Citation: 4D_22/2020 E. A

A.a. Le 11 janvier 2019, A.________, représenté par un mandataire professionnel, a saisi le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz d'une requête de conciliation dirigée contre B.________, concluant à ce que ce dernier soit condamné à lui payer 1'800 fr. et à lui restituer quatre valises ainsi qu'un sac à dos, contenant divers effets personnels ou, subsidiairement, à lui verser la somme de 5'000 fr. Il exposait avoir travaillé pour le défendeur dans un stand de boissons à Genève, du 4 au 14 août 2018, et y avoir même dormi les quatre derniers jours car celui-ci avait été précédemment pillé pendant la nuit. A titre de moyens de preuve, il a produit une lettre de son mandataire, datée du 1er novembre 2018, accompagnée d'un suivi des envois postaux, dans laquelle le conseil priait le défendeur de restituer à son client les bagages que ce dernier avait déposés chez lui au Locle. Il se réservait la possibilité de fournir d'autres explications et de mentionner d'autres preuves. Le même jour, le requérant a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite, tant pour l'avance de frais que pour l'assistance d'un mandataire professionnel. Dans sa requête, l'intéressé, se référant au dossier de la procédure de conciliation, indiquait que sa cause présentait des chances de succès. Il soulignait qu'il n'avait ni revenus ni fortune, qu'il était en situation illégale et en détention à la prison régionale de Berne. Par courrier du 13 février 2019, le tribunal a invité le demandeur à faire part de ses observations au sujet des chances de succès de son action. En date du 20 février 2019, le demandeur, par le truchement de son mandataire, a répondu qu'il y " a [ vait] des témoins ", sans toutefois les nommer ou fournir d'autres précisions quant à leur identité, pouvant attester qu'il avait travaillé pour le défendeur sans être indemnisé et que celui-ci l'avait privé de tous ses biens. Il ajoutait n'avoir pas pu aborder ce point jusqu'à présent dans la mesure où il n'y avait pas d'audition de témoins lors de la procédure de conciliation. Par ordonnance du 9 mai 2019, le Tribunal régional a rejeté la requête d'assistance judiciaire, au motif que la cause paraissait dénuée de chances de succès. A.b. Le 25 mai 2019, A.________ a recouru contre cette décision en sollicitant sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours. Par lettre du 28 mai 2019, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a invité le recourant à verser une avance de frais de 400 fr., faute de quoi il ne serait pas entré en matière sur le recours. La Cour civile, par son Président, a clos la procédure le 3 juillet 2019, au motif que l'avance de frais n'avait pas été réglée dans le délai imparti. A.c. Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral a considéré que la cour cantonale n'avait pas formellement statué sur la demande d'assistance judiciaire présentée par A.________, violant ainsi l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêt 4D_49/2019 du 14 novembre 2019). Partant, il a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur la requête d'assistance judiciaire formulée par le recourant et lui fixe, en cas de refus, un délai supplémentaire pour verser l'avance de frais sollicitée.