質問: -2(cosc・cos(a+b)) 右辺を左辺に移行して和積の形で変形することで cosa・cosb・cosc=0とまとめることができました。 (3)はどうやって思いつくのでしょうか?(私はがむしゃらに色々試した結果、偶然出てくる、という盲撃ちのような形で導出しました。) 三角関数の演算でありがちなのですが、与式は様々な形に変形することができ、本質的には全て同じ値のはずです。しかし、演算者のちっぽけな脳みそのせいで、理解できる/利用できる値が限られてしまいます。理解できる/利用できる値に誘導するための方針が「計算テクニック」の類だとは思いますが、(1)、(2)はすぐに思いつくものの、(3)の考えには至りませんでした。 経験知の部分を問うような抽象的な質問で大変申し訳無いのですが、皆様のご意見をご教授頂ければ幸いです。
回答: a、b、cは三角形の内角なので0より大きくπより小さいため、この範囲のsinやcosで0となり得るのはcos(π/2)=0だけです。そこでなんとかcosの積=0に持ち込めないかと考えました。sin^2θ+cos^2θ=1と加法定理だけを使った愚直な方法ですが... まずa+b+c=π からc=(π-(a+b)) なので sinc=sin(a+b) sin^2a+sin^b+sin^2c=2 に代入すると sin^2a+sin^b+sin^2(a+b)=2 sin^2a+sin^2b+(sinacosb+cosasinb)^2=2 sin^2a+sin^2b+sin^2acos^2b+2sinacosbcosasinb+cos^2asin^2b=2 (1-cos^2a)+(1-cos^2b)+sin^2acos^2b+2sinacosbcosasinb+cos^2asin^2b=2 cos^2a(sin^2b-1)+cos^2b(sin^2a-1)+2sinacosbcosasinb=0 -cos^2acos^2b-cos^2bcos^2a+2sinacosbcosasinb=0 2sinacosbcosasinb-2cos^2acos^2b=0 2cosacosb(sinasinb-cosacosb)=0 cosacosbcos(a+b)=0 したがってa=π/2,またはb=π/2,またはa+b=π/2(つまりc=π/2) 三角形abcは直角三角形