有理数から実数への拡張は(自然数から整数や有理数への拡張と比べて)大きな飛躍である。この拡張の方法は、少なくとも2つの手法がよく知られている。ともに1872年に発表された有理数の切断によるものとコーシー列によるものである。これらの実数の構成法により0.999⋯=1を証明している実解析の教科書は見られない。現代数学では、解析学的に実数を構成し、それが数の公理を満たすかどうかに注意が払われる。公理による解析的手法により0.999⋯=1を証明することになるからである。しかしながら、実数の構成をより適切に、論理的に行うことにより、0.999⋯=1の証明はもっと直接的になされる(self-contained)と主張する人もいる。

question: 1872年に発表された有理数から実数への拡張方法は、有理数の切断によるものと何によるものですか?, answer: コーシー列