Citation: 2C_1019/2021 E. A

A.a. A.________ (geb. 1981) stammt aus Sri Lanka. Er reiste am 12. Oktober 2013 mit einem Touristenvisum in den Schengen-Raum ein. Seither hält er sich illegal in diesem bzw. in der Schweiz auf. A.________ lernte - gemäss seiner Darstellung - über seine Mutter die in der Schweiz lebende, ebenfalls aus Sri Lanka stammende B.________ kennen. Diese war am 1. Januar 2008 in die Schweiz eingereist und hier ab dem 16. Februar 2010 vorläufig aufgenommen worden. Am 16. Oktober 2014 erhielt sie eine Aufenthaltsbewilligung, welche ihr das Migrationsamt des Kantons Thurgau letztmals am 3. Dezember 2019 verlängert hat. Seit dem 20. Dezember 2019 sind A.________ und B.________ Eltern eines gemeinsamen Sohnes. A.b. Am 2. Oktober 2019 ersuchte A.________ das Migrationsamt des Kantons Thurgau darum, ihm eine Kurzaufenthaltsbewilligung für das Ehevorbereitungsverfahren auszustellen; es sei ihm zudem zu gestatten, den Bewilligungsentscheid in der Schweiz abzuwarten. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau wies das entsprechende Gesuch am 18. November 2019 ab und hielt A.________ an, das Land zu verlassen. Die kantonalen Rechtsmittel hiergegen blieben ohne Erfolg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau ging in seinem rechtskräftigen Urteil vom 12. Mai 2021 davon aus, dass weder die Verlobte noch das gemeinsame Kind über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügten; angesichts der ungenügenden Einkommenssituation des Paares könne dem Gesuch um Familiennachzug nicht entsprochen werden.