質問: 計算が簡単にできないです。 u=u0 + ε*u1 + (ε^2)*u2 + (ε^3)*u3 + ・・・・・ v=v0 + ε*v1 + (ε^2)*v2 + (ε^3)*v3 + ・・・・・ という形で 表せる時、(4uv)/(1+u^2) はどのようになるかを考えたいのですが、 ただ闇雲に代入するだけだと複雑になってしまいます。これをなるべく 分数の形を使わずに表したいのですがどうすればよいのでしょうか。 個人的には 与式= ~ + ε(~~) + ε^2(~~~) +ε^3(~~~~) + ・・・・・ というような形に直せると助かるのですが。 テイラー展開を利用するのでしょうか?すみませんがどなたか教えてください。
回答: 一般に、εに関するマクローリン展開が f(ε)= a[0]+(a[1]/1!)ε+(a[2]/2!)(ε^2)+... で与えられる関数f(ε)において、fのn階微分にε=0を代入したものは、a[n]になる。つまり、fは数列a[n]を作り出す母関数です。 この仕組みに素直に従えば、 f(ε)=4uv/(1+u^2) とおいて、そのn階微分にε=0を代入すれば、a[n]が計算できます。 じゃあやってみましょう。まず0階微分でε=0とすれば、 f(0)=a[0]=4u0v0/(1+u0^2) 次に、εによる1階微分は f'=4(u'v+uv')/(1+u^2)-8(u^2)u'v/((1+u^2)^2) ε=0を代入すれば、 f'(0)=a[1]=4(u1v0+u0v1)/(1+u0^2)-8(u0^2)u1v1/((1+u0^2)^2) んじゃεによる2階微分。 ...え? や、やるんですか?まじで?いやー、とてもやってらんないなあ。もっとシステマティックにやりたいですね。 そしたら、どうしましょうかね。 u=tanθ と変数変換してみましょう。uがεの関数なので、θもεの関数であることにご注意ください。すると 1/(1+u^2)=(cosθ)^2 だから f=4(tanθ)v((cosθ)^2)= 4v(sinθ)(cosθ) = 2v(sin2θ) と表せます。 f=2v(sin2θ) f'=2v'(sin2θ)+4vθ'(cos2θ) 一般に、εによるfのn階微分を(f^(n))と表すことにすると (f^(n)) = an+bn という形をしているから、漸化式 a[0]=2v, b[0]=0 a[n+1]= (a[n])'-2b[n]θ' b[n+1] = (b[n])'+2a[n]θ' が得られます。これで(f^(n))をvやθの導関数で表すことができました。 次に、θのn階微分 (θ^(n)) をuやuの導関数で表すために u=tanθ を使って計算する必要があります。両辺をεで微分すると u'= θ'/((cosθ)^2) なので、 θ' = u'((cosθ)^2) θ''= u''((cosθ)^2)-u'θ'(sin2θ) θ'''= u'''((cosθ)^2)-u''θ'(sin2θ)-(u''θ'+u'θ'')(sin2θ)-2u'θ'(cos2θ) = u'''((cosθ)^2)-(2u''θ'+u'θ'')(sin2θ)-2u'θ'(cos2θ) てな具合です。そこで (θ^(n)) =cn^2)+dn+en とすると、c, d, eを漸化式で書くことによって、 (θ^(n)) を uの導関数とθ'~ (θ^(n-1)) で表せますね。 c[1]=u', d[1]=0, e[1]=0 c[n+1]=(c[n])' d[n+1]=(d[n])'-c[n]θ'-2e[n]θ' e[n+1]=(e[n])'+2d[n]θ' 最後にa,b,c,d,eの一般項が分かれば完璧なんですが、それは私がめんどくさいので、ここまでということにします。 ところで、(ano.4に書いたように)もしu0=0だったとすると、ε=0のとき(u=0だから)θ=0。従って、ε=0のとき (f^(n))=b[n] = a[n] (θ^(n)) =c[n]+e[n] と言う風にだいぶ簡単になります。