質問: 【代数学】部分群の証明 【問題】 群gの部分群h,kに対して、共通部分h∩kもgの部分群となることを示せ。 【回答】 h,kは群gの部分群である。 よって、群gの演算が同様に部分群h,kでも成り立つものである。 また、群の公理から、すべての元に対して、 ex=x=xe xx'=e=x'x となる単位元、逆元が存在する。 ここで、a,cがhに含まれ、b,cがkに含まれるものとする(記号が打てなかったので含まれると表記)。 単位元と逆元が存在するはずなので、 a,a',c,c',eがhに含まれ、 b,b',c,c',eがkに含まれることになる。 h∩kはc,c',eである。 また、部分群h,kに群gの演算が成り立ったように、この群にも群gの演算が成り立つ。 元cには逆元が存在している。 これらのことから、h∩kもgの部分群であると言える。 上のように回答しました。 どなたか添削をお願いします。
回答: 大きな問題としては「h∩kはc,c',eである。」以降がまるでなっていない. 1. 「h∩kはc,c',eである」が何を言っているのかわからない. c が e が h の元であるならこの文章自体がおかしい. よしんば「c,c',eである」を「{c,c',e} である」と解釈しても, 今度は「h や k の選び方によらず h∩k は (たかだか) 3つの元からなる」と主張していることになって, それはやっぱりおかしい. 2. 「部分群h,kに群gの演算が成り立ったように、この群にも群gの演算が成り立つ」の部分, 後半の「この群」は何を指している? もし h∩k を意味するのだとしたら, この時点で「この群」と書くのは論理的におかしい (h∩k が群となることを示せというのが問題の本質であり, この時点ではまだ群となることを証明していないのだから「群」と書いてはいけない). 一方「この群」が指すものが h∩k ではないとするなら, それがなんなのか明示する必要がある. 3. 「元cには逆元が存在している」という文章で何を言いたいのかわからない. これは上の 2 とも絡むのだが, 2 で「この群」が h∩k を意味するのだと (論理的にはおかしいのだが仮にそのように) したら, 「元cには逆元が存在している」というのは当たり前のことであってわざわざ言わなければならないようなことではない. もうちょっと突っ込んでおくと, 例えば「また、群の公理から、~となる単位元、逆元が存在する。」のところも x や x', e が何を指すのかきちんと書いておかないとまずいし, そのあとの「a,a',c,c',eがhに含まれ、b,b',c,c',eがkに含まれることになる。」でも a' や b', あるいは e がなんなのかわからない. さらに, 厳密にいうと「ここで、a,cがhに含まれ、b,cがkに含まれるものとする」もまずい. このように書くと h∩k が空になることはないと保証していることになる (そして実際空になることはあり得ないのだ) が, その理由がどこにも書かれていない. あと, h や k が 1要素であるという場合を無視してしまっている.