質問: 漸化式の変形 漸化式の書き方はよく分からないんですけど、数列の第3項はa_3のように書きたいと思います。 数列a_nがa_1=3,a_n+1=2a_n-nで定義されるとき、一般項a_nを求めよ。 上のような問題でa_n+1=2a_n-nを変形すると、a_n+1-(n+2)=2(a_n-(n+1))と変形できると解答にあるのですが、 右辺の(n+1)って何ですか?また、これの導き方を教えていただきたいです。
回答: このように変形すると、 b_(n+1) = a_(n+1) - (n + 2) b_n = a_n - (n + 1) として、 b_(n+1) = 2b_n とできるからです。 このような問題では、うまくnを消すことを考える必要があります。 両辺をnで割るというパターンもあるのですが、 今回の場合は、解答のように変形する必要がありそうですね。 導き方としては、解答のような形に変形できるということをあらかじめ知っていた上で、係数を合わせることになります。 a_(n+1) - (n+1+k) = 2(an - (n+k)) と変形できるとして、 kの値を求める感じだと思います。