質問: 導関数の定義域について 導関数の定義域について 例えば、すべての実数xで微分可能な関数f(x)において、x≧aとするとき、f'(x)の定義域はx≧aですか?それともx>aですか? 導関数の定義域はいつも開区間になっているような気がするんですが、その理由がいまいち理解していません。もとの関数では定義域に入っているが導関数では定義域に入っていないのは、導関数において分母を0にする数だから、絶対値記号の場合分けの分かれ目だから、という理由で合ってますか? もし合ってるとしたら、はじめに質問したf'(x)の定義域はx≧aとなりますよね? とても気になっています。 よろしくお願いします。
回答: 高校の教わり方だと、左極限・右極限が強調され過ぎているようです。 微分係数の定義 f'(x) = lim[t→x] { f(t) - f(x) } / (t - x) において、 lim[t→x] は、t が『任意の近づき方で』 x へ近づくときを考えています。 左からとか、右からばかりでなく、x を跨いで左右に飛び回りながら 近づいたってよいのです。どのような近づき方をしても、 { f(t) - f(x) } / (t - x) が共通の値へ近づいていくとき、極限が 『収束する』と定義されているのですから。 左極限と右極限が両方存在して、その値が一致するとき、極限が収束する というのは、実開区間を定義域とする関数の重要な性質ですが、 そればかりに囚われてしまうと、定義域が開区間ではない関数の収束性が 見えてきません。閉区間で定義された関数の微分係数などは、その好例です。 lim[t→x] は、t が定義域内を任意の近づき方で x へ近づけばよいのですから、 f(x) が x≧a で定義されているならば、f'(a) は、右極限だけを考えれば よいのです。