質問: s(a(x,y)) この(ii)の定義の際に必要だと思いますが、 どのように第五公理が効いているのかが理解できていません。
回答: いいですね。 そこで、そのようなnが与えられたときに、(i)(ii)という2つの関係を満たす演算 n×n→nが本当に存在し、なおかつそれが一意に定まるか、という事が問題になります。そこで(5)の「制約」があると、a(x,0) = xから始めて、a(x,1), a(x,2), a(x,3), .... , と帰納的に計算をすることで、全てのn∈ nに対してきちんと a(x,n)が定義されることが証明されます。 それには実際に証明してみればいいのですが、ここでは実際に(5)が「ないと」どういう不都合が起こるかを見てみましょう。 ここからは『逆質問』です。以下、<は普通の不等号、 +は普通の加法とする。 m = { -2以上の整数全体} = {-2, -1, 0, 1, 2, .... } とする。s:m→mを、 s(n) = n+1 (n≧0の時), s(-1) = -1, s(-2) = -2 で定める。 (q1) (m, s, 0) は、peano の公理のうち、(1)(2)(3)(4)は満たすことを確かめよ。 (q2) (m, s, 0) は、peano の公理のうち、(5)は満たさ『ない』ことを証明せよ(ヒント:a={0以上の整数全体}を考えよ)。 (q3) b:m×m→mを、 b(x,y) = x+y (x≧0, y≧0), x (x=-1またはx=-2であって、かつy≧0), y (y<0)で定める。bは b(x,0) = x, b(x, s(y)) = s(b(x,y)) を満たしていることを証明せよ。 (q4) 一方、c: m×m→mを、 b(x,y) = x+y (x≧0, y≧0), x (x=-1またはx=-2であって、かつy≧0), -2 (y=-1), -1 (y=-2)で定める。cは c(x,0)=x, c(x,s(y)) = s(c(x,y))を満たしていることを証明せよ。 (q5) (m, s, 0)においては、 a(x,0) = x, a(x, s(y)) = s(a(x,y)) という関係式だけでは、写像aが一意に定まらないことを確認せよ。 一度(q1) ~ (q5)まで解いて、 peano の公理の(5)がないと、なぜ(q5)のようなことが起こってしまうかを何となく考えてみてください。