質問: 連続ガス置換の式 容積v[l]の配管に、濃度x0のガスaが入っています。 ここに、流量q[l/min]でガスbを流し入れたとき(流したガスは、出口から抜けていく)、時間t[min]後のガスaの残留濃度xが x=x0・e^(-qt/v) で表されるそうなのです。 実際に、v, qを決めてtの値を代入していき t vs x のグラフを描いてみたところ、tが0のときxが1で、tの増加とともにxが0への漸近線で減少していく形になりました。 すなわち、上式は連続ガス置換の式として正しいことが確認できました。 昔は、こんな対数式も簡単に理解できたはずなのですが、なぜこのような式になるのか、理解できません。 昔の知識を総動員して、以下のように式をいじってみましたが、「・・・だから、何?」という感じです。 x=x0・e^(-qt/v) 両辺の対数を取って log_e(x)=log_e{x0・e^(-qt/v)} =log_e(x0)+log_e{e^(-qt/v)} =log_e(x0)-qt/v qt/v=log_e(x0)-log_e(x) =log_e(x0/x) ・・・ここまでいじくり回して、ギブアップしました。 なぜ、連続ガス置換の式が x=x0・e^(-qt/v) になるのか、教えて下さい。
回答: a の濃度が x のとき、配管内の a の量は x v。時間 dt の間に注入される b の量は q dt で、これと置き換わる a の量は x v × (q dt/v) = x q dt。よって、 d(x v) = - x q dt。 これから dx/x = -(q/v)dt。 積分すると ln x = -(q/v)t + c、 x = d e^{(-q/v)t}。 ここで c と d は積分定数。 初期条件 t = 0 で x = x0 より d = x0。 よって、 x = x0 e^{(-q/v)t} となります。