質問: 数学の重積分についてです。 球面x^2+y^2+z^2=1と(x^2+y^2)^2=x^2-y^2が 数学の重積分についてです。 球面x^2+y^2+z^2=1と(x^2+y^2)^2=x^2-y^2が定める柱面の内部に囲まれた体積を極座標で求めよ。 という問題で、(x^2+y^2)^2=x^2-y^2がレムニスケート曲線でどのような曲線なのかは、わかるのですが、積分範囲の定め方などがわからないので、式だけでもいいので教えてください。
回答: 柱面の曲線はxy平面の極座標で r4=r2cos2θ (1) θの範囲、|θ|≦π/4, θ=3π/4~5π/4 で、r2=cos2θ。 (2) (1)以外の θで r=0 この範囲は対称性から、θ=0~π/4 の範囲の体積を求め8倍すればよい。 この r,θに対して、球面は z=√{1-(x2+y2)}=√(1-r2) となる。したがって、体積vは v=8∫[θ=0→π/4]∫[r=0→cos2θ] √(1-r2) (dr rdθ)・・・・r2=uと変換して =8∫[θ=0→π/4]∫[u=0→cos22θ] (1/2)√(1-u) (dudθ) =8∫[θ=0→π/4] { (1/2)[(-2/3)(1-u)3/2] [u=cos22θ,0] } dθ =8∫[θ=0→π/4] (1/3){1-(1-cos22θ)3/2} dθ =(8/3)∫[θ=0→π/4] {1-(sin22θ)3/2} dθ =(8/3) {π/4 - ∫[θ=0→π/4] (sin2θ)3 dθ }・・・・2θ=v と変換して =(8/3) {π/4 - (1/2)∫[v=0→π/2] (sin v)3 dv } =2π/3 - (4/3)∫[v=0→π/2] (sin v)3 dv・・・・積分は下記を使用 =2π/3 - (4/3)(2/3) =2π/3 - 8/9 ∫[v=0→π/2] (sin v)3 dv=∫[v=0→π/2] (1-cos2 v)sin v dv・・・・・ cos v=w と変換して =∫[w=1→0] (1-w2)(-dw)=[w-w3/3][w=1,0]=1-1/3=2/3