質問: 空間(長いです) 「空間において、定点o,aがあり、 fはoaの中点を中心とする半径1の球面である。 2点x1,x2をf上に取る時、4点o,a,x1,x2を頂点とする四面体の 体積の最大値を求めよ」 という問題で、(全部書くと長くなるので質問したい所だけ書くと) 『直径oaをx軸上に置き、△ox1aをxy平面上に取る。 原点をo'として、o(1,0,0),a(-1,0,0)とする。 点x2からxy平面に降ろした垂線の足をhとし、o'hとx軸の正方向とのなす角をβ、o'x2とz軸の正方向とのなす角をθとすると x2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)となる』 とあるのですが、 どうしてx2座標のx座標とy座標はsinθが掛かってるんですか? また、hの座標は(cosβ,sinβ,0)でokですか? 回答よろしくお願いします。
回答: x2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)はこの”普通の球座標”の式。 球座標は地球の中心がo’ 北極がz=1、南極がz=-1 でθは90°-緯度 にあたる角度(北極からはかった角度) βは赤道上の1方向 (グリニッジに相当))すなわちx軸 から はかった角度(経度に相当)で球上の位置を示しています。 >o'x2とz軸の正方向とのなす角をθ θがz軸となす角 hはx2から赤道面(xy面)にz軸に平行におろした線と赤道面の交点 x2の赤道面(xy面)への正射影は、hを通る円、すなわち半径sinθの円上を移動します。 xy面での位置は、x軸からの距離をβとすれば、 x=rcosβ y=rsinβ r=sinθ で、hの赤道面からの高さは、cosθ です。まとめると、 x2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ) になります。 これで、 0<θ<π 0<β<2π をうごけば球面上を動くことになります。 ちなみに oaをz軸においた解を示しておきます。 o(0,0,-1) a(0,0,1) とおいて x1(sinα,0,cosα) x2(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ) から 底辺をδoax1とすれば、 面積は、1/2×oa×(x1のx座標) =sinα 四面体の高さは、x2のy座標 sinφsinθ 体積vは v=1/3×sinαsinφsinθ 最大となるのは、 α=π/2 φ=π/2 θ=π/2 6v=2 v=2/3 ようするに、 δoax1を底面 oax1からの高さをx2の(質問者の設定ではz座標、上の解では、y座標)として、 それぞれ、x1は底面を最大にするように x2は高さを最大にするようにきめればいいだけです。 (じつはわざわざ極座標を使う必要はありません。)