Citation: 2C_813/2016 E. C

Agissant par la voie du recours de droit public, A.________ et ses enfants demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 8 juillet 2016 du Tribunal cantonal, de constater qu'ils ont droit à une autorisation de séjour et d'inviter le service intimé à délivrer les titres concernés; subsidiairement, de renvoyer le dossier aux autorités inférieures pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants; ils requièrent également l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Service de la population a renoncé à se déterminer. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Service d'Etat aux migrations propose également le rejet du recours.