質問: 確率密度関数の問題について教えてください 次の関数f(x)(xは実数)が確率密度関数であるとする. ただし,kは正の実数である. f(x) ={0, (x<0) x,(0≦x≦k) 2x-k,(k≦x2k) -3k+9k,(2k≦x≦3k) 0, (x>0) 1kの値を求めよ 21で求めたkの値を用いて、次の問を答えよ このf(x)を確率密度関数とするような分布関数f(x)を求め,f(x)のグラフを書け。
回答: なんか問題がおかしくないかい? f(x) = 2x-k (k≦x≦2k) = -3x+9k,(2k≦x≦3k) = 0 (3k < x) なんじゃないの? その前提で書きます。 1「確率密度関数」は、確率なので全定義域で積分すれば「1」にならないといけません。 ∫[-∞→∞]f(x)dx = 1 ということです。 これを計算すれば ∫[-∞→∞]f(x)dx = ∫[-∞→0]0dx + ∫[0→k]xdx + ∫[k→2k](2x - k)dx + ∫[2k→3k](-3x + 9k)dx + ∫[3k→∞]0dx = [(1/2)x^2][0→k] + [x^2 - kx][k→2k] + [-(3/2)x^2 + 9kx][2k→3k] = (1/2)k^2 - 0 + (4k^2 - 2k^2) - (k^2 - k^2) + [-(27/2)k^2 + 27k^2) - (-6k^2 + 18k^2) = [1/2 + 2 + 27/2 - 12]k^2 = 4k^2 これが「1」に等しいので 4k^2 = 1 k>0 より k = 1/2 2「分布関数」とは、-∞ ~ x までの「累積確率」の関数なので f(x) = ∫[-∞→x]f(t)dt であり x<0 のとき f(x) = 0 0≦x≦k=1/2 のとき f(x) = 0 + ∫[0→x]tdt = [(1/2)t^2][0→x] = (1/2)x^2 1/2≦x≦2k=1 のとき f(x) = 0 + ∫[0→1/2]tdt + ∫[1/2→x](2t - 1/2)dt = [(1/2)t^2][0→1/2] + [t^2 - (1/2)t][1/2→x] = 1/8 + x^2 - (1/2)x - (1/4 - 1/4) = x^2 - (1/2)x + 1/8 = (x - 1/4)^2 + 1/16 1≦x≦3k=3/2 のとき f(x) = 0 + 1/8 + ∫[1/2→1](2t - 1/2)dt + ∫[1→x](-3t + 9/2)dt = 1/8 + [t^2 - (1/2)t][1/2→1] + [-(3/2)t^2 + (9/2)t][1→x] = 1/8 + (1 - 1/2) - (1/4 - 1/4) + [-(3/2)x^2 + (9/2)x] - (-3/2 + 9/2) = 1/8 + 1/2 - (3/2)x^2 + (9/2)x - 3 = -(3/2)x^2 + (9/2)x - 19/8 = -(3/2)[x - (3/2)]^2 + 1 3/2 < x のとき f(x) = 0 + 1/8 + 1/2 + ∫[1→3/2](-3t + 9/2)dt + 0 = 5/8 + [-(3/2)t^2 + (9/2)t][1→3/2] = 5/8 + (-27/8 + 27/4) - (-3/2 + 9/2) = 5/8 + 27/8 - 3 = 1 グラフはご自分で。