Citation: 5A_22/2016 E.

E.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Januar 2016 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter C.________ den Parteien gemeinsam zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen, damit dieses die gemeinsame elterliche Sorge für C.________ den Parteien gemeinsam erteilt. Zudem verlangt der Beschwerdeführer, die Verfahrenskosten der KESB Z.________ und des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens B.________ (Beschwerdegegnerin) aufzuerlegen. E.b. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin, alle Anträge des Beschwerdeführers abzuweisen (Eingabe vom 20. Mai 2016). Das Kantonsgericht Luzern liess sich nicht vernehmen. Am 6. Juni 2016 liess der Beschwerdeführer eine Replik einreichen, in der er an seinen Beschwerdebegehren festhält. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen.