質問: 1/2m・v^2+c となり、(3)になるのを避けられますが単に数式をこね回しているだけのような気もします。 加速度を空間で積分、速度を速度で積分というのはどうすれば納得できるのでしょう。
回答: ああ、積分の意味ですね。 >∫fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1) この式からスタートするのが悪いのです。 本来は、微小な仕事がδf↑・δx↑で、 これを微小時間の変化と考えると δf↑・(δx↑/δt)δt → df↑・(dx↑/dt)dt = df↑・v↑dt となるので、これを時間で積分した ∫f↑・v↑dt = ∫m a↑・v↑ dt からスタートします。 a↑=d(v↑)/dtなので a↑・v↑ dt = v↑・d(v↑)/dt dt = (1/2)d(v^2)/dt dt = (1/2) d(v^2) から左辺の積分はただちに(1/2)mv^2であることがみちびかれ、 ∫[a->b] f↑・v↑dt = (1/2)mv(b)^2 - (1/2)mv(a)^2 となります。 力が保存力の場合はf↑= f↑(r↑)で、v↑=d(r↑)/dtなので 左辺は ∫[a->b] f↑・dr↑ になります。