質問: 看護学校の過去問 看護学校の入試の過去問の件で質問です。 「 三角形abcにおいて、sin^2 a+sin^2 b=1,sin^2 b+sin^2 c=1 である。 (1)sin a=sin b であることを証明せよ。 (2)∠bの大きさを求めよ。 」 という問題です。 (1)はすんなり証明できたのですが、(2)が解けません。条件が不足しているのか?等と考えましたが、図もありませんし、bを求めることができません...。 解ける方がいらしたら、お教え願えたらなと思います。
回答: (1) 問題文のsin^2 a + sin^2 b = 1 , sin^2 b + sin^2 c = 1 が正しいならば、sin a = sin b ではなくて、sin a = sin c ですね。 sin^2 a + sin^2 b = 1 , sin^2 b + sin^2 c = 1 より、 sin^2 a = sin^2 c 0 < a,c <π より、sin a > 0, sin c > 0 なので sin a = sin c ( >0 ) (2) sin a = sin c より、a = c または a = π - c であるが、a+b+c = π (三角形の内角の和)よりa = π - cはb = 0となり不可 よってa = c ( < π/2 ) 三角形の内角の和よりb = π - a - c = π - 2 a 。これをsin^2 a + sin^2 b = 1 に代入して解くと、 sin^2 a + sin^2(π- 2a) = 1 (sin(π-2a)= sin(2a) = 2 sina cosa より) sin^2 a + 4 sin^2 a cos^2 a = 1 1 - cos^2 a + 4sin^2 a cos^2 a = 1 cos^2 a ( 4sin^2 a - 1 ) = 0 a<π/2よりcos^2 a ≠ 0 だから 4sin^2a = 1 sina>0よりsin a = 1/2 a<π/2よりa=π/6 ( = 30°) b = π - 2a = 2π/3 (=120°)