Citation: 4A_360/2020 E. A

A.a. Die A.________ AG (Beschwerdeführerin) ist Eigentümerin des Thermalbads C.________. Die französische D.________-Gruppe betreibt mehrere Bäder. Die zu dieser gehörende E.________ S.A. vereinbarte mit der Beschwerdeführerin, dass sie das Thermalzentrum nach einem Umbau betreibt. In einer Vereinbarung vom 13. März 2012 wurden die Grundsätze der Zusammenarbeit festgelegt. Die E.________ S.A. als "locataire" bekundete ihren Willen, das Thermalzentrum zu betreiben unter der Voraussetzung, dass sie die Konzeption, die Planung sowie die Leitung der Ausführung der Renovations- und Verbesserungsarbeiten selbst beaufsichtige und dass die Bewirtschaftungsdauer mindestens 20 Jahre beträgt. Dies alles akzeptierte die Beschwerdeführerin als "bailleur". A.b. Es wurde vereinbart, dass die Beschwerdeführerin ungefähr Fr. 18 Mio. für Renovations- und Erneuerungsarbeiten in die Liegenschaft investiert. Die E.________ S.A. sollte ihrerseits ungefähr Fr. 4 Mio. für das Betriebsmaterial und die technische Ausstattung einsetzen. A.c. Die Arbeiten sollten unter der Federführung eines "comité de pilotage" (Copil) realisiert werden. Dieses setzte sich aus je drei Vertretern der Beschwerdeführerin und der E.________ S.A. zusammen. Für die Beschwerdeführerin sassen deren Verwaltungsratspräsident F.________ sowie deren Verwaltungsräte G.________ und H.________ im Copil. Die E.________ S.A. wurde durch deren Verwaltungsratspräsidenten I.________ sowie J.________ und K.________ im Copil vertreten. F.________ präsidierte das Copil, und zwar mit Stichentscheid bei Stimmengleichheit. Das Copil wurde ermächtigt, aus Fachspezialisten eine Projektierungsgruppe zu bilden, die es unterstützen sollte. A.d. K.________ wurden bei der Organisation, der Planung und den Kontakten zu Architekten, Planungsbüros sowie Ingenieuren weitreichende Aufgabenbereiche zugewiesen. Zudem beauftragte die Beschwerdeführerin am 29. August 2012 L.________ (beziehungsweise die M.________ ag, deren Inhaber er war) als planenden Architekten mit dem Um- und Erweiterungsbau. Mit Vertrag vom gleichen Tag übertrug sie der N.________ SA die Bauleitung, das Einholen von Offerten sowie die damit zusammenhängende Überwachung. A.e. Am 25. Januar 2013 unterzeichneten die Beschwerdeführerin und die E.________ S.A. einen Pachtvertrag. Darin regelten sie auch die finanzielle Beteiligung am Umbau. Danach hatte die Beschwerdeführerin ungefähr Fr. 26 Mio. für die Renovations- und Erneuerungsarbeiten aufzubringen. Der Beitrag der E.________ S.A. für "matériel d'exploitation" und "plateau technique" blieb unverändert bei ungefähr Fr. 4 Mio. Mit Nachtrag zum Pachtvertrag trat am 26. September 2013 an Stelle der E.________ S.A. die C.________ AG als Pächterin in den Pachtvertrag ein. Sie war durch die D.________-Gruppe zur Führung des Thermalbads C.________ gegründet und am 23. Mai 2013 in das Handelsregister eingetragen worden. A.f. Die B.________ SA (Beschwerdegegnerin) führte im Rahmen des Umbaus des Thermalbads C.________ verschiedene Betonarbeiten aus. Sie stellte dafür vier Rechnungen. Die ersten beiden Rechnungen Nr. 13340 und Nr. 14091 im Gesamtbetrag von Fr. 75'679.50 beglich die Beschwerdeführerin am 22. Mai und 30. Juli 2014. Die dritte und vierte Rechnung blieben unbezahlt. A.g. Bei den offenen Rechnungen handelt es sich einerseits um die Faktura Nr. 14339 über den Gesamtbetrag von Fr. 177'995.70, der aus den Teilbeträgen von Fr. 169'469.60 für Arbeitsleistungen und Fr. 8'526.10 für Verpflegungs- und Übernachtungskosten besteht. Anderseits geht es um die Faktura Nr. 15059 im Betrag von Fr. 1'902.40.