質問: 添え字集合(添字集合) って何ですか?? どなたか分かりやすく教えてください。 できれば添え字集合の使い方もお願いします。
回答: 複数の集合を、ある系列として、または、1グループ(集合の集合)として扱うときに、それらの集合に添字として付ける要素の集合のことです。 例えば、簡単なところでは (1) A1, A2, A3 という3個の集合の添字集合は {1,2,3} という集合です。 (2) B1, B2, B3, B4, ・・・ という自然数の順番で並べることのできる集合族の添字集合は自然数の集合 N={1,2,3,4,・・・} です。 では、添字と成りうるのは自然数だけということでしょうか?違います。(一人突っ込み) (3) { Cx | x∈R }, Rは実数(実数全体)という集合の集合(集合の集合=”集合族”とよびます)を表す添字集合は実数集合です。 (4) { Dz | z∈C }, Cは複素数(複素全体)という”集合族”を表す添字集合は複素数集合です。 一般に、数だけではなく、集合であれば空集合を除いて添字集合に成り得ます。 しかし、有限個の集合族を表す場合には、自然数の部分集合で十分です。 そして、無限個の集合族を表す場合でも、自然数と1対1対応がつく集合族の場合には、添字集合は自然数の集合を割り当てればいいことになります。 ※昔ながらの単なる添字ではなく(つまり、自然数の添字ではなくて)添字集合が有効になるのは、無限個でも、自然数と1対1対応がつかない集合族を表現するような場合です。上記の例では(3)とか(4)。 ※蛇足ですが、実は上記の(4)は不要です。なぜかというと、(4)の表現は(3)の表現で置き換えることが可能だから。実数全体と複素数全体は1対1対応がつくからです。