質問: p(x)は関係とする。 x’∈{x|p(x)}⇔p(x’) を示すにはどうすれば良いですか? p(x)は関係とする。 x’∈{x|p(x)}⇔p(x’) を示すにはどうすれば良いですか?
回答: 示す必要はありません。それは、単に {x|p(x)} という記号の定義です。 興味があれば、「公理的集合論」特にその「分出公理」について 本で読んでみてください。近代的な集合論では、集合とは何か を定義するにあたって、集合というものが持つ基本的は性質として、 任意の集合 u と論理式 p(x) に対して x’∈s ⇔ ( x’∈u ∧ p(x’) ) であるような集合 s が存在すること を要請しています。そのことは、集合の定義の一部なのです。 この要請によって存在する s を、{ x∈u | p(x) } と書くことになっています。 ですから、 x’∈{x|p(x)} ⇔ p(x’) は、記号の定義により自明です。