質問: ベクトルを教えて下さい。 oa=√2,ob=1である△oabがあり、線分abを3:2に内分する点をcとする。また、↑oa=↑a,↑ob=↑bとおく。 (1)↑abを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑ocを↑a、↑bを用いて表せ。 (2)oc⊥abのとき、内績↑a・↑bの値を求めよ。また、このとき|↑oc|、|↑ab|を求めよ。 (3)(2)のとき、辺abを一辺とする正方形adebを直線abに関して点oの反対側につくる。線分beを2:1に内分する点をfとし、直線odと直線afの交点をpとする。このとき、↑ofを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑opを↑a、↑bを用いて表せ。 解答を導く手順と解答を教えて下さい。
回答: oa=√2,ob=1である△oabがあり、線分abを3:2に内分する点をcとする。また、↑oa=↑a,↑ob=↑bとおく。 (1)↑abを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑ocを↑a、↑bを用いて表せ。 (2)oc⊥abのとき、内績↑a・↑bの値を求めよ。また、このとき|↑oc|、|↑ab|を求めよ。 (3)(2)のとき、辺abを一辺とする正方形adebを直線abに関して点oの反対側につくる。線分beを2:1に内分する点をfとし、直線odと直線afの交点をpとする。このとき、↑ofを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑opを↑a、↑bを用いて表せ。 |a|=√2,|b|=1とする (1) ab=ob-oa=b-a oc=(2/5)oa+(3/5)ob =(2/5)a+(3/5)b (2) (oc,ab)=((2/5)a+(3/5)b)・(b-a) =-2/5|a|^2-(1/5)(a,b)+(3/5)|b|^2 =-1/5-(1/5))(a,b) =0より、 (a,b)=-1 |oc|^2=((2/5)a+(3/5)b)・((2/5)a+(3/5)b) =(4/25)|a|^2+(12/25)(a,b)+(9/25)|b|^2 =5/25=1/5 よって、|oc|=ルート5/5 ......(1) |ab|^2=(b-a)・(b-a) =|b|^2-2(a,b)+|a|^2 =5 よって、|ab|=ルート5 (3) 辺abを一辺とする正方形adebだから、|ad|=|ab|=ルート5 ocはabに、adはdeに垂直で、abとdeは平行だから、ocとadは平行 よって(1)より、 ad=5oc =5((2/5)a+(3/5)b) =2a+3b ae=ab+ad =(b-a)+(2a+3b) =a+4b af=(1/3)ab+(2/3)ae =(1/3)8b-a)+(2/3)(a+4b) =(1/3)a+3b af=of-oaより、よって、 of=af+oa =((1/3)a+3b)+a =(4/3)a+3b ......答え ad=od-oaより、 od=ad+oa =2a+3b+a =3a+3b o,p,dは、一直線上にあるから、op=kocとおくと、 op=k(3a+3b) =3ka+3kb ......(2) a,p,fは一直線上にあるから、ap=lafとおくと、 op-oa=lafより、 op=laf+oa =l((1/3)a+3b)+a ={(1/3)l+1}a+3lb......(3) (2),(3)より、 3k=(1/3)l+1と3k=3lを連立方程式にして解くと、 k=l=3/8 (2)へ代入して、op=(9/8)a+(9/8)b......答え ad