質問: 常微分方程式の問題です わからないので教えてください。 逐次近似法により次の微分方程式を解け。 dx/dt=tx+t ,x(0)=0
回答: なぜ、逐次近似? 変数分離形ですから、厳密解がすぐ求まりますよ。 dx/dt = t(1+x) より、 {1/(1+x)}(dx/dt) = t を t で積分して、 log(1+x) = (t^2)/2 + c ; c は定数. 初期条件 x(0) = 0 より、c = 0 です。 よって、x = -1 + e^((t^2)/2). 逐次近似法の練習は、自分でやってみてほしい ところですが... x(t) = x0 = 0 (定数) を 0 次近似として dx[n+1]/dt = t(1 + x[n]) で漸化すれば、 x1 = ∫t(1+0) dt = (t^2)/2, x2 = ∫t{1+(t^2)/2} dt = (t^2)/2 + (t^4)/8, x3 = ∫t{1+(t^2)/2+(t^4)/8} dt = (t^2)/2 + (t^4)/8 + (t^6)/48, ... これが xn = σ[k=1...n] (1/k!){(t^2)/2}^k であることは、推測+帰納法で証明かな。 n→∞ の極限をとると、 x(t) = x∞ = -1 + σ[k=0...∞] (1/k!){(t^2)/2}^k = -1 + e^((t^2)/2). 上記の解と一致しますね。