質問: 位相について 本の練習問題で命題を証明しています。 自信のない箇所があります。 「o_d=o_cを示せ」という問題の「o_d⊂o_c」の部分です。 記号の説明は下記の点線で囲んだ所を見てください。 その下に自分の証明を書きます。 (注)と記した辺りで、問題にあるヒント「r^nからr^mへの線形写像hはh(e_1),...,h(e_n)で一意に定まるという事実を使え」を参考にました。 使い方はこれでもいいでしょうか(他にもあるようです)。 他にも誤りや誤っていそうな所がありましたら、ご指摘、アドバイスください。 よろしくお願いします。 -------------------------------------------- hを r^nからr^mへの線形写像全体の集合とする。 各h∈hについて、hを表す(m, n)型実行列をf(h)と書くと、fは全単射。 h、l∈hの間の距離をf(h)-f(l)の2-ノルムとして定める。 この距離により定まるhの位相をo_d(開集合系)で表す。 r^nからr^m(どちらもユークリッド位相を考える)への連続写像全体の集合c(r^n, r^m)にコンパクト開位相を定めることができる。 ここで、h⊂c(r^n, r^m)。 コンパクト開位相のhにおける相対位相をo_c(開集合系)で表す。 e_1,...,e_nをr^nの標準基底とする。 -------------------------------------------- 以下、o_d⊂o_cを示す。 u∈o_dを固定する。 s_i={h(e_i) | h∈u}(i=1,...,n) とおく。 全てのiについてs_iはr^mの開集合。 h∈u ⇔ [h(e_i)∈s_i(i=1,...,n), h∈h](注). ここで w({e_i}, s_i)={h∈c(r^n, r^m) | h(e_i)∈s_i} とおく。 (各a⊂r^n、b⊂r^mについての記法w(a, b)が前提としてあり、それに従っています。) すると [h(e_i)∈s_i(i=1,...,n), h∈h] ⇔ h∈h∩[∩_(i=1)^n w({e_i}, s_i)]. よって u=h∩[∩_(i=1)^n w({e_i}, s_i)]. ここで全てのiについて{e_i}はr^nでコンパクト、s_iはr^mの開集合。 よって全てのiについてh∩w({e_i}, s_i)∈o_cだから、 u∈o_c。 したがってo_d⊂o_c。
回答: ||f(x)||≦ ||f|| ( ||x||=1 ) を使えばできるとおもいます。