質問: これを部分積分を使わずに微分でとくとしたらどうなりますか?
回答: ∫cos^nxdx は直接積分できません。 倍角公式を用いて cosnxを含む倍角の和の形にして ∫cosmxdx=sinmx/m のように積分することになります。 例えば n=8なら cos^8x=(cos8x+8cos6x+28cos4x+56cos2x+35)/128 という式を用いて ∫cos^8xdx=(1/128)∫(cos8x+8cos6x+28cos4x+56cos2x+35)dx =(1/128)[sin8x/8+8sin6x/6+28sin4x/4+56sin2x/2+35x]+C となります。