質問: Aは3次直交行列で、|A|1を満たすとし、線形変換f:R^3 →R^3 をf(x)Axと定める。このとき、f はR^3 内の原点を通るある直線を軸にする回転であることを、以下の (1)–(4) の手順で示せ。
回答: (1) 1がAの特性方程式の解の一つであることを示す. det(A-E)=det(A^{t}-E)【行列式は行列の転置のもとで不変】 =det(A^{-1}-E)【Aは直交行列】 この両辺に1=detAを掛けると, det(A-E)=detA det(A^{-1}-E) =det(E-A)【行列式の積は行列の積の行列式】 =(-1)^{3}det(A-E)【A,Eは3次の行列】 =-det(A-E). したがって, det(A-E)=0. (2) x∈L^{⊥}とする. (Ax)・a=0を示せば十分. (Ax)・a=Ax・Aa【aは固有値1のAの固有ベクトル】 =x・a【Aは直交行列】 =0【x∈L^{⊥}】.