質問: 数学の問題なんですが、テキストを読んでいてわからないところがあったので 数学の問題なんですが、テキストを読んでいてわからないところがあったので誰か教えて下さい。 以下、の内容です。 「素数pのr乗(以後prと表記します。)について1からprまでの数でprと共通の約数をもつ数は p、2p、、、pr とでpr-1個(pのr-1乗個の意)あります。」 とかかれているんですが、これはどのような考え方で共通約数の個数を導いているのでしょうか?? 教えて下さい。
回答: 文字ばかりで少し混乱してしまいますね。 以下、「pの r乗」は p^rと表すことにします。(よくこの形で表されますので) p^rは「素数:pが r個掛け合わされている」ということですから、 共通の約数をもつ数は「pのなんとか乗」の倍数ということがわかると思います。 具体的に書いてみると、 pや 2p、p^2や 3*p^2、p^(r-1)や 2*p^(r-1) これらはすべて共通の約数をもっています。 よくよく考えてみると、 「pを少なくとも 1つを因数に持っていれば、その数は共通の約数をもつ」 ことがわかります。 つまりは、p^r以下の pの倍数の個数を数え上げればよいことになります。 イメージとして書きならべてみると、下のような感じになります。 p, 2p, 3p, ・・・, (p-1)p, p^2, (p+1)p, ・・・, (p^2-1)p, p^3, (p+1)p^2, ・・・, (p-1)p^(r-1), p^r 改めて「p~ p^rまでの数の中で、pの倍数は何個ありますか?」と聞かれれば、 「pの倍数の係数」を考えるようにすれば、 「1~ p^(r-1)までの数の個数は何個ありますか?」というのと同じになります。 よって、求める個数は p^(r-1)となります。