質問: コンパクトな集合の例 コンパクトな集合とコンパクトな集合の積集合が、コンパクトにならない例について、おしえてください 空間がハウスドルフでしたら、そのような例がないことまではわかったのですけど、具体的な例が思いつきませんでした どうかよろしくおねがいします
回答: 積集合って共通部分集合(intersection)で良いんですよね。 直積集合の意味ならチコノフの定理があるし。 それで、例を考えてみました。t1にもなりませんが、t0です。 区間[0,1]に一点pを加えて x=[0,1]∪{p} とします。位相は[0,1]の開集合とxを開集合とします。 こうするとxはコンパクトです。またpを含む任意の部分集合もコンパクトです。 # pを被覆する開集合はxだけですから a=[0,1] b=(0,1)∪{p} とするとどちらもコンパクトです。 a∩b=(0,1) はコンパクトではありません。