質問: ベクトルの問題です>_< ベクトルって意味不明です>_<!! 同一平面上に二つの三角形△abc、△pqrがあり、bc→=pa→+pb→+pc→、 ca→=qa→+qb→+qc→、 ab→=ra→+rb→+rc→ がなりたっている。この時 (1)△pqrは△abcとどんな位置関係にあるか (2)△pqrと△abcの面積の比を求めよ。 この問題どのようにしたらよいのか全然わかりません! まず図がこの問題からだけだと、思い浮かびません>_< どうしてbc→=pa→+pb→+pc→になるのでしょうか?? 三角形abcを書いて、外側に0を点を打って、0からaまでをa→、0からbをb→、0からcをc→と置いたらbc→=pa→+pb→+pc→の式の左辺は c-bとなるの解りましたけど、 右辺はどうしたらよいのかさっぱり解りませんでした>_< 理由は二つの三角形がどんな形になってつながってるか解らないので、普通に三角形abcの図を一つと、 三角形pbcの図を2つ目にノートに書いただけなので、 paとpbとpcとつなげて書く事や、図を描くことが出来ませんでした。 誰かこの問題教えてください!>_<
回答: ベクトルのいい点は図をほとんど書かなくても平面図形の問題が計算だけで解けてしまうところです。つまり、 >図を描くことが出来ませんでした。 ということはあまり重要視しなくてもこの問題なら解けますよ!下の考え方を見て下さい。 一般的に、平面は平行でない2つのベクトルで表すことができます。つまり、 >外側に0を点を打って、0からaまでをa→、0からbをb→、0からcをc→と置いたら と3つのベクトルで考えるという考え方も間違いではありませんが、ab→とac→の2つのベクトル(それぞれb→、c→とおきます)を元にして考える方がわかりやすいのではないかと思います。(つまり、点oがたまたま点aだったと考えるのと同値です) このとき点p、点q、点rは点aから見てどの位置にあるかを考えます。つまり、ap→、aq→、ar→を与式から求めてみるわけです。 bc→=pa→+pb→+pc→を変形すると (c→-b→)=(-ap→)+(b→-ap→)+(c→-ap→) ですよね? つまり、ap→=2/3b→ です。 同様にaq→=(b→+2c→)/3 ar=1/3c→ です。 pとrはこれですぐわかりますよね? (これでpとrがわからない場合は本当にベクトルの基礎の基礎がわかってないということなので、もう一度勉強しなおしましょう) bcをm:nに分ける点を点qと置くとき、 aq→=(nb→+mc→)/(m+n)と書けることより、点qの場所もわかるわけです。 さて、(2)△pqrと△abcの面積の比ですが、これも、 △abc=1/2√{|ab→|^2×|ac→|^2-(ab→・ac→)^2} (ab→・ac→はab→とac→の内積です) という公式さえ知っていれば図形を描かなくても数式の計算だけで求めることができます。 つまり、 pq→=(-b→+2c→)/3 pr→=(-2b→+c→)/3 を用いて △pqr=1/2√{|pq→|^2×|pr→|^2-(pr→・pr→)^2} を計算することにより図を描かなくても面積比を求めることが可能です。(計算が結構大変なのは大変ですが・・) では、がんばってください。