質問: 位相空間の問題です。 位相空間Xからハウスドルフ空間Yへの単射な連続写像fが存在するとき、Xはハウスドルフ空間であることを示せ。
回答: 任意の x, y ∈ X (x ≠ y) に対して f は単射なので f(x) ≠ f(y) です♪ ここで Y はハウスドルフ空間なので f(x) ∈ U, f(y) ∈ V, U∩V ≠ ∅ となる Y の開集合 U, V が存在します☆ ∅ = f−1(U∩V) = f−1(U)∩f−1(V) であり f が連続写像なので f−1(U), f−1(V) は X の開集合で さらに x ∈ f−1(U), y ∈ f−1(V) となります♪ これが任意の x, y ∈ X に対して成り立つので X はハウスドルフ空間ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬