質問: バネ振動のラグランジェについて 自然長l、バネ定数kのバネの両端に質量m1、m2の質点をとりつけて摩擦のない平面上に(x軸上で)運動させるときのラグランジェ方程式の立て方がわかりません。 両端を固定するバージョンはわかるのですが、両端を固定しない、このバージョンはどうやるのでしょう? 初期条件の設定の仕方もわからないので、お願いします。
回答: siegmund です. > x1-x2-lということはバネをどうちじめたことになるのでしょう? m_1 の座標が x_1,m_2 の座標が x_2 ですから, 両者の間の距離(すなわちバネの長さ)は x_1 - x_2 です. (x_1, x_2 の大小関係が grothendieck さんと逆になっています) バネの自然長が l ですから,バネは x_1 - x_2 - l だけ自然長から 変化しています(正なら伸び,負なら縮み). したがって,バネのポテンシャルエネルギー u は (1) u = (k/2)(x_1 - x_2 - l)^2 です. > 質点m1、m2それぞれのラグランジェをつくるのですか? ラグランジアンは系全体について1つです. euler-lagrange 方程式を作るときに2つできます. 全体の運動エネルギー t と全体のポテンシャルエネルギー u を求めて (2) l = t - u です. 解析力学では座標の時間微分を変数の上に「・」をつけて表すのが普通ですが, ここではそういうふうに書けません. (・x_1) で代用することにします. m_1 の速度は (・x_1) ですから,m_1 の運動エネルギーは (3) (1/2) m_1 (・x_1)^2 です.全く同様に,m_2 の運動エネルギーは (4) (1/2) m_2 (・x_2)^2 です. したがって, (5) t = (3) + (4) です. ラグランジアン(2)を具体的に書いてみると, l(x_1,(・x_1),x_2,(・x_2)) と4つの変数が含まれています. 変数1についての euler-lagrange 方程式が (6) (d/dt) {∂l/∂(・x_1)} - (∂l/∂x_1) = 0 ですし,変数2については (7) (d/dt) {∂l/∂(・x_2)} - (∂l/∂x_2) = 0 です. (6)(7)が連立微分方程式になっているわけです. > 別々に各質点について方程式を立てれば最終的に上のようになるのでしょうか? そこらへんを説明したのが,no.2 回答の後半です. (2)のラグランジアンの具体的表現を見ますと,x_1 x_2 のような項があります. こういう項があるので,(6)(7)の微分方程式も x_1, x_2 が絡んで来ます. ラグランジアンの変数を grothendieck さんのように書き換えると, ラグランジアンは x に関係した部分と x に関係した部分との 和の形になります. そうしたら, (8) (d/dt) {∂l/∂(・x)} - (∂l/∂x) = 0 (9) (d/dt) {∂l/∂(・x)} - (∂l/∂x) = 0 を作れば,(8)には x が含まれませんし,(9)には x が含まれません. 線形代数的な表現をするなら,次のようになります. x_1,x_2 で話をすると行列の非対角要素があって(x_1 x_2 の項がある) 互いに絡んだ連立方程式が得られるのに対し, 基底を変更して(変数の取り方 x_1 ,x_2 から x,x に変えたことに相当) 行列を対角化すると(xx の類の項はない)各変数について独立の方程式が得られる, ということになります.