Citation: 9C_148/2019 E. A

A.a. A.________, né en 1955, a travaillé en tant que facteur depuis 1972. En raison d'une incapacité de gain temporaire liée à un arrêt de travail à partir du 21 août 2006, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) lui a reconnu le droit à une rente entière d'invalidité du 1er août au 30 septembre 2007 (décision du 14 novembre 2008). Par la suite, les rapports de travail ont pris fin le 31 janvier 2009 et l'assuré s'est annoncé à l'assurance-chômage. En raison d'une incapacité totale de travailler dès le 9 mars 2010, A.________ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité en janvier 2011. Entre autres mesures d'instruction, l'office AI a soumis l'assuré à un examen clinique orthopédique et psychiatrique auprès de son Service médical régional (SMR; rapport du docteur B.________, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, et de la doctoresse C.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 11 mars 2014). Les médecins ont conclu à une capacité de travail nulle dans l'activité habituelle de facteur depuis le 21 août 2006, mais entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles somatiques dès le 1er octobre 2007, hormis durant la période du 22 juin au 31 décembre 2012 où aucune activité n'était exigible de la part de l'assuré, en raison de la pose d'une prothèse totale du genou gauche effectuée en juin 2012; sur le plan psychiatrique, la capacité de travail était entière tant dans l'activité habituelle que dans une activité adaptée depuis le 31 janvier 2009. Par décision du 14 juillet 2014, l'office AI a rejeté la demande de prestations. A.b. Saisi d'un recours de l'assuré, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a partiellement admis (jugement du 17 juillet 2015). Il a partiellement annulé la décision administrative au sens des considérants (renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction quant à la capacité de travail de A.________ sur le plan somatique durant la période du 1er octobre 2007 au 21 juin 2012, puis nouvelle décision). Il a également constaté que l'assuré n'avait en tout état de cause pas droit à une rente de l'assurance-invalidité postérieurement au 31 décembre 2012. Le Tribunal fédéral n'est pas entré en matière sur le recours formé par l'assuré contre ce jugement (arrêt 9C_566/2015 du 2 septembre 2015). A.c. En exécution du jugement cantonal, l'office AI a requis des renseignements auprès du SMR (rapport du docteur D.________ du 6 août 2015), tandis que l'assuré lui a fait parvenir des rapports médicaux, dont une expertise du docteur E.________, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 27 mars 2018. L'expert a diagnostiqué un trouble neurocognitif léger (F06.7), qui était vraisemblablement complètement invalidant depuis le début de l'année 2014; pour la période antérieure, il était aussi vraisemblable que les premières manifestations du trouble avaient interféré avec la capacité de l'assuré à faire face au défi que représentait un processus de réintégration professionnelle au moment où il n'avait plus été en mesure de travailler comme facteur pour des raisons somatiques. Après avoir sollicité l'avis du docteur D.________, selon lequel une incapacité totale de travail dans toute activité ne pouvait être prise en considération qu'à partir de juin 2016 (avis du SMR du 13 avril 2018), l'administration a reconnu le droit de A.________ à une rente entière d'invalidité dès le 1er juin 2017 (décision du 24 juillet 2018).