Citation: 5A_303/2021 E. 7

Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, den vorinstanzlichen Kostenschluss zu ändern, der nicht unabhängig vom Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens angefochten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigung ist keine zu sprechen, weil der obsiegenden Beschwerdegegnerin, die auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet hat und die in der Sache nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde (vgl. vorne Bst. C), keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).