質問: 一般相対論におけるベクトルについて質問です。
回答: 数学的にはおっしゃる通りですが、物理ではこのようなWとW*の同一視をよく行います. そもそも物理で扱う"ベクトル(場)"とは空間の各点に矢印が定まっている、というような素朴な対象で、それがWに属しているかW*に属しているか、などということは考えません(物理的な意味がありません). 現代的な(やや窮屈な)線形代数で記述しようとした時に、どの空間に属するかを明示する必要に迫られて、人為的に割り当てなければいけなくなるだけです. WとW*は構造としてはどちらも同じですから、"ベクトル"V をWの元としても、W*の元としても定義することができます. Wの元として定義したV1をWの基底で展開して成分表示したものが V1=V^μ e_μ W*の元として定義したV2をW*の基底で展開して成分表示したものが V2=V_μ e^μ です. (物理の数式では両者共にVで表します.) 二つの対応は、内積(計量テンソル)を用いて 任意のV'∊Wに対して (V1,V')=V2(V') で行います. これを満たす、物理的に同一の"ベクトル"V1とV2の成分には"添え字の上げ下げ" V^μ g_μν =V_ν V_μ g^μν=V^ν が成り立ちます. このような同一視はベクトルだけでなく、テンソルでも行われます. 物理的には同一の"テンソル"であるリーマン曲率テンソルが、3階共変1階反変テンソルや4階共変テンソルなど、数学的にはいくつかの異なる空間で定義されます. 詳しくは や を参照してください.