質問: m for some m>0 が言え、またb集合はa集合との共通部分が無く、有界でもないことから ||bk||>m が言えるとし、 ||ak-bk||=||bk-ak||>||bk||-||ak||>0 としたんですが、これにはかなり無理があるように思えます。どなたかご教授ください。よろしくお願いします。
回答: #コメントつかないですね。。。 ええっと,まず,問題の情報が不足なんです おそらく,n次元ユークリッド空間を ふつうの距離(二乗和のルート)で距離空間と みなして,そこで考えてるんですよね それから d(a,b)の定義は ||a-b|| ではなくて aをaの中で,bをbの中で動かしたときの 下限ですよね? 上記のような推測のもとで考えると 残念ながら証明は間違ってます bがともに有界で,共通部分が空でも d(a,b)が0になることはあります. 一次元で考えて a={0} b=(0,1]なんかだとd(a,b)=0です 閉だという条件がポイントなんです. 話を簡単にするために aは一点(一般性を失わずに原点oとできます) bは閉集合とします. このとき, d(a,b)=\inf_{bはbの要素} ||b|| とおけます. したがって,bの点列{b_k}で k -> ∞ のとき,||b_k|| -> d となるものが とれます. このとき,必要ならば{b_k}の部分列をとることにして {b_k}は収束すると仮定します. #ここで集積点の存在を使ってますが #(ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理) #bは有界とは限りません.しかし, #||b_k|| -> d なので #{b_k}が存在する領域は有界ですので,okです さて,bは「閉集合」なので, {b_k}の収束先をβとするとβはbの点です そして,aとbは共通部分を持たないので βはaの点(つまり原点)ではないので d(a,b)=||β|| > 0 今はaを一点と仮定しましたが aをコンパクトとしても同様だと思います コンパクトまではいらないようにも思いますが 深くは考えてません #一般の距離空間でもokなような気もします