質問: 無限級数の和の偶奇の場合分け収束・発散の問題 1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・+n/n+1-n+1/n+2+・・・ と表される数列でこの無限級数の和の収束、発散を調べるとき、偶奇で和が違うので発散するのですが、この問題の解答では一般項をn/n+1-n+1/n+2としておらず、理解できません。解答では和をsnとおき、s2mとs2m+1とおいてmを∞に近づけて求めています。 ここでs2m=s2m+1-m+1/m+2としています。 どこをどう区切って一般項とみなせばいいか理解できません。 どなたか解説お願いします。
回答: ●頭が走って説明飛ばしちゃったかな?少し変なところがある。 次のところ・・・・ 『 分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2} というのが正しいのです。 じつは+n/n+1も-n+1/n+2もどちらも第n項では有りません。ただ単に『前後の関係を示しただけ』のもので『第n項の一般式を与えているわけではない』のだということがわかるのです。』 ここで、次のことを飛ばしています。 分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2} このままだと正しいが, これを『分子分母を2倍すると』 分子/分母={n/2+1/2}/{n/2+3/2}=(n+1)/(n+3) としてもよさそうですが,これでは, n=3のとき(n+1)/(n+3)=4/6 ところが, 1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+4/5-5/6+5/6-・・・ と比較したら、このような4/6になる項は無いんですね。 4/6=2/3としてやっと正しい3番目ということがでてきます。 nが奇数のとき,第n項は2で割り切れることを前提として (n+1)/(n+3) で,≠(n/n+1),(-n+1/n+2)です。どちらでも有りません。 ●念のため,偶数項のとき n=2mのとき、 第n項・・・-(n/2+1)/(n/2+2)=-(n+2)/(n+4) これも,≠(n/n+1),(-n+1/n+2)です。どちらでも有りません。