关于直线对称的两点的坐标计算公式<br>撰文/大罕<br>已知点M(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),求点M关于直线l对称的对称点M′的坐标,这是高中数学教学中常见的问题。<br>其求法是简单的,设M′(x,y),利用直线l是线段MM′的中垂线,列出方程组,解方程组便可求得M′点的坐标。<br>由于在教学中遇到此类问题很多,屡屡列方程组并解之不胜其烦,所以不如做一回傻事,就一般情况推导出其坐标公式,“毕其功于一役”,省得以后劳苦再三。但需说明的是,此公式虽如此优美,但仅适合于教师使用。而不提倡学生使用此公式(额外增加了记忆负担)。<br>定理:已知点M(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),点M关于直线l对称的对称点M′的坐标(x,y),则<br>x=x0-2Af(x0,y0)/(A2+B2),<br>y=y0-2Bf(x0,y0)/(A2+B2).<br>其中f(x,y)=Ax+By+C<br>证明:设点M关于直线l对称的对称点M′的坐标是(x,y),<br>∵ l⊥MM′,<br>∴ [(y-y0)/(x-x0)](-A/B)=-1,<br>∴ y=y0+B(x-x0)/A , ①<br>∵ 线段MM′的中点在直线l上,<br>∴ A(x+x0)/2+B(y+y0)/2+C=0,<br>∴Ax+By+C+Ax0+By0+C=0,<br>即Ax+By+C+f(x0,y0)=0, ②<br>将①代入②,得<br>Ax+B[y0+B(x-x0)/A]+C+f(x0,y0)=0,<br>∴ A2x+B[Ay0+B(x-x0)]+AC+Af(x0,y0)=0,<br>∴ A2x+ABy0+B2x-B2x0+AC+Af(x0,y0)=0,<br>∴ (A2+B2)x-A2x0-B2x0+A2x0+ABy0+AC+Af(x0,y0)=0,<br>即(A2+B2)x-(A2+B2)x0+2Af(x0,y0)=0,<br>∴ x=x0-2Af(x0,y0)/(A2+B2),<br>把上式代入①,得<br>y=y0+B[-2Af(x0,y0)/A(A2+B2)]<br>=y0-2Bf(x0,y0)/(A2+B2).(证毕)<br>例1已知点M(3,4)和直线 l: x-y=0,点M关于直线l对称的对称点M′的坐标。<br>解:x0