質問: 長さl、質量mの棒の両端が長さlの糸で天井に固定されている。静止状態で 長さl、質量mの棒の両端が長さlの糸で天井に固定されている。静止状態での糸の間隔もlであるとして、微小振動の周期を計算せよ。(重力加速度はgとする) という問題でラグランジュ関数から運動方程式を求め、微小振動を求めたいのですが、ラグランジュ関数をどのように求めればよいかわかりません。(棒の慣性モーメントを考えて解くみたいです) 自分なりに(φ、ψ、θ)の自由度が3と考えて、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを計算しようとしたのですが、どうもうまくいきません。 どなたか詳しい方よろしくお願いします。
回答: 方針が合っているか確信のない中での議論にはなりますが... 図のように考えて,θ,φが微小であることを考慮すれば, lθ = l/2・φ ∴θ = φ/2 方位角変位φのとき,支点の高さを基準点として棒の重心座標は,-lcosθ したがって,ラグランジアンは l = 1/2・1/12・ml^2・φ'^2 + mglcosθ 近似を用いて定数をはぶけば, l = 1/24・ml^2・φ'^2 - mglθ^2/2 = 1/24・ml^2・φ'^2 - 1/8・mglφ^2 となると思います。