質問: 3次元での点群に対する最小二乗法での平面の算出について(点と平面の距離 3次元での点群に対する最小二乗法での平面の算出について(点と平面の距離。残差ではない。) -- 点と平面のz軸方向の距離(残差)の二乗和を最小とする場合には、 平面をax+by+c=zとして、σ(ax+by+c-z)^2をa,b,cのそれぞれで偏微分して それを=0とした連立方程式を解くことで解を得ることが出来ました。 また、式の形も、ある点のxとyを平面の式へ代入した際の値と、点のz値の差分を見ており、 簡単に納得のできるものとなりました。 これに対して、点と平面の距離(空間的な最小距離)の二乗和を最小とする場合には、 どのような流れで計算すれば良いのでしょうか? 点と平面の距離は|ax+by+cz+d| (a,b,cは単位ベクトル)として求まりますが、 これをどう使うのかが分かりません。 σ(ax+by+cz+d)^2をa,b,c,dのそれぞれで偏微分して=0としても、 定数項が無いため、連立方程式の解がすべてゼロとなってしまいます。 強引に、σ(a'x+b'y+c'z+1)^2として変形させて解いてみましたが、 得られたa',b',c'からa,b,c,dに戻すと、dがきちんと出ませんでした。(他についても怪しい。) こういった状況に迷い込んでしまい、どう考えるのが良いのか分からなくなってしまいました。 指南いただけませんでしょうか?
回答: 平面の方程式をax+by+cz+d=0とすると、 点(xi,yi,zi)と平面の距離=|axi+byi+czi+d|/√(a^2+b^2+c^2) したがって、 二乗和=σi=1~n^2/(a^2+b^2+c^2) これをa,b,c,dで偏微分した式を連立させてa,b,c,dを求めることに なりますが、分母にも変数があることから、非線形連立方程式を 解くことになろうと思います。 最小二乗直交距離フィッティング等のキーワードで検索して みてもよいと思います。