質問: フラクタル次元が理解できません。わかりやすく教えてください。
回答: この説明を書いた人も、自分で言ってることが分かってるのかどうか、分かりにくい説明なので理解できなくてもごもっともです。 フラクタル次元とは、自己相似性図形(フラクタル図形)の次元のことです。 例えば、正方形は、4個並べると相似な正方形が作れます。9個並べても相似な正方形が作れます。 一般に、平面図形では、相似比 n に対して面積は n^2 倍になります。 同様に、立体図形では、相似比 n に対して体積は n^3 倍になります。 このように、相似な図形があるときに、線の長さは n 倍に、面積は n^2 倍に、体積は n^3 倍になります。 このことから、長さは1次元、面積は2次元、体積は3次元の”量”であると言う事ができます。 ここまでは、整数次元のことで、ご存知の通りかと思います。 それでは、小数の次元なんてあるのでしょうか? そこで、次のような”図形”を考えた人がいました。 まず、図に示したように、1本の線分を考えます。 これを3等分し、真ん中の線分を削除し、図のように60°、120°傾けたものを挿入します。 さらに、全ての線分を3等分し、それぞれの真ん中の線分を削除し、60°、120°傾けたものを挿入します。 これを無限に続けていくと、右上のような図形が出来上がります。 この図形は、描画の手続きにより明確に定義された”図形”ですが、手続きを無限に繰り返すとしたことが、これまでの線や面や立体にはなかったことです。 この図形の長さは、いくらになるでしょうか。 元の長さを 1 とすると、1回目の手続きで 4/3 になり、2回目の手続きで 16/9 になっています。 これを無限に繰り返すのですから、長さは無限大となります。 長さが無限だとすると線ではなく、面なのでしょうか。 そこで、右下の図のように、この図形を半分に切ったものを -30°傾け、上下反転したものと元の図形を比べて見ます。 この図形は、自己相似図形と言って、図形の一部が全体と相似になることが特徴で、上の図形と下の図形は相似です。 相似比は、上の図形の右端から左端までの長さを 1 とすると、下の図形の右端から左端までの長さは (1/2)×(2/√3)=1/√3 です。すなわち、相似比は1/√3 です。 一方、半分に切ったのですから、長さに相当する”量”は 1/2 です。 ここで、この”量”の次元を x 次元とすると、 (1/√3)^x=1/2 となるはずです。 これを解くと、x=2log2/log3≒1.26 すなわち、この図形は1.26 次元の図形であるわけです。 このような次元のことを、フラクタル次元と呼びます。 もっとフラクタル次元が 2 に近いフラクタル図形もあり、そのような図形を描画すると、黒っぽくなります。 それだけ、2次元空間を満たす度合いが強いと考えることができ、ご質問のような表現がされているのだと思います。