Citation: 4A_516/2023 E. A

A.a. Par contrat oral conclu à une date inconnue, B.________ en liquidation (ci-après: la bailleresse) a loué à A.________ (ci-après: le locataire) deux appartements de trois et cinq pièces situés dans l'immeuble sis (...), (...), ainsi que trois places de stationnement situées dans le garage de l'immeuble sis (...), (...). Les loyers totalisaient un montant mensuel de 5'100 fr. A.b. Par formules officielles du 29 décembre 2022, la bailleresse a résilié les baux précités pour le 31 mars 2023. A.c. Le 1er février 2023, le locataire a saisi la commission de conciliation en matière de baux à loyer du district de (...) d'une requête tendant au constat de l'inefficacité des résiliations, subsidiairement au constat de leur nullité, plus subsidiairement à leur annulation et plus subsidiairement encore à la prolongation des baux.