質問: 等比数列であり等差数列でもある数列 私は文系なのですが、理系の友人が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列がある」と言っていました。 わからなかったので答えを聞いたところ、答えを教えてくれましたがそれを聞いても私はどうも釈然としません。 実際にこういった数列は存在するのでしょうか? (ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、後ほどどなたかの回答に対するお礼の欄で掲示するという形をとらせていただきたいと思います。申しわけありませんがご理解ください。)
回答: 一般項をa_nとすると,等差数列になるには三項間の関係式 2a_{n+1}=a_n+a_{n+2} (a) を満たします。次に等比数列になるには三項間の関係式 [a_{n+1}]^2=a_n*a_{n+2} (b) を満たします。(a),(b)両方を満たせば数列{a_n}は「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」ですよね。よって(a),(b)からa_{n+2}を消去すると 2a_{n+1}=a_n+[a_{n+1}]^2/a_n 整理すると [a_{n+1}]^2-2a_n*a_{n+1}+{a_n}^2=0 ⇔[a_{n+1}-a_n]^2=0 よってa_{n+1}=a_n を満たせばよいのです。つまりどの項も同じ数だといいのです。例えば 3,3,3,3,・・・・・ -1、-1,-1,-1、・・・ 等ですね。一般に初項をaとすると a_n=a が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です 多分teke2005さんは、ずっと同じ数字でもあり?と思ってるのだと思いますが、別にいいです。等差=0,等比=1の立派な「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です。