質問: マクローリン展開 f(x)=1/sinx をマクローリン展開せよ。 f(x)=f(0)+(f’(0)/1!)x+(f’2(0)/2!)x^2+・・・・ が定義だと思ったので、f(0)を計算しようとしましたが、分母がsin0で困りました。この問題の場合マクローリン展開はどうすればよいのでしょうか。
回答: >g(x)を一回微分したとき、やっぱり分母にsin0がでてきて、うまくいかないようにおもいます。 確かにg'(x)も、単純にx=0を代入することは出来ない形になります。 具体的には g'(x) = (sin(x)-x*cos(x))/((sin(x))^2) となると思いますが、これもx=0のとき0/0型の不定形になるのでx→0での極限が存在する可能性があります。 実際、 lim[x→0]{g'(x)} = 0 となるので、g(0)をg(x)のx→0での極限で定義すればマクローリン展開の式に当てはめることが出来ます。 同様にg''(x)も、一般のn次導関数もx=0で不定形になりますがx→0での極限が存在するため、それらの極限を用いてx=0における値を定義すればマクローリン展開が可能ということです。 >ローラン展開した場合でも >展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。 #1さんの仰るように、f(0)が定義されないためにf(x)をマクローリン展開することはできません。 しかし、少しの工夫を加えるとマクローリン展開に変わるローラン展開をすることは出来ます。 私は、f(x)のマクローリン展開が可能である事を示したのではなく、マクローリン展開(テイラー展開)の発展としてのローラン展開をすることは可能であると言うことを具体的な方法とともに示しただけです。 x=0とおけるかどうかを調べる必要はありますが、x=0とおけないからといってそこで議論を終了する必要はありません。 また、f(0)が存在しないからといって、f(x)自体が全くの無意味になるわけではありません。 x≠0なる場合に着目すれば、f(x)にもf(x)のローラン展開にも充分に意味があります。 実際にf(x)をローラン展開した式はx=0の近く(ただしx≠0)でf(x)の値を与えます。 テイラー展開にしてもローラン展開にしても、x=aで展開したときのx=aにおける値だけが重要なのではありません。 x=aの近くでも同様に、展開した式が正しく機能するからこそ重要なのです。 何にしてもf(x)のマクローリン展開は出来ません。ローラン展開なら出来ます。 以上です。