Citation: 2C_60/2019 E. A

A.a. A.________ (geb. 1972) ist algerischer Staatsangehöriger. Ende November 1997 reiste er unter Benützung einer falschen Identität in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Dieses Asylgesuch wurde im Juli 1998 abgelehnt und A.________ aus der Schweiz weggewiesen. Gegen die abschlägige Verfügung erhob A.________ ein Rechtsmittel. Während des laufenden Rechtsmittelverfahrens wurde er Vater von B.________ (geb. 2000), der aufgrund der Schweizer Staatsbürgerschaft seiner Mutter über das schweizerische Bürgerrecht verfügt. Die Beschwerde A.________s gegen den negativen Asylentscheid und die Wegweisungsanordnung blieb ohne Erfolg. A.b. Im März 2007 ersuchte A.________ beim Amt für Migration und Zivilrecht des Kantons Graubünden (nachfolgend: AFM) um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Im September 2007 lehnte das AFM dieses Gesuch ab. A.________ verzichtete in der Folge zunächst auf die Erhebung eines Rechtsmittels, stellte im Jahr 2008 aber ein Wiedererwägungsgesuch. Auf dieses Gesuch trat das AFM nicht ein; eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden (nachfolgend: DJSG) im Juni 2009 ab. A.c. Am 1. März 2011 verweigerte das Zivilstandsamt U.________ die Trauung A.________s mit der Schweizer Staatsbürgerin C.________ mangels Nachweises des rechtmässigen Aufenthalts des Bräutigams. Eine dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wies das DJSG am 13. Juli 2011 ab. A.d. Am 24. Dezember 2012 stellte A.________ beim AFM ein neuerliches Gesuch um Erteilung einer Aufenthalts- bzw. Härtefallbewilligung, eventualiter um Gewährung der vorläufigen Aufnahme. Am 19. Februar 2013 lehnte das AFM auch dieses Gesuch ab; zur Begründung verwies es auf das Vorliegen einer rechtskräftigen Wegweisungsanordnung, auf das Fehlen familiärer Beziehungen zum Sohn und auf verschiedene aktenkundige strafrechtliche Verfehlungen A.________s. Auf Beschwerde hin bestätigte das DJSG diesen Entscheid am 3. Juni 2013. A.e. Am 27. März 2015 heirateten A.________ und C.________. A.________ wurde in der Folge eine bis zum 26. März 2017 gültige Aufenthaltsbewilligung erteilt. Bereits am 14. Dezember 2015 erliess das Bezirksgericht U.________ indes eine Eheschutzverfügung und wies A.________ an, die eheliche Wohnung bis zum 31. Dezember 2015 zu verlassen; weiter wurde ihm ab dem 1. Januar 2016 verboten, sich seiner Ehefrau, ihrer Wohnung oder ihrem Arbeitsplatz anzunähern und/oder mit ihr telefonisch, per SMS oder per E-Mail Kontakt aufzunehmen.