質問: 関数論の問題でコーシーの積分公式を用いて求めないといけないのですが、 どのようにして解くのか分かりません。分かる方お願いします。
回答: (1) C:|z-i|=1 に沿った「左回り」の経路と忖度して, C内部の1位の極は,z=i だけであるから, ∫_c cos z/(z-i) dz=(cos i)2πi コーシーの積分公式 =(e^{-1}+e)πi [cos z=(e^{iz}+e^{-iz})/2 による。] (2) C:|z+1|=2 に沿った左回りの経路と忖度して, C内部の1位の極は,z=0,-1 だけであるから, f(z)=1/(z-2) とおくと, 与式は,∫_c 1/z(z+1)(z-2) dz =∫_c {f(z)/z - f(z)/(z+1)}dz = f(0)2πi -f(-1)2πi コーシーの積分公式 =(-1/2 +1/3)2πi=-πi/3