質問: acosθ^3 y= asinθ^3 (0≦θ≦2π) はアステロイド(星芒形)という。 この曲線によって囲まれた部分の面積を求めよ、です。 解答は、 求める面積をsとすると 曲線によって囲まれた部分は、 x軸、y軸について対称だから、 s/4=∫(0→a)ydx となっていました。 でも、私は、 s/2=∫(0→a)ydx となると思うのですが? なぜなら、積分は、xが0→aの部分を積分するからです。 でも、そうすると解答がありません。 どうして、s/4となるのでしょうか? 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
回答: >aを正の定数とする。θを媒介変数とする曲線 >x = acosθ^3 >y= asinθ^3 問題のaとaはどちらかに統一していただいた方がいいですね。(同じaだと思いますので) >x軸、y軸について対称だから、 >s/4=∫(0→a)ydx >となっていました。 これで正しいです。 グラフを描いてみれば分かることですが、第一象限のyのグラフはθは0→π/2に変化するときxはa→0に変化します。(yは0→aに変化します。) したがって、xが0→aに変化するときθはπ/2→0に変化し 第一象限のyについてxを0からaまで積分することは、第一象限分(星芒曲線とy軸とx軸で囲まれた全体の1/4部分)の面積部分を積分することになります。 変数変換の際のθはπ/2→0の積分となりますので注意してください。 >s/2=∫(0→a)ydx となると思うのですが? なぜなら、積分は、xが0→aの部分を積分するからです。 ここで言われるydxに相当する高さy,幅dxの微小な棒状面積の図形を考えて見てください。yはx軸からの高さになります。この微小な棒状面積をx軸にそってx=0~aまで加えたのが積分(面積)ですので、第一象限分(全体の1/4)の面積計算しかしていないことになります。