質問: 線型代数学の問題です。
回答: 定義を復習しておきます。[定義-一次独立・従属] 実ベクトル空間Vのベクトルの集まり{v_1,...,v_n}が一次独立であるとは、 任意の実数c_1,...,c_nに対し c_1v_1+...+c_nv_n=0⇒c_1=...=c_n=0 が成立することをいう。(ここで、c_1v_1+...+c_nv_n=0の0は零ベクトルの意味) さらに、{v_1,...,v_n}が一次独立ではないとき、{v_1,...,v_n}は一次従属であるという。 必要十分条件であることを示せ、という問題なので、 (i)v1,v2が一次独立なら、ad-bc≠0 (ii)ad-bc≠0なら、v1,v2が一次独立 というのを示す必要があります。 まずは(i)から。 {v1,v2}が一次独立であると仮定し、ad-bc≠0を導きます。 {v1,v2}が一次独立なので、v1もv2もゼロベクトルではありません。もしv1とv2のどちらか一方がゼロベクトルだったとすると、{v1,v2}は必ず一次従属になってしまうことがすぐにわかります。 したがって、v1=t[a,b],v2=t[c,d]という定義だったので、 a≠0またはb≠0 そして c≠0またはd≠0 というのが成立します。ここでは、b≠0,d≠0と仮定しますが、他の場合も同様にできると思います。 さて、背理法でad-bc≠0を示します。ad-bc=0、つまりad=bcであると仮定すると、b≠0,d≠0より両辺をbd≠0で割ると、a/b=c/dを得ます。a/b=c/d=kとおくと、 a=bk c=dk となるような定数kが存在するとわかります。このとき、 v1=t[a,b]=b・t[k,1],v2=d・t[k,1] とかけます。 このことは、c1=1/b,c2=-1/dと仮定すると c1v1+c2v2=0となることを意味します。v1,v2が一次独立だったので、 この式はc1=c2=0を意味しますが、1/bや-1/dは0にはなりえないので矛盾です。 以上より、ad-bc≠0を得ます。 さて、逆方向(ii)ad-bc≠0なら、v1,v2が一次独立というのを示します。 これも背理法で示しましょう。ad-bc≠0という仮定のもと、v1,v2が一従属であったと仮定します。 このとき、どちらか一方が0ではない実数c1,c2(ここではc2≠0としますが、c1≠0の場合も同様にできます)が存在して c1v1+c2v2=0 を得ます。両辺をc2≠0で割って、-c1/c2=kとおくと v2=k・v1 を得ます。 これは、成分を比較すると c=ka d=kb を意味します。これをad-bcに代入すると a・kb-b・ka =kab-kab =0 となってad-bc≠0に矛盾します。したがって、v1,v2は一次従属ではなく、つまり一次独立です。 以上より、 (i)v1,v2が一次独立なら、ad-bc≠0 (ii)ad-bc≠0なら、v1,v2が一次独立 が示されたので、v1,v2が一次独立であることの必要十分条件は、ad-bc≠0とわかります。