質問: 三角形と台形の問題 △abcの∠c, ∠bの二等分線が辺ab, acと交わる点を、それぞれ、d, eとする。 de//bcならば、ab=acとなることを証明せよ。 教科書で 直線beは∠bの二等分線であるから ba:bc=ae:ec 直線cdは∠cの二等分線であるから ca:cb=ad:db de//bcから ae:ec=ad:db 以上から、ba:bc=ca:cb ←ここが解りません。 どうして上の3つの比の式から、上のような比の式ができるのでしょうか? ad//bcである台形abcdにおいて、辺bc, daを等しい比 m:n に内分する点を それぞれ p, qとする。このとき、3直線ac, bd, pq は1点で交わることを証明せよ。 acとbdの交点をrとして、acとpqの交点をr`とすると ar:rc=ad:bc ar`:r`c=aq:pc aq=ad*n/(m+n), pc=bc*n/(m+n)をar`:r`c=aq:pcの式に代入して ar`:r`c=ad*n/(m+n):bc*n/(m+n) とすると ar`:r`c=ad:bc ←こう変化するのがわかりません どうしてn/(m+n)は消えてしまったのでしょうか? またこういう問題を解くのは苦手なんですが、解く上での心構えなどないでしょうか? おねがいします。
回答: no1です。 >ar`*n/(m+n):r`cn/(m+n)=ad:bc >になっちゃわないでしょうか? なってもいいし、ならなくてもいい、というのが比の 性質です。 方程式のようなものではないので、=の右側だけを 同じ数で割ったり、同じ数をかけたりしても、=の 左側はそのままでもいいのですよ。 また、比は分数とも同じ(a:b→a/b)なので、 ar`:r`c=ad*n/(m+n):bc*n/(m+n)を ar`/r`c={ad*n/(m+n)}/{bc*n/(m+n)}としてみれば 右辺のn/(m+n)を約分して ar`/r`c=ad/bc →ar`:r`c=ad:bc とできます。