質問: pを素数、aを正の整数とする。
回答: 議論の順番からして素因数分解の一意性は使えませんよね? たぶんベズーの式から行かなければいけません。 (1) p|a^2 であり p|a でないとする。(背理法) p は素数だから p と a は互いに素である。 ベズーの等式から mp+na = 1 をみたす整数 m, n が存在する。 a = pma+na^2 で、p は p と a^2 を割りきるから、 p は pma+na^2 を割りきる。 よって p は a を割りきる。 p|a でないと矛盾。 よって p|a^2 ならば p|a が成立する。 (2) √p が有理数と仮定する。 √p > 0 だから √p = c/d (c,d は正の整数で c と d は互いに素) と書ける。 pd^2 = c^2 p|c^2 だから p|c c = pt (tは整数) とおく。 pd^2 = c^2 = (pt)^2 だから d^2 = pt^2 よって p|d^2 だから p|d p|c, p|d, p>1 だから c と d は互いに素でないので、c, d の取り方に矛盾。 よって √p は無理数となる。