質問: バネ問題 質量がmで車体長さがσであるような台車を用意し、前後にそれぞれ1つずつバネを取り付ける。さらに、位置x=0およびx=lに壁を 設置し、それぞれのバネの端を壁に結びつける。バネはhookeの法則に完全に従う理想的なバネで、台車の運動は完全に水平かつ一次元的だとする。また摩擦は無視できるものとする。 (a)バネの自然長をλとし(バネは二つとも同じ性質を持つとする)、またσ+2λ>lとする。系がつりあいの状態にあるときの台車の位置を求め(台車の端の座標でも中心の座標でも良いが、どちらなのか明記すること)、また、このときのバネの張力の大きさを求めよ。 (b)つりあいの位置からの変位をqとして台車の運動方程式を立て、 qのついての常微分方程式の形にまとめよ。 (c)初期条件を t=t0のとき q=q0, dq/dt=v0とする。 この振動の振幅を求めよ。 (d)もし片方のバネがなかったとすると(例えば前側のバネだけあって後ろのバネがなかったら)、振動周期にはどのような違いが生じるか考察せよ。第2のバネがある場合とない場合とでは、振動は どちらが速くなるか?(計算結果に基づいた説明でも物理的な描像 に基づいた考察でも、どちらでもよいが、とにかくなんらかの根拠に基づいて答えること)。 [自分の解答]と質問 (a)バネ定数をkとする。 つりあいの位置xとすると k(x-λ)=k(l-x-λ) ∴x=l/2 ここまではいいのですが、「(台車の端の座標でも中心の座標でも良いが、どちらなのか明記すること)、また、このときのバネの張力の大きさを求めよ。」 という所がどうなるのか教えてほしいです。 (b) 常微分方程式の形で表すと m*d^2q/dt^2+2kq=0になります。 (c) (b)にq=exp(λt)を代入して 一般解を求めると q=acos[√(2k/m)]*t+bsin[√(2k/m)]*tとなる 初期条件より q0=acos[√(2k/m)]*t0+bsin[√(2k/m)]*t0 ...(1)式 v0=-√(2k/m)*asin[√(2k/m)]*t0+√(2k/m)*bcos[√(2k/m)]*t0 ...(2)式 この(1)と(2)よりどやって振動の振幅をもとめるのか分からないので教えてください。 (d)この問題が自分で考えても全くわからないので、 教えてほしいです。 長々と書いてしまってすいません。 これらが分からないので教えてもらえればうれしいです。
回答: >(a) 車体の長さの考慮が入っていません。 右辺はk(l-x-λ)ではなくk{l-(x+σ)-λ} です。 >(b) (a)でのミスは定数項が加わるだけなので、微分方程式に直すと合ってますね。 >(c) qの一般式をもう一段階変形しておいて q=csin(ωt+α) (三角関数の合成) とした方が計算がやりやすいですね。 この場合 dq/dt=ωccos(ωt+α) となるので 初期条件を代入すると q0=csin(ωt0+α)・・・(1) 0=ωccos(ωt0+α)・・・(2) (1)より 0<ωt0+α<π よって(2)を解くと ωt0+α=π/2 これを(1)に代入して c=q0 となり、振幅が求まります。 (d) 釣り合いの位置からの変位をpとすると運動方程式は m*d^2p/dt^2+kp=0 となるので, ω=√(k/m) となる(前問までは√(2k/m)) あとは t=2π/ω の関係式を用いれば何倍に変化しているかわかるはずです。 あと、理想的な単振動の周期は物体の質量とバネ定数のみで決まるので、振幅には関係しないことにも注目しておくといいでしょう。