質問: 0 にはどういう意味があるのでしょうか。 そもそも、勝手に条件を加えていいのですか。 解を限定するため、式が1つでは2変数を求められないため などの説明はよく見ますが、納得できません。 どうかよろしくお願いします。
回答: 間違い修正:(3)の条件→(4)の条件 y"+py'+qy=0 ...(0) の互いに独立な解をf,gとするとこの一般解はa,bを定数として y=af+bg となる。 y"+py'+qy=r ...(1) の解を1つ求めたいのだが y=af+bg ...(2) の形をした(1)の解を求めることを考える。 (2)を微分して y'=a'f+b'g+af'+bg' ...(3) ここで a'f+b'g=0 ...(4) とおくと(3)は y'=af'+bg' ...(5) (5)を微分して y"=af"+bg"+a'f'+b'g' ...(6) (2),(5),(6)を(1)に代入すると a'f'+b'g'=r ...(7) (4)と(7)を連立させて a',b'が求まりそれぞれ積分してa,bが求まりa,bを使って (1)の1つの解y=af+bgが求まる。 どうして勝手に(4)の条件を設定してもいいのかだって。 (4)の条件を設定できるのは2つの関数a,bを使っているため 1つ条件を加えても自由度を保つことができyに解を含ませることが出きるからである。 実際(4),(7)より解が求まるではないか。 そもそもこの解法よりも (0)の解の1つをfとしたとき (1)の解のうちy=afの形のものを求めると言うやり方の方がよっぽどいい。 この場合は一次線形微分方程式をとくことになる。