質問: 大学の解析学の問題です 関数f(x),g(x)をr上で連続な関数だとするとき、次を示せ。 (1) 任意の有理数の点xに対してf(x)=g(x)であるならば、任意の実数xに対してf(x)=g(x)である (2) 任意の実数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つならば、f(x)=cx (cは定数)である どのような解答にすればよいのか全く分からず困っているので、どちらか片方だけでも良いので詳しく解答いただけると助かります。 よろしくお願いします。
回答: ヒントだけ (1) 先ず、任意の実数xに対し、xに収束する有理数列(y_n) (nは自然数)が存在する事を示す。 証明はまあ色々ある。 その上で、任意の自然数nに対しy_n上では f(y_n) = g(y_n)が成り立つ。 そこでnを無限大に飛ばし、f, gの連続性を使う。 (2) 先ず、xが有理数の時f(x) = xf(1)であることを証明する。 そこでg(x) = xf(1)とおくと、(1)との関連が見えてくる