質問: フーリエ(逆)変換の問題です。 画像にあるような熱方程式を解き、最終的には一番下の数式の1〜4を答えるという問題です。
回答: 以下,∫は,∫_{-∞}^∞ とする。 (1/√(2π))∫e^(ixξ-ξ^2 t-ξ^2/2)dξ=I とおく。 ここで, ixξ-ξ^2 t-ξ^2/2 =-(2t+1)ξ^2/2+ixξ =-{(2t+1)/2}{ξ-ix/(2t+1)}^2+(-x^2)/2(2t+1) であるから, I=(1/√(2π))e^{-x^2/2(2t+1)}∫e^[-{(2t+1)/2}{ξ-ix/(2t+1)}^2]dξ {√(2t+1)}{ξ-ix/(2t+1)}=u とおくと,dξ=du/√(2t+1) から, ∫e^[-{(2t+1)/2}{ξ-ix/(2t+1)}^2]dξ ={1/√(2t+1)}∫e^{-u^2/2}du=√(2π)/√(2t+1) よって, I=(1/√(2π))e^{-x^2/2(2t+1)}{√(2π)/√(2t+1)} ={1/√(2t+1)}e^[{-1/2(2t+1)}x^2] 画像では大きいですが,x^2は指数の内でしょう。 自宅勤務の気分転換にやりましたので,計算は確かめて下さい。