質問: 微分方程式の演算子法 dy/dx=dy,d^2y/dx^2=d^2y dを演算子とします。 (2d^2+2d+3)y=x^2+2x 解:exp^(-1/2x){asin(√5/2)x+bcos(√5/2)x}+1/3x^2+2/9x-16/27 の特殊解の求め方がわかりません。 特性方程式が因数分解できない(複素数になる)と、 公式に当てはめられず解けなくなってしまいます。 どなたか教えてください。
回答: 演算子法での解き方を考えてみました。 式は (x^2 + 2x)/ 2 / (d-k) / (d-m) = y ---- (1) とおけます。 ここで 2 * (d-k) * (d-m) = 2d^2 + 2d + 3 です。 解の公式より k = -1/2 + √5i/2, m = -1/2 - √5i/2 ですが、これは最後の方で使います。 解く際に 1/(d-k)x^2 = -1/k^3 (k^2 x^2 + 2kx + 2) --- (2) 1/(d-k)x = -1/k^2 (kx + 1) --- (3) 1/(d-k)1 = -1/k --- (4) を今後の計算で使います。 (上の式は 1/(d-a) x = -1/a (1 + d/a + (d/a)^2 + .....)x と用いて 計算できます。dは右側のxの次数に応じて、切り捨てます。) (1)の式に関して、まず(d-k)について解きましょう。 (x^2 + 2x)/ 2 / (d-k) / (d-m) = y ---- (1) 簡単のため (x^2 + 2x) / (d-k) * l = y --- (1)' とします。 (ここで l= 1/ 2 /(d-m) ) (2)式と(3)式を用いて(1)'式は ( - 1/k^3 (k^2x^2 + 2kx + 2) - 2* 1/k^2 (kx + 1) )*l となります。 xの次数別の整理して ( -(1/k)x^2 +(-2/k^2 -2/k)x +(-2/k^3 -2/k^2) )*l となります。 分かり難いため上式を (a x^2 + b x + c) * l とします。 a = -1/k b = (-2/k^2 -2/k) c = (-2/k^3 -2/k^2)です。 (a x^2 + b x + c) * lのlを元の式(l=1/2/(d-m))に戻します。 =(a x^2 + bx + c)/ 2 / (d-m) ここで、d-mについて(2)式,(3)式,(4)式を使って計算します。 = -a/(2m^3)(m^2x^2 + 2mx + 2) -b/(2m^2)(mx+1) -c/2m --- (5) ここで(5)式をxの次数別で見て行きます。 x^2の部分は -a / (2m) となりますが、a=-1/kだったので = 1/2 (-1/m)(-1/k) --- (6) となります。 ようやくここでm,kの値を使います。 m*k = (-1/2 + √5i/2)(-1/2 - √5i/2) = 1/4 + 5/4 = 3/2 で (6) = 1 / 2 / (3/2) = 1/3 となります。 (5)式においてxの係数は -a/(m^2) - b/(2m) =-1/(2 m^2)* (2ax + bm) a,bを代入して =-1/(2m^2)*(2 (-1/k) + (-2/k^2 - 2/k)m) =1/(m^2 k^2) (k + m + mk) --- (7) ここで k+m = (虚数が消えて) -2/2 = -1 m*k = 3/2 (7) = 1/( (3/2)^2 ) * (-1 + 3/2) = 4/9 * (1/2) = 2/9 x^0の項も同様に計算すれば特解がでてきます。 長くなってしまいましたが。 もっと簡単な方法があればいいですが。