質問: σ(l=1からn)p_l_1u_l である。 実際に回答を書いて見たので間違いがありましたら直してもらいたいです。お願いします。
回答: ああ、質問文では(1)(2)と書いてあるけれど、 プリントの(ii)(iii)のことなのか。 それが答案では(2)(3)と書かれていて... ややこしいな。 答案(2)プリント(ii)質問(1)については、 > ker f の基底を p = { p_1, p_2, ..., p_r } としているので > そこにベクトル (u_1, u_2, ..., u_n) を追加して im f の > 基底であることを示す。 の時点で既に大混乱している。 ker f は r^n の部分空間で、p_1, p_2, ..., p_r はそのベクトル。 u_1, u_2, ..., u_n は u のベクトル。 im f は r^m の部分空間で、その基底は r^m のベクトル。 それぞれ異なる空間のベクトルなので、併せた集合を考えても意味がない。 u と r^n は同型射 φ_u で移り合うとしても、r^m とはゴッチャにできない。 方針として、{ fu_1, fu_2, ..., fu_(n-r) } が im f の基底であることを 示そうとしているようだが、ここでもベクトル空間どうしの混同が見られる。 f は r^n→r^m の写像で、u_i は u の元だから、fu_i は定義されない。 fu_i が実は f(φ_u)u_i の意味だったとしても、 { f(φ_u)u_1, f(φ_u)u_2, ..., f(φ_u)u_(n-r) } が im f の基底 だとは限らない。 p_1, p_2, ..., p_r と e_1, e_2, ..., e_n の関係が判らないため、 p_1, p_2, ..., p_r と (φ_u)u_1, (φ_u)u_2, ..., (φ_u)u_(n-r) が 一次独立とは限らないからだ。 { f(φ_u)u_1, f(φ_u)u_2, ..., f(φ_u)u_(n-r) } が張る r^m の 部分空間は、im f の一部でしかない可能性がある。