質問: 留数定理を用いた積分の計算なのですが、画像のところで手が止まりました。お詳しい方に解法をご教示いただ 留数定理を用いた積分の計算なのですが、画像のところで手が止まりました。お詳しい方に解法をご教示いただきたいです!
回答: ∫[-∞,+∞] を留数定理を使って求める計算の定石として、 -r -(実軸)-> r -(原点中心,半径 r の円)-> -r という積分路での閉路積分を考えます。 r がある程度大きい場合の積分値が留数定理から求まるので、 後は r → +∞ のとき円弧部分の積分が → 0 となることを示せば完了です。 r > r > a のとき |1/(x^4 + a^4)| ≦ 1/(|x|^4 + a^4) < 1/(r^4 + r^4) = 1/(2r^4) より |∫[円弧部分] 1/(x^4 + a^4) dx| ≦ ∫[円弧部分] |1/(x^4 + a^4)| dx < ∫[円弧部分]{ 1/(2r^4) }dx = { 1/(2r^4) }・πr = π/(2r^3) → 0 (r→+∞) なので、 ∫[-∞,+∞] 1/(x^4 + a^4) dx + 0 = ∮[上記の閉路] 1/(x^4 + a^4) dx = (上半平面の留数和) となって積分の値が求まります。