質問: 6-17 再質問の高校数学の確率の問題です 6-17 再質問の高校数学の確率の問題です 2種の文字a,bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばaababb ではaa,b,a,bbの4個の連を持つ a,bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ 解説 a,b5個ずつ計10個の順列は[10]c[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がaで2連がbのものと,3連がbで2連がaのものとが考えられるが 5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える) その個数は[4]c[2]で一般のk分割だと[4]c[k-1]通りであるから a[5]=[4]c[2]・[4]c[1]+[4]c[1]・[4]c[2]=2[4]c[2]・[4]c[1] このようにしてa[2]~a[10]を求めると a[2]=2[4]c[0]・[4]c[0]=2,a[3]=2[4]c[1]・[4]c[0]=8, a[4]=2[4]c[1]・[4]c[1]=32,a[5]=2[4]c[2]・[4]c[1]=48, a[6]=2[4]c[2]・[4]c[2]=72,a[7]=2[4]c[3]・[4]c[2]=48, a[8]=2[4]c[3]・[4]c[3]=32,a[9]=2[4]c[4]・[4]c[3]=8, a[10]=2[4]c[4]・[4]c[4]=2 したがって求める期待値は 1/[10]c[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6 別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は 1/[10]c[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+ (5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]c[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+ (6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]c[5]・σ[k=2→10]6a[k]=6 (σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]c[5]に等しい) 研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである) 研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか?1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。と教わりましたが良く分かりません、何でそんな事が成り立つのか教えてください
回答: 大丈夫安心して 自分もわからん(笑) だから以下で言うことは参考にはなっても間違ってる可能性も高いです... 連あたりの文字の期待値は、連の個数の逆数の期待値の2n倍になりますが 研究で使われてる論法では 期待値の逆数は逆数の期待値と一致する と言ってるように見えます。 当然これは成立せず、実際 n回数字を選ぶ操作を考る。 1,2,3がそれぞれ1/3の確率で出れば期待値はnに依存せず2 1/1,1/2,1/3がそれぞれ1/3の確率で出れば期待値はnに依存せず11/18 当然nを∞にしようが結果は変わりません 別の例を挙げれば、 m個のみかんをk人で分けたときのみかんの個数の期待値は(k=1,...,mで等しい確率) σ1/m*m/k=σ1/k 故に一人当たりのみかんの個数の期待値は無限大に発散 m個のみかんを人数の期待値(m+1)/2で割れば 2m/(m+1) 故に2に収束し、大きく結果が剥離します。 (大体k=0.000...001など十分0に近い人数を認めた場合ものすごい剥離することがすぐ分かるでしょう。k=0などが混ざっていた場合定義すら不可能です) ただ、この問題ではnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2に十分近づくのは成立しそうです。 そして残念ながら自分の頭では、これ以上の議論は出来ず偶然一致したのではと言う答えしかだせませんorz 回答で質問するのも奇妙な形ですが、何か意味があったりするんですかね