質問: -1~1までの一様乱数の平均値と標準偏差、標準誤差について -1~1までの一様乱数の平均値と標準偏差、標準誤差について サンプルとなる乱数の数が増えるほど平均値は0に近づきますよね? そのサンプルを1,10,100,・・・とどんどん増やしていくときの 平均値と標準偏差、標準誤差の挙動を知りたいです。 サイトではどこも○○個のサンプルではこうだ!としか載っていないので。。 こういったことがわかるサイト、書籍はないでしょうか。
回答: 平均値が必ず0に近づくとは限りません。わずかな確率ですが、ご質問のような乱数を100万個集めたとしても、その平均が0.999以上になることはあります。「確率1で0に近づく」と表現すれば正確です。 x1、...、xnを独立で同一の分布(ご質問のケースでは-1から1までの一様分布)に従う確率変数(乱数)とします。標本平均mと標本分散s^2を次のように定めます: m = sum(xi | i=1,...,n)/n (ご質問の「平均値」) s^2 = sum((xi - m)^2 | i=1,...,n)/(n-1) (ご質問の「標準偏差」の平方) (sum( | i=1,...,n)は、iが1からnまで動くときの総和を表す。) また、確率変数の平均(期待値)、分散、共分散を、それぞれe()、v()、cov()で表すことにします。ご質問の「サンプルを増やしていくときの挙動」については、e(m)、v(m)、e(s^2)、v(s^2)、及びcov(m, s^2)が、nを増やしていくときどうなっていくかを調べれば、大体分かります。 (一般的結論) e(x1) = μ、v(x1) = σ^2、e((x1 - μ)^3) = τ、e((x1 - μ)^4) = κとすると、次の式が成立します。 (1) e(m) = μ (2) v(m) =σ^2 / n (3) e(s^2) =σ^2 (4) v(s^2) = κ/n - σ^4×(n-3)/(n(n-1)) (5) cov(m, s^2) = τ/n とくに(2)と(4)から、n→∞のときv(m)→0、v(s^2)→0となりますが、さらに、「チェビシェフの不等式」というのと「ボレル=カンテリの定理」というのを使って、 「nが大きくなるとき、mは確率1でμに近づき、s^2は確率1でσ^2に近づく」 ことを証明できます。 加えて、ある緩い条件を満たせば、nが大きいとき、「中心極限定理」により、 「mとσ^2の結合分布は2次元正規分布で近似」 されます。 (ご質問のケース) x1が -1から1までの一様分布に従うときは、μ= 0、σ^2 = 1/3、τ=0、κ=1/5なので、 (1)' e(m) = 0 (2)' v(m) = 1 / 3n (3)' e(s^2) = 1 / 3 (4)' v(s^2) = 1/5n - (1/9)×(n-3)/(n(n-1)) (5)' cov(m, s^2) = 0 となります。 よって、nが大きくなるとき、mは、確率1で0に近づき、s^2は、確率1で1/3に近づきます。なお、標準偏差(s)は、確率1で 1/3の平方根 = 0.57735... に近づきます。 このケースでは、中心極限定理も適用できます。 (サイト、書籍) 確率変数の収束に関するテーマなので、「確率変数、収束」のキーワードで検索すれば、関係するインターネットサイトがたくさん見つかります。本格的に勉強するならば、下の参考文献があります。 (参考文献) 伊藤清(1953), "確率論", 岩波書店