質問: 増加関数? [問] f(x)=x-sinx は閉区間[0,π/2]で増加関数であることを証明せよ。 1.閉区間[0,π/2]で連続で、開区間(0,π/2)で微分可能でかつf'(x)>0ならば、f(x)は閉区間[0,π/2]で増加関数である。 2.f(x)がある区間で微分可能ならば、f(x)はその区間で連続である。 この2つの定理を利用して、 開区間(0,π/2)で微分可能を求めて、かつ、左端0で右側微分可能、右端閉区間π/2で左側微分可能。 ・・・・・・(ア) よって閉区間[0,π/2]で微分可能となり、連続となる。 次にf'(x)>0を求めて増加関数となる。 このように解いていこうと思うのですが、肝心の最初の(ア)の解き方が分かりません。どのようにすればいいのでしょうか? また、この方針はあっているのでしょうか?よろしくお願いします。
回答: xyz0122さん、こんにちは。 どこまで根本的なことから示すべきなのかは、学習の段階や授業内容などにもよりますし、主観的な判断で説明が難しいのですが、多分、この問題なら、普通にf'(x)>0 を 0<x<π/2 で示せばそれだけで十分だと思いますよ。微分可能性とか連続とかは、f(x)に分母が0になるなど、危なさそうなところがないので明らかです。 しかし、「明らか」では十分ではないとすれば、微分可能性は次のように示せます。それには、 lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h という極限が存在することを言えばよいわけですが、それは、 f(x+h) = x+h - sin(x+h) = x+h - sin(x)cos(h) - cos(x)sin(h) より、 [f(x+h)-f(x)]/h = 1 - cos(x)sin(h)/h + sin(x)[1-cos(h)]/h → 1-cos(x) と示すことが出来ます。(極限を具体的に示したので、それで存在していることも示していることになる。) 上の極限の計算では、 sin(h)/h→1 [1-cos(h)]/h = (h/2) [sin(h/2)/(h/2)]^2 → 0 を用いました。 この計算は、xの微分、sin(x)の微分がそれぞれ1、cos(x)になることの証明と同じですから、そのことを前提にしてよければ、「xとsin(x)の微分はそれぞれ1とcos(x)であり、微分可能。従ってx-sin(x)も微分可能。」という書き方でも同じことになります。 尚、端での右極限左極限は、h>0としてh→0とするか、h<0としてh→0とするかということですが、hの符号は、上の計算には影響しません。