質問: 【数列の応用】 座標平面上の点(a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。 y=3x^2-6xで表される放物線をcとする。 nを自然数とし、c上の点p(n、3n^2-6n)をとる。原点をo(0,0)とする。 cと線分opで囲まれる図形をdとする。 ただし、dは境界を含むとする。 0≦k≦nを満たす整数kに対して、直線y=k上にありdに含まれる交子点の個数をf(k)とする。 (1)f(k)を求めよ。 (2)dに含まれる交子点の個数を求めよ。 (3)f(k)が最大になるようなkを求めよ。 答え (1)f(k)=-3k^2+3nk+1 (2)1/2(n+1)(n^2-n+2) (3)nが偶数の時、k=n/2 nが奇数の時、k=n±1/2 いろいろな分野の内容が入ってるみたいで、 どう解き始めたらよいかさっぱりです。 解ける方がいらっしゃいましたら、 解説お願いしますm(__)m
回答: 座標平面上の点(a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。 y=3x^2-6xで表される放物線をcとする。 nを自然数とし、c上の点p(n、3n^2-6n)をとる。原点をo(0,0)とする。 cと線分opで囲まれる図形をdとする。 ただし、dは境界を含むとする。 >0≦k≦nを満たす整数kに対して、直線y=k上にありdに含まれる交子点の個数をf(k)とする。 x=kとすると答えと合うので、これで考えます。 y=3x^2-6x =3(x^2-2x+1)-3 =3(x-1)^2-3より、 x=1のとき、放物線cの最小値-3 >(1)f(k)を求めよ。 直線opの傾き=(3n^2-6n)/n=3(n-2)より、op:y=3(n-2)x x=k(整数)のとき、(k,3k^2-6k)~(k,3(n-2)k)は、格子点だから、 個数は、x=kのときのopのy座標から、(放物線cのy座標-1)を引きます。 f(k)=3(n-2)k-{(3k^2-6k)-1} =3nk-6k-3k^2+6k+1 =3nk-3k^2+1 先に以下の例で考えてみて下さい。グラフを描いて格子点を数えてみて下さい。 f(x)はx=k上にありdに含まれる交子点の個数 n=2のとき、op:y=0 f(0)=1個 (0,0) f(1)=4(1,-3)~(1,0)...-3は放物線cの最小値 f(2)=1(2,0) n=3のとき、op:y=3x f(0)=1(0,0) f(1)=7(1,-3)~(1,3)...y=3×1=3 f(2)=7(2,0)~(2,6)...y=3×2=6 f(3)=1(3,9) >(2)dに含まれる交子点の個数を求めよ。 ς(k=0~n){3nk-3k^2+1} =(3n・0-3・0+1)+σ(k=1~n){3nk-3k^2+1} =1+3nς(k=1~n)k-3σ(k=1~n)k^2+σ(k=1~n)1 =3n・(1/2)n(n+1)-3(1/6)n(n+1)(2n+1)+(n+1) =(1/2)(n+1){3n^2-(2n^2+n)+2} =(1/2)(n+1)(n^2-n+2) >(3)f(k)が最大になるようなkを求めよ。 f(k)=-3(k^2-nk+n^2/4)+3n^2/4+1 =-3(k-n/2)^2+3n^2/4+1 kは、整数だから、 nが偶数のとき、k=n/2のとき最大 nが奇数のとき、k=(n-1)/2とk=(n+1)/2のとき最大 (1)の例より、 n=2のとき、k=1で最大f(1)=4 n=3のとき、k=1とk=2で最大f(1)=f(2)=7 グラフを描いて考えてみて下さい。