質問: 数学の質問です。 10本の鉛筆を3人に分けるとき、1本ももらえない人がいても良いとするときに、分け方 数学の質問です。 10本の鉛筆を3人に分けるとき、1本ももらえない人がいても良いとするときに、分け方は全部で何通りあるか。 という問題で、鉛筆1本ごとに分け方が3通りあるから、310=19683通りと思ったんのですが、 答えは12c2=66通りとのことでした。 解説を見て納得はしたのですが、自分の当初の考え方も間違っては無いのでは無いかと思います。何が間違っているのか教えてください。
回答: 何人か書いているが、 3^10 通りは 10 本の鉛筆が全て区別できる場合の分け方の数。 aさんが赤鉛筆を 1 本,bさんが青鉛筆を 1 本もらう状況と aさんが青鉛筆を 1 本,bさんが赤鉛筆を 1 本もらう状況を区別するなら、 その数え方になる。10 色の色鉛筆を分ける場合とかね。 鉛筆がどれも同じように見えて、本数だけを考える場合には、 分け方はずっと少なくなる。 まず、10 本を 3 組の束に分けよう。 x +y + z = 10, x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0, x ≧ y ≧ z となるような整数 x,y,z の組み合わせは、 10,0,0 9,1,0 8,2,0 8,1,1 7,3,0 7,2,1 6,4,0 6,3,1 6,2,2 5,5,0 5,4,1 5,3,2 4,4,2 4,3,3 の合計 14 通り。 その中で x,y,z の値が皆異なるものについては、 x,y,z を 3 人に割り当てる方法が 3! 通りづつ。 x,y,z の中に同じ値があるものについては、 x,y,z を 3 人に割り当てる方法が 3c2 通りづつ。 よって、分け方の総数は、 (3!)×8 + (3c2)×6 = 66 通り。 12c2 というのは、重複組み合わせの話だと思う。 10h3 = 12c2 = 66 となる。 興味があれば、「重複組み合わせ」を検索検索。