質問: 全く分かりません。 教科書や使っている参考書を見ても分かりません。 解法と答えを教えていただきたいです。 よろしくお願いします。
回答: 小問(2)が切れていて不明です。 (1) {a1,a2,・・・,an,an+1} は1次従属なので自明でない1次関係式 λ1a1+λ2a2+・・・+λnan+λn+1an+1 = 0・・・・・1 λ1,λ2,・・・,λn,λn+1 のうち少なくとも一つは 0 ではない が成り立ちます。 今 λn+1 = 0 とすれば λ1a1+λ2a2+・・・+λnan = 0 λ1,λ2,・・・,λn のうち少なくとも一つは 0 ではない が成り立ち {a1,a2,・・・,an} も1次従属です。これは仮定に反するので、 λn+1 ≠ 0 です。従って1より an+1 = (-λ1/λn+1)a1+(-λ2/λn+1)a2+・・・+(-λn/λn+1)an となり、an+1 は {a1,a2,・・・,an} の1次結合で書けます。 [一意性の証明] 今 an+1 = c1a1+c2a2+・・・+cnan・・・・・2 = d1a1+d2a2+・・・+dnan と2通りに書けたとします。引き算して 0 = (c1-d1)a1+(c2-d2)a2+・・・+(cn-dn)an です。ここで {a1,a2,・・・,an} は1次独立なので、 (c1-d1)=(c2-d2)=・・・=(cn-dn) = 0 即ち、c1=d1,c2=d2,・・・,cn=dn であり、2の表現式はただ一通りです。 (2) は問題が不明です。もし v1,v2,v3 が1次独立な条件を求めるのなら v1,v2,v3 が1次独立 ⇔ 3a-7≠0 です。