Обговорення:Гармонічний ряд звуків

message: Декілька нотних прикладів письмової нотації обертонів гармонічного ряду звуків указують на існування плутанини у позначенні висот 11-го та 13-го обертонів.
Для надійного письмового запису висот обертонів гармонічного ряду є особливий нотний приклад,
Mersenne 1636, с. 196
який може допомогти:
\header
{
 tagline = ##f
 title = ""
 subtitle = "M. Mersenne 1636: 196.  Натиснути щоб почути MIDI"
}
melody = \relative c' 
{
 \clef soprano
 \key c\major
 \time 21/2
 c1^\markup{:}^\markup{\bold 1} cis2^\markup{:}^\markup{\bold 2} % (text after the % is just a comment)
 d1^\markup{:}^\markup{\bold 3}
 es2^\markup{:}^\markup{\bold 4} e?1^\markup{:}^\markup{\bold 5} % ? makes an accidental in parenthesis
 f1^\markup{:}^\markup{\bold 6} fis2^\markup{:}^\markup {\bold 7}
 \stemUp                                                         % command turns up a stem
 \mark\markup{\italic{Oc̔taue diuisée en douze demi-tons (Октава розділена на дванадцять недо-тонів)}}
 g1^\markup{:}^\markup{\bold 8} gis2^\markup{:}^\markup{\bold 9}
 a1^\markup{:}^\markup{\bold{10}}
 \stemDown                                                       % command turns down a stem
 bes2^\markup{:}^\markup{\bold{11}} b1^\markup{:}^\markup{\bold{12}}
 c1^\markup{:}^\markup{\bold{13}}
 \bar "|"
}
\score 
{
 <<
  \transpose c c
  {
   \new Staff = "mel"
   \with { \remove "Time_signature_engraver" }
   \melody
  }
 >>
 \layout
 {
  indent = #0
  line-width = #120
 }
 \midi { }
}
Дотримання правопису, що дав Мерсен для розподілу октави на 12 недотонов,
Barbieri 2008, с. 7:
«за словами Гафуріо та інших теоретиків, вираз “semitone [фр. demi-tone]” спочатку означал “неповний тон” (а не “півтону”), випливаючи з semus, що означає “неповний” або “зменшений” ()»
переконує, що у першому наближенні (без енгармонічних, тобто мікротонових, виправлень) найбільш вірною може вважатися, наприклад, музична нотація :
EB 1911, Valves
Нотація Шлезінгер, продовжена за правописом Мерсена до 32-го обертону з натякаючими на уточнення фіктами над нотами і подвійними номерами під нотами виглядає так:
\version "2.16.2"
\header {
   tagline = ##f
   title = "Гармонічний ряд in C"
   subtitle = "Нотація у сенсі 12(24)РДО темперації. Натиснути щоб почути MIDI"
   subsubtitle = #(string-append "Над нотами фікти. Під нотами подвійні номери")
}
melody = 
{
 \clef bass \key c \major
 \time 15/2
 c,2^\markup{ \italic{♮ŧC}}^\markup{⋔ висота камертона, \italic ŧ — темперована}
     c2^\markup{\italic{♮ŧC}}
        g2^\markup{\italic{♮ŧG}}
 \clef treble
 c'2^\markup{\italic{♮ŧC}}
     e'2^\markup{\italic{♮ŧE}}
         g'2^\markup{\italic{♮ŧG}} \stemUp 
             bes'2^\markup{\italic{♭ŧB}} \stemDown
                   c2^\markup{\italic{♮ŧC}}
                        d2^\markup{\italic{♮ŧD}}
                             e2^\markup{\italic{♮ŧE}} 
                                   fih?2^\markup{\italic{♮ŧF+}} 
                                       g2^\markup{\italic{♮ŧG}}
                                            aeh?2^\markup{\center-align\italic{♮⋔A−}} 
                                                 bes2^\markup{\italic{♭ŧB}}
                                                        b2^\markup{\italic{♮ŧB}} \stemUp
 \clef "treble^15"
 \time 16/2
 c2^\markup{\italic{♮ŧC}}
    cis2^\markup{\italic{♯ŧC}}
          d2^\markup{\italic{♮ŧD}}
               ees2^\markup{\italic{♭ŧE}}
                    e2^\markup{\italic{♮ŧE}} 
                        f2^\markup{\italic{♮ŧF}} 
                          fih?2^\markup{\italic{♮ŧF+}} 
                              fis2^\markup{\italic{♯ŧF}}
                                    g2^\markup{\italic{♮ŧG}}
                                        gis2^\markup{\italic{♯ŧG}} 
                                              aeh?2^\markup{\italic{♮⋔A−}}
                                                 a2^\markup{\center-align\italic{♮⋔A}} 
                                                     bes2^\markup{\italic{♭ŧB}} 
                                                       beh?2^\markup{\italic{♭ŧB+}}
                                                           b2^\markup{\italic{♮ŧB}} \stemDown
                                                               ceh'?2^\markup{\italic{♮ŧC−}}
                                                                 c'2^\markup{\italic{♮ŧC}}
}
text = \lyricmode 
{
[¹/₁] [²/₁] [³/₁] [⁴/₁] [⁵/₁] [⁶/₁] [⁷/₁] [⁸/₁] [⁹/₁] [¹⁰/₁] [¹¹/₁] [¹²/₁] [¹³/₁] [¹⁴/₁] [¹⁵/₁] [¹⁶/₁] [¹⁷/₁] [¹⁸/₁] [¹⁹/₁] [²⁰/₁] [²¹/₁] [²²/₁]
 [²³/₁] [²⁴/₁] [²⁵/₁] [²⁶/₁] [²⁷/₁] [²⁸/₁] [²⁹/₁] [³⁰/₁] [³¹/₁] [³²/₁]
}
\score {
<<
  \new Voice = "mel" \melody
  \new Lyrics \lyricsto mel \text
>>
  \layout {
    indent = #0
    line-width = #180
  }
  \midi { }
}
Відомо, що будь-яка ска́ла, а натуральна особливо, тісно пов'язана з піфагорійськими висотами.
Когут 2005, с. 102:
«“Ідеальним” рішенням, на наш погляд, було б присвоєння елементам, наприклад звукоряду обертонів (або його необхідного сектора за винятком октавних подвоєнь) відповідних назв і нотних знаків, а відхилення від цих елементів отриманої будови позначати додатковими знаками альтерації <...> На жаль історично склалося так, що властивості розвиненої будови обертонів стали нам відомі набагато пізніше, а до усвідомлення цих властивостей ми кілька тисяч років користувалися іншою будовою - піфагоровим строєм. {lang-ru|
“Идеальным” решением, на наш взгляд, было бы присвоение элементам, например обертонового звукоряда (или его необходимого сектора за исключением октавных удвоений) соответствующих названий и нотных знаков, а отклонения от этих элементов полученной структуры обозначать дополнительными знаками альтерации <...> К сожалению исторически сложилось так, что свойства развитой обертоновой структуры стали нам известны намного позже, а до осознания этих свойств мы несколько тысяч лет пользовались иной структурой — пифагоровым строем.}})»
Barbieri 2008, с. 5:
«Відповідно до західної музичної традиції, побудова першої ска́ли приписується Піфагорові Самоському (6-е століття до н.е.), хто розділив октаву на певне число ступенів шляхом використання ланцюжка чистих висхідних квінт (тобто співвідношення 3:2, найпростіше після 2:1), зведених низхідними октавами (щоб знести всі отримані інтервали в близьке положення). Подібна операція задокументована у китайських теоретиків, від 3 століття до н.е.()»
Волконский 1998, сс. 3-4:
«Джерело основних як європейських, так й не європейських звукорядів — спіраль Піфагора, що складається з ланцюжка чистих квінт, які йдуть в нескінченність.
При оцінюванні різних європейських звукорядів, що з'явилися в різні епохи, а також виникаючих з них інтервалів слід завжди пам'ятати про взаємовідносини між спіраллю Піфагора й натуральною гамою.()»
Таке порівняння виявляє у множині перших 32-х обертонів фрагмент піфагорійського ланцюжка з 3-х чистих квінт,
Coul, List of intervals, 3/2:
«чиста квінта ()»
утворений чотирма обертонами з номерами 8, 12, 18, 27; і підмножину обертонів піфагорійських висот, що містить не тільки перераховані обертони, але й такі з октавних ланцюжків, де знаходяться ці перераховані. Цей факт наочно демонструє відношення на множині матричної будови, що відбиває висоти нотного прикладу із залученням буквеної нотації Гельмгольца, де приставками \theta (від ) відзначені піфагорійські ноти і стрілками
\swarrow\!\!\!\!\!\!\nearrow
― ланцюжок чистих квінт:
\left\{\begin{matrix}
replies: text: &
  &:
   &
    &:
     &
      &:
\\
\theta c^4[\frac{32}{1}]
\\
 &
  &
   &
    &
     &
      &\pitchfork a^3[\frac{27}{1}]
\\
 &
  &\theta g^3[\frac{24}{1}]
   &
    &
     &\swarrow\!\!\!\!\!\!\nearrow
\\ 
 &
  &
   &
    &\theta d^3[\frac{18}{1}]
\\
\theta c^3[\frac{16}{1}]
 &
  &
   &\swarrow\!\!\!\!\!\!\nearrow
\\
 &
  &\theta g^2[\frac{12}{1}]
\\
 &\swarrow\!\!\!\!\!\!\nearrow
  &
   &
    &\theta d^2[\frac{9}{1}]
\\
\theta c^2[\frac{8}{1}]
\\
 &
  &\theta g^1[\frac{6}{1}]
\\
\theta c^1[\frac{4}{1}]
\\
 &
  &\theta g[\frac{3}{1}]
\\
\theta c[\frac{2}{1}]
\\
\Theta C[\frac{1}{1}]
\end{matrix}\right\}\subset
\left\{\begin{matrix}

text: \\
\theta c^4[\frac{32}{1}]~~\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-c^3[\frac{31}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-b^3[\frac{30}{1}]}\\
^{+bes^3[\frac{29}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^3[\frac{28}{1}]}\\
\pitchfork a^3[\frac{27}{1}]~~\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^3[\frac{26}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-gis^3[\frac{25}{1}]}\\
\theta g^3[\frac{24}{1}]\\
^{+fis^3[\frac{23}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
^{+f^3[\frac{22}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-f^3[\frac{21}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^3[\frac{20}{1}]}\\
^{+es^3[\frac{19}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
\theta d^3[\frac{18}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-cis^3[\frac{17}{1}]}\\
\theta c^3[\frac{16}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-b^2[\frac{15}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^2[\frac{14}{1}]}\\
\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^2[\frac{13}{1}]}\\
\theta g^2[\frac{12}{1}]\\
^{+f^2[\frac{11}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^2[\frac{10}{1}]}\\
\theta d^2[\frac{9}{1}]\\
\theta c^2[\frac{8}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^1[\frac{7}{1}]}\\
\theta g^1[\frac{6}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^1[\frac{5}{1}]}\\
\theta c^1[\frac{4}{1}]\\
\theta g[\frac{3}{1}]\\
\theta c[\frac{2}{1}]\\
\Theta C[\frac{1}{1}]
\end{matrix}\right\}.
Підмножина не піфагорійських обертонів, будучи об'єднанням деяких її внутрішніх підмножин, залишається після видалення піфагорійської підмножини з множини усіх обертонів ряду:
\left\{\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
 &
  &
   &
    &
     &
      &.\cdot
\\
 &
  &
   &
    &
     &\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-c^3[\frac{31}{1}]}
\\
 &
  &
   &
    &^{+bes^3[\frac{29}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\\
 &
  &
   &\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-gis^3[\frac{25}{1}]}
\\
 &
  &^{+fis^3[\frac{23}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\\
 &^{+es^3[\frac{19}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-cis^3[\frac{17}{1}]}
\\
\end{matrix}\right\}
\\
\cup
\\
\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^2[\frac{13}{1}]}
\left\{\begin{matrix}
 &
  &.\cdot
\\
 &\widetilde{\theta{c[\frac{2}{1}]}}
\\
\widetilde{\theta{C[\frac{1}{1}]}}
\\
\end{matrix}\right\}
\equiv
\left\{\begin{matrix}
 &
  &.\cdot
\\
 &\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^3[\frac{26}{1}]}
\\
\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^2[\frac{13}{1}]}
\\
\end{matrix}\right\}
\\
\cup
\\
^{+f^2[\frac{11}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\left\{\begin{matrix}
 &
  &.\cdot
\\
 &\widetilde{\theta{c[\frac{2}{1}]}}
\\
\widetilde{\theta{C[\frac{1}{1}]}}
\\
\end{matrix}\right\}
\equiv
\left\{\begin{matrix}
 &
  &.\cdot
\\
 &^{+f^3[\frac{22}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\\
^{+f^2[\frac{11}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta
\\
\end{matrix}\right\}
\\
\cup
\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^1[\frac{7}{1}]}
\left\{\begin{matrix}
 &
  &
   &
    &.\cdot
\\
 &
  &
   &\widetilde{\theta{c^1[\frac{4}{1}]}}
\\
 &
  &\widetilde{\theta{g[\frac{3}{1}]}}
\\
 &\widetilde{\theta{c[\frac{2}{1}]}}
\\
\widetilde{\theta{C[\frac{1}{1}]}}    
\\
\end{matrix}\right\}
\\
\cup
\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^1[\frac{5}{1}]}
\left\{\begin{matrix}
 &
  &
   &
    &
     &.\cdot
\\
 &
  &
   &
    &\widetilde{\theta{g^1[\frac{6}{1}]}}
\\
 &
  &
   &\widetilde{\theta{c^1[\frac{4}{1}]}}
\\
 &
  &\widetilde{\theta{g[\frac{3}{1}]}}
\\
 &\widetilde{\theta{c[\frac{2}{1}]}}
\\
\widetilde{\theta{C[\frac{1}{1}]}}
\\
\end{matrix}\right\}
\end{matrix}\right\}
=
\left\{\begin{matrix}

text: \\
\theta c^4[\frac{32}{1}]~~\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-c^3[\frac{31}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-b^3[\frac{30}{1}]}\\
^{+bes^3[\frac{29}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^3[\frac{28}{1}]}\\
\pitchfork a^3[\frac{27}{1}]~~\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^3[\frac{26}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-gis^3[\frac{25}{1}]}\\
\theta g^3[\frac{24}{1}]\\
^{+fis^3[\frac{23}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
^{+f^3[\frac{22}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-f^3[\frac{21}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^3[\frac{20}{1}]}\\
^{+es^3[\frac{19}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
\theta d^3[\frac{18}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-cis^3[\frac{17}{1}]}\\
\theta c^3[\frac{16}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-b^2[\frac{15}{1}]}\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^2[\frac{14}{1}]}\\
\pitchfork\!\!\!\!\!\searrow_{-a^2[\frac{13}{1}]}\\
\theta g^2[\frac{12}{1}]\\
^{+f^2[\frac{11}{1}]}\nwarrow\!\!\!\!\!\!\theta\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^2[\frac{10}{1}]}\\
\theta d^2[\frac{9}{1}]\\
\theta c^2[\frac{8}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-bes^1[\frac{7}{1}]}\\
\theta g^1[\frac{6}{1}]\\
\theta\!\!\!\!\!\!\searrow_{-e^1[\frac{5}{1}]}\\
\theta c^1[\frac{4}{1}]\\
\theta g[\frac{3}{1}]\\
\theta c[\frac{2}{1}]\\
\Theta C[\frac{1}{1}]
\end{matrix}\right\}\setminus\left\{\begin{matrix}

text: \\
\theta c^4[\frac{32}{1}]
\\
\pitchfork a^3[\frac{27}{1}]
\\
\theta g^3[\frac{24}{1}]
\\ 
\theta d^3[\frac{18}{1}]
\\
\theta c^3[\frac{16}{1}]
\\
\theta g^2[\frac{12}{1}]
\\
\theta d^2[\frac{9}{1}]
\\
\theta c^2[\frac{8}{1}]
\\
\theta g^1[\frac{6}{1}]
\\
\theta c^1[\frac{4}{1}]
\\
\theta g[\frac{3}{1}]
\\
\theta c[\frac{2}{1}]
\\
\Theta C[\frac{1}{1}]
\end{matrix}\right\}.
Перекладення на ноти цього вираження теорії множин відповідає партитурі:
\version "2.16.2"
\header
{
tagline = ##f
piece = \markup{\column{
\line{
Θ\bold{\italic{C}:}[¹/₁]
}\line{
\bold{R}[esidue]\bold{⊂J}[ust]\bold{I}[ntonation]\bold{L}[imit]\bold{31⊅03}∌
}\line{
∌ ⋔\bold{\italic{a³}:}[²⁷/₁][1.760kHz]
}\line{
Виділеної піфагорійської висоти до-великої-октави як 1-го обертону 1-го унтертону
}\line{
резидуум (\bold{R}) \bold{у Ч}іткої \bold{І}нтонації \bold{М}ежі \bold{31 без підмножини 03} — піфагорійської (\bold{R⊂ЧIM31⊅03})
}\line{
без елементу камертон-висоти ля-третьої-октави як 27-го обертону 1-го унтертону [стимул 1,760kHz]
}}}
}
{
<<
\new Staff = "11" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 16/1
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
<<
{   
        \stemDown
        cis1
          r1\stemUp
            ees1\stemDown
              r1
                r1\stemUp
                  r1
                    fis1
                      r1\stemDown
                        gis1
                          r1
                            r1
                              r1\stemUp
                                bes1
                                  r1\stemDown
                                    c''''
}
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "111" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"11"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "french^22" \key c \major
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
\stemUp
        r1
          r1
            r1
              r1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1\stemDown
                                    c'1
}
}
\new Staff = "112" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"111"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "baritone^29" \key ees \major
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
\stemUp
        r1
          r1\stemUp
            ees1
              r1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1\clef "alto^29" \key bes \major
                                \stemUp
                                bes1
                                  r1
                                    r1
}
}
\new Staff = "113" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"112"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "french^15" \key cis \major
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
\stemUp
        \stemDown
        cis1
          r1
            r1
              r1
                r1
                  r1\clef "soprano^22" \key fis \major
                    \stemUp
                    fis1
                      r1\clef "tenor^29" \key gis \major
                        \stemDown
                        gis1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
}
>>
>>
}
}
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "31" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1\stemDown
                          a1
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
\new Staff = "32" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
<<
{
                          \stemDown
                          a1
}
\new Staff = "321" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"32"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "treble^15" \key c \major
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
\stemUp
\stemDown
                          \stemDown
                          <a a'>1
}
>>
}
>>
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
>>
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "41" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1
                r1\stemUp
                  f1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
\new Staff = "42" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1
                r1
<<
{
                  \stemUp
                  f1
}
\new Staff = "421" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"42"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "soprano^15" \key f \major
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
                  \stemUp
                  <f f'>1
}
>>
}
>>
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
>>
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "51" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1\stemDown
                f1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1\stemDown
                              bes1
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
\new Staff = "52" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
              r1
<<
{
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1\stemDown
                              <bes' bes>1
}
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "521" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"52"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "tenor^29" \key bes \major
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1\stemDown
                              bes1
}
>>
}
\new Staff \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"521"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "alto^15" \key bes \major
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
                \stemDown
                f1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1\stemDown
                              <bes! bes>1
}
>>
}
>>
>>
                                r1
                                  r1
                                    r1
}
>>
}
>>
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "61" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1\stemDown
              e1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1\stemDown
                                  b1
                                    r1
}
>>
}
\new Staff = "62" \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 16/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
      r1
        r1
          r1
            r1
<<
{
              \stemDown
              <e' e>1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1\stemDown
                                  b1
}
\new PianoStaff 
<<
\new Staff = "621" \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"62"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "french^15" \key e \major %\time 12/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
              \stemDown
              e1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1\stemDown
                                  b1
}
>>
}
\new Staff \with
{
\remove "Time_signature_engraver"
alignBelowContext = #"621"
fontSize = #-1
firstClef = ##t
}
{
\clef "baritone^15" \key e \major
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
              \stemDown
              <e' e>1
                r1
                  r1
                    r1
                      r1
                        r1
                          r1
                            r1
                              r1
                                r1\stemDown
                                  b1                                    
}
>>
}
>>
>>
                                    r1
}
>>
}
>>
\new Staff = "71" \with { \remove "Clef_engraver" \remove "Time_signature_engraver" } 
{
}
>>
}
=
=
\version "2.16.2"
\header
{
tagline = ##f
piece = \markup{\column{
\line{
Θ\bold{\italic{C}:}[¹/₁]\bold{K}[lang]\bold{⊂JIL31}∋
}\line{
∋ ⋔\bold{\italic{a³}:}[²⁷/₁][1.760kHz]
}}}
}
{
<<
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'la
s4
    s4
        s4
            a1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4 g1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4 s4 d1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c c'>1^\markup{\bold:}
}
>>
}
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
s4 s4 s4 s4 \stemDown
            1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
s4 s4 s4 s4 \stemUp
         <fis>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
s4 s4 s4 \stemUp
         <f! bes!>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
\stemDown
s4 s4 <e! gis bes!>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
\stemUp
s4 <ees>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
\stemDown
<cis f! a c'!>1
}
>>
}\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
s4 s4 s4 s4 \stemDown
            1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
s4 s4 s4 \stemUp
         <f!>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
\stemDown
s4 s4 <e'! bes' e! bes!>1
}
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'fa
\stemDown
<a>1
}
>>
}
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    s4
        <d>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    <g' g>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c' c>1
}
>>
}
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef bass \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    <g>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c, c>1
}
>>
}
>>
}
\setminus
\version "2.16.2"
\header
{
tagline = ##f
piece =\markup{\column{
\line{
Θ\bold{\italic{C}:}[¹/₁]\bold{K⊂JIL03}∋
}\line{
∋⋔\bold{\italic{a³}:}[²⁷/₁][1.760kHz]
}}}
}
{
<<
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef "treble^15" \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'la
s4
    s4
        s4
            a1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    s4
        d1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    g1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c c'>1^\markup{\bold:}
}
>>
}
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef treble \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    s4
        <d>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    <g' g>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c' c>1
}
>>
}
\new Staff \with { \remove "Time_signature_engraver" } 
{
\clef bass \key c \major \time 4/1
<<
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
s4
    <g>1
}  
\\
{
\override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'re
<c, c>1
}
>>
}
>>
}
Якщо не піфагорійські висоти порівнювати з підхожими піфагорійськими, то перші відрізняються від других на невеликі інтервали, звані комами, серед різноманіття яких є одна з найбільш відомих ― синтонічна кома Дідима Coul, List of intervals, 81/80: «синтонічна кома, кома Дідима ()» (подальше позначення \Delta\iota{,} ― від  ― для підвищення, та інвертоване ― \iota\Delta{,} ― для пониження):
\begin{array}{lclcl}
\Delta\iota{,} & = & 1200\cdot\log_2(81/80) & \approx & +21{,}51\cancel{\mbox{C}}[\mbox{Cent}];\\
\iota\Delta{,} & = & 1200\cdot\log_2(80/81) & \approx & -21{,}51\cancel{\mbox{C}}.
\end{array}
Оскільки непіфагорійські висоти e^1[5], e^2[10], b^2[15] можуть бути отримані з піфагорійськіх \theta e^1[81/16], \theta e^2[81/8], \theta b^2[243/16] шляхом пониження останніх на \iota\Delta{,}[80/81], їх треба нотувати як \iota\Delta{,}\theta e^1[5]; \iota\Delta{,}\theta e^2[10]; \iota\Delta{,}\theta b^2[15]. Дійсно:
\begin{array}{rcccl}
\iota\Delta{,}\theta b^2[15] & = & \iota\Delta{,}\theta b^2[(80/81)\cdot(243/16)\equiv(80/16)\cdot(243/81)] & = & b^2[5\cdot3\equiv15];\\
\iota\Delta{,}\theta e^2[10] & = & \iota\Delta{,}\theta e^2[(80/81)\cdot(81/8)\equiv(80/8)\cdot(81/81)] & = & e^2[10\cdot1\equiv10];\\
\iota\Delta{,}\theta e^1[5] & = & \iota\Delta{,}\theta e^1[(80/81)\cdot(81/16)\equiv(80/16)\cdot(81/81)] & = & e^1[5\cdot1\equiv5].
\end{array}
Для чіткої нотації висот bes^1[7], bes^2[14] потрібна ще одна кома, відома як септимальна кома Архита Coul, List of intervals, 64/63: «септимальна кома, кома Архита ()» (подальше позначення \mathrm{A}\rho{,} ― від  ― для підвищення, та інвертоване ― \rho\mathrm{A}{,} ― для пониження):
\begin{array}{lclcl}
\mbox{A}\rho{,} & = & 1200\cdot\log_2(64/63) & \approx & +27{,}26\cancel{\mbox{C}};\\
\rho\mbox{A}{,} & = & 1200\cdot\log_2(63/64) & \approx & -27{,}26\cancel{\mbox{C}}.
\end{array}
За допомогою префіксів пониження на \rho\mbox{A}{,}[63/64] піфагорійських висот \theta bes^1[64/9], \theta bes^2[128/9] нотація чіткого інтонування для bes^1[7], bes^2[14] отримує вигляд \rho\mbox{A}{,}\theta bes^1[7], \rho\mbox{A}{,}\theta bes^2[14], істинність якого легко перевіряється:
\begin{array}{rcccl}
\rho\mbox{A}{,}\theta bes^2[14] & = & \rho\mbox{A}{,}\theta bes^2[(63/64)\cdot(128/9)\equiv(63/9)\cdot(128/64)] & = & bes^2[7\cdot2\equiv14];\\
\rho\mbox{A}{,}\theta bes^1[7] & = & \rho\mbox{A}{,}\theta bes^1[(63/64)\cdot(64/9)\equiv(63/9)\cdot(64/64)] & = & bes^1[7\cdot1\equiv7].
\end{array}
Висоті f^2[11] необхідна ундецімальна кома аль-Фарабі Coul, List of intervals, 33/32: «ундецімальна кома, 1/4-тон [чвертинатон] аль-Фарабі ()» (позначення \Phi\alpha{,} ― від  ― для підвищення, та інвертоване ― \alpha\Phi{,} ― для пониження):
\begin{array}{lclcl}
\Phi\alpha{,} & = & 1200\cdot\log_2(33/32) & \approx & +53{,}27\cancel{\mbox{C}};\\
\alpha\Phi{,} & = & 1200\cdot\log_2(32/33) & \approx & -53{,}27\cancel{\mbox{C}}.
\end{array}
Префікс підвищення \Phi\alpha{,}[33/32] призводить піфагорійську нотацію \theta f^2[32/3] до виду \Phi\alpha{,}\theta f^2[11], який відповідає чіткому інтонуванню f^2[11]:
\begin{array}{rcccl}
\Phi\alpha{,}\theta f^2[11] & = & \Phi\alpha{,}\theta f^2[(33/32)\cdot(32/3)\equiv(33/3)\cdot(32/32)] & = & f^2[11\cdot1\equiv11].
\end{array}
Ще одній висоті a^2[13] необхідна тридецімальна кома Coul, List of intervals, 27/26: «тридецімальна кома ()» (позначення \rho\iota{,} ― від  ― для підвищення, та інвертоване ― \iota\rho{,} ― для пониження):
\begin{array}{lclcl}
\rho\iota{,} & = & 1200\cdot\log_2(27/26) & \approx & +65{,}34\cancel{\mbox{C}};\\
\iota\rho{,} & = & 1200\cdot\log_2(26/27) & \approx & -65{,}34\cancel{\mbox{C}}.
\end{array}
Пониження \theta a^2[27/2] на \iota\rho{,} дає \iota\rho{,}\theta a^2[13], що означає чітке інтонування a^2[13]:
\begin{array}{rcccl}
\iota\rho{,}\theta a^2[13] & = & \iota\rho{,}\theta a^2[(26/27)\cdot(27/2)\equiv(26/2)\cdot(27/27)] & = & a^2[13\cdot1\equiv13].
\end{array}
Треба врахувати, що подвійність існування кратності гармонічної IEV 1994, гармонічний ряд звуків (): «основна частота кожного з них є ціле кратне найнижчої основної частоти ()» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-04 і субгармонічної,IEV 1994, субгармонічний відгук (): «є субкратним частоти збудження ()» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-24-25 а також інтервалів і тонів,Partch 1974, с. 76: «Система музики є організація зв'язків висот, або тонів, одне з одним, та ці зв'язки неминуче зв'язки чисел. Тон є число, а так як тон в музиці завжди чути в зв`язку з одним або декількома тонами ― дійсно чутних або маємих на увазі ― нам є принаймні до двох чисел справа: числа тону розглядуваного та числа тону чутного або маємого на увазі в зв`язку з першим тоном. Таким чином, співвідношення. ()»Partch 1974, с. 71: «Інтервал: висотний зв'язок між двома музичними звуками, співвідношення. Інтервал, співвідношення, тон, суть майже синоніми в цьому викладенні; співвідношення є в один і той же час представник тону та інтервалу, і тон завжди має на увазі співвідношення, або інтервал. ()» відбилася в подвійності  нумерації (через косу, рідше звичайну, дробну рису) висот системи чіткої інтонації. Перед (над) рисою пишуть номер висоти в ряду обертонів, а після (знизу) риси ― номер унтертону, від якого цей ряд збудований.Partch 1974, с. 67: «У початковому рукопису два числа кожного співвідношення були показані одне над іншим, і ця форма істотна для викладення в певних випадках, "над" число і "під" число часто мають співзначення дуже особливої природи, як буде видно. Крайнощами друкованого набору, однак, було важко зберегти цю форму, де співвідношення зустрічаються в тексті. Обидва числа співвідношення відображаються в тому ж рядку; тому число попереднє діагоналі буде вважатися "над" і число, наступне діагоналі буде вважатися "під". На схемах ці два числа завжди відображаються одне над одним, так що "над" і "під" співзначення, якщо застосовні, є очевидними. ()»
Обертони нотного прикладу Кетлін Шлезінгер пронумеровані натуральними числами, але гармонічний ряд є підсистема чіткої інтонації. Тотожне перенумерування у подвійній манері, з одиницею після риси, явно виразить, що увесь ряд збудований від першого унтертону (збігається з першим обертоном) і кожен номер перед рисою вказує на його приналежність саме до ряду обертонів від загальної основи, тобто від першого унтертону у ряді таких від цієї загальної основи.
Таким чином, якщо для повної визначеності додати ще й позначенням відсутності будь-якої коми \chi{,} (від ), множина перших 16-ти обертонів має вигляд:
\left\{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
_{\chi{,}\theta}
 &_{\chi{,}\theta}
  &_{\chi{,}\theta}
   &_{\chi{,}\theta}
    &_{\iota\Delta{,}\theta}
     &_{\chi{,}\theta}
      &_{\rho\Alpha{,}\theta}
       &_{\chi{,}\theta}
        &_{\chi{,}\theta}
         &_{\iota\Delta{,}\theta}
          &_{\Phi\alpha{,}\theta}
           &_{\chi{,}\theta}
            &_{\iota\rho{,}\theta}
             &_{\rho\Alpha{,}\theta}
              &_{\iota\Delta{,}\theta}
               &_{\chi{,}\theta}\\
^{~~C}_{[1/1]}
 &^{~~c}_{[2/1]}
  &^{~~g}_{[3/1]}
   &^{~~c^1}_{[4/1]}
    &^{~~e^1}_{[5/1]}
     &^{~~g^1}_{[6/1]}
      &^{~bes^1}_{[7/1]}
       &^{~~c^2}_{[8/1]}
        &^{~~d^2}_{[9/1]}
         &^{~~e^2}_{[10/1]}
          &^{~~f^2}_{[11/1]}
           &^{~~g^2}_{[12/1]}
            &^{~~a^2}_{[13/1]}
             &^{~bes^2}_{[14/1]}
              &^{~~b^2}_{[15/1]}
               &^{~~c^3}_{[16/1]}
                &^\cdots\\
\hline
\end{array}\right\}
Суміщення з нотним прикладом показує, що буквені імена йому сповна відповідають. Тому й нотація Кетлін Шлезінгер виділяється з інших відомих як найбільш вірна для застосування до неї енгармонічних фікт (у цьому прикладі вони над нотами), які наказують всі необхідні мікротонові вигини висот для досягнення їх чіткого інтонування. 
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
_{\chi{,}\theta}
 &_{\chi{,}\theta}
  &_{\chi{,}\theta}\\
\hline\end{array}~~~~~~~~~~~~\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    _{\chi{,}\theta}
    &_{\iota\Delta{,}\theta}
     &_{\chi{,}\theta}
      &_{\rho\Alpha{,}\theta}
       &_{\chi{,}\theta}
        &_{\chi{,}\theta}
         &_{\iota\Delta{,}\theta}
          &_{\Phi\alpha{,}\theta}
           &_{\chi{,}\theta}
            &_{\iota\rho{,}\theta}^{~~~\pitchfork}
             &_{\rho\Alpha{,}\theta}
              &_{\iota\Delta{,}\theta}
               &_{\chi{,}\theta}\\
\hline\end{array}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
^{~~C}_{\left[\frac{1}{1}\right]}
 &^{~~c}_{\left[\frac{2}{1}\right]}
  &^{~~g}_{\left[\frac{3}{1}\right]}\\
\hline\end{array}~~~~~~~~~\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    ^{~~c^1}_{\left[\frac{4}{1}\right]}
     &^{~~e^1}_{\left[\frac{5}{1}\right]}
      &^{~~g^1}_{\left[\frac{6}{1}\right]}
       &^{bes^1}_{\left[\frac{7}{1}\right]}
        &^{~~c^2}_{\left[\frac{8}{1}\right]}
         &^{~~d^2}_{\left[\frac{9}{1}\right]}
          &^{~~e^2}_{\left[\frac{10}{1}\right]}
           &^{~~f^2}_{\left[\frac{11}{1}\right]}
            &^{~~g^2}_{\left[\frac{12}{1}\right]}
             &^{~~a^2}_{\left[\frac{13}{1}\right]}
              &^{~bes^2}_{\left[\frac{14}{1}\right]}
               &^{~~b^2}_{\left[\frac{15}{1}\right]}
                &^{~~c^3}_{\left[\frac{16}{1}\right]}\\
\hline\end{array}
Звертаючи увагу на факт присутності у кожній енгармонічній фікті символу \theta, вказуючого піфагорійський  рівень висоти, слід пам'ятати, що вигин звичайної темперованої висоти, наприклад, до висоти чіткого інтонування треба спочатку виконати до піфагорійського рівня, а потім або таким й залишити, якщо коматичного префікса немає чи є безкоматичний \chi{,} префікс, або від піфагорійського рівня виконати ще вигин, вказаний коматичним префіксом.
Значок \pitchfork над \theta висоти a^2 ув'язує її піфагорійський рівень зі стандартною частотою настройки,IEV 1994, стандартна частота настройки (): «для ноти ЛЯ в дисканта [скрипкового ключа] октаві, 440 Гц ()» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-18 що виражає рівність:
\begin{array}{rcccl}
_\theta^\pitchfork a^2[27/2]-(\theta P8[2/1]) & = & _\theta^\pitchfork a^{(2-1\equiv1)}[(27/2)\cdot(1/2)\equiv(27/4)] & = &{\pitchfork}a^1[27/4][440\mbox{Hz}].
\end{array}
--93.76.19.47 15:04, 7 жовтня 2016 (UTC) --93.76.25.29 19:02, 7 жовтня 2016 (UTC) --93.76.25.243 04:54, 8 жовтня 2016 (UTC) --93.76.24.144 07:18, 8 жовтня 2016 (UTC) --37.53.143.174 10:16, 8 жовтня 2016 (UTC)
thread_title:  Проміжна версія розділу Музична нотація