Citation: 4D_59/2017 E. A

A.a. La société B.________ SA est propriétaire de deux parcelles attenantes situées dans la commune de... (VD); l'une comprend un garage et l'autre une habitation. Une régie immobilière a estimé la valeur vénale de ce dernier bien-fonds à 7,5 millions de francs en date du 31 mai 2012. L'agence X.________ a établi le descriptif suivant: «Splendide demeure de 11 pièces, distribuée sur trois niveaux avec un magnifique escalier central en bois massif, comprenant 7 chambres à coucher et 7 salles d'eau. Grands espaces de vie avec volumes généreux. Belles finitions et soin des détails. Les hauts plafonds, les boiseries ainsi que les parquets confèrent à cette propriété beaucoup de cachet. Terrasse couverte avec accès au jardin. Un sauna ainsi qu'une salle de jeux et un home cinéma complètent ce bien. A noter encore un garage pour deux véhicules et de nombreuses places de parc. D'importants travaux de rénovation ont été entrepris en 2006. En résumé, une résidence spacieuse dans un bel écrin de verdure.» A.b. La propriétaire a cédé l'usage de cette maison à deux locataires par contrat de bail prenant effet le 1 er janvier 2011, pour un loyer mensuel de 15'000 fr., charges comprises. Au chapitre de la description de l'objet loué, le contrat indiquait ce qui suit: «Propriété de 10 pièces sur 3 niveaux, et places de parc extérieures pour 2 véhicules. Destination des locaux: Habitation et cabinet médical. Locaux ou dépendances mis à disposition à titre gratuit et à bien plaire.» L'art. 11 des «Conditions particulières» énonçait ce qui suit: «La villa faisant l'objet du présent bail est louée à titre principal comme logement et à titre secondaire comme cabinet médical. Un changement d'affectation est nécessaire pour l'exploitation d'une partie de la villa en cabinet médical. Une demande est actuellement en cours auprès des autorités. Il incombe aux locataires le soin d'obtenir sous leur seule responsabilité toutes les autorisations administratives nécessaires à l'exploitation des locaux, y compris le changement d'affectation.» A.c. Les locataires ont cessé de payer le loyer dès le mois de février 2012. Après les avoir vainement mis en demeure de payer les loyers de février (15'000 fr.) et mars (10'000 fr., selon accord), la propriétaire a résilié le bail en vertu de l'art. 257d CO pour le 31 mai 2012. Le 8 mai 2012, les locataires ont saisi l'autorité de conciliation d'une requête visant à faire annuler le congé, constater la nullité du loyer et fixer le loyer à un montant de 10'000 fr. au maximum. Les locataires arguaient du fait que le contrat de bail ne leur avait pas été notifié sur formule officielle. A.d. Le 4 juin 2012, la propriétaire (ci-après: la cliente) s'est adressée à l'avocat A.________ pour obtenir l'expulsion des locataires dans les plus brefs délais. Sur son site Internet, cet avocat indique que le droit du bail fait partie de ses domaines de prédilection. Le 5 juin 2012, l'avocat a annoncé son mandat à l'autorité de conciliation saisie par les locataires. Le 8 juin 2012, il a saisi le juge de paix d'une requête en expulsion des locataires selon la procédure prévue pour les cas clairs (art. 257 CPC). Il en a avisé l'autorité de conciliation, qui a suspendu la procédure en annulation du congé. Par décision du 23 août 2012, le juge de paix a déclaré irrecevable la requête en protection d'un cas clair. Il a considéré que les arguments invoqués par les locataires à l'appui de leur demande en annulation de congé paraissaient prima facie pertinents et méritaient un examen plus important, de sorte que la situation juridique n'était pas claire. L'avocat a exposé à sa cliente que cette décision lui paraissait juridiquement infondée dans la mesure où le défaut de paiement était incontestable. Il a fait appel de cette décision. Par arrêt du 21 novembre 2012, le Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel en faisant valoir que les motifs invoqués par les locataires à l'appui de leur requête, notamment celui afférent au vice de forme du loyer initial, n'apparaissaient pas dénués de consistance. A.e. L'avocat, toujours pour le compte de sa cliente, a fait notifier des poursuites à l'encontre des locataires puis, après l'opposition soulevée par ceux-ci, a formé une requête de mainlevée provisoire. Il a envoyé son avocate-stagiaire, Me Y.________, à l'audience de mainlevée. Le procès-verbal d'audience précise ce qui suit: «A la question de savoir si la villa louée par la partie poursuivie est considérée comme un logement de luxe par la partie poursuivante, Me Y.________ répond par la négative, estimant qu'il s'agit d'une villa ordinaire.» A.f. La cliente a résilié le mandat la liant à l'avocat A.________, qui lui a facturé 8'323 fr. 25 d'honoraires. Elle a confié ses intérêts à un agent d'affaires breveté. L'agent d'affaires a notifié une nouvelle résiliation de bail pour le 31 mai 2013. Dans le cadre de la procédure de conciliation initiée par les locataires, il a allégué le caractère luxueux de la maison louée. Les locataires n'ont pas porté l'action devant le Tribunal des baux. L'agent d'affaires a en outre déposé une nouvelle requête d'expulsion selon la procédure des cas clairs. Par ordonnance du 21 août 2013, le juge de paix y a fait droit en ordonnant aux locataires de quitter les locaux le 30 septembre 2013, ce qu'ils ont fait. L'agent d'affaires a également intenté de nouvelles poursuites contre les locataires et a obtenu la mainlevée provisoire de leur opposition.