質問: a_0^2(n-1)π( αi - αj )^2 で、 d=0⇔多項式 f(x) (または、方程式 f(x)=0 )は、重根をもつ です。 2次においては、 d>0ならば、2つの相異なる実数解をもつ d<0ならば、2つの相異なる虚数解をもつ d=0ならば、実数の2重解をもつ 3次においては、 d>0ならば、3つの相異なる実数解をもつ d<0ならば、1つの実数解と2つの虚数解をもつ d=0とする。p=q=0ならば、3重解(解は0のみ)をもつ pq≠0 ならば、 3つの実数解(2重解とその他の解)をもつ のように、2次や3次に限っては、判別式dの正負または0の値によって明確に分類されます。 では、4次方程式の場合にはどうなるでしょうか? たとえば、相異なる実数解を4個もつ条件は何でしょうか? (極大値が正、極小値が負という条件を考えましたが、微分した3次方程式を解くことになるし、結果もきれいにならないだろうし、また、より一般には、5次方程式は解けないし、なにか別のいい方法を知りたいと思っています。)
回答: a#2のお礼の補足で >実数係数n次方程式がある。n次の係数は1にしておく。 とあるので >d=a_0^2(n-1)π( αi - αj )^2=(係数の多変数多項式で表せる)として、 >重根をもつ⇔d=0 d=π( αi - αj )^2 となります。