質問: 最適戦略は? 次のような2人でやるゲームを考えます。 (1)aは100ドルを自由に2つに分けます。例えば72ドルと28ドルのように。100ドルと0ドルでもかまいません。 (2)bはaが分けた後、一方を自分(b)のもの、他方を相手(a)のものと決めることができます。 これが1回のゲームです。a,bとも多く手に入れようと最善を尽くします。 このゲームをn回するとします。a,bの役割は変わりません。このときの両者の最適戦略は a:毎回50,50に分ける。 b:どっちとっても同じ。 しかありません。ちっとも面白くないゲームです。 なので、ルールをちょい変えます。 (3)bはn回のうち1回は選択権をaに譲らないといけません。どの回に譲るかは、その回にaが分けた結果を見てbが決めます。 このときaは最善をつくすとbより多く手に入れることができます。 例 n=2 1回目:aは75ドル、25ドルに分けます。 ここで、bの行動は2つに分かれます。 分岐1:bが選択権を行使して、b=75、a=25ゲット 分岐2:bが選択権をaに譲る。a=75、b=25ゲット 分岐1後の2回目の場合:aは100ドル、0ドルに分けます。 bは選択権を譲らないといけません。(1回は譲る必要があるので) なのでa=100、b=0ゲット 分岐2後の2回目の場合:aは50ドル、50ドルに分けます。 bは選択権を行使し、b=50、a=50ゲット どちらの場合も、a=計125ドル、b=計75ドルとなります。 これ、何となくnの式で表すことができそうなのですが、なかなかうまく導き出せません。お知恵拝借いたしたく。
回答: n回のゲームでaが最善をつくしたときに獲得できる金額をs(n)とすると、 s(1)=100 s(2)=125 までは考察の通りでいいでしょう。 n+1回のゲームで、1回目をa(≧50)ドルと100-aドルに分けたとします。 もしbが選択権をaに譲ったとしたら、aはaドルを自分のものにして、2回目以降は50ドル、50ドルに分ければ、aは合計でa+50nドル手に入れることができます。 もしbが選択権を行使してaドルをbのものにしたら、2回目以降は最善をつくしてs(n)ドル手にいれれば、合計s(n)+100-aドル手に入れることができます。 1回目の最善手は、この2つの金額が同じになるようにすればよいので、 s(n+1)=a+50n=s(n)+100-a つまり、 s(n+1)=s(n)/2+50+25n これを解くと、 s(n)=50n+100/2^n で、1回目の最善手は、 50+50/2^nドルと50-50/2^nドルに分ければいいことになります。 まとめると、 n回のゲームでのk回目の最善手は、 bが選択権をaに譲るまでは、50+100/2^(n-k+1)ドルと50-100/2^(n-k+1)ドルに分ける。 bが選択権をaに譲ったあとは、50ドル、50ドルに分ける。 ということになります。 ただし実際には、100ドルを1/32とか1/64とかに分けることはできないので、それも考慮するとすればかなり複雑になるでしょう。