Citation: 2C_349/2019 E. A

A.a. A.________, né en 1973, a obtenu une licence en droit en 1998 auprès de l'Université de Genève. Il a effectué un stage d'avocat dans le canton de Genève, de septembre 2002 à fin août 2004, sans obtenir le brevet d'avocat au terme de celui-ci. Il a terminé le stage d'avocat entrepris, auprès de différentes études, dans le canton de Vaud de septembre 2011 à juin 2012, puis du 28 avril 2014 au 12 septembre 2016. Le 11 août 2016, A.________ s'est inscrit aux examens d'avocat pour la session d'octobre 2016 (session IV/2016), qui devait débuter le 26 octobre 2016, inscription qu'il a retirée le 4 octobre 2016 au motif que "le délai pour préparer l'examen correctement [était] trop court"; il a sollicité le report de son inscription à la session I/2017. Dans un courrier du 12 octobre 2016, la Présidente de la commission d'examens du canton de Vaud (ci-après: la Commission d'examens) a accepté le retrait de l'inscription; l'intéressé était invité à confirmer son inscription à la session I/2017, dès l'ouverture des inscriptions à la session concernée. A.________ ne s'est finalement pas inscrit à la session d'examens I/2017. Il a sollicité, le 31 août 2017, son inscription pour celle du mois de novembre 2017 (session IV/2017). Comme il n'a pas complété sa demande par les documents nécessaires requis par la Commission d'examen, celle-ci l'a informé qu'elle considérait qu'il renonçait à ladite session. Le 24 novembre 2017, A.________ a requis son inscription à la session de février 2018 (session I/2018). Le 6 décembre 2017, le vice-président du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a informé l'intéressé que pour s'inscrire à celle-ci, il devait produire l'attestation de la Chambre du stage relative aux cours de formation. Selon l'attestation de février 2018 de la Faculté de Droit de l'Université de Lausanne, A.________ a suivi régulièrement le cours de "Droit et éthique de la formation d'avocat" durant le semestre d'automne 2017-2018 et a réussi l'examen final relatif à cette formation avec la note de 5.25. Le 29 mars 2018, la Chambre du stage a validé 22 crédits obtenus par l'intéressé dans le cadre de la Conférence du stage et de formations continues. Le 3 avril 2018, A.________ s'est inscrit à la session de juin 2018 (session II/2018). Le 6 juin 2018, soit la veille du début des examens, l'intéressé a informé la Commission d'examens du retrait de son inscription. A l'appui de ce retrait, il a fait valoir qu'il avait été empêché de se préparer correctement en raison du fait qu'il était partie à une procédure pénale dans le canton de Berne où le séquestre conservatoire d'un bien important avait été ordonné. Dans le cadre de cette procédure, il avait été amené à rédiger une plainte pénale avec l'assistance de son conseil pour le 10 avril 2018, et à remettre au procureur en charge du dossier, pour le 4 juin 2018, un chargé de pièces de plus de 150 pages, dont la préparation avait pris plusieurs mois. Par lettre du 22 juin 2018, la Commission d'examens a pris acte du retrait de l'inscription; celui-ci ayant été effectué avant le début des examens, la moitié de la taxe d'inscription était due. Le 31 octobre 2018, A.________ a requis son inscription à la session de février 2019 (session I/2019), tout en sollicitant la restitution du délai de deux ans dès la fin du stage pour se présenter aux examens. A l'appui de cette demande, il invoquait des circonstances personnelles graves, à savoir le décès de sa soeur en octobre 2016, des problèmes d'apnées du sommeil, attestés par un certificat médical du 26 octobre 2018, qui n'avaient pu être diagnostiqués qu'en octobre 2018, ainsi que le temps qu'il avait dû consacrer à la procédure pénale dont l'enjeu principal était "un objet ayant potentiellement une valeur très importante" qui lui avait été soustrait. A.b. Par décision du 30 novembre 2019, la Cour administrative du Tribunal cantonal a refusé l'inscription de A.________ aux examens d'avocat, au motif que le délai de deux ans de l'art. 32 al. 3 de la loi vaudoise du 9 juin 2015 sur la profession d'avocat (ci-après: LPAv ou la loi vaudoise sur la profession d'avocat; RS/VD 177.11) pour se présenter aux examens à l'issue du stage était échu et que les circonstances invoquées ne suffisaient pas à retenir l'existence d'un cas de force majeure qui l'aurait empêché de se présenter aux examens durant deux ans; il avait bénéficié de six sessions pendant cette période, si l'on ne tenait pas compte des deux sessions dont il s'était retiré.