質問: 直角三角形ABCの外接円Oの半径を R=1とします。 (一般性を失わない) 重心をG、内接円Iの半径をrとします。 このとき、 sin∠IOG=r√(1-2r-r2)/√(1-2r) (0 この関数は、r=1/3のとき最大値を取り、そのときの、∠IOG=θとすると、 sinθ=√6/9 θ=15.793169048264...° 三辺の長さは、2、(4±√2)/3 sinB=(4-√2)/6、B=25.5287793655093...° sinC=(4+√2)/6、C=64.4712206344902...° となります。 (創作問題106)
回答: こんな解き方をしてみました!計算面倒ですが、解けたように思います。 1. sin∠IOCとcos∠IOCをrであらわす 2. sin∠AOCとcos∠AOCをrであらわす 3. 1.2.の結果から加法定理でsin∠GOI(=sin∠AOI)を求める ■1. sin∠IOCとcos∠IOCをrであらわす 便宜上、IからBCにおろした垂線の足をHとする。 前提より、IH=r・・・1 オイラーの定理より、OI^2=2-2r → OI=√(2-2r)・・・2 △OIHで三平方の定理より、OH=√(OI^2-IH^2)=√(2-2r-r^2)・・・3 以上、1~3より、 sin∠IOC=IH/OI=r/√(2-2r)・・・4 cos∠IOC=OH/OI=√(2-2r-r^2)/√(2-2r)・・・5 ■2. sin∠AOCとcos∠AOCをrであらわす ∠ABC=θとする。0≦θ≦π/4としても一般性を失わない。 ∠BAC=90°より、AB=2cosθ、AC=2sinθ。 △ABCを内接円の半径rを用いた方法と、底辺・高さを用いた方法の2通りで表現すると、 r(AB+BC+AC)/2=AB*AC/2 ↔r(1+cosθ+sinθ)=2cosθsinθ (cosθ+sinθ=Xと置くと、2cosθsinθ=X^2-1より、) ↔r(1+X)=X^2-1 ↔(X+1)(X-1-r)=0 (0≦θ≦π/4より、X=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)≧1なので、) ↔X=1+r よって、sin∠AOC=sin2θ=2sinθcosθ=X^2-1=r^2+2r・・・6 また、0≦θ≦π/4より、cos2θ≧0なので、 cos∠AOC=cos2θ=√(1-sin^2(2θ))=(r+1)√(1-2r-r^2)・・・7 ■3. 1.2.の結果から加法定理でsin∠GOI(=sin∠AOI)を求める 外心OはBCの中点だから、重心GはAO上に存在し、∠AOI=∠GOI。 よって、4、5、6、7より、 sin∠GOI =| sin∠AOC*cos∠IOC - cos∠AOC*sin∠IOC | =|r√(1-2r-r2)/√(1-2r)| =r√(1-2r-r2)/√(1-2r) となり、題意が示される。