質問: 数学の逆裏対偶の、「裏」と、「否定」を記せという問題の違いがわかりません。教えて下さい。よろしくお願 数学の逆裏対偶の、「裏」と、「否定」を記せという問題の違いがわかりません。教えて下さい。よろしくお願い致します。
回答: 命題の中で (p ならば q) という形をしたものについて、 (q ならば p) を逆、 (notp ならば notq) を裏、 (notq ならば notp) を対偶といいます。 これは、単にそう呼ぶという定義だから、特に理由とかありません。 これを適用して、 (p ならば q) の逆の裏は、(q ならば p) の裏で、(notq ならば notp). すなわち、もとの (p ならば q) の対偶です。 (p ならば q) の裏の裏は、(notp ならば notq) の裏で、(not notp ならば not notq). すなわち、もとの (p ならば q) 自身です。 (p ならば q) の対偶の裏は、(notq ならば notp) の裏で、(not notq ならば not notp). すなわち、もとの (p ならば q) の逆 (q ならば p) です。 二重否定は、not notp ⇔ p ですからね。 否定については、(p ならば q) ⇔ (not p または q) を使うといいでしょう。 (p ならば q) 逆の否定は、(q ならば p) すなわち (notq または p) の否定で、 not(notq または p) ⇔ (not notq かつ notp) ⇔ (notp かつ q) です。 (p ならば q) 裏の否定は、(notp ならば notq) すなわち (not notp または notq) の否定で、 not(not notp または notq) ⇔ (not not notp かつ not notq) ⇔ (notp かつ q) です。 (p ならば q) 対偶の否定は、(notq ならば notp) すなわち (not notq または notp) の否定で、 not(not notq または notp) ⇔ (not not notq かつ not notp) ⇔ (p かつ notq) です。 後半の計算では、ド・モルガンの定理 not(p または q) = notp かつ notq を使いました。