質問: 中学2年の二次関数問題です。どうにも解けず、質問させていただきます。三角比はまだ使えません。 長さ1の針金を2つに切り、正五角形と正七角形を作る。面積の合計が最小となるとき、面積比と周長比が等しくなることを示せ。
回答: 1辺が1の正五角形と正七角形の面積をそれぞれ a, b とします。 長さ1の針金を2つに切り、正五角形と正七角形を作った時の、 正五角形、正七角形の一辺の長さをそれぞれ x, y とすると、 5x+7y=1. 相似な図形の面積は辺の長さの二乗に比例するので、一辺 x の 正五角形、一辺 y の正七角形の面積はそれぞれ、ax^2, by^2 に なるので、面積の合計 S は、 S = ax^2 + by^2 = ax^2 + b((1-5x)/7)^2 =(1/49)( (49a+25b)x^2 - 10bx + b) =(1/49)( (49a+25b)(x^2 - 10bx/(49a+25b)) + b) =(1/49)((49a+25b)(x -5b/(49a+25b))^2 -25b^2/(49a+25b) +b) =(1/49)( (49a+25b)(x -5b/(49a+25b))^2 + 49ab/(49a+25b) ) よって、S は x=5b/(49a+25b) の時、最小値を取る。その時の y は、 y=(1-5x)/7 = (1/7)(1 - 25b/(49a+25b)) = 7a/(49a+25b). この時、周長比は、 5x:7y = 25b/(49a+25b):49a/(49a+25b) = 25b:49a. 面積比は、 ax^2:by^2 = a*25b^2/(49a+25b)^2:b*49a^2/(49a+25b)^2 = 25b:49a. となるので、両者は一致するというわけです。