質問: ゲーデルの不完全性定理について ゲーデルの不完全性定理について ネットサーフィンをしていたときに、たまたま、ゲーデルの項目を見つけました。 当方、数学は素人なのですが、 ゲーデルの不完全性定理(ある公理系の中には、真偽を明確にできない命題が存在する) を僕たちが生きるこの世界、この宇宙にあてはめて考えると、 この世の中には、論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがあるということなのでしょうか。
回答: > 論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがある これくらいで十分だと思いますね. もうちょっといえば 「数を扱える無矛盾な体系には論理的に真偽が証明できないものがある」 「数を扱える無矛盾な体系は,自身の無矛盾性を証明できない」 という感じかな. これ以上になると話が大きくなりすぎる. 難しい証明ではないんだけども,話が大きいので ついていくのが大変なんですよね。。この定理の証明. ちょうど結城浩さんの数学ガールシリーズでゲーデルものが でてるし,読んでみるのもいいかもしれません. 不完全性定理の証明もしてるようです. で・・・ >矛盾がないようにどんなに公理を定めたとしても,正しいとか間違っているとか決められない事柄がある,というのもゲーデルの主張でしょう。 「自然数論を含む」というと「無矛盾だ」ということが重要. ぶっちゃけた話,数を含まない体系だと 「ゲーデルの完全性定理」なんてものもあって 話はちょっとちがってくるのでややこしい.