Citation: 9C_175/2013 E. A

R.________ a travaillé en qualité de manoeuvre du bâtiment. Le 28 février 2005, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il souffrait d'une hernie discale, de maux de dos et de jambes. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au Centre d'expertises médicales (CEM); les experts ont déposé leur rapport le 9 février 2007. L'office AI a ensuite requis l'avis du docteur A.________, psychiatre au SMR, qui a remis son rapport le 14 janvier 2008. Dans un projet de décision du 21 mai 2008, l'office AI a fait savoir à l'assuré que sa capacité de travail était nulle dans son activité habituelle de manoeuvre, mais qu'une capacité entière pouvait être exigée dans une activité adaptée; comme la perte de gain qui s'ensuivait était de 2 %, l'office AI envisageait de refuser l'octroi d'une rente, mais restait à sa disposition pour une aide au placement. Le dossier a été complété par un rapport de la doctoresse U.________, psychiatre, du 8 avril 2009, ainsi que par un rapport du docteur T.________, chirurgien orthopédique, médecin au SMR, du 13 juillet 2009. Par décision du 12 mai 2010, l'office AI a rejeté la demande.