質問: 高校数学の球の問題です 3-18 一辺の長さが1の正四面体の内部にたがいに外接する2つの球p,qがある、球pは正四面体の4面全部に接し、球qは正四面体の3面に接しているものとする (1)球pの半径を求めよ (2)球qの半径を求めよ 解説は正四面体をoabcとおき、oから平面abcに下ろした垂線の足をh,bcの中点をmとすると △oamによる断面は図のようになる、(球p,qの半径をそれぞれp,qとおく) hは明らかに△abcの重心だからmh=1/3×am=√3/6 よってoh=√(om^2-mh^2)=√6/3 ここで球p,qと△obcとの接点をそれぞれr,sとおくと明らかに △ohm∽△orpであるから √3/2:(√6/3-p):√3/6:p よってp=√6/12 また△ohm∽△osqであるから√3/2:(√6/3-2p-q)=√3/6:q となっていたのですが、 まず図の断面ですが、球p,qは辺oaに接していないですが、接していなくていいのですか?その場合理由を知りたいです、それとhは明らかに△abcの重心とありますが、何故これは言えるのですか? 定義か何かですか?
回答: 〉qがoh上にあるというのも同じような考え方ですか? qに関しては、四面体の球pの占める部分を削った 残りの四面体で考えればよいです。 #球pの上部に水平に接する面で四面体上部を切り離す。 結局大きさが違うだけで解き方は同じです。