質問: n個の1次元調和振動子の系の構造関数の変数変換 n個の1次元調和振動子のハミルトニアンhは h=σ〔i=1~n〕{p〔i〕^2/2m+m(ω^2)(q〔i〕^2)/2} の時、系の構造関数が次式の形に書き表されることを示そうと思っています。 ω(e)=∫(d^n)q(d^n)pδ(e-h) ={(2me)^(n/2)/e}[2e/{m(ω)^2}]∫(d^2n)zδ{1-σ〔i=1~2n〕(z〔i〕^2)} ですが、 変数変換:(i=1,・・・,n) z〔i〕=p〔i〕^2/{(2me)^(1/2)}、 z〔i+1〕=q〔i〕/[{m(ω)^2/2me}^(1/2)] を何処かで用いるとしか分かりません。 誠に恐縮ですがどなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。
回答: まず、ご質問の式を ω(e)=∫(d^n)q(d^n)pδ(e-h) ={(2me)^(n/2)/e}(2e/mω^2)^(n/2) ×∫(d^2n)zδ{1-σ〔i=1~2n〕(z〔i〕^2)} z〔i〕=p〔i〕/(2me)^(1/2)、 z〔i+n〕=q〔i〕/(2e/mω^2)^(1/2) と直す必要があると思います。すると ω(e) ={(2me)^(n/2)}(2e/mω^2)^(n/2) ×∫(d^2n)zδ{e(1-σ[i=1~2n]z〔i〕^2)} 次にaを定数としたとき δ(az) = δ(z)/|a| という公式より ω(e) ={(2me)^(n/2)/e}(2e/mω^2)^(n/2) ×∫(d^2n)zδ{1-σ[i=1~2n]z〔i〕^2}