質問: 大学教養レベル線形代数学を勉強中の者です。二次形式の最大最小値に付いて質問です。ある問題解説で、「Aを3×3の対称行列、X=(x,y,z)、Xの転置行列をtX、|X|=1のとき、2次形式tXAXの最大値、最小値は、・・(省略)・・・、Aの固有値の最大値、最小値に等しい。」とありました。 途中の・・・は難しくて意味不明な為省略しましたが、知りたいのは、(1)結論の、「Aの固有値の最大値、最小値に等しい。」が常に成り立つのかどうかと言うこと。常に正しいのなら定理とも言えると思いますが、定理という説明はなく、私が調べても定理としては見つからなかったので、(2)もし定理なら、何と言う定理なのか名称を教えてほしい、と言うのが質問です。また常に正しいなら、前文の条件下で同様の問題を解くときに、途中の・・・の省略した説明式を無視して結論にいっきに飛んで、最大最小値を解答して良いことになると思いますが、いかがでしょうか?参考になるHPをご紹介下さるのも歓迎です。どなたか線形代数に詳しいかたアドバイスください。
回答: 4と同じ人間です(人力検索はツリーみたいに回答継続できないのですね)。 「b>0で、最小固有値cがc<0の時も、(正定値対称行列でなくとも)cを最小値にして良いのですね?」 (a,b,cの符号とは無関係に)Yesです。x^2+y^2+z^2=1 という制約下で ax^2+by^2+cz^2 (a=>b=>c) の 取る値は a が最大値で c が最小値という「定理」は a,b,c が任意の実数のときに成立しますので。 # 荒っぽい証明はラグランジュの未定乗数法でできます。