質問: 微分係数、導関数(数学ii) f(x)=2の導関数は0です。 f(x)=yとすると、y=2はx軸に平行な直線となるので、傾きを表す導関数が0になるというのは肯けます。 しかし納得できない点があります、 f(x)=2の導関数を導関数の定義に従って求めると f ́(x)=lim[h→0]2-2/h=0―(1) となります。 また、f(x)=x^3の導関数は f ́(x)=limh→0―(2) =3x^2 となります。 (2)はhが0の時に3x^2になるということを示していますよね? じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。 もしや私の考えていることは前提が間違っていて、(2)の場合、hが0に近づけば、f ́(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか? でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。 「3x^2であること」(3x^2)と「3x^2に限りなく近いということ」(limh→0)は別だと思うのです。 そして仮にそうだとしても(1)に納得する理由にはならない気もします。 hが0に近づくといいますが、0になってしまったら式が成り立たなくなってしまいますよね。 2-2/hという式は、hが0以外のときに成り立つと思うんです。 質問をまとめると、 その1 f(x)=2の導関数、つまり f ́(x)=lim[h→0]2-2/h=0 ←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう? その2 f(x)=x^3の導関数、つまり limh→0=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか? 定義の理解も曖昧ですみません・・・。 よろしくお願いします!
回答: >じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。 分子は、hに関係なく常に"2-2=0"です。分母は、無限にゼロに近付くだけで、決してゼロにはなりません。分子がゼロですから、微分係数は常にゼロです。0/0(=不定)ではないことに注意してください。 >(2)の場合、hが0に近づけば、f ́(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか? その通りです。そして、hを無限にゼロに近付けた極限値が微分係数の定義です。 >でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。 できます。分母のhは、分子を除して無くなってしまうので、ゼロ割ではなくなります。安心してゼロにしてください。但し、分母がhのうちにゼロにしてしまうとゼロ割になるので、気をつけてください。 >その1 f(x)=2の導関数、つまり f ́(x)=lim[h→0]2-2/h=0 ←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう? 上述したとおり、分子がゼロなので、hの値に関係なく常にゼロです。 >その2 f(x)=x^3の導関数、つまり limh→0=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか? 上述した通り、この場合は等式で結ぶのが正しいです。 補足: 質問者さんは、なめらかな曲線の例を(2)に挙げているので、h→0の極限値として、最終的にh=0にできますが、なめらかでない曲線の場合は、h→+0とh→-0とで極限値が異なる点があります。この場合は、その点においては、上側と下側とで別々の微分係数があるので、質問者さんが考えられているように、その点では、微分係数が定義できないことになります。 質問者さんは、ただ単に解いてくれという愚かな質問ではなく、考え抜いた末に、悩ましい質問を挙げられましたね。久し振りにまともな質問を見た感じがします。今後も悩んで頑張ってください。