質問: 数学bの問題です。解説おねがいします oa>ob, ab=√19の⊿oabがあり、↑oa・↑ob=3, cos∠aob=1/4 を満たしている。 このとき、|↑oa||↑ob|=12,|↑oa|^2+|↑ob|^2=25 が成り立ち、これから |↑oa|=4, |↑ob|=3 が求められる。 点aから辺obに垂線をひき、交点をcとすると ↑oc=1/3↑ob と表せ,点cの直線oaに関する対称点をdとすると、 ↑od=??↑oa-??↑ob と表せる。 この最後の部分がわかりません!答えは、1/8と1/3になるそうです。 解き方がわからないので、最後の部分だけ詳しく解説してください よろしくお願いします!
回答: asjflkkdjさん、こんばんは。 問題から察するに、ベクトルの基礎(内積くらい)のあたりで出された問題かと思いましたので、以下ではそのつもりで解説してみようと思います。 まず、「点cの直線oaに関する対称点をdとする」というのは、 要するにoaを軸にしてcを回転させて得られる点をdとする、ということです。 すなわち、今度は点cから辺oaに垂線を下ろし(交点をeとします)、ceの延長線上に de=ceとなる点dをとったことになります。 さて、ここで点dを通り辺obと平行な直線を引き、これと辺oaとの交点をfとしましょう。 of(oa)⊥cd(ce) ∧ ce=deより、 四角形ocfdは平行四辺形であることがわかります(さらに言えばoc=odなので、ひし形です)。 したがって、↑fd=-↑oc=-1/3↑obです。 また、直角三角形oecに着目すると、三角比を用いて │↑of│=2│↑oe│=2│↑oc│cosaob=2×1/3│↑ob│cosaob=1/2 となるので、│↑oa│=4より ↑of=1/8↑oa です。 以上より、 ↑od=↑of+↑fd=1/8↑oa-1/3↑ob となります。 今回は図形を用いた説明になりましたが、もし進行度がもっと進んだところでの問題だとすれば、 より簡明な(ベクトルらしい)解き方があるのかもしれません。