質問: 組み合わせの公式について教えて 久しぶりに数学勉強してます。 組み合わせの問題は公式を使えば簡単にできるのですが、 なんで組み合わせの公式は分母と分子になってるのかわかりません。 なにかこの公式を理解できる方法ありましたらおしえてください。
回答: たとえば0から9までの数字を使って3桁の数字を作るときは 10×9×8=720通り これは10!を7!で割ったものです。 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 10! ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー = --- 7×6×5×4×3×2×1 7! ということになります。 しかしこれは順列であって組み合わせでは選んだ3個の数字の順番は関係ありませんので3個の数字の組み合わせの数6で割らないと重複してしまいます。 (例)123,132,213,231,312,321は組み合わせでは同じものなので6通りある。 これは3!で 3×2×1=6ということです。 そこで 720÷6=120 ということになります。 これをいっぺんに書くと 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 10! ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー = ---- (7×6×5×4×3×2×1)(3×2×1) 7!3! となりこれが組み合わせを求める式になります。 分数になるのは階乗(こんな字だっけ?)を使うために割らないといけないので分数にしたほうがわかりやすいためだと思いますよ。 組み合わせだと選んだ数と残りの数の両方の階乗で全体の数の階乗を割るので、10個の中から7個を選んでも3個を選んでも同じ120通りになりますね。 これを利用すると30個の中から28個を選ぶとき2個を選んだと考えて 30×29 28! ーーーーー × --- 2×1 28! と考えると右の分数は1なので暗算でも答えがでます。 どちらか数字の小さいほうを選んで計算すると計算時間が少なくて済みます。 一般化した式は下の方が紹介しているので、具体的な例で書いてみました。 頭悪いのでここに分数を書き込むのに時間がかかっちゃいました(笑)