Citation: 2D_37/2021 E. 2

A.________ dépose un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle demande, outre l'effet suspensif, la réforme ou l'annulation de l'arrêt du 16 juillet 2021 du Tribunal cantonal, ainsi que de la décision du Service cantonal du 21 janvier 2021 et l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur. Subsidiairement, elle conclut à ce qu'un délai au 15 janvier 2021 (sic) lui soit imparti pour quitter le territoire suisse. Par ordonnance du 15 septembre 2021, la Juge présidant la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours. Le Tribunal cantonal et le Service cantonal renvoient aux considérants de l'arrêt attaqué et concluent au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat aux migrations ne se prononce pas.