質問: 関数の連続性 社会人になってまた数学の勉強始めたんですが、いきなり躓いてしまいました。どなたか助けてください。「無限と連続」の数学 という本を現在やっています。 関数 y=f(x) が x=a で連続であるための必要十分条件は a に収束する任意の数列 a[n] について、数列 { f(a[n]) } が f(a) に収束することである この定理の証明なのですが、 x=a で連続である時 { f(a[n]) } が f(a) に収束することは示せたのですが、逆に { f(a[n]) } が f(a) に収束するとき x=a で連続であるというのが示せません。というか成り立たない気がするのですが... 以下、私の考え↓ f(x)を次のように定義します x=a[n] のとき a[n] x=a のとき a x=/=a かつ x=/=a[n]のとき a+3 この関数の場合 { f(a[n]) }は f(a) に収束するが、x=aが連続でないという命題が示せてしまう 任意のδ>0 s.t. 存在するx∈r |x-a|<δかつ|f(x)-f(a)|>=2 を示す どのようなδをとっても、開区間(a-δ,a+δ)のなかにはx=/=a かつ x=/=a[n] を満たす点が存在しいてしまうのでf(x)はそのxの値においてa+3の値をとり、|f(x)-f(a)|>=2をみたすので上記の命題は真になる 以上が私の考えです。ただ、ちょっと不安に思う点があります。 wikipediaの関数の連続性について書かれている記事だと(http://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%82%a4%e3%83%97%e3%82%b7%e3%83%ad%e3%83%b3-%e3%83%87%e3%83%ab%e3%82%bf%e8%ab%96%e6%b3%95) s.t.のすぐ後に「任意のx∈r」とあります。だから連続の命題の否定は 存在するε>0 任意のδ>0 s.t. 存在するx∈r |x-a|<δかつ |f(x)-f(a)|>=ε になるのではないかと思うのですが、私の取り組んでいる本には「存在するx∈r」のような表記がありません。 私の考えはどこで間違っているのでしょうか。
回答: a に収束する任意の数列 a[n] について、数列 { f(a[n]) } が f(a) に収束する ⇒ 関数 y=f(x) が x=a で連続である -- aに収束する、どんな数列を持ってきても、ことごとく、f(a(n))がf(a)に収束しているとき ってのが条件なんだから、 たまたま、ある特別なa(n)→a を見つけて否定しようとしてもダメでしょ。 「任意の」っていう言葉を見落としちゃいけませんぜ。 *** この証明は対偶を考えるのが常道。 連続でないならあるεがあって、どんなδをとっても|f(x)-a|>εとできる。・・・。 一個x0を見つけてそれより小さいδに対するx1を見つけて・・・・。