質問: 直積集合の元は必ず集合となる? 度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 a×b:={;(a∈a)∧(b∈b)}と定義し、a×bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとaやbは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (a×bの元は2^(2^(a∪b))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではa×bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 a×b:={;(a∈a)∧(b∈b)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として:={{a},{a,b}}と定義し、a×b:={;(a∈a)∧(b∈b)}と定義するのなら実数体の直積集合r×rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?
回答: 集合を要素とする集合を許してくれないと, ベキ集合が作れないんですけど....