質問: アデールとイデールの位相 イデール群の位相と、アデール環の位相からイデール群上に誘導される相対位相が異なるという所で悩んでいます。 違うというのはおぼろげながら分るんですが、どの程度違うものなのかという所で???です。 どなたか教えて下さい。
回答: adele ringをa、そのideleをa*、そのどちらかの元を(k_v)で表すことにします。vはplaceです。一般のglobal field上で話を進めます。 両者の位相の違いは(k_v)∈a*→(1/k_v)∈a*が連続になるかならないかの違いと言ってよいと思います。相対位相では連続になりません。すなわちadeleからの相対位相では開集合が少ないということです。これを連続にしてかつadeleからの相対位相を含む最小の位相がidele位相だと記憶しています。ここではなぜ連続にならないかを簡単に説明したいと思います。以後adeleからの相対位相を考えます。そのときideleにおける開集合は主に次の形をしています(正確には基本開近傍です): (π_{v∈i}e_v ×π_{v∈i~}o_v)∩a* ここでiはある有限添え字集合(infinite placeを含む)で各e_vはplace vに対するfの完備化k_vにおける開集合、o_vはk_vにおけるinteger ring(すなわちノルムが1以下の元全体---ご存知かとは思いますがfinite place上ではノルムがちょっと変わっていて1以下としてもそれは開集合です。これはノルムの値が離散的であることから従っています)。 さてinverseが連続だとすればあるa*における開集合がありそのinverseが上で与えた開集合に入っていなければなりません。そこでそのような開集合pが存在したとしiに属さないplaceに注目します。そのpは再び上のような形をしているのでiに属さないあるplace wとpの元(k_v)が存在し|k_w|<1です。ところがその逆元(1/k_v)はplace wにおいてノルム1より大きい成分を持つので最初に与えた開集合には属しません。従って相対位相ではinverseが連続になるようには開集合がとれないということが分かりました。 懐かしい話題だったので怪しいところもあるかもしれませんが参考にしてください。