質問: 【指数分布】確率変数の和 x1,x2,...,xnは互いに独立な確率変数であり、 それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0) に従います。 確率変数 yk=x1+x2+...+xk の確率密度関数をfk(x) とするとき、 (1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。 (2)fn(x)を求めよ。 (3)確率変数 yk=x1+x2+...+xk の期待値、分散を求めよ。 との問題なのですが、 (1)について、 xとyが独立であるとき、z=x+yの確率密度関数fz(z)は 畳み込み積分で与えられるので、 fz(z)=∫[-∞→∞]fx(x)fy(z-x)dx を...と考えたのですが 上手く証明ができません。 また、(2)について、 指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから 要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、 fn(x)=n/λ だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか... どなたか数学に詳しい方が居られましたら、 ご教授のほどよろしくお願いいたします。
回答: (1) 「上手く証明ができません」とはどういうことでしょうか? 具体的にはどの辺までできてどこで困っているのですか? (2) fn(x) の x はどこへいったのですか? ついでに (3) は「独立」でほぼ終わり.