質問: 数学 相似 この問題の解き方をわかりやすく教えてください。中3、相似の問題です。 下の図で、点d,eは△abcの辺abを3等分する点、点mは辺acの中点であり、bmとcmの交点をfとする。 △abcの面積が36cm2のとき、△ebfの面積を求めなさい。
回答: 補助線emを引いて考える。 まず△adm∽△aecを示す。 ∠a共通,ad:ae=am:ac=1:2(∵ad=de=ab/3,am=mc) これから ∠adm=∠aec つまり直線dmと直線ecに直線abが交わっていると考えると同位角が等しいので dm//ec ⇒ dm//ef が言える。 次に△ebf∽△dbmを示す。 角b共通、bf:bm=be:bd=1:2(∵dm//ef,be=ed=ab/3) △ebfと△dbmは相似だから面積比は相似比の2乗に比例するので △ebf/△dbm=(be/bd)^2=(1/2)^2=1/4 ∴△ebf=△dbm/4 ...(1) △dbmと△abmの面積比を考えると bd=(2/3)abで底辺bd,baの比が2:3で高さは等しいので △dbm:△abm=bd:ab=2:3 ∴△bdm=(2/3)△abm ...(2) 次に△abmと△abcの面積比を考えると 底辺ab共通、高さの比=am:ac=1:2 (∵am=ac/2)なので △abm:△abc=1:2 ∴△abm=(1/2)△abc ...(3) (1),(2),(3)より △ebf=(1/4)△bdm=(1/4)(2/3)△abm=(1/6)△abm =(1/6)(1/2)△abc=(1/12)△abc 題意より△abc=36 cm2であるからこれを代入して ∴△ebf=36/12=3 cm2 お分かり?