Citation: 2C_1044/2020 E. C

Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, B.A.________ et A.A.________ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et de dépens, outre l'effet suspensif, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 10 novembre 2020, ainsi que les décisions du 2 décembre 2019 du Département cantonal et du 4 octobre 2018 de la Commune; subsidiairement, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Tribunal cantonal et le Département cantonal ont renoncé à prendre position et ont conclu au rejet du recours. La Commune a formulé des observations et a conclu au rejet du recours. Les recourants ont répliqué et la Commune a dupliqué. Par ordonnance présidentielle du 11 janvier 2021, la requête d'effet suspensif contenue dans le recours a été admise.