質問: デデキント切断と完備化を使わずに 実数を構成することはできますか?
回答: 最も有名であろう実数の構成法は、デデキントカットの全体に適当な演算を入れる方法と、コーシー列の全部を考えてそこに適切な同値関係を入れて云々する方法かと思いますが、「完備化」というのは後者のことでしょうかね。 いくつかそれ以外のやり方を思いつく範囲で書きます。 ・小数の全体 0から9までの項からなる数列と一つの整数(一番上の桁が小数点よりどの程度ずれているか)からなるものに適当な同値関係を入れる。 ・区間縮小法を参考に 「単調増加有理数列と単調減少有理数列の対で、増加列の項の全てが減少列の下界になっていて、かつ十分先を見れば減少列と増加列の項の差が小さくなるもの」に適当な同値関係を入れる。 本質的に違う方法と言えるのかについては議論の余地は多いと思いますが、何らかの参考になればさいわいです。 個人的には小数を使うのはコーシーの完備化と同じようなことをしているというべきだと思いますね。 上に有界な集合の上限の存在、コーシー列の収束、区間縮小法、他にも実数の完備性を表す条件があれば、それに応じて有理数から実数を構成する方法が作れるといってよいかと思います。 それらは全て完備性を備えた対象を作るという意味で「完備化」と言ってもいい気がします。質問文の「完備化」をそのような意味にとらえるなら、構成したい実数の構造がそもそも完備順序体という条件で定まるものであることから、完備化以外の構成法は原理的にあり得ないのではないかなと思います。その場合、「完備化」という言葉を何らかの方法で定義する必要はありますが、「構成法が存在しない」ということも証明可能な気がしますね。