Citation: 4A_445/2021 E. A

A.a. A.________ a entretenu une relation d'amitié et de tendresse très forte avec C.________, qui était propriétaire d'un appartement d'une superficie de 156 m 2 sis à U.________, dans lequel elle habitait (ci-après: l'appartement litigieux). Par testament du 3 novembre 1998 (ci-après: le premier testament), C.________ a institué comme héritière de tous ses biens D.________ ou, à défaut, la fille de celle-ci, sous réserve de la délivrance de certains legs. Dans un nouveau testament du 19 août 2002 (ci-après: le second testament), elle a révoqué les dispositions testamentaires prises antérieurement et institué héritiers de tous ses biens son amie, E.________, ainsi que A.________, sous réserve de la délivrance de certains legs. Elle a en particulier disposé que l'appartement litigieux et la moitié de sa fortune mobilière revinssent à celui-ci et que l'autre moitié de ladite fortune fût allouée à celle-là. C.________ (ci-après: la défunte) est décédée le 19 novembre 2002. A.b. Le 6 février 2003, D.________ a fait opposition au second testament et à la délivrance du certificat d'héritier. Le 6 octobre 2004, elle a ouvert action contre A.________ et E.________ devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, concluant en substance à l'annulation du second testament et à l'homologation du premier testament (ci-après: la procédure en annulation du testament). Par jugement du 27 novembre 2006, la Cour civile a rejeté la demande, D.________ ne s'étant pas présentée à l'audience préliminaire. La requête de relief de D.________ a été rejetée le 3 octobre 2007 car celle-ci avait à nouveau fait défaut à l'audience de reprise. D.________ n'a ensuite pas procédé à l'avance de frais pour son recours laconique déposé le 15 octobre 2007 à l'encontre de cette décision. La cause a été rayée du rôle le 13 décembre 2007. A.c. Pour l'assister dans le contexte de la succession de la défunte, A.________ (ci-après: le client, le demandeur ou le recourant) a fait appel à B.________, avocat (ci-après: l'avocat, le défendeur ou l'intimé). A.c.a. Durant la procédure en annulation du testament, l'avocat a notamment effectué diverses démarches afin que son client puisse occuper l'appartement de la défunte. À compter d'octobre 2004, il a ainsi proposé à F.________, administrateur officiel de la succession (ci-après: l'administrateur officiel), que ledit appartement fût loué à son client pour un loyer mensuel de 1'000 fr. Il a eu de nombreux échanges avec l'administrateur officiel de la succession, la Justice de paix du cercle de U.________, D.________, qui s'est opposée à la proposition de location, et E.________. Le 7 octobre 2005, l'avocat a informé son client qu'il avait invité l'administrateur officiel à établir un contrat de bail et à prendre position sur le montant du loyer, en précisant que si celui-ci n'agissait pas, il le mettrait en demeure. L'avocat n'a toutefois pas ouvert de procédure aux fins d'obtenir de l'administrateur officiel que l'appartement fût loué au client, ce que celui-ci lui reproche. En effet, le client n'a pu prendre possession de l'appartement litigieux que le 1er novembre 2008, après avoir signé une convention de partage avec sa cohéritière, E.________. A.c.b. Le 5 mars 2009, l'avocat a ouvert au nom du client une action en dommages-intérêts contre D.________ devant le Tribunal d'arrondissement de U.________, lui réclamant le remboursement des frais d'avocat en relation avec la procédure en annulation du testament et un dédommagement pour le fait que l'appartement était demeuré inoccupé durant cette procédure. Cette action a été définitivement rejetée par arrêt 4A_557/2014 du 2 février 2015. Le client reproche à l'avocat d'avoir violé son devoir de diligence dans ce contexte. A.c.c. L'avocat a également agi pour qu'un avocat français dépose une plainte pénale contre D.________ en France. Le client lui reproche aussi d'avoir violé ses devoirs à cet égard. A.d. Le 8 juillet 2014, le client a résilié le mandat qu'il avait confié à l'avocat.