質問: 2階の非同時線形微分方程式の特殊解 2階非同時線形微分方程式を解いているのですが、わからない点があるため教えてください。一般解はわかるのですが、特殊解が答と一致しません。どこが間違っているか教えてください。 問1 y''+y'-6y=10e^(2x) 特殊解を求めると y0=ae^(2x)とおくと y0'=2ae^(2x) y0''=4ae^(2x) よって、4ae^(2x)+2ae^(2x)-6(ae^(2x))=10e^(2x) となり、左辺が0になってしまうのですが、どこを直せばいいでしょうか。 答では2xe^2xが特殊解になっています。 問2 y''+y'=x+2 特殊解を求めると y0=ax+b とおくと y0'=a y0''=0 よって、a=x+2 となり、y0=x^2+2xとなったのですが、答えではy0=(1/2)x^2+xとなっています。どこが間違えているか教えてください。 問3 y''+y=5e^xcosx 特殊解を求めると、 y0=e^x(acos+bsinx) y0'=e^x(-asinx+bcosx) y0''=e^x(-acosx-bsinx) よって、 e^x(-acosx-bsinx)+e^x(acos+bsinx)=5e^xcosx となり、問1同様左辺が0になってしまいます。 答では特殊解はe^x(cosx+2sinx)となっています。 問題が多くて申し訳ありませんが、回答お願いします。
回答: 問1のみ説明します。y0=ae^(2x)とおく時の、aもxの関数になりうるので、y0'=(a'+2a)e^(2x)、y0'’=(a''+4a'+4a)e^(2x)、よって、代入して、e^(2x)の係数比較でa''+5a'=10が出る。この特殊解が、2xなので、2xe^2xが求める特殊解になります。このように係数が定数ではなくxの関数になりうることも考えなくてはなりません。問2・問3も同じようなミスでしょう。考えてください。