質問: 杉浦光夫さんの解析入門Iについての質問です。
回答: 横から失礼します。q7u********さんのとおりです。 ただ、その本のノートを持っていますので実体を説明します。 例10の前に、次の定理があります。 定理7.3 KをRnの点列コンパクト集合、f:の→R^mはKで連続であるとする。このとき、次のことが成り立つ。 1) f(K)は点列コンパクトで、fは有界。 2) fが実数値関数(m=1)で K≠∅ならば、fはKで最大値、最小値に達する。 したがって、例10のfが連続なのは明らかなので、B(r)が点列コンパクト なら、上の2)からB(r)→Kとして、求める命題が言えます。 そのことは、その前の定理7.2から点列コンパクトと有界閉集合は同値と いう定理があり、B(r)の有界は自明で、|x|≦rから、B(r)<上バー>=B(r) は自明なので、閉集合となる(その前の定義2)。 という手順です。 そして、その後の定理7.4により、Rnの部分集合について、コンパクト、 有界閉集合、点列コンパクトは同値です。ゆえにq7u********さんの 言明につながります。 BAはq7u********さんへ。