質問: 微分方程式についてわからないことが・・・ 今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×y^2=-log|x|+c =-log{cx{ e^(1/2×y^2)=-|cx| =cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をxで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=c 両辺にxかけて xyy'e(1/2×y^2)=cx =e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり-がでてきません。 計算途中でc=±cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して-をつけてもいいのでしょうか? どのように解答をかいていけばいいのでしょうか? わかるかたお願いします。
回答: y'=-1/(xy) y'y = -1/x y^2/2 = -log|x| + c e^(y^2/2) = e^c/|x| です.eの指数にするときに, 指数のマイナスの処理を間違ってます, このとき 両辺をxで微分すると 左辺の微分 = y' y e^(y^2/2) x>0 のとき 右辺の微分 = -e^c/x^2 = e^c/x (-1/x) = e^c/|x| (-1/x) = e^(y^2/2) (-1/x) よって,yy' e^(y^2/2) = (-1/x) e^(y^2/2) yy' = -1/x x<0のとき 右辺の微分 = e^c/x^2 = e^c/x (1/x) = -e^c/|x| (1/x) = e^c/|x| (-1/x) = e^(y^2/2) (-1/x) よって y' y e^(y^2/2) = e^(y^2/2) (-1/x) yy'=-1/x