对于一元二次方程<br>,当<br>时方程没有实数根,这时就需要引入复数(Complex number)<br>,其中a,b都是实数,<br>。<br>复数是实数的推广,当b=0时就是实数(Real number),当a=0时称为纯虚数(Wholly imaginary)。<br>对于任意的两个复数<br>与<br>有以下四则运算:<br>上述的代数运算是比较抽象的,那么如何直观理解复数的四则运算呢?下面先介绍复平面(Argand diagram)。<br>对于任意一个复数<br>,可以用复平面上的一个点来表示<br>这类似平面直角坐标系(Cartesian coordinate),只不过x轴为实轴、y轴为虚轴。因为平面直角坐标系和极坐标是可以互相转化的,所以这里也可以用极坐标来描述任一复数。<br>称OP的长度为复数z的模(Modulus),用|z|表示;称角<br>为复数z的幅角(Argument),用arg(z)表示。<br>注:幅角<br>大小一般用弧度制表示,取值范围为<br>到<br>。<br>与极坐标类似,满足一定条件的复数在复平面上会形成一些轨迹,如<br>至此可以给出复数的三角表示,<br>,其中<br>。<br>现在我们来看一下复数加减法的几何意义:<br>可以把<br>与<br>看成两个向量,那么<br>可以用平行四边形法则来理解。同理,我们也可以借助向量减法的三角形法则来理解<br>所以复数的加减法是可以通过向量来理解的,为了加深理解可以来思考一下以下两个轨迹:<br>(1)<br>(2)<br>注:<br>(1)arg(z-i)就是以(0,1)为起始点所形成的向量与横轴所成的角度大小;<br>(2)点与(0,-1)、(2,-1)所形成的角度大小要相同,只有在上述两条射线上。<br>下面来看一下复数乘积的几何意义,这里我们先用复数的三角形式来计算一下两个复数<br>的乘积:<br>根据三角和差公式可知:<br>。<br>通过上面的计算可以发现,<br>得到的新复数,模为两个复数模的乘积<br>,幅角为两个复数幅角之和<br>。因此,复数的乘积可以理解为拉伸与旋转。如下图<br>因为<br>,所以<br>的模长为<br>,幅角为<br>。<br>特别的,当一个复数z乘以模长为1的另一个复数时,就是把复数z旋转,如乘以i,那就是逆时针旋转90°;