質問: 数2Bの問題です。教えてください。 いま、実部がp,虚部がqである複素数αにたいして√p^2+q^3 を、|α|で表わすことにする。 このとき、係数a,b,cの整数である3次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0・・・1
回答: 任意の解の大きさが1で正の整数解をもつので 1の1つの解はx=1である。 よって 1+a+b+c=0 が成り立つ。 よって c=-1-a-b...2 となるので1は x^3+ax^2+bx-a-b-1=0 ⇔(x^3-1)+a(x^2-1)+b(x-1)=0 ⇔(x-1){x^2+x+1+a(x+1)+b}=0 ⇔(x-1){x^2+(a+1)x+a+b+1}=0 となるので虚数解は x^2+(a+1)x+a+b+1=0 の解である。 すると x=(1/2)[-(a+1)±√{(a+1)^2-4(a+b+1)} となるのでこれが虚数解より (a+1)^2-4(a+b+1)=(a-1)^2-4(b+1)<0...3 となる。 よって p=-(a+1)/2 q=√{(4(b+1)-(a-1)^2}/2 とおける。 すると大きさが1だから p^2+q^2=(a+1)^2/4+{(4(b+1)-(a-1)^2}/4=1 ⇔a+b=0...4 となる。 よってaとbは3と4を満たす整数となる。 すると4よりb=-aを3に代入すると (a-1)^2-4(1-a)=a^2-2a+1-4+4a<0 ⇔(a+1)^2<4⇔-2