質問: ∫∫sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1 ∫∫_s sin(x+y)dxdyの解を求めよ。 ただしs:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。 と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。 以下をご覧ください。 -------------------------------------------------------------- この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。 ------------------------------------------------ さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題 ∫∫_s sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。 その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の s の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。” あとで気づいたのですが、この記述は、 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか? 当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。
回答: #2です。 a#2の補足に関連して ガウス=ルジャンドルの数値積分と呼ばれるとおり直交性の性質を使っているのだと思います。 (1)、(2)はあたっていると思います。最近は、ガウス法の数値計算法そのものの研究とは疎遠になっていますので、もっぱら使う法に回っています。 特に収束性の悪い定積分の計算では、シンプソン公式による数値積分に比べ、はるかに少ない分割数で、同等以上の計算精度が得られます。昔、収束性の悪い積分(シンプソンでは分割数を10^8以上にあげても収束しないような積分)でもガウス=ルジャンドル法での数値積分では比較的短時間で積分の収束値が得られる。そんな計算を大量にパラメータを変えて計算をしてシミュレーション実験値と照合する仕事をやっていました。 現在はほとんどこの数値積分法も使っていませんし、シンプソン法で分割数が100000000以上になるような数値積分もやらなくなりました。 せいぜい、分割数は10000程度ですね。 ガウス法なら積分区間を高々100分割位しておいて個々の区間に対してガウス法で10分割前後で計算し、それらを加えた積分値で、10^-8程度かそれ以上の精度で数値計算ができたと思います。 今は、色々な数値計算ソフトや数式処理ソフトがあって、簡単に数値積分をやってくれます。昔が重み関数を手入力し、フォートランでプログラミングして、コンパイルして中型・大型計算機で数値計算をやっていましたが、今はパソコン上で数値計算ソフトを使えばプログラミングらしいプログラムを作らなくても数値計算ができてしまいますね。