質問: 余りについて2 前回 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3644712.html において 質問させていただいたものです。おかげさまで理解することができました。 そこで、ふと思ったのですが前回の質問ではx^2-1という因数分解でき る形だったのですが、 例えばx^2+x+1というような形の場合どのようにすればいいのでしょうか? x=(-1±√3i)/2を代入するのはキツイですし... どなたかアドバイスよろしくお願いします。
回答: x^3-1=(x^2+x+1)(x-1) この関係を利用します。 割られる関数をf(x)とすれば これをx^3-1で割った商をg(x)とすれば f(x)=(x^3-1)g(x)+ax^2+bx+c となります。 ではf(x)をx^2+x+1で割った場合のあまりは (x^3-1)g(x)はx^2+x+1を因数としているのでx^2+x+1で割り切れます。 そこでax^2+bx+cをx^2+x+1で割ったあまりを求めればよいことになります。 そこでx^nをx^3-1で割ったあまりを考えて見れば x^3-1=yとおけばx^3=1+y つまり x^n=x^3*x^(n-3) =(1+y)*x^(n-3) =x^(n-3)+y*x^(n-3) となります。 y*x^(n-3)はy(つまりx^3-1)で割り切れるので x^nとx^(n-3)をx^3-1でわったあまりは同じあることがわかります。 x^100であればx^3-1でわったあまりは x^97,x^94,・・・xをx^3-1で割ったあまりと同じになるので あまりはxとなります。 このあまりxをx^2+x+1で割ったあまりを求めればよいことになります。 ちなみに前回の質問のx^100をx^2-1で割ったあまりは x^98,x^96,・・・x^2をx^2-1で割ったあまりと同じになります。 x^0で1としてもよいかも知れません。