Citation: 1B_438/2016 E. 3

Il s'ensuit que le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle entre en matière sur le recours déposé devant elle par la recourante. La recourante, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF); vu les contradictions internes des décisions à l'origine de la présente procédure, il y a lieu en l'espèce de les mettre par moitié à charge de la République et canton de Genève et, pour le solde, à celle de l'intimé. Pour ce même motif, l'intimé ne supportera que la moitié des frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 3 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :