質問: 電気回路 正八面体の合成抵抗 以下の回路の合成抵抗を求めよ、という問題です。 正八面体abcdefを考え、各辺(稜)は抵抗でできている。 一応ここでは、aとfを接続端子としておきます。そして、aとfの位置関係は、aとfが正八面体において最も距離が大きくなる位置関係です。 さらに、正八面体の内側ではどの点もつながっていないとする。(つまり6点は、正八面体の縁取りの辺(稜)でしかつながっていない。) ここで確認ですが、辺(稜)の数は12本つまり抵抗の数は12個です。 抵抗の値はa-b間、a-d間、c-f間、e-f間の抵抗は2r, 他の8つの抵抗はrとする。 ただし、bとd、cとeの位置関係も、aとfの位置関係と同じとする。 という問題です。 自分で解答を作ってみたのですが、よく考えたらデタラメで絶対間違っています。 そこで、皆さんに質問させていただきました。 まず、端子aへ電流がiが流れ込む。 点aで電流は4方向へ分流するが、a→b間に流れるのは、i/6であり、これは、b,c,d,eへ1:2:1:2の比で分流すると考えたからです。 次に、bからはc,e,fへの3方向へ分流するが、上と同じように考え、fへはi/3流れ込む。 よって、合成抵抗をroとおいたとき、roi=2r×i/6+r×i/3より、ro=r/2となる。 しかし、上記のようにこれはデタラメです。なぜなら、a→c→fの経路でこのような考えを用いれば、値が違ってきます。 他にも考えてみましたが、何も考えが浮かびませんでした。 どなたか、助けてくださると幸いです。 ヒントだけでもいいのでよろしくお願いします。
回答: 対称性から、 a→b、a→c、a→d、a→e の枝に流れる電流は同じです。 というわけで、b、c、d、e の電位は同じです。 なんで、b-c-d-e間には電流が全く流れません。というわけで、b-c-d-e間の4本の抵抗は取っ払ってしまってないものと思ってしまってよいです。 結局、a→b→f、a→c→f、a→d→f、a→e→f、というそれぞれ2rの抵抗が4本並列にあるだけですから、合成抵抗は、2r/4 = r/2 です。 答えは、結局、質問者さんと同じになりましたね。 >これは、b,c,d,eへ1:2:1:2の比で分流すると考えたからです。 こう考えた理由はなんでしょうか?なぜ、a→cに流れる電流が、a→bに流れる電流の2倍になると考えたのか、ちょっとだけ興味があります。