質問: ドリフト係数(ブラウン運動・ブラック・ショールズ) こんにちは。ブラウン運動や、ブラックショールズの式にドリフト係数、拡散係数というのがあります。率直に、これらの係数は何を意味するんでしょうか?特にドリフト係数に関して、何を意味するのか、何がここから分かるのか等、教えていただければと思います。もし、例題等もあれば幸いです。ありがとうございます。
回答: 厳密には確率解析と呼ばれる学問で、結構難しいので、ごくごく簡単に説明します。 普通のノンランダムな系の時系列を記述するのに微分方程式を用いますが、ランダムな系に対しては確率微分方程式というものを用いて記述します。モデルはこんな感じだろう、あるいは実験のデータからこうなるだろう、ということでモデルを作って確率微分方程式を立てるわけです。そしてそれを解くと、確率過程と呼ばれる解を得ます。通常の微分方程式の場合は、単なる関数が答えとして出てくるので、確率過程はランダムな関数とみなすことが出来ます。そしてその中でよい性質を持つ特別な確率過程たちが存在します。それらには名前がついていて、たとえば、マルコフ過程だったり、マルチンゲール(過程)だったり、拡散過程だったり、ブラウン運動だったりします。これらはもちろん全部がまったく違う確率過程であるというわけではなく、たとえというと、多項式関数、初等関数、二次関数、y=x^2、みなたいな感じになっていたりします。だからどれかがどれかを含んでいたりもするわけです。 拡散過程とはマルコフ過程の特別な場合を指す確率過程で、ブラウン運動とはその拡散過程の非常に特殊な場合を指します。そして拡散過程は、二つのパラメータ、拡散係数とドリフト係数によって特徴付けられます。拡散係数が1、ドリフト係数が0のときをブラウン運動というのでした。簡単のため、1次元で考えてみましょう。そうすると、拡散係数が0、ドリフトが+1だとすると、原点にいた粒子は、毎秒1だけ右に力を受ける、という感じなので、どんどん右に進んでいくイメージです。拡散係数が0でドリフトが-2なら、毎秒2のペースで左に力を受けて、どんどん-∞に近づいていきます。拡散係数が位置や時間の関数で与えられることもあります。そのときは、その位置や時間で、どちら向きに力を受けて粒子が動くのか、ということを考えればよいのです。しかしこれだけでは粒子はランダムな動きをすることはありません。決まった方向に動いてしまいます。そこで拡散係数が登場します。簡単のためドリフトは0だとして、拡散係数が少しあるとしましょう。1次元の場合、拡散係数は必ず正の数になります。0.1ぐらいだと、原点からスタートしてあっちにふらふら、こっちにふらふらしながら、少しずつ原点から離れていきます。たとえば1000になると、ものすごい速さでふらふらするので、あっという間に遠くに行ってしまったりします。ただしどこに行くかは分かりません。拡散とは物体が散乱していく現象、たとえば空気中の1分子や、水の上にある花びらを想像してもらえればよいですが、ランダムに広がっていく(中心から離れていく)ような現象を指しています。運良く戻ってくるかも知れませんが、基本的には遠く離れていきます。その拡散の強さを表すのが拡散係数です。これから容易に想像できると思いますが、たとえば時間の進み方を速くすれば、拡散係数が大きくなったように感じられますし、あるいは粒子を顕微鏡で拡大してみても拡散係数が大きくなったように感じられるでしょう。これら位置の拡大と時間の拡大の間にはスケール則という関連も知られています。 一般の拡散過程は2つの係数を持っているので、それらをあわせたものをイメージすればよい。平均的にはドリフトが正なので、右にどんどん進もうとするのだけれども、拡散係数もあるので、左にいったり、より右にいったりもする、そんなイメージです。 離散で具体例を知りたければ、ランダムウォークを考えればよいのです。原点からスタートして表が出れば右に1、裏が出れば左に1動くのがドリフト0の例、表が出れば右に10、裏が出れば左に2うごくなら、拡散係数は6で、右ドリフトが4かかっている、という気分です。あくまで気分なので数値は信用しないようにしてください。