質問: tの2次関数で媒介変数表示された平面曲線は何種類?(一般的な疑問) tの2次関数で媒介変数表示された平面曲線 x=at^2+bt+c y=dt^2+et+f は一般にどのような形をしてるのでしょうか? 場合分けをするとしたら何種類あるのでしょうか?
回答: こんにちは。 x=at^2+bt+c ... (1) y=dt^2+et+f ... (2) とおきます。 t^2 を消去するために、d×(1)-a×(2) を計算し、 これを x とおきます。すなわち、 x = d x - a y = (db - ae) t + (dc-af) ... (3) t を消去するために、e×(1)-b×(2) を計算します。 これを y とおきます。すなわち、 y = e x - b y = (ea - bd) t^2 + (ec-bf) ... (4) (3)と(4) で、 x = d x - a y y = e x - b y はちょうど一次変換に形になっています。 直交するx軸とy軸に対して、一般には斜めに交わるx軸とy軸が書けます。 x =(一定) の線は、 y = (d/a) x - x/a で直線になります。 y =(一定) の線は、 y = (e/b) x - y/b でやはり直線になります。 方眼紙のます目が、正方形ではなくて、平行四辺形になったものを想定するとわかりやすいと思います。 さて、その斜めになり伸び縮みした方眼紙上に、絵を描くことを考えます。 (3), (4) で t を消去して、(分母に来るものが≠0 として) y = [(ea-bd)/(db-ae)^2] [x - (dc-af)]^2 + (ec-bf) ... (5) が得られます。 a = (ea-bd)/(db-ae)^2 p = dc-af q = ec-bf とおくと、(5)式は y = a ( x - p )^2 + q ... (6) と書けます。 つまり、ます目が平行四辺形の方眼紙に二次曲線を書いたものになります。 要するに、普通の二次曲線を、回転させたり、斜めに歪ませたり、伸び縮みさせたものです。 ・・・結果1 但し、たまたま a = 0 になるときには、y = q すなわち、 y = (e/b) x - q/b ... (7) という直線になります。 ・・・結果2 次に、例外的な場合として、分母に来るものがたまたま 0 になる場合を考えます。 (3)式 x = d x - a y = (db - ae) t + (dc-af) で、 db=ae の場合です。 この場合は、x = dc-af = p (一定) になり、ひとつは直線が書けます。(x,y) で書くと、 y = (d/a) x - p/a ... (8) という直線です。 しかし、このとき、 (4)式 y = e x - b y = (ea - bd) t^2 + (ec-bf) も同時に満たされていなければなりません。 これも、 y = (e/b) x - [(ea - bd)/b] t^2 - [(ec-bf)/b] ... (9) という直線になりますが、y切片が t の値によっていろいろにかわります。 ただし、t^2 の関数なので、y切片がすべての値をとるのではなく、ある点より下全部、もしくはある点より上全部の半無限の区間の値をとります。 (8)と(9)の両方を満たすので、要するに、(8)上のある点より下全部の直線、もしくは上全部の直線になります。 ・・・結果3 まとめると、係数a~fの値によって、結果1~3の形になります。 多分、およそこれで合ってると思いますが、細かいところ間違ってたらすみません。 一応、少なくとも大筋は合ってると思うので自信ありにしときますね(笑)