質問: ガロア拡大 体kの単純代数拡大体 l=k(γ) f(x):元γのk上の最小多項式 n=deg(f) g=gal(l/k) m=l^{g}(固定体) g(x)=π(x-σ(γ)) σ∈g の時、g(x)∈m[x]を示して、[l:m]=|g| を示したいです。 g(x)∈m[x]であることとはつまり、 σ(γ)∈m(=l^{g}) であることを示せばいいと思うのですが σはk上同型写像でありますが、γはk上にないので σ(γ)=γ であることをいえません。どのように示せばよいのでしょうか?
回答: >g(x)∈m[x]であることとはつまり、 >σ(γ)∈m(=l^{g}) >であることを示せばいいと思うのですが 違います。g(x) の係数が m に含まれればよいだけです。係数は σ(γ) の対称式ですね。