質問: 三択→二択の確率変化について こんにちは。 量子力学についての一般向け解説書(講談社「ブルーバックス」のある1冊)をいま読んでいるのですが、その中に述べられている「確率」の考え方で、どうにも理解できないことがありました。 量子力学の考え方と関係があるのかもしれないと思ったので、こちらのカテゴリーで質問を投げさせていただきます。 そのまま引用すると長くなるので、問題箇所の要点を整理して書き直すと、 1)a,b,c3つの箱のどれか一つに百万ドルの「当たり」が入っていて、どれを選ぶか二回決めることができる 2)あなたは一度目の選択でaを選んだ 3)出題者はcの箱を開けて、それがカラであることを示した 4)さてあなたは二度目の選択でどうするか? (a)a,bどちらも同じ確率だから、あえて選択し直す理由はないので二度目もaを選ぶ (b)bを選び直す ...というものです。 私は、残った二つの中のどちらかが「当たり」なのだから、確率はa,bどちらも半々だと思うので、(a)で良いと思いました。 しかしこの本の著者は 「物理学者や数学者も含め大部分の人はこの問題を最初に聞いたとき、次のように考える。『......お金の入っている確率は等しい』/しかしこれは大きな間違いである。......あなたの選択を変えるほうが完全に合理的な行為となる」 として、bのほうがaより当たる確率が2倍になると述べています。 そしてその理由を以下のように説明しています。 「......(aに)お金が入っている確率は最初と同じで3分の1である。しかし、他の二つの箱のほうに入っていた場合、そのどちらにお金が入っているかについての貴方の無知は消滅している。最初の選択が間違っていた確率は3分の2であり、その場合、お金は中央の箱(b)にあることになる。選択を変えることで、勝つ確率が2倍になる。......」 この説明が私にはどうにも理解できないのです。 この説明を自分なりに解釈して書き直すと、次のようになると思います。 ・最初は、aが当たりの確率は1/3、bかcのいずれかが当たりの確率は、合わせて2/3だった。 ・cがカラだと判ったので、bが当たりの確率は2/3になった ・したがってbのほうがaよりもを選ぶ方が当たる確率が2倍である ...ということらしいのですが、何かヘンです。納得できないのです。 cがカラであることが判明した時点で問題は3択から2択に変化したわけだから、aにお金の入っている確率も1/3から1/2に変化したのではないか?と思えてならないのです。 物理学にも数学にも素人の私ですので、どこかで解釈を間違うか勘違いしているのだろうとは思いますが、どこが間違っているのかが自分では判りません。 どなたか知恵をお借りできないでしょうか。よろしくお願いいたします。
回答: 質問者さんの言っている説明以上のことはなかなか申し上げられないのですが 簡単にいえば、aだけに張るか、b&cに張るかってことで2倍の差が出来るわけです。 初めの段階では、どれが外れかわからないので、1/3の確率で選びます。 この時点でaにある確率は1/3、b&cにある確率は2/3となります。 では、このとき、aのままでいるか、b&cに張るか変えてもいいよ、と言われたとします。 どうですか? 結局はbもしくはcの空の方を開けられたとしても、bもしくはcにある確率というのは変化しません。 そこでどちらかの選択肢を空だといって外してくれたなら、残った方に2/3の確率が残ることになります。 実際に友人と実験してみるのもよいかもしれません。