質問: 不定積分が解答と一致しません √{(x-1)/(2-x)}を積分せよ。という問題の答えが解答と一致しません √(2-x)=tと置いてx=2-t^2,dx==-2tdt ∫√{(x-1)/(2-x)}dx =∫√(1-t^2)(-2tdt)/t =-2∫√(1-t^2)dt [∫√(1-t^2)dt]の部分は公式を使ったり、部分積分を用いたりして[{t√(1-t^2)+arcsint}/2](ここでは積分定数を省略) よって-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+c(c:積分定数)だと思ったのですが、解答には arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+cとあります。 -√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+cという答えはあっていますか?
回答: 合ってます。 微分すれば元の関数に戻ることが確認できます。 ついでにあなたの導いた答えが解答と同じものであることを示しましょう。 arcsin(√(2-x))=yとおく。 sin(y)=√(2-x) tan(y)=sin(y)/cos(y)={√(2-x)}/√{1-(2-x)}=√{(2-x)/(x-1)} となります。 ここでz=π/2-y とおくと tan(z)=1/tan(y)=√{(x-1)/(2-x)} z=arctan[√{(x-1)/(2-x)}] となります。 つまり、 arcsin(√(2-x))=y=π/2-z=π/2-arctan[√{(x-1)/(2-x)}] -arcsin(√(2-x))=arctan[√{(x-1)/(2-x)}]-π/2 となり、あなたの導いた答えと解答は同じものであることが示せました。 (π/2の違いは積分定数で吸収できます。)