質問: n(n-1)a[n] n(n-1)a[n]=b[n]とおいて、b[n+1]=b[n] (n≧2)としてから解く場合・・・(x)と a[n]/a[n-1] =(n-1)/(n+1) にしてa[n]/a[1]=2/(n+1)n から解く場合・・・(y) のどちらが良いですか? それと、a[n]=3・4^(n-1) b[1]=1, b[2]=3, b[3]=36 b[n+1]=a[n]・b[n]のとき b[n]の一般項を求める問題なのですが、これは(y)の方法でやると解けると以前にこちらで教えてもらったのですが、(x)の方法でやっても解けるのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: hoihoihoi18さんは研究熱心なご様子なので, 一応比較のために(x')型の別解を示します.筆者が説明なしでいいから解けと言われたら採る方法[底2の対数]です. [別解] b[n+1]=3・4^(n-1)・b[n]・・・(1) これとb[1]>0より, すべてのb[n]>0なので(1)の両辺の底を2とする対数をとり, log_{2}4=2に注意すると log_{2}b[n+1]=log_{2}b[n] +2(n-1)+log_{2}3 e[n]=log_{2}b[n], 定数f=log_{2}3 とおくと e[n+1]=e[n]+2(n-1)+f・・・(x'') と書き換えられる. これを階差数列の定義式と見て n>=2のとき e[n]=e[1]+σ(k=1 to n-1){2(k-1)+f} 等差数列の和と見て, (e[1]=log_{2}1=0に注意して) e[n]=0+(1/2){f+2(n-2)+f}(n-1)=(n-2+f)(n-1) ・・・(2') すると,b[n]=2^(e[n])=2^{(n-2+f)(n-1)}=2^{(n-2)(n-1)}・2^{f(n-1)} 2^f=2^(log_{2}3)=3を使うと2^{f(n-1)}=(2^f)^(n-1)=3^(n-1) 以上よりn>=2のとき b[n]=2^{(n-2)(n-1)}・3^(n-1)・・・(3) と書ける.これはn=1でもb[1]=1で成立し,すべての自然数nで(3)式が成立. [補足] 多分,先の方法よりは,後の処理が楽に感じるでしょう. 対数をある程度扱えばわかりますが,特別の積極的理由が他に無い限り,底は1より大きくて(問題に適した)なるべく小さい数が良いです.例えば4や8よりは2,9や27よりは3です.log_{2}8=3 だが log_{8}2=1/3 という例でも理由は感じ取れるでしょうか.2^3=8は楽でも8^(1/3)=2はやや分かりにくいのでは?(筆者はそうですが,そうでない人もいるかも.) この場合も,指数関数の底が4なので,4ととる方が入りやすいし[はじめの解],初心者になぜと問い返されて説明で苦労しないためにはその方が無難なのかも知れませんが,その代償として,後で整理するときに幾分面倒になっています.もちろん原理的には4で何の問題も無いし,その方が素直とも言えます. ただ,経験的には筆者は上記の解が一番楽(で発展性がある)と思っています.