Citation: 9C_440/2021 E. C

A.________ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle en complète l'instruction (expertise judiciaire pluridisciplinaire et audition des docteurs F.________ et B.________). Subsidiairement, il demande l'allocation d'une rente entière à compter du 1er mars 2005 et, plus subsidiairement encore, le renvoi de la cause au tribunal cantonal pour qu'il rende un nouvel arrêt dans le sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'administration conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à s'exprimer. L'assuré s'est encore déterminé le 2 novembre 2021 et a produit une note d'honoraires.