質問: 微分方程式 微分方程式 以下の方程式の解がわかりません。色々調べてはみたのですが。 どうやら1階の微分方程式に帰着できるようです。 xy''+y'=4x (1+x^2)y''+2xy'=2/x^3 大変お手数ですが、どなたかわかる方ご教授願います。 よろしくお願いします。
回答: xy''+y'=4x (1) p=xy'とおく p'=xy''+y' (1)は p'=4x p=2x^2+c=xy' y'=2x+c/x y=x^2+clogx+d (c,dは積分定数) (1+x^2)y''+2xy'=2/x^3 (2) p=(1+x^2)y'とおく p'=(1+x^2)y''+2xy' (1)は p'=2/x^3 p=-1/x^2+c (1+x^2)y'=-1/x^2+c y'=-1/(x^2(1+x^2))+c/(1+x^2) -1/(x^2(1+x^2))=1/(1+x^2)-1/x^2 ∴ y'=1/(1+x^2)-1/x^2++c/(1+x^2) c+1=dとおいて y'=d/(1+x^2)-1/x^2 ∫dx/(1+x^2)=arctanx+e(微分すればわかる) y==darctanx+1/x+e (c,d,eは積分定数)