Citation: 9C_961/2008 30.11.2009 E. C

L.________ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut au maintien de sa rente entière d'invalidité au-delà du mois d'avril 2007 et à l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale; à titre subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause au Tribunal administratif jurassien pour qu'il rende une nouvelle décision sur le fond. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire en instance fédérale. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.