Citation: 5A_127/2013 E. B

X.________ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt, den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 8. Januar 2013 und die Verfügung des Einzelrichters des Bezirks [recte: Bezirksgerichts] Schwyz vom 8. Februar 2012 vollumfänglich aufzuheben und die Klage der Y.________ Korporation (Beschwerdegegnerin) vom 18. März 2011 vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und das Kantonsgericht Schwyz zur Vernehmlassung eingeladen. Letzteres hat mit Schreiben vom 21. März 2013 den Antrag gestellt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Zur Begründung wird auf den Beschluss vom 8. Januar 2013 verwiesen; im Übrigen verzichtet das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 16. April 2013 zur Beschwerde vernehmen lassen und beantragt deren Abweisung. Ihre Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht.