質問: 0≦θ<2πのとき、 (sinθ+1/2)(sinθ-1/2)>0 また、 (sinθ-1/√2)( 0≦θ<2πのとき、 (sinθ+1/2)(sinθ-1/2)>0 また、 (sinθ-1/√2)(cosθ-1/2)<0 を解け。 回答解説よかったらよろしくお願いします。
回答: 0≦θ<2π とする。 (sinθ +1/2)(sinθ -1/2) >0 これを満たすための条件は sinθ +1/2 >0 かつ sinθ -1/2 >0 ...1 または sinθ +1/2 <0 かつ sinθ -1/2 <0 ...2 1より sinθ >-1/2 かつ sinθ >1/2 なので、sinθ >1/2 だけ考えればよい よって、π/6<θ<5π/6 で条件を満たす。 2より sinθ <-1/2 かつ sinθ <1/2 こちらも sinθ <-1/2 だけ考えればよいから、 7π/6<θ<11π/6 で条件を満たす。 したがって、 (sinθ +1/2)(sinθ -1/2) >0 を満たすθの範囲は π/6<θ<5π/6, 7π/6<θ<11π/6 となる。 別解 (sinθ +1/2)(sinθ -1/2) =(sinθ)^2 -(1/2)^2 >0 より (sinθ)^2 >(1/2)^2 |sinθ| > 1/2 これを満たすθの範囲は π/6<θ<5π/6, 7π/6<θ<11π/6 だとわかる。 (sinθ -1/√2)(cosθ -1/2) <0 これを満たす条件は sinθ -1/√2 >0 かつ cosθ -1/2 <0 ...3 または sinθ -1/√2 <0 かつ cosθ -1/2 >0 ...4 3より sinθ >1/√2 かつ cosθ <1/2 ここから、π/4<θ<3π/4 かつ π/3<θ<5π/3 まとめて、π/3<θ<3π/4 4より sinθ <1/√2 かつ cosθ >1/2 0≦θ<π/4, 3π/4<θ<2π かつ 0≦θ<π/3,5π/3<θ<2π まとめて、0≦θ<π/4, 5π/3<θ<2π したがって、 (sinθ -1/√2)(cosθ -1/2) <0 を満たすθの範囲は 0≦θ<π/4, π/3<θ<3π/4, 5π/3<θ<2π となる。 文章だけではわかりにくいと思うので、 円を描いて条件を満たすような角度を確認しながら 問題を解いたほうが良いでしょう。