Citation: 2C_574/2023 E. 5

Au regard de ce qui précède, le recours est admis et l'arrêt du 12 septembre 2023 du Tribunal administratif est annulé. La cause est renvoyée à cette autorité, afin qu'elle statue sur le fond du recours formé devant lui à l'encontre de la décision sur recours du 21 juin 2023 de la Direction de la santé. Il est statué sans frais judiciaires, le canton de Berne en étant exempté (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La recourante, qui obtient gain de cause avec l'aide d'un avocat, a droit à une indemnité de dépens mise à la charge dudit canton (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :