質問: 量子力学の微分方程式の解 量子力学の微分方程式の解 動径方向の微分方程式は(1)のようにかける。 固有関数は(2)のようにかけるとき、 パラメータaとエネルギー固有値eを求めよ。 この問題↑を解いたのですが、 答えは(3)のようになりました。 これであっているでしょうか? また、エネルギー固有値をどう求めればよいか分かりません。 どなたか教えていただけるとうれしいです。
回答: (2)式を(1)式に代入すれば,rに関する2次方程式 (...)r^2+(...)r+(...)=0 の形になります.各係数(...)=0とすれば,aとeが求まります. 一般的には,r(r)は次のように求めることができます. r→0とr→∞でのr(r)の漸近形 r(r)→f(r) (r→0) r(r)→g(r) (r→∞) を(1)式から求め,この2つの漸近形をくくり出すことで, r(r)=v(r)f(r)g(r) とおけます.これを(1)式に代入すればv(r)に関する微分方程式に帰着します.この微分方程式は合流型超幾何微分方程式なので一般形が得られたことになります. 詳しい議論については, http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/ で公開している量子力学の講義ノートの6.5クーロンポテンシャルの項が参考になると思います.