質問: x+y+z=5、3x+y-15 x+y+z=5、3x+y-15を満たす任意のx、y、zに対して常にax2+by2+cz2=52が成り立っている時定数a、b、cを求めよ。 このときの、途中まではわかりますが x+y+z=5・・・・・・(1) 3x+y-z=-15・・・(2) (1)+(2) 4x+2y=-10 y=-2x-5・・・・(3) (3)を(1)に代入 x-2x-5+z=5 z=x+10・・・・・(4) ax^2+by^2+cz^2=5^2 (3)、(4)を代入する ax^2+b(-2x-5)^2+c(x+10)^2=5^2 ax^2+b(4x^2+20x+25)+c(x^2+20x+100)-25=0 (a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25b+100c-25=0 ここまで、 このときに、解説には a+4b+c=0 a+3b=0 4a+9b-1=0 としているのですが なぜ0なんですか。何と係数比較しているんですか
回答: nonstylelove さん、こんにちわ。 結論から言いますと、ax^2 + by^2 + cz^2 = 0を、nonstyleloveさんのように、 aとbとcとx との式ではなく、aとbとcとz との式に変換すると登場します。 詳しい計算過程は省きますが、式(1)と(2)を用いて y=-2z+15 x=z-10 を導けば、ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 は (a+4b+c)z^2 - 20(a+3b)z + 25(4a+9b-1) = 0 となります。zの値に関わらず上の式が成り立つ条件は、z^0、z^1、z^2の係数が全て0、すなわち a+4b+c=0 a+3b=0 4a+9b-1=0 となりますね。 では、nonstyleloveさんの計算が誤っているかというと、そうではありません。 nonstyleloveさんの途中まで求めた式からは a+4b+c=0 b+c=0 b+4c-1=0 が得られると思いますが、いずれの連立方程式を解いても (a,b,c) = (1,-1/3,1/3) となります。ご安心くださいね。 ちなみに、 a+4b+c=0 a+3b=0 4a+9b-1=0 という解説を見たときに、「a」や「b」が3式とも登場するのに対して、「c」が登場する式が1つしかないことに着目すれば、 「ああ、cは、2乗の係数のみにしか登場しないのだな」 と想像が付き、そこから、xやyをzに置き換えているのだなと想像が付きます。