質問: 陰関数媒介変数表示の微分、媒介変数表示陰関数の微分 なにか微分可能な平面曲線があるとし、その傾きが知りたいとします。 陽関数y=f(x)の微分は、 dy/dx=f'(x)です。 媒介変数表示x=f(t),y=g(t) の微分は、 dy/dx={df(t)/dt}/{dg(t)/dt}です。 陰関数f(x,y)=0の微分は、 dy/dx=-{∂f(x,y)/∂x}/{∂f(x,y)/∂y}です。 陰関数の中に媒介変数があるh(x,y)=h(f(t),g(t))=0 の微分は、どうなるのでしょうか? 媒介変数表示が陰関数になっているf(x,t)=0,g(y,t)=0 の微分は、どうなるのでしょうか?
回答: h(f(t),g(t))=0 両辺をtで微分すると (∂h/∂x)(dx/dt)+(∂h/∂y)(dy/dt)=0 これから (dy/dt)/(dx/dt)=-(∂h/∂x)/(∂h/∂y) という関係が出てきます。 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=g'(t)/f'(t) ですが、これは dy/dx=-(∂h/∂x)/(∂h/∂y)=g'(t)/f'(t) という関係にもあると言うことですね。 [検証] 具体的に、h(x,y)=(x/3)^2)+(y/4)^2-1=0 x=f(t)=3cos(t),y=g(t)=4sin(t) などとおいて確認してみてください。 上のようになることが確認できると思います。 他の例でも,合っているか、確認してみてください。