質問: 五番の問題です。 なぜこの問題は背理法をつかわないといけないのですか? 対偶使ってもできると思ったの 五番の問題です。 なぜこの問題は背理法をつかわないといけないのですか? 対偶使ってもできると思ったのですが間違いでしょうか。 背理法を使った解き方もできれば教えて欲しいです。 よろしくお願いします
回答: 対偶を使った解き方をすると、どういうことになるか判る? 以下のことを示すことになるけど、示せる? 対偶である「a≠c又はb≠d ならば a+b√5≠c+d√5」を示す。 この方が、元の命題を示すよりもよっぽど大変(と言うか、どうすればいいか全く分からない)。 あなたは、どうやってこれを示そうとしているの? だから、この問題は、普通はこうやる(d-b≠0を仮定して矛盾を示す、背理法)。 a+b√5=c+d√5を変形して、 a-c=d√5-b√5 a-c=(d-b)√5 ※ となる。 ここで、もしd-b≠0とすると、両辺をd-bで割ることができて、 (a-c)/(d-b)=√5 となる。 このとき、左辺は有理数(a,b,c,dが有理数だから)であり、右辺は無理数だから矛盾。 したがって、d-b≠0ではなく、d-b=0であることが判る。よって、b=d このとき、※の右辺=0となるから、左辺=a-c=0ということになる。よって、a=c 以上により示された。