質問: 数学aで質問です。『nが奇数の時、n3-nは24の倍数であることを証明せよ。なお、連続した2つの整数 数学aで質問です。『nが奇数の時、n3-nは24の倍数であることを証明せよ。なお、連続した2つの整数の積は2の倍数、連続した3つの整数の積は6の倍数であることを利用してもよい。』 という問題なのですが、画像の回答は合っていますか?
回答: no.1&2 です。ではきちんと回答します。 n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) 1 で「n^3 - n」は「連続した3つの整数の積」ですから「6の倍数」です。 また、n は奇数なので、3 ≦ n として、k を正の整数とすると n = 2k + 1 と書けるので、1に代入して n^3 - n = (2k + 1)・2k(2k + 2) = 4k(k + 1)(2k + 1) 2 ここで、k と k + 1 は連続した2つの整数なので、 k(k + 1) は2の倍数である。従って、これを m を正の整数として k(k + 1) = 2m と書けば、2は n^3 - n = 8m(2k + 1) つまり「8の倍数」である。 以上より、「n^3 - n」は「6の倍数」かつ「8の倍数」であるから、その公倍数である「24の倍数」であるといえる。