質問: 定積分の問題について 定積分の問題についておしえてください 以下の問題の答えをおしえていただけないでしょうか 1.閉区間[α、β]で定義された連続関数y=f(x)のグラフを、x軸の周りに回転して得られる回転体の体積は v=π∫(αからβ){f(x)}^2dxで与えられる。これを用いて、半径aの球の体積を求めよ。 2.ε,k,mを正の定数として、次の定積分を求めよ。 (a)∫(εから1)dx/x (b)∫(εから1)x^-kdx(k≠1) (c)∫(0からm)sinxdx (d)∫(0からm)xe^-xdx (e)∫(0からm)dx/e^x+1 (f)∫(0から1/2)dx/√1-x^2 お願いします。
回答: 1. 半径aの球は f(x)=√(a^2-x^2) [-a,a] としてx軸周りに回転して得られる回転体なので v=π∫[x=-a→a] (a^2-x^2)dx =2π∫[x=0→a] (a^2-x^2)dx (偶関数の積分なので) =2π[a^2 x-x^3/3][x=0→a] =4πa^3/3 2.(a) ∫[x=ε→1] dx/x =[log|x|][x=ε→1] =-log(ε) 2.(b) ∫[x=ε→1] x^(-k)dx =[x^(-k+1)/(-k+1)][x=ε→1] ={1-ε^(-k+1)}/(-k+1) (k≠1) 2.(c) ∫[x=0→m] sin(x)dx =[-cos(x)][x=0→m] =-cos(m)+1 2.(d) ∫[x=0→m] x*exp(-x)dx =[-x*exp(-x)][x=0→m]+∫[x=0→m] exp(-x)dx =-mexp(-m)+[-exp(-x)][x=0→m] =-(m+1)exp(-m)+1 (部分積分) 2.(e) ∫[x=0→m] dx/{exp(x)+1} =∫[x=0→m] (1-exp(x)/{exp(x)+1}})dx =[x-log{exp(x)+1}][x=0→m] =m-log{exp(m)+1}+log(2) 2.(f) ∫[x=0→1/2] dx/√(1-x^2) =∫[θ=0→π/6] cos(θ)dθ/cos(θ) =[θ][θ=0→π/6] =π/6 (置換積分 x=sin(θ), dx=cos(θ)dθ, x=0のときθ=0, x=1/2のときθ=π/6 )