質問: 1/l 楕円の問題で出てきた微分方程式で、uをφの関数として一般解を求めよ、という問題です。 三角関数でおいて解いてみたのですが、そのあとの問題との兼ね合いが悪く、間違っている気がしてなりません。 かなり初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。
回答: d^2u/dφ^2 + u = 1/l (1) d^2u/dφ^2 + u =0 (2) の基本解を求める。特性方程式は p^2+1=0 p=±i 基本解は exp(±iφ)=cosφ±isinφ これは基本解をcosφ,sinφに選んでよいことを示している。 (2の一般解ugは ug=c1cosφ+c2sinφ (1)の特殊解usを us=aφ^2+bφ+c とおき、(1)に代入 us'=2aφ, us''=2a 2a+ax^2+bx+c=1/l これより a=0, b=0, 2a+c=1/l ⇒ c=1/l ⇒ us=1/l よって(1)の一般解uは u=ug+us=c1cosφ+c2sinφ+1/l