Citation: 9C_140/2019 E. A

A.a. A.________ est né en Bosnie-Herzégovine en 1964. Il est arrivé en Suisse le 28 septembre 1993 mais n'y a jamais exercé d'activité lucrative. Invoquant les suites d'une hernie discale L5/S1, opérée en 1993 puis en 1998, il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 26 juin 2000. L'office AI a successivement rendu deux décisions (du 26 juin 2000 puis 12 juin 2007) qui ont été contestées par l'assuré devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (désormais: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève; jugements du 1er juin 2004, respectivement du 20 février 2008). Il a en définitive alloué à A.________ une rente entière du 1er juin au 31 août 1999 puis un quart de rente. Par la suite, il a supprimé le quart de rente avec effet au 1er septembre 2010 (décision du 20 juillet 2010). La décision n'a pas été contestée. A.b. Invoquant l'apparition de troubles psychiques incapacitants dès le mois de mai 2011, l'intéressé s'est à nouveau annoncé à l'office AI le 18 mai 2012. La doctoresse B.________, médecin traitant spécialisé en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué un trouble dépressif récurrent dont l'épisode actuel était sévère avec symptômes psychotiques et prohibait l'exercice de toute activité (rapport du 8 mai 2012). L'administration a recueilli l'avis des médecins traitants. La doctoresse C.________, spécialiste en rhumatologie, a fait état de lombalgies chroniques (après cures de la hernie discale L5/S1 et sur dégénérescence discale L4/L5), de sciatalgies L5, de cervicalgies (sur cervicarthrose C6/C7) et d'une spondylodiscarthrose durale étagée à l'origine d'une diminution totale de rendement (rapport du 25 juin 2012). Selon elle, le cas demeurait stable (rapport du 21 janvier 2014). La doctoresse B.________ a aussi décrit une situation stationnaire, avec néanmoins la disparition des symptômes psychotiques (rapports des 4 décembre 2012, 12 juillet 2013, 14 mars 2014 et 3 juin 2015). L'office AI a en outre mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire auprès du Centre d'Expertises Médicales (CEMed). Les experts ont conclu qu'au moment de leur examen, les lombalgies chroniques et la discopathie L5/S1 observées n'entravaient plus la capacité de travail dans une activité adaptée. Ils ont cependant relevé qu'un épisode dépressif sévère (actuellement léger) avait empêché l'exercice de toute activité depuis le mois de juin 2011 mais que sa rémission partielle dès le mois de juin 2015 aurait dû permettre une reprise progressive d'une activité adaptée (rapport du 14 septembre 2016). Se basant sur les conclusions de l'expertise, l'administration a octroyé à A.________ une rente entière du 1er novembre 2012 au 31 août 2015 puis une demi-rente jusqu'au 31 mars 2016 (décisions du 26 janvier 2018).