質問: 単振動の問題です。よろしくお願いします。 教科書の問題を解いていたのですが、解答も載っていなくてわからなかったので教えてもらえないでしょうか。 自然の長さがdで質量を無視できるばねがある。ばねの上端を天井に固定し、質量mの重りを吊るしたら、長さaだけ伸びて静止した。次に、bだけ伸ばして静かに離したら重りは振動を始めた。鉛直方向を始めに重りが静止していた位置を原点oとしたx軸(下向きを正)、重力加速度の大きさはgとし、ばね定数kとした場合以下の問いに答えよ。 (1)重りが静止しているときの力のつり合い式はいくらか。また、ばねの伸びaはいくらか。 (2)時刻tでの重りの位置をx(t)として、重りの運動方程式はいくらか。 (3)x(t)=asin(ωt+φ)がこの運動方程式の解であること証明せよ。(ただし、ω=√k/mとする) (4)この運動の初期条件は? (5)(4)の初期条件より、aとφを求めよ。
回答: (1)重力と弾性力がつりあっているから、 mg=ka・・・答え 式変形すると、 a=mg/k・・・答え (2)運動方程式f=md^2x(t)/dt^2 位置x(t)でのばねの弾性力は-k*(x(t)+a)(∵問題文より重りの釣り合いの位置が原点であるから、ばねの伸びはx(t)+aと表せる) よって重りに働く力は重力との合力だからf=mg-k(x(t)+a) ここで(1)よりmg=kaを上式に代入するとf=ka-k(x(t)+a)=-kx(t) ∴kx(t)=md^2x(t)/dt^2・・・答え (3)与式を(2)の右辺に代入してそれが右辺に等しくなることを言えばよい。 その前に2回与式を微分しておく。 dx(t)/dt=aωcos(ωt+φ) d^2x(t)/dt^2=-aω^2sin(ωt+φ)=-(ω^2)*x(t) これを(2)の右辺に代入すると、 (右辺)=m*(-(ω^2)x(t))=-mω^2*x(t)=-m*(k/m)*x(t)=-k*x(t)=(左辺) よって与式は(2)の運動方程式の解になる。 (4)初期条件は、 t=0でx(0)=b-a かつ dx(0)/dt=0 (5)x(0)=asin(φ)=b-a・・・i(釣り合いの位置からのばねの伸びがb-a。x(t)が釣り合いの位置からの距離を表していることに注意) dx(0)/dt=aωcos(φ)=0・・・ii iiよりφ=π/2・・・答え iに代入してasin(π/2)=b-a a=b-a・・・答え この問題は簡単そうで意外と難しいです。 とくに運動方程式を立てる(2)のところ。 問題文に与えられているaやx(t)がどう定義されているか、すなわち原点がどこに設定されているかを知ることがポイント。図を描いてよく考えてみてください。 参考になるサイトを紹介しておきます。