質問: ∫(√(1-x^2))/(1-x) dx を解くと -arccos x -(√1-x^2)+cになり ∫(√(1-x^2))/(1-x) dx を解くと -arccos x -(√1-x^2)+cになりました しかし解答には arcsin x -(√1-x^2)+cと書いてありました。 何度見直ししても解答のような形になりません。 正しい解答を教えてください
回答: どちらも正しい。 不定積分は積分定数があるため、違う式で表現されることがある。 x=cost=sin(π/2 - t)とすると、 t=arccosx π/2 - t=arcsinx π/2 - arccosx=arcsinx -arccosx=arcsinx - π/2 -arccosx - (√1-x^2) + c =arcsinx - (√1-x^2) + c - π/2 =arcsinx - (√1-x^2) + c' (c'=c - π/2) 位相の差は積分定数で吸収されるため、どちらも答えとしては正しい。 模範解答から見れば、arcsinxを微分するのが綺麗ではあるが、積分のほうはcosで置換しないと計算が複雑になる。