質問: スポットレートと利付国債の債券価格についてです。。 初利用です。 数学をまったくやってこなかった自分が、今訳があって国債の勉強をしています。 まったく数学に触れてこなかったためか、公式や定理は根本から意味を理解しないと背中が痒くて我慢できません・・ 中学高校のときは公式を理解なしにまるまる覚えて使っていたんですけどね。。 今回、スポットレートと債券価格についての求め方が、理解できず困っています。 例を先にあげますと、 一年物スポットレート=6% 二年物 =7% 三年物 =8% このとき、満期までの期間が3年、クーポンレート5%、額面100円の利付債の債券価格は 5/1+0.06 + 5/(1+0.07)^2 + 105/(1+0.08)^3 =92.436円となる 分からないところが多々あります。 (1)スポットレートは割引債の話。それを利付債の価格計算に使うということは、割引債の利回りを見て利付債の価格を決めるということですか? (2)数式がどうしてこのようになるのかがわかりません。 なぜ年数が上がると、^2,^3となっていくのですか? 割引債は満期に一回のみ利回りが手に入り、 利付債は年数分利回りが手に入るのではないのですか? なぜ分母側が二重三重になっていっているのですか? ごめんなさい原始人みたいで。。 数学ほんと苦手です。。 この分野に理解があり、解説する時間がある方どうかかまってください。 補足ですが、国債の仕組みも十分理解していません。 指摘があれば勉強し直し補足欄に書き直しますのでよろしくおねがいします。
回答: >(1)スポットレートは割引債の話。 >それを利付債の価格計算に使うということは、割引債の利回りを見て利付債の価格を決めるということですか? そういうことです。 >(2)数式がどうしてこのようになるのかがわかりません。 > なぜ年数が上がると、^2,^3となっていくのですか? > 割引債は満期に一回のみ利回りが手に入り、 > 利付債は年数分利回りが手に入るのではないのですか? > なぜ分母側が二重三重になっていっているのですか? それはお金が複利で増えていくからです。 以下に示すとおり、複利で増える年数回だけ割る必要があるのです。 増える割合、すなわち利率は、購入時から1年後までは6%、購入時から2年後までの平均は7%、同じく購入時から3年後までの平均が8%ということです。 購入時から1年後までの1年物のスポットレートが6%であるのは分りますよね。 1年後から2年後までの1年間の利率(これをフォワードレートと呼ぶ)は何%か分りませんが、購入時から2年後までの平均的な利率は年7%になるのでしょう。 逆算すると、そのフォワードレートは、約8.01%となります。 2年後から3年後までの1年間のフォワードレートも何%か分りませんが、購入時から2年後までの平均的な利率は年8%になるのでしょう。 逆算すると、そのフォワードレートは、約10.03%となります。 ご提示の問題は92,436円支払って購入した国債が、一年後と二年後に5円だけ利息が支払われ、3年後の満期にも5円の利息が支払われ、さらに償還額の100円が返ってくるわけですね。 これは92,436円が三つの部分に分けれ、それぞれが一年後、二年後、三年後に複利で増えて返ってくると考えます。 仮にその三つの部分をa、b、cとします。 92,436円=a+b+cということです。 a、b、cは最初の1年で6%増え、それぞれ元利合計で(1+6%)×a、(1+6%)×b、(1+6%)×cになります。 ※元利合計が(1+6%)×で表されるのは分りますか? そのうちの(1+6%)×aが1年後に受取る5円であると考えます。 そう考えると、(1+6%)×a=5ですから、逆算して、a=5÷(1+6%)となります。 残された(1+6%)×bと、(1+6%)×cは、それぞれ次の1年で8.01%増え、元利合計で(1+6%)×(1+8.01%)×b、(1+6%)×(1+8.01%)×cになります。 そのうちの(1+6%)×(1+8.01%)×bが2年後に受取る5円であると考えます。 そう考えると、b=5÷(1+6%)÷(1+8.01%)となります。 残された(1+6%)×(1+8.01%)×cは、次の1年で10.03%増え、元利合計で(1+6%)×(1+8.01%)×(1+10.03%)×cになります。 それが3年後に受取る105円であると考えます。 そう考えると、c=105÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%)となります。 前に書いたとおり、92,436円=a+b+cですから、92,436円=5÷(1+6%) + 5÷(1+6%)÷(1+8.01%) + 105÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%) となります。 ここの÷(1+6%)÷(1+8.01%)を計算すると、÷(1+7%)^2と等しく、÷(1+6%)÷(1+8.01%)÷(1+10.03%)を計算すると、÷(1+8%)^3と等しくなります。 というか、そうなるように求めたフォワードレートが8.01%と10.03%です。 将来受取る 1年後の5円 2年後の5円 3年後の105円 は将来価値と呼ばれます。一方、 5÷(1+6%) 5÷(1+7%)^2 105÷(1+8%)^3 は、それらの現在価値と呼ばれます。 債券の価格は将来のキャッシュフローの現在価値の合算ということです。 それぞれのキャッシュフローを別個の割引債と考えると、割引債の合算が利付債であると考えられます。 実際に利付債のクーポンと本体をバラして販売するストリップス債と呼ばれるものもあります。 なお実際の国債では、クーポンは半年毎に半分ずつ支払われます。 そうすると上のような計算はもっと複雑になります。 あとレートの平均を求めるときは、全部足して、個数で割る普通の平均(算術平均)ではなく、全部かけて、個数のべき乗根を求める幾何平均と呼ばれる方法を用います。