質問: 三角関数の方程式 三角関数の方程式 次の方程式の解き方がわかりません。 ヒントだけでも教えてください。 未知数x、yについての方程式 (sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b cosx=c a,b,cは既知 よろしくお願いします
回答: ano.3です。 先ほどは「基本的に解無し」と書いたのですが、 正確には ・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たす時、解あり ・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たさない時、解なし となります。 蛇足かもしれませんが、一応根拠を書いておきます。 三角関数は全ての角θに対して恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1が成り立ちます。 なのでsin^2x + cos^2x = 1とsin^2y + cos^2y = 1が必ず成り立つはずです。 今回はcosx = cとなっているので、角xに対してこの恒等式を成り立たせるために sinx = ±√(1 - c^2)としなければいけません。 同様に角yについてもこの恒等式が成り立たせなければいけません。 ここでsiny, cosyについて考えると、 (sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b より siny = a/sinx cosy = b/sinx なので、 sin^2y + cos^2y = (a^2 + b^2)/(sin^2x) となります。 よって(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1とならなくてはいけません。 (そうしないと恒等式sin^2y + cos^2y = 1が成立しなくなってしまいます)。 さて、(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1という条件式をもっと整理してみます。 sinx = ±√(1 - c^2)なので、 (a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1 (a^2 + b^2)/(1 - c^2) = 1 a^2 + b^2 = 1 - c^2 ∴a^2 + b^2 + c^2 = 1 よって正当な解が得られるのは a^2 + b^2 + c^2 = 1の時に限定されるということになります。