質問: 関数f(x)=1/(1-x)に対してマクローリンの定理を適用し、 f(x)=σ[k=0 n-1]a_ 関数f(x)=1/(1-x)に対してマクローリンの定理を適用し、 f(x)=σ[k=0 n-1]a_k*(x^k)+r_n(x) と表した時の a_k , r_n(x) を求めよ. a_kは1になりそうですが、剰余項が謎です。 そうなる理由や解説もあるとありがたいです。
回答: ここではf(x)の第n次導関数をfn(x)と表示します。 あなたの見ているテキストか受講している講義では、剰余項の式はr_n(x)={fn(θx)/n!}x^n(0<θ<1)ですよね? f(x)=1/(1-x)なのですから、fn(x)=n!/(1-x)^(n+1)となることは大丈夫ですか?第n次導関数を求めるのはa_kが出せているので大丈夫だとは思いますが。 なので、fn(θx)=n!/(1-θx)^(n+1)となるので、これをr_n(x)の式に代入すれば良いのです。すると、{1/(1-θx)^(n+1)}x^nとなるはずです。