Citation: 5A_631/2021 E. B

B.a. Auf Anfrage des Erbschaftsamts Solothurn hin teilte das Zivilstandsamt Solothurn mit, der Erblasser sei nicht der rechtliche, vermutlich aber der biologische Vater der im Testament als "gesetzliche Erben" bzw. "Nachkommen" genannten Personen. Er habe zu Lebzeiten seine Pflicht zu Unterhaltsleistungen an Mutter und Kind jeweilen anerkannt, seine Vaterschaft hingegen nicht (altrechtlich sog. Zahlvaterschaft). Eine Kindesanerkennung könne zwar auch "posthum" im Testament erklärt werden. In der letztwilligen Verfügung des Erblassers vom 8. Mai 2019 fehle jedoch die klare Formulierung, die genannten Personen als Kinder anerkennen zu wollen. Ein klarer Anerkennungswille bzw. eine eindeutige Willensäusserung des Erblassers sei nicht feststellbar. Es bestünden somit keine gültigen Kindesanerkennungen, die das am Ort der Testamentseröffnung gelegene Zivilstandsamt im Schweizer Personenstandsregister beurkunden dürfe (Schreiben vom 3. März 2020 des Zivilstandsamts Solothurn an die Amtsschreiberei der Region Solothurn). B.b. Mit Gesuch vom 30. April 2020 beantragten A.________ und B.________ (im Folgenden: Beschwerdeführer) die Feststellung, dass der Erblasser in seiner öffentlichen letztwilligen Verfügung vom 8. Mai 2019 sie als seine Kinder anerkannt habe. Es sei das entsprechende Kindesverhältnis der beiden Beschwerdeführer zum Vater (und Erblasser) im Zivilstandsregister einzutragen. Das Zivilstandsamt stellte fest, dass eine klare Formulierung in der letztwilligen Verfügung des Erblassers in Bezug auf die geltend gemachte testamentarische Kindesanerkennung nicht erfüllt sei, dass somit die testamentarische Kindesanerkennung nicht gültig erfolgt sei und dass es sich bei vorliegendem Testament um eine reine Erbeinsetzung handle. Das Zivilstandsamt wies das Gesuch der Beschwerdeführer um Anerkennung der testamentarischen Anerkennung in der letztwilligen Verfügung des Erblassers und Beurkundung des rechtlichen Kindesverhältnisses im Schweizer Personenstandsregister ab (Verfügung vom 13. Juli 2020). B.c. Die dagegen eingereichten kantonalen Rechtsmittel der Beschwerdeführer blieben erfolglos. Das Volkswirtschaftsdepartement und anschliessend das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wiesen die Beschwerden ab (Entscheid vom 9. November 2020 und Urteil vom 8. Juli 2021).