Citation: 9C_344/2016 E. A

A.a. A.________ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 19 septembre 2006; elle indiquait avoir en dernier lieu travaillé en qualité d'ouvrière pour le compte d'une société horlogère et ne plus pouvoir assumer son métier depuis le 9 novembre 2005 en raison de problèmes psychiques. Interrogés par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI), les médecins traitants ont considéré que l'assurée ne pouvait plus exercer aucune activité lucrative depuis le 9 novembre 2005 ou le 19 décembre 2005, dès lors qu'elle souffrait des suites d'un état dépressif sévère, de lombo-sciatalgies, de cervicalgies, céphalées et vertiges, survenus après un accident de voiture, d'une gastropathie, d'une tachycardie et de somatisations multiples (rapports des docteurs B.________ et C.________, spécialiste en psychiatrie, des 7 mars et 26 avril 2007 ainsi que 2 janvier 2008). Sur cette base, l'office AI a reconnu le droit de l'intéressée à une rente entière d'invalidité à partir du mois de novembre 2006 (décisions des 4 juin et 17 juillet 2008). A.b. Au terme de la première procédure de révision initiée le 31 janvier 2012, se fondant sur les renseignements communiqués par les derniers médecins consultés par A.________ (rapports des docteurs D.________, spécialiste en médecine interne générale ainsi que psychosomatique et psychosociale, et C.________ des 5 avril 2012 et 1er juin 2012, l'administration a confirmé le droit à la rente entière (communication du 10 décembre 2012). A.c. Consécutivement à une dénonciation anonyme, l'office AI a entrepris une seconde procédure de révision en date du 18 février 2013. Il a à nouveau sollicité les médecins traitants, qui ont corroboré leurs dernières appréciations (rapports des 9 mars et 31 mai 2013). Il a en outre confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur E.________, qui a fait état de différentes affections (dysthymie, syndrome douloureux somatoforme persistant, accentuation de traits de personnalité hystériformes, majoration de symptômes physiques ou psychiques pour des raisons psychologiques) sans répercussion sur la capacité de travail (rapport du 11 février 2014). L'administration a avisé l'assurée que, vu l'expertise psychiatrique, elle allait supprimer la rente entière versée jusque-là (projet de décision du 28 juillet 2014). Ni les observations et objections formulées par l'intéressée ni les informations transmises par le Centre F.________, qui avait fait état d'une dysthymie et d'une personnalité anxieuse entravant la pratique de toutes activités (rapport du 12 décembre 2014), n'ont modifié le point de vue de l'office AI. Celui-ci a entériné la suppression des prestations, avec effet au 1er juin 2015 (décision du 16 avril 2015).