質問: 1/x は、不連続関数であると思うのですが、 「yの開集合 *** の逆像 f^{-1}(***) がxの開集合でない」 というロジックで証明できるのでしょうか? それとも、この関数も(1)と同様にx=0で定義されていない関数なので、やはり連続なのでしょうか? 3)(1)と(2)の結果次第なのですが、位相空間の世界では連続だけど1次元euclid空間では不連続である、というようなことはあるのでしょうか(何かトンチンカンなことを聞いている、ということであればご指摘ください) 以上、よろしくお願いします。
回答: 確かにわかりにくいのですが、論理的には次のようになります。 ユークリッド空間はもちろん位相空間の一つで、さらに距離空間になる事も御存じと思いますが、一般の位相空間と距離空間における連続の定義の関係は、まず、 値域の任意の開集合の逆像が定義域の開集合になるなら連続(一般位相空間) ⇒ 定義域のxへ収束する任意の点列の値域での像列がf(x)に収束するなら、fはxで連続(距離空間). (1) となり、距離空間の中で、 定義域のxへ収束する任意の点列の値域での像列がf(x)に収束するなら、fはxで連続 ⇔ ε-δ論法での連続性. (2) を示せます。 逆に(2)が成り立つなら、距離空間の距離から自然に定義される開集合に対して、(1)の逆が成り立ち、距離空間(ユークリッド空間)において、ε-δ論法と一般位相論による連続性の結論は一致する事を示せます。従って、一般位相論における連続性と、直感的な(グラフなどによる)連続性は、必ず一致します。一致しなかったら、絶対に自分がどこかで間違えています。 ただしですね。関数(写像)は、f:x→yと「定義」するように、「定義域が最初にありき」なんです。f(x)=1/xの自然な定義域はx≠0ですから、誰もがx=0を除いた全ての実数範囲を考えます。その範囲であれば、f(x)=1/xは確かに連続です。 あなたの定義したf(x)は、「x=0では定義しない」となってますので、「x≠0の範囲なら、連続である」と言わざる得ない訳です(グラフを書けば明らかですから・・・(^^;))。それは「x≠0の範囲なら、f(x)=1/xが連続である」のと同じです。 でも人間は、その制約を越えて、x=0も含めてf(x)=1/xなどが連続か否かを判定したがります。しかしx=0ではf(x)=1/xは、定義不可能です。そこで、もう少し進めば「一様連続」の概念が出て来ます。f(x)=1/xは、一様連続では「ありません」。 とりあえず連続関数を考えると言いながら、「有界閉区間上の連続関数を考える」と、呪文のように「有界閉区間」が付いてまわりませんか?(^^)。「有界閉区間上の連続関数」は「一様連続」であるからなんです。一様連続関数が、一番我々の直感にマッチしてるからです。