質問: ker(核)やim(像)の意味がわからない。 aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル このとき kera={x∈rn|ax=0} ima={ax∈rm|x∈rn}と定義する。 ※rn,rmのn,mはrの右肩にあります。 この定義のいみがよくわかりません。 よろしくお願いします。
回答: ベクトルxは、 b=ax という対応によって、別のベクトルbにうつされます。 このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。 x=0の場合は、b=0です。 しかし、aの中身によっては、x≠0なのに、b=0 になる場合があるでしょう? b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、 その集合をker(a)と書いているのです。 こんどは、imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、 b=ax となるような、xがいつでもきめられるでしょうか? どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合 (解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって ありますよね? これも、aの中身によります。 そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを すべて集めてできた集合を、im(a)とかきます。 なれないうちは、 ker(a)は、連立方程式ax=0の解xの集合、 im(a)は、ax=bが解ける場合のbの集合 とでも理解しておけばいかがですか? 本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。