質問: 測度の連続性 大学数学、ルベーグ積分の質問です。 他の質問サイトでも質問しましたが、よく分からないため質問します。 以下の問題が分かりません。r上の関数φ(x)が右連続であるとは、lim[x↓x_0]φ(x)=φ(x_0)の時をいい、左連続とはlim[x↑x_0]φ(x)=φ(x_0)の時をいう。r上の有限測度μによって定まる以下の関数はx>0で右連続、左連続、連続、不連続のどれになるか?(1)μ([0,x])(2)μ([0,x))(3)μ([-x,x])(4)μ((-x,x))(5)μ((-x,x])よくわかりません。よろしくお願いします。
回答: 「r上の有限測度μ」というのが良く分からない。rは実数体で、ここでは「rのボレル集合体上の有限測度μ 」だろうか。以下これとして。 前提知識として、 ●まず一般に測度は上からも下からも連続である。つまり、 a. 増加列e_1⊂e_2⊂e_3⊂... に対し、μ(∪ e_j) = lim μ(e_j) b. 減少列e_1⊃e_2⊃e_3⊃... に対し、μ(∩e_j) = lim μ(e_j) ●一方、こちらはまだ出てきてないかも知れないが、一般にfを実数体上の有界、非減少、右側連続関数とすると、μ((a,b]) = f(b) - f(a)で定義するμは、rのボレル集合体上の有限測度に拡張される(lebesgue-stieltjes測度)。 (1)(2)だけ示す。 (1) x_n ↓ xなる任意の数列x_nに対し、μ(∩[0, x_n]) = lim μ[0, x_n]で、左辺はμ([0,x])であるから、これはμ([0,x])が右連続であることを意味する。 一方、f(x) = 0(x<1), 1(x≧1)なるfは、有界、非減少、右側連続であるので、μ((a,b]) = f(b) - f(a)で定義するμはrのボレル集合体上の有限測度に拡張される。この時 μ([0,1])= 1である一方、0<x<1に対してμ([0,x])=0となってμ([0,x])はx=1で左連続でない。 (2) 同様にx_n↑ xなる任意の数列x_nを考えれば、μ([0,x))は左連続となる。 一方、先程のfに対し、fが定義する測度μは、 μ([0,1)) = 0である一方x>1に対してμ([0,x)) = 1であって (何故か?)μ([0,x))はx=1で右連続でない。 後は一度考えよ。 注: μは測度だから、a⊂bかつa, b共にμ可測ならμ(a)≦μ(b)であって、よって(1)から(5)全てxに対して非減少。一般に実数値非減少関数の不連続点は高々可算個であるから、 (1)から(5)いずれも、高々可算個の点で不連続になっているかもしれないが、「ほとんど至る所の」点で(1)から(5)まで連続だ。