質問: 重積分により体積・面積を求める問題 (1)放物面z=x^2+y^2とz=4-x^2ーy^2で囲まれる体積を求めよ 以上のような問題において図形的にどちらの関数が上にくるのかいまいち判別できません。 平面上の関数なら概形や位置関係がわかるのですが・・・ (2)上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2 範囲dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。 最初の式をf(x、y)z=√1-(x^2+y^2)、さらにg(x、y)=√3/2としても 困難な計算になるため正しい方法とは思えません。 どなたか知恵をお貸しください。
回答: 続いて(2)について >「上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2」で囲まれた立体の体積vを求めれば良いですね。 立体は半径1の半球をz=√3/2の平面で切断し、上側をそぎ落とした残りの部分の立体となります。 これもz軸を中心とした回転体の体積で求まります。 >範囲dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。 この範囲をどこから出したのか、さっぱり分かりません。 立体をy=0の平面(xz座標面)で切断した座標面で考えると 回転体の体積公式を使って v=π∫[0,√3/2] x^2 dz , ただし x^2+z^2=1 v=π∫[0,√3/2] (1-z^2) dz この位の積分は出来ますね。やってみて下さい。 ( → v=3(√3)π/8 )