質問: x,y⊂Xで p(x,y)d(x,y)/1+d(x,y) とおくとき、pもXの距離であることを示せ
回答: f(t) = t/(1 + t) (t ≧ 0) を考えると = 1 - 1/(1 + t) より単調増加であるため (0 ≦) a ≦ b ならば f(a) ≦ f(b) です♪ このことを使うと p(x, y) = f(d(x, y)) について 三角不等式 d(x, y) ≦ d(x, z) + d(z, y) より ≦ f(d(x, z) + d(z, y)) = {d(x, z) + d(z, y)}/{1 + d(x, z) + d(z, y)} = d(x, z)/{1 + d(x, z) + d(z, y)} + d(z, y)/{1 + d(x, z) + d(z, y)} ≦ d(x, z)/(1 + d(x, z)) + d(z, y)/{1 + d(z, y)} = p(x, z) + p(z, y) ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬