質問: 集合列の上極限集合と下極限集合の定義の意味がよく分からないので、教えてくださいm(_ _)m [定義] 集合列{An}(n1,2,...)に対して
回答: 集合列の上極限集合、下極限集合を具体的に計算するのでしたら、定義式に依らねば難しいでしょう。 ・上極限集合:limsup A_n : = ∩_{n=1}^{∞} [ ∪_{k=n}^{∞} A_k ] 即ち、まず n 以上のすべての k について A_k の和集合を取り、その和集合の n についての共通部分を取ったものが上極限集合 ・下極限集合:liminf A_n : = ∪_{n=1}^{∞} [ ∩_{k=n}^{∞} A_k ] 即ち、まず n 以上のすべての k について A_k の共通集合を取り、その共通集合の n についての和集合を取ったものが下極限集合 例1 limsup A_n ≠ liminf A_n となる例を見れば、両者の区別を理解する助けになるでしょう。今、集合列 A_n が A,B,A,B,A,B,A,B,・・・・・ と A,B が交互に現れる集合列としましょう。すると (1)任意の n に対して、番号 n 以上の A_k の和集合は A∪B であり、 (2)任意の n に対して、番号 n 以上の A_k の共通集合は A∩B 、 ですから、 (1)で n について共通部分を取れば上極限集合は A∪B であり、 (2)でn について和集合を取れば下極限集合は A∩B です。 例2 開区間からなる集合列 A_n を n が奇数なら A_n = ( -1/n ,1-1/n ), n が偶数なら A_n = ( 1/n ,1 + 1/n ) としましょう。すると n 以上の k についての和集合は ・n が奇数なら (-1/n ,1 + 1/(n+1) ) (実はこれは A_n ∪A_{n+1} です) ・n が偶数なら ( -1/(n+1) ,1 + 1/n ) (実はこれは A_n ∪A_{n+1} です) ですから,n について共通集合を取り上極限集合は閉区間 [ 0 ,1 ] です。一方 n 以上の k についての共通集合は ・n が奇数なら ( 1/(n+1) ,1 - 1/n ) (実はこれは A_n ∩A_{n+1} です) ・n が偶数なら ( 1/n ,1 - 1/(n+1) ) (実はこれは A_n ∩A_{n+1} です) ですから,n について和集合を取り下極限集合は開区間 ( 0 ,1 ) です。 いずれも数直線上に図を描いて確認してください。 類題