Citation: 8C_964/2012 E. C

M.________ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien de son droit à des prestations d'invalidité, lesquelles doivent être calculées compte tenu de l'indemnité de déplacement de 82 fr. par jour de travail accompli au titre du salaire déterminant AVS/AI/APG/AC. En outre, il demande le remboursement des frais et dépens d'avocat à hauteur de 5'837 fr. 95 pour la procédure cantonale. Subsidiairement, le recourant conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction. Préalablement, il demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite en procédure fédérale. L'office intimé indique se rallier, sur le fond, au jugement attaqué. Par ailleurs, il conclut a ce que les frais et dépens de la procédure fédérale soient mis à la charge de l'État du Valais dans l'éventualité où le recours serait admis pour violation du droit d'être entendu de l'intéressé en procédure cantonale ou sur la question des frais et dépens alloués à son mandataire. La juridiction cantonale et l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) ont renoncé à présenter des déterminations. Par courrier du 11 février 2013, le recourant a indiqué n'avoir pas d'observations à formuler au sujet des prises de position de la juridiction cantonale et de l'intimé.