質問: 電気磁気学で抵抗 内半径a[m]、外半径b[m]の同心導体球殻の間に抵抗率ρ[ωm]の物質を満たし、外球を接地し、内球に電圧v[v]を加えたとき、両球殻間の抵抗r[ω]と球状抵抗体に流れる全電流i[a]を求めよ。(問題の画像を添付してあります。) という問題がありました。 授業では、「r=ρ*l/s」(l:長さ、s:断面積)という式を習いましたが、今回は球の問題なのでこの式が適用できるかどうか分かりません。この場合、lの値は2bでいいのでしょうか? また、断面積は「(b^2)*π-(a^2)*π」でいいのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
回答: r = ρ*l/s は球の場合も円柱の場合も使えますよ。 ただし、l は全体の半径でなく、半径方向の微小長さ dr にします。なぜなら、r = ρ*l/s の式が使えるのは、同じ断面積 s を持つ柱状のものだけだからです。 球の場合、中心から距離 r にある球面(厚さのない球)と、距離 r + dr にある球面とではさまれた領域を考えます。dr が非常に小さければ、どちらの球面も同じ表面積 s = 4*π*r をもっているとみなせます。外側の球面の正確な面積は 4*π*( r + dr )^2 = 4*π*( r^2 + 2*r*dr + dr^2 ) ですが、dr が r に比べて非常に小さければ r^2 >> r*dr >> dr^2 なので 4*π*( r + dr )^2 ≒ 4*π*r^2 と近似できます。 したがって、dr が非常に小さければ、2つの球面は同じ面積をもっていると考えて構いません。つまり、中心から距離 r にある球面と、距離 r + dr にある球面とではさまれた領域の抵抗は、長さ dr 、面積 4*π*r^2 の柱状の抵抗になるので その抵抗 = ρ*dr/( 4*π*r^2 ) となります。問題の球殻の抵抗は、上の抵抗を r = a から r = b まで積分したものになります(答えは ρ*( b - a )/( 4*π*a*b ) )。同じ考えで、内半径 a、外半径 b、高さ l の同心円柱の抵抗も計算できます(答えは ρ*log( b/a )/( 2*π*l ) )。