質問: 高校数学の問題です。解答お願い致します。 問題 関数f(x)がすべての実数s,tに対して f(s+t)=f(s)+f(t) を満たしている時、 (1) f(0)を求めよ。 (2) f(x)がx=0で微分可能であれば、f(x)はすべての実数aに対して x=aで微分可能であることを証明せよ。 (3) f(x)がx=0で微分可能で、f`(0)=0のとき、f(x)を求めよ。 出来れば、解説も入れながら解答していただければ、幸いです。 ちなみに、解答は (1)f(0)=0 (3)f(x)=0 です。
回答: 不思議に思うのですが、なぜ解答がわかっているのに質問するのですか? (1)s=t=0としてみてください。 (2)f(s+t)-f(s)=f(t)と変形して、t(≠0)で両辺を割ってみてください。 (3)(2)がわかればすぐわかります。 蛇足ですが、fの条件を緩めて連続性を仮定しなければ、f(s+t)=f(s)+f(t)をみたすようなfで連続でない関数fの例があります。興味があれば考えてみてください。