質問: 平均値の標準偏差 とある画像処理に関する論文を読んでいて次のような記述があったのですが分からない点があったのでどなたか教えてください。(簡単にまとめてあります。) 「ノイズのある画像を複数回撮影し、その平均値をとることでノイズ成分を小さくすることができる。ノイズ成分が正規分布の場合、標準偏差σと測定回数n回の平均値の標準偏差σ1は以下で記述される。 σ1=σ/√n 」 この記述に関して、 1.ノイズ成分が正規分布の場合しか、上記式は適用できないのでしょうか。ランダムノイズの場合でも平均化できるような気がするのですが・・・。 2.またなぜ、測定回数の平方根に反比例するのでしょうか。 3.上記式では測定回数nを多くすれば平均値の標準偏差σ1は0に近づきますが、この数値はいくつくらいならいいのでしょうか。0に近いほど母集団の平均値を推定できているということまでは分かったのですが、どのくらいの数だったらいいという閾値や評価基準みたいなものはあるのでしょうか。 以上、どなたかご回答お願いします。
回答: 1. どういう意味で,ランダムと言っているのか,不明ですが。。 どんな確率分布でも,そこから取り出した標本平均の分布は,中心極限定理によって近似的には正規分布に従います。ですから,本問の場合も,「(測定回数を十分多くして)正規分布と見なせる場合」とするのが,正確な表現だと思われます。逆に言えば,そのように見なせれば,もとはどんな分布でもよい,ということになります。 2.どの段階から説明すればよいか迷いましたが,とりあえず,分散の以下の性質から。 互いに独立な確率変数 x1, x2,....,xn, 定数ai とすると, 分散について v(σai*xi) = σai^2 v(xi) となります。 分散σ^2の確率変数 x1, x2,....,xn の平均mx は, mx = (x1, x2,....,xn) / n 平均の分散は v (mx) = v(x1/n + x2/n +....+ xn/n) = 1/n^2 * v(x1) + 1/n^2 * v(x2) + ...... + 1/n^2 * v(xn) = 1/n^2 * σ^2 + 1/n^2 * σ^2 + ...... + 1/n^2 * σ^2 = 1/n^2 (σ^2 + σ^2 + ...... + σ^2) = 1/n^2 * (n * σ^2) = σ^2 /n したがって,標準偏差は,σ1=σ/√n となります。 3.1, 2の説明から,大きさn の標本平均 mx の信頼区間は, mx ± z(a) * σ/√n となります。いわゆる通常の信頼区間の求め方です。 信頼区間95%,つまり,有意水準 5% なら,z(0.05) = 1.96 として,この式に当てはめると良いでしょう・