質問: 原点をOとして双曲線X^2/4-y^=1と原点を通らない任意の直線mとの交点をA、Bとする。またy=x/2とy=-x/2とmとの交点C、Dとするときmによらず三角形OAD=三角形OBCがmによらず成立することを示せ
回答: 参考です (直接面積を求めた場合の概略です) 双曲線:x^2/4-y^2=1 直線:y=ax+b として 【交点を持つために(a≠±1/2,b≠0,4a^2-b^2<1)】 ●A,B,C,Dの各座標求めると A(x1,y1) x1={4ab-2√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2} y1={b-2a√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2} B(x2,y2) x2={4ab+2√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2} y2={b+2a√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2} C{2b/(1-2a),b/(1-2a)} D{-2b/(1+2a),b/(1+2a)} ●△OAD,△OBCの面積を求めると △OAD=|{b^2-b√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}| △OBC=|{b^2-b√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}| ・・・△OAD=△OBC ●よって、原点を通らない直線mが双曲線と2点の交点を持つとき 原点をOとして、直線mと ・・・双曲線[x^2/4-y^2=1]との交点をA,B ・・・双曲線の漸近線[y=x/2,y=-x/2]との交点をC,D とするとき ・・・△OAD=△OBCがmによらず成立する 【図について】 両側と交わる場合です。 片側と交わる場合も成り立ちます。 緑は交わるときの(a,b)の存在範囲です。(Pは図の場合の位置a=3/5,b=1/2です) ※交わらないときは両方とも無しで、等しい?