質問: 次の問題は、負の2項分布が関わっているということはわかりますが、そこからどうしたら良いかわからず、困っております。どなたか教えて下さいませんでしょうか?なお、答えは16/5となります。
回答: 状態遷移図を書きましょう。 S:開始:この状態において、試行が終了するまでの得点の期待値 を p とします。要はこれが求めたい答えです。 T:大きい硬貨の裏が1回出た状態。状態Tでそれ以降に得られる 得点の期待値をqとします。 U:大きい硬貨の裏が2回出た状態。状態Uでそれ以降に得られる 得点の期待値をrとします。 E:大きい硬貨の裏が3回出た状態。ここに来ると終了で以降の 得点はありません。 で、状態Uにいる時に、それ以降に得られる得点の期待値 r は以下 のような得点の加重平均です。 ・大きい硬貨の表が出ると(確率2/5)1点もらえて、状態Uに留まり、 それ以降も得点 r をもらえることが期待できるので、この場合の 得点の期待値は、1+r. ・大の裏+小の表 は確率 (3/5)(2/5)=6/25 で、得点は+1. 状態はEに移るので、その後の得点はなし。 ・大の裏+小の裏 は確率 (3/5)(3/5)=9/25 で、得点は+0. この場合も状態はEに移る。 なので、状態Uでの得点の期待値 r は、 r = (r+1)*(2/5) + 1*(6/25) + 0*(9/25). (3/5)r = (10+6+0)/25 = 16/25, r=(16/25)(5/3)=16/15. 状態Tで以降もらえる点の期待値 q も同様に求められます。 ・大の表の場合(確率 2/5)、もらえる点の期待値は、1+q. ・大の裏+小の表の場合(6/25)、1点もらえて状態Uに移るので、 この場合の期待値は、1+r = 1+16/15. ・大の裏+小の裏の場合(9/25)、0点で状態Uに移るので、期待値 は、r。なので、 q = (q+1)(2/5) + (1+16/15)(6/25) + (16/15)(9/25). (3/5)q = (150+186+144)/(15*25) = 480/(15*25) から、 q=(480/(15*25))(5/3) = 32/15. 状態Sでも同様です。 p = (p+1)(2/5) + (1+32/15)(6/25) + (32/15)(9/25), (3/5)p = (150+47*6+288)/(15*25) = 720/(15*25) p=(720/(15*25))(5/3) = 16/5.