Citation: 9C_201/2019 E. A

A.a. A.________, né en 1952, travaillait comme peintre en lettres ou graveur pour le compte de plusieurs sociétés (B.________ SA, C.________ Sarl, D.________ Sarl) dont il était respectivement l'administrateur président ou l'associé gérant avec signature individuelle. Victime d'un accident de scooter le 4 mai 2006, il s'est rompu la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Il a été opéré le 14 août 2006. Invoquant les séquelles incapacitantes de cet accident, il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 9 août 2007. L'administration a instruit la cause sur les plans médical et économique. A l'issue de la procédure, elle a reconnu le droit de l'assuré à un quart de rente pour la période du 1er mai 2007 au 31 mai 2008 (décision du 5 mai 2009). Elle a inféré des informations médicales récoltées que l'intéressé avait été empêché d'exercer ses activités habituelles depuis le 4 mai 2006 (bien qu'il semblât avoir toujours maintenu un taux d'occupation de 30 %) et qu'il avait recouvré une capacité totale de travail dans une activité adaptée dès le 12 février 2008. Elle a déduit des renseignements économiques réunis que A.________ était un indépendant dont on pouvait raisonnablement exiger qu'il diminuât le taux d'occupation dans ses tâches manuelles au profit de ses fonctions commerciales et administratives. Elle a appliqué la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité eu égard aux circonstances particulières (participation dans plusieurs sociétés à divers stades de développement, fluctuation importante des salaires et des résultats d'exploitation) et a arrêté le taux d'invalidité avant la réorganisation du travail (direction 25 %, travaux légers 65 %, travaux lourds 10 %) à 41 % et après la réorganisation du travail (direction 50 %, travaux légers 40 %, travaux lourds 10 %) à 27 %. Cette décision a été annulée sur recours de l'assuré et la cause renvoyée à l'office AI pour qu'il complète l'instruction et rende une nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 2 septembre 2010). Le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (actuellement: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) a confirmé le choix de la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité et l'exigibilité de la réorganisation du travail, suggérant même à cet égard qu'une autre clé de pondération des champs d'activité pouvait être adoptée. Elle a en revanche considéré que l'influence de l'atteinte à la santé (éventuellement d'une nouvelle atteinte à l'épaule gauche) sur les différentes tâches accomplies par l'intéressé avait été insuffisamment instruite. A.b. Pour suivre l'injonction de la juridiction cantonale, l'administration a complété l'instruction. Elle a plus particulièrement recueilli l'avis des médecins traitants, réalisé une expertise médicale et actualisé les données économiques. A l'issue de la procédure, elle a rejeté la demande de A.________ (décision du 6 septembre 2013). Se fondant sur les conclusions de l'expertise, elle a retenu que la capacité de travail de l'assuré était nulle en tant que peintre ou graveur depuis le 4 mai 2006 mais totale dans une activité adaptée (notamment en tant qu'administrateur ou gestionnaire) depuis cette même date. Considérant toujours que son statut d'indépendant, sa participation dans plusieurs sociétés et l'exigibilité d'une réorganisation du travail (désormais: direction 60 %, travaux manuels 40 %) justifiaient l'application de la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité, elle a fixé le taux d'invalidité à 33 %. Sur recours de l'intéressé, la Chambre des assurances sociales de la Cour genevoise de justice a annulé la décision du 6 septembre 2013 et de nouveau renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants (jugement du 21 mai 2015). Elle a confirmé la pondération des champs d'activité et le montant du revenu exigible dans le champ d'activité "direction". Elle a en revanche considéré que l'administration ne pouvait se dispenser d'examiner la capacité de A.________ à accomplir la part des travaux manuels légers pour déterminer précisément le taux d'invalidité. Elle a par ailleurs constaté que, selon les documents médicaux disponibles, le recouvrement d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée devait être arrêté au 12 février 2008 et non au 4 mai 2006. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours interjeté par l'assuré contre ce jugement (arrêt 9C_446/2015 du 17 juillet 2015). A.c. L'office AI a repris l'instruction. Il a complété le volet économique du dossier en obtenant un descriptif de toutes les fonctions existant dans les trois sociétés pour lesquelles travaillait l'intéressé. Au terme de la procédure, il a alloué à A.________ un quart de rente pour la période du 1er mai 2007 au 31 mai 2008 (décision du 22 août 2017). Pour se conformer aux injonctions des premiers juges, il a retenu sur la base des rapports médicaux disponibles et des informations économiques recueillies que l'assuré avait été totalement entravé dans l'exercice de ses activités habituelles depuis le 4 mai 2006 mais avait recouvré une pleine capacité de travail dans une activité adaptée dès le 12 février 2008. Concernant la part "travaux manuels" (évaluée à 40 %), il a considéré que l'intéressé restait dès cette dernière date parfaitement en mesure d'assumer la part des tâches légères (évaluée à 10 %) mais plus la part des tâches lourdes (évaluée à 30 %). Toutes autres considérations demeurant par ailleurs inchangées par rapport à ses précédentes décisions, il a évalué le taux d'invalidité après la réorganisation du travail à 25 %.