質問: 調和振動子の固有値 壁|---○---○---|壁 上の図のように、ばね定数kの3つのバネ3本で連結された二つの粒子(質量はともにm)の運動のうちで、バネに平行な方向の成分だけに着目して、そのハミルトニアンを 重心座標 x=(x1+x2)/2 相対座標 x=x1-x2 を用いて書き直すと h=[{-(hbar)^2/4m}(∂/∂x)^2 +kx^2]-[{(hbar)^2/m}(∂/∂x)^2 + 3kx^2/4}] となる。 ここから固有値を求めるわけですが、解説には 重心運動は 質量 2m ばね定数 2k 相対運動は 質量 m/2 ばね定数 3k/2 となってωo=√(k/m) ω=√(3k/m) 固有関数は、それぞれの固有関数の積、固有値は和であらわされるから、 εnn=(n+1/2)(hbar)ωo + (n+1/2)(hbar)ω と書いてあります。 ここで二つ質問があって、 (1)重心運動のばね定数が 2k 相対運動の 質量 m/2 ばね定数 3k/2 という風にどうして表されるのか、 (2)なぜ調和振動子の固有値はそれぞれの和で表されるのか というのが分かりませんでした。 どなたかご教授ください。お願いします。
回答: 行列で言う固有値を、例えばa+b=cとしてcφ=λφとした場合を実行すればいい。 aの固有値をa、bの固有値をb、a+b=λとすれば、 cφ=(a+b)φ=aφ+bφ=aφ+bφ=(a+b)φ=λφ となる。つまり、固有値の和。 ハミルトニアンも線形演算子のみで構成されている(中の形も非線形ではない)ため、行列と同様に考えられます。