Citation: 2C_781/2017 E. 5

Il découle des éléments qui précèdent que le recours en matière de droit public est admis et l'arrêt du 19 juillet 2017 du Tribunal cantonal est annulé. La cause est renvoyée à cette autorité dans le sens des considérants. Bien qu'il succombe, le Service des migrations, qui ne défend pas d'intérêt patrimonial, ne peut se voir imposer les frais de justice (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'un représentant, les recourants ont droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF), qu'il convient de mettre à la charge de la République et canton de Neuchâtel.