質問: フーリエ級数の問題です。よろしくお願いします。 どちらも周期2πの階段関数で、奇関数と偶関数です。 写真の2つの例でグラフでフーリエ係数を計算し、等式が成り立つことを示しなさいという問題です。 よろしくお願いします
回答: 前半の関数をf(x),後半の関数をg(x)とおきます. f(x)奇関数⇒fourier正弦級数f(x)=σ_{k=1}^∞b_ksin(kx) b_k=(2/π)∫_0^πf(x)sin(kx)dx(k=1,2,・・) g(x)偶関数⇒fourier余弦級数g(x)=a_0/2+σ_{k=1}^∞a_kcos(kx) a_k=(2/π)∫_0^πg(x)cos(kx)dx(k=0,1,2,・・) となることは既知とします.(f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)を使うといいです) さて, b_k=(2/π)∫_0^πsin(kx)dx=(2/π)[-(1/k)cos(kx)]_0^π=(2/π)[-(1/k){cos(kπ)-1} これはkが偶数では0になる.k=2n-1としてcos(kπ)=cos((2n-1)π)=-1 b_{2n-1}=4/{π(2n-1)} (4/π)σ_{n=1}^∞sin((2n-1)x)/(2n-1)=f(x) これが前半の等式です. 次に a_0=(2/π)∫_0^{π/2}dx =(2/π)π/2=1 k=1,2,・・のとき a_k=(2/π)∫_0^{π/2}cos(kx)dx=(2/π)[(1/k)sin(kx)]_0^{π/2} =(2/π)(1/k)sin(πk/2) これはkが偶数のとき0で奇数2n-1のときsin(πk/2)=sin(π(2n-1)/2)=(-1)^{n-1} a_{2n-1}=2(-1)^{n-1}/{π(2n-1)} ∴g(x)=1/2+σ_{n=1}^∞2(-1)^{n-1}cos{(2n-1)x}/{π(2n-1)} 1/2-(2/π)σ_{n=1}^∞(-1)^ncos{(2n-1)x}/(2n-1)=g(x) これが後半の等式です.