質問: 【数ii】関数決定の問題です xについての3次関数f(x)は -f(-1)=f(-1/2)=-f(1/2)=f(1)=1 をみたす。 このときf(x)を求めよ。 .................................... という問題で、自分は三次関数をおいて、条件の値を代入していくめんどうくさい方法でf(x)=4x^3-3xと出したのですが 別解に 題意よりf(x)は奇関数だからf(x)=ax^3+bxとおいても一般性を失わない -f(1/2)=f(1)=1よりa,bについて二元一次連立方程式を解くと a=4,b=-3 よって f(x)=4x^3-3x とあったのですが 奇関数だとf(x)=ax^3+bxとおけるというのがなぜかわからないです。教えてください。 あと、たった2本の奇関数の条件だけで一般性を失わないなんて言って大丈夫なんですか?
回答: >... 奇関数だとf(x)=ax^3+bxとおけるというのがなぜかわからない ... 「3 次関数 f(x)」とは、3 次多項式のことらしい。 f(x) = ax^3 + cx^2 + bx + d ...(1) ...なので f(x) を、偶関数部 e(x) と奇関数部 d(x) とに和分解する。 偶関数部 e(x) とは、e(-x) = e(x) を満たす部分 奇関数部 e(x) とは、e(-x) = - e(x) を満たす部分 だから、 f(x) = e(x) + d(x) ...(2) f(-x) = e(-x) + d(-x) = e(x) - d(x) ...(3) (1) ~ (3) により、 e(x) = {f(x) + f(-x)}/2 = {(ax^3 + cx^2 + bx + d) + (-ax^3 + cx^2 - bx + d)}/2 = cx^2 + d d(x) = {f(x) - f(-x)}/2 = = {(ax^3 + cx^2 + bx + d) - (-ax^3 + cx^2 - bx + d)}/2 = ax^3 + bx 要するに、偶 / 奇次数部分に分けるだけなのですけど...。