質問: ずっと気になっていたのでこの機会に質問させて下さい。 底が1/2である指数関数y=(1/2)^xのグラフと、底が1/2である対数関数y=log(1/2)x(( )内は底を表す)のグラフの交点の求め方を知りませんか? できれば高校数学の範囲でお願いします。
回答: >底が1/2である指数関数y=(1/2)^xのグラフと、底が1/2である対数関数y=log(1/2)x(( )内は底を表す)のグラフの交点の求め方 ... y=(1/2)^x = e^{x*LN(1/2)} ...(*) y=log_(1/2)(x) → x = (1/2)^y = e^{y*LN(1/2)} LN(x) = y*LN(1/2) → y = LN(x)/LN(1/2) ...(**) と「自然対数 LN( ) 」の土俵にでもあげて、(*) と (**) の交点を。 e^{x*LN(1/2)} - LN(x)/LN(1/2) = 0 ...(***) (***) には一発解法が無さそう。 Newton 流の逐次接近かな? 近似解 xo から改善解 xr を出す勘定、 e^{xo*LN(1/2)} - LN(xo)/LN(1/2) = r とでもすると、 xr = xo - r/[LN(1/2)*e^{xo*LN(1/2)} - 1/{xo*LN(1/2)}] の繰り返しです。 xo = 1 あたりから始めてみると、数回でスプレッドシートの桁数内にて収束します。 ズボラをきめこむのなら、「不動点収束」を試す手あり。 #1 さんの >x=(1/2)^x を借用。 xo に対して (1/2)^xo を勘定。 次に、xr = (1/2)^xo として (1/2)^xr を勘定。 これを延々と続けていけば、四十数回でスプレッドシートの桁数内にて収束。