質問: [問]d/dt:pn(r)→pn(r)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ [問]d/dt:pn(r)→pn(r)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ。 [解] d/dt(σ[i=0..n]a(i)x^i)=σ[i=1..n]a(i)nx^(i-1)となるのでこの線形写像(dとする)の表現行列は 0,1,0,......,0 0,0,2,0,...,0 :::::: 0,0,0,0,0,n 0,0,0,0,0,0 という(n+1)×(n+1)行列になります。 固有多項式はdet(d-λe)(eは単位行列)と書けるので λ,1,0,......,0 0,λ,2,0,...,0 :::::: 0,0,0,0,λ,n 0,0,0,0,0,λ の行列式ですがこれからどのようにしてこの行列式を展開できますでしょうか?行列式の定義から 対角成分とそのひと上隣りの対角成分からn+1個の成分の積が各項になりますよね。 ちょっと複雑。。。 どのようにして展開してけばいいのでしょうか? 知恵をお授け下さい。
回答: そうですねえ。。あきらかに計算してませんね どうして一般の n で分からなかったら,簡単なケース 例えば,n=0,1,2,3くらいで計算してみよう という発想にならないのでしょうか? うまくいけば帰納法の枠組みに入るかとか見えてくるものです.