質問: tanxのマクローリン展開について 「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。 f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。 tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。 最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。 わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。 できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。
回答: 最も標準的な方法はやはり f^{(n)}(x) を次々計算する方法でしょう. 具体的テクニックは no.1 で yoikagari さんが書かれているとおりです. ただし,今の場合はもう少し簡便にやる方法もあります. n=3 までということは x^3/3 の項まで求めよということでしょうね. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ・・・ = x(1+f) f = -x^2/3! + x^4/5! - ・・・ と書き,同様に cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ・・・ = 1-g g = x^2/2! - x^4/4! + ・・・ としておきます. tan(x) = sin(x)/cos(x) ですから tan(x) = x(1+f)/(1-g) = x(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) となります. 右辺全体に x がかかっていますから,x^3 のオーダーまで求めるには (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^2 のオーダーまで求めればよいわけです. f も g も x^2 から始まりますから, (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) = {(-1/3!)+1/2!}x^2 + (x^4 以上の項) となり, {(-1/3!)+1/2!} = 1/3 から tan(x) = x + x^3/3 + ・・・ が分かります. これくらいでしたらほとんど暗算で済みますね. n=5 までやるのでしたら, (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^4 のオーダーまで求める必要があります. この場合は (a) 1+f の x^4 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の1との積 (b) 1+f の 1と (1+g+g^2+g^3+・・・) の x^4 のオーダーの項の積 (c) 1+f の x^2 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の x^2 のオーダーの項の積 の3つが x^4 に寄与します. (a) から来る寄与は 1/5! (b) から来る寄与は g そのものから -1/4!, g^2 から (1/2!)^2 (c) からは -(1/3!)×(1/2!) 合わせて 1/5! - 1/4! + (1/2!)^2 - (1/3!)×(1/2!) = 2/15 なので, tan(x) = x + x^3/3 + (2/15)x^5 + ・・・ こっちはちょっと暗算では無理か(少なくとも私には). なお,一般項がシンプルな形に書ける方がむしろ珍しいです.