質問: 2つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか? 現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。 どうかご教授よろしくおねがいします。 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが 例えば互いに独立で 国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語) 数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学) とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか? もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2} が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。 しかし、僕の数学の知識ではこれができなくて困っています。ガウス積分の公式を使ったりしなければいけないのではないかとも考えいるのですが行き詰っています。 アドバイスよろしくお願いいたします。
回答: > 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが 一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。 質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。 > μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら 2つの確率変数 x, y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 z を z = x + y で定め、z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・ μ3 = μ1 + μ2 は、x, y がどのような分布であっても(x, y が異なる分布であっても)成立しますし、x, y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。 また、x, y が互いに独立であれば(それらの分布によらず)、 (σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2 が成立します。(このとき z = x + y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) ) > f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2} > が答えだと思っているのですが x, y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、x + y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか? > それとは別のやり方で > f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と > f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。 上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。 案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。 f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2} g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2} h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt epx( ) の指数部を t で平方完成して = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt = 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt = 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } (∵ ∫ exp ( - (t - a)^2 / 2b^2 ) dt = √(2π) b ) μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 ) 途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。 なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。 もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。