Citation: 1C_538/2019 E. A

A.a. Am 2. Dezember 2008 bewilligte das Bau- und Gastgewerbeinspektorat (nachfolgend: Bauinspektorat) des Kantons Basel-Stadt im Hinterhaus des Gebäudes an der Amerbachstrasse 45 in Basel einen "Fitnessclub mit Restaurationsbetrieb". Am 28. Juni 2010 genehmigte das Bauinspektorat für den Betrieb eine Namensänderung in "Sauna-Club FKK Basel". Mit Bauentscheid vom 27. März 2012 bewilligte das Bauinspektorat gewisse bauliche Anpassungen. Mit Verfügung vom 9. August 2012 stellte das Bauinspektorat fest, dass die als Fitnessclub und Restaurationsbetrieb genehmigten Räumlichkeiten als Sexbetrieb genutzt würden. Es untersagte diese Nutzung. Am 28. November 2012 wies die Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt einen dagegen von der MS Marketing Solutions AG und einem Miteigentümer der Liegenschaft erhobenen Rekurs ab. Mit Urteil VD.2013.39 vom 1. November 2013 behandelte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen erhobenen Rekurs, hob dabei die Anordnung der sofortigen Schliessung des Betriebs auf, wies den Rekurs im Übrigen jedoch ab und hielt fest, dass ein nachträgliches Baubewilligungsverfahren durchzuführen sei. Dieses Urteil wurde rechtskräftig. A.b. Mit Schreiben vom 20. Januar 2015 forderte das Bauinspektorat die Eigentümer der fraglichen Liegenschaft auf, ein nachträgliches Baubegehren einzureichen. Dieses Gesuch ging in der Folge ein und wurde am 20. Februar 2015 publiziert. Dagegen ergingen verschiedene Einsprachen, worunter eine vom 2. April 2015 von der A.________ GmbH als Mieterin und Betreiberin des Betriebs "Sauna-Club FKK Basel". Diese reichte am 8. April 2015 ihrerseits selbst ein Baugesuch ein, das durch die Eigentümer der Liegenschaft mitunterzeichnet war. Auf Nachfrage des Bauinspektorats erklärten die Grundstückeigentümer, das Baugesuch der Mieterschaft sei primär zu behandeln, weshalb sie ihr Gesuch in diesem Sinne zurückzögen bzw. um entsprechende Verfahrenssistierung ersuchten. Mit Verfügung vom 25. August 2015 vereinigte das Bauinspektorat die Verfahren der beiden Baugesuche zu einem einzigen Bewilligungsverfahren und setzte dieses formell in den Stand des zuerst eingereichten und schon etwas fortgeschritteneren Gesuchsverfahrens. Auf einen dagegen erhobenen Rekurs der A.________ GmbH trat die Baurekurskommission nicht ein; den in der Folge beim Verwaltungsgericht eingereichten Rekurs zog die A.________ GmbH am 22. Februar 2016 zurück. Mit Bauentscheid vom 23. Juni 2017 hiess das Bauinspektorat die Einsprachen gut und wies das Begehren um Umnutzung mangels Zonenkonformität ab; es begründete dies im Wesentlichen damit, bei einem Wohnanteil von mehr als 60% könne ein Sexbetrieb als stark störend aufgrund ideeller Immissionen nicht bewilligt werden. A.c. Dagegen meldete die A.________ GmbH am 29. Juni 2017 Rekurs bei der Baurekurskommission an, den sie am 21. September 2017 begründete. Mit separater Eingabe vom 7. September 2017 rügte die MS Marketing Solutions AG im Namen der A.________ GmbH ebenfalls bei der Baurekurskommission eine Rechtsverweigerung durch das Bauinspektorat, da dieses sich weigere, die Einsprache vom 2. April 2015 in Verfügungsform zu behandeln. Am 28. März 2018 traf die Baurekurskommission zwei separate Entscheide. Zum einen trat sie auf den Rechtsverweigerungsrekurs nicht ein, da er verspätet erhoben worden sei. Zum andern wies sie den Rekurs in der Sache ab und ordnete die Betriebsschliessung innert drei Monaten nach Eröffnung des begründeten Entscheids an.