Citation: 4A_187/2018 E. A

A.a. Par contrat de travail du 26 mars 2004, A.________ (ci-après : l'employée) a été engagée en qualité de directrice des ressources humaines à partir du 1er mai 2004 par B.________ Sàrl (ci-après : l'employeuse), société avec siège à La Chaux-de-Fonds active notamment dans le développement, la production et la commercialisation de produits horlogers. Le salaire mensuel brut de l'employée était de 9'100 fr. au début de la relation contractuelle et, en dernier lieu, de 12'300 fr. De durée indéterminée, le contrat prévoyait un délai de résiliation de trois mois pour la fin d'un mois. Le 28 janvier 2008, l'employée a été victime d'un accident sur son lieu de travail. Une fois son état stabilisé, sa capacité de travail résiduelle a été de 70% et une rente d'invalidité mensuelle de 2'520 fr. lui a été octroyée par la SUVA pour son incapacité de 30%. A.b. Par courrier non daté et rédigé sur un papier ne comportant pas l'en-tête de la société employeuse (mais, en pied de page, une adresse dans la région de Nice, le lien précis avec l'entreprise n'étant toutefois pas établi), L.________, vice-président exécutif de la société employeuse, a pris, au nom de N.________ - alors associé gérant disposant de la signature individuelle (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF; PL défenderesse no 4 dans laquelle figure un extrait du registre du commerce) -, l'engagement que l'employée percevrait son salaire jusqu'à sa retraite (soit jusqu'au 31 mai 2015), même en cas d'incapacité de travail liée à son accident. La validité (ou la portée) de ce document est litigieuse. Il résulte d'un avenant au contrat, daté du 25 juin 2009, que le délai de résiliation était dorénavant de six mois pour la fin d'un mois. Ce document, qui devait être signé par O.________ et P.________ (comme représentants de l'employeuse), ainsi que par l'employée, ne porte que la signature de O.________. La validité de ce document est litigieuse. A.c. Par courrier du 26 mars 2014, l'employeuse a résilié le contrat de travail de son employée pour le 30 juin 2014, en application du délai de résiliation (de trois mois) prévu dans le contrat du 26 mars 2004. Par courrier du 18 juin 2014, l'employée s'est opposée au congé et elle a requis sa motivation. L'employée a présenté une incapacité de travail totale sur plusieurs périodes entre avril et septembre 2014.