Citation: 4A_278/2020 E. A

A.a. A.________ (Beschwerdeführer) bewohnt ein Reihen-Einfamilienhaus in Zürich. Dieses gehörte zunächst C.C.________ und D.C.________. Am 10./19. August 2019 schlossen A.________ und C.C.________ eine mit "Gebrauchsleihe-Vertrag" betitelte Vereinbarung über "die Zwischennutzung der Liegenschaft". Die Parteien vereinbarten, dass "keine Miete" geschuldet sei und die Überlassung der Liegenschaft unentgeltlich erfolge. Es wurde festgehalten, dass A.________ die Kosten, die "aus dem Gebrauch der Liegenschaft" entstünden, sowie die Kosten des gewöhn lichen Unterhalts übernehme. In der Folge bezahlte A.________ Fr. 200.-- pro Monat. A.b. Am 19. November 2019 wurde die Liegenschaft an die B.________ GmbH (Beschwerdegegnerin) verkauft. Im Kaufvertrag wurde festgehalten, dass "ein Gebrauchsleihe-Vertrag" bestehe und dass dieser gemäss Art. 261 Abs. 1 OR auf die B.________ GmbH übergehe. Diese teilte A.________ mittels als "Kündigung" bezeichnetem Schrei ben vom 30. November 2019 mit, dass sie "den Gebrauchsleihe-Vertrag" kündige und er das Haus bis am 23. Dezember 2019 zu verlassen habe. Mit Schreiben vom 30. Dezember 2019 kündigte sie den "Gebrauchsleihe-Vertrag" sodann ausserordentlich per sofort.