質問: 微分方程式 xy'=y+√(x^2+y^2)という微分方程式を誰か解いてください。 たぶん変数分離形で解くと思うのですがどうしても答えと合わないんですよ。誰かお願いします。 ちなみに回答は y=(c^2*x^2-1)/2c (c:積分定数) です。
回答: 与式の両辺をxで割ると下式(1)が得られます。 y'=(y/x)+√(1+(y/x)^2)---(1) ここで、z=y/xとおくと、y=xzより、y’を計算し代入すると式(2)が得られます。 z+x・z’=z+√(1+z^2) x・z’=√(1+z^2) z’/(√(1+z^2))=1/x---(2) 式(2)の両辺を積分し、積分定数をaとすると式(3)が得られます。 log|z+√(1+z^2)|=logx + a.---(3) 式(3)からlogを外し、積分定数e^a=cとおくと、式(4)(5)が得られます。 z+√(1+z^2)=cx---(4) √(1+z^2)=cx-z.---(5) (5)の両辺を2乗し、z=y/xを戻すと、 1+z^2=c^2・x^2 -2cxz +z^2 1=c^2・x^2 -2cy. ∴y=(c^2・x^2-1)/(2c).