質問: 力学です。問題文は以下の通りです。 原点から水平線に対して角度θ、初速度v0で質量mのボールを投げ上 力学です。問題文は以下の通りです。 原点から水平線に対して角度θ、初速度v0で質量mのボールを投げ上げて放物運動させる。この時、粘性抵抗が働き、粘性抵抗力f=ηvとして水平方向、垂直方向の運動方程式を示し、これを解いて、任意時刻についての速度と位置を求めよ。また、それぞれについて時間に対する変化をグラフで表し運動の様子を説明せよ。 微分方程式を使わないと解けないと思うのですがどうでしょうか。問題に全て答えて下さると大変助かります!
回答: >微分方程式を使わないと解けないと思うのですがどうでしょうか。 はい。 力と加速度で運動方程式を立てますが、粘性抵抗力は「速度」つまり「加速度の積分あるいは変位の微分」に比例していますから、微分方程式を使わないと運動方程式そのものが立てられませんから。 物体に働く力は、鉛直下向きに「一定の重力」、運動方向と逆向きに「粘性抵抗力」が働きますから、ベクトルを使って運動方程式を立てれば m(→a) = m(→g) - η(→v) これを「鉛直方向」と「水平方向」に分ければ、水平方向を x(初速度方向を正)、鉛直方向を y(上向きを正)として m*d2x/dt2 = - η*(dx/dt) 1 m*d2y/dt2 = -mg - η*(dy/dt) 2 なので、これを解けばよいです。 1は、dx/dt = vx とおけば d(vx)/dt = - (η/m)(vx) なので、これを解けば vx(t) = c1 * e^[-(η/m)t] 初期条件が t=0 のとき vx(0) = v0*cosθ なので c1 = v0*cosθ よって vx(t) = v0*cosθ * e^[-(η/m)t] 3 水平方向の変位はこれを積分して x(t) = -(m/η)v0*cosθ * e^[-(η/m)t] + c2 初期条件を t=0 のとき x(0) = 0 として c2 = (m/η)v0*cosθ よって x(t) = (m/η)v0*cosθ*{1 - e^[-(η/m)t]} 2も同様にdy/dt = vy とおけば d(vy)/dt = -g - (η/m)*(vy) なので、これを解けば vy(t) =-(mg/η) - (c3*m/η)e^[-(η/m)t] 初期条件が t=0 のとき vy(0) = v0*sinθ なので c3 = -g - (η/m)*v0*cosθ よって vy(t) = -(mg/η) + [ (mg/η) + v0*sinθ ]* e^[-(η/m)t] 鉛直方向の変位はこれを積分して y(t) = -(mg/η)t - [(m/η)2 g + (m/η)v0*sinθ] * e^[-(η/m)t] + c4 初期条件を t=0 のとき y(0) = 0 として c4 = (m/η)2 g + (m/η)v0*sinθ よって y(t) = -(mg/η)t - [(m/η)2 g + (m/η)v0*sinθ] * {1 - e^[-(η/m)t]} 計算間違いしていないかな?