質問: ∫1/(z-1)dz c:|z|=1 の求め方 次のように考えてみました。 z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、 ∫1/(z-1)dz =∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ =∫0→2π/(cosθ+isinθ-1)dθ =∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ =∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ =∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ =∫0→2π/2sinθdθ =1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ =1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π] =πi 以上のような考え方でよろしいのでしょうか?宜しくお願い致します。
回答: まづ、a no.5 のミスプリを陳謝。 lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi, lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi でした。 no.5 補足の計算については、既に > その2個の lim は、広義積分の両端を表すので、 > それぞれ別個に収束する必要があり、 > 適当に組み合わせて条件収束させたのでは > いけないのです。 と述べたとおりです。 3行目から5行目への変形は、 { lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| } = lim[h→0] { log h - log h } という計算を含んでいますが、 高校数学でも習ったとおり、 (lim an) - (lim bn) = lim(an - bn) という計算が成り立つのは、 lim an と lim bn が両方とも収束する場合だけです。 一方でも発散したら、この式は成立しません。 例えば、lim[x→1] 1/(1-x) - lim[x→1] x/(1-x) の値は、 = 1 で ok ですか? そうではないでしょう? log0i は -∞ に発散するので、 log0i - log0i は ∞-∞ 型の不定形であり、 = 0 とすることはできないのです。ここが間違っています。