質問: 物理のフックの法則の問題が分かりません(><) 全部じゃなく分かるところだけでも助かりますので、教えてください!お願いします! 問1、フックの法則においては、原点からxの位置にある質量mの物体は-kx(k(>0)はばね定数)の力を受ける。t=0において、x=aにある物体を静かに離した。このとき、 (1)運動方程式と初期条件(t=0のときの位置xと速度v)を示せ。 (2)この運動方程式を解いて、物体の位置xの時間t依存性を求めよ。 問2、フックの法則に従うばねの一端を天井に固定し、他端に質量mのおもりをとりつけた系を考える。ばねの長さが自然長になるようにばねを支えた状態から、おもりを静かに放した(位置の原点をばねの自然長でのおもりの位置とせよ)。このとき、 (1)運動方程式と初期条件(t=0のときの位置xと速度v)を示せ。 (2)この運動方程式を解いて、物体の位置xの時間t依存性を求めよ。 問3、全問(2)の質量mのおもりをとりつけたばねを、ゆっくりと伸ばして平衡の位置(すなわち、おもりへの地球の重力とフックの法則による力がつり合った位置)までもってきた。ばねの自然長の位置を原点として、この平衡の位置x1を求めよ。
回答: 問1 (1) 物体に働く力は 弾性力(f=-kx) だけですから、運動方程式は m・d^2x/dt^2=-kx となります。 初期条件は、t=0で v=0,x=a ですね。 (2) (1)の運動方程式を見ますと、xは、2回微分したときに自分自身 x に戻り、符号が反転する関数だということがわかります。このような関数としては、三角関数がポピュラーですね。つまり、 x=a・sin(ωt+δ) (ア) の形に書けるはずなのです。 物体に働く力は、復元力の形式になっていますから、物体の運動は単振動になるはずです。そこで、角速度ωを使った式にしてみました。 a,δ,ω などは、初期条件などから確定できる定数です。 v=dx/dt ですから、(ア)を微分して v=aω・cos(ωt+δ) ですね。 t=0で v=0 という初期条件から 0=aω・cos(δ) ∴δ=π/2 同じように、t=0 で x=a でしたから a=a・sin(π/2) ∴ a=a (ア)を運動方程式に代入してみますと m・(-ω^2)・x=-kx ∴ω=√(k/m) となります。これで、未確定要素のすべてが確定しました。 以上をまとめますと x=a・sin((√(k/m))t+π/2) あるいは sin(θ+π/2)=cosθ を利用して x=a・cos((√(k/m))t) となります。これは、x が 時刻 t の関数として表現されていますから、求められている解となります。 問2 (1)バネが x だけ伸びた状態の瞬間、物体に働く力は 鉛直上向きに弾性力 kx 鉛直下向きに重力 mg 下向きを正にとると、合力=mg-kx=-k(x-mg/k) 運動方程式は、xを用いると m・d^2x/dt^2=-k(x-β) となりますね。 ところで、後のことを考えて mg/k=β y=x-β としておきますと 合力=-ky と書けることになります。 y=x-βをtで微分すると dy/dt=dx/dt d^2y/dt^2=d^2x/dt^2 となりますから、y を使った運動方程式も書けて、それは m・d^2y/dt^2=-ky となります。あれ? どこかで見た形ですね。 初期条件は t=0で、v=0,x=0 (y=-β)となります. (2) y を使った運動方程式は、問1のそれと全く同形なのですね。物体は、やはり単振動するわけで y=a・sin(ωt+δ) と書けるはずです。 初期条件は問1と少し違いますから、そこに気を付けて、未確定定数を確定しましょう。 t=0 でv=0 でしたから δ=π/2 です。 t=0で x=0(y=-β)なので -β=a・sin(π/2) ∴ a=-β ∴ y=-β・sin(ωt+π/2) =β・sin(ωt-π/2) この結果を、yを使った方の運動方程式に代入して m・ω^2=k ∴ω=√(k/m) すべての定数が確定しましたから y=(mg/k)・sin((√(mg/k))t-π/2) =-(mg/k)・cos((√(mg/k))t) となります。 x=y+β でしたから x=(mg/k){1-cos((√(mg/k))t)} これは、位置と時刻との関係式ですから、求める解ですね。 問3 力のつり合いより mg=kx1 が成り立っていますから x1=mg/k ですね。 この結果を問2と比較しますと、物体は単振動しますが、振動の中心が、x=x1 つまり釣り合いの位置であることを示していることに注目したいですね。