質問: 数学の問題です。 数列【an】に対して、bn=1/nσn/k=1 ak とおく。 【bn】が等差数列 数学の問題です。 数列【an】に対して、bn=1/nσn/k=1 ak とおく。 【bn】が等差数列の時、【an】が等差数列であることを示せ。 という問題で、 まずは【bn】が等差数列であるから、 bn=pn+q (p.qは定数) とおき、bn=1/nσn/k=1 akより、 σn/k=1 ak =n(pn+q).....1 n=1のとき、a1=p+q.....(⭐︎) ここからが質問なのですが、参考書では n≧2のとき、1のnをn−1に置き換える とありましたが、私は、n +1に置き換えました。 すると、参考書のやり方だと、 an=2pn−p+q となり、n=1の時も(⭐︎)と成立したのですが、 私のやり方では an=2pn+p+q となり、n=1の時、(⭐︎)と成立しませんでした。 このやり方は間違っているのでしょうか?私の計算ミスでしょうか? 詳しい方お願いします。
回答: n+1に置き換えた場合は an=2pn+p+qとなりません a(n+1)=2pn+p+q となります なのでa(1)を求めることはできません b(n)=(1/n)σ_{k=1~n}a(k)...1 b(n)=pn+q b(1)=a(1)=p+q 1のnをn+1に置き換えると b(n+1)=1/(n+1)σ_{k=1~n+1}a(k) b(n+1)=p(n+1)+q nb(n)=σ_{k=1~n}a(k) (n+1)b(n+1) =σ_{k=1~n+1}a(k) =σ_{k=1~n}a(k)+a(n+1) =nb(n)+a(n+1) だから a(n+1) =(n+1)b(n+1)-nb(n) =(n+1)(p(n+1)+q)-n(pn+q) =(n+1)(pn+p+q)-pn^2-nq =pn^2+2np+nq+p+q-pn^2-nq =(n+1)p(n+1)+q(n+1)-pn^2-qn =p(n^2+2n+1)+qn+q-pn^2-qn =pn^2+2np+p+qn+q-pn^2-qn =2pn+p+q