質問: ベクトル場の面積分 ベクトル場 a=2yi+zj に対し,平面2x+2y+z=4が座標軸と交わる3点からできる三角形tについての面積分∫_t〖a・ds〗を求める問題で, 法単位ベクトルの求め方はわかるのですが,∫_t〖a・ds〗がどうなるのかがわかりません。どなたかわかる方お教えください。
回答: ベクトルaとtの単位法線ベクトルをそれぞれ a↑、n↑と書けば z=4-2x-2y z_x=-2,z_y=-2 ds=√{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy=3dxdy d={(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦2-x} a↑=(2y,z,0),n↑=(2/3,2/3,1/3) より a↑・n↑ds=(2y,z,0)・(2/3,2/3,1/3) 3dxdy=2(2y+z)dxdy なので i=∫_t [a↑・ds↑]=∫_t [a↑・n↑] |ds| 平面t上では z=4-2x-2y,|ds|=3dxdy であるから =∫∫_d 2(2y+(4-2x-2y))dxdy =∫[x:0→2]dx∫[y:0→2-x] 2(4-2x)dy =∫[x:0→2] 2(4-2x)(2-x)dx =4∫[0→2] (2-x)^2 dx =4[(1/3)(x-2)^3][0→2] =(4/3)*8 =32/3 ← (答え)