質問: 図形のベクトル方程式について 平面上の2定点o、aと動点pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。 l2op-oal=4 (opとoaの上には右方向の矢印があります。) この問題で解説を見ると、2op-oa=4を op-oa/2=2として、 答えは半径が2で、中心の位置はoaの中点なんですが、なぜ2op-oa=4を2で割るのかが疑問です。そして中心の位置はoaの中点というのも理解できません。この辺を説明お願いします。
回答: 点oを基準点とします。また基準点はどこに在ってもいいので説明の都合で、 原点(0、0)に合わせます。 位置ベクトルp(↑p)=(x,y), a(↑a)=(s,t)として、 ↑0p=↑p=(x,y)、 ↑0a=↑a=(s,t) です。 |2↑p-↑a|=4 ・・・(1) |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2) このままで中心c(↑a/2)、半径2の円に見えればbetterですが、 これを座標表示すると。 |(x,y)-(s/2,t/2)|=2 |( x-(s/2), y-(t/2) )|=2 √[ {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2 ]=2 {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4・・・(3) これは、中心(s/2,t/2)=(1/2)↑a 、半径2の円です。 (1)が何故不都合かというと、これも座標表示して見ると、 |2(x,y)-(s,t)|=4 | (2x-s , 2y-t) |=4 √[ (2x-s)^2+(2y-t)^2 ]=4 (2x-s)^2+(2y-t)^2=16 となります。 このままでは、半径も中心も判りにくいので、両辺を4で割ります。 (平方しているんで、ベクトル方程式で2で割ることに対応します。) {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4 結局は(3)とおなじです。 つまり、 |2↑p-↑a|=4 ・・・(1)、 |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2) ↑pの係数が2では判り難いので、 ↑pの係数を1にするために2で割って(2)が判り易いと。 さらに遡ると、 中心が原点、半径r の円は |↑p|=r と表され、 中心が↑α、半径r の円は |↑p-↑α|=r と表されます。 通常この形を円のベクトル方程式と呼ぶようです。 提題の形(1)を(2)に変形する事によって、 中心と半径が判り良くなると。