Citation: 1B_227/2013 E. A

A.a. Dans ses plaintes pénales du 7 avril et du 11 mai 2011, C.________ (ci-après la partie adverse) a allégué avoir été la victime d'atteintes à l'honneur par le biais de trois sites internet. Il a expliqué que l'une des adresses de ces sites correspondait à une société dirigée par A.________ (ci-après le recourant ou le requérant), personne avec qui il était en litige pour des problèmes de bail. Le 10 juin 2011, le Ministère public de la République et canton de Genève, représenté par la Procureure B.________, a ouvert une instruction pénale contre inconnu pour diffamation, calomnie et injure (référence P________1). Le 10 novembre 2011, C.________ a déposé plainte pénale contre A.________ pour insoumission à une décision rendue dans une cause civile les opposant. Le 9 janvier 2012, A.________ a porté plainte contre C.________ pour gestion déloyale, banqueroute, frauduleuse, diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers et violation de l'obligation de tenir une comptabilité (référence P________2). La Procureure B.________ a également été chargée de ce dossier. Au cours de l'instruction pénale P________1, il a été procédé à des perquisitions et à des séquestres dans les locaux de la société de A.________, ainsi qu'au domicile de ce dernier. C.________ et A.________ ont été entendus à différentes reprises par la police et/ou la Procureure, soit le 7 juin, le 22 août, le 20 décembre 2011 - date à laquelle A.________ a été mis en prévention pour diffamation, voire calomnie, ainsi que pour insoumission à une décision de l'autorité -, le 6 janvier et le 26 septembre 2012. Lors de ces trois dernières séances, le prévenu a fait valoir son droit de se taire. L'inspecteur de la Brigade de criminalité informatique de la police genevoise a été entendu le 25 février, le 2 et le 8 avril 2013. C.________ et A.________ se sont également déterminés à maintes reprises par écrit, produisant de nombreuses pièces à l'appui de leurs allégations et formulant un certain nombre de réquisitions de preuve. Les deux parties se sont plaintes de la magistrate, en particulier de son inactivité (cf. les courriers des 10 novembre 2011, 9 mars, 23 avril, 8 juin, 19 juin, 4 juillet, 31 août et 24 septembre 2012 pour C.________ dans la cause P________1 et des 21 décembre 2011, 14 juin, 2 octobre 2012, 20 février 2013 et 20 mars 2013 pour A.________ en référence aux deux procédures pénales), et celle-ci a notamment répondu aux critiques de A.________ le 27 mars 2013. A.b. Confirmant les déclarations faites en audience le 2 avril 2013, A.________ a déposé le 9 avril 2013 une requête de récusation de la magistrate, ainsi qu'une demande de répétition des actes de procédure accomplis par cette dernière. Il lui a reproché de n'avoir pas instruit à charge et à décharge, ainsi que de n'avoir pas statué sur les actes d'instruction sollicités. La Procureure aurait également violé des règles de procédure en suspendant de facto la cause P________2 sans rendre d'ordonnance et en autorisant l'administration de preuves sur la base d'informations "vraisemblablement illicites". Le requérant a encore allégué que la magistrate n'aurait pas respecté son "droit au silence" en le soumettant à un interrogatoire de plus d'une heure le 26 septembre 2012, attitude constitutive d'une tentative d'intimidation. Il a encore soutenu qu'il ne lui aurait été octroyé que des délais très brefs, que son droit d'accès au dossier aurait été compliqué et que la Procureure n'aurait pas répondu à ses nombreux courriers. La magistrate s'est opposée à cette demande. Quant à C.________, il a conclu, sous suite de dépens, à l'irrecevabilité de la requête et, subsidiairement, à son rejet. Le 8 mai 2013, il a chiffré ses prétentions pour la procédure de récusation à 12'888.50 fr. A.________ a répliqué le 13, puis le 16 mai 2013, persistant dans ses conclusions et s'opposant à la participation de C.________, ainsi qu'à sa requête d'indemnité.