質問: a/b (b≠0) lim(x→a)f(x)=aならば、aの近傍でaは有界 であることを使うらしいのですが、ご存知の方解答よろしくおねがいします。 ε-δ論法のことは知っているので、そこから解説して頂かなくても結構です。
回答: 細かい修正が必要です。 >∀ε>0 ∃δ>0 s,t, >∀x, 0<|x-a|<δ1⇒|f(x)-a|<ε/2 >0<|x-a|<δ2⇒|g(x)-b|<ε/2 1行目では δ を使っているのに、2行目と3行目でそれぞれ δ1 と δ2 が何の断りもなく登場しています。 1行目は、「∀ε>0, ∃δ1, δ2>0 s.t.」とします。 >δ1とδ2のうち小さい方をδとすると、 減点はされないかもしれませんが、δ1 = δ2 かもしれないので「δ = min (δ1, δ2) とおくと、」にします。 で、最後の部分がかなり乱れています。 >あとは、辺々加えて >|f(x)-p|+|g(x)-q|<ε >と、証明できますが、 流れがおかしいです(a, b がいつの間にかそれぞれ p, q に変っていることも含めて)。 証明すべきことは、| { f(x) + g(x) }-(a + b) |<εです。 だから、左辺は | { f(x) + g(x) }-(a + b) | からスタートしないとお話になりません。 | { f(x) + g(x) }-(a + b) | = | { f(x)-a } + { g(x)-b } | ≦| f(x)-a | + | g(x)-b | <(ε/2) + (ε/2) = ε これで、証明が完成しました。 で、肝心のご質問の件です。 ε-δ論法の基本は理解しているようなので、次のヒントを参考にして、不明点があれば補足してください。 ※「lim(x→a) f(x)・g(x) = ab」の証明方針 まず、 | f(x)g(x)-ab | = | f(x)g(x)-f(x)b + f(x)b -ab | と変形します。 ※「b≠0 のとき、lim(x→a) { f(x)/g(x) } = a/b」の証明方針 lim(x→a) { 1/g(x) } = 1/b を証明すれば十分です。 まず、g(x) が分母にあることに注意します。 0<| x-a |<δ を満たす任意の x に対して g(x) ≠ 0 が成り立つ必要があります。 もちろん、δ が満たすべき条件はこれだけではありません。 g(x) ≠ 0 と | { 1/g(x) }-{ 1/b } |<ε が共に成り立つように、工夫して δ を選んでください。