質問: 至急よろしくお願いします! 大学数学の曲線の長さを求めよです。 1.曲線x=e^x cosx、y=e^x sinx (0<=x<=2π) 答え√2 (2^2π -1) 2.曲線x=Rcosx、y=Rsinx、z=t (0<=x<=4 π Rは正定数) 答え4π√(R^2 +1) あまりわからないので詳しく教えてくれると嬉しいです!答えだけ載っているので書いておきました。回答よろしくお願いします!
回答: 1 曲線の微小長さはdL=√{(dx)^2+(dy)^2} dL=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}・dt x=e^tcost y=e^tsint なので dx/dt=e^t(cost-sint) dy/dt=e^t(cost+sint) から dL=√{e^2t((cost-sint)^2+(cost+sint)^2)}dt =√(2e^2t)dt =√2・e^tdt これを積分して L=∫(0,2π)√2・e^tdt =√2・e^t =√2(e^2π-1) (2) dL=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt なので dx/dt=-Rsint dy/dt=Rcost dz/dt=1 なので dL=√{(-Rsint)^2+(Rcost)^2+1^2}dt =√(R^2+1)dt なので ∫(0,4π)√(R^2+1)dt =4π√(R^2+1)