質問: 微分方程式 二階の微分方程式について質問があります。 例えば、 x''+x'+2x=0 これを解くとするじゃないですか。 すると、特性方程式の根は-1±i√7となるので、 一般解はx=c(exp-y)cos(√7)y+c(exp-y)sin(√7)y となりますよね? では、 x''+x'+2x=α と=0ではなく=定数 と式が与えられているときはどのようにとけば良いのでしょうか? =0という問題は色々あるのですが、=定数というのはまだ見たことがありません。 また特殊解はどのように求めますか?
回答: d=d/dtとすると x"+a・x'+b・x=f(t)は (d-α)・(d-β)・x=f(t) (α,βは特性方程式の根) (d-α)・?=exp(α・t)・d・exp(-α・t)・? (d-β)・?=exp(β・t)・d・exp(-β・t)・? は明らかだから exp(α・t)・d・exp(-α・t)・exp(β・t)・d・exp(-β・t)・x=f(t) いくらなんでもこれは解けるでしょう このようにして非斉次定数係数n階微分方程式は一般的に解けるのです