Citation: 9C_337/2014 E. C

Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Luzern, der Entscheid vom 14. März 2014 sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung zurückzuweisen. A.________ ersucht um Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) um deren Gutheissung. Das Kantonsgericht äussert sich zur Sache, ohne einen Antrag zu stellen. A.________ hat sich im Rahmen des Replikrechts zu den Eingaben des kantonalen Gerichts und des BSV geäussert.