質問: なんでlim[n→∞] a[n]=0なのにσ[n=1,∞]a[n]=∞になることがあるんですか? なんでlim[n→∞] a[n]=0なのにσ[n=1,∞]a[n]=∞になることがあるんですか?
回答: 判定方法としてはダランべールの判定方法が有名 直感では無理。 lim[n→∞]|a_(n+1)/a_n|<1 つまり減り方(比)が除々に鈍くなるのは収束するかわからん。ということ。 等比数列より速く小さくなるのだから、この条件で収束するのは 当然と言えば当然ですが。 1になってしまう場合でも lim[n→∞]n(|a_(n+1)/a_n| - 1) < -1 なら収束するそうです。証明はしらん(^^;。こうなると直感より計算です。 例。 an=1/n^2 limn→∞]n・{n^2/(n+1)^2-1}=lim[n→∞/(n+1)・n/(n+1)=-2<-1 なので収束。