質問: (z+4)/2 の正射影である直線g2の方程式を求めよ。 (3) 直線g1およびg2から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ。
回答: (1) 3点P(1,3,3)、Q(3,4,4)、R(5,3,1)を通る方程式を求めよ。 vec{PQ}=(2,1,1) , vec{PR}=(4,0,-2) vec{PQ}×vec{PR}=(-2,8,-4)=-2(1,-4,2) から, 平面πの法線ベクトルを(1,-4,2)とし,Pを通るから,方程式は x-1-4(y-3)+2(z-3)=0 i.e. x-4y+2z+5=0 (2) の平面πに対する直線 g1: (x+6)/2 = y+1 = (z+4)/2 の正射影である直線g2の方程式を求めよ。 πの法線ベクトルを(1,-4,2)=vec{n} , g1の方向ベクトルを(2,1,2)=vec{d1} とおく。 g1:(x,y,z)=(2t-6,t-1,2t-4), π : x-4y+2z+5=0 から, (2t-6)-4(t-1)+2(2t-4)+5=0, 2t-5=0, t=5/2 よって,π,g1の交点は(-1,3/2,1) g2の方向ベクトルvec{d2}は, vec{d1}-{(vec{d1}・vec{n})/|vec{n}|^2}vec{n} =(2,1,2)-(2/21)(1,-4,2)=(1/21)(40,29,38) から, vec{d2}=(40,29,38)とおけて, 直線g2の方程式 : (x+1)/40=(y-3/2)/29=(z-1)/38 (3) の2つの直線g1 およびg2から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ。 vec{d1}/|vec{d1}|=(1/3)(2,1,2) , |vec{d2}|^2=40^2+29^2+38^2= 3885 vec{d1}/|vec{d1}|±vec{d2}/|vec{d2}|を法線ベクトルとし,(-1,3/2,1)を通る2平面が問題の軌跡です。 {(1/3)(2,1,2)+(1/√3885)(40,29,38)}・(x+1,y-3/2,z-1)=0 並びに {(1/3)(2,1,2)-(1/√3885)(40,29,38)}・(x+1,y-3/2,z-1)=0 煩わしい式になりますから,後はお任せします。