質問: 「整数係数n次分離monic多項式fのGalois群が、根のn次巡回置換を含まないならば、各素数pに対してf mod pが可約であることを示せ。」 この問題がわかりません。
回答: fは既約として良い。 f mod pが既約なら、 k=F_p[x]/f(x) はF_pのn次ガロア拡大で、有限体のガロア群は巡回群だから、n次巡回拡大。 fの最小分解体Kとすると全射 gal(K/Q) → gal(k/F_p) があり、gal(K/Q)はS_nの部分ぐんとみなせるから、元の位数の最大はnで、 商群に位数nの元(フロベニウス)があるから、その持ち上げgも位数nである。 つまりgはn次の巡回置換