Citation: 5A_445/2021 E. A

A.a. A.________, née en 1987, et B.________, né en 1980, se sont mariés en 2006. Ils ont un fils, C.________, né en 2008. Le couple vit séparé depuis le 1er décembre 2011. Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 9 juillet 2013, la garde de l'enfant a, d'entente entre les parties, été attribuée à la mère, avec un droit de visite usuel en faveur du père. A.b. Par requête de mesures provisionnelles urgentes du 15 février 2016, le père a notamment conclu à ce que la garde de son fils lui soit attribuée. Il invoquait que la mère avait rencontré un homme résidant à U.________ (France), où elle comptait le rejoindre avec l'enfant, ce à quoi lui-même était opposé. Statuant à titre superprovisionnel le 22 février 2016, le juge du Tribunal civil des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: juge civil) a fait interdiction à la mère de quitter la Suisse avec l'enfant et lui a ordonné, ainsi qu'à tout tiers, de remettre à l'autorité tous les documents d'identité de celui-ci, y compris le permis C. A.c. Le 6 décembre 2016, l'épouse a déposé une demande unilatérale en divorce, concluant notamment à ce que la garde de l'enfant lui soit attribuée. Par décision de mesures provisionnelles du 19 décembre 2016, le juge civil a attribué la garde de l'enfant au père. Statuant le 4 avril 2017 sur l'appel interjeté par la mère, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après: Cour d'appel civile) l'a rejeté et a confirmé la décision précitée. Lors de l'audience de conciliation de la procédure de divorce du 29 août 2017, les parties se sont déclarées d'accord avec l'institution d'une curatelle au sens de l'art. 308 al. 2 CC. La décision y relative a été formalisée le 12 septembre 2017. Le 2 octobre 2018, le juge civil a sollicité une enquête sociale auprès de l'Office de protection de l'enfant (OPE), de même qu'auprès du Service social international. La curatrice au sens de l'art. 308 al. 2 CC a rendu un rapport de situation le 20 décembre 2018, relevant le conflit de loyauté dans lequel se trouvait l'enfant. Le 24 juillet 2019, le Service social international a transmis au juge civil le rapport d'évaluation effectué par la Direction Générale Adjointe de la Solidarité, à V.________ (France), daté du 8 juillet 2019. Ce rapport concluait que les conditions matérielles adaptées à l'accueil de l'enfant existaient auprès de la mère et que celle-ci était " en capacité d'assumer l'éducation et la garde de son fils ". Dans son rapport d'enquête sociale du 8 octobre 2019, l'OPE a préconisé d'attribuer la garde de l'enfant à la mère et d'accorder un droit de visite aussi large que possible au père, la mesure de curatelle selon l'art. 308 al. 2 CC étant maintenue. Le 24 avril 2020, il a rendu un rapport complémentaire préconisant toujours cette solution. Le 24 juin 2020, le juge civil a recueilli les déclarations de l'enfant. Celui-ci a indiqué vouloir vivre auprès de sa mère, qui lui manquait beaucoup, tout en soulignant que rien ne le dérangeait chez son père. II a précisé que cela le rendrait autant triste de ne pas vivre chez l'un ou chez l'autre.