Citation: 4A_540/2015 E. A

A.a. B.________ est un ressortissant... ayant exercé de hautes fonctions politiques dans son pays. Pendant quelques années, il a recherché des investisseurs pour le compte d'une banque. Il a en outre présidé un fonds d'investissements étatique. Le 10 juin 1999, le prénommé (ci-après: le client) a ouvert un compte auprès de Banque A.________ SA (ci-après: la banque) à Genève. Il a signé des documents préformulés rédigés en espagnol, en particulier les conditions générales de la banque et un acte de nantissement. Ceux-ci prévoient l'application du droit suisse aux relations entre la banque et le client, y compris celles en rapport avec le gage. Le for est fixé au siège de la banque ou auprès de sa succursale concernée. En substance, l'art. 13 des conditions générales énonce que pour toutes les prétentions résultant des relations d'affaires avec le client, sans égard à leur échéance, la banque bénéficie d'un droit de gage et, pour ses créances, d'un droit de compensation sur tous les avoirs et valeurs du client reposant sous sa garde chez elle ou ailleurs pour le compte du client. Selon l'art. 1 de l'acte de nantissement, le client déclare conférer à la banque un droit de gage sur tous ses biens et droits qui se trouvent actuellement ou qui pourraient être déposés ultérieurement auprès de la banque ou se trouver en sa possession, y compris sur les valeurs non incorporées dans un titre, ainsi que sur ses droits et créances à l'égard de la banque. En ce qui concerne les biens et droits que la banque a confiés, en son nom propre, en dépôt à des tiers en Suisse ou à l'étranger, le constituant déclare également nantir en faveur de la banque tous les droits s'y rattachant, notamment le droit de restitution et tous les droits de copropriété afférents à des dépôts collectifs en Suisse ou à l'étranger. L'art. 5 du même acte précise que les gages ainsi que les créances et autres droits nantis et cédés garantissent toutes les créances actuelles ou futures de la banque envers le constituant notamment en capital, intérêts, commissions, frais de poursuite et de procédure d'exécution, ainsi que tous les autres frais y afférents ou en rapport avec la réalisation des sûretés. A.b. Le client a effectué divers placements. Le 19 juin 2001, il a ordonné à la banque d'acquérir des parts dans le fonds Fairfield Sentry Ltd (ci-après: Fairfield) pour un total de $ 100'000.-. Le même jour, il a signé un document préimprimé rédigé en anglais dans lequel il certifiait avoir donné l'instruction à la banque d'entreprendre cette opération pour son propre compte et à ses propres risques, caractérisés en particulier par les traits suivants: haut degré de volatilité, valeur influencée par la situation économique du pays, mauvaise évaluation, instabilité de la valeur, faible liquidité du marché, etc. Le signataire confirmait avoir entrepris ces opérations sur son initiative personnelle et non sur celle de la banque. Il attestait avoir une compréhension adéquate des mécanismes du marché financier susceptible d'être hautement spéculatif. Il déchargeait la banque de toute responsabilité pour les opérations couvertes par cette déclaration, sauf en cas de faute sérieuse. A.c. En 2006, un collaborateur de la banque a conseillé au client de vendre complètement deux participations dont celle dans le fonds Fairfield. Le client n'a accepté de vendre que la moitié des parts de ce fonds qui lui donnait satisfaction. Il a ainsi ordonné à la banque de vendre 66,08 parts du fonds Fairfield, ce qui a été fait le 15 mai 2006 pour un montant total de $ 75'004,37. Après déduction de la commission de courtage de la banque ($ 1'245,10), le compte du client a été crédité de $ 73'759,27. En 2008, le même collaborateur a conseillé au client de vendre tous ses investissements en hedge fund. L'intéressé, dans un courriel du 21 octobre 2008, a suggéré de ne pas vendre les parts dans Fairfield qui était "très bien même pendant la crise". En décembre 2008, la découverte de la fraude de Bernard Madoff a révélé que les parts du fonds Fairfield n'avaient plus de valeur. La banque a informé le client que ledit fonds avait investi dans une société de Madoff et que son évaluation était suspendue. A.d. Le 14 mai 2010, les liquidateurs du fonds Fairfield ont ouvert action aux Etats-Unis contre la banque et "les ayants droit économiques des comptes ouverts au nom de la banque 1-1000". Ils réclamaient la restitution des montants versés en contrepartie des ventes de parts; la valeur des parts aurait été surestimée, eu égard à la fraude sur laquelle le fonds reposait. Des actions similaires ont été introduites contre de nombreuses autres banques. Le 26 juillet 2010, la banque a informé le client de cette action et a déclaré bloquer ses avoirs. Dans un courrier ultérieur, elle a fait valoir son droit de gage sur les avoirs du client en garantie de la créance qui pourrait naître de la procédure aux Etats-Unis, laquelle tendait au remboursement du prix qu'elle avait encaissé pour son compte en mai 2006 lors de la vente des parts Fairfield; la banque invoquait l'art. 402 CO, les conditions générales et l'acte de nantissement. Le client a pris un avocat étranger qui a émis entre octobre 2010 et juillet 2011 des notes d'honoraires d'un montant total de $ 6'238.-. En date du 14 octobre 2011, les avoirs du client avaient la composition suivante: - EUR 991,80 sur un compte en euros; - $ 24'744,39 sur un compte en dollars américains; - 433 parts du fonds F1.________, d'une valeur de $ 48'379.-; - 85,9484 parts du fonds F2.________, d'une valeur de $ 90'231.-; - 133,92 parts du fonds Fairfield, d'une valeur de $ 0.-.