Citation: 2C_385/2021 E. A

A.a. A.________ (geb. 2006) besuchte im Schuljahr 2017/18 die 6. Klasse der Privatschule C.________ in U.________. Seit dem Schuljahr 2018/19 besucht er die Oberstufe der Privatschule D.________ in V________. In einem Bericht vom 2. März 2017 stellte der Schulpsychologische Dienst bei A.________ eine erhebliche soziale Beeinträchtigung und einen erhöhten Bedarf (Schwierigkeiten in der Selbststeuerung, Selbst-/Fremdwahrnehmung, Umgang mit Anforderungen) fest, mit einer Minderleistungsproblematik, bei einem diskrepanten kognitiven Potential (weit-überdurchschnittliche sprachliche Kompetenzen und durchschnittliche Kompetenzen in den restlichen Bereichen). In einem Fachbericht vom 21. März 2018 hielt der Schulpsychologische Dienst zudem folgende Beeinträchtigungen fest: schwere Lese- und Rechtschreibstörung (gemäss Logopädischem Fachbericht vom 29. September 2017), Unsicherheit im Selbstwerterleben und wenig Selbstwirksamkeitsüberzeugung, motorische Ungeschicklichkeit (beobachtet). Im Hinblick auf den Oberstufenübertritt empfahl der Schulpsychologische Dienst ein Wocheninternat in der Institution E.________ als Hauptförderort. A.b. Die Mutter von A.________, B.________, sowie dessen Psychotherapeutin, sprachen sich für eine Beschulung in der D.________ in V.________ aus. Die Schulpflege Bözberg anerkannte in der Sitzung vom 28. Mai 2018, dass es sich bei dieser Institution - mit der Weiterführung der Psychotherapie - um einen geeigneten Förderort handelt. Mit Protokollauszug vom 28. Mai 2018 ersuchte sie die "Gemeinde Bözberg" zu prüfen, ob die betreffenden Privatschulkosten im Umfang des Gemeindebeitrags entsprechend der Betreuungsgesetzgebung übernommen werden können. An seiner Sitzung vom 11. bzw. 26. Juni 2018 lehnte der Gemeinderat Bözberg das Gesuch von A.________ um finanzielle Beteiligung am Schulgeld der Privatschule D.________ ab. Zudem beschloss er unter anderem, eine Kostengutsprache für die von der Fachstelle empfohlene Unterbringung von A.________ im Wocheninternat Institut E.________ zu leisten. A.c. Am 5. Februar 2019 beantragte A.________ bei der Schulpflege Bözberg, der Privatschule D.________ in V.________ zugewiesen zu werden. Auf entsprechende Nachfrage der Schulpflege hin teilte das Departement Bildung, Kultur und Sport (BKS; nachfolgend: Departement BKS), Abteilung Sonderschulung, Heime und Werkstätten, im Schreiben vom 19. Juni 2019 mit, der Besuch der D.________ könne nicht über die Betreuungsgesetzgebung finanziert werden. Zuständig für Kostenübernahmegesuche für Privatschulen sei der Gemeinderat, wobei bei Uneinigkeit verwaltungsrechtliche Klage erhoben werden könne.