質問: 3:4:5の直角三角形の角度 3:4:5の直角三角形の角度を関数電卓等を使わずに手計算で求めたいんですが、どうすればよいでしょうか。テイラー展開を使って解こうとしたんですが、 sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!+.... だとxの指数が5,7,9と大きくなってしまいます。 sin(x)=x-x^3/3!ぐらいで切って求めていいんでしょうか。それとも他に何か求め方があるんでしょうか。
回答: よく考えてみたら、xが既知でsin(x)を求めるのではなく,y=sin(x)が既知でxを求める問題ですね。したがってsin(x)でなく、arc sin(y)を展開しなければならないと思われます。 y = f(x), x = g(y) という関数fとその逆関数gがあるとき、 x = g(f(x)) の両辺をxで微分していくと, 1 = f'g'(f(x)) 0 = f''g'(f(x)) + f'^2g''(f(x)) 0 = f'''g'(f(x))+3f''f'g''(f(x))+f'^3g'''(f(x)) などから g' = 1/f' g'' = -f''/f'^3 g''' = -f'''/f' + 3f''^2/f'^2 などが得られますが,arc sin(y)が奇関数であることが分かっているので, x= ay + by^3 + cy^5 +... としてy=x-x^3/3!+x^5/5!+..を代入し,xの次数の小さいところから係数を合わせるようにa, b, c...を決めていく方が実際的でしょう。このようにして計算すると, arc sin(y) = y + (1/6)y^3 + (9/120)y^5 +... となりました。(合っているかどうかは分かりません)