質問: 集合と論理 「 (1) √3は無理数であることを証明せよ (2) √2および√6が無理数であることは用いてよい a+√2b+√3c=0 を満たす有理数a,b,cは a=0,b=0,c=0 に限ることを示せ 」 私はこの設問に対し、 (1) √3が有理数であると仮定すると √3=a/b (a,b∈z a,bは互いに素) とおける ここで a=√3b 両辺を二乗して a^2=3b^2 ・・・(1) ゆえにa^2は3の倍数であり このときaも3の倍数であることが必要 したがって a=3m (m∈z) とおいてこれを(1)へ代入すると b^2=3m^2 よってb^2は3の倍数であり このときbも3の倍数であることが必要 したがって b=3n (n∈z) とおける このとき a,b は3を共通約数にもつから不合理 したがって√3は無理数である (2) a=-√2b-√3c 両辺を二乗して a^2=2b^2+2√6bc+3c^2 a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0 a^2-2b^2-3c^2,2bcは有理数で√6は無理数であるから a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である ・・・ (1)は証明できたのですが (2)の証明が上手く出来ません。 どなたか(2)の解法について回答宜しくお願いします。
回答: えーとですね、まず背理法でa=0を示す。条件と(1)から変形せずにできますよね? それを示したら√2b-√3c=0でb=0,c=0を示すことと同値。 変形してこのとき√6=3c/bとして左辺は無理数で、右辺は有理数(bが0でないことを仮定しておく)よって矛盾。こんな感じでどうでしょうか。