質問: 平面ベクトルと図形 平面上に△abcがあり、ab=5.bc=aとする。∠bの二等分線が辺acと交わる点をd.辺bcを5:2に内分する点をe.bdとaeの交点をf.cfの延長とabの交点をgとする。(1)ベクトルae=〔ア〕ベクトルab+〔イ〕ベクトルacである。(2)ad:dc=〔ウ〕:〔エ〕であるから、ベクトルad=〔オ〕ベクトルacである。(3)ベクトルde=〔カ〕ベクトルab+ベクトルacであるから、de平行abとなるのはa=〔ク〕のときである。(4)ベクトルaf=〔ケ〕ベクトルab+〔コ〕ベクトルacである。(5)ベクトルcf=〔サ〕ベクトルcgである。(6)△abc=2△abfとなるのは、a=〔シ〕のときである。...という問題です。長々とすいません。本当に分からなくて困ってます。〔ア〕~〔シ〕までの回答をできれば解説つきでよろしくお願いします。
回答: 平面上に△abcがあり、ab=5.bc=aとする。∠bの二等分線が辺acと交わる点をd.辺bcを5:2に内分する点をe.bdとaeの交点をf.cfの延長とabの交点をgとする。 >(1)ベクトルae=〔ア〕ベクトルab+〔イ〕ベクトルacである。 辺bcを5:2に内分する点をeだから、 ae=(2/7)ab+(5/7)ac ...アイ >(2)ad:dc=〔ウ〕:〔エ〕であるから、ベクトルad=〔オ〕ベクトルacである。 ∠bの二等分線が辺acと交わる点をdだから、 ad:dc=ab:bc=5:aより、ad=(5/(5+a))ac ...ウエオ >(3)ベクトルde=〔カ〕ベクトルab+[キ]ベクトルacであるから、de平行abとなるのはa=〔ク〕のときである。 de=ae-ad =(2/7)ab+(5/7)ac-(5/(5+a))ac =(2/7)ab+{(5/7)-(5/(5+a))}ac =(2/7)ab+((a-2)/(5+a))ac ...カキ de平行abとなるには、de=(2/7)abとなればいいから、 (5/7)-(5/(5+a))=0になれば良い。 よって、a=2 ...ク >(4)ベクトルaf=〔ケ〕ベクトルab+〔コ〕ベクトルacである。 a,f,dは1直線上にあるから af=kaeとおく af=(2/7)kab+(5/7)kac ......(1) b,f,dは1直線上にあるから bf=lbdとおく af-ab=l(ad-ab) af=lad+(1-i)ab =(1-i)ab+l×(5/(5+a))ac ......(2) (1)(2)より係数を比較すると (2/7)k=1-i,(5/7)k=l×(5/(5+a)) これを解いて、k=7/(7+a),l=(5+a)/(7+a) af=7/(7+a)ae ......(3)より、 af=(2/(7+a))ab+(5/(7+a))ac ......(4)...ケコ >(5)ベクトルcf=〔サ〕ベクトルcgである。 c,f,gは1直線上にあるから cf=mcg,ag=nabとおく af-ac=m(ag-ac) af=mag+(1-m)ac =mnab+(1-m)ac (4)と係数を比較すると mn=2/(7+a),1-m=5/(7+a) これを解いて、m=(2+a)/(7+a),n=2/(2+a) よって、cf={(2+a)/(7+a)}cg ...サ >(6)△abc=2△abfとなるのは、a=〔シ〕のときである。 △abf=(1/2)△abc ......(5) be:ec=5:2より△abe=(5/7)△abc (3)より、△abf=7/(7+a)△abe だから、△abf=7/(7+a)×(5/7)△abc =(5/(7+a))△abc (5)と係数を比較すると 5/(7+a)=1/2 よって、a=3 ...シ 答えが違うとかなにかあったらお願いします。