質問: 微分法の問題について 関数f(x)=x^3+ax^2-9x+bがx=-1で極大値8をとるように、定数a,bの値を定めよ。また、極小値を求めよ。という問題が分かりません。教えてくださいおねがいします。
回答: f(x)=x^3+ax^2-9x+b f '(x)=3x^2+2ax-9 x=-1で極大値8をとることから f(-1)=-1+a+9+b=a+b+8=8 → a+b=0 f '(-1)=3-2a-9=-2(a+3)=0 → a=-3 ∴ a=-3, b=3 この時 f(x)=x^3-3x^2-9x+3 f '(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1) f '(x)=0とするxは x=-1, 3 f ''(x)=6x-6 f ''(-1)=-12<0 → x=-1のとき極大値f(-1)=8をとる。 (条件を満たしていることが判る) f ''(3)=12>0 → x=3 で極小値 f(3)=-24 をとる。 (答)a=-3, b=3, 極小値f(3)=-24