質問: 重積分の変数変換後の積分範囲が知りたい \int \int y^4 dxdy d: x^2+y^2<=4, x>=0, y=>0 という問題に取り組んでいます。 まず積分範囲を図示すると、 半径2の円で、第一象限の部分のような形になりました。 次にx=rcosθ, y=rsinθとしてr,θの積分範囲を求めました。 するとr^2<=4, rcos>=0, rsin=>0となり、 それぞれの不等式から 0<=r<=2, 0<=θ<=π/2 と考えました。 しかし、検算としてwolframalphaへ式を入力すると、 まったく違った不等式が出力されました: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28rcos%28%5ctheta%29%29%5e2%2b%28rsin%28%5ctheta%29%29%5e2%3c%3d4%2c+rcos%28%5ctheta%29%3d%3e0%2crsin%28%5ctheta%29%3d%3e0 最終的にr, θを用いて重積分を解きたいため、 変数変換後の積分範囲が知りたいです。どのように求めればよいでしょうか? ご教授よろしくお願いいたします。
回答: 積分範囲は 0<=r<=2, 0<=θ<=π/2 で自明。これがわからなければ何も言うことは無い。 ただ、wolframalphaへは、繰り返しになる解を出すようなので、θの範囲を指定する必要がある。 0<=r<=2, cos(θ)>=0, sin(θ)>=0, 0<=θ<=2π https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3c%3dr%3c%3d2%2c+cos%28%ce%b8%29%3e%3d0%2c+sin%28%ce%b8%29%3e%3d0%2c+0%3c%3d%ce%b8%3c%3d2%cf%80⟨=ja r≧0 だから、cos,sin前のrは不要。