質問: 2mga となります。 教えていただきたいのは"ただしdz<0"という部分です。 積分のdxみたいなのは微小量で正の数だと思っていたのですが、なぜこの場合dz<0となるのですか? 積分の微小量dxみたいなのはその正負が計算に影響するのですか?
回答: 仕事の定義、特に、その正負の符号の定め方が問題だからです。 力ベクトルと変位ベクトルとのなす角度をθとすると、仕事の定義は 仕事="力ベクトル"と"変位ベクトル"との内積 です。今、 力(重力)は、負の方向のベクトル 変位は+側から-側の向きへのベクトル です。 W = ∫[c]F・dr この式は、 力ベクトル(F)と、変位ベクトル(dr)との内積 という意味ですから、仕事の定義そのものを書いただけです。 ここでまず、力が負の向きのベクトルなので F=-mg 変位 dr は、負の向きですから、積分範囲を、{負の方向への変化として}a→(-a)としてやれば良いのです。 つまり、変位部分だけに注目すると ∫a,-a・dz とすれば良いのです。 ご質問に即して書くと... >dr = dz・e_z (drはベクトル)であることに注意して(ただしdz<0) 変位 dr は、明らかに負の向きのベクトルです。つまり dr<0 これは、e_z(単位ベクトル)と反対向きですから、当然 dz<0 ということです。ただし、積分することを考えたときには、変位の微小変量 dz が +a → -a のように変化するということを意味しています。それは、積分で表記するときには 積分範囲を [-a,+a] とはしないで、[+a,-a] と書くことに対応しているのです。 以上のことをまとめると W = ∫[c]F・dr =∫a,-a・dz =-∫[a,-a]mg・dz と書ける、ということです。