質問: x の分散) おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思うのですが、 自分にとっては簡単ではありません。 詳しく載っている書籍・ウェブサイトを挙げるだけでも構いませんので、 御教示お願いいたします。
回答: x[i] (i=1~n) がそれぞれ n(μ[i]、σ[i]^2) に従うとすると、(x[i]-μ[i])/σ[i] は それぞれ n(0、1) に従います。 z = σ[i=1~n]{ (x[i]-μ[i])/σ[i] }^2 は自由度nのχ^2[n]分布に従います。 これを展開すると、 z = σ(x[i]^2/σ[i]^2) -2σ(μ[i]x[i]/σ[i]^2) + σ(μ[i]/σ[i])^2 今、 v = σv[i] = σ(x[i]^2/σ[i]^2) y = σy[i] = σ(μ[i]x[i]/σ[i]^2) λ = σ(μ[i]/σ[i])^2 とおくと、v は求めたい分布の確率変数で、λ は定数です。 v = z + 2y - λ の確率密度関数は非心χ二乗分布と呼ばれ、 v = σ[i=1~k]v[i] とすると、 p(v;k,λ) = (1/2)e^(-(v+λ)/2)(v/λ)^(k/4-1/2) ik/2-1) ia = (w/2)^a σ[j=0~∞] (w^2/4)^j/{j!γ(a+j+1)} γ() はガンマ関数。 参照url http://en.wikipedia.org/wiki/noncentral_chi-square_distribution σ(x[i]^2/σ[i]^2) ではなく、σx[i]^2 の分布というのは特にはないようです。これは正規分布の同時確率密度関数を v=σx[i]^2 の束縛条件のもとで積分を実行するしかないようですね。