質問: ゲーデルの不完全性定理とは? 入門書を読んで理解を深めてから質問しようと思っていたのですが、なにぶん多忙かつ 魯鈍であるため、ほとんど理解していない状態での質問をお許しください。 ゲーデルの不完全性定理の入門書を読むと、一般人向けの説明として次のように記述されて います。 ●自然数論を含むような数学的体系の無矛盾性を、その体系内で証明することはできない。 これは、分かりやすいく言うとどういうことなのでしょうか。論理記号式を使用しないと 説明は無理ですか。 不完全性定理は「自己参照」とか「自己言及」を行なった際に生じる、避けられない 困難性や矛盾の存在を言い表しているのだと思いますが、次のような(安直とも言える) 拡大解釈を許すような、普遍性のある定理なのでしょうか。 ●認識主体が自分自身を完全に認識することはできない。(認識) ●哲学が哲学を完全に定義することはできない。(定義) ●体制が自己の正当性を自分で証明することはできない。(証明)
回答: mori0309さんてば、安直しちゃいけません。(stomachmanも初めて学んだときは高校生だったもんだから、もろに安直してしまいましたけどね。) 無矛盾性と健全性と完全性はよく似ているけど別の概念ですから、慎重に区別しましょう。不完全性定理のストレートな解釈は「自動的に定理を枚挙するようなアルゴリズムはない」という意味です。 系:数学者は失業しない ここで「定理」とは「公理」+「推論規則」から演繹される「真である命題」のことです。全ての「定理」の集合が「理論」。つまり、形式的体系における「理論」というのは、それ(「公理」+「推論規則」)を言ってしまったら、必然的にこういう話(「定理」)になるじゃないか。という、「公理」+「推論規則」の中に既に暗に含まれていた結論の総体です。もちろん「公理」+「推論規則」を変えれば「理論」も変わりますから、ピタゴラスの定理がどんな「理論」にも含まれている、という訳じゃありません。 > ●認識主体が自分自身を完全に認識することはできない。(認識) > ●哲学が哲学を完全に定義することはできない。(定義) 少なくとも「公理」+「推論規則」が記述できるなら、「理論」は陰に(陽にではなく)定義されるわけです。そういう意味で完全に定義され、認識されている。ただ具体的にもれなく枚挙するシステムは作れない。(微分方程式は立てたけど、解けない、というのと似てますね。)これを「dnaが分かればヒトが分かるか」のように拡大解釈しちゃいけません。形式的体系の「理論」は、「公理」+「推論規則」以外の影響は全く受けない。一切の夾雑物は許されないのです。しかしヒトはdnaのみで生きるにあらず。死体や鼻くそにだって同じdnaがあります。 系:医者は失業しない。 一方、「認識主体」や「哲学」が「形式的体系」か、というと全然そうじゃない。理論物理学のいう万物の理論(theory of everything)は、いわば宇宙の「公理」+「推論規則」を見いだそうという研究です。演繹とはまるで逆のことをやっている。「公理」+「推論規則」をいろいろ仮定してみて、そこから演繹される「定理」を現実と比較する、という作業をやっていくしかない。これは帰納法ですね。究極理論!と思っていても、いつか反例が見つからないとも限らない。 系:物理学者は失業しない。 また、数学の正当性を論じる「超数学」自体も、形式的体系ではありません。ましてや「形式的体系」以外の方法を検討しようとする時に、その活動が形式的体系の枠の中にあるのかというと.... つまり、不完全性定理があるかどうかとは無関係に、「哲学を形式的体系として表現できるか」という問題が先に来るんです。 系:哲学者は失業しない。 「認識」に関しては、証明ではなく「ん!そうに違いない!!」という納得が求められている訳で、これは不完全性定理の文脈には乗りそうもありません。 > ●体制が自己の正当性を自分で証明することはできない。(証明) 幾ら何でも、これは「正当性」の意味がずれちゃってませんか? 系:政治家は失業しない。 mori0309さんてば、まあまあ、そう焦らないで。 レイモンド・スマリヤン「決定不能の論理パズル」白揚社 ダグラス・ホフスタッター「ゲーデル・エッシャー・バッハ」白揚社 ナーゲル、ニューマン「数学から超数学へ」白揚社 など、すてきな本がいっぱいありますから、10年掛けてじっくり楽しんで下さいよ。 系:本屋は失業しない。