質問: 再度、キャンセルあり待ち行列のパラメータ推定 http://okwave.jp/qa3380102.html の改訂版です。 前回の質問では混乱してしまったので、ストーリーをつけてみました。 ある村では単位時間あたり一定の割合で子供が生まれます。ただし、人口には比例しません。 また、死亡率は一定です。こちらは死亡者数の期待値は人口に比例します。 出生・死亡はランダム・独立に生じます。 単位時間あたり出生数(普通の意味の出生率ではありません。)は与えられています。 また、死亡率は分かりません。 出生・死亡が起きると、そのたびにその村の人口は記録されますが、 誰が生まれたのかは分かりません。 記録されるのは人口のみです。村人は互いに区別できません。 この村の時間は、出生・死亡が起きるたびに+1されるという方式で計られています。 このとき、村人の平均寿命を求めてください。 また、平均寿命と死亡率はどのような関係があるでしょうか?
回答: > 人口=0の直後は必ず人口=1です。 ご質問の文章をもう一度よく読んでみました。 ご質問にある「死亡者数の期待値は人口に比例する」という文言は、「単位時間当りの」という言葉を足して読むしかないでしょう。また、「単位時間あたり一定の割合で子供が生まれ」るとはどういう事か。ここで言う「割合」が『人口に対する割合』でないことは確かなのだから、『時間に対する割合』と考えるしかなく、つまり、『単位時間あたりの出生数の期待値が、人口によらず一定である』と解釈する以外にないでしょう。 さて、死亡の事象が生じただけで時計が進む、という問題設定は、言い換えれば、『死亡の事象が生じない場合は時計が進む度に出生の事象が生じる。死亡の事象が生じた場合には(時計が進んだにも関わらず)出生の事象が生じない』ということです。 でも、死亡の事象が生じた場合には誰も生まれないのであれば、従って、もし出生が一度に1ずつであったなら、死亡の事象が増えるにつれて『単位時間あたりの出生数の期待値』は小さくなってしまいます。この期待値が一定に保たれるためには、たとえば『死亡数が少ない間は出生が少ない』ようになっていれば良いでしょうか。いやいや、出生を減らそうとしても時計が進まないだけのことで、単位時間当りの出生数は減りません。結局、出生を減らす唯一の手段は死亡を生じさせることであり、出生が一度に1ずつである限り調節は不可能です。 逆に言えば、『単位時間あたりの出生数の期待値』が一定に保たれるためには、『一度に何人かが生まれる(たとえば、時計は1しか進まないのに2人生まれる)』という事象が(死亡数が多くなるにつれて頻繁に)生じうるのでなくてはなりません。 つまり、ご質問の文章からは「人口=0の直後は必ず人口=1」は、必ずしも帰結できない筈です。 なのでひょっとすると、ご質問の「ストーリー」は、質問者さんの本来の意図と食い違っているかも知れない。(前のご質問も参考にすると)実時間と、この「村」の特殊な時計とがまだ混同されているのではないかなあ、という印象を受けます。 > ですから、問題はある程度揺らぎが大きい場合、 > ふらつきの効果をどのように考慮するか、ということになりますが、 > どのように扱ったらよいでしょうか? もし「人口が平衡状態のa倍 an (a>1) に達するまで、あるいは人口が0になるまでの平均時間は幾らか」というような問題であれば、ゆらぎそのものの性質に関する問いですから、確率過程として扱うことになりましょう。 しかし、ここでのご質問は「村人の平均寿命」。人口が小さいうちからゆらぎが目立つとすると、それはnが小さいのだから、人口が0からnに至るまでの時間(ステップ数)は少ない筈です。なら、単に人口を経時的に平均すれば、nが推定できる。 で、ano.1では qn=p としましたが、ご質問の正確な条件設定がよく分からないから、この式は撤回です。もちろん、時計の進み方についてはっきりしないところ(時計は1しか進まないのに2人生まれるということがあるかどうかなど)があるまま、平均寿命を計算するのは無理ですね。