質問: 電界について よろしくお願いします。 ガウスの法則の考え方を用いて電界の強さを考える問題なのですが、解説を読んでもよくわかりません。よろしくお願いします。 問題 点oを中心とする半径aの球面上に正電荷が一様に分布し、全体では+qとなっている。oから距離r(r>a)離れた位置の電界を求めよ。 私は電気力線の数=電界の強さだと思うので、ガウスの法則を用いると、半径aの球面上の電気力線の数は、4πa^2。半径rだと4πr^2ので、比例関係よりrq/aかなと思いました。 ですが、解説をみると、 対称性から電気力線はoを中心として球面から放射状に出ていく。その総本数nは4πkq本であり、―――☆ oを中心とする半径rの球面上(表面積s=4πr^2)での電界をeとすると、eは単位面積あたりの本数に等しいからe=n/s=4πkq/4πr^2=kq/r^2 とありました。 ☆まではわかるのですが、その後の解説がよくわかりません。 ガウスの法則は、中心に点電荷+qをおいたときの電気力線の本数を考えていますが、今回の問題文の「球面上に正電荷が一様に分布し、全体では+qとなっている」というのが意味がよくわかりませんでした。 基本的なところだとは思いますが、アドバイスをいただければと思います。 よろしくお願いします。
回答: そもそもガウスの法則って、ガウスの定理(発散定理)を電束密度に対して応用したものだから∫(d・n)ds=∫(∇・d)dv=∫ρdvとなるはずで、これを見ても判るように右辺の∫ρdvは「閉曲面内の電荷の総量」を考えなくてはならないわけです。 で、今回のケースではd=εe=(1/4πk)eだから(分極pが0)、n=∫(e・n)ds=4πk∫ρdv=4πkqが電気力線の本数となる、というだけの話(なので、点電荷云々はあまり関係がない)。 まぁ、「球面上に正電荷が一様に分布」するというのは、正確にはポテンシャルの境界値問題か電荷密度の自己エネルギーで考えるべきなのでしょうが、単純に言葉で説明すると、 ・正電荷同士は反発し合うので、互いに離れたい。 ・しかし、球導体の外に出ることはできない。 ・また、球導体の内部のポテンシャルは全て一様になる。 (ポテンシャル勾配があれば電流が流れて勾配が消滅するから) ・そのため、電荷は球の表面に球対称(一様)に分布する。 という感じになるかと。(こういう話を聞きたいんですよね?)