質問: にゃんこ先生の自作問題、基本対称式が正なら元の数も正か? にゃんこ先生といいます。 2実数a,bがあるとします。 基本対称式a+b,abがすべて正であれば、a,bはすべて正であることがわかります。 3実数a,b,cがあるとします。 基本対称式a+b+c,ab+bc+ca,abcがすべて正であれば、a,bはすべて正であることもわかります。 ここまでは確かめました。 次に、4実数a,b,c,dがあるとします。 基本対称式a+b+c+d,abc+abd+acd+bcd,ab+ac+ad+bc+bd+cd,abcdがすべて正であれば、a,b,c,dはすべて正なのでしょうか? さらに、そのn変数のときはどうなるのでしょうか? 計算では手に負えなくて、別の考えがいりそうなのですが、わからないです。
回答: 解と係数の関係から、 n変数の基本対称式が全て正であれば、そのn変数は、 係数が正な奇数次項の和 = 係数が正な偶数次項の和 という形の n次方程式の解となります。 式形を見れば、負数を代入して成立しないのは明らか ですね。