Citation: 5A_283/2016 E. C

Am 18. April 2016 hat A.________ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 24. Februar 2016 und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Am 21. April 2016 hat die B.________ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt, den Beschwerdeführer zur Sicherstellung der Parteientschädigung in angemessener Höhe, mindestens aber Fr. 20'000.--, zu verpflichten. Der Beschwerdeführer hat die Abweisung des Gesuchs beantragt. Mit Präsidialverfügung vom 9. Mai 2016 hat das Bundesgericht das Gesuch abgewiesen, da die Beschwerdegegnerin noch nicht zu einer Vernehmlassung aufgefordert worden war. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.