質問: 【数学】 実数x、yがx^2+xy+y^2=1を満たすとき (1)x+y=u、xy=vとする。 u、vの満たす関係式を求めよ。 また、uの最大値と最小値は? (2)x^2+y^2の最大値と最小値は? 数学の得意な方、よろしくお願いします!
回答: (1)x^2+xy+y^2=1より (x+y)^2-xy=1 すなわち u^2-v=1 (1) x,yが実数のためにx,yを解とする2次方程式 t^2-ut+v=0 が実数解をもつことが必要であり、そのためには判別式 d=u^2-4v≧0 (2) (1)、(2)がu、vの満たす関係式。 u-v平面に(1),(2)を図示する。(じぶんでやること) (2)の等号の式と(1)の交点としてu,vの範囲が出る。 v=u^2-1の -2/√3≦u≦2/√3 (3) の範囲がu,vの動く範囲であり、 uの最大値は2/√3、最小値は-2/√3 (2)x^2+y^2=zの範囲を求める。 x^2+xy+y^2=1より z=x^2+y^2=1-xy=1-v (1)の(2)の範囲におけるvの値は u=2/√3、-2/√3において v=1/3(最大値) u=0でv=-1(最小値) よって z=x^2+y^2=1-xy=1-vの 最大値は2(v=-1) 最小値は2/3(v=1/3)