Citation: 9C_249/2016 E. A

A.a. A.________ mariée et mère d'un enfant (né en 2012), a travaillé à plein temps auprès du Service B.________ de la Ville de Genève du 1 er juillet 2003 au 31 janvier 2009. A ce titre, elle était affiliée pour la prévoyance professionnelle à la Caisse d'assurance du personnel (CAP) de la Ville de Genève, des Services industriels de Genève et du personnel communal transféré dans l'administration cantonale (dont les actifs et passifs ont été repris à compter du 1 er janvier 2014 par la CAP Fondation de prévoyance intercommunale de droit public de la Ville de Genève, des Services industriels de Genève et des communes genevoises affiliées, ainsi que d'autres employés affiliés conventionnellement; ci-après: la CAP Prévoyance ou la caisse de prévoyance). L'assurée a subi plusieurs périodes d'incapacité de travail dès le 4 juillet 2006, à la suite d'une contusion au pied gauche, avant d'être en arrêt total de travail dès le 8 mars 2007. A la demande de la Ville de Genève (du 10 avril 2008), la CAP a indiqué à A.________ qu'elle n'avait pas droit à une pension d'invalidité de la prévoyance professionnelle (correspondance du 20 juin 2008). A.b. En se fondant sur un projet de décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) du 15 mars 2013, A.________ a demandé à la CAP un nouvel examen de sa situation le 3 avril 2013. Elle a produit la décision de l'office AI (du 23 août 2013) qui lui reconnaît un degré d'invalidité de 35 %. Après un échange de correspondance, la caisse a nié le droit de l'assurée à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle (prises de position des 21 octobre 2013, 26 février et 28 avril 2014). Au vu du désaccord exprimé, le Conseil de fondation de la CAP Prévoyance a maintenu que A.________ n'avait pas droit à de telles prestations (communication du 20 juin 2014). A.c. Parallèlement, la société C.________ SA, Prestations Assurances de personnes, a tout d'abord alloué à l'assurée une rente transitoire d'invalidité de l'assurance-accidents dès le 1er avril 2009 (décision du 4 avril 2009), puis une rente d'invalidité dès le 1er septembre 2013 (décision du 29 janvier 2015). Ces décisions se fondent sur un taux d'invalidité de 34 % et un taux d'atteinte à l'intégrité de 10 %.