Citation: 2C_345/2023 E. A

A.a. A.A.________ (geb. 1981) ist portugiesische Staatsangehörige und reiste am 17. Januar 2017 gemeinsam mit ihrem Ehemann, B.A.________ (geb. 1978), einem brasilianischen Staatsangehörigen, in die Schweiz ein. Mit ihnen kamen auch die vier gemeinsamen Kinder C.A.________ (geb. 2014), D.A.________ (geb. 2015), E.A.________ und F.A.________ (geb. 2016), sowie der Sohn von B.A.________ aus einer früheren Beziehung, G.________ (geb. 2000), in die Schweiz. Am 7. November 2018 kam die gemeinsame Tochter H.A.________ zur Welt. Am 18. Januar 2017 ersuchte A.A.________ im Kanton Schaffhausen um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zur unselbstständigen Erwerbstätigkeit. Am 27. April 2017 gründeten A.A.________ und B.A.________ den Verein "I.________", mit dem in der Folge beide je einen unbefristeten Arbeitsvertrag als Pastoren mit Arbeitsbeginn 1. Juni 2017 abschlossen. Am 27. Juni 2017 wurde A.A.________ eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA gestützt auf die Tätigkeit als Pastorin für den von ihr (mit-) gegründeten Verein erteilt. Am 3. Juli 2017 erhielten ihr Ehemann und die Kinder im Rahmen des freizügigkeitsrechtlichen Familiennachzugs ebenfalls Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA. Alle Bewilligungen der Familie wurden bis zum 16. Januar 2022 befristet. Am 22. Dezember 2017 wurde die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A.A.________ neu ausgestellt, wobei als effektiver Aufenthaltszweck eine selbstständige Erwerbstätigkeit im Rahmen des Vereins I.________ vermerkt wurde. Gleichentags erhielt auch B.A.________ eine neue Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA (Aufenthaltszweck: "Familiennachzug mit Erwerbstätigkeit"). Per 1. April 2018 beantragte die Familie im Kanton Schaffhausen die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen. A.b. B.A.________ wurde am 18. Januar 2019 ein italienischer Pass ausgestellt. Am 18. Oktober 2021 wurden B.A.________ und den minderjährigen Kindern unter dem Familiennamen "J.________" italienische Identitätskarten ausgestellt. Unter demselben Familiennamen erhielt A.A.________ am 27. April 2022 eine italienische Identitätskarte. A.c. Am 3. Juli 2020 verlegte die Familie ihren Wohnsitz in den Kanton St. Gallen. Ein Gesuch von B.A.________ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur unselbstständigen Erwerbstätigkeit sowie Familiennachzug seiner Frau und Kinder wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen am 16. Juni 2021 ab, mit Verweis darauf, dass neue Anträge erst nach Abschluss des Verfahrens im Kanton Schaffhausen betreffend Widerruf der Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA entgegengenommen würden. Seit dem Umzug nach St. Gallen hat die Familie gemäss Auskunft der Wohngemeinde keine Sozialhilfe mehr bezogen. Im Frühling 2023 waren im Kanton St. Gallen zwei sozialversicherungsrechtliche Verfahren (betreffend Unfallversicherung und Invalidenversicherung von B.A.________) hängig.