質問: 高校数学の問題です。 pを実数の定数として、2次方程式 x^2-px+p=0 ・・・(*) がある。 (1)(*)が異なる2つの実数解をもつとき、pのとり得る値の範囲を求めよ。 (2)(*)の2つの解をα、βとおくとき、 a=α^2-4α、b=β^2-4β とする。 (i)a+b、ab をそれぞれpを用いて表せ。 (ii)ab<0 となるようなpの値の範囲を求めよ。 (3)pの値が(1)で求めた範囲にあるとき、(*)の2つの実数解 α、βについて、4次方程式 (x^2-αx+α)(x^2-βx+β)=0 ・・・(**) を考える。 (**)の異なる実数解の個数をpの値によって分類して求めよ。 解説お願いします。
回答: (1) (*)の判別式 p^2-4p>0 とおくとp<0、4<p (2) まず、α、βが(*)の解であることから、α+β=p、αβ=p です。 a+b=α^2-4α+β^2-4β =α^2+β^2-4(α+β) =(α+β)^2-2αβー4(α+β) =p^2-2p-4p =p^2-6p ab=(α^2ー4α)(β^2-4β) =α^2β^2-4α^2βー4αβ^2+16αβ =(αβ)^2-4αβ(α+β)+16αβ =p^2-4p^2+16p =-3p^2+16p ab=-3p^2+16p =-p(3p-16) なのでab<0を満たすpの範囲は 0<p、16/3<p (3) x^2-αx+α=0、x^2-βx+β=0の判別式はそれぞれa,bと等しくなります。ここで pが(1)の範囲で変化した場合のab、およびa+bの符号を調べると a+b ab p<0 >0 <0 4<p<16/3 <0 >0 p=16/3 <0 =0 16/3<p<6 <0 <0 p=6 =0 <0 p>6 >0 <0 このうち、ab<0となるとき、つまりp<0の場合aとbは異符号、つまり片方が正、片方が負なのでx^2-αx+α=0、x^2-βx+β=0は片方が異なる二つの実数解を持ち、片方が実数解なしとなります。この場合(**)の異なる実数解は2個となります。 次にab>0のとき、つまり4<p<16/3のときaとbは同符号で、a+bが負なのでa,bは両方とも負になります。このとき(**)は実数解を持ちません。 さらにab=0の場合、つまりp=16/3の場合a+bが負なので片方が負、片方がゼロになります。このとき(**)は実数解を一つ持ちます。