質問: この積分を教えてください。求めかたもお願いします。
回答: なかなか歯応えのある積分でした。 いくつかのステップに分けて説明いたしますね。 STEP1;反転置換と同形出現 x = 1/t と置換します。 (名付けるほどでもないのでしょうが、区間[0,∞]の積分でよく用いるので私は「反転置換」と読んでいたりします。) するとdx = -1/t^2 dt で、x:0→∞;t:∞→0 となるので、 与式 I = ∫[0,∞] t^7/(1 +t^5 +t^6 +t^11)dt となりますね。 積分変数tは何だっていいのでxに戻しておいて、元々の式 Iと足し合わせると 2I = ∫[0,∞] (x^2 +x^7)/(x^11 +x^6 +x^5 +1)dx この分母分子の式をよくよく見ると因数分解できますね。 = ∫[0,∞] x^2(x^5 +1)/(x^5 +1)(x^6 +1)dx 、約分して = ∫[0,∞] x^2/(x^6 +1)dx STEP2;ひたすら分解 さて分母が6次の式ですので因数分解しましょう。x2の3次式と見れば x^6 +1 = (x^2 +1)(x^4 -x^2 +1)ですから被積分関数は、 x^2/(x^2 +1)(x^4 -x^2 +1) ですね。 そしてこれを部分分数分解します。x2をXとでもおいておけば3元連立方程式の易しめの分解で、 x^2/(x^2 +1)(x^4 -x^2 +1) = (1/3) { (x^2 +1)/(x^4 -x^2 +1) -1/(x^2 +1) } となります。 ので積分は、 =(1/3)∫[0,∞] (x^2 +1)/(x^4 -x^2 +1) dx -(1/3)∫[0,∞] 1/(x^2 +1) dx で、 2項目は有名どころのArctanですね。 ∫[0,∞] 1/(x^2 +1) dx = [Arctan(x)][0,∞] = π/2 再び1項目の分母に注目すると、「複2次式」と呼ばれる因数分解のパターンが適用できますね。 x^4 -x^2 +1 = (x^2 +1)^2 -3x^2 = (x^2 -√(3)x +1)(x^2 +√(3)x +1) ですから1項目の積分は、 =(1/3)∫[0,∞] (x^2 +1)/(x^2 -√(3)x +1)(x^2 +√(3)x +1) dx 再びこれを部分分数分解します。 今度は4元連立方程式をうまく解いてやれば、 =(1/6)∫[0,∞] { 1/(x^2 -√(3)x +1) + 1/(x^2 +√(3)x +1) }dx STEP3;tan置換 ここまで持ってくれば比較的見慣れた2次の分数関数の積分ですので、平方完成して =(1/6)∫[0,∞] 1/{(x-(√3 /2))2 +1/4}dx + (1/6)∫[0,∞] 1/{(x+(√3 /2))2 +1/4}dx 先の項は、x-(√3 /2) = (1/2)tan(θ)と置換すると、 dx = (1/2)sec^2(θ) dθで、x:0→∞;θ: -π/3→π/2 となるので、 (1/6)∫[0,∞] 1/{(x-(√3 /2))2 +1/4}dx =(1/6)∫[-π/3,π/2] (1/2)sec^2(θ)/(1/4)(tan^2(θ)+1) dθ =(2/6)∫[-π/3,π/2] 1 dθ =(1/3)(π/2 + π/3) 同様にするとして、後ろの項はx+(√3 /2) = (1/2)tan(θ)と置換すると、 (1/6)∫[0,∞] 1/{(x+(√3 /2))2 +1/4}dx =(1/6)∫[π/3,π/2] (1/2)sec^2(θ)/(1/4)(tan^2(θ)+1) dθ =(1/3)(π/2 - π/3) 前後の項を合計すれば、キャンセルされてπ/3 が残りますね。 LAST;まとめ 結局、Arctanのところで現れた、-(1/3)π/2 と先ほどのπ/3 を合わせて 2I = π/3 -(1/3)π/2 = π/6 よって、 与式 I = π/12 となりました。一件落着。 総じてみれば、STEP1の因数分解して約文ができるかどうかが難所で、そこを越えれば、手数が面倒ですが積分解法の常套手段のオンパレードで単純な形へと持ち込めますね。 参考になれば幸いです。