質問: 三角形と内接円・内心 三角形abcにおいて、ab=7、bc=3である。この三角形の内心をiとする。aiの延長と辺bcとの交点をdとし、biの延長と辺acとの交点をeとする。4点c,e,i,dは同一円周上にある。 1)角bcaの大きさ及び、線分caの長さを求めよ。 2)bdの長さ及び、bi*beの値を求めよ。 3)三角形abcの内接円の半径を求めよ。 以上が問題です。三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか?
回答: どこまで自力で解けて、どこが解けなかったのでしょうか? あるいはどれなら分かりそうで、どれが分からないのでしょうか? > 三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、 > 条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか? 1番が解ければ「三辺 + 一角が与えられた内接円問題」になりますよね。 だから(1)を何とか解けば良いんです。 > 1)角bcaの大きさ及び、線分caの長さを求めよ。 [1] 三角形の3つの角に対して二等分線を引いた時、 その交点が内心となります。 なので線分adは∠bacの二等分線ですし、 線分beは∠cbaの二等分線です。 [2] 「4点c,e,i,dは同一円周上にある」という条件から、 ∠ecd + ∠eid = 180° ∠cei + ∠cdi = 180° となります。 [3] [1][2]の条件から∠bcaが求められます。 ∠bcaが分かれば余弦定理でcaの長さが分かります。 方針ですが、まず[1]より ∠bac = 2x(つまり∠cad = x, ∠dab = x)とおき、 ∠cba = 2y(つまり∠cbe = y, ∠eba = y)とおいて下さい。 そしてこのx, yを使って四角形ceidの角度を表してみましょう。 四角形ceid内のの「向いあう2角」がx, yで表現できれば、 [2]の条件からx, yの関係式が得られます。 それを利用すると、△iabの内角の和を利用して∠aibの角度が求められます。 ∠aibが分かればそれを元に∠bcaが求められます > 2)bdの長さ及び、bi*beの値を求めよ。 「角の二等分線と線分の比の公式」を利用すればbdは求められそうです。 bi*beは四角形ceidの各頂点が同一円周上にあることに注目して下さい。 そうすると、どうやって求めれば良いか見当がつきます (なぜわざわざ「bi*be」としているのかを考えるのも良いかもしれません。 この形、どこかで見たことありませんか?)。 > 3)三角形abcの内接円の半径を求めよ。 内接円関係ではよくでる問題ですよね。 こちらは解説無しでも大丈夫でしょうか?