質問: 正弦波の足し算 周波数fの正弦波があったとき、 周波数fの正弦波 + 周波数3*fの正弦波は上下対称な波形になりますよね。 それなのに、 周波数fの正弦波 + 周波数2*fの正弦波は上下対称な波形にならないのは、どうしてでしょうか。 加法定理など使えば証明できそうのですが、 いまいちできません。 簡単な疑問だと思うのですが、よろしくお願いします。
回答: いまf=1/(2π)とします. (以下の話を,私にとって簡単にするため) こうすると信号は y1=sin t y2=sin 2t y3=sin 3t です. t 0 π/2 π 3π/2 2π y1 0 + + 0 - - 0 y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0 t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π y1 0 + 0 - 0 y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います. 式としては sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ を用いると求まります. α+β=3t,α-β=tとすると α=2t,β=tなので y1+y3=2sin 2t× cos t・・・(1) となります. もう一方は α+β=2t,α-β=tとすると α=3t/2,β=t/2なので y1+y2=2sin 3t/2 × cos t/2・・・(2) となります. おっしゃるような上下対称というのは,この場合,時間をπ動かすと時間0からと符合が異なる.つまり信号をf(t)とすると f(t+π)=-f(t)・・・(3) という意味だとすると, (1)の場合 2sin 2(t+π)× cos (t+π)=-2sin 2t× cos t で上下対称となります. (2)の場合 2sin 3(t+π)/2 × cos (t+π)/2=-2cos 3t/2 ×sin t/2 となり,異なる波形になります. 以上でお分かりになられたでしょうか?