質問: 基礎マクロ経済学の計算[微分] 数学カテゴリと迷いましたが、ここで。 代入して解く方法(下記の(1))と全微分して解く方法(2 )とで、答えが異なってしまいます。計算上の誤りの原因を教えてください。 総需要曲線adを y=(5/2)(10+g+400/p) とします。財政支出(もとの水準は50)gの増加によって均衡を(y,p)=(400,4)から(500,5)にしたいばあい、gの増加分を求めます。 (解答1) adに (500,5)を代入してgの変化分を見る。δg=60.(正答) (解答2) adを全微分すると δy=(5/2)(δg-(400/p^2)δp) δy=100,δp=1,p=4だから、δg=65 よろしくお願いします。
回答: 微分の操作というのは、微小量の変化に対して成立し、変化量がが大きいときはあくまでも近似的にしか成立しません。例外は関数が線形(一次式)のときだけです。あなたの質問のad式は非線形(400/pの部分が非線形になっている)なので、全微分しても近似的に妥当する結果しか得られないのです。簡単な例で説明しましょう。 z = xy という非線形の式を考えましょう。全微分すると、 δz=yδx+xδy となります。しかし、より正確には δz=yδx+xδy+δxδy となるのですが、δxとδyがゼロにかぎりなく近い"微小量"ならば、δxδyは無視しても差し支えないので、この項を無視して得られたのが全微分の結果(最初のほうの式)です。しかし、δxあるいはδyが"無視できない"大きな値なら、最初のほうの式(全微分の式)を使うと誤差が大きくなり、正確な値からの乖離が大きくなります。2番目の式で計算する必要があるのです。 あなたの質問の場合も、変化量の大きな問題に対して全微分を使おうとしているので、誤差が大きくなるのです!