質問: 論理学のナポレオンの問題 先日ツイッターで見た 「外では雨が降っており(a),かつ雨は降っていない」という前提から「源義経の母親はナポレオンである(b)」という結論を導け。 という問題についてです。 a∧¬aが真だから(a∨b)∧¬aも真となり 選言三段論法を用いてbも真となることが導かれるそうなのですが a∧¬aが認められるから選言三段論法では(a∨b)∧¬aからbが真だとだせないんじゃないんでしょうか? 自分の年齢もあり論理学のことをひとつも知らないので普通に解決する問題ならどういう仕組みなのか簡単に教えていただきたいです。 お願いします。
回答: #1です。 >ところで気になるところがあるんですが >(a∨b)∧¬a=(a∧¬a)∨(a∧b) >とはどうなったのでしょうか。 以下のようになります。 (a∨b)∧¬a (↑「雨が降っている、または、源義経の母親はナポレオンである」かつ「雨が降っていない」) =(a∧¬a)∨(b∧¬a) (↑「雨が降っている、かつ、雨が降っていない」または「源義経の母親はナポレオンである、かつ、雨が降っていない」) =b∧¬a (↑源義経の母親はナポレオンである、かつ、雨が降っていない) 集合(※ドモルガン図的)で言えば「a∧¬a」は空集合です。空集合はどんな集合と「または」の関係になっても、関係された側の集合を変えません。 論理演算では、∧は乗算「・」、∨は加算「+」で、計算法則が普通の計算に似たものになります。それでやったほうが分かりやすいかもしれません。 (a∨b)∧¬a =(a+b)・¬a =a・¬a+b・¬a =0+b・¬a =b・¬a 先の回答にもう少し続けてしておいたほうがいいかもしれません。先の回答では「a∧¬a」(a・¬a)が無意味であることを強調するため、残してありますが、その無意味性はこのように消えてしまって、影響を残さないということにあります。 >(a∨b)∧¬aも真となり は「a∧¬a」(a・¬a)が無意味である(必ず成り立たない)ということを使えば、b∧¬a(源義経の母親はナポレオンである、かつ、雨が降っていない)が存在するといっているわけですが、その選言三段論法が使える前提は、aかb少なくともどちらかは成り立っていることが前提となります。 強い条件として、「a、bが排他的に成り立つ(どちらか一方だけ)」ことが保証されているなら、「aまたはbである。aである。」から「bではない。」は出ます。もちろん、「aまたはbである。bでない。」からは「aである。」も出ます。 緩い条件として「aまたはbが成り立つ(両方成り立ってもよい)」で使えば、「aまたはbである。aである。」から「bではない。」は出ません。a、bどちらも成り立つ可能性を検討していないからです。「aまたはbである。aでない。」からは「bである。」は出ます。 どちらでも、「bである」は出るんですが、それには「a、bのどちらも成り立たない」という状態が排除してあることが前提として必要です。 ご質問の件を振り返ると、「外では雨が降っており(a)、かつ、雨は降っていない(¬a)」は「a∧¬a」であり、必ず成り立たないことが言えます。それを以て選言三段論法を使いたいなら、「源義経の母親はナポレオンである(b)」を別途保証してやる必要があるのです。 それをせずに選言三段論法を形式的に振り回した風な論証なので、冗談か勘違いのどちらか、と申し上げたわけです。 ですので最も簡単な解の例として、命題c「命題aが成り立つならば命題bが成り立つ」の真偽について、命題aが偽ならば命題bの真偽を確認することなく、命題cは真であることを使うべき、ということを申し上げてみました。 (この場合の命題a、b、cは、以下の通り。 命題a:雨が降っており、かつ、雨が降っていない →偽に確定 命題b:源義経の母親はナポレオンである →真偽不明 命題c:aならばbである →cは真だが、bが真であるとも偽であるとも言っていない) ......こういったことは言葉で深入りすると、非常にややこしい事態になることがあるので、この辺りでギブアップします。お詫びの余興に、言葉での論理でややこしくなる例でも少し(以前にかなりしごかれたもので、未だに自分の中では完全解決していない)。 1.対偶の例(真である命題の対偶は真) 命題:叱られ『ない』と勉強し『ない』。 対偶:勉強すると叱られる。 2.語義の揺れによる三段論法例(英語) nothing is better than my wife. (nothing>my wife) a penny is better than nothing.(pennyは10円くらいの安い貨幣) (a penny>nothing) so, a penny is better than my wife. (a penny>nothing>my wife ∴a penny>my wife?)