Citation: 1C_531/2023 E. 9

Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Die von der Vorinstanz auf den 31. Januar 2024 festgesetzte Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands ist inzwischen abgelaufen, weshalb dazu eine neue Frist anzusetzen ist. Deren Dauer ist unter Berücksichtigung der erschwerten Zugänglichkeit der Alphütte im Winter neu festzulegen (vgl. Urteile 1C_215/2022 vom 15. Februar 2024 E. 6; 1C_154/2022 vom 27. Juli 2023 E. 4). Gemäss dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführenden aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).