質問: 虚数iも0乗したら1になるんですか? 理由も教えて下さい。
回答: 1になります。これは複素数の複素数乗の定義がオイラーの公式由来だからです。一応下の方達がその定義通り計算して証明しています。 複素数の複素数乗なのですが、別にイメージできないわけでも、何やら変なものでも存在しないものでもなく、ちゃんと誰でも納得いくような自然な定義です。 流石に複素数まで書くのは面倒なので整数で我慢していただきたいですが、もともと累乗abとはaをb回掛けるという意味でした。 これをbが-1回や0回でも考えたくなると思います。でもイメージのままだとそんなのないとしか思えないかもしれません。こういう時(拡張したい時)、数学では法則性を見つけ、そのまま定義域を拡張する、ということをします。 今回の場合 33=27 32=9 31=3 なので、27→9→3という数列をじっと見つめるとどんどん3で割っていってることに気付きます(27÷3=9、9÷3=3。) なら普通は3÷3=1と考え、30=1としたいでしょう。3−1も1÷3で1/3です。こうやって、aをb回掛けるという元々の意味から離れ、 bがプラスならb回掛け、bが負ならb回割り、0なら1と勝手に人間が決めたのです。別に30=0でもいいんですが、先程の議論を見る限り1とした方がなんか良さそうだと分かるでしょう。こういうなんか良さそうな感じで定義するのが自然な定義です。 複素数の冪乗も一緒で、オイラーの公式という定義からe^zを考え、e以外の数のために指数法則を使って定義されています。