質問: 拡大次数と最小多項式 [K(α):K]=nで、根αを持つn次多項式p(x)がある。 この条件でp(x)が最小多項式であると言えますか?
回答: [K(α):K]=nで、根αを持つK係数n次モニック多項式p(x)があるとき、 p(x)はαのK上の最小多項式です。 (証明) αのK上の最小多項式をf(x)とすると p(x)∈K[x]で、p(α)=0だから p(x)はf(x)で割り切れるので p(x)=q(x)f(x)(q(x)∈K[x])と表わされます。 ここで、deg p(x)=deg f(x)=nだから deg q(x)=0 そして、p(x)とf(x)の最高次係数はともに1なので q(x)=1 すなわち、p(x)=f(x) したがって、p(x)はαのK上の最小多項式です。 (証明終わり)