Citation: 4A_141/2018 E. B

B.a. A.Z.________ a entamé des démarches afin que les baux, de l'appartement de sept pièces et des deux boxes, de sa mère soient établis à son seul nom. Il a ainsi rencontré l'administrateur-président de la bailleresse, V.________, notamment le 29 novembre 2010, pour lui demander le transfert du bail à son nom. Les prénommés divergent quant au contenu de cet entretien, le premier soutenant qu'il a obtenu un accord oral au transfert du bail et le second soutenant qu'il n'a rien promis. Le 5 janvier 2011, la régie de la bailleresse, R.________ SA, dont le responsable du service location est S.________, lui a écrit un courrier, dont il ressort que la société propriétaire est " disposée " à conclure les baux aux mêmes conditions. Ce courrier, qui a été rédigé par la secrétaire T.________, à laquelle S.________ avait dicté les grandes lignes, et qui a été signé par les deux prénommés, est interprété différemment par les parties. A réception de la lettre du 5 janvier 2011, soit le lendemain, A.Z.________ a téléphoné à la régie, déclarant être surpris de n'avoir pas reçu un simple avenant au contrat de bail, comme cela avait été le cas lors du décès de son père. Par lettre du 11 janvier 2011, A.Z.________ a fourni la demande de location, l'attestation de l'Office des poursuites, une photocopie de sa carte d'identité et les attestations de salaire de sa femme et de lui-même qui lui étaient demandées par la régie. La régie a accusé réception de ces pièces par courrier du 24 janvier 2011 et rappelé qu'elle demeurait encore dans l'attente d'un certificat d'héritiers. Par courrier du 23 février 2011, elle a à nouveau requis la production d'un certificat d'héritiers, afin de pouvoir " statuer sur [la] demande ". Ce certificat lui a été transmis le 1er mars 2011. En février 2011, la propriétaire a pris la décision de ne pas conclure le bail. B.b. Les 14 et 17 mars 2011, par avis de résiliation adressés à l'hoirie de la mère décédée, la bailleresse a résilié les baux de l'appartement de sept pièces et des deux boxes pour le 30 juin 2011, respectivement le 31 mars 2012. Elle a précisé qu'elle entendait les attribuer à un locataire de son choix. Le 13 avril 2011, les héritiers ont saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers d'actions en contestation de ces résiliations, puis ont déposé leur demande devant le Tribunal des baux et loyers. Ils ont précisé que la soeur cohéritière consentait à ce que son frère soit le seul locataire. Cette procédure est actuellement suspendue.