Citation: 6B_691/2021 E. 5

Au vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision en relation avec l'indemnisation des frais d'expertise privée (cf. consid. 4. supra). Pour le reste, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui n'obtient que très partiellement gain de cause, supportera une partie des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF); il peut prétendre à des dépens réduits à la charge du canton de Genève (art. 68 al. 1 LTF), lequel est dispensé de tout frais (art. 66 al. 4 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :