質問: ブリュアンゾーンの物理的な意味 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。
回答: 逆格子空間の物理的意味をイメージで考えるため、ブロッホ波を考えます。 周期ポテンシャル中の電子の波や、周期的な屈折率分布をもつ媒質中の電磁波などは、ブロッホ状態となりますよね。その波数kは一般に、ある周期的な任意性を持っています(ただし、ブロッホ状態の波数kの逆数の2π倍が、波長λとはならないことに注意)。その「"周期"を格子として考えよう」というのが逆格子ですよね。よって、波数kは逆格子の格子定数の整数倍の任意性を持つ、と話を持ってくることができますね。ならば、ブロッホ波動のある特性を計るとき、全ての波数を計算しなくても、任意の波数kは、ある一つの逆格子の単位格子の中に、逆格子の格子定数の整数倍引く事によって全て還元できます。この原点を中心とした、逆格子の単位格子をブリユアンゾーンといいます。例を考えたほうが、わかりやすいかもしれません。 例:逆格子の格子定数を1として、0,1,2,...,10の座標のような逆格子を考えます。ある、5.8という波数(規格化して単位を省略します)は、3.8でも、9.8でも同じですので、当然、0.8にも還元してくることができます。ならば、0~1の範囲をブリユアンゾーンと考えれば、便利ですよね(本来は原点を中心としますが、イメージを掴みやすく考えました・・・)。 実空間の格子が直角で定義(もしくは一次元)されていればその格子定数をaとして、逆格子の格子定数は2π/aとなります。 ここで、格子振動を考えた時の波数の周期性は、計算すると2π/aとなることがわかり、これは逆格子の格子定数に他ならず、ゆえ、-π/a~π/aをブリユアンゾーンとしているのではないでしょうか。 注:逆格子ベクトルの大きさを、簡単に、"逆格子の単位格子の大きさ"と表現しました。 注:イメージであり、また、俺は物理学科でないので、厳密性を欠いてるかもしれません・・・。