Обговорення:Інтеграл

message: 

пояснюю на пальцях.
* інтеграл - це функціонал: I(D,f), тобто якщо підставити конкретну область D і функцію f, отримаємо число.
replies: text: Examples

text: ~ \mathrm{dom(f)} \times \mathrm{cod(f)} \subseteq \mathbb{R}^2 \ \land \ \{a, b\} \subseteq \mathbb{R} \ \land \ a < b \ \land \ [a,b] \subseteq \mathrm{dom(f)} \ \to \ (\int_a^b f(x) \mathrm{d}x) \in \mathbb{R}

text: ~ \mathrm{f}: X \mapsto Y \ \land \ D \subseteq X \ \to \ (\int_{x \ \in \ D} f(x) \mathrm{d}x)\in \mathbb{R}
* далі, він, функціонал, лінійний по функціям: I(D,af+bg) = aI(D,f)+bI(D,g), тут a,b - числа, f,g - функції

text: Examples

text: ~ \{\mathrm{dom(f_1)} \times \mathrm{cod(f_1)}, \ \mathrm{dom(f_2)} \times \mathrm{cod(f_2)}\} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \ \land \ \{a, b, c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \ \land \ a < b \ \ \land
replies: text: ::~ [a, b] \subseteq \mathrm{dom(f_1)} \ \cap \ \mathrm{dom(f_2)} \to   
\int_a^b (c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x))\mathrm{d}x = c_1 \int_a^b f_1(x) \mathrm{d}x \ + \ c_2 \int_a^b f_2(x) \mathrm{d}x 

text: ~ \mathrm{f_1}: X_1 \mapsto Y \ \land \ \mathrm{f_2}: X_2 \mapsto Y \ \land \ D \subseteq X_1 \cap X_2 \ \land \ \{c_1, c_2\} \subseteq \mathbb{R} \ \land \ \forall x \ (x \in D \to c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) \in Y)
replies: text: ::~ \to \ \ \int_{x \ \in \ D} (c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x)) \mathrm{d}x = c_1 \int_{x \ \in \ D} f_1(x) \mathrm{d}x \ + \ c_2 \int_{x \ \in \ D} f_2(x) \mathrm{d}x
* він адитивний по області: якщо області D і E не перетинаються, то I(D u E, f) = I(D,f) + I(E,f), тут D u E означає об'єднання

text: Examples

text: ~ \mathrm{dom(f)} \times \mathrm{cod(f)} \subseteq \mathbb{R}^2 \ \land \ \{a, b, c, d\} \subseteq \mathbb{R} \ \land \ a < b < c < d \ \land \ [a, b] \ \cup \ [c, d] \subseteq \mathrm{dom(f)}
replies: text: ::~ \to \ \ \int_{x \ \in \ [a,b] \ \cup \ [c,d]} f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \ + \ \int_c^d f(x) \mathrm{d} x

text: ~ \mathrm{f}: X \mapsto Y \ \land \ D \cup E \subseteq X \ \land \ D \cap E = \varnothing
replies: text: ::~ \to \ \ \int_{x \ \in \ D \cup E} f(x) \mathrm{d}x = \int_{x \ \in \ D} f(x) \mathrm{d} x \ + \ \int_{x \ \in \ E} f(x) \mathrm{d} x
* далі, він монотонний: якщо f>=g, тоді I(f)>=I(g), згідно порядку в числах
* і останнє, функціонал нормований: якщо міра D дорівнює 1, тоді I(D,1)=1, тут одиничка в дужках значить константну функцію 1 Краще так I(D,1)=μ(D) для тотожньо одиничної функції 1, тут μ(D) - міра області D.
в простішому випадку область D - інтервал на числовій прямій, і маємо "інтеграл Рімана".
але це дозволяє нам визначити визначений інтеграл на доволі широкому класі об'єктів, лишається визначити лише
# часткову впорядкованість в числах
# міру на області визначення функцій
# поняття "інтегрована функція"
в цих трьох місцях можливий вибір, але загальної картини це не міняє
щоб не путатися, шапку краще переформулювати простіше так


message: і останнє, згадка контінуума в поточному варіанті абсолютно недоречна, контінуум - це характеристика потужності множини, що нам по суті до біса. Нам потрібна міра, а в голому континуумі ніякої міри нема. Та й нема в нас ніяких причин обмежуватися континуумом
--Deineka 10:30, 19 червня 2009 (UTC)
replies: text: про недоречність континууму згодний, про монотонність — гляньте інтеграл від косинуса  Ой бачу ви пишете про монотонність по параметру функції, а не області. І все таки не займаймося ОД.  --Ілля 21:15, 19 червня 2009 (UTC)

message: Переглянув У. Рудин "Основы математического анализа", В.А. Зорич "Математический анализ", С.М. Никольский "Курс математического анализа", Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", Ф.А. Медведев "Развитие понятия интеграла". Також ряд книг з функану. Термін або відсутній, або передує і вужчий за інтеграл Рімана, або вживається як синонім інтеграла Рімана (Фіхтенгольц), або просто вживається без визначення. На цьому термінологічну суперечку покидаю. --Ілля 19:34, 18 червня 2009 (UTC)
replies: text: ну да, Зорич (1984) том ІІ, с.127, главка "Интеграл как линейный функционал", якраз і йдеться про функционал і його лінійність та адитивність --Deineka 11:56, 19 червня 2009 (UTC)
replies: text: : там ідеться про властивість інтеграла Рімана, ніякого означення визначеного інтеграла на тій сторінці немає --Ілля 21:20, 19 червня 2009 (UTC)
replies: text: :: Визначений інтеграл - це інтегральна сума (або функціонал ) з чітко вказаною областю інтегрування. (Ну а невизначений інтеграл - це деяка функція з точністю до константи, яка дозволяє обчислювати визначений інтеграл). Так от зверніть увагу - там  ідеться про інтегрування по певній області--Deineka 23:38, 19 червня 2009 (UTC)
replies: text: ::: Визначений інтеграл це не інтегральна сума, а границя усіх інтегральних сум (уже за це на мех-маті вам би знизили оцінку, якщл викладач добрий, або не зарахували взагалі - бо твердження невірне). Не всі інтеграли обчислюються за формулою Ньютона-Лейбніца --Ілля 06:51, 20 червня 2009 (UTC)

text: ::: не треба плутати властивості (те що інтеграл Рімана задовільняє ваще означення) і означення. просто скажіть в якій книжці прочитати те означення яке ви написали.  --Ілля 07:19, 20 червня 2009 (UTC)
IMHO Доцільно створити єдину статтю, як у :en:Integral --Perohanych 12:36, 22 червня 2009 (UTC)
thread_title:  Джерела