質問: 偏微分方程式の問題です。 d^2y/d^2x+3y=0...➀ d^2y/d^2x+3y=cos2x...2
回答: [1] d^2y/dx^2+3y=0...➀ 特性方程式は λ^2+3=0 λ=i√3,-i√3 y=aexp(i√3x)+bexp(-i√3x) =Acos(√3x)+Bsin(√3x) (A,Bは定数) (1) (註 exp(x)=e^x) [2] d^2y/dx^2+3y=cos2x...2 i)同次微分方程式 d^2y/dx^2+3y=0 の一般解ygは(1)で与えられる。 ii)非同次微分方程式2の特殊解ysを ys=acos(2x)+bsin(2x)(a,bは定数) の形で求める。 ys'=-2asin(2x)+2bcos(2x) ys''=-4acos(2x)-4bsin(2x) (1)に代入して -4acos(2x)-4bsin(2x)+3(acos(2x)+bsin(2x))=-acos(2x)-bsin(2x) =cos(2x) a=-1, b=0 ys=-cos(2x) iii)非同次微分方程式(1)の一般解y: y=yg+ys=Acos(√3x)+Bsin(√3x)-cos(2x)