Citation: 4A_333/2021 E. B

B.a. Peu avant, soit le 12 octobre 2010, l'assuré avait assigné la compagnie d'assurances en conciliation devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il a ensuite déposé une demande en paiement dont les conclusions s'élevaient en dernier lieu à 895'000 fr. La défenderesse a soulevé l'exception de prescription. Par décision incidente du 15 septembre 2011, le Tribunal a rejeté ce moyen qui procédait d'un abus de droit: la défenderesse avait laissé accroire qu'elle indemniserait l'assuré. La Cour de justice genevoise a annulé cette décision pour le double motif que l'abus de droit ne pouvait être retenu d'office à défaut d'allégations topiques et n'était au demeurant pas réalisé. Le Tribunal a repris l'instruction. Il a entendu les parties et des témoins, organisé un transport sur place et ordonné l'apport des procédures pénales suisses. La procédure pénale française a été versée au dossier par l'assuré. Le 26 juin 2018, le Tribunal a rejeté la demande en paiement en reprochant à son auteur de ne pas avoir rapporté la preuve du sinistre. L'assuré est mort le 20 juillet 2018. B.b. Ses héritiers, soit ses fils B.________, C.________et D.________, ont interjeté appel auprès de la Cour de justice, sans succès. Un résumé des considérants utiles à la discussion du litige sera présenté ci-dessous (consid. 4.2 et 5.1).