質問: 二項分布の問題です。 ある地方では、子供の髪の毛が赤毛である確率は1/4である。この地方で5人の子供のいる家で、男女の生まれる確率は同じとして、 (i)赤毛の男の子が1人もいない確率を求めよ (ii)赤毛の女の子が1人もいない確率を求めよ (iii)赤毛の子供が1人もいない確率を求めよ (iiii)赤毛の男の子が少なくとも1人、赤毛の女の子が少なくとも1人いる確率を求めよ 途中式を含め、回答お願いします。。。
回答: (i)赤毛の男の子が1人もいない確率を求めよ 赤毛の確率が1/4、男の子の確率が1/2なので、 赤毛の男の子の確率は、1/4 x 1/2 赤毛の男の子ではない確率は、1 - 1/4 x 1/2 よって、5人とも赤毛の男の子ではない確率は、 (1 - 1/4 x 1/2)5 = (7/8)5 = 16807/32768 (ii)赤毛の女の子が1人もいない確率を求めよ 男女の確率は等しいので、(i)と同じで (7/8)5 = 16807/32768 (iii)赤毛の子供が1人もいない確率を求めよ 赤毛の子供ではない確率は、1 - 1/4 よって、5人とも赤毛の子供ではない確率は、 (1 - 1/4)5 = (3/4)5 = 243/1024 (iiii)赤毛の男の子が少なくとも1人、赤毛の女の子が少なくとも1人いる確率を求めよ 赤毛の男の子が少なくとも1人いる確率をP(A)、 赤毛の女の子が少なくとも1人いる確率をP(B)とすると、 求める確率は、P(A∩B)である。 加法定理により、P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) なので P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)...1 赤毛の男の子が1人もいない確率は、(i)より16807/32768なので、 赤毛の男の子が少なくとも1人いる確率P(A)は (1-16807/32768) 同様に、 赤毛の女の子が少なくとも1人いる確率P(B)も (1-16807/32768) また、赤毛の子供が1人もいない確率は (iii)より、243/1024なので 赤毛の子供が少なくとも1人いる確率P(A∪B)は (1-243/1024) 以上を1に代入して、 P(A∩B) = (1-16807/32768) x 2 - (1-243/1024) = 3465/16384