質問: 因数分解の文章題です。 何度してもしっくりきません。 (1)252に自然数aをかけて、その結果の数がある数の2乗になるようにしたい。このような自然数aのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 (問題の意味さえピンときません・・・・) 252を素因数分解すると 2^2×3^2×7 答えでは2乗でないものを選ぶと7 答え7 (2)300に自然数aをかけて、その結果の数がある数の2乗になるようにしたい。このような自然数aのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 300を素因数分解すると 3×2^2×5^2 答え3 (類題)素因数分解の結果が2×3×4^2の場合 (類題)素因数分解の結果が2^2×3^2の場合はこたえはどのようになるのでしょうか?またその理由もお願いします。
回答: 要は (因数1×ある数a)×(因数2×因数2) の形にしなさい、と言っているだけ。 (ここでの「因数」とは、複数の素因数を掛け算した物を言う) この時「因数1」と「ある数a」が等しければ (ある数a×ある数a)×(因数2×因数2) であって、これは (ある数a×因数2)^2 に他ならない。 つまり「因数1を求めれば、ある数aが求まる」のであり、言い換えれば「素因数に分解した時、偶数個現れる素因数は無視し、奇数個現れる素因数すべての積が答え」となる。 もっと簡単に言えば「すべての素因数を偶数個にするには、aを何にすれば良いか」と言う事。 2^2×3^2×7×a は 2×2×3×3×7×a なので「全ての素因数を偶数個にするには、aを7にすれば良い」事になる。 同様に 3×2^2×5^2×a は 3×2×2×5×5×a なので「aは3にすれば良い」事になる。 2×3×4^2×a は 2×3×4×4×a なので「aは2×3で6」。 2^2×3^2×a だけは特殊で 2×2×3×3×a なら、a以外は全部偶数個なので、aは1になる。これは 2×2×3×3×a を 1×2×2×3×3×a と考えれば良く、aには、唯一奇数個になっている1を選べば良い。1は何回掛け算しても不変ですから。 気を付けなければならないのは 3×3×5×5×8×a など。これは 3×3×5×5×2×2×2×a なので、aは8ではなく2。