質問: 1.確率変数SとTをそれぞれ、パラメータλ>0とμ>0の指数分布に従うものとする。このとき、X=min(S,T)及びY=max(S,T)の分布関数及び密度関数を求める。
回答: S,Tは独立とし、 Sの密度関数は、f_S(x)=λe^(-λx) (x>0), 他0 とします。(分布関数は、1-e^(-λx) (x>0)期待値は1/λ) Xの分布関数は F_Y(x) =P(X≦x) =1-P(X>x) ここで、 XはSとTのうち小さい方なので、 X>xであるためにはS>xかつT>xが必要です。 一方、S>xかつT>xならば、当然S,Tのうち小さい方のX>xですから、 X>x⇔S>xかつT>x よって、 F_X(x) =1-P(S>xかつT>x) =1-P(S>x)*P(T>x) (独立性) =1-{1-P(S≦x)}{1-P(T≦x)} =1-{1-(1-e^(-λx))}{1-(1-e^(-μx))} =1-e^(-(λ+μ)x) (x>0) 密度関数は f_X(x)=(λ+μ)e^(-(λ+μ)x) (x>0) これは、パラメータ(λ+μ)の指数分布ですね。 Yの分布関数は余事象使わずに求まります。 やってみてください。 密度関数は分布関数を微分するだけです。 S