質問: 微分方程式 微分方程式の勉強をしているのですが、 本の微分方程式を解く例題で y''-2y'+y=xe^x 特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は y=e^x(ax+b) である。 与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは 上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、 y1=ax^3e^xとおくと y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x) これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6 よってy=e^x(ax+b+x^3/6) とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。 例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより 補助方程式の一般解はy=e^(2x)(asinx+bcosx) 与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか?
回答: >与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか? e^(2x) と 2±i(虚数解) は重複していませんので 特殊解は、ae^(2x) とおいて 4ae^(2x)-4ae^(2x)+ae^(2x)=e^(2x) a=1と出てきます。 特殊解は e^(2x) となります。 よって y={asinx+bcosx+1}e^(2x) ですね。 重複度は、特性方程式から出てくる一般解の1つと 一致する e^(2x)sin(x) や e^(2x)sin(x) が右辺に出てきた場合ですね。 そんな場合(重複度1に相当)は 特殊解を xe^(2x){asin(x)+bcos(x)} とおけばいいでしょうね。