質問: 正方形の頂点までの距離の和の最大値 座標平面上に定点a(1,0),b(0,1),c(-1,0),d(0,-1)がある。 動点p(x,y)が円板上x^2+y^2≦1を動く。 pa×pb×pc×pdの取りうる範囲は次のようになる。 [図形的方法,三角関数を使う方法、座標を使う方法がありますが、複素数を使う方法が簡単です] 複素数平面で、p(z)とすると、0≦|z|≦1 このとき、 pa×pb×pc×pd=|z-1|×|z-i|×|z+1|×|z+i| =|z^4-1|より 円板0≦|z^4|≦1内の点z^4と1との距離を考えて、 0≦pa×pb×pc×pd≦2 (左の等号成立はz=±1,±iのとき。右の等号成立は、z=±1/√2±i/√2のとき。) pa+pb+pc+pdの最小値は次のようになる。 複素数平面で、p(z)とすると、0≦|z|≦1 このとき、 pa+pb+pc+pd=|z-1|+|z-i|+|z+1|+|z+i| ≧|z-1-(z+1)|+|z-i-(z+i)|=4 (等号成立の場合はz=0のとき) pa+pb+pc+pdの最大値がうまく求められませんので、どうか教えていただけないでしょうか。
回答: >・スタート点を a (1, 0) として、点 p を点 m へ向け動かすと? > no.4 さんが提示された図面 (右) を参照すれば、ap + bp は増大傾向。(ピタゴラス流の算式で評価可) というのがよくわかりませんでした。 no.4 さんが提示された図面 (右) でいうと、 a (1, 0) では、ap + bp = √2 a から m では、ap + bp > √2 であり、少なくとも a 近傍にて「増大傾向」...ということ。 a から m の間にて単調増大なのか否かは、ピタゴラス流の算式で評価すればわかる。 パズル的解法に徹して、端折りすぎたようで...。 一応チェックしたつもりですけど、論旨に錯誤などあればご指摘ください。