Problem:


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Problem Statement

   #nck {
      width: 30px;
      height: auto;
   }

Snuke received N intervals as a birthday present.
The i-th interval was [-L_i, R_i].
It is guaranteed that both L_i and R_i are positive.
In other words, the origin is strictly inside each interval.

Snuke doesn't like overlapping intervals, so he decided to move some intervals.
For any positive integer d, if he pays d dollars, he can choose one of the intervals and move it by the distance of d.
That is, if the chosen segment is [a, b], he can change it to either [a+d, b+d] or [a-d, b-d].

He can repeat this type of operation arbitrary number of times.
After the operations, the intervals must be pairwise disjoint (however, they may touch at a point).
Formally, for any two intervals, the length of the intersection must be zero.

Compute the minimum cost required to achieve his goal.

Constraints

1 ≤ N ≤ 5000

1 ≤ L_i, R_i ≤ 10^9

All values in the input are integers.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N
L_1 R_1
:
L_N R_N

Output

Print the minimum cost required to achieve his goal.

Sample Input 1

4
2 7
2 5
4 1
7 5

Sample Output 1

22

One optimal solution is as follows:

Move the interval [-2, 7] to [6, 15] with 8 dollars

Move the interval [-2, 5] to [-1, 6] with 1 dollars

Move the interval [-4, 1] to [-6, -1] with 2 dollars

Move the interval [-7, 5] to [-18, -6] with 11 dollars

The total cost is 8 + 1 + 2 + 11 = 22 dollars.

Sample Input 2

20
97 2
75 25
82 84
17 56
32 2
28 37
57 39
18 11
79 6
40 68
68 16
40 63
93 49
91 10
55 68
31 80
57 18
34 28
76 55
21 80

Sample Output 2

7337



Sample input:
4
2 7
2 5
4 1
7 5


Sample output:
22

Submission status: Wrong Answer

Solution code:
import sys
readline = sys.stdin.readline
readlines = sys.stdin.readlines

import numpy as np

N = int(readline())
LR = [tuple(int(x) for x in line.split()) for line in readlines()]

"""
・奇数個のとき：中央にどれかを固定。
・偶数のとき：原点で左右に分けるとしてよい。
・基本的に長さで内側から昇順（奇数のときの中央は謎）。→ソートしてdpできる。
・左に置いた個数をもってdp更新。また、中央を使ったかも同時に持って。
・偶数のときは、中央に1つ置いた状態から始める。
・大きい区間から外側に入れていく。
"""

LR.sort(key = lambda x: -x[1]-x[0])

INF = 10**15
dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央未確定。
dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央確定。
if N&1:
    dp_0[0] = 0
else:
    dp_1[0] = 0
for n,(L,R) in enumerate(LR):
    length = R + L
    prev_0 = dp_0
    prev_1 = dp_1
    dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    x = np.arange(n+1,dtype=np.int64) # もともと左側にあった個数
    # 左側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + R + x * length, dp_0[1:n+2], out=dp_0[1:n+2])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + R + x * length, dp_1[1:n+2], out=dp_1[1:n+2])
    # 右側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_0[:n+1], out=dp_0[:n+1])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_1[:n+1], out=dp_1[:n+1])
    # 中央に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + (N-1)//2 * length, dp_1[:n+1], out = dp_1[:n+1])

answer = dp_1[N//2]
print(answer)

Submission status: Accepted

Solution code:
import sys
readline = sys.stdin.readline
readlines = sys.stdin.readlines

import numpy as np

N = int(readline())
LR = [tuple(int(x) for x in line.split()) for line in readlines()]

"""
・奇数個のとき：中央にどれかを固定。
・偶数のとき：原点で左右に分けるとしてよい。
・基本的に長さで内側から昇順（奇数のときの中央は謎）。→ソートしてdpできる。
・左に置いた個数をもってdp更新。また、中央を使ったかも同時に持って。
・偶数のときは、中央に1つ置いた状態から始める。
・大きい区間から外側に入れていく。
"""

LR.sort(key = lambda x: -x[1]-x[0])

INF = 10**18
dp_0 = np.full(1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央未確定。
dp_1 = np.full(1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央確定。
if N&1:
    dp_0[0] = 0
else:
    dp_1[0] = 0
for n,(L,R) in enumerate(LR):
    length = R + L
    prev_0 = dp_0
    prev_1 = dp_1
    dp_0 = np.full(n+2,INF,np.int64)
    dp_1 = np.full(n+2,INF,np.int64)
    x = np.arange(n+1,dtype=np.int64) # もともと左側にあった個数
    # 左側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + R + x * length, dp_0[1:n+2], out=dp_0[1:n+2])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + R + x * length, dp_1[1:n+2], out=dp_1[1:n+2])
    # 右側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_0[:n+1], out=dp_0[:n+1])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_1[:n+1], out=dp_1[:n+1])
    # 中央に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + (N-1)//2 * length, dp_1[:n+1], out = dp_1[:n+1])

answer = dp_1[N//2]
print(answer)

Submission status: Accepted

Solution code:
import sys
readline = sys.stdin.readline
readlines = sys.stdin.readlines

import numpy as np

N = int(readline())
LR = [tuple(int(x) for x in line.split()) for line in readlines()]

"""
・奇数個のとき：中央にどれかを固定。
・偶数のとき：原点で左右に分けるとしてよい。
・基本的に長さで内側から昇順（奇数のときの中央は謎）。→ソートしてdpできる。
・左に置いた個数をもってdp更新。また、中央を使ったかも同時に持って。
・偶数のときは、中央に1つ置いた状態から始める。
・大きい区間から外側に入れていく。
"""

LR.sort(key = lambda x: -x[1]-x[0])

INF = 10**18
dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央未確定。
dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央確定。
if N&1:
    dp_0[0] = 0
else:
    dp_1[0] = 0
for n,(L,R) in enumerate(LR):
    length = R + L
    prev_0 = dp_0
    prev_1 = dp_1
    dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    x = np.arange(n+1,dtype=np.int64) # もともと左側にあった個数
    # 左側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + R + x * length, dp_0[1:n+2], out=dp_0[1:n+2])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + R + x * length, dp_1[1:n+2], out=dp_1[1:n+2])
    # 右側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_0[:n+1], out=dp_0[:n+1])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_1[:n+1], out=dp_1[:n+1])
    # 中央に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + (N-1)//2 * length, dp_1[:n+1], out = dp_1[:n+1])

answer = dp_1[N//2]
print(answer)

Submission status: Runtime Error

Solution code:
import sys
readline = sys.stdin.readline
readlines = sys.stdin.readlines

import numpy as np

N = int(readline())
LR = [tuple(int(x) for x in line.split()) for line in readlines()]

"""
・奇数個のとき：中央にどれかを固定。
・偶数のとき：原点で左右に分けるとしてよい。
・基本的に長さで内側から昇順（奇数のときの中央は謎）。→ソートしてdpできる。
・左に置いた個数をもってdp更新。また、中央を使ったかも同時に持って。
・偶数のときは、中央に1つ置いた状態から始める。
・大きい区間から外側に入れていく。
"""

LR.sort(key = lambda x: -x[1]-x[0])

if N%2 == 1:
    raise Exception



INF = 10**18
dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央未確定。
dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央確定。
if N&1:
    dp_0[0] = 0
else:
    dp_1[0] = 0
for n,(L,R) in enumerate(LR):
    length = R + L
    prev_0 = dp_0
    prev_1 = dp_1
    dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    x = np.arange(n+1,dtype=np.int64) # もともと左側にあった個数
    # 左側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + R + x * length, dp_0[1:n+2], out=dp_0[1:n+2])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + R + x * length, dp_1[1:n+2], out=dp_1[1:n+2])
    # 右側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_0[:n+1], out=dp_0[:n+1])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_1[:n+1], out=dp_1[:n+1])
    # 中央に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + (N-1)//2 * length, dp_1[:n+1], out = dp_1[:n+1])

answer = dp_1[N//2]
print(answer)

Submission status: Runtime Error

Solution code:
import sys
readline = sys.stdin.readline
readlines = sys.stdin.readlines

import numpy as np

N = int(readline())
LR = [tuple(int(x) for x in line.split()) for line in readlines()]

"""
・奇数個のとき：中央にどれかを固定。
・偶数のとき：原点で左右に分けるとしてよい。
・基本的に長さで内側から昇順（奇数のときの中央は謎）。→ソートしてdpできる。
・左に置いた個数をもってdp更新。また、中央を使ったかも同時に持って。
・偶数のときは、中央に1つ置いた状態から始める。
・大きい区間から外側に入れていく。
"""

LR.sort(key = lambda x: -x[1]-x[0])

if N%2 == 1:
    raise Exception

INF = 10**15
dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央未確定。
dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64) # 左に置いた個数 → コスト。中央確定。
if N&1:
    dp_0[0] = 0
else:
    dp_1[0] = 0
for n,(L,R) in enumerate(LR):
    length = R + L
    prev_0 = dp_0
    prev_1 = dp_1
    dp_0 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    dp_1 = np.full(N+1,INF,np.int64)
    x = np.arange(n+1,dtype=np.int64) # もともと左側にあった個数
    # 左側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + R + x * length, dp_0[1:n+2], out=dp_0[1:n+2])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + R + x * length, dp_1[1:n+2], out=dp_1[1:n+2])
    # 右側に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_0[:n+1], out=dp_0[:n+1])
    np.minimum(prev_1[:n+1] + L + (n-x) * length, dp_1[:n+1], out=dp_1[:n+1])
    # 中央に置く場合
    np.minimum(prev_0[:n+1] + (N-1)//2 * length, dp_1[:n+1], out = dp_1[:n+1])

answer = dp_1[N//2]
print(answer)