質問: 関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=bだとする。このとき、 lim_{b->∞}1/ 関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=bだとする。このとき、 lim_{b->∞}1/b ∫(0からb) g(x)dx を求めて下さい。
回答: lim_{x->∞} g(x)=bは ∀ε>0,∃m>0; x>m → |g(x)-b|<ε・・・・1 である。 |(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - b| =|(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - (1/b)∫[0→b] b dx | =| (1/b)∫[0→b] (g(x)-b)dx | ≦(1/b)∫[0→b] |g(x)-b|dx ここで、1において、b=mとすれば、上式の続きは <(1/b)∫[0→b] εdx=ε となる。つまり ∀ε>0,1でb=mとすると ∃b>0; x>b → |(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - b|<ε となる。これは lim_{b->∞}1/b ∫(0からb) g(x)dx → b を意味する。