質問: 線形代数を解くための掃き出し法という概念はどういう目的で考案されたのですか?
回答: 目的は色々ありますが、大きいのは中学で習う連立方程式を解くときに行う加減法と同じを、数字だけで表記するということです。 例えば ┏2x+y=4 •••1 ┗ x+y=3 •••2 という連立方程式があったとき、加減法で解くにはまず1-2をして x=1 これを2に代入して (すなわち、x+y=3,x=1を連立して) y=2 という答えを得ます。 一方で、拡大係数行列に対して掃き出し法を適用すると、 2 1 4 1 1 3 → 1 0 1 1 1 3 → 1 0 1 0 1 2 となっており、この動きは正に加減法に対応しています。 ある行を何倍かして他の行に加えるという動きは、ある式を何倍かして他の式に加えることに対応します。 そして0を作っていく動きが、係数を0にしていくこと、つまり文字を1つずつ消去していくことに対応しています。 そうして得られた最終形が 1x+0y=1すなわちx=1を 0x+1y=2すなわちy=2 を示しているという仕組みです。 毎回毎回未知数を書かずに、数字だけを追っていくことで同じ結果を得ようということです。 さらに、掃き出し法であれば文字が現れずに数字の並びだけが現れ、元々の連立方程式の持っていた構造が抉り出されて一目で分かるようになります。 このような着眼点を持てると、行列のランクが落ちるとはどういうことか、フルランクであるとはどういうことか、連立方程式が解を持つ/持たないのはどんなときか、それは何故か、といった疑問がどんどんクリアになっていくと思います。