質問: 二次関数 aを定数とする関数f(x)=2x^2-6x+7(a≦x≦a+1)の最大値をmとする。 (1)mをaを用いて表せ。 (2)mの最小値を求めよ。 良くわかりません。 解き方を教えてください。
回答: こんなのは、グラフを書きながら進めると良い。 f(x)=2(x-3/2)^2+5/2とし、最大値をm とする。f(x)は下に凸の2次関数で、軸(=3/2)が動かないのだから、a+1 と a とが軸とどういう位置関係になっているかを考えるだけ。 (1)a+1≦3/2の時、m=f(a)=2a^2-6a+7 (2)a≧3/2の時、m=f(a+1)=2a^2-2a+3 (3)a≦3/2≦a+1の時、mはf(a)とf(a+1)の大きいほうが最大値。 従って、f(a+1)-f(a)=4(a-1)であるから、 1≦a の時、m=f(a+1)=2a^2-2a+3 a≦1の時、m=f(a)より、m=2a^2-6a+7 以上を纏めて、a-mのグラフを書くと、mの最小値は自動的に求められる。