質問: フーリエ係数の求め方を教えてください。 本屋にいってもさらに抽象化して直交関数で展開している場合と、 1次元のことしか書いていない本しかなく、困っています。 以下のことについて教えてください。 (q1) フーリエ級数の定義は以下の内容でいいですか? f(x,y,z) ={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞,m3=-∞}[a(m1,m2,m3)*exp()] 要は、 [a(m1,m2,m3)*exp(i)] を全てのm1,m2,m3にわたって和した級数で、<|>はeuclid内積、*はスカラー積,iは虚数単位 但し、簡単のためfが3変数実数値(複素数値でもいい?)とし、a(m1,m2,m3)は、 それぞれ複素定数、その他g(波数)やt(周期)等の個々の記号詳細な定義は、 以下に記載の通り (q2) a(m1,m2,m3)の計算法は、以下の内容でいいですか? a(m1,m2,m3)={\int}_{v}[f(x,y,z)*exp(i]dxdydz 但し、vは、以下の定義式で定まる領域 v={s1*{t}_{1}+s2*{t}_{2}+s3*{t}_{3}|0≦s1≦1,0≦s2≦1,0≦s3≦1} であり、要は、 f(x,y,z)*exp(i)を v(ユニットセル)上で3重積分したもの。 (q3) f(x,y,z)が二乗可積分で、{t}_{1}, {t}_{2},{t}_{3}がfの周期であるとき、 fは、フーリエ級数展開可能ですか? 注)少なくとも、 k=(k1,k2,k3)と、l=({l}_{1},{l}_{2},{l}_[3})が、 =2zπ (zは実数)であるとき、 lは exp i(k*x)の周期であるので、右辺が、周期t(m1,m2,m3)を持つことは 確認したつもりなので、この逆が成り立ちますか? (q4) どうも周期には2つの種類があるような気がします。片方を 普通の周期、もう片方を半自明な周期とでも呼ぶことにします。即ち、 *半自明な周期: tがfの周期であり、かつ、任意の”実数”λに対して、λtもfの周期である。 *普通の周期: tがfの周期であり、かつ任意の整数zに対してztが周期であり、かつ、tは半自明な周期でない。 上記は勝手に定義しただけですが(まともな言い方があったら教えてください)、 例えば、ベクトルa=(a1,a2,a3)に対し、 =0 ⇒ aは、exp i(k*x)の半自明な周期 \neq 0⇒ (\frac{2\pi a}{|a|} は、普通の周期 となります。 さて、例えば、{t}_{1}, {t}_{2},{t}_{3}のうち{t}_{3}のみが上の意味で半自明だと とします。このとき、 f(x,y,z) ={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞}[a(m1,m2)*exp()] のように、縮減できませんか? 【記号の詳細な定義】 但し、関数 f(x1,x2,x3,...,xn) は、実数値関数又は複素数値関数で、実n変数関数とする。 また、 gとtはn次実正方行列で、(ベクトル積を使うのが面倒なので) g=(gij) t=(tij) は、 g*t=2πe (但し、eは単位行列)で、 をみたすとする。(gij)等ダブルサフィックスと考える tj=(t1j,t2j,t3j,...,tnj):行列tの第j列ベクトル gi=(gi1,gi2,gi3,...,gin):行列gの第i行ベクトル また、但し、{m}_{1},...,{m}_{k}は、いずれも整数。 t({m}_{1},...,{m}_{k})=σ{m}_{k}{t}_{k} g({m}_{1},...,{m}_{k})=σ{m}_{k}{t}_{k}
回答: (q1)最初の式について、左辺はf(x1,x2,x3)ではないかと。また、右辺は指数関数の中にiが抜けているのでは? さて、gといういささか奇妙なものが入っています。ご存知でしょうけれども、普通はexpの肩に乗るのは(i(m1,m2,m3)・(x1,x2,x3))です。 もしgがz^3からz^3への1:1対応(z:整数)であるなら、3次元の点(m1,m2,m3)に付ける番号を置換でただ入れ替えただけ、ということになりますから、大抵はこれで良さそうです。(「大抵は」というのは、入れ替えたために総和の順番が変わってしまうので、タチの悪いfだとgに依存して発散したり異なる値に収束したりということが起こりそうだからです。) また、もしgがz^3からz^3への1:1対応でないのなら、特別なfの場合にしか通用しない式でしょう。すなわち、fを決めたとき、gは「普通の意味でのfのフーリエ級数の係数が0でない所(m1,m2,m3)」の集合の中での置換(permutation)になっている、という場合なら(上記の意味で)大抵はokですね。 ご質問の最後の方に書いてあるようにgがn次正方行列で(1/(2π))tがその逆行列だ、というのであれば、 (n1,n2,n3) = g(m1,m2,m3) として、 b(n1,n2,n3) = a(g(n1,n2,n3)) f(x1,x2,x3)=σ{n1=-∞~∞}σ{n2=-∞~∞}σ{n3=-∞~∞}[b(n1,n2,n3)*exp(i<(n1,n2,n3)|(x1,x2,x3)>)] とすれば(つまり総和をmではなくnについて取れば)全く問題ない訳ですが。 (q2)指数関数の中の符号が逆です。iじゃなくて-i。 なお、 exp(-i<(n1,n2,n3)|(x1,x2,x3)>) = = exp(-i n1 x1) exp(-i n2 x2) exp(-i n3 x3) ですから、三重積分を一度にやろうとすることはなくて、x1, x2, x3について順番に行えば良い。だから1次元の場合について考えておけば十分なのです。(「1次元のことしか書いていない本」にはそういう理由があるわけです。) (q3)可能です。絶対値が可積分の可測関数ならokです。 ただし、段差があるところでは、段差の左右端の平均値が値になりますし、1点だけ値が飛んでる所は近傍の平均値で埋められます。 (q4)「tがfの周期であり、かつ、任意の”実数”λに対して、λtもfの周期である。」とは ∀x∀λ(f(x+λt)=f(x)) ということでしょうか。だとすると、 ∀x∀α(f(x+α)=f(x)) つまり「fは定数関数 f(x)=c である」ということですよね。