質問: 量子力学の問題(期待値を求める) 量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。 問題 ポテンシャルv(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=t0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。 ψ(x,to)=cexp(-ax^2+ibx) (a,b,cは正の実数) このとき、 (1)t=toにおける位置の期待値 (2)t=toにおける運動量の期待値 (3)時刻tにおける位置の期待値 (4)波動関数ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式 を求めよ。 解答 (1)<ψ(x,to)*| x |ψ(x,to)> =∫[-∞,∞]cexp(-ax^2-ibx)・x・cexp(-ax^2+ibx)dx =c^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx を計算して答えが0になりました。(この積分を直接計算できませんでしたが、被積分関数のグラフを考えると原点対象だったので、-∞から∞に積分して0になるだろうと考えました。) (2)<ψ(x,to)*| -ihd/dx |ψ(x,to)> =... =hbc^2∫[-∞,∞] exp(-2ax^2)dx =hbc^2×√π/√(2a) (最後の積分でガウス積分の公式を使いました。) (3)ハミルトニアンが時間に依存しないので、時刻tにおいて波動関数ψは ψ(x,t)=ψ(x,to)exp(-iet/h)=cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iet/h) とおける。従って求める期待値は、 <ψ(x,t)*| x |ψ(x,t)> =∫[-∞,∞]cexp(-ax^2-ibx)・exp(iet/h)・x・cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iet/h)dx =c^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx =0 (結局(1)と同じ) (4)(-h^2/2m(d^2/dx^2)-gx)ψ(x,t)=ihd/dtψ(x,t)
回答: 解き方と答えは多分問題ないでしょう。 2箇所ほど修正。 1.何箇所かに見られる表記の間違い。 <ψ(x,to)*| x |ψ(x,to)> ではなく <ψ(x,to)| x |ψ(x,to)> です。*(複素共役)をつけるのは積分表示をする場合でありブラ・ケット表示ではつきません。 2.波動関数の時間tを含む表現 ψ(x,t)=ψ(x,to)exp(-iet/h)=cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iet/h) 右二つの表記についてはtではなくt-toとなります。toが"0"であれば上の表記となりますがそうとは限りません。最後の結果は変わりません。