Citation: 9C_670/2019 E. A

A.a. A.________ bezieht eine Invalidenrente sowie eine Kinderrente für seinen Sohn C.________ (geboren am xxx 1993). C.________ fing am 1. Oktober 2016 bei der D.________ GmbH eine dreijährige Ausbildung als Spezialist Bewegungs- und Gesundheitsförderung mit eidgenössischem Fachausweis an. Am 19. Dezember 2017 reichte A.________ einen "Arbeitsvertrag Praktikant" vom 13. September 2016 ein. Die IV-Stelle Luzern sprach ihm wie auch der Mutter des C.________, B.________, eine auf das erste Ausbildungsjahr (1. Oktober 2016 bis 30. September 2017) befristete Kinderrente zu. Einen darüber hinaus gehenden Anspruch verneinte die Verwaltung, weil C.________ ab Beginn des zweiten Lehrjahres (1. Oktober 2017) gemäss Arbeitsvertrag mehr verdiene als der Höchstbetrag der maximalen vollen Altersrente der AHV (Verfügungen vom 21. Dezember 2017). A.b. A.________ legte daraufhin eine neue Ausbildungsvereinbarung vom 3. Januar 2018 ins Recht, welche den "fehlerhaften" vorherigen Vertrag ersetze. Unter Hinweis auf den nun in sämtlichen Ausbildungsjahren unterschrittenen AHV-Grenzbetrag ersuchte er (auch) ab Oktober 2017 um Ausrichtung einer Kinderrente. Mit Verfügung vom 6. Februar 2018 hielt die IV-Stelle fest, zur Verhinderung eines Rechtsmissbrauchs könne auf die nämlichen Lohnanpassungen nicht abgestellt werden, und wies das Leistungsbegehren ab.