Citation: 2C_775/2017 E. A

A.a. A.E.________ (geb. 1969) ist afghanisch-pakistanischer Doppelbürger. Er durchlief ab dem 4. September 1996 in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Am 25. Februar 2000 heiratete er die Schweizer Bürgerin G.________ (geb. 1962), worauf ihm im Kanton Obwalden eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei dieser erteilt wurde. Am 27. Februar 2004 ist A.E.________ erleichtert eingebürgert worden. Die Eheleute trennten sich am 1. August 2004; A.E.________ begab sich hierauf in den Kanton Luzern. Am 22. Februar 2005 wurde die Ehe E.________-G.________ geschieden. A.b. Am 24. August 2006 reiste die pakistanische Staatsangehörige F.________ (geb. 1975) zur Vorbereitung der Ehe mit A.E.________ in die Schweiz ein. Am 13. September 2006 fand die Heirat statt; im Anschluss hieran kam F.________ als Drittstaatsangehörige eines Schweizer Bürgers vorerst in den Genuss einer Aufenthalts- und ab dem 13. September 2011 einer Niederlassungsbewilligung. Aus der Ehe gingen drei gemeinsame Kinder hervor (B.E.________ [geb. 2008], C.E.________ [geb. 2010] und D.E.________ [geb. 2012]); diese verfügen über Niederlassungsbewilligungen. A.c. Das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) erklärte am 28. Januar 2009 die erleichterte Einbürgerung von A.E.________ für nichtig. Vom Verlust des Schweizer Bürgerrechts wurden auch die Kinder erfasst. Mit Urteil des Bundesgerichts vom 21. Juli 2011 erwuchs die entsprechende Verfügung in Rechtskraft (Verfahren 1C_250/2011).