質問: sin x といた場合) 答え (1)1+ log2 (2)1/3 (3)1/3(e^3 + 3e^2 + 3e - 7) (4)1/4 (5)π/4
回答: (1)i=∫(0→1)((x+2)/(x+1) dx (t =x+1といた場合) dx=dtより i=∫(1→2)(t+1)/t dt=∫(1→2)(1+(1/t)) dt =t+log|t|=2+log(2)-(1+0)=1+log(2) (2)i=∫(1→e){(log(x))^2}/x dx (t =log(x)とおいた場合) dt=dx/xより i=∫(0→1)t^2 dt=[(1/3)t^3] (0→1)=1/3 (3)i=∫(0→1)(e^x){e^(x)+1}^2 dx (t =(e^x)+1とおいた場合) dt=(e^x)dxより i=∫(2→e+1)t^2 dt =(1/3)t^3 =(1/3){(e+1)^3 -8} =(1/3)(e^3 +3e^2 +3e-7) (4)i=∫(0→π/2) cos^(3)(x)・sin(x)dx (t =cos(x) とおいた場合) dt=-sin(x)dxより i=∫(1→0) (t^3)(-dt) =∫(0→1) t^3 dt =(1/4)t^4 =1/4 (5)i=∫(0→π/2)cos(x)/{sin^2(x)+1} dx (t = sin(x) といた場合) dt=cos(x)dxより i=∫(0→1) 1/(t^2+1) dt =tan^(-1)(t) =tan^(-1)(1)-tan^(-1)(0) =π/4 -0 =π/4