Citation: 9C_329/2010 23.06.2010 E. C

W.________ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, es seien ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, dem Grundsatz nach Ergänzungsleistungen zuzuerkennen; die Sache sei zur Festsetzung der Leistung an die Verwaltung oder an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) zu gewähren. Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde X.________ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.