質問: pを素数とする。Fp=Z/pZをp個の元からなる有限体とし、Fpxでその乗法群を表す。n∊ZのFp=Z/pZにおける剰余類を、混同の恐れがなければ同じnで表すことにする。Fpの元を成分にもつ2×2行列全体M2(Fp)の
回答: F_p=Z/pZでその乗法群をF_p^*と書くことにする。 (1) Gの元X、Yを任意にとる。 X= (a,b) (0,1) Y= (c,d) (0,1) XY= (ac,ad+b) (0,.......1) acはF_p^*の元でかつad+bはF_pの元であるから XYはGの元である。 したがって、Gは乗算に関して閉じている。 Gの任意の元に対して、明らかに乗法に関して結合法則が成立する。 (1,0)はGの元である。 (0,1) Gの元Xを任意に取る X= (a,b) (0,1) az=1をみたすzとaw+d=0をみたすwをとる。 (aは逆元を持つから、上記条件を満たすz,wは必ず存在する) Gの元Lを L= (z,w) (0,1)とおく するとXL=LX= (1,0) (0,1)となるからLはXの逆元となる。 以上よりGは乗法に関して群となる。 F_p^*の元はp-1個かつF_pの元はp個だから Gの位数はp(p-1)となる。 (2) Nの元X、Yを任意にとる。 F_pの元a,bを用いて X= (1,c) (0,1) Y= (1,d) (0,1) と書ける。 XY= (1,c+d) (0,...1)だからXYはNの元となる (1.0)はNの元である。 (0,1) Gの任意の元Xに対して X= (1,c) (0,1)に対してLを L= (1,-c) (0,.1) ととるとXL=LX= (1,0) (0,1)となる。 したがってNはGの部分群である。 Gの元XとNの元Yを任意に取る F_p^*の元aとF_pの元b,cを用いて X= (a,b) (0,1) Y= (1,c) (0,1)とかける。 するとX^(-1)= (z,w) (0,1)とおく 「z,wはac=1、aw+d=0をみたす」 XYX^(-1)= (1,ac) (0,..1)となるからXYX^(-1)はNの元となる したがってNはGの正規部分群である。 GからF_p^*への写像fを以下のように与える X= (a,b) (0,1) aはF_p^*の元、bはF_pの元に対して f(X)=a fは明らかに準同型となり、kerf=Nとなるから、準同型定理より G/NはF_p^*と同型となる。 (3) 行列がわからないからパス