質問: この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です) $$n!=\sum_{k=1}^{n}(-1 この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です) $$n!=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} {_n}c_k k^n$$ 学校や塾の先生にこの式のことを尋ねたところ、「見たことある気がするけど思い出せない」と仰っていたのが気になっています。 自分でできる限り調べてみましたが、すでに知られているものなのかどうか分かりませんでした。 ご存知の方がいれば、どこで見たのかなどを教えていただけると幸いです。 ※証明はできています。
回答: いわゆる”クーポンコレクター問題”に顔を出す式です。 n,mともに自然数とします。n種類の景品があり、くじを1回引く度にどれか一つが入手出来るとします。このときくじをm回引いて全n種類そろっている場合の数をan(m)と表すと、 $$ an(m)=σ_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}{}_n{c}_kk^{m} (最後の指数だけm) $$ この式にm=nを代入すると an(n)=n! 、つまりお問い合わせの公式となります。 ちなみにm<nとしても、ちゃんとan(m)=0 [意味を考えると当然ですが]となります。良く出来てますよね! 返信(0件)