質問: 同型写像の証明問題 問題)f:r^n→r^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。 以上の問題の方針として、vを集合とした時に写像f:v→v、g:v→vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。
回答: r^n は多分実数体 r の直積空間なのでしょう。 今、写像 f : r^n -> r^n をどんな構造の上の「同型写像」だとしているのか補足して下さい。 ベクトル空間ですか?多様体ですか?それとも、もっと別の何か? 「同型」というのは「構造を含めて同じ」という意味なので、今 r^n 上で考えている構造が何かわからないと証明のしようがありません。