質問: コーシー・リーマンの方程式について質問です! z+1/z x^2+iy^2 |xy| の三つの問題があるのですが、コーシー・リーマンの方程式により、関数の正則性を調べよ。
回答: z=x+iyとしてf(z)=u(x,y)+iv(x,y)という関数だとすると ∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xがコーシー・リーマンの方程式で これが成り立つzの範囲で関数f(z)は正則と言える。 但し、1つの孤立点だけで上記式が成り立ちその近傍で成り立たない 点ではその関数は正則ではない。 (1)f(z)=z+1/z f(z)=z+1/z=x+iy+1/(x+iy)=x+iy+(x-iy)/(x+iy)(x-iy) =x+iy+(x-iy)/(x^2+y^2) =x+x/(x^2+y^2)+iy-iy/(x^2+y^2) =x+x/(x^2+y^2)+i{y-y/(x^2+y^2)} つまり、u(x,y)=x+x/(x^2+y^2)、 v(x,y)=y-y/(x^2+y^2) コーシー・リーマンの方程式を計算すると ∂u/∂x=1+{(x^2+y^2)-x・2x}/(x^2+y^2)^2=1+(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 ∂v/∂y=1-{(x^2+y^2)-y・2y}/(x^2+y^2)^2=1-(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 =1+(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 から、分母がゼロのx,yともに0であるz=0を除いて∂u/∂x=∂v/∂yが成り立つ。 ∂v/∂x=-{0-y・2x}/(x^2+y^2)^2=2xy/(x^2+y^2)^2 ∂u/∂y={0-x・2y}/(x^2+y^2)^2=-2xy/(x^2+y^2)^2 から、分母がゼロのx,yともに0であるz=0を除いて∂u/∂y=-∂v/∂xが成り立つ。 以上により、f(z)=z+1/zの関数はz=0の点を除き、f(z)は正則である。 他も同様に考えればできます。