質問: 3x3行列aについて ax=0の解とa^n 学校の課題についての質問なのですが。 a= (a, 1, 0) (0, a-1, 0 ) ( 0, 1, a) について (1)xに関する連立方程式ax=0の解を求めよ。 (2) a^n を求めよ。 という問題の解き方が分かりません。 出来れば詳細な解法を教えてくださると助かります。 力になってくださる方がいてくださればお願いいたします。
回答: (1) a= (a,1,0) (0,a-1,0) (0,1,a) x=t(x1,x2,x3) とする |a|=(a-1)a^2 a=0のとき ax= (0,1 ,0)(x1) (0,-1,0)(x2) (0,1 ,0)(x3) =ax=t(x2,-x2,x2)=0 ∴a=0のとき解は平面 x2=0 x=t(x1,0,x3) (ただしx1,x3は任意実数でtは転置) a=1のとき ax= (1,1,0)(x1) (0,0,0)(x2) (0,1,1)(x3) =ax=t(x1+x2,0,x2+x3)=0 x1+x2=0 x2+x3=0 ∴a=1のとき解は直線 x=(x2)t(-1,1,-1) (ただしx2は任意実数でtは転置) a≠0&a≠1のとき |a|≠0だからa^{-1}が存在するから ax=0 x=a^{-1}ax=0 ∴a≠0&a≠1のとき解は点 x=0 (2) l= (1,1,0) (0,1,0) (0,1,1) h= (a,0,0) (0,a-1,0) (0,0,a) とすると a=l^{-1}hl だから a^n =(l^{-1}hl)^n =l^{-1}(h^n)l = (1,-1,0)(a^n, 0 ,0)(1,1,0) (0,1 ,0)(0,(a-1)^n,0)(0,1,0) (0,-1,1)(0, 0 ,a^n)(0,1,1) = (a^n,a^n-(a-1)^n,0) (0 ,(a-1)^n ,0) (0,a^n-(a-1)^n,a^n)