質問: a,bをn次正方行列とする場合、|a b b a|=|a+b||a- a,bをn次正方行列とする場合、|a b b a|=|a+b||a-b|を証明したいのですが。
回答: 最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、 次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式 |a b| |b a| のことを言っているようですね。それなら、値は |a+b||a-b| と等しくなります。なるほどね。 行列式の基本変形をしてみましょう。 |a b| |b a| の第 n+k 列(k = 1 ... n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、 |a+b b| |b+a a| となります。更に、 第 k 列(k = 1 ... n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、 |a+b b| |o a-b| です。 このブロック三角行列の行列式が、行列式の積 |a+b||a-b| になることは、σ を使った行列式の表示 (http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html のような...)に、 左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。