質問: lebesgue測度μではμ(s\t)=μ(s)-μ(t)と変形できるの? cantor集合の説明で [0,1]を3等分して(1/3,2/3)を取除くと[0,1/3]と[2/3,1]が残る。次に[0,1/3]と[2/3,1]を3等分して (1/9,2/9),(7/9.8/9)を取除く。 n回目には長さ1/3^nの区間2^(n-1)を取除いた事になるので取除かれた区間全体gの長さμ(g) (μはlebesgue測度)は σ[n=1..∞]2^(n-1)/3^n=1 ...(1) 従って μ([0,1]\g)=μ([0,1])-μ(g)=(1-0)-1(∵lebesgue測度の定義と(1))=0 でこの差集合[0,1]\gをcantor集合という。 でμ([0,1]\g)=μ([0,1])-μ(g)となぜ変形出来るのか分かりません。 lebesbue測度の定義は下記のとおりだと思います。でもどうしても差集合のルベーグ測度が夫々のルベーグ測度の差になる事が導けません。μ([0,1]\g)=μ([0,1])-μ(g)となぜ変形出来るのでしょうか? [定義]aを全体集合,b⊂2^aとする。bがa上でσ集合体をなす時,aはbの可測空間をな すと言い,(a,b)と表す。 [定義] (a,b)を可測空間とする。写像f:b→r∪{+∞}は(a,b)上で測度をなす。 ⇔(def) (i) ∀a∈b,f(a)∈{r∈r;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0 (ii) ∀m,n∈n\{0} (m≠n), b_m,b_n∈b且つ b_m∩b_n=φ⇒f(∪[k=1..∞]b_k)=σ[k=1..∞]f(b_k) [定義]f:b→r∪{+∞}を可測空間(a,b)上の外測度をなす。 ⇔(def) (i) f(2^a)⊂[0,∞],特にf(φ)=0 (ii) c⊂d(c,d∈2^a)⇒f(c)≦f(d) (iii) f(∪[n=1..∞]c_n)≦σ[n=1..∞]f(c_n) (c_n∈2^a (n∈n)) [定義]f:b→r∪{+∞}を可測空間(a,b)上の外測度とする。e(⊂a)は(a,b)上でf-可測 (集合)。 ⇔(def) ∀c∈2^a,f(c)=f(c∩e)+f(c∩e^c) [定義] r^nのm次元区間全{π[i=1..m](a_i,b_i]\ {∞};a_i,b_i∈r∪{∞}(i=1,2,...,m)} (m≦n)をi(m,n)で表す。 [定義] r^nのm次元区間塊全体{∪[j=1..k]i_i;k∈n\{0},i^m∋i_1,i_2,...,i_k:互い に素}をc(m,n)で表す。 このとき,c(n,n)はr^nで有限加法族をなす。 [定義] 写像g:∪c(n,n)→r^nを c(n,n)∋∀∪i=1..k]π[ji=1..n:= π(b_i-a_i) (k=1且つπi=1..n sup{πi=1..n;(πj1=1..nπ[i=1..n](c_i,d_i]は有界} (k=1でπj1=1..n 0 (k=1でπj1=1..n σi=1..k]g(π[ji=1..n (k>1で ∪i=1..k]π[ji=1..n (但し ,π[j1=1..n](a_j1,b_j1],π[j2=1..n](a_j2,b_j2],...,π[jn=1..n](a_jn,b_jn]は互 いに素)の時) と定義するとこのgは可測空間(r^n,c(n,n))での有限測度をなす。 そして写像h:2^(r^n)→rを2^(r^n)∋∀a→h(a):= inf{σ[k=1..∞]g(e_k);a⊂∪[k=1..∞]e_k (e_k∈c(n,n) (n∈n\{0}))} で定義するとこのhは可測空間(r^n,c(n,n))で外測度をなす。 この時,このhをlebesgue外測度という。 [定義] 写像h:2^(r^n)→r∪{+∞}はルベーグ外測度とする。 l:={e∈2^(r^n);eは可測空間(r^n,2^(r^n))上でh-可測}をlebesgue可測集合全体の集 合という。 [定義] hをlebesgue外測度とする。制限写像h|lは測度をなす。 この時,この制限写像h|hをr^n上のlebesgue測度という。
回答: a=[0,1]とおくと g⊂a だからじゃなのか~。 g∪(a\g)=a 集合は互いに素 よって加法性から分かる。