質問: 大学数学の線形代数の問題です
回答: ◆ A がベキ零行列 ⇒ A の固有値が 0 のみ λ を A の固有値と v (v ≠ O) を λ に対する A の固有ベクトルとすると Av = λv A2v = λ2v ... (A^k)v = (λ^k)v となり A はベキ零行列より A^k = O を満たすので (A^k)v = O (λ^k)v = O かつ v ≠ Oより λ^k = 0 より λ = 0 となるので A の固有値は 0 のみ ◆ A の固有値は 0 のみ ⇒ A はベキ零行列 A の固有値がすべて 0 のとき A の固有方程式を Φ(t) とおくと Φ(t) = tn となり ケーリー・ハミルトンの定理より Φ(A) = An = O より A はベキ零行列