質問: 大学数学 数列の極限の問題がわかりません 数列{an}を考える。an>0とする。 a(n+1)/an=α(n→∞)の時、anのn乗根がn→∞でαに収束することを示せ と言う問題がわかりません。nは自然数です。 よろしくお願いします。
回答: b(n) = a(n+1)/a(n) と置くと、 log b(n) = log a(n+1) - log a(n) より log a(n) = log a(1) + σ[k=1...n-1] log b(k). (1/n) log a(n) = (1/n) log a(1) + ((n-1)/n) ・ (1/(n-1)) σ[k=1...n-1] log b(k). ←[1] よって、lim (1/n) log a(n) = lim (1/n) log a(1) + lim (n-1)/n ・ lim log b(n) ←[2] = 0 + 1 ・ log lim b(n) = log α. これを使って、 lim { a(n) }^(1/n) = lim exp log { a(n) }^(1/n) = exp lim (1/n) log a(n) = exp log α = α. [1]から[2]への変形に、lim b(n) = β が収束するとき lim (1/n) σ[k=1...n] b(k) = β という定理を使っている。 この定理、教科書に載っていたよね?