質問: 解析入門に出てきた零集合のところで質問です。 この定義の零集合はルベーグ可測であって測度0と同値になることはどうしたら示せますか? それとも、そもそも同値では無いのでしょうか? ルベーグ積分は学んでいる途中であり、外測度は知らない状況です。素人のため、優しく教えて頂けたら幸いです。
回答: Iでn次元閉区間を表す。 【ルベーグ外測度の定義】 μ*(E)=inf{Σ[k=1,2,...] v(Ik)|E⊂∪[k=1,2,...] Ik} 【補題】 1.A⊂Bならばμ*(A)≤μ*(B) 2.任意のA,B⊂R^nに対してμ*(A∪B)≤μ*(A)+μ*(B) 【証明】 1.ε>0とする。 閉区間の族{Ik}が存在して B⊂∪[k=1,2,...] IkかつΣ[k=1,2,...] v(Ik)<μ*(B)+ε A⊂∪[k=1,2,...] Ikと外測度の定義によりμ*(A)≤Σ[k=1,2,...] v(Ik) 従ってμ*(A)<μ*(B)+ε ε>0は任意なのでμ*(A)≤μ*(B) 2.ε>0とする。 閉区間の族{Ik},{Jl}が存在して A⊂∪[k=1,2,...] IkかつΣ[k=1,2,...] v(Ik)<μ*(A)+ε/2 B⊂∪[l=1,2,...] JlかつΣ[l=1,2,...] v(Jl)<μ*(B)+ε/2 A∪B⊂(∪[k=1,2,...] Ik)∪(∪[l=1,2,...] Jl)と外測度の定義により μ*(A∪B)≤(Σ[k=1,2,...] Ik)+(Σ[l=1,2,...] Jl) 従ってμ*(A∪B)<μ*(A)+μ*(B)+ε ε>0は任意なのでμ*(A∪B)≤μ*(A)+μ*(B) 【ルベーグ可測集合の定義】 A⊂R^nがルベーグ可測 ⇔任意のE⊂R^nに対してμ*(E)=μ*(E∩A)+μ*(E∩A^c) Aを零集合とする。 E⊂R^nを任意にとる。 μ*(E∩A)≤μ*(A)=0よりμ*(E∩A)=0 E∩A^c⊂Eよりμ*(E∩A^c)≤μ*(E) 従ってμ*(E)≥μ*(E∩A)+μ*(E∩A^c) 補題2によりμ*(E)≤μ*(E∩A)+μ*(E∩A^c) 従ってμ*(E)=μ*(E∩A)+μ*(E∩A^c)となるためAはルベーグ可測 ルベーグ可測集合の測度は外測度に一致するため、零集合はルベーグ可測で測度0