質問: 三次関数の問題です 解答を教えてください!よろしくお願いします。 kは定数とする. f(x)=2x^3+3kx^2-6x-2kはx=αで極大値をとり、x=βで極小値をとるとする. (1)αβの値を求めよ.またα+βをkを用いて表せ。 (2)f(x)を(1/6)f’(x)で割った余りを求めよ. (3)f(α)f(β)をkを用いて表せ. (4)f(x)=0は異なる3個の実数解をもつことを示せ. よろしければ解答を教えてください! よろしくお願いします。
回答: f(x)=2x^3+3kx^2-6x-2kはx=αで極大値をとり、x=βで極小値をとるとする. (1)αβの値を求めよ.またα+βをkを用いて表せ。 f'(x)=6x^2+6kx-6 α,βはf'(x)=0の2根である。これより x^2+kx-1=0 d=k^2+4>0 よってα,βは異なる実解。 (1) 解と係数の関係より αβ=-1、α+β=-k (2) (2)f(x)を(1/6)f’(x)で割った余りを求めよ. (1/6)f’(x)=x^2+kx-1 f(x)を(1/6)f’(x)で割った商は2x+k余りは-(k^2+4)x-k つまり f(x)=(2x+k)(x^2+kx-1)-(k^2+4)x-k (3)f(α)f(β)をkを用いて表せ. α,βはx^2+kx-1=0の解であるので f(α)=-(k^2+4)α-k, f(β)=-(k^2+4)β-k f(α)f(β)=[(k^2+4)α+k][(k^2+4)β+k] =(k^2+4)^2αβ+(k^2+4)k(α+β)+k^2 (2)をもちいて f(α)f(β)=-(k^2+4)^2-(k^2+4)k^2+k^2 =-2k^4-11k^2-16 (3) (4)f(x)=0は異なる3個の実数解をもつことを示せ. (3)より f(α)f(β)=-2k^4-11k^2-16=-2(k^2+11/4)^2-7/8<0 これは極小値と極大値が異なる符号を有していることを示しており、 y=f(x)がxの増加とともに-∞(x=-∞)→+(極大値、x=α)→-(極小値、x=β)→+(x=∞) という変化をすることを示しており、(増減表、グラフで示すこと) (1)と合わせてf(x)=0は異なる3個の実数解をもつ。