質問: taylor展開について 前に出した質問 f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)}を(0,0)でtaylor展開せよ。(n=3) を投稿しアドバイスをもらって答えを3と出したんですが、あっているのか不安です。 教えてください
回答: 答が3ってことはないですぜい。 元来、連続関数を多項式で近似するための方法ですから、taylor展開は必ず多項式になる。それも(「f(x,y)が元々多項式だ」という場合を除けば)無限個の項がある多項式になります。たとえば 1+(1/2)x-(1/2)y-(1/8)(x^2)-(1/4)xy+(3/8)(y^2)+(1/16)(x^3)+(1/16)(x^2)y+(3/16)x(y^2)-(5/16)(y^3)+.... こんな感じです。 この無限個の項を持つ多項式は、x,yが0に近いとき、x^10なんてのはほとんどゼロだから、次数が低い項以外を無視して(打ち切って)近似式として使える訳です。n=3というのは何次の項までで打ち切るか、の指定です。 多項式の係数の求め方は既に回答されていますが、もうちょっとやってみましょ。この問題の場合xとyは独立(互いに無関係)と考えて良い。すると f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)} の場合はとりわけ簡単。というのも、xに関する部分とyに関する部分の積にきれいに分けられるからです。すなわち g(x)=√(1+x) h(y) = 1/√(1+y) とすると f(x,y) = g(x) h(y) である。 そこでまず、 g(x)=√(1+x) のx=0でのtaylor展開 g(x) = g(0) + g'(0)x/(1!) + g''(0)(x^2)/(2!) + g'''(0)(x^3)/(3!) + .... の係数を具体的に求めるために、gの一階微分から三階微分まで計算してみると g'(x)=(∂g/∂x)=(1/2)((x+1)^(-1/2)) g''(x)=((∂^2)g/(∂x)^2)=-(1/4)((x+1)^(-3/2)) g'''(x)=((∂^3)g/(∂x)^3)=(3/8)((x+1)^(-5/2)) 従って、g(x)は g(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ... とtaylor展開されます。 だから f(x,y) = (1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ...)h(y) となる。 今度は h(y) = 1/√(1+y) を同様にやってみる。そうすると、 h(y) = 1 - (1/2)y +..... と展開され、従って f(x,y) = (1 + (1/2)x - (1/8)(x^2) + (1/16)(x^3) + ...)(1 - (1/2)y +.....) の右辺を展開して、必要のない高次の項を削れば答が得られる。 なお滑らかな関数の近似法としてのtaylor展開は案外強力で、例えばsin xのx=0におけるtaylor展開 sin x = x-(1/6)(x^3)+(1/120)(x^5)-(1/5040)(x^7)+(1/362880)(x^9)-(1/39916800)(x^11)+... は、この程度の項数でも |x| ≦π での最大誤差が1/2300 程度、|x| ≦π/2 なら僅か1/18000000程です。 excelでも使ってグラフを描いてみると面白い。