質問: {a ∈ r | ∃m ∈ n; a^m∈ p} である. どなたか証明をお願いします!
回答: n=(全自然数の集合) rを可換環 pをrの素イデアルとする a,b∈r,ab∈pの時,a∈pまたはb∈p が成り立つ時pを素イデアルという √p={a∈r|∃m∈n;a^m∈p} a∈pとすると a∈r ∃1∈n;a^1=a∈p だから a∈√p だから 「a∈p→a∈√p」が成り立つから p⊂√p a∈√p とすると a^m∈pとなる自然数mがある q(n)=[a^n∈p→a∈p] とする q(1)=[a=a^1∈p→a∈p]は真 ある自然数nに対して q(n)は真と仮定すると a^n∈p→a∈pが成り立つ a^(n+1)∈pとすると aa^n=a^(n+1)∈p pは素イデアルだから a∈pまたはa^n∈p a^n∈p→a∈pが成り立つから a∈pが成り立つから q(n+1)=[a^(n+1)∈p→a∈p]も真 となるから 全ての自然数nに対して a^n∈p→a∈pが成り立つから a^m∈pから a∈pが成り立つから 「a∈√p→a∈p」が成り立つから √p⊂p ↓これとp⊂√pから ∴ √p=p