質問: 大学数学 x∈iに対してf(x)=lim[n→∞]f_n(x)を満たすfとする。 i=[0,1]とす 大学数学 x∈iに対してf(x)=lim[n→∞]f_n(x)を満たすfとする。 i=[0,1]とする。n:自然数として、f_n(x)=x^nとする。 ||f_n-f||=sup[0≦x≦1] |f_n(x)-f(x)|→/0 (n→∞)となることを証明して頂きたいです。 (方針: x_n→/1 ,x_n→1をとり、|f_n(x_n) -f(x_n)|=a>0となるようにする。a<1) →/は≠の=が→という意味で
回答: lim x_n を考える必要はないのでは? f(x) = { (0≦x<1 のとき) 0, { (x=1 のとき) 1. をまず求めて、 sup[0≦x<1] |f_n(x) - f(x)| = sup[0≦x<1] x^n = 1, |f_n(1) - f(1)| = 0 より sup[0≦x<1] |f_n(x) - f(x)| = sup{ 1, 0 } = 1. lim[n→∞] はとるまでもないが、 lim[n→∞] sup[0≦x≦1] |f_n(x) - f(x)| = lim[n→∞] 1 = 1 ≠ 0.