質問: 素数と聞きました。 (2*3*5*7*11,,,,+1=素数) 別に素数a*素数b+ 1 =素数って訳でもないのに。。。 (3*5+1=16) なぜ素数の1番目から順に掛け算を行ったものに対して1を加算すると素数になるのでしょうか?
回答: >なぜ割り切れないと証明出来るのでしょうか? 割り切れるとは、余りが0になることです。 (素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)を素数1,素数2,...で順番に割っていくと、どの素数で割ったときも余りが1になります。 余りが0ではないので、少なくとも素数1~素数nでは割り切れないということなのです。 この、"少なくとも"素数1~素数nでは割り切れない、という部分がミソです。 >割り切れないから素数だと思うのですが、 >素数1*素数2,,,,に1を加算して素数になる理由が分かりません。。 おそらく背理法をうまく理解していないのでしょうが。 結論から言います。(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)が必ず素数になるとは限りません。 前段までで、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は少なくとも素数1~素数nでは割り切れない事が分かりました。 次に二つの可能性が考えられます。 (1) (素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は素数である。 (2) (素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は合成数である。 まず、(1)だとすれば、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は素数です。 ですが(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は素数1~素数nのどれよりも大きいので、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は素数1~素数n以外の素数である事になります。 つまり、素数1~素数n以外にも素数は存在したということで、素数1~素数nは素数の全てではなかったということになります。 次に、(2)だとすれば、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は合成数です。 合成数であるということは、何か素数を約数として持つはずです。そしてその素数で割れば割り切れるはずです。 ですが、先ほども示したように(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は少なくとも素数1~素数nでは割り切れません。 ということは、素数1~素数n以外にも別の素数xが存在して、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は素数xであれば割り切れるということになります。 つまり、素数1~素数n以外にも素数xが存在するはずだということになって、素数1~素数nは素数の全てではなかったということになります。 結局、(1)の場合でも(2)の場合でも、素数1~素数n以外に素数が存在することになります。 素数を全部集めてきて素数1~素数nとしたはずなのに、捕まえきれていない素数xが存在することになる。 それはつまり、素数は有限個で全てではなく無限個存在するということなのです。 最後に、もう一度だけ確認しますね。 上に示した証明は、「素数は無限に存在する」証明であって、「(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)が素数である」証明ではありません。 実際、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)は必ず素数になる訳ではなく、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)が合成数になる場合もあります。 反例は、質問者さん自身で挙げていますね。 3*5+1=16 これが、(素数1*素数2*素数3*素数4*素数5*・・・*素数n+1)が必ず素数になる訳ではないという立派な証拠なのです。