質問: 図のように、エレベーターの天井の点pから長さlの糸で吊り下げられた質量mの小球が、滑らかな水平の床で 図のように、エレベーターの天井の点pから長さlの糸で吊り下げられた質量mの小球が、滑らかな水平の床で等速円運動をしている。糸と鉛直線のなす角θは一定で、小球の速さをv、重力加速度の大きさをgとする。 (1)エレベーターが静止しているとき、小球にはたらく向心力の大きさを求めよ。また、このときの糸の張力の大きさ、および小球が床から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。 (2)エレベーターが静止している状態で小球の速さvをゆっくり増加させたとき、小球が床から離れた。小球が床を離れる瞬間の小球の速さv1を求めよ。 (3)エレベーターが上向きにaの加速度で運動している状態で、(2)と同様にvをゆっくり増加させた。小球が床を離れる瞬間の小球の速さv2を求めよ。 解き方を詳しく教えてください。お願いします。
回答: (1) 円運動の向心力はテキストの「公式」を覚えるしかないですね。 f = mrω^2 = mv^2 /r です。 糸の張力は、糸の向きと直角な向心力とは関係なく、「重力」の糸の方向の成分ですから t = mg*cosθ (2) 小球の上の座標から見た力の関係を図に描いてみましょう。その座標系では、円運動によって「慣性力」である「遠心力」が働きます。遠心力は、向心力と同じで外向きです。 そこで、重力と遠心力の合力の向きが、θより大きくなれば、小球は床を離れますね。 つまり [ m(v1)^2 /r ] / mg > tanθ 床を離れる瞬間は [ m(v1)^2 /r ] / mg = tanθ ですから (v1)^2 = gr*tanθ → v1 = √(gr*tanθ) (3) これは、下向きの慣性力が働き、重力加速度が「g + a」に変わったのと同じです。(上に加速するエレベータでは、床にちょっと押しつけられるような力が働きますよね?) 従って、(2) と同じようにして、「重力+慣性力」と遠心力の合力の向きが、θより大きくなればよいので、床を離れる瞬間は [ m(v2)^2 /r ] / [ m(g + a) ] = tanθ より (v2)^2 = (g + a)r*tanθ → v2 = √[ (g + a)r*tanθ ]