質問: 有理数の測度 有理数の集合の測度が0であることの証明は http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です 「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。 このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください (集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします) よろしくおねがいします
回答: http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html は、言葉で言うと、測度0の集合の加算無限個の和集合の測度は0ということでしょうが、 これは、個人的には、非常にインパクトがあり、直感的で心に残る定理だと思います。 有理数は、実数上の点で、当然、測度0、また、加算集合なので、 上記のことから、有理数集合は、測度0になります。 おそらく、milk-roadさんが、「rを覆えない」という印象は、 集合和を途中で(有限で)止めるからだと思います。 (証明手順の順序の問題で、証明としては問題ないと思いますが。) リーマン流では、有限で止めないといけませんが、 ルベーグ流で、極限集合まで考えて良いと思います。 思考手順を若干修正して、有理数集合を覆える集合を考えてみたら良いのではないでしょうか? 有理数を順序付けして、n番目の要素を長さ = ε*r^n (0