質問: 現在、大手高校進学塾、佐鳴予備校と秀英予備校でアルバイト講師をしています 生徒から質問されたこの数学の問題 自信がないので教えてください
回答: <問題に入る前に> PQが直径であることから、△APQおよび△BPQは直角三角形です ∠ABCは正三角形の内角の一つで60° 等しい弧に対する円周角は等しいので、 ∠ABP=∠AQP=60° △APQは、90°60°30°の直角三角形です △PQRは直径PQを一辺とする正三角形です(1) AからBCに垂線を下ろし、交点をDとします BP=8、BD=6より、DP=2、AD=6√3 △APDにおいて三平方の定理より、 AP^2=2^2+(6√3)^2=112 ∴AP=4√7[cm] ・・・答 △APQは、90°60°30°の直角三角形だから、 PQ=2*(AP/√3) ∴PQ=(8/3)√21[cm] ・・・答(2) △BPQは直角三角形だから、三平方の定理より、 BQ^2=PQ^2-BP^2 PQ=(8/3)√21、BP=8より、 BQ^2=((8/3)√21)^2-8^2 ∴BQ=(16/3)√3 △ABQにおいて、BQを底辺と見たときの高さはBD(=6)だから、 (△ABQの面積)=BQ*AD*1/2 =((16/3)√3)*6*1/2 =16√3[cm3] ・・・答(3) BD=DC、QA=ARより、 BCに垂直な直線をCからR側へ引くと、直線QRとRで交わります。 QからCRに対し垂線を下ろし、ADとの交点をE、CRとの交点をFとします。 AE=AD-BQより、 AE=6√3-(16/3)√3=(2/3)√3[cm] △RQF∽△AQE 相似比 2:1 だから、 RF=2AE=(4/3)√3[cm] RC=RF+CF(=BQ)=(4/3)√3+(16/3)√3=(20/3)√3[cm] BQ//RC で錯角は等しいので、 △SBQ∽△SRC BQ:RC=(16/3)√3:(20/3)√3=4:5 ∴△SBQ:△SRC=4:5 ∴QS:CS=4:5 以上より、△SBCにおいて、底辺をBCと見た時の高さは、 (5/9)*BQ=(5/9)*(16/3)√3=(80/27)√3 BC=12だから、 (△SBCの面積)=12*{(80/27)√3}*1/2 =(160/9)√3[cm2] ・・・答以上のように考えましたがいかがでしょうか?