質問: 解けませんこの微分方程式 いつもお世話になっています。 独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今 y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0 という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい 線形結合の解yをy=k+1/xとおいて(kが一般解です)代入し、 kとxの微分方程式を作りました。 果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。 わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。
回答: #1さんの正しい置換を借りて,一般解を求めてみます. 与えられた微分方程式は,一階の非線形常微分方程式です. y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0 u を x の関数として, y=u/x とおきます.y=u/x の両辺を x で微分すると y'=(xu'-u)/x^2 です.y'=(xu'-u)/x^2 と y=u/x を元の微分方程式に入れて, 計算・整理すると, (xu'-u)/x^2+(1/x)(u/x)+(u/x)^2-1/x^2=0 u'/x-(u/x^2)+(u/x^2)+(u/x)^2-1/x^2=0 u'/x+(u/x)^2-1/x^2=0 u'+(u^2/x)-1/x=0 u'=-(u^2/x)+1/x u'=(1-u^2)/x du/dx=(1-u^2)/x と,#1さんの言われた通りになります.これを積分すると, du/(1-u^2)=1/x dx ∫du/(1-u^2)=∫1/x dx +c (c は積分定数) (1/2)log|(1+u)/(1-u)|=log(x) +c [(1+u)/(1-u)]^(1/2)=cx ここで,u=xy をこの式に適用すると, [(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=cx となります.これが一般解です. この式:[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=cx が元の式を満たすかを計算してみます. この両辺を x で微分すると, (1/2)[{(1+xy)'(1-xy)-(1+xy)(1-xy)'}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c (1/2)[{(y+xy')(1-xy)-(1+xy)(-(y+xy'))}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c (1/2)[{(y+xy')(1-xy)+(1+xy)(y+xy')}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c (1/2)[(y+xy'){(1-xy)+(1+xy)}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c (1/2){2}[(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c [(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=c となります.一方,一般解は, (1/x)[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=c なので,これらの2式を用いて c を消去すると, [(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=(1/x)[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2) と書けます.更に,計算すると, (y+xy')/(1-xy)^2=(1/x)[(1+xy)/(1-xy)] (y+xy')/(1-xy)=(1/x)(1+xy) y+xy'=(1/x)(1+xy)(1-xy) y+xy'=(1/x)(1-(xy)^2) y+xy'=(1/x)-(1/x)(xy)^2 y+xy'=(1/x)-xy^2 ここで,両辺に (1/x) を乗ずると (1/x)y+y'=(1/x^2)-y^2 (1/x)y+y'=(1/x^2)-y^2 これを移項すれば, (1/x)y+y'-(1/x^2)+y^2=0 となり,与えられた微分方程式になります.よって,一般解 [(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=cx は,与えられた微分方程式を満たすことが確かめられました.