質問: 群の定義について。 以下は群のよくある定義の一部です。 (1)ある元0∈Gが存在して、全てのg∈Gに対してg+0=0+g=gが成り立つ。 (2)各g∈Gに対して、g+x=x+g=0を満たす元xが存在する。 ここで、(1)は∃0∈G∀g∈G[g+0=0+g=g]と書け、(2)は∀g∈G∃x∈G[g+x=x+g=0]と書ける。(1)の0と(2)の0の意味は全く異なる。(1)の0は∃によって束縛されている。(2)の0は固定されている。 では、(2)の0は何なのか? (1)を見ただけでは、(1)を満たす元0は複数個あるかもしれない。(1)を満たす全ての元0に対して(2)が成り立つのか?(1)を満たすある元0に対して(2)が成り立つのか?(1)を満たす任意の元0を一つ取って固定し、それに対して(2)が成り立つのか? 多くの本では、(1)の定義をした直後に、単位元の一意性を証明しても循環論法にはならないのにも関わらず、(2)の後に(1)を満たす元の一意性(単位元の一意性)を証明している。 (2)の0は何なのでしょうか?定義として間違っているのではないでしょうか? 以下の定義の仕方であれば、理解できます。 (A) (1)の定義の直後に一意性を示す。 (B) (R,•,0)のように定義する。
回答: 仰る通り、本来、(2)のところで「(1)で存在が保証される0に対して」という注釈があるべきですよね。まあなくても、「(2)に出てくる0って何?」となって読み返しても0は(1)にしか現れていないので(1)の0のことだと推測して読むしかできないわけですが。 少し前にツイッターの数学クラスタでも話題になっていました。 リプライや引用リツイートなども参考になるかと思います。