質問: 空間内に4点O,A,B,Cがあり、OA=3 ,OB=OC=4,∠BOC=∠COA=∠AOB=π/3であるとする 三点A,B,Cを通る平面に垂線OHを下ろす 1aベクトル=OAベクトル,bベクトル=OBベクトル,cベクトル=OCベクトルとしOHベクトル=raベクトル+s
回答: 1 H が A、B、C を通る平面上にあることより、 r+s+t=1 ...1が成り立ち、 OH⊥AB、OH⊥AC より、 (ra↑+sb↑+tc↑)・(b↑-a↑)=(ra↑+sb↑+tc↑)・(c↑-a↑)=0 ra↑・b↑+sb^2+tb↑・c↑=ra↑c↑+sb↑・c↑+tc^2=ra^2+sa↑・b↑+ta↑・c↑ が成り立つ。 a=3、b=c=4 および、 a↑・b↑=a↑・c↑=3・4・(1/2)=6、b↑・c↑=4・4・(1/2)=8 を代入すると、 6r+16s+8t=6r+8s+16t=9r+6s+6t ...2 1、2を連立して解くと、r=2/3、s=t=1/6 2 AD:DB=u:1-u、CH:HD=v:1-v とおくと、 OD↑=(1-u)a↑+ub↑ および、 OH↑=(2/3)a↑+(1/6)b↑+(1/6)c↑=(1-v)c↑+vOD↑ と表すことができる。従って、 (2/3)a↑+(1/6)b↑+(1/6)c↑=(1-v)c↑+v{(1-u)a↑+ub↑} =(1-u)va↑+uvb↑+(1-v)c↑ よって、 (1-u)v=2/3 uv=1/6 1-v=1/6 連立して解くと、 u=1/5、v=5/6 ∴AD:DB=1/5:4/5=1:4、CH:HD=5/6:1/6=5:1