質問: 代数学の問題です。こちらのR3だけで構いませんので、基底に関する表現行列の求め方を教えて頂きたいです!
回答: a1=(1,1,1)', a2=(1,1,0)', a3=(1,0,0)' b1=(1,1)', b2=(1,0)' とします。 R^3 の標準基底 e1,e2,e3 を新しい基底 a1,a2,a3 に取り換える行列を P とすれば、P は (e1,e2,e3)P=(a1,a2,a3) を満たします。基底の取り換え行列 P は「右から」掛けることに注意が必要です(これさえ覚えておけばOK)。ここで (e1,e2,e3)=E3(3x3単位行列) ですから、P = (a1,a2,a3) = 111 110 100 です。 次に R^2 の標準基底 e1,e2 を新しい基底 b1,b2 に取り換える行列を Q とすれば、Q は (e1,e2)Q=(b1,b2) を満たします。ここで (e1,e2)=E2(2x2単位行列) ですから、Q=(b1,b2) = 11 10 です。ここで Q の逆行列が必要になりますので書いておけば Q^(-1)= 01 1-1 です。 基底の取り換えによる表現行列の新しい表現行列は Q^(-1)AP で与えられます(この事実は定理として覚えておくものです)。従って求める表現行列は Q^(-1)AP= 653 -1-4-1 になります。