Citation: 4A_583/2015 E. A

A.a. A.________ (Mieter, Beschwerdeführer) bewohnt seit dem 20. November 2013 eine 3-Zimmer-Wohnung in Basel. Diese wurde ihm vom Kanton Basel-Stadt (Vermieter, Beschwerdegegner) zur Verfügung gestellt. Die Parteien schlossen mehrere befristete Mietverträge über die Wohnung ab: Im ersten Vertrag überliess der Vermieter dem Mieter die Wohnung bis Ende März 2014, im zweiten bis Ende Juni 2014, im dritten bis Ende September 2014 und im vierten bis Ende November 2014. Nach Ablauf dieses Vertrages bot der Vermieter dem Mieter einen weiteren Vertrag bis Ende März 2015 an; der Mieter unterzeichnete die Vereinbarung jedoch nicht. Mit Schreiben vom 13. Januar 2015 wies der Vermieter den Mieter darauf hin, dass das Mietverhältnis Ende November 2014 abgelaufen sei und aktuell kein Vertrag mehr bestehe. A.b. Mit Gesuch vom 12. Mai 2015 beantragte der Vermieter beim Zivilgericht Basel-Stadt die Ausweisung des Mieters. Am 14. August 2015 fand eine mündliche Verhandlung statt. Mit Entscheid vom gleichen Tag wies das Zivilgericht Basel-Stadt den Mieter an, die Mietwohnung bis spätestens 28. August 2015, 12.00 Uhr, zu verlassen, ansonsten auf Antrag des Vermieters die Räumung vollzogen werde. Auf Gesuch des Mieters wurde der Entscheid schriftlich begründet. A.c. Gegen den Ausweisungsbefehl legte der Mieter ein kantonales Rechtsmittel beim Appellationsgericht Basel-Stadt ein, das dieses als Berufung entgegen nahm. A.d. Mit Entscheid vom 18. September 2015 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Berufung ab. Es wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab und auferlegte dem Berufungskläger die Kosten.