Citation: 4A_374/2020 E. C

Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde, vom 2. Juli 2020 beantragen die Beschwerdeführer, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich kostenfällig aufzuheben und die vor der Vorinstanz gestellten Anträge gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Erstinstanz, subeventualiter an die Vorinstanz, zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt unter Kostenfolgen, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter diese abzuweisen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Parteien replizierten bzw. duplizierten unaufgefordert. Die Beschwerdeführer reichten - ebenfalls unaufgefordert - eine Triplik ein. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.