Citation: 4A_337/2019 E. A

A.a. A.________ (ci-après: la cliente), qui vit à Paris (France), avait placé de l'argent auprès de la banque U.________ SA, à Y.________. Depuis fin 2000/début 2001, cet argent était géré par un employé de la banque, B.________. Lorsque celui-ci a quitté l'établissement, en 2004, pour rejoindre la banque Z.A.________ SA, devenue Z.________ SA en avril 2011 (ci-après: la banque), sise à W.________ (--), la cliente l'a suivi. A.b. Le 9 septembre 2004, la cliente a conclu avec la banque un contrat de compte courant, de giro bancaire, de dépôt et de commission, couplé à un mandat de gestion de fortune. Elle a déposé sur son compte le montant de 1'481'705,07 euros. Le contrat d'ouverture de compte et de dépôt qu'elle a signé mentionne que la titulaire accepte expressément les conditions générales de la banque, ainsi que son règlement de dépôt et que, sans adresse de destination, la correspondance sera adressée en banque restante. Dès son ouverture, le compte de la cliente a été géré par B.________. Compte tenu de la convention de banque restante, la banque lui a adressé ses communications en " banque restante ". La recourante soutient à cet égard que le Tribunal fédéral aurait déjà admis que tous les avis et relevés lui ont été communiqués ainsi. En vertu de l'art. 2 des conditions générales de la banque (" Vérification en matière de signatures et de légitimation ") (ci-après: la clause de transfert de risque), le dommage résultant de défauts de légitimation ou de faux non décelés est à la charge du client, sauf en cas de faute grave de la banque. D'après l'art. 4 de ces conditions générales (" Communications de la banque ") (ci-après: la clause de banque restante), le courrier conservé " banque restante " est réputé avoir été délivré au client à la date qu'il porte. Selon l'art. 11 des conditions générales (" Réclamations du client ") (ci-après: la clause de réclamation), les décomptes, relevés ou autres avis de la banque qui n'ont pas fait l'objet d'une réclamation écrite du client dans le délai d'un mois qui suit leur envoi, sans préjudice des cas où les circonstances exigent une réclamation immédiate du client, sont considérés comme reconnus et approuvés. L'approbation expresse ou tacite des relevés de comptes ou des relevés de valeurs comptabilisées en dépôt emporte celle de tous les articles qui y figurent, ainsi que des réserves éventuelles de la banque. A.c. Pendant la période du 9 septembre 2004 au 22 juin 2007, la cliente et sa fille, X.________, se sont rendues régulièrement dans les locaux de la banque, où elles ont été reçues par B.________, pour procéder à des retraits de montants généralement compris entre 1'000 euros et 15'000 euros, qui leur ont été remis en espèces contre quittance. A chaque visite, B.________ a fait à la cliente un rapport sur la gestion des avoirs du compte et lui a présenté des documents, sans toutefois les lui remettre. A.d. Le 30 avril 2007, B.________ a quitté la banque et a rejoint, en qualité d'administrateur vice-président avec signature individuelle, la société V.________ SA (ci-après: V.________), société active notamment dans la gestion de fonds de placements et la gestion de patrimoines. A la demande de B.________, la cliente a retiré le mandat de gestion octroyé à la banque pour le confier à V.________, respectivement au prénommé comme gérant indépendant, tout en laissant ses avoirs sur son compte et son dépôt auprès de la banque. La relation contractuelle avec la banque n'a alors plus consisté qu'en un contrat de compte courant, de giro bancaire et de dépôt. La cliente a signé en faveur de V.________ et remis à la banque une procuration intitulée " pouvoir d'administration ", donnant à V.________ le pouvoir de la représenter avec droit de substitution pour tous ses rapports d'affaires actuels et futurs avec la banque. Selon son texte, cette procuration " ne confère toutefois pas le droit d'effectuer des retraits ou des prélèvements sur les avoirs du Titulaire, d'accomplir d'autres actes de disposition en sa propre faveur ou en faveur de tiers [...]. Le Représentant ne peut ordonner des bonifications par le débit des prestations du Titulaire que lorsqu'elles sont destinées à la reprise d'actifs d'un montant équivalent [...] ". Depuis lors, la cliente et sa fille se sont rendues régulièrement dans les locaux de V.________, où elles ont été reçues par B.________, pour procéder à des retraits; celui-ci prélevait à la banque des montants en espèces, qu'il remettait à sa cliente contre signature d'une quittance. B.________, qui faisait un rapport de la gestion du compte à sa cliente et à sa fille, leur présentait des décomptes, mais ne les leur remettait pas. Quant à la banque, elle traitait avec le gérant indépendant.