質問: コーシーの定理 z^3/(2z-i)という式をコーシーの定理を適用して解きたいのですが、この定理がまだ理解できていない状況です。どなたかこれを例に回答できる方がいましたらよろしくお願いします。ちなみに答えはπ/8です。
回答: 問題文が変なのですが、z^3/(2z-i)はz=i/2が特異点なので、 z=i/2を中心とする円周|z-i/2|=r上で積分するということでしょうか? だとしたら、 ∫|z-i/2|=r{z^3/(2z-i)}dz =(1/2)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz =πi・(1/2πi)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz =πi・(i/2)^3 =π/8 (見にくいですが、∫|z-i/2|=r{z^3/(2z-i)}dz は関数z^3/(2z-i)を、円周|z-i/2|=r上で積分する という意味です) (1/2πi)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz=(i/2)^3 となるのは、コーシーの積分公式 f(a)=(1/2πi)・∫|z-a|=r{f(z)/(z-a)}dz において、f(z)=z^3、a=i/2として分かります。 円周の半径rは関数f(z)が正則な(微分可能な)範囲内なら 何でも良く、さらに言えば円周でなくても一回転する閉曲線 なら何でも良いのです。 コーシーの積分公式は、閉領域dで正則な関数の値は、dの境界 の値から決まってしまうということです。 すなわち、dの境界での値を決めると、その値をもつ正則関数は 1つしかないということです。 実関数では、区間の両端の値を決めても、その値をもつ微分可能 な関数は無限にあるのと大きく違います。 複素関数の世界では微分可能ということがものすごい厳しい条件 だといえます。 (実関数だと極限のとり方が左右の方向から2通りしかないが、 複素関数の場合は、極限のとり方が無限にある。)