質問: 1x^1/4+x^-1/4=2(x>0、xは実数)のとき、x^3/4+x^-3/4 / x+x^-1 1x^1/4+x^-1/4=2(x>0、xは実数)のとき、x^3/4+x^-3/4 / x+x^-1 の値を求めよ。 2方程式16^x-32×4^x-2=0の解を求めよ。 3関数 f(x)=2x、g(x)=3^x+63 について、f(g(x))=g(f(x))を満たすxの値を求めよ。 4不等式4^x-2^x+1-8≦0を満たすxの範囲を求めよ。 を教えてください。宜しくお願い致します
回答: 4から。 4^x-2^x+1-8≦0 2^x=tとおく。なお、t>0である。 すると、与式は t^2-2・t-8≦0 と変形できる。ここで、t>0に注意して解いていく。 t^2-2t-8=(t-4)(t+2)≦0 -2≦t≦4 -2≦2^x≦2^2 答え:x≦2 次に3を。 3^x=a とすると、a>0であるが、 f(g(x))=f(3^x+63)=2(3^x+63)=2・3^x+126=2a+126 g(f(x))=g(2x)=3^(2x)+63=a^2+63 故に、a^2+63=2a+126 → a^2-2a-63=0 → (a-9)(a+7)=0 → a>0より、a=9のみ適格。 3^x=9 → x=2 答え:x=2 次に2を。 方程式 16^x-32×4^(x-2)=0 において、4^x=tとおくと、t^2-32t/4^2=t^2-32t/16=t^2-2t=0 となる。なお、t>0である。 t(t-2)=0 → t=4^x=2 → x=1/2 ※もしも、 16^x-32×4^x-2=0 → t^-32t-2=0 の場合、t=16±2√66/2 となって非常に面倒になるので違うと思いますが・・・。 最後に1を。 x^1/4+x^-1/4=2 両辺を2乗すると、右辺は4であるが、左辺=x^1/2+2+x^-1/2=x^1/2+x^-1/2+2 だから、x^1/2+x^-1/2=2 両辺を3乗すると、右辺は8であるが、左辺= x^3/4+3・(x^1/4)^2(x^-1/4)+3・(x^1/4)(x^-1/4)^2+x^-3/4 =x^3/4+x^-3/4+3・{(x^1/4)+(x^-1/4)} =x^3/4+x^-3/4+3・2 =x^3/4+x^-3/4+6 だから、x^3/4+x^-3/4=2 {x^3/4+x^-3/4}{x^1/4+x^-1/4}=x+x^1/2+x^-1/2+x^-1=(x+x^-1)+(x^1/2+x^-1/2)=2×2=4 x^1/2+x^-1/2=2だから、x+x^-1=2 故に、(x^3/4+x^-3/4)/(x+x^-1)=2/2=1 答え:1