質問: 大学数学の線形代数学、スペクトル分解、行列の平方根についての... 大学数学の線形代数学、スペクトル分解、行列の平方根についての質問です。 aを正定値実対称行列とします。そして例えば固有値を2つ持っていたとします。その2つの固有値をλ_1、λ_2とします。 a=(λ_1)p+(λ_2)qと一意的にスペクトル分解できると思います。さらにaは正定値なので、固有値はλ_1もλ_2も正です。 この時、行列aの平方根の逆行列を考えたいのですが、 a^(-1/2)=(1/√(λ_1))p+(1/√(λ_2))q a^(-1/2)=(1/√(λ_1))p-(1/√(λ_2))q a^(-1/2)=-(1/√(λ_1))p+(1/√(λ_2))q a^(-1/2)=-(1/√(λ_1))p-(1√(λ_2))q の4つしかないという認識で正しいでしょうか? そして、a^(-1/2)が正定値という条件を付せば、 a^(-1/2)=(1/√(λ_1))p+(1/√(λ_2))q と一通りに定まるという認識で大丈夫でしょうか?
回答: aの平方根とは x^2=a を満たす行列xですか? 例えば aを2次の単位行列 x=(1 0 0 -1) としたら、xはaの平方根の逆行列ですが、xのスペクトル分解は x=1(1 0 0 0) +(-1)(0 0 0 1) となります。(見づらくてすみません。)