質問: ベッセルの微分方程式 テキストによると、円筒座標系での電磁場のマクスウェル方程式を磁場に関して解いて得られる方程式が f’’+1/x*f’+k^2*f=0 解はベッセル関数 aj0(kx)+by0(kx) a,bは定数 しかしこの方程式は一般的なベッセルの微分方程式と少し違います。 x^2f’’+xf’+x^2f=0 x^2で割り算してるのはともかく、係数kの分だけ違うのです。これでもベッセルの微分方程式であり解はベッセル関数であると言えるのでしょうか?
回答: ここでいうベッセル関数とは f''(x)+f'(x)/x+(1-a^2/x^2)f(x)=0の解を a=0で考えたものとみなすと f’’(x)+f’(x)/x+f(x)=0の解がベッセル関数 f’’+1/x*f’+k^2*f=0 ・・・・・・・(1) の解がベッセル関数と同一視できるかどうかという問題だが、 xについてスケール変換すればすぐに分かる。 つまりf(x)=g(kx)とおいて(1)に代入するとkx=sとして k^2*g''(s)+g'(s)*k^2/s+k^2g(s)=0を得る。 k≠0なのでk^2で両辺でわると g''(s)+g'(s)/s+g(s)=0 このときg(s)はベッセル関数である。 よって(1)はベッセル関数の形にもっていくことができて、解もxをk倍スケール変換させた変数についてはベッセル関数とみなすことができる。