質問: この初等的証明は何故、証明になってるのですか? https://ja.wikipedia.org/wiki/%e4%bb%a3%e6%95%b0%e5%ad%a6%e3%81%ae%e5%9f%ba%e6%9c%ac%e5%ae%9a%e7%90%86
回答: 要は、g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... a_0 とおいた時、g(c) = 0となる ある複素数 c があることを言いたいのですが、証明のoutlineはこうです。 (1) f(x) = |g(x)| とおくと、f(x)は ある複素数 cで最小値を取る。 (2) f(c) > 0と仮定すると、 ある複素数dが存在して f(d) < f(c)となる。これはf(c)がf(x)の最小値であることに反するから、f(c) = 0である。 (3) f(c) = |g(c)| = 0であるから、 g(c) = 0である。従ってg(x) = 0は解x=cを持つ。 で、(1)の更なるoutlineがこうです。 (1)-a ある正の実数 r>0が存在し、 |x| ≧ r ならば f(x) ≧ f(0) = |g(0)| となる。(これがwikipediaの「いくらでも大きく出来る」という文の意味) (1)-b このrに対し、 t = {z | zは複素数, |z|≦r} はcompact集合だから、f(x)はt上最小値を取る。仮にx = cで最小値を取るとすると、 x∈tならば f(x) ≧ f(c)。 特に 0∈tであるから、f(0)≧f(c)。 (1)-c 一方、(1)-aで言った事から、x ∉tならば f(x)≧ f(0) ≧ f(c)。 (1)-d 従って、任意の複素数xに対して f(x) ≧ f(c)。即ち f(c)は f(x)の最小値である。 outlineはこうです。ここで (1)-a、(2)の内容は更に細かい証明が必要です。