質問: 数学 次の問題を教えて頂きたいです。 よろしくお願いします。
回答: P[n] の座標を (x[n], r[n]) とします♪ (1) P[n-2] と P[n] の距離について P[n-2]P[n] = r[n-2] + r[n] なので 三平方の定理より |x[n-2] - x[n]|2 = (r[n-2] + r[n])2 - (r[n-2] - r[n])2 = 4r[n-2]r[n] なので |x[n-2] - x[n]| = 2√(r[n-2]r[n]) です☆ P[n-1] と P[n] の距離について P[n-1]P[n] = r[n-1] + r[n] なので同様に |x[n-1] - x[n]| = 2√(r[n-1]r[n]) でもあります♪ 以上から |x[n-2] - x[n-1]| = |x[n-2] - x[n]| + |x[n-1] - x[n]| は 2√(r[n-2]r[n-1]) = 2√(r[n-2]r[n]) + 2√(r[n-1]r[n]) なので両辺を 2√(r[n]r[n-1]r[n-2]) で割れば 1/√r[n] = 1/√r[n-1] + 1/√r[n-2] が得られます! (2) 1/√r[n] = a[n] とすれば a[1] = a[2] = 1, a[n] = a[n-1] + a[n-2] なので 非常に有名な "フィボナッチ数列" になります(*^^*) a[3] = 2 なので a[3]a[1] - a[2]2 = (-1)1 はOK☆ a[n]a[n-2] - a[n-1]2 = (-1)n が成り立つと仮定すると a[n+1]a[n-1] - a[n]2 ※ a[n+1] = a[n] + a[n-1] ※ = (a[n-1] + a[n-2]) + a[n-1] = 2a[n-1] + a[n-2] = (2a[n-1] + a[n-2])a[n-1] - (a[n-1] + a[n-2])2 = a[n-1]2 - a[n-1]a[n-2] - a[n-2]2 = a[n-1]2 - (a[n-1] + a[n-2])a[n-2] = a[n-1]2 - a[n]a[n-2] = (-1)n+1 となりOK♪ よって数学的帰納法により成り立ちますね(*◕ ◡◕)✿♫♬