質問: lim_{x→∞}[{e^x}/{log x}] を求めてください。 (xを限りなく大きくするときの(log x) 分の (eのx乗)、 の極限)
回答: ロピタルの定理を使うと文句を言う人もいるかもしれないので、真面目に。 f(x)=e^x-xlog(x)(x≧1) とおく。 このとき、 f'(x)=e^x-(log(x)+1) f''(x)=e^x-1/x となる。 x>1においてf''(x)>0である。 f'(1)>0であるので、x>1においてf'(x)>0である。 f(1)>0であるので、x>1においてf(x)>0である。 つまり、 e^x-xlog(x)>0(x>1) e^x>xlog(x)(x>1) (e^x)/log(x)>x(x>1) となるので、 x→∞とすることで limx→∞/log(x)=∞ を得る。