質問: dt / ln(10) となり ∫{u=-∞→∞} ln( coth(|t|/2) ) / ( ln(10) )^2 du となり、底の変換だけでは、うまくいきません。 coth=( e^x+e^(-x) )/( e^x-e^(-x) )を用いて x=|u|×ln(10)/2をばらして変換しようとしてもうまくいきません。 どなたか、ご存知の方、いらっしゃいましたらご教示頂きたくお願いいたします。
回答: 先ず質問内容の確認ですが、 w(u)を置換積分すると、 log( coth(|u|×ln(10)/2 ) ⇒ ln( coth(|t|/2) ) / ( ln(10) )^2 となった。しかし、実際は log( coth(|u|×ln(10)/2 ) ⇒ ln( coth(|t|/2) ) に簡約化できるらしい。 "/( ln(10) )^2"が余計だが、どういうことか? と解釈してよろしいでしょうか? 重み関数というのは、関数の内積を拡張し直交関数系を生成するためのものです(拡張定義の直交関数系)。 結論を言うと定数部分は無視できるため、"/( ln(10) )^2"は気にしなくて良いです。定数を掛けようが掛けまいが、関数の直交性は変わりませんからね。直交性が確保できれば、制御工学に登場する方程式も解けるということだと思いますよ。ただ、定数を無視することが制御工学に具体的にどう影響するのかは、想像しかねます。