質問: 選択公理は循環論法的ではないですか? 集合論における選択公理は,現行の表現のままでは, 循環論法的主張になってしまっているのではないでしょうか? つまり,それぞれの集合族について選択関数が選べると言っても, 選択関数は沢山あるから,1つ1つの集合族についてどの選択関数を選んだらよいか, 選択しなければいけないのではなでしょうか? すると,選択関数を選択するのに, また選択公理を使って選択しなけばいけないが, それを選択するのにまた選択公理を使って・・・??! これでは,いつまで経っても選べない! だから,選択公理は, すべての集合から成る領域において定義された選択関数の存在 を主張しないといけないのではなでしょうか? 従って,公理の表現を次のように改めないといけないと思うのですが・・・ ∃f:v-{φ} → v ,∀a∈v ,∀x∈a ,x≠φ ⇒ f(x)∈x (f:選択関数,v:すべての集合(族)からなる領域,φ:空集合,a:集合族,x:集合) 「強い選択公理」とか「弱い選択公理?」とかもあるようですが、 上記の点はどうなのでしょうか?
回答: no.11への返答に関しては、前者の解釈でよろしいです。 一般論として有限の対象に関しては網羅的記述ができますが、無限の対象についてはできません。 選択関数についても有限対象なら対応関係を網羅的に定義してやることで構成できますが、無限対象では不可能なので他の方法が必要になります。それが選択公理というわけです。