質問: 大学の代数学の問題です α=√(5+√3) のq上の最小多項式f(x)、その最小分解体lおよびガロア 大学の代数学の問題です α=√(5+√3) のq上の最小多項式f(x)、その最小分解体lおよびガロア群gal(l/q)を求めよ 回答よろしくお願いします!
回答: 前回投稿に回答がついてないようなので、 解る範囲で書いてみます。 α^2 = 5 + √3 より (α^2 - 5)^2 = 3 が成り立つので、 α は消去多項式 f(x) = (x^2 - 5)^2 - 3 = x^4 - 10x^2 + 22 を持つ。 アイゼンシュタイン判定法で素数 2 を使えば、この f(x) は既約と判る。 よって、f(x) が α の最小多項式である。 f(x) が 4次式なので、最小分解体は q(α,(1の原始4乗根)) の部分体である。 q(α,i) の部分体は q, q(α), q(i), q(α,i) のどれかだが、 f(x) = 0 の根 ±√(5±√3) を全て含むものは、q(α,i) しかない。 ガロア群は... ごめん、正直分かりません。 最小多項式が 4次なので、ガロア群は位数 4の群ですが... クライン群ですかねえ?