質問: 私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。 私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。 (1)第2不完全性定理では 次の表現があり『公理系nにおいて、その無矛盾性を証明することは不可能である』、そのなかで問題として『 真であるが証明不可能な主張とは何か。』に対して 答え『公理』とあり 自己言及を表現していることは 理解し易いのです。幾何学では5公理です。この理解はたぶん正しいと思います。 ところが (2)私がよく分らないのは 第1不完全性定理です。『形式的体系sにおいて、形式的体系sが無矛盾である限り、「形式的体系sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 「例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である」はその例のようにおむのですが。つまり 例題には ユークリッド幾何学では未定義の無限遠点が現れており 証明はできない のです。いくら公理を増やして定義を明白にしても 未定義の領域はある ということです。 もう一つの例ですが 無限遠点は扱わないという6番目の公理を追加したとしても 例えば 「x・x=-1 は根がない は証明可能である」も証明できない と思うのです。なぜなら複素数は未定義だからです。つまり 『公理で定義されても未定義域は必ずある』が第一不完全性定理の一つの別表現ではないか と思うのです。この理解が間違っているのかどうか どなたかにお教えて頂きたかったのですが
回答: 大雑把に。 不完全性定理の証明の概要を御覧になったことはありますでしょうか。不完全性定理では、全ての命題をまず形式言語で書き、それをゲーデル数に変換して、という手順を踏みます。 形式言語は、対象の公理系に合わせて微妙に異なる物が使われます。というのは、例えばユークリッド幾何学で「自然数」という単語は使えませんし、「∫」という記号も使えません。 そして、その形式言語は、「必要充分な表現能力を持つ」ものを使います。つまり、「扱う必要のある命題」は全て形式言語で表現可能で、かつ「扱う必要のない命題」は表現不可能なようになっています。後者の例として、「伊藤博文は日本国の初代総理大臣である」は一般的な意味で命題ではありますが、ユークリッド幾何学で扱う類の命題ではありませんね。そしてこれは(ユークリッド幾何学の)形式言語では表現不可能なのです。「伊藤博文」だとか「総理大臣」なんて言葉はユークリッド幾何学の言葉で表現不可能だからです。 ところで、この形式言語はあくまで「必要最低限」の表現力しか持ちません。単語として「点」や「直線」などの、基本的な単語しか使えないということです。例えば、おそらく「三角形」という単語は含まれないでしょう。その代わり、「相異なる3つの線分で、それぞれが1端点を共有するもの」(これ適当なので多分全然不十分ですが)などと言い換えた上で形式言語に翻訳した物を代わりに使うことができます。 つまり、基本的な範囲を逸脱した言葉でも、定義さえあれば命題中に組み込めるということです。逆に、定義がない単語は使えません。「無限遠」は定義がないので駄目です。(もちろん、適切に(ユークリッド幾何学の枠組みに収まるような)定義を与えることができさえすれば扱えます)。 以上は、命題中に未定義語が出てくる場合の話でした。 次に、「x・x=-1は根がない」についてですが。ええと、とりあえず実数論で話してみますね。これは、「xが実数」なら真ですし「xが複素数」なら偽ですね。つまり、「複素数が未定義」という問題よりも、議論領域として何を考えているか、という問題です。http://ja.wikipedia.org/wiki/%e8%ad%b0%e8%ab%96%e9%a0%98%e5%9f%9f 以上。