質問: 4次元空間の3つのベクトルが互いに直交する条件 以前、 4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3519203.html において、いろいろ教えていただけました。 同様にすれば、4次元空間の3つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元である条件、が成分を用いて書けることになります。 ところで、いくつかのベクトルが張る空間が1次元というのは、すべてのベクトルが平行ということです。 今回、それとは逆に「すべてのベクトルが互いに直交する」という条件を考えてみたいと思います。 4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。 a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4]) b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4]) c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4]) d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4]) とします。 a↑、b↑、c↑、d↑の4つのベクトルが互いに直交する条件は、 4つのベクトルでできる立体=超立方体 なので、行列式の絶対値は、各辺の積と等しく、 |a↑ b↑ c↑ d↑|^2=|a↑|^2* |b↑|^2* |c↑|^2*| d↑|^2 とかけます。成分でも書けます。 a↑、b↑の2つのベクトルが互いに直交する条件は、 内積を用いて、 a↑・b↑=0 とかけます。成分でも書けます。 最後に、a↑、b↑、c↑の3つのベクトルが互いに直交する条件を、できるだけ簡素に書きたいとき、どういった書き方になるのでしょうか? すべての組の内積が0というのより、なんらかの行列式を用いて書きたいのですが。
回答: あるいは、代数的に=を1個にすることにこだわりたいなら、 (a・b)^2 + (b・c)^2 + (c・a)^2 = 0 でokですけど。