質問: 正の整数nについて0<=x<=π/2の範囲においてsin4nx>=sinxを満たすxの区間の長さの総和をSnとするとlim n→∞ Snを求めよ。
回答: 0=<x<=π/2より、0=<sinx<=1 よって 2kπ=<sin4nx<=(2k+1)π(k=0、1、2、・・、n-1) 2kπ/4n=<x<=(2k+1)π/4nの区間において sin4nx>=sinxとなる区間の長さ・・1を考察する sin(2kπ/4n)=<sinx<=sin((2k+1)π/4n) sin4n(2kπ/4n+α)=sin(2kπ/4n)となるαは sin(2kπ+4nα)=sin(4nα)=sin(2kπ/4n) よって α=2kπ/(4n)^2 sin4n(2(k+1)π/4nーβ)=sin(2(k+1)π/4n) となるβは sin((2(k+1)πー4nβ)=sin(4nβ) =sin(2(k+1)π/4n) よって β=2(k+1)π/(4n)^2 1の区間の長さは π/4nー2α<1の区間の長さ<π/4nー2β よって lim(n→∞)Σ(k=0→n-1)(π/4nー4kπ/(4n)^2) =<lim(n→∞)sn <=lim(n→∞)Σk=0→n-1) (π/4nー4(k+1)π/(4n)^2) よって lim(n→∞)(π/4ー(π/4n^2)(n-1)n/2) =<lim(n→∞)sn =<lim(n→∞)(π/4ー(π/4n^2)n(n+1)/2) よって、lim(n→∞)sn=π/8