質問: 問 8、88、888・・・という数列がある。 この数列の初項から第n項までの和を 10^a+nb+cと表す。 このとき、a、b、cの値は何か? という問題があるのですが、解答と解き方を教えて頂きたいで
回答: 漸化式と等差数列の方法があります。両方で。 等差) 並び数なので、以下に気付く。 a1=8 a2=88=8×10^1+8 a3=888=8×10^2+8×10^1+8 .... an=8(10^(n-1)+10^(n-2)....10^1+1) よって、()の中は、項比10,初項1の等比数列の和 ∴ an=8×{(10^n)-1}/9 ∴ Σ(an)=(8/9)Σ(10^n)-Σ(8/9) =(8/9)(8/9)(10^n-1)-8n/9 漸化式) a1=8 a2=88=8×10+8 a3=88×10+8 .... an=a(n-1)×10+8....特性方程式で、α=10α+8→α=-8/9 an+8/9=10a(n-1)+8+8/9 an+8/9=10(a(n-1)+8/9) an+8/9=bnと置くと、 bn=10b(n-1) より、bnは項比10,初項(8+8/9)=80/9 bn=(80/9)10^(n-1)=(8/9)10^n an=bn-8/9=(8/9)10^n-8/9..見た目は違うが上と同じ。 後は、Σanを求めるだけ。