質問: 共分散の計算について 度々すいません。 x1,x2,x3を標準化した3つの試験科目の得点として、y=(x1+x2+x3)/3とする。x1とx2の相関係数、x2とx3の相関係数、x1とx3の相関係数がそれぞれ0.5である場合、x1とyの相関係数はいくらか。という問題です。 標準化された確率変数の平均は0、分散は1なので、xiとxjの相関係数は共分散と等しい。 よってcov[x1,x2]=cov[x1,x3]=cov[x2,x3]=1/2である、というところまでは理解しました。 相関係数を求めるに辺り、v[y]に関して、 v(x+y)=v(x)+v(y)+2cov(x,y)という公式から、 v[(x1+x2+x3)/3]が{1+1+1+2×(1/2)+2×(1/2)+2×(1/2)}/9になるのかなというのは分かったのですが、 cov[x1,y]=cov[x1,(x1+x2+x3)/3]というところまで来て、この値が=(1+1/2+1/2)/3になるというステップが分かりません。 多分基本的な知識が抜けていると思うのですが、教えて頂けますでしょうか。
回答: 基本通りに計算すればよいだけです。 なお、x1, x2, x3 は各々 n(0, 1) に従うデータ群とします。 共分散の定義は、x1, x2 の平均を μ1, μ2 として cov(x1, x2) = e[(x1 - μ1) * (x2 - μ2) ] 相関係数の定義は、x1, x2 の標準偏差を σ1, σ2 として ρ12 = cov(x1, x2)/(σ1 * σ2) です。 x1, x2, x3 は各々 n(0, 1) に従うデータ群なので e[x1] = 0, v[x1] = 1 → σ1=1 e[x2] = 0, v[x2] = 1 → σ2=1 e[x3] = 0, v[x3] = 1 → σ3=1 ということです。 よって ρ12 = cov(x1, x2) = 0.5 1 ρ23 = cov(x2, x3) = 0.5 2 ρ31 = cov(x3, x1) = 0.5 3 なので cov(x1, x2) = e[x1 * x2 ] = 0.5 4 cov(x2, x3) = e[x2 * x3 ] = 0.5 5 cov(x3, x1) = e[x3 * x1 ] = 0.5 6 ということになります。 ここで、 y = (x1 + x2 + x3)/3 なので e[y] = (1/3)e[x1] + (1/3)e[x2] + (1/3)e[x3] = 0 共分散の定義から cov(x1, y) = e[ (x1 - e[x1]) * (y - e[y]) ] = e[ x1 * (x1 + x2 + x3)/3 ] = (1/3) * e[ x1^2 + x1*x2 + x1*x3 ] = (1/3) * { e[x1^2] + e[x1*x2] + e[x1*x3] } ←46を代入 = (1/3) * (1 + 0.5 + 0.5) ← e[x1^2] = v[x1] = 1 = 2/3