Citation: 5A_213/2020 E. A

A.a. Die A.________ AG (Beschwerdeführerin) und die B.________ AG (Beschwerdegegnerin) standen im Streit um die Auslegung eines Baurechtsvertrags. Gestützt auf die im Vertrag vorgesehene Schiedsklausel leitete die Beschwerdeführerin am 7. Februar 2017 das Schiedsverfahren ein. A.b. Das Schiedsgericht konstituierte sich am 3. Oktober 2017 als Dreierschiedsgericht (Rechtsanwälte C.________, D.________ und E.________). Es erklärte in seiner Eröffnungsverfügung vom 31. Oktober 2017 als Verfahrensordnung die Art. 31-61 der «St. Galler Schiedsordnung» vom 18. Mai 2009 (SGSO; heute: Ostschweizer Schiedsordnung [OSTSO] auf www.ostso.ch), subsidiär die Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) für anwendbar. A.c. Die Beschwerdeführerin reichte am 6. Dezember 2017 die Klage ein. Die Beschwerdegegnerin beantwortete die Klage und erhob am 23. Januar 2018 Widerklage. Weil die Eintretensvoraussetzungen zwischen den Parteien strittig waren, fällte das Schiedsgericht am 5. November 2018 einen Zwischenentscheid über das Eintreten. Es führte am 14. November 2018 einen Augenschein sowie eine Vorbereitungs- bzw. Vergleichsverhandlung durch. Die Parteien lehnten in der Folge einen vom Schiedsgericht unterbreiteten Vergleich ab. Der Obmann des Schiedsgerichts wies ein Gesuch der Beschwerdeführerin um Erlass vorsorglicher Massnahmen ab und ordnete einen zweiten Schriftenwechsel an. Am 23. August 2019 fand vor dem Schiedsgericht eine Hauptverhandlung statt. A.d. Am 30. August 2019 einigten sich die Parteien vergleichsweise. Sie zogen Klage und Widerklage zurück und bestimmten, dass jede Partei ihre Anwaltskosten und die je auf die Klage bzw. die Widerklage entfallenden Verfahrenskosten trägt. A.e. Mit Entscheid vom 17. Februar 2020 schrieb das Schiedsgericht das Verfahren infolge Rückzugs der Klage und der Widerklage als erledigt ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es bestimmte die Verfahrensgebühren auf Fr. 58'000.-- und die Auslagen auf Fr. 2'000.-- (jeweils zzgl. Mwst) und auferlegte diese auf der Basis des Streitwerts der Klage von Fr. 50'000.-- und der Widerklage von Fr. 10'000.-- zu 4/5 der Beschwerdeführerin und zu 1/5 der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziff. 2).