質問: 数列なのかな? 次のような仮想的な物質の変化を考える。ある容器に物質aと物質bと物質cが入っている。一定時間tがたつと物質aはその20%が物質bに、10%が物質cに変化し、残り70% は物質aのままである。同様に物質bは20%がaに,10%がcに変化し,70%はbのままであり、物質cは10%がaに,10%がbに変化し,80%はcのままである。以下の問いに答えよ。ただし、時刻t=nt(nは整数)における物質aの量をanグラム、bの量をbnグラム、cの量をcnグラムとし まとめてxn=(an, bn ,cn) ←縦表示する とあらわす。 解答は既約分数、有理化をして答える。 1 xn+1 と xnの関係を式で表せ。 2 xnをa0,b0,c0を用いて表せ。 3 lim xnをa0,b0,coを用いて表せ。 n→∞ という問題なんですけどよろしくお願いします。
回答: 遷移過程を行列aで表示すると、 [1] xn+1 = axn = | 0.7an+0.2bn+0.1cn | | 0.2an+0.7bn+0.1cn | | 0.1an+0.1bn+0.8cn |. a = | 0.7 | 0.2 | 0.1 | | 0.2 | 0.7 | 0.1 | | 0.1 | 0.1 | 0.8 |. [2] xn = a^n x0. [3] a^nを計算して、n→∞. 要するに行列のn乗計算の問題です。物理的にはマルコフ過程と云う奴です。