質問: 二次形式x^2+y^2+4w^2+2xy-4xw+4yz-2yw-2zwの符号はどのように求めるのでしょうか?模範解答には(x+y-2w)^2+(y+z)^2-(y-z-w)^2+w^と書かれているのですが、こんな風に平方完成する方法が書かれておらず、かといって4 ×4行列を対角化するのも大変なので手詰まっています。
回答: 2次形式 f(x,y,z,w)=[x,y,z,w]A[x,y,z,w]^T, A は対称行列, の”符号”を求めよ、と言う問題に於いて、 1 ”標準形”も求めよ、となっていれば固有値が何とかして計算できる場合でしょう。 2 本問のように”符号だけ”を求めよ、と言う問題の場合は、固有値の計算が手計算ではできない場合もあります。この場合は何とかして平方完成するしか解決手段はありません。そのためのいろいろな工夫を教える大学もあるようです。例えば などに講義資料が置いてあります。 3 正値2次形式であることを示せ、と問われていれば、固有値計算も平方完成も不要であり、全ての固有値が正であることを示せばOKです。このためには、すべての「主小行列式」が正であることを言えばOKです。もちろん平方完成できればそれが最も簡単でしょう。 本問では2の場合であり、しかも固有値が手計算では不可能と考えられます。従って「平方完成」しか解決方法はありません。解答例に示されている (x+y-2w)^2+(y+z)^2-(y-z-w)^2+w^ を自力で発見するしかないようですね。