Citation: 1C_113/2021 E. 6.1

6.1. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Rüge der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe mit dem angefochtenen Urteil die Gemeindeautonomie im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BV i.V.m. § 68 Abs. 2 KV/LU verletzt, als begründet. Die Beschwerde ist im Sinne des Eventualantrags der Beschwerdeführer teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG). Die Vorinstanz wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu entscheiden haben (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG). Der Antrag der Beschwerdeführer auf einen reformatorischen Entscheid des Bundesgerichts und die direkte Bestätigung der Baubewilligung vom 9. April 2020 ist hingegen abzuweisen, zumal der im vorinstanzlichen Verfahren als Beschwerdeführer aufgetretene Beschwerdegegner keine Veranlassung und keine Berechtigung hatte, das vorinstanzliche Urteil anzufechten, weil die Vorinstanz im angefochtenen Urteil zwar verschiedene vom ihm erhobene Rügen abgewiesen, er im Ergebnis jedoch vollständig obsiegt hat.