質問: 石取りゲームの必勝法 石取りゲームといえば「石が30個あり、自分の番には最低1個から最大3個取らなければならない。最後の一つを取ったら負け。」のようなルールが一般的だと思います。 この場合、必勝法としては自分の番で4の倍数+1の数にしておけば勝てます。 しかしこれでは面白くないので、このゲームを難しくしようとしてみました。 そこで、石が50個あり「取れる石の数が3~6個」、というルールではどうかと思ったのですが、取る石の数が逆算出来ません>< どなたか数学の得意な方ご回答よろしくお願いします! できれば、方程式で書いていただけるとありがたいです。 (最初の例なら 石の数=a 石を取れる最大数=b 取る数=xとすると、 x=(a-1)/(b+1) この1が石を取れる最低数の1ってことなのでしょうか.....)
回答: こんばんは。 これは、群論という分野の「剰余群」というのになるかと思います。 最初の例ですと、2人で取れる数は 必ず4にできるわけですね。 1取れば3 1+3=4 2取れば2 2+2=4 以下略 30を4で割った余りは2 (30mod4=2 数式はこうなります)。 最後の一個を取ったら負け! なので、29の地点 29mod4=1 なので 最初に1個取る事のできる、先手必勝のゲームです。 で、3~6個取ることができる場合、2人で取るのが7個ではダメなのは一目瞭然かと。 前述のように書いてみるより他に手はなく・・。 相手が3個取る 自分が6個取る 3+6=9 相手が4個・・ ・・・5・・・ 4+5=9 ・・・5・・・ ・・・4・・・ 5+4=9 となりますので、必ず9個ずつ進めることができます。 50mod9=5 ですから 先手必勝 4を取っておけば勝ち。 4→13→22→31→40→49 と先手はすれば勝ちですね。 最後のルールを整理しないといけませんが。 この場合は1つしか残りません。3個取るということができませんから。 これを引き分けにするのなら、このゲームは 勝敗不明のゲームになるんではないかな?