質問: ベクトル 座標空間に平面α:x+y+z=2と直線l:x-2=-2y=2z-2。 このときlを含みαに垂直な平面の方程式の問題で 座標を表す時 α(1,1,1) 直線l(2,-1,1) とどうやって座標を作るのでしょうか?
回答: ちょっと舌足らずなようですね。 もう少しきちんと書くべきことを書くようにしたほうがいいですよ。その方が回答がつきやすいかと思います。 さて、質問の内容にお答えしますと、 >平面α:x+y+z=2 ⇒ 平面αの法線ベクトル(1,1,1) >直線l:x-2=-2y=2z-2 ⇒ 直線lの方向ベクトル(2,-1,1) というところまでは分かっていますよね。(この式は以前見かけたような気がします。) さて、問題はここからですが、求める平面は、直線lを含んで、平面αに垂直な平面ですので、「求める平面の法線ベクトルは、直線lの方向ベクトルと平面αの法線ベクトルの両方に垂直で、直線l上の点を通る」ことになります。 そこで、求める平面の法線ベクトルを(a,b,c)としますと、これと垂直なベクトルとの内積は0になりますので、次の式が得られます。 直線lの方向ベクトルと垂直 ⇒ (1,1,1)・(a,b,c)=a+b+c=0 ・・・・(a) 平面αの法線ベクトルと垂直 ⇒ (2,-1,1)・(a,b,c)=2a-b+c=0 ・・・・(b) この2つの式を連立して、a:b:cの比を求めますと、次の関係が得られます。 a:b:c=2:1:-3 これが、求める平面の法線ベクトルになります。 ところで、直線lは、方向ベクトルを明示するように変形すると x-2=-2y=2z-2 ⇔(x-2)/2=y/(-1)=(z-1)/1 となりますので、この直線は点(2,0,1)を通ることが分かります。 ここから、求める平面は、法線ベクトルが(2:1:-3)で、点(2,0,1)を通ることから、次のように求められます。 2(x-2)+1・(y-0)-3(z-1)=0 ∴2x+y-3z-1=0