質問: 分からないんです!! 高校の宿題なんですけど、 実数x、yがx^2+xy+y^2=3を満たしていて u=x+y、v=xyとするとき、 1.vをuの式で表す 2.uのとりうる値の範囲は? 3.x+xy+yのとりうる値の範囲は? 一週間ず~っと悩んでるんですけど、1.はかろうじて解けても2.3がまったく分かりません。 ちなみに1.の解は v=u^2-3であってるでしょうか?
回答: xとyを入れ替えても変わらない式を対称式といいます。 対称式は基本対称式、x+y,xyの2つを用いて表せます。 x^2+xy+y^2=3 (x+y)^2-xy=3 u^2-v=3 ということで1はあってますね。 (2) x,yはtの2次方程式の解だから次のように表せて t^2-ux+v=0 tは実数だから u^2-4v≧0 v≦-u/2,u/2≦v v=u^2-3だから u^2+u/2-3≦0,u^2-u/2-3≧0 コレをといてください。 (3)x+xy+y=u+v(=kとおく) 縦軸にvを横軸にuをとってグラフを描いてみましょう。 v=u^2-3・・・・・1 v=-u+k(kはy切片)・・・2 uの(2)で求めた範囲。・・・3 でkのとりうる値を求めましょう。 (1と2の3の範囲で交わるようなkの値)