質問: 大学数学 代数学の問題です。
回答: ID非公開さん (1) 部分群でない. detA=2 を満たす行列 A が存在する. 例えば ・(1,1)成分が 2, ・他の対角成分が 1, ・それ以外の成分が 0 と定義する n 次正方行列 A の行列式は 2 である. このとき, A の逆行列 A^(-1) について detA・detA^(-1) = det I_n = 1 ⇒ detA^(-1) = 1/detA = 1/2 detA^(-1)∈Z でないことから, A^(-1)∈H でなく, 逆行列が存在しない. したがって, H は G の部分群であるための条件を満たさない. ////// (2) 部分群である. (i) 単位元を持つこと G の単位元が n 次正方単位行列 I_n であることは明らか. 単位行列の行列式は 1∈Q だから, I_n∈H である. (ii) 積で閉じていること 任意の A,B∈H について detA∈Q, detB∈Q ⇒ det(AB)=detA・detB∈Q 積で閉じている. (iii) 逆元が存在すること 任意の A∈H について detA∈Q GL_n(R) の元は正則だから, detA≠0 であり, 逆行列 A^(-1) が存在して detA・detA^(-1) = detI_n = 1 ⇒ detA^(-1) = 1/detA ∈Q したがって, A^(-1)∈H である. 以上から, H は G の部分群である.