Citation: 9C_418/2015 E. A

A.a. Ressortissante française née en 1965 à U.________ (V.________), A.________ souffre depuis l'enfance des séquelles d'une encéphalopathie qui se manifestent sous la forme d'un retard du langage et par des manifestations de nature psychotique, associées à une épilepsie active. Après avoir été placée par ses parents dans différents établissements, d'abord en France, puis en Suisse, elle réside depuis le 13 octobre 1987 à la Fondation C.________, à W.________. Agissant en qualité de tuteur, son père - désigné depuis le 10 novembre 1993 à la suite d'une interdiction volontaire - a présenté une demande de prestations tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité, le 4 décembre 1995. Par décision du 11 juin 1996, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a dénié à A.________ le droit à une rente extraordinaire d'invalidité, motif pris qu'elle n'était pas domiciliée en Suisse. Saisi d'un recours de l'assurée, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui, Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) l'a admis et mis l'intéressée au bénéfice d'une rente extraordinaire d'invalidité, en renvoyant le dossier à l'administration pour en fixer le montant, ainsi que le début du droit à la prestation (jugement du 29 mai 1997). Statuant le 26 février 1999 sur le recours formé par l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS), le Tribunal fédéral des assurances (aujourd'hui, Ire et IIe Cours de droit social du Tribunal fédéral) l'a admis et annulé le jugement cantonal (arrêt I 110/98 du 26 février 1999). En bref, il a considéré que les parents de l'assurée avaient procédé au choix de placer leur fille dans une institution en Suisse en raison de son infirmité, ce qui excluait l'existence d'un centre des intérêts dans ce pays et, partant, un domicile en Suisse du point de vue des assurances sociales. En l'absence de domicile dans ce pays, les conditions du droit à une rente extraordinaire d'invalidité n'étaient pas réalisées. A.b. La mesure de tutelle a été remplacée de plein droit par une curatelle de portée générale avec effet au 1er janvier 2013. A.________ a par ailleurs acquis la nationalité suisse le 26 juin 2013. Le 19 août 2013, elle a sollicité à nouveau des prestations auprès de l'office AI, en se prévalant de l'acquisition de la nationalité suisse. L'administration a derechef nié le droit de l'assurée à une rente extraordinaire d'invalidité, par décision du 24 janvier 2014. Elle a conseillé à l'intéressée de déposer une demande de prestations complémentaires.