質問: 集合 実数全体の集合をrで表し、これを全体集合とする。このときの部分集合a={x|x^2-x-2>0} の補集合をbar aで表す。また、実数kに対して、部分集合bをb={x|x^2-2kx-k+6>0}で表すとき、(bara) ⊂ b になるkの範囲を求めよ。 解き方 まずaについて、(x+1)(x-2)>0より、x<-1、20が成り立つ事である。 f(x)= x^2-2kx-k+6= (x-2)^2-k^2-k+6 とおき、k<-1, -1≦k≦2, 20 k<-1より、-70, (k-2)(k+3)<0, -1≦k≦2より、-1≦k≦2 20, k>2より解なし。 よって求めるkの範囲は-7 0を[x-{k+√(k^2+k-6)}]*[x-{k-√(k^2+k-6)}>0 として、-1≦x≦2の部分がx≦k-√(k^2+k-6)の範囲内に収まる場合の2≦k-√(k^2+k-6)と、-1≦x≦2の部分がk+√(k^2+k-6)≦x の範囲内に収まる場合のk+√(k^2+k-6)≦-1、この2つの場合を考えて解こうとしていたのですが、この解き方でも答えを求める事ができるのでしょうか??
回答: > -1≦x≦2の部分がx≦k-√(k^2+k-6)の範囲内に収まる場合の2≦k-√(k^2+k-6)と、-1≦x≦2の > 部分がk+√(k^2+k-6)≦x の範囲内に収まる場合のk+√(k^2+k-6)≦-1、この2つの場合を考 > えて解こうとしていた まず、不等号がおかしくない? 「-1≦x≦2」以外の所に出て来る「≦ 」は「<」でしょ。 次に、 k+√(k^2+k-6) や k-√(k^2+k-6) がもし実数でなかったら、そもそも大小比較ができません。すなわち、 (1) これらが実数になる場合に限って、式 2<k-√(k^2+k-6) と 式 k+√(k^2+k-6)<-1 が意味を持ちます。 ところで、 (2) これらが実数でない場合には、f(x)はどんなxについても正、つまりb=rだということだから、(bara) ⊂ bです。 だから、「((k^2+k-6 ≧ 0かつ(2<k-√(k^2+k-6) または k+√(k^2+k-6)<-1)を満たすk)、または(k^2+k-6 < 0を満たすk)」が求められている。 以上をまとめて式で書けば、求められているのは集合 { k | k^2+k-6 ≧ 0 ⇒ (2<k-√(k^2+k-6) ∨ k+√(k^2+k-6)<-1)} です。(⇒は「ならば」、∨は「または」です。) 場合分けして考えるんなら、 (i) k^2+k-6 < 0 のとき (ii) k^2+k-6 ≧ 0 かつ 2<k-√(k^2+k-6) のとき (iii) k^2+k-6 ≧ 0 かつ k+√(k^2+k-6)<-1のとき と分けるかな。