質問: 共変ベクトルについて(相対論) 相対論の勉強をしています。テンソル以前に共変ベクトルの意味が理解できてないです。反変ベクトルは普通のベクトルって感じがするんですが、共変ベクトル式でこう表せると書かれてもイメージがわきません。式から具体的にどういうベクトルだといえるんですか?全然わかんなくなってきたので(ドツボ。。)助けてください。
回答: 数学の専門の方に怒られるようなことを言っているかもしれませんが、 euclid と異なる一般の空間では、 基底ベクトルの大きさを一定としてしまうと 記述が綺麗にならないこともあります。 そこで、一般的な微分幾何学では座標軸の目盛 g に比例して 伸び縮みする基底ベクトルを考えます。 このような基底ベクトルを導入すると、場所によって基底ベクトルが伸縮し 座標軸の目盛が変わってしまうためにベクトルに2種類の区別が必要になってきます。 まず、速度ベクトルを考えてみます。 速度が一定のまま基底が 1 から g に変化するとき、速度ベクトルの成分は 1/g 倍になります。 次に、スカラーの勾配ベクトルを考えてみます。 目盛(単位長さ)が g 倍になると単位長さあたりのスカラーの変化量も g 倍になります。 もう気付いておられるかもしれませんが、 速度ベクトルのように基底ベクトルと反対に伸び縮みするものを「反変ベクトル」、 スカラーの勾配ベクトルのように基底ベクトルと共に伸び縮みするものを「共変ベクトル」といいます。