質問: 新しい実数の構成:自然数→正の実数→実数 次のような実数の構成はあるのでしょうか? まず、10進法の表記により自然数を構成します。 0を含めます。 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11、12、・・・ といった数を考えます。 ケタ数は有限です。 順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。 0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。 つぎに、小数点以下を考えます。 まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても、順序関係と加法・乗法はいままでと同様です。 そして、小数点以下のケタ数が無限なる数を考えます。 順序関係はいままでに追加して、 1=1.000・・・=0.999・・・ といったことなどを考えます。 加法と乗法の筆算も、「左から計算」していけばいいと思います。 このとき、新しく除法も考えられます。 これで、正の実数が構成できたと思いますが、 最後に、小数点以上のケタ数が無限なる数を考えます。 たとえば、 ・・・1212.12 とか ・・・333.333・・・ 順序関係はうまくいきませんが、 ・・・999+1=・・・000=0 と考えると、 ・・・999=-1 といった意味になり、 3をかけることで、 ・・・997=-3 といった意味になったり、 3でわることで、 ・・・333=-1/3 といった意味になったりします。 また、加法と乗法の筆算は、「小数点を中心に左右へ計算」していけば整合性が得られると思われます。 そして、減法・除法も考えられると思います。 つまり、負の実数が構成されたと思います。 結局、左右に無限に続く10進法表記で、実数とその加減乗除が構成されたと思います。 このような、実数の構成はあるのでしょうか? また、不備がありましたら指摘ください。
回答: 無理。p進距離で発散するから。ちなみにローラン級数は普通、負ベキの係数は高々有限個をのぞいて0を仮定します。でないと局所的には正則関数/0という式になってしまうから。ローラン級数は特異点においては形式的な意味しかないので、ローラン級数に特異点での値を代入してそれに意味を持たそうなどと考えないほうがいい。両側に発散する列を考えたければ、たとえば小数奇数桁を順に右に、小数偶数桁を順に左に書いていくというような方法で、{0,1,2,...,p-1}^zに同値類を入れて数のように扱えなくもないが、計算が煩雑になるだけで何の意味もない。 数学は別に自由にものを考えてもいいけれど、ただ闇雲に話を広げても何の得にもならないし、そういうことはあまり考えないほうがいいと思う。 発散する数をも含む分けの分からない数学を構成したいというなら、そういうことを考えてみるのも一つかも知れないが(分け分からないと書いたけど、100年後に意味のある数学になってたりしてw)、単に負の数を構成したいなら、なんらそうする必要はないし、第一、繰り上がりの処理を小数点で逆転させる必要がある以上、まともな数学になりえないように思う。