質問: 全微分について 全微分公式は dz=∂z/∂y・dy+∂z/∂x・dx ですが、 全微分可能性は、ε(x,y)/(√dx^2+dy^2)→0 ですよね。 全微分可能性は、ちょうど接平面の対角線の高さとδzの差を、δxとδyを一辺とする長方形の対角線である(√dx^2+dy^2)で割って極限を取るという形になっています。 そうならば、全微分も、δz/(√δx^2+δy^2)であるべきですよね。それが、なぜ上式になるのかわかりません。 僕にはそれぞれの成分が、接平面のxの変化によるzの増分とy方向の変化によるzの増分を足すと、zの増分になるとしか意味しておらず、 微分の微分係数を求めるつまり、平均変化率の極限値になっていないと思うのですが・・・ 確か、dy/dx=接戦の傾きで、上式では単に成り立つよねとしか言えていないような・・・・
回答: 一変数関数の微分から類推するとlimδz/(√δx^2+δy^2)と したくなるのもわかるのですが、これは全微分ではなく「方向微分係数」と呼ばれるものです。 接平面の傾きというのは接点からどの方向(δx,δy)に進むかによって変わります。 ですから多変数関数では、一つの数値だけでは接平面の状態を記述できないのです。 方向(δx,δy)を指定して初めて傾きlim[δz/(√δx^2+δy^2)]がひとつ定まります。 「微分」という言葉はいろいろに使われるため混乱しがちなのですが、 狭義には増分δxの極限dxのことを「xの微分」と呼ぶと考えてください。 一変数関数y=f(x)の場合、「yの微分」はfの微分係数(傾き)と「xの微分」によって表されます。 dy=(dy/dx)・dx 一般に「微分する」と言えばこの微分係数を関数(導関数)として求めることを言います。 しかし別の見方をすれば、xの微分dxとyの微分dyとの関係式を求めているとも言えます。 この見方を自然に多変数関数z=g(x,y)に拡張したのがいわゆる全微分公式です。 dz=(∂z/∂y)・dy+(∂z/∂x)・dx ・・・※ 右辺第一項がxの変化に起因するzの増分、第二項がyの変化に起因するzの増分を表します。 (それぞれ「xおよびyに関するzの偏微分」と呼ぶと分かりやすいのですが呼ばれないようです。) そしてこれらを合計した完全なzの増分が「zの全微分」です。 一変数の時に求めていた微分係数(傾き)は、ここではx,yそれぞれに対して ∂z/∂yと∂z/∂xに拡張され、呼び名も「偏微分係数」と変わります。 偏微分係数はxやy方向の傾きであり、方向微分係数の特殊な場合にすぎません。 「全微分可能性」とは「接平面が存在すること」なので、360度すべての方向に対する方向微分係数が 存在する必要があり、各変数軸方向の偏微分係数が存在するという条件だけでは弱いです。 そこで出てくるのがε(x,y)/√(dx^2+dy^2)→0という条件式ですね。 俗に「全微分する」と言うのは、この条件を満たしたうえで独立変数zの全微分dzを 従属変数の微分dx,dyで表す、という意味であって、やっていることは偏微分係数(偏導関数)を 求めているにすぎません。全微分可能性とは言っても「全微分係数」というものがあるわけ ではないのです。 ※の式は、ベクトルとしてdv=(dx,dy)、grad(g)=(∂z/∂x,∂z/∂y)とおくことで dz=grad(g)・dv (演算は内積) と一変数の場合に似た形で書くことができます。このgradは「勾配」といいますが 方向微分係数とは違い、方向に依存しません。方向微分係数は dz=(dz/|dv|)・|dv| と表した時のdz/|dv|のことです。∂z/∂vと書くこともあります。