質問: 微分積分初歩的な質問 1.置換積分において例えば sinx=t とおいた場合、 両辺をまずtで微分して d/dt・sinx=d/dt・t 左辺のd/dtをd/dx・dx/dtとして cosx・dx/dt=1 dtを両辺に”かけて”cosx・dx=dt とできますよね? 2.でももっと簡単な方法(?)を思いつきました。 左辺をxで微分してdxをつける、右辺をtで微分してdtをつける、 としたら解答が一致して、今のところ他の問題でもうまく行っています。 疑問1.以前質問したときd/dxは演算子と教えられました。しかし、 cosx・dx/dt=1 の両辺に dt を”かける”と間違った答えには なりません。演算子は”かける”とかいうものをしちゃいけない ように言われたのですが、結果としてうまくいってしまっている上記の 式に関してはたまたまなのでしょうか?それとも何か私が 勘違いしているのでしょうか? 疑問2.上記2.における文章で説明した”簡単な方法”は たまたまうまく行っているだけでしょうか?それとも、広く行われている 方法でしょうか?
回答: 置換積分を解くに当たって、その方法とることは、通常広く行われていることであり、上手くいくので安心して使ってよいと思います。。 一方で、dx/dtが演算子であるというのも正しくて、dtの部分だけを掛け算する、というのは本来ならば出来ないことです。しかし、見かけ上掛け算をやっているかのような計算が正しい、ということを証明することが可能です。確か合成関数の微分法を使うのだったと思います。 例えば、 ∫1/√(1-t^2) dt であれば、t=sinx と置換することを考える。dt/dx=cosx. ∫1/√(1-t^2) dt をxで微分してから積分する(変わらない)。 =∫{1/√(1-t^2) dx/dt}dx =∫{1/cosx・cosx}dx みたいな感じだったかな。他の導出もあるかもしれませんが、とりあえず参考までに