質問: 「 f を集合 x から 位相空間(y、u)への全射とするとき、以下を 「 f を集合 x から 位相空間(y、u)への全射とするとき、以下を示せ。 1.t={ f^-1(u)|uはuに含まれる}とおくとき、tはx上の位相である。 2.tは f を(x、t)から(y、u)への連続写像とするx上の最小の位相である。」 という問題についての質問です。 まず、1番は 位相の三つの条件を一つずつチェックして行けば良いので、大体はわかったのですが、 最も基本的な条件である、「tが空集合とx自身を含む」というのが示せませんでした。これはどのようにして示すのでしょうか? それから、2番について、連続写像であることは f の定義の仕方から明らかだと思うのですが、 「最小の位相である」という部分はどのようにして示せばよいのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: 1. φ∈tは、f^-1(φ)=φから。 x∈tは、f^-1(y)=xから。(fは写像だからxのどの元の像もyに入る) 2. x上に適当な位相vを取って、vでfが連続という条件からt⊆vを示す。 まあ自明ですが。