質問: 縮小写像について質問です フラクタル数学という本を読んでいたら縮小写像が出てきたのですが、縮小写像の性質で逆写像を持つというのがありました。 逆写像が存在するということは写像が全単射であると思ったので、全単射の証明をしようとしたのですが、単射であることは示せても全射であることを証明することができません。 どのようにして証明すればいいのでしょうか? わかる方、ヒントでもいいので教えてください(>_<) よろしくお願いします。
回答: <回答no.1 フラクタルについてキチンと勉強したことがなかったのですが,ちょっと調べてみるとフラクタルの界隈で云う縮小写像は僕の想像していた縮小写像の定義とは違うみたいですね.早とちりでした(_ _;) 確認も兼ねて定義を書いておきます. 【定義】距離空間(x, d)の自己写像f: x → xが sup_{x ≠ y} d(f(x), f(y)/d(x, y) < 1 を満たすときfを〈縮小写像〉という. たまたまですが,先の回答に書いた例は(条件式の左辺が1/2になるから)この意味でも縮小写像になっていて,やっぱり反例になっていると思うのですがいかが? 加えて縮小写像というだけだと単射にもならないと思いますが,あなたのしたその証明を補足に書いてもらえませんか.反例としては次の写像ができます.先の回答の記号を流用すると写像g: i → iをg(x) = 0で定義すれば(条件式の左辺が0になるから)縮小写像になりますが,明らかに単射ではありません. ## つまりそれまでにいろいろ仮定がつけてあったり,章の初めの方で「以後ことばの乱用をして○○と言ったらそれは▲▲○○のことを指す」みたいな約束事がありませんか?正確には本に何と書いてあるんですか?