Citation: 5A_379/2021 E. B

B.a. Mit Beschwerde vom 11. Mai 2021 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, Dispositiv-Ziff. 5 des Urteils des Obergerichts (Bst. A.d) aufzuheben und von der Zusprechung einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin für das bezirksrätliche Verfahren in der Höhe von Fr. 900.-- zuzüglich MWST abzusehen. Eventualiter verlangt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zwecks Aufhebung der Parteientschädigung. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht stellt der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. B.b. Das Bundesgericht hat Vernehmlassungen eingeholt. Mit Eingabe vom 9. November 2021 verzichtet das Obergericht auf eine solche. Die Beschwerdegegnerin beantragt mit Schreiben vom 26. November 2021, die Beschwerde abzuweisen. Auch sie stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht.