質問: 集合証明 z⊂x⇔x∧(y∨z)=(x∧y)∨z という問題で証明を試みているのですが、手詰まりで困ってます。 z⊂x⇒z∧z⊂x∧z ⇒z⊂x∧z ⇒(x∧y)∨z⊂(x∧y)∨(x∧z) ⇒(x∧y)∨z⊂x∧(y∨z) ここからベン図を用いずにx∧(y∨z)=(x∧y)∨zまで求めたいです。 (x∧y)∨z⊂x∧(y∨z)かつx∧(y∨z)⊂(x∧y)∨zによって x∧(y∨z)=(x∧y)∨zとなるとは思うのですがそこまでの過程がわかりません。 同じく x∧(y∨z)=(x∧y)∨z⇒ のベン図を用いない証明方法も教えてほしいです。よろしくお願いします。
回答: x ∩ (y∪z) = (x∩y) ∪ (x∩z) z ⊂ x ⇒ x∩z = z より、 z ⊂ x ⇒ x ∩ (y∪z) = (x∩y) ∪ (x∩z) = (x∩y) ∪ z ではだめですか。 展開するときに等号で結べるなら、わざわざx∩(y∪z) ( ⊃ かつ ⊂ ) (x∩y)∪(x∩z) を言う必要はないと思うのですが。 逆向きは、 x~ を xの補集合、∈/ を∈の否定とさせていただいて、 z∈ ( z ∩ (x~) ) が存在したと仮定すると、z ∈ ((x∩y) ∪ z ) であるが z ∈/ (x ∩ (y∪z)) なので、x ∩ (y∪z) = (x∩y) ∪ z に矛盾。 よって、z∈ ( z ∩ (x~) )は存在せず、z ∈ z なら z ∈ x であるから z ⊂ x でいいのかな。