質問: 恒等式一般 (問題) どのような実数c1、c2に対しても関数f(x)=c1e^(2x)+c2e^(5x)はf``(x)-(あ)f`(x)+(い)f(x)=0(1)を満たす。 (解答) f`(x)=2c1e^(2x)+5c2e^(5x),f``(x)=4c1e^(2x)+25c2e^(5x)より、 (1)は(4-2あ+い)c1e^(2x)+(25-5あ+い)c2e^(5x)=0(2) (2)は全てのx、c1、c2について成り立つから、4-2あ+い=0かつ25-5あ+い=0. (疑問) 教科書にはxの整式p,qについて p=q⇔pとqの係数が等しいとあります。これは全てのxについて成り立つというときは当然だということはわかります。 上のような変数が複数(上ならばx、c1、c2の3つ)のときはどう考えよという方針はあるのでしょうか?それとも自分でその都度見出すものなのでしょうか?なにかこう考えるとよいという方針があれば決めておきたいです。教えてください。
回答: 変数がいくつあろうと同じ事で、本質は一次式です。 変数n個を並べて作ったn次元ベクトルtを考える。このn次元ベクトルの集合をtとし、tの上で二つの一次式 a・t, b・t が定義されているとします。a, bはそれぞれn次元ベクトルで、" ・ "はベクトル同士の内積です。 で、tの部分集合vを考えます。このときに、 (∀t(t∈v ⇒ a・t = b・t)) ⇔ (a=b) つまり「vに属するどのtについてもa・t=b・tである、ということと、 a = b ということとは同値である」が言えるとき、vには互いに線形独立なベクトルが少なくともn個入っている。 そして逆も言えます。すなわち、vに互いに線形独立なベクトルが少なくともn個入っているなら、「vに属するどのtについてもa・t=b・tである、ということと、 a = b ということとは同値である」が言える。 さて、ベクトルtの成分はどれも複素数であるとし、k番目の成分をt[k]と書くことにします。で、t∈vにおいてはベクトルtの成分であるn個の変数同士が互いに無関係ではなくて、 ∀t(t∈v ⇒ ∃z(z∈複素数 ∧ ∀k(k∈{1,2,...,n} ⇒ x[k] = z^(k-1))) という条件を満たす場合を考えます。つまり「t∈vなら、ある複素数zが存在して、どのk (k=1,2,..., n) についてもt[k] = z^(k-1)となる」わけです。このとき、tの代わりにzを使って a・t = σa[k]z^(k-1) b・t = σb[k]z^(k-1) と書けますね。(ただしσはk=1~nについての総和です。)これこそが整式です。 で、vとして目一杯大きい集合 v = {(x[1],x[2],...,x[n]) | ∃z(z∈複素数 ∧ ∀k(k∈{1,2,...,n} ⇒ x[k] = z^(k-1)) } を考える。すると、vの要素tについて、その成分z^(k-1) (k=1,2,...,n)はどれも、他の成分の線形和(適当な係数を掛けて足し合わせたもの)では表せない(どのz∈複素数についても成立つ式(恒等式)として表せない)。ですから、上記の一次式の話がそのまま使えます。(しかし、vはなにもそんなにでっかい集合じゃなくたって、わずかn個の成分を持つだけでも足りる訳です。) ご質問の例ではn=2であって, v = { t | ∃x(x∈実数 ∧ t[1] = e^(2x) ∧ t[2] = e^(5x) ) } つまり、「t∈v とは t[1] = e^(2x) かつ t[2] = e^(5x)となる実数xがあること」という風に考えれば、一次式 f = a[1]t[1] + a[2]t[2] はxを使って f = a[1]e^(2x) + a[2]e^(5x) と書けます。で、「vに属する全てのtについて」とは「実数であるすべてのxについて」と同じこと。そして、e^(2x)とe^(5x)は互いに線形独立なので、上記の一次式の話がそのまま使える。という訳です。 もちろんvはそんなにでっかい集合である必要はない。どれかの回答でx=0とx=1の二つの場合を考えろ、というアドバイスが出ているのは、ベクトル(e^(2×0), e^(5×0))と(e^(2×1), e^(5×1))とは互いに線形独立なvの要素だ、ということですね。 一方、「任意の実数xについて a1]x + a[2 = b1]x + b[2 」という話の場合には、ベクトルtを t=(x, 2x) としても成分同士が線形独立になってませんから、(当然ながら)上記の話は使えません。