質問: ε-δ論法による関数の連続性について f:r→r を f(x)=x^(1/3) (xの3乗根) と定めます.このとき f が r上連続であることはε-δ論法でどう示せばよいでしょうか? 任意の ε>0,a∈r をとったときに, 0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε となる δ>0 の存在が言えればいいわけですが,このδを具体的にどう決定してあげればいいかわかりません. よろしくお願いします. (見づらいと思うので画像を参照してください)
回答: fは各実数にその実3乗根を対応させる関数ですよね。 ・a>0の場合 何でもいいからλ(0<λ<1)を1つ選んで、|x-a|<λaとすると 0<(1-λ)a0。 δ=min {εk, λa} とでもすればいいですね。 ・a<0の場合も似たような感じか。 ・a=0の場合δ=ε^3でいいですかね。