Citation: 4A_558/2017 E. A

A.a. X.________ (ci-après: l'intéressée ou la demanderesse), née en 1948, a travaillé auprès du Centre A.________ (ci-après: A.________) du 1er mars 1982 au 31 octobre 1992 puis, à 40%, auprès de l'institution B.________ du 1er septembre 1993 au 30 septembre 1995. Pendant les périodes en question, elle a été affiliée au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse C.________ (ci-après: C.________), respectivement auprès du Fonds de prévoyance U.________ (ci-après: fonds U.________). Par décision du 26 août 1996 de l'Office AI, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité avec effet rétroactif au 1er octobre 1993. A teneur du dossier AI, l'incapacité de travail a débuté le 1er novembre 1992 et le besoin d'un traitement médical s'est manifesté le 22 avril 1993. A.b. Le 22 janvier 1997, l'intéressée a requis du fonds U.________, soit le fonds de pension de son dernier employeur, des prestations d'invalidité. Celui-ci a cependant refusé de prester, au motif que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité était antérieure à l'affiliation. L'intéressée a alors saisi le Tribunal des assurances du canton de Vaud d'une demande tendant au paiement de prestations d'invalidité par le fonds U.________. A un moment où cette procédure était pendante, le 30 juin 1999, l'intéressée a donné un mandat privé à Z.________ (ci-après: l'avocat ou le défendeur), mandat dont l'étendue exacte n'a pas été établie. Le 11 janvier 2000, Z.________ lui a été désigné comme avocat d'office dans la procédure ouverte contre le fonds U.________, succédant à deux précédents avocats d'office. Cette procédure s'est terminée avec l'entrée en force du jugement du 19 février 2001, par lequel le Tribunal a débouté l'intéressée de sa demande. Dans ce jugement, le Tribunal a retenu que l'incapacité de travail invalidante de l'intéressée remontait à la fin des rapports de travail avec son précédent employeur, soit A.________, de sorte que le fonds U.________ n'était pas débiteur de prestations d'invalidité. Le jugement du 19 février 2001 a été notifié à Z.________ le 30 avril 2001 et transmis par ce dernier à l'intéressée le 1er mai 2001. Dans le cadre de la présente procédure, l'avocat a allégué avoir rencontré l'intéressée lors d'un entretien le 4 mai 2001. Il l'aurait alors informée de ses droits à l'encontre du fonds de son premier employeur et aurait vérifié que la prescription n'était pas acquise. L'intéressée a nié avoir participé à cet entretien. Faute d'avoir été remis en cause, le jugement du 19 février 2001 rendu dans la procédure opposant l'intéressée au fonds U.________ est entré en force le 31 mai 2001. Selon les éléments retenus dans l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral (arrêt 4A_234/2016 du 19 décembre 2016 consid. 2.1, en partie publié à l'ATF 143 III 10), le mandat d'office de l'avocat a pris fin à ce moment-là, sans que l'intéressée n'apporte la preuve qu'elle lui aurait confié un mandat privé par la suite. A.c. Le 21 avril 2008, l'intéressée s'est adressée à C.________ afin d'obtenir des prestations d'invalidité. Ce fonds de pension a reconnu une invalidité définitive à 100% remontant au 1er novembre 1992, mais s'est prévalu de la prescription des prestations. Le 23 octobre 2009, l'intéressée a introduit une demande tendant au paiement de prestations d'invalidité par C.________. Celle-ci a été rejetée par jugement du 20 septembre 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud retenant que la prescription des prétentions à l'égard de C.________ a été atteinte en octobre 2003 au plus tard. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé contre ce jugement par arrêt du 4 juillet 2012 (cause 9C_94/2012).