質問: σ[k=1..∞]e^(-kx)の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ 皆様こんにちは。 [q]σ[k=1..∞]e^(-kx)はx∈(0,∞)で収束する事を示せ。またこの和の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ。 がなかなか示せません。 前半は下記の通り示してみました。 ς[k=1..∞]e^(-kx)=σ[k=1..∞]1/e^x(1/e^x)^(k-1)=1/e^x/1-(1/e^x) (∵初項1/e^x,公比1/e^xの無限等比級数でx∈(0,∞)では公比が|1/e^x|<1なので) これで正しいですよね? それと後半はどうやって示せますでしょうか?
回答: まさに「そのまま」です. #式には適切に括弧をつけること ς[k=1..∞]e^(-kx)=σ (e^{-x})^k =1/(1-e^{-x}) ひとまず,これを微分すれば -e^{-x}/(1-e^{-x})^2 一方,e^{-kx} を微分すれば -ke^{-kx} だから -σ[k=1..∞] ke^{-kx} を計算すればよい. 見にくいから,求める和をs,e^{-x} = x とでもおけば -s=σ[k=1..∞] k x^k となって.x=1ではないので -sn = σ[k=1..n] k x^k とでもおけば これはもう高校でよくやる問題になるでしょう. -(1-x)sn = x(1-x^n-1)/(1-x) -nx^{n+1} |x|<1 だから x^{n}->0だし nx^{n+1} = (n/e^n)(1/e) -> 0 よって -s= x/(1-x)^2 これで証明終わり