質問: 奈良大学の数学の問題です。 奈良大学の数学の問題です。 xの二次方程式x^2+(a+1)x+a+1/4=0 (以後(1)とする)、x^2+(a-1)x-a^2+b=0((2))がある。 (1)が実数解を持つ時、(2)も必ず実数解をもつようなbの値の範囲を求めよ。 解) (1)が解を持つようなaの範囲は(分かっているので略)a≦0または2≦a このaの範囲において(2)も必ず実数解をもつbの範囲を求める。 (2)の判別式をdとすると(2)が実数解をもつ時(略)b≦5/4(a-1/5)+1/5 ここからがいまいちピンときません。解答にはb=5/4(a-1/5)+1/5として、a≦0または2≦aの範囲でとる最小値はa=0のとき1/4だからb≦1/4とあります。 『b=5/4(a-1/5)+1/5のとき、a≦0または2≦aの範囲でとる最小値はa=0のとき1/4』はわかりますが、なぜここで『b=5/4(a-1/5)+1/5として』『だからb≦1/4』がわかりません。 a≦0または2≦a、b≦5/4(a-1/5)+1/5をab平面に図示して二つの領域が重なるときのbの範囲は...と考えていたのですが、この考え方は違うのでしょうか。教えてください。 (数学が苦手なので、一度答えてくださっても、また質問を返すかもしれません。すみません)
回答: (2)の判別式から 5a^2-2a+1-4b≧0 5a^2-2a+1の部分が 5a^2-2a+1=5(a-1/5)^2+4/5 のように平方完成できますよね a=1/5のとき最小値4/5 しかし考えればよいのは、a≦0、2≦aの範囲では 最小値はa=0のとき1です つまり5a^2-2a+1の最小値は1 5a^2-2a+1-4b≧0 1-4b≧0となるためには 1/4≧b