質問: 実数x,y,z,aが x+y+z=a x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18
回答: x+y+z=a ....1、x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 ....2 x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18 ....3 2において、x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)= 1より=a^2-2(xy+yz+zx)=a^2-2a+14 従って、xy+yz+zx=a-7 3において、(x^3+y^3+z^3-3xyz)+3xyz= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz= a(a^2-2a+14+7-a)+3xyz=a^3-3a^2+3a+18 従って、 xyz=6-6a この時、x、y、zは、 3次方程式:t^3-at^2+(a-7)t+6a-6=0、の3つの解。 これは因数分解出来て、(t-3)(t+2)(t+1-a)=0 xとyが重解としても一般性を失わない。 ・x=y=3の時、 1より、z=a-6、だから、これらを2に代入すると、a=4 従って、z=a-6=-2. ・x=y=-2の時、 1より、z=a+4、だから、これらを2に代入すると、a=-1 従って、z=a+4=3. ・x=y=a-1の時、 1より、z=2-a、だから、これらを2に代入すると、a=-1、4 従って、z=2-aだから、z=3、-2. この時、x=y=a-1、だから、x=y=2、or、-3.