質問: 微分可能ならば連続の証明についてです lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果 lim(x→a 微分可能ならば連続の証明についてです lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果 lim(x→a)f(x)-f(a)=0となり lim(x→a)f(x) =f(a)で連続になる条件を満たすことは理解しました これがなぜ微分可能ならば連続の証明になるのでしょうか? 始めに設定されているlim(x→a)f(x)-f(a)の意味が分からないのですが、これが微分可能な関数を表し、計算すると連続の条件を満たす式に変形できるから、 微分可能な関数が連続になると言えるという事ですか? 示したいのがlim(x→a)f(x)=f(a)だからそれを変形させたlim(x→a)f(x)-f(a)から計算を始める、という説明を目にしたのですがよくわかりません 証明の式の意味を教えてください
回答: 訂正です f(x)がx=aで微分可能ならば lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a) だから lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0 極限の定義から 任意のε>0に対して あるδが存在して 0<|x-a|<δとなる任意のxに対して |{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε となる δ1=min(δ,1) とすると 0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して |{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε となる ↓両辺に|x-a|をかけると |{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a| ↓|x-a|<δ1≦1だから |{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|≦ε だから lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0 だから lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0 だから lim(x→a){f(x)-f(a)}=0 だから lim(x→a)f(x)=f(a) で 連続