質問: 数列の極限の証明 「a1=a,b1=b,(a>b>0) a(n+1)=(an+bn)/2 b(n+1)=anbn^1/2 で定まる二つの数列{an},{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx(またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。(ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか? 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0<a<bより帰納的に0<an,0<bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=...=a1=a=b1=b となりa<bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)<a(n+1) となり、したがって bn<an...(*) となる。 すると an+bn<2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)<(1/2)*2an=an となる。 したがって0<anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=...=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0...(**) となる。 すると(*)と0<bnより 0<bn<an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。
回答: 仰るとおりです。 >a(n+1)=k*anを満たす1より小さい正の実数kが存在する これは確かですが、すべてのnについてkが一定だということは示されていないので、 >an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=...=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*aとなるから >lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0...(**)となる。 これが成り立ちません。 偉そうに言えることではないですが、 解答としては、リンク先のtsurugiya2000さんのものが最も適してるのではないかと思います。 「上に有界」「下に有界」などは高校の指導要領を逸脱していますが、高校範囲ではなくても十分だと思います。