Citation: 4A_197/2022 E. A

A.a. Die B.________ AG (Vermieterin, Beschwerdeführerin) und die A.________ AG (Mieterin, Beschwerdegegnerin) führen seit längerem mehrere Gerichtsverfahren zu Fragen im Zusammenhang mit der Beendigung der Miete von Ladenflächen an der X.________strasse 75/77/79 in Zürich per 31. Januar 2014 respektive deren Verlängerung/Fortsetzung über diesen Zeitpunkt hinaus. Hier sind im Wesentlichen die nachfolgend zusammengefassten prozessualen Schritte von Bedeutung. A.b. Am 14. März 2012 klagte die Mieterin vor dem Mietgericht Zürich gestützt auf Ziffer 5 des Nachtrags I zum Mietvertrag vom 5. November 2001, es sei "der für die Verlängerung des Vertragsverhältnisses vertraglich vereinbarte massgebliche Mietzins für die gemieteten Räumlichkeiten (Liegenschaft X.________strasse 75/77/79, 8001 Zürich) gerichtlich festzulegen", und die Vermieterin sei zu verpflichten, eine Offerte abzugeben, wonach der gerichtlich festgelegte Mietzins "für das Mietverhältnis ab 1. Februar 2014 für eine Dauer von mindestens fünf Jahren zur Anwendung gelangt". Was dieses Verfahren angeht, kann im Einzelnen auf das Urteil 4A_653/2018 und 4A_657/2018 vom 14. November 2019 verwiesen werden. Darin hob das Bundesgericht die bei ihm angefochtene Verurteilung der Vermieterin auf, "für die Liegenschaften X.________strasse 75 und 79 eine verbindliche auf 30 Tage befristete Offerte zur Fortführung des Vertragsverhältnisses ab dem 1. Februar 2014 für eine weitere Dauer von mindestens fünf Jahren zu marktüblichen Vertragskonditionen für ein Warenhaus zu unterbreiten". Stattdessen stellte es fest, dass die Vermieterin "ihrer Pflicht nicht nachgekommen ist, der Mieterin für die Liegenschaften X.________strasse 75 und 79 eine verbindliche Offerte zur Fortführung des Vertragsverhältnisses ab dem 1. Februar 2014 für eine weitere Dauer von mindestens fünf Jahren zu marktüblichen Vertragskonditionen für ein Warenhaus zu unterbreiten" (Dispositiv-Ziffer 2). A.c. Parallel dazu klagte die Mieterin am 1. September 2014 beim Mietgericht Zürich auf Erstreckung des Mietverhältnisses (Verfahren MB140015). Mit Beschluss vom 26. Januar 2017 trat das Mietgericht auf das Erstreckungsbegehren mit der Begründung nicht ein, die Mieterin verfüge nach wie vor über einen vertraglichen Anspruch "auf Realerfüllung bezüglich der bislang nicht in vertragskonformer Weise unterbreiteten Fortsetzungsofferte und als Ausfluss desselben über einen Benützungsanspruch für das Mietobjekt". Die Vermieterin focht diesen Entscheid mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich an. Mit Beschluss vom 1. September 2020 schrieb das Obergericht das Erstreckungsverfahren ab, nachdem die Mieterin die Mietobjekte im Februar 2020 verlassen hatte.