質問: 平面ベクトル(内積を使う問題で) 平面ベクトルでの質問があります。 ご教示戴ければ幸いです。 [問1] (1) oa=2√2、ob=√3、(→oa)・(→ob)=2の時、△oabの垂心をhとする時、(→oh)を (→oa)と(→ob)で表せ。 答え=1/10(→oa)+3/5(→ob) hが垂心⇔(→ah)・(→ob)=(→bh)・(→oa)=0...(1) で (→oh)=s(→oa)+t(→ob)と置く、、、、 まで分かったのですがどうやって (→oh)を(→oa)、(→ob)の和で2通りに表せるのでしょうか? (2)平面上にo、a、b、cがある。(→oa)+(→ob)+(→oc)=(→0) 、oa=2、ob=1、oc=√2の時、△oabの面積を求めよ。 [答え] √7/4 ((→oa)・(→ob)=-3/2) ヒントには"cos∠aobを求めよ"とあるのですが、 どうすればcos∠aobが求まるのでしょうか?
回答: こんばんは! (1) 「s、tを用いて(→oh)を2通りに表して、その係数比較からs、tの関係式を導く」という方針はベクトルではよく使われますが、この問題の場合はsとtの関係式が直接出るように思います。 (→ah)・(→ob)=(→bh)・(→oa)=0 から (→ah)・(→ob)=0 (→bh)・(→oa)=0 なので、この左辺をsとtを用いて表してやることができます!あとは連立方程式を解けばいいだけです。 (2) 条件式 (→oa)+(→ob)+(→oc)=(→0) (→oc)を移項して両辺絶対値の2乗を考えて |(→oa)+(→ob)|^2=|→oc|^2 が成立します。左辺は |(→oa)|^2 + 2・(→oa)・(→ob) + |(→ob)|^2 と展開できますから |→oa|=2 |→ob|=1 |→oc|=√2 を代入してやることで (→oa)・(→ob) を求めることが出来ます。あとは内積の式 (→oa)・(→ob)=|→oa|・|→ob|・cos∠aob を用いてやれば、cos∠aobを求めることができます!