質問: 積分について x・dy/dx+y+y^2/xを 変数分離形になおせという問題ですが、 du/2u+u^2=-dx/xとなるのはわかりました。 次にする積分ですが右辺の-dx/xは-log|x|になるのは分かるんですが 左辺が1/2(log|u|-log|u+2|)になるのが分かりません。 さらにlog|x^2u(u+2)|=2c になる過程が分かりません。 よろしくお願いいたします。
回答: 次のように部分分数展開して2項に分ければ右辺と同様に積分できるだろう。 du/(2u+u^2)=(1/2){1/u-1/(u+2)}du =(1/2){du/u -du/(u+2)} ⇒(1/2)(log|u|-log|u+2|)+c1 =(1/2)log|u/(u+2)|+c1=-log|x|+c2 両辺2倍して、右辺を左辺に移項すると log|u/(u+2)|+2log|x|=log|(x^2)u/(u+2)|=2(c1-c2)=2c ここで、c=c1-c2とおく。 >さらにlog|x^2u(u+2)|=2c >になる過程が分かりません。 とはならないだろう。 log|(x^2)u/(u+2)|=2c だよ。 答が間違っているか、書き写しミスのどちらかだね。