質問: ユークリッド空間と距離空間の違いについて 位相の本を読んでいるのですが ユークリッド空間と距離空間の違いがよくわかりません。 両方とも距離が定義されています。 違いと言えば、対象としている集合が ユークリッド空間r^n 距離空間は、一般の集合 です。 一般の集合に対して、距離というものが定義できるものが 距離空間で、ユークリッド空間はその1つと考えれば よいのでしょうか。 以上です。
回答: ん~, 「つまらない」といえばその通りではあるんだけど, 「定義を確認する」というのは重要なことだよね. 「集合」として r^n を取り, その 2つの要素 x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) に対して d(x, y) = √((x1-y1)^2 + ... + (xn - yn)^2) という関数を定義するとこれは「距離の公理」を満たす. だから「r^n と d のペア」で 1つの「距離空間」となり, これを「(n次元) ユークリッド空間」と呼ぶ, と. 「距離」として違うものをもってくれば当然違う距離空間が得られます.