質問: 反発係数とえエネルギー保存則についての質問です。 2物体の衝突において反発係数が1であることとエネルギー保存則が等価であることを証明しようと思ったのですが、 できなくて困っているのでご教授していただけると助かります。 物体a(質量m), b(質量m)の衝突前の速度をそれぞれva, vbとし、物体a, bの衝突後の速度をそれぞれva', vb'とし計算を進めようとしました。 反発係数の式 -1=(va'-vb')/va-vb 1 エネルギー保存則 (1/2)mva^2+(1/2)mvb^2=(1/2)mva'^2+(1/2)mvb'^2 2 2式を変形して1式にしようとしたのですが、さっぱり式変形が思いつきませんでした。そもそもなんですが、反発係数が1であることとエネルギー保存則が等価であるということは2式を式変形したら1式になるということで良いんですよね?
回答: no.3 です。計算は面倒なだけど、やってみると次のようになります。 運動量保存の式は m*va + m*vb = m*va' + m*vb' 3 です。 一般に3次元の運動であれば各々の「速度」をベクトルとして扱いますが、簡単のため「1次元の運動(すべてが同じ直線上)」とすれば、1から vb - va = va' - vb' → vb' = va' + va - vb 4 これを3に代入すれば m*va + m*vb = m*va' + m*(va' + va - vb) → (m + m)va' = (m - m)va + 2m*vb → va' = [(m - m)va + 2m*vb]/(m + m) 5 従って4は vb' = [(m - m)va + 2m*vb]/(m + m) + va - vb = [(m - m + m + m)va + (2m - m - m)vb]/(m + m) = [2m*va + (m - m)vb]/(m + m) 4' 衝突後の運動エネルギーは e' = (1/2)m(va')^2 + (1/2)m(vb')^2 なので、これを4', 5で書き換えれば e' = (1/2)m{[(m - m)va + 2m*vb]/(m + m)}^2 + (1/2)m{[2m*va + (m - m)vb]/(m + m)}^2 = (1/2)m{(m - m)^2*(va)^2 + 4m(m - m)va*vb + 4m^2*(vb)^2}/(m + m)^2 + (1/2)m{4m^2(va)^2 + 4m(m - m)va*vb + (m - m)^2*(vb)^2}/(m + m)^2 = (1/2){(m^3 - 2m^2*m + mm^2 + 4m^2*m)(va)^2 + [4mm(m - m) + 4mm(m - m)]va*vb + (4mm^2 + m^3 - 2mm^2 + m^2*m)(vb9^2}/(m + m)^2 = (1/2){(m^3 + 2m^2*m + mm^2)(va)^2 + (m^3 + 2mm^2 + m^2*m)(vb9^2}/(m + m)^2 = (1/2){m(m + m)^2*(va)^2 + m(m + m)^2*(vb)^2}/(m + m)^2 = (1/2)m(va)^2 + (1/2)m(vb)^2 となって、衝突前の運動エネルギーに等しいことが分かります。