質問: 確率・統計から同時確率密度関数についての問題です
回答: (1) f_{X,Y}(x,y)は同時確率密度関数であるから a は正定数である. よって, f_{X,Y}(x,y) ≦f_{X,Y}(x,0)=ax2exp(-x) ここで, (d/dx)(ax2exp(-x))=ax(2-x)exp(-x) より f_{X,Y}(x,y)≦f_{X,Y}(2,0) ゆえに,求める x,y の値は (x,y)=(2,0) (2) x≧0のとき, f_X(x)=∫[-∞,∞]f_{X,Y}(x,y)dy =∫[-x,x]a(x2-y2)exp(-x)dy =2a[(x2y - y3/3)exp(-x)][y=0 to y=x] =(4a/3)x3exp(-x) x<0のとき, f_X(x)=∫[-∞,∞]f_{X,Y}(x,y)dy=0 ゆえに, f_X(x)={(4a/3)x3exp(-x) (x≧0) {0 (x<0) (3) 1=∫[-∞,∞]f_X(x)dx =∫0,∞x3exp(-x)dx =(4a/3)[(-x3-3x2-6x-6)exp(-x)][x=0 to ∞] =8a a=1/8 (4) μ_x =∫[-∞,∞]xf_X(x)dx =∫[0,∞]x•(1/6)x3exp(-x)dx =(1/6)[(-x4-4x3-12x2-24x-24)exp(-x)][x=0 to ∞] =4