Citation: 5A_17/2014 E. A

A.a. A.________ SA (ci-après: A.________), avec siège à X.________, exploite une banque. Par contrat de fusion du 3 mai 2010, elle a repris les actifs et les passifs de S.________ SA (ci-après: S.________), qui exploitait également une banque. T.________ Ltd est une société incorporée selon le droit des Iles Vierges britanniques. B.Y.________ et son frère U.Y.________ apparaissent, en tant que créanciers de cette société, à son bilan au 31 octobre 2009. A.b. B.Y.________ et V.________, tous deux autorisés à représenter individuellement T.________ Ltd, ont ouvert un compte auprès de S.________ au nom de cette société le 22 avril 2006. B.Y.________, de même que, par la suite, son frère, ont été désignés comme ayants droit économiques du compte. Le 25 septembre 2007, S.________ a mis à disposition de T.________ Ltd une facilité de crédit de 35'000'000 euros pour une durée indéterminée, à condition et sous réserve de modification et/ou résiliation immédiate par la banque en tout temps. Le but du crédit était l'acquisition de titres de première qualité. Ce crédit a été augmenté à plusieurs reprises, pour atteindre en dernier lieu 143'000'000 euros. Au moyen du crédit, T.________ Ltd a acquis des actions S.________ Holding. A.c. A.c.a. Par courrier du 21 juillet 2008, B.Y.________ s'est plaint auprès de S.________ de la mauvaise évolution de la valeur du titre de la banque. A.c.b. Le 20 octobre 2008, une rencontre a eu lieu en présence des représentants de S.________, de B.Y.________ et de son conseil, ainsi que de V.________, en vue de discuter des modalités de la restructuration du crédit, en particulier de celles se rapportant à l'engagement personnel de B.Y.________. A.c.c. Par courrier du 21 octobre 2008, à la suite de cette rencontre, S.________ a transmis à B.Y.________ une " proposition indicative " au sujet du contenu du nouveau contrat de crédit et lui a demandé de lui confirmer que cette proposition était bien conforme à leurs discussions afin qu'elle puisse être soumise au comité des crédits central de la banque. La proposition contenait notamment une " clause de soutien " qui stipulait que, comme pour les contrats de crédits précédents conclus avec T.________ Ltd, S.________ demanderait à B.Y.________ une "lettre d'intention " mentionnant que celui-ci s'engageait à répondre aux appels de marge que la banque pourrait faire si la valeur du portefeuille d'actions mis en nantissement descendait au-dessous de 62'000'000 euros. Le même jour, le comité des crédits central a accepté que S.________ conclût un nouveau contrat avec T.________ Ltd moyennant fourniture de certaines garanties. A.c.d. Le 22 octobre 2008, S.________ a soumis à T.________ Ltd un projet de contrat portant sur l'annulation et le remplacement du contrat de crédit du 15 août 2008 par une facilité de crédit de 87'000'000 euros. La limite de crédit devait être mise à disposition de T.________ Ltd pour une durée de trois ans, moyennant un versement de 75'000'000 euros dans les livres de la banque en faveur de cette société. L'art. 7 de ce projet prévoyait les sûretés à fournir à la banque, dont un cautionnement solidaire et personnel de B.Y.________ de 25 millions d'euros et une lettre d'intention signée par celui-ci. L'art. 9 de ce projet contenait une clause relative à l'appel de marge à l'échéance du contrat de crédit. Après discussions, ce projet a été partiellement remanié. A.c.e. Le contrat a été signé le même jour, soit le 22 octobre 2008, par deux représentants de S.________ ainsi que par V.________ pour T.________ Ltd. Il est soumis au droit suisse et prévoit la compétence des tribunaux genevois pour statuer sur tout litige. Il est incontesté qu'il s'agit d'un contrat de crédit lombard. A.c.f. Le 22 octobre 2008 toujours, la banque a préparé et adressé à B.Y.________ un courrier à signer par celui-ci (" lettre d'intention "), aux termes duquel il confirmait que, dans le cadre de la mise à disposition d'une limite de crédit de 87'000'000 euros en faveur de T.________ Ltd, il maintiendrait sa participation, directe ou indirecte, dans cette société, durant toute la validité du contrat de crédit et aussi longtemps que celle-ci maintiendrait des positions débitrices sur ses comptes auprès de S.________. B.Y.________ s'engageait par ailleurs à répondre aux appels de marge de S.________ pour permettre de reconstituer la valeur initiale du portefeuille des actions S.________ Holding et Z.________ de 62'000'000 euros, mises en nantissement dans le cadre du contrat de crédit du 22 octobre 2008, si cette valeur n'atteignait plus ledit montant à l'échéance du contrat de crédit en octobre 2011. B.Y.________ n'a pas signé ce courrier. En revanche, il a signé le 24 octobre 2008 un acte par lequel il s'est porté caution solidaire envers S.________, indépendamment de tous autres cautionnements existants ou futurs, pour le remboursement de toutes créances, résultant du crédit accordé par la banque en date du 15 août 2008 à T.________ Ltd, que la banque possédait ou posséderait, du chef des contrats déjà conclus avec la banque, ou qui viendraient à l'être ultérieurement dans le cadre des relations d'affaires déjà existantes, jusqu'à concurrence de 25'000'000 euros. A.d. Le 12 octobre 2011, A.________ a rappelé à B.Y.________ l'échéance du prêt au 22 octobre 2011, l'informant que, dans l'hypothèse où T.________ Ltd ferait défaut à son obligation de restituer le capital emprunté et/ou les intérêts encourus, elle se réservait le droit de faire valoir ses prétentions en garantie à son encontre, notamment sur la base des engagements pris à titre personnel, soit la lettre d'intention du 22 octobre 2008 et l'acte de cautionnement du 24 octobre 2008. Par courrier du 25 octobre 2011, A.________ a sommé T.________ Ltd de lui payer le montant de 86'602'981 euros le 27 octobre 2011 au plus tard. T.________ Ltd ne s'est pas exécutée et A.________ a indiqué avoir procédé à la vente de la majeure partie des actifs nantis en faveur du crédit du 22 octobre 2008, ramenant ainsi sa créance à 68'949'284 euros.