質問: 数i三角比の問題です。わからなくて困っています。 △abcにおいてbc=a, ca=b, ab=cとする。tana,tanb,tancが自然数で、tana+tanb=tanc が成り立つとき、a:b:cの比を求めよ。 という問題です。加法定理はまだ習っていません。 どなたかわかる方いましたら、教えていただきたいです。
回答: △abcにおいて |bc|=a |ca|=b |ab|=c tana,tanb,tancが自然数 tana+tanb=tanc 3角形の内角の和は180°=πだから a+b+c=π c=π-(a+b) tanc =tan{π-(a+b)} =sin{π-(a+b)}/cos{π-(a+b)} =sin(a+b)/-cos(a+b) ↓加法定理(下記参照)から =-(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb) =-(sina/cosa+sinb/cosb)/{1-(sina/cosa)(sinb/cosb)} =-(tana+tanb)/(1-tanatanb) tana+tanb=-(tana+tanb)/(1-tanatanb) ↓両辺に0≠(tanatanb-1)/(tana+tanb)をかけると tanatanb-1=1 ↓両辺に1を加えると tanatanb=2 ↓tanaは自然数で2の約数だから tana=1,または,tana=2 tana=1の時tanb=2,tanc=tana+tanb=1+2=3 tana=2の時tanb=1,tanc=tana+tanb=2+1=3 tana=1の時 tana=sina/cosa=1 sina=cosa 1=(sina)^2+(cosa)^2=2(sina)^2 1=2(sina)^2 1/2=(sina)^2 sina=1/√2 cosa=1/√2 tanb=sinb/cosb=2 sinb=2cosb (sinb)^2=4(cosb)^2 1=(sinb)^2+(cosb)^2=5(cosb)^2 1=5(cosb)^2 1/5=(cosb)^2 cosb=1/√5 sinb=2/√5 tanc=sinc/cosc=3 sinc=3cosc (sinc)^2=9(cosc)^2 1=(sinc)^2+(cosc)^2=10(cosc)^2 1=10(cosc)^2 1/10=(cosc)^2 cosc=1/√10 sinc=3/√10 正弦定理から a/sina=b/sinb=c/sinc a:b:c =sina:sinb:sinc =1/√2:2/√5:3/√10 = √5:2√2:3 tana=2の時 aとbを入れ替えると a:b:c =sina:sinb:sinc = 2√2:√5:3 加法定理の作り方 オイラーの公式 e^(ia)=cosa+isina を覚える 指数法則 e^{i(a+b)}=e^(ia)e^(ib) を使う オイラーの公式から e^{i(a+b)}=cos(a+b)+isin(a+b) e^(ia)=cosa+isina e^(ib)=cosb+isinb e^(ia)e^(ib)=(cosa+isina)(cosb+isinb) e^(ia)e^(ib)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+cosasinb) ↓e^{i(a+b)}=e^(ia)e^(ib)だから e^{i(a+b)}=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+cosasinb) ↓e^{i(a+b)}=cos(a+b)+isin(a+b)だから cos(a+b)+isin(a+b)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+cosasinb) ↓実部,虚部それぞれ等しいから ∴ cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+cosasinb