質問: ベクトルと空間図形 ベクトルと空間図形 xyz空間における原点oと3点a(2,2,4),b(-1,1,2),c(4,1,1)について (1)4点o,a,b,cから等距離にある点mの座標を求めよ。 (2)直線omと3点a,b,cを通る平面との交点の座標を求めよ。 という問題があるのですが解き方が全然わかりません。(1)は何とかmが(3/2,3/2,3/2)という答えが出ました。(2)は全く手が動きません... 途中式や考え方など教えていただけないでしょうか?? ワークのヒントの所には「apベクトル=sabベクトル+tacベクトルとなる実数s,tが存在する」と書いてありました。でもこれをどのようにしてapベクトルを表すのかもイマイチよくわかりません。 教えてください。お願いします。 因みに(2)の答えは(4/7,4/7,4/7)だそうです。
回答: (1) m(a,b,c)から等距離r(>0)にある4点o,a,b,cは 中心m,半径rの球面α上にある。球面αの方程式は (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ...(a) (a)上に4点o,a,b,cがあるから以下の4つの方程式が成り立つ。 a^2+b^2+c^2=r^2 (2-a)^2+(2-b)^2+(4-c)^2=r^2 (-1-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=r^2 (4-a)^2,(1-b)^2+(1-c)^2=r^2 このa,b,c,r(>0)についての連立方程式を解けば a=3/2,b=3/2,c=3/2,r=(3/2)√3 ...(b) すなわち、mの座標(3/2,3/2,3/2)と4点からmまでの等距離(球の半径)r=(3/2)√3が得られます。 (2) 平面abcの方程式(媒介変数s,tを使った表現)は (x,y,z)=oa↑+sab↑+tac↑ =oa↑+s(ob↑-oa↑)+t(oc↑-oa↑) =(2,2,4)+s((-1,1,2)-(2,2,4))+t((4,1,1)-(2,2,4)) =(2-3s+2t,2-s-t,4-2s-3t) ...(c) 成分毎に書けば x=2-3s+2t,y=2-s-t,z=4-2s-3t ...(d) 直線omの方程式(媒介変数uを使った表現)は(b)より (x,y,z)=uom↑=(ua,ub,uc)=(3u/2,3u/2,3u/2) ...(e) 成分毎に書けば x=3u/2,y=3u/2,z=3u/2 ...(f) 連立方程式(d),(f)を解けば x=4/7,y=4/7,z=4/7,s=6/7,t=4/7,u=8/21 と求まるから 直線omと平面abcとの交点の座標(x,y,z) は(4/7,4/7,4/7)となる。