質問: 単射 全射 全単射 について教えてください タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。 今、手元に問題が5つあるのですが 自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれn,z,rとする。 (1)f:z→n f(x)=x2(二乗) (2)f:r→r f(x)=2x(x乗) (3)f:r→r f(x)=sinx (4)f:z→r f(x)=x3(三乗) (5)f:r→r f(x)=2x+1 例えば、(1)であれば zが1のとき、nは1、zが2のとき、nは4という風にzが決定すればnはただひとつ必ず決まるから単射。 でも、zが2のときは、zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。 全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・ それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。 どうか教えてください。
回答: (1) f: z→n, f(x) = x^2 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません. また n の元 2 に対する z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません. (2) f: r→r, f(x) = 2^x f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません. また全射ではありません.r への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです. (3) f: r→r, f(x) = sin x sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません. また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,r の上に全射でもありません. (4) f: z→r, f(x) = x^3 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません. また f(x) = 2 なる x も z にはないので全射でありません. (5) f: r→r, f(x) = 2x +1 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.