質問: 級数 f は正の実数から正の実数への狭義単調減少関数で、 lim[x→∞]f(x)=0 を満たしている。正の実数からなる数列 {a[n]} は、 ς[n=1,∞]a[n]f(a[n])<∞ を満たしている。このとき、 lim[n→∞]f(n)(σ[n=1,n]a[n])=0 となるでしょうか?理由とともに教えて下さい。
回答: なりません。 f(x)=1/x2 , a[n]=n2 とします。 lim[x→∞]f(x)=0 を満たしている。 ς[n=1,∞]a[n]f(a[n])=σ[n=1,∞] n2/n4 <∞ を満たしている。 f(n)(σ[n=1,n]a[n])=(1/n2)(σ[n=1,n] n2) =(1/n2)n(n+1)(2n+1)/6 → ∞