質問: 逆に・・・ 十数年来の疑問を解決したいと思い、ここで質問させて頂きます。大した話しではないのですが・・・。 少なくとも昔の受験問題では、 (1) k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0において、kが実数だとする。(x,y)の範囲を図示せよ。 (2) k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0において、kが任意の実数だとする。(x,y)の範囲を図示せよ。 といった問題が出ていたと思います。お聞きしたいのは、以下に示す解答に逆の検査が必要かどうかですが、まず私には、(1)と(2)が問題として別物に見えます。 (1)の場合 (1)は、可能な全ての実数kに対する(x,y)の満たすべき範囲と、読めます(私には)。字数を少なくしたいので、通常よりも切り詰めて書きますが、 与式においてkが実数 ⇔ 与式の判別式d≧0 なので、 d=(x+y)^2-(2xy+1)=x^2+y^2-1≧0 が解答であり、ここで、 与式の判別式d≧0 ⇒ 与式においてkが実数 を証明しようとしたら、必要十分性を分かっていないとして、減点対象になってもおかしくないと思います。 (2)の場合 (2)は、任意の実数kなので、少なくとも判別式0以上ということで、 与式においてkが任意の実数 ⇒ 与式の判別式d≧0 という事になり、十分性の証明が必要と思えます。(x,y)が、 d=(x+y)^2-(2xy+1)=x^2+y^2-1≧0 を満たしたところで、kが任意の実数をとれるかは、わからないので。私には、これくらいしか考えつけないのですが、逆を言うために(rは実数全体)、 a={k∈r|k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0 かつ d=x^2+y^2-1≧0} とします。 k∈rとすれば、そのkについて、 k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0 すなわち、 2(x+k)y=-2x-k^2-1 を満たす(x,y)は、x≠-kであれば、 y=-(2x+k^2+1)/2/(x+k) なので存在し、kは与式を満たす実数なので、k∈a。 x=-kの場合は、 0=2k-k^2-1 となるので、 k^2-2k+1=(k-1)^2=0 ⇒ x=-k=-1(y任意) ⇒ kは与式を満たす実数なので、k∈a となる。従ってr⊂aであるが、a⊂rは明らかなので、a=r。 この証明は、少なくとも高校レベルでは、決して易しくないと思います。 何を言いたいかというと、(1),(2)の模範解答に関して、逆の証明を行っているのを見た事がない、という事です(これは、はっきり記憶しています)。その理由なのですが、 (a) (1)と(2)が同じものだと、多くの場合誤解(?)されている. (b) (2)で逆の証明が難しいので、省略された. と思っていたのですが、考えすぎでしょうか?
回答: いやいや、原因がハッキリして良かったです。 工学やプログラムは非常に論理的な思考をする分野ですが、しかしその工学屋・プログラマーとしての深い性(さが)が、逆に誤解を生む原因になっていたんですね・・。 言葉は悪いが、面白いものです。また、非常に教訓になります。 さて、僕の予想では、ちょっと言葉遣いがあいまいになった所に、各自の性(さが)が入ると、誤解へと入っていってしまいます。 学問的には、よくよく気をつけねばなりませんが、日常生活的には、よくよく気をつけていても、回避が困難ですよね。 だからこそ、誤解にはまった時の脱出が大事であり、難しい。 ということで、誤解からの脱出、僕は評価します。(もう少し時間がかかるかと思った) 僕もかくありたいですね。