Citation: 9C_48/2020 E. A

A.a. A.________, née en 1961, a travaillé comme vendeuse/gérante en papeterie. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 19 novembre 2003. Considérant qu'elle souffrait d'affections psychiques (troubles dépressif, de la personnalité, ainsi que mentaux et du comportement liés à l'utilisation d'alcool) incapacitantes depuis 2000 au moins, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève lui a alloué une rente entière dès novembre 2002 (décision du 21 décembre 2005). A l'issue d'une première procédure de révision, le droit de l'assurée a été entièrement confirmé (communication du 22 juin 2007). A.b. L'administration a entrepris une seconde procédure de révision en août 2010. Mandatés par l'office AI, les docteurs C.________ et D.________, médecins du Service de psychiatrie des Hôpitaux E.________, ont fait état de la rémission du trouble dépressif et d'une abstinence à l'alcool autorisant la reprise d'une activité adaptée à mi-temps (rapport du 24 novembre 2011). Compte tenu du déménagement de l'intéressée, le dossier a été transmis à l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI). Celui-ci a réalisé un examen clinique psychiatrique. Le docteur F.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie attaché au Service médical régional de l'administration (SMR), n'a observé aucun trait psychopathologique, ni aucune atteinte à la santé limitant la capacité de travail (rapport du 5 novembre 2014). L'office AI a également recueilli l'avis du docteur G.________, médecin traitant, spécialiste en rhumatologie. Celui-ci a diagnostiqué des lombalgies chroniques, une tendinite du sus-épineux droit et une coxarthrose. Il a évoqué des troubles psychiques associés qu'il estimait déterminants pour fixer l'incapacité de travail qu'il évaluait (peut-être) à 80% (rapport du 7 février 2015). Ayant envisagé de supprimer la rente versée à A.________ et de lui refuser des mesures de réadaptation sur la base des informations récoltées, l'administration a repris l'instruction eu égard aux avis du docteur G.________ et des psychiatres traitants du Centre H.________ qui faisaient désormais état d'une incapacité totale de travail. Elle a confié une expertise au docteur I.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a diagnostiqué une dysthymie accompagnée d'un trouble de la personnalité émotionnellement labile, type borderline, non décompensé autorisant la reprise d'une activité lucrative à 100% avec baisse de rendement de 30% depuis 2014. Il a en outre retenu un trouble douloureux somatoforme persistant ou des facteurs psychologiques ou comportementaux associés à des troubles ou à des maladies classées ailleurs sans répercussion sur la capacité de travail (rapport du 26 avril 2017). L'office AI a remplacé la rente entière accordée à l'assurée par un quart de rente depuis février 2018 (décision du 5 décembre 2017).