Citation: 4A_91/2021 E. B

B.a. Après une tentative infructueuse de conciliation, l'employé a saisi le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz d'une demande dirigée contre l'employeuse, visant à obtenir le paiement de plusieurs montants à titre de salaire et de vacances non prises, de manque à gagner LPP et d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. L'employeuse a déposé une réponse et une demande reconventionnelle. Dans le dernier état de ses conclusions, elle a conclu au rejet de la demande et, à titre reconventionnel, à ce que l'employé soit notamment condamné à lui verser la somme de 3'333 fr. 40 à titre d'indemnité pour abandon de poste. Par jugement du 14 juillet 2020, le tribunal a condamné l'employeuse à verser à l'employé les montants, avec intérêts, de 19'526 fr. 50 brut sous déduction des charges sociales et conventionnelles, à titre de salaire et de vacances non prises, ainsi que de 6'903 fr. 40 net à titre de cotisations LPP. Il a rejeté la demande pour le surplus (ch. 3) et rejeté la demande reconventionnelle dans toutes ses conclusions. B.b. L'employeuse a interjeté appel à l'encontre de ce jugement auprès de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois. L'employé a formé un appel joint. Par arrêt du 29 décembre 2020, la cour cantonale a rejeté l'appel et a admis partiellement l'appel joint. Elle a réformé le chiffre 3 du dispositif du jugement entrepris dans le sens que l'employeuse était condamnée à payer à l'employé le montant brut de 12'308 fr., dont à déduire les charges sociales et conventionnelles, avec intérêts. Elle a confirmé le jugement pour le surplus. Elle a retenu que l'employeuse, par son courrier du 22 juin 2018, avait procédé à un licenciement immédiat injustifié et a octroyé à l'employé une indemnité à ce titre.