質問: 不定積分 ∫x^n/n!dx=x^(n+1)/(n+1)!+c(積分定数) となりますが、 n→∞とすると、 左辺=c 右辺=∫0dx=0 だからc=0 この議論てあってますか??
回答: 右辺について、x の値は、関係ありません。 任意の x について、|x| より大きい自然数 m を取れば、 |x|^n / n ! ≦ |x|^n / { m ! ・ m^(n-m) } = (|x|/m)^n / (m ! ・ m^-m) ですから、lim[n→∞] x^n / n ! = 0 は成り立ちます。 オカシイのは、 左辺は不定積分なので、∫ 0 dx は、0 ではなく、任意定数である ハズだということです。ここを修正すれば、 質問の議論は、左辺の積分定数 = 右辺の積分定数 という結論 になって、あまり面白いことはありません。 また、上記の m の取り方から考えて、 lim[n→∞] x^n / n ! = 0 の収束が x について一様でありませんから、 lim[n→∞] ∫ x^n / n ! dx = ∫ lim[n→∞] x^n / n ! dx という 変形には、疑問が残ります。