質問: グラフの頂点がy=x-2上にある2次関数がある。このとき、次の(1),(2)の条件を満たす2次関数をそれぞれ求めよ。ただし、解答欄にはy= ax2乗+ bx +cの形で答えること。
回答: (1) x2の係数が-1のとき、グラフは上に凸である。 このときx=4で最大値をとるということは、 頂点のx座標は4である。 また、頂点はy=x-2上にあるので 頂点のy座標は、y=4-2=2 よって、x2の係数が-1で頂点が(4,2)であるような二次関数は y=-(x-4)2+2 =-(x2-8x+16)+2 よって、y=-x2+8x-14...(答) (2) グラフの頂点はy=x-2上にあるから 頂点を(p,p-2)とすると 求める二次関数は y=a(x-p)2+p-2で表せる。(ただしa≠0) これが2点(0,1),(2,1)を通るからそれぞれ代入 ap2+p-2=1...1 a(2-p)2+p-2=1...2 1-2より ap2-a(2-p)2=0 a{p2-(2-p)2}=0 a≠0より、両辺aで割って p2-(2-p)2=0 {p+(2-p)}{p-(2-p)}=0 2(2p-2)=0 p=1 1に代入 a-1=1 a=2 よって y=2(x-1)2-1 =2(x2-2x+1)-1 よって求める二次関数は y=2x2-4x+1...(答)