Citation: 2C_307/2019 E. A

A.________ est avocat dans le canton de Vaud. Il défend les intérêts de B.E.________ et C.E.________ dans un litige successoral qui les oppose à leur mère, D.E.________, à la suite du décès de leur père E.E.________. Dans ce litige, D.E.________ a mandaté l'avocat valaisan F.________ le 29 avril 2015, mais a résilié le mandat le 5 mai 2015 en raison de la teneur d'un courrier qu'il avait adressé à ses filles, qu'elle désapprouvait. Après avoir consulté l'avocat G.________, elle a aussi résilié le mandat de cet avocat le 25 janvier 2017, avant de confier à nouveau la défense de ses intérêts à F.________. Le 13 février 2017, F.________ a adressé une lettre à A.________, qui y a répondu le 27 février 2017. Le 8 mars 2017, A.________ a dénoncé F.________ au Bâtonnier de l'Ordre des avocats valaisans en raison de son courrier du 13 février 2017. Il reprochait à F.________ d'avoir mentionné dans cette lettre qu'il avait fait preuve d'inconvenance en appelant directement D.E.________, alors que G.________ l'avait invité à le faire, puisque son mandat était résilié. F.________ ne s'étant pas rendu à la séance de conciliation agendée par le Bâtonnier valaisan le 29 mars 2017, A.________ s'est vu délivrer une autorisation de procéder, à laquelle il n'a pas donné suite. Le 10 mars 2017, F.________ a pour sa part dénoncé A.________ auprès du Secrétariat général de l'Ordre judiciaire vaudois en raison des propos, qu'il a qualifiés d'outranciers, que A.________ avait tenus à son encontre dans son courrier du 27 février 2017. Aucune conciliation n'a eu lieu, F.________ ayant refusé de rencontrer son confrère. La Chambre des avocats du canton de Vaud (ci-après: la Chambre des avocats) a ouvert une enquête disciplinaire à l'encontre A.________ et désigné l'avocate H.________ comme membre enquêtrice.