質問: -x^2 * σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i と同じになります。 ということは、この後半の項はゼロになるべきということですか?でも、ならないですよね? それとも私の計算が間違っているのでしょうか? どうか正しい解き方を教えてください。お願いします。
回答: ←a no.1 補足 変な難癖をつけられているようですが、 妨害なんてしていませんよ。 (x^2)(発散級数) - (発散級数) = x^2 という式から、式変形を試みることが 無意味だ...と説明しているのです。 これは、本当に大切な事項です。 個々の微分方程式や、特定の解法以前に、 級数を扱うのであれば、収束性に関する 最低限は勉強しておくべきです。 その書籍にある a[n] = -(n-1)! という 結果は、計算が間違っているのではなく、 y = σ[i=1→∞] a[i] x^i と表せると 仮定したことが間違ってたのです。 問題の微分方程式 (x^2)(dy/dx) - y = x^2 に マクローリン展開可能な解があるとすれば、 y = (-x^2) σ[i=0→∞] (i+1)! x^i に限られる。 そこの必要性は正しい。しかし、 σ[i=0→∞] (i+1)! x^i は収束半径 0だから、 この方程式にはマクローリン展開可能な解は 存在しない。十分性が欠けています。 言い換えれば、この方程式の解は マクローリン展開可能ではない ...ということになります。 (-x^2) σ[i=0→∞] (i+1)! x^i は、 問題の微分方程式の解ではないのです。 最終的には否定された解の候補だったに過ぎない。 それを原式へ代入して、そこから何かを 考察しようとしたことが間違いです。 その著者の解法自体は、貴方が読んだ本に書いて あるのだろうし、何を考えてそれを書いたかは、 著者本人しか知りません。出版社を通じて、 著者に問い合わせてみたらどうですか?