質問: 集合の問題 集合aから集合bへの写像f:a→bが与えられているとする。 aの2元a,bについてf(a)=f(b)のときa~bと定義すれば、 関係~が同値関係であることを示せ。 さらにfが全射であれば同値類集合a/~と集合bは対等であることを示せ。 前半はいいのですが後半がいまいちわかりません。 以下のように示したのですがどうでしょうか? x/~={[x]|x∈x},[x]={y∈x|x~y即ちf(x)=f(y)} これよりg:a/~→b:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。 (well-defined) [x]=[x']とする。この時∀y∈xについて y∈[x]とすればf(y)=f(x)=f(x')となるのでg([x])=g([x']) よってgはwell-defined (全射) ∀y∈bとするとfが全射であるから∃x∈a s.t. f(x)=y これよりx∈[x]だから∃[x]∈a/~となるのでgも全射となる。 (単射) g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。 其の逆も言えるので[x]=[y]
回答: no.1です >a/~は絶対値が等しい同値類の集合 はい,そういうので全く問題ありません. こうすると, 「直線」から「半直線」が構成されるのが分かりますね. 幾何的な例を出してみると f(0) = 0 f(x) = x (0 [0,1)を考えて [0,1]/~を構築すると,これは「円周」になります. #ひもの両端を接着するイメージです 「写像による商空間」は既存の空間から 新しい空間を構成するときの常套手段で, 射影空間も写像をうまく作れば この構成方法によって構築できます.