Citation: 4A_327/2023 E. B

B.a. Au bénéfice d'une autorisation de procéder, l'employée a, le 22 août 2019, saisi le Tribunal civil régional du Littoral et du Val-de-Travers d'une demande tendant au paiement par l'employeuse de 57'525 fr. nets à titre d'indemnité pour licenciement abusif, 3'832 fr. 20 bruts à titre de solde de salaire, et à la délivrance d'un certificat de travail reprenant les termes figurant dans sa demande. Elle prendra ultérieurement une conclusion additionnelle tendant à ce que l'employeuse lui verse le solde de son compte de garantie, soit 3'000 fr. Dans sa réponse, l'employeuse a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, au paiement par l'employée de 450'000 fr. au titre de la violation de ses obligations contractuelles et de la loi sur la concurrence déloyale. Elle retirera ultérieurement cette demande reconventionnelle. Par jugement du 22 décembre 2022, le Tribunal civil a condamné l'employeuse à verser à l'employée 35'400 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif, 3'832 fr. 20 à titre de solde de salaire (vacances et 13ème salaire au prorata inclus) jusqu'au 3 février 2019 et 3'000 fr. correspondant au solde de son compte de garantie, avec les intérêts correspondants. Il lui a en outre fait obligation de modifier le certificat de travail délivré dans le sens de sa demande, dans un délai de dix jours, sous la menace de la peine d'amende prévue à l'art. 292 CP et, faute d'exécution dans le délai prescrit et sur requête de sa part, sous peine d'une amende d'ordre de 500 fr. au plus par jour d'infraction. B.b. Par arrêt du 4 mai 2023, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a partiellement admis l'appel formé par l'employeuse et réformé le premier jugement sur le point du licenciement qu'elle n'a pas jugé abusif et du certificat de travail que l'employeuse n'avait pas à modifier dans le sens demandé. Ses motifs seront évoqués dans les considérants en droit du présent arrêt.