質問: カイ自乗分布について 自由度3以上のカイ自乗分布が、自由度1,2の場合と 異なった傾向のグラフになる理由がよくわかりません。 数式の説明ではなくて、直感的な説明がありましたら、教えてください。 (特に、自由度3以上は、0をとる確率が0になることについて)
回答: 直感的に、というと難しいですが、やってみましょう。 まず自由度nのχ^2分布は x = x1^2 + ... + xn^2 になっています。x1,...,xn はそれぞれ独立な、標準正規分布に従う確率変数です。二乗和ですのでそれぞれの項は非負になりますから、x=0 となるのは x1=...=xn=0 となっているときであることが分かります。逆に言えば、一つでも0でない物があれば x は0になりません。しかも、x1,...,xn は標準正規分布に従っているので、絶対値をとって平均を取れば1になります。従って、二乗すれば1より小さいものは0により近付きますから、n=1では0付近が厚くなります。 n=2でも同じ理屈で0付近が厚くなりますが、今度は2つが0に近い数値をとる必要があるので、その分だけ確率が小さくなってしまいます。 ところがn=3となれば、その内一つも大きい値が出ない確率が非常に小さくなるため、0付近が薄くなり、0の時に0になります。