質問: 平坦な2次元多様体の埋め込みについて 位相幾何 2次元平坦トーラスの埋め込みには4次元ユークリッド空間が 必要であるようなのですが、これに関して「宇宙と幾何学/木原太郎」 という本を読んでいる際に、 「平坦で閉じたn次元多様体を平坦なまま埋め込めるユークリッド空間の 次元の最小値は2n以上である」という記述がありました。 これについて教えて頂きたいのですが、これは何という定理なのでしょうか。 また、そのように考えうる根拠や証明法など知りたく思います。 また、詳細が書かれている本がありましたら紹介頂けると助かります。
回答: 「直感的に理解する方法」 定理の証明を地道に追うのが近道のような気がします。 「3次元閉多様体を平坦なまま埋め込むのに6次元必要」 実際には、5次元でよさそうです。ano.2で掲げた文献には、n が2のべきでない限り、n次多様(ハウスドルフ等必要な条件を満たすもの)は、2n-1 次元ユークリッド空間に埋め込める、と書いてあります。もし、これが正しいなら、ご質問で引用されている「平坦で閉じた n 次元多様体を平坦なまま埋め込めるユークリッド空間の次元の最小値は 2n 以上である」の部分は、間違いということになります。