Citation: 8C_562/2014 E. A

A.a. A.________ travaillait en qualité d'ouvrière agricole. Le 17 mars 1997, elle s'est prise l'auriculaire de la main droite dans une trancheuse à oignons. Le docteur B.________, de l'Hôpital C.________, a constaté une sub-amputation avec fracture commitutive de la phalange distale de l'auriculaire droit, et pratiqué un complément d'amputation en urgence avec confection d'un moignon au niveau de l'inter-phalangienne distale. L'assureur-accidents a pris en charge le cas. Dans les suites de l'opération, A.________ a commencé à ressentir des douleurs au niveau du moignon et remontant le long de l'avant-bras qui ont donné lieu à de nombreuses consultations et avis médicaux contradictoires. Certains médecins ont conclu à la présence d'un névrome et suggéré une nouvelle intervention (notamment les docteurs D.________ et E.________), alors que d'autres ont mis en doute ce diagnostic et déconseillé une révision chirurgicale du moignon (les docteurs F.________, G.________et H.________). Progressivement, A.________ s'est plainte de douleurs intenses jusqu'à l'épaule et la nuque. Un état dépressif a été mis en avant. Le 15 juin 1998, la prénommée a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Sur la base des avis médicaux versés au dossier, le docteur I.________, médecin de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (office AI), a retenu un état dépressif majeur et un syndrome douloureux, et conclu à une incapacité de travail totale. Par décision du 14 octobre 1999, l'office AI a alors alloué à A.________ une rente d'invalidité entière avec effet au 1 er mars 1998. Le droit à la rente entière a été maintenu à l'issue de plusieurs procédures de révision (communications des 5 juillet 2001, 10 juin 2003 et 18 octobre 2006). Entre-temps, l'assureur-accidents a nié le droit de l'assurée à des prestations pour la période postérieure au 31 décembre 1999, sous réserve d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité (voir l'arrêt du Tribunal fédéral du 22 juillet 2004; cause U 128/03).