質問: 虚数「i」の無限大への極限 例えば、 0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、 その計算途中で、 (-1+ai)/(i+a^2)*[exp{(-1-ai)x}](0→∞)となるところがあります。 ここで気になったのが、[ ]内のxに∞を代入したときです。 「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、 何か納得がいきません。 考えなくても良いとは?? そもそも虚数の正負とは?? もちろん、[ ]内が(-1)になると、答えも合います。 このようなとき、「i」をどう見ればよいのでしょう。 虚数がどうしてもはっきりと分からないのです。 どなたか御教授願います。
回答: >0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、 これがまず書き間違いでしょうね ∫exp(-1-ai)x dx でしょう. 見にくいので a=-(1+ai)と書きますと これの原始関数は (1/a)exp(ax)ですのでつじつまがあいます. また,0->∞の積分範囲ですが 「∞を代入する」というのが間違いです これは 0 -> t の範囲で考えて値を出してから t->∞の極限をとるという意味です. 本質は exp(ax)だけで,なおかつ x=0 を代入すれば 1 なので 結局は exp(ax) で x->∞としたときだけが問題になります. さて,xは実数だということを忘れないように. exp(ax)=exp(-(1+ai)x) =exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi) =exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax)) ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば x->∞とすれば exp(-x) -> 0 よって, exp(ax) -> 0 (x->∞) とまあ,こういうわけです. >「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、 というのは, exp(-x) x (絶対値が1の複素数) という形になるので0になるという意味です. とりあえず,複素数の基本事項を とくに極形式とか複素平面のことをしっかり勉強しましょう. この手の積分の計算(大抵は留数定理のあたりに出てくる)とかは, 極形式などを熟知していることが前提の話です.