質問: rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)が対等であることを次の2通りの方法で示せ。 1ベルンシュタイ rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)が対等であることを次の2通りの方法で示せ。 1ベルンシュタインの定理を使う 2直接一方から他方への全単射を求める。 f:(0,1]→(0,1)への関数を考えていたのですが、なかなか作れず、証明も含めて、もしよろしければ教えていただきたいです。 また、疑問なのですが、ベルンシュタインの定理は全単射であることを示すので、1と2は同じことを言っていると思うのですが、違うのでしょうか?
回答: ベルンシュタインの定理とは 集合 a から集合 b に単射 があり、 集合 b から集合 a へも単射があれば、 集合 a から集合 b への全単射があるというものである 1 f:(0,1]→(0,1) f(x)=x/2 とfを定義する f(x)=f(a)とすると x/2=f(x)=f(a)=a/2 x/2=a/2 x=a だから fは単射 g:(0,1)→(0,1] g(x)=x とgを定義する g(x)=g(a)とすると x=g(x)=g(a)=a x=a だから gは単射 集合 (0,1] から集合 (0,1) に単射f があり、 集合 (0,1) から集合 (0,1] へも単射gがあるから ベルンシュタインの定理から 集合 (0,1] から集合 (0,1) に全単射があるといえるから ∴ (0,1]~(0,1) 2 f:(0,1]→(0,1) 任意の自然数nに対して f(1/n)=1/(n+1) 任意の自然数nに対して x≠1/nの時 f(x)=x とfを定義する f(x)=f(a)とする 自然数nに対して x=1/nの時 1/(n+1)=f(1/n)=f(a) 任意の自然数mに対して a≠1/mと仮定すると a≠1/(n+1) 1/(n+1)=f(a)=a となって矛盾するから a=1/mとなる自然数mがある 1/(n+1)=f(a)=f(1/m)=1/(m+1) 1/(n+1)=1/(m+1) m+1=n+1 m=n x=1/n=1/m=a 0