質問: 無理数の漸化式と極限 漸化式 f(1)=√3 , f(k+1)=√(3+f(k))から定まる数列{f(k)} において、 極限値αが存在するとして、αを求めろ、なのですが、 このような無理数の漸化式で極限を求める場合は、 一般項をどのように求めればいいのでしょうか? 両辺にlogをとって考えようとしているのですが、うまくいきません。 アドバイスを頂けないでしょうか? お願いします。
回答: >このような無理数の漸化式で極限を求める場合は、一般項をどのように求めればいいのでしょうか? いつも一般項が求められるとは限らない。 そこで、先ず極限値を予想して、それと第n項との差を調べるという方法がある。 極限値を求めるには、与えられた漸化式でa(n+1)=a(n)=αと置いてみて、それでαが定数として求まるなら、 n→∞の時、|a(n)-α|→0を示すと良い。 別解としては、“単調有界な数列は収束する-この証明は高校数学の範囲外だが”ことから、数列{a(n)}が収束する事を示しても良い。 この場合は、上で求めた定数αが、直ちに求める極限値に他ならない。