質問: シリンダー内にn(>>1)個の分子からなる理想気体が入っている。その気体の圧力、体積および絶対温度をそれぞれP、VおよびTとすると、PV=nkTの関係が成り立つ。ここでkはボルツマン定数である。 (1)圧力一定の条件で外部から微小熱量d'Qをゆっくり与えることにより、体積がdV増加し内部エネルギーUもdUだけ増加したものとする。d'Q、dVおよびdUの関係式を書け。 (2)体積一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定積比熱c_V(cに下付きでV、以下、下付きの文字の前には_を付けることとする)が定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Vをn,V,TおよびUを用いて表せ。 (3)圧力一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定圧比熱c_Pが定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Pをn,k,P,TおよびUを用いて表せ。 (4)理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数である事実を用い、(1)~(3)で求めた式よりc_V,c_Pおよびkの間の関係式を求めよ。 (1)は、熱力学第一法則より、d'Q=dU+PdVということが分かりました。 (2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・・このままではダメですよね?実際に積分して、U=n・c_V・T+U_0(U_0は積分定数)としても、問題文にあるVを使っていないことになりますし・・・ (3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_Pから、どうしたらいいのか...。dVはあるし、kは用いてないしで・・・。 結局のところ、(2)(3)が明確に分からないため、(4)も解けません。 どなたか、ご教授のほど、本当によろしくお願いします。 かなり色々な熱力学に関する本を読んでみたのですが、(2)(3)の解き方が分かりません・・・
回答: >(2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・.。 いいと思いますよ。正確には偏微分ですので nCv=(∂U/∂T)v (nは右辺の方がいいですが、見にくいのでこうしました) >(3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_P もう少しですね。 ((dU+PdV)/dT)_P=(dU/dT)_P+P(dV/dT)_P とできるので、第2項は状態方程式を考えるとボルツマン定数とnで表せるはずです。 以上を考えた後、(4)も挑戦してみてください。 ヒント:理想気体の内部エネルギーはTのみに依存するので、圧力一定でも体積一定でもΔTが同じならΔUも同じはず