質問: 2階線形微分方程式 質問なんですが。 微分方程式で y''-2y'+y=(e^x)cosx という問題があるんですが この特殊解を求めるときに y=a(e^x){cosx+(i)sinx} とおいて、これを微分方程式に代入すれば 特殊解がy=-(e^x)cosx となるとなっているのですが。 y=a(e^x){cosx+(i)sinx} とおくというのがよく分かりません。 なんでiがでてくるのかとかも...。 僕は最初 y=a(e^x)cosx+b(e^x)sinxとおいて計算していました。 質問がわかりにくかったらすいません。
回答: >y=a(e^x){cosx+(i)sinx} とおくというのがよく分かりません。 >なんでiがでてくるのかとかも...。 オイラーの公式 exp(ix)=cosx + (i)sinx exp(x)*exp(ix)⇔exp(1+i)x を使っているだけです。 そうすると y=a(e^x){cosx+(i)sinx}=a*exp(x+ix)=a*exp(1+i)x となって y'=a(1+i)exp(1+i)x y"=a{(1+i)^2}exp(1+i)x と微分が非常にしやすいということからきているかと思います。 iが突然出てきて驚かれたでしょう。 >y=a(e^x)cosx+b(e^x)sinxとおいて計算していました。 この方法も正解ですよ。