置いたとする。 それまでに外部から加えるべき仕事、つまり双極子が その位置で(無限遠に対して)もつ位置エネルギーuを求める。 Pを電場の方向に対して常に直角に保ちつつ(つまり、+qと -qを常に等しい電位に維持しつつ)、双極子を無限遠から Eの電場まで運んだとすれば、+qおよび-qを運ぶに要する仕 事は互いに打ち消し合うため、全体として必要な仕事は0で ある。 したがって、uを求めるのに必要な仕事は、質問にある通り PとEのなす角を(π/2)からθになるまでPを回転させる仕事 を求めればよい。 双極子の-qと+qを結んだベクトル(-qから+qへ向かうベクトル) をLとすると P=qL 双極子の中心を点Oとし+qの位置を点A、-qの位置を点Bとする。 今、PとEが角αをなしているとする 点Oの電場がEのところで、PがEと角αをなす位置では点Aは 点Oから電場の方向に(∣L∣/2)cosαの距離、離れているので 、 そこの電場をE+⊿Eとすると、 点Aで+qにはたらく力はq(E+⊿E)、加える外力は-q(E+⊿E) 点Bで-qにはたらく力は-q(E-⊿E)、加える外力はq(E-⊿E) 以下は、必ず自分で図を描いてください。 Pの方向をαからα+dαにするために必要な仕事dwを求める。 Pの方向がαのときの+qの位置は点A、-qの位置は点B Pの方向をαからdα回転したときの +qの位置を点A'、-qの位置を点B'とする。 ベクトルAA'=R、ベクトルBB'=Sとすると、外力のする仕事dwは それぞれ内積の和となり dw=(R・(-q(E+⊿E)))+(S・q(E-⊿E))・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1 ここで ∣R∣≒(∣L∣/2)・dα≒∣S∣ ∠OAA'≒π/2≒∠OBB'だから Rと外力-q(E+⊿E)のなす角は(π/2)-α Sと外力q(E-⊿E)のなす角は(π/2)-α E∥⊿Eだから ∣E+⊿E∣=∣E∣+∣⊿E∣、∣E-⊿E∣=∣E∣-∣⊿E∣ 1は dw=(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣+∣⊿E∣)・cos[(π/2)-α] +(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣-∣⊿E∣)・cos[(π/2)-α] =(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣+∣⊿E∣)・sinα +(∣L∣/2)・dα・q(∣E∣-∣⊿E∣)・sinα dw=∣L∣・q・∣E∣・sinα・dα u=∣L∣・q・∣E∣∫[(π/2)→θ]sinα・dα =∣L∣・q・∣E∣・[-cosα][(π/2)→θ] =-∣L∣・q・∣E∣・cosθ =-∣qL∣・∣E∣・cosθ ここでP=qLだから u=-∣P∣・∣E∣・cosθ ゆえに u=-(P・E)