質問: 振動の問題です 分からないので教えて頂けると助かります。 n個の質量mの質点がバネ定数kのバネで一列につながっているとする。 j番目の釣り合いの位置からの変位をx_jと表す。 j番目の質点の運動方程式は (d/dt)^2(x_j)=-ω^2(2x_j-x_(j+1)-x_(j-1)) と表される。 ここで、x_0=0,x_n+1=0,ω=√(k/m)である。 x_j=asin(kj)+bcos(kj)として運動方程式を解き、基準振動の振動数を求めよ。
回答: その通り代入すればよいです。右辺の計算の前に次の公式を確認します。 sin(k(j+1))=sin(kj)cos(k)+cos(kj)sin(k), cos(k(j+1))=cos(kj)cos(k)-sin(kj)sin(k) sin(k(j-1))=sin(kj)cos(k)-cos(kj)sin(k), cos(k(j-1))=cos(kj)cos(k)+sin(kj)sin(k) 右辺=-ω^2{2asin(kj)+2bcos(kj)-asin(kj)cos(k)-acos(kj)sin(k)-bcos(kj)cos(k)+bsin(kj)sin(k) -asin(kj)cos(k)+acos(kj)sin(k)-bcos(kj)cos(k)-bsin(kj)sin(k)} =-ω^2[sin(kj){2a-acos(k)+bsin(k)-acos(k)-bsin(k)}+cos(kj){2b-asin(k)-bcos(k)+asin(k)-bcos(k)} =-ω^2[sin(kj){2a-2acos(k)}+cos(kj){2b-2bcos(k)}] =-2ω^2(1-cos(k))(asin(kj)+bcos(kj) ...(i) さてここでcos(k)=cos^2(k/2)-sin^2(k/2)=1-2sin^2(k/2)、すなわち 1-cos(k)=2sin^2(k/2)...(ii) を知っていれば(i)は (i)=-4ω^2sin^2(k/2)(asin(kj)+bcos(kj)=-4ω^2sin^2(k/2)(x_j)...(iii) となります。 即ちもとの式は (d/dt)^2(x_j)=-4ω^2sin^2(k/2)(x_j)=-(2ωsin(k/2))^2(x_j)...(iv) となります。これはx"=-(k^2)xという単振動の式で解は x=asin(kt)+bcos(kt) となり振動数fは f=k/2π となります。(iv)で言えば f=(1/2π)(2ωsin(k/2)) です。角振動数ならばこれの2π倍ですから f=2ωsin(k/2) となります。