質問: 静止衛星の問題 地表から高さh(m)の円軌道上を、地球の自転と同じ周期t(s)で、地球の自転と同じ向きに赤道上を回る人工衛星は地上から静止してみえるので静止衛星と言う。地球の質量をm(kg)、人工衛星の質量をm(kg)、地球の半径をr(m)、地表における重力加速度をgとする。 1,静止衛星の角速度ω(rad/s)をtを用いて表せ 2,静止衛星の速度v(m/s)をr,h,tを用いて答えよ 3.静止衛星の加速度a(m/s2)をr,h、tを用いて答えよ お答えください・・・・お願いします
回答: 地球の自転周期t=人工衛星の公転周期tを使って、角速度は ω=2π/t 1/s] です。地球の中心から測った人工衛星の円軌道の半径は r=r+h [m] ですから、速度は半径×角速度で v = rω = 2π(r+h)/t [m/s] 加速度は半径×角速度×角速度で a = r(ω^2)=(r+h)(2π/t)^2 [m/s^2] となります。 ご質問はここまで。地球と人工衛星の質量、および地表での重力加速度は不要です。 次にhを求めてみましょう。地球の引力による加速度は地球の中心との距離の2乗に反比例することから、地球の引力が人工衛星に及ぼす加速度は g(r/(r+h))^2 となり、人工衛星がどっかに飛んで行ってしまわないためには、これが求心加速度aに等しくなくちゃいけませんから、 a =g(r/(r+h))^2 よって、 (r+h)(2π/t)^2=g(r/(r+h))^2 だから (r+h)^3=g(rt/(2π))^2 ゆえに h = (g((rt/(2π))^2))^(1/3)-r となります。 2πr =(4.0×10^7) [m] t=8.6×10^4 [s時間ですけど) g=9.8[m/s^2] を使うと、 h=3.6×10^7[m] が得られます。結局質量m,mは不要です。