質問: 平面とベクトル 空間内の3点o(0,0,0),a(2,1,-2),b(-2,3,-2)を通る平面πと 点p(5c、c+1、c-1}を考える。 (1)点pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。 (2)平面πに垂直な大きさが1のベクトル(単位ベクトル)eの成分表示を求めて下さい。 (3)pは平面πにないとします。 点pを通り平面πに垂直な直線lと平面π都の交点hの座標を、 eを用いて表してください。 (4)pは平面πにないとします。 平面πに関して点pと対称な点qの座標を、eを用いて表してください。 難しい問題みたいです...。 解ける方がいらっしゃいましたら、 解説お願いしますm(__)m
回答: >難しい問題みたいです...。 難しい問題...じゃないのでしょうけども、煩雑ではありますね。 以下、o(0,0,0) を始点とし a(2,1,-2) あるいは b(-2,3,-2) を終点とするベクトルを a あるいは b などと略記。 基本路線は #1 さんが出されてますね。 (1) と (2) を逆順で解く手だけでも。 >(2)平面πに垂直な大きさが1のベクトル(単位ベクトル)eの成分表示を求めて下さい。 点 o にて平面πに垂直なベクトル n (xn, yn, zn) を想定すると、(n・a) = (n・b) = 0 のはず。(n・a) は n と a の内積。 2*xn + yn = 2*zn -2*xn + 3*yn = 2*zn 連立解は e = (zn/2, zn, zn )。 これを √(e・e) = 3zn/2 で割った (1/3, 2/3, 2/3 ) が求める e 。 >(1)点pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。 点 o から p へ向かうベクトル p (5c、c+1、c-1) と e (1/3, 2/3, 2/3 ) とは直交するはず。 (p・e) = 0 ということだから、 0 = 5c/3 + 2(c+1)/3 + 2(c-1)/3 これから c を知り得る。 ...と、飛ばしすぎ? 「眉唾」でゆっくりと吟味してみてください。