質問: 関数 観覧車は、ふつう、一定の速度で回転しています。いま観覧車の直径を60cm、1回転する時間を12分間とします。ゴンドラが真下を出発してからx分後の高さをycmとする。 1分 4cm、2分 15cm、3分 20cm、4分 45cm、5分 56cm、6分 60cm です。 次の問いに答えなさい。 1) yはxの関数といえますか。また、その理由を答えなさい。 2) ゴンドラの上昇と下降が急なのは、それぞれ何分地点か答えなさい。 図やグラフが書けなくてスミマセン。
回答: まず初めに3分は30cmではないでしょうか? そうでないとこの観覧車は3分付近で回転速度が不規則になったことになってしまいます!! 観覧車は円の軌道上を移動しているので、 y=asin(θ+●)+△のような形になります これは 観覧車の真横から水平に光を当てて、その先に鉛直に置かれたスクリーンに映った観覧車の影の動きを表す式です・・・円運動の影の動きを相手にするのがポイント!(・・・この影の動きを単振動といいます) ただしaは円の半径、またsinに続くカッコは 0分からx分までに回転した角度です(△は高さの補正を意味する) ゆえに今回はa=30 また、円の中心が高さの基準としておかないと考えづらいので30cmを高さの基準として、 乗降位置は円の中心から-30cmの高度、円軌道の最高点は円の中心から+30cmの高度だとみなします このようにみなすと、yは中心から測った高さです そして、与えられた 分とcmの関係になるためには θ+●=(π/6)x-(π/2)でないといけません! というのも 観覧車の円運動がかりに半時計周りで、円の中心から水平に右へ半径をのばしこの半径を角度の基準とします 位置乗降の位置(y=-30cmの位置)にある観覧車から中心へ引いた半径は、基準の半径から時計回りにπ/2ラジアンの位置になるので 0分の時(y=-30cmの位置で)の半径の角度を表したものが-π/2です・・・(参考)物理学的にはこれを初期位相といいます またこの観覧車は6分かけて 半回転=180度=πラジアン の移動をするので 1分当たりの回転角度がπ/6ラジアン(=30°)で、x分での回転角度は(π/6)xです ゆえに、x分での半径を基準の半径から測った角度が(π/6)x-(π/2)なのです ということで、y=30sin{(π/6)x-(π/2)}...1 ←←←参考 角度θの半径と円周の交点の高さは、y=sinθ(ただしθは基準の半径との角度) ここd、1は中心の位置を高度0としていますが本来の高度0は乗降の位置です! そのように補正するためには初めの基準の位置を30cm上方へずらす必要があるので(1が表すグラフをy方向へ+30cm平行移動すると) y=30sin{(π/6)x-(π/2)}+30...2 これがこの問題を示す関数であることがわかります ゆえに yはxの関数であることが言えました!! (試しにいくつか確認、x=0代入で y=30sin{(π/6)・0-(π/2)}+30=30sin{-(π/2)}+30=0 ・・・乗降の位置 x=4代入で y=30sin{(π/6)・4-(π/2)}+30=30sin(π/6)+30=45 x=6代入で y=30sin{(π/6)・6-(π/2)}+30=30sin(π/2)+30=60 与えられた数字と一致! です) 次に(2)です 鉛直方向への速度を調べる必要があるので 2を時間xで微分します すると、鉛直方向への速度=dy/dx=[30sin{(π/6)x-(π/2)}+30]' =30cos{(π/6)x-(π/2)}・{(π/6)x-(π/2)}' =30cos{(π/6)x-(π/2)}・(π/6) =5πcos{(π/6)x-(π/2)}...3 cosは-1の時が最小ですから➂が最小となるのは cos{(π/6)x-(π/2)}=-1となるときで このとき {(π/6)x-(π/2)}=π ⇔x=(3π/2)・(6/π)=9分地点 つまり 9分地点では 鉛直方向への速度=dy/dx=5πcos{(π/6)・9-(π/2)}=-5πで y軸の負の方向 つまり 下向きへの速度が5πで最大になるのが9分地点となります 同様に、cosは1の時が最大ですから➂が最大となるのは cos{(π/6)x-(π/2)}=1となるときで それは 同様に計算して {(π/6)x-(π/2)}=0 x=3 分 このときが上昇速度最大 このことから、今回のような円運動の影の動き(単振動)では影が反復運動をしますが 影の反復運動の中心(つまり円軌道の中心と同じ高さ)で速度最大になるということがわかります これは物理学を習うものなら常識として覚えておくべきことです そして、影が反復運運動で上昇している最中なら円軌道の中心と同じ高さになった時に上向きの速度(上昇速度)がmaxで上昇が最も急ということになりますし 反復運運動の下降中なら円軌道の中心と同じ高さになった時に下向きの速度(下降速度)がmaxで下降が最も急とになります これを知っていれば微分を用いるまでもなく 観覧車が乗降の位置と最も高い位置にくる中間の時間 x=3とx=9が(2)の答えとなることがわかるのです