質問: 数学です! a , bを自然数とする。 (1)abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ。 (2)a+bとabがともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。 (3)a+bとa二乗+b二乗がともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。 整数の性質の問題です。 わかる方いますか?
回答: (1)abとは、a × b ということでよいですね? a × b が3の倍数であれば、適当な自然数 k に対して a × b = 3 × (a × b) / 3 = 3 × k ただし、k = (a × b) / 3 と書けます。 従って、 k = a/3 × b (a) または k = a × b/3 (b) となります。 k が自然数であるためには、少なくとも a, b の一方が3の倍数であることが必要です。 (2)上記の(1)から、abが3の倍数であれば、aまたはbは3の倍数でです。このうち、aを3の倍数としても一般性を失わないので、適当な自然数 m を用いて、 a = 3 × m (c) とします。すると、 a + b = 3 × m + b と書け、これが3の倍数であることから、適当な自然数 n を用いて、 a + b = 3 × m + b = 3 × n (d) と書けます。これより b = 3 × n - 3 × m = 3 × ( n - m ) となり、b も3の倍数となることが分かります。 (3)適当な自然数 p、qを用いて、 a + b = 3 × p (e) a^2 + b^2 = 3 × q (f) (e)を2乗すると (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9p^2 これに(f)を代入すれば 9q^2 + 2ab = 9p^2 ∴ 2ab = 9 (p^2 + q^2 ) 2ab が9の倍数であるためには、ab が9の倍数でなければなりません。 9の倍数ということは、3の倍数ですから、上記の(2)より、aとbはともに3の倍数であることになります。