質問: 3行3列の行列に関する問題への質問 行列の書き方に少々自信がないのですが、上から1行ごとに書いていきます。 すべて3×3という行列として 上からp=[[0,1,0]',[0,0,1]',[1,0,0]]とし、a=[[a,b,c]',[c,a,b]',[b,c,a]] x=[[x,y,z]',[z,x,y],[y,z,x]]とする。 (1)でp^2=[[0,0,1]',[1,0,0,]',[0,1,0]]、p^3=[[1,0,0]',[0,1,0,]',[0,0,1]]を求めさせ (2)で「axは=αe+βp+γp^2とあらわされる。α、β、γをa,b,c,x,y,zを用いてあらわせ」という問題です 解答 題意のa、xは,a=ae+βp+γp^2、x=xe+yp+zp^2 とあらわせる これらをかけて ax=(ae+bp+cp^2)(xe+yp+zp^2) =(ax+cy+bz)e+(bx+ay+cz)p+(cx+by+az)p^2 これがαe+βp+γp^2に等しいから(係数比較して)、 α=(ax+cy+bz) β=(bx+ay+cz)p γ=(cx+by+az) という解答なんですが、二点わかりません (1)まずはじめにxは,a=ae+βp+γp^2、x=xe+yp+zp^2とあらわされるという設定をどのように考えて設定したのかがわからないのと a b cがそれぞれe p p^2の係数になぜなっているのかもわかりません... (2)最後の係数比較してというところが理解できないのですが... 本来、行列というのは安易に係数比較をしてはいけないと思うんですが、これはどうして係数比較をしてもいいんですか? 係数比較をする場合ほかにもいろいろな条件が必要かとお網のですが。 非常に煩雑で面倒かもしれませんが、どうかよろしくお願いいたします
回答: まず、2点指摘させてください。 3行目:p=[[0,1,0]',[0,0,1]',[1,0,0]] の「'」は何を意味しているのでしょうか? 意味が無いようなので無視します。 9行目:a=ae+βp+γp^2 これは、a = ae + bp + cp^2 の誤りですよね? 解説) (1)a = ae + bp + cp^2、x= xe + yp + zp^2 と表される理由。 e, p, p^2 を紙に書いてよく眺めてください。 3つの行列の要素で"1"になっている部分は互いに重なっていませんよね? ですから、a = fe + gp + hp^2 (f, g, hは新たに用意した係数)と仮定すると、 両辺の1行1列目は、左辺が a、 右辺が fです。 両辺の1行2列目は、左辺が b、 右辺が gです。 両辺の1行3列目は、左辺が c、 右辺が hです。 そこで、a = ae + bp + cp^2 と考えると、両辺は釣り合いますよね? xについても同様です。 a, x を e, p, p^2 を用いて表している動機は、 ・先に述べたように e, p, p^2 の要素で"1"になっている部分が重なっていない。 ・axを実行すると、p^3, p^4 が出てくるが、p^3 = e, p^4 = p である。 というところだと思います。 (2)係数比較してよいのは、 (ax + cy + bz)e + (bx + ay + cz)p + (cx + by + az)p^2 = αe + βp + γp^2 (左辺はaxの計算結果) の両辺に含まれる行列は、全て3行3列で、しかも行列同士の積をとっていないため、 必ず両辺とも3行3列の行列になることがわかっているからです。 ==== 解説終わり ==== 以下、私見です。 この解説はいたずらに問題を複雑にしているように思います。 問(2)を素直に解くと、 αe + βp + γp^2 = α[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] + β[[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]] + γ[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]] なので、αe + βp + γp^2 の1行1列目はαであることがわかる。 (同様に1行2列目はβ、1行3列目はγ) そこで、ax を計算して、 1行1列目は、ax + bz + cy = α 1行2列目は、ay + bx + cz = β 1行3列目は、az + by + cx = γ となり、残りの6要素が両辺で釣り合うかどうか確認する。 という手順になると思います。(あくまでも私の手順です。)