Citation: 4A_307/2013 E. A

A.a. X.________ (ci-après: la patiente) est née en 1961 au Portugal. Elle a effectué deux tentatives de suicide, la première à l'âge de 15 ans, en raison des violences que lui infligeaient sa mère puis son premier mari. En 1993, elle a souffert pendant deux ou trois mois d'une dépression consécutive au décès de son deuxième époux. En 1995, elle a vécu un épisode dépressif sévère lié à des problèmes que rencontrait alors sa fille; son médecin traitant, le Dr A.________, lui a prescrit des antidépresseurs. A cette époque, la patiente s'est mise à prendre beaucoup de poids et à boire des quantités importantes d'alcool. Sa surcharge pondérale a entraîné des dorso-lombalgies, des gonalgies et des douleurs dans les pieds qui ont nécessité plusieurs interventions chirurgicales, dont l'une s'est accompagnée d'un épisode de thrombose veineuse profonde. Depuis lors, la patiente n'a jamais cessé de souffrir de douleurs persistantes, qui l'obligent notamment à porter des chaussures orthopédiques. Pour ces motifs, elle a été en arrêt de travail complet dès le 14 octobre 1999. Constatant que sa patiente souffrait d'obésité morbide, le médecin traitant lui a conseillé une intervention chirurgicale pour l'aider à perdre du poids. Il lui a présenté les deux méthodes envisageables: la première, soit le bypass bilio-digestif, consiste à créer une poche gastrique par agrafage, sur laquelle est suturée une portion de l'intestin grêle, de façon à ce qu'une partie de l'intestin ne reçoive plus d'aliments. La seconde technique, dénommée gastroplastie, implique la pose d'un anneau en silicone dans l'estomac, relié à une chambre d'injection par laquelle on infiltre un liquide pour gonfler l'anneau et réduire la capacité de l'estomac. La patiente a opté pour le bypass, car elle refusait l'implantation d'un corps étranger dans l'abdomen. Le médecin traitant a adressé sa patiente au Dr Z.________, spécialiste FMH en chirurgie. Celui-ci a pris note du fait que l'intéressée souhaitait un bypass. Lors d'une consultation ultérieure, il a expliqué qu'il était plus opportun d'effectuer une gastroplastie. Le 17 avril 2000, il a pratiqué cette opération, soit la pose d'un anneau dans l'estomac de la patiente. Celle-ci a été hospitalisée trois jours et a bénéficié d'un arrêt de travail jusqu'au 25 avril 2000. L'intervention, prise en charge par l'assurance-maladie, s'est faite techniquement dans les règles de l'art. La patiente s'est toutefois plainte auprès de son médecin traitant d'avoir subi une gastroplastie non consentie alors qu'elle souhaitait un bypass. Le 14 février 2001, elle a déposé une plainte auprès du Département genevois de l'action sociale et de la santé. Par décision du 27 août 2003, cette autorité a constaté que le chirurgien Z.________ n'avait pas démontré avoir recueilli le consentement éclairé de sa patiente en vue d'une gastroplastie. Le médecin traitant a adressé sa patiente à un autre chirurgien, le Dr B.________, pour qu'il assure le suivi postopératoire et procède au gonflement de l'anneau. Une intervention a été agendée, mais la patiente y a renoncé peu avant. Le médecin traitant a alors demandé au chirurgien C.________ de retirer l'anneau et d'effectuer un bypass. L'intervention, prise en charge par l'assurance-maladie, a été pratiquée le 23 novembre 2001. La patiente a perdu 45 kilos, mais a souffert d'une complication rare due au bypass, très douloureuse et gênante, faite de douleurs abdominales extrêmes, vomissements et diarrhées profuses, problématique imputée à un dumping syndromet à une déformation du moignon gastrique. A.b. Le 23 mai 2001, la patiente a saisi l'assurance-invalidité (ci-après: AI). Elle a obtenu une rente avec effet rétroactif au 15 octobre 2000, le départ de l'incapacité de travail étant fixé au 14 octobre 1999. Un rapport d'expertise pluridisciplinaire a été établi le 1er mai 2006 par le Service régional médical de l'AI. De ce rapport, les décisions cantonales à l'origine de la présente procédure (infra, let. B) font en substance le compte rendu suivant: l'anamnèse psychiatrique révèle que la patiente a vécu un premier épisode dépressif en 1993, un deuxième épisode d'intensité sévère avec symptômes psychotiques en 1995 et un troisième épisode en 2000, à la suite de l'intervention pratiquée par le Dr Z.________, à l'origine d'un état de stress traumatique. L'apparition en 2003 d'un syndrome de dumping, conséquence du bypass, va provoquer l'installation d'un état de stress post-traumatique chronique, avec effondrement progressif des ressources psychiques et modification durable de la personnalité. Cet état, conjugué à un trouble dépressif récurrent sous forme d'épisodes moyens à sévères avec symptômes psychotiques, sont à l'origine d'une atteinte à la santé mentale entraînant une incapacité de travail de longue durée. En sus de ses troubles psychologiques, la patiente souffre d'atteintes à sa santé physique qui réduisent entièrement sa capacité de travail depuis 1999 déjà, à savoir de nombreuses atteintes ostéoarticulaires (syndrome rotulien, fracture de vertèbre, périarthrite scapulohumérale et lombalgies chroniques). Elle présente depuis 2003 une problématique complexe concernant la sphère intestinale, lui causant des douleurs abdominales intermittentes violentes et imprévisibles, associées à un dumping syndrom, en lien avec le bypass pratiqué en 2001 et la forme apparemment singulière du moignon gastrique. Par ailleurs, la patiente a fait deux chutes en 2003 et souffre depuis lors de l'épaule droite et de lombalgies aggravées.