Citation: 4A_621/2023 E. A

A.a. Die B.________ d.o.o. (Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft nach slowenischem Recht mit Sitz in U.________, Slowenien. Die A.________ S.A. (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach schweizerischem Recht mit Sitz in V.________, Kanton Aargau. A.b. Am 9. Oktober 2009 unterzeichnete die Gesuchstellerin eine als "Distribution Agreement" bezeichnete Vereinbarung, die eine Schiedsklausel zugunsten eines Schiedsverfahrens vor dem Slovenian Chamber of Commerce enthielt (Schiedsvereinbarung). Zwischen den Parteien ist streitig, wer gemäss dem "Distribution Agreement" Vertragspartner der Gesuchstellerin war. A.c. Das vereinbarte Schiedsgericht erklärte sich mit Urteil vom 20. November 2017 mit der Begründung für unzuständig, die Gesuchsgegnerin sei nicht Partei der Schiedsvereinbarung. Die Gesuchstellerin erhob daraufhin beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die Gesuchsgegnerin und machte vertragsrechtliche Ansprüche aus dem "Distribution Agreement" geltend. Mit Urteil vom 5. November 2018 erklärte sich das Handelsgericht gestützt auf die Schiedsvereinbarung für unzuständig und verwies die Gesuchstellerin im Sinne von Art. II Abs. 3 des Übereinkommens vom 10. Juni 1958 über die Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Schiedssprüche (SR 0.277.12; nachfolgend: NYÜ oder New Yorker Übereinkommen) auf das Schiedsverfahren. Die dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Bundesgericht abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde (Urteil 4A_646/2018 vom 17. April 2019). Die Gesuchstellerin erhob anschliessend erneut Klage über weitgehend dieselben Ansprüche vor dem Kreisgericht Koper, Slowenien. Mit Urteil vom 21. März 2022 hat das Kreisgericht die Klage gutgeheissen und die Gesuchsgegnerin verpflichtet, der Gesuchstellerin aus dem Kaufvertrag EUR 593'075.11 nebst Zins zu bezahlen. Dieses Urteil wurde vom Höheren Gericht in Koper, Slowenien, mit Urteil vom 19. August 2022 bestätigt. A.d. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes X.________ vom 20. Mai 2022 betrieb die Gesuchstellerin gestützt auf das Urteil des Kreisgerichts Koper die Gesuchsgegnerin für den Gesamtbetrag von Fr. 673'067.65 nebst Zins.