質問: pを素数とし、p個の元をもつ有限体をFpとおく。p3,5の場合に、(Fp[x]/(x^2+1))\{0}が巡回群かどうかを調べよ。
回答: Fp[x]の元x^2+1が既約であるかないかの問題です。 p=3のときは既約で、p=5のときは可約です。 -1がmod 3で平方非剰余、mod 5で平方剰余であること の結果ですが、それを知らなくても調べればわかります。 p=5のとき可約であることはx^2+1=(x+2)(x+3)からわかります。 p=3のとき既約であることはもしこれが可約ならx,x+1,x-1の どれかを因数にするはずだけど0,-1,1のどれを代入しても 0にならないことからわかります。 x^2+1が既約であればFp[x]/(x^2+1)は体になるのでそれから 0を除いたものは巡回群になる。 x^2+1が可約であればFp[x]/(x^2+1)は整域ではない。 p=5であれば、0でない2つの元x+2,x+3の積が0になる。だから Fp[x]/(x^2+1)-{0}は群にもならない。