質問: 大学数学 鳩ノ巣原理
回答: 1,...,100の部分集合 X に対し, ∑Xを X の元の和としましょう. X が空のときは ∑X=0 と定めます. X を1,...,100から10個選んだ集合とし, d=∑X とします. Xの任意の部分集合 M に対し, ヒントのように ∑M は高々 1024 種類の和を与えますが, d<10×100=1000 なので, 鳩ノ巣原理より, ∑M=∑N を満たす, X の異なる二つの部分集合 M,N が存在します. そこで, L=M∩N, Y=M-L, Z=N-L とおくと. Y∩Z は空集合で, ∑Y(=∑M-∑L=∑N-∑L)=∑Z となります.