質問: dtやdx/dtについて二つ質問があります x dx/dt =tのとき、 xdx=tdt が成り立つのは何故ですか? また、 x dx/dt =tのとき、∫とdtを両辺につけると、約分のように/dtが消え ∫xdx=∫tdt となるのは何故ですか? 出来れば教えてください
回答: x dx = t dt で考えようとすると、 dx/dt や dt/dx でない dx や dt の意味を理解せざるを得ず、 話の難易度がかなり上がってしまう。 積分して、∫ x dx = ∫ t dt で考えたほうが無難。 置換積分を考えるだけなら、 合成関数の微分 f'(x) = f(g(t))g'(t) を積分した ∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt で理解するほうがよい。( f(x) = f'(x) ) これを f(x) = x = g(t) の場合に適用すれば、 ∫ x dx = ∫ x (dx/dt) dt が導ける。 よって、x dx/dt = t となる x, t に対しては ∫ x dx = ∫ t dt だという訳。