質問: 位相空間論 x∈r^nとε>0に対してa^n(x,ε)={x∈r^n | |x|<ε}とする。この時 位相空間論 x∈r^nとε>0に対してa^n(x,ε)={x∈r^n | |x|<ε}とする。この時、(x,y)∈r^2とε_1,ε_2>0に対して、あるε ́>0があって、 a^2((x,y),ε ́)⊂a^1(x,ε_1)×a^1(y,ε_2)となることを詳しく証明して頂きたいです。よろしくお願い致します。
回答: (a,b)∈r^2 ε_1>0 ε_2>0 に対して ε'=min(ε_1,ε_2) とする (x,y)∈a^2((a,b),ε') とすると |x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}<ε'≦ε_1 だから x∈a^1(a,ε_1) |y-b|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}<ε'≦ε_2 だから y∈a^1(b,ε_2) だから (x,y)∈a^1(a,ε_1)×a^1(b,ε_2) だから (x,y)∈a^2((a,b),ε')→(x,y)∈a^1(a,ε_1)×a^1(b,ε_2) が成り立つから ∴ a^2((a,b),ε')⊂a^1(a,ε_1)×a^1(b,ε_2)