Citation: 9C_1009/2012 E. C

Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Basel-Stadt, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei dem Versicherten eine befristete ganze Invalidenrente von Oktober (recte: November) 2008 bis und mit Mai 2009 auszurichten und für die Zeit danach ein Rentenanspruch zu verneinen. M._______ lässt die Abweisung der Beschwerde unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren beantragen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.