Citation: 4A_517/2023 E. A

A.a. Die Aa.________ AG (Arbeitgeberin, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U.________ und bezweckt die Erbringung von Dienstleistungen in den Bereichen Treuhand, Finanzen und Family Office. Sie ging aus der C.________ AG hervor und wird von der Ab.________ Holding Ltd. mit Sitz in V.________ gehalten, deren Aktienkapital indirekt und je zur Hälfte dem D.________ Trust und E.________ gehört. B.________ (Arbeitnehmer, Beschwerdegegner) war ab 12. Oktober 2015 bei der C.________ AG als "Finance Manager" angestellt und ab 5. Februar 2018 bei der Arbeitgeberin als "Head Accountant" im Rang eines Direktionsmitglieds. A.b. Im Herbst 2019 entbrannte innerhalb der Arbeitgeberin ein Streit, dessen Hintergründe unklar sind. Dabei standen sich auf der einen Seite E.________ und auf der anderen Seite F.________, G.________ und H.________ gegenüber. Am 27. Februar 2020 und 30. März 2020 führte E.________ als einziger verbliebener Verwaltungsrat der Ab.________ Holding Ltd. eine Universalversammlung der Arbeitgeberin durch. Dabei wurden in einem ersten Schritt G.________ sowie H.________ als Verwaltungsräte abgewählt und durch I.________ sowie J.________ ersetzt. In einem zweiten Schritt wurde F.________ als Präsident und Mitglied des Verwaltungsrats abberufen, während E.________ zum neuen Präsidenten des Verwaltungsrats bestellt wurde. F.________, der gleichzeitig CEO der Arbeitgeberin und direkter Vorgesetzter des Arbeitnehmers war, kündigte sein Arbeitsverhältnis am 1. April 2020. Die Arbeitgeberin stellte ihn sofort frei und entliess ihn am 7. April 2020 fristlos. Als neuer Geschäftsführer wurde umgehend K.________ eingesetzt. H.________, G.________ und F.________ akzeptierten ihre Abwahl als Verwaltungsräte nicht. Sie stellten sich auf den Standpunkt, dass E.________ die Kontrolle über die Arbeitgeberin unrechtmässig erlangt habe, klagten am 21. April 2020 beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die entsprechenden Beschlüsse und traten weiter als Organe der Arbeitgeberin in Erscheinung. A.c. Mit superprovisorischer Verfügung vom 24. April 2020 wies der Präsident des Handelsgerichts das Handelsregisteramt an, die Zeichnungsberechtigung von I.________ im Handelsregister zu löschen. Hingegen sollte es auf eine Löschung von F.________ als Verwaltungsratspräsident bis auf weiteres verzichten. Ferner verbot er I.________ und J.________, für die Arbeitgeberin rechtsgeschäftliche oder tatsächliche Handlungen im Innen- oder Aussenverhältnis vorzunehmen. Am 29. April 2020 hielten H.________, G.________ und F.________ eine Verwaltungsratssitzung ab und verboten dem Arbeitnehmer die Freigabe von Zahlungen, welche nicht den normalen Geschäftsverlauf betrafen, und von Zahlungen an bestimmte Zahlungsempfänger mit einem Bezug zu E.________. In der Folge weigerte sich der Arbeitnehmer, entsprechende Zahlungen freizugeben. Am 6. Mai 2020 wies K.________ den Arbeitnehmer schriftlich darauf hin, dass das Protokoll der Verwaltungsratssitzung vom 29. April 2020 ungültig sei, weil H.________ und G.________ zu diesem Zeitpunkt nicht mehr Verwaltungsräte gewesen seien. K.________ wies den Arbeitnehmer darauf hin, dass die Zahlung fälliger Rechnungen für die Arbeitgeberin von grosser Bedeutung sei, und bat ihn, fällige Zahlungen freizugeben. Am 13. Mai 2020 forderte die neue Führung der Arbeitgeberin F.________ auf, jeden Kontakt mit ihren Mitarbeitern zu unterlassen, und stellte beim Handelsgericht ein letztlich erfolgloses Massnahmenbegehren, das darauf zielte, H.________ und G.________ zu verbieten, für sie aufzutreten. Am 15. Mai 2020 führte K.________ ein Gespräch mit dem Arbeitnehmer, ohne dass dieser sich dazu bewegen liess, die umstrittenen Zahlungen freizugeben. Mit Schreiben vom gleichen Tag wurde der Arbeitnehmer deswegen schriftlich abgemahnt und es wurde ihm die fristlose Kündigung für den Fall fortgesetzter Weigerung angedroht. Mit Beschluss vom 22. Mai 2020 wies das Handelsgericht das gegen die Verwaltungsratswahlen gerichtete Massnahmenbegehren von H.________, G.________ und F.________ ab und hob die superprovisorische Verfügung vom 24. April 2020 im Ergebnis auf. Die vorläufig bestätigte neue Führung der Arbeitgeberin beharrte darauf, dass der Arbeitnehmer die gegen die frühere Führung der Arbeitgeberin gerichteten Zahlungen nun ausführt. A.d. Mit Schreiben vom 25. Mai 2020 kündigte der Arbeitnehmer den Arbeitsvertrag ordentlich auf Ende August 2020. Am 29. Mai 2020 löste er das Arbeitsverhältnis "aus wichtigem Grund im Sinne von Art. 337 Abs. 1 OR" fristlos auf. Er hielt fest, ihm sei wegen der Vorkommnisse in den vergangenen Wochen, insbesondere aufgrund des Drucks auf seine Person, eine Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses während der ordentlichen Kündigungsfrist nicht mehr zumutbar.