Citation: 5A_106/2019 E. C

C.a. Mit Beschwerde vom 4. Februar 2019 wendet sich A.________ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2018 und das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 28. September 2018 aufzuheben. C.________ sei unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen; für B.________ (Beschwerdegegnerin) sei ein begleitetes Besuchsrecht jedes zweite Wochenende festzulegen. Die Beschwerdegegnerin sei "psychologisch/psychiatrisch" begutachten zu lassen und es seien die "ungefilterten Originalakten" der KESB Zürich einzuholen und den Parteien zur Kenntnis zu bringen. Für den Fall, dass das Sorgerecht oder die Obhut der Beschwerdegegnerin zugesprochen werden sollte, beantragt der Beschwerdeführer, in der Wohnung der Beschwerdegegnerin einen Sozialarbeiter zu platzieren. Ferner sei das Obergericht des Kantons Zürich "hilfsweise vorsorglich" anzuweisen, die Mitteilung an das Personenmeldeamt der Stadt Zürich vom 28. Dezember 2018, wonach der Entscheid des Bezirksgerichts in Bezug auf die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin rechtskräftig sei, unverzüglich zurückzunehmen und insofern zu korrigieren, dass weiterhin beide Elternteile sorgeberechtigt sind. C.b. Das Bundesgericht wies das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und um die besagte Anweisung an das Obergericht ab (Verfügung vom 5. Februar 2019). C.c. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde abzuweisen (Eingabe vom 2. Oktober 2019). Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung (Schreiben vom 12. September 2019). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.