質問: 連結バネの問題 以下のように、壁にバネ、質量mの物体、ばね、質量mの物体という風に、繋がっています。 壁|バネバネ このバネのバネ定数は両方ともkとします。 また、バネが自然長の状態からmが右に動く量をx1、mが右に動く量をx2とします。 この場合に、振動数ωを求める代数方程式を求めよといわれた場合、いったい何を求めればいいのでしょうか? d^2 (x1) (2/m -1/m)(x1) ーー( )=k( )( ) dt^2(x2) (-1/m 1/m)(x2) という式を求めることを言っているのでしょうか? 宜しくお願いします。
回答: no.2のpascal3です。 補足説明をば。 > 一つ疑問なのですが「(ここでωは共通であることに注意)」とありますが、 > 何故、異なる質量の固有振動数を共通の周期であると見なせるのでしょうか? 短い答えは「全体が一つにつながっているからそういうこともあり得る」というものです。 たとえば弦とか笛のなかの空気とかを考えると、これはどちらも多数の粒子の集合体ですが、それ全体が一つの振動子であるかのように単振動をおこなうという状況は、少なくとも特定の条件のもとでは大いにあり得ることでしょう。題意は「そういうことが生じる条件を求めよ」という趣旨だとも言えます。 長いほうの答えを説明するには、まず、出題された問題がより大きな問題の一部であることを説明しなければなりません。 最終的にはこのバネ質点系の運動方程式の一般解(あらゆる初期条件に対応できる解)を求める問題であって、その途中のステップのひとつとして「振動数ωを求める代数方程式を求めよ」という問いがあるのだ、ということをまず押さえていただけるでしょうか。 複数の質点を含む系の場合、振動数は √(k/m)だとは限らないし、そもそも一般に単振動をするとも限りません。 では最終的な一般解はどうなるかというと、たとえば今のように2つの質点を含む問題では x1 = a11 cos(ω1 t + φ1) + a21 cos(ω2 t + φ2) ... (☆1) x2 = a12 cos(ω1 t + φ1) + a22 cos(ω2 t + φ2) ... (☆2) となることが分かっています(とある方法を用いて直接示すことができますがそれは省略)。 この解をいきなり求めるのは難しいので、 「上記の解(☆)で、うまい具合に(a21,a22) = (0,0)になったら 『両方の質点が同じ振動数で単振動する』という状況になるだろう。 そういう状況が生じるような条件を探してみてはどうだろうか?」 と考えるわけです。 これが > 「解が振動数ωの単振動をするものと仮定し...」みたいな前置き そして > x1 = a1 cos(ωt+φ) > x2 = a2 cos(ωt+φ) > という形の解を仮定して(ここでωは共通であることに注意) ということの意味です。 一般解はあくまで(☆)であることを知ったうえで、 その特殊な例として単振動が生じるような条件をさがせ、という問題設定をするのです。 このあとの話の展開は(力学の本で「基準振動モード」などと書いてあるあたりを見ればたいてい載っていると思いますが)、no.2に書いたような流れで、単振動が生じるようなωを求め、その値を ω1 および ω2 とします。 まずはω=ω1に対して、例の直線の式をみたす(a1,a2)を求めて、これを(a11,a12)とする。 同様にω=ω2に対して(a1,a2)を求め、これを(a21,a22)とする。 一般解はこれらの2つの単振動(基準振動モード)の重ねあわせとして(☆)のような形になるわけです。