質問: 数ii・指数対数 【問1】x,y,zは正の数で2^x=(9/2)^y=5^zを満たしているとする。 このとき、a=2x,b=9/2y,c=5zとおき、a,b,cの大小関係を調べよ。 x=y(log(2)ア-イ)であるからb-a=y(ウエ/2-2log(2)オ)である。 したがって、aとbを比べるとカのほうが大きい。 同様にx=zlog(2)キであるからc-a=z(ク-2log(2)ケ)である。 したがって、aとcを比べるとコのほうが大きい。 更に、5^9<(9/2)^10であることを用いると、a,b,cの間には大小関係サ<シ<スが成り立つことがわかる。 【問2】 1.方程式4^x+1-2^(x+2)+1=0の解を求めたい。 2^x=tとおくと、アt^イ-ウt+1=0となるから、t=エ/オとなり、求める解はx=カキである。 次に、不等式(1/4)^x-5(1/2)^x+4<0の解を求める。 (1/2)^x=kとおくと、ク<k<ケとなるから、コサ<x<シである。 2.方程式log2x+log2(x-3)=1+2log2(3)の解はx=スであり、不等式log1/2(x-2)>log1/4(2x+1)-1の解はセ<x<ソタである。 【問3】 1.3^100はアイ桁の整数である。ただし、log10(3)=0.4771とする。 2.(1/2)^50を小数で表すと、小数第ウエ位に初めて0以外の数字が現れる。 3.log10(25)の小数部分をxとするとき、10^1-x=オである。 【問4】定数aに対して、方程式-9^x+2・3^x+1=a...(1)を考える。 3^x=tとおくと、(1)は-t^2+アt=aと...(2)となり、左辺は-t^2+アt=-(t-イ)^2+ウと変形される。 したがって、a≦エ,a=オのとき、方程式(2)はただ1つの解を持ち、エ<a<オのとき、方程式(2)は2個の解をもつ。 また、a=オのとき、方程式(1)の解はx=カであり、a=3のとき、方程式(1)の2つの解の和はキである。 解答・解説よろしくお願いします!
回答: ano.2です。 【問1】が間違っていたので、再回答します。 >【問1】x,y,zは正の数で2^x=(9/2)^y=5^zを満たしているとする。 > このとき、a=2x,b=9/2y,c=5zとおき、a,b,cの大小関係を調べよ。 >x=y(log(2)ア-イ)であるからb-a=y(ウエ/2-2log(2)オ)である。 2^x=(9/2)^yより、 x=log2^y=ylog2=y(log[2]9-log[2]2)=y(log[2]9-1) ......ア=9 イ=1 b-a=(9/2)y-2x=(9/2)y-2・y(log[2]9-1)=y{(13/2)-2log[2]9}......ウエ=13 オ=9 > したがって、aとbを比べるとカのほうが大きい。 (13/2)-2log[2]9=log[2]2^(13/2)-log[2]9^2>0 ({2^(13/2)}^2=2^13=8192>6561=(9^2)^2より、2^(13/2)>9^2で、底2>1より) y>0だから、b-a>0よりb>aで、bのほうが大きい。......カ > 同様にx=zlog(2)キであるからc-a=z(ク-2log(2)ケ)である。 2^x=5^zより、x=log[2]5^z=zlog[2]5 ......キ=5 c-a=5z-2x=5z-2・zlog[2]5=z(5-2log[2]5) ......ク=5 ケ=5 > したがって、aとcを比べるとコのほうが大きい。 5-2log[2]5=log[2]2^5-log[2]5^2=log[2]32-log[2]25>0 (底2>1,32>25より) z>0だから、c-a>0よりc>aで、cのほうが大きい。......コ > 更に、5^9<(9/2)^10であることを用いると、a,b,cの間には大小関係サ<シ<スが成り立つことがわかる。 5^z=(9/2)^yより、z=log5^y=ylog5 b-c=(9/2)y-5z=(9/2)y-5・ylog5=y{(9/2)-5log5} =y{log5]5^(9/2)-log[5^5} log5]5^(9/2)-log[5^5<0 ({5^(9/2)}^2=5^9<(9/2)^10={(9/2)^5}^2より、5^(9/2)<(9/2)^5で、底5>1より) y>0だから、b-c<0より、b<c aは、b,cよりも小さいから、 よって、 a<b<c ......サシス でお願いします。