Citation: 4A_270/2022 E. A

A.a. Zwischen der Bank A.________ AG (Bank, Beschwerdeführerin) und der B.________ Ltd. (Auftraggeberin, Beschwerdegegnerin) bestand seit 2004 eine Geschäftsbeziehung. Die Parteien trugen in diesem Zusammenhang einen langjährigen Rechtsstreit über die Rechenschafts- und Herausgabepflicht der Bank gegenüber der Auftraggeberin aus. A.b. Mit Gesuch vom 18. März 2016 beantragte die Auftraggeberin beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt die Vollstreckung eines Urteils des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 4. November 2011 (nachfolgend: Editionsurteil; vgl. auch das Urteil 4A_13/2012 vom 19. November 2012 [teilweise publ. in: BGE 139 III 49], mit dem das Bundesgericht eine gegen das Editionsurteil gerichtete Beschwerde der Bank abwies, soweit es darauf eintrat). Im Editionsurteil wurde die Bank unter anderem verpflichtet, "der Klägerin [Auftraggeberin] für die Monate November 2006 bis Januar 2007 eine lückenlose und detaillierte Aufstellung sämtlicher Vermögenspositionen, welche der Beklagten [Bank] als Sicherheit für ihre Geschäftsbeziehung mit der Klägerin dienten, nachzuweisen" (nachfolgend: Gutheissung 2). A.c. Mit Entscheid vom 2. April 2019 wies das Zivilgericht das Vollstreckungsgesuch ab. Dagegen erhob die Auftraggeberin Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 31. März 2020 (nachfolgend: Vollstreckungsentscheid 1) hob das Appellationsgericht den Entscheid des Zivilgerichts in teilweiser Gutheissung der Beschwerde auf. In Vollstreckung von Gutheissung 2 des Editionsurteils verpflichtete es die Bank - unter Strafandrohung nach Art. 292 StGB (Busse bis Fr. 10'000.--) - der Auftraggeberin innert 90 Tagen seit der Zustellung des Entscheids für die Monate November 2006 bis Januar 2007 eine lückenlose und detaillierte Aufstellung sämtlicher Vermögenspositionen (eigener und Dritter), die der Bank als Sicherheit für ihre Geschäftsbeziehung mit der Auftraggeberin dienten, nachzuweisen. Im Übrigen wies es das Vollstreckungsgesuch ab. A.d. Die Auftraggeberin erhob gegen den Vollstreckungsentscheid 1 Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht. Sie beantragte im Wesentlichen, den Vollstreckungsentscheid 1 aufzuheben und ihr Vollstreckungsgesuch vollumfänglich gutzuheissen (vgl. auch hiernach lit. B.c.). A.e. Am 15. September 2020 reichte die Auftraggeberin gegen die Bank bzw. deren verantwortlichen Organe Strafanzeige wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung ein und beantragte die Bestrafung der verantwortlichen Organe gemäss Art. 292 StGB.