質問: いつもお世話になっております。kichioと申します。先般、rkhsさんからフーリエ変換とフーリエ級数展開の混同をご指摘いただき、またHiroyuki827さんからオイラーの公式に関するヒントをいただき大変勉強になりました。皆様方のご教授をもとに自己学習をしてまいりまして、再度、投稿させていただきます。現時点で不明なことはオイラーの公式が純粋な正弦波を表すことが数式で導出できず、私なりに書籍などを調べながら書かせていただいております。誤っていることは承知していながら投稿することを、お許しいただき、ご助言を賜りたく再度、投稿させていただきます。この点が理解出来ましたらラプラス変換に学習を進めていく所存です。何卒よろしくお願い申し上げます。 ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/56f47e8e24dcbc4170e7807365c9a6bb.jpeg) ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/3deee0a0be77c2af0ba7f157e0f9af72.jpeg) ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/545a420392bf637872a9cb4d6311a145.jpeg) ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/7dec731b4c7e2af3695f2970419fb8cf.jpeg) ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/b587ee9a8130ed9600e00fcf9f252852.jpeg) ![イメージ説明](https://teratail.storage.googleapis.com/uploads/contributed_images/31f8085e58c3086b077b81a97feda417.jpeg)
回答: ラプラス変換については専門外なので、文献をおすすめするくらいしかできません。工学系ならいかがおすすめです。フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学) フーリエ変換も載っているので、参照しやすいと思います。 どのように複素数を扱うか分野によって異なるので、あなたの求める答えになっているかはわかりませんが、私なりの回答を書いてみたいと思います。 複素数を扱うメリットとしては、実変数が2つ扱えることでしょうか?これが大きいと思います。というのも私達がよく扱う空間は実数で座標を指定する二次元ですからね。虚数は軸上に載せられません。その上で極形式とは何か考えてみたいと思います。 複素数は`z=x+iy` (iは虚数) と書かれます。これを複素共役`z* = x-iy`と掛け合わせると`|z|^2=x^2+y^2`となりますね。これは円の定義方程式になっています。何らかの事情で左辺が定数ならば、`|z|^2 = r^2`とおいて`r^2=x^2+y^2`となるのですぐわかりますね。これは半径`r`の円を表しています。ところで、円というのは角度`\theta`を変えても形は変わりません。つまり`x=rcos\theta`, `y=rsin\theta`とおけば、これはよく知られている関係`cos^2\theta + sin^2 \theta = 1`を導きます。この式はいかなる`\theta`においても成り立ちます。この結果から、円の形(つまり定義方程式は)`\theta`によらないことがわかります。 以上の結果を踏まえますと、`z=re^i\theta`と置くことは非常に効率が良いことがわかります。この複素共役は`z* =re^-i\theta`ですから、`|z|^2=r^2`となり、円の方程式を導きますね。また`e^i\theta = cos\theta + i sin\theta`を使えば、`cos^2\theta + sin^2 \theta = 1`を導きます。 このように、複素数はそれ自体、(幾何学的に見る限り)円と関わりが非常に深いわけで、円というのは我々が見慣れている形ですし、扱いやすい。実数`x, y`を考える限り、`\theta`というのが表に出てこないわけですからね。このような議論から、(最終的に実数が欲しい場合において) 極形式というのが扱いやすい形式であること、円と結びついている形式であることがわかります。 物理方面では、よく、(周期的な変数)角度`\theta`を用いて描かれる量を「波」といいます。そう考えると複素数`z=re^-i\theta`は波です。あなたがノートで書いているように、実数`|z|^2 = r^2`は波の振幅の二乗を表しています。私達が観測できるのは実数だけですし、また角度`\theta`はこの表式では消えているわけですから、実際に観測されるのはこの振幅であり、信号の強度として観測されているわけです。 現実に存在する波は一概に角度`\theta`で表されるようなものばかりではありません。所々に微分不可能な突起があったりしますね。そういうものを扱うにはフーリエ変換や、ラプラス変換といった道具が必要になります。 以上のような感じでどうでしょうか?あなたの求める答えになっていれば嬉しいのですが。。。