質問: 一般相対性理論と特殊相対性理論に関する質問です。 特殊相対性理論は等速直線運動をしている場合に成り立つ理論で、一般相対性理論は加速度運動している場合に成り立つといったようなのですが、ある書籍で、GPSの理論を解説している項目で特殊相対性理論による衛星の時間の遅れと一般相対理論による(重力が弱い影響での)時間の進みを考えると。。。みたいに解説がされているのを読み、疑問を持ちました。 疑問の一つ目は、特殊相対性理論と一般相対性理論の影響を別々に考えて時間の進み・遅れを計算しているということは、一般相対性理論は観測者があらゆる場合にも成り立つ理論ではなく、等速直線運動をしていないときに成り立つ理論ということで特殊相対性理論の内容は含まれていないのでしょうか。(その名称から一般相対性理論を一般的に成り立つ相対性理論のように考えてしまっているのですが、一般相対性理論だけ考えてパッと一発で時間の進み・遅れを計算できないのでしょうか) それから、この著者の方はGPSの理論の解説で衛星内の時計の時間の遅れを特殊相対性理論の効果から計算しているようなのですが、人工衛星って地球を周回(円運動)しているわけなので明らかに加速度運動していると思うのですが、なぜ特殊相対性理論をここで使用できるのでしょうか。(ちなみに著者の方は東大出身の物理屋さんなので計算方法が間違っていることは考えにくいです)
回答: 特殊相対論は、絶対静止系の大局的な慣性系+一様に流れる絶対時間を時空という背景に置き換えましたたが、大局的な慣性系が有る前提の理論で、これを認めるとある世界線から有る世界線の乗り換えの加速は手段にしか過ぎません。 一般相対論は、この大局的な慣性系なく、局所慣性系における質量の等価原理によって定式化されます。だから ここで特殊相対性原理の「特殊」とは、非慣性系も含めた相対性原理である一般相対性原理に対し、慣性系という「特殊」な系の相対性原理であることを意味しており、ガリレイの相対性原理に対して特殊な相対性原理という意味ではない。 一般相対性理論の成立の過程を見ると §3 でも概観するように紆余曲折を経ている.そのため,発見的な指導原理である「等価原理」に続く指導原理に注目すると,「特殊相対性原理」の拡張としてどのような原理を重視しているかということを明らかにすることは簡単ではない. 一方、ガリレイの相対性原理は、非対称な世界におけるある階層の慣性系での運動の物理法則の同等性をいいますが、光速のような波動に関しては、不十分な面があります。 静止における力のつり合いの法則を運動する物体まで同じ運動や、系で落下の法則が成り立るなどを、波動からみて運動する二重性を定式化が必要になりますので、その波動と運動から、真空中の光速が一定になる、フェルマーの原理を適応してやると、曖昧だった相対性が統一されます。 統一相対論(光速差から生成されるガリレイ系) 本論によるGPS衛星に搭載された原子時計と地表の時計の進み方(波動スピード)の比の厳密解は、 地表の光速度( c ) : 299,792,458 m/s。 地心重力定数( GM ) : 3.986e + 14 m3/s2。 地球半径( r ) : 6,378,000 m。 双曲線無限の波動スピード、 w∞ = √( c2 + 2GM / r )。 GPS衛星の高度( h ) : 20,200,000 m。 GPS衛星の軌道速度( v ) : 3,874 m / s。 GPS衛星の波動スピード、 wg = √( w∞2 - 2GM /( r + h ) - v2 )。 時計の進み方の違い、 wg / c = 1 + 4.45e-10。