Citation: 4A_349/2013 E. C

Der Verein X.________ (Beschwerdeführer) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei vollumfänglich gutzuheissen. Eventualiter sei "2.1. im Dispositiv festzustellen, dass das rechtliche Gehör verletzt worden ist" und "2.2. die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen." Die Y.________ AG (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.