質問: 三角比を含む不等式の問題 0度≦θ≦180度のおいて √←3cosθ+sinθ>0であるθの範囲を求めよ。 という問題で自分は0度≦θ≦90度、120度<θ≦180度としたのですが 答えは0度≦θ<120度でした。なぜなんですか? 回答お願いします
回答: #1です。 大学受験の段階では三角関数の合成法を使いますので覚えて、今習ってなくても予習して覚えておいた方が良いですね。受験では合成法が使えますから。三角関数の公式一覧にも載っていますよ。 a=√{(√3)^2+1^2}=2, √3/a=√3/2=sin60°,1/a=1/2=cos60° であることから (√3)cosθ+sinθ=a{{(√3)/a}cosθ+(1/a)sinθ =2{{(√3)/2}cosθ+(1/2)sinθ} =2(sin60°cosθ+cos60°sinθ) ← 加法公式を使用 =2sin(60°+θ)>0 60°≦60°+θ≦240°であるから sinが正になる範囲は 60°≦60°+θ<180° ∴0°≦θ<120° という風に解けます。 合成を使わないなら 三角関数を1つにするためsinθ(≧0)で割ることを考えます。 そのためsinθを場合わけします。 (1)sinθ=0のとき、θ=0°または180° (√3)cosθ+sinθ>0 を満たすのはθ=0° (2)sinθ>0のとき (√3)cosθ+sinθ>0 をsinθで割ると (√3)/tanθ+1>0 cotθ=1/tanθ>-1/√3 この式を満たす0°≦θ≦180°のθは 0°≦θ<120° これは単位円を描いて求める方法が一般的で最も簡単です。 単位円を使わないなら tanθ>0,tanθ=0,tanθ<0の場合にわけて考えてください。 順に0°<θ<90°、θ=0°、90°<θ<120° θ=90°は (√3)cosθ+sinθ>0を満たしますのでθ=90°も含めます。 (2)と(1)の場合を合わせて 0°≦θ<120°となります。 参考url:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/multimedia/calc/node9.html