質問: ベクトル、外接円、垂心 鋭角三角形abcの外接円の中心をo、辺bcの中点をm、頂点aから辺bcに下ろした垂線の足をd、 頂点bから辺acに下ろした垂線の足をeとし、直線ad、beの交点をhとし、 (→)oa=(→)a、(→)ob=(→)b、(→)oc=(→)cとする。 (ベクトルabを(→)abと表記することにします) (1) (→)ohを(→)a、(→)b、(→)cをを用いて表せ (2) 円oの周上の点pに対し、qは (→)oq=1/2{(→)oa+(→)ob+(→)oc}-1/2(→)opをみたすとき (i)点pが外心oに関するaの対称点a'のとき、qが線分ahの中点であることを示せ (ii)点pが円oの円周上を動くとき、点qの軌跡を求めよ 始めから詰まってしまいました。 (→)ad=s(→)ab+(1-s)(→)acとおくと (→)ad=s{(→)b-(→)a}+(1-s){(→)c-(→)a} =-(→)a+s(→)b+(1-s)(→)c また(→)ad//(→)omより (→)ad=(1/2)t{(→)b+(→)c}で係数比較と思ったのですが あれ?・・・(→)aは・・・(; ́д`) 出来れば(2)のほうもよろしくお願いします
回答: (1)の正解は、 (→)oh=(→)a+(→)b+(→)c ですが、これをベクトルだけの計算で求めるのは難しいかもしれません。 数値計算で求めるなら、 ah=2om を示すことができれば、(これも難しいかもしれませんが) (→)oh=(→)oa+(→)ah=(→)oa+2(→)om=(→)a+(→)b+(→)c となります。 (2) (→)oq=1/2{(→)oa+(→)ob+(→)oc}-1/2(→)op=1/2{(→)oh-(→)op} なので、 (i) (→)oq=1/2{(→)oh-(→)oa'}=1/2{(→)oh+(→)oa} これは、ahの中点を示しています。 (ii) (→)oq=1/2(→)oh-1/2(→)op これは、中心が線分ohの中点で、半径が円oの半分の円を描きます。