質問: 漸化式の極限 次の条件で定義される数列{an}の一般項を求め、{an}の極限を求めよ。(書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には _ をつけておきました) a_1=1 a_(n+1)=(1/3)a_(n)+2 ←問題 で、a_(n+1) -3=(1/3)(a_(n) -3) ←この式の意味が分かりません・・・。
回答: a_(n+1)=(1/3)a_(n)+2 これを変形すると、実は2個目の式 a_(n+1)-3=(1/3){a_(n)-3} になります。ここで b_(n)=a_(n)-3とおくと、与式は b_(n+1)=1/3*b_(n) b_(1)=a_(1)-3=-2 つまり初項-2、公比1/3の等比数列になります。 後はいもづる式に判るでしょう。 この問題で重要なのは2個目の式がいかにして思いつくか、です。 a_(n+1)+α=1/3*{a_(n)+α} とおいて、問題の式と上式が同じになるようにαを求めるのです。α=-3ですね。この方法を覚えておけばこの種の問題はokです。問題の式を変形して見覚えのある式にするのです。