Citation: 9C_893/2013 E. A

A.a. P.________, frontalière française née en 1961, a travaillé dans le secteur de la restauration jusqu'au 2 mai 2002. Elle a été victime ce jour-là d'un accident de la circulation routière et a subi de multiples contusions au côté droit. Arguant souffrir des séquelles totalement incapacitantes de la rupture du ligament du poignet droit survenue à l'occasion de l'accident, elle s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après l'office AI) le 13 mars 2003. Le dossier médical de l'assureur-accidents a été versé en cause au fur et à mesure de sa constitution. L'administration a sollicité le docteur D.________, spécialiste en chirurgie de la main; le praticien a fait état d'entorses des articulations radio-ulnaire inférieure et luno-triquétrale droite traitées par arthroscopie exploratrice avec toilette articulaire et réinsertion du ligament triangulaire prohibant la reprise de l'activité habituelle mais autorisant l'exercice de toute activité adaptée (rapport du 16 juillet 2003). Le centre d'observation professionnelle de l'office AI (ci-après le COPAI) chargé d'objectiver les activités adaptées mentionnées a conclu à l'impossibilité de réinsérer l'assurée dans le circuit économique normal (rapport du 26 mai 2004). L'administration a continué ses investigations. Elle a consulté le docteur B.________, spécialiste en médecine physique et réadaptation; le médecin a complété la liste diagnostique en signalant l'existence d'une sub-luxation à l'épaule droite et d'une discopathie dégénérative C5/6/7 sans sténose foraminale (rapport du 2 septembre 2004). La réalisation d'une expertise rhumatologique destinée à définir les répercussions de ces nouvelles pathologies a été confiée à l'Hôpital V.________; le docteur G.________ a observé les séquelles d'une algodystrophie et une ankylose au poignet droit ainsi qu'un syndrome douloureux concernant le bras droit et la région paracervicale droite qui laissaient toutefois subsister une capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée de 80% avec diminution de rendement probable au début (rapport du 3 mars 2005). L'appréciation du volet psychiatrique du cas a été confiée à l'Hôpital X.________; les docteurs W.________ et K.________ ont constaté un syndrome douloureux somatoforme persistant et un état dépressif moyen sans influence sur la capacité de travail (rapport du 19 juillet 2006). Se fondant sur les éléments rassemblés, l'office AI a averti l'intéressée qu'il envisageait de lui accorder un quart de rente à compter du 1er mai 2003 (projet de décision du 12 janvier 2007). Les objections formulées contre ce projet essentiellement sur la base de l'avis du COMAI et des observations du Service de rééducation de l'Hôpital X.________, évoquant un taux maximal d'occupation de 50% (rapport du 16 janvier 2007), ont été écartées par l'administration. L'allocation d'un quart de rente a été entérinée par l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après l'office AI; décision du 10 mai 2007). Le recours contre cette décision a été déclaré irrecevable par le Tribunal administratif fédéral, Cour III, à cause du paiement tardif de l'avance de frais (jugement du 18 décembre 2007). Le jugement a été confirmé par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_159/2008 du 21 avril 2008). A.b. P.________ a déposé une demande de révision de son droit le 12 février 2010 en raison de l'apparition de nouvelles pathologies sous forme d'arthrose à l'épaule droite et au rachis cervical et de tendinopathie du sus-épineux. Elle s'appuyait sur un certificat établi le 19 janvier 2010 par le docteur B.________. Considérant qu'aucune péjoration de l'état de santé n'avait été démontrée, l'administration a averti l'assurée qu'elle allait rejeter sa demande (projet de décision du 25 octobre 2010). Compte tenu de la production d'un nouvel avis du docteur B.________ (certificat du 23 novembre 2010), elle a toutefois mis en oeuvre une expertise rhumatologique, confiée au docteur T.________; l'expert a fait état des status post-traumatique et opératoire du poignet droit connus et a évoqué des cervico-brachialgies droites chroniques, des troubles dégénératifs modérés du rachis cervical et des lombo-pseudo-sciatalgies chroniques permettant l'exercice de toute activité adaptée à 80% depuis le mois de novembre 2002 (rapport du 22 novembre 2011). Sur cette base, l'office AI a confirmé le rejet de la demande de révision (décision du 3 juillet 2012).