質問: ベクトルの質問です。 3点 a(3,3)、b(5,1)、c(6,3)があるとき (1)四角形abcdが平行四辺形になるよう点dの座標を求めよ。 (2)原点をoとする。oc↑(ocベクトル)をoa↑、ob↑を用いて表せ。 (3)oa↑+ob↑とoa↑+tab↑が平行になるときのtの値を求めよ。 (4)ob↑+sab↑の大きさの最小値を求めよ。
回答: (1) 座標平面上に点a~cをプロットするとわかるとおり、 ad↑ ∥ bc↑ となる。 よって、点d(4, 5) (2) oc↑ = soa↑ + tob↑ とする。 (6, 3) =s(3, 3) + t(5, 1) (3s + 5t, 3s + t) 3s + 5t = 6 ...... (1) 3s + t = 3 ...... (2) (1)-(2)より、4t = 3 t = 3/4 (2)に代入して、s = 3/4 ∴oc↑ = 3oa↑/4 + 3ob↑/4 (3) oa↑ + ob↑ = (8, 4) oa↑ + tab↑ = (3, 3) + t(2, -2) = (2t + 3, -2t + 3) 両者は平行であるから、(8s, 4s) = (2t + 3, -2t + 3) とおける。 8s = 2t + 3 ...... (1) 4s = -2t + 3 ...... (2) (1)-(2)×2より 0 = 6t - 3 t = 1/2 (4) ob↑ + sab↑ = (5, 1) + s(2, -2) = (2s + 5, -2s + 1) このベクトルの大きさの2乗 =(2s + 5)^2 + (-2s + 1)^2 =4s^2 + 20s + 25 + 4s^2 - 4s + 1 =8s^2 + 16s + 26 =8(s^2 + 2s + 1 - 1) + 26 =8(s + 1)^2 + 18 s = -1 のとき、最小値18 ∴ob↑ + sab↑ の大きさの最小値=√18=3√2 いいかげんに計算していますので、正しいかどうか保証はできません。 上記の結果を鵜呑みにせず、必ずご自分で確認してください。