質問: 微分方程式について質問です。 画像の微分方程式が解けなくて困っています。 x,aは定数です。 こちら 微分方程式について質問です。 画像の微分方程式が解けなくて困っています。 x,aは定数です。 こちらにも問題を書くと、 (d/dt)^2*θ=a*x*sinθ/(1+x^2-2*x*cosθ)^(3/2) 初期条件: t=0 で θ=π/2, dθ/dt=0 です。 ヒントでもいいですので、どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。
回答: ヒントだけ差し上げます。右辺はルジャンドルの多項式の母関数の微分になっていますので、そのあたりを使って積分できると思います。 ただし、そんな高度な特殊関数を知らない場合でも、次の様な変換を施せば積分が簡単にできる微分方程式に変換できます。 まず、貴方の微分方程式を (0) (d^2 θ/ dt^2)=xaf(cosθ)sinθ と書いて、f(cosθ)を貴方の書いた分母を含んだcosθの関数とします。次に、 (1) y=dθ/dt, s=cosθ とおけば、 (2) ds/dt = (ds/dθ)(dθ/dt) = (-sinθ) (dθ/dt) = (-sinθ)y と書けるので、(2)を使って、 (3) dy/ds = (dy/dt)(dt/ds) = (dy/dt)(-1/(ysinθ) ) と書ける。これに(1)の左の式を使うと、 (4) dy/ds = - (d^2 θ/ dt^2)(1/ (ysinθ) ) となる。そこで(d^2 θ/ dt^2)に (0)を代入し、(1)の右の式を使うと、 (5) dy/ds =- xaf(s)/y となります。そこで、この式より (6) -ydy= xaf(s) ds が得られます。このり両辺を積分すれば、貴方の望みの解が得られます。 ところで、 (7) g(s) =a/(1+x^2 -2xs)^(1/2) とおけば、 (8) dg/ds = a f(s) なので、 (6)式はさらに簡単になり、 (9) -ydy =a dg(s) となるので、積分がさらに簡単になります。 ざっと計算したので、上記の式の符号や係数に誤りがあるかもしれません。ご自分で確認しながら計算してください。たとへその様な誤りがあっても、計算の流れは同じなので、この微分方程式の解は求まります。 境界条件の使い方はご自分で工夫してください。