質問: c2 . . . (a,b,c....は変数、k1,k2...,c1,...は定数) といった式で表現されます(実際には連立16元方程式)。 この連立方程式を近似的に解きたいのですが、こうした形式の連立方程式を、連立微分方程式に近似するような数値計算的方法やアルゴリズムがあればご教授ください。他の数値計算法でも構いません。 newton-raphson法で正面からぶつかるのはやってみましたが、それだと計算量が大きすぎるのです。ひとつひとつの平衡式は単純なので、そのへんを活かして、うまく計算量を減らす工夫がないものかと思案しています。 参考書や論文、キーワード等糸口になりそうなものでも構いませんので、ご教授ください。
回答: そうですか、もうすでにmnewtは試されたと。では思いつくことを並べてみますが、ご存知の際はお読み捨てください。 「連立微分方程式に近似する」と聞いてピンと来るのは変分法です。汎関数の停留値を与えるように未知関数を定める方法で、有限要素法などでよくお世話になります。物理現象の汎関数は大抵現象のエネルギを表す式になっていますから、停留値を与える関数を求めることでエネルギ極小の状態、つまり自然界で実現されているであろう状態を求めるという寸法です。 汎関数を求めるのが困難な場合には、重みつき残差法(なかでもお勧めはガラーキン法)を使います。現象の支配方程式の偏微分方程式を作り、その残差平方和を零とおいて連立方程式を解くものです。 ま、現象がどうあろうと最終的にはax=bを解いてベクトルxを求める問題に還元できるわけですよね。とすると、そんなに選択の幅はないように思いますよ。連立方程式の解法は、直接法か反復法しかありません。(ちなみにlu分解は直接法です)それぞれに特徴があり、一般的に反復法の方がメモリも計算時間も少ないのですが、今回の問題では対角項に零がはいる可能性がありそうな気がするので、直接法をお勧めします。 あんまりいい回答ではなくて申し訳ありません。