質問: 減衰振動 減衰のグラフを書け(エクセルで)という宿題が出ました。 全く分かりません。 初期変位d=1、初期速度v=0のときにh=2のときにどんなグラフになるのか? 式は添付データに書いてあります。 ωが何であるのかも分かりません・・・。 宜しくお願いします!
回答: 空気中のバネの運動では空気抵抗が働く。質点と原点との距離をx(t)とする。振動の速度があまり大きくないときには、空気抵抗は速度x'(t)に比例する。速度に比例する抵抗は速度と逆向きに作用する。比例定数をcとする。また原点の方向へ距離x(t)に比例する引力を受ける。その比例定数をkとする。質点の質量をmとする。バネの運動の微分方程式は mx"=-cx'-kx (m>0、c>0、k>0) となる。形を整えると mx"+cx'+kx=0 (m>0、c>0、k>0) となる。mで割ると x"+cx'/m+kx/m=0 (m>0、c>0、k>0) であるから、 a=c/m ω2=k/m とおくと x"+ax'+ω2x=0 (a>0、ω>0) となる。a=0のときは、抵抗がないときに相当し、単振動となる。この形の微分方程式を2階線形微分方程式という。 d=a2-4ω2とおく d>0のとき、一般解は x(t)=c1exp(λ1t)+c2exp(λ2t) である。ここで λ1、2=(-a±)/2<0 であるから limx(t)=0 t→∞ となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和である。この運動を、過減衰振動(over-damping)といい、非周期的な運動である。 d=0のとき、一般解は x(t)=(c1+c2t)eλt である。ここで λ=-a/2<0 であるから limx(t)=0 t→∞ となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和であるが、その差は小さい。この運動を、臨界減衰(critical damping)という。 d<0のとき、一般解は x(t)=e-μt(c1cos(ωt)+c2sin(ωt)) である。ここで μ=-a/2<0 ω=/2 であるから limx(t)=0 t→∞ となる。バネは振動しながら指数的に減衰していく。この運動を、1次元減衰調和振動(damped oscilaion)または減衰正弦曲線という。また隣り合う極大値の比を減衰比(damping ratio)という。その対数を対数減衰率(logarithmic decrement)という。 -------------------------------------------------------------------------------- 数値解を求めるために、次の連立微分方程式系に直す。 x'=y (1) y'=-ay-ω2x (2) ω=1を固定して、係数aを変えてみる。a=1のときは、d<0となり、1次元減衰調和振動となる。a=2のときは、d=0となり、臨界減衰となる。a=3のときは、d>0となり、過減衰振動となる。初期値をx0=1、y0=10として、係数aを変化させたときの解曲線は次のようになる。 曲線は2次曲線です。