Citation: 8C_413/2021 E. C

Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A.________ beantragen, es sei das Urteil der Vorinstanz vom 29. April 2021 aufzuheben und die Sache zu weiteren Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Eventuell sei das angefochtene Urteil in Verbindung mit der Dispositiv-Ziffer 1 der Verfügung der Vorinstanz vom 4. Dezember 2020 betreffend unentgeltliche Rechtspflege aufzuheben und ihr für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung in der Person von Rechtsanwältin Janine Girón und hernach des Unterzeichneten zu bewilligen. Subeventuell seien das angefochtene Urteil und die Dispositiv-Ziffer 1 der Verfügung der Vorinstanz vom 4. Dezember 2020 aufzuheben und die Sache bei bejahter finanzieller Bedürftigkeit zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht sie auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung.