Citation: 4A_226/2017 E. A

A.a. C.________ est décédé le 26 avril 1996, laissant comme héritiers son épouse, B.________, née le 11 mars 1919, ainsi que leurs enfants D.________ et E.________. Le 18 avril 2005, l'exécuteur testamentaire a établi un projet de convention de partage, arrêtant à 985'400 fr. les biens propres de B.________ et à 585'547 fr. le "solde net" lui revenant dans la liquidation du régime matrimonial avant le partage successoral. Aux termes des dispositions pour cause de mort de C.________, sa veuve obtenait l'usufruit de la part de la succession dévolue aux enfants, conformément à l'art. 473 CC. Ainsi le projet de l'exécuteur testamentaire accordait à B.________, en plus de l'usufruit d'une maison, celui des "avoirs financiers" répartis en deux comptes distincts, l'un au nom de D.________ et l'autre au nom de E.________. Les héritiers n'ont pas signé cette convention. Le 27 avril 2005, répondant à une demande de E.________, l'exécuteur testamentaire a interdit tout prélèvement d'un compte de la succession auprès de la banque F.________ SA, jusqu'à la conclusion entre les héritiers d'une convention de partage définitive. C'est dans ce contexte que, en novembre 2005, B.________ a sollicité les services de Me A.________, avocat inscrit au barreau de Neuchâtel. Le 12 janvier 2006, l'avocat prénommé a introduit pour le compte de sa cliente une requête de mesures provisionnelles pour obtenir la levée du blocage du compte précité, laquelle a été rejetée. Les 22 mars et 6 avril 2006, il a déposé deux requêtes de mesures provisionnelles visant à obtenir les relevés de ce même compte, dont la première a été déclarée irrecevable faute de compétence matérielle du tribunal saisi et la seconde sans objet, dès lors que la banque avait dans l'intervalle remis les documents demandés à l'exécuteur testamentaire, qui les lui avait fait suivre. Le 26 septembre 2006, une convention a été signée entre les trois héritiers en l'étude de Me A.________. A teneur de cet accord, B.________ obtenait la libre disposition de 1'000'000 fr., prélevés sur les liquidités de la succession, à déduire de sa part héréditaire. Le lendemain, l'avocat a requis l'exécuteur testamentaire de mettre en oeuvre la convention et le 17 octobre suivant, la banque F.________ SA a confirmé avoir pris les mesures nécessaires en vue du versement de la somme précitée. A fin octobre 2006, l'avocat a fait signer à B.________ un document intitulé « PROCURATION ET PACTUM DE PALAMARIO (sic) », rédigé en ces termes : " La personne désignée ci-après, à savoir : Madame B.________, (...) donne mandat exclusif, avec faculté de substitution et élection de domicile en son Etude à Me A.________, (...) aux fins de gérer toutes les affaires liées à la succession de feu son époux Monsieur C.________.