Citation: 5A_69/2018 E. C

C.a. Mit Beschwerde vom 22. Januar 2018 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben, und hält mit Ausnahme der erwähnten Eventualbegehren (Bst. B.e) und des Antrags auf Ersatz der Kosten des Schlichtungsverfahrens (Bst. B.b) an den Begehren fest, die er vor Handelsgericht stellte. Den Antrag betreffend die Bezahlung seines vorprozessualen Aufwands reduziert er auf Fr. 7'421.76 (zuzüglich Verzugszins). Eventualiter sei die Sache "zur neuen Beurteilung" an das Handelsgericht zurückzuweisen. C.b. Das Bundesgericht hat die B.________ AG (Beschwerdegnerin), die C.________ AG (Streitberufene) und das Handelsgericht eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen. Das Handelsgericht teilt mit, vollumfänglich an seiner Rechtsauffassung festzuhalten, und beantragt, die Beschwerde abzuweisen (Eingabe vom 13. Juni 2018). Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf eine Stellungnahme (Schreiben vom 23. Juli 2018). Die Streitberufene erklärt, sie trete als prozessführende Stellvertreterin der Beschwerdegegnerin auf, und beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann (Eingabe vom 20. Juli 2018). Die Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.