質問: 微分方程式を解く問題なのですが。 微分方程式を解く問題で (1)dy/dx+y=e^x (2)dy/dy+ycosx=e^(-sinx) 自分でやってみても分からず、解答にもくわしい回答が載っていなかったので、くわしい回答お願いします。
回答: 2問とも 非斉次の1階線形常微分方程式ですね。 どちらも同じ解法で解けますが、質問者さんのために、敢えて異なる方法で解いてみます。 (1) dy/dx+y=e^x ・・・・・・☆1 (解法1) 特殊解と 斉次微分方程式の解から 一般解を求める方法 ☆1から、次の特殊解を得ます。 y=1/2 e^x ・・・・・・・・・・・(a) 次に、☆1の右辺を0とおいた斉次方程式で、変数分離によりyを求めます。 dy/dx+y=0 dy/y=-dx log|y|=-x+c1 ∴y=e^(-x+c1) =c2 e^(-x) (c1,cは積分定数) ・・・・・(b) ☆1の一般解は、 特殊解(a)と 斉次方程式の一般解(b)の和で表されることから、次のように得られます。 y=1/2 e^x + c e^(-x) (c:積分定数) (2) dy/dx+ycosx=e^(-sinx) ・・・・・☆2 (解法2) 斉次方程式の一般解から、定数変化法で 非斉次方程式の一般解を求める方法 ☆2の斉次方程式の一般解を 変数分離 により求めます。 dy/dx + y cos(x)=0 dy/y=-cos(x) dx log|y|=-sin(x) +c1 ∴y=e^{-sin(x)+c1} =c2 e^(-sin(x)} (c1,c2 は積分定数) ・・・・・(c) 次に、式(c)の積分定数c2を xの関数として u(x) に置き換えます(変数変化法)。 y=u(x) e^(-sin(x)} ・・・・・・・・・(d) ∴y'=u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)} これらを 式☆2 に代入します。 u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)} + u(x) cos(x) e^(-sin(x)} = e^(-sin(x)} u'(x) e^(-sin(x)}=e^(-sin(x)} ∴u'(x)=1 ∴u(x)=x+c (c:積分定数) ・・・・・(e) 式(e)を式(d)に代入して、☆2の一般解を得ます。 y=(x+c) e^(-sin(x)} ちなみに、この一般解は y=x e^(-sin(x)} + c e^(-sin(x)} =x e^(-sin(x)} +(斉次方程式の一般解(式c)) と変形できますので、 x e^(-sin(x)} が☆2の特殊解であることが分かります。