質問: ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています. ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています. 問題は次の通りです: 次の各ポテンシャル・エネルギーの場の中で,質量mの質点が運動しているとき,その振動の周期をエネルギーの関数として表わせ. (b) u=-u_0/(coshαx)^2, -u_0
回答: 与えられたポテンシャルの下での振動の周期を求めるにあたって,次の積分公式が役に立ちます。 ∫[a~b]dx/√{ (x-a)(b-x) } = π s = √(x-a) とでもおけば,簡単に導出できますのでやってみてください。 以下おおまかな流れのみ示します。 (b) t = 2√(2m/|e|)∫[0~x1] coshαxdx/√( u0/|e| - cosh^2αx ) = 2√(2m/|e|)×i と整理します。ただし,cosh^2αx1 = u0/|e| u = cosh^2αx とおくと, i = 1/(2α)∫[1~u1]du/√{(u-1)(u1-u)} = π/(2α) ただし,u1 = u0/|e| ∴t = √(2m/|e|)×π/α (c) t = 2√(2m)∫[0~x1]dx/√{ e - u0(sec^2αx - 1) } = 2√{2m/(e+u0)}∫[0~x1]cosαxdx/{cos^2αx - u0/(e+u0)} = 2√{2m/(e+u0)}×i と整理します。ただし,cos^2αx1 = u0/(e+u0) u = cos^2αx とおくと, i = 1/(2α)∫[u1~1]du/√{(u-u1)(1-u)} = π/(2α) ただし,u1 = u0/(e+u0) ∴t = √{2m/(e+u0)}×π/α となると思います。 なお,振動が起こる条件から,e>u>0ですから,e+u0>0は明らかです。