質問: 正解が一つとは限らない数学の問題ってありますか? 「人生の悩みの問題は、数学じゃないんだから正解が一つとは限らない」 というようなことを時折耳にしますが、 正解が一つとは限らない数学の問題ってあるような気がするのですが。 「計算するたびに答えが違う」というのは無いのでしょうけど、 「答えの候補が複数あってどれともいえない」とか、 「正解がない」とか、 「正解がありすぎて記述できない」とか、 そのようなことって数学にないですか? よい例があれば教えてください。 数学は杓子定規な学問ではないとバクゼンと思っている者です。 よろしくお願いします。
回答: 数学とは何か?ということに尽きます。 他の回答者様が書かれている問題は、僕自身は数学の問題だとは思っていません。単なる計算問題です。calculationです。計算には正解があります。それは唯一といっていい問題がほとんどだと思います。 たとえばx+y=3の解を挙げよ。といわれたら、実パラメータをtとおいて、(x,y)=(t,3-t)とかけるもの全体、これが唯一の解であって、これ以上でもこれ以下でもありません。解は無限個ありますが、解の集合としてはこれで確定であって、これを正解が唯一つと呼ぶのには問題はないでしょう。二次方程式であったり、解が存在しない方程式も然りです。 学問としての数学は決してそう単純なものではないと思います。計算するだけなら計算機にさせてしまえばそれでいいのですから。じゃあどういうものが数学なのか?と問われれば、修行中の僕が答えを出せるようなものではないですが、一例を挙げるとたとえばan.1様が挙げられているπを導く公式を挙げなさい、というものが考えられると思います。既に知られているたくさんの公式がありますし、あるいはまだ誰も知らない公式だってそれこそ無数にあるでしょう。こういうことを解が一通りには定まらないというのだと思います。 ちょっとしたジョークでしょうが、数学の未解決問題、というコラムか何かに次のような問題が書かれていました(多少内容が違う可能性もあります)。「『よい数学の論文』の定義を与え、その例をひとつ述べよ」。これも立派に数学の問題になりうると思いますが、解は一つには決まらないでしょうね。中高レベルでもある数学的命題の証明をする、という類の問題が出題されたりします。これは単なる計算問題よりは、数学と呼べるものだと思います。既知の命題、あるいは公理から、演繹を重ねて結論を導くということを行うからです。その筋道には幾通りもルートがある可能性があります。難しい問題ほどたくさんの解法があるのかも知れません。 もっと高いレベルでは、何か対象(たとえば物理であったり、生化学であったり、経済学であったり)があって、その現象の数理モデルを作ってみる、などというのも一つの数学といえると思います。モデルの作り方は行くとおりもあるだろうし、それが現実の対象をよく説明できるものだったり、あるいは何の役にも立たないものであったりするかも知れない。いずれにせよ、それは数学と呼べるものでしょうし、対象をよく説明はできなかったモデルが実は何か既存の数学と大きな関連を生む結果につながるかも知れない。 高校入試や大学入試、あるいは大学院修士ぐらいの入試では、いわゆる数学という科目が出題されますが、ここで行われる問題はほとんど大抵、正解が決まっている問題です。これは採点上の都合だとも思えるし、あるいは出題側がそれほど高いレベルの数学を習得していない(というよりそれはほとんどの人にあてはまると思いますが)ことが原因だとも思います。もし記述式の問題で出題ミスがあったとして、それが原因で受験者全員に満点を与える、という処置があったとしましょう。そしてある受験者が、「この問題ではかくかくしかじかの問題があって、たとえば次のように修正すると次のような解が与えられる」みたいな答案を書いていたとしましょう。これはほんとに立派な数学の回答だと僕は思いますし、むしろそういう人にこそ、満点以上の得点をあげてやりたい気になります。いずれにせよ、僕の考える数学というのはそういうものです。 もちろんきちんと定義された言葉でない以上、いろいろな解釈が成り立つとは思いますが、数学をやっている人間は似たような考えをお持ちなのではないかとも思います。