質問: 連続関数f(x)に対して F(x)=-x/2+∫[x→0]tf(x-t)dt とおく。 また、F”(x)=cosxとする。 (1) f(x),F(x)を求めよ。 (2) -π/2≦x≦π/2においてF(x)の最大値、最小値を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: (1) F”(x)=cosx より2回不定積分して F(x) = - cosx + ax + b , a, b は定数 ・・・・・1 となります。従って F(x)=-x/2+∫[x→0]tf(x-t)dt = - cosx + ax + b において x = 0 と置けば b = 1 であることがまず分かります。次に F(x)=-x/2+∫[x→0]tf(x-t)dt を微分したいのですが,このままでは x が f(x-t) と被積分関数の中に入っていて導関数が出せません。変数変換をしましょう。今 u = x-t と置きましょう。すると dt = -du であり積分範囲は u : 0 → x ですから F(x) = -x/2 - ∫0→xf(u)du = -x/2 - x・∫[0→x]f(u)du +∫[0→x]uf(u)du ・・・・・2 となります。この最後の2の表式は x で微分できる形になっています。2式を微分すれば F'(x) = -1/2 - ∫[0→x]f(u)du -xf(x) + xf(x) = -1/2 - ∫[0→x]f(u)du ・・・・・3 となります。もう一度微分して F"(x) = - f(x) = cosx ですから, f(x) = -cosx ・・・・・4 となります。この4式を3へ代入して F'(x) = -1/2 + ∫[0→x]cosudu = sinx -1/2 ですから,1より a = -1/2 となります。以上から F(x) = -cosx - x/2 + 1,f(x) = -cosx となります。 (2) F'(x) = sinx -1/2 = 0 とおくと x = π/6 です。-π/2≦x≦ π/6 の x について F(x) は減少で, π/6≦x≦π/2 では増加ですから最小値は F(π/2)です。最大値は F(±π/2) を計算して, 最大値 F(-π/2)=π/4 + 1, 最小値 F(π/6) = -√3/2 - π/12 + 1 となります。