質問: 1 + (x^2 - 1) (e^x - x) がえられました。これが、0以上であればいいのですが・・・ここから解りません。アドバイスをください。
回答: e^xのマクローリン展開を使ってもよいのであれば次のように示せます: e^(x^2) + x - e^x = 1 + x^2 + x^4/2! + x^6/3! + ・・・ + x - 1 - x - x^2/2! - x^3/3! - x^4/4! - ・・・ = (1/1! - 1/2!)x^2 - x^3/3! + (1/2! - 1/4!)x^4 - x^5/5! + (1/3! - 1/6!)x^6 - x^7/7! + ・・・ ここで|x|≧1のときはx^2≧|x|なので示したい不等式は明らかで|x|≦1のときに示せれば十分です。 |x|≦1のとき上の最後の式は次の式よりも小さいです: (1/1! - 1/2!) - 1/3! + (1/2! - 1/4!) - 1/5! + (1/3! - 1/6!) - 1/7! + ・・・ 一般項は1/n! - 1/(2n)! - 1/(2n+1)!=1/n! - (2n+2)/(2n+1)! ≧ 0 なので上の式は正です。 したがって求める不等式が得られました。