質問: 数学 次の問題をラグランジュの未定乗数法を用いての解き方を教えていただきたいです よろしくお願い致します
回答: f(x,y)の最大値、最小値は下記のラグランジアンLの極値を与える(x,y)から求められる。 L=f(x,y)-λΦ(x,y)=x^3y-λ(x^2+y^2-4) ∂L/∂x=3x^2y-2λx=0 (1) ∂L/∂y=x^3-2λy=0 (2) ∂L/∂λ=-(x^2+y^2-4)=0 (3) x≠0、y≠0とすると (1) : λ=3xy/2 : (2)に代入 x^3-3xy^2=0 x^2-3y^2=0 x=±√3y (3)に代入して 4y^2=4 y=±1, x=±√3 (i)(x,y)=(√3,1) f(x,y)=x^3y=3√3 (ii)(x,y)=(√3,-1) f(x,y)=x^3y=-3√3 (iii)(x,y)=(-√3,1) f(x,y)=x^3y=-3√3 (iv)(x,y)=(-√3,-1) f(x,y)=x^3y=3√3 x=0またはy=0のときf(x,y)=0となり最大でも最小でもない。 以上より (x,y)=(√3,1)または(x,y)=(-√3,-1)のときf(x,y)は最大値3√3 (x,y)=(√3,-1)または(x,y)=(-√3,1)のときf(x,y)は最小値-3√3