質問: {v_1,v_2,...,v_m}が線形空間vの基底になっている事の証明ができません let v be a finite dimesnsional space over r,with a positive definite scalar product. let {v_1,v_2,...,v_m} be a set of elements of v, of morm 1, and mutually perpendicular (i.e. (v_i,v_j>=0 if i≠j). assume that for every v∈v we have ∥v∥^2=σ[i=1..m]^2. show that {v_1,v_2,...,v_m} is a basis of v. 「vを内積を持ったr上の有限次元線形空間とせよ。{v_1,v_2,...,v_m}をvの元の集合とし各ノルムは1で互いに直交しているものとする。∥v∥^2=σ[i=1..m]^2が成り立っている時,{v_1,v_2,...,v_m}はvの基底となる事を示せ」 が解けずに困っています。 今,∥v_1∥=∥v_2∥=...=∥v_m∥=1で=0(i≠j i,j=1,2,...,m) なのでv_1,v_2,...,v_mは一次独立と分かります。 後は任意のv∈vがv_1,v_2,...,v_mの一次結合で表せれれば{v_1,v_2,...,v_m}が基底である事が言えるのですが ∥v∥^2=σ[i=1..m]^2をどうしてもv=(v_1,v_2,...,v_m一次結合)と変形できません。 どうすれば変形できますでしょうか?
回答: >本当にすいません。どのようにして 自分で計算してないでしょ? それに・・・簡単なケースで実験もしてないでしょ? 一般でわからなかったら,少ない個数でやってみるの. v-v1-v2=0を示したい. そして,材料が |v|^2 = ^2+^2 =0 <=> w=0 だったら < v-v1-v2, v-v1-v2 > しか手はないと思う. w=v1+v2として < v-w, v-w > = |v|^2 + |w|^2 -2 = |v|^2 + |w|^2 -2(^2+^2) = |w|^2 -|v|^2 そして,=0, |v1|=|v2|=1より |w|^2 = ^2 |v1|^2 + ^2 |v2|^2= |v|^2 おわり