質問: | sin x| をフーリエ級数で表せ。
回答: fは偶関数なのでcos(nx)のみで表せる。 ∫[-π,π] |sin(x)| cos(nx) dx =2∫[0,π] |sin(x)| cos(nx) dx =2∫[0,π] sin(x) cos(nx) dx =2∫[0,π] {sin((n+1)x)-sin((n-1)x)}/2 dx =∫[0,π] sin((n+1)x)-sin((n-1)x) dx n=1の時 ∫[-π,π] |sin(x)| cos(x) dx =∫[0,π] sin(2x) dx =[-cos(2x)/2,x:0~π] =0 n≠1の時 ∫[-π,π] |sin(x)| cos(nx) dx =∫[0,π] sin((n+1)x)-sin((n-1)x) dx =[-cos((n+1)x)/(n+1)+cos((n-1)x)/(n-1),x:0~π] =-cos((n+1)π)/(n+1)+cos((n-1)π)/(n-1)+1/(n+1)-1/(n-1) より ∫[-π,π] |sin(x)| cos(nx) dx=0 (n:奇数) ∫[-π,π] |sin(x)| cos(nx) dx =2(1/(n+1)-1/(n-1)) =-4/(n^2-1) (n:偶数) 以上より |sin(x)|=2/π -4/π Σ[n=1,2,...] cos(2nx)/(4n^2-1)