Citation: 2C_484/2020 E. A

A.a. A.________ (geb. 1990) ist jamaikanischer Staatsbürger. Er kam am 29. August 2008 erstmals in die Schweiz, wo er weggewiesen wurde. Am 13. November 2008 reiste er in seine Heimat zurück und heiratete dort am 22. November 2008 seine in der Schweiz aufenthaltsberechtigte Landsfrau C.________ (-A.________). Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies am 5. Juni 2009 das Familiennachzugsgesuch für A.________ ab, da seine Ehefrau seit November 2006 Sozialhilfegelder bezog und das Ehepaar über keine bedarfsgerechte Wohnung verfügte. Aus der Beziehung ging am 7. Juni 2009 die gemeinsame Tochter F.A._______ hervor. A.________ stellte am 25. August 2009 erfolglos ein weiteres Gesuch, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin zu erteilen. Er befand sich im Folgenden in Ausschaffungs- und Durchsetzungshaft, da er sich weigerte, das Land zu verlassen. Das Bundesamt für Migration (heute Staatssekretariat für Migration [SEM]) ordnete gegen ihn ein vom 19. Februar 2010 bis 18. Februar 2013 befristetes Einreiseverbot an. Das Bezirksgericht Zürich schied am 7. Juli 2010 die Ehe C.________-A.________; F.A._______ wurde unter die elterliche Sorge und Obhut der Mutter gestellt. A.b. Am 14. Oktober 2010 wurde A.________ aus der Durchsetzungshaft entlassen, worauf er am 21. Oktober 2010 die Schweizer Bürgerin D.________ heiratete und am 25. Oktober 2010 darum ersuchte, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei dieser zu erteilen. Das Bezirksgericht Zürich verurteilte A.________ am 18. April 2011 wegen Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 22 Monaten. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies am 11. August 2011 das Gesuch um Familiennachzug ab, gleichzeitig forderte es A.________ auf, das Land zu verlassen. Am 11. November 2011 ging aus der Beziehung die gemeinsame Tochter G.A._______ hervor. Das gegen A.________ bestehende Einreiseverbot wurde bis zum 15. Dezember 2016 verlängert. Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich trat am 11. April 2012 auf den Rekurs gegen die Verfügung vom 11. August 2011, weil verspätet, nicht ein. Ein weiteres Nachzugsgesuch vom 13. Juni 2012 blieb ohne Erfolg; das Bundesgericht wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 22. Oktober 2013 ab (2C_345/2013). A.________ wurde am 18. Dezember 2013 nach Jamaika ausgeschafft. Das Bezirksgericht Zürich schied am 2. Oktober 2014 die Ehe A.-D.________; es übertrug das alleinige elterliche Sorgerecht über G.A._______ deren Mutter. A.c. Ab April 2014 hielt sich A.________ als Asylbewerber in Frankreich auf. Am 22. März 2016 heiratete er in Saint-Louis die Schweizerbürgerin B.________ Koller; am 11. Dezember 2015 war aus der Beziehung die gemeinsame Tochter E.A._______ hervorgegangen. A.________ verfügte vom 26. August 2016 bis zum 26. August 2017 über eine Aufenthaltsbewilligung in Frankreich. Er kam verschiedentlich in die Schweiz, wo er jeweils weggewiesen wurde. Nachdem seine Ehefrau und die gemeinsame Tochter in den Kanton Zürich gezogen waren, reiste er diesen am 3. Dezember 2017 nach, wo er in der Folge bei seiner Frau und dem gemeinsamen Kind gelebt haben will. Am 11. Juli 2018 ersuchte A.________ das Migrationsamt des Kanton Zürich darum, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Seit dem 18. Dezember 2013 sind verschiedene Strafentscheide gegen A.________ ergangen (geringfügiger Diebstahl; rechtswidriger Aufenthalt im Land; einfache Körperverletzung).