質問: 次元解析について、 例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√l/gに比例するとわかるらしい 次元解析について、 例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√l/gに比例するとわかるらしいのですが、なぜこうなるとわかるのですか? 比例定数の次元を調整すれば他にもl/g^2に比例する場合とか無限に考えることができると思うのですが、なぜ絞り込めるのですか? また例えばv=tなんかの式があったとして、tの比例定数1が次元を調整すれば、いくらでも成り立つ場合はあると思うのですが、なぜ試験などで次元が異なるので誤りだと判断できるのですか? 比例定数は明示しなければならないなどのルールがあるのですか?
回答: 振り子の構成要素を見ると、周期と関係があるかもしれないなというものは 振り子の長さ l (m) 振り子の重さ m (kg) 重力加速度 g (m/(s^2)) ぐらいでしょ。で、これらを組み合わせて 周期t (s) を作ろうとすれば l/g (s^2) の平方根をとるしかない。 勝手な係数cを持ち込んで、たとえば t = c m (s) とやったとすると、cの単位は (s/kg)でなくてはならない。すると、上の議論と同じことで、l,m,gを組み合わせて(s/kg)を作ろうとすれば c = (√(l/g))/m となるから、結局元に戻る。