質問: 漸近線を求める 漸近線を求める問題なのですが、自分で解いていて困ってしまったので、解答をみたのですが、解答の解説の計算過程がわからないところがあります。お手数ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。 問題は、y^3=x^2(x-1)の増減、極値、漸近線、グラフです。 解答は、明らかにy軸に平行な漸近線はないので、漸近線の方程式を=ax+bとおくと、 a=lim(x→+-∞)f(x)/x=1 b=lim(x→+-∞)(y-x) =lim(x→+-∞)(x^3-x^2)^(1/3)-x =lim(x→+-∞)(x^3-x^2-x^3)/((x^3-x^2)^(2/3)+(x^3-x^2)^(1/3)x+x^2=-1/3 となっているのですが、このbを求めるところの二行目から三行目の計算過程がわかりません。これは有利化をしているのかとも思いましたが、自分で有利化してみてもうまくいきません。1/3乗の有利化だと、2/3乗をかければいいのだろうとやってみましたが、それでも解答のようになりません。 どうか、よろしくお願いします。
回答: 恒等式:y^3-x^3=(y-x)(y^2+xy+x^2) の両辺をy^2+xy+x^2で割ると y-x=(y^3-x^3)/(y^2+xy+x^2) となります。 ご質問の第2行から第3行への変形は、上の式で言えば左辺から右辺に変形と同じです。(y-xの分母と分子にy^2+xy+x^2をかけたというイメージ) あるいは、 >b=lim(x→+-∞)(y-x) のlimの中身を上のように変形してから、y=(x^3-x^2)^(1/3)を代入したと思ってもいいでしょう。