質問: 数学の本を読んでいたんですが、わからないことがありました。 「10人の人が集まったとき、その中にAさんと同じ誕生日の人がいる確率はかなり小さいものです。なぜなら、365通りもの誕生日があるからです。しかし、集団の中に少なくとも1組同じ誕生日の人がいる確率と言われると事情が変わってきます。それは、Aさんと同じ誕生日がいるのではなく、誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いるということだからです。今10人いて、誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率は次のようになります。 365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・」 という風に本に書いていたんですが、「Aさんと同じ誕生日がいる」と「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」の違いがいまいちわかりません。同じように思うんですが、全然違うのでしょうか? あと、10人いて誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率はなぜ365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・ という風になるのでしょうか? 解説お願いします。
回答: 長文になりました、、、混乱したら無視してください。 >「Aさんと同じ誕生日がいる」と「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」の違いがいまいちわかりません。 ⇒この違いは具体的に考えると感覚的にも分かりそうな感じしませんか?まぁ 考えるのが面倒ですけどねw まず、10人、A,B、C、D、E,F,G,H,I、Jさんがいたとして、 「Aさんと同じ誕生日がいる」確率は例えばAさんが1月1日生まれだとしたら他に「1月1日生まれ人が必要」ってことになりますね。それって かなりレアでしょ? 組み合わせの数だけ考えてもAとB、AとC・・・って感じで9通りしかない。 (ここで勘違いしないでほしいのは1月1日だからレアなんではなくて該当する誕生日が1月1日だけになってしまうという点。何月何日でもいいんだけど、1日だけに限定されてしまうんですよね) 次の「誰でもいいから同じ誕生日の人が少なくとも1組いる」っていうのは、片方がA(1月1日生まれ)でなくてもいいんです。 組み合わせの数だけでもAとB、AとC・・・9通り+BとC、BとD・・・8通り+・・・って多いじゃないですか! どうですか? なんとなくイメージできました? >あと、10人いて誰も同じ誕生日の人がいない、全部誕生日が違うという確率はなぜ365/365×364/365×363/365×362/365・・・356/365=0.8830・・・ という風になるのでしょうか? ⇒まず1年が365日固定って前提(うるう年考えない)ですけど、 確率ってまず、すべてでA通りあるうちのB通りの確率はB/Aっていうのは前提です。 上記のA~Jの誕生日が違う確率を考えるには組み合わせとその事象が起きる確率とを 計算しなきゃいけないんだな きっと。 まず、365/365はAさんとBさんが誕生日の違う確率とします。考え方はAさんの誕生日は365通りあって、Bさんの誕生日が固定1月1日の1通りだったら、Aさんと誕生日が違う確率は1/365、でもBさんも誕生日も実は365通りあるから 違う確率も365倍で AさんとBさんの誕生日の違う確率は365/365になるんじゃないだろうか。 次にAさんとCさんの誕生日の違う確率を考える時は、AさんとCさんだけじゃなくBさんとも誕生日は違うことが前提になっているから上記でいう「Bさんの誕生日が365通り」の部分がCさんの場合、364通りになるんだろうね。残り1通りはBさんの誕生日の分が減ってるんだと思う。 だから AさんとBさんの誕生日が違う確率(365/365)+AさんとCさんの誕生日が違う確率(364/365)。。。って感じになるんじゃないかと。