質問: ディリクレ関数は無理数上では下半連続で有理数上では上半連続であることを証明してください。出来るだけ丁寧にお願いします。
回答: ディリクレ関数をfとおく。 x0を任意の無理数とする。このときf(x0)=0 ε>0 を任意にとる。x0の近傍Uを開区間(x0-2ε, x0+2ε)ととる。xをUの任意の要素とするとき、f(x)=0 or 1 であるから、 f(x)≧-ε=f(x0)-ε が成立する。よって任意のε>0に対してx0の近傍Uが存在し、Uに属するどのxに対して f(x)≧f(x0)-ε となる。よってfは無理数で下半連続である。 x0を任意の有理数とする。 このとき、f(x0)=1 ε>0 を任意にとる。x0の近傍Uを開区間(x0-2ε, x0+2ε)ととる。xをUの任意の要素とするとき、f(x)=0 or 1 であるから、 f(x)≦1+ε=f(x0)+ε が成立する。よって任意のε>0に対してx0の近傍Uが存在し、Uに属するどのxに対して f(x)≦f(x0)+ε となる。よってfは有理数で上半連続である。