質問: 基本的な確率の問題 基本的な問題なのですが、理解できなかったので教えてください。 電源----スイッチa---スイッチb----電球 上のような図でスイッチaとbが共に壊れていない時に電球が点きます。 スイッチaとbの動かない確率をfとします。 この場合の電球が点く確率を、 1.スイッチの動いている確率から求める 2.スイッチが壊れる確率から求める このような2つケースで考えます。 1.は理解できたのですが2.が理解できませんでした。 1.の場合 スイッチaとbの動いている確率はそれぞれ(1-f)なので、電球の点く確 率は(1-f)の二乗。展開すると 1 - 2f + f^2 2.の場合 スイッチaとbの動いている場合と動いていない場合の組み合わせは、 a b (1) 動く 動く (2) 動く 動かない (3) 動かない 動く (4) 動かない 動かない の4通りで、(2)と(3)と(4)の場合は電球が点かないことになります。 よって電球が点く確率を以下のように考えました。 1 - スイッチabが動かない確率 ↓ 1 - ((2)の確率 + (3)の確率 + (4)の確率) ↓ 1 - ( f + f + f^2 ) 展開すると、1 - 2f - f^2 となり、(1)と違ってしまいます。 逆に1.の答えから考えると、 1 - ((2)の確率 + (3)の確率 - (4)の確率) となっていることが判るのですが、(4)はスイッチaとbの両者が動かない 場合であり、これを何故(2)と(3)から控除するのかが理解できませんでした。 長くなってしまいましたが、納得できるよう、わかり易く教えてください。宜しくお願いします。
回答: a b (1) 動く 動く (2) 動く 動かない (3) 動かない 動く (4) 動かない 動かない の4通りで、(2)と(3)と(4)の場合は電球が点かないことになります。 よって電球が点く確率を以下のように考えました。 1 - スイッチabが動かない確率 ↓ 1 - ((2)の確率 + (3)の確率 + (4)の確率) ここまではok。問題は、(2), (3), (4) の確率です。 (2) の確率は f ではなく、aが動き(確率 1-f)、bが動かない(確率 f) なので、その同時確率で (1 - f) f です。 (3) も同様で、aが動かず(確率 f)、aが動かない(確率 1 - f) の同時確率で f (1 - f) (4) は a,b共に動かない確率なので f^2 故に 1 - { (1-f)f + f(1- f) + f^2} = 1 - (2f - f^2) = 1 - 2f + f^2 です。 p(a) を aが動かない確率、 p(b) を bが動かない確率、 とすると、aまたはbが動かない確率は p(a∪b) = p(a) + p(b) - p(a∩b) です。分かりにくければベン図でも書いて考えてみてください。 p(a) = p(b) = f, p(a∩b) = f^2 なので、 p(a∪b) = 2f - f^2 ここで、 p(a,bともに動く) = 1 - p(a∪b) = 1 - (2f - f^2) = 1 - 2f + f^2 ということです。