質問: フーリエ展開 微分方程式の一般解 y''+y=f(x)という微分方程式の一般解を求める。 ただし、f(x)=x^2 (-π<x≦π) f(x+2π)=f(x)であるとする。 上記のような問題なのですが、まずf(x)をフーリエ展開すると、f(x)=π^2/3+4σ(-1)^n/n^2となりました。 この後、係数比較を行うために、yn=acosnx+bsinnxとおき、yn'+yn=4(-1)^n/n^2となり、aとbの値を求めることができました。 しかし、この問題の解答はy=c1cosx+c2sinx+(π^2/3)+2xsinx+4σ[2→∞]{(-1)^n/(1-n^2)n^2}cosnxとなるようで、四つ目の項の2xsinxの出所がよくわかりません。 4σ[2→∞]{(-1)^n/(1-n^2)n^2}cosnxの部分は、nが2以上のときの場合を表していて、π^2/3はn=0のときの場合を表している。つまり、2xsinxという部分はn=1のときの場合を求めているのではないかというところまで推測できたのですが、何故このような2xsinxという値が出てくるのかわかりません。 n=1のとき、1-n^2が0になってしまうため、別に求めなければいけないというのはなんとなくわかるのですが、上手く2xsinxの値まで辿り着きません。 長くなりましたが、この問題についてわかる方、ご教授お願いします。
回答: y のフーリエ級数 y = (a_0)/2 + σ[n=1→∞]{ (a_n)cos(nx) + (b_n)sin(nx) } を 与式へ代入してみると、左辺の n=1 項は、a_1, b_1 の値によらず相殺して消える ことが確かめられます。 一方、右辺のフーリエ級数 x^2 = (π^2)/3 + 4σ[n=1→∞]{ (1/n^2)(-1)^n }cos(nx) は、 n=1 項の係数が 0 でありませんから、 y をフーリエ級数にして与式へ代入しただけでは、この微分方程式の解にはなりません。 単純にフーリエ級数を代入しても解けない方程式を、無理やり解くためのギミックとして、 ここでは x sin x を利用しています。 w = x sin x と置くと、w'' + w が cos x の定数倍となりますから、係数を上手く選んで y = z + 2w で変数変換すると、z'' + z = (π^2)/3 + 4σ[n=2→∞]{ (1/n^2)(-1)^n }cos(nx) となって、先ほど障害となっていた右辺の n=1 項が消えるのです。 あとは、z = (a_0)/2 + σ[n=1→∞]{ (a_n)cos(nx) + (b_n)sin(nx) } を代入して 係数比較すれば、解が求まります。 つまらぬ小細工です。もともと、a no.1 のようにすれば簡単に解ける方程式を、 明らかに筋の悪いフーリエ級数で解こうとするから、 フーリエ級数の代入では解けない方程式 y'' + y = x^2 を フーリエ級数の代入で解ける方程式 z'' + z = x^2 + 4 cos x にすり替える必要が生じたのです。 y'' + y = x^2 が素直にフーリエ級数で解けなかった元凶は、 解 y のフーリエ級数が -π