Citation: 5A_555/2013 E.

Mit Beschwerde vom 25. Juli 2013 gelangt X.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Berufung von Y.________ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Der Entscheid des Gerichtspräsidiums sei zu bestätigen. Eventuell seien die Akten zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter stellt er das Begehren, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung entsprach diesem Begehren mit Verfügung vom 19. August 2013. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und ersucht ebenfalls um Gewährung des Armenrechts. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.