質問: 位相空間・直積空間 はじめまして。 数学科の学生です。 位相空間のテストを間近に控え勉強しています。 「集合と位相」 鎌田正良著 p107[3-4] a1を位相空間x1の部分空間とし、a2を位相空間x2の部分空間とすると、直積空間a1×a2は直積空間x1×x2の部分空間を示せ。 この問題が分かりません。 相対位相と直積空間を使うというのは分かるのですが、 直積空間の定義自体がしっくりきません。 どなたかお力をお貸しください。
回答: a1×a2 の位相は二通り考えられる a. a1×a2 を x1×x2 の部分集合とした相対位相 b. a1、a2 を各々 x1、x2 の部分集合として相対位相を考えた上で、a1×a2の直積位相を入れる 問題は a. と b. が結局同じであることを言うべきなので、回答中の o(a1×a2) が a. b. どちらの位相について言及しているのかを明確にする必要があると思います。 また、o(a1×a2)を b. の意味として、 これが {u_{λ∈λ} (v_λ×u_λ)| v_λ∈o(a)、u_λ∈o(b)}となることは自明ではありません。 テストで書いたら、λって何?とツッコまれること請け合いです。