質問: 群の軌道やstabilizer、ブロックなどに関する問題の質問です。 群の軌道やstabilizer、ブロックなどに関する問題の質問です。 ω := {1, ・・・, n} (n≧3) としsn (n次対象群) のω^{2} (ωの大きさが2の部分集合全体) への作用を考える。 snはω上n重可移なのでこの作用は可移である。 {1, 2} ∈ ω^{2} のsnにおけるstabilizer(hとする)を考える。 この群hは3つの軌道を持ちそれぞれ{1, 2} , ( {1, α}, {2, α} (α≠1,2) ), ( {α, β} (α, β≠1, 2) ) から成る。 hは1, 2を固定するのでこれらの軌道の長さはそれぞれ 1, 2(n-2), (n-2)(n-3)/2 である。 {1, 2}を含むω^{2}上のsnの任意の非自明ブロックはhの他の軌道を少なくとも一つ含む。 という前置きがあって次の問題があるんですがこれがなかなかわからないのでヒントでも何か教えていただければ幸いです。 n≧8のとき, 2(n-2) +1 ≦ (n-2)(n-3)/2 でありこの左辺は右辺を割り切ることはない。 これを使って次を示せ。 「n=4の時を除いて任意のhの2つの軌道を含むブロックはもう一つの軌道も必ず含み、gのω^{2}への作用はn≧3かつn≠4なる全てのnについてprimitive(原始的)である。」 gについての言及はないのでおそらく任意の群gについてという意味だと思います。 感覚的には任意の群gのブロック(δとしa∈δ)はga(aのpoint-stabilizer)の軌道の和集合で表されるという事実があるので2つの軌道があって短い方の長さが長い方の長さを割り切らないから短い方の軌道が長い方に含まれていることがないので和集合をとったときに両方の軌道が含まれていないといけない。というような感じだと思ったのですが具体的に式でそれを証明することがなかなか出来ずに困っています。 ヒントでもいいので誰か教えていただけたら恐縮です。 すぐに回答をとしていますがあと3日以内に解決すれば良いのでよろしくお願いします。
回答: 定義がいまいちわからないので、質問を重ねてもよいでしょうか? >「n=4の時を除いて任意のhの2つの軌道を含むブロックはもう一つの軌道も必ず含み、gのω^{2}への作用はn≧3かつn≠4なる全てのnについてprimitive(原始的)である。」 n=5のとき、 {1,2}を固定する固定部分群は、次の12個の置換からなる群h: h:={ e, (3, 4), (3, 5), (4, 5), (3, 4, 5), (3, 5, 4), (1, 2), (1, 2)(3, 4), (1, 2)(3, 5), (1, 2)(4, 5), (1, 2)(3, 4, 5), (1, 2)(3, 5, 4), } ω^{2}はhにより次の3つの軌道o1, o2, o3に分割される: o1:={ {1,2} } o2:={ {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5} } o3:={ {3,4}, {3,5}, {4,5} } このとき, “任意のhの2つの軌道を含むブロック”とは、 どういったものでしょうか? 『δ s,t, (oi ∪ oj) ⊆ δ where i ≠ j』 ? でもこれだと示そうとしている主張がなりたたないような...。 勘違いでしたらすみません。