質問: 3次」の場合もありえるよと書かれているように思えるのですが、どう考えればよいのかわかりません。 これは解答に不備があるのでしょうか。 似たような形で、「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」 というのがあると思うのですが、「a+b≦1ならばa≦1, b≦1が必要条件である」としっかり書かなくて良いのでしょうか。
回答: これは数学の問題じゃありません。国語の問題です。題意が余りにも不明確でめちゃくちゃなんです。 ご質問なさる際に勝手に書き換えちゃってませんか?いや、この通り書いてあるというのだとすると... 出題者が数学の問題をやらせる積もりだってぇのなら、その出題者はアホです。出題したのが先生なら文句を言いましょう。参考書の問題なら別の本に乗り換えましょう。入試の過去問だったら、そのアホ学校を受けるのはやめましょう。 [0]まず g(x)・h(x) この・が何を意味するのか不明です。普通の掛け算でしょうか?それとも内積? 以下では単なる掛け算とみなすことにします。 [1] 必要条件、十分条件という言葉、あんまり囚われることはないです。(後で詳しく説明しますが) p⇒q は「pならばq」と読む。「pが成り立っているなら必ずqも成り立っている」という状態(あるいは主張)を表しています。(それが本当かどうかは分かりません。)p⇒qとは「pが成り立つのにqが成り立たないことはない」と完全に同じ意味で、「qが成り立つか、またはpが成り立たない」とも厳密に同じ意味です。 p⇒q において、pはqの十分条件。(qが成り立っているかどうか確かめたければ、pが成り立つことを示せば十分) p⇒q において、qはpの必要条件。(pが成り立っているかどうかチェックするには、少なくともqが成り立つのでなくてはお話にならない。qが成り立っていてもpが成り立っているとは言えない。でも、qが成り立っていないのなら、間違いなくpも成り立っていない。) [2] 次の例は危ないな。 > 「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」 つまり (a+b≦1 ⇒ a≦1 ∧ b≦1) (∧はandの意味です) この命題自体は普通に考えたら間違いですよね。a=2, b=-3でもa+b≦1である。 (a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦1 ⇒ a≦1 ∧ b≦1) というのならオッケーで、 p =(a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦1) q=(a≦1 ∧ b≦1) p⇒q という形をしています。 或いは (a+b≦1 ⇒ a≦1 ∨ b≦1) (∨は「or: または」の意味です。) というのならオッケーで、 p =(a+b≦1) q=(a≦1 ∨ b≦1) p⇒q という形をしています。 [3]さて、問題に取りかかりましょう。 「恒等式f(x)=g(x)h(x) において、f(x) が4次多項式でg(x),h(x),が定数でないとすると、g(x)=h(x) が成り立つことを示せ。g(x)=h(x) はそれぞれ3次以下の等式である」 まず形式的に(内容を考えないで)素直に整理します。 p =(∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ f(x) は4次式 ∧ g(x)は定数でない ∧ h(x)は定数でない ) q =(∀x(g(x)=h(x))) r= (h(x)=g(x)はそれぞれ3次以下の等式である) とするとき p⇒q を証明せよという問題らしい。でもrはどうしろと言っているのかよく分からない。 qの∀x(g(x)=h(x)) というのは「どんなxについてもg(x)=h(x)が成り立つ。」と読む。つまりこれはg(x)=h(x)が恒等式であることを表す命題です。 rの「h(x)=g(x)はそれぞれ3次以下の等式である」はでたらめです。完全に辻褄が合う合理的な解釈はないように思われます。 なぜなら、 ☆「h(x)は3次以下の等式である」は常に誤りです。例えば(x+1)は3次以下の等式ですか?これは3次以下の多項式ではあるけれど、等式ではない。等式ってのは=が入ってなきゃいけません。 ☆「h(x)=g(x)は3次以下の等式である」というのなら納得できます。しかしこの場合ご質問において『それぞれ』という言葉が入っているのがおかしい。等式は1個しかないのですから。 ☆「h(x)は3次以下の多項式である」というのなら納得できます。でもg(x)=h(x)ですから、g(x)も3次以下の多項式であることは、わざわざ断るまでもない。 [4] ということは、ひょっとしたら問題はこういう意味ではないでしょうか? p =( f(x) は4次多項式 ∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x)は定数でない3次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない3次以下の多項式 ) q =(∀x(g(x)=h(x))) とするとき p⇒q つまり「4次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような定数でない3次以下の多項式g, hについて、恒等式g(x)=h(x)が成り立つ」ことを証明せよ。 次に内容に踏み込んでみましょう。 pが成り立つとき、 p⇒q が成り立たない例は簡単に作れます。たとえば、 g(x) = x^3, h(x)=x はpを満たすけれどqは満たさない。 というわけで、この問題は間違い。解釈が出題者の意図に合っていないようだ。(あるいは質問者が問題を書き写す際に変形させちゃったのかもしれません。) [5]それでは p=(f(x) は4次多項式 ) q= ∃g∃h(∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) ∧g(x)は定数でない3次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない 3次以下の多項式) p⇒q という解釈ならどうでしょう。 ∃g∃h(...)というのは、「(...)が成り立つようなg,hが存在する」という意味です。文章にすると 「4次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、しかも恒等式 g(x) = h(x)が成り立つような、定数でない3次以下の多項式g,hが存在する。」 内容を考えてみます。例えばもし f(x) = (x^3)(x+1) = x^4+x^3 だったとすると、f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) を満たすg,hは g(x)=h(x)=±√((x^3)(x+1)) しかないわけでして、はて、±√((x^3)(x+1))は3次以下の多項式なんでしょうか、どうなんでしょう? この解釈もどうも旨く行かないようです。 [5] どうやらこの問題の文章はめちゃくちゃであるらしいことが分かってきました。こうなったら、まともな答が出るように問題文を作り直すしかありません。 恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、fは4次の多項式、g,hは定数でない多項式だとしましょう。 g,hが3次を越える多項式であることはありえません。なぜなら、 g(x) = ax^4+ .... h(x) = bx+c であったとしても g(x)h(x) = ab(x^5)+ac(x^4)+ ..... となって、ab(x^5)の項が現れる。f(x)は4次多項式なので、 ab=0 でなくてはならない。するとa=0(gは3次の多項式)かb=0(hは定数)となってしまいます。h(x)が定数になったのでは駄目。だからgはどう頑張っても4次以上の多項式にはならない。hとgを入れ替えて同じ議論をすれば、g, h共に3次を越える多項式にはならないことが分かります。 そこで、 恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、 g(x) = a(x^3)+b(x^2)+cx+d (a,b,cのうちどれかは0でない) h(x) = e(x^3)+f(x^2)+gx+h (e,f,gのうちどれかは0でない) と書ける。 掛け算すると g(x)h(x) = ae(x^6)+(af+be)(x^5)+...... ここでf(x)は4次多項式だから、 ae=0 (af+be)=0 でなくてはならない。 ae=0ですからa=0かe=0である。従って、 場合1)a=0、e≠0のとき (af+be)=0 より be=0 だからb=0である。 g(x) = cx+d (cは0でない) h(x) = e(x^3)+f(x^2)+gx+h (e,f,gのうちどれかは0でない) 場合2)a≠0、e=0のとき (af+be)=0 より af=0 だからf=0である。 g(x) = a(x^3)+b(x^2)+cx+d (a,b,cのうちどれかは0でない) h(x) = gx+h (gは0でない) 場合3)a=0、e=0のとき (af+be)=0 は満たされています。 g(x) = b(x^2)+cx+d (b,cのうちどれかは0でない) h(x) = f(x^2)+gx+h (f,gのうちどれかは0でない) ということ。 場合1,2ではg,hの次数が違いますから、恒等式g(x)=h(x)は絶対成り立たない。 場合3では、b=f, c=g, d=h である時に限って恒等式g(x)=h(x)が成り立つけれど、それ以外では成り立たない。 つまりこの問題では、「g(x)=h(x)」というのは恒等式の事を言っているのではないらしいと推察できます。 しかし、等式 g(x)=h(x) はいずれの場合にも(恒等式ではない(つまり方程式である)けれど)「3次以下の多項式から成る等式である」ことには間違いないですね。 ははあ。問題はこのことを言いたかったらしい。 [6] では「正しい問題文」を考えてみましょう。 ∀f∀g∀h (fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式) つまり、「任意の4次の多項式fについて、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような、定数でない多項式g,hを考える。そのようなどんなg,hについても、等式g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」を証明せよ。 さて、この最後の問題で、どれが必要条件で、どれが十分条件か。 p=fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x)) q=g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式 p⇒q という訳ですから、 必要条件は ・fは4次の多項式 ・gは定数でない多項式 ・hは定数でない多項式 ・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ であり、十分条件は ・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式 と言うことができます。 でもね、この問題は ∀f∀g∀h (fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ (∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式)) と書いても同じ意味です。つまり 「fは4次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、 恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」 こう読めば、 必要条件は ・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ 十分条件は ・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式 そして、「fは4次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分は強いて言えば「前提条件」とでも呼ぶべきか。 さらに、 ∀f∀g∀h (∀x(f(x)=g(x)h(x))∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ (fは4次の多項式⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式)) と書いても同じ意味です。つまり 「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、 fが4次の多項式ならば、g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」 こう読めば、 必要条件は ・fは4次の多項式 十分条件は ・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式 そして、「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分が「前提条件」に該当する。 というわけで、「前提条件」なるものを持ち出してしまうと、必要条件だの十分条件だのという言葉は余り意味がないのがお分かりになるでしょう? 必要条件だの十分条件だの、あまり気にしないことです。