質問: 微分の問題がわかりません f(x)=x^3+ax^2+bx+c (a,b,c,dは実数) が (i)f(-x+d)+f(x+d)=2f(d) (ii)f(d)=-11 (iii)f(x)は x=-1 で 極値5 をとる を満たすとき、 (1)a,b,c,dの値 (2)区間 p≦x≦q におけるf(x)の値域が 5p≦f(x)≦5q となるように実数p,qの値を定めよ。ただし p<-1, p
回答: > 1.f(x)とy=5xとの接点を出す。 f(x) = 5x を解いて、x = ( 3 - √65 )/2 , 0, ( 3 +√65 )/2 ですね。 グラフを見ると、 q>( 3 + √65 )/2 なら f(q) > 5q p<( 3 - √65 )/2 なら f(p) < 5p が分ります。ですから、 ( 3 - √65 )/2 ≦ p , q ≦ ( 3 + √65 )/2 ・・・ (1) でなければなりません。 > 2.1の結果において最小値はx=3における極値になる > 3.f(x)=-27となるxの値を求める(x≠3の方) f(x) = -27 を解いてみますと、 x^3 - 3x^2 - 9x +27 = 0 ⇔ ( x - 3 )^2 ( x + 3 )=0 ∴ x = -3, 3 なんですが、x = -3 < ( 3 - √65 )/2ですから、3≦qならば p≦x≦qでのf(x) の最小値はf(3)= -27 。故に、y=-27とy=5xの交点をpとすることを考えて5p = -27 を解いてp = -27/5とすれば良いように思うのですが、残念、-27/5 < ( 3 - √65 )/2 ですので、このpは(1)を満足しません。 ということは、x = 3 が変域に含まれてしまうと、p≦x≦q で5p≦f( x ) になるpが存在しなくなる。よって、x = 3 を変域に含まないように、q < 3としなければなりません。 もう一つおまけに、q<0では、題意を満たすp, qが同時に存在することはないことがグラフより分ります。 ということで、ここまでを整理すると、(1)の条件はさらに狭くなって、 ( 3 - √65 )/2 ≦ p < -1 < 0 ≦ q < 3 でなければならないことが分ります。 p < - 1 < 0 ≦ q < 3のとき、p≦x≦qでのf(x) の最大値は f(-1) = 5 y=5 と y=5x との交点の x座標をqとすればよいので、 5q = 5 よりq=1であるが、0≦ q <3を満たすのでok。 ∴ q=1とすれば、x≦q ならば f(x) ≦ 5qが成立。 という事で、q=1です。 qが決まりましたので、pをやっつけますが、少々面倒です。 ( 3 - √65 )/2 ≦ p < -1 であることは忘れずにおいて・・・ p ≦ x ≦ 1でのf(x)の最小値は、 f(p) もしくは f(1) = -11 ( 3 - √65 )/2 < x < 1 で f(x) = -11 を解くと、x= 1 - 2√3が得られ、 p < 1 - 2√3 ならば、f(x)の最小値はf(p) ・・・ (2) 1 - 2√3 ≦ p ならば、f(x)の最小値はf(1) = -11 ・・・ (3) (2)の場合は、 y = f(x) と y=5x の交点が求めるpで、 p=(3-√65) / 2, q=1とすれば、p≦x≦qならば5p≦f(x)≦5qが成立。 (3)の場合、 y = -11 と y = 5x の交点を求めてx = -11 / 5ですが、1 - 2√3 < -11 / 5よりp = -11 / 5 としてよい。ということで、 p=-11 / 5, q=1とすれば、p≦x≦qならば5p≦f(x)≦5qが成立。 以上より、(p,q)は((3-√65) /2 , 1),(-11 / 5 , 1) だと思うんですが、グラフ眺めながら確認してみて頂けませんか。