質問: 微分方程式の問題がわかりません こんにちは、微分方程式の授業でわからない問題があって困ってます、 y''+ay'+by=0(a,bは実数の定数)においてy=(4-2x)e^-xが解である場合、a,bの値を求め、その一般解を求めよという問題です。 最後のページ解答が載っていてa=2、 b=1 y=(c1+c2x)e^-x (c1, c2は任意定数)となっているのですが。過程を是非教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。
回答: ご自分ではどこまでやったのでしょうか? y=(4-2x)e^(-x)が解だと分かっているなら、方程式の左辺に代入してみましょう。 因みにこの問題に限れば、与えられた解の形(e^(-x)とxe^(-x)の線形結合)と方程式が定係数ニ階斉次線形常微分方程式であることから「基本解がe^(-x)とxe^(-x)で(つまり、一般解がy=(c1+c2x)e^(-x)で)、従って特性方程式が(λ+1)^2=0となるからa=2、b=1」とすぐに分かります。