質問: ベクトルの質問です 平面の方程式 ax+by+cz+d=0 のabcはその平面の法線ベクの成分。xyzはその平面上のベクトルの成分ですか? 平面を求める問題などでは、平面上のベクトルはあまり出てきませんが・・・
回答: (a,b,c) は法線のベクトルですね。 では、平面上の点を表すベクトルについて考えましょう。 まず、どこでもよいですが、平面上のどこかの1点aを決めてやります。 すると、平面上の点を表すベクトルは、 oa→ + pab→ + qac→ と表すことができます。 (点b、点cも平面上の点) 以下、実際に解いてみます。 点aの座標を (0, 0, -d/c) 点bの座標を (0, -d/b, 0) 点cの座標を (-d/a, 0, 0) と置けば、 ab→ = (0, -d/b, d/c) ac→ = (-d/a, 0, d/c) よって、平面上の点を表すベクトルは、 oa→ + pab→ + qac→ = (0,0,-d/c) + (0,-pd/b,pd/c) + (-qd/a,0,qd/c) = (-qd/a, -pd/b, d(p+q-1)/c) = (x,y,z) と表すことができます。 x = -qd/a y = -pd/b z = d(p+q-1)/c この3式から、連立方程式みたいにpとqを消去すれば、 元通りの ax+by+cz+d=0 になるはすです。