Citation: 4A_297/2015 E. A

A.a. C.________, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique depuis 1994, exerce sa fonction de médecin à la Clinique D.________, à X.________ (VS), établissement où elle ne dispose que d'une salle de consultation. Depuis août 2001, A.A.________, née le 15 novembre 1967, qui vit en concubinage à Y.________ (VS) avec B.________, était sa patiente. Soupçonnant une grossesse, A.A.________ a requis de ce médecin une consultation en urgence, qui a eu lieu le 14 août 2002; le test urinaire pratiqué a confirmé la grossesse, dont ledit médecin a accepté de se charger du suivi. Sept consultations ont été programmées, soit les 23 septembre 2002, 17 octobre 2002, 20 novembre 2002, 19 décembre 2002, 15 janvier 2003, 17 février 2003 et 18 février 2003, des échographies devant été pratiquées lors des première, troisième, sixième et septième consultations. Une amniocentèse a eu lieu le 22 octobre 2002 au Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV), à Lausanne. Le 30 janvier 2003, A.A.________ et B.________ ont consulté en urgence la doctoresse C.________, car l'employeur de la première lui avait refusé une réduction de son temps de travail, ce qui avait causé chez elle un état de grande inquiétude et de nervosité. Lors de cette consultation, aucun examen clinique n'a été réalisé pour confirmer un état normal de la patiente ainsi qu'une bonne croissance utérine. Jusqu'au 17 février 2003, les différents paramètres de grossesse ont été décrits comme parfaitement normaux par la doctoresse C.________. A cette date, un retard de croissance intra-utérin est suspecté cliniquement, mais l'échographie effectuée n'a pas été concluante. Le 18 février 2003, A.A.________ s'est présentée à 14 h.15, heure prévue pour l'échographie, au cabinet de la doctoresse. L'échographie a révélé l'absence de liquide amniotique et un retard de croissance intra-utérin avec un poids foetal estimé à 950 g. correspondant au poids d'un foetus de 27 semaines. Ledit médecin a effectué durant 30 minutes un monitoring foetal, au cours duquel des décélérations du rythme cardiaque foetal sont apparues. Expliquant la situation à la patiente, elle l'a enjointe de se rendre en urgence à l'Hôpital de X.________ afin de procéder à l'extraction de l'enfant à naître. A 15 h. 40, la doctoresse a requis l'admission de A.A.________ à l'Hôpital de X.________ pour une éventuelle prise en charge d'une grossesse pathologique présentant un oligo-amnios (insuffisance de la quantité du liquide amniotique) et un retard de croissance intra-utérin. A.A.________ a été prise en charge à 16 h. au bloc obstétrical de l'Hôpital de X.________. Des analyses par ultrasons ont révélé, outre la disparition du liquide amniotique et le retard de croissance du foetus, une pathologie cérébrale et la présence sur celui-ci d'une tumeur kystique d'environ deux centimètres. Le transfert au CHUV de la parturiente a été envisagé, avant qu'il n'y soit renoncé, la fréquence cardiaque du foetus s'étant montrée gravement pathologique, taxée de " pré-agonique ". Le docteur E.________, médecin-chef, a pratiqué en extrême urgence une césarienne transverse basse, avec la présence active de pédiatres; l'intervention s'est produite au cours de la 34 1/7e semaine de gestation. C'est dans ces circonstances qu'a vu le jour prématurément, le 18 février 2003 à 19 h.36, un garçon, qui sera prénommé B.A.________, pesant 1030 g. - poids correspondant à celui d'un nouveau-né à 27 semaines de grossesse - et mesurant 35 centimètres. Des lésions cérébrales ont été découvertes immédiatement à sa naissance au moyen d'échographies postnatales. Une IRM cérébrale effectuée au deuxième jour de vie du nourrisson a révélé une hémorragie intracérébrale (hémorragie intraventiculaire de degré IV). Après cinq heures de vie, en raison d'une extrêmement mauvaise adaptation néonatale ayant requis une ventilation au masque et un massage cardiaque avec intubation, B.A.________ a été transféré en urgence à la division de néonatologie de l'Hôpital de l'enfance à Lausanne, qui dépend du CHUV. Dans sa lettre de sortie envoyée au CHUV, le docteur F.________, pédiatre FMH et médecin-chef à l'Hôpital de X.________, a posé le diagnostic, à la suite de l'asphyxie survenue dans les premières minutes de vie du nouveau-né, de " syndrome de détresse respiratoire avec asphyxie néonatale ". B.A.________ est resté à l'Hôpital de l'enfance jusqu'au 11 avril 2003, date de son transfert à l'Hôpital de X.________; il n'a regagné le domicile de ses parents qu'à l'âge de deux mois. Dans leur rapport dressé le 2 mai 2003 à l'attention du docteur F.________, les docteurs G.________, H.________ et I.________, respectivement médecin adjoint, cheffe de clinique et médecin assistant auprès de la division de néonatologie de l'Hôpital de l'enfance, ont retenu les diagnostics suivants en période néonatale: prématurité, retard de croissance intra-utérin, hémorragie intracérébrale d'origine prénatale, asphyxie néonatale et syndrome de détresse respiratoire aiguë sur " Wet-Lung ". A.b. B.A.________ est gravement atteint dans sa santé. A dire d'experts qui l'ont examiné en janvier 2013, il est atteint de paralysie cérébrale de type hémiparésie spastique droite avec prédominance au membre supérieur, de retard mental sévère avec traits autistiques, de microcéphalie, d'épilepsie multifocale partiellement contrôlée, de malvoyance centrale, de troubles du sommeil sévères et de constipation chronique. Il a le fonctionnement cognitif global d'un enfant d'âge préscolaire. Il conservera à vie l'ensemble de ces troubles. Une scolarisation dans le circuit ordinaire étant impossible, l'enfant devra bénéficier d'une structure spécialisée avec une pédagogie adaptée et individualisée; à défaut de toute perspective professionnelle, il devra être pris en charge, à la fin de la scolarité obligatoire, dans une institution spécialisée pour adultes. Il sera limité au point de vue de son autonomie dans toutes les activités du quotidien. S'agissant des soins requis, B.A.________ devra continuer à suivre un traitement anti-épileptique, un traitement évacuateur pour sa constipation, de la physiothérapie en rapport avec son hémiplégie et de l'ergothérapie en tout cas jusqu'à l'âge adulte. Il nécessite également des soins du corps, étant complètement dépendant à cet égard (hygiène, assistance pour aller aux toilettes). Ses activités diurnes nécessiteront une supervision constante. Le 11 mars 2003, les parents de B.A.________ ont formé auprès de l'Office cantonal AI du Valais une demande de prestations AI pour assurés de moins de 20 ans révolus. B.A.________ a été mis notamment au bénéfice de l'infirmité congénitale du chiffre 497 selon l'annexe à l'Ordonnance concernant les infirmités congénitales du 9 décembre 1985 (OIC; RS 831.232.21), laquelle est décrite ainsi au chiffre XX de ladite annexe: sévères troubles respiratoires d'adaptation (par exemple: asphyxie, syndrome de détresse respiratoire, apnée), lorsqu'ils sont manifestes au cours des 72 premières heures de la vie et qu'un traitement intensif est nécessaire. Par la suite, l'office cantonal AI l'a reconnu invalide au sens des chiffres 313 OIC (malformations congénitales du coeur et des vaisseaux), 381 OIC (malformations du système nerveux et de ses enveloppes) et 390 OIC (paralysies cérébrales congénitales). Les coûts d'éducation précoce dispensée par le service éducatif itinérant ont été pris en charge par l'AI, qui lui a octroyé en outre une allocation d'impotence pour mineurs de degré grave. Divers moyens auxiliaires lui ont été remis. La salle de bains du logement familial a été adaptée aux besoins d'un enfant handicapé. A.c. Sur demande de A.A.________, agissant pour elle-même et pour B.A.________, ainsi que de B.________, le Bureau d'expertises extrajudiciaires de la Fédération des médecins suisses (FMH) a confié une expertise à la professeure J.________, médecin cheffe du service du développement et de la croissance auprès des Hôpitaux universitaires de Genève (HUG) -Hôpital des enfants, et à la doctoresse K.________, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique à Z.________. Ces expertes devaient déterminer les éventuelles violations du devoir de diligence commises par la doctoresse C.________ et leur incidence sur l'état de santé de B.A.________.