質問: 内積の性質の証明について ベクトルの内積の性質の1つに(a,b+c)=(a,b)+(a,c)がありますよね?成分表示で証明することは容易にできましたが、3次元の場合で成分表示せずに(a,b)=|a||b|cosθを用いて式変形をして証明してみようとしたら、うまくいきませんでした。高1の時に、ベクトルの授業で習った時に、ちょっとした工夫で簡単に証明できていた記憶があるのですが、どうしても思い出せません。分かる方、お教えください。よろしくお願いします。
回答: aへの射影ベクトルを ' で表わすと (b+c)'=b'+c' b+c , b , c と a との成す角を α、β、γ a と同じ向きの単位ベクトルを e とすると (b+c)'=|b+c|cosα*e , b'=|b|cosβ*e , c'=|c|cosγ*e これを代入すると |b+c|cosα*e=|b|cosβ*e+|c|cosγ*e ( e≠0 だから ) |b+c|cosα=|b|cosβ+|c|cosγ 両辺に |a| をかけると (a,b+c)=(a,b)+(a,c)