質問: 任意のn次正方行列Aと可換であるn次正則行列Xを全て求めよ。という問題を教えてください。
回答: ID非公開さん X = (x_ij) とおく. (最初がアイ, 後がジェイ) 【必要条件】 (λ,μ)成分のみが 1 で, 他成分がすべて 0 である行列 A をとる. AX = (p_ij) と表すとき p_ij = Σ[k=1→n] b_ik*x_kj だから, b_λμ=1 との積の項だけが有効になり, AX の有効成分 (注:0でない可能性のある成分) として残るのはλ行のみで p_λj = x_μj , j=1,2,...,n XA = (q_ij) と表すとき q_ij = Σ[k=1→n] x_ik*b_kj だから, b_λμ=1 との積の項だけが有効になり, XA の有効成分 (注:0でない可能性のある成分) として残るのはμ列のみで q_iμ = x_iλ , i=1,2,...,n すると, AX = XA であるためには λ行とμ列の交差する成分(λ,μ)として q_λμ = x_λλ = p_λμ = x_μμ および i≠λであるとき, q_iμ = x_iλ = 0 j≠μであるとき, p_λj = x_μj = 0 (λ,μ) の組み合わせは, 1≦λ≦n と 1≦λ≦n の範囲で任意で選べるから x_11 = x_22 = ... = x_nn = c (定数) かつ i≠j のとき x_ij = 0 となり, 題意を満たすための必要条件として, X はスカラー行列 cI である. (ここで I はn次単位行列) 【十分条件】 X = cI のとき, 任意のAにたいして, XA = AX を満たすことは明らかで, X がスカラー行列であることは十分条件である. 注1 スカラー行列とは単位行列の定数倍である行列 注2 説明だけでは理解が難しいし, ちょっとした入力間違いがあっても混乱させるだけなので, 画像を添付しました. n = 4 の場合 (λ,μ) = (3,2) であるときの例