質問: 二項分布の平均と分散について 離散型確率変数 x,y が互いに独立で,それぞれ二項分布 b(n1, p1),b(n2, p2) に従うとき, 和 x^2 + y^2 の平均と分散はどのようにしたら求まるのでしょうか
回答: まずは、 ・x の期待値:e[x] = n1*p1 ・x の分散 :v[x] = n1*p1*(1 - p1) ・y の期待値:e[y] = n2*p2 ・y の分散 :v[y] = n2*p2*(1 - p2) です。 これは基本中の基本。 次に、期待値、分散の関係は v[x] = e[x^2] - {e[x]}^2 1 ですから(これも基本) e[x^2] = v[x] + {e[x]}^2 同様に e[y^2] = v[y] + {e[y]}^2 従って、 e[x^2 + y^2] = e[x^2] + e[y^2] = v[x] + {e[x]}^2 + v[y] + {e[y]}^2 x と y が独立であれば、x^2 と y^2 も独立なので v[x^2 + y^2] = v[x^2] + v[y^2] ここで、1の公式から v[x^2] = e[(x^2)^2] - {e[x^2]}^2 = e[x^4] - {e[x^2]}^2 これを計算するには「 e[x^4] 」が必要ですが、これは二項分布のモーメント母関数 mx(t) = (pe^t + 1 - p)^n から求めないといけないかな。mx(t) の4次導関数で t=0 とすれば e[x^4] が求まります。 y についても同じ。 計算はご自分で。