Citation: 5A_377/2021 E. B

B.a. Mit Beschwerde vom 11. Mai 2021 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, C.________ unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern zu stellen. Zudem verlangt er den sukzessiven Ausbau bzw. die Ausweitung seines Besuchsrechts über sechs Monate bis hin zu einem Betreuungsanteil vom 50 %, der vom siebten Monat an im Sinne einer alternierenden Obhut gelten soll. In diesem Zusammenhang fordert er, ein Gutachten bei der Fachstelle Kinder- und Jugendpsychiatrie der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich einzuholen. Er beantragt ferner, die Kosten der Besuchsbegleitung B.________ (Beschwerdegegnerin), eventualiter hälftig ihr und der KESB oder dem Bezirksrat Horgen aufzuerlegen. B.b. Der Beschwerdeführer stellt für das Verfahren vor dem Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 12. Mai 2021 hat das Bundesgericht dieses Gesuch insoweit abgewiesen, als der Beschwerdeführer um die Bestellung eines Rechtsvertreters durch das Bundesgericht nachsuchte. In derselben Verfügung wies das Bundesgericht den Antrag des Beschwerdeführers auf vorsorgliche Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung bis zum Vorliegen der fachgutachterlichen Prüfung eines kindeswohlgerechten Beziehungsaufbaus ab. B.c. Auch die Beschwerdegegnerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (Schreiben vom 20. Mai 2021). B.d. Das Bundesgericht hat die Akten eingeholt, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.