Citation: 5D_78/2010 14.06.2010 E. 1

dass gegen das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangene Urteil des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist, dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), dass das Obergericht im Urteil vom 27. April 2010 (soweit für das vorliegende Verfahren erheblich) erwog, die Rechtsöffnungsforderung beruhe auf einem rechtskräftigen Urteil vom 25. September 2006 des Obergerichts des Kantons Aargau (93'983 Franken Unterhaltsbeiträge an die Frau) und damit auf einem definitiven Rechtsöffnungstitel, die Beschwerdegegnerin anerkenne die Bezahlung von Fr. 86'478.-- durch den Beschwerdeführer, dieser behaupte zwar, "den geforderten Zahlungen zu 100 % nachgekommen" zu sein, erbringe jedoch den (nach Art. 81 Abs. 1 SchKG) für die Annahme der behaupteten Tilgung erforderlichen Urkundenbeweis nicht, weshalb für die ausstehende Forderungsrestanz die definitive Rechtsöffnung zu erteilen sei, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht keine Verfassungsbestimmungen anruft, dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand der entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Obergerichts vom 27. April 2010 verfassungswidrig sein soll, dass es insbesondere nicht genügt, auch vor Bundesgericht Tilgung zu behaupten und pauschal auf zahlreiche Schriftstücke zu verweisen, dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist, dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG), dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,