質問: (1/τ) cost が成り立つとき,以下の問いに答えよ。ただし,定数τは0ではない実数である。 (1) 微分方程式を解きなさい。ただし,x(0)=0とする。 (2) |τ|= 1 のとき,t → ∞ における(1)の解を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: (1) (dx/dt) + (1/τ)x =0の一般解 x1(t)=ce^(-t/τ) (dx/dt) + (1/τ)x = (1/τ) cos(t) の特殊解を x2(t)=asin(t)+bcos(t) とおいて a,bを求める。 acos(t)-bsin(t)+(a/τ)sin(t)+(b/τ)cos(t)=(1/τ)cos(t) a+(b/τ)=1/τ、(a/τ)-b=0 a=τ/(1+τ^2),b=1/(1+τ^2) 以上から、与微分方程式の一般解x(t)は x(t)=x1(t)+x2(t)=ce^(-t/τ) + {(τsin(t)+cos(t))/(1+τ^2)} x(0)=0より c+1/(1+τ^2)=0 ∴c=-1/(1+τ^2) よって x(t)=(τsin(t)+cos(t)-e^(-t/τ))/(1+τ^2) (2)|τ|= 1 よりτ=±1 τ=1のとき lim(t→∞)x(t)=(1/2)lim(t→∞)(sin(t)+cos(t)-e^(-t)) =(1/√2)lim(t→∞) sin(t+π/4) 収束せず。 τ=-1のとき lim(t→∞)x(t)=(1/2)lim(t→∞)(-sin(t)+cos(t)-e^(t)) =(1/2)lim(t→∞) -(e^(t)){1+(sin(t)-cos(t)e^(-t)} =-(1/2)lim(t→∞)e^(t) =-∞(発散) 以上より x(t)は収束しない(収束値は存在しない)。