Citation: 5A_782/2019 E. 5

En conclusion, le recours se révèle bien fondé et doit être admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF), et qui versera en outre des dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans la mesure où elle n'est pas sans objet, la demande d'assistance judiciaire du recourant est admise (art. 64 al. 1 LTF). La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est admise (art. 64 al. 1 LTF). La liste produite par son conseil comporte nombre d'opérations qui ne sont pas nécessaires, étant relevé que plusieurs d'entre elles sont antérieures à la date à laquelle l'intimée à été invitée à se déterminer sur le fond du présent recours. Un montant usuel de 2'000 fr. sera ainsi accordé à titre de dépens. Les frais judiciaires incombant à l'intimée seront provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 4 LTF); l'octroi de l'assistance judiciaire ne la dispense cependant pas du paiement de dépens (ATF 122 I 322 consid. 2c; arrêt 5C.5/2005 du 23 juin 2005 consid. 4, non publié aux ATF 131 III 542). En l'espèce, il y a lieu considérer que le recourant ne sera pas en mesure de recouvrer les dépens, compte tenu de la situation financière de l'intimée. L'avocat du recourant sera dès lors également directement indemnisé par la Caisse du Tribunal fédéral. Les parties sont rendues attentives au fait qu'elles sont tenues de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral si elles sont en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).