Citation: 9C_595/2016 E. A

A.a. A.________ a exploité un salon de coiffure à U.________ en qualité d'indépendant. Le 5 mai 2003, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, invoquant une chute sur son lieu de travail survenue le 18 avril 2002. Dans un rapport du 2 septembre 2004, le docteur C.________, psychiatre et psychothérapeute, a diagnostiqué une schizophrénie indifférenciée (CIM-10: F20.3) entraînant une incapacité totale de travailler dans toute activité. L'Office AI du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a mandaté le docteur D.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, en qualité d'expert. Dans son rapport du 16 janvier 2006, complété le 9 mars 2006, le docteur D.________ a écarté le diagnostic de schizophrénie indifférenciée (F20.3) et celui de trouble psychotique (F20.8) sans précision, mais retenu celui d'épisode dépressif moyen sans symptômes somatiques (F32.10). Aucune activité professionnelle n'était alors exigible, mais un traitement adéquat était susceptible d'améliorer la capacité de travail de l'assuré dans un délai d'une année. Par décision du 30 mai 2007, l'office AI a rejeté la demande. Par jugement du 11 décembre 2009, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, a annulé cette décision et reconnu à l'assuré le droit à une rente entière d'invalidité du 1 er avril 2003 au 30 août 2006. La cause a été renvoyée à l'administration pour instruction du droit aux prestations pour la période subséquente et nouvelle décision. A.b. Dans un rapport du 27 février 2012, la doctoresse E.________, psychiatre traitante, a diagnostiqué une schizophrénie indifférenciée (F20.3) entraînant une incapacité totale de travailler. L'office AI a confié un mandat d'expertise au docteur F.________, également spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 30 août 2012, l'expert n'a posé aucun diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail. Il a uniquement mis en évidence une dysthymie (F34.1), non incapacitante. L'exigibilité de la reprise du travail a été fixée au 16 janvier 2007. Par décision du 1 er juillet 2014, l'office AI a alloué une rente entière d'invalidité à A.________ pour la période s'étendant du 1 er septembre 2006 au 30 avril 2007.