質問: デルタ関数が絡んだ証明問題 ∇^2(1/r)=-4πδ(r→) を証明したいのですが、とっかかりが無く困っています。 デルタ関数があるので、とりあえず積分するのかなと思いましたが 先に進みません。 r→はrベクトル r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2) です。 ご教授願います。
回答: デルタ関数をどのように定義するかにもよるのですが、デルタ関数の直感的な定義としては、 1.r→≠0(ゼロベクトル)なら、δ(r→)=0 2.∫δ(r→)dv=1 (原点を含む任意の領域上の積分) を満たすδがデルタ関数です。 なので、基本的にはこの2つを示せばokです。 つまり、-(1/4π)∇^2(1/r)が、上の1,2番の性質を持っている事を確認すればいいことになります 1番の性質は、直接∇^2の計算を実行すれば確認できます。 2番の性質は、原点を含む領域で積分を実行すれば確認できます。積分が計算できればどんな領域でもいいのですが、原点中心で半径rの球上で積分するのが簡単です。ヒントとしては、∇^2(1/r)=div(grad(1/r))とガウスの定理を挙げておきましょうか。