質問: 数学 解き方 解き方を教えてください。 放物線y=-1/3x2をc1とし, 放物線y=(x-a)2をc2とする。 ただしaは正の実数である。 また,c1とc2の両方に接する直線のうち, x軸と異なるものをlとする。 点(t,-1/3t2)におけるc1の接線の方程式は y=-ア/イtx+t2/ウであり, この直線がc2に接するのはt=0または t=エ/オaのときである。 よって直線lの方程式はy=-ax+カ/キa2である。 またc1,c2の頂点をそれぞれa,bとし, c1とlの接点をp,c2とlの接点をqとする。 4点a,b,p,qを頂点とする 四角形の面積が75aであるとき, aの値はa=ク√ケである。 ア/イ 2/3 ウ 3 エ/オ 3/2 カ/キ 3/4 ク√ケ 5√6
回答: y=-x^2/3 を微分すると y '=-2x/3 よって 点(t,-t^2/3)におけるc1の接線の傾きは -2t/3であるから、 求める接線の方程式は y+t^2/3=-2t/3(x-t) 整頓して y=-2tx/3+t^2/3 ... (1) ∴ア/イ 2/3 ウ 3 (1)式とy=(x-a)^2を連立させて x^2-2(a-t/3)x+a^2-t^2/3=0 ... (2) これが重解を持つので、 d/4=(a-1/3t)^2-(a^2-1/3t^2)=0 これを解いて t(2t-3a)=0 ∴t=0,3a/2 ∴エ/オ 3/2 t=0の時、これを(1)式に返すとy=0すなわちx軸となるから不適 またt=3a/2の時、これを(1)式に返すとy=-ax+3a^2/4 これが直線lである ∴カ/キ 3/4 c1の頂点はa(0,0)、c2の頂点はb(a,0)、pはc1とlの接点であり、このx座標は3a/2であるから、これを y=-x^2/3 に返すとy=-3a^2/4 ∴p(3a/2,-3a^2/4) またqはc2とlの接点であるから、このx座標は(2)の重解に一致し、 {-2(a-t/3)}/(-2)=(a-t/3) t=3a/2 だから、 求めるx座標はa/2 これを y=(x-a)^2 に返すと y=a^2/4 ∴q(a/2,a^2/4) これら四点をxy平面上に記す(参照urlの画像を見てください)。すると、求める四角形の面積は二つの三角形abqとabpの和で与えられるから、其の面積をそれぞれs,tとすると、 s=(a*a^2/4)/2=a^3/8 t=(a*3a^2/4)/2=3a^3/8 よって、 s+t=75a であるから、代入して整頓すると a^3=75*2a a≠0より a^2=75*2 a>0 であるから a=5√6 ∴ク√ケ 5√6