質問: 慣性モーメントがわかりません。 慣性モーメントの公式がl=σmr^2(l:慣性モーメント、m:質量、r:距離)ということで、力のモーメントとは違うのでしょうか?以下の添付した問題が解けなくてこまっています。
回答: >慣性モーメントの公式がl=σmr^2(l:慣性モーメント、m:質量、r:距離)ということで、力のモーメントとは違うのでしょうか? 違います。 「力のモーメント:n」は、「回転運動」に関する「力」で、一般には「トルク」と呼ばれます。腕の長さ(回転運動の半径)を r 、力を f とすると n = r × f 1 です。 「慣性モーメント」は、回転運動が回り続けようとする一種の「勢い」です。直進運動の「勢い」である「運動量」が、質量を m、速度を v として p = mv 2 と表わされるのに対して、回転運動の「勢い」は、慣性モーメントを i 、角速度を ω として、角運動量 l = iω 3 で表わされます。直進運動の「質量」(慣性質量)に対応するのが、回転運動の「慣性モーメント」です。 「力のモーメント:n 」と「角運動量:l 」は、 n = dl/dt 4 という関係があります。直進運動で f = dp/dt = d(mv)/dt = m*dv/dt = ma (a = dv/dt は加速度) というニュートンの運動方程式に対応します。 4式に3を代入すれば n = i*dω/dt 5 となって、(トルク)=(慣性モーメント)×(角加速度)という回転運動の運動方程式が導かれます。 「質点」の場合には、回転運動の半径を r とすれば、v=rω なので l = r × p = r × mv = mr^2ω 6 となり、3との比較から i = mr^2 となります。 (1)「棒」の場合には、棒の長さを l とすると、長さ x ~ x+dx の微小な部分(質点とみなせる)の質量が dm = m*(dx/l) なので、その微小部分の慣性モーメントは dim = x^2 * m*(dx/l) を棒全体で積分して im = ∫x:0→lx^2dx = (1/3)ml^2 となります。 (2) 棒の質量が無視できるときには、角度θのときの質点に働く重力の回転運動の方向(棒に垂直)は f = -mg*sinθ θが微小で sinθ≒θであれば、 f = -mg*θ 7 です。 ここで、質点の中立位置からの変位 x は x = l*θ ですから、 θ=x/l よって7式は f = -mg*x/l 質点の加速度を a とすると f = ma = m*d^2x/dt^2 ですから、運動方程式は m*d^2x/dt^2 = -mg*x/l → d^2x/dt^2 = -g*x/l これは「単振動」であり x = a*sin(ωt) と書けば -aω^2*sin(ωt) = -(g/l)*a*sin(ωt) となって ω^2 = g/l より ω = √(g/l) 周期 t は ω = 2パイ/t より t = 2パイ/ω = 2パイ√(l/g) また、質点の慣性モーメントは、上に書いたように im = ml^2 (注)上記は、5の回転運動の運動方程式からも求めることができます。 5式で dω/dt = d^2θ/dt^2 なので、トルク nm = -lmgθ より imd^2θ/dt^2 = -lmgθ → d^2θ/dt^2 = -(lmg/im)θ より ω = √(lmg/im) t = 2パイ/ω = 2パイ√(im/lmg) これに質点の慣性モーメント im = ml^2 を代入すれば t = 2パイ/ω = 2パイ√(l/g) で上と同じ結果が得られます。 (3) 棒と質点の「剛体」のモーメントを考えるには、 微小部分の力のモーメントの合計 = 全質量が重心位置にある場合の力のモーメント という「重心位置」を求める必要があります。 回転中心から重心位置までの長さを r とすると ∫[x:0→l}(x*m*dx/l) + ml = (m + m)r より r = l(2m + m)/[ 2(m + m) ] となります。 この場合には、回転運動するのは質点ではないので、回転運動の運動方程式を使わないといけません。 「棒と質点」の剛体に働くトルクは、「重心に働く重力」なので nm = (m + m)gr 従って、これによる単振動の運動方程式は i*d^2θ/dt^2 = -(m + m)grθ より、その周期は t2 = 2パイ√{ i/[ (m + m)gr ] } = 2パイ√{ 2i/[ (2m + m)lg ] } ここに、(1)(2)から i = im + im = ml^2/3 + ml^2 を代入して t2 = 2パイ√[ 2(m + 3m)l/3(2m + m)g ] かな?