Citation: 8C_728/2014 E. A

A.a. Le 4 décembre 1987, A.________, né en 1955, a été victime d'un accident de la circulation: alors qu'il se trouvait derrière un autre véhicule arrêté pour obliquer à gauche, sa voiture a été percutée à l'arrière par un taxi qui, malgré un freinage d'urgence, n'a pas pu s'arrêter à temps. Il a subi un traumatisme crânio-cérébral qualifié de gravité légère ou (au maximum) moyenne. A cette époque, le prénommé travaillait comme jardinier-chauffeur chez un privé et était assuré contre le risque d'accident auprès de Elvia Société Suisse d'Assurances (reprise par Allianz Suisse Société d'Assurances; ci-après: Allianz), qui a pris en charge le cas. L'assuré s'est plaint au premier plan de cervicalgies très intenses accompagnées de nausées, de céphalées, de paresthésies dans le bras gauche, d'une grande fatigabilité ainsi que de divers troubles cognitifs (rapport du docteur B.________ du 23 mars 1988). Les examens radiographiques réalisés juste après l'accident ont montré des discopathies modérées en C4-C5, C5-C6 et C6-C7. L'évolution a été très défavorable malgré des investigations médicales approfondies, notamment en milieu hospitalier, dont les résultats étaient normaux. A.________ n'a plus repris d'activité. A la demande de Elvia, le docteur C.________, psychiatre, a rendu une expertise le 9 janvier 1995, dans laquelle il a fait état de troubles psychogènes massifs avec une régression importante sur le plan comportemental, cognitif et physique, non explicables par l'accident assuré et entrant dans le cadre d'un syndrome de conversion chez une personne à traits de personnalité dépendante et histrionique, ainsi que d'un trouble somatoforme douloureux. Il a retenu que le traumatisme cervical et crânio-cérébral indirect subi le 4 décembre 1987 pouvait avoir laissé des séquelles algiques pour une part de 25 % tout au plus. L'incapacité de travail était totale vu le très grand degré de régression de l'assuré. Sur cette base, Elvia a rendu le 8 novembre 1995 une décision de rente LAA fondée sur un degré d'invalidité de 25 %. L'assuré ayant exprimé son désaccord, les parties ont entamé des discussions. Finalement, l'assuré a déclaré qu'il acceptait la proposition de transaction de Elvia fixant son degré d'invalidité à 33 1/3 %. Par décision formelle du 14 février 1996, celle-ci a alloué à A.________ une rente LAA correspondante avec effet au 1 er octobre 1994. A.b. En janvier 2011, à la demande de Allianz, A.________ s'est soumis à une expertise pluridisciplinaire qui a été confiée à la Clinique D.________. Les médecins ont rendu leur rapport le 15 septembre 2011. Par décision du 13 juillet 2012, confirmée sur opposition le 22 janvier 2014, Allianz a supprimé la rente dès le 1er octobre 2012. Elle a considéré que les experts de la Clinique D.________ ne retenaient plus aucun trouble engendrant une incapacité de travail en lien de causalité avec l'accident.