質問: 円順列?立方体の塗り方 立方体を6色の色で塗り分けるという問題。 一番最初に一番上の面を1色固定して、その下の面を残りの5色から1つ選らんで、側面を(4-1)!で円順列として解く(隣あう面は違う色) ⇔5c1×(4-1)! となるそうなんですが、私は固定した一番上の面を塗る場合の数も考え、 6×5c1×(4-1)! にしました。 コレは何でダメなんですか??
回答: 結局、この問題は円順列の2段活用なんです。 円順列を復習してみましょう。考え方には二通りあり 1.n種類の札を円状に並べるには n!で計算される組み合わせが1種類につきn個ずつ 重複しているので n!/n=(n-1)! 2.回転させて同じものを一つと数えるのなら 一箇所の札を最初から固定して後の組み合わせを数える ことで計算できる。 (n-1)! 結局、円順列を数えるときは1箇所を1つに固定して考えるのが 有効です。 これを立方体に広げているのがこの問題です。 これも回転させて同じものは1つと考えるので 1箇所を固定して考えています。(⇒上面の色は固定) その上で、下面の色を選択(5c1)、残った色で 再度円順列(4-1)! だから5c1*(4-1)!ですね。 最後に6をかけては、せっかく円順列の考え方で固定して 勘定した組み合わせを、最後に固定した部分にn通りの入り方が あるので (n-1)!*n=n! として普通の順列に戻しているのと変わりませんよ。