質問: ( x - α )( x - β ) q(x) + (α^n - β^n)/(α-β) x - (β α^n - α β^n)/(α-β)
回答: (a+b√k)^n = a(n) + b(n)√k と置く。 n = 0 のとき、a(0) = 1, b(0) = 0. (a+b√k)^(n+1) = (a(n) + b(n)√k)(a+b√k) = (aa(n)+bkb(n)) + (ba(n)+ab(n))√k より、a(n+1) = aa(n) + bkb(n), b(n+1) = ba(n) + ab(n). v(n) = a(n) b(n), m = a bk b a と置くと、上記の漸化式は v(n+1) = m v(n) と書けるから、 v(n) = m^n v(0) と解ける。 m^n を求めるには、m を対角化すればいい。 det(λi-m) = (λ-a)^2 - (b^2)k の根は、 λ = a ± b√k. それぞれの λ に対する固有ベクトルは、 (m-λi)u = 0, u = x y を解いて、 λ = a + b√k のとき x:y = √k:1, λ = a - b√k のとき x:y = √k:-1. 固有値を並べた対角行列 d = a + b√k 0 0 a - b√k と固有ベクトルを列として並べた p = √k √k 1 -1 を作ると、 mp = pd より m^n v(0) = (pdp^-1)^n v(0) = p(d^n)p^-1 v(0) = { (a+b√k)^n + (a-b√k)^n }/2 { (a+b√k)^n - (a-b√k)^n }/(2√k). すなわち、 (a+b√k)^n = a(n) + √k b(n) = { (a+b√k)^n + (a-b√k)^n }/2 + √k { (a+b√k)^n - (a-b√k)^n }/(2√k) = (a+b√k)^n. あれ? 最初に戻ってしまった。 簡潔に書くならそのまま (a+b√k)^n しかなく、 ^n を展開するなら no.1 しかないってことじゃないの?