質問: 数学の証明問題について 数学の証明の問題がわからないので質問させていただきます。 この問題の答えとできたら解き方も教えていただきたいです。 1.正三角形abcの辺acの中点をdとし、辺bcのcを超えた延長上に点eをcd=ceであるようにとれば、db=deである。 2.二等辺三角形abcにおいてab=acとする。辺ac上の点をd、辺bcのcを超えた延長上に点eをcd=ceであるようにとったとき、db=deとなるのは、dがどんな点の場合か。 3.問題2から次の問題を得る。△abcにおいて、ab=acとし、∠bの二等分線とacとの交点をdとする。bcのcの超えた延長上に点eを、cd=ceであるようにとればdb=deである。 4.△abcにおいてab=acとし、辺acの中点をdとする。辺bcのcを超えた延長上の点をeとしたとき、db=deとなるのは、eがどんな点の場合か。 5.問題4から次の問題を得る。△abcにおいてab=acとし、辺acの中点をdとする。辺bcのcを超えた延長上に点eをce=1/2bcにとればdb=deである。 6.直角二等辺三角形abcにおいて∠a=90°とし、∠bの二等分線とacとの交点をdとする。cからbdへの垂線の足をeとすれば、bd=2ceである。 以上、6個の問題です。 回答よろしくお願いしますm(_ _)m
回答: 3. △abcにおいて、|ab|=|ac|とし、 ∠abcの2等分線とacとの交点をdとする。 bcのcの越えた延長上に点eを、|cd|=|ce|であるようにとる |cd|=|ce|だから ∠ced=∠cde ↓両辺に∠cedを加えると 2∠ced=∠cde+∠ced ↓∠cde+∠ced+∠dce=180°だから 2∠ced=180°-∠dce ↓∠acb+∠dce=180°だから 2∠ced=∠acb ↓|ab|=|ac|だから 2∠ced=∠abc...(1) bdは∠abcの2等分線だから 2∠dbe=∠abc ↓(1)∠abc=2∠cedから 2∠dbe=2∠ced ↓両辺を2で割ると ∠dbe=∠ced だから△dbeは2等辺3角形だから |db|=|de| となる。 1. 正3角形abcの辺acの中点をdとし、 辺bcのcを超えた延長上に点eをcd=ceであるようにとれば △abcは正3角形だから |ab|=|ac| dは辺acの中点だから |cd|=|ad| △abcは正3角形だから |cb|=|ab| bdは共通 △cbdと△abdの3辺が等しいから △cbd=(合同)=△abd だから ∠cbd=∠abd だから dは∠abcの2等分線とacとの交点となるから3から |db|=|de| となる。 2. 2等辺3角形abcにおいて|ab|=|ac|とする。 辺ac上の点をd、 辺bcのcを超えた延長上に点eを|cd|=|ce|であるようにとったとき、 3から dが∠abcの2等分線とacとの交点の場合 |db|=|de|となる。 5. △abcにおいてab=acとし、辺acの中点をdとする。 辺bcのcを超えた延長上に点eを|ce|=(1/2)|bc|にとる。 辺bcの中点をfとすると 中点連結定理から △dfc~(相似)~△abc |df|:|dc|=|ab|:|ac|=1:1 だから |df|=|dc|......(2) ∠bfd+∠dfc=180°だから ∠bfd=180°-∠dfc ↓(2)から∠dfc=∠dcfだから ∠bfd=180°-∠dcf ↓∠dcf+∠dce=180°だから ∠bfd=∠dce......(3) |ce|=(1/2)|bc| だから |bf|=(1/2)|bc|=|ce| と(2),(3)から △bdfと△edcは2辺挟角が等しいから △bdf=(合同)=△edc だから |db|=|de| となる 4. △abcにおいてab=acとし、辺acの中点をdとする。 辺bcのcを超えた延長上の点をeとしたとき、 5から eが|ce|=(1/2)|bc|となる点の場合 |db|=|de| となる 6.直角2等辺3角形abcにおいて∠bac=90°=π/2とし、 ∠abcの2等分線とacとの交点をdとする。 cからbdへの垂線の足をeとする △abcは直角2等辺3角形だから ∠abc=∠acb=45°=π/4 |ce|/|be|=tan(∠abc/2)=tan(π/8) ∠bce=π/2-∠abc/2 ∠dce=∠bce-∠acb=π/2-∠abc/2-∠acb=π/8 |de|/|ce|=tan(∠dce)=tan(π/8) |bd|=|be|-|de| =|ce|/tan(π/8)-|ce|tan(π/8) =|ce|[1-{tan(π/8)}^2]/tan(π/8) =|ce|cos(π/4)/{cos(π/8)sin(π/8)} =2|ce|/tan(π/4) =2|ce| ∴ |bd|=2|ce| である。