Citation: 5A_621/2021 E. A

A.a. A.B.________ (geb. 1983) und C.B.________ (geb. 1984) heirateten im Jahr 2007. Sie sind die Eltern der Kinder D.B.________ (geb. 2013) und E.B.________ (geb. 2016). A.b. Die Eheleute trennten sich im Juni 2018. Im in der Folge von der Ehefrau eingeleiteten Verfahren betreffend Eheschutzmassnahmen schlossen die Parteien eine Teilvereinbarung über die Folgen des Getrenntlebens. Dabei einigten sie sich insbesondere über die Zuweisung der ehelichen Wohnung, die Obhut der Ehefrau über die gemeinsamen Kinder sowie das Besuchsrecht des Vaters und die Anordnung der Gütertrennung. Strittig blieben jedoch insbesondere die Unterhaltszahlungen zu Gunsten der Ehefrau und der Kinder sowie die Zuweisung eines (geleasten) Range Rovers. A.c. Mit Entscheid vom 13. Dezember 2019 genehmigte das Bezirksgericht Luzern die Teilvereinbarung der Eheleute, legte die Unterhaltszahlungen zu Gunsten der Kinder und der Ehefrau fest und wies den Range Rover für die Dauer des Getrenntlebens der Ehefrau zu Nutzen und Gebrauch zu. Darüber hinaus gewährte es beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege. Die Unterhaltszahlungen legte das Bezirksgericht wie folgt fest: Für die gemeinsamen Kinder: - ab 06.2018 bis 28.02.2019: je Fr. 565.-- - von 01.03.2019 bis 31.10.2019: je Fr. 645.-- - von 01.11.2019 bis 30.04.2020: je Fr. 530.-- - ab 01.05.2020: je Fr. 585.-- Für die Ehefrau: - ab 01.06.2018 bis 28.02.2019: Fr. 855.-- - von 01.03.2019 bis 31.10.2019: Fr. 1'030.-- - von 01.11.2019 bis 30.04.2020: Fr. 645.-- - ab 01.05.2020: Fr. 760.--