質問: 長方形がいくつあるかを長方形の頂点から求める方法をノートにまとめたものの、なぜこの積の和が答えになるのかわかりません。どなたかご教授してください。
回答: 黄色の点は左上の頂点の位置を表しています 長方形ができないといけないので 左上が頂点である位置は ●――●――●――●――〇 |・・|・・|・・|・・| ●――●――●――●――〇 |・・|・・|・・|・・| ●――●――●――●――〇 |・・|・・|・・|・・| ●――●――●――●――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――〇――〇――〇――〇 黒丸の範囲です 白丸が左上の頂点とすると長方形ができなくなります ”積は”上の●の一つの点における長方形ができる数です 例えば 〇――〇――〇――〇――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――●――1――2――3 |・・|・・|・・|・・| 〇――❶――〇――〇――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――❷――〇――〇――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――❸――〇――〇――〇 上の場合は ノートの考え方だと 横の頂点が123と3個 縦の頂点が❶❷❸と3個 なので ●が左上の頂点の時、出来る長方形の数は9個だとわかります そう考えると それぞれの”左上の頂点●の時にできる長方形の数”が表されるので 16・12・・8・・4 ・・●――●――●――●――〇 12|・9|・6|・3|・・| ・・●――●――●――●――〇 ・8|・6|・4|・2|・・| ・・●――●――●――●――〇 ・4|・3|・2|・1|・・| ・・●――●――●――●――〇 ・・|・・|・・|・・|・・| ・・〇――〇――〇――〇――〇 それぞれを足すと 出来る長方形の数が求まります 確認お願いします ★別の考え方 当たり前ですが、答えは全く同じになります ノートでは縦横で考えていたのですが 対角線で求めても良いです 長方形であるためには 右下の頂点は 頂点左上の●の縦横の列・行にはない 〇――〇――〇――〇――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――●――〇――〇――〇 |・・|・・|・・|・・| 〇――〇――◉――◉――◉ |・・|・・|・・|・・| 〇――〇――◉――◉――◉ |・・|・・|・・|・・| 〇――〇――◉――◉――◉ ◉が右下が頂点の取りうる範囲なので 3×3=9 と求めることができます ★終わり