質問: 数学a 次のア~エに当て嵌まる数字について、(1),(2)は自力で解いたのですが、これで合っていますか? また、(3),(4)がわからなかったので解説をよろしくお願いします。 6個の数字1,2,3,4,5,6を重複なく用いてつくられる6桁の整数のうち、 (1)一の位の数字が5と異なるものは、ア個ある。 ア...384 (2)123456と比較して、対応する位の数字がちょうど3個一致するものは、イ個ある。 イ...40 (3)4で割り切れるものは、ウ個ある。 (4)452613より大きいものは、エ個ある。
回答: (1)一の位は、12346の5通り、十の位は一の位で選んだ以外の数(5含む)で5通り 以下、百の位4通り、千の位3通り、一万の位2通り、十万の位1通りで、 5×5×4×3×2×1=600通り (2)123456のそれぞれの位に対して3ヶ所で“同じ数”を入れ、それ以外の箇所で“別の数”を入れる。 一の位から十万の位で、3ヶ所に“同じ数”が入るパターンは何通りか。 これは、6つの椅子を一列に並べて、そこに3人の人間が座るパターンは何通りかを考えるのと同じ。 1人目の人間aは6つの椅子から選ぶので6通り、2人目の人間bはそれ以外の5つから選ぶので5通り、 3人目のbは同じく4通りで、6×5×4=120通り。 ただし1番目、2番目、3番目の椅子に、abcと座っても、acb、bac、bca、cab、cba と座っても、人間(上記でいう“同じ数”)が座ってる事に変わりなく、 1通りとして数えるので120÷6=20通り ここで、3つの同じ数が123○○○の場合について考える。 残りの456の数が“同じ数”にならないような並び方は、645、564の2通り。 “同じ数”が3つ入るパターンが20通りで、それぞれ“別の数”の並びが2通りあるので、 20×2=40通り (3)100は4で割ることが出来る(4×25=100)。 百の位以降が何桁まで続いていても、全て100の倍数であり4で割れる。 つまり、下二桁さえ4で割れる整数なら、何桁の整数であっても全て4で割れる整数とみなせる。 123456を1回ずつ使った6ケタの整数で下二桁が4で割れるパターンは、 12、16、32、36、52、56、と下一桁が4の場合。 下一桁を4に固定した場合、十の位から十万の位に入る数は、5×4×3×2×1=120通り 下二桁を固定した場合、百の位から十万の位に入る数は、4×3×2×1=24通りで、 12、16、32、36、52、56の6通りそれぞれあるので、24×6=144通り 4で割れる6桁の整数は全部で、120+144=264通り (4)452613より大きい数なので、十万の位が5と6の時は全て大きい数に含まれる。 十万の位を5に固定した時、残りの位の並び方は、5×4×3×2×1=120通り。 十万の位を6に固定した場合も同様に120通り。両者合わせて240通り。 十万の位が4のままの場合は、次の一万の位が6の時、残りの位になにがきても全て大きい数になる。 十万の位と一万の位が46に固定された場合、残りの位の並びは、4×3×2×1=24通り。 十万の位が4、一万の位が5のままの場合は、千の位が3か6の時、残りの位が何であれ全て大きい数になる。 十万~千の位が453で固定された場合、残りの位に入る数は、3×2×1=6通り。 456固定の場合も同様に6通りで、両者合わせて12通り。 十万~千の位が452のままの場合は、百の位に6以外がくると少なくなってしまうので、考えない。 十万~百の位が4526のままの場合は、十の位が3の時大きい数になる。 十万~十の位が45263に固定された場合、残りの位の並びは、1=1通り。 十万~十の位が45261のままの場合は、1通りしかなく、これは452613より大きい数にはならない。 452613より大きい整数の数は、240+24+12+1=277通り