質問: 両端で支持された棒の反力と角速度を・・・ 両端で支持された棒(長さl、質量m)の一端を急に外したとき、もう一端を中心に回転する。このときの角加速度と一端に作用する反力を教えてくださいm(_ _)m わかりにくいですけど、こんな感じです。 l← l →l l ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l △ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄△ ↑ ↓ ra mg ↓ l← l →l l ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l △ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ↑ ↓ ra mg
回答: (1) 棒の片端を軸とした慣性モーメントをi、棒が水平となす角をθ、重力加速度をgとしますと、回転の運動方程式は次のようにかけます。 iθ''=(l/2)mg*cosθ (θ''はθを時間tで2階微分したもの) ところで、棒の片端を軸とした慣性モーメントiは i=[x=0→l]∫(m/l)x^2・dx =ml^2/3 と求められますので、これを上の運動方程式に代入して、角加速度θ''を求めますと、次のようになります。 θ''=3g/(2l) cosθ ・・・・・・(a) (2) 先ず、準備として角速度θ'を求めておきます。 式(a)の両辺にθ'を掛けて積分すると、 θ'θ''=3g/(2l) (cosθ)θ' (1/2)θ'^2=3g/(2l) sinθ+c (cは積分定数) となります。 ここで、初期条件として、t=0のとき、θ=0、θ'=0であるとすれば、c=0となりますので、θ'^2は次のようになります。 ∴θ'^2=(3g/l)sinθ ・・・・・(b) さて、鉛直上向きにy軸をとり(原点は固定された片端の位置)、yを棒の重心の変位とすると、鉛直成分の棒の運動方程式は次のようになります。 my''=ra-mg ・・・・・(c) ただし、y=-(l/2)sinθ ここで、y''を求めると、 y''=(l/2){ (sinθ)θ'^2-(cosθ)θ'' } となりますので、これに式(a)、(b)を代入して、y''をθで表すと、次のようになります。 y''=(l/2){ (sinθ)(3g/l)sinθ-(cosθ)3g/(2l) cosθ } =(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 } ・・・・・(d) あとは、式(d)を式(c)に代入して、固定された一端の反力 ra を求めますと、 ra=mg+my'' =mg+m(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 } =(mg/4) { 9(sinθ)^2 +1 } と求められます。