質問: 指数関数×三角関数の積分 (e^x)×(cosx)の部分積分を解く問題なのですが、 i=∫(e^x)×(cosx)dx =(e^x)(cosx)+∫(e^x)(sinx)dx =(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx ∴i=1/2(e^x)(cosx+sinx)+c と、模範解答に書いてあったのですが、 (e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dxが1/2(e^x)(cosx+sinx)+cになる、という所がいまいちわかりません。 初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えて頂けたら有り難いです。 あと、似た問題で(e^x)(sinx)の積分を解く問題もあったのですが同じように1/2(e^x)(-cosx+sinx)+cという形になったりするのでしょうか。
回答: no.1さんが既に答えてくれてますね。 ちなみになんですが、微分してから解くのもよく使われる方法です。 複雑なものになると計算ミスしやすいので、こちらの方を知っとくと便利なこともあります。 ((e^x)*(cosx))'=-(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)・・・(1) ((e^x)*(sinx))'=(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)・・・(2) ((1)+(2))/2から (e^x)*(cosx)={ ((e^x)*(sinx))' + ((e^x)*(cosx))' }/2 左辺の積分が、求めたいヤツです。 なので、右辺を積分してやったらご質問の答えが導けます。 同様に、(e^x)(sinx)の積分も考えられます。 (1/2)*(e^x)*(sinx-cosx)になるかと思います。