質問: 大学1年レベルの関数列に関する問題です f_n(x)=xn・e^(-xn^2)のとき、[0,1]上でf_nは各点収束するか、一様収束するか?という問題なのですが、私は ロピタルの定理より、各x∈iに対して、|xn・e^(-xn^2)|→0(n→∞)を得るのでf(x)=0に各点収束する。 また、ある正の数εがあって、sup(f_n(x)-f(x))=1/e>ε(n→∞)より0に一様収束しない。 結局f_n(x)はf(x)=0に各点収束。 としました。しかし lim∫[0,1]f_n(x)=∫[0,1]f(x)=0となりました・・・※ そこで思ったのですが、 f_nがfに[0,1]上一様収束ならば※が成り立つのは明らかですが、各点収束でもなりたつことはあるのでしょうか?もしないのなら上の解答が間違ってることになりますよね・・ どなたか回答よろしくお願いします。
回答: 一様収束の場合の積分と極限の交換(または積分の連続性)を気にしているのですよね?各点収束でも積分と極限の交換ががなりたつ場合はありますよ。fn(x) = x^n を [0, 1] で考えるとか。