質問: バルサラの破産確率についての質問です。
回答: いちおう、探してみたら以下に乗っていました。 先ほど、バルサラの破産確率と勘違いして全く違う(でも設定は同じ)ものを調べてしまって、かなり長い回答を作ってしまったので、供養させてください。 Kelly Criterionといって、勝率、ペイオフレシオが与えられたときに、利益が最大化されるような資金率の求め方があります。 Kelly Criterionは、以下の式で表されます。 f*=(bp-q)/b ここで f*:資金率 b:ペイオフレシオ p:勝率 q=1-p(敗率) これは より引用しました。 ただ、これは「お金をaかけて、pの確率で勝ったらお金をa×bもらい、qの確率で負けたらa失う」 という試行について計算したものです。 証明はkellyのオリジナルのが に載っていますが、英語なのでちょっと読みづらいと思います。使ってる数学はそんなに難しくないので頑張ればいけるかもですが... とりあえず簡単に説明すると、n回試行した後に持っている資産をEとすると、まあもちろんこれを最大化したいわけです。 つまり、Eの最大値を求めたいわけです。 f*を動かしたときにEがどこで最大になるか見たいのです。 「お金をxかけて、pの確率で勝ったらお金をxbもらい、1-qの確率で負けたらx失う」 という試行での、Eの「期待値」は E= p*log(1+bf*) + (1-p)*log(1-f*) で求められます。 資金率f*に対してEがどう最大化されるか調べるために、微分を用います。 Eをf*で微分して0になる点がEの最大値をとる点(高校数学ですね)なので、 dE/df*を計算して、これが0になる点でのf*を求めるとKelly criterionを得ます。 余談ですが、この「kelly criterion」の歴史について。 1738年、ベルヌーイがKelly criterionと等価な式を発表しました。 その数百年後、John Larry Kelly Jr.が1956年に発表したのが先ほど述べた論文です。 その効力はウォーレン・バフェットはじめさまざまな投資家による実際の使用で確かめられました。 そして1992年に出版されたのがNauzer J. Balsara(ナウザー・J・バルサラ)によって書かれたMoney Management Strategies for Futures Tradersで、この一節でKelly criterionが紹介されていたようです。 ここまでがさっき書いた回答です。 バルサラの破産確率との関係も一応あり、kelly criterionで計算した値では、破産確率はそれなりに低いです(勝率0.5,損益率1.0204,資金率0.02=2%は、Kelly Criterionを満たす、資産を最大化できる組ですが、これの破産確率はおよそ13%です)