Citation: 4A_212/2013 E. 6

En définitive, le recours doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause sera renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant, qui plaide au bénéfice de l'assistance judiciaire, doit être considéré comme la partie qui obtient gain de cause. Les frais judiciaires seront mis à la charge de l'intimée, laquelle devra verser une indemnité à titre de dépens au recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Si les dépens mis à la charge de l'intimée ne pouvaient pas être recouvrés, la caisse du Tribunal fédéral versera aux conseils du recourant une indemnité du même montant (art. 64 al. 2 LTF).