質問: 不定積分と広義積分 不定積分、広義積分を求める問題です。 (1) ∫x^2/(x^4+1)dx (2) ∫(x^2-1)^(3/2)dx (3) ∫(-∞から∞まで)1/(x^6+1)dx 三角関数で置換してやってみたりしましたが、どうも上手くいかないみたいで。何か良い解法があれば教えてください。
回答: まず(1)ですが、被積分関数(積分される関数)を部分分数分解しなければなりません。 p(x)/q(x) + r(x)/s(x) (p、rは1次以下の多項式、q、sは2次式) の形にもっていきます。x^4+1 の実数範囲内での因数分解ができればわかると思います。 ヒントは、 x^4 + 2x^2 + 1 - (√2 x)^2 です。 またはオイラーの公式から一旦複素数の範囲で因数分解をして、共役な複素数をもつもの同士を組み合わせてもできます。 (2)は、x=1/cosθ と置き換えれば、置換積分ができます。 (3)は、(1)と同じやり方でも可能です。同様に部分分数分解すれば積分できます。しかし複素積分をご存知ならば、そのほうが圧倒的に楽です。