質問: 集合論的に自然数とその加法、乗法、累乗などを定義する方法を知ったのですが、整数とその演算はどのように定義すればよいのでしょうか?教えて頂きたいです。
回答: 集合論的に自然数を定義したということで, 自然数全体の集合は N:={0,1,2,3,...} と考えます. (0が無くても大きな違いは出ませんが...) 以下で出てくる用語の詳しい説明は省きます. ネットで調べれば色々解説は出てくるでしょう. 僕に聞いても構いません. NとNの直積集合 N×N={(a,b)|a,b∈N} 上の二項関係~を, (a,b)~(c,d):⇔a+d=b+c と定めます. するとこれは同値関係となります. そこで,整数全体の集合を,同値関係で割った集合 Z:=(N×N)/~ と定めます. (a,b)∈N×Nを含む同値類は [(a,b)] と書きます. 集合は定義出来たので,演算を定義しましょう. 一応区別のため,N上の加法と乗法は+と×, (これから定義する)Z上の加法と乗法は⊕と⊗で表します. 加法⊕:Z×Z→Zは [(a,b)]⊕[(c,d)]:=[(a+b,c+d)], 乗法⊗:Z×Z→Zは [(a,b)]⊗[(c,d)]:=[(a×c+b×d,a×d+b×c)] と定めます. 定義は見た目上出来たのですが,これでは不十分です. ⊕と⊗の定義において,同値類の代表元を使っています. 代表元の取り方は沢山あるので, 代表元の取り方によって右辺が変わってしまうと, 演算(写像)としてきちんと定義されている(well-defined) とは言えません. よって代表元の取り方を変えても右辺は変わらない ということを証明しなければなりません. つまり,次を示すと言うことです. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ [(a,b)],[(a',b')],[(c,d)],[(c',d')]∈Zが [(a,b)]=[(a',b')] [(c,d)]=[(c',d')] を満たすなら, [(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')] [(a×c+b×d,a×d+b×c)]=[(a'×c'+b'×d',a'×d'+b'×c')] が成り立つ. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 同値類が等しいための必要十分条件を使えば, 単純な計算で証明出来ます. 注 N上で減法は定義されてないので使わないように. ⊕と⊗は定義出来るか分からないので, 証明の際には使わない方が無難. 累乗は乗法の繰り返しなので帰納的に定義するだけです. 減法は写像(演算)として定義するわけではありません. Nの元0は,加法単位元という性質を持ちます. Zにも同様の元があり, [(0,0)] (=[(1,1)]=[(2,2)]=...) です. これをoと書くことにしましょう. さて,m=[(a,b)]∈Zを任意に取ります. m'=[(b,a)]と置くと, m⊕m'=m'⊕m=o が成り立ちます. つまり,m'はmの加法逆元であるということです. mの加法逆元m'を-mと書きましょう. このとき,m,n∈Zに対し,減法⊖は, m⊖n=m⊕(-n) と⊕を使って定義されます.つまり,略記です. Zの定義,Zの演算の定義のアイデアは次です. xy座標平面で成分が整数となる点(格子点)のみ考えましょう. y=x-n (n∈Z) という直線を引くと,全ての格子点は何れかの直線上に乗ります. 直線y=x-nとx軸の交点のx座標はnであり, 整数nと直線y=x-nは1対1対応することが分かります. すると,各整数は直線上の格子点全体の集合と見なせます. しかし,今定義されているのは自然数Nだけ, xy座標平面では第1象限とx,y軸の0以上の部分だけなので, -2↔{(0,2),(1,3),(2,4),...} -1↔{(0,1),(1,2),(2,3),...} 0↔{(0,0),(1,1),(2,2),...} 1↔{(1,0),(2,1),(3,2),...} 2↔{(2,0),(3,1),(4,2),...} と対応させます. 同じ集合の元(a,b),(c,d)は a-b=c-d を満たします. 勿論N上では減法は使えないので, a+d=b+c と書き換えます. これを同値関係~の定義に使っているのです. Z=(N×N)/~の[(a,b)]という元は,a-bという数に相当します. よって⊕と⊗は上のような定義になっていて, 加法逆元が上のように表せることも説明出来ます.