質問: 球(r=a)の表面積と体積を積分で導出したいのですがやり方がわかりません。式だけではなくなぜそのような計算過程になるのか教えてほしいです。
回答: 球面を p=(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ), D={(θ,φ)|0≦θ≦π,0≦φ≦2π} とパラメータ表示して表面積の定義 A=∫_D ||p_θ×p_φ|| dθdφ (p_θ,p_φは偏微分) を計算すれば4πa^2になります。集合Sの体積Vの定義は定数1をS上で積分した値なのでD={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦a^2}とおいて V=∫∫∫_D 1 dxdydz を(極座標変換して)計算すれば4πa^3/3になります。