質問: ベクトル空間 V の線形変換 P が P^2 P を満たすとする.また,Q I − P と する.このとき以下が成り立つことを示せ*3: (i) Q^2 Q.
回答: (i)Q^2=I-2P+P^2=I-P=Q (ii)QP=P-P^2=OよりIm(P)⊂Ker(Q)。 Ker(Q)∋vについて、v-Pv=0よりv∈Im(P)。よって、Ker(Q)=Im(P)。もうひとつも同様。 (iii)v∈Vについて、v=Pv+Qvより、V=Im(P)+Im(Q)=Im(P)+Ker(P)であり、P^2v=0なら、P^2=PよりPv=0なので、Im(P)∩Ker(P)=0です。よって、V = Im P ⊕ Ker P.となります