質問: fxy=fyx の証明はこれではだめですか?(偏微分の順序交換の証明) fは(x,y)で連続かつx,yについて偏微分可能し、fxyとfyxも(x,y)において存在するとき、fxy=fyxとなる。なお、fxyとはfをxについて偏微分して次にyについて偏微分したものとする。 これを示すと fxy=lim(h→0)1/h{fy(x+h,y)-fy(x,y)} fy=lim(h→0)1/h{f(x,y+h)-f(x,y)}より、 fxy=lim(h→0)1/h{1/h(f(x+h,y+h)-f(x+h,y)-f(x,y+h)+f(x,y))} 一方、fyx=lim(h→0)1/h{fx(x,y+h)-fx(x,y)}、 fx=lim(h→0)1/h{f(x+h,y)-f(x,y)}より fyx=lim(h→0)1/h{1/h(f(x+h,y+h)-f(x,y+h)-f(x+h,y)+f(x,y))} =lim(h→0)1/h{1/h(f(x+h,y+h)-f(x+h,y)-f(x,y+h)+f(x,y))} したがって fxy=fyxが成立する。 こうやって示したのですが、ダメですか?
回答: >ですが、fxyとfyxが(x,y)で存在して連続であるというのを正しいということを前提にしているのですから、 こんなこと質問文のどこに書いてますか?? けど,これだけでも条件が少し足りないかな. 一点だけの連続性でいけるのかな? そもそもあなたが言ってたのは「存在だけ」でしょ? だから私もno.1さんも「前提が違うんじゃ?」と 指摘してたわけです. >言えば(h,k)がどんな方法で0に近づいてもfxyとfyxは存在する こんなことはどこに書いてますか? そもそも偏微分って「どんな方向からでも存在する」でしたっけ? 変数を一個だけ動かすっていうのが偏微分であり それだけで「全方向」が満たされるのかな?