質問: 重心運動 水平面xで質量m1,m2の質点の間にバネ定数k、自然長lのバネが結合され、原点oから右にx1,x2の距離にm1,m2の質点が置かれている。 この二つのx面での運動に対する運動方程式はそれぞれ m1(d^2x1/dt^2)=k(x2-x1-l) m2(d^2x2/dt^2)=-k(x2-x1-l), また重心xgに対する運動方程式は (m1+m2)(d^2xg/dt^2)=0 だということは自分で解いたのですが、(1)この二つの質点の重心xgがどのように表されるか、(2)また重心xgはどのような運動をするか、(3)この二つの質点からなる系が振動した場合の振動に対する運動方程式が立てられません。これらのこと(特に(3))がいまいちよくわかりません。どうかよろしくお願いします。
回答: (1)重心の位置は xg = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2) です。 証明は、元々重心にあった一物体が分裂したとして運動量保存則でできます。 (2)すでにお書きのように、xgをtで2回微分すれば0ですから、速度は変化しません。つまり等速直線運動です。速度は、この問題の情報からはわかりません。最初に両物体が静止していたというなら、重心はずっと静止です。 (3)xa = x2 - x1 - l と置きます。xaはバネの長さの自然長からのずれです。 二つの質点の運動方程式を使ってつぎのようにします。 d^2 xa /dt^2 = d^2 x2/dt^2 - d^2 x1/dt^2 = -(k/m1)xa - (k/m2)xa = -[(m1 + m2)k/(m1 m2)]xa これで、おもりが1個の場合のバネの振動と同じ形に帰着します。