質問: 不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxの計算 「解析学序説」上(一松信)p77の不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxに挑戦してみました。i(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を何回か使うと結果が出るのですが、私の出した式と巻末解答とがあまりに違いすぎるのです。 (1) i(-4,-2)=1/(((sin x)^3)cos x) - 4cos x/3(sin x)^3 - 8cos x/3sin x (私が出した解答、または通分すると(2)になります) (2) (3 - 12(cos x)^2 + 8(cos x)^4)/(3(sin x)^3)cos x ところが、巻末解答は次のようです。 (3) -1/(3((sin x)^3)cos x) - (8/3)cot 2x * 巻末解答には、8/3(正)と3/8(誤)の誤植があります。 (2)と(3)とはかなり違った形をしていますが、(3)を2倍角の公式を使って計算していくと(2)になりますので、一件落着というわけですが、どうも気にかかることがあります。 ## i(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を使うとまず、(1)に到達するのではないでしょうか。すると(1)から(2)を出すのは簡単としても、(2)から同値変形をしていって(3)に達するのはかなり大変な作業ではないかと思われるのになぜ、(1)または(2)で止めなかったのか不思議です。 なお、岩波全書の「数学公式1」 p183も丸善の「数学大公式集」(大槻義彦 訳、1983年)p139も i(-4,-2)を上の(3)で与えてあります。わざわざcot2xにする必要はあるのでしょうか? 何か全く別の観点からの算出という感じがしてならないのですが、思い過ぎでしょうか? ご指導、よろしくお願いいたします。
回答: んー、確か数学でも算数でも 「より簡易にあらわす方法があればそうするべきである」 というのが暗黙の了解だったような気がするんですが・・・