質問: 8人を2人、2人、2人、2人、2人の4組に分ける 8人を2人、2人、2人、2人の4組に分けるのは何通りか。 解答で、 7×5×3=105通り ということを知りびっくりしましたが、これは、ごくごく あたりまえのことなのでしょうか。
回答: 何の説明もなく「7×5×3=105通り」と書いただけの「解答」があったとしたら、 そんなものが存在することにはびっくりしますね。 そんな「解答」は、あたりまえのことではありません。非常識というべき不親切さです。 「7×5×3」の考え方は、こんなものでどうでしょう。 まず最初に、8人に1~8の番号を付け、名前の替わりとする。 #1の人の相棒を選ぶ。候補は7人。 その2人を除いた6人の中で番号が一番小さい人の相棒を選ぶ。候補は5人。 上記4人を除いた4人の中で番号が一番小さい人の相棒を選ぶ。候補は3人。 残りの2人を最後の組とする。 この作り方で、全ての組分けが重複無く作られます。 よって、分け方は 7×5×3 通り。 ...巧妙過ぎて、応用が利かないし、危なっかしいですね。 もうちょっと愚直に数えるやり方として、こんなのはどうでしょう。 8人を一列に並べるやり方は、8×7×6×5×4×3×2×1 通り。 一列に並べておいて、順に2人づつ区切る。 4つの組の位置を並べなおしても分け方は同じだから、重複している分 4×3×2×1 で割る。 各組の中で2人の位置を入れ替えても分け方は同じだから、重複している分 2×2×2×2 で割る。 すると、分け方の総数が得られます。 (8×7×6×5×4×3×2×1)÷(4×3×2×1)÷(2×2×2×2)=7×5×3。