質問: A{} B{}の時 AとBの差集合は{}となりますか? 成立する場合 証明もお願いします。
回答: ちなみに B={} って前提がなくても、 A={} の時点で 差集合が {} になる事が示せるよ。 つまり、A = {} ⟹ (A \ B) = {} が示せて、これは質問の十分条件になってるから、こっちを示すよ。 まず前提として、 ∀x. x ∈ (X \ Y) ⟺ x ∈ X ∧ x ∉ Y X = {} ⟺ ∀x. x ∉ X この二つは認める事とする。 k が k ∈ (A \ B) を満たすと仮定すると、 k ∈ A ∧ k ∉ B が成り立つため k ∈ A より k ∈ {} が成り立つため、∀x. x ∉ {} と矛盾する。よって k ∈ A ∧ k ∉ B を満たす k は存在しない。よって ∀x. x ∉ (A \ B) が示されたため、(A \ B) = {}。