質問: 基8.5【置換積分】
回答: (1) I = ∫_[0→π] {x-(π/2)}f(x)dx と書く. π-x=y とおけば,x-(π/2)=(π/2)-y, f(x) = f(π-x) = f(y) を用いて, I = ∫_[0→π] {(π/2)-y} f(y) dy = -I ゆえに I = 0. (2) (1)の結果を使えば J = ∫_[0→π] x sin^5 x dx = (π/2)∫_[0→π] sin^5 x dx J_n = ∫_[0→π] sin^n x dx とおけば,sin を1個とn-1個にわけて部分積分することにより,n>1のとき, J_n = (n-1)∫_[0→π] cos^2 x sin^(n-2) x dx = (n-1){J_(n-2) - J_n} すなわち,漸化式 J_n = {(n-1)/n} J_(n-2) がなりたつ. したがって J_5 = (4/5)(2/3) J_1 = 16/15. 答え J = 8π/15