Citation: 4A_239/2015 E. A

A.a. Le 24 juin 2004, peu avant 7 heures, A.________ (ci-après: le conducteur ou le motocycliste) circulait, au guidon d'une moto, sur l'avenue du Premier-Mars à Neuchâtel, d'ouest en est. Parvenu à la hauteur du passage piéton situé à l'est de la Place du Port, il a heurté C.________ qui traversait l'avenue sur le passage de sécurité du nord au sud (soit de gauche à droite par rapport au sens de marche de la moto). La piétonne a alors été projetée sur la chaussée à environ 17 mètres du point de choc et gravement blessée. A.b. Il a été établi que, 100 mètres avant le passage pour piétons (soit devant le bâtiment de la poste) et jusqu'à 11 mètres avant ce passage, le motocycliste a été gêné par le soleil rasant (qui avait été caché par une succession de bâtiments sur tout le trajet précédant l'avenue du Premier-Mars). Sur cette distance (en ligne droite), il a roulé à une vitesse plus ou moins constante de l'ordre de 40 km/h, voire un peu moins, sans réduire sa vitesse à l'approche du passage de sécurité dont il connaissait pourtant l'existence. Le motocycliste n'a à aucun moment remarqué (il a été incapable de dire si la piétonne traversait de gauche à droite ou de droite à gauche), durant les 7 à 10 secondes qu'il lui a fallu pour atteindre le point de choc à partir de la poste, la victime qui avait déjà traversé pratiquement les trois-quarts du passage. A.c. Par lettre du 4 janvier 2007, B.________, auprès de qui le conducteur était assuré en responsabilité civile, a communiqué à son client qu'elle avait versé 191'189 fr.70 auprès de la compagnie qui assurait la piétonne contre les accidents. Elle considérait que les faits reprochés au motocycliste procédaient d'une faute grave et l'informait qu'elle entendait lui réclamer le remboursement partiel de ses prestations, soit à concurrence de 20%, ou en l'état de 38'237 fr.95, et l'invitait à faire des propositions de paiement. A.________ a opposé à son assureur une fin de non-recevoir.