質問: 高次方程式 「係数が実数の4次方程式 x4乗+ax3乗+bx2乗+d=0...(1)が1+√(3)iを解に持つとする。 4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1であるときの式(1)を求めよ」 という問題で、f(x)=(x2乗+2x+4)(x2乗+(a+2)x+(2a+b))まではわかるんですが、解答ではこのあと「条件より|1±√(3)i|=2」と書いてあるのですがなぜでしょうか?
回答: 「係数が実数」なので、1-i√3 も解。 つまり、(1) の左辺は (x^2-2x+4) で割り切れ、その商を (x^2+ex+f) とすれば、 e=a+2, 4=b, f=2e, 8e=d が成立。 「4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1」 (x^2+ex+f) = (x^2+ex+2e) の二つの零点が、絶対値 = 2 、和が-1 、ということ。 (途中省略)e=2 ですね。