質問: n2=0∴n=0? 古くからある問題で、ご存知の方も多いと思いますが、次の問題です。 『e:ネイピア数、π:円周率、n:自然数、i:虚数 e=1・e=(e^i2nπ)・e=e^(1+i2nπ)={e^(1+i2nπ)}^(1+i2nπ) ={e^(1+i2nπ)}・{e^(i2nπ)^(1+i2nπ)} ...1 =e・{(e^(i2nπ))・e^(i2nπ)(i2nπ)} =e・1・e^(ー4n2π2)=e ∴1=e^(ー4n2π2) しかし、上式が成立するのはn=0の場合。∴n2=0からn=0=1,2,3... 一体、何が起こったのだろう?』 というものです。自分はこれを以下のように考えていました。 上式の⓵で、 (e^(i2nπ))^(1+i2nπ)=(e^(i2nπ))・{e^(i2nπ)・(i2nπ)}=1・e^(ー4n2π2)(=1) と計算してしまっているところが間違いなのだ。つまり、 (e^i2nπ)・{e^(i2nπ)・(i2nπ)}=1 (つまり、1^(1+i2nπ)=1 と考えている) としているところが変な結果を招いてしまったのだということです。この場合n=0でしか=1は成立しません。もっと言えば、1^x=1は、指数xが実数の場合に安心して使えるのであって、この問題のように複素数となっている場合、吟味が必要だという結論なのですが、どうなのでしょうか?
回答: ←補足 x が整数でないときには、 1^x には複数の値がありますからね。 x が実数なら、 その中の 1 を選ぶように決められていますが、 x が虚数だと、式によってはそうすべきとも限らない。