質問: サーストン博士が、「宇宙は最大で8種類の断片からなっている。」とテレビで言っていましたが、 なぜ「8」なのかわかりません。 お願いします。 「数学者はキノコ狩りの夢を見る~ポアンカレ予想・100年の格闘」NHK から
回答: これはThurstonの「三次元の幾何化予想」というやつです. #Poincare予想の解決はこの「幾何化予想」の解決の帰結なので #もう予想ではないのですが. 残念ながら試行錯誤でも,もっと小さい数字からでもなくって この8という数字は 3*3-1=8 ということです. 三次元の「図形」をある種の手法で分類すると 3^2=9 通りあることがわかるのですが, これを調べると9個のうち二つが「同じ」ということで 8通りなんです. もうちょっと書くと, 三次元の「図形M」というのはより簡単な別の三次元の図形に 分解できて,それは M = M1 # M2 のように表せて M1,M2のそれぞれが3種類のパターンがある. だから9種類なんですが, その中で二つが同じものであるということです #なんでM1,M2がみっつかというと #「球面」「ドーナツ」「穴が二個以上のドーナツ」という #二次元の図形の分類に従ってます. うんで「宇宙」なんて言い方してるのは 一般向けに「三次元空間」を象徴したんでしょうね まじめに説明するには, そもそも岩波の数学辞典のまるまる一項目使って 解説されるようなものなので,こんなところで.