質問: 球内部に、一様に電荷が分布する際・・・ 大学で物理を学んでいます。 課題が出たのですが、分からないのれでアドバイスをいただけたらと思います。 問いは下のようなものです。 「半径rの球内部に、一様に電荷qが分布している。 (1)球の中心から距離rでの電場eは? (2)ビーズのようにこの球の中心を通る直線状の孔を空け、電荷q、質量mの 小球を入れたところ、振動した。この振動の周期は? (3)この孔に初速度voで小球を入れるとどのような運動をするか?」 (1)は、なんとか解けたと思っています。 球対称な電荷分布なので、電場の式e=q/(4πεr^2)に、 r≧aのときはq=q、r<aのときはq=q(r/a)^3を代入しました。 (2)と(3)が分かりません・・・。積分の式も立てられないです・・・。 お時間が許せば、立式と計算と答え、全部知りたいところですが、 何でもアドバイスいただければうれしいです^^;; 詳しいかたおられましたら、よろしくお願いしますm
回答: >(1)は、なんとか解けたと思っています。 答えが定性的に合っているかのチェックの方法。r≧aのとき、電荷が球のの中心に全電荷が集まったのと同じ式になっているかどうか。r<aのとき、半径aの球の表面にいるかのようになっているか(つまりrより外側からの影響が0になる)。 電磁気力と万有引力は式の形が同じです。(2)について、万有引力の場合の似たような問題を書いて見ますから、比べて参考にしてください。 問)半径rで密度が一様にρの球がある。球の中心を通る細い穴を掘った。球の表面から穴に物体を落下させると物体は単振動を行うことを示し、その周期を求めよ。 答)球の中心から距離x(≦r)にある質点に働く力は、羽気xの球の質量(4π/3)x^3ρが中心に集まっているとしたときの万有引力、 f = -gm(4π/3)x^3ρ/x^2 = -(gm(4π/3ρ)/x - (1) となって復元力が働くことが分かる。x = rのときは、f = -mgとなるはずだから、 mg = gm(4π/3)ρr ∴g = (3/4π)(g/ρr) であるので、(1)は、 f = -mgx/r - (3) そこで、k = mg/rとすると、これはばね定数kのばねの運動と同じで、その周期tは、 t = 2π√(m/k) = 2π√(r/g) となる。 ちなみに、この周期は球の表面すれすれを万有引力で円運動する物体の周期と一致します。 ここまで来たら、後少し。初速度があるということは、その初速度を与える高さから落下させたのと同じことですね。