質問: 正規母集団の標本平均と標本分散の独立性 x_1,...,x_nを正規母集団から取った大きさnの標本とします。 簡単のため、母集団の平均は0、分散は1と仮定します。 このとき標本平均x=(x_1+...+x_n)/nと 標本(不偏)分散s=((x_1-x)^2+...+(x_n-x)^2)/(n-1) を考えます。 xは平均0、分散1/nの正規分布に、 (n-1)sは自由度n-1のχ^2分布に従うと思いますが、 このxとsの独立性の証明はどうやったらよいのでしょうか? 結合分布の計算にx_i^2が混じるので大変に面倒です。 非芯χ^2分布の特性関数の計算などを使うのでしょうか。 方針は立つものの、あまりに煩雑な計算になりそうで尻込みしています。 簡便な計算法をご存知であれば教えていただきたく思います。 よろしくお願いします。
回答: 申し訳ありませんが、行列を使って書きます。あと、ちょっと難しめです。 u, v を正規分布に従う平均0の確率変数(スカラー)とします。この2つが独立である条件は、euv]=0 であることはご存じだと思います。 今、x=(x1,x2,...,xn)' を標準正規分布に従う確率変数ベクトルとします。したがって、e[x]=0, e[xx']=i です。また、i=(1,..,1)' とします。すると 平均 x = 1/n i'x 分散 s = 1/(n-1) (x-ix)'(x-ix) と書けることが分かります。ここで x-x = x - 1/n ii'x = (i - 1/n ii')x であり、 (i-1/n ii')'(i-1/n ii') = (i-1/n ii') であることから (n-1)s = x'(i-1/n ii')'(i-1/n ii')x と書くことが出来ます。ここで u=i'x, v=(i-1/n ii')x とおくと、u, v 共に正規分布に従い、 e[uv'] = e[i'xx' (i-1/n ii')'] = i'e[xx'' = i'(i-1/n ii')' = 0 となるため、u, v は独立であることが分かります。 したがって、独立な確率変数から計算された統計量はやはり独立なので、x と s は独立になります。