Citation: 4A_104/2024 E. A

A.a. Die A.A.________ GmbH (Beschwerdeführerin 1) mit Sitz in V.________ (Deutschland) ist die Muttergesellschaft der A.________-Gruppe. Deren Haupttätigkeit liegt namentlich in der Planung, dem Bau und der Finanzierung von Anlagen zur Abwasserentsorgung. Die B.A.________ d.o.o. (Beschwerdeführerin 2) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung nach montenegrinischem Recht mit Sitz in W.________ (Montenegro). Die Beschwerdeführerin 2 ist eine 100 %-ige Tochtergesellschaft der Beschwerdeführerin 1. Sie war von dieser gegründet worden und fungierte als Projektgesellschaft. Die Gemeinde U.________ (Municipality of U.________, Beschwerdegegnerin) liegt in Montenegro. Der dem Schiedsverfahren zugrunde liegende Streit entstand im Zusammenhang mit der Planung, dem Bau, der Finanzierung und dem Betrieb von vier Kläranlagen und dem damit verbundenen Abwassersystem. Vertragliche Grundlage für die Geschäftsbeziehung zwischen den Parteien bildete in erster Linie der Design-Build-Finance-Operate-Vertrag (nachfolgend: DBFO-Vertrag) vom 8. Juli 2009, der zwischen der Beschwerdeführerin 1 und der Beschwerdegegnerin abgeschlossen wurde. Dieser enthält in Art. 28 eine Klausel, die den Transfer von Rechten und Pflichten unter dem DBFO-Vertrag auf die neu zu gründende Projekt-Gesellschaft (die Beschwerdeführerin 2) vorsieht. Die Tragweite dieser Klausel war zwischen den Parteien umstritten. Am 21. September 2010 und am 9. Juni 2011 schlossen die Beschwerdeführerin 1 und die Beschwerdegegnerin zwei Zusatzvereinbarungen (" Supplementary Agreements I and II ") zum DBFO-Vertrag ab. Der Abschluss einer weiteren Zusatzvereinbarung (" Supplementary Agreement III ") war zwischen den Parteien umstritten. Die Beschwerdegegnerin machte geltend, diese Zusatzvereinbarung sei nie unterzeichnet und daher nicht gültig abgeschlossen worden. Am 29. März 2015 wurde die Betriebsbewilligung für eine der vier Kläranlagen (die Hauptkläranlage) erteilt. Die Beschwerdeführerinnen machten geltend, die Republik Montenegro habe der Beschwerdeführerin 1 am 16. März 2010 eine Zahlungsgarantie in Höhe von bis zu 50 % des Werts der Investition gewährt (" State Guarantee "). Zudem habe am 22. April 2010 die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin 1 eine Zahlungsgarantie in Höhe von bis zu EUR 66 Mio. gewährt (" Municipality Guarantee "). Die Beschwerdegegnerin bestritt die Echtheit und die Gültigkeit beider Garantien. Für die zwischen Juli 2014 und April 2018 erbrachten Leistungen stellte die Beschwerdeführerin 2 der Beschwerdegegnerin monatliche Rechnungen über den Gesamtbetrag von EUR 23'107'617.--. Die Beschwerdegegnerin leistete Teilzahlungen im Betrag von mindestens EUR 1'806'723.33. Mit Schreiben vom 18. Mai 2018 kündigten die Beschwerdeführerinnen den DBFO-Vertrag. Nach der Kündigung bezahlte die Beschwerdegegnerin 10,75 Mio. EUR. Die Parteien vereinbarten die Einsetzung einer gemeinsamen Expertenkommission. Diese sollte einen Bericht betreffend die strittigen Fragen erstellen, konnte sich in der Folge jedoch nicht einigen. Am 13. Dezember 2019 rief die Beschwerdeführerin 1 die beiden Garantien ab. Die Republik Montenegro bezahlte in der Folge gemäss "State Guarantee" 29,25 Mio. EUR. A.b. Der DBFO-Vertrag enthält in Art. 26 eine Schiedsklausel zugunsten eines Schiedsgerichts mit Sitz in Genf. Art. 25 des DBFO-Vertrags unterstellt diesen dem anwendbaren Recht von Montenegro.