質問: 0から9までの1けたの数字10個から、異なる2個の数字を選びます。その2個の数字をどちらも1回以上使 0から9までの1けたの数字10個から、異なる2個の数字を選びます。その2個の数字をどちらも1回以上使って4個を並べた数を作ります。ただし0を使うときは、たとえば0030は30、0606は606と考えることにします。このようにしてできる数は全部で何個あるでしょうか?そして、最も大きい数である9998から数えて87番目の数は何でしょうか?順列組合せの考えを用いて計算してください。
回答: できる数は全部で何個? 0から9までの数字10個から、異なる2個の数字を選ぶ方法は10c2通り 例として1,2を選んだ場合、千、百、十、一の各位に1か2を置く方法が2x2x2x2=16通り この中には条件に合わない1111と2222を含んでいるから除外すると、 条件に合うものは16-2=14通り 選んだ数が2,3や4,5などの場合も同様に14通りづつあるから 合計で14x10c2=630通り ここで注意すべきは「0030は30、0606は606と考える」とあるので 630通りの中の1つ 0001は1となり数字を一つしか使っていないから除外しなければならないという事。 0の影響で使われる数字が1つになってしまうものは 0001 0011 0111 0002 0022 0222 ・ ・ ・ 0009 0099 0999 計3x9=27通りあるので これを除外して 630-27=603通り・・・答え (もし仮に、「0030は30、0606は606と考える」と言う条件がなければ630通り) 次に最も大きい数である9998から数えて87番目の数は何? 上記で考えたように、9,8を選んだ場合作れる数は14通り このうち8から始まるものと9から始まるものは同数だから 9から始まる数は14÷2=7通り 同様に9,7 9,6 9,5 ・ ・ ・ 9,0 を選んだ場合も9から始まる数はそれぞれ14÷2=7通りずつ よって9から始まる数は7x9=63通り (⇒大きい方から63番目は9,0を選んでできる数のうちで、9からはじまる物の中で最も小さい9000 9から始まる数の次に大きい数は8999でこれは大きい方から64番目・・・途中経過) これまでと同様に考えて 8,9 8,7 8,6 を選んだ場合、8から始まる数はそれぞれ7通りずつで計7x3=21通り ここまでで63+21=84通りだから 8と5を使う数で8から始まるかずのうち一番大きい数8885は85番目 86番は8858 87番目は8855・・・答え