質問: たとえば, ∫(x+1)√(2x+3)dx を計算する場合, t=√(2x+3)とおき, t^2=2x+3 ...(*) x=(t^2-3)/2 から, dx/dt=t ∴dx=tdt が導かれ, 置換積分を行うのが高校数学の教科書通りだと思うのですが, (*)からいきなり, 2tdt=2dx とやってよいのでしょうか? つまり, f(t)=g(x) の状態から,xがtの関数であることを利用して両辺tで微分して, f'(t)=g'(x)・dx/dt となり, f'(t)dt=g'(x)dx としてよいのでしょうか?
回答: よいです。 ただ、2tdt=2dx という式は答案には書かないほうが無難かな。 f(t)=g(x) をtについて解いて t = f^-1(g(x)) xで微分して dt/dx = g'(x)/f'(t) てなるんでOKですね。