質問: 連立方程式はなぜ解ける? 中学で連立方程式を習って以来、 「文字2つに式2つだから解けるよね。」とか、「未知数3つに式が3つだから解けるね。」などと当たり前のように学校や塾で言われてきました。 初めは戸惑った記憶があるのですが、何度も言われたり自分で連立方程式を解くうちに「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解けるのか」ということを経験的に納得してきました。 しかし思い返すと、(私の記憶が正しければ)、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」なでという記述はなかったと思います。 基本的ながら、数学の一種のセンスとして重要なものの1つだと私は思うのですが、なぜ教科書には載っていないのですか? また、私が中学生に連立方程式の解き方を教えている際に、「文字数2つに式2つだから解けるね。」と言った時、「なんで?」と言われたらなんと答えたらいいのでしょうか? (「経験的に。」としか答えられません・・・。) また、(多分あると思いますが)式と未知数の数が同じでも絶対(どんなに数学が発達しても)解けない連立方程式というのはあるのでしょうか? 尚、当方は高校数学までしか知識ありません・・・。
回答: すごくいい質問だと思いました。以下の私の主観的な考えになります。 >>「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」 確かに、この呪文のような文章は、聞いたことがあります。 これは、学校で初めて、1次方程式から、連立方程式を学習するにあたり、 問題の答えが必ず1つ存在します。・・・のような、 連立方程式は、必ず1つの解が存在するという保証を表現しているものだと思います。 なので、学校の先生や塾の先生が、伝統的に伝えられてきた定石になってしまった。 逆に、一般的な公立中学校であれば、 x + 3 y = 1 2x + 6 y = 4 を解けのような問題は、出題されなかったと思います。 これは、「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」 であることに反するつまり、これが、教科書に記載されない(記載しない)理由になるのではないかと。 また、以下の問題は、高校レベルとなりますが、 x + y + z = 6・・・a 3x + y + 5z = 10・・・b この方程式の解は、z = t (t : 実数)とおいて、 b-aより、2x + 4t = 4 x = 2 - 2 t aに代入して、2 - 2t + y + t = 6 よって、y = t + 4 (x , y , z) = ( 2 - 2 t , t + 4 , t)ただし、t : 実数 となり、適当な t を代入すれば、x , y , z の解は無数に存在することになります。 これも、「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」 であることに反してる。 つまり、中学時代でかつ、連立方程式を学習し始めた時にしか聞くことができない説明と 思えばいいと思います。