質問: 数b平面ベクトルの問題 平面ベクトルの問題です!解説をお願いします。 oa=√3,ob=√2, ab=2の△oabの形をした紙を考える。辺oaを2:1に内分する点を cとし、図のように線分bcを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点oのうつる先をd、線分cdと辺abとの交点をeとする。このとき、次の各問いに答えよ。 (1)↑oaと↑obの内積を求めよ 。 (2)↑odを↑oaと↑obで表せ。 (3)△edbの面積を求めよ。
回答: ベクトル記号↑を省略します. oa=a,ob=bとおくと,|a|=√3,|b|=√2,∠aob=θはa,bのなす角. (1)△oabにおける余弦定理より, cosθ={(√3)^2+(√2)^2-2^2}/(2√3√2)=1/(2√6) ∴oa・ob=a・b=√3√2cosθ=√6・1/(2√6)=1/2(答) (2)a,bは0でない,平行でないから od=sa+tb とおける.od⊥bcより od・bc=(sa+tb)・(2a/3-b)=(2s/3)|a|^2+(-s+2t/3)a・b-t|b|^2 =2s-s/2+t/3-2t=3s/2-5t/3=0 t=9s/10 ∴od=s(a+9b/10)=(s/10)(10a+9b) odとbcの交点をmとすると,mは線分odの中点. om=(1/2)od=(s/20)(10a+9b) c=oc=2a/3とおくと,a=3c/2で om=(s/20){10(3c/2)+9b}=(3s/4)b+(9s/20)c mは直線bc上にあるから, 3s/4+9s/20=1 24s/20=6s/5=1,s=5/6 ∴od=(10a+9b)/12=(5/6)a+(3/4)b(答) (3)eはcd上にあるから, oe=(1-k)oc+kod=(1-k)(2/3)a+(5k/6)a+(3k/4)b =(2/3+k/6)a+(3k/4)b eはab上にあるから (2/3+k/6)+3k/4=1 11k/12=1/3,k=4/11 ∴ce=kcd=(4/11)cd すなわちce:ed=4:7である.よって ∴△edb=(7/11)△bdc=(7/11)△boc oc:ca=3:1より△boc=(2/3)△oab ∴△edb=(7/11)(2/3)△oab=(14/33)(1/2)|a||b|sinθ =(7/33)√3√2√(1-cos^2θ)=(7√6/33)√(1-1/24) =(7√6/33)√(23/24)=(7√6/33)(√23/2√6)=7√23/66(答)