質問: 1,2,3,4)が同一の円周上にあるための条件を求めよ。』 という問題についてです。 この問題の解説にこう書かれています。 .................. 4点が円周x^2+y^2+2gx+2fy+c=0上にあるとすると x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0 x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0 x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0 x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0 これを1,2g,2f,cが非自明解であると考えると、係数行列式が0. すなわち、係数行列をaとすると、条件はdeta=0 .................. とあるのですが、何故、求める条件がdeta=0となるのかが理解できません。 同次連立1次方程式ax↑=o↑が非自明解をもつための必要十分条件が、 deta=0であることは分かっているのですが・・・。
回答: >4点が円周 x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 (0) 上にあるとすると x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0 (1) x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0 (2) x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0 (3) x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0 (4) 4点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)が円(0)上にある条件が(1)~(4)であり、未知数は g,f,cの3個です。従って(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が直線状にない限り (1)-(3)によってg,f,cは決まります。 これは与えられた3点を通る円が一義的に決まることに対応しています。 この問題のポイントは点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る円cが第4の点(x4,y4)を通るための条件 を求めているということです。つまり(x4,y4)が逆に条件を付けられているわけです。 つまり(x4,y4)が未知数です。これは3点で決まる円上に第4の点が乗る条件です。 以上の議論で点(x4,y4)を特別扱いしましたが、3点(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)を通る円c’上に 点(x1,y1)が乗る条件としても結果は全く変わらないはずです。 そのような観点から条件を見直してみると結局「1,2g,2f,cが非自明解を持つ」条件に還元される ということです。