質問: 高2 数学 ベクトル 内積a↑・b↑ 求め方 △oabがある。辺oa,obの中点をそれぞれm,nとし,辺abを1:2に内分する点をcとする。 また,線分bmと線分cnの交点をpとし,oa↑=a↑,ob↑=b↑する。 直線opと辺abの交点をqとするとき,oq↑をa↑、b↑を用いて表せ。また,|a|=3、|b|=2、|nq↑|=4分の5(4/5)であるとき、 内積a↑・b↑値を求めよ。 計算したところ、 oq↑=3/1a↑+3/2b↑になりました 合ってるか不安です(><) 内積a↑・b↑値はわかりません 教えてください、、 図とか汚いんですけど、、 写真に(1)~(3)の問題のせてます。今回(3)がわかりません お願いします┏●
回答: mはoaの中点だから ↑om=(1/2)↑oa ↓↑oa=↑aだから ↑om=(1/2)↑a...(1) nはobの中点だから ↑on=(1/2)↑ob ↓↑ob=↑bだから ↑on=(1/2)↑b...(2) cはabを1:2に内分する点だから ↑oc=(2/3)↑oa+(1/3)↑ob ↓↑oa=↑a,↑ob=↑bだから ↑oc=(2/3)↑a+(1/3)↑b...(3) pはbm上の点だから ↑op=(1-x)↑ob+x↑om となる実数xがある ↓これに(1)を代入すると ↑op=(1-x)↑ob+(x/2)↑a ↓↑ob=↑bだから ↑op=(1-x)↑b+(x/2)↑a ↑op=(x/2)↑a+(1-x)↑b...(4) pはcn上の点だから ↑op=y↑oc+(1-y)↑on となる実数yがある ↓これに(3),(2)を代入すると ↑op=y{(2/3)↑a+(1/3)↑b}+{(1-y)/2}↑b ↑op=(2y/3)↑a+{y/3+(1-y)/2}↑b ↑op=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b ↓これと(4)から (x/2)↑a+(1-x)↑b=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b ↑a,↑bは線形独立だから ↑aの係数が等しいから x/2=2y/3 ↓両辺に6をかけると 3x=4y...(5) ↑bの係数が等しいから 1-x=(3-y)/6 ↓両辺に6をかけると 6(1-x)=3-y 6-6x=3-y ↓両辺にy+6x-6を加えると y=6x-3 ↓これを(5)に代入すると 3x=4(6x-3) 3x=24x-12 ↓両辺に12-3xを加えると 12=21x ↓両辺を21で割ると 4/7=x ↓これを(4)に代入すると ↑op=(2/7)↑a+(3/7)↑b...(6) qはop上の点だから ↑oq=s↑op となる実数sがある ↓これに(6)を代入すると ↑oq=(2s/7)↑a+(3s/7)↑b...(7) qはab上の点だから ↑oq=(1-t)↑oa+t↑ob となる実数tがある ↓↑oa=↑a,↑ob=↑bだから ↑oq=(1-t)↑a+t↑b ↓これと(7)から (2s/7)↑a+(3s/7)↑b=(1-t)↑a+t↑b ↑a,↑bは線形独立だから ↑aの係数が等しいから 1-t=2s/7 ↓両辺に7をかけると 7-7t=2s...(8) ↑bの係数が等しいから t=3s/7 ↓両辺に7をかけると 7t=3s ↓これを(8)に代入すると 7-3s=2s ↓両辺に3sを加えると 7=5s ↓両辺に5をかけると 7/5=s ↓これを(7)に代入すると ∴ ↑oq=(2/5)↑a+(3/5)↑b...(9) ↑nq=↑oq-↑on ↓これに(9),(2)を代入すると ↑nq=(2/5)↑a+(3/5)↑b-(1/2)↑b ↑nq=(2/5)↑a+(1/10)↑b ↓両辺の絶対値の2乗をとると |nq|^2=|(2/5)↑a+(1/10)↑b|^2 |nq|^2=(4/25)|a|^2+(2/25)(↑a,↑b)+(1/100)|b|^2 ↓|nq|=5/4,|a|=3,|b|=2だから 25/16=(36/25)+(2/25)(↑a,↑b)+(1/25) 25/16=(37/25)+(2/25)(↑a,↑b) ↓両辺から37/25を引くと 25/16-37/25=(2/25)(↑a,↑b) 33/400=(2/25)(↑a,↑b) ↓両辺に25/2をかけると 33/32=(↑a,↑b) ∴ (↑a,↑b)=33/32