質問: 微分方程式の一般解を求める問題です。 (3)でのx(T)の求め方が参考書などを見ても分かりません。どなたかご教授頂けますでしょうか?
回答: ∫[t=0~T]e^(2at)dt={e^(2aT)ー1}/(2a) から、 x'ーa*x={2a*e^{a(T-t)}*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} 積分因子:e^(-at) を乗じると、 {x*e^(-at)}'={2a*e^{a(T-2t)}*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} x*e^(-at)=Cー{e^{a(T-2t)}*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} x=C*e^(at)ー{e^{a(T-t)}*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} x(0)=x0 から、 x0=Cー{e^(aT)*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} C=x0+{e^(aT)*{zーe^(aT)*x0}}/{e^(2aT)ー1} x(t)=x0*e^(at)+{zーe^(aT)*x0}*{e^{a(T+t)}ーe^{a(T-t)}}/{e^(2aT)ー1} ここで t=T ト書き替えると、 x(T)=x0*e^(aT)+{zーe^(aT)*x0}*{e^(2aT)ー1}/{e^(2aT)ー1} =x0*e^(aT)+{zーe^(aT)*x0} ∴ x(T)=z