質問: 確率漸化式の質問です、どなたか教えて欲しいです、よろしくお願いします。 問:AとBの2人が1個のサイコロを以下の手順により投げ合う。 1回目はAが投げる。1、2、3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。 4、5の目が出たら、次の回は別の人が投げる。 6の目が出たら、投げた人を勝ちとし、それ以降は投げない。 (1)n回目にAがサイコロを投げる確率をAn、n回目にBがサイコロを投げる確率をBnとする。An +1をAnとBnで表せ。さらにAnを求めよ。 (2)ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率Pnを求めよ。 (3)n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率Qnを求めよ。
回答: A1=1,B1=0 Aがn+1回目に投げる権利があるのは,n回目がAで1,2,3を出すか,n回目がBで4.5のとき。 A[n+1]=(1/2)A[n]+(1/3)B[n] Bがn+1回目に投げる権利があるのは,n回目がAで4,5を出すか,n回目がBで1,2,3のとき。 B[n+1]=(1/3)A[n]+(1/2)B[n] 2つの式を足して, A[n+1]+B[n+1]=(5/6)(A[n]+B[n]) これは,数列{A[n]+B[n]}が公比5/6の等比数列であることを表す。 初項はA1+B1=1 だから, A[n]+B[n]=(5/6)^(n-1) 2つの式を引いて, A[n+1]-B[n+1]=(1/6)(A[n]-B[n]) これは,数列{A[n]-B[n]}が公比1/6の等比数列であることを表す。 初項はA1-B1=1 だから, A[n]-B[n]=(1/6)^(n-1) A[n]+B[n],A[n]-B[n] から, A[n]=(5^(n-1)+1)/(2・6^(n-1)) P[n] はn回目でAが投げる権利があり,かつ6を出すとき。 P[n]=(1/6)A[n] Q[n] はP[n]を1からnまで足したもの。 下の式を見てください。 漸化式から等比数列にする場面では, 「漸化式」→「公比・初項の情報」→「等比数列の公式」 とやったほうが良いでしょう。 つまり,漸化式そのものを変形しようと思わないこと。 また,シグマの計算でも,シグマの公式でやるより, 式から公比の情報と初項の情報を読み取り,等比数列の和の公式でやったほうが良いです。 特に,この場合,分子がk-1乗,分母がk乗なので,混乱します。