Citation: 4A_417/2014 E. A

A.a. Selon demande du 23 octobre 2006, B.________ (demanderesse) a ouvert action en paiement devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois contre A.________ (défendeur), alors assisté de l'avocat genevois C.________. Une audience de jugement a été appointée au 1er juillet 2010, selon avis notifié aux parties le 25 mars 2010. Le défendeur ne s'y est pas présenté, ni son conseil, de sorte que la demanderesse a requis le jugement par défaut. Par jugement du 7 juillet 2010 rendu par défaut, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a admis la demande et dit que le défendeur était débiteur de la demanderesse de la somme de 540'334 fr.40 en capital, l'opposition de celui-ci à un commandement de payer étant définitivement levée à concurrence de 100'000 fr. plus intérêts et frais. Le jugement par défaut a été notifié aux parties sous forme de dispositif le 8 juillet 2010; il est devenu définitif et exécutoire le 30 août 2010, faute de recours, de demande de motivation ou de requête de relief. Le 27 octobre 2010, le défendeur s'est vu notifier un commandement de payer la somme totale de 540'435 fr.; le titre de la créance se référait au jugement du 7 juillet 2010. Le 8 novembre 2010, le défendeur, représenté par l'avocat vaudois D.________, a déposé devant le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois une requête de relief du jugement par défaut et versé la somme destinée à payer les dépens frustraires. Il a fait valoir qu'il n'avait eu connaissance ni de la tenue de l'audience du 1er juillet 2010 ni du jugement par défaut du 7 juillet 2010. Le 11 novembre 2010, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a adressé la requête de relief à la demanderesse en se référant à l'art. 311 de l'ancien code de procédure civile vaudois (CPC/VD). Le 6 décembre 2010, ce magistrat a cité les parties à comparaître à l'audience du 7 mars 2011 pour la reprise de cause. De son côté, la demanderesse a présenté, le 16 décembre 2010, une requête de réforme afin d'obtenir la restitution du délai de dix jours, ancré à l'art. 311 al. 2 CPC/VD, pour contester le droit au relief. Par jugement incident du 10 août 2011, le Président du Tribunal d'arrondissement a rejeté d'office la requête de relief et constaté que la requête de réforme n'avait plus d'objet. Statuant dans un arrêt du 10 novembre 2011 sur l'appel formé par le défendeur contre ledit jugement incident, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a admis l'appel, annulé le jugement et renvoyé la cause au Président du Tribunal d'arrondissement pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il a été retenu que le considérant 3a de cet arrêt précisait que la cause serait retournée au premier juge " pour qu'il admette la requête de réforme du 16 décembre 2010 de B.________ (et) statue sur l'étendue de la réforme ... ... ". Il résulte de l'arrêt 4A_29/2012 du 27 mars 2012 que la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, faisant application de la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 let. a LTF, n'est pas entrée en matière sur le recours en matière civile interjeté le 9 janvier 2012 par le défendeur, désormais représenté par l'avocat vaudois Laurent Maire. A.b. Le Président du Tribunal d'arrondissement a rendu un nouveau jugement incident le 13 novembre 2012; il a autorisé la demanderesse à se réformer à la veille du jour où la requête de relief déposée par le défendeur lui a été notifiée, soit à la date du 12 novembre 2010, et lui a imparti un délai de 10 jours dès notification du jugement pour se déterminer sur la demande de relief. Dans une lettre du 22 novembre 2012 adressée au Président du Tribunal d'arrondissement, la demanderesse a contesté le droit au relief du défendeur en application de l'art. 311 al. 2 CPC/VD. Saisie d'un recours formé par le défendeur contre le jugement du 13 novembre 2012, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois l'a déclaré irrecevable par arrêt du 11 décembre 2012, le recourant n'ayant pas établi être menacé d'un préjudice difficilement réparable au sens de l'art. 319 let. b ch. 2 du Code de procédure civile suisse (CPC). Par arrêt 4A_99/2013 du 17 juin 2013, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en matière civile formé par le défendeur contre l'arrêt du 11 décembre 2012, au motif que ce dernier n'avait pas prouvé être menacé d'un préjudice irréparable aux termes de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Par jugement incident du 4 février 2014, le Président du Tribunal d'arrondissement a admis la requête incidente présentée par la demanderesse le 22 novembre 2012 et rejeté la demande de relief déposée le 8 novembre 2010 par le défendeur.