質問: 第n次導関数を求めよ。 y=eのx乗sinxの第n次導関数を求めよ。が分かりません。どなたか教えてください。
回答: y=e^x*sin(x)の第n次導関数y^(n)は、 y^(n)=(√2)^n*e^x*sin(x+nπ/4) でいいと思います。 因みに、 y=e^x*cos(x)の第n次導関数y^(n)は、 y^(n)=(√2)^n*e^x*cos(x+nπ/4) でしょう。 求め方は、まず第2次導関数まで求めれば何となく察しがつくと思いますが、数学的帰納法を用います。 因みに、 y'=e^x*(sin(x)+cos(x)) =e^x*√2*sin(x+π/4) =√2*e^x*sin(x+π/4) y''=√2*e^x*(sin(x+π/4)+cos(x+π/4)) =(√2)^2*e^x*sin(x+(π/4)*2) です。