質問: dim(w_1 + w_2) + dim(w_1∩w_2) において、dim(w_1 + w_2) を dim(w_1∪w_2) と置き換えても成り立つのでしょうか。 一応この定理の証明を見る限りでは、w_1∪w_2でもよさそうに思ったのですが、そのあたりで勘違いをしているかもしれません。
回答: >(1)2つの部分空間の合併集合はまた、vの部分空間になる は誤りです。部分空間の合併をとるだけでは部分空間になりません。例えばx1∈v1,x2∈v2⇒x1+x2∈v1+v2ですが、x1+x2∈v1∪v2は一般的に成り立ちません。 和空間と合併集合は全く違います。ところが、『和空間は合併集合から生成される部分空間にほかならない』は正しい命題です。ここでのkey pointは、「生成される」という用語にあります。