質問: 不定積分について 大学一年の者です。問題に略解しかついていない某微分積分の教科書に記載されている問題なのですが、途中式がよくわからない問題があるので、質問させて頂きました。 ∫ dx/x(1+x^2)^2 なのですが、 ∫ dx/(1+x^2)^2 を積分して (x/1+x^2 + arctanx)/2 となり、これを用いて、部分積分による方法で解こうとしたのですが上手く解けません。ちなみにarctanxはアークタンジェントxのことです。 略解は 1/2(1+x^2) + log(x^2/1+x^2)/2 + c(積分定数) となっております。
回答: >log(x^2/1+x^2)/2 + x^2/2(1+x^2) + c(積分定数) 微分と積分の処理がこんがらがっていませんか? >x^2/2(1+x^2) x^2が分子に出てくるとは思えません。そのままでも十分積分できると 思いますが、念のため置換積分で書くと x^2+1=tとおくとdt=2xdx ∫{- x/(1+x^2)^2}dx=∫-1/2t^2dt=1/t=1/(x^2+1) ∫dx/x(1+x^2)^2=∫{1/x - x/(1+x^2) - x/(1+x^2)^2}dx =log|x| - 1/2*log1/(1+x^2) + 1/2(1+x^2) =1/2*logx^2/(1+x^2) + 1/2(1+x^2) となると思いますが。。。