質問: 位置ベクトルについて 今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。 位置ベクトルというのは、点oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、 そうすると、 位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか? 位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m
回答: stripeさん、こんばんは。 今はベクトルについて勉強されているんですね。 >位置ベクトルというのは、点oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、 そうですね。 位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。 たとえば、点a(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、 → oa=(2,3) ですよね。 また、線分mnの中点pの位置ベクトルは、 点m、点nの位置ベクトルを、それぞれ → → om, on とすると、 → → → op=(om+on)÷2 のようになりますよね。 その点pの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに どうなるのだろうか?みたいな感じだと思ってください。 >位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか? その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。 原点oを定めておくと、平面上の点aの位置は、 ベクトルoaによって、定まりますよね。 このとき、→ → a=oaを点aの位置ベクトルといい、 位置ベクトル→ → aの点を、たんに、点aと呼ぶこともあります。 >位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。 位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。 考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも 「とにかく位置ベクトルで考えてみよう!」 ということです。 たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた 「三角形abcの、底辺をbcとしたときに、 ab,acの中点m,nを結ぶ線分mnは、 底辺bcに平行で、長さはbcの半分である」 などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。 上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので → → mn=(1/2)bc がいえればよいですね。 三角形の3点a,b,cの位置ベクトルを、 → → → → → a, b, cとして、mn、bcを、それぞれで表してみましょう。 頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。 ご参考になればうれしいです。