質問: f(z)=u+ivとする f(0)=0 u(x、y)=x^4−6x^2y^2+y^4+x^3−3xy^2 コーシーリーマンの関係からどうすればいいかわかりません (多分微分方程式を解くんだと思いますが・・・)
回答: コーシーリーマンの関係式より, ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = - ∂v/∂x. すなわち, ∂v/∂y = 4x^3 - 12xy^2 + 3x^2 - 3y^2, ∂v/∂x = 12x^2y - 4y^3 + 6xy. よって, v(x, y) = 4x^3y - 4xy^3 + 3x^2y - y^3. (f(0) = 0 より, u(0, 0) = 0) 以上により、 f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = (x^4 + 4x^3yi - 6x^2y^2 - 4xy^3i + y^4) + (x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - y^3i) = (x+iy)^4 + (x+iy)^3 = z^4 + z^3 となる.