質問: 生産可能性フロンティア 2生産要素、労働(l)と土地(t)から、2財(財mと財f)が生産される一般均衡モデルを考える。賃金wと地代rは生産要素価格、pmとpfは2つの財の価格を表す。財mを1単位生産するためにlは2単位、tは1単位必要で、財fを1単位生産するためにはlが1単位、tは2単位必要である。1人の消費者がおり、効用関数u=cm・cfで表される選好も持つ。cm、cfは財m、fの消費量を表す。生産要素は、消費者により所有されており、その保有量は(l,t)=(10,10)である。すべての市場は完全競争的であり、自由参入条件により市場均衡でどの企業も正の利潤を獲得しない。 ・この経済の生産可能性フロンティアを図示しなさい。また効率的資源配分を特定しなさい。 ・生産要素の賦存量が(l,t)=(10,10)から(l,t)=(10,11)に変化した。それが均衡での生産量、財価格、要素価格に与える影響を評価しなさい。 上記の問題を教えてください。 効率的な資源配分では、生産可能性フロンティアの傾きが限界代替率や価格比と等しくなるということまではわかるのですが、計算がわからなくなってしまいました。 どなたか解説をお願いします。。。
回答: mとfの生産量をそれぞれxmとxf、mとfの生産に必要な労働量をlmとlf、mとfの生産に必要な土地をtmとtfと書くと lm/xm=2 よってlm = 2xm tm/xm=1 よってtm = xm lf/xf = 1 よってlf = xf tf/xf =2 よってtf = 2xf となる。一方、資源制約より 10= l = lm + lf 10 = t = tm + tf 右辺に上で求めた式を代入すると 10 = 2xm + xf 10 = xm + 2xf を得る。この連立方程式を解くと xm = xf = 10/3 つまり、xmを横軸、xfを縦軸にとった平面において、(0,0)、(10/3,0)、(10/3,10/3)、(0,10/3)を頂点とする正方形が生産可能性フロンティアだ。図示して確かめられたい! 効率的配分は(xm,xf)=(10/3,10/3). 効用関数がu=cmcfで与えられたとき、限界代替率mrsは mrs=∂u/∂cm/∂u/∂cf=cf/cm cm=xm=10/3、cf=xf=10/3を代入すると、このときのmrs=1となる。完全競争下では pm/pf=mrsが成り立つから、pm/pf=1が成り立つ。また、利潤ゼロの条件より pm = 2w+r pf = w +2r となる。2つの等式右辺は、それぞれmを1単位生産するためににかかる費用、fを1単位生産するためにかかる費用を表していることに注意。よって 1 = pm/pf = (2w+r)/(w+2r) より w=r あるいは w/r = 1 を得る。 l=10, t=11のときは、資源制約の部分のところが 10 = 2xm + xf 11 = xm + 2xf に変わる。よってこれを解くと xm = 11/3 xf = 8/3 生産可能性曲線は(0,0)、(11/3,0)、(11/3,8/3)、(0,8/3)を頂点とする長方形。効率的配分は (xm,xf)=(11/3, 8/3) と、mの生産・消費が増え、fの生産・消費が減る。 価格比=限界代替率より pm/pf=cf/cm=(8/3)/(11/3)=8/11 と、mのfに対する相対価格は1から8/11へ低下する。 またゼロ利潤の条件より 8/11= pm/pf = (2w+r)/(w+2r) = (2w/r + 1)/(w/r + 2) よって w/r = 5/14 賃金の地代にたいする相対価格も1から5/14へ低下する。