質問: f(x)=x^3はx=0で連続か不連続か 『lim[x→a]f(x)=f(a)⇔f(x)がx=aで連続』 の⇒向きの話について疑問を感じます。 たとえば、 『f(x)=x^3はx=0で連続か不連続か。』 という問題で、解答は、 『lim[x→0]f(x)=0、f(0)=0より、 lim[x→0]f(x)=f(0)であるからf(x)はx=0で連続である。』 とかって書いてあるんですが、lim[x→0]f(x)=0っていうのはf(x)にx=0を代入して出しているのではないのでしょうか? (建前上は、)y=x^3のグラフから極限値を調べた、ということなんでしょうか? まぁ、この問題は本当に基礎の問題だからこのように書いてあるわけで、実際の問題では、多項式などは連続関数なのが自明だから、そこからはlim[x→a]f(x)=f(a)を使って求める、ということなのかな?と思ったんですが、どうなのでしょうか?
回答: (1) y=x^3 のグラフから x=0 のときの (0,0) を取り去る。 このグラフで、 x → 0 とすると y → 0 一方、 f(0)=0^3=0 よって x=0 で連続。 (2) 0