質問: ガンマ関数とベータ関数 積分計算でガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準を教えてください。
回答: 積分をガンマ関数やベータ関数で表すことに成功すれば使えるのは確実。しかし成功しなければ本当に表せないのか、それとも捜し方が足りないのか分かりません。ありとあらゆる変換を全て試してみるわけにもいきません。したがって積分がガンマ関数かベータ関数に帰着されるかを判定する方法、できれば変換を具体的に与える処方箋が欲しいと思うのは当然でしょう。 積分が初等関数になるかどうかを判定する方法はあります。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%be%ae%e5%88%86%e3%82%ac%e3%83%ad%e3%82%a2%e7%90%86%e8%ab%96 西岡久美子「微分体の理論」 これは微分体のガロア理論になります。しかしガンマ関数やベータ関数は初等関数ではありません。現在のところ積分がガンマ関数やベータ関数で表されるかを確実に判定する方法はないと思います。ガンマ関数やベータ関数のほとんどの本は計算例の羅列で根底となる理論が欠如しているような印象はぬぐえません。そもそもベータ関数とは何かと言えばはfermat 曲線のh1(cn) に 現れる周期積分となっているのだそうです。 http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf 有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, galois 群gq の 進表現(とhodge 構造の対) を対応させることができます。この方向を進めていけば、積分が初等関数かをガロア理論で判定できたようにガンマ関数やベータ関数になるかも判定できるかもしれません。