質問: 偏微分の「fxy」と「fyx」が同じ値になるときについて 偏微分で fxy(x、y)とfyx(x、y)が点(a,b)を含むある開集合で 連続であるときfxy(a、b)=fyx(a、b)といえる。 という定理があるのですが、この解釈のしかたとして 例えばfxy(x、y)とfyx(x、y)が 0≦x<∞かつ0≦y<∞のような集合(半開集合?) で連続であるとき、 開集合0<x<∞かつ0<y<∞、では fxy(x、y)=fyx(x、y)といえるが、 点(0,3)、(0,0)、や(3,0)のような、 集合の境界上ではfxy(x、y)≠fyx(x、y)となる場合もある。 という解釈のしかたでいいのでしょうか?
回答: 非常にうるさく言えば、jackstraw さんの挙げられた定理からは境界線上の fxy(x,y) fyx(x,y) の値については「何らの結論も得られない」ということです。 「fxy(x,y) ≠ fyx(x,y) となる場合もある」という言及自体も一つの結論になっているので注意が必要な場合もあるでしょう。 実際にそのような f(x,y) を挙げよと言われても私は即答できないし、特定の点(0,3)で fxy(0,3)≠fyx(0,3)となる f(x,y) が存在するかもわかりません。