質問: 定積分で表された関数の導関数の求め方について 定積分で表された関数の導関数の求め方について、 f(x)=∫[0→x](t^ 2 + 1)^10 dt の導関数を求める場合 下記の方法、回答で合っているかご教授頂けますか。 まず、f(x)=∫[0→x](t^ 2 + 1)^10 dt =[1 / 11 (t^2 + 1)]^11(0→x) =1 / 11 (x^2 + 1)^11 ゆえに、導関数は f ́(x)=(x^2 + 1)^10 合っていますでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 回答としては合っていますが、 もっと一般的に関数g(x)の原始関数をg(x)として f(x) = ∫[a→x]{g(t)}dt = g(x) = g(x)-g(a) よって f'(x) = dg/dx = g(x) です。 ですから質問の問題だと(t^2+1)^10にt=xを代入して、ただちに f'(x) = (t^2+1)^10 としていいと思います。 これは非積分関数が√(1+sin(t))のように直ぐには原始関数が求まらないような形のときにも有効です。 さらに拡張すると f(x) = ∫[a→h(x)]{g(t)}dt を微分すると f(x) = g(h(x))-g(a) f'(x) = g(h(x))*h'(x) という公式が得られます。 質問の問題に類似の問題で f(x) = ∫[0→x^2]{(t^2+1)^10}dt を微分せよ。 といった問題が出たとき、すぐに f'(x) = ((x^2)^2+1)^10 * 2x = 2x(x^4+1)^10 と答えが出せるので覚えておくと便利です。