質問: 高校数学の数1についての質問です。√3が無理数であることを証明する時に互いに素な2つの自然数a.bをもちいてa/b√3として矛盾を導くと習いました。
回答: 互いに素にすれば、すべての分数について証明されるからです。 a,bが互いに素であるならば、a/b=√3 しかし、証明してみたらa,bが互いに素でないということで矛盾する、つまりa/bは互いに素であると証明できない=a,bが成立しない=整数/整数の分数にできない=無理数であるという理屈です。 互いに素でなくても証明ができなくはないですが、高3の極限の内容が必要です。 仮に高1で習う背理法を互いに素を使わないと結論が出ません。 a,bが互いに素でないとする。 a/b=√3 a=√3b a2=3b2...1 a2が3の倍数であるから、aも3の倍数であり、 a=3mとおける。 a=3mであるから、1に代入すると、 9m2=3b2 b2=3m2...2 b2が3の倍数だから、bは3の倍数である。 「a,bの両方が公約数の3の倍数を持つから互いに素であることに反する」 これが言えません。 互いに素でないと、「 」内が言えないので、この後 bが3の倍数であるから、b=3pとおける。 1に代入すると、a2=3(3p)2 aが3の倍数であるからa=3qとおける。これを1に代入すると...といった形で結論が出ません。