質問: 連続性のある関数を、中間値の定理に基づいて、実数解があることを示す方法がわかりません(tot) 微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。 【問題】 方程式3x=2^x+2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。 【解答】 f(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間rで連続であり、 f(0)=-2<0 f(1)=3-(2+1/2)=1/2>0 である。中間値の定理(※)により、 f(x)=3x-(2^x+2^-x)=0 であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。 ●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○ ※連続関数の中間値の定理 関数f(x)が、閉区間[a,b]で、連続でf(a)≠f(b)のとき、f(a)とf(b)の値kに大して、 f(c)=k である点cが、開区間(a,b)の中に少なくとも1つ存在する。 ●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○ 読みにくいと思いますので、添付ファイルもご覧にいただきたいのですが、どうしてf(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間rで連続になるのでしょうか? 関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね? ですが、f(x)=3x-(2^x+2^-x)は、変数xが指数としてくっ付いてるので、どう微分していいのやら・・・。 なので、「全区間rは連続であり」と言われても、全くピンときません(tot) どうして「<0」「>0」など、0から目線で証明を進めているのかもわかりません(>_<) 皆様のお力をお借しいただきたい次第です。 よろしくお願いします
回答: >関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね? いろいろ違います。 まず、 >f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」 とありますが、微分係数の定義からするとf`(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)です。連続と混合されてると思います。 f(x)が点aで連続であることの定義はlim(x→a) f(x)=f(a)となることです。この定義に微分は介入しません。 たとえば、g(x)=2^xとおけば、lim(x→1)g(x)=lim(x→1)2^x=2となりg(1)と一致するのでg(x)はx=1で連続ですし、同様にx=2でも3でも連続になります。一般的なaにおいてもlim(x→a)g(x)=lim(x→a)2^x=2^aとなりg(a)と一致するので全実数区間で連続です。