質問: 静止摩擦力と引く力のつりあい 初歩的な質問で申し訳ありません。 物体を引く力fと、その物体と床の間に働く静止摩擦力fは、同一作用線上にないにもかかわらず、なぜ同じ大きさで釣り合うのでしょうか?(静止摩擦力が最大摩擦力でないとき) ご回答よろしくお願いします。
回答: それに答えるには質点系(あるいは剛体)の力学が必要になります。 結論だけを書くと、物体の重心の運動は、重心の位置にある質点の運動で記述することができ、 その場合、実際の作用点の位置に関らず全ての外力は重心の位置の質点に働いているとして解くことができます。 この問題の場合は床に支えられて物体の回転がありませんので、重心の運動だけを考えればいいことになります。 以下は、もし質問者さんが高校生だと少し難しいかもしれません。 系を構成するi番目の質点を添え字iで表すとします。 この質点には外力fiと系内の別の質点(j番目の質点とします)からの力fijが働いています。 すると、運動方程式はriを位置ベクトルとして m1 (d^2 r1/dt^2) = d^2(m1 r1)/dt^2 = f1 + f12 + f13 + ・・・・ m2 (d^2 r2/dt^2) = d^2(m2 r2)/dt^2 = f2 + f21 + f23 + ・・・・ m3 (d^2 r3/dt^2) = d^2(m3 r3)/dt^2 = f3 + f31 + f32 + ・・・・ ・・・・・・・(以下質点の数だけ続く)・・・・ これを全部たし合わせると d^2(m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・)/dt^2 = (f1+f2+f3+・・・) + (f12+f21) + (f13+f31) + (f23+f32) + ・・・・ 重心の位置ベクトルをrとすると、系の全質量をm=m1+m2+・・・・として r = (m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・)/(m1+m2+・・・・) = (m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・)/m m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・ = mr となるので、 d^2(m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・)/dt^2 = d^2(mr)/dt^2 = m d^2 r/dt^2 f12とf21、f13とf31、f23とf32などは作用反作用の関係にあるのでその和は全て0になります。 したがって、先ほどの運動方程式の和は m d^2 r/dt^2 = f1 + f2 + f3 + ・・・・ この運動方程式は位置ベクトルr(すなわち重心の位置)にある質量mの質点にf1 + f2 + f3 + ・・・・という力が働いた場合の運動方程式と同じ形になっています。 したがって、実際の作用点がどこであろうとも全ての外力は重心位置にある質点に働くとして解けば重心の運動が求められることになります。 余談ですが、mi d ri/dtがi番目の質点の運動量なので p = m1 dr1/dt + m2 dr2/dt + m3 dr3/dt + ・・・・・ を全運動量と定義すると d^2(m1 r1 + m2 r2 + m3 r3+・・・・)/dt^2 = d(m1 dr1/dt + m2 dr2/dt + m3 dr3/dt + ・・・・・)/dt = dp/dt と書くことができるので dp/dt = f1 + f2 + f3 + ・・・・ 外力が働いていなければ(総和が0という意味) dp/dt = 0、つまり、時間によらず p=一定 これが運動量保存則です。