質問: 2階線形同次微分方程式について。 2階線形同次微分方程式について。 解が複素解の場合の質問です。 複素解λ1,2をもつ時、一般解は、z(x)=c10e^λ1x+c20e^λ2x となり、これを整理すると、 y(x)=e^(-ax/2)[c1cos(√(―a^2+4b)x/2)+c2sin(√(―a^2+4b)x/2)] となるとのことです。そこで、教科書にc1=c10+c20の実数部分 c2=ic10-ic20の実数部分 と書いてあります。 この実数部分とはどういうことなのですか? なぜ実数部分なのですか? よくわかりません。 どうぞよろしくお願いいたします。 どうぞよろしくお願いいたします。
回答: y"+py'+q=0 α=a+bi,β=a-bi. y =cexp{αx}+dexp{βx} =exp{ax}[ccos(bx)+cisin(bx)+dcos(bx)-idsin(bx)] =exp{ax}[(c+d)cos(bx)+i(c-d)sin(bx)] 任意定数c,dは、一般には複素数。 しかし、yは実数だから、右辺も実数にしなければならない。 なので、c+dの虚数部分と、i(c-d)の虚数部分は除かなければならない。 e=re(c+d),f=re(i(c-d)). y=exp{ax}[ecos(bx)+fsin(bx)]. もしはじめからc,dを実数に制限してしまったらどうなるでしょう? その場合は、f=0ということになり、exp{ax}sin(bx)の項は解に含まれなくなってしまいます。 w(z)=y(x)+iz(x),w"+pw'+q=0. とすると、yは、w(x)の実数部分として定義できます。 つまり、上記の微分方程式はこのwの微分方程式の実数部分なわけです。 なので、実数部分をとるのです。 そもそもは、上記の微分方程式はyについて解いているのではなく、wについて解いているのです。yを求めるのに、いちいちwやzを定義していては面倒くさいので、上記のような手順を踏んでいるのです。そのへんの事情を省略して学んでいると、「?」と思うのも無理ありません。