質問: 三次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0......1において、なぜa,b,c,dが実数ならば、1において、1つの解がα+βiならば、共役な複素数α-βiを解に持つといえるのですか?(α,βは実数)教えてください。
回答: 三次方程式,共役複素数 . . . 最高次数の a (≠0) で割って x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = 0 三次方程式だから必ず 1つ は実数解を持つ (x→-∞ で 左辺→-∞,x→+∞ で 右辺→+∞) ので,それを m とすると x^3 + (b/a)x^2 + (c/a)x + (d/a) = (x - m) (x - (α+βi)) (x - (γ+δi)) ...... (1) (ただし γ, δ とも実数) (1) において,右辺を展開して x^2 の係数を比較すると (b/a) = -(m + α + γ + (β+δ)i ) ...... (2) (2) において,左辺は実数 (= b/a) だから右辺も実数 ∴ β = -δ ってな感じにやっていったらいいのでは? (当方理学部数学科卒でないので,ちゃんとした証明はできないですが.) # あと,α = γ が言えたらいいでしょう. # それ,二次方程式の解の公式で言えませんか?