質問: 中学3年生の図形の問題 図のように平行四辺形abcdがある。 点eは、辺adの中点であり、cf:fd=1:2である。 また点gは線分afと線分beの交点である。 △aegの面積は、平行四辺形abcdの面積の何倍になるか求めなさい。 答えは16分の1倍なのですが、解き方を教えていただけますでしょうか?
回答: beの延長とcdの延長の交点をhとすると、 △abg∽△fhg(2組の角) また△abe≡△dheなので、ab=dh(=c d) c fを1とすればfdは2、dhとabは3となるから、 上の相似比はab:fh=3:(2+3)=3:5 よって、ag:fg=3:5 △aegの面積を3とすれば、△efgの面積は5 (底辺をそれぞれag,gfとみれば、残りの頂点が同じ点にある から、その高さは等しい、つまり面積比はagとgfの比と なるからです。・・以下、同じ考えなので、底辺だけ示します) よって、△aefの面積は3+5=8で、△defと等しいから (底辺がそれぞれ、aeとedだから) △adfの面積は8+8=16 △acfの面積は△adfの1/2なので(底辺がそれぞれ、dfと c fだから)8。よって、△ac dの面積は16+8=24 よって、平行四辺形abc dの面積は24×2=48 △aegの面積3は、平行四辺形abc dの面積48の3/48倍 約分して 1/16 倍となります。