質問: 斜辺の長さが1である直角三角形で面積の最大値を求めよ。 という問題で、なるべく多くの解法を知りたいです。 1sin,cosで三角関数で出す 2a^2+b^2=1からa^2b^2で4次関数を作って微分 32でa(√1-a^2)で微分する 4相加相乗から求める? 正直、4がうまく出ないのと、その他の別解をいくつか知りたいです。
回答: 4について 斜辺を直径ABとする円を考える 直角の頂点Cは円周上にあり、そこから斜辺に垂線下ろして交点Dとする。 AD=a,BD=bとすると、 △ACD∽△CBDから、 AD:DC=CD:DB DC=√ab 面積最大にするにはこれを最大にする。 で相加相乗平均使うと、最大は(a+b)/2とわかり、等号成立はa=bのとき。 つまりDが円の中心のとき。