質問: τ √ (r / g) とおいて、上の運動方程式を変数 φ 、変数 θ を従属変数、τ を独立変数とする方程式に書き直せ。ただし重力加速度を g とする。」 という問題があるのですが、なかなかうまく φ と θ の式にすることができませんので、よろしくお願いします・・・・。 また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか?
回答: こんにちは。 単にv、tを消去すればよいと思いますが。 dθ / dt = (1 / r) v ・・・(あ) dv / dt = -g sinθ ・・・(い) v = φ √(r・g) ・・・(う) t = τ √ (r / g) ・・・(え) (あ)と(う)より dθ / dt = (φ / r) √(r・g) つまり、 dθ / dt = φ・√(g/r) ・・・(か) (う)より、 dv/dt = dφ/dt √(r・g) これを(い)に代入すれば dφ/dt √(r・g) = -g sinθ つまり、 dφ/dt = √(g/r)・sinθ ・・・(き) (え)より、 t = τ √ (r / g) ・・・(え) dt = dτ・√ (r/g) ・・・(く) (か)と(く)より、 dθ/dτ・√ (g/r) = φ・√(g/r) つまり、 dθ/dτ = φ ・・・(さ) (き)と(く)より dφ/dt・√ (g/r) = √(g/r)・sinθ dφ/dt = sinθ ・・・(し) 書き直した方程式とは、(さ)と(し)です。 >>> また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか? 問題文で「sinθ ≒ θ としてよい」との指示があればokですけれども、そうでなければ、勝手に sinθ ≒ θ としてはいけません。