質問: 行列の証明について(a~aなど) 2つのn次正方行列a,bに対し、p^-1ap=bとなるような正則行列pが存在するとき、a~bで表すとして、 (1)a~a (2)a~bならb~a (3)『a~bかつb~c』ならa~c (1)~(3)が成り立つ事を証明しなければいけないのですが、 そもそもa~aの『~』の意味が理解できません。 例えば(1)の問題であれば p^-1ap=aということなのかどうか。 もしp^-1ap=aということだとした場合に 左辺が対角化されているので右辺はaの固有値を含む行列になっていると思うのです。 aの行列を (a b) (c d) として(本当は1つの()の中にabcdを書きたいのですができないため()が2つになっています。) aの固有値がx、yとなれば右辺は (x 0) (0 y)のようになると思うので p^-1ap=aという式は成り立たないと思いました。 しかし問題は成り立つ事を証明しろ、なので 僕の考え方が間違っていると思います。 この証明の正しい解き方を『~』の意味を含めご教授して頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: > p^-1ap=aということなのかどうか。 そういうこと。 > もしp^-1ap=aということだとした場合に左辺が対角化されているので・・・ 違うでしょう。「対角化されている」とは誰も言っていません。ちょっと、おっちょこちょいな方?私と同じだ・・・。 どのような a に対しても、p = e (単位行列)とすると p^-1ap = a が成立しますから、a~a は任意の a で成立します。 (2) p^-1 a p = b ⇒ a = p b p^-1 , q=p^-1とおけば、q^-1 = p なので、a = q^-1 b q (3) p^-1 a p = b, q^-1 b q = c ⇒ q^-1(p^-1 a p) q = c ⇒ (q^-1 p^-1) a (p q) = c pq = r とおくと、r^-1 = (pq)^-1 = q^-1 p^-1 より、 r-1 a r = c