Citation: 9C_748/2013 E. C

R.________ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en produisant le rapport de la Clinique Z.________, Unité de neuropsychologie, daté du 10 septembre 2013, ainsi qu'une lettre du 19 septembre 2013 de la doctoresse L.________. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi du dossier à l'office AI pour complément d'instruction dans le sens des considérants et octroi d'une rente entière. L'office AI conclut au rejet du recours. Il requiert également que les frais et dépens de la procédure fédérale soient mis à la charge de l'Etat du Valais dans l'éventualité où la Cour de Céans devrait admettre le recours au motif que la juridiction cantonale aurait dû attendre la production du rapport de la Clinique Z.________ avant de rendre son jugement. La juridiction cantonale et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.