質問: 集合の濃度に関する質問です 可算無限集合aの濃度をα_0(アレフ0) r^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数) aの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?) ※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。 なので以下αはアレフと読むことにします。 このとき (1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと (2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと の2つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか? それとも2^α_0=α_1なのでしょうか? 私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか?(つまり、α_1>2^α_0の可能性はない) 来年度に数学科2年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。 [補足] (1)については aが可算(自然数全体の集合nとの間に1対1かつontoな写像ができる)である一方で、rは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。(rとr^nの濃度が等しいことの証明は省略します) (2)については aの冪集合の濃度、つまり元の個数を、aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。 「aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させる」とは、 たとえば、a={1,2}であればaの冪集合の濃度(個数)は2^2=4個ですが、これを 0,22⇔φ(空集合) 0,12⇔{1} 0,21⇔{2} 0,22⇔{1,2} というように小数に対応させるということです。 "大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。
回答: おっと, ch を前提にする必要はなかった>#1.