質問: 古典物理でよく出てくる微分方程式の解き方を教えてください 物理は苑田に習っているのですが、この微分方程式は大学行って習えと言われて解き方がわからないので質問させてもらいます。 x``+ax`+bx=0 xは時刻tの関数でx`はxをtで一回微分したものa,bは定数係数 なんか減衰振動的なことを言ってx(t)の求め方を教えてもらえなかったので、計算途中はいいので結果のどこにa,bがどんな形で入るのか教えてください。あと積分定数もどの形でどの初期条件がかかわってくるのか教えてください。 交流回路で出てきたので初期条件は何か実例でやってもらえるとありがたいです。よろしくお願いします。
回答: 一番簡単に解こうと思ったら、x=a*exp(λt)を解と仮定し代入して整理するとλについての2次方程式(特性方程式)が得られます。 具体的には λ^2+aλ+b=0 これを解いて、判別式から次のように場合分けします。 (1)異なる実数解λ=α,βを持つ場合 x = a*exp(αt)+b*exp(βt) が解になります。 このときa,bは任意定数です。 (2)重解λ=αを持つ場合 x = a*t*exp(αt)+b*exp(αt) = (at+b)*exp(αt) が解になります。 a,bは任意定数です。 (3)共役な虚数解p±q*iを持つ場合 x = a*exp((p+q*i)t)+b*exp((p-q*i)t) = (a*sin(qt)+b*cos(qt))*exp(pt) が解になります。 1行目と2行目で任意定数の読替を行っていますが、a,bはどちらも任意定数です。 3つの場合について任意定数と書きましたが、物理の問題であれば任意定数は初期値から定まります。 x=f(t)の式を1階微分してx'=f'(x)の式を得ます、両式にx(0)とx'(0)を代入して両辺が成り立つように任意定数を決めれば良いのです。 またもう少し泥臭くu,vをtの関数として、x=u*vと置き代入してから、1階微分の項が0になるようにvを決めて、uについての u''=ku の形の微分方程式に帰結させてから解く方法もあります。 物理で言えばこの形はバネの運動なんかに見られますね。 またラプラス変換を使って微分方程式を解く方法もあります。 もう少し詳しいはなしは大学レベルの微積の教科書を読むか、「線型微分方程式」や「斉次方程式」や「ラプラス変換」等で検索してみてください。