質問: 単位円上に3点a,b,cがあったときoa↑+ob↑+oc↑=0↑ならば 中心を原点oとする単位円上に3点a,b,cがあったとき、 oa↑+ob↑+oc↑=0↑ と3つのベクトルの和が0となるとき、 ∠aob=120度、∠boc=120度、∠coa=120度 であることを示したいのですが、どうすればよいのでしょうか? 幾何学的(図形的)に考えれば、ほぼ自明のような気もしますが。 三角関数を用いれば、 cos(θ_1)+cos(θ_2)+cos(θ_3)=0, sin(θ_1)+sin(θ_2)+sin(θ_3)=0 ならばcos(θ_1-θ_2)=cos(θ_2-θ_3)=-1/2 を示せばよいことになりますが。 複素数を用いれば、 e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0 ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根) を示せばよいことになりますが。
回答: #5の考えも良いですね。少し補足すると、 三角形において、「4心(外心、内心、重心、垂心)のうち二つが一致する三角形は、正三角形」ですから、△abcは正三角形とすぐに分かります。 (この定理の証明は、初等幾何のよい練習問題ですね) 今の場合、外心と重心ですが、なるべく簡単な証明を考えると、 bc の中点をmとする。 oが外心→oはbc の垂直二等分線上→om⊥bc oが重心→aomは一直線 よって、am⊥bc から、aはbc の垂直二等分線上にあるから、 ab=ac 同様にbc=baが言えて、正三角形となる。(証明終)