質問: 3変数の場合の最小値の求め方‐偏微分を用いた方法で f(x,y,z)=zy/(z+y-x)の関数があります。 1) z≧x≧y 2)0≦x,y,z≦1(x,y,zはいずれも0から1の間) の2つの条件があります。ここに 3)x≧0.8, y≧0.65 の条件が加わった場合のf(x.y.z)の最小値を求めるというのが問題です。 解き方として考えたのは f(x,y,z)をx,y,zそれぞれで偏微分を行ったところdf(x,y,z)/dx>0, df(x,y,z)/dy>0, df(x,y,z)/dz<0であるから 3)の条件よりx=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり0.76が最小値である、 というのを考えたのですが正しいでしょうか。
回答: 大体、正しいね。 少し以下のように、補足し手を加えた方がいいけど。 >3)の条件より ではまずい、 「1),2),3)の(x,y,z)の取りうる領域では」 としましょう。 この領域では、f(x,y,z)の分母=z+y-x=(z-x)+y>0となる。 ことにも触れておきたいですね。 その上で >df(x,y,z)/dx>0, df(x,y,z)/dy>0, df(x,y,z)/dz<0であるから xについてf(x,f,z)は単調増加、 yについてf(x,f,z)は単調増加、 zについてf(x,f,z)は単調減少 である。 従って >x=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり0.76が最小値である、 小数以下2桁の指定がない限り「0.76」ではなく 正確を期して 「x=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり f(0.8,0.65,1)=0.65/(1+0.65-0.8)=65/85=13/17(=0.7647...) が最小値である」 とでもしておきましょう。 #)x=0.8+δxでδx<0にはならないね。(∵xの条件から0.8≦x≦1)