質問: ルベーグ積分 d(x)=1(x∈[0,1]∩q),0(x∈[0,1]\q)とする。 dが可測関数であることを示し、∫(0→1)d(x)dxを求めよ。 まず可測であることを示したのですが、 教科書に載っていた命題を用いて場合分けしました。 ∀a∈rを取る。 a<0のとき{d>a}=r よって可測 (本当はrじゃないですけど、どう書けばいいでしょう?) 0≦a<1のとき{d>a}=[0,1]∩q よって可測 1a}=φ よって可測 したがってdは非負値可測関数である。 ここまでは示したのですが、この先はどのように計算すればいいのでしょうか? 正規表現といったものがよく理解出来なくて...。 よろしくお願いします。
回答: >教科書に載っていた命題 内容を書かないとフォロー不可能だべさ。 q は有理数? であれば、[0, 1]∩q は可算集合だから、可測性はほぼ自明か。 d(x) = σ_{q ∈ q} d_q(x) のように可算個の関数の和とすれば積分も計算できるのでは?