質問: 多変数多項式の係数の求め方 y =a0 + a11*x1 + a12*x1^2 + a13*x1^3 + ・・・ + a21*x2 + a22*x2^2 + a23*x2^3 + ・・・ ・ ・ 上記のような多変数多項式の各係数をエクセル2007で求めようとしているのですが、 やり方がわかりません。 単変数や1次の多変数の係数は、linest関数や回帰解析ツールを使えば、 求められることが分かったのですが、多変数多項式の各係数はどのようにして求めるのでしょうか。 どなたかご教授いただけると助かります。
回答: >被説明変数に影響がなさそうな説明変数ほど係数の絶対値が大きく、 必ずしもそうとは言えません。 xの係数(偏回帰係数という)の大きさや符号を考える上で,注意点が大きく分けて二つあります。 (1) まず,単位の問題です。 これは回答者no3さんも指摘したとおりです。 例えば, 身長が1cm伸びたら体重が1kg増えた というのと 身長が1cm伸びたら体重が1000g増えた は,全く同じ現象です。 しかし,数学的には(数式上は),後者の増加率は前者の1000倍にもなります。 多変量解析では様々な単位の測定値を使うので,この点の注意が必要です。 (2) 次に,x(説明変数とか独立変数と呼ぶ)相互間の相関です。 これは分析に慣れた研究者でも忘れやすい点です。 回答者no3さんは >(係数が)絶対値が大きいほど、yの値に影響 と述べましたが,この説明は誤解を与えます。 xを説明変数と述べましたが,これは, yをどれだけ説明できるか,あるいは,どれだけ密接に結びついてるか を調べるために計算された式だから,そう呼ぶのです。 それを検討するとき, 係数の絶対値が大きければ,より一層yと結びついてる とは必ずしも言えません。 例えば,簡単のため2変数モデル(重回帰式)を考えます。 y=a*x1+b*x2 (a) まず,次のような架空のデータを考えます。 yx1x2 115 328 534 746 1057 計算すると, y = 2.19* x1 + 0.063* x2 -1.74 となります。 x1の係数が,ずっと大きいですね。 そこで,各xとyとの相関を計算すると, x1とy,r = 0.996 x2とy,r = 0.226 であり,見事にx1の影響が大きいことが示されているようです(実際には,後述の分析が必要)。 (b) 次に,別のデータを考えます。 yx1x2 31.96 54.112 42.99 76.118 96.921 同様に計算すると, y = -2.6* x1 + 1.3* x2 +0.32 となります。 ここでは,x1の係数の絶対値は,x2のそれの2倍あります。 では,x1 のほうがyを良く説明してるのでしょうか? yとの相関を計算すると, x1とy,r = 0.98 x2とy,r = 0.99 両方ともほとんど違わず,むしろx2のほうが,やや大きくなっています。 では,上の二つのデータ(a)と(b)のどこが違うのでしょうか? 説明変数相互間の相関を計算します。 (a) x1とx2,r = 0.2 (b) x1とx2,r = 0.998 実は,(b)は,x1とx2が相互に関連し合ってyに影響を与えていたのです。 だから,偏回帰係数の違いや大きさは,yに与える影響だけでなく,x相互間の影響も含んだものとなっているのです。 一方,(a)は,x1とx2の相互の影響が小さく,重回帰式がそのまま,各xがyに与える影響を反映しているのです。 前回指摘した問題点がここでも出てきました。 つまり,説明変数を多くすれば,それだけ,その相互間の影響も増えてくるのです。 x1, x2, x3 ならば, x1 と x3 x2 と x3 x1 と x3 の相互間の影響を分析しなければなりません。