質問: tを実数、nを非負の整数としたとき、lim_t→+∞/(e^t)0をどうやって示したら良いか、教えて下さいませんでしょうか?
回答: まず不等式 e^x ≧ 1+x+x^2/2!+・・・+x^{n+1}/(n+1)! > x^{n+1}/(n+1)! に注意して t^n/e^t < (n+1)!・(1/t) が成り立ちます。これより lim_t→+∞/(e^t)=0 となります。 ***** 任意の正の整数 k に対して fk(x) = e^x - (1+x+x^2/2!+・・・+x^k/k!) ≧ 0 は帰納法で証明できます。 (∵) 1k=1: e^x-1-x ≧ 0 はOK 2fk(x) ≧ 0 として、f_{k+1}(x) ≧ 0 を示せば良い。 f'_{k+1}(x) = fk(x) ≧ 0 であるから、f_{k+1}(x) は [0,∞} で非減少関数である。 ∴ f_{k+1}(x) ≧ f_{k+1}(0) = 0 従って f_{k+1}(x) ≧ 0 が証明できた。