質問: 楕円にそった複素積分 複素積分の問題でこの問題がわかりません 次の曲線cに沿って次のf(z)の積分を計算せよ f(z)=z^2 曲線c:(x/a)^2+(y/b)^2=1(この楕円の上半分) (-a,0)とcのとの交点をa,(a,0)とcとの交点をbとしb→aにそう積分です この問題が分かりません おそらく円の時はz=re^iθとおいて積分するので楕円もこのように何らかの方法で置き換えると思うんですが、どうやって置き換えればいいのか分からないので分かる方、教えていただけると助かります
回答: 一番簡単なのは,aからbへ実軸上を通る径路 c' を考えることでしょう. (1) ∫_{c'} f(z) dz = ∫{-a → a} f(x) dx は即座に計算出来ます. また,c+c' は閉径路で, この径路内で f(z) は正則です(というか,複素平面全体で正則)から. (2) ∫_{c+c'} f(z) dz = ∫_c f(z) dz + ∫_c' f(z) dz = 0 (1)(2)より ∫_c z^2 dz は直ちに求められます.