質問: an>0のとき、an→0と1/an→∞は同値であることを示せ。
回答: {a_n}を正の実数列とする. {a_n}が0に収束すると仮定する. 任意にM>0をとる. a_n→0より, ある番号Nが存在して任意のn≧Nに対してa_n=|a_n|<1/Mが成り立つ. このとき, 1/a_n>M. これは数列{1/a_n}が無限大に発散することを意味する. 逆に{1/a_n}が無限大に発散すると仮定する. 任意にε>0をとる. 1/a_n→∞より, ある番号$N'$が存在して任意のn≧N'に対して1/a_n>1/ε. このとき, |a_n|=a_n<ε. これは数列{a_n}が0に収束することを意味する.