質問: 楕円計算で困っています 長径2a、短径2bの楕円があり、長軸と短軸の交点座標(いわゆる中心点)を(0,0)とする この中心点からx軸からの角度αで直線を引き、楕円との交点座標を(x1,y1)とし、 また、この座標がx軸に対して対称な座標を(x1,-y1)とする この2点に対して楕円の接線を引いて、2つの線の角度をβとする この条件で(x1,y1)座標と角度βを、a,b,角度αを用いて表現する方法はないでしょうか? 色々考えてみたのですがどうも上手くいきません。 どうかよろしくお願いします。
回答: 削除されなければ良いのですが... (x1,y1)は, y1 = (tanα)x1 (x1)^2/a^2 + (y1)^2/b^2 = 1 の2つを連立させて解けば, x1 = ±ab/√(b^2 + (a*tanα)^2) y1 = ±ab*tanα/√(b^2 + (a*tanα)^2) (複合同順) また,2接線の角度βについては,楕円方程式, x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 の両辺を x について微分すると, 2x/a^2 + 2y*y'/b^2 = 0 ∴ y' = -(b/a)^2 * (x/y) この式にx = x1 , y = -y1 を代入(y = y1 でもよい)して,y1 = (tanα)x1 より, y' = (b/a)^2 * (x1/y1) = (b/a)^2 * (1/tanα) これは,接線の傾きを表している.2つの接線はx軸で交わり,x軸はβを2等分するので, tan(β/2) = (b/a)^2 * (1/tanα) 2倍角の公式より tanβ = 2tan(β/2)/{1 - (tam(β/2))^2} = 2tanα*(ab)^2/{a^4 * (tanα)^2 -b^4} 如何でしょうか.