質問: 最大値の平均と標準偏差 仕事で解が解けずに悩んでいます。助けてください。 平均値e(1)~e(n) 標準偏差v(1)~v(n)の正規分布の確率分布を持つn群の独立した事象があるとします。各集団のn数は等しく十分に大きいものとします。 このときに各集団から1つづつ任意にサンプルをnコ取り出して、その最大値がどのような確率分布(平均と標準偏差)になるか、一般解を求めたいと考えています。 もっとも単純な例として、等しい分布の集団から2コ取り出す例で 平均:e(1)=e(2)=150 標準偏差;v(1)=v(2)=50とおいてn=5000で実数検証してみると、最大値の分布は e=178 v=40ぐらいになりました。 処理時間ばらつきを持つ工程をnコ連続配置したときにスループットがどのようになるかの推定が目的です。
回答: #1で書いたことと本質的には全く同じですが。 区間[0,1]の一様分布に従う独立なn個の確率変数の最大値の分布は、β分布 b(n,1) に従います。 http://en.wikipedia.org/wiki/beta_distribution http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/beta/beta.htm ところで、正規分布の累積分布関数の逆関数をg(x)とすると、[0,1]一様分布に従う確率変数xがあるとき、定義からg(x)は正規分布に従うことになります。(別に正規分布だけではなくて任意の分布について言えることですが) ということで、β分布b(n,1)に従う確率変数をyとしたとき、 g(y)は、正規分布に従う独立なn個の確率変数の最大値の分布になりますね。 これから、計算するほうが多分楽でしょう。