Citation: 2C_139/2013 E. C

A l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal du 7 janvier 2013, A.X.________, son épouse B.X.________ et leurs enfants C.X.________ et D.X.________ (ci-après: la famille X.________) déposent un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, principalement, à l'annulation de l'arrêt et à la délivrance d'une autorisation de séjour en faveur de A.X.________ avec effet au 10 décembre 2010; subsidiairement, à la délivrance de cette autorisation "sous condition de non-condamnation pendant un délai d'épreuve"; plus subsidiairement, au renvoi de la cause au Tribunal cantonal, voire au Service cantonal en vue de la délivrance d'une autorisation de séjour, subsidiairement assortie d'une condition de non-condamnation pendant un délai d'épreuve. Le Service cantonal renonce à se déterminer. Le Tribunal cantonal et l'Office fédéral proposent le rejet du recours. Le 21 mai 2013, la famille X.________ a persisté dans les termes de son recours, en attirant l'attention du Tribunal fédéral sur l'arrêt rendu par la Cour européenne des droits de l'Homme (ci-après: la Cour EDH) en l'affaire Udeh c. Suisse. Par ordonnance présidentielle du 11 février 2013, le Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif formée par la famille X.________.