質問: 数学の問題です。教えてください。 1辺の長さが4である正四面体oabcを考える。点dを線分abの中点とし、点eを線分bc上にbe=3となるようにとる。 このとき、od=[ア]√[イ] ,oe=√[ウエ],de=√[オ] である。 また、∠ode= θ とおくと、cosθ=√[カキ]/[クケ] である。 よって、△odeの面積は [コ]√[サ]/[シ] であり、△odeを直線odを軸として1回転してできる立体の体積は [スセ]√[ソ]/[タ]π(パイ) である。 <答え> od=[ア]√[イ]:od=2√3 oe=√[ウエ]:oe=√13 de=√[オ]:de=√7 cosθ=√[カキ]/[クケ]:cosθ=√21/14 [コ]√[サ]/[シ]:5√3/2 [スセ]√[ソ]/[タ]π:25√3/6π 途中式など詳しく教えてくださると助かります...。 宜しくお願いします。
回答: odはabへの垂線なので、1:2:√3より2√3です。 oeはbcの中点より1横にずれているので、高さ2√3、底辺1の三角形の斜辺です。 よって√(12+1)=√13となります。 点eから辺abに垂線を引くと、斜辺3で∠b=60度から、垂線の長さは1:2:√3より3√3/2となります。 また同様に、その交点と点bの距離は3/2となります。 この時その交点と点dの距離は2-3/2で1/2となります。 底辺が1/2で高さが3√3/2の直角三角形の斜辺がdeとなるので、 √(27/4+1/4)=√7となります。 cosθは点dから(点oからdeにおろした垂線とdeの交点)までの長さを辺odの長さで割って求めることができる。 この垂線の長さをh、交点から点dまでの長さをxとすると h=√(od^2-x^2)=√(oe^2-(de-x)^2) 12-x^2=13-(√7-x)^2=13-(7-2√7x+x^2) 6=2√7x x=3√7/7 cosθ=x/od=3√7/7 ÷ 2√3=√21/14 となります。 △odeの面積はde*h/2=√7*√(12-9/7)/2=√7*√(75/7)/2=5√3/2 となります。 これをodを軸として回転させてできるものは、odにeから垂線を下ろして分割すると分かり易いと思いますが、 2つの円錐が上下逆さでくっついた形になっています。 円錐の体積は底面積×高さ÷3なので、まず底面積を求めます。 これはeからodにおろした垂線の長さを出すことで求めることができます。この長さをyとすると od×y÷2=odeの面積となるので、 √3y=5√3/2 となり y=5/2です。 底面積=y^2π=25π/4 体積=25π/4×od÷3=25π/4*2√3/3=(25√3/6)π となります。