質問: x+y-2z=3a 2x-y-z=3b ⇒(1) およびx^2+y^2+z^2=1 (2) x-5y+4z=3c (1)と(2)がただ1つの共通解を持つとき(x.y.z)は方程式2x^2+2xy+2y^2=1を満たすことを示せ。 この問題の解答の写真なのですが、赤線から下がわかりません。3t^2+6at+3a^2=0と(t+a)^2=0はどこから出てきたのでしょうか?
回答: Aの式で 3t^2 + 6at + 5a^2 - 2ab + 2b^2 - 1 = 0 ... (A) と言っている。 一方、Bの式で 2a^2 - 2ab + 2b^2 = 1 ... (B) と言っているから、 (B)より得られる2a^2 - 2ab + 2b^2 - 1 = 0 ... (B)' を用いて、(A) - (B)'を計算すればよい。そうすると 3t^2 + 6at + 3a^2 = 0 を得ることができ、両辺を3で割って、 t^2 + 2at + a^2 = 0を得る。因数分解して、 (t + a)^2 = 0