質問: 同相であることの証明 原点中心半径1の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。 いわゆる、立体射影というやつです。 まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、 立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。 次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、 球面からその集合への写像fを、fを拡張し、f((0,0,1))=∞ という風に設定します。 このとき、fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。 どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。
回答: 一点を加えれば同相になるというものじゃないです。 同相になるように、「一点」の近傍を決めなきゃならない。 それが可能だということが証明できるだけです。 球面上での北極点の近傍系を f で写像したものを ユークリッド平面+一点での ∞ の近傍系と定義すれば、 連続写像の定義よりただちに、f は連続となります。