質問: 非弾性衝突で失われる
回答: 摩擦のない水平面上(直線上)での2物体の衝突とします。 物体P:(m,v)→(m,v') 、 物体Q:(M,V)→(M,V') 教科書や参考書を調べてもらえば、 衝突の際に失われたエネルギーを求める問題があると思います。 おそらく、解答や解説には 『反発係数の式』と『運動量保存則』を連立させることで、 失われたエネルギーを2物体の初速度を用いて表しているはずです。 ですが、この解法はやや面倒でミスもしやすいので、 ここでは、裏技を紹介します。 そこで、まず『重心運動エネルギーKg』と『相対運動エネルギーKr』 というものを定義しておきます。 Kg=1/2・(m+M)vG^2・・・1 Kr=1/2・μvR^2・・・2 vGは重心速度で vG=(mv+MV)/(m+M) vRは相対速度で vR=v-V (V-v でも良い) μは換算質量と呼び、 1/μ=1/m +1/M つまり、μ=mM/(m+M) Kgについては、 質量の部分が2物体の質量の和となっています。 また、「ある瞬間において常に成り立つ」こととして 2物体の運動エネルギーをそれぞれ Kp=1/2・mv^2 Kq=1/2・MV^2 とすると Kp +Kq=Kg +Kr・・・3 という関係が常に成り立ちます。 (実際に両辺を計算すれば確認できます) −−−−−−−−−− ここからが本題ですが、 『運動量(の和)が保存』=『vGが一定』 であるから、質量は一定なので 1を見ると、『Kgも一定』が言えます。 失われたエネルギーをWとすれば、 エネルギー保存則は Kp +Kq -W=Kp' +Kq' となるが、3の関係式から Kg +Kr -W=Kg' +Kr' と書けて、Kg=Kg'なので Kr -W=Kr'・・・4 ∴W=Kr-Kr'=1/2・μ(vR^2 -vR'^2) とわかります。 ここで、反発係数eは e=-(v'-V')/(v-V)=-vR'/vR つまり、vR'=-e・vRなので W=1/2・μ(1 -e^2)vR^2 vRとμを直すと W=1/2・mM/(m+M)・(1 -e^2)(v-V)^2 となります。 −−−−−−−−−− 解答としては、点線内ですが、 『運動量保存の下では4は常に成り立つ』ので、 結局、失われたエネルギーは『Krの減少量』 という意味になります。 よって、このことを知っていると Kg、Kr、μを導入することで瞬時に計算できてしまいます。