質問: 証明問題, b(r^n)=σ(j_n)を示せ(b(r^n)はn次元ボレル集合体) 今日はよろしくお願い致します。 b(r^n)をn次元ボレル集合体,σ(j_n)をn次元区間j_nから生成されるσ集合体とする。 [問] b(r^n)=σ(j_n)となる事を示せ。 [証] r^nの位相はn次元開区間の任意個の和集合t:={∪[λ∈λ]i_λ∈2^x;i_λはn次元開区間(λは非可算集合)}と採れるから b(r^n)=σ(t)(∵ボレル集合体の定義) =∩[b∈{b;t⊂b,bはr^n上のσ集合体)}]b(∵生成されるσ集合体の定義より) =r^n (∵tを覆えるのはr^nしかないので (∵もし,仮にr^nの真部分集合でtを覆えたものがあったとすると 少なくとも(-∞,+∞)×(-∞,+∞)×...×(a,+∞)×...×(-∞,+∞)(a∈r,n個の直積集合) というような有界な区間がある。この時, (-∞,+∞)×(-∞,+∞)×...×(a-1,+∞)×...×(-∞,+∞)∈tなのに (-∞,+∞)×(-∞,+∞)×...×(a,+∞)×...×(-∞,+∞)はtを覆えてない)) 同様に σ(j_n)=∩[b∈{b;j_n⊂b,bはr^n上のσ集合体)}]b(∵生成されるσ集合体の定義より) =r^n(∵上記と同じ理由) 従って b(r^n)=σ(j_n)となったのですがどこかおかしいでしょうか?
回答: b(r^n) や σ(j_n) は、r^n の部分集合族ですから、 =r^n とはなりません。