質問: 球の表面積と体積 こんにちは。円の面積はπr^2で求まりますが球の表面積は何故4πr^2なのでしょうか?4が何故つくのか。 また球の体積は4/3πr^3ですが角錐や円錐の体積の場合は底面積×高さ÷3。球の場合も高さ(r)÷3の部分は同じですが多角形の面積=多角形の面積の和=球の表面積で球の表面積4πr^2をかけますよね。角錐や円錐は底面積をかけるのに何故表面積をかけるのでしょうか?変な質問ですいませんが回答お願いします。
回答: 積分すればそうなる、というのが結論なんですが、積分を使わないと正確な説明は難しいです。 球の体積から。 角錐の体積は角柱の体積の 1/3 ということを証明なしに認めているので、円錐の体積は円柱の体積の 1/3 というのもいいですね。 ここで証明なしに「球の体積は高さ2rの円錐の体積の2倍である」というのを導入します。つまり、高さ 2r の円錐、半径 r の球(=高さ 2r)、高さ 2r の円柱 の3つの体積の割合は、1:2:3 になります。 円柱の体積は 底面積 πr^2 × 高さ 2r = 2πr^3 そこで 球の体積 = 2πr^3 × 2/3 = (4/3)πr^3 (ついでに、円錐の体積 = (2/3)πr^3 ) 次に、球の表面積。 球の表面に小さい三角形を考え、この三角形と球の中心を結ぶ三角錐を考えます。三角形の面積を s とすると、三角錐の体積は s×r÷3 = (1/3)sr 球の表面全体を小さな三角形に分け、それらの体積の和を取ると、 (1/3)sr の和 になりますが、これが球の体積 (4/3)πr^3 にひとしくなります。ここで三角錐の底面積 s の和は 球の表面積 s になりますから、 (1/3)sr = (4/3)πr^3 ここから s = 4πr^2 が出てきます。 下にサイトも参考になると思います。 ↓ http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm