質問: 4次元フーリエ変換による音波の解析について 4次元フーリエ変換f(x,y,z,t) → f(kx,ky,kz,ω)についての質問です. 現在,独学で,fftを用いて音波f(x,y,z,t)を解析しようとしています. ここで,4次元フーリエ変換 f(x,y,z,t) → f(kx,ky,kz,ω) を行った場合,fは一体どのような意味を持つ値なのでしょうか. また,この4次元フーリエ変換を用いて,波数kと周波数ωの関係を表すにはどうすれば良いでしょうか. どうかご回答よろしくお願いいたします.
回答: そもそも、音波は時間 t 時点での振幅の関数 y=f(t) でしかないので、x,y,z の3方向に振幅が異なるものがある状態を「音波」とみなすことの妥当性から定義しないと、『fは一体どのような意味を持つ値なのでしょうか』となるのは自明です。 2次元フーリエ変換が、あくまでも画像の縦横の画素に含まれる明度の周波数成分(何画素周期で明暗の一周期を作っているか)を求める、「空間周波数」として、z = f(x,y) のように「時間 t での関数ではなく、画素の座標 x,y での関数」だから「空間周波数」なのだ、という意味合いを持つのに対して、 ご質問の u = f(x,y,z,t) は、座標と時間が含まれた「時空」のようなものの「なにかよくわからない概念のもとでの周波数」を求めようとしていることになっており、このままではご自身が何をしたいのかという信念が立式できていないままなのです。