質問: 複素解析の分野の質問です. 領域(連結開集合)D上の正則な関数fがD上恒等的にf'(z)=0ならばfは定数関数であることを示せ.
回答: "これからu,vが定数なので" が間違いです. 反例 D:={ z∈C ; |z-2|<1 }∪{ z∈C ; |z+2|<1 } と置きます. Dは開集合ではありますが,弧状連結ではないので, Dは領域ではありません. 複素関数f:D→Cを, f(z)=±1 ... z∈{ z∈C ; |z±2|<1 } (複号同順) と定めます. fは正則で,f'(z)=0 (z∈D) ですが, fは定数関数ではありません. Dが領域である,特に,どの2点も折れ線で結べることから, D上の全ての点でfの値が等しいことが言えます.