質問: a∈p ⇔ f(a)∈f(p) 松坂さんの『集合位相論入門』からの質問です。 f:a→bの写像 pはaの任意の部分集合として、a∈pとなるf(a)の全てを集めた集合をf(p)と定義しています。 (p30) ここで、a∈p ⇔ f(a)∈f(p)は成り立ちますか?
回答: ano.1で話は終わり、ano.2でとどめまで刺してあるんで、あとちょっとのことだと思います。 ご質問は、 任意のa, b, 任意のf( f:a→b), 任意のp(p⊂a)について: ∀a(a∈p ⇒ f(a)∈f(p) ) ...(1) ∀a(f(a)∈f(p) ⇒ a∈p) ...(2) をお考えである。(1)はf(p)の定義から明らかだが、(2)はどうか。という話です。 これは、no.1にある通りに考えればいいんです。 aに対するpの補集合をpcとします。f:a→bなので、もちろん、x∈pcならばf(x)∈bである。 そこで、あるa∈pcとb∈pが存在して f(a)=f(b) になっているようなfを考えます。 この fが(2)の反例であることは、以下のように確認できます: まず、b∈pだから、(1)よりf(b)∈f(p)。 そして、f(a)=f(b)だから、f(b)∈f(p)よりf(a)∈f(p) である。 (★) しかし、a∈pcだから、a∈pではない。 つまり、 ∃a(f(a)∈f(p) ∧ ¬(a∈p)) である。これは、(2)の否定です。 (おそらく、(★)の一行が、お分かりになるためのツボじゃないかと思います。) no.2にある具体例では、a, bは実数全体の集合r、f:a→bはf(x)=x^2 、pは正の実数の集合(p⊂r)、aは-1 (a∈pc)、bは1(b∈p)である。すると、f(a)=f(b)になっているから、上記の通り、これは反例になってますね。