質問: 四次元球体と三次元球面のイメージについて 素人なりに四次元球体と三次元球面のイメージをしているのですが、合っているか回答お願いします。 まず次元を一つ落として通常の三次元球体を考えて、それを端から輪切りにしていき、スライスされた面を見ていくと、 最初は点であり、そこから徐々に大きな円になっていき、半分まで来たところで円の面積が最大になり、そこからは逆に減少に転じて、最後はまた点になる。 そして二次元球面とは、そのスライスされた個々の円の円周を足し合わせたもの。 その考え方を四次元球体に当てはめると、 四次元球体を(三次元的に)スライスされたものを見ると、端は点であり、そこから徐々に三次元球体が大きくなっていき、半分まで来たところで三次元球体の体積が最大になり、そこからは減少に転じて最後は点になる。 そして三次元球面とは、(三次元的に)スライスされた個々の三次元球体の二次元球面を足し合わせたもの。 そして五次元以上の球体でも、各数を上げて考えれば良い。 以上の様に考えているのですが、正しいでしょうか? 回答宜しくお願いします。
回答: 四次元球のイメージだけでいいんですか。 二次元の面積、三次元の体積を拡張した体積(四次元量)を求めるとか。 四次元球体を三次元的にスライスされたものを足し合わせたら四次元の 体積になります。(積分ですね。) (また三次元立体に表面積があるように、四次元では表体積があります。) ほかに立方体や正二十面体を拡張した四次元の超立体はどうなるかとか。 半径rの四次元球体積は π^2 r^4 /2 高次元の球で、体積に 二次元・三次元はπ、 四次元・五次元はπ^2、 六次元・七次元はπ^3 計算上出てきて、不思議です。 正多面体を四次元で複数組み合わせてできる立体の一例、 立方体を八個で正八胞体。 ↓参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%e8%b6%85%e7%90%83%e3%81%ae%e4%bd%93%e7%a9%8d https://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%a4%9a%e8%83%9e%e4%bd%93