質問: 漸化式の問題を行列及びベクトルで解くには? 社会人ですが、趣味で数学検定に挑戦しようと思う者です。 私の高校時代の数学の先生は、「数列をベクトル解析で解いていた」と 仰有っていました。 では、具体的にどのようにすれば解けるのでしょうか。 以下の漸化式で一般項のご教授願います。 問題1) a(1)=2、a(n+1)=3a(n)+1、の一般項を求めよ 解答1) a(n)=1/2n-1 問題2) na(n+1)=(n+2)a(n)、の一般項を求めよ 解答2) a(n)=n(n+1)/2 どうぞよろしくお願いします。
回答: 問題2も、あえてベクトル風に表すと、 (a(n+1),a(n))=a(n)(a(n),a(n-1)) ((a(n+1),a(n))は縦ベクトルの意味) ここに、a(n)は2次の正方行列で、 (n+2)/n,0 1,0 (a(n+1),a(n))=a(n)(a(n),a(n-1))=a(n)a(n-1)(a(n-1),a(n-2)) =・・・=a(n)a(n-1)...a(2)(a(2),a(1)) となって、a(n)a(n-1)...a(2)は簡単に計算できるので、a(n)も 求まります。 しかし、これは a(n+1)=(n+2)/n・a(n)=(n+2)/n・(n+1)/(n-1)・a(n-1)=・・・ とやっているのと本質的に同じです。 ベクトル風にやるのは、 a(n+1)=αa(n)+βb(n) b(n+1)=γa(n)+δb(n) のような、連立の漸化式の時とか、 a(n+2)=αa(n+1)+βa(n) のようなとき、 a(n+1)=αa(n)+βa(n-1) も使ってベクトルで表わし、行列のn乗が簡単に求まる場合は有効と 思います。 しかし、何が何でもベクトルを使ってやるのではなく、漸化式の 特徴を見極めて、なるべく簡単な方法で解くのが良いと思います。 もちろん、等差数列とか、等比数列とか基本的なものは覚えてお くほうが良いと思いますが。 先生が何でそんなことを言ったのか、意図はわかりませんが、 この方法が好きだったのだと思います。解法は、個人の好みも あると思います。 数学検定というのがどんなものか知りませんが、決まった方法を 憶えておいて、それを適用して素早く計算するというのはあまり 数学的能力とは関係ないと思うのですが... 就職などに有利なのでしょうか。