質問: 導関数の記号 dy/dx の意味は? 高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、 分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。 しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。 初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが いいのではないでしょうか?
回答: > ...私としては、(極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて) > 初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。 もっと進んだ段階では dx,dy を独立な量として扱うなら, 最初からそのように教えてもよいのではないか. まったくおっしゃるとおりですが,高校の教科書にはいろいろ縛りがあるので, そういう風な教科書は検定に通らないんじゃないですかね(自信なし). また,数学は高校の段階でもう終わりでそれ以上進んだ段階には行かない人も 大勢います. 実際,大学で文系に進むとあんまり数学やらないでしょう. また,どこかでつまづいてしまって, 微分は微かに分かる,積分は分かった積もり(昔からあるシャレです), なんていうこともあるわけです. そういうあたりを考えると,「分数ではないよ」と教えるのが無難なんでしょうかね. > でも、2重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう > ですね. そうです. 例えば,x,y から2次元の極座標 r,θに変換するとして (1) x = r cosθ (2) y = r sinθ ですが, (3) dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ と思って (4) dx/dr = cosθ (5) dy/dθ = r cosθ を使うと (6) dx dy = r cos^2θ dr dθ になります. 一方, (3') dx dy = (dx/dθ) (dy/dr) dr dθ としても良さそうで,こうして (4') dx/dθ = -r sinθ (5') dy/dr = sinθ とすると (6') dx dy = - r sin^2θ dr dθ になってしまいます. あれ(6)(6')が同じにならないよ,というわけで, どうも重積分の時にあまり無神経にやるとまずそうだということは想像できます. まあ,大体2変数ですから,dx/dr という書き方では困るわけで, 偏微分記号で ∂x/∂r と書かないといけません. dx と∂x だから約分はまずいのではないかというようなことも言えますね. 偏微分に対して∂の記号を使うことによって, 記号的にも上のような議論はまずいということが形式的に表されていると 見ることもできるかも知れません. 多重積分の変数変換はいわゆるヤコビアンで表現できます. ヤコビアンについては,kaitotvgamekozou さんご紹介の http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120492 で stomachman さんが触れておられます.