質問: 線形微分方程式の線形とは? 線形微分方程式の線形の定義がわかりません. 何を基準に線形,非線形と定義しているのでしょうか? 微分方程式に,線形代数で扱う線形性があれば, 線形微分方程式と考えていいのでしょうか?
回答: d=d/dxと書くと、{a1*d^n+a2*d^(n-1)+...+an*d+a(n+1)}f=gの形の微分 方程式が線形といわれます。 d^n=d^n/dx^nの意味です。 大雑把にいうと、関数全体の集合は線形空間の性質がありますから、線 形空間と考えられます。無限次元の関数空間です。 そして、微分作用素a1*d^n+a2*d^(n-1)+...+an*d+a(n+1)を改めてdと 書くと、d(f+g)=df+dg、d(af)=a*dfが成り立ち、関数空間の間の線型 写像と考えられます。このようなことから、上の形の微分方程式は線形 と呼ばれます。 つまり、微分作用素が関数空間の間の線型写像かどうかということで す。 このように問題を捉えなおすことで、一般的な解法ができたり、解の存 在が示せたりして、このような考えをするのが関数解析といわれる数学 の分野です。