質問: 波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい 金属結晶中の電子の状態について波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい
回答: 私もかつて金属電子論を勉強しはじめに、なぜこんな恣意的な表示をするのか?と悩んだことがあります。そのとき私が最終的に納得した答えを書きます。これだけが理由ではないかもしれませんが、私は以下のように考えて納得しました。 まず、仮にkでなく、単純に位置で表示することを考える。 すると、ある位置に対して電子のエネルギーを、横軸位置、縦軸エネルギーのグラフにプロットすることになる。 しかし量子力学では、位置固有状態が、かならずしもエネルギー固有状態ではないので、位置とエネルギーを同時に決定できない。 したがって、「ある位置にある電子のエネルギー」という上記のようなプロットは不可能。 では、どうしたらいいか?答えは、エネルギーと同時に固有状態になるある物理量を横軸に選び、縦軸エネルギー横軸???という形でプロットをすればいい。 仮に、結晶でなくただの一様な空間だと平面波がエネルギー固有状態で、 運動量と同時に固有状態になるので、この運動量あるいは、これをプランク定数(2πでわったもの)でわった波数kを横軸に選べばいい。 じゃあ、一様な空間でなく結晶の場合は?その場合でも実はエネルギーと 同時に固有状態になる物理量が存在する。それは結晶運動量でこれをhbarで割ったものが波数kになる。この存在を保証するのがブロッホの定理。 したがってkを横軸にとるとそのkのときのエネルギーとして、e-kのプロットを作れる。