質問: 回転体を平面x=tで切断して...からのところがよくわかりません。 回転体の問題なのですが、回転体を平面x=tで切断して...からのところがよくわかりません。 そもそも、どのような図形が出来上がるのかがよくわかりません...
回答: 別に回転体を正確に把握する必要はないです。 断面積を把握できればいいんです。 写真の中の右下の図を見てください。ドーナツ状の図です。ここで注意してほしいのが、紙面から手前(上)にtだけ離れた場所から見た図であることです。 赤いたて線と黒いたて線が円筒形の断面図です。左上の図と比べてほしいのですが、縦線2本はx軸から距離tだけはなれた場所にあります。 この縦線をx軸周りに回転させて、2本線が通過する領域が求める面積の断面図です。ドーナツ状になります。 このドーナツの面積は2本の縦線はz軸に関して線対称なので、1本だけをみてやればいいです。線分をx軸周りに回転させたときの通過する領域はx軸から一番遠い点をx軸周りに回転させた円と、x軸から一番近い点を回転させた円の間になります。この部分の面積が(x軸から一番遠い点回転させた円の面積)ー(x軸から一番近い円の面積)=π(√ 5 - t^2 )^2 - π ( √ 2 - t^2 )^2 = 3 π です。 この断面積を 積分させればいいんです。積分範囲は円筒形の半径の範囲を見て、-1から1 までです。 ゆえに 3 π ∫ 1 d t = 3 π ( t ) = 3 π ( 1 - ( - 1 )) = 6 π