Citation: 8C_96/2017 E. A

A.a. Dans la nuit du 28 au 29 novembre 2003, A.________, né en 1966, a été agressé par une personne dans un bar à U.________. Frappé au visage au moyen d'un verre à bière qui s'est brisé au moment du choc, il a été transporté en urgence à l'hôpital B.________, où il a été opéré la nuit même par le docteur C.________, spécialiste en chirurgie plastique reconstructive et esthétique. Dans son rapport opératoire, le docteur C.________ a fait état de plaies complexes de la face avec atteinte de la parotide. La plaie buccale mesurait environ 11 cm et celle au niveau de la joue et de la parotide dépassait les 25 cm en forme de Y renversé. Une seconde intervention a eu lieu le 16 janvier 2004 pour suturer le nerf facial au niveau de sa branche buccale inférieure. L'incapacité de travail était totale. A.________, qui travaillait à l'époque en qualité d'agent technico-commercial au service de l'entreprise D.________ SA, était assuré contre le risque d'accidents auprès d'Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana), qui a pris en charge le cas. Défiguré par l'agression, A.________ a développé un état dépressif réactionnel, qui a nécessité plusieurs hospitalisations en milieu psychiatrique. Dans un rapport du 30 janvier 2007, le docteur C.________ a constaté que sur le plan physique, l'assuré ne nécessitait plus de soins médico-chirurgicaux. Helsana a confié une expertise au docteur E.________, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (voir son rapport du 25 juin 2009 et son complément du 14 avril 2011). Selon l'expert, il existait un lien de causalité naturelle entre l'agression et les troubles psychiques développés par l'assuré (état dépressif majeur; état de stress post-traumatique; trouble panique avec agoraphobie). A partir du 29 novembre 2005, les troubles étaient d'origine mixte. Depuis août 2010, plus de 90 % de la causalité naturelle était imputable à des éléments étrangers à l'accident. Les facteurs "maladifs" (la personnalité de type passif-dépendant et immature décompensé et un éthylisme chronique sévère), avaient largement pris le dessus sur la dimension accidentelle. Par décision du 15 juin 2011, confirmée sur opposition le 16 novembre 2011, Helsana a supprimé ses prestations de courte durée (traitement médical et indemnités journalières) dès le 19 août 2010. A.b. Par jugement du 24 juillet 2012, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a admis le recours formé par l'assuré, annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à Helsana pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Helsana a confié une expertise au docteur F.________, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Pour cet expert, les facteurs étrangers avaient pris une valeur prépondérante (supérieure à 50 %) depuis le 28 novembre 2008 (rapport du 4 janvier 2013). Interrogé sur la survenance du statu quo sine/ante, il a répondu que l'état maladif antérieur était probablement parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident à partir du 29 novembre 2008 (complément d'expertise du 4 mars 2013). Par décision du 6 mai 2013, confirmée sur opposition le 10 juillet 2013, Helsana a arrêté la date de la fin des prestations de courte durée au 29 novembre 2008, tout en renonçant à réclamer le remboursement des prestations versées à tort jusqu'au 18 août 2010.