質問: 数学 集合と写像の問題 回答・解説お願いします。 数学 集合と写像の 過去問ですが、回答がないので困っています。 よろしくお願いします! 前回質問させていただきましたが、問題に打ち間違えがありましたので再度修正して 質問いたします。 ミスをご指摘いただいた方ありがとうございました。 x={3,4,5} y={5,6,}とする。 (1) yからxへの単射を1つ求めよ。 (2) xからyへの全射を1つ求めよ。 (3) (1)(2)で求めた写像の合成写像を求めよ。 (4) xからxへの写像で全射であるものを全て求めよ。 (5) (4)で求めた写像 f で合成写像 f2=f○fが恒等写像となるものを全て求めよ。 (6) yからyへの写像で単射であるものを全て求めよ。 (7) (6)で求めた写像 f で合成写像 f3=f○f○fが恒等写像となるものをすべて求めよ。 数学が うまく変換出来ませんでしたので、わかりにくいと思いますが、よろしくお願いいたします。
回答: >y={5,6,} 6の後にカンマが相変わらず入っています。愛嬌としましょう。 (1)(2)(3)は単射・全射・合成写像の意味がお分かりなら自力でできるはずです。 (4) f:x→x が全射であれば、定義域と終域の元数が等しいので単射でもある。よってxの元1,2,3に対してxの元を並べ替えたものに対応させれば良いので、3!通りある。 写像1:f(3)=3,f(4)=4,f(5)=5 写像2:f(3)=3,f(4)=5,f(5)=4 写像3:f(3)=4,f(4)=3,f(5)=5 写像4:f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3 写像5:f(3)=5,f(4)=3,f(5)=4 写像6:f(3)=5,f(4)=4,f(5)=3 (5) (4)のうちf2=f○fが恒等写像となるのは、写像1,2,3,6 (6) f:y→y が単射であれば、定義域と終域の元数が等しいので終域は値域となる。なので全射。結局(4)と同様に考えて、2!通りある。 写像1:f(5)=5,f(6)=6 写像2:f(5)=6,f(6)=5 (7) (6)のうちf3=f○f○fが恒等写像となるのは、写像1