質問: ∫∫【d】2x|y|dxdy, d={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x} ∫∫【d】2x|y|dxdy, d={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x} という重積分について質問です。∫∫【d】2x|y|dxdyと∫∫【d】2xydxdyってどう違いますか? この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか? 言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。
回答: >この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど 本当にそうなります? 2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。 前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。