質問: haagの定理 haagの定理によれば、場の量子論は自由場の理論以外は無意味になってしまう様に思えますが、これを回避する方法はあるのでしょうか。
回答: >haagの定理は計量の正定値性は使ってないと思います。 ノルムの正定値性はかなり強い条件という第一感があるので、 え、本当?と言うのが、まず私の感想なのですが、 きちんと勉強していないのでひょっとしてそうなのかも知れません。 しかし、haagの定理で「ヒルベルト空間」と言っているときに、 正定値内積を持つこともその定義に含まれていたりしませんか? wightman関数の諸性質の証明に使っているように思いました。 haagの定理の証明はそれらに基づいているのではないですかね。 例えば、 bogoliubovの「場の量子論の数学的方法」の 補題5.4.1は内積の正定値性を使っているように私には見えました。 ひょっとすると変なことを言っているかも知れません。 私の勘違いならご指摘下さい。 >haagの定理は一般的な仮定だけから悲観的な結論が導かれることから衝撃的であったわけですが、このうちどの仮定がきつすぎるのでしょうか。 私も確信をもって言っているわけではないのですが、 まず、ゲージ理論を考慮すれば、上の正定値性の点が1つ、 また、 「ある時刻でψ1とψ2はユニタリ変換で結ばれる。」 のユニタリ変換は、「きちんと定義された」ユニタリ変換でなければならないわけですが、 通常、相互作用描像に基づく摂動論で考えているユニタリ変換は u(t)=exp(iht)exp(-ih_0t)で、t->∞ としたもので、そもそも、そんな演算子はhaagの定理が仮定している状況下で 「まともな」ものなのか?ということ、 さらには、繰り込み理論では、 hやh_0は∞の係数を持ったものなので、 こんなものは、おそらく、「きちんと定義された」ユニタリ変換ではないのではないか? ということです。 「きちんと定義された」の意味を曖昧にして話しているので、 感覚的な議論になって申し訳ないのですが。 従って、中性スカラー場の場合のような正定値な場に限っても、 通常の相互作用描像に基づく定式化が無意味なものとなってしまうか否かは どうなのかな?と言うのが私の感想です。 少くとも、haagが考えた状況下では、否定的な結果が導かれるのだと言うことは 正しいのでしょうけれど。