質問: (y1, y2, y3) ∈ r3 に対して (1) (x_1^2+x_2^2+x_3^2 )(y_1^2+y_2^2+y_3^2 )≥(x_1 y_1+x_2y_2+x_3 y_3 )^2 となることを示せ (2) √(x_1^2+x_2^2+x_3^2 )+√(y_1^2+y_2^2+y_3^2 )≥√((x_1+y_1 )^2+(x_2+y_2 )^2+(x_3+y_3 )^2 ) となることを示せ この2問の解説を教えてほしいです。
回答: (1) (x12+x22+x32)(y12+y22+y32)≧(x1y1+x2y2+x3y3)2 (x12+x22+x32)(y12+y22+y32)-(x1y1+x2y2+x3y3)2 =x12y12+x12y22+x12y32+x22y12+x22y22+x22y32+x32y12+x32y22+x32y32-(x12y12+x22y22+x32y32+2x1x2y1y2+2x2x3y2y3+2x1x3y1y3) =x12y22+x12y32+x22y12+x22y32+x32y12+x32y22-(2x1x2y1y2+2x2x3y2y3+2x1x3y1y3) =(x12y22-2x1x2y1y2+x22y12)+(x22y32-2x2x3y2y3+x32y22)+(x12y32-2x1x3y1y3+x32y12) =(x1y2-x2y1)2+(x2y3-x3y2)2+(x1y3-x3y1)2≧0 よって、 (x12+x22+x32)(y12+y22+y32)≧(x1y1+x2y2+x3y3)2 等号が成立するのは、 x1y2-x2y1=x2y3-x3y2=x1y3-x3y1=0 のとき。 (2) √(x12+x22+x32)+√(y12+y22+y32)≧√{(x1+y1)2+(x2+y2)2+(x3+y3)2} 両辺とも0以上なので、それぞれ2乗して差をとります。 {√(x12+x22+x32)+√(y12+y22+y32)}2-[√{(x1+y1)2+(x2+y2)2+(x3+y3)2}]2 =(x12+x22+x32)+(y12+y22+y32)+2√(x12+x22+x32)√(y12+y22+y32)-{(x1+y1)2+(x2+y2)2+(x3+y3)2} =2√{(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)}-(2x1y1+2x2y2+2x3y3) =2[√{(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)}-(x1y1+x2y2+x3y3)] x1y1+x2y2+x3y3<0 のとき、 2[√{(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)}-(x1y1+x2y2+x3y3)]>0 x1y1+x2y2+x3y3≧0 のとき、 2[√{(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)}-(x1y1+x2y2+x3y3)] =2[√{(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)}-√(x1y1+x2y2+x3y3)2]≧0 【 (1)より 】 よって、 {√(x12+x22+x32)+√(y12+y22+y32)}2≧[√{(x1+y1)2+(x2+y2)2+(x3+y3)2}]2 したがって、 √(x12+x22+x32)+√(y12+y22+y32)≧√{(x1+y1)2+(x2+y2)2+(x3+y3)2} 等号が成立するのは、 x1y2-x2y1=x2y3-x3y2=x1y3-x3y1=0 のとき。