質問: 数aの円順列のことで質問があります。 先生2人、生徒4人が円卓に向かって座るとき、先生2人が向かい合 数aの円順列のことで質問があります。 先生2人、生徒4人が円卓に向かって座るとき、先生2人が向かい合う座り方は何通りあるか。 という問題で、解説に「1人の先生の席を固定して考えると、もう1人の先生の席は1通りに決まる」と書いてありました。 確かにそうですが、なぜ先生の座り方が1通りなのかわかりません。先生の座る場所を逆にすれば2通りになると思ったのですが。 なぜ1通りになるのですか?
回答: 先生xに先に着席してもらい、その席から時計回りに1,2,3,4,5,6と席番号をふります。 先生2人が向かい合うのなら、先生yの席は4番です。 残った2,3,5,6の席に生徒a,b,c,dが着席する座り方を数えればいいので、4!通りです。 あなたが気にしているのは、先生yが1番、先生xが4番の席に座る場合ですね? その場合、 例えば yabxcd という席順は、先生xが1番に座る xcdyab と同じ並び方なので 1通りの座り方と数えているのです。 先生xの席に注目すると、xの席を1番に固定して考えるということは、 xcdyab という座り方を xが2番の席にくる bxcdya や xが3番の席にくる abxcdy と同一視して考えるということ なので、そこでは yabxcd は、yが1番にくるというより xが4番にくる座り方として、 あらかじめ xcdyab と同一視されていたのでした。