質問: 大学の力学の問題についての質問です。 太陽系における地球の運動を考える。太陽の質量をm、地球の質量をmとする。簡略化のため、それぞれを質点とみなし、地球以外の惑星の存在は無視する。太陽の質量は地球の質量に比べて十分に大きく、太陽は動かないものとする。ただし、太陽と地球以外に、ある物質aが太陽系全体に分布しているとする。 このとき、以下の問いに答えよ。物質aは、太陽を中心として球対象に一様な密度ρで分布し、太陽系の外(地球の軌道から十分に離れたところ)には存在しないとする。また、地球と物質aの摩擦は無視できるとし重力のみに考えればよい。重力定数はgとする。 問1 太陽を中心として、地球の位置を(↑r)で表す。この点でのポテンシャルエネルギーをv(↑r)をする。ポテンシャルをrで表せ。 問2地球のラグラジアンを書け。(太陽を原点とする極座標を用いよ ) 問3 地球の全エネルギーeを角運動量lを用いて表せ。 問4 地球の有効ポテンシャルu(r)を求めよ。 問5 地球が、距離r=r0の位置で円軌道を描いて運動しているとする。この円運動の角速度の大きさω0を求め、m、r0を用いて表せ。 です。 多くと申し訳ございません。。。 最初が分かれば何とかなると思うのですが宜しくお願いします。
回答: 概略・ヒントのみとさせていただきます。 問1 物質aは球対称であるから、aからの引力は半径rの内側にあるaの質量が中心に集中した場合に等しい。したがって、 v(r) = -g(m+ρ・4/3・πr^3)m/r = -gmm/r - 4/3・πgρm・r^2 問2 運動エネルギー t = 1/2・m(r'^2 + r^2φ'^2) ※以下「'」は時間微分 位置エネルギー v(r) ラグランジアン la = t - v 問3 l = mr^2φ' ∴ φ' = l/(mr^2) e = t + v 問4 e(r,r') = t(r,r') + v(r) = 1/2・mr'^2 + u(r) 問5 l = mr0^2ω0