質問: 数学 54番 こういう問題どうやったら解けるんですか? こたえはもうあるのでわかるのですが初見でわか 数学 54番 こういう問題どうやったら解けるんですか? こたえはもうあるのでわかるのですが初見でわかりません。青茶にもないです
回答: 一番簡単なのは、その角を切り取った立体の 正体を知っていることなんだけど... 有名な話だからね。 答えを知らなければ、絵を書いて数える。 角を切り取った多面体の図を正確に書かなくても、 正十二面体の絵がある程度判るように書けていれば、 角を切り取ったらどうなるか考えることはできる。 正十二面体を知らない? だとすると、ちょっと厳しいかな。 各面が 5角形で、ひとつの頂点に面が 3枚づつ集まる ことさえ知っていれば、写真の問題を解くことができるけど。 それさえ知らなければ... 正m角形がひとつの頂点にk枚づつ集まって正n面体をなす とすると、頂点の数が mn/k, 辺の数が mn/2 になるので、 オイラーの多面体定理より mn/k - mn/2 + n = 2. n = 12 のとき、代入整理すると (3m - 5)(k - 2) = 10 となる。 この式を満たす整数 m, k は (m,k) = (1,-3), (0,0), (5,3), (2,12). この中で、図形的に意味を持つものは (m,k) = (5,3) だけである。 さて、正十二面体の 各面が 5角形で、ひとつの頂点に面が 3枚づつ集まる ことを使うと、正十二面体から角を切り取った立体は、 面の数 = 正十二面体の頂点の数 = 5・12/3 = 20, 辺の数 = 正十二面体の辺の数 = 5・12/2 = 30, 頂点の数 = 正十二面体の面の数 = 12 と解る。