質問: ムーアヘッドの不等式を利用して3変数の相加・相乗平均不等式を示したいです。 数列{x}がx,y,zとなるとして、 恐らく ムーアヘッドの不等式を利用して3変数の相加・相乗平均不等式を示したいです。 数列{x}がx,y,zとなるとして、 恐らく、[a]=[1,0,0]、[b]=[1/3,1/3,1/3]とすればムーアヘッドの不等式が使えると思うのですが、相乗平均の方の三乗根の係数が6になってしまいませんか?相加・相乗平均ならこれが3になるはずなので、なぜ違ってしまうのかよく分かりません。 解説お願いします...!
回答: 「muirheadの不等式と具体例」という以下の記事を読み、初めてムーアヘッドの不等式を理解した者です。 →https://manabitimes.jp/math/605 以下のように考えると、相加平均・相乗平均をうまく示せます。 ________________ [質問者さんの誤解(おそらく)] $n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}]$ とすると $$ \sum_{\mathrm{sym}} x \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\ \iff x + y + x \geq 6 \sqrt[3]{xyz} $$ どうして右辺の係数が6なのかということだと思います。 実際は以下のようではないでしょうか? ________________ [正解] $n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}]$ とすると $$ \sum_{\mathrm{sym}} x^1 y^0 z^0 \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\ \iff x^1 y^0 z^0 + x^1z^0 y^0 +y^1 x^0 z^0 + y^1 z^0 x^0 + z^1 x^0 y^0 + z^1 y^0 x^0 \geq 6 \sqrt[3]{xyz} \\ \iff x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} $$ 左辺の項を足すときに $n=3$ を意識するということだと思いました。