Citation: 8C_421/2014 E. A

A.a. R.________, née en 1948, a été engagée en qualité de psychologue par les Institutions Y.________ à dater du 1er mars 1990. Celles-ci ont été par la suite intégrées aux Établissements X.________. R.________ a été nommée fonctionnaire avec effet au 1er mars 1993. Elle a été absente de son poste depuis le 26 octobre 2009 pour raison de santé, sous réserve d'une tentative de reprise entre le 8 et le 23 mars 2010. Un litige étant survenu entre l'employeur et la fonctionnaire au sujet du bien-fondé de cette absence de longue durée, le conseil d'administration des Établissements X.________ a signifié à l'intéressée, par lettre du 22 octobre 2010, qu'il avait décidé de la licencier pour le 31 janvier 2011. A.b. Par mémoire du 1er décembre 2010, R.________ a déféré cette décision au Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève). Au cours de la procédure cantonale, il est apparu que la prénommée avait été mise à la retraite anticipée avec effet au 1er février 2011. Par jugement du 21 août 2012, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a constaté que la décision des Établissements X.________ du 22 octobre 2010 violait le droit d'être entendue de l'intéressée et condamné l'employeur à verser à celle-ci une indemnité correspondant à vingt-quatre mois de son dernier traitement brut, sous déduction des rentes perçues entre le 1er février 2011 et le 31 janvier 2013. A.c. Saisi d'un recours en matière de droit public par les Établissements X.________, le Tribunal fédéral a annulé le jugement de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève et lui a renvoyé la cause, en application de l'art. 112 al. 3 LTF, pour qu'elle complète la motivation en fait et en droit de sa décision (arrêt 8C_785/2012 du 5 mars 2013).