質問: 力学(抵抗力について) 鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。時刻t=0に位置y=y(0)から質量mの物体を鉛直下向きに初速度v(0) (v(0)<0)で放り投げた。物体には、速度vに比例する抵抗力 -bv が働く。 1.運動方程式をvの微分方程式として書き出せ。 2.終端速度の大きさv(t)を求めよ。 3.運動方程式を解いて、t >0におけるv(t).y(t)を求めよ 4.y(0)=0、v(0)=-3v(t)/2 の時、十分時間がたったときのv(t),y(t)の漸近線を求めよ。 問題数多いですが、簡単でいいので途中式もお願いします。
回答: 1.運動方程式 mdv/dt=-mg-bv 2.終端速度の大きさvt vt=constantであってv=vtではdv/dt=0 よって mdv/dt=-mg-bv=0 v=-mg/b=vt 3.mdv/dt=-mg-bvを解く dv/dt=-g-bv/m=-(b/m)(v+mg/b) mg/bは定数なので dv/dt=d(v+mg/b)/dt よって d(v+mg/b)/dt=-(b/m)(v+mg/b) 変数分離して d(v+mg/b)/(v+mg/b)=-(b/m)dt 積分して log(v+mg/b)=-(b/m)t+c v+mg/b=cexp(-bt/m) v=cexp(-bt/m)-mg/b y=c(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+d 4.初期条件を入れて漸近解を求める v(0)=c-mg/b=-3vt/2=(3/2)(mg/b) c=(5/2)(mg/b) y(0)=-cm/b+d=0 d=cm/b=(5/2)(m/b)^2g よって v(t)=(5/2)(mg/b)exp(-bt/m)-mg/b=(mg/b)[(5/2)exp(-bt/m)-1] y(t)=(5/2)(mg/b)(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+(5/2)(m/b)^2g =(5/2)(m/b)^2g[1-exp(-bt/m)]-mgt/b lim(t→∞)v(t)=-mg/b=vt lim(t→∞)y(t)=(5/2)(m/b)^2g-mgt/b