質問: (i)点(a,b)で全微分可能ならば(a,b)で連続である。 (ii)全微分可能な関数の和と積は全微分 (i)点(a,b)で全微分可能ならば(a,b)で連続である。 (ii)全微分可能な関数の和と積は全微分可能である。 この2つの示し方を解説して頂けると幸いです。片方でも構いません。
回答: (i) 関数 f(x,y) が (x,y)=(a,b) において全微分可能とは、 f(x,y) = f(a,b) + a(x - a) + b(y - b) + r(x,y), lim[(x,y)→(a,b)] r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0 となる定数 a, b と関数 r(x,y) が存在することをいう。 (このとき a = ∂f/∂x, b = ∂f/∂y となるが、 それはまた別の話である。) よって、 lim[(x,y)→(a,b)] f(x,y) = f(a,b) + a lim[(x,y)→(a,b)] (x - a) + b lim[(x,y)→(a,b)] (y - b) + lim[(x,y)→(a,b)] { r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }√((x-a)^2+(y-b)^2) = f(a,b) + 0 + 0 + 0・0 (ii) 関数 f(x,y) と g(x,y) が (x,y)=(a,b) において全微分可能であるとする。 f(x,y) = f(a,b) + a(x - a) + b(y - b) + r(x,y), lim[(x,y)→(a,b)] r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0, g(x,y) = g(a,b) + c(x - a) + d(y - b) + s(x,y), lim[(x,y)→(a,b)] s(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0 と書ける。これを使って、 f(x,y)+g(x,y) = (f(a,b)+g(a,b)) + (a+c)(x - a) + (b+d)(y - b) + (r(x,y)+s(x,y)), lim[(x,y)→(a,b)] (r(x,y)+s(x,y))/√((x-a)^2+(y-b)^2) = lim[(x,y)→(a,b)] r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) + lim[(x,y)→(a,b)] s(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0 + 0. この式は、f(x,y)+g(x,y) が全微分可能であることを表している。 f(x,y)g(x,y) = { f(a,b) + a(x - a) + b(y - b) + r(x,y) }{ g(a,b) + c(x - a) + d(y - b) + s(x,y) } = f(a,b)g(a,b) + { ag(a,b) + cf(a,b) } + { bg(a,b) + df(a,b) }(y - b) + t(x,y), ただし t(x,y) = ac(x - a)^2 + (ad+bc)(x - a)(y - b) + bd(y - b)^2 + { g(a,b) + c(x - a) + d(y - b) }r(x,y) + { f(a,b) + a(x - a) + b(y - b) }s(x,y) + r(x,y)s(x,y) と書ける。 lim[(x,y)→(a,b)] { ac(x-a)^2 + (ad+bc)(x-a)(y-b) + bd(y-b)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2) = ac lim[(x,y)→(a,b)] { (x-a)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2) + (ad+bc) lim[(x,y)→(a,b)] { (x-a)(y-b) }/√((x-a)^2+(y-b)^2) + bd lim[(x,y)→(a,b)] { (y-b)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0 + 0 + 0, lim[(x,y)→(a,b)] { g(a,b) + c(x - a) + d(y - b) }r(x,y) = lim[(x,y)→(a,b)] { (g(a,b) + c(x - a) + d(y - b))√((x-a)^2+(y-b)^2) }・r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0・0, lim[(x,y)→(a,b)] { f(a,b) + a(x - a) + b(y - b) }s(x,y) = lim[(x,y)→(a,b)] { (f(a,b) + a(x - a) + b(y - b))√((x-a)^2+(y-b)^2) }・s(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0・0, lim[(x,y)→(a,b)] r(x,y)s(x,y) = { r(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }・{ s(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }・√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0・0・0 により、 lim[(x,y)→(a,b)] t(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0. この式は、f(x,y)g(x,y) が全微分可能であることを表している。