質問: 力学的エネルギーの保存・運動量と力積 (物体の半円筒面内の運動) 物理でこのようなタイプの問題に、今まで出合ったことがありません: 水平で滑らかな床の上に質量4mの台があり、台の内面は点oを中心とした半径rの滑らかな半円筒面になっている。質量mの小球を半円筒面の上端aから静かにはなしたところ、小球は鉛直平面内で内面に沿って運動した。ただし、台の形状は点oを通る鉛直線に関して対称であり、台の密度は一様であるものとする。 小球が最下点bを通過する瞬間の床に対する小球の速さ、および小球がaからbまで移動する際の水平移動距離はどのように表されるか。 答えは:小球の速さv=(2/5)*sqrt(10gr) 水平移動距離=(4/5)*r 今まで解いたことのないような問題のタイプで、その4mの半円筒面をなす物体はどう考えればいいか本当に分かりません。 よろしければ、ご解説をお願いします。
回答: 小球は、重力によって落下しますが、実際には「半円形の壁」があるので、その重力は「半円の接線方向」と「半径方向」との成分に分解され ・「半円の接線方向」の力は円運動を加速 ・「半径方向」の力の「反作用(垂直抗力)」は円運動の向心力 になります。 点oから見た小球の鉛直方向からの角を θ とすれば、「半円形の壁」に沿った角度は -90° ≦ θ ≦ 90° であり、 ・「半円の接線方向」の力は mg*sinθ ・「半径方向」の力は mg*cosθ です。 台が床に固定されて動かなければこれで運動方程式が作れ、要するに「単振り子」と同じ運動です。 ところが、与えられた問題では「滑らかな床」なので台が摩擦なく滑るため、斜面を押す力つまり「半径方向の力」の水平成分が台を動かします。 このとき、水平方向には「小球」と「台」とは相互の「内力」だけで動いている(外力はない)ので、「小球」と「台」の「重心」の水平位置は変わりません。また運動量が保存します。 大学レベルでは、この「時々刻々の動き」まで求められますが、高校物理では残念ながらそれはできないので(微分・積分が使えないので)、「aにあるとき」と「bにあるとき」の「差分」でこれを求めます。 小球は、aからbで台上を相対的に r だけ移動しますので、「床から見た重心の水平位置は変わらない」ということであれば、「床から見た」移動距離は ・小球は r * 4m/(m + 4m) だけ動く ・台は r * m/(m + 4m) だけ動く ということになります。(重心位置からの距離は、質量比に反比例します。てこの原理みたいに考えればよいです) つまり、小球の「床から見た」移動距離は r * 4m/(m + 4m) = (4/5)r 速度は「小球が落下した高低差に相当する位置エネルギー」が、「小球と台の運動エネルギーの合計」になります。 小球の位置エネルギーの減少は ep = mgr 小球の運動エネルギーは ek1 = (1/2)m(v1)^2 台の運動エネルギーは ek2 = (1/2)(4m)(v2)^2 従って mgr = (1/2)m(v1)^2 + (1/2)(4m)(v2)^2 1 かつ、運動量保存より m*v1 = 4m*v2 2 これらから 2より v2 = (1/4)v1 1に代入して mgr = (1/2)m(v1)^2 + (1/2)(4m)[(1/4)v1]^2 → gr = (1/2)(v1)^2 + (1/8)(v1)^2 = (5/8)(v1)^2 → (v1)^2 = (8/5)gr よって v1 = √[(8/5)gr] = [√(40gr)] /5 = 2√(10gr)] /5