Citation: 4A_480/2017 E. A

A.a. X.________ était vice-président du conseil d'administration et directeur de la société M.________ SA, laquelle a été déclarée en faillite le 10 octobre 1997. Cette société n'ayant pas payé les cotisations sociales AVS pour la période courant d'avril à octobre 1997, la Caisse de compensation de N.________ (ci-après: la Caisse de compensation) a produit sa créance dans la faillite. N'ayant pas été complètement désintéressée, la Caisse a ouvert action en réparation de son dommage contre X.________, en sa qualité d'ancien directeur de la société faillie (art. 52 LAVS). Par jugement du 18 mars 1999, le Tribunal cantonal des assurances valaisan a condamné X.________ à verser à la Caisse le montant de 141'226 fr. 50. Le 1er avril 1999, X.________ a mandaté Me U.________ en vue de recourir contre ce jugement au Tribunal fédéral des assurances. Il a finalement renoncé à recourir et le mandat de l'avocat a pris fin le 20 mai 1999, avec l'envoi de sa facture. Ce jugement est entré en force de chose jugée. A.b. En proie à des difficultés financières, X.________ a consulté un autre avocat valaisan, qui lui a donné les premiers conseils en matière de faillite volontaire.