質問: ミクロの生産者行動の費用最小化問題の計算が合いません。 コブダグラス生産関数を持つ生産者が長期の場合、利潤最大化問題は max(y,L,K) py-wL-rK subject to y=L`α・K`(1‐α) これをλをラグランジュ乗数として、ラグランジュ関数を解きました。 p-λ=0 -w+αλL`(α-1)・K`(1-α)=0 -r+(1-α)λL`α・K`(‐α)=0 L`α・K`(1-α)-y=0 となり、1式を2、3式に代入し、2/3式をしてLをKで表し、2式に代入したところ、Kが消えてしまいました。どのようにすればL,K,Yをきちんと求められるのでしょうか?教えてください。 初めて数式の質問をさせていただいています。見にくかったらすみません。よろしくお願いします。
回答: どこに問題があるか知るために、 ・まず、この企業の費用関数がどうなるか調べ、 ・費用関数が求められたら、それを利用してこの企業の利潤最大化生産量がいくらになるか、 という方法で調べてみましょう。 費用最小化問題は (1) min (L,K) C = wL + rK s.t. (2) y = L^αK^(1-α) と書ける。よって、この問題のLagrangian Aは A = wL + rK + λ[y - L^αK^(1-α)] となる。よって、一階の条件は (3) 0 = ∂A/∂L = w - λαL^(α-1)K^(1-α) (4) 0 = ∂A/∂K = r - λ(1-α)L^αK^(-α) および (2)によって与えられる。(3)と(4)からλを消去すると (5) K = [w(1-α)/rα]L これを(2)に代入して、Lについて解くと (6) L = y [rα/w(1-α)]^(1-α) を得る。さらに(6)を(2)に代入し、Kについて解くと (7) K = y [w(1-α)/rα]^α を得る。(6)と(7)を(1)に代入して、求める費用関数 C = y [w(rα/w(1-α)^(1-α)+ r(w(1-α)/rα)^α] = γy となる。ただし、γ≡w(rα/w(1-α)^(1-α)+r(w(1-α)/rα)^α]である。注意しすることは、限界費費用=平均費用γで一定であることだ。いま、この企業の利潤をπと書くと、 π= py-C = (p - γ)y となることだ。したがって、利潤最大化生産量yは3つのケースがある。 p > γのとき、yは∞で、利潤πも」∞ p < γのとき、yはゼロ、利潤πもゼロ p = γのとき、 yは非決定、利潤πはゼロ。 となる!