質問: 曲面積 曲面 z=x^2+y^2 の円柱面 x^2+y^2=a^2 の内部にある部分の曲面積 参考書によると、π/6[{√(1+4a^2)^3}-1] です。 特に、xとyの範囲がわかりません。 詳しい解説お願いします。
回答: x=rcos(t), y=rsin(t) z=x^2+y^2=r^2 dz=2rdr dr/dz=1/(2r) z軸の周りの回転体の表面積の公式より s=2π∫[0,a^2]r√(1+(dr/dz)^2)dz =2π∫[0,a] r√(1+(1/(2r)^2))2rdr =4π∫[0,a] r√(r^2+(1/4))dr =4π∫[0,a] r(r^2+(1/4))^(1/2)dr =4π[(1/3)(r^2+(1/4))^(3/2)][0,a] =(4π/3){(a^2+(1/4))^(3/2)-(1/8)} =(π/6)[{(√(4a^2+1))^3}-1]