質問: 線形代数のベクトル空間の単元の問題について質問させていただきます。写真の問題で部分空間かどうかを判定する方法が分かりません。教科書ネットを使っても解決できなかったので、よろしくお願いします。
回答: ID非公開さん P3 は高々3次実係数多項式という定義でよいでしょうか. (1) 部分空間である. (i) 零元は 0 であり, 0∈W は明らか. (ii) 任意の f, g∈W について f(2)=f(-1)=0 g(2)=g(-1)=0 だから, (f+g)(x)=f(x)+g(x) という定義において f(2)+g(2)=f(-1)+g(-1)=0 ⇔ (f+g)(2)=(f+g)(-1)=0 したがって, f+g∈W である. (iii) 任意の f∈W, 任意の実数 k について f(2)=f(-1)=0 ⇒ kf(2)=kf(-1)=0 したがって, kf∈W である. 以上の (i)~(iii) から, W は P3 の部分空間である. (2) 部分空間でない. なぜならば ... f(x)=x(x-1)+1∈W であるが, (-1)f(x)=-f(x)=-x(x-1)-1 は f(0)=f(1)=-1 だから, (-1)f(x)∈W ではなく, P3 の部分空間であるための必要条件を満たしていない.