Citation: 1B_65/2020 E. A

A.a. Le Ministère public du canton du Valais, Office régional du Valais central, a ouvert le 31 octobre 2017 une instruction pénale (référencée sous MPC 2017 1612) contre A.________, avocat à U.________ (VS), pour menaces (art. 180 CP), tentative d'entrave à l'action pénale (art. 22 CP ad art. 305 CP), voire instigation à faux témoignage (art. 24 CP ad art. 307 CP), subsidiairement tentative d'instigation à faux témoignage (art. 24 CP ad art. 307 CP). Le 22 novembre 2017, l'instruction a été étendue à l'infraction d'injure (art. 177 CPP), le 15 décembre 2017 à celle d'instigation à dénonciation calomnieuse (art. 24 ad art. 303 CP) et le 22 janvier 2018 à celle de violation du secret professionnel (art. 321 CP). La procédure pénale est dirigée depuis le 24 janvier 2018 par le Procureur Olivier Elsig, Premier procureur de l'Office régional du Valais central. A.b. Les faits reprochés à A.________ ont fait l'objet d'un rapport de dénonciation établi le 18 juin 2018 par la Police cantonale. Il en ressortait notamment qu'entre juin 2017 et décembre 2017, dans le cadre de son mandat de défenseur de son frère B.________, prévenu d'infractions répétées contre l'intégrité sexuelle dans une autre procédure pénale menée par le Ministère public valaisan, A.________ aurait incité plusieurs parties plaignantes et témoins à faire de fausses dépositions sur les faits de la cause, notamment par le biais de courriers qu'il aurait lui-même préalablement rédigés, dans l'optique d'affaiblir l'instruction pénale ouverte contre son frère. A.________ aurait en outre pris à partie une des victimes présumées de son frère, à savoir C.________, lors d'une soirée en discothèque, en lui crachant dessus, en l'insultant et en la menaçant. Par la suite, il aurait déposé plainte contre l'intéressée, arguant faussement avoir été agressé en premier. A.________ s'en serait également pris à D.________, une autre victime présumée de son frère, en l'intimidant alors qu'elle était assise à une terrasse dans le centre-ville de U.________. Apostrophé par des membres de la famille de la précitée, il aurait proféré des menaces et des insultes à leur égard, adressant par la suite plusieurs courriers au père de D.________ ainsi qu'un commandement de payer, portant sur le versement d'un montant de 10'000 fr. pour "tort moral et dégât d'image". Aux termes du rapport, A.________ contestait la plupart des faits qui lui étaient reprochés.