質問: 代数学の期末課題の最後の問題です! ぜひぜひよろしくお願いしますっ>
回答: f:GL2(R) → R* を f(A) = |A| (※ 行列式) とします♪ ◆ f が準同型写像であること 任意の A, B ∈ GL2(R) に対して f(AB) = |AB| = |A||B| = f(A)f(B) なので f は準同型写像です♪ ◆ Im(f) について 任意の y ∈ R* に対して ......[y 0] A = [0 1] とすれば f(A) = y なので f は全射であり Im(f) = R* となります☆ ◆ Ker(f) について R* の単位元は 1 であり Ker(f) = {A ∈ GL2(R) | f(A) = 1} = {A ∈ GL2(R) | |A| = 1} = SL2(R) です♪ 以上より準同型定理 GL2(R)/Ker(f) ≅ Im(f) に上の 2 つを当てはめると GL2(R)/SL2(R) ≅ R* ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬