Citation: 4A_180/2013 E. C

X.________ exerce un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 29 janvier 2013. Il l'intitule " recours en matière civile et recours constitutionnel subsidiaire ". Invoquant une fausse application du droit fédéral, une constatation manifestement inexacte des faits, une appréciation arbitraire des preuves, une violation du droit d'être entendu, une décision arbitraire, un état de fait manifestement incomplet et une violation du droit à la preuve, il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt attaqué soit réformé et à ce que l'on en revienne à la décision de première instance, les frais et dépens de la deuxième instance étant à la charge de l'intimée; subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale. L'intimée conclut, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité du recours constitutionnel et au rejet du recours en matière civile; subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction. Les parties ont répliqué et dupliqué.