Citation: 2C_460/2020 E. A

A.a. A.________, né en 1950, a obtenu son diplôme fédéral de médecin en 1976 et son titre postgrade en chirurgie en 1983; il a, par la suite, complété sa formation en chirurgie viscérale et vasculaire. En 1989, il a été autorisé à pratiquer dans les cantons de Vaud et de Neuchâtel. Il a travaillé à La Chaux-de-Fonds, puis, dès le 1er février 2007, à l'Hôpital de B.________. Cet hôpital a, le 28 avril 2008, résilié le contrat de travail de A.________. Celui-ci ayant produit un certificat médical valable dès le 29 avril 2008, puis rétroactivement dès le 1er avril 2008, ledit hôpital, estimant que la résiliation était nulle, a passé avec l'intéressé une convention de départ à l'amiable. Le 28 janvier 2008, des incidents survenus sur treize patients traités par A.________, dont dix opérés entre le 15 septembre et le 30 décembre 2007 avaient été signalés au Médecin cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Médecin cantonal vaudois). Deux de ces cas ont, par la suite, fait l'objet d'une plainte. Le 15 septembre 2008, le Chef du Département de la santé et de l'action sociale du canton de Vaud (ci-après: le/la Chef/fe du Département de la santé) a saisi le Conseil de santé du canton de Vaud, considérant que les faits dénoncés étaient de nature à justifier une sanction disciplinaire à l'encontre de A.________. Après avoir entendu celui-ci, cette autorité, dans son rapport du 8 janvier 2009, a noté que la capacité de travail du médecin, de septembre à décembre 2007, avait été restreinte (en raison d'une symptomatologie dépressive liée aux problèmes de santé de son fils) et qu'il n'avait pas été en état d'exercer sa profession sans exposer ses patients à certains risques, souffrances ou angoisses inutiles; l'intéressé avait banalisé la situation, de même qu'il avait mésestimé ses difficultés; la poursuite de son activité professionnelle ne pouvait se faire sans mesures de contrôle consistant en l'obligation de produire auprès du Médecin cantonal vaudois un certificat médical attestant une pleine capacité de travail.