質問: 0<|r|<1のとき、lim(n→∞)nr^nを証明せよ。という問題で解答に二項定理より (1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2 となることを用いて 0≦|nr^n|n/(1/|r|)^n≦2/(n-1)h^2 としてはさみ込みこの後その
回答: 0 ≦ |nr^n| = n/(1/|r|)^n ≦ 2/(n-1)h^2 で lim[n→∞] 2/(n-1)h^2 = 0 だから、 lim[n→∞] |nr^n| = 0 まではいいですか? - |a_n| ≦ a_n ≦ |a_n| が成立するので、一般に lim[n→∞] |a_n| = 0 ⇒ lim[n→∞] a_n = 0 です。 よって、 lim[n→∞] nr^n = 0 です。 lim[n→∞] |a_n| = 0 ⇒ lim[n→∞] a_n = 0 は証明も簡単で直感的にも明らかなので、 わざわざ示さずに使っていいでしょう。 また、一般に α > b ⇒ a ≧ b が成立します。 よって > (<) でなく ≧ (≦) を使って構いません。