質問: 開近傍とは? xが空間でxがxの点で、xの部分集合uがxを含む開集合であるとき uはxの開近傍であるという。 と本に書かれてあるのですが、 開近傍とは一体どういうことなのでしょうか? uという集合が開集合であり、空間xと比べて点x近傍にある集合である という意味でこういう名前がついているのでしょうか?
回答: 「開近傍」の意味は、 貴方がそこに書いている通りです。 数学用語の「意味」は定義が全てで、 その他に何かある訳ではありません。 「近傍」の字面から 「近さ」を連想するのも筋違い。 全空間 x は、任意の点の近傍のひとつです。 一番遠い、というか外側の集合も、 近傍になっているのです。 どうしても「意味」をコジツケたければ、 近傍は「近傍系」の一員であり、 「近傍系」は「近くまで続く集合の系列」 と、考えてみては?