質問: 不定積分。 置換積分で次の問題をとくには? 「不定積分:∫1/(√(1+x^2))」 を解け」 という 問題なのですが、x=tanθで置換をして もできるらしいのですが(参考書には計算が面倒だができる) どうしても最後まで落とすことができません。 ちなみに参考書では√(x^2+1)+x=tで置換をやっていて、 計算は,√(x^2+1)+x=tとおくと[{x/√(x^2+1)}+1]dx=dt よって{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt したがって∫1/(√(x^2+1))dx=∫(1/t)dt=logt+c=log{√(x^2+1)+x}+c という結果になっています。 しかし、x=tanθの置換をしたやりかたでは、 どのように計算をしていくのかが分りません。 どなたか、計算手順または解答を教えてください。 よろしくおねがいします。
回答: >log{√(x^2+1)+x} =arcsinh(x) ですね。 θは入力しにくいのでtとして x=tan(t) (0<=t<π/2)とおくと 1/√(1+x^2)=cos(t)(>0) dx=dt/(cos(t))^2 ∫dx/(√(1+x^2))dx=∫dt/cos(t) =∫cos(t)/(cos(t))^2dt =∫cos(t)/(1-(sin(t))^2)dt =(1/2)∫{cos(t)/(1+sin(t))+cos(t)/(1-sin(t))}dt =(1/2){log(1+sin(t))-log(1-sin(t))}+c =(1/2)log[(1+sin(t))/(1-sin(t))]+c =(1/2)log[{(1+sin(t))/cos(t)}^2]+c =log{(1+sin(t))/cos(t)}+c =log{tan(t)+1/cos(t)}+c =log[tan(t)+√{1+(tan(t))^2}]+c =log{x+√(1+x^2)}+c