質問: 力学 1.質量mの質点を、原点から角度θ、速さvで投げ上げた。重力加速度をgとして、運動方程式を立て、与えられた初期条件のもとで解け 2.速度に比例した抵抗-mrvを受ける質量mの質点が、水平面を運動する。その従う運動方程式を立て、それが初速度vで原点から投げられたという初期条件のもとで解け 3.質量mの物体が、壁に固定されたばねに速度vで衝突し、逆向きに同じ速度で跳ね返されるときの運動方程式をたてて解け。ばねから受ける力はf=-kxで与えられる 4.原点から(-k1x,-k2y)の力を受けて水平面内を運動する質量mの質点の運動方程式を立てて解け。またそのその運動の軌跡はどうなるか求めよ 自分の解答 1.問題の意味がわかりません。初期条件がなにか mg=vsinθ? 2. 3.-mv+f=mv f=-kx -kx=2mv 4.
回答: 1:正解です 3: mx"=-kx x(t)=aexp(at)を代入して計算すると ma^2=kx⇔a=±i√k/m x(t)=aexp(i√k/m)+bexp(-i√k/m) _________________ =ccos(√k/m×t)+csin(√k/m×t) ↓↓この下が理解できません v(t)=-c√k/m×sin(√k/m×t)+d√k/m×cos(√k/m×t) 申し訳ありません。数学的な微分方程式の解(虚数解の扱い方)は苦手なので、別の手法で解説します。 x"=-ω^2x (ω^2=k/m)の微分方程式をみたら x=ccosωt+dsinωtとおきます。(元の代入したら成立するはずです) これは単振動の一般解なので物理ではいきなりおいても問題ありません。位置を微分すると速度になるのですから、 v=x'=-ωcsinωt+ωdsinωt 初期条件はt=0でx=0,x'=vですので、これでc,dが決定するはずです。 本当は a=±i√k/m からの式変形を説明すべきですが、私自身の勉強不足でこの辺りの範囲は曖昧になってます。手元に微分方程式の本もないので、とりあえずこの説明のみとさせて頂きます。