Citation: 9C_503/2013 E. C

K.________ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant derechef à ce que la Caisse de pensions de X.________ soit condamnée à lui verser une rente d'invalidité de 100 % à partir du 1 er janvier 2007. Subsidiairement, elle dirige ses prétentions contre Y.________, plus subsidiairement contre AXA Fondation LPP Suisse romande. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. Les intimées ont conclu au rejet du recours avec suite de frais. A l'exception de la Caisse de pensions de X.________, les deux autres institutions intimées ont demandé des dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.