質問: 線形微分方程式の一般解 定係数の線形微分方程式の解は経験的にexpの累乗の形になる。 とあるのですが、どうしてそういえるのですか? 噛み砕いて説明していただくと嬉しいです。 よろしくお願いいたします。 例えば以下のような文です(累乗がかけずに見ずらいですが・・・) 次のd2x(x)/dx2+β2x(x)=0 という 経験的に定係数の線形微分方程式の解はx(x)=eαxである。
回答: f(x)を任意の多項式としたとき 定係数斉次線形微分方程式 f(d/dx)・y=0 の一般解は必ず x^m・exp(α・x) (mは0以上整数でαは複素数) の形の関数の線形一次結合になる これは「経験」ではなく簡単に証明できる命題だ なおsinやcosは実質は指数関数なので区別する必要は無い