質問: コンパクト性がイマイチわかりません。 例えば開集合(-1,1)だったら原点から距離が5億ずつ離れたデッカい開集合持ってきたら覆えそうじゃね?と思いました。 多分どっかで定義を見落としているのかもしれませんがどうしてもわからんのです。どなたか教えてください...
回答: はい、定義を見落としています。 コンパクト=「有限開被覆を持つ」 ではありません。 コンパクト=「どんな開被覆に対しても、その中から有限個選んで被覆できる」 です。 どんな開被覆からでも、というところがポイントです。 例えばUn=(-2, 1 - 1/n)とすると、 ∪_{n∈N} Un=(-2, 1) ⊃ (-1, 1) なので{U1,U2,...}は開区間(-1,1)の開被覆の一例です ではこの可算個の元からなる{U1,U2,...}の中から有限個だけ選んでその合併が(-1,1)を覆うようにできるか?という話です。 有限個では上限の1に到達できないので、被覆できません。 今は可算無限開被覆の例をとりましたが、実際はコンパクト性は非可算無限開被覆からでも有限個選んで覆えることを要求します。 なのでかなり厳しい条件になります。