質問: 大学入試(熊本大学) 対称性の利用について 大学入試(熊本大学) 対称性の利用について 以下の問題について 1辺の長さが1の正五角形において、5本の対角線 を引いたときにできる小さな正五角形の1辺の長さ を求めよ。 (図を描くことができなくて申し訳ございません。) 私がよくわかっていないのは、この問題に対する答えと いうよりも、小さな五角形が「対称性により」正五角形 になるというところで、この「対称性により」正五角形 になる点で高校入試の問題(確か早稲田実業だったかな?) に、同じくこの文言で解答が書かれてありました。 この「対称性により」という「対称性」とは、何を以て そのような使い方をしているのでしょうか? (例えば、「~に関する点対称」とか・・・) 数学の問題の模範解答に、この「対称性により」という言葉で さらりと進んでしまうケースが多く、(理解できていない私が 悪いのはよくわかっているのですが)いつも「またこれか・・・」 という感じです。 このような場に質問する内容でないかもしれませんが、アドバイス いただけると大変助かります。 お忙しい中、お手数お掛けいたしますが、よろしくお願いします。
回答: この場合、「対称性」とは、五回対称性のこと。 360/5 度の回転でピッタリ重なるということです。 外側の正五角形が五回対称性を持つので、 五本の対角線を結んだ星形も五回対称。 その一部である内側の五角形も、五回対称です。 72 度づつ回転すると、内側の五角形の 辺どうしが重なるということですから、 五等辺、すなわち正五角形と解ります。