Citation: 4A_91/2023 E. 1

A.________ (Kläger, Beschwerdeführer) und die C.________ AG (Beklagte) stehen sich in einem arbeitsrechtlichen Verfahren vor dem Bezirksgericht Bülach gegenüber. Mit Eingabe vom 24. März 2022 stellte der Kläger ein Ausstandsbegehren gegen die beisitzende Arbeitsrichterin B.________ (nachfolgend: Arbeitsrichterin). Diese ist gewählte Arbeitsrichterin der Arbeitgeberseite. Das Ausstandsbegehren wurde zur Behandlung an die II. Abteilung des Bezirksgerichts überwiesen. Diese Abteilung - unter dem Vorsitz von Bezirksgerichtspräsident Rainer Hohler - wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 13. Juni 2022 ab, soweit sie darauf eintrat. Die Gerichtsgebühr auferlegte sie dem Kläger und sie verpflichtete diesen, der Beklagten eine Parteientschädigung zu bezahlen. Dagegen gelangte der Kläger mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 9. Januar 2023 hiess dieses die Beschwerde insoweit gut, als der Kläger für das erstinstanzliche Verfahren mit Gerichtskosten belastet wurde. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Für das Beschwerdeverfahren erhob es keine Gerichtskosten und sprach es keine Parteientschädigungen zu. Der Kläger hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 10. Februar 2023 erklärt, dieses Urteil mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten, und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung beziehungsweise Anordnung vorsorglicher Massnahmen ersucht. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.