質問: 図形 △abcの外心をo,重心をg、垂心をh,bcの中点をmとすると (1)ah=2omであることを示す。 (2)o,g,hは一直線状にあって、og:gh=1:2であることを示す。 問題の2つについて教えてください。 数学1の平面図形を勉強してからこの問題に取り組んだのですが問題になるとわかりません。 〇△abcの外心だから図は三角形の外周りに円がある図形。 〇重心は三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わり、比が1:2 〇垂心は三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる点 図はなんとか書けそうなのですが解き方が解りませんので、ご指摘宜しくお願いします。
回答: >bcの中点をmとすると bcの中点ではなく、oからbcへ下ろした垂線の足ではありませんか。 そうすると、以前私が別の質問で答えたものをここで示します。 oからbcへ下ろした垂線の足をl, boの延長線が△abcの外接円と交わる点をdとする。 bdは外接円の直径で∠bad=∠bcd=90°だから、da⊥ab, dc⊥bc また、ch⊥ab, ah⊥bcであることより、da//ch, ah//dc. よって四角形ahcdは平行四辺形であり、ah=dc...(1). 一方、△bdcにおいてoはbdの中点であり、ol//dcであるから、dc=2ol. よって(1)よりah=2ol. ここで、ohとalの交点をpとすると、ol//ahから△ahp∽△lop. 上述よりah=2olだから、相似比は2:1. よってap:pl=2:1となり、pは重心となる。 以上から、外心・重心・垂心が一直線上にあってog:ghが 1:2であることが示せました。