質問: 次の平面の方程式を求めよ 1、点(2,1,3)を通り、平面3x+2y-4z=12に平行な平面 2、2点A(1,2,1)、B(3,-1,0)を結ぶ直線ABに垂直で、しかも点(1,-1,2)を通る平面
回答: 点(a,b,c)を通り、法線ベクトルが(α、β、γ)である平面の方程式は α(x-a)+β(y-b)+γ(zーc)=0 である という性質を押さえこの式に条件があてはめられるよう、操作していきます。 1 求める平面は3x+2y-4z=12に平行に平行だから その法線ベクトルは等しく(3,2,-4)とおくことができ、点(2,1,3)を通るので その方程式は 3(x-2)+2(y-1)ー4(zー3)=0 ∴3x+2yー4z=ー4...(答え) となります。 2 方程式を求める平面は直線ABに垂直だからその法線ベクトルは 直線ABの方向ベクトルと等しくなるので 法線ベクトルは(3,-1,0)ー(1,2,1)=(2,-3,-1) また、点(1,-1,2)を通るから求める平面の方程式は 2(x-1)ー3(yー(ー1))ー1(z-2)=0 ∴2xー3y-z=3...(答え) となります 3 求める平面の法線ベクトルを(a、b、c)とすると その平面はx+y-z=1に垂直であるから 法線ベクトルどうしも垂直となるので 1・a+1・b+(ー1)・c=0 ∴a+bーc=0...1 方程式を求める平面は3x-2y+z=-4にも垂直だから同様に 3aー2b+c=0...2 1、2よりb=4aさらにc=5aとなりますから 求める平面の法線ベクトルを (1,4,5)とすることができます。また、点(1,2,-3)を通るので求める方程式は 1(x-1)+4(y-2)+5(zー(ー3))=0 ∴x+4y+5z=ー6...答え となります