Citation: 2D_14/2018 E. A

A.a. Der kosovarische Staatsangehörige A.________ (geb. 1974) kam im Alter von 17 Jahren in die Schweiz. Am 19. Januar 1994 heiratete er seine Landsfrau B.________ (geb. 1976), welche am 26. August 1995 in die Schweiz einreiste. Aus der Ehe gingen drei Kinder hervor (geb. 1997, 1998 und 2001). Die ganze Familie verfügt je über Aufenthaltsbewilligungen. Am 1. Oktober 2014 widerrief das Amt für Migration des Kantons Schwyz die Aufenthaltsbewilligung von A.________, wies ihn weg und hielt ihn an, die Schweiz bis zum 30. November 2014 zu verlassen. Das Bundesgericht bestätigte die entsprechende Verfügung letztinstanzlich mit Urteil vom 26. September 2016 (2C_159/2016). Es ging mit den kantonalen Behörden davon aus, dass A.________ erheblich und wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen habe (Art. 62 Abs. 1 lit. c AuG [SR 142.20]). A.b. Am 4. November 2016 forderte das Amt für Migration des Kantons Schwyz A.________ auf, die Schweiz bis zum 31. Dezember 2016 zu verlassen. Am 12. Dezember 2016 ersuchte dieser darum, seine Ausreisefrist um drei Monate zu verlängern, was das Amt am 16. Dezember 2016 ablehnte. Die hiergegen an den Regierungsrat des Kantons Schwyz gerichtete Beschwerde blieb am 7. März 2017 ohne Erfolg. A.________ habe sich in den bisherigen Verfahren - so die Begründung - nicht auf die von ihm neu geltend gemachten gesundheitlichen Probleme (Obstruktives Schlafapnoe-Syndrom [OSAS], primäre Glomerulonephritis [Entzündung der Nierenkörperchen], Kniebeschwerden sowie psychische Beeinträchtigungen) berufen; diese seien nicht lebensbedrohlich und machten keine akute ärztliche Behandlungen notwendig. A.________ habe das Land neu bis zum 31. März 2017 zu verlassen; auf ein weiteres Verlängerungsgesuch mit identischer Begründung müsse das Amt für Migration nicht mehr eintreten. A.c. Am 24. März 2017 ersuchte A.________ darum, seine Ausreisefrist bis zum 30. April 2017 zu verlängern, da er sich noch einer Knieoperation unterziehen wolle. Das Amt für Migration des Kantons Schwyz trat am 28. März 2017 auf die entsprechende Eingabe nicht ein. A.________ gelangte hiergegen an den Regierungsrat des Kantons Schwyz, welcher die Beschwerde an das Verwaltungsgericht weiterleitete. Am 31. März 2017 beging A.________ einen Suizidversuch. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde gegen die Verfügung vom 28. März 2017 am 25. April 2017 im Sinne der Erwägungen ab: Die Auswirkungen der Gesundheitsbeschwerden seien am 7. März 2017 rechtskräftig beurteilt worden; die Berufung auf den Eingriff vom 27. März 2017 (nicht dringliche Knieoperation kurz vor Ablauf der Ausreisefrist) sei rechtsmissbräuchlich. Der Suizidversuch und die anschliessende fürsorgerische Unterbringung als neue, nach Gesuchs- und Beschwerdeeinreichung verwirklichte Tatsachen stünden indessen einem umgehenden Vollzug der Wegweisung entgegen. Die Dauer des Aufschubs sei durch das Amt für Migration in Zusammenarbeit mit den behandelnden Ärzten festzulegen.