Citation: 2C_673/2019 E. A

A.a. A.A.________, ressortissant portugais, né en 1965, aurait, selon ses propres dires, vécu à Genève de 1989 à 1997, pour ensuite rentrer au Portugal pour une année. Le 23 août 1996, la SUVA lui a octroyé une rente d'invalidité de 25 % à partir du 1er août 1991 à la suite d'un accident non professionnel, qu'il continuait à percevoir en juin 2019. L'intéressé serait revenu s'établir en Suisse en 1999 et aurait été mis au bénéfice d'une autorisation de courte durée de 2003 à juillet 2005. Il a quitté son domicile à Genève entre la fin de l'année 2007 et le début de l'année 2008 pour s'installer à Morges, dans l'appartement de sa compagne, C.________, citoyenne portugaise, titulaire d'une autorisation d'établissement, qui avait donné naissance à leur fils B.A.________, en 2006. L'enfant a obtenu une autorisation d'établissement, dérivant de celle de sa mère. A.b. A.A.________ a annoncé son arrivée en Suisse le 14 août 2008 au bureau des étrangers de la commune de Morges. Il a indiqué qu'il était entré dans ce pays le 30 juin 2008 en provenance du Portugal, afin de travailler dès cette date, pour une durée maximale de trois mois, comme manutentionnaire à 100 %. Le 18 août 2008, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a informé l'employeur de A.A.________ que ce dernier n'avait pas besoin de bénéficier d'un titre de séjour, puisqu'il occupait un emploi salarié d'une durée inférieure à trois mois. Le 17 novembre 2008, l'intéressé a sollicité la délivrance d'une autorisation de séjour, en faisant valoir qu'il avait été engagé à partir de cette date, pour une durée indéterminée, comme aide-monteur à plein temps. Le Service de la population lui a délivré une autorisation de courte durée valable jusqu'au 1er septembre 2009. A.A.________ s'est trouvé en incapacité de travail totale à partir du 28 avril 2009, après avoir été victime d'un accident. Dès cette date et jusqu'au printemps 2010, il a touché des indemnités journalières de la SUVA. En conséquence, le Service de la population lui a octroyé une nouvelle autorisation de courte durée valable jusqu'au 1er mars 2010, qu'il a ensuite prolongée d'une année, pour que l'intéressé puisse suivre son traitement médical en Suisse. Le 27 janvier 2011, A.A.________ a demandé la prolongation de son autorisation de courte durée, respectivement sa transformation en autorisation de séjour. Il a produit un contrat de travail à teneur duquel il occupait, depuis le 1er décembre 2010, un poste d'employé d'exploitation à un taux variant entre 40 et 60 % dans un restaurant. Compte tenu de cette nouvelle activité lucrative, le Service de la population l'a mis au bénéfice d'une autorisation de séjour d'une durée de cinq ans, valable jusqu'au 26 janvier 2016. A.c. Par décision du 7 avril 2011, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) a constaté que la capacité de travail de l'intéressé était nulle dans son activité habituelle de manutentionnaire, mais qu'elle devait en revanche être considérée comme totale à compter du mois de juin 2010 dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Il lui a ainsi accordé une rente entière d'invalidité, limitée à la période du 1er mai au 31 août 2010. Par la suite, l'intéressé a déposé une nouvelle demande de prestations, que l'Office AI a rejetée le 8 octobre 2013, du fait que son état de santé n'avait pas évolué. A.d. A.A.________ et C.________ se sont séparés en septembre 2011. Au mois de janvier 2012, ils ont convenu d'une autorité parentale conjointe sur leur fils B.A.________, avec attribution du droit de garde au père, tout en octroyant un libre et large droit de visite à la mère, à exercer d'entente avec le père. Il était en outre convenu que la mère contribuerait à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle de 450 fr. jusqu'à l'âge de douze ans révolus et de 550 fr. depuis lors et jusqu'à sa majorité, son indépendance économique ou la fin de sa formation, éventuelles allocations familiales en sus. Cette convention a été ratifiée le 3 octobre 2012 par la Justice de paix du district de Morges. Par la suite, A.A.________ a emménagé à Yverdon-les-Bains avec son fils. A.e. L'intéressé bénéficie des prestations du revenu d'insertion (RI), pour lui et pour son fils, en complément de ses revenus. A.f. Le 27 juin 2015, l'intéressé a conclu un contrat avec la fondation Le Relai, à Morges, devant lui permettre d'occuper des postes d'entraînement à la reprise de la vie active au sein des différentes entreprises d'insertion de la fondation, grâce à un travail sur appel avec des horaires adaptés, rémunéré 10 fr. brut de l'heure. Le contrat avec cette fondation, qui oeuvre pour l'insertion sociale et professionnelle d'adultes en difficulté, était initialement conclu pour une année. A.g. Le 25 novembre 2015, A.A.________ a demandé la prolongation de son autorisation de séjour au Service de la population, respectivement sa transformation en autorisation d'établissement. Le 20 juillet 2016, le Service de la population a refusé d'octroyer une autorisation d'établissement à l'intéressé, au motif principal que celui-ci émargeait à l'aide sociale. Il a renouvelé son autorisation de séjour pour une année, en précisant qu'il effectuerait ensuite une nouvelle analyse de sa situation. Il l'a enjoint à tout entreprendre pour gagner son autonomie financière dans l'intervalle.