Citation: 9C_431/2016 E. C

Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur bundesrechtskonformen Prüfung der Statusfrage und Neubeurteilung des Rentenanspruchs zurückzuweisen. Die Vorinstanz beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. A.________ ersucht um Abweisung des Rechtsmittels und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) lässt sich im Sinne der Gutheissung der Beschwerde vernehmen.