Citation: 1B_476/2022 E. A

A.a. Le 10 juin 2021, le Ministère public de la Répubique et canton du Jura (ci-après: le ministère public) a ouvert une instruction pénale à l'encontre de B.________ pour tentative de violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires (MP_1), en raison du contenu d'un courrier du 8 juin 2021 que la prénommée avait adressé à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte " APEA M. C.________ ". Selon le ministère public, ce courrier - qui concernait la petite-fille de la prévenue, actuellement placée sur décision de l'APEA - contenait des propos déplacés et menaçants envers l'autorité et concluait de la façon suivante: " (...) je vous prie d'agréer, M. C.________ le pédophile de service, mes meilleures salutations." L'instruction a été étendue, le 4 août 2021, aux infractions de diffamation et calomnie, à la suite de la plainte pénale déposée le 8 juillet 2021 par C.________, lequel se constituait partie civile et plaignante. A.b. B.________ a mandaté Me A.________ en date du 16 juin 2021, selon procuration datée du même jour, pour défendre ses intérêts dans la procédure pénale ouverte à son encontre. Le jour même, Me A.________ a informé le ministère public de la constitution de son mandat et a demandé à pouvoir consulter le dossier, requête à laquelle il n'a pas été donné suite, au motif que la première audition de la prévenue n'était pas encore intervenue. A.c. En août 2021, la procédure pénale en cause a été suspendue jusqu'à droit connu dans les procédures relatives à la levée du secret de fonction délivrée à C.________. A.d. Par décision du 2 juin 2022, le ministère public a rejeté la requête de Me A.________ du 31 mars 2022 tendant à être désigné défenseur d'office de la prévenue et a constaté que cet avocat ne disposait pas de la capacité de postuler dans ladite procédure pénale. Par décision du 14 juillet 2022, la Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par Me A.________. Elle a en substance considéré qu'en raison du conflit notoire qui l'opposait à C.________ à titre personnel et en sa qualité d'avocat, Me A.________ devait renoncer immédiatement à assister et à représenter la prévenue, sous peine de violer les règles professionnelles régissant la profession d'avocat, énoncées à l'art. 12 de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61).