Citation: 8C_75/2015 E. A

A.a. A.________, née en 1951, a travaillé à temps partiel dès le 1 er janvier 2005 en qualité de responsable de formation auprès de l'Institut C.________ (actuellement: Ecole D.________). Elle a donné sa démission avec effet au 31 décembre 2007. Elle a requis l'octroi d'une indemnité de chômage à compter du 1 er janvier 2008 en indiquant rechercher une activité correspondant à 60 % d'une occupation à plein temps. En outre, elle a répondu par la négative à la question de savoir si elle obtenait encore un revenu d'une activité salariée ou indépendante. Elle a perçu une indemnité de chômage à partir du 1 er janvier 2008. Informée par le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) que l'assurée avait vraisemblablement exercé une activité pendant la période durant laquelle elle avait perçu une indemnité de chômage, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse) a requis des renseignements auprès de différentes caisses de compensation AVS, lesquelles lui ont adressé des extraits du compte individuel de l'intéressée. Le 5 juillet 2011, l'Ecole E.________ a adressé à la caisse une attestation de l'employeur indiquant une activité en qualité de vacataire exercée du 1 er janvier au 31 décembre 2009 dans le cadre d'un contrat de durée déterminée pour un salaire total de 17'925 fr. Le 15 juillet 2011, l'Ecole D.________ (Institut C.________) a rempli plusieurs attestations de gain intermédiaire pour l'année 2009 indiquant un salaire total de 4'320 fr. réalisé dans une activité de superviseuse exercée à raison de quelques heures par mois. Le 19 juillet 2011, l'Office du personnel de l'Etat de V.________ a adressé à la caisse une attestation de l'employeur faisant état d'une activité d'auxiliaire à l'heure et un décompte de salaire indiquant un salaire brut de 1'700 fr. pour l'année 2009. Par décision du 4 octobre 2011, la caisse a réclamé à l'assurée la restitution d'un montant de 20'043 fr. 35 correspondant aux indemnités de chômage perçues en trop durant la période du 1 er janvier au 31 décembre 2009, motif pris que l'intéressée avait réalisé des revenus non déclarés auprès de l'Ecole E.________, de l'Ecole D.________ (Institut C.________) et de l'Etat de V.________. Saisie d'une opposition, elle a annulé la décision du 4 octobre 2011 et a renvoyé la cause à l'agence pour nouveau calcul du montant à restituer (décision sur opposition du 20 août 2012). A.b. Par écriture du 19 septembre 2012, l'assurée a recouru devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en demandant l'annulation de cette décision sur opposition. De son côté, la caisse a rendu une décision, le 19 octobre 2012, par laquelle elle a réclamé à l'intéressée la restitution d'un montant de 18'354 fr. 55, après avoir effectué un nouveau calcul du gain assuré compte tenu des revenus réalisés en 2009. L'assurée a fait opposition à cette décision au motif qu'elle était prématurée étant donné la procédure pendante devant la cour cantonale. Le 29 novembre 2012, celle-ci a tenu une audience d'instruction au cours de laquelle les parties sont convenues que le recours du 19 septembre 2012 était irrecevable compte tenu du fait que la décision sur opposition du 20 août précédent était une décision incidente. Par ailleurs, la validité de la décision du 19 octobre 2012 a été reconnue, de sorte qu'il incombait à la caisse de donner un nouveau délai à l'assurée pour motiver son opposition à cette décision. Aussi la cause a-t-elle été rayée du rôle. Par décision sur opposition du 16 août 2013, la caisse a confirmé sa décision de restitution du 19 octobre 2012.