Citation: 5A_23/2023 E. A

A.a. C.________ est né en 2019 de la relation hors mariage entre A.________ et B.________. Ce dernier avait reconnu l'enfant le 2 septembre 2019. Les parents ont obtenu l'autorité parentale conjointe par déclaration commune. Les parties se sont séparées en août 2020. A.b. Par acte déposé en conciliation au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal) le 8 février 2021, non concilié puis introduit au Tribunal le 28 janvier 2022, A.________ et C.________, représenté par sa mère, ont formé une action alimentaire à l'encontre de B.________, concluant, notamment, en dernier lieu et s'agissant des points encore litigieux en appel, à ce que l'autorité parentale conjointe des parents sur l'enfant soit maintenue, à ce que la garde de l'enfant soit confiée à A.________, à ce que celle-ci soit autorisée à quitter la Suisse en direction du Portugal et à déplacer la résidence habituelle de l'enfant à U.________, au Portugal et à ce qu'un droit de visite soit octroyé au père. Il résulte de la demande que A.________, qui entendait accoucher de son second enfant dont elle était enceinte au Portugal, expliquait notamment qu'elle entretenait une relation sérieuse avec le père de celui-ci, D.________, avec qui elle souhaitait vivre et fonder une famille. Son nouveau compagnon était propriétaire d'un appartement au Portugal, déjà aménagé pour y accueillir C.________. A.c. Par ordonnance du 14 mars 2022, le Tribunal a fait interdiction à A.________ d'emmener hors de Suisse l'enfant C.________, lui a fait interdiction de déplacer le lieu de résidence de l'enfant, lui a retiré le droit de déterminer le lieu de résidence de celui-ci et lui a ordonné de déposer immédiatement les documents d'identité de l'enfant auprès du Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi), sous la menace de la peine de l'art. 292 CP. A.d. A.________ a définitivement quitté la Suisse pour le Portugal le 12 avril 2022 et y a accouché de son second enfant le 28 avril 2022. L'enfant C.________ est resté auprès de son père en Suisse. A.e. Par jugement du 22 avril 2022, le Tribunal a notamment attribué à B.________ la garde de fait sur l'enfant C.________ (ch. 2 du dispositif), réservé à A.________ un droit de visite qui s'exercerait lorsqu'elle viendrait à Genève, mais au minimum un week-end par mois, charge à la mère d'informer le père au minimum quinze jours au préalable, les vacances étant réparties par moitié entre les parents selon des modalités dont le détail figure dans le dispositif du jugement (ch. 3), ordonné au SPMi de remettre en mains de B.________ les documents d'identité du mineur C.________ (ch. 4), dit que l'entretien convenable de C.________, hors allocations familiales et subside d'assurance-maladie, est de 800 fr. par mois (ch. 5), et attribué à B.________ les bonifications pour tâches éducatives (ch. 6).