質問: 4次元立方体が複数ある場合、3次元だと? 例えば3次元の世界でアパートやマンションみたいに立方体の部屋がいくつも積み重なっていた場合、4次元だとどうなるんでしょうか? 3階から1階の部屋に移動したり、201号室から204号室とかに移動出来るんでしょうか? また4次元立方体単体の図は調べると沢山出て来るんですが、上記の様な場合の図ってあるんでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 3次元の立方体は8つの点とこの点を結ぶ12本の直線から成っていますが、 4次元の超立方体は3次元の立方体を4次元目の方向に移動させてできるので、 点の数は8x2=16、線の数は元の立方体の分が12本、移動後の立方体の 分が12本、移動前後の8点の各々を結ぶ線が8本の合計12+12+8=32本 になります。 この超立方体を3次元空間に投影してできる3次元構造体を更に2次元空間(面)に 投影したもの、つまりその3次元構造体をカメラで写真を撮ったようなものが一般に よく見られる超立方体を図に表したものです。 質問者さんの疑問は、立方体を密着させて横に並べたのと同様に超立方体も並べて みたらどうなるか知りたい、図に表せないかと言うことだと思いますが、 これは簡単です。 単体の超立方体の場合では、イメージしやすい例として大小2つの立方体が 入れ子になって配置され、各頂点が各々直線で結ばれている図があると思います。 もう1つ超立方体をくっつけて2つにした場合の図は立方体の入れ子を更に 外側にもう1つ同様に追加するだけでできます。3つ以上の超立方体も同様です。 見た目の混乱が生じないよう外側の立方体は大きく描かれますが当然実際は 同じ大きさであり、この点は頭の中で補正します。 もし見た目がどうでもよければ、次のように平面図をつくることもできます。 (2つの超立方体の平面図) (1)8つの点と12本の直線により立方体aを描く(通常の2次元の図) (2)立方体aを平行移動して立方体bを描く (3)立方体aと立方体bの対応する各々の頂点を結ぶ (4)以上で形成される超立方体p(の平面図)の周囲の8つある立方体の中から1つを選んで その頂点となる8つの点を選ぶ (5)選んだ8つの点を(任意の方向に)平行移動して新しい立方体を描く (6)移動前後の8つの対応点を各々結ぶ ※(4)の補足 3次元空間が6つの正方形により立方体の内側と外側に分けられるように、 4次元空間は超立方体の周囲にある(周囲を構成する)3次元立方体により 超立方体の内側と外側に分けられます。超立方体の周囲にある立方体は8個です。 立方体aをabcd-efgh、立方体bをijkl-mnopとする時、 選択すべき周囲の立方体として立方体a、立方体bの他、abfe-ijmnやbcgf-jkon等が挙げられます。 ※2つの超立方体の隣接 3次元の立方体は1面(2次元正方形)を共有してぴったり隣接します。同様に、 4次元の超立方体は周囲にある8個の3次元立方体の内の1つを共有してぴったり隣接します。 一般には離れた図形(立方体)は何次元であっても離れています。従って3次元で離れている201号室から204号室が 4次元の場合に隣り合わせになる(すぐ隣になるような迂回路がある)と言うわけではありません。 但し、空間が曲がっている場合には、紙を曲げれば紙面上の離れた2点をくっつけられるように、隣接した迂回路ができます。 隣接という条件を除けば、 3次元で廊下のドア以外に窓を出口として利用できるように、4次元を考えると更に自由度が上げられます。 部屋が閉め切ってあっても、部屋の中の任意の場所から4次元方向に向かって4次元空間に飛び出し、 uターンして部屋の外(隣の部屋、階上の部屋)に行けることになります。この際何らかの4次元的な経路は確保しておく必要はあります。