質問: 画像の問題(1)について質問します。 解答に「条件よりf(3/4)=0,f(2)=2,f(3)=10 画像の問題(1)について質問します。 解答に「条件よりf(3/4)=0,f(2)=2,f(3)=10だから~」と記載されているのですが、どうやって導けるのでしょうか。
回答: f(x)=ax2+bx+c y=ax2+bx+c とおくと、a≠0 なので2次関数でグラフは放物線です。 放物線の軸は、x= - b/2a で、放物線のグラフは軸に関して対称なので、yの値を1つ定めてもxの値 は1つに定まりません。 例えば、y=x2で、x=2 と定めると y=4 と定まりますが、y=4 と定めても x=±2 となり1つに定まり ません。つまり、yはxの関数ですが、xはyの関数ではありません 。 このことから、2次関数については、一般には逆関数を求めることはできません。 そこで、この問題では、x> - b/2a としています。 このようにすると、放物線の右半分だけになるのでyを1つ定めるとxが1つ定まります。 よって、逆関数が求まります。 y=x2 についていえば、軸は x=0 なので x>0 とすれば、y=4 と定めると x=2 と1つ定まります y=x2 の場合、x>0 とすれば x=√y ですから、逆関数は y=√x です。 f(x)=x2に対してf−1(x)=√x ですが、2次関数のグラフで言うと、xを定めてyを定めるのが f(x) とす ると、逆にyを定めてxを定めるのが f−1(x) です。(実際に逆関数を求める時はxとyの文字は入れ替えます) この問題で、f−1(0)=4/3 , f−1(2)=2 , f−1(10)=3 と書いてあるのは、yを定めたときにそれに伴って定まるxの値です。 よって、f(4/3)=0 , f(2)=2 , f(3)=10 ということになります。