Citation: 4A_570/2016 E. A

A.a. Die B.________ AG (Schiedsklägerin, Beschwerdegegnerin) gelangte am 31. August 2015 gestützt auf eine Schiedsklausel im Subunternehmervertrag vom 21. Januar 2011 mit der A.________ AG (Schiedsbeklagte, Beschwerdeführerin) an das Schiedsgericht Bau + Immobilien des Hauseigentümerverbands Schweiz. Sie stellte die Anträge, die Schiedsbeklagte sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 1'054'796.08 (inkl. MwSt) nebst 5 % seit 28. September 2011 sowie die Kosten des Mediationsverfahrens von Fr. 2'221.-- zu bezahlen. A.b. Mit Zwischenentscheid und Beschluss vom 22. März 2016 konstituierte sich das Schiedsgericht und stellte fest, dass das Schiedsverfahren nach dem gescheiterten Mediationsverfahren ordnungsgemäss eingeleitet worden sei. Ausserdem beschloss das Schiedsgericht, einen technischen Experten zur Ausarbeitung eines Vergleichsvorschlags beizuziehen, es hielt fest, es gälten die Verfahrensregeln gemäss Reglement Vermittlung und Schiedsgericht Bau + Immobilien, Ausgabe 2011, die Schiedsrichter würden mit Fr. 360.-- pro Stunde honoriert und dem Sekretariat Schiedsgericht Bau + Immobilien werde beantragt, von der Klägerin einen weiteren Kostenvorschuss von Fr. 29'000.-- und von der Beklagten einen Kostenvorschuss von Fr. 50'000.-- einzuverlangen. A.c. Nachdem die Beklagte den Experten abgelehnt und den einverlangten Kostenvorschuss von Fr. 50'000.-- nicht bezahlt hatte, forderte das Schiedsgericht die Klägerin mit Beschluss vom 2. Juni 2016 auf, innerhalb von 20 Tagen zu den Anträgen der Beklagten Stellung zu nehmen, namentlich zur Frage eines technischen Experten und zu den Ausstandsgründen; zudem solle sie sich darüber äussern, ob sie den Kostenvorschuss von Fr. 50'000.-- der Beklagten übernehme oder auf die Durchführung des Schiedsverfahrens verzichte. A.d. Mit Eingabe vom 27. Juni 2016 teilte die Klägerin dem Schiedsgericht mit, sie nehme zur Kenntnis, dass die Beklagte den ihr auferlegten Kostenvorschuss nicht bezahlt habe, sie verzichte auf die Durchführung des Schiedsverfahrens und werde die Sache dem ordentlichen Gericht unterbreiten. Zudem forderte die Klägerin das Schiedsgericht auf, den bezahlten Kostenvorschuss zurückzuerstatten. A.e. Mit Eingabe vom 25. August 2016 nahm die Klägerin Bezug auf ihre Eingabe vom 27. Juni 2016 und ersuchte das Schiedsgericht, das Verfahren baldmöglichst zum Abschluss zu bringen. Sie stellte die Anträge, es seien ihr die von ihr bezahlten Kostenvorschüsse zurückzuerstatten, das Verfahren sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten abzuschreiben und es sei ihr eine Parteientschädigung von mindestens Fr. 57'622.35 für ihre nutzlosen Aufwendung im Schiedsverfahren zu bezahlen; der Kosten- und Entschädigungsentscheid sei als Schiedsspruch auszugestalten.