質問: 数学的帰納法で お世話になっております。些細な事なのですが、数学的帰納法からの質問です。 ある参考書に、数学的帰納法で証明する第2段階目の記述で、「k≧1」がありました。これは意味的には「kは1以上の実数」という事になると思うのですが、実際数学的帰納法では、kは「任意の自然数」を指していると解釈しているのですが、教科書の例では特に用いるkに対してその範囲を明示していないようです。この場合kは任意の自然数と但書きすべきか、先述のようにk≧1で良いのか、記述についてご存じの方いらっしゃいましたらお教え下さい。宜しくお願い致します。
回答: こんばんわ。 たいていの問題は、「任意の自然数」でも「k≧ 1(kは整数)」でも構わないと思います。 ただ、問題によっては「先頭」が 1でないときもあります。 簡単な例ですが、「n^2< 2nを満たす n」は n= 1だけになります。 これは、n≧ 2では n^2≧ 2nとなることを数学的帰納法で示すことで、 答えが n= 1しかないことを述べるができます。 (当然、解法はこれだけではありません。) この場合の数学的帰納法の「先頭」は n= 2であり、 kについても k≧ 2で述べることになります。 数学的帰納法は「ドミノ倒し法」なので、 先頭がどこかをきちんと述べておかないといけません。 そこに注意することが大事だと思います。