質問: -x+ax+3 (-2≦x≦1) 答えは a<-4 のときm=2a-1 -4≦a<2 のときm=a^2/4+3 2≦a のときm=a+2 となるようなのですが、さっぱり意味がわかりません。 aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。 どなたか解説お願いします。
回答: y=-x^2+ax+3 =-(x^2-ax)+3 =-(x-a/2)^2+(a^2)/4+3 よって頂点(a/2,(a^2)/4+3)、軸x=a/2とわかる。 グラフは上に凸であることからxの範囲がなければ、頂点のy座標がそのまま最大値となるが、 今-2≦x≦1と範囲があり、さらにグラフの軸がx=a/2であることから、 最大値を考える上で軸の位置による場合わけが必要になる。 (簡単なグラフを書いて考えてみてください) (i)軸x=a/2<-2、すなわちa<-4のとき、 x=-2のとき最大値をとる。(簡単な図を書けばすぐわかります) ∴m=y=-(-2)^2-2a+3=-2a+1 (ii)軸が-2≦a/2<1にあるとき、すなわち-4≦a<2のとき、 頂点のy座標が最大値になる。(簡単な図を書いてください) ∴m=(a^2)/4+3 (iii)軸x=a/2≧1、すなわちa≧2のとき、 x=1のとき最大値をとる。(簡単な図で確認できます) ∴m=y=-1^2+a+3=a+2 この問題の場合、軸の位置が定まっていないので、xの範囲と軸の位置との関係で 最大値が異なることがわかります。 まず範囲を図で定めて(-2≦x≦1)、 軸が上記の3パターンで最大値が異なることが、簡単な図を書けばわかります。 >aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。 aを求めるってどういう意味ですか? aは今は定数扱いです。 式を変形すると軸x=a/2であることがわかり、a/2の値により軸の位置がかわり、 それにより最大値も変わるということなので、aによる場合わけが必要となります。 この手の問題は理解できるまでは難しく感じるかもしれません。 簡単な図を描いてよく考えてみてください。 この問題で大切なことは軸がa/2の値によってかわること、 そしてxの範囲がきめられていることです。 これにより最大値が軸の場所により3つのパターンにわかれることに 簡単な図を書いて気づいてください。 なにかありましたら補足してください。