質問: こんにちは。幾何学の問題で困っている大学生の者です。 問題:AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。 という問題なのですが、これの証明が理解できません(>_<) 通信制の大学のビデオ講義の中の例題なのですが、まず、Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとするそうです。 次に、講師は「これがこうで、こうだから、三角形ACDは二等辺三角形になって・・・」等と述べていたのですが、指示代名詞が多すぎるからでしょうか、私の理解力が乏しいからでしょうか、証明を最後まで聞いても、何を言ってるのかさっぱりわからないのです(ToT) 皆様のお力をお借しいただきたい次第です。 よろしくお願いします
回答: >Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとする BA:AD=BP:PCになるところはよろしいでしょうか...? (よろしければ、以下の部分は読み飛ばしてください) Aを通り、BCと平行な線をひき、CDとの交点をQとすると、 △ABPと△DAQは相似 (同位角により∠ABP=∠DAQ、∠BAP=∠ADQ。 よって3つの角が等しくなるので) ゆえにBA:AD=BP:AQ・・・1 平行四辺形の対辺なのでAQ=PC ゆえにAQ=PC・・・2 1,2よりBA:AD=BP:PC で、仮定よりAB:AC=BP:PC。 よってBA(AB):AD=AB:AC。 ゆえにAD=ACとなり、△ACDは二等辺三角形。 となれば、あとは∠ACD=∠ADC(二等辺三角形の底角) ∠ADC=∠BAP(平行線の同位角) ∠ACD=∠CAP(平行線の錯角) 以上のことから∠BAP=∠CAPであり、 APは角Aを二等分する こんな感じでしょうか。 【別解】 PからAB、ACに垂線をおろし、それぞれ交点をE、Fとする。 △ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比) 仮定よりAB:AC=BP:PCなので、 △ABP:△ACP=BP:PC ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。 ここで直角三角形△AEPと△AFPにおいて、 斜辺APは共通、PE=PFより、 斜辺と他の1辺が等しいので △AEP≡△AFP よって∠EAP=∠FAPであり、 APは角Aを二等分する なんていう考え方もできます。