質問: 線形独立を示す。(基底の分野です。) 線形代数の問題です。 w:=“有限生成”とするとき、 (v=c^0 [a,b]、w:={σ(k=1 to n )ck・e^kx | ck∈r) v≧w=<e^x、e^2x、...、e^nx>)の {e^x、e^2x、...、e^nx}=“線形独立”を示せ。 (1){e^x、e^2x、...、e^nx}はwの生成系 (★証明済み) (2)e^x、e^2x、...、e^nx≠0 (恒等的に0でない) (2)証明 ς(k=1 to n )ck・e^kx=0 (定数関数)(恒等的に0) c1・e^x+c2・e^2x+...cn・e^nx=0(恒等的に0) 両辺に1/e^xをかけると、 c1+c2・e^x+...+cn・e^(n-1)x=0 ・・・(1) x=0を代入 c1+c2+...+cn=0 ・・・(2) (1)をxで微分する c2・e^x+2c3・e^2x+...+(n-1)cn・e^(n-1)x=0(恒等的に0) x=0を代入 c2+2c3+...+(n-1)cn=0 ・・・ この続きが分かりません。(分かりづらくてすみません) 何か、決まったやり方があるようなのですが・・・。 どなたかよろしくお願いします。
回答: もう、ほとんどできてると思います。 c1+c2+...+cn=0 (1回目) c2+2*c3+...+(n-1)*cn=0 (2回目) がすでに出ていますが、 c2*e^x+2*c3*e^2x+...+(n-1*cn*e^(n-1)x=0 の両辺に1/e^xをかけて、xで微分し、x=0を代入を代入すると、 1*2*c3 + 2*3*c4 + ... +(n-2)*(n-1)*cn=0 (3回目) になります。 これをくりかえしていくと、 1*2* ... *(n-2)*cn-1 + 2* ... *(n-1)*cn=0 ((n-2)回目) 1*2* ... *(n-1)*cn=0 ((n-1)回目) になります。 (n-1)回目の式より cn=0 これを (n-2) 回目の式に代入して、 cn-1 =0 で、どんどん逆に代入していって、 c1 =0 まで得ることができます。 これで線形独立性が示せたでしょう。 見づらい・分かりづらいですが、このカテの宿命ですね。