Citation: 9C_717/2013 E. A

A.a. P.________ a travaillé en qualité d'informaticien. En mars 2005, il a été victime d'un accident de moto ayant entraîné des fractures multiples du pied gauche, compliquées d'une algoneurodystrophie du pied et du genou gauches. Pour des raisons économiques, il a perdu son emploi, qui a pris fin le 30 septembre 2006. L'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) lui a octroyé une rente entière d'invalidité du 1 er mars au 30 novembre 2006 (décision du 27 février 2008). A.b. Le 19 avril 2007, P.________ a été victime d'un nouvel accident de moto ayant entraîné des fractures multiples au niveau lombaire, sacré et du membre inférieur gauche et une incapacité de travail de 100 %, traumatisme compliqué d'une algoneurodystrophie du membre inférieur gauche. Le 17 mars 2010, P.________ a présenté une (nouvelle) demande de prestations de l'assurance-invalidité, parvenue à l'OAIE le 11 août 2010 avec un rapport médical détaillé du docteur M.________ du 30 juillet 2010 (formule E213). Dans un questionnaire du 2 février 2011, il a indiqué qu'il était suivi par les docteurs A.________ et S.________. L'OAIE est entré en possession d'un compte rendu d'hospitalisation du docteur C.________ du 22 mai 2007, ainsi que de documents relatifs aux différents examens radiologiques de contrôle. Dans un rapport final du 19 mai 2011, la doctoresse R.________ (spécialiste FMH en médecine générale et médecin du SMR X.________) a estimé qu'une année après le traumatisme du 19 avril 2007, l'opération et les complications, il n'y avait pas d'empêchement à exercer l'activité habituelle d'informaticien -essentiellement assise et légère -et que la capacité de travail était entière depuis le 7 juillet 2008 dans cette activité. Dans un préavis du 26 juillet 2011, l'OAIE a informé P.________ que depuis le 7 juillet 2008 l'exercice d'une activité lucrative adaptée à son état de santé était de nouveau exigible, ce qui lui permettait de réaliser plus de 60 % du gain qui pourrait être obtenu sans atteinte à la santé, et qu'en ce qui concerne la période du 1 er avril au 31 octobre 2008 le droit à une rente entière d'invalidité n'avait pas pu prendre naissance attendu que l'assuré n'avait fait valoir son droit aux prestations qu'à la date du 17 mars 2010. P.________ a fait part à l'OAIE de ses observations, en produisant des documents des docteurs S.________ et O.________, tous deux neurochirurgiens. Dans un avis du 10 novembre 2011, la doctoresse R.________ a estimé, au vu des documents médicaux à disposition, qu'on pouvait retenir une courte incapacité de travail en relation avec l'ablation du matériel d'ostéosynthèse rachidienne pratiquée en juin 2011 et les suites post-opératoires, mais que les nouveaux éléments fournis ne modifiaient pas son appréciation du 19 mai 2011. Par décision du 6 janvier 2012, l'OAIE, tout en s'exprimant sur les observations de l'assuré, a nié tout droit de P.________ à une rente d'invalidité pour les motifs exposés dans son préavis.