質問: ある領域d上の正則関数全体の集合o(d)が整域になることの証明(複素解析) (一致の定理)領域d上の正則関数f、gについてd内の小領域でf=gが成り立つならばd上でf=g。 これを用いて「ある領域d上の正則関数全体の集合o(d)が整域になること」を示そうとしましたが、うまくできません。どう修正すべきなのでしょうか? (証明)d上のfの零点でない点aとgの零点でない点bがなければならない。(そうでなければd上でf、gは常に0)一致の定理からaのどんな開近傍u(a)をとってもその上では「f≡0はあり得ない」。gに関してもbのどんな開近傍u(b)をとってもその上では、「g≡0はあり得ない」。(ここまで考えましたが、u(a)⋀u(b)でfg≡0はあり得ない」とは言えないと思いました)
回答: 連続の定義から導かれるのです f,gをd上で恒等的に0でない正則関数とする f^(-1)(0)=z(f)={z∈d|f(z)=0} は 閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから dの閉集合 g^(-1)(0)=z(g)={z∈d|g(z)=0}は は 閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから dの閉集合 z(f)の補集合d-z(f)≠φはdの開集合 z(g)の補集合d-z(g)≠φはdの開集合 {d-z(f)}∩{d-z(g)}=φ と仮定すると d-z(f)⊂z(g) だから 開集合d-z(f)でg=0となって d上で恒等的にg=0となり矛盾するから {d-z(f)}∩{d-z(g)}≠φ だから a∈{d-z(f)}∩{d-z(g)} となるaがあるから f(a)≠0 g(a)≠0 f(a)g(a)≠0