質問: 獣医学部の大学生です! 数学の試験範囲の問題が分からなくてとても困っています... 回答お願い致します!
回答: 問1 微分の記号と定数dが紛らわしいので、時間微分は、『’』で示すことにする。 X’=aX-cY・・・1 Y’=bY-dX・・・2 1をtで微分すると、 X''=a・X’-c・Y’ これに2を代入する。 X''=a・X’-c・(bY-dX)・・・3 1にbをかけると、b・X’=ab・X-cb・Y これから、cb・Y=ab・X-b・X’ これを3に代入すると、 X''=a・X’-ab・X+b・X’+cd・X 整理して、 X''-(a+b)・X’+(ab-cd)・X=0 d^2X/dt^2 - (a+b)dX/dt + (ab-cd)X =0 が導けた。 これの特性方程式は、 λ^2-(a+b)λ+(ab-cd)=0 この式の根は、 λ=[(a+b)±√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2 √内は、a^2+b^2-2ab+4cd=(a-b)^2+4cd>0 二つの根を、α1、α2とすると α1+α2=a+b α1・α2=ab-cd より、ab≧cdの場合、2根とも共、 そうでなければ一つが正である。 従って、微分方程式の解は、 X=A・e^(α1・t)+B・e^(α2・t) と表せる。 Yは、 cb・Y=ab・X-b・X’ =ab・{A・e^(α1・t)+B・e^(α2・t)}-b・{A・α1・e^(α1・t)+B・α2・e^(α2・t)} =(ab・A-b・A・α1)・e^(α1・t)+(ab・B-b・B・α2)・e^(α2・t) 故に、Y={(ab・A-b・A・α1)・e^(α1・t)+(ab・B-b・B・α2)・e^(α2・t)}/cb 問2 a=b=2、c=d=1、を代入すると(α1≧α2とする) α1=[(a+b)+√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2={4+√{4^2-4(4-1)}/2=3 α2=[(a+b)-√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2={4-√{4^2-4(4-1)}/2=1 X(t)=A・e^(3t)+B・e^(t) Y(t)={(4・A-2・A・3)・e^(3t)+(4・B-2・B・1)・e^(t)}/2 =-A・e^(3t)+B・e^(t) 初期条件、X(0)=300、Y(0)=100より、 X(0)=A・e^(3・0)+B・e^(1・0) =A+B=300 Y(0)=-A・e^(3・0)+B・e^(1・0) =-A+B=100 これから、A=100、B=200 X(t)=100・e^(3t)+200・e^(t) Y(t)=-100・e^(3t)+200・e^(t) tが増加するにつれ、Y(t)は減少する。 Y(t)=0となるtは、 100・e^(3t)=200・e^(t)、つまり、 e^(2・t)=2・e^(t)のときで、対数をとると、 2・t=ln(2)+t t=0.693という時間。 問3 (略) 以上と同様に微分方程式を解けばよい。