質問: 100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、 100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7...となる。a,b,cの値を求めよ。 という数a 整数の問題です。 画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか?重複しないのですか?
回答: 素因数分解をした際に、2が含まれるのは偶数だけですから偶数を2,4,6,8,10,...90,92,94,96,98,100まで並べて、次ぎ次ぎに2で割っていくことを考えます。 2で割れなくなったら(商が奇数になったらそこで終わります) そうすると下のようになります。最初は偶数だから当然全部割れて、この段階で2が50個ありました。次に割る際には、1つおきにしか割れません(2^2=4の倍数)のでこの段階で2が25個得られます。次に2で割るとさらに一つおき(2^3 =8の倍数)にしか割れないので2が12個得られます。以下この操作を繰り返すと、最後まで残るのは64(=2^6)で6回割れます。 ここまでわかれば後は、下の図で右端の2の個数をたてにすべて加えれば2が97個得られることがわかります。つまり100!を素因数分解すると2^97が含まれることがわかります。あとは3,5について同様に計算するだけです。