質問: 複素関数論、複素ポテンシャルの導出について
回答: ある関数 u(x,y), v(x,y) を用いて ω=u(x,y)dx+v(x,y)dy を微分形式と言います。 ωがある関数 f(x,y) の全微分 df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy になっているとき、すなわち ω=df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy であるとき、ωは完全微分であると言います。 ω=u(x,y)dx+v(x,y)dy に対し、 dω=(v_x(x,y)-u_y(x,y))dxdy と定義します。 dω=0 であるとき、ω=u(x,y)dx+v(x,y)dy は閉形式であるといいます。 定理1:完全微分は閉形式である。 ω=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy ならば、 dω=(f_yx(x,y)dx-f_xy(x,y))dxdy=(f_xy-f_xy)dxdy=0 であるので当然です。 定理2:領域が単連結領域ならば、逆も成り立つ。すなわち 閉形式は完全微分である。 以上のことは、筆者にとっては常識であるので読者も知っていると思いこんで説明を省略したのかも知れません。 いま、ω=-(∂φ/∂y)dx+(∂φ/∂x)dy は dω=(φ_xx+φ_yy)dxdy=0 であるため、ωは閉形式であり、定理2により、完全微分です。 よって、ある関数ψが存在し、 ω=dψ となります。すなわち、 (5) ω=-(∂φ/∂y)dx+(∂φ/∂x)dy =dψ です。 dψ=ψ_xdx+ψ_ydy だから、両辺を見比べて ∴ ∂φ/∂x=∂ψ/∂y, ∂φ/∂y=-∂ψ/∂x を得ます。