質問: f(x,y)=arctan{(x+y)/(1-xy)}のマクローリン展開を求めよ
回答: (x+y)/(1-xy) において、分母 1-xy が 0 になってはいけないから |x|<1, |y|<1 ということで考える。これは arctan x=Σ[n=0,∞] {(-1)^n/(2n+1)}x^(2n+1) の収束半径 R=1 (|x|<1 で収束) ともかかわる。 x=tan u, y=tan v とおけば tan(u+v)=(tan u+tan v)/(1-tan u・tan v)=(x+y)/(1-xy) ∴ f(x,y)=arctan{(x+y)/(1-xy)}=arctan(tan(u+v))=u+v =arctan x+arctan y =Σ[n=0,∞] {(-1)^n/(2n+1)}(x^(2n+1)+y^(2n+1)) (|x|<1, |y|<1) が求めるマクローリン展開。 忠告: 質問するときは、 「以下の問題について、回答をよろしくお願いします」 ぐらいは書くべきである。礼儀というものである。