Citation: 5A_984/2019 E. B

B.a. Mit Schreiben vom 29. Juni 2015 beantragte B.________ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Stadt Luzern die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge. A.________ wehrte sich dagegen und bestritt die Zuständigkeit der KESB Stadt Luzern. Das Kantonsgericht Luzern bestätigte die Zuständigkeit mit Urteil vom 1. September 2016. B.b. In der Folge errichtete die KESB Stadt Luzern für C.________ eine Besuchsrechtsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB. Gleichzeitig regelte sie zum ersten Mal das Besuchsrecht zwischen Vater und Sohn. Die Besuche sollten bei der Fachstelle D.________ begleitet durchgeführt und schrittweise ausgedehnt werden (Entscheid vom 31. Mai 2016). Ab November 2016 fanden nach einem längeren Kontaktunterbruch regelmässige begleitete Besuche statt. B.c. Im Februar 2017 beantragte die Beiständin, C.________ bezüglich der Kontakte zum Vater psychologisch zu begutachten und die Besuche während der Begutachtung begleitet durchzuführen. Die Kinder- und Jugendpsychiatrie E.________ empfahl aufgrund der festgestellten Entwicklungsgefährdung eine Begutachtung der Situation. Am 16. Mai 2017 reichte B.________ eine Gefährdungsmeldung bei der KESB Stadt Luzern ein. Mit Verfügung vom 18. Mai 2017 ordnete die KESB Stadt Luzern vorsorglich an, dass B.________ C.________ zweimal im Monat für rund vier Stunden in begleiteter Form bei der Fachstelle D.________ treffen kann. B.d. Am 30. April 2018 lag das psychologische Gutachten vor, am 5. Juli 2018 erging der Bericht der Beiständin über den Ablauf der begleiteten Besuchskontakte. Die Eltern nahmen dazu Stellung; A.________ verlangte, ein neues Gutachten einzuholen. B.e. Am 30. August 2018 hörte die KESB Stadt Luzern C.________ zum Thema gemeinsame elterliche Sorge und Besuchsrecht an. Ein Gespräch mit den Eltern fand am 5. September 2018 statt. B.f. Mit Entscheid vom 13. November 2018 stellte die KESB Stadt Luzern C.________ unter die gemeinsame elterliche Sorge (Ziffer 1). Laut Ziffer 3 sollten die Besuche zweimal pro Monat für vier Stunden (bis Ende 2018), anschliessend für sechs Stunden (während sechs Monaten) begleitet bei der Fachstelle D.________ stattfinden. Für die Zeit danach ordnete die KESB Stadt Luzern unbegleitete Wochenendbesuche alle zwei Wochen an, zuerst (während sechs Monaten) mit einer, dann mit zwei Übernachtungen. Dazu sollte (nach weiteren drei Monaten) ein Ferienrecht des Vaters treten. Ausserdem ordnete die KESB Stadt Luzern für C.________ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 ZGB an und übertrug der Beiständin nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB zusätzliche Aufgaben (Ziffer 6).