Citation: 2C_356/2022 E. C

A.A.________ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 25. Februar 2022 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. ihm eine solche zu erteilen. Allenfalls sei die Sache zur "Erhebung des Sachverhalts und zur Neubeurteilung" an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. A.A.________ macht geltend, die Vorinstanz habe die Enge der Beziehung zwischen seinem Sohn und ihm in affektiver wie wirtschaftlicher Hinsicht verkannt. Der Kontakt könne nicht von Nigeria aus gelebt werden. Die Verweigerung der Bewilligung sei unverhältnismässig und mit Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV unvereinbar. Das Appellationsgericht und das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Vom Staatssekretariat für Migration (SEM) ist keine Stellungnahme eingegangen. Die frühere Schweizer Gattin und der gemeinsame Sohn haben am 22. Juni 2022 unaufgefordert Erklärungen zugunsten ihres ehemaligen Gatten bzw. des Vaters eingereicht. Die Abteilungspräsidentin hat am 9. Mai 2022 der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt.