text: 
  
  ধারণার সাথে গাণিতিক কাঠামোর সমন্বয় 
  নীচের টাইম সিরিজ(Time Series) স্যেকুয়েন্সটি বিবেচনা করি, যেখানে  এবং  ভিন্ন ভিন্ন ম্যাট্রিক্স কাঠামোতে স্যেকুয়েন্স রূপে থাকতে পারে।  কে  এবং  এর মধ্যকার সামাজ্ঞস্যহীনতার নির্দেশক রূপে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই সামাজ্ঞস্যহীনতার নির্দেশককে আরো বর্ধিত করা সম্ভব। এই সামাজ্ঞস্যহীনতা নিজেও সময়ের সাপেক্ষে স্যেকুয়েন্স। যদি,  এবং  মিলিত হয়ে  এর ফলাফল হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে। তবে,  এর স্থির আত্মপ্রকাশে  এবং  এর পরিবর্তন সামাজ্ঞস্যতা অন্তত সমান হওয়ার প্রবণতা দেখাবে। সেজন্যই সামাজ্ঞস্যহীনতার স্যেকুয়েন্সকে সময়ের সাপেক্ষে ভেঙ্গে গাণিতিক সমতায় যুক্ত করা যেতে পারে, যাতে করে গাণিতিক সমতা সব সময়ই সমান হবার প্রবণতা দেখায়। তা না হলে, সময়ের কাঠামোতে স্যেকুয়েন্সগুলো কখনোই গাণিতিক সমতার দিকে ধাবিত হবে না।
  
  নীচে গাণিতিক কাঠামোটি বিবেচনা করি, যেখানে তিনটি চলক ,  এবং  এর মধ্যকার সামাজ্ঞস্যতা নির্দেশক সমীকরণ সমতাটি সময়ের গতীয় রূপকে ধারণ করে।
  
  নীচের স্বতঃসিদ্ধ গুলো বিবেচনা করি,
  
   ;  যেখানে, 
  
  Classical Linear Regression Model এ উপরের স্বতঃসিদ্ধ গুলো সত্য হতে হয়, কারণ তখন  এবং  unbiased বলে বিবেচিত হয়। এবং  random অথবা stochastic হিসেবে বিবেচিত হলেও  কে non-random হতে হয়। এই কারনেই  স্বতঃসিদ্ধটি এই ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। তবে এমনো হতে পারে,  তার অতীতের মান নির্ধারণকারী চলক  দ্বারা প্রভাবিত হয়েছে, এবং  চলকটি  চলকটিতে অপ্রকাশিত অবস্থায় রয়েছে। এই অবস্থায় তখন  সত্য হয়। সুতরাং একই সময়ে  ও সত্য হয়। কারণ, সময় কাঠামোকে সামনে অথবা পিছনে, বর্ধিত অথবা হ্রাস করলেও, ভিন্ন ভিন্ন সময় কাঠামোতে চলকগুলোর জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশান একই হতে হয়, তা না হলে সময়ের কাঠামোর স্থানান্তরে, স্যেকুয়েন্সগুলো explode করতে পারে। তখন আর স্যেকুয়েন্সগুলো Stationary থাকবে না। এই কারনেই টাইম সিরিজের ধারণা এই ধরনের অবস্থায় বাস্তবতার নিরিখে গুরুত্বপূর্ণ।
  
  টাইম সিরিজ বলতে নীচের গাণিতিক কাঠামোটিকে বিবেচনা করা হয়,
  
  কিছুটা মিশ্রিত করলেও কোন সমস্যা নাই,
  
  তবে, জটিল প্রকৃতির গঠনে গাণিতিক নির্ভুল সমাধান নির্ণয় করা সম্ভব নাও হতে পারে।
  
  নীচের ম্যাট্রিক্স কাঠামোটি লক্ষ্য করুন,
  
    
  
  রেসিডুয়াল  এর Autoregressive(AR) প্রসেসে ১ম ল্যাগ-কে সমন্বয় করে, সমতা নির্দেশক সমীকরণকে নীচের মত করে প্রকাশ করা সম্ভব,
  
   
  
   কে  এবং  এর মধ্যকার কো-রিলেশান হিসেবে বিবেচনা করা সম্ভব।  
  
  এবং  অর্থাৎ  কে White Noise Error হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
  
  কিছুটা Coordinate Geometry এর পদ্ধতি অনুসরণ করে নীচের গাণিতিক অপেক্ষকটি বিবেচনা করি,
  
  যদি কোন টাইম সিরিজ এ সময়ের সাথে ধেয়ে যাওয়া মানগুলো উপরের অপেক্ষকটি দিয়ে নির্ধারণ করা হয়, তবে নীচের Fourier Series Model টি বিবেচনা করি,
  
  ল্যাগ এর ক্রমের ভিত্তিতে ভ্যারিয়েন্স এবং কো-ভ্যারিয়েন্সের সমন্বয় 
  
   
  
  আবার, 
  
  [ উভয় পক্ষে  দ্বারা বাড়তি ভার আরোপ করা হয়েছে।]
  
  উভয় পক্ষে  গাণিতিক Expectation নিয়ে নীচের কো-ভ্যারিয়েন্স এর কাঠামোটি পাওয়া সম্ভব।   
  
  এক্সপেক্টেশানের প্রভাবকে আলাদা করে,
  
    
  
  সুতরাং,
  
   যেখানে, 
  
  Stationarity এর স্বতঃসিদ্ধ সত্য হলে, টাইম সিরিজ স্যেকুয়েন্সে  এর প্রভাব সময়ের সাথে সাথে কমে আসবে, তবে কখনো কখনো এমনও হতে পারে যে, এই প্রভাব খানিকটা কমে, অনেকটা স্থির হয়ে যেতে পারে।
  
  সুতরাং, নীচের কাঠামোটি তৈরি করতে কোন সমস্যা নাই।
  
   এবং 
  
   যেখানে, 
  
  টাইম সিরিজ স্যেকুয়েন্সটিতে যদি, Autocorrelation এবং Homoskedasticity একসাথে অন্তর্নিহিত থাকে তাহলে,
  
  তথ্যসূত্র এবং প্রাসঙ্গিক পাঠ্য বই 
  
   BASIC ECONOMETRICS, FOURTH EDITION ; Damodar N. Gujarati ; McGraw-Hill Higher Education ; ISBN  0-07-233542-4 ; INTERNATIONAL EDITION ISBN 0-07-112342-3
   Econometric Analysis, Seventh Edition ; William H. Greene ; Pearson Education Limited 2012, Edinburgh Gate, Harlow, Essex CM20 2JE, England ; ISBN 978-0-13-139538-1
  Time Series Analysis ; James D. Hamilton ; PRINCETON UNIVERSITY PRESS PRINCETON, NEW JERSEY ; ISBN 0-691-04289-6
  Introductory Econometrics: A Modern Approach, Fifth Edition; Jeffrey M. Wooldridge ; 2013, 2009 South-Western, Cengage Learning, ISBN 978-1-111-53104-1 
  New Introduction to MultipleTime Series Analysis ; Helmut Lütkephol ; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 ; ISBN 3-540-40172-5
  
  সংযুক্তি 
  
   https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_model
   https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value
   https://en.wikipedia.org/wiki/Variance
  https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry
  https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_process
  https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
  https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise
title: রেসিডুয়াল অটো রিগ্রেসিভ