質問: 分母分子別でマクローリン展開した関数 皆様よろしくお願いいたします。 f(x)=exp(x)/sin^2(x) を分母分子別でマクローリン展開し計算すると、次のようになようです。 f(x)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...)/(x-x^3/3!+x^5/5!-...)^2 =(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...)/{x^2*(1-x^2/3!+2*x^4/45-...)} ...(1) =1/x^2+1/x+5/6+x/3+... ...(2) (1)はマクローリン展開をn=1のとき、2のときと順に計算して出せますが、 (2)の除算結果はどのような手順で計算されたものでしょうか。 計算の手順も含めてご教示頂きたくお願いいたします。
回答: ano.2 へのお礼「このような計算方法はどのような参考書に載っているのでしょうか。微分積分学?解析学?でしょうか。」 1 べき級数の計算方法は、代数学の分野です。ネットで「形式的べき級数」で検索すると、除算の方法を書いてあるものも見つかります。有害サイトがないとも限らないので、個別の url は差し控えますが、ドメイン名が .ac.jp で終わるサイトがいいかも知れません。 なお、a + bx + cx^2 + ... のような形の級数のことを「べき級数」といいます。収束するかどうかは問いません。収束性を問わないことを強調するため「形式的べき級数」とも言います。 2 ただ、次のことは、解析学(とくに関数論)の分野です。関数論の教科書には大抵書かれています。 (1) 有理型関数(複素数の範疇で微分可能な関数)は、収束するべき級数に展開できる(テイラー展開、マクローリン展開、ローラン展開など)。 (2) 2つの有理型関数が等しいことと、展開結果のべき級数が一致することとは、同値。なお、べき級数が一致するとは、各次数の項の係数が等しいこと。 (3) 有理関数を加減乗除した結果のべき級数展開は、元の関数それぞれのべき級数を加減乗除したものに等しい。 3 とくに、上の(3)があるので、ご質問のような「分母分子それぞれをマクローリン展開してそれを除算する」という計算方法が正当だと分かるのです。