質問: 2次元極座標の速度 2次元平面内を運動する物体がある。この物体の運動をデカルト座標を 用いて表すと、その速度は v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}j (v(t)は速度ベクトル) と表せる。但し、i,jはx軸y軸それぞれの単位ベクトルを表すものとする。 同様のことを2次元極座標を使って表すと、動径方向の単位ベクトルをer(t)、 角度方向の単位ベクトルをeθ(t)として、 v(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t) と書けることを示せ。但し、r(t)=√{x(t)^2+y(t)^2}とし、角度θ(t)は x軸から測った角度とする。(x(t)=r(t)cosθ(t),y(t)=r(t)sinθ(t)) という問題ですが、 (解)(長くなるので途中の式は省きます。) dx(t)/dt={dr(t)/dt}cosθ(t)-r(t){dθ(t)/dt}sinθ(t) dy(t)/dt={dr(t)/dt}sinθ(t)+r(t){dθ(t)/dt}cosθ(t) とそれぞれ求め、v(t)={dx(t)/dt}i+{dy(t)/dt}jに代入すると v(t)={dr(t)/dt}{cosθ(t)i+sinθ(t)j}+r(t){dθ(t)/dt}{-sinθ(t)i+cosθ(t)j}・・・ア と表せる。 er(t)=ai+bj eθ(t)=ci+djとおいてa,b,c,dをもとめると er(t)=cosθ(t)i+sinθ(t)j・・・イ eθ(t)=-sinθ(t)i+cosθ(t)j・・・ウ アイウよりv(t)={dr(t)/dt}er(t)+r{dθ(t)/dt}eθ(t)と表せる。 という解き方をしたんですが、適切ですか? お願いします。もっといい解き方があれば教えてください。
回答: デカルト座標と極座標の関係が er(t) = cosθ(t)i+sinθ(t)j ・・・(1) eθ(t) = -sinθ(t)i+cosθ(t)j ・・・(2) なので(1)をtで微分して d(er(t))/dt = (dθ(t)/dt)eθ(t) ・・・(3) であることがわかります。 物体の位置ベクトルをr(t)とすると r(t) = r(t)er(t) ・・・(4) と書けるので、(4)をtで微分して(3)を使うと v(t) = dr(t)/dt = (dr(t)/dt)er(t)+r(t)d(er(t))/dt = (dr(t)/dt)er(t)+r(t)(dθ(t)/dt)eθ(t) ・・・(5) を得ます。