Citation: 4A_344/2021 E. A

A.a. Die A.________ Football Association (Beschwerdeführerin) ist der nationale Fussballverband von A.________. Sie ist Mitglied der Fédération Internationale de Football Association (FIFA) mit Sitz in der Schweiz. B.________ (Beschwerdegegner) ist professioneller Fussballtrainer mit Staatsangehörigkeit von U.________. Die A.________ Football Association und B.________ schlossen am 16. September 2015 einen Vertrag, betitelt mit "Coaching Service Contract for Women's National Team of [A.________ Football Association]". Demzufolge wurde B.________ für eine Dauer von 4 Jahren als Trainer der Fussballnationalmannschaft der Frauen von A.________ engagiert. Am 25. Oktober 2017 entband die A.________ Football Association B.________ mündlich von seiner Funktion als Trainer. Am 9. März 2018 teilte sie ihm schriftlich mit, dass sie den Vertrag vorzeitig auflöse. A.b. B.________ leitete am 26. April 2018 bei der Kommission für den Status von Spielern (Players' Status Committee) der FIFA (nachfolgend: FIFA-Kommission) ein Verfahren gegen die A.________ Football Association ein. Er trug vor, die A.________ Football Association habe den Vertrag ohne zureichenden Grund beendet, und beantragte, die A.________ Football Association sei zu verurteilen, ihm USD 1'106'250.-- netto für die Restlaufzeit des Vertrags, USD 420'000.-- netto für voraussichtlich erzielte Anreizprämien und USD 100'000.-- als Genugtuung zu bezahlen. Ausserdem verlangte er eine öffentliche Entschuldigung der A.________ Football Association. Die A.________ Football Association bestritt die Zuständigkeit der FIFA-Kommission. Sie vertrat die Auffassung, B.________ habe seine Ansprüche in A.________ geltend zu machen, und zwar zunächst bei der "X.________ Arbitration Commission" und in der Folge allenfalls beim "Y.________ Court". Mit Entscheid vom 27. März 2020 erklärte die FIFA-Kommission (respektive deren Einzelrichter) die Klage für zulässig und hiess sie teilweise gut. Die Kommission verurteilte die A.________ Football Association, B.________ USD 1'106'250.-- zu bezahlen. Die weiteren von B.________ gestellten Anträge wurden abgewiesen. Zur Begründung der Zuständigkeit stützte sich der Einzelrichter auf Art. 22 lit. c (in Verbindung mit Art. 23) des FIFA-Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern, wonach die FIFA-Kommission für internationale arbeitsrechtliche Streitigkeiten zwischen einem Verband und einem Trainer zuständig sei.