Citation: 9C_226/2014 E. A

A.a. A.________, née en 1949, a présenté le 10 mars 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 1er juin 2010, le docteur B.________ (spécialiste FMH en médecine interne générale et en allergologie et immunologie clinique) a posé le diagnostic avec effet sur la capacité de travail de polyneuropathie sur sclérodermie et attesté une incapacité de travail de 50 %. Dans un rapport du 1er juillet 2010, le docteur C.________ (médecin du SMR) a retenu que l'assurée présentait une sclérodermie systémique (avec atteinte pulmonaire, polyarticulaire et polyneuropathie) et une capacité de travail exigible de 50 % dans toute activité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a conclu à une invalidité de 50 % dès janvier 2007. Par décision du 15 mars 2011, il a alloué à A.________ une demi-rente d'invalidité dès le 1 er mars 2009. A.b. Le 15 avril 2011, A.________ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais, à son annulation en ce sens qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 2009. Dans sa réponse du 17 juin 2011, l'office AI a conclu au rejet du recours. A la requête de la juridiction cantonale, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA) a produit le dossier de A.________. L'Institut E.________, auquel la CNA avait confié une expertise, a rendu un rapport du 15 mai 2012, où il estimait que la capacité de travail de l'assurée était en théorie de "maximum 50 % temps et 25 % charge de travail" et qu'une activité physique légère ou un poste de type bureau, plutôt sédentaire pouvait être toléré à un taux d'activité maximum de 25 % en charge de travail. A.________ a alors invité l'office AI à reconsidérer sa décision du 15 mars 2011 en admettant une invalidité de 100 %, compte tenu d'une aggravation de son état de santé. Dans un rapport du 27 juin 2012 adressé à la CNA, le docteur B.________ a considéré que la capacité résiduelle de travail de la patiente était de 50 % au maximum à partir de mars 2006 et de 25 % dès janvier 2009, et qu'elle était nulle depuis le 1er janvier 2012. A.________ a conclu à l'allocation d'une rente entière d'invalidité dès 2009. L'office AI, se fondant sur un avis du docteur D.________ (médecin du SMR) du 9 juillet 2012, a admis les incapacités de travail retenues par le docteur B.________ de 50 % dès mars 2006, de 75 % dès janvier 2009 et de 100 % dès janvier 2012, tout en indiquant que le droit à une rente entière d'invalidité était ouvert dès septembre 2010 vu que la demande de prestations avait été déposée le 10 mars 2010. Le tribunal a attiré l'attention de A.________ sur le fait qu'il était possible que le début du droit à la rente, tel que fixé dans la décision litigieuse, soit reporté compte tenu de la date du dépôt de la demande de prestations et qu'elle avait la possibilité de retirer le recours si elle le souhaitait. L'office AI, se déterminant à nouveau sur l'appréciation de la capacité de travail de l'assurée par le docteur B.________, s'est rallié à un avis du SMR du 6 décembre 2012 modifiant son point de vue précédent et a proposé que ce médecin soit interrogé au sujet des incohérences existant entre son rapport du 27 juin 2012 et celui du 1er juin 2010. A.________, par lettre du 13 décembre 2012, a déclaré retirer le recours. Par décision du 14 décembre 2012, la juridiction cantonale a radié la cause du rôle. A.c. A.________, par lettre du 13 décembre 2012, a invité l'office AI à réexaminer son cas, compte tenu de l'aggravation de son état de santé attestée par l'expertise de l'Institut E.________ du 15 mai 2012 et le rapport du docteur B.________ du 27 juin 2012. Interpellé par l'office AI, le docteur B.________, dans un rapport du 5 février 2013, a indiqué que l'année 2009 avait été catastrophique pour l'assurée sur le plan médical et que la capacité résiduelle de travail avait été au maximum de 25 %, comme indiquée dans son rapport du 27 juin 2012, que la situation avait été identique en 2010 sauf en ce qui concerne la période de mai à septembre, où la capacité de travail s'était améliorée de 25 à 50 % de façon transitoire, et que fin 2010 et début 2011 de nouveaux problèmes articulaires, neurologiques et ophtalmologiques étaient survenus, avec une capacité de travail ayant oscillé depuis cette époque entre 0 et 25 %. La CNA, par décision du 6 février 2013, a alloué à A.________ à partir du 1er mars 2009 une rente d'invalidité pour une incapacité de gain de 100 %. Elle a produit le dossier de l'assurée. Dans un préavis du 4 mars 2013, l'office AI a informé A.________ que sa demande d'augmentation de la rente d'invalidité devait être rejetée, attendu qu'elle avait présenté une aggravation de son état de santé déjà en janvier 2009 et qu'il n'y avait pas de modifications des circonstances entre la situation existant à ce moment-là et la décision du 15 mars 2011, entrée en force, ni matière à reconsidérer cette décision qui n'était pas manifestement erronée. A.________ a fait part à l'office AI de ses observations, en requérant la révision procédurale de la décision du 15 mars 2011, au motif que le rapport d'expertise de l'Institut E.________ du 15 mai 2012 et le rapport du docteur B.________ du 27 juin 2012 constituaient des moyens de preuve nouveaux, postérieurs à cette décision. Par décision du 2 mai 2013, l'office AI, tout en niant dans une lettre séparée et datée du même jour que les moyens de preuve invoqués par A.________ puissent conduire à une révision procédurale de la décision du 15 mars 2011, a refusé d'augmenter son droit à la rente, pour les motifs exposés dans son préavis.