質問: 力学の雨滴の落下の問題です 至急お願いします! 力学の雨滴の落下の問題です。 雨滴が静止している霧を付着し、単位時間に質量をa(aは正の定数)だけ増加しながら落下している。 t=0での質量をm0,速さを0として、時刻tまでに落下した距離を求めよ。 答えは y=1/2*g[1/2*t^2+m0/a*t-m0^2/a^2*log(1+a/m0*t)] です。 時間がないのできるだけ早く答えていただけると助かります。 回答お願いします!
回答: 雨滴の質量をm(t)とすると m(t)=m0+at 、位置をyとし、下向きを正。 雨滴の運動量をp、速度をv とすると、時刻 tと t+dtで、p(t)=mv p(t+dt)=(m+adt)(v+dv) , dp/dt=f=mg から、2次の微小量を0として dp=p(t+dt)-p(t)=(m+adt)(v+dv)-mv≒mdv+avdt 従って mdv/dt+av=mg を得る。つまり dv/dt+{a/(m0+at)}v=g となるが、この解はよく知られているように dy/dt+p(t)y=q(t) の解で y=exp(-∫pdt)[∫q{exp(∫pdt)}dt+c] となる。 ∫pdt=∫{a/(m0+at)}dt=log(m0+at) → exp(∫pdt)=m0+at ∫q{exp(∫pdt)}dt=∫g(m0+at)dt=g(m0t+at2/2) v={1/(m0+at)}{g(m0t+at2/2)+c} v(0)=0 だから c=0 となり v=g(m0t+at2/2)/(m0+at) v=(g/2){t(at+m0)+(m0/a)(at+m0)-m02/a}/(m0+at) =(g/2){t+(m0/a)-(m02/a)/(m0+at)} 積分して y=(g/2){t2/2+(m0/a)t-(m0/a)2 log(m0+at)}+c y(0)=0 から c=0