質問: 推定量 統計の問題で 【分散の異なる正規分布 n(μ,σ1^2),n(μ,σ2^2) から2つずつ無作為標本をとる. このとき,μの有効推定量は大体幾らか?】 という問題があるのですが,よくわかりません. 分散が小さい推定量が「良い」ことは分かるのですが, 「これ以上良い推定量はない」といえるような推定量はあるのでしょうか?
回答: そのあたりを勉強されているのであれば、何をもって「良い」推定量とするかには、いろいろの定義があり、主なものに ・一致性(標本数を多くすると、母数に確率収束する) ・不偏性(推定量の期待値が、母数に等しい) ・有効性(不偏かつ最小分散) ・十分性(標本が与えられたときの推定量の条件付確率が母数によらない) などがあることはご存知ですね。 有効推定量とは、不偏かつ分散が最小の推定量でした。 分散に関しては、クラメール・ラオの不等式 「標本が確率密度f(x,θ)(θは母数)にしたがうとき、任意の推定量θ~の分散は var(θ~)≧1/(n(e[∂/∂θlog f(x,θ)])^2)」 があります。言い換えると、推定量の分散は右辺の値より小さくなれません。 さらに、推定量の式に不偏という条件をつけると、最小値の存在が怪しくなってくるので、(クラメール・ラオの不等式の等号が成り立たない!)、漸近有効性でがまんする場合もあります。 平均の推定では、不偏=一致=有効=十分 という関係がうまく成り立つのですが、 分散の推定の場合はそのようになりません。たとえば不偏であろうとすれば有効にならないということがおこります。 だから、「大体幾らか?」というアバウトな問題文になっているのでしょう。「大体」でよいのだから、好きなように解釈したらいかがですか? たとえば、 1.クラメール・ラオの下界を使う。 2.最尤推定量(=漸近有効性をもつ)を使う。 3.blue(線形不偏推定量のうち最小分散のもの)を使う。 問題文に「分散が異なる」とあるので、おそらく、3をさせたいのじゃないかと思いますがね。標本数がたった2個なので、最尤推定量はだめでしょうね。