Citation: 4A_647/2023 E. B

B.a. Gestützt auf die vollstreckbare öffentliche Urkunde 2019 (vgl. lit. A.d hiervor) leitete die Verkäuferin am 6. Juli 2022 gegen die Käuferin für Fr. 1'907'530.70 nebst Zins zu 4,5 % seit 28. Februar 2018 beim Betreibungsamt U.________ die Betreibung auf Pfandverwertung (Pfandobjekt: 75 % der Geschäftsanteile an der von der Käuferin zu 100 % gehaltenen C.________ GmbH) ein. Gegen den Zahlungsbefehl Nr. xxx vom 8. Juli 2022 erhob die Käuferin am gleichen Tag Rechtsvorschlag. Mit Eingabe vom 14. Juli 2022 ersuchte die Verkäuferin beim Kantonsgericht Zug um definitive Rechtsöffnung im oben erwähnten Umfang. Mit Entscheid vom 9. Januar 2023 erteilte die Einzelrichterin am Kantonsgericht in der besagten Betreibung auf Pfandverwertung definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'801'041.89 nebst Zins zu 4,5 % seit 28. Februar 2018 sowohl für die Forderung als auch für das Pfandrecht. B.b. Eine dagegen gerichtete Beschwerde der Käuferin wies das Obergericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 31. Mai 2023 ab. Es erwog, es seien nicht nur die Geschäftsanteile Nr. 1 und 3 der C.________ GmbH verpfändet worden, vielmehr sei ein umfassendes Pfandrecht bestellt worden, das auch allfällige Surrogate der verpfändeten Geschäftsanteile umfasse. Es sei davon auszugehen, dass der Geschäftsanteil Nr. 4 nunmehr zu 75 % verpfändet sei. Der nicht in einem Wertpapier verkörperte Geschäftsanteil Nr. 4 sei am Sitz der Vollstreckungsschuldnerin in der Schweiz zu verwerten. Die vollstreckbare öffentliche Urkunde bilde auch für das Pfandrecht einen ausreichenden Rechtsöffnungstitel.