質問: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)を証明して頂きたいです。できる方、どうぞよろしくお願い致します。
回答: x∈A∩B⇔x∈A∧x∈B と (x,y)∈A×B⇔x∈A∧y∈B を使います (A×B)∩(B×A)の任意の要素(x,y)について (x,y)∈(A×B)∩(B×A) ⇔ (x,y)∈(A×B)∧(x,y)∈(B×A) ⇔ (x∈A∧y∈B)∧(x∈B∧y∈A) ⇔ (x∈A∧x∈B)∧(y∈A∧y∈B) ⇔ (x∈A∩B)∧(y∈A∩B) ⇔ (x,y)∈(A∩B)×(A∩B) ですから (A×B)∩(B×A)⊂(A∩B)×(A∩B) です これを逆にたどれば (A×B)∩(B×A)⊃(A∩B)×(A∩B) も分かりますから (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B) が示せました