質問: 正規分布に従うときの母平均と母分散の求め方 今、数千件のデータを解析しています。 ヒストグラムから、それぞれの時点のデータが正規分布に従うことが分かりましたので、母集団も正規分布に従う、という仮定の下で話を進めます。 各時点での平均と標準偏差をプロットしたところ、右上がりの一次関数になり、一定の値にはなりませんでした。 そこで、このような場合(標本平均も標本分散も一定の値にならない)、どうやって全体の母集団のパラメータを推定するのでしょうか。 教えてください。
回答: もし、各時点の分布が正規分布で、その平均と標準偏差が時間の一次関数なら、すべての時間を寄せ集めた分布は、正規分布になりません。さらに言えば、時間が無限に続いていくとき、平均が発散してしまいます。それでも、全体の平均と標準偏差を計算したいのでしょうか? ご質問のような状況のときは、確率過程(とくに加法過程)の言葉で記述するのが普通のように思います。 時間をtで表し、t時点の値をxtとします。すると、「平均と標準偏差が時間の一次関数」の前提の下で、 xt = ayt + bt + c と表すことができます。ytは、標準正規分布に従う確率変数です。ここで、xtの振舞を記述するには、次の値を推計することが主要目標になります。 (1)a、b、cの値 (2)cov(yt, yt-s) -∞≦s≦∞ 実践的には、もし、異なるtどうしでxtが独立なら、a、b、cは、最小2乗法で推計できます。そうでなければ、arimaモデルに当てはめる方法があります。 ネットで、「確率過程」、「正規加法過程」、「wiener過程」、「時系列分析」、「自己回帰モデル」、「arimaモデル」などのキーワードで検索すると、参考になるサイトが見つかるかもしれません。