質問: 統計の問題の解説をおねがいします 統計の問題ですが解説がなく詰まってしまいました。 わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。 1,ある大学の男子学生と女子学生の身長はそれぞれ正規分布をし、男性の平均は175cm、標準偏差は10cm、女性の平均は161cm、標準偏差は9.8 cmであるという。この大学の男子学生一人と女子学生一人をランダムに選んだ場合、選ばれた男子学生の身長が女子学生の身長より高い確率はおよそいくつか。その確率を記せ。ただし、標準正規分布に関しては表を利用すること。(答えは0,84) 2,確率変数xは自由度5のt分布をし、確率変数yは標準正規分布をするとする。このとき、xやyがある定数zを越える確率に関して、z>0の場合に限りp(x>z)>p(y>z)であることを示せ。
回答: 1だけご説明します。 ランダムに選ばれる男女の身長をそれぞれx cm, y cmという確率変数で置くと、 x-y>0の確率が求める確率。 ランダムだといっているのだから、xとyは独立です。 独立な確率変数の和ってのを習ったなぁとか、 正規分布の和は正規分布ってあたりを同時に思い出せれば、 あとはたいてい答えにたどり着けそうなところ。 z=x-y とおくと、e[z]=e[x]-e[y]が成り立ち、 独立なx, yに対してはv[z]=v[x]+v[y]が成り立ちます。 (v[x]を分散の記号として使っています。別の文字で習った可能性大) 習ったときはz=x+yに対して、e[z]=e[x]+e[y]、v[z]=v[x]+v[y]だったと思います。 これが差になると、期待値の方だけ引き算に切り替わって、 平方和を議論する分散では足し算のままだというところに注意してください。 おやっ?っと思ったら、期待値や分散の積分形式の定義式を眺めてみて、 確率変数にマイナス1をかけるとどうなるか考えて見てください。 前者はくくり出せて、後者は2乗で消えるでしょ。 今回のケースでいえば平均は175-161=14、 標準偏差は(問題に与えられている数字が分散でなく標準偏差であることに注意!) 10^2+9.8^2の平方根で、196.04の平方根なので、だいたい14ですね。 というわけでzは平均14、分散196.04の正規分布に従います。 なのでz>0である確率は標準化して考えると、 平均値の14で引いて標準偏差の14で割って考えると、 標準正規分布で-1より大きい確率を求めるって意味だ。 標準正規分布表で横軸が1になるところの値を読み取って、 表がそのしきい値の右側を表しているのか、 左側を表しているのか注意しながら読み取ってみると、 その面積(というか確率は良くある4桁の早見表で0.8413。 ざっくりしたところを答えると0.84ってことです。