Citation: 2C_1058/2019 E. A

A.a. A.________ ersuchte das Amt für Gesundheit des Kantons Thurgau (im Weiteren auch: Gesundheitsamt) am 1. Oktober 2015, ihm eine Berufsausübungsbewilligung als selbständiger Osteopath zu erteilen. Das Gesundheitsamt teilte ihm am 12. Oktober 2015 mit, dass es zur weiteren Bearbeitung seines Gesuchs die Anerkennungsbestätigung der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Gesundheitsdirektorinnen und -direktoren (im Weiteren auch: GDK) benötige. Am 28. November 2015 erklärte A.________, er habe ein Gesuch um Anerkennung seiner ausländischen Berufsausbildung bei der GDK eingereicht und werde sich melden, sobald eine diesbezügliche Antwort eintreffe. A.b. Eine Überprüfung des Internetauftritts der "Therapie A.________" durch das Gesundheitsamt im September 2018 ergab, dass A.________ neben Physio- auch Osteopathiebehandlungen anbot. Am 28. September 2018 forderte ihn das Gesundheitsamt auf, über den Ausgang des Anerkennungsverfahrens bei der GDK zu informieren. Am 11. Dezember 2018 beantragte A.________ dem Gesundheitsamt, ihm "die gewünschte Bewilligung zu erteilen, auch wenn er die Voraussetzungen aufgrund des exakten Wortlauts der massgebenden Bestimmungen nicht vollumfänglich" erfülle.