質問: 微分の計算と微分する変数についてわからないので質問します。 今所得Wを持つ次郎君がこの所得を2つの不確実な資産に振り分けて持つことを考えて、ここで2つの資産はタイプAとタイプBとして、簡単化のためどちらの資産もα1の確率で収益率r1、α2の確率で収益率r2が得られるものとします。 ただしα1+α2=1、r1≠r2です。所得Wをそれぞれの資産に振り分けてもつことを考えるために、Wのβの割合をAに1-βの割合をBに振り分けるものとします。 α1^2の確率で収益は(1+r1)βW+(1+r1)(1-β)W=(1+r1)W。 α1α2の確率で収益は(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W。 α1α2の確率で収益は(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W。 α2^2の確率で収益は(1+r2)βW+(1+r2)(1-β)W=(1+r2)W。・・・(1)と場合分けして、次郎君の効用関数は、u=U(x)でU'(x)=dU/dx>0また次郎君は危険回避的と考えて凹関数、すなわちU''(x)={(d^2)U/d(x^2)}<0とします。(1)より次郎君の期待効用は、 EU=α1^2U{(1+r1)W}+α1α2U{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}+α1α2U{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}+α2^2U{(1+r2)W}・・(2) Wを2つの資産に配分する最適なβは(2)の期待効用を最大にするβですから。その1階の条件は、ここからがわからない数式です。 dEU/dβ=U'{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}[(1+r1)W-(1+r2)W]+ U'{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}[(1+r2)W-(1+r1)W]=0・・・(3)と教科書には書いてあるのですが自分は、2つのU'の前にα1α2が必要だと思います。α1α2はβの関数U(β)の係数だと思うからです。 さらに(3)を満たすβがEUを最大にするための2階の条件、{(d^2)EU/d(β^2)}を求めると、U''(x)<0とr1≠r2より U''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}[(1+r1)W-(1+r2)W]^2+ U''{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}[(1+r2)W-(1+r1)W]^2<0と教科書に書いてあります。 U''(x)<0よりU''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}とU''{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}が負となる。と考えましたが、微分する変数xとβと違っているのでU''(β)<0としていいか疑問がのこりました。 どなたかdEU/dβにおいてU'の前にα1α2が必要かいらないかと、U''(β)<0としていい理由をおしえてください。お願いします。
回答: > 次郎君の効用関数のxはお金の額だから、収益が代入できるんでしょうか? EU=α1^2U{(1+r1)W}+α1α2U{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}+(以下省略)・・(2) というのはわかったんだよね。ここでもU{(1+r1)W}とかU{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}というように効用関数の引数としてそれぞれの場合の収益を使用しているではないですか。なにをいまさらこんなこととを聞くんだ?