質問: 最小分解体と拡大次数について f(x)=(x^4+x^2-6)(x^3-7)∈q[x]とする。(c[x]においては、f(x)は一次式に分解する。) f(x)のq上の最小分解体kとその拡大次数[k:q]を求めよ。 kはなるべくわかりやすく与えること。 ちなみに定義として 拡大k/fにおいて、kはf上のベクトル空間とみなせる。fベクトル空間としてのkの基底、および次元をkのf-基底、k/fの拡大次数と言い、拡大次数を[k:f]と書く。 この問題がよくわかりません。解ける方いたらよろしくお願いします。
回答: 最小分解体の定義は知っていますか? f(x)が一次式に分解するような最小のqの拡大体のことです。 いいかえれば、qにf(x)の全ての根を添加した体のことです。 詳細に説明するとただただ長くなるので、大雑把に説明します。不明な点があれば、ご指摘ください。あらためて詳しく説明します。 まず、f(x)をq上既約な多項式の積に分解すると、f(x)=(x^2+3)(x^2-2)(x^3-7)となります。 ↑それぞれの因子の既約性はアイゼンシュタインの判定法などから。 次に、 (x^2+3)の最小分解体はq(ω)、qの2次拡大 (x^2-2)の最小分解体はq(√2)、qの2次拡大 (x^3-7)の最小分解体はq(ω, 7^(1/3))、qの6次拡大 ↑これは実際に各多項式の根が具体的に分かるので。 よって、3つの体を全て含む最小の体はq(ω, √2, 7^(1/3))、これが求めるkである。 いま中間体の列、たとえば q⊂q(ω)⊂q(ω, √2)⊂q(ω, √2, 7^(1/3))=k をとれば「高々」2×2×3=12次拡大であることが分かるが、 実際に12次拡大であることを示す。 それには次のような拡大体の列を考えるのが手っ取り早い。 m=q(√2)、n=q(7^(1/3))、l=q(√2, 7^(1/3))とすると、[l:q]は高々6であり、 q⊂m⊂lより[l:q]は[m:q]=2で割れ、 q⊂n⊂lより[l:q]は[n:q]=3で割れるので、実際に6であると分かる。 さて、√2, 7^(1/3)は共に実数なのでlは実数体の部分体。 一方、ωは実数でないのでl⊂l(ω)=kは真の拡大が起きている。 よって[k:q]=[k:l][l:q]=2×6=12が示せた。 従って質問の問題の答えは、 k=q(ω, √2, 7^(1/3)) 、[k:q]=12 となります。 (添加する元はωの代わりに例えば√(-3)としても同じです。"なるべく分かりやすい"元で書くといいです。)