Citation: 4A_614/2018 E. B

B.a. La requête de conciliation déposée par le client s'étant soldée par un échec, celui-ci a porté l'action, le 8 octobre 2014, devant le Tribunal de première instance de Genève. Il a conclu principalement à ce que la banque soit condamnée à lui délivrer 25'000 actions C.________ contre paiement de la somme de 625'000 USD et, subsidiairement, à ce qu'elle soit condamnée à lui verser 447'500 USD avec intérêts dès le 11 novembre 2013. Le demandeur, sous-entendant son intention générale de revendre ses positions au moment le plus opportun (pour maximiser son profit), explique que ce dernier montant correspond à la différence entre la valeur des actions auxquelles la défenderesse aurait dû souscrire pour son compte (625'000 USD = 25'000 x 25 USD) et leur valeur au 11 novembre 2013 (1'072'500 USD = 25'000 x 42.9 USD), soit le jour où le client a été informé de la (prétendue) violation contractuelle de la banque. Par télécopie du 24 août 2015, le conseil de la banque a informé le demandeur que le titre C.________ était descendu à 21,01 USD par action et il lui a rappelé son obligation de réduire son dommage. Le cours de l'action est descendu encore à plusieurs reprises en dessous de 25 USD entre le 24 août et le 23 octobre 2015. Le 26 octobre 2015, la défenderesse a conclu au déboutement du demandeur. Elle a notamment relevé que celui-ci aurait pu acquérir les actions litigieuses à un prix inférieur à 25 USD par action, mais qu'il n'a pris aucune mesure pour réduire son dommage, ce qui excluait toute indemnisation. B.b. Le 11 novembre 2015, l'avocat du demandeur a informé le juge du décès de son client et la procédure a été suspendue. Par courrier du 29 janvier 2016, l'avocat a informé le Tribunal que les héritiers du défunt, A.C.________ (l'épouse), A.A.________ et A.D.________ (les fils) et A.B.________ (la fille) désiraient poursuivre la procédure et qu'il était mandaté à cet effet. Par courrier du même jour, les hoirs ont déclaré retirer les conclusions principales de la demande initiale (tendant à ce que la défenderesse soit condamnée à leur délivrer les 25'000 actions contre le versement de 625'000 USD) et ils ont conclu, à titre principal, à ce que la banque soit condamnée à leur verser la somme de 447'500 USD avec intérêts à 5% l'an dès le 11 novembre 2013. La défenderesse, estimant que l'action était devenue sans objet, a alors sollicité le rejet de l'action. Les demandeurs ont répliqué avoir simplement réduit leurs conclusions. Par ordonnance du 6 juin 2016, le Tribunal a limité la procédure à la question des conséquences du retrait de la conclusion principale (art. 105 al. 2 LTF) et, par jugement du 20 décembre 2016 (contre lequel aucune des parties n'a formé appel), il a constaté la recevabilité des conclusions modifiées du 29 janvier 2016 et il a renvoyé la question des frais à la décision finale. B.c. Lors de l'audience de débats d'instruction du 7 mars 2017, le Tribunal a, d'entente avec les parties, limité la procédure à la question du dommage. Par jugement final du 1er juin 2017, le Tribunal de première instance de Genève a débouté les hoirs de feu A.X.________ des fins de leur demande en paiement. B.d. Par arrêt du 28 août 2018, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a déclaré irrecevable l'appel formé par les hoirs au motif que le premier juge avait tranché le litige au moyen d'une double motivation et que les hoirs n'avaient pas expliqué en quoi la motivation subsidiaire serait erronée.