Citation: 8C_497/2023 E. A

A.a. A.________, né en 1956, était employé en qualité de polisseur de boîtes de montres par l'entreprise B.________ SA. Le 27 juin 2010, il a été victime d'un accident de la circulation, entraînant une hospitalisation. Le rapport de sortie de l'Hôpital C.________ du 15 juillet 2010 fait notamment état des diagnostics principaux de fractures des côtes 7-10 à droite et d'une probable pneumonie. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle l'intéressé était assuré obligatoirement contre le risque d'accident, a pris en charge le traitement et alloué des indemnités journalières pendant la période d'incapacité de travail qui a suivi. Une imagerie par résonance magnétique (arthro-IRM) ayant mis en évidence des lésions de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite, l'assuré s'est soumis à une arthroscopie de cette épaule le 7 janvier 2011. Les suites opératoires ont été favorables et l'assuré a pu reprendre le travail à 50 %, dès le début du mois de mai 2011, puis à 100 % dès le 1er juillet 2011. Le 14 novembre 2011, l'assuré s'est soumis à une arthroscopie du genou gauche, pratiquée par le docteur D.________, spécialiste en chirurgie ainsi qu'en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Il a repris son activité professionnelle à 100 % le 4 janvier 2012. Le 20 août 2013, le docteur E.________, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA, a considéré que l'état de santé de l'assuré était stabilisé et a fait état d'une atteinte à l'intégrité de 20 % pour les atteintes à l'épaule droite, à l'épaule gauche et au genou gauche. Par décision du 6 septembre 2013, la CNA a alloué une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 20 %. A.b. Le 3 octobre 2013, l'assuré a annoncé une rechute entraînant une incapacité de travail totale depuis le 30 septembre 2013, attestée par le docteur F.________, spécialiste en médecine interne générale. La CNA a repris le versement de ses prestations. Le 6 février 2014, le docteur D.________ a procédé à une ablation de l'articulation acromio-claviculaire et à une acromioplastie de l'épaule gauche. L'assuré a pu reprendre son activité professionnelle à 50 % dès le 19 mai 2014, puis à 100 % dès le 2 juin 2014. Le 1er octobre 2014, l'assuré a annoncé une nouvelle rechute, avec une incapacité de travail totale dès le 26 septembre 2014, attestée par le docteur F.________ en raison d'une recrudescence des douleurs de l'épaule droite. Par décision du 27 avril 2015, la CNA a mis fin aux indemnités journalières avec effet au 1er mai 2015 en considérant que l'assuré avait recouvré une pleine capacité de travail dans son activité professionnelle, dès cette date. Par décision séparée du même jour, elle a alloué une indemnité complémentaire de 5 % pour l'atteinte à l'intégrité. Elle se fondait sur un rapport d'examen du 17 avril 2015 du docteur E.________. Par la suite, après une opposition de l'assuré et de nouveaux examens, la CNA a toutefois repris le versement des indemnités journalières dès le 1er mai 2015 et annulé sa décision du 27 avril 2015 sur ce point. Elle a confié aux médecins de l'Hôpital G.________ le soin de réaliser une expertise. Par décision du 22 septembre 2017 et décision sur opposition du 24 novembre 2017, se fondant sur le rapport d'expertise des médecins de l'Hôpital G.________ du 21 avril 2017, la CNA a mis fin à ses prestations temporaires avec effet dès le 28 février 2016, estimant qu'à dire d'experts, les atteintes à l'épaule gauche n'étaient pas dues à l'accident, l'assuré ayant par ailleurs recouvré une pleine capacité de travail dans sa profession dès le 1er mars 2016. Elle a alloué une indemnité complémentaire de 10 % pour l'atteinte à l'intégrité de l'épaule droite. Par arrêt du 3 avril 2019, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (ci-après: Cour des assurances du Tribunal cantonal) a annulé la décision sur opposition du 24 novembre 2017 et renvoyé la cause à la CNA pour instruction complémentaire et nouvelle décision. A.c. À la suite de cet arrêt, la CNA a confié un mandat d'expertise au docteur H.________, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Ce médecin a établi son rapport d'expertise le 30 juillet 2020 et a constaté que l'épaule droite se trouvait probablement, depuis la fin de l'année 2011, dans le même état que celui vers lequel elle aurait évolué sans l'accident, compte tenu d'une tendinopathie préexistante liée à d'importants facteurs de risque (statu quo sine). L'arthrose acromio-claviculaire de l'épaule gauche était présente avant l'accident et celui-ci n'était qu'une cause possible, et non pas probable, des lésions du ménisque interne du genou gauche. Par décision du 3 novembre 2020 et décision sur opposition du 9 avril 2021, la CNA a mis fin à ses prestations avec effet dès le 31 décembre 2011, en renonçant toutefois à exiger la restitution des prestations déjà allouées précédemment.