質問: 微積分 dの意味 ∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合 は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。
回答: dはdifferencial(微分)のdですが、もともとの語源はdifference(差)であると思います。 もともとニュートンやライプニッツによって考え出されたときは、微分は微小変化を表すものとされていました。xがわずかな変化をしたとき、それにともなってyもわずかな変化をする。当時考えられていたところではこの微小変化がdxなどで、これに対してdyは、 dy=σa(k)*(dx)^k という形の級数になるとされていました。ただしdxが小さな数のとき(dx)^2や(dx)^3などははるかに小さいので無視すると、a(1)さえわかればいいわけです。これがつまりdx/dyなんで、本来dxもdyもそういうものでした。そして、dy/dxもれっきとした商でした。(微分商といわれていました) ところが結局この考え方に収まりきらない関数がいくつも発見され、また物理などのように実際の数値を扱う場合は誤差の範囲であっていれば問題はないのですが、数学では論理的に矛盾の無い考え方が重要で、その点でこの説明では雑に過ぎるわけでした。 こうして19世紀に一応論理的に矛盾の無い体系が作られますが、さらに20世紀には数の概念を拡張して、dxだけ、というものもちゃんとした意味を持つことが保障されました。(超準解析) そういうわけでこのことを踏まえてのことならば数学的にも問題はありません。 もっとも高校程度の関数についてはニュートンおよびライプニッツ時代の「荒っぽい」説明でも特に問題はなく、理科の内容ではそのような表記を多用しています。 数学の場合もほんとは少々問題ありなのですが、問題が鮮明になるのは大学数学を学んでからなので、とりあえず「そういう扱いをしても問題がおきない範囲の関数を学んでいるので、この範囲ではこういうやりかたも有効」と観じておくのがよいでしょう。