Citation: 4A_459/2021 E. A

A.a. A.________ est entré au service de la banque française Z.________en 2011. Par contrat de travail de durée indéterminée prenant effet le 16 janvier 2017, celle-ci l'a réaffecté à son bureau de représentation genevois en tant que délégué commercial. Cette convention prévoyait un salaire brut de 4'000 fr. par mois pour un travail hebdomadaire de quarante heures. Les heures supplémentaires qui étaient expressément imposées par l'employeuse devaient être compensées par du temps libre de même durée (art. 4 du contrat). Le salarié devait exécuter son travail essentiellement au siège de l'employeuse mais pouvait être amené, dans le cadre de ses fonctions, à effectuer des déplacements en Suisse ou à l'étranger, de longue ou de courte durée (art. 7). A.b. L'employé, qui était domicilié en Haute-Savoie () entre janvier et août 2017, devait prospecter de nouveaux clients. Il se déplaçait notamment dans divers lieux à Genève ainsi qu'à Lausanne et à Berne. Il s'est rendu au moins trois fois à Zurich. Il avait un abonnement pour les transports publics genevois dont la moitié était remboursée par la banque. Il utilisait son véhicule privé pour les autres trajets. Tous les mois, il présentait à son employeuse ses justificatifs de frais d'essence, de parking et d'abonnement aux transports publics. Celle-ci lui a remboursé ces frais de janvier à novembre 2017. A.c. Dès le 25 janvier 2018, l'employé s'est trouvé totalement incapable de travailler en raison d'un état dépressif et anxieux majeur. Les certificats médicaux font état d'un épuisement professionnel occasionné par une surcharge de travail. A.d. Le 17 juillet 2018, l'employé a assigné une première fois la banque en conciliation devant les tribunaux genevois. Il lui réclamait entre autres le paiement d'heures supplémentaires et d'une indemnité pour tort moral, ainsi que le remboursement de divers frais. L'audience tenue le 18 septembre 2018 n'a pas permis de trouver un accord. A.e. Dans une missive du 14 septembre 2018, la compagnie d'assurances qui versait des indemnités journalières a déploré le manque de collaboration du médecin de l'employé; elle a invité ce dernier à faire le nécessaire dans un délai échéant le 1er octobre 2018, faute de quoi il perdrait son droit aux prestations. A.f. Le 21 septembre 2018, la banque a mis fin au contrat de travail de l'employé pour le 31 décembre 2018, sans indiquer de motif. L'employé a contesté le congé qu'il a qualifié d'abusif. Il a ensuite été hospitalisé du 7 novembre au 3 décembre 2018. A.g. L'employé a fait appel au Service de l'inspection du travail pour une problématique de temps de travail et une suspicion de mobbing /harcèlement moral. Un inspecteur est intervenu après la résiliation des rapports de travail. Il n'a décelé aucune problématique, en particulier quant au climat de travail.