質問: 対称式 (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)=a^n+a^(n-1)b+...+ab^(n-1)+b^n を基本対称式a+bとabを用いて表すことを考えました。 色々と実験してみたところ Σ{i=0 to n/2}(-1)^iC(n-i,i)(ab)^i(a+b)^(n-2i) という形で表されるらしいことが分かりました。 ここで、C(n-i,i)は二項係数です。 しかし、どうにも証明ができません。 どなたが、証明の方法をご教授頂ければ幸いです。
回答: P[n]=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)とおくと、 P[n+2]=(a+b)P[n+1]-ab*P[n] が成り立つので、結論の式が予想できているのであれば、この関係を使って数学的帰納法で確かめてみれば?