質問: 高校数学の確率の問題です、別解が分からないです 以前同じ問題を投稿しましたが別解が分からないのでよろしくお願いします 右図のように12個の点a,b,c,d,e,f,g,h,k,lが12本の線で結ばれている 粒子pが点aを出発してこれらの12個の点の間を次の規則に従って移動する (i)粒子pは点abcdの各点では上下左右のいずれか隣の点へ同じ確率1/4で1秒間で移動する (ii)粒子pが×印の付いた点gkのいずれかに達すれば直ちに消滅する (iii)粒子pが○印の付いた点efhijlのいずれかの点に達すれば以後その点で停止し続ける 出発してからn秒後に粒子pが消滅する確率をp[n],停止する確率をq[n]とする、このとき、 (1)粒子pが消滅する確率σ[n1→∞]p[n],および停止する確率σ[n1→∞]q[n]を求めよ (2)粒子pが消滅するか停止するまでの時間の期待値σ[n1→∞]n(p[n]+q[n])を求めよ (2)なのですが粒子pが消滅するか停止するまでの時間の期待値をeとする 点aを出発した粒子pは1秒後には点eかlで停止するか,点bかdに移る,点bかdに移動した 粒子pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点aから出発してから停止するまでの時間の期待値と全く同じであるから 初めから数えると(1+e)秒であるとあるのですが、点bかdに移動した 粒子pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点aから出発してから停止するまでの時間の期待値と同じになるという所が何故同じと言えるのか分かりません 後の計算式はe=1×1/4×2+(1+e)×1/4×2とありましたこの式も 何故そうなるのか分からないです
回答: こう考えてもよいかも、最初(0秒時)にa点に粒子が10000個居たとしましょう。個々の粒子は同じ確率的な振る舞いで独立に動くとします。1秒後には半数の5000個がlかeに到着し停止します。2500個がbに到着します。bに到着した粒子はそこからバラバラに更に移動を続け、あるものは次の1秒で停止するものもあり、aやcに移動し生き残るものもあります。それらのb点からの平均停止時間をebとすれば、a点にいたときからの通算時間は(1+eb)秒と言うことになります。これらは2500個のものたちです。同様に最初にaからdへ移動した2500個の集団も通算(1+ed)秒後が平均停止時間となります。なので、全体10000個の平均停止時間は ea=(1*5000+(1+eb)*2500+(1+ed)*2500)/10000=1*1/2+(1+eb)*1/4+(1+ed)*1/4 となります。