質問: 確率 三枚の硬貨 (問)三枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除いていく。この操作をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返し、n回目に試行が終わる確率をpnとする。 (1)p1、p2を求めよ。 (2)n回以上操作が続く確率qnを求めよ。 この問いの(2)がわかりません。(1)を誘導とみなし、pnを求め、 qn=1-(p1+p2+p3+・・・+pn-1) として、σを利用して解くと思うのですが、pnが求まりません。 アプローチの仕方がおかしいのでしょうか。考え方だけでも構わないのでわかる方教えて下さい。 ちなみに、答は (1)p1=1/8 p2=19/64 (2)qn=3/2(n-1)乗-3/4(n-1)乗+1/8(n-1)乗 です。お願いします。
回答: この問題はqnの方が比較的簡単に求められるので、qnからpnを求めようとするものかと思います。 は、<(n-1)回以内で操作が終わる>の余事象です。 <(n-1)回以内で操作が終わる>のは、3枚の硬貨を仮に(n-1)回まで投げ続けたとき<硬貨aが少なくとも1回以上裏を出し>かつ<硬貨bが少なくとも1回以上裏を出し>かつ<硬貨bが少なくとも1回以上裏を出す>ことで、「かつ」で結ばれた3つの事象の確率はすべて同じです。 <(n-1)回投げてある特定の硬貨が少なくとも1回以上裏を出す>は、<(n-1)回投げてある特定の硬貨がすべて表を出す>の余事象です。 (n-1)回投げてある特定の硬貨がすべて表を出す>確率は(1/2)^(n-1)ですから、qnは qn=1-{1-(1/2)^n}^3 =3(1/2)^(n-1)-3(1/4)^(n-1)+(1/8)^(n-1) と求められます。 この方法がもし分かりづらければ、事象を次のように分けて考えてもよいと思います。 a) 最初の(n-1)回で3枚の硬貨がともに表しか出さない。 確率:(1/2)^{3(n-1)} b) 最初の(n-1)回で1枚の硬貨だけ少なくとも1回以上裏を出し、他の2枚は表しか出さない。 確率:3×{1-(1/2)^(n-1)}×(1/2)^{2(n-1)} c) 最初の(n-1)回で2枚の硬貨だけ少なくとも1回以上裏を出し、他の1枚は表しか出さない。 確率:3×{1-(1/2)^(n-1)}^2×(1/2)^(n-1) これらの和を整理すればqnが求められます。