質問: f(x) e^6t と表されることが分かった。ここに、定数 6 の持つ単位を si単位系の基本単位を用いて表すと(1)である。 この物理量は、偏微分方程式 δf/δt=2(δf/δx)に従って、空間分布が変化していくとする。ここで偏微分とは、他の変数を全て定数と考えた時の微分を表す。f(t,x) の形を与えられた偏微分方程式に代入すると、f(x) の満たす微分方程式としてdf/dx=(2)が得られる。もし、この物理量が x=0 において f(t, x=0)=5e^6t というように時間変化していたとすると、時刻 t, 位置 x における物理量は f(t,x)=(3)e^(4)と与えられる。ここから、物理量の空間分布は(5)方向 [+x または -x より選ぶこと]に速さ(6)で平行移動することがわかる。 ()に当てはまるものを答えよ。 (1)m (2)df/2dt (3)30 (4)6t (5)+x (6)5e^6t
回答: (1) 時間 t との積「6t」が無次元にならないといけないので「1/s」 (2) ∂f/∂t = 6f(x)*e^(6t) であり ∂f/∂x = (df/dx)*e^(6t) なので、偏微分方程式は 6f(x)*e^(6t) = 2(df/dx)*e^(6t) と書き換えられ、従って df/dx = 3f(x) 2 あなたの書いた「df/2dt」とは、どういう意味の式ですか? 「微分」の式の「分母っぽいところ(分母ではない)」に「2」がある意味は何ですか? (3)(4) 2の解は、 ∫(1/f)df = 3∫dx より log|f| = 3x + c1 (c1:積分定数) → f = ±e^(3x + c1) = c*e^(3x) (c = ±e^c1) 3 f(t, x=0) = f(0)*e^(6t) = 5e^(6t) であれば f(0) = 5 ということなので、3は f(0) = c = 5 より f(x) = 5e^(3x) 3' 従って f(t, x) = 5e^(3x)*e^(6t) = 5e(3x + 6t) 4 ←これが(3)(4) (5) 4の形からわかるように「-x」の方向に進む。 同じ物理量 f(t, x) = a の値が、t → 大きくなる(時間が進む)と x → 小さくなる、となることがわかりますか? (6) 上の例でいえば f(t, x) = a = 5e(3x + 6t) となる物理量の「ある値a」は 3x + 6t = log(a/5) 5 のときに出現する。 この「ある値a」を出現させる変数の時間変化率は、5を時間で微分して 3(dx/dt) + 6 = 0 よって dx/dt = -2 つまり速さは「-2」