質問: 微分方程式 微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。
回答: これは参考urlの(4)の「riccatiの微分方程式」で z→x,w→yとした y'=p(x)+q(x)y+r(x)y^2 とした一次非線形微分方程式で p(x)=0,q(x)=r(x)=2x とおいたケースです。 解も(7)式で与えられます。 参考urlを参考に解いてみて下さい。 (1) y=1/zを代入すれば dz/dx=-2x(1+z) と出てきます。 (2) これは変数分離形にできるで教科書に解き方が載っているでしょう。 (3) (2)の結果でz=1/yを代入し、参考urlを参考にして解いてみて下さい。 解くとcを任意定数として y=1/(cexp(-x^2)-1) ...(★) これは任意定数を1つ含み元の微分方程式を満たしますので(3)の解といえます。 【参考】wolframalphaサイトを利用して微分方程式を解くと次式のような解がえられます。 ttp://www.wolframalpha.com/ y=1/{exp(c-x^2)-1} (cは任意定数) (解は少し変形してあります。) これは(★)の任意定数cがc<0やc=0の場合を含んでいないので解としては不完全(c>0の場合だけの解)と思われます。 検証の解を元の微分方程式に代入すれば任意定数c>0,c=0,c<0のいずれの場合も満たしますので自身で確認してみてください。