質問: 平面による空間の分割の問題です(質問し直します) 大学への数学「マスター・オブ場合の数」の中の研究問題です。 空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が 無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、 まず、平面をn本の直線で、どの2本も1点で交わるが、どの3本も1点では交わらないように 分割するときの、領域の個数は(n^2+n+2)/2-(1)です。 また、空間において、k-1枚の平面で作られた領域がf(k-1)個に分割されていたとして、 これにk枚目の平面を題意のようにおいた時、k枚目の平面上の、他の平面との交線で分け られた1つ1つの領域は、それまですでにあった空間領域の1つを2つに分ける‘面’であるの で、k枚目の平面によって、空間領域は、((k-1)^2+(k-1)+2)/2個増える。 よって、1+∑[n、k=1]((k-1)^2+(k-1)+2)/2=(n^3+5n+6)とあります。 ようするに、k枚目の平面を入れると、f(k-1)個の領域が増えるとなっていますが、 分からないのは、f(k-1)=((k-1)^2+(k-1)+2)/2-(2)ということなので、 平面の領域の個数(n^2+n+2)/2にn=k-1を代入すると、(2)になりますが、 例えば、添付画像の3(=k-1と考えて)本の領域には7個の領域がありますが、 4(=kと考えて)本目の直線を引くと、7個の領域が増えると言った内容の説明があります。 空間の領域の個数を求める問題であるのに、なぜ、平面での増えた領域の数が空間の領域 の数が対応するのかが理解出来ません。 tacosan様、先ほどは失礼いたしました、改めて質問させて頂きます。 何卒宜しくお願い致します。
回答: それで理解できているということは, この問題の答そのものはわかっている (ここに挙がっている解答は理解できないとしても) ということでいいですか? もしそうでない, なぜ (n^3+5n+6)/6 になるのかすらわからないというのであれば, 「n本の直線で平面を分割する」問題もいきなり「n本の場合」を考えるのでなく, 「n-1本の直線で平面が分割されているときに, n本目を追加したらどれだけ領域が増えるのか」を考えてみるといいかもしれません. 追加した「n本目の直線」は, それまでの n-1本の直線によっていくつの部分に分割されるでしょうか? 一方, 「n本目を追加したときに増える領域の数」はいくらでしょうか?