質問: 微分方程式、x=0,y=0のときなどの確認 微分方程式、x=0,y=0のときなどの確認 すべて一般解を求めよ、という問題です。 cosydx+sinydy=0 積分因子を用いて、 (e^x)cosy=c を導きましたが、その過程でsiny≠0のときとしてsinyで割っています。 確認方法ですが、y=2nπのとき、x=lnc=c′より、方程式に代入して、 ∫1dx=0 x=-c=c′′ より、解は(c,y)を含む、ということでいいんでしょうか? 別問で、 方程式 3xydy+(x^2+y^2)dy=0 x≠0,y≠0のとき 解 (3/2)・x^2・y^(2/3)+y^(8/3)=c x=0のときy=0 よって、(0,0)を含む となりましたが、上の場合は、はっきりと数値が出ない、任意定数もそれぞれlncと-cが元になっているわけですし、確認計算のために合っているかどうか、スッキリしません。 もう1つ (dy/dx)+y/x=sinx/x という方程式なんですが、 左辺=0の方程式の解を最初に求めるとき、y≠0とします。 この解がy=c/x となります。 この後、定数変換法で解いていくわけですが、ここでも、y=0のときxは任意、(c′,0)は含むただしx≠0ということでokでしょうか?
回答: (1) (e^x)cosy=c→(e^x)cosydx-(e^x)sinydy=0 →cosydx-sinydy=0 なので (e^x)cosy=cはcosydx+sinydy=0の解ではありません cosydx+sinydy=0 sinydy=-cosydx (-siny/cosy)dy=dx cosy=ce^x (2) (3/2)x^2y^{2/3}+y^{8/3}=c →3xy^{2/3}dx+x^2y^{-1/3}dy+(8/3)y^{5/3}dy=0 →3xydx+(x^2+(8/3)y^2)dy=0 なので (3/2)x^2y^{2/3}+y^{8/3}=c は 3xydx+(x^2+y^2)dy=0 の解ではありません (3/2)x^2y^{2/3}+(3/8)y^{8/3}=c →3xy^{2/3}dx+x^2y^{-1/3}dy+y^{5/3}dy=0 →3xydx+(x^2+y^2)dy=0