質問: 数学について質問です。 3辺の和が12となるような直角三角形を考える。直角三角形の面積が最大になるときの面積と、三角形の3辺の長さと面積をラグランジュの未定乗数法を用いて求めよという問題です。 回答、解説お願いします。
回答: 底辺と高さをx,yとすると面積はxy/2 条件はx,y>0,x+y+√(x^2+y^2)=12 xy/2-λ(x+y+√(x^2+y^2)-12)について xで微分してy/2-λ(1+x/√(x^2+y^2))=0...1 yで微分してx/2-λ(1+y/√(x^2+y^2))=0...2 条件はx+y+√(x^2+y^2)=12...3 1✕x-2✕yより λ((x-y)+(x^2-y^2)/√(x^2+y^2))=0 λ(x-y)(1+(x+y)/√(x^2+y^2))=0 λ=0またはx=y λ=0ならば1よりx=0となるため不適切 従ってx=y 3より(2+√2)x=12 x=y=6(2-√2) この時斜辺の長さは12(√2-1) 面積は18(3-2√2)