質問: 数学1aの問題です
回答: (1) 与えられた不等式を変形すると x+y≧2√xy 1 ですから、これを証明します。 条件からx+y>0、√xy>0と両辺とも正ですから、1の両辺を2乗した不等式 (x+y)^2≧(2√xy)^2 2 の真偽と元の不等式の真偽は一致します。 よって2を考えます。 2の左辺-右辺を考えていきます。 (x+y)^2-(2√xy)^2=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 ここで(x-y)^2≧0です。 よって2が正しいことが示せました。したがって1も正しく、証明したい不等式が示せました。 (2) X=(x+y)/2 Z=(z+w)/2 とします。 (1)より X≧√xy Z≧√zw X>0、Z>0なので(1)を用いると (X+Z)/2≧√XZ ここで左辺のXとZを元に戻すと (x+y)/4+(z+w)/4=(x+y+z+w)/4 右辺についてはX≧√xy、Z≧√zwを用いると √XZ≧√(√xy×√zw)=√√(xyzw)=4√xyzw よって (x+y+z+w)/4≧4√xyzw が示せます。 (3) 条件式の左辺は全て正ですから(2)を用いると (左辺)/4≧4√(1/x × 2/y × 3/z × 4/w)=4√(12/xyzw)3 となります。 一方で条件式から(左辺)=1ですから (左辺)/4=1/4です。 よって3は 1/4≧4√(12/xyzw)となります。 この式は両辺とも正ですから、4乗すると 1/256≧12/xyzw よってxyzw≧12×256=3072 したがって最小値は3072