質問: ド・ブロイ波のエネルギーは? 高校程度の物理を理解している者です。 ド・ブロイ波の位相速度vp、群速度vgについてホームページをいくつかあたってみました。 vp=1/2vgとしている立場とvp=c^2/vgとしている立場がありました。 わたしが見るに、ド・ブロイ波のエネルギーeとして、前者はe=hν=1/2mv^2、後者はe=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2を採用しているような気がします。 これは古典論と相対論で立場が違うから異なる結果になったのだ、というより、hνとしてまったく違うものを採用した結果なのではないか、と思うのです。かたや運動エネルギー、かたや運動エネルギーと質量エネルギーの和。 わたしのとらえ方が間違っているのか、正しい立場はどうなのか。 ド・ブロイ波のエネルギーeとして、e=hν=1/2mv^2が正しいのか、e=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2が正しいのか。 よろしくお願いします。
回答: 前に自分がつまったところと関係してそうですね。 mc^2に相当する振動数をν0とすると、相対論的エネルギーは e = hν0 + hν が正しいらしいです。これだと、非相対論的な式 e = hν とはmc^2 = hν0だけ値が異なってしまい、 振動数もν0とν0+νで異なる事になってしまいますが、 振動数は差でしか求められない物なので、 hν0の差がでても観測にかからないので問題ないそうです。 という事なので、速度が遅い近似で相対論的なエネルギーは e = hν0 + hν = mc^2 + (1/2)mv^2 非相対論的なエネルギーの式は e = hν = (1/2)mv^2 で、どちらにしてもド・ブロイ波のhνというエネルギーは全エネルギーから静止エネルギーを引いた分に相当するようです。 群速度と位相速度についてですが、量子力学の自由粒子の解はh=プランク定数/2πとして e^[i (kx - wt) ] = e^[ i { (p/h)x - (e/h)t }] なので位相速度は vp = e/p 群速度vg は粒子の速度。 相対論的には p = m vg / √[1-(vg/c)^2 ] e = √[ (mc^2)^2 + (pc)^2] なので、 vp = e/p = √[ (mc^2/p)^2 + c^2 ] (mc^2/p)^2 = m^2c^4 ([1-(vg/c)^2 ]/ (m vg)^2 ) = (c^2/vg)^2 - c^2 となるので vp = c^2/vg p<