質問: 二次方程式x2-3x+4=0の2つの解をα、βとするちき、α+1,β+ 二次方程式x2-3x+4=0の2つの解をα、βとするちき、α+1,β+1を解とすると二次方程式を作れ 複素数の範囲で考えて、次の方程式を因数分解しなさい x2-x+3 x>yならば、6x+2y>3x+5yであること証明せよ a>0のとき、a+a分の1>2を証明せよ これらの問題がどうやっても解けません 特に証明系が最も難しいです 何かコツなどがありましたら教えてもらないでしょか? すみません おねがいします
回答: ・x^2-3x+4=0は解の公式からx=(3±√5i)/2です。 α=(3+√5i)/2、β=(3-√5i)/2 とおくと、α+1=(5+√5i)/2、β+1=(5-√5i)/2となります。 解と係数の関係(ax^2+bx+c=0における解がx=x1,x2のとき、x1+x2=-b/a、x1x2=c/a)を使うと (α+1)+(β+1)=5、(α+1)(β+1)=15/2 から、-b/a=5、c/a=15/2となります。 aに適当な数値を当てはめてみると(a=2とする)これはb=-10、c=15に対応します。 よってα+1、β+1が解の2次方程式は2x^2-10x+15=0となります。 ・x^2-x+3=0の2次方程式を考えます。 この解はx=(1±√11i)/2となります。つまりこの2次方程式は (x-(1+√11i)/2)(x-(1-√11i)/2)=0と書き換えられます。 これをもう少しまとめると (2x-1-√11i)(2x-1+√11i)=0となります。 つまりx^2-x+3=(2x-1-√11i)(2x-1+√11i) ・6x+2y>3x+5yを計算すると3x>3yつまりx>yです。自明です。 ・相加相乗平均の関係(a≧0,b≧0のときa+b≧2√ab)からa=a,b=1/a と考えると a+1/a=2√(a*1/a)≧2です。 証明系に限らず数学の問題を解くにはたくさんの問題に触れ、いろいろなパターンを覚えるのがいいと思います。