Citation: 9C_598/2019 E. A

A.a. A.________ est né en 1983. Il est titulaire d'un certificat fédéral de capacité d'informaticien depuis le 1er juillet 2012. Il suivait la formation de technicien ES en informatique depuis le 19 août 2012 lorsque, invoquant les séquelles incapacitantes d'une dépression et de troubles du sommeil, chroniques, il a requis pour la première fois des prestations de l'assurance-invalidité le 17 avril 2014. Entre autres avis médicaux, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI ou l'administration) a obtenu celui du docteur C.________, médecin adjoint du Centre D.________. Ce dernier a diagnostiqué un trouble de l'adaptation, un trouble du rythme veille-sommeil et une hypersomnie non-organique indiquant des mesures de réinsertion professionnelle (certificats et rapport des 3 juin, 10 septembre et 3 octobre 2014). Se fondant sur l'appréciation des avis du psychiatre traitant par le docteur E.________, médecin de son Service médical régional (SMR; rapport du 29 octobre 2014), l'office AI a nié le droit de l'assuré à une rente dans la mesure où les affections évoquées n'étaient pas invalidantes (décision du 17 décembre 2014). A.b. A.________ a déposé une deuxième demande de prestations de l'assurance-invalidité le 18 juillet 2016. Il indiquait notamment avoir achevé sa formation avec succès et ressentir davantage l'effet incapacitant des pathologies dont il souffrait déjà précédemment. L'office AI a à nouveau recueilli des informations auprès des médecins traitants. Sur la base du dossier constitué (dont de nombreuses pièces ont été communiquées à la demande de l'administration), la doctoresse F.________, médecin-cheffe de la filière réhabilitation du D.________, a pour l'essentiel repris les constatations et conclusions antérieures du docteur C.________ (rapport du 11 mai 2017). Celui-ci a fait état d'une prise de poids, en plus des troubles diagnostiqués auparavant. Il a évalué l'incapacité de travail à 100 %, retenant toutefois une capacité théorique de travail de 20-25 % dans une activité indépendante, depuis l'année 2016 (rapport du 15 novembre 2017). Une expertise pluridisciplinaire a également été réalisée par l'office AI. Les médecins de Swiss Medical Expertise SA (SMEX) n'ont pas retenu de pathologie significative si ce n'est un syndrome d'asthénie chronique et une obésité modérée n'ayant jamais entravé la capacité de travail (rapport du 11 juillet 2018). Le docteur G.________, médecin du SMR, a entériné l'expertise (rapport du 13 juillet 2018). Malgré un avis du docteur C.________ qui déclarait ne pas adhérer aux conclusions de l'expertise et confirmer les siennes (rapport du 13 septembre 2018), l'administration a derechef rejeté la requête de l'assuré au motif qu'il ne présentait toujours aucun trouble invalidant (décision du 12 novembre 2018).