質問: 数列の和 σ1/(k*(k+1)*(k*2)) の計算はどのようにやればいいのでしょう (k=1、n) か?? またσ1/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3)) (k=1、n) の計算はどのようにやればいいでしょうか?? うまい方法がありましたら教えてください。 よろしくお願いします。
回答: 級数 σa(k) を計算したい場合、 a(k) = s(k+1) - s(k) というように 各項を他の数列の階差として表すことができれば、 隣り合う s(k) が打ち消し合って ς[k=1...n] a(k) = s(n+1) - s(1) となります。 これは、常套手段です。 この問題も、 1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) } = (-1)/{ 3(k+1)(k+2)(k+3) } - (-1)/{ 3k(k+1)(k+2) } に気が付けば ς[k=1...n] 1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) } = (-1)/{ 3(n+1)(n+2)(n+3) } - (-1)/{ 3*1*2*3 } とわかります。 問題は、どうやって a(k) = s(k+1) - s(k) を見つけるか なのですが、一般的な方法はないですね。 ヤマカンで s(k) を探す際のヒントになるのは、 a(k) から s(k) を求める操作は、積分に「似ている」 という事実です。積分そのものでは、ないのですが... 1/{ k(k+1)(k+2)(k+3) } は k の -4 次式みたいなもの だから、σ すると k の -3 次式みたいなものになるはず と空想してみると、 1/{ (k+1)(k+2)(k+3) } - 1/{ k(k+1)(k+2) } を計算してみる 気持ちになるかもしれません。 そこから、差が a(k) になるように微調整すればよい。