質問: 学校の授業で、限りなく0に近い数字は存在するかと言う 問題がありました。その時の答えはあまり記憶にないのですが、もしあれば仮にaとして、aは実数で四則演算が可能であるからa割る2(a/2)とする事が可能である.すると先ほどのaよりさらに0に近いa/2が存在することになり矛盾が出てくる。以上のような説明だったような気がしますがこの証明の仕方で正しいのでしょうか??
回答: (ご質問の意図とは合わないでしょうが)もちろん存在します。それは0です。 こういう難しい話は、きちんと問題を記述しないと全然答が違ってきてしまうんです。 「限りなく0に近いが0でない数はあるか」というのなら、 (1) 有理数(分数で書ける数)あるいは実数(πや2の平方根なども数に含める)だけ考えれば存在しません。 (2) 超準解析のような実数の拡大体(無限大や無限小も数の仲間に入れる)を考えるなら、無限個存在します。 「一番0に近いが0でない数が有限個だけあるか」ということなら、 (1) 自然数だけ考えれば1です。 (2) 整数を考えれば-1と1です。 (3) 有理数あるいは実数だけ考えれば存在しません。 (4) 超準解析のような実数の拡大体を考えるなら、無限個存在します。 無限大や無限小を含む数について考えるなら、クヌースの「数学小説 超現実数」(海鳴社)が入門に適しています。既に絶版と思いますが、大きい図書館で見つかるかもしれません。