質問: 内心 2次関数で内心をもとめる問題です。意外とむずかしいのでわかる方教えてください。 座標a(0、0)、b(3,3)、c(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(xだけでも可)。 わかりやすく教えていただける方の回答お待ちしています。
回答: 内心=三つの角の二等分線の交点=各辺から等距離にある点 というのをヒントに点と直線の距離の公式を用いるのが自然な解法だと思います。図は御自身で描かれて試してみてください。 まず直線abの式はx-y=0、直線bcは3x+y-12=0と出来ることに注意。 内心の座標をi(x,y)と置くとiと直線acの距離はy、 他方直線と点の距離の公式より、 iと直線abの距離は|x-y|/√2、iと直線bcの距離は|3x+y-12|/√10です。 これらがすべて等しいから y=|x-y|/√2=|3x+y-12|/√10 となります。絶対値が面倒なので全辺二乗して、 y^2=(x-y)^2/2=(3x+y-12)^2/10 となります。あとはこれを解けばよいですが面倒です。絶対値を正負に分けて場合分けの方が恐らく無難でしょう。 もうひとつのアイデアですが、∠bacの二等分線をまずもとめます。計算は例えばtanの半角公式tanθ/2={(1-cosθ)/(1+cosθ)}^(1/2)を用いてy=(√2-1)xであることがわかります。内心点はこの直線上にあることから、直線bcとの距離と直線acとの距離が等しくなる条件を求めてもできます。こちらだと |3x+(√2-1)x-12|/√10=(√2-1)x となって両辺二乗して整理すれば (36-16√2)x^2-24(√2+2)x+144=0 という二次方程式を解けばよいでしょう。 計算ミスはご容赦ください。いずれにしても僕の方法では高校二年ぐらいの数学の知識が必要のようですので、もっと別の方法があるような気はします。