Citation: 8C_376/2020 E. 6

Il résulte de ce qui précède que le recours en matière de droit public doit être rejeté, tandis que le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable (cf. consid. 1 in fine supra). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'obtenant gain de cause, l'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 8C_70/2010 du 20 décembre 2010 consid. 8.2, non publié in ATF 137 I 58). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :