質問: 高校物理 熱力学 下図のように、気密性を保ったまま滑らかに動くことができるピストンがついた円筒形容器を、円筒の中心軸が水平になるように固定した。また、容器内は気密を保ったまま滑らかに動くことができる質量mの壁によって部屋1、部屋2に分けられている。大気圧をp0とし、ピストン、壁、容器はすべて断熱材でできており、壁にはコックが容器内の部屋2には外部との熱のやりとりができるように熱交換器が設置されている。コックや熱交換器はその体積が無視できるほど小さいものとする。 最初、壁のコックを閉じた状態で、部屋1、部屋2の体積(容積)がともにv0となるようにピストン及び壁を固定した後、部屋1を真空にし、部屋2に単原子分子理想気体1モルを封入したところ、その圧力はp0、絶対温度はt0であった。(状態1) 最初の状態(状態1)から、部屋2に封入された気体の圧力を一定に保ちながら、ピストンの固定を外して熱交換器で熱を与えながら部屋2の体積が2v0となるまでピストンをゆっくりと右向き移動させた。このとき、熱交換器がきたいに与えた熱量は5p0v0/2である(状態2)。その後、熱交換器による熱の出入りを断ってピストンを固定したうえで壁のコックを開くと、コックを通じて部屋1に気体が流入した。十分に時間が経過した後、部屋1内にある気体の物質量は1/3モル、部屋2内にある気体の物質量は2/3モルである。また、気体が部屋1に流入する際に、気体は外部から熱を受けず、かつ外部に仕事をすることがないことを考えると、容器内の気体の絶対温度はt0を用いると、2t0であり、圧力はp0を用いると、2p0/3と表される(状態3)。 コックの開放(状態3)ののち、壁は固定かつコックを開けたままで外部から固定を外したピストンに対して単位面積あたりfの力が下図のように加えられたとする。しばらくすると、ピストンが静止し、部屋2の容積は3v0/4にまで減少した。このときの容器内の気体の絶対温度を求めよ。 絶対温度をt1、気体定数をrとすると、気体は1モルだから、内部エネルギーの増加は3r(t1-2t0)/2となる。容器内の圧力をpとおくと、ピストンを押す圧力はf+p0-pと表せ、外力がした仕事は(f+p0-p)δvと表せる。 pがvのみの関数なら、バネの弾性エネルギーと同じように(?)積分して求められると思ったのですが、pは絶対温度にも比例するので、求め方がわからなくなりました。 気体の状態方程式を使った求め方はわかっているので、外力がした仕事=内部エネルギーの増加 の関係をつかった求め方が知りたいです。 回答お願いします。
回答: すいません; >外力の圧力は f+po で一定なので、外力がした仕事は (f+p0)δv だと思います。 >そしてこれは、気体がされた仕事 pδvを積分したものに等しいはずです。 誤りです。 左図から ∫[v→v+dv]p(v,t)dv が (f+p0)δvに一致しないことは明らかです。 本当に申し訳ないです; 熱力学第一法則についての意味をもう一度見直しておくと、 δu = q + w(された) 外から与えられた熱量q、「気体が」外からされる仕事w(された)、とすると気体の内部エネルギー増加δuになるという式でした。 >(f+p0)δv=3r(t1-t0)/2 だと、「大気+外力が」した仕事 (f+p0)δv が、気体の内部エネルギー増加 3r(t1-t0)/2 になってしまいます。 熱力学第一法則についての仕事は「気体が」されのか、したのか、でなければいけませんでした。 今、筒の中の気体はピストンに押され、体積を減らしながら圧力が p0+f まで増加していくと考えられるので、p-v図は左のグラフのようになるはずです。 この時、気体がされた仕事は、∫p(v,t)dv をvからv+δvまで積分すればいいわけですが、p(v,t)の形がわからないので、これは無理な注文です。 なので、状態方程式を使って解くしかないように思います。 この問題ではありませんが、気体が定圧変化する場合は右の図になるので、仕事w(された)を求めることは容易かと思います。 なので、気体が定圧変化する場合は熱力学第一法則を使って問題を解くことが出来ます。