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message: 以 cosine 函數式表示一般化平面凸多邊形面積公式
 
 一般化平面凸N邊形面積平方式公式法則；
 
 2017年5月臺灣嘉義的李輝濱先生提出以獨創歸納證明出一套具規律性一般化原型公式的5個綜合規則法則，清楚明細地表列出一般化平面凸多邊形面積平方式公式，其公式法則說明如下；
 
 任給一平面凸 n 邊形A_{1}A_{2}A_{3}…A_{m-1}A_{m}A_{m+1}…A_{n-2}A_{n-1}A_{n} , 令邊長線段\overline{A_{1}A_{2}}=V_{1}，\overline{A_{2}A_{3}}=V_{2}，\overline{A_{3}A_{4}}=V_{3}，…，\overline{A_{m-1}A_{m}}=V_{m-1}，\overline{A_{m}A_{m+1}}=V_{m}，\overline{A_{m+1}A_{m+2}}=V_{m+1}，…，\overline{A_{n-2}A_{n-1}}=V_{n-2}，\overline{A_{n-1}A_{n}}=V_{n-1}，\overline{A_{n}A_{1}}=V_{n}，, n≥4 , n為正整數 ,且令 m=\frac{n+1}{2}+\frac{1}{4}[1+(-1)^{n}] , 
 現在連接A_{1} 和A_{m} 兩頂點,形成一對角線\overline{A_{1}A_{m}} 將此凸n邊形分割成兩個小多邊形,則被歸納出的每一個原型凸多邊形面積平方式公式的內容恰好共分成下列三部份; 
 
 [1]. 此平面凸n邊形被分割成兩個小多邊形, 分別為
 多邊形A_{1}A_{2}A_{3}…A_{m-1}A_{m} 和多邊形A_{m}A_{m+1}…A_{n-2}A_{n-1}A_{n}A_{1}  ,兩個小多邊形的共同邊長\overline{A_{1}A_{m}}在公式
 中是不存在的,而其餘還各自有m-1和n-m+1個邊長分別為V_{1},V_{2},V_{3} , … , V_{m-1}和V_{m}  , V_{m+1} , …, V_{n-1} , V_{n}  形成兩組不同的邊長集合,現在先從每一組邊長集合內各自任取2相異邊長相乘, 之後使每一乘積再各自完全平方,最後再將所有兩組的平方項相加,這樣就構成了被歸納出的公式中第一部份[ ]內的平方項的和。此[ ]內共有  [(m-1)(m-2)+(n-m+1)(n-m)]/2 項, 這完整的第一部份應記為下列型式;
 
 \frac{1}{4} [(V_{1}^{2} V_{2}^{2} +V_{1}^{2}V_{3}^{2}+V_{1}^{2}V_{4}^{2}+…+V_{1}^{2}V_{m-1}^{2})+(V_{2}^{2}V_{3}^{2}+V_{2}^{2}V_{4}^{2}+…+V_{2}^{2}V_{m-1}^{2})+(V_{3}^{2}V_{4}^{2}+…+V_{3}^{2}V_{m-1}^{2})+……+(V_{m-2}^{2}V_{m-1}^{2})+(V_{m}^{2}V_{m+1}^{2}+V_{m}^{2}V_{m+2}^{2}+…+V_{m}^{2}V_{n}^{2})+(V_{m+1}^{2}V_{m+2}^{2}+V_{m+1}^{2}V_{m+3}^{2}+…+V_{m+1}^{2}V_{n}^{2})+(V_{m+2}^{2}V_{m+3}^{2}+…+V_{m+2}^{2}V_{n}^{2})+(V_{m+3}^{2}V_{m+4}^{2}+…+V_{m+3}^{2}V_{n}^{2})+……+(V_{n-1}^{2}V_{n}^{2})]
 
 第一部份[ ]前的係數 1/4 則是計算過程中獲得之必然常數。
 
 [2]. 公式中第二部份[ ]內項數的組成結構：由第一組邊長集合V_{1},V_{2},V_{3} , … , V_{m-1} 中依序取出各個邊長各自平方和V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+…+V_{m-2}^{2}+V_{m-1}^{2} ,再減去第二組邊長集合V_{m}  , V_{m+1} , …, V_{n-1} , V_{n} 的各個邊長各自平方和V_{m}^{2}+V_{m+1}^{2}+ … +V_{n-1}^{2}+V_{n}^{2}  , 如此就構成了公式中第二部份[ ]之平方內的n 個項。這完整的第二部份應記為下列型式 ;
 
 -\frac{1}{16}[(V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+…+V_{m-2}^{2}+V_{m-1}^{2})-(V_{m}^{2}+V_{m+1}^{2}+ … +V_{n-1}^{2}+V_{n}^{2})]^{2} 
 
 而係數 -1/16 也是演算時獲得之必然常數。
 
 [3].公式中組成第三部分的每一項是由此多邊形4個不同邊長乘積再乘上cosine函數所構成的。所有cosine項前的係數1/2 也是運算出的必然常數,在第三部分裡呈現出所有cosine項的總項數恰好等於由n邊形中任取4個不同邊長的選法數目,即共有 \mathrm{C}_n^4= n(n-1)(n-2)(n-3)/24 項,每項都由4個不同邊長乘積組成; 這麼多項須按邊長右下標數字的順序循環排列,形成以下各循環組 ;	
 
 第1循環組: 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, … ,(n-2)(n-1)n1, (n-1)n12, n123 
 
 第2循環組: 1235, 2346, 3457, 4568, 5679, …, (n-2)(n-1)n2, (n-1)n13, n124
 
 第3循環組: 1236, 2347, 3458, 4569,  … , (n-2)(n-1)n3, (n-1)n14, n125
 
 …………
 
 一直排列到所有的 \mathrm{C}_n^4 項都出現為止,而且每一項都不得重複！
 
 例1 : 六邊形循環組如下;
 
 第1循環組: V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}, V_{2}V_{3}V_{4}V_{5}, V_{3}V_{4}V_{5}V_{6}, V_{4}V_{5}V_{6}V_{1}, V_{5}V_{6}V_{1}V_{2}, V_{6}V_{1}V_{2}V_{3} 
 
 第2循環組: V_{1}V_{2}V_{3}V_{5}, V_{2}V_{3}V_{4}V_{6}, V_{3}V_{4}V_{5}V_{1}, V_{4}V_{5}V_{6}V_{2}, V_{5}V_{6}V_{1}V_{3}，V_{6}V_{1}V_{2}V_{4}
 
 第3循環組: V_{1}V_{2}V_{4}V_{5}, V_{2}V_{3}V_{5}V_{6}, V_{3}V_{4}V_{6}V_{1}
 
,總共有 \mathrm{C}_6^4=15 個不同項。
 
 [4].第三部份每一cosine項( )裡呈現的角度組合則以下述之內角排列法則來規範;
 內角排列法則是根據每一個cosine項前的4個邊長係數右下標數字來決定, 請看第一個cosine項係數為V_{1}V_{2}V_{3}V_{4} ,將其分成前後兩對,前一對是V_{1}V_{2} ,這V_{1} 與 V_{2}的兩個邊長在多邊形圖形上所夾的角度是 A_{2} 。而後一對V_{3} 與V_{4} 在多邊形圖形上所夾的角度是 A_{4} 。這 A_{2}+ A_{4} 就是出現於第一個cosine項( )內的角度排列, 組合起來就成為 V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos(A_{2}+ A_{4}) ！
 
 再看九邊形某一個cosine項係數為V_{6}V_{7}V_{8}V_{2} ,將其分成前後兩對,前一對是V_{6}V_{7} ,這V_{6} 與V_{7} 的兩個邊長在多邊形圖形上所夾的角度是A_{7} 。而後一對V_{8} 與V_{2}在九邊形圖形上依由V_{8}到V_{2}順序所夾的角度是A_{9} +A_{1} +A_{2} 。這A_{7}+A_{9}+A_{1}+A_{2} 就是出現於這cosine項( )內的角度排列, 組合起來成為 V_{6}V_{7}V_{8}V_{2}cos(A_{7}+A_{9}+A_{1}+A_{2})！
 
 面積平方式公式任一cosine項( )裡的角度組合都以上述之內角排列法則來操作。
 
 [5].第三部份各cosine項循環組自然出現的正負符號則按下列規律形成 ;
 
 任一cosine項的( )內所出現角度組合之內角個數與其本身的正負符號之間存在著特定的關聯性！這個相關性特徵如下; 令任給一cosine項的四個邊長係數為V_{a}V_{x}V_{b}V_{y},將此係數分成前後兩對;前一對是V_{a}V_{x} ,這兩個邊長V_{a}與V_{x}依順序由a至x在多邊形上所夾的內角數目有k_{1}個。而後一對是V_{b}V_{y} ,這兩個邊長V_{b}與V_{y}依順序由b至y在多邊形上所夾的內角數目有k_{2}個。 令k_{1}+k_{2}=k , k即為cosine項( )內的角度總數目,這被歸納出的正負符號關係式為\left(-1\right)^{k+1}    ,意即由cosine項( )內的角度總數目來決定正負符號。當cosine項( )內的角度總數目為奇數時,此cosine項係數為正。當cosine項(  )內的角度總數目為偶數時,此cosine項係數為負。因此第三部分每一個 cosine項的完整敘述應記為下列型式 ; 
  \left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{2}V_{a}V_{x}V_{b}V_{y}cos(A_{x-(k_{1}-1)}+…+A_{x-1}+A_{x}+A_{y-(k_{2}-1)}+…+A_{y-1}+A_{y})
 
 若A的下標 x-1, x-2, … , x-(k_{1} -1)中任一個出現負數或零,那麼這個負數或零必須加上原凸多邊形的總邊數使其為正。同樣地, y-1,y-2, … , y-(k_{2} -1)亦是如此。
 
 例2 : 平面凸九邊形由邊長係數為V_{5}V_{6}V_{7}V_{2}所帶領的一個完整 cosine項為
    \left(-1\right)^{5+1}\frac{1}{2}V_{5}V_{6}V_{7}V_{2}cos(A_{6}+A_{8}+A_{9}+A_{1}+A_{2}) 
  = \frac{1}{2}V_{5}V_{6}V_{7}V_{2}cos(A_{6}+A_{8}+A_{9}+A_{1}+A_{2})  
 例3 : 平面凸九邊形由邊長係數為V_{4}V_{5}V_{7}V_{1}所帶領的一個完整 cosine項為
    \left(-1\right)^{4+1}\frac{1}{2}V_{4}V_{5}V_{7}V_{1}cos(A_{5}+A_{8}+A_{9}+A_{1})   
  = − \frac{1}{2}V_{4}V_{5}V_{7}V_{1}cos(A_{5}+A_{8}+A_{9}+A_{1})    
 
 由遵循上述的5個綜合規則即可用來寫成原型平面凸多邊形面積平方式公式。
 
 
 1. 應用5個綜合規則寫出平面凸四邊形面積平方式公式 ；
 
 在平面上給定一個凸四邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}，令線段\overline{A_{1}A_{2}} =V_{1} ，\overline{A_{2}A_{3}} =V_{2} ，\overline{A_{3}A_{4}} =V_{3} ，\overline{A_{4}A_{1}} =V_{4} ，    
 ，並令此凸四邊形面積為 S(4) ，n=4 ,則 m=3, 故連接兩個頂角A_{1}與A_{3}使形成一對角線\overline{A_{1}A_{3}}, 將此凸四邊形分割成三角形A_{1}A_{2}A_{3}和另一個三角形A_{3}A_{4} A_{1}, 再參照前述的5個綜合規則,則此凸四邊形的面積平方式公式為	
 [S(4)]^{2}=\frac{1}{4}[(V_{1}^{2}V_{2}^{2})+(V_{3}^{2}V_{4}^{2})]-\frac{1}{16}[(V_{1}^{2}+V_{2}^{2})-(V_{3}^{2}+V_{4}^{2})]^{2}-\frac{1}{2}V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos(A_{2}+A_{4})  ……(4-1)
 此方程式 (4-1)式就是 原型的平面凸四邊形面積平方式公式！繼續運算, 得 
 [S(4)]^{2}=\frac{1}{16}[4V_{1}^{2}V_{2}^{2}+4V_{3}^{2}V_{4}^{2}-(V_{1}^{2}+V_{2}^{2}-V_{3}^{2}-V_{4}^{2})^{2}+8V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}]-\frac{1}{2}V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}[cos(A_{2}+A_{4})+1] 
   =\frac{1}{16}[(V_{1}+V_{2})^{2}-(V_{3}-V_{4})^{2}][(V_{3}+V_{4})^{2}-(V_{1}-V_{2})^{2}]-V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos^{2}\left(\frac{A_{2}+A_{4}}{2}\right)
 再因式分解, 即得 
 [S(4)]^{2}=\frac{1}{16}(V_{2}+V_{3}+V_{4}-V_{1})(V_{3}+V_{4}+V_{1}-V_{2})(V_{4}+V_{1}+V_{2}-V_{3})(V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4})-V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos^{2}\left(\frac{A_{2}+A_{4}}{2}\right)         ……(4-2)
 方程式 (4-2)式即為著名的半角型 Bretschneider 平面凸四邊形面積平方式公式！
 若此四邊形內接於一圓，則由兩個對角互為補角關係，使 (4-2)式歸化成圓內接四邊形面積的Brahmagupta公式，令圓內接四邊形面積為 S(4)_{circle} ，則     
 [S(4)_{circle}]^{2}
 
 =\frac{1}{16}(V_{2}+V_{3}+V_{4}-V_{1})(V_{3}+V_{4}+V_{1}-V_{2})(V_{4}+V_{1}+V_{2}-V_{3})(V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4})   
 ……(4-3)
 
 方程式 (4-3)式即為著名的Brahmagupta面積平方式公式！
 若再令V_{4} = 0 ,則方程式 (4-2)式與 (4-3)式全部歸化成Heron海龍(海倫)公式！
 故此方程式 (4-1)式即完美統一了 Bretschneider等三個面積平方式公式！
 
 2. 應用5個綜合規則寫出平面凸五邊形面積平方式公式；
 
 在平面上給定一個凸五邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}  , 令線段\overline{A_{1}A_{2}} =V_{1} ，\overline{A_{2}A_{3}} =V_{2} ，\overline{A_{3}A_{4}} =V_{3} ，\overline{A_{4}A_{5}} =V_{4} ，\overline{A_{5}A_{1}} =V_{5}，令 此凸五邊形面積為 S(5) ,當 n=5,則 m=3, 故連接兩個頂角A_{1} 與A_{3} 使形成一對角線\overline{A_{1}A_{3}} ,將此凸五邊形分割成三角形A_{1}A_{2}A_{3}和另一個四邊形 A_{3}A_{4}A_{5} A_{1}  ,再參照前述的5個綜合規則, 寫出平面凸五邊形面積平方式公式如下;
 
 [S(5)]^{2}=\frac{1}{4}[(V_{1}^{2}V_{2}^{2})+(V_{3}^{2}V_{4}^{2}+V_{3}^{2}V_{5}^{2}+V_{4}^{2}V_{5}^{2})]-\frac{1}{16}[(V_{1}^{2}+V_{2}^{2})-(V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+V_{5}^{2})]^{2}-\frac{1}{2}[V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos(A_{2}+A_{4})+V_{2}V_{3}V_{4}V_{5}cos(A_{3}+A_{5})+V_{3}V_{4}V_{5}V_{1}cos(A_{4}+A_{1})+V_{4}V_{5}V_{1}V_{2}cos(A_{5}+A_{2})+V_{5}V_{1}V_{2}V_{3}cos(A_{1}+A_{3})]       …………(5-1)
 
 此方程式 (5-1)式就是原型的平面凸五邊形面積平方式公式！ 
 
若令 V_{5} = 0 ,使頂點 A_{5}趨近於 A_{1} ,則平面凸五邊形即退化成平面凸四邊形,而方程式 (5-1)式即退化成 (4-1)式！ 故此方程式 (5-1)式必完美統一了 Bretschneider等三個面積平方式公式！
 
 
 3. 應用5個綜合規則寫出平面凸六邊形面積平方式公式；
 
 在平面上給定一個凸六邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}  , 令線段\overline{A_{1}A_{2}} =V_{1} ，\overline{A_{2}A_{3}} =V_{2} ，\overline{A_{3}A_{4}} =V_{3} ，\overline{A_{4}A_{5}} =V_{4} ，\overline{A_{5}A_{6}} =V_{5}，\overline{A_{6}A_{1}} =V_{6}，令 此凸六邊形面積為 S(6) ,當n=6,則 m=4, 故連接兩個頂角A_{1} 與A_{4} 使形成一對角線\overline{A_{1}A_{4}} ,將此凸六邊形分割成四邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}和另一個四邊形A_{4}A_{5}A_{6} A_{1}  ,再參照前述的5個綜合規則, 寫出平面凸六邊形面積平方式公式如下;
 
 [S(6)]^{2}=\frac{1}{4}[(V_{1}^{2}V_{2}^{2}+V_{1}^{2}V_{3}^{2}+V_{2}^{2}V_{3}^{2})+(V_{4}^{2}V_{5}^{2}+V_{4}^{2}V_{6}^{2}+V_{5}^{2}V_{6}^{2})]-\frac{1}{16}[(V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2})-(V_{4}^{2}+V_{5}^{2}+V_{6}^{2})]^{2}+\frac{1}{2}[-V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos(A_{2}+A_{4})-V_{2}V_{3}V_{4}V_{5}cos(A_{3}+A_{5})-V_{3}V_{4}V_{5}V_{6}cos(A_{4}+A_{6})-V_{4}V_{5}V_{6}V_{1}cos(A_{5}+A_{1})-V_{5}V_{6}V_{1}V_{2}cos(A_{6}+A_{2})-V_{6}V_{1}V_{2}V_{3}cos(A_{1}+A_{3})]+\frac{1}{2}[V_{1}V_{2}V_{3}V_{5}cos(A_{2}+A_{4}+A_{5})+V_{2}V_{3}V_{4}V_{6}cos(A_{3}+A_{5}+A_{6})+V_{3}V_{4}V_{5}V_{1}cos(A_{4}+A_{6}+A_{1})+V_{4}V_{5}V_{6}V_{2}cos(A_{5}+A_{1}+A_{2})+V_{5}V_{6}V_{1}V_{3}cos(A_{6}+A_{2}+A_{3})+V_{6}V_{1}V_{2}V_{4}cos(A_{1}+A_{3}+A_{4})]+\frac{1}{2}[-V_{1}V_{2}V_{4}V_{5}cos(A_{2}+A_{5})-V_{2}V_{3}V_{5}V_{6}cos(A_{3}+A_{6})-V_{3}V_{4}V_{6}V_{1}cos(A_{4}+A_{1})]  …………(6-1)
 
 此方程式 (6-1)式就是 原型的平面凸六邊形面積平方式公式！ 若令 V_{1} = 0 ,使頂點 A_{1}趨近於 A_{2} ,則平面凸六邊形即退化成平面凸五邊形,而方程式 (6-1)式即退化成 (5-1)式的相同類型！
 
 
 4. 應用5個綜合規則寫出平面凸七邊形面積平方式公式；
 
 在平面上給定一個凸七邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}  , 令線段\overline{A_{1}A_{2}} =V_{1} ，\overline{A_{2}A_{3}} =V_{2} ，\overline{A_{3}A_{4}} =V_{3} ，\overline{A_{4}A_{5}} =V_{4} ，\overline{A_{5}A_{6}} =V_{5}，\overline{A_{6}A_{7}} =V_{6}，\overline{A_{7}A_{1}} =V_{7}，令 此凸七邊形面積為 S(7) ,當 n=7 ,則 m=4, 故連接兩個頂角A_{1} 與A_{4} 使形成一對角線\overline{A_{1}A_{4}} ,將此凸七邊形分割成四邊形A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}和另一個五邊形A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{1}  ,再參照前述的5個綜合規則, 則驗證出的平面凸七邊形面積平方式公式如下;
 
 [S(7)]^{2}=\frac{1}{4}[(V_{1}^{2}V_{2}^{2}+V_{1}^{2}V_{3}^{2}+V_{2}^{2}V_{3}^{2})+(V_{4}^{2}V_{5}^{2}+V_{4}^{2}V_{6}^{2}+V_{4}^{2}V_{7}^{2}+V_{5}^{2}V_{6}^{2}+V_{5}^{2}V_{7}^{2}+V_{6}^{2}V_{7}^{2})]-\frac{1}{16}[(V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2})-(V_{4}^{2}+V_{5}^{2}+V_{6}^{2}+V_{7}^{2})]^{2}+\frac{1}{2}[-V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}cos(A_{2}+A_{4})-V_{2}V_{3}V_{4}V_{5}cos(A_{3}+A_{5})-V_{3}V_{4}V_{5}V_{6}cos(A_{4}+A_{6})-V_{4}V_{5}V_{6}V_{7}cos(A_{5}+A_{7})-V_{5}V_{6}V_{7}V_{1}cos(A_{6}+A_{1})-V_{6}V_{7}V_{1}V_{2}cos(A_{7}+A_{2})-V_{7}V_{1}V_{2}V_{3}cos(A_{1}+A_{3})]+\frac{1}{2}[V_{1}V_{2}V_{3}V_{5}cos(A_{2}+A_{4}+A_{5})+V_{2}V_{3}V_{4}V_{6}cos(A_{3}+A_{5}+A_{6})+V_{3}V_{4}V_{5}V_{7}cos(A_{4}+A_{6}+A_{7})+V_{4}V_{5}V_{6}V_{1}cos(A_{5}+A_{7}+A_{1})+V_{5}V_{6}V_{7}V_{2}cos(A_{6}+A_{1}+A_{2})+V_{6}V_{7}V_{1}V_{3}cos(A_{7}+A_{2}+A_{3})+V_{7}V_{1}V_{2}V_{4}cos(A_{1}+A_{3}+A_{4})]+\frac{1}{2}[-V_{1}V_{2}V_{3}V_{6}cos(A_{2}+A_{4}+A_{5}+A_{6})-V_{2}V_{3}V_{4}V_{7}cos(A_{3}+A_{5}+A_{6}+A_{7})-V_{3}V_{4}V_{5}V_{1}cos(A_{4}+A_{6}+A_{7}+A_{1})-V_{4}V_{5}V_{6}V_{2}cos(A_{5}+A_{7}+A_{1}+A_{2})-V_{5}V_{6}V_{7}V_{3}cos(A_{6}+A_{1}+A_{2}+A_{3})-V_{6}V_{7}V_{1}V_{4}cos(A_{7}+A_{2}+A_{3}+A_{4})-V_{7}V_{1}V_{2}V_{5}cos(A_{1}+A_{3}+A_{4}+A_{5})]+\frac{1}{2}[-V_{1}V_{2}V_{4}V_{5}cos(A_{2}+A_{5})-V_{2}V_{3}V_{5}V_{6}cos(A_{3}+A_{6})+V_{3}V_{4}V_{6}V_{7}cos(A_{4}+A_{7})-V_{4}V_{5}V_{7}V_{1}cos(A_{5}+A_{1})-V_{5}V_{6}V_{1}V_{2}cos(A_{6}+A_{2})-V_{6}V_{7}V_{2}V_{3}cos(A_{7}+A_{3})-V_{7}V_{1}V_{3}V_{4}cos(A_{1}+A_{4})]+\frac{1}{2}[V_{1}V_{2}V_{4}V_{6}cos(A_{2}+A_{5}+A_{6})+V_{2}V_{3}V_{5}V_{7}cos(A_{3}+A_{6}+A_{7})+V_{3}V_{4}V_{6}V_{1}cos(A_{4}+A_{7}+A_{1})+V_{4}V_{5}V_{7}V_{2}cos(A_{5}+A_{1}+A_{2})+V_{5}V_{6}V_{1}V_{3}cos(A_{6}+A_{2}+A_{3})+V_{6}V_{7}V_{2}V_{4}cos(A_{7}+A_{3}+A_{4})+V_{7}V_{1}V_{3}V_{5}cos(A_{1}+A_{4}+A_{5})]   ………… (7-1)
 
 此方程式 (7-1)式就是 原型的平面凸七邊形面積平方式公式！
 
(7-1)式第三部份總共有 \mathrm{C}_7^4=35 個cosine項, 分成5循環組, 每一循環組有7項。依照所歸納出的循環順序有條理的將它們排列出來, 不管其有多複雜且都完全正確沒有一項重複！
 
若令 V_{7} = 0 ,使頂點A_{7} 角度亦等於零, 則平面凸七邊形即退化成平面凸六邊形,而方程式 (7-1)式經過簡單的轉換後即退化成 (6-1)式！
 
 …………
 
 由上述統整歸納出的5個綜合法則即可圓滿無瑕地繼續寫出系列的八邊形、九邊形、…等原型平面凸多邊形面積平方式公式。若需要, 可再經適當地運算以求得半角型的面積平方式公式！這些被歸納出的原型一般化平面凸 N邊形面積平方式公式已然涵蓋統一了所有以餘弦cosine函數式表達的平面凸多邊形面積公式，包括 Bretschneider、Brahmagupta、Heron、Archimedes等等面積公式。
 
 The above information contents are published and released by National Taiwan Normal University Science Education Center on Science Education Monthly May and June, number 398 and 399, of the year 2017 .  All the content details please refer to the following reference.
 
 == 参考文献 ==
	
1.李輝濱 預測與驗證平面凸多邊形面積公式  國立台灣師範大學科學教育中心發行出刊的科學教育月刊 2017年 5, 6月份的 398期與 399期期刊。
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/398-PDF/13-24_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(I)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/399-PDF/12-23_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(II)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf
2.Bretschneider's formula : https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%83%E9%9B%B7%E7%89%B9%E6%96%BD%E5%A5%88%E5%BE%B7%E5%85%AC%E5%BC%8F
3.MathWorld上Brahmagupta's theorem的資料，作者：埃里克·韋斯坦因。
4.Brahmagupta's Theorem at cut-the-knot
5.香港大學教育學院母語教學教師支援中心：數學科詞彙表
6. Heron's Formula - from Wolfram MathWorld
7. J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345–347.
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Bhpl20161030（留言） 2018年5月30日 (三) 07:04 (UTC)
Bhpl20161030（留言） 2018年5月31日 (四) 06:01 (UTC)
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