質問: 内分公式と外分公式の証明を教えて下さい。
回答: 数直線上の点A(a),B(b)(ただし、a<b)を m:nに内分する点の座標を求めます。 m:nに内分するので、最初に線分ABを(m+n)等分します。 線分ABの長さは(b-a)ですから、 線分ABを(m+n)等分すると、 ひとつの幅が(b-a)/(m+n)の (m+n)個の区間に分かれます。 線分ABをm:nに内分する点は、 点Aから点Bに向かってm区間進んだ場所ですから、 その座標は Aの座標+m×区間の幅 =a+m×{(b-a)/(m+n)} ={a(m+n)/(m+n)}+{m(b-a)/(m+n)} ={a(m+n)+m(b-a)}/(m+n) =(am+an+bm-am)/(m+n) =(na+mb)/(m+n) となります。 a>bの場合の内分点の座標や、m:nに外分する点の座標も 同様の考え方で求めることができます。