質問: 放物線y^2=4pxの焦点fを通る弦abを直径とする円 放物線y^2=4pxの焦点fを通る弦abを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をhとするとfhはabに垂直であることをしめせ! この問題わかりません!!どなたか教えてください!! まず私は、y^2=4pxの図を描きました そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をh(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦abの事です)aからfに向かってそしてfを超えてbまで弦を書きました。 ここで円に対して、左右対称の真っ二つにして弦abの線を描いたのは、”弦abを直径とする”と題意に書いてあるので、弦を円の中に書いた時に、半分半分になってないと、たとえば左側の方が広くて、右側が狭いって事になってしまったら、これは直径の線abと成らないと考えました。ここまでokでしょうか?!>_< さて、 問題を解き始め、まず、弦abのaから準線に向かって一本線を引きました。そして、この垂線の足をcとしました。 これは曲線を学んだ時、準線からaに向かって引く線は垂線であると学び、またaから焦点に伸びたafとacは長さが等しいとも学びました。 よってac=af (1) その後、abと弦を引いた時にbがあるので、bから準線に向かって垂線を引きました、このときの垂線の足をdとおきました。そしたら bf=bdの関係が得られました。(2) ここまでしかできません!!>_< このあとどうしたらよいでしょうか?? 誰か教えてください!お願いします!
回答: no1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、 四角形abdcは台形になっていますよね。このとき、abの中点m を通りacと平行になっている線分mhの長さには、 mh=1/2(ac+bd) が成り立つことは中学校の中点連結定理 でやりました。わからなければ、mhとbcの交点をeとでもして、 me=1/2ac[△abcで中点連結定理] he=1/2bd[△bcdで中点連結定理]とすればいいでしょう。 後半の「fhはabに垂直であることをしめせ」について 1.△abhは∠ahb=90°[直径abに対する円周角]の直角三角形 2.∠bah=∠bhd[円の接線と、接点を通る弦とではさむ角は、そ のその角内にある弧に対する円周角に等しい・・接弦定理] 3.△abhで∠abh(=∠fbh)=90°-∠bah △bdhで、△bdhは直角三角形だから、 ∠dbh=90°-∠bhd=90°-∠bah 4.bd=bfと3.のことなどから△bdh≡△bfhがいえるので ∠bdh=∠bfh=90°したがって・・・ という順でやっていけばいいでしょう。 全体を図形で考えましたが、f(p,0)を通る直線[x=my+p]と 曲線y^2=4pxの交点a,bのy座標をα、β(α>β)として、座標や 線分の長さなどを計算してもam=hmが証明できます。 後半の垂直になることも、直線の直交条件m・m'=-1でできます。