質問: 平面図形の問題 図のように、∠a=30°、∠b=90°、bc=1である直角三角形abcがある。辺ab上に∠cdb=45°となるように点dをとる。また直線abと点aで接し、点cを通る円と直線cdの交点をeとする。 (1)線分adの長さを求めよ。また、∠daeを求めよ。 (2)線分aeの長さを求めよ。 (3)弦acに関して、点eと反対側の弧上に点pをとる。 △acpの面積の最大値を求めよ。 と言う問題があるのですが、(1)の1つ目の問題しか解けませんでした。分かったものだけでもいいので、お待ちしております。
回答: (2)∠daeが求まっているので、∠caeも求まります。すると、∠cae=∠aceとわかり、△aceが二等辺三角形とわかります。 eからacに垂線を降ろすと交点(fとする)はacの中点になりますから、afの長さもわかります。 ここで、直角三角形aefについての三角比を知っていれば、すぐに求まります。知らない場合は、半角の定理から導くか、あるいは別の方法を考えることになります。 ここでは、eからabに垂線を降ろし(交点をgとする)、aeをxとおいて、△aegについて三平方の定理を考えれば求まります。 (3)はacを底辺と見て高さが最大になればよいので、それは△acpがap=cpの二等辺三角形になるときです。そのときの高さは、円の中心をoとすると、fo+opです。△acoが正三角形であることに気づけば後はできると思います。