質問: 【至急】空間ベクトルの問題 明日までの宿題なのですが、答えが分からず不安です 解答(解法)を書いて頂けると助かります・・・! どうぞよろしくおねがいします 四面体oabcがあり、 oa=oc=ac=1, ob=2, bc=√3, ∠aob=90° である。 また、三角形oabを含む平面をαとし、 点cを通りαに垂直な直線とαの交点をhとする。 さらに、oaベクトル=aベクトル, obベクトル=bベクトル, ocベクトル=cベクトル とする。 (1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。 (2)ohベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分chの長さを求めよ。
回答: (1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。 >ベクトルを↑で、内積を↑・↑で表します。 ↑a・↑b=1*2*cosπ/2=0・・・答 △obcでob^2=oc^2+bc^2が成り立つから∠c=π/2、oc/bc=1/2から ∠o=π/3、よって↑b・↑c=2*1*cosπ/3=1・・・答 △oacは正三角形だから↑c・↑a=1*1*cosπ/3=1/2・・・答 (2)ohベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分chの長さを求めよ。 >点o、a、b、hは同一平面上にあるので、s,tを実数として ↑oh=s↑a+t↑bとおくと↑ch=↑oh-↑c=s↑a+t↑b-↑c ↑chと↑a、↑chと↑bはそれぞれ直交するので、 ↑ch・↑a=(s↑a+t↑b-↑c)・↑a=s|↑a|^2+t↑a・↑b↑-↑c・↑a =s-1/2=0からs=1/2 ↑ch・↑b=(s↑a+t↑b-↑c)・↑b=s↑a・↑b↑+t|↑b|^2-↑b・↑c =4t-1=0からt=1/4 よって↑oh=(1/2)↑a+(1/4)↑b・・・答 ↑ch=↑oh-↑c=(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c |↑ch|^2=↑ch・↑ch ={(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c}・{(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c} =(1/4)|↑a|^2+(1/8)↑a・↑b-(1/2)↑a・↑c+(1/8)↑b・↑a +(1/16)|↑b|^2-(1/4)↑b・↑c-(1/2)↑c・↑a-(1/4)↑c・↑b+|↑c|^2 =(1/4)|↑a|^2+(1/4)↑a・↑b-↑a・↑c+(1/16)|↑b|^2 -(1/2)↑b・↑c+|↑c|^2 =(1/4)-(1/2)+(1/4)-(1/2)+1=1/2 よってch=1/√2=√2/2・・・答