質問: 【数学】多重根号の問題です。√(2+√(2+√(2+...の値は何か。 数学の質問です。 問「√(2+√(2+√(2+... の値はなにか?」が分かりません。与式は根号の中に根号が無限に続きます(多重根号)。 解くだけでは与式をxとおいてx=√(2+x)の解を考えれば良いです。しかしこれは与式が発散しないことを前提に解いていると思われます。 従って与式が発散しないことの証明or他の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
回答: f(n+1) = √(2+f(n)) f(0) = 0 とすると漸化式は、n≧0で f(n+1)*f(n+1) = 2 + f(n) となる。 両辺をf(n+1)で除すると f(n+1) = 2/f(n+1) + f(n)/f(n+1) ⇔ f(n+1)/f(n) = 1/(f(n+1) - 2/f(n+1)) ここで、n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば 1/(f(n+1) - 2/f(n+1)) -> 1/(∞ - 2/∞) -> 0 したがって f(n+1)/f(n) -> 0 --- (1) ところで f(n+1)/f(n) = √(2+f(n)) / f(n) = √(2/(f(n)*f(n)) + 1) なので n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば f(n+1)/f(n) -> = √(2/(∞*∞) + 1) -> 1 --- (2) (1)と(2)は矛盾し、仮定は否定される。 という手順でいいのでは? 数十年前に習ったことを思い返しながらの思索なので、もっと直接的な解法があるかもしれません。