質問: 大カノニカル集団の大カノニカル・ポテンシャル 大カノニカル集団の大カノニカル・ポテンシャルφが φ=-(1/β)z_〔1〕exp(βμ) と書けることを確かめたいと思っています。 n粒子系の分配関数が1粒子の分配関数z_〔1〕を使ってz_〔n〕=(1/n!){(z_〔1〕)^n}と書けるとすることが分かっているので、誠に恐縮ですがどなたか御回答宜しく御願い申し上げます。
回答: 宿題なのでしょうか? 宿題は自分でやったほうがよいと思いますが (おいおいじゃ回答するなよという感じですが) 出発点: (1)熱力学的関係 φ=min{f-μn;いろいろなn} ---(☆) (2)統計力学の関係式 f=-β^(-1) ln z[n] ~ -β^(-1)[ -n lnn + n + n ln z[1] ] (lnn!~n lnn + n、 z[n] = (n!)^(-1)z[1]^nとした) 問題:(☆)の具体的な形を求めよう 方法: (☆)のための極小条件として状態方程式 ∂(f-μn)/∂n=-β^(-1)(- lnn + ln z[1] ) - μ = 0 ---(※) を求めます。 これをn(μ,β)の定義(だから状態方程式なのですが)として、 そのまんま(☆)に代入してn(μ,β)の関係として φ=-n(μ,β)/β. (※)をnについて解くと φ=- z_1 e^(βμ)/β が得られます。 つまり、熱力学定義を実行しようとすると 関数fの形が分からないので、 そこを統計力学の関係式をつかって展開する! と、具体的な形がきまるといっているのではないでしょうか?