質問: 積分法 次の2つの条件を満たす2次関数f(x)を求めよ。 〔1〕任意の1次関数g(x)に対して∫{0~1}f(x)g(x)dx=0 〔2〕∫{-1~1}f(x)dx=1 2次関数f(x)=ax^2+bx+cとおいて〔2〕より2a/3+2c=1という方程式をたてました。ここで1次関数g(x)のおき方なのですが、g(x)=dx+eとおくのでしょうか?このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。 〔1〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。回答宜しくお願いします。
回答: >g(x)=dx+eとおくのでしょうか? > このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。 こうおいて計算して答を出し, さてもっと簡単にできなかったかと振り返ってみるのが勉強だと思うのですがね. どうやれば簡単かが「見える人」というのはそういう蓄積があるのだと思います (大天才はどうか知りません). さて, (1) g(x) = dx + e とおいて,以下やるべきことの論理構成はどうなっているのでしょうか. (2) ∫{0~1} f(x) g(x) dx を計算する? まあ,そりゃそうです. で, (3) (2) = d×(a,b,c の式#1) + e×(a,b,c の式#2) に形になります.もちろん,式#1 と 式#2 の具体的形は別にして, 計算やらなくてもこの形になることはわかります. どんな1次関数に対しても(つまり,どんな d と e を選んでも),(3)がゼロというのだから, (4) (a,b,c の式#1) = 0 (5) (a,b,c の式#2) = 0 ということです. ん?でも (6) (a,b,c の式#1) = ∫{0~1} f(x) x dx (7) (a,b,c の式#2) = ∫{0~1} f(x) dx ですね. そうすると,(6)=0,(7)=0,質問文にある式,3つ式が出ました. 決めるべき係数は a,b,c ですから,特別変なことがなければ a,b,c は決まります. 上の話は rei00 さんの g(x) の選び方で,g(x)=x と g(x)=1 に選んだことになっています. ただし,上の話ですと,rei00 さんの > 求めた f(x) が (1) の条件を満たすか確認します。 は不要ですね. 結局,余り面倒な計算は要らないのですが, g(x) = dx + e とおいたところで,「こりゃ文字が増えすぎて面倒でダメ」と思ってしまうと 先に進めません.