質問: x=(2a+b)/3 y=(2a^2+b^2)/3とした時、 -1≦a≦2かつ-1≦b≦1を動くなら x=(2a+b)/3 y=(2a^2+b^2)/3とした時、 -1≦a≦2かつ-1≦b≦1を動くなら(x,y)はどのような軌跡になりますか?
回答: 1.問題 変数 a,b の作る ab直交座標系において -1≦a≦2 , -1≦b≦1・・・・・・(1.1) を満たす四角形の領域が変換 x=(2a+b)/3 , y=(2a2+b2)/3・・・・・・(1.2) によって、xy座標系の領域はどのような形状になるか。 2.計算 2.1 aを一定とし、bを変化させた線分(縦線)の像 a=一定で、b=-1~1 の直線が、xy平面でどのような形状になる か調べるため、bを消去すると y=3x2-4ax+2a2={2a2+(3x-2a)2}/3=3x2-4ax+2a2 =3{ (x-2a/3)2+2a2/9 }・・・・・(2.1) となる。これをみると、同じ形の放物線がaによって、右へ移動、 上から下へ、また上に移動する。その両端での放物線は (2.1)から a=-1 のとき y=3x2+4x+2 =3{ (x+2/3)2+2/9 } (a=-1) ・・(2.2) となり、この両端の座標は(1.2)から(b=-1~1 として) (x,y)=(-1,1)~(-1/3,1) ・・・・・・・・・・・・(2.3) となる。a=2 のときは y=3x2-8x+8 =3{ (x-4/3)2+8/9 } (a=2) ・・・(2.4) となり、この両端の座標は同様に (x,y)=(1,3)~(5/3,3) ・・・・・・・・・・・・・(2.5) となる。 すると、求める領域は左右の両端近傍で、この曲線以下となる。 2.2 放物線群の包絡線 上のように放物線が移動すると、下側ではこの放物線群の包絡 線がある。これは(2.1)の両辺をaで微分したものと(2.1)から、 aを消すと求まるから 0=-4x+4a → a=x → y=x2 ・・・・・・・・・(2.6) となる。すると、求める領域は、少なくとも、この包絡線の上 にある。 2.3 放物線群の両端の軌跡 この両端の軌跡は(2.1)でb=∓1として、aを消すと y=((3x±1)2/2+1)/3=(3x2±2x+1)/2 (b=∓1、複号同順)・・・・(2.7) この曲線と包絡線(2.6)の接点を求めると x2=y=(3x2±2x+1)/2 → (x±1)2=0 → x=∓1 (b=∓1、複号同順)・・・・(2.8) となり、左端は問題ないが、(2.5)から右端 x=1 は放物線の右 端 x=5/3 より小さい。 つまり、右端は x=1~5/3の間は、求める領域の下限は包絡線 ではなく、(2.7)より上にある。 以上をまとめると、求める領域の下限は y≧x2 (-1≦x≦1) , y≧(3x2-2x+1)/2 (1≦x≦5/3) となる。 2.4 求める領域の上側の境界 まず、曲線群の両端の軌跡(2.7)は途中で交差し、入れ替わるか らその交点を求める。 (3x2+2x+1)/2=y=(3x2-2x+1)/2 → x=0 ・・・(2.9) となる。これにより、求める領域の上限の境界が決定され y≦3x2+4x+2 (-1≦x≦-1/3) ( (2.2), (2.3)から ) y≦(3x2-2x+1)/2 (-1/3≦x≦0) ( (2.8), (2.9)から ) y≦(3x2+2x+1)/2 (0≦x≦1) ( (2.8), (2.9)から ) y≦3x2-8x+8 (1≦x≦5/3) ( (2.4), (2.5) から ) 2.5 結論 以上をまとめると、求める領域は x2≦ y ≦3x2+4x+2 (-1≦x≦-1/3) x2≦ y ≦(3x2-2x+1)/2 (-1/3≦x≦0) x2≦ y ≦(3x2+2x+1)/2 (0≦x≦1) (3x2-2x+1)/2≦ y ≦3x2-8x+8 (1≦x≦5/3) となる。