質問: 確率の問題です。 a,b,cの3人で次のゲームをする。 サイコロを1回投げ1,2,3の目が出たらaを 確率の問題です。 a,b,cの3人で次のゲームをする。 サイコロを1回投げ1,2,3の目が出たらaを、4,5の目が出たらbを、6の目が出たらcを勝ちとする。 2回連続で勝った人を優勝者としゲームを終了するとき、n回目にaが優勝する確率を求めよ。 漸化式までは立てたのですが、解けませんでした どなたか解答よろしくお願いします。
回答: あなたの漸化式は正しい。 pn=a(n-1)×1/2も正しいです。式の番号など間違いを直した。 行列表示はこの投稿欄ではきれいに表示されないので、行列の式は図にした。 a,b,cがn回目に1勝する確率をa(n),b(n),c(n)とする。n=1のとき a(1)=1/2 b(1)=1/3 c(1)=1/6 _1図の式1を見よ。 となる。nが2以上の時は、次の漸化式により計算される。 a(n)=(b(n-1)+c(n-1))・1/2 _2 b(n)=(a(n-1)+c(n-1))・1/3 c(n)=(a(n-1)+b(n-1))・1/6 この式は、a(n),b(n),c(n)をベクトルx(n)として式3の行列表示で表される。 ここで、aは式4の行列である。図の式34を見よ。 するとx(n)は式5となり、漸化式の関係は行列aの(n-1)乗にまとめられる。 x(n)= a x(n-1) = a x(n-1) = a^(n-1)x(1)_5 aの(n-1)乗を計算するのに、行列の対角化が使える。 まず、特性方程式6を解いて、行列の固有値λを求める。図の式6を見よ。 det(a-λi)= -(36λ3-11λ-2)/36_6 この3次方程式は数値計算で解いて、固有値7となる。エクセルで計算した。 36λ3-11λ-2=0 λ1= 0.627739247308784_7 λ2= -0.213803977218133 λ3= -0.413935270090651 固有ベクトルをabcのベクトルとして、固有方程式8を解く。図の式8を見よ。 8は変数が一つ多い不定方程式だから、a+b+c =1とすると -2λa +b+c =0,a-2λa +b+c =a=1-2λa,a=1/(1+2λ) _9 a-3λb+c=0,a+b-3λb+c=b=1-3λb,b=1/(1+3λ) _10 a+b-6λc=0,a+b+c-6λc=c=1-6λc,c=1/(1+6λ) _11 の解が出る。λにλ1,λ2,λ3を入れると、3個のabcの固有ベクトルが出る。 この3個の固有ベクトルx1,x2,x 3を、並べて行列を作ると、変換行列p12ができる。 p= [x1 x2 x3] _12 図の式12を見よ。 固有ベクトルx1,x2,x 3にaをかけると固有方程式13が成り立つ、 a x1=λ1x1,a x2=λ2x2,a x3=λ3x3_13 pにaをかけて、13を使うと ap= [a x1 a x2 a x3] = [λ1x1 λ2x2 λ3x3] _14 pの逆行列を計算するとp−1は式15となる。図の式15を見よ。 14にp−1をかけると、16になる。 p−1ap= [λ1p−1x1 λ2p−1x2 λ3p−1x3] _16 x1,x2,x 3にp−1をかけると、17が成り立つので、 図の式17を見よ。 これを16に入れると。18になり、対角行列dとなる。図の式18を見よ。 行列の対角化ができた。18からaを求める為に、18の両辺に左からpを掛け、右からp−1を掛けると p p−1ap p−1= p d p−1 p とp−1は消し合うから a= p d p−1_19 19をn乗すると a^(n-1)= p d p−1・p d p−1・p d p−1・・・p d p−1 中間のp とp−1は消し合うから = p d^(n-1)p−1_20 dは対角行列だから,式21となる。図の式21を見よ。 式4に2021を22となる。 x(n)= a x(n-1) = a^(n-1)x(1) _22 x(n-1)= a^(n-2)x(1)= pd^^(n-2)p^-1 x(1) p=(1/2 0 0) x(n-1)= (1/2 0 0) pd^(n-2)p^-1 x(1) _23 pn=a(n-1)×(1/2) _24 nを決めれば、確率pは容易に計算できる。