質問: 二次形式 次の二次形式を標準形に変形し、符号を求めよ。 (1)f(x,y,z,u)=xy+xz+xu+yz+yu+zu (2)f(x,y,z,u)=x^2+4y^2+4z^2-u^2+2xy-2xz+2xu+4yz+2yu この問題なのですが、うまく変形できません。 (何度もやってみたのですが、(1)すらできないので、 (1)は固有値を直接求めて、符号(1,2)を得ました。) なにかコツがあるのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
回答: 松坂和夫著の線型代数入門のp386にラグランジュの方法のやり方がのってました。 それによると 『二次形式σa_ijx_ix_j で対角成分に0でないものがあるとき、例えばa_11≠0なら y_1=x_1+(a_12/a_11)x_2+...+(a_1n/a11)x_n , y_2=x_2 ,..., y_n=x_n (1) とおく。対角成分が全部0で、例えばa_12≠0なら x_1=y_1+y_2 , x_2=y_1-y_2 , x_3=y_3 ,..., x_n=y_n (2) とおき、以下(1)(2)のような変換を繰り返す』 だそうです。 問題(1)に適用してみます。 対角成分が全部0でa_12≠0なので(2)式を用いて x'+y'=x , x'-y'=y , zとuはそのまま (3) と変数変換すると f=(x'+y')(x'-y')+(x'+y')z+(x'+y')u+(x'-y')z+(x'-y')u+zu =x'^2-y'^2+2x'z+2x'u+zu=(x'+z+u)^2-y'^2-z^2-u^2-zu (4) 今度は対角成分a_11=1≠0なので(1)式を用いてやっていくんですが、 今の場合には直接平方完成できそうで、 f=(x'+z+u)^2-y'^2-(z+u/2)^2-(3/4)u^2 =((x+y)/2+z+u)^2-(1/4)(x-y)^2-(z+u/2)^2-(3/4)u^2 (5) で符号は(1,3)になりました。 計算ミスがあるかもしれないんで、確かめてみてください。