Citation: 5A_425/2022 E. B

B.a. Am 2. September 2020 ersuchte die BG U.________ gestützt auf Art. 20 des Baurechtsvertrags das Richteramt Olten-Gösgen darum, die Bildung eines Schiedsgerichts zu veranlassen. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2020 bestätigte das Richteramt die zwischenzeitlich ernannten Mitglieder des Schiedsgerichts und mit heute rechtskräftigem Urteil vom 7. Dezember 2020 ernannte es dessen Obmann. Auf ein im weiteren Verfahrensverlauf von B.________ und A.________ gegen den Obmann gerichtetes Ausstandsgesuch trat das Richteramt mit Verfügung vom 18. Juni 2021 nicht ein. B.b. Am 13. Januar 2021 klagte die BG U.________ beim Schiedsgericht auf Feststellung, dass das Baurecht betreffend das Grundstück GB U.________ Nr. xxx einzig die Errichtung eines Wohnhauses zum Inhalt habe und der bereits erstellte Glaspavillon nicht vom Baurecht erfasst sei. Ausserdem seien B.________ und A.________ unter Strafdrohung nach Art. 292 StGB sowie unter Androhung einer Ordnungsbusse von Fr. 1'000.-- für jeden Tag der Nichterfüllung zu verpflichten, den Glaspavillon zurückzubauen und auf dem Grundstück den rechtmässigen Zustand wieder herzustellen. Mit Schiedsspruch vom 14. Januar 2022 (eröffnet am 2. Mai 2022) wies das Schiedsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Dabei erachtete es sich nicht als zuständig dafür, über den Antrag auf Rückbau des Glaspavillons und Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands unter Strafandrohung zu befinden. A.________ sei sodann zur Klage nicht passivlegitimiert. Im Übrigen befand das Schiedsgericht, der Glaspavillon werde vom Baurecht umfasst. Mangels entsprechenden Antrags könne zuletzt nicht im Dispositiv darüber entschieden werden, ob die BG U.________ ihre Zustimmung zu dessen Errichtung hätte erteilen müssen (vgl. vorne Bst. A.a). Die Verfahrenskosten auferlegte das Schiedsgericht zu 9/10 der BG U.________ und verpflichtete diese dazu, B.________ und A.________ eine Parteientschädigung auszurichten.