質問: この問題を教えてください。 半径Rの円形の蛇口から毎秒Aの水が出ている。 蛇口の中央から下向きにX軸、水平方向にY軸をとるとき 流れ出る水の形をY=F(X)の形で表せ。 ただし重力加速度をgとする。 よろしくお願いします。
回答: 先日の院試でのあさはかな知識です。 まず流れには大きく分けて層流と乱流の2種類あり、それにより水の形は大きく違います。 変数の解釈が少し違うと思いますが・・・ 層流:レイノルズ数<2100まで 水の形は壁面(X=R)で流速=0、中央部で最大値をとる放物線状になります。→Y=Ymax[1-(x/R)^2]・・・Ymaxは中央部の速度、当然最大速度を持ちます。 さらに、Aを平均流速(流れ全体としての流速)と勝手に解釈させていただきますと層流円管の場合A=0.5Ymaxの関係になるので(簡単な積分計算ででてきます)これを利用すると Y=2A[1-(x/R)^2] になります。 乱流の場合:(レイノルズ数は4000以上の時) 乱流は流れの乱れのために任意の点での流速は一定ではありません。そのためよく用いられる実験式があるらしく Y/Ymax=(x/R)^(1/n)=[1-(x/R)]^(1/n) この式は管壁にきわめて近い部分をのぞけば実験結果とよく一致するらしいです。またnは管壁面の粗さなどにより決定される定数であり、Re<100000ではn=7が実測値と一致するようで特にこれを7乗根法則と呼ばれるらしいです。 さて平均流速(A)はA=(1/πR^2)積分(0→R)(2πxY)dxで表されるので A=2n^2*Ymax/((n+1)(2n+1))となるのでこれを上の式のYmaxに代入することで任意の地点でのYを求めることができます。ちなみに7乗根法則では A=0.817Ymaxとなるので Y=(0.817/A)*(x/R)^(1/7)=(0.817/A)*[1-(x/R)]^(1/7) になるはずです。 ※レイノルズ数 知っていると思いますが一応軽く。 Re=直径×平均流速×流体の密度÷粘度 で表され、この値が2100以下なら層流、4000以上なら乱流となります。 参考 以上の知識は「化学工学通論1」(朝倉書店)よりです。