質問: この振動の問題を教えてください。
回答: mx''=-bx'-kx :ブロックの運動方程式 ' :微分(d/dt)を表わす記号 運動方程式を変形して、 mx''+bx'+kx=0 x''+(b/m)x'+(k/m)x=0 x''+2ζωx'+ω^2x=0 :減衰振動の微分方程式 ω=√(k/m) 2ζω=(b/m) ζ=(b/m)/(2ω)=(b/m)/{2√(k/m)}=b/√(4km) 減衰振動の微分方程式の解は(補足)に示したように、次式で表されます。 x=Ce^(-ζωt)cos{ω√(1-ζ^2)t+β} (a)振動の振幅が初期値の3分の1に減少する時間 e^(-ζωT)=1/3 -ζωT=ln(1/3)=ln(1)-ln(3)=-ln(3) T=ln(3)/(ζω)=2ln(3)m/b=14.33[s] :1/3に減少する時間 m=1.5[kg] :ブロックの質量 b=230[g/s]=0.23[kg/s] :減衰係数 (b)このときブロックは何回振動するか ω√(1-ζ^2)=√(k/m)√{1-b^2/(4km)}=2.31[rad/s] :角振動数 k=8[N/m] :バネ定数 n=ω√(1-ζ^2)T/(2π)=2.31×14.33/(2π)=5.26[回] :振動回数 (補足) 以下に次の定数係数2階線形同次微分方程式の解法を示します。 x''+ax'+bx=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1 a=2ζω b=ω^2 ω=√(k/m) ζ=c/√(4km) 上記の微分方程式の解を求めるには、仮の解をe^λtと置いて特性方程式を作り、その解が虚数解(iλ)であれば振動する解cos~になります。 e^iλt=cos(λt)+isin(λt) :オイラーの公式より i :虚数単位 仮の解を次のように置きます。 x=e^(λt)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・2 これを微分すると x'=λe^(λt)=λx x''=λ^2e^(λt)=λ^2x これらを微分方程式1に代入して λ^2x+aλx+bx=0 λ^2+aλ+b=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・3 上の式3は微分方程式1の特性方程式と呼ばれ、λを求めると λ=1/2[-a±√{a^2-4b}]・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・4 =1/2[-2ζω±√{(2ζω)^2-4ω^2}] =1/2[-2ζω±√{4ω^2(ζ^2-1)}] =-ζω±ω√(ζ^2-1) ここで、判別式{a^2-4b}の値に応じて次のように解が得られます。 {a^2-4b}>0ならば2つの実数解を持ちます。 {a^2-4b}=4ω^2(ζ^2-1)>0 ζ>1 のときで、「過減衰」と呼ばれます。 λ1=-ζω+ω√(ζ^2-1) λ2=-ζω-ω√(ζ^2-1) 一般解は次のように表されます。 x=Ae^(-ζωt)e^{ω√(ζ^2-1)t}+Be^(-ζωt)e^{-ω√(ζ^2-1)t} =e^(-ζωt)[Ae^{ω√(ζ^2-1)t}+Be^{-ω√(ζ^2-1)t}] ここで双曲線関数の公式を用いて、 Acosh(t)=A{e^(t)+e^(-t)}/2 Bsinh(t)=B{e^(t)-e^(-t)}/2 ABcosh(t)+ABsinh(t)=ABe^(t) ABcosh(t)-ABsinh(t)=ABe^(-t) Ae^(t)=Acosh(t)+Asinh(t) Be^(-t)=Bcosh(t)-Bsinh(t) Ae^(t)+Be^(-t)=Acosh(t)+Asinh(t)+Bcosh(t)-Bsinh(t) =(A+B)cosh(t)+(A-B)sinh(t) 双曲線関数が指数関数的に減少する運動となり、振動しません。 x=e^(-ζωt)[(A+B)cosh{ω√(ζ^2-1)t}+(A-B)sinh{ω√(ζ^2-1)t}]・・5 {a^2-4b}=0ならば重解を持ち、一般解は次のように表され、指数関数的に減少する運動となります。 {a^2-4b}=4ω^2(ζ^2-1)=0 ζ=1 のときで、「臨界減衰」と呼ばれます。 λ0=-(1/2)a=-ζω=-ω x=(A+Bt)e^(-ωt)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6 {a^2-4b}<0ならば2つの虚数解を持ち、一般解は次のように表され、振幅が指数関数的に減少しながら振動する運動となります。 {a^2-4b}=4ω^2(ζ^2-1)<0 0<ζ<1 のときで、「減衰振動」と呼ばれます。 λ=-ζω±ω√(1-ζ^2) p=-ζω q=ω√(1-ζ^2) λ1=p+iq λ2=p-iq x=Ae^{(p+iq)t}+Be^{(p-iq)t} =e^(pt){Ae^(iqt)+Be^(-iqt)} =e^(pt)[A{cos(qt)+isin(qt)}+B{cos(qt)-isin(qt)}] =e^(pt){(A+B)cos(qt)+i(A-B)sin(qt)} 三角関数の合成公式を用いて x=e^(pt)√[(A+B)^2+{i(A-B)}^2]cos(qt+β) 定数を書き換えて x=Ce^(pt)cos(qt+β) x=Ce^(-ζωt)cos{ω√(1-ζ^2)t+β}・・・・・・・・・・・7