Citation: 9C_221/2020 E. A

A.a. A.________, né en 1952, a été affilié auprès de la Caisse de pensions de la République et canton du Jura (ci-après: la Caisse de pensions) du 22 octobre 1979 au 31 octobre 1984, puis auprès de différentes autres caisses de pensions (auprès de Vaudoise Vie Assurance collective du 1er janvier 1985 au 31 décembre 1989, d'Agrisano Pencas [anciennement Fondation de la caisse de pension de l'agriculture suisse] du 1er janvier 1990 au 31 décembre 2006, puis de la Caisse Inter-Entreprises de Prévoyance Professionnelle [CIEPP] du 1er janvier 2007 au 30 avril 2009). Au terme de l'affiliation, par courrier du 11 février 1985, la Caisse de pensions a indiqué à A.________ que son indemnité de sortie s'élevait à 16'983 fr.; elle lui a également présenté les possibilités d'affectation de ce montant, à savoir une prestation de libre passage à transférer à l'institution prévue par son nouvel employeur, une police de libre passage garantissant une rente réduite aux conditions initiales, ou un dépôt épargne prévu au taux technique de la Caisse de pensions, cette dernière option s'appliquant par défaut en cas d'absence de prise de position de l'intéressé au 15 mars 1985. A.b. Le 14 juin 2017, A.________ a requis de la Caisse de pensions le versement des prestations de prévoyance professionnelle correspondant à sa période d'affiliation auprès d'elle, du 22 octobre 1979 au 31 octobre 1984. A sa connaissance, aucune prestation de libre passage n'avait à l'époque été transférée à l'institution de prévoyance de son nouvel employeur, malgré les démarches usuelles effectuées. Un échange de correspondances s'en est suivi entre les parties, au terme duquel la Caisse de pensions a nié toute obligation de prester (courrier du 6 avril 2018). En bref, elle a considéré que dans la mesure où aucun dépôt épargne n'avait été constitué auprès d'elle en faveur de A.________, l'indemnité de sortie avait été transférée auprès d'une autre caisse de pensions ou auprès d'une banque ou d'une assurance sous forme de police de libre passage. Elle a précisé ne pas avoir retrouvé les documents relatifs au transfert dans ses archives, qu'elle n'était pas tenue légalement de fournir ces pièces car l'obligation de conserver les documents de prévoyance importants cessait après un délai de dix ans et qu'il incombait à l'assuré d'apporter la preuve qu'un dépôt épargne avait été ouvert à son nom auprès d'elle en 1985.