Citation: 8C_260/2015 E. A

A.a. A.________ travaillait comme conseiller en assurances pour le compte de l'Agence B.________. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre le risque d'accidents auprès de Phenix Assurances (ci-après: Phenix). Il bénéficiait également auprès de cet assureur d'une assurance perte de gain en cas de maladie. Le 20 janvier 2004, A.________ a été blessé à la main droite par la turbine d'une fraiseuse à neige. Il avait lâché la poignée de sécurité et tentait de déboucher la turbine avec un bout de bois quand sa main a glissé et touché la turbine qui a effectué un tour de rotation. Il en est résulté une plaie complexe au 3 ème, 4 èmeet 5 ème doigt avec une fracture ouverte de la main droite. A.________ a été opéré le jour même à l'Hôpital C.________. Phenix a pris en charge le cas. L'assuré a repris son travail à 100 % le 11 avril 2005 tout en poursuivant un traitement de rééducation. Phenix a alors arrêté le versement des indemnités journalières à cette date. Dès le mois d'août 2005, A.________ a commencé à se plaindre de douleurs à l'épaule droite. Il a subi une arthro-IRM le 24 avril 2006, qui a montré un examen dans les limites de la norme. En novembre 2006, Phenix a mandaté le docteur D.________ pour effectuer le bilan définitif des séquelles de l'assuré. Ce médecin a conclu que la situation était stabilisée et évalué l'atteinte à l'intégrité à 8 %. Sur cette base, Phenix a informé A.________ qu'en ce qui concernait les suites de l'accident du 20 janvier 2004, elle mettait fin à la prise en charge du traitement médical au 16 novembre 2006 et lui allouait une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 8 % (décision du 29 novembre 2006). L'assuré a formé opposition en concluant à l'octroi d'une indemnité d'un taux de 15 %. La procédure a été suspendue à sa demande pour lui permettre de produire une expertise. Le 12 juin 2007, A.________ a requis la reprise de la procédure. Phenix n'a toutefois pas rendu de décision sur opposition. A.b. Au mois de février 2008, A.________ a annoncé une rechute de l'accident du 20 janvier 2004 sous la forme de névralgies cervico-crâniennes droites entraînant une incapacité de travail depuis le 21 janvier 2008. Par lettre du 26 février 2008, Phenix a informé l'employeur de l'assuré qu'elle allait intervenir provisoirement au titre de la LAA, même s'il n'était pas établi à ce stade qu'il s'agissait d'une suite de l'accident initial, vu qu'elle couvrait également l'intéressé en cas de perte de gain pour maladie. Elle a versé des indemnités journalières du 28 janvier 2008 au 31 mai 2011. Entre-temps, elle a mandaté le docteur D.________ qui a évoqué un état migraineux et nié l'existence d'un rapport de causalité entre cet état, respectivement les plaintes cervico-crâniennes, et l'accident à la main droite, étant donné la nature de la lésion initiale qui avait touché les doigts, la date d'apparition des douleurs (plus d'une année après l'accident) et la normalité des examens effectués. Ce médecin ne voyait pas de substrat organique à ces douleurs (rapport du 24 avril 2008). L'assuré a contesté l'arrêt des prestations de Phenix en se référant à l'avis de son médecin traitant, le docteur E.________, pour lequel les douleurs avaient une origine neurogène en lien avec l'accident du 20 janvier 2004. Le 30 mai 2013, Solida Assurances SA (qui a repris le portefeuille LAA de la Phenix; ci-après: Solida) a rendu une décision par laquelle elle a nié devoir allouer des prestations LAA à raison des troubles annoncés 2008, motif pris de l'absence d'un lien de causalité avec l'événement assuré initial du 20 janvier 2004. Dans une nouvelle décision du 3 février 2014, Solida a rejeté l'opposition que l'assuré avait formée à l'époque contre la décision du 29 novembre 2006 rendue par Phenix, ainsi que celle dont elle avait été saisie contre sa décision du 30 mai 2013.