質問: 二次関数のグラフの定数の範囲を求める問題です。 問 二次関数y=2x^2+3x+mのグラフが次の条件を満たすように、定数mの値の範囲を定めよ。
回答: 2x^2+3x+m=0として判別式D=b^2-4acを使います。 D=9-8m D=0なら方程式は1つの重解を持ち、D>0なら異なる2解をもち、D<0なら解を持たない、というのがDの性質なので (1)はD>0 (2)はD<0とすればいいです。 方程式=0とすることによってy=0、つまりグラフとx軸の交点を求めることができます。これが方程式=0のときの解xです。 判別式が使えるので、 (1) 9-8m>0 8m<9 m<9/8が(1)の答えで (2) 9-8m<0 8m>9 m>9/8が(2)の答えです。 書いてはいませんがD=0、つまりm=9/8の時方程式=0はただひとつの重解を持ち、これがグラフがx軸と1点で接するときのmの値になります。 m=9/8のとき元の式は y=2x^2+3x+9/8 =2(x+3/4)^2 (※平方完成) これにより頂点が(-3/4,0)とわかり、ここから確かにグラフがx軸にこの1点で接していることがわかると思います。 (※もちろんx^2の係数が正なのでグラフは下に凸です) これよりグラフを少し上にずらせば交点はなくなり、下にずらせば交点が2個できる、というのも視覚的にもわかりやすいかと。