質問: 平面の方程式 3つの座標(1,-1,3),(-2,5,9),(-1,2,-1)を通る平面を求めよという問題がうまく出来ません. 途中経過としては、 平面の方程式をax+by+cz+d=0として、3つの座標から2つを取り出しベクトルをつくり、そのベクトルと平面の法線の内積が0になるという方程式を3座標の3つの組み合わせ分作成し、連立させて解きました.これによって、法線は求まったのですが、平面と原点の距離dが定まりません. どなたか教えていただけませんでしょうか?
回答: #1です。 >14(x-1)+8(y+1)-1(z-3)=0 >とするのはなんででしょうか? 図形の方から説明すると、 14x+8y-z=0 という平面は、求める平面に平行で、原点を通ります。 この平面を例えば,x方向に1,y方向に-1,z方向に3だけ平行移動してやると、原点が点(1,-1,3)に移ることから、 点(1,-1,3)を通る平面(平行移動しただけなので、求める平面に平行でもある)となります。 法線と通る点を与えれば、平面は一意に決まりますから、 14(x-1)+8(y+1)-(z-3)=0 が求めるべき方程式という事になります。 式の方から説明するなら、(↑とほぼ同じなので、こっちは、一般性を持たせます) a,b,cが既知なら、ax+by+cz+d=0において、あとはdを求めるだけです。(x,y,z)を通るとすれば、 d=-ax-by-czより、平面の方程式は ax+by+cz-ax-by-cz=0 a(x-x)+b(y-y)+c(z-z)=0 となりますね。 ちなみに、 dというのは、 法線ベクトル(a,b,c)と平面上の点(x,y,z)の位置ベクトルの内積(に-1をかけたもの)と考える事ができますね。(ax+by+cz=-dなので) したがって、|d|/√(a^2+b^2+c^2)が平面と原点の距離となります。 (とくに、√(a^2+b^2+c^2)=1となるようにa,b,cを選べば、|d|が平面と原点の距離になりますね) √(a^2+b^2+c^2)=1の時、dは平面と原点との距離を表します。