質問: v=(a,b)として 座標平面に図示して下さい。 始点と終点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を書けば v=(a,b)として 座標平面に図示して下さい。 始点と終点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を書けば、三平方の定理が使えますね。 三平方の定理はご存知ですか? ||v||=√(a^2+b^2)...1 となります。 内積の定義もご存知でしょうか。 (v,v)=a^2+b^2...2 となります 12より ||v||=√(v,v)...3 が2次元の場合に成り立つことがわかりました。 においてなぜ2が成り立つかわかりません。 どうか、わかりやすく教えて頂けないでしょうか? どうか図を用いて説明して頂けるとありがたいです。 理解しやすいです。三平方の定理は知っています。
回答: 2次元のベクトルの場合に話を限ると、ベクトルvを成分で表すには v = (a,b)のように書く。aとbは実数です。これをベクトルの成分表示と言います。ベクトルvを矢印の図で描くときには、xy平面の原点から点(x,y)=(a,b)への矢印を描く訳です。 (何次元のベクトルであっても)||v||はベクトルvの長さであり、だからその値は √(a^2 + b^2)で、これは「vとvの内積の平方根」になっています。 さて、ベクトルpとqの内積を (p,q) と書く流儀があり、この流儀に従えば「vとvの内積」は(v,v)と書く。ご質問に引用なさった文章もこの流儀を使っています。しかし、内積(p,q)の記号 "( , )" は上記の成分表示とは全く関係がありません。(実際、(p,q)のpとqは実数ではなくベクトルです。)関係がないものを同じ記号で書くだなんて、紛らわしくて困ったもんです。なので、ベクトルpとqの内積をp・q と書く流儀を使うことをオススメします。こっちで書きますと、 ||v|| = √(v・v) である。特にvが2次元のベクトルである場合、vの成分表示は v = (a,b) であり、したがって、 ||v|| = √((a,b)・(a,b)) = √(a^2 + b^2) ということです。