質問: 量子力学の演算子に関する問題です。 問題は[x^y^ , px^py^]です。 ここで x^とy^ は位置の演算子で px^とpy^は運動量の演算子です。 演算子の定義 px^=(h/i)(δ/δx) に従って解いたところ、 解は h^2 となりました。 ("エイチバー"をhと書いています) しかし、演算子の交換法則 [x^,px^]=ih より x^px^=px^x^+ih を用いて解いたところ 解が ih(px^x^+y^py^となってしまいました。 実際の解はどうなるでしょうか? 記号の都合上分かりにくい質問になってしまいましたが、 回答よろしくお願いします。
回答: [x^y^,px^py^]の交換関係を計算するとh^2+ih(x^px^+y^py^)となります。 計算する方法を二つ挙げます。 一つ目が正準交換関係 [x^,px^]=ih,[y^,py^]=ih,[x^,y^]=0,[px^,py^]=0 と交換関係に関する次の公式(簡単に確かめることができます) [a,bc] = [a,b]c + b[a,c] [ab,c] = a[b,c] + [a,c]b を用いて計算する方法です。 もう一つが演算子を座標表示して x^=x、y^=y px^=(h/i)(∂/∂x)、 py^=(h/i)(∂/∂y) として交換関係を計算する方法です。 このとき注意しなくてはいけないことは px^x^=(h/i)(∂/∂x)x =(h/i)+x(h/i)(∂/∂x) となることです。 同様に px^py^x^y^=(h/i)(∂/∂x)(h/i)(∂/∂y)xy =-h^2(∂/∂x)x-h^2(∂/∂x)xy(∂/∂y) =-h^2-h^2x(∂/∂x)-h^2y(∂/∂y)-h^2xy(∂/∂x)(∂/∂y) となります。 質問内容にある交換関係を用いた計算は正しいと思います。 ただ座標表示の演算子を用いて計算した方は (h/i)(∂/∂x)(h/i)(∂/∂y)xy=-h^2-h^2xy(∂/∂x)(∂/∂y) としてしまったために交換関係がh^2であるという誤った 答えが出てしまったのだと思います。