質問: 中学入試「算数(幾何)」の問題 中学入試「算数」の問題が解けず、困っています。問題は以下のとおりです。 ------------ 図の四角形abcdにおいて、de=2cm, bc=1cm, 角dabと角ecbはともに90度で、 ab, ad, aeの長さはすべて等しいとします。このとき、四角形abedの面積を求めなさい。 ------------ この問題は、小学校の新学習指導要領の移行措置で平成21年度から加わった内容で、 「三角形の合同・相似」は使っても構わないそうです。 ただし、平方根や三平方の定理は中学範囲となるので使ってはならず、これらを使わずに この問題を解くことができず困っています。 複数の大人で考えていますが一向に回答が出せず、とても困っています。 どうぞよろしくお願いいたします。
回答: 直角三角形の合同条件「斜辺と1つの鋭角とがそれぞれ等しい」のみ使って解きます。 下の添付図を参照して下さい。 最初に、緑の直角三角形を補助線として書きます。 次に三角形adeを直角に二等分した赤の三角形を考えます。図に示す角度をαとした時、点dの角度は三角形の内角の和が180°より、180-α-90=90-αです。βの角度は四角形の内角の和が360°より360-(90-α)-90-90=90+αです。 以上から、点aにおける緑の三角形の角度もαと分かるので、冒頭で述べた条件より二つの三角形は合同と分かります。 また角dabが直角であることから、点bでの水色で示す角度は180°と分かります。赤の三角形の底辺は2÷2=1cmなので緑の底辺も1cm、また水色が180°なので赤の高さは2cm、緑も2cmと分かります。 赤と緑は合同であるため、求めようとする四角形の答えは、赤を切り取って緑を足したものと同じなので、 2×2=4cm2 以上です。