質問: テンソルの縮約について 参考書にテンソルの縮約が以下のようにのっていました。これは間違いではありませ テンソルの縮約について 参考書にテンソルの縮約が以下のようにのっていました。これは間違いではありませんか。 b'ii=bkk 3次元だったら b'ii=3bkk となるのではないでしょうか。
回答: b'_i^j = (∂x'j/∂xn)(∂xm/∂x'i)b_m^n なので、 b'_i^i = (∂x'i/∂xn)(∂xm/∂x'i) b_m^n = δ_n^m b_m^n = b_k^k となります。 その成分は b'_1^1 = (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1)b_m^n であって、 (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1) は _1^1 については縮約されません。 1 は添字変数じゃなく、定数ですからね。 b'_i^i を縮約するときに b'_i^i = (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1)b_m^n + (∂x'2/∂xn)(∂xm/∂x'2)b_m^n + (∂x'3/∂xn)(∂xm/∂x'3)b_m^n となりますが。この (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1) + (∂x'2/∂xn)(∂xm/∂x'2) + (∂x'3/∂xn)(∂xm/∂x'3) = (∂x'i/∂xn)(∂xm/∂x'i) の + が i に関する縮約の σ なんです。