質問: 積分 dx について 積分のdxについて ・不定積分・・・・・微分の逆操作 ・定積分・・・・・・総和σの極限 であると理解しています。 関数f(x)をf(x)の原始関数とすると、f(x)の微分は、 d/dxf(x)=f(x)です。 不定積分の場合は、微分の逆操作なので、 d/dxf(x)=f(x)の両辺を積分すれば、∫d/dxf(x)=∫f(x)となります。 よって、不定積分は∫f(x)=f(x)+cではダメなのでしょうか? わざわざf(x)dxとして積分する理由がわかりません・・・ 微分の逆操作という意味であれば、∫f(x)=f(x)+cはとてもしっくりくるのですが・・・ もちろん、式変形を行いd/dxf(x)=f(x)より、df(x)=f(x)dxとなり、 両辺を積分すれば、∫f(x)dxが導けることは理解できます。 ∫f(x)dxは、f(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和となり、 ∫f(x)dxが直感的に微分の逆操作というイメージが沸きません・・・ f(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和が原始関数となる事を 教えて頂けませんでしょうか? (もちろん、積分定数分は切片としてズレる事は理解しています。) そもそも∫○dxは、一対で考えなければならないのでしょうか? このdxが何で積分するかを表すという考えなのでしょうか? ということは、 ・不定積分・・・・・微分の逆操作→∫f(x)dxのdxは何で積分するかを表すための記号 ・定積分・・・・・・総和σの極限→∫f(x)dxのdxは幅 という解釈で良いのでしょうか? 定積分であれば、面積=σ(高さ×幅)となるので、∫f(x)dxは理解できます。f(x)が高さでdxが幅。 ※質問内容※ ・不定積分は、∫f(x)=f(x)+cではダメか。 ダメな場合、なぜダメなのか。 ・∫○dxは一対で考えなければならないのか? ・f(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか? ・不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか? 以上、長々とあほな質問ですがご回答よろしくお願い致しますm(__)m ちなみに、以前私と同様の質問の方がいらっしゃいました。 http://okwave.jp/qa1415099.html
回答: > df(x)=f(x)dxより、2xdx(高さ・幅=面積)のxに実際に数値を代入した際に、求まる関数=原始関数という認識で良いでしょうか? > 2xだけでは只の点に成ってしまうので、それを繋ぐためにdxというxの微小変化量の極限が必要と理解しました。 ここが違うんです.値を代入することはできません. そもそも「df(x)」とか「dx」を それだけで定義してますか? あくまで説明の都合上「微小区間dx」とか書きますが, そもそも「微小区間」って何でしょう? どんなに小さくても,たとえば[0,0.000000001]なんかでも これは数学でいう意味での「微小区間」じゃないんです. この「微小区間」ってのは, まじめに定義するときわめて複雑なんで普通は 「言葉のアヤ」扱いで「漠然と使う」ものなんです. いみじくもご自分で「微小変化量の極限」ってかかれてますよね. 翻って,df(x)って何?ということになります. これに対して「代入」なんて定義されてますか? だから 「df(x)=f(x)dxより、2xdx(高さ・幅=面積)のxに実際に数値を代入した際に、求まる関数」 なんてものは(少なくともこのような意味では)存在しません. そもそも「代入」自体が意味不明です. これは「記号・記法のお約束」と「説明のための大雑把な話」で 納得するしかありません. 数学的に理解するなら,まずは 大学初年程度の微積の教科書を丁寧に読むしかありません. df(x)というのは実はきちんと数学的に定義が可能です. これがいわゆる「微分幾何」や「多様体論」をやると でてくる「微分形式」と「外微分」ってものなんですが, これの定義を真剣にやるのはいろいろを道が長いです. ものすごく大雑把にいうと df(x)ってのは, 点xにおいて, その点で接する方向に伸ばす接線の傾きを与えるような 線型写像なんです. ただ,線型写像の値域がグラフの 「接線方向の直線」だったりするので 「普通の意味でその点の値を代入する」というのは 意味がないというか,ちょっと違います. #「接ベクトル場の双対空間の元」というのが #数学的な定義なんだけども・・・ ##けどここでの話にはこういうのは関係ない. したがって, >上の式よりdf(x)は面積という事ですよね。 というほど単純なものではないんです. あえてこれをいうなら標語的な「微小面積」です. そして,問題なのは 複数のものをごっちゃにしていることです. 積分を考えたときの「面積」と 「微小量の極限」は別物です. 「微小量の極限」ってのは定義の上では積分とは 一切関係ありません そして,f'(x)=f(x)という関係があるときに 初めて、dfはf(x)と微小区間による「微小面積」になるんです. #これが微積分学の基本定理のキモ ただし「微小」という謎の言葉がついているので 普通の感覚での関数とか値を代入ってのはご法度です. きちんと定義するまでは dxとかは「そういう記法」「積分とかするための記号」くらいで 考えるしかありません. 微分方程式をとくときに 平気でdf/dxとかで「約分」とかしますが, あれは「合成関数の微分」「逆関数の微分」とかを 積分に組み合わせるとうまく約分したときと同じに書ける ということがわかってるから,許可される操作なのです. 無分別にやってるわけではなく,また 無分別にしていいことではありません.