質問: 凸集合での命題を証明したいのですが... 実数体rに於いて,a,b⊂r^n を凸集合とする時、 (1) もし、aとbが閉集合ならa+b:={x+y;x∈a,y∈b}は閉集合とは限らない。 (2) もし、aがコンパクトでbが閉集合ならa+bは閉集合。 という命題を証明したいのですが滞ってます。 凸集合の定義は 「集合sについて任意の2つのベクトル x,y∈s と正の実数s (0≦s≦1) について, sx+(1-s)y∈s が成立するとき,sは凸集合であるという」 閉集合の定義は 「{π[1..n][ai,bi];ai,bi∈r(i=1,2,...,n)}の元を閉集合という」 コンパクトの定義は 「集合yをx(⊂r^n)の開被覆とする時、yの有限個の開集合でxを覆える。」 (1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか? そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?
回答: 閉集合の定義がおかしいですが、多少は考えましたか? hhozumi さんの考察内容を補足欄にどうぞ。