質問: 運動方程式の問題です。 なめらかな水平面上に質量mの板aをおき、その上に質量mの物体bを載せる。板aに右向きに力を加えて加速させる。aとbの間の静止摩擦係数をμ、動摩擦係数をμ’、重力加速度をgとする。 問・加える力の大きさがfのときbはaのウエをすべることなく一体となって加速した。加速度はいくらか。 a=f/(m+m) 問。加える力の大きさがある値を超えるとbはaのうえをすべりだす。 この値はいくらか。 一つ目は分かったのですが次が分かりません。 解答には bに働いている力を運動方程式で表す。 水平方向:ma=r(a:加速度、r:ab間に働く力) (1) 鉛直方向:0=n-mg (n:aからの垂直抗力) (2) aに働いている力を運動方程式で表す。 水平方向:ma=f-r (3) 鉛直方向:0=t-n-mg(t:床からの垂直抗力) (4) t=(m+m)g (1)(3)よりr={m/(m+m)}f r>μn=μmg ←(ab間に働く力が最大摩擦力より大きくなったときbはすべる) なので r={m/(m+m)}f>μmg ∴f>(m+m)g と書いてあったのですが、 なんでr={m/(m+m)}fになるのかよく分かりません。 お暇な方回答よろしくお願いします
回答: >一つ目は分かったのですが次が分かりません。 と書いてありますが 1つ目からきちんとやるのがヒントです。 多分、「2つが一緒に動く時」、「別々に動く時」とを切り離して全く別の場合だとしておられるのだろうと思います。 全体の運動は部分の運動を組み立てて求めたものと同じになっていなければいけないというのは力学の原理です。 aもbも動いています。外部からの力はaだけに働いています。bが動くためにはa、bの間に何らかの力が働いている必要があります。 その力をfとします。 aの加速度をa,bの加速度をbとします。 運動方程式は f-f=ma f=mb です。aに対するfの働きとbに対するfの働きは逆になっています。 作用・反作用の法則を使っています。 (1)の場合、a、bは一体となって動いているのですからa=bです。 f-f=ma f=ma これより f=(m+m)a a=f/(m+m) f=ma=mf/(m+m) が出てきます。 aの表現は初めから質量m+mの物体が運動するとして出したものと同じです。どちらから出発しても同じ式になるはずなんです。 fの値もわかります。fは摩擦力であるとは限りません。紐でくくってある場合でも、のりでくっつけてある場合でも同じです。摩擦力はこういう力の中のひとつです。 (2)摩擦力の場合です。 a、bが一緒に動いている場合に働く摩擦力は静止摩擦力です。最大値があります。fの大きさは加速度aとともに大きくなって行きますからどこかで限界を超えてしまいます。滑るという運動にになります。その場合はb<aです。 静止摩擦力の最大値は静止摩擦係数から求められます。μmgです。 一体で動く条件は f<μmg f<μ(m+m)g です。=のときの力の大きさが境界値です。 この境界を超えた力がかかっているとbはaの上で滑ります。 a、bの間に働く力fは運動摩擦力になります。 f-f=ma f=mb f=μ’mg です。 a=(f-μ’mg)/m b=μ’g a>bであることを確めることも出来ます。 f>μ(m+m)g でしたから μ>μ’であることを使うと a>μg+(m/m)(μ-μ’)g>μ’g=b です。