質問: 統計学(t値を2乗するとf値になる)について 本に「t値を2乗するとf値になる」とあり、実際に確かめてみたところ、たしかに両者の値は一致しました。 しかし、なぜそうなるのかがわかりません。 本には、 t=(標準正規分布に従う変量)/【(自由度nのカイ2乗分布に従う変量/n)の平方根】であり、 f=【(自由度nのカイ2乗分布に従う変量)^2/n】/【自由度mのカイ2乗分布に従う変量/m】に2乗すると一致すると解説がありました。 しかし、「tってこんな値だっけ?」という点でひっかかっています。例えば、分子は「標準正規分布に従う変量」となっていますが、私が学んできたt値の分子は例えば「得られたデータの平均-μ」や「標本平均の差」などであり、標準誤差で割らないと「標準正規分布に従う変量」にならないのでは?と思ってしまいます。分母は尚更わかりません。 どなたか、噛み砕いて教えて頂けると有難いです。宜しくお願い致します。
回答: > 「不偏分散に(n-1)/σ^2を掛けたものが自由度n-1のカイ2乗分布に従う」だけがわかりませんでした。 (x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ, ... (xn-μ)/σがそれぞれ標準正規分布に従うので、σ(xi-μ)^2/σ^2が自由度nのカイ二乗分布に従いますが、通常は母平均μの値は未知なのでその推定量の標本平均mで代用します。 この標本平均で置き換えたσ(xi-m)^2/σ^2が、何故自由度n-1のカイ二乗分布に従うのかを厳密に証明しようとすると少し難しい話になります。(例えば参考urlのように) 乱暴な説明をすれば、σ(xi-m)^2/σ^2の分布はσ(xi-μ)^2/σ^2の母平均をを標本平均で置き換えただけだから、自由度nのカイ二乗分布に似た分布になる。そして、母平均の推定したため自由度を一つ失ったので自由度n-1のカイ二乗分布に従うというのはどうでしょう。