質問: 弧長パラメータとは何? 弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。 例えば、 x(t)=(asint,acost,bt) の曲線があるとして、 これの長さ関数は x'(t)=(acost,-bsint,0)より int(0,t)||(x'(t))||dt =int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt =sqrt(a^2+b^2)t より、t=x/sqrt(a^2+b^2) ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、 x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)), bs/sqrt(a^2+b^2)) となると解釈して宜しいのでしょうか? 分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。
回答: 孤長について復習しておきますと。。。 滑らかな曲線r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))があってその曲線上の近接した2点p,qの曲線の長さは点p,qを結ぶ2直線で近似することができます。従って pq=√{(△x)^2+(△y)^2+(△z)^2 =√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t (1) ここで△t→0の極限をとり、pq→dsとすると ds=lim(△t→0)√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t =√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (2) となります。従って曲線に沿った弧長s(tをパラメータとする)はパラメータtを0からtまで積分すればよいから s(t)=∫[0,t]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (3) となります。このs(t)を孤長パラメータといいます。 [例題] x(t)=(asint,acost,bt) (4) この曲線の孤長パラメータは既に見出されているように(上の式に代入して計算すれば) s=sqrt(a^2+b^2)t (5) となります。ここからtを求めると t=s/sqrt(a^2+b^2) (6) これが >弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換 の意味でしょうか?(6)を(4)に代入すると x(s)=[asin{s/sqrt(a^2+b^2)},bcos{s/sqrt(a^2+b^2)},bs/sqrt(a^2+b^2)}] となります。これはlinuxbeginnerさんのだされた答えと同じです。