質問: f=(1/x)+(1/y)+(1/z)+1で与えられる関数を付加条件x+4y+9z=6(x,y,z>0)の下、極値とそれをとる座標を求める問題です。その解説が写真の5なのですが、青線部分の「D内部に最小値をとる」という主張がよく分かりません 。「Dの内部に最小値をとる」ではなくて「Dの内部に最大値或いは最小値をとる」じゃないんですか?何故最小値と断定できるのかがわかりません。私の考えは「停留点(:水平な点)がD内部にあり、D内部でただ一つその点が水平だから極値をとるのは分かる。しかしそれが最小か最大かは分からないではないか」というものなのですが...。どなたか有識者の方、よろしくお願い致します。
回答: >f=(1/x)+(1/y)+(1/z)+1で与えられる関数を付加条件x+4y+9z=6(x,y,z>0)の下、極値とそれをとる座標を求める問題です。その解説が写真の5なのですが、青線部分の「D内部に最小値をとる」という主張がよく分かりません >。「Dの内部に最小値をとる」ではなくて「Dの内部に最大値或いは最小値をとる」じゃないんですか?何故最小値と断定できるのかがわかりません。私の考えは「停留点(:水平な点)がD内部にあり、D内部でただ一つその点が水平だから極値をとるのは分かる。しかしそれが最小か最大かは分からないではないか」というものなのですが...。どなたか有識者の方、よろしくお願い致します。 領域 D = { (x, y) ∈ R^2 | x > 0. y > 0, x + 4y < 6 } と、 領域 D の周囲 ∂D を考えて、 関数 f の定義域を ∂D 上にまで拡張しておきます。 D の内部の点 (x, y) において、 y を正の定数 k に固定して、x → +0 とすると、 (1/x) → +∞, (1/y) → 1/k, (1/z) = 9/(6 - x - 4y) → 9/(6 - 4k). したがって、g(x, y) → +∞. 同様にして、 x を正の定数 k に固定して、y → +0 とすると、 (1/x) → 1/k, (1/y) → +∞, (1/z) = 9/(6 - x - 4y) → 9/(6 - k). したがって、g(x, y) → +∞. 同様にして、 y/x を正の定数 k に固定すると、y = kx で 6 - x - 4y = 6 - (1 + 4k)x. x → 6/(1 + 4k)-0 とすると、 (1/x) → (1 + 4k)/6, (1/y) → (1 + 4k)/6k, (1/z) = 9/(6 - x - 4y) = 9/(6 - (1 + 4k)x) → +∞. したがって、g(x, y) → +∞. 以上により、関数 g(x, y) は D の周囲 ∂D 上で最大値をとるから、 D の内部に最小値をもつことが分かります。 以上、何かのお役に立てば幸いです。