Citation: 4A_45/2016 E. A

A.a. Par contrat du 27 octobre 2004, B.________ (ci-après: la cliente), née en septembre 1923, a conféré à la société A.________ SA (ci-après: la gérante) le mandat de gérer ses actifs déposés auprès de la banque C.________ SA (ci-après: la Banque) à Neuchâtel. L'art. 5 du contrat prévoyait que «le Mandataire exercera le mandat de gestion conformément à la politique de placement expressément convenu (sic) avec le Mandant et consigné (sic) dans le document A1». L'art. 9 avait la teneur suivante: «Le Mandataire ne peut être tenu responsable des actions ou des omissions fondées sur la bonne foi, c'est-à-dire qu'il répond uniquement des cas de négligence grave. (...) ». Le document A1, daté du même jour, qualifiait le «profil du client» de «dynamique», par opposition à «conservateur» ou «pondéré». Le placement avait pour objectif la croissance réelle du capital, la cliente étant prête à prendre des risques, selon une attitude plutôt agressive. La monnaie de référence des placements était le franc suisse et des investissements spéculatifs étaient autorisés. Une deuxième annexe A2 précisait que «Le présent acte autorise la société à effectuer pour le compte du client des placements à caractère spéculatif (options, situations spéciales, obligations à haut rendement, instruments dérivés de toutes sortes) », cela à hauteur de 80 % du montant des avoirs. Figurait encore la clause selon laquelle «Les risques inhérents à ces types d'investissement sont entièrement connus et acceptés par le client. Sa disposition à assumer des pertes est totale». A.b. Au 31 décembre 2004, les avoirs de la cliente auprès de la Banque s'élevaient à environ 180'000 fr. La cliente était en outre titulaire d'un dépôt auprès d'une banque privée, pour une valeur de quelque 195'000 fr. A fin février 2007, le dossier titres détenu auprès de cet établissement a été transféré à la Banque, qui est devenue seule dépositaire dès ce moment-là. Au 25 juin 2009, la valeur du portefeuille de la demanderesse auprès de la Banque est tombée à 8'700 fr. La cliente dit avoir découvert la disparition quasi-totale de sa fortune au printemps 2009, au moment de remplir sa déclaration d'impôts avec l'aide de proches; elle a alors chargé un mandataire d'obtenir des explications circonstanciées de la gérante. Il s'en est suivi un échange de correspondances, à l'occasion duquel la gérante a fourni quelques documents bancaires, sans guère donner d'explications sur les raisons de la perte constatée.