質問: 複素数の平方根 複素数z=rexp(jθ) の平方根は √z=√rexp(jθ/2) 位相角θの定義域にはどんな制限があるのでしょうか?例えばθ=225°と-135°ではそのまま代入すると結果が変わります。
回答: まず最初に、z=rexp(jθ) の平方根は√rexp(jθ/2)だけではありません。 z=rexp(jθ)=rcosθ+jrsinθ ...(a) 2乗するとzになる複素数を√rcosx+j√rsinxとすると、 (√rcosx+j√rsinx)^2 = r(cosx)^2 - r(sinx)^2 + j2rsinxcosx = r((cosx)^2 - (sinx)^2) + jr(2sinxcosx) = rcos2x + jr(sin2x) ...(b) ここで(a)と(b)の実部と虚部を比較すると cosθ=cos2x, sinθ=sin2x ...(c) になります。 ここからが重要ですが、ラジアン角(位相角)に2πを加算または減算しても(c)は成立します。 表記の都合上減算したとすると、 cosθ=cos(2x-2π), sinθ=sin(2x-2π) ...(d) (d)を変形すると cosθ=cos(2x-2π)=cos(2(x-π)), sinθ=sin(2x-2π)=cos(2(x-π)) ...(e) ここでラジアン角同士を比較すると(c), (e)は θ=2x x=θ/2 θ=2(x-π) x-π=θ/2 x=(θ/2)+π よって、z=rexp(jθ)の平方根は、 √rcos(θ/2)+j√rsin(θ/2)=√rexp(jθ/2) √rcos((θ/2)+π)+j√rsin((θ/2)+π)=√rexp(j((θ/2)+π)) の2つになります。 前置きが長くなりましたが、位相角θの定義域は以下になります。 前提として0≦θ≦2πとします。 √rexp(jθ/2)の位相角θの定義域:0≦θ≦π/2, π≦θ≦3π/2 √rexp(j((θ/2)+π))の位相角θの定義域:π/2≦θ≦π, 3π/2≦θ≦2π