質問: 5x2+2xy+y24 の囲む面積を教えてください。
回答: A= 5.........1 1..........1 とおく。 すると、 5x2+2xy+y2 ='(x, y)A(x, y) とかける。ただし、任意の行列Bに対して'BをBの転置行列とする。 Aの固有値は、単位行列Iに対して、det(xI-A)=x^{2}-6x+4=0 が成り立つので、x=3+√5, 3-√5となる。 Aは実対称行列なので、ある直交行列Pが存在して、 P^{-1}AP= 3+√5...........0 0...............3-√5 となる。 '(x, y)=P^{-1}'(X, Y) とおくと、 5x2+2xy+y2 ='(X, Y)PAP^{-1}(X, Y) =(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2} となる。 D={(x, y)|5x2+2xy+y2<=4}とおくと、 求める面積Sは、 S=∫∫[D]dxdy である。 '(x, y)=P^{-1}'(X, Y) と変数変換すると、Jacobiの変数変換公式から、 dxdy=det|P^{-1}|dXdY となる。 Pは直交行列だから、det|P^{-1}|=1>0となる。 そして、行列P^{-1}を表す一次変換fによって、 f(D)={x, y)|(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2}<=4} となり、det|P^{-1}|=1>0より、 Dとf(D)は全単射対応となる。 従って、 S=∫∫[D]dxdy =∫∫[f(D)]dXdY =∫∫[(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2}<=4]dXdY となる。すると、Sは 短軸√(4/(3+√5))と長軸√(4/(3-√5))の楕円の面積なので、 S=π√(4/(3+√5))・√(4/(3-√5))=2π となる。