質問: 微分方程式 微分方程式 dy/dx+ay=cosx を初期条件 x=0のとき、y=0 のもとで解け。ただし、aは正の定数とする。 という問題です。 1階線形微分方程式y'+p(x)y=q(x)の解法で解けばいいのかなと思い、 解いていきました。 p(x)=aなので、 e^(∫p(x)dx)=e^(∫adx)=e^(ax) これを問題の両辺に掛けると、 e^(ax)y'+e^(ax)ay=e^(ax)cosx (e^(ax)y)'=e^(ax)cosx e^(ax)y=∫e^(ax)cosxdx となりました。 で、∫e^(ax)cosxdxの解き方がよく分かりません。 置換積分法と部分積分法を試したのですが、ダメでした。 そもそもこの解き方であっているのかもあまり自信がありません。 この問題の解き方、または∫e^(ax)cosxdxの解き方を教えて下さい。 ちなみに、指数の部分は()でくくられているところで、cosxやyは指数ではありません。 どなたかヨロシクお願いします。。。
回答: 部分積分を2回繰り返せばいいと思います。 ∫e^(ax)cosxdx=e^(ax)sinx-a∫e^(ax)sinxdx =e^(ax)sinx-a{-e^(ax)cosx+a∫e^(ax)cosxdx} なので、移項して (1+a^2)∫e^(ax)cosxdx=e^(ax)(sinx+acosx) ∴∫e^(ax)cosxdx={e^(ax)/(a^2+1)}(sinx+acosx) となりました。