質問: x^2-1 ならば xは全ての実数 は真ですか? また、 1/0x ならば xは全ての実数 は真ですか?
回答: x,a などの変数は実数を表すことにします。 P(x),Q(x)をxに関する条件とするとき、 (*) 『すべてのxについて「P(x)⇒Q(x)」』が真 ⇔ {x|P(x)}⊂{x|Q(x)} です。 (実数)xに関する条件P1(x),P2(x)を P1(x):x^2=-1 P2(x):すべての実数aについて x=a である とすると、最初の命題は、 すべての実数xについて「P1(x)ならばP2(x)」 です。 P1(x)を真にするxは存在しないので、{x|P1(x)}=空集合 P2(x)を真にするxも存在しないので、{x|P2(x)}=空集合 空集合はどんな集合にも含まれる(空集合にも含まれる)ので、(*)により最初の命題は真です。 2番目の命題は 1/0 が無意味なので命題になりません(x=1/0がxに関する条件になりません)が、0*x=1 とすれば命題になります。 0*x=1を満たすxはないので、最初の命題とまったく同じで真になります。 (*)と空集合はどんな集合にも含まれる、ということから、命題 すべてのxについて「P(x)ならばQ(x)」 は、P(x)を満たすxが存在しない({x|P(x)}=空集合)時はいつでも真になります。