Citation: 8C_145/2019 E. A

A.a. A.________, née en 1988, était domiciliée dans la commune de U.________ (canton de Vaud) avant de venir s'établir à V.________, située sur la commune de W.________ (canton du Valais). Selon les attestations des 3 et 4 novembre 2014 émanant respectivement des communes de W.________ (attestation de domicile) et de U.________ (avis de départ), la prénommée a quitté U.________ le 13 août 2006 et a déposé ses papiers à W.________ le même jour. A.b. Le 7 novembre 2014, A.________ s'est adressée à la Caisse de compensation du canton du Valais (ci-après: la CCC) en vue de savoir si et dans quelle mesure elle pouvait prétendre à l'allocation de subsides de l'assurance-maladie, sur la base de sa domiciliation dans le canton depuis le 13 août 2006. Elle expliquait avoir tardé à obtenir une attestation de domicile en Valais, en raison d'une procédure de recours dans le canton de Vaud relative à sa date de départ de U.________. A l'appui de son courrier, elle a notamment produit deux formulaires intitulés "Demande spéciale de subvention concernant les primes d'assurance-maladie", établis sur papier à en-tête du Département de la santé, des affaires sociales et de l'énergie. Dans un courrier du 6 janvier 2015 à la CCC, A.________ accusait réception des décisions concernant les subsides pour les années 2010 à 2014, mais faisait remarquer que la caisse n'avait pas pris position sur les années 2006 à 2009. Par la suite, elle a échangé des correspondances avec la CCC puis avec le Service de la santé publique (ci-après: SSP). A.c. Par décision du 30 juin 2015, le SSP a refusé la demande de subventions rétroactives d'A.________ pour la période du 1 er janvier 2006 au 31 octobre 2009, en raison de leur prescription. En revanche, il lui a accordé des subventions rétroactives pour la période du 1 er novembre 2009 au 31 décembre 2009. A.d. Par décision du 4 avril 2016, le Département de la santé, des affaires sociales et de la culture (ci-après: DSSC) a rejeté la réclamation formée par A.________ contre la décision précitée. Retenant que le SSP avait appliqué à tort le nouveau droit, il a - en application de l'ancien droit - refusé l'octroi de subventions pour l'année 2006 (faute pour la prénommée d'avoir été domiciliée en Valais au 1 er janvier 2006) et pour les années 2007, 2008 et 2009 (au motif de la péremption du droit à les obtenir). Il a de ce fait rectifié la décision du 30 juin 2015, en ce sens que l'octroi de subventions pour la période du 1 er novembre 2009 au 31 décembre 2009 a été annulé. A.e. Par décision du 11 avril 2018, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a rejeté le recours interjeté par A.________ contre la décision du DSSC.