質問: 3辺の長さが整数である直角三角形に、半径3の円が内接している。このとき、次の問いに答えなさい。
回答: I 斜辺をz、とする。 三角形の面積=(内接円の半径)×(3辺の和)/2、の公式より、 xy=3(x+y+z) ....1、 ピタゴラスの定理から、x^2+y^2=z^2 ....2 1と2から、zを消すと、xy=6(x+y)-18 ....3 但し、x>3、y>3 ....4 II 3を整数の積の形にすると、(x-6)(y-6)=18 x≧yと仮定しても一般性を失わないから、4から、x-6≧y-6>-3. よって、(x-6、y-6)=(18、1)、(6、3)、の2通りの組み合わせしかない。 つまり、(x、y)=(24、7)、(12、9)。 ・(x、y)=(24、7)、の時、S=(xy)/2=84 ・(x、y)=(12、9)、の時、S=(xy)/2=54 以上から、54≦S≦84.