質問: これはtanθと置いても解けますが、なぜこの置き方で解くものが散見されるのですか?
回答: 1/ √(1-x^2)の積分に対して三角関数を用いてx=sin θと置くのは三角関数が (cos θ)^2+(sin θ)^2=1を満たすのを利用していますが、それと全く同じ発想で、 g(θ)^2-h(θ)^2=1を満たす関数の組g,hがあればx=h(θ)とおくことで 1/√(1+x^2)dx= h'(θ)/|g(θ)|dθ となってルートが外れます。この関数の組が双曲線関数で g(θ)=(e^θ+e^(-θ))/2 h(θ)=(e^θ-e^(-θ))/2 です。 h'(θ)=g(θ),g(θ)>0なので結局 ∫dθ=θとなります。 x=(e^θ-e^(-θ))/2は二次方程式を解くとe^θ=x+√(x^2+1)となるのでその置き方が登場するわけですが、まぁ天下りとしか言えませんね。