質問: 代数学の質問です。 L/Kを体のn次拡大とする。 任意のt∈Lに対して、 f(t)=0となるf(X)∈K[X]-{0}で、deg(f(X))≦nなるものが存在する。 の証明を教えてください。
回答: K 上のベクトル空間としてみたとき L は n次元ベクトル空間となるので n+1 個の L の元 1, t, t^2, ..., t^n は K 上線形従属です。 よって、a[0]+a[1]t+...+a[n]t^n=0, (a[0], a[1], ..., a[n])≠(0, 0, ...., 0) を満たすa[0], a[1], ..., a[n]∈K が存在します。 ここで、f(X)=a[0]+a[1]X+... +a[n]X^n とおくと f(X)∈K[X]ー{0} で、deg f(X)≦n となり f(t)=0 です。 したがって、f(t)=0 となる f(X)∈K[X]ー{0} で、deg f(X)≦n を満たす f(X) が存在します。