質問: π/15 なお、積分範囲は0~∞です。 これは『基礎量子力学』猪木慶治、川合光、講談社サイエンティフィクの p.13[6]の解(1)で公式として扱われています。 具体的な導出方法がわかりません。
回答: ∫[0,∞]{x^3/(e^x -1)}dx = π^4/15 (π/15ではない!!) ちょっとずるいけど・・・ 以下の積分公式から計算してみる ∫[0,∞]{t^(2n-1)/(e^(2πt) -1)}dt=bn/4n (bnはベルヌーイ数) 2πt=xとおくと 与式=1/(2π)^(2n-1)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx/2π =1/(2π)^(2n)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=bn/4n ∴∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^(2n)・bn/4n n=2を代入して ∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^4・b2/4・2=16π^4/(30・4・2)=π^4/15 (ベルヌーイ数;b2=1/30を使用)