質問: 正則関数の問題ですが、よく理解できません。 分かる方ご教授願います。 f(z)はC上の正則関数とする。 f(z)がr=√(x^2+y^2)のみによる関数のとき、f(z)は定数関数であることを証明せよ。 よろしくお願いします。
回答: はーいo(^-^)o (証明) z=re^θと極座標表示し、 f(z)=u(r,θ)+i・v(r,θ)とすると、 極座標のときのコーシー・リーマンの式より、 u_r=v_θ/r.......1 v_r=-u_θ/r.....2 題意は、「f(z)にはθは出てきませんっ(^0^)」ってことなので、 u_θ=v_θ=0ですo(^-^)o。よって、1、2の右辺は0となって、 u_r=v_r=0となります(^0^)/ よって、f(z)のそれぞれ実数、虚数部分であるu,vは定数で あることが示されましたo(^-^)o........................(証明終わり)