質問: 微分係数について たとえば、関数f(y)=∫(0→√x)e^(xy)sinx^2dx(こういう関数ならなんでもよい)のy=0における微分係数を求める時、「積分と微分の可換性を用いれば簡単に計算できる」というのですがどういうことですか?分かる方教えてください。
回答: 勝手に作った変な例ですが、f(y)=∫(0→x) (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx なるf(y)を考えます。 (但し、x,y は互いに無関係(?)な変数とします) まず、普通に計算していけば f(y)=∫(0→x) (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx x =[-cosx + y(e^2x)/2 +(1/2)(y^2)x^2] 0 ={-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 }-{cos0+(1/2)y} =-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 +1-y/2 よって df(y)/dy =(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2 になりますね。 今度は、yで微分してから積分すると、 ∫(0→x) (δ/δy){sinx+ (e^2x)y+xy^2}dx =∫(0→x){(e^2x)+2xy}dx x =[ (e^2x)/2+y(x^2) ] 0 ={(e^2x)/2+y(x^2) }-{1/2} =(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2 と先程のdf(y)/dy と同じモノがでてきます。