質問: [(tan^-1)x][0,1] =π/4 区分求積法を使って解いたのですが、合っている自信がありません。 見にくくなってしまったのですが、回答をお願いします。
回答: (与式)=lim[n→∞]σ[k=1,n]{n/(n^2+k^2)} =limn→∞σ[k=1,n]{n^2/(n^2+k^2)} =limn→∞σ[k=1,n][1/{1+(k/n)^2}] =∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx となります。 ここでx=tanθとおくと dx/dθ=1/(cosθ)^2=1+(tanθ)^2 ∴dx={1+(tanθ)^2}dθ x:0→1のとき、θ:0→π/4 となるので ∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx =∫[0,π/4][1/(1+(tanθ)^2}]*{1+(tanθ)^2}dθ =∫[0,π/4]dθ =[θ][0,π/4] =π/4 となります。 o.k.です!!