Обговорення:Числа Піфагора

message: Увесь цей матеріал видалив із статті Теорема Піфагора --Kusluj 14:40, 17 листопада 2010 (UTC)
Піфагорові трійки:
Теорема Піфагора — це один з найкрасивіших і видатних результатів елементарної математики. Якщо рішенням теореми Піфагора є прямокутний трикутник зі сторонами, які відносяться як цілі числа, то такий трикутник називають піфагоровим. Самі ці числа називають піфагоровими трійками. 
Метою дослідження є огляд знань про піфагорові трійки і їхнє впровадження для вирішення практичних задач на комп'ютері. При цьому можна збільшити точність обчислень завдяки тому, що задача Піфагора має точні рішення. 
Раціональні точки на колі — це такі точки, координати яких x,y є раціональними числами, що задовольняють рівнянню:
          x2 + y2 = 1.
Така точка відповідає деякій піфагоровій трійці (a,b,c), причому 
          х = b/c = cos α; у = a/c =sin α.
Якщо є трикутники з кутами α і β, які задані трійками (a1,b1,c1), (a2,b2,c2), то можна створити трикутники з кутами α±β, використовуючи формули: 
                                                                                 a1b2 ± b1a2
          a/c = sin(α±β) = sinα•cosβ ± cosα•sinβ = ——————;
                                                                                       c1c2
                                                                                   b1b2 a1a2
          b/c = cos(α±β) = cosα•cosβ  sinα•sinβ = ——————.
                                                                                       c1c2
Розроблено алгоритм і програму знаходження піфагорових трійок, які дають кути, що наближаються до заданого кута з необхідною точністю.
Розроблено і перевірено експериментальні програми, які призначені для обчислення таблиць тригонометричних функцій і які використовують операцію додавання кутів при представленні даних цілими числами. Оцінені похибки обчислень в цих програмах і показано, що використання операції додавання кутів піфагорових трійок дає змогу суттєво зменшити похибки обчислень. 
Запропоновано ряд задач з їхніми вирішеннями, які основані на властивостях піфагорових трійок.
Нехай цілі числа a і b означають довжину катетів, а c — довжину гіпотенузи. Тоді згідно з теоремою Піфагора, a, b і c задовольняють діофантове рівняння:
          a2 + b2 = c2                            Трійка таких позитивних чисел (a,b,c) називається піфагоровою трійкою. Таким чином, знаходження всіх піфагорових трикутників — це те саме, що знаходження всіх піфагорових трійок. Дійсно, (3,4,5) — це піфагорова трійка. Так як (3n)2 +(4n)2 = (5n)2, то з цього виходить, що (3n,4n,5n) — це також піфагорова трійка для будь-якого позитивного n. Тому існує нескінчена кількість піфагорових трійок.
Таким чином, з однієї піфагорової трійки можна зробити будь-яку кіль¬кість таких трійок шляхом множення на n. Трійки, у яких елементи є взаємно простими числами, як наприклад, (3,4,5), називаються примітивними піфагоровими трійками, тому що решту трійок можна одержати множенням елементів трійки на цілі числа.
Якщо числа a,b,c є довільними цілими числами, наприклад, нульовими або від'ємними, які відповідають рівнянню (1), то така трійка називається узагальненою піфагоровою трійкою.
Способи генерації піфагорових трійок
Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої представляють піфагорову трійку: 
          m2 + (( m2 − 1 )/2)2 = (( m2 + 1 )/2)2,
де m — непарне, m>2. Дійсно, 
                                                 4m2 + m4 − 2m2 + 1
          m2 + (( m2 − 1 )/2)2 = ————————— = (( m2 + 1 )/2)2.
                                                               4
Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:
          (2m)2 + (m2 − 1)2 = (m2 + 1)2,
де m — будь-яке число. Для m = 2,3,4,5 генеруються наступні трійки:
          (16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.
Розглянемо наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:
          (2m2 + 2m + 1)2 = 4m4 + 8m3 + 8m2 + 4m + 1 = 
          =4m4 + 8m3 + 4m2 + 4m2 + 4m + 1 = (2m(m+1))2 + (2m +1)2.
Звідси наступні формули для одержання примітивних трійок:
          a = 2m +1 ,   b = 2m(m+1) = 2m2 + 2m ,   c = 2m2 + 2m + 1.
Ці формули генерують трійки, в яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок, слід дослідити їхні властивості. По-перше, якщо (a,b,c) — примітивна трійка, то a і b, b і c, а і c — повинні бути взаємно простими. Нехай a і b діляться на d. Тоді a2 + b2 — також ділиться на d. Відповідно, c2 і c повинні ділитись на d. Тобто, цє не є примітивна трійка. 
По-друге, серед чисел a, b одне повинне бути парним, а інше — непарним. Дійсно, якщо a і b — парні, то і с буде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, то їх можна представити як 2k+1 i 2l+1, де k,l — деякі числа. Тоді a2 + b2 = 4k2+4k+1+4l2+4l+1, тобто, с2, як і a2 + b2, при діленні на 4 має остачу 2. 
Нехай с — будь-яке число, тобто с = 4k+i (i=0,…,3). Тоді с2 = (4k+i)2 має остачу 0 або 1 і не може мати остачу 2. Таким чином, a і b не можуть бути непарними, тобто a2 + b2 = 4k2+4k+4l2+4l+1 і остача від ділення с2 на 4 повинна бути 1, що означає, що с повинне бути непарним. 
Таким вимогам до елементів піфагорової трійки задовольняють наступні числа:
          a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2 , m > n,                    (2)
де m і n — взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими з праць Евкліда, який жив 2300 р. тому.
Доведемо справедливість залежностей (2). Нехай а — парне, тоді b i c — непарні. Тоді c + b i c − b — парні. Їх можна представити як c + b = 2u i c − b = 2v, де u,v — деякі цілі числа. Тому
          a2 = с2 − b2 = (c + b)(c − b) = 2u•2v = 4uv
і тому (a/2)2 = uv. 
Можна довести від супротивного, що u і v — взаємно прості. Нехай u і v — діляться на d. Тоді (c + b) і (c − b) діляться на d. І тому c і b повинні ділитися на d, а це протирічить умові до піфагорової трійки.
Так як uv = (a/2)2 та u і v — взаємно прості, то нескладно довести, що u і v повинні бути квадратами якихось чисел. 
Таким чином, є додатні цілі числа m і n , такі що u = m2 і v = n2. Тоді 
          а2 = 4uv = 4m2n2, так що      а = 2mn; b = u − v = m2 − n2; c = u + v = m2 + n2.
Так як b > 0, то m > n.
Залишилось показати, що m і n мають різну парність. Якщо m і n — парні, то u і v повинні бути парними, а це неможливо, так як вони взаємно прості. Якщо m і n — непарні, то b = m2 − n2 i c = m2 + n2 були б парними, що неможливо, так як c і b — взаємно прості.
Таким чином, будь-яка примітивна піфагорова трійка повинна задовольня¬ти умови (2). При цьому числа m і n називаються генеруючими числами примітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну піфагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку
          а = 120 = 2•12•5, b = 119 = 144 − 25, і c = 144+25=169,
де m = 12, n = 5 — генеруючі числа, 12 > 5; 12 і 5 — взаємно прості і різної парності.
Можна довести зворотнє, що числа m, n за формулами (2) дають примітивну піфагорову трійку (a,b,c). Дійсно,
          а2 + b2 = (2mn)2 + (m2 − n2)2 = 4m2n2 + (m4 − 2m2n2 + n4) =
          = (m4 + 2m2n2 + n4) = (m2 + n2)2 = c2,
тобто (a,b,c) — піфагорова трійка. Доведемо, що при цьому a,b,c — взаємно прості числа від супротивного. Нехай ці числа діляться на p > 1. Так як m і n мають різну парність, то b i c — непарні, тобто p ≠ 2. Так як р ділить b i c, то р має ділити 2m2 і 2n2 , а це неможливо, так як p ≠ 2. Тому m, n — взаємно прості і a,b,c — теж взаємно прості. 
В таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенеровані за формулами (2) для m≤10.
Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10 
m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181
thread_title:  Можливо опрацювати