質問: 拡散方程式の一般解が求まりません すみません、拡散方程式で解けない問題がありまして、どなたかご教授ください。 u(y,t)の位置(y)と時間(t)のみに依存する関数があり、 拡散方程式 du/dt=d*(d^2u/dy^2) (dは本来は偏微分のパーシャルdです。dは定数) 境界条件は、 u(±h,t)=ucosωt (h,ωは定数) となっています。これだけの条件では解けないのでしょうか??すみませんができれば解のみではなく方針までお答えいただけると幸いです。よろしくお願いします。
回答: 変数分離法を適用してみてはいかがでしょうか。 ※変数分離法を適用するための条件についてはご自身で調査して下さい。 変数分離法とは、u(y,t)が yのみに依存する関数y(y)と、 tのみに依存する関数t(t)との積で表せると仮定して解く方法です。 この場合、拡散方程式に、u(y,t)=y(y)t(t)を代入すると、 y(y)dt/dt=d(t(t)d^2y/dy^2) ※dは常微分のd となります。 これを変形すると t'/t=d*(y''/y) ※u'はuのtでの微分、y''はyのyでの二階微分 となり、左辺がtのみの関数、右辺がyのみの関数となり、 結局、左辺も右辺も定数であると分かります。 なので、t'/t=d*(y''/y)=c(定数)とおくと、 t'=ct y''=(c/d)y と単純な二つの常微分方程式が得られます。 あとはこれを解くだけです。