Обговорення:Теорема Больцано — Веєрштрасса

message: Дополнение к статье «Bolzano-Weierstrass theorem»
replies: text: ~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} \quad \land \quad \exists_{\{a, b\} \ \subseteq \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ b} \ \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ (a \le f_n \le b) \quad \to
replies: text: :~ \exist_{\mathrm{g}: \ \mathbb{N} \ \mapsto \ \mathbb{R}} \ (\forall_{m \ \in \ \mathbb{N}} \ \exists_{n \ \in \ \mathbb{N}}^{\{1\}} \ (g_m = f_n) \quad \land \quad \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ \exists_{m \ \in \ \mathbb{N}}^{\{0, 1\}} \ (g_m = f_n) \quad 
\land \quad (\lim_{m \to \infty} g_m) \in \mathbb{R})

text: Примечание

text: ~ \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} - последовательность вещественных чисел, то есть вещественная функция натурального аргумента.
replies: text: :~ \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} = \{\langle n, f_n \rangle| \quad \langle n, f_n \rangle \in \mathbb{N} \times \mathbb{R} \quad \land \ \quad f_n = f(n)\}

text: :~ \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{R} \quad \land \quad \mathrm{f} \ne \varnothing \quad \land \quad \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ \exists_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{1\}} \ (\langle n, x 
\rangle \in \mathrm{f})
replies: text: ::~ \mathrm{f} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ \forall n \forall x \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f} \ \to \ \langle n, x \rangle \in \mathbb{N} \times \mathbb{R})

text: ::~ \mathrm{f} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} \in \mathcal{P} (\mathbb{N} \times \mathbb{R})
replies: text: :::~ \mathcal{P} (\mathbb{N} \times \mathbb{R}) - булеан  (= множество всех подмножеств) декартового произведения ~ \mathbb{N} \times \mathbb{R}

text: ::~ \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ \exist_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{1\}} (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \ \Leftrightarrow \ \forall n \ (n \in \mathbb{N} \to \exist^{\{1\}} x \ (x \in \mathbb{R} \ \land \ \langle n, x \rangle \in \mathrm{f})
replies: text: :::~ \exist^{\{1\}} x \ (x \in \mathbb{R} \ \land \ \langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \ \Leftrightarrow \ \exists_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{1, ...\}} \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \quad \land \quad \exists_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{0, 1\}} \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f})
replies: text: ::::~ \exist_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{1, ...\}} \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \ \Leftrightarrow \ \exist_{x \ \in \ \mathbb{R}} \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \ \Leftrightarrow \ \exists x \ (x \in \mathbb{R} \ \land \ \langle n, x \rangle \in \mathrm{f})

text: ::::~ \exist_{x \ \in \ \mathbb{R}}^{\{0, 1\}} \ (\langle n, x \rangle \in \mathrm{f}) \ \Leftrightarrow \ \forall x_1 \forall x_2 \ (\{x_1, x_2\} \subseteq \mathbb{R} \ \ \land \ \ \{\langle n, x_1 \rangle, \ \langle n, x_2 \rangle\} \subseteq \mathrm{f} \to x_1 = x_2)
replies: text: :::::~ \{x_1, x_2\} \subseteq \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ x_1 \in \mathbb{R} \ \land \ x_2 \in \mathbb{R}

text: :::::~ \{\langle n, x_1 \rangle, \ \langle n, x_2 \rangle\} \subseteq \mathrm{f} \ \Leftrightarrow \ \langle n, x_1 \rangle \in \mathrm{f} \ \land \ \langle n, x_2 \rangle \in \mathrm{f}

text: ~ \exists_{\{a, b\} \ \subseteq \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ b} \ \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ (a \le f_n \le b) - "якiсть" (an attribute or a property) последовательности ~ \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}.
replies: text: :~ \mathrm{f}: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} \ \land \ \exists_{\{a, b\} \ \subseteq \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ b} \ \forall_{n \ \in \ \mathbb{N}} \ (a \le f_n \le b) - последовательность вещественных чисел ограничена снизу и сверху.

text: ~ \exist_{\{a, b\} \ \subseteq \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ b} \ \forall_{n \ \in \  \mathbb{N}} \ (a \le f_n \le b) \ \Leftrightarrow \ \exists a \exists b \ (\{a, b\} \subseteq \mathbb{R} \ \land \ a \le b \ \land \ \forall n \ (n \in \mathbb{N} \to a \le f_n \le b))
replies: text: :~ \{a, b\} \subseteq \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \ a \in \mathbb{R} \ \land \ b \in \mathbb{R}

text: :~ a \le f_n \le b \ \Leftrightarrow \ a \le f_n \ \land \ f_n \le b
Галактион 01:00, 20 серпня 2009 (UTC)
thread_title:  Доповнення