質問: 伝達関数のボード線図について 伝達関数が1/(s^2+s+1)で与えられているときのボード線図(ゲインと位相)の概形を教えてください。どこが折点周波数になって傾きがどれくらいとか だいたいの形でいいんでお願いします。また、その理由もお願いします。
回答: ここでボード線図は描けませんが、 解りやすく簡単にいいますと、一般的に、lp系は分子が常数(この常数は全ての帯域に係るゲインで、ここでは1)になり、 2次系であれば、1/(t^2s^2+(1/q)ts+1)の形をなします。 ここで、実関数でみればsはjw(オメガ)で複素周波数を表し単位は[1/t]、tは時定数で単位は[t]になります。また、qは2次系 の場合のf0(すなわちs=1/t)のときのゲインを表しています。 出題の伝達関数では、t=1、q=1となるわけです。 さて、foはs=1/tの点ですが、sをjwで置換えればわかるようにt^2s^2の項は-1となるとして、分母はt^2s^2+1が0になるので 伝達関数のゲインは、1/(1/q)t)1/t)でqになります。 実際の値にあてはめれば、f=1(=fo)でゲイン1となるlpfの形になります。 なお、カットオフ周波数fcはあくまで-3dbの点の周波数ですから、このf0ではありません。も少し高いところになります。 また、2次のlpfはqが1/2^-1(ルート2分の1、約0.707=この時はf0=fc)以上になると、それより低い周波数でかならずゲインが 1より大きくなります。このピークポイントとそのゲインおよびfcについては、s=jwと置換えて計算します。これはやって みてください。 このように、tsを使うと計算も楽ですし、簡単にゲインが推測できて大変便利です。 なお、傾斜は12db/octですが、これはsが無限大のときです。 従って、簡単には、s=0からs=1/tのところまで(左から右に)直線を引き、s=1/tの点から12db/octで落ちる右下がりの直線 を引くと、これが漸近線になります。問題のような場合は(q>0.707...)、実際のカーブはこの漸近線の常に上側になります。 ちなみに伝達関数が、tsならs=1/tを通って0~∞に向う-6db/oct、t^2s^2なら同じく-12db/oct、t^3s^3なら同じく-18db/oct になり、ts+1ならs=0からs=1/tはフラット(ゲイン1)で、そこから6db/octで上り、t^2s^2+1なら12db/octで上るカーブに なります。 反対にこれらが、分母にある場合は、1/tsなら、s=1/tを通って-6db/octで0に至るカーブになります。 また、次数が1次の場合はs=1/tのときfc=f0になります。 もし、ts/(ts+1)なら、s>=1/tのところでは6db/octと-6db/octのカーブの合成(掛算=dbでは足し算)ですからフラットになり、 s<1/tのところは6db/octで上昇する、hpfになり、カットオフ周波数はfc=1/tで、このときの位相は45°になります。 伝達関数の和の形の場合はどう類推できるでしょう。そうです、上のts+1で見てみると解るように、常に”ゲインの大きい(上) ところを残して漸近線を引けばいいのです。 以上ですが、これだけ知ってれば大体のカーブが描けると思います。細かなところは実際にjwに置換えて計算します。 いろいろやってみるといいと思います。