質問: 数学Aの確率の問題です。(センター試験レベルです。)
回答: 「どのように考えればいいのか」という事ですので、考え方のみ回答します。 引き分けは無いものとします。 (1) 7試合目まで試合が行われるには 6試合目で3勝3敗になる場合 になります。 6試合目で3勝3敗になる確率は Aが1~2、6試合目で3勝する場合の確率・・・1 Aが1~2、6試合目で2勝し、3~5試合目で1勝する場合の確率・・・2 Aが1~2、6試合目で1勝し、3~5試合目で2勝する場合の確率・・・3 Aが3~5試合目で3勝する場合の確率・・・4 の4通りの確率を求めて、それら全てを足すことで求められます。 (1+2+3+4=6試合目で3勝3敗になる確率=7試合目まで試合が行われる確率) ↑は1~2、6試合目の勝つ確率と3~5の勝つ確率が違うので、それに合わせて場合わけしています。 負ける確率は1-勝つ確率で求められますので、 Aが1~2、6試合目で負ける確率:1-2/3 Aが3~5試合目で負ける確率:1-1/3 となります。 Aが1~2、6試合目で3勝する場合の確率を求める式は 3C3×(2/3)^3×(1-1/3)^2 (3C3は1~2、6試合で3勝する勝ち方の数(1通り)、2/3は1~2,6試合目の勝つ確率、(1-1/3)は3~5試合目の負ける確率) となります。 他の場合も同じように確率を求めます。 ※ 上記の確率の求め方になる説明 Aが4勝3敗で勝つ場合 Bが4勝3敗で勝つ場合 を足したものが、7試合目まで行われる確立です。 Aが4勝3敗で勝つ確率 Aが3勝3敗になる確率×2/3 Bが4勝3敗で勝つ確率 Bが3勝3敗で勝つ確率×1/3 7試合目まで試合が行われる確率は Aが3勝3敗になる確率×2/3+Bが3勝3敗で勝つ確率×1/3 Aが3勝3敗になる確率=Bが3勝3敗で勝つ確率になるので、 Aが3勝3敗になる確率×2/3+Aが3勝3敗で勝つ確率×1/3 =(2/3+1/3)×Aが3勝3敗で勝つ確率 =Aが3勝3敗で勝つ確率 となります。 (2) Aが優勝するには Aが1~4試合で4勝する場合・・・1 Aが1~4試合で3勝し、5試合目に勝つ場合・・・2 Aが1~5試合で3勝し、6試合目に勝つ場合・・・3 Aが1~6試合で3勝し、7試合目に勝つ場合・・・4 に分けられます。 また、2については 1~2試合目で2勝して3~5試合で1勝し5試合目に勝つ場合 1~2試合目で1勝して3~5試合で3勝する場合 でさらに分けて確率を求めます。 3についても同様に 1~2試合目で2勝して3~5試合で1勝し6試合目に勝つ場合 1~2試合目で1勝して3~5試合で2勝し6試合目に勝つ場合 1~2試合目は負けて、3~5試合目で3勝し6試合目に勝つ場合 に分けて確率を求めます。 4は(1)の答えを利用して7試合目で4勝する確率をもとめます。 1~4の確率を足した値がAが優勝する確率になります。 (3) 試合数が4試合の確率 試合数が5試合の確率 試合数が6試合の確率 試合数が7試合の確率 を求めて期待値を求めます。 1~3試合目までは勝利が決まらないので期待値は0となります。 補足より。 途中式と答えを以下に示します。 計算間違いや勘違いによる数値の置き間違い等あるかもしれませんので、確認はしてください。 文字数制限でかなり省略しています。 (1) 1 3C3×(2/3)^3×(1-1/3)^3 =64/729 2 3C2×3C1×(2/3)^2×(1/3)×(1-2/3)×(1-1/3)^2 =144/729 3 3C1×3C2×2/3×(1/3)^2×(1-2/3)^2×(1-1/3) =36/729 4 3C3×(1/3)^3×(1-2/3)^3 =1/729 7試合目まで試合が行われる確立 64/729+144/729+36/729+1/729 =245/729 (2) 1.Aが1~4試合で4勝する確率 2C2×2C2×(2/3)^2×(1/3)^2 =4/81 2 2C2×2C1×(2/3)^2×1/3×(1-1/3)×1/3 =16/243 2C1×3C3×2/3×(1/3)^3×(1-2/3) =4/243 よって1~4試合で3勝し、5試合目に勝つ確率は 16/243+4/243=20/243 3 2C2×3C1×(2/3)^2×1/3×(1-1/3)^2×2/3 =96/729 2C1×3C2×2/3×(1/3)^2×(1-2/3)×(1-1/3)×2/3 =48/729 3C3×(1/3)^3×(1-2/3)^2×2/3 =2/729 よってAが1~5試合で3勝し、6試合目に勝つ場合の確率は 96/729+48/729+2/729 =146/729 4.Aが1~6試合で3勝し、7試合目に勝つ場合の確率 245/729×2/3=490/2187 Aが優勝する確率は 4/81+20/243+146/729+490/2187 =1216/2187 (3) 1.試合数が4試合の場合の確率 Aが4勝0敗の確率 4/81 Bが4勝0敗の確率 (1-2/3)^2×(1-2/3)^2=4/81 よって 4/81+4/81=8/81 2.試合数が5試合の場合の確率 Aが4勝1敗の確率 20/243 Bが4勝1敗の確率 Bが1~2試合目に2勝、3~4試合目に1勝して5試合目に勝つ 2C2×2C1×(1-2/3)^2×(1-1/3)×1/3×(1-1/3) =8/243 Bが1~2試合目に1勝、3~5試合目に3勝して勝つ 2C1×3C3×(1-2/3)×(1-1/3)^3×2/3 =32/243 Bが4勝1敗の確率は 8/243+32/243=40/243 よって 20/243+40/243=60/243 3.試合数が6試合の場合の確率 Aが4勝2敗の確率 146/729 Bが4勝2敗の確率 1~2試合で2勝、3~5試合で1勝し6試合目に勝つ 2C2×3C1×(1-2/3)^2×(1-1/3)×(1/3)^2×(1-2/3) =6/729 1~2試合で1勝、3~5試合で2勝し6試合目に勝つ 2C1×3C2×(1-2/3)×(1-1/3)^2×2/3×1/3×(1-2/3) =48/729 3~5試合目で3勝し6試合目に勝つ 3C3×(1-1/3)^3×(2/3)^2×(1-2/3) =32/729 Bが4勝2敗の確率は 6/729+48/729+32/729 =86/729 よって 146/729+86/729 =232/729 4.試合数が7試合の場合の確率 245/729 1~4より行われる試合数の期待値は 4×8/81+5×60/243+6×232/729+7×245/729 =4295/729