質問: 位相の問題です。 位相の問題です。 (x,q)、(x,q'):位相空間 x×y={(x,y)|x∈x,y∈y} qx×y:=u×v{u∈q,v∈q'の形の任意個のx×yの部分集合の和集合} ここで (x×y,qx×y):位相空間になることを示せ。 わかる方いましたらよろしくお願いいたします <(_ _)>
回答: 1) x∈q,y∈q'→x×y∈qx×y φ∈q,φ∈q'→φ×φ=φ∈qx×y 2) {∪_{λ∈λ_1}(u1_λ×v1_λ),∪_{μ∈λ_2}(u2_μ×v2_μ)}⊂qx×y とすると u1_λ∩u2_μ∈q , v1_λ∩v2_μ∈q'だから ∪_{λ∈λ_1}(u1_λ×v1_λ)∩∪_{μ∈λ_2}(u2_μ×v2_μ) =∪_{λ∈λ_1,μ∈λ_2}{(u1_λ∩u2_μ)×(v1_λ∩v2_μ)}∈qx×y 3) {∪_{μ∈λ_2}(u_{λ,μ}×v_{λ,μ})}_{λ∈λ_1}⊂qx×y とすると ∪_{λ∈λ_1,μ∈λ_2}(u_{λ,μ}×v_{λ,μ})∈qx×y (x×y,qx×y)は位相空間になる