質問: 本に書いてあるような分割の取り方は理解で... ■どこまで理解しているか 本に書いてあるような分割の取り方は理解できました。 ■どこが具体的にわからないか ?を付けたルベーグの積分の定義の仕方に疑問があります。 σのあとのk/2n は何のためにあるのでしょうか。 面積を求めるだけなら、{k/2n≦f<(k+1)/2n の面積}の和だけで良いと思ったのですが。ぜひよろしくお願いします。。
回答: 2次元平面の上に定義された実数値関数fの、平面における積分 ∫ f dx を考えたとき(dxは2次元ルベーグ測度)、これは体積に相当する量になりますよね。 数学は単位というものをあまり気にしませんが、∫ f dx の単位は(与えられるとすれば)リットルだとか、3次元的なものになるはずです。 それに対して {k/2n≦f<(k+1)/2n の面積} というのは、文字どおり面積で、3次元的なものではない。1次元足りないですよ。