Citation: 4A_127/2019 E. A

A.a. A.________ (Kläger, Beschwerdeführer) schloss mit der B.________ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) neben der obligatorischen Krankenversicherung verschiedene Zusatzversicherungen ab, darunter die Spitalversicherung Halbprivat. Diese Spitalversicherung gewährt ihm bei krankheits- oder unfallbedingten stationären Behandlungen einen Anspruch auf Behandlung in der halbprivaten Abteilung bei freier Arzt- und Spitalwahl. Mit Schreiben vom 3. Januar 2018 erteilte die Beklagte für die muskuloskelettale Rehabilitation des Klägers in der Privatklinik C.________ in U.________ eine Kostengutsprache für die Mehrkosten der halbprivaten Abteilung während 21 Tagen. Die Gutsprache erfolgte mit der Einschränkung, dass nur Kosten im Rahmen des von ihr festgesetzten VVG-Maximaltarifs in der Höhe von Fr. 155.-- pro Tag übernommen würden. Gleichtags unterzeichnete der Kläger und die Privatklinik C.________ eine mit "Versicherungsdeckung und Garantie-Erklärung" betitelte Vereinbarung mit folgendem Inhalt: "Gestützt auf die erhaltenen Angaben im Versicherungsausweis zur Spitalversicherung besteht für den vereinbarten Klinikaufenthalt ab: 04.01.2018 auf der Abteilung 2 Bettzimmer volle Kostendeckung für Krankenpflege, Unterkunft und Verpflegung [...]. Im Rahmen der stationären Behandlung fallen keine weiteren Kosten für Sie an [...]. Falls Ihre Versicherung die Auszahlung der berechtigen Spitalleistungen verweigert, erteilen Sie eine Vollmacht, damit der Versicherungsanspruch in Ihrem Namen geltend gemacht werden kann, was für Sie mit keinerlei Kosten verbunden ist. Die vorstehend gestützt auf den Versicherungsausweis abgegebene Garantie-Erklärung hat im Falle verweigerter Versicherungsleistungen Gültigkeit, wenn die Vollmacht zur Durchsetzung der Versicherungsansprüche erteilt wird [...] Soweit Rechnungsbeträge von der Versicherung nicht voll übernommen werden und auch nicht erhältlich gemacht werden können, werden Sie in diesem Ausmass entlastet." Ebenfalls am 3. Januar 2018 erteilte der Kläger auf dem Briefpapier der Privatklinik der D.________ Consulting und/oder E.________ eine Vollmacht zur "Durchsetzung der Ansprüche auf Auszahlung der versicherten Spitalleistungen aus OKP und VVG für den stationären Behandlungsaufenthalt in der Privat-Klinik C.________ in U.________ gegenüber Krankenkasse/Versicherung". A.b. Der Kläger hielt sich vom 4. bis am 24. Januar 2018 stationär in der Privatklinik C.________ auf. Von den dafür angefallenen Behandlungskosten von Fr. 5'250.-- übernahm die Beklagte den Betrag von Fr. 3'255.-- (21 Tage à Fr. 155.--).