質問: 最大、最小の問題で (1)条件x^2+y^2=4(x,yは実数)のもとで、2x+yの最大値、最小値を求めよ (2)正の数x,yが、2/x+3/y=1を満たすとき、xyの最小値を求めよ という問題が分からないので解説してください。 (1)は、2x+y=k(kは定数?)とおくのですか??
回答: (1)条件x^2+y^2=4(x,yは実数)のもとで、2x+yの最大値、最小値を求めよ k=2x+yと置くことはこの直線と円x^2+y^2=4との交点の問題に還元されます。 まずはkに適当な値を与えて直線と円の交わり具合をグラフにしてください。 円と直線が交わらない場合は、条件x^2+y^2=4を満たさないので論外です。 結局直線が円の上の方に接する場合がkが最大、下で接する場合が最小になることを グラフの上で確認してください。それができなければこの問題を実体のあるものとしては 理解できないことになります。計算としては x^2+y^2=4 k=2x+y からxまたはyを消去して(yを消去した例をいかに示す。) x^2+(k-2x)^2=4 整理して 5x^2-4kx+k^2-4=0 この2次方程式が解をもつためには d=16k^2-20(k^2-4)≧0 これより -2√5≦k≦2√5 =の場合が接する場合で最大最小を与えます。 (2)正の数x,yが、2/x+3/y=1を満たすとき、xyの最小値を求めよ 変数が正の問題は相加平均相乗平均の関係を使いうる可能性があります。 正の数a,bについて a+b≧2√ab が成りたつ。=はa=bのとき。 a=2/x, b=3/yとすると 1=2/x+3/y≧2√(6/xy) 整理すると xy≧24 =は 2/x=3/y すなわち y=3x/2のときで xy=24に代入して x=4,y=6 この時 2/x+3/y=1 となり条件を満たす。 よってxyの最小値は24