質問: 高校数学です。平均値の定理について質問です。 この問題答えだすのは割と簡単です。あっさり行きます。 答えは0<s≦1、またはs>1かつab<s/s-1です。 ただ導出最中に次のこと※を認めなくてはいけません。 以下、Pの軌跡をC、lをy=bとします。 Cとlが交わる...1とする ここでnを整数として、y=nのときのxをXnとする。Xnは漸化式を立てて簡単に求まる。 ここでCは連続したグラフゆえ、 n→∞でXn>b...⇔1である...※ これを示すのがむずいです。 例えば、ざっくり言うと、C:y=f(x)(具体的には求めない)としてCは明らかに単調増加グラフなのでx,yが一対一対応して逆関数gを定めてC:x=g(y)とできます。ここでy=nとし、gの単調増加性(これも明らか)と連続性より、g(0)ゆえ、lim[n→∞]g(n)>bが平均値の定理より1と同値。 ってことをやりたいのですが、平均値の定理は閉区間で定義されてるので、区間を[0,∞)で適用するのはアウトな気がするんですよね。 大学入試程度なら、そもそも※は証明しないというのもありかもですが...。
回答: そもそもこれ平均値の定理使えないんじゃ... 平均値使うには微分可能が条件だったと思うけど折線は全ての点で微分可能じゃないし(もしかしたら私が質問の意図を勘違いしてるかもなのですみません) Xn だせてるならsの1との大小で場合分けしてそれぞれ極限を出せば質問者さんの示したいことは中間地の定理から明らかにならないでしょうか 原点をスタートとしてますし問題文から示したいことはあるnが存在して Xn >bです Xn =s/a *{(1-s^(-s))/(s-1)}でこれは単調増加よりこれの極限がbより大きいことを示せば良いですがその極限はsと1の大小によって変わってきます