質問: 数学の集合で閉じているの意味がわかりません 高校数学、集合で「閉じている」という用語がありますが、よくわかりません。{-1,0,1}の集合は加法について閉じていないのでしょうか。-1+0=-1,-1+1=0,0+1=1となり、全ての要素が他の要素の加算により得られるので、加法について閉じているといえそうな気がするのですが。問題集の解答は、「乗法についてのみ閉じている」となっていますが、-1=-1*1,0=0*1,1=1*1だからでしょうか。あるいは、なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。 よろしくお願い致します。
回答: 集合aが演算*に対して閉じている,ということは,任意のaの元a,bに対してa*b∈aとなることです。 今の場合,加法(演算は+)について閉じているならば,{-1,0,1}の任意の元a,bに対してa+b∈{-1,0,1}となります。しかし,a=b=1のとき,a+b=2∈{-1,0,1}にならないため加法では閉じていません。 乗法(演算は×)については,a,bが-1,0,1のどれであってもa×bは{-1,0,1}の元のどれか(即ち-1,0,1のどれか)になるため,乗法について閉じています。 というかこれは高校範囲ではなく,大学範囲では...