質問: 鎖を引き上げる運動 ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。 (1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか? (2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力fを求めよ。 (3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事w(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーe(z)を求めよ。 (4)また、w(z)-e(z)を求め、これが何に対応するか説明せよ。 という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか? また、(3)のw(z)は(2)のfをz=0→zで積分で出ると思うのですが、力学的エネルギーはどうしたらいいのでしょうか?位置エネルギーも運動エネルギーも質量mの部分をどう表したらよいか分かりません。 そして、(4)はどうなるのでしょうか? どうか、よろしくお願いします。
回答: (2) 鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。 力は運動量を時間で微分したものなので、fから鎖にかかる重力λzgを 差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、 f-λzg=d(λzv)/dt =λ(z・dv/dt+v・dz/dt) =λ(za+v^2) よって f=λ(zg+za+v^2) (3) 速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、fは f=λ(zg+v0^2) 変数としての鎖先端の高さをhとします。 w(z)=∫fdh (積分範囲は0からz) =λ∫(hg+v^2)dh (積分範囲は同上) =λ[gh^2/2+hv0^2] (範囲は同上) =λ(gz^2/2+zv0^2) e(z)は質量λzの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば よくて、前者はλgz^2/2 (2で割っているのは、宙に浮いている鎖の 重心がz/2の高さにあるからです) であり、後者はλzv0^2/2です。 よって e(z)=λ(gz^2+zv0^2)/2 (4) 一言でいうと、質量が変化するからw(z)とe(z)が同じにならないということ です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。 例題7と8を見て下さい。 https://online.lec-jp.com/images/goods_book/kl/kl10057.pdf