質問: n√n・n√(n-1)・...・n√2・n√1 とn個の積だと考えて それぞれはn→∞の極限で1に行くので、n√n!もn→∞の極限で1になると思い、公式から収束半径ρは1だと考えました。 ら、解答には収束半径は0とありました。そして「なぜならz≠0ならばn!|z^n|→∞が成り立つ」とあるのですが、納得できません。 自分の考え方は何が間違っているのでしょうか?よろしくお願いいたします。
回答: そもそも n! = n (n-1) (n-2) ... 1 ≧ (n/2)^(n/2) だから n-th root of n! ≧ √(n/2) ですよ. もっと精密に評価するなら, stirling の公式: n! ~ √(2π) n^(n+1/2) e^(-n) を使って n-th root of n! ~ n/e.