質問: 構造関数の被積分関数の球対称性 n個の1次元調和振動子のハミルトニアンhは h=σ〔i=1~n〕{p〔i〕^2/2m+m(ω^2)(q〔i〕^2)/2} の時、被積分関数の球対称性から次式を示そうと思っています。 ω(e)={(2π/ω)^n}{e^(n-1)/γ(n)} ですが、等式 (d^2n)z={2π^(n)/γ(n)}r^(2n-1)dr を何処かで用いるとしか分かりません。 誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。
回答: 前問の回答より z〔i〕=p〔i〕/(2me)^(1/2)、 z〔i+n〕=q〔i〕/(2e/mω^2)^(1/2) とすると ω(e) ={(2me)^(n/2)/e}(2e/mω^2)^(n/2) ×∫(d^2n)zδ{1-σ[i=1~2n]z〔i〕^2} = (2e/ω)^n /e ×∫(d^2n)zδ{1-σ[i=1~2n]z〔i〕^2} 2n次元球座標を用いて(d^2n)z={2π^(n)/γ(n)}r^(2n-1)dr とすると ∫(d^2n)zδ{1-σ[i=1~2n]z〔i〕^2} = {2π^(n)/γ(n)}∫r^(2n-1)δ(1 - r^2)dr ここで δ(f(x)) = σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) という公式を使うと∫r^(2n-1)δ(1 - r^2)dr = (1/2) となるから ω(e) ={(2π/ω)^n}{(2e)^(n-1)/γ(n)} ではないでしょうか。