質問: 高校数学の平行四辺形の証明問題です 3-15 四角形abcdのどの角も2直角より小さいとする この四角形内に点oがあり、oを通るどの直線によっても四角形の面積が2等分されるという このとき、四角形abcdは平行四辺形であり、oは2つの対角線の交点である事を証明せよ 解説は点oを通る3本の直線を図のように引くと、題意により、△oef=△oe'f'(1) △ofg=△of'g'(2) (1)(2)の値をそれぞれx,tとおくと ef:fg=s:t e'f':f'g'=s:t ここでadとbcが平行ではないとするとeを通って bcに平行な直線を図のようにとればeh:hi=e'f':f'g' したがってef:fg=eh:hiとなるが、これは fh//giを示しているから矛盾である よってad//bcである、同様にしてab//cdであるから□abcdは平行四辺形である とあるのですが 最初の題意により、△oef=△oe'f'(1) △ofg=△of'g'(2)とありますが、何故(1)(2)がなりたつのですか? ef:fg=s:t e'f':f'g'=s:t とありますが、これも何故成り立つのか分かりません eh:hi=e'f':f'g' したがってef:fg=eh:hiとなるの所も分かりません 同様にしてab//cdの所も省略されていますが、証明の方お願いします
回答: 最初の題意により、△oef=△oe'f'(1) △ofg=△of'g'(2)とありますが、何故(1)(2)がなりたつのですか? (理由)線分ff ́によって四角形は面積が等分される。また、線分ee ́によっても面積が等分される。 四角形f ́cdの面積と、四角形ee ́cdの面積は元の四角形の面積の半分なので等しい面積をもつ。 さらに、二つの四角形は三角形ofeを加えて、of ́e ́を削除した結果面積が保存されるのだから、 この2つの三角形は等しい面積を持つ。、△oef=△oe'f'(1)が成立する。(2)も同様。 ef:fg=s:t e'f':f'g'=s:t とありますが、これも何故成り立つのか分かりません (理由)2つの三角形oefとofgは同じ高さの三角形であるから、面積の比は底辺の長さの比になる。 よって面積がs:tならば底辺の比もs:tとなる。 eh:hi=e'f':f'g' したがってef:fg=eh:hiとなるの所も分かりません (理由)三角形oheと三角形of ́e ́は相似であり、対応する辺の比は等しい。よってoh:of ́=he:f ́e ́。 さらに三角形oihと三角形og ́f ́は相似なので、対応する辺の比は等しい。よってoh:of ́=hi:f ́g ́。 よって、oh:of ́=he:f ́e ́=hi:f ́g ́。 これより、he/f ́e ́=hi/f ́g ́。この分母を払ってhe*f ́g ́=hi*f ́e ́。 よって、he/hi=f ́e ́/f ́g ́=s/t。よって、eh:hi=e'f':f'g' 。 ef:fg=eh:hiは、この比がs:tなので等しくなる。 同様にしてab//cdの所も省略されていますが (理由)四角形を90度回転してoを通る3本の線を新しく引けばこれまでの話と同じになる。