Citation: 5A_1047/2021 E. A

A.a. Le 25 novembre 2016, E.________ SA (précédemment: A.________ SA) et A.________ ont ouvert action contre la Société suisse de radiodiffusion et télévision (ci-après SSR) et B.________ devant la juge du district de Sion (ci-après: la juge de district). Ils ont conclu notamment à ce qu'il soit constaté qu'entre décembre 2013 et janvier 2015, les défendeurs ont violé leur droit à la personnalité, subsidiairement la loi sur la concurrence déloyale, par la publication de divers articles sur le site internet de la Radio Télévision Suisse (RTS) et la diffusion d'une émission télévisée, et à ce qu'ils soient condamnés à leur verser un montant provisoirement arrêté à 15'000'000 fr. à titre de dommages-intérêts et une somme de 50'000 fr. à titre de tort moral. Les éléments révélés au public portaient notamment sur de prétendus actes de coupage de vin excessif effectués par l'entreprise de A.________. A.b. Le 25 novembre 2020, le Tribunal fédéral a rendu un arrêt concernant une procédure pénale dirigée contre A.________ et menée par le Ministère public du canton du Valais. Cet arrêt portait sur la levée de scellés (arrêt rendu dans les causes 1B_108/2020 et 1B_110/2020). Il en ressort notamment que la procédure concernée a été initiée en 2015 (MPG 15 1292); que des perquisitions ont été ordonnées en novembre et décembre 2017 et que les objets saisis ont rempli 50 cartons de déménagement (contenant au total 360 classeurs remplis de documents); qu'en 2019, la procédure a fait l'objet d'une disjonction, les faits antérieurs à 2010 continuant à relever de la cause MPG 15 1292, les faits postérieurs étant traités sous le numéro MPG 19 733; que, par ordonnance du 20 avril 2020, le Ministère public valaisan a ordonné le " classement de la procédure pénale concernant les faits antérieurs à 2010 (MPG 15 1292) ".