質問: x^64+1がこれ以上因数分解できないことの証明 中学生です。 数学の時間で x^128-1 を因数分解せよ という問題が出ました。 2乗の差のやつで(x^64+1)(x^32+1)...(x^2+1)(x+1)(x-1)となることは分かるんですが、この x^64+1 とかがこれ以上因数分解できない理由が分かりません。どうか教えてください。
回答: 「因数分解できる」かどうかというのは, 係数としてどの範囲まで使っていいかも関係する. 例えばそのなかに出てくる x^4+1 でも, 実数まで使っていいなら x^4+1 = (x^2+(√2)x+1)(x^2-(√2)x+1) と因数分解できてしまう. 詳細は省くけど結果として x^128-1 は (x+1)(x-1) 以外に合計 63個の (実数係数の) 2次因子を持つ. x^4+1 が有理数の範囲で因数分解できないというのは ・1次因子を持たないことは因数定理から x-a という因子を持つなら a^4+1=0 であるはず (a が有理数なら当然そうならない) ・2次因子を持たないことは, 「因数分解できる」と仮定して x^4+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) (a, b, c, d は有理数) となるはず (だけど結果として矛盾する) というのがふつうだろうけど... x^64+1 だと可能性をたくさん考えなきゃならんので面倒くさい.