Citation: 2C_701/2021 E. A

A.a. A.X.________, ressortissant de la République démocratique du Congo né en 1986, est entré en Suisse en juin 2003 pour y déposer une demande d'asile, qui a été rejetée en novembre 2004. A.X.________ et sa compatriote Y.________, titulaire d'une autorisation d'établissement, ont eu une fille (C.________) le 25 novembre 2004 et se sont mariés le 23 septembre 2005; l'intéressé a de ce fait été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Le couple a divorcé en mai 2007; l'autorité parentale sur C.________ - qui dispose d'une autorisation d'établissement - a été attribuée à sa mère et A.X.________ a été astreint à verser à celle-ci une contribution d'entretien en faveur de sa fille. Le 1er février 2008, A.X.________ a épousé la ressortissante suisse B.X.________et a ainsi obtenu la prolongation de son permis de séjour. L'intéressé et son épouse ont eu une fille (D.________, ressortissante suisse) le 29 janvier 2009. Le couple s'est séparé une première fois en 2009, avant de faire à nouveau ménage commun au printemps 2010. Le 17 juin 2010, l'autorisation de séjour de A.X.________ a été renouvelée. A.X.________ et B.X.________sont devenus les parents d'une deuxième fille (E.________, ressortissante suisse) le 10 août 2011. Le couple s'est séparé une seconde fois en avril 2012. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 juin 2012, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du nord vaudois a confié la garde de D.________ et de E.________ à leur mère, octroyé à A.X.________ un libre et large droit de visite sur ses filles et condamné l'intéressé à contribuer à l'entretien de celles-ci par le versement mensuel d'une somme de 400 fr. "dès qu'il réaliserait à nouveau un revenu". Le 17 juin 2013, le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM), auquel le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) avait soumis le dossier de A.X.________ pour approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de celui-ci, a octroyé l'approbation requise. A.b. Sur le plan professionnel, durant son séjour en Suisse, A.X.________ n'a travaillé que de manière épisodique. Il a suivi des cours de formation professionnelle en 2012 (conduite de chariots élévateurs, bases de logistique) et en 2017 (aide-peintre) et a ensuite travaillé pendant quelques mois en 2019 comme ouvrier (cf. art. 105 al. 2 LTF). Depuis le 1er mai 2021, A.X.________ est actif comme aide de cuisine (cf. art. 105 al. 2 LTF) auprès de U.________ sur la base d'un contrat de durée indéterminée. Au 22 juillet 2019, l'intéressé faisait l'objet de poursuites pour un montant de 87'026 fr. 05 et d'actes de défaut de biens s'élevant à 180'703 fr. 40. Entre janvier 2006 et juin 2019, il a perçu le revenu d'insertion, pour un montant total de 328'519 fr. 70. A.c. Depuis son arrivée en Suisse, A.X.________ a été condamné pénalement à plusieurs reprises: - le 20 mars 2008, à une peine privative de liberté de 18 mois pour lésions corporelles simples, mise en danger de la vie d'autrui, dommages à la propriété, injure, menaces, utilisation abusive d'une installation de télécommunication, violation de domicile, faux dans les certificats, insoumission à une décision de l'autorité, violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires et conduite sans permis de conduire ou malgré un retrait; - le 13 août 2009, à une peine privative de liberté de 20 jours pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires; - le 17 janvier 2012, à une peine pécuniaire de 100 jours-amende à 30 fr. pour violation d'une obligation d'entretien; - le 23 août 2012, à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 40 fr. pour usage abusif de permis et/ou de plaques de contrôle et usurpation de plaques de contrôle; - le 6 mars 2014, à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 30 fr. pour conduite en état d'ébriété et violation grave des règles de la circulation routière; - le 25 janvier 2017, à une peine pécuniaire de 40 jours-amende à 30 fr. pour conduite d'un véhicule automobile malgré un permis de conduire à l'essai caduc;