質問: フラクタル幾何 ボックス次元 大学数学、フラクタル幾何のボックス・カウント次元についての質問です。 ____________________________________________ ボックス次元の定義としては、 考えている図形をd次元空間r^d内の有界な集合とする。一辺εのd次元立方体によってその集合を被覆するとき、n(ε)を球または立方体の個数の最小値とする。 ボックスカウント次元(容量次元)d_0は以下のようになります。 d_0=lim[ε→0]{log(n(ε))/log(1/ε)} 例として、r内の集合{0,1,1/2,1/3,...}のボックス次元を考えます。[0,1]を幅1/n^2の区間に分割して、{0,1,1/2,1/3,...}と交わる区間の個数を考えます。 左側n個の区間が{0,1/n,1/(n+1),...}を覆います。また、{1,1/2,1/3,...,1/(n-1)}に関しては点と点の距離が1/n^2より大きいのでn-1個の区間で覆われます。 なので、ε=1/n^2、n(1/n^2)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元d_0は d_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^2)=1/2となります。 ________________________________________________ ◎質問ですが、集合{0,1,1/4,1/9,...}のボックス次元の求め方は以下で大丈夫でしょうか? [0,1]を幅1/n^4の区間で分割して、{0,1,1/4,1/9,...}と交わる区間の個数を考える。左側n個の区間が{0,1/n^2,1/(n+1)^2,...}を覆い、集合{1,1/4,1/9,...,1/(n-1)^2}の点は、点と点の距離が1/n^4より大きいので、n-1個の区間がこの集合を覆う。 よって、ε=1/n^4、n(1/n^4)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元d_0は d_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^4)=1/4となる。
回答: 大丈夫です。