質問: 集合と位相 位相空間x、yの間の2個の連続写像が稠密な部分集合の上で一致すれば2個の写像は等しい。という命題なのですがyがハウスドルフ空間という条件がないので正しくないということまではわかりました。あと反例も探しているのですがイメージがよくわかなくて反例がわかりません。x、yと二個の連続写像それぞれに具体的なものを当てはめるのですか?助けてください
回答: 反例を作るには試行錯誤が時には必要で非常に困難が伴う場合もあります。その一方で明らかに条件を満たさない極端な場合を想定さえすればそれが反例になっている(きゃほ!ラッキー)というケースもままあります。 x=y=r としましょう。ただし、x, y の位相はともに密着位相と呼ばれるものとします。そうすると、x から y への任意の写像は連続となります。また、1点集合{0}は x の稠密な部分集合(の1つ)です。この設定のもとで、f:x→y, g:x→y として f はいわゆる恒等写像 f(x)=x, g はいわゆる定値写像 g(x)=0 とすれば f と g は x の稠密部分集合{0}で一致していますが f≠g です。 # 写像(=関数)のイメージを掴み易いように x=y=r としましたが本質的ではありません。