Citation: 4C.26/2007 18.05.2007 E. A

A.a Le 19 octobre 1990, le motocycliste A.________, qui circulait sur une route du canton de Genève, a été renversé par une voiture et grièvement blessé. Il souffre, depuis lors, d'une paraplégie complète et définitive. Le véhicule était conduit par M.________; son détenteur, le père de la conductrice, était assuré en responsabilité civile par l'assurance X.________ (ci-après: X.________), laquelle a admis la pleine et entière responsabilité de son assuré. A.b Assisté d'un avocat, A.________ a fait valoir diverses prétentions auprès de X.________. Une convention d'indemnisation pour solde de tout compte a été conclue le 19 juillet 2002. Elle réservait le règlement des frais médicaux futurs ainsi que la participation aux honoraires de l'avocat du lésé. Les parties ne sont pas parvenues à s'entendre, lors de leurs discussions ultérieures, au sujet des sommes réclamées par l'intéressé pour ces deux postes du dommage. A la demande du conseil de A.________, la Commission genevoise de taxation des honoraires d'avocat, par décision du 14 juin 2004, a taxé la note d'honoraires de cet avocat à 152'297 fr. pour l'activité déployée du 4 décembre 1990 au 28 août 2002. A.________ a tenté, sans succès, d'obtenir le paiement de cette somme par X.________.