質問: 「n! は平方数にならない」? 以前,大学の入試問題で(どこ大学かは失念しました), 「1 から 10 までの自然数を 2 グループに分け,それぞれ積をとる。このとき 2 つの積が一致することはあるか」 というものがありました。 答えは「ない」で,それは 10! が平方数にならない,ということなのですが,ポイントとしては,「10 までの自然数の中には 7 の倍数は 1 つしかないから,2 つのグループの一方は 7 の倍数で,他方は 7 の倍数でない,だから一致しえない」ということでした。 そこで疑問なのは,これは一般の 2 以上の自然数 n について,n! は平方数にならないのか,ということです。 これは,【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できればよくて,実際そうであって,「n! は平方数にならない」は真とのことでした。 ところがこの【 】の部分の証明が,簡単に流されているものが多くて,釈然としません。 この証明の全容がわかる文献か,または証明のポイントをご教示願えますか。
回答: 1からn/2までに素数pがあったとしても、その場合はn/2からnの間に必ず2pが存在しますから、2グループに分けた時に積を一致させることができます。 しかしn/2からnにおいて素数qがあれば、1からnの範囲で素因数qを持つ自然数はありませんね(素因数qをもつ自然数とはq,2q,3q・・・なので2qの時点でnを超える自然数だからです)。だから2グループに分けれません。