質問: x:n次ユークリッド空間 r^n x:n次ユークリッド空間 r^n u:密着位相,離散位相でない位相 とします. このとき,∀x∈xに対し,{x}を考えたとき,{x}は(x,u)内で開集合になりますか? 開集合の定義は,(x,u)が位相空間であるとき,uの元のことを言うのだと思うのですが,これは位相uの作り方によって変わってきますよね? xをxから任意に選んできても,{x}を含むように位相uを作れば,そのuを位相とする位相空間(x,u)内であれば{x}は開集合ですか? もし離散空間であれば明らかに{x}は開集合ですし,密着空間であれば{x}は開集合でないと言えます.しかし上記のような位相の場合は,一概には言えないという解釈でいいのですか?というより,先にある位相空間が与えられていて,それに対して{x}が開集合かどうかという話でしょうか? 長々とすいませんが,よろしくお願いいたします.
回答: {x} が開集合であるような位相 u を考えたとき、位相空間の定義によって u は結局離散位相でしかあり得ないのではないか? という疑問です。