質問: 次の微分方程式の一般解の求め方を教えて頂きたいです。 (d^2/dx^2)f(x)=-a^(2)f(x) aは正の実定数
回答: f(x)=y ト置く。 y''=ーa^2*y 2y'y''=ー2a^2*yy'、(2y' を乗じた) {(y')^2}'=ーa^2*(y^2)' (y')^2=Aーa^2*y^2、(A>0) y'=±√(Aーa^2*y^2)、(変数分離形) ∫dy/√(Aーa^2*y^2)=±∫dx 左辺は y=(√A/a)*sin(t) ト置く。t=arcsin{(a/√A)*y} ∫dt=±a∫dx arcsin{(a/√A)*y}=±ax±B (a/√A)*y=sin(±ax±B)=±sin(ax+B) y=±(√A/a)*sin(ax+B)=C1*sin(ax)+C2*cos(ax)、(加法定理) f(x)=C1*sin(ax)+C2*cos(ax)