質問: 複素関数fの複素微分が存在するなら、その関数は正則であるということを証明するプロセスは複素関数論の教科書にはすべて載っていると思います。 私の本では複素微分df/dzにおいてdz=h+ikとして、k=0でh→0としたものと、h=0としてk→0としたものが一致しなければならないということから正則であることを誘導しています。複素微分による2つの特殊な例を適用したように見えるのですが、これで演繹的に証明したことになるのでしょうか。 これに関連して、正則とはコーシーリーマンの関係が成立することであり、それが正則の定義と考えていいのでしょうか。つまり正則ならコーシーリーマンの関係式が成立することを証明せよ、というようなことはないと思っていいでしょうか。 なお、正則→複素微分の存在という証明が別途出てきますが、こちらは平均値の定理とコーシーリーマンの式で演繹的に証明できたような印象なのですが。
回答: C=(全複素数の集合) 複素関数 f:C→C z∈C に対して fがzの近傍Uで微分可能となるようなUが存在するとき fはzで正則というのです だから fがCの全点で微分可能ならば、正則の定義から fは正則なのです だから 定義であって証明すべき事でありません コーシーリーマンの関係が成立することは正則の定義ではありません fがzの近傍Uで微分可能となるようなUが存在する という正則の定義から コーシーリーマンの関係が成立することが いえるのです