質問: 大学院の数学科の入試問題です。(2)が分かりません。線形代数の問題で、複素線形空間の次元を求める問題です。よろしくお願いします。
回答: きちんと書くと大変なので、方針とかおおまかなことだけ Aの最小多項式m(t)をとする。 m(A)=0 C[t] の任意の元 f(t) に対して多項式の割り算で 大学入試の因数定理のようにしてかんがえて deg m(t)>=2 が形からわかる (deg m(t)=1, なら は単位行列のスカラー倍でAの形からない ) deg m(t)=<3 がケリーハミルトンの定理でわかる deg m(t)=3 とすると f(t)=m(t)q(t)+ut^2+vt+w, u,v,w ; 複素数 f(A)=m(A)q(A)+uA^2+vA+wE, E; 単位行列 f(A)=uA^2+vA+wE, から dim W=3 が最小多項式などを使えばわかる あとは deg m(t)=2 のとき でどうようにしてできる α、β、γ のかわりに a,b,c とすれば Δ=(a-b)(b-c)(c-a) が0以外なら deg m(t)=3