質問: 大学数学 統計学 第二種ベータ分布の期待値の計算において B(a+1,b-1)/B(a,b) a/(b-1)(if 1
回答: まあ定義に戻って考えてみましょう。 ベータ関数とは B(x,y)=∫[0→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt のことですが、右辺の広義積分はx≦0またはy≦0で∞に発散します。 なので、B(x,y)をx≦0またはy≦0のときに値を与えるとしたら、それは∞になります。 これより、b<1のときB(a+1,b-1)=∞といえるわけです。 なぜy≦0で∞になるか証明を与えておきましょう。 まず、被積分関数は非負なので ∫[0→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt≧∫[1/2→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt ですが、 ∫[1/2→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt という積分について、t^(x-1)は1/2≦t≦1で連続関数なので最小値が存在し、それをmとすると、m≦t^(x-1)と言えます。また1/2≦t≦1でt^(x-1)>0ですから、m>0です。 これより、 ∫[1/2→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt ≧m∫1/2→1^(y-1)dt ですが、 積分∫1/2→1^(y-1)dt はs=1-tと置換積分すると ∫1/2→1^(y-1)dt =∫[0→1/2]s^(y-1)ds =[log(s) または (1/y)s^(y)][0→1/2] ですが、y=0のとき、これはlog(1/2)-lim[s→+0]log(s)=∞であり、 またy<0のとき、これは(1/y)・(1/2)^y-(1/y)lim[s→+0]s^(y)ですが、 y>0であることから lim[s→+0]s^(y)=∞ -(1/y)>0 となることを考慮すれば、全体としては (1/y)・(1/2)^y-(1/y)lim[s→+0]s^(y)=∞ となります。 以上より、 ∫[0→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt ≧∫[1/2→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dt ≧m∫1/2→1^(y-1)dt という不等式が成り立ち、∫1/2→1^(y-1)dtはy≦0で∞になるので、 一番上にある∫[0→1]t^(x-1)・(1-t)^(y-1) dtもまたy≦0で∞になります。