Citation: 4A_502/2013 E. C

Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zug vom 3. September 2013 aufzuheben und seine Klage gutzuheissen. Eventualiter sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm die Kontokorrentforderung in der Höhe von Fr. 648'241.-- nebst Zins zu 5 % seit 24. Februar 2005 zu bezahlen. Subeventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese neu entscheide; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für alle Instanzen zu Lasten der Beschwerdegegnerin. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht.