Citation: 4A_20/2022 E. A

A.a. Die B.________ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist eine Gesellschaft mit Sitz in U.________. Die C.________ ist ein im Januar 2018 gegründetes Unternehmen nach dem Recht von V.________ mit Sitz in W.________ und - nach Angaben der Klägerin - die Rechtsnachfolgerin des D.________s, ein (ehemals) ebenfalls nach dem Recht von V.________ konstituiertes Unternehmen. A.________ (Beschwerdeführer) ist Staatsangehöriger von V.________. Er war Eigentümer des D.________s und ist nun alleiniger Anteilsinhaber der C.________. A.b. Am 4. März 2010 schloss das D.________ mit E.________ einen Managementvertrag ab. Am 23. November 2012 wurde ein Vertrag "X.1________" abgeschlossen. Der Vertrag betraf ein Rüstungsgeschäft im Gegenwert von rund EUR 320 Mio. über die Bewaffnung von Fregatten für die Armee von Y.________. Beteiligt waren unter anderem die Klägerin als Verkäuferin sowie das D.________ respektive E.________. In der Folge soll E.________ - so der Vorwurf von A.________ - Gelder veruntreut haben und "verschwunden" sein. A.c. Am 18. Januar 2018 wurde ein Vertrag "X.2________" abgeschlossen, am 5. April 2018 (ergänzt am 7. Mai 2018) sodann ein "X.3________"; ausweislich des Vertragswortlauts jeweils zwischen der Klägerin und dem D.________. A.d. Die genannten Verträge (X.1________, X.2________ und X.3________) enthielten Schiedsklauseln. Es ist umstritten, wer im Einzelnen Partei dieser Verträge und daraus haftbar ist. Fest steht, dass F.________ das X.2________ sowie das X.3________ unterzeichnet hat und er gestützt auf eine von A.________ ausgestellte Vollmacht vom 4. Januar 2018 berechtigt war, für das D.________ zu handeln.