質問: δ(t)のフーリエ変換→1になる意味 δ(t)のフーリエ変換→1になる意味 ∫δ(t)*exp(-iωt)dt=1 計算すればこうなることは分かるんですが この計算した結果の意味がわかりません t領域→ω領域への変換で 全てのωで常に1の値を持ってる こんな意味なんでしょうがさっぱりです そもそもこの関数の周波数って何?って感じなんですが どなたか分かりやすく教えてください
回答: 逆のほうが考えやすいので、 ∫δ(ω)*exp(iωt)dt=1 これだとδ(ω)はω=0だけで値を持つという事なので、直流成分。 つまり時間によらず値が一定。(2πは省略) さて、フーリエ変換は f(ω) = ∫f(t) exp(-iωt)dt わかりをよくするために和で書き直してみると f(ω) = σ f(ti) exp(-i(ti)ω) δt = f(t0) exp(-i(t0)ω) δt+f(t1) exp(-i(t1)ω) δt+・・・ こうしてみると、フーリエ変換はexp(-i(ti)ω)という指数関数、つまりは、cos((ti)ω), sin((ti)ω)という三角関数の重ね合わせとして表現することになるわけです。 さて、この場合、ωの関数と見たときのtiの役割はなんでしょうか? もうおわかりと思いますが、ω空間になると時間と周波数の役割が入れ代わります。 したがって、ω空間での三角関数は時間tの値によってその山から山までの間隔(ω空間での周期)が決まります。 以上を踏まえると、 ∫δ(t)*exp(-iωt)dt=1 のδ(t)はt=0だけで値を持つ間数なので、ω空間での直流成分を表します。 つまり全てのωで値が一定。これは、すべての振動数成分の振幅が等しいということです。 これを実空間で解釈し直せば、 t=0のみで値を持つ関数では、すべての振動数成分が等しい重みで重ね合わされている となります。これは逆変換 δ(t) = ∫1・exp(iωt)dω (意味を明確にするため、2πを省略) を考えれば意味がわかると思います。 和の形にすれば、さらにわかりやすいかもしれません。 δ(t) = σi 1・exp(i(ωi)t)δω = 1・exp(i(ω0)t)δω+1・exp(i(ω1)t)δω+・・・