Citation: 8C_749/2016 E. A

A.a. A.________, né en 1949, travaillait au service de B.________ SA, Compagnie d'assurance sur la vie (ci-après: B.________ SA ou la société), sise à U.________ et qui avait pour but "l'exploitation de l'assurance vie". A partir du 1 er janvier 2005, le portefeuille de la société a été mis en "run-off" (ou liquidation de portefeuille). Dans une note d'information à l'attention de l'ensemble des collaborateurs, le directeur adjoint de B.________ SA a informé ces derniers que la direction leur demandait de se conformer aux délais de résiliation contractuels. Une résiliation anticipée pourrait toutefois être discutée pour les collaborateurs ayant un délai de congé de six mois. Cette note détaillait en outre les indemnités de départ qui seraient accordées aux employés en fonction de la durée des rapports de service. En 2008, la société C.________ SA, société de droit luxembourgeois, a repris B.________ SA, dont elle est devenue l'unique actionnaire. A.________ a donné sa démission pour le 31 décembre 2009. Par courriers des 21 et 28 décembre 2009, il a réclamé à son ex-employeur l'indemnité de départ à laquelle il estimait avoir droit. Il a réitéré sa demande par lettres des 15 février et 9 mars 2010. Le 23 mars 2010, la société a contesté le bien-fondé de sa prétention. Le 7 juillet 2011, A.________ a déposé une requête de conciliation à l'encontre de B.________ SA tendant au paiement par la défenderesse de la somme de 64'800 fr. représentant huit mois de salaires au titre d'indemnité de départ. L'autorisation de procéder a été délivrée le 6 septembre 2011. Le 6 décembre 2011, A.________ a déposé devant le Tribunal d'arrondissement de U.________ une demande en paiement par la société du montant de 64'800 fr. plus intérêts à 5 % l'an dès le 1 er janvier 2010.