質問: 自然数nに対して、 P=∮[0,1]x^2|sinnπx|dxとおいたとき、極限値lim[n→∞]Pは? という問題について質問です。 t=nπxと置換して計算を進めると P=1/(nπ)^3Σ[k=1,n] ∮[(
回答: (1) P=∮[0,1]x^2|sinnπx|dx についてt=nπxと置換します。x=t/(nπ)、dx=dt/(nπ) なので P=∮0,nπ)^2|sint|(1/(nπ))dt =[1/(nπ)^3]∮[0,nπ]t^2|sint|dt =[1/(nπ)^3][∮[0,π]t^2|sint|dt + ∮[π,2π]t^2|sint|dt + ∮[2π,3π]t^2|sint|dt +...+ ∮[(n-1)π,nπ]t^2|sint|dt] =[1/(nπ)^3]Σ[k=1,n]∮[(k-1)π,kπ]t^2|sint|dt ここでt=t'+(k-1)πとおくと、dt=dt'、t∈[(k-1)π,kπ] は t'∈[0,π]と同値なので =1/(nπ)^3]Σ[k=1,n]∮[0,ππ)^2|sin(t'+(k-1)π)|dt' となり、たしかに問題文どおりの変形ができました。(最後の式でt'をもういちどtに置き換え直せばよい。) したがって、質問者様の >被積分関数をt軸方向に-(k-1)πだけ平行移動させたんですか? >その場合、本当に同値なんですか? という質問への答えは、ともにYesです。 (2) ∮0,ππ)^2|sin(t+(k-1)π)|dt の変形ですが、まずf(t)=|sint| (t≥0) のグラフをイメージすると、f(t)=sin(t)の負の部分を正の側に折り返した形になりますので、おにぎり型の山がπの周期で横にずらっと並んだ形となっています。したがって、|sint|=|sin(t+π)|=|sin(t+2π)|=...=|sin(t+(k-1)π)|=... なので =∮0,ππ)^2|sint|dt また、0≤t≤π では sint≥0 なので |sint|=sint したがって =∮0,ππ)^2sintdt となります。