質問: what to do what to do はあるのに、どうして what doing はないのでしょうか?
回答: what to doという表現は例えば主語がiで現在形ならば、what i am to doのi amの省略だからです。疑問詞の直後の「代名詞+be動詞」というのはしばしば省略されます。このam toはいわゆるbe toの表現でこの場合は義務の意味を表します。what i am doingでは義務の意味は出ませんので、what doingという表現はありません。