質問: 一次変換 定義1:平面上の点p(x,y)から点p'(x',y')への変換fが次の条件を満たす。 f:{x'=ax+by {y'=cx+dy (a,b,c,dは定数) 定義2:任意のベクトルx,yと定数αに対して変換fが次の2つの条件を満たす。 (1)f(x+y)=f(x)+f(y) (2)f(αx)=αf(x) 定義1は定義2を満たすことを示せ。 また、定義2は定義1を満たすことを示せ。 証明するような問題は苦手で、どうしたらいいのか全く分かりません。 どなたか教えていただけないでしょうか? 詳しく解説していただけると有難いですが、解くためのヒントなどでも良いので、お願いします。
回答: 定義1 と定義2 で文字 x, y の用途が違うことは、頭が混乱するもとになりがち。 定義2 の方の文字を換えとこう。 定義2: 任意のベクトル u, v と定数 α に対して変換 f が次の2つの条件を満たす。 (1)f(u+v) = f(u) + f(v) (2)f(αv) = αf(v) さて、定義1 ⇒ 定義2 は... u = (x1,y1), v = (x2,y2), f(u+v) = (x',y') と置くと、 x' = a(x1+x2) + b(y1+y2) = (ax1+by1) + (ax2+by2), y' = c(x1+x2) + d(y1+y2) = (cx1+dy1) + (cx2+dy2) であるから、f(u,v) = f(u) + f(v). 成分ごとに計算して、後でベクトルにまとめた訳。 定義2 ⇒ 定義1 は... e1 = (1,0), e2 = (0,1), f((x,y)) = (x',y') と置くと、 (x',y') = f((x,y)) = f(xe1+ye2) = xf(e1) + yf(e2). f(e1) = (a,c), f(e2) = (b,d) と置けば、 x' = ax+by, y' = cx+dy になっている。