Citation: 5A_336/2023 E. D

D.a. Mit Beschwerde vom 5. Mai 2023 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und in der Sache den erstinstanzlichen Entscheid (s. Bst. B.b) zu bestätigen. Eventualiter verlangt er, die Sache zur weiteren Beweisaufnahme und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Dem prozessualen Antrag, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 7. Juni 2023. D.b. Vom Bundesgericht dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt B.________ (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde abzuweisen (Vernehmlassung vom 31. Januar 2024). Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet (Schreiben vom 22. November 2023). Der Beschwerdeführer, dem diese Eingaben zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht wurden, erklärte mit Schreiben vom 15. Februar 2024, auf weitere Bemerkungen zur gegnerischen Vernehmlassung zu verzichten.