質問: 10000をn(1≦n≦10000)で割った時の商をan、余りをbnとするとき以下の問に答えよ。 (1)bn=10の時、nが取りうる値の個数を求めよ。 (2)bnの最大値を求めよ。
回答: (1) 9990の約数で、10より大きいものの個数に等しい 9990=2*3^3*5*37 よって9990の約数は32個 このうち10以下のものは1,2,3,5,6,9,10の7個 よって25個 (2) n=5001のときbn=4999となる bn>=5000となるnが存在すると仮定すれば n>b_nよりn>=5001 しかしこのとき、b_n=10000-n<=4999 これは矛盾 よって最大値は4999 (3) 10000/(n-1)-10000/n>=1を満たすnに対してanは相異なる値をとる これを解くと、1<=n<=100 一方10000/(n-1)-10000/n<1つまり101<=n<=10000のときは、nの増加に伴って、anは99から1までの全ての整数値をとりながら減少する なぜなら、a100=100、a10000=1であり、とられない整数値の存在を仮定してこれをkとすると、101<=m<=10000を満たすある自然数mが 10000/(m-1)>=k+1かつ10000/m1 となり、これは矛盾するからである。 1<=n<=100のときにとる値は100以上なので、以上より求める個数は199個