質問: 中学数学を教えて下さい 今、問題集を解いているのですが解説を読んでも疑問が残ってしまっています。もしかしたらすごく基本的な部分かもしれないのですが、考えても考えてもわかりません。二問あるのですが、どちらかだけでもいいのでお力添えいただければ嬉しいです。 1.ある素数pに72を加えた数を素因数分解すると13×q(ただしqは素数)となる。 またpをこのqで割ると5余るという。 このとき、pの値で考えられるものをすべて答えなさい。 (解説) p+72=13×qより、p=13q-72 pをqで割った時の商をaとすると、 p=aq+5 よって、13q-72=aq+5 (13-a)q=77 77=7×11、qは素数だからqは7か11 q=7のとき、p=13×7-72=19 q=11のとき、p=13×11ー72=71 19,71は素数だから、問題に適している。 この解説の (13-a)q=77 77=7×11、qは素数だからqは7か11 q=7のとき、p=13×7-72=19 q=11のとき、p=13×11ー72=71 の部分なのですが、 (1)77が11×7なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがqの値になるのか (2)(13-a)は無視してしまっていいのか (3)7と11を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか など、全体的によくわかっていません。(1)~(3)を無視してもいいので、回答頂けると嬉しいです。 2,自然数nに対して、nの約数の個数をf(n)で表す。例えば、f(7)=2、 f(8)=4,f(9)=3である。 自然数aについて、f(a)=6のとき、f(aの3乗)の値をすべて求めなさい。 解説 6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p またはa=pq×qの形に表せる。 a=pxpxpxpxpのとき、axaxa=pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxp(pの15乗) になるから、 f(axaxa)=15+1=16 a=pqxqのとき、axaxa=pxpxpxqxqxqxqxqxq となるから f(axaxa)=(3+1)×(6+1)=28 この解説の 6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p またはa=pq×qの形に表せる。 の部分なのですが、なぜこうなるのかがわからなく、結果的に全部よくわかりません。 頭が悪くて申し訳ないのですが、解説をお願い致します。
回答: 1 (13-a)×q =77 の時点で 7×11=77 もしくは 11×7 =77 しかないと言うことは理解されているのですかね? ということは q=11 (このときは a=6です) もしくは q=7 (このときは a=2です) 問題で、pの値を求めなさいということですから、qもしくはaの値があれば求まります。 回答例では、qから求めていると言うことです。 aも使って求めれば p=aq+5に代入して p=6×11+5=71 p=2×7+5=19 と言うことになります。 2 約数が6個と言うことは a=p×p×p×p×p と表せたとき 約数は 1 p p^2 p^3 p^4 p^5 の6個となると言うことです。 a=p×q×q と表せたとき 約数は 1 p q q^2 p×q p×q^2 の6個となると言うことです。 これは 6が 1×6 2×3 と表せることから導き出しています。 あとは3乗ですから a=p×p×p×p×pのとき a×a×a=p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p(pの15乗) になるから、 約数は 1 p p^2 p^3 ・・・ p^14 p^15 だから 16個 これは計算で求めると 15乗だから 15+1=16 (1は0乗の時の 1 を加えています。) a=p×q×qのとき a×a×a=p×p×p×q×q×q×q×q×q 約数は 1 p p^2 p^3 q q^2 q^3 ・・・ p×q ・・・ p^3×q^6 計算で求めると (3+1)×(6+1)=28個 なぜ(3+1)(6+1)は、ぞれぞれの個数に0乗(1のこと)を加えたものです。 組み合わせを考えてみればどうかと思います。