質問: 数ii 三角関数 問 tan1°は有理数か調べよ。 解答 tan1°が有理数であると仮定すると,2倍角 数ii 三角関数 問 tan1°は有理数か調べよ。 解答 tan1°が有理数であると仮定すると,2倍角の公式 tan2α=2tanα/(1-tan2α) をくり返し用いることにより tan2°, tan4°, tan8°, tan16°,tan32°, tan64° はすべて有理数となる。 よって tan60°=tan(64°-4°) =tan64°-tan4°/(1+ tan64°tan4°) であるから,tan60°は有理数となる。 一方,tan60°=√3であり√3は無理数であるから矛盾が生じる。したがって,tan1°は有理数ではない。 ・どうしたらtan2α=2tanα/(1-tan2α)からtan2°, tan4°, tan8°, tan16°,tan32°, tan64°はすべて有理数となると分かるのか? ・なぜtan60°を使ったのか? が分かりません。。 分からなくて困っているので教えて下さい! よろしくお願いします☺︎
回答: 質問文中の解答で特に 60° を使っている理由は、おそらく no.1 に書いた tan(nα) がみな有理数になる証明を避けて 倍角公式から tan(α2^k) が有理数になることだけを示したため、 tan(60°) = tan(64°-4°) = (tan(1°・2^6) + tan(1°・2^2)/(1 - tan(1°・2^6)tan(1°・2^2)) と tan(α2^k) だけを使って無理数の tan が作れることが利点だと思ったからでしょう。たぶん。 でも、tan(α2^k) が有理数になることだけを示すのにも、正式には帰納法が必要なので、 どうせだったら、倍角公式の代わりに加法定理を使って tan(nα) がみな有理数になることを 示してしまえばよかったのにと思います。 そうしていれば、tan60° でなく tan30° や tan45° を利用しても全く同じことだったのです。