質問: 高校数学の質問です。 二次関数の問題で、私は画像の1のように解きましたが、この方法だとy≦-6という 高校数学の質問です。 二次関数の問題で、私は画像の1のように解きましたが、この方法だとy≦-6という答えが出てきません。 この解き方では解けないのですか?間違ってるところを教えてください。 2は正答です。
回答: x,yの2変数関数 z=x^4-4x^2y+y^2+6y すべての実数xについて、z≧0となるyの範囲を求めよ 解:x^2=xとおくと、x≧0の範囲でz= f(x)=x^2-4yx+y^2+6yがf(x)≧0となるようにyをきめることになる。z= f(x)のグラフが、十分上の方にあれば、x≧0の範囲でf(x)≧0となる。グラフが下の方に下がって、グラフの一点がx軸に接触すると、その点でf(x)=0となり、そこがyの範囲の限界になる。それより、少しでも下がれば、f(x)<0の点が生じて、f(x)≧0の条件に反する。図を見ればわかるように、グラフの最小点のxが、x>0ならば、(i)の場合で、グラフの最小点がx軸に接触した時が限界である。 グラフの最小点のxが、x<0ならば、(ii)の場合で、グラフの一点が原点oに接触した時が限界である。 グラフの最小点がx<0の部分でx軸より下がっても、x≧0の範囲でf(x)≧0の条件に反することにはならない。 あなたの作成した解答: 1 x^2=xとおく(x≧0) x^2-4yx+y^2+6y≧0 d/4=4y^2-y^2-6y=3 y^2-6y≦0 y(y-2)≦0 2x^2-4yx+y^2+6y=(x-2y)^2-3 y^2+6y f(x)= (x-2y)^2-3 y^2+6y とする。 z≧0となるときf(x)の最小値≧0 (i)軸2y≧0のときmin= f(2y) よって-3 y(y-2)≧0 (ii) 2y<0のときmin= f(0) よってy(y+6)≧0 y<0だからy≦-6