Citation: 4A_262/2017 E. A

A.a. Z.________ SA, reprise par fusion en 2011 par X.________ SA (ci-après: l'assureur ou la compagnie d'assurance) a établi, le 16 août 1994, une police d'assurance couvrant la responsabilité civile de U.________ SA (ci-après: l'institut médical ou l'auteur du dommage), société inscrite au registre du commerce le 4 février 1994 ayant notamment pour but de procéder à des interventions médicales et chirurgicales dans le domaine des malformations cardiaques congénitales. Le contrat conclu entre l'assureur et l'institut médical était lié au contrat conclu antérieurement entre le même assureur et la Clinique V.________ SA (l'annulation de celui-ci provoquant automatiquement la fin de celui-là), qui mettait à disposition de l'institut médical des locaux, ce dernier disposant toutefois de son propre personnel. La police couvrant la responsabilité civile de l'institut médical était notamment régie par des " Conditions générales complémentaires (CGC) pour l'assurance responsabilité civile des hôpitaux, homes et établissements pourvus d'un service médical ". Selon les CGC, l'assurance ne couvrait que la responsabilité civile des médecins figurant sur une liste annexée au contrat, les modifications de la liste devant être annoncées à l'assureur. Les " Conditions générales d'assurance (CGA) ", également intégrées dans le contrat, prévoyaient en substance, à l'art. 23 CGA (" Règlement des sinistres, procès ") que, dès l'annonce d'un sinistre, l'assuré ne pouvait plus prendre aucune initiative sans l'accord de l'assureur et que seul ce dernier pouvait décider des démarches à entreprendre jusqu'au règlement du sinistre, le cas échéant après avoir mené personnellement une procédure judiciaire (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF). A.b. A.________ (ci-après: la lésée ou la victime), qui souffre depuis sa naissance de malformations cardiaque et aortique, a été opérée, le 18 décembre 1995, dans les locaux de la Clinique V.________ SA (ci-après: la clinique V.________) par le Professeur V.________, agissant pour l'institut médical. Le 23 décembre 1995 au matin, la patiente a fait l'objet d'une extubation qui, malgré la réintubation qui a ensuite été opérée, l'a placée plusieurs jours dans un état léthargique et lui a causé d'importants troubles, notamment neurologiques. La lésée est sortie du service des soins intensifs le 13 janvier 1996. Il résulte toutefois de divers rapports établis entre 1998 et 2003 qu'une évolution favorable sur le plan fonctionnel de l'état de santé de l'enfant n'était que peu probable, qu'il n'y avait aucun espoir qu'elle retrouve une vie " normale " et qu'une aide permanente et des mesures spécifiques seraient toujours nécessaires pour lui accorder une qualité de vie acceptable.