質問: 微分 次の関数を微分しなさい。 1.y=2x√(x^2+1) 2.y=x/√(1-x^2) 3.y=√(1-x)/√(1+x) 4.y=x^2 sin(x+1) 5.y=sinx cos^2(x) 6.y=sin√(x^2-x+1) 7.y=sin^4(x) cos4x 8.y=√(1+cos^2(x)) 9.y=cosx/(1-sinx) 10.y=(tanx+(1/tanx)) 簡単な説明でも結構です。(○○の公式を使って・・みたいな) 非難や愚痴だけはごめんです。
回答: 教科書や参考書に {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) という式があるはずです。これを利用します。 1.y=2x√(x^2+1) f(x)=2x、g(x)=√(x^2+1)とおいて計算すると、 f'(x)=2、g'(x)=1/2×2x×1/√(x^2+1) となるので y'=2×√(x^2+1)+2x×1/2×2x×1/√(x^2+1) =2√(x^2+1)+2x/√(x^2+1) となります。 2.y=x/√(1-x^2) この問題は、 {f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g^2(x) という式を利用して解きます。 f(x)=x、g(x)=√(1-x^2) とおいて、 f'(x)=1,g'(x)=1/2×-2x×√(1-x^2)=-x/√(1-x^2) となるので、 y'={√(1-x^2)+x/√(1-x^2)}/(1-x^2) となります。 3番も2番と同じように解いてみてください。 (ちょっとややこしいですが・・・) 4.y=x^2 sin(x+1) これは1番と同じ式を使います。 f(x)=x^2,g(x)=sin(x+1) f'(x)=2x,g'(x)=cos(x+1) よって、 y'=2xsin(x+1)+x^2cos(x+1) 三角関数の微分は理解してますか? 4番のg'(x)ですが、わかりやすく書くと、 g'(x)={sin(x+1)}' =(x+1)'cos(x+1)=1cos(x+1)=cos(x+1) となります。 5.y=sinx cos^2(x) f(x)=sinx,g(x)=cos^2(x) f'(x)=cosx,g'(x)=2cosx(-sinx) よって、 y'=sinx2cosx(-sinx)+cos^2(x)cosx =-2sin^2(x)cosx+cos^3(x)