質問: 以下のf(x)がx>=0で連続関数であることを示し、f(x)を0〜1で定積分した答えを求めよ。 f( 以下のf(x)がx>=0で連続関数であることを示し、f(x)を0〜1で定積分した答えを求めよ。 f(x)=xlogx(x>0) 0(x=0) ちなみにヒントには f(x)=∮f(t)dt (0からx)とおけば、f(x)はf(x)の原始関数。だけどx=0とx>=0で関数の形が違うので計算し難い。そこでg(x)=∮f(t)dt (xから1)について考えてみては と書かれていますがまったく意味わかりません。 途中まででもいいので教えてください。
回答: 連続性は、関数によっては直感に反する場合もあるので、 グラフではなく計算で考えましょう。 x log x (x>0) の連続性は自明としてよいでしょう。 ちゃんと示すとしたら、 log x = ∫(1/x)dx と積分で表されることから log x は連続であり、 連続関数どうしの積 x log x は連続...とでも言えばよいですが、 冗長かなあとも思います。 lim[x→+0] x log x = 0 もほぼ自明かとは思いますが、 何かを示せと言われているのだから、こちらは示しておくほうが無難でしょう。 y = - log x で置換すると 0 > x log x = -y/e^y > -y/(1+y+y^2) であり、 ←[1] この式で x→+0 すなわち y→+∞ の極限をとれば、 ハサミウチの定理により lim[x→+0] x log x = 0 です。 f(x) が 0≦x≦1 で連続だと判ったので、∫[0,1]f(x)dx は収束し、 しかも広義積分 lim[a→+0]∫[a,1]f(x)dx と一致します。 この一致を利用するために、f(x) の x=0 での連続性が必要なのでした。 ←[2] ∫[a,1]f(x)dx (a>0) を計算するには f(x) = x log x だけを扱えばよく、 一点だけ式の違う被積分関数を積分するにはどうしたらいいのか? という悩みが生じません。 ∫(x log x)dx は高校性がよくやる部分積分の例題で、 ∫a,1](x log x)dx = [ (1/2)(x^2)(log x) ]_{x=a,1} - ∫[a,1(x^2)(1/x)dx = (1/2){ 0 - (a^2)(log a) } - (1/2)∫[a,1]xdx = - (1/2)(a^2)(log a) - (1/2)[ (1/2)x^2 ]_{x=a,1} = - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4){ 1^1 - a^2 } = - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4) + (1/4)a^2. と計算できます。これを使って、 ∫[0,1]f(x)dx = lim[a→+0]∫[a,1]f(x)dx = lim[a→+0]{ - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4) + (1/4)a^2 } = - (1/2)lima→+0(log a) - (1/4) + (1/4)lim[a→+0]a^2 = -(1/2)0 - (1/4) + (1/4)0 = -1/4. これが答えです。 途中 lima→+0(log a) = 0 が出てきましたが、 これは 2y = - log a で置換すると (a^2)(log a) = -2y/e^y より[1]と同様に計算できます。 この問題で重要な点は、[2]だと思います。