質問: 電位 この問題はちょっと迷っています: xy平面上の原点oとa(-d,0)(d>0)にそれぞれ電気量+q,-4q(q>0)の点電荷を固定した。原点oからx軸の正の向きに十分に離れた点(無限遠点)に、電気量+q(g>0)、質量mの点電荷pを静かに置いたところ、x軸上を負の向きに動き始め、正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点bで原点oにもっとも接近した。ただし、クーロンの法則の比例定数をkとし、点電荷には静電気力以外の力は働かないものとする。 点電荷pが動き始めてから点bに到達するまでの間の、速さの最大値はどのように表されるか。 答えは:sqrt(2kqq/md) 点bの、原点からの距離をrとします。 1点bにおいて点電荷qが−4qから受ける力とqから受ける力が等しいことから: 4kqq/(d+r)^2=kqq/r^r 4r^2=(d+r)^2 2r=d+r →r=d を得ますが、 2点bの電位は「無限遠点と同じ電位」を考えれば: (v1=-4qによる電位; v2=qによる電位) vb=v1+v2=0 0=(kq/r)+(-4kq/d+r) kq/r=4kq/d+r d+r=4r d=3r →r=(1/3)d また:1を利用して計算を進めると: (点電荷pが無限遠からbまで移動する) qδv=δek , 点電荷qを基準にして考えれば: q(0-kq/r)=0-(1/2)mv^2, r=d qkq/d=(1/2)mv^2 v=sqrt(2kqq/md) →これは答えとしてオッケーですが、自分ではちょっと漠然とした結果に感じます... 一番目に:1と2で得られた結果が違うのは、一体なぜですか? なぜ:この2「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点bで原点oにもっとも接近した」がここで働かないのか?(qδv=δekかつδv=0→δek=0となるから ) 2を利用するにはどうすればいいですか? 無限遠点の電位は0と考えているのは過ちではないでしょうか? それらを解説していただければ、幸いです。 長くなってしまい申し訳ありません。 よろしくお願いします。
回答: 座標 (x, 0) (x>0) における電場は aの作る電場:ea = k(-4q)/(x + d)^2 oの作る電場:eo = kq/x^2 の重ね合わせで e(x) = ea + eo = kq[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ] (a) = kq{(x^2 + 2dx + d^2 - 4x^2)/[x^2 *(x + d)^2] } = -kq{(3x^2 - 2dx - d^2)/[x^2 *(x + d)^2] } = -kq(3x + d)(x - d)/[x^2 *(x + d)^2] (a') ということになります。 これは、分子分母を x^2 で割れば e(x) = -kq(3 + d/x)(1 - d/x)/(x + d)^2 ですから、当然ながら x → ∞ のとき e(x) → 0 になります。 e(x) = 0 になるのは x>0 の範囲では x=d のときで、 ・d 0 従って、点電荷pが受ける力は f=qe より ・d 0 (oに向かって減速) ということになります。 つまり、x=d で最大速度になります。 では、x での電位はどうなるかというと、 v(x) = ∫[∞→x]e(r)dr = kq∫[∞→x][ 1/r^2 - 4/(r + d)^2 ]dr = kq[-1/r + 4/(r + d)][∞→x] = kq[ 1/x - 4/(x + d)] (b) x=d における運動エネルギーが、無限遠とこの点の静電エネルギーの差に等しいので (1/2)m(vd)^2 = 0 - q*v(d) = -kqq[ 1/d - 4/(2d)] = kqq/d → (vd)^2 = 2kqq/md → vd = -√(2kqq/md) 「速さ」としては |vd| = √(2kqq/md) >一番目に:1と2で得られた結果が違うのは、一体なぜですか? #1&2 さんがおっしゃっているとおり、1は「電場の大きさがゼロになる点」、2は「電位が無限遠と同じ(=0)になる点」なので、意味が違うからです。 電場の大きさは電位の「傾き」ですから、1は電位が極値をとる点(ここでは極小値)ということであって、電位がゼロということとは違います。 つまり1は「b点」ではありません。 >なぜ:この2「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点bで原点oにもっとも接近した」がここで働かないのか?(qδv=δekかつδv=0→δek=0となるから ) 上の電位の求め方では (b) のように「無限遠(電位ゼロ)→ r=x まで」で積分しましたが、「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点bで原点oにもっとも接近した」で r=d/3 が求まっているのであれば、そこで電荷が静止したのだから、電荷に働く力が「x=d ~ d/3」にした仕事が x=d での運動エネルギーに等しいということになります。 これを使って計算すれば、電荷に働く力が「x=d ~ d/3」にした仕事は、(a) を使って f(x) = q*e(x) = kqq[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ] より w = ∫[d→d/3]kqq[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ]dx = kqq[-1/r + 4/(r + d)][d→d/3] = kqq{ -3/d + 4/[(4/3)d] - [-1/d + 4/(2d) ] } = kqq( -3/d + 3/d + 1/d - 2/d ) = kqq/d これが x=d における運動エネルギーに等しいので (1/2)m(vd)^2 = kqq/d より vd = -√(2kqq/md) と同じ結果が得られます。 つまり「2を使わない」のではなく、「2を使っても同じ結果が得られる」ということです。 >無限遠点の電位は0と考えているのは過ちではないでしょうか? ここでは、無限遠からもって来るにしても、x=d/3 からもって行くにしても、いずれも「電荷に働く力のした仕事」として「電位差」(あるいは静電エネルギーの差)しか考えていませんので、「ゼロかどうか」は本質的な話ではありません。 ただし、電場の大きさを「1/r^2」の関数、電位を「1/r」の関数で表している段階で、「暗黙のうちに r→∞ のときゼロ」を前提にしています。