質問: 4次正方行列の固有多項式と最小多項式を、ケイリー•ハミルトンの定理を使って求める方法を教えてください。
回答: どういう意味でしょうか? ケーリー・ハミルトンの定理は正方行列Aと、Aと同サイズの単位行列Eに対して φ(λ)=det(λE-A) とおくとき φ(A)=O が成立する、という主張ですよね。 そしてφ(λ)のことを固有多項式と呼びます、というだけの話ですよね。 要はこの定理は固有多項式を得るための定理ではなく、頑張ってガリガリ計算した固有多項式にAを代入すると零行列になることを主張する定理です。 固有多項式を得るための定理ではないので、順番が違うと思います。 それとも固有多項式の一般形を得たいということでしょうか? 2×2のときはたまたま固有多項式が φ(λ)=λ2-(a11+a22)λ+(a11a22-a12a21) と簡便な結果になりますが、4×4となるとこのような一般的な形を得るのは得策ではないと思いますし、得たとしてもかなり複雑だと思います。