質問: 微分方程式の問題です。 微分方程式 y=xy'+ln|y'| の一般解と特異解を求める問題について、答えはy=a(x-a^2/3),y=±2x^(3/2)/3らしいのですが、解説がついておらず、途中式がわかりません。どうか教えてくださいm(_ _)m
回答: 微分方程式 y = x y' + log |y'| を見ると,まず, 「y' = ・・・ の形になっていないから厄介だなあ」 と感じると思います. そこで,いまなぜその形に変形できないのかと考えてみると, 問題は右辺の log |y'| で, この項がこれ以上の式変形の障害となっていることに気付きます. そこで,この log |y'| を,計算しやすい形に何とかしてもっていけないか, つまり,何とかして log を消すことができないか,と考えましょう. ところで,log |y'| は微分すると, (log |y'|)' = y''/y' となりますね. 詰まるところ,微分すれば log が消えます. それでは,与えられた微分方程式の両辺を微分してみればどうなるでしょう? 両辺を微分すると, y' = y' + x y'' + y''/y', すなわち (x + 1/y') y'' = 0 となりますね. ここから, y'' = 0 あるいは x + 1/y' = 0 となり,結局,与えられた微分方程式の解は この二つの微分方程式のいずれかの解になっていなければならない ということがわかります. (あくまでも必要条件であることに注意.) さて,二つの微分方程式をそれぞれ解くと,a, b, c を任意の実定数として, y(x) = a x + b あるいは y(x) = -log |x| + c ですね. これにより,y(x) が与えられた微分方程式の解ならば y(x) はこういう形でなければならない,という必要条件が得られたわけです. あとは,これらの解を初めの微分方程式に代入し, 初めの微分方程式の解となるための a, b, c に関する条件を 引き出してくれば出来上がりです.