質問: 三角関数って何ですか? 三角関数ってなんでしょうか? 高校3年にもなってこんなこと言ってると笑われますけれど、 具体的に何?と同級生に聞いても「三角関数は三角関数」としか言わないあたり、 三角関数が何かを詳しく知る人は周りにはいないみたいで・・・。 数式を使う際には形で覚えるので良いのですが、 図形から読み取るとなると少し考えてしまいます。 三角関数と言えばsinやcosとは言えますが、 じゃあsinやcosは何を示しているのか、となると正直さっぱりです。 具体的に教えていただけないでしょうか? お願いします。
回答: 高校だと 三角比→三角関数 と進みますから,比から関数というのが少し難しく感じるのではないでしょうか.数学的には例えばθが鋭角の場合 ・角度θに対して直角三角形が一つ定まる ・その直角三角形に対して高さ/斜辺,底辺/斜辺の比が大きさに関係なく角度θだけできまる. ・それらをsinθ,cosθとかく 『θに対してただ一つの値(sinθ,cosθなど)が決まるのが関数』 でした.θが一般角なら単位円を使って(図) (☆)θに対してy,xがただ一つ定まるからそれぞれsinθ,cosθとかいて三角関数とよぶ これでいいのです.単位円の定義からsinθ,cosθ,tanθはそれぞれy座標,x座標,動径の傾きと言えます. 大学以上の数学を学ぶと,オイラーの公式e^{iθ]=cosθ+isinθを学びます.最初はe^{虚数}の定義に使うのだとして学びますが,それは便宜上そう言っているだけであって複素関数論を学ぶとともっと奥深いものがあります.そこではsin(z),cos(z),e^(z)などを複素変数zのべき級数として次の式で「定義」します. sin(z)=σ_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n+1}/(2n+1)! (★)cos(z)=σ_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)! e^z=σ_{n=0}^∞z^n/n! オイラーの公式はこの3つの表現から自動的に導かれるのです.今度はzを複素数と考えますから,図形的にどうのこうのということが言いにくくなります.しかし,この右辺には☆で定義される三角関数の性質(相互関係式や加法定理など)がすべて入っているので,sin(z)などの記号は本当に記号としての意味しかありません. とりあえずは高校生の場合は☆で充分だと思います.大学生になったら★を理解できるようになりましょう.物事はだんだん奥深くそして広くなっていくのです.