質問: 物理 単振動についての問題 さきほど送った画像が見にくいとご指摘を受けたので、もう一度送らせていただきました。 画像を参考に、以下の問題を教えてください。 1.t=0では、質点は原点から正の方向に距離lだけ離れていて、そこで停止している(l〉0) この条件を満たすような運動方程式の解を求めよ 2.x(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸x(t)とする。 3.質点の運動の振動数f、周期tを求めよ 4.速度v(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸v(t)とする。 5.速さが最も早いのは質点がどこにあるときか。また、その速さを答えよ。 6.初期条件が以下のものであった場合の質点の座標、速度を同様に答えよ。(t=0では、質点は原点にあり、x軸正方向に速さvoで動いている。vo〉0)
回答: 1.t=0では、質点は原点から正の方向に距離lだけ離れていて、そこで停止している(l〉0) この条件を満たすような運動方程式の解を求めよ 微分方程式は -kx=md^2x/dt^2 (1) 初期条件は t=0において x=l (2) v=dx/dt=0 (3) (1)より d^2x/dt^2+(k/m)x=0 (4) この一般解は振幅をa,角振動数をω, 初期位相をφとして x=acos(ωt+φ) で与えられる。 v=dx/dt=-aωsin(ωt+φ) (3)よりt=0でv=-aωsin(φ)=0 ⇒ φ=0 よって x=acos(ωt) (2)よりt=0でx=a=l よって x=lcos(ωt) dx/dt=-lωsin(ωt) d^2x/dt^2=-lω^2sin(ωt) ((4)を用いて) =-(k/m)x=-(k/m)lsin(ωt) よって ω^2=k/m ω=√(k/m) 以上より求める解は x=lcos(ωt), ω=√(k/m) 2.x(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸x(t)とする。 振幅l、角振動数ωの余弦波。これがかけなければこの問題を解く資格はない。 3.質点の運動の振動数f、周期tを求めよ ω=√(k/m)=2πf f=(1/2π)√(k/m) t=1/f=2π√(m/k) 4.速度v(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸v(t)とする。 v=dx/dt=-lωsin(ωt) : 振幅lω、角振動数ωの正弦波 5.速さが最も早いのは質点がどこにあるときか。また、その速さを答えよ。 dv/dt=-lω^2cos(ωt)=0 ωt=π/2,3π/2 ⇒ t=π/2ω,3π/2ω⇒ x=0 ⇒ v=-lω,lω 最も早いのはv>0であるのでx=0、v=lω 6.初期条件が以下のものであった場合の質点の座標、速度を同様に答えよ。(t=0では、質点は原点にあり、x軸正方向に速さvoで動いている。vo〉0) ????