Citation: 5A_587/2014 E. A

A.a. Mit Schreiben vom 23. Juli 2013 beantragte B.X.________ (Ehemann) dem Zivilgericht Basel-Stadt (Zivilgericht) die Regelung des Getrenntlebens von seiner Frau A.X.________ (Ehefrau). A.b. Die Ehefrau liess am 19. August 2013 ein Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung stellen. Sie begründete ihr Begehren damit, dass sie kein Vermögen habe und finanziell bedürftig sei. Zwar hätten die Ehegatten eine Liegenschaft in Frankreich (Liegenschaft). Diese sei jedoch seit längerer Zeit zum Verkauf ausgeschrieben und ob daraus ein Gewinn resultiere, sei fraglich. A.c. Das Zivilgericht bestätigte den Ehegatten das Getrenntleben mit Verfügung vom 27. August 2013. Zugleich traf es eine vorläufige Unterhaltsregelung für die drei gemeinsamen Kinder. A.d. Am 15. Oktober 2013 bestätigte das Zivilgericht das Getrenntleben und sprach sich zur Obhutszuteilung aus. Betreffend die Obhut der jüngsten Tochter sollten die Ehegatten das Gericht bis am 15. Januar 2014 über eine Einigung informieren. Die Unterhaltsregelung blieb unverändert. Der Kostenentscheid sollte zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen (Ziff. 6). A.e. Am 10. Dezember 2013 stellte die Ehefrau ein Gesuch um Anordnung einer superprovisorischen Schuldneranweisung, da der Ehemann die mit Verfügung vom 27. August 2013 festgesetzten Kinderunterhaltsbeiträge nicht rechtzeitig zahlte. Darin ersuchte sie überdies um die Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge und um Kostenverlage auf das Hauptverfahren. A.f. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 wies das Zivilgericht das Gesuch um Schuldneranweisung kostenfällig (Ziff. 5) ab (Ziff. 2). In Ziff. 4 des Entscheides hielt das Zivilgericht fest: " Der Antrag beider Ehegatten auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen. " In der separaten Rechtsmittelbelehrung zu Ziff. 4 wies das Zivilgericht die Ehegatten auf die Möglichkeit der Beschwerde hin. A.g. Dieser Entscheid wurde der Ehefrau über ihre Rechtsvertreterin am 18. Dezember 2013 zugestellt. Diese erhob während der Frist von 10 Tagen keine Beschwerde. A.h. Am 14. Januar 2014 liess sich die Ehefrau zur Besuchsregelung und zu Obhutsfragen betreffend die jüngste Tochter vernehmen. Sie informierte das Gericht, dass die Ehegatten zwischenzeitlich einen Vorvertrag für die Liegenschaft unterzeichnen konnten. Es sei allerdings noch nicht bekannt, ob netto ein Erlös resultiere. Die Abrechnung werde frühestens im April 2014 vorliegen, weshalb sie das Gericht bitte, erst nach Kenntnis dieser Abrechnung den Kostenentscheid zu fällen. Mit Schreiben vom 6. Februar 2014 reichte die Ehefrau dem Zivilgericht weitere Unterlagen zur finanziellen Situation der Ehegatten sowie den Vorvertrag zum Liegenschaftsverkauf ein. A.i. Am 13. Februar 2014 entschied das Zivilgericht über die Obhutszuteilung des jüngsten Kindes (Ziff. 1), die Errichtung einer damit verbundenen Besuchsrechtsbeistandschaft (Ziff. 2), sowie den Kinder- und Ehegattenunterhalt (Ziff. 3 und 4). Die Ehegatten wurden zur hälftigen Bezahlung der Gerichtskosten verurteilt, die Parteikosten wurden wettgeschlagen (Ziff. 5). A.j. Beide Ehegatten verlangten die schriftliche Urteilsbegründung.