Citation: 4A_375/2021 E. B

B.a. Die RSP Rail Service Partner SA ist der Auffassung, dass ihr die Domain rspsa.ch zustehe. Sie leitete aus diesem Grund am 11. September 2017 ein Schlichtungsverfahren gegen die A.________ SA vor der Streitbeilegungsstelle der Organisation Mondiale de la Propriété Intellectuelle (OMPI) ein. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2017 ordnete die Expertin des OMPI die Übertragung der Domain rspsa.ch an die RSP Rail Service Partner SA an. B.b. Da nach den einschlägigen Verfahrensregeln des OMPI die Implementierung dieser Anordnung drohte, wenn nicht innert Frist ein gerichtliches Verfahren eingeleitet würde, gelangte die A.________ SA zunächst am 11. Januar 2018 an das Friedensrichteramt Kreise 1 und 2 der Stadt Zürich und hernach mit Klage vom 11. Juni 2018 an das Bezirksgericht Zürich. Dieses trat mit Verfügung vom 2. Dezember 2018 auf die Klage nicht ein. In der Folge gab die A.________ SA die beim Bezirksgericht eingereichte Klage am 7. Dezember 2018 beim Handelsgericht des Kantons Zürich neu ein. Sie stellte folgende, in der Replik angepasste Rechtsbegehren: " 1. Es sei festzustellen, dass die Klägerin durch die Registrierung der Domain 'rspsa' die Firma 'RSP Rail Service Partner SA' der Beklagten firmen- und namensrechtlich nicht verletzt und keinen Verstoss gegen den unlauteren Wettbewerb (UWG), namentlich Art. 3 [wohl: Abs. 1] lit. d UWG begeht.