質問: ロピタルの定理の問題が分かりません。(2) またロピタルの定理でつまずいてしまいました。 ロピタルの定理を用いて、次の不定形の極限値を求めよ。 (1)lim(x->+0)x/(x^x)-1 (2)lim(x->0)[{(1+x)^1/x}-e]/x という問題です。答えはそれぞれ、 (1)0 (2)-e/2 となるそうですが、計算過程がわかりません。 どなたか教えてください。
回答: (解き方)ロピタルの定理を繰り返し使用する。 以下の計算がなぜそうなるかの 途中の計算は自分で考えて見て下さい。 (1)lim(x->+0)x/{(x^x)-1} =lim(x->+0) 1/{(x^x)(log(x)+1)} =lim(x->+0) 1/(log(x)+1) =0 (2)lim(x->0)[{(1+x)^(1/x)}-e]/x =lim(x->0)[{(1+x)^(1/x)}{1/(x(1+x))-(log(1+x))/(x^2)}]/1 =e*lim(x->0){x/(1+x)-(log(1+x))}/(x^2) =e*lim(x->0){x-(1+x)log(1+x)}/{(x^2)(1+x)} =e*lim(x->0){-log(1+x)}/(2x+3x^2) =e*lim(x->0){-1/(1+x)}/(2+6x) =e*(-1/2)