質問: 以下の様な問題を考えます。 xy平面上でまず、原点Oからx軸に沿って、長さr_1移動します(この時、角度θ_1=0)。 次に、角度θ_2で長さr_2移動し、さらに角度θ_3で長さr_3移動し、 その後も同様に続けていきます。 以下の図の青い線で、上記の移動を示しています。 ![座標遷移の図](https://i.stack.imgur.com/qVLDK.jpg) ここで例えば、 図の赤い点線の長さであるs_3やs_4、 赤い点線とx軸との角度であるφ_3やφ_4は、 rとθを用いてどのように計算できるでしょうか? また、s_nやφ_nは、rとθを用いてどのような一般式で計算できるでしょうか? 最終的には、三次元極座標系において一般化したいと思っています。 よろしくお願いします。
回答: iステップ後の位置を`p_i`としてベクトル表示をすると`p_i=(sum(r_i*cos(D_i),sum(r_i*sin(D_i)))`とかけます. ここで`D_i`はiステップめの進行方向のx軸からみた角度でとします. `D_i`は`sum(pi-theta_i)` とかけます. この`p_i`を使えばベクトルの長さ `s_i` は `s_i=sqrt(p_i_x**2+p_i_y**2)`とかけます. 角度は`phi_i=arctan(p_i_y/p_i_x)`です.