質問: 商空間とハウスドルフ空間 初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。 通常の位相を持った数直線rから原点0を除いた位相空間をxとする。x上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合x/~をyとおく。次の各問に答えよ。 (1)π;x→yを写像とするとき、y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。 (2)yは第2可算公理を満たすことを示せ。 (3)商空間yはハウスドルフ空間になることを示せ まず(1)はできました。次に(2)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第2可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか?できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(3)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。
回答: > π;x→yを写像とするとき これは「商写像」の書き間違いですよね? (2) yの開集合をπで写して基底の和で表し、それをπによる逆像を考えます。 (3) yの異なる2点[x],[y]∈yを任意に与えます。 xとyが異符号ならば自明なので、同符号のときだけ考えます。さらに、x,y>0としても一般性を失いません。 このとき、 (2^(n-1))y