質問: 線形代数の証明です。
回答: 筆者の考えていることと同じかどうかは、筆者にしか判断できないが 仮定より x_j = Σ y_i a_{ij} とおく [a_{ij}] は mxn 行列。 x が線形従属 ⇄ 全てが0ではない{c_j} に対し、Σ x_j c_j = 0 が成り立つ ⇄ 全てが0ではない{c_j} に対し、Σ_{i,j} y_i a_{ij} c_j = 0 なのでx=[x_j] として Ax = 0 に非自明解があれば十分。 dim(Im(f)) = rank(A) ≦ min(n,m) = m AによるR^n→R^m の線形写像をfとする。 次元定理から dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n 。 dim(Im(f)) ≦ m (これは、R^m の自然基底を考えれば明らか) だから dim(Ker(f)) ≧ n - m ≧ 1 よって Ax = 0 には非自明解がある。