質問: 物理の万有引力の問題についている解答が理解できない xy平面上に半径aの薄い円盤がある。この円盤の面密度をσとする。z軸上の点p(0,0,z)(z>0)に質量mの質点がある。 (a)この質点が円盤から受ける万有引力↑fは、z成分しかもたないことを説明し、↑f=fz↑ezとするとき、fzを円盤の質量mを用いて表せ。 (b)点pの質点が受ける万有引力のポテンシャルu(↑r)をmを用いて表せ。 (c)u(↑r)から、↑fの向きと大きさを求めよ。 回答は添付画像の通りとなっていました。 この回答でわからなかった点があるので教えてください。 質問(1) 回答が式だけで何をやっているのかよくわかりません。(a),(b),(c)ではそれぞれどのようなことを行っているのでしょうか?解説をお願いします。 質問(2) 文字ξ、やφ’などの文字は何を表しているのでしょうか? 質問が多いですが、ご回答いただけると助かります。 教えてください。
回答: 質問(2) 円盤の中心を原点とした円筒座標(ξ',φ',z)を用いていると思われます。 質問(1) -------------------------------------------------------------- (a) 円盤上の位置 (ξ',φ',0) にある微小面要素dξ'×dφ'が質点に及ぼす万有引力の大きさは gm(σdξ'dφ')/(z^2 + ξ'^2) z成分をとると, dfz = - gm(σdξ'dφ')/(z^2 + ξ'^2)×z/√(ξ'^2 + z^2) これを0≦ξ'≦a,0≦φ'≦2πにわたって積分することでfzを得ています。 (b) 微小面要素によるz成分のポテンシャルは,その定義より du(z) = -∫[0~z] (dfz)dz zで積分した後にそれらを(a)と同様に合計しています。 (c) あらためて f = -∇u の関係を用いて力の成分を再度求めています。