Citation: 9C_128/2021 E. A

A.a. Invoquant les séquelles de divers troubles somatiques influençant sa capacité de travail en qualité de collaborateur de production au sein de l'entreprise B.________ depuis le 19 mai 2010, A.________, né en 1967, a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 28 mars 2011. A l'issue de la procédure d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de l'assuré à des prestations (décision du 31 janvier 2013). Sa décision reposait sur une expertise du Centre d'Expertise Médicale (CEMed) de Nyon, qui faisait notamment état d'une périarthrite de la hanche sur tendinite musculaire, de rachialgies, de paresthésies des mains et d'un trouble somatoforme douloureux sans incidence sur la capacité de travail dans l'activité habituelle (rapport du 24 septembre 2012). Sur recours de l'intéressé, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, a considéré que la production durant la procédure d'un nouvel avis médical, mentionnant notamment la découverte d'une ostéoporose et d'une ostéopénie, justifiait d'annuler la décision administrative et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour qu'elle en complète l'instruction et rende une nouvelle décision (arrêt du 25 novembre 2013). Le complément d'instruction mis en oeuvre ayant permis d'exclure une influence de l'ostéoporose sur la capacité de travail ou une atteinte neurologique, l'office AI a de nouveau rejeté la demande de prestations (décision du 9 février 2015). Saisi d'un recours de A.________, étayé en cours d'instance par l'avis du docteur C.________, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (qui retenait une capacité totale de travail avec une diminution de rendement de 25 % dans une activité adaptée sur la base de troubles similaires à ceux évoqués auparavant; rapport du 10 juin 2015), la juridiction cantonale l'a rejeté et a confirmé la décision attaquée (arrêt du 30 juin 2016). A.b. A.________ a déposé une nouvelle demande de prestations le 29 juin 2016, sur laquelle l'office AI n'est pas entré en matière (décision du 8 septembre 2017). A.c. Se basant sur un rapport établi par le docteur D.________, médecin de la Clinique de rhumatologie de l'Hôpital E.________, le 23 octobre 2017, A.________ a annoncé une détérioration de sa situation le 19 août 2019. Il a en outre produit d'autres renseignements fournis par le docteur D.________ (rapport du 13 mars 2018), ainsi que par les docteurs F.________, médecin du Service de génétique médicale de l'Hôpital G.________ (rapport du 19 septembre 2019) et H.________, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 30 septembre 2019). Le premier évoquait notamment des contractures musculaires para-rachidiennes et une lyse isthmique L5 et les seconds un syndrome d'Ehlers-Danlos. Reconnaissant que le syndrome d'Ehlers-Danlos était inconnu auparavant mais considérant que les limitations fonctionnelles en résultant avaient déjà été prises en compte, l'office AI a refusé d'entrer en matière (décision du 10 octobre 2019).