質問: 代数学の証明問題について 代数学の証明問題について sは可換環rの積閉集合とし、pはsと交わらないイデアルの中で極大なものとする。(すなわち、pより真に大きいイデアルiを取ると、i∩s≠(空集合) ) このとき、pはrの素イデアルであることを示せ。 上の証明問題がよく分かりません... わかる方、ご教示ください。
回答: そこまで難しくないと... pが素イデアルでないとする。この時、あるa, b∈rがあって、a∉p, b∉pであって且つab∈pとなる。 今p+ar はpより真に大きいイデアルであるから、p+ar∩s≠ ∅。従ってあるq∈p, t∈rがあって、q+at∈sとなる。同様にp+brもpより真に大きいイデアルであるから、あるr∈p, u∈ rがあって、r+bu∈sとなる。 この時sは積閉集合だから、(q+at)(r+bu)∈sであるが、(q+at)(r+bu) = q(r+bu) + r(at) + (ab)tuとなって、pはイデアルであるから結局(q+at)(r+bu) ∈pとなり、(q+at)(r+bu) ∈p∩sとなるため、p∩s=∅に反する。