質問: (平面)ベクトルによる図形の証明問題 お世話になっております。教科書の章末の証明問題のため、解が分からなく、御判断を仰ぎたく存じます。 問 四角形abcdにおいて、辺ab、bc、cd、da の中点をそれぞれe、f、g、hとし、対角線ac、bdの中点をそれぞれi、jとする。このとき、線分eg、fh、ijは一点で交わることを証明せい。 一応次のように解いてみました。(計算や式変形の過程は省略してます。) 以下、定点oに関してoa↑=a↑、ob↑=b↑、oc↑=c↑、od↑=d↑ とする。egとhfは一点で交わり、この点をqとする。 ij↑=oj↑-oi↑=(-a↑+b↑-c↑+d↑)/2...(1) 点qは直線eg、fh上にあるから、 (ア) oq↑={(1-t)a↑+(1-t)b↑+tc↑+td↑}/2。 (イ) oq↑={(1-t)a↑+tb↑+tc↑+(1-t)d↑}/2。 (ア)=(イ)から、oq↑=(a↑+b↑+c↑+d↑)/4。 iq↑=oq↑-oi↑=(-a↑+b↑-b↑+d↑)/4...(2) (1)(2)から、ij↑=2iq↑が成り立つから、三点i、j、qは直線ij上にあり、qはegとfhの交点だから、eg、fh、ijは一点qで交わる。 おしまい。 矛盾点とか、もっとスマートな解き方あるでしょ、とかありましたら、ご回答願います。宜しくどうぞ。
回答: こんばんわ。 「置いてしまえば」証明問題なので、導けることは確実ですよね。 ですので、回答はそれでいいと思います。 もうちょっと「基本に立ち返る」というところで考えてみると。 ab→と ad→は「一次独立」なベクトルですから、 ac→はそれらの線形結合 s*ab→+ t*ad→(s, tは定数)と表すことができます。 点aを原点として扱うイメージですね。 そこから、aq→を ab→と ad→で表して・・・と あとの流れは質問者さんの回答と同じになるかと。