質問: 空気抵抗が速度の自乗に比例する場合の運動方程式 自然落下する物体があり、その物体のt秒後の速度は速度が遅いうち(空気抵抗が速度に比例している時)は m・dv/dt=mg-kv mは物体の質量、gは重力加速度、kは空気抵抗定数。 という運動方程式を解いて v=[mg-exp{-k(t+c)/m}]・1/k という一般解を得ます。(cは積分定数) ここまではできるのですが、この先の空気抵抗が速度の二乗に比例するばあいの運動方程式 m・dv/dt=mg-kv^2 を解くことができないのです。解こうとしてもどうしても、途中で -log|mg-kv^2/c|/2kv=t/m という形になってしまい解くことができません。logの中にvが含まれていて、さらにlogの外にvのある形をv=の形に直せません。強引にv=の形に直せますが、両辺にvが現れてしまい解いたことになりません。 どうすればいいのでしょうか? 余談ではありますが、a=xlogx のx=への変形のしかたや、b=exp(x)+x のx=への変形のしかたを教えてくれると幸いです。
回答: えっと.... m, g, k を全て定数とみなしてよいのであれば (普通は定数とみなせるだろう) dv / (mg - kv^2) = dt / m という変数分離形になるので, 左辺を部分分数に分解してから積分すれば v を t の式で陽に表せると思うんだけど.... まあ, よく見ればロジスティック方程式と同じなんだけど.