質問: 相対加速度の問題です 次の問題の(1)~(11)を解いて説明していただけると助かります。 答えだけでも結構ですのでよろしくお願いします。 なめらかな水平面を持つ固定された机の上に、傾斜面60°の斜面と水平面とをもつ台aがのせてある。台aの上の水平面と斜面の上に、物体bおよびcがあり、糸で結んで、滑車pをこえて、図のようにおかれている。台aおよび物体b、cの質量は等しくmであり、台と物体、台と机の間の摩擦、滑車や糸の質量などはすべて無視できるものとする。また、重力加速度をgとする。 いま、全体を手でとめていた状態から、静かに手をはなすと、台a、物体bおよびcはそれぞれ運動をはじめる。ある時間がたって、台aの加速度を水平方向右向きにα、物体bの加速度を水平方向左向きにβとすると、物体bの台aに対する相対加速度は水平方向左向きに[(1)]である。したがって、台aに対して物体bと同じ大きさの加速度をもつ物体cの加速度の水平左向きの成分は[(2)]、鉛直下向きの成分は[(3)]である。これより糸の張力の大きさをt、斜面から物体cに働く垂直効力の大きさをnとすると、aの水平右向きの運動方程式は[(4)]、bの水平左向きの運動方程式は[(5)]、cの水平左向きの運動方程式は[(6)]、鉛直下向きの運動方程式は[(7)]となる。これらの方程式を解くと、α=[(8)]、β=[(9)]、n=[(10)]、t=[(11)]となる。これらより、静止している人から見て、物体cは机の水平面に対して[(12)]度の角度で落下することになる
回答: 慣性力を考慮すると良い好例です。 地上にいる静止した観察者から観察すると、cの運動は極めて複雑になってしまいます。斜面が動きますから、cの運動方向は、図の 60°の方向とはなりません。しかし、台と一緒に動いている観察者oから見ると、各物体の運動は極めて単純なものとして把握することが可能になります。 cの運動は、斜面に沿って下りますが、oから見ると台は止まっていますから、cの運動方向は斜面に沿った方向そのものとなりますし、bの加速度と同じ大きさで下っています。ただ、αと正反対向きに慣性力が働くので、それを考慮しなければなりません。 以下、台と一緒に運動している観察者oから見た状況を、数式化してみましょう。 bが受ける加速度は、台の加速度αの分だけ変化しますから、相対速度と同じ公式で 相対加速度=相手の加速度ー自分(観察者)の加速度 より aに対するbの加速度=β-(-α)=α+β です。 左向きを正としました。 cも全く同じ大きさの加速度を受けています。b,cは糸で繋がっていて、向きこそ違え、同じ運動をしているのですから当然のことです。cの加速度の向きは、斜面に沿って下向きです。それぞれ、右向き,下向きを正として 水平方向の成分は、 大きさが (α+β)・cos60° で左向き ∴ -(α+β)/2 鉛直方向の成分は 大きさが (α+β)・sin60° で鉛直下向き ∴ ((√3)/2)(α+β) 次にそれぞれの物体について、oから見たときの運動方程式を立てます。添付図を参考にして各物体に作用している力を、向きを含めてきちんと評価します。 aに対する、cからの垂直抗力は、右下向きに。そして、滑車を経由して糸の張力の合力が右下向きに掛かってきます。その合力の大きさは t になるようです。aにはこの2力と慣性力が左向きに働いています。aはoから見ると静止したままですから、aについて水平方向の運動方程式は、右向きを正として m・0=n・cos30°+t・cos60°-m・α これを、外部の観察者から見ると、慣性力は無く、加速度もαとなりますから m・α=n・cos30°+t・cos60° 式(ア) となります。2つの式は見る立場が違うだけで、変形すると同じものであることがわかります。 bに対する運動方程式は、張力と慣性力が働いて α+β の加速度を受けるのですから、左向きを正として m・(α+β)=t+m・α 外部の観察者から見ると、慣性力が見えず、加速度がβですから m・β=t 式(イ) cに対しては、 水平方向の力は、糸の張力の水平方向成分+台からの垂直抗力の水平方向成分+慣性力 ですから 水平方向の運動方程式は、左向きを正として m・{(α+β)/2}=-t・cos60°+n・cos30°+m・α 外部の観察者からは、慣性力が見えず、 cの、aに対する相対加速度=cの加速度-aの加速度 ですから m・{(α+β)/2-α}=n・cos30°-t・cos60° ∴m・{(β-α)/2}=n・cos30°-t・cos60° 式(ウ) となります。 鉛直方向に受ける力は 糸の張力の鉛直方向成分+台からの垂直抗力の鉛直方向成分+重力 ですから 鉛直方向の運動方程式は、下向きを正として m・{((√3)/2)(α+β)}=m・g-t・sin60°-n・sin30° 式(エ) こちらは、左右方向の慣性力が働きませんから、外部の観察者から見ても全く同じ方程式になります。 未知数 t,n,α,β の4つに対して、方程式は(ア)~(エ)までの4本有りますから、解けて α=β=... t=... n=... 外部の観察者にとって、cは初速度0で動きだしたのですから、cの加速度の方向がcの運動方向そのものです。 (ウ)を再評価すると、加速度は0ですから、cの加速度は鉛直下向き成分だけとなり、cは垂直に落下していたことがわかります。