質問: 【ベクトルと平面図形】 ab=9、bc=8、ca=7である△abcの内接円の 辺bc,ca,abでの接点をそれぞれd,e,fとし、内接円の中心をiとする。 (1)四角形afie、bdif、ceidの面積比は? (2)△abcの面積は? (3)内接円の半径は? (4)ai→をab→、ac→で表せ。 問題数が多いのですが... 解ける方いらっしゃいませんか?
回答: (1)四角形afie、bdif、ceidの面積比は? 四角形afieの面積を2a、四角形bdifの面積を2b、 四角形ceidの面積を2c とすると、 (a+b):(b+c):(a+c)は△abiの面積:△bciの面積:△caiの面積 であり、それぞれの三角形の高さ=内接円の半径なので、面積 の比は辺の長さの比になる。よって、 (a+b)/(b+c)=9/8 → 8a+8b=9b+9c → 8a=b+9c (a+c)/(b+c)=7/8 → 8a+8c=7b+7c → 8a=7b-c 両式より10c=6b c=3b/5、代入して 8a=7b-c=7b-3b/5=32b/5 a=4b/5 よって、a:b:c=4b/5:b:3b/5=4:5:3 四角形afie、bdif、ceidの面積比=2a:2b:2c=a:b:c =4:5:3・・・答え (2)△abcの面積は? aからbcに下ろした垂線の足をgとすると、三平方の定理より ag^2=81-bg^2 ag^2=49-(8-bg)^2=49-(64-16bg+bg^2)=-15+16bg-bg^2 両辺の差をとって 0=96-16bg → bg=6 → ag=√(81-36)=√45 よって△abcの面積=(8*√45)/2=12√5・・・答え (3)内接円の半径は? △abc=△abi+△bci+△caiなので、面積の2倍を計算すると、 内接円の半径=rとして 24√5=r*(7+8+9) → r=√5・・・答え (4)ai→をab→、ac→で表せ。 aiは∠aを二等分しており、af=aeなので、aiの大きさは afとaeを2辺とする菱形の対角線の長さの1/2になる。 af:fbは(1)の計算過程よりaf:fb=a:b=4:5であり、af=4 となる。以上より、ai→=(1/2){(4/9)ab→+(4/7)ac→} =(2/9)ab→+(2/7)ac→・・・答え