質問: 重心の問題 半径rの球の体積が4πr^3/3であることを利用して、半球の重心の位置を求めよ 上記の問題の詳しい解き方を教えて下さい。出来れば答えまで、宜しくお願いします。
回答: 球の対称性から考えて、半球の断面に垂直、かつ断面の中心(元の球の中心)を通る直線上に求める重心があることは明らかなので、断面の中心との距離を求めればいいことになります。 球を半割りにした断面をxy平面上に、断面の中心を原点におきます。xy平面に平行で、原点からzだけ離れた平面でこの半球を切るとその断面の式は x^2+y^2=r^2^-z^2 (rは球の半径) その断面積は π(x^2+y^2)=π(r^2-z^2) なので、この右辺を0からtまで積分した π∫(r^2-z^2)dz (積分範囲は0~t) を半球の体積の半分、つまり2πr^3/3と等しいとおいてtについて解けばいけると思います。