Citation: 2C_10/2016 E. A

A.a. Die 2002 geborene A.A.________ trat im August 2008 nach einem Jahr Kindergarten vorzeitig in die 1. Klasse der Primarschule U.________/SG ein. Im Schuljahr 2011/12 besuchte sie die 4. Klasse. A.b. Mit Blick auf eine allfällige Hochbegabung klärte der Schulpsychologische Dienst des Kantons St. Gallen (SPD) A.A.________ am 21. und 23. Februar 2012 ab. Die untersuchende Psychologin stellte anhand zweier Testverfahren ("HAWIK-IV" bzw. "CFT 20-R") fest, es liege bei A.A.________ zwar ein überdurchschnittliches Leistungspotenzial vor, aber es könne nicht von einer Hochbegabung ausgegangen werden. Bei diesem Befund könne kein Antrag auf Besuch einer Schule für Hochbegabte gestellt werden. Als Kind mit guter Begabung könne A.A.________ grundsätzlich in der Regelklasse beschult und spezifisch gefördert werden. A.c. Ab dem 23. April 2012 liessen die Eltern von A.A.________, B.A.________ und C.A.________, ihre Tochter durch die Privatschule "X.________" in V.________/SG beschulen. Anfang September 2012 wechselte sie an die Privatschule "Y.________" in W.________/SG. Auf Wunsch ihrer Eltern untersuchte der SPD A.A.________ am 3. September 2012 erneut auf Hochbegabung (mit dem Testverfahren "PSB-R-Horn"). Gemäss dem Bericht vom 11. September 2012 könne bei A.A.________ zwar von intellektuellen Fähigkeiten im überdurchschnittlichen Bereich, jedoch nicht von einer Hochbegabung gesprochen werden. A.d. Am 12. Februar 2013 liessen die Eltern A.A.________ durch eine als Privatgutachterin beigezogene Psychologin auf Hochbegabung abklären. Diese kam zum Schluss, es liege Hochbegabung vor.