質問: 高3女子です。下手したら東大京大レベルの超難問です、さっぱりわかりません {an}を正の数からなる数 高3女子です。下手したら東大京大レベルの超難問です、さっぱりわかりません {an}を正の数からなる数列とし,pを正の実数とする、このときan+1>an(1/2) -pを満たす番号nが存在することを証明しなさい
回答: {a(n)}を正の数からなる数列とし, pを正の実数とする 任意の自然数nに対して 0a(1)/p+1 となる自然数n≧2が存在する 2^(n-1)>n-1>a(1)/p 2^(n-1)>a(1)/p ↓両辺にp/2^(n-1)をかけると p>a(1)/2^(n-1) ↓(2)から p>a(1)/2^(n-1)>a(n)>0 ↓a(n)>a(n)/2>a(n)/2-a(n+1)だから p>a(n)/2-a(n+1) ↓両辺にa(n+1)-pを加えると a(n+1)>a(n)/2-p となって(1)に矛盾するから ∴ a(n+1)>a(n)/2-p を満たす自然数nが存在する