質問: a,bは行列とする。ab=baのときexp(a+b)=exp(a)*exp(b)を証明せよ ちなみに(1)でab=baのとき(ab)~m=a~m*b~mを示せという問題がありました。 たぶんこれを利用するとは思うのですが...。 誰かヨロシクお願いします!
回答: exp(a)=e+a+a^2/2!+a^3/3!+a^4/4!+... exp(b)=e+b+b^2/2!+b^3/3!+b^4/4!+... であり、 exp(a)exp(b) =e +(a+b) +(a^2/2!+ab+b^2/2!) +(a^3/3!+a^2b/2!+ab^2/2!+b^3/3!) +(a^4/4!+a^3b/3!+a^2b^2/2!2!+ab^3/3!+b^4/4!) +... =e +(a+b) +(1/2!)(a+b)^2 +(1/3!)(a+b)^3 +(1/4!)(a+b)^4 +... =exp(a+b) exp(a)exp(b)を展開するときに、a^mb^nでm+nが一定となるところで まとめて、二項定理を使っています。 普通の指数関数の場合とまったく同じです。