質問: 線形代数の問題(1次変換) 長文失礼いたします。下記の問題の解法でわからないことがあります。 原点のまわりの角θの回転による点p(1,2)の像が描く曲線の方程式を求めなさい。 ただし,点pの回転の範囲は 0≦θ<2πとする。 点p(x1,y2)を極座標で表すと x1=rcosα1 y1=rsinα2 ここで、r=√x12+y12、tanα=y1/x1とする。 この点pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をq(x2、y2)とする。 x2=rcos(α+β) y2=rsin(α+β) 上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する。 x2=rcosα・cosβーrsinα・sinβ y2=rsinα・cosβ+rcosα・sinβ この式に、1、2を代入する。 x2=x1cosβーy1sinβ3 y2=x1sinβ+y1cosβ4 3、4に点pの座標である(1、2)を代入し、β⇒θと置き換えると x2=1・cosθー2sinθ y2=1・sinθ+2cosθ 整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて x’=cosθー2sinθ5 y’=sinθ+2cosθ6 が得られる。 (x’)2=cos2θー4cosθ・sinθ+4sin2θ7 (y’)2=sin2θ+4sinθ・cosθ+4cos2θ8 7+8を計算する(sin2θ+cos2θ=1でもあるので) (x’)2+(y’)2=1+4=59 すなわち、原点を中心にした半径√5の円が描ける。 ただし、円の描き始め位置は、点p(1.2)になる 質問 ・なぜ点p(x1,y2)を極座標で表す必要があるのでしょうか。 ・x1=rcosα1とありますが、どのようにrcosαを導き出したのでしょうか。 ・y1=rsinα2とありますが、どのようにrsinαを導き出したのでしょうか。あと、左辺がy2ではない理由がわかりません。 ・ここで、r=√x12+y12、tanα=y1/x1とする、とありますが、なぜr=√x12+y12、tanα=y1/x1とするのでしょうか。 ・点pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をq(x2、y2)とする、とありますが、なぜq(x2、y2)なのでしょうか。(x1,y1)ではないのでしょうか。 ・上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する、とありますが、加法定理を用いる必要があるとどこで判断したのでしょうか。 ・β⇒θと置き換えると、とありますが、なぜβ⇒θに置き換えたのでしょうか。 ・整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて、とありますが、なぜ置き換える必要があるのでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: ・なぜ点p(x1,y2)を極座標で表す必要があるのでしょうか。 →見通しが良いからです。 ・x1=rcosα1とありますが、どのようにrcosαを導き出したのでしょうか。 ・y1=rsinα2とありますが、どのようにrsinαを導き出したのでしょうか。あと、左辺がy2ではない理由がわかりません。 →おそらくご自身で記載している解答の"点p(x1,y2)を極座標で表すと"が本当は点p(x1,y1)なのだと思います。 αはpoとx軸の間の角度です。どのようにrcos(sin)αを導いたとありますが、ほとんど定義そのものです。 半径rの円上の点と原点を結ぶ線分とx軸の間の角度をθとすると点の座標(x,y)は(rcosθ,rsinθ)となります。 ・ここで、r=√x12+y12、tanα=y1/x1とする、とありますが、なぜr=√x12+y12、tanα=y1/x1とするのでしょうか。 そうすると x1=rcosα1 y1=rsinα2 と表現できるからです。 ・点pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をq(x2、y2)とする、とありますが、なぜq(x2、y2)なのでしょうか。(x1,y1)ではないのでしょうか。 回転させた先の座標は点pの座標(x1,y1)とは異なる位置ですよね?なので別の変数(x2,y2)と置いているのだと思います。 ・上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する、とありますが、加法定理を用いる必要があるとどこで判断したのでしょうか。 rsin(α+β)を加法定理で展開すればrsinαが出てくるのでこれをx1で置き換えることができると判断したからだと思います。 ・β⇒θと置き換えると、とありますが、なぜβ⇒θに置き換えたのでしょうか。 特に置き換える必要はありません。そもそも最初からβと置かずにθで計算すれば良いと思います。 ・整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて、とありますが、なぜ置き換える必要があるのでしょうか。 これも特に置き換える必要はありません。見やすくしただけです。