Citation: 9C_409/2013 E. C

Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 1 (recte: 2), 4 und 5 des Entscheids vom 22. April 2013 seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die ihr obliegenden Prüfungen der strittigen Fragen vornehme und Entscheidungen im Sinne von Ziffer 9 der Beschwerdebegründung treffe. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen S.________ in seiner nach Ablauf der hiefür gesetzten Frist eingereichten "Replik". Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 12. Juli 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden.