質問: x ⊔ y となるので,(1) を利用すれば r\q と r の間の全単射を作ることができる. だそうです。
回答: (2) > y = r\(x ∪ q) とおくと、 r = (x ∪ q) ⊔ y , r\q = x ⊔ y は了解したのだろうか? (1)より |x∪q| = |x| なのだから、x∪q と x の間には全単射が存在する。 r の各元について、x ∪ q の元には x の元をその全単射で、 y の元はそのまま同じ元を対応させれば、それは (x ∪ q) ⊔ y から x ⊔ y への全単射になっている、 すなわち、|r| = |(x∪q)⊔y| = |x⊔y| = |r\q|. 非交和が登場するのは、x⊔y は x と y をそれぞれ数え上げれば、 両者の数え方に重複はないことによる。x∪y だと、そうはいかないから。