質問: 基礎解析学の写像に関する問題です。回答を教えて下さい。 問題:集合XとYとの間の写像f:X→Yに関して,次の問いに答えよ.
回答: (1) (i) (a) ■ A⊂f^(-1)(f(A))の証明 aをAの任意の元とすると f(a)∈f(A)となるので a∈f^(-1)(f(A)) したがって、A⊂f^(-1)(f(A)) ■ f^(-1)(f(A))⊂A の反例 X=Y=R, f(x)=0(∀x∈X)とし、A={0}とすると f^(-1)(f(A))=Xなので f^(-1)(f(A))⊂Aは成り立ちません。 (ii) ■ fは単射 ⇒ 任意のA⊂Xに対してA=f^(-1)(f(A))が成り立つ について aをAの任意の元とすると f(a)∈f(A)となるので a∈f^(-1)(f(A)) よって、A⊂f^(-1)(f(A)) また、xをf^(-1)(f(A))の任意の元とすると f(x)∈f(A)となるので f(x)=f(a)(a∈A)と表わされます。 ここで、fは単射だから x=a∈A よって、A⊃f^(-1)(f(A)) したがって、A=f^(-1)(f(A)) ■ 任意のA⊂Xに対してA=f^(-1)(f(A))が成り立つ ⇒ Aは単射 について a, b∈Xがf(a)=f(b)を満たすものとします。 A={a}とおくと、A⊂Xで f(A)={f(a)}となるので f(b)=f(a)∈f(A) よって、b∈f^(-1)(f(A)) そして、仮定によりA=f^(-1)(f(A))だから b∈{a} よって、a=b したがって、fは単射です。 ---------------------------------------- (2) (i) (b) ■ B⊂f(f^(-1)(B)) の反例 X=Y=R, f(x)=0(∀x∈X)とし、B=Yとすると f(f^(^-1)(B))={0}なので B⊂f(f^(-1)(B))は成り立ちません。 ■ f(f^(-1)(B))⊂B の証明 yをf(f^(-1)(B))の任意の元とすると y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされ、 x∈f^(-1)(B)だから、f(x)∈Bだから y=f(x)∈B したがって、f(f^(-1)(B))⊂B (ii) ■ fは全射 ⇒ 任意のB⊂Yに対してB=f(f^(-1)(B))が成り立つ について bをBの任意の元とすると fは全射だから、b=f(x)(x∈X)と表わされます。 f(x)∈Bだから x∈f^(-1)(B) よって、b=f(x)∈f(f^(-1)(B)) したがって、B⊂f(f^(-1)(B)) また、yをf(f^(-1)(B))の任意の元とすると y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされ、 x∈f^(-1)(B)だから、f(x)∈Bだから y=f(x)∈B したがって、f(f^(-1)(B))⊂B したがって、f(f^(-1)(B))=B ■ 任意のB⊂Yに対してB=f(f^(-1)(B))が成り立つ ⇒ fは全射 について YはYの部分集合なので、仮定により Y=f(f^(-1)(Y))が成り立ちます。 そして、f(f^(-1)(Y))⊂f(X)⊂Yなので Y=f(f^(-1)(Y))⊂f(X)⊂Y よって、Y=f(X) したがって、fは全射です。