質問: 4次元空間で点と直線・平面の距離の公式の一般化を考えたい 4次元空間と書いたのは、一般化と単に記述の簡単さが目的です。 さらに記述の簡単さのために、4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、n次元ベクトル空間との距離を考えたいと思います。 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4])で張られる1次元ベクトル空間(原点を通る直線)との距離の公式はどう書けるのでしょうか? 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4])で張られる2次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか? 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4]),(c[1],c[2],c[3],c[4])で張られる3次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか? また、垂線の足の座標はどうなるのでしょうか? n次元ベクトル空間上の点をいくつかのパラメータを用いて表し、距離の2乗を偏微分したものが0ということから公式を導こうとしたのですが、うまくいきません。 どうかきれいに計算できた方は教えてくださいませ。
回答: 一次元ベクトル空間でも、2次元、3次元でも、 それらのベクトル空間に直交するベクトルを探し、 そのベクトル空間内の点と、直行するベクトルで、直線の一般式がかけます。 この直線で、(p,q,r,s)を通るものを選んでやれば良いです(詳細はお任せ致します) また、別解では、距離の2乗に関して、変分法を用いれば割り出せたりしますね。 n>mとして、 m次元空間の基底ベクトルはmこあります。これをx1,x2,....,xmとします。 n次元空間の基底ベクトルはnこあります。m次元空間を内包するので、x1,x2,....,xmに直交する基底ベクトルとして、ym+1,....,ynのベクトルが存在します。 m次元空間の座標をr=a1*x1+.....am*xm+r0 r次元空間の座標をt=b1*x1+..........+bn*yn として、 両者の差を取り、2乗にしてやると、2点間距離になりますね。 こんどは動的なパラメーターとしては、a1....amだけになることに注意して、これらに関して変分法を適応すると、連立方程式をとくことに帰着するでしょうね。 2次元だと(xはx軸方向のベクトル、yはy軸方向のベクトル r=a*x t=b1*x+b2*y r-t=(a-b1)x+b2*y (r-t)^2=(a-b1)^2+b2^2 ( xとyの内積は0) これを変分法をもちいて、aのみの変数だと考えると 2(a-b1)=0 よって、a=b1のときに最短距離となる・・・(あたりまえだね) 基本的に任意のベクトル空間を正規直交基底化してやると、簡単化しますよね、問題は。 とちゅうまでといた所でなげちゃいますが、続きを頑張ってください!