質問: 微分積分学の初期値問題です。解き方と解説お願いします。2個目... 微分積分学の初期値問題です。解き方と解説お願いします。2個目が答えです。
回答: とりあえず 最初のみ。 すみません。 y ' + 3 y = 0 を とくと 変数分離型で、 y ' = d y / d x より d y / d x + 3 y = 0 → d y / y = - 3 d x → ∫ d y / y = - 3 ∫ d x → ln l y l = - 3 x + co → y = ± e ^ ( - 3 x + co ) = c1 e^ ( - 3 x ) 次に c1 = z ( x ) とおきます。 y = z ( x ) e^ ( - 3 x ) 1 → y ' = z ' ( x ) e^ ( - 3 x ) + z ( x ) ( - 3 ) e ^ ( - 3 x ) = z ' ( x ) e ^ ( - 3 x ) - 3 z ( x ) e ^ ( - 3 x ) 2 より 1 、 2 を y ' + 3 y = 2 e^ ( - x ) に 代入して、 z ' ( x ) e^ ( - 3 x ) - 3 z ( x ) e ^ ( - 3 x ) + 3 z ( x ) e ^ ( - 3 x ) = 2 e ^ ( - x ) → z ' ( x ) e ^ ( - 3 x ) = 2 e^ ( - x ) → 両辺 e ^ ( 3 x ) 倍 して、 z ' ( x ) = 2 e ^ ( 2 x ) → z ( x ) = 2 ∫ e^ ( 2 x ) d x = e^ ( 2 x ) + c2 → 1 に代入して、 y = ( e^ ( 2 x ) + c2 ) e^ ( - 3 x ) → x = 0 のとき、 y = - 2 より 1 + c2 = - 2 → c2 = - 3 y ( e^ ( 2 x ) - 3 ) e ^ ( - 3 x ) = e^ ( - x ) - 3 e ^ ( - 3 x )