質問: ふと気になったのですが、極座標におけるベクトルは考える価値があるものなんでしょうか?
回答: ありますよ.特に物理学では,円周上の運動における速度や加速度は,直交座標より極座標の方が簡単に扱えます.円に限らず曲がった経路の場合に便利なのです. 数学で言えば,座標軸が直交している方が特殊で,斜めに交わっている座標の方がたくさんあるとも言えます.そのため大学では一般座標系なんてのを習って包括的に扱うんです.x,y,r,θ,なんてのを使わず,もっと抽象的な概念として取り扱います. 座標というのは,問題に合わせて,簡単に解けるように設定すべきです.相対性理論では,頻繁に座標を取り換えます.どんな座標でも他の座標に変える時(座標変換)に一般的な法則があるので,それを使います.