質問: 数学の「挟み撃ちの原理」について 数学の解析で、挟み撃ちの原理、というのがあります。 「原理」なのですが、これって本当に正しいんでしょうか?
回答: 「原理」ってなんとなく妖しいですよね。 定理なのか定理じゃないのか言ってみろ!という感じ。 「鳩の巣原理」なんか、その正体はかなり難しい。 でも、「はさみうちの原理」なら、普通に定理だから安心です。 私は普段、「原理」ではなく「ハサミウチ定理」と呼んでいます。 定理の内容は、こうです。 関数 f(x), g(x) が常に f(x) ≦ g(x) を満たすならば、 極限について lim[x→a] f(x) ≦ lim[x→a] g(x) が成り立つ。 証明は、εδ論法による lim の定義を使えば簡単ですが、 高校範囲の微積分では不可能かもしれません。 この定理を使うと、 g1(x) ≦ f(x) ≦ g2(x) が常に成り立ち、かつ lim[x→a] g1(x) = lim[x→a] g2(x) = b が収束するときは、 b ≦ lim[x→a] f(x) ≦ b より lim[x→a] f(x) = b になります。