Citation: 4A_333/2013 E. A

A.a. Le 28 septembre 1990, X.________ a été heurté par un motocycliste alors qu'il traversait une rue lausannoise en dehors d'un passage pour piétons. Il a subi un traumatisme cranio-cérébral sévère entraînant une incapacité de travail totale et exigeant un placement permanent dans une institution spécialisée. X.________ a mandaté Me Y.________, avocat à Lausanne, pour défendre ses intérêts dans les différentes procédures judiciaires consécutives à cet accident. Le 1er juin 2001, Me Y.________, agissant au nom de X.________, a introduit une action en paiement contre l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste. Par jugement des 27 juin et 22 octobre 2003, qui n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la demande pour cause de prescription. A.b. Le 25 janvier 2005, X.________, représenté par Me A.________, avocat à Sion, a ouvert action contre Y.________ aux fins d'obtenir le paiement de 1'329'500 fr., plus intérêts, pour mauvaise exécution du mandat. Le défendeur a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 26 juin 2008, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, admettant partiellement la demande, a condamné le défendeur à payer au demandeur un total de 556'534 fr. 60 à différents titres. Elle a considéré, en résumé, que le demandeur aurait pu obtenir une telle somme de l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste si le défendeur n'avait pas fautivement laissé la créance correspondante se prescrire. Pour calculer la somme précitée, les juges cantonaux ont estimé que la faute grave commise par le demandeur, qui était sous l'influence de l'alcool au moment de la survenance de l'accident, eût justifié une réduction de 70% de ses prétentions. Les deux parties ont recouru au Tribunal fédéral contre ce jugement: X.________, toujours représenté par Me A.________, en date du 26 juin 2009, par le truchement de son tuteur et avec l'autorisation de l'autorité pupillaire compétente, en vue d'obtenir la somme de 1'129'500 fr. (cause 4A_329/2009); Y.________, le 17 août 2009, pour que son ancien mandant soit débouté totalement des fins de sa demande (cause 4A_369/2009). Par arrêt du 1er décembre 2010, la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, après avoir joint ces deux causes, a déclaré irrecevable le recours interjeté par X.________, faute d'épuisement des voies de recours, s'agissant des critiques touchant les constatations de fait, et d'une motivation suffisante quant aux griefs concernant l'application du droit; elle a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours formé par Y.________. La demande d'assistance judiciaire formulée par X.________ dans la cause cause 4A_329/2009 a été rejetée, les conclusions du recourant étant vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). Dans la cause 4A_369/2009, Y.________ a été condamné à verser à X.________ une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens.