Citation: 5A_387/2024 E. A

A.a. A.________ et C.________ sont les parents non mariés de D.________, née en février 2018. Le couple s'est séparé au début de l'année 2019. A la suite de cette séparation, C.________ et A.________ ont multiplié les procédures judiciaires, saisissant diverses autorités siégeant en France, à Genève ou en Valais. Ils ont notamment conclu deux transactions réglant les effets de leur séparation par devant les autorités genevoises les 3 juillet 2020 et 29 mars 2021. Durant le mois de septembre 2021, A.________ a emménagé à K.________ (VS) avec D.________. A.b. A.b.a. Le 16 septembre 2022, A.________ et sa fille ont déposé auprès du Tribunal des districts de Martigny et St-Maurice une demande à l'encontre de C.________ intitulée " action alimentaire, droits parentaux, modification des transactions judiciaires du 3 juillet 2020 et du 29 mars 2021". Elles ont notamment conclu au paiement d'une contribution mensuelle d'entretien de 5'000 fr. en faveur de D.________ et à ce que l'autorité parentale et la garde sur l'enfant soient confiées exclusivement à A.________. A titre de mesures provisionnelles, elles ont notamment conclu au versement en faveur de l'enfant d'une provisio ad litem de 10'000 fr. et d'une contribution mensuelle d'entretien de 5'000 fr. dès le mois d'août 2022, ainsi qu'à ce que l'autorité parentale et la garde sur l'enfant soient confiées exclusivement à A.________. A.b.b. Le 22 septembre 2022, la Juge des districts de Martigny et St-Maurice (ci-après: la juge de district) a admis sa compétence, imparti à C.________ un délai de détermination sur les mesures provisionnelles déposées par A.________, invité les parents à se rendre à une séance d'information sur le modèle de consensus parental et ordonné à l'Office pour la protection de l'enfant (ci-après: OPE) d'effectuer une enquête sur la situation de D.________ et son lieu de vie auprès de chacun de ses parents, puis de faire toutes propositions relatives à l'exercice du droit aux relations personnelles du père. Le même jour, elle a chargé l'OPE de rencontrer les parents et de lui faire parvenir un bilan de situation dans les meilleurs délais. A.c. A.c.a. Par écriture du 23 septembre 2022, C.________ a déposé une requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles auprès du Tribunal des districts de Martigny et St-Maurice ayant pour objet son droit de visite. A.c.b. Statuant à titre superprovisionnel le 28 septembre 2022, la juge de district a admis partiellement la requête de mesures superprovisionnelles précitées, instauré une curatelle éducative au sens des art. 308 al. 1 et 2 CC en faveur de l'enfant, l'OPE étant nommé comme curateur, et ordonné une enquête sociale, confiée à l'OPE, portant sur les capacités éducatives des parents, l'état de la communication et de la collaboration entre eux, les conditions de vie de D.________ auprès de chacun des parents ainsi que sur l'exercice du droit de visite. Par courrier du même jour, elle a requis de l'APEA la mise en oeuvre de l'enquête sociale ordonnée et la désignation d'un curateur chargé de la curatelle éducative. A.c.c. Par dispositif du 29 septembre 2022, l'APEA a nommé l'OPE, par l'un de ses intervenants, à la fonction de curateur au sens de l'art. 308 al. 1 et 2 CC et donné mandat audit office de mettre en oeuvre l'enquête sociale décidée. A.d. Le 10 octobre 2022, A.________ s'est déterminée sur la requête de mesures superprovisionnelles déposée par C.________ le 23 septembre 2022, concluant à son irrecevabilité, subsidiairement à son rejet. Elle a indiqué maintenir les conclusions de sa demande du 16 septembre 2022 formulées à titre de mesures provisionnelles. Le 13 octobre 2022, C.________ s'est déterminé sur la requête déposée le 16 septembre 2022 par A.________. Au fond, il concluait à l'attribution en sa faveur de la garde de D.________, à ce que le domicile légal de celle-ci et son lieu de scolarisation soient fixés à Genève, chez lui, à ce qu'un droit de visite à raison d'un week-end sur deux, tous les mardis soirs jusqu'aux jeudis matins, puis la moitié des vacances scolaires soit octroyé à A.________, à ce que les parents soient exhortés à entreprendre un travail de coparentalité et à ce que A.________ soit condamnée à verser pour D.________ une contribution d'entretien d'un montant à fixer après instruction de la cause. A.e. Par la suite, la juge de district a rendu un certain nombre d'ordonnances et de décisions intermédiaires, a procédé à des notifications ou a envoyé des courriers explicatifs suite notamment aux interventions de A.________ dans la cause concernant les parties, soit les 19 octobre 2022, 27 octobre 2022, 11 novembre 2022, 17 novembre 2022, 22 novembre 2022, 24 novembre 2022, 9 décembre 2022 (désignation d'une curatrice en faveur de l'enfant), 20 décembre 2022 (exercice du droit aux relations personnelles entre le père et l'enfant), 6 janvier 2023 (précision du mandat de la curatrice sur les questions relatives à l'autorité parentale), 27 janvier 2023, 24 févier 2023, 7 mars 2023, 28 mars 2023, 4 avril 2023 (relations personnelles entre le père et l'enfant), 20 avril 2023, 25 avril 2023 (relations personnelles entre le père et l'enfant, maintien de la curatelle éducative et de surveillance de l'exercice du droit aux relations personnelles). Elle a également tenu une audience de plus de sept heures le 28 octobre 2022, où les parties ont convenu de la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique familiale à mener par le CHUV et acceptaient "l a nomination d'un curateur à l'enfant au sens de l'art. 299 al. 2 lit. a ch. 1 à 5 CPC ". L'OPE a aussi transmis différents rapports et avis (les 26 octobre 2022, 22 novembre 2022, 23 janvier 2023 et 22 mars 2023). A.f.