質問: この問題とき方を教えてください。 δabcで、sina:sinb:sinc=7:5:3のとき、面積は15√3 です。3辺を求めなさい。と問題にはあります。
回答: 御答えしますね。 ゆっくり、図を書きながら読んでみて下さい。 頂点bから辺acに下ろした垂線の長さをhとおきます。 同様に、頂点cから辺abに下ろした垂線の長さをhとおきます。 そうすると、 sina=h/ab、sinb=h/bc、sinc=h/bc sina=h/ac と、表せます。 条件より、sina:sinb:sinc=7:5:3なので、 sina:sinc=h/ab:h/bc=7:3 この式の両辺にab・bcをかけて、ab:bcの比を求めると、 bc=ab=7:3 とわかります。 同様に、 sina:sinb=sina=h/ac:h/bc=7:5 より bc:ac=7:5 とわかります。 ここで三辺を比で表してみると、 bc:ac:ab=7:5:3 になるので、 bc=7x、ac=5x、ab=3x (x>0)とおくことにします。 次に、三辺の関係が分かったので、ここでヘロンの公式を使います。 ヘロンの公式という便利な公式は覚えておくと便利です。 私も高校生の時には、お世話になりました。 ■ヘロンの公式について(参考urlより) 三角形の三辺の長さa、b、c が分かっている時、三角形の面積sは、 r=(a+b+c)÷2 とおくと s=√{r(r-a)(r-b)(r-c)} と表せます。 この問題でヘロンの公式を使うと、次のようになります。 r=(3x+5x+7x)÷2=15x/2 s=√{r(r-3x)(r-5x)(r-7x)} ={15・(xの2乗)/4}・√3 となり、 ここで、条件より面積は15√3 なので、 {15・(xの2乗)/4}・√3=15√3 (xの2乗)=4 ∴x=2(x>0) これを bc=7x、ac=5x、ab=3x に代入して bc=14、ac=10、ab=6 とわかります。 (終了) 参考url:http://yosshy.sansu.org/heron.htm