質問: 全くわかりません。よろしくお願いします。
回答: 1.1 (1) 部分空間である U={u=(x,y,z)'∈R^3|Au=0} と書けます。ただし (x,y,z)' は転置ベクトル、 A= 111 000 000 です。同次型方程式の解空間なので部分空間になります。 Au=0 の一般解は u=(x,y,z)'=s(-1,1,0)'+t(-1,0,1)', s, t ∈R なので、 U=<(-1,1,0)',(-1,0,1)'> です。 (2) 部分空間ではない 小問 (1) と同じ行列 A に対して、V={u=(x,y,z)'∈R^3|Au=(1,0,0)'} であり、V は非同次型方程式の解空間です。これは部分空間ではありません。 特解が (1,0,0)' ですから V=U+(1,0,0)' と書けます。U は小問 (1) の部分空間。 (3) 部分空間になります W={u=(x,y,z)'∈R^3|Bu=0} と書けます。ただし B= 100 000 000 W は同次型方程式の解空間なので部分空間になります。 Bu=0 の一般解は u=(x,y,z)'=s(0,1,0)'+t(0,0,1)', s, t ∈R なので W=<(0,1,0)',(0,0,1)'> です。 1.2 A= 42 21 とします。 A(x,y)'=(0,0)' ⇔ 2x+y=0 ⇔ (x,y)'=k(-1,2)', k∈R ですから解空間は <(-1,2)'> となります。