質問: 位相空間のコンパクト化の問題で困っています。 最初に問題と回答を写します (x,〇)、(x',〇')、(x'',〇'') をそれぞれ 〇, 〇', 〇''を開集合系とする位相空間 f:x→x' g:x'→x'' を連続写像とする 問:y⊂x がコンパクトであるとき f(y) がコンパクトになることを証明せよ 答:ц={u(λ)|λ∈λ} を f(y) の開被覆とすると f が連続写像であることより ц'={f^(-1)・(u(λ)) |λ∈λ} は y の開被覆となる y はコンパクトであるから,ある ц' の部分被覆 {f^(-1)・(u(λ1))、f^(-1)・(u(λ2))、...、f^(-1)・(u(λn))} が存在する。このとき {u(λ1)、u(λ2)、...、u(λn)} が ц の部分被覆になるのは容易に分かるので f(y) はコンパクト ■ この最後のところで、どうして {u(λ1)、u(λ2)、...、u(λn)} が цの部分被覆になるのかが分からないので教えて欲しいです。 よろしくお願いします。別解などありましたら歓迎です。
回答: 任意のy∈f(y)についてf(x)=yとなるx∈yが存在する。 {f^(-1)・(u(λ1))、f^(-1)・(u(λ2))、...、f^(-1)・(u(λn))} がyの被覆だから、あるλi があってx∈f^(-1)・(u(λi))、すなわち y∈u(λi)。よって{u(λ1)、u(λ2)、...、u(λn)}はyの被覆