質問: 三角形の性質(余弦定理・正弦定理・ヘロンの公式)
回答: こんばんは。 以下のようになります。 △ABCにおいて、以下の関係が成り立つ時、 △ABCの形状はどのようになるか? (1)(tanA)2:(tanB)2=a2:b2 a2・(tanB)2=b2・(tanA)2 a2・{(sinB)2/(cosB)2}=b2・{(sinA)2/(cosA)2} a2・(sinB)2・(cosA)2=b2・(sinA)2・(cosB)2 a2・(sinB)2・{1-(sinA)2}=b2・(sinA)2・{1-(sinB)2} (”(sinA)2+(cosA)2=1”より。) △ABCの外接円の半径をRとします。 ”sinA=a/2R”、”sinB=b/2R”を代入します。 a2・(b/2R)2・{1-(a/2R)2} =b2・(a/2R)2・{1-(b/2R)2} ”(ab/2R)2≠0”より、両辺をこれで割ります。 1-(a/2R)2=1-(b/2R)2、(a/2R)2=(b/2R)2 よって、4R2・(a2-b2)=4R2・(a-b)・(a+b)=0 ”a+b>0”、”R≠0”より、”a=b” よって、”BC=CA”である二等辺三角形になります。 (2)b2・(sinC)2+c2・(sinB)2=2・(b・cosC)・(c・cosB) b2・{1-(cosC)2}+c2・{1-(cosB)2} =2・(b・cosC)・(c・cosB) b2+c2 =(b・cosC)2+(c・cosB)2+2・(b・cosC)・(c・cosB) ={(b・cosC)+(c・cosB)}2 ここで、”もう一つの余弦定理”を用います。 ”b・cosC+c・cosB=a”が成り立っています。 よって、b2+c2={(b・cosC)+(c・cosB)}2=a2 よって、”辺BC”が斜辺である直角三角形になります。 如何でしょうか?