質問: トーラスの体積 求め方をド忘れ下ので... xy平面上の点(2,0)を中心とする半径1の円を、y軸の周りに回転してできる体積 を求めようとしています。 パップス・ギュルダンの定理を用いず、積分の基本形だけを用いて解く方法がありましたでしょうか。
回答: (x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~r) とすると、体積素 = (a+rcosφ)r dθdφdr なので、体積 = ∫(a+rcosφ)rdrdφdθ(θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~r) = 2π^2ar^2 a=2, r=1 とすると 4π^2 だと思います。