質問: 空間ベクトル 「点p(3,2,3)から、3点a(2,0,-5),b(-4,3,4),c(0,-2,1) を通る平面に下ろした垂線の足hの座標を求めよ。」という問題で、 通常は、法線ベクトルn=(a,b,c)として、abベクトルとacベクトルの直交条件から 求めると思いますが、簡明な下記解答がありました。 oa+2ob-3oc=-6(1,-2,0) 2oa+ob-3oc=9(0,1,-1) 平面abcの法線ベクトルn=(2,1,1)/√6 oh=op+(pa.n)n=(3,2,3)-2(2,1,1)=(-1,0,1) どのようにしてこの式が誘導できるのか、意味を教えてください。
回答: oa+2ob-3oc=-6(1,-2,0) 2oa+ob-3oc=9(0,1,-1) は平面abc内の2つのベクトルだが成分の1つが0になるようにしたのだと思う。私なら単純にab=(-6,-3,9)=3(-2,-1,3)とac=(-2,-2,6)=2(-1,-1,3)を考えると思う。これで外積を求めるのは少しだけ難しくなるが,その代わりに2つのベクトルの成分計算はかなり楽になる。 「平面abcの法線ベクトルn=(2,1,1)/√6」は上記のベクトルの外積を計算して単位ベクトルにした。 「oh=op+(pa.n)n=(3,2,3)-2(2,1,1)=(-1,0,1)」はohをopとpを通る法線方向のベクトル(長さはちょうど内積で求まる)に分けて計算した。