質問: eを満たすn次正方行列bが存在する。 [1]→[2] aが正則であるから、aには逆行列が存在し、aa^-1=eとなる。 |aa^-1|=|e|より、|a||a^-1|=1≠0となり、|a|≠0であることがわかる。 ∴ aが正則ならば|a|≠0である。 [2]→[3] p、qを正則行列として、 paq=(er 0 0 0) としたとき aがn次正方行列なので、p、q および右辺の行列もn次の正方行列である。 |a|≠0より|paq|≠0で(er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、ranka=nが言える。 ∴ |a|≠0ならば、ranka=nである。 [3]→[4] aがn次正方行列でranka=nより、 aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。 よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。 ∴ ranka=nならば、aのn個の列ベクトルは1次独立である。 [4]→[5] aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。 このとき|a|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので |a|≠0である必要がある。|a|≠0であれば、a^-1が存在し、aa^-1=eとなる。 このとき、a^-1=bとすれば、ab=eとなる。 ∴ aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、ab=eを満たすn次正方行列bが存在する。 [5]→[1] ab=eより、|a||b|=1 つまり|b|≠0。このことよりbc=eとなる行列cが存在する。 c=ec=(ab)c=a(bc)=ae=a。 ここで、ba=eであることがわかる。 ab=eのbとba=eのbが同じであり、aに対して、bが1つしか存在しない。 よって、bがaの逆行列であることがわかる。 aに逆行列が存在するということは、aは正則である。 ∴ ab=eを満たすn次正方行列が存在すれば、aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか? アドバイスお願い致します。
回答: こんばんは。 [2]→[3] 適当なn次の正則行列p,qが存在して paq=(er 0 0 0) とできる。 [1]→[2]より 正則行列ならばその行列式も0ではないから、|p|≠0,|q|≠0.また、|a|≠0より|paq|=|p||a||q|≠0で(er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、ranka=n となる. ∴ |a|≠0ならば、ranka=nである. 3]→[4 aのn個の列ベクトルが線形従属ならば、どれか1つの列ベクトルが他のn-1個の列ベクトルの自明でない線形結合で表される. つまり、aの列基本変形により第n列が0ベクトルであるように変形できる。これはranka=n に矛盾.したがって、aのn個の列ベクトルは線形独立. 4]→[5 aの列ベクトルが線形独立ならばn個の未知数に関するn個の一次方程式系(ax=0)は自明な解しかもたない。 また、適当な正則行列bが存在して ab=e_r (r = rank a)とできる。このときr