質問: 微分積分の問題7です 曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ (1)概形を求めよ。 (2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ (3)この曲線の長さを求めよ この問題の解答よろしくお願いします ちなみに、(1)は出来ればで結構です(汗)
回答: (1) 概形は添付図の通り。 x(t)がtの偶関数、y(t)がtの奇関数なのでグラフはx軸対称。 t=0~√3の時 x=0~9,y=t(3-t^2)=y1(t)≧0 t=-√3~0の時 x=9~0,y=t(3-t^2)=y2(-t)≦0 y2(t)=-y1(t)≦0(0≦t≦√3) t=1でy=y1(t)は最大値y(1)=y1(1)=2,t=-1でy(t)=y2(-t)は 最小値y(-1)=y2(1)=-2をとる。 という性質があります。 (2) グラフがx軸対称なので 面積 s=∫[0→9] {y1(t)-y2(-t)}dx(t) (0≦t≦√3) =∫[0→9] 2y1(t)dx(t) (0≦t≦√3) =∫[0→√3] 2y1(t)(dx/dt)dt =∫[0→√3] 2(3t-t^3)(6t)dt =12∫[0→√3] (3t^2-t^4)dt =12[t^3-(1/5)t^5][0→√3] =(72/5)√3 (3) グラフがx軸対称なので曲線の長さlは0≦t≦√3の部分を求め2倍すれば良い。 曲線長 l=2∫[0→√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt =2∫[0→√3]√{(6t)^2+(3-3t^2)^2}dt =2∫[0→√3]√{9(t^2+1)^2}dt =6∫0→√3dt =6[(1/3)t^3 +t][0→√3] =12√3 =∫[0→9] 2y1(t)(dx/dt)dt