質問: 渦巻き螺旋を座標軸にしたような数学はあるのですか? タイトルどおりなのですが、曲座標の周期性の代わりに無限に増加していくような形の数学というのは可能なのかなと想像しました。
回答: 渦巻きとは少し違うかもしれませんが、複素平面で z → w = (l/2π)log(z) という変換を考えると、z=0 が分岐点で、対数関数のリーマン面はn02の方が書かれているように螺旋階段のようなイメージになります。この座標はメリットがないどころではありません。というのはこの変換はconformal mapping という非常に重要な写像の一例になっているからなのです。conformal mapping はスケールは変えるが角度は不変に保つ変換です。log(z)のような解析関数で変換するとwの実部と虚部はコーシー・リーマンの方程式を満たし、電磁気学や流体力学の問題を解くために昔から用いられてきました。またconformal mapping はリーマンの写像定理などの良い性質を持っており、複素関数論でも重要です。しかしconformal mapping は最近、数学においても物理においても新たな展開を見せ、非常に重要なものになってきています。theory of everything になる(かもしれない)理論として超弦理論が注目されていますが、conformal 不変性は弦理論の重要な性質として研究されてきました。一方、1984年にbelavin,polyakov, zamolodchikovがconformal mapping で不変な場の理論を臨界現象の基礎として定式化しました。相転移の臨界点では相関距離が無現大になるためスケール不変性が現れます。conformal mapping により臨界現象の理論は大きな進歩を遂げました。一方、弦理論ではads/cft対応(anti de siter/conformal field theory correspondense)が最も注目されるトピックスの一つになっています。そこまで行くと話が広がり過ぎるので元の z → w = (l/2π)log(z) に戻ります。この変換で共形場理論のパラメーターを量子系の有限サイズスペクトルに結びつけることができます。z平面でのスケール変換は長さlの1次元量子系の時間発展に対応し、z平面での円周に沿った回転はは1次元量子系の並進に対応します。そのためエネルギーや運動量のスペクトルから共形場理論のセントラルチャージや共形次元を求めることができます。このような手法を有限サイズスケーリングと呼び、臨界現象の研究で重要なものになっています。参考書を一つ挙げると 川上則雄、梁成吉「共形場理論と1次元電子系」(岩波書店) 等があります。