質問: 資料解釈の問題で使用する分数の大小比較についての質問です。 現在公務員試験対策の為、予備校に通っていまして講師の方から分数の比較について教えて頂いたのですが、何度教えて頂いてもイマイチ分からず理解力の低さに呆れられてしまい、こちらの顔を見るなり避けられて教えていただけない状態です。ここへ質問を投げかけるのはどうかと思うのですがご教授願います。 ※誹謗中傷はお控え下さい。 ※質問の意味が分からなければお答えしないで下さい。 ※ネット上、分数の表記が2分の1=1/2 になります。 ☆分子が大きい→値は大きくなる。分母が大きい→値は小さくなる。(逆あり) これは分かっています。 以下について分かりません。講師から教えて頂いた内容をそのまま入力します。 1 18/53 と 19/54 を比較する場合。 分子は18→19へ+1の増加をしている、分母は53→54へ+1の増加をしていることを確認する。 18/53は大体1/5とみると、19/54の方が大きい。←ここが意味分かりません。 18/53がなぜ1/5くらいになるのかが理解できません。また1/5でみたところで19/54が1/5より大きいとはどう比較するのでしょうか。※講師へ目安の分数がその数になるのかというピンポイントを聞いても、同じことを復唱されました。 2 25/123 と26/125 を比較する場合。 分子は25→26へ+1増加している、123→125へは+2増加していることを確認する。 25/123を大体1/60とみると、26/125が大きい。 このやり方が一番早く解けるとのことなのですが、できれば理解したいです。 またこの解き方以外は教えてもらっていないのですが、分母と分子それぞれの増加率を比べて、どちらが大きいかを判別するかやり方しか分かりません。例えば、1は分母分子どちらも増加している数値は同じなので、どうやって増加率を考えたらいいのでしょうか・・・。
回答: 分数をm/n(m、nは自然数)として、元の分数と,新しい分数(元の分数の分子、分母をいくつか増加したもの)の大小関係を考えます。 (i)分子、分母ともに1増加した場合 元の分数m/n、新しい分数(m+1)/(n+1)となります。 新しい分数から元の分数をひいてみます。 (m+1)/(n+1)-m/n={n(m+1)-m(n+1)}/n(n+1)=(n-m)/n(n+1) したがって、nがmより大きい場合、すなわち、元の分数の分母が分子より大きい場合は、新しい分数が元の分数より大きくなります。 [たとえば、19/54>18/53] (ii)分子を1、分母を2増加した場合 元の分数m/n、新しい分数(m+1)/(n+2)となります。 新しい分数から元の分数をひいてみます。 (m+1)/(n+2)-m/n={n(m+1)-m(n+2)}/n(n+2)=(n-2m)/n(n+2) したがって、nと2mの大小関係により、新しい分数と元の分数の大小関係は変わります。 1n=2mのとき すなわち、m/n=m/2m=1/2のときは、m/n=(m+1)/(n+2) 新しい分数と元の分数は等しくなります。 [たとえば、1/2=2/4] 2n>2mのとき 新しい分数が元の分数より大きくなります。 [たとえば、26/125>25/123] 3n<2mのとき 新しい分数が元の分数より小さくなります。 [たとえば、19/27<18/25] (iii)分子をa、分母をb増加した場合 元の分数m/n、新しい分数(m+a)/(n+b)となります。 新しい分数から元の分数をひいてみます。 (m+a)/(n+b)-m/n={n(m+a)-m(n+b)}/n(n+b)=(an-bm)/n(n+b)=mn(a/m-b/n)/n(n+b) 分子、分母の増加率を考えるならば、分子の増加率[(m+a)/m=1+a/m]と分母の増加率[(n+b)/n=1+b/n]を比べて、 分子の増加率が分母の増加率より大きい場合、a/m>b/nとなり、新しい分数が元の分数より大きくなります。 [たとえば、118/53と19/54のときは、19/18>54/53より19/54>18/53 225/123と26/125のときは、26/25=1+1/25,125/123=1+2/123=1+1/61.5より26/25>125/123となり26/125>25/123]