質問: 統計学ー期待値 (1)x_1,x_2は独立で、指数分布f(x;θ)=(1/θ)e^(-x/θ) (x>0)に従うとき、t=x_1+x_2,s=x_2の同時密度関数は、ψ(t,s;θ)={(1/θ)^2}e^(-t/θ) (0<s<t<∞)であることを示し、tの周辺密度関数を求めよ。 →ヤコビヤンを求め、文字を代入して証明、周辺密度関数はψを[0→t]で積分し、{(1/θ)^2}te^(-t/θ) (2)t=tを与えたときの、sの密度関数を求め、rao-blackwellの定理における条件付き期待値、t(t)=e(s|t=t)を求めよ。 この問題で、(2)で行き詰まっています。教えてください。
回答: > はい、式を立てるまでが良く分かりませんでしたが・・・ 「が...」か、何か問題があるのかな? f(x) = (1/θ)e^(-x/θ) x1, x2 が独立に確率密度 f に従うとして、 t = x1 + x2, s = x2 と定義する。 s, t の同時密度 ψ は? 同時累積分布を考えて、 ∫[0,s] ∫[0,t] ψ(s,t) ds dt = ... (s>tのとき) ... = ∫[0,t] ∫[0,t-x2] f(x1)f(x2) dx1 dx2, (s≦tのとき) ... = ∫[0,s] ∫[0,t-x2] f(x1)f(x2) dx1 dx2 = ∫[0,s] ∫[0,t-x2] (1/θ^2)e^{-(x1+x2)/θ} dx1 dx2 = ∫[0,s] {(1/θ)e^(-x2/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)} dx2 = 1 - e^(-s/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)s. よって、 ψ(s,t) = (∂/∂s) (∂/∂t) ∫[0,s] ∫[0,t] ψ(s,t) ds dt = ... (s>tのとき) ... = 0, (s≦tのとき) ... = (∂/∂s) (∂/∂t) {1 - e^(-s/θ) - (1/θ)e^(-t/θ)s} = (∂/∂s) (1/θ^2)e^(-t/θ)s = (1/θ^2)e^(-t/θ). 問題文中の ψ(s,t) と合っている。 t を固定した s の条件付き確率密度は、 ψ(s|t=t) = ψ(s,t) / {∫[0,∞] ψ(s,t) ds}. ただし、 ∫[0,∞] ψ(s,t) ds = ∫[0,t] (1/θ^2)e^(-t/θ) ds = (1/θ^2)e^(-t/θ)t. t を固定した s の条件付き期待値は、 e(s|t=t) = ∫[0,∞] s ψ(s|t=t) ds = ∫[0,∞] s ψ(s,t) ds / {∫[0,∞] ψ(s,t) ds}. ∫[0,∞] s ψ(s,t) ds = ∫[0,t] s(1/θ^2)e^(-t/θ) ds = (1/θ^2)e^(-t/θ)(t^2/2) より、 e(s|t=t) = (1/θ^2)e^(-t/θ)(t^2/2) / {(1/θ^2)e^(-t/θ)t} = t/2. これで合ってそうな気がするんだけれど... (計算ミスについては、やや不安)