Citation: 5A_425/2022 E. A

A.a. Mit öffentlichen Urkunden vom 14. Oktober 1963 (Baurechtsvertrag) und vom 4. Juni 1964 räumte die Bürgergemeinde (BG) U.________ (Beschwerdeführerin) C.________ auf dem Grundstück GB U.________ Nr. xxx ein selbständiges und dauerndes Baurecht zwecks "Errichtung eines Wohnhauses" ein (Art. 2 Baurechtsvertrag). Dabei vereinbarten die Vertragsparteien, dass "die Pläne der zu erstellenden Bauten" der BG U.________ "zur Genehmigung unterbreitet werden" müssen (Art. 11 Baurechtsvertrag). In Art. 20 des Baurechtsvertrags sahen sie zudem die folgende Regelung vor: "Bei Meinungsverschiedenheiten über die Auslegung irgend eines Artikels dieses Vertrags entscheidet ein von den Parteien ernanntes Schiedsgericht endgültig [...]." Mit Kaufvertrag vom 11. Juni 2018 erwarb B.________ (Beschwerdegegnerin 2) das Baurechtsgrundstück GB U.________ Nr. xxx von den Erben des zwischenzeitlich verstorbenen C.________. A.________ (Beschwerdegegner 1) erlangte in der Folge ein im Grundbuch eingetragenes Nutzniessungsrecht am Grundstück. A.b. Im Dezember 2018 ersuchten B.________ und A.________ die BG U.________ darum, den Bau einer Aussensauna mit Holzlager-Unterstand zu genehmigen, was diese ablehnte. Knapp ein Jahr später verweigerte die Bürgergemeinde auch ihre Zustimmung zur Errichtung eines offenen Holzlager-Unterstands und forderte B.________ und A.________ auf, bereits Ausgeführtes wieder zu entfernen. Ausserdem teilte die Gemeinde mit, sie biete "in grundsätzlicher Hinsicht zu keinen Erweiterungen/Abänderungen usw. Hand [...], sondern [halte] am bestehenden und gültigen Baurechtsvertrag unverändert fest [...]". Trotz fehlender Baubewilligung und ohne Zustimmung der BG U.________ errichteten B.________ und A.________ im Sommer 2020 auf dem Baurechtsgrundstück einen Glaspavillon.