質問: 物理 物理力学の問題 図のような質量が4mと3mの質点が自然長lのばね(バネ定数k)によって 水平なx軸上を振動しながら動いている。相対座標をxとする。 1相対運動の運動方程式をあたえ、各振動数ωをもとめよ 2t-=0 x=l/2 dx/dt=l/2ω のとき 解 x(t)=l+acosωt+bsinωt の未知数a,b,を求めよ 3 相対座標をx、 相対速度をvとして任意の時間における相対運動エネルギー保存則を与えよ
回答: 1.まず絶対座標系で運動方程式を立ててみましょう。4mの絶対座標をxa、3mの絶対座標をxbとおきます。4m側の運動方程式は、 4m*(d2/dt2)xa=k*(xb-xa-l) →{1} 3m側の運動方程式は、 3m*(d2/dt2)xb=-k*(xb-xa-l) →{2} ※ テキスト入力であるため、物理量xの2階微分の表記を(d2/dt2)xとしました。 相対座標xは、x=xb-xa であるため、この両辺の2階微分を行うと、 (d2/dt2)x=(d2/dt2)xb-(d2/dt2)xa →{3} 式{1},{2}を{3}に代入すると、 (d2/dt2)x=-(1/3+1/4)/m*k(x-l) ⇔ 12/7*m*(d2/dt2)x=-k(x-l) // →{4} ※ ちなみに 12/7*m のことを「換算質量」と言います。2つの物体の質量がm,mである場合、換算質量uは、1/u=1/m+1/m で求められます。 式{4}より、 (d2/dt2)x=-(7/12)*(k/m)*(x-l)=-ω^2*(x-l) よって、ω=√((7/12)*(k/m)) // 2.x(0)=l+a*cos(0)+b*sin(0)=l+a=l/2 より、a=-l/2 // (d/dt)x(t)=-a*ω*sin(ω*t)+b*ω*cos(ω*t) ※ テキスト入力であるため、物理量xの1階微分の表記を(d/dt)xとしました。 (d/dt)x(0)=-a*ω*sin(0)+b*ω*cos(0)=b*ω=l/2*ω より、b=l/2 // 3.(1/2)*(12/7*m)*((d/dt)x(0))^2+(1/2)*k*(x(0)-l)^2=(1/2)*(12/7*m)*v^2+(1/2)*k*(x-l)^2 ⇔ (1/4)*k*l^2=(6/7)*m*v^2+(1/2)*k*(x-l)^2 // いかがでしょう?