質問: 「位相空間 (x、t)の二つの部分集合a,bについて、 aが開集合のと 「位相空間 (x、t)の二つの部分集合a,bについて、 aが開集合のとき、 a ∧ (bの閉包)が (a ∧ b)の閉包 に含まれることを示せ」 という問題がわかりません。 証明の仕方を教えて下さい。 教科書はちゃんと読んだのですが、挫折しました。 よろしくお願いします。
回答: cl(y)で集合yの閉包(closure)を表すとします。 a∩cl(b)が空集合のときはokですね。 a∩cl(b)が非空のとき、x∈a∩cl(b)を任意にとってみましょう。 xの任意の開近傍vについて、v∩(a∩b)が非空であることを示せば、x∈cl(a∩b)となって、質問の主張が示せることはいいですか?(a∩bが空集合のときは、a∩cl(b)も空集合) x∈aでaは開集合なので、x∈u⊆v、u⊆aとなる開集合uが存在するのはわかりますか? x∈cl(b)なので、さっきのuとbは共通部分が非空になるのはいいですか? すると・・・そのあとはわかりますか?