Citation: 9C_459/2009 31.03.2010 E. C

T.________ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'allocation d'une rente entière d'invalidité, à titre subsidiaire à l'allocation d'une rente pour une invalidité de 67 % et plus subsidiaire d'une rente pour une invalidité de 51 %, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle produit plusieurs documents (fourres n° 1 à 10), accompagnés d'un commentaire figurant dans un mémoire séparé. Elle demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. Par lettre du 19 janvier 2010, elle a produit deux certificats médicaux du 19 janvier 2010 et un autre du 16 novembre 2009 de la doctoresse I.________. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel déclare qu'il n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.