Citation: 4A_488/2021 E. A

A.a. Z.________ SA est une société anonyme cotée à la bourse suisse. Elle est statutairement consacrée à la prise de participations dans divers secteurs. Ses statuts contiennent les prescriptions suivantes: " Article 17 - Composition (1) Le conseil d'administration de la société se compose de trois ou plusieurs membres. (...) (...) Article 19 - Délégation de la gestion Le conseil d'administration peut déléguer tout ou partie de la gestion à un ou plusieurs de ses membres (délégués) ou à des tiers (directeurs) conformément au règlement d'organisation. Article 20 - Représentation de la société (...) (2) [Le conseil d'administration] peut déléguer le pouvoir de représentation à un ou plusieurs de ses membres (délégués) ou à des tiers (directeurs, fondés de procuration, mandataires commerciaux)." A.b. En juin 2010, à l'approche de l'assemblée générale ordinaire, certains actionnaires ont convenu de coordonner leurs droits de vote et de refuser l'élection ou la réélection de certains administrateurs. L'assemblée s'est tenue le 9 juin 2010. La société comptait alors six administrateurs; trois d'entre eux n'ont pas été réélus. Un important conflit divisait les actionnaires. Il impliquait notamment M.________, l'un des actionnaires principaux qui faisait partie des administrateurs évincés. Le 15 juin 2010 s'est tenue une séance du nouveau conseil d'administration dans sa composition réduite. L'administrateur A.________ a été désigné président exécutif du conseil tandis que D.________ était nommé directeur général (CEO, Chief Executive Officer). A l'issue de la réunion, l'administrateur N.________ a démissionné. Ne subsistaient plus que deux administrateurs, soit le prénommé et B.________, chacun doté du pouvoir de signature collective à deux. Le procès-verbal de la séance pointait la nécessité de tenir "très rapidement" une assemblée extraordinaire pour parer au "problème de quorum" et nommer de nouveaux administrateurs, "sans quoi le Conseil ne pourra[it] plus rien décider". Dès le 15 juin 2010, M.________ a initié diverses actions civiles et pénales visant notamment la société et/ou les deux administrateurs restants ainsi que D.________. Le 25 juin 2010, le conseil d'administration a décidé que la société indemniserait les organes mis en cause dans ces procédures pour les frais y afférents (y compris les frais d'avocats) et autres dommages qu'ils devraient supporter en raison de leurs agissements, pour autant que ceux-ci relevassent de la négligence simple et que les coûts ne fussent pas déjà couverts par l'assurance contractée. Le lendemain, le conseil a signé une "décision (...) du 25 juin 2010" confirmant la prise en charge de l'intégralité des montants qui pourraient être réclamés à A.________, B.________ et/ou D.________. Le 23 juillet 2010, les deux administrateurs ont tenu une nouvelle séance du conseil en présence de D.________. Deux points figuraient à l'ordre du jour: - "Contrat de travail pour A.________ en tant qu'administrateur et président exécutif", et - " Octroi exceptionnel d'un droit de signature à D.________". Le conseil d'administration a accepté "les conditions proposées dans le document que chacun des participants a[vait] reçu pour lecture et approbation". Il a commenté ainsi le second point: "Les circonstances particulières liées à la composition actuelle du conseil d'administration avec 2 membres imposent l'octroi exceptionnel à D.________ (CEO) d'un droit de signature pour engager la société dans le cas présent. Ce droit est limité exclusivement à la signature du contrat précité concernant A.________". C'est dans ce contexte qu'a été signé un contrat de travail et de mandat (" Arbeits- und Mandatsvertrag ") liant A.________ à la société, représentée par l'administrateur B.________ et le directeur D.________. Cette convention réglementait d'une part l'emploi du prénommé "en tant que directeur exécutif", d'autre part son mandat de président du conseil d'administration. Elle prévoyait à ce double titre un salaire fixe de 27'910 fr. bruts par mois et une rémunération annuelle de 50'000 fr. nets en sa qualité de membre ordinaire du conseil d'administration. La relation de travail pouvait être résiliée moyennant un préavis de six mois pour la fin d'un mois. A.c. Une assemblée extraordinaire s'est tenue le 6 septembre 2010. Sept administrateurs ont été élus (dont M.________), portant ainsi à neuf les membres du conseil qui incluait toujours B.________ et A.________. Ce dernier a démissionné de sa fonction de président pour être élu vice-président, tandis que M.________ était nommé directeur général. Le nouveau conseil d'administration a passé au crible les dépenses effectuées entre les assemblées générales du 9 juin et du 6 septembre 2010. Il a bloqué provisoirement les factures ainsi que le contrat de " travail et de mandat" concernant le prénommé. Le 29 septembre 2010, la société a résilié avec effet immédiat le contrat de A.________, pour autant qu'il fût valable. L'intéressé a exprimé son opposition.