質問: 公務員試験の問題です。 AはBとじゃんけんで勝負することとし、あいこであれば勝負がつくまでじゃんけんを繰り返すこととした。 一方、Bにはある癖があり、この癖とBが出す手の関係について、Aは次のことを知っていたので、Bの癖が現れたときはグーを出し、そうでないときはパーを出すことにした。その結果、Aが最終的に勝つ確率は7/10であった。 ・Bの癖は、Bがじゃんけんの手を出す直前に、一定の確率で現れる。 ・Bの癖を無視すれば、Bはグー、チョキ、パーをそれぞれ1/3の確率で出している。 ・Bの癖が現れた直後のじゃんけんでは、Bはグーまたはチョキしか出さず、さらに、チョキを出す確率はグーを出す確率の2倍である。 このとき、Bの癖が現れる確率はいくらか。 1. 1/5 2. 2/9 3. 4/17 4. 1/4 5. 2/7 正答は3です。解き方が分からないので、教えてください。
回答: まずは確率q(これが求めるもの)で癖が現れた時の出し方について。 「グーまたはチョキしか出さず、さらに、チョキを出す確率はグーを出す確率の2倍である」ことから、このとき(癖が出た時)は チョキを出す確率:2/3 グーを出す確率:1/3 です。この時Aは必ずグーを出すので、 Aが勝つ確率:2/3 あいこになる確率:1/3 また、確率1-qで癖が現れなかった時の Bがグーを出す確率、チョキを出す確率、パーを出す確率をそれぞれg,c,pとすると、「Bの癖を無視すれば、Bはグー、チョキ、パーをそれぞれ1/3の確率で出している」ことから g+c+p=1 (1/3)q+g(1-q)=1/3 (2/3)q+c(1-q)=1/3 p(1-q)=1/3 ここから g=1/3 c=(1-2q)/(3(1-q)) p=1/(3(1-q)) とわかります。このときAは必ずパーを出すので Aが勝つ確率:1/3 Bが勝つ確率:(1-2q)/(3(1-q)) あいこになる確率:1/(3(1-q)) です。 すなわち、1回の勝負で Aが勝つ確率:(2/3)q+(1/3)(1-q)=(1/3)(1+q) Bが勝つ確率:(1/3)(1-2q) あいこになる確率:(1/3)q+1/3=(1/3)(1+q) です。 最終的にAが勝つ場合というのは、あいこがk回(k=0,1,2,...)続いてk+1回目にAが勝てば良いので、その確率は (1/3)(1+q)Σ{((1+q)/3)^k } =(1/3)(1+q)×3/(2-q) =(1+q)/(2-q) これが7/10に等しいので (1+q)/(2-q)=7/10 ∴q=4/17