Citation: 9C_342/2017 E. A

A.a. A.________ a sollicité des prestations de l'assurance-invalidité le 17 juin 2003. Elle indiquait dans sa requête qu'elle était née en 1959, n'exerçait aucune activité lucrative et souffrait des suites d'un état dépressif ainsi que de troubles affectant ses genoux. Se fondant sur l'avis du docteur B.________, médecin traitant, ainsi que sur l'expertise psychiatrique réalisée par le docteur C.________, médecin-chef du Centre D.________, qui faisaient état de divers troubles somatiques (gonarthrose gauche, status après transposition rotulienne et ostéotomie du tibia, etc.) ou psychiques (trouble dépressif récurrent, troubles de la personnalité) engendrant une incapacité totale de travail dans toutes activités lucratives depuis le 6 février 2003 (rapports des 6 juillet 2003 et 9 août 2004), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après l'office AI) a acquiescé à la demande de l'assurée et lui a alloué une rente entière avec effet au 1er février 2004 (décision du 14 avril 2005). A.b. L'office AI a maintenu inchangé le droit à la rente entière au terme de deux procédures de révision (communications des 26 mars 2007 et 8 janvier 2013). A.c. L'intéressée a été invitée à remplir des questionnaires concernant la reprise d'une activité le 3 novembre 2014 ou l'opportunité de réaliser des mesures de réadaptation le 27 janvier 2015. Elle a informé l'administration qu'elle n'avait jamais exercé d'activités - quelles qu'elles soient - depuis le dépôt de sa demande de rente et ne pas pouvoir en exercer à cause de limitations physiques et psychiques qu'elle présentait toujours. Le Secteur de lutte contre la fraude à l'assurance (LFA) de l'office AI a mis en place la surveillance de A.________ (rapports des 30 juin et 20 septembre 2015). Il a relevé les contradictions entre les déclarations faites par l'assurée et les observations réalisées concrètement sur le terrain (rapports des 13 août et 9 novembre 2015). L'intéressée a été conviée à s'expliquer à propos des contradictions constatées (notice d'entretien du 9 novembre 2015). L'administration a soumis les deux rapports de surveillance à son Service médical (SMR). Le docteur E.________ en a inféré une amélioration de la situation médicale de A.________ (rapport du 16 novembre 2015) dont il a fixé l'avènement au début du mois d'octobre 2014 (rapport du 15 décembre 2015). L'office AI a averti l'assurée que, compte tenu des éléments récoltés, il entendait supprimer la rente octroyée jusque-là avec effet rétroactif au 1er octobre 2014 (projet de décision du 17 décembre 2015). L'intéressée a formulé des objections. En dépit de celles-ci, l'administration a entériné la suppression de la rente dès le 1er octobre 2014 (décision du 15 février 2016) et requis la restitution de 29'868 fr. versés indûment durant la période allant du 1er octobre 2014 au 31 décembre 2015 (décision du 4 mars 2016).