質問: 真空中の点oにqの点電荷があり、この電荷が作る静電界をeと表す、また点oを中心とする半径rの球面をs 真空中の点oにqの点電荷があり、この電荷が作る静電界をeと表す、また点oを中心とする半径rの球面をs1、球面s1を内部に含む任意形状の閉曲面をs2とし、これらの曲面んl外向き単位方線ベクトルをnと書く。 a)点oとは異なる点をxとする、点oを原点とし、点xの位置ベクトルをxで表す。xにおける電界eをx、q、ε0で表せ。 b)電界eは点o以外で1の式を満足することを、 aの結果を用いて表せ。 dive=0 1 c)電界eを球面s1で積分を行うことにより2式が得られることを、 aの結果を用いて示せ。 ∫ [s1]e・nd s=q/ε0 2 d) 電界eを球面s2で積分すると3式が得られることを、bとcの結果を用いて示せ。 ∫ [s2] e・nd s=q/ε0 3
回答: b) a)の結果をdivの定義通りに計算するだけです。 c)面積ベクトルの法線とeが平行だから 2の左辺=4πr^2|e|=q/ε d)これは純粋に数学の定理で「ガウスの発散定理」として広く知られてます。 ストークスの定理等と並んで、ベクトル解析の基本的な定理のひとつ。 解説もネット上に無数に有ります。教科書にも絶対に載っている定理です。 教科書をよく読みましょう。