質問: 帰納法を用いて行列式を解く 次の等式を証明せよ。 |1+x^2 x 0 ... 0 | | x 1+x^2 x : | | 0 x 0 | | 0 x 0 | | : 1+x^2 x | | 0 ... 0 x 1+x^2| (ただし、nは行列式の次数) ※見辛いと思いますが、対角線上は1+x^2で、その周りがxで囲まれています。 =1+x^2+x^4+...+x^(2n) ...となっているんですが、本の答えは「帰納法を用いる」だけしか書いてありません。 帰納法のやり方は分かっているつもりですが、どういう式にしてから帰納法を用いればいいのか分かりません。 まずは自分でやってみたのですが: 第n行を第n-1行に足す 第n-1行を第n-2行に足す : 第3行を第2行に足す 第2行を第1行に足す | 1+x^2 x 0 ... 0 | |1+x+x^2 1+x+x^2 1+x+x^2 : | | 0 1+x+x^2 0 | | 0 1+x+x^2 0 | | : 1+x+x^2 1+x+x^2| | 0 ... 0 1+x+x^2 1+x+x^2| ...これであわよくばどこかの1+x+x^2を消して上三角行列に出来ると思ってたのですが、 消すと他の行にまた-(1+x+x^2)が入ってしまいます。 どのような考え方で解けばいいのでしょうか?
回答: #1さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、 |1+x^2 x 0| |x 1+x^2 x| |0 x 1+x^2| =(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2) =(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2} =(1+x^2)(1+x^4) =1+x^2+x^4+x^6 >それに沿って計算すると、 >k=n-1: >1+x^2(n-1) >=1+x^(2n-2) >=1+ {x^(2n)}/(x^2) >=1+x^2(n-1) >ですか? なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ) t(n)をt(n-1)とt(n-2)の式で表すとは、 与式を1行目で余因子展開すると、 (1+x^2)* |1+x^2 x 0 ... 0 | | x 1+x^2 x : | | 0 x 0 | | 0 x 0 | | : 1+x^2 x | | 0 ... 0 x 1+x^2| -x* | x x 0 0 | | 0 1+x^2 x : | | 0 x 0 | | 0 x 0 | | : 1+x^2 x | | 0 ... 0 x 1+x^2| 第1項の行列式は、t(n-1)と同じです。 第2項の行列式をさらに第1列目で余因子展開すると、t(n-2)が現われてきます。 t(n)=(1+x^2)*t(n-1)-x^2*t(n-2)