質問: 微小振動の条件 大学の物理の実験で単振り子による重力加速度の測定があるのですが,その予習の段階で 微小振動の条件を理解してこい!と言われました。 そこで,単振り子の微小振動の条件を教えていただきたいです。よろしくお願いします。
回答: まずは、原理のお話しから 弧に沿って x軸 を取る。 物体には、張力 t と重力 w との合力 f が働きますが、運動の実際を考慮すると f の向きは弧の接線方向で原点oの或る方向に向いていることは明らかです。 ∴f=-mg・sinθ 運動方程式を立てますと m(d^2x/dt^2)=-mg・sinθ ここで、 x=l・θ の関係を使うと (d^2x/dt^2)=l・d^2θ/dt^2 なので、変数をθだけにすることができます。 ml・(d^2θ/dt^2)=-mg・sinθ これは複雑な運動ですが、ここで θ≒0 であれば、近似式 sinθ=θ を使えて m(d^2θ/dt^2)=-(mg/l)θ という極めてシンプルな運動方程式になります。 右辺が(定数×位置変数)の形式、つまり"復元力の形式"になっていることから、運動が単振動であることがわかります。 復元力が -kx になっているとき、周期 t は t=2π√(m/k) となることがわかっていますから 本運動を単振動と見なして良いなら、 t=2π√(m/k) =2π√(m/(mg/l)) =2π√(l/g) となりますので lとtを計測して、gを算出することができます。 以上が、実験で重力加速度を求めるための原理です。 行論から、 θ≒0 で、近似式 sinθ=θ が成り立つことを保証すれば良いことになります。では θ=sinθ はθがどのくらいの範囲であればよいか?これを前もって判断しておきなさい、というのが課題なのでしょう。 ただ、θの値を計測することは、けっこう難しくなります。 そこで、別の考え方も必要になるかも知れません。 θ≒0 では 振れ幅 x と糸の長さ l の関係から sinθ≒x/l なので振れ幅 x を糸の長さ l に対してどの程度にすべきか、というふうに考えることもできるでしょう。振れ幅は簡単に測定できますから、こちらで評価した方が良いかも知れませんね。