Citation: 4A_435/2013 E. C

Der Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Die Klägerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer replizierte. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf Gegenbemerkungen. Mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. Mit Präsidialverfügung vom 4. November 2013 wurde das Sicherstellungsbegehren der Beschwerdegegnerin gutgeheissen und der Beschwerdeführer aufgefordert, als Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung Fr. 5'000.-- zu hinterlegen. Am 10. Dezember 2013 überwies der Beschwerdeführer die Sicherheit an die Bundesgerichtskasse.