質問: 今日中に解決したい数学の問題があります。 空間ベクトルの問題です。
回答: 最小経路を求めよ、という問題ですね。 Qから出発してxy平面上の点Pに行き、その後Dに向かう 経路の長さを最小にする、という問題ですが、これは xy平面に関してDと対称な位置にある点とQを結ぶ直線 の長さと一致します。つまり、直線QCの長さになります。 ■理由 xy平面上に点Pを取った時、DとCがxy平面に関し対称で あることから、PD = PC となります。 したがって、QP+PD = QP + PC Pを色々動かした時、 QP + PCが最小になるのは PがQCを結ぶ直線上にあるときだ、というのは分りますね? 今の問題の場合、Q自体も動くので、結局 QCの長さが最小になるような点Qの座標および QCがxy平面と交わる点Pの座標を求めよ という話になります。 それでは計算していきましょう。 QはAB上の点なので、パラメータs(0≦s≦1)を使って 次のようにかけます(内分点公式です)。 Q(2s,s,1-s) よって、QCの長さは次のようになります。 |QC| = √{ (2s)^2 + ( s -2 )^2 + (1-s +1)^2 } = √{ 6s^2 -8s + 8 } QCが一番短くなるのは、ルートの中身6s^2 -8s + 8がいちばん 小さくなる時です。 6s^2 -8s + 8 =6( s - 2/3 )^2 -24/9 + 8 =6( s - 2/3 )^2 + 16/3 なので、QCの長さはs=2/3の時最小値√(16/3)= (4√3)/3となります。 したがって、このときのQの座標はs=2/3を代入して Q( 4/3, 2/3, 1/3) また、Pの座標は直線QCとxy平面の交点です。 直線QCはパラメータtを使って表すと x=-4/3 t y= 4/3 t + 2 z=-4/3 t -1 と表せます(直線のパラメータ表示) この直線がxy平面と交わるのは、z=0となるとき、すなわち t=-3/4となるときです。 よって、Pの座標は P( 1, 1, 0 ) となります。 答え Q( 4/3, 2/3, 1/3) P( 1, 1, 0 )