質問: 円周について テレビの何かの番組で言っていたのですが、答えは聞かないままでした。判らなくて気になります。お教えください。 2つの同心円を描きます。それぞれの下部に接線を水平に引きます。そこで2つの同心円を1回転させます。つまり、車のタイヤとホイールの関係を考えてください。 はじめの接点から1回転したあとの接点の距離はそれぞれの円の円周となるはずです。ところがホイルの方の円は小さいのでタイヤの円周より短くあるべきなのに1回転した点から点の長さは同じ長さの平行線です。これはどう考えればよいのでしょうか。数学の苦手な私に判るようにお願いします。
回答: #2で回答したtcmでございます。ホイールの下端接点がホイール上の点と対応しながらも実体のないものという観点から、#2の写像という回答を提示したのですが、現実から乖離しすぎてわかりにくいので、今回は物理的な回答をいたします。 まず、タイヤの半径をr、ホイールの半径をrとします。タイヤがほんの少し(微小角dθ)だけ回転すると、このタイヤはrdθだけ移動します。rdθは円弧の長さです。ここで気をつけないといけないのは、タイヤの中心も、ホイールの下端接点も、タイヤの下端接点もみんなrdθだけ移動するということです。それは、なぜか? 逆説的ですが、中心や接点はそのような点だからです。半径と円周を結ぶ直線はその接線と垂直ですからね。 そうすると、微小回転後にホイールの下端接点にやってきた点は、この回転によってrdθだけ移動してきたのですが、これではrdθにちょっと足りない。そう、その足りないrdθ-rdθ=(r-r)dθの分だけ横滑りして、今下端接点になっているのです。というわけで、半径上の任意の点の横滑り距離sは s=∫(r-r)dθ (積分範囲は0からφとする) =(r-r)φ となります。この式から、タイヤの中心(r=0)はrφだけ横滑りし、タイヤの下端接点(r=r)は横滑りなしということもわかります。いかがでしょうか?