質問: 質点の運動方程式のベクトル表現 質量mの質点を時刻t=0で初速度>0で水平方向に投げた。 運動はxy平面内で起こり、質点を打ち出した向きにx軸を、上向き鉛直にy軸をとり、初期の質点の位置を原点とする。質点は速度に比例した抵抗を受ける。これは -ηv→ と表現する。重力加速度をg→として (1) 質点の運動方程式をベクトルの形でかけ (2) (1)で得られた運動方程式を解き、質点の速度をtの関数として表せ (3) 質点の位置をtの関数として表せ (4) 質点がx軸方向に進むことのできる最大の距離を求めなさい。 ゆっくりとしっかり内容把握に努めたいので解答だけじゃなくて解説まで丁寧にしていただければ幸いです。
回答: 「~」でベクトル→,「'」で時間微分d/dtを示します (1) mv~' = mg~ - ηv~ x,y方向の単位ベクトル i~,j~ を用いれば m(v'_x i~ + v'_y j~) = mg (-j~) - η(v_x i~ + v_y j~) すなわち mv'_x = -ηv_x mv'_y = - mg - ηv_y v'_x = -η/m・v_x v'_y = - g - η/m・v_y (2) dv_x/v_x = -η/m dt log(v_x/v0) = -η/m・t ∴v_x = v0 exp(-η/m・t) dv_y/(v_y+mg/η) = -η/m dt log { (v_y+mg/η)/(mg/η) } = -η/m・t ∴v_y = mg/η{ exp(-η/m・t) - 1 } (3) x = ∫[0~t] v_x dt = mv0/η{ 1 - exp(-η/m・t) } y = ∫[0~t] v_y dt = mg/η{ -m/η・exp(-η/m・t) - t} (4) t → ∞ より x_max = mv0/η という感じでしょうか。検算の余裕はありませんでした。