質問: ((k + 1) * (k + 1) + 1) / 2`
回答: G(k) = 0 + 1 + ••• + k = (k*(k+1))/2 [式1] が成り立つと仮定します。 そして、この仮定が成り立てば、 G(k+1) = 0 + 1 + ••• + k + (k+1) = ((k+1)*((k+1)+1))/2 が成り立つことを、証明します。 式1の右辺(((k+1) * ((k+1)+1))/2)は、次のように変形できます。 ((k+1) * ((k+1)+1))/2 = ((k+1)*(k+1) + (k+1))/2 = (k*(k+1) + 1*(k+1) + (k+1))/2 = (k*(k+1))/2 + (k+1) これを式1に加えるとは、以下のようになります。 G(K+1) = 0 + 1 + ••• + k + (k+1) = ((k+1) * ((k+1)+1))/2 = (k*(k+1))/2 + (k+1) 上の連続等式の2項目と4項目を取り出すと、式2が得られます。 0 + 1 + ••• + k + (k+1) = (k*(k+1))/2 + (k+1) [式2] 0 + 1 + ••• + k = (k*(k+1))/2 [式1] 式2の左辺から式1の左辺を、式2の右辺から式1の右辺をそれぞれ引くと (k+1) = (k+1) が得られます。 この式は左右の辺の式が同じですから、常に成り立ちます。 == 証明おわり == これで、G(k)が成り立つなら、G(k+1)が常に成り立つ事を納得いただけたでしょうか?