質問: 8^nー7nー1が49の倍数である証明をせよ。 8^nー7nー1が49の倍数である証明をせよ。 途中までも正しいのか?正しい証明方法を教えてください。 ...8^k+1ー7kー7ー1 数学的帰納法として
回答: 『数学的帰納法』で考えるのならば、次の通りです。 n=1のとき 8^1-7×1-1=0 であるから49の倍数 n=kのとき 8^k-7k-1=49m(mは整数)が成り立つとすると、 n=k+1のとき 8^(k+1)-7(k+1)-1 =8^k×8-7k-8 =(49m+7k+1)×8-7k-8(∵8^k-7k-1=49m) =49×8m+56k+8-7k-8 =49×8m+49k =49(8m+k) よって、n=k+1のときも成り立つ 以上から、すべての自然数nについて、8^n-7n-1は49の倍数になります。