Citation: 1C_606/2020 E. B

A.________ und B.________ gelangen mit Eingabe vom 27. Oktober 2020 an das Bundesgericht und beantragen sinngemäss die Aufhebung des appellationsgerichtlichen Urteils. Das Appellationsgericht beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung und gestützt auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerde. Das Bau- und Gastgewerbeinspektorat verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Die in der Zwischenzeit anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer halten im Rahmen ihrer Stellungnahme an ihrer Beschwerde fest. Die Beschwerdegegnerin verzichtet auf eine weitere Stellungnahme.