質問: 線形振動とと非線形振動の違いについて 線形振動とと非線形振動の違いについて教えてください. 具体例をあげてもらえると嬉しいです.
回答: ばねの場合を例に取ることにして,自然長からのずれを x とします. ばねの伸び縮みによって力のポテンシャルが生じますが,それを u(x) としましょう. あまり伸び縮みが大きくないときは u(x) がテーラー展開できて (1) u(x) = (k/2) x^2 + (a/3) x^3 + ・・・ と書けるでしょう. x の零次の項がないのはポテンシャルの原点をそういう風に選んだから, x の1次の項がないのは x=0 が自然長だからです. 線形のばねは(1)で k x^2 だけ考慮したものです. 力 f(x) は (2) f(x) = -du(x)/dx = -kx で,これが tocoche さんの 力と変位(伸び縮み)の関係が比例すれば線形, に対応します. 質量mの質点をばねにつけているとしますと,運動方程式は (3) m (d^2 x / dt^2) + kx = 0 で,x に関して線形になっています.」 つまり,x1 と x2 が共に微分方程式(3)の解であれば y = a x1 + b x2 も(3)の解になっています. 一方,(1)で x^3 の項まで取り入れてしまったら,(3)の代わりに (4) m (d^2 x / dt^2) + kx + ax^2= 0 になってしまい,ax^2 の存在のために線形になりません. つまり,x1 と x2 が共に微分方程式(3)の解であっても x1 + x2 はもちろん解になりません. 線形でないので非線形といいます. > 振幅の大小で線形と非線形に別れるなんて... 振幅が大きい(x が大きい)と,非線形になる理由はもう明らかですね. x が大きければ(1)で x^2 の項だけとってすましちゃうわけにはいきませんね.