質問: 【代数学】 以下の問いの詳解をよろしくお願いします。 L/Kを体の5次拡大とし,β∈L,β/∈Kであるとき, (1)L=K(β) (2)β3/∈K が成り立つことを示してください。
回答: (1) β∈L だから、L⊃K(β)⊃K なので 5=[L:K]=[L:K(β)][K(β):K] そして、β/∈K だから K(β)≠K なので [K(β):K]≠1 よって、[L:K(β)]=1 したがって、L=K(β) (2) β^3∈Kと仮定します。 f(X)=X^3−β^3とおくと f(X)∈K[X]で、f(β)=0 なので [K(β):K]≦deg f(X)=3 しかし、[K(β):K]=5 なので、矛盾します。 したがって、β^3/∈K