この証明は早くて1770年のレオンハルト・オイラーによるElementsofAlgebraにおいて(実際には9.999⋯=10の証明として)見られる。等比級数の公式自体はオイラー以前の成果であるが、18世紀まではその導出がいずれも項別演算を証明なしで行われていた。1811年になってやっと、Bonnycastleの教科書AnIntroductiontoAlgebraで等比級数に関する議論を行うことで0.999⋯に関する項別操作を正当化している。19世紀には、それまでの自由すぎる無限和の計算に対する反動として、「級数はその部分和の極限として定義される」という、現在の数学でも用いられている定義が生み出された。このころの証明に基づいた微積分学や解析学の入門書においては、関連する定理を証明することによりこの等比級数もはっきりと計算されている。

question: AnIntroductiontoAlgebraで等比級数に関する議論を行ったのはいつですか?, answer: 1811年 | question: 「級数はその部分和の極限として定義される」の定義が生まれたのはいつ?, answer: 19世紀