質問: 2階線形微分方程式の特性解が重解のときを極限で解釈 定数を係数とする2階線形微分方程式の同次形は、 y’’+ay’+b=0 で、 λ^2+aλ+b=0 において、 実数解を二つ持つとき、解をλ1、λ2とすると、 微分方程式の解は、y=c1exp(λ1x)+c2exp(λ2x) と表される。 実数解を一つ持つとき、解をλとすると、 微分方程式の解は、y=(c1+c2x)exp(λx) と表される。 特性方程式が解を二つ持つとき、その解λ1、λ2において、 λ1がλ2に限りなく近づいた極限が、解を一つ持つときと考えられると思います。 そのような極限の考え方で、 y=c1exp(λ1x)+c2exp(λ2x) が y=(c1+c2x)exp(λx) に近づくという解釈をしたいのですが、いいアイデアがありましたら教えてください。
回答: こんにちは。 まずλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、exp(λ1x)はexp(λ2x)になって重なって しまうので、独立な基底になりえません。 これを見越して、重解でない場合の基底を exp(λ1x) と [exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2) ととっておけばいいです。 すなわち、重解でないときの解は y = c1*exp(λ1x) + c2*[exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2) と書けます。 ここでλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、上の式は、 y = c1*exp(λ2x)+c2*x*exp(λ2x) となり、重解の場合の式になります。