質問: 数学iii 色々な曲線 問題 双曲線c1:xy=1 双曲線c2:x^2-y^2=1 についてc2を原 数学iii 色々な曲線 問題 双曲線c1:xy=1 双曲線c2:x^2-y^2=1 についてc2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、c1となることを示せ。 c1とc2を極方程式に表す事はできましたが、 そのc2の極方程式のrを√2倍、θをπ/4増えると考えて、(√2)^2cos2(θ+π/4)=1としました。 なぜr/√2とθ−π/4とするのか分かりません。 よろしくお願いします。
回答: 双曲線c1:xy=1__1 双曲線c2:x2-y2=1__2 についてc2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、c1となることを示せ。 極座標にすると、x=r cosθ,y=r sinθを12に入れて 双曲線c1:r2cosθsinθ=1__3 双曲線c2: r2cos2θ-r2sin2θ= r2(cos2θ-sin2θ)= r2cos2θ=1__4 ここでr=r1/√2,θ=θ1−π/4__5という変換を行い、4に入れると (r12/2)cos(2(θ1−π/4)=(r12/2)cos(2θ1−π/2)=(r12/2)sin(2θ1) =r12sinθ1cosθ1=1__6 6は3のc1と同じ形の方程式だから、c1の図形を示します。5を逆に解くと。 r1=√2 r、θ1=θ+π/4__6 となり、5の変換後のr1は変換前のrの√2倍になっていて、変換後のθ1は変換前のθよりπ/4増えています。