質問: r^n∋a_1,a_2,...はσ[k=1..∞]λ^*(a_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_kはlebesgue外測度0? よろしくお願い致します。 a_1,a_2,...をσ[k=1..∞]λ^*(a_k)<∞を満たすr^nの部分集合とせよ。 (ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_kがlebesgue外測度0を持つ事を示せ。 (イ) これはlebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。 という問題です。 (ア)について lebesgue外測度の定義からλ^*(a_k)=inf{σ[i=1..∞]|i_i|;a_k⊂∪[i=1..∞]i_i}...(1) (但しi_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×...×[a_n,b_n])と書け, 題意よりσ[k=1..∞]λ^*(a_k)<∞なのでλ^*(a_k)<∞と分かる。 それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k)=inf{σ[i=1..∞]|i_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i} から先に進めません。 λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k)=σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]a_k)なんて変形もできませんよね。 どのすれば=0にたどり着けますでしょうか? (イ)について 答えは多分yesだと思います。 lebesgue可測集合はl:={e∈r^n;e⊂uでinf{λ^*(u\e);uは開集合}=0}の元の事ですよね。 なのでlebesgue測度は制限写像λ^*|l:=μと書けますよね。 それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k∈lを示せば(ア)からlebesgue測度0が言えると思います。 今,(ア)より inf{σ[i=1..∞]|i_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i}=0 と分かったので 0=inf{σ[i=1..∞]|i_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i} =inf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)∪bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)∪bd(i_i)} (但しbd(i_i)は境界点) =inf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)|+|bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)∪bd(i_i)} (∵||の定義) からinf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)} となればi_i\bd(i_i)は開集合になので inf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)}=0が言え, ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k∈lも言え, μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k)=0(∵(ア)) となりおしまいなのですが inf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)|+|bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)∪bd(i_i)} から inf{σ[i=1..∞]|i_i\bd(i_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]a_k⊂∪[i=1..∞]i_i\bd(i_i)} となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?
回答: 数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。 面倒なので外測度を単にλで表します。 仮定はσλ(a_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和 s_n=σ[k=1,..,n] λ(a_k) がコーシー列、よって 任意のε>0に対してnが存在し、n≧nならば σ[k=n,...,∞] λ(a_k)<ε ということを言っているわけです。 問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] a_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したnをとってきます。このとき λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] a_k)≦σ[k=n,..,∞] λ(a_k)<ε となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号n'をとっても問題の集合はn'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] a_k)=0でなければならないことを示しています。