質問: 自然数m、n。十分条件の証明 趣味で、久々に高校の時の数学の問題集を解いてみています。 その中で分からない証明があったので、詳しい方教えてください。 [問い] ----------------------------------------------------- 自然数m、nに関する条件p、qがある。pはqであるための必要 条件か、十分条件か、必要十分条件か、またはいずれでもないか? p: m<n q: m^2 ≦n^2 ------------------------------------------------------------ 答えは十分条件です。(必要条件はm=nの時が明らかに反例) その証明が以下のようになっています。 m<nから m-n<0 このとき、 m^2-n^2=(m+n)(m-n)<0 よって m^2 <n^2 ゆえに m^2 ≦n^2(*) したがってp⇒qは成り立つ。(十分条件) 分からないのは(*)の部分です。なぜ「ゆえに」と言えるのでしょう。 m<nなので、等号はつかないように思うのですが......。 なんだか、すごく単純な思い違いをしているような気もして冷や汗ものですが......良かったら教えてください。よろしくお願いします。
回答: spolonさん、こんにちは。 ある条件pとqがあって p→qであるとき、pはqの十分条件、qはpの必要条件といいます。 p: m<n q: m^2 ≦n^2 この二つの条件があったとき。 p→qはいえるか?を考えて見ます。 m<nだったら、それぞれ2乗しても不等号の向きは一緒なので m^2<n^2ですね。(m>0、n>0より) ゆえに m^2≦n^2 となるのは、<のほうが≦よりも、条件がきついからです。 m^2