質問: アルキメデスの公理を否定すると... アルキメデスの公理が成り立たない数を考えています。 たとえば超実数というものがあるらしいですね。 そこで、「自分なりの超実数」を考えてみました。 #一般的なものとは異なります。 実数は、通常の定義を満たすものとします。 矛盾起こしてませんか? --- ここから --- すべての実数は、超実数を元とする連続体濃度の開集合である。 a+0=a で定義される 0 は、0.000...で表される超実数の集合である。 可算個の桁数では超実数を正確に記述できない(区別できない)。 超実数は、加法と乗法の単位元、逆元を持たない。 超実数は、加法と乗法の結合法則、交換法則、分配法則を満たす。 超実数同士の四則演算は、ただ一つの超実数に対応する。 --- ここまで --- なお、各項目を証明しろと言われても困ります。 #本当は、もっと続きがあります。
回答: 私はこれには全く疎いですが,これはおかしいですね. >超実数は、加法と乗法の結合法則,交換法則,分配法則を満たす. とあるのに >超実数同士の四則演算は,ただ一つの超実数に対応する. 減法,除法が成立しないのに,四則混合と書いておられることが矛盾であると思うのですが. いかがでしょう?