質問: 集合論の濃度の大小の問題 |a|≦|b|<|c| という問題についてです。 a⊂b⊂cという包合関係 集合論の濃度の大小の問題 |a|≦|b|<|c| という問題についてです。 a⊂b⊂cという包合関係があるので、|a|≦|b|は全単射が成り立つがbとcは全射だが単射でないので f:a→b, g:b→cの合成写像g⚪︎fが成り立たない。 したがって|a|≦|b|<|c|⇒|a|<|c| と考えたのですが、濃度の大小は全単射が成り立たないことを言えばよろしいのでしょうか?他にも何か条件を満たしていなかったら助言をいただけたらと思います。
回答: 言いたいことは判るような気がするが、 「合成写像g⚪︎fが成り立たない。」はさすがにイタダケナイ。 合成写像が成り立たないって、何だよ?いったい。 もう少し伝わるような日本語で書こう。 |a|≦|b| の定義は、a→b の単射 f が存在するということ。 |b|<|c| は、|b|≦|c| だが |b|=|c| ではないという意味で、 b→c の単射 g は存在するが、その g は全射ではありえないということ。 このふたつを合成すると、a→c の単射 g⚪︎f は存在するが、 その g⚪︎f は全射ではありえないことが判る。 すなわち、|a|≦|c| だが |a|=|c| ではなく、|a|<|c| と書ける。