Citation: 4A_212/2013 E. C

X.________ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Le recourant conclut principalement à l'annulation de cet arrêt et, cela fait, que l'intimée soit déboutée « de toutes autres ou contraires conclusions ». Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, l'intimée devant être déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. Par ordonnance du 8 juillet 2013, la Ire Cour de droit civil a fait droit à la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant et lui a désigné les avocats Enrico Scherrer et Laurent Strawson comme avocats d'office. L'intimée propose principalement l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet.