Citation: 2C_585/2021 E. A

A.a. En avril 2017, le Département de la culture et du sport de la Ville de Genève, devenu depuis le Département de la culture et de la transition numérique (ci-après: le Département), a mis au concours, pour une durée de trois ans renouvelable une fois à compter du 1er juillet 2018, la direction du théâtre du Grütli (ci-après aussi: le Grütli). La mise au concours indiquait que ce théâtre était destiné à la création professionnelle indépendante et que sa mission première était la mise en valeur des artistes et des compagnies locales et régionales dans le domaine des arts de la scène (théâtre, danse, arts du récit). Une note d'information était disponible auprès du Département. Le 15 mai 2017, dans le délai indiqué par la Ville, A.________ et B.________ ont déposé leur candidature pour une "direction conjointe". Par courrier du 6 juillet 2017, le Conseiller administratif en charge du Département (ci-après: le Conseiller administratif) leur a annoncé que leur candidature n'avait pas été retenue. Le 29 août 2017, la Ville de Genève a annoncé la nomination de C.________ et D.________ à la direction du Grütli. Par la suite, la Ville de Genève, par l'intermédiaire du Département, a conclu une "convention de subventionnement" avec la nouvelle direction constituée sous la forme d'une association. D'après cette convention, la Ville s'engageait à verser à l'association une aide financière pour les trois saisons et à mettre à disposition les locaux, par le biais d'un contrat de prêt à usage. L'association, autonome quant au choix de son programme artistique et culturel, s'engageait pour sa part à mettre en oeuvre le projet artistique et culturel annexé, ainsi qu'à respecter différentes obligations, notamment en lien avec les tarifs. A.b. A la mi-juin 2017, le Département a mis au concours, pour un engagement de trois ans renouvelable deux fois à partir de l'été 2018, la direction du théâtre de l'Orangerie (ci-après aussi: l'Orangerie), en exposant que ce théâtre accueillait durant la saison estivale des manifestations artistiques publiques dans le domaine des arts de la scène et qu'une note d'information pouvait être obtenue auprès du Département. A.________ et B.________ ont déposé leur candidature pour une "direction conjointe". Le 8 septembre 2017, le Service culturel du Département les a informés que leur candidature n'avait pas été retenue. Le 12 septembre 2017, la Ville de Genève a annoncé que E.________ avait été nommé à la direction de l'Orangerie. Par la suite, la Ville de Genève a conclu avec la nouvelle direction constituée sous forme d'association une convention de subventionnement pour les années 2018-2020 au contenu similaire à celle conclue avec l'association dirigeant le Grütli. A.c. Par courrier du 28 septembre 2017 adressé au Conseiller administratif, A.________ a "contest[é] le processus de nomination à la tête des deux théâtres et demand[é] l'annulation des nominations auxquelles la procédure a[vait] abouti". Dénonçant plusieurs dysfonctionnements dans le processus de sélection, il a sollicité du magistrat qu'il rende une décision examinant la conformité au droit comme l'opportunité des décisions prises et constatant la violation de ses droits fondamentaux. Par courrier du 3 novembre 2017, le Conseiller administratif a contesté l'existence des dysfonctionnements évoqués, tout en indiquant qu'il ne lui appartenait pas de rendre une décision. Le 5 décembre 2017, A.________ a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), en se plaignant du refus du Conseiller administratif de rendre une décision. Par arrêt du 22 mai 2018, la Cour de justice a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité. A.d. Saisi d'un recours en matière de droit public de A.________, le Tribunal fédéral l'a admis par arrêt du 27 mai 2019 (cause 2C_569/2018, consid. 5 et 6 publiés in ATF 145 II 303). Il a retenu que la Ville de Genève exerçait un monopole de fait sur les deux théâtres et que le processus de sélection et désignation des directions de ces théâtres était partant soumis aux art. 2 al. 7 et 9 de la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur le marché intérieur (LMI; RS 943.02). La Ville de Genève aurait donc dû attribuer la direction des théâtres par le biais d'une décision attaquable (consid. 6). Comme les directions avaient déjà été nommées et les contrats de subventionnement conclus, le Tribunal fédéral a relevé que, dans les circonstances d'espèce, la procédure ne pourrait désormais concerner que l'éventuel caractère illicite des décisions d'attribution. Il a par conséquent renvoyé la cause au Département, afin que celui-ci rende des décisions "constat[ant] les règles et les critères suivis lors du processus de nomination des directions des théâtres du Grütli et de l'Orangerie" et "permettant ainsi le cas échéant au recourant de se plaindre de leur éventuelle illicéité, à supposer qu'il remplisse les conditions procédurales pour ce faire" (consid. 7).