質問: 偏微分と全微分 偏微分、全微分の問題です 解き方を教えてくださいm(_ _)m f(x,y)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0(x=0) (1)fx(0.y)、fy(0.y)を求めよ。 (2)fx(x.y)はどこで全微分可能か、またそこで全微分せよ。 よろしくお願いします。
回答: f(x,y) = (x^2)sin(1/x) (x≠0), f(x,y) = 0 (x=0) なんですね? これは、全微分可能⇒偏微分可能 だが、偏微分可能⇒全微分可能ではない。 偏導関数が連続⇒全微分可能 ではある ...ということの確認だと思います。 (x^2)sin(1/x) の x=0 での振る舞いは、d1級だが c1級ではない関数 の有名な例だからです。 (1) fx(x,y) = (2x)sin(1/x) + (x^2)cos(1/x)(-1/x^2) (x≠0), fx(x,y) = 0 (x=0 でも微分可能). fy(x,y) = 0 (定数関数) なので、 fx(0,y) = 0, fy(0,y) = 0 です。 (2) x≠0, y任意の範囲では、fx, fy が連続なので、f は全微分可能。 あれ? fx(x,y) の全微分可能性か... x≠0 で全微分可能なのは、fx(x,y) でも同じです。そこでは、 dfx(x,y) = fxx(x,y)dx + fxy(x,y)dy = {(2-(1/x^2))sin(1/x) - (2/x)cos(1/x)}dx + 0dy と書けます。 x=0 では、fx(x,y) は、x で偏微分不可能なので、全微分可能ではありません。