質問: 3で割ると2余り,5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数nで最小のものを求めよ。 n=3x+ 3で割ると2余り,5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数nで最小のものを求めよ。 n=3x+2,n=5y+3,n=7z+4 (x,y,zは整数) 3x+2=5y+3ᅠより 3x-5y=1 x=2,y=1ᅠは整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0ᅠゆえにᅠ3(x-2)=5(y-1) 3と5は互いに素であるから, kを整数としてᅠx-2=5kᅠと表される。 よって,x=5k+2(kは整数) また,3x+2=7z+4ᅠにᅠx=5k+2ᅠを代入して 3(5k+2)+2=7z+4ᅠゆえにᅠ15k-7z=-4 k=3,z=7ᅠは整数解の1つであるから 15(k-3)-7(z-7)=0ᅠゆえにᅠ15(k-3)=7(z-7) 15と7は互いに素であるから, mを整数としてᅠz-7=15mᅠと表される。 よって,z=15m+7 n=7z+4に代入して n=7(15m+7)+4=105m+53 最小のものを求めるから,m=1 105•1+53=158 この回答は間違っているんですけど、どこが間違っているのかわかりません。
回答: この条件ならkやmは0でも成り立つのでは? そんなことから、nの最小値を求める際に、m=1を代入しているけど、 m=0を代入しなければならないのでは?