Citation: 2C_209/2019 E. 1

Die 1985 geborene A.A.________, Staatsangehörige der Dominikanischen Republik, heiratete am 19. Juni 2012 in ihrer Heimat einen im Kanton Luzern niedergelassenen Landsmann. Am 11. Mai 2013 wurden ihr sowie ihrem 2009 geborenen Sohn B.A.________ im Rahmen des Familiennachzugs Aufenthaltsbewilligungen erteilt. Die Ehe mit dem niedergelassenen Landsmann wurde am 2. September 2015 geschieden. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte mit Verfügung vom 3. Juni 2016 eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen ab und ordnete die Wegweisung an. Die Verfügung wurde rechtskräftig. Am 6. Dezember 2016 gebar A.A.________ die Tochter C.A.________. Die Vaterschaft des 1971 geborenen Sergio Esposito wurde in der Folge nachgewiesen; der Vater ist nicht, wie von der Mutter zunächst behauptet, Schweizer Bürger, sondern italienischer Staatsangehöriger. A.A.________ hatte schon am 19. Dezember 2016 ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestellt. Nach Wiederaufnahme des wegen des laufenden Vaterschaftsanerkennungsverfahrens zunächst sistierten Bewilligungsverfahrens lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen an die Betroffene und ihre Kinder ab und verfügte deren Wegweisung. Auf die gegen die entsprechende Verfügung vom 27. September 2017 erhobene Verwaltungsbeschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 18. Juli 2018 nicht ein und setzte eine neue Ausreisefrist an. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab; es auferlegte A.A.________ die amtlichen Kosten von Fr. 400.-- Die gegen diesen Departementsentscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, mit Urteil vom 9. Januar 2019 ab, soweit darauf einzutreten war. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Februar 2019 beantragt A.A.________ für sich und ihre Kinder hauptsächlich die Rückweisung des Falles an die Vorinstanz zwecks Abklärung und Vervollständigung des Sachverhalts und "Absicherung aller rechtlicher Interessen der Beschwerdeführer" und "Gutheissung einer unabhängigen, unentgeltlichen Rechtspflege (für die Beschwerdeführer) während des gesamten Verfahrens, um ihre rechtlichen Ansprüche zu gewähren und ein faires, neutrales Verfahren gewährleisten zu können." Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das (im Hinblick auf die mit dem angefochtenen Urteil verbundene Ausreiseverpflichtung gestellte) Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.