質問: f(x)=x^3-10x^2+kx (k>0) とするとき、 (1)実数解を3つもち、それらが互いに1以上離れているためのkの条件を求めよ。 (2)(1)の条件を満たすkのうちで、y=f(x)とx軸に囲まれる面積を最小にするkを求めよ。 (1)は、9≦k≦99/4となりますが、 (2)が分かりません。 面積S(k)=∫f(x)dx[0→5−√(25-k)]+∫−f(x)dx[5-√(25-k)→5+√(25-k)]を計算して、S(k)をkで微分し、S'(k)=0となるkを求めるのだと思いますが、S'(k)=0が解ける形になりません。 どなたかご教示いただけると大変助かります。かれこれ1週間ぐらい悩んでいます。
回答: 積分区間に √(25-k) が含まれると計算がエグいことになるから工夫は必須です。また、被積分関数がf(x)のままだと微分はできません。事前にkを含むものと含まないものに分ける必要があります。