質問: Aの行空間、Aの零空間、Aの列空間、Aの転置の零空間がよくわかりません。 たとえばx、y、z座標において、どのような空間になるのか理解出来ません 色々と調べてはみたつもりなのですが、図として表現されてなくて、言葉だけでは、あまりイメージが浮かびません。
回答: 3×3行列Aが3次元ベクトル空間の間の線形写像を表し、Aの列空間を作る3つのベクトルをa,b,c とします。縦ベクトルuの成分をx,y,z とすると Au = xa + yb + zc これを見るとx,y,zとしてどんな数をとってもAu はベクトルa,b,c の線形結合以外のものになりようがないではありませんか。すなわちa,b,c はAの値域空間を張る基底ベクトルです。次にAの行空間をなす3つのベクトルをd,e,f とし、しかもこのうち1次独立なものが2つしかないとします。するとd,e,f は平面を張り、この平面に垂直な0でないベクトルが存在します。ベクトルu をd,e,fが張る平面に平行な成分v と垂直な成分w に分解します。 u = v + w するとAはwを消去しvはd,e,f平面内での1次変換を受けます。wの作る空間がAの零空間(核)でAはuをd,e,f平面内に落とし込んでしまいます。したがってd,e,f もまたAの値域空間を張る基底ベクトルです。a,b,cの中の1次独立なベクトルの数とd,e,fの中の1次独立なベクトルの数は一致し、行列Aのrankと呼ばれます。