Citation: 4A_153/2013 E. A

A.a. Depuis 1999, Y.________ (ci-après: l'assuré) était affilié auprès de X.________ SA (ci-après: X.________ ou l'assureur) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Le précité avait également conclu avec l'assureur diverses assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, en particulier une assurance pour l'hospitalisation en division demi-privée, appelée V.________. Il résulte de la police de l'assuré valable dès le 1 er janvier 2009 que le risque accident n'était pas assuré dans le cadre de l'assurance complémentaire d'hospitalisation V.________. A.b. Le 4 juillet 1999, l'assuré a été victime d'un accident qui a entraîné un traumatisme crânien et une hospitalisation. D'après le compte-rendu opératoire du 31 août 1999, il souffrait d'un hématome sous-dural mixte de la convexité gauche coagulé et ancien. Le 20 janvier 2009, l'assuré a chuté en scooter, ce qui lui a causé un nouveau traumatisme crânien avec perte de connaissance de deux à trois minutes. Il a été hospitalisé en division chambre commune du 20 au 28 janvier 2009. A la fin du mois de février 2009, l'assuré a manifesté le souhait d'être hospitalisé dans la division semi-privée (avec chambre à deux lits) de l'Hôpital Z.________ (ci-après: Z.________ ou l'établissement). Le 24 février 2009, un neurochirurgien de Z.________ a demandé à l'assureur une garantie d'hospitalisation en division demi-privée, en indiquant, pour décrire la nature de l'hospitalisation, les trois lettres " MAL", qui correspondaient au risque maladie. L'assuré a été admis à Z.________ du 25 février au 10 mars 2009 en section demi-privée et y a subi le 26 février 2009 une intervention chirurgicale pour un hygrome sous-dural progressif, réalisée par le Dr A.________, neurochirurgien. Le 20 mars 2009, l'assureur a accepté la demande de garantie de l'établissement du 24 février 2009. L'assuré a été hospitalisé à nouveau auprès de Z.________ en division demi-privée du 2 au 7 avril 2009, du 9 au 20 avril 2009, du 19 mai au 3 juin 2009 et du 12 juin au 6 juillet 2009. Il y a été opéré le 25 mai 2009 par le Dr B.________, neurochirurgien.