質問: 三角関数の問題です。 三角関数の問題です。 0≦θ<2πの時 (1)tan(θ-π/6)>1 (2)sin(2θ+π/6)≦-1/2 以上2題を教えて戴ければと思います。
回答: こんにちは。おっさんです。 これ、超がつく基本問題なので、しっかりマスターして二度と他人に聞かないようにしてください。 (1) x = θ - π/6 と置くだけです。 あとは、機械的作業です。 まず、 tanx = sinx/cosx です。 つまり、 tanx > 1 というのは、 sinx/cosx > 1 ・sin と cos がともに正で、sinx > cosx または ・sin と cos がともに負で、sinx < cosx ということです。 もっと簡単に言えば、 ・sin と cos の符号が一致して、なおかつ、|sinx|>|cosx| ということです。 第1象限では、45°< x < 90°( π/4 < x < π/2 ) 第2象限は、sinはプラス、cosはマイナスなので、sinx/cosx < 0 (すべて不合格) 第3象限では、225°≦ x < 270°( 5π/4 < x < 3π/2 ) 第4象限は、sinはマイナス、cosはプラスなので、sinx/cosx < 0 (すべて不合格) (tanx の周期は2πではなくπなので、第3、第4象限は省略可ですが。) 以上のことから、 π/4 < x < π/2 5π/4 < x < 3π/2 しかし、sinとcosの周期は2πなので、整数nを用いて、 π/4 + 2nπ < x < π/2 + 2nπ 5π/4 + 2nπ < x < 3π/2 + 2nπ ここで初めてθが登場します。 π/4 + 2nπ < θ - π/6 < π/2 + 2nπ 5π/4 + 2nπ < θ - π/6 < 3π/2 + 2nπ (あるいは、tan の周期はπなので、 π/4 + nπ < θ - π/6 < π/2 + nπ の1本だけでも可。) あとは、0≦θ<2π に入るようにnの値を限定すれば、θの範囲が出ます。 (2) x = 2θ + π/6 と置くだけです。 あとは、機械的作業です。 sinx ≦ -1/2 180°+ 30°≦ x ≦ 360°- 30° π + π/6 ≦ x ≦ 2π - π/6 しかし、sin は周期が2πの周期関数なので、 π + π/6 + 2nπ ≦ x ≦ 2π - π/6 + 2nπ ここで初めてθが登場します。 π + π/6 + 2nπ ≦ 2θ + π/6 ≦ 2π - π/6 + 2nπ あとは、0≦θ<2π に入るようにnの値を限定すれば、θの範囲が出ます。