質問: 0°≦x≦180°の時の、sinx+sin2x+sin3x+sin4x>0を解け。 解説お願いします 0°≦x≦180°の時の、sinx+sin2x+sin3x+sin4x>0を解け。 解説お願いします!
回答: 和積の公式 sinx+siny =2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、 sinx+sin2x+sin3x+sin4x =(sinx+sin4x) + (sin2x+sin3x) =2 sin((x+4x)/2) cos((x-4x)/2) + 2 sin((2x+3x)/2) cos((x-3x)/2) =2sin(5x/2){ cos((-3x)/2)+ cos((-2x)/2)} =2sin(5x/2){ cos(3x/2)+ cos(x/2)} ... (a) ここで、和積の公式 cosx+cosy =2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、 (a) = 2sin(5x/2) ・2cosx cos(x/2) =4sin(5x/2)・cosx・cos(x/2) あとは、sin(5x/2)、cosx、cos(x/2)の 0°≦x≦180°における符号(+、-)をそれぞれ調べて (a)>0になる場合を考えれば、それが答えです。 ※ sin(5x/2)=0 → 5x/2 = 180°×n(n:整数) 0°≦x≦180°より、x=72°、144° したがって、0°<x<45°、90°<x<135°、144°<x<180°