質問: 不定積分 こんばんわ。私は今大学一年生で、今学期「解析概要」という授業をとっています。 そこでの不定積分の問題なんですが、分からないものがあったのでよかったら教えてください! (1)∫arcsin(x) dx (2)∫x^2/√(a^2-x^2) dx (1)はarcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換して積分したら、arcsin(x)sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x)) と出したんですが、解答はxarcsin(x)+√(1-x^2)となっていました。どうすればこういう答えになるのでしょう? (2)は部分積分で挑戦しましたが出来ませんでした。 よろしくお願いします。
回答: (1)i=∫arcsin(x) dx >arcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換 ここで、-1<=x<=1,-π/2<=y<=π/2。 したがって cos(y)≧0 cos(y)=√(1-sin(y)^2)=√(1-x^2) なので dx=cos(y)dy i=∫ycos(y)dy (部分積分して) =ysin(y)-∫sin(y)dy =ysin(y)+cos(y)+c =(arcsin(x))x+√(1-x^2) +c (2)i=∫x^2/√(a^2-x^2) dx a>0としておこう。 部分積分して i=x(-√(a^2-x^2))+∫√(a^2-x^2)dx x=a*sin(t)(-π/2<=t<=π/2)で置換、dx=a*cos(t)dt) cos(t)≧0,cos(t)=√{1-sin^2(t)}=√{1-(x/a)^2}={√(a^2-x^2)}/a i=-x√(a^2-x^2)+j j=∫(a^2)*cos^2(t)dt =(1/2)(a^2)∫(1+cos(2t))dt =(1/2)(a^2)[t+(1/2)sin(2t)]+c =(1/2)(a^2)[t+sin(t)cos(t)]+c tをxに戻して j=(1/2)(a^2)[arcsin(x/a)+(x/a){√(a^2-x^2)}/a]+c =(1/2)(a^2)arcsin(x/a)+(x/2)√(a^2-x^2) +c ∴i=(1/2)(a^2)arcsin(x/a)-(x/2)√(a^2-x^2) +c