質問: 数iii関数の最大の問題 解説をお願いします。 ab=ac,∠bac=2θである二等辺三角形abcが、半径1の円oに内接している。θが変化するとき、この三角形の周の長さの最大値とそのときのθの値を求めよ。
回答: ab=ac=b,bc=aとおくと,∠abc=∠acb=(π-2θ)/2=π/2-θであるから,正弦定理より a/sin2θ=b/sin(π/2-θ)=2 (外接円半径は1) a=2sin2θ,b=2sin(π/2-θ)=2cosθ 周の長さlは l=ab+bc+ca=b+a+b=a+2b =2sin2θ+4cosθ =2(sin2θ+2cosθ) =2(2sinθcosθ+2cosθ) =4(sinθ+1)cosθ =4(sinθ+1)(1-sin^2θ)^{1/2} =4f(sinθ) ここにsinθ=xとおくと,0<2θ<πより0<θ<π/2で, f(x)=(x+1)(1-x^2)^{1/2}=(1+x)^{3/2}(1-x)^{1/2} (0