質問: 日本数学オリンピック2000年予選問題の解答 2000年の予選問題の解答がどこを探してもないので質問しました。 http://www.imojp.org/challenge/old/jmo10yq.htm ちなみにここに問題があります。
回答: 1. 円o2の直径の長さをxとすると 9/x=x/4 となるから x^2=36 ∴円o2の直径の長さは x=6 2. 自然数n≧8を3の倍数でも5の倍数でもないとする mod(n,5)=1のときn=5m+1=3*2+5(m-1),となる自然数mが存在する mod(n,5)=2のときn=5m+2=3*4+5(m-2),m≧2となる整数mが存在する mod(n,5)=3のときn=3*1+5m,となる自然数mが存在する mod(n,5)=4のときn=5m+4=3*3+5(m-1),となる自然数mが存在する ∴自然数n≧8に対してn=3a+5b,a≧0,b≧0となる整数a,bが存在する 7=3a+5b a≧0,b≧0となる整数a,bが存在するならば b≦7/5 b=0又はb=1となるが b=0のとき3a=7となる整数aは存在しない b=1のとき3a=2となる整数aは存在しない 7=3a+5bとなる整数a≧0,b≧0は存在しない ∴3a+5b(a,bは非負整数)の形で表わせない自然数の最大値は 7 3. 平面上に点oを通る直線lと,一辺の長さ1の正三角形oab がある. ただし,辺abとlは交点を持たないとする. 頂点a,bからlに下ろした垂線とlとの交点をそれぞれa',b'とする. a=e^{it} b=e^{i(t+π/3)}=(cost+isint)(1+i√3)/2 0≦t≦2π/3 a'=cost b'=cos(t+π/3)=(cost-sint√3)/2 |a-a'|=|sint| |b-b'|=|sint+cost√3|/2 |a-a'|+|b-b'| =|sint|+|sint+cost√3|/2 =(3sint+cost√3)/2 =(√3)sin(t+π/6) t=π/3のとき |a-a'|+|b-b'|のとりうる最大値 √3 4. 一歩で1段,2段,または3段を登れる人が,7段の石段を登る. 1111111が1通り 111112が6通り 11113が5通り 11122が5c2=10通り 1123が4*3=12通り 1222が4通り 133が3通り 223が3通り ∴合計 44通りの登り方がある. 5. 1辺の長さ1の立方体abcd-efgh があり, 辺cdの中点をk,辺dhの中点をl, 辺efの中点をm,辺fbの中点をnとする. |kl|=1/√2 |kn|=√(3/2) |lm|=√(3/2) |mn|=1/√2 kl⊥kn だから □klmnは長方形で面積は |□klmn|=(√3)/2 四角錐aklmnの 底面積|□klmn|=(√3)/2 高さ(√3)/2 だから |aklmn|=1/4 同様に |gklmn|=1/4 ∴8面体a-klmn-gの体積は |a-klmn-g|=|aklmn|+|gklmn|=1/2 6. nを自然数とする.有理数係数の2n次方程式 x^{2n}+σ{k=1~2n}(a_k)x^{2n-k}=0 の解はすべて x^2+5x+7=0 の解にもなっているとすると (x^2+5x+7)^n=x^{2n}+σ{k=1~2n}(a_k)x^{2n-k} (x^2+5x+7)^n=x^{2n}+5nx^{2n-1}+... だから a_1=5n 7. 2以上の自然数nに対して 0≦x