質問: 素数について。 n以下の素数の積は2∧(2nー3)以下である。(n≧2)ご教授下さい。すみませんが。
回答: 以前の質問で証明されたことを利用します。 [ n+1 以上 2n-1 以下 (n≧2) の素数の積を pn とすると 、pn≦2^(2n-2) ] n以下 (n≧2) の素数の積を qn とします。 qn≦2^(2n-3) ......☆ 数学的帰納法を利用して証明します。 (1) n=2 のとき、 q2=2、 2^(2・2 - 3)=2^(4-3)=2 よって、☆は成り立ちます。 (2) n=k のとき、☆が成り立つと仮定します。 qk≦2^(2k-3) n=k+1 のとき、 (i) k+1 が偶数のとき、k+1 は素数ではないので、 q k+1=qk≦2^(2k-3) <2^{2(k+1)-3} (ii) k+1 が奇数のとき、k+1=2m-1 とおくと(m:整数) q k+1 =q 2m-1 =qm・pm≦2^(2m-3)・2^(2m-2)=2^(4m-5)=2^{2(2m-1)-3}=2^{2(k+1)-3} よって、n=k+1 のときも☆は成り立ちます。 (1)、(2) より、数学的帰納法により、☆は成り立ちます。(n≧2)