質問: 微分の問題 微分の問題なのですが aを定数として、関数f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x+a-4とすると (1)f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか? (2)xについての方程式f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは aがどのような条件のときですか? ちなみに(1)の答えが aキ2になるのですが 私は判別式を使って解いたのですが aキ2はでてきませんでした。 (2)は解答ではa<0,4<aです。 教えて下さい。お願いします。
回答: (1)について f(x)を微分して f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1) f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0 が異なる実数解を持つ。 f'(x)を6で割って x^2-ax+(a-1)=0 で考えても同じ。 この判別式 a^2-4(a-1)= a^2-4a+4=(a-2)^2≧0 よって、異なる実数解を持つ条件は(a-2)^2≠0 よって a≠2 (2)について グラフを書いてイメージしてみましょう。 f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは 極大値>0 かつ 極小値<0 であれば良いわけです。 f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1) = 6(x^2-ax+a-1) =6(x-1)(x+a-1) ですね。 この因数分解に気が付くかがポイントかもしれません。 よって、極値をとるのは、x=1のときと、x=-a+1 のときです。 あとは、x=1 と x=-a+1 の大小関係によって場合分けし、f(1)とf(-a+1)を計算して、「極大値>0 かつ 極小値<0」の条件を考えるだけです。 頑張ってください。