質問: 微分の問題?についての質問 α0x^n+α1x^(n-1)+・・・+αn-1x+αn=0 α0≠0 は、nが奇数ならば少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。 ↑の問題はnに適当な数をいくつか代入して示す、という形でいいのでしょうか?(自分でもよくわかっていません。) ちなみにαの横の0やnはαの番号です。 説明が下手でごめんなさい。皆さんの考えを聞かせてください。 よろしくお願いします。
回答: 「nに適当な数をいくつか代入して示す」のでは解答になりません。 nはあくまでも任意の奇数なのですから。 α*は実数として考えると、左辺の式をα0で割った式をf(x)とおいて、 xを実数の範囲で動かしてみます。 x→+∞のとき f(x)→+∞、x→- ∞のとき f(x)→- ∞ [nが奇数のとき] となるので、中間値の定理により、f(x)=0となるxが少なくとも1つあることになります。 したがって、与えられた方程式は、nが奇数のとき少なくとも1つの実数解を持ちます。 nが偶数の場合は、x→- ∞のとき f(x)→- ∞ が成り立たないので、 nが奇数という条件が必要となります。 ...こんな感じでどうでしょうか? 中間値の定理を使わないとすると、話がややこしくなりそうですが...