質問: 貼付ファイルについてお尋ねします。 用紙右側の「2.同値な変形より、x=αとおかないで解く」 という中で、「一般に」の後に
回答: まず前提として、この同値変形は最終的には f(x)=0 かつ g(x)=0 から k・f(x) + l・g(x)=0 まで変形することが目的だと思います。 まずはそのために k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 に同値変形。 f(x)=0 かつ g(x)=0 ⇒ k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 は、どんな変数を両辺に掛けても、そもそも0だから成り立ち、その逆の k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 ⇒f(x)=0 かつ g(x)=0 は、たぶん書いてないけどk,lを0以外の定数としてるから成り立ちます。 両辺を0以外で割っても等式が成り立つのは当然ですね。 (そもそも最終的な形を考えればk,lは0以外にする) で、 k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 ⇔ f(x)=0 かつ k・f(x) + l・g(x)=0 の部分ですね。 まず最終的に同値変形で持っていきたい k・f(x) + l・g(x)=0 の部分ですが、 k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 ⇒ k・f(x) + l・g(x)=0 は明らかですね。0と0を足しても0になる、ってだけなので。 ですが、その逆、 k・f(x) + l・g(x)=0 ⇒k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 は必ずしも成り立つとは言えません。 ここをクリアしないと同値変形とはなりません。 ここで k・f(x) + l・g(x)=0 にf(x)=0という条件を付け加えればどうでしょうか。 f(x)=0、つまりk・f(x)=0 という条件があれば、 f(x)=0 かつ k・f(x) + l・g(x)=0 ⇒f(x)=0 かつ k・0 + l・g(x)=0 ⇒k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 となります。つまり逆が成り立ちます。 k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 ⇒f(x)=0 かつ k・f(x) + l・g(x)=0 と f(x)=0 かつ k・f(x) + l・g(x)=0 ⇒k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 が言えるから、 k・f(x)=0 かつ l・g(x)=0 ⇔f(x)=0 かつ k・f(x) + l・g(x)=0 ですね。 で、なんで最後、 k・f(x)=0 ではなく f(x)=0 なのか、という疑問ですが、 別にわざわざよく分からない変数を掛けた後の条件を付けなくても f(x)=0 とするだけで十分だからです。 f(x)=0 という条件だけ付け加えれば同値は示せますから。 極端な例だけど、わさわざ 1684205468.943819006549・f(x)=0 みたいな条件を付ける変人はいないでしょう。 掛ける必要のない定数なら掛けなくていいです。 そもそもがf(x)=0とg(x)=0から始まってるんですし。