質問: ∫∫1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。 ∫∫1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。 積分範囲は、1==1,y>=0 次のようにやってみました。 ∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx =∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx =∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx となりました。ここからxについての積分ができません。 アドバイスをお願いします。
回答: このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。 d={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}. x=rsin(θ). y=rcos(θ). この変数変換のヤコビアンは、r。 dxdy=rdrdθ. 積分領域dはe={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。 ∫∫[d]dxdy/(x^2+y^2) =∫∫[e]drdθ/r =∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r} =πlog(2)/4.