質問: 楕円の接線の長さに関する問題 こんにちは。数学の問題で分からないものがあります。 (x/a)^2+(y/b)^2=1の接線がx軸、およびy軸で交わる点をa、bとする。この時、線分abの長さの最小値を求めよ。 という問題です。 自分が考えた解法の手順は以下のようなものです。 ・楕円との接点を(s、t)とおくと接線は「(y-t)=-(s×b^2)(x-s)/(t×a^2)」と書くことができる ・接線の式にx=0、y=0を代入すれば交点bとaを求めることができる。 ・(s、t)は楕円上の点なので(s/a)^2+(t/b)^2=1が成り立つ ・a^2+b^2を上の式を利用してsかtの式で表す ・式を変形して最小値を求める これでうまくいくと思ったのですが、非常に計算が複雑になってしまいました。 複雑すぎるので他の解法があるのかもしれないと思ったのですが、あるのでしょうか? よろしくお願い致します。
回答: 楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 の上の点(p,q)における接線は px/a^2+qy/b^2=1 で与えられる。よって点a,bの座標は a(a^2/p,0),b(0,b^2/q) 線分abの長さの2乗ab^2は ab^2=a^4/p^2+b^4/q^2 相加平均、相乗平均の関係から ab^2=a^4/p^2+b^4/q^2≧2a^2b^2/pq =が成り立つときに最小値をとり その時 a^4/p^2=b^4/q^2 (1) 点(p,q)は楕円上にあるので p^2/a^2+q^2/b^2=1 (2) (1)(2)を満たすp,qは p=a^2/√(a^2+b^2) q=b^2/√(a^2+b^2) この時abの最小値は √2(a^2+b^2)