質問: 平面を充填できる正n角形は、 n 3, 4, 6 だけであることを証明して下さい。
回答: 正n角形Pが平面を充填できるとする。 Pの内角は(n - 2)π/nである。Pの1つの頂点を中心にPを隙間なく配置するためには、2πが(n - 2)π/nの整数倍であることが必要である。よって、nは 2n = k(n - 2) (kは自然数) の解でなければならない。内角はπ未満なので、k > 2。∴k≧3である。 n≧7とすると、 k(n - 2) ≧ 3(n - 2) = 3n - 6 > 3n - 7 ≧ 2n ∴ k(n - 2) > 2n なので、n≦6である。実際に満たすものを挙げると (n, k) = (3, 6), (4, 4), (6, 3) であり、これらは実際に平面を充填できる。