質問: 先生、こんばんは!
回答: ※cosφ、解明しました。 当初返信:2018/7/7 06:45:56 私宛の個人的な問いかけとしてお応えします。 ーーー 今夜、塾に行ってみると、洪水注意報で道路が水浸しの中を、小6の男の子が、靴をずぶぬれにして一人来てたので、靴下と靴を電子レンジでチンさせました。裸足のままで勉強頑張ってくれたので、帰りに自宅まで車で送ってあげたりして、24時過ぎて、ようやく、あなたから聞いてたURLを開いてみました。 丁寧に考えて打ち込んでたら、洪水にならず、夜明けです。 ーーー 放物線のS1≠Sの関係は、あなたに限らず、 誰もが、ん?と思うことでしょう。 放物線の面積S1やSではなくて、この文献では 放物線を回転した体積VやV1と書くべきだったんです。 放物線の面積を塗り潰して、完全に面積と思い込み、 S1やSと描いてあるから、センター技に必須の 面積積分S=S1を全く意識出来てない粗い文献です。 あまり参考になりません。(すみません) でも、 ◆体積*cosφの趣旨は、くみ取れるだろうと思っております。 ーーー 実際は面積:S=S1なのに、ん?と思ったので、 一斉、そのサイトは読まずに。(すみません) ◆体積*cosφの論理を独自に導いてみました。 ※何故S=S1なのか?のセンター解法は後述します。 ======================= ◆回転軸:y=g(x)=tanφ・xの周りに、曲線:y=f(x)を回転させる。 曲線:y=f(x)上の点P(x,y)を回転させるときに、 点Pから真上の長さ:K={g(x)-f(x)}に対して、 回転半径:r=K・cosφであり 回転半径:rの断面が回転軸方向に移動する微小量をdLとして、 dx=dL・cosφ 及び dy=dL・sinφ です。 ーーー 回転してできる薄い円盤の体積dVは、 dV=(π・r^2)・dL =π・(K・cosφ)^2・dL =π・(K^2)・(dL・cosφ)・cosφ =π・(K^2)・dx・cosφ =dW・cosφ とおいて ーーー dW=π・(K^2)・dx =π・{g(x)-f(x)}^2・dx =2π・{g(x)-f(x)}/2・{g(x)-f(x)}・dx と書き換えれば、 曲線の縦:h={g(x)-f(x)} 微小面積:dS=h・dx={g(x)-f(x)}・dx dSの重心のx軸周りの回転半径:r={g(x)-f(x)}/2 であり、 ーーー ◆曲線:y={g(x)-f(x)}をx軸の周りに回転した薄い体積◆を表してる。 縦長の細い面積:dS={g(x)-f(x)}・dx を その面積の重心:r={g(x)-f(x)}/2 に集めて、 その重心をx軸の周りに半径rで回転させた薄い円盤の体積です。 ーーー V=∫[x=α~β]dV =∫[x=α~β]dW・cosφ ーーー W=∫[x=α~β]dW =∫[x=α~β] 2π・{g(x)-f(x)}/2・{g(x)-f(x)}・dx これは ◆曲線:y={g(x)-f(x)}をx軸の周りに回転した体積◆ です。 ーーー V=W・cosφ V:◆回転軸:y=g(x)=tanφ・x 周りの回転体の体積◆ W:◆曲線:y={g(x)-f(x)}をx軸の周りに回転した体積◆ ーーーーーーーー 論理ミスなどありましたら、お知らせください。◎┓ これ以降は、今回の発端となった体積:S≠S1に対して、 ◆面積:S=S1となる大切なセンター技を述べておきます。 ◆面積:S=S1を知ってたら、僅か3行で積分できるからです。