質問: もういちど教えてください。収束計算式です。 過去に一度質問したのですが、別の考え方でも式が出せないか考えていたのですが、まったく答えにたどり着けないため、お力をお借りしたいと思い再度質問させていただきます。 vリットルの液体aにrミリリットルの液体bを添加してv+r/1000リットルの液体をよく混合後、rミリリットル捨てるという作業をn回行う。 最初のvリットルの液の減少量を考えると1回にv/(r/1000+v)の比率で減少するため、n回では(v/(r/1000+v))^n、よって液体bの置換率は1-(v/(r/1000+v))^nという式が導き出せることは、理解いたしました。 では、液体bの増加量に着目して式を出すにはどうしたらよいのでしょうか? よろしくお願いします。
回答: まずvリットルとrミリリットルとで単位が違うので (x1000や1/1000を数式に入れると、ややこしくなってミスを犯しやすいので) rミリリットル=sリットルとしましょう。(s=r/1000) 全ての計算が終了してからsをrに置き換えればいいのですから それでは液体bの増加量に着目するとして計算式を立てていきます。 n回目の作業の後の液体bの割合をb(n)とします。 (n+1)回目の作業で液体bの量はb(n)がvリットルあってそれにsリットル加えるので v・b(n)+s 次に(v+s)リットルからsリットル捨てるので、残った液体bの量は (v・b(n)+s)×{v/(v+s)} このときの液体の量はvリットルなので、液体bの割合、つまりb(n+1)は (v・b(n)+s)×{v/(v+s)}÷v =(v・b(n)+s)/(v+s) よって b(n+1)=(v・b(n)+s)/(v+s) という漸化式ができました。 ここでn=1のときvリットルの液体aにsリットルの液体bを加えるので 液体bの割合は s/(v+s) よってb(1)=s/(v+s) あとはこれを解けば良いと思います。