質問: 右の図の四角形abcdは長方形で、点p q r sはそれぞれ長方形abcdの辺の真ん中です。また、図中の8つの三角形は全て合同です。
回答: たとえ合同な三角形でも、左右対称(二等辺三角形、正三角形)でない場合、鏡に映した図形(鏡像)は回転しても重なりません。鏡像かどうかは、右回りと左回りの順序で区別できます。 この問題では、直角を挟む辺の長さが異なる(直角二等辺三角形でない)直角三角形APSを基準としています。これは、直角の頂点Aから「短辺⇒斜辺⇒長辺」の順で辿ると、点A⇒短辺⇒点P⇒斜辺⇒点S⇒長辺⇒点Aと左回りになります。 同様に考えて、合同な8つの図形のうち外側の三角形は △APS(左)、△BPQ(右)、△CRQ(左)、△DRS(右) 内側の三角形は △OSP(左)、△OQP(右)、△OQR(左)、△OSR(右) 以上より、△APSを回転して重なるものは△CRQと△OSPと△OQR。 ・・・出題者様は、△OQRも重なることを忘れていませんか? △CRQと△OSPは△APSを180°回転すると重なり、 △OQRは△APSを0°または360°回転すると重なります。 ちなみに、もし四角形ABCDが正方形で、内部に作成される8つの三角形が左右対称の直角二等辺三角形だった場合、短辺と長辺の区別がつかないため左回りも右回りも区別できず、8つ全てが回転して重なることになります。 以上を言葉で説明すると鬱陶しいため、貼付画像のように単純化して考えても良いでしょう。 左上の青部分を基準として、その鏡像(右側と下側の緑部分)は、元の青三角形を回転しても左右反転していて重なりませんが、その緑部分のさらに鏡像となる右下の青い部分は、元図形に対して左右反転を2度繰り返したため、元の青三角形と重なります。 直角三角形の短辺と長辺が等しい直角二等辺三角形であった場合は、左右の区別がつかないため、8つとも重なります。