質問: 全反射の問題です。 全反射の問題です。よろしくお願い致します。 問題 屈折率naの円柱状のガラス棒aがある。aの上端面は中心軸に垂直で空気に接している。またaの側面は屈折率nbの媒質bで囲まれている。aの上端面の中心に、入射角αで入射した光の屈折角はβであった。空気の屈折率を1として、次の問いに答えよ。 3)光が媒質bへ出ることなくaの中を進むためには、α、na, nbの間にどのような条件が必要か。 答え:√(na^2 - sinα^2)> nb 4)媒質bが空気のとき、光はαの値にかかわらず全てaの中だけを進み、側面からは出てこなかった。媒質bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。ガラス棒aの屈折率naの取りうる範囲を示せ。ただし水の屈折率は4/3とする。 3)まではわかったのですが、4)がわかりません。 私は、 ◎「媒質bが空気のとき、aの上端面の中心に、入射角αで入射した光はαの値にかかわらず全てaの中だけを進み、側面からは出てこなかった。」より、 媒質bが空気→nb=1→(3)より、√(na^2-sinα^2)>1-----● ◎また、「媒質bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。」より、 媒質bが水→nb=4/3 側面から光がでてくるとき:sinα/sinβ=nb/na, na=4sinβ/3sinα-----★ 全反射がおきて光がでてこないとき: sinα/ sinβ=nb/na, na=4/3sinα-----☆ ★と☆より、4sinβ/ 3sinα<na<4/ 3sinα これと、●の両方を考慮して...としたのですが、ここで、うまくいきませんでした。 解説をみると、 前半は外が空気なら出てこないので全反射している。つまり、(3)の状態。 どんなαでも(3)の式を満足しているので、 √(na^2-1)>1、∴na > √2-----▲ 後半は外が水なら「入射角αによっては全反射したりしなかったり」より、(3)がsinα=0では成立し、sinα=1では成立しないということ。 よって、 √(na^2-1)<4/3< √na^2 ∴4/3 < na < 5/3-----△ ▲と△より √2< na <5/3-----答え なのですが、この解説がよくわかりません。 質問1:▲について、(3)式にnb=1が代入されているのはわかりますが、sinα^2=1が代入されているのはどうしてですか?αは入射角ですが、これだと上端面に垂直に入れた場合に限定されると思います。でも、この問題では、αの値にかかわらず、全反射だと問題にあります。どうしてαは限定されているのでしょうか。 質問2:私のやり方はどこがだめなのでしょうか。 長文ですみません。 アドバイスをいただけませんか。よろしくお願い致します。
回答: >sinα^2=1が代入されているのはどうしてですか? どんなαでもという事ですから、(sinα)^2が最大でも最小でも条件を満足しないといけませんよね。 (sinα)^2は最大で1、最小で0ですから最大なら √(na^2-1)>1 → (na)^2 > 2 最小なら √(na^2-0)>1 → (na)^2 > 1 その他の場合はこの間になるので、(na)^2 > 2さえ満たしていれば 全ての場合で全反射がおきている事になります。