質問: k{g'(u)+o(k)}の式に 線形性なのかなんなのか、特別な関係を示す意味があるような気がするのですが、どなたか解説していただけませんでしょうか?
回答: いまいち、質問者さんが、何を疑問に思っていて、結局質問したいことが何なのか、がよくわかりませんが。 g(u+k)-g(u) = k{g'(u)+o(k)} この式は、単に左辺を右辺のように書き換えてみた、と言っているだけです。 もっと正確にいえば、この式で、kの関数o(k)を定義した、ということです。つまり、 o(k) = {g(u+k)-g(u)}/k - g'(u) と「定義」したわけです。前提として、g(x)はx=uで微分可能ということはすでにあるので、この定義は、well-definedです。 で、o(k)をこう定義すれば、g'(u)の定義から lim k→0 o(k)=0 が成り立ちますよね。