質問: 急ぎの質問です. システム制御に関する問題です.
回答: (1)P制御器,PI制御器による定常偏差の違いを最終値の定理を交え説明せよ. R(s)=1/s :ステップ入力 P制御器=kp プラント=K/(Ts+1) G(s)={kpK/(Ts+1)} E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)-E(s)G(s) :偏差 ここからE(s)を求めると、 E(s)=R(s)/{1+G(s)}=(1/s)/{1+kpK/(Ts+1)} =(1/s)(Ts+1)/(Ts+1+kpK) e(∞)=lim[t→∞]e(t)=lim[s→0]sE(s) :最終値の定理 =lims→0/(Ts+1+kpK) =1/(1+kpK) :P制御器を用いたときの定常偏差 PI制御器=(kp+ki/s)=(kps+ki)/s プラント=K/(Ts+1) G(s)={(kps+ki)/s}K/(Ts+1)=(kps+ki)K/{s(Ts+1)} E(s)=R(s)/{1+G(s)}=(1/s)/[1+(kps+ki)K/{s(Ts+1)} =(1/s){s(Ts+1)}/{s(Ts+1)+(kps+ki)K} =(1/s){s(Ts+1)}/{Ts^2+(1+kpK)s+kiK} e(∞)=lim[t→∞]e(t)=lim[s→0]sE(s) :最終値の定理 =lim[s→0]{s(Ts+1)}/{Ts^2+(1+kpK)s+kiK} =0 :PI制御器を用いたときの定常偏差 比例要素のみの場合、定常偏差はゼロになりません。 積分要素を含む場合、定常偏差はゼロになります。 (積分要素は入力信号がゼロになっても出力信号が一定値になるだけで、プラントを動作させ続けますが、積分要素の出力信号もゼロになると全体の系は整定します。) (2)PI制御器とした際のY(s)を逆ラプラス変換し時間応答y(t)を求めよ. Y(s)=E(s)G(s) =[(1/s){s(Ts+1)}/{Ts^2+(1+kpK)s+kiK}][(kps+ki)K/{s(Ts+1)}] =(kps+ki)K/[s{Ts^2+(1+kpK)s+kiK}] =(as+b)/{s(s^2+2ζωs+ω^2)} ここで、 a=kpK/T b=kiK/T 2ζω=(1+kpK)/T=1/T+a ω^2=kiK/T=b Y(s)を部分分数に分解して、 Y(s)=c/s+(ds+e)/(s^2+2ζωs+ω^2) この分子は、 c(s^2+2ζωs+ω^2)+s(ds+e)=as+b (c+d)s^2+(2cζω+e)s+cω^2=as+b c+d=0 2cζω+e=a cω^2=b c=b/ω^2=b/b=1 d=-c=-1 e=a-2cζω=a-(1/T+a)=-1/T また、[s^2+2ζωs+ω^2]は次のように表すことができます。 s^2+2ζωs+ω^2=(s+ζω)^2+(1+ζ^2)ω^2 =(s+ζω)^2+{√(1+ζ^2)ω}^2 よって、Y(s)は次のように表されます。 Y(s)=1/s-(s+1/T)/[(s+ζω)^2+{√(1+ζ^2)ω}^2] =1/s -{s+ζω+(1/T-ζω)}/[(s+ζω)^2+{√(1+ζ^2)ω}^2] =1/s -(s+ζω)/[(s+ζω)^2+{√(1+ζ^2)ω}^2] -[(1/T-ζω)/{√(1+ζ^2)ω}]{√(1+ζ^2)ω}/[(s+ζω)^2+{√(1+ζ^2)ω}^2] これを逆ラプラス変換して、 y(t)=1 -e^(-ζωt)cos{√(1+ζ^2)ωt} -[(1/T-ζω)/{√(1+ζ^2)ω}]e^(-ζωt)sin{√(1+ζ^2)ωt} この応答波形は、振動中心[1]の減衰振動になります。 ここでζとωは、 2ζω=(1+kpK)/T ω^2=kiK/T ω=√(kiK/T) ζω=(1+kpK)/(2T) ζ^2=(1+kpK)^2/(4kiKT) √(1+ζ^2)ω=√{1+(1+kpK)^2/(4kiKT)}√(kiK/T) =√{(kiK/T)+(1+kpK)^2/(2T)^2} ={1/(2T)}√{4kiKT+(1+kpK)^2} y(∞)=lim[t→∞]y(t)=1-e^(-∞)cos{∞} -[(1/T-ζω)/{√(1+ζ^2)ω}]e^(-∞)sin{∞} =1 :応答の最終値