Citation: 8C_707/2020 E. A

A.a. A.________, né en 1962, a été engagé en qualité d'agent au sein de la police municipale par la Commune de Veyrier (ci-après: la commune) le 1er août 1988. Après avoir été confirmé dans ses fonctions deux ans plus tard, il a été nommé au grade d'appointé en 1992, puis de caporal en 2009 et, enfin, de sergent en 2010 avec le titre d'adjoint du chef de service depuis 2016. Son cahier des charges incluait notamment la gestion des plannings, des horaires et des vacances des agents et des patrouilleuses scolaires ainsi que le contrôle et la correction des événements inscrits sur la main courante. Le 1er juillet 2018, le sergent-major B.________ a été nommé chef de service en remplacement de son prédécesseur, C.________. Dès 2019, avec le caporal K.________ (chef de groupe et remplaçant du sergent) et quatre agents, à savoir D.________, E.________ et F.________ - qui avaient au moins 10 années de service à leur actif - ainsi que G.________, entré en fonction le 3 janvier 2019, la police municipale de la commune comptait sept personnes. A.b. Dès son entrée en fonction, le sergent-major a entrepris de mettre à jour les procédures en place. Constatant qu'à différentes reprises, le service n'était assuré que par un seul agent alors que la sécurité commandait un service en binôme, il a requis du sergent et du caporal davantage de rigueur dans la planification des congés (voir son courriel 17 décembre 2018). Il a également décidé de procéder à des entretiens d'évaluation semestrielle de tous les collaborateurs, lesquels n'avaient plus eu lieu depuis 2011. A.________ a été convoqué à un tel entretien le 1er mars 2019. Sa qualité de travail a été qualifiée d'insuffisante par le chef de service: il était attendu davantage d'esprit d'initiative et de leadership de la part du sergent, notamment en relation avec les nouvelles compétences de la police municipale depuis la réforme de 2013; l'intéressé était invité à privilégier les besoins du service et à responsabiliser le caporal K.________ en lui déléguant les actions opératives. B.________ a également exprimé ses vives préoccupations en ce qui concernait le comportement du sergent au travail, jugé insatisfaisant. Depuis sa prise de service, il avait constaté que l'ambiance n'était pas sereine et qu'il existait une coupure entre les agents, d'une part, et le sergent et le caporal, d'autre part, qui s'isolaient du groupe et ne jouaient pas leur rôle d'encadrement. Le malaise de l'équipe était très perceptible. Par ailleurs, lors des entretiens d'évaluation avec les agents, certains d'entre eux lui avaient parlé de propos peu flatteurs tenus par le sergent envers eux ainsi que d'insultes du type "idiot" ou "connard". Contestant ces faits, A.________ n'a pas signé le formulaire d'évaluation. Il a alors été convoqué à un entretien de service qui s'est déroulé le 11 mars 2019 en présence notamment de la secrétaire générale et d'une conseillère administrative de la commune. A.c. Par lettre du 1er avril 2019, le Conseil administratif communal (ci-après: le conseil administratif) a informé A.________ de son intention de lui infliger un avertissement et lui a imparti un délai pour se déterminer à ce sujet. Il lui était reproché de dévaloriser régulièrement les membres de son équipe par des commentaires dénigrants, ainsi que d'avoir traité de "connard" l'appointé F.________ le 21 décembre 2018 au cours du repas de fin d'année et d' "idiot" l'appointé G.________ à une autre occasion. Dans cette lettre, le conseil administratif a par ailleurs pris acte du fait que le sergent avait en partie reconnu les faits lors de l'entretien de service et s'était engagé à ce qu'ils ne se reproduisent plus. Agissant par l'intermédiaire d'un avocat, A.________ a vivement contesté les allégations d'insultes dont il n'existait pas de preuve, indiquant qu'il se réservait d'agir à l'encontre des personnes ayant tenu ces fausses accusations; il suggérait une séance de médiation (cf. détermination du 5 mai 2019).