質問: ベクトルの問題なのですが・・ 三角形oabがあり、|oa|=√2、|ob|=√3、oa・ob=-3/2である。 また、辺abの中点をm、辺obを1:2に内分する点をnとし、mから直線anに下ろした 垂線の足をhとする。oa=a 、ob=bとする。 線分abを直径とする円k上を動く点pがある。三角形anpの面積の最大値を求めよ。 また、そのときのopをa,bで表せ。ベクトルは省略させていただきます。 円k上を動く点pがある ってところがよくわかりません・・ 詳しく教えてもらえると嬉しいです!!
回答: >三角形oabがあり、|oa|=√2、|ob|=√3、oa・ob=-3/2である。 > また、辺abの中点をm、辺obを1:2に内分する点をnとし、mから直線anに下ろした > 垂線の足をhとする。oa=a 、ob=bとする。 > 線分abを直径とする円k上を動く点pがある。三角形anpの面積の最大値を求めよ。 abの長さを求めます。 cos∠aob=oa・ob/|oa|・|ob|=(-3/2)/√2・√3=-√6/4 余弦定理より、 ab^2=oa^2+ob^2-2・oa・ob・cos∠aob =2+3-2・√2・√3・(-√6/4) =8 より、ab=2√2 3辺がわかると図にかけるので、△oabと円kを大体をかいて見てください。 abを直径とする円がkなので、中心をkとすると、半径ak=√2 oa=ak=√2なので、△akoは二等辺三角形です。(頂点をaと見るとokは底辺) △anpの面積が最大になるのは、 頂点をpと見たとき、底辺anへ下した垂線の長さ(高さ)が最大のとき。 このとき、pは円の中心kを通り、abに対して、oの反対側にあります。 また、二等辺三角形akoの底辺okの延長線上にあります。 pからanに下した垂線の足をiとすると、o,i,k,pはこの順に一直線上に並びます。 ok⊥anだから、anはokの垂直二等分線。よって、oi=ik ......(1) kpは円の半径だから、kp=√2 ......(2) △anpの面積の最大値を求めます。 om=(1/2)oa=(1/2)a, on=(1/3)ob=(1/3)b kはabの中点だから、ok=(1/2)oa+(1/2)ob=(1/2)a+(1/2)b (1)より、 oi=(1/2)ok=(1/2){(1/2)a+(1/2)b}=(1/4)a+(1/4)b ......(3) |oi|^2=(1/16)|a|^2+2・(1/4)・(1/4)・(a・b)+(1/16)|b|^2 =(1/16)・2+(2/16)・(-3/2)+(1/16)・3 =1/8 より、|oi|=√2/4 an=on-oa=(1/3)b-a |an|^2=(1/9)|b|^2-2・(1/3)・(a・b)+|a|^2 =(1/9)・3-(2/3)・(-3/2)+2 =10/3 より、|an|=√30/3 (1)より、ik=√2/4 (2)より、pi=ik+kp=(√2/4)+√2=5√2/4 より、 △anpの面積の最大値=(1/2)・an・pi =(1/2)・(√30/3)・(5√2/4) =5√15/12 > また、そのときのopをa,bで表せ。ベクトルは省略させていただきます。 oi:ip=(√2/4):(5√2/4)=1:5 より、oi:op=1:6 よって、(3)より、 op=6oi=6{(1/4)a+(1/4)b}=(3/2)a+(3/2)b >円k上を動く点pがある ってところがよくわかりません・・ 上の通り、図を描いてみてください。 (mh⊥anの条件は使いませんでした。)