Citation: 2D_23/2020 E. B

B.a. Mit Verfügungen vom 22. Dezember 2019 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: das kantonale Migrationsamt) B.A.________ und A.A.________ aus der Schweiz weg und ordnete an, dass sie die Schweiz bis zum 23. Dezember 2019, 24.00 Uhr, zu verlassen hätten. Zwecks Nachweises der Ausreise erhielten B.A.________ und A.A.________ eine Ausreisemeldekarte zur Abgabe an einem schweizerischen Grenzwachposten oder der nächsten schweizerischen Botschaft. Das Zollamt Basel West Lysbüchel bestätigte ihre Ausreise mit Stempel vom 23. Dezember 2019. B.b. Am 24. Dezember 2019 verfügte das SEM gegen B.A.________ und A.A.________ Einreiseverbote für die Zeit ab 24. Dezember 2019 bis zum 23. Dezember 2022. Diese Einreiseverbote sind unangefochten in Rechtskraft erwachsen. B.c. Am 8. Januar 2020 stellten B.A.________ und A.A.________ beim Migrationsdienst des Kantons Bern ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zur Stellensuche sowie - nach Einreichung der Arbeitsverträge - einer Arbeits- und Aufenthaltsbewilligung. B.d. Mit Eingabe vom 10. Januar 2020 gelangten B.A.________ und A.A.________ gegen die Wegweisungsverfügungen vom 22. Dezember 2019 (vgl. Bst. B.a hiervor) mit Verwaltungsbeschwerde an das kantonale Migrationsamt. Gleichzeitig "deponierten sie das im Kanton Bern gestellte Gesuch mit den entsprechenden Anträgen auch im Kanton Luzern". Am 16. Januar 2020 beantragten sie zudem beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (JSD) die Erteilung der aufschiebenden Wirkung, die Wiederherstellung der Beschwerdefrist, die Aufhebung der Wegweisungsverfügungen vom 22. Dezember 2019, eventualiter die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen und subeventualiter die Feststellung ihrer Berechtigung, in der Schweiz Arbeit zu suchen und eine Arbeitsstelle anzunehmen. Gleichzeitig ersuchten sie um unentgeltliche Rechtspflege. B.e. Mit Entscheid vom 19. Februar 2020 verweigerte das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern die Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist und trat auf die Verwaltungsbeschwerde nicht ein. Auf das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung trat es ebenfalls nicht ein. Unter Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege überband es B.A.________ und A.A.________ die Verfahrenskosten. B.f. Gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern vom 19. Februar 2020 gelangten B.A.________ und A.A.________ mit folgenden Anträgen an das Kantonsgericht Luzern: "1. Der Beschwerde sei unverzüglich die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu erteilen, dass sich die Beschwerdeführer weiterhin in der Schweiz aufhalten, hier Arbeit suchen und eine Arbeitsstelle antreten können. Eventualiter sei unverzüglich eine entsprechende vorsorgliche Massnahme zu treffen.