質問: 重積分について 曲面 z=x^2+y^2と平面z=2xに囲まれた部分の体積を求めよ。 この問題がわかりません。この問題はグラフがかけないと求められないのでしょうか? 仮にグラフを用いなくても求められる場合その方法を教えていただけると幸いです。
回答: 体積を求める立体の形状を頭の中にイメージできること、あるいはxyz座標空間に描けることは問題を解く上で間違いを防ぐことや計算式を立てる上で大切なことです。別の機会に勉強しておいてください。フリーソフトの3次元プロットソフト「3d-grapes」(grapesで検索するとそのhpの中にあり、ダウンロード先や使用例が見つかります。) ここでは図を書かない方法(ただし頭の中には立体的なイメージをした方が良い) 先ず、求める立体をxy平面に平行投影したx,yの領域を求めてやります。 z=x^2+y^2 ...(1) z=2x ...(2) (1),(2)からzを消去して x^2-2x+y^2=0 (x-1)^2+y^2=1 ...(3) これが立体のxy平面へ投影した境界線になります。したがって積分領域dはこの内部になります。つまり、 d={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1} この領域dをxy平面に図示してみて下さい。この中心(1,0),半径1の円板内の領域をくまなく尽くすようにdx,dyの積分範囲を決めてやれば良いですね。 求める立体の上面の式が(2),下の曲面の式が(1)になるので 体積v=∫∫[d] (z1-z2)dxdy=∫∫[d] (2x-(x^2+y^2))dxdy =∫[x:0,2] dx ∫[y:-√{1-(x-1)^2},√{1-(x-1)^2}] (2x-x^2-y^2)dy =∫[x:0,2] dx 2∫[y:0,√{1-(x-1)^2}] (2x-x^2-y^2)dy =∫[x:0,2] 2dx [(2x-x^2)y-(1/3)y^3]_(y=√{1-(x-1)^2}) =∫[0,2] 2[(2x-x^2)√{1-(x-1)^2}-(1/3)(√{1-(x-1)^2})^3]dx =2∫[0,2] [{1-(x-1)^2}√{1-(x-1)^2}-(1/3){1-(x-1)^2}(√{1-(x-1)^2})]dx =(4/3)∫[0,2] [{1-(x-1)^2}√{1-(x-1)^2}dx x-1=tで置換積分すると v=(4/3)∫[-1,1] [{1-t^2}√{1-t^2}dt =(8/3)∫[0,1] [{1-t^2}√{1-t^2}dt さらに,t=sin(u)で置換積分すると dt=cos(u)du なので v=(8/3)∫[0,π/2] (cos(u))^2*|cos(u)|*cos(u)du =(8/3)∫[0,π/2] (cos(u))^4 du この積分はできませんか?自力でやってみてください。 倍角の公式 2(cos(u))^2=1+cos(2u) を使って積分すると良いでしょう。 やってみてわからなければ、やった計算を補足に書いて、きいて下さい。