質問: ガウスの法則 すいませんがどなたかこの問題の解き方を教えていただけないでしょうか。 speed、 the angular momentum、the orbital frequencyなどの公式の求め方授業でも習ったことが無くかなり困っております。 日本語訳:負の電荷,(-e)を帯びたτ粒子があり。その重さは3.18e-27 kgででんしの3490倍の重さに相当する。τ粒子はウランの中性子の内側(r)mを周っており。そのときの中性子の半径 は(r)mで、92eの電荷を球内中に均一に(まんべんなく)帯びています。 q_enc= (ε_0)∫e・daを用いて以下の問題の公式を求めなさい。 find the speed? find the angular momentum? find the orbital frequency? もし静止しているτ粒子がウランの中性子から遠くに離れているときに、electrical attractionによって粒子が加速され中性子の方へ向かう時。 what is its speed when it crosses the nuclear surface? what is its speed when it reaches the nuclear center?
回答: 授業で習ったことがなく、英語で書かれてもいると言うことで、詳細な回答をさせてもらいます。ガウスの法則と書いてあるのだから、当然それを使って解く問題です。以下q≡92e q_enc= (ε_0)∫e・daという式の意味は、 ある閉曲面(この場合は半径rの球面)を取り、 その球面の内部に含まれる電荷の総量が左辺のqです。 いくらになるでしょう?電荷密度×体積です。 つまり,正の電荷92eが半径rの球に一様に分布している内部に 半径rの仮想的な球を考えて、その仮想的な球の内部には q(r)=4/3πr^3×ρ(電荷密度)=4/3πr^3×q/(4πr^3/3)=qr^3/r^3 という電荷q(r)があります。 一方の(ε_0)∫e・daは、球対称な電場をe(r)として 閉曲面上で計算すると、 ∫e・dae(r)×球の表面積=4πr^2e(r)となります。 これが左辺のqと等しいからe(r)=q/(4πε0r^2)これが、中性子内部の、中心から半径rの所 の電場です。向きは、外向きです。τ粒子は-eという電荷を持つから、 加わる力f=-ee(r)=-qe/4πε0r^2つまり、引力です。 この引力が、向心力となってτ粒子は半径rの等速円運動を しているから、遠心力mv^2/r=qe/(4πε0r^2)で速さv(r)がでます。 mはτ粒子の質量です。また、v=rωによりorbital frequency:ωが分かります。 angular momentumというのは角運動量です。 この場合位置ベクトルと速度ベクトルは直交するから l=r↑×p↑=mvrです。 また、what is its speed when it crosses the nuclear surface というのは、エネルギー保存則を使います。 無限遠点で静止しているから運動エネルギーは0,位置エネルギーも 最大値0をとっています。それが引力によって中性子の表面まで来ると 位置エネルギーはu=-evです、vはポテンシャルです。 公式v=q/(4πε0r)です。q=92e,エネルギー保存則により、 -eq/(4πε0r)+k(運動エネルギー)=0このkが表面に来た時の運動エネルギーです。τ粒子が中性子の中心に来た時は、ポテンシャルは v'=(q/4πε0r)-∫e(s)・ds=(q/4πε0r)+∫e(s)ds =(q/4πε0r)-∫e(r)dr=(q/4πε0r)+∫q(r)dr/(4πε0r^2)[r=0~r] のq(r)にq(r)=qr^3/r^3を代入。積分の結果は、q/(8πε0r) 第一項を加えてv'=3q/(8πε0r)よって位置エネルギーu'=-ev' =-3qe/(8πε0r) u'+k'(中心におけるτ粒子の運動エネルギー)=0より k'が分かります。1/2mv^2=k'でもちろん速度がでます