Citation: 6B_49/2022 E. 3.3.1

3.3.1. Die Vorinstanz hält in tatsächlicher Hinsicht fest, die Beschwerdegegnerin sei am 20. Oktober 1984 in La Vega (Dominikanische Republik) geboren und dort aufgewachsen. Als sie zwei Jahre alt gewesen sei, seien ihre Eltern in die Schweiz gekommen und sie selbst sei von ihren Grosseltern betreut worden. Im Alter von rund 10 Jahren sei auch die Beschwerdegegnerin in die Schweiz gezogen und habe zusammen mit ihrer Mutter, deren Lebenspartner sowie ihrer Halbschwester in U.________ (AG), V.________ (LU) und W.________ gelebt. Mit 19 Jahren sei die Beschwerdegegnerin nach Luzern gezogen. Sie verfüge über die Aufenthaltsbewilligung C, die letztmals am 14. August 2020 verlängert worden sei. Sie habe die Primarschule in der Dominikanischen Republik und in U.________ (AG), und die Realschule in V.________ (LU) besucht. Im Alter von 17 bis 19 Jahren habe die Beschwerdegegnerin, die über keine Berufsausbildung verfüge, im Service gearbeitet und anschliessend Temporärarbeit geleistet. Seit Beendigung der Realschule beziehe sie Sozialhilfe und habe Schulden von derzeit rund Fr. 30'000.--, wobei sie gegenwärtig aufgrund ihrer Einkommensverhältnisse keine Tilgungszahlungen leisten könne. Sie übe die alleinige elterliche Sorge über ihre drei am 3. Dezember 2004, 1. Januar 2007 und 19. Juli 2010 in der Schweiz geborenen Söhne aus. Von den Vätern ihrer Kinder sei sie getrennt und sie erhalte von ihnen keine Unterhaltszahlungen. Die Beschwerdegegnerin habe regelmässigen Kontakt zu ihrer Mutter und einer Schwester, die gegenwärtig in New York lebten. Im Februar 2021 habe sie sich einer Gallenoperation unterziehen müssen und leide seit längerem an Depressionen, weshalb sie Medikamente einnehme. Die Beschwerdegegnerin lebe mit ihren drei Söhnen in einer 3,5-Zimmer-Wohnung in Luzern. Der jüngste Sohn, der sich zuvor auch bei ihr aufgehalten habe, sei seit ihrer Inhaftierung im März 2019 in einem Wocheninternat untergebracht. An den Wochenenden werde er von der Beschwerdegegnerin betreut. Der mittlere und der älteste Sohn besuchten die Sekundarschule. Ab Sommer werde Letzterer eine kaufmännische Lehre beginnen. Der jüngste Sohn besuche die vierte Primarschulklasse. Gemäss Einschätzung der Beistandsperson verfüge die Familie der Beschwerdegegnerin mit ihren drei Söhnen über kein soziales Netz. Die Grosseltern seien nicht präsent, der Vater der älteren beiden Söhne lebe im Kanton Aargau und in den USA. Sie sähen ihn praktisch nie, er habe nur sporadisch telefonischen Kontakt zu seinen Söhnen. Der Vater des jüngsten Kindes lebe in Spanien, melde sich alle paar Jahre und kümmere sich praktisch nicht um ihn. Die beiden hätten nur über WhatsApp und Facetime Kontakt.