質問: 正多面体 立方体abcdefghにおいて、一つおきに頂点を結ぶと、正4面体bdegを作ることができる。さらに、この正4面体の各辺の中点を結ぶと、正4面体に内接する正8面体を作ることができる。 ・正8面体の対角線の長さは立方体の1辺の長さと等しい。 ・一般に、正8面体の対角線の長さをaとおくと、その体積はa^3/6となる。 この2つを導出したいのですが、どうやったらいいのでしょうか。何かヒントをいただけないでしょうか。
回答: こんにちは。 問題をみて、本当にそうなるのかなぁ。。。と計算してみましたが、確かになりました。 ヒントをという事ですので、回答はしません。 (1)正8面体の対角線の長さは立方体の1辺の長さと等しい。 <ヒント> まずは、設問どおりの立体図形を描いてみることです。表現される図形は、正方形・直角三角形・正三角形しかありませんので、各種辺の長さは図から簡単に求められます。 (2)一般に、正8面体の対角線の長さをaとおくと、その体積はa^3/6となる。 <ヒント> 文章で説明するのは、少し難しいのですが。。。 まず、立方体の一辺がaとなることから、立方体の体積=a^3。 正四面体の体積は、立方体から余分な三角錐を4つ取り出す事で求めます。(正四面体の体積=a^3/3) 次に、正八面体の体積は、正四面体から余分な正四面体(もとの正四面体の1/8の体積)を4つ取り出すことで求めます。 三角錐の体積公式や、相似図形の体積比について考える問題です。 ある程度、見通しのよい図を描くことが鍵です。