質問: 高校レベルの数学で気になることがあります。 x^2f'(x)=60x^4-4bx^3+3cx^2 ⇔x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 として、x=0 のときについても言及しなければ、と思ったのですが、解答では普通に x^2 が消されていました。 わたしは、いままで簡単にこういう場合消してしまっていたので、それによる間違いをよくしました。 ですから、この場合、なんでだろう、と腑に落ちません。 教えていただけますか? 問題は、 2∫(1≦t≦x)t・f(t)dt=x^2f(x)-12x^5+bx^4-cx^3+d で、f(x) が x=1 で極大値20を持ち、x=2 で極小値を持つように、定数 b,c,d の値を求めよ、 というものです。 ∫(1≦t≦x)t・f(t)dt の部分は、t・f(t) を1から x まで積分するというつもりで書きました。 ちなみに、x=o を問題文の式に入れてみると、d が定数にはなりそうだ、と思ったのですが、それ以上何も書けませんでした。 また、質問したところ以外はわかりました。 お願いします。
回答: 「値として等しい」のと 「関数として等しい」が混同されてるんですよ. 例えば・・・aとbを定数として f(x)=x^2 g(x)=ax^3+x^2+b としたときの f(x)=g(x) を考えます これを方程式(値として等しい)とみると x^2=ax^3+x^2+b という方程式を解くことになって aとbで場合分けして,三種類の解がでてきます 一方,恒等式(関数として等しい)とみると a=b=0となります. どっちとみなすかは,文脈に依存します. 今回の問題の場合は 明らかに関数として等しい方です x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 という場合は, x^2はどう転んでも関数としては0ではないです. ですんで,x^2で割って(0ではないから割れる) f'(x)-60x^2+4bx-3c=0 です. ちなみに,#1さんがおっしゃるように x=0で云々という議論を この段階で行うのは無意味です. けど,この手の問題の場合 求めたf(x)は必要条件でしかないので 解の吟味は必須です. 微分した段階で必要条件となっている点に注意です. 意地悪な問題だと,複数の解がでてきて そのうちの一個だけが解とかってのは 十分ありえます. そして解の吟味をして確かめた段階で あやふやな``x=0''で成立するかも すっきりするでしょう 上で書いた「関数として0でないから割れる」とか そういう議論は大学で数学でもやれば 習う体論とか環論といった代数の考え方です この考え方がしっくりこない場合は すべてのxについて x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 が成り立つのであればxが0でないと仮定しても 成立する. したがって,xが0ではないと仮定して f'(x)-60x^2+4bx-3c よりf(x)を求める このf(x)は必要条件だから あとで十分性を確認する ということでも問題ないです