質問: 約数 与えられた自然数n=(p^l)*(q^m) □で、l,mは0以上の整数について (1)nの正の約数の個数 (2)nの正の約数の総和 (1)上記の問題の(1)のnの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で 回答はp,qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか? 例えば2つの整数aとbの最大公約数をgとくと、a=a'g,b=b'gとおける a'とb'は素とするとこうな考えをするのでしょうか? (2)(1)の条件のもとで、(2)を解くと p/r=a,q/r=bとおくと n={(ar)^l}*{br}^m =(a^l)*(b^m)*r^(l+m) nの正の約数の総和は s=((a^0)+(a^1)+...(a^l)) ((b^0)+(b^1)+...(a^m)) ((r^0)+(r^l)+...(r^(l+m))) から {1-a^(l+1)}/1-a * {1-b^(m+1)}/1-b *{1-r^(l+m+1)}/1-r になることわ分かりません。
回答: >(1)上記の問題の(1)のnの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で >回答はp,qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか? 例、(6^4)*(15^3)の約数について、 6と15の最大公約数は3なので、 {(2*3)^4}*{(3*5)^3}=(2^4)*(5^3)*{3^(4+3)} とできます。 一般化して、p/r,q/r を(2)の解答のように、a,bとおくと、 n=(p^l)*(q^m)={(a*r)^l}*{(b*r)^m}=(a^l)*(b^m)*{r^(l+m)} とできるからですね。 まぁ、 >例えば2つの整数aとbの最大公約数をgとおくと、a=a'g,b=b'gとおける という発想でいいのではないかと思います。 >nの正の約数の総和は >s=((a^0)+(a^1)+...(a^l)) >((b^0)+(b^1)+...(a^m)) >((r^0)+(r^l)+...(r^(l+m))) >から >{1-a^(l+1)}/1-a * {1-b^(m+1)}/1-b *{1-r^(l+m+1)}/1-r これは、等比数列の和の公式を使っています。 (現課程の教科書では、数学bにあります)