質問: 重積分∫∫_d √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a> 重積分∫∫_d √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>0) d: x^2 + y^2 <= a^2を極座標 で解こうとしているのですが、うまくいきません。 本の答えの"(2πa^3)/3"まで、どうにか辿り着かせてください。m(__)m 自分がやったところまで書きますと、 0 <= r <= a (自信なし) 0 <= θ <= 2π √(a^2 - (r cos(θ))^2 - (r sin(θ))^2) =√(a^2 - r^2 cos(θ)^2 - r^2 sin(θ)^2) =√(a^2 - r^2(cos(θ)^2 + sin(θ)^2)) =√(a^2 - r^2) (この時点でθが残ってないのが怪しい...) ∫∫_d √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy =∫∫_e √(a^2 - r^2) drdθ =∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr =∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a] (ここからまったく自信なし) =∫[0,2π] dθ [(1/3r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a] =∫[0,2π] dθ [(1/3a)(a^2 - a^2)^(3/2)] - [(1/3(0))(a^2 - 0^2)^(3/2)] ...0では割れないので間違っているはずです。 計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと (a・|a|・π)/4 と出ます。これも正しいのか分かりません。 まずは、この問題でのrとθの範囲の取り方を教えてください。 お願いします。
回答: x や y をどのように置くのか書かないとダメだろ.... 自分の中だけで完結するならともかく, このように他人の目に触れることを前提にするなら「書かなくてもわかってくれるはず」という甘えはなくしてほしい. で x = r cos θ, y = r sin θ とおくと √(a^2 - x^2 - y^2) = √(a^2 - r^2) です. ここは θ が消えるのが正解... というか, ここで θ が残らないように置換しているんだから消えて当然, 消えない方がおかしい. でそこはいいんだけど ∫∫_d √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy =∫∫_e √(a^2 - r^2) drdθ は間違っています. 置換積分についてきちんと確認してください. なお, ここから既に間違っているので本筋とは全く関係ありませんが ∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr =∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a] も間違いです. で (この問題とは全く無関係なので) もう本当にどうでもいいのですが 「計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと (a・|a|・π)/4 と出ます」の部分は正しい.