質問: 微分可能なのに導関数が不連続? 一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。) f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。 傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。
回答: それじゃ f(x)=x^2 sin (1/x) などいかがでしょうか。 |sin (1/x)|<1ですから f(0)=0となることはよろしいですね。 またx≠0なら通常の方法で微分可能ですね。すなわち f'(x)=2x sin (1/x) - cos (1/x) となります。 x=0の時は微分の定義に戻って f'(0) = lim_{x→0} ( f(x) - f(0))/ x = lim_{x→0} ( x^2 sin (1/x) )/ x = lim_{x→0} x sin (1/x)=0 となります。すなわちfはすべての点で微分可能です。 しかし lim_{x→0} f'(x)=lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x)) = lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x) で、最後の式の第1項は0ですが第2項は不確定なのでf'(x)は0で不連続です。 (f'(x)が0で連続であると言うのはlim_{x→0} f'(x)=f'(0)となるということでしたね。)