質問: 一次元調和振動子の平均のエネルギー<e> 温度tで、質量mのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー<e>を知りたいのですが、 <e>=∫∫eexp(―e/kt)dxdp/∫∫exp(―e/kt)dxdp (kはボルツマン定数、pはx方向の運動量、e=1/2・a2乗・ω2乗) の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか?
回答: siegmund です. 量子的にやるなら,n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが (7) e_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω ですから,分配関数 z が (8) z = σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω} β = 1/kt = exp[- β (h/2π)ω/2] σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n ですから,無限等比級数の和ですぐ求められます. ちょっと整理して (9) z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] } で,あとは公式(6)を使えばokです. 結果は (10) u = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1} で,β→0 (kt→∞)とすると,古典の場合に戻ります. 直接 u を和の形に書くなら (11) u = (1/z) σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω} ですが,和のところは本質的に z のβ微分で出てきます. ここら辺を整理したのが公式(6)になっています.