Citation: 4A_102/2015 E. A

A.a. A.________ est un expert comptable diplômé exerçant à titre indépendant. Depuis novembre 2002, il était président du conseil d'administration de X.________ SA, à Zoug, société de conseils et de service. Le 17 mai 2000, A.________ et B.________ SA (ci-après: l'assurance B.________) ont conclu un contrat d'assurance, entré en vigueur le 17 avril 2000 et arrivé à échéance le 31 décembre 2004, qui couvrait la responsabilité civile professionnelle du prénommé pour le risque " fiduciaire ". Sous le titre " Prestations assurées ", il était notamment prévu une somme d'assurance de 500'000 fr. pour " préjudices de fortune ", avec une franchise de 100'000 fr. " fixe par événement ". La police, parmi ses conditions particulières, contenait une clause " délits et crimes ", à teneur de laquelle " la couverture d'assurance pour les préjudices de fortune ne s'étend pas aux prétentions pour les dommages causés lors de l'accomplissement intentionnel de crimes, délits et infractions contre des prescriptions légales ou officielles, ceci indépendamment du fait que les prétentions soient émises contre l'auteur lui-même ou contre un ou plusieurs assurés ". Les conditions générales complémentaires d'assurance, édition juillet 1992 (CGC), qui faisaient partie intégrante de la police d'assurance, prévoyaient, à l'art. 4 CGC, que, pour les préjudices de fortune, " les prestations de la Compagnie consistent dans le paiement d'indemnités dues en cas de prétentions justifiées et dans la défense des assurés contre les prétentions injustifiées (...) ". L'art. 6 CGC disposait ce qui suit: " 1. L'assurance des préjudices de fortune s'étend, en dérogation partielle à l'art. 8 des (conditions générales d'assurance édition juin 1999), aux prétentions qui sont formulées contre un assuré pendant la validité de la police (durée du contrat et durée d'assurance subséquente).