質問: maxwellの分布 n個の成分のうち速度成分が (vx、vy、vz)と(vx+dvx、+dvy、+dvz)の間にあるものの数を f(vx、vy、vz)dvxdvydvz とする と多くの参考書に書いてありますがなぜそういう風におけるのかを説明されているものが見つかりません。どうかわかりやすく説明してください。
回答: 今の問題は3次元ですが,質問の要点は次元に関係ありませんので, 議論しやすくする(+見やすくする)ために1次元にします. すなわち,速度が v から v+dv の間にある粒子の個数を (1) f(v) dv とします. n は非常に大きな数(アボガドロ数のオーダー)ですから, 速度が v から v+dv の間にある粒子の割合を (2) f(v) dv と思っても同じことです(f=f/n). むしろ,こちらの方が普通の表現です. 個数だと,0.5個などというのは本来の個数の定義になじみませんから. さて,疑問なのは「なぜ dv がついているのか」なのでしょう. 例えば,正八面体のサイコロで, 1が書いてある面が1つ,2が2つ,3が3つ,4が2つ, だったとします. 1,2,3,4,が出る確率はそれぞれ 1/8,2/8,3/8,2/8,です. dx みたいなものはかかっていないじゃないか! 似たような話なのに, どうして maxwell 分布だと dx なんて変なものがついているんだ? 違いは,サイコロの数字が離散量であるのに対し, 速度が連続量であるところです. 速度が 1.234 [m/s] であると言ったって,ジャストその値ではなくて, 1.234 [m/s] くらい (よく測定で目にするような表現なら 1.2335 [m/s] ≦ v < 1.2345 [m/s]) ということです. したがって,速度がジャストその量であるという割合は意味をもちません. 強いて言うならゼロです. それで,速度の幅をつけて v から v+dv の間,という言い方をしているのです. 積分で面積を出すときの話を思い出してください. 関数 g(x) のグラフと x 軸の間の面積は (3) ∫{a→b} g(x) dx ですが,これは高さ g(x) で幅 dx の長方形の面積が g(x) dx である ことから来ています. 幅 dx をつけておかないと面積になりません. 今の maxwell 分布の場合も全く同じ状況です.