質問: 6-17 再質問の高校数学の確率の問題です 2種の文字a,bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばaababb ではaa,b,a,bbの4個の連を持つ a,bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ 解説 a,b5個ずつ計10個の順列は[10]c[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がaで2連がbのものと,3連がbで2連がaのものとが考えられるが 5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える) その個数は[4]c[2]で一般のk分割だと[4]c[k-1]通りであるから a[5]=[4]c[2]・[4]c[1]+[4]c[1]・[4]c[2]=2[4]c[2]・[4]c[1] このようにしてa[2]~a[10]を求めると a[2]=2[4]c[0]・[4]c[0]=2,a[3]=2[4]c[1]・[4]c[0]=8, a[4]=2[4]c[1]・[4]c[1]=32,a[5]=2[4]c[2]・[4]c[1]=48, a[6]=2[4]c[2]・[4]c[2]=72,a[7]=2[4]c[3]・[4]c[2]=48, a[8]=2[4]c[3]・[4]c[3]=32,a[9]=2[4]c[4]・[4]c[3]=8, a[10]=2[4]c[4]・[4]c[4]=2 したがって求める期待値は 1/[10]c[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6 別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は 1/[10]c[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+ (5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]c[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+ (6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]c[5]・σ[k=2→10]6a[k]=6 (σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]c[5]に等しい) 研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである) 研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか?
回答: 充分な回答ではないかもしれませんが、参考にはなると思いますのでお答えします。 研究にある「一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になる」ことを前提としますと、1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。 ここで、高校三年生の数学iiiで習う「数列の極限」を知っていれば、nが充分に大きい時、この値がどうなるかを考えることができます。つまり、lim[n→∞] 2n/(n+1) = lim[n→∞] 2/(1+1/n) = 2 となります。従って、「nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となる」ことが示されます。もし「数列の極限」を習っておられなければ、今は「そういうものなんだ」程度にとらえていただいて、勉強されてからまた見ていただければと思います。 勉強頑張ってください。