質問: 電界の強さの求め方について よろしくお願いします。 大学受験問題集に載っている問題です。電界の強さをガウスの法則を使って求める問題なのですが、ガウスでは、球面、今回は、円柱で、その際の使い方がよくわかりません。 問題 一直線上に、単位長さあたりσ(c/m)の正電荷が一様に分布している。この直線からr(m)離れた点での電界の強さを求めよ。 解説 対称性から電気力線は直線lに垂直になる。lに沿って長さl(m)の部分にはσl(c)の電気量があり、n=4πkσl(本)の電気力線が出て、---☆ 半径r(m)の円柱面(表面積s==2πrl)を貫いている。対称性から面上の電界eは共通であり、 e=n/s=4πkσl/2πrl=2kσ/r(n/c) とありますが、☆のところで質問です。 どうして、n=4πkσl(本)となるのでしょうか? ガウスの法則では、総本数はn=4πkq(本)となっていて、きっとこのqをσlにおきかえたのだと思いますが、 そもそもここでガウスの法則は使えるのでしょうか?ガウスの法則でn=4πkq(本)となっているのは、電荷qから半径rのところの電気力線の総本数で、球面の表面積が4πr^2だから、総本数n=(kq/r^2)×4πr^2となっていると思います。 でも、今回の問題は、球ではなく、円柱と考えられるので、表面積は4πr^2にはならないので、総本数も4πkq(4πkσl)にはならないと思います。 自分なりに考えてみると、電界e=総本数n/表面積sで、表面積は、2πrl。総本数は、r離れたところで、kσ/r^2で、これは、1m^2当たりの本数なので、表面積全体では、kσ/r^2×2πrlかなと思いました。 ただ、どうも違うような気もします。 きっと解説があっているのだとは思いますが、どうして、☆のようになるのかと、自分の考え方のどこが間違っているのかがわかりません。 アドバイスをいただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。
回答: ・まず電気力線の総本数についてですが、総本数は距離rとは無関係です。 q(c)の電荷があれば、必ずn=4πkq(本)の電気力線が電荷から発生します。 (実は高校の公式は覚えていませんが・・) 今回の問題の場合、単位長さあたりσ(c/m)の電荷がl(m)に渡って存在すると考えれば、電荷量はσl(c)ですね。 σl(c)の電荷があるので公式n=4πkqから、n=4πkσlとなるわけです。 考えてイメージを定着させてくださいね。 あくまでも電気力線は電荷から出ているのであって球面から出ているのではないですから、 総本数に関しては球面の表面積は関係ないのです。 電気力線の本数は球面(今回の問題のように球面でなくてもよい。領域といったほうが正確)内の電荷量のみに依存します。 この総本数を表面積で割り算すれば、単位面積あたりの電気力線の本数、すなわち電界になりますね。 ここでやっと領域の形や表面積が関係してくるわけです。