質問: 領域の面積を求める問題 お世話になります。友人に出された問題が解らないので質問させていただきます。お付き合いいただければ幸いです。問題は下記の通りです。 辺の長さが1の正三角形abcにおいて、線分bcの中点をl、線分caの中点をm、線分abの中点をnとする。実数tが0≦t≦1で変化することに合わせて、ad=be=cf=tとなるよう、線分ab上にdを、線分bc上にeを、線分ca上にfをとる。 直線dmと直線enの交点をp、直線enと直線flの交点をq、直線flと直線dmの交点をrとするとき、三角形pqrが通る部分の面積を求めよ。 図を描いたのですが、画像をアップできずに申し訳ないのですが、点p、q、rを位置ベクトルを用いて表そうと考えました。位置ベクトルは点aを基準にとります。 点bの位置ベクトルをb→、点cの位置ベクトルをc→とすると、点p、q、rを位置ベクトルはb→、c→、tで表せて、計算した結果を書くと p→=(t/(4t^2-2t+1))b→+((2t^2-2t)/(4t^2-2t+1))c→ q→=((2t^2-2t+1)/(4t^2-2t+1))b→+(t/(4t^2-2t+1))c→ r→=((2t^2-2t)/(4t^2-2t+1))b→+((2t^2-2t+1)/(4t^2-2t+1))c→ となりました。検算したので恐らく大丈夫かと思います。 t=0のときは三角形pqrは三角形abcと一致し、t=1のときは点p、q、rが三角形abcの重心と一致します。0<t<1/2では点p、q、rが三角形abcの外側にはみ出ることもあるようです。三角形pqrの通過する部分の面積はおろか、領域を図示するところも難しいです。 ご回答頂ければ幸いです。 よろしくお願いいたします。
回答: まずは回答というか指摘ですかね... 点pの位置ベクトルの計算が誤っています。 それだとt=1/2を代入したときに点nの位置ベクトルと一致しません。 p→=(t/(4t^2-2t+1))b→+((2t^2-t)/(4t^2-2t+1))c→ ではないでしょうか? そして回答...というか解法なんですが... 点aを原点、直線abをx軸、△abcが第一象限に含まれるように直交座標を定める。 このとき、点pの座標は ((t^2+(1/2)t)/(4t^2-2t+1),(√3)*(t^2-(1/2)t)/(4t^2-2t+1)) となります。 よってx=(t^2+(1/2)t)/(4t^2-2t+1),y=(√3)*(t^2-(1/2)t)/(4t^2-2t+1) として ∫[t=0,1/2]ydx を計算すれば線分anと、点pがt=0から1/2まで動くときに描く曲線とによって囲まれた領域の面積がわかります。 これを3倍して△abcの面積を足せば答えが得られますが、この積分計算が非常に面倒です... 被積分関数がtの有理式なので積分できないことはないんですが... もっとスマートな解法があればそちらを参考にしてください。