質問: 確率統計、正規分布?の問題です 大学の確率統計の問題なんですがさっぱりわかりません。正規分布を使うとは思うのですが... 不良品率pの製品の山からn個の製品を取り出し、不良品の個数をxとするとき、p(│x/n-p│<0.01)≧0.95となるnはいくつか。ただしp≦0.05とする。 標準正規分布表を添付しました。 テストが近くて困っています。お助けください。
回答: 不良品率pということは、正常品の確率は 1-p ですから、この中から n 個を取り出したときに、故障品が k 個である確率が p(k) = nck * p^k * (1 - p)^(n - k) という「二項分布」ですね。 この場合には、 期待値 e = np 分散 v = np(1 - p) となります。(これは必ず教科書に載っていると思います。高校数学の範囲かな?) http://mathtrain.jp/bin また、二項分布は、nが大きいときには正規分布で近似できます。 与えられた問題では、「n個の製品を取り出したときの不良品の個数がx」ということなので、期待値は np ですから x - np が期待値との偏差です。問題の式の中に書かれているのは、これをサンプルサイズ n の 1% 未満にしたいということです。 | x - np | < 0.01n 問題の式の中に書かれているのは、これを「1個あたり」に正規化、つまり「確率」表現したしたものです。 | (x/n) - p | < 0.01 これは、絶対値を外せば p - 0.01 < x/n < p + 0.01 (1) np - 0.01n < x < np + 0.01n (2) ということです。 x の期待値は np ですから、この期待値の周りの ±0.01n の範囲内ということです。 一方、正規分布では、ご承知の通り、標準偏差を「σ」として、 平均値± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る 平均値±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る 平均値±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る という特性があります。 http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_2_1.htm σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方は、統計でよく言われる「信頼区間○○%」ということで 平均値± 1.65σ の範囲に、全体のデータの 90.0% が入る ←これが「信頼区間90%」 平均値± 1.96σ の範囲に、全体のデータの 95.0% が入る ←これが「信頼区間95%」 平均値± 2.57σ の範囲に、全体のデータの 99.0% が入る ←これが「信頼区間99%」 ということですね。 問題では、 p(|x/n - p| < 0.01) ≧ 0.95 ということですから、「全体のデータの 95.0% が入る」つまり「信頼区間95%」ということです。 つまり(2)の範囲に全体のデータの 95.0% 以上が入るようにするためには 1.96σ≦ 0.01n (3) にすればよいということです。 ここまでの考え方は理解できますか? あとは 分散 v = np(1 - p) ↓ 標準偏差 σ = √v = √[ np(1 - p) ] であることから、(3)に代入した 1.96√[ np(1 - p) ] ≦ 0.01n を解けばよいことになります。 つまり 3.84*[ np(1 - p) ] ≦ 0.0001n^2 n*[ n - 3840p(1 - p) ] ≧ 0 よって n ≧ 3840p(1 - p) たとえば、p=0.03 とすれば n ≧ 3840 * 0.03 * (1 - 0.03) = 111.744 つまり n ≧ 112 (個) ということになります。 多分、こんな考え方でよいと思うのですが。