質問: 行列(高校) このカテゴリで、もうひとつ解決していない質問がありますが、補足をお待ちしているところなので、ご了承ください。(ベクトルの問題です) 今回教えていただきたいことは、行列です。 p=(a b c d)(←行列です),p^2-dp=p^(-1),ad-bc=1 のとき、p^3 を求めよ。 (1)p^2-dp=p^(-1) の両辺に p をかけると、p^3-dp^2=e となるので、p^3=dp^2+e となりますよね。 (2)それと、ケーリー・ハミルトンの定理より、p^2-(a+d)p+(ad-bc)e=0 → p^2-(a+d)p+e=0 ⇔ p^2=(a+d)p-e (1)で得られた式に、(2)で得られた式を入れて、 p^3=d{(a+d)p-e}+e=d(a+d)p+(1-d)e={ad(a+d) bd(a+d) cd(a+d) d^2(a+d)}+(1-d 0 0 1-d) これをまとめれば解になると思ったのですが、解はシンプルに e でした。ad-bc=1 をうまく使うと、私の求めた答えが e になるけど、私のやり方は実用的でないのか、 それ以前に根本的に間違っているところがあるのか(計算も含めて)わからないので、見てもらえますか? お願いします。
回答: やっている事は間違っていませんし、ケーリー・ハミルトンの定理で次数下げをする、ってのもよくやる方針ですね。 成分計算は、面倒なので、できれば、別の解き方がいい、という感じでしょうか。 ケーリー・ハミルトンの定理でひたすら次数を下げて、αp=βeの形にする。 そして、 α≠0(このときp=keの形になる) α=0(このとき、β=0となる) の一方を背理法で否定する(orこの2つで場合分け) ってのはよくある解き方だったと思います。 この問題もこの方針でやると、最終的にd=0が出てきます。この後は、簡単にp^3が求まりますね。