Citation: 4A_279/2023 E. C

A.________ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffern 2-4 des Entscheids des Verwaltungsgerichts seien aufzuheben. Die Klage der B.________ AG sei zufolge Anerkennung "gemäss Art. 63 Abs. 2 KOV" als erledigt abzuschreiben. Die Widerklage sei gutzuheissen. Eventualiter sei festzustellen, dass die B.________ AG "erst ab 1. Februar 2020 und nicht bereits ab 1. November 2019 zu einer Leistungsverweigerung berechtigt" sei. Das Verwaltungsgericht begehrt die Abweisung der Beschwerde, unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Die B.________ AG beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ein zunächst eingereichtes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zog A.________ zurück, nachdem er vom Bundesgericht aufgefordert worden war, Belege über seine aktuellen finanziellen Verhältnisse einzureichen.