質問: 線形代数の難問です 線形代数の問題ですが、解答・解説が無いため困っています。 f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z 1)この関数をf(x,y,z)=(x y z)a(x y z)'+b(x y z)'+c とした時のa,b,cを求めよ。(aは対称行列、bは行ベクトル、cはスカラー、(x y z)'は列ベクトル) 2)行列aの行列式の値と固有値を求めよ。 3)関数fの極値点とその時の関数の値を求めよ。また、その極値点が最小点、最大点、鞍点のいずれになるかを書け。 4)f(x,y,z)=27となる曲面と直線(x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1との交点を求めなさい。 1),2)は自信がないですが答えが出たのであっているでしょうか? 1)はaをa,b,c,dの4つの文字で表し、aは 3 0 -1 0 3 -2 -1 -2 3 b=(0 0 -z-2)' c=0 2)は行列式が-6、固有値が3,3±√5 3)以降はよくわからないので詳しい方解答・解説をおねがいします。
回答: 1) a,bとも間違い。 c=0は合っている。 a= [3,0,-1] [0,3,-2] [-1,-2,2] b=[0,0,-2] 2) >行列式が-6、固有値が3,3±√5 1)の正しいaを用いてないので det(a)も固有値も間違い。 1)の正しいaを使って計算をやり直して見てください。 計算すると det(a)=3, 固有値=3,(5±√21)/2 となります。 3) 停留点(極値点)は f_x=f_y=f_z=0を解けば求まります。 f_x=6x-2z=0 f_y=6y-4z=0 f_z=4z-4y-2x-2=0 連立方程式を解いて (x,y,z)=(1,2,3) 停留点(1,2,3)でのfの値はf(1,2,3)=-3 これが極小点(最小点)となることは参考urlのヘッセ行列を使う判定条件で調べることができます。 f(x,y,z)のヘッセ行列を求めると h(f)= [6,0,-2] [0,6,-4] [-2,-4,4] これは対称行列で det(h)=24≠0(非縮退) h(f)の固有値tを求めるとt=6,5+√21,5-√21で全て正定値 したがって停留点(x,y,z)においても h(f)は正定値対称行列であるからf(x,y,z)は(x,y,z)=(1,2,3)で 極小値f(1,2,3)=-3をとります。f(x,y,z)は極小点を1つしか持たず極大点を持たない連続関数なのでf(1,2,3)=-3が最小値となります。 つまり極値点(1,2,3)は最小点となります。 4) (x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1=tと置くと x=2t+1,y=t-1,z=t+3 ...(※) これを f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z=27 に代入してtを求める。 9t^2-6t+24=27 ∴t=1,-1/3 (※)にt=1,-1/3を代入すれば、2つの交点の座標 (3,0,4),(1/3,-4/3,8/3) が求まる。