Citation: 2C_701/2021 E. B

B.a. Par décision du 19 juin 2015, le Service cantonal, ayant appris que A.X.________ s'était séparé de B.X.________en avril 2012, a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de l'intéressé et prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 11 décembre 2015, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision. Le 28 novembre 2016, le Tribunal fédéral a constaté une violation du droit d'être entendu, a annulé l'arrêt du 11 décembre 2015 et a renvoyé la cause au Tribunal cantonal pour qu'il instruise la question de l'exercice effectif du droit de visite ainsi que des liens entretenus par A.X.________ avec ses trois filles, puis rende une nouvelle décision (arrêt 2C_104/2016 du 28 novembre 2016). Par arrêt du 10 novembre 2017, le Tribunal cantonal a admis partiellement le recours interjeté par l'intéressé, a annulé la décision du Service cantonal du 19 juin 2015 et a renvoyé la cause à cette autorité pour instruction complémentaire et nouvelle décision. B.b. Le 24 mai 2019, après avoir procédé à diverses mesures d'instruction, le Service cantonal s'est déclaré favorable à la prolongation de l'autorisation de séjour de A.X.________ et a transmis le dossier au SEM pour approbation. Par décision du 28 novembre 2019, cette autorité a refusé d'octroyer l'approbation requise et prononcé le renvoi de Suisse de l'intéressé. Par arrêt du 2 juillet 2021, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par A.X.________ contre la décision du SEM du 28 novembre 2019.