質問: 全微分と偏微分 ある本で次の式が掲載されています。 (dvx/dy)=(δx/δy)(δvx/δx)+(δy/δy)(δvx/δy) ※vx はx方向の速さvを表しています。(xはvの添字) この式は,δxやδyを消すと (dvx/dy)=(δvx/δy)+(δvx/δy)になると思います。 ここで質問です。 vxをyで微分したものを2つ足すとなぜ全微分が出てくるのでしょうか。 v(x,y)だとしたら (dvx)=(δvx/δx)dx+(δvx/δy)dy (dvy)=(δvy/δx)dx+(δvy/δy)dy ※vxはx方向の速さ vyはy方向の速さ このあたりまでは式ができるのですが,よく分かりません。 どなたか御指導をお願いします。
回答: 要するに関数関係を把握してから微分なり、変分なりを考えるべきです。 (dvx/dy)=(∂x/∂y)(∂vx/∂x)+(∂y/∂y)(∂vx/∂y) という式は中途半端です。 (1)vxはx,yの関数で、x,yは(x,y)の関数とした場合 vx=vx(x,y) x=x(x,y) y=y(x,y) yの変化に伴うvxの変化を求める場合は (∂vx/∂y)=(∂x/∂y)(∂vx/∂x)+(∂y/∂y)(∂vx/∂y) (2)vxはx,yの関数で、x,yはyの関数の場合 vx=vx(x,y) x=x(y) y=y(y) yの変化に伴うvxの変化を求める場合は (dvx/dy)=(dx/dy)(∂vx/∂x)+(dy/dy)(∂vx/∂y) まずどちらなのかを確認してください。 >vxをyで微分したものを2つ足すとなぜ全微分が出てくるのでしょうか。 vx(x,y)のとき、x,yが共に微小変化したときのvxの変化量を全微分というからです。 dvx=(∂vx/∂x)dx+(∂vx/∂y) ∂vx/∂xはyは一定(変化しない)という条件下でxだけ微小変化させた場合のvxの変化量という意味です。 ∂vx/∂yはxは一定という条件下でyだけ微小変化させた場合のvxの変化量という意味です。