質問: 東北大2007年文系後期
回答: (1) 0≦a1≦1, 0≦b1≦2 において 0≦a2≦1-a1, 0≦b2≦1 - b1/2 x = a1 + b1 とおいて x を固定して考える。 0≦ a2+b2 ≦ 1-a1 + 1 - b1/2 = 2 - a1 - (x-a1)/2 = 2 - x/2 - a1/2 ここで、 0≦b1≦2 ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ 2 ⇔ x-2 ≦ a1 ≦ x かつ、0≦a1≦1 より、x<2 において 0≦a1、2≦x において x-2≦a1 であるから、 x<2 のとき 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/2 2≦x のとき 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/2 - (x-2)/2 = 3 - x よって、A+B は xy平面上において、0≦x, 0≦y, y≦2-x/2, y≦3-x で囲まれた部分 その面積は 7/2 (2) 0≦a1≦1, 0≦b1≦b において 0≦a2≦1-a1, 0≦b2≦1 - b1/b x = a1 + b1 とおいて x を固定して考える。 0≦ a2+b2 ≦ 1-a1 + 1 - b1/b = 2 - a1 - (x-a1)/b = 2 - x/b + (1/b - 1)a1・・・1 1/b - 1 ≧ 0 のとき、即ち b ≦ 1 のとき) 1の右辺はa1が最大のとき最大値をとる。 0≦b1≦b ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ b ⇔ x-b ≦ a1 ≦ x かつ、0≦a1≦1 より、x≦1 において a1≦x, 1<x のとき a1≦1 であるから x≦1 において 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x 1<x において 0 ≦ a2+b2 ≦ 1 + 1/b - x/b よって、A+B は 0≦x, 0≦y, y≦2-x, y≦1+1/b-x/b で囲まれた部分であり、 |A+B| = (b+3)/2 1/b - 1 < 0 のとき、即ち b > 1 のとき) 1の右辺はa1が最小のとき最大値をとる。 0≦b1≦b ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ b ⇔ x-b ≦ a1 ≦ x かつ、0≦a1≦1 より、x≦b において 0≦x, b<x のとき x-b≦a1 であるから x≦b において 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/b b<x において 0 ≦ a2+b2 ≦ 1+b-x よって、A+B は 0≦x, 0≦y, y≦2-x/b, y≦1+b-x で囲まれた部分であり、 |A+B| = (3b+1)/2 √(|A+B|) ≧ √(|A|) + √(|B|) を示す。 |A| = 1/2, |B| = b/2 右辺^2 = 1/2 + b/2 + √b 0< b ≦ 1 のとき) 左辺^2 - 右辺^2 = 1 - √b ≧ 0 b > 1 のとき 左辺^2 - 右辺^2 = b - √b > 0 より、 任意の b>0 にて √(|A+B|) ≧ √(|A|) + √(|B|)