質問: 0 < t < 1と|z| < 1を満たすz ∈ Cを任意にとるとき (Cは複素数全体の集合,t∈R) Re(1/1-tz)≦(1/t)*(1/1-Re(z)) を示せ。 ここではReはその数の実部とする。
回答: z=x+yi (x, y は実数) と置くと 1/(1-tz)=1/(1-tx-tyi) =(1-tx+tyi)/{(1-tx)^2+(ty)^2} より Re(1/1-tz)=(1-tx)/{(1-tx)^2+(ty)^2} ≦(1-tx)/(1-tx)^2 (∵(ty)^2≧0 より) =1/(1-tx) <1/(t-tx) (∵1-tx>t-tx>0より) =(1/t)*1/(1-x) =(1/t)*1/(1-Re(z))