質問: εδ論法を使って、コーシー列の定義ってどうやって表すんですか?
回答: 有理数の列{a_n}がコーシー列であるとは、任意の正の有理数εと任意の自然数kに対して、ある番号Nが存在して |a_N-a_{N+k}|<ε となること。 教科書ではεやa_nが実数の場合が多い。それはそれで理解しやすいのだが、その理解しやすさはある意味妥協からきている。 というのも、実数というのは本質的には有理コーシー列全体にとある同値関係を入れたときの同値類のことだから、有理コーシー列の定義に実数を使用すると循環論法になるのである。 定義された実数には新たに順序<を定義する必要がある。 有理数の<と実数の<は違うものだが、同一視しているのだ。 ここまできて初めて、実数のコーシー列を定義する準備が整う。 つまり、コーシー列の定義は順序集合ごとに定まるべきであるといいたい。 もちろん順序という概念を使って定義を一般化することができよう。そしてそれがより本質的な定義であろう。