質問: 大きな水槽があり、その中に直径40cmとする球体Aが入っています。 この水槽に水位の高さ10cmになるように水を入れたとき、水に浸かるAの表面積はいくつですか。 Aの水没する表面積をたずねています。
回答: 球の中心を原点として、x=10→20までの円周を積分すれば求まります。 xでの半径は√(20^2-x^2)であり、円周は2π√(20^2-x^2)、 そこで、x=20sinθとおくと、dx=20cosθdθ また、x=10→20は、θ=π/6→π/2となる。 計算をします。 √(20^2-x^2)=20√(1-sin^2θ)=20√(cos^2θ)=20cosθ ∴水に浸かるAの表面積=(x=10→20)∫2π√(20^2-x^2)dx =(θ=π/6→π/2)∫2π・20cosθ・20cosθdθ =(θ=π/6→π/2)400π∫(1+cos2θ)dθ =400πθ+sin2θ/2 =400π{(π/2-π/6)+(0-√3/2/2)} =400π(π/3-√3/4) =400π^2/3-100√3πです。