質問: 「e」が絡んだ不等式証明 「自然数nについて、次の不等式が成り立つことを求めよ。 n・log(n)-n+1 ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n 」 という問題で、最初は素直に左辺-右辺≧0を使って示しました。 その後、別解として数学的帰納法を用いた証明に挑みました。 n=1のときは楽勝ですが、n=kで成り立つことを仮定した後の「n=k+1」のときに、式変形でつまずきました。今回の質問は、その最後の大小関係の評価についてです。(以下、式はn=k+1のときのもの) log{(k+1)!}-(k+1)log(k+1)+(k+1)-1 =log(k+1)+log(k!)-(k+1)log(k+1)+k ≧k・logk-k+1-k・log(k+1)+k =1-log(1+1/k)^k ・・・・・・・・・・・・(1) (1)をみた時、「あ、これってeの定義式に似てるな」と思い、もしかして (1)≧1-log(e)=0 ・・・・・・・・・・・・・(2) でも言えるのかと思ったのですが、 疑問i: だからといって果たして(2)で等号が言えるのか? 疑問ii:そもそも、limx→∞^x=e は、eより大きい数からeに近付くのか?eより小さい数からeに近付くのか?そしてlimx→-∞^x=e では? 上の疑問について、答が出せる方、宜しくお願いします。
回答: (1+1/k)^k は有界単調増加だから収束するのです. #これは二項定理とかの応用. したがって, (1+1/k)^k < e log(1+1/k)^k < 1 1-log(1+1/k)^k > 0 limx→-∞^x = limt→∞^(-t) = limt→∞/t)^(-t) = limt→∞)^t = limt→∞)^t = lims→∞^(s+1) = lims→∞^s (1+1/s) = e*1 = e