質問: 私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系sに 私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系sにおいて、形式的体系sが無矛盾である限り、「形式的体系sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。 問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理2に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理2の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。 <ユークリッド 幾何学の公理> (公理1)与えられた2点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど1つ引くことができる。 (公理2)与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。 (公理3)平面上に2点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど1つ書くことができる。 (公理4)直角はすべて相等しい。 (公理5(平行線公理))直線外の1点を通り、その直線に平行な直線は1本に限る
回答: > ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが、 > 無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。 no.1 no.4 を全く読んでいないのか。ガッカリ。 ユークリッド幾何に、「公理2の限りなく線分を伸ばした点」なるものを 付け加えると、no.4 のように矛盾が出てくる。よって、 ユークリッド幾何が無矛盾であれば、その公理系から無限遠点の存在を 導くことはできない。