質問: logx/xの極限でロピタルはダメ?? x→+0の時の(logx)/xの極限を求めたいのですが、どうすればよいのでしょう? logx自体は-∞で、1/x自体は+∞なので掛けて-∞としていたのですが、ロピタルの定理を使うと答えが違ってしまいます。 (logx)'=1/xと、(x)'=1で x→+0で1/xなので+∞になってしまいます。 何故なのでしょうか?
回答: 生兵法は大疵の基。同じことわざで、生兵法、知らぬに劣るです。 ロピタルの定理は、分母と分子が微分可能なときに、∞/∞または0/0の不定形極限になっているときのみ、適用できます。それ以外では使ってはダメ。証明を知らずにただロピタルが万能と過信している、そういう間違いをする人はよくいます。 極限の問題、まずは形式的に極限を求めるのです。この場合は-∞/+0の形だから、何も考えずとも-∞とできなくてはいけない。ものすごく負で小さい数をものすごく正で小さい数で割るわけです。たとえば、-1兆÷(1000億分の1)を想像してみましょう。これは決して不定形などではありません。ロピタルの定理や、あるいは有理化など、いろいろなテクニックを習うでしょうが、それはすべて不定形解消のための技であって、不定形になっていないときはそんなことをする必要はまったくないのです。 ちなみにx→+∞のときは、∞/∞になってますので、この場合はロピタルの定理使ってもいいです。使わなくてもできますけど。 参考url:http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/lhopital.html