質問: ヤコビアン、dxdy=|j|drdθ=rdrdθの図の意味 直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に変数変換したとき、 dxdy=|j|drdθ=rdrdθ となります。 図では、 http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1202739784_1.gif となるようですが、 この図でどうして、 dxdy=rdrdθ と言えるのでしょうか?
回答: 面積素の長方形の面積は 縦×横 ですから xy座標では 縦がdy,横がdxで面積素ds=dxdy ですね。 極座標系では面積素の長方形の面積は 縦×横 ですが 縦をdrとすると微小円弧の横は rdθ=(半径)×(微小角[rad]) となることがお分かりになりませんか? ds=縦×横=dr×(rdθ) = r drdθ となるのです。 面積の単位は(長さ)^2 の次元を持ちます。 dθは弧度法でラジアンの単位がありますが、これは便宜上の単位で 無次元の単位(単位が無いこと)です。 つまり長さの次元を持っていません。 rdθで長さの次元をもつ微小円弧の長さになります。 このようにしっかりと角度の次元(度数法の°や弧度法のラジアン)は無次元の単位であることをしっかりと認識して置いてください。