質問: 2・5であるからnを計算すると末尾には0が連続して9コ並ぶ (素因数2の個数が多いのはわかります。でも5の倍数には2の倍数でないものも含まれますよね?なのに、なぜ、素因数5だけを求めるのですか?素数10が何個あるかという問題だから素因数2と5が何個あるかが分かれば良いと書いてあるが、2は結局なぜ求めないのですか?)
回答: x=1・2・3・4...・38・39・40とすると、 xを素因数分解すると x=2^n・3^m・5^l・7^k・11^j・...(...には40までの素数の整数乗が並ぶ) (ここで、n,m,l,k,j...は正の整数) と表すことができますね。 さらに、この場合明らかにn>lなので、n=l+iとおくと、 x=2^(l+i)・3^m・5^l・7^k・11^j・... =2^l・5^l ・2^i・3^m・7^k・11^j・... =(2・5)^l ・2^i・3^m・7^k・11^j・... =10^l ・2^i・3^m・7^k・11^j・... となります。この"l"の数が、そのままxの0の数となります。なので、lを求めればよいことになります。 このlに寄与する40までの整数は 5,10,15,20,25,30,35,40 の8つですが、ここで注意が必要なのは25です。25は素因数分解すると5・5なので、5を2つ含むことになります。25以外の7つの整数は素因数分解すると5を1つ含みます。 よって、xに含まれる5の整数乗の数"l"は、l=8+1=9になります。(もしくはl=7+2=9としてもよいです) よって、求める答えは9となります。