質問: この極限は一体? an=(1・3・5・7・9...(2n-1))/(2・4・6・8・10...2n)とする。 liman(n→∞)とlimσan(n=1→∞)を求めよって問題です。 liman(n→∞)は、an=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)...((2n-1)/2n)と表せるので、 (1/2+α)^n
回答: σa(n)の発散はガウスの判定法からわかります。 a(n)/a(n-1)=1-1/2n より発散が分かります。 ガウスの判定法とは、 a(n)/a(n-1)=1-p/n+(1/nより高位の無限小)(n→∞) なるとき、p≦1なら発散、p>1なら収束というものです。 ここでは、級数σ1/n^pとの比較から収束・発散を考えています。 (上ではp=1/2に相当するので発散) ガウスの判定法を使うのは、2項間の比が1になってしまって、等比 級数との比較ができないときなどです。このとき、さらに2項間の 比を展開して、級数σ1/n^pとの比較をしようというものです。