質問: 微分方程式の問題 y'-2xy-3(x^2)(e^(x^2))=0 (1)上式が線形であることを示せ。 (2)上式の一般解を求めよ という問題があります。 解き方がまったく分かりません。 分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いいたします!
回答: (1) 「線形であることを示せ」は、オカシナ問題。 非斉次線形微分方程式は、アフィンであって、線形ではないから。 問題の式が線形微分方程式であることなら、示すことができる。 示すといっても、線形微分方程式の定義が 「関数 a0, a1, a2, ... an, b が与えられたとき ς[k=0...n] ak(x) (d/dx)^k y = b(x) を n 階線形常微分方程式という」 というものだから、見たまんま自明というだけの話。 (2) 定係数でなければ、線形微分方程式に一般的な解法がある訳ではないが、 一階線形常微分方程式の一般解はよく知られている。 dy/dx = p(x) y + q(x) の解は、 y = ∫{ q(x) e^(-∫p(x)dx) }dx e^(∫p(x)dx). これを導くには、dy/dx - p(x) y = q(x) の左辺が積の微分公式になるように 両辺に e^(-∫p(x)dx) を掛けてから、積分すればいい。 今回の問題は p(x) = 2x, q(x) = 3(x^2)e^(x^2) だから、 y = ∫{ 3(x^2)e^(x^2) e^(-∫2xdx) }dx e^(∫2xdx) = ∫{ 3(x^2)e^(x^2) e^(-x^2-c) }dx e^(x^2+c) = ∫{ 3(x^2) }dx e^(-c) e^(x^2+c) = { x^3 + d } e^(x^2). (c, d は積分定数)