質問: 背理法の問題 問題が・・・ a,b,cは整数とし、a^2,b^2,c^2=c^2とする。a,bのうち、少なくともひとつは3の倍数であることを証明せよ~。 というものですが、解答の流れを見ていて また疑問が・・・ 「解答」 a,bはともに3の倍数でないと仮定すると。 aとbは a=3m±1,b=3m±1(m,nは整数)とあらわせる。 ☆ここなんですが、なんで±の部分が1になるのかが わかりません。2とかはまずいですが 4とか5じゃだめなんでしょうか。 a^2+b^2=(3m±1)^2+(3n±1)^2 =3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2 ちなみに複合同順ですね。 3m^2+3n^2±2m±2nは整数だから a^2+b^2を3で割ったあまりは2 一方c=3k,3k±1とあらわせて・・ ☆ここのcではなんか二種類にもあらわせている。 またわからんのです。 解答にはあとちょっと続きありますが ここの二つのポイント教えてもらえれば 十分です。アドバイスまってます・・・・ (^^_且~~~~
回答: 他の方が専門的に書かれているので、大雑把に書きます。 まず、この問題は「3の倍数」というのがキーワードですね。 となると、整数というものを「3で割り切れるかどうか」という観点で次の3つに分類するわけです。 (1)3の倍数 (2)3で割ったら1余る数 (3)3で割ったら2余る数 質問文を見た限りでは、ここまでは理解しているんだと思います。 (1)でないと仮定するわけですから、(2)と(3)の場合を考えるわけですが、(2)は3m+1、(3)は3n+2、と置くのが最も直感的だ(余りがわかりやすい)と思いますし、最初のうちはこれで解いていく方法で良いと思います。 ただ、この方法の弱点は2つの場合を書かなければいけないため、答えを書くスペースは必要になるし、何より時間がかかります。 (2)を3m+4、(3)を3n+5と置いても駄目ということは無いと思いますが、計算が面倒になると思いますし、自分自身がこんがらかるのではないでしょうか。 なぜ質問に書かれている解法は、(3)を3m-1と置いているわけなのですが、これは複号(±)を使うことによって、2つの場合を一気にまとめて解答できる、という長所があります。問題集はなるべく少ない紙面にしないと金がかかるから、というのは冗談ですが、やはり解答はシンプルで短い方がいいですからね。 ただ慣れないとこんがらかるので、2つの場合を別々に解いていく方法で良いと思います。