Citation: 4A_333/2023 E. A

A.a. Par contrat de travail de durée indéterminée du 10 mai 2014, A.________ (ci-après: le travailleur, le demandeur, le recourant), alors âgé de 59 ans, a été engagé en qualité d'enseignant bilingue en mathématiques et en sciences, à compter du 19 août 2014, auprès de B.________ SA (ci-après: l'école, l'employeuse, la défenderesse). Le contrat de travail prévoyait une rémunération mensuelle brute de 5'500 fr. versée douze fois l'an, pour une activité à temps plein. La rémunération brute a ensuite été augmentée à 5'880 fr. La Convention collective de travail de l'enseignement privé vaudois du 28 septembre 1994 ainsi que ses amendements s'appliquent au contrat. Celle-ci prévoit que, dès la deuxième année de service, la dénonciation du contrat de travail peut intervenir trois mois à l'avance au minimum pour la fin d'un trimestre ou d'un semestre civil. A.b. À la suite de problèmes rencontrés par le travailleur avec certains élèves, l'employeuse a décidé en 2017 de le licencier. À la même époque, l'employeuse devait en outre engager un nouveau doyen en raison du départ du titulaire de la fonction. Le candidat au poste était également professeur de mathématiques et physique, de sorte qu'il n'y avait pas de travail pour deux professeurs de la même matière. La décision de licenciement a d'abord été communiquée au travailleur à la fin avril 2017, oralement puis par e-mail, précisant que l'employeuse ne pourrait plus lui confier du travail à temps plein, mais au maximum à hauteur de cinq heures par semaine. A.c. À la suite d'un accident de la route survenu le 21 mai 2017, le travailleur a été en incapacité totale de travail jusqu'au 2 juillet 2017. Il a ensuite souffert d'une hernie abdominale, puis a connu une autre incapacité dont la cause n'a pas été déterminée par la cour cantonale. Son incapacité s'est prolongée sans interruption jusqu'au 28 janvier 2018. A.d. Par courrier du 29 mai 2017, l'employeuse a notifié au travailleur un licenciement avec effet au 30 août 2017, au motif que son poste ne pouvait plus être maintenu pour des motifs organisationnels. Le travailleur s'est opposé à son licenciement le 7 juin 2017 et a exprimé son souhait de poursuivre ses rapports de travail avec l'employeuse. Par e-mail du même jour, l'employeuse, par sa directrice, a informé le travailleur que son licenciement interviendrait dans les délais légaux, dès que possible et que la décision de mettre un terme à la relation de travail était claire et définitive. Elle lui a en outre rappelé que son devoir de loyauté envers l'employeuse perdurait et qu'il était tenu de sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de l'employeuse en vertu de l'art. 321 CO. A.e. Par courrier recommandé du 27 juin 2017, l'employeuse a informé à nouveau l'intimé que son poste ne pouvait pas être maintenu pour la prochaine année scolaire et l'a libéré de son obligation de travailler jusqu'à la fin de la durée de son congé, "quelle que soit cette durée". Le courrier ajoute en outre ceci: " [...] Veuillez noter que vous n'êtes pas autorisé à vous rendre à l'école ou dans des lieux privés que l'école occupe sans le consentement de la directrice. Vous n'avez pas à remettre en cause publiquement une décision de licenciement prise par la direction en donnant à croire que vous enseignerez l'année prochaine : ceci sème le trouble parmi les parents. [...] Je déplore votre déni de la réalité de la situation et votre attitude oppositionnelle. Aucun directeur d'école ne peut inventer des heures qui n'existent pas. Il est inutile d'envenimer les choses en donnant à croire aux parents et aux collègues que vous pourriez changer la donne, cela sème le trouble et le désordre". A.f. Le 13 juillet 2017, le travailleur s'est vu notifier un nouveau courrier recommandé de l'employeuse, lui indiquant " je vous confirme par la présente pour le 13 juillet 2017 votre licenciement à fin juillet 2017. Ce courrier vous parvenant hors du congé accident qui se termine le 13 juillet 2017 est donc valable ". Le travailleur a indiqu é, par courriel du 14 juillet 2017, être encore en arrêt de travail complet. A.g. Le 23 août 2017, le travailleur a téléphoné à la comptable de l'école. Celle-ci a communiqué immédiatement à la directrice de l'école le contenu de cet appel, puis le lui a transcrit par courriel du 25 août 2017. Elle y a indiqué que le travailleur lui avait fait savoir qu'il avait accédé à l'ordinateur de la directrice, qu'il avait eu accès à des fichiers confidentiels ou privés des employés, tels que des documents fiscaux, des certificats de salaires annuels de ses collègues et de la directrice, des contrats et des lettres de licenciements d'employés précédents. Il avait également eu accès à des fichiers personnels, ainsi qu'à de la correspondance privée de la directrice elle-même, notamment des courriers destinés aux autorités fiscales ou encore des échanges privés avec sa mère. Il a prétendu que l'employeuse était responsable de ne pas avoir caché ces documents et qu'il était en mesure de prouver qu'ils n'étaient pas protégés. Il a laissé entendre à la comptable qu'il détenait la plupart des documents confidentiels du personnel de l'école actuel et passé et des documents concernant la vie privée de la directrice, et qu'il les utiliserait contre la directrice et contre l'école dans un avenir plus ou moins proche. A.h. Par courrier recommandé du 25 août 2017, le travailleur a été licencié avec effet immédiat pour faute grave. Les agissements qui lui ont été reprochés étaient ceux qu'il a mentionnés lors de son téléphone avec la comptable, lesquels lui ont été rappelés. Le travailleur a contesté les motifs de son licenciement par courrier du 15 septembre 2017.