質問: 1÷無限=0ということは数(大きさ)は幻想? 1÷無限=0ということは、 つまり、1の中に無限に入るのは0しかないので、1は無限の0の集まりで出来ていることになります(また、1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません)、つまり、どんな数であっても無限で割れば、数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって(足し合わせて)出来ていることになります。 しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません(大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません)、 とすると、唯一0だけは存在しても、数(大きさ)なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか?
回答: 「1÷無限大」という計算を許すような計算の体系を考えるのなら,それは普通に言う数の計算ではないのだから,別の体系である.いわば「数のようなもの」の体系です. その「数のようなもの」の体系において,ご質問の計算が 1÷無限大 = 0 になったのでは(ご明察の通り)辻褄が合わなくなります.答は0ではなく, 1÷無限大 = 無限小 でなくてはならない.さらに,この体系において「無限大」はひとつの「数のようなもの」ではありません.そうではなくて「無限大」という性質を持つ「数のようなもの」が無限個存在する,と考えなくては辻褄が合わなくなります.だから, 1÷無限大 = 無限小 という書き方は実は不適切であって, 「xが無限大であるとき, (1÷x) は無限小である」 という風に扱わねばなりません.なぜなら,そう考えないと,たとえば (x÷x)×x = x が成り立たなくなっちゃって,「数のようなもの」の性質が(普通の)数の性質とかけ離れ過ぎてしまうからです. ところで,既に広く応用されている「超準解析学(非標準的解析学)」という数学は,まさしくこの「数のようなもの」についての数学のひとつなんです. 比較的易しい教科書もありますが, それでも大学初年級ぐらいの数学をきっちり学んでおかないと,なかなかすらすら分かるという訳には行きません.