Citation: 8C_808/2014 E. C

La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, elle demande que sa décision sur opposition du 30 avril 2009 soit confirmée, subsidiairement qu'elle ne soit plus tenue à prestations dès le 10 octobre 2008 et plus subsidiairement encore, dès le 15 avril 2009. A titre très subsidiaire, elle conclut à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. A.________ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.