Citation: 5A_758/2020 E. A

A.a. Die Zeitung "E.________" erscheint einmal wöchentlich mit einer Auflage von mehr als 60'000 Exemplaren und wird gratis an alle Haushalte in der Region F.________ (SG), G.________ und H.________ (SZ) sowie I.________, J.________ und K.________ (ZH) verteilt. Herausgeberin ist die E.________ AG. Sie betreibt auch eine Homepage mit einem Link zur aktuellen Ausgabe der "E.________" in elektronischer Form sowie eine Facebook-Seite, auf der sie regelmässig Beiträge mit Links zu den "E.________" postet. A.b. Von Ende September 2014 bis Anfang August 2016 berichteten die "E.________" in rund 50 Ausgaben über die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) L.________ und über deren Präsidenten. Dabei wurde insbesondere anhand von Fällen, die die KESB L.________ betreute, deren Tätigkeit und Kompetenz beurteilt. In den "E.________" erschienen gesamthaft rund 130 Beiträge, zu denen eine Vielzahl von Leserbriefen abgedruckt wurden. Die E.________ AG erstellte und unterhielt auf der Startseite ihrer Homepage ein eigenes Dossier "KESB", und auf ihrer Facebook-Seite posteten Drittpersonen zu verschiedenen Beiträgen eine Vielzahl von Kommentaren. In der Zeit war A.________ Verleger und Chefredaktor und B.________ Redaktor der "E.________". A.c. C.________ präsidierte die KESB L.________ ab 1. Juni 2014 bis zu seiner Freistellung per 23. Oktober 2018 bzw. bis zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 28. Februar 2019. Trägerschaftsgemeinde der KESB L.________ war die Stadt D.________. Zehn politische Gemeinden am M.________ hatten ihr mit Verwaltungsvereinbarung vom August/September 2012 die Aufgaben der KESB organisatorisch übertragen. Seit 2020 ist die KESB neu organisiert.