質問: 0!が1であることを証明するときの過程を考えれば
回答: そんな詳しくはないですが、、、 階乗 n! を実数あるいは複素数に拡張したガンマ関数という、積分で 定義された関数がありまして、大学初年級の解析で出てきます。 ガンマ関数 Γ(x) でxが自然数 n であれば、Γ(n) = (n-1)! が 成立します。n=0 とすると、形式的にご質問の(-1)! となりますが、 おっしゃる通り、この値は ∞ に発散します。正確に言うと、x が 正の方向から0に近づくと ∞ に発散し、xが 0 に負の側から近づく と、-∞ に発散します。その辺の詳しい背景はここで詳しく説明する のは無理があるので、解析の教科書をあたってください。ガンマ関数 で検索すれば、解説記事も色々出ていると思います。