質問: 4x としてからxでの偏微分を考えてはいけないのは何故なのでしょうか? ずっと疑問に思っているので、よろしくお願いしますm(_ _)m
回答: >解析力学の本から見つけました。 p ≡∂l / ∂q(dot) 上式では、qを定数とみなしてq(dot)で偏微分する。qとq(dot)は本来は時間微分により結ばれた変数であるが、上式ではその関係を忘れて単純に偏微分すればよい。これはどういうことなのでしょうか?? lはラグランジアン,qは一般化座標(x,y,zなど)です.簡略化のため,座標軸x上を運動する物体の∂運動方程式をオイラー・ラグランジュの方程式により導くことを考えます.物体の重心位置をxとすれば,その時間微分xdotは物体の重心速度となります. さてオイラー・ラグランジュの方程式から運動方程式を導く際, ∂xdot / ∂x = 0 ∂x / ∂xdot = 0 として計算しますが,これは,xdotがxの式で表されないことを前提としています.何故このような前提をたてることができるのか.それはxdotは重心という一点の速度を表しているためです.ある時刻t0において物体の重心速度xdotが2つあったら変ですね.つまり時間tを決定すると,重心位置での速度は一意(1つ)に決定するということです(つまりxdot(t)である).これがxdotがxの関数でない理由です. それではxがxdotの関数でないのは何故か.これも同じです.重心位置xは時刻tが決まれば,ある一つに決定します.つまりある時刻において,1つの物体が2つの場所に同時に存在することはないということ意味しています. (補足) z = z(x,y) = 2y y = y(x) = 2x と書くと, z = 2y = z(x,y) = z(x,y(x)) = 2*2x = 4x となり, ∂ z/∂ x = ∂ (2y)/∂ x = ∂ z(x,y)/∂ x = ∂ z(x,y(x))/∂ x = 2*2∂ x/∂ x = 4 であるので, ∂ z/∂ x = 4 です. ∂ z(x,y)/∂ x = ∂ z(x,y(x))/∂ x が成立しないとすると, y = y(x) = 2x という式がそもそも成り立たないということになってしまいます.