質問: 三角関数の近似の問題 三角関数の近似の問題 以下式の(1)式に(2)式の条件を適用すると、(3)式のように近似できます。 しかし、なぜ(3)式のように近似できるのかわかりません。 ちなみに、これは量子力学における1次元の束縛状態の、 ブロッホの定理を使って周期的ポテンシャルの中のエネルギーバンドを 求める問題の中で出てきました。
回答: bρ^2=const., b→0, v0→0 の条件から、 bρ→0, ρ→∞ となります。 このことから、1次までの近似をしますと、次のようになります。 cosh(bρ)→1 sinh(bρ)→bρ あとは、これらの関係を式(1)に代入して整理していけば求められます。 -1≦cos(ak2)cosh(bρ)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)sinh(bρ)≦1 -1≦cos(ak2)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)bρ≦1 (1次近似) ⇔-1≦cos(ak2)-(bk2^2-bρ^2)/(2k2) sin(ak2)≦1 -1≦cos(ak2)+bρ^2/(2k2) sin(ak2)≦1 (∵b→0) -1≦cos(ak2)+(abρ^2/2)/(ak2) sin(ak2)≦1 (a≠0の条件が必要) ∴-1≦cos(ak2)+γ sin(ak2)/(ak2)≦1 ちなみに、式(3)のsinの中のkxはk2の誤記ですよね。