質問: lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は? lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合: lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか? たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。 よろしくお願いします。
回答: (1+1/(x+1))^(x+1) の、1/(x+1) は、分母子を x で割ると、 (1/x)/{1+(1/x)} となり、x → ∞のとき、分母は限りなく 1 に近づくので (1/x)/{1+(1/x)} → 1/x に限りなく近づきます。 従って、 lim_x→∞)^(x+1)=lim_[x→∞]{(1+(1/x))^x}・{1+(1/x)} {(1+(1/x))^x} は限りなく e に近づき、{1+(1/x)} は限りなく 1 に近づくので (1+1/(x+1))^(x+1) 全体は、e に近づきます。