質問: 連続関数なら微分可能という命題は偽ですか?
回答: 偽です。反例としてy=|x|が挙げられます。x≠0においては明らかに連続であり、 lim[h→0]|h|=0=|0| よって連続関数です。しかしこの関数のx=0においての微分係数を求めると limh→+0/h=1 limh→-0/h=-1 となり、微分係数が一通りに求まらないため微分不可能です。 したがって「連続関数ならば微分可能」という命題は偽であり、その反例は関数y=|x|である。