Citation: 4A_407/2017 E. 1

A.c. Un nouvel arbitre unique, en la personne de l'actuel bâtonnier de l'Ordre des avocats genevois, Me C.________, donnant suite à une requête d'arbitrage déposée le 12 février 2016 par Z.________, a repris l'instruction de la cause arbitrale au début avril 2016, après que le bâtonnier en fonction, Me D.________, eut indiqué au requérant qu'il ne souhaitait pas être désigné en qualité d'arbitre unique car il arrivait au terme de son bâtonnat. Par lettre du 23 août 2016, X.________, se référant à l'arrêt rendu le 16 mars 2016 par la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral dans la cause 4A_628/2015 (ATF 142 III 296), a invité l'arbitre à déclarer irrecevable, sans autre forme de procès, la requête d'arbitrage introduite par son confrère ou, subsidiairement, à suspendre la procédure, avec effet au jour du dépôt de ladite requête, et à fixer aux parties un délai pour procéder à la médiation réservée dans la clause arbitrale. Il lui a également fait part de son intention de requérir sa récusation. Le 26 août 2016, Me C.________ a adressé aux parties une lettre dans laquelle il a tout d'abord traité la question de l'organisation d'une conférence téléphonique (ch. I). Relativement à la "validité des actes précédents", l'arbitre a expliqué ensuite qu'il ne considérait pas a priori les actes de son prédécesseur comme nuls et sans effet, tout en admettant la nécessité d'adapter l'ordonnance n° 1 rendue par ce dernier; il a indiqué, au demeurant, qu'il allait de soi que, si les parties s'entendaient pour considérer que certains actes devaient être réitérés, ceux-ci le seraient et a souligné que cette question faisait partie des objets à discuter lors de la conférence téléphonique organisationnelle (ch. II). Sous le titre "Compétence ratione temporis ", l'arbitre unique a exposé ensuite que, d'après lui, la conséquence de la violation de l'obligation d'une médiation préalable, telle qu'elle ressort de l'arrêt précité du Tribunal fédéral, n'est pas l'irrecevabilité de la demande, mais la suspension de la procédure arbitrale et la fixation par l'arbitre d'un délai aux parties pour entreprendre la médiation; il a fait état, ensuite, de la décision prise par son prédécesseur le 20 août 2015 relativement à l'exception de médiation, en précisant que, à ses yeux, l'arrêt en question n'était apparemment pas de nature à remettre en cause le rejet de cette exception. Cependant, le bâtonnier a derechef réservé un accord des parties pour initier, à ce stade, une médiation, auquel cas il suspendrait la procédure arbitrale et impartirait aux deux avocats un délai pour entreprendre cette démarche. Il leur a du reste suggéré d'en discuter lors de la conférence téléphonique à venir (ch. III). L'arbitre unique a encore soulevé la question du type de procédure à adopter (ch. IV) et celle de l'avance de frais destinée à garantir le paiement de ses honoraires, en confirmant le montant de l'avance fixé par lui dans un précédent courrier (ch. V). "Finalement", a-t-il ajouté, "toutes les questions ou remarques supplémentaires seront traitées lors de la conférence téléphonique à fixer, laquelle a justement pour but de déterminer tous les aspects de la procédure à établir". Dans une lettre du 30 août 2016, X.________ a indiqué à l'arbitre unique qu'il considérait sa lettre du 26 août 2016 comme une sentence incidente et qu'il attaquerait celle-ci devant le Tribunal fédéral. Il lui a, en outre, fait part de son intention de lui adresser une requête de récusation - ce qu'il a fait le 12 septembre 2016 -et de saisir parallèlement le Tribunal d'une requête de destitution. A.d. Le 28 septembre 2016, X.________ a formé un recours en matière civile, assorti d'une requête d'effet suspensif, en tête duquel il demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler "la sentence incidente du 26 août 2016" et, subsidiairement, de prononcer en sus "soit la récusation de l'arbitre (art. 393 let. a CPC) soit [...] l'incompétence de l'arbitre (art. 393 let. b CPC),..." (cause 4A_555/2016). L'intimé Z.________ et l'arbitre unique n'ont pas été invités à déposer une réponse. Le 30 septembre 2016, l'arbitre unique a adressé aux parties, avec copie au Tribunal fédéral, une lettre contenant notamment le passage suivant: "Mes chers Confrères, Je fais suite à notre discussion de ce jour et, conformément à notre souhait partagé, je vous informe que je renonce avec effet immédiat à agir en qualité d'arbitre dans la présente procédure. " Par arrêt du 10 octobre 2016, la présidente de la Ire Cour de droit civil, appliquant la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 LTF, n'est pas entrée en matière sur le recours, la lettre que l'arbitre avait adressée aux parties le 26 août 2016 ne constituant pas une sentence attaquable. Elle a, en outre, constaté que le recours était devenu sans objet, à la suite de la démission de Me C.________ deux jours après son dépôt, dans la mesure où il visait à faire constater la désignation irrégulière de cet arbitre.