質問: にゃんこ先生の自作問題、楕円の焦点からの光が他の焦点に届くという性質は幾何学的に証明できるのか? 2次曲線は幾何学的な定義ができます。 例えば楕円とは、2点からの距離の和が一定である点の集合、もしくは、点と直線との距離の比が1:eである点の集合、もしくは円錐の切断面、もしくは円柱の切断面。 2次曲線の性質で、座標を用いて解析的にしか証明できにゃい性質はあるのでしょうか? 例えば、楕円の焦点からの光が反射後に他の焦点に届くという性質は、幾何学的に(座標を用いにゃいで)証明できるのでしょうか?
回答: 全く座標を使わない方法は思いつかないが、次の初等幾何の定理を使うと“楕円の接線に関して、接点と2つの焦点とを結ぶ2つの線分は、接線と等角をなす”事が、証明できるんじゃないか? 定理:「三角形の底辺を他の2辺の比に内分又は外分する点と頂点とを結ぶ直線は、この頂角又はその外角を2等分する」