質問: ナブラ ∇ ナブラ ∇ ナブラは1階の偏微分作用素です。 ナブラによって、勾配・発散・回転が定義されます。 勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。 発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。 回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。 ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数 へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか? 具体的な例なども示して頂けるとありがたいです。 以上、よろしくお願い致します。
回答: >勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。 >発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。 >回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。 さらに限定的に言うならばこれらは空間微分です。ベクトル演算子ナブラの定義から明らかです。 >ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数 へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか? いろんな意味合いに採れますがたとえば勾配を考えるとき 実質的に一次元で十分な時は該当するでしょう。 たとえば細長い棒状物体の温度分布は長さ方向の微分で十分なことが多いでしょう。 これはたとえば管路内を流れる流体の流速の場合も同じで、 流速の軸方向の成分が主として研究対象となり、 このような流れをone dimenshinal flowといいます。 また、見方を変えるとスカラー関数φの勾配(ベクトル)の発散(結果はスカラー)を求める演算は 結果としてスカラーからスカラーへの微分といえます。 このような演算子がラプラシアン△です。 △φ=div・gradφ=∇・∇φ △φ=δ^2φ/δx^2+δ^2φ/δy^2+δ^2φ/δz^2はベクトルは介在していませんが div・gradφはgradφで作ったベクトルのdivをとることによってスカラーに変換しています。