質問: 積分の考え方 高校数学iiの積分の学習を始めたばかりです。参考書に積分が面積を表す説明が載っていました。そこでは関数f(x)≧0とx軸との間の面積を使って説明がされていたのですが、f(x)≦0の場合そのまま∫f(x)dxで考えてはいけない理由が見えてきません。何故わざわざ関数をx軸に関して反転させなければならないのでしょうか?何か明確な(当たり前な?)理由があるのでしょうか?宜しくお願いします。
回答: こんばんは。 f(x)≦0 の場合、定積分の結果はマイナスの値になります。 マイナスの面積という考え方をしてよい場合は、f(x)の正負にこだわる必要はありません。 たとえば、a、bが正の数であるとして、 f(x) = a を区間0~b で積分することは、底辺がb、高さがaの長方形の面積を計算していることになります。 ここで、 f(x) = -a とすると、どうなるでしょうか? 高さがマイナスで、面積もマイナスの長方形ということになります。 しかし、図形的に見れば、長方形がx軸の上にあろうと下にあろうと、プラスの面積の長方形とするのが自然です。 つまり、「マイナスの面積」という概念を嫌う場合は、f(x)≧0 という決まりごとを設けるわけです。 「マイナスの面積もある」という考え方で積分を理解したほうが、物理学などでは重宝するので、私は好きですが。