質問: 数列がまったく解けません 例題)ある規則にしたがって下のように数が並んでいるとき、第23番目の数はいくらか。 2,5,10,17,26,37,50・・・ こういったような、基本的な数列の問題が全く分かりません。上記の場合、{bn}: +3、+5、+7、+9・・・のように数が増えていっているのは分かりますが、なぜ、{bn}が3+(n-1)*2=2n+1、のようにすぐに出てくるのかわかりません。 できれば公式を使わずに解くやり方を教えてください、お願いします。
回答: 私は高校教員なので職業柄、等差数列や等比数列、それに階差数列などの一般項や和の公式は覚えていますが、自分で問題を解くときには、公式から導いていますよ。 別にすぐに出てこなくてもいいのではないですか? 時間がかかっても自分でじっくり考えて、納得できれば良いのではないでしょうか。私はこちらのほうが大事なことだと思います。 因みに私は毎年センター試験の問題が新聞に掲載されるときは、数列の問題から始めます。もちろん時間がかかります。 さて、この例題で使う知識は、等差数列の一般項と階差数列で、階差数列にはσの計算が出てきます。 はじめに等差数列 3,5,7,9,... なのですが、一般項の公式がわからなくても、等差数列の定義がわかっていれば、{bn}が2n+1であることは、公差をd=2とすれば、以下のようにして求まります。 b1=3 b2=b1+d =3+1*2=5 b3=b2+d=(b1+d)+d=b1+2d =3+2*2=7 b4=b3+d=(b1+2d)+d=b1+3d =3+3*2=9 ...... bn=3+(n-1)*2 ← 上の式から類推してみてください! これが求まれば、次に例題の数列{an}の一般項は an=a1+σ bk (k=1,2,3,,,n-1) なのですが、なぜn-1までの和を考えるのかは、#1さんの回答のとおりです。