質問: 最大元と極大元の定義の違いが分かりません 数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。 定義 (x,≦)を順序集合,aをxの部分集合とする。 「1) aがaの元でaの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをaの最大元といい,maxaと書く,aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをaの最小元といい,minaと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。 2) aがaの元で,aのいかなる元xに対してもa
回答: 最大元の定義で >aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時, ってある「a≦xが成り立つ」という部分がポイント. これは ・aとxの間に順序が定義できて ・なおかつ,a≦xが成り立つ という意味. 順序集合ってのは, 任意の元同士で順序が定義できるとは限らない 任意の元同士で順序が定義できるのは「全順序集合」っていう. 順序集合の定義をよくみてみよう. a≦b,b≦c => a≦c とかあるけども,これは 「aとb,bとcが順序つけできたら」という前提がある. 大抵の本には「例」としてでている 「べき集合」で「包含関係を順序とする」やつを考えればわかる. 極大元の方は >a=xである ということ. 最大元と違うでしょう? こんな風に分解すれば どんな元同士でも順序つけできる「全順序集合」なら 同値なのは明らかなのはわかるでしょう 全順序・順序の違いとかは極めて重要です. 例をいろいろ構築して,きちんと理解しましょう. ここがわかってないと,このあとの各種の帰納法や zornの補題とかzermeloの整列可能定理とかが・・ 只でさえ黒魔術の呪文に見えるのに, ますます破滅的に見えて混乱します.