Citation: 2C_509/2023 E. B

B.a. Le 16 décembre 2022, A.________ a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire, par l'intermédiaire d'un avocat, y compris la désignation de celui-ci comme défenseur d'office pour l'assister dans le cadre de la procédure susmentionnée devant l'Office cantonal. L'intéressée a motivé sa requête en expliquant que la procédure en question présentait une certaine complexité du fait que son père, décédé entre-temps, était la source des rapports de travail litigieux, que l'établissement des faits se révélait difficile et que les calculs découlant de la situation exigeaient de plus amples analyses que dans un cas ordinaire. Par décision du 20 mars 2023, statuant par voie de procédure sommaire, la Vice-Présidence du Tribunal de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: la Vice-Présidence du Tribunal de première instance) a rejeté la requête d'assistance judiciaire de l'intéressée, au motif que l'assistance d'un avocat ne lui était pas nécessaire pour expliquer à l'Office cantonal qu'elle n'avait jamais été l'employeur des deux personnes en cause et que celles-ci avaient été engagées par son défunt père. La recourante pouvait aussi solliciter l'aide d'un organisme à vocation sociale, en lieu et place d'un avocat, si elle rencontrait des difficultés pour ce faire. B.b. A.________ a recouru contre cette décision devant la Présidence de la Cour de justice du canton de Genève en concluant à son annulation et à l'octroi de l'assistance judiciaire tant devant l'Office cantonal que pour la procédure de recours. Le 31 mai 2023, A.________ a produit devant la Présidence de la Cour de justice une nouvelle pièce concernant la procédure de contrôle susmentionnée. Il s'agissait d'un courrier de l'Office cantonal daté du 23 mai 2023 l'invitant, en substance, à exercer par écrit son droit d'être entendue au sujet du non-respect du salaire minimum prévu par le contrat-type de travail de l'économie domestique (art. 105 al. 2 LTF). Par décision du 29 juin 2023, appliquant le Code de procédure civile suisse, la Vice-Présidente de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Vice-Présidente de la Cour de justice) a écarté la nouvelle pièce produite par l'intéressée et rejeté son recours, sans percevoir de frais judiciaires. Elle l'a également déboutée de toutes autres conclusions, lui refusant ainsi l'assistance gratuite d'un défenseur pour la procédure de recours.