質問: 環の準同型定理 今、環の準同型定理で詰まっています。 これはどういうことを表しているのですか? また証明も知りたいです
回答: 以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。 【環の準同型定理とは何ぞや】 r/ker f と f(r) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。 なのでまず、r/ker f に乗法が入ることを示す。f(r) の方は自明である。 r/ker f の乗法は r から引き継がれる。 剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。 そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f を示せばよい。 言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f を示せばよい。 これは ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b' と変形すれば示せる。 この乗法は r から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。 また、1+ker f は r/ker f の単位元であることも容易に示せる。 次に、写像 f : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。 これはすでに加法群の同型写像なので、f((a+ker f)(b+ker f))=f(a+ker f)f(b+ker f) 、f(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。 要するに環の準同型定理とは、r/ker f には r から引き継いだ環の代数構造が自然に入って環になり、f(r) もまた r から、折り畳まれながら押し付けられてできた新しい環の構造が r' の中にもともとあった部分環として実現されていて、それらの環の構造はぴったり同じであるということである。 その対応は準同型写像 f から引き起こされる。 【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】 実数体 k 上の多項式環 k[x] において、x で生成される部分環は z[x]x である。一方、x で生成されるイデアルは k[x]x である。イデアルとは、もとの環の元をその元にかけると自身に吸収してしまう部分環のことである。 加法群の剰余群は加法群であるが、それに乗法が入るかどうかを確かめてみる。 k[x]/z[x]x においては、1.7x-0.7x , 10x-x∈z[x]x に対して 1.7x・10x-0.7x・x∈z[x]x でないので、自然な乗法が入らない。 一方、k[x]/k[x]x においては、p-q , r-s∈k[x]x ならば pr-qs=(p-q)r+q(r-s)∈k[x]x なので k[x] から乗法を引き継ぐ。 これが、ただの部分環とイデアルの違いである。 【数学地方の方言「つぶす」】 数学を勉強していると、「つぶす」という表現に出会うことがある。同値関係で「割る」とか、代数系をそのイデアルで「割る」とかのことである。 同値類や剰余類は集合族であるが、「つぶす」とは、それらの集合を点のように扱うばかりでなく、構造のあるものにはその構造が衝突することなく折り畳まれて構造を再構築するようにうまくやることである。(私たちはこれを、{偶数、奇数} の演算で感覚的に知っている。偶数や奇数を集合のように扱ったり、そうでなかったり) 特に環準同型 f の ker f など、f によって 0 という1点につぶれ、他の剰余類も1点につぶれるので、まさに点と見なせてわかり易い。さらに、環の構造も、形は変われども引き継がれる。 ker f の話が分かりやすければ、イデアルで割る場合も同様である。 なぜなら、r のイデアルを i とするとき、自然な準同型 f : r → r/i に準同型定理を当てはめれば ker f = i となるからである。 イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。 つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。 可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。 === 伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。 さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。