質問: 距離空間 位相空間 c(複素平面)上のある領域uに対してそれに含まれる閉曲線γを考える。 このとき、γはコンパクトで、u^c(uの補集合)は閉集合だから、d(γ,u^c)>0ということなのですが、コンパクト性、閉集合がどこで効いているのでしょうか?(図を描いてみるとd(γ,u^c)=inf{d(x,y)❘x∈γ,y∈u^c}=0は明らかに思えますが)
回答: uは開集合だから uの任意の点a∈uに対して ε(a)>0 が存在して b(a,ε(a))={x∈c;d(x,a)<ε(a)}⊂u となる γ⊂u=∪_{a∈u}b(a,ε(a)/2) だから {b(a,ε(a)/2)}_{a∈u} は γの開被覆で γはコンパクトだから 有限開被覆 {b(a_k,ε(a_k)/2)}_{k=1~n} a_k∈u が存在して γ⊂∪_{k=1~n}b(a_k,ε(a_k)/2) ε=min_{k=1~n}ε(a_k)/2 とする d(γ,u^c)=0 と仮定すると y∈u^c x∈γ d(x,y)<ε となるx,yがある d(x,a_k)<ε(a_k)/2 となるkがある d(y,a_k)≦d(x,y)+d(x,a_k)<ε+ε(a_k)/2≦ε(a_k) d(y,a_k)<ε(a_k) だから y∈b(a_k,ε(a_k))={x∈c;d(x,a_k)<ε(a_k)}⊂u y∈u となって y∈u^c に矛盾するから d(γ,u^c)>0