質問: 外積の定義はどのようにして導出されたか? 仕事柄外積を良く使い、物理的意味や用途は良く知っているものの、その導出がどのようになされたのかを調べてみたのですがどうもわかりません。3次元のベクトルp0[x0,y0,z0],p1[x1,y1,z1]の場合 p0×p1=[y0*z1-z0*y1, z0*x1-x0*z1, x0*y1-y0*x1] となりますが、なぜこの計算で「2ベクトルに対し直角なベクトル」が求められると先達は気づけたのでしょうか?
回答: #4です。 ●wiki 「ヘルマン・グラスマン」 http://ja.wikipedia.org/wiki/%e3%83%98%e3%83%ab%e3%83%9e%e3%83%b3%e3%83%bb%e3%82%b0%e3%83%a9%e3%82%b9%e3%83%9e%e3%83%b3 上記より引用; 『ゴットフリート・ライプニッツの考えた、座標を用いない幾何学計算法の建設を目指した論文geometrische analyse を学会に提出し、1846年に賞を授与された。グラスマンの数学的業績で特に重要なのは広延論(ausdehnunglehre)と称する理論に関する2論文(die lineare ausdehnunglehre, ein neuer zweig der mathematik, 1844 とdie ausdehnunglehre: vollständig und in strenger form bearbeitet, berlin 1862。それぞれa1およびa2と呼ばれている)にまとめられた』 a1に答えが有るのでしょうね。 「外積」の項には、『仕事』に対応する内積に対して、『面積』を表すa×bを考え、a×bとb×aの面の裏表を表す工夫から面に垂直なベクトルを考えた、そうするとその計算規則が定まるという意味のことが書いてある。それを座標系の基底ベクトルを求めるために用いたのがグラスマンというのなら、座標の基底ベクトルの変換則を定めるために考えたというのは正しいのかな。(人は違ってたけど・・・) ですが、それがリーマン空間とのかかわりで・・・と言うところは間違ってるでしょうね。 ただ、これも運動学的な意味で・・・、軌道運動の接線ベクトル・主法線ベクトルに対して、「従法線ベクトル」を求めるための計算方法として考えついたのでは? 軌道運動との関係ではもう1つ有って、まず天体の運動を「軌道平面内」で考えるだけで『角運動量』の計算式m(x・vy-vx・y)から「外積の成分」を求める計算式がでてくることがある。歴史的にはケプラーの『面積速度一定の法則』が先で、この角運動量が面積速度と結びついている。 それを3次元で考え、回転の方向などを示すために面に垂直なベクトルを考えるようになるだろう。この面積速度(角運動量)のベクトル表示が先に有ったのではないだろうか?(ベクトルの命名はハミルトンのようだ。)ライプニッツあたりがそのようなことを行ったのではないだろうか? それを大きさで割って単位ベクトルにすれば座標軸の単位ベクトルにつながる。その計算規則を抽出して定義したのがグラスマンということなのだろうか? このあたりにヒントが有るのだろう。