質問: 連続関数 以下の問いについて、f(0)を定義してr上で連続関数にできるかお答えいただきたい。 f(x)=(e^1/x)-1/(e^1/x)+1 lim f(x)=f(a) ならばx=aで連続というのは分かるのですが。 x→a
回答: lim[x→a]{f(x)} = f(a)ならばx=aで連続というのはあっているのですが、それ以前のlim[x→a]{f(x)}が存在する条件として、右極限と左極限が一致する必要があります。 具体的には lim[x→a+0]{f(x)} = lim[x→a-0]{f(x)} = α ならば lim[x→a]{f(x)} = α となりますが、 lim[x→a+0]{f(x)} ≠ lim[x→a-0]{f(x)} の場合にはlimlim[x→a]{f(x)}は存在しないと言うことになります。 今回の場合なら lim[x→+0]{f(x)}とlim[x→-0]{f(x)}をそれぞれ計算してみてください、 ポイントは f(x) = (exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1) = 1 -2/(exp(1/x)+1) と変形する事です。 結論から言うと、lim[x→+0]{exp(1/x)}とlim[x→-0]{exp(1/x)}が一致しないために上の式の左右からの極限は一致しません。 ですからf(0)をどう定義しても左右から0に近づいたときのどちらか一方では不連続になります。