質問: 次の微分方程式の問題の解答解説をお願いします。 人口一人当たりの出生率(単位時間当たりの出生数)をa(>0),人口一人当たりの死亡率(単位時間当たりの死亡数)をb(>0)とする。時刻tにおける人口をn(t)としたとき,以下の問いに答えよ。 (1)時刻tから時刻t+δtの間の人口の増加数δn=n(t+δt)-n(t)を示せ。 (2)lim[δt→0]δn/δt よりn(t)に関する微分方程式を示せ。 (3)t=0における人口をn0としてn(t)に関する微分方程式を解け。 (4)t>0の範囲において,a>bのときとa0とする。n(t)に関する微分方程式を示し,t=0における人口をn0として微分方程式を解け。 (6)十分に時間が経過したときの人口lim[t→∞]n(t)を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: n-a/c)(1)時刻tから時刻t+δtの間の人口の増加数δn=n(t+δt)-n(t)を示せ。 δn=(a-b)nδt (2)lim[δt→0]δn/δt よりn(t)に関する微分方程式を示せ。 lim[δt→0]δn/δt =dn/dt=(a-b)n 微分方程式は dn/dt=(a-b)n (1) (3)t=0における人口をn0としてn(t)に関する微分方程式を解け。 (1)を変数分離して dn/n=(a-b)dt logn=(a-b)t+c n=cexp[(a-b)t] t=0 n-n0=c ゆえに解は n=n0exp[(a-b)t] (4)t>0の範囲において,a>bのときとab (0,n0)をとおる指数増加関数 a0とする。n(t)に関する微分方程式を示し,t=0における人口をn0として微分方程式を解け。 b=cnを(1)に代入 dn/dt=(a-b)n=an-cn^2=-cn(n-a/c) 変数分離して dn/[n(n-a/c)]=-cdt (c/a)[1/(n-a/c)-1/n]dn=-cdt log[(n-a/c)/n]=-at+c' (n-a/c)/n=c'exp(-at) t=0でn=n0 c'=(n0-a/c)/n0 よって (n-a/c)/n=[(n0-a/c)/n0]exp(-at)=φ n-a/c=nφ n=(a/c)/(1-φ)=(a/c)/{1-[(n0-a/c)/n0]exp(-at)}=(a/c)n0/[n0-(n0-a/c)exp(-at)] 解は n=(a/c)n0/[n0-(n0-a/c)exp(-at)] (6)十分に時間が経過したときの人口lim[t→∞]n(t)を求めよ。 lim[t→∞]n(t)=a/c