質問: 微分方程式のy''-4y=xとy''+4y=cos2xと.の解き方を教えてください
回答: y''-4y=x (1) i)同次微分方程式 y''-4=0 の一般解ygを求める。 特性方程式は λ^2-4=0 λ=2,-2 y=ce^(-2x)+de^(2x)=yg (c,dは任意定数) ii)非同次微分方程式(1)の特殊解ysを y=ax+b の形で求める。 y'=a y''=0 (1)に代入して -4(ax+b)=x 係数比較して a=-1/4, b=0 y=-x/4=ys iii)非同次微分方程式(1)の一般解y: y=yg+ys= ce^(-2x)+de^(2x)-x/4 y''+4y=cos2x (2) i)同次微分方程式 y''+4y=0 の一般解ygを求める。 特性方程式は λ^2+4=0 λ=2i,-2i y=y=ce^(2ix)+de^(-2ix)=Ccos(2x)+Dsin(2x)=yg (c,d,C,Dは任意定数) ii)非同次微分方程式(2)の特殊解ysを y=axcos(2x)+bxsin(2x) の形で求める。 y'=acos(2x)-2axsin(2x)+bsin(2x)+2bxcos(2x) =(a+2bx)cos(2x)+(b-2ax)sin(2x) y''=2bcos(2x)-2(a+2bx)sin(2x)-2asin(2x)+2(b-2ax)cos(2x) =(4b-4ax)cos(2x)-(4a+4bx)sin(2x) (2)に代入して (4b-4ax)cos(2x)-(4a+4bx)sin(2x)+4(axcos(2x)+bxsin(2x))=cos(2x) 4bcos(2x)-4asin(2x)=cos(2x) b=1/4, a=0 y= xsin(2x)/4=ys iii)非同次微分方程式(1)の一般解y: y=yg+ys= Ccos(2x)+Dsin(2x)+ xsin(2x)/4