質問: 大学生が使う数学の教科書の、二項分布について説明している箇所で、 ----------------------- 問題:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ。(この分布は超幾何分布という) ----------------------- という問題がありました。解答は、 ----------------------- P(X=1)=0.439, P(X=2)=0.213, P(X=3)=0.041, P(X=4)=0.003 ----------------------- となっているのですが、解答までどうやって導けばいいのか、その過程や、なぜ答えが4つも出てきているのか、よくわかりません(>_<) また、二項定理と二項分布の関係について全くイメージできませんでして・・・ 「二項定理は、二項分布と呼ばれるある種の確率分布に関連している」 という風に書かれているサイトなどがあったので、関連性はあるとは思うのですが・・・。 解答までの計算の過程等と、もし可能でしたら、二項分布に関するこの問題が、高校の時に習った二項定理とどのように関連しているのか、説明していただけないでしょうか? よろしくお願いします
回答: ■解法の手順 > > まず、確率変数Xの取り得る値を調べる→確率変数はエース(A)の枚数だから、X=0,1,2,3,4となります。 > > > 次に、Xに対する確率P(X=x_k)を求めます。 > > > ※確率分布では、確率の和が1になっていなければならない。つまり、Σ{P(X=x_k)}=1に注意! > > > 確率変数Xの取り得る値は、0,1,2,3,4のいずれかで、X=rとなる確率をP(X=r)とすると、 エースが4枚とそれ以外48(=52-4)枚の合計52枚のトランプの中から、同時に13枚を取り出す方法の数は、 52C13=635013559600 [1] X=0、つまり、エース0枚、それ以外を13枚取り出す方法の数は、 4C0×48C13=1×192928249296=192928249296 よって、P(X=0)=192928249296/635013559600=6327/20825=0.303817527010804≒0.304 [2] X=1、つまり、エース1枚、それ以外を12枚取り出す方法の数は、 4C1×48C12=4×69668534468=278674137872 よって、P(X=1)=278674137872/635013559600=9139/20825=0.438847539015606≒0.439 [3] X=2、つまり、エース2枚、それ以外を11枚取り出す方法の数は、 4C2×48C11=6×22595200368=135571202208 よって、P(X=2)=135571202208/635013559600=4446/20825=0.213493397358944≒0.213 [4] X=3、つまり、エース3枚、それ以外を10枚取り出す方法の数は、 4C3×48C10=4×6540715896=26162863584 よって、P(X=3)=26162863584/635013559600=858/20825=0.0412004801920768≒0.041 [5] X=4、つまり、エース4枚、それ以外を9枚取り出す方法の数は、 4C4×48C9=1×1677106640=1677106640 よって、P(X=4)=1677106640/635013559600=11/4165=0.00264105642256903≒0.003 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=(6327+9139+4446+858+55)/20825=1 以上より、求める確率分布は次表のようになる。 ``` X | 0 1 2 3 4 | 計 ---+-----------------------------------+---- P | 0.304 0.439 0.213 0.041 0.003 | 1 ``` この問題は何の問題か分類すれば、これは「確率分布」の問題で、まだ、二項分布は含まれていないようです。 二項分布は、反復試行の確率に関する確率分布だから、二項係数を含んでいます。 ※参考URL ●確率分布 http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node62.... ●二項分布 > > 数学において、二項分布(にこうぶんぷ)は、結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。 > > > http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%8... ●反復試行の確率について