Citation: 9C_591/2019 E. A

A.a. A.________ souffre d'un trouble de la personnalité schizotypique depuis 1989. Il a travaillé pour le compte de la Poste, du 26 mai 1999 au 30 juin 2003, d'abord comme auxiliaire, à un taux d'activité variant entre 50 % et 70 %, puis en tant qu'employé d'exploitation à 50 % dès le 1 er janvier 2002. Dès mars 2003, il a exercé une activité lucrative pour le compte de B.________ SA avant d'être licencié pour le 30 novembre 2009. A ce titre, il a été successivement assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pensions Poste (ci-après: la Caisse de pensions), puis de la Caisse de Prévoyance des Associations Techniques (CPAT - PTV). Il a également été affilié à la Fondation institution supplétive LPP, à partir de février 2010, dans le cadre de l'assurance-chômage. L'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (ci-après: l'office AI) a reconnu le droit de A.________ à une rente d'invalidité du 1 er novembre 1992 au 30 avril 1993 (rente entière; décision du 24 février 1994), du 1 er décembre 2000 au 28 février 2007 (un quart de rente, puis une demi-rente dès le 1 er janvier 2001, puis un quart de rente dès le 1 er mai 2005; décisions des 22 septembre 2003, 18 mars 2005 et 22 janvier 2007), puis dès le 1 er avril 2011 (rente entière; décision du 26 mars 2012). Le droit à la rente entière d'invalidité a été confirmé par communications des 24 avril 2013 et 15 septembre 2016. A.b. A deux reprises, les 5 avril 2012 et 28 avril 2017, A.________ s'est adressé à la Caisse de pensions en vue d'obtenir des prestations de la prévoyance professionnelle. L'institution de prévoyance a chaque fois nié toute obligation de prester, au motif que l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité était apparue antérieurement à son affiliation auprès d'elle comme assuré (courriers des 30 octobre 2012 et 4 mai 2017).