質問: 数学、ベクトルの問題 数学のベクトル問題を解いていて、私にとっては複雑すぎて全く解き方がわからない問題がありました。以下に記しますので、どなたか数学が得意な方、よろしくお願いします。 四面体oabcの辺oa、ob上にそれぞれ点d、eをとる。ただし、点dは、点a、oとは異なり、aeとbdの交点fは、線分ae、bdをそれぞれ2:1、3:1に内分している。 また、辺bcをt:1(t>0)に内分する点pをとり、ceとopの交点をqとする。 (1)ベクトルoqを、ベクトルob、ベクトルoc及びtを用いて表せ。 (2)直線fqと平面abcが平行になるようなtの値を求めよ。 ちなみに、答えはわかっているので解き方を詳しく教えてください。 ※(1)の答えは、ベクトルoq=3/(3t+8)×ベクトルob+3t/(3t+8)×ベクトルoc (2)の答えは、t=4/3 (←“4/3”とは「三分の四」のことです。)
回答: 思いつくままに解いてみました. もっと簡単な方法があるかもしれませんが, 参考にしてください. 解答 (1)とりあえずベクトルoqに平行なベクトルopを求める. bp:pc=t:1より, ベクトルop=(1/1+t)ベクトルob+(t/1+t)ベクトルoc・・・(1) 次にeq:qc=x:(1-x)とおくと, ベクトルoq=(1-x)ベクトルoe+xベクトルoc・・・(2) ここで,ベクトルod=yベクトルoa,ベクトルoe=zベクトルobとおくと, ベクトルofは次の二通りで表せる. ベクトルof=(3/4)ベクトルod+(1/4)ベクトルob =(3/4)yベクトルoa+(1/4)ベクトルob ベクトルof=(1/3)ベクトルoa+(2/3)ベクトルoe =(1/3)ベクトルoa+(2/3)zベクトルob 以上の2式のベクトルoa,obの係数を比較して連立方程式を解くと, y=4/9,z=3/8となる. (よって,ベクトルof=(1/3)ベクトルoa+(1/4)ベクトルob・・・(3)) このことから,式(2)は次のようになる. ベクトルoq={3(1-x)/8}ベクトルob+xベクトルoc・・・(2)’ ベクトルoq=sベクトルopとすると,(1),(2)’よりベクトルob,ocの係数の比較で 次の連立方程式が導かれる. 3(1-x)/8=s(1/1+t) x=s(t/1+t) この連立方程式からsを消去してxについて解くと,x=3t/(3t+8) これを(2)’に代入すると,答えが得られる. (2)直線fqと平面abcが平行になるためには, ofの延長と辺abとの交点をrとしたときに,or:of=op:oqになればよい. そこで(3)より ベクトルor=aベクトルof=(a/3)ベクトルoa+(a/4)ベクトルob, また,ベクトルor=(1-b)ベクトルoa+bベクトルobなどとして 係数の比較からaを求めると,a=12/7となる. よって,ベクトルoq=(7/12)ベクトルop={7/12(1+t)}ベクトルob+{7t/12(1+t)}ベクトルoc これと,(1)での回答とを比較し係数が一致することからtの値を求めると 答えになります.