質問: 空間ベクトルでわからないところがあったので教えてください 解説をみてもわからない箇所がありました。 【問題文】 平行六面体abcd-efghにおいて、辺cdを1:5にない分する点をk,辺efの中点をl,辺cgを1:2に内分する点をmとする。 このとき、直線amと直線klが交わることを示せ。 【解答】 ab↑=a↑ ad↑=b↑ ae↑=c↑とする。 直線am上の点をpとしてap↑=sam↑とおくと、ap↑=s(a↑+b↑+1/3c↑)=sa↑+sb↑+1/3sc↑ また、直線kl上の点をqとしてlq:qk=t:(1-t)とおくと、aq↑=(1-t)al↑+tak↑=(1/2+1/3t)a↑+tb↑+(1-t)c↑ ap↑=aq↑となる実数s、tが存在すれば2点p,qは一致し、2直線am、klは交わる。 a↑、b↑、c↑、はどれも0↑でなくどの2つも平行でなく、同一平面上にないからap↑=aq↑とすると s=1/2+1/3t・・・(1) s=t・・・(2) s/3=1-t・・・(3) (2)、(3)をとくとs=t=3/4 これは(1)を満たす。 よって、直線amと直線klは交わる。 それで、どこが判らないかというと解答の上から3行目、「直線kl上の点をqとして~」のところがわかりません。 直線kl上にqがあるということは、qはklを外分するときもありますよね? そのときは、aq↑=(1-t)al↑+tak↑は成り立たなくありませんか? これがもし「線分kl上の点をqとして~」というのなら納得できるのですが・・。(qはklを内分する点になるから) ちなみにqが外分するときの図はこんな感じですよね? http://imepita.jp/20100228/505780 これだとaq↑=-tak↑+(1-t)al↑/1-tーt=-tak↑+(1-t)al↑/1-2tとなって、 aq↑=(1-t)al↑+tak↑にはならないような気がするのですが、なにかとてつもない勘違いでもしてるのでしょうか・・・。
回答: 内分と外分の公式で、2つの公式が統一的に扱えることは わかっているでしょうか? 内分のときは、m,nとも正の数ですが、外分のときはどちらかが 負の数で、公式は全く同じものが使えます。 いま、パラメータtにおいて、t,1-tの両方が正のときは内分点、 どちらかが負のときは外分点を表します。 tを、このように正の数に限定しないで実数として設定すれば、 aq↑=(1-t)al↑+tak↑は内分点も外分点も表すことができます。 tにいろいろ値を代入して確認してみるといいと思います。