質問: 大学入試問題です。 【問】任意の有理数x,yに対して、f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f( 大学入試問題です。 【問】任意の有理数x,yに対して、f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(y)}を満たす関数f(x)について考える。 (1)xを与えられた有理数とするとき、すべて自然数nに対して、f(nx)=nf(x)ー(n-1)f(0)が成り立つことを示せ。 (2)すべての自然数nに対して、f(n)ーf(n-1)=f(1)ーf(0)が成り立つことを示せ。 (3)a=f(1)ーf(0)、b=f(0)とおくとき、任意の正の有理数x=p/q(ただしp,qは自然数)に対して、f(p/q)=a(p/q)+bを示せ。 途中式や考察を書いてくださると勉強になるので、よろしくお願いします。また、コメントにて質問もすることが多いので、そちらも時間があれば対応願いたいです。
回答: 任意の有理数x,yに対して f((x+y)/2)=(1/2){f(x)+f(y)} (1) p(n)=[f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)] とする p(1)=[f(x)=f(x)]は真 (1/2){f(2x)+f(0)}=f(x) f(2x)+f(0)=2f(x) だから p(2)=[f(2x)=2f(x)-f(0)]は真 ある自然数n≧2に対してp(n-1)とp(n)は真と仮定すると f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0) f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0) f(nx)=(1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)} だから (1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)}=nf(x)-(n-1)f(0) ↓両辺に2をかけると f((n+1)x)+f((n-1)x)=2nf(x)-2(n-1)f(0) ↓両辺からf((n-1)x)を引くと f((n+1)x)=2nf(x)-f((n-1)x)-2(n-1)f(0) ↓f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0)だから f((n+1)x)=2nf(x)-(n-1)f(x)+(n-2)f(0)-2(n-1)f(0) f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0) p(n+1)=[f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0)]も真だから すべての自然数nに対して f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0) が成り立つ (2) (1)でx=1とすると 自然数n≧2に対して f(n)=nf(1)-(n-1)f(0) f(n-1)=(n-1)f(1)-(n-2)f(0) だから f(n)-f(n-1) =nf(1)-(n-1)f(1)-(n-1)f(0)+(n-2)f(0) ={n-(n-1)}f(1)-{n-1-(n-2)}f(0) =f(1)-f(0) ∴ f(n)-f(n-1)=f(1)-f(0) (3) a=f(1)-f(0) b=f(0) p,qは自然数 x=p/q とする (1)から f(p)=pf(1)-(p-1)f(0) f(qx)=qf(x)-(q-1)f(0) ↓f(p)=f(qx)だから qf(x)-(q-1)f(0)=pf(1)-(p-1)f(0) ↓両辺に(q-1)f(0)を加えると qf(x)=pf(1)-(p-1)f(0)+(q-1)f(0) qf(x)=p{f(1)-f(0)}+qf(0) ↓両辺をqで割ると f(x)={f(1)-f(0)}(p/q)+f(0) ↓x=p/q,a=f(1)-f(0),b=f(0)だから ∴ f(p/q)=a(p/q)+b