質問: 実数体rからrへの写像の全体の集合の濃度>rの濃度、について 集合の濃度についての質問です。数学書に、実数体rからrへの写像の全体の集合の濃度>rの濃度、とありますが、よくわかりません。なぜかいうと、縦軸と横軸として、実数直線rをそれぞれとると、集合の包含関係から、実数平面rxrの濃度>実数直線rから実数直線rへの写像の全体の集合の濃度、となり、そのとき、rxrの濃度=rの濃度なので、rの濃度>実数直線rから実数直線rへの写像の全体の集合の濃度、となると私は思うからです。この考えのどこを訂正したらいいのか教えてください。
回答: #1さんと同じです。 本当は、こんなにざっくり言ってはいけないのでしょうけど・・・。 xy平面に100×100の格子点を想像して下さい。これをr^2と、とりあえずみなします。r^2は100×100個です。 rからrへの写像全体を数えてみると、まず1列目からは100通りの選び方があり、そのそれぞれに対して、2列目からは100通りの選び方があり、・・・と、100^100個になります。 一方r^2の部分集合の取り方は明らかに、rからrへの写像全体の作り方より多いはずです(各列から必ず一個とは限らないから)。 従って、 r^2の部分集合全体 > rからrへの写像全体 > r^2 となります。点が無限個の場合も不等号の成立を言うためには、対角線論法が必要です。