質問: 関数fはx0で微分可能であることを示せ fの導関数f'はx0で連続であるか
回答: x≠0として、 |(f(x)-f(0))/(x-0)| =x2|sin(1/x)|≦x2→0 as x→0 よって、(f(x)-f(0))/(x-0)→0 as x→0 となり、x=0で微分可能です。 さらに、上の結果から f'(0)=0 また、x≠0のとき f'(x)=3x2sin(1/x)+x3cos(1/x)(-1/x2) =3x2sin(1/x)-xcos(1/x) なので、x≠0として |f'(x)-f'(0)|=|f'(x)|=|3x2sin(1/x)-xcos(1/x)| ≦3x2|sin(1/x)|+|x||cos(1/x)| ≦3x2+|x|→0 as x→0 よって、f'(x)→f'(0) as x→0 となり、f'(x)はx=0で連続です。 大学数学は三角不等式を多用するので、絶対値を上から評価していって0に潰す手法が有用です。 両側から挟んではさみうちの原理でもいいですが、高校生っぽいのであまり使われないです。