質問: 1/3x^(2/3)・・・ (3) 疑問点があるところに○で番号を振りました。 (1)について、 逆関数とはy=~ という関数x=~という風に書き換えてからx,yを入れ替えるものですよね? (2)f(x)はy=x^3の逆関数なんですよね? ってことはf(x)の逆関数は1/f(x)でありf(x)ってのはyの逆数であるから1/yがf(x)? なんか混乱してしまいました・・・(すみません汗 (3)y=x^(1/3) を代入したのでしょうか・・・?これってy=x^3の逆関数ですよね・・・? 模範解答の作業中にいつのまに逆関数y=x^(1/3)を求めたのでしょうか・・・? 回答よろしくおねがいします!
回答: > df(x)/dx = 1/(dx/dy) > なぜこういう変形が起こるのか?ってところがまだひとつ疑問としてのこっています。 まず、この問題ではy = f(x)としていますよね? そうするとdf(x)/dx = 1/(dx/dy)の左辺のdf(x)/dxは df(x)/dx = dy/dx と変形できます。つまり dy/dx = 1/(dx/dy) です。 ここでdy/dyとdy/dyを分数として考えてみます。 左辺dy/dxの分子分母をdyで割ってみると、 (dy÷dy) / (dx÷dy) = 1/(dx/dy) となります。これは右辺の形と一致していませんか? 逆に右辺1/(dx/dy)の分子分母にdyをかけると、 (1 × dy) / {(dx/dy)×dy} = dy/dx となって、左辺と一致します。 微分係数はこんな風に分数の式変形みたいなことができます。 (合成関数の微分法でも同様の式変形ができます。) ただ、この分数のような式変形は全ての場合で使えるわけではないので、 逆関数の微分法でこのような式変形みたいなことができるのは たまたまだと考えてもいいかもしれません。