Citation: 4A_697/2015 E. A

A.a. A.________ SA (ci-après: A.________ ou la société), qui appartenait au groupe A.A.________ Inc (ci-après: la société-mère), était active dans la distribution de matériel électronique en Suisse. Elle comptait 17 organes de fait ou de droit, dont Z.________ (nommé administrateur entre février 1995 et février 2000), B.________ (administratrice entre février et novembre 1995), et C.________ (administrateur entre novembre 1995 et mars 1997). La société a été déclarée en faillite par jugement du 22 mai 2000. A.b. Sur plainte de la masse en faillite de la société (ci-après: la masse en faillite), le Ministère public genevois a ouvert, en juin 2000, une instruction pénale contre deux (ex-) organes de fait, puis contre Z.________ (gestion fautive et faux dans les titres), B.________ et C.________. Par ordonnance du 30 octobre 2012 (entrée en force), le Ministère public, sur la base notamment d'une expertise judiciaire financière du 13 janvier 2006, a classé la procédure pénale en tant qu'elle était dirigée contre Z.________, au motif que sa participation aux actes de gestion fautive et de faux dans les titres commis au détriment de la société A.________ n'était pas établie et, en tout état, qu'elle n'aurait pas pu être intentionnelle. A.c. L'activité d'administrateur exercée par Z.________ (ci-après: l'assuré ou l'administrateur) entre 1995 et 2000, ainsi que celle de trois autres administrateurs (dont B.________ et C.________), était couverte par une assurance responsabilité civile professionnelle - souscrite par l'intermédiaire de D.________ SA (preneur d'assurance) - auprès de X.________ SA (à l'époque : V.________) (ci-après: la compagnie d'assurances ou l'assureur), à hauteur d'un montant maximal de 5'000'000 fr. par événement. Une clause des conditions générales d'assurance (art. 7 let. c CGA) et des conditions complémentaires d'assurance (art. 113 let. g CCA 1990) prévoyait l'exclusion de toute couverture en cas de préjudice causé par la commission intentionnelle d'un crime ou d'un délit ou par la violation intentionnelle de la loi ou des prescriptions des autorités par l'assuré. Une autre clause (art. 23 CGA) prévoyait la représentation de l'assuré par l'assureur à l'égard des tiers réclamants, notamment dans le cadre de pourparlers, et l'interdiction pour l'assuré de payer des indemnités, de conclure une transaction ou de reconnaître tout ou partie des prétentions des tiers sans l'accord de l'assureur. Enfin, l'art. 24 des CGA formulait la perte du droit aux prestations d'assurance en cas d'agissement de l'assuré contrevenant " aux dispositions concernant l'avis de sinistre " ou " contraire[...] aux règles de la bonne foi " dans le cadre du traitement du sinistre, à moins qu'il ne prouve avoir agi sans faute ou que son attitude n'ait modifié ni sa situation juridique, ni celle de l'assureur et n'ait par conséquent exercé aucune influence sur le règlement du sinistre. Z.________ a communiqué l'avis de sinistre à son assureur le 13 juillet 2001.