質問: 統計学の問題で、標本平均と不偏分散の独立性についての質問です。 写真の[3]に書いてあるCov(X,Y)=0を求める際にCov(Xバー,Xi−Xバー)がどのように0になるのか分かりません。 この式の求め方を教えて頂きたいです。
回答: Covの定義を思い出してください。 Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] でした。 X=Xbar、Y=X_i-Xbar を代入すれば、E[Xbar]=μ E[X_i-Xbar]=E[X_i]-E[Xbar]=0 なので、 Cov(Xbar,X_i-Xbar) =E[(Xbar-μ)(X_i-Xbar)] で計算できます。 -μE[X_i-Xbar]=0 ですから、 E[Xbar(X_i-Xbar)] を計算すればよいわけですが、 X_iとX_j(i≠j)の独立性などから ちまちまと計算すれば結果にたどり着けます。 少し工夫するなら、 μ=(1/n)*Σ(j=1 to n)μ とみて、 Xbar-μ=(1/n)Σ(j=1 to n)(X_j-μ) とみたり、 X_i-Xbar ={(X_i-μ)-(Xbar-μ)} とみなして、 E[(Xbar-μ)(X_i-μ)]-E[(Xbar-μ)^2] を計算するのも良いと思います。 1項めについては、j=iを除いては無相関であることを 使えば... 2項めはXbarの分散そのものなので... 若干計算をショートカットできると思います。