質問: 球形の導体を地中に深く埋めた場合 こんにちは!大学一年のものです。 いつもお世話になっています。 電磁気の問題なんですが、 半径aの球形の導体を地中に深く埋めた場合の接地抵抗を求める(大地の導電率σとする) のですが、この場合、解答は電位vと電流(i=σeよりiを求めi=∫ids)を求めてオームの法則を使って出すと思うんですが、 このとき電流iって、どこをどのように流れているんですか?? ご回答よろしくお願いします。
回答: もう一方の電極は、無限遠点にあるとして考えればよいのです。 図1のような金属の箱を持ってきて、中を土(別に土でなくてよいですが)で満たします。土はもちろん均質であるとします。 ┌─── ───┐ │ │ │ │ │ │ └───────┘ 図1 金属の箱 続いて、中に金属球(半径r)を埋めます(図2)。金属球は箱に対して十分小さいとします。「箱は金属球に対し十分大きい」と表現した方が分かりやすいかも知れません。 さらに金属箱と球から電極(それぞれa, bとします)を取り出します。このa-b間の抵抗を「金属球の接地抵抗」と呼んでいます。 a b ┃ ┃ ┌─┸─┃───┐ │ ┃ │ │ ● │ │ 金属球 │ └───────┘ 図2 金属球の埋設と電極の取り出し 金属箱は十分遠方にありかつ等方的と見なせるので、金属球を出発した電流も等方的に拡散していきます。 ここまで読めばひらめくと思いますが、もし分からなかったなら以下の「続き」を参考にしてください。 ------ いま、金属球と中心を共有し半径がxであるような球面pを考えます。またそれより半径が少しだけ大きい(x+δx)球面qも考えます(図3)。電流は等方的に拡散するので、これらの球面を常に垂直に貫きます。 / ̄\q // ̄\\ ||p● || \_// _/ 図3 中心を共有する曲面 球面p上での電流密度をi(x)としましょう。上に述べたように電流分布は等方的(球対称)でかつ球面を垂直に貫きますから、これに球面pの表面積をかければ全電流になります。 一方土は均質ですから等電位面は球面群で構成されます。すなわち球面pの表面はすべて同電位です。球面qについても同じです。球面pの電位をe(x)としましょう。 球面qとpで挟まれた薄い空間内の伝導について考えてみましょう。次の式が立てられます。 i(x) = σ{e(x+δx)-e(x)}/δx (1) 二つの球面の電位差e(x+δx)-e(x)を距離δxで割ったものが電界(の強さ)です。これにσをかければ電流密度です。 一方、i(x)に球面pの表面積をかければ全電流iになります。 i = i(x)・4πx^2 (2) これを(1)に代入します。 i = 4πx^2・σ{e(x+δx)-e(x)}/δx (3) δx→0とすれば微分方程式になり i = 4πx^2・σ(de/dx) (4) これはすぐ解けて e(x) = - (i/x)/(4πσ) + e0 (5) を得ます。e0は積分定数です。 金属球表面の電位は(5)から e(r) = - (i/r)/(4πσ) + e0 (6) であり、無限遠点の電位は e(∞) = - 0 + e0 (7) です。差引きすればa-b端子間の電圧になります。すなわちi/(4πσr)です。 電圧をi/(4πσr)かかった状態で電流がi流れているのですから、a-b間の抵抗、すなわち接地抵抗は1/(4πσr)と求められるわけです。