質問: 物理のバネの問題教えてください 質点1と質点2が3つのバネでつながれている。 2つの質点はともに m 、3つのバネはともに自然長で l 、バネ定数は k である。 時刻t=0で質点は静止しているが、平行の位置からの変位は、x1(0)=a、x2(0)=bただし、0
回答: (1)左のバネは伸びている、中央のバネは左よりさらに伸びている、ただし右のバネは3つのバネ長の和が3lという制約に縛られているため縮んでいると考えたのですね。運動方程式は、正しいです。 (2)運動方程式の第1式と第2式の和は、 m*(x1"+x2")=-k*(x1+x2) となりますので、これをy1で表すと、 m*y1"=-k*y1 →(式1) また、第1式から第2式を引くと、 m*(x1"-x2")=-3*k*(x1-x2) となりますので、これをy2で表すと、 m*y2"=-3*k*y2 →(式2) ここで(式1)を変形すると、y1"=-k/m*y1 (式2)を変形すると、y2"=-3*k/m*y2 となり、これらが求める微分方程式です。 (3)これらは単振動を表す微分方程式に帰着しましたので、角振動数ω1、ω2で表現すると、 y1"=-ω1^2*y1 →(式3) y2"=-ω2^2*y2 →(式4) よって、ω2/ω1=√3 (4)「y1*y2」は入力ミスで、「y1、y2」ではないでしょうか? そうであれば、(式3)の一般解は、定数a、bを用いて、 y1(t)=a*cos(ω1*t)+b*sin(ω1*t) →(式5) と書け、y1(0)=x1(0)+x2(0)=a+b を(式5)に適用すると、 y1(0)=a*cos(0)+b*sin(0)=a+b より、a=a+b また(式5)を微分すると、 y1(t)'=-a*ω1*sin(ω1*t)+b*ω1*cos(ω1*t) →(式6) t=0において、2つの質点は静止しているため、y1(0)'=0 を(式6)に適用すると、 y1(0)'=-a*ω1*sin(0)+b*ω1*cos(0)=0 より、b=0 すなわち(式3)の解は、 y1(t)=(a+b)*cos(ω1*t)=(a+b)*cos(√(k/m)*t) y2についても同様に解くと、(式4)の解は、 y2(t)=(a-b)*cos(ω2*t)=(a-b)*cos(√(3*k/m)*t) (5)x1(t)=1/2*(y1(t)+y2(t)) より、 x1(t)=1/2*((a+b)*cos(√(k/m)*t)+(a-b)*cos(√(3*k/m)*t)) x2(t)=1/2*(y1(t)-y2(t)) より、 x2(t)=1/2*((a+b)*cos(√(k/m)*t)-(a-b)*cos(√(3*k/m)*t)) です。 ご理解いただけたでしょうか?