質問: 最小二乗法での反比例の比例定数の求め方 とある課題で、実習で測った幾つかのデータを最小二乗法で比例定数を求め反比例のグラフにまとめろと言われました。 しかしy=axの比例定数aを最小二乗法で求める方法までは分かるのですが、 y=a/xの比例定数aを最小二乗法で求める方法が、どうも調べてもいまいちよく分からず困っています。 分かりにくい書き方ではありますがお願いします。
回答: 最小二乗法というのは、仮定したモデル曲線(関数)との「ズレ」(偏差)を最小にするように、そのモデル曲線の定数を決める、ということです。「モデル曲線」は直線でなくとも何でもよいのです。二次曲線とか三次曲線とか、双曲線とか指数曲線とか。 「偏差」として、単に「差」をとるとプラス・マイナスで相殺してしまうので、「絶対値」という意味で「二乗」しているのです。 反比例は双曲線のひとつですね。 f(x) = a/x とおけば、特性曲線は y = f(x) 得られらデータの組が、(x1, y1)、(x2, y2)、・・・(xn, yn) だとすると、各データとモデル曲線との偏差は [y1 - f(x1)]^2 [y2 - f(x2)]^2 ・・・ [yn - f(xn)]^2 となります。これを合計したものが最小になるように「a」を決めればよいのです。 この原則は、 f(x) がどんな関数のときでも同じです。 データ点数(上記の「n」の値)が大きいとき、モデル関数 f(x) が複雑なときには、結構計算が大変です。でも、地道に計算するしかありません。