質問: 円錐の側面積について。 面積を円周を積分することによって算出すると、高さをh0、半径をrとし、 ∫[ 円錐の側面積について。 面積を円周を積分することによって算出すると、高さをh0、半径をrとし、 ∫[0→h0]2πr×(h/h0)dh すなわち、πrh0 になるはずなのですが解答の値とは異なります。 どこが間違えかご指摘いただけませんか。
回答: h~h+dhの部分の側面の面積はどれくらいかしっかりと考えてみましょう。 この部分は帯状になっています。帯の長さは2πr*(h/ho)となりますが幅はどれくらいでしょうか。 質問者はこの幅がdhであると思っているようですが違います。 この帯の幅はdhよりも長くなります。 頂点から底面に下した垂線と母線がなす角をθとするとこの部分の幅は dh/cosθ となります。hの幅はdhですが、側面は斜めになっているためdhよりも長く1/cosθ倍になっているのです。 cosθ=ho/√(ho^2+r^2) ですから求める面積の式は ∫[0→ho]2πr×(h/h0)dh*√(ho^2+r^2)/ho となります。