質問: にゃんこ先生の自作問題、四角形の対角線の交点をベクトルで表したときに見つけた等式 にゃんこ先生といいます。 平面上に四角形abcdがあるとします。4点は順に左回りとします。 また、同じ平面上に原点oがあって、ベクトルoa=aなどと、矢印を省いて書くことにします。 直線acと直線bdの交点pを書き表したいと思います。 ap:pc=△abd:△bcdから、 p=(△bcd/□abcd)a+(△abd/□abcd)c と書けます。 ここで、2次元ベクトルの第三成分を0として、3次元ベクトルとみなします。すると、外積を用いて、 △bcd=|(c-b)×(d-b)|/2=|b×c+c×d+d×b|/2 などとなります。三角形の面積を符号付面積と考えて、 △bcd=△obc+△ocd+△odb=|b×c+c×d+d×b|/2 と考えることも出来ます。したがって、整理して、 (|a×b+b×c+c×d+d×a|)p=|b×c+c×d+d×b|a+|a×b+b×d+d×a|c となります。また、図から、 (|a×b+b×c+c×d+d×a|)p=|a×c+c×d+d×a|b+|a×b+b×c+c×a|d となります。したがって、 |b×c+c×d+d×b|a+|a×b+b×d+d×a|c=|a×c+c×d+d×a|b+|a×b+b×c+c×a|d という等式を見つけたのですが、これだけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか? また、3次元空間で、平面abcd外に原点oがあって、ベクトルoa=aなどと、矢印を省いて書くことにします。 ap:pc=△abd:△bcd=四面体oabd:四面体obcd で、 四面体obcd=det(b,c,d)/6=(b×c)・d/6 となることから、 det(b,c,d)a+det(a,b,d)c=det(a,c,d)b+det(a,b,c)d や {(b×c)・d}a+{(a×b)・d}c={(a×c)・d}b+{(a×b)・c}d という等式を見つけたのですが、これだけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか? いいアイデアがありましたら教えてください。 △abcなどの面積を、平面ベクトルa,b,cと内積,根号を用いて、 (2△abc)^2=|a-c|^2*|b-c|^2-{(a-c)・(b-c)}^2 =(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)-2(a^2)(bc)-2(b^2)(ca)-2(c^2)(ab)-(ab)^2-(bc)^2-(ca)^2+2(ab)(ca)+2(bc)(ab)+2(ca)(bc) ただし、a・a=a^2、bc=b・cなどと略記 と表されることからも等式が見つかります。 複雑すぎて等式を書くことはしませんが、その等式だけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか?
回答: http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/multimedia/vectoranalpub/node9.html