質問: 微分方程式の問題です。 微分方程式の問題です。「d^2v/dr^2+(1/r)*dv/dr=a (aは定数)を解く際、u=dv/drとおくと、変数変換したもとの微分方程式の同次方程式の解がu=c/r (cは定数)で与えられ、次にu=(c/r)*wとおいて、wを求めれば、再び変換することでvを求めることができる。」というのは定数変化法を用いていると思うのですが、u=c/rが求められた時点でu=dv /drを使ってvを求めて、その後定数変化法を用いてvを求めるとうまく求められません。また、変数変換後に定数変化法を用いるのに何か条件などは必要ないのでしょうか?どなたかご教授願います。
回答: 順序を変えて2階同次微分方程式の一般解を求めてから定数変化法を用いても非同次方程式の一般解を求めることはできます。(定数2つ分の定数変化法になるので手間はかかりますが。) u=c/rを積分してv=c*log(r)+c' (c':定数)を求めた後、定数変化法でv(r)=a(r)*log(r)+b(r)とします。 v(r)の基本解はlog(r),1ですので、ロンスキー行列式wはw(r)=-1/rとなります。 ここからa(r),b(r)を求めますと、 a(r)=-∫(-r)*1*a dr =ar^2/2+c1 b(r)=∫(-r)log(r)*a dr =-(ar^2/4){2log(r)-1}+c2 (ただし、c1,c2:定数) となり、非同次方程式の一般解v(r)が求められます。 v(r)=(ar^2/2+c1)*log(r)-(ar^2/4){2log(r)-1}+c2 =ar^2/4+c1*log(r)+c2