質問: √2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体上線形独立 文字を有理数として、 a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=0 ならば a=b=c=d=e=f=0 を示したいのです。 平方根の中身は、平方因数を外にくくりだしたとき、中身が異なるものであればなんでもいいです。 個別の数値の性質を用いるのではなく、できるだけ一般的に示したいのですが、証明がわかる方は教えていただけないでしょうか?
回答: a√α + b√β= 0 (α,β:互いに異なる自然数、a,b:有理数) と書けるとすると、αとβの最大公約数γとして、√γで両辺を割ってしまえば、 a√α + b√β= 0 (α,β:互いに素な自然数、a,b:有理数) と書けるとしてokです。(α、βの一方が平方数の場合もありえます) で、 √(α/β) = -b/a と書けるんで、右辺が有理数、左辺は無理数 で矛盾 左辺が無理数ていう証明は、普通に、√2が無理数の証明と同じようにできます。