Citation: 5A_617/2019 E. 5

Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache an das Bezirksgericht U.________, das die übrigen Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausdrücklich nicht geprüft hat, zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Dem Kanton Zürich sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen hat der Kanton die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das kantonal oberinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 106 Abs. 1 ZPO und Art. 68 Abs. 2 BGG; Urteile 5A_389/2014 vom 9. September 2014 E. 4 mit Hinweisen, in: SJ 2015 I S. 17; 5A_754/2013 vom 4. Februar 2014 E. 5). Aus Gründen der Prozessökonomie legt das Bundesgericht die der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das oberinstanzliche Verfahren zustehende Parteientschädigung zulasten des Kantons Zürich gleich selbst fest (Art. 68 Abs. 5 BGG).