質問: 数学Iのデータについて質問です。 次の問題が全く分かりません。 解き方を教えていただけたら 嬉しいです。 問題 100人生徒を2つの組に分けて行った試験の結果 1組 40人 平均値62 標
回答: 数Iの範囲なので、極力Σ(総和の記号)を使わずにご説明します。 (かっこつきで、一応Σを使った式も書いていきます) 標準偏差は、分散の正の平方根です。 分散は、(各生徒の得点-平均点)^2をずっと足していって、最後に 母数で割ります。(生徒iの得点をx(i), 平均をx、母数nとすると、 (1/n){Σ((i)=1~k)(x(i)-x)^2という式になります) 平均というのは、各得点を足していって、総和を母数で割ったものでした。 このことから、総和は、平均×母数に等しいことがわかります。 (式にするとx=(1/n)Σ(i=1~n)x(i)より、Σ(i=1~n)x(i)=nx) ここで、分散の式を考えます。 (x(i)-x)^2=x(i)^2-2x(i)x+x^2ですね。 これをずっと足していくことを考えます。 xは、データが決まれば、ただ1つに定まる定数です。 だから、n人分これを足していくと、展開式の真ん中の項は、 -2xでくくると、-2x(x(1)+x(2)+...+x(n))=-2x(nx)=-2nx^2となります。 (さっきの性質を用いました。) また、x^2をn個足すとnx^2となります。 よって、分散の式は、 (1/n)(x(1)^2+x(2)^2+...+x(n)^2-2nx^2+nx^2) =(1/n)(x(1)^2+...+x(n)^2))-x^2 このことから、分散は、生徒の得点の2乗の平均から、 生徒の得点の平均の2乗を引いたものと分かります。 1、1組について、求めたいものをyとすれば、 y-62^2=13^2 ∴y=4013 2組について、 z-57^2=12^2 ∴z=3393 2,100人分の平均を求めるときは、 {(1組の総得点)+(2組の総得点)}/100 さきほどやったように、 1組の総得点=1組平均点×1組の生徒数で求まるのでした。 よって、学年平均は、 {(40・62)+(60・57)}/100=(248+342)/10=59 また、得点の2乗の学年平均も同様に考えて、 (40・4013+60・3393)/100=3641 さっき、分散が、2乗の平均から、平均の2乗を引いたものになると示しました。 このことから、求めたい分散Vは、 V=3641-59^2=160 これの√が標準偏差だから、 SD=√160=4√10≒12.65 これは、1年生には少々酷かもしれませんね。 計算量、考え方、ともに大変です。(授業でやったのなら 話は別ですが) ところで、1組と2組の人数の違いが不自然ですよね。1組不登校だらけかよって ツッコみたくなりますね。なんちゃって。 間違っていたらすみません。