質問: べき級数の収束半径についての証明 べき級数の収束半径についての証明 べき級数σc_nz^n,σd_nz^nの収束半径をr,r'とするとき、|c_nz^n|≦|d_nz^n|(∀n)が成り立つとき、r≦r',r'≦rのどちらが成り立つか答え、それを証明せよ。 という問題なのですが... 以下のように証明したのですが、いかがでしょうか?? <証明> |c_nz^n|≦|d_nz^n| が成り立つとき、比較定理より、 「σd_nz^nが収束する⇒σc_nz^nも収束する」 ことが言える。よって、 r'≦r // いかがでしょうか?? 回答よろしくお願いします。
回答: 条件を、∀n,|c_n|≦|d_n| でなくて ∀n,|c_n z^n|≦|d_n z^n| と書いている辺り、 どうにも奇妙な問題文ですが... 証明のほうですが、方針はそれでよいと思います。 ただし、 「σd_n z^n が収束する ⇒ σc_n z^n も収束する」の箇所は、 「σ|d_n z^n| が収束する ⇒ σ|c_n z^n| も収束する」あるいは 「σd_n z^n が絶対収束する ⇒ σc_n z^n も絶対収束する」 でないと、正しくありません。 あと、細かいことですけど、 「比較定理」というのは、その言い方でちゃんと伝わるのでしょうか? (まあ、私へは伝わった訳ですが。) むかしは、「優級数収束定理」と教わったような気がします。