質問: 数学的帰納法の証明 自然数に関する数学的帰納法の原理が自然数が整列集合であることと同値であるということはわかっていますが 次のように数学的帰納法を証明した場合どこに整列集合の性質が使われているor論法が間違っているのでしょうか。 数学的帰納法 自然数nに関する命題をp(n)とする (i)p(0)が成り立つ (ii)すべての自然数nに対して、p(n)が成り立つならばp(n+1)も成り立つ この2条件が満たされているときp(n)はすべての自然数nについて成り立つ (論理記号でかくと(ii)は(∀n∈n(p(n)⇒p(n+1))だと思います) [証明] p(n)が成り立たないような集合をsとする sが空集合である事を示せばp(n)がすべての自然数nについて成り立つ事になる sが空集合でないと仮定するとm∈sとなるようなmが存在する このとき条件(ii)を次のように書き換えて (ii)すべての自然数nに対して、p(n+1)が成り立たないならばp(n)も成り立たない と考えると p(m)が成り立たないのでp(m-1)も成り立たないことになる このときp(m-1)が成り立たないのでp(m-2)も成り立たない 以下続けると結局 p(1)が成り立たないのでp(0)も成り立たないことになるが これは(i)に反する よってsが空集合でないという仮定が間違っていたことになる ゆえにsは空集合であり命題p(n)がすべての自然数nに対して成り立つことが示された
回答: 「すべての自然数nに対して成り立つ」ならば「「すべての自然数nに対して成り立つ」 といってるだけです。何の証明にもなっていません。 証明したいことそのものを仮定したら、証明したいことが成り立つのは当たり前。