Citation: 9C_348/2023 E. A

A.a. Der 1969 geborene A.________ war vom 1. Januar 2014 bis Ende Dezember 2017 bei der B.________ AG angestellt und deswegen bei der Vorsorgeeinrichtung der CPH-Gruppe berufsvorsorgeversichert. Anschliessend bezog er vom 8. Januar bis zum 31. März 2018 Taggelder der Arbeitslosenversicherung, weshalb er bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (nachfolgend: Auffangeinrichtung) für die berufliche Vorsorge versichert war. Im Rahmen eines Zwischenverdienstes war A.________ vom 26. Januar bis zum 14. März 2018 bei einem Arbeitsvermittlungsunternehmen angestellt und (temporär) für die D.________ AG tätig; dabei war er bei der ASGA Pensionskasse Genossenschaft (heute: Asga Pensionskasse Genossenschaft; nachfolgend: Asga) versichert. Vom 1. April bis zum 18. Mai 2018 war A.________ in einer Festanstellung bei der E.________ AG tätig; er war deswegen der BVG-Sammelstiftung Swiss Life angeschlossen. A.b. Im Juli 2018 meldete sich A.________ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach ihm mit Verfügungen vom 2. und 21. Juli 2020 eine Viertelsrente vom 1. Januar bis zum 31. Dezember 2019 und eine halbe Rente ab dem 1. Januar 2020 zu (Invaliditätsgrad von 41 % resp. 53 %). Alle vier genannten Vorsorgeeinrichtungen verneinten ihre jeweilige Leistungspflicht im Zusammenhang mit der Invalidität. A.c. Mit Klage vom 8. Juni 2021 verlangte A.________, die BVG Sammelstiftung Swiss Life sei zur Ausrichtung von Rentenleistungen zu verpflichten - eventualiter im Rahmen einer Vorleistungspflicht. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die Klage teilweise gut und verpflichtete die BVG Sammelstiftung Swiss Life, A.________ aus obligatorischer beruflicher Vorsorge eine auf einem Invaliditätsgrad von 41 % basierende Invalidenrente vom 1. Januar bis zum 31. Dezember 2019 und eine auf einem Invaliditätsgrad von 53 % basierende Rente ab dem 1. Januar 2020 als Vorleistung auszurichten; im Übrigen wies es die Klage ab (Urteil vom 10. Februar 2022). Auf die dagegen erhobene Beschwerde des A.________ trat das Bundesgericht mit Urteil 9C_247/2022 vom 30. Mai 2022 nicht ein.