質問: なぜ、零元が含まれていることを別で示す必要がありますか? 部分空間であることを示す際、以下の3条件が成り立つかを確かめます。
回答: もし次の2条件だけ 条件1.x∈W なら、kx∈W 条件2.x,y∈W なら、x+y∈W を仮定すると W=空集合 の場合を除外できません。実際 W=空集合 ならば、条件1および条件2の前件部 x∈W なら、 x,y∈W なら、 は「偽」ですから、論理学の規約により、条件1も条件2も「真」となります。従って、部分空間の定義としては、まず真っ先に ”W は空集合ではない” と宣言する必要があります。このために 条件0.0∈W をおいているのだと推察されます。 W は空集合でなくかつ条件1が満たされれば 0 ∈ W ですし、0 ∈ W なら W は空集合ではないことになります。従って 条件0.0∈W 条件1.x∈W なら、kx∈W 条件2.x,y∈W なら、x+y∈W と 条件0’.W は空集合でない 条件1.x∈W なら、kx∈W 条件2.x,y∈W なら、x+y∈W とは、全体として同値な定義を与えます。