Citation: 4A_624/2021 E. A

A.a. Durant la nuit du 21 avril 1995, alors qu'il traversait une route à pied, A.________ a été heurté par un véhicule. Le lésé a mandaté un avocat pour défendre ses intérêts dans les suites de l'accident. Il bénéficiait alors de la prise en charge des frais d'avocat et de justice de son assurance de protection juridique, la D.________ SA (ci-après: la D.________). Plusieurs assurances ont indemnisé les conséquences de l'accident: C.________ SA (ci-après: C.________) en tant qu'assureur responsabilité civile du détenteur du véhicule, ainsi que E.________ SA (ci-après: E.________) et F.________ SA (ci-après: F.________), toutes deux en qualité d'assureurs perte de gain du lésé. Ce dernier a également été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité (ci-après: l'AI), assortie d'une rente complémentaire pour son épouse. A.b. Le 28 mai 2001, le lésé a déposé une action en paiement à l'encontre de C.________ pour obtenir la réparation du dommage consécutif à l'accident. En cours de procédure, il a changé d'avocat et a mandaté Me B.________ (ci-après: l'avocat). Par jugement du 1er avril 2006, le Tribunal cantonal, statuant en instance unique, a condamné C.________ à verser au lésé (ci-après: le client), sous déduction des sommes déjà payées, le montant de 557'118 fr. 80 avec intérêts, incluant également la perte de gain future. Pour arrêter cette créance, il a calculé le préjudice global puis, afin d'éviter une surindemnisation, a déduit du montant obtenu la rente d'invalidité et la rente pour conjoint dues par l'AI. A.c. En 2006, après avoir découvert que le client participait à des courses automobiles, plusieurs assureurs ont remis en question son droit à des prestations. E.________ a suspendu le versement de la rente. C.________ a déposé une demande de révision du jugement rendu le 1er avril 2006. L'Office cantonal de l'AI a suspendu le versement de la rente et a mis en oeuvre une expertise médicale pluridisciplinaire. Les experts ont retenu que la participation du client à des courses automobiles ne remettait pas en cause l'incapacité de travail précédemment constatée. Après avoir pris connaissance de ce rapport, l'Office cantonal de l'AI a confirmé le droit à une rente et C.________ a retiré sa demande de révision. E.________ a quant à elle maintenu la suspension des prestations. A.d. L'avocat a adressé à la D.________ une note d'honoraires pour ses opérations du 23 avril 2004 au 26 juin 2006 concernant le " dossier c/C.________ ", laquelle a été acquittée. En revanche, la D.________ a refusé de prendre en charge les autres frais de défense du client, notamment en lien avec la procédure de révision ouverte par C.________ et le litige l'opposant à E.________. A.e. La 5ème révision de l'AI a conduit à la suppression de la rente complémentaire pour conjoint dès le 1er janvier 2008. A partir de cette date, le client n'a plus perçu la rente pour son épouse. Le 14 septembre 2009, l'avocat a requis de C.________ un nouveau calcul du dommage tenant compte de la suppression de cette rente. A.f. Le 16 mars 2010, le client a signé une procuration en faveur de Me Jean-Michel Duc concernant son litige avec E.________, devenue dans l'intervalle G.________ SA (ci-après: G.________). Il a ouvert une action contre cette assurance, procédure qui s'est terminée par une transaction extrajudiciaire. Aux termes de la convention, G.________ s'engageait à verser des prestations, hormis celles déjà prescrites.