Citation: 9C_631/2013 E. A

A.a. C.________ a été au service de X.________ jusqu'au 31 mai 2005, entreprise auprès de laquelle il a travaillé en qualité de représentant, et était affilié à ce titre à la Caisse de retraite X.________ (ci-après: la Caisse de retraite). Ayant commencé un nouvel emploi auprès de la société Y.________ SA le 1 er juin 2005, il a été affilié en tant que chef d'exploitation au Fonds d'assurance-retraite Z.________ - aujourd'hui: le Fonds de prévoyance Z.________ (ci-après: le Fonds de prévoyance) dès cette date. Le 10 juin 2005, C.________ a été admis d'office à l'Hôpital psychiatrique W.________, où il a séjourné jusqu'au 22 juin 2005 pour un épisode maniaque. Le 23 juin 2005, il a été licencié par la société Y.________ SA, qui a annoncé au Fonds de prévoyance son départ au 31 juillet 2005. A.b. Le 3 février 2009, C.________ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'une demande contre la Caisse de retraite et le Fonds de prévoyance, en concluant à ce que l'une ou l'autre soit reconnue débitrice à son égard dès le 1 er mai 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 %.