質問: 二次方程式の判別式 二次方程式の判別式b^2-4acなのですが、 この判別式はax^2+bx+c=0で、a=0の時は使ってはいけない理由を知りたいです。 成り立たない場合として、 a=0,b=0の時、c=定数という直線グラフで、c=0でない限り「実解なし」なのに(判別式)=0となる場合。 a=0,b>0,c≠0の時、直線グラフはx軸を貫くはずなのに(判別式)<0となる場合。 が思いつくのですが・・・。 「判別式は二次方程式の解の公式の一部だ」というのは結果であって、定義でないように思えるのですが・・・
回答: 二次方程式の定義として, ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) があるので,a ≠ 0 が大前提です. 逆にa = 0 のときは,上の式は 一次方程式になりますよね. 二次関数と一次関数を考えてみればより分かりやすいかもしれません. 二次関数 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 一次関数 y = ax + b (a ≠ 0) 二次関数は最大次数が必ず2ですから,a = 0 は許されません. 同様に,一次関数も最大次数が必ず1ですから,a = 0 は許されません. それでも,納得できないならば,判別式を導く過程から振り返ればよく分かるはずです. つまり, 二次関数 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) に対して y = ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - b^2/4a + c ←(a ≠ 0より可能)※ よって,頂点のy座標は, - b^2/4a + c = - (b^2 - 4ac)/4a ・・・(1) a > 0 のときは,下に凸なので (1)>0 ⇒ 交点なし (1)=0 ⇒ 接する (1)<0 ⇒ 異なる2点で交わる a < 0 のときは,上に凸なので (1)<0 ⇒ 交点なし (1)=0 ⇒ 接する (1)>0 ⇒ 異なる2点で交わる という風になっているわけです. a ≠ 0 を認めなければ,※のところで,分母が0になってしまうため, -b/2a を存在させることができないので使えません! 逆にa = 0 のときは一次関数とx軸との交点について考えているだけで 二次関数とx軸との交点の関係は表していないのです.