質問: 二階定数係数線型微分方程式を求めるやり方について 表題についてuがu``+au`+bu=0を満たすとき、pを0でない定数としてv(t)=e^(pt)u(t)が満たす二階定数係数線型微分方程式を求めよ。 という問題なのですが、求め方がわかりません。 本日テストなので申し訳ありませんが、解き方、回答をお願いいたします。
回答: v(x) = u(x)・e^(px) なら、 v' = u'・e^(px) + u・pe^(px), v'' = { u''・e^(px) + u'・pe^(px) } + { u'・pe^(px) + u・ppe^(px) }. 「積の微分法則」というやつです。 高校で、微積分の最初のほうに習いますね。 y = px と置くと (d/dx) e^(px) = (d/dx) e^y = (dy/dx)・(d/dy) e^y = p・e^y = pe^(px) も、大丈夫でしょうか? 「合成関数の微分法則」です。 冒頭の式を、u, u', u'' の連立一次方程式と見て、解くと、 u = v/e^(px), u' = v'/e^(px) - pu = (v' - pv)/e^(px), u'' = v''/e - (2pu' + p^2 u) = (v'' - 2pv' + p^2 v)/e^(px). これを u'' + au' + bu = 0 へ代入して、 0 = u'' + au' + bu = (v'' - 2pv' + p^2 v)/e^(px) + a (v' - pv)/e^(px) + b v/e^(px) = { v'' + (-2p + a)v' + (p^2 - ap + b)v }/e^(px). 分母を払って、 v'' + (-2p + a)v' + (p^2 - ap + b)v = 0 です。 面倒臭がらずに、チマチマ計算するだけですよ。