質問: 教えて欲しいです。よろしくお願いします。
回答: jsh********さん 2021/1/22 3:14 1)y“-4y ́+4y=8x-12 特性方程式 λ2-4λ+4=0 を解いて λ=2(重解) 基本解 e^2x, xe^2x 特殊解を yp=αx+β と置き、原式に代入(未定係数法) α= β= (非同次式の一般解) = (同次式の一般解) + (非同次式の特殊解) y=(C1+C2x)e^2x +2x-1 2)y“-4y ́+5y=5x2-13x+16 特性方程式 λ2-4λ+5=0 を解いて 基本解 (e^2x)cosx, (e^2x)sinx 特殊解を yp=αx2+βx+ɤ と置き、原式に代入(未定係数法) α= β= ɤ= 一般解 y=(C1cosx+C2sinx)e^2x+x2-x+2 3)もはや自力で解ける 基本解 e^x, e^2x, e^3x 右辺は定数だから yp=(定数) -6yp=6より yp=-1 ◆定数係数二階同次線形微分方程式 y''+py'+qy=0 (p,q:実定数) 式を観察するとyは「微分しても形の変わらない関数」つまり指数関数であることがわかる。 y=e^λt とおき、原式に代入 λ2+pλ+q=0(特性方程式) λ=(-p±√D)/2=λ1, λ2 (D=p2-4q) ア)D>0のとき基本解 e^λ1x , e^λ2x 二階線形微分方程式だから一般解は、基本解の一次結合(重ね合わせ) 一般解 y=C1e^λ1x+C2e^λ2x イ)D=p2-4q=0のとき λ=-p/2 (重解) 基本解 e^λx , xe^λx *y=C(x)e^λx と置き、原式に代入。C(x)についての微分方程式を解けば、もう一つの解 y=xe^λx が出てくる ウ)D<0のとき λ={-p±i√(-D)}/2=α±βi=λ1, λ2 (複号同順) α=-p/2, β=(1/2)√(-D) 基本解 e^(α+βi)x, e^(α-βi)x 一般解 y=c1e^(α+βi)x+c2e^(α-βi)x (C1,C2:複素定数) オイラーの公式 e^ix=cosx+isinx を使う ={(c1+c2)cosβx+(c1-c2)isinβx}e^αx c2=c1* (c1の共役複素数)とする =(C1cosβx+C2sinβx)e^αx ただし C1= c1+c1* , C2=(c1-c1*)i (C1, C2 :実数の任意定数)