Citation: 2C_241/2016 E. A

A.a. Le 12 septembre 2014, la Direction générale des finances publiques françaises (ci-après: l'autorité requérante) a adressé à l'Administration fédérale des contributions (ci-après: l'Administration fédérale) une demande d'assistance administrative concernant A.________, en matière d'impôt sur le revenu des périodes fiscales 2010 à 2013 et d'impôt sur la fortune des années 2010 à 2014. L'autorité requérante y indiquait qu'elle procédait au contrôle de la situation fiscale de A.________ et que ce dernier avait nié posséder des avoirs à l'étranger. Il apparaissait toutefois que l'intéressé détenait un compte en Suisse auprès de C.________ (ci-après: la Banque), sous un numéro qui était reproduit dans la demande d'assistance. Or, en tant que résident fiscal français, A.________ devait déclarer les comptes bancaires ouverts à l'étranger et ceux sur lesquels il détenait une procuration, ainsi que les revenus de source française (art. 105 al. 2 LTF). L'autorité requérante souhaitait en conséquence obtenir l'état de fortune aux 1er janvier 2010 à 2014, les relevés de compte du 1er janvier 2010 au 31 décembre 2013 et les formulaires A de tous les comptes bancaires dont A.________ était directement ou indirectement titulaire auprès de la Banque. A.b. Déférant à une ordonnance de production de l'Administration fédérale, la Banque a transmis les documents requis le 31 octobre 2014. Il en ressortait que A.________ était l'ayant droit économique d'un groupe de comptes détenus par B.________ SA, une société enregistrée au Panama (ci-après: la Société). La Banque ayant refusé d'informer A.________ et B.________ SA de l'existence de la procédure d'assistance administrative, l'Administration fédérale a fait publier un avis en ce sens dans la Feuille fédérale du 25 novembre 2014.