Citation: 4A_613/2018 E. A

A.a. Le 14 juin 2007, A.________ (ci-après: la cliente ou la demanderesse) a ouvert un compte bancaire auprès de la banque C.________ (ci-après: la banque). Elle a confié un mandat de gestion à B.________ SA (ci-après: la défenderesse), société active dans la gestion de fonds de placements, la gestion de patrimoine, le conseil en placement et investissement, dont D.________ a été administrateur avec signature individuelle à compter du 2 juillet 2007 et jusqu'à la radiation de ses pouvoirs le 3 janvier 2011. Précédemment, D.________ avait été directeur adjoint au sein de la banque jusqu'au 4 mai 2007. Selon les documents remplis lors de l'ouverture du compte bancaire, la relation trouvait son origine dans la " connaissance personnelle du gestionnaire de la banque C.________ ", étant précisé que cette connaissance était familiale. Il était également précisé que la cliente était connue de D.________ depuis plus de dix ans. La case " gérant indépendant " a été cochée et le nom de B.________ SA y a été mentionné. Sous la rubrique " nom du gestionnaire " a été indiqué le nom de D.________, avec sa signature. Sur une formule préimprimée de la banque, intitulée " pouvoir d'administration ", B.________ SA a été désignée en qualité de représentante avec pouvoir de substitution pour tous les rapports d'affaires actuels et futurs avec la banque. Dans le courant de l'année 2009 notamment, B.________ SA, soit pour elle D.________, a donné à la banque des ordres de débiter le compte de la cliente. Ces ordres ont été rédigés sur un papier à l'en-tête de B.________ SA et signés par D.________, en-dessous du nom " B.________ ". A.b. Les 13 octobre, 1er décembre et 10 décembre 2010, la banque a reçu trois ordres de paiement concernant le compte de la cliente, qu'elle a exécutés. A.b.a. Les deux premiers ordres de versement de 180'000 euros et 45'844 fr. en faveur de tiers sont rédigés de telle façon qu'ils semblent émaner de la cliente elle-même: en en-tête figure le nom de la cliente elle-même (mal orthographié) et comporte en bas de page la signature imitée de celle-ci, que D.________ a admis avoir falsifiée. Le premier ordre a été exécuté le 15 octobre 2010 par la banque. Sur interpellation de la banque concernant cet ordre, D.________ a rédigé le 19 octobre 2010 une note interne, dans laquelle il a exposé que l'ordre visé repose sur une décision de la cliente de procéder à un investissement dans les métaux précieux. Cette note n'est pas rédigée sur papier à en-tête de B.________ SA; le nom de D.________ est mentionné sous la rubrique " expéditeur " et la note est signée par celui-ci (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF). Le second ordre a été exécuté le 1er décembre 2010. A.b.b. Le troisième ordre du 10 décembre 2010 invite la banque à débiter le compte de la cliente du montant de 15'000 euros et de le remettre à D.________. Ce document ne comprend aucune en-tête et porte la signature de la cliente, que D.________ a admis avoir falsifiée. La banque l'a exécuté le même jour et a remis le montant en espèces à D.________. A.c. Fin 2010, B.________ SA a appris que D.________ avait " effectué diverses opérations douteuses ", ce qui l'a décidée à révoquer le mandat d'administrateur de celui-ci avec effet immédiat et à le dénoncer au Procureur général en février 2011. Pour sa part, la cliente a découvert les agissements frauduleux de D.________ le 18 février 2011 et a déposé une plainte pénale. Par jugement du Tribunal correctionnel du 21 juin 2016, D.________ a été reconnu coupable d'abus de confiance et de faux dans les titres, au détriment notamment de la cliente. Il a admis que les ordres donnés au nom de A.________ les 13 octobre, 1er et 10 décembre 2010 étaient des faux que D.________ avait confectionnés. Celui-ci a été condamné à une peine privative de liberté de trois ans. Il a également été condamné à payer à la cliente, à titre de réparation de son dommage, les montants de 241'830 fr., 65'380 fr. et 12'130 fr. avec intérêts, ainsi que 9'199 fr. 45 à titre de dépens pour la procédure pénale. A.d. La question examinée par les instances précédentes était de savoir si les actes de D.________, à savoir les trois ordres litigieux passés entre octobre et décembre 2010, sont imputables à B.________ SA.