質問: 機械力学の問題です。 全体的にどう答えたらいいか分からないので教えていただきたいです。 機械力学の問題です。 全体的にどう答えたらいいか分からないので教えていただきたいです。
回答: no.1です。 (1) は参照サイトにあるように j = (1/2)mr^2 1 になります。どうしてそうなるかは、テキストを見るなり、「質点の慣性モーメント」を円板全体で積分するなりしてご自分で納得してください。 (2) 円板中心の速度を v とすると v=dx/dt、ω=dθ/dt=v/r=(1/r)dx/dt で ・並進運動エネルギー:eg = (1/2)mv^2 = (1/2)m(dx/dt)^2 ・回転運動エネルギー:er = (1/2)jω^2 = (1/2) * (1/2)mr^2 *(1/r)^2 *v^2 = (1/4)mv^2 = (1/4)m(dx/dt)^2 よって、運動エネルギーは t = eg + er = (3/4)m(dx/dt)^2 2 となります。 (3) ばねの弾性エネルギーは、中立位置からの変位が x のとき u = (1/2)kx^2 3 です。 (4) 与えられた円板の並進運動の式から、 v = dx/dt = -x*ω0*sin(ω0*t) なので、2より t = (3/4)m[-x*ω0*sin(ω0*t)]^2 = (3/4)m*x^2*(ω0)^2*sin^2(ω0*t)] よって、その最大値は sin(ω0*t) = ±1 のときで tmax = (3/4)m*x^2*(ω0)^2 4 一方、ばねの弾性エネルギーの最大値は、振幅が最大となるときなので3より umax = (1/2)kx^2 また、エネルギー保存則より、 t + u = const となりますが、最大振幅のところでは t = 0 u = umax = (1/2)kx^2 となるので、const = (1/2)kx^2 で t + u = (1/2)kx^2 となります。 これより、u=0 のときには t=tmax になるので tmax = (1/2)kx^2 ということになります。従って、4より (3/4)m*x^2*(ω0)^2 = (1/2)kx^2 ということになり、これから (ω0)^2 = 2k/3m → ω0 = √(2k/3m) が求まります。 従って、固有周期は t0 = 2パイ/ω0 = 2パイ√(3m/2k) 上ではすべて「エネルギ-保存」から解いていますが、運動方程式から解くこともできます。 ばねによる復元力のうち、一部が並進運動に、残りが回転運動に使われるとして、 ・並進運動の運動方程式 f1 = m*(d2x/dt2) ・回転運動の運動方程式 f2*r = j*(d2θ/dt2) 5 ・力の合計は f1 + f2 = -kx 6 5を j=(1/2)mr^2, θ=x/r を使って書き換えると f2*r = (1/2)mr^2 * (1/r)(d2x/dt2) → f2 = (1/2)m(d2x/dt2) これを2に代入して (3/2)m(d2x/dt2) = -kx この微分方程式を解けば、一般解 x = c1*sin{[√(2k/3m)]t} + c2*cos{[√(2k/3m)]t} が得られます。 (3) で与えられる式は、これを c1=0, c2=x とおいたものです。