質問: 数学的帰納法について 数学的帰納法について質問があります。 数学的帰納法の問題で http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm のnが〇以上(〇には具体的な数値が入ります)のとき 証明せよ の問題の解き方は理解できるのですが考え方に不明な点があります。 __________________________________________________ 数学的帰納法は (i) n=1 のとき(a)が成り立つことを証明する. (ii) n=k のとき(a)が成り立つことを仮定する. その仮定を使って n=k+1 のとき(a)が成り立つことを証明する. __________________________________________________ とのことですがkは任意に自然数として理解をしていましたがこの考え方をすると、 nが〇以上の時について証明せよ。において (i) n=〇のとき(a)が成り立つことを証明する. (ii) n=kのとき(k>=〇)(a)が成り立つことを仮定する の(k>=〇)の条件を書く必要があるのかがわかりません。 すなわち、 私が考えているのは、 (i) n=〇のとき証明できたのだから (ii) n=kのとき(k>=〇)ではなくn=kのとき(k>=〇+1) と何故書かないのかということに疑問があります。 そのため、 すべての自然数 n について,次の不等式が成り立つことを証明せよ. の問題では、 (i) n=1 のとき(a)が成り立つことを証明する. (ii) n=k のとき(k>=1)(a)が成り立つことを仮定する. と書かないのか という内容に混乱をしています。 これについて先生に尋ねてみたら すべての自然数において問題は自然数1から必ず行うものだから (k>=1)というのは暗黙の了解である。 だから、書かなくていい といわれました。 この考え方にあまり納得いかないので、わかりやすく解説をしてください。
回答: (i) n=1 のとき(a)が成り立つことを証明する. (ii) n=k のとき(k>=1)(a)が成り立つことを仮定する. 1のときは証明したんだから 2からについて仮定・証明するということ。 あなたの考えでは1のときをもう一度証明しなければならなくなる。 1)1の時の証明 2)2からについて仮定・証明する ↓ 1)1の時の証明 2)1からについて仮定・証明する