質問: 三角関数の合成 問題:0≦θ≦πの範囲のとき、sinθ+cosθ=tとおいた時の、tの値の範囲 自分で考えた結果、t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) 0≦θ≦πなので、π/4≦θ+π/4≦5/4*π ←ここまでは分かったんです が、ここからどうやってtの値の範囲を出すか分かりません。 ちなみに、答えは-1≦t≦√2です。 教えてください
回答: sinの値を考えればわかりますよ 単位円って習いましたよね? 一応習ったとして話しを進めます^^; x=θ+π/4としましょう とりあえずπ/4≦x≦5π/4の範囲を考えて見ましょう わかりにくかったら紙に円を書いてみてください まずπ/4 πが円の左端ですからその1/4、つまりちょうど右斜め上ですね それから5π/4なのでπ+π/4、つまりこちらはちょうど左斜め下の位置ですね この右斜め上から左斜め下まで、円周をなぞってみてください。sinがy座標っていうのは習いましたよね?では、そのなぞったところで一番上と一番下、つまりこの場合のsinの最大値と最小値を考えてみましょう。 最大値は円の一番上の頂点ですね。単位円は半径が1なので最大値は1になります 最小値はこの場合左斜め下ですね。これはならったと思いますが-√2/2です よって-√2/2≦x≦1です それと最後に√2sin(θ+π/4)の√2をかけるのを忘れないでください -√2×√2/2=1ですから、 -1≦t≦√2となります