質問: 数学「微分法」の問題が分りません。教えてください。 (1)aは0以上の定数です。このとき、関数y=x^2(x-a)の極値を求めてください。(途中式もお願いします。) (2)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (1≦x≦3)の最大値が8、最小値が-4であるとき、定数a、bの値を求めてください。ただし、a<0とします。 (途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)a=0のとき極値を持たない、a>0のとき極大値0(x=0) 極小値-4a^3/27(x=2a/3) (2)a=-3、b=-4
回答: >(1)aは0以上の定数です。このとき、関数y=x^2(x-a)の極値を求めてください。 y'=2x(x-a)+x^2・1=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0より、 x=0,2a/3 2a/3=0のとき、a=0, このとき、y'=3x^2≧0より、 yは単調増加だから、極値を持たない。 2a/3>0のとき、a>0,このとき、増減表より、(自分で作って下さい) x=0のとき極大値,x=2a/3のとき極小値をとる。 よって、極大値f(0)=0,極小値f(2a/3)=-4a^3/27 >(2)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (1≦x≦3)の最大値が8、最小値が-4であるとき、 >定数a、bの値を求めてください。ただし、a<0とします。 f'(x)=3ax^2-6ax=3ax(x-2)=0より、x=0,2 1≦x≦3だから、x=2のとき、極値をとる。 増減表より、1≦x≦2で増加、2≦x≦3で減少だから、 1≦x≦3で、x=2のとき、最大値f(2)=-4a+b=8 ......(1) f(1)=-2a+b,f(3)=bで、a<0だから、-2a>0より、 f(1)=-2a+b>b=f(3)だから、最小値f(3)=b=-4 ......(2) (1)(2)より、a=-3,b=-4 増減表やグラフについては、自分で確認して下さい。