質問: 必ずしも連続関数とは限らない場合どうですか?
回答: f(x+y)=f(x)+f(y) を満たす関数はなにか? というのは、コーシーの関数方程式と呼ばれている問題である。 連続関数ならば、f(x)=ax に限る。 したがって、2番目の方程式を追加すれば f(x)=0 に限る。 連続関数の条件を外せば にあるように、f(x+y)=f(x)+f(y) を満たす関数は無数にある。 問題は、条件が f(x+y)=f(x)+f(y) だけなら無数にあるが、 f(xy)=xf(y)+yf(x) を追加したならどうなるか? ということである。 この条件を追加すれば連続という条件がなくても f(x)=0 に限るかもしれないし、この条件を追加しても無数にあるかもしれない。やってみなければわからない。 ハーメル基を用いて、f(x+y)=f(x)+f(y) を満たす関数を作ったやり方により、 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=xf(y)+yf(x) の両方を満たす関数を作れるなら、存在することになる。 注:うまくいかなかったとしても、うまくいかなかっただけのことであり、2つの方程式を満たす関数は f(x)=0 に限る、が証明されたことにはならない。 ハーメル基を用いて f(x+y)=f(x)+f(y) を満たす関数を作ったやり方をご自身で学習し、そのやり方を踏襲してみてはいかが? ※ 何が目的でこんな問題を考えるのか、が良く分からないので私はやる気が起きない。ご自分でやってくださいね。