質問: ベクトルです kを正の実数とする。点pは三角形abcの内部にあり、kap+5bp+3cp=0を満たしている。また、辺bcを3:5に内分する点をdとする。 (1)apをab.ac.kを用いて表せ (2)3点a.p.dは一直線上にあることを示せ (3)三角形abpの面積をs1、三角形bdpの面積をs2とするとき、s1:s2をkを用いて表せ (4)三角形abpの面積が三角形cdpの6/5倍に等しい時、kの値を求めよ ベクトル記号は書けませんでした。
回答: ベクトル記号は省略します。 (1)bp=ap-ab、cp=ap-acですから、 kap+5(ap-ab)+3(ap-ac)=(k+8)apー5ab-3ac=0 従ってap=(5ab+3ac)/(k+8) (2)点dの定義よりad=(5ab+3ac)/8なので、 ap=8ad/(k+8) apがadの実数倍で表されるので点apdは一直線上にあります。 (3) s1とs2の比はapとpdの長さの比に等しくなります。 pd=ad-ap =ad-8ad/(k+8) =kad/(k+8) なのでapとpdの長さの比は8/(k+8):k/(k+8)=8:kです。 (4)△cdpの面積は上記s2の5/3倍であり、s1の40/3k倍です。従って 40/3k=5/6 とおくと k=40/3*6/5=16