質問: 三角形の重心は3つの頂点から対辺の中点に線分を引く作業を三回繰り返したときにできる交点と認識していますがこれはなぜなのでしょうか?
回答: 1つの頂点から対辺の中点に図のように黄色の直線を引きます。 この線によって分けられる2つの三角形の面積が等しいことはわかりますが、単に面積が等しいだけではありません。 黄色の線に平行で、黄色の線から等距離にある2本の直線を引きます。 このオレンジの線と三角形の共有部である線分の長さは、オレンジの線を黄色の線からどんな距離にとっても等しくなります。 (2つの相似三角形の線分比を使って簡単に示せます) よって、重心はこの黄色の線上にあることがわかります。 同様に、他の2つの頂点についても考えれば、3本の直線の交点が重心となります。 (3本の直線が1点で交わるかどうかについては、2本の交点がそれぞれ三角形内部の線分を1:2に内分する点であることから示せます)