質問: 集合の上極限(limsup)について質問です。 その定義の理解について考えているのですがどうしてもわからないところがあります。
回答: まず、limsupAnに含まれる要素は無限個のAnに含まれるということですが、これはもし有限個のAnにしか含まれなければその最大の番号N以降はその元を含みませんから、 ∪_{k=N+1}^{∞}Ak にその元が含まれず、結果的にlimsupAnに含まれないので矛盾が起きるため、正しい主張です。 疑問点に挙げられた例について、面白い考え方であるとは思いますが、問題点が2つほどあります。 まず、[0,1]区間の有理数を小さい方からAnとしてそれらの一点集合を作るとありますがこれは原理的に不可能です。 これは[0,1]∩QとNが(濃度は等しいが)通常の数に関して順序同型でないことに起因します。実際、順序同型写像f:N→[0,1]∩Qが存在したとすると、1,2の間には自然数がないので、f(1)とf(2)の間には[0,1]∩Qの元がないことになりますが、(f(1)+f(2))/2はf(1)とf(2)の間の有理数となってしまい矛盾します。 従って[0,1]∩Qの元を小さい方から数え上げることは不可能なのです。 次の問題点として、集合に対する収束という概念です。 たとえばBn={1-1/n}とすると、確かに1-1/nは1に収束しますが、 ∪_{n=1}^{∞}Bnは1を含みません。 それでもAnは[0,1]∩Qからとるので1を含むのではないかと思われるかも知れませんが、その場合はAm=1となるmが存在するため、 ∪_{k=m+1}^{∞}{Ak} に1が含まれなくなり、結果として、limsup{An}は1を含みません。 極限という解析的な概念を距離概念のない純粋な集合に用いる際にはそれらを混同しないよう注意が必要です。