質問: f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24 f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24 g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120 (1)すべのxについてf(x)>0を示せ。 (2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。 これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。 よろしくおねがいします。
回答: f(x) > 0 は結構難しいと思います(結果を見ると簡単に見えますが)。f ' (x) の因数分解も面倒です。 f(x) = x^4 + x^3 + (1/2)*x^2 + (1/6)*x + 1/24 = x^2*( x + 1/2 )^2 + ( x/2 + 1/6 )^2 + 1/72 > 0 f ' (x) = 4*x^3 + 3*x^2 + x + 1/6 = 4*( x - a )*{ ( x - b )^2 + c } a = ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 - 1/4 = -0.3808・・ b = - { ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 + 1/2 }/2 = -0.1845・・ c = s^2/192 + ( √3/96 - 1/64 )*s + 1/32 = 0.0753・・ > 0 s = ( 9 + 6*√3 )^(1/3) = 2.686・・ より x < a のとき f ' (x) < 0 x = a のとき f ' (x) = 0 x > a のとき f ' (x) > 0 したがって f (x) はただ1つの極小点 f(a) を持つ