Citation: 2C_220/2019 E. A

A.a. Am 14. Januar 1989 reiste A.A.________, Staatsangehöriger von Kosovo, in die Schweiz ein. Im Jahr 2000 heiratete er C.________ (geboren 1978), ebenfalls Staatsangehörige von Kosovo. Am 17. Oktober 2001 wurde der gemeinsame Sohn B.A.________ geboren. Im Jahr 2012 liessen sich A.A.________ und C.________ scheiden. Dabei behielten die beiden die gemeinsame elterliche Sorge betreffend B.A.________. Anlässlich der Scheidung wurde sodann die Vereinbarung genehmigt, dass sich der Hauptwohnsitz von B.A.________ am Wohnort des Vaters A.A.________ befinde und der Vater grundsätzlich für die Betreuung des Kindes verantwortlich sei. A.A.________ und B.A.________ waren im Besitz von Niederlassungsbewilligungen. A.b. A.A.________ erwirkte im Zeitraum von 2004 bis 2011 mehrere strafrechtliche Verurteilungen (vor allem wegen Strassenverkehrsdelikten, ferner wegen Drohung, Veruntreuung und Fälschung von Urkunden). A.c. Am 1. März 2013 meldeten sich A.A.________ und B.A.________ in der Gemeinde U.________ an. Zugleich ersuchte A.A.________ um Bewilligung des Familiennachzuges für seine neue Ehefrau D.A.________ und den gemeinsamen Sohn E.A.________. Noch ehe die Anwesenheit förmlich geregelt und das Famliennachzugsgesuch geprüft war, zogen A.A.________ und B.A.________ im Herbst 2013 nach Österreich. A.d. Am 2. Dezember 2014 meldete sich A.A.________ mit seinem Sohn B.A.________ für einen Zuzug beim Einwohneramt in V.________. Er wurde dabei darauf hingewiesen, dass er über keine gültige Bewilligung mehr verfüge. Nach einer Korrespondenz mit dem Migrationsamt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Migrationsamt), in deren Rahmen A.A.________ und B.A.________ das Erlöschen ihrer Niederlassungsbewilligungen bestritten und eventualiter um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ersucht hatten, erliess dieses Amt am 10. Dezember 2015 eine Verfügung. Darin stellte es fest, dass die Niederlassungsbewilligungen von A.A.________ und B.A.________ erloschen seien. Ferner wies das Migrationsamt mit dieser Verfügung ein Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ab. Sodann verfügte das Migrationsamt die Wegweisung von A.A.________ sowie B.A.________ aus der Schweiz.