Citation: 8C_694/2021 E. A

A.a. A.________ a été engagée à 60 % comme collaboratrice de vente dans une succursale de la société B.________ du 1er septembre 2010 jusqu'à fin février 2019. L'établissement ayant fermé fin 2018, elle a été libérée de son obligation de travailler durant les deux derniers mois. En raison de cette activité, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès d'AXA Assurances SA (ci-après: AXA). Mi-janvier 2019, l'assurée a été engagée dans le pool de remplacement du groupement C.________ à un taux d'occupation de 23 %. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Mobilière Suisse Société d'assurances SA (ci-après: la Mobilière). A.b. Le 27 janvier 2019, l'assurée a été victime d'un accident de la circulation qui lui a causé une déchirure complète du ligament croisé antérieur du genou droit et a entraîné une incapacité de travail, d'abord totale, puis de 50 % à compter du 14 janvier 2020. A.c. Par lettre du 12 mars 2020 adressée à l'assurée, AXA lui a communiqué que c'était l'assureur-accidents de l'employeur pour lequel elle avait travaillé en dernier lieu avant l'accident qui était compétent pour la prise en charge de l'accident; elle l'informait également qu'elle écrivait le même jour à la Mobilière pour lui demander de rembourser les prestations versées. Par lettre du 1er avril 2020, adressée à AXA avec copie à l'assurée, la Mobilière a indiqué qu'elle n'interviendrait pas dans le cadre de l'événement du 27 janvier 2019. Elle a rejeté la demande de remboursement dans une seconde lettre du 2 avril 2020, adressée à AXA. A.d. Par "décision d'irrecevabilité" du 24 avril 2020, adressée à la Mobilière, AXA a considéré qu'elle n'était pas compétente pour la prise en charge du cas. Par conséquent, elle demandait à la Mobilière le remboursement des prestations qu'elle avait versées, en précisant qu'elle avait d'ores et déjà réglé les indemnités jusqu'au 30 avril 2020 afin de ne pas mettre l'assurée dans l'embarras. Elle indiquait également qu'une copie du courrier était adressée à cette dernière pour information. L'opposition formée par la Mobilière a été rejetée par décision du 11 août 2020, qui a également été communiquée à l'assurée et qui précisait qu'un éventuel recours n'aurait aucun effet suspensif. Entre ces deux décisions, la question de l'obligation de prester de l'un ou de l'autre assureur a été soumise à l'Office fédéral de la santé publique (OFSP). Le 9 juillet 2020, celui-ci a rendu une décision par laquelle il s'est lui-même déclaré incompétent pour trancher le conflit, relevant "qu'une procédure était déjà pendante devant AXA". Cette décision n'a pas fait l'objet d'un recours. A.e. Parallèlement, AXA a continué à instruire le cas. Par décision du 31 août 2020 (adressée à l'assurée), elle a mis un terme aux prestations d'assurance au 3 août 2020, considérant que l'assurée avait recouvré une capacité de travail entière dès cette date et qu'un traitement n'était plus indiqué.