質問: 斉次線形微分方程式 はじめまして。 斉次線形微分方程式の解と一般解はどうちがうのでしょうか?? 一般解とは、微分方程式の解で、その階数と同じ個数の任意定数を含むものをいうらしいのですが・・・ 初歩的ですがよろしくおねがいしますm(__)m
回答: 用語の混乱を整理すればよいでしょうか。 例えば、定数係数の斉次線形微分方程式 l(d)f(x) = 0 ...[1] (但し、l(t) は t の n 次多項式で、t^n の係数は1。また、d は微分作用素で、ここでは d(f(x)) = df(x)/dx の意味だと思って下さい) ...の一般解 f_0(x) は、任意定数 p_k(k = 1, 2,..., n)と線形独立な解 u_k(x) を用いて f(x) = σp_k・u_k(x) 〈和は k:1 → n〉 ...と表されます。んで、初期条件が n 個与えられたら、特殊解が定まります。 なお、u_k(x) のことを基本解と言います。 定数係数の非斉次線形微分方程式 l(d)f(x) = a(x) ...[2] (l(t), d は上記と同じ。a(x) は与えられた関数) ...の一般解 f_1(x)は、[1] の一般解 f_0(x) と [2] の特殊解の一つ f_a(x) を用いて f_1(x) = f_0(x) + f_a(x) ...と表されます。 単に「線形微分方程式の解」という場合には、一般解、特殊解、基本解のいずれかということになります。