質問: 相対論の過去問について 大学の相対論の過去問なのですが 「ある慣性系sの原点oから時刻t=0 においてx軸と角度θをなす方向に光を発射し、距離l先の点pでこれを吸収した。 これを、s系に対して一様な速度vでx軸正方向に運動しているs'系から眺める。 (t=0で二つの系は重なっているものとする。)ただしβ= v/c (1)光の発射と吸収の間のs'系での時間間隔t'はいくらか。 (2)s'系から見たときの発射点と吸収点の空間的距離l'はいくらか。 (3)s'系から見たとき、光はx軸方向から角度θ'の方向に進むように見えた。tanθ'はいくらか。」 という問題の(2)で,私はs'系での同時刻で測ればx方向にローレンツ収縮がおこって l* √(1-β^2) になり、y方向との三平方の定理により答えはl*√(1-(βsinθ)^2)と考えたのですが、 他の学生が作成した模範解答(参照urlの別解)によるとs'系から見ても光速はcで変わらないから答えは ct'で、(1)の答えt'=l*(1-βcosθ)/(c√(1-β^2))を用いて、l*(1-βcosθ)/√(1-β^2)になるとのことでした。 どちらが間違っているのでしょうか? 過去問から同じ問題を出すタイプの教官なので聞きに行くわけにも行かず困っています。 初等的な特殊相対論しか学んでいませんのでなるべく単純な説明をよろしくお願いします。使用している教科書は「相対性理論入門講義 」です。 参照url; http://www.bf-web.net/~2005s117/shikepuri/archives/98srelativity_kazama.pdf
回答: #1です。 判り難かったようなので、もう少し付け加えます。 s系に静止した長さlcosθの棒を仮定し、この棒をs'系で観測するとローレンツ収縮によって√(1-β^2)倍に縮むので棒の長さはlcosθ√(1-β^2)になります・・というのは質問者さんのおっしゃるとおりです。 (正しい式は↑ですよね) しかし、その考え方をすると、棒の後端はs系の原点に常に存在することになります。 三平方を使うという方針の時に私たちがまず知りたいのはs'系の原点とp'のx'座標点とのあいだの距離です。 s'系の原点はs系で見れば v の速度で運動しているので、s系の原点に仮定した棒の後端とは一致しません。 簡単な例として、仮に、s'系の運動速度が大きく、β>cosθ となる場合を考えてみてください。 s'系の原点は光のx成分より早く、先に進みます。従ってp'はs'系で見れば x'が負となる領域に存在することになります。 これでは質問者さんのおっしゃる「ローレンツ収縮した棒の長さ」では具合悪いですね。 x'が負となる場合も含めて、s'系で観測してp'と同時刻のs'原点とx'の関係を見なければなりません。 なお、no.6さんのご指摘は的を得ていると思います。 ========== #1で、静止系から運動系に変換するときにはローレンツ収縮が適用できないかのように受け止められたとすれば、表現力不足でごめんなさい。 静止系から運動系に変換するときにもローレンツ収縮するのですが、それは運動系の同時刻で解釈した結果です。従って静止系の同時刻ではありません。 私たちは身の回りの長さを判断するときに静止系の同時刻で判断するという思考パターンに慣れきっているので、解釈のときに落とし穴にはまりやすくなってしまうと思うのです。 静止系から運動系に変換するときには注意が必要という程度の意味です。