質問: 三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx http://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%86%86%e5%91%a8%e7%8e%87 によると、 π:=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx π:=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx π:=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx ということですが、 ∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx =2∫[-1,1]√(1-x^2) dx =∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか? 三角関数を使わずに、という理由は、 arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dx というのが三角関数の定義として考えたいからです。
回答: ∫[-1,1]√(1-x^2) dx =[x√(1-x^2)][-1,1]+∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx =-∫[-1,1]√(1-x^2) dx+∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx ∴ 2∫[-1,1]√(1-x^2) dx =∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx