質問: 趣味で数字の勉強をしているのですが、 ゲーデルの不完全性定理でわからないところがあります 第二不完全性定理で、 初等的な自然数論を含む理論Tが無矛盾ならば、Tの無矛盾性を表す命題がその体系で証明できない。(Wikipediaより) とかかれているのですが、最初に理論Tが無矛盾であると仮定しているのに、その無矛盾性が証明できないとはどういう意味かよくわかりません。 無矛盾であるのに無矛盾でないとはどういう意味ですか? 自分でもどの程度理解できているのかわからないので、質問になっていなかったらすいません。高校数学程度まで勉強しています。
回答: 最初に理論Tが無矛盾だと仮定しているのは、理論Tを外側から見て無矛盾だと評価しているということです。 さて、結論で「Tの無矛盾性を表す命題をその体系で証明できない」というのをzsm***さんは「Tの無矛盾性を証明できない」と意訳していますが、これが違っているのですね。zsm***さんの意訳したように単にTの無矛盾性を証明するというと、それは仮定のところと同じように、Tが無矛盾だということをTの外側から評価しようという話になってしまうので、無矛盾だと仮定したのと同じレベルで無矛盾ではないという結論になって、確かにこれはおかしなことです。 しかし実のところ意訳する前のもとの結論は、注意深く読むとわかりますが、Tの無矛盾性をTの外側から考える話ではなく、「Tが無矛盾である」という命題をTの中で理論Tだけを使って証明できるかどうかという話なのです。そうすると、Tは外側から見て無矛盾であるような理論体系であるとしても、内側でT自身がその無矛盾性を見ることができるかとは別の話なので、T自身が内側で無矛盾性を確信できないとしても、それほどおかしなことではないわけですね。