Citation: 9C_153/2022 E. C

La caisse de compensation interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à la confirmation de sa décision sur opposition du 28 mai 2021. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants. A.________, représentée par son curateur, conclut principalement au rejet du recours et subsidiairement à la réforme de l'arrêt attaqué, en ce sens que le loyer est réparti à raison de 80 % pour elle-même et de 20 % pour sa fille, ainsi qu'au renvoi de la cause à la caisse pour nouveau calcul des prestations. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire. A la suite de la prise de position de l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS), qui conclut à l'admission du recours, A.________ s'est encore déterminée.