Citation: 4A_546/2022 E. A

A.a. La banque privée M.________ a été fondée en xxx par B.A.________. Ses descendants demeurés à Genève constituent la branche genevoise de la famille, alors que la branche française regroupe ceux qui se sont installés en France. F.A.________, de la branche genevoise, qui fut associé de 1909 à 1962, a eu deux fils, G.A.________ et H.A.________, qui furent également associés de la banque. A.b. Le 14 décembre 1982, le collège des associés-gérants de la banque a conclu un " Acte d'association " (ci-après: AA), dont le préambule rappelait notamment que la présence de membres de la branche genevoise au sein dudit collège constituait un atout commercial. Après le départ à la retraite de H.A.________ le 1er janvier 1983, G.A.________ restait le seul représentant de la branche genevoise au sein du collège des associés-gérants, celui-ci comprenant aussi des membres n'ayant pas de liens de parenté avec la famille A.________. A la suite de l'exclusion définitive de I.A.________ en 1972, seuls ses fils C.A.________ et B.A.________ - les petits-fils de H.A.________ -, ainsi que le fils de G.A.________, A.A.________, pouvaient entrer en considération pour une association éventuelle au titre de représentants de la branche genevoise. L'art. 5 de l'AA de 1982 prévoyait notamment ce qui suit: " Article 5 Compte tenu de ce qui précède, les associés autres que ceux de la branche genevoise de la famille A.________ s'engagent à maintenir celle-ci dans l' 'Association' en acceptant comme associés, pour autant qu'ils les en jugent dignes et capables, les descendants de F.A.________ porteurs du nom. Cette règle sera notamment observée pour A.A.________, C.A.________ et B.A.________ susnommés, pour autant qu'ils le souhaitent ". A.c. Au fil des ans, au gré des entrées et sorties des associés-gérants de la banque, ceux-ci ont conclu plusieurs contrats, parmi lesquels figurent notamment l'AA de 1986, l'AA de 1987 et l'AA de 1988. Le texte de ces trois AA est presque identique à celui de l'AA de 1982. En particulier, l'art. 5 de ces différents actes a la même teneur que celui de l'AA de 1982. Le nom de A.A.________, devenu entre-temps associé de la banque, a toutefois été remplacé par celui de son fils, J.A.________ dès l'AA de 1986. A.d. La structure de la banque elle-même a aussi été modifiée ultérieurement. Ainsi, le 1er janvier 1991, la banque a fusionné avec une autre banque privée, N.________, les actifs et passifs étant transmis à O.________. M.________ a été dissoute. En 2002, la nouvelle entité a également fusionné par absorption avec une autre banque. En 2014, l'entité qui en était issue a été transformée en société anonyme sous la raison sociale P.________ SA.