質問: f`(1)=f`(-1)=1 , f(1)=0, f(-1)=2 f`(1)=f`(-1)=1 , f(1)=0, f(-1)=2 上記の条件を満たす3次関数 f(x) を求める問題について質問をします。 f(x)= ax^3 +bx^2 + cx +d (a≠0) とおいて、 与えられた数字をそれぞれ代入し、連立をさせれば答えを求めることができるのはわかっています。 しかし、より効率よく問題を解くためのテクニック的なものがあれば教えてほしいです。 (代入や連立の過程などで) 数学が得意な方など、よろしくお願いします。 ちなみに、この問題の答えを求めると、 f(x)=x^3 -2x +1 となりました。
回答: この場合はもっとあっさりと簡単にできる。 3次関数 f(x)の導関数f'(x)は2次関数で しかもf'(x)はx=-1,1で対称性を持つからf'(x)の軸はx=0。 つまりf'(x)=ax^2+b とおける。f'(-1)=f'(1)=1より f'(x)=ax^2+1-a これを積分だ。するとf(x)=ax^3/3+(1-a)x+bとおいて f(1)=0, f(-1)=2 となるようa,bを定めるだけ。 どちらにしても連立方程式を用いずには解けないことには変わりないが、条件次第で 求めなくてはいけない値が少なくて済む。