質問: 確率変数の和の平均値と分散と確率分布 確率の問題でどうしても解けない物があります。どなたか解き方を教えて貰えませんでしょうか。お願いします。 問題) 確率変数 xi(i=1,2,...,n) は互いに独立であるが, それぞれ平均値i (e(xi)=i) のポアソン分布に従う. この確率変数の和 y= (n σ i=1) xi の平均値と分散を, nの関数として求めよ. さらに,yの確率分布 p(y=n) を求めよ.
回答: 平均と分散は e(y)=e(x1+...+xn)=e(x1)+...+e(xn)=1+...+n=n(n+1)/2 v(y)=v(x1+...+xn)=v(x1)+...+v(xn)=1+...+n=n(n+1)/2 と簡単にできると思います。 確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。 yの確率母関数はgy(s)=e(s^y)によって定義されます。 (sのy乗の平均、sは実変数) gy(s)=e(s^y)=e[s^(x1+...+xn)]=e(s^x1...s^xn) =e(s^x1)...e(s^xn) 積の各項は e(s^xi)=σp(xi=n)s^n=σe^(-i)・i^n/n!・s^n =e^(-i)σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is) よって gy(s)=e^(-1-...-n)・e^((1+...+n)s) =e^(-n(n+1)/2)・e^(n(n+1)/2・s) これをs=0を中心としてテイラー展開すると gy(s)=e^(-n(n+1)/2)・[1+n(n+1)/2/1!・s +{n(n+1)/2}^2/2!・s^2+... +{n(n+1)/2}^n/n!・s^n+...] 一方、定義から gy(s)=e(s^y)=σp(y=n)s^n なので、gy(s)のテイラー展開のs^nの係数と比較して p(y=n)=e^(-n(n+1)/2)・{n(n+1)/2}^n/n! 結局、平均がn(n+1)/2=1+2+...+nのポアソン分布になりました。 (n=0,1,2,...として和をとって1になるので計算は合って ると思いますが。ご確認願います。) 確率分布が分からないが、確率母関数が比較的容易に計算 できるときは、これをテイラー展開して係数を比較して逆 に確率分布を求められます。 ある確率変数xが与えられたときに、逆に単純な確率変数 u1,...,unを使ってx=u1+...+unと表し、gx(s)からxの確率分布を 求めることが良くあります。 (例えばxが二項分布に従うとき、uiはベルヌーイ分布)