質問: 方程式についての問題。。。 (1)方程式x3乗ーx2乗+ax+b=0の解が1つがx=1+iであるとき、実数解a,bの値を求めよ。またほかの解を求めよ。 x=1+iを方程式に代入したのはいいんですがそれからなにをすればいいかよくわかりません。 (2)直線jの方程式 y=2x+1とするとき、jに関して点a(1,1)と対称な点bの座標を求めよ。 対称の時の仕方が教科書みてもいまいちわかりません。どなたか詳しく説明してくれませんか?
回答: (1) x^3-x^2+ax+b=0 α=1+i β=1-i α+β=2 αβ=2 x^2ー2x+2=0 (x^2ー2x+2)(xの一次式)=0 割り算を実行すると、 x^3-x^2+ax+b =(x^2ー2x+2)(x+1)+【ax+(b-2)】 【ax+(b-1)】が恒等的に0より a=0、b=2、他の解はx=-1、1-i 直接代入するならば、 (1+i)^2=2i (1+i)^3=(1+i)2i=2iー2 x^3-x^2=ー2 ー2+a(1+i)+b=0 ー2+a+ia+b=0 実部と虚部に分けて (a+b-2)+ia=0+0*i よって、a=0、b=2 x^3-x^2+2=0 因数定理を使用、x=-1のとき ー1-1+2=0 (x+1)(xの二次式)=0 割り算を実行して (x+1)(x^2ー2x+2)=0 x^2ー2x+2=0より 解の公式(その2)より x=1±i よって、他の解は-1、1-i (2) y=2x+1 点a(1,1) (1,1)をとおり、y=2x+1に垂直な直線の方程式は y-1=(-1/2)(x-1) y=(-1/2)(x-1)+1 2式を連立させて 2x+1=(-1/2)(x-1)+1 2x=(-1/2)(x-1) 4x=-x+1 5x=1 x=1/5、y=7/5 これは、a、bの中点の座標m(1/5、7/5) bの座標(s、t)と置くと、 (s+1)/2=1/5 (t+1)/2=7/5 計算してb(-3/5、9/5) または b(s,t)とし、 中点m((s+1)/2、(t+1)/2)がy=2x+1上にある事より、 (t+1)/2=(s+1)+1、変形して 【1】2s-t+3=0 直線abの傾きが(-1/2)より (t-1)/(s-1)=-1/2 (s≠1) 変形して、 【2】s+2tー3=0 【1】【2】を連立して、b(-3/5、9/5)