質問: 実数解x、yが実数解について関係式x2+xy+y2=3が成り立つとする。 1.x+yがα、xyをβとおくときβをαの式で表せ 2.αのとり得る値を求めよ。 3.x2+y2+x+y=kとおくときkの最大値、最小値をもとめ
回答: 1 α^2-β=x^2+xy+y^2=3 ∴ β=α^2-3 2 x,yが実数 ⇔二次方程式(X-x)(X-y)=0が実数解を持つ ⇔二次方程式X^2-(x+y)X+xy=0が実数解を持つ ⇔二次方程式X^2-αX+β=0が実数解を持つ ⇔α^2-4β≧0 β=α^2-3 を代入して、 -3α^2+12≧0 ⇔-2≦α≦2 3 k=x^2+y^2+x+y =α^2-2β+α =-α^2+α+6 =-(α-1/2)^2+25/4 区間-2≦α≦2におけるkの最大値は、α=1/2のとき25/4、最小値はα=-2のとき0