質問: 極座標の重積分の範囲について ∫∫√x dxdyを d:y>=0,x^2+y^2<=2x の範囲で解け、という問題があります。 範囲dについては、(x-1)^2+y^2<=1と変形されることはすぐにわかったのですが、果たしてこの範囲は、通常の中心が原点の円と考えて積分可能なのでしょうか? 極座標に変換しても、0<=θ<=πまでで、rをどのように範囲をとったらよいのかよくわかりません。 さらに、この問題は極座標に変換しても√rcos(θ)が積分の中に出てきます。いくらがんばっても√cos(θ)の積分が求まりませんでした。 はたしてどのようにとけばよいのでしょうか?よろしくお願いします。
回答: yについて先に計算するのが最も簡単と思われます。xを固定した時、d内のyの範囲は0 から√(2x-x^2) までだから ∫ [0~√(2x-x^2)] dy = √(2x-x^2) よってxについて ∫ [0~2] √x・√(2x-x^2) dx = ∫ [0~2] x√(2 - x) dx という積分になります。これは部分積分で容易に計算され(16√2)/15 となります。