質問: 【数b】ベクトルの問題 四面体oabcにおいて、辺acの中点をp、線分pbの中点をqとし、 線分cqの延長とabとの交点をrとする。 (1)↑oa=a、↑ob=b,↑oc=cとするとき、↑oqを↑a,↑b,↑cを用いて表せ。 (2)ar:rbの比およびcq:qrの比を求めよ。 (3)四面体obqrと四面体ocpqの体積比を求めよ。 について、教えてください。よろしくお願いします!
回答: (1) 中点のベクトルを表す公式を2回使えばそのまま出ると思います。 (2) ベクトル方程式を使って解くのなら、 ar:rb=r:1-rとすると or=(1-r)oa+rob となります。一方rはcqの延長上にあるので、 or=oc+kcq となります。それぞれをoa,ob,ocで表してがちゃがちゃ計算するとr,kが求まります(この辺りは教科書を見た方が早いと思います) ただ、こんなことしなくてもメネラウスの定理(数aの教科書に載ってると思います)2発で求まります。 (3) 体積比と聞くと難しそうですが、2つの四面体は高さが同じなので結局底面積の比を求めればよいです。 △abcの面積をsとすれば、底辺の長さの比から△bqrと△cpqの面積をsで表すことができるので、その比が答えとなります。 参考になれば幸いです。