質問: 固定点(不動点)定理 中間値の定理を用いた証明方法 固定点(不動点)定理 中間値の定理を用いた証明方法 今大学で固定点(不動点)定理の証明の課題がでています。 中間値の定理を用いた証明です。 イメージはわかったのですが文章で書くとなるとうまく書くことができません。 アドバイス、回答なんでもいいのでよろしくお願いいたします。
回答: 「不動点定理」といってもいろいろある。 ので、「中間値の定理」向きのバージョンを。 x を閉区間 [0, 1] とし、f を x から x への連続写像とする。f は不動点をもつ。 [証明例] x∈x にて、0≦f(x)≦1。 f(0) = 0 なら、x = 0 が不動点。f(1) = 1 なら、x = 1 が不動点。 残るは、f(0)>0、f(1)<1 の場合。 g(x) = f(x) - x を考えると、 g(0) = f(0) - 0 >0 g(1) = f(1) - 1 <0 だから、「中間値の定理」により、g(xo) = 0 {つまり、f(xo) = xo }なる xo∈x があるはず。 すなわち xo が不動点。