質問: 位相空間の定義に関する疑問 位相空間の定義: 集合sが次の条件を充たす集合族をもつとき「位相空間」とよぶ 1. 空集合と、s自体がその集合族に属する 2. 集合族に属する集合の交わりが集合族に属する 3. 集合族に属する無限個の集合の和集合が集合族に属する というのがありますが、1番目の条件は当然として、2番目と3番目の条件で、どうして2は有限個の集合の交わりで定義され、3だけが無限個の集合の和集合で定義されているのかわかりません。例えば、2の条件を「集合族に属する無限個の集合の交わりが集合族に属する」と書き換えるのはどうしてだめなんでしょうか?(具体的に、ちょうど良い例などが浮かばずに困っています。)
回答: graphmanさん、今晩は。 定義がおかしいです。 2は、単に交わりと書けば無限個の交わりも含みますが、位相の正しい定義では有限個の交わりであって、無限の場合は含みません。 3は、逆に有限、無限のどちらでも良いので、「無限個の」と言う限定は取り除く必要があります。 有限と無限の違いを認識されていないようですが、次の例で違いがわかりますか? 実数全体の集合rに通常の位相(ユークリッド位相)を入れる。 このとき、開区間は開集合である。 自然数nに対し開区間i_nをi_n=(0,1+1/n)で定めるとき、有限個のnに対するi_nの交わりは開集合であるが、全てのnに対するi_nの交わりは(0,1](1以下の正の実数の全体)であり開集合でない。