質問: 線形代数の問題 (1)2直線:2x-6y+5=0,4x-2y+1=0について、2直線の交点・2直線のなす角を求めよ。 (2)2平面:x-2y+z+3=0,2x+3y-2z-1=0について、2平面の交線及び交線と点(1,1,1)を含む平面を求めよ。 という2問について解法を教えて頂きたいのですが。 (1)の問題は交点は連立させて求めたのですが、なす角の求め方がわかりません。 (2)の問題は交線の求め方が解らないのですがどのような解法があるのでしょうか? 解る方教えて下さい。
回答: 直線や平面のベクトル表示を勉強中と思いますのでその線で(1)を答えると。これはwolvさんの回答の補足とう格好になりますね。 2直線の交点(x0,y0)は x0=1/5,y0=9/10 (1) 位置ベクトルx0を通る平面上の直線lのベクトル方程式は、方向ベクトルをaとすると x=x0+ta (1) と書けます。ここでx,a,x0はそれぞれ成分x(x,y),x0(x0,y0),a(a1,a2)とする位置ベクトルで、tはパラメータです。(1)を(x,y)成分で書くと x=x0+ta1,y=y0+ta2 (2) となりますね。(2)よりパラメータtを消去すると a2x-a1y=a2x0-a1y0 (3) ここでx0=1/5、y0=9/10を(3)に代入すると a2x-a1y=(2a2-9a1)/10 (4) 直線2x-6y+5=0は(4)でa2=2,a1=6、4x-2y+1=0はa2'=4,a1'=2と置けばよいことが分かります。以上整理すると直線2x-6y+5=0の方向ベクトルはa(6,2)、直線4x-2y+1=0の方向ベクトルはa'(2,4)ですね。そこで2直線のなす角をθとするとベクトルの内積より cosθ=|a・a'|/∥a∥∥a'∥=1/√2 (5) これからθ=45度と求まります。