Citation: 1C_229/2016 E. 5

Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires sont supportés, par moitié par l'intimé (art. 66 al. 1 LTF), la Commune de Corsier-sur-Vevey en étant exemptée (art. 66 al. 4 LTF). Les recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat, ont droit à des dépens, à la charge de l'intimé et de la commune (art. 68 al. 1 et 2 et art. 66 al. 5 par renvoi de l'art. 68 al. 4 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :