Citation: 5A_587/2014 E. B

B.a. Am 28. März 2014 erhob die Ehefrau Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Appellationsgericht oder Vorinstanz). Die Berufung richtete sich einerseits gegen die Obhutszuteilung, die Besuchsrechtsanordnung und die Höhe des Unterhalts (Ziff. 2, 3 und 4). Andererseits verlangte die Ehefrau, es sei ihr für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, und die beiliegende Honorarnote für das erstinstanzliche Verfahren zu bewilligen (Ziff. 5). Eventualiter sei diese Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 6), alles unter Kostenfolge zu Lasten des Berufungsbeklagten respektive unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung (Ziff. 8). B.b. Das Appellationsgericht gewährte den Ehegatten mit Verfügung vom 23. April 2014 die unentgeltliche Prozessführung für das zweitinstanzliche Verfahren - unter dem ausdrücklichen Hinweis auf die Möglichkeit eines Widerrufs und der Rückforderung, insbesondere im Falle der Gewinnerzielung aus dem Verkauf der Liegenschaft. B.c. Mit Entscheid vom 26. Mai 2014 (zugestellt am 17. Juni 2014) prüfte und bestätigte das Appellationsgericht den erstinstanzlichen Kostenentscheid. In den Ziff. 4.2 und 4.3 der Entscheidbegründung erachtete es die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung als mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 rechtskräftig entschiedene und für den Kostenentscheid nicht mehr relevante Frage. Im Dispositiv bestätigte das Appellationsgericht daher die Kostenregelung des erstinstanzlichen Urteils, ohne auf die unentgeltliche Rechtspflege Bezug zu nehmen. B.d. Am 19. Juni 2014 stellte die Vorinstanz den Ehegatten ein im Dispositiv - Ziff. 1, betreffend den Wohnsitz des jüngsten Kindes - berichtigtes Urteil zu.