質問: {0, 1, z} とする。 加法を次のように定義する。 0+0=0, 0+1=1, 0+z=z 1+0=1, 1+1=0, 1+z=z z+0=z, z+1=z, z+z=z 乗法を次のように定義する。 0*0=0, 0*1=0, 0*z=1 1*0=0, 1*1=1, 1*z=z z*0=1, z*1=z, z*z=z この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。 ・加法において、交換法則と結合法則は成立する。 ・加法単位元は0で、z以外は逆元 -0=0, -1=1 が存在する。 ・乗法において、交換法則は成立する。 ・乗法において、zを除いた0, 1で結合法則は成立する。 ・乗法単位元は1で、逆元 1/0=z, 1/1=1, 1/z=0 が存在する。 ・zを除いた0, 1で分配法則は成立する。 ・0≠1。 つまり、zを除けば、この代数系は体になる。 -- ここまで -- この代数系で、べき乗を定義します。 べき乗:a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より 0^1=0, 0^2=0, 0^3=0, ... 1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, ... z^1=z, z^2=z, z^3=z, ... さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より 0^-1=z, 0^-2=z, 0^-3=z, ... 1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, ... z^-1=0, z^-2=0, z^-3=0, ... そして a^0=a^-1*a より 0^0=1 1^0=1 z^0=1 となります。 以上の結果から、次のことが分かります。 加法の単位元を0で表し、乗法の単位元を1で表すとき、0^0=1となる。 ...という例が存在する。 つまり、体に0の逆元を添加し、分配法則が成立しない代数系では、0^0=1となることがある。 ここまでの計算とこの結論は妥当ですか?
回答: no24です。本当、申し訳ありません。 no24はすべてこちらで読み替えてください。 >> 方程式を発展させるためには、分配則や結合則がどうしても必要になってくるのではないでしょうか? >中学数学で習う範囲として、「文字式を簡単にする」というのがあります。 「文字式を簡単にする」以前に、(また、方程式を発展させる以前に(汗))方程式について根源的な疑問が湧いてきた。 1.zx+a=0 という未知数xの方程式は“1次の”方程式と見るのだろうか? 一次方程式には解を1つのみ要請したい。 2.仮にn次方程式を考えたところで、その帰結は単純ではないか。 係数にzを一つでも含むn次式 f(x) について、f(x)=0という方程式を考える。 この整式はほとんどf(x)=zである。唯一そうでないとすれば、x=0の場合しかない。 さらに分数式を考えても、zの吸収性は分母をzに追いやるか、或いはx=0の代入しかない。 >0という吸収元を扱った経験があれば、案外zの扱いも戸惑いません。 0とzは全く性質のことなるものです。0は、式の各項を“無”にし、ほかの部分に議論を委ねるのに対して、zの加法や乗法における吸収性は強力で、ほぼすべての式を自分自身zに吸収してしまう。 したがってほぼすべての式はzであり、さもなければ、x=0の代入しかない。 ここから何かを発展できるのだろうか。 定義が整式の形で与えられる微分もほとんど貧しいものになると思われますが。。。