Citation: 4A_631/2020 E. A

A.a. Les trois frères A.________, B.________ et C.________ sont les ayants droit économiques du groupe de sociétés portant leur patronyme. Mondialement connu, le groupe Z.________ est actif notamment dans la fabrication et la distribution de machines.... Le groupe est chapeauté par une holding vaudoise dénommée Z.________ SA (ci-après: la holding, ou la holding Z.________), dont chaque frère possède un tiers des actions. Cette entité a elle-même 40% du capital-actions de la sous-holding Y.________ SA (ci-après: la sous-holding, ou la sous-holding Z.________); le solde de 60% est directement en mains des trois frères à raison de 20% chacun. Cette sous-holding détient les filiales opérationnelles du groupe. B.________ et C.________ sont les deux seuls administrateurs de la holding. Avec leurs épouses respectives, ils forment le conseil d'administration de la sous-holding. Un conflit intense oppose A.________ à ses deux frères. A.b. En février 2010, le prénommé a été mis en cause dans le rapport d'une fiduciaire consacré au conseil d'administration de la sous-holding. Ce document précisait que A.________ avait perdu tous ses mandats d'administrateur en septembre 2009, dont celui afférent à la sous-holding. Il lui était reproché d'avoir intercalé des sociétés intermédiaires, d'avoir imputé des coûts trop élevés et d'avoir détourné des gains, en bref, d'avoir porté atteinte à la substance du groupe en percevant indûment des prestations sujettes à restitution selon l'art. 678 CO, voire en obtenant le remboursement de ses versements en violation de l'art. 680 CO. A.c. Le 10 septembre 2014, l' Obergericht du canton de Zoug a fait droit à la requête de A.________ en instituant un contrôle spécial tel que voté lors de l'assemblée générale de la holding. Le contrôleur a rendu son rapport définitif le 24 mars 2016. Il y constatait notamment que la sous-holding avait octroyé plusieurs avances à la société N.________ Ltd au cours de l'exercice 2012/2013. Il donnait en outre des informations sur les relations d'affaires entre le groupe Z.________ et la société O.________ AG, mais s'était heurté pour le surplus au secret des affaires opposé par la holding. En se fondant sur ce document, A.________ a déposé en mai 2016 une plainte pénale complémentaire contre ses deux frères, qui étaient déjà poursuivis pour vol et faux dans les titres; l'instruction a été étendue à l'infraction de gestion déloyale. Depuis février 2017, il est lui-même poursuivi pour escroquerie et gestion déloyale, aux côtés d'un co-prévenu qui avait aussi été attaqué dans le rapport de février 2010 concernant le conseil d'administration de la sous-holding (let. A.b supra). A.d. Le 6 décembre 2019 s'est tenue l'assemblée générale ordinaire de la holding. A.________ a posé une série de questions relatives à l'exercice 2018/2019, dont celles énoncées ci-dessous (let. B.a). Les réponses obtenues ne l'ayant pas satisfait, il a demandé l'institution d'un contrôle spécial. L'assemblée générale a rejeté sa proposition.