質問: オイラー角 回転行列 オイラー角 回転行列 オイラー角と回転行列の関係が良く理解出来ないので 質問させて下さい。 工学や物理学で使われるオイラー角の回転順序は z-x-zが一般的だと認識しています。 ここで、3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を 表す回転行列は、 1 0 0 rx= 0 cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ cosθ 0 sinθ ry= 0 1 0 -sinθ 0 cosθ cosθ -sinθ 0 rz= sinθ cosθ 0 0 0 1 です。 それぞれのθが、その軸での回転だと認識しています。 ここで、回転の方向はrxはy軸をz軸に向ける方向、 ryはz軸をx軸に向ける方向、rzはx軸をy軸に向ける方向。 z-x-zとは、 rz・rx・rzの積という認識で良いでしょうか? 例えば、 rx:y軸をz軸に向ける方向にπ/2 ry:z軸をx軸に向ける方向にπ/3 rz:x軸をy軸に向ける方向にπ/4 回転させたとします。 rz・rx・rzの積でなぜ、ryの回転 が表現できるのですか? また、オイラー角はα,β,γと表記される事もありますが、 これは、x軸回転をα、y軸回転をβ、z軸回転をγで表して いるという事なのでしょうか? 分からない点だらけで申し訳御座いませんが、ご回答何卒よろしくお願い致します。
回答: まず、オイラー角といえば座標系の回転なので、符号が逆だと思います。 rxなら 1 0 0 0 cosθ sinθ 0 -sinθ cosθ 次に座標系の回転とは何をやっているかですが、考えているベクトルをa、 回転前の基底をe1, e2, e3、回転後の基底をu1, u2, u3として a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = a1' u1 + a2' u2 + a3' u3 なる新しい座標系での成分(a1', a2', a3')を求めることにほか成りません。 最初のz軸回転ではe1, e2軸が回転してu1, u2になります。e3とu3は同じベクトルです。 こうして求めた(a1', a2', a3')に次のx回転行列rxをかけるということは、 u1まわりの回転を意味します。(e1まわりではない!) その結果は、新たな基底をv1, v2, v3(ベクトル)として a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = a1' u1 + a2' u2 + a3' u3= a1'' v1 + a2'' v2 + a3'' v3 なる新たな成分(a1'', a2'', a3'')を求めることに成ります。 ここではu1まわりの回転なのでu1とv1は等しく、u2, u3が回転してv2, v3になります。 これにさらにz回転行列をかけるということは、v3まわりの回転を意味しており、 新たな基底をw1, w2, w3(ベクトル)として、 a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = a1' u1 + a2' u2 + a3' u3 = a1'' v1 + a2'' v2 + a3'' v3 = a1''' w1 + a2''' w2 + a3''' w3 なる成分を求めることを意味します。ここではv3, w3が等しく、v1,v2がw1, w2へと回転します。 以上の通り、rz・rx・rzという回転行列のうちの前二つ(rz・rx)は固定された空間座標まわりの回転ではなく、回転後の新たな座標軸まわりの回転を意味しているので、空間座標系のy軸まわりの回転もそこには含まれてきます。 まあ、こういう図を見れば自明だとは思いますが。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%82%aa%e3%82%a4%e3%83%a9%e3%83%bc%e8%a7%92