質問: 共分散について 共分散について教えていただきたいのですが、 互いに独立の確率変数x、yがある場合、 共分散が0になることはどうすれば証明できるのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: kumav113さんの考えている共分散の定義を書かれていないので, 一般的と思われる定義でやりますが,いずれにせよ xとyとが互いに独立 <=> e(xy)=e(x)e(y) (e(x)はxの期待値) であることを用いればできるはずです. 確率変数x, yに対して,共分散cov(x, y)を cov(x, y) = e((x-e(x))(y-e(y))) と定義すると, xとyとが互いに独立 <=> e(xy)=e(x)e(y) ならば, cov(x, y) = e((x-e(x))(y-e(y))) = e(xy) - e(e(x)y) - e(e(y)x) + e(e(x)e(y)) = e(x)e(y) - e(x)e(y) - e(y)e(x) + e(x)e(y) = 0. e(e(x)y) = e(x)e(y)などはよいですね. 逆は成り立たない(共分散が0であっても,互いに独立とは限らない)ことに注意する.