質問: ガウス記号の問題の解き方が分かりません さっそくですが、質問させていただきます。 [x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]を示せ という問題ですが、 参考書によると、実数xの整数部分を[x]とおくとき、上の式が成り立つことを示すには、xの整数部分をn、少数部分をα(0≦α<1)とおいて、x=n+αとし、 また、左辺の第2、3項の形から i)0≦α<1/3 ii)1/3≦α<2/3 iii)2/3≦α<1 で場合分けして、調べなければならい、と あります。 どうして、上の場合分けが必要なのか、理解が出来ないのです。 お分かりの方、どうかどうか教えて戴けないでしょうか。 よろしく、お願いいたします。
回答: x「自身」の整数・小数部分と x+1/3、x+2/3の整数・小数部分とが違ってくることに注意しないといけません。 i)0≦α<1/3 αが1/3よりも小さければ、1/3+α<1、2/3+α<1であることがわかります。 つまり、x+1/3、x+2/3の整数部分は、xと同じ [x]になります。 ii)1/3≦α<2/3 1/3+α<1ですが、1≦2/3+αとなります。 xと x+1/3の整数部分は同じですが、 x+2/3の整数部分は [x+1]となり、小数部分は 2/3+α-1= α-1/3となります。 iii)2/3≦α<1 1/3+α、2/3+αともに、1以上になってしまいます。 あとは、ii)と同様です。 数直線上で点をとってみると、よりわかりやすいかと思います。