質問: σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈nに対してa_nはfのフーリエ係数となる こんにちは。 [問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。 [証] 仮定より[a,b]でσ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) ...(1)と言える。 c_k (k=0,1,2,...)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると フーリエ係数の定義から c_k=∫a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b)^2dx=∫a...bφ_k(x)dx/∫a..b)^2dx (∵(1)) =∫a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b)^2dx(∵{φ_n(x)}は直交) =a_k∫a...b)^2dx/∫a..b)^2dx =a_k となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?
回答: そのままでは直交性 ∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k) を利用できないので、σと∫を入れ換えないといけないのです。