質問: 空気抵抗のある振り子 質量mのおもりを長さlの紐に付けた振り子が空気抵抗を受けながら運動する。抵抗力はおもりの速度に比例し、その比例定数はa(a>0)で表わされ(a/2m)^2<g/lが成り立つ。振り子が鉛直線と角度θ0をなす状態から初速度なしに動きだしたとすると、その後、角度θはどのように変化するのか。角度を時間の関数として表し、その慨形を図示せよ。角度θは十分小さく、その三角関数はマクローリン級数の第一項で近似できるとする。という問題を解いているのですが 自力では重力と速度に比例する抵抗力と張力で運動方程式をx方向とy方向で一本ずつ作り、 ml・d^2cosθ/dt^2=mg-ftcosθ-al・dcosθ/dt...(1) ml・d^2sinθ/dt^2=-ftsinθ-al・dsinθ/dt...(2) の二本の式を(1)×sinθ-(2)×cosθで張力のftを消去したところで行きづまってしまいました。 慨形を書くためにtとθの関数を出せればいいのですが、微分方程式の知識に乏しいので、なにとぞよろしくお願いします。
回答: ヒント: d^2sinθ/dt^2 = (-sinθ)・d^2θ/dt^2 マクローリン展開(即ちθ=0のまわりでのテイラー展開)の式は、 sinθ≒θ-1/3・θ^3+・・・ θは、十分小さいのでθ^3≒0として近似するので、 sinθ≒θ と言う事になります。 これでもう一度トライしてみてください。