質問: バネと微分方程式(基本?) 大学1年の者です。 物理演習で、初めて微分方程式を扱っているのですが、問題の途中でよく分からないところがありました。 問題は以下のようなものです。 自然長l、ばね定数kの二本のバネと質量mのおもりを1個用意して、 下から、地面・ばね1・おもり・ばね2・手の順につなげた装置を作る。 バネ1が自然長になるときを初期状態とし、その状態を基準に おもりの位置x、手の位置yを定める。(上向き正) 一定の速度vで引き上げる(y=vt)とき、 おもりの運動方程式をたててそれを解き、x(t)を求めよ。 これを、次のように考えました。 運動方程式は mx"=k(y-2x) だから、(x"はxの二階微分) y=vtを代入して整理して、 x"+(2k/m)x=(kv/m)t (1式) このような形になったら、まず右辺が0のとき(同次式?)のxを求めるといいらしいので そうすると、a,bを任意の定数として x=asinbt (t=0のときx=0だからsinにした) また、右辺が0でないとき(非同次、特殊解??) x=(v/2)t で1式が成り立つので、 「同次式での一般解と特殊解の和が解になる」らしいので x=asinbt+(v/2)t とおける。 ここまでは出来たのですが、定数a・bが求められません。 ただバネを引くだけなので、a=0になるのでは、とは思うのですが... (a≠0なら、おもりは上下に揺れながら上る?) 初期条件は任意のa・bで成り立つし... もしここまでの過程が合っていたら、定数の出し方のヒントをお願いします。 間違いがありましたら、教えてください。 分かりにくい長文ですみませんが、よろしくお願いします。
回答: 補足読みました。 >x(0)=0,y(0)=0 であり、質問にあるような運動方程式に行き着きました。 おそらくそう取ったのだろうなぁ・・・とは思っていました^^; 明らかに、xとyの初期位置は異なるので、”同じ運動方程式”にxとyを含めるときは同じ座標系で記述しないとややこしいことになります(というか、解くのは無理でしょう)。 また、原点の取り方自体には触れられていないため、回答者が任意に決められるようになっていると思います。 > x'(0)はおもりの初速ということですよね? そうです。 この場合、おもり自体は最初止まっていたので、 x'(0)=0 となります。 では頑張って下さいね^^;