質問: 微分方程式の解法 d^2y/dx^2+2*x*dy/dx=0 境界条件 x=0: y=1、x→∞: y→0 この2階の微分方程式を解けという問題ができません。 dy/dx=z と置いて、1階の微分方程式にして解こうとしたのですが、exp(-x^2)が出てきてしまいました。これは確率積分みたいに積分できるのでしょうか。 回答よろしくお願いします。
回答: 普通、そうやるでしょう。 z = a e^(-x^2) から y = a ∫{e^(-x^2)}dx + b {a,b は定数} と積分して、 境界条件から、 y = (2/√π)∫[t=x→∞]{e^(-t^2)}dt. ∫[t=x→∞]{e^(-t^2)} は = (√π)/2 - ∫[t=0→x]{e^(-t^2)} とか変形してもいいが、 いづれにせよ、不定積分 ∫{e^(-x^2)}dx が初等関数でないから、 これ以上平易には書きようがない。 a を決めるときに、ガウス積分を使うね。