質問: 公理的集合論で、ある命題を証明? 選択公理を導入すると、下記の命題(1)が証明できるそうです。(wikipediaの選択公理の記述) 命題(1):任意の二つの集合 a,b について、a から b への単射があるか、または b から a への単射がある。 素人丸出しの例題で恐縮ですが、上記の命題(1)で、任意の集合として以下を選びます。 集合a:原子の名前を要素とする集合とする。 集合b:地球上の国名を要素とする集合とする。 この場合、aからbへの単射もないし、bからaへの単射もなく、命題(1)が偽であるように思えます。 選択公理を用いると証明できるとされる命題(1)は、何を意味しているのでしょうか。 数学の素人にもわかる簡単な例で命題(1)の意味をご説明いただけると助かります。
回答: 横から突っ込みを入れると > たまたま太陽との距離が同一な恒星があるかもしれません > 恒星と太陽との距離以外のなにか別の属性が定義できない限り 例えば恒星が3つあって、太陽との距離がそれぞれ 2, 2, 3であったとします(単位は今の場合どうでもよい)。この場合集合として{2, 2, 3}というのを考えることになりますが、これは{2, 3}と同じである事は理解していますでしょうか?(つまり、この集合の要素数は2つであって、『3つではない』) 多分集合論を扱う最初の段階で習うと思いますが、正確にどこの単元かは知らない... 選択公理を見ているのなら、そのついでに「外延性公理」について確認しておくといいです。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%85%ac%e7%90%86%e7%9a%84%e9%9b%86%e5%90%88%e8%ab%96 にも書いてありますが、{2, 2, 3}と書いても、{2, 3}と書いてもこの集合の要素は2と3だけですね。 二つの2を区別したいのなら、それは例えば恒星と距離のペア のような、距離「だけ」以外の別のものを考えているのであって、既に「数値を要素とする集合」を考えているのではありません。