Citation: 8F_10/2013 E. A

A.a. Le 24 janvier 2006, alors qu'elle travaillait comme gestionnaire juridique au service de la société X.________ SA, T.________, née en 1956, a été victime d'un accident de la circulation. Elle était arrêtée à un feu rouge lorsque sa voiture a été emboutie à l'arrière par un autre véhicule, avant de percuter la voiture qui la précédait. T.________ s'est plainte de douleurs cervicales. Le docteur D.________ a diagnostiqué une entorse cervicale sans fracture. La Mobilière Suisse, Société d'assurances SA (ci-après: la Mobilière), auprès de laquelle la prénommée était assurée, a pris en charge le cas, qui a nécessité un traitement analgésique ainsi que le port d'un collier cervical, et un arrêt de travail jusqu'au 5 février 2006. A.b. Se fondant sur l'avis de son médecin-conseil, le docteur M.________, la Mobilière a supprimé le droit de l'assurée aux prestations d'assurance à partir du 26 janvier 2007. T.________ a fait opposition à cette décision. Elle a produit des rapports du docteur G.________, spécialiste en neurochirurgie, selon lequel le traumatisme par accélération qu'elle avait subi avait entraîné une lésion de l'appareil ligamentaire à l'origine d'une hypermobilité ou instabilité C4-C5. La Mobilière a alors confié une expertise au docteur Y.________, également neurochirurgien. Ce médecin a indiqué que les douleurs cervicales étaient dues à l'accident et pouvaient être atténuées efficacement au moyen d'une chirurgie de stabilisation C4-C5 (rapport d'expertise du 5 janvier 2009). Au vu de ces conclusions, l'assureur-accidents a informé l'assurée qu'il acceptait d'entrer en matière sur la prise en charge du traitement indiqué. T.________ a toutefois déclaré renoncer à s'y soumettre après avoir demandé un second avis médical. Le 12 octobre 2009, la Mobilière a rendu une nouvelle décision par laquelle elle a écarté l'opposition, considérant qu'il n'y avait pas de lien de causalité adéquate entre les plaintes et le traumatisme cervical.