質問: 2次元における外積について プログラミング方面で2次元の外積なるものが定義されていました。 u=(a,b), v=(c,d)としたとき、 u×v=ad-bc というものです。3次元とは異なり、ベクトルからスカラーへの演算になっています。 外積は3次元でしか定義されないと教えられたので、 これは外積なのか、外積もどきなのか判断に困っています。 数学的にはこれを外積と呼ぶのでしょうか?
回答: 外積代数(参考url)と呼ばれる分野があって,u∧v = ad - bcはその意味では確かに外積となっています. 外積代数とは線形空間vに外積とよばれる演算を付け加えたもので,u, v, w ∈ v, a, b ∈ c (たとえば複素数体)次を満たすものとして定義されています: [結合性] (u∧v)∧w = u∧(v∧w), [交代性] u∧v = -v∧u (⇔ u∧u = 0), [双線形性] (av)∧(u) = a(v∧u) = v∧(au), (u + v)∧w = u∧w + v∧w, u∧(v + w) = u∧w + u∧w. これがどう関係するかというと,線形代数の最初にやるように適当な基底x, yを選んで数ベクトル(a, b)とax + byを同一視します.するとこれらのベクトルにはふつうのスカラー倍と足し算の他に外積もあるので (ax + by)∧(cx + dy) = (ax)∧(cx) + (ax)∧(dy) + (by)∧(cx) + (by)∧(dy) [双線形性] = (ac)(x∧x) + (ad)(x∧y) + (bc)(y∧x) + (bd)(y∧y) [双線形性] = (ad)(x∧y) - (bc)(x∧y) [交代性] = (ad - bc)(x∧y) となり,これを同じようにad - bcと同一視すればu∧v = ad - bcとなるわけです. 同じ事を3次元のベクトル空間でやりa(y∧z) + b(z∧x) + c(x∧y)と(a, b, c)を同一視すればふつうの外積が復元できたはずです(僕なんかは外積の定義が必要になると,上の3つの性質から計算してあのめんどくさい式を出すことがたまーにあります).人生で一回くらいはやってみるといいと思います.なのでこの外積はお馴染みの外積でもあります. 参考url:http://ja.wikipedia.org/wiki/外積代数