Citation: 4A_584/2013 E. A

A.a. Die C.________ AG mit Sitz in U.________ bezweckt unter anderem die Erbringung von Beratungs- und sonstigen Dienstleistungen im Bereich der Unternehmensübernahmen. Die B.________ AG mit Sitz in V.________ bezweckt insbesondere die Bereitstellung und den Betrieb von Plattformen und elektronischen Märkten im Internet. Im Bereich der entgeltlichen Publikation von Stellenangeboten betreibt sie eine spezialisierte Suchmaschine. Präsident des Verwaltungsrats ist A.________. A.b. Am 4. Mai 2008 unterzeichneten die drei vorgenannten Parteien eine "Mandatsvereinbarung Projekt Curio". Darin verpflichtete sich die C.________ AG, A.________ und die B.________ AG beim Verkauf der B.________ AG beratend zu unterstützen. Als Entschädigung vereinbarten die Parteien ein monatliches Bearbeitungshonorar von Fr. 25'000.-- und für den Erfolgsfall eine Erfolgskommission von mindestens Fr. 170'000.-- sowie bei einer Transaktionssumme ab Fr. 1'500'000.-- einen zusätzlichen "Incentive". Unter der Überschrift "Dauer und Auflösung der Mandatsvereinbarung " vereinbarten die Parteien das Folgende: "Dieses Mandat tritt nach Unterschrift durch beide Parteien in Kraft. Die Parteien können diese Mandatsvereinbarung jederzeit schriftlich kündigen. Im Falle der Kündigung ist das bis zu diesem Zeitpunkt aufgelaufene Bearbeitungshonorar geschuldet, vorbehalten bleiben Ansprüche auf Zahlung der Erfolgskommission plus Incentive gemäss dieser Vereinbarung sowie seitens C.________ AG Schadensersatzansprüche im Falle einer Kündigung zur Unzeit. Die vereinbarte Abschlagszahlung entfällt im Falle der Kündigung durch C.________ AG. Bei Beendigung der Mandatsvereinbarung gelten die Bestimmungen über die Haftung, Schadloshaltung und über die Vertraulichkeitspflicht sowie den Gerichtsstand weiter." Mit E-Mail vom 10. August 2008 an die C.________ AG kündigte A.________ für sich selbst wie für die B.________ AG die Mandatsvereinbarung per sofort. Am 16. Januar 2009 gab die D.________ AG bekannt, sie habe sich per Ende 2008 mit 20 % an der B.________ AG beteiligt; für 2011 sei eine Aufstockung der Beteiligung auf 49 % geplant und 2013 solle die Übernahme der verbleibenden 51 % erfolgen.