質問: 高一 数学 三角関数 問一 三角形abcにおいて、ab=3、ca=4、角b=2x、角c=xとする。 このとき、次の値を求めよ。 (1)cosx (2)sinx (3)bc 問二 0≦x<2πのとき、次の関数の最大値、最小値、またそのときのxの値を求めなさい。 (1)y=sin2乗x+2√3sinxcosx+3cos2乗x (2)y=3sin2乗+4sinxcosx-cos2乗x ちなみに、答えは 問一の(1)2/3 (2)√5/3 (3)7/3 問二の(1)maxは4(x=π/6と7π/6) minは0(x=2π/3と5π/3) (2)maxは2√2+1(x=3π/8と11π/8)、minは-2√2+1(x=7π/8と15π/8) となっています。どうすれば、このような答えを導けるかできるだけ早く回答願います。
回答: 時間がないので問一だけ...結構いやらしい問題じゃないかと思います。 (1) bc=aとおきます。 (また、今回はほとんど使いませんが、cosx=kとおくと、cos2x=2k^2-1です。) さて、素直に余弦定理で解こうとすると、 9=16+a^2-8ak 16=9+a^2-6a(2k^2-1) の連立方程式を解くことになりますが...これはちょっと面倒くさそうですね。 そこで、別のアプローチを考えます。 aから辺bcに垂線ahを引きます。 すると、ah=3sin2x=4sinx、と比較的素直な値で出てくれます。 加法定理から、3sin2x=6sinxcosxですから、 6sinxcosx=4sinx xは3角形の一角なので、x>0です。両辺をsinxで割れ、 cosx=2/3となります。 (2) sinx=(1-cos)^1/2ですね。 素直に演算して、(√5)/3。 (3) 余弦定理から求めようとすると、これまた変なことになります。 最初の垂線を利用しましょう。 bc=3cos2x+4cosxです。 cosx=2/3ですから これを利用。 bc=3(2k^2-1)+4k =7/3、となります。 余弦定理だと変数が2つになり、計算がややこしいので、変数が一つだけになるように工夫しよう、という問題でした。