質問: 汎関数の関数の変分 関数y(x)の汎関数i[y(x)]の関数f(i[y(x)])の変分δfはδxを使ってどのように書かれるのでしょうか? 変分については解析力学で少し勉強した程度なので,質問がまとはずれでしたら申し訳ありません. 汎関数i[y]の変分はδi=i[y+δy]-i[y]だったと思いますが,汎関数の関数の変分がよくわかりません. よろしくおねがいします.
回答: > δxを使ってどのように書かれるのでしょうか? とのことですから,xは当然何らかの関数なんでしょう(そうでなければ変分を考える意味がないので). そこで,以下,x = x(t)とします. また,質問文にはy(x)という表記が見られるので, 単純に「yは1変数の関数y = y(ξ)で,y(x)はξ = x(t)としたものy(x) = y(x(t))」とみなします. # 要するにyはラグランジアンみたいに y = y(x,x',t) とかいうややこしい形をしておらず,単なる1変数関数だとみなします. さらに, > 汎関数i[y]の変分はδi=i[y+δy]-i[y]だったと思いますが, そうなんですけど,このままの形だとこれ以上変形できず,「δxで表す」なんて無理ですので, 「δi[y]/δy は関数δyを汎関数δi[y]に写す写像である」 と定義しておきます. # i[y]の具体的な形が判らないと,このような抽象的な話になってしまいます. 注意してほしいのは「δi[y]/δyはtに依存しない」ということと, 「δi[y] = (δi[y]/δy)(δy) は単なる掛け算じゃなく,『δi[y]/δyという写像がδyという関数に作用している』」ということです. 以上,長い前置きでした. まずはδi[y]をδxで表しましょう: δi[y] = (δi[y]/δy) (δy) = (δi[y]/δy)({dy/dx} δx). したがって, δf(i[y(x)]) = (df/di) δi[y] # これは単なる掛け算 = (df/di) (δi[y]/δy)({dy/dx} δx). これ以上は具体的にならないと思います. よろしければ汎関数i[y]の具体的な形を補足してください. それとも,もしかして単に i = ∫y(x(t)) dt # 不定積分ではなく何らかの区間上の定積分 みたいな形でしょうか. もしそうなら,普通,iはxの汎関数とみなし,i[x]と書きます. この場合だと, δi[x] = ∫(dy/dx) δx(t) dt なので, δf(i[x]) = (df/di) δi[x] = (df/di) ∫(dy/dx) δx(t) dt.