質問: 23順番に2乗したものを8で割ったら... ■どこが具体的にわからないか 23順番に2乗したものを8で割ったら確かに答えの通りですが何故これ以外出てこないと言えるのですか?
回答: 全ての自然数を下のように表してみます。nを0以上の整数として8で割り切れる数:8n8で割って1余る数:8n+18で割って2余る数:8n+28で割って3余る数:8n+38で割って4余る数:8n+48で割って5余る数:8n+58で割って6余る数:8n+68で割って7余る数:8n+7とします。このままでも良いのですが、少し場合分けが多くなってしまったのでもう少し簡単にします。 例えば8で割って7余る数を8n+7としました。自然数の中で8で割って7余る数で、1番小さい数は7です。これはn=0として8×0+7=7と考えられます。少し考え方を変えて8で割って7余る数は8nー1でも表せます。これはn=1を代入すれば8×1ー1=7と表せます。 以下8で割って7余る数:8nー18で割って6余る数:8nー28で割って5余る数:8nー3のように表すことも出来ます。 上記のことをまとめると、自然数はnを0以上の整数として、8n8n±18n±28n±38n+4で表すことができます。※8で割って4余る数は8nー4でも表せるので8n±4と考えても良いですが、これはそんなに計算を楽にするわけではないので気にしなくても良いです。 あとはこれらを2乗してみます。 (8n)2=64n2=8×8n2これは8の倍数を表していますから8で割り切れます。 (8n±1)2=64n2±16n+1=8(8n2±2n)+1さて、ここで8n2±2nは整数なので8(8n2±2n)は8の倍数ということになります。なので8n2±2n=nとして考えてみると8(8n2±2n)+1=8n+1となります。これは何を表しているかというと「8で割って1余る数」ということです。 同じようなことを他でも試します。 (8n±2)2=64n2±32n+4=8(8n2±4n)+4=8n+4 (n=8n2±4n)これは8で割って4余る数を表します。 (8n±3)2=64n2±48n+9=64n2±48n+8+1 ←9を8+1に=8(8n2±6n+1)+1=8n+1 (n=8n2±6n+1)これは8で割って1余る数を表します。 (8n+4)2=64n2+64n+16=8(8n2+8n+2)=8n (n=8n2+8n+2)これは8で割り切れることを表します。 ですから平方数を8で割った余りで得られるものは0,1,4の3通りだけだと分かります。