質問: (cos(θ+π+φ)、sin(θ+π+φ))となる理由を教えてください 「原点oを中心とする半径lの固定した円cに対して、半径rの円dは、円cに外接しつつ、円cの円周上をすべることなく反時計まわりに転がるものとする。はじめ、円dの中心rは(l+r、0)にあり、円dの円周上に固定された点pは(l、0)にあるものとして、円dの転がりにつれて点p の軌跡が描く曲線をsとする。直線orがx軸の正の方向となす角度をθ、直線orが円dの円周と交わる2点のうちoから遠い方の交点をqとして、以下に答えよ。 (1)点rおよび点qの座標をθを用いて表せ。 (2)点pの座標(x、y)をθを用いて表せ。」 という問題の(2)について 解答の記載で、「ベクトルop=ベクトルor+ベクトルrp=(l+r)(cosθ、 sinθ)+r(cos(θ+π+φ)、sin(θ+π++φ))」という部分があるのですが(解答では、φ=lθ/rと置いています。)、(cos(θ+π+φ)、sin(θ+π++φ))はなぜπを足しているのでしょうか。道き出し方を教えていただけるとありがたいです。
回答: 途中に登場する「図」を自分で正確に書いてみてくださいね!! 公式:扇形の弧の長さ=半径x中心角(ラジアン) だから ∠rox(xはx軸の正方向上の点)=θ となる位置までdが回転したとき 初めの2円の接点から、回転後の接点までのの弧の長さは (初めの接点と、回転後の接点と、円の中心が描く弧の長さは) cの方で言うと lθ dの方で言うと rφ(ただし φはdが回転した角度(φ=∠orp) すべることなく回転なんで これらは等し lθ=rφ⇔φ=lθ/r このような回転角度の位置を図示して考えてみる! ここで、三角関数の定義を確認・・・テキスト見てみて すると定義に当てはめ xy平面上で x軸の正方向から反時計回りに角度αにある動径op'について p'の座標は x座標=opcosα y座標=opsinα と表せることが分かる (だからこそ、定義に当てはめて ベクトルor=(l+r)(cosθ、 sinθ) と表せる!) rpについても同様に定義に当てはめればよいわけだが rは原点にない でも各点の位置関係が回転しないようにrをoの位置へスライドすればこのことは解決する あとは、右へ延びるx水平線(x軸ないしx軸と平行な直線)とrpが時計回りになす角度α'を知りたい! 描いた図を見ながら解析すると スライド前、x軸から角度θの位置にrがあり orから反時計回りにφの位置に pがあるのだから rから延びる水平線からはかって、時計回りにα'の位置にpがあるとみれば pは水平線からまずπ回転して、さらにθ回転して さらにφ回転の位置にあることが分かるはず この角度の関係は rをoの位置までスライドした後でも同じ スライド後pはp''へ移ったとすれば 三角形の定義に当てはめ p''のx座標=rcosα'=rcos(π+θ+φ) p''のy座標=rsinα''=rsin(π+θ+φ) このことから ベクトルop''=r(cos(π+θ+φ),sin(π+θ+φ)) これと平行なベクトルだから ベクトルrp=r(cos(π+θ+φ),sin(π+θ+φ))