質問: 重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。 重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。 球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0) 自分の解法は z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域d:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して zx=-x/(a^2-x^2-y^2), zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より 求める曲面積s=2∫∫d √(1+zx^2+zy^2)dxdy ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとj=r,積分領域dはm:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2 s=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ =2a^2θ+cosθ=2a^2π となったのですが、解答は d:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、 s=4∫∫d a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、m:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2 s=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ =4a^2θ+cosθ=4a^2(π/2-1) となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。
回答: >zx=-x/(a^2-x^2-y^2), zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より 間違い。 zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), zy=-y/√(a^2-x^2-y^2) >求める曲面積s=2∫∫d] √(1+zx^2 +zy^2)dxdy >ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|j|=r, >積分領域dはm:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2 >s=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ s=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ =2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)dθ =2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ >=2a^2θ+cosθ=2a^2π となったのですが、 間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を =cosθとして間違った。 =2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ 偶関数の対称区間での積分なので =4(a^2)∫(0→π/2)(1-sinθ)dθ =4(a^2)θ+cosθ =4(a^2){(π/2)-1} これは解答と一致しています。 >解答は >d:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、 >s=4∫∫d a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy >ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、m:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2 >s=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ >=4a^2θ+cosθ=4a^2(π/2-1) >となって答えが違ってしまう θ:-π/2~π/2のとき √{1-(cosθ)^2}=|sinθ| 上のθの範囲ではsinθは正にも負にもなります。それを単に「sinθ」としてしまったのが 間違いの原因ですね。 θ<0では √{1-(cosθ)^2}=-sinθ θ>0では √{1-(cosθ)^2}=sinθ としないといけません。