質問: 球の体積を微分すると...、 こんばんわ。かなり困っているのでご教示願います。 球の体積は、積分を用いて”4πrの3乗/3”と導き出すことができました。 そして、この値を微分すると”4πrの2乗”、つまり、球の表面積がでることも分かります。 しかし、なぜ微分すれば、体積から表面積が導きだせるのかが分かりません。そもそも、微分の根本的な意味を理解できていないからだと思います。(微分とは、曲線上の点に接線を引く作業であることぐらいしか分かりません。) そこで、「球の表面積は、球の体積を~~~~したものなので、球の体積を微分すればいい。」といった説明ができるようになりたいです。 どうかよろしくお願いいたします。
回答: 色々な考え方がありますが、視点を変えて「表面積を積分したら体積になる」ことを考えてみましょう。 例えば積分で体積を求めるときは、ある断面を考えて、その面積を積分していけば体積になりましたよね? それと同様の考え方で球の体積を求めることにします。 ただ、高校の教科書などでは平面に切断してその面積を積分していましたが、今回は平面にせずに半径rの球の表面積で考えてみましょう。 求めたい球の半径がaとします。 半径rの球の表面を、rを0からaまで動かすとちょうど半径aの球になりますよね。 よって 球の体積=∫(4πr^2)dr (0からaまで積分) となります。 これより、微分と積分はちょうど逆の関係にありますから、体積を微分すると表面積になることがわかります。