質問: 変数係数2階線形微分方程式 変数係数2階線形微分方程式の問題です。 x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iαy(x)=0 i:複素数,α:定数 この微分方程式はどのようにして解けばよろしいでしょうか? できるだけ計算過程を詳しくお願いします。 解にはベッセル関数が用いられるみたいです。 自分でベッセルの微分方程式と同様にして解いていっても途中でつまずいてしまいます。 お手数ですがよろしくお願いしたします。
回答: 複素数の定数も,単なる定数です. 解法のあらすじは,次の通り. x^2*y(x)''+2x*y(x)'-iαy(x)=0 x=e^t とおいて dx=(e^t)dt などを用いて・・・ yの変数xをtに置換したものをy,以下y'はtについての微分を表す y''+y'-iay=0 これは定数係数線形同次方程式で,その特性方程式は λ^2+λーia=0 (複素数を含む)定数係数の2次方程式は,複素数の範囲で2根を持ちます. もちろん通常の根の公式が使えます. ただし,√(判別式)=δ=√(1+4ai) は,根号の中が実数ではなく複素数になります. 複素数に関するオイラーの公式を利用することを考えて |-1+4ai|=√(1+16a^2))=r^2,arctan(ー4a)=2θ とおくと -1+4ai=(r^2)e^(i2θ) となり, δ={(r^2)e^(i2θ)}^(1/2)=re^(iθ)=r(cosθ+isinθ)となる. したがって,特性方程式の根は,λ=(-1±δ)/2 として求まりますが δが複素数なので,2根は共役複素数にはなりません. 煩雑なので,この2根をμ,βと書けば,a,bを任意の定数として y=ae^(μt)+be^(βt) として,yが求まります. yの式を t=logx で変数変換すれば,xについてのyが求まります. 初めの問題の係数が実数定数なら,特性方程式の根が(実数でない場合)共役複素数 となり,まとめると,最終結果はe,sin,cos を含む振動解(実数関数)となりますが, この問題の場合はそうではないので,yは複素関数になるのではないかと思います. 注.複素関数とは一般的には変数も複素数の関数をいうが,この場合は関数値が複素数. これ以上は質問者の方でやって下さい.