質問: 雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。はじめ静止していた質量 雨滴の運動 質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。 はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。 時間tのあとの速度を求めよ。 という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。 簡単な変数分離で解けるのでしょうか?
回答: dm/dt=μ (1) d(mv)/dt=mg (2) (2)より mdv/dt+vdm/dt=mg (1)を代入 mdv/dt+μv=mg dv/dt+(μ/m)v=g (3) これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは μ=constant なので(1)が解けて m=m0+μt (4) (3)に代入 dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g 整理して (t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ) 左辺は d[(t+m0/μ)v]/dt であることは微分してみればわかります。 よって d[(t+m0/μ)v]/dt=g(t+m0/μ) 両辺積分して (t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+c cは積分定数 t=0の時v=0より c=0 従って v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)