Citation: 5A_762/2013 E. 8

En conclusion, le recours doit être partiellement admis dans la mesure de sa recevabilité, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Il se justifie de répartir les frais judiciaires entre les parties à raison de 3/4 pour le recourant, qui succombe dans la plupart de ses conclusions, et d'1/4 pour l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant versera en outre une indemnité de dépens réduite à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans cette mesure, la requête d'assistance judiciaire de l'intimée, dont les conditions sont réalisées (art. 64 al. 1 LTF), est sans objet. Pour le surplus, les dépens sont compensés (art. 68 al. 1 LTF); la Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de l'intimée, dans la mesure où celle-ci succombe, une indemnité d'avocat d'office (art. 64 al. 2 LTF). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce: