質問: 円順列について 次の問題を教えてください。 先生2人と生徒6人が 円形のテーブルに向って座るとき 先生2人が向かい合うような座り方は 何通りあるか。 式だけでなく なぜそうなるかを 解説してくださいませんか。 円順列の (n-1)!をどのように使うかを教えていただきたいのです。 よろしくお願いいたします。
回答: >円順列の (n-1)!をどのように使うか 通常の順列で「2人を2つの椅子に座らせる座り方の組み合わせ数」は「2×1」つまり「2!」です。 通常の順列で「3人を3つの椅子に座らせる座り方の組み合わせ数」は「3×2×1」つまり「3!」です。 通常の順列で「4人を4つの椅子に座らせる座り方の組み合わせ数」は「4×3×2×1」つまり「4!」です。 なので、通常の順列は「n人をn個の椅子に座らせる座り方の組み合わせ数」は「n!」になります。 で、問題の円順列では「回転させれば一致する並び方は同じならび方とみなす」のです。 2人の場合「ab」と「ba」は同じとみなします。 3人の場合「abc」と「bca」と「cab」は同じとみなします。 4人の場合「abcd」と「bcda」と「cdab」と「dabc」は同じとみなします。 「回転させれば一致する並び方」での「一致する数」は「椅子の数」つまり「人数」と同じになります。 「一致する分を1つと数える」と言う事は「一致する数で割る」と言う事になります。 言い換えれば「通常の順列の式を、人数で割る」という事になります。 つまり 2人の場合「2×1÷2」です。 3人の場合「3×2×1÷3」です。 4人の場合「4×3×2×1÷4」です。 と言う事は 2人の場合「2×1÷2=1=1!」です。 3人の場合「3×2×1÷3=2×1=2!」です。 4人の場合「4×3×2×1÷4=3×2×1=3!」です。 となります。 なので、円順列の場合は「n人を丸テーブルの周りのn個の椅子に座らせる座り方の組み合わせ数」は「(n-1)!」になります。 ここまでで「円順列の場合は(n-1)!になる」と言う事が理解出来たかと思います。 で、ここからが本題。 >先生2人と生徒6人が 円形のテーブルに向って座るとき >先生2人が向かい合うような座り方は 何通りあるか。 良く考えれば判りますが、この問題は「円順列ではなく、普通の順列の問題」なのです。 まず「先生2人が向かい合うような座り方」と限定されますので、一人の先生を除外して考えます。 どうして除外するのかと言うと「一人の先生の位置が決まれば、自動的にもう一人の先生の位置が決まる」からです。「自動的に位置が決まる」のであれば「除外して考えても良い」と言う事になります。 除外せず残った先生をs、生徒とabcdefとすると、この問題は「sを基点にしてa~fを並べる場合、何通りあるか」に変形されます。 で「基点のs」も「基点だから除外して良い」ので、結局「生徒6人を並べる時、組み合わせは何通りあるか」と同じになってしまいます。 ここで注意して欲しいのは「先生が2人いるからと言って、2倍してはいけない」と言う事です。 除外した先生をj、除外しなかった先生をs、生徒をa~fとします。 先生が二人居るので「sabcjdef」と「jabcsdef」を別の座り方だと考え、2倍してしまいそうになります。 しかし。 「sabcjdef」と「jdefsabc」は「sをスタートと考えたら、同じ並び」なので、組み合わせ数は半分になります(回転させたら一致する組み合わせは1つと考える、と言う円順列の性質を思い出しましょう) 「6!を2倍して半分にする」って事は、結局「6!のまま」と言う事です。 なので、この問題は「生徒6人を普通に並べる時の順列数」になりますから、答えは「6!」です。 「円順列の式は使わない」ので、勘違いしてはいけません。