Citation: 5D_276/2020 E. A

A.a. Par ordonnance du 20 mars 2018, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois (ci-après: le président) a accordé à B.________ le bénéfice de l'assistance judiciaire dans la cause en divorce qui l'opposait à C.________ avec effet au 12 février 2018 et a désigné l'avocat A.________ en qualité de conseil d'office. A.b. Le 5 juin 2020, l'avocat A.________ a déposé sa liste des opérations en vue de la fixation de son indemnité finale de conseil d'office, en faisant état d'un temps consacré au dossier de 20 heures et 21 minutes et en concluant à l'application d'un tarif horaire de 234 fr. A.c. Par jugement du 27 juillet 2020, le président a notamment arrêté l'indemnité finale de l'avocat A.________, conseil d'office de B.________, à 4'402 fr. 85, vacation, débours et TVA compris, pour les opérations du 26 mars 2018 au 3 juin 2020 (VI) et l'a relevé de sa mission (VII). En droit, le premier juge a considéré que le temps consacré au dossier par l'avocat A.________ devait être rémunéré au tarif horaire de 180 fr. prévu par l'art. 2 al. 1 let. a du Règlement vaudois sur l'assistance judiciaire en matière civile du 7 décembre 2010 (RAJ/VD; BLV 211.02.3), et non à celui de 234 fr. revendiqué par l'intéressé. A.d. Par acte du 7 août 2020, l'avocat A.________ a recouru contre le jugement précité, en concluant à la réforme du chiffre VI de son dispositif en ce sens qu'un tarif horaire de 234 fr. soit appliqué et que son indemnité de conseil d'office soit fixée à 5'646 fr. 10, TVA comprise (II). Il a également conclu à la réforme de l'art. 2 al. 1 let. a et b RAJ en ce sens que le tarif horaire soit fixé à 180 fr. pour un avocat exerçant moins de 20% de son activité à l'assistance judiciaire, à 225 fr. pour un avocat exerçant plus de 20% de son activité à l'assistance judiciaire et à 235 fr. pour un avocat exerçant 40% et plus de son activité à l'assistance judiciaire, l'avocat prétendant à l'application d'un tarif particulier devant justifier annuellement de la proportion (III). A.e. Par arrêt du 2 septembre 2020, expédié le 17 suivant, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité et a confirmé le jugement attaqué.