質問: 微分の基本的な質問 今微分について疑問に思ったのですが、 dy/dxって分数みたいに掛けたり割ったりすることが出来るんでしょうか? 例えば dy/dx=x^3/y だとすると両辺にdxをかけたりして ydy=x^3 dx になって ydy-x^3 dx=0 となり完全微分となり、yについて解くみたいなやり方がありますよね? 後、よく教科書で、dy/dt*dt/dx=dy/dxみたいな感じになってるんですが、 例えば y=x^2 と y=t^5 があったとして、 dy/dx=2x dy/dt=t^5 ですよね? dy/dtを分数みたいに(dy/dt)^-1にして dt/dy=(t^5)^-1 で dy/dx*dt/dy をするとdyが消えますから dt/dx=(2x)*(t^5)^-1 =2x/(t^5) となります でも、元の式に帰ると y=x^2 y=t^5 ですから t^5=x^2になって dt/dx=2x/(t^5)=2x/(x^2)=2/x になります。 しかし、最初の式で t=(x^2)^(1/5) というようにしてから微分すると dt/dx=2/5(x^-3/5) になります。 ということはdx/dyを分数として考えると矛盾が起こるんじゃないでしょうか? ということは教科書は間違っているんでしょうか?;; 誰か助けてください!!
回答: #2です。 a#2の補足について 所詮、微分のdy/dxは xの微小な増加に対する増分δxに対してyの変化分δyの比(変化率) 「δy/δx」のδx→0の極限です。 なので、「dy/dx」の塊としての記号は、比の極限(導関数、微分係数、変化率)であると同時に、分子と分母をばらした場合のdxとdyは、個別に増分δxと変化分δyのもつ微小な増分(微小な変化分、微小な幅)といった意味合いも持っています。 このため、 ydy=1dx の左辺は yに微小な幅dyを掛けた長方形を表し 右辺は 高さ1に微小な幅dxをあわせた長方形を表します。 これらの長方形をそれぞれのx,yの範囲にわたって加え合わせれば、面積の積分になります(積分の定義を思い出して下さい)。 したがって、 >dxとかdyって単なる小さい値なんじゃないんですか?? この考え方で良いと思います。 あとは 点(x,y)における微小な変化量の比が微分で 点(x,y)におけるdxやdyに高さを掛けて微小長方形を作り、それらの長方形をxやyの範囲で加えあわせればその範囲の面積になり、それがすなわち積分ということです。 z=f(x,y)のような独立変数が2つ存在する関数では xの増分δxに対するzの増分δz(x)と yの増分δyに対するzの増分δz(y)と がありますので δz=δx+δy なので、 xの増分δxに対する変化率(δyはゼロとする) δz/δxの極限をdz/dxでは無く、∂z/∂xまたはz_x で表します。 同様に yの増分δyに対する変化率(δxはゼロとする) δz/δyの極限をdz/dyでは無く、∂z/∂yまたはz_y で表します。 これらを偏微分(偏導関数、偏微係数)と言います。 すなわち、 ∂z/∂xまたはz_xはdy=0(y=一定)の元での微係数であり ∂z/∂yまたはz_yはdx=0(x=一定)の元での微係数です。 これを使えば dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy で表されます。 この左辺のdzのことを全微分と言います。 少し難しかったかな。 dx,dy,dz,dtなどはそれぞれ x,y,z,tに対する微小な増分(変化分)ですので、その微小な増分がそれぞれの x,y,z,tの所で定義出来ることが、その点における積分や微分が出来る条件になってきます。