質問: 極値の条件の証明 何方かこの問題を教えてください。 関数f(x,y)が(a,b)でfx=0, fy=0となるとき δ=fxy^2-fxx・fyy<0であればf(a,b)には極値であるがδ>0であれば極値でない。このことをtaylorの定理を用いて示せ。
回答: fx=0, fy=0 だと、f(x,y) のテイラー展開の一次項が 0 になるから、 (a,b) 近傍での f(x,y)-f(a,b) の挙動は、主に二次項で決まる。 テイラー展開の二次項は、ヘッセ行列を係数とする二次形式だから、 ヘッセ行列の固有値が全て同じ符号になることは、 f(a,b) が極値になるための十分条件のひとつである。 行列式は、行列の固有値の積に等しいから、二変数関数に限って言えば、 ヘッセ行列の固有値が同符号であることと、ヘッセ行列式 -δ の値が正 であることは、同値である。 以上より、fx=0, fy=0 のとき -δ>0 であれば、f(a,b) は極値と言える。