質問: 青チャート 基本例題118 1△abcにおいて、sina:sinb:sinc=√7:√3:1のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。 文章はこれだけしかかかれていません。 解説は正弦定理を利用していたんですが、正弦定理とは外接円があるときしか成り立たないですよね、なのにこの問題は正弦定理を利用していました、おかしくないですか?? 先生は外接円は三角形ならなんでも書けるよと言っていました。 でも、問題に外接円にとか書かれてないのに書くというのは非常に納得いきません。 まるで、二等辺三角形でない三角形を自分で二等辺三角形という条件を加えるように。 2x+1、x+2、x+3が鈍角三角形の3辺の長さとなるxの条件を求めよ。 三角形の性質である、一番大きい辺と2,3番目に大きい辺の大小は必ず2番目、3番目の辺を足した合計のほうが大きくなることを利用します。 そこもではわかったんですが、鈍角三角形とはいったいどんな三角形ですか?? また、鈍角三角形になるにはどのような性質を利用し条件を立てればよいでしょうか?? 教えて下さい。お願いします。 .
回答: 1 は、先生のおっしゃる通り、三角形は何でも外接円が描けるから、 たとえ外接円が描いてなくても(描かなくても)正弦定理は成り立つ ということです。 三角形abcと言った時点で、もう、正弦定理も余弦定理もその他 もろもろの定理も成り立っているよ、だからいちいち円を描かなくても 安心して正弦定理を使っていいよーということです。 2 鈍角三角形は、1つの角が鈍角、つまり90°より大きい角である 三角形です。例えば、120°、45°、15°の三角形とか。 鈍角の余弦はマイナスなので、余弦定理より最大角の余弦がマイナス になるように考えればよいです。 最大角をa(最大角の対辺が最大なので、aは最大の辺)とするとき、 cosa=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)<0となればいいわけで、もっと簡単に すれば、bcは正なので、最大辺じゃない2辺のそれぞれの2乗の和 から、最大辺の2乗を引いたものが負になればいいということです。