質問: インテグラル∫とdxについて 非常にわかりにくい質問だと思いますが、ご容赦ください。∫f(x)dxという式があったとします。これは、積分の成り立ちから考えて、dxという記号が必要なのかどうかずっと疑問なのです。 積分の成り立ちはhttp://izumi-math.jp/sanae/mathtopic/sekibun/sekibun.htmのサイトを見て理解しました。 dxだけなら意味を持たないというのなら理解できます。∫dxがひとつのセットで積分という行為をするという風に捉えられるからです。でもdx単体でも意味を持ちますよね。でもこの成り立ちから考えて勝手にdxに意味を持たせていいのでしょうか。f(x)dxが微小面積で∫を作用させることによって足し合わせるという図のイメージはできますが、数式の上でどうしてそういう風なイメージになるのか理解できません。数学の得意な方、よろしくお願いします。
回答: #3さんの解答と重複しますが,なんで,質問者さんはそこまでわかっているのに 『「 f(x) かける dx」 が長方形の面積で,∫ は「合計せよ」という宣言』 という説明を受け入れられないの? と,逆に不思議でなりません. ∫ と dx を使う積分の記法を考案したのはライプニッツです. ライプニッツは同時に,dx と dy を使う微分法の記法も提唱しています.この時点で微積分学の基本定理は確立されていました.ライプニッツの記法の優れたところは,dx, dy という記号を広く用いることで微積分の記法に一貫性を持たせたことです. 高校生でもわかる例を挙げれば,「置換積分の公式がものすごくわかりやすく書ける」というのは,ライプニッツの記法のご利益のひとつといえるでしょう. 重積分や線積分など,より高度な微積分の理論を学ぶと,dx の有用性がもっとよくわかると思います. ところで,微分の記法については,dx, dy を使うライプニッツの記法のほかに,f'(x) のように ' を使うラグランジュの記法,微分演算子 d を使うオイラーの記法もあり,さらに物理では y の上にドットをつけたり(ニュートンの記法) f の右下に x と書いたり,さまざまな記法が使われています. 積分についても,同じように,dx に相当する記号を使わない積分の記法が考案されて普及する可能性はあったかもしれません.実際はそうならずにライプニッツの記法が定着したのは,やはり,微積分の記法の一貫性という利点が広く認識されたからではないでしょうか.