Citation: 4D_85/2009 09.09.2009 E. C

X.________ (le recourant) exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, dans lequel il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 23 avril 2009 et à la réduction du montant des honoraires et débours d'avocat mis à sa charge dans une mesure appropriée ("angemessen herabzusetzen"), subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, avec suite de frais et dépens. Y.________ SA (l'intimée) propose principalement l'irrecevabilité, subsidiairement le rejet du recours, sous suite de frais et dépens.