質問: 大学数学の問題です 1、 Fr(IntY)⊂FrY 2、離散距離空間は完全不連結であることを示せ 3、Rの連結部分集合をすべて求めよ のどれか解答お願いしますm(._.)m
回答: 1.Fr(IntY)の任意の元xをとる。 x∈Fr(IntY)⊂Cl(IntY)⊂Cl Y=IntY∪FrY Int(IntY)∩Fr(IntY)=φ かつ Int(IntY)=IntY より x∉IntY。したがって x∈FrY。 2.離散距離空間Xの任意の連結成分Aをとる。Aが空であれば、すべての x∈X に対して A⊊{x} よりAの極大性に反するから、Aは空でないことに注意する。Aが異なる2点x,yを含むとすると、Xが離散距離空間であるから、 {x} および A-{x} はAの相対位相で開集合となる。しかし、 y∈A-{x} かつ A={x}∪A-{x} より、これはAが連結集合であることに反する。したがって、Aは一点集合であり、ゆえに完全不連結である。 3.Rの区間はすべて弧状連結なので連結である。逆に、Rの連結部分集合Aをとる。infA=supAなら明らかにAは区間であるから、infA