質問: 生成する部分空間に関する問題です。宜しくお願い致します。
回答: SigInchさん W は体 F 上のベクトル空間とする. a_1,a_2,...,a_r で生成されることから, W の任意の元は a_1,a_2,...,a_r の一次結合で表される. すなわち, ∀x∈W について x = Σ[i=1→r] k_i a_i, k_i∈F とおける. さらに a_r が a_1,a_2,...,a_r-1 の一次結合で表されるならば a_r = Σ[j=1→r-1] h_j a_j, h_j∈F とおける. これを x の右辺に代入すると x = Σ[i=1→r-1] k_i a_i + k_r Σ[j=1→r-1] h_j a_j ⇒ x = Σ[i=1→r-1] (k_i + k_r h_i) a_i すなわち, W の任意の元は a_1,a_2,...,a_r-1 の一次結合で表されるから W = である.