質問: 微分の問題 3次関数f(x)=x^3-ax^2+ax-3aがあり、g(x)=f(x)-xf ́(x)とする。ただしaを定数とする。 (1)g(x)を求めよ。 g(x)=-2x^3+ax^2-3a (2)a>0とする。g(x)の極大値、極小値をaを用いて表せ。 極大値(5/27)a^2-3a 極小値-3a (3)a≠0とする。方程式g(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数aの値とその時の実数解を求めよ。 (1)(2)はあってますか? また、この問題の(3)を教えてください。
回答: >(3)は場合分け不要で極値=0を2つとけばいいんでしょうか? 3次方程式が解を持つ場合は (1) 相異なる3つの実数解を持つ場合 .... x軸と相異なる3つの交点を持つ (2) 1つは重解(従って、この場合は解は2個)になり、他の1つはそれと異なる場合 .... 極大値か極小値のどちらかがx軸で接し、もう1つはx軸とその重解と異なる交点を持つ (3) 実数解は1つで、あとの2つは共役の複素数解の場合 .... x軸との交点が1つのみの場合 しかない。従って、この場合は(2)に該当する。 a>0より、極小値=-3a<0よりこれは成立しない。よって、 極大値:(1/27)a^3-3a=0より、a>0よりa=±9. 後は、その時の実数解を求めると良い。