質問: 和Sn=1*1+4*2+7*2の2乗+10*2の3乗+・・・・・+(3n-2)*2のn-1乗を求めよ。 とゆう問題で 答が Sn=(3n-5)*2のn乗+5です。 さっぱりわかりません。 できるだけ詳しく教えてください。 お願いします。
回答: 和はΣ(3k-2)2^(k-1)=Σ3K・2^(k-1)-Σ2^(k) =Σ3K・2^(k-1)-{2(2^(k)-1)/2-1}=Σ3K・2^(k-1)-{2^(k+1)-2} ここでΣ3K・2^(k-1)は 2Σ3K・2^(k-1)=・・・・・3・2+6・2^2+9・2^3+12・2^4+15・2^5+・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・+3(k-1)・2^(k-1)+3k・2^(k) -Σ3K・2^(k-1)=・・・3+6・2+9・2^2+12・2^3+15・2^4+・・・・・・・・・・・・・+3(k-1)・2^(k-2)+3k・2^(k-1) Σ3K・2^(k-1)=-3-3(2+2^2+2^3+2^4+・・・・・・・・・・・・・+2^(k-1))+3k・2^(k) =3n・2^(n)-3{2(2^(n)-1)}-3=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+6-3=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+3 よってΣ(3k-2)2^(k-1)=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+3-2^(n+1)+2=(3n-8)2^n+5?