質問: z軸の周りを回転している速度に関する問題です。 物理数学についての質問です。円筒座標系と速度の問題です。 z軸の周りに一定の書く速度で回転している円盤を考える。このとき角速度ベクトルは(0,0,ω)で与える。 (1)円筒座標系(r,θ,z)における円盤の速度 v=(vr,vθ,vz)をωを使って表せ。 (2)直角座標系(x,y,z)における円盤の速度 v=(vx,vy,vz)をωを使って表せ。 (3)角速度ωは ω=1/2×(∂vy/∂x - ∂vx/∂y) で表せることを示せ。 以上のような問題なのですが、まったく分かりません... どなたか教えていただけるとありがたいです・・
回答: (1)vr=0, vθ=ω, vz=0 (2)vx=dx/dt, vy=dy/dt, vz=dz/dt x=rcosθ, y=rsinθ, z=z,rとθがtの関数と考えて vx=dx/dt=dr/dtcosθ+rd(cosθ)/dt =dr/dtcosθ-rsinθdθ/dt=vrcosθ-rsinθvθ =-rωsinθ ((1)を用いて) vy=dy/dt=dr/dtsinθ+rd(sinθ)/dt =dr/dtsinθ+rcosθdθ/dt=vrsinθ+rcosθvθ =rωcosθ ((1)を用いて) vz=dz/dt=0 (3)∂vy/∂x=(∂r/∂x)ωcosθ-rωsinθ(∂θ/∂x) (1) ∂vx/∂y=-(∂r/∂y)ωsinθ-rωcosθ(∂θ/∂y) (2) x^2+y^2=r^2, tanθ=y/xを用いて ∂r/∂x=cosθ, ∂r/∂y=sinθ ∂θ/∂x=-sinθ/r, ∂θ/∂y=cosθ/r (数学の公式集参照) (1)に代入すると ∂vy/∂x=ω (2)に代入すると ∂vx/∂y=-ω 1/2×(∂vy/∂x - ∂vx/∂y)=1/2×(ω+ω)=ω