質問: 一次独立だけど、基底にならないベクトルの組ってありますか? いつもお世話になっています。 線形代数の復習をしていて、一つ疑問が生じました。 いくつかの本を当たってみたのですが、どの本にも「基底=互いに一次独立+任意のベクトルがそれらの線形結合で表示可能」と書かれていましたが、今まで「一次独立だけど、基底じゃなかった」というような問題に当たったことがありません。しかしながら、わざわざ一次独立+αという条件が付け加えられているということは、一次独立という性質だけでは、基底となる条件を満たしていないということなのでしょうか? ご教授、よろしくお願いします。
回答: n次元空間でn個のベクトルx1,・・・,xnが一次独立とする。 任意のベクトルyをとると、x1,・・・,xn,yは一次従属。 a1x1+・・・+anxn+by=0 とすると、a1,・・・,an,bのうち、どれかは0でない。 b=0とすると、a1x1+・・・+anxn=0となるので、a1=・・・=an=0 となってしまう。 よってb≠0であり、 y=(-a1/b)x1+・・・+(-an/b)xn と表せる。 表示の一意性は、一次独立なことから分かる。 基底=一次独立で、それらの個数が次元に等しい で良いのではないでしょうか。 任意のベクトルがそれらの線形結合で表示可能=それらの個数が次元に等しい ということで。 単に一次独立だけでは、その個数が次元より小さい場合は基底には なりません。