質問: nを2以上の自然数とし、整数xのn乗を、xの2乗-6x-12で割ったあまりを Anx+Bnとする。 An+1、Bn+1をAnとBnを用いて表せ。 各nに対して、AnとBnの公約数で素数となるものすべて求めよ 教えてください
回答: x^n=(x^2-6x-12)Q(x)+A[n]x+B[n] とあらわされるので 両辺にxをかける x^n*x=x(x^2-6x-12)Q(x)+A[n]x^2+B[n]x x^(n+1)=(x^2-6x-12)*xQ(x)+An+An+B[n]x x^(n+1)=(x^2-6x-12)(xQ(x)-A[n])+(6A[n]+B[n])x+12A[n] よってx^(n+1)を(x^2-6x-12)で割ったあまりが(6A[n]+B[n])x+12A[n]ということで A[n+1]=6A[n]+B[n]1 B[n+1]=12A[n]2 x^2=(x^2-6x-12)*1+(6x+12)なので 初期値A[2]=6,B[2]=12 A[n]=6k[n],B[n]=12m[n] (k[n],m[n]:実数)とおくと 12に代入 A[n+1]=6*6k[n]+12m[n]=6(6k[n]+2m[n]) B[n+1]=12*6k[n] ということから n≧2に対し、A[n]は常に6の倍数、B[n]は常に12の倍数である よって、公約数として確実にあるのは1,2,3,6 そのうち素数は 2,3