質問: 位相空間Sと次のような位相空間S'を考える。
回答: 間違いや厳密でない部分のみ触れています. 触れていない部分は正しいです. >距離空間なら性質2を満たし 間違いです. 1元集合{x}に d(x,x)=0 という距離を定めると 距離空間となりますが, 性質2を満たしません. (距離の定義はこの1通りのみ) 但し距離空間は性質1を満たします. 距離空間⇒正規空間(T1かつT4)⇒T1空間⇔性質1 だからです. >実数全体の集合は性質1,2を共に満たす 実数全体の集合に d(x,y)=|x-y| (x,yは実数) という通常の距離を入れて 位相空間と見なしたとき, 性質1,2を満たします. 密着位相を入れると 性質1は成り立ちません. >局所定数な写像f:S→S'が連続の証明 厳密には V(y)=∅ (空集合),V(y)≠∅ で場合分けした方がいいです. 勿論∅は開なので大きな支障はありません. >f^{-1}({y})と書くべきなんでしょうか? {y}のように1元集合の 逆像を考える場合は f−1(y)と省略して 書くのが一般的です. >(a)⇒(b)の証明 「両辺をfで写せばf(S)={f(a)}」 は 「両辺をfで写せばf(S)={f(x)}」 が正しいですね. <補足> 厳密なことを言うと, S=∅,S≠∅ で場合分けする必要があります. 但しS=∅の場合, (a),(b)が共に成り立つことが 簡単に分かるので, 証明に大きな支障はありません.