質問: ベクトルの問題です。教えてください! 四面体oabcがあり、oa=ob=oc=5、∠aob=∠boc=∠coa=90°である。 辺abを2:1に内分する点をd、辺ocの中点をe、線分deの中点をfとする。 また、oa=a、ob=b、oc=c(ベクトルは省略させてください。)とする。 また直線afと三角形obcとの交点をpとするとき三角形oapの面積を求めよ。 opをベクトルで表すまではできたと思うのですが、 三角形の面積をどうやって求めればいいのかが分かりません。 詳しい解き方を教えてください!
回答: a,b,cについては (☆)a・b=b・c=c・a=0,|a|=|b|=|c|=5 が成り立つことに注意します. op=(2/5)b+(3/10)c まではできたんですね.(☆)に注意すると op^2=(4/25)|b|^2+(9/100)|c|^2 =4+9/4=25/4 (1)op=5/2=oa/2 ap=op-a=-a+(2/5)b+(3/10)c ap^2=|a|^2+(4/25)|b|^2+(9/100)|c|^2 =25+4+9/4=(100+16+9)/4=125/4 (2)ap=5√5/2=(√5/2)oa (1),(2)より△oapはoa:ap:po=2:√5:1の三角形だから余弦定理より cos∠opa=(1+5-4)/(2・1・√5)=1/√5 sin∠opa=√{1-(1/√5)^2}=√{1-1/5}=2/√5 ∴三角形opaの面積=(1/2)op・apsin∠opa=(1/2)(5/2)(5√5/2)(2/√5) =(5/4)5=25/4