質問: 情報次元(フラクタル) 大学数学、フラクタル図形についての質問2です。 情報次元についてですが、様々なサイトや本を見ていたのですが、分かりやすい例がなくて困っています。 2次元図形でも1次元図形でも良いので、イメージしやすい情報次元の具体例を教えてくれませんでしょうか? 以下が私がメインで読んでいる本に出てきた情報次元の定義です。 次元を測る図形の上に、n個の同じ大きさのセルまたは箱のグリッドを重ねた2次元の場合を考える。 ここで情報量iを算出するための各確率p_iは, i番目の箱に入っている図形の要素の数を, n という要素の総数で、割った結果を表す。これは,まさにi番目の箱に入る図形要素の相対的頻度( relative frequency )である。 iは以下の式によって計算される: i=σi=1,nlog2 ※[2]は底2を表しています。 もしある箱に図形要素が入っていなければ、対応する確率p_iは0となって、この場合は情報量iへの寄与はない。 bを適当な範囲内にある箱の側面の辺長とするとき、観測結果はiがlog(1/b)の関数として線形的に増加することを示している。もちろん,箱のサイズが大き過ぎて図形全体が1つの箱に収まる場合は、p=n/n=1なので、i=0となる。 他方、箱サイズが小さ過ぎる場合、どの箱にも高々1つの要素だけがありそれによって、0でない確率p_iは1/nに等しい。 情報次元は以下のように与えられる。 d_i=limb→0]{i/log[2}
回答: i=-σ(p_i)log2 ですか? カントール集合を考えます。 すなわち a[1]=[0,1/3]∪[2/3,1] a[2]=[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1] ... としたときの∩a[i]です。 b=1/3^mとすると、0でない確率は1/2^mなので i=-σ(1/2^m)log(1/2^m) =m よって d_i=lim[m→∞]{m/log(3^m)} =1/log2 ですかね?