質問: 物理の思考実験についての問題です
回答: どこかの質問で、「ここのカテではちゃんと自分で計算できて回答する人が居ないのでは?」というような質問がありました(*1)が、ここは天文カテの名誉?のためちゃんと計算をしてみました。 質問では「大きい球」とありましたが、ここでは皆さんが想像しやすいように、地球と置き換えます。 質量mの物体を初速度0で落とすと、落ちる距離Lは L = 1/2*g*t2 ...(1) となります。ここで、gは地表での重力加速度(9.8m/s2)(*2)、tが時刻となります。 (1)式には、質量mが現れてきません。つまり落ちる距離は、質量とは無関係です。1kgの球も10kgの球も時刻が同じなら、同じ距離を落ちます。 これこそ他の回答者の書かれた「ピサの斜塔の実験結果」です。 1mの高さから落とす場合の時間を計算してみます。 それを計算してみましょう。 (1)を変形して、 t=√(2L/g) ...(2) (2)L=1とすると、t=0.4517(s)と求まります。 以上終わり ...と言いたいところですが、質問には「思考実験」とかいてあります。「思考実験」の定義はわかりませんが、ここは厳密にモデルをつくって計算をおこなってみます。 球がなんで落ちるかというと、それは地球とその球の間に引力が働いて、球が加速しているからです。じつは、地球も球から引っ張られて加速しているのです。ただし、地球の質量は、球の質量に比べべらぼうに大きいので、加速値はごくわずかです。ごくわずかですけど、ここは厳密に計算しているので、その値も求めます。 地球が質量mの物体にひかれて動く距離L'は、 L' = 1/2*g*m/M*t2 ...(3) となります。ここでMは地球質量(5.97*1024Kg)です 地球もわずかに球に近づいているのです。よって、この分を考慮すると、1mの高さから球が地面まで落ちる(球と地球が近づきあってくっつく)のは、 1= L + L' 1=1/2*g*t2+1/2*g*m/M*t2 t=√(2/g)*√(M/(M+m)) ...(4) (4)より、mが大きいほど、tの値が小さくなることがわかります。よって、質問にあった1kgと10kgの球では、10kgの球のほうが早く地面に落ちることになります。 では、いったいどのくらいの差があるのか?Mの値が大きすぎて、通常の計算ではオーバーフローするので、(4)式を変形して近似値でもよいので求めてみる。 (4)の右辺の右側の平方根を1次のテイラー展開して t=√(2/g)*(1-m/(M+m)/2 ...(5) (5)に、m=1のときとm=10を代入してその差分Δtを求める。 Δt=√(2/g)*[-1/(M+1)/2 +10/(M+10)/2] =√(2/g)*[9/2*M/(M+10)/(M+1)] ...(6) (6)のM/(M+10)/(M+1)の部分は、1/Mと近似して、 Δt=√(2/g)*(9/M) = 0.681*10−24(s) となりました。 もちろん、どんな測定器具を使ってもこのわずかな時間差は検知できる値ではありません。 *1:正しくは、「ちゃんと自分で計算機たたいて返事できる人」と書いていましたが、このような意味に解釈しました。 *2:通常重力加速度は、地球の引力以外にも、自転による遠心力も含まれますが、今回は地球の引力だけとして考えています。