質問: 第一宇宙速度、第二宇宙速度、脱出速度 地球の質量をm、ニュートンの万有引力定数をgとし、地球の半径をrとする。地球表面の質量mの物体に地球が及ぼす引力は両者を結ぶ方向に働き、大きさはf=gmm/r二乗で与えられる。 (a)地球の表面で真上に発射したロケットが地球の引力圏から脱出して無限方向へ飛んでいくために必要な最小の速度を脱出速度、第二宇宙速度と呼ぶ。力学的エネルギー保存則を用いて、この脱出速度を求め、g、m、rで表せ。 (b)一方、地球の表面で水平に発射したロケットが地上に落下せずのに地球の周りを回り続けるために必要な最小の速度を第一宇宙速度と呼ぶ。 ニュートンの運動方程式を用いて、この第一宇宙速度を求め、g、m、rで表せ。
回答: (a)万有引力は保存力ですから、万有引力だけを受けて運動するロケットの力学的エネルギーは保存されるはずです。 力学的ネルギー保存則を使うときのパターンは、(ア)ロケットが地表を出発したときと、(イ)無限遠方に達したときについて、力学的エネルギーを数式で表現して、両者が等しいとする解き方です。 力学的エネルギーとは、「位置エネルギーと運動エネルギーの和」を意味します。 ただ、位置エネルギーと一言でいっても、受けている保存力のそれぞれに対応した位置エネルギーを持つので、注意が必要です。本問のロケットは、万有引力だけを受けていますから、考える位置エネルギーは、万有引力による位置エネルギー(以下uとします)だけです。 また、位置エネルギーは、基準点の採り方が任意ですから、基準点をどこにするかを決めておかなければなりません。本問もそうですが、基準点を無限遠方に設定し、そのときのu=0としておくのが一般的です。 (ア)地表を、速度vで出発したとします。このときの 運動エネルギーk=(1/2)mv^2 万有引力による位置エネルギーu=-gmm/r ※ ∴力学的エネルギーe=(1/2)mv^2-gmm/r もし、vが小さすぎると、ロケットは無限遠方に達する前に速さ0になってしまうので、無限遠方に届きません。言い換えれば、無限遠方に達することができるためには、無限遠方に達したときになお速度が0にはなっていないことが必要なのです。 (イ)無限遠方に達したとき、速度がwになっていたとすると 運動エネルギーk'=(1/2)mw^2 u=0 ∴力学的エネルギーe=(1/2)mw^2 力学的エネルギー保存則より (1/2)mv^2-gmm/r=(1/2)mw^2 式を見るとわかるように、vが大きくなるに従ってwも大きくなることがわかります。逆に言えば、w=0になるようなvこそが、ロケットに与えるべき最小の速度v0だと判断できるはずです。 (1/2)mv0^2-gmm/r=0 ∴ v0=... ※ 位置エネルギーuは、その物体を、注目している点から基準点まで運んだきたときに保存力がする仕事として定義されています。 ロケットが、地球中心からxの位置に有るとき万有引力は、地球に向かう向きで大きさf=gmm/x^2 です。 定義に従えば u=∫[r,∞] (gmm/x^2)・dx・cos(180°)=-∫[r,∞] (gmm/x^2)・dx cos(180°)が付く理由は、万有引力の向きとロケットが進む向きとが逆だからです。力の向きと逆に進むとき仕事は負になることは明らかです。 u=-∫[r,∞] (gmm/x^2)・dx=-gmm/r (b)ニュートンの運動方程式によれば ロケットが受ける合力=質量・加速度 また、力と加速度はベクトルですから、合力の向きと加速度の向きとは常に一致しています(∵質量>0ですから)。 いまロケットには万有引力しか働いていませんから、 万有引力=質量・加速度 となり、加速度は万有引力の方向(地球の中心に向かう向き)です。 ところで、ロケットは水平方向(地表に対して平行な方向)に進んでいますから、加速度は速度に対して直交する向きに作用していることになります。これは、万有引力による加速度には、接線方向の速さを変える効果は無く、速度の方向だけを変える(地球の中心方向に傾くように)作用があるだけだということを意味します。 ロケットは、地表にぶつかることなくまた地球から離れることもなく進むという仮定ですから、ロケットは速さを変えることなく、半径rの円周上を進み続けていることを意味するわけです。このような運動は、等速円運動であることは明らかです。 ゆえに、ロケットの運動は、半径rの等速円運動として処理して良いことになります。 等速円運動しているなら、ロケットには向心力が働いているはずです。いま、ロケットに働いている力は万有引力でしたから、万有引力が向心力の役割を果たしていると考えれば良いのです。 向心力=質量・速度^2/半径 です。 ∴ gmm/r^2=m・v^2/r これを解いて v=...