質問: 三角関数の微分 (cos3x)' =-sin3x・(3x)' =-3sin3x となりますが、なぜ >=-sin3x・(3x)' のようになるのかがよくわかりません。 教科書には(sinx)'=cosx(公式として)とでていたので、 答えは-sin3xかと思ったのですが、ちがうようです。 数学がお得意のかた、よろしくお願いします。
回答: stripeさん、こんばんは。 #1fushigichanです。お礼ありがとうございます。 >>dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・(☆) >なぜこのような式が成り立つかがよくわかりません・・。 たしかdy/dxというのは分数ではないんですよね? う~ん・・鋭いですね・・ これは、確かに分数ではありませんね。一見分数みたいですが・・ これは、公式として覚えておいたらいい式なんですが、 どうしてそうなるのか?というと、やはり定義にもどったほうがよさそうです。 ちょっと考えてみましょう。 まず、yはtの関数であって、tはまたxの関数になっているので y=f(t) t=g(x) のように置くことができますよね。 さて、今xを、少し増やしてx+δxとします。 x→x+δx これに対して、 t→t+δt y→y+δy となるはずですが、それぞれの増分を δt=g(x+δx)-g(x) δy=f(t+δt)-f(t) とおくことができるので、 δy/δx=(δy/δt)*(δt/δx) ←これは、分数です。 ただ単に、δyをδxで割ったものは、 δyをδtで割ったものに、δtをδxで割ったものをかけたものになっています。 このとき、δx→0としたときの極限を考えると、 lim δy/δx=limδy/δt*limδt/δx δx→0 δt→0 δx→0 であるから、 dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx) という公式が成り立つのです。 xの増分を限りなく小さくしていったときに、 tの増分と、yの増分も小さくなっていくことがポイントです。 なお、厳密に言えば、δx≠0,δt≠0が必要になってくるのですが ここでは、ややこしくなりますから、上の方法を理解してください。 もし、ごちゃごちゃしてきて理解しにくかったら 今のところは、これを公式として覚えてしまってください。 微分の問題を解いていくうちに、あとから理解がついてくるものと思います。 頑張ってください!!