Citation: 9C_569/2013 E. C

C.a. Die Pensionskasse Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei jegliche sie treffende Leistungspflicht zu verneinen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 1). Zudem sei die Sache in Bezug auf die Leistungspflicht der übrigen ins Recht gefassten Vorsorgeeinrichtungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei sei die Klage gegen die Personalvorsorgestiftung X.________, eventuell gegen die Stiftung 2. Säule swissstaffing, subeventuell gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und sub-subeventuell gegen die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge in dem Umfang, als die Beschwerdeführerin dannzumal Vorleistungen an die Klägerin erbracht haben würde, abzuweisen (Rechtsbegehren Ziff. 2). Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. C.b. V.________ und die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Personalvorsorgestiftung X.________ beantragt ebenfalls Abweisung der Beschwerde; eventuell sei die gegen sie gerichtete Klage abzuweisen. Die Stiftung 2. Säule swissstaffing, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.