質問: 直線と曲線で囲まれた領域の重心について 放物線と異なる2点で交わる直線で囲まれた領域の重心の座標って何処ですか? 放物線の方程式はなんでもいいのですが... 一応y=a(x-b)^2 +c 、y=mx+nとしておきます
回答: 答えがあったら確認してください。 面の重心は一定の方向で面を短冊に切って行って各短冊の中心をつなぐ曲線c1を求め、 次に異なった方向から同様の作業を行い、得られた短冊の中心の曲線をc2とすると、 c1とc2の交点としてもとめられます。 c1としてはy軸に平行に切った短冊を考えるとその中心の曲線は y=[a(x-b)^2 +c+mx+n]/2 (1) c2として、y=mx+nに平行に切った短冊を考えるとその中心は a(x-b)^2 +c=mx+n の解の平均となり ax^2-(2ab+m)x+ab^2+c-n=0 から x=(2ab+m)/a/2=b+m/2a (2) これはnが入っていないので、y=mx+nのnを変化させて短冊を切り中心を求めると nによらないことを示しています。 (2)を(1)に代入して y=[3m^2/(4a)+mb+c+n]/2 (3) (2)、(3)が答えです。