質問: ばらつきの掛け算 統計学に関する質問をさせていただきます。 n(μ1,σ1^2)の分布を持っているものと、n(μ2,σ2^2)の分布を持っているものを掛け算したとき、その結果はどのような分布になるのでしょうか? 具体的に申し上げます(カテゴリからちょっと外れてしまいますが)。とある電子回路の出力値が2つの部品の特性値の積で決定されるのですが、2つの部品のそれぞれの製造ばらつきが判明しているときに、出力値の分布が数式的にどのように表わすことがきるのかわからず悩んでいます。 同等の質問が既出でしたらごめんなさい。宜しくお願いいたします。
回答: ano.2のコメントについてです。 まず[2]について、 「幾つかの例」の作り方は簡単です。 たとえばσ1=σ2=1 だとします。 (a) μ1=10, μ2=1000の場合、ano.1の近似によって、qの分散は (σ1/μ1)^2 + (σ2/μ2)^2 = (1/10)^2+(1/1000)^2 ≒1/100 ぐらいであり、従ってx1x2の分散は ((μ1μ2)^2)×(1/100) = ((10×1000)^2)×(1/100) = 1000000 ぐらいです。 (b) μ1=μ2=100の場合、ano.1の近似によって、qの分散は (σ1/μ1)^2 + (σ2/μ2)^2 = (1/100)^2+(1/100)^2 =2/10000 ぐらいであり、従ってx1x2の分散は ((μ1μ2)^2)×(2/10000)= ((100×100)^2)×(2/10000) = 20000 ぐらいです。 つまり、σ1, σ2が同じでも、μ1, μ2によってx1x2の分散はまるっきり違う。(excelか何かで、実際に乱数を使って試してみては如何でしょうか。) 次に[1]です。ano.1の近似は「x1, x2のどちらについても、|μ|に比べてσがうんと小さい」という仮定のもとで導きました。このときはx1x2はほぼ正規分布になってくれる。ここで|μ|をだんだん小さくして行くと、「|μ|に比べてσがうんと小さい」とは言えない状況になってきて、x1x2の分布が正規分布から外れてきます。 例えば、x1とx2が標準正規分布に従う場合(μ1=μ2=0, σ1=σ2=1)、掛け算の性質により、 |x1|<1の場合には|x1x2|<|x2| |x1|>1の場合には|x1x2|>|x2| になる。つまり、|x1x2|は|x2|より小さくなるか、あるいは|x2|より大きくなるかのどっちかになって、|x2|とほぼ同じということは滅多に起こらない。 このために、x1x2の分布はx2の分布(標準正規分布)に比べてより広がった裾野と、よりとんがったピークを持つ分布になります。これも、excel等で試してご覧になればご納得いただけるかと。