質問: 数学的帰納法 以下の問題を数学的帰納法で証明しようとしています。 2^n + 3^n の解は、nが奇数のとき5の倍数である。ただしn>1とする(2^n は2のn乗)。 nが奇数なので2n-1とし、 2^2n-1 + 3^2n-1 としました。これを書き換えて 2×4^n-1 + 3×9^n-1 としたのはいいんですが、 ここからこれが5の倍数とする式が出てきません。もしこの方法が正しければどなたか助けていただけますでしょうか? もしこの方法自体が間違っていましたら他にどうすれば良いか教えていただけると幸いです。。
回答: おはようございます。 まず、 >2^2n-1 + 3^2n-1 としました。これを書き換えて >2×4^n-1 + 3×9^n-1 とした これだと多分よろしくないのかな、と思います。 >数学的帰納法で証明しよう とおっしゃっているのだから、 nが1~mで条件が成り立つと仮定した上で、n=m+1の場合にも成り立つことを示せればよいと思います。 まず、「nが奇数、ただしn>1」なので、2^n + 3^nは 2^(2m+1) + 3^(2m+1)・・・(1) に変形します。 ここで、普通はn=1の場合に成り立つことを示しますが、nの条件を考慮してm=?の時に(1)が成り立つことを示します。 mがいくつになるかは、省略します。 次に、(1)のmにm+1を代入します。 2^(2(m+1)+1) + 3^(2(m+1)+1)・・・(2) 上の(2)を変形して、5×?+[(1)の式]にうまく変形できれば、 m+1でも成り立つことが導けるわけです。 一応、復習をかねて、指数法則の式を見ておいてください(参考url)。 あと、おまけのヒント(?!)。 4=5-1、9=10-1