質問: ゲーム理論の混合戦略の求め方 混合戦略についての質問です。 a b a 3,2 0,0 b 0,2 3,1 c 1,0 1,3 このゲームの混合戦略が分かりません。 解答には「a,b,cをそれぞれ1/2,1/2,0の確率でとる 」という混合戦略が、純粋戦略cを強く支配するとあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。 どなたか分かる方、教えてください。よろしくお願いします。
回答: 実際に,a,b,cをそれぞれ1/2,1/2,0の確率でとれば,そのときの期待利得は3/2になって,a,b,cをそれぞれ0,0,1の確率でとる戦略の場合の期待利得1よりも大きくなります。したがって純粋戦略cを強く支配すると言えます。もっと言えばa,b,cをとる確率をそれぞれp,q,1-p-qとしたとき,p+q=1である戦略は純粋戦略cを強く支配します。 プレイヤ1がa,b,cをとる確率をそれぞれp,q,1-p-q,プレイヤ2がa,bをとる確率をそれぞれr,1-rとするとき,プレイヤ1の期待利得は 3pr+3q(1-r)+(1-p-q)r+(1-p-q)(1-r)=(3r-1)p+(2-3r)q+1 です。したがって r>1/2のときは(3r-1)>(2-3r)だからp=1,q=0で期待利得が最大 r<1/2のときは(3r-1)<(2-3r)だからp=0,q=1で期待利得が最大 r=1/2のときは(3r-1)=(2-3r)だからp+q=1で期待利得が最大 となります。このときrに関わらずp+q=1は満たされています。 プレイヤ2の期待利得は 2pr+2qr+q(1-r)+3(1-p-q)(1-r)=(5p+4q-3)r+3-3p-2q です。p+q=1のときは(5p+4q-3)>0ですからr=1で期待利得が最大 となります。 つまりプレイヤ1はp+q=1となる戦略をとり,するとプレイヤ2はr=1となる純粋戦略をとることになります。そうすればプレイヤ1はp=1,q=0となる戦略をとることになりますが,プレイヤ2はそれでもr=1となる純粋戦略をとります。最終的には戦力はaaで均衡することになるでしょう。