Citation: 9C_607/2022 E. A

A.a. Die A.________ GmbH (nachfolgend: die Steuerpflichtige) wurde am 12. Juli 2013 ins Handelsregister eingetragen. Ihr statutarischer Zweck besteht im Erbringen von Dienstleistungen aller Art im Investitions-, Finanz-, Marketing-, Beratungs- und Immobilienbereich. Der statutarische Sitz lag zunächst in U.________/LU. Am 14. Dezember 2020 wurde er nach V.________/ZG verlegt. Einziger Gesellschafter der Steuerpflichtigen ist B.________ (geb. 1980; nachfolgend: der Alleingesellschafter). Er wirkt als Geschäftsführer der Steuerpflichtigen und hatte seit der Steuerperiode 2012 Wohnsitz in W.________/ZH. Im Verlauf der Steuerperiode 2019 zog er nach X.________/ZH. A.b. Die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern (KSTV/LU) veranlagte die Steuerpflichtige zu den Steuerperioden 2014 (2. Juni 2016), 2015 (9. Februar 2017), 2016 (25. Januar 2018) und 2017 (27. Dezember 2018) für die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern und die direkte Bundessteuer. Die vier Veranlagungsverfügungen sind allesamt in Rechtskraft erwachsen. Zur Steuerperiode 2018 liegt (noch) keine Veranlagungsverfügung seitens des Kantons Luzern vor, nachdem dieser das Veranlagungsverfahren - mit Blick auf den konkurrierenden Steueranspruch des Kantons Zürich - sistiert hat. A.c. Der Kanton Zürich tat seinen möglicherweise kollidierenden Steueranspruch erstmals am 23. Dezember 2019 kund, als das Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH) der Steuerpflichtigen anzeigte, dass es die Steuerhoheit zu beanspruchen gedenke. Dasselbe Schreiben ging in Kopie an die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern. Das Steueramt ersuchte die Steuerpflichtige darin um "umfassende Darstellung über die Geschäfts- und Verwaltungstätigkeit". Die Steuerpflichtige kam der Aufforderung nach und gab insbesondere die Abschlüsse zu den Geschäftsjahren 2014 bis und mit 2018 zu den Akten. In der Folge erliess das Steueramt am 31. Januar 2020 eine Feststellungsverfügung. Dieser zufolge beansprucht der Kanton Zürich ab der Steuerperiode 2014 die Steuerhoheit über die Steuerpflichtige. Die Steuerpflichtige erhob am 22. Februar 2020 Einsprache, welche das Steueramt des Kantons Zürich abwies. Das Steueramt kam zusammenfassend zum Ergebnis, dass der Ort der tatsächlichen Verwaltung "nicht klar lokalisiert" werden könne, weshalb "ersatzweise am Wohnort des Gesellschafters anzuknüpfen" sei. Der Einspracheentscheid vom 15. Mai 2020 erwuchs unangefochten in formelle Rechtskraft. A.d. In der Folge nahm das Steueramt des Kantons Zürich die Veranlagung der Steuerperioden von 2014 bis und mit 2018 an die Hand. Die fünf Veranlagungsverfügungen zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, nicht aber der direkten Bundessteuer, ergingen am 23. bzw. 25. November 2020. Die Steuerpflichtige erhob am 17. Dezember 2020 Einsprachen gegen die fünf Veranlagungsverfügungen. Das Steueramt des Kantons Zürich trat auf die Einsprachen nicht ein (Einspracheentscheid vom 7. Januar 2021). Es begründete dies damit, dass die Steuerpflichtige den Einspracheentscheid vom 15. Mai 2020 nicht angefochten habe, weshalb die beantragte Feststellung, dass die Steuerpflichtige der Steuerhoheit des Kantons Zürich nicht unterstehe, unzulässig sei. Ebenso wenig einzutreten sei auf die beantragte Beiladung des Kantons Luzern; dies sehe das Recht des Kantons Zürich nicht vor. In der Sache selbst - Bestreitung der ermessensweise vorgenommenen Veranlagung - habe die Steuerpflichtige es unterlassen, den Unrichtigkeitsnachweis anzutreten, weshalb auch insoweit auf die Einsprache nicht einzutreten sei. A.e. Die Steuerpflichtige erhob daraufhin am 8. Februar 2021 Rekurs an das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 10. Mai 2021 ab, soweit darauf eingetreten wurde.