質問: 至急お願いします!! 問題 a,b,cを実数とするとき、次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどんな時か。 (1)a*2+b*2+c*2≧ab+bc+ca これが、成り立つのはわかりました。 (2)a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)の証明で、解答が (1)を利用して、 a*4+b*4+c*4≧a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2 ≧(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c) となってるんですが・・・いまいち式の変形が理解できません。 特に、最後の一行への変形が・・・・・・ *2は、二乗。*4は、四乗の意味です。 教えてください・・・・・お願いします。
回答: a*2=a,b*2=b,c*2=c として a*4+b*4+c*4 = a*2+b*2+c*2 とすると (1)より, a*4+b*4+c*4≧ab+bc+ca=a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2 となります。 ここで,ab=p,bc=q,ca=r として (ab)*2+(bc)*2+(ca)*2=p*2+q*2+r*2 (1)を使って p*2+q*2+r*2≧pq+qr+rp=(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c) したがって,a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)