質問: 数学(大学)です。 fをc上のベクトル空間v上の線型写像とす... 数学(大学)です。 fをc上のベクトル空間v上の線型写像とする。λ1,λ2,λ3がそれぞれ固有ベクトルx1,x2,x3に関するfの異なる固有値であるとき、3つのベクトルx1,x2,x3は一次独立であることを示せ。 という問題です。解法教えてくれると助かります。よろしくお願いします。
回答: 2つの場合を示すので3つの場合は考えてみてください。 c1x1+c2x2=0...1 として、c1=c2=0を示します。 1にfを作用させると c1λ1x1+c2λ2x2=0...2 1にλ2をかけると c1λ2x1+c2λ2x2=0...3 2-3より c1(λ1-λ2)x1=0 x1≠0, λ1≠λ2よりc1=0 1よりc2=0