質問: 「密度」を表す数学 物体(固体でも液体でも気体でもok)について、 座標により密度が異なる場合、 それを表す数学的記述の仕方は、どの分野を調べればいいのでしょうか? 物理でも数学でも工学の分野でもよいので、教えてください。 お願いしますm(*- -*)m
回答: 物理学なら流体力学の本などを見れば書いてあると思います。 それだけではなんですので、簡単に説明しますね。 高校までで密度は、m/v と習っていますね。ここで物体の質量m、体積vです。これはその物体の中が均一な場合だけに成立つ式、もしくは「平均密度」です。 質量の分布が均一でないとき、空間を小さい体積に分けて考えます。 小さい体積 δv の中に質量 δm があるとき、その小さい体積の中の平均密度は δm/δv になりますね。δvはいくらでも好きに小さくとれるので、その中だけに限れば、質量の分布は均一とみなせるので δm/δv でよいわけです。 これをその小さい体積δvの座標(x,y,z)での「密度」(この場合は「質量密度」)と定義します。 数式で書くと、 ρ(x,y,z) = lim_(δv→0) δm/δv ですね。(x,y,z)は、δvが小さいのでその中心の座標でもとって代表させればよいです。