質問: 群が可換になる条件について 長い間気にかかって解けない問題です。何かわかる方教えてください。φはeuler函数、(a,b)はa,bの最大公約数です。 「群gの位数nが(φ(n),n)=1をみたすならば、gは可換であることを示せ」
回答: 群論は専門外ですが、断片的な知識から考えてみました。 まず、euler函数の公式より、n=2を除けば、n=p×q×・・・×r (p,q,...,rは異なる奇素数)の形でなければならないことが分かります。 そこで異なる奇素数の個数をmとして、mについての数学的帰納法を使うことにします。 n=n'p ここで、n'はpと異なるm-1個の奇素数の積で、(φ(n'),p)=1 and (n',φ(p))=1をみたすものとします。 φ(n)=φ(n')φ(p)なので、もちろん、上の2つの互いに素の条件は、(φ(n),n)=1 と同値です。 さて、sylowの定理よりgは位数pの部分群nを持ちますが、これが正規部分群であることさえ言えれば(この証明がちょっと分からない)、問題は解決することを以下に書きます。 schur-zassenhausの定理または群のコホモロジー論より、g/nは分裂することが分かります。 すなわち、g/nの補群となる部分群hが存在して、gはhとnの半直積に同型になります。 この半直積に付随するhからnへの作用を考えてみます。nは位数pの巡回群に同型であり、aを一つの生成元とすると、 hのnへの作用はaへの作用によって定まります。作用が自明でなければ、aはその作用によって他の生成元に移ります。 hの任意の元をhとし、a, a^h, a^(h^2),...という軌道を考えます。nの生成元の個数はφ(p)=p-1なので、この軌道の長さ(aに戻るまでの長さ)はp-1の約数でなければならない。一方、この軌道の長さはhの位数o(h)の約数でなければならない。 然るにo(h)はn'の約数であり、(n',φ(p))=1だったから、この軌道の長さは1でなければならない。 したがって、このような作用は自明なものしか存在しないとなります。 すなわち、上記の半直積は直積でなければならず、帰納法の仮定より、gはアーベル群であることになります。 上の議論では、(φ(n'),p)=1という条件を使っておらず、nが正規部分群であることは、この条件と関係があると思われます。 上の議論を振り返ってみて気づきましたが、別にp群を使う必要はなく、(主張a)「gは自明でない(すなわち、{e}でもg自身でもない)正規部分群nを持つ」ことさえ言えれば、位数の関係から、g/nは分裂することが言え、上とほぼ同じ議論によって補群hのnへの作用は自明なものしかありえず、したがって半直積は直積以外にはありえず、帰納法の仮定よりgはアーベル群であることが導かれます。 よって、問題は(主張a)の証明に絞られるのです。 もちろん、feit-thompsonの定理から(主張a)が成立することは分かりますが、こんな牛刀を使わなくても、遥かに簡単に証明する方法はありそうです。 その方法がすぐには分からないのが門外漢の弱みですが・・・。