Citation: 9C_651/2015 E. A

A.a. A.________ a été affilié à l'Institution de prévoyance B.________ en qualité de salarié de l'entreprise C.________ Sàrl à partir du 1 er janvier 2005. Il a quitté cette institution le 30 novembre 2007, ayant mis un terme à son activité salariée pour exercer la profession d'avocat indépendant. Le 28 mars 2008, il a déposé une demande à la Caisse paritaire de pension de la Fédération Suisse des Avocats (actuellement: Caisse de pension Fédération Suisse des Avocats, CPFSA; ci-après: la caisse) en vue d'assurer sa prévoyance professionnelle et celle de son personnel. Par lettre du 18 avril 2008, la caisse l'a admis comme assuré avec effet au 1 er avril 2008. Le 6 août 2008, A.________ a fait savoir à la caisse qu'il se trouvait en incapacité de travail depuis avril 2008. A cette occasion, il a produit des certificats d'arrêts de travail du docteur D.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qui attestait d'une incapacité de travail de 50 % du 22 avril au 31 mai 2008. Cet arrêt de travail de 50 % a été prolongé jusqu'au 30 juin 2008, puis porté à 80 % jusqu'au 31 août 2008 (certificats des 23 avril, 6 juin et 4 juillet 2008). Le 1 er juin 2009, le docteur E.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a établi un rapport sur la base des éléments du dossier. Il a constaté que ceux-ci étaient insuffisants pour établir un diagnostic précis et a examiné quelques diagnostics pouvant entrer en ligne de compte. A propos du début de la maladie, il a considéré qu'elle avait été diagnostiquée pour la première fois le 22 avril 2008 mais qu'elle existait très vraisemblablement déjà auparavant. En ce qui concerne le début de l'incapacité de travail, il a estimé qu'il n'était pas complètement exclu, mais très extraordinaire (vraisemblance de moins de 1 %), que l'assuré ait pu passer d'une pleine capacité de travail à une maladie chronique ayant des incidences significatives sur la capacité de travail en l'espace de 14 jours. Il en a déduit que l'incapacité de travail existait déjà lors de l'affiliation. A.b. Par demande, datée du 20 août 2008 et adressée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), A.________ a requis l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur D.________, psychiatre traitant, a diagnostiqué un trouble délirant et hallucinatoire persistant avec épuisement nerveux (F22.8 selon CIM-10) depuis avril 2008 (rapport du 10 septembre 2008), entraînant une incapacité totale d'exercer la profession d'avocat. Le docteur F.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et le docteur G.________, spécialiste en médecine interne, ont examiné l'assuré à la demande de l'office AI. Dans leur rapport du 23 juin 2009, ils ont diagnostiqué des autres troubles psychotiques non organiques (F28 selon CIM-10) et se sont référés à l'arrêt de travail du docteur D.________ pour fixer le début de l'incapacité au 22 avril 2008. Par décision du 7 février 2011, l'office AI a octroyé à A.________ une rente entière d'invalidité à partir du 1 er avril 2009, qui a été maintenue lors d'une procédure de révision (communication du 10 février 2012). Il a considéré notamment que depuis le 22 avril 2008, la capacité de travail de l'assuré était "considérablement" restreinte.