質問: rが矩形である:⇔あるn∈nを用いて、r=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×...×[a_n,b_ rが矩形である:⇔あるn∈nを用いて、r=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×...×[a_n,b_n]と書ける。 aとbがほとんど互いに交わらない:⇔aの内部∩bの内部=空集合。 この本ではこの補題の証明が感覚的に書かれていました。厳密に証明するとどうなりますか? 以前に質問しましたが、質問が何故か消されてしまいました。
回答: (a∩b)の測度μ(a∩b)=0の時 aとbがほとんど互いに交わらない という (b-a)∩(a∩b)=φ b=(b-a)∪(a∩b) だから測度μに対して μ(b)=μ((b-a)∪(a∩b))=μ(b-a)+μ(a∩b) だから μ(b-a)=μ(b)-μ(a∩b) a∩(b-a)=φ a∪b=a∪(b-a) だから測度μに対して μ(a∪b)=μ(a∪(b-a))=μ(a)+μ(b-a) ↓μ(b-a)=μ(b)-μ(a∩b)だから ∴ μ(a∪b)=μ(a)+μ(b)-μ(a∩b) ↓aとbがほとんど互いに交わらないとすればμ(a∩b)=0だから μ(a∪b)=μ(a)+μ(b) μ(a∪b)=|a∪b| μ(a)=|a| μ(b)=|b| だから ∴ |a∪b|=|a|+|b|