質問: 確率論に関してお聞きします カジノのルーレットで36枚あるコインを36回連続でベット(毎回1枚)する際 11つの同じ数字(36倍)に36回賭ける 2約2分の1のベット(赤黒など 2倍)に36回賭ける のでは、確率論的に どちらが多くチップが残りますか? 計算方法も教えてください。 運を考慮せずに、数式だけの答えをお願いします。 実際にやってみた感想ですが1のほうが不利なように感じますが、どうしでだかわかりません
回答: http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuri2/kitaiti/kitai... URLは参考までに。 1、2、それぞれの期待値を求めてみましょう。この場合、期待値というのは、平均してどれだけチップが残るか、というのを表す数値です。 1の場合 コインを一枚ずつ賭けていくので、1回も当たらなければ0枚、1回だけ当たれば2枚、2回だけ当たれば4枚、3回だけ当たれば6枚・・・、コインが残る事になります。 まず、コインが0枚残る確率、つまり全部外してしまう確率は、 (1/2)^36 です。 次に、コインが2枚残る確率、つまり1回だけ当たる確率は、 (1/2)^35 × (1/2) × 36C1 = (1/2)^36 × 36C1 次に、2回だけ当たる確率は、 (1/2)^34 × (1/2)^2 × 36C2 = (1/2)^36 × 36C2 次にk回だけ当たる確率は、 (1/2)^(36-k) × (1/2)^k ×36Ck = (1/2)^36 × 36Ck 上の式で、(1/2)^(36-k)というのは、(36-k)回外す確率、(1/2)^k はk回当たる確率、36Ckというのは、36回中、当たりを出すのは何回目であるか、というのを表しています。 確率論では、大雑把に言えば、 (期待値) =(得られるコインの数)×(その確率)を足していく =(0枚)×(0枚得られる確率)+(2枚)×(2枚得られる確率)+(4枚)×(4枚得られる確率)+・・・・・+(72枚)×(72枚得られる確率) となります。だから、1で得られるコインの期待値は、 (期待値) =0×(1/2)^36 + 2×(1/2)^36 × 36C1 + 4×(1/2)^36 × 36C2+・・・・+72×(1/2)^36 × 36C36 =(1/2^36)×∑〔36Ck × (72-2k)〕 となります。∑は、k=0→36です。 これを関数電卓で計算すると、 =36 つまり、最初に持っていたコインと変わらないという結論になります。 同様に2の期待値は、 (期待値) =∑〔36×k×(35/36)^(36-k)×(1/36)^k×36Ck〕 となります。 (k回当たる確率は、(35/36)^(36-k)×(1/36)^kであり、k回当たると36×k枚コインをもらえるから。) これもまた関数電卓などで計算すると、 =36 つまり、1も2も、同じ期待値になるのです。よって、確率論的には、1も2も同じ枚数のチップ、しかももともと持っていたチップと変わらない枚数が残ることが期待されるといえます。。。確かに1の方がかなり不利に見えますが、確率論的には、期待値は等しいのです。 後半かなり適当になっちゃいましたm(__)m 高校レベルの数学の知識をある程度身につけていないと、理解が難しいと思われます。特に文系を選択した方にはかなり不親切な回答になってしまいました。申し訳ございませんm(__)m あと、全体的に見難くて、ホント、ごめんなさいm(__)m