Talk:狭义相对论

message: —的的喀喀湖上的幽灵(talk to Louer) 2009年3月28日 (六) 01:26 (UTC)
thread_title:  以下原创研究，由条目页面移动至讨论页 

message: 狭义相对论的一些结论也可以通过几何方式直观地推导出。
===虚数坐标系下的三角函数===
首先，我们引入虚数坐标系下的三角函数。
如图，建立直角坐标系。对三点A(x1,ict1)，B(x2,ict1)，C(x2,ict2)，令Δx=x2-x1，Δt=t2-t1，可定义：
\sin \theta=\frac{ic(t_2-t_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{ic\Delta t}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}
\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}
关于这种坐标系和三角函数，有一些与传统概念不同之处：
#看上去“长”的长度可能实际上是短的，因此长度不能直观地比较；
#正弦函数可以取虚数；
#余弦函数绝对值可以大于1。
===世界线===
由爱因斯坦理论得知，三维空间与一维时间组成四维时空。因此，可以由四维时空坐标系O-xyzt。（因无法画出四维坐标，除特别声明外，各图中不考虑y、z轴，x轴为与速度平行方向。）
一个物体的世界线指它在时空坐标上对应点的轨迹。世界线是物体可以达到的时空坐标的总和。换言之，物体不可能存在于世界线外的任何一点。
比如，一辆车以速度v直线运动，则x=vt，即图中线\tan \theta=\frac{v}{ic}。
===洛伦兹变换的几何推导===
在s系，即x-ict系中，设一个物体以v的速度沿x方向运动，零时刻在原点。则其世界线为O-ict'轴。相对此物本身静止的参考系，即x'-O-ict'系，记作s'系，由4.2节可知：
\tan \theta=\frac{v}{ic}=-i\beta
则\cos \theta=\gamma
\sin \theta=-i\beta\gamma
则s系中一点P（x,ict）在s'系对应点坐标为（x',ict'），有：
x^\prime=x\cos \theta-ict\sin \theta=x\gamma-ct\beta\gamma=\gamma(x-vt)
ict^\prime=ict\cos \theta+x\sin \theta=ict\gamma-i\beta\gamma x
t^\prime=r(t-\frac{vx}{c^2})
即为洛伦兹变换。
===尺缩与鐘慢===
====尺缩====
设s系为本征参考系。其间有一段长度\bar{AB}=l，则在s系中，按照测量的同时原则，应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差，那么，看到的B必在s系中早于A，记为B'。
则l^\prime=\overline{AB^\prime}=\frac{l}{\cos \theta}=\frac{l}{r}=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<l，故尺缩。
或也可解释为，长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴（静止），在s'系用平行x'轴的直线截它们即得l^\prime=\overline{AB^\prime}。
====鐘慢====
设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt，即A(x1,ict1)，B(x2,ict2)。在s'系中，时间差即为坐标在ict'分量上的差，即\overline{AB^\prime}=\bar{AB}\cos \theta=\overline{AB}r
所以t^\prime=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}<t，故鐘慢。
====分析====
在坐标上看，时间轴与空间轴的情况十分类似，但“尺”是本征系最长，“钟”是本征系最快，初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。
测量时间差时，只需在同一系中记录两点（四维点）的时间坐标再求差即可，与其空间位置完全无关。
而测量长度时，要求在测量系中必须同时测头尾坐标，再求空间坐标之差，这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变，故（在4.4.1节图中）要算\overline{AB^\prime}而非\overline{AB^*}（在s系可以看出，B在任何时刻都不在B*）。
事实上，也可以测量不同时的空间坐标差，但这就不是长度了，也不具有明显的几何意义。
===速度合成公式===
一物体A相对s系以v1运动，其世界线为OT1，tanθ=-iβ1；一物体B相对A以v2运动，其世界线为OT2，tanφ=-iβ2。B相对s系的速度设为v3。则有
-i\beta_3=\tan (\theta+\phi)=\frac{\tan \theta+\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi}
=\frac{-i\beta_1-i\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}
得v_3=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}，即为速度合成公式。
特别地，当β=1，即v=c时，tanθ=-i，θ=45°，可以算得
\theta \oplus \phi = \theta , v \oplus c = v
===光波的多普勒效应===
在s系中，光波周期为T，则在0时刻和icT时刻发出两束光的世界线如图。
在s'系中易看出T'为两条世界线与ict'轴交点间长度。
直线l1方程：ict=icT+x；直线O-ict'方程：ict=x cotθ
得x=\frac{icT}{1-\cot \theta}
icT^\prime = \frac{x}{\sin \theta} = \frac{icT}{\sin \theta - \cos \theta}
=\frac{icT}{-i\beta\gamma-\gamma}
狭义相对论的局限性
thread_title: 狭义相对论的几何意义

message: 首先，我们引入虚数坐标系下的三角函数。
如图，建立直角坐标系。对三点A(x1,ict1)，B(x2,ict1)，C(x2,ict2)，令Δx=x2-x1，Δt=t2-t1，可定义：
\sin \theta=\frac{ic(t_2-t_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{ic\Delta t}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}
\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}
关于这种坐标系和三角函数，有一些与传统概念不同之处：
#看上去“长”的长度可能实际上是短的，因此长度不能直观地比较；
#正弦函数可以取虚数；
#余弦函数绝对值可以大于1。
thread_title: 虚数坐标系下的三角函数

message: 由爱因斯坦理论得知，三维空间与一维时间组成四维时空。因此，可以由四维时空坐标系O-xyzt。（因无法画出四维坐标，除特别声明外，各图中不考虑y、z轴，x轴为与速度平行方向。）
一个物体的世界线指它在时空坐标上对应点的轨迹。世界线是物体可以达到的时空坐标的总和。换言之，物体不可能存在于世界线外的任何一点。
比如，一辆车以速度v直线运动，则x=vt，即图中线\tan \theta=\frac{v}{ic}。
thread_title: 世界线

message: 在s系，即x-ict系中，设一个物体以v的速度沿x方向运动，零时刻在原点。则其世界线为O-ict'轴。相对此物本身静止的参考系，即x'-O-ict'系，记作s'系，由4.2节可知：
\tan \theta=\frac{v}{ic}=-i\beta
则\cos \theta=\gamma
\sin \theta=-i\beta\gamma
则s系中一点P（x,ict）在s'系对应点坐标为（x',ict'），有：
x^\prime=x\cos \theta-ict\sin \theta=x\gamma-ct\beta\gamma=\gamma(x-vt)
ict^\prime=ict\cos \theta+x\sin \theta=ict\gamma-i\beta\gamma x
t^\prime=r(t-\frac{vx}{c^2})
即为洛伦兹变换。
thread_title: 洛伦兹变换的几何推导

message: ====尺缩====
设s系为本征参考系。其间有一段长度\bar{AB}=l，则在s系中，按照测量的同时原则，应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差，那么，看到的B必在s系中早于A，记为B'。
则l^\prime=\overline{AB^\prime}=\frac{l}{\cos \theta}=\frac{l}{r}=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<l，故尺缩。
或也可解释为，长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴（静止），在s'系用平行x'轴的直线截它们即得l^\prime=\overline{AB^\prime}。
====鐘慢====
设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt，即A(x1,ict1)，B(x2,ict2)。在s'系中，时间差即为坐标在ict'分量上的差，即\overline{AB^\prime}=\bar{AB}\cos \theta=\overline{AB}r
所以t^\prime=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}<t，故鐘慢。
====分析====
在坐标上看，时间轴与空间轴的情况十分类似，但“尺”是本征系最长，“钟”是本征系最快，初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。
测量时间差时，只需在同一系中记录两点（四维点）的时间坐标再求差即可，与其空间位置完全无关。
而测量长度时，要求在测量系中必须同时测头尾坐标，再求空间坐标之差，这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变，故（在4.4.1节图中）要算\overline{AB^\prime}而非\overline{AB^*}（在s系可以看出，B在任何时刻都不在B*）。
事实上，也可以测量不同时的空间坐标差，但这就不是长度了，也不具有明显的几何意义。
thread_title: 尺缩与鐘慢

message: 设s系为本征参考系。其间有一段长度\bar{AB}=l，则在s系中，按照测量的同时原则，应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差，那么，看到的B必在s系中早于A，记为B'。
则l^\prime=\overline{AB^\prime}=\frac{l}{\cos \theta}=\frac{l}{r}=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<l，故尺缩。
或也可解释为，长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴（静止），在s'系用平行x'轴的直线截它们即得l^\prime=\overline{AB^\prime}。
thread_title: 尺缩

message: 设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt，即A(x1,ict1)，B(x2,ict2)。在s'系中，时间差即为坐标在ict'分量上的差，即\overline{AB^\prime}=\bar{AB}\cos \theta=\overline{AB}r
所以t^\prime=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}<t，故鐘慢。
thread_title: 鐘慢

message: 在坐标上看，时间轴与空间轴的情况十分类似，但“尺”是本征系最长，“钟”是本征系最快，初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。
测量时间差时，只需在同一系中记录两点（四维点）的时间坐标再求差即可，与其空间位置完全无关。
而测量长度时，要求在测量系中必须同时测头尾坐标，再求空间坐标之差，这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变，故（在4.4.1节图中）要算\overline{AB^\prime}而非\overline{AB^*}（在s系可以看出，B在任何时刻都不在B*）。
事实上，也可以测量不同时的空间坐标差，但这就不是长度了，也不具有明显的几何意义。
thread_title: 分析

message: 一物体A相对s系以v1运动，其世界线为OT1，tanθ=-iβ1；一物体B相对A以v2运动，其世界线为OT2，tanφ=-iβ2。B相对s系的速度设为v3。则有
-i\beta_3=\tan (\theta+\phi)=\frac{\tan \theta+\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi}
=\frac{-i\beta_1-i\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}
得v_3=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}，即为速度合成公式。
特别地，当β=1，即v=c时，tanθ=-i，θ=45°，可以算得
\theta \oplus \phi = \theta , v \oplus c = v
thread_title: 速度合成公式

message: 在s系中，光波周期为T，则在0时刻和icT时刻发出两束光的世界线如图。
在s'系中易看出T'为两条世界线与ict'轴交点间长度。
直线l1方程：ict=icT+x；直线O-ict'方程：ict=x cotθ
得x=\frac{icT}{1-\cot \theta}
icT^\prime = \frac{x}{\sin \theta} = \frac{icT}{\sin \theta - \cos \theta}
=\frac{icT}{-i\beta\gamma-\gamma}
狭义相对论的局限性
thread_title: 光波的多普勒效应

message: * 洛伦兹变换
* 伽利略变换
* 相对论
* 广义相对论
* 論動體的電動力學
* E=mc²
thread_title:  相關條目 

thread_title:  文獻 

message: *一篇对狭义相对定量分析的论文
*一個用初等數學證明勞侖玆變換的PPT
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message: 在迈克尔孙-莫雷实验中,光源与观测者都在地球自转的惯性系里,所以观测到光速都为29.9799万公里/秒是符合惯性定律的,可能是证明不了光速不变原理的.....
thread_title:  光速不变原理