質問: 数学的帰納法の問題 帰納法の問題を教えてください。 すべての自然数nについて、n^3+5nは6の倍数であることを数学的帰納法 によって証明せよ。 よろしくお願いします。
回答: 1)n=1のとき n^3+5n=6 これは6の倍数である。 2)n>1である、あるnについて n^3+5nは6の倍数であることを仮定。すなわち n^3+5n=6m (mは整数) (1) 3)n+1のとき p=(n+1)^3+5(n+1) が6の倍数であることを言えばよい。 p=(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+6+3n^2+3n (1)を用いて p=6m+6+3n(n+1) nが偶数のとき3n(n+1)は6の倍数 nが奇数のとき(n+1)が偶数になるので3n(n+1)は6の倍数 以上よりpは6の倍数になる。 1)~3)から数学的帰納法によって、すべての自然数nについて、n^3+5nは 6の倍数であることが証明された。