質問: 次の問題を教えてください。 sinΘ+cosΘ=√2のとき、 (↑ 2が√に入りませんでした。すみません。) cos4Θを求めよ。 よろしくお願いします。
回答: bupu4uさんはヒントにとどめてくださったのですが、その間に答えを作ってしまいました・・・せっかくなので申し訳ないですがアップさせて下さい。最後の答えは伏せることにしましょう。 三角関数の中に入っているθを2θや3θに変換したければ、まずはsinθ、cosθの2乗や3乗を作ってみることです。(その理由は複素数を使ったexp(iθ)=sinθ+i cosθなんて式をいじくっていると分かってくるのですが、今の段階ではちょっと目をつぶって下さい) というわけで騙されたと思って二乗を作ってみましょう。 与式の両辺を二乗すると sin^2(θ)+cos^2(θ)+2sinθcosθ=2 (1) が得られますが、この式は直ちに 1+2sinθcosθ=2 (2) と変形できます。2sinθcosθは倍角公式からsin2θに等しいですから sin2θ=1 (3) が求まります。最初に挙げた式変形の方針に従って、またこの2乗を作ります。 sin^2(2θ)=1 (4) 求めたいのはcos4θですから、これを倍角公式で書き下すと cos4θ=cos^2(2θ)-sin^2(2θ) (5) です。cosの倍角表現はいろいろ変形できますが、今(4)でsin^2(2θ)が分かっていますから、これを使わない手はありません。 となれば cos4θ=1-2sin^2(2θ) (6) と変形する一手です。あとは分かるでしょう。 (細かい計算間違いはあるかも知れませんので、適宜チェック下さい)