Citation: 4A_340/2022 E. 1

A.a. Streitgegenstand bildet die Berichterstattung des Redaktors B.________ (Beklagter 2, Beschwerdeführer 2) über die C.________ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) und deren Tochtergesellschaften in der Print- und Onlineausgabe der Z.________ Zeitung (nachfolgend: Z.________) hauptsächlich im Zeitraum zwischen Januar und August 2018. Die Z.________ wird von der A.________ AG (Beklagte 1, Beschwerdeführerin 1) herausgegeben. A.b. In mehreren, vornehmlich kritischen Berichten setzte sich der Beklagte 2 mit verschiedensten Themen auseinander, welche die Klägerin tangierten. So berichtete er über den Aufbau und die Struktur der Klägerin sowie deren verbandseigene Familienausgleichskasse D.________. Ebenso schrieb er über das kantonale Kontrollwesen im Bereich der Arbeitsmarktkontrolle für das Baugewerbe, welche die öffentliche Hand mittels diverser Leistungsvereinbarungen an die Sozialpartner, wie die Gewerkschaft E.________ und die Klägerin, delegiert hatte. Die Sozialpartner setzten hierfür zunächst die F1.________ und die F2.________ ein. Die F1.________ wurde ab dem Jahr 2017 durch den wiederum paritätisch aufgestellten, neu gegründeten Verein G.________ abgelöst. Die G.________ wurde vom Kanton mit dem Vollzug von Arbeitsmarktkontrollen im Baugewerbe beauftragt. Die F2.________ hat die G.________ zudem mit der Durchführung sämtlicher Kontrollen beauftragt, die in den Geltungsbereich des Gesamtarbeitsvertrags (GAV) für das Ausbaugewerbe fallen. Der Beklagte 2 berichtete über die aus seiner Sicht fragwürdige Vorgehensweise der F1.________, die für die Durchführung der Kontrollen die entgeltlichen Dienste der H.________ AG, einer Tochtergesellschaft der Klägerin, in Anspruch nahm, wobei in diesem Zusammenhang die Weiterverrechnung von Verwaltungskosten der H.________ AG an die F1.________ im Zentrum der Berichterstattung stand. Im Weiteren schrieb er über ein P.________-Verfahren, das die Abklärung bestehender Missbrauchsvorwürfe im Zusammenhang mit dem Kontrollwesen durch die Sozialpartner zum Gegenstand hatte. Schliesslich berichtete er über ein Gerichtsverfahren betreffend das öffentliche Vergaberecht: Im Juli 2018 hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft eine Verwaltungsbeschwerde eines Zürcher Unternehmens gut. Es stellte fest, der Auftrag zur Bearbeitung der kantonalen Energie-Fördergesuche sei zu Unrecht der I.________ AG, ebenfalls einem Tochterunternehmen der Klägerin, vergeben worden (vgl. dazu auch das Urteil des Bundesgerichts 2C_979/2018 vom 22. Januar 2020, teilweise publ. in: BGE 146 II 276). A.c. Die Klägerin ortete in der oben zusammengefassten Berichterstattung einerseits hinsichtlich einzelner Artikel Verstösse gegen Art. 3 Abs. 1 lit. a UWG (SR 241), andererseits fühlte sie sich durch die Publikationen in der Z.________ einer lauterkeitsrechtlich relevanten Medienkampagne ausgesetzt. A.d. Mit Klage vom 23. August 2018 beantragte die Klägerin beim Kantonsgericht Basel-Landschaft im Wesentlichen, es sei festzustellen, dass die Beklagten sie mit ihrer Berichterstattung (individuell genannte Artikel) unlauter in ihrer Wettbewerbsstellung verletzt hätten (Ziff. 1). Weiter sei festzustellen, dass die Beklagten eine unlautere Medienkampagne gegen sie geführt hätten (Ziff. 2). Sodann beantragte sie hinsichtlich zahlreicher Artikel bzw. Tweets, die Löschung als Ganzes, eventualiter die Löschung einzelner darin getätigter Aussagen (Ziff. 3). Weiter beantragte sie, die Beklagte 1 sei zu verpflichten, innert zehn Tagen nach Rechtskraft des Urteils Löschungsanträge gegenüber Mediendatenbanken und Internet-Suchmaschinen zu stellen (Ziff. 4). Zudem verlangte sie, es sei den Beklagten die Publikation gewisser (im Rechtsbegehren aufgeführten) Äusserungen direkt oder sinngemäss gerichtlich zu verbieten (Ziff. 5). Die Beklagte 1 sei zu verpflichten, das ergangene Urteil in der Printausgabe der Z.________ sowie auf ihrer Internetseite zu publizieren (Ziff. 6). Die Verfügungen Ziff. 2-6 (sic) seien unter Androhung der Ungehorsamsstrafe von Art. 292 StGB im Widerhandlungsfall zu erlassen (Ziff. 8). A.e. In ihrer Replik änderte die Klägerin teilweise gegenstandslos gewordene Rechtsbegehren. Zudem ergänzte und präzisierte sie ihre in der Klage gestellten Rechtsbegehren. A.f. Mit Urteil vom 25. Oktober 2021 hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Klage teilweise gut. Es stellte fest, die Beklagten hätten die Klägerin unlauter in deren Wettbewerbsstellung verletzt, und zwar mit den (Haupt-) Berichterstattungen in der Z.________ vom X. Januar, X. Februar, X., X. und X. März, X. und X. Juli, X. August sowie X. Dezember 2018 (Disp.-Ziff. 1). Das Begehren auf Feststellung einer unlauteren Medienkampagne wies es hingegen ab (Disp.-Ziff. 2). Es verpflichtete die Beklagten zur kompletten Löschung von neun als unlauter festgestellten Hauptberichterstattungen, verfügte bei drei weiteren Berichterstattungen (Berichterstattungen vom X. März, X. April sowie X. Mai 2018) die Löschung einzelner Aussagen und verpflichtete die Beklagten zur Löschung von Twitter-Beiträgen (Verlinkung von Artikeln) (Disp.-Ziff. 3). Weiter verpflichtete es die Beklagte 1, innert 10 Tagen nach Rechtskraft des Urteils die notwendigen Willenserklärungen (Löschungsanträge) gegenüber (namentlich genannten) Mediendatenbanken und Internet-Suchmaschinen abzugeben (Disp.-Ziff. 4). Zudem ordnete es die Publikation des Urteilsdispositivs an (Disp.-Ziff. 5) und stellte die Anordnungen gemäss Disp.-Ziff. 3-5 unter Strafandrohung nach Art. 292 StGB (Disp.-Ziff. 6). Im Übrigen wies es die Klage ab, soweit auf diese eingetreten werden könne (Disp.-Ziff. 7). Die Gerichtskosten von Fr. 50'000.-- wurden im Umfang von Fr. 15'000.-- der Klägerin und im Umfang von Fr. 35'000.-- den Beklagten unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt (Disp.-Ziff. 8). Die Parteikosten wurden der Klägerin zu 3/10 und den Beklagten zusammen zu 7/10 auferlegt, womit die Beklagten der Klägerin unter solidarischer Haftbarkeit eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 115'508.25 zu bezahlen hätten (Disp.-Ziff. 9).