質問: 実定積分の求め方が解りません!! 実定積分の求め方が解りません!! 問:a>|b|>0を満たす実定数a,bに対して、∫1/a+bcos(θ)dθ を求めよ。(積分範囲は0~2π) この問題が解けません。z=exp(iθ)としてやってみたのですが、うまくいきません。コーシーの積分公式を使うらしいのですが...。どなたか教えていただけませんか?!
回答: 初等的にやろう。ほとんど高校範囲 (ちょっとハミ出すけど)で計算できる。 三角関数を含んだ分数式の積分の定石どおり u = -1/tan(θ/2) と置いたあと、 変形して出てきた式を睨んで w = u・√((a+b)/(a-b)) と置きなおせば、 ∫[θ=0→2π] dθ/(a + b cosθ) = ∫[u=-∞→+∞] 2du/((a+b)u↑2 + (a-b)) = (2/√(a↑2 + b↑2)) ∫[w=-∞→+∞] dw/(1 + w↑2) と変形できる。 最右辺の積分の値は、 w = arctanφ で置換すれば、 (π/2) - (-π/2) と解る。