質問: Pn : (xn yn), x1 1, y1 3とする。Pnは次の漸化式をみたすものとする。 [xn+1] [2,1][xn] [yn+1][0,3][yn]
回答: (1)積を計算するとx[n+1]=2x[n]+y[n],y[n+1]=3y[n] (2)y[1]=3,y[n+1]=3y[n]よりyは初項3,公比3の等比数列なのでy[n]=3^n (3)z[n]=x[n]/3^nである。 x[n+1]=2x[n]+y[n]よりx[n+1]=2x[n]+3^n 両辺を3^(n+1)で割ると x[n+1]/3^(n+1)=2/3 x[n]/3^n+1/3 z[n+1]=2/3 z[n]+1/3 (4)両辺から1を引いて z[n+1]-1=2/3 z[n]-2/3=2/3 (z[n]-1) また、z[1]-1=x[1]/3 -1=1/3 -1=-2/3 従ってz[n]-1は初項-2/3,公比2/3の等比数列なので z[n]-1=-(2/3)^n z[n]=-(2/3)^n+1 x[n]/3^n=-(2/3)^n+1 x[n]=-2^n+3^n=3^n-2^n