Citation: 4D_5/2021 E. 5

En définitive, le recours doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué réformé en ce sens que l'intimée est condamnée à payer au recourant le montant de 6'920,64 euros avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er février 2013, et la somme de 12'390 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er septembre 2016. L'arrêt est confirmé pour le surplus. L'intimée, qui s'en est remise à justice, prendra en charge les frais judiciaires de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Elle versera en outre une indemnité de dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'y a pas lieu de renvoyer la cause à la cour cantonale pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure menée devant elle, ceux-ci ayant déjà été entièrement portés à la charge de l'intimée. Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :