Citation: 5A_347/2021 E. 8

Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer hat entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzukommen. Dies gilt auch für die Kosten des Verfahrens um aufschiebende Wirkung. Keine Kosten erhoben werden für dieses Verfahren indes soweit das sinngemässe Gesuch der Beschwerdegegnerin um einen Prozesskostenvorschuss betreffend (Art. 66 Abs. 1 BGG). Weiter hat der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin für dieses Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten. Da in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (vorne Bst. C), sind der Beschwerdegegnerin insoweit dagegen keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten von Anfang an als aussichtslos angesehen werden muss (Art. 64 Abs. 1 BGG). Gutzuheissen ist dagegen das entsprechende Gesuch der Beschwerdegegnerin, soweit es mangels Kostenpflicht nicht gegenstandslos geworden ist. Obgleich der Beschwerdegegnerin eine Entschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zugesprochen wird, hat sie dabei diesbezüglich nach wie vor ein Interesse an der Behandlung ihres Gesuchs, da aufgrund der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers zweifelhaft erscheint, ob sie diese Entschädigung wird erhältlich machen können. Aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist sie unter diesen Umständen nur, wenn sich ihre Entschädigung durch den Beschwerdeführer als nicht einbringlich erweisen sollte. Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie bei Inanspruchnahme der unentgeltlichen Rechtspflege der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).