質問: (問題) 3つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。(表記が違いますが、列ベクトルです) 1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。 2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。 3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。 というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います) 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね? また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか? R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか? また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、 それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか? ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。 質問を煩雑に羅列してしまい申し訳ないですが解答よろしくおねがいします。
回答: ANo.2のコメントについてです。 > 問題はこのURLの2ページ目の第一問なのですが、 なるほど。こんな問題がホントに入試に出た場合には、 「ベクトル3個だけから成る集合は線形空間になっていないから、その正規直交基底は定義されない。そこで、これらのベクトルが張る部分空間の正規直交基底を考えると、そのひとつは以下の通りである...」 ぐらいの但し書きを付けた上で答案書くしかないでしょうね。 万一問題文を読み違えていて、実は問題文にきっちり沿った答案が書けるものだったとしても(いや、この場合は違いますが)、こういう但し書きなりの問題についてきちんとした答が書いてあれば、いくばくかの部分点が期待できなくもないでしょう。