質問: 微分方程式と積分 1.次の微分方程式を解け。 (1)y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(c1+c2x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u0(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u0(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2] 1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx=∫[0→π/2] a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。
回答: 1. 「定数変化法」って、聞いたことありませんか? 斉次化した方程式の一般解のひとつと新たな未知関数の積を もとの方程式の未知関数へ代入して、変数変換をするのです。 例えば、y' + ay = f(x) であれば、 y' + ay = 0 の一般解のひとつ e^(-ax) と新たな未知関数 u の 積を作って y = u e^(-ax) を y' + ay = f(x) へ代入すると、 u'e^(-ax) = f(x) となり、u = ∫ e^(ax) f(x) dx と解けます。 y についての一階線型微分方程式だったものが、 u' について(u ではなく)の0階微分方程式(つまり解けてる)に なったところがミソです。 (1) y = u e^(-x) を代入すると、u'' e^(-x) = 3 sin(2x)。 よって、u = 3 ∫∫ (e^x) sin(2x) dx dx + ax + b。 ただし、a, b は積分定数。 右辺の積分は、sin を sinθ = { e^(iθ) - e^(-iθ) } / 2 で 変形すれば、容易に計算できます。 (2) y = u e^(2x) を代入すると、(u'' - u') e^(2x) = x e^x。 すなわち、u'' - u' = x e^(-x)。 これに、再度 u' = v e^x を代入して、v' e^x = x e^(-x)。 よって、v = ∫ x e^(-2x) dx + a。 u' = e^x ∫ x e^(-2x) dx + a e^x だから、 u = ∫{ e^(-x) ∫ x e^(-2x) dx } dx + a e^x + b。 ただし、a, b は積分定数。 右辺の積分は、部分積分を行えば計算できます。 2. (1) t について部分分数分解してから、積分すればよいです。 (2) sin^2 t cos^2 t = (1/4)(2 sin t cos t)^2 = (1/4) sin^2(2t) = (1/4)(1/2){ 1 - cos(4t) } と次数下げしてもよいし、 やはり tan(t/2) = u と置いて、部分分数分解へ持ち込んでもよい。