質問: 複数の点電荷の問題 3個の点電荷+q ,-2q ,+qが間隔dで直線状に置かれている。これら点電荷から十分離れた点(r>>d)における電位および電場の各成分ex,ey,ezをdについて2次の精度で求めなさいという問題です。 複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。
回答: こんばんは。 面白そうなので、頭の体操のつもりで考えてみました。 >>>複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。 和を取ればいいことはご存知であるわけですから、まずそれをやればよいです。 dについて二次の精度というのは、後付けでできます。 さて、xyz座標系において、3つの電荷が、 点a(0,0,-d)に +q の電荷a 原点o(0,0,0) に -2q の電荷b 点c(0,0,d) に +q の電荷c というように並んでいるとします。 円筒座標系で表すと、 z=z rcosθ = x rsinθ = y となります。 (ここでいうrは、電荷からの距離でも原点からの距離でもなく、円筒の半径であることに注意。) 電場の大きさはθに依存しませんから、θ=0 として電場の大きさを考えるのが楽です。 それは、xyz座標系において、 z = z x = x y = 0 として考えるということです。 では、xyz座標系にθ=0の考え方を入れて、以下、計算を進めます。 座標(x、0、z)に点pがあるとし、点pにおける電場に注目します。 点pの位置ベクトルを p→ と表し、その絶対値を p と表すことにします。 点pにおいて・・・ 電荷cによる電場は、 ec→ = 1/(4πε0)・q/|cp→|^2・cp→/|cp→| = 1/(4πε0)・q/|cp|^3・cp→ = 1/(4πε0)・q/((x^2 + (z-d)^2)^3/2・cp→ = 1/(4πε0)・q/(x^2 + z^2 - 2dz + d^2)^3/2・cp→ = 1/(4πε0)・q/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2・cp→ = q/(4πε0)・cp→/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 同様に、電荷aによる電場は、 ea→ = q/(4πε0)・ap→/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 電荷bによる電場は、 eb→ = 1/(4πε0)・(-2q)/p^2・p→/p = q/(4πε0)・(-2p→/p^3) 3つを全部足して、 e→ = q/(4πε0)・{ cp→/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + ap→/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2p→/p^3 } という暫定の答えが出ました。 ここで、ベクトルの成分は、 ap→ = (x,0,z+d) p→ = op→ = (r,0,z) cp→ = (x,0,z-d) なので、 電場のx成分は ex = q/(4πε0)・{ x/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + x/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2x/p^3 } = qx/(4πε0)・{ 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2/p^3 } y成分は、 ey = 0 z成分は ez = q/(4πε0)・{ (z-d)/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 + (z+d)/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 - 2z/p^3 } です。(暫定の答え その2) ここで kc = 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 ka = 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 と置けば、 ex = qx/(4πε0)・{ kc + ka - 2/p^3 } ez = q/(4πε0)・{ (z-d)・kc + (z+d)・ka - 2z/p^3 } = q/(4πε0)・{ z(kc + ka) - d(kc - ka) - 2z/p^3 } と書くことができます。(暫定の答え その3) ここで、d≪p を利用して、kc と ka の近似を考えます。 kc = 1/(p^2 - 2dz + d^2)^3/2 = 1/p^3・(1 - 2dz/p^2 + d^2/p^2)^(-3/2) ≒ 1/p^3・(1 + 3dz/p^2 - 3/2・d^2/p^2) ka = 1/(p^2 + 2dz + d^2)^3/2 = 1/p^3・(1 + 2dz/p^2 + d^2/p^2)^(-3/2) ≒ 1/p^3・(1 - 3dz/p^2 - 3/2・d^2/p^2) すると、 kc + ka ≒ (2 - 3d^2/p^2)/p^3 kc - ka ≒ 6dz/p^5 となります。 よって、 ex ≒ qx/(4πε0)・{ (2 - 3d^2/p^2)/p^3 - 2/p^3 } = qx/(4πε0p^3)・(- 3d^2/p^2) = -3qd^2・x/(4πε0p^5) ez ≒ q/(4πε0)・{ z(2 - 3d^2/p^2)/p^3 - d・6dz/p^5 - 2z/p^3 } = qz/(4πε0p^3)・{ (2 - 3d^2/p^2) - 6d^2/p^2 - 2 } = -9qd^2・z/(4πε0p^5) と出ました。 θ=0 で考えていますから、ey=0 です。 計算不得意のため、どっか間違えているかもしれませんので、 検証してください。 あとは、θ=0以外のケースについて、ez以外(ex と ey)を求めます。 また、電場を無限遠点まで積分すれば、電位が求まります。 他の、うまい解き方があるような気がしますが、まずは、ご参考になりましたら。