Citation: 4F_7/2021 E. A

A.a. A.________ (Auftraggeber, Beschwerdeführer, Gesuchsteller) war seit 1996 Arbeitnehmer der C.________ AG. Diese hatte für ihre Angestellten eine kollektive Krankentaggeldversicherung bei der Da.________ AG abgeschlossen. Im Juni 2004 wurde der Auftraggeber zufolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig. Er meldete seine Arbeitsunfähigkeit im Oktober 2004 der Versicherung und ersuchte um Auszahlung von Taggeldern. In der Folge kam es zu einer jahrelangen Korrespondenz betreffend die geltend gemachten Taggeldansprüche. Im Jahr 2006 mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. E.________ zur Wahrung seiner Interessen. Im Jahr 2007 zog er Rechtsanwalt F.________ bei. In der Folge kam es in diesen Mandatsverhältnissen zu Differenzen betreffend das geschuldete Honorar. Am 2. September 2010 erhob Rechtsanwalt F.________ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen den Auftraggeber betreffend offene Honorarforderungen. Letzterer liess sich in diesem Prozess durch Rechtsanwältin B.________ (Beauftragte, Beschwerdegegnerin, Gesuchsgegnerin) vertreten. Mit Urteil vom 7. Mai 2012 wies das Bezirksgericht die Klage von Rechtsanwalt F.________ ab und hiess die Widerklage des Auftraggebers auf Rückerstattung eines Teils des Honorars gut. A.b. In der Folge mandatierte der Auftraggeber die Beauftragte mit einer Klage gegen Rechtsanwalt Dr. iur. G.________, den Büropartner des inzwischen verstorbenen Rechtsanwalts E.________, weil Letzterer es pflichtwidrig unterlassen habe, die zur Unterbrechung der Verjährung der Forderungen aus der Krankentaggeldversicherung gebotenen Massnahmen zu ergreifen. Die Beauftragte bereitete daraufhin eine Klage vor und stellte dafür Rechnungen, welche der Auftraggeber bezahlte. A.c. Mitte 2013 empfahl die Beauftragte dem Auftraggeber, gestützt auf den zwischenzeitlich ergangenen BGE 139 III 418 betreffend die Verjährung der Ansprüche auf Taggeldleistungen, zunächst gegen die "D.________ Versicherung" auf Leistung von Taggeldern zu klagen. In der Folge unterschrieb der Auftraggeber am 14. Dezember 2013 eine Vollmacht für eine Klage gegen die Db.________ AG. Diese wurde am 18. Dezember 2013 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eingereicht (nachfolgend auch: Erstprozess). Es wurde eine Forderung in Höhe von Fr. 313'858.60 nebst 5 % Zins seit 24. Januar 2007 geltend gemacht. Die Db.________ AG bestritt in der Duplik erstmals ihre Passivlegitimation und machte geltend, die Versicherungspolice laute auf die Da.________ AG. In der Folge führte das Sozialversicherungsgericht einen weiteren Schriftenwechsel durch und wies die Klage hernach mit Urteil vom 24. Februar 2016 mangels Passivlegitimation der Db.________ AG ab. Es verwarf die Einwendungen des Auftraggebers bzw. der Beauftragten, wonach das Verhalten der Db.________ AG rechtsmissbräuchlich sei und diese solidarisch mit der Da.________ AG hafte. Einem Parteiwechsel habe keine der Gesellschaften zugestimmt. Der Auftraggeber wurde zu einer Parteientschädigung von Fr. 7'931.-- verpflichtet. Die Beauftragte stellte dem Auftraggeber für ihre Arbeiten in diesem Verfahren ein Honorar in Höhe von Fr. 69'656.80 in Rechnung, welches er bezahlte. A.d. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts wurde von der Db.________ AG beim Bundesgericht wegen der als zu niedrig erachteten Parteientschädigung angefochten (Urteil 4A_220/2016 vom 27. Juli 2016). Es wies die Beschwerde ab und sprach dem Auftraggeber eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2'500.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu. Diese Entschädigung deckte seine Anwaltskosten im Betrag von Fr. 2'268.-- nicht. A.e. Die Beauftragte empfahl dem Auftraggeber die Prüfung einer Strafanzeige gegen die Db.________ AG - namentlich wegen möglicher Verstösse gegen das Datenschutzgesetz und unbefugter Beschaffung besonders schützenswerter Personendaten - und schlug ihm für das strafrechtliche Verfahren Rechtsanwalt Dr. iur. H.________ vor. In der Folge mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. I.________ mit der Prüfung, welcher für seine Tätigkeit Rechnung in Höhe von Fr. 2'592.-- stellte. A.f. Die Beauftragte bot dem Auftraggeber zudem an, eine neue Klage gegen die Da.________ AG unter Zugrundelegung der bisherigen Rechtsschriften kostenlos einzureichen, wollte aber alle weiteren Tätigkeiten ab der Klageantwort nochmals neu verrechnen. Der Auftraggeber forderte hingegen die vollständig kostenlose Führung des neuen Prozesses. Überdies verlangte er die Übernahme der Parteientschädigung, welche er im Prozess gegen die Db.________ AG zu entrichten hatte (vgl. hiervor lit. A.d). Weil die Parteien sich nicht einig wurden, betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt J.________ mit der Vertretung seiner Interessen im Prozess gegen die Da.________ AG. Dieser reichte die Klage am 26. September 2016 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein (nachfolgend auch: Zweitprozess). Mit der Replik betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt K.________. Mit Urteil vom 16. Oktober 2018 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage im Umfang von Fr. 188'308.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 24. Januar 2007 gut und wies sie im Übrigen ab.