質問: 空間のベクトルの図形の質問です。 3点、a(1、0、0) b(0、2、0) c(0、0、3) を通る平面をαとする。△abcの重心をgとし、原点oから平面αに下ろした垂線の足をhとする。 問 点hの座標を求めよ。 点hが平面αを通るから、ah↑=sab↑+tac↑ まずなぜこうなるのかよくわかりません。 平面αと直線ohが垂直だから、 oh↑=sab↑+tac↑+oa↑ となる。 となっているのですが、なぜこう表されるのかがよくわかりません。 解答お願いします。
回答: xyz座標軸、を考えてみてください。何なら描いてください。 なんらかの点hがxy平面上にあるとするなら、点hの座標は、(x1,y1,0)というように書けますよね。 これはベクトルで言うとx方向の単位ベクトルのx1倍の長さのベクトルと、y方向の単位ベクトルのy1倍の長さのベクトルと(z方向の0の長さのベクトルと)、を辿ると行き着く場所にある、ということになります。 原点をoとしてベクトルで書くと、 oh↑=x1×x↑+y1×y↑(+0×z↑) なんてことです。 だから、xy平面上の座標は、単位ベクトルx↑とy↑とそれぞれのパラメーターで記述できる、ってわけです。 解ります? 例えば、(3,2)というxy平面上にある座標は、原点から、まず単位ベクトルx↑を3倍したところに進み、次にそこから単位ベクトルy↑を2倍したところにあるわけです。 これ、ちゃんと図に描いてみてください。 逆に、xy平面上に無い点、(3,2,1)のようなzの成分を持つ点は、x↑とy↑をいくら伸び縮みさせても、どうやっても行き着かないわけです。 上記はxy平面つまりx↑とy↑とで作られる面の話でしたが、xyのように直交してなくったって良いじゃない、斜めだって良いじゃない、ってことです。 そこでab↑やac↑を考えたって、その平面上の点なら、パラメーターを使えば、xy平面上の時と同じように記述できるでしょ、って事です。 > 平面αと直線ohが垂直だから、 > oh↑=sab↑+tac↑+oa↑ 書き方が乱暴だし理由がメチャクチャですね。私なら減点します。 oh↑=oa↑+ah↑ ですよね。 oからa地点を経由して点hに向かう感じ。これはoh↑と同じですよね、ってこと。 で、ah↑は上記でパラメーターを使って出してあるから、それを代入したって事です。 ah↑=sab↑+tac↑より、 oh↑=oa↑+sab↑+tac↑ と書いてあれば、誰にでも判る。 誰かに判らないように書くのがエライんじゃありません。誰にでも判るように書くのがエライんです。 しかも、垂直であることは、ここまでは無関係です。 おそらくその次に、oh↑とαとが垂直だから、ab↑ともac↑ともそれぞれ垂直なはずで、それぞれ内積を取ってみると、なんて話が出てくるんじゃないでしょうか。とっくに忘れましたが。 出したいパラメーターが2つで、内積の式が2つ得られるから、解けるのでは。 だからその解答は減点。 実にくだらないところで理解するのに時間がかかるダメ解答。というか、理由が間違ってるからそのままは理解できないし。 それが何かの教材で、どれもこれもそんな解答ばかりなら、場合によっては教材を変えるでしょうね。 もっとハイレベルな問題なら、駿台なんてその手のことをしでかしそうですが。 なお、上記がすんなり理解できない場合は、ベクトルの基礎の基礎が全く身についてない可能性が大で、 であれば、それらの問題はあなたの実力の2段以上上の問題のような気がします。 理解するのにやたらと時間がかかるはずですし、おそらく身につかないでしょう。 従って、もっと教材のレベルを落とし、それを身に付けてからそのレベルに再挑戦すべきです。 解答が酷いようですから、上記の説明ですんなり理解できて、それなら解けそうだ、ということであれば、このままそのレベルの問題の演習を続けて構わないだろうと思います。