質問: 2つの可算無限集合においてその直積は可算無限集合である 2つの可算無限集合においてその直積は可算無限集合であるということ{f(i,j)=1/2(i+j-1)(i+j-2)+j}を数列、または格子を使って証明するにはどうしたらよいか教えてください。
回答: 格子を使って説明する方法はたとえば「無限と連続」遠山啓著の分数が,可算無限個である証明で出てきます. m/n(n,mは自然数)という分数の場合, 横軸にmを縦軸にnを配置します. 任意の分数j/kは横軸j縦軸kの交点という格子点で 表せます.あとは,この格子点をたとえば 1/1 1/2 2/1 1/3 2/3 3/3 ・・・1/n 2/n ・・・ n-1/n ・・・ のようにたどると,自然数と全単射が作れるので(但し,1/2=2/4=3/6・・・のように同じ数のときは飛ばすようにする必要がある.)この分数と自然数の濃度は同じといえます. 直積の場合も同じ(分数の時のように飛ばして数えることがないので分かりやすいと思います.)考えで,全単射を作れます. ∀(n,m)∈n×n(記号がなかったのでかけるで代用) に対して, k∈nを k(n,m)=n+σ(j=1 to m-1)j とすれば,全単射となります.