質問: 収束 lim[n→∞]=n*a^n 0
回答: 普通に... n・a^n = n/{(1/a)^n} = n/{e^(n log(1/a)}. 指数関数をマクローリン展開して、e^x = σ[k=0→∞] x^k/(k!). x > 0 のとき、右辺の級数は各項正だから、 打ち切ると下から評価できて、e^x > 1 + x + x^2/2. 0 < a < 1 のとき、log(1/a) > 0 だから、上式が使えて、 e^(n log(1/a) > 1 + n log(1/a) + {n log(1/a)}^2/2. よって、冒頭の式より、 n・a^n < n/[1 + n log(1/a) + n^2 {log(1/a)}^2/2]. n・a^n > 0 は自明だから、n→∞ でハサミウチすれば、 lim[n→∞] n・a^n = 0 が導かれる。