質問: 図形です △abcの辺bc上に、端点であない点dをとる。次の各問いに答えなさい。 (1)ad=d,ac=b,∠bad=α,∠cad=βのとき、bd:dcをd,b,α,βを用いて表しなさい。 (2)ad=8,ac=10,∠bad=65°,∠cad=50°のとき、bd:dcを整数比で表しなさい。 という問題です。これも解き方がわかりません。 詳しく教えてください えっと一様予想です 余弦定理でbd,dcについて求めると思います bd^2=c^+d^2ー2cd*cosα dc^2=b^2+d^2-2bd*cosβ あとはこれをどうにかして正弦を使ってとけばいいのではないかとおもいました。 予想なのでほかに簡単な方法や予想の続きなどわかる方がいましたらおねがいします
回答: 余弦定理も正弦定理も要らない方法。 ad=d、ab=c、ac=b、∠abd=α、∠acd=β とする。 △abc=△abd+△acd ....(1)だから その面積を考える。bc*sin(α+β)=cd*sinα+bd*sinβ ....(2). bd=x、cd=y、∠adb=θ、∠adc=π-θとすると(1)より bc*sin(α+β)=xd*sinθ+yd*sin(π-θ )=xd*sinθ+yd*sinθ ....(3) (2)と(3)から、c*sinα+b*sinβ=(x+y)*sinθ ....(4) 又、△abd=cd*sinα=xd*sinθ....(5)、△acd=bd*sinβ=yd*sinθ ....(6) (2)より、c{b*sin(α+β)-dsinα}=bd*sinβ 又 c*sinα=x*sinθ、b*sinβ=y*sinθ だから、y/x=(cosβ)*{b*sin(α+β)-dsinα}/(d*sinα*sinβ)....(7) d=8、b=10、α=65、β=50 て ゙sin115°=cos25°、sin65°=cos25°だから、(7)=(2/8)*(cos25°)^2/(cos25°)^2=1/4. 以上から、bd:cd=4:1。 xとyをd,b,α,βで求めてないが、2つの三角形に余弦定理を使うと出る。それは自分でやってくれ。 しかし、上の解で分かるように求める必要もない事は理解できるだろう。