質問: 3次不等式が成り立つようなaの値の範囲(2変数) aは負でない実数とする。 -1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2 を満たすすべての正の実数x,yに対し、x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。 この問題に取り組んでいるのですが、何をやるのかがわからず困っています。 2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな?と思ったのですが、使い方がよくわからずダメでした。 3次なので判別式(?)も利用できませんでした。 ヒントやアドバイスいただければ幸いです。よろしくお願いします
回答: >2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな?と思ったのですが 見かけは2変数ですが、1変数に還元されます。 y/x=m (x>0、y>0よりm>0)....(1)とする。 -1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2にy/x=mを代入すると、3m^2-10m+3≦0より、1/3≦m≦3....(2) x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0にy/x=mを代入すると、x>0より、f(m)=2m^3-3a^2*m^2+1≧0が(2)の範囲で常に成立するための負でない実数aの値の範囲を求めると良い。 f ́(m)=6m^2-6a^2*m=6m(m-a^2)で、a>0あるから、 (1)a^2≧3 (2)3≧a^2≧1/3 の各々の範囲内でf(m)の最小値≧0である条件を求める。 以下の計算は自分でやってください。