Citation: 4A_234/2022 E. A

A.a. Le 14 septembre 2017, C.C.________, née C.D.________, a pris à bail auprès de A.A.________ et de B.A.________ (ci-après: les bailleurs, les demandeurs ou les recourants) des locaux à usages d'appartement et de bar sis à La Chaux-de-Fonds dès le 1er novembre 2017. Selon un avenant conclu le même jour, le loyer mensuel de l'appartement s'élevait à 850 fr., charges de 250 fr. en sus, et celui du bar à 2'300 fr., plus 750 fr. de charges. Le bail devait prendre fin le 31 octobre 2027 et était renouvelable de cinq ans en cinq ans sauf avis de résiliation donné au moins un an à l'avance. A.b. Le 22 janvier 2020, C.C.________, née C.D.________ (ci-après: l'ancienne locataire, la défenderesse ou l'intimée), D.C.________ (ci-après: le nouveau locataire ou le défendeur) et la gérance représentant les bailleurs (ci-après: la gérance) ont signé un avenant au contrat de bail aux termes duquel le bail était repris avec tous ses droits et ses obligations par le nouveau locataire dès le 1er février 2020, l'ancienne locataire " a[yant] connaissance qu'elle rest[ait] codébitrice solidaire du bail jusqu'au 31 janvier 2022, selon l'art. 263 CO al. 4 [sic] ". A.c. Le 27 août 2021, la gérance a informé séparément l'ancienne locataire et le nouveau locataire à leurs adresses respectives, soit, pour celui-ci, à l'adresse de son appartement et du bar, que les retards dans le paiement des loyers totalisaient 19'500 fr. et les a mis en demeure de lui verser ce montant dans les 30 jours, à défaut de quoi le bail serait résilié. Le 29 septembre 2021, la gérance a signifié séparément au nouveau locataire et à l'ancienne locataire, à leurs adresses respectives, un avis de résiliation du bail pour le 31 octobre 2021 motivé par le défaut de paiement du loyer. Au 31 octobre 2021, le nouveau locataire avait déjà quitté les lieux et restitué les clés, qui ont été remises à la gérance. Il a toutefois laissé sur place de nombreux objets.