質問: 0<x<1 からランダムに数を何個選べば和が1を超えるかの期待値 区間 0<x<1 からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し,n回目に選んだ数を a[n] とする。 このとき,a[1] + a[2] + ... + a[n] が初めて1を超えるようなnの期待値を求めよ。 もちろん「ランダム」という言葉は適切に定義する必要がありますが,「(0,1)上の一様分布」と考えます。 答えはeらしいのですが、どのようにして求めるのでしょうか?
回答: 「ランダム」という言葉について以下の定義を与えます。 s<x<t(ただし、0<s<t<1)なる数xを選ぶ確率をt-sとする とりあえずこの定義をもとに話を進めます。 ひとつの数を選ぶことにより題意を満たす確率は0です。 ふたつの数を選ぶ場合について考えます。 ひとつめにtを選んだとき、のこりは1-tより大きい数字を選ぶ必要があり、その確率は1-(1-t)=tであるから 二つの数で題意が満たされる確率は ∫[t=0,1]tdt=1/2 次にみっつの数を選ぶ場合について考えます。 ひとつめに1-sを選んだとき、あと2回でsをこえる必要があります。 その確率は上記と同様に ∫t=0,sdt=(1/2)s^2 よって三回で題意が満たされる確率は ∫s=0,1s^2=(1/3!) 以下同様にして、n回目で初めて1を超える確率は1/n!となることがわかります。 よって、求める期待値は ςn=2,∞*n=eとなります。