Citation: 4A_524/2023 E. A

A.a. Les époux A.A.________ et B.A.________ (ci-après: les clients ou les demandeurs ou les recourants) sont entrés en relation avec Banque D.________ SA dans le courant de l'année 2007 dans le but de contracter un prêt hypothécaire afin de refinancer le prêt qu'ils avaient auprès de E.________ concernant un chalet dont ils étaient propriétaires dans la commune de U.________. Par fusion du 21 mai 2010, la Banque D.________ SA a été reprise par C.________ SA, à V.________ (ci-après: la banque ou la défenderesse ou l'intimée). Par contrat du 24 octobre 2007, les clients ont contracté un prêt de 9'000'000 fr., dont 2'700'000 fr. étaient destinés au refinancement du prêt auprès de E.________, 2'500'000 destinés au financement des travaux dans leur chalet et le solde de 3'800'000 fr. destiné à l'ouverture d'un portefeuille d'investissement auprès de la banque. Le prêt était garanti par des cédules hypothécaires grevant leur chalet. Il devait être remboursé par un amortissement du capital à raison de 90'000 fr. par an, la première fois en 2008, et d'un montant de 5'000'000 fr. en décembre 2012. En exécution de ce contrat, le prêt auprès de E.________ a été remboursé par 2'747'358 fr. 80, un montant de 2'500'000 fr. a été versé au client pour financer les travaux du chalet et deux comptes d'investissement ont été ouverts (les n° xxx et yyy), sur lesquels ont été versés respectivement 2'750'600 fr. et 1'000'000 fr. (total de 8'997'958 fr. 80). A.b. Pour le premier compte, sur lequel a été versé le montant total de 2'750'600 fr., le client a passé un contrat de conseil en placement et choisi un profil de risque équilibré (consistant en une croissance modérée du capital, une propension moyenne à prendre des risques et un horizon d'investissement à 5 ans). Pour le second compte, sur lequel a été versé 1'000'000 fr, le client a conclu un mandat de gestion et choisi un profil performance (avec un objectif de rendement absolu et la préservation du capital, avec un esprit de risque assez bas). Des investissements divers ont été effectués. De son côté, le client a effectué divers prélèvements à des fins personnelles sur ces deux comptes, ainsi que pour payer les intérêts hypothécaires, pour un montant total de 2'663'531 fr. au 31 août 2009 et encore ultérieurement pour 462'692 fr., soit au total 3'090'223 fr. A.c. La crise financière mondiale de 2008 a eu un impact sur les capitaux investis. La banque D.________ elle-même a été touchée et a fait l'objet d'un sauvetage des gouvernements belge, néerlandais et luxembourgeois. La banque C.________ y a pris une participation de 75 % en octobre 2008. Le 1er octobre 2008, le client a demandé à la banque de transférer les avoirs du second compte sur le premier. C'est ainsi qu'un montant total de 895'000 fr. a été transféré à la valeur du 30 septembre 2008, soit une perte à cette date d'environ 10 %. Ce second compte a été clôturé. Le premier compte a continué à être détenu par la banque avec un profil de risque "équilibré avec restrictions". Après la fusion avec C.________ en mai 2010, le client a fait part à la banque, en février 2011, de sa décision de vendre la totalité de son portefeuille, sauf une position. Il s'est révélé que les hedge funds étaient difficiles à vendre. En mai 2011, la banque a informé les clients qu'ils ne disposaient plus des liquidités pour payer l'amortissement hypothécaire. L'amortissement de 5'000'000 fr. au 31 décembre 2012 n'avait pas été effectué et les intérêts impayés étaient de 72'024 fr. 27 au 30 juin 2013. Le 22 juillet 2013, la banque a alors dénoncé le contrat de prêt et réclamé le remboursement au 31 janvier 2014. A.d. La banque a fait notifier deux commandements de payer aux clients pour le montant de 9'000'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1 er février 2013. Les clients ayant formé opposition, la mainlevée provisoire a été accordée avec intérêts dès le 1 er février 2014 par jugements bernois du 29 juin 2016.