Citation: 4A_383/2019 E. A

A.a. B.________ est décédé le 10 mars 2011. Son épouse A.________ est son unique héritière instituée (art. 105 al. 2 LTF; certificat d'héritier). A la suite du décès de l'époux, le 5 juin 2012, la C.________ a adressé à l'épouse un courrier, lui faisant part de ce qui suit : " Pour faire suite à votre entretien téléphonique de ce jour avec D.________, nous avons le plaisir de vous confirmer que l'ensemble de vos portefeuilles représente à ce jour un solde évalué en CHF de 500'010.80 ". Par courrier du 3 décembre 2012, la banque a indiqué à l'épouse avoir fait une erreur sur la titularité d'un compte numérique intitulé " E.________ ", n° xxx, dont ni celle-ci, ni feu son mari n'avaient en réalité jamais été titulaires. Le 7 avril 2014, soit après la fusion par absorption de la C.________ par la F.________ SA le 29 novembre 2013, la société G.________SA, organe de révision de cette dernière banque, a établi un " Rapport sur les constatations effectives " au sujet de ce compte, duquel il ressort que " ni feu B.________ ni A.________ ne sont ou n'ont été titulaires, ayants droit économiques ou fondés de procuration sur la relation xxx " E " et qu' "un tiers sans aucun lien apparent avec les époux est et a toujours été le titulaire et ayant droit économique de la relation xxx " E " ". La procédure de mainlevée, qui a fait suite à la réquisition de poursuite de l'épouse, a abouti au rejet de la requête de mainlevée provisoire de l'épouse, la banque ayant vraisemblablement commis une erreur essentielle dans son courrier du 5 juin 2012 et aucun élément ne permettant de douter de la valeur probante du rapport de G.________. A.b. Par requête de conciliation du 21 novembre 2018, l'épouse a formé une action en paiement pour le montant de 500'010 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an dès le 5 juin 2012, accompagnée d'une action en reddition de compte fondée sur l'art. 400 al. 1 CO.