Citation: 4A_61/2023 E. A

A.a. La société C.________ Ltd (ci-après: la prêteuse), qui, par acte du 18 janvier 2018, a cédé ses actifs à B.________ SA (ci-après: la cessionnaire ou la défenderesse ou l'intimée), société de droit luxembourgeois, dont le siège se trouve à (...), a accordé plusieurs financements à la société D.________ SA (ci-après: l'emprunteuse), actuellement en liquidation, en septembre et novembre 2017. L'actionnaire unique de l'emprunteuse, E.________, a signé une reconnaissance de dette de 1'000'000 USD en faveur de la prêteuse. Le 19 décembre 2019, A.________ (ci-après: le garant, le demandeur ou le recourant), père d'E.________ et domicilié à (...) (canton de Vaud), s'est engagé envers la cessionnaire à lui verser le montant de 715'806 USD à première réquisition. Cet engagement prévoyait une élection de for en faveur des tribunaux genevois et une élection de droit en faveur du droit suisse. En février 2020, la cessionnaire a obtenu un acte de défaut de biens du montant de 739'759 fr. 25 contre le fils, actionnaire unique de l'emprunteuse. Le 16 juin 2020, la cessionnaire a fait appel à la garantie offerte par le père garant. A.b. La cessionnaire a introduit une poursuite à l'encontre du garant (commandement de payer n° xxx de l'Office des poursuites du district d'Aigle du 15 juillet 2020) pour le montant de 679'427 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 28 février 2020, indiquant comme cause de l'obligation l'engagement du 19 décembre 2019. Le garant a formé opposition. La cessionnaire a requis la mainlevée provisoire de l'opposition au commandement de payer.