質問: 部分積分の問題教えてください。 自然数nに対してcn:=∫dθ/cosnθとおくとき, 以下の問に答えよ: (a)c3をc1を用いて表せ.ただし,途中の計算で置換積分を使用しないこと( (b)c1を頑張って求めよ.
回答: c3 = ∫dθ/cos(3θ) = ∫dθ/((4cosθ)3 - 3cosθ) = ∫{ (4/3)(cosθ)/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)/cosθ }dθ = (4/3)∫(cosθ)dθ/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)∫dθ/cosθ = (4/3)∫ds/(4(1 - s^2) - 3)) - c1 ; s = sinθ で置換 = (4/3)∫ds/(1 - 4s^2) - c1 = (2/3)∫{ 1/(2s + 1) - 1/(2s - 1) }ds - c1 = (2/3){ log(2s + 1) - log(2s - 1) + a } - c1 ; a は定数 = (2/3) log( (2sinθ + 1)/(2sinθ - 1) ) + a0 - c1 ; a0 = (2/3)a a は積分定数。 あるいは、 問題文中の ∫ に何か積分範囲がついているのであれば、それなりに。 c1 = ∫dθ/cosθ = ∫(cosθ)dθ/(cosθ)^2 = ∫ds/(1 - s^2) = ∫ds/(1 - s^2) = (1/2) ∫{ 1/(s + 1) - 1/(s - 1) }ds = (1/2){ log(1 + s) - log(1 - s) } + b ; b は定数 = (1/2) log( (1 + sinθ)/(1 - sinθ) ) + b0 ; b0 = (1/2)b b も積分定数だ。