質問: 雪江代数2の演習問題3.15ですが、 LK(x)を体K上の一変数有理函数体で、Kの元a,b,c,dがad-bc≠0であるとするとき、
回答: t=(ax+c)/(bx+d)と置きます。 もし t がK上代数的ならば(dt−c)/(a−bt)もK上代数的となります。 ここにt=(ax+c)/(bx+d)を代入し、ad-bc≠0を用いると (dt−c)/(a−bt)=x を得ます。 つまり、xがK上代数的となり矛盾です。 よって t はK上超越的となります。