Citation: 1C_244/2015 E. A

A.a. Le 2 novembre 1997, A.________, alias B.________, originaire du Kosovo, a été agressée avec un couteau par une connaissance. A la suite d'importantes coupures à la paume, au front, à la joue et au flanc gauche - cette dernière ayant provoqué un pneumothorax -, elle a été hospitalisée une dizaine de jours. Les 2 et 3 novembre 1997, elle a été entendue et a porté plainte, renonçant toutefois à faire appel aux organismes d'aide aux victimes. Le prévenu s'étant enfui, la procédure pénale a été suspendue. Dans les années qui ont suivi, la plaignante est notamment retournée dans son pays d'origine en 2006. En 2009, le prévenu a été arrêté et la procédure pénale a repris. Les autorités n'ayant pas réussi à retrouver A.________, connue alors uniquement sous le nom de B.________, elle n'a pas pu être entendue au cours de l'instruction. Le 22 mars 2011, le procès de l'agresseur s'est ouvert devant le Tribunal correctionnel de Genève. Le Président de cette autorité a accordé l'assistance judiciaire à A.________, lui désignant une mandataire d'office. Cette dernière a déposé, le 15 septembre 2011, une demande tendant au versement d'une indemnité de 120'000 fr. à titre de perte de gain, ainsi que de 70'000 fr. à titre de réparation morale auprès de l'Instance d'indemnisation LAVI (ci-après : l'Instance LAVI). Le jour suivant, A.________ s'est aussi constituée partie civile dans la procédure pénale, y prenant en substance des conclusions similaires; elle a également été auditionnée par les autorités judiciaires. Par jugement du 16 septembre 2011, l'agresseur de A.________ a été reconnu coupable de tentative d'assassinat et condamné à une peine de trente mois d'emprisonnement; l'exécution de cette sanction a été suspendue en faveur d'un traitement psychiatrique institutionnel. Le Tribunal correctionnel a alloué à la plaignante 41'396 fr. 70 à titre de réparation de son dommage matériel et une indemnité pour tort moral de 40'000 fr. A.b. Après avoir entendu A.________ et reçu deux pièces relatives à des séjours à l'hôpital de Belle-Idée, l'Instance LAVI a déclaré, le 21 décembre 2011, la requête d'indemnisation irrecevable; celle-ci n'avait pas été déposée dans le délai de deux ans à compter de la date de l'infraction. La Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a admis le recours formé contre cette décision par la requérante et a renvoyé la cause à l'autorité précédente (arrêt du 25 septembre 2012). L'Instance LAVI a repris l'instruction de la cause. Puis, par décision du 18 mars 2014, elle a estimé qu'une indemnité pour tort moral de 10'000 fr. se justifiait. Elle a toutefois réduit ce montant à 6'000 fr. en raison du niveau de vie au Kosovo, pays où résidait alors la requérante. En revanche, elle a refusé toute indemnisation pour la perte de gain alléguée subie entre janvier 2007 et septembre 2011.