質問: 3次関数について 一般に3次関数で、3個の実数解をもつための条件は関数f(x)が極値をもち、極大値と極小値が異符号となること。 問題 x^3+px+q=0 (p,qは実数)が3個の実数解をもつための必要十分条件を求めよ。 この問題に対して、私はx=sのとき極大値をもち,x=tのと極小値を持ち f(s)>0,f(t)<0 (s
回答: こんにちは。 なぜ? がご質問ですよね。 グラフで考えると、わかりやすいと思います。 まず、 f(x)が3個の実数解を持つためには、 y = f(x)= x^3 + px + q のグラフがx軸と3回交わらないといけない、ということはおわかりかと思います。 x^3 の係数が正なので、 y = f(x)= x^3 + px + q のグラフは、 1.はるか左下の遠くから右上がりに上ってきて、 2.x軸を横切って(1回目) 3.x=s で極大になって進路を右下方向に変え、 4.x軸を横切って(2回目) 5.x=t で極小になって進路を右上方向に変え、 6.x軸を横切って(3回目) 7.はるか右上へ向かっていく、 という進路をたどります。 上記の3では、f(s)>0 上記の5では、f(t)<0 です。 マイナスとプラスをかければマイナスになるわけですから、 f(s)・f(t) < 0 です。 なお、 f(s)・f(t) < 0 となるのは、別に x^3 の係数がプラスである場合に限りません。 y = f(x)= -x^3 - px - q でもよいのです。 その場合は、y=f(x)のグラフが上記に対し、x軸に関して線対称なグラフになります。 そして、 上記の3に相当するところでは、f(s)<0 上記の5に相当するところでは、f(t)>0 です。 ですから、やはり f(s)・f(t) < 0 です。 以上、ご参考になりましたら。