Citation: 4A_200/2016 E. A

A.a. X.________ (ci-après: le lésé), ancien employé de banque né en 1936 et retraité depuis 2003, a été victime, le 13 février 2006, d'un (premier) accident de la route: alors qu'il marchait au bord de la chaussée, un véhicule l'a percuté. Légèrement blessé, il a été hospitalisé jusqu'au 15 février 2006. Le 27 septembre 2008, le lésé, qui était au volant de sa voiture, a à nouveau été percuté par un véhicule (une camionnette) qui, venant en sens inverse, s'est soudain déportée sur sa voie. Le véhicule fautif était assuré auprès de Z.________ Société d'Assurances (ci-après: Z.________ ou la compagnie d'assurances ou l'assureur). Le lésé, légèrement blessé, a été conduit à la Clinique U.________ (Genève) et pris en charge par la Dresse A.________. Il souffrait de douleurs au niveau de la nuque et du dos. Il présentait également un état de stress post-traumatique (déjà présent au moins en partie depuis son premier accident), était dans un état d'agitation, de confusion et souffrait d'une anxiété importante. Quant au conducteur de la camionnette, il a été reconnu coupable de diverses infractions aux règles de la circulation routière. A.b. Le lésé a été suivi par plusieurs spécialistes à la suite de ses deux accidents, en particulier par le Dr B.________ et la Dresse C.________, tous deux psychiatres et psychothérapeutes. A la suite du second accident, il a en outre consulté le Dr C.________, dermatologue. Le 11 novembre 2008, l'assureur a reconnu l'entière responsabilité de son assuré dans l'accident survenu le 27 septembre 2008. Il a pris en charge les frais médicaux du lésé non couverts et lui a versé, le 16 décembre 2008, 5'000 fr. pour la réparation de son tort moral et 5'000 fr. pour le remboursement de ses frais de défense. A.c. Un rapport daté du 13 décembre 2013 a été établi en cours d'instruction par la Dresse D.________, psychiatre. Celle-ci s'est entretenue deux fois avec le lésé, ainsi qu'avec la Dresse C.________, le Dr B.________, et le Dr E.________, médecin interniste, qui ont tous été déliés de leur secret médical par le lésé. Elle a également pris contact par téléphone avec le Dr F.________ et le Dr G.________, sans avoir préalablement demandé son consentement au lésé, ces deux psychiatres et psychothérapeutes ayant déjà suivi le lésé pour divers motifs avant les événements dommageables. En substance, le rapport - suivi par les instances cantonales - révèle que le lésé est profondément atteint dans son psychisme et qu'il vit une très grande souffrance. Cette dernière était toutefois déjà présente avant les deux accidents. Ceux-ci n'avaient certes pas aidé le lésé à récupérer, mais son état clinique actuel ne pouvait pas être imputé exclusivement aux accidents et au seul état de stress post-traumatique en résultant. La persistance des symptômes de l'état de stress post-traumatique (flash-back, cauchemars et attitudes d'évitement) avait un impact limité sur la vie quotidienne du lésé. Selon l'experte, celui-ci, qui ne prenait plus d'antidépresseurs depuis longtemps, souhaitait garder sa symptomatologie traumatique, car elle lui permettait d'éviter d'avoir accès à la souffrance qui était propre à son histoire de vie. Ce mécanisme de défense, qui lui donnait la possibilité de fuir la réalité en se fixant sur les événements subis lors des accidents, le maintenait dans une dépression mélancolique dont il n'arrivait pas à guérir. Le déficit de mémoire du lésé n'avait aucun lien avec les accidents de 2006 et 2008. Enfin, selon le rapport, le lésé n'avait aucun handicap physique et il pouvait se déplacer en bus.