Citation: 4A_175/2021 E. A

A.a. Die B.________ AG mit Sitz in U.________ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) bezweckt das Erbringen von Beratungsdienstleitungen, insbesondere Vermittlung von Beteiligungen und Finanzierungen. Die A.________ SA mit Sitz in V.________ (Beklagte, Beschwerdeführerin) erbringt Beratungsdienstleitungen, insbesondere auch im Bereich erneuerbarer Energien. C.________ ist einziges Verwaltungsratsmitglied der Beklagten. A.b. Die Klägerin und C.________, der im Bereich der Beratung und Finanzdienstleistungen auf dem italienischen Markt tätig ist, schlossen am 26. November 2012 einen Vertrag, den sie als "Memorandum of Understanding" (nachfolgend: MoU) bezeichneten. Sie vereinbarten, es handle sich beim MoU um eine Rahmenvereinbarung und legten fest, dass für jedes einzelne Projekt eine spezifische Vereinbarung ("Project Engagement") abgeschlossen werde, die das konkrete Projekt in Italien bezeichne und die dafür vereinbarte Erfolgsvergütung ("Success Fee") regle. Mit Vereinbarung vom 16. Mai 2013 stimmte die Klägerin dem Antrag von C.________ zu, dass sich die Anwendbarkeit des MoU von 2012 auch auf die Beklagte erstrecke. A.c. Die Parteien und C.________ unterzeichneten am 20. März 2014 das Attachment no. 2, welches das Projekt "R.________" betraf. Bei diesem Projekt, das für den Kunden D.________ GmbH bearbeitet wurde, ging es um die Finanzierung eines Logistik- und Verteilzentrums für Holzpellets im Hafen von W.________ in der Nähe von X.________. Im Attachment no. 2 wurde unter anderem bestätigt, dass sich die Bindungswirkung des MoU 2012 auch auf die Beklagte erstrecke. Zudem wurde festgehalten, dass im Erfolgsfall eine Provision von EUR 800'000.-- für das Projekt "R.________" geschuldet sei, die Klägerin der Beklagten bei Vertragsunterzeichnung eine Anzahlung von EUR 250'000.-- (zuzüglich MwSt.) leiste und diese Anzahlung bei Nichtzustandekommen des zugrundeliegenden Geschäfts mit dem Kunden zurückzuzahlen sei. Ebenfalls am 20. März 2014 stellte die Beklagte der Klägerin den Betrag von EUR 270'000.-- in Rechnung, d.h. EUR 250'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer in Höhe von EUR 20'000.--. Die Klägerin überwies den Betrag am 21. März 2014. Zudem bezahlte die Klägerin der Beklagten gleichentags insgesamt EUR 540'000.-- für Leistungen, welche die Beklagte gegenüber der D.________ GmbH betreffend die Projekte S.________ und T.________ erbracht hatte.