質問: 有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところq(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×...(α,β,...∈z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので q+とzの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときzも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってq+は非可算無限集合である。
回答: あんまり詳しくないので間違っているかもしれませんが...。 > q+とzの可算無限個の直積が一対一対応する。 zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = ... = 1に対応するものは、 q+の何と対応するのでしょうか? また、zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = ... = 2に対応するものは、 q+の何と対応するのでしょうか? この事を考えると、一対一対応してない気がします。