質問: h / λを同時に満たすことができないように思えるのです。 数多くある量子力学の本でも逃げている部分であり、難解な質問かとは思いますが、ご存知の方がいらっしゃればご回答お願いします。
回答: 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、e=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。 電子を波と考えたときの現実的な波の速さは、群速度により表されます。群速度vgは、角速度ωを波数ベクトルの大きさkで微分したものです。つまり、vg=dω/dk となります。エネルギーと運動量は、ωとkを使うと、e=h'ω、p=h'k となりますから(h'=h/2π)、vg=de/dp となります。非相対性理論の範囲では、e=p^2/2m ですから、vg=vとなります。相対性理論の範囲では、e^2=p^2c^2+m^2c^4ですから、これもvg=vとなります。 それでは、質問者様の質問に回答します。 1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・) 電子のエネルギーは、静止質量エネルギーを含んだものです。シュレーディンガー方程式のエネルギーは、ご指摘のとおり、静止質量エネルギーは含んでおりません。このため、相対論的量子力学で扱うエネルギーとシュレーディンガー方程式で扱うエネルギーとでは、静止質量エネルギーの分だけ違いがあるということになります。これは(ディラックによれば)、物理的に影響のない項目です。なぜなら、ハミルトニアンは、実の定数分の不定さがあるからです。 2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、 p = mv = mc = hν / c = h / λ は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか? 既に上で述べたように、λν=v ではなく、e=hν と p=h/λから位相速度が決まります。ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのか、については、ド・ブロイ自身の論文は見ていませんが、ディラックによれば、相対論的に不変な性質から出発してこの考えに至ったようです。つまり、エネルギーと運動量は4次元ベクトル(e/c,p1,p2,p3)を成します。波数ベクトルについても、(ω/c,k1,k2,k3)は4次元ベクトルとなります。どちらも4次元ベクトルであることから、エネルギー運動量を波で表すということは、光だけに限定されるものではなく、ほかの物質であっても成り立つものと考えた訳です。