質問: 位相 定義:群gが位相空間xに不連続に作用するとは、gがxに作用しており、xの任意の2点x,yに対し各々の近傍u,vを適当に取ると、 #{gの元g|guとvの共通部分が空でない}が有限 が成立しているときを言います。 そこでxが局所コンパクトならば、上の定義の後半部分は、xの任意のコンパクト集合a,bに対して #{gの元g|gaとbの共通部分が空でない}が有限 と同値なんですが、なぜ同値かわかりません。 どうぞよろしくお願いします。。
回答: まずxにおけるコンパクト集合a,bをとります。各(x,y)∈a×bに対して最初の定義にある性質を満たす開近傍u_x,v_yをとります。a×bはコンパクトなので有限個の{u_x}×{v_y}によって覆われます。そこでこれらをu_1×v_1,....,u_m×v_mとします。そのとき {g∈g:ga∩b≠φ}⊂{g∈g:g(∪u_m)∩(∪v_j)≠φ}(∪の記号はそれぞれm,jに関する有限和)={g:(∪gu_m)∩(∪v_j)≠φ}={g:∪∪(gu_m∩v_j)≠φ}で最後の集合の元の数は有限であることは仮定より従います。 この時点で局所コンパクト性は使ってません。 逆を示すときに用います。局所コンパクトだとして下の定義から出発すると任意の2点x,yに対しある開近傍u,vが存在しそれぞれの閉方がコンパクトでかつ下の定義を満たすようにとれます。したがってこのu,vは明らかに最初の定義をみたします。