Citation: 4A_552/2015 E. A

A.a. Die B.________ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) hat ihren Sitz in Basel und bezweckt das Halten und Verwalten von Beteiligungen, insbesondere von Gesellschaften der Gruppe C.________. Die A.________ AG ("Versicherung", Beklagte, Beschwerdeführerin) schloss mit der B.________ AG zwei Verträge ("D.________ Haftpflichtversicherung", Nr. xxx und Nr. yyy), in denen sie für die Dauer vom 1. Juli 2002 bis 30. Juni 2005 (Ziffer 1.4 Vertrag) und bis zum Betrag von je 10 Mio. USD pro Schadenfall das Risiko der Versicherungsnehmerin und der mitversicherten Gesellschaften als Treuhandgesellschaft inkl. Bankenrevision für alle Tätigkeiten versicherte, wie sie in den jeweiligen Geschäftsberichten umschrieben sind (Ziffer 1.3.1 Vertrag). Mitversichert sind danach insbesondere die Tochtergesellschaften der Versicherungsnehmerin (Ziffer 1.2 Vertrag). A.b. Die E.________ AG ist eine 100%ige Tochtergesellschaft der Klägerin. Sie war ab 16. Februar 1999 als statutarische Revisionsstelle der F.________ SA, einer Vermögensverwaltungsgesellschaft mit Sitz in U.________, tätig. Die Eidgenössische Bankenkommission erteilte der F.________ SA am 4. Juli 2000 die Effektenhändlerbewilligung, worauf die E.________ AG auch als banken- bzw. börsengesetzliche Revisionsstelle eingesetzt war. G.________ war Angestellter, ab 2000 Partner der E.________ AG und kollektivzeichnungsberechtigt zu zweien; dem Verwaltungsrat gehörte er nicht an. Im Mandat F.________ SA war er verantwortlicher bzw. leitender Revisor. A.c. Nach einer Untersuchung entzog die Eidgenössische Bankenkommission der F.________ SA im August 2004 die Bewilligung als Effektenhändlerin. Am 19. August 2004 eröffnete die Eidgenössische Bankenkommission den Konkurs über die F.________ SA. Gegen die ehemaligen Verwaltungsräte der F.________ SA wurde ein Strafverfahren eröffnet, das schliesslich zu deren Verurteilung zu mehrjährigen Freiheitsstrafen führte. G.________ wurde im Strafverfahren als Auskunftsperson befragt. Obwohl gegen ihn keine Strafuntersuchung eröffnet worden war, erging am 1. Oktober 2012 eine Einstellungsverfügung. A.d. Am 18. Dezember 2009 reichte die Konkursmasse F.________ SA eine Verantwortlichkeitsklage aus Revisionshaftung gegen die E.________ AG ein, womit sie - im Sinne einer Teilklage - Fr. 10 Mio. eines von ihr mit Fr. 65 Mio. bezifferten Gesamtschadens geltend machte. Im Juli 2012 leiteten sodann zwei Gläubiger bzw. Investoren der F.________ SA Zivilklagen gegen die E.________ AG wegen direkter Schädigung ein. Die H.________ klagte auf Bezahlung von rund USD 15 Mio., die I.________ machte eine Forderung von rund USD 10 Mio. geltend. A.e. Die Versicherung verweigerte die Übernahme der Kosten für die Abwehr der gegen die E.________ AG eingereichten Klagen.