質問: σ-集合体について σ-集合体について (1)ωは無限集合であるとする。 a={a⊂ω:aまたはa^cが有限集合か空集合} この集合族aは集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ。 (2)ωが有限集合のとき、その部分集合族aが集合体ならばσ-集合体せあることを示せ。 (3)a,fはωの部分集合族でa⊂fとする。また、 a'={a⊂ω:a^c?a} とする。fが集合体であればa'⊂fであることを示せ。 (4) (3)によってa'⊂σ(a)が示されるが、さらにσ(a')=σ(a)を示せ。 この問題が分かりません。 定義や定理は理解できるのですが、活用できません。 解答お願いします。
回答: (1) φ∈a ω^c=φ ω∈a x∈a→x又はx^cが有限集合かφ →x^c又はx=(x^c)^cが有限集合かφ →x^c∈a {x,y}⊂a → |x|有限&|y|有限のとき|x∪y|≦|x|+|y|有限 |x^c|有限又は|y^c|有限のとき |(x∪y)^c|=|x^c∩y^c|≦min(|x^c|,|y^c|)有限 x∪y∈a →aは集合体 n(自然数の集合)とすると f:n→ω 単射が存在する n∈n に対して {f(2n)}∈a だが x=∪_{n∈n}{f(2n)}とすると |x|は無限 {f(2n-1)|n∈n}⊂x^c だから |x^c|も無限 aはσ-集合体ではない (2) ωが有限集合のとき、その部分集合族aが集合体 {x_n|n∈n}⊂a とすると |{x_n|n∈n}|≦|a|≦2^|ω| 有限だから |{x_n|n∈n}|=m となる m がある ∪_{n∈n}x_n=∪_{n=1~m}x_n だから aはσ-集合体 (3) a,fはωの部分集合族でa⊂f,fは集合体 a'={x⊂ω:x^c∈a} x∈a'とする →x^c∈a⊂f→x=(x^c)^c∈f →a'⊂f (4) a'={x⊂ω:x^c∈a} a⊂σ(a),σ(a)はaを含む最小のσ集合体 a'⊂σ(a')はa'を含む最小のσ集合体とすると →(3)によってa'⊂σ(a) →σ(a')⊂σ(a) x∈a とすると (x^c)^c=x∈a→x^c∈a'⊂σ(a')→x∈σ(a') →a⊂σ(a') →σ(a)⊂σ(a') →σ(a)=σ(a')