Citation: 5A_716/2021 E. B

Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. September 2021 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Beschluss und das Urteil des Obergerichts aufzuheben, und hält an den vor der Vorinstanz gestellten Anträgen (Bst. A.c) fest; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter seien B.________ (Beschwerdegegnerin) und der Kanton Zürich (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihm für das zweitinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'088.25 zu bezahlen; im Falle einer Rückweisung an die Vorinstanz sei die Beschwerdegegnerin zu einem Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu verurteilen. Eventualiter dazu sei ihm für das zweitinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer darum, die Beschwerdegegnerin zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 5'000.-- zu verurteilen, verbunden mit einem Eventualbegehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dem Begehren, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 28. September 2021. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.