質問: 以下のURLに載せた解説で分からないところがあります。 (ii)の解説 (iii)の解説 問.ある物質の電子の状態密度Dはε≧0 で一定値Dを持つ(ε< 0 では0)とし、電子の総数をNとする。 (ii)この電子系が強く縮退する場合と縮退しない場合とを区別する条件を定め、 (iii) 強く縮退している場合に比熱がTに比例していることを示せ。 まず(ii)の解説で、縮退していない条件として、いきなり(3)式で、e^(-βμ) >> 1 となっていますが、なぜいきなりこういう風に分かるのでしょうか? 次に、(iii)の解説で中の積分計算がありますが。これは解説(ii)中の(6)式と同様に計算されているのですが、私はこの(6)式の計算方法が理解できません。自分は(6)式とは別の方法で、N=Dμと導出しました。 具体的には(6)式中の2行目から3行目への変形が分かりません。 第二項では y=-(ε-μ) とおかれていて、なぜ第三項目では同じ文字yでy=ε-μ と置換されているのでしょうか。それに、第二項においては、積分範囲は0→μではないのですか? 質問を一気にしてしまい申し訳ないですが、ご教授お願いします。
回答: 最初の質問。 フェルミ統計で「縮退」とは、つまり、温度が低くて全ての準位が埋まっているということです。温度が低いとβ大ですから、温度が低くなるとexpの項がどんどん大きくなっていきます。で、参考書では、とりあえず、縮退している=+1が無視できること、と近似しています。あくまで近似です。 後の質問。 まず、第2項と第3項は、それぞれ全く関係ない独立な定積分ですから、置換の仕方が同じである必要は全くないですよ。冷静になって考えてみれば当たり前の話です。 それから第2項の積分範囲ですが、これは近似です。3行目の前のイコールが近似記号になっているでしょう。 仰る通り、積分範囲は0からμが本当(近似でない計算)ですが、被積分関数は、μ以上で急激に小さくなりますから、本当はなかったμから∞の積分を足してしまっても、そんなに誤差ないでしょ、という近似です。 もともと、非縮退の場合は、+1が無視できない。言い換えれば、expの項の影響は小さい、と考えていたわけですから、どうせゴミなわけで、本来ないはずのものを足してしまってもまあいいでしょ、ってことです。 wikipediaの「フェルミ分布関数」のページに、温度を変えたフェルミ分布関数のグラフがのっていますが、 温度が低い(縮退)とほぼ指数関数に、温度が高いと(非縮退)階段関数に近づくってのが理解できるでしょう。