質問: e^(-x^2)の積分 e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか? どなたか分かる方、よろしくお願いします。 eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}
回答: ガウス分布に使いますね。 やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、 xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形 と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。 正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、 ∫[0→a]e^-x^2dx 正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても 同じ値になりますね。だから ∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy ということは、x,yは独立に考えられるので、 ∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy ={∫[0→a]e^-x^2dx}^2 という関係が出ますね。 だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。 四角形の領域で i=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。 半径aの(1/4)円では、 極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ =∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ =(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2) 同様に、半径√2aの(1/4)円では、 =(π/4){1-e^-(2a^2)} だから、 x:0→a √{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx <√{(π/4){1-e^-(2a^2)}} が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。 a→∞ であれば、 ∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2 が回答になりますね。 広域積分でも検索すれば参考になるかも。