質問: ベクトルの問題です 四面体oabcにおいて、oa=ob=oc=3、ab=bc=ca=√6である。 また、点pは辺abをx:1-xに内分し、点qは辺ocをy:1-yに内分する。(0
回答: opベクトルをop↑と表すことにします。 (2) pq↑=oq↑-op↑ ですので、oq↑とop↑をa↑,b↑,c↑,x,yで表せばよい。 qはocをy:(1-y)に内分する点だから oq↑=y*c↑ pはabをx:(1-x)に内分する点だから op↑=(1-x)*a↑+x*b↑ ですね。 (3) pq↑の大きさの2乗は pq^2=pq↑・pq↑ (pq↑とpq↑の内積) となります。このpq↑に(2)で得られた式を代入して展開してみましょう。 ここで a↑・b↑=b↑・c↑=c↑・a↑=6 ((1)の結果より) の関係と a↑・a↑=b↑・b↑=c↑・c↑=9 (a↑・a↑=oa^2=9) を使うと、ベクトルは全て数字に変わり、x,yだけの式になります。 その式を変形して最小値を求めればよい。まず、xについて平方完成の式を立て、残った項についてyについての平方完成の式を立てればよいでしょう。 追記 (1)は余弦定理を使うよりもab↑=b↑-c↑として、ab↑・ab↑=6の関係を使うほうが楽そう。直接a↑・b↑の値が得られます。