質問: 漸化式 まず、an,a1,an+1をうまく表記できなかったので大変見にくいかと思いますが、それぞれaの右下にあるものと思ってください。大変申し訳ありませんがご了承ください。 「数列{an}において、漸化式 a1=a、16a(n+1)=an+3(n≧1)を考える。 このとき、この漸化式は、16(an+1-1/5)=an-1/5 と変形できるので、一般項 an は、an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)」という解答で 16(an+1-1/5)=an-1/5という式から一般項 an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)の導き方がわかりません。教えてもらえないでしょうか。よろしくおねがいします。
回答: 一般項を a(n)と表すことにします。 16* {a(n+1)- 1/5}= a(n)- 1/5より両辺を 16で割って、 a(n+1)- 1/5 = 1/16* {a(n)- 1/5} ...(1)式 と変形します。 ここで、a(n)- 1/5= b(n)とおいてみます。 すると (1)式は b(n+1)= 1/16* b(n) b(1)= a(1)- 1/5= a- 1/5 となります。 数列{b(n)}は、初項が a- 1/5、公比が 1/16の等比数列となります。 よって、数列{b(n)}の一般項は b(n)= (a- 1/5)* (1/16)^(n-1) あとは a(n)を戻していけば、導けます。 (1)式の 1/5の出し方がポイントになりますが、 16* {a(n+1)-α}= a(n)-α と「なってほしい形」を要請して、それを満たすαを求めることで出てきます。