質問: 保存力になるための条件 平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにa(x,y), b(x+δx,y),c(x,y+δy),d(x+δx,y+δy)。(つまり、ab=dc=δx,da=cb=δyの微笑長方形) 経路a→b→cに沿った仕事をw(1),経路a→d→cに沿った仕事をw(2)と呼ぶこととする。 学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のaがpのことで、cがp'のことです。 w(1)=fx(x,y)δx+fy(x+δx,y) ←(1) =fxδx+fyδy+(fyをxで偏微分)δxδy ←(2) w(2)=fy(x,y)δy+fx(x,y+δy)δx ←(3) =fxδx+fyδy+(fxをyで偏微分)δxδy ←(4) ここでfx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン 高次の微少量は無視した・・・らしいです。 w(1)-w(2)={(fyをxで偏微分)-(fxをyで偏微分)}δxδy であり この力が保存力であれば、w(1)=w(2)となることから、 (fyをxで偏微分)=(fxをyで偏微分) が導かれる。 逆に(fyをxで偏微分)=(fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。 という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で (1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。 先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗) 皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。
回答: (1) の 第二項は fy(x+δx,y)δy ですよね単位は仕事量なので。 xについての一次までのテイラー展開で fy(x+δx) = fy(x)+d(fy(x))/dx *δx となるので、(1)に代入すれば良いと思います。 テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。