質問: x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をc^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y [問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をc^3の基底とする。 {y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、 y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。 という問題の解き方をお教え下さい。 双対基底とは {f;fはf線形空間vからfへの線形写像} という集合(これをv*と置く)において、 v(dimv=nとする)の一組基底を{v1,v2,...,vn}とすると fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるv*の部分集合 {f1,f2,...,fn}はv*の基底となる。これを{v1,v2,...,vn}の双対基底と呼ぶ。 まず、 c^3の次元は6(c^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i)) だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。 うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?
回答: >c^3の次元は6( これが間違え. 「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をc^3の基底」 といってるんだから,係数体はrではなく,c. あとは定義にしたがって, dualな基底を書き下せばいいだけ. y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし, v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる #単なる基底変換の問題.