Citation: 4A_634/2023 E. 5

En définitive, le recours doit être admis. La décision attaquée est annulée et la cause renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus. Le recourant obtient gain de cause uniquement dans la mesure où la décision qu'il attaque est annulée et la cause renvoyée à l'instance précédente. L'issue du litige demeure ouverte. Par ailleurs, la partie intimée s'en est remise à justice sur le sort de la conclusion en annulation de la décision litigieuse et au renvoi à la cour cantonale; contrairement à ce qu'elle soutient, cela ne lui permet pas d'éviter la mise à sa charge de frais judiciaires, car on ne saurait dire qu'elle a ainsi acquiescé au recours sur ce point (arrêt 5A_1065/2020 du 2 décembre 2021 consid. 9 et les arrêts cités; arrêt 4A_616/2013 du 16 juin 2014 consid. 4 non publié in ATF 140 III 227). Le fait qu'elle ne serait pas responsable de la violation du droit reprochée à l'instance précédente ne lui permet pas non plus d'échapper aux frais judiciaires. Il se justifie de les répartir par moitié entre les parties (art. 66 al. 1 LTF) et de compenser les dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :