質問: 凸集合の定義ってなんですか? 2題よろしくお願いします。 1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。 2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。 この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。
回答: 凸関数を考えればよいのかなあ。 凸集合...y≧e^x,y≦logx,y≧x^2...etc 凸集合でない...y≧x、y≦x^3,...etc 凸関数には面白い性質があり、f(x)は区間iで下に凸とし、aをiの点とするとき、(関数f(x)が区間iで下に凸⇒f"(x)>0) f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)が成り立つ。 証明 f(x)=f(x)-{f(p)+f'(p)(x-p)}とおくと、 f'(x)=f'(x)-f'(p)...(1) 題意よりf'(x)は全実数で連続かつ微分可能だから平均値の定理より、 f'(x)-f'(p)/x-p=f"(c) ⇔f'(x)-f'(p)=f"(c)(x-p)...(2) (cはpとxの間の数) なるcの値が存在する。 よって(1),(2)より、 f'(x)=f"(c)(x-p) 仮定より、f"(x)>0より、f"(c)>0なので ∴f'(x)の正負⇔x-pの正負 ∴f(x)≧f(p)=0 ∴題意成立 この式を使うとたとえば相加相乗平均の不等式が求められる。