質問: 集合と位相 (1)x,yは位相空間とする。a,bがそれぞれx,yの開集合であるときa×bは直積位相x×yの閉集合であることを示せ。 (2){xλ}λ∈λを位相空間の族としてaλ⊂xλ(λ∈λ)とする。 この時直積位相空間πλ∈λxλにおいて以下を示せ。 (閉包のバーの書き方がわからないのでclと表記します) (a)cl(πλ∈λaλ)=πλ∈λclaλを示せ。 (b)λは無限集合であるとき、int(πλ∈λaλ)≠φであるための必要十分条件は有限個のintaλ≠φであり、かつその他のλについてはaλ=xλであることを示せ。 (1)は以下のように考えたのですがわかりません。 aの補集合、bの補集合はそれぞれx,yの開集合となる。 よってa^c×b^cは直積位相x×yの開集合となる。 また(a×b)^c=(a^c×y)∪(x×b^c) ここで詰まってしまいました。友人に聞いてみたら、 「生成する」位相という言葉の定義がわかってないと言われました。これはどのような意味なのでしょうか? 例えは直積位相の定義にもありました。 x,yが位相空間でそれぞれの位相をцx、цyとした時に цx×цy={o1×o2|o1∈цx,o2∈цy}が生成する位相を直積位相という。 また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか? (2)(a)は次のように考えてみましたがどうでしょうか? (⊃) ∀x∈πλ∈λclaλを取る。∃λ∈λ s.t. x∈claλであるから xの任意の近傍はaλと交わる。したがってxの近傍はaλよりも大きい集合π(λ∈λ)aλとも交わるので、 xはcl(π(λ∈λ) aλ)の点になる。 (⊂) ∀x∈cl(π(λ∈λ) aλ)を取る。 xの任意の近傍とπ(λ∈λ)aλは交わるから、 あるaλと任意の近傍は交わる。これよりx∈claλ よってx∈πλ∈λclaλ (b)はわかりませんでした。アドバイスお願いします。
回答: (1)については no.1 さんのおっしゃるとおり. 蛇足をつけるなら >u×vが上の定義から (a, b) の近傍であり (u×v)∩(a×b)=φ よって, (a×b)^c ⊃ u×v ・・・(*) (a,b)をa×bの補集合全体を動かすことで (a×b)^c ⊃ ∪(u×v) 一方, (a×b)^c ⊂ ∪(u×v) は明らかなので (a×b)^c = ∪(u×v) となり,a×bは閉集合 #もっとも,(*)の段階で開近傍がとれてるから開集合ですけど #定義にもどして書くならこんな感じ. #初学者のようですので,この流れは知っておくほうがよいでしょうね (2)については >∀x∈πλ∈λclaλを取る。∃λ∈λ s.t. x∈claλであるから この時点ですでに駄目です. 直積空間と和集合がごっちゃになってます. 一般の直積空間が分かりにくいのであれば もっと限定したシンプルなもので練習してください. たとえば,r^2 (実二次元空間)は実数rをつかって r^2 = r × r です これを念頭において,(2)の問題をやさしく書き直すと rの部分集合aとbについて cl(a×b)=cl(a)×cl(b) を示せとなります. 質問者の論法だと ∀x∈cl(a)×cl(b)を取る。 x∈cl(a)またx∈cl(b)であるから となりますが,x=(a,b)と書けるので,おかしいですよね. これは,aの任意の近傍uとbの任意の近傍vをとると u∩a≠φ,v∩b≠φ, したがって,(u×v)∩(a×b)≠φ ここで,xの任意の近傍はu×vの和集合で表せる・・・(**) ので,xはcl(a×b)の元 なんて流れになります. (**)が理解できないということが「生成する位相」という定義が 理解できていないということに相当します. 反対側の包含関係についても同様の間違いがあります. (b)の問題については・・・・ 問題そのものが納得できません. 全部のaλに対して,intaλ≠φでもいいのでは? どちらにしろ, もう少し直積空間に慣れてからの問題でしょう #というか。。先生なり友達に聞くほうが現実的でしょう.