質問: aをネーター環とします。a加群の準同型φ:a^n -> m (mはx1,...,xnを基底とする有限 aをネーター環とします。a加群の準同型φ:a^n -> m (mはx1,...,xnを基底とする有限生成a加群)をφ(ei)=xiとする(eiはa^nの標準基底とする)。この時、kerφが有限生成なa加群であることを示してください。
回答: aは、ネーター環でなくても一般の単位的可換環でよいのでは? x, y ∈ kerφ だとすると、任意の a, b ∈ a に対して φ(ax+by) = aφ(x) + bφ(y) = a0+ b0 = 0. すなわち ax+by ∈ kerφ. このことは、 kerφ が a^n の部分加群であることを表している。 有限次自由加群の部分加群は有限次自由加群だから、 kerφ は有限次自由加群。つまり有限生成である。