質問: 直交補空間などについて どうしても分からない問題がありますのでよろしくお願いします。 もちろんどちらか片方でも構いませんので、よろしくお願いします。 行列aがあって、aの成分は第一行が[3/4,√6/4,1/4]第二行が[-√6/4,1/2,√6/4]第三行が[1/4,-√6/4,3/4]である。 1、aの固有値1に対する固有空間wの大きさ1のベクトルからなる基底を求めよ。 2、三次元ベクトル空間におけるwの直交補空間vの正規直交基底{v1,v2}を求めよ。
回答: 1. 固有値1に属する固有ベクトルをt(x,y,z)とすると (tは転置を表す) at(x,y,z)=t(x,y,z) 両辺の成分を比較して 3/4x+√6/4y+1/4z=x -√6/4x+1/2y+√6/4z=y 1/4x-√6/4y+3/4z=z これを解いて(最後の式は余分) y=0,z=xより t(x,y,z)=t(x,0,x) 大きさ1より t(√2/2,0,√2/2) 2. wの直交補空間vに属するベクトルをt(u,v,w)とすると t(√2/2,0,√2/2)と直交するから,内積=0より w=-u よってt(u,v,w)=t(u,v,-u) =ut(1,0,-1)+vt(0,1,0) 基底はt(1,0,-1)とt(0,1,0) 大きさを1にして v1=t(√2/2,0,-√2/2) v2=t(0,1,0) v1,v2は直交するので答えです