質問: 統計学の問題です。 ある家庭の玄関につけられる電球の寿命は正規分布n(180,10^2)に従うものと 統計学の問題です。 ある家庭の玄関につけられる電球の寿命は正規分布n(180,10^2)に従うものとする。 正月に新しい電球に取り替えたとき,年内に2回以上取り替えねばならない確率を求めなさい。 ただし,解答は小数第3位で四捨五入し,小数第2位まで記入すること。 ヒント1: 1つ目の電球の寿命をx, 2つ目の電球の寿命をyとすれば,xとyは独立である。 x+y < 365となる確率を求めれば良い。 ヒント2: xとyが正規分布に従う確率変数であるとき,x+yも正規分布に従う。 回答お願い致しますm(._.)m
回答: ある家庭の玄関につけられる電球の寿命は正規分布n(180,10^2)に従うものとする。 正月に新しい電球に取り替えたとき,年内に2回以上取り替えねばならない確率を求めなさい。 ただし,解答は小数第3位で四捨五入し,小数第2位まで記入すること。 電球の寿命xは正規分布n(180,102)に従う。2個目の電球の寿命yも正規分布n(180,102)に従う。 2個の電球の寿命x+yは正規分布n(180+180,102+102)=n(360,200)に従う。この平均と標準偏差は 360と√200である。統計量z=(x+y-360)/√200は標準正規分布n(0,1)に従う。 2個の電球の寿命x+yが365に達しなければ、年内に2回以上取り替えねばならない。 その確率pは、z=(365-360)/√200=0.354とすると、標準正規分布n(0,1)の(累積)分布関数値となる。 (累積分布関数のことを、累積の文字を省略して、分布関数と呼ぶ慣習になっているが、間違いを防ぎたいときは、累積をつけて言うことがある。) エクセルで、図の上のように入力すると、図の下のように計算値が現れる。 c2のセルに入れた=(365-360)/sqrt(200)はzの計算式である。 c2に現れる数値0.354は計算値0.35355を四捨五入した数値である。(表示する桁数を数値メニュで調整する) c3のセルに入れた=norm.s.dist(c2,true)は標準正規分布n(0,1) の(累積)分布関数値を計算するしきである。標準正規分布の英語standard normal distributionを省略した関数名となっていて、 エクセルの数式メニューでfxをクリックすると呼び出せる。引数が二つあって、第1の引数はzの値を入れる。図では、c2のセルにzの計算値0.35355があるので、zの数値の代わりに、c2と書けばよい。 第2の引数は、(累積)分布関数値を求めたいときは、trueと書くきまりになっている。 norm.s.dist関数を使うためのヘルプを見れば、その使い方のきまりが書いてある。 trueの代わりにfalseと書くと、分布密度関数が求められる。 この問題では、累積分布関数の数値が0.638と出る。これが答えの確率pで63.8%である。四捨五入すると、0.64となる。