質問: 楕円運動におけるテーラー展開の利用 力学の授業でレポートが出されました。 惑星が万有引力f=-μ/r^2(rは力の中心からの距離)によって楕円運動をするときに、aを長軸半径、eを楕円軌道の離心率として、r=a(1-ecosθ)で定義されるθを用いてこの運動の様子を考えます。 ここまでで周期tがt=2π(√a^3/μ)と表され、t=(θ-esinθ)/nとなることが導出できました。 しかし次の問題が、「eが1に比べて十分に小さいとき、上で導出したtとθの関係式を用いて、θとtの関係式をeの一次まで考慮して表せ」というもので、テーラー展開を用いるらしいのですがさっぱりわかりません。テーラー展開自体が数学で習いたてなので苦しいです。 よろしくお願いします。
回答: ケプラーの方程式 t = { θ - ε*sin(θ) }/n から θ = n*t + ε*sin(θ) --- (1) 式(1)において、ε = 0 と仮定すれば θ = n*t [第0近似] これを式(1)の sin(θ) に代入すれば θ = n*t + ε*sin(n*t) [第1近似] --- (2) 式(2)を式(1)の sin(θ) に代入すれば・・・というのを繰り返せば、 ε に関する テーラー展開が得られますが、1次までで良いのなら式(2)が答えになります。