質問: 不定積分の問題 不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫tan^(-1)(x)dx (3)∫sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + c (2) xtan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + c (3) xsin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + c (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + c
回答: (1) 部分積分は、 ∫ x sec^2(x) dx = x tan(x) - ∫ tan(x) dx ですよね。 x tan(x) の x を微分すると tan(x) が、 tan(x) を微分すると x sec^2(x) が出て、 積の微分法で x tan(x) = ∫ tan(x) dx + ∫ x sec^2(x) dx ですから。 ∫ tan(x) dx が解らないのかな? = ∫ sin(x)/cos(x) dx = ∫ { 1/cos(x) } { dcos(x)/dx } dx = log |cos(x)| です。 (2) 部分積分は、 ∫ tan^(-1)(x) dx = x tan^(-1)(x) - ∫ x { dtan^(-1)(x)/dx } dx です。 y = tan^(-1)(x) と置けば、 x = tan(y) より dx/dy = sec^2(y) = 1 + tan^2(y) なので、dtan^(-1)(x)/dx = dy/dx = 1/(1 + x^2). ∫ x/(1 + x^2) dx の積分は、u = 1 + x^2 と置けば簡単でしょう。 (3) 部分積分は、 ∫ sin^(-1)(x/3) dx = x sin^(-1)(x/3) - ∫ x { dsin^(-1)(x/3)/dx } dx です。 ここでも、y = sin^(-1)(x/3) と置けば、 x = 3 sin(y) より dx/dy = 3 cos(y). ただし、 今回は、tan^(-1) のときより複雑で、sin^(-1) の値域のとり方により dx/dy = ±3 √{1 - (x/3)^2} の ± がどちらだか、ハッキリしません。 一応、dx/dy = 3 √{1 - (x/3)^2} の場合を書いておくと、 - ∫ x { dsin^(-1)(x/3)/dx } dx = - ∫ x { dy/dx } dx = ∫ -x/√(9 - x^2) dx = ∫ -x(9 - x^2)^(-1/2) dx = (9 - x^2)^(1/2). dx/dy = -3 √{1 - (x/3)^2} の場合も、同様です。 (4) 部分積分を二回やればよいです。 s = ∫ e^(-2x) sin(3x) dx と置いて、 s = (-1/2)e^(-2x) sin(3x) - ∫ (-1/2)e^(-2x) 3 cos(3x) dx. 同様に、 ∫ e^(-2x) cos(3x) dx = (-1/2)e^(-2x) cos(3x) - ∫ (-1/2)e^(-2x) (-3) sin(3x) dx. ですから、 s = (-1/2)e^(-2x) sin(3x) - (-3/2){ (-1/2)e^(-2x) cos(3x) - (3/2)s } となります。一次方程式を解いて、s が出る。