質問: 位相空間の内部、外部、境界、閉包などについての質問です。 問)Rの部分集合族をβ={[a,∞)|a∈R}とする。βによって定まる位相をΟとするとき、位相空間(R,Ο)について考える。
回答: rinne_jp_rinneさん β によって定まるという表現が曖昧だと思うのですが, β を開集合族の基礎と解釈します. 位相には空集合と全体集合が必要であり, 暗黙の了解として, β と {Φ,R} の和を開集合族とします. つまり, O = {Φ,R} ∪ β という意味でとらえます. 本当は β で生成される位相というほうが良いだろうと思います. 閉集合と開集合はたがいに補集合の関係にあるから, この位相の閉集合族を F とすると F = {Φ,R} ∪ {(-∞,a) |a∈R} である. ・A の内部 A の内部とは, A に含まれるすべての開集合の和であるが, A に含まれる開集合は空集合のみだから, A の内部 = Φ ・A の閉包 A の閉包とは, A を含むすべての閉集合の共通部分であるが, A を含む閉集合は R のみだから, A の閉包 = R ・A の境界 A の境界とは, A の閉包と A の補集合の閉包との共通部分である. A の補集合 = (-∞,0] ∪ (1,∞) だから, この閉包は R である. したがって, A の境界 = R ・A の外部 全体集合はその部分集合の内部と境界と外部に分けられます. さらに, 内部と境界と外部は互いに交わらない (共通部分は空である) から, A の外部 = Φ ・A の集積点全体 (i) A の左側の点 b∈(-∞,0] の開近傍で判定 [b-ε,∞) ... これから b を除外しても A の点を含む [b,∞) ... これから b を除外しても A の点を含む よって, b は A の集積点 (ii) a∈(0,1) の開近傍で判定 明らかに上記と同様だから, a は A の集積点 (iii) 1 の開近傍で判定 [1-ε,∞) ... これから 1 を除外しても A の点を含む [1,∞) ... これから 1 を除外すると A の点を含まない よって, 1 は A の集積点でない (※) (iv) A の右側の点 b∈(1,∞) の開近傍で判定 [b,∞) ... これから b を除外すると A の点を含まない よって, b は A の集積点でない (※) 以上をまとめると A の集積点全体 = (-∞,1) ・A の孤立点全体 A の孤立点は A に含まれる. 一般に, 孤立点ならば境界点である. 一般に, 境界点は集積点か孤立点かいずれかである. 先に, A の境界 = R, そして, A の集積点全体 = (-∞,1) であることを示したから A の孤立点全体 = A ∩ [1,∞) = {1}