質問: 2角の二等分線の長さが等しい三角形は二等辺三角形 △abcにおいて∠bの二等分線と辺caとの交点をd、∠cの二等分線と辺abとの交点をeとするとき、線分bdと線分ceの長さが等しければab=acとなる。 この証明を教えて下さい。 参考書には少し難しいけど考えてみてとだけあって解説がなかったので。 ba:bc=da:dcなどから cd=ab/(c+a) ae=bc/(a+b) ad=bc/(c+a) be=ca/(a+b) 後半の条件からbdとceの交点をiとしたとき (a+b)ib=(c+a)ic bd=ce={(a+b+c)/(a+b)}ic までわかったのですがb=cをどうしても示せませんでした。 (ab=c,bc=a,ca=b)
回答: ∠a=p,で表す。 ad=bc/(c+a), ae=bc/(a+b) 余弦定理より bd^2=c^2+[bc/(a+c)]^2-2c[bc/(a+c)]cosp ce^2=b^2+[bc/(a+b)]^2-2c[bc/(a+b)]cosp さらに余弦定理より cosp=(b^2+c^2-a^2)/2bc よって bd^2=c^2+[bc/(a+c)]^2-2c[bc/(a+c)]cosp=c^2+[bc/(a+c)]^2-c[b^2+c^2-a^2]/(a+c) =[c^2(a+c)^2+b^2c^2-c(a+c)(b^2+c^2-a^2)]/(a+c)^2 ={c(a+c)[c(a+c)-(b^2+c^2-a^2)]+b^2c^2}/(a+c)^2 =c[(a+c)(a^2+ac-b^2)+b^2c]/(a+c)^2 =ac[(a+c)^2-b^2]/(a+c)^2 ce^2=b^2+[bc/(a+b)]^2-2b[bc/(a+b)]cosp=b^2+[bc/(a+b)]^2-b[b^2+c^2-a^2]/(a+b) =[b^2(a+b)^2+b^2c^2-b(a+b)(b^2+c^2-a^2)]/(a+b)^2 ={b(a+b)[b(a+b)-(b^2+c^2-a^2)]+b^2c^2}/(a+b)^2 =b[(a+b)(a^2+ab-c^2)+c^2b]/(a+b)^2 =ab[(a+b)^2-c^2]/(a+b)^2 bd=ceより ac[(a+c)^2-b^2]/(a+c)^2=ab[(a+b)^2-c^2]/(a+b)^2 c[1-b^2/(a+c)^2]=b[1-c^2/(a+b)^2] (b-c)+b^2c/(a+c)^2-bc^2(a+b)^2=0 (b-c){1+[a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2]bc/(a+c)^2(a+b)^]}=0 { }の中は正 よって b=c