Citation: 4A_285/2017 E. A

A.a. X.________, ressortissant des États-Unis et domicilié à New-York (ci-après: l'intéressé ou le défendeur), qui avait 20 ans d'expérience dans le domaine des produits structurés, gérait la société A.________ Limited (ci-après: la société). Cette société, qui était considérée comme un fonds de placement collectif, a son siège à... (région des Caraïbes) et son administrateur unique est U.________, ressortissant canadien, domicilié au Costa Rica. En mars 2008, l'intéressé a été chargé par la société d'ouvrir pour elle une relation bancaire auprès de la Banque Z.________ (ci-après: la banque ou la demanderesse). A.b. En avril 2008, agissant en tant que fondé de procuration de la société, il a ouvert pour celle-ci trois comptes courants et un compte de dépôt auprès de la banque. Lui-même et l'administrateur unique de la société bénéficiaient tous deux d'une autorisation générale sur ces comptes, avec signature individuelle. Selon les renseignements fournis à la banque par l'intéressé, la société gérait la fortune d'un " club d'investissement privé " investie dans des titres, club dont le nombre des membres s'élevait à plus de cent, qui étaient les ayants droit économiques de la relation bancaire et n'étaient pas américains. Les valeurs qui devaient être versées à la banque provenaient de comptes de la société précédemment ouverts auprès d'une banque au Liechtenstein; elles s'élevaient à environ 260 millions de francs et doubleraient par la suite. La société avait été présentée à la banque par le gestionnaire qui s'occupait de ses affaires auprès de cette banque liechtensteinoise et qui avait été engagé par la banque en avril 2008. Le comité supérieur d'acceptation de la banque avait accepté cette relation bancaire avec la société " sous surveillance ", considérant que la banque liechtensteinoise était une banque sérieuse et que la société avait suivi son gestionnaire lorsqu'il avait rejoint la banque. Des renseignements supplémentaires devaient être pris à son sujet. A.c. En avril et mai 2008, la société a déposé auprès de la banque un portefeuille de plus de 200 titres cotés en bourse, évalué à 248 millions d'USD, selon deux agences de cotation. Les 28 avril et 22 mai 2008, l'intéressé, agissant pour le compte de la société, a obtenu pour celle-ci de la part de la banque un crédit contre titres de 3 millions d'USD (augmenté ultérieurement à 7 millions d'USD) et un crédit lombard de 6,5 millions d'USD (ramené ultérieurement à 2,5 millions d'USD). La banque n'a pas évalué la valeur des titres que la société lui a remis en nantissement car lorsqu'une société est cotée en bourse, elle se fie en principe à la valeur boursière de l'action. L'intéressé a fait virer, par le débit de ces comptes de crédit, le montant de 5'013'500 USD en faveur d'une société B.________ Corp., dont il était l'ayant droit économique; il s'agissait, selon lui, d'un paiement de ses propres honoraires pour services rendus à la société, honoraires qu'il n'a toutefois pas été en mesure de documenter. Il a également fait virer un montant de 4'475'000 USD en faveur d'un compte de la société à Chypre. A.d. Il a été retenu en procédure que, durant le processus d'ouverture de la relation bancaire avec la société, puis, par la suite, lors de l'utilisation des crédits obtenus de la banque, l'intéressé a sciemment induit la banque en erreur sur des points essentiels, ce que celui-ci conteste.