質問: 友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1 友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1)を教えてと言われ,ライプニッツの公式を使って説明しようとすると習っていないらしく,さらにニュートンの二項定理も習っていないと言われました。 この2つを使わずにarcsin x を説明するにはどのように説明するのがよいか教えていただけないでしょうか? 地道にn階微分もしてみたのですが,計算が面倒になりすぎるのと,イマイチ規則性が掴めません。 どなたか解説お願いします。
回答: 貴方の質問は、例えて言うなら「息継ぎの方法を知らないまま、平泳ぎで25メートル泳げるようにするにはどうすればよいか?」というのに似ている。 何事にも順序がある。テイラー展開を求めるのに、ニュートンの二項定理は是非とも知っておくべきものである。これを機に、友達に二項定理から教えることを勧めたい。 なお、 (1 - x^2)^(1/2) を展開するときは、一旦 t = x^2 とおいて (1 - t)^(1/2) のn階微分を求めることで展開し、その結果に t = x^2 を代入するべきである。