Citation: 4A_154/2023 E. A

A.a. Die A.________ AG (Klägerin, Beschwerdeführerin) mit Sitz in U.________ bezweckt den Betrieb von Hotels und verwandten Betrieben, insbesondere die Führung folgender Betriebe: Hotel X.________, X.________ Wein, Y.________, Traiteurgeschäft Z.________ und Garage X.________. Sie ist Inhaberin der 1994 hinterlegten Schweizer Marke Nr. xxx X.________, die unter anderem für Dienstleistungen der Klassen 41 und 42 eingetragen wurde. Die B.________ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) mit Sitz in U.________ bezweckt den Betrieb des Restaurants "Club X.________" sowie des "Club X1.________" in der Villa V.________. A.b. Die Klägerin hatte bis im Jahr 2006 den "Club X.________" und das gleichnamige Restaurant in der Villa V.________ betrieben. Das Familienvermögen aus den Häusern A.________ und C.________ und damit unter anderem die Aktien der A.________ AG wurden bis zu diesem Zeitpunkt zu je 50 % von den Familien A.________ und C.________ gehalten. Die beiden Familien wollten ihr gemeinsames Vermögen entflechten, weshalb im Jahr 2006 ein Teil der Vermögenswerte der A.________ AG abgespalten und auf die neu gegründete B.________ AG übertragen wurde, die den "Club X.________" samt Restaurant weiterführte. Die Beklagte hinterlegte am 16. September 2010 die Schweizer Marke Nr. yyy CLUB X.________ für verschiedene Dienstleistungen der Klassen 41 und 43 ohne Rücksprache mit der Klägerin und ohne deren Einverständnis. In der Folge kam es zu Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Berechtigung an dieser Marke.