質問: おはようございます!数iで質問したいことがあります 問題は数iで等式の照明です。 よろしくお願いします。 x+y+z=0 2x^2+yz=0 が成り立つ時、xはyに等しいか、あるいはxはzに等しいことを示せ。 x+y+z=0をx=-y-zに変形し2x^2+yz=0に代入して、2y^2+2z^2になりました。しかしその先が・・・ もう一つ (x+y)/7=(y+z)/6=(z+x)/5≠0のとき、〔(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2/(x+y+z)^2〕の値を求めよ。 (x+y)/7=(y+z)/6=(z+x)/5=kと置くらしいのですがその先がさっぱりです。 どなたかよろしくお願いします!!
回答: おはようございます。 (1) 質問者さんがやられたように代入法でも示すことができるのですが、「xはyに等しいか、あるいはxはzに等しい」ことを示したいので、xを消去するのは上手くありません。 ここはxを残して、yかzを消去すると良いです。 以下、zを消去して示してみます。 x+y+z=0 ∴z=-x-y これを 2x^2+yz=0 に代入すると 2x^2+y(-x-y)=0 ⇔ y^2+xy-2x^2=0 ⇔ (y+2x)(y-x)=0 ∴y=x,-2x x=-2y のとき x+y+z=0 から z=x 以上のことから、y=x または z=x が示されます。 ちなみに、この問題は因数分解の考え方を使うと 楽にできますよ。 xはyに等しいか、あるいはxはzに等しいことを式で表すと、 x-y=0 または x-z=0 ですので (x-y)(x-z)=0 と表せます。この (x-y)(x-z) を計算して 0になることを示せれば良いことになります。 さて、以下、展開して計算してみます。 (x-y)(x-z) =x^2-(y+z)x+yz =x^2-(-x)x+(-2x^2) ← x+y+z=0 から y+z=-x を代入。2x^2+yz=0 から yz=-2x^2 を代入。 =x^2+x^2-2x^2 =0 (2) >(x+y)/7=(y+z)/6=(z+x)/5=kと置くらしいのですがその先がさっぱりです。 このようにおいて行う基本解法は x,y,z をkで表すことです。 等式を3つの ・・・=k で分けて分母を整理すると、x,y,z についての3元連立1次方程式が出てきますので、これを解けば、x,y,zをk(≠0)で表せます。 以下、求めてみます。 x+y=7k, y+z=6k, z+x=5k ∴x+y+z=9k ∴x=3k, y=4k, z=2k ここまでできたら半分以上できたようなもので、与えられた式に上で求めた x,y,z を代入します。 {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/(x+y+z)^2 ={(-k)^2+(2k)^2+(-k)^2}/(9k)^2 =2/27