質問: 19の20乗と20の19乗 19の20乗と20の19乗はどちらが大きいかという問題が試験で出ました。 電卓で計算して、19の20乗のほうが大きいことはわかったんです。 でも数学的な証明ができません。 誰かわかった人いたら教えてください。
回答: #1さんおっしゃるように対数とその性質が分れば簡単に判定できます。 簡単な方法 まず何とかの何乗がでれば、すぐ対数に変換します。 (対数は大きな数を小さく見せる方法です。) 大きすぎる数では比較の方法がないので対数を使って小さい数にして 比較するのです。 ・・この考えだけ覚えてください、あとで役に立ちますので・・・ 19の20乗=19^20 対数表示にに直す。 log(19^20)=20log19=20(1+log1.9)・・(1) (10の対数なのでlog10=1 log19=log(10×1.9)=1+log(1.9)) 20の19乗=20^19 対数に表示に直す。 log(20^19) =19log20=19(1+log2) ・・・(2) (1)から(2)を引いてみます。 (1)-(2)=1+20log1.9-19log2 ですね。・・(3) これがゼロより大きければ(1)は(2)より大きいですね。 そこで、20log1.9-19log2 を計算するのです。 ここで極めつけの方法は、対数なんか無視して(*注釈)、 もとの数の掛け算だと考えて(判別手段として) (20×1.9)-(19×2)=38-38=0 だから(3)は1より大きいですね。 それで19の20乗が20の19乗より大きいという証明が出来るのです。 (*注釈:対数の性質利用:対数はもとの非常に大きい数を小さく見せる方法なのですから小さい数の大小の判別にはもとの数をつかってもできるのです。log2、log1.9 の数など知らなくてもokですね。) 蛇足ですが