質問: 運動量演算子とエルミート演算子 証明の仕方が全くわからないため質問させていただきます。 運動量演算子が-ihバー∂/∂xであるとき、-ihバー∂/∂xがエルミート演算子であることを示せ。 上述の問題を解いていただけたら幸いです。 できれば詳しく論述もお願いします。
回答: a =-i∂/∂x として、 =*= となることことを証明すれば良い訳です。ただし、hバーは定数なので省きました。それ故、f(x)とg(x)はヒルベルト空間に属する任意の関数として、 (1) = ∫dx f*(x)(-i∂/∂x)g(x) 一方、 (2) *= [ ∫dx g*(x)(-i∂/∂x)f(x) ]* ですから、(2)を変形して、それが(1)に等しいことが言えれば証明終わりです。この証明は部分積分をすれば出来ます。ただしその時、f(x)とg(x)がヒルベルト空間の要素であるという条件から、積分の境界でそれらがゼロになるという事実を使います。 以上。