質問: 線形代数の複素平面と多項式空間の商空間との同型写像の問題です。 複素平面Cを実数上のベクトル空間と考える。V=R[x]とし、Vの部分空間(x^2+1)Vに対して以下の問題に答えよ。 (1)商空間V/(x^
回答: (1) まず、a, b∈Rが、a[1]+b[x]=[0] を満たすものとすると [0]=[a+bx]となるので a+bx∈(x^2+1)V よって、a=b=0 したがって、[1], [x]はR上線系独立です。 また、[f(x)]をV/(x^2+1)Vの任意の元とするとき f(x)∈Vなので、 多項式f(x)をx^2+1で割った商をq(x)とすると、余りはa+bx(a, b∈R)と表わされるので f(x)=q(x)(x^2+1)+a+bx よって、[f(x)]=[a+bx]=a[1]+b[x] したがって、V/(x^2+1)Vnの任意の元は[1], [x]の線形結合で表わされます。 以上より、[1], [x]は V/(x^2+1)Vの基底です。 (2) 写像F:V/(x^2+1)→C を、F([f(x)])=f(i)(∀[f(x)]∈V/(x^2+1)V)と定めます。 まず、f(x), g(x)∈Vが、[f(x)]=[g(x)]を満たすものとすると f(x)=g(x)+h(x)(x^2+1)(h(x)∈V)と表わされるので f(i)=g(i) すなわち、F([f(x)])=F([g(x)]) よって、Fはwell-definedです。 次に、[f(x)], [g(x)]をV/(x^2+1)Vの任意の元とすると F([f(x)]+[g(x)])=F([f(x)+g(x)])=f(i)+g(i)=F([f(x)])+F([g(x)]) また、aをRの任意の元、[f(x)]をV/(x^2+1)Vの任意の元とすると F(a[f(x)])=F([af(x)])=af(i)=aF([f(x)]) よって、Fは線形写像です。 そして、zをCの任意の元とすると z=a+bi(a, b∈R)と表わされます。 すると、[a+bx]∈V/(x^2+ 1)Vで F([a+bx])=a+bi=z よって、Fは全射です。 また、[f(x)]をKer Fの任意の元とするとき 多項式f(x)をx^2+1で割った商をq(x)とすると、余りはa+bx(a, b∈R)と表わされるので f(x)=q(x)(x^2+1)+a+bx よって、0=F([f(x)])=f(i)=a+bi そして、a, b∈Rなので a=b=0 よって、f(x)=q(x)(x^2+1)∈(x^2+1)V となるので [f(x)]=[0] よって、Ker F⊂{[0]} さらに、F([0])=0だから、Ker F⊃{[0]}なので Ker F={[0]} よって、Fは単射です。 以上より、FはV/(x^2+1)VからCへの同型写像です。 (3) (2)で定めた同型写像Fは F([f(x)g(x)])=f(i)g(i)=F([f(x)])F([g(x)]) (∀[f(x)], [g(x)]∈V/(x^2+1)V)なので 任意の[f(x)], [g(x)]∈V/(x^2+1)Vに対して F([f(x)g(x)])=F([f(x)])F([g(x)]) が成り立ちます。 (注)iは虚数単位を表わしています。