質問: 中学数学図形の問題です 教えて下さい。 一辺の長さが12の立方体がある。辺ab、辺adの中点をそれぞれm、nとする。 (1)△emnの面積を求めよ (2)立方体の対角線agと△emnとの交点をiとするとき、線分aiの長さを求めよ
回答: (1)△emnは、em = enの二等辺三角形。 △amnは直角三角形。三平方の定理より、mn^2 = am^2 + an^2 = 36 + 36 = 72 mn > 0よりmn = 6√2 △aemは直角三角形。三平方の定理より、em^2 = ae^2 + am^2 = 144 + 36 = 180 eからmnに垂線esを引く。△emsは直角三角形。sはmnの中点。 △emsで、三平方の定理より、em^2 = es^2 + ms^2 = es^2 + (3√2)^2 = es^2 + 18 = 180 es^2 = 162, es > 0よりes = 9√2 ∴△emn = (6√2) × (9√2) ÷ 2 = 54 (2)三角すいa-emnの体積vを求める。 v = 6 × 6 ÷ 2 × 12 ÷ 3 = 72 aiは、三角すいa-emnの底面を△emnとみなしたときの高さに相当する。 ∴v = 54 × ai ÷ 3 = 72より、ai = 4