質問: 補集合で解きたい 2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ。点(a,b)の存在範囲を図示せよ。 という問題を補集合で考えて解きたいと思うのですがうまくいきません。
回答: 普通に解くと、(a^2)/4≧bであり(「b<0」もしくは「0≦bかつa<0」) 「正の解を少なくとも一つもつ」(a,b)の集合 ↓補集合 「解があり、全て0以下である もしくは 解なし」である(a,b)の集合 解があり、全て0以下である条件 f(0)=b≧0 -a/2≦0→0≦a a^2-4b≧0→b≦a^2/4 ∴0≦a and 0≦b and b≦a^2/4 解なしの条件 b>a^2/4 よって補集合は 0≦a and 0≦b and b≦a^2/4 ∪ b>a^2/4 この補集合の補集合(つまり求める集合)は 0>a or 0>b or b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4 書き直すと 0>a ∩ b≦a^2/4 or 0>b ∩ b≦a^2/4 or b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4 a-b平面で考えると(aは横軸,bは縦軸とする) 0>a ∩ b≦a^2/4は、b軸より左で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。 つまり、第二象限の内b≦a^2/4であるものと第三象限全て(b軸上は含めない) 0>b ∩ b≦a^2/4は、a軸より下で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。 つまり第三象限と第四象限の全て(a軸上は含めない) b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4 は存在しない。 これらを合わせたものとなるので、 第二象限の内b≦a^2/4であるもの、第三象限全て、第四象限全て(第四象限におけるb軸は含めない) という図形になる。