Citation: 4A_266/2021 E. C

Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. Mai 2021 beantragt der Beschwerdeführer, die Ziffern 3, 4, 6 und 7 des Urteils des Obergerichts aufzuheben und ihn zur Bezahlung von folgenden Beträgen zu verurteilen: - Fr. 6'000.-- an die Beschwerdegegnerin als Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren; - Fr. 4'650.-- als Anteil an den erstinstanzlichen Gerichtskosten und - Fr. 3'150.-- als Anteil an den vorinstanzlichen Gerichtskosten. Des Weiteren sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 1'080.-- für das vorinstanzliche Verfahren zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an, sofern darauf einzutreten ist; die Vorinstanz verzichtete auf eine ausführliche Vernehmlassung, beantragte aber die Abweisung der Beschwerde.