質問: なぜ測度論の議論では考える可測集合をボレル集合族に限るケースが多いのですか?
回答: 全ての開区間を可測として扱いたいのはOKということで前提とします。そのとき、開区間同士の和集合、差集合、共通部分などを可測として扱えないと大変不便なのは理解できるでしょうか。 可測集合同士の和、差、積(共通部分)がまた可測となるように集合族を設定したいわけですが、ここで問題になるのは無限回のその操作をどう扱うかということです。ボレル集合族は測度の極限を考えることができるように、そうした無限回の操作を全て可測集合として許容する集合族として最小のものとなっています。最後のご質問にひと言で答えると「測度の極限操作を許容するため」というのが、唯一ではないですが一つの回答になるかと思います。