質問: 2直線 3x−y+2=0, x−2y−2=0 のなす角θ(ただし、0≦θ≦90°)を求めよ。 この問題の解き方を教えてください。
回答: 2直線の交角はtanの加法定理を利用する方が解きやすいです. 3x-y+2=0 より y=3x+2 ...1 x-2y-2=0 より y=(1/2)x-1 ...2 直線1,2と x 軸の正の方向とのなす角をそれぞれ,α,β とすると, tanα=3,tanβ=1/2 が分かります. また,求めるなす角θ については,図をかくと θ=α-β となっていることが分かるので,tanの加法定理を利用して, tanθ tan(α-β) =(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) ={3-(1/2)}/{1+3・(1/2)} =(5/2)/(5/2) =1 となりました. いま,0°≦θ≦90° なので,tanθ=1 を満たす θ の値は,θ=45° と求めることができました. 別解として,法線ベクトルを利用してなす角を求める方法があります. 直線 ax+by+c=0 の法線ベクトル(→n) の一つは,(→n)=(a,b) であることを利用します. ちなみに,(→n)=(a,b) が法線ベクトルの一つであるということは,(→n)を実数倍すればいくつでも法線ベクトルが存在するからです. 3x-y+2=0 の法線ベクトルの一つを(→p)とすると,(→p)=(3,-1) x-2y-2=0 の法線ベクトルの一つを(→q)とすると,(→q)=(1,-2) これより |→p|=√{32+(-1)2}=√10 |→q|=√{12+(-2)2}=√5 (→p)・(→q)=3・1+(-1)・(-2)=5 なので, 求める2直線のなす角θは,各直線の法線ベクトルのなす角に等しいので, cosθ={(→p)・(→q)}/{|→p||→q|} =(5)/{(√10)・(√5)} =1/√2 いま,0°≦θ≦90° なので,cosθ=1/√2 を満たす θ の値は,θ=45° と求めることができました.