質問: 比例式からの疑問 a:b=b:cの場合ac=b^2になりますが今原始関数をa,cを導関数としてbを関数とした場合、比例の公式にあうような関数はe^x以外には存在しないのでしょうか。
回答: #2です。 >これは演繹的に導出できるものですか。 >自分でじっくり過程を学ばせていただきたいと思います。 すでにa#2で書いた通りです。 >y^2={f(x)}^2 >2yy'=2f(x)f'(x) >yy'=f(x)f'(x)=g(x)^2 の式から見つけます。 まだ見つかるかも知れません。 a#2では仮にg(x)=xとおくと (y^2)'=2yy'=2x^2 y^2=(2/3)x^3 ですから y={√(2/3)}x^(3/2) と出てきます。 y'={√(3/2)}x^(1/2),yy'=x^2となりますから条件を満たしていますね。 g(x)=x^2とおけば (y^2)'=2yy'=2x^4 y^2=(2/5)x^5 ですから y={√(2/5)}x^(5/2) が出てきます。 y'={√(5/2)}x^(3/2) yy'=x^4=(x^2)^2 でやはり条件を満たしていますね。 g(x)=sin(x)とおけば (y^2)'=2yy'=2(sin(x))^2=1-cos(2x) y^2=x-(1/2)sin(2x) (x≧0) y=(1/√2)√{2x-sin(2x)} y'=(1/√2)(1/2){2-2cos(2x)}/√{2x-sin(2x)} =(1/√2)2{sin(x)}^2/√{2x-sin(2x)} yy'={sin(x)}^2 となってyは条件を満たしていますね。 以上から分かることは g(x)に適当な関数を与えて (y^2)'=2yy'=2(g(x))^2 を満たすy^2を求め、そこからyを求めれば 条件を満たす関数y=f(x)がどんどん見つけることが可能の ようです。 際限がありませんので後は自分で導出できると思いますので やってみてください。