質問: 時間が第4の座標軸と認定された根拠について 最近はなんとなく時間軸が第4の座標軸で、私たちが実感している世界は3次元空間に1次元の時間軸を加えた4次元なのだという考え方が半ば常識のようになっているようです。 しかし、物理学の専門家ではない人たちには、なぜ時間軸が空間の座標軸と並ぶ座標軸として扱われて良いのかという疑問が湧くでしょう? このq&aサイトのどこかで見た気がするのですが、ある変換を行なうことで、空間の座標軸が時間軸に変わったり、時間の座標軸が空間の座標軸に変わるので、時間軸を空間の座標軸と対等なひとつの座標軸として扱えるのだといった記述があったようです。 その変換とは、具体的にはどのような変換でしょうか? 複素平面において、虚数をベクトルにかけ算することで実数軸が虚数軸に変わり、虚数軸は実数軸に変わったかのようになるのと同じようなものなのでしょうか? しかし、時間には決して逆には進めないという因果律から来る鉄則があるようですが、どちら方向にも動ける空間の座標軸とそのような制約のある時間軸が本当に対等なのでしょうか?
回答: まず、ガリレイ変換はご存知でしょうか。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%82%ac%e3%83%aa%e3%83%ac%e3%82%a4%e5%a4%89%e6%8f%9b 簡単にいうと、 a:地面に対してx軸正の向きに速度vで等速直線運動 b:地面に対して静止 というa,bの二人がいたとします。この時の二人の座標系は x'=x-vt, y'=y, z'=z, t'=t という変換を受けます。これはニュートン力学の範囲内の話です。 当然、時間は変換を受けませんので、tとx,y,zを対等に扱う必然性はなく、 通常、tは特別扱いされます。 ところが、よくよく調べてみると、ガリレイ変換は厳密には成立しておらず、 ローレンツ変換と呼ばれる変換に修正されます。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%ad%e3%83%bc%e3%83%ac%e3%83%b3%e3%83%84%e5%a4%89%e6%8f%9b 先程と同じ状況で x'=γ(x-vt), y'=y, z'=z, t'=γ(t-vx/c^2) となることが分かってしまいました(γ=1/sqrt(1-v^2/c^2))。 vがcに比べて十分小さい範囲では、近似的にガリレイ変換に帰着します。 つまり、我々が今まで正しいと思ってきたガリレイ変換はv≪cという範囲でしか成立しない 見識の狭いもので、本当はローレンツ変換に従っていたのです。 そして、このローレンツ変換を見ると、x', t'がx, tの一次式となっています。 先程のt'=tとは全く様子は異なって、時間の中に座標が混じっているのです。 これをもって、時間と空間は独立したものではなく、統合されたものとみなさざるを得なくなったのです。 今まではr^3というユークリッド空間を扱っていました。 そこに時間を混ぜた(3+1)次元の時空を、ミンコフスキー空間といいます。 さて、このミンコフスキー空間ではtとx,y,zは完全に対等でしょうか? つまり、ただのr^4とみてよいでしょうか。 実は、完全に対等ではありません。というのは、ユークリッド空間ではp(x,y,z), q(x,y,z)として d(p,q)^2=(x-x)^2+(y-y)^2+(z-z)^2 が距離をはかる方法でした。これは、ガリレイ変換を行っても、座標軸を回しても、座標軸を一定距離ずらしても変わりません。 つまり、どの慣性系から見てもd(p,q)は不変です。 ニュートン力学の範囲では距離が見る人によって変わることはありません。 ならば、と、ミンコフスキー空間で「距離」を考えたければ、p(x,y,z,t), q(x,y,z,t)として d(p,q)^2=(x-x)^2+(y-y)^2+(z-z)^2+(t-t)^2 とすればよいのでしょうか?もし、時間と空間が完全に対等ならこれで良いはずです。 ところが、これではうまくいきません。xとtの単位が異なるからではありません。 単位をそろえて、 d(p,q)^2=(x-x)^2+(y-y)^2+(z-z)^2+c^2(t-t)^2 としてもダメです。 というのは、先ほどのローレンツ変換を施すと、d(p,q)が一定にならないのです。 例として、p(0,0,0,0), q(1,0,0,1)とします。簡単のためc=1とします。この時、d(p,q)^2=2です。 v=0.6としてローレンツ変換すると、γ=5/4なのでp'(0,0,0,0), q(1/2,0,0,1/2)となります。d(p',q')^2=1/2≠2です。 実は、正しい「距離」は d(p,q)^2=(x-x)^2+(y-y)^2+(z-z)^2-c^2(t-t)^2 であることが分かっています。時間の部分の符号が反対になるのです。 この「距離」はローレンツ変換に対して不変です。つまり、誰が見ても変わりません。 (ちなみに、不変なのはdであってdではないので、相対論の範囲なら見る人によってdは変わり得ます。これが有名なローレンツ収縮です。 また、ニュートン力学の範囲ではd'(p,q)=t-tも不変です。が、相対論の範囲ではやはりd'は変わり得ます。これが、時間が延び縮みすることに対応します) さて、時間と空間が完全には対等でないことが分かりましたが、これは何を意味するのでしょうか。 このd(p,q)とやらは何を表すのでしょうか。 実は、これが因果律の保存を表します。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%e5%85%89%e5%86%86%e9%8c%90 上のページを見てください。 光円錐と呼ばれるこの「円錐」はp(x,y,z,t),q(0,0,0,0)としたときの d(p,q)^2=0 が表す曲面を描いています。そして、 円錐の内側でt>0の部分を未来光円錐、 円錐の内側でt>0の部分を過去光円錐、 円錐の外側の部分を空間的領域 と呼ぶことにします(一般的な用語ではないかもしれません)。 これらは、 d(p,q)^2<0かつt>0 d(p,q)^2<0かつt<0 d(p,q)^2>0 であらわされます。そう、全てd(p,q)^2でかけているのです! d(p,q)^2が誰から見ても不変ということは、これらは誰が見ても同じように見えるのです。 私にとっての未来光円錐は、他の人にとっても未来光円錐ですし、 私にとっての過去光円錐は、他の人にとっても過去光円錐です。 よって、未来と過去の順序は保たれる。 (...と言いたいところですが、一つ説明を省略したところがあります。 ここは読まなくてもいいです。 「t>0」とか「t<0」は不変でないのでは?というところです。 じつは、ローレンツ変換というのは4つの部分からなっていて、時間反転をt、空間反転をpとして、 pもtも含まない部分をl0として、l0, pl0, tl0, ptl0に分かれます。 このうち、l0, pl0は、未来光円錐、過去光円錐を変えません。 tが入ると、未来光円錐と過去光円錐がひっくり返ります。) ↑は読まなくていいです。 が、じつは空間的領域(光円錐の外側)に関しては、時間の順序は保存されません。 ある人にとっての過去が、他の人にとっては未来に見える、ということが起こります。 これでは因果律は保たれていないではないか、ということになりますが、そうはなりません。 なぜなら、「情報は光速以下でしか伝わらないから」です。 これを今の言葉でいえば、「光円錐の原点で起こったことは、空間的領域には全く影響しない」となります。 光円錐の表面が光速で伝わる場合の限界なので、その外にはいけない、ということです。 これの意味するところは、空間的領域はそもそも自分とは「無関係」の領域だということです。 自分と無関係であれば、その領域でどんな変なことが起こっても知ったことではありません。 こうして、因果律は保存されるのです。 精密にいうと、 自分に影響を与えうるのは過去光円錐の出来事に限られ、 自分が影響を与えうるのは未来光円錐の出来事に限られる。 ということです。 これが、相対論における因果律です。 蛇足になりますが、もし、光速を超えて伝わるもの(タキオンと呼ばれます)が存在したとすると、上の「自分と空間的領域は無関係」が成立しなくなります。 そうすると、因果律が破れて、自分が過去光円錐に影響を与える、といったことが出来てしまいます。 因果律が破れると簡単に色々な矛盾が生じてしまうので、通常は、理論を作るときはタキオンができないようにします。