質問: 数学 線形代数の分野で以下の写真の問題の回答をお願いします。
回答: 固有多項式は f(t)=det(tE-A)=(t-2)(t^2-15t+110) 固有値 2, {15±i√(215)} 固有値が異なる3個なので対角化できます。 ***** この時点で小問 (3) は無効であることに気付きますね。更に小問 (4) も特定の a によらず、a のままで対角化せよ、と言っています。 実際、小問 (2) において、a を特定することなく、固有ベクトルを計算させるということは、a のままで対角化する正則行列 P を計算せよ、と言うことです。 このまま計算して行くと、a+3, a+5 などをそのまま計算することになり、無用の煩雑な計算をさせられます。これを少し緩和するには s=a+3, t=a+5, u=i√(215) と置くのが良いでしょう。 というより、この問題は ”放棄する” のが正しい気もしますね。 作問者が本当に計算してみたのか疑問です。 ***** 気を取り直して固有ベクトルを計算して見ましょう: 固有値 2 の固有ベクトルは (0,0,1)' です。' は転置ベクトルです。 固有値 15+i√(215) の固有ベクトル:[{15+i√(215)}E-A]u=0 係数行列は {-1+i√(215)}/2,-9,0 6,{1+i√(215)}/2,0・・・・・1 -a-3,-a-5,{11+i√(215)}/2 基本変形します 1,{1+i√(215)}/12,0 {-1+i√(215)}/2,-9,0 -a-3,-a-5,{11+i√(215)}/2 1,{1+i√(215)}/12,0 0,0,0 ・・・・・・1行と2行は1次従属・・・・・2 -a-3,-a-5,{11+i√(215)}/2 1,{1+i√(215)}/12,0 0,*,* 0,0,0 1,0,* 0,1,* 0,0,0 階段行列はこの最後の形になるでしょう。*の場所は今は計算はしないでおきます。階段行列の形から、固有ベクトルは u=(x,y,1)' の形になると決め打ちできます。実際、主成分の1が3列にないので、3番目の未知数を任意定数にとることになるので、第3成分は1と置けます。 ここで係数行列1のままで (tE-A)(x,y,1)'=0 を書くと [{-1+i√(215)}/2]x + (-9)y + 0 = 0・・・・・3 6x + [{1+i√(215)}/2]y + 0 = 0・・・・・・4 (-a-3)x + (-a-5)y + {11+i√(215)}/2 = 0・・・・・5 *2により、最初の2個の式34は同じ方程式です。従って45から x, y を算出します。 私の計算では固有ベクトル (x,y,1)' は x = -{11+i√(215}{1+i√(215}/2{12a+35-i√(215・(a+3)} y = 6{11+i√(215}/{12a+35-i√(215・(a+3)} のようです。 固有値 15-i√(215) の固有ベクトル:[{15-i√(215)}E-A]u=0 上で計算した固有値 15+i√(215) の固有ベクトルで i を -i に代えたベクトル が固有ベクトルです。