質問: マクスウェルの速度分布に従う質量mの分子がある。 分子が速度v=(vx,vy,vz)をもつ確率は、次式のボルツマン速度分布関数で与えられる f(vx,vy,vz)dvxdvydvz =(m/2πkT)^(3/2)exp(-m(vx^2+vy^2+vz^2)/2kT)dvxdvydvz 分子の運動エネルギーをεとして、運動エネルギーがεとε+dεの間にある確率をf(ε)dεとするとき、エネルギー分布関数f(ε)を求めよ。 という問題が分からなくて困っています。 有識者の方、よろしくお願いいたします。
回答: まず、vx,vy,vz → vの変換をします。 fは v2=vx2+vy2+vz2 なのでvの関数でもあるから fdvxdvydvz=f4πv2dv=(m/2πkT)3/2 4πv2 exp(-mv2/2kT) dv =(m/kT)3/2 2{1/√(2π)}v exp(-mv2/2kT) vdv ε=mv2/2 でεに変換すると dε=mvdv だから fdvxdvydvz=(m/kT)3/2 2{1/√(2π)}√(2ε/m) exp(-ε/kT) (1/m)dε =(1/kT)3/2 (2/√π)√ε exp(-ε/kT) dε