質問: y1,y2,...ym:一次独立でv=span{x1,x2,...,xn}ならm≦n [問]体f上の線形空間v∋y1,y2,...ym:一次独立. v=span{x1,x2,...,xn} (x1,x2,...,xn∈v) とする時(つまり、x1,x2,...,xnはvのspan set)、 m≦nとなる事を示せ。 [証] dimv=lと置くと、l≧mで (i) l=mの時 v=span{y1,y2,...,ym} 且つ y1,y2,...ym:一次独立 が成立せねばならない(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。 ここでm>nと否定して矛盾を引き出してみる。 その場合,先ず、x1,x2,...xn:一次従属でなければならない(∵dimの定義)。 そこから先に進めません。どう書けばいいのでしょうか?
回答: bbeckyyさん、no1に対するお礼の中でのあなたの証明、目茶苦茶なんで、基本をもっとちゃんと勉強しないといけませんよ。 「span set(基底のことですね)の要素の個数は一定である」 ということは、既に教科書に書いてありますか? それとも、それを証明するための問題ですか? それによって、証明が全く異なってきます。 上のことが既出ならば、それを用いて瞬時に示せます。 (no1の方の仰るとおりです。m≦dimv≦n(証明終)) そうでなければ、上のことを示さねばなりません。 しかし、それは線形代数の重要な定理であって、それを「問」で 証明させる、ということは、上級レベルでなければ、ないはずです。 よく教科書を確認してみて下さい。 dimの定義のあたりです。そこをよく理解して下さい。