質問: x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りでは偏微分していません。 誰か教えていただけるとありがたいです。
回答: >z=f(x,y) >x=r cos(θ), y=r sinθ >∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) >∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 ↑合っています。 >∂z/∂r = p, ∂z/∂θ = q >2階偏導関数 >∂p/∂r = (∂p/∂x)(∂x/∂r) + (∂p/∂y)(∂y/∂r) p=g(x,y,r,θ)なので、結果は同じですが ∂p/∂r=(∂g/∂r)+(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r) =(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r) であり >∂q/∂θ = (∂q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂q/∂y)(∂y/∂θ) q=h(x,y,r,θ)なので↑は間違い。 ∂q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ) です。 >を求めたいのですが >∂p/∂x や ∂q/∂x を求めるときに >cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や >r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか? そうです。rもθも定数として扱います。 なので以下は考えなくてよいです。 >それとも変数とみて積の微分法を >用いればよいのでしょうか? >考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは >xで偏微分できそうですし >r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 上述の式から p=∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂p/∂x=cosθ(∂^2(z)/∂x^2)+sinθ(∂^2(z)/∂y∂x) ∂p/∂y=cosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+sinθ(∂^2(z)/∂y^2) ∂p/∂r = (∂p/∂x)(∂x/∂r) + (∂p/∂y)(∂y/∂r) (=∂^2(z)/∂r^2) =(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x) +sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2) =(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+2sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2) q=∂z/∂θ=h(x,y,r,θ)=r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} ∂h/∂x=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x^2) + cosθ(∂^2(z)/∂y∂x)} ∂h/∂y=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x∂y) + cosθ(∂^2(z)/∂y^2)} ∂q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)(=∂^2(z)/∂θ^2) =r{-cosθ(∂z/∂x) -sinθ(∂z/∂y)} +r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)} +r^2{-sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y) +(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)} =-r{cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)} +r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-2sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)+(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}