Citation: 2C_606/2013 E. A

A.a. Ressortissant brésilien né en 1984, A.________ a vécu au Portugal, au bénéfice d'un permis de séjour temporaire, valable jusqu'au 30 avril 2011. Il a noué une relation avec D.________, une ressortissante portugaise, entrée en Suisse en juillet 2007 et titulaire d'une autorisation de séjour CE/AELE, initialement valable jusqu'au 18 juillet 2012, puis renouvelée. Le **** 2008, D.________ a mis au monde à E.________ une fille, C.________, de nationalité portugaise au bénéfice de la même autorisation de séjour que sa mère. Le 17 juin 2008, A.________ a reconnu l'enfant, dont le nom a été modifié en " B.________ ". Par convention du 18 septembre 2008, approuvée par la Justice de Paix du district du Pays d'Enhaut le 14 octobre 2008, A.________ s'est engagé à payer chaque mois à titre de contributions à l'entretien de l'enfant, allocations familiales non comprises, les sommes de 100 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de six ans révolus, 150 fr. de six à douze ans révolus, 200 fr. de douze ans à la majorité de l'enfant ou au-delà en cas de poursuites d'études ou d'une formation professionnelle, pour autant qu'elle soit achevée dans des délais normaux. A.b. Le 2 septembre 2009, A.________ a sollicité l'octroi d'une autorisation de séjour pour " se rapprocher de sa fille ". Le 12 novembre 2009, le Contrôle des habitants de la commune de F.________ a transmis au Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) une lettre signée de la mère de l'enfant, laquelle indiquait que A.________ avait rendu visite à sa fille en avril, juin, octobre et décembre 2008 avant de s'installer en Suisse en juillet 2009. A la demande du Service cantonal, D.________ a encore indiqué, le 7 juin 2010, que A.________ exerçait son droit de visite en accueillant sa fille chez lui à hauteur de deux jours par semaine et qu'il s'était régulièrement acquitté de la pension alimentaire depuis la naissance de l'enfant. Le 3 août 2010, le Service de la population a informé A.________ qu'il avait l'intention de refuser de lui délivrer une autorisation de séjour au motif qu'il séjournait en Suisse de façon illégale, qu'il n'était pas démontré qu'un employeur était prêt à l'engager, ni qu'il disposait des moyens financiers garantissant qu'il ne tomberait pas à l'assistance publique. Dans le délai imparti pour formuler ses objections, A.________ a produit quatre lettres d'employeurs disposés à l'engager dans l'hypothèse où il obtiendrait un permis de séjour.