質問: 微分の関数の値の増減の問題です。 関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について、次の問いに答えよ。 (1)f(x)の値が常に増加であるように、aの値の範囲を定めよ。 (2)f(x)が極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。 という問題で解説に (1)すべてのxについて、f`(x)≧0 f'(x)=3x^2-6ax+3だからf`(x)=0の判別式をdとすると、d=36a^2-36≦0より、-1≦a≦1 と書いてあります。 なぜd=36a^2-36≦0になるのかがどうしても理解できません。 (2)も 極値をもつためにはd>0であればよい とあって、なぜなのか・・・・とない頭と回転させましたがわかりませんでした。どなたか解説をお願いします。
回答: (1) f(x)が常に増加であるためにはf’(x)>=0 であることはokですか? f’(x)>=0であるということは、f’(x)=0という方程式が実数解を持たないか、重解を持つということであることは如何ですか? グラフで考えてみると、f’(x)>=0であるときy=f’(x)のグラフはx軸と共有点を持たないか、x軸に接することになるでしょ? (2) f(x)が極値を持つということは、 (あ)y=f(x)のグラフの傾きがゼロになる点が存在すること (い)上記の点の前後でy=f(x)のグラフの傾きが正⇒ゼロ⇒負(あるいは負⇒ゼロ⇒正)と変化すること の両方が必要です。(あ)については方程式f’(x)=0が少なくとも一つの実数解をもてばいいことになります。(い)については、y=f(x)のグラフの傾きがゼロになる点の前後でf’(x)の符号が正⇒負、あるいはその逆向きに変化することが必要となります。y=f’(x)のグラフを書いたとき、グラフがx軸に接しているだけではこのような事は起こらず、x軸と二点で交わることが必要になります。すなわち方程式f’(x)=0が異なる二つの実数解を持つ、言い換えればd>0ということですね?