質問: 関数の連続性とε-δ論法 教科書に書いてあった関数の連続性とε-δ論法で 「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」 とありますが、この意味が分かりません。 0<|x-a|<δ ということはxがaに限りなく近づく |f(x)-f(a)|<ε ということはf(x)がf(a)に限りなく近づく ということであって、xがaに完全に一致したわけではなく f(x)がf(a)に完全に一致したわけではないと考えています。 それなのにどうして「lim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である」と xがaに完全に一致したごとくのようにいえるのでしょうか? f(a)が場合によっては特異点のように、なだらかなグラフから飛び出ることもありえるので、 その場合関数が連続していないことがあるのではないかと考えてしまいます。 ε-δ論法を何度繰り返して考えてみても、分かりません。 分かりやすく、くどくなってもいいので、詳しく、やさしく教えていただければうれしいです。 よろしくお願いいたします。
回答: >「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε >このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」 教科書には、この通りには書かれていないはずです。 教科書に書いてあることを、あなたが「翻訳」したのだと思いますが、完全な誤訳です。 質問文全体を読んだ感想として、御自身で述べておられるように、ε-δ論法の基礎が理解できていないようです。 誤訳をしてしまった原因も、基本が分かっていないからでしょう。 >ε-δ論法を何度繰り返して考えてみても、分かりません。 まだまだ、考える回数が不足していると思われます。 理解できるようになるまで、回数制限なしで考える以外に解決方法はありません。 たぶん、教科書以上に詳しい説明をするのは、誰にも難しいでしょう。 しかし、教科書にも良書とそうでないものとがありますので、一応お勧めの書籍を挙げておきます。 「イプシロン-デルタ、田島一郎、共立出版、1,470円」 ε-δ論法に苦しんでいる学習者にとって、おそらく最良に近い参考書だと思います。