質問: 3で割った余り 高校数学問題集で「2^2006を3で割った余りはいくつか」という問題があり、解答頁にはただ「1」とだけありました。 どうも2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となるようなのですが、どうやってそれを証明すればいいのか分かりません。 また、もっとすっきりした解法はないものでしょうか? (なお2^2は「2の2乗」という意味です)
回答: 二項定理を用いると良いでしょう 2^n=(3-1)^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n 3^n,3^(n-1)*(-1)*n,・・・,3*(-1)^(n-1)は3で割り切れるので、3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)は3で割り切れる。 よって 2^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n=3×(整数)+(-1)^nとなる。 したがって nが偶数のとき(-1)^n=1だから 2^n=3×(整数)+1 nが奇数のとき(-1)^n=-1だから 2^n=3×(整数)-1=3×(整数)-3+2=3×{(整数)-1}+2=3×(整数)+2 となるので 「2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となる」とあんることがわかります。