Citation: 4A_487/2021 E. A

A.a. Am 14. Mai 2020 reichten die A.________ AG (Klägerin 1, Beschwerdeführerin 1) und B.________ (Kläger 2, Beschwerdeführer 2) beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Klage ein. Sie verlangten, die C.________ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) sei zu verurteilen, ihnen den Betrag von Fr. 405'000.-- nebst Zins und Betreibungskosten zu bezahlen. Ausserdem sei der Rechtsvorschlag der Beklagten in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U.________ im Umfang der Gutheissung der Klage zu beseitigen. Der Gerichtskostenvorschuss von Fr. 19'000.-- wurde rechtzeitig geleistet. A.b. Mit Eingabe vom 11. September 2020 begehrte die Beklagte, der Kläger 2 sei zur Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung zu verpflichten. Sodann sei das Verfahren bis zum Eingang der Sicherheitsleistung zu sistieren und ihr vorab "die Frist zur Klageantwort abzunehmen". Mit Verfügung vom 13. Oktober 2020 wies die Vizepräsidentin des Handelsgerichts den Sicherstellungsantrag ab, worauf die Beklagte am 5. November 2020 die Klageantwort einreichte. A.c. Am 22. Februar 2021 wurde eine Vergleichsverhandlung durchgeführt. A.d. Am 1. April 2021 stellte die Beklagte ein Wiedererwägungsgesuch mit dem Antrag, die Verfügung vom 13. Oktober 2020 sei aufzuheben und die Klägerin 1 sowie der Kläger 2 seien "je einzeln zu verpflichten, angemessene Sicherheit zu leisten für die Parteientschädigung zugunsten der Beklagten". Mit Verfügung vom 17. Mai 2021 erkannte der Instruktionsrichter am Handelsgericht, dass sich die finanzielle Situation der beiden Kläger seit dem ersten Sicherstellungsgesuch "weiter verschlechtert" habe, sie zahlungsunfähig erschienen und nun bei beiden Klägern ein Kautionsgrund gegeben sei. Er verpflichtete die Klägerin 1 und den Kläger 2, "je eine Sicherheit für die Parteientschädigung" in Höhe von (je) Fr. 21'500.-- zu leisten, und setzte hierfür Frist an. Die Klägerin 1 bezahlte die ihr auferlegte Sicherheit in Höhe von Fr. 21'500.-- rechtzeitig. Nachdem der Kläger 2 die von ihm verlangte Sicherheit innert zweimal erstreckter Frist nicht geleistet hatte, trat das Handelsgericht mit Beschluss vom 13. August 2021 "auf die Klage des Klägers 2" androhungsgemäss nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Es beschloss ferner, dass das Verfahren bezüglich der "Klage der Klägerin 1" fortgesetzt werde, indes sistiert bleibe, bis dieser Beschluss in Rechtskraft erwachsen sei (Dispositiv-Ziffer 2).