質問: 外力のある相対運動 物体が二つあった場合、そこに働く力がお互いの相互作用(ばねなど)だけの場合は 換算質量を用いた相対座標系における運動方程式をとくことで、二つの物体の相対位置と相対速度がわかると思いますが、もしも物質aとbそれぞれに働く外力がことなる場合は、このように一つの運動方程式をとくことで相対位置を求めることができないのでしょうか?
回答: 以下,「~」はベクトル,「'」は時間微分を表すものとします。 f1~,f2~を外力,f~は相互作用とします。 m1r1~ '' = f1~ + f~ m2r2~ '' = f2~ - f~ r1~ '' = (f1~ + f~)/m1 r2~ '' = (f2~ - f~)/m2 r~ = r1~ - r2~ とおくと, r~ '' = (f1~ + f~)/m1 - (f2~ - f~)/m2 外力が一様重力のように質量に比例する同一方向の力であれば,外力の項がキャンセルされますが,そうでない一般的個別的な外力の場合には簡単にはならないというだけで,解けないというわけではありません。また,初めの2式を辺々加えると, m1r1~ '' + m2r2~ '' = f1~ + f2~ 重心位置は r~ = (m1r1~ + m2r2~)/m, m = m1 + m2 ですから, mr~ '' = f1~ + f2~ と重心の運動方程式は右辺が外力の合力となるだけです。