質問: 微分演算子があるテーラー展開 こんにちは.宜しくお願いいたします. いま,微分演算子をdとします.つまり,dx(t)=dx(t)/dtの意味です. ただし,x(t)はxが時間tの関数. 下に出てくるsも時間記号で,s≧t. ここで, x=0で,exp(x)のテーラー展開は,ふつうに exp(x)=1+x+(x^2)/2!+・・・・です. そこで, (s-t)d=0で,exp[(s-t)d]のテーラー展開は, exp[(s-t)d]=1+(s-t)d+[(s-t)^2*d^2]/2!+・・・・となります. ここまではよしとしますが, よって, exp[(s-t)dx(t)]=x(t)+(s-t)dx(t)+{[(s-t)^2*d^2]/2!}*x(t)+・・・・ ∴ =x(t+s-t)=x(s) ←ここのx(t+s-t)になるのが分かりません. 数学通の方,宜しくお願い致します.
回答: 次のように考えてはいかがでしょうか。 x(t)はテーラー展開可能として必ず(c_n) t^nの級数で表されるとします。 このとき、過程を簡略化するため、x(t)=t^nとします。(テーラー展開可能だとすれば、このようにおいて成り立つことがいえれば、元の関数x(t)でも成り立つことになります。) k階微分の項を見ますと、 (s-t)^k /k! d^k x(t)=n!/{k!(n-k)!} (s-t)^k t^(n-k) =n_c_k (s-t)^k t^(n-k) ・・・・ k≦nのとき =0 ・・・・ k>nのとき ただし、n_c_kはコンビネーションを表す。 したがって、問題の式の左辺は、k=0から∞で見たときの級数になっているので、 (左辺)=[k=0→n]σ n_c_k (s-t)^k t^(n-k)+0 となるが、この式の右辺は二項定理から、次のようになる。 (左辺)={(s-t)+t}^n=s^n=x(s)=(右辺) http://ja.wikipedia.org/wiki/%e4%ba%8c%e9%a0%85%e5%ae%9a%e7%90%86