質問: 今日中に知りたいです!ルベーグ積分について・・・ 今日中に知りたいです!ルベーグ積分について・・・ ルベーグ外測度の定義を以下のようにします。 i:=π(j=1→n)(aj bj] ただし-∞≦aj<bj≦∞ v(i):=iのn次元体積 ただしaj=∞又はbj=∞となるjが1つでもあればv(±)=∞とする。 ε:φと全ての左半開区間からなる集合族 あるe⊂r^nに対して se:={ij}j=1→∞、s.t{ij}j=1→∞⊂ε、∪j=1→∞ij⊃e このようなse全体をs*(e)と表し、σ(se):=σj=1→∞v(ij)としたとき |ee|:=inf{σ(se)|se∈s*(e)} これをルベーグ外測度とします。 r上の一点a={1}に対し |a|eを定義に基づいて求めよ。 という問題を解きたいのですが 上のeをaと見なして・・・ そもそも求めるべきものはa={1}を囲むことのできる区間のことでしょうか? それとも答えは点になるのでしょうか? 分かって無くてすみません。だれか問題の答えを教えてください。
回答: v(i):=iのn次元体積の定義を -∞1のときij=φ} とすると i1=jk⊂ε j>1のときij=φ⊂ε ∪_{j≧1}ij=jk=(1-1/k,1+1/k]⊃{1}=a だから sa_k∈s*(a) σ(sa_k)=σ_{j≧1}v(ij)=v(jk)=1+1/k-1+1/k=2/k |ae|=inf{σ(sa)|sa∈s*(a)}≦inf{σ(sa_k)=2/k|k≧1}=0