質問: p,qを整数とする。p^2+q^2が3で割り切れるならばpとqはともに3で割切れることを示せ。
回答: 対偶を取らずにやってみました 整数m,n,a,b (-1≦a≦1,-1≦b≦1)を使うとp,qは p = 3m+a q = 3n+b と表せます。 p^2+q^2 = (3m+a)^2 + (3n+b)^2 = 9m^2 + 6am + a^2 + 9n^2 + 6bn + b^2 = 3(3m^2 + 2am + 3n^2 + 2bn) + a^2 + b^2 となり、これが3で割り切れるなら、a^2 + b^2 も3で割り切れます。 -1≦a≦1,-1≦b≦1 なので、 a=0,b=0 のとき a^2 + b^2 = 0 a=-1,1,b=0 のとき a^2 + b^2 = 1 a=0,b=-1,1 のとき a^2 + b^2 = 1 a=-1,1,b=-1,1 のとき a^2 + b^2 = 2 このうち3で割り切れるのはa=0, b=0のときだけです。 よってp,qは p = 3m q = 3n と表せるため、命題は真になります。