質問: 行列:rankの問題 行列xの階数をrank(x)で表す。a,bをn次正方行列としたとき、 (1)不等式 rank(ab)≦rank(b) を示せ。また、等号成立はどういうときに成り立つか。 (2) ab=0のとき、 不等式 rank(a)+rank(b)≦n を示せ。 この問題をおしえてください。具体的な行列で考えると成り立っていることはわかるんですが、証明方法に悩んでいます。
回答: (2)の書き間違い修正: bの対角の1の数はrank(b)→b'の対角の1の数はrank(b) (1) bの行ベクトルをb1,b2,...,bnとする。 abの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので abの独立な行ベクトルの数≦bの独立な行ベクトルの数 であることがわかるので rank(ab)≦rank(b) 特にaが正則のときrank(b)=rank(a^-1(ab))≦rank(ab)なので rank(ab)=rank(b) aの列ベクトルをa1,a2,...,anとする。 abの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので abの独立な列ベクトルの数≦aの独立な列ベクトルの数 であることがわかるので rank(ab)≦rank(a) 特にbが正則のときrank(a)=rank((ab)b^-1)≦rank(ab)なので rank(ab)=rank(a) (2) bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い 対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列b'とする。 このときb'の対角の1の数はrank(b)である。 また適当なn次正則行列p,qにより b'=pbq とできる。 a'=ap^-1 とするとa'b'=abq=0なので a'の最初のrank(b)列までの列ベクトルは全て0 よって rank(a')≦n-rank(b) しかるに(1)よりrank(a)=rank(a'p)=rank(a')なので rank(a)≦n-rank(b)