Citation: 8C_171/2021 E. A

A.________, né en 1953, menuisier de formation, a exercé sa profession en qualité d'indépendant et était, à ce titre, assuré contre le risque d'accidents professionnels et non professionnels auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Atteint d'une rupture de la coiffe des rotateurs à l'épaule gauche, il a subi deux interventions chirurgicales en 2000. En 2001, il a subi une opération à cause d'une déchirure du tendon du sus-épineux de la coiffe des rotateurs à l'épaule droite. Ces interventions ont été prises en charge par l'assurance-maladie obligatoire. A.a. Le 18 février 2006, il a subi une contusion cervicale et scapulaire droite lors d'une altercation. La CNA a pris en charge le cas (indemnités journalières et traitement médical). A.b. Le 18 mai 2007, l'assuré a chuté dans les escaliers et a subi un choc au niveau des deux bras. A cause des douleurs, il a dû interrompre son travail dès le 1er juin 2007. Une IRM effectuée le 17 juillet 2007 a révélé une redéchirure du tendon du sus-épineux de l'épaule droite. Après un refus initial de prendre en charge ce cas (décision du 11 septembre 2007), la CNA a admis sa responsabilité pour une durée de quatre semaines après l'accident, soit jusqu'au 16 juillet 2007 (décision sur opposition du 22 novembre 2007). Entretemps, A.________ a été opéré le 14 novembre 2007 de l'épaule droite. Par jugement du 30 octobre 2008, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du Valais a admis le recours interjeté par l'assuré contre la décision sur opposition du 22 novembre 2007 en ce sens que la CNA devait prendre en charge les suites de l'atteinte à l'épaule droite au-delà du 16 juillet 2007. A.c. Lors d'un examen clinique pratiqué le 7 avril 2010, le docteur B.________, médecin d'arrondissement de la CNA, a pu mettre en exergue une fonction satisfaisante et symétrique avec des douleurs persistantes des deux côtés, aggravées par les activités au-dessus de l'horizontale, associées à des signes d'une souffrance du tendon du sus-épineux de prédominance droite et à une ancienne rupture du tendon du long chef du biceps gauche. La trophicité des bras était pratiquement symétrique. Ce praticien a en outre estimé le dommage permanent généré par les seules séquelles accidentelles à 5 %. Par décision du 14 avril 2010, la CNA a ainsi accordé à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 5 %. A.d. L'office cantonal AI du Valais (OAI), auquel s'était annoncé parallèlement l'assuré, a refusé, par décisions du 28 mars 2011, le droit à des mesures d'ordre professionnel ainsi que le droit à une rente d'invalidité pour le motif que, dès le 27 mai 2008, l'on pouvait attendre de la part de l'assuré l'exercice à plein temps, avec un rendement normal, de n'importe quelle activité légère et adaptée à son état de santé (position de travail alternée, avec pauses régulières, sans port de charges excédant 5 kg, sans travaux lourds et sans activité avec les membres supérieurs au-dessus de l'horizontale). L'OAI a retenu un taux d'invalidité de 20 %. Il a, en outre, relevé que l'assuré avait signalé avoir retrouvé un emploi fixe auprès de l'entreprise C.________ SA comme menuisier à l'atelier et être à même de réaliser normalement les tâches qui lui étaient confiées. Lors d'un entretien du 18 juillet 2012 avec la CNA, l'employeur a toutefois indiqué que l'assuré ne pouvait pas travailler seul et devait toujours être accompagné, ce qui impliquait une baisse de rendement de 25 %.