Citation: 9C_569/2013 E. A

A.a. V.________ ist ausgebildete Hotelfachfrau und Inhaberin eines Handelsdiploms sowie eines kaufmännischen Fähigkeitszeugnisses. Sie leidet an einer schizoaffektiven Störung (ICD-10 Ziff. F25.1). Am 26. Mai 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt sprach ihr mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 23. Dezember 2010). Von Dezember 1999 bis Juni 2008 war sie bei verschiedenen Arbeitgebern erwerbstätig und bezog wiederholt Arbeitslosenentschädigung. Dadurch war V.________ im angegebenen Zeitraum bei folgenden Vorsorgeeinrichtungen versichert: - Personalvorsorgestiftung X.________ (Tätigkeit bei der Firma P.________ vom 1. Dezember 1999 bis 8. Februar 2005); - Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E.________ AG vom 9. Februar bis 4. Mai 2005); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 5. Mai bis 18. Dezember 2005); - Personalvorsorgestiftung X.________ (Tätigkeit bei der Firma A.________ vom 19. Dezember 2005 bis 19. März 2006); - Stiftung 2. Säule swissstaffing (Tätigkeit für die E.________ AG vom 20. März 2006 bis 19. Januar 2007); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 20. Januar bis 28. Februar 2007); - Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (Tätigkeit bei der N.________ AG vom 1. März 2007 bis 31. Oktober 2007); - Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Bezug von Arbeitslosenentschädigung vom 1. November bis 9. Dezember 2007); - Pensionskasse Basel-Stadt (Tätigkeit beim Departement B.________ vom 10. Dezember 2007 bis 30. Juni 2008). Alle beteiligten Vorsorgeversicherer lehnten je für sich eine Zuständigkeit hinsichtlich Invalidenleistungen ab. A.b. Mit Klage vom 11. Oktober 2011 beantragte V.________ dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, die Pensionskasse Basel-Stadt sei zu verpflichten, Vorleistungen zu erbringen. Am 7. März 2012 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht die Pensionskasse Basel-Stadt, der Versicherten als Vorleistung mit Wirkung ab Mai 2007 eine halbe und ab Mai 2009 eine ganze Invalidenrente gemäss gesetzlichem Obligatorium zu entrichten (noch ohne betragsmässige Festsetzung). Auf Beschwerde der Pensionskasse hin erkannte das Bundesgericht, diese erleide durch den angefochtenen Zwischenentscheid, der als solcher nicht vollstreckbar sei, unter anderem im Hinblick auf die Verjährung einer allfälligen Regressforderung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Demgemäss trat es auf die Beschwerde der Pensionskasse Basel-Stadt nicht ein (Urteil 9C_392/2012 vom 17. Dezember 2012). Das kantonale Gericht verpflichtete die Pensionskasse Basel-Stadt mit Entscheid vom 28. Mai 2013, der Klägerin mit Wirkung ab 9. Dezember 2010 als Vorleistung eine Invalidenrente von monatlich Fr. 804.90 zuzüglich Zins seit 11. Oktober 2011 zu entrichten.