質問: 振動回路を流れる電流の最大値は、なぜエネルギー保存でも止まるのですか? 電磁波を放射してもエネルギー 振動回路を流れる電流の最大値は、なぜエネルギー保存でも止まるのですか? 電磁波を放射してもエネルギーは保存されるのですか? 【問題】 起電力vの電池、電気容量cのコンデンサー、自己インダクタンスlのコイルが、スイッチs1、s2で接続されている。(下図)はじめs1は閉じ、s2は開いていて、十分時間が経過してからs1を開き、s2を閉じた。 (1)振動回路を流れる電流の最大値iを求めよ。 答え)i=v√(c/l) (2)電気振動に合わせてコンデンサーから放射される電磁波の波長を求めよ。 答え)λ≒1.9×10^2m (1)cv^2/2=li^2/2⇔i=v√(c/l) はじめにコンデンサーに蓄えられていたエネルギーは保存されてコイルのエネルギーになるらしいのですがなぜそうなるんでしょうか? 電流が最大のときはコイルの電荷は、0になるということですか? (2)電気振動の周期の式より、 t=2π√(lc)=2π×10^(-7) s λ=ctより λ=(3.0×10^8)×(2π×10^(-7))≒1.9×10^2 m (1)では、エネルギーは保存するって書いてあったのですが、(2)では電磁波を放射すると書いてあります。電磁波は放射するのにエネルギーはかからないのですか?
回答: (1) 回路方程式は、iを時計回り、+qを上側にとると -q/c+ldi/dt=0、i=-dq/dt・・・・1 全式の両辺にi=-dq/dt をかけると -(q/c)(-dq/dt)+l(di/dt)i=0 → (d/dt)(q2/2c+li2/2)=0 → q2/2c+li2/2=const. → cv2/2+li2/2=const. となり、cとlのエネルギーの和が保存される。 最初は i=0 v=v だから cv2/2+li2/2=cv2/2・・・・2 となり、エネルギー保存が得られる。もし、 「最大の電流i=iのとき、v=0 となる」・・・・3 ならば、2から li2/2=cv2/2 がえられるが、3の成立は、12から直接的に言えない。 1は q/c+ld2q/dt2=0 なので、その解は q=acoswt+bsinwt, w=1/√(lc) となり、q(0)=cvから、a=cv, i(0)=-dq/dt(0)=0 から、 wb=0 → b=0 となる。結局、 q=cvcoswt, i=-dq/dt=wcvsinwt=(√(c/l))vsinwt なり、iの最大値が(√(c/l))といえます。また、 v=q/c=0 → |i| が最大になる。 これらの計算は、 ・電磁波が放射されないか無視できる ・導線に抵抗やインダクタンス、浮遊容量はないか無視できる ・cには漏れ電流やインダクタンスはないか無視できる ・lには抵抗や線間容量はないか無視できる などの仮定のもとに解かれています。