質問: ゲーデルの定理のための偽善 - なぜ? なぜゲーデルの不完全性定理は数学者をとても悲しくするのですか?実数、複素数、四元数などのユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学(ユークリッド幾何学の内部で解釈可能)の算術のような完全で決定的で一貫性のある数学の断片があります。この数学の大きな部分は十分ではないか、勉強に値するのでしょうか?
回答: 実数の算術演算は完全ではなく、一貫している。実際、これは不完全性が本当に重要な領域です。自然数と実数の基数の間に基数がある集合が存在するかどうかを問うContinuum仮説を考えてみよう。このステートメントはZFでは決めることができず、さらにCHとその否定の両方がZFの他の部分と一貫しています。 もう一つの問題は、多くのシステムが自然数でモデルを認めることであり、それらを不完全にすることです。ジオメトリの公式化(または、おそらくより抽象的なもの)をいくつか持つことができます。これは自然数の算術演算とは明白な関係がありません。命題論理のような弱い正式なシステムだけが、通常、不完全さを逃れることができます。 これは、数学の哲学の特定の種類の親和性を持つ人々のためのイライラ問題ですが、私はそれが一般的に数学者にとって非常に悲惨だとは思わない。 1つは、ほとんどの現役数学者は、数学の哲学をあまり気にしない(それについて多くは知らない)。数学について哲学的に真実なのは、実際に数学をすることとは直接関係がありません。