Citation: 2C_344/2013 E.

Mit Eingabe vom 19. April -ergänzt am 6. Mai 2013 - führt A._______ erneut Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Hauptantrag, das letztgenannte Urteil - auch betreffend Prozessentschädigung - aufzuheben und das Bezirksgericht Zürich anzuweisen, auf die Klage vom 11. April 2012 ohne Erhebung eines Kostenvorschusses einzutreten; eventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, einen neuen und angemessenen Kostenvorschuss für das erstinstanzliche Verfahren festzusetzen. Das Universitätsspital X.________ beantragt in der Sache Abweisung der Beschwerde. Die Universität Y.________ stellt denselben Antrag. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet.