質問: 重積分の問題を教えてください。 ∫∫d√(4x^2-y^2) dxdy d: 0≦y≦x≦1 上記の重積分の問題についてですが、どのように解いていいか分かりません。 √(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√(1-(y/2x)^2) y/2x=sinθとすると y=2xsinθ dy=2xcosθdθ として良いでしょうか。 続きまたは最初からご教授宜しくお願いします。
回答: >∫∫d√(4x^2-y^2) dxdy d: 0≦y≦x≦1 =∫0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy >√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√(1-(y/2x)^2) >y/2x=sinθとすると y=2xsinθ dy=2xcosθdθ 続きから、 y=2xsinθを代入して、 √(4x^2-y^2)=2x√(1-sin^2θ)=2xcosθ y:0→xは、θ:0→π/6 ∫[0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy =∫[0→1]dx・∫[0→π/6]2xcosθ・2xcosθdθ =∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ ここで、2倍角の公式より、 ∫[0→π/6]cos^2θdθ =∫[0→π/6(1+cos2θ)dθ =(1/2)[θ+(1/2)sin2θ][0→π/6] =(1/2){π/6+(1/2)sin(π/3)} =(1/2)(π/6+√3/4) ∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ =∫[0→1]4x^2×{(1/2)(π/6+√3/4)}dx =4×{(1/2)(π/6+√3/4)}・∫[0→1]x^2dx =4×{(1/2)(π/6+√3/4)}×(1/3) =(1/18)(3√3+2π) でどうでしょうか?