Citation: 1C_28/2018 E. A

A.a. Die Stadt Luzern ist Eigentümerin der Parzellen Nrn. 852, 853, 855 und 866 (Grundbuch Luzern rechtes Ufer). Dort betreibt sie das Betagtenzentrum Dreilinden, das aus mehreren Häusern besteht. Zwei dieser Bauten waren sanierungsbedürftig, weshalb die Stadt Luzern im Jahr 2011 eine Sanierung beschloss, in deren Rahmen zwei Bauten des Betagtenzentrums aufgestockt wurden. Die Bauarbeiten sind inzwischen abgeschlossen. A.b. Verschiedene Eigentümer von weiter oben am Hang gelegenen Grundstücken verfügten seit 1931 zulasten der Liegenschaften des Betagtenzentrums über eine sog. "Villendienstbarkeit" (Bau-, Pflanzungs- und Gewerbebeschränkung). Demnach darf eine Baute auf dem belasteten Grundstück "ausser dem Erdgeschoss nur noch zwei Stockwerke tragen, ein allf. Mansardendach nicht inbegriffen und darf die Firstkante des Gebäudes die Höhe von 16 m... nicht übersteigen". Ausserdem dürfen Bäume nicht höher als 8 m gezogen werden. Da die Neubauten des Betagtenzentrums der Dienstbarkeit nicht vollumfänglich entsprechen, versuchte die Stadt Luzern, diese abzulösen oder anzupassen. A.c. Mit mehreren Eigentümern konnte keine Einigung erzielt werden, unter anderem mit A.________, dem Eigentümer einer oberhalb des Betagtenzentrums gelegenen Stockwerkeigentums-Einheit. In der Folge beantragte die Stadt Luzern am 19. September 2012 die Erteilung des Enteignungsrechts für die fragliche Dienstbarkeit und um Einleitung des Enteignungsverfahrens. Am 2. Juli 2013 hiess der Regierungsrat dieses Begehren bzw. den darin enthaltenen Eventualantrag gut und ersetzte das Villenservitut durch andere Bau- und Gewerbebeschränkungen. Am. 18. Februar 2014 ersuchte die Stadt Luzern bei der Kantonalen Schätzungskommission nach Enteignungsgesetz (nachfolgend: Schätzungskommission) um Feststellung, dass für die Anpassung des Servituts keine Entschädigung geschuldet sei. A.________ seinerseits stellte Ersatzforderungen in der Höhe von mehreren Millionen Franken. A.d. Mit Entscheid vom 29. Dezember 2015 verweigerte die Schätzungskommission A.________ eine Enteignungsentschädigung. Das Kantonsgericht Luzern wies eine dagegen erhobene Beschwerde am 7. November 2016 ab. Das Bundesgericht hiess am 31. Mai 2017 eine Beschwerde von A.________ gegen diesen Entscheid wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut; es befand, das Kantonsgericht hätte eine Aktennotiz des ehemaligen Präsidenten der Schätzungskommission nicht als internes Aktenstück qualifizieren dürfen, sondern A.________ Einsicht in diese gewähren müssen (Urteil 1C_580/2016 vom 9. Dezember 2016).