質問: 4次元空間上での平面の式 任意の点を(x,y,z,u)とした4次元空間で (1)3次元の立体を表す式は ax+by+cz+du=e でいいですか? (2)2次元の平面を表す式は一般にどのような形になりますか? 上記のことに疑問を持った理由。 2次元空間で1次元の直線を表す式は、一般にax+by=cとなる。 これは、2点(x,y),(xo,yo)を通り、方向ベクトルが(a',b')で媒介変数tとして x=a't+xo y=b't+yo と書くこともできる。 3次元空間で2次元の平面を表す式は、一般にax+by+cz=d となる。 これは、 平面上の2点(x,y,z)と(xo,yo,zo)を結ぶベクトルとこの平面に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c)の内積が0であるという条件より導かれる。 実際に計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo になり、ax+by+cz=dという形と同値であることが確認できる。 【別な考え】 3次元空間内の平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を p(xo,yo,zo)、q(x1,y1,z1)、r(x2,y2,z2) とする。この平面上の任意の点x(x,y,z)は、媒介変数t,sを使って ox↑=op↑+tpq↑+spr↑ と書ける。 成分表示にするために op↑=(xo,yo,zo) pq↑=(a,b,c) pr↑=(a',b'c') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) という書き方も平面を表す式である。 実際に(1)と(2)から未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式に代入すれば、(1)(2)(3)式は、一つの式 a"x+b"y+c"z=d'という形になる。 直線を表す式は、媒介変数tを使って x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo または、 (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=t となる。 4次元空間で同じように、 直線や平面や立体を考えてみた。 2次元では、(1,0)と(0,1)が直交の基底ベクトル。 3次元では、(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)が直交の基底ベクトル。 したがって、 4次元では、(1,0,0,0)と(0,1,0,0)と(0,0,1,0)と(0,0,0,1)が直交の基底ベクトル。 4次元空間では、点は4つの成分で表される。 4次元空間での直線について。 直線は2点が与えられば書ける。 2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を通り、その直線の方向ベクトルが(a,b,c,d)だとしたら、媒介変数tを使って、 x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo u=dt+uo となって (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=(u-uo)/d=t 次に4次元空間での3次元立体について。 2次元空間では、それより一つ次数が低い1次元の直線は一つの式 ax+by=c で与えられた。 3次元空間では、それより一つ次数の低い2次元の平面は、一つ式 ax+by+cz=d で表さられた。 したがって、4次元空間では、それより一つ次数の低い3次元の立体は、 ax+by+cz+du=e で表されるだろう。 【別な考え】 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する立体は一つしかない。なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで空間(立体)は3つの基底ベクトルで決定されて、残り一つが残っているからだ。 立体上の2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を結ぶベクトルとこの立体に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c,d)の内積が0であるという条件で計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)= 0 ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo になり、ax+by+cz+du=eという形になる。 2次元の平面はどうだろうか? (ここからが本題) 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する平面は、2つあるはずだ。 なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで平面は2つの基底ベクトルで決定されて、残り2つが残っていて、それはこの平面に直交するように選べるからだ。 平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を p(xo,yo,zo,uo)、q(x1,y1,z1,u1)、r(x2,y2,z2,u2)、 とする。この平面上の任意の点x(x,y,z,u)は、媒介変数t,sを使って ox↑=op↑+tpq↑+spr↑ と書ける。 成分表示にするために op↑=(xo,yo,zo,uo) pq↑=(a,b,c,d) pr↑=(a',b',c',d') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) u=uo+dt+d's.....(4) という書き方も平面を表す式である。 (1)と(2)を連立して、未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式と(4)式代入すれば、(1)(2)(3)(4)式は、2つの式 a"x+b"y+c"z+d"u=e' a"'x+b"'y+c"'z+d"'u=e" になる。 この2つの式からuを消去すれば、結局、 ax+by+cz=d という形になる。 zを消去すれば、 ax+by+cu=d yを消去すれば、 ax+bu+cz=d xを消去すれば、 au+by+cz=d
回答: 「三次元の立体」は、やや語弊ありで、 「三次元の空間」がいいかな? 言っていることの内容は、正しいと思います。 部分空間をパラメータ表示するときの成分の個数と、 一次独立な法線ベクトルの個数の間には、 足すと全空間の次元になるという法則があり、 「次元定理」と呼ばれています。 四次元空間の平面なら、それが 2+2=4 になる訳です。 一次独立な法線の個数と、一次独立な方程式の個数は、同じですね。 n 次元空間の n-1 次元部分空間を「超平面」と言います。 普段、我々が平面の性質と思っているものには、 平面の性質と超平面の性質が混じっていますが、 その点に関する誤解は、見受けられないようです。