質問: (1/i) * [{e^(iω) - e^(-iω)} / {e^(iω) + e^(-iω)}] ... (4) となると思うのですが、 この(4)式を用いてarcsinω、arccosωと同様にarctanωを求めたいのですがうまくいきません。 (4)式をe^(iω)について解くにはどのように変形すればいいのでしょうか。 もしくはこの方法自体が間違っているのでしょうか。 長々とすみません。 どなたか分かる方がいればアドバイスなどよろしくお願いします。
回答: 普通に考えれば #1 でいわれる通りの方法でしょうが, やっていくとわかるように e^(iω) ではなく e^(2iω) を求めるのがきっと賢い. 別法: z = tan ω とすると 1+z^2 = 1/cos^2 ω, つまり cos^2 ω = 1/(1+z^2). ここから sin^2 ω = z^2/(1+z^2), sin ω cos ω = z/(1+z^2). したがって e^(2iω) = [(1-z^2) + 2iz]/(1+z^2) なので ω = (1/2i)log([(1-z^2) + 2iz]/(1+z^2)).