質問: ある選挙区で議員選挙が行われた。立候補者はa、bの2名で、そのうち1名だけが当選する。全投票数は10 ある選挙区で議員選挙が行われた。立候補者はa、bの2名で、そのうち1名だけが当選する。全投票数は100万票以上で、それらの票は全て有効とする。 投票締め切り後に、最初の1万票が開票された時点で、aが「当選確実」と判定されるために必要な最低の得票数は、およそ5117票であるそうですが、その理由が分かりません。どなたか教えて下さいませんか。 ただし、開票された1万票は無作為に抽出されたものとする。また、「当選確実」の判定にあたっては、投票された全ての票に対するaの得票率をpとしたとき、無作為に抽出されたn票(nは全投票数より小さい正の整数)に対するaの得票率が平均p、分散p(1-p)/nの正規分布に従うものとして、帰無仮説をp=0.5、対立仮説をp>0.5とし、有意水準1%の片側検定により帰無仮説が棄却されたときに「当選確実」と判定されるものとする。 また、標準正規分布の分布関数 φ(x)={1/√(2π)}∫_[-∞]^[x] e^(-(y^2)/2) dy に対して、ψ(x)=1-φ(x)の逆関数u(x)の近似値としては、以下の値を用いよ。 u(0.005)= 2.576,u(0.01)= 2.326,u(0.02)= 2.054
回答: 日本の有権者数千万人の「内閣支持率」などの世論調査は何人ぐらい回答している知っていますか? 1500~2000人ぐらいです。 問題の場合には、得票率が p とすれば、n 票のうち、得票数が r 票である確率は、二項分布するので p(n, r) = ncr * p^r * (1 - p)^(n - r) 二項分布は、nが大きいときには正規分布で近似できて 平均値:np 分散 :np(1 - p) になります。 つまり、帰無仮説をp=0.5、1万票をとってくれば 平均値:np = 5000 分散 :np(1 - p) = 2500 より標準偏差は σ = 50 になります。 つまり、得票数は n(5000, 50^2) に従うということ。 正規分布表で片側 1% となる値は、 u(0.01)= 2.326 を使って、確率 1% 未満である得票数は 5000 + 50 * 2.326 = 5116.3 従って、5117票以上となる確率は 1% 未満ということであり、有意水準 1% の検定では「帰無仮説 p=0.5」は棄却される。 得票は「多い方」での議論なので、「帰無仮説 p=0.5」棄却されれば 対立仮説 p > 0.5 が採択されることになる。 つまり、その候補者の得票率は信頼度 99% で p>0.5 であり、当選が確実ということになる。