Citation: 4A_84/2021 E. A

A.a. Viktor Vekselberg (Kläger, Beschwerdeführer) ist russischer Staatsbürger mit Wohnsitz in der Schweiz. Er ist insbesondere im Energiesektor tätig. Zudem hält er zahlreiche Beteiligungen, unter anderem an den börsenkotierten Grossunternehmungen OC Oerlikon und der Sulzer AG. Er ist auch Gründer der russischen Renova Group, die eine Vielzahl von Beteiligungen in verschiedenen Wirtschaftssektoren hält. Die PostFinance AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Bern. Sie wurde gestützt auf Art. 14 des Bundesgesetzes über die Organisation der Schweizerischen Post vom 17. Dezember 2010 (Postorganisationsgesetz, POG; SR 783.1) von der Schweizerischen Post AG ausgegliedert. Gemäss Art. 2 Abs. 2 der Postverordnung vom 29. August 2012 (VPG; SR 783.01) erfüllt sie die Pflicht der Post zur Grundversorgung sämtlicher Landesteile mit Dienstleistungen des Zahlungsverkehrs (vgl. auch Art. 1 und Art. 32 des Postgesetzes [PG; SR 783.0] sowie Art. 43 ff. VPG). Den Zahlungsverkehr mit Bezug zum Ausland wickelt sie mittels Korrespondenzbanken ab, mit welchen sie entsprechende Vertragsbeziehungen unterhält. Sie verfügt bei diesen Banken über Nostrokonten. A.b. Im April 2018 wurde der Kläger (wie auch die Renova Group) vom " US Office of Foreign Assets Control " (OFAC) im Rahmen der erweiterten Sanktionen gegen Russland als " Specially Designated National and Blocked Person " (SDN) gelistet. Die Sanktionen, welche die gelisteten Personen betreffen, sind im " Ukraine Freedom Support Act " (UFSA), im " Countering America's Adversaries Through Sanctions Act " (CAATSA) und ergänzenden Richtlinien festgehalten. Mittels dieser Richtlinien wird es " U.S. Persons " unter anderem verboten, Transaktionen mit SDN und mit von SDN zu mehr als 50 % kontrollierten Gesellschaften zu tätigen. Sodann sind auch sogenannte " Sekundärsanktionen " vorgesehen. A.c. Der Kläger sandte der Beklagten am 2. Oktober 2018 eine Anfrage zur Eröffnung je eines Privatkontos in Schweizer Franken und in Euro. Nach einzelnen Rückfragen teilte die Beklagte dem Kläger am 29. November 2018 schriftlich die Eröffnung des Kontos xxx in Schweizer Franken und des Kontos yyy in Euro mit. Am 3. Dezember 2018 liess sie ihm für diese Konten je eine PostFinance-Karte zukommen. Mit Schreiben vom 4. Dezember 2018 teilte die Beklagte dem Kläger schliesslich die Beendigung der Geschäftsbeziehung in Bezug auf beide Konten mit. Zur Begründung führte sie aus: "An analysis of your customer file has revealed that our strategy does not match your profile and/or that we are not in a position to comply with our due diligence requirements".