質問: aが整数で、x^5-ax-1が整数を係数とする2つの aが整数で、x^5-ax-1が整数を係数とする2つの 整式の積に表されるとき、aの値を求めよ。 x^5-ax-1=0 とおいて、もし、解が整数をもつときは 剰余定理からa=0,2が分かるのですが、整数解を持たない場合 もあるので、どんな解法があるのか。よろしくお願いします。
回答: いかにも計算が面倒そうで。。。。。。。w 定数項が -1であることを利用しよう。 5次={3次}*{2次}、{4次}*{1次}の2通りがあるが {3次}{2次}をやってみよう。 {4次}*{1次}の場合も同様にできるから。 x^5-ax-1={x^3+bx^2+cx+d}*{x^2+mx+n}とおいて、右辺を展開すると b+m=0、c+bm+n=0、d+cm=0、cn=-a、dn=-1 となる。 dn=-1 から {d、n}={1、-1}、{-1、1}の2通り。あとは 実際に 係数が整数になるかどうか調べる。 {4次}*{1次}の場合も含めて、続きは自分でやって。