質問: 両方に垂直な単位ベクトルを求める問題について a=3i+j+2k , b=i−2j−3kの両方に垂直な単位ベクトルを1つ求めよ. 単位ベクトルだからx=(x,y,z)と置くとx2+y2+z2=11 垂直:内積の和=0だから aとxで、3x+y+2z=02 bとxで、x-2y-3z=03 1~3を連立させてx,y,zを求める。 z=-7x,y=-11xより これを1に代入すると x=±√19/57 y=±11√19/57 z=±7√19/57 ∴ (x,y,z)=(√19/57,11√19/57,7√19/57)、(-√19/57,-11√19/57,-7√19/57) となったのですが、合っていますか? 違っていれば解説お願いします。
回答: (x,y,z)=... じゃダメで、もちろん pi+qj+rk という形の答が求められているでしょう。 ところで i,j,kって、もしかして四元数の話? ひょっとしてそうだとすると: 3次元ベクトルを表す四元数a,bについて、3次元ベクトルとしての外積a×bをあらわす四元数が a×b = (abから実部を除いたもの) であることを使って(a×b)/|a×b|(か、(b×a)/|b×a|のどっちか)を計算しろという練習問題なのかも。 ご質問の場合、abを素直に展開すると ab = (3i+j+2k)(i−2j−3k) = 3ii - 6ij - 9ik + ji - 2jj -3jk + 2ki - 4kj - 6kk これを ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, ii = jj = kk = -1 を使って整理すると ab = 5 + i + 11j - 7k 実部を捨てて a×b = i + 11j - 7k というわけで、確かに他の回答と合ってる。