Citation: 4A_278/2020 E. C

A.________ verlangt mit am 26. Mai 2020 eingereichter und am 18. Juni 2020 (fristgerecht) ergänzter Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und auf das Räumungsgesuch sei nicht einzutreten. Eventualiter sei das Verfahren an das Obergericht, subeventuell an das Bezirksgericht, zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde, vorab superprovisorisch, die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Am 28. Mai 2020 ordnete das Bundesgericht an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben hätten. Die Beschwerdegegnerin beantragt, das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.