質問: 2 ....* これを以下の手順に従って示せ。 (1)係数が整数であるxの三次方程式 でx=(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1 /3 が解になるものを一つ求
回答: (5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2 ....* これを以下の手順に従って示せ。 (1)係数が整数であるxの三次方程式 でx=(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1 /3 が解になるものを一つ求 めよ。 a=(5√2+7)^1/3 b=(5√2−7)^1 /3 とおく x=a-bとする a^3ーb^3=14(条件より) ab=1 a^3ーb^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) =(a-b){(a-b)^2+3ab} =x(x^2+3)=14 x^3+3x-14=0 (2)(1)で求めた三次方程式を解くことにより、等式*を証明せよ。 (x-2)(x^2+2x+7)=0 (5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 は実数である x^2+2x+7=(x+1)^2+6≧0 x=2 これで(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2が証明された