質問: a・b=b・aならばaの固有ベクトルはbの固有ベクトルである a,bをそれぞれn次正方行列とする 命題1: 「a・b=b・aのときaの固有ベクトルはbの固有ベクトルである」 これは反証がすぐに得られるので偽である 命題2: 「a・b=b・aでありaの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が1次元のときaの固有ベクトルはbの固有ベクトルである」 kony0氏の証明より vをaの固有ベクトルとしたときaを適当な複素数としてa・v=a・v 一方a・(b・v)=(a・b)・v=b・(a・v)=b・(a・v)=a・(b・v) 従ってb・vはaの固有値aの1次元固有ベクトル空間に含まれるから 適当な複素数bが存在してb・v=b・v 命題1に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください
回答: 物理の量子力学で出てくるのですが、 「a、bがエルミート行列で、a・b=b・a(可換)ならば、aの固有 ベクトルとbの固有ベクトルを共通にとることができる。」 というのがあります。 つまり、a、bとも、同じユニタリー変換で対角化出来ます。 証明は量子力学の本に書いていますが、 ちょっと面倒そうですのでパスさせてください。 以下参考です。 a、bは物理量を意味し(例えばエネルギー、角運動量等)、 固有値は、その物理量を測定したときの値になります。 ですから、固有値は実数でなければならず、そのためa、bはエルミート 行列でなければなりません。 固有ベクトルは、測定で、ある固有値が観測されたときに、その固有値に 対応する状態を意味します。 a、bが可換であることは、同時に確定値を有する状態が存在することを 意味します。