質問: 収束半径 ベキ級数σa_n x^nの収束半径は簡単に求まりますが、 1.σa_n x^(n^2)の収束半径なんてのはどうなのでしょうか? 2.σa_n x^f(n) f(n)は非線形関数 の収束について一般論は可能なのでしょうか?
回答: 1についての回答(解答)です。 σa_nx^n と同じ係数(a_n)について σa_n x^(n^2) の収束半径を 求めると理解します。 σb_nx^nのべき級数において係数を b_n=a_n^(1/2) (n=1,4,9,16,25,...) b_n=0 (n≠1,4,9,16,25,...) と定めると σb_nx^n = σa_nx^(n^2) となります。このべき級数に対してコーシー・アダマールの公式を適用した limsup |b_n|^(1/n)=limsup |a_n^(1/2)|^(1/n) の逆数が収束半径となります。 2については分かりません。でも条件を絞って(たとえば正の値をと る単調増加関数とか)、ある種の都合のよい関数なら一般化できるか もしれません。おもしろそうですね。