質問: 数学の質問です。 1〜6までの番号のついた6個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる入れ方は何通り 数学の質問です。 1〜6までの番号のついた6個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる入れ方は何通りあるか。 という問題で、3つの箱にa.b.cと振っておいて、 36=729 これは、3!=6通りずつ同じものとみなされているから、 729×1/6 通りと思ったのですが、 分数になってしまって、答えとなりません。 何がおかしいのか教えてください。
回答: 箱aに番号1,2のボール、箱bに番号3,4のボール、箱cに番号5,6のボールを入れた場合を、 [a,b,c]=[{1,2},{3,4},{5,6}] と表すことにします。 [a,b,c]=[{1,2},{3,4},{5,6}]、[a,b,c]=[{1,2},{5,6},{3,4}] [a,b,c]=[{3,4},{1,2},{5,6}]、[a,b,c]=[{5,6},{1,2},{3,4}] [a,b,c]=[{3,4},{5,6},{1,2}]、[a,b,c]=[{5,6},{3,4},{1,2}] a,b,cの区別がなければこの6通りは同じものです。 [a,b,c]=[{1,2,3,4},{5,6},{}]、[a,b,c]=[{1,2,3,4},{},{5,6}] [a,b,c]=[{5,6},{1,2,3,4},{}]、[a,b,c]=[{},{1,2,3,4},{5,6}] [a,b,c]=[{5,6},{},{1,2,3,4}]、[a,b,c]=[{},{5,6},{1,2,3,4}] a,b,cの区別がなければこの6通りは同じものです。 上に書いた2つの例のようにa,b,cの中身が異なれば、順列の数は、 3!=6(通り) なので、6通りずつ同じものとみなされます。 しかし、 [a,b,c]=[{1,2,3,4,5,6},{},{}] [a,b,c]=[{},{1,2,3,4,5,6},{}] [a,b,c]=[{},{},{1,2,3,4,5,6}] この場合は、同じものを含む順列の数になるので、 3!/2!=3(通り) なので、3通りずつ同じものとみなされます。 36=729(通り)のうち、同じものを含む順列になるのは空箱が2つになる場合だけです。ボールに番号がついているので、その他の場合は同じものを含む順列にはなりません。 これより、 729通りを2つの場合にわけて、 1同じものを含む場合は空箱が2つの場合の3通りで、 この3通りは同じものとみなされるので、 3×(1/3)=1(通り) 2残りの726通りは、6通りずつ同じものとみなされるので、 726×(1/6)=121(通り) したがって、求める場合の数は、 1+121=122(通り)