Citation: 4A_578/2018 E. A

A.a. A.________, né en 1961 et titulaire d'une licence en chimie délivrée par l'Université de Genève, a travaillé dès septembre 1989 au service de la société genevoise... SA, dans laquelle il a atteint le poste de directeur exécutif, puis de directeur général. Comme l'ensemble du personnel, il était couvert par l'assurance collective d'indemnités journalières en cas de maladie que son employeuse avait souscrite auprès de la compagnie Z.________ SA. La police d'assurance prévoyait le versement d'indemnités pendant 730 jours, après un délai d'attente de 60 jours. L'indemnité équivalait à 80% du salaire assuré, plafonné à 250'000 fr. par an. Les conditions générales d'assurance (CGA) excluaient tout versement en cas d'incapacité de travail inférieure à 25%. A.b. Le 21 avril 2016, l'employeuse a licencié le prénommé pour le 31 juillet 2016 en le libérant immédiatement de son obligation de travailler. En juin 2016, l'employé congédié (ci-après: l'assuré) a annoncé un cas de maladie à la compagnie d'assurances précitée en lui transmettant deux certificats établis par son médecin traitant, le docteur M.________, spécialiste FMH en cardiologie et médecine interne. Ce dernier attestait d'une incapacité de travail totale à compter du 25 mai 2016. Après l'écoulement du délai d'attente, la compagnie d'assurances a versé à l'assuré dès le 24 juillet 2016 des indemnités journalières calculées sur la base d'une incapacité de travail à 100%. A compter de la mi-août 2016, l'assuré a été suivi par la doctoresse P1.________, spécialiste FMH en psychiatrie, qui a attesté d'une incapacité de travail à 100%. A la demande de la compagnie d'assurances, le Dr M.________ a établi le 21 septembre 2016 un rapport faisant état d'un épisode dépressif de nature réactionnelle, induisant une incapacité de travail à 100%; le pronostic était bon avec un suivi psychologique (psychothérapie). Le 29 septembre 2016, la compagnie d'assurances a invité l'assuré, conformément aux CGA, à se présenter à la consultation du docteur X.________, spécialiste FMH en neurologie, psychiatrie et psychothérapie. Ce dernier a procédé à l'examen psychiatrique de l'assuré le 18 octobre 2016. Dans son rapport du 24 octobre 2016, le médecin a conclu que l'assuré était capable de reprendre immédiatement une activité professionnelle à 50%, puis à 80% dès le 15 novembre 2016, et enfin à 100% dès le 1 er décembre 2016. Sur la base de cette analyse, la compagnie d'assurances a informé l'assuré par courrier du 3 novembre 2016 qu'elle mettrait fin à sa participation financière le 14 novembre 2016. L'intéressé a contesté la position de l'assurance par courrier du 7 novembre 2016. Dans le courant du même mois, il a débuté une psychothérapie auprès de la doctoresse P2.________, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Le 5 décembre 2016, la compagnie d'assurances a transmis le rapport du Dr X.________ à l'assuré qui, dans une missive du 19 décembre 2016, a déploré les nombreuses erreurs entachant ledit rapport; il n'a toutefois cité qu'un exemple, contestant avoir déclaré être prêt à reprendre un travail à 100% dès le 1er novembre 2016. La Dresse P2.________ a attesté mensuellement d'une incapacité de travail à 100% dès le mois de décembre 2016 jusqu'à la fin mai 2017, puis d'une incapacité de 50% dès juin 2017, ayant pris fin le 31 août 2017. A.c. Parallèlement, l'Office genevois de l'assurance-invalidité (OAI) a été saisi d'une demande de prestations signée par l'assuré le 10 octobre 2016. Par décision du 13 novembre 2017, il a refusé toute rente d'invalidité, de même que des mesures professionnelles.