質問: エルミート行列の行ベクトルによる分解 4行4列のエルミート行列 h=(h)^t* [ ()^t*は転置と複素共役をとる記号とします] は、複素数の2つの行ベクトル v=(a b c d) u=(e f g h)で h=(v)^t* v + (u)^t* u ..(1) と書けものでしょうか? (1)の右辺はエルミート行列ですし、hのパラメータの数16個、 v、uのパラメータ16個(成分が複素数なので)と、パラメータの数は あっているので、書けるように思うのですが、確信がもてません。 参考文献でも構いません。教えていただけますでしょうか。 なお、私はあまり数学ができる方ではありません。 よろしくお願いします。
回答: というより、そのように書けるエルミート行列はごく一部です。ほとんどのエルミート行列がそのようには書けないと思ってもいいくらいです。 例えば、単位行列が反例となります。(4次元空間を考えているので、u,vの両方に直交するベクトルwが存在します。このベクトルにhを作用させた,hwは必ずゼロになります。) また、対角成分に負の数を含むエルミート行列は全て反例となります。(例えば、(v)^t* v + (u)^t* uの(1,1)成分は|a|^2+|e|^2なので非負です)