Citation: 9C_671/2018 E. C

Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid vom 21. August 2018 sei aufzuheben und ihre Verfügung vom 21. August 2017 zu bestätigen. Eventualiter sei festzustellen, dass die Versicherte ab 1. Januar 2015 keinen Rentenanspruch und ab 1. Oktober 2017 einen solchen auf eine halbe Rente habe. Subeventualiter sei ein Rentenanspruch ab 1. Oktober 2017 zu verneinen. Subsubeventualiter sei der Versicherten ab 1. Januar 2015 eine halbe Rente zuzusprechen. Ferner sei der Rückweisungsentscheid vom 10. Februar 2016 betreffend die Kosten aufzuheben und die Kosten für das psychiatrische Gutachten vom 4. Januar 2017 von Fr. 4'500.- seien der Vorinstanz resp. dem Kanton Solothurn zu überbinden. A.________ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt mit Verweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid die Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet hingegen auf eine Vernehmlassung.