質問: 証明:疎な集合の結合が疎 位相空間において、e,fが疎な集合とする。 e∪fも疎なことの証明。 定義:eが疎な集合とは、eの閉包の内点がφ
回答: 空間xの部分集合eに対し、 eは疎である. ⇔ int(cle)=φ. (eの閉包は内点をもたない。) は定義なのですが次の言い換えを利用する方がよいでしょう。 eは疎である. ⇔ cl(x-cle)=x. (eの閉包の補集合はxで稠密である。) 問題の証明ですが、e, fは疎とします。 任意の空でない開集合uに対して、 u∩(x-cl(e∪f))=u∩(x-(cle∪clf)) =u∩(x-cle)∩(x-clf) という等式が一般的に成立していますが、終結式において、 eが疎である(x-cleは稠密である)ことから u∩(x-cle)は空でないことがわかり、さらにこれは開ですから fが疎である(x-clfは稠密である)ことによって u∩(x-cle)∩(x-clf)は空でないことがわかります。 従がって、等式から u∩(x-cl(e∪f))は空でないこと、即ち、x-cl(e∪f)はxで稠密であること、即ち、e∪fは疎であることが示されます。