質問: 2^(2n)-2^(n+2)>10^30となる最小のnを求めよ。
回答: 2^n =X とおく。X>0になることに注意。 もとの不等式は X^2 -4X > 10^30 という不等式になります。これを解いて、X>0の条件を付けると X > 2 +√(10^30+4) になります。 ここで、 10^15 + 2 < (右辺) < 10^15 + 3 になることが割と簡単に確認できます。(直感的な言い方をすれば、√(10^30+4)というのがほとんど√(10^30)=10^15だということです) よってとりあえず X=2^n > 10^15 を満たすnを調べます。両辺の対数をとると、 nlog10 > 15 という不等式になります。 49.81... < 15/log10 < 49.83.. なので、n=50がこれを満たす最小のnです。 n=50の時に初めて10^15より大きくなるので、普通に考えればこの時に10^15 + 3よりも大きくなって、(左辺)>(右辺)を満たせるでしょう この部分も厳密に証明できますが省略します。 なので答えとしてはn=50です。