質問: 株式 数理ファイナンスについての質問 急な学校の課題で 次の問題を、数式を用いて、解いてください。 「a社の株式を、時期をずらし3回に分けて購入する場面を考える。 このとき3回とも同じ額を支払って購入する戦略と、3回とも同じ株数を購入する戦略とでは、どちらの方が一株あたりの購入価格が低いか。 なお、株価は時間とともに変動するが、両戦略の購入時点は共通とする。」 (ヒント:2回に分けて購入する場合について考え、その結果を3回に分けた場合を適用せよ) という課題が先生から出されたのですが普通にわかりません、 教えて下さい、お願いします。
回答: 2回に分けても、3回に分けても考え方は一緒ですので、最初から3回の場合で考えてみます。 各回の株価を、a1, a2, a3 とします。 (1) 同額(m円)ずつ3回購入する場合 (全体の購入金額)=3m 円 (全体の株数) =m/a1+m/a2+m/a3 ∴(一株あたりの購入価格) =3m/(m/a1+m/a2+m/a3) =3(1/a1+a2+a3) ・・・・・・・・・(a) 相加相乗平均より、x1,x2,x3>0のとき、 (x1+x2+x3)/3≧(x1・x2・x3)^(1/3) ・・・・・ ☆ (注: 左辺は、x1,x2,x3を掛けたものの3乗根をとるという意味です。) が成り立ちますので、この式に x1=1/a1, x2=1/a2, x3=1/a3 を入れて計算しますと、 (1/a1+1/a2+1/a3)/3≧{ (1/a1)・(1/a2)・(1/a3) }^(1/3) =1/(a1・a2・a3)^(1/3) となります。ここで、この式の両辺は正ですので、逆数を取りますと、不等号の向きが反転して、 3/(1/a1+1/a2+1/a3)≦(a1・a2・a3)^(1/3) ・・・・(b) という結果を得ます。 この式の左辺は、式(a)そのものですので、式(b)の不等式の結果から、同額(m円)ずつ3回購入した場合の一株あたりの購入価格は、(a1・a2・a3)^(1/3) より低いことが分かります。 (2) 3回とも同じ株数(n株)を購入する場合 (全体の購入金額)=a1・n+a2・n+a3・n 円 (全体の株数) =3n ∴(一株あたりの購入価格) =(a1・n+a2・n+a3・n)/(3n) =(a1+a2+a3)/3 ≧(a1・a2・a3)^(1/3) ← 上記☆の相加相乗平均の関係から 従って、3回とも同じ株数(n株)を購入する場合の一株あたりの購入価格は、(a1・a2・a3)^(1/3) より高いことが分かります。 以上の結果から、同額(m円)ずつ3回購入した場合の方が、一株あたりの購入価格が低いことが分かります。