質問: 仕事の中で、数学を使う必要がでてきましたので、教えてください。 保険契約で、1年ごとに更新される場合を前提としています。 95%の確率で更新され、5%の確率で、更新されない、とします。 この場合、この保険契約が存続するのは、平均的に、何年間と考えられるでしょうか。 数学的な根拠も合わせて教えていただけますと幸甚です。
回答: 一般に、確率pで更新、q=1-pで更新されない(拒絶)場合を考えます(0≦p<1)。 (ちょうど)1年となる確率は、最初拒絶なので、q 2年となる確率は、最初更新、次回拒絶なので、pq 3年となる確率は、最初更新、次回更新、その次は拒絶なので、p^2q ... よって、平均値(期待値)Mは M=1q+2pq+3p^2q+... =q(1+2p+3p^2...) ここで厳密に言うと、「無限和が初めから存在する者として扱っていいのか」という問題がありますが、正の数だけの和の場合は無限和は(∞かもしれないが)必ず定まることが分かっています。高校の範囲ではこのことはやらないので、もし大学入試に出たら出題不適切と言うべきです。 ここで、等比級数の和の公式 1+p+p^2+...=1/(1-p) (|p|<1) が成り立ちます。この両辺を微分すると次を得ます。 1+2p+3p^2+...=1/(1-p)^2=1/q^2 (|p|<1) これも無限和なのに左辺を本当にそんなことしていいのかという問題はありますが、これも高校数学の範囲は超えますが、複素関数論の知識があれば正当化されます。 これにqを掛けるとMになるので、 M=q(1+2p+3p^2+...)=1/q となります。 (念のため、p=0(必ず拒絶)だとq=1でM=1という当たり前の結果を得ます。) 今の場合はp=0.95で、q=1-p=0.05なので M=1/q=1/0.05=20 よって20年となります。