質問: 【ベクトルと内積】 tを実数とする。 平行四辺形abcdにおいて、点e,fは辺ad上にあり、 (以下の等式はベクトルです) ae=tad、af=(1-t)adをみたす また、ab=b、ad=d (1)ベクトルce=およびcfをt、b、dで表せ。 (2)∠bad=60°かつ|b|=|d|=1のとき、 内積ce・cfが最大となるtの値は? 答え (1)ce=-b+(t-1)d、cf=-b+td (2)t=1/2 解ける方がいらっしゃいましたら 解説お願いしますm(_)m
回答: tを実数とする。 平行四辺形abcdにおいて、点e,fは辺ad上にあり、 (以下の等式はベクトルです) ae=tad、af=(1-t)adをみたす また、ab=b、ad=d >(1)ベクトルce=およびcfをt、b、dで表せ。 ac=ab+ad=b+d,ae=td,af=(1-t)d ce=ae-ac =td-(b+d) =-b+(t-1)d cf=af-ac =(1-t)d-(b+d) =-b-td >(2)∠bad=60°かつ|b|=|d|=1のとき、 >内積ce・cfが最大となるtの値は? b・d=|b||d|cos∠bad =1・1・cos60° =1/2 ce・cf={-b+(t-1)d}・(-b-td) =|b|^2+t(b・d)-(t-1)(b・d)-t(t-1)|d|^2 =1+1/2-t^2+t =-(t^2-t+1/4)+1/4+3/2 =-(t-1/2)^2+7/4 よって、内積が最大になるのは、t=1/2のとき