質問: 部分積分、置換積分 積分の問題がでたとき、部分積分で解くのか置換積分で解くのか区別ができません。何か区別の仕方とかあるのでしょうか。教えてください。
回答: 数をこなせば確かに自然に出来るようになりますが、せっかくなので、基本的な判断の仕方を述べておきます。 置換積分をする問題は非常に多岐にわたり、なおかつ置換の仕方も一通りではないので、部分積分でうまくいくかどうかの判断基準を述べます。 (i)三角関数×多項式 ∫(x+1)(sin x)dx など。これは多項式を微分、三角関数を積分して部分積分すればよいです。多項式の次数がたとえば3次なら三回部分積分します。 (ii)指数関数×多項式 ∫(x+1)e^x dx これも(i)と同じ。 (iii)対数関数×多項式 ∫x log x dx 今度は多項式の方を積分、logを微分します。特に多項式の部分が定数のときも1を積分することにより解決します。 (iv)指数関数×三角関数 ∫e^x(sin x) dx これは求めたい積分をiとおいて、二回部分積分をすると、再びiが出てきます。その方程式を解いてiを求めます。 上の4つの部分積分は超基本であり、なおかつ、大学入試で問われる部分積分の8割以上が上のどれかに属するので、この4つを見たらすぐ部分積分だと判断できるようになりましょう。それ以外の問題は、公式一発で解ける問題か、置換積分をする問題であろう、ということです。