質問: 部分分数の分解がわかりません 部分分数の分解がわかりません 4(x+2)/(x+1)^2(x+3)を部分分数に分解せよ という問題がわかりません. 答えには2/(x+1)^2+1/(x+1)-1/(x+3) とありました. ここで思ったのですが,(x+1)は(x+1)^2の因数なので不必要な気がします. なぜ分母を(x+1)^2,(x+1),(x+3)にしているのですか? また,部分分数にするとき分母はどのように設定すればいいのですか?
回答: (ax+b)/x^2 を部分分数に分解すると、 b/x^2+a/x となるのは分かりますね。 これと同様に、(ax+b)/(x+c)^2 を部分分数に分解すると、 a/(x+c)^2+b/(x+c) の形になります。 (ax^2+bx+c)/(x+d)^3 の部分分数分解は、 a/(x+d)^3+b/(x+d)^2+c/(x+d) の形になります。 分母が(x+1)^2(x+3)の場合は、 (ax+b)/(x+1)^2+c/(x+3)に分解できますが、 さらに、a/(x+1)^2+b/(x+1)+c/(x+3)に分解できます。 一般的には、分母がf(x)^3*g(x)^2*h(x)の場合を部分分数分解すると、 f(x)^3、f(x)^2、f(x)、g(x)^2、g(x)、h(x)を分母とする6つの分数に分解できます。