質問: ガウスの法則の積分系は何を示しているのでしょうか? 電荷qから出る電気力線の合計本数が必ずq/εにな ガウスの法則の積分系は何を示しているのでしょうか? 電荷qから出る電気力線の合計本数が必ずq/εになることを示したいのかなと思ったのですが、ガウスの法則の積分系はある曲面の電場eの垂直成分を面全体に足し合わせた形になっているので、曲面全体の電場を足し合わせたのではなく、その垂直成分を足し合わせているので、これがq/εとなっても電荷qからの電気力線の本数がq/εになるとは言えないと思います。 電場eはある曲面を貫く電気力線が1m^2あたりe本であることであって、曲面を垂直に貫く成分が電場になるわけではないですよね?
回答: まず、球面sの中心に電荷qがある場合を考える qからでる電気力線は任意の球面を必ず垂直に貫く ゆえに、電場eの面1m2を垂直に貫く電気力線をe本であるとすれば 任意の微小球面dsを垂直に貫く電気力線の本数はeds本 これを球面全体にわたって合計すれば ∫[s]eds その積分結果はテキストを見てもらえばわかるが =q/εo これは納得しょうか? 次に、qの位置を少しだけ中心からずらしてみる 任意の電気力線は任意の微小な球面を垂直に貫かなくなる そこで、任意の微小面dsの法線ベクトルと 電気力線のなす角度をθとして 力線と平行な光を微小面にあてた場合、できる陰(が作る微小面)について考える できた影の法線ベクトルは力線と平行だから、dsの法線ベクトルとはθの角度である 無数にある他のdsについても、このような影を作り 影でできた閉曲面を新たに作ってしまう(影が閉曲面になるようにうまく調整して・・・) すると、もともとの閉曲面(中心からずれた位置にqが存在する球面) を貫く力線の本数と 新たに作った影で囲まれた閉曲面を貫く電気力線の本数は等しいはずである (同じqを取り囲んだ閉曲面なんだから!) で、影はdsとθ角度をなしてるんだからその面積はcosθdsである ゆえに dsの影を貫く電気力線の数は ecosθds=(→e)・(→ds)←←←内積 その合計は ∫s'・(→ds) ただしs'とは陰による平曲面 で、これはいうまでもなくs'の任意の微小面を垂直に貫く電気力線の総合計! それは、影を作る前のqが中心からずれた球面を貫く力線の本数に等しく それは、qが中心にある時のものと変わるはずがない! ゆえに ∫s'・(→ds)=∫s・(→ds)=q/εo 閉曲面が球体でなくとも同じように考えていけばよいと思う