質問: ベクトルの大きさの最小値 ベクトルの大きさの最小値とその時のtの値を求める問題なのですが、ベクトルの大きさの二乗の時のtの値と最小値はわかります。 ですが、その二乗をなくした時の答えがいまいちよく分かりません。 どうして最小値はルートがつくのに、tの値はそのままなんですか?
回答: →p=→op とおくと、点pは、直線ab上の点になり、 │→p│=│→op│ は、2点o,p間の距離を表すから、 │→p│≧0 (← 距離が 『 - 』 になることはない) になります。 このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。 │→p│^2=20(t-(1/2))^2+9 この式から、 │→p│^2 の最小値は 9 です。 (いま、t=1/2 は考えないでください) 次に、 a>0、b>0 のとき a<b ⇔ a^2<b^2 ・・・・・ ☆ であることを使って、 │→p│^2 の最小値は 9 だから、 9≦│→p│^2 が成り立ちます。つまり、 3^2≦│→p│^2 が成り立ちます。 ここで、 3>0、│→p│≧0 だから、上の ☆印 より 3≦│→p│ になります。 これから、│→p│の最小値が 3 になります。 『 = 』 は、ついても ☆ は成り立ちます。 y=x^2 のグラフの x≧0 の部分で確かめられます。 では、最小値が 3 になるときの tの値 ですが、 『 最小値が 3 になるとき 』 だから、 │→p│=3 です。 両辺を 2乗 して、 │→p│^2=9 になります。 この、 │→p│^2=9 になるときの tの値 が、まさしく、 t=1/2 です。 ということで、 『 最小値はルートがつくのに、tの値はそのまま 』 になります。