質問: 線形代数 行列 固有値 正規直行基底 a=4 0 2 0 0 2 0 -1 2 0 1 0 0 -1 線形代数 行列 固有値 正規直行基底 a=4 0 2 0 0 2 0 -1 2 0 1 0 0 -1 0 2 aの固有ベクトルのみからなるr^4の正規直行基底を一組求めよ。
回答: a の固有値 0,1,3,5 に対する 各固有ベクトル (1,0,-2,0), (0,1,0,1), (0,1,0,-1), (2,0,1,0) は、いつものように計算すれば すぐ見つかりますね。 それぞれ正規化して、 (1/√5, 0, -2/√5, 0), (0, 1/√2, 0, 1/√2), (0, 1/√2, 0, -1/√2), (2/√5, 0, 1/√5, 0). 行列の固有ベクトルが直交基底をなすとは限りませんが、 今回の a は対称行列なので、 固有ベクトルが直交基底をなします。