Citation: 9C_617/2016 E. A

A.a. A.________ exerçait le métier d'employée de maison. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 2 novembre 2004. Elle indiquait être atteinte de rhumatismes et d'une maladie cutanée. Au cours de la procédure d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après l'office AI) a sollicité l'avis des divers médecins traitants. Les docteurs B.________, spécialiste en dermatologie et vénérologie, et C.________ ont diagnostiqué un lupus érythémateux, une laryngite postérieure, une antro-bulbite érosive, des lombo-sciatalgies, ainsi que des cervicalgies autorisant l'exercice de l'activité habituelle à 50 % (rapports des 20 novembre 2004 et 29 janvier 2005). Le Centre psycho-social D.________ a signalé l'existence d'un trouble dépressif récurrent, épisode moyen, avec syndrome somatique, et des somatisations engendrant une incapacité de travail de 50 % (rapport du 24 juin 2005). Interrogés de nouveau, le Centre psycho-social D.________ et le docteur B.________ ont tous les deux indiqué que l'état de santé de l'assurée était resté stable (rapports des 7 et 16 juin 2006). L'administration a également diligenté une enquête ménagère (rapport du 29 janvier 2007), au terme de laquelle elle a évalué le taux d'empêchement dans la réalisation des tâches domestiques à 64 % (cf. feuille d'évaluation du 19 janvier 2007). Elle a en outre estimé que l'intéressée avait un statut mixte (active à 70 % - ménagère à 30 %; notes du juriste des 3 avril et 24 juillet 2007 ainsi que du 4 mars 2008). Questionné par le Service médical régional de l'office AI (SMR), le docteur B.________ a encore précisé que l'incapacité de travail énoncée initialement s'élevait à 50 % d'une activité exercée à 80 % (note du 4 avril 2007). Le SMR a entériné cette précision (avis du 13 septembre 2007). Il l'a cependant ensuite corrigée et a arrêté ladite incapacité à 50 % d'une activité pratiquée à 70 % (avis du 24 octobre 2007). Sur la base des informations rassemblées, l'administration a accordé à A.________ une demi-rente dès le 1er septembre 2005 (décision du 3 juillet 2008). A.b. L'office AI a initié une première procédure de révision le 27 février 2012. L'administration a en particulier requis des renseignements du docteur C.________. Celui-ci a évoqué les mêmes pathologies (lupus érythémateux, état dépressif, cervicalgies, lombalgies) et la même capacité résiduelle à exercer le travail d'employée de maison qu'auparavant (50 %; rapport du 20 octobre 2012). De cet acte, le SMR a cependant inféré une amélioration de l'état de santé psychique de l'assurée et, dès lors, de sa capacité de travail, arrêtée à 50 % d'une activité exercée à 100 % (avis du 6 juin 2013). Sollicitée, l'intéressée a expliqué persister à travailler à mi-temps mais effectuer désormais un horaire continu du lundi matin au mercredi midi (notice du 12 février 2014). Elle a aussi indiqué avoir préféré la kinésiologie à la poursuite d'un traitement psychiatrique, avec lequel elle ne se sentait plus à l'aise (courrier du 10 mars 2014). L'office AI a également mis en oeuvre une nouvelle enquête ménagère (rapport du 12 mars 2014). Le taux d'empêchement constaté était de 65 % et l'enquêtrice notait l'importante discordance entre celui-ci et la pratique de l'activité habituelle à 50 % (cf. feuille d'évaluation du 12 mars 2014). Compte tenu de cette discordance, le SMR a estimé qu'il fallait retenir un taux d'empêchement à réaliser les travaux domestiques identiques au taux d'incapacité de travail, de 50 % (avis du 22 juillet 2014). Malgré des critiques soulevées contre son projet de décision et suivant les recommandations de son service médical (avis du 19 janvier 2015), l'administration a fixé le taux d'invalidité de A.________ à 35 % et supprimé la demi-rente versée jusque-là à compter du 1er mars 2015 (décision du 22 janvier 2015).