質問: ベジェ曲線とファーガソン曲線 ベジェ曲線とファーガソン曲線が同じ曲線になることを 3次で証明するのはどうすればいいのでしょうか。 式で示せばよいそうなのですが・・
回答: ファガーソン曲線は、始点x0、終点x1、初速度v0、終速度v1の4つのベクトルによって定まる曲線で、 パラメータtを用いて曲線の位置をp(t)で表したとき、 (1)p(0)=x0 (2)p(1)=x1 (3)dp(0)/dt=v0 (4)dp(1)/dt=v1 を満たす事が条件となります。 従って3次のペジェ曲線に対して(1)(2)(3)(4)を満たす事を示せば良い事になります。 3次のペジェ曲線は、4つのベクトルb0、b1、b2、b3によって次の様に定義されます。 p(t) = b3・t^3+b2・3t^2(1-t)+b1・3t(1-t)^2+b0・(1-t)^3 これをtで微分すると、 dp(t)/dt = b3・3t^2+b2・3t(2-3t)+b1・3(3t-1)(t-1)-b0・3(1-t)^2 となります。従って、(1)(2)(3)(4)は、 p(0)=b0 p(1)=b3 dp(0)/dt=3(b1-b0) dp(1)/dt=3(b3-b2) と表され、始点=b0、終点=b3、初速度=3(b1-b0)、終速度=3(b3-b2)のファガーソン曲線となります。