質問: 重調和方程式を変数分離法で解く。 変数分離法で重調和方程式を解きたいのですが、解けません。 その方程式は、 ∇^2=∂^2/∂r^2+(1/r)*∂/∂r+(1/r^2)*(∂^2/∂θ^2) (1) としたときに、 ∇^4*x=0 というものです。 解法ですが、まず p=∇^2*x (2) とおいて(1)式に代入すると∇^2*p=0となります。まずこれを変数分離法で 解いて、これの答えを(2)式に代入し、再度変数分離法を適用するとありますが、 この、再度行うというのが分かりません。∇^2*p=0として変数分離するところまでは わかりますが、それ以降はさっぱりです。どなたか助けてください。 ちなみに答えは http://www.md.ams.eng.osaka-u.ac.jp/~nakatani/lectures/fundamentals_of_solid_mechanics/text/html/node73.html の(435)式です。
回答: このサイトには立派な「自称専門家」が多数いらっしゃるのになぜ解答して下さらないのでしょう。きっと問題が簡単すぎて「専門家」が回答するまでもないということでしょうね。 「∇^2 p=0として変数分離するところまではわかります」とあるので ∇^2 p=0 の解が p = σ(rn(r)cos(nθ) + qn(r)sin(nθ)) のように求まっているとします。すると ∇^2 χ = σ(rn(r)cos(nθ) + qn(r)sin(nθ)) は確かにこのままでは変数分離できませんが、χn, χ'nを ∇^2 χn = rn(r)cos(nθ) などの解とすると∇^2 の線形性より ∇^2 σ(χn + χ'n) = σ∇^2 (χn + χ'n) = σ(rn(r)cos(nθ) + qn(r)sin(nθ)) なのでχn, χ'nを求めればよいことになり、変数分離できます。