質問: 微分方程式 微分方程式 dx/dt=2x・・・(1) x(0)=5・・・(2) に関してわからないことがあるので質問します。 (1)よりx=x(t)で tが0のときxは5、ここで 1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3) よりt=t(x)となり、上記のxとtの関係から、0=t(5)と置け、(3)の中央と右の辺をxで定積分して、∫(5→x)1/(2x)dx=∫(5→x)(dt/dx)dx より 1/2(logx-log5)=∫(5→x)dt ∴ 1/2log(x/5)=t(x)-t(5) ここからがわからないところですが、1/2log(x/5)+0=t(x)=t と解説にはのっており、この左辺の0は、自分の計算どうり、∫(5→x)dt の下端からできたものなのかはっきりしません。間違っていたら訂正おねがいします。 続けて、log(x/5)=2t よって x=5e^2t 二つ目のわからないところは、微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるかを問われたのですが 自分の計算では、{{5e^2(t+1)}-5e^2t}/(t+1-t)で5e^2t(e^2-1)倍でしたが、答えはe^2倍でした。 どなたか自分の考えを訂正してください。おねがいします。
回答: (1つ目) dx/dt=2x・・・(1), x(0)=5・・・(2) (1)より dx/x=2dt loge(x)+2t+c (2)より loge(5)=c loge(x)=2t+loge(5) loge(x/5)=2t x/5=e^(2t) x= 5e^(2t) ... (4) .... (ans.) (2つ目) t=t1(任意) の時 (4)より x=x1=5e^(2t1) ... (5) t=t1+1の時 (4)より x=x2=5e^(2t1+2) ... (6) (5), (6)より x2/x1=e^2 (ans.) e^2 倍