質問: 大学の先輩にいただいた過去問なのですがこれはなんの科目の問題でしょうか?大学レベルの微積を勉強すればいいですか?それとも集合?よろしくお願いします。
回答: (1) f(x)=log(x+1)/(x^{2}+1)とおくと、x>=0で連続関数。 [0, 1]でf(x)は有界連続関数なので、∫[0→1]f(x)dxは有限値。 x>=1で考える。x^{2}+1>x^{2}なので、 ∫1→∞]f(x)dx<∫[1→∞/x^{2}) dx ここで、∫(log(x+1)/x^{2}) dx=-(log(x+1)/x)+log|x/(x+1)| となる。したがって、 ∫1→∞/x^{2}) dx =2log2<∞ なので、∫[1→∞]f(x)dx<∞ したがって、∫[0→∞]f(x)dxは収束する。 (2) A={s(1, 1, 1)|sは実数}, B={t(-2,1,2)|tは実数}である。 (1, 1, 1)∈A, (-2,1,2)∈B なので、(1, 1, 1), (-2,1,2)∈A∪B ここで、 (1, 1, 1)+(-2,1,2)=(-1, 2, 3) であり、(-1, 2, 3)はA∪B(2直線)に属さない。 したがって、A∪Bは部分空間ではない。 A∪B(2直線)を含む最小の部分空間とは、2つのベクトル (1, 1, 1), (-2,1,2)ではる平面となる。 平面上の点(x, y, z)とすると、 (x, y, z)=s(1,1,1)+t(-2,1,2)とかける。 x=s-2t, y=s+t, z=s+2tからs, tを消去すると、 x-4y+3z=0を得る。 A∪B(2直線)を含む最小の部分空間とは、2つのベクトル (1, 1, 1), (-2,1,2)ではる平面の方程式は、 x-4y+3z=0 である。 (1)t(dx/dt)+2x=t+1 について、斉次式は、t(dx/dt)+2x=0である。 これを変数分離で解くと、 x=At^{-2} (Aは定数)となる。 ここで、Aをtの関数として、非斉次式 t(dx/dt)+2x=t+1 を解く。dx/dt=A't^{-2} -2At^{-3} なので、これを 非斉次式に代入すると、 A't^{-1} -2At^{-2}+2x=t+1 x=At^{-2}なので、A't^{-1} -2At^{-2}+2At^{-2}=t+1 つまり、A't^{-1}=t+1 つまり、A'=t^{2}+t となる。したがって、A=∫(t^{2}+t)dt=(t^{3}/3)+(t^{2}/2)+C (C:定数) すると、 x=((t^{3}/3)+(t^{2}/2)+C)t^{-2} =(t/3)+(1/2)+Ct^{-2} となる。