質問: 微分方程式 下記の微分方程式が解けません。 y=y ́x+4(y ́)^2 この形で解けといわれたら一般解(任意定数を用いて)を求めればよいのですよね?
回答: y=y ́x+4(y ́)^2 の両辺を x で微分して計算すると y'=y'+y''x+8y'y'' y''x+8y'y''=0 この式が成り立つためには, y''=0 と x+8y'=0 を得る.まず,y''=0 を計算する. y''=0 を積分すると, y'=a さらに積分すると, y=ax+b a,b は定数. 検算:y=ax+b を y=y ́x+4(y ́)^2 に代入. y=y ́x+4(y ́)^2 ax+b=ax+4a^2 b=4a^2 ∴ y=ax+4a^2 ・・・・・ 一般解 aは積分定数. 次に,x+8y'=0 を解く. x+8y'=0 y'=-x/8 y=(-1/8)*(1/2)x^2+c y=(-1/16)x^2+c 検算: y=y ́x+4(y ́)^2 (-1/16)x^2+c=(-x/8)*x+4(-x/8)^2 (-1/16)x^2+c=-x^2/8+4x^2/8^2 (-1/16)x^2+c=-x^2/8+x^2/16 (-1/16)x^2+c=-2x^2/16+x^2/16 (-1/16)x^2+c=-x^2/16 c=0 ∴ y=(-1/16)x^2 これを書き直すと ∴ y=-x^2/16 ・・・・・特殊解(特異解) y=-x^2/16 は,与式の特殊解(特異解)となる.この微分方程式には,一般解と特殊解が存在する.