質問: 変数変換と微分 よろしくお願いします。ある本で次の図と記述があります。 ※vxのxはvの右下に付く添え字です。 fxx=μ(dvx/dy)+μ(dvy/dx) これを以下の式でxy座標からxy座標に変換 x=(x+y)/√2,y=(-x+y)/√2 上記の両式をt,x,yで微分すると vx=(dx/dt)=(vx+vy)/√2 vy=(dy/dt)=(-vx+vy)/√2 (∂x/∂x)=1/√2,(∂x/∂y)=1/√2,(∂y/∂x)=-1/√2,(∂y/∂x)=1/√2 が得られます。 さらに整理して vx=(vx-vy)/√2,vy=(vx+vy)/√2 これらを使って,一番最初の式に出てくる微分(dvx/dy)と(dvy/dx)を変数x,yによる微分に変数変換します。 (dvx/dy)=(∂x/∂y)(∂vx/∂x)+(∂y/∂y)(∂vx/∂y) (dvy/dx)=(∂x/∂x)(∂vy/∂x)+(∂y/∂x)(∂vy/∂y) ここで質問です。 上記の式の最後の2行 つまり, (dvx/dy)=(∂x/∂y)(∂vx/∂x)+(∂y/∂y)(∂vx/∂y) (dvy/dx)=(∂x/∂x)(∂vy/∂x)+(∂y/∂x)(∂vy/∂y) この式が出てきた経緯が分かりません。(dvxをdyで微分するとなぜ右辺のようになるのかが分かりません。同様にdvyをdxで微分するとなぜ右辺のようになるのかが分かりません。) どなたか解説をお願いできないでしょうか。
回答: >(dvx/dy)=(∂x/∂y)(∂vx/∂x)+(∂y/∂y)(∂vx/∂y) (dvy/dx)=(∂x/∂x)(∂vy/∂x)+(∂y/∂x)(∂vy/∂y) これらの式はvx,vyが各々x,yの関数であって、つまりvx(x,y),vy(x,y)であって、 x,yが各々x,yの関数、つまりx=x(x,y),y(x,y)のとき vxをy,vyをxで偏微分した式です。当然vxをx,vyをyで偏微分した式も存在します。 いずれも偏微分の最も基礎的な話です。urlの「多変数の合成関数の微分公式・変数変換」を見てください。 参考url:http://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%81%8f%e5%be%ae%e5%88%86