質問: 積分の問題が分かりません。
回答: 定理45.1が何なのか、を書いていただけるとより正確な回答ができると思います。 コメントに書いた回答をコピペします。 まず、積分区間を2つに分割します。 (与式) =∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}+∫[1/2→1]dx/{x^α・(1-x)^β} まず前半の積分を考えましょう。0≦x≦1/2で1-xはゼロになることがないので、1/(1-x)^βという関数は連続関数になります。 閉区間上の連続関数は最大値・最小値をもつので、ある(正の)定数m,Mに対しm≦1/(1-x)^β≦Mと言えます。 mとMはそれぞれ1/(1-x)^βの0≦x≦1/2における最小値・最大値です。 したがって、 ∫[0→1/2]mdx/{x^α}≦∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}≦∫[0→1/2]Mdx/{x^α} ここで、定数をとった ∫[0→1/2]dx/{x^α} は、α≧1で∞に発散し、α<1で収束します。 上のように挟まれているので、α≧1のときは ∫[0→1/2]mdx/{x^α}≦∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β} という不等式より、下から抑えている積分が∞になるので、 ∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}も∞になり、つまり発散します。 α<1のときは、 ∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}≦∫[0→1/2]Mdx/{x^α} という不等式より、上から抑えている積分が収束するので、 ∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}も収束します。 したがって、 ∫[0→1/2]dx/{x^α・(1-x)^β}はα<1で収束します。 ∫[1/2→1]dx/{x^α・(1-x)^β}という積分については、x=1-tと置換積分すると ∫[0→1/2]dt/{(1-t)^α・t^β} となるので、先ほどと同様にβ>1で収束、β≦1で発散します。 以上より、もとめる積分が収束する範囲は、α>1,β>1です。