Citation: 2C_1032/2019 E. A

A.a. Mit Verfügung des Amtes für Migration des Kantons Luzern vom 23. November 2018 wurde das Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung des belarussischen Staatsangehörigen A.A.________ (geb. 1975) festgestellt und die Wiedererteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung abgelehnt. Gleichzeitig wurden die Aufenthaltsbewilligungen seiner Ehefrau B.________ (geb. 1985, ebenfalls belarussische Staatsangehörige) sowie der gemeinsamen Kinder C.A.________ (geb. 2010) und D.A.________ (geb. 2013) nicht verlängert. Das Amt für Migration wies die Familienmitglieder weg und forderte sie auf, die Schweiz bis spätestens zum 31. Januar 2019 zu verlassen. Diese Verfügung wurde den Rechtsvertretern der Betroffenen am 24. November 2018 als A-Post-Plus-Sendung zugestellt. A.b. Gegen diese Verfügung erhoben A.A.________, B.________ und ihre beiden Kinder am 27. Dezember 2018 Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (nachfolgend: Departement). Nachdem das Departement ihnen mitgeteilt hatte, es erwäge, auf die Beschwerde wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist nicht einzutreten, nahmen diese am 17. Januar 2019 hierzu Stellung und ersuchten um allfällige Wiederherstellung der verpassten Rechtsmittelfrist. Während des vor dem Departement hängigen Beschwerdeverfahrens ersuchten A.A.________, B.________ und ihre beiden Kinder am 17. Januar 2019 beim Amt für Migration um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls im Sinn von Art. 30 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: AuG) i.V.m. Art. 31 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201). Das Amt für Migration leitete das Gesuch dem Departement zur Behandlung im Rahmen des Beschwerdeverfahrens weiter (Art. 105 Abs. 2 BGG). A.c. Am 29. Januar 2019 wies das Departement das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein. Auf das Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls ging das Departement in diesem Entscheid - mit Ausnahme eines Hinweises auf dessen Einreichung und Weiterleitung - nicht näher ein (Art. 105 Abs. 2 BGG).