質問: 重心の運動 質量m、2mの質点が、自然長l、ばね定数kのばねで接続されている。 この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。 ただし、質量mの質点の位置はx1、2mはx2、重心はx3とする。 (右向き正の一次元運動とし、x1
回答: 重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある 「重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)」 ですね。結果的に/3はなくても同じですが。 また,相対変位はふつう 自然長をlとして, x2 = x2 - x1 - l = d にとります。 すると相対運動の運動方程式は, μx2'' = - kx2, μ=2m/3 となります。 もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。 簡単に質点m1,m2が相互作用fを及ぼしあって,外力ゼロとします。 m1について:m1x1'' = f m2について:m2x2'' = -f 辺々加えて m1x1''+m2x2'' = 0 これが重心の運動方程式ですが,これは m x'' = 0 m=m1+m2 ,x=(m1x1+m2x2)/m と書くことによって一層その意味がはっきりします。 これは,外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意 しましょう。重心の等速度運動は,系の運動量保存則と同値です。 一方,上2式からx=x1-x2(もちろんx2-x1でもよい)を座標 (1,2の相対座標)とする運動方程式をつくれば, μx'' = f 1/μ = 1/m1 + 1/m2 ,x=x1-x2 となり,ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。 これを相対運動の(相対座標についての)運動方程式といいます。 x1,x2の運動方程式は,一般に連立微分方程式になりますが, x,xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した 微分方程式になるため,比較的簡単に解けるわけです。