質問: 加速度が速度の一次関数で表される物体の運動 質量mの物体の運動方程式が、その物体の速度をvとして ma=kv (kは定数) と表されるとき、 a=dv/dt, v=dx/dtを代入すると、 dv=(k/m)dxー(1) という関係式がえられます。 この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。 等加速度運動の公式より (v1)^2-(v2)^2=2adx 運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して v1+v2=2ma/k また、dv=v2-v1より (v2)^2-(v1)^2 =(v2-v1)(v2+v1) =2madv/k=2adx ∴ dv=(k/m)dx この結果が意味するのは「運動方程式が ma=kvで表される物体の運動は等加速度運動である」ということなのでしょうか?
回答: 速度と加速度の関係は v(t) = v(0) + ∫a(t) dt なので、加速度が0でなければ速度は時間変化します。すると、 >ma=kv (kは定数) の式より加速度も時間変化することになるので【等加速度運動ではありません】。 a=dv/dtであることがわかっているなら、この運動方程式は m dv/dt = k v dv/v = (k/m) dt ln v = (k/m) t + const. v(t) = c exp[(k/m)t] と簡単に解けます。加速度はこれを微分して a(t) = c(k/m) exp[(k/m)t] v=dx/dtなのでもう一度積分すればx(t)も求まります。