質問: 上界、上限、下界、下限についてわかりやすい説明できる人いませんか? いたら、教えてください。
回答: 質問文が少々図々しいように思えます。 教えを請う側として適切な態度で質問しなさい。 質問文があいまいですが、実数全体の集合の 部分集合についての話であるとして、せいいっぱいわかりやすく説明します。 実数からなる集合Aと、実数xがあるとします。 xがAの上界であるとは、Aの任意の元aに対し、a≦xであること。 くだいて言えば、Aに属するすべての数aが、x以下であること。 たとえば、B = { - x^2 + 3 | xは実数} だとすると、 Bのすべての元は3以下ですから、3はBの上界の1つです。 また、(当たり前のことなのですが、) Bのすべての元は1000以下ですから、1000もAの上界の1つです。 今回のBの場合は、3以上の数はすべてBの上界になります。 ちなみに、上界が存在する集合のことを「上に有界な集合」といいます。 数直線上に集合Aの絵(たとえば、Aに属する部分を太い線にする)をかいたときに、 その絵全体より右側(絵の右はじも含む)にいるものたちのことを、Aの上界というわけです。 次に、上限とは、上界のなかで最小の物のこと。 上のBなら、上界の中で最小の物は3ですから、Bの上界は3になります。 数直線上に集合Aの絵をかいたときに、 その絵の右側のはじっこが、Aの上限になります。 たとえば、a < b のとき、 開区間 (a, b) (a < t < b をみたす実数 t をあつめたもの) の上限は b です。 下界と下限についても、大きい・小さい(右と左)がひっくりかえっただけで、 全く同様です。数直線上に絵を描いて考えてみてください。 たとえば、a < b のとき、 開区間 (a, b) の下限は a です。 また、a以下の数はすべて(a, b) の下界になります。 別の例を挙げると、たとえば、{1/n | n = 1,2,3,...} という集合の下限は0です。 また、先ほどの集合Bには、いくらでも小さい数がふくまれるので、 Bに下界・下限はありません(Bは下に有界ではない)。 (このような場合、「Bの下限は -∞ である」ということもあります。) (以下は、すこし難しいかもしれない) 上限の定義をすこしいいかえると、 xがAの上限であるとは、以下の2つを満たすことです。 (1) Aの任意の元aに対し、a≦xである (つまり、xがAの上界の1つであるということ) (2) y