質問: in any `deltaabc`, prove that `(b^(2)-c^(2))cota+(c^(2)+a^(2))cotb+(a^(2)-b^(2))cotc=0`. in any `deltaabc`, prove that `(b^(2)-c^(2))cota+(c^(2)+a^(2))cotb+(a^(2)-b^(2))cotc=0`.
回答: solution: by the sine rule, we have `a/("sin a")=b/("sin b")=c/("sin c")="k (sky)"` `rarr" "("sin a")/a=("sin b")/b=("sin c")/c="k (sky)"` `rarr" "sina=ka, sin b=kband sin c=kc.` `:." "(b^(2)-c^(2))cot a=((b^(2)-c^(2))cosa)/("sin a")=((b^(2)-c^(2)))/("ka")((b^(2)+c^(2)-a^(2)))/("2ac")` `=1/("2kabc")(b^(2)-c^(2)-a^(2))=((b^(4)-c^(4)-a^(2)b^(2)+a^(2)c^(2)))/("2kabc")` similarly, `(c^(2)-a^(2))cosb=((c^(4)-a^(4)-b^(2)c^(2)+a^(2)b^(2)))/("2kabc")` `"and, "(a^(2)-b^(2))cotc=((a^(4)-b^(4)-a^(2)c^(2)+c^(2)c^(2)))/("2kabc")` `:." lhs"=(b^(2)-c^(2))cota+c^(2)-a^(2)cotb+(a^(2)-b^(2))cotc` `=1/("2kabc")[(b^(4)-c^(4)-a^(2)b^(2)+a^(2)c^(2))+(c^(4)+a^(4)-b^(2)c^(2)+a^(2)b^(2))+(a^(4)-b^(4)-a^(2)c^(2)+b^(2)c^(2))]` `=1/("2kabc")xx0=0="rhs".` hence, `(b^(2)-c^(2))cota+(c^(2)-a^(2))cotb(a^(2)-b^(2))cotc=0`.