質問: 運動エネルギー1/2mv^2の導き方 ある運動している物体に一定の力を与えて制止させるとき、 その間にその一定の力がしたしごとが1/2mv^2となり、 運動エネルギーと定義できるのは導けたのですが、力が ある位置xの関数で表される場合は、どのような計算を すればいいのでしょうか? 運動方程式と積分を使って途中まではできたのですが、 定積分の範囲の置き方などがよく分かりません。 かといって不定積分をすると、定数項が残ってしまいます。 よろしくおねがいします。
回答: 物体の位置を時間の関数で表し、 0≦x(t)≦x0 0≦t≦t0 の範囲で力を受け静止したとします。 このとき、速度と加速度はそれぞれ v = x'(t) a = x"(t) なので、物体に働く合力は f = mx"(t) となります。 0≦x(t)≦x0(0≦t≦t0)の間に合力が物体にした仕事は w = ∫[0~x0]f dx = ∫[0~t0]{ (mx"(t))*x'(t) }dt = m∫[0~t0]x"x' dt = m[ (1/2)*(x'(t))^2 ] = (m/2)*{ (x'(t0))^2 - (x'(0))^2 } ここで、 x'(0) = v0 (初速) x'(t0) = 0 なので w = -(m/2)*(v0)^2 となります。 あとは、最初に持っていた運動エネルギーをkとして k + w = 0 から k = (m/2)*(v0)^2 となります。