質問: この問題わかる方教えていただけますか? 出来れば解説付きで^^;
回答: 基本事項の確認 基本的な関係式 sin^2 θ + cos^2 θ = 1 実際は、これを変形した sin^2 θ = 1 - cos^2 θ, cos^2 θ = 1 - sin^2 θ の方を使う機会が多い 注意!:変形したほうの式まで覚えようとするんじゃなくて、 「sin^2 θ + cos^2 θ = 1 は必要に応じて変形して使う」 ってのを覚える 余弦定理:△ABC において、 第一形(使う機会は少ないので覚えていなくて困ることも少ない) a = b cos∠C + c cos∠B b = c cos∠A + a cos∠C c = a cos∠B + b cos∠A 第二形(よく使う) a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos∠A b^2 = c^2 + a^2 - 2ca cos∠B c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos∠C これらを変形した cos∠A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc cos∠B = (c^2 + a^2 - b^2)/2ca cos∠C = (a^2 + b^2 - c^2)/2ab もよく使う 注意!:変形したほうの式まで覚えようとするんじゃなくて、 「余弦定理は必要に応じて変形して使う」 ってのを覚える 正弦定理:△ABC において、 第一形 a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R ここで、R は△ABC の外接円の半径 これを変形した a = 2R sin∠A, b = 2R sin∠B, c = 2R sin∠C の形の方が便利なことも多い 第二形(外接円が絡まないときはこちらの方が便利) a:b:c = sin∠A:sin∠B:sin∠C 実際には必要な部分だけとって、 a:b = sin∠A:sin∠B b:c = sin∠B:sin∠C c:a = sin∠C:sin∠A の形で使う 正弦定理と余弦定理の使い分けの基本方針 三辺⇒角 余弦定理 二辺と一角⇒辺 余弦定理 二辺と一角⇒角 正弦定理 一辺と二角⇒辺 正弦定理 三角形の面積:△ABC の面積 S は、 S = (1/2)ab sin∠C = (1/2)bc sin∠A = (1/2)ca sin∠B ---------- 問題の解答 (1) 三辺が与えられて、角の cos を求めるのだから、 「基本方針:三辺⇒角 余弦定理」 で行く c = AB = 6, a = BC = 4, b = CA = 5 がわかっていて、∠CAB = ∠A を求めるのだから、∠A に関する余弦定理の式 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos∠A を使う 変形して、 cos∠A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc a = 4, b = 5, c = 6 を代入して、 cos∠A = (5^2 + 6^2 - 4^2)/2・5・6 = 45/2・5・6 = 3/4 ans. cos∠CAB = 3/4 (2) 三角形の面積を求める公式には sin が入っているので、それをまず求める (1) で cos∠A = 3/4 がわかっているから、基本的な関係式 sin^2 θ + cos^2 θ = 1 を利用して sin∠A を求め、S = (1/2)bc sin∠A を使う。 sin^2 ∠A + cos^2 ∠A = 1 より、 sin^2 ∠A = 1 - cos^2 ∠A (1) より cos∠A = 3/4 だから、 sin^2 ∠A = 1 - (3/4)^2 = 1 - 9/16 = 7/16 0°< ∠A < 180°だから sin∠A > 0 なので、 sin∠A = √(7/16) = (√7)/4 だから △ABCの面積 S は、 S = (1/2)bc sin∠A = (1/2)・5・6・(√7)/4 = (15√7)/4 ans. (15√7)/4 (2) 別解 ヘロンの公式:△ABC の面積 S は、 s = (a+b+c)/2 とおいて、 S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 三辺の長さが整数のときに便利だが、出番は少ない これを使うと、 s = (4+5+6)/2 = 15/2 s-a = 15/2 - 4 = 7/2 s-b = 15/2 - 5 = 5/2 s-c = 15/2 - 6 = 3/2 S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √{(15/2)(7/2)(5/2)(3/2)} = √{(15・15・7)/16} = (15√7)/4 以上でした