質問: f(x)=|sinx| のフーリエ展開がわかりませ 【問題】周期2πにおいて f(x)=|sinx| のフーリエ展開 のやり方や回答を教えてください。
回答: sin(x)は周期2πの奇関数ですが f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。 従って >【問題】周期2πにおいて は周期2πではなく、周期(基本)周期tはt=πと考えられます。 なのでf(x)は基本周期t=πでフーリエ級数展開 f(x)=a[0]/2 +σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox) (ただし wo=2π/t=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。) と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので b[n]=0 (n,1,2, ... ) f(t)=a[0]/2 +σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) と展開されます。展開係数は a[0]=(2/t)∫(-t/2,t/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π a[n]=(2/t)∫(-t/2,t/2) |sin(x)|cos(nwox)dx =(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx =(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx =-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... ) となります。