質問: 幾何学の問題なのですが・・・ 幾何学の問題なのですがやり方がわからなくて困っているのでヒントや解き方でもいいので教えてください。(答えならもっと可。) 1.2点(2、-1、3)を通り、2平面 x+y+z=0、x-3y-2z=4 に平行な直線の方程式を求めよ。 2.点(3、4)から楕円 x^2/4+y^2=1 に引いた2本の接線の交角をθ(シータ) とするときcosθの値を求めよ。 3.x^2-4xy+y^2-x-y=0 を標準形に直せ。 どれか1問でもいいのでよろしくお願いします。
回答: >1. 2平面の法線ベクトルに共に垂直なベクトルが求める直線の方向ベクトルにとれる. (外積の利用か,平凡に(a,b,c)とおいて内積0でa,b,cの比を決める) >2. 楕円上の接点t(α,β)をとって,そこでの接線がa(3,4)を通るという式と,α^2/4+β^2=1 から 接点t1,t2を実際求めて,2ベクトル →at1 と →at2 の内積からcosθを出す. [別解] (先に接線がy軸に平行な場合は不適と断っておいてから,) (3,4)を通る傾きkの直線と楕円が接する条件(⇒判別式0)でk1,k2を求め, k1=tanθ1, k2=tanθ2 として,tanθの加法定理で tanθ=|tan(θ2-θ1)| からcosθ に無理やり直す. >3. x,yについて対称なので,原点中心に45度(or-45度)回転すれば見たような式が出てくるでしょう. 同義ですが,u=(x+y)/√2, v=(x-y)/√2 などで書き換えるのも手かも. (どの形で答えにすればいいんでしょうかね)