質問: 大学数学です。以下の問題を教えてください。 f(x,y),g(x,y)が全微分可能ならばf(x,y)・g(x,y)も全微分可能であることを示せ。
回答: ID非公開さん 全微分可能の定義から f(a+h,b+k)=f(a,b)+αh+βk+o(√(h^2+k^2)) g(a+h,b+k)=g(a,b)+γh+δk+o(√(h^2+k^2)) α,β,γ,δ は定数 lim[(h,k)→(0,0)]o(√(h^2+k^2))/√(h^2+k^2)=0 ここから f(a+h,b+k)g(a+h,b+k) = f(a,b)g(a,b) + (αg(a,b)+γf(a,b))h + (βg(a,b)+δf(a,b))k + αγh^2 + (αδ+βγ)hk + βδk^2 + (f(a,b)+αh+βk+g(a,b)+γh+δk)o(√(h^2+k^2)) + o(√(h^2+k^2))^2 ここで, o(√(h^2+k^2)) を因数に持つ項は o(√(h^2+k^2)) である. つぎに, 極座標変換により h=r*cosθ, k=r*sinθ とおくと h^2/√(h^2+k^2)=r*cos^2(θ), k^2/√(h^2+k^2)=r*sin^2(θ), hk/√(h^2+k^2)=r*cosθsinθ だから, (h,k)→(0,0) ⇔ r→0 のとき, これらはすべて 0 に収束する. したがって, h^2, k^2, hk を因数に持つ項は o(√(h^2+k^2)) である. 以上から f(a+h,b+k)g(a+h,b+k) = f(a,b)g(a,b) + (αg(a,b)+γf(a,b))h + (βg(a,b)+δf(a,b))k + o(√(h^2+k^2)) と表される. すなわち, f(x,y)g(x,y) も全微分可能である.