Citation: 1B_319/2023 E. C

Par acte du 12 juin 2023, A.________ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à l'obtention d'une indemnité de 800 fr. pour tort moral suite aux quatre jours de détention provisoire illégaux subis depuis le prononcé de l'arrêt de la Chambre pénale de recours du 26 mai 2023 "prononçant illégalement la prolongation de sa détention provisoire et conjointement de l'arrêt du Tribunal fédéral 1B_243/2023 du 26 mai 2023 prononçant sa mise en liberté immédiate et sa mise en liberté effective le 30 mai 2023" (ch. 7), à l'annulation des frais de la procédure cantonale (900 fr.; ch. 10) et à l'obtention d'une indemnité pour son avocat (ch. 11); le recourant s'en remet à justice s'agissant de l'indemnité pour tort moral à la suite des 83 jours de détention provisoire illégaux subis, à la charge de l'Etat de Genève (ch. 6). A titre subsidiaire, il requiert le renvoi de la cause pour nouvelle décision au sens des considérants (ch. 9). Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire (ch. 2 et 3). L'autorité précédente s'est référée aux considérants de sa décision, sans formuler d'observations. Le Ministère public s'en est rapporté à justice "quant à la recevabilité du recours en tant qu'il porte sur l'annulation de l'arrêt ACPR/399/2023, en tant que le recourant a été condamné aux frais de procédure" et au rejet du recours au fond; il a également conclu à l'irrecevabilité du recours "en tant qu[e le recourant] conclut à l'allocation d'une indemnité pour la détention subie et d'une indemnité valant participation aux honoraires de son conseil". Le recourant n'a pas déposé d'autres déterminations dans le délai imparti.