質問: 行列の連立一次方程式の単元で ax+by=0 cx+dy=0 は必ず(x、y)=(0,0)の解を持つから、↑の解は(x、y)=(0,0)だけか無数にあるかのどちらかである。 a=(ab) ----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。 もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、aは逆行列を持たない。 >無数にあるかのどちらかである。 無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか? >a=(ab) ----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。 これはdeta=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか? >もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、aは逆行列を持たない。 無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detaが存在しないのでしょうか?
回答: yyama19さん、こんにちは。 >>無数にあるかのどちらかである。 >無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか? a=b=c=dのとき、行列aは0行列になるので、 どんな(x,y)を持ってきても積は(0,0)になります(←横に書いてますけど) だから、もちろんそうなんですが、それ以外にも、 行列aが逆行列を持たないときは、解は無数にあります。 それは、どういうことかというと、行列aが逆行列を持たないということは deta=0 このような行列、例えば 1 2 a=( ) 2 4 を考えてみましょう。 x x+2y 0 a( )=( )=( ) y 2x+4y 0 ですが、 x+2y=0を満たすような(x,y)の組は、無数にありますね。 (2,-1)もそうだし、(-4,2)もそうです。 (0,0)以外の実数の組がたくさんあります。 >>a=(ab) ----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。 これはdeta=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか? というか、 x 0 a( )=( ) y 0 の両辺に、a^(-1)が存在するならば、それを左からかけると x x 0 0 a^(-1)*a( )=( )=a^(-1)*( )=( ) y y 0 0 なので、(x,y)=(0,0) であることが、逆行列を左からかけることによって、いえるからです。 >>もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、aは逆行列を持たない。 無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detaが存在しないのでしょうか? 解を無数に持つとき、ただちにa=b=c=d=0とはいえません。 連立方程式を解いて ax+by=0 cx+dy=0 この連立方程式が、今(x,y)=(0,0)以外の解を持つとします。 x≠0,y≠0と仮定しますね。 このとき、 ax+by=0より、y=(-a/b)x これをcx+dy=0に代入すると cx+d(-a/b)x=0 {(bc-ad)/b}x=0 (bc-ad)x=0 ところが、x≠0であったため、ad-bc=0でなければならない。 これは、何を意味するかというと、 最初の行列aの行列式の値が0、すなわち逆行列を持たないことを意味します。 ということになりますね。 a=b=c=d=0 という0行列のみならず、ad-bc=0を満たす行列であれば (x,y)の組は無数に存在する、ということです。