質問: 微分方程式について 微分方程式についての質問です。 (1) (y-√(x^2-y^2)dx-xdy=0 これを両辺x^2で割り、y=uxとおいて整理し解いた結果、私は y=xsin (log|x|+c) (c:任意定数) を導きました。しかし解答は、 y=xsin(※log|x|+c)(c:任意定数) (-はx>0、+はx<0のとき。y=±は特異解) (※はマイナスプラス、±の上下逆だと思ってください。) となっておりました。私はどうしても※の記号を付ける意味がわかりません。どなたかご教授の程、よろしくお願いします。
回答: >これを両辺x^2で割り、y=uxとおいて整理し解いた結果 x^2で割るのではなくxで割るんですよね? 元の式、√(x^2-y^2)をxで割る部分でxの符号による場合分けが必要になります。 x>0のとき x = √(x^2) です。 x<0のとき x = -√(x^2) です。 具体的にx=2やx=-3で考えてみると分かりやすいと思います。 ですから、x>0のとき (√(x^2-y^2))/x = (√(x^2-y^2))/(√(x^2)) = √(1-(y/x)^2) であり、x<0のとき (√(x^2-y^2))/x = (√(x^2-y^2))/(-√(x^2)) = -√(1-(y/x)^2) となるのです。 xの符号によって違いが出ることがわかりますか?