質問: 状態方程式x'=Ax+Buにおいて A=[a -b; b a]、B=[1; 0] a≠0、b>0、u≠0 の時にシステムが安定となる条件をa、b、uで表してください。
回答: キチンと一意の意味に成る、数学記号で、書いてください。 状態方程式•••PV=nRT などを言う。 状態遷移が、(x0 , y0) から始まり、 ⃗ f:C2━→C2:(xn , yn)┣→(xn+1 , yn+1) であり。かつ、 ┏xn+1┓=┏ a ,−b┓┏xn┓+┏u┓ ┗yn+1┛...┗ b , a ┛┗yn┛...┗0┛ であるとき。 lim[n→+∞](xn , yn) が、C2 の中で収束する条件を、求めよ。 A=┏ a ,−b┓ , ||A||=|det(A)| =|a2+b2|と定めよう。 ......┗ b , a ┛ |a|2=aā , ||(xn , yn)||=(|xn|2+|yn|2)0·5 と定めよう。 ||A||=r<1 のときを考えよう。 lim[n→+∞]||An(x , y)||≦lim[n→+∞]||Anl|•||(x , y)||→(0,0) バナッハ空間において、 lim[n→+∞]||fn(x , y)||=lim[n→+∞]∑[n=1〜n]||AnBu|| ≦lim[n→+∞]∑[n=1〜n]||A||n•||Bu|| ≦lim[n→+∞]∑[n=1〜n]rn•||Bu||→収束 ||A||=r<1のとき、級数がノルム収束したから、バナッハ空間において、ベクトル級数が収束する。 det(A)=−1 のときなどは、振動したりするので、必ずしも収束せず。 答え a,b,u が定数 かつ |det(A)|<1 のとき、収束。