質問: 角運動量などに関する質問です。 下図のように、剛体円盤aとbが、なめらかな(x,y)平面上にある。質量はともにm、半径はともにrであり、単位面積当たりの質量は一定であるとする。円盤aが、速さvでx方向に回転せずに運動し、静止している円盤bに衝突した。衝突前の円盤aの中心はy=–rで与えられる直線上に、円盤bの中心は原点にあったとする。2つの円盤は衝突の瞬間に接点で完全に付着し、その後、一体となって運動したとする。以下の設問(1),(2)に答えよ。 (1)2つの円盤の重心系での全角運動量の大きさlを、m、r、vのうち必要なものを用いて表せ。 (2)付着後の2つの円盤の重心を通る(x,y)平面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント(慣性能率)iを、m、r、vのうち必要なものを用いて表せ。 この問題の解答は次のようなものでした。 『(1) 両者の重心系においてはaが左からv/2、bが右からv/2の速度で自転せずに近づいてくるように見える。接点から速度ベクトルまでの距離はともに r/√2 であるから、 l=2×m(r/√2)(v/2)=mrv/√2 (2) 一つの円板の、その中心の周りの慣性モーメントは (1/2)mr^2 であるから、平行軸の定理により、その円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)mr^2+mr^2=(3/2)mr^2 である。これが2つあるので、 i=3mr^2』 ここで、これらの解答に関していくつか質問があります。 質問(1) 『両者の重心系においてはaが左からv/2、bが右からv/2の速度で自転せずに近づいてくるように見える。接点から速度ベクトルまでの距離はともに r/√2 であるから、 l=2×m(r/√2)(v/2)=mrv/√2』 この解答の意味するところがさっぱりわかりません。解説していただけないでしょうか。 質問(2) 『一つの円板の、その中心の周りの慣性モーメントは (1/2)mr^2 であるから、平行軸の定理により、その円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)mr^2+mr^2=(3/2)mr^2 である。これが2つあるので、 i=3mr^2』 とありますが、これは付着後は重心が2つの円盤の接点になるということなのでしょうか? それと、接点の慣性モーメントはどうして円周上のある点における慣性モーメントの和になるのでしょうか?円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)mr^2+mr^2=(3/2)mr^2 であることは理解できますが。この点は理解できません。
回答: >質問(1) r/√2 じゃなくてr/2じゃないですか? 考えにくければ接する点を原点として考えたらどうですか? 二つの円板が接したときにはabの中心間距離が2r、 abの円板の中心同士のy方向の距離がrなので、 abの円板の中心同士のx方向の距離は√[(2r)^2 - r^2] = (√3)r したがって接点の座標は(-r(√3)/2, -r/2) 重心は円板a, bの中心間を結ぶ線分の中点ですが、 衝突前はabの円板の中心同士のy方向の距離はrのまま変らないので、 重心はy=-r/2の直線上を運動し、二つの円板が接した瞬間は接点が重心になります。 衝突前の全運動量pは質量mの円板だけが回転せずに速度vで運動しているのでp=mv 衝突前の角運動量lは原点からr/2離れた位置を質量mの円板がだけ回転せずに運動量mvで運動しているので、l = (r/2) ×p = mvr/2。 外力は働いていないので重心はy=-r/2の直線上をそのまま運動するので、衝突後の重心の速度をvとすると、 運動量の保存則から mv = 2mv したがって、v = v/2 >これは付着後は重心が2つの円盤の接点になるということなのでしょうか? これは二つの円板が接していれば、全体はこの接点に対して対称な形状になりますから自明です。 接点まわりの慣性モーメントをiとすると、角運動量の保存則は mvr/2 = iωで、角速度はω=mvr/2i >(1/2)mr^2+mr^2=(3/2)mr^2 であることは理解できますが。 付着後は円板a、円板bともに接点に対して対称なので同じ慣性モーメントを持ちます。ですから、ただ2倍するだけです。 結果i=3mr^2なので ω=mvr/2(3mr^2) = v/6r