質問: 微分方程式について 微分方程式の問題について2つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね? 定数係数2階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね? (2)s(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) s(x)が満たす1階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてs(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m
回答: (1) ご質問の意味がよくわかりません。 右辺が 10 のものが、そのまま 0 のものと同じ解になるはずはないですよね。 元の方程式の右辺の 10 を左辺に移項し、-2y-10=-2(y+5) と考えて、z=y+5 と定義すると、z'=y',z''=y'' ですから、(1)の方程式は z''+z'-2z = 0 に帰着します。そういう意味でしょうか。そういう意味ならそのとおりです。 または、右辺0の同次方程式の一般解を求め、それに非同次方程式の特殊解(この場合 y=-5 がすぐに見つかる)加えても、元の方程式の一般解は得られます。 (2) s'(x) = x^3/2 + x s(x) がすぐにわかると思います。 s' - x s = x^3/2 を解くには、 s(x) = f(x) e^{x^2/2} とおいてみます。 s'=f'e^(x^2/2) + x s より、f' e^(x^2/2) = x^3/2 f' = x^3 e^(-x^2/2)/2 f(0) = s(0) = 0 より、 f(x) = ∫_0^x f'(x) dx = ∫_0^x x^3 e^(-x^2/2)/2 = - [x^2 e^(-x^2/2)/2]_0^x + ∫_0^x x e^(-x^2/2) dx = - x^2 e^(-x^2/2)/2 - e^(-x^2/2) + 1 故に、s(x) = - 1 - x^2/2 + e^(x^2/2) と求まります。 実際、これをテイラー展開すると、 s(x) = -1-x^2/2 + σ_(k=0)^∞ (x^2/2)^k/k! = σ_(k=2)^∞ x^(2k)/[(2k)(2k-2)...2] となり最初の式が出てきます。 [別解] s'/x - s = x^2/2 ですが、 y=x^2/2 とおくと、ds/dx=dy/dx・ds/dy = x ds/dy より、 ds/dy - s = y この特殊解は s = -1 - y ds/dy - s = 0 の一般解は、s = c e^y これらを足して、s = c e^y - 1 - y = c e^(x^2/2) - 1 - x^2/2 x = 0 とおくと、s(0) = 0 より、c = 1 故に、s(x) = e^(x^2/2) - 1 - x^2/2