質問: コイン500枚!!
回答: (1)の証明 s=t=u=0でないs,t,uで s(a+b)+t(b+c)+u(c+a)=0 とできる。このとき a(u+s)+b(s+t)+c(t+u)=0 (u+s)、(s+t)、(t+u)のうち0でないものがあれば、a、b、cは一次従属 u=-tとすると、u+s=s-t さらにs=tとすると b×2t=0⇨t=0⇨ s=t=u=0 となって矛盾。s=-tでも同様。 よって(u+s)、(s+t) 、(t+u)のうち少なくとも2つは0でなく、a、b、cは一次従属 (2)の反例 a=(1,0)、b=(0,1)、c=(1,1) (3)の証明 c=sa+tb、d=ua+vbとする t=0かつv=0のとき、a、c、dは平行となり一次従属 t≠0とすると b=(c-sa)/t d=ua+(v/t)(c-sa) よってa、c、dは一次従属 v≠0のときも同様 (4)の証明 a、b、cが一次従属とするとs=t=u=0でないs,t,uで sa+tb+uc=0 とできる。これにcを内積させると u|c|^2=0 となって矛盾。よってa、b、cは一次独立