Citation: 5A_379/2021 E. A

A.a. A.________ und B.________ sind die unverheirateten Eltern von C.________ (geb. 2015). Die Eltern trennten sich kurz nach der Geburt des Sohnes. C.________ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter. A.b. Am 8. März 2018 beantragte der Vater bei der KESB Bezirk Horgen (im Folgenden: KESB), die Mutter sei unter Strafandrohung nach Art. 292 StGB zu verpflichten, ihn über besondere Ereignisse im Leben des Sohnes zu benachrichtigen und vor Entscheidungen, die für dessen Entwicklung wichtig sind, anzuhören. Im Eventualstandpunkt stellte er den Antrag, die Mutter sei zu verpflichten, die entsprechenden Auskünfte und Informationen der Beiständin zu geben, damit diese sie dem Vater weiterleiten könne. Weiter stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die KESB wies das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mit Beschluss vom 21. März 2018 ab, gewährte dem Vater jedoch die unentgeltliche Rechtspflege für Gebühren und Kosten. A.c. Gegen diesen Beschluss erhob der Vater am 13. August 2018 Beschwerde beim Bezirksrat Horgen. Dieser wies am 5. Oktober 2020 die Beschwerde vollumfänglich ab (Dispositiv-Ziff. I), auferlegte dem Vater die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- (Dispositiv-Ziff. II) und verpflichtete ihn, der Mutter eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 900.-- (zuzüglich MWST von 7.7 %) zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. III). A.d. Mit Eingabe vom 10. November 2020 wandte sich der Vater an das Obergericht des Kantons Zürich. Neben der Anfechtung in der Sache beantragte er unter anderem, Dispositiv-Ziff. III des bezirksrätlichen Urteils (s. Bst. A.c) aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 900.-- (zzgl. MWST von 7.7 %) zu bezahlen (Beschwerdeantrag Ziff. 7). Das Obergericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 25. März 2021 teilweise gut und verpflichtete die Mutter, der Beiständin Informationen und Auskünfte zum Wohlergehen von C.________ und zu wichtigen Ereignissen in seinem Leben in der Form von monatlichen Statusberichten zukommen zu lassen, verbunden mit der Verpflichtung der Beiständin, diese Berichte an A.________ weiterzuleiten (Dispositiv-Ziff. 1 und 2). Weiter hob das Obergericht Dispositiv-Ziff. II des Urteils des Bezirksrates auf und verfügte, die Entscheidgebühr für das Verfahren vor dem Bezirksrat von Fr. 1'000.-- den Eltern je zur Hälfte aufzuerlegen, zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege aber vorerst auf die Gerichtskasse zu nehmen (Dispositiv-Ziff. 3). Im Übrigen wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziff. 5). A.e. Gemäss den Ausführungen in der Beschwerde an das Bundesgericht (s. unten Bst. B.a) wandte sich A.________s Rechtsvertreterin nach Erhalt des Urteils telefonisch an das Obergericht und wies es darauf hin, dass es die Zusprechung der Parteientschädigung an B.________ versehentlich nicht aufgehoben habe. Laut A.________ erklärte die zuständige Oberrichterin, die fragliche bezirksrätliche Dispositiv-Ziff. III (Bst. A.c) sei deshalb nicht aufgehoben worden, weil er, A.________, dies in seiner Beschwerde an das Obergericht gar nicht beantragt habe. Diese Darstellung blieb vor Bundesgericht unwidersprochen.