質問: (1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc (1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc =...(a+b)(b+c)(c+a) (2)a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) =...(a-b)(b-c)(c-a) と問題があり、 (1)は対称式であり、(2)は交代式であると説明がなされていて、 さらに、 対称式は、a+b、b+c、c+a の1つが因数なら他の2つも因数 交代式は、(a-b)(b-c)(c-a) を因数にもつ。 と、説明がなされているのですが、なぜ、 対称式は、~他の2つも因数 交代式は、~を因数にもつ のかが分かりません。誰か知られている方がおられましたら、教えて下さい!!
回答: >no.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか? でしゃばりの#1です。 まず、題意に反します。対称式の方は「a+b、b+c、c+a の1つが因数なら」という条件がありますが、交代式の方は、無条件です。 仮に、対称式の方と同じ条件があったとしても、流れがおかしい。 >また、与えられた対称式p(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、 の後は p(a,c,b)=(a-c)q(a,c、b) とすべきです。次の行は削除して、 >ここで、 >p(a,b,c)=-p(a,c,b) だから、 のあとが p(a,b,c)=-(a-c)q(a,c、b) =(c-a)q(a,c、b) となって、一応(c-a)が因数であることは示せるけど、前記条件がなくても因数に持つ。