質問: 微分方程式の問題(2階) yy"-(y')^2=y^2logy 解:logy=ae^(x)+be^(-x) が解けなくて困っています。 p=y'として、 d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy・dy/dx=p・dp/dy 問題式に代入して、 yp(dp/dy)-p^2=y^2logy.....(1) p(dp/dy)-p^2/y=ylogy......(2)1/yを両辺にかける pとyについてのベルヌーイ形なので u=p^2として du/dy=2p・dp/dy (2)に代入して、 1/2(du/dy)-u/y=ylogy.....(3) 線形微分方程式になるので、 u=exp^(-∫-2/y){∫exp^(-∫-2/y)・(2ylogy)+c}.....(4) これを解いていくと、 u=p^2=y^2{(logy)^2+c}.......(5) p=y√[(logy)^2+c].........(6) とってしまい、以降が解けません。 (解き方自体が間違っているかもしれません) どなたか教えてください。
回答: yy''-(y')^2=y^2logyの両辺をy^2で割ると、 (yy''-(y')^2)/y^2=logy (y'/y)'=logy (logy)''=logy となるので、f(x)=logyと考えれば、 f''(x)=f(x)の形に帰着される。 この一般解は、 f(x)=aexp(x)+bexp(-x) すなわち、 logy=aexp(x)+bexp(-x) になる。 商の微分法を思いつくかどうかがポイントですか。