text: অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা  এর জন্য,
  
  যেখানে  হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি,  কাল্পনিক সংখ্যার একক ,  হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং  রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও  ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়।  যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি  বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।
  
  অয়লারে সূত্রে  বসিয়ে পাই , , যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।
  
  প্রমাণ
  
  টেইলরের ধারার সাহায্যে
  
  ক্যালকুলাসের সাহায্যে
  
  প্রমাণ ১ঃ 
  
  ধরা যাক, 
  
   কে  এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, 
  
  যেহেতু ফাংশন  এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ,  , যেখানে  একটি ধ্রুবক।
  
   বসিয়ে, 
  
  সুতরাং, 
  
  অর্থাৎ   (প্রমাণিত)
  
  প্রমাণ ২ঃ 
  ধরা যাক,
  
  যেখানে  সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে  বসালে  হয়। শেষ সমীকরণে  এবং  বসিয়ে  পাওয়া যায়।
  
  সুতরাং,
  
    (প্রমাণিত)
  
  বিষয়শ্রেণী:গণিত
title: অয়লারের সূত্র