質問: アフィン空間 ユークリッド空間 ベクトル空間 アフィン空間についていろいろ勉強しているのですが、なかなかわからなくて・・・もう何度質問したことか>< アフィン空間はベクトル空間ではないと思っているのですが、アフィン空間とベクトル空間が同じになる場合があるのでしょうか? 一次結合の係数和が1の時、アフィン空間=ベクトル空間となるのでしょうか? また、アフィン空間はユークリッド空間から絶対的な原点・座標を取り除いた空間ですよね(wiki参照)。以前の質問で、計量の有無はアフィン空間であるか否かには関係無いとの事でした。 ということは、アフィン空間はベクトル空間ではないが位相空間、計量を定義すれば距離空間となるのでしょうか? 私のイメージでは、 ある集合→(ベクトルを定義)→ベクトル空間→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間 なんですが・・・ アフィン空間はこのイメージから外れてしまって良くわからないのです・・・
回答: もっと定義を大事にしましょう. 定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか? 自分で例を作ったりしてないですよね >以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る >とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。 いや・・そうじゃなくって・・・ アフィン空間にはベクトル空間が付随するのです. その付随したベクトル空間に計量が入ることは 十分ありえるわけで,そのときには 「アフィン空間に計量が入る」というわけ. ある空間に演算が定義される場合, その演算について閉じていないと, つまり,空間の点どうしの演算の結果がやはりその空間の点に なってないとだめなのです. たとえばアフィン空間x+y=1の上の二点 (0,1),(1,0)で普通に「加法」したら(1,1)だけども それはx+y=1の上ではないでしょう? だから,加法なんて演算は定義されない (複雑なことをすれば別の「加法」は定義できるかもしれないので 加法そのものが存在しないというのは早計だけど, 今の状況では問題ないと思う). スカラー倍も同様. けど,x+y=1には一次元のユークリッド空間eが付随しているのあって eには「普通の意味での距離」があるから 「(0,1)から(1,0)」にはベクトル(1,-1)が付随して このベクトルの長さは(√2)となる. つまり,アフィン空間x+y=1には計量が存在し, (0,1)から(1,0)までの「長さ」は(√2)となる. {a1e1+a2e2 | a1+a2=1}については省略. これが分からないのは,かなり問題があります. 何も難しいことはないのでがんばってください. #というか・・・これが分からないということは #何を書いても誤解されるということかいな・・・・