質問: 等式 整式f(x)は、すべての実数tに対して、 (t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1 を満たすとする。このとき、整式f(x)の次数nを求めよ。 f(x)=ax^n+bx^(n-1)とおき(a≠0)、 g(x)=xf(x)とおくと g(x)=ax^(n+1)+bx^n +・・・・・である g(t+1)=(t+1)f(t+1)、g(t-1)=(t-1)f(t-1)より(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1に代入して g(t+1)-g(t-1)=t^2+t+1 g(t+1)-g(t-1) =a{(t+1)^(n+1)-(t-1)^(n+1)}+b{(t+1)^n-(t-1)^n}+(n-1次以下) ここまでは分かるのですが、ここから =a{2(n+1)t^n+(n-1次以下)}+b{2nt^(n-1) +(n-2次以下)} +(n-1次以下)となる理由が分かりません 教えてください
回答: 2項定理で展開して最初の何項かを書くと (t+1)^n+1=t^n+1 +(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・ (t-1)^n+1=t^n+1 -(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・ (t+1)^n=t^n +nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・ (t-1)^n=t^n -nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・