Citation: 9C_597/2018 E. A

A.a. A.________ est né en 1956. Il a exercé les métiers de chauffeur poids lourds, livreur ou machiniste. Le 18 octobre 2012, il a requis des prestations de l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) en raison des problèmes totalement incapacitants qui affectaient son membre supérieur droit. Entre autres mesures d'instruction, l'administration a recueilli l'avis des médecins traitants. Son Service médical régional (SMR) en a déduit l'existence d'une radiculopathie C5/6 droite, déficitaire sur le plan moteur, évoluant dans le cadre de troubles dégénératifs du rachis depuis juillet 2012 et prohibant la pratique de toute activité nécessitant l'usage du bras dominant, dont celle de chauffeur. Se basant sur cette appréciation, l'office AI a informé l'assuré qu'il envisageait de lui verser une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 2013 (projet de décision du 21 novembre 2013). En raison cependant de doutes et d'incohérences quant à l'étiologie et l'évolution de la maladie retenue par les médecins traitants, le SMR a préconisé la mise en place d'une surveillance de l'intéressé. Les résultats obtenus l'ont amené à exclure l'existence de tout diagnostic incapacitant. L'administration a dès lors annulé son projet de décision et l'a remplacé par un nouveau. Elle envisageait désormais de rejeter la demande (projet de décision du 13 mars 2014). Le SMR a estimé que les informations médicales fournies durant la procédure d'observations contre le projet de décision par les médecins traitants ne mettaient en évidence aucun élément objectif nouveau justifiant l'incapacité totale de travail que ces praticiens attestaient. Par conséquent, l'office AI a entériné son refus de prester (décision du 27 mai 2014). Sur recours de A.________, le Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, a toutefois annulé la décision administrative et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement du 11 décembre 2015). A.b. Pour faire suite aux recommandations du SMR, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise au Centre d'Expertise Médicale (CEMed). Les experts ont diagnostiqué des lombalgies chroniques sur troubles dégénératifs et hernie discale L3/4 gauche, une périarthrite scapulo-humérale chronique avec capsulite rétractile et un status après atteinte radiculaire C5/6 droite sévère d'origine compressive ou inflammatoire interdisant l'exercice de l'activité habituelle de chauffeur depuis juillet 2012 mais autorisant la pratique à plein temps de toute activité adaptée depuis le début 2013 (rapport du 1er juillet 2016). Le SMR ayant entériné les conclusions des experts, l'administration a averti l'assuré qu'elle entendait une nouvelle fois rejeter sa demande (projet de décision du 29 juillet 2016). L'intéressé a requis le bénéfice de l'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative et formulé des observations contre le projet de décision. L'office AI a rejeté la requête mentionnée (décision incidente du 3 octobre 2016) et confirmé son refus d'octroyer des prestations (décision du 3 octobre 2016).