質問: 【定理or予想】 命題「4つの正整数n,m,N,Mが、0<n<N、0<m<Mを満たしているとき、2つの正整数x,yをうまく選べば、次の関係が成り立つようにできる:(2^N)y-(3^M)x=(2^n)(3^m)」を、あまりエレガントでない方法ですが、証明できたような気がするのですが、 1)もしこれが既知の定理なら、証明者や名称を教えてください。この命題とほとんど等価な定理であれば結構です。 2)もし反例があれば、教えてください。 3)エレガントな証明方法があれば、何か示唆してください。
回答: こちらは参考になるでしょうか。 > 定理 7 整数係数の方程式ax+by=1について次のことが成り立つ. > > (1) 整数解が存在すればaとbは互いに素である. > > (2) aとbが互いに素なら整数解が存在する. > > 一次不定方程式 > a,bが互いに素のとき(gcd(a,b)=1)、方程式 > > ax+by+c=0 > > のある一つの解を[x0,y0]とする。一般解はt∈Z(整数)を使って > > x=x0-bt,y=y0+at > > と書ける。 > > wxMaximaの使い心地(その12) - 271828の滑り台Log 両方を組み合わせると、 > a,bが互いに素である正整数のとき、 > > ax-by=1 > > を満たすx,yの正整数解の組が存在する、 > > が導き出せそうな気がします。数学は苦手なのであまり自信がありません。