質問: 高校物理 静電気力がする仕事は経路によらないのは何故か 画像のように点電荷qの影響が及ぶ場で、点電荷qに外力を加え、静かに移動させます。このときその経路によらず 外力がする仕事=(後の位置エネルギー)―(前の位置エネルギー) 静電気力がする仕事=(前の位置エネルギー)―(後の位置エネルギー) となると教科書に書いてありますが、理由は書いてありません。これは積分を使って証明できるでしょうか?恐らく線積分(高校で習っていません)というやつを使うことは調べてわかったのですが、具体的な証明をしているサイトが見つかりませんでした。 保存力は終点と始点の位置だけで仕事が決まり、静電気力も保存力の一つである、ということはわかりますが、重力のように力が一定でない場での話ですので、そういわれてもちょっと納得できません。 以下の位置エネルギーの定義がありました。 http://hooktail.sub.jp/mechanics/potential-grad/ dr=r-r0(位置ベクトルの差)、ーfは保存力に逆らう力と考え、経路に沿って積分すると位置エネルギーが蓄えられるということだと思うのですが、u(r)-u(r0)と線積分なのに定積分みたいな計算をしています。 以下のサイトの10ページ目を見ていただけますでしょうか。 http://www.rist.kindai.ac.jp/~kiguchi/h15/buturi-1/06.pdf 線積分は定積分の計算方法とは違うみたいな記述がありますので、ちょっとおかしいかなと思っております。経路を考えなくても何故終点と始点の位置エネルギーの差で記述しているのか、そこがわからないところです。 高校物理の内容を超えた質問ですが、興味がありどうしても納得したいのでよろしくお願いいたします。(一応高校で習う微積はすべて理解しているつもりです。)
回答: う~ん、基本的に高校の数学ではまるで足りないのですが 理系の大学で学習する 「ベクトル解析」という 数学があり、 ストークスの定理から、線積分の値が経路によらないような ベクトル場が有ることがわかるのです。 #「渦」のない場はこの様な性質があります。 そこまで学習すれば簡単な話なのですが 高校数学まで判っているなら、まず ・多変教関数の微積分 を充分学習し、微積の多変数への拡張を学んでから ・べクトル解析 でベクトル場、スカラー場の性質と扱い方を学ぶのが よいでしょう。