質問: 1+1=2を証明してください。大学の数学科でこの証明をする、と聞いたので教えてほしいです。
回答: 0.記号の説明 n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。 1.自然数の体系 まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。 集合N、その中の一つの元0(今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「1+1=2」の証明には何ら差し支えない)、および写像 s:N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ: (P1) s:N→Nは単射である。 (P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0 (P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S(すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S)ならば、S=Nである。 これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。 新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。 [12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0 2.帰納的定義の原理 以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。 【定理1】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t:X→Xとが与えられたとする。その時次の性質(1)(2)を持つような写像f:N→Xがただ一つ存在する: (1) f(0)=x (2) 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n)) (証明)本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。 この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。 3.自然数の加法 定理1を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。 【定理2】mを与えられた自然数とするとき、 (A1) f_m(0)=m (A2) f_m○s=s○f_m を満たす写像f_m:N→Nが一意に存在する。 (証明)定理1においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。(終) 任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く(この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく)。条件(A1)(A2)によって 1 m+0=m 2 m+s(n)=s(m+n) である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して 3 0+n=n である。さらに少々面倒な計算の後 4 s(m)+n=s(m+n) も導ける。これら1から4によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち 【定理3】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。 (証明)上記1から4によるが、少々長くなるので文献におまかせ。 [13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0 4.「1+1=2」の証明 上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「1+1=2」の何を示したいのかを考えておく。それは、 (*)『「1」の後継者が集合Nのなかに存在する』 ということである。「2」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「2」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。 さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「1」という記号で表せば、12によって 5 s(n)=n+1 である。すなわち『後継者写像sは、“「1」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。 ここまでくれば「1+1=2」を示すことが出来る。 s(1)、つまり「1の後継者」を「2」という記号で表せば5より s(1)=1+1 ∴ 2=1+1 (証明終) 以上が証明のアウトラインです。ここまで見てみれば、「1」や「2」という「記号」は全く本質的ではなく、結局(*)や5が一番重要なのである。 どうでしょう。fiubengaさん、お分かり頂けたでしょうか? きっと難解なので難しかったと思いますが、「1+1=2」の証明がこんなに無機質なものなのかということは分かっていただけたと思います。 fiubengaさんがおっしゃるとおり、「数学の細かい理屈なんて、本に書いてある」のですから、ここでフォローできなかった部分はぜひ、自分で勉強して修得して頂きたいと、切に願います。 《参考文献》 岩波 「代数系入門」松坂和夫著 岩波文庫 「数について」デーデキント著 河野伊三郎訳 下記サイトの「11」~「13」からコピペ 2進数で計算すると1+1=10になりますけどね。 (-o-)/