質問: 物理の問題です 問題です。 質量mの質点が滑らかな(x,y)平面上を運動している。この質点には位置のエネルギーがu(x,y)=k(x2+y2)で表される力が働いている。 1.質点に働く力ベクトルfを求め、原点からの質点の位置を示す位置ベクトルをrとして運動方程式を記せ。 2.位置(a,0)において質点を静かに離した。速度が最大になる位置とそこでの速度の大きさvを求めよ。 3.位置(a,b)において、質点に原点方向に大きさv0の初速度を与えた。その後、質点の速度が0になる位置(x,y)を求めよ。 できれば詳しい回答をお願いします。
回答: 1.∫f・dr=-u(x,y)で表すことができる為、 質点にかかる力fは、以下の通りとなる。 f=(-∂u/∂x , -∂u/∂y) =(-k(2x+y2) , -k(x2+2y))(∵ u(x,y)=k(x2+y2) ) |f|=|k|√{(2x+y2)2+(x2+2y)2} 質点の運動方程式は、 m(d2r/dt2) = f と表せる。 ちなみに、k=0では常にu(x,y)=0となって質点は静止してしまい、 k<0では、力は、原点とは逆向きの方向に働く。 恐らく、問題の2及び3の題意から、k>0でなければならない。2.エネルギー保存の法則より、 (mv2)/2 + u(x,y) = u(a,0)....(1) と表される。 速度vが最大になる為には、 即ち、式(1)の左辺の(mv2)/2が最大になる為には、 式(1)の右辺が定数であるので、 式(1)の左辺のu(x,y)が最小にならなければならない。 つまり、u(x,y)=0となる時、vが最大になる。 u(x,y)=k(x2+y2)=0を満たすのは、2変数x,y共に実数であり、 且つ、k>0である為、x=y=0の時である。 即ち、原点(0,0)に於いて速度vが最大になる。 u(x,y)=0の時、式(1)より、 (mv2)/2 = ka2 ∴v=(a√(2k/m),0)であり、 その大きさは、|v|=|a|√(2k/m)である。3.質点を位置(a,b)で原点方向に大きさv0の初速度を与えると、 位置エネルギーがu(x,y)=k(a2+b2)で与えられる為、 常に問題1で求めた力を原点方向に受けながら、 |x|:|y|=|a|:|b|....(2) という比で、質点は運動をする。 質点を位置(a,b)で質点を原点方向に大きさv0の初速度を与えて放った時と 質点の速度が0となる時のエネルギーは保存されている為、 (mv02)/2 + u(a,b) = u(x,y) 即ち、(mv02)/2 + k(a2+b2) = k(x2+y2)...(3) と表される。 (2)より、|y|=|bx/a| 即ち、y = bx/a...(4) これを(3)に代入すると、 k(a2+b2)x2/a2 = (mv02)/2 + k(a2+b2) x2 = a2√{(mv02)/2k(a2+b2) + 1} x = a√{(mv02)/2k(a2+b2) + 1} 上の式と(4)より、 y = b√{(mv02)/2k(a2+b2) + 1} ∴求める位置(x,y)は、下記の通りである。 (x,y) = (a√{(mv02)/2k(a2+b2) + 1}, b√{(mv02)/2k(a2+b2) + 1})