質問: 生成元の最小多項式 情報代数学を勉強しています。次のことについて教えていただきたいです。私の書き方がわかりづらいかもしれないので、最初にその単元の教科書に載っている説明を添えておきます。 補足 k=fqとする。k-{0}が乗法についてつくる群(k×)は位数(q-1)の巡回群である。 問1 f7×の生成元をすべて求めよ。 問2 f2^4×の生成元をすべて求め、それらのf2上の最小多項式を求めよ。 問1に関して 上の補足部分にあるとおりに考えていくと、これは位数が6の巡回群を求めることと同値。6個の元をあげると、{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5}になり、kを自然数としてx^kを生成元とするとkは6と互いに素であればよいから求める答えは(x,x^5)となりました。 答えは出たのですが、なぜこれで生成されるのかがいまいちピンときませんし、ほんとにあっているのかどうか・・・。生成元をべき乗していったらすべての元をまかなえるっていう感じですよね? (x^5)^2=x^10=x^4 みたいに。でもこれだったら生成元はxだけでいいような気がします。きっと私がどこかで考え間違いしていると思うので、指摘してほしいです。 問2に関して 教授からのヒントで f2^4×=f2[x]/(x^4+x+1) (f2の4次拡大)と書き換え、x^4+x+1の根をωとすると、 f2^4={a0+a1ω+a2ω^2+a3ω^3|a0,a1,a2,a2∈f2}とできる。 というのが与えられました。ここから f2^4={0,1,ω,ω+1,ω^2+ω+1,ω^3+ω^2+1,ω^3+ω+1} としたのですが、これが求める生成元になっているのでしょうか?? こちらに関してはお手上げ状態です。その生成元を求めた後の最小多項式の求め方、あとヒントにある4次拡大についてもよくわからないので教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
回答: 次数4の多項式式は2^4個 原始多項式は既約多項式だから x,(x+1),(x^2+x+1) で割れるものを省く すなわち f(0)=0,f(1)=0,f(x)=(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1 を省く 残った原始多項式の候補である既約多項式 f(x)=x^4+x+1 f(x)=x^4+x^3+1 f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 について mod(1,f(x)),mod(x^1,f(x)),mod(x^2,f(x)),・・,mod(x^8,f(x)) を計算する すべて異なっていたらfが原始多項式である ただし、mod(g(x),f(x))はg(x)をf(x)で割った余りである 例: f(x)=x^4+x+1 1 x x^2 x^3 x^4=x+1 x^5=x・x^4=x^2+x x^6=x・x5=x^3+x^2 x^7=x・x6=x^4+x^2=x^2+x+1 x^8=x・x7=x^3+x^2+x よってf(x)=x^4+x+1は原始多項式