質問: 連続関数, 解説もお願いします。 関数f(x)に対しf(a)=aを満たす点x=aをf(x)の不動点という。 f(x)が閉区間[0,1]上の連続関数であり,その値域が閉区間[0,1]に含まれるとき,f(x)の不動点x=aが区間[0,1]に必ず存在することを示せ。 関連問題も解けるようになりたいので,解説もお願いします。
回答: g(x)=f(x)-x とします。g(x)は[0,x]上の連続関数です。 このように置くとこの問題は[0,1]上でg(x)=0となるxが存在することを示せ、という問題に置き換わります。 g(0)とg(1)の大きさを調べ、g(0)≠0,g(1)≠0の場合は中間値の定理を使えば示すことができるでしょう。