質問: デデキントの切断について
回答: ※デデキントの切断は実数の連続性の公理(実数の特徴)に使われる手法です。デデキントの切断によって、実数全体と、その部分集合の、有理数や無理数の違いが明確になります。 具体的に例を挙げれば理解できます。 以下では、その集合のデデキント切断を(A,B)で表します。 (1) 整数Z 切断の条件に用いる数は、整数と整数以外で分けるとよいでしょう。 (i) x<1 を満たすか満たさないかでZを切断すると A={...,-2,-1,0}, B={1,2,3,...} (ii) x≦1 を満たすか満たさないかでZを切断すると A={...,-2,-1,0,1}, B={2,3,4,...} (iii) x>1/2 を満たすか満たさないかでZを切断すると A={...,-2,-1,0}, B={1,2,3,...} いずれの場合でも、Aには最大値が、Bには最小値が必ず存在します。 (2) 有理数Q 切断の条件に用いる数は、有理数と無理数で分けましょう。 (i) x<1 を満たすか満たさないかでQを切断すると A = { x∈Q | x<1 } B = { x∈Q | 1≦x } Aは最大値無し、Bは最小値が1∈Q (ii) x>1 を満たすか満たさないかでQを切断すると A = { x∈Q | x≦1 } B = { x∈Q | 1