質問: 確率分布 確率密度関数 確率変数xの確率密度関数f(x)が 1/2sinx (0≦x≦π) 0 (その他) と定められてる時 2次のモーメントe(x^2)と分散v(x)を求めよ。 という問題で e(x^2)=(π^2-4)/2 v(x)=(π^2-8)/4 となったのですが合ってますか?
回答: 企業で統計を推進する立場の者です。 なかなか回答が付かないので私から。 e(x^2)は分散を求めるための誘導問題ですね。 なお、部分積分とかの部分は省略しています。 まず、平均を求めておきます。1次の積率で求めます。 e(x)=1/2・∫[0~π] x・sin x dx =1/2・[-x cos x + sin x]0~π =1/2・{(π)-(-0)} =1/2・π 次に2次モーメントを求めます。 e(x^2)=1/2・∫[0~π] x^2・sin x dx =1/2・[(-x^2+2)cos x+2x sin x]0~π =1/2・{(π^2-2)-(2)} =1/2・(π^2-4) 本来、分散は2次の中心積率から求めます。 v(x)=1/2・∫(x-e(x))^2・sin x dx これが面倒だから分散は次の分散の公式から求めます。 v(x)=e(x^2)-e(x)^2 =1/2・(π^2-4)-(1/2・π)^2 =1/2・(π^2-4)-1/4・π^2 =1/4・(π^2-8) 計算、合っていました。