質問: 次の曲面の第1基本量、第2基本量、ガウス曲率、平均曲率を求めよという問題です。どうかよろしくお願いします。
回答: 以下、a,bの内積をで表すことにします。また、Sをu,vで偏微分したものをそれぞれSu,Svのように下付文字で表します。(2階編微分はSuu,Suv,Svvです。) (1)柱面: u,v方向の接ベクトルSu=(x'(u),y'(u),0), Sv=(0,0,1), 単位法ベクトルe=(y'(u),-x'(u),0) (∵(x(u),y(u))は弧長パラメータ表示された平面曲線なのでx'(u)^2+y'(u)^2=1.) よって第一基本量E,F,Gは E==1, F==0, G==1 また、Suu=(x''(u),y''(u),0), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,0) よって第二基本量L,M,Nは L==x''(u)y'(u)-x'(u)y''(u), M==0, N==0 ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=0, 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=( x''(u)y'(u)-x'(u)y''(u) )/2 (2)楕円放物面: u,v方向の接ベクトルSu=(a,0,2u), Sv=(0,b,2v), 単位法ベクトルe=(-2bu,-2av,ab)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2) よって第一基本量E,F,Gは E==a^2+4u^2, F==4uv, G==b^2+4v^2 また、Suu=(0,0,2), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,2) よって第二基本量L,M,Nは L==2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), M==0, N==2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2) ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=4a^2b^2/(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=ab(a^2+b^2+4u^2+4v^2)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)^3 (2)楕円放物面: u,v方向の接ベクトルSu=(a,0,2u), Sv=(0,b,-2v), 単位法ベクトルe=(-2bu,2av,ab)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2) よって第一基本量E,F,Gは E==a^2+4u^2, F==4uv, G==b^2+4v^2 また、Suu=(0,0,2), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,-2) よって第二基本量L,M,Nは L==2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), M==0, N==-2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2) ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=-4a^2b^2/(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=ab(a^2-b^2+4u^2-4v^2)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)^3