質問: ペアノの公理のように自然数の周辺を厳密に定義するとき、自然数の減法や乗法などはどのように定義するのですか? 加法はa+0=a,a+S(b)=S(a+b)で定義するのは知っています。
回答: 加法はそう定義することもあれば、 +1で定義することもあります。 乗法は次の通りです。 a・0=0 a・(S(b))=a・b+a しかし、 Sをつかうのは あくまで、言語として一変数関数Sを自然数の言語として採用したときにすぎません。 そして減法は言語として-を導入することはできませんから、 足し算の単射性をもちいて、命題の形で定義します。 そして、その命題の定義による拡大として定数記号を言語に加えて引き算とします。 保存的拡大なので、このように言語拡張しても、証明出来ることは変わりません。 まあ長くなりましたが、 やり方はたくさんあるので、 適切ならばなんでもよいです。 私の個人的な感覚ではSを全く使わないで議論することが多いですけどね。 wikipediaやネットでどういうこと言われているかわかりませんが。