Citation: 5A_461/2020 E. C

C.a. Die Beschwerdeführerin gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Juni 2020 an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Verfügung des Obergerichts sei in dem Umfang aufzuheben, als das Obergericht auf das Gesuch um vorzeitige Vollstreckbarkeit nicht eingetreten sei (bezüglich Dispositiv-Ziffer 1 Satz 1 des Entscheids vom 23. September 2019); das Gesuch auf vorzeitige Vollstreckbarkeit sei bezüglich Dispositiv-Ziffer 1 Satz 1 des Entscheids vom 23. September 2019 abzuweisen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. C.b. Der Beschwerdegegner zweifelt in seiner Vernehmlassung vom 21. August 2020 an, vor Bundesgericht (noch) Gegenpartei zu sein. Nicht mehr sein Gesuch um Entzug der aufschiebenden Wirkung sei Streitgegenstand, sondern eine Erwägung der Vorinstanz. Er verzichte daher auf eine Vernehmlassung zu den Beschwerdegründen und einen Antrag in der Sache. Er schliesst dann aber doch darauf, dass es der Beschwerdeführerin an einem schutzwürdigen Interesse fehle und ihr kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 BGG drohe, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten sei. Im Übrigen teile er die von der Vorinstanz geäusserte Auffassung zum Berufungsantrag der Kindsmutter nicht und habe diesbezüglich auch im vorinstanzlichen Verfahren nie so argumentiert. Für den Fall, dass das Bundesgericht auf den Fall eintritt, ersucht er eventualiter darum, es sei "mit Blick auf seine spezielle Verfahrensstellung" auf die Erhebung von Gerichtskosten und auf die Verlegung von Parteikosten zu seinen Lasten zu verzichten. Die Vernehmlassung wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. C.c. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.