質問: 微分方程式の問題 (dy/dx)+(y/x)=x^2*y^3 上記の微分方程式の解き方がわかる方がいらっしゃいましたら、教えていただけませんでしょうか。ラプラス変換とかいろいろ考えたのですが、どうやって着手すればいいのか全くわからず、困っています。ご教授のほど、よろしくお願いします!
回答: 初見で解くのは難しいと思います. 問題の方程式は「ベルヌーイの微分方程式」と呼ばれる非線形なのにも関わらず,うまい変数変換によって解が解析的に求まる珍しい型の一種です.その証明に沿って解けば,以下のようになります. まず z = y^(-2) と変数変換すると z' = -2y^(-3)y' なので,もとの方程式は z' - (2/x)z = -2x^2 となります.積分因子を計算すると exp(∫dx(-2/x)) = x^(-2) です.そこで w = x^(-2)z と変数変換すると w' = x^(-2)z' - 2x^(-3)z なので,もとの方程式は w' = -2 となり,逆向きに解いていけば w = c - 2x, z = cx^2 - 2x^3 y = ±(cx^2 - 2x^3)^(-1/2) と解を得ます.ここで c は積分定数です.