質問: 三角関数の問題です。 実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、 x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。 xy平面上の原点oと他の点p(x,y)を結ぶ線分opの長さをr、 x軸と動径opのなす角をθとすると、 1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ) =(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。 但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。 従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。 まったく手に負えません... 問題の意味が全然わからないのですが どなたかわかりやすく説明していただけませんか?
回答: 実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、 >x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。 >xy平面上の原点oと他の点p(x,y)を結ぶ線分opの長さをr、 >x軸と動径opのなす角をθとすると、 x=rcosθ,y=rsinθ,x^2+y^2=r^2cos^2θ+r^2sin^2θ=r^2 >1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ) >=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。 1/r^2(11x^2+12xy+6y^2) =(1/r^2)(11r^2cos^2θ+12r^2sinθcosθ+6r^2sin^2θ) =(11/2)(1+cos2θ)+6sin2θ+(6/2)(1-cos2θ)2倍角の公式より、 =(5/2)cos2θ+6sin2θ+(17/2) =(13/2)sin(2θ+α)+(17/2) 合成の公式より >但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。 ルート{(5/2)^2+6^2}=ルート(169/4)=13/2 sinα=(5/2)/(13/2)=5/13,cosα=6/(13/2)=12/13 >従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。 1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(13/2)sin(2θ+α)+(17/2)より、 4/r^2=(13/2)sin(2θ+α)+(17/2) -1≦sin(2θ+α)≦1より、 -(13/2)+(17/2)≦(13/2)sin(2θ+α)+(17/2)≦(13/2)+(17/2) 2≦4/r^2≦15 1/15≦r^2/4≦1/2 4/15≦r^2≦2 x^2+y^2=r^2だったから、 x^2+y^2の最大値は2,最小値は4/15 でどうでしょうか?