質問: 二等分線定理の余弦定理による証明 三角形abcにおいて、角aの二等分線を引き、bcとの交点をdとします。ab=a、ac=b、bd=c、cd=dとすると、a:b=c:dとなります。俗に二等分線定理と呼ばれるものですが、これを余弦定理によって証明する方法を教えていただけますでしょうか。 証明法は数ほどありますが、余弦定理を使ったやり方がわかりません。
回答: >安易な手の一つは、まず余弦定理から正弦定理を導き、それを使うことでしょう。 △abd にて、ad = e 、二等分角 = φ、二等線 ad の辺 bc に対する角θ1 、とする。 余弦定理により、 (2ce)*cosθ1 = (-a^2 + c^2 + e^2) ↓ (2ce)^2*sin^2(θ1) = (2ce)^2 - (-a^2 + c^2 + e^2)^2 = (a+c+e)(-a+c+e)(a-c+e)(a+c-e) 最右項は正で、その平方根を s としよう。つまり、 (2ce)*sinθ1 = s a/sinθ1 = 2ace/s 同様に、 c/sinφ = 2ace/s だから、 a/sinθ1 = c/sinφ ...(1) △abd においても同様にして、 b/sinθ2 = d/sinφ ...(2) (1), (2) にて sinθ1 = sinθ2 が成立つから、 ad = bc ...(3) (3) が証明すべきことでした。