質問: 「正の有理数rに対して素数p,qが存在して r=(q+1)/(p+1) を満たす」は真ですか? 例えば 1/2=3/6=(2+1)/(5+1) 5/9=30/54=(29+1)/(53+1) みたいなかんじです。 真ならば証明、偽ならば反例をお願いします。 (私は真ぽいと考えていますが証明が出来ないので質問させていただきました。)
回答: 回答させていただきます。 例 24/25 =144/150 =(143+1)/(149+1)<=おっ? 143=11×13 149は素数 既約分数a/bの分母と分子に6をかける 6a/6b =(6a-1+1)/(6b-1+1) となるが、 6a-1と6b-1はともに3より大きい素数候補となる。 つまり、3より大きい素数はnを自然数として6n+1か6n-1のどちらかの形で表されるからである。 反例を与えられたのでこの命題は偽である。