質問: (1)2·1+5·3+8·3^2+···+(3n-1)3^3n-1 (2)1/2+2/2^2+3/2 (1)2·1+5·3+8·3^2+···+(3n-1)3^3n-1 (2)1/2+2/2^2+3/2^3+···+n/2^n 次の和を求めよ 教えて下さい 答えは(1)が(3/2n-5/4)3n+5/4 (2)が2-2^1-n-n2^-n
回答: ←no.1 最近、回答のついた質問を削除→同じ質問を再投稿 が頻発しているからね。それがサイトの運営方針ならしかたがない。 解答は no.1 のとおり。 式は「...」を使って書くよりも σ で書いたほうが 計算内容が解り易い気がする。 (1) s(n) = σ[k=1..n] (3k-1)3^(k-1), ←ほらね、確認すると書き間違いも判る 3s(n) = σ[k=1..n] (3k-1)3^k = σ[j=2..n+1] (3j-4)3^(j-1). 引き算して、 3s(n) - s(n) = { σ[k=2..n] (3k-4)3^(k-1) + (3n-1)3^n } - { 2・1 + σ[k=2..n] (3k-1)3^(k-1) } = σ[k=2..n]{ (3k-4)3^(k-1) - (3k-1)3^(k-1) } + (3n-1)3^n - 2・1 = σ[k=2..n]{ -3^k } + (3n-1)3^n - 2 = -9{ 1 - 3^(n-1) }/(1 - 3) + (3n-1)3^n - 2 = (1/2){ 5 + (6n - 5)3^n }. よって、s(n) = (1/4){ 5 + (6n - 5)3^n }. (2) も同様。 t(n) = σ[k=1..n] k(1/2)^k, (1/2)t(n) = σ[k=1..n] k(1/2)^(k+1) = σ[j=2..n+1] (j-1)(1/2)^j. 引き算して、 (1/2)t(n) - t(n) = { σ[k=2..n] (k-1)(1/2)^k + n(1/2)^(n+1) } - { 1/2 + σ[k=2..n] k(1/2)^k } = σ[k=2..n]{ (k-1)(1/2)^k - k(1/2)^k } + n(1/2)^(n+1) - 1/2 = σ[k=2..n]{ -1(1/2)^k } + n(1/2)^(n+1) - 1/2 = (-1/4){ 1 - (1/2)^(n-1) }/(1 - 1/2) + n(1/2)^(n+1) - 1/2 = -1 + (n + 2)(1/2)^(n+1). よって、t(n) = 2 - (n + 2)/2^n.