質問: 空間ベクトルの内積 空間ベクトルの内積の問題を予習してるのですが例題を見ても良く解らないので解き方と回答を教えて下さい。 【問】 1辺の 長さが1の立方体である。このとき、次の内積を求めなさい。 (1) ↑AC・↑AD (2) ↑AC・↑EF
回答: 空間というのは3つのベクトルさえ決めてしまえばその空間内のどんな点でもその3つのベクトルで表すことができます。なので、空間の主役となる3つのベクトルを何でも良いので決めてしまいます。(因みに平面なら2つのベクトルで平面上のどんな点も表現できるので主役のベクトルは2本になります。) AB↑=x↑ AD↑=y↑ AE↑=z↑ この3つを主役のベクトルにします。 主役を決めたら、それぞれ単品の情報、相互関係の情報を押さえましょう。 |x↑|=1 |y↑|=1 |z↑|=1 x↑・y↑=|x↑||y↑|・cos90 ゚=0 y↑・z↑=|y↑||z↑|・cos90 ゚=0 x↑・z↑=|x↑||z↑|・cos90 ゚=0 これさえ分かれば後は簡単です。 (1) AC↑=AB↑+AD↑=x↑+y↑ AD↑=y↑ より AC↑・AD↑ =(x↑+y↑)・y↑ =x↑・y↑+|y↑|2 =1 (2) EF↑=x↑ より AC↑・EF↑ =(x↑+y↑)・x↑ =|x↑|2+x↑・y↑ =1 ベクトルというのは図形を計算で処理するために出来たものですので、変に矢印を辿って図形的にやるものではありません。そのときに、主役となるベクトルを決めることとそれぞれの単品の情報、相互関係を抑えることがベクトルの計算を行うための要です。