質問: 複数の無差別曲線が交わらないことの証明 掲題の通りです。 複数の無差別曲線が交差しないことの証明ですが 条件として ・微分は使わない(ただし「接線の傾き」などという表現はok) ・予算線は使っても使わなくてもいい です。 宇宙人にもわからないとのことです。 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6846146.html のno.9 どなたか解説いただけますでしょうか?
回答: 背理法を使いましょう。 無差別曲線が交わると仮定すると矛盾が生じることを示すのです。 いま、商品aと商品bを買った時の効用を u=u(a,b) とします。 a1<a2のとき、 商品aをa1個、商品bをb個買った時の効用u1は u1=u(a1,b) 商品aをa2個、商品bをb個買った時の効用u2は u2=u(a2,b) です。u1とu2のそれぞれの組み合わせで商品を買った時の2本の無差別曲線を考えると、無差別曲線は右上の曲線ほど効用が大きいので u1<u2 となりますから、 u1≠u2 です。しかしこれが交差しているので u1=u2 でなければなりません。これは矛盾しています。この矛盾は「2つの無差別曲線が交わる」と仮定したことから生じたので、「無差別曲線が交わる」という仮定が間違っていることになります。 よって無差別曲線は交差しません。