質問: 振動数 次元解析 次元解析の問題です。求め方が分からないので教えてください。 問題 弦楽器の振動数fは、弦の線密度ρ、弦の長さl、弦の張力sによって決まる。次元を持たない比例定数をkとし、振動数を算出する式を求める過程を示せ。ただし、振動数はt^-1の次元を持つ。
回答: 弦の線密度は、「単位長さあたりの質量」なので 密度 [kg/m^3] に「断面積 m^2」をかけた ρ [kg/m] 弦の長さは l [m] 弦の張力は s [n] = s [kg・m/s^2] (1 [n] とは「1 kg の質量に 1 m/s^2 の加速度を生じさせる力」です) 「これ以外のパラメータは関係しない」とお墨付きをもらえれば、ある程度「次元」から振動数を算出する式を推定できますが、それだけで確定させるのは無理でしょう。 振動数は [1/s] です。(hz という単位が [1/s] であることは分かりますね?) 時間の要素をもつのは「弦の張力」だけですから、弦の張力から √s が必要になるのは分かります。 そうすると、張力の中の [kg] を消すためには s/ρ とすることが必要で、このとき s/ρ [[m^2/s^2] となるので、√(s/ρ) [m/s] の [m] を消去するために (1/l)√(s/ρ) [1/s] とすれば良さそうです。 これから、無次元の比例定数 k を用いて f = (k/l)√(s/ρ) と「できそう」というところまでは推測できます。