質問: ∫1/x√(x^2+1) の積分について。 ∫1/x√x^2+1を積分しろ という問題があるのですが、解答をみると √(x^2+1)=t-x と、置き換えて積分していくのですが、僕は √(x^2+1)=t とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか? 一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが...。 答えは log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}| です。 僕の置換の方法でやると、 1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1| です。
回答: ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。 log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}| |x-1+√(x^2+1)| log ―――――――――――― |x+1+√(x^2+1)| |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]| =log――――――――――――――――――――――――― |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]| |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]| =log――――――――――――――――――――――――― |(x+1)^2-(x^2+1)| |x^2-(1-√(x^2+1))^2| =log――――――――――――――― |2x| |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1| =log―――――――――――――――――― |2x| -1+2√(x^2+1)-1 =log―――――――――――― |2x| √(x^2+1)-1 =log――――――――― |x| [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1] =log――――――――――――――――― |x[√(x^2+1)+1]| |x^2| =log―――――――――――― |x[√(x^2+1)+1]| |x| =log―――――――――――― √(x^2+1)+1 =log|x|-log[1+√(x^2+1)] ------------------------------------------------------------ 1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1| 1 √(x^2+1)-1 ――― ・ log―――――――――――― 2 √(x^2+1)+1 1 [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1] =――― ・ log――――――――――――――――― 2 [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1] 1 |x^2| =――― ・ log―――――――――――― 2 [√(x^2+1)+1]^2 |x| = log―――――――――――― √(x^2+1)+1 =log|x|-log[1+√(x^2+1)] -----------------------------------------------------------