質問: 「連続関数の積は連続」について f.gを連続関数とするとh=fgも連続であることがしられていますが,逆にhという連続関数が2つの関数f,gの積で表されていたとするとf,gは連続関数といえるのでしょうか? ε-δで証明できる気がするのですがいまいち自信がありません. よろしくお願いいたします.
回答: いえません。たとえばf=g=有理数なら1、無理数なら-1という関数とすると、fg=1で連続ですが、fもgもすべての点で不連続点になっています。 またこれほど極端な反例でなくても、fの不連続点とgの零点が一致しているような点ではfgが連続になりうることもあります。とかく分解できるからといって、f,gが連続なんてとてもいえません。 では、fgが連続、かつfが連続だったらgは連続か?ということが気になったりしますが、これも正しくありません。たとえばg=1/x(原点ではf=0とでもしておく)とすると、これは原点で不連続な関数です。f=x^2とおけば、fもfgも連続関数になりますが、gは連続ではありません。 次の主張なら正しいです。fgが点x_0で連続とする。fがx_0で連続かつ、f(x_0)≠0なら、gも点x_0で連続。このことは1/fが点x_0で連続であることから、積の連続性で直ちに証明できますよね。したがってこれを使えば、たとえばf>0であれば、fg連続かつf連続なら、g連続はいえたりします。