質問: 高校数学の問題です。 解いてください。 「Σ[k=1→n]k^2をnの多項式の形で表せ。ただし、公式をそのまま示さないこと。」
回答: 恒等式 (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を利用し、k=1〜n まで変化させて加えると、 (2^3-1^3)+(3^3-2^3)+...+{(n+1)^3-n^3}=3Σ[k=1→n]k^2 +3Σ[k=1〜n]k+Σ[k=1〜n] S=Σ[k=1→n]k^2 とし、 Σ[k=1→n]k=n(n+1)/2 を既知して、 (n+1)^3-1^3=3S+3n(n+1)/2+n n^3+3n^2+2n-3n(n+1)/2=3S n(n^2+3n+2)-3n(n+1)/2=3S n(n+1)(n+2)-3n(n+1)/2=3S n(n+1){(n+2)-3/2}=3S n(n+1)(n+1/2)=3S S=n(n+1)(2n+1)/6