Citation: 9C_579/2022 E. A

A.a. Die Invalidenversicherung gewährte dem 1981 geborenen A.________ aufgrund psychischer Beeinträchtigungen insbesondere eine ganze Invalidenrente ab dem 1. Juli 1999 (Verfügung vom 19. Mai 2005). Die Rente wurde infolge beruflicher Eingliederung auf eine Dreiviertelsrente ab dem 1. April 2006 resp. auf eine Viertelsrente ab dem 1. Januar 2008 herabgesetzt (Verfügungen vom 1. Februar 2006 und 20. November 2007) und auf den 31. Juli 2012 aufgehoben (Verfügung vom 19. Juni 2012). A.b. Ab dem 1. August 2014 war A.________ bei der B.________ AG in einem Vollzeitpensum als Buschauffeur angestellt und deswegen bei der Pensionskasse F.________ (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Nachdem er dieses Arbeitsverhältnis im Oktober 2016 auf den 31. Januar 2017 gekündigt hatte, erlitt er am 7. Januar 2017 einen Nichtberufsunfall (indem er auf der eisigen Strasse ausrutschte) mit anschliessend Rückenbeschwerden und vollständiger Arbeitsunfähigkeit, wofür die Unfallversicherung Taggelder bis zum 31. Januar 2017 und Heilbehandlung gewährte. Am 1. Februar 2017 trat A.________ bei der C.________ AG eine neue Stelle als Buschauffeur an; fortan war er bei der D.________ vorsorgeversichert. Am 9. Februar 2017 rutschte er bei der Arbeit beim Aussteigen aus dem Bus aus; die Unfallversicherung richtete deswegen wiederum Taggelder ab dem 14. Februar 2017 aus. Aufgrund der "Arbeitsunfähigkeit seit dem 14. Februar 2017" kündigte die C.________ AG das Arbeitsverhältnis während der Probezeit auf den 30. Juni 2017. A.c. Im Juni 2017 meldete sich A.________ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern gewährte verschiedene Eingliederungsmassnahmen bis Ende August 2020. Nach Abklärungen - insbesondere Einholung des polydisziplinären Gutachtens der BEGAZ GmbH (nachfolgend: BEGAZ) vom 23. Juni 2020- und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie A.________ mit Verfügung vom 22. Dezember 2020 resp. 9. Februar 2021 eine ganze Invalidenrente ab dem 1. Januar 2018 zu (Invaliditätsgrad 96 %). Die Pensionskasse und die D.________ verneinten ihre jeweilige Leistungspflicht in diesem Zusammenhang.