質問: 関数解析 関数解析 l^2(r)で0に収束するけど、l^1(r)では収束しない関数列をあげて頂きたいです
回答: 自然数nに対して 関数 f_n:r→r を |x|≦n^3の時 f_n(x)=1/n^2 |x|>n^3 の時 f_n(x)=0 と定義すると lim_{n→∞}∫_{-∞~∞}(|f_n(x)|^2)dx =lim_{n→∞}∫_{-n^3~n^3}(1/n^4)dx =lim_{n→∞}2n^3/n^4 =lim_{n→∞}2/n =0 だから {f_n}はl^2(r)で0に収束する lim_{n→∞}∫_{-∞~∞}|f_n(x)|dx =lim_{n→∞}∫_{-n^3~n^3}(1/n^2)dx =lim_{n→∞}2n^3/n^2 =lim_{n→∞}2n =∞ だから {f_n}はl^1(r)で∞に発散する