Citation: 2C_1063/2019 E. A

A.a. A.________ (geb. 1978) ist nigerianischer Staatsbürger. Er lebte ab 2005 in der Schweiz. Von 2010 bis 2017 wohnte er mit der hier niederlassungsberechtigten kamerunischen Staatsangehörigen B.________ zusammen. Aus der Beziehung gingen die Kinder A.B.________ (geb. 2013), B.B.________ (geb. 2015) und C.B.________ (geb. 2019) hervor. A.________ ist zudem Vater der aus der früheren - inzwischen aufgelösten - Ehe mit einer Schweizer Bürgerin stammenden Tochter A.C.________ (geb. 2003 [Schweizer Bürgerin]). A.b. Am 25. Mai 2018 lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt es ab, die Aufenthaltsbewilligung von A.________ zu verlängern (Verschuldung [Verlustscheine über Fr. 181'334.20]; Sozialhilfebezüge [Fr. 115'550.10; Stand Februar 2019]; Nichteinhalten der Integrationsvereinbarung). Das Amt hielt ihn gleichzeitig an, die Schweiz zu verlassen. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 22. Mai 2019 ab. Das Migrationsamt forderte A.________ in der Folge am 17. Juni 2019 erneut auf, das Land nunmehr bis zum 16. September 2019 zu verlassen; es drohte ihm andernfalls die Anordnung von Zwangsmassnahmen an. A.c. Auf das gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements gerichtete Rechtsmittel trat die Regierungspräsidentin am 9. September 2019 nicht ein, wogegen A.________ am 17. September 2019 beim Appellationsgericht Basel-Stadt (Verwaltungsgericht) Rekurs anmeldete und diesen am 12. Oktober 2019 begründete. Der Präsident des Appellationsgerichts wies am 28. Oktober 2019 das Gesuch von A.________ um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren ab. A.________ hätte den Rekurs gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements - so das Appellationsgericht - bis zum 3. Juni 2019 anmelden müssen; dies habe er aber erst am 26. August 2019 - und damit verspätet - getan. Eine Wiedereinsetzung in den vorigen Stand sei nicht möglich, da A.________ kein unverschuldetes Hindernis für seine verspätete Anmeldung dartgetan habe. A.d. Das Bundesgericht trat auf die gegen den Entscheid des Präsidenten des Appellationsgerichts vom 28. Oktober 2019 gerichtete Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung der Eingabe am 2. Dezember 2019 nicht ein (Urteil 2C_995/2019), womit die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der damit verbundene Wegweisungsentscheid in Rechtskraft erwuchsen. Die Eingaben an die Regierungspräsidentin und an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hatten jeweils keine aufschiebende Wirkung.