質問: 微分方程式の定数変化法について y'+p(x)y=q(x)を解く際に まず、y'+p(x)y=0の解を出し、その一般解を求めます。 定数変化法では、その解y=aexp(-∫p(x)dx)のaをxの変数とみなし、一行目の微分方程式にあうようにaを決定するとしてとくわけなのですが、どうして それで一般性を失わないのでしょうか? それですべての一般解を表せているという事がうまく飲み込めません。
回答: 「定数変化法」という名前が良くないので、変な気がするのでしょう。 定数であったものを、後から変数とみなした ...とは考えずに、 a(x) = y(x) / exp(-∫p(x)dx) で、新しい関数 a を定義したと考えましょう。 その際、y'+p(x)y=0 を解いたという exp(-∫p(x)dx) の由来は一旦忘れて、 どこからともなく唐突に y(x) / exp(-∫p(x)dx) という式を思いついた と考えたほうが、a(x) を考える意味が分かりやすいかも知れません。 極普通の、置換積分です。