質問: 点と直線の関係 ふと思ったのですが昔、数学の授業で直線は点の集まりであると習いましたが、点に幅(厚み?)って無いですよね? 幅の無いもの並べても線のような幅のあるものには、ならなくないですか? ちなみにこのカテゴリはなんですか? 国語、数学、哲学あたりで迷ったんですが・・・
回答: #7です. >数直線の区間[0,1]を考えた場合,そこに含まれる有理数だけを取り出すと長さは0(幅は無い!)という結論が出てきます。 とありますがこれは何の長さのことでしょうか? 説明が下手でしたねぇ....すみません. 有理数だけ並べて行っても,それは長さをもった線にはなりません. 幅0のものを可算個並べても幅は0のままだ,ということです. 点の集合が直線をなすためには,有理数だけでなく無理数も考えないとだめ,ということですね. ただ,無理数だけ並べて行っただけで長さを持った直線になるというのもピンときませんが. 結論としては,直線を実数の集合とみなしても矛盾しない,という程度のことなんだと思います. ちなみに.... 任意の異なる有理数の間には無理数が存在するし,任意の異なる無理数の間には有理数が必ず存在します(証明は比較的簡単...なはず.......昔やらされたけど忘れました). 先の回答に書いた,任意の異なる有理数の間には有理数が必ず存在する,ということと合わせると,任意の有理数の間には無数の有理数と無理数が存在する,という結論に至りますし,同様に,任意の異なる無理数の間には無数の無理数と有理数が存在します. でもこれは,数直線を実数が埋め尽くせる(数直線を,点の集まりだとみなせる)ための必要条件であって(十分条件でもないはず),ここから数直線は点の集まりではない,ということはできないと思います. 直線を点の軌跡として定義することには何の問題もないと思いますが,数学的に使うためには,当然数式でそれを表す必要が出てきます. 軌跡として定義するなら,まずは時間に対応するようなパラメータ(ここでは t としておきます)を用意して,例えば時刻0において位置(-2, 0)にあった点が,速度(1, 0)で動いたときになす軌跡(x軸そのものです)であれば, x = t-2 y = 0 の様に定義するのが自然でしょう. パラメータ t は全ての実数値をとり,逆にそれ以外の値はとれません(時間が虚数になっては困りますね). ここで,もし直線が点の集まりと考えられない(点だけじゃ埋め尽くせない)としたらどうなるでしょう. 時刻 t を一つ定めたら直線上の対応する点が必ず1つ定まりますが,直線上にはいくらそうやって t に値を入れてやっても表せない部分が存在してしまうことになりませんか? とすると,直線には軌跡以外の部分が含まれることになってしまい,直線を点の軌跡と定義したことに矛盾してしまいます. もし,直線を点の集まりだと考えられない,ということが正しく,かつ,直線を点の軌跡と考えることがそのことと矛盾しないならば,問題は ・ パラメータ t が実数値を取るとしたこと ・ 最初に立てた式 のどちらかにありそうです. でも,僕にはパラメータ t が実数値以外のものを取るのは変に思えますし,この式(に等価な式)以外に式は思いつきません. 式にすること自体に問題がある,というのであれば,式以外で数学的に有用な表現を見つける必要が出てきます. そんなわけで,直線を点の集まりだと考えた方が矛盾なく整理できそうだな,と思います.