質問: 統計の区間推定についてお尋ねします。 95%信頼区間の母平均の近似的な推定で、標本平均ー1.96√(σ^2/n) < μ < 標本平均+1.96√(σ^2/n)という式があります。ここで1.96というものを持ち出すのは標準正規分布(n(0,1))の計算から求まるということになると思いますが、例えばポアソン分布に従うという場合でも使えるようです。まず、信頼区間の設定の式で上記の式が近似的に使える分布はどのようなものがあるでしょうか。 また、二項分布→近似→正規分布、とか二項分布→近似→ポアソン分布という関係があります。近似の仕方が違うわけですが、そのような分布はあの区間推定の式が使えるということになるでしょうか。あとt分布は自由度をあげると正規分布に近くなるということですが。試験とかだと丸暗記的覚えていくことが多いと思いますが、95%信頼区間といわれたら上記の式とか1.96がすぐに出てくるというのはどのような限定の下なのかを知りたいのですが。 また、これらは近似法ということであり、厳密法というのは各分布によって計算法が個別に決まっているのでしょうか。 よろしくお願いします。
回答: 厳密なことや実際的なことは知りませんが、基本的に中心極限定理の使えるような設定ならば標準正規分布の場合に帰着させればよいのでは? たとえば二項分布で極端に成功確率 p が小さかったりすると分布が偏っているため、対称な分布である正規分布に収束するのが遅くなる。また標本の大きさが小さいと近似がそもそも使えない。そういう場合には個別に他の手段(例えばポアソン近似)に訴える。そういう話だと思います。