質問: 再び微分方程式の質問(2)です。 全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。 微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 について問1~問3について答えよ。 問1 問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) ∫1/y(y-1)dy=∫2dx (2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx (3) ∫1/y(y+1)dy=∫2dx (4) ∫1/y(y-1)dy=∫1/2dx (5) (1)~(4)に正解はない。 問2 問題の微分方程式の解として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 一般解y=1±√1-ce(2x乗)/2 (cは任意定数) (2) 一般解y=ce(2x乗)/1+ce(2x乗) (cは任意定数) (3) 一般解y=ce(2x乗)/1+ce(2x乗) (cは任意定数)と特異解y=1 (4) 一般解y=ce(2x乗)/1+ce(2x乗) (cは任意定数)と特異解y=0 (5) (1)~(4)に正解はない。 問3 問題の微分方程式の解y=y(x)で、y(0)=1/2をみたすものがy(x)=2/3となるxとして次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 1/2log2 (2) 3/2 (3) log6 (4) 1/6 (5) (1)~(4)に正解はない。 以上、よろしくお願いいたします。
回答: >微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 ... とは、 dy/dx = 2y(1-y) のことだろうから、 dy/{y(1-y) } = 2dx と「変数分離」できそう。 これで、問1はおわかりでしょうネ。 問2は、問1の積分にて 1/{y(1-y) } = (1/y) + {1/(1-y) } なる和分解を使えば、おわかりになれるでしょう。 問3は、問2の一般解に初期 (境界?) 条件 「y(0)=1/2」 を放りこめば、おわかりになれるでしょう。