Citation: 8C_181/2020 E. A

A.a. A.________, né en 1961, travaillait comme maçon indépendant à U.________ et était à ce titre assuré de manière obligatoire contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA). Par déclaration d'accident du 18 février 2009, il a annoncé à celle-ci qu'il s'était fait piquer par une tique en automne 2008 et qu'il était en incapacité de travail depuis le 14 décembre 2009 en raison de douleurs et enflures des deux genoux. Dans un premier temps, après avoir consulté son médecin d'arrondissement, la CNA a refusé de prendre en charge le cas. Ensuite d'un séjour à l'Hôpital B.________ du 27 septembre au 15 octobre 2012, lors duquel le diagnostic de neuroborréliose avec une méningo-encéphalite et vasculite d'accompagnement avec multiples infarctus cérébraux a été posé, la CNA a néanmoins décidé d'allouer les prestations d'assurance pour la neuroborréliose tardive comme étant une conséquence de la morsure de tique, tout en excluant la prise en charge des troubles rhumatologiques aux genoux. A.b. Après avoir procédé à des examens neurologiques, neuropsychologiques et psychiatriques, la CNA a rendu le 12 novembre 2014 une décision par laquelle elle a mis un terme aux prestations d'assurance avec effet au 1er décembre 2014. Sur oppositions de l'assuré et de sa caisse-maladie, elle a consulté, à plusieurs reprises, son service médical interne et a mandaté la psychologue C.________, afin d'effectuer un examen neuropsychologique (cf. rapport du 13 novembre 2017). Parallèlement, l'office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: office AI) a mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire (rhumatologie, médecine interne générale, psychiatrie, neurologie et neuropsychologie) auprès du Centre Médical Expertises (ci-après: CEMEDEX), dont le rapport a été rendu le 8 septembre 2016 et porté le 16 suivant à la connaissance de la CNA. Celle-ci a rejeté les oppositions par décision du 4 mai 2018.