質問: 複素関数 zを複素数とするとき、w=z^3により、z平面はw平面にどのように写像されるか。また、z=w^1/3のリーマン面を図示せよ。 という問題で、前半部分を教科書で調べたところ、w=z^3の逆関数w^3=zを満足するwをzの関数として解いていくのですが、どうしてこのような手順で解くのか分かりません。 また、後半部分は全く分からないので、どなたか教えてください。
回答: 前半) z=x+iy=r*exp(iθ)(r≧0) w=u+ivとおくと w=z^3=r^3*exp(i3θ) u=r^3*cos(3θ), v=r^3*sin(3θ) ∴u^2+v^2=r^6, v=u*tan(3θ) z面での円群x^2+y^2=r^2(rはr≧0なる任意定数)はw面における 円群u^2+v^2=(r^3)^2に写像されます。 またz面での直線群y=(tanθ)x(θは任意の定数)はw面における 直線群v=u*tan(3θ)に写像されます。 後半) >z=w^(1/3)のリーマン面を図示せよ。 リーマン面の立体図をここに図示するのは困難ですから 参考urlの色々な写像w=f(z)の図が載っています。最後の図がw=z^(1/3)の写像のリーマン面の立体図です。 (色々な他のリーマン面の図も併せてご覧いただくと役立つでしょう。) 参考url:http://www.mathworks.co.jp/products/matlab/demos.html?file=/products/demos/shipping_ja/matlab/cplxdemo.html