質問: 微分方程式の解き方を教えてください y''+y=1/cosx という微分方程式の同次方程式y''+y=0の一般解は y=acosx+bsinx (a,bは任意定数) ですが、特殊解の解き方が分かりません。 もし(右辺)=cosxなら逆演算子を使ってすぐに解けるのですが、(右辺)=1/cosxとなると分かりません。ご存知の方、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。 ※ y''=d^2y/dx^2
回答: 定数変化法で解けます。 a,bをxの関数とします。 y=acosx+bsinxのロンスキアンは1になるので、 a'(x)=-sinx*(1/cosx)=-sinx/cosx b'(x)=cosx*(1/cosx)=1 これらを積分して a(x)=∫dt(-sint/cost) (積分の下限はなし、上限はx) b(x)=x よって特解は y=a(x)cosx+b(x)sinx ={∫dt(-sint/cost)}*cosx+x*sinx ={∫dt(-sint/cost)}*cosx+{∫1dt}*sinx (∫1dt=x) =∫dt{-sint/cost*cosx+cost/cost*sinx} (cost/cost=1) =∫dt{(-sint*cosx+cost*sinx)/cost} =∫dt{sin(x-t)/cost} (sinの加法定理) ■定数変化法 y=a*y1+b*y2のロンスキアンはw=det(y1 y2; y1' y2') y''+y=f(x)にy=a*y1+b*y2を代入すれば a'=-y2*f/w b'=y1*f/w が出ます。