質問: 指数関数について教えてください。 {xn}を有理数の増大列とします。 lim(n→∞)xn=xとします。 a>0のときa^xの定義をa^x=sup{a^(xn)}とします。
回答: 1有理数上の関数として、その指数関数が単調増加であることを示す。 2sup{a^(xn)}≧lim{a^(xn)}を示す。 (<であると仮定すると大きなNについてa^(xN)>supになるから矛盾) 3sup{a^(xn)}≦lim{a^(xn)}を示す。 (sup{a^(xn)}ーlim{a^(xn)}=ε>0であると仮定すると、あるNについてa^N>sup{a^(xn)}ーε>lim{a^(xn)}になるから1とあわせて矛盾)