質問: 離散フーリエ変換(dft)の公式について 離散フーリエ変換の公式は、参考書等によりますと色々な記述があります。 今回は2例の違いを教えていただきたいのです。 1)f(u)=1/nσf(x)・・・・ 2)f(u)=σf(x)・・・・ との式があります(両式とも詳細は省いて記述しました)。この規格化定数(1/n)がある公式1)と、ない公式2)があります。 本来の周波数スペクトル(振幅)を表しているのは1)式であると考えていますが いかがでしょうか? 公式2)を使用して算出した場合には、その値をサンプリング数で除すれば公式1)同じ結果となるのですが、なぜ公式2)が記述してあるのでしょうか?
回答: no.5の補足に対してです。 あなたの行なっていることが、まさに逆変換そのものです。 その逆変換を行なうときに係数を付けるのを嫌った公式が1)になります。 これは、あなたのおっしゃる画素の様な本質的に離散化されたものであれば 式の形も簡単になりますし直感的にも合いやすいと思います。 が、それとは別に次の様な事を考えて見ましょう。 例えば、あなたが原っぱに寝転がっているとします。 日の光が体に降り注ぎますが、あなたはどれくらい日の光をあびているのでしょう。 光を浴びている量に瞬間値はありません。ある時間から別の時間までの積算量が あるだけです。こういう瞬間値が無いものは、常にある時間から別の時間までの 積算量としてあつかってもいいですし、単位時間あたりの積算量を もって瞬間値としてあつかうという方法もあります。 この様な積算量の周期はどうなっているのでしょう。 本来瞬間値の無いものですから、周期に関しても本来、瞬間値はありません。 この様な連続関数を強引に離散化する場合、 離散化した値は、ある単位当りの量を考えることも出来ますし、 ある点から別の点までの積算量と考えることも出来ます。 この(ある周波数から別の周波数までの)積算量で考えたものが公式2)です。 フーリエ変換で、こちらの考え方を(無理にでも)用いた方が有利なものは、 no.5でも書いたパーセバルの公式等を利用する場合です。 これは、連続関数で元の関数と変換後の関数の量的な関係を表したものですが、 離散化してしまうと各々の量を積算量として捕えないと成り立たなくなって しまいます。 最後にもう一つ、 「ナイキストの臨界周波数」 標本化(サンプリング)間隔をδとすると 1/(2δ)をこえる周波数は表現できない。