質問: 偏微分(?)について すべての実数xについて微分可能な関数f(x)において f(x+y)=f(x)+f(y)+xy...(a) f'(0)=1 (1)f(0)の値を求めよ。 (2)f(x)を求めよ。 という問題ですが、(1)はいいとして、(2)で計算していくときに普通にやるならば導関数の定義に持ち込むことになると思います。ただこのタイプの問題としてはもちろん毎回違う形で関数が与えられますから、式変形の最中にどうすればいいか止まってしまうこともありえます。 ところが、この問題の場合すべてのxにおいて微分可能が保障されているので「(a)において、xを固定し、yで微分する」というやり方(多分これが偏微分だと思うのですが...)を用いるとすぐに解けますし、迷う箇所もありません。 これは予備校で教わったのですが、もちろん教科書には書かれていません。確かに(x+y)^2=x^2+2xy+y^2に対してこれと同じ事をおこなうと、両辺等しくなり等号は成り立ちます。つまり恒等式であり続けます。しかしこの解法について根本的に理解したとは思えませんし、教科書にないようなこういう解答は許されるのでしょうか?
回答: >ヒントを頂いたとおり第2項を積の微分法で解くとy'*x^2+2yxということになるのでしょうか...? そうです. ここで,yというのはxに依存してない定数でしょ? この問題の場合「は」ですよ. なので,定数の微分は0になるので,y'*x^2+2yx=0+2yxとなります. 例えば,aの関数y=2a^2+xというのがあれば,xは単なる定数です. つまり,日本語の「yはxの関数だから~」という言葉につられないようにしなければなりません.