質問: 三角関数の問題なのですが・・・ 三角関数の問題なのですが・・・ cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、 (1)cos(α-β)の値を求めよ。 (2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y) が成り立つことを示せ。 (3)cos(α+β)の値を求めよ。 加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。 解き方だけでも教えてください。お願いします!
回答: (1) (cosα+cosβ)^2=cos^2(α)+2cosαcosβ+cos^2(β)=1/4 (sinα+sinβ)^2=sin^2(α)+2sinαsinβ+sin^2(β)=1/9 2つの式を足すと、 1+2(cosαcosβ+sinαsinβ)+1=13/36 したがって、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(13/36-2)/2 (2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 2つの式を足すと、 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb ここで、a=x+y,b=x-yとおく。 (3) (1)の2つの式で、上から下を引くと、 cos2α+2cos(α+β)+cos2β=5/36 (2)より、cos2α+cos2β=2cos(α+β)cos(α-β)なので、 cos(α+β){2+2cos(α-β)}=5/36 (1)のこたえを用いて、cos(α+β)の値を求める。