Citation: 5A_489/2021 E. A

A.a. Mit Entscheid vom 23. Dezember 2020 regelte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Olten-Gösgen (im Folgenden: KESB) den persönlichen Verkehr zwischen B.________ und seinem Sohn C.________ (geb. 2014) neu. B.________ wurde für berechtigt erklärt, seinem Sohn über die Beiständin Sprachnachrichten und Videobotschaften zukommen zu lassen und gegebenenfalls über die Beiständin Sprachnachrichten und Videobotschaften von seinem Sohn zu empfangen. Die Beiständin wurde beauftragt, den Austausch zu organisieren. A.b. Mit Beschwerde vom 22. Januar 2021 gelangte B.________ an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und verlangte die stufenweise Einführung eines ordentlichen Besuchsrechts an jedem zweiten Wochenende. A.c. Mit Urteil vom 10. Mai 2021 (eröffnet am 11. Mai 2021) hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und erlaubte dem Vater, den Sohn ab Juni 2021 an jedem zweiten Wochenende für einen Morgen zu besuchen. Die Besuche sollten bei positivem Verlauf schrittweise ausgeweitet werden. Ab Oktober 2021 erhielt der Vater ein ordentliches Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende (Dispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtskosten auferlegte das Verwaltungsgericht im Umfang von je Fr. 400.-- dem Staat Solothurn und der Kindsmutter A.________ (Dispositiv-Ziffer 3), die es zudem zur Bezahlung einer Parteientschädigung von je Fr. 1'482.30 verpflichtete (Dispositiv-Ziffer 4).