Citation: 2C_212/2019 E. A

A.a. A.________ (geb. 1965) ist kosovarischer Staatsbürger. Im Jahr 1993 kam er mit seiner schwangeren Ehefrau und den beiden Kindern B.________ (geb. 1989) und C.________ (geb. 1990) in die Schweiz, wo er erfolglos um Asyl nachsuchte. Aus der Beziehung gingen am 20. November 1993 bzw. am 12. Dezember 1997 die Töchter D.________ und E.________ hervor. Das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) setzte der Familie eine Ausreisefrist bis zum 31. Oktober 1994; es verlängerte diese in der Folge wiederholt. Mit Verfügung vom 13. Juli 1999 wurden A.________ und seine Familie in Anwendung des Bundesratsbeschlusses vom 7. April 1999 vorläufig aufgenommen. Nach Ende der entsprechenden kollektiven Aufnahme durch den Bundesrat setzte das Bundesamt für Flüchtlinge der Familie eine Ausreisefrist bis 31. Mai 2000. Am 5. April 2000 wies es ein Wiedererwägungsgesuch ab. Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess die Asylrekurskommission (heute: Bundesverwaltungsgericht) am 24. November 2004 gut; sie wies die Vorinstanz an, A.________ und seine Familie vorläufig aufzunehmen, was das Bundesamt für Flüchtlinge am 29. November 2004 tat. A.b. Ab Juli 2007 bemühte sich die Familie A.________ um den Erhalt humanitärer Aufenthaltsbewilligungen (Art. 84 Abs. 5 AIG; bis zum 1. Januar 2019: AuG [vertiefte Prüfung der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für vorläufig aufgenommene Personen]). Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen lehnte die entsprechenden Gesuche - insbesondere wegen der andauernden Sozialhilfeabhängigkeit der Familie - wiederholt ab; letztmals am 15. September 2011. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen hiess die hiergegen gerichtete Beschwerde am 3. September 2012 gut; die Bemühungen der Familie A.________ um Arbeit und möglichst grosse finanzielle Selbständigkeit seien zu anerkennen. Die lange Anwesenheitsdauer und die gute Integration rechtfertigten trotz des Bezugs von Sozialhilfeleistungen die Erteilung der beantragten Bewilligungen. Das Migrationsamt stellte diese am 18. September 2012 aus und verlängerte sie letztmals bis zum 18. September 2015.