Citation: 4A_440/2021 E. A

A.a. Le 19 octobre 2005, A.________ a été victime d'un accident de la circulation. Alors qu'il attendait, au volant de son véhicule automobile immobilisé, de pouvoir s'engager dans un giratoire, la voiture qui le suivait l'a percuté par l'arrière. Son détenteur était assuré en responsabilité civile auprès de la société B.________ SA (ci-après: la compagnie d'assurances). D'après un rapport biomécanique, le véhicule a subi une accélération (delta-v) comprise entre 10 et 15 km/h, voire moins. Se plaignant de douleurs à la nuque et de fourmillements dans les mains, A.________ (ci-après: le lésé) s'est rendu à l'Hôpital du Jura, où a été diagnostiqué un traumatisme par accélération cranio-cervicale avec contusion de la colonne cervicale et thoracique. Le lésé, qui était employé comme peintre, a connu un épisode d'incapacité de travail à 100 % dès l'accident jusqu'au 6 novembre 2005, puis à 50 % jusqu'au 21 décembre 2005, date à laquelle il a repris son activité à plein temps. A.b. Licencié pour des motifs économiques, il a perdu son emploi le 31 juillet 2007 [sic!; cf. infra consid. 2.1 i.f.]. Il s'est annoncé auprès de l'assurance-chômage. A.c. Le 28 août 2007, il est tombé d'un échafaudage situé deux mètres au-dessus du sol, ce qui a provoqué des douleurs lombaires et une incapacité de travail à 100 % jusqu'au 23 septembre 2007. Selon un médecin du Service médical régional en matière d'assurance-invalidité (SMR), cette chute a entraîné une décompensation des cervicalgies. De l'aveu même du lésé, les douleurs ressenties à la suite de cet accident persistaient en date du 5 septembre 2017; localisées essentiellement au niveau lombaire, elles pouvaient aussi concerner les cervicales. A.d. En mai 2008, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA/Suva) a été avisée d'une rechute du lésé dès le 18 avril 2008. De nouveaux troubles visuels, auditifs et plus généraux (fatigue, difficultés de concentration, irritabilité) ont été évoqués dans un rapport médical de mai 2008. Examiné par un médecin de la CNA en juillet 2008, le lésé s'est aussi plaint de cervicalgies irradiantes, céphalées diffuses, vertiges, troubles du sommeil et moral fluctuant. La CNA a versé des indemnités journalières pour compenser une incapacité de travail jugée totale. Le lésé n'a plus retravaillé depuis lors. A.e. Le 15 mai 2008, il a déposé une demande de prestations auprès de l'assurance-invalidité qui s'est révélée infructueuse. Le Tribunal cantonal jurassien a entériné cette décision en mars 2014. A.f. En octobre 2008, la compagnie d'assurances a mandaté un détective privé qui a surveillé les faits et gestes du lésé dans des lieux accessibles au public entre le 25 novembre et le 5 décembre 2008, puis entre le 30 mars et le 4 avril 2009. Elle a transmis à la CNA les images et vidéos capturées à divers moments de la journée. Le médecin de la CNA a constaté que l'assuré ne présentait aucune limitation du rachis cervical ou des membres supérieurs, ni aucun trouble du vertige; il était pleinement capable de porter des charges supérieures à 15 kg. Forte de ces informations, la CNA a décidé de mettre fin à ses prestations et exigé le remboursement des indemnités versées depuis le 25 novembre 2008, considérant que l'assuré était capable de travailler dès cette date. Sa décision a été avalisée par le Tribunal cantonal jurassien (pour la période postérieure au 31 mars 2010), puis par le Tribunal fédéral (arrêt 8C_334/2012 du 25 avril 2013). A.g. Le 1er février 2014, le lésé a encore subi une fracture du tibia. A.h. La compagnie d'assurances a régulièrement attesté qu'elle renoncerait à se prévaloir de la prescription.