Citation: 4A_179/2024 E. A

A.a. La société C.________ SA (ci-après: C.________), dont le siège est à U.________, est propriétaire des deux biens-fonds sur lesquels se trouve l'hôtel du même nom et a pour but l'exploitation de cet hôtel. Son capital-actions est composé de 2'400 actions nominatives (complètement selon l'art. 105 al. 2 LTF). La titularité de ce capital-actions est litigieuse. A.b. Le 19 octobre 2021, la société B.________ Ltd (ci-après: la société B.________ ou la requérante ou l'intimée), dont le siège est à V.________, a acquis l'ensemble du capital-actions des mains de D.________. Cette société est elle-même détenue à raison de 70 % par Mme E.________ et de 30 % par M. F.________. Ce dernier en est le président du conseil d'administration et le directeur. Par Appointment letter du 1er octobre 2021, la société B.________, représentée par F.________, a donné procuration à A.________ pour la représenter et signer les documents dans toutes les affaires de la société C.________. Puis, en novembre 2021, la société B.________, représentée par le directeur F.________ et par l'actionnaire E.________, l'a désigné comme directeur exécutif pour gérer les opérations de la société C.________, avec signature individuelle, lui confiant la responsabilité du management et du développement de l'hôtel. Celui-ci a été inscrit au registre du commerce comme administrateur président de C.________, avec signature individuelle le 2 décembre 2021, puis comme administrateur, toujours avec signature individuelle, le 28 décembre 2022. A.c. A.________ (ci-après: le représentant ou le défendeur ou le recourant) allègue que, par contrat du 20 mai 2022, il aurait vendu, en vertu des pouvoirs que lui conférerait l' Appointment letter du 1er octobre 2021, les actions C.________ appartenant à la société B.________, à la société G.________ SA (ci-après: G.________). Parallèlement, E.________ aurait accordé un prêt à l'épouse du représentant et, pour rembourser ce prêt, celle-ci aurait cédé à E.________ ses actions de G.________; puis, 8 jours après, faute d'approbation de cette cession par G.________, l'épouse du représentant, qui serait donc demeurée propriétaire des actions, aurait ainsi pu les céder au représentant. La validité et l'authenticité de cette vente du 20 mai 2022 à G.________, respectivement, la cession des actions au représentant, sont contestées par la société B.________. A.d. A la suite d'une dénonciation du Bureau de communication en matière de blanchiment (MROS) du 21 juillet 2022, une procédure pénale a été ouverte contre le représentant dans le canton de Fribourg; il lui est reproché d'avoir réceptionné des fonds, notamment des versements effectués par la société B.________ sur le compte de C.________, opéré de multiples transferts de ces fonds, investi ceux-ci dans des produits dérivés à effet de levier et perdu les montants investis pour un montant évalué à 2,9 millions de francs. Apparemment, une autre procédure pénale est ouverte contre lui à U.________ pour blanchiment d'argent. Le 31 janvier 2023, une nouvelle personne a été inscrite en qualité de directeur de C.________. Le représentant a été licencié par E.________ le 15 avril 2023 et ses pouvoirs ont été radiés au registre du commerce le 24 avril 2023. À la même date, H.________ a été inscrite en tant que nouvelle administratrice de C.________, avec signature individuelle. A.e. Le registre du commerce a reçu l'ordre d'annuler la mutation attribuant les pouvoirs d'administratrice de C.________ à H.________ et de réintégrer le représentant comme seul administrateur et l'interdiction de procéder à toute mutation requise par la société B.________ par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 27 avril 2023 du Tribunal de l'arrondissement de Lausanne, qui avait été saisi par le représentant. Par une seconde ordonnance du 25 avril 2023, ledit Tribunal a interdit à E.________ et à son mari l'accès à l'hôtel, leur a interdit de contacter les médias et des tiers et de se prévaloir indûment de la propriété ou de tout titre et fonction de l'hôtel et de la société qui le détient. Ces ordonnances seront révoquées par décision - non motivée - de mesures provisionnelles du Tribunal d'arrondissement de Lausanne du 18 août 2023. Par décision motivée ultérieure, le Tribunal considérera qu'il n'est pas en mesure de déterminer qui est le légitime propriétaire des actions C.________. A.f. Dans l'intervalle, une première requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles avait été introduite par E.________ et H.________ le 8 mai 2023 devant le Juge civil du Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers. Le juge civil a pris différentes mesures superprovisionnelles, puis provisionnelles pour protéger les actifs de C.________, la requête étant déclarée irrecevable en tant qu'elle était formée par H.________. Les mesures ont été annulées par arrêt du 25 septembre 2023 de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, laquelle a dénié à E.________ la qualité pour agir tant à titre personnel qu'en vertu du principe de la transparence, au nom de la société B.________.