質問: u=u(x,y,t) x=x(t),y=y(t)のとき、du/dtをもとめよ。 この問題がわかりません。どうかお願いします。
回答: まずは、uを独立した3変数の関数として表す。 u=u(x,y,z) , x=x(t) , y=y(t) , z=t 全微分を偏微分で表すと du=∂u/∂x・dx + ∂u/∂y・dy + ∂u/∂z・dz 媒介変数tを使うと du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z・dz/dt ここで、dz/dt=1を代入して du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z zは勝手に導入した変数なので、偏導関数∂u/∂zのzをtに戻しておく必要があります。 du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z(t) ここで∂u/∂z(t)はuz(x,y,t)のことを意味します。 ※∂u/∂z(t)は∂u/∂tとは違います。そもそもuはtの1変数関数になるので∂u/∂tという表現はおかしい。 たとえば、uz(x,y,z)=2xye^zのときは、∂u/∂z(t)=uz(x,y,t)=2xye^tとなります。