質問: 平面図形 三角形abcがある。ab=6、bc=10であり、ac上に点dをとり、dcの長さを6とし、dbの長さを6とする。 また、adの中点をeとする。辺abを3:1に分ける点をfとする。 辺dbの延長と辺efの延長して、交わった点をgとする。 このときaeの長さを求めよ。またbgの長さを求めよ。 と言う問題です。 わかっていることをまとめると 長さがわかっているのは ab=dc=db=6 bc=10 adを1:1に分ける点をe abを3:1に分ける点をf △dbcと△abdは二等辺三角形である と言うことが文章からわかると思います。 まずaeの長さを考えると 点dからbcに垂線を引き、その交点をhとする。 また△abdは二等辺三角形だから、点eと点bを結ぶ △cdh∽△cbeであるから cd:cb=ch:ce 6:10=5:ce 6ce=50 ce=25/3 cd=6より de=ce-cd =25/3-6 =7/3 となり de=eaなので ae=7/3となりました。 次に 辺の比を使って何とかgbの長さを求めようとしたのですがさっぱりわかりません。 すいませんが、詳しい解説をお願いします。またこのような問題の考え方がありましたら教えてください。
回答: bを通り、acに平行な直線と線分geとの交点をpとします。 すると、△aef∽△bpfで、af:bf=3:1だからae:bp =3:1。 さらに、ae=deだから、ae:bp=de:bp=3:1。 そして、△gbp∽△gdeなので、上のことから、gd:gb=3:1。 gb=xcmとすると、bd=6cmであることも考えて (x+6):x=3:1