質問: 直積位相 x、yを位相空間とする。 『w⊂x×yがx×yの開集合⇔任意の(x,y)∈wに対して、x∈xのxにおける開近傍u⊂x、y∈yのyにおける開近傍v⊂yでu×v⊂wとなるものが取れる』 と定義することにより、x×yは位相空間になる事を示せ。 という問題です。 x、yが位相空間なので、それぞれの位相をo(x)、o(y)としてx×yの位相をo(x×y)={uλ×vλ;uλ∈o(x)、vλ∈o(y)}とおいて証明しようとしたのですが、これでは上記の定義が満たされていないと注意され詰まってしましました。 どなたかアドバイス(もしくは証明)していただけませんでしょうか?
回答: o(x×y)の定義は上に書いてあるとおりですよ、つまり o(x×y)={w⊂x×y:任意の(x,y)∈wに対して(中略)となるものが取れる} 実はもうちょっと一般的な表現があるのですが、証明にはこの定義を用います。 位相空間の条件3つ (i)φ、x×yが開集合 (ii)(無限個の)開集合の合併集合は開集合 (iii)二つの開集合の共通部分は開集合 を満たすことが分かればok。(i)は省略 (ii)の証明 w[i]∈o(x×y)(i∈i(iは添え字集合))に対して ∪[i∈i]w[i]が開集合であることを示せす。 (x,y)∈∪[i∈i]w[i]とすると、あるi'∈iに対して (x,y)∈w[i']である w[i']は開集合なので、x∈u,y∈vとなるu,v(:xおよびyの開集合)で u×v⊂w[i']となるものが取れる このときu×v⊂∪[i∈i]w[i]でもあるので、 ∪[i∈i]w[i]が開集合であることが示せた。 (iii)略証 w[1]∩w[2]で同じようなことをやる。 (x,y)∈w[1]∩w[2]ならば(x,y)∈w[1]かつ(x,y)∈w[2]なので x∈u[1],y∈v[1]かつx∈u[2],y∈v[2]なる開集合u[1]u[2]v[1]v[2]がとれる このときu=u[1]∩u[2]、v=v[1]∩v[2]もxおよびyの開集合で (x,y)∈u×vであり、u×v⊂w[1]∩w[2]であることが分かればok