質問: eは作図できますか πはコンパスで円を描いて円周を紐で測ればますし√nの作図法も有名です。eについてはどうなのでしょう。面積で示す方法はどこかで見た記憶があるのですが図形的に示す方法を教えてください。
回答: 「作図」という言葉が微妙なのですが とりあえず ・定規は線分をひくだけ(ただし,長さの制限はない) ・コンパスは与えられた長さの半径の円周をかくだけ という古典的な正統派の意味でいきましょう まず,円周率πはこの意味では作図できません つまり,与えられた長さのπ倍の長さの線分は 作図できません. もし作図できたと仮定すると 面積がπの正方形が作図できてしまいます. 長さπがあればπの平方根は作図可能ですから. しかし,面積がπの正方形は 作図不可であることあることが 証明されてます(円積問題). これはπが超越数であることによります (1882年リンデマン). もちろん制限を変えて「円周」でもよい とするならば,その意味では作図可能です. 次に本題のeですが no.2さんは「無理数だから」とおっしゃられてますが これは「超越数だから」の勘違いでしょう ルート2は無理数ですが容易に作図可能です. で,eですが超越数なので作図不可です ただし,制限を変えればなんとか・・・ まずカテナリをつくります カテナリのx=0からx=1にあたる部分の長さは 1/2(e-e^{-1})です(曲線ですけどね。。。) 一方,カテナリのx=1のときの値は 1/2(e+e^{-1})です これらの値を足せばちょうどeです カテナリと曲線の長さは紐ではかるという操作を 許容すれば,足し算の作図でeがでるというわけです. この方法あんまり現実的ではないです(苦笑)ので まあ,普通は近似でしょうが こういう考察もあるということで. ちなみに「厳密な意味で作図可能かどうか」は 基本的に ・線分と線分(一次関数どうし) ・線分と円(一次関数と円) の組合せの連立方程式の解として表せるか ということに他ならないので ぶっちゃけた話, ルートと加減乗除で表せるかというのを考えると 大体見当はつきます. まあ,あくまでも見当でしかないですけど