質問: (簡単?な)数列です 漸化式で(an+1はanの次の意味 右辺はanに1を足している) an+1 =√(an + 1) , a1=1 である時、有界で単調増加であることを示し極限を求めよという問題なのですが、 下に有界である事は分かるのですが、極限の出し方が分からないです。
回答: 1.まず、anが(上に)有界で単調増加であることを示します。すると、とある定理により極限が存在しますのでα=√(α+1)で解けます。 2.anが正で単調増加。 an>=0はわかります。 {a_(n+1)}^2-{a_n}^2=an-a_(n-1)だから帰納法で単調増加がわかります。 3.上に有界。 適当に1つの上界をとって(極限よりも大きい物。上記の極限の類推からたとえば2とる)、an<2を帰納法で証明します。 a_(n+1)=√(an + 1)<√(2 + 1)<2 最後の不等式は両辺を二乗すれば解ります。