質問: 三角関数の問題 aは実数の定数、0≦θ≦2πの範囲において、 cos2θ-4(a+1)cosθ-4a-1=0 を満たす異なるθの個数を求めよ。 という問題で、 cos^2θ-2(a+1)cosθ-2a-1=0 t=cosθとおく t^2-2(a+1)t-2a-1=0 判別式は d/4=(a+2)^2-2 グラフを図示する (1)-2-√2<a<-2+√2 ではtは解なし (2)a=-2-√2,-2+√2 でtはそれぞれ1つずつ解を持つ (3)a<-2-√2,-2+√2<a でtはそれぞれ2つずつ解を持つ ここまでは分かるのですが、-1≦t≦1の処理とtの値に応じたθの 個数の求め方などが良く分かりません。 分かる方お願いします。
回答: その方針だとややこしくなるので、次の方針を提案します。 t^2-2(a+1)t-2a-1=0 をaについて解いて a=(t^2-2t-1)/{2(t+1)} ただし t≠-1 のとき f(t)=(t^2-2t-1)/{2(t+1)} として f'(t) を求め、増減表をつくって y=f(t) のグラフの慨形を書く そのグラフは、-1≦t≦1 の範囲で十分。 直線 y=a との交点の数で、、-1≦t≦1 の範囲のtの実数解の個数がわかる。