質問: 図形同士が同相であるという証明 上半球面p={(x,y,z)∈r~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧0}で、e={(x,y,z)∈r~3|x~2+y~2+z~2=1,z=0}を赤道とする。このときpに関係 x~-x(∀x∈e)で生成される同値関係”~”を考えて得られる商空間p/~が、2次元射影空間p~2と同相になることを示せ。 この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか(全単射で逆像も連続なもの)がまったく思い浮かびません。 これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか?だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。
回答: #2,#4です。 #4でf:r^3-{0]→s^2からf~:p^2→s^2を導く云々と書きましたが、まずfからf~:r^3-{0}→p/~を導いてからf~~:p^2→p/~を導かないといけませんね。 なぜならa=(x,y,z),b=(-x,-y,-z)に対して、p^2上ではaとbは同値にもかかわらず、f(a)=-f(b)になっているので、f~:p^2→s^2は「うまく定義」できません。 失礼しました。 f~:r^3-{0}→p/~は、(x,y,z)∈r^3-{0}に対して、 z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2),y/√(x^2+y^2+z^2),z/√(x^2+y^2+z^2)) z<0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2),-y/√(x^2+y^2+z^2),-z/√(x^2+y^2+z^2)) と定義するとよいでしょう。