質問: ABBAを満たす正方行列A,Bについて、
回答: 実数に限ると固有値がない場合もあるので、 そもそも固有ベクトルが存在しないケースがある。 複素で考えているとして A の固有値 a に属する固有ベクトルを v とすると BAv = ABv 左辺は aBv i) Bv = 0 のとき v は B の固有値 0 に属する固有ベクトル ii) Bv ≠ 0 のとき Bv は A の固有値 a に属する固有ベクトル 固有値 a に属する固有空間が m 次元だとすると v も Bv も固有空間の基底 {u_1, u_2, ... , u_m} の 線形結合で表せる。 v として u_1, u_2, ... , u_m を取れば、mxm の 表現行列が得られる。 mxm行列の固有ベクトルを求めて線形結合係数にすれば、 必ず共通の固有ベクトルはあることが分かる。