質問: 質問です! 問題文をみて、2に収束するんだろうと推測できるのでなんとかかんとかと授業で言っていたのですが、どうやってわかるんですか?
回答: もしこの数列が収束するのだとしたら、その収束値をαとおくと、nがめちゃくちゃ大きい値をとるときはa_nもa_(n+1)も両方とも非常にαに近い値を取るはず 与えられた漸化式a_(n+1)=√(a_n + 2)は全ての自然数nに対して成立するわけだから、nがめちゃくちゃ大きい値をとるときも成立するわけで、そのとき式はα=√(α+2)となる 両辺を2乗して整理すると(α+1)(α-2)=0 α=√(α+2)≧0なのでα=-1は不適、よってα=2 もともとαはa_nの収束値としておいていたものだから、a_nの収束値は2であると推測ができる ただし、実際にはこれらの議論は「a_nが収束する」という仮定の下で行ってきた議論だから、実際にはa_nは発散する可能性もある 推測した通りa_nが2に収束することは問題文のようにして証明しなければいけない 要は、漸化式のa_nとa_(n+1)の部分を両方とも同じ値αに置き換えた式をαについて解いたら、その値(解)がa_nの収束値である可能性が高い、ということです