質問: 全体的にはわかります。(1)の赤線部分の式が、どうして、階差... ■どこまで理解しているか 全体的にはわかります。 ■どこが具体的にわからないか (1)の赤線部分の式が、どうして、階差数列の漸化式になるのかがわかりません。詳しい解説お願いします。
回答: こんにちは! この問題は赤かっこの部分が階差数列の漸化式になっているわけではありません。そもそもxn+1 - xn = (xn)2 の時点で初項x1、階差(xn)2 の階差数列であることが確定しています。赤かっこの部分は階差数列にするための確認ではなくて、直接数列{xn}の極限を求めることが難しいので、それより小さい数字に置き換えるための準備だと思ったほうがいいでしょう。 そもそも、階差数列というのは「前項との差自体が数列になっているもの」を指します。差自体が数列になっていること除けば等差数列と仕組みは変わりません(詳しくは画像参照)。よって、漸化式の場合は... an+1 - an = nの式 のような形になっていると、階差数列になります。右辺の「nの式」が階差の一般項になるわけですね。だから、今回の場合この「nの式」が(xn)2 になっているだけなんです。 さて、では赤かっこの部分が何をしているのかを考えてみましょう。漸化式より、2項間の差が「正の数」であることが確定しているため、数列{xn}はひたすら増加し続ける数列であることが確認できます(それがxn+1≥xn≥・・・≥x1 = a)。この時、aが正なので、すべての数列{xn}の項において(xn)2 ≥ a2 であることがわかります(両辺正なら平方しても不等式は維持される)。 このような不等式が成り立つならば x1 + σk =1→n-12 ≥ x1 + σ[k =1→n-1]a2 も成り立つはずです。左辺側のnを無限大に発散させるのは困難((xn)2 がどうなるのかわからない)ですが、右辺側は簡単そうです。右辺側のnを無限大に発散させたとき、右辺が無限大に発散するならば、それより大きい左辺も当然無限大に発散するという論理を立てているのがこの問題なんですね。 よって、赤かっこの部分はこれをするための準備だったのです。