質問: ∫x^2√(1-x^2)の不定積分 ∫x^2√(1-x^2)の不定積分の問題なんですが, つぎのように解いてみたんですが, ∫x^2√(1-x^2)dx =3x^3√(1-x^2)-∫x^3[√(1-x^2)]'dx =3x^3√(1-x^2)-∫{-2x/[2√(1-x^2)]}x^3dx =3x^3√(1-x^2)-∫{x^4/√(1-x^2)}dx =3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2) =3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x 左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して 2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+c よって ∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+c} となりました。途中式・解答はあってますか?
回答: 細かいところで間違いがあるようです.係数の間違いなど. 1行目から, √(1-x^2)の係数は,3 ではなく,1/3 そして,第2項の係数が抜けていて,これも 1/3 2行目以降では,上のミスは除いて指摘します. 4行目 ∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx 第3項の係数が抜けていて,これも 1/3 7行目 左辺 2∫x^2√(1-x^2)の係数,4/3 右辺の第1項 (3x^3-1)√(1-x^2) ⇒ (1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx という風に,積分が抜けている. 答えは, 与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx} となります.微分して確認済み.