質問: ダランベールの判定条件では、 正項級数 σa_n が収束するための条件として r_n=a_(n+1) ダランベールの判定条件では、 正項級数 σa_n が収束するための条件として r_n=a_(n+1)/a_n (n=1, 2, 3, ・・・) とおくとき、すべての n に対して r_n≦k<1 となる正数 k が存在することとされていますが、 lim[n→∞] r_n≦k<1 を条件としてはダメでしょうか?また、さらに{r_n} が単調増加の条件を加えればどうでしょうか?
回答: https://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%80%e3%83%a9%e3%83%b3%e3%83%99%e3%83%bc%e3%83%ab%e3%81%ae%e5%8f%8e%e6%9d%9f%e5%88%a4%e5%ae%9a%e6%b3%95 に 書いてあるように ダランベールの収束判定法は lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|<1 であれば, 級数 ς_{n=1~∞}a(n) は 絶対収束する とされているのです だから lim[n→∞] r_n<1 の方が ダランベールの判定条件 として 一般に認められているのです