質問: 微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには? 微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには? 高3で微積を習うまでずっと疑問だった球の表面積と体積の公式ですが 微積を使わずに求めるにはどうしたら良いでしょうか? 錐体の体積が柱体の体積の1/3になることは使って良いこととしたいと思います (従って、表面積でも体積でもどちらか一方の求め方がわかれば十分です)。 また「求める」程でなくとも「直感的に理解できる」程度でも結構です (例「球の表面積は、直径を含む球の断面のちょうど4倍になるんだなぁ」) が「球形や円柱形の容器に入れる」ようなものではなく あくまで思考実験で理解できるようなものでお願いします。 ↓のような質問は見かけたのですが http://okwave.jp/qa/q318118.html no.2も4も明らかに微積を使ってますよね。 ちなみに中学生とかに教えることを目的としたものではなく 高3までに公式の理由を知る方法があったのかどうか個人的に知りたいだけです。
回答: 円積率が円周率に等しいことを 積分なしで示すのは、難しいと思います。 小学生にもわかるように というのは、 円を扇形に等分して、交互に組み合わせると、 分割数を増やした極限が長方形になる という例のアレでしょうか。 あの説明は、不用意に「わかりやすい」けれど、 高校範囲の知識でも解る誤魔化しを含んでいます。 分割変形の操作が面積を変えないことは問題ありませんが、 極限の長方形の一辺が円周の半分になることは 直感的に自明とは言えません。 その部分の証明は、円の面積を積分するよりも ずいぶん難しい計算を要します。 小学生なら、納得してしまうのでしょうが。