質問: 因数分解って何に役立つの? 高校1年になった娘に付き合って20年ぶりに因数分解の問題を解いてみました。なんだかパズルをやっているようで意外と楽しかったのですが、因数分解や展開って、何かの役に立つのでしょうか? こんな計算に使うと簡単に出来るよ、とかこういう数字を求めるときに使うものだ、とかありますか? 他にもいろいろな数学の公式とかがありますが、これらが実際何を求めるときに使うものかが知りたいです。
回答: 高校レベルでお答えします。 因数分解は、方程式を解くのに使われる、非常に大切な技術です。 4次方程式 (x^4+12x^3+36x^2)+(13x^2+78x)+40=0 は簡単には解けませんが、因数分解したら、 左辺は4つの一次式の積 (x+1)*(x+5)*(x+2)*(x+4) となり、この方程式は、4つの一次方程式 x+1=0 ,x+5=0 ,x+2=0 ,x+4=0 に分解できて、簡単に解けてしまいます。 もちろん、解は、 x=-1 , x= -5 , x= -2 ,x= -4 つまり、因数分解は、高次方程式を低次方程式に還元する働きがあるわけです。 (x^4+12x^3+36x^2)+(13x^2+78x)+40 のような多項式を「和・差」形の式、と見れば、 (x+1)*(x+5)*(x+2)*(x+4) のような式は「積」形です。 「和・差」形の式を「積」形に直すことが「因数分解」です。 「2数を掛けて0になるとき、そのどちらか、または両方が0」 という数の性質がありますので、 (x+1)*(x+5)=0 からは、 (x+1)=0 または (x+5)=0 という結論が出せます。 これも、x^2+6x+5 という「和・差」形の式を(x+1)*(x+5)という「積」形にすることによって、0の性質が使えて、方程式が解ける例です。 もっと高度な例では、 sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)=0 のような左辺が和差形の方程式でも、 和・差を積に変換する公式を用いると、左辺は 4sin(x)*sin(2x)*sin(3x) のように変形できて、 後は3つのより簡単な方程式 sin(x)=0 ,sin(2x)=0 ,sin(3x)=0 に分解できます。その結果 xを求めることができます。 ご質問の趣旨は、こうした事じゃなくて、 数学が日常出会っている何か(数学以外のもの)に、応用されている何か面白い実例はないか?ということでしょうか?