Citation: 4A_512/2019 E. A

A.a. B.________ Limited est une société de droit anglais active dans le conseil juridique (ci-après: B.________ Ltd, ou la société de conseil juridique). En mai et juin 2009, elle a conclu des "contrats de représentation juridique" (Legal Representation Agreements) avec plusieurs plaignants américains qui avaient été victimes d'une fraude financière orchestrée par un individu basé en Angleterre. Selon ces accords, B.________ Ltd devait recouvrer les fonds détournés par l'escroc et intervenir à cette fin notamment en Suisse. Les plaignants s'engageaient à signer toute procuration permettant de les représenter devant les autorités judiciaires suisses. B.________ Ltd s'obligeait à payer avec ses propres ressources tous les frais liés à cette représentation, dont les frais judiciaires et les honoraires d'avocats mandatés en Suisse. En contrepartie, elle avait le droit à 7,5 % des sommes récupérées dans le cadre du litige contre l'escroc. L'accord devait entrer en force dès que les parties auraient signé celui-ci, ainsi que les procurations pour les avocats suisses engagés par B.________ Ltd. Un jugement anglais du 18 novembre 2009 a ordonné que les quelque 16,5 millions de dollars américains (USD) déposés par l'escroc auprès d'une banque genevoise fussent restitués aux plaignants américains, qui étaient reconnus comme les ayants droit économiques. Ces fonds faisaient l'objet d'un séquestre pénal à la suite d'une demande d'entraide des autorités anglaises. A.b. Le 2 décembre 2009, l'administrateur de B.________ Ltd a adressé à l'avocat A.________, inscrit au Barreau du canton de Genève, une télécopie débutant en ces termes: "Je vous écris en vue de [sic!, i.e. 'en considération de'] votre longue expérience en matière de litige et en espérant que vous puissiez assister nos clients dans une affaire à Genève." Il expliquait agir pour plusieurs clients américains victimes d'une fraude financière, dont l'objectif était de faire exécuter en Suisse le récent jugement anglais et de récupérer ainsi les fonds déposés par l'escroc dans la banque genevoise. Il précisait que certains plaignants étaient dépourvus de ressources suite à la fraude et avaient hâte d'obtenir ce recouvrement. L'avocat genevois a accepté de se charger du recouvrement des fonds confisqués à Genève; il n'est pas établi qu'il aurait eu connaissance, avant la présente procédure, du contenu des contrats liant B.________ Ltd aux plaignants. Après des interventions auprès du juge d'instruction pénal, il a sollicité et obtenu des séquestres civils pour chacun des plaignants en février 2010. Il a ensuite fait notifier des poursuites à l'escroc en Angleterre. Au mois d'avril 2011, les avoirs saisis ont été versés à l'office des poursuites. A cette même époque, les plaignants américains ont signé des procurations habilitant l'avocat à les représenter devant les autorités administratives et judiciaires suisses dans toute démarche nécessaire en vue de faire exécuter un jugement anglais du 24 février 2011. Le malfaiteur a formé des plaintes qui ont été déclarées irrecevables en mai 2011 par l'autorité de surveillance en matière de poursuites. Finalement, les fonds ont pu être recouvrés à hauteur de 15'494'883 fr. 95, montant qui a été versé sur le compte-clients de l'avocat en date du 27 juillet 2011. A.c. L'avocat avait adressé quasi mensuellement à B.________ Ltd des notes d'honoraires intermédiaires pour l'activité déployée entre le 4 décembre 2009 et le 22 juin 2011. Certaines notes étaient restées impayées. Le 29 juillet 2011, l'avocat a établi une facture finale de 802'888 fr. 20 au titre d'honoraires, frais et débours. Ce montant incluait une prime de succès ( success fee) de 520'000 fr. Sur les quelque 15,5 millions de francs encaissés sur son compte-clients, l'avocat a déduit 750'000 fr. pour ses honoraires, puis a transféré le solde à B.________ Ltd. Celle-ci a immédiatement contesté la note d'honoraires en s'étonnant de son ampleur. Elle a objecté que le prélèvement d'environ 3,5 % opéré sur la somme recouvrée, en sus des heures de travail facturées, n'avait jamais été convenu. Le 23 janvier 2012, B.________ Ltd a saisi la Commission en matière d'honoraires d'avocats. Par préavis notifié le 29 janvier 2014, cette autorité a considéré que la prime de succès était disproportionnée en tant qu'elle représentait 3,29 % du montant recouvré [calcul opéré sur la base d'une prime de 521'800 fr. et d'un encaissement de 15'812'154 fr., réd.]. Aussi devait-elle être réduite à 2,5 % du résultat, soit 395'303 fr. 85.