質問: 位相についてのご質問です。 位相について質問です。 「集合sの部分集合族kが (1)o(空集合)、sがkに含まれる (2)集合a,bがkに含まれるならaとbの共通集合もkに含まれる。 (3)任意のkの元fmに対してfmの全和集合もkに含まれる。 以上を満たす時,kはsに位相を与えるといい(s,k)を位相空間という。 そして、kの元を開集合といいkを開集合系という。」 このkの元を開集合といいという所からさっぱり分かりません。 どこがどう開集合なんですか? 例えばs={1,2,3}とすればk={o,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} となってこれは(1)から(3)を満たすので(s,k)は位相空間でkの元は開集合にもなってないと思うのですが。
回答: ========引用はじめ 例えば、s={3}とすればsの部分集合系kは k={o,{3}}となる。oは空集合とした。 もしもkの元が開集合であるなら、{3}は開集合なのでは? しかし、{3}は開集合でなく閉集合です。{3}=[3,3]と表せる! =========引用終わり あーあー,やっぱりねー. ちがいます, s={3}としたとき,k={φ,{3}}は位相です. なぜなら,位相の定義を満たしているから. {3}は「この位相において」開集合です. ちなみに,s={φ}とかして,k={φ,{φ}}としたって まったく同じです.これなら,実数と混同することはないでしょう. いいですか? あなたは「実数の自然な位相」しかこの世に位相がないと 思い込んでますが,それは間違いです. あなたが知っている位相は,実数に入れることができる位相の 一個(ただし,もっとも有名で有益なもの)でしかありません. 位相というのは,その「三つの条件」を満たす 集合族のことをいうのです. そして,その集合族の元を開集合というのです. あなたの知っているものは,あくまでもその一例にすぎません. 発想を切り替えてください. 同じ集合に異なる位相があることは普通のことです. #って・・最初の回答で同じ様なこと書いても #ああいう補足だったからなあ・・・