質問: 剛体振り子の運動方程式について 閲覧ありがとうございます。 現在理系で学習を進めている大学1年生の者です。 剛体振り子の問題が解けなくて行き詰っています・・ 画像の問なのですが、 (1)は棒が一様=重心が中点=慣性モーメントは1/12(ml^2)であってるのでしょうか? (2)並進f=ma, 回転 iβ(角加速度)=n に代入すると思うのですが 並進 ma=(-mgl/2)sinθ 回転 iβ=(-mgl/2)sinθとなってしまい、特に並進運動の部分がよく分からないです・・・ (3)はθの関数というのがピンとこないのですが、 sinθ=≒θとおいて θ(t)=asin(ωt+α) の形にすれば良いのでしょうか? どなたか御教授して頂けたら幸いです。
回答: (1)はそれで合ってます。 (2)の並進運動について 重心の座標(xg,yg)を使って力学的エネルギーを求めると(dxg/dt=xg’としますねygも同様です) 運動エネルギーt=(1/2)m(xg’^2+yg’^2) ポテンシャルu=mgyg ラグランジアンl=t-u=(1/2)m(xg’^2+yg’^2)-mgyg ∂l/∂xg’=mxg’ ∂l/∂xg=0 ∂l/∂yg’=myg’ ∂l/∂yg=-mg 以上より(xg,yg)を使うと並進運動の方程式はこうなります mxg’’=0 (1) myg’’=-mg (2) となります。 ここからxg=(l/2)sinθ yg=-(l/2)cosθ としてxg’’とyg’’をもとめて、xg’’*cosθ+yg’’*sinθ=(l/2)θ’’ また(1)と(2)からxg’’*cosθ+yg’’*sinθ=-gsinθ 以上よりθを使うと並進運動の方程式はこうなります (l/2)θ’’=-gsinθ (l/4)θ’’=-(l/2)gsinθ (3) 回転運動については重心回りではモーメントは働いていないので (1/12)ml^2θ’’=0 (1/12)θ’’=0 (4) (3)+(4)より (1/3)θ’’=-(l/2)gsinθ となります。 長文失礼しました。