Citation: 4A_533/2009 08.01.2010 E. D

X.________ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 24 septembre 2009. Invoquant une violation de l'art. 16 LDIP, une application arbitraire de l'art. 126 al. 3 LPC/GE et une violation des règles déduites du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., elle a conclu, tout en demandant que les dépens de la procédure cantonale soient revus, que l'arrêt attaqué soit annulé, que le jugement de première instance du 18 février 2009 (condamnation à payer) et les points 1 à 3 du dispositif du jugement de première instance du 27 novembre 2008 (rejet de l'exception d'autorité de chose jugée) soient confirmés, tous les frais et dépens de la procédure tant cantonale que fédérale étant à la charge de la partie intimée. L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens. Par ordonnance du 1er décembre 2009, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours.