質問: 写像の証明
回答: 1 まず、 y を f(f^(-1)(B)) の任意の元とすると y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされます。 ここで、x∈f^(-1)(B) だから y=f(x)∈B で x∈X だから y=f(x)∈f(X) なので y∈B∩f(X) したがって、f(F^(-1)(B))⊂B∩f(X) 逆に、 y を B∩f(X) の任意の元とすると y∈f(X) なので y=f(x)(x∈X)と表わされます。 すると、f(x)=y∈B なので x∈f^-1)(B) よって、y=f(x)∈f(f^(-1)(B)) したがって、f(F^(-1)(B))⊃B∩f(X) したがって、f(F^(-1)(B))=B∩f(X) 2 y を f(A∩f^(-1)(B)) の任意の元とすると y=f(x)(x∈A∩f^(-1((B))と表わされます。 すると、x∈A だから y=f(x)∈f(A) で x∈f^(-1)(B) だから y=f(x)∈B なので y∈f(A)∩B したがって、f(A∩f^(-1)(B))⊂f(A)∩B 逆に、y をf(A)∩B の任意の元とすると y∈f(A) だから y=f(x)(x∈A)と表わされます。 すると、f(x)=y∈B なので x∈f^(-1)(B) よって、x∈A∩f^(-1)(B) すなわち、y=f(x)=f(A∩f^(-1)(B)) したがって、f(A∩f^(-1)(B))⊃f(A)∩B したがって、f(A∩f^(-1)(B))=f(A)∩B