質問: sinx*cosx の微分方程式を解けという問題なのですが、 予習の段階でこれを出題されて、教科書を見ても例題がみつからず困っています どうか教えてください。よろしくお願いします。
回答: まず、問題の微分方程式の右辺が 0 のとき dy/dx + y*sinx = 0 を解きます(両辺を y で割って積分すれば解けます)。 その解は積分定数を c として y = c*exp{ cos(x) } になりますが、この c を x の関数 c(x) として y = c(x)*exp{ cos(x) } --- (1) として元の微分方程式に入れると、c(x) に関する微分方程式 dc/dx = sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } が得られますから c(x) = ∫sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } dx となります。この積分は t = cos(x) と置いて、部分積分法を適用すれば計算できます。c(x) あ決まったら (1) から y(x) が求められます。 問題の微分方程式の解は y(x) = 1 + cos(x) + a*exp{ cos(x) } となります(a は定数)