質問: 物理の質問 分散のある波はなぜ 群速度のおおきさ=v+k(dv/dk) となるのですか? kは波数 物理の質問 分散のある波はなぜ 群速度のおおきさ=v+k(dv/dk) となるのですか? kは波数 、vは波の速さです
回答: まず、分散のある波とは、分散という現象が起こる波のことです。 分散の代表例はプリズムによって太陽光が様々な色の光りに分かれる現象ですね。 この分散が起こる理由は、波の振動数(波長といってもok)によって波の伝わる速さが異なるからです(光も波ですよね)。 このように波の振動数によって伝わる速さが異なる波の媒質を「分散性の媒質」と呼んでいます。 この振動数によって伝わる速さが異なる波が重なって合成波ができ、この合成波の伝わる速さが「群速度」ですね。 つまり、何が言いたいかというと、所謂「波の重ね合わせの原理」にしたがって計算しなければならないということです。 そこで、ある波を式で表すと y=asin(ωt-kx) ω:角振動数 だったとします。この波とわずかに振動数が異なる波の式を y'=asin(ω't-k't) として、重ね合わせの原理より合成波の変位yは y=y+y' となります。さて、yの式のsin関数の和を積の形にしてみて下さい。 y=2acos(ωt-kx)sin(ω't-k'x) ω=(ω-ω')/2 ω'=(ω+ω')/2 k=(k-k')/2 k'=(k+k')/2 この式を y=2ascos(ωt-kx)×sin(ω't-k'x) と分けて書いておきます。振動数はわずかに違うだけですので、ωは小さな値となる事に注意して下さい。 そして、2ascos(ωt-kx)部分を振幅の変化と見てしまいます。するとこの部分はωが小さいので、ゆっくりと変化することになります。 なぜ、2ascos(ωt-kx)を振幅と見るのかですが、高校物理の教科書または参考書(波の専門書でもいいです)がありましたら、 「うなり」を探して、「うなり」が生じている波の図を見てみて下さい。 多分、図には実線で描かれた波と、実線の波の山をつないだ破線が描かれていると思います。 この破線で描かれている波は、実線の波よりゆっくり変化していますね。 つまり、合成波はゆっくりと振幅を変化させながら伝わっているということで、 この振幅の変化を表しているのが2ascos(ωt-kx)の部分だということです。 「群速度」はこのゆっくりと変化している破線で描かれている波の伝わる速さの事です。 したがって、波の式v=fλ=ω/kから 群速度v=ω/k となります。このとき、ω'-ωとk-k'は小さいので(振動数がわずかに違う波で考えていた事に注意して下さい) v=dω/dk と書き直せます。ここで、ω=vkですから(確認してみて下さいね) v=d(vk)/dk=k・dv/dk + v・dk/dk =k・dv/dk + v が群速度を求める式になります。 図が無くて分かりにくいかもしれませんが、手近な参考書で「うなり」を確認してみて下さいね(^^v)