質問: 巡回群と巡回群の直積は巡回群? wikipediaの巡回群の項目に p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。 ということが書いてあったのですが、これって簡単に証明できるのですか? 証明の概略と、これが十分条件も満たしてるならそちらの方の証明の概略も教えていただけないでしょうか。 そもそも巡回群の直積が巡回群になるとは、たとえば{e,a,a^2}と{e,b,b^2,b^3}の直積を考えたときに、^nは単純にというように考えて、 ^0= ^1= ^2= ^3= ^4= ^5= ^6= ^7= ^8= ^9= ^10= ^11= はい、巡回群。という感じになるのでしょうか?
回答: p、q が互いに素ならば、確かに直積は巡回群になります。これは十分条件です。この証明は基本的には連立合同式の解の存在証明と同じです。 x≡s(mod p) x≡t(mod q) この連立合同式の解の存在はどのように示せますか?