質問: ベクトルの問題です 空間の点pから平面x+y-z=0に垂線を下し、その足をmとしpmの延長上にpm=mqとなる点qをとる。 点pが直線x=y+1=z-1の上を動くとき、点qの描く図形の方程式を求めよ <教科書の回答> p(x、y、z)、 q(x.y,z)とおくと pは直線上の点であるから x=y+1=z-1 。。。。。(a) pq→は平面の法泉ベクトルの一つだから、 (x-x、y-y、z-z)=k(1,1、-1)。。。(b) pqの中点( (x+x) / 2 , (y+y)/2、 (z+z) /2 )が平面上にあるから、 (x+x) /2 + (y + y) /2 (-z+z) /2 =0 ∴x+y-z+x+y-z=0。。。。。(c) (a)(b)(c)からx、y、z、kを消去すれば良い x,y,zをx、y、zに書き換えて x=y+1=(z+7)/5 質問です、 法線ベクトルについては理解してるつもりですので、 bについては理解できました。 aでは、pは直線状の点、 bでは、pqが垂線なので、法線ベクトルでもいいではないか?と考えて、x+y-zの法線ベクトルを1.1.-1とおいて外にkを置けば =(x-x、y-y,z-z)のイコールの関係になるのはわかりました。 cは、pqの中点の公式より、中点の座標を求めてます。 その後、なぜだか?x+x/2 + y+y/2 ーz+z/2 =0とzの項ではマイナスとなっていて、(たぶんx+y-z=0に代入したと思うのですが) そこから得たこのcとは何か不明です、またなぜpqの中点をx+y-zに 代入する必要があるのですか?>_<?? 最後は なぜ、この題意の点pが直線x=y+1=z-1 の上を動くとき点qの描く図形の方程式を求める際に、 このa,b,cを使って、消去すれば題意の求めてる回答が得られるのでしょうか??なぜ、これらをあわせると回答が得られるのかわかりませんでした。 どなたか教えて下さい、宜しくお願いします!!>_<!!
回答: nana070707様 >法線ベクトルでもいいではないか?と考えて この問題で一番気が付きにくいのが、pqを法線ベクトルと考える点です。 それを理解してるのに・・・ 平面上で、ある直線を対称の軸として点p(x、y)を対称移動した点q(x、y)を求めよ。 例えば直線x+2y+3=0 点(x、y)=(5、6)とでもします。 この問題は (1)pqの中点が直線x+2y+3=0の上にある事 (2)直線x+2y+3=0 と pqが垂直である事 このふたつ条件で、q(x、y)が求まります (1)は中点座標m((5+x)/2、(6+y)/2)を直線x+2y+3=0 に代入して ((5+x)/2)+2(6+y)/2)+3=0 です 式が意味が持つのは、ここまでで その後は機械的な計算は無意識と・・・ (2)は平面上の法線ベクトルを使用して(x-x、y-y、)=k(1,2)とも書けますが、・・・・・・ さて、この問題を空間の問題にしたのが、質問の問題です 線対称が面対称に変化しますが、ふたつは基本的には同形の問題です。 中点m((x+x)/2,(y+y)/2,(z+z)/2)の座標を、平面x+y-z=0に代入して (x+x)/2 + (y+y)/2 ー(z+z)/2 =0 が得られます 式の意味は、中点mが平面x+y-z=0の上にある です もし、これでも意味がわかりにくければ、平面の線対称の問題を先にやる事を薦めます。 >なぜ、この題意の点pが直線x=y+1=z-1 の上を動くとき点qの描く図形の方程式を求める際に、このa,b,cを使って、消去すれば題意の求めてる回答が得られるのでしょうか??なぜ、これらをあわせると回答が得られるのかわかりませんでした。 極論すると 数学では、問題を解くための条件を式にした段階で終了なのです a,b,c を出した段階で終了です。 なんらかの式変形で x、y、zの関係が出れば満足して下さい。 しかし実際にはx、y、z、kを消去して x=y+1=(z+7)/5 を出すのが中々大変で、計算ミスばかりして、苦労しました。 x、y、z、kを消去する方法がわからなかったら、またお尋ね下さい。 ps この問題は旧課程の問題で教科書にはないはずですが?