質問: 0≦θ≦πにおいて cos2θ+√3sin2θ-2cosθ+2√3sinθ≧2 を満たすθの値の範囲を求めてください。
回答: 0≦Θ≦π cos2Θ+(√3)sin2Θ -2cosΘ+(2√3)sinΘ は、Θの関数(function)なので f(Θ)とおきます。 2倍角の公式より、 f(Θ)= 1-2sin2Θ+(2√3)sinΘcosΘ +2{(√3)sinΘ -cosΘ}ですね。 -2cosΘ+(2√3)sinΘが 2{(√3)sinΘ -cosΘ}となって 三角関数の合成が できる、ということに 気づくことがポイントです。 t=(√3)sinΘ -cosΘと おくと、 t2=2sin2Θ -(2√3)sinΘcosΘ+1 なので、 変形すると、 1-t2= -2sin2Θ+(2√3)sinΘcosΘ ですよね。 したがって、 f(Θ)の-2sin2Θ+(2√3)sinΘcosΘの 部分は1-t2と置き換えられ、 (√3)sinΘ -cosΘの部分は tと置き換えられるので、 f(Θ)=1+(1-t2)+2t= -t2+2t+2 となります。 ここで、新たに、 f(t)= -t2+2t+2というように 変数をtに考え直します。 また、 t=(√3)sinΘ -cosΘは 三角関数の合成により、 t=2sin(Θ -π/6)となります。 Θの範囲は、 0≦Θ≦πなので、 これの各辺から π/6をひくと、 -π/6≦Θ -π/6≦5π/6 この角度範囲では、 sinの値の範囲は、 -1/2≦sin(Θ -π/6)≦1 となりますね。 さらに各辺に2をかけると、 -1≦2sin(Θ -π/6)≦2 Θの範囲から、 tの範囲、-1≦t≦2を だせました。 ようやく準備完了です。 f(t)= -t2+2t+2≧2を解くと、 t(t-2)≦0となるので、 0≦t≦2となります。 tの元々の範囲である、 -1≦t≦2を考えると、 0≦t≦2は許容範囲なので tの範囲は0≦t≦2ですね。 t=2sin(Θ -π/6)が0になる Θは0≦Θ≦πの範囲では Θ=π/6だけですね。 t=2sin(Θ -π/6)が2になる Θは0≦Θ≦πの範囲では Θ=2π/3だけですね。 よって、Θの範囲は、 π/6≦Θ≦2π/3と なります。 同様にして、 f(t)= -t2+2t+2=9/4を 解くと、 4t2 -8t+1=0になって 解の公式より、 t=(2±√3)/2となります。 t=2sin(Θ -π/6)なので、 2sin(Θ -π/6)=(2+√3)/2 2sin(Θ -π/6)=(2-√3)/2 sin(Θ -π/6)=(2+√3)/4 sin(Θ -π/6)=(2-√3)/4 (2+√3)/4はだいたい0.67 (2-√3)/4はだいたい0.07 なので、 「プラスの値で でてきた」というのが 認識できますね。 0≦Θ≦πでは、 sinというのは、 0≦Θ<π/2で1回、 π/2<Θ≦πで1回、 合計で2回同じプラス とることができます。 なので、 ひとつの値につき、 2つのΘがでてきます。 なので、 f(Θ)=9/4を満たすΘは 4つ存在します。