質問: 行列の問題です、よろしくお願いします。 a=(a b ; c d) (←2次の正方行列をこのように表すとします) (1)行列aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、 tr(a)=λ1+λ2、 det(a)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします) (2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・a^n=((λ1)^n-(λ2)^n)・a-((λ1)^n・λ2-λ1・(λ2)^n)・e が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "^n" はn乗を、"e"は単位行列を表しています) という問題がよくわかりません。 (1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ a-λe=(a-λ b ; c d-λ) det(a-λe)=(a-λ)(d-λ)-bc =λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より λ1+λ2=a+d=tr(b) λ1・λ2=ad-bc=det(b) としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか? (2)は、全然方針が思い浮かびません...どのように解くのでしょうか?よろしくお願いします。
回答: (2)の解き方はきっと数学的帰納法って言うのを使うんです.. ケーリーハミルトンの式はn=2にしたものと一致しますよね. (a^2) - tr[a] * a + det[a] * e =0 (ケーリーハミルトン) あとは、n=kで成り立つと仮定してn=k+1で成り立つ事を示せばよいのです.(このときケーリーハミルトンまた使うと早いです.) (1)の理想的な回答はちょっと思いつきませんでしたよ.