Citation: 9C_133/2021 E. A

A.a. Der 1957 geborene A.________ bezieht seit dem 1. September 1994 eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung. Dementsprechend entrichtete die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (nachfolgend: Bâloise) A.________ eine (vierteljährlich vorschüssig zu zahlende) ganze Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge von jährlich Fr. 16'900.80. Weil die frühere Arbeitgeberin des A.________ die Vorsorgeeinrichtung wechselte, übernahm die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) ab dem 1. Januar 2017 die betroffenen Rentenverpflichtungen von der Bâloise. A.b. Die IV-Stelle Luzern hatte 2015 ein Revisionsverfahren eröffnet und A.________ mit Vorbescheid vom 24. November 2016 die rückwirkende Rentenaufhebung auf den 1. Dezember 2011 in Aussicht gestellt. Die Allianz stellte deshalb am 8. Mai 2017 die Rente aus beruflicher Vorsorge "per sofort" (d.h. mit Wirkung auf Ende Juni 2017) ein. Das Revisionsverfahren der Invalidenversicherung endete - nach entsprechender "Mitteilung Beschluss" vom 25. September 2018 - mit der Verfügung vom 11. Oktober 2018. Darin kam die IV-Stelle Luzern zum Schluss, dass von Unverwertbarkeit des wiedergewonnenen Leistungspotenzials auszugehen sei, weshalb weder weitere medizinische Abklärungen noch Eingliederungsmassnahmen veranlasst würden. Dem Versicherten sei weiterhin eine vollständige Erwerbsunfähigkeit anzurechnen. Er habe darum auch weiterhin Anspruch auf die bisherige Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 %. Die Allianz hielt an ihrer Leistungseinstellung fest.