Citation: 4A_417/2013 E. A

A.a. Les 1er, 11 et 15 avril 2008, la société A.________ Ltd (ci-après: A.________), à Saint-Kitts-et-Nevis, agissant par X.________, domicilié à New York (Etats-Unis d'Amérique), a ouvert quatre comptes auprès de la Banque Z.________ (ci-après: Z.________ ou la banque). Entre avril et mai 2008, A.________ a déposé sur ses comptes un portefeuille de titres évalué à un montant de 248 millions d'USD selon deux agences de cotation. Les 28 avril et 22 mai 2008, Z.________ a accordé à A.________ un crédit contre titres de 3 millions d'USD (augmenté ultérieurement à 7 millions d'USD) et un crédit lombard de 6,5 millions d'USD (ramené ultérieurement à 2,5 millions d'USD). A.b. Le 30 juillet 2008, X.________ a ouvert à son nom trois comptes courants et un compte de dépôt auprès de Z.________. Il a signé les documents d'ouverture de compte, en particulier les conditions générales de la banque, dont l'art. 22 prévoit une élection de droit en faveur du droit suisse pour toutes les relations juridiques entre l'établissement bancaire et le client (art. 105 al. 2 LTF). Le précité a convenu avec Z.________ que la correspondance se ferait par banque restante. Les 24 septembre et 10 octobre 2008, Z.________ a accordé à X.________ un crédit contre titres de 8 millions d'USD et un crédit lombard d'un million d'USD. A titre de garantie, X.________ a remis en gage à la banque le 23 septembre 2008 des certificats d'actions de trois sociétés, soit R.________ Inc, S.________ Inc. et T.________ Corp, que Z.________ a évalués alors au montant de 109 millions d'USD. Le 25 septembre 2008, X.________, par le débit du crédit contre titres susmentionné, a fait virer un montant de 2 millions d'USD en faveur d'un compte qu'il possédait auprès d'une banque tierce sise sur l'Ile Anglo-Normande de Jersey. Le 20 novembre 2008, X.________, par le débit du crédit lombard précité, a acheté des titres yyy pour 525'885,87 USD. A.c. En novembre 2008, Z.________ a appris, au moyen d'articles de presse, que A.________ se trouvait impliquée dans une vaste fraude commise au préjudice d'investisseurs nord-américains et qu'elle faisait l'objet d'une enquête de la SEC, autorité américaine de surveillance de la bourse, pour avoir participé à des manipulations illicites de cours de titres, dont certains faisaient partie de ceux qu'elle avait déposés auprès de Z.________. En décembre 2008, les investisseurs nord-américains ont déposé à Genève une plainte pénale pour escroquerie, abus de confiance et gestion déloyale contre notamment X.________, plainte qui a permis de saisir pénalement les actions que celui-ci avait remises en gage à Z.________. Le 3 décembre 2008, Z.________, par courrier banque restante, a dénoncé au remboursement immédiat - en vertu de l'art. 15 de ses conditions générales autorisant la résiliation abrupte et en tout temps des relations d'affaires avec le client - les crédits qu'elle avait octroyés à A.________ et à X.________. Il a été retenu qu'à cette date la dette globale de celui-ci se montait à 2'525'885 USD et que la valeur des titres qu'il avait nantis était tombée à 56 millions d'USD. Z.________ a exposé avoir sollicité le remboursement sans délai des crédits en raison de la perte de valeur du portefeuille nanti en garantie des prêts et en raison des informations défavorables qui lui étaient parvenues sur X.________, lesquelles avaient rompu le rapport de confiance avec ce client. Le 5 décembre 2008, Z.________ a signalé l'existence des comptes A.________ et X.________ au Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent. Le Ministère public de la Confédération a ouvert une enquête, ordonné le séquestre pénal des certificats d'actions déposés sur le compte de X.________ et autorisé Z.________ à réaliser les titres dans la mesure nécessaire à l'extinction de sa créance. Le 8 décembre 2008, la banque a vendu les titres yyy qu'avait acquis X.________; cette opération a permis à la banque d'encaisser 239'999,55 USD, montant qui a été porté en réduction du crédit contre titres accordé à X.________. Toujours le 8 décembre 2008, X.________ s'est rendu dans les bureaux de Z.________. Le contenu des entretiens qu'il a eus avec les représentants de la banque n'a pas été établi. Le 18 décembre 2008, X.________ a viré à Z.________ un montant d'un million d'USD sans formuler de réserve. La cause de ce virement fait l'objet de controverses entre les parties. Le 30 décembre 2008, la banque a transmis électroniquement à X.________, à sa demande, des documents juridiques relatifs aux comptes personnels qu'il avait ouverts auprès de celle-ci. La liste des documents ainsi communiqués est contestée.