質問: 自然数7^777の先頭、末尾の数字 問題で、自然数n=7^777について、log2=0.3010, log5=0.6990, log7=0.8451を利用して、次の問に答えよ。というもので、 nは何桁の整数か?という1の問題には、ただ代入することで解くことができましたが、 2のnの先頭の数字は何か?という問題と、3のnの末尾の数字は何か?と言う問題がどうしても解けません。 おそらくlog2やlog5の値を利用して、log7を作って解くのだろうと思いますが分かりません。 どなたかアドバイスお願いします。
回答: 指数対数の応用ですね。桁数の計算は教科書にあってわかりのですが 質問にある、最高位の数・1の位の数は参考書を見ないと解りにくいと思います。 7^777でやって見ましょう 最高位の数は桁数を求めるのとよく似ていますが log7^777=777log7=777*0.8451=656.6427 より7^777=10^(656.6427)=10^(0.6427)*10^656 桁数は10^656を使って出しますが、最高位の数は10^(0.6427)の方から出します ここから10^(0.6427)の近似を計算します。ここがポイントです。 10^0<10^(0.6427)<10^ですから10^(0.6247)の整数部分は1桁の整数です。 つまり10^(0.6427)=*.*****という形の数です これが最高位の整数を表します。 ここからは0.6427に近い対数を探します。 log5=0.6990ですからlog4=0.6020 0.6420<0.6427<0.6990からlog4<0.6427<0.6990 つまり4<10^(0.6427)<5 10^0.6427=4.??????という数ですから 7^777=(4.?????)*10^656という整数です よって、最高位の数は4です >2のnの先頭の数字は何か? という問題も同じで、常用対数をとってその値の小数部分に注目して近似を求めるのです 一方、1の位の数は「1の位の数は1の位の数どうしの掛け算」から計算するので7^4=24017の4乗の1の位の数は1になる事を利用します 777=4*194+1ですから7^777=7^(4*194)*7 1の位の数は7です >3のnの末尾の数字は何か? これも7と同じで3^4=81から4乗すると1の位が1になる事を利用します