質問: 線形代数の問題です。教えてください。
回答: まず, n次正方行列Aが正則行列であることの定義は, AB=BA=Eとなるようなn次正方行列Bが存在するということです. このとき, BはAの逆行列といい, Aの右肩に-1をのせて書かれます. ちょうど, 3の逆数が3の右肩に-1をのせて書かれるのと同じような感じです. さて, 今回の問題はA^3=Eを満たすn次正方行列Aが特に正則行列ことを示せというものですが, A^3とはAを3回かけたものなのでA^3=A×A^2=A^2×Aとできます. すなわち, B=A^2とすればAB=BA=Eという等式が成り立つので, Aは正則であり特にAの逆行列はA^2であることがわかります.