質問: ゲーム理論? 全く分からず困っています いつもお世話になっております. この度は次の問題について質問させていただきます. 問 企業1と企業2は協調することで共同利潤を極大化し,それを半々にシェアしている.2つの企業は互いに裏切らないように引き金戦略を予告し,牽制し合っている.お互い共同利潤を極大化している場合に各々の利潤はπ/2であるとする.この時以下の問いに答えなさい. (1)割引因子をδ(0<δ<1)として,両者が無期限に協調した場合の各々の利潤を求めなさい. (2)企業2はt-1期までは企業1と協調するけれども,t期に裏切ることにより,利潤πを全て獲得しようと考えている.ただし,企業2はいったん自分が裏切ると,その語は企業1が報復として引き金戦略をとることにより,競争の結果利潤がゼロとなることを知っている.このとき,企業2が無期限に協調するか,あるいはt-1期まで協調した後にt期に裏切るか,両者が無差別となる割引因子を求めなさい. このような問題です.いろいろな図書を調べながら,ずっと考えているのですが(1)(2)ともに全く糸口が見つかりません.そもそもδをどう取り扱っていいのかすらわかりません.お分かりの方がいらっしゃいましたら,ヒントをいただけないでしょうか.何卒よろしくお願いいたします.
回答: 無限回の繰り返しゲームで、各期のゲームは、お互い協力すれば利得はπ/2、出し抜けばπ、出し抜かれたり、協力しない場合(競争した場合)利得ゼロという構造ですよね。 (1)について、永久に協力し続ければ、毎回π/2ずつの利得が得られます。 ここで、1期後の利得π/2の現在の価値は割引因子を乗じて、δ×π/2となり、、2期後はδの二乗×π/2、、、ということで、t期後の利得はδのt乗×π/2になります。 これの総和が求めるべき値で、無限等比級数の和の公式で求められます。 (2)は、(1)で求めた値と、出し抜いた際の利得の総和(当期π、次期以降はゼロで計算)が等しくなるようなσを算出すればよいはずです