質問: 中が中空の球の慣性モーメントの求め方について 中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。 球の質量をm、半径をaとすると2/3ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。 教えてください。
回答: 詰まった球の慣性モーメントを御存知なら別解があります。こっちの方がずっと面倒という説もありますが、高校生の時に数学のよく出来る同級生にこのやり方を教わってかなり感動したので・・・。 外半径r、内半径rの球殻の慣性モーメントは、外半径の球の慣性モーメントから内半径の球の慣性モーメントを引くことによって、i=(2/5)m(r^5-r^5)/(r^3-r^3)となります。これはr/r=xと置くと、i=(2/5)mr^2(1-x^5)/(1-x^3)変形できます。これのx→1の極限をとれば、求めたい厚さ0の球殻の慣性モーメントになります。(1-x^5)/(1-x^3)はx→1で0/0の不定形ですが、ロピタルの定理を使うと5/3となることがわかります。というわけで、結局i=(2/3)mr^2。 同じ重さ、半径の中空の球と詰まった球では滑らない限り、中空の方がゆっくり転がりますよ。慣性モーメントがでかいわけですから、回転の運動エネルギーがより多く必要になるので。