質問: 円錐・角錐の体積は「底面積×高さ÷3」になるのはなぜ? 三角形の面積の公式は、「底辺×高さ÷2」です。 「なんで2で割るの?」と聞かれたら、答えは簡単。 「この三角形と同じ三角形を上下ひっくり返してくっつけてごらん。 平行四辺形になったでしょ。この平行四辺形の面積を2で割ればいいんだよ。」 では、円錐・角錐などの錐体の体積は「底面積×高さ÷3」ですが、 なぜ3で割るのでしょうか? 私が昔中学生の頃、へっぽこな数学教師にこれを質問したところ、 「きっと昔の人が円柱と円錐の容器に水を入れて、その量を比べて 3で割る事を発見したんだと思います。 数学的に証明する事は私には分かりませんが、きっと私なんかよりも ずっと賢い人が証明する手段を知っていると思いますので、大学に 行ってから先生に聞いてみてください。」などとテキトーな事を言ってました。 さて、錐体の体積の求め方を教えていただけますか? 「積分」がキーワードだと思うんですが...。 (ちなみに私はかなり昔に大学の理系を卒業しました)
回答: 森鴎外の『雁』に、東大の医学生がソレの証明を知っているといって自慢する話 が出てきますね。円錐の場合は、積分が避けられませんから、中学生向きの話題 ではないでしょう。角錐の場合は、底面積と高さが共通な錐どうしは体積が同じ であることを認めてしまえば、体積が柱の1/3であることは示すことができます。 「カバリエリの原理」を検索してみることを勧めます。