質問: 球の表面積の微分8πr には? 球の体積4/3πr3を微分すると表面積4πr2となりますが、表面積を微分した8πrには、何か意味があるのでしょうか? 微積は苦手なので、簡単に解説していただけたら、ありがたいです。
回答: 解説ではなくて、直感的な意見を述べるだけなんですが、 たぶん境界の何らかの測度を表すのでしょう。 そう考えると球の体積の微分が、その球の境界(表面) の面積になるというのは納得。 そうしてたとえば円の面積の微分が、その面の境界(円周) の長さというようになるというのも何となく理解できます。 それで球の表面の場合、境界がないので、 どうも同じアイデアではうまくいかない気がします。 とりあえず同半径の円周の4倍にはなっていますが、 僕にはこの4という数字にこじつけ以外の 理由を与えることはできません。 きっとどなたがよい助言を与えてくださると思いますけれど。