Citation: 8C_578/2013 E. A

A.a. A.________ travaillait comme moniteur dans les ateliers B.________ et était, à ce titre, assuré contre les accidents par La Caisse Vaudoise, assurance en cas de maladie et accidents (ci-après: la Vaudoise). Le 27 mars 2001, alors qu'il promenait son chien, ce dernier a aperçu un autre chien et a tiré fortement sur sa laisse. L'assuré a ressenti une vive douleur à l'épaule droite et une difficulté à la mouvoir. Le 29 mars 2001, il s'est à nouveau fait mal à l'épaule droite en tirant sur un transpalette. Il s'est rendu à la Permanence chirurgicale C.________, où le diagnostic de conflit sous-acromial sur lésion du sus-épineux de l'épaule droite a été posé. Une IRM de l'épaule droite réalisée le 29 mai 2001 a mis en évidence une déchirure complète du tendon sus-épineux. Le 5 juillet suivant, le docteur D.________ a pratiqué une intervention chirurgicale (réinsertion d'une lésion complète du sus-épineux, ténodèse du long chef du biceps dans sa gouttière, fermeture de l'intervalle de la coiffe, acromioplastie de l'épaule droite); lors de l'opération, il a constaté une déchirure du ligament coraco-huméral. Dans un compte-rendu du 28 mars 2003 adressé à la Vaudoise, ce chirurgien a fait état d'une évolution favorable ainsi que d'une récupération fonctionnelle complète et indolore (sauf un passage sensible à 120° en abduction), et attesté une capacité de travail entière dès le 15 janvier 2003. Il a précisé que cette épaule resterait plus fragile et susceptible de se décompenser occasionnellement. Il a fixé le taux d'atteinte à l'intégrité à 5 %. Après que la Vaudoise a rendu une décision de refus de prise en charge et que l'assuré s'y est opposé, une transaction a été conclue entre les parties portant (à bien plaire) sur la prise en charge du traitement hospitalier ainsi que sur le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. A.b. Par lettres des 28 juin, 10 octobre et 21 décembre 2005, l'assuré a demandé à la Vaudoise l'octroi d'une rente d'invalidité en raison de troubles persistants à son épaule droite. Entre-temps, il a été mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité dès janvier 2005 puis d'une rente entière à partir de mai 2005 de l'assurance-invalidité pour l'ensemble de ses problèmes de santé (épaule, genou et dos). Par décision et décision sur opposition des 19 janvier et 15 juin 2006, l'assureur-accidents a refusé d'entrer en matière sur sa demande de rente. A.________ a recouru jusqu'au Tribunal fédéral, qui a renvoyé la cause à la Vaudoise pour qu'elle statue sur le droit éventuel de l'assuré à une rente à raison des événements des 27 et 29 mars 2001 (arrêt du 24 septembre 2007; cause U 378/06). A.c. A la suite de cet arrêt, la Vaudoise a mandaté le docteur E.________ pour une expertise (rapport du 19 juillet 2008), sur la base de laquelle elle a nié le droit à une rente dès le 1er juillet 2005 (décision du 18 septembre 2008). L'assuré a formé opposition contre cette décision et produit une expertise privée du docteur F.________ (rapport du 8 mai 2009). Le 15 juin 2009, l'assureur-accidents a écarté l'opposition.