Citation: 4A_173/2018 E. A

A.a. Du 1er septembre 2005 au 1er mai 2014 (date de son licenciement immédiat), A.________ (ci-après: l'employé) a travaillé pour B.________ Sàrl (ci-après: l'employeuse), société sise à... ayant notamment pour but de développer, produire et commercialiser des articles d'horlogerie. L'employé a débuté son activité au sein de la société en qualité de " Vice President of Operations ", puis de " General manager ", puis comme directeur général (CEO). Cette dernière fonction a été confirmée dans un contrat de travail du 24 juin 2011 (avec effet au 1er janvier 2011), pour une durée de cinq ans (soit jusqu'au 31 décembre 2015). Selon ce contrat, l'employé percevait annuellement un salaire brut de 561'000 fr., avait droit à une voiture d'une valeur de 120'000 fr. qu'il pouvait utiliser pour son usage personnel, ainsi qu'à une indemnité de 42'000 fr. par année (frais de représentation). En cas de pleine réalisation des objectifs annuels définis à l'avance, le contrat prévoyait un bonus maximal (payable au début de l'année suivante) de 250'000 fr. pour 2011, de 275'000 fr. pour 2012, de 300'000 fr. pour 2013, de 325'000 fr. pour 2014, de 350'000 fr. pour 2015 et de 350'000 fr. pour 2016 (dans l'hypothèse d'une continuation du contrat). A.b. En 2013, la société employeuse a été rachetée par le groupe X.________ (devenu par la suite Z.________). Par courrier du 7 avril 2014, la (nouvelle) société employeuse, par l'intermédiaire de U.________ (gérant avec signature individuelle), a libéré A.________ avec effet immédiat (sans avertissement préalable) de sa fonction de CEO et de son obligation de travailler jusqu'au 30 avril 2014, ses pouvoirs de représentation étant immédiatement révoqués. L'employeuse précisait que le contrat de travail demeurait en vigueur et qu'elle s'acquitterait du salaire de l'employé conformément au contrat (à la condition que celui-ci respecte ses obligations légales et contractuelles). Le 17 avril 2014, l'employé, par l'intermédiaire de son avocat, a contesté le contenu de la lettre du 7 avril 2014, et il a signalé à son employeuse qu'en le relevant de sa fonction de CEO sans avis préalable et sans que son travail n'ait été remis en question, elle avait violé son obligation de protéger sa personnalité et que sa réputation et sa santé avaient été affectées par cette décision abrupte. L'employé lui a donné un délai au 25 avril 2014 pour respecter ses obligations et lui fournir des informations claires concernant son futur et son droit de travailler conformément à son contrat. Le 28 avril 2014, la société employeuse n'ayant pas réagi dans le délai, l'employé lui a fixé un nouveau délai au 30 avril 2014. A.c. Le 1er mai 2014, la société employeuse a licencié son employé avec effet immédiat, invoquant d'importantes violations de son devoir de loyauté et de fidélité, possiblement constitutives d'infractions pénales. Le 2 mai 2014, l'employé a contesté la résiliation, relevé l'absence de justes motifs et il a requis la motivation écrite du congé. Entre le 2 mai et le 29 juillet 2014, l'employé a réitéré à de nombreuses reprises sa demande visant à obtenir une motivation écrite de son licenciement, sans succès. Pour le mois de mai 2014, l'employé a reçu un salaire mensuel brut de 20'245 fr.80 (3'223 fr. de salaire, 16'920 fr.90 à titre de treizième salaire, 18 fr.05 de contribution pour caisse maladie, 30 fr. 70 d'allocations familiales et 53 fr.15 pour sa voiture de service).