質問: 微分方程式で問題が・・・ 大学の微分方程式の講義のレポートが出たのですが、全く分からず途方に暮れています。 問題は2つ。 問1 周囲の温度が20°Cのところで、コーヒーカップに90°Cのコーヒーを入れたら、10分後には60°Cになっていた。20分後、30分後にはそれぞれ何度になっているかを次のニュートンの冷却法則を使って(1)(2)(3)の手順に従って求めよ。 (注)ニュートンの冷却法則:冷却速度は温度差に比例する (1)微分方程式を立てる。温度t(°C)、時間をtとする。 (2)微分方程式を解く。 (3)初期条件から定数を求める。 問2 (1)宇宙線の照射を受けた上空で放射線同位体炭素14cが生成され古生物の体内に吸収される。 古生物が死ぬと、14cの原素数n(t)の減少速度-dn(t)/dtはn(t)に比例する。 崩壊係数をλ、n(0)=n0として、上記の微分方程式を立てて解け。 (2)放射性同位体元素の数が半分になる時間を5760年として、λを求めよ。 (3)1700年経つと14cha初期に比べて何%に減っているか。 の2問です。 できれば途中式などもよろしくお願いします。
回答: 問1 冷却速度dt/dtが外気温との温度差に比例するので dt/dt=k(t-20) 変数分離して (1/k(t-20))dt=dt 積分して log(t-20)/k+c=t (cは積分定数、logは自然対数) log(t-20)=kt+c’ (c’=-kc) t=0のときt=90なので log70=+c’ ・・・(1) t=10のときt=60なので log40=10k+c’・・・(2) (1)と(2)を連立させればkとc’が求められます。こうして導いた式にt=20、30を代入すれば20分後、30分後の温度も計算できます。 問2 n(t)の減少速度-dn(t)/dtはn(t)に比例するので ーdn(t)/dt=λ・n(t) とおくと問1と同じ形になります。 微分方程式が解けたら t=0のときn(t)=n0 t=5760のときn(t)=n0/2 としてやると係数、積分定数が判ります。ここまでできたら(3)はt=1700を代入するだけです。