質問: 【ネイピア数】e(=2.71...)に関する9の予想を立てました。コメント欄に載せます。あってるか間違ってるか証明してください。 間違っているなら反例をお願いします。1つずつから回答OKです。URLはダミーで。
回答: Log X は単調増加なので、 X、Y>0ならば X>Y と LogX>LogY は同値。 命題の両辺Logをとったものを考察 * 2:a>0のとき a/e <(a/x) Log xをみたす正のxは存在しない。 右辺をxで微分すると a/x^2(1-Logx)。したがって右辺はx=eで最大値a/eをとるので2は正しい * 3:上と同様。x=eで最小値 a/eをとるので3は正しい * 4:a>0のとき -(a/x)Log x<-(a/e)をみたす正のxは存在しない。 両辺ー1倍して (a/x)Log x>a/e 。2と同じなので正しい * 5:a<0のとき 3と同じ * 6: -xLog x < 1/eをみたす正のxは存在しない 左辺を微分:-(1+Logx) したがって左辺はx=1/eで最大値1/eをとるので6と逆。6の不等号を逆にすれば成立。 こんなところでしょうか。