質問: 大学数学で困っております。 次の集合X,Yについて。XとYは対等(集合の濃度が同じ)であるか。 ・対等である場合には、対等であることを示すような全単射写像f:X→Yの例を1つ挙げよ。その写像が全単射である事も証明すること。 ・対等でない場合にはX、Yの濃度を述べよ。証明も行うこと。 1X={x∈R|0≦x<5}、Y={y∈R|-1000
回答: f(x)=2-1002x/5とする。 任意のy∈Y(すなわち-1000 y=2-1002x/5 1002x/5=2-y x=5(2-y)/1002 でなければいけないので単射は示された。 逆にこのyに対してx=5(2-y)/1002とするとy=2-1002x/5=f(x)で-1000 -2≦-y<1000 0≦2-y<1002 0≦5(2-y)/1002=x<5なのでx∈Xなので全射も示された。