Citation: 4A_417/2013 E. C

X.________ forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt précité. Il prend les mêmes conclusions dans les deux recours. Principalement, il conclut à l'annulation de l'arrêt du 28 juin 2013, à ce qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement de première instance du 23 mars 2012 soit déclaré recevable et au renvoi de la cause devant la cour cantonale pour nouvelle décision; à titre subsidiaire, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué, qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement du 23 mars 2012 soit déclaré recevable, la cause étant retournée devant le Tribunal de première instance pour nouvelle décision; plus subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt attaqué et qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement du 23 mars 2012 est recevable et admis, la cause étant renvoyée au Tribunal de première instance pour nouvelle décision. L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours, subsidiairement à l'irrecevabilité du recours en matière civile et au rejet du recours constitutionnel, plus subsidiairement au rejet du recours en matière civile. Par ordonnance présidentielle du 8 octobre 2013, la demande de sûretés en garantie des dépens présentée par l'intimée a été admise et le recourant a été invité à verser le montant de 12'000 fr. à la Caisse du Tribunal fédéral. Cette somme a été versée par le recourant en temps utile. Les parties ont répliqué et dupliqué. Par ordonnance présidentielle du 14 janvier 2014, la demande d'effet suspensif présentée par le recourant a été rejetée.