質問: 数学の質問です。 空間内に4点 a(3,0,4)、b(-3,0,-4)、c(0,10,0)、d(−8 数学の質問です。 空間内に4点 a(3,0,4)、b(-3,0,-4)、c(0,10,0)、d(−8,5,6)を取る。このとき、四面体abcdの体積vを求めよ という問題で、平面bcdを底面にして考えるようにしました。 ベクトル(以下、ベクと呼称)bc=(3,10,4)、 ベクbd=(−5,5,10)で 外積ベクbc×ベクbd=(80,−50,65) これは方向ベクトルだから、簡略化して、(16,−10,13)...1 1と点cを使い、平面bcdの方程式は 16x−10y+13z+100=0...2 1と2から、点と平面の距離は、 |16・3−10・0+13・4+100| ーーーーーーーーーーーーーーーー =200/√2 √162+102+132 これが高さで、 bcdの面積s =1/2√|ベクbc|2・|ベクbd|2−(ベクbc・ベクbd)2=1/2・25√21 これが面積だから、 体積vは、 200/√2・1/2・25√21・1/3=... となったのですが、答えは500/3で、全く違うものになってしまいました。どこが間違っているのか何度も確かめましたが、わかりませんでした。長文で読みづらいかもしれませんが、詳しい方どうかお願いします。
回答: ちなみに 外積が分かっているなら説明不要かと思いますが 外積とは 2つのベクトルを2辺となす平行四辺形の大きさをもち 向きはこの平行四辺形に垂直なベクトルです つまり |bcxbd|はbcとbdを2辺とする平行四辺形の面積を意味します 外積のこのことは広く知られた常識 対して、 s=1/2√|ベクbc|2・|ベクbd|2−(ベクbc・ベクbd)2 これは教科書には出てこない準公式とでもいえる式 もし入試で後者を使うなら要注意かも というのも 導出もなしにこれを誰でもが知っている(教科書に載っている)公式と同様に使ってしまうと 説明不足で原点かもね・・・(要注意)