質問: 正四面体ABCDについて、三角形BCDの重心をGとする。辺AC,ADの中点をそれぞれP,Qとし、三角形BPQと線分AGの交点をHとするとき、AH:HGを求めなさい。 という問題があります。答えは3:2ですが、過程がわからないので教えていただきたいです。
回答: ベクトルを使うと次のようにできます. [AG]=1/3[AB]+1/3[AC]+1/3[AD]=1/3[AB]+2/3[AP]+2/3[AQ]. ここで, 1/3+2/3+2/3=5/3 なので, [AG]=5/3(1/5[AB]+2/5[AP]+2/5[AQ]) です。 ここで H' を [AH']=1/5[AB]+2/5[AP]+2/5[AQ] となる点とすれば, 1/5+2/5+2/5=1 なので, H' は 平面BPQ 上にあり, [AG]=5/3[AH'] なので, H' は 直線 AG 上にあります. つまり, H'は直線 AG と平面 BPQ の交点で, これが H です. 特に, [AG]=3/5[AH] となります. 従って AH:AG=3:5. つまり, AH:HG=3:2 となります.