Citation: 4A_417/2013 E. 8

Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, le recours constitutionnel, comme on l'a vu, étant irrecevable. Le recourant, qui succombe, supportera l'émolument judiciaire (art. 66 al. 1 LTF), qui sera prélevé sur l'avance de frais qu'il a effectuée. Il sera également mis à la charge du recourant une indemnité à payer à l'intimée à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF), laquelle sera versée à celle-ci au moyen des sûretés qu'il a déposées à cette fin le 8 novembre 2013. Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce: