質問: ベクトルの問題です。どなたか途中式も含めてお願いします。
回答: ベクトル記号の矢印は省略します。 内積記号は・の代わりに.を使います。 A(1,0,1/2) B(-1,2,3/2) C(9,-3,0) (1) 直線l(直線AB)の方向ベクトルは AB=(-2,2,1) 直線lは、点(1,0,1/2)を通り、方向ベクトル(-2,2,1)に平行なので 直線l上の点(x,y,z)は、媒介変数(パラメータ)tを使って (x,y,z)=(1,0,1/2)+t(-2,2,1)=(-2t+1,2t,t+1/2) と表せる。 yz平面上の点はx座標が0なので、 -2t+1=0 t=1/2 (x,y,z)=(0,1,1) 直線lとyz平面の交点の座標は、(0,1,1) (x,y,z)=(1,0,1/2)+t(-2,2,1)=(-2t+1,2t,t+1/2) から別のやり方としては、 x=-2t+1 y=2t z=t+1/2 ↓ t=(x-1)/(-2) t=y/2 t=z-1/2 ↓ (x-1)/(-2)=y/2=z-1/2 これが直線lの方程式 x=0を代入すると 1/2=y/2=z-1/2 これより y=1 z=1 交点の座標は(0,1,1) (2) ベクトルを使わないのであれば、 C(9,-3,0) P(-2t+1,2t,t+1/2) CP^2=(-2t+1-9)^2+(2t+3)^2+(t+1/2)^2 これを計算して平方完成を使ってCP^2が最小、つまりCPが最小の時のtを求めて、Pの座標を求めればよい。 試しにやってみると、 CP^2=(-2t-8)^2+(2t+3)^2+(t+1/2)^2 =4t^2+32t+64+4t^2+12t+9+t^2+t+1/4 =9t^2+45t+73+1/4 =9(t^2+5t)+73+1/4 =9(t^2+5t+25/4-25/4)+73+1/4 =9(t^2+5t+25/4)-225/4+73+1/4 =9(t+5/2)^2-224/4+73 =9(t+5/2)^2-56+73 =9(t+5/2)^2+17 t=-5/2のとき、CP^2は最小値17、CPは最小値√17 P(6,-5,-2) ベクトルを使う場合、CPが最小になるのはCP⊥直線lのとき、という条件を使う。 C(9,-3,0) P(-2t+1,2t,t+1/2) CP=(-2t+1-9,2t+3,t+1/2)=(-2t-8,2t+3,t+1/2) AB=(-2,2,1) CP⊥ABなので CP.AB=0 (-2t-8,2t+3,t+1/2).(-2,2,1)=0 4t+16+4t+6+t+1/2=0 9t+45/2=0 t=-5/2 P(6,-5,-2) (3) 線分QRが最大になるのは、直線QRと球の中心の距離が最小になる時。 直線QRは直線lであり直線ABである。 そして、球の中心は直線OC上にある。 直線AB上の点をU(-2u-8,2u+3,u+1/2) 直線OC上の点をV(3v,-v,0) としたときに、UVが最小になれば、QRが最大になる。 ここでも、ベクトルを使わないときの解き方と、ベクトルを使うときの解き方を書いてみます。 ベクトルを使わない場合。 UV^2=(2u+3v+8)^2+(-2u-v-3)^2+(-u-1/2)^2 =4u^2+9v^2+64+12uv+32u+48v+4u^2+v^2+9+4uv+12u+6v+u^2+u+1/4 =9u^2+u(16v+45)+10v^2+54v+73+1/4 ・・・この時点で平方完成が面倒臭そうってわかりますね。 それでもゴリゴリやっていくと =9(u^2+(16v+45)/9)+10v^2+54v+73+1/4 =9(u^2+(16v+45)/9+(16v+45)^2/324-(16v+45)^2/324)+10v^2+54v+73+1/4 =9(u^2+(16v+45)/9+(16v+45)^2/324)-(16v+45)^2/36+10v^2+54v+73+1/4 =9(u+(16v+45)/18)^2+(-(16v+45)^2+36(10v^2+54v+73)+9)/36 =9(u+(16v+45)/18)^2+(-256v^2-1440v-2025+360v^2+1944v+2628+9)/36 =9(u+(16v+45)/18)^2+(104v^2+504v+612)/36 =9(u+(16v+45)/18)^2+104/36*(v^2+63v/13)+17 =9(u+(16v+45)/18)^2+104/36*(v^2+63v/13+63^2/26^2-63^2/26^2)+17 =9(u+(16v+45)/18)^2+104/36*(v^2+63v/13+63^2/26^2)-441/26+17 =9(u+(16v+45)/18)^2+104(v+63/26)^2+1/26 最小になるのは、 u+(16v+45)/18=0、かつ、v+63/26、のとき これを解いて (u,v)=(-9/26,-63/26) ベクトルを使う場合 UV=(2u+3v+8,-2u-v-3,-u-1/2) AB=(-2,2,1) OC=(9,-3,0)=3(3,-1,0) UV⊥AB、かつ、UV⊥OC、であればいい UV.AB=0 (2u+3v+8,-2u-v-3,-u-1/2).(-2,2,1)=0 -4u-6v-16-4u-2v-6-u-1/2=0 -9u-8v-45/2=0 -18u-16v-45=0 18u+16v=-45 UV.OC=0 (2u+3v+8,-2u-v-3,-u-1/2).3(3,-1,0)=0 (2u+3v+8,-2u-v-3,-u-1/2).(3,-1,0)=0 6u+9v+24+2u+v+3=0 8u+10v+27=0 8u+10v=-27 これを解いて (u,v)=(-9/26,-63/26) ベクトルの方が簡単ですね。 U(-2u-8,2u+3,u+1/2)=(-95/13,30/13,2/13) V(3v,-v,0)=(-189/26,63/26,0) UV=(1/26,3/26,-4/26) (4/26はあえて約分していません) Sの中心座標はV(-189/26,63/26,0) Vは球の中心で、Q,Rは球面上の点なので、 △VQRはVQ=VRの二等辺三角形。 Uは直線QR上の点で、UVが最小の時、VU⊥QR よって、UはQRの中点となる。 △VUQは∠VUQ=90°の直角三角形なので、 VQ^2=UV^2+UQ^2 ここで、 VQは球の半径なのでVQ=1 UV^2=(1+9+16)/26^2=26/26^2=1/26 なので 1=1/26+UQ^2 UQ^2=25/26 UQ=5/√26 QR=2UQ=10/√26=10√26/26=5√26/13 これがQRの最大値 長い回答になった上に、答えの値もきれいじゃないですね。 計算ミスの可能性もあるので、途中の計算部分はしっかり確認しながら解いてください。