質問: ∫(1/4)*tan[θ]*sin[θ]/cos^2[θ] dθ =... でいいのでしょうか? また、積分を実行するとしたらどうすればいいのか教えてください。
回答: 高校生ですよね。 結局は、 ∫√(x^2-1)dx の積分をどうするかだと思います。 質問者さんは、おそらく、 1/cos^2(t) - 1 = tan^2(t) という式を思い浮かべて変数変換したんだと思いますが、 その方針だとうまく行かないですね。 実は、大学生であれば、この積分は見た瞬間に、 x = cosh(t) = {exp(t) + exp(-t)}/2 と置き換えようと考え付かないとおかしいんですが、高校生には厳しいですね。(高校では双曲線関数習いませんから) その代わり、高校生というか大学受験の世界では、 ∫√(x^2-1)dx や、∫1/√(x^2-1)dx なんかは、 t = log{x+√(x^2-1)} という変数変換をするというのが定石ということになっています。 こんな変数変換は覚えていなければ絶対に思いつくわけがないので、覚えるしかないです。 ※双曲線関数(cosh, sinh)についても、知っていると出題の背景が分かったりして圧倒的に有利になる問題もあるので、ちょっとだけでも知っているといいかもしれません。