質問: 0 としてよいことを確認しておこう。 [ 作用反作用 ]の法則により。緩衝装置が物体1と物体2から受ける力はそれぞれ -f1, -f2 である。よって、緩衝装置が受ける外力の和は -f1-f2 であり、それは緩衝装置の重心の加速度に[ m ]をかけたものに等しい。緩衝装置の重心の加速度は物体1や物体2の加速度と同程度の大きさであるので、 m' が m1 および m2 に比べて十分小さいとき、 f1 + f2 は f1 および f2 に比べて無視してよいのである。 (2) 次に、物体1と物体2の相対運動について考える。 (1)で確認したことにより、物体1と物体2の加速度を a1, a2 とし、 f1 を f とおくと、運動方程式はそれぞれ m1a1=f, m2a2=-f と書ける。この2つの式の両辺をそれぞれ m1, m2 で割り、それらの差をとると、 a1-a2=[ (m1+m2)f/m1m2 ]となる。この式は a1-a2 が物体2に対する物体1の相対運動の加速度 a であることに注意すると、 ma=f という形に書ける。ここで、 m は換算質量と呼ばれ、 m1 と m2 により[ m1m2/(m1+m2)]と表される。すなわち、質量 m1 と m2 の2つの物体の相対運動は、質量が m の1つの物体の運動と同じ方程式にしたがう。 (3) 以上のことから、モデル( a )、( b )、( c )の各場合に物体1が受ける力を時間の関数としてグラフで示すと、それぞれ図3の{ オ }、{ カ }、{ キ }となる。モデル( a )、( b )、( c )の各場合に、物体1が力を受けている時間はそれぞれ[ ク ]、[ ケ ]、無限大であり、力の最大値はそれぞれ[ コ ]、[ サ ]、[ シ ]である。 ([ ク ]~[ シ ]は m を用いてもよい。必要ならば、物体が速度に比例し速度と逆向きの力を受ける場合、速度の絶対値は時間とともに指数関数的に減少することを用いよ。) 【解答】 [ オ ] (4) [ カ ] (3) [ キ ] (2) [ ク ] π(√m/k) [ ケ ] mv0/f [ コ ] (√km)v0 [ サ ] f [ シ ] cv0 (3)が全てお手上げです... どなたか易しく教えて下さい。 画像が見にくかったら申し訳ありません。
回答: [オ] 相対運動はばねによる振動的なものになるから,力も三角関数の形になる。 [カ] 力 f = 一定。 [キ] 相対速度の絶対値が指数関数的に減少するから力も指数関数的に減少する。 [ク] m1の位置x1,m2の位置x2とおくと相対変位は,x = x1 - x2。 相対運動の運動方程式 ma = k(x - l) ※lはばねの自然長 これは単振動を表しており,その周期は t = 2π√(m/k) である。物体と緩衝装置が力を及ぼし合うのはちょうど半周期になるから t/2 = π√(m/k) [ケ] 求める時間tとすると,相対運動の運動量-力積関係から mv0 = ft ∴t = mv0/f ※相対運動の運動量-力積関係の証明 ma = -f 相対速度がゼロになった時点で力もゼロになるから,それまでの運動量-力積関係は 0 - mv0 = -ft すなわち mv0 = ft または,2体に分けた運動量-力積関係は最終速度vとすれば m1v - m1v0 = -ft m2v - 0 = ft 2式よりvを消去すれば mv0 = ft を得る。 [コ] ばねの最大縮みxとすると,相対運動のエネルギー保存により mv0^2/2 = kx^2/2 最大力 f = kx より, mv0^2/2 = f^2/(2k) ∴f = √(km)・v0 ※エネルギー保存の証明 最大力のときばねは最も縮んでおり,2体の相対速度はゼロになる。すなわち2体はその瞬間にともに重心速度 v = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2) = m1v0/(m1+m2) に等しい速度をもつ(途中運動量保存を用いた)。 エネルギー保存は, kx^2/2 + 1/2・(m1+m2)v^2 = 1/2・m2v0^2 整理すると kx^2/2 = mv0^2/2 を得る。 [サ] 力f=一定だから,最大値f。 [シ] 最大力は相対速度の最も大きい接触直後である。そのときの相対速度v0だからcv0。