Citation: 4A_206/2021 E. A

A.a. A.________ (Kläger, Beschwerdeführer) war vom 1. Juni 2007 bis zum 31. Dezember 2011 bei der C.________ AG (Arbeitgeberin) angestellt und war im Rahmen einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung bei der B.________ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) für 80% des versicherten Lohnes bei einer Wartefrist von 60 Tagen und einer Leistungsdauer von 730 Tagen versichert. Im Dezember 2011 kündigte der Kläger das Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2011, wobei er und die Arbeitgeberin im gegenseitigen Einvernehmen auf die gesetzliche Kündigungsfrist verzichteten. Ein Übertritt in die Einzelversicherung resp. ein Abschluss eines entsprechenden Vertrags erfolgte nicht, auch nicht, nachdem der Kläger am 1. März 2012 durch einen Mitarbeiter der Sozialhilfe beraten worden war und dabei das Formular "Austritt aus der Kollektiv-Taggeldversicherung und/oder UVG-Zusatzversicherung" mit der Bitte um Zusendung einer Offerte für den Übertritt in die Einzelversicherung unterzeichnet hatte. Das Formular war der ehemaligen Arbeitgeberin und von dieser der Beklagten zugesandt worden, worauf letztere dem Kläger am 23. März 2012 geantwortet hatte. Mit Schreiben vom 19. Dezember 2016 machte der Kläger gegenüber der Beklagten einen Anspruch auf Krankentaggeld geltend. Die Beklagte teilte ihm mit, dass sein Anspruch bereits verjährt sei. Am 19. November 2017 wandte sich der Kläger erneut an die Beklagte, worauf diese wiederum an der Verjährung festhielt. Am 18. Dezember 2017 gewährte sie auf Ersuchen des Rechtsanwalts des Klägers eine Verjährungseinredeverzichtserklärung bis 31. Dezember 2018, unter der Bedingung, dass die Verjährung bis zum 18. Dezember 2017 noch nicht eingetreten sei. Am 26. Februar 2020 ersuchte der Kläger die Beklagte erneut um Ausrichtung von Krankentaggeldern, was diese mit Schreiben vom 3. April 2020 ablehnte. A.b. Mit Teilklage vom 16. Juli 2018 beantragte der Kläger dem Zivilgericht Basel-Stadt, es sei seine ehemalige Arbeitgeberin zu verpflichten, ihm Schadenersatz im Betrag von Fr. 30'000.-- zu bezahlen. Er warf der Arbeitgeberin im Wesentlichen vor, eine rechtzeitige Anmeldung bei der Krankentaggeldversicherung unterlassen, ihn nicht über den Umfang des Versicherungsschutzes informiert und somit ihre Fürsorge- und Informationspflichten verletzt zu haben. Das Zivilgericht wies die Klage mit Entscheid vom 18. November 2019 ab, was das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Urteil vom 29. Januar 2021 schützte. Am 28. Mai 2021 wies das Bundesgericht eine dagegen gerichtete Beschwerde des Klägers ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 4A_118/2021 vom 28. Mai 2021).