質問: 正八面体のこの問題がわからなくて、悪戦苦闘しています。 (1)正八面体の各面に1~8の数字を1つずつ書き込んでできる八面体さいころは何種類できるか。ただし回転して同一になるものは同じとみなす。 (2)その中で、どの頂点についても、そこに会する4面につけられた数字の和が同一の値になるようなものがあるか。もしあれば、そのような配列の一例を示せ。 考えれば考えただけ、分からなくなりました。 どなたか教えてください。
回答: (1)はじめに「1」の場所を決めてしまいましょう。 次に、「1」の裏にくるのは「2」~「8」の7通り。 残りの6個の数字のうち最小の数が「1」の隣にくる(面で接する)か、そうでないか(点で接する)かで2通り。 残りの5個の数字を順番に埋めていく場合の数が5!=120通り。 全部で7×2×120=1680通り。 別解 「1」の場所を決める。 残りの7面に数字を入れる場合の数が7!通り。 「1」の面に垂直な軸のまわりに3回対称なので、答えは7!/3=1680通り。 (2)発見的方法ですがこんなのはどうですか。 頂点から見て 45 18 おなじ方向から、見えない側を透かして見て 63 72 「4」の裏が「2」 「5」の裏が「7」 「1」の裏が「3」 「8」の裏が「6」 です。 4+5+1+8=18 4+5+6+3=18 4+1+6+7=18 などです。