質問: a・t^2 + c (c:積分定数) ・・・式(6) 式(6)が誤っている理由の解説をお願いします。
回答: 結論からいうと式(1)は等速の場合しか使えません。 等速でない、つまり加速度が0でない場合に式(1)を使うことが間違っています。 式(2)もこれが成り立つのは一定の加速度の場合のみです。 速度とは、二点間を移動するときに、移動距離を移動にかかった時間で割ったものです。 より正しくはこれは平均の速度で、移動距離や移動時間を無限小にしたものが瞬間の速度(単に速度)です。 さてこの平均の速度を考えてみましょう。 時刻tにx(t)にあったものがδtだけ時刻が経過したときにx(t+δt)にあったとすると平均の速度は v(t) = [ x(t+δt) - x(t) ] / δt これを書き換えて x(t+δt) = x(t) + v(t) δt 移動時間δtが十分に短い時間であれば、これがいつでも成り立ちます。 そこで、微小時間δtの間隔に分割して時刻0から考えていくと、 x(δt) = x(0) + v(0) δt x(2δt) = x(δt) + v(δt) δt x(3δt) = x(2δt) + v(2δt) δt x(4δt) = x(3δt) + v(3δt) δt ・・・・・ x([n-1]δt) = x([n-2]δt) + v([n-2]δt) δt x(nδt) = x([n-1]δt) + v([n-1]δt) δt このときに、一般にはvが時刻によって変っていくのがミソで、 上のすべての式で同じvを使えません。 これを全部加えるとx(iδt)の部分がx(0)とx(nδt)を残して全て消えて x(nδt) = x(0) + σ[i=1,n] v([i-1]δt) δt 速度が時間によって変らない場合、つまり加速度が0であればv([i-1]δt)を定数vとできるので x(nδt) = x(0) + σ[i=1,n] v δt = x(0) + v nδt ここで移動距離なのでx(0)=0とし、t=nδtと書けば式(1)が出てきます。 つまり、式(1)は等速の場合しか使えません。 加速度が0ではなく速度が式(2)で与えられる場合 v([i-1]δt) = a・[i-1]δt + c なので x(nδt) = x(0) + σ[i=1,n] v([i-1]δt) δt = x(0) + { σ[i=1,n] [i-1] } aδt^2 + c nδt ここにある和は σ[i=1,n] [i-1] =n(n-1)/2 ~ n^2/2 (n >> 1の場合) となるので x(nδt) = x(0) + (1/2) a(nδt)^2 + c (nδt) 前同様にx(0)=0、t = nδtとして x(t) = (1/2) a t^2 + ct になります。(式(6)、間違ってますね。) これから、tを一定にする条件でδt→0、n→∞の極限を取ったものが積分です。