質問: ∫x2(logx)2dxの不定積分の求め方と途中式をどなたか教えてください。 ∫x2(logx)2dxの不定積分の求め方と途中式をどなたか教えてください。
回答: $\log x =t$ とおきます。 $x= e^t$ 、 $dx=e^t dt$ となります。 置換積分をしたあと部分積分を用います。微分したい式が積分の中にある時に用いるのが「部分積分」です。 $$\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$ より, $$\begin{aligned}\int & x^2 (\log x)^2 dx\\&= \int e^{2t} \cdot t^2 \cdot e^t dt\\&= \int t^2 e^{3t} dt\\&= \left(t^2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t} \right) - \int 2t \cdot \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t} dt\\ &= \dfrac{1}{3} \cdot t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{3}\cdot \left(t \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t}\right) + \dfrac{2}{3}\cdot \int \dfrac{1}{3} e^{3t} dt\\&=\dfrac{1}{3}t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{9}te^{3t} + \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{1}{3}e^{3t}\right) + c\\&=\dfrac{1}{3}t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{9}te^{3t} + \dfrac{2}{27}e^{3t} + c\\&= (9t^2 -6t + 2)\dfrac{e^{3t}}{27} + c\end{aligned}$$ ただし,$c$は積分定数です。 $t=\logx$ を代入して $$\begin{aligned} &=\{9(\log x)2-6\log x+2\}\dfrac{e^{3\log x}}{27} + c\\&=\{9(\log x)2-6\log x+2\}\dfrac{x^3}{27} + c \end{aligned}$$