質問: 図形 数iiiiiiabcのなかでで図形系のものは何があるでしょうか? (平面図形とか・・・・) よろしくお願いします。 ps 数字とアルファベットの違いって何なのでしょうか? 数字は代数系とかってことですか?
回答: 元予備校講師(数学担当)です。 高校数学の中で図形的要素の高いもの、ということですので、あくまで教えてきた側の実感としてお伝えします。(そういう意味では純粋な数学的裏づけではありません。高校生・浪人生などが学ぶ上での意味です。) ちなみに#2さんの補足?ですが、新課程では複素数平面は削除されましたが、(予備校で)教える際には使ってましたし、それで理解が深まるなら全然okだと思います。 知り合いの大学教授も言っていましたが、例えば指導要領の範囲を超えた手法を使って解答していたからと言ってその人を落とすことはない、と聞いております。 いわゆる一旦、他の大学を卒業した人が受験してくることもありますし、既に知っている方法を無理に使うな、とも言えないので、要は「その本人がキチンと理解して使っていることが伝わって、内容が正しい」ということだけが重要なようです。 勿論、そういう意味では何も高校の方法でなくても、大学・大学院の手法でもそれを超えた手法でも、逆に小学校・中学校での数学的手法でも構わないということですから、大事なことは本質的、もしくは感覚的に理解する為に「図形的要素」が含まれれば、それを“図形的要素を含む項目・単元”と判断して良いと思います。 実際、私も下記ではそういう意味で“複素数と二次方程式”の分野は「図形的要素がある」として分類しています。以上、長くなりますが、ご参考まで。 以下に科目名、単元名などで図形的要素を含む、と思われるものを学習指導要領の順に示していきます。 数学1 (2)二次関数 ア 二次関数とそのグラフ →2次関数のグラフの対象性など (後で微分積分を習った際に、変曲点の問題や回転体での体積計算での図形的特徴の理解には、ここでの理解が聞いてくると思われます。) (3)図形と計量 ア 三角比 イ 三角比と図形 →言うまでもありませんが、図形と計算の関係、幾何学と代数学的・解析学的な考え方の接点について一番最初に深く学ぶ単元だと思います。 数学2 (1)式と証明・高次方程式 イ 高次方程式 (ア)複素数と二次方程式 →まず複素数平面で代数学と解析学、幾何学の関係を問います。この辺はフィボナッチ数列と黄金比の関係、ペンローズタイルやペンタグラム、完全数などとの関係を追えば高校生でも十二分に理解できます。(証明が出来る必要はないでしょう。)参考urlのサイトが非常に参考になります。ちなみに私も同様のことを予備校講師時代には教えていました。 (2)図形と方程式 ア 点と直線 イ 円 →これも言うまでもありませんが、図形(グラフ)と方程式・不等式の持つ関係性を理解し、さらに三角関数のグラフの意味を理解させる上でも役立ちます。代数・解析・幾何が見事に重なった一番の単元です。 (3)いろいろな関数 ア 三角関数 →これは三角比の部分との接点が深いのですが、公立学校などでは深入りせず、ただ拡張した関数として性質とグラフを教えるようです。私は単元の区別なく、一気に三角比と三角関数を同時に教えていました。 (4)微分・積分の考え ア 微分の考え (イ)導関数の応用、接線,関数値の増減 イ 積分の考え (イ)面積 →ここでは、一番最初に2次関数・3次関数の微分とそのグラフ的特徴を理解することがポイントになるかと思います。 2次関数の線対称と3次関数の点対称を元に色々展開できるはずです。3次関数の変曲点から引いた接線と曲線上のある点での接線の交点がx方向に2:1で内分され、曲線(関数のグラフ)と各接線で結ばれた部分の面積比が3:1になる。これが見事にキチンと説明できる理由が、導関数である2次関数がいつでも線対称であり、このために3次関数はグラフ上の性質が一定していることを示せば判りやすい。 少し戻るが、積分の概念でも導関数側から原始関数を探るという概念とは別に、面積におけるリーマン積分の概念を説明すると「小学校で習った縦×横=長方形の面積」の意味が理解できる。結果的に数学3で回転体の体積計算などが積分で出来る際の理由付けも理解できる。ルベーグ積分の概念だけでも示しておけば、数学的興味を引くことは十分可能だと思われる。(測度の概念が難しいので深入りはしない) 数学3 (1)極限 ア 数列の極限 (ア)数列の極限 (イ)無限等比級数の和 →極限や級数の収束・発散、数学bでの漸化式の実像などをグラフ上で追い、目で見て理解させる点に図形的要素を見る。前述のフィボナッチ数列と図形的極限やフラクタル図形、マンデルブロー曲線、コッホ曲線などが良い題材になる。 (2)微分法 ア 導関数 (ウ)三角関数・指数関数・対数関数の導関数 →対象は三角関数だけ。三角関数の単位円での取り扱いが、図形的特徴をグラフの中に包含していることを提供すればよい。ピタゴラス数と三角関数の関係やパラメーター表示との関連性についても単位円上の図形的要素として見ることが出来る。 (指数関数や対数関数についても天文学的な扱いを提供できれば図形的要素はあるが、話が長くなるのでとりあえず省略。出来る時間があればよいかもしれない。) (3)積分法 イ 積分の応用 (ア)面積,体積 →数2の積分でやった内容を各関数に応用するだけで、面積・体積が求まるというのは同様の理屈であることを提供できれば良い。理系であれば、ついでに蛋白質の立体構造で2次構造のαへリックスや、ミオグロビンの3次構造、ヘモグロビンの4次構造の際にかかる水素結合の強さの計算はそれぞれ次元の上下で示されて、4次元的構造のため、微分と積分の関係にあることなどを追加説明できれば面白いかもしれない。 これを応用すれば、イメージだけでも超弦理論での11次元の世界のイメージを高校生レベルにつけることが出来るかも。参考urlのサイトのメビウスの輪あたりを参考にされたい。 数学a (1)平面図形 →言うまでもない図形そのもの。 数学b (2)ベクトル ア 平面上のベクトル イ 空間座標とベクトル →これも言うまでもなく、代数学的要素をグラフ上で示して幾何学的要素、解析学的要素を加えた単元である、と高校数学的には判断してよい。純粋な線形代数の導入として教えようとする公立学校の先生方もおられるが、高校生・浪人生くらいではかえってイメージを持ちにくく、解きにくくなるだけだと思われる。厳密な定義よりも目で見るイメージを重視して解かせると良いと思われる。私は予備校講師時代に小中学校の図形問題を中心に幾何学(平面・立体)を教え、幾何学的アプローチからベクトルを捉えることを奨めた。座標系に落とし込むのはそれから。数学cでやる行列による点の移動(1次変換など)への展開を少し織り交ぜるとよりよいかもしれない。 (4)数値計算とコンピュータ イ いろいろなアルゴリズム (イ)近似値の計算 →これも近似値計算の際に、図形的な近似やグラフ上の工夫(ニュートン法など)を見ることが出来る。数学3の極限で習ったことの現実での計算への応用例としてイメージをつかみやすいのでは、と思われる。残念ながら、私が予備校講師時代にはこの授業は行わなかったが、今、経営者向けに様々な機会でexcelを使った同様の計算を教えている。身の回りの実例を使った計算を表計算ソフトでやらせてみるのも良いかもしれない。 数学c (1)行列とその応用 イ 行列の応用 (ア)連立一次方程式 (イ)点の移動 →これが解ける理由にもベクトルや座標平面、図形的要素などが織り交ぜられている。特に点の移動などについては、行列での固有方程式・固有値の問題やアフィン変換・1次変換、斜交座標、複素数平面との関係など非常に話が図形的要素を中心に広げられると思う。 (2)式と曲線 ア 二次曲線 イ 媒介変数表示と極座標 →これらは描きづらい曲線がグラフとして座標平面状にどう現れるのか?や、通常の関数形で表せない図形を代数表示するにはどうすれば良いか?ということとそれによりどんな図形が現れるのか?を理解するのに良いと思われる。これにより、図形的要素があってもそのままでは難解な問題を代数的・解析学的アプローチで迫ることで解ける場合があることを明白に理解できると思われる。(コレがなくては図形的要素で解いた方が他のやり方より簡単で、他のやり方をやりたくなくなってしまう可能性を否定できない。) (3)確率分布 (イ)二項分布 →これについても、フィボナッチ数列やパスカルの三角形、二項係数、経路数探索問題(組合せ計算など)などと比較して見るとスグに理解できる。参考urlの多項定理やパスカルの三角形、下記に示す二項分布の観察のページを参考にすると良いと思われる。 【二項分布の観察】 http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/binom1.htm 参考url:http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math.html