質問: 4数から成る集合についての証明を教えてください。 社会人になって数学を改めて勉強しなおそうとテキストを見ながら 解いているのですが、よくわかりません。以下の問題を教えてください。 (1)a={1,-1,i,-i}は乗法と除法に関して閉じていることを確かめる。 (2)4数から成る集合bが乗法と除法に関して閉じていればb=aであることを証明する。 といったものですが、まず閉じているということはどのようなことを指すのか、 また、どういった手順で証明をしていけばいいのかを教えていただけたらと思います。 よろしくお願いします。
回答: (1) 集合aが~に関して閉じているとは:aの中の任意の要素を使って~の演算をした結果がまたaの要素になっている。 たとえば乗法について閉じていることを示すには、 行と列に4つの要素を並べ乗法の表(九九の表の様な物)を作ってみる。(結果はご自分でご確認を) (2)b={a,b,c,d}として 除法に関して閉じているから a/a=1はbの要素である。b=1とするとb={a,1,c,d}...... から、a,c,dを掛けたり、割ったりした物がそれぞれ-1,i,-i になるはずだから、結局a,c,dは-1,i,-iのいずれかになることを示す。