質問: ベクトル空間r3において、次のベクトルの組{e1,e2,e3... 線形代数です。(質問タグに大学数学がなかったので、高校にしました) ベクトル空間r3において、次のベクトルの組{e1,e2,e3}は基底であることを示せ。 任意のベクトルvにおいて、(1) v=a1e1+a2e2+a3e3を満たすa1,a2,a3を具体的に求め、(2)このa1,a2,a3がただ一通りでしか表せないことを示せ。 e1=(1,1,1),e2=(1,-1,0),e3=(1,1,-2),v=(x,y,z) とあるのですが、数値を具体的にx=3,y=4,z=5として、a1,a2,a3を求めることはできたのですが、(2)はどのようにすれば良いのでしょうか。具体的に、丁寧に教えていただけると幸いです。 よろしくお願い致します。
回答: 追記:基底であることは、逆行列が求められた時点で成立する。(要望があれば教えます。) そうじゃなくても画像の(e1 e2 e3)をサラスの方法などで行列式が0ではないことを示せばいい。 任意とあるので、勝手にvを決めてはいけない。(このクラスの任意の人間が190cm以下であることを示せ、といわれて、山田君が190cm以下だからみんな190cm以下、としてはいけない)(1)逆行列をもとめる。(2)(a1,a2,a3)≠(b1,b2,b3)としてv=b1e1+b2e2+b3e3とすると結局(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)となることを示す。a1+a2e2+a3e3=b1e1+b2e2+b3e3,(左辺)-(右辺)の形にして、基底の定義より一次独立であることを利用すれば係数が0で(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)が得られる。