質問: 2次関数 aを定数とし、xの2次関数y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4...(1)のグラフをgとする。 グラフgが表す放物線の頂点のx座標が-5以上-1以下の範囲にあるとする。 このとき、aの値の範囲は-5≦a≦-8...(ア)であり、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、m=(エ)a^2+(オ)a+(カ) (キ)≦a≦(ク)のとき、m=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。 したがって、2次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値mは、m=(ス)である。 1.(ア)の答えはこれで合っていますか? 2.(イ)~(ス)の求め方がわかりません。 解説よろしくお願いします。
回答: y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4={x-(a+3)}^2+a^2+2a-5・・・(2)ですから 頂点のx座標はx=(a+3)であり、-5≦a+3≦-1から-8≦a≦-4...(ア) になります。 2次関数(1)は下に凸な二次曲線であり頂点のx座標=(a+3)が -5以上-1以下の範囲にあるわけですから、2次関数(1)が-5≦x≦-1 の範囲で最大になるのは、頂点のx座標=(a+3)が-5寄りであればx=-1で 2次関数(1)は最大になり、頂点のx座標=(a+3)が-1寄りであればx=-5で 2次関数(1)は最大になります。 よって-5≦(a+3)≦-3の時m=2a^2+10a+11 -3≦(a+3)≦-1の時m=2a^2+18a+59となります。 書き直して-8≦a≦-6の時m=2a^2+10a+11、-6≦a≦-4の時m=2a^2+18a+59 なお、a=-6の時は2a^2+10a+11=2a^2+18a+59=23となります。 ということで、(イ)=-8、(ウ)=-6、(エ)=2、(オ)=10、(カ)=11、(キ)=-6、(ク)=-4、 (ケ)=2、(コ)=18、(サ)=59となります。 2次関数(1)の最小値は(2)式よりa^2+2a-5ですからa^2+2a-5=24として a=-1±√30となりますが、-8≦a≦-4...(ア)からa=-1-√30に決まり、 -8≦a≦-6の範囲にあるのでa=-1-√30をm=2a^2+10a+11に代入して m=63-6√30となります。よって(シ)=-1-√30、(ス)=63-6√30。