質問: 何故偏微分が法線の成分に 関数f(x,y,z)=0という曲面があって曲面上のある点pの接平面を求めるとき fx*x'+fy*y'+fz*z=0という式が出ます。 この式の意味するところはfx fy fzがp点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか?教えてください!
回答: なかなか分かりにくいと思います。 なぜなら、微積とか線形代数の問題ではなくて、幾何の問題だからです。 f(x,y,z)=0という曲面をσとします。つまり、 ς = { (x,y,z) | f(x,y,z)=0 } です。 また、c(t) = (x(t), y(t), z(t))を曲面σの上にある曲線として、t=0で点pを通るとしましょう。 すると、dc/dt(t=0)というのは、曲面σの点pにおけるある接ベクトルになっています。 そこで、この接ベクトルをわかりやすいように、 dc/dt(t=0) = (x', y', z') としましょう。 曲線c(t)は曲面σの上にのっているので、f(x(t),y(t),z(t))=0 です。 これをtで微分して、t=0とすると、 fx*x'+fy*y'+fz*z'=0 ......(☆) という式がでます。 (x', y', z')が曲面σの点pにおける接ベクトルでしたから、(fx, fy, fz)はその接ベクトルと直交していることがわかります。 曲線c(t)をいろいろ取り替えると、点pにおける接ベクトルをいろいろ取り替えることが出来ます。 つまり、どんな接ベクトル(x', y', z')ともベクトル(fx, fy, fz)は直交していることになります。 ということは、法線ベクトルの定義から、(fx, fy, fz)は点pにおける曲面σの法線であることが判りますね。