質問: 三角関数 関数y=3cos^2θ-8snθcosθ+5sin^2θ(0≦θ≦π/2)の最大値、最小値を求めよ。 という問題なんですが 解説に =3-4*2sinθcosθ+2sin^2θ =3-4sin2θ+2*1-cos2θ/2・・・(1) =4-(4sin2θ+cosθ)・・・(2) =4-√(17)sin(2θ+α) ・・・ と書いてあるんですが (1)と(2)の変形はどうやっているんでしょうか? あと 積和の公式sinθcosθ=1/2{sin(θ+θ)+sin(θ-θ)}の sin(θ-θ)の部分はsin0になるんですがsin0=0でいいんでしょうか? 回答よろしくお願いします。
回答: 合成か、ちょつと考え難いところがあるので余り薦めない。 では、どうするか? (2)より、sin2θ=a、cos2θ=bとすると、a^2+b^2=1 ....(3) 又、0≦θ≦π/2より0≦2θ≦πであるから、0≦a≦1、-1≦b≦1 ....(4) y=4-4sin2θ-cos2θ=4-4a-bであるから、(3)と(4)の条件の下でb=-4a+4-y ....(5) の値の範囲を定めると良い。 (3)と(4)をab平面上に図示すると、(3)の円の右半分だから、最小となるのは(5)が点(0、-1)を通る時、即ち y=5. 最大値は、(3)と(5)が接する時であるから、原点と直線との距離の公式を使うと(判別式でも良い)y=4+√17である。このとき、a=4/√17. 以上から、5≦y≦4+√17。