質問: 三角関数の導関数 三角関数の微分の仕方がわかりません。教えて下さい。 (i)sin(2x-1) (ii)sin^3x (iii)(1+cosx)sinx
回答: もう、みなさんが回答していらっしゃるのですが回答します。 i)sin(2x-1) なんですが、これは合成関数の微分を使えば、瞬時に出てきます。 i)sin(2x-1)を解いていきます! y=sin(2x-1)と与えられていたとします。 ここでsin(2x-1)の2x-1の部分をtと置きましょう。(合成関数を解くための準備段階です) そうすると、 y=sint -------(1) t=2x-1 -------(2) と2式書けますね。 (1)式をtで微分しましょう! dy/dt=cost ----------(1)’ (2)式も同様にxで微分すれば dt/dx=2 --------(2)’ これら(1)’(2)’を掛けてみましょう(合成関数の微分を適用) (dy/dt)(dt/dx)=2cost ----------(3) ようするに dy/dt=2cost (2)より t=2x-1 だったから (3)に代入しましょう! dy/dx=2cos(2x-1)-------------(解) よってyの式をxで微分すると2cos(2x-1)となることがわかった。 ------------------------------------------------------------------- ii)sin^3x も同様に合成関数の微分を使えば簡単です! y=sin^3x が与えられていたとします。 ここではt=sinxと置きましょう! ようするにsin^3x=sinx・sinx・sinxだからです。 y=t^3 -------------(1) t=sinx -------------(2) (1)をtで微分しましょう! dy/dt=3t^2 ---------(1)’ 同様に(2)もxで微分すれば dt/dx=cosx --------------(2)’ (1)’(2)’を掛ければ (dy/dt)(dt/dx)=3t^2cosx dy/dx=3t^2cosx (2)よりt=sinxだから dy/dx=3(sin)^2cosx --------------(解) よってyの式をxで微分すると3(sin)^2cosxとなることがわかった。 --------------------------------------------------------------- iii)(1+cosx)sinx は今度は積の微分を使いましょう! y=(1+cosx)sinxが与えられていたとします y'=(1+cosx)’sinx+(1+cosx)sinx’(’はxで微分することを意味します!) y'=-sinx・sinx+(1+cosx)cosx y'=-sinx^2+cosx+cosx^2 見やすくならべ替えて置きます(別にしなくてもいいんですが...) y'=cosx+cosx^2-sinx^2 --------(解)--------(1) さらに三角関数の加算の公式より(cos2x=cosx^2-sinx^2) y'=cosx+cos2x --------(解)--------(2) 解(1),解(2)どちらの書き方でも構いませんよ!