質問: <至急>教えて下さい。 導関数の例題 青チャート 数学iii 微分法の例題の解説が読んでも理解できません。 問題は、式 y=a^x (a>0、aは1にあらず) の 第2次導関数と第3次導関数を求めよ、です。 y ́=a^x*log(a) の導関数が、なぜ、y"=a^x*(log(a) )^2 になるのか理解できません。 また 、y"=a^x*(log(a) )^2の導関数が、なぜ、y"'=a^x*(log(a) )^3になるのかも理解できません。 どなたか、教えて頂けないでしょうか? 宜しくお願い致します。
回答: 復習のつもりで, y=a^x( a>0, a≠1 )の導関数から計算してみましょう. まず, y=a^x の両辺の対数(自然対数)とります. log(y)=log(a^x)=x・log(a) log(y)=x・log(a) この両辺を x で微分すると, (y'/y)=log(a) となります.よって,y' は, y'=y・log(a)=(a^x)・log(a) y'=(a^x)・log(a) となります. y=a^x の第2次導関数を求めるには, y'=(a^x)・log(a)の両辺を x で微分すると得られます. まず,y'=(a^x)・log(a)の両辺の対数をとると, log(y')=log((a^x)・log(a))=log(a^x)+log(log(a))=x・log(a)+log(log(a)) log(y')=x・log(a)+log(log(a)) ですから,この式の両辺を x で微分すると, (y''/y')=log(a)+0 したがって,第2次導関数 y'' は, y''=y'・log(a)=(a^x)・(log(a))^2 y''=(a^x)・(log(a))^2 となります.もう一度,この式を微分して第3次導関数を求めるために,両辺の対数をとります. log(y'')=log((a^x)・(log(a))^2)=log(a^x)+log((log(a))^2)=x・log(a)+log((log(a))^2) log(y'')=x・log(a)+log((log(a))^2) この式の両辺を x で微分すると, (y'''/y'')=log(a)+0 この式から第3次導関数は, y'''=y''・log(a)=(a^x)・(log(a))^2 ・log(a)=(a^x)・(log(a))^3 y'''=(a^x)・(log(a))^3 となります.