質問: 数学の問題がどうしても分かりません!! 空間ベクトルの問題で途中までしか本当に分かりません!! どなたか解説をお願いします!!(答えしかなく解説がない) 問い) oを原点とする座標空間内に3点a(4,0,2a)、b(0,1,b+2)、c(2,1,-2)があり、4点o,a,b,cは同一平面上にあるとする。 このとき、実数m,nを用いて ocベクトル=moaベクトル+nobベクトルとあらわされる。 よってm=(イ)分の(ア)、n=(ウ)となり、bはaを用いてb=-a-(エ)とあらわされる。 (1)abベクトルとocベクトルが垂直であるとき a=(カ)分の(オ)である。 (2)三角形oabの面積sはaを用いて s=√(キ)a^2+(クケ)a+(コサ) (√は全部にかかる) よって、sはa=(セ)分の(シス)、b=(ツ)分の(ソタチ)のとき最大値(ナ)分の(テ)√(ト)である。 (答) ア=1 イ=2 ウ=1 エ=4 オ=1 カ=2 キ=5 クケ=16 コサ=20 シス=-8 セ=5 ソタチ=-12 ツ=5 テ=6 ト=5 ナ=5 よろしくお願いします!!!
回答: 以下、面倒なので、ベクトル記号などは書きません。 oc=(2,1,-2), oa=(4,0,2a), ob=(0,1,b+2)なので、 (2,1,-2)=m(4,0,2a)+n(0,1,b+2)となり、各成分を比較して、 2=4m, 1=n, -2=2am+n(b+2)となるから、この連立方程式を解くと、 m=1/2, n=1, b=-a-4となる。 (1) ab=(-4,1,b+2-2a)=(-4,1,-3a-2)、oc=(2,1,-2)で、abとocが垂直のとき、 内積=0だから、-8+1-2(-3a-2)=0で、これを解いて、a=1/2 (2)s=(1/2)√{oa^2ob^2-(oa・ob)^2}[←公式です]なので、 oa、obに各成分を入れて計算すると、ルートの中は、20a^2+64a+80となる。 ルートに掛かっている1/2をルートの中に入れると、s=√(5a^2+16a+20)となる。 ルートの中を平方完成すると、5a^2+16a+20=5(a+8/5)^2+36/5となるので、 これは、a=-8/5のとき最小値をとるから、その最小値は√(36/5)=(6√5)/5である。 [↑最大値ではなく最小値ですよね]