質問: ヨーヨー 糸を鉛直にして手を離すとき、ヨーヨーの落下する加速度aと糸の張力t、 また糸が伸びきってから巻き上がる時の加速度と張力を求めたい。 (ただしヨーヨーは質量m、中心の周りの慣性モーメントi、糸の巻きつく部分は半径r。) まず、鉛直下方にx軸を取ると ma=mg-t 回転角をθとすると、 v=rω (v=rθ ́) 重心の周りの角運動量は iω (iθ ́) ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてa、tを求めてよいか分かりません。 ちなみに答えは a=g/(1+i/mr^2) t=gmi/(i+mr^2) になります。 また、落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか? どなたか解説をよろしくお願いします。
回答: oshiete_gooさんのように運動方程式でも解けますが エネルギーの形式からでも解けます。 位置エネルギーが全部運動エネルギーに変換されるとすると 運動エネルギー=位置エネルギー という式を立てればいいことが分かります。 運動エネルギー=回転のエネルギー+並進運動のエネルギー (1/2)iω^2+(1/2)m(rω)^2 位置エネルギー=重力×距離 mg∫(rdθ/dt)dt = mgr∫ωdt なので、あとは両辺をtで微分すると解が得られます ((d/dt)∫ωdt=ωに注意 )。 こう考えると何が良いかというと、まずtが含まれない。 次にちょっとした解釈もできます。 運動エネルギー=(1/2)iω^2+(1/2)m(rω)^2 =(1/2)(i/r^2+m)v^2 となって、重心の運動(重心の速さv)から見ると (i/r^2+m)があたかも質量のように見えるということです。 m'=(i/r^2+m) と置くと (1/2)m'v^2=m'{mg/(i/r^2+m)}h となって(hは重心の高さ)新しい重力加速度g'は g'=g{m/(i/r^2+m)} (つまり、答えの加速度) です。あとは、自由落下の式と同じで、 最下点でちょうど床に当たって跳ね返るのと同じように 同じ加速度で運動します。