質問: 三角関数(たとえばf(x)=sinxとか)の連続性を証明したいんですけ 三角関数(たとえばf(x)=sinxとか)の連続性を証明したいんですけど、一週間くらい悩んでてもなかなか思いつかなくて・・・ 問題的に、 微分可能⇒連続 を使うのではなく、ε-δ論法で示すってことだと思うんですけど。 いちおう自分の力で示したいので、解答ではなくヒントを教えてもらいたいです。
回答: 単位円かぁ。それは、イバラの道ですね... その定義のしかたは、図示し易いので、 パッと見て雰囲気で納得して終わるだけの 高校教程には、よく馴染むのですが、 きちんと証明して話を進めようとすると、 幾何学的直観を計算に翻訳するところで 込み入った説明を要します。 まず、弧度法を定義するために、曲線の長さを定義し、 それがある種の積分で表示されることと 円弧の場合にその積分が収束することを示さねばなりません。 その上で、多価関数として現れる逆三角関数を 局所連続な枝の集まりと捉えて、 その逆関数として三角関数を定義する。 その際、逆三角関数の多価性が三角関数の周期性に対応して、 実関数として well-defined になる...というようなことを、 順に説明せねばならないからです。 no.3 さんが書いておられるように、 解析学的に定義するほうが遥かに簡単で、 大学教程では標準的です。 貴方の受けている講座では、 その辺を全部独力でやれというのでしょうか、 それとも、高校流のナアナアで終わろうというのでしょうか。