質問: 集合と写像 集合と写像に関する証明で,そうなるということはわかっているのですが,どのように証明すれば良いかわかりません。 問題は 集合xから集合yへの写像f:x→yによる像に関して,以下を示せ。 (1) 任意の部分集合a,b⊂xに対して,f(a∩b)⊂f(a)∩f(b) (2) fが単射であるならば,任意の部分集合a,b⊂xに対して, f(a∩b)=f(a)∩f(b)が成り立つ (3) xの任意の部分集合a,b⊂xに対して,f(a∩b)=f(a)∩f(b)が成り立つならば fは単射である。 どなたか解説お願いします。
回答: (1) 任意に x ∈ f(a∩b) を取り,x ∈ f(a)∩f(b) を確認すれば十分です. x ∈ f(a∩b) なので,ある c ∈ a ∩ b が存在して x = f(c) c ∈ a∩b なので特に c ∈ a, よって x = f(c) ∈ f(a). 同様に x = f(c) ∈ f(b).よって x ∈ f(a)∩f(b). (2) 両側の包含関係を確認します.⊂は(1)で示しました.⊃についても 任意に x ∈ f(a)∩f(b) を取り,x ∈ f(a∩b) を確認すれば十分です. x ∈ f(a)∩f(b) なので,ある a ∈ a, b ∈ b が存在して x = f(a) = f(b) f が単射なので a = b,よって特に a ∈ a∩b.よって x = f(a) ∈ f(a∩b). (3) 任意の a, b (a ≠ b) について a = {a}, b = {b} とおくと, この等式は f(a∩b) = φ = f(a)∩f(b) = {f(a)}∩{f(b)} となります.これが成り立つためには f(a) ≠ f(b) でなければならず, f は単射となります.