Citation: 9C_205/2013 E. A

H.________ a travaillé en qualité de vendeuse, tout en effectuant des nettoyages à l'extérieur de son ménage. Le 3 mai 2008, elle a donné naissance à un quatrième enfant. Du 15 au 26 septembre 2008, elle a séjourné à l'Hôpital X.________, où les médecins ont posé les diagnostics de lombalgie commune dans un contexte psycho-social difficile, d'état dépressif post-partum (depuis 4 mois) et de migraine connue. Les docteurs J.________ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie) et M.________ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), médecins du CEMed de Z.________, procédant pour le compte de l'assureur-perte de gain à une évaluation médicale, ont conclu dans un rapport du 6 février 2009 que le trouble somatoforme douloureux présenté par l'assurée n'entraînait pas d'incapacité de travail. L'activité de vendeuse a pris fin le 31 janvier 2009. Le 13 mars 2009, H.________ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur A.________ (spécialiste FMH en médecine interne générale et en allergologie et immunologie clinique) a déposé un rapport du 29 mai 2009, où il concluait à une incapacité de travail de 100 % "du 5 août 2008 en cours" (soit dès la fin du congé-maternité). La doctoresse P.________ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), dans un rapport daté des 29 mai et 1 er juin 2009, a indiqué que l'incapacité de travail était de 100 % dès février 2008 (congé-maternité du 3 mai au 3 août 2008). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI), se fondant sur les conclusions mentionnées ci-dessus des médecins du CEMed, a rendu le 8 janvier 2010 un préavis de refus de rente d'invalidité. H.________, contestant ce préavis, a produit une expertise privée dans laquelle le docteur S.________ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) évaluait l'incapacité de travail à 100 % entre le 6 février 2009 et juin 2010 et à 50 % entre le 1 er juillet et le 31 décembre 2010. L'office AI a confié au docteur N.________ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) la réalisation d'une expertise psychiatrique. Considérant que le rapport du 23 août 2010 où ce médecin concluait à une incapacité totale de travail n'avait pas valeur probante, il a donné au docteur C.________ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) le mandat de réaliser une nouvelle expertise. Dans un rapport du 24 août 2011, ce médecin a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble dépressif majeur (état actuel sévère, sans caractéristiques psychotiques selon DSM-IV-TR) - soit d'épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques selon CIM-10 (F32.2) - et de trouble état de stress post-traumatique (F43.1), en retenant que ces troubles s'étaient progressivement imposés depuis 2008. Il fixait l'incapacité de travail à 50 % depuis le 1 er mai 2009 et à 100 % depuis le 1 er janvier 2010. Dans un préavis du 6 octobre 2011, l'office AI a informé H.________ qu'elle avait présenté une incapacité de travail ininterrompue depuis le 1 er mai 2009 et qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010. L'assurée a fait part à l'office AI de ses observations en ce qui concerne le début de son incapacité de travail, dont elle affirmait qu'il remontait au 3 mai 2008, date de son accouchement. Dans un rapport complémentaire du 6 décembre 2011, le docteur C.________ a conclu que l'atteinte à la santé était devenue suffisamment sévère pour qu'on doive retenir une incapacité de travail psychiatrique de 50 % depuis le 1 er mai 2009 et de 100 % à partir du 1 er janvier 2010. Par décision du 4 avril 2012, l'office AI, tout en se référant au rapport complémentaire du docteur C.________, a alloué à H.________ une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010.