質問: if `a=[{:(1,2),(-1,3):}]b=[{:(4,0),(1,5):}],c=[{:(2,0),(1,-2):}]` a=4 and b=-2, then show that (i) (a+b)b=ab+bb (ii) a(c-a)=ac-aa (iii) `(ba)^(t)=ba^(t)` if `a=[{:(1,2),(-1,3):}]b=[{:(4,0),(1,5):}],c=[{:(2,0),(1,-2):}]` a=4 and b=-2, then show that (i) (a+b)b=ab+bb (ii) a(c-a)=ac-aa (iii) `(ba)^(t)=ba^(t)`
回答: solution: we have, `a=[{:(1,2),(-1,3):}],b=[{:(4,0),(1,6):}]` `c=[{:(2,0),(1,-2):}]` and a=4,b=-2 (i) ` a+(b+c)=[{:( 1,2) ,(-1,3):}]+[{(:(6,0),(2,3):}]=[{:(7,2),(1, 6):}]` and `(a+b)+c= [{:(5,2),( 0,8):}]+[{:(2,0),(1,-2):}]` `=[{:(7,2),(1,6):}]=a+(b+c)` (ii) (bc)`=[{:(4,0) ,(1,5):}][{:(2,0),(1,-2):}]=[{:(8,0),(7,-10):}]` and ` a(bc)=[{:(1,2),(-1, 3):}][{:(8,0),(7,-10):}]` `=[{:(8+14, 0 -20),(-8+21,0-30):}]=[{:(22,-20),(13,3 0):}]` and also `(ab)=[{:(1,2),(-1,3):}][{:(4,0),(1,5):}]=[{:(6,10),(-1,15):}]` `(ab)c=[{:(6 ,1 0) ,( -1,15):}][{:(2,0),(1,-2):}]` `=[{:(22,-20),(13,-30):}]=a(bc)` (iii) `(a+ b)b=(4-2)[{:(4, 0),(1,5):}]` `=[{:(8,0),(2,10):}]` and `ab=bb=4b-2b` `=[{:(16,0),(4,20):}]-[{:(8,0),(2,10):}]` `=[{:(8, 0),(2,10):}]` `=(a+b)b` (iv) `(c-a)=[{:(2-1,0-2),(1+1,-2-3):}]=[{:(1,-2),(2,-5):}]` and `a(c-a)=[{:(4,-6),(8,-20):}]` also, `ac=aa=[{:(8,0),(4-8)-[{:(4,8),(-4,12):}]=[{:( 4,-6),(8,-20):}]` (v) `a^(t)=[{:(1,2) ,( -1,3):}]=[{:(1,-1),(2,3):}]` now, `(a^(t))^(t)= [{:(1,2),( -1,3):}]^(t)` =a (vi) `(ba)^(t)= [{:(-2,-4),(2,-6) :}]^(t)` `=[{:(-2 ,2),(-4,-6):}]` and `a^(t)=[{:(1,-1),(2,3):}]` `ba^(t)=[{:(-2,2),(-4,-6):}]=(ba)^(t)` (vii) `ab=[{:( 1,2),(-1,3):}][{:(4,0),(1,5):}]=[{:(4+2, 0+12),(-4+3,0+15):}]=[{:(6,10),(-1,15):}]` `therefore (ab)^(t)=[{:( 6,-1),( 10,15):}]` now, `b^(t)a^(t)=[{:(4,1),(0,5):}][{:(1,-1),(2,3):}]=[{:(6,-1),(10,15):}]` `= (ab)^(t)` (viii) `(a-b) =[{:( 1-4,2-0),(-1-1, 3-5):}]=[{:(-3,2),(-2,-2):}]` `(a-b)c=[{:( -3,2),(-2,-2):}][{:(2,0),(1,-2):}]=[{:(4,-4),(1,- 6):}]` and `bc=[{:(4,0),(1,5):}][{:(2,0),(1 ,-2):}]=[{:(8,0),(7,-10):}]` `therefore ac- bc=[{:(4-8,-4 ,-0) ,(1-7,-6+10):}]` `=(a-b)c` (ix) `(a-b)^(t)=[{:(1-4, 2-0),(-1-1,3-5):}]^(t)` `=[{:(-3,-2),(2,-2):}]=(a-b)^(t)`