質問: 射影空間の定義について 射影幾何のついて学び始めたのですが、抽象的なためか定義の理解に苦しんでいます。 「複素ベクトル空間vの射影化p(v)とは、v\0の同値関係~による商である。」とあり、直後の問題で、「このp(v)とvの1次線形部分空間の集合と自然な1体1対応があること示せ。」とあります。私としては、n次元ベクトル空間vに対する1次元部分ベクトル空間との1体1対応、かと思っていたのですが、違う本を参照してみると、 「def.ベクトル空間vの1次元線型部分空間をp(v)とかき、射影空間と呼ぶ。vがn+1ならばp(v)はn次元であるという。」と、ありました。 質問は次です。 q,下の定義において、1次元線形部分空間なのに、なぜn次元の話になるのか。 この時、上の問題の回答は、 (x0,x1,...,xn)→(x1/x0,...,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: no.1です >問題についてですが、座標があるとすれば、x0=0の場合はx1からxnをそのまま対応させることで良いのではないかと考えます。 座標があるとしても x0=0のときにx1からxnをそのまま対応というのはだめです. (1,1,...,1)と(0,1,...1)が同じ点に対応することになります. そして,そもそも 一般のベクトル空間には「基底に依存しない座標」は存在しません. しかし,実際は 質問中にある「自然な対応」は存在するのです.