質問: 単関数のルベーグ積分でc⊂dならば∫_cfdm≦∫_dfdm? なかなか定義が明記されてなくて難儀しております。 mは測度のことと思われます。 (単関数の積分) [問]f,gは非負の値を採る単関数,c,d∈bとする時,次が成立する。 (1) c∩d=φならば∫_(c∪d) fdm=∫_cfdm+∫_dfdm (2) c⊂dならば∫_cfdm≦∫_dfdm [(1)の証] ∫_(c∪d) fdm=a・m(c∪d) (a∈r) (∵ルベーグ積分の定義) =a(m(c)+m(d)) (∵測度空間の定義) =a・m(c)+a・m(d) =∫_cfdm+∫_dfdm (∵ルベーグ積分の定義) [(2)の証] ∫_cfdm=a・m(c) (∵ルベーグ積分の定義) ここから ≦a・m(d)が言えません。 どのようにして言えますでしょうか?
回答: no1さんの言う通りですね。 詳しく説明すると d=c∪(d\c)と表すことができ c∩(d\c)=φ よって ∫_{d}f dm=∫_{c∪(d\c)}f dm=∫_{c}f dm+∫_(d\c)f dm ≧∫_{c}f dm てな感じですね。ルベーグ積分のスタートですね。頑張って下さい。