質問: この3つに使い方の違いはあるのでしょうか? 例えば、成分を求める問題で列ベクトルにしてから計算して成分表示したり、内積するときに成分表示で示されたベクトルを勝手に列ベクトルと行ベクトルに変えて計算してもよいのでしょうか?
回答: (続き) ベクトル空間とその双対空間の間には、明確な区別があって、 それぞれのベクトルを混同することはできない。そこで、 一方を列ベクトル、他方を行ベクトルで書くことにすれば、 両者が足し算できないこともハッキリするし、内積を行列積で 表すこともできる。ただし、 位置ベクトルを列ベクトルで書くこと自体に特別な意味はなく、 ベクトルを列行ベクトルで、双対ベクトルのほうを列ベクトルで 書くことに決めても(一貫してそう扱うならば)構わない。 列ベクトルで書くか、行ベクトルで書くかということは、 単なる表記上の便宜に過ぎないからだ。 大切なのは、両者の間の区別だけである。 直線の方程式などに現れる ax (あるいは xa) という内積は、 上記のように行ベクトルと列ベクトルを区別すれば上手く扱えるが、 では、ベクトルの長さ(の二乗) x・x は、どうするか。 一方を転置して (x^T)x とする手もあるけれど、 ここでついでに座標変換の下で変化しない表記をしようと思えば、 係数を設けて x・x = Σi,j=1...n(x_i)(x_j) とする方法がある。 基底を換えることで x の成分が変化しても、g の成分も変化して 違いを吸収し、式の形は変わらない。 Σi,j=1...n(x_i)(x_j) = Σi,j=1...n(x'_i)(x'_j). テンソル解析では、このような「内積」を採用する。 内積の係数 g は、「計量テンソル」と呼ばれ、 空間の性質を記述する量として、様々の用途に使われる。 計量テンソル g が付随する空間では、ベクトル x と双対ベクトル gx の間には深い関わりがあり、行列代数での「転置」に近い役割をする。 g との行列積をとらずに、成分の並べ方だけ縦から横へ変えても、 x に随伴した双対ベクトルにはならない ということ。 裏返せば、係数 g を掛けて成分を変換すれば、ベクトル x を 双対ベクトル Σj=1...n(x_j) によって表現することもできる ということだ。これが、単なる転置に替わる、 テンソル的に正しい行と列の入れ替え方である。 標語的に言えば、「勝手に転置してはイケナイ。計量と縮約して 双対ベクトルを作れ。」ということになる。