質問: 微分積分について 微分積分初心者です。 dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると ∫dy/dx・dx=∫5dx y=5x + c(cは積分定数)というのはわかるのですが、 dxを右辺に持って行って、 dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで 積分ということになるのでしょうか? こういうことは可能なのでしょうか? また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? よろしくお願い致します。
回答: >dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで >積分ということになるのでしょうか? その通りです。 >こういうことは可能なのでしょうか? 可能です。 >また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 >二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? 一般的にはできません。 例えば d^2y/dx^2=f(x)の場合 d^(y^2)=f(x)(dx)^2 ∫d(y^2)=∫f(x)(dx)^2 と右辺の(dx)^2での積分は、積分の定義には存在しない(ありえない)からです。 2回に分けて2ステップで積分すれば可能です。 dy/dx=uとおけば du/dx=f(x) du=f(x)dx ∫du=∫f(x)dx=g(x)とおく。 u=dy/dx=g(x) dy=g(x)dx ∫dy=∫g(x)dx y=∫g(x)dx=∫{ ∫f(t)dt}dx ← 任意定数が2つ出て 「c1x+c2の項が出てくる」 あるいは代わる解法として 特性方程式を使う方法や演算子s=d/dx=d を使う方法 を使えば二階微分方程式以上に対応できます。