質問: k:体,k[x]:一変数多項式環 【剰余の定理】 f(x),g(x)∈k[x]としf(x)≠0とする このときk[x]の元q(x),r(x)が存在して
回答: まず一意性はおいておき、q(x),r(x)の存在を示します: m=deg f(x) > n=deg g(x)ならq(x)=0, r(x)=g(x)となります m≦nのときを、nに関する数学的帰納法で証明します f(x)=a[m]x^m+...+a[0], g(x)=b[n]x^n+...+b[0] (m≦n)とおきます [1]n=mのとき q(x)=b[m]/a[m], r(x)=g(x) - b[m]/a[m] f(x)とすればよく、確かに存在します [2] n≧mのとき g(x)=q(x)f(x)+r(x)(r(x)=0かdeg r(x)