質問: 画像の式は-πからπ範囲でのf(x)=2xとf(g)=axの直線の距離2x-axの二乗の値が、 下の 画像の式は-πからπ範囲でのf(x)=2xとf(g)=axの直線の距離2x-axの二乗の値が、 下のグラフの-πからπ範囲の面積の値と一致するのでしょうか? なぜ一致するとわかったのでしょうか? どうかよろしくお願いいたします。
回答: 「直線の距離」とお書きであることに引っ掛かりを感じます。すなわち、「関数同士の距離」ってのは「xy座標平面上での点同士の距離」とは全くの別物だということを、正しく理解なさっているんだろうか?と心配。 [1]「関数同士の距離」ってのは、「関数を要素とする集合(関数空間)」の中での「距離」の話です。もちろん、モノサシで測れるようなものではありません。(なお、写真にある説明ではまるで不足です。ここより前のページにキチンとした説明が載ってなきゃ、理解できるはずがありません。) [2] ご質問の場合、関数fと関数gはどちらも定義域が区間[-π,π]で値域が実数です。それで、さては「定義域が区間[-π,π]で値域が実数である関数」の集合ωを関数空間と考えているんだろうな、と推察されます。 (写真にある解説には、この肝心な点が明記されていません。) [3] さて、「関数fと関数gの距離」にもいろんな種類がある。というのは: 任意のf,g,h∈ωについて d(f,f)= 0 d(f,g) ≧ 0 (正定値性) d(f,g) = d(g,f) (対称性) d(f,g)+d(g,h) ≦ d(f,h) (三角不等式) を全部満たすω×ωから実数への関数d(f,g)ならなんでも「距離」と呼ぶ。これが数学における「距離」という用語の定義です。定義なんだから文句言ってもしょうがない。 [4] で、ご質問の場合には、いろんな種類の「距離」の中から ||f-g|| = √(∫{x=-π〜π} (f(x) - g(x))^2 dx) ...(1) という距離を採用したんだな、と推察できます。(1)の右辺は左辺を定義しているんで、文句言ってもしょうがない。式(1)で決まる実数値関数 d(f,g)=||f-g|| はまさに[3]の性質を全部満たしていることが容易に証明できます。確かめてみると良いでしょう。(1)の距離(あるいはその2乗)はいろいろ便利な性質を持っているので、実際にかなり頻繁に使われる「距離の代表選手」みたいなものですが、だからと言って「距離と言えば(1)に決まってるだろ」という訳には行きません。 (写真にある解説には「いろんな種類の距離がある中からこれを選んだよ」という肝心な事が書いてありません。その上、青枠で囲ってある “f(x)とg(x)の距離の2乗”という文言は全く意味不明のデタラメです。ったく困ったもんだ。) [5]というわけで、(1)は関数同士の距離であることは間違いない。そして、(1)で決まる関数同士の距離を測るには、(1)の右辺の積分を計算するしかない。単にそれだけです。 (写真の左側にグラフが描いてありますが、かえって(関数同士の距離と、xy平面上での点同士の距離とを混同するような)変な誤解を生むだけの代物じゃないでしょうかね。いやどうも、変な本で勉強なさっているようで。)