質問: 解法を教えてください 次の連立不等式の表す領域をdとする。 (x-1)^2+(y+1)^2≦1 (x-y-1)(x+√3y-1)≧0 (1)領域dの面積を求めよ (2)点(x,y)が領域dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。 答え (1)5π/(12)-√3/4-1/2 (2)x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3
回答: (x-1)^2+(y+1)^2≦1 (1) (x-y-1)(x+√3y-1)≧0 (2) (1)領域dの面積を求めよ この問題を解けるためには(1)、(2)が表す図形を完全にxy-平面上に描けて、dがどこかを示せる必要があります。dの面積を求めるというのは図が描ければ中学生の知識でできます。図が描けるというのは相当な実力です。図は以下のようになっていれば正解です。 (1)は中心c(1,-1)の円の中側(境界を含む) (2)は2直線 x-y-1=0 (2) x+√3y-1=0 (3) で挟まれた向かい合う2つの領域で、原点o(0,0)を含む側aとこれに向かい合う領域bです。a,bは2直線の交点p(1,0)で向かい合います。 従ってdはaと(1)の円の共通領域a'と、bと(1)の円の共通領域b'の2か所です。 円(1)と直線(2)の交点はpとq(0,-1),円(1)と(3)の交点はpとr(1+√3/2、-1/2)は解りますか。 a'は4等分した円から頂点をp,q,cとする直角三角形を取り除いたものであることは解りますか。円の面積はπ。 よってa'の面積はπ/4-1/2 b'は円弧prとcp,crで囲まれるピザパイ型部分から⊿prcを除去したものです。中心角pcr=60°は解りますか。よって⊿pcrか辺の長さ1の正三角形で面積は√3/4,従ってb'の面積はπ/6-√3/4 a'とb'の面積の合計はπ/4-1/2+π/6-√3/4=5π/(12)-√3/4-1/2 (2)点(x,y)が領域dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。 k=x+√3y (4) とおくとkを定数とすると、これは直線の方程式で直線(3)に平行な直線であることがわかりますか。(3)はk=1の場合。 x+√3yの最大値と最小値を求めろということは直線(4)をkを変えながら(平行移動しながら)kが最大になる点と最小になる点を見つけろということです。 最大は(4)がa'の円弧に接する場合、最小はb'の点qを通る場合というのが図から直ちに読み取れますか。 最大: (4)と(1)の円(x-1)^2+(y+1)^2=1を連立してxまたはyだけの2次式にして重解条件d=0が定石 2次式は (k-1-√3y)^2+(y+1)^2=1 4y^2+2[1-√3(k-1)]y+(k-1)^2=0 (5) d=[1-√3(k-1)]^2-4(k-1)^2=0 (k-1)^2+2√3(k-1)-1=0 k-1=-√3±-√(3+1)=-√3±2 k=1-√3±2 (3)よりも上にくるためにはk>1 よってk=3-√3が最大値。 この時(5)より y=-[1-√3(k-1)]/4=(√3-2)/2 (4)よりx=k-√3y=3/2 最少:qを通るとき x=0,y=-1,k=x+√3y=-√3 以上より x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3