質問: 連立微分方程式 連立微分方程式 dx/dt=5x+4y dy/dt=-x+y の一般解を求めて下さい。
回答: (x+ky)'=x'+ky' =5x+4y+k(-x+y) =(5-k)x+(4+k)y ここで 1:k=(5-k):(4+k) となるようにkを定めましょう. 4+k=5k-k^2 k^2-4k+4=(k-2)^2=0 k=2 したがって (x+2y)'=3(x+2y) x+2y=ae^{3t} x=-2y+ae^{3t}を第2式に代入すると dy/dt=2y-ae^{3t}+y=3y-ae^{3t} まずdy/dt=3yの解y=be^{3t}においてbをtの関数と考え db/dte^{3t}+3be^{3t}=3be^{3t}-ae^{3t} db/dt=-a b=-at+c ∴y=(-at+c)e^{3t} ∴x=-2(-at+c)e^{3t}+ae^{3t}=(2at+a-2c)e^{3t} 2a=a,a-2c=bとおくと,c=a/4-b/2で x=(at+b)e^{3t} y=(-at/2+a/4-b/2)e^{3t} (a,bは任意定数)が一般解です.