Citation: 9C_458/2010 14.06.2010 E. 1

dass ein Rechtsmittel gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten hat, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt, dass die Ausgleichskasse des Kantons Zürich auf die Einsprache des Beschwerdeführers nicht eingetreten war, weil diese verspätet eingereicht wurde, der angefochtene Entscheid daher den formellen Gesichtspunkt des Nichteintretens durch die untere Instanz zum Gegenstand hatte und darin über die materielle Seite der Angelegenheit gar nicht befunden wurde, dass sich der Beschwerdeführer weder in der Eingabe vom 27. Mai 2010 noch in jener vom 31. Mai 2010 mit der einzig streitgegenständlichen Frage des vorinstanzlich bestätigten Nichteintretens der Ausgleichskasse auf die Einsprache rechtsgenüglich auseinandersetzt, dass die beiden Eingaben des Beschwerdeführers somit den gesetzlichen Mindestanforderungen nicht genügen, da sie keinen zulässigen Antrag enthalten und den Ausführungen nicht entnommen werden kann, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG - soweit überhaupt beanstandet - unzutreffend und die darauf beruhenden Erwägungen rechtsfehlerhaft sein sollen, dass bei der gegebenen prozessualen Situation kein Raum für Weiterungen irgendwelcher Art besteht, dass deshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten ist und in Anwendung von Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG umständehalber auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet wird,