質問: 数ii・三角関数 【問1】x≧0を満たすすべてのxに対して、 不等式xcos^2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin^2α-1>0...(1) が成り立つようなαの値の範囲を求めよ。ただし、0≦α≦π/2とする。 (1)の左辺をxについて整理すると (√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0であり、 x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は √3sinアα+cosイα≧0かつ(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0が成り立つことである。 これより、求めるαの値の範囲はπ/キ<α≦クπ/ケコである。 【問2】0≦θ<2πのとき、y=sin2θ+2√2sinθ+2√2cosθ-4とする。 x=sinθ+cosθとおくと、2sinθcosθ=x^ア-イであるからy=x^ウ+エ√オx-カである。 ここで、x=√キsin(θ+π/ク)であるから、xのとりうる値の範囲は-√ケ≦x≦√コである。 したがって、yはθ=π/サのとき最大値シをとり、θ=スπ/セのとき、最小値ソタをとる。
回答: >【問1】x≧0を満たすすべてのxに対して、 > 不等式xcos^2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin^2α-1>0...(1) > が成り立つようなαの値の範囲を求めよ。ただし、0≦α≦π/2とする。 >(1)の左辺をxについて整理すると >(√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0であり、 > x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は > √3sinアα+cosイα≧0かつ(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0が成り立つことである。 xcos^2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin^2α-1>0...(1)より、 (cos^2αーsin^2α+√3・2sinαcosα)x+4sin^2αー1>0 2倍角の公式より、 (cos2α+√3sin2α)x+(4sin^2α-1)>0 (√3sin2α+cos2α)x+(2sinα+1)(2sinα-1)>0 ......ア=2,イ=2,ウ=2,エ=1,オ=2、カ=1 > これより、求めるαの値の範囲はπ/キ<α≦クπ/ケコである。 合成の公式より、√3sin2α+cos2α=2sin(2α+π/6)≧0より、 sin(2α+π/6)≧0 ......(2) 0≦α≦π/2より、π/6≦2α+π/6≦7π/6 だから、 (2)を満たすαは、単位円を描くと、π/6≦2α+π/6≦π よって、0≦α≦5π/12 ......(3) (2sinα+1)(2sinα-1)>0より、sinα<-1/2,sinα>1/2 0≦α≦π/2より、0≦sinα≦1だから、sinα>1/2 ......(4) (4)を満たすのは、単位円より、π/6<α≦π/2 ......(5) (3)(5)の共通範囲は、π/6<α≦5π/12 ......キ=6,ク=5,ケコ=12 >【問2】0≦θ<2πのとき、y=sin2θ+2√2sinθ+2√2cosθ-4とする。 y=2sinθcosθ+2√2(sinθ+cosθ)-4 ......(*) >x=sinθ+cosθとおくと、2sinθcosθ=x^ア-イであるからy=x^ウ+エ√オx-カである。 x^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθより、2sinθxcosθ=x^2-1 ......ア=2,イ=1 (*)より、y=x^2-1+2√2x-4=x^2+2√2x-5 ......ウ=2,エ=オ=2,カ=5 > ここで、x=√キsin(θ+π/ク)であるから、xのとりうる値の範囲は-√ケ≦x≦√コである。 合成の公式より、 x=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) ......キ=2,ク=4 0≦θ<2πより、π/4≦θ+π/4<9π/4 ......(1) だから、 -1≦sin(θ+π/4)≦1より、-√2≦√2sin(θ+π/4)≦√2 よって、-√2≦x≦√2 ......(2) ......ケ=コ=2 > したがって、yはθ=π/サのとき最大値シをとり、θ=スπ/セのとき、最小値ソタをとる。 y=x^2+2√2x-5=(x^2+2√2x+2)-2-5=(x+√2)^2-7 だから、 最小値は、(2)より、x=-√2のとき、y=-7 このとき、√2sin(θ+π/4)=-√2だから、sin(θ+π/4)=-1 (1)より、θ+π/4=3π/2より、よって、θ=5π/4 最大値は、(2)より、x=√2とき、y=(√2+√2)^2-7=1 このとき、√2sin(θ+π/4)=√2だから、sin(θ+π/4)=1 (1)より、θ+π/4=π/2より、よって、θ=π/4 以上より、 θ=π/4のとき、yの最大値は、1 ......サ=4,シ=1 θ=5π/4のとき、yの最小値は、-7 ......ス=5,セ=4,ソタ=-7 でどうでしょうか? 公式など確認してみてください。