Citation: 5A_543/2020 E. B

B.a. Mit Eheschutzurteil des Bezirksgerichts Horgen vom 20. September 2016 wurde u.a. der Kindesunterhalt geregelt. Der Beschwerdeführer war im Urteilszeitpunkt arbeitslos, aber noch nicht ausgesteuert. Das Eheschutzgericht ging indessen davon aus, dass der Beschwerdeführer vor seiner Aussteuerung am 30. November 2017 eine neue Stelle finden würde, und rechnete ihm folglich ab dem 1. Dezember 2015 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 8'465.-- an. In der Folge nahm der Beschwerdeführer ab dem Jahre 2017 eine selbständige Tätigkeit auf. B.b. Seit dem 20. Juni 2019 ist vor dem Bezirksgericht Horgen sodann ein Scheidungsverfahren zwischen den Parteien hängig. In diesem Verfahren setzte das Bezirksgericht mit zwei Verfügungen vom 13. Dezember 2019 im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen in Abänderung des Eheschutzurteils vom 20. September 2016 (Bst. B.a) unter anderem für die Dauer des Scheidungsverfahrens Unterhaltsbeiträge für die Kinder fest. Weiter trat das Bezirksgericht auf den Antrag des Beschwerdeführers, es sei die Privatschule E.________ zu verpflichten, die von der Berufungsbeklagten eingereichte Anmeldung und die Schulgeldbestätigung für das Schuljahr 2019/2020 für die Platzierung der Tochter D.A.________ herauszugeben, nicht ein. Die erwähnte Unterhaltsregelung berichtigte das Bezirksgericht mit Verfügung vom 27. Februar 2020. B.c. Mit Berufung vom 2. März 2020 beantragte der Beschwerdeführer dem Obergericht des Kantons Zürich, es seien unter Aufhebung der entsprechenden Dispositiv-Ziffern der bezirksgerichtlichen Verfügungen die Unterhaltsbeiträge für die Kinder auf monatlich je Fr. 225.-- (Juni bis Dezember 2019) bzw. je Fr. 153.-- (Januar bis Oktober 2020) zuzüglich allfälliger gesetzlicher und vertraglicher Kinderzulagen festzusetzen. Für die Zeit ab November 2020 sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer mangels Leistungsfähigkeit keine Kindesunterhaltsbeiträge mehr bezahlen könne. Weiter erneuerte der Beschwerdeführer seinen Herausgabeantrag gegenüber der Privatschule E.________ (vgl. Bst. B.b). B.d. Mit Urteil vom 4. Juni 2020 änderte das Obergericht u.a. die bezirksgerichtliche vorsorgliche Unterhaltsregelung ab (für D.A.________ monatlich Fr. 1'397.-- bis zum 31. Dezember 2020, ab 1. Januar 2021 Fr. 1'091.--; für C.A.________ monatlich Fr. 785.-- bis zum 31. Dezember 2020, ab 1. Januar 2021 Fr. 478.--), dies unter Vorbehalt einer Mehrverdienstklausel. Im Übrigen wies das Obergericht die Berufung ab.