質問: 逆関数(大学受験問題) 次の問題について質問させてください。 分数関数f(x))=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求める問題です。 解答は y=(ax+b)/(cx+d)をxについて解くと x(cy-a)=-dy+b すなわちx=(-dy+b)/ cy-a とあるんですが、ここで質問です。 この場合cy-aで割っているので、cy-a≠0を示す必要があるのではないですか? 問題文には特に示されていないのですが・・・。 ただ自分で示そうと思っていろいろやってみたのですが、できませんでした...。 それともここでは示す必要はないのでしょうか? どなたかご存知の方アドバイスをお願いできませんか。よろしくお願いいたします。
回答: >逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします いえるんですよ. y=(ax+b)/(cx+d)は y=a/c は絶対にありえません. 少し式を変形します y = ( (a/c) (cx+d) -ad/c +b ) / (cx+d) = (a/c) + a/(cx+d) a = -ad/c +b と表せます.a/(cx+d)は xが定義域中のどんな値をとっても0には なりません つまりy=a/cは起こりえないのです. こんな計算をしなくても, グラフを考えれば一目瞭然でしょう 分数関数の場合 漸近線には近づくだけで点を共有することは ありません. したがって,解答のように やってしまってかまわないのですが 気になるのであれば, 問題がない旨を答案に書けばいいのです むしろ,書いた方が 採点者に「わかって書いてるんだぞ」という 主張になります. ちなみに本当にめんどくさいのは 「関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求めよ」 という問題です.「分数」の文字が消えただけですが めんどくささ倍増です.とけますか? 同様の問題に 「方程式ax^2+bx+c=0の解を求めよ」 ってのがあります.