Citation: 4A_570/2013 E. A

A.a. Le 28 mai 2009, la ressortissante ... A.________, domiciliée à X.________, a été nommée en qualité d'"auxiliaire administrative" à la Mission permanente de B.________ auprès de l'Office des Nations Unies à Genève (ONUG). L'engagement s'est fait par "résolution" émanant du Ministère des relations extérieures de la République B.________. La Mission B.________ précitée a annoncé son employée à la Mission permanente de la Suisse auprès de l'ONUG, en indiquant qu'elle était membre du personnel de service. Le Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) lui a octroyé une carte de légitimation de type E pour la durée de ses fonctions. L'employée était par ailleurs titulaire d'un passeport de service B.________. A son arrivée à Genève, elle a signé le 15 juin 2009 un acte de "prise de possession" de sa charge; le document a été cosigné par l'ambassadeur représentant B.________ auprès de l'ONUG. Dans les faits, A.________ a travaillé comme employée domestique à la résidence de l'ambassadeur. Le 4 mai 2010, elle a adressé au Ministre B.________des relations extérieures un courrier annonçant sa démission pour le 1er juillet 2010. La République B.________ a accepté cette démission par résolution du 21 mai 2010. Les parties sont ensuite revenues sur leurs décisions et l'employée a continué de travailler. A.b. Par courrier du 25 octobre 2011, la République B.________ a signifié à l'employée qu'elle avait deux mois pour démissionner de sa charge et qu'elle pouvait s'adresser au Ministère des relations extérieures pour coordonner le paiement de ses indemnités de déplacement et de retour. L'employée a contresigné le courrier le 3 novembre 2011. Le 29 décembre 2011, elle a réclamé à l'ambassadeur le paiement de 109'508 fr. à titre d'heures supplémentaires, remboursement de frais médicaux, indemnité pour tort moral et dommages-intérêts. Elle précisait avoir été licenciée pour le 3 janvier 2012. Le 9 janvier 2012, la Mission suisse a demandé que l'employée restitue sa carte de légitimation. Le 27 mars 2012, la République B.________ a adressé à la "fonctionnaire" A.________ un document concernant la liquidation des rapports de service des employés publics, dont elle devait attester la réception; il était précisé que des voies de droit étaient ouvertes selon le code de contentieux administratif.