Citation: 4D_9/2021 E. A

A.a. A.________ était employé par la société C.________ SA depuis le 1er mars 2018 en qualité de commercial. Dans ce cadre, il bénéficiait de l'«assurance maladie collective» souscrite par son employeuse auprès de la société B.________ SA. L'art. 1 des Conditions complémentaires pour l'assurance de l'indemnité journalière de maladie (ci-après: CCAIJ) précisait que «[s]ont assurées des indemnités journalières en cas d'incapacité de travail par suite d'une maladie ayant pour conséquence une perte de gain». L'art. 17 des Conditions générales pour l'assurance maladie collective (ci-après: CG) conférait à la personne assurée «le droit de continuer l'assurance à titre d'assurance individuelle, au tarif individuel et aux conditions complémentaires déterminantes», notamment dans l'hypothèse où la couverture d'assurance s'éteignait à cause de la cessation des rapports de travail. «Le droit au maintien de la couverture d'assurance individuelle d[eva]it être requis par écrit par la personne assurée dans les 90 jours qui suiv[ai]ent sa sortie du cercle des assurés, sans quoi ce droit s'étei[gnai]t.» A.b. Du 24 août au 23 septembre 2018, l'assuré s'est trouvé totalement incapable de travailler pour cause de maladie. Il a repris son activité à plein temps le 24 septembre 2018. Le 27 septembre 2018, la société d'assurances lui a versé les prestations découlant du contrat d'assurance collective, qui se sont réduites à une seule indemnité journalière compte tenu du délai d'attente de trente jours. L'employeuse a licencié A.________ avec effet au 31 octobre 2018. Le prénommé a quitté ses fonctions à cette date. Il ne s'est pas inscrit auprès de la caisse de chômage. Dès le 6 novembre 2018, il s'est retrouvé en incapacité complète de travail pour cause de maladie. Le 29 novembre 2018, il a téléphoné à la société d'assurances pour annoncer que son contrat de travail avait été résilié au 31 octobre 2018 et demander des «informations au sujet du libre-passage»; il faisait état d'un événement maladie du 24 août 2018. Par courrier du même jour, la société d'assurances a informé l'assuré des modalités de passage à l'assurance individuelle, notamment du délai de 90 jours. Le 13 décembre 2018, l'assuré a rempli, signé et adressé à la société d'assurances une formule d'«[i]nscription pour la continuation de l'assurance à titre d'assurance individuelle». Le 29 janvier 2019, il a signé une proposition d'assurance dans laquelle il répondait par la négative aux questions de savoir s'il était au chômage après son départ de l'entreprise assurée, s'il exerçait une profession lucrative indépendante après ce départ et s'il était en incapacité de travail au moment de sa sortie de l'entreprise. Par courriel du 31 janvier 2019, la fiduciaire de l'assuré a envoyé la proposition signée à la société d'assurances en indiquant notamment que l'entrée en vigueur de la police remontait au 13 décembre 2018 et que des indemnités étaient dues dès cette date. Le 22 février 2019, la société d'assurances a envoyé à l'assuré une police d'«assurance maladie collective» avec «passage de l'assurance collective à l'assurance individuelle» mentionnant un «début d'assurance» au 13 décembre 2018. Dans un courrier d'accompagnement, elle indiquait qu'il n'existait actuellement aucun droit aux prestations de l'assurance individuelle en raison du fait qu'une perte de revenu constituait un prérequis; elle recommandait à l'assuré de s'inscrire à la caisse de chômage. Le 4 mars 2019, l'assuré a adressé à la société d'assurances une déclaration de maladie annonçant une incapacité de travail dès le 24 août 2018 provoquée par un burnout. Par lettre du 14 mars 2019, la société d'assurances a refusé les prestations pour le sinistre annoncé en faisant valoir les arguments suivants: - l'assurance était entrée en vigueur le 13 décembre 2018; - la couverture découlant du contrat conclu avec l'ex-employeuse avait pris fin le 31 octobre 2018; - même si l'incapacité de travail ayant débuté le 6 novembre 2018 constituait une rechute, elle ne pouvait être prise en charge du fait de l'interruption de la couverture entre le 1er novembre et le 13 décembre 2018; - enfin, l'assuré ne bénéficiait d'aucun droit à des prestations, faute d'une quelconque perte de revenu provenant d'une activité lucrative ou de l'assurance-chômage. Dans l'intervalle, le médecin traitant de l'assuré a fait état d'une incapacité de travail à 100 % du 24 août au 23 septembre 2018, puis du 6 novembre 2018 au 28 février 2019 en raison d'un burnout. D'autres certificats ont suivi, attestant d'une incapacité totale à 100 % jusqu'au 14 avril 2019 pour cause de maladie. Le 15 avril 2019, l'assuré a repris une activité lucrative indépendante.