質問: 四面体における重心 四面体abcdの頂点aから底面に引いた垂線ahは この四面体の外接円の中心によって 2:1に分けられるのですよね? これはこの四面体の形によらず成り立つのでしょうか・・? 高校数学の三角比の分野です。。お願いします。
回答: まず、一般に四面体にも三角形と同様に外心、内心、重心、傍心が存在します。 しかし、垂心(各頂点から対面へ下ろした垂線の交点)は必ずしも存在しません。 垂心が存在するのは、直辺四面体と呼ばれる3組の対辺がそれぞれ垂直である四面体に限られます。 そして、重心(各頂点と対面の三角形の重心を結ぶ直線の交点)は頂点と 対面の三角形の重心を結ぶ直線を頂点側から3:1に内分します。 math_techさんが言われているのは正四面体のことだと思いますが、 正四面体では、垂心・外心・重心が一致するので垂線は重心を通り、 「四面体abcdの頂点aから底面に引いた垂線ahは この四面体の外接球の中心(重心でもある)によって 3:1に分けられる」と言えます。