質問: ∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確か ∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確かめよ という問題がわかりません。 判定法定理とロピタルの定理よりx^1.5logx/(1+x^2)がx=∞で有界であることを示せました。 ですが、x=0のときどうやってもx^λlogx/(1+x^2) (λ<1)が有界であることを示せません。 僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。 なおこの広義積分は必ず収束します。 誰か教えてください。 おねがいします。
回答: f(x)=(logx)/(1+x^2) y=logx x=e^y dy/dx=1/x=1/e^y g(y)=y/(e^{-y}+e^y) ∫f(x)dx=∫g(y)dy a_n=∫[1~n]f(x)dx ∀ε>0に対して、 ∃n0>e^{4/ε} m>n>n0 n0に対して、 ∃k>0(l>k→|∫[1~l]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε) 0<δ<1/k y=1/x x=1/y dy/dx=-1/x^2=-y^2 0<δ