質問: 教えて下さい 円に内接する三角形abcについて、頂点aからbcにおろした垂線とbcの交点をhとする。ab=ac=3√10、bc=6であるとき 円の半径を求めよ です。わたしは三角形abcは二等辺三角形なので、垂線の足のhは円の中心をとおり、円の中心はahを2:1に内分すると考え、中心とbを結び、三角形bchにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか?
回答: わたしは三角形abcは二等辺三角形なので、 垂線の足のhは円の中心をとおり、円の中心はahを2:1に内分すると考え、 中心とbを結び、三角形bchにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか? >「・・・・円の中心をとおり、」までは正しいですが、 「円の中心はahを2:1に内分すると考え」は間違っています。 半径をr、円の中心をoとすると、△obhで三平方の定理により ob^2=bh^2+oh^2→r^2=3^2+oh^2=9+oh^2・・・・・(1) △abhで三平方の定理により ab^2=bh^2+ah^2=bh^2+(ao+oh)^2→(3√10)^2=3^2+(r+oh)^2・・・・・(2) (1)(2)を連立で解いて半径rを求めると、 (2)より90=9+r^2+2r*oh+oh^2 (1)を代入して90=9+9+oh^2+2oh√(9+oh^2)+oh^2 =18+2oh√(9+oh^2)+2oh^2→oh√(9+oh^2)=36-oh^2 両辺を二乗して oh^2(9+oh^2)=36^2-72oh^2+oh^4、ここでoh^2=xとおいて整理すると 81x=36^2→x=16→oh^2=16→oh=±4、oh>0だからoh=4 (1)に代入してr^2=9+16=25、r=±5、r>0だからr=5・・・答