質問: (2x, 2y, z)において、 ∫∫s f・ds を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。 (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない) この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか? 特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。 よろしくお願いします!
回答: ベクトルを表すために r↑ = (x,y,z) みたいな表記を使います. 1. 極座標(r,θ,φ)を用いると x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ であり,s上でrは一定値 r = 3 です. ∫[s] f↑・ds↑ = ∫[s] f↑・n↑ ds なのですが,s上で f↑・n↑ = f↑・r↑/r = (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r = (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r = (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r. また, ds = r^2 sin θ dθ dφ. 積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる. 以上より ∫[s] f↑・ds↑ = ∫[s] f↑・n↑ ds = r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ) = 2π r^3 /3 = 18π. 2. sに底面を合わせたものをeとし,eを表面とする体積領域をvとすると, ガウスの発散定理より ∫[e] f↑・ds↑ = ∫[v] div f↑ dv = ∫[v] 5 dv = 18π×5 = 90π. で,求める積分は ∫[s] f↑・ds↑ = ∫[e] f↑・ds↑ - ∫[底面] f↑・ds↑ なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し, 底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり z軸に対して垂直です. すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです: f↑・n↑ = 0. したがって ∫[底面] f↑・ds↑ = ∫[底面] f↑・n↑ ds = 0 であり,求める積分は ∫[s] f↑・ds↑ = ∫[e] f↑・ds↑ = 90π.