Citation: 2D_12/2023 E. A

A.a. A.________, ressortissante kosovare née en 1980, est arrivée en Suisse en 2014 pour rejoindre son époux E.________, alors titulaire d'une autorisation d'établissement obtenue à la suite d'un précédent mariage avec une ressortissante italienne également au bénéfice d'une autorisation d'établissement en Suisse. A.________ et E.________ ont eu trois enfants communs, B.________, né en 2008, C.________, né en 2010 et D.________, née en 2015, étant précisé que les deux premiers sont nés au Kosovo à une époque où E.________ était encore marié à sa première épouse. E.________, placé en détention préventive le 4 septembre 2015, a été condamné par jugement d'appel du 28 avril 2021 par la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel à une peine privative de liberté de huit ans et neuf mois, ainsi qu'à une peine pécuniaire de 150 jours-amende avec sursis pendant cinq ans, pour crime à la loi fédérale sur les stupéfiants, blanchiment d'argent, escroquerie et infraction à la loi fédérale sur les étrangers et l'intégration. Dès l'arrestation de leur mari et père, A.________ et ses enfants ont recouru à l'aide sociale. Leur dette s'élevait à 262'854 fr. 20 au mois de septembre 2021. A.b. Par décision du 16 février 2021, le Service des migrations de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) a révoqué les autorisations d'établissement d'E.________ et de ses trois enfants, respectivement refusé de prolonger l'autorisation de séjour de A.________. Il a par ailleurs ordonné le renvoi de tous les intéressés, à qui il a imparti un délai au 21 avril 2021 pour quitter la Suisse, sauf à E.________, dont le délai de départ a été fixé au jour de sa sortie de détention. Sur recours des intéressés, cette décision a été confirmée successivement par le Département de l'emploi et de la cohésion sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) et par la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) par décision du 19 octobre 2021, respectivement par arrêt du 15 mars 2022. Cet arrêt est entré en force.