質問: u(1,-1,0), v(1,1,1)で張られるR^3の部分空間W1と
回答: W1を1次方程式の形で表示すると x+y-2z=0 となります。またW2が(1,-1,0)と(1,0,-1)で張られる空間であることはすぐにわかると思います。 これをW2の定義式と連立して一般解を求めるとW1∩W2=c(1,-1,0)であることが分かります(cは任意定数).したがってW1∩W2は1次元で基底は(1、-1,0) dimW1+dimW2=2+2=4ですからdim(W1+W2)=4-dim(W1∩W2)=3です。 W1,W2から, W1∩W2に含まれない(1,1,1),(1,0,-1)を持ってきてこれをW1∩W2の基底(1,-1,0)と合わせるとW1+W2の基底になります。 (2) W1∩W2≠{(0,0,0)}なのでR^3はW1、W2の直和ではありません。 W1の次元は2ですからこれに含まれないR^3のベクトルを1個持ってきてそれで張られる空間を考えましょう。 やり方は人それぞれありますが、今回は手っ取り早くu,vの外積を考えると楽だと思います。u,vの外積は(-1,-1,2)となります。 したがってW3を(-1,-1,2)と取ればR^3=W1⊕W3