質問: 2^n (cos nπ/3 + i sin nπ/3) ・・・と変形されています。 これを英語で、modulus argument formと解説があるのですが、 一体ここでは、何をしているのでしょうか? 「複素数の極形式」に直すという方法については勉強したのですが、ここではそういう話でもないようです。 よろしくお願いいたします。
回答: ド・モアブルの定理と呼ばれるものです。 インターネットが使えるのでしたらウィキペディアに記事がありますのでご一読なされれば大丈夫かと思います。 要点をかいつまんで言えば、 1+√3i をまずは角度と長さで表します。極形式というのでしたでしょうか。私はあまりもう名前までは覚えていませんので・・・。 つまりは複素数平面上で 1+√3i を考えますと、実軸上の長さが正の方向に1で、虚軸の正の方向に√3 です。これは三角関数で言えばx軸の正方向に1、y軸の正方向に√3ですので、角度がπ/3とわかります。 ついでに原点から1+√3iまで引いた線分の長さは、ピタゴラスの定理でもわかりますし、よくある直角三角形の比でも2とわかります。 三角関数自体が円の座標を表すために作られたものですので、 x=2cos(π/3) y = 2cos(π/3) となります。 これを複素数平面に戻して考えれば、 1+√3i = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) ということになります。しがたって両辺n乗して (1+√3i) = 2^n (cos(π/3) + i sin(π/3))^n という形になります。ここで右辺は 1+√3i の 長さである 2 をn乗したものと 1+√3i の 角度を表している (cos(π/3) + i sin(π/3)) をn乗したもの の積になっています。 前者はつまりは長さが倍々に増えて行くというものです。仮に長さが3だった場合は3倍3倍に増えていきます。 後者は角度がπ/3の回転を表しているので、π/3ごとの回転をn回させることになります。 したがって結果 nπ/3 の回転をさせていることになります。 これを厳密に証明するのがド・モアブルの定理です。 (cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ)+i sin(nθ) 今回の問題では sin(nπ/3)=0となれば虚数部分は消えて実数となりますので、答えとしては n = 3k , k は整数 になるかと思います。