質問: 一様連続でないの厳密な証明は? 微分積分の期末テストで次の問題が出ました。 次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。 命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。 この問題で自分は次のように解答しました。 (証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。 あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。 このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+ α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε だけでなくαにも依存するから) この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考 えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった ら力になってください。よろいくお願いします。
回答: ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は 「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」 ことの証明にはなっていますが 「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」 ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り 「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する ことは証明されないからです 「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。 変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです) を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。 まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと ∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0 ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε) でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。 一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと ∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)......(1) となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。 この場合δはεだけに依存します。 そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから ∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)......(2) となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね) つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」 ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に 対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。 これを示しましょう。 ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。 x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件 |x - α| < δ を満たします。しかし |f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε ですから一様連続でないことがいえました。 ■ 証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが (1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、 証明も正しいものと勘違いした (2)実は先生もわかってない(まさかね^^;) (3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと 証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても 一応は理解しているものと判断して○にした。 というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。