質問: 一階述語論理は複数の命題論理で置換可能ですか? 質問:「一階述語論理は複数の命題論理で(必ず)置換可能である」は真ですか、それとも偽ですか? 付随質問:二階述語論理は複数の一階述語論理で(必ず)置換可能ですか? 哲学科の学生、教員、それに市井の哲学愛好家諸兄など、専門の知見をお持ちの方々よりアドバイスいただければ幸いです。 どうぞよろしくお願いします。
回答: 質問に対する答えは、「偽」です。つまり、常に置換可能であるわけではない、ということです。 一階の述語論理と命題論理の根本的な違いは、無限を扱えるか否かだと思います。述語論理では、個体変数を用いて無限個の対象についての言明が可能です。しかし、命題論理の論理式を複数連ねた命題を構成しても、無限個の対象のすべてを記述することはできません。 議論の対象である個体が有限であれば、対象となるすべての個体について命題論理の論理式で言及することができます。 付随質問の二階の述語論理と一階の述語論理の関係も、一階の述語論理と命題論理の関係とパラレル(上位のレベルで)になっていますから、置換可能ではないということになります。