質問: {0, 1, z} とする。 加法を次のように定義する。 0+0=0, 0+1=1, 0+z=z 1+0=1, 1+1=0, 1+z=z z+0=z, z+1=z, z+z=z 乗法を次のように定義する。 0*0=0, 0*1=0, 0*z=1 1*0=0, 1*1=1, 1*z=z z*0=1, z*1=z, z*z=z この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。 ・加法において、交換法則と結合法則は成立する。 ・加法単位元は0で、z以外は逆元 -0=0, -1=1 が存在する。 ・乗法において、交換法則は成立する。 ・乗法において、zを除いた0, 1で結合法則は成立する。 ・乗法単位元は1で、逆元 1/0=z, 1/1=1, 1/z=0 が存在する。 ・zを除いた0, 1で分配法則は成立する。 ・0≠1。 つまり、zを除けば、この代数系は体になる。 -- ここまで -- この代数系で、べき乗を定義します。 べき乗:a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より 0^1=0, 0^2=0, 0^3=0, ... 1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, ... z^1=z, z^2=z, z^3=z, ... さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より 0^-1=z, 0^-2=z, 0^-3=z, ... 1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, ... z^-1=0, z^-2=0, z^-3=0, ... そして a^0=a^-1*a より 0^0=1 1^0=1 z^0=1 となります。 以上の結果から、次のことが分かります。 加法の単位元を0で表し、乗法の単位元を1で表すとき、0^0=1となる。 ...という例が存在する。 つまり、体に0の逆元を添加し、分配法則が成立しない代数系では、0^0=1となることがある。 ここまでの計算とこの結論は妥当ですか?
回答: ←no.8「お礼」欄 > 引き算は x-y をちゃんと定義すれば行えます。 > -y を加法での逆元と考えると、それは未定義。 > でも、 > x-ay = x+(-a)y と定義してやれば ←a no.18 > 減法が定義されるのは、zでのひき算はx-z=x+(-1)zであり、 > (-1)はgf(q)上で存在するから a no.1 から「恣意的過ぎる」と言っているのだが... 減法のアタリマエな定義は、加法の可換性の下で x - y = x + (-y). この -y は y の加法逆元であって、 -y = (-1)y を示すのには、分配法則を使う。 今回は、分配法則の成り立たない代数系の話題だよね? a no.8 で言っているのは、x がモノノ役二立ツ代物なのか? という話だから、名前だけ「引き算」つけた足し算の逆でない 演算を定義してみたところで、何の意味もない。 「お礼」の x - y を使って、x 上の一次方程式が解けるのか?