質問: 微分方程式 微分方程式の問題です。 画像上の赤ペンで丸をしているところ(1/2と-1/2)が、なぜそうなるのか分かりません。 詳しく解説お願いします。
回答: x(y^2+1)+y(x^2+1)y'=0 {y/(y^2+1)}dy/dx=-x/(x^2+1)...(1) y^2+1=t...(2) として両辺をxで微分すると 2y(dy/dx)=dt/dx ↓両辺を2(y^2+1)=2tで割ると {y/(y^2+1)}(dy/dx)={1/(2t)}(dt/dx) ↓これと(1)から {1/(2t)}(dt/dx)=-x/(x^2+1)...(3) x^2+1=s...(4) として両辺をxで微分すると 2x=ds/dx ↓両辺を-2(x^2+1)=-2sで割ると -x/(x^2+1)=-1/(2s)(ds/dx) ↓これと(2)から {1/(2t)}(dt/dx)={-1/(2s)}(ds/dx) ↓両辺をxで積分すると ∫{1/(2t)}(dt/dx)dx=∫{-1/(2s)}(ds/dx)dx (1/2)∫(1/t)dt=(-1/2)∫(1/s)ds (1/2)ln(t)=(-1/2)ln(s)+c ↓これと(2),(4)から (1/2)ln(y^2+1)=(-1/2)ln(x^2+1)+c ln(y^2+1)=ln[(x^2+1)^{-1}]+c y^2+1=(x^2+1)^{-1}×c (y^2+1)(x^2+1)=c