質問: 逆関数の微分 dy/dx=1/(dx/dy) 逆関数の微分はdy/dx=1/(dx/dy)と表せるらしいですが混乱してしまいよくわからなくなってしまいました。混乱の原因となった問題を通して教えてください。 (1)(x^3)'=3x^2 dy/dx=1/(dx/dy)を用いて、y=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ (2)rが有理数の時、(x^r)'=rx^r-1を証明せよ。 (1)例えばy=h(x)逆関数というのはこれをxについて解き、yとxを入れ替えて求めますよね。(1)の場合y=f(x)はx=y^3⇔y=x^(1/3)ですので、これを微分してy'=とすれば答えは求められるようです。でも、dy/dx=1/(dx/dy)を使う場合がわかりません。 df(x)/dx=1/(dx/dy)=1/3y^2=3^(-2/3)と書いてあります。 (2)はpが自然数のときy=x^(1/p)とするとx=y^pなので、dy/dx=1/(dx/dy)=1/py^(p-1)・・・・=1/px^(1/p-1)と回答が始まっています。 (1)(2)では逆関数の使い方がそれぞれ異なる気がします。簡潔にいうと「dy/dx=1/(dx/dy)の(dx/dy)の部分に来るものがわかりません。」(1)では逆関数(xについて解いてそれをさらにxとyを取り替えたもの)がその部分に来ているのに(2)ではただ単にxについて解いたものがきていますよね(xとyを取り替えるといる作業がない)。 まったくわからないので教えてください。ほんとによろしくお願いします!!
回答: 第二稿 貴殿のhnは、dandyとひまわりdandelionの・・・ と 念のため検索しましたら、dandelionはタンポポでした。 さて(1)をやってみました。 y=x^3 x=y^(1/3) dx/dy=(1/3)y^(-2/3) dy/dx=3*y^(2/3) =3*((x^3)^(2/3)) =3*(x^2)・・・となり自分が何当然の事をやっているのか疑問が起こりました。 この中で ”逆関数の微分の公式を使っているのだろうか” 実は使っているのです。dxとdyをひっくり返して良いという根拠として。 が自分の中では全く無意識です。 ”xとyと入れ替えているか” 入れ替えていません、その必要がないからです。念のため手元にある、東京書籍の教科書をscanして、入れ替えてない事を確認しました。(詳細は後述) 微分記号は実に巧妙に出来ていて(ライプニッツ記述法?) dx/dyは形式的に分数として扱えます。それどころか y*dy=2x*dx のようにも扱えます。(後述) では”逆関数の微分の公式”は何のためにあるのか。 ”dx/dyは形式的に分数として扱える”としっていれば、自明な式(??)なのです(ちょと危険な発想かも)。 次に”逆関数の微分”はどんな時に使うのか? それが(2)なのです。すなわち、元の関数が微分し難い時に有用です。 (1)は”逆関数の微分”の有用さが全く分からない問題なのです。 これも、念のため教科書と黄chart(と呼ぶのでしょうか?)を調べましたら、(1)形の出題は在りませんでした。 (1)形の出題は無用に生徒を混乱させるだけの”悪問”です。 では何故貴殿がこのような”悪問”に出会う羽目になったのか??? このあとは、書くべきないのですが・・・書かざるを得ません。 出題者(教師)の”質”に起因します。 数学を例にすると生々しいので、英語で経験した例をふたつ述べて、この稿を締めます。その前に 貴殿からpointを頂きました。thanx。 *i want go ・・・という文に出会って教師に 何故(to)がないのかと訊きました 教師は困ったようで とうとう、返事がありませんでした。 何年か経ってから気がつきました。 誤植(ミスプリント)だったのです。その文は英字新聞から・・・ 新聞に誤植はつきものです。 *・・・not to do・・・ご存知のように不定詞の否定 not は to の前ですよね。ところが洋書(言葉が古いですね)の中で・・・to not do・・・形に何度か出会いました。教師に訊きました。ただ呻っているだけでした。幸い、native speakerが居ましたのでたずねました。返事は"it is ok"。使うらしいのです。教科書に載るのは50年後でしょう。貴殿も決して使わないように。