質問: 標準偏差同士の計算はどうやるのですか? 例えば、 (6±0.2)÷(3±0.1)= を計算すると、 答えが、5.8/3から16.2/2.9となるとおもうのですが。 もっとふくざつな四則計算になると歯が立ちません。 このような計算を簡潔に解ける方法はあるのでしょうか? また、mathematicaで解くことは出来ますか?
回答: ±をどういう意味だと思うかによって、話が違います。 [1] ご質問は「標準偏差同士の計算」となっていますから、±の後ろにある数値は標準偏差のお積もりでしょうかね。だとすると、 > (6±0.2)÷(3±0.1)= > を計算すると、 > 答えが、5.8/3から16.2/2.9となる そうとは限らないです。たとえば分子と分母がそれぞれ正規分布に従う場合を考えると、分子も分母も(僅かな確率ですが)平均値からうんとかけ離れた値を取りうる。だから、取りうる値の範囲(最大・最小)は幾らでも大きくなります。じゃあ割り算した結果の(範囲ではなくて)標準偏差は幾らか、ということが気になる訳ですが、それは分子がどんな分布に従っているか、分母がどんな分布に従っているか、分子と分母が相関を持つかどうか、また、分母が0以下になる確率が0かどうかでも話が違ってきます。だから、標準偏差だけでは情報不足で答が出ません。 [2] しかし (ご質問のタイトルとは違って)もし±の後ろにある数値が範囲を表している(つまり、6±0.2なら最大6.2, 最小5.8という意味)ならば、 「6-0.2≦x≦6+0.2, 3-0.1≦y≦3+0.1のとき、x ÷ y の範囲を求める」 という形の問題だと考えれば、答の範囲が決められます。もっと複雑な演算でも同じことですね。 [3] ところで、もし±の後ろにある数値が、有限の桁数で数値計算をする際に生じる誤差の見積もりを表している(つまり、6±0.2なら0.2程度の誤差が含まれているという意味)なら、もうちょっと別のアプローチもあります。 もちろん、±の後ろに付いているのが範囲を表していると思えば上記[2]の話と同じことですけれども、そのやり方ではあまりに悲観的すぎる。計算を繰り返して行くと、±の後ろの部分がどんどん大きくなってしまう。 でも実際には、計算のたびに生じる誤差同士が互いに打ち消し合う効果があるために、答の誤差はそんなには大きくならない。この事を考慮した実用的な誤差の見積もり方として、「精度保証付き数値計算」と呼ばれる工学理論があります。