Citation: 2C_788/2022 E. A

A.a. A.A.________, ressortissant turc né en 1964, est entré en Suisse le 3 septembre 1996. Sa demande d'asile a été acceptée et il a obtenu une autorisation de séjour. Son épouse, B.A.________, née en 1970, ainsi que sa fille C.________, née en 1995, l'ont rejoint en 1998 et ont été mises au bénéfice d'autorisations de séjour. A.b. Les époux A.________ ont eu un second enfant, D.________ (ci-après: D.________), né en Suisse en juin 2001. Depuis la naissance, D.________ souffre de pathologies neurologiques (souffrance foetale aiguë) avec multiples complications, hydrocéphalie sur hémorragie cérébrale ayant nécessité une ventriculostomie à l'âge de six mois, status post accident évolutif hémorragique d'un angiome veineux thalamique en période périnatale. Il est dépendant dans la plupart des activités quotidiennes. A.c. A.A.________ et sa famille ont obtenu des autorisations d'établissement le 26 novembre 2001. Le 1er juillet 2005, A.A.________ a renoncé à son statut de réfugié. Par décision du 28 décembre 2016, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a constaté que l'autorisation d'établissement de A.A.________, ainsi que celle de son épouse et de leur fils D.________, avaient pris fin au motif qu'ils avaient résidé hors de Suisse pendant plus de six mois, subsidiairement que leur centre d'intérêt se trouvait en Turquie. Aucune décision n'a été prise concernant C.________, dont le départ du canton de Neuchâtel a été enregistré de manière rétroactive au 17 février 2016. Saisi d'un recours de la famille A.________, le Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel (actuellement: Département de l'emploi et de la cohésion sociale; ci-après: le Département) a confirmé la décision du Service cantonal s'agissant de A.A.________, retenant que même s'il n'était pas avéré que celui-ci était demeuré hors de Suisse durant six mois, il avait déplacé son centre d'intérêt en Turquie. Le Département a en revanche admis le recours concernant D.________ et partant ordonné la restitution de l'autorisation d'établissement en sa faveur. Enfin, le Département a classé le recours en tant qu'il concernait B.A.________, décédée le 9 septembre 2017. A.d. D.________ a obtenu la nationalité suisse le 2 septembre 2019. A.e. Par arrêt du 9 janvier 2020, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé la décision de caducité de l'autorisation d'établissement concernant A.A.________. Celui-ci ayant conclu subsidiairement à l'octroi d'une autorisation de séjour ou d'établissement au motif que l'état de santé de son fils s'était aggravé, le Tribunal cantonal a transmis cette demande au Service cantonal pour examen. A.A.________ a recouru contre l'arrêt du 9 janvier 2020 auprès du Tribunal fédéral. Par arrêt du 21 août 2020 (2C_158/2020), le Tribunal fédéral a rejeté le recours. Il a en particulier relevé qu'il ressortait des faits de l'arrêt du Tribunal cantonal du 9 janvier 2020 que le recourant avait, dans la période du 17 octobre 2013 au 7 novembre 2014, passé la majeure partie de son temps à l'étranger et que son séjour n'avait été entrecoupé que de quelques séjours de courte durée en Suisse n'excédant jamais 23 jours (consid. 3.3). Le recourant et son épouse avaient en outre quitté la Suisse entre décembre 2014 et août 2016. Ils avaient été expulsés de leur appartement en 2015, ce dont ils ne s'étaient pas rendus compte immédiatement, et n'étaient revenus en Suisse que pour de très courtes périodes en avril, mai, juin, août et octobre 2015. Leur fils D.________, déscolarisé pendant l'année scolaire 2015-2016, les avait rejoints le 24 novembre 2015, puis était revenu séjourner en Suisse de manière prolongée à partir du 22 août 2016 (consid. 3.5). Les retours en Suisse du recourant en 2016 (deux semaines en février 2016 et quelques jours en mai 2016) n'étaient plus justifiés par des motifs familiaux. Le Tribunal fédéral a conclu qu'il fallait considérer que l'autorisation d'établissement du recourant s'était éteinte au plus tard le 24 mai 2016 (consid. 3.5 et 3.7).