質問: 関数の連続性ε-δ論法 f(x)=xsin(1/x) (x≠0) f(x)=0 (x=0) (1)x=0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。 (2)x≠0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。 (1)ε-δ論法を用いて連続性を調べる。 0
回答: >(1)ε-δ論法を用いて連続性を調べる といっていますから、結論でlim論法に変えるのは変ですね。どちらかに統一しましょう。普通は次のようになると思います。 x≠0とする 任意のε>0に対して|x-0|<εとすれば(δ=εとした) |f(x)-f(0)|=|xsin(1/x)-0|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|<ε.......(a) x=0の時もf(x)=0だから(a)が成り立つ。故にf(x)はx=0で連続。 >(2)(1)と同じようにε-δ論法を用いて連続性を調べる。 >任意の点をaとおいて x=0のときの連続性は確かめられたのでa≠0として(0以外の任意の点a、a=0だと不具合なので)、 任意のεに対してあるδ>0が存在するとして(δの値は結論を見て、ここで設定したほうが良いと思いますが、わかりやすさのため、最後に決めます。)、まず δ≦|a|/2.........(b) の設定をする。 |x-a|<δのとき......(c) (すると|a|-|x|≦|x-a|≦|a|/2だから|x|≧|a|/2。すなわちx=0となることはない)。 |f(x)-f(a)|=|xsin(1/x)-asin(1/a)| =|(x-a)sin(1/x)+a{sin(1/x)-sin(1/a)}| =|(x-a)sin(1/x)+2a[sin(1/2){(1/x)-(1/a)}cos(1/2){(1/x) + (1/a)}]|.....和と積の公式 =|(x-a)sin(1/x)|+2|a||sin(a-x)/(2ax)||cos(x-a)/(2ax)| ≦|x-a|+2|a||sin(a-x)/(2ax)|......sin y,cos y≦1を使用 ≦δ+2|a||(a-x)/(2ax)|.....|sin x|≦|x|を使用。 ((b),(c)から1/|ax|≦1/|a|^2) ≦δ+δ/|a|=(1+1/|a|)δ したがって,(b)とあわせてδ=min{|ε/(1+1/|a|),|a|/2}とすれば結論が得られます。 >また、微分可能性は >lim[h→0]{hsin(1/h)-asin(1/a)}/h >=lim[h→0]sin(1/h)-{asin(1/a)}/h >となってよくわからなくなってしまいます。 計算式がミスです lim[h→0]{(a+h)sin(1/(a+h))-asin(1/a)}/h です。