質問: ラグランジアンについて 鉛直平面に固定されている半径aのなめらかな円の頂上から質量mの質点を初速度0で滑り降りるとき、質点が離れる位置を求める問題で、ラグランジアンを l=ma^2φ^2/2-mga(1-cosφ) と立てました。 これで合っているでしょうか? 未定定数が抗力となることを示したいのですが、どう示すのかわかりません。 ラグランジアンを使わずに、高校物理の範囲で解く方法はわかりますが、ラグランジアンをどう使うのかがわかりません。 どうかよろしくお願いします。
回答: 質点が半径aの円の周上を滑って行くいわゆる拘束条件付の問題ですね。極座標で書くよりもx、y座標で書いた方が取り扱い易くなります。そこで、円の中心を原点とし、鉛直方向にy軸の正の方向をとることにします。ラグランジアンはl=t-u(t:運動エネルギー、u:位置エネルギー)と書けますから、この場合ラグランジアンは l=(1/2)m{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-mgy (1) となります。拘束条件は x^2+y^2=a^2 (2) で与えられます。(2)の変分(仮想変位:まぁ微分と考えていいでしょう)を取りますと拘束条件は xδx+yδy=0 (3) となります。拘束条件が(3)式のようになるとき、ラグランジュの方程式は、未定定数をλとしますと d/dt(∂l/∂x')-∂l/∂x=λx d/dt(∂l/∂y')-∂l/∂x=λy (4) と書かれます。このλx、λyという項は一般化拘束力などとと呼ばれたりしています。 さて、(4)を具体的に計算しますと mx"=λx my"+mg=λy (5) が得られます。これから質点に対する円の反作用のx成分をnx、y成分をnyとしますと nx=λx、ny=λy であることが分かります。 後やることは(5)を解いて行くことですが、結構煩雑になりますのでこの辺でやめておきます。しかし、それでは余りにも余りなので、もし突っ込んで勉強されるならgoldsteinの古典力学を推奨しておきます。第(2)章の演習問題にこれと同じ問題が載っています。解答集(古典力学演習)も出ていますので、本屋で立ち読みなどをされては如何でしょうか。