質問: 力学です。 運動方程式dp/dt=fから角運動量の方程式dl/dt=n(lは角運動量r×p、nは力のモーメントr×f)を導くのはどうしたらいいのですか?また中心力f(r)のもとでの運動方程式を極座標で表すと(<>-r<θ>^2)cosθ-(<θ>+<><θ>+r<<θ>>)sinθ=f(r)/mでいいのですか?<>は時間微分を一回、<<>>は時間微分を二回したという意味です。物理が得意ではないので詳しい解説をお願いします。
回答: 運動方程式dp/dt=fの両辺に、左からr×を演算すると r×dp/dt=r×f⇒d/dt(r×p)-(dr/dt)×p=r×f 上の式の第二項は、運動量と速度の外積ですけど 二つのベクトルは平行だから0です。 (<>-r<θ>^2)cosθ-(<θ>+<><θ>+r<<θ>>)sinθ=f(r)/mというのを整理させてもらうと (r"-rθ'^2)cosθ-(r'θ'+r"θ'+rθ")sinθ=f(r)/m です。 これは、まず運動方程式mr→"=f(r→)e1とします。 r→はベクトルであり、e1はr方向の単位ベクトルです。rはスカラーです。 r→=re1です。また、e2をθ方向の単位ベクトルとすると、e1=cosθi+sinθj,e2=-sinθi+cosθjが成り立ちます。ただし、i,jはそれぞれx,y方向の単位ベクトルです。 運動方程式mr→"=f(r→)e1に、r→=re1を代入します。 m(r'e1+re1')'=fe1⇒m(r"e1+2r'e1'+re1")=fe1 となります。一方、e1'=(cosθi+sinθj)'=θ'e2 e1"=θ"e2+θ'e2'=θ"e2-θ'^2e1です。これらを代入すると、m(r"e1+2r'e1'+re1")=m{r"e1+2r'θ'e2+ r(θ"e2-θ'^2e1)}=fe1です。 この両辺を、e1の係数が等しいと置けばいいです。 m{r"-rθ'^2}=f また、右辺のe2の係数は0だから m{2r'θ'+rθ"}=0⇒m(1/r)d/dt(r^2θ')=0