在数学中,我们把极限<br>$$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$$<br>记为e,并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...,这是一个与π同等重要的数(甚至有些书认为它比π更重要)。和π一样,这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下<br>假设$e=p/q$是有理数,其中p,q是正整数。根据e的麦克劳林展开式,我们有:<br>$$p/q=e=1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!}+\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{1}$$$$p/q-(1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!})=\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{2}$$<br>其中$\varphi \in(0,1)$<br>于是,我们将(2)两边同时乘上q!,在左边得到了一个整数,而右边=$\varphi^{q+1}/{(q+1)}$为非整数,于是两者并不相等。这与两者相等矛盾!于是假设并不成立,e是无理数。<br>这个通过麦克劳林展开式是一个相对简单的证明,当然前提是要懂得e的麦克劳林展开式。相对于维基百科上提供的证明来说,我觉得这个证明相对简洁、直观!<br>更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》<br>如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。<br>如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!<br>打赏<br><img><br><img><br>分类:数学研究 标签:证明,无理数<br><h3>你也许还对下面的内容感兴趣</h3><br>明显基本是通过牛顿广义二项式张开。然后证明收敛近视分母求和。<br><h3>关于站长</h3><br><img><br>苏剑林|BoJone,科学空间博主,数学、天文、理论物理、写作、阅读、计算机、中国象棋、厨房爱好者......目前28岁,还在单调递增。正在追一科技打杂,并致力于分享科学之美~<br>你也许会关心:科学空间QQ交流群:808623966<br><h3>智能搜索</h3><br>支持整句搜索!网站自动使用结巴分词进行分词,并结合ngrams排序算法给出合理的搜索结果。<br><h3>热门标签</h3><br>