Citation: 5A_621/2021 E. C

C.a. Mit Eingabe vom 4. August 2021 (Postaufgabe) gelangt A.B.________ (Beschwerdeführer) mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Ziff. 1 und 5.1 des Entscheids des Kantonsgerichts Luzern vom 24. Juni 2021 seien aufzuheben und der Entscheid des Bezirksgerichts Luzern vom 13. Dezember 2019 sei zu bestätigen, eventualiter seien die Ziff. 1 und 5.1 des Entscheids aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies beantragt er die Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Einsetzung des unterzeichneten Rechtsanwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand. C.b. Nachdem C.B.________ (Beschwerdegegnerin) keine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eingereicht hatte bzw. das Couvert mit der Fristansetzung ungeöffnet wieder an das Bundesgericht retourniert wurde, hiess der Präsident der urteilenden Abteilung mit Verfügung vom 24. August 2021 das Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise gut und erteilte diese in Bezug auf den verfallenen Unterhalt, soweit dieser das im Entscheid des Bezirksgerichts Gesprochene übersteigt sowie in Bezug auf die Kostenregelung. C.c. Auf Gesuch der Beschwerdegegnerin wurde ihr mit Verfügung vom 1. September 2021 eine neue Frist zur Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung angesetzt. C.d. Nach Eingang der Stellungnahme der Beschwerdegegnerin und deren Antrag, der Beschwerde sei umfassend keine aufschiebende Wirkung zu erteilen, bestätigte der Präsident der urteilenden Abteilung am 22. September 2021 die Verfügung vom 24. August 2021. C.e. Die Beschwerdegegnerin liess sich mit Eingabe vom 14. März 2022 vernehmen. In der Sache beantragte sie die vollumfängliche Abweisung der Beschwerde. Ausserdem ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Einsetzung des unterzeichneten Rechtsanwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Zusätzlich reichte der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin eine Kostennote über Fr. 5'200.25 (volles Honorar) bzw. Fr. 4'787.45 (unentgeltliche Rechtspflege) für seinen Aufwand im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ein. Das Kantonsgericht verzichtete auf eine Stellungnahme, beantragte aber die Abweisung der Beschwerde. Die Vernehmlassungen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht. C.f. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.