質問: だれか隣接3項間漸化式について教えてください。 中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 a1=2, a2=3, an+2=5an+1-6an n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式x^2=5x-6の解 x=2、x=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 an+1-2an=(a2-2a1)3^n-1 n>=1 ・・・(2) an+1-3an=(a2-3a1)2^n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 an=(a2-2a1)3^n-1-(a2-3a1)2^n-1 n>=1 となり、条件a1=2、a2=3を代入して一般項は an=-1×3^n-1+3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
回答: > そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの漸化式を満たす数列があるのか ある漸化式といくつかの初項が与えられていて、それらを使って具体的に、数列aを順番に計算していくことができるとします。 このとき、同じ漸化式と初項を満たし、かつaとは異なる数列zというものが存在しないのは、明らかでしょう。 ご質問の場合なら、aとzの初項は一致するので、a[1]=z[1], a[2]=z[2]である。以後、(厳密さをお望みなら数学的帰納法を使って)a[n+2] = z[n+2] を証明するのは簡単です。 さて、漸化式を特性方程式に帰着するための議論の中で、ご質問と強く関連するポイントと思われる所に★を付けてみました。 まず、 a[n+2]=aa[n+1]+ba[n] ...(1) を a[n+2]+αa[n+1] = β(a[n+1]+αa[n]) ...(2) と表すことができるか。 実は、(1)は必ず(2)の形に表せる(後述●[1])。そこで、 b[n] = a[n+1]+αa[n] ...(3) という数列を考えれば、もとの漸化式(1)は2項間漸化式 b[n+1] = βb[n] ...(4) と表せるから、b[n]をβとnといくつかの定数だけで表したもの、つまり一般項が分かる。 これを使って、(3)の2項間漸化式 a[n+1] = -αa[n]+b[n] (b[n]は分かっている) ...(3') を解けば、a[n]をαとβとnといくつかの定数だけで表したもの、つまり一般項が分かる。 しかし、実は、(1)を(2)の形に表すと、 case 1: a[n+2]+αa[n+1] = α(a[n+1]+αa[n]) と表せる場合と、 case 2: a[n+2]+αa[n+1] = β(a[n+1]+αa[n]) および a[n+2]+βa[n+1] = α(a[n+1]+βa[n]) の二通り の表し方がある場合がある。(後述●[2])---★(二通りの(2)式を実際に並べてみせたのが、ご質問中にある(2)(3)式でしょう。) case2の場合、二通り表し方のそれぞれについて上記のやり方を適用すると、互いに異なる二通りのb((3)式)を経由して、aの一般項が得られることになる。しかし、二通りのやり方を使ったのにも関わらず(この回答の冒頭に述べた通り)aは結局一通りの答になるはずである。 そこで、これら二通りの表し方が両方同時に成立つこと、という条件を利用して(bを直接経由せず、上記(3)(4)(3')式を使わずに)aの一般項に至ることができる。---★(これが、ご質問中の(4)式でしょう) つまり、その部分は「特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの証明」をやっている所ではないんです。ではその話はどこに行ったか。それは、後述する議論の中で解決されています。 ●[1]: (1)を(2)と表すことは、いつでもできる。 (2)を展開して整理すれば a[n+2] = (α+β)a[n+1]+(αβ)a[n] これを(1)と比較すると a = α+β b = αβ ...(5) という連立方程式が得られる。言い換えれば、連立方程式(5)に (i) 解(α, β)があれば、その解を使って(1)を(2)の形に表すことができる。 (ii)もし解がいくつもあれば、それらを使って、それぞれのやり方で(1)を(2)の形に表すことができる。 (iii)もし解がなければ、(1)を(2)の形に表すことは不可能である。 さて、実は、(5)には必ず解があり、その解は、 x^2+ax+b=0 ...(6) の二つの解p,qを使って α=p, β=q ...(7) α=q, β=p ...(8) と表せる。また、これら以外には(5)の解はない(後述●[3])。 ●[2]: 以上から、p=qの場合には丁度1通り、p≠qの場合には丁度2通りのやり方で、(1)は(2)の形に表せる。 (6)の解がp=q(重解)である場合、(1)は a[n+2]+pa[n+1] = p(a[n+1]+pa[n]) と表せる。 また、p≠qである場合、(1)は a[n+2]+pa[n+1] = q(a[n+1]+pa[n]) と表せるし、 a[n+2]+qa[n+1] = p(a[n+1]+qa[n]) とも表せる。 ●[3]: (5)には必ず解があり、その解は高々2通りである。 (5)には必ず解がある。 二次方程式 x^2 + ax + b = 0 ...(6) には必ず二つの解があり、他には解がないことが分かっている。それらは複素数かもしれないし、二つの解が同じ(重解)であるかも知れないけれども、ともあれそれらをp, qとすれば、方程式(6)は (x-p)(x-q)=0 と表せる。これを展開すると、 x^2 + (p+q)x + pq = 0 であるから、(5)と比較すれば a = p+q b = pq という関係を満たしている。これを(4)と比べてみると、 α=p, β=q ...(7) は(4)の解であると分かる。また、 α=q, β=p ...(8) も(4)の解であると分かる。だから(4)には確かに必ず解がある。 また、(5)にはこれら以外に解はない。 なぜなら、連立方程式(5)に、仮に(7),(8)以外の解があったとする。その解を α=r, β=s とすると (x-r)(x-s)=0 を展開すれば(6)が得られる。ということは、r,sは(6)の解でなくてはならない。しかし、二次方程式(6)の解はp,qだけである事が分かっている。 ★(「特性方程式の解以外にないのかどうか」という話はこの段階で片づいたのです。)