質問: 互いに素と負の数 質問が複数ありまして、どうか教えてください。 ア:2整数a、bが互いに素というとき、a、bは自然数というのは前提ですか?例えば-2と-5や、-2と5は互いに素と言わないですか? 互いに素なら最大公約数が1のみだから、言わないのでしょうか? イ:公約数に負の数は入りますか?例えば6と4の公約数の1つは-2、などと言いますか? ウ:互いに素であることを示すなら、最大公約数が1しかないことを示すのと、公約数が1しかないことを示すのとどっちが普通ですか? 基本的なことですみませんが、基本が曖昧だったのでお願いします。
回答: 1 を割り切る数のことを「単数」と言います。 整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。 整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。 整数の素因数分解については、例えば 30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5) のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、 式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、 「素因数分解は一意である」と言います。 2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、 同じことである ...とみなしているのです。 だから、ア.「互いに素」についても、2数が負数を含んでも構いません。 -2 と-5 や -2 と 5 では、公約数は 1 と -1 ですが、この2つは 互いに単数(-1)倍の関係なので、因子としては 1 個とみなすのです。 -2 と-5 は、互いに素です。 イ. についても、-2 は 6 と 4 の公約数か否か? と問われれば、 答えは「公約数である」ですが、公約数を挙げよと言われたとき、 負の公約数までいちいち挙げる必要は普通ありません。 「2 は 6 と 4 の公約数である」とだけ述べれば、その文意として 2 の単数倍である -2 が 6 と 4 の公倍数であることも含んでいる と考えるからです。 因子の単数倍については、言わずもがなだから毎度言及はしない だけで、負数も公約数公倍数に含まれることに違いはありません。 ウ. の2つの条件は、どちらも全く同じです。 元が 1 個しかない集合の最大値は、その 1 個の元ですから、 互いに素な2数の最大公約数と公約数は同じことです。 どちらが 1 個しかないと言っても、論理に違いはありません。 ただし、この場合も、「1 だけしかない」は、1 と -1 だけしかない ことを指して言っているのです。