Citation: 4A_82/2016 E. A

A.a. Die B.________ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) leitete am 15. Dezember 2014 ein Schiedsverfahren gegen die A.________ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) ein mit dem Rechtsbegehren, es sei die Beklagte zu verpflichten, der C.________ S.à.r.l. einen von der Klägerin noch abschliessend zu beziffernden Betrag zu bezahlen, mindestens jedoch EUR 7'972'548.12 nebst 19.6 % MWST, EUR 915'078.77 nebst 19.6 % MWST und EUR 1'223'513.89 nebst 19.6 % MWST, d.h. insgesamt EUR 10'111'140.78 nebst 19.6 % MWST, zuzüglich Verzugszinsen. Eventualiter seien die verlangten Beträge der Klägerin zu bezahlen. Die Klage steht im Zusammenhang mit der Stilllegung einer Abwasserreinigungsanlage. Die Klägerin stellt sich auf den Standpunkt, die Beklagte hafte für einen Teil der dadurch verursachten Kosten. Die Klägerin stützt sich dabei auf einen am 15. Februar 1980 zwischen der D.________ AG und der E.________ AG abgeschlossenen Vertrag (nachfolgend: Rahmenvertrag), der den Betrieb der Anlage geregelt haben soll und in Art. 2 Abs. 4 Folgendes vorsieht: "D.________ und E.________ garantieren sich gegenseitig, dass ihre genannten Tochtergesellschaften und deren Vertreter sämtliche ihnen in diesem Vertrag zugedachten Pflichten erfüllen." Der Rahmenvertrag enthält zudem die folgende Bestimmung: "19. Schiedsgericht Der vorliegende Vertrag untersteht dem schweizerischen Recht. Differenzen über den Bestand oder die Durchführung dieses Vertrages, welche die Parteien nicht gütlich beseitigen können, werden von einem Schiedsgericht mit Sitz in Basel entschieden. Das Schiedsgericht soll nach Möglichkeit von beiden Parteien gemeinsam bestellt werden. Im übrigen gelten die Bestimmungen des Konkordates vom 27. März 1969 über die Schiedsgerichtsbarkeit." 1990 wurden im D.________-Konzern verschiedene Umstrukturierungen vorgenommen. Im Jahr 1995 wurde sodann ein Teil des Unternehmens an die Beklagte ausgegliedert. Am 20. Dezember 1996 fusionierten die D.________ AG und die E.________ AG zur B.________ AG. Die Beklagte betrachtet sich nicht an die Schiedsklausel in Art. 19 des Rahmenvertrags gebunden. A.b. Mit Schreiben vom 21. Oktober 2013 ernannte die Klägerin einen Schiedsrichter. Nachdem die Beklagte auf eine entsprechende Bezeichnung verzichtet hatte, ernannte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 24. April 2014 einen Schiedsrichter. Mit Einverständnis der Parteien einigten sich die beiden Schiedsrichter daraufhin auf einen Vorsitzenden des Dreierschiedsgerichts.