質問: ベクトル 模試の過去問を学校から宿題が出て やってるんですけど、少し戸惑ったので教えていただきたいのと、 途中まであっているか見て欲しいです! 問題↓ 平面上に△oabがあり、oaベクトル=aベクトル、obベクトル=bベクトルとする。 辺oaの中点をc、辺obを1:2に内分する点をd、辺abを3:1に内分する点をeとする。 また線分ce上に点pをとり、cp:pe=s:(1-s)(sは実数)とする。 1.oeベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またopベクトルをs,aベクトル,bベクトル を用いて表せ。 2.点pが線分ceとadの交点であるときopベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。 3.問2のときoa=4、ob=3、∠aob=60°とし、直線opと辺abの交点をqとする。 点qから直線oaに垂線をひき、交点をrとする。orベクトルをaベクトルを用いて表せ。 という問題で、1番はそれぞれoeベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、 opベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。 それ以降の解き方など教えて欲しいです。 よろしくお願いします。
回答: >問題↓ >平面上に△oabがあり、oaベクトル=aベクトル、obベクトル=bベクトルとする。 >辺oaの中点をc、辺obを1:2に内分する点をd、辺abを3:1に内分する点をeとする。 >また線分ce上に点pをとり、cp:pe=s:(1-s)(sは実数)とする。 >1.oeベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またopベクトルをs,aベクトル,bベクトル > を用いて表せ。 >1番はそれぞれoeベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、 >opベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。 続きから、 of=(1/4)a+(3/4)b oc=(1/2)oa=(1/2)aより、 op=(1-s)oc+soe =(1-s)・(1/2)a+s・{(1/4)a+(3/4)b} ={(1/2)-(1/4)s}a+(3/4)s・b ......(1) >2.点pが線分ceとadの交点であるときopベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。 a,p,dは、一直線上にあるから、ap=kadとおける。 ad=(2/3)ao+(1/3)ab =-(2/3)oa+(1/3)(ob-oa) =-a+(1/3)bより、 ap=k{-a+(1/3)b}だから、 op=oa+k{-a+(1/3)b} =(1-k)a+(1/3)k・b ......(2) (1)(2)より、係数比較すると、 (1/2)-(1/4)s=1-k,(3/4)s=(1/3)k を連立で解くと、 s=1/4,k=9/16 よって、(2)より、 op=(7/16)a+(3/16)b >3.問2のときoa=4、ob=3、∠aob=60°とし、直線opと辺abの交点をqとする。 > 点qから直線oaに垂線をひき、交点をrとする。orベクトルをaベクトルを用いて表せ。 oa・ob=|oa||ob|cos∠aob だから、 a・b=4×3×cos60°=12×(1/2)=6 aq:qb=t:(1-t)とすると、 oq=(1-t)oa+tob =(1-t)a+t・b ......(3) o,p,qは、一直線上にあるから、oq=mopとおける。 oq=m{(7/16)a+(3/16)b} =(7/16)m・a+(3/16)m・b ......(4) (3)(4)より、係数比較すると、 1-t=(7/16)m,t=(3/16)m を連立で解くと、 m=8/5,t=3/10 よって、(3)より、 oq=(7/10)a+(3/10)b rはoa上の点だから、or=noa=n・aとおける。 rq=oq-or={(7/10)a+(3/10)b}-n・a ={(7/10)-n}a+(3/10)b oaとrqは垂直だから、rq・oa=0より、 [{(7/10)-n}a+(3/10)b]・a =(7/10)・|a|^2-n・|a|^2+(3/10)(a・b) =(7/10)・16-16n+(3/10)・6=0だから、 n=13/16 よって、or=(13/16)a 図を描いて、計算など確認してみて下さい。 、