Talk:平方数

message: 如題。末3位數連續相同是有可能的，例如382=1444，那麼除了平凡解以外，末4位數連續相同有無可能呢？末5位數連續相同呢？末6位數連續相同呢？
這等於問，平方數是否能以4444或44444或444444結尾。
25382=6441444這種是不算的，因為並沒有連續。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月5日 (一) 12:53 (UTC)
悉題，先從平方數的最後一位看起。
一個平方數的結尾除了0以外，有1（1,9），4(2,8)，9(3,7)，6(4,6)，5(5)。
以1為結尾的平方數，十位必為偶數。
以9為結尾的平方數，十位必為偶數。
以5為結尾的平方數，十位必為2。
以6為結尾的平方數，十位必為奇數。
上方四種情況均不會出現大於4位最後數字相同的情況，即排除1111,9999,5555,6666以及更多連接的可能性。
以4為結尾的平方數，其構成x * 10000 + 4444的形式= 2^2 * (x * 2500 + 1111)，若其為平方數，則x * 2500 + 1111也必須為平方數。
見上，因為11結尾的數字不是平方數，故以4為結尾的平方數不會出現4位以上連續的可能性。
至此，排除法完畢，僅余平凡解即0000。
以上。
Innocentius（留言） 2016年9月5日 (一) 16:15 (UTC)
replies: text: 謝謝！已將結論新增至平方數。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月6日 (二) 14:42 (UTC)
replies: text: :WP:OR？--Antigng（留言） 2016年9月7日 (三) 02:11 (UTC)
replies: text: ::事實是這樣，不算原創研究，就好像13的平方是169，是計算的一種。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月7日 (三) 07:38 (UTC)

text: ::說是這樣說，還是找到了一個來源(見"重複的字尾/例題一/一個正整數的平方(即完全平方數)的字尾最多可以重複多少個不是0的數字?"段落)，不過我還是覺得本討論的證明比較好：淺顯，且利用了條目已提過的性質(以1為結尾的平方數，十位必為偶數。以9為結尾的平方數，十位必為偶數。......)。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月7日 (三) 08:20 (UTC)
thread_title:  除了100的倍數的平方，平方數有無可能末4位數以上連續相同？ 

message: ===編輯請求 2019-07-27===
將除了0跟1之外，4900是唯一的一個平方數，她剛好等於前幾個平方數的和。改成除了0跟1之外，4900是唯一一個等於「從1開始的連續正整數平方和」之平方數。意即 70^2=\sum_{k=1}^{24}k^2。
已確認 70^2=\sum_{k=1}^{24}k^2，但未確認4900是否符合敘述中的唯一性。--Hyman2930（留言） 2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)
*根據
*#G. N. Watson, The problem of the square pyramid, Messenger of Mathematics 48 (1918), pp. 1-22.
*#
*:4900可能是唯一，但目前尚未查到證明，因此我會再加掛查證請求。另一方面由於您提議的修改後半句比較像是在介紹70的平方，因此加入到了70這個條目中了。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)
**參閱 https://t.me/wikipedia_zh_n/720674 不適合收錄。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 11:28 (UTC)
replies: text: :這等於求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非負整數解，用Excel算了一下，k≤7000時，(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三組解，我會再多試一點。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)
replies: text: ::k≤12000時依然只有三解，但發現1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2，以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2，也算是一點小收穫。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)
*四角錐數P\left( n\right)=\sum_{k=1}^n k^2，平方數T\left( m\right)=m^2
*:列出丟番圖方程有：
*::T\left( m\right)=P\left( n\right)
*::m^2=\sum_{k=1}^n k^2
*::m^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
*:對右式觀察得知，當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解。
*:特別地，對各個乘數n、(n+1)、(2n+1)進行關於3的倍數之討論。
*:可知：
*:*當n為3之倍數時，有n=3k
*:*當(n+1)為3之倍數時，有n=3k+2
*:*當(2n+1)為3之倍數時，有n=3k+1；（2(3k+1)+1=6k+3為3之倍數。
*:故，無論如何n、(n+1)、(2n+1)中之一必定為3之倍數，且其他因數必須為平方數，
**因此對於滿足條件有六種：
**#：n=3a^2,\,n+1=2b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=3b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=b^2,\,2n+1=3c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=6b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=6a^2,\,n+1=b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=a^2,\,n+1=2b^2,\,2n+1=3c^2
*:但，當2b^2以3除時僅可能存在余數0或2，代入發生矛盾。
*:同理前4個公式均如此。
*:解第五個公式時，得到特殊解n=24，并且n=6a^2\,、n+1=b^2\,、2n+1=c^2只有奇數c滿足(c-1)(c+1)=12a^2，也就是說，存在有整數d和e滿足\frac{1}{2}(c-1)=d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=3e^2,\,a=d\,e或者\frac{1}{2}(c-1)=3d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=e^2,\,a=d\,e然而，\frac{1}{2}(c-1)=d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=3e^2,\,a=d\,e會使(3e^2-d^2)\equiv 1 \pmod{3}矛盾。故只能有\frac{1}{2}(c-1)=3d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=e^2,\,a=d\,e，使得c-1=6d^2,\,c+1=2e^2以及c^2+1=2b^2,\,c+1=2e^2，對於該方程，c=7和c=1是唯一解。當c=1時會有n=0排除。c=7時則有n=24。為證明該解的特殊，有y^2=8x^2+1得到解對(0,\,1)\,,\quad  (0,\,-1)\,,\quad (1,\,3)\,,\quad  (1,\,-3)\,,\quad (-1,\,3)\,,\quad  (-1,\,-3)。對於第六種相對複雜，需要非平凡解的證明，引入橢圓函數。首先將原方程變形2b^2-a^2=1,\,2b^2+a^2=3c^2為解決該問題，可尋求已知一普遍問題2X^2-Y^2=Z^2,\,2X^2+Y^2=3W^2兩個橢圓方程。為求解，必須有\frac{Z}{W}=(-1)^{r}sd\left( (2r+1)\beta \right)\sqrt{\frac{3}{2}}其中r為非負數。sd\left( \beta \right)為雅可比橢圓函數,不做介紹。解出可以有當Z=1時，只有r=0滿足X^2=Y^2=Z^2=W^2=1此時僅有a=1,\,n=1。
此為根據俄文内容翻譯而成，準確性並不能完全保證，為做參照可以瀏覽:ru:Задача о пушечных ядрах，獲得準確内容，來自Watson之證明，作爲内容補充亦有ma之證明此處尚未給出。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)
*已經幫您將數學公式轉為形式，請協助檢查看看有無寫錯；協助檢視以上證明。（我的專業領域沒到那麼深入。）-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 17:11 (UTC)

text: :：我不明白為什麼要寫「當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解」這句，莫非有「當n(n+1)(2n+1)不為6之倍數」的時候嗎？我也看不出「n(n+1)(2n+1)恆為6之倍數」與解此不定方程有何關係。

text: :證明「n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數」是「當n為3之倍數.....」、「當(n+1)為3之倍數......」、「當(2n+1)為3的倍數......」這樣證的嗎？這算是窮舉嗎？在下認為這根本是先射箭再畫靶。所以對於再以下的論證，我只好說「不予置評」。謝謝大家！-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)

text: :*嗯，沒錯，證明是先射箭再畫靶，否則是解題行爲而不是證明。另外，證明為3之倍數為其一條件，即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數，也就是說要麽n是3的倍數，要麽(n+1)，要麽(2n+1)，所以列出下面6個算式時，必定至少有其一為a=3*k*b^2的形式（其中k為1或2），而2n+1不可能為3的倍數同時亦為2的倍數（不可能為偶數），故2n+1之前只能為1或者3。綜上，三個分式中必定會將2、3之因數分配給某一元，但是2不可能同時分配給2n+1，另外，為何需要6作為因數，應該很明顯，k/6=m^2，且m為整數，則k/6必定為整數。k只能為6之倍數。另外確實該數必定為6之倍數，此處證明有3為因數是為表明該處6只能以3*2形式分配而已。其實這一步可以不寫，但是為了直觀寫上而已。如果對該過程瞭解可不必糾纏。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)
*相關爭議未解之前，恕無法接受編輯請求。不過奇怪的是相關話題:en:Cannonball_problem和:ru:Задача о пушечных ядрах都有條目，但所列的多個來源在WP:TG的相關討論 (請往上翻閱，可使用Web版)中gaenitsuka認為多數來源皆未充分地證明到「4900」的唯一性，想請問user:克勞棣對:en:Cannonball_problem和:ru:Задача о пушечных ядрах等條目的看法。感謝。另，編輯請求已駁回，若能提供相關證明，可再提出編輯請求。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 18:24 (UTC)
*額外找到一篇文章，該文章給出了避免橢圓方程複雜化的基本證明（）。文章來自於1990年American Mathematical Monthly 97，標題The Square Pyramid Puzzle。内容見此處。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 19:40 (UTC)
**補充一下，在WP:TG上gaenitsuka建議antigng也加入討論以便解決問題。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 19:42 (UTC)

text: :：可惜我英文很苦手，俄文完全不懂，橢圓函數更是只聽過、沒學過。但我不認為一定要提供有證明的可靠來源，才能把這句話寫進去，只要可靠來源說(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧？:en:Cannonball_problem#Solution的兩條來源是可以用的。不然，可以像奇完全數或當初的費馬最後定理一樣，限定在某個範圍內，(24,70)是唯一的非平凡解，例如k≤15000時，(k,n)=(24,70)是\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}=n^2唯一的正整數非平凡解。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)

text: :附帶一提，Elementary proof一般是翻譯為「初等證明」吧？「基本證明」有點怪.....-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)

text: :\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2.......+552057^2}=236818619.0000004307\cdots，差一點點，連Excel都誤判這是一個整數。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)
thread_title:  平方數的"性質"條目修正敘述 

message: 將除了0跟1之外，4900是唯一的一個平方數，她剛好等於前幾個平方數的和。改成除了0跟1之外，4900是唯一一個等於「從1開始的連續正整數平方和」之平方數。意即 70^2=\sum_{k=1}^{24}k^2。
已確認 70^2=\sum_{k=1}^{24}k^2，但未確認4900是否符合敘述中的唯一性。--Hyman2930（留言） 2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)
*根據
*#G. N. Watson, The problem of the square pyramid, Messenger of Mathematics 48 (1918), pp. 1-22.
*#
*:4900可能是唯一，但目前尚未查到證明，因此我會再加掛查證請求。另一方面由於您提議的修改後半句比較像是在介紹70的平方，因此加入到了70這個條目中了。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)
**參閱 https://t.me/wikipedia_zh_n/720674 不適合收錄。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 11:28 (UTC)
replies: text: :這等於求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非負整數解，用Excel算了一下，k≤7000時，(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三組解，我會再多試一點。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)
replies: text: ::k≤12000時依然只有三解，但發現1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2，以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2，也算是一點小收穫。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)
*四角錐數P\left( n\right)=\sum_{k=1}^n k^2，平方數T\left( m\right)=m^2
*:列出丟番圖方程有：
*::T\left( m\right)=P\left( n\right)
*::m^2=\sum_{k=1}^n k^2
*::m^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
*:對右式觀察得知，當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解。
*:特別地，對各個乘數n、(n+1)、(2n+1)進行關於3的倍數之討論。
*:可知：
*:*當n為3之倍數時，有n=3k
*:*當(n+1)為3之倍數時，有n=3k+2
*:*當(2n+1)為3之倍數時，有n=3k+1；（2(3k+1)+1=6k+3為3之倍數。
*:故，無論如何n、(n+1)、(2n+1)中之一必定為3之倍數，且其他因數必須為平方數，
**因此對於滿足條件有六種：
**#：n=3a^2,\,n+1=2b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=3b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=b^2,\,2n+1=3c^2
**#：n=2a^2,\,n+1=6b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=6a^2,\,n+1=b^2,\,2n+1=c^2
**#：n=a^2,\,n+1=2b^2,\,2n+1=3c^2
*:但，當2b^2以3除時僅可能存在余數0或2，代入發生矛盾。
*:同理前4個公式均如此。
*:解第五個公式時，得到特殊解n=24，并且n=6a^2\,、n+1=b^2\,、2n+1=c^2只有奇數c滿足(c-1)(c+1)=12a^2，也就是說，存在有整數d和e滿足\frac{1}{2}(c-1)=d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=3e^2,\,a=d\,e或者\frac{1}{2}(c-1)=3d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=e^2,\,a=d\,e然而，\frac{1}{2}(c-1)=d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=3e^2,\,a=d\,e會使(3e^2-d^2)\equiv 1 \pmod{3}矛盾。故只能有\frac{1}{2}(c-1)=3d^2,\,\frac{1}{2}(c+1)=e^2,\,a=d\,e，使得c-1=6d^2,\,c+1=2e^2以及c^2+1=2b^2,\,c+1=2e^2，對於該方程，c=7和c=1是唯一解。當c=1時會有n=0排除。c=7時則有n=24。為證明該解的特殊，有y^2=8x^2+1得到解對(0,\,1)\,,\quad  (0,\,-1)\,,\quad (1,\,3)\,,\quad  (1,\,-3)\,,\quad (-1,\,3)\,,\quad  (-1,\,-3)。對於第六種相對複雜，需要非平凡解的證明，引入橢圓函數。首先將原方程變形2b^2-a^2=1,\,2b^2+a^2=3c^2為解決該問題，可尋求已知一普遍問題2X^2-Y^2=Z^2,\,2X^2+Y^2=3W^2兩個橢圓方程。為求解，必須有\frac{Z}{W}=(-1)^{r}sd\left( (2r+1)\beta \right)\sqrt{\frac{3}{2}}其中r為非負數。sd\left( \beta \right)為雅可比橢圓函數,不做介紹。解出可以有當Z=1時，只有r=0滿足X^2=Y^2=Z^2=W^2=1此時僅有a=1,\,n=1。
此為根據俄文内容翻譯而成，準確性並不能完全保證，為做參照可以瀏覽:ru:Задача о пушечных ядрах，獲得準確内容，來自Watson之證明，作爲内容補充亦有ma之證明此處尚未給出。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)
*已經幫您將數學公式轉為形式，請協助檢查看看有無寫錯；協助檢視以上證明。（我的專業領域沒到那麼深入。）-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 17:11 (UTC)

text: :：我不明白為什麼要寫「當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解」這句，莫非有「當n(n+1)(2n+1)不為6之倍數」的時候嗎？我也看不出「n(n+1)(2n+1)恆為6之倍數」與解此不定方程有何關係。

text: :證明「n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數」是「當n為3之倍數.....」、「當(n+1)為3之倍數......」、「當(2n+1)為3的倍數......」這樣證的嗎？這算是窮舉嗎？在下認為這根本是先射箭再畫靶。所以對於再以下的論證，我只好說「不予置評」。謝謝大家！-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)

text: :*嗯，沒錯，證明是先射箭再畫靶，否則是解題行爲而不是證明。另外，證明為3之倍數為其一條件，即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數，也就是說要麽n是3的倍數，要麽(n+1)，要麽(2n+1)，所以列出下面6個算式時，必定至少有其一為a=3*k*b^2的形式（其中k為1或2），而2n+1不可能為3的倍數同時亦為2的倍數（不可能為偶數），故2n+1之前只能為1或者3。綜上，三個分式中必定會將2、3之因數分配給某一元，但是2不可能同時分配給2n+1，另外，為何需要6作為因數，應該很明顯，k/6=m^2，且m為整數，則k/6必定為整數。k只能為6之倍數。另外確實該數必定為6之倍數，此處證明有3為因數是為表明該處6只能以3*2形式分配而已。其實這一步可以不寫，但是為了直觀寫上而已。如果對該過程瞭解可不必糾纏。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)
*相關爭議未解之前，恕無法接受編輯請求。不過奇怪的是相關話題:en:Cannonball_problem和:ru:Задача о пушечных ядрах都有條目，但所列的多個來源在WP:TG的相關討論 (請往上翻閱，可使用Web版)中gaenitsuka認為多數來源皆未充分地證明到「4900」的唯一性，想請問user:克勞棣對:en:Cannonball_problem和:ru:Задача о пушечных ядрах等條目的看法。感謝。另，編輯請求已駁回，若能提供相關證明，可再提出編輯請求。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 18:24 (UTC)
*額外找到一篇文章，該文章給出了避免橢圓方程複雜化的基本證明（）。文章來自於1990年American Mathematical Monthly 97，標題The Square Pyramid Puzzle。内容見此處。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 19:40 (UTC)
**補充一下，在WP:TG上gaenitsuka建議antigng也加入討論以便解決問題。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 19:42 (UTC)

text: :：可惜我英文很苦手，俄文完全不懂，橢圓函數更是只聽過、沒學過。但我不認為一定要提供有證明的可靠來源，才能把這句話寫進去，只要可靠來源說(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧？:en:Cannonball_problem#Solution的兩條來源是可以用的。不然，可以像奇完全數或當初的費馬最後定理一樣，限定在某個範圍內，(24,70)是唯一的非平凡解，例如k≤15000時，(k,n)=(24,70)是\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}=n^2唯一的正整數非平凡解。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)

text: :附帶一提，Elementary proof一般是翻譯為「初等證明」吧？「基本證明」有點怪.....-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)

text: :\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2.......+552057^2}=236818619.0000004307\cdots，差一點點，連Excel都誤判這是一個整數。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)
thread_title: 編輯請求 2019-07-27