質問: 大学の数学の質問なんですが、ランダウ記号がいまいち分かりません。 x{1+x+o(x)}-{1-2x+o(x)}という問題の答えを見ると =-1+3x+x^2+o(x^2)+o(x) =-1+3x+o(x) という感じになっていて あれ?x^2はどこいったの?って思っているのですが・・・ またほかの問題でもx^3とかも消えているのは何故なのですか? 分かりやすく教えてもらえると助かります。
回答: 表式から見るに、x→0 における振る舞いを示したものですね。この場合 o(x) は o(x)/x → 0 を意味します。つまり、o(x)/x は x について1次の程度であり、o(x) は x について2次の程度ということを表します。「程度」の意味は、それ以上の高次の項を含んでもよく、その中の最低の次数ということを意味します。あくまでも上式が定義です。 o はオーダー(次数)ではないことに注意してください。 x{1+x+o(x)}-{1-2x+o(x)} = -1 + 3x + x^2 + xo(x) + o(x) ですが、xo(x) は定義から x について3次の程度になります。従って o(x^2) で置き換えることができ、 o(x^2)/x^2 → 0 を意味します。このとき、 o(x^2)/x^2 が x の1次の程度だからであり、よって o(x^2) は x について3次の程度を意味するからです。 o をオーダー(次数)と考えると間違えます。 従って、x の次数の順番に並べれば、 x{1+x+o(x)} - {1-2x+o(x)} = -1 + 3x + [ x^2 + o(x) + o(x^2) ] [ ] 内は順番にそれぞれ2次、2次、3次の程度なので、最低次数は2次ですから3次の項は省略でき、残りの2次の項を o(x) で代表させることが出来ます。 = -1 + 3x + o(x) 補足 繰り返しになりますが、o(x) は o(x)/x → 0 (x→0) の意味です。 x→0 のときに 0 に収束するには o(x)/x ~ x のオーダーでなければなりません。よって o(x) ~ x^2 のオーダーの程度です。 o(x)~x ではありません。 表記の取り決めとして、O(x) という、大文字を使ったものがありますが、この場合は O(x)~x です。しかし小文字の o(x) はご覧の通り、オーダーは一つ上になります。 答えを -1+3x とするか、 -1 とするかは、はじめの式で何次のオーダーまで o(x) のような省略をせずに書いているかによります。 x{ 1+x+o(x) } - {1-2x+o(x) } という表記では、{ }内は x の一次まで明記し、2次以上を o(x) として省略しています。 これを展開して整理した結果もそれに合わせて1次まで明記し、2次以上をo(x)として省略します。 なぜなら、o(x) は2次の程度ですが、本文で書いたとおり、べき級数に展開した時の最低次の項を表現しており、3次以上の項が本来あってもかまわないので、o(x^2) や o(x^3) や.....、を含んでいるのです。従ってわざわざ o(x) と o(x^2) を両方とも書く意味はないわけです。