質問: 漸化式の問題です。 数bの漸化式の問題です。 pを正の定数とする。数列{an}はa1=1 an+1=pan+p^(-n) (n=1,2,3...) を満たす。 このときanをpとnを用いて表せ。 帰納法以外で解く方法を教えてください!!
回答: p = 1 のとき、a1=1, an+1 = an + 1 の等差数列なので、an = n 以下、p≠1 とする an+1 = p an + p^(-n) ・・・ (1) を、等比数列の形 an+1 + α p^(-(n+1)) = p { an + α p^(-n) } ・・・ (2) で表せないか調べてみる。(2) を変形すると、 an+1 = p an + p^(-n) ( p - p^(-1) ) α となるから、(1) と比較して、 ( p - p^(-1) ) α = 1 α = 1 / ( p - p^(-1) ) = p / ( p^2 - 1 ) とすれば (1) から (2) へ変形できることが分かります。ここで (2) において、 bn = an + α p^(-n) とおけば、bn は公比 p の等比数列で、その初項は b1 = a1 + α p^(-1) = 1 + (1 / (p^2 - 1)) = p^2 / ( p^2 - 1) よって、 bn = p^(n-1) b1 = p^(n+1) / (p^2 - 1) an = bn - α p^(-n) = { p^(n+1) - p^(-n+1) } / (p^2 - 1)