質問: x^-2 + c ですが、 なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう? はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、 イメージとしては、どう捉えればよいでしょう? 証明等は無くても構いませんので、 直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。 (もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)
回答: sanoriさん、こんにちは。 釈迦に説法みたいな話しかできませんが...。 (x^α)' = α x^{α-1} ...(1) は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。 (x^2)' = 2x^1 (x^1)' = 1x^0 = 1 (x^0)' = 0x^{-1} = 0 (x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2} (x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3} ということなので。。。 つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。 積分のほうも、 ∫x^-1 dx = ln|x| + c ...(2) のかわりに、 ∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + c' = x^0 + c があると思えば、イレギュラーではなくなります。 (2)は、 ∫nx^{n-1}dx=x^n+c ...(3) のリストに元々登場していないと解釈するわけです。 また、(3)の両辺をnで割って、 ∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + c ...(4) のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。 たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + c となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。 また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+c が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。