質問: 微分の公式の証明 f(x)=(ax+b)^n ただしa,bは定数 としたら,xで微分して f(x) ́=na(ax+b)^(n-1) となるのはどうしてですか? どなたか証明できましたら教えてくださいm(_ _)m ...二項定理使用?
回答: 帰納法で下式(1)を証明します。 ((ax+b)^n) ́=na(ax+b)^(n-1) ---(1) n=1のとき、 ((ax+b)^1) ́=(ax+b) ́=a=1*a*(ax+b)^(1-1) ---(2) したがって、式(1)が成立する。 n=kのとき、式(1)が成立すると仮定すると、 次式(3)が仮定できる。 ((ax+b)^k) ́=k*a*(ax+b)^(k-1) ---(3) すると、n=k+1のとき、 ((ax+b)^(k+1)) ́ =((ax+b)^k*(ax+b)) ́ =((ax+b)^k) ́*(ax+b)+(ax+b)^k*(ax+b) ́---積の微分公式より =k*a*(ax+b)^(k-1)*(ax+b)+(ax+b)^k*a---仮定式(3)、式(2)より =(k+1)*a*(ax+b)^k =(k+1)*a*(ax+b)^((k+1)-1).---(4) したがって、式(4)より、n=k+1で式(1)が成立する。 以上より、n>=1について、式(1)が成立する。