質問: 【数学iib/図形と方程式】 q.2つの円 x2+y2=1,x2+y2-6x-4y+9=0 の交点 【数学iib/図形と方程式】 q.2つの円 x2+y2=1,x2+y2-6x-4y+9=0 の交点 を通る直線の方程式を求めよ. ────────────────────────── x2+y2=1・・・1 x2+y2-6x-4y+9=0 ・・・2 とすると、2は (x-3)2+(y-2)2=4 となり、1の半径をr1、2の半径をr2、2つの円の中心間 距離をdとすると、 r2-r1=1 r1+r2=3 d=√13 となり、 r2-r1 ≦ d ≦ r1+r2 が成り立たず、交点は存在しません。 ですが、 k(x2+y2-1)+l(x2+y2-6x-4y+9)=0 (k,l∈r) として交点を通る直線の方程式を導くと 6x+4y-10=0 (y=-3/2x+5/2) が求まります。 交点がないので問の方程式は存在しない気がするのです が、この束を用いて導かれた方程式は一体何を表してい るのでしょうか。 グラフにしてみるとなんとなく2つの円の間を通ってい るようには見えますが。。
回答: 12の中心を結ぶ線分に直交する直線で、 両中心から交点までの距離の二乗の差が 12の半径の二乗の差に等しいようなもの を表していますね。 このことは、 k (x2+y2-1) + l (x2+y2-6x-4y+9) = 0 が 直線の式になるのが k = -l のときであることから x2+y2-1 = x2+y2-6x-4y+9 = m {m∈r} と変形して、 x2 + y2 = √(1 + m)2, (x-3)2 + (y-2)2 = √(4 + m)2 の 両円の半径を表す式から m を消去すれば導けます。