質問: 直交補空間は線形部分空間 タイトルの通りです h:ヒルベルト空間、m^⊥:mの直交補空間として 直交補空間は線形部分空間となることを示したいのですが、 http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathweb/tuplernmetric/orthogonalcomplementthrm.htm 定理:ユークリッド空間r^nの部分空間の直交補空間は、r^nの部分空間 を参考にして解いたのですが、これだと実n次元数ベクトル空間のみでしか示していないことになると思います。 「n次元ユークリッド空間r^nは、実ヒルベルト空間」 ということより、 r^n=h (h:ヒルベルト空間)と認識してしまったのですが、 やっぱり r^n=h は違いますよね!? どのように解けばいいのでしょうか? 力を貸してくださると助かります。 よろしくお願いします。
回答: ユークリッド空間はヒルベルト空間のうちだが、 ヒルベルト空間はユークリッド空間だけではない。 「直交補空間は線形部分空間である」は、 ヒルベルト空間どころか、 もっと一般に、内積空間で成立する。 「内積」の定義を確認しよう。 定義に沿って、内積 (x, y) が x について線形である ことが確認できれば、 (x_1, y) = (x_2, y) = 0 ⇒ (x_1 + x_2, y) = 0 (x, y) = 0 ⇒ (c x, y) = 0 を示すことができるはず。