質問: 上辺の長さがa、下辺の長さがbの台形がある。この台形の対角線の交点を通り、底に平行な直線が台形の他の 上辺の長さがa、下辺の長さがbの台形がある。この台形の対角線の交点を通り、底に平行な直線が台形の他の2辺によって切り取られる線分の長さをa、bで表せ。 という問題の解き方を教えてください!
回答: ちゃんと図を書いて考えましょう。 台形に、対角線を引きましょう。 すると、上辺の長さがaを底辺とする三角形と、下辺の長さが b を底辺とする三角形ができます。この2つの三角形は相似です。相似比は a : b ですね。 ということは、この2つの三角形の「高さ」も a : b です。 ということは、対角線の交点を通り、底に平行な直線は、この台形の高さを a : b に分割します。 次に、台形を、対角線で2つの三角形に分けます。 対角線は2本あるので、分け方は2通りありますが、どちらでもよいです。 そうすると、各々の三角形と、対角線の交点を通り底に平行な直線でできる三角形とは相似で、その相似比は「高さ」が a+b : b 、あるいは a+b : a になります。 ということで、対角線の交点を通り底に平行な直線の長さが求まります。 答えは、 a * b/(a + b) + b * a/(a + b) = 2ab/(a + b)