質問: この問題の解答をお願い致します。
回答: x, y, zはt3-pt2/3+t/p-1/p3=0の3解 3p3t3-p4t2+3p2t-3=0 解を t=β/α(αとβは互いに素な自然数) とする 3p3β3/α3-p4β2/α2+3p2β/α-3=0 3p3β3-p4αβ2+3p2α2β-3α3=0 β(3p3β2-p4αβ+3p2α2)=3α3 βは3の約数すなわちβ=1, 3 ➊β=1のとき 3p3-p4α+3p2α2-3α3=0 3p3=α(3α2-3p2α+p4) αはp3の約数すなわちα=1, p, p2, p3 ➀α=1のとき 3p3-p4+3p2-3=0 p2(3p-p2+3)=3 これを満足するpは存在しない ➁α=pのとき 3p3-p5+3p4-3p3=0 p4(-p+3)=0 p=3 ➂α=p2のとき 3p3-p6+3p6-3p6=0 p3(3-p3)=0 これを満足するpは存在しない ➃α=p3のとき 3p3-p7+3p8-3p9=0 3-p4+3p5-3p6=0 p4(3p2-3p+1)=3 これを満足するpは存在しない ➋β=3のとき 27p3-3p4α+3p2α2=α3 27p3=α(α2-3p2+3p4) αはp3の約数すなわちα=1, p, p2, p3 ➀α=1のとき 27p3-3p4+3p2=1 p2(27p-3p2+3)=1 これを満足するpは存在しない ➁α=pのとき 27p3-3p5+3p4=p3 26-3p2+3p=0 3p2-3p-26=0 これを満足するpは存在しない ➂α=p2のとき 27p3-3p6+3p6=p6 27=p3 p=3 ➃α=p3のとき 27p3-3p7+3p8=p9 27-3p4+3p5=p6 27=p3(p3-3p2+3p) これを満足するpは存在しない ➊➋から (α, β, p)=(3, 1, 3), (9, 3, 3) このとき x=1/3, p=3 x+y+z=p/3⇔y+z=2/3 xyz=1/p3⇔yz=1/9 解くとy=z=1/3 以上より (p, x, y, z)=(3, 1/3, 1/3, 1/3)