質問: 差分法とオイラー法の違いについて 最近微分方程式の数値解析について学びだした者です。 微分方程式の数値解法として差分法とオイラー法があると思うのですが、この2つの違いや互いの位置づけはどうなっているのでしょうか? また、差分法には風上法などがありますが、これらとオイラー法の位置づけについても教えていただきたいです。 できればこれら近辺の全体的な体系について教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
回答: すいません、#1です。#1では話を簡単にしようと思って、差分法の定式化を簡略にし過ぎました。もう気づいていると思いますが、 オイラー法: y[i+1]=(1+h)*y[i] (1) に対して、差分法: y[i+1]-(1+h)*y[i]=0 (2) としてしまっては、(1)と(2)は全く同じです。差分法で、 (y[i+1]-y[i])/h=(y[i+1]+y[i])/2 (3) くらいの事はしておかないと、領域型の性質を持ちません。領域型をめざすなら、これ以上は簡単にできないと思います。(3)と(1),(2)の違いですが、(1),(2)では(移行すれば)、 (y[i+1]-y[i])/h=y[i] (4) で、(3)との違いは、右辺にy[i+1]を考慮するかどうかだけです。 (3)では左辺の数値微分の結果を、x[i+1]とx[i]の間の中点における微分係数と解釈し、それを中点における関数値に等しいとしています。中点における関数値は、y[i+1]とy[i]の平均で、十分良く近似できるとも仮定しています。 (1),(2),(4)では、y[i+1]を計算するために、y[i]の情報しか使いませんが、(3)では(今は一点だけですが)まわりの点の情報も使って、平均的に良好な解を得ようとします。ここが直接法と領域型の発想の違いだと言えます。 式の上ではほんのわずかな違いですが、結果の違いはけっこうあります。添付図は、excelで計算したものです(^^;)。 ・黒線が、y=e^x ・青丸が、(3) ・赤線が、(1),(2),(4) の結果です。