質問: 理系の人助けてください。
回答: 1.共通重心からP1、P2までのそれぞれの距離R1、R2を求めよ。 2つの物体の間に作用反作用の力と同様の重力相互作用が作用する場合、並進運動方程式は次のように表されます。 m1r1⇡''=F1⇡ :物体1の運動方程式 m2r2⇡''=F2⇡ :物体2の運動方程式 ⇡ :ベクトルを表す記号 ' :微分(d/dt)を表わす記号 m1、m2 :物体1、物体2の質量 r1⇡、r2⇡ :物体1、物体2の位置ベクトル F1⇡、F2⇡ :物体1、物体2に作用する重力ベクトル ここで重力(F1⇡、F2⇡)は作用反作用の関係にあるので、次のように表します。 F1⇡=F⇡ F2⇡=-F⇡ F⇡=(Gm1m2/a^3)a⇡ :重力ベクトル G :万有引力定数 a⇡ :相対位置ベクトル(物体1を基準とした物体2の位置ベクトル) a=|a⇡| :物体間の距離 よって、上記の運動方程式は次のように表されます。 m1r1⇡''=F⇡ :物体1の運動方程式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1 m2r2⇡''=-F⇡ :物体2の運動方程式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・2 上の2式の両辺を加算して、 m1r1⇡''+m2r2⇡''=0⇡ :系全体の運動方程式 重心運動 2物体を合わせた系全体の重心(共重心)に全質量が集まった質点の運動方程式は、 Mr⇡''=m1r1⇡''+m2r2⇡''=0⇡ :系全体の運動方程式 M=m1+m2 :系全体の質量 r⇡=(m1r1⇡+m2r2⇡)/M :共重心位置ベクトル・・・・・・・・・・・・・・・・3 外力が重力だけだと、共重心は静止します。 Mr⇡''=0⇡・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・4 相対運動 a⇡=r2⇡-r1⇡ :物体1を基準とした相対位置ベクトル これを微分し、1式と2式を代入して、 a⇡''=r2⇡''-r1⇡'' =-F⇡/m2-F⇡/m1 =-F⇡(1/m2+1/m1) =-F⇡{(m1+m2)/(m1m2)} =-F⇡/μ μa⇡''=-F⇡ :相対運動の運動方程式 μ=(m1m2)/(m1+m2) :換算質量 共重心3式から見た物体の位置ベクトルは、 R1⇡=r1⇡-r⇡ =r1⇡-(m1r1⇡+m2r2⇡)/M ={1-(m1/M)}r1⇡-(m2/M)r2⇡ ={(M-m1)/M}r1⇡-(m2/M)r2⇡ =(m2/M)(r1⇡-r2⇡) =-(m2/M)a⇡ :共重心基準の物体1の位置ベクトル・・・・・・・・・・・5 R2⇡=r2⇡-r⇡ =(m1/M)(r2⇡-r1⇡) =(m1/M)a⇡ :共重心基準の物体2の位置ベクトル・・・・・・・・・・・・・6 R1=-{m2/(m1+m2)}a :共重心から物体1までの距離 R2={m1/(m1+m2)}a :共重心から物体2までの距離 2.a、ωの間に成立する関係式を求めよ。 上の5式、6式から、 R1⇡'=-(m2/M)a⇡' :物体1の速度ベクトル R2⇡'=(m1/M)a⇡' :物体2の速度ベクトル 系全体の角運動量は、共重心運動の角運動量と相対運動の角運動量の和として、次のように表されます。 L⇡=M(r⇡×r⇡')+m1(R1⇡×R1⇡')+m2(R2⇡×R2⇡') =M(r⇡×r⇡')+m1(m2/M)^2(a⇡×a⇡')+m2(m1/M)^2(a⇡×a⇡') =M(r⇡×r⇡')+(m1m2/M)(a⇡×a⇡') =M(r⇡×r⇡')+μ(a⇡×a⇡') :系全体の角運動量ベクトル 角運動量は次のように表すこともできます。 L⇡=Iω⇡ I=m1R1^2+m2R2^2 =m1{(m2/M)a}^2+m2{(m1/M)a}^2 =(m1m2/M)a^2 =μa^2 :共重心まわりの慣性モーメント よって、 ω⇡=L/I ={M(r⇡×r⇡')+μ(a⇡×a⇡')}/(μa^2) :回転角速度ベクトル 3.連星系のエネルギーEを重力定数G.m2.m1.ωを使って表せ。 K=(1/2)m1(r1⇡')^2+(1/2)m2(r2⇡')^2 =(1/2)m1(r⇡'+R1⇡')^2+(1/2)m2(r⇡'+R2⇡')^2 =(1/2)m1{r⇡'-(m2/M)a⇡'}^2+(1/2)m2{r⇡'+(m1/M)a⇡'}^2 =(1/2)m1{r'^2-2(m2/M)(r'a')+(m2/M)^2a'^2} +(1/2)m2{r'^2+2(m1/M)(r'a')+(m1/M)^2a'^2} =(1/2)(m1r'^2+m2r'^2) +(1/2){m1(m2/M)^2a'^2+m2(m1/M)^2a'^2} =(1/2)(m1+m2)r'^2+(1/2)(m1m2/M)a'^2 =(1/2)Mr'^2+(1/2)μa'^2 :運動エネルギー この右辺第1項は共重心の運動エネルギー、第2項は相対運動の運動エネルギーです。 <共重心に原点を置いた慣性系> 共重心は4式に示したように加速度ゼロで、等速直線運動をします。よって、共重心を原点とした座標系は慣性系です。 共重心を原点とすると角速度ベクトルは次のようになります。 ω⇡=(a⇡×a⇡')/a^2 :角速度ベクトル 2物体は相対距離を保ったまま回転運動するので、相対位置a⇡は大きさが変化せずにω⇡で回転するだけで、次のように表されます。 a⇡'=ω⇡×a⇡ :相対速度ベクトル 従って、角運動量ベクトルは次のようになります。 L⇡=μ(a⇡×a⇡')=μ{a⇡×(ω⇡×a⇡)} ここで次の公式を用いて、 a⇡×(b⇡×c⇡)=(a⇡・c⇡)b⇡-(a⇡・b⇡)c⇡ :ベクトル三重積の公式 a⇡×(ω⇡×a⇡)=a^2ω⇡ L⇡=μa^2ω⇡ :角運動量ベクトル 2物体の力学的エネルギーは回転の運動エネルギーと重力による位置エネルギーになります。 K=(1/2)Iω^2 =(1/2)μ(aω)^2 :回転運動エネルギー 重力がゼロとなる無限遠から物体の位置まで移動させるのに重力がした仕事(無限遠基準の位置エネルギー)は、 U=∫[∞~R1]{-Gm1m2/(x+R2)^2}dx+∫[∞~R2]{-Gm1m2/(x+R1)^2}dx ={Gm1m2/(x+R2)}|[∞~R1]+{Gm1m2/(x+R1)}|[∞~R2] =Gm1m2/(R1+R2)+Gm1m2/(R2x+R1) =2Gm1m2/a ここで、無限遠より低い位置での位置エネルギーは負値として、 U=-2Gm1m2/a :位置エネルギー よって、2物体の力学的エネルギーは、 E=(1/2)μ(aω)^2-2Gm1m2/a =(1/2){(m1m2)/(m1+m2)}(aω)^2-2Gm1m2/a :力学的エネルギー