質問: ベクトルの問題 △abcについて、ベクトルab、ベクトルbc、ベクトルcaに関する内積を、それぞれ(ベクトルab)・(ベクトルbc)=x、(ベクトルbc)・(ベクトルca)=y、(ベクトルca)・(ベクトルab)=zとするとき、△abcの面積をx、y、zを用いて表せ。 △abcにおいてaからbcにひいた垂線の足をoとおいて、oを原点とするxy座標平面上にbcとx軸が一致するようにあらわして、それぞれの座標をかってにきめて内積と外積の関係から面積を求めようとおもったのですが、先生から外積を使わずに解いてくれといわれました。 もっと簡単な方法があるとのことですが、まったくわかりません。 どなたかヒントをください! よろしくおねがいします。
回答: 以後、ベクトルab,bc,caを各々p,q,rと表し、ベクトルaとbの内積を、ベクトルaの大きさを|a|と書くことにします。また、0ベクトルを0と省略して書きます。 p+q+r=0なので、r=-p-qです。 x=ですから、 y==--=-x-|q| z==--=-x-|p| となります(x,y,zは実数です)。 一方、三角形の面積は、∠abc=θとおくと、cosθ>0より、 s=(1/2)*|p||q|sinθ=(1/2)*|p||q|(1-(cosθ)^2)^(1/2) となります。 これから、面積が求められます。-=|p||q|cosθであることに注意してください。