質問: 留数定理を使った解き方を教えてください。 留数定理を使った解き方を教えてください。 ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。 ----- 原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。 i=∫(-∞→∞){(sin t)exp(ipt)/t}dt この積分を求めなさい。 ----- 答は、以下のとおりです。 ----- |p|>1ならi=0で、|p|<1ならi=π。 ----- 答に示されている積分経路は以下のとおりです。(本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。) また、ε→0、r→∞の極限を取ると思われます。 ----- c1:ε→r(ε及びrは正の実数。実軸上を移動) c2:r→-r(θ=0→πの反時計回り) c3:-r→-ε(実軸上を移動) c4:-ε→ε(θ=π→0の時計回り) ----- これ以上の解説はありません。 その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。 f(z)=(sin z)exp(ipz)/z とおくと、 sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i より f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz となり、 z=r(cosθ-isinθ)とおくと、 exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ} となります。 c4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、c2の経路はどうすればよいのか分かりません。 よろしくお願いいたします。
回答: gotouikusaです。 申し訳ございません。画像に誤りがありました。 (*)式のなかの exp[-itx] はexp[itx]の間違いでした。 訂正して,お詫び申し上げます。