Citation: 1C_470/2021 E. C

Mit gemeinsamer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. August 2021 an das Bundesgericht beantragen die A.________ AG, die B.________ AG und die C.________ AG, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und den Entscheid des Stadtrats zu bestätigen. Eventualiter sei das Verfahren zu neuem Entscheid an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Der Verein Stadtbild Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, das Kantonsgericht auf Abweisung. Das zur Stellungnahme eingeladene Bundesamt für Kultur (BAK) hat sich zustimmend zum angefochtenen Urteil geäussert. Die Stadt Luzern beantragt die Aufhebung des Urteils und die Bestätigung des Entscheids des Stadtrats, eventualiter die Rückweisung der Sache an das Kantonsgericht mit der Auflage, letzteren Entscheid zu bestätigen. Die A.________ AG, die B.________ AG und die C.________ AG haben eine weitere Stellungnahme eingereicht.