質問: ミラー指数:面間隔bを求める公式について 隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1) となる。 質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○
回答: 「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。 固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。 大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。 さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして hx + ky + lz=0 (1) があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。 これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。 hx + ky + lz = a (2a) hx + ky + lz = -a (2b) のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。 点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに d=a/√(h^2+k^2+l^2) (3) と求められます。 点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。 原点oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をa(p,q,r)とします。 oaは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて p=ht, q=kt, r=lt (4) の関係があります。 aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると t(h^2+k^2+l^2)=a t=a/(h^2+k^2+l^2) (5) を得ます。 ここにoaの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して |a|/√(h^2+k^2+l^2) (6) を得ます。oaの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。 bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。 *1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。 *2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。 平面をhx+ky+lz = c (cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。 h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のcも少なくともaの整数倍でなければなりません。 次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。 <命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する <証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。 p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。 pをqで割った際の余りをr1とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。 これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。 これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。 参考ページ: ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば http://133.1.207.21/education/materdesign/ をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです) 参考url:http://133.1.207.21/education/materdesign/