質問: ベクトル (1)二つのベクトルa→=(3、t)、 b→=(-1、2) に対して、a→+2b→と2a→-b→ が直交するときtの値を求めよ。 (2)二つのベクトルをa→=(2、1)、 b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、 la→+t(b→)l の最小値を求めよ この2題の解法を教えてください。
回答: (1)二つのベクトルa→=(3、t)、 b→=(-1、2) に対して、a→+2b→と2a→-b→ が直交するときtの値を求めよ。 >二つのベクトルが直交するときは二つのベクトルの 内積=0。 a→+2b→=(3、t)+2*(-1、2)=(3-2,t+4)=(1,t+4) 2a→-b→=2*(3、t)-(-1、2)=(6+1,2t-2)=(7,2t-2) (a→+2b→)・(2a→-b→)=(1,t+4)・(7,2t-2) =1*7+(t+4)*(2t-2)=7+2t^2-2t+8t-8=2t^2+6t-1=0 これを解いてt={-6±√(36+8)}/4=(-6±√44)/4 =(-3±√11)/2・・・答え (2)二つのベクトルをa→=(2、1)、 b→=(3、4)とする。tがすべての実数を動くとき、 la→+t(b→)l の最小値を求めよ >a→+t(b→)=(2,1)+t(3,4)=(2+3t,1+4t) la→+t(b→)l^2=(2+3t)^2+(1+4t)^2=5(5t^2+4t+1) f(t)=5t^2+4t+1=5{t^2+(4/5)t}+1=5{t+(2/5)}^2+1-4/5 =5{t+(2/5)}^2+1/5からf(t)はt=-2/5の時に最小値1/5 となるので、la→+t(b→)l^2の最小値は1。 よって、la→+t(b→)l の最小値は1。・・・答え