質問: 至急お願いします。半径1の円Xに内接する正三角形ABCがある。 (1)円Xの弧BAC上に点Pをとり、△PBCの内部の点Qを考える。 (i)Qが△PBCの外心であるとする。Qが△PBCの内部の点であることから、Pは弧BAC上の限られた部分にあり、その部分の弧の長さはア/イπである。 (ii)Qが△PBCの内心であるとする。∠BQC=ウエオ°であり、Pが孤BAC上を動くとき、Qが動く分の長さはカ/キπである。 (iii)Qがある△PBCの重心であるとする。Pが弧BAC上を動くとき、Qが動く部分の長さはク/ケπである。 (2)線分BCを1:3に内分する点をDとし、直線ADと円Xの交点のうち、Aでない点をEとする。このとき BC=√コ、AD=√サシ/ス であり DE=セ√ソタ/チツ である。 この問題が分かりません。よろしくお願いします。
回答: i) Qが△PBCの辺上にくるのは直角三角形になるとき、すなわち「BPが直径になるとき」と「CPが直径になるとき」。 それぞれの場合のPの位置を考えると、点Pは中心角120°の円弧をえがくのでその長さは (2/3)π...(答) ii) 三角形BCPの内角の和を考えて、∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=120° BQ、CQは内角の二等分線なので ∠QBC+∠QCB=120°÷2=60° よって ∠BQC=180°-(∠QBC+∠QCB)=120°...(答) ∠BQCの大きさが一定なので点Qは2点B,Cを通る円周上にあり、角の大きさよりその円Yは「直線BCに関して円Xと線対称」とわかる。 よってQがえがくのは「半径1円Yの周上のうち、弧BC(短い方)すなわち中心角120°の部分なのでその長さは (2/3)π...(答) iii) 辺BCの中点をMとすると、重心Qは「MPを1:2に内分する点」。 Pがえがくのは「半径1、中心角240°の円弧」でありその長さは (4/3)π なので Qがえがく部分の長さはその3分の1にあたる (4/9)π...(答) (2) 三角形ABCに正弦定理を適用して BC / sin60° = 2×1 よって BC=√3 ...(答) 三角形ABDに余弦定理を適用して AD^2 = AB^2+BD^2-2×AB×BD×cos60°=13/16 よって AD=√13 / 4 ...(答) 方べきの定理よりDA×DE=DB×DC よって DE=3√13 / 52...(答)