質問: この英文の和訳をお願いします。 before a detailed description of our numerical procedures, we comment on above simplifications. as seen in an example of e=1.0 and i=0.5, n-recurrent (n≧3) collision orbits contribute by only 1% or less to the collision rate. on the one hand, from calculations with other e and i, the degree of contribution by n-recurrent (n≧3) collision orbits is found to be largest in the case e≒1. hence, the error in introduced by simplification (i) is of the order of 1% or less. as for the applicability of the two-body approximation, we have confirmed in paperii that the orbit are well described by the two-body formula inside the two-body sphere, whose radius is given by eq. (13). no appreciable error in comes from simplification (ii). simplification (iii) follows the discussion in the last section. using above simplifications, we have developed numerical procedures for obtaining efficiently; their flow chart is illustrated in fig. 10. choosing initial values of orbital elements (e, i, b, τ_s, ω_s), we start to compute numerically hill’s equations (6) by an ordinary fourth-order runge-kutta method from a starting point given by eqs. (21) and (22). the distance r is checked at every time step of the numerical integration. if the particle flies off to a sufficient distance from the protoplanet after approaching it, i.e., if |y|>y_0+2e, (26) then, the orbital computation is stopped. if a particle approaches the protoplanet and crosses the two-body sphere surface, i.e., if r≦r_cr, the two-body formula is employed to predict whether or not a collision occurs. when no collision occurs at the first encounter, the numerical integration of hill’s equations is continued. since a particle which enters the two-body sphere inevitably escapes from the sphere (see paper ii), the particle follows alternatives: one is that it departs to such a distance that eq. (26) is satisfied, and the other is that it crosses the two-body sphere surface again. in the former case, we stop the computation, considering that the orbit is non-collisional. in the latter case, the occurrence of collision is checked in the same way as earlier by means of the two-body formula, and the orbital calculation is terminated. using the numerical procedures developed in this way, we obtain in many sets of (e, i); the results are presented in the preceeding sections. fig. 10. flow chart of orbital calculation for finding collision orbits. fig. 10. 拡大画像↓ http://www.fastpic.jp/images.php?file=2113240192.jpg 長文になりますが、よろしくお願いします。
回答: 数値計算手法を詳細に説明する前に、上記簡略化について言及する。eが1.0でiが0.5の例でわかるように、n回帰性(nは3と同等かそれよりも大きい数字)衝突軌道は、衝突速度にわずか1%かそれ以下の影響しか与えない。その一方で、別なeとiを用いた計算ではn回帰性(nは3と同等かそれよりも大きい数字)衝突軌道の影響度合いは、eが1とほぼ等しい場合もっとも大きくなるとされている。つまり(1)の簡略化を用いることにより生じる の誤差が1%かそれ以下程度ということだ。二体近似の適応性に関しては、第二論文において、軌道は方程式(13)で示された半径をもつ二体球内での二体公式により十分に説明されている。 (2)の簡略化による特筆すべきの誤差はない。(3)の簡略化については最後の章の議論で分る。 上記簡略化を用いて効率的に得るための数値計算手法を開発した。そのフローチャートは図10に示した通りである。軌道要素(e, i, b, τ_s, ω_s)の初期値を選び、(21)と(22)の方程式で得た出発点から、通常の4段階ルンゲクッタ法によりヒルの方程式(6)を数値的に計算することから始める。数値積分のすべてのタイムステップ(※1)において距離rはチェックされる。もし粒子が原始惑星に近づいた後に惑星から十分な距離まで飛散、すなわち例えば yの絶対値がy_0+2e(26)よりも大きければ 軌道計算は停止される。もし粒子が原始惑星に近づき、二体球表面を横切ったならば(たとえば rがr_crと同等かそれよりも小さかった時など)、衝突が起こるか否かの予測に二体公式を用いる。最初の遭遇で衝突が起きない場合、ヒル方程式の数値積分を継続する。二体球に入る粒子は必然的に球から出て行くので(第二論文参照のこと)、粒子には複数の選択肢が可能である。ひとつは方程式(26)に当てはまる距離へと離れること、もうひとつは二体球表面を再度横切ることである。前者の場合軌道は非衝突性であると見なされ、計算は停止する。後者の場合は以前と同じように二体公式を用いて、衝突の発生をチェックし軌道計算を終了する。 このように開発した数値計算手法を用いて、多くの (e, i)の組み合わせについてを求めることとした。結果は前節で示してある。 図10:衝突軌道を発見する為の軌道計算のフローチャート ※1:時間で微分された式を数値積分する際の時間刻みのこと