Citation: 2C_52/2014 E. 6

Die Beschwerde ist gutzuheissen und zu neuer Beurteilung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei sind die Vorbringen der Beschwerdeführer auch nach September 2012 zu berücksichtigen. Bei diesem Prozessausgang werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Rechtsanwalt Peter Wicki reicht für das bundesgerichtliche Verfahren eine Honorarnote von Fr. 3'888.-- ein. Zu berücksichtigen ist, dass nur die notwendigen Auslagen ersetzt werden können (Art. 68 Abs. 2 BGG) und den Ausführungen betreffend (Nicht-) Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung klarerweisekein Erfolg beschieden sein konnte. Eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- erscheint angemessen.