質問: 微分方程式について 微分方程式について y"-y'-2y=3e^2xの微分方程式を解け とあるのですが... 計算をして、特殊解ypを求めるときに yp=ce^2x とおくと、 yp'=2ce^2x yp"=4ce^2x この3つを微分方程式の左辺に入れるとcが消えてしまって特殊解が求めれません。 どう操作をすれば微分方程式が求められるのかをご教授お願いします。
回答: y = ce^(2x) の c を x の関数とみなして y" - y' - 2y = 3e^(2x) へ代入し、 c についての微分方程式を得ればよいのです。 y = ce^(2x) y' = c'e^(2x) + 2ce^(2x) y" = c"e^(2x) + 4c'e^(2x) + 4ce^(2x) を微分方程式の左辺に入れると、 c" + 3c' = 3。 これを解いて、 c = x + ae^(-3x) + b ただし a,b は定数。 c が定数のまま代入したのでは、左辺=0 となるのは当然です。 斉次形 y" - y' - 2y = 0 の一般解を y = ce^(2x) と書く ことから出発したのですから。