質問: 大学積分 1/x^3-1 の積分の問題がわかりません。 部分分数で 1/x^3-1=(1/(x-1)-(x+2)/x^2+x+1)*1/3・・・・・・・(1) =1/3*1/x-1 - 1/6*(2x+1)/x^2+x+1 - 1/2*1/(x+1/2)^2+(√3/2)^2・・・・・・・(2) として計算するようなのですが (1)~(2)に分ける仕方がよくわかりません。
回答: そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。 x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に 1/(x^3-1) = a/(x-1) + b/(x-ω) + c/(x-ω^2) と置きましょう。 ω は 1 の虚三乗根のひとつ。 ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。 式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。 式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。 式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。 ...を各々行えば、定数 a,b,c の値が判ります。 後は、積分して ∫dx/(x^3-1) = a∫dx/(x-1) + b∫dx/(x-ω) + c∫dx/(x-ω^2) の右辺を計算・整理すればよいです。 ∫dx/(x-a) = log(x-a) は、習いましたよね? 答えの式に虚数の係数が残ることに心理的な抵抗があるなら、 オイラーの等式 e^(iy) = (cos y) + i(sin y) でも使って 適当に変形すればよいでしょう。(気持ちの問題ですが...)