質問: e^ix、cos(x)、sin(x)の実解析関数の証明 オイラーの公式{e^ix=cos(x)+isin(x)}を証明するため以下が必要であることが分かりました。 しかしながら以下のうち、(3)の実解析関数とはどういうものでどういう定義なのか、そしてe^ix、cos(x)、sin(x)が実解析関数であることを証明する手順について、ご存知の方がいらっしゃたらご教示いただきたくお願いします。 (1)べき級数は収束半径内で絶対収束する (2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない (3)e^x,cos(x),sin(x)は実解析関数である
回答: >以下が必要であることが分かりました。 いや・・そうじゃなくって・・・・ オイラーの公式を証明するだけなら (1)(2)だけです. こうなったら何度でもいいますが, (1)(2)はご自分で大学初年度程度の普通の数学の教科書 (「よく分かるなんちゃらら」とか 「漫画でわかるなんちゃらら」系にはまず出てません)を ノートをとって自分で行間をうめて読んでください. 実解析性を使うのはまた別の証明方法です. こっちのアプローチは予備知識がかなり必要です. 実関数fが実数の領域dにおいて実解析的であるというのは d内の任意の点aにおいて, aにおいてベキ級数展開できるということです. これは単純な微分可能よりはるかに強い条件で, いろいろなことが出てきます. e^x,sin(x),cos(x)が実数全体で実解析的であることの証明は 「実際に展開できる」ことで終わりです.