質問: 整数論の剰余類についてです。 a≡b(mod m) とa+mZb+mZ が同値である証明を教えてください。 よろしくお願いいたします。
回答: a≡bより a-b≡0(mod m) なので、 ∃k∈Z,a-b=km なので、 x∈a+mZとすると、x=a+mp(p ∈ Z) とかける。 x=a+mp=b+mk+mp=b+m(k+p)で、 k+p ∈ Zなのでx ∈ b+mZ 逆も同様にして、 x∈b+mZとすると、x=b+mq(q∈ Z) とかける。 x=b+mq=a+(-k)m+mp=a+m(-k+p)で、 -k+p ∈ Zなのでx ∈ a+mZ 故にa+mZ=b+mZ