質問: 最小自乗法で求められた傾きの誤差 データ列(x,y)がn個あって、それを最小自乗法でフィッティングして y=ax+bにおける傾きaが得られました。 そこで、yの測定誤差が例えば±10%あったとき、 傾きaの誤差δaはどのように求められるのでしょうか? データ数nが多いほどδaは小さくなるとは思いますが・・・。 よろしくお願いいたしますm(_ _)m
回答: いま得られるデータxi, yi の yi の不確かさ、つまり分散がどの yi でも同一であるとします。 このとき、データ数をnとして、 sxx = sum(i =1, n) { xi^2 } sx = sum(i =1, n) { xi } δ = n * sxx - (sx)^2 とします。 ここで、sum(i =1, n) は {}内の数値をi=1,2,3....,nまで加算するσの記号とします。 また、”^”の記号は x^2 = x * x と累乗をあらわすとします。 パラメータa、bの標準偏差σa, σbは、 σa^2 = sxx / δ σb^2 = n / δ で与えられます。 さて、a, bの 68.3%, 95.4%, 99.99%などの信頼区間を求めるには、その信頼区間を表す自由度vの(δχv)^2(カイ2乗と呼ばれます)の数値を用いて、 δa = sqrt[ (δχv)^2 ] * σa δb = sqrt[ (δχv)^2 ] * σb つまり誤差を含んだ表記としては、(a ± δa)[95.4%] のようになります。 今直線回帰の場合は自由度が2なので、代表的な信頼区間における(δχ2)^2は、 68.3 % ... 2.30 95.4 % ... 6.17 99.0 % ... 9.21 99.99 % .. 18.4 となります。 ただしa, bの同時信頼域(a,bがともにある信頼度以内にある範囲)を求めたい場合はさらにややこしくなりますのでここでは割愛させていただきます。 これ以上は統計学などの本をお読みください。