Citation: 2C_307/2024 E. B

B.a. Par décision sur opposition du 17 janvier 2024, le Conseil de direction de l'École d'avocature a admis l'opposition de A.________, après avoir retenu, en substance, que celui-ci n'avait pas pu se rendre compte qu'il n'était pas dans un état lui permettant de réaliser des examens lors de la session de septembre 2023 et que, dès lors, il n'avait pas été pleinement conscient du risque qu'il prenait en s'y présentant. Le Conseil de direction a ainsi annulé sa décision du 27 septembre 2023 et autorisé A.________ à se présenter à nouveau à la session d'examens de juin 2024 pour une ultime tentative, tout en précisant que la note d'examen d'expression orale de 5.5 obtenue lors de la session de septembre 2023 était acquise. B.b. Le 18 février 2024, A.________ a interjeté recours auprès de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) contre la décision sur opposition du Conseil de direction de l'École d'avocature du 17 janvier 2024. Il concluait notamment à son annulation et à ce qu'il soit ordonné à l'École d'avocature de lui restituer les points arbitrairement retirés (0.6) pour l'examen de procédure pénale effectué à la session de septembre 2023. Il demandait aussi à la Cour de justice d'obliger l'école à lui fournir les statistiques des moyennes et des échecs ainsi que les barèmes pour chaque matière, non seulement lors de la session précitée, mais aussi lors de la session de juin 2023. Il demandait enfin que la Cour de justice constate une violation du principe de l'égalité de traitement et de la liberté économique. Par arrêt du 23 avril 2024, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable le recours formé par A.________ pour défaut d'intérêt pratique. Elle considérait que l'intéressé avait déjà obtenu gain de cause dans le cadre de sa précédente opposition devant le Conseil de direction de l'École d'avocature. Cet arrêt a été notifié à l'intéressé le 10 mai 2024. B.c. Dans l'intervalle, en date du 8 mai 2024, A.________ a demandé la récusation de la Présidente de la Chambre administrative de la Cour de justice. Par courrier du 13 mai 2024, celle-ci a refusé d'entrer en matière sur cette demande, en précisant que la Cour de justice avait déjà rendu son arrêt final, ce en date du 23 avril 2024.