質問: 角運動量 位置ベクトルrの位置にいる質量mの質点に、中心力ポテンシャルv(r)=-k/r(k>0)より導かれる力f(r)がはたらいている。質点の運動量をp,角運動量をl,エネルギーをeとする。 ε=((p↑×l↑)/mk)-(r↑/r)が保存量であることを示せ。 保存量なので、dε/dt=0になるっていうことだと思うのですが、まったくわかりません。 詳しい解説お願いします。
回答: ε=((p↑×l↑)/mk)-(r↑/r) mkε = p↑×l↑ - (r↑/r) というのだから、 これを時間tで微分すればいい。 d(p↑×l↑)/dt = (dp↑/dt)×l↑ + p↑×(dl↑/dt) d(p↑×l↑)/dt = f(r)↑×l↑ + p↑×(r↑×f(r)↑) (dp↑/dt = f(r)↑、l↑ = r↑×f(r)↑) それで、 f(r)↑= -grad(v(r)) = -k(r↑/r) だから、r↑とf(r)↑は平行で、sinθ = 0 (r↑×f(r)↑) = 0↑ p↑×(r↑×f(r)↑) = p↑×0↑ = 0↑ 故に、 d(p↑×l↑)/dt = f(r)↑×l↑ = -l↑×f(r)↑ (外積の交換法則を使った) そして、 d/dt(r↑/r) = -(l↑×f(r)↑)/mk (前の質問の結果を使った) mkd/dt(r↑/r) = -(l↑×f(r)↑) したがって、 mkdε/dt = -l↑×f(r)↑ - (-(l↑×f(r)↑)) = 0