Citation: 2C_243/2020 E. A

A.a. A.________ a obtenu son brevet d'avocat le 13 août 2014. Il est inscrit au registre valaisan des avocats depuis le 29 septembre 2014. A.b. En 2016, A.________ a fait l'objet des trois dénonciations suivantes auprès de la Chambre de surveillance des avocats du canton du Valais (ci-après: la Chambre de surveillance) : - le 2 septembre 2016, le Procureur général du canton du Valais a informé la Chambre de surveillance que, dans le cadre d'une procédure pénale pour meurtre, subsidiairement homicide par négligence, A.________ avait transmis à sa cliente, prévenue et détenue provisoirement, une lettre du concubin de celle-ci; - le 28 novembre 2016, Me B.________ a dénoncé A.________ au motif que celui-ci avait déposé une dénonciation disciplinaire abusive, voire calomnieuse à son endroit; - le 27 décembre 2016, C.________ Sàrl - Institut d'action et de développement en psychologie du trafic (ci-après: C.________), par sa directrice D.________, a dénoncé A.________ pour des propos "à la limite de la menace et de l'insulte", que l'avocat avait formulés à la suite d'une expertise de C.________ visant à déterminer l'aptitude à la conduite d'un de ses clients. A.________ avait notamment affirmé que l'expertise n'avait pas été menée selon les règles de l'art et que les conclusions étaient "iniques et arbitraires". A.c. Le 6 janvier 2017, A.________ a saisi le juge de commune compétent d'une requête en conciliation dans le cadre d'une action en "inexécution d'un contrat de mandat" dirigée à l'encontre de C.________. Par courrier du 6 février 2017, il a par ailleurs imparti à D.________ un unique délai au 15 février 2017 pour "retirer purement et simplement" sa dénonciation auprès de la Chambre de surveillance, se réservant à défaut le droit "d'envisager la piste pénale", précisant à ce sujet que "le comportement de la directrice de C.________ pourrait être susceptible de tomber sous le coup d'une tentative de contrainte au sens de l'art. 181 du Code pénal suisse". D.________ a informé la Chambre de surveillance de la procédure civile engagée et lui a transmis le courrier du 6 février 2017. La procédure disciplinaire a été suspendue jusqu'à droit connu sur la procédure civile. Par courrier du 6 mars 2017, A.________ a indiqué à la Chambre de surveillance que son client avait renoncé à ouvrir action contre C.________ et a sollicité le classement de la procédure disciplinaire.