Citation: 5A_647/2021 E. 6

En conclusion, le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il concerne le refus de l'assistance judiciaire et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur ce point. Le recours est rejeté pour le surplus. En conséquence, des frais judiciaires réduits sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Compte tenu du fait que celle-ci n'obtient gain de cause qu'au sujet de la requête d'assistance judiciaire présentée en deuxième instance cantonale, l'intimé ne doit s'acquitter ni de frais judiciaires ni de dépens. Celui-ci n'ayant pas été invité à se déterminer, il n'a pas droit à l'allocation de dépens. L'Etat de Vaud ne doit pas s'acquitter de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF), mais versera à la recourante une indemnité de dépens réduite (art. 68 LT F). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :