質問: 関数の連続性について 関数f(x)が区間iで連続のとき |f(x)|もiで連続であることの証明は どうやったらできるのでしょうか? x=aで連続ならx→aのときf(x)→f(a) というところまでは理解できたんですが 略解の ||f(x)|-|f(a)||≦|f(x)-f(a)| というこの式を導く方法がわかりません 詳しい証明方法がわかる方 回答をお願いいたします。
回答: 三角不等式 |u+v|≦|u|+|v| にu=s-t、v=tを代入すると |x|=|(s-t)+t|≦|s-t|+|t| したがって、|s|-|t|≦|s-t| sにs=f(x)、tにt=f(a)を代入すると |f(x)|-|f(a)|≦|f(x)-f(a)| 同様にして、sにs=f(a)、tにt=f(x)を代入すると |f(a)|-|f(x)|≦|f(x)-f(a)| となります。 ||f(x)|-|f(a)||の外の絶対値を外すと ||f(x)|-|f(a)||=|f(x)|-|f(a)| ( |f(x)|≧|f(a)|のとき ) ||f(x)|-|f(a)||=|f(a)|-|f(x)| ( |f(x)|<|f(a)|のとき ) ですから、いずれにしても、||f(x)|-|f(a)||≦|f(x)-f(a)|となります。