質問: 高校数学IIの教科書には、 「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、 等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、 この等式はxについての恒等式であることが知られている」 と書いてあります。 これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。 つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、 数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは 十分性の確認は不要」であり、 「f(x)、g(x)がxのn次の多項式であるとき、 数値代入法で、n個以下のxの値を代入して答えが出たときは 十分性の確認は必要」と言うことです。 では、f(x,y,z...)、g(x,y,z...)がx、y、z...のn次以下の多項式である とき、等式f(x,y,z...)=g(x,y,z...)が一体何個の異なるx、y、z...の値 に対して成り立つならば、この等式はx、y、z...についての恒等式 であることが知られているのでしょうか? たとえば、「2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c) がx,yの恒等式になるように,定数a,b,cの値を定めよ.」 という問題の場合、数値代入法で解くと、 2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c).........(1)とする. (1)にx=0,y=0を代入すると,-1=bc.........(2) (1)にx=0,y=1を代入すると,0=(1+b)(-3+c).........(3) (1)にx=1,y=1を代入すると,a+3=(3+b)(-2+c).........(4) (3)から,b=-1またはc=3 i).b=-1のとき,(2)から,c=1 (4)に代入すると,a+3=-2 ∴a=-5 このとき,(1)は 2x^2+5xy-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1)(x-3y+1) となり, 常に成立する. ii).c=3のとき,(2)から,b=-1/3 (4)に代入すると,a+3=3-(1/3) ∴a=-1/3 このとき,(1)は 2x^2-xy/3-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1/3)(x-3y+3) =2x^2-5xy-3y^2+17x/3+4y-1 となり,これはx,yの恒等式ではない. i).,ii).から,答はa=-5,b=-1,c=1である. となります。この場合、f(x,y)、g(x,y)はx、yの「2」次の多項式 ですが、「2+1」個のx,yを代入しても十分性の確認は 必要でした。
回答: 定理として知っているわけではないので確たる自信はないですが... (x,y)の場合は、多分6つじゃないでしょうか。というのは、展開した時に x^2, y^2, xy, x, y, 1 の6つの項ができるので、それぞれに対応する6つの係数を定めるために一般的には6つの等式が一般には必要になると思います。 この考え方で行くと、k変数n次の場合は、k^n+k^(n-1)+...+k^0個が必要になりますね。というのは、n次の項はk^n通り作れるのからです。ちなみに、k=1を代入するとn+1になります。