Citation: 4A_460/2021 E. A

A.a. Die Ba.________, LLC (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist eine nach dem Recht von U.________ gegründete Gesellschaft mit beschränkter Haftung mit Sitz in den Vereinigten Staaten. Die A.________ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft mit Sitz in V.________, Liechtenstein. Sie ist im Versicherungsgeschäft tätig. A.b. Die B.________ AG mit Sitz in der Schweiz ist die Muttergesellschaft des B.________-Konzerns. Sie und ihre Konzerngesellschaften waren seit 2008 bei verschiedenen Versicherungsgesellschaften versichert, so unter anderem bei der Beklagten. Die zugunsten der B.________ AG und ihrer Konzerngesellschaften abgeschlossenen Versicherungspolicen bestanden üblicherweise aus vier Ebenen: einer ersten Deckung sowie drei Anschlussdeckungen. Die Versicherungsperioden dauerten jeweils vom 1. Januar eines Jahres bis zum 1. Januar des folgenden Jahres. Die Beteiligung der Beklagten an der Versicherungsdeckung änderte von Jahr zu Jahr. Die Vertragsbedingungen der Policen wurden jährlich neu verhandelt. Die Verhandlungen für die neue Versicherungsdeckung begannen üblicherweise im Spätsommer und dauerten über den Beginn der neuen Versicherungsperiode hinaus. Noch während der laufenden Verhandlungen stellten die Versicherer jeweils Ende Dezember, d.h. kurz vor Beginn einer neuen Versicherungsperiode, eine vorläufige Deckungszusage ("insurance binder" oder "insurance slip") aus. Die neue Versicherungspolice wurde dann jeweils nach Beginn der neuen Versicherungsperiode unterzeichnet. A.c. Für das Jahr 2014 waren die B.________ AG bzw. einige ihrer Konzerngesellschaften unter anderem gegen Kosten und Verluste aus Rechtsstreitigkeiten versichert. Auch diese Versicherung bestand aus vier Ebenen, die jeweils von einer oder mehreren Versicherungsgesellschaften versichert wurden. Die Beklagte gewährte unter anderem zusammen mit der Versicherung C.________ AG die erste Anschlussdeckung ("first excess layer") für die Police 2014, die über USD 75 Mio. hinausgehende Schäden bis höchstens USD 225 Mio. abdeckte. Bevor die eigentliche Versicherungspolice ausgehandelt und in der Folge ausgestellt wurde, unterzeichnete die Beklagte die vorläufige Deckungsanzeige für das Jahr 2014 (nachfolgend: Slip 2014). Der Slip 2014 enthält eine Gerichtsstandsklausel zugunsten der Gerichte in Basel-Stadt ("[...] each party agrees to submit to the exclusive jurisdiction of the Courts of Basel-Stadt, Switzerland"). Demgegenüber enthält Artikel VI.N der nachfolgend ausgestellten Police 2014, abgeändert mit Nachtrag Nr. 2, die folgende Schiedsklausel: --..] All disputes arising from or in connection with this Policy, including its application, alteration or avoidance and any claims not directly related to the Policy, will be determined outside the normal courts by a court of arbitration consisting of three judges. The seat of arbitration shall be Basel. The composition of the court of arbitration and the arbitration process will be governed by the mediation and arbitration rules of the Zurich Chamber of Commerce in force at the relevant time. The decision of the court of arbitration shall be final. There shall be no right of objection to this arbitration agreement, unless this Policy is unenforceable in whole or in part, or the arbitration agreement relates to a dispute which has not yet arisen. In the event that this arbitration agreement is not enforceable, any other terms and conditions of this Policy will nonetheless remain in full force. Notwithstanding the above, it is hereby agreed that any dispute (s) may be resolved with the agreement of all parties prior to initiating the Arbitration processes, as above. All other terms and conditions remain unchanged." A.d. Die Klägerin berief sich im Anschluss an ein Schadenereignis in den Vereinigten Staaten darauf, sie sei eine von der Versicherungsdeckung erfasste Konzerngesellschaft der B.________ AG und verlangte von der Beklagten eine Entschädigung für Prozesskosten im Zusammenhang mit verschiedenen im Jahre 2014 eingeleiteten Gerichtsverfahren. Zwischen den Parteien blieben verschiedene Umstände des Vertragsabschlusses für das Jahr 2014 strittig, so unter anderem, ob die Versicherungsbrokerin D.________ Limited die Versicherungspolice 2014 für die B.________ AG bzw. die Klägerin oder aber für die Bb.________ AG aushandelte. Die Parteien stützen sich auf verschiedene Dokumente, die sie jeweils für die gültige Police für das Versicherungsjahr 2014 halten, wobei in demjenigen der Klägerin die B.________ AG als Versicherungsnehmerin und die Bb.________ AG als ihre Vertreterin genannt wird, während im Dokument der Beklagten die Bb.________ AG als Versicherungsnehmerin aufgeführt wird.