質問: バネで結ばれた2つの質点の運動について バネ定数kのバネで結ばれた2つの質点aおよびbがある。 質点aおよびbの質量をm_a(mに下付きでa, 以後、下付きの文字の前には_を書くことにする)およびm_b、 位置をx_aおよびx_bとする。 両質点にバネから力が作用しない際のバネの長さ(自然長)をδとする。 質点はバネの伸縮するx軸方向のみに運動するものと仮定する。 awwwwwwwwb ーーーーー→x (2質点系のモデルの簡単な図です。分かりにくくてすみません・・・) (1)質点aおよび質点bの運動方程式を完成させよ(これは解けました)。 m_a・((d^2(x_a))/(dt^2))=k(x_b-x_a-δ) m_b・((d^2(x_b))/(dt^2))=-k(x_b-x_a-δ) (2)時間t=0において、両質点は静止しているものとし、その際の両質点 の位置をx_a=x_(ai)およびx_b=x_(bi)とし、x_(bi)-x_(ai)≠δとする。 以下の式の右辺を完成させよ(この問題の右辺をどのように書き表す べきか、出題者がどのような答えを求めているのかよく分かりません でしたが、一応速度を書きました)。 dx_a/dt(t=0)=v_(ai) dx_b/dt(t=0)=v_(bi) (3)運動方程式の解である質点aおよびbの位置x_aおよびx_bは、6個の定数、x_a、x_b、λ、α、ν、およびcを用いて、 x_a=(x_a)sin(λt+α)+νt+c x_b=(x_b)sin(λt+α)+νt+c+δ と表すことができる。これらの式と(1)の運動方程式より、x_aおよび x_bの関係式(連立方程式)を求めよ。 (この問題は、自信はあまりありませんが、問題文で書かれたとおりに計算を行っていったら、 以下のようになりました。) x_a=-(k((x_b)-(x_a)-δ))/((m_a)(λ^2)sin(λt+α)) x_b=k((x_b)-(x_a)-δ)/((m_b)(λ^2)sin(λt+α)) (4)(3)で導いた式に対して、x_aおよびx_bの両方が0(ゼロ)にならない 解が存在し得ることを用い、λをm_a、m_bおよびkを用いて表せ。なお、一般性を失うことなく、λ≧0と仮定できる。 (4)の問題が分かりません。 「x_aおよびx_bの両方が0(ゼロ)にならない解が存在し得ることを用い」 とあるのですが、これの使い方がいまいちよく理解できません。 色々と式変形してみたのですが、どのように変形しても、 m_a、m_bおよびkのみで表せません。 相対座標に関する運動方程式を求め、そこから相対座標の運動の固有角振動数を求めるのかとも思ったのですが、それでは(3)を利用していないことになります。 ちなみに、相対座標の運動の固有角振動数は√(k/μ)となりました。 ここで1/μ=1/m_a+1/m_bです。 長々とすみませんでした。どなたか(4)の問題、ご教授のほど、ヨロシクお願いします。 また、答えで何か間違えているところなどありましたら、ご指摘ヨロシクお願いします。
回答: (2) 問題文中にある「以下の式」が何の事か分かりませんが、「時間t=0において、両質点は静止しているものとし」とあるので、 >dx_a/dt(t=0)=v_(ai) >dx_b/dt(t=0)=v_(bi) 右辺はゼロとするべきなんじゃないかなぁ?? (3) >x_a=-(k((x_b)-(x_a)-δ))/((m_a)(λ^2)sin(λt+α)) >x_b=k((x_b)-(x_a)-δ)/((m_b)(λ^2)sin(λt+α)) この式を見る限り、おそらく、(1)の運動方程式の左辺のx_a,x_bに、 >x_a=(x_a)sin(λt+α)+νt+c >x_b=(x_b)sin(λt+α)+νt+c+δ を代入しただけだと思います。 (1)の運動方程式の右辺にも,x_a,x_bという項がありますが、何故、こいつらには代入してあげないのでしょう? (4) (3)が正しく解ければ、x_a,x_bに関する連立1次方程式になります。(係数はtに依存しない定数になります) その連立1次方程式がx_a=x_b=0以外の解を持つ条件を聞いているわけですね。 が、具体的なことは(3)が解けないことには説明のしようがないので、(3)を先に考えましょう。