質問: 数学の質問です。 ∫[0→x]tf(t)dtをxで微分するとxf(x)になるようなのですが、どういう仕組みでこうなるのですか?何方か教えてください。よろしくお願いします。
回答: xf(x)の原始関数をG(x)とします。 つまり、G'(x)=xf(x)が成り立ちます。 ∫<0→x>tf(t)dt =[G(t)]<0→x> =G(x)-G(0) {∫<0→x>tf(t)dt}' ={G(x)-G(0)}' =G'(x)-0 『G(0)は定数になる』 =xf(x) 以上です。 ちなみに、 {∫f(t)dt}' =f(x) という公式があります。 g(x)=xf(x)とおけば、 {∫g(t)dt}' =g(x) =xf(x)となります。