Citation: 4A_267/2015 E. A

A.a. Nel luglio 1999 A.________ e B.________ hanno aperto presso la Banca H.________ SA, divenuta poi la C.________ un conto cifrato sul quale hanno versato complessivi euro 637'041.49. Essi hanno conferito procura amministrativa alla D.________ SA, a cui è subentrata dapprima la E.________ SA, poi la F.________ SA e infine la G.________ AG, società che avevano alle proprie dipendenze I.________ (nipote dei titolari del conto). Alla fine del 2001 il capitale dato in gestione è stato quasi interamente perso in seguito alle operazioni effettuate dai gestori esterni. A.b. Con petizione 26 giugno 2006 A.________ e B.________ hanno convenuto in giudizio innanzi alla Pretura del distretto di Lugano la predetta banca e le menzionate società, postulando in via principale la loro condanna al pagamento in solido di euro 635'966.58, importo modificato con le conclusioni in euro 629'225.20. In via subordinata hanno domandato il versamento di euro 725'915.--. L'importo chiesto a titolo principale equivale alla differenza fra la somma versata e quella rimasta sul conto, mentre l'altro montante corrisponderebbe a quanto avrebbe potuto essere conseguito con una gestione conservativa del patrimonio. Il 7 gennaio 2013 il Pretore ha interamente respinto l'azione.