質問: 正四面体の問題 辺の長さが1の正四面体の、対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ. という問題なのですが、 中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから、三平方の定理で求められると思うのですが、 >中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。 なぜ直角になるのか教えて下さい。 よろしくお願いします。
回答: stripeさん、こんにちは。 >対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ. 対する辺、というのがよく分からないのですが 正四面体を、a-bcdとしますと(てっぺんの頂点をaとする) abの中点pと cdの中点qを結ぶ直線pqは pq⊥cd、pq⊥ab ということ、でしょうか? >中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。 う~ん・・どうしたらいいのかなあ。 真上から、真下を見る感じで、正四面体を見てみましょうか。 底面は、正三角形bcdです。 その真ん中に、点aが位置するのが分かると思います。 (真ん中に、というのは、各点b,c,dから等距離に) ここで、cdの中点qと、線分abは、同一直線上にくるんですが それはいいでしょうか? なぜかというと、正四面体は、左右対称なので bqを通る直線で、底面bcdに垂直に、すぱっと半分に切ると その切り口に、点aは絶対きますよね? aもbも、切り口上にあるので、abの中点pも当然切り口上にあります。 ということで、b,p,a、qは同一直線上にあると分かります。 次に三角形dqbと三角形cqbにおいて、 dq=cq=1/2 db=cb=1 ∠d=∠c=60度から それぞれは、60°30°90°の直角三角形 なので、dc⊥pq (これは、あくまで上からぺっしゃんこの形に正四面体を見たときです) さて、今度は立体的に考えるんですが さきほど、cdに⊥でcdの中点qを通る面で、すぱっと切ると その切り口に、b,b,pは乗っているといいましたよね。 今度は、正四面体を、立てて、側面abqから見た図を描きましょう。 ピタゴラスの定理より、bq=√(1^2-(1/2)^2) bq=√3/2 同じく、aq=√3/2 ab=1 となるので、三角abqは、aq=bqの二等辺三角形。 ap=bpより、ab⊥pqで (二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を二等分する) △bpqは直角三角形。 よってピタゴラスの定理から pq^2=bq^2-bp^2 =(√3/2)^2-(1/2)^2 =3/4-1/4 =1/2 pq>0より、pq=1/√2=√2/2 なんか、ややこしい説明になってしまったかも。 上から、正四面体を、ぺっちゃんこの平面ととらえて見ることと、 △abqが二等辺三角形になるのが分かればいいと思います。 頑張ってください。