質問: 高校 数学 円の性質 三角形と比 の問題 高校 数学 円の性質 三角形と比 の問題 ニ十分ほど考えていますが、以下の二題が全く分かりません。入試とか模試の問題だと思います。わかる方御解答の方よろしくお願いします。 □1 図のようなba=bcの二等辺三角形abcと点cを通り点bで直線abに接する円oがある。また、円oと辺acとの交点のうちcでない方の点をdとするとき、ad=4,cd=5である。 (1)辺abの長さを求めよ。 (2)線分bdの長さを求めよ。また、直線bcと△adbの外接円o'との交点のうち、bでない方の点をeとするとき、線分beの長さを求めよ。 (3)(2)のとき、線分aeの長さを求めよ。また、線分abと線分deの交点をfとするとき、△befの面積を求めよ。 □2 ab=8、ac=6、角a=90°である直角三角形abcがある。角acbの二等分線と、辺abの交点をp,直線cpと△abcの外接円の交点のうち点cでない方の点をqとする。 (1)線分afの長さを求めよ。 (2)線分cpの長さを求めよ。また、線分pqの長さを求めよ。 (3)△abcの内心をiとするとき、線分piの長さを求めよ。また辺bcの中点をm,△aqiの重心をgとするとき、線分gmの長さを求めよ。 一気に質問してすみません。数学はかなり厳しい状況なので、よろしくお願いします。
回答: 2です。(1)は「線分apの長さを求めよ」だとして解きました。 (1)角の2等分線の定理よりap:bp=ac:bcなので ap:bp=3:5,よってap=3/8ab=3 (2)3平方の定理よりcp=√(ap2乗+ac2乗)=√(9+36)=3√5 また、△pbqと△pcaにおいて 対頂角は等しいので∠bpq=∠cpa,同じ弦に対する円周角は等しいので∠pqb=∠pac 2組の角が等しいので△pbq∽△pca よってpq:pa=pb:pcよりpq:3=5:3√5だから 3√(5)pq=15,ゆえにpq=√5 (3)内心と頂点を結ぶ線は角の2等分線になるので、 ci:pi=cb:pb=2:1 よってpi=1/3cp=√5 点mは直線agとbcの交点かつ△abcの外接円の中心だからam=5,ag:gm=2:1 よってgm=1/3am=5/3