質問: 「集合sの真部分集合s'からsへ全単射写像が存在する時、sを無限集合という」を使ってのr:無限の証明は? 無限集合の定義は 「集合sの真部分集合s'からsへ全単射写像が存在する時、sを無限集合という」 だと思います。 nやqやzは無限集合であることはわかりますが、 r(実数の集合)が無限集合であることは上の定義から導く事は可能なのでしょうか? n⊂rで 「無限集合を含む集合は無限集合である」 という命題からrは無限集合と導く他ないのでしょうか?
回答: たとえばi=(-π/2,π/2)⊂rとして、f:i→rをtanで定義すると全単射です。どころかc^{∞}-級微分同相にさえなります。実際問題として、構成的にならいくらでも全単射は作れますが、関数を利用したものの方がわかりやすいでしょうね。log:(0,∞)→rなんかを用いてもよいでしょう。あるいは分数関数1/xなんかはr\{0}→rの全単射ですね。