質問: 1階非同次線形微分方程式の解法について 難しすぎてよくわからないので質問します。 いろんなサイトを見てもよくわからなかったので分かりやすい回答おねがいします。 みなさんから見れば、なぜこんなことも分からないの、なにを言っているの?と思うのかもしれませんが、丁寧に解説してくれるとありがたいです。 非同次方程式の一般解=同次方程式の一般解+非同次方程式の特殊解となるようですが、 なぜこれが成り立つのかわかりません。 いろんなサイトみたのですが、数式がいっぱい書いてあってなにがなんだかわからない状態です。 まだ、変数分離の解法しかやっていないので、難しいことを言われても分からなくなってしまいます。 まず、1階線形微分方程式は、dy/dx+f(x)y=g(x)などのように表されるということは分かりました。 そしてこのg(x)を0としたものが非同次となるわけですよね。 つまり、dy/dx+f(x)=0です。 そしてこの解法として、まずy=u(x)が同次方程式の一般解としようと書いてあります。 ですが、もうこの時点でよくわからないです。 なぜ一般解としようと考えたのかってとこに疑問があります。 特殊解でもなく、なぜ一般解なのかということです。 そして、これを代入すると、du(x)/dx+f(x)u(x)=0となるのはわかります。 ただ代入するだけなので。 次に、y=v(x)を非同次方程式の特殊解としようと書いてあります。 でもなぜ非同次方程式の特殊解にするのかわかりません。 同次方程式の特殊解と考えてはだめなのかと思ってしまします。 まさか適当においたとも思えませんし。 なにかの考えがあってのことだと思いますし。 ようするに、なぜこのようにおいたのか、道筋というか目的ってのがよく見えないのです。 いったいなにをやっているのか。 たぶん一般解と特殊解の関係?みたいなのがわかっていないので、悩んでいるような気がします。 つまり、 非同次方程式の一般解=同次方程式の一般解+同次方程式の特殊解とおくことはできないのかと。 質問の意味あまりわからないかもしれませんが、すいません。 わからなすぎて、なにが分からないのかもわからない状態で。 丁寧に解説してくれるとありがたいです。
回答: 1番です。 論理としては、1番の冒頭部分だけで十分であって、線形空間について知っている必要はありません。ただ、知っていると理解が深まるので、紹介しました。 でもかえって混乱してしまったようですね。 いただいた補足について、すでにフォローしてもらっているので重複してしまいますが追加回答します。 > つまり、(2)の解が2つ、vとuが得られたなら、a,bを任意定数と仮にしたときに、それを足したav+buも解になるよということを意味しているのでしょうか? そうです。ただし、そこから出発して、vが線形空間の公理を満たすことを確かめないと、この議論はあなたにとって意味がありません。 > (1)の解 > なぜ線形空間にならないのでしょうか? 公理をみたさないから。直接的には0が存在しないので公理を満たさない。0というのはどんなxに対してもy(x)=0となる関数yのことです。(1)の方程式のyに0を代入すると、任意のxについて0=g(x)となって矛盾します。 > aとvの共通部分が空集合 これは上記と同じことです。もしa∩v≠φならば、ある関数yが存在してyは(1)の解でもあり(2)の会でもあるということになりますが、これは任意のxについて0=g(x)を意味するので矛盾します。 yが方程式(1)の一般解であるとは、(1)の任意の解をいっぺんに全部表現したものということです。一般解というのは一つの解ではなくて、たくさんの解を表していることに注意してください。上の説明でaを与えるのと同じことです。 特殊解というのはそんな色んな解のうちの一つのことです。 たとえば、dy/dx=2x+1という微分方程式だったら、一般解はy(x)=x^2+x+cという形になります。例えばz(x)=x^2+x+3はdy/dx=2x+1の解ですが、このときは一般解yでたとえばc=3とおいたものy_0=x^2+x+3は特殊解です。 つまり、 > 一般解のひとつの解として特殊解があるのでしょうか? の答えとしては、「一般解のひとつとして特殊解がある」です。 > t=0,t=1,t=2・・・・t=∞までの特殊解の足し合わせが一般解になるということなのでしょうか? これは違います。それだと一つの解しか表さなくなり、その和自体が(もしaの中で収束すれば)一つの特殊解になってしまいます。一般解とは一つの関数のことではなくて、関数族(つまり関数の集合)のことなのです。関数族に属するメンバーの一つが関数(特殊解)なわけです。