Citation: 5A_125/2022 E. 4

En définitive, le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée au Juge délégué pour nouvelle décision au sens des considérants. Il lui appartiendra aussi de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF). Bien que l'issue du litige soit incertaine, les frais et dépens de l'instance fédérale incombent à l'intimé (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF; arrêt 5A_93/2019 du 13 septembre 2021 consid. 7 et les références), lequel a conclu au rejet du recours (ATF 119 Ia 1 consid. 6b). La recourante et l'intimé sollicitent le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Les conditions prévues aux art. 64 al. 1 et 2 LTF sont remplies en l'espèce. Puisque la recourante ne supporte pas les frais judiciaires, sa requête d'assistance judiciaire est sans objet en tant qu'elle porte sur ce point (ATF 109 Ia 5 consid. 5; arrêts 5A_821/2019 du 14 juillet 2020 consid. 7; 5A_333/2019 du 6 juillet 2020 consid. 6 et l'autre référence). Tel n'est en revanche pas le cas en tant qu'elle concerne la désignation d'un avocat d'office et l'indemnisation de celui-ci. En effet, bien que l'intimé soit condamné à verser des dépens à la recourante, il y a lieu de considérer que celle-ci ne sera pas en mesure de les recouvrer, compte tenu de la situation financière de l'intimé. Les avocats de la recourante seront dès lors également directement indemnisés par la Caisse du Tribunal fédéral (arrêts 5A_131/2021 du 10 septembre 2021 consid. 6.1; 5A_333/2019 du 6 juillet 2020 consid. 6; cf. ég. ATF 122 I 322 consid. 3d). Les parties sont rendues attentives au fait qu'elles sont tenues de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral si elles sont en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :