質問: 平方根の連分数展開の周期 何冊か数論の本を読んでみたのですが、見つけることができませんでした。 dを平方数でない自然数とするとき、√dの連分数展開は周期を持つ無限連分数になります。もちろんこの周期自体は実際に連分数展開してみないことにはわかりませんが、周期が偶数になるか奇数になるかは簡単に判定できるのではないか、と思いました。このことはx^2-dy^2=-1が整数解を持つかどうかと同値で、また判別式が-1になることとも同値だと思います。しかしいずれにしても連分数展開を実行してみない以上わからないので不便です。 d=n^2-2と書けないこと、かつd=p_1^{r_1}...p_k^{r_k}と素因数分解したとき、p_iたちすべてがmod 4で3と合同でない、ということと、連分数展開の周期が奇数であることは同値だと予想したのですが、これは正しいですか?実二次体がらみの話なので、どこかに書いてあるとは思うのですが・・・
回答: 本題とは関係ありませんが、あなたの「n^2+1を素因数分解すると2と4で割って1余る素数・・・」云々の「予想」は正しいです。 あなたの「予想」を一般化した次の命題を示したいと思います。 「aとbを互いに素な自然数とします。 a^2+b^2の素因数pはp=2あるいはp≡1 (mod 4)となる。また、a^2+b^2は4で割り切れない。」・・・○ あなたの予想は、a=n,b=1の特別な場合です。 証明 aとbが奇数のとき a^2+b^2≡2 (mod 4) a,bの一方が奇数、他方が偶数のとき a^2+b^2≡1 (mod 4) aとbは互いに素だから、aとbが偶数になる事はありえない。 よってa^2+b^2は2で割り切れることはあるが、4では割り切れない。 a^2+b^2がp≡3 (mod 4)となる素数pで割り切れると仮定する。・・・※ a^2+b^2≡0 (mod p) よって a^(p-1)+b^(p-1)≡(a^2+b^2)(a^{(p-3)/2}-a^{(p-5)/2}b^2+・・・+b^{(p-3)/2})≡0 (mod p) aとbがpで割り切れないとき フェルマーの小定理より 0≡a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となって不合理 a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき フェルマーの小定理より 0≡a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となって不合理 aとbは互いに素だから、aとbがpで割り切れる事はありえない。 よって※の仮定は誤りで、a^2+b^2が奇素数pを因数に持つとき、p≡1 (mod 4)となることがわかります。 以上より、命題○が正しいことが示されました。