質問: √, 内積=x1y1+x2y2と定義する。 また実行列a,bをa=(a1,a2) a1=t_(√2,0),a2=t_(0,2),b=(b1,b2),b1=t_(1,2√2),b2=(2√2,3)とする。(tは転置を意味しています) 今||x||=1とする。この時以下を証明せよ。 (1)f(x)=とすると、2≦f(x)≦4 (2)g(x)=とすると、-1≦g(x)≦5 (3)h(x)=とすると、-4≦h(x)≦20 (1)(2)は解けたのですが(3)がわかりません。 h(x)=2x1^2+16x1x2+12x2^2となったので、 x1=cosθ,x2=sinθと置き換えて計算すると、 2x^2+16xy+12y^2 =2+16sinθcosθ+10sin^2θ =2+8sin2θ+5(1-cos2θ) =7+8sin2θ-5cos2θ ここで三角関数の合成をしても√89という値が出るため、 最小値は明らかに整数にならないのです。 (2)はこの方法で上手く最大値、最小値が求まったのですが... どのように解決すればいいのか教えてください。
回答: > 最小値は明らかに整数にならないのです。 そもそも最大値・最小値を求める問題でしたか? -4≦h(x)≦20となることを証明するのですよね? それなら別に、「h(x)の最小値が-3で、h(x)の最大値が19」でも、 「-4≦h(x)≦20を満たしている」と言えませんか? √が入っていようと入っていまいと、 「h(x)の最小値が-4以上で、h(x)の最大値が20以下なら-4≦h(x)≦20と言える」はずですが。 試しに計算しましたが、私もh(x) = 7+8sin2θ-5cos2θとなりました。