Citation: 2C_595/2021 E. 5

Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours. La décision de la Cour de justice du 27 juillet 2021 est réformée en ce sens que l'effet suspensif au recours interjeté le 21 juin 2021 est restitué en ce qui concerne l'euthanasie du chien X.________. Elle est confirmée pour le surplus. Cela rend sans objet la requête d'effet suspensif formée par la recourante pour la procédure devant le Tribunal fédéral. Au vu de l'issue du litige, la recourante ne subit aucun préjudice du fait que la présente procédure ne soit pas suspendue. Partant, la requête de suspension de la procédure sera rejetée. Aucun frais ne peut être mis à la charge du Département (art. 66 al. 4 LTF). Le Département versera à la recourante une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :