Citation: 4A_511/2015 E. A

A.a. A.________ (Beschwerdeführer 1, Kläger) ist ehemaliger Bereiter der Eidgenössischen Militärpferdeanstalt und besass einen Reitstall. C.________ (Beschwerdegegnerin 1, Beklagte) ritt ab dem Frühjahr 2010 drei bis vier Mal pro Woche Pferde aus dem Reitstall von A.________. B.________ (Beschwerdeführer 2) ist Rechtsanwalt in U.________. A.b. Am 22. Juli 2010 und am 2. September 2010 verkaufte A.________ die beiden Pferde "D.________" und "E.________" an C.________. Am 9. November 2010 bezog er von seinem Sparkonto Fr. 150'000.-- und übergab die bezogenen Geldscheine in drei Couverts zu je Fr. 50'000.-- an C.________, welche die Couverts in ihrem Bankschliessfach deponierte. A.________ behauptete in der Folge, er habe den Geldbetrag hinterlegt, C.________ stellte sich auf den Standpunkt, er sei geschenkt. A.c. Am 1. Oktober 2012 erhob A.________ beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen C.________. Er verlangte die Herausgabe der beiden Pferde E.________ und D.________ sowie die Bezahlung von Fr. 156'660.--, eventualiter von Fr. 195'060.-- zuzüglich Verzugszins. Die Vertretung von A.________ führte Rechtsanwalt B.________. Das Amtsgericht wies die Klage mit Urteil vom 12. Juni 2013 ab. Die Gerichtskosten übertrug es zufolge unentgeltlicher Rechtspflege dem Staat Solothurn. Gegen dieses Urteil gelangte A.________ an das Obergericht des Kantons Solothurn, wobei er die im erstinstanzlichen Verfahren noch geltend gemachte Forderung in der Höhe von Fr. 6'660.-- für angeblich unbezahlt gebliebene Reitstunden fallen liess. Das Obergericht wies die Berufung mit Urteil vom 17. März 2014 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch von A.________ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es wegen Aussichtslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 4). Mit Urteil vom 2. Dezember 2014 (Verfahren 4A_262/2014) hiess das Bundesgericht die Beschwerde von A.________ gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 17. März 2014 teilweise gut, hob dieses Urteil auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück. Die Gutheissung der Beschwerde betraf das Begehren auf Bezahlung von Fr. 150'000.--; die Beschwerde gegen die Abweisung des Begehrens um Herausgabe der beiden Pferde E.________ und D.________ samt Zaumzeug und Sattel durch das Obergericht wurde abgewiesen.