質問: AがL^2(R)における閉作用素であることを示す問題です。
回答: D(A)={f∈L2|f'∈L2} A : D(A) → L2 A(f):=f' A は閉作用素であること: (∵) fn → f, A(fn) → g ならば g=A(f) (=f') を証明します。 ∀φ∈C^(∞)_c に対して ∫ A(fn)・φ dx = -∫ fn・φ' dx → -∫ f・φ' dx = ∫ A(f)・φ dx 他方 ∫ A(fn)・φ dx → ∫ g・φ dx なので ∫ g・φ dx = ∫ A(f)・φ dx,∀φ∈C^(∞)_c・・・・・(*) が成り立ちます。C^(∞)_c は L2 で稠密なので(*)から g=A(f) となります。