質問: この問題を解いてくれるかたはいらっしゃいませんか。 数直線上の原点oから出発して、硬貨をなげながら駒を整数点上を動かすゲームを考える。毎回硬貨を投げて表が出れば+1、裏が出れば-1、それぞれ駒を進めるとする。ただし、点-1または点3に着いたときには以後そこにとどまるものとする。 (1)k回目に硬貨を投げたあと、駒が点1にある確率を求めよ。 (2)k回目に硬貨を投げたあと、こまがある点xkの期待値e[xk]を求めよ。 よろしくお願いします。
回答: 間違えていたら、ごめんなさい。 実際にやってみると、各回で各点上にある確率は下記の表のとおりになります。 (ただし、ー1と3については、各回のみの確率であり、実際の確率はその累積となります)。 点数............-1....................0.............1................2.............3..... 1回目.....1/2(終了).........0...........1/2...........0.............0..... 2回目.......................(1/2)^2..........0.........(1/2)^2.........0..... 3回目....(1/2)^3(終了).....0..........(1/2)^2.......0.......(1/2)^3(終了) 4回目..........................(1/2)^3.........0.........(1/2)^3................ 5回目....(1/2)^4(終了).....0..........(1/2)^3.......0.......(1/2)^4(終了) 6回目..........................(1/2)^4.........0..........(1/2)^4................ 7回目....(1/2)^5(終了).....0..........(1/2)^4.......0.......(1/2)^5(終了) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ したがって、 (1)k回目に硬貨を投げたあと、駒が点1にある確率 kが奇数の時 (1/2)^((k+1)/2) kが偶数の時 0 (2)k回目に硬貨を投げたあと、駒がある点xkの期待値e[xk] ・ k回目に硬貨を投げたあと、駒が点0にある確率(=駒が点2にある確率) kが奇数の時 0 kが偶数の時 (1/2)^((k+2)/2) ・ k回目に硬貨を投げたあと、駒が点ー1にある確率 最初の1回目で1/2の確率を取得し、さらに、1から(1/2、駒が点0にある確率、 点1にある確率及び点2にある確率)を引いた値を、点3と1/2づつ分け合う。 ・ k回目に硬貨を投げたあと、駒が点3にある確率 1から(1/2、駒が点0にある確率、点1にある確率及び点2にある確率) を引いた値を、点ー1と1/2づつ分け合う。 よって、期待値e[xk]は、 kが奇数の時 ((1/2)^((k+1)/2))*1+((1-1/2-(1/2)^((k+1)/2))/2+1/2)*(-1)+(1-1/2-(1/2)^((k+1)/2))/2*3 (注釈 1点の確率×1点+ ー1点の確率×ー1点 +3点の確率×3点) kが偶数の時 ((1/2)^((k+2)/2))*2+((1-1/2-((1/2)^((k+2)/2))*2)/2+1/2)*(-1)+((1-1/2-((1/2)^((k+2)/2))*2)/2)*3 (注釈 2点の確率×2点+ ー1点の確率×ー1点 +3点の確率×3点)