質問: 数aの問題です 【問題】 平面上にn本の直線をひいたときに、直線によって分けられる部分のうち、 面積の有限な部分の個数をf(x) 面積の無限な部分の個数をg(x) とする ただし、どの2本の直線も平行ではなく、どの3本の直線も1店で交わることはないものとする f(n+1)、g(n+1)をそれぞれn、f(n)、g(n)を用いて表し、それを用いてf(6)、g(6)の値をそれぞれ求めよ 私はこれを、n=4までを図示してf(x)、g(x)の数をそれぞれ数え、 「よって、f(n+1)=f(n)+n-1、g(n+1)=g(n)+2と推測できる」 としてf(n+1)、g(n+1)を求め、n=4までは具体的に図で個数を数えたので f(6)=f(5)+4={f(4)+3}+4=6+4=10 (g(6)も同様) として求めました。 答えは合っていますが、記述式の問題だと「推測できる」としてはっきり根拠がないので満点はもらえないでしょう。 もしこの解答の補足をするならどのようにすべきでしょうか? よろしくお願いします;
回答: 推測だけで終わる訳にはいきませんから、 理由を簡単に書いておくとよいです。 n 本めの直線は、それまでの n-1 本の直線との 交点によって、n-2 本の線分と 2 本の半直線とに分割されます。 半直線は、面積無限の図形を 面積無限の図形 2 個に分割します。 線分は、面積有限の図形を 面積有限の図形 2 個に分割するか、 面積無限の図形を 面積無限の図形 1 個と面積有限の図形 1 個に 分割するかのどちらかです。 以上により、n 本めの直線を引くことで、 面積無限の図形は 2 個、 面積有限の図形は n-2 個 増えることになります。 それを式で書けば、貴方の漸化式になりますね。