質問: 漸化式の特性方程式について 数列において、第n項をa(n)と表記いたします。 漸化式a(n+1)=2a(n)+1・・・(1)かつa(1)=3を満たす数列のa(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{a(n+1)-p}=2{a(n)-p}に代入することで、数列a(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、a(n+1)、a(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。 また、その答えとして、(1)式を{a(n+1)-p}=r{a(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。
回答: 書き間違い a(n+1)-2・a(n)=1 の特性方程式は p-2=0 です 特性方程式を使った解き方は以下のとおり 特性方程式の解が2なので a(n+1)-2・a(n)=0 の一般解は c・2^n である ところで-1は a(n+1)-2・a(n)=1 の1つの解であるから a(n+1)-2・a(n)=1 の一般解は c・2^n-1となる これが正式な特性方程式を使った解き方です 元の式が簡単すぎてわからないと思いますが 例えば特性方程式を使えば a(n+3)+3・a(n+2)+3・a(n+1)+a(n)=0 <--ここ などもあっという間に解くことができます この一般解は a(n)=(-1)^n・(a・n^2+b・n+c) です