質問: 完全代表系であることを示せ。という問題なのですが、わかる方いらっしゃいましたら、解答の方していただきたいです。
回答: R ではなく ~ で表すことにしますm(_ _)m .................[cosθ -sinθ] また R(θ) = [sinθ .cosθ] としますm(_ _)m ◆ ~ が同値関係であること ◇ 反射律 任意の A ∊ G に対して R(0)A = A より A ~ A です☆ ◇ 対称律 A ~ B のとき R(θ)A = B と表せるので R(-θ)B = A であり B ~ A が成り立ちます♪ ◇ 推移律 A ~ B, B ~ C のとき R(θ1)A = B, R(θ2)B = C と表せるので C = R(θ2)B = R(θ2){R(θ1)A} = R(θ1+θ2)A より A ~ C も成り立ちます(b^-^) 以上より ~ は同値関係です☆ ◆ 完全代表系について ...............[a' b'] 任意の A = [c' d'] ∊ GL(2, R) に対して (a', c') ≠ (0, 0) なので cosθ = a'/√(a'2 + c'2), sinθ = -c'/√(a'2 + c'2) とすれば ............[√(a'2+c'2) (a'b'+c'd')/√(a'2+c'2)] R(θ)A = [...........0 ..(a'd'-b'c')/√(a'2+c'2)] なので a = √(a'2+c'2), |A| = a'd'-b'c' ≠ 0 より d = (a'd'-b'c')/√(a'2+c'2), b = (a'b'+c'd')/√(a'2+c'2) と改めておけば [a b] [0 d] (a > 0, d ≠ 0) が完全代表系ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬