質問: 線形空間と写像、基底について 線形代数の問題でちょっと分からないので分かる方教えてください。 問題は、 次の集合xに対して v:=xからrへの写像全体のなす実線形空間 とする。vの基底を見つけよ。 (1)x={x_1,x_2,x_3} (2)x={x_1,x_2,x_3,......,x_n} (3)x={x_1,x_2,x_3,......,x_n,......} です。写像の基底が分かりません。 よろしくお願いします。
回答: 写像 e_1,e_2,e_3 ∈v をクロネッカーの記号を用いて e_i(x_j) = δi,j (i,j=1,2,3) と定義します。任意の写像 f∈v に対し f(x_i) = f_i ∈r とおけば f=σf_i*e_i (iについて和をとる) のようにfはe_iの一次結合で表わせます。 集合xの元の個数が増えても考え方は同様です。 {e_i}の一次独立性を示すには、vの零ベクトルに相当する写像 o(x_i)=0 (i=1,2,・・・,) に対し、 σc_i*e_i = o ⇒ c_i=0 を言えばよいでしょう。