質問: 積分です。解けません。多分双曲線なのは分かるのですが解けません。お願い致しますm(__)m 積分です。解けません。多分双曲線なのは分かるのですが解けません。お願い致しますm(__)m
回答: (1) [log{x+√(x2+1)}]' = 1/{x+√(x2+1)} ・{1 + x/√(x2+1)} =1/√(x2+1) (2) y = √(x2+1) , y' = x/√(x2+1)である x・y' + 1/y = x2/√(x2+1) + 1/√(x2+1) = √(x2+1) = y よって y = xy' + 1/y (3) 求める積分をk(x)と置いて k(x) = ∫√(x2+1)dx (部分積分より) = x√(x2+1) - ∫x2/√(x2+1)dx (第2項に0を足すと) = x√(x2+1) - ∫(x2+1-1)/√(x2+1)dx (第2項をx2+1と-1に分けると) = x√(x2+1) - ∫(x2+1)/√(x2+1)dx +∫1/√(x2+1)dx (第2項を整理すると) = x√(x2+1) - ∫√(x2+1)dx + ∫1/√(x2+1)dx (第2項はそのままk(x)であるから) = x√(x2+1) - k(x) + ∫1/√(x2+1)dx よって 2k(x) = x√(x2+1) + ∫1/√(x2+1)dx (第2項は(1)の微分の逆なので) 2k(x) = x√(x2+1) +log{x+√(x2+1)} ∴ k(x) = 1/2・x√(x2+1) +1/2・log{x+√(x2+1)} (4) 双曲線y2-x2=1 はx軸,y軸に対して対称であるから 面積は4{k(1)-k(0)}である k(1) = 1/2・√2 +1/2・log(1+√2) k(0) = 0 よって 4{k(1)-k(0)} = 2√2+2log(1+√2)