Citation: 4A_207/2022 E. C

Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das obergerichtliche Urteil sei aufzuheben, und erneuert seine ursprünglichen Begehren. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Seinem Gesuch um aufschiebende Wirkung entsprach das Bundesgericht am 5. August 2022 in dem Sinne, als die Wirkungen des angefochtenen Entscheids gehemmt wurden, bis über die vorliegende Beschwerde entschieden ist. Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an. Auch das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.