質問: 幾何学の問題がわかりません。 fを集合xから集合yへの写像、gを集合yから集合zへの写像とする。つぎを証明せよ。 1、fおよびgが単射ならばfとgの合成gfも単射である。 2、fおよびgが全射ならばfとgの合成gfも全射である。 3、|x|<_|y|で||<_|z|ならば|x|<_|z|である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。
回答: ● 1. 仮定より、f は x から y への単射ですから、集合 x から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば f(a) ≠ f(b) です。また、仮定より、g は y から z への単射ですから、f(a) ≠ f(b) であれば g(f(a)) ≠ g(f(b)) です。すなわち、f(a) ≠ f(b) であれば gf(a) ≠ gf(b) です。 以上の結果より、集合 x から任意に選んだ 2つ の要素 a と b に対して、a ≠ b であれば gf(a) ≠ gf(b) であることが示されたことになります。よって、x から z への 合成写像gf は単射になります。( 証明終わり ) ● 2. z から任意に選んだ要素を z と表わすことにします。 仮定より、g は y から z への全射です。すなわち、g(y) = z です (*)。よって、g(y) = z を満たす y の 要素y が少なくとも 1つ 存在します。 同様に、仮定より、f は x から y への全射です。すなわち、f(x) = y です(*)。よって、f(x) = y を満たす x の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。 以上の結果より、z から任意に選んだ 要素z に対して、g(f(x)) (= gf(x) = g(y)) = z を満たす x の要素が少なくとも 1つ 存在することが示されたことになります。すなわち、x から z への 合成写像gf が全射であることが示されたことになります。( 証明終わり ) (*) f が x から y への写像であり、g が y から z への写像であるとします。そして、p が x の任意の部分集合であり、q が y の任意の部分集合であるとします。このとき、y の 部分集合f(p) と z の 部分集合g(q) は、次のとおりに表わされます。 f(p) = {y| y ∈ y であり、f(x) = y を満たす x ∈ p が存在する} = {y| (y ∈ y)∧∃x((x ∈ p)∧(f(x) = y))} g(q) = {z| z ∈ z であり、g(y) = z を満たす y ∈ q が存在する} = {z| (z ∈ z)∧∃y((y ∈ q)∧(g(y) = z))} ● 3. |x|≦|y| であり、|y|≦|z| であるならば、|x|≦|z| である。 上記の命題を証明しようとするのでしょうか。 集合の濃度の定義より、|x| ≦ |y| であるならば、x から y への単射が存在します。同様に、|y| ≦ |z| であるならば、y から z への単射が存在します。それらの写像を合成すれば、1. より、その合成写像は x から z への単射となります。x から z への単射が存在すれば、|x| ≦ |z| が満たされます。( 証明終わり ) ● 以上の記述にまちがいがありました場合は、ひらにごめんなさい。