Citation: 4A_193/2021 E. B

B.a. Le 23 février 2016, A.________ a déposé une action en libération de dette devant le même tribunal, en concluant à ce qu'il soit constaté qu'il ne devait pas le montant de 75'000 fr. avec intérêts au bailleur. Il a allégué que le bailleur avait consenti à la résiliation du bail pour le 1er mai 2014. Il a ajouté qu'il avait accumulé un arriéré de loyer de 75'000 fr. au 30 avril 2014 et que pour tenir compte des dépenses qu'il avait assumées à la place du bailleur, chiffrées à 35'360 fr. 10, le bailleur avait accepté de réduire la dette de 75'000 fr. à 40'000 fr. Enfin, C.________ SA avait repris le solde de la dette de loyer de 40'000 fr. avec le consentement du bailleur, avec effet libératoire pour A.________. Ce dernier ne devait donc plus rien au bailleur. Le bailleur a conclu au rejet de l'action et, à titre reconventionnel, à ce que A.________ soit condamné à lui payer, en sus du montant de 75'000 fr., celui de 85'000 fr. avec intérêts. Par jugement du 28 octobre 2020, le tribunal a condamné A.________ à verser au bailleur la somme de 40'000 fr. avec intérêts et a rejeté la demande reconventionnelle. Il a retenu que le bailleur avait accepté de réduire la dette de A.________ à 40'000 fr. et que ce dernier n'avait pas prouvé que C.________ SA se serait engagée à reprendre cette dette même si le projet d'achat de l'immeuble devait échouer. B.b. A.________ a interjeté appel à l'encontre de ce jugement auprès de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois. Il a allégué n'avoir jamais eu un arriéré de loyer de quinze mois (75'000 fr.). Les loyers impayés s'élevaient à 40'000 fr. Il s'était acquitté de ce montant en payant divers travaux réalisés dans les locaux loués, travaux qui étaient à la charge du bailleur. Il a produit six extraits bancaires. Par la suite, il a encore déposé d'autres pièces. Par arrêt du 2 mars 2021, la cour cantonale a déclaré que les pièces produites au stade de l'appel ne pouvaient pas être prises en compte. Il a rejeté l'appel.