質問: e^xを微分するとe^xになる理由 大学1年のものです。 (e^x)'=e^xの証明がわかりません。 高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。 ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、 1) y=e^x logy=x (1/y)y'=1 よって y'=y=e^x 2) e^xを無限級数に直して微分 1)の場合d(logx)/dx=1/x...(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか? 2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。 1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが... 微分の定義に沿って証明しようともしましたが、 (e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h) となり、ここで行き詰ってしまいました。 (e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: こんばんは 行き詰まってしまったところからは、(e^h-1)/h→1を示せばいいので、 e^h-1=tとおくと証明できると思います。 h→0のとき、t→0 h=log(1+t) なので、 (e^h-1)/h=t/log(1+t) =1/[log(1+t)^(1/t)] 分母の真数のところはeの定義通りで、→e だから、(e^h-1)/h→1/loge=1 となります。