質問: 数列{(1+1/n)^n}が単調増加であることを証明せよ。 わからないので解説お願いします。
回答: 単調増加を示すには、 (1+1/n)^n≦{1+1/(n+1)}^(n+1) を示せばよく、さらに両辺明らかに正なので、 n+1乗根をとって、 (1+1/n)^(n/n+1)≦1+{1/(n+1)}=(n+2)/(n+1) を示せばOKです。 これには、 (n+1)/nをn個、1を1個計n+1個の数字を考えれば、 <相加平均> [{(n+1)/n}*n+1*1]/(n+1)=(n+2)/(n+1) <相乗平均> [(n+1)/n]^{n/n+1}=(1+1/n)^(n/n+1) ※1をかけても数字は変わらず、(n+1)/nをn個かけており、 相乗平均でn+1乗根を取る。 ということから相加相乗平均の定理より (1+1/n)^(n/n+1)≦1+{1/(n+1)}=(n+2)/(n+1) つまり {(1+1/n)^n}が単調増加であることが示されます。