質問: AB=AC=1である2等辺三角形ABCに内接する円の面積を最大にする底辺の長さの求め方で、自分の解き方の間違いがわからないので質問します。 内接円の半径をr、底辺の長さをx(x>0)として、∠B=∠C=θ(0<θ<π/2)とおくと、3角形ABCの面積は2通りにあらわせ、△ABC=(1/2)*(1+1+x)*r,△ABC=(1/2)*1*x*sinθ この2つからr=(x*sinθ)/(x+2) 内接円の面積は、π*r^2からr^2が最大のとき最大となる。f(x)=r^2={(x*sinθ)/(x+2)}^2 と置いて、f'(x)=sin^2θ*(4x/(x+2)^3)となり、0<θ<π/2からsin^2θ>0より、 4x/(x+2)^3=0を解こうとしてもx>0から4x/(x+2)^3>0となり、f'(x)=0となるxは求められません。 sinθを使ったのが計算間違いの理由かと思うのですが、定数として扱ってはいけない 理由がわかりません。どなたか間違いを指摘してください。 解説では、内接円の半径をr。底辺の長さを2xとして、3角形の3辺の条件から |1-1|<2*x<1+1から0
回答: No.5です。補足(蛇足?)です。 1.内接円の半径rを角ABC(θ)で表す形は一つだけではありません。 r(θ)=cosθ・tan(θ/2) =(2cos^2(θ/2)-1){(sin(θ/2)/cos(θ/2)} =2cos(θ/2)sin(θ/2)-{(sin(θ/2)/cos(θ/2)} =sinθ-tan(θ/2) コサインと半角のタンジェントとの積は、サインと半角のタンジェントの差になるということです。こちらの方が、微分の計算は少し楽かもしれません。もちろんこれは見かけの違いだけで、答えは同じになります。 2.タンジェントの半角ということで、tanθ/2=tとしたパラメータ表示で考えることもできます。 tan(θ/2)=t とおくと、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2) だから r(t)=t(1-t^2)/(1+t^2) tで微分すれば r'(t)=-(t^4+4t^2-1)/(t^2+1)^2 r'(t)=0 として解くと、t^2=√5-2 以下は同様です。 3.この問題の図形的な意味を考えると興味深いものがあります。三角形の面積は(三角形の周長)×(内接円の半径)/2 ですから 内接円の半径は2×(面積/周長)です。つまりこの問題は、等辺の長さが1である2等辺三角形において、周長に対する面積の比が最大となる場合を求めていることになります。仮に周長が一定であれば、内接円の半径が最大=三角形の面積が最大で、正三角形のときであることは明らかですが、この問題では2等辺の長さは一定(1)であるものの底辺の長さxは不定で周長が変化します。 この問題では、内接円の半径が最大となる場合の底角θ≒51.8度ですから、底辺の長さが変えられる2等辺三角形においては、正三角形よりも少し押しつぶしたような三角形のところまでは、「周長の増加より面積の増加の方が効いている」ということです。なお、面積が最大となるのは、もちろん直角2等辺三角形となる場合で、面積は1/2、周長は(2+√2)なので内接円の半径は(√2-1)/2≒0.2929です。ちなみに正三角形では面積が√3/4、周長は3なので内接円の半径は√3/6≒0.2887です。(最大値は0.3002くらいです。)下の図でこの3つの場合を比較しています。 ! 画像をクリックしてイメージを拡大