質問: 積分です。。 不定積分、∫(1+e^-x分の1-1+e^x分の1)dx の計算です。。 答えは2log(e^x+1)-x+cです。。 何回かやったんですけど、答えがすべて違ってしまい、 途中式も何をやっていたのか分からなくなってしまうんです(>_<) すいませんがお願いします。。
回答: e^xしか登場しない場合、置換すると少し楽になることがあります。 被積分関数を変形すると、 1/(1+e^-x) - 1/(1+e^x) =e^x/(e^x+1) - 1/(1+e^x) =(e^x-1)/(e^x+1) となります。 ここで、e^x=tと置くと、(e^x)dx=dtなので、dx=(1/e^x)dt=(1/t)dtとなるから、 ∫{1/(1+e^-x) - 1/(1+e^x)}dx =∫{(t-1)/(t+1)}*(1/t)dt (※) すると、被積分関数は(t-1)/{t(t+1)}ですが、これは、2/(t+1)-1/tと変形できるので、 (※)=∫{2/(t+1)-1/t}dt =2log(t+1) - log t + c (cは任意定数) =2log(e^x+1) - x + c