質問: 写像について 問題 a:有限集合 写像f:a→aとする。写像fが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。 <自解> 写像fが単射ならば a_1,a_2∈a、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2(単射の命題の対偶) 写像fはaからaへの写像より ∀y∈a、∃a∈a、st y=f(a)∈a 故に、写像fが単射ならば全射。 また、 写像fが全射ならば ∀y∈a、∃a∈a、st y=f(a)∈a ... ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。 全体的に証明できていないと思います。 どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。
回答: >写像fが単射ならば >故に、写像fが単射ならば全射 のところは残念ながら証明になっていません。 集合aは有限集合なので、n個の要素からなり、 a={a_1,a_2,・・・,a_n}としてみましょう。 「fの行く先もaである」がまずポイント (1)前半のヒント:写像fが単射ということは、 「異なる要素は、異なる要素に写される」という ことですから、「f(a_1),f(a_2),・・・,f(a_n)は 「aに含まれる」全て異なる要素」 となる。 (2)後半のヒント:写像f:a→aは全射なので、 aの各要素の原像は、aの部分集合で 空集合φではありません。つまり f^(-1)(a_1)≠φ、f^(-1)(a_2)≠φ,・・・,f^(-1)(a_n)≠φです。 そこで、 f^(-1)(a_1)、f^(-1)(a_2),・・・,f^(-1)(a_n)から 順番に一つずつaの要素 b_1,b_2,・・・,b_nをとって 行きましょう。(有限集合だからいつか終わる) ここで、「例えばb_1=b_2となることがある」かどうかをよーく 考えてみて下さい。