質問: 中学生の幾何の問題で 塾で講師のバイトをしてるのですが、一つだけどうしてもわからない 問題があるのでどうか教えてください。 平行四辺形abcdの辺cd上の点eを通って、対角線bdに平行に 引いた直線と辺adの延長との交点をfとし、直線aeと辺bcの 延長との交点をgとすれば、四角形degfの面積は平行四辺形 abcdの面積の半分に等しい事を証明せよ。 奈良県の某有名私立中学の期末テストの問題なのですが、まだ中1 で相似を習っていないので出来れば相似を使わない解法で お願いしますm(_)m
回答: 平行線と比の関係を使って計算で強引に出せばもちろん出ますが, それは実質的に相似と同じ話になるでしょうから,そうでない解を示します. 少々技巧的になるのはやむを得ないのではないでしょうか. [証] 平行四辺形abcdの面積をsとする. δacd=(1/2)s ・・・(1) adを底辺とみると δacd=δagd=(1/2)s δacd=δace+δaed ・・・(2) と分けて考える. まず δace=δdeg・・・(3) である. (∵δace=δacd-δaed=(1/2)s-δaed であり,一方 δdeg=δagd-δaed=(1/2)s-δaed) よって,あとは δaed=δdgf を示せばよいが, それは等積変形により以下のように示される. δaed=δbed (∵deを底辺とみて ab//de より) =δbfd (∵bdを底辺とみて bd//ef より) =δdgf (∵dfを底辺とみて df//bg より) よって δaed=δdgf ・・・(4) が示せた. 以上 (1)~(4)より 平行四辺形degf=δdeg+δdgf=δace+δaed=δacd=(1/2)s よって題意は示された. [証明おわり]