Citation: 5A_431/2023 E. C

Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Juni 2023 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und das Gesuch um vorfrageweise Vollstreckbarerklärung sowie um definitive Rechtsöffnung abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Vom Bundesgericht dazu eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt die B.________ AG (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen (Beschwerdeantwort vom 21. September 2023). Im selben Sinn äussert sich das Kantonsgericht Luzern unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid (Schreiben vom 12. September 2023). Das Bundesamt für Justiz, das ebenfalls angehört wurde, verzichtete auf eine Stellungnahme (Schreiben vom 8. September 2023). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht auch die kantonalen Akten überweisen lassen.