質問: 円柱表面上における接線について 例えば、1枚の用紙(平面π)の上に円を書いて、その円を c、c の中心をo、cの円周上の任意の点をp、pにおける円cの接線をlとします。 そして、中心o から平面πの法線ベクトル方向に円を積み重ねていくと(同じ円を書いた用紙を積み重ねていくイメージ)、底面を円cとした円柱ができると思います。 この時、接線lは円柱の表面上pにおける一つの接線だと思うのですが、このlを 直線op(oを基点にpを通って、無限彼方へ伸びる直線)を中心に360°任意に回転してもそれは全て円柱の表面における、点pを通る接線と呼べるのでしょうか? (これが、円柱ではなく 球表面における任意の点pを通る接線なら、そのlを球の中心oからpを通る直線を中心に360°、どのように回転しても接線と呼べると思うのですが、円柱の場合イメージができません)
回答: 面白い問題ですね。直感的なイメージについてはいろんな方が回答されており、付け足すべき部分は見つかりませんでしたので、回転後のlが楕円の接線になっていることを数式的に示してみます。 (以下、断りなしに用いる記号はwohaoketeさんの質問文にある記号と同じものをさすこととします) ----------------------------------- 右手系にxyz空間をとる。 領域c:x^2+y^2≦r^2......(1) 直線n:z=0,x=ρ(-r≦ρ≦r)......(2) 直線l:z=0,x=r......(3) とする。(ρ=rのとき、nはlと一致する) 直線nを原点からx軸に向かって見たときに、時計回りに見えるように φ(≠π/2,3π/2)回転させた直線をmとする。 そうすれば、mは実数a=arctanφを用いて m:z=ay,x=ρ(-r≦ρ≦r)......(4) と書ける。今、(4)を-r≦ρ≦rの範囲で動かしたときの、(1)と(3)の共通部分dを考える。 x=ρを固定したとき、(1)より -sqrt(r^2-ρ^2)≦y≦sqrt(r^2-ρ^2)......(5) 従って、(4)より -asqrt(r^2-ρ^2)≦z≦asqrt(r^2-ρ^2)......(6) が分かる。 よって、d={(x,y,z)|-r≦x≦r,(5),(6)}が得られる。 ここで、x-y平面をx軸を中心に直線nと同じ方向にφ回転させた平面をx-t平面とする。 このとき、(5)、(6)より、dはx-t平面では d={(x,t)|-r≦x≦r,-sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)≦t≦sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)}......(7) と表現される。(7)より、(t,x)が満たす関係式は、 t^2≦(1+a^2)(r^2-x^2)......(8) これを整理して、 t^2/{(1+a^2)r^2} + x^2/r^2 ≦ 1......(9) が得られる。(9)は長軸2rsqrt(1+a^2)、短軸2rの楕円内部である。 一方、mはx-t平面では、x=rと表現できる。 従って、mと(9)の外周(境界)は、p(x,t)=(r,0)で接することが分かる。 ----------------------------------- 以上で実際に断面の境界が回転後のlに接することが分かりました。 なお、wohaokeleさんは「底面を円cとした円柱」をつくるとしていますが、上記では、「中心o から平面πの法線ベクトル方向に円を積み重ねていく」ときに、「法線ベクトルの逆ベクトル方向」にも円を重ねていくことにしています。 そうしないと、断面は楕円にはならず、楕円をその短軸で切ったような図形になるからです。上記にあわせて数式で言うと、 d={(x,t)|0≦x≦r,-sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)≦t≦sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)} です。この場合もたしかに回転後のlは楕円に接すると言えなくもないのですが、(直線を半楕円の弧に常に接するように保ちながら、その接点を半楕円の角に限りなく近づけることを想像してください)どうも気持ち悪いので、上記のように問題を変更しました。本質的には変わりはありません。