質問: $$ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) $$ の解法で連続した3個の積の和は4個の積の差を利用するこ $$ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) $$ の解法で連続した3個の積の和は4個の積の差を利用することは展開でわかるのですが、一般にしたとき(l個の積の和はl+1個の積の差を利用する)の証明ができません。 展開の一般化で証明はできるのでしょうか。 回答例をよろしくお願いします。
回答: 面白い質問ですね.質問をもっときちんと書いて,次の命題を示そうと思います: ある自然数 $l, n$ に対して, $$ \sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+l-1) =\frac{1}{l+1}n(n+1)\cdots(n+l). $$ $l=3$ の場合は知っているようなので,一般の場合を実際に計算して済ませてしまおうと思います. $k(k+1)\cdots(k+l-1)$ に $(k+l)$ をかけたものから $k-1$ をかけたものを差し引くと, $$\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+l-1)(k+l)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+l-1)\\ &=k(k+1)\cdots(k+l-1)\{(k+l)-(k-1)\}\\ &=(l+1)k(k+1)\cdots(k+l-1). \end{align*}$$ したがって, $$\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+l-1)\\ &=\frac{1}{l+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+l-1)(k+l)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+l-1)\right\}. \end{align*}$$ これを $k=1,\ldots, n$ まで足し上げると, $$\begin{align*} &\quad\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+l-1)\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{1}{l+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+l-1)(k+l)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+l-1)\right\}\\ &=\frac{1}{l+1}\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+l)-\frac{1}{l+1}\sum_{k=1}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+l-1)\\ &=\frac{1}{l+1}n(n+1)\cdots(n+l) +\frac{1}{l+1}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)\cdots(k+l)\\ &\qquad -\frac{1}{l+1}\sum_{k=2}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+l-1) -\frac{1}{l+1}0\cdot1\cdot2\cdots l\\ &=\frac{1}{l+1}n(n+1)\cdots(n+l). \end{align*}$$ 題を得る.$\blacksquare$