質問: ベクトル、垂心 三角形oabの辺oaを1:2に内分する点をc、辺obを2:1に内分する点をdとし、線分bcとadの交点をpとする。また、→oa=→a、→ob=→b。 →ap=s→adとおくとき、→op=(ア-s)→a+イ/ウs→b...(1) また、→bp=t→bcとおくとき、→op=エ/オt→a+(カ-t)→b...(2)である。 (1)(2)からs=キ/ク、ケ/コとなる。さらに、点pが三角形oabの垂心になるとき、∠aob=θ(0 ゚<θ<180 ゚)とするとcosθ=√サ/シである。 ア1 イ/ウは2/3、エ/オは1/3、カ1、キ/クは6/7、ケ/コは3/7と分かったのですが、サとシが分かりません。 pが三角形oabの垂心だから→oa⊥→bcかつ→ob⊥→adまでは分かるのですが、ここからどうやって、cosθにもっていくのですか。 回答よろしくお願いします。(見づらくて申し訳ないです)
回答: 「→oa⊥→bcかつ→ob⊥→ad」からは、これをベクトルの内積の式に置き換えて下さい。 →oa・→bc=0 かつ →ob・→ad=0 ここから 内積→a・→b、|→a|, |→b|の関係が得られます。 あとはこの関係を使って cosθ=(→a・→b)/(|→a||→b|) を簡単にすれば答えが得られます。 ポイントはベクトルの内積です!