質問: この問題の解き方を教えて下さい。
回答: △OAP、△OBPはそれぞれ∠Oが直角の直角三角形なので、三平方の定理により OA2+OP2=AP2 OB2+OP2=BP2 が成り立ちます。 ここで、OP=xとすると、 1+x2=AP2 4+x2=BP2 とできます。 ここで、△ABPについて、∠APB=θとすると、余弦定理により AB2=AP2+BP2-2×AP×BP×cosθ が成り立ちます。 すると、 1=(1+x2)+(4+x2)-2{√(1+x2)√(4+x2)}cosθ となるので、 cosθ=(x2+2)/√{(1+x2)(4+x2)} =(x2+2)/√(x4+5x2+4) =√{(x2+2)2/(x4+5x2+4)} =√{(x4+4x2+4)/(x4+5x2+4)} とできることが分かります。 ここで、 (x4+4x2+4)/(x4+5x2+4) =(x4+5x2+4-x2)/(x4+5x2+4) =1-x2/(x4+5x2+4) =1-1/(x2+5+4/x2) とできます。 いま、x>0なので、x2>0、4/x2>0となるので、相加平均と相乗平均の関係から、 x2+4/x2≧2√(x2×(4/x2)) x2+4/x2≧4 (等号はx2=4/x2、即ちx4=4、x>0から、x=√2のときに成り立ちます) が成り立ちます。 よって、 x2+5+4/x2≧9 1/(x2+5+4/x2)≦1/9 1-1/(x2+5+4/x2)≧8/9 であることから、 cosθ≧√(8/9)=2√2/3 となります。 ここで、0<θ<π/2なので、この範囲ではcosθの値が小さくなるほど、θは大きくなるので、θが最小になるのはcosθ=2√2/3のときとなります。 従って、求めるべきOPの長さは√2と分かります。