Citation: 2C_397/2012 E. C

Le Département fédéral saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 13 mars 2012. Il conclut, avec suite de frais, à l'annulation de cet arrêt "dans la mesure où il déclare illicite (...) la période de détention provisoire de l'intimée du 1er au 17 décembre 2006", au rejet de la demande de dommages-intérêts et d'indemnité à titre de réparation morale de X.________ relative à la période précitée. L'admission de son recours aboutissant à une approbation partielle de l'arrêt attaqué, il demande également la diminution du montant de l'indemnité de dépens de 10'000 fr. mise à sa charge dans l'arrêt querellé. Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. X.________ conclut, sous suite de frais et dépens, au déboutement du recourant de toutes ses conclusions. Dans le cadre d'un échange d'écritures portant sur l'éventuel caractère injustifié de la détention extraditionnelle du 1er au 17 décembre 2006, le Département fédéral a estimé que, dans l'hypothèse où la Cour de céans accueillerait son recours contre l'arrêt du 13 mars 2012, la question d'une indemnisation pour détention injustifiée se poserait et devrait être traitée par l'Office fédéral. Persistant dans ses conclusions, X.________ a demandé le déboutement du Département et de l'Office fédéraux de leurs conclusions. Le Tribunal administratif fédéral a pour sa part renoncé à formuler des observations complémentaires. Invité à se déterminer, l'Office fédéral a en substance considéré que la détention de l'intimée n'avait jamais été injustifiée et encore moins illicite. Les participants ont reçu copie de ces observations.