質問: 実数の性質 x>0 ならば x^(-1)>0 を証明しようと思い、それにあたっていくつかの仮定を置き証明しました 仮定のうちいくつかはより自明なことから導けるのではないかと思っています このような分野に詳しい方がいらっしゃいましたらアドバイスいただけないかと思い質問します (1)r上で定義される四則演算のうち和と積について交換法則、分配法則、結合法則が成り立つ すなわちx,y,z∈rについて x+y=y+x , xy=yx x(y+z)=xy+xz (x+y)+z=x+(y+z) , (x*y)*z=x*(y*z) (2)rは零元0,単位元1をもち、x∈rについて x+0=x x*1=x (3)0でないrの元xに対してx*x^(-1)=1となるx^(-1)∈rが存在する (4)0でないrの元xに対してx+(-x)=0となる-x∈rが存在する (5)x>0 ならば -x<0 (6)x,y>0 ならば x*y>0 (7)x*0=0 (8)x0 ならば xzyz これらについてなにか本質的なことを教えていただけるとありがたいです
回答: (1)から(8)の性質は、実数の性質というよりは、順序(全順序)をもつ可換環rの性質として捉えたほうが良いと思います。順序の定義方法については以下のようにしたらどうでしょうか。 乗法群k⊂r(実際には、x>0となるxの集合をkと思えば良いと思います)が存在するとき、 a>b (a,b∈r) ⇔ ∃δ∈k st. a=b+δ とします。このように順序「>」を導入すると、不等式の性質は等式の性質から全て導くことがでるはずです。実際に確かめてください。