質問: 微分方程式の問題で、もう一問質問です。 微分方程式の問題で、もう一問質問です。 aを実数の定数とする。 条件u(0)=1、u’(0)=aを満たす微分方程式 u”(x)+(1-x^2)u(x)=0 の解u(x)に対して f(x)=u’(x)+xu(x) とおく。 (1)f(0)を求めなさい。 (2)f’(x)-xf(x)=0が成り立つことを示しなさい。 (3)f(x)を求めなさい。 (4)解u(x)がすべてのxに対して正の値をとるものとする。このとき、定数aの値と対応する解u(x)の組を求めなさい。 という問題です。 (1)、(2)、(3)は解けたのですが、(4)の解き方がわかりません。 よろしくお願いします。 複素関数1問と微分方程式2問、続けて質問させていただきました。 ご教授願います。
回答: u(0)=1, u'(0)=a u"(x)+(1-x^2)u(x)=0 f(x)=u'(x)+xu(x) (1) f(0)=u'(0)=a (2) f'(x)-xf(x)=u"(x)+u(x)+xu'(x)-x(u'(x)+xu(x))=u"(x)+(1-x^2)u(x)=0 (3) f'(x)/f(x)=x logf(x)=x^2/2+c1 f(x)=ce^{x^2/2} f(0)=c=a f(x)=ae^{x^2/2} (4) u'(x)+xu(x)=ae^{x^2/2} u(x)=e^{-x^2/2}[a∫_{0~x}e^{x^2}dx+c] u(0)=c=1 u(x)=e^{-x^2/2}[a∫_{0~x}e^{x^2}dx+1] a>0ならば∫_{0~-1/a}e^{x^2}dx≦-1/a u(-1/a)=e^{-(1/a)^2/2}[a∫_{0~-1/a}e^{x^2}dx+1]≦0 a<0ならば∫_{0~-1/a}e^{x^2}dx≧-1/a u(-1/a)=e^{-(1/a)^2/2}[a∫_{0~-1/a}e^{x^2}dx+1]≦0 ↓ a=0 u(x)=e^{-x^2/2}