質問: 写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)2つの写像f:x→y、g:y→zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数nと零を合わせた集合n∪{0}から整数の集合zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。
回答: ● (1) ( g が全射となるということを利用しない証明ですが、よろしいでしょうか。証明としたら、不十分であるか、まちがいであるかもしれません ) 集合y から任意に取り出した要素を y と表わすことにします。g による y の 像g(y) は 集合z の要素です。仮定より、合成写像g・f は全射ですから、g・f(x) = g(y) を満たす 集合x の 要素x が必ず存在します。 一方、g・f(x) = g(f(x)) ですから、g(f(x)) = g(y) です。よって、仮定より、g は単射ですから、f(x) = y が満たされます。 以上の結果から、y から任意に取り出した 要素y に対して、f(x) = y を満たす x の 要素x の存在が確かめられました。よって、f は全射です。 ● (2) ( その理由を説明せよとは、構成した写像が全単射となることを示せということでしょうか ... ) 写像 f: n∪{0} → z を次のとおりに定めます。 n が偶数のとき、f(n) = n/2 n が奇数のとき、f(n) = - ((n + 1)/2) z から任意に取り出した要素を z と表わすことにします。このとき、f(n) = z を満たす n が必ず存在します。z ≧ 0 である場合は、n = 2z です。z < 0 である場合は、n = - (2z + 1) です。よって、f は全射です。 n∪{0} から任意に取り出した 2つ の要素を n, n' と表わすことにします。このとき、n < n' であるならば、すなわち n' - n > 0 であるならば、f(n) ≠ f(n') となります。 ■ n が偶数、n' が偶数である場合 (n'/2) - (n/2) = (n' - n)/2 > 0 ■ n が偶数、n' が奇数である場合 - ((n' + 1)/2) - (n/2) = (- n' - 1 - n)/2 = - ((n' + n + 1)/2) < 0 ■ n が奇数、n' が偶数である場合 (n'/2) - (- ((n + 1)/2)) = (n' + n + 1)/2 > 0 ■ n が奇数、n' が奇数である場合 - ((n' + 1)/2) - (- ((n + 1)/2)) = (n + 1 - n' - 1)/2 = (n - n')/2 < 0 よって、f は単射です。 ● 以上の私の記述にまちがいがありました場合は、ひらにごめんなさい。 また、私の記述の中に、わかりにくい個所・まちがいではないかと思われる個所がありましたら、「 補足 」機能を利用するなどして、遠慮なくご指摘ください。