質問: 4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件 4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。 a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4]) b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4]) c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4]) d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4]) とします。 これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。 各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。 4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式 |a↑ b↑ c↑ d↑|≠0 4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、 a↑∥b↑∥c↑∥d↑ a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4] (a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4]) =(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4]) このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか? 4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?
回答: http://ja.wikipedia.org/wiki/%e8%a1%8c%e5%88%97%e3%81%ae%e9%9a%8e%e6%95%b0 行列の階数(ランク) ranka=1,2,3,4 で表せばいいのではないでしょうか。