質問: 数学ii 三角関数 (1)0≦θ≦2πの時、cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=1を解け。 (2)0≦x<2π、0≦y<2πであるとき、連立方程式 sinx+cosy=√3 cosx+siny=-1 を満たすx、yを求めよ。 解答解説ともに、よろしくお願いします。
回答: (1)0≦θ≦2πの時、cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=1を解け。 sin(θ+π/6)=sinθcosπ/6+cosθsinπ/6=(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ cos(θ+π/3)=cosθcosπ/3-sinθsinπ/3=(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=cos2θ+√3sinθ=1-2sin^2θ+√3sinθ=1 sinθ(sinθ-√3/2)=0 0≦θ≦2πにおいてsinθ=0より θ=0またはπまたは2π または sinθ=√3/2より θ=π/3または2π/3 (2)0≦x<2π、0≦y<2πであるとき、連立方程式 sinx+cosy=√3 (1) cosx+siny=-1 (2) を満たすx、yを求めよ。 (1)^2+(2)^2より sin^2x+2sinxcosy+cos^2y+cos^2x+2cosysinx+sin^2y=4 sin^2x+cos^2x=1,sin^2y+cos^2y=1,sinxcosy+cosysinx=sin(x+y)を用いて sin(x+y)=1 (3) 0≦x<2π、0≦y<2πより 0≦x+y<4π、(3)を満たすx+yは x+y=π/2またはx+y=5π/2 いずれの場合も cosx=siny,cosy=sinx (1)より sinx=√3/2 x=π/3,2π/3 (4) (2)より siny=-1/2 y=7π/6,11π/6 (5) 1)x+y=π/2のとき (4)、(5)のいずれのx,yの組み合わせもx+y=π/2を満たさないので解ではない。 2)x+y=5π/2のとき x=2π/3、y=11π/6はx+y=5π/2を満たす。 答え x=2π/3、y=11π/6