Citation: 1C_547/2019 E. A

A.a. C.________ ist Eigentümerin der Parzelle 1868 in der Gemeinde St. Moritz. Das Grundstück liegt im Bereich der Einmündung der Via Puzzainas in die Via Suvretta in der Villenzone Suvretta. An die Liegenschaft grenzt die Parzelle 2462, die sich als schmaler, zwischen 2.2 m bis 3.6 m breiter Streifen von der südlichen Ecke bis fast an die östliche Ecke der Parzelle 1868 hinzieht und ungefähr je zur Hälfte durch Wiesland und den Strassenkörper der Via Puzzainas belegt ist. Die Parzelle 2462 steht im Miteigentum von A.________ und B.________. Im Norden grenzen die Grundstücke 1938 und 2100 an die Parzelle 1868. Daran schliesst sich die Parzelle 779 an, die in der Landwirtschaftszone mit überlagerter Wintersportzone liegt und sich ebenfalls im Miteigentum von A.________ und B.________ befindet. A.b. Am 2. Mai bzw. 19. September 2016 sowie am 28. Februar 2017 bewilligte der Gemeindevorstand von St. Moritz als Baubehörde den Abbruch und Wiederaufbau des auf der Parzelle 1868 stehenden Einfamilienhauses sowie verschiedene Projektänderungen. Am 8. März 2018 reichte C.________ ein fünftes Projektänderungsgesuch ein, das als Variante im ersten Untergeschoss anstelle der bewilligten Abstell- und Kellerräume eine zusätzliche Erstwohnung vorsieht, verbunden mit dem Einbau von zwei verglasten Lichtschächten und der Verlegung des Fusswegs als Zugang zum Hauseingang von der Südseite auf die Westseite des Gebäudes. Diese Untergeschosswohnung soll als Wohnraum für einen Hauswart dienen. A.c. Gegen das Baugesuch betreffend die fünfte Projektänderung erhoben A.________ und B.________ am 4. April 2018 Einsprache bei der Gemeinde St. Moritz mit dem Antrag, das Baugesuch abzuweisen. Mit Bau- und Einspracheentscheid vom 23. Juli 2018 wies der Gemeindevorstand die Einsprache ab und erteilte unter einer geringfügigen Korrektur die ersuchte Baubewilligung mit den entsprechenden Modalitäten und bestimmten Auflagen wie insbesondere einer Erstwohnungspflicht für die Wohnung im ersten Untergeschoss.