質問: 雨滴落下の終端速度の問題です。 雨滴落下の終端速度の問題です。 _________________________ d^2x/dt^2+adx/dt+bx=f(x) (a,bは定数)...(1) dv/dt+bv/m=g(b.g.m.は定数)...(2) 非斉次の1階線形微分方程式(2)の一般解は、ひとつの特殊解(終端速度での等速直線運動を表す解)と非斉次項を0とおいた dv/dt+bv/m=0 の一般解 v=ce^-bt/m (cは任意定数)の和 → d/dt(ce^kt)=k(ce^kt)を使った v=mg/b+ce^-bt/m である。 _______________________________ というのが与えられて、 (1)t=0,初速度v=0 (2)t=0,初速度v=v0(>mg/b) の場合を定系非斉次線型で解けという問題です。 問題の意味がよく分かってないので、問題になってないかもしれませんが、 この方法で雨滴の落下速度と終端速度を求めて頂きたいです。 できるだけ丁寧に書いて頂けると幸いです。おねがいします。 .
回答: こんばんは。 このご質問、(1)式が何故ここに書かれているのか判りませんが、、 (2)式の解は、説明されているように、 v=mg/b+ce^(-bt/m) ですね。これを原式に代入してみれば、成立していることが確かめられます。 で、cは任意定数(積分定数)なんですが、 まさに、これを初期条件を持って定めなさい、というだけでしょう。 t=0→e^0=1なので、 (1)v=0の場合、c=-mg/b (2)v=v0 の場合、c=v0-mg/b これを、v=・・の式に代入するだけです。 これが、「落下速度の式」になります。 どちらの場合も、t→∞にては、ce^(-bt/m)→0ですから、 v→mg/b となります。これが、終端速度です。