Citation: 4A_468/2014 E. 1

Par ailleurs, les deux avocats ont engagé des pourparlers en vue d'un règlement global du litige opposant père et fille, qui ont permis notamment l'obtention pour la cliente d'une indemnité mensuelle de 3'000 fr. versée par une société détenue par le père. Dans le cadre de ces pourparlers, A.________ et B.________ ont rédigé, début 2010, un projet de transaction, lequel prévoyait en particulier le paiement par le père d'une indemnité de 800'000 fr. pour solde de tout compte, ainsi que la conclusion entre les membres de la famille d'un pacte successoral garantissant les droits de C.Y.________ dans la succession de ses parents. En février 2010, C.Y.________ a déclaré aux deux mandataires qu'elle n'approuvait pas le projet de transaction précité. Elle a alors tenté, sans succès, de négocier directement avec sa famille un accord similaire, avant de demander à ses avocats, le 23 mars 2010, d'apporter des aménagements au projet qu'ils avaient établi, puis, le lendemain, de résilier le mandat avec effet immédiat. Avant de transmettre le dossier à Me C.________, nouveau conseil de C.Y.________, A.________ et B.________ ont sollicité l'autorisation du Bâtonnier de l'Ordre des avocats; ils considéraient en effet que leur confrère se trouvait dans un conflit d'intérêts dans la mesure où il était également l'avocat de l'époux de C.Y.________, alors inculpé d'instigation à tentative de meurtre sur la personne de son beau-père. Le 2 avril 2010, l'Ordre des avocats a interdit à A.________ et B.________ de transmettre le dossier de C.Y.________ au nouvel avocat de celle-ci. Il lèvera l'interdiction quatre mois plus tard, lorsque le conflit d'intérêts n'existera plus. Entretemps, C.Y.________ avait saisi la Commission du Barreau d'une plainte contre A.________ et B.________ auxquels elle reprochait une mauvaise exécution de leur mandat. La plainte a été classée sans suite par le Président de la Commission, puis, après opposition de la mandante, par la Commission plénière. Le père de C.Y.________ est décédé en avril 2011. Ses héritiers ont été condamnés, par arrêt du 31 mai 2012 de la Cour d'assises, à payer à sa fille des dommages-intérêts par 1'825'710 fr.25. C.Y.________ s'est pourvue en cassation, réclamant désormais 4'377'692 fr.25; la procédure est en cours. A.________ et B.________ ont adressé deux notes d'honoraires et de frais à C.Y.________. La première facture, datée du 31 mars 2009, portait sur la procédure de recours AI et s'élevait à 2'335 fr.60 nets après déduction d'une provision de 1'000 fr. La seconde facture, établie le 26 avril 2010 après la résiliation du mandat, se montait à 49'074 fr. nets après déduction d'une provision de 40'000 fr. C.Y.________ ne s'est pas acquittée de ces deux notes d'honoraires. Saisie le 6 août 2010 par A.________ et B.________, la Commission de taxation des honoraires d'avocat a, par décision du 2 février 2011, entièrement confirmé la quotité de la note d'honoraires et de frais du 26 avril 2010, en relevant que le temps d'activité et le tarif horaire appliqué étaient adéquats, proportionnés et justifiés compte tenu de l'importante activité déployée, de la complexité du mandat, des intérêts économiques en jeu et de la responsabilité assumée par les avocats.