質問: 点P(x,y)がx>0かつy<2の範囲を動くとき、
回答: 条件を見ると、ちょっと煩雑な問題になる。 x>0 ....1、y<2 ....2、α=x+y ....3、β=xy ....4. x≠0から、4において、y=β/x、である。 これを3に代入して、xの方程式とみると、 f(x)=x^2-αx+β=0 ....5、である。 又、2について、β/x<2、だから、1より、x>β/2 ....6. 従って、方程式:5が、1、or、6を満たす解を少なくても1個持つとよい。 ここから、β/2、と、0と場合分けが発生する。 I. β/2>0の時、x>β/2の解を少なくても1個持つとよい。 ・x=β/2の時 .... β>0から、β-2α+4=0. この時、5の解は、x=2、α-2、だから、α-2>β/2 ・1個の時 .... f(β/2)<0より、β(β-2α+4)<0. ・2個の時 .... 判別式=α^2-4β≧0、f(β/2)=β(β-2α+4)>0. 軸に関して:α/2>β/2 II.0≧β/2の時、x>0の解を少なくても1個持つとよい。 ・x=0の時 .... β=0から、5の解は、x=0、α、だから、α>0 ・1個の時 .... f(0)<0より、β<0. ・2個の時 .... 判別式=α^2-4β≧0、f(0)=β>0. 軸に関して:α/2>0 以上の、IとIIの和集合が求める領域である。