質問: 本気で分からない外心と垂心 [1] 外心と垂心が一致する三角形abcは正三角形であることを証明せよ。 自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか(全部間違えてそうだけど・・) どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。 以下、私の答えです。 △abcの外心をoとすると 点oから各辺への垂直二等分線をそれぞれl,m,nとする。 al=bl,bm=mc,cn=na,ol=om=on ol⊥abで点n,mは辺bc,caの中点なのでmn//abより ol⊥mn om⊥bcで点n,mは辺ab,caの中点なのでln//bcより om⊥ln on⊥acで点n,mは辺ab,bcの中点なのでon//acより on⊥lm 以上より点oは△abcの垂心でもある。 よって△abcは正三角形である。 教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか? [2] 鋭角三角形abcの垂心をh、外心をoとし、oから辺bcにおろした垂線をomとする。 また、△abcの外接円の周上に点kをとり、線分ckが円の直径になるようにする。 このとき、次のことを証明せよ。 (1)bk=2om (2)四角形akbhは平行四辺形である。 (3)ah=2om どれも難しくて分かりません。。 易しく教えてください。 おねがいします。
回答: 「垂心と外心が一致する三角形は正三角形である」ことの証明の方針 △abcにおいて、a(-a,0),b(b,0),c(0,c) とおく。 (ただし、a>0,b>0,c>0 とする。) 「cを通りabに垂直な直線」と「aを通りbcに垂直な直線」の交点が垂心pとなる。 外心と一致するので、ap=bp=cp が成り立つ。 これにより、b,c を a で表すと ab=bc=caを示すことができる。