Citation: 9C_558/2013 E. C

Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 20. Juni 2013 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 4. August 2008 zu bestätigen. Ferner sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. G.________ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten ist. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das kantonale Gericht beantragt ebenfalls, das Rechtsmittel sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.