質問: 九大数学 2012です。 (2)で-1/5≦a≦1/2となる理由がわかりません。詳しく教えてください!
回答: √n = bとおくと,b>0. f(x) = a*(x2+|x+1|+b2-1) g(x) = b*(x+1) 「xの方程式:f(x) = g(x) が実数解を持つ」 ⇔「xy平面上の曲線:y=f(x)と直線y=g(x)が共有点を持つ」 (i) x<-1 のとき, f(x) = a*(x2-(x+1)+b2-1) - b*(x+1) = a*(x2 -x -1 +b2 - 1) - b*(x+1) = a*x2 -(a+b)*x + (a*b2 - 2*a -b) (ii) -1≦x のとき, f(x) = a*(x2 +(x+1)+b2-1) - b*(x+1) = a*(x2 +x +1 +b2 - 1) - b*(x+1) = a*x2 +(a-b)*x + (a*b2 -b) それぞれの判別式を計算し,ゼロ以上となる条件を求めると, (i) x<-1 のとき, d1=(a+b)2-4*a(a*b2-2*a-b)=a2+2*a*b+b2-4*a2*b2+8*a2+4*a*b =9*a2+6*a*b+b2 - 4*a2*b2=(3*a+b)2 - (2*a*b)2 =((3*a+b) - 2*a*b)*((3*a+b) + 2*a*b)≧0 グラフの概形より,x<-1で,右肩上がりの直線y=g(x)と接するのは,a<0の場合とわかる. x<-1 のとき,y=f(x)とy=g(x)が接するのは,a<0の場合で, ((3*a+b) + 2*a*b)≧0を解いて,a≧-(√n)/(3+2*√n)のとき,共有点を持つ. (ii) -1≦x のとき, d2=((a-b)2-4*a(a*b2-b)=a2-2*a*b+b2 -4*a2*b2+4*a*b =a2+2*a*b+b2 - 4*a2*b2=(a+b)2 - (2*a*b)2 =((a+b) - 2*a*b)*((a+b) + 2*a*b)≧0 グラフの概形より,-1≦x で,右肩上がりの直線y=g(x)と接するのは,0<a の場合とわかる. -1≦x のとき,y=f(x)とy=g(x)が接するのは,0<aの場合で, ((a+b) - 2*a*b)≧0を解いて,a ≦ (√n)/(2*(√n) -1)のとき,共有点を持つ. 以上より,求めるaの範囲は, -(√n)/(3+2*√n)≦a≦(√n)/(2*(√n) -1) (2) aの範囲の下限=-(√n)/(3+2*√n)=-1/((3/√n)+2) これは,n=1のとき最大値 -1/5をとり,n→+∞の極限値は,-1/2である. よって,-1/2 < (aの範囲の下限) ≦ -1/5 aの範囲の上限=(√n)/(2*(√n) -1)=1/(2 - (1/√n)) これは,n=1のとき最大値 +1をとり,n→+∞の極限値は,+1/2である. よって,+1/2 < (aの範囲の上限) ≦ +1 全ての自然数nに対して,実数解を持つようなaの範囲は, aの範囲の下限の最大値 ≦ a ≦ aの範囲の上限値の最小値. すなわち, (答え)-1/5 ≦ a ≦ 1/2 (文字だけで書くと複雑に見えるが,グラフに書いてみると,この範囲にaがあれば,全てのnに対して成立することがわかると思う.(1)はa<0の場合が,ちょっとややこしいかもしれない.)