質問: 不完全性定理 ユークリッド幾何学 公理 専門家の方にお聞きしたいのですが、不完全性定理でいう「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。」において、 ユークリッド幾何学における証明も反証もできない命題=ユークリッド幾何学の5つの公理 ということでよろしいでしょうか?? また、ユークリッド幾何学の5つの公理以外には、ユークリッド幾何学において証明も反証もできない命題は存在しないと考えていましたが、正しいでしょうか?
回答: ですから、ユークリッド幾何の公理群は、 「ユークリッド幾何の体系の中では」 証明不能ではないし、したがって、 不完全性定理の実例ではありえません。 「公理」とは何か、「証明可能」とは何か、 その定義を知ることが、 質問のような勘違いを卒業するために必要 だと説明している訳です。