質問: ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください ※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△oabがあります。点pが次のベクトル方程式を満たすとき、点pの描く図形を求めてください。ただし、oa→=a→、ob→=b→、op→=p→とします。(途中式もお願いします。) (1)|2p→-a→-b→|=4 (2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (2)空間内に4点a(0、1、2)、b(1、0、-1)、c(-1、1、4)、d(x、y、z)があります。 4点a、b、c、dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)(1)線分abの中点を中心とする半径2の円 (2)線分abを直径とする円 (2)2x-y+z-1=0 です。
回答: ※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△oabがあります。点pが次のベクトル方程式を満たすとき、点pの描く図形を求めてください。ただし、 >oa→=a→、ob→=b→、op→=p→とします。 >(1)|2p→-a→-b→|=4 2|p-(1/2)(a+b)|=4より、 |p-(1/2)(a+b)|=2だから、ベクトル(1/2)(a+b)の表す点が中心 よって、中心がabの中点で、半径2の円 >(2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (p-a)・(p-b) =|p|^2-(p・a+p・b)+a・b =|p|^2-(p・(a+b))+a・b ={|p|^2-(p・(a+b))+(1/4)|a+b|^2}-(1/4)|a+b|^2+a・b=0 |p-(1/2)(a+b)|^2=(1/4)|a+b|^2-a・b 右辺=(1/4){|a|^2+2(a・b)+|b|^2-4(a・b)} =(1/4){|a|^2-2(a・b)+|b|^2} =(1/4)|a-b|^2 =|(1/2)(a-b)|^2 よって、|p-(1/2)(a+b)|=|(1/2)(a-b)|だから、 中心がabの中点(直径がab)で、半径が|(1/2)(a-b)|の円 >(2)空間内に4点a(0、1、2)、b(1、0、-1)、c(-1、1、4)、d(x、y、z)があります。 >4点a、b、c、dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。 4点がある平面をax+by+cz+d=0とおく。 aを通るから、b+2c+d=0より、b=-2c-d bを通るから、a-c+d=0より、a=c-d cを通るから、-a+b+4c+d=0 に上のb,aを代入して整理すると、 c=-d,これから、a=-2d,b=d よって、a:b:c:d=-2:1:-1:1から、 法線ベクトルは、(-2,1,-1) このような平面は、-2x+y-z+1=0より、 dもこの平面上の点だから、x、y、zの関係式は、 2x-y+z-1=0