質問: これを教えていただきたいです。 なるべく詳しくお願いします( ́;ω;`)
回答: 分かりやすいように、m=7のときを考えた後一般化を行います(m=7のときは、問題の図3に対応しています)。 k=1、2、...、(m-1)/2とありますので、まずm=7のとき(m-1)/2がいくつか考えてみましょう (m-1)/2 =(7-1)/2 =3 よって、m=7のときは図3の左から3列目までを数えています。 3列目までを考えると、k列目にk個のマスがあることが分かると思います。 よって、k・・・(アの答え) になります。 次に、図3で1、2、3列目までの和を考えると1+2+3=6個となります。 これをΣを使って表すと Σ[k=1~3]{k}となります。(以下、すべてΣはこの表記を用います) ここで4列目を飛ばして5、6、7列目も同じ形になっていることが分かると思います。つまり5、6、7列目の和は3列目までの和と等しいので、Σ[k=1~3]{k}となります。 最後に4列目を考えていきましょう。4列目は4個あることはわかると思います。これをmを使って表すことを考えていきましょう。 k=(m-1)/2が3列目に対応していました。よって、これに1足したものが4列目になります。 k=(m-1)/2+1 =(m+1)/2 kの数と箱の数は同じでしたので、4列目のマスの数kは(m+1)/2となります。 したがって、太郎さんの考えは Σ[k=1~3]{k}+(m+1)/2+Σ[k=1~3]{k} =2Σ[k=1~3]{k}+(m+1)/2・・・(イ、ウ、エの答え) になります。 では花子さんの考えに移っていきましょう。 m=7のとき、4行目まであることが図3から分かります。4行目はmを使って表すと、先ほどの計算から(m+1)/2になります。 よって、 (m+1)/2・・・(オの答え) になります。 よって、すべてのマスの個数は Σ[l=1~(m+1)/2]{2l-1}を計算して整理することにより {(m+1)/2}^2・・・(カ、キの答え) になります。(簡単なΣの計算なのでチャレンジしてみて下さい) 次に総和を考えていきます。先ほどと同じようにm=7で考えていきます。 太郎さんの考えについて、 1列目は1 2列目は1+2 3列目は1+2+4 となっています。これは初項1、公比2の等比数列となります。一般項はa[n]=2^(n-1)です。 一般化して答えを求めていきます。項の数を考えると、k列目にk個の項があることが分かります。よって求める和は等比数列の和の公式により 1*(2^k-1)/(2-1)=2^k-1・・・(ク、ケの答え) 花子さんの考えについて 1行目の和は1 2行目の和は1+2+1 3行目の和は1+2+4+2+1 4行目の和は1+2+4+8+4+2+1 となります。このままだと考えにくいので、次のように式変形して考えていきます(4行目について式変形しています) 2(1+2+4)+8 つまり、初項1、公比2、項数3の数列の数列の和を2倍したものと、初項1、公比2の4番目の項を足せばよいことが分かります。 では答えを求めるため、一般化していきましょう。求める和は一般項a[n]=2^(n-1)であることから。 2×Σ[k=1~(n-1)]{2^(k-1)}+2^(n-1) =2×{2^(n-1)-1}/(2-1)+2^(n-1) =2×2^(n-1)-2+2^(n-1) =3×2^(n-1)-2・・・(コ、サの答え) (カ、キの答え)から、マスの数は(m+1)^2/2であり、(オの答え)からn=(m+1)/2までの和を求めればよい。マスの数が64個なので、 {(m+1)/2}^2=64より(m+1)/2=8 したがって、求める総和は Σ[k=1~8]{3×2^(k-1)-2} =747・・・(シ、ス、セの答え) 計算結果は間違っているかもしれないので、問題集の解答と照らし合わせながら確認してください。