質問: 大学数学、解析(?)の問題です。
回答: フーリエ解析ですね [-π,π]上で二乗可積分な関数全体の集合をL2とかくことにします これから考える積分において積分範囲は全て(-π,π)です B={1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,....}とします。 (f,g)=(1/2π)∫f*(x)g(x)dx とおく(f*はfの複素共役)と、これはL2において内積になれます。 ‖f‖=√(f,f)と置けばノルムになります。 線形代数で正規直交基底をしたと思いますが、 BはL2の完全正規直交系になります b(n)=(sinnx,x)とおきます。 このとき、 x=∑2b(n)sinnx (n=1,2,....) がx=(2k-1)π (k=±1,±2,...)を除く全ての点で成り立ちます。 また f(x)=x,g(x)=∑2b(n)sinnxとおくと ‖f-g‖=0がなりたちます。 これらはフーリエ解析の基本的な事実としてあります。 証明はところどころ少し長くなると思います。 (3)gn(x)=2(b(1)sinx+...+b(n)sinnx) hn(x)=2(a(1)sinx+...+a(n)sinnx) とおきます J=2π‖f-hn‖^2 =2π(‖f-gn‖^2+‖gn-hn‖^2 +2Re(f-gn,gn-hn)) となります。 ここで、 f-gnはb(n+1)sin(n+1)x,b(n+2)sin(n+2)x,... たちの和で gn-hn=(b(1)-a(1))sinx+...+(b(n)-a(n))sinnx です よって内積の線型性を使うと (f-gn,gn-hn)は (sinkx,sinjx) (k>n,j≦n)の線型結合になることがわかります。 よって(1)を参考にすると (f-gn,gn-hn)=0となります。 よって J=2π (‖f-gn‖^2+‖gn-hn‖^2) となります。 内積の線型性を使うと 2π‖gn-hn‖^2 =|b(1)-a(1)|^2+...+|b(n)-a(n)|^2 がわかります。 よって求める答えは a(k)=b(k) (k=1,..n)です (4) ‖f‖^2=π^2/3 b(n)=(-(-1)^n)/nがわかります。 また(1)から ‖g‖^2=2∑b(n)*b(m)(sinnx,sinmx) =2∑|b(n)|^2 =2∑1/n^2 がわかります。 また三角不等式から |‖f‖-‖g‖|≦‖f-g‖=0 よって‖f‖^2=‖g‖^2 この両辺を2で割れば 結果が得られました。