質問: n≧3を自然数とし単位円周上にn個の点をとりそれらを結んでn角形を作る。そのn個の内角の大きさをa1,a2,.....anとし、これらがこの順に公差が正の等差数列をなしている。 a1=135°のとき、anをnを
回答: atp_2pさん °の表記を省略します。 初項a1、公差dの等差数列の、初項から第n項までの和は n・a1+n(n-1)d/2 一方、n角形の内角の総和は180(n-2)だから、 n・a1+n(n-1)d/2=180(n-2) a1=135より、 135n+n(n-1)d/2=180(n-2) 両辺を2倍して、 270n+n(n-1)d=360n-720 270nを移項して、 n(n-1)d=90n-720 両辺をnで割って、(n-1)d=(90n-720)/n よって、 an =a1+(n-1)d =135+(90n-720)/n =(135n+90n-720)/n =(225n-720)/n n≧3となっていますが、n=3のときa3<0になってしまうので、n≧4じゃないといけないですね。 【補足】について 常識として暗記するべきです。 n角形の1つの頂点から残りの頂点全てに対角線を引くと、n-2個の三角形に分けられるので(4角形、5角形、6角形くらいで試してみればわかると思います)、n角形の内角の総和は、180(n-2)になります。