質問: 不定積分の問題です 不定積分を勉強しています。 ですが、大体は教科書を読んで解けるのですが、次の問題は、どうにもうまくいきません。 どなたか、解説をお願いします。 【1】 ∫dx/(1+x+x^2) 【2】 ∫x^2/(1+x^2) dx 【3】 ∫1/(x^2+3) dx 【4】 ∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) 【5】 ∫√x/(1+x) dx 「いろいろな関数の不定積分」だと思います。 でも、うまく発想しません。 参考にしている教科書は、数研出版の数学iiiです。
回答: >【1】∫dx/(1+x+x^2) =∫dx/{(x+1/2)^2-1/4+1} =∫dx/{(x+1/2)^2+3/4} =(4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1] u=(2/√3)(x+1/2)と置くと、du=(2/√3)dx (4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1] ={(4/3)/(2/√3)}∫du/(u^2+1) ={(4/3)(√3/2)}∫du/(u^2+1) =(2/√3)∫du/(u^2+1) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+cで) >【2】∫x^2/(1+x^2)dx =∫{(1+x^2)-1}/(1+x^2)dx =∫dx-∫dx/(1+x^2)dx =x-∫dx/(1+x^2) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+cで) >【3】∫1/(x^2+3) dx =3∫1/((x/√3)^2+1) dx =(3/√3)∫du/(u^2+1) ←u=x/√3と置いた、du=dx√3 ∴dx=du/√3 =√3∫du/(u^2+1) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+cで) >【4】∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) =∫1/(√a-x)(√a+x) dx 1/(√a-x)(√a+x)=b/(√a-x)+c/(√a+x)と置く。右辺を計算すると、 b/(√a-x)+c/(√a+x) ={b(√a+x)+c(√a-x)}/(√a-x)(√a+x) ={(b+c)√a+(b-c)x}/(√a-x)(√a+x) これが1/(√a-x)(√a+x)と等しいゆえに、 (b+c)√a=1, (b-c)=0 このbとcに関する連立1次方程式を解くと、b=c=1/(2√a)となる(a>0より実数であることに注意)。ゆえに、 ∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) =∫1/(√a-x)(√a+x) dx =(1/2√a)∫{1/(√a-x)+1/(√a+x)} dx =(1/2√a)∫dx/(√a-x)+∫dx/(√a+x)} (1次式の逆数の不定積分に帰着できたので、以降は解けるはず。) >【5】∫√x/(1+x) dx =∫√x/(1+√x^2) dx =∫u/(1+u^2)(2u) du ←u=√xと置けば、du=(1/2√x)dx=1/(2u)dx ∴dx=2udu =2∫u^2/(1+u^2) du (↑【2】と同じ形)