質問: 標準偏差と誤差 初めて質問します。 一般に標準偏差の計算は,母集団=標本集団とすると (測定値-平均値)の2乗の和をデータ数で割ったものの平方根だと思います。 (excelのstdevp関数もこの計算をしているようです。) ところで,大学のときに習った平均自乗誤差は, 母集団=標本集団の場合 (測定値-平均値)の2乗の和をデータ数の2乗で割ったものの平方根 ただし,母集団>標本集団の場合は, (測定値-平均値)の2乗の和を (データ数*データ数-1)で割ったものの平方根 以上のように習いました。 そこで質問です。 1.分母が標準偏差は1乗で,平均自乗誤差は2乗なのはなぜでしょうか? 2.母集団>標本集団の場合は,(データ数*データ数-1)になるのはなぜでしょうか? 3.excelには母集団=標本集団のstdevp関数と 母集団>標本集団のstdev関数がありますが,母集団>標本集団の場合の標準偏差の計算というのはどんな計算をしているのでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: 統計学では、母集団について考えます。ですから、全てのサンプルが使える、たとえば1年2組の生徒の身長の平均値と標準偏差については、これは全ての生徒の身長を使いますので、平均値も、標準偏差も、誰が計算しても同じ値になります。 それでは、世界の小学生の身長については、どうでしようか。サンプル数が多すぎて、どうしようもありません。そこで、世界の小学生から適切な方法(現実には、これが難しい)でサンプルを選び、その平均値と標準偏差を、母集団である世界の全ての小学生の身長の平均値と標準偏差、とします。 標本から平均値と標準偏差は、母集団の推定なのです。これは、すべてのサンプルから、どれを計算用の値として用いるかによって、大きく左右されます。そこで、その誤差を少なくするために、(データ数*データ数)で割ったものではなく、(データ数*データ数-1)で割ったものを用いて、やや広く推定値の幅をとり、推定が外れる危険性を少なくしています。 (データ数*データ数-1)部分の-1が、-1ではなく、-2でも、-3でもないのは・・・、と悩んだこともあるのですが、-1が最適だということは、ある本によれば、数学的に証明できるのだそうです。