Tartışma:L'Hopital kuralı

message: === Part 1 ===
~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \ \land \ \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \ \land \ \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \cap \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: :~ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) \quad \land \quad \{\lim_{x \to a} f(x), \ \ \lim_{x \to a} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \quad \land
replies: text: :~ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \  \cap \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \land \ 0 \ < \ |x - a| \ < \ \delta} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \ ) \quad \to

text: :~ ( \ \exists_{L \ \in \ \mathbb{R}} \ (\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L) \quad \to \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \ )

text: Notes

text: ~ \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{f} = \{\langle x, y \rangle| \quad \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad y = f(x) \ \}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} = \{\langle x, y \rangle| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad y \in \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \}

text: :~ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \Leftrightarrow \quad  \forall x \forall y  \ ( \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \to \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \ )

text: ~ \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{g} = \{\langle x, y \rangle| \quad \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad y = g(x) \ \}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} = \{\langle x, y \rangle| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad y \in \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \}

text: :~ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \forall y \ ( \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \to \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \ )

text: ~ a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \cap \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \ \land \ \ a \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \cap \mathbb{X}_{\mathrm{g}} = \{x| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \}

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = - \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{m \ \in \ (- \infty, \ 0)} \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ f(x) < m)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = - \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{m \ \in \ (- \infty, \ 0)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ g(x) < m)

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{\varepsilon \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ |f(x)| < \varepsilon)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{\varepsilon \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ |g(x)| < \varepsilon)

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{M \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ f(x) > M)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{M \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ g(x) > M)

text: ~ \vdash \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
replies: text: :~ f'(x) \in \mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \quad \exists y \ (y \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ y = f'(x) \ ) \quad \Leftrightarrow \quad \exists_{y \ \in \ \mathbb{R}} \ (y = f'(x))

text: ~ \vdash \quad g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}
replies: text: :~ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \quad \Leftrightarrow \quad g'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \notin \{0\} \quad \Leftrightarrow \quad g'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \ne 0

text: ~ \exists_{L \ \in \ \mathbb{R}} \ (\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L) \quad \Leftrightarrow \quad \exists L \ ( \ L \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \ ) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R}
=== Part 2 ===
~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \times \ \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \times \ \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R} \quad \land
replies: text: :~ \exists a_{\mathrm{f}} \exists a_{\mathrm{g}} \ ( \ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \land \quad (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: ::::~ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) \quad \land \quad \{\lim_{x \to \infty} f(x), \ \ \lim_{x \to \infty} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \quad \land
replies: text: ::::~ \exists_{a \ \in \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \ge \ max(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}})} \ \forall_{x \ \in \ (a, \infty)} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \land \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}) \quad \land \quad \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R} ) \quad \to

text: :~ \to \quad \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}

text: Notes

text: ~ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \quad a_{\mathrm{f}} \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ a_{\mathrm{g}} \in \mathbb{R}

text: ~ \vdash \quad (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x > a_{\mathrm{f}} \ \}
replies: text: :~ (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}})

text: ~ \vdash \quad (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x > a_{\mathrm{g}} \ \}
replies: text: :~ (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}})

text: ~ a \ \ge \ max(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad a \ \ge \ \frac{1}{2} \cdot (a_{\mathrm{f}} + a_{\mathrm{g}} + |a_{\mathrm{f}} - a_{\mathrm{g}}|)
=== Part 3 ===
~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land
replies: text: :~ \exists a_{\mathrm{f}} \exists a_{\mathrm{g}} \ ( \ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \land \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: ::::~ \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} g(x) \ \ \land \ \ \{\lim_{x \to - \infty} f(x), \ \ \lim_{x \to - \infty} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \ \ \land
replies: text: ::::~ \exists_{a \ \in \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ min(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}})} \ \forall_{x \ \in \ (- \infty, a)} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \land \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}) \ \  \land \ \ \lim_{x \to - \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R})

text: :~ \to \quad \lim_{x \to - \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}

text: Notes

text: ~ \vdash \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x < a_{\mathrm{f}} \ \}
replies: text: :~ (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{x \ \in \ (- \infty, \ a_{\mathrm{f}})} \ (x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}})

text: ~ \vdash \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x < a_{\mathrm{g}} \ \}
replies: text: :~ (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{x \ \in \ (- \infty, \ a_g)} \ (x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}})

text: ~ a \ \le \ min(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad a \ \le \  \frac{1}{2} \cdot (a_{\mathrm{f}} + a_{\mathrm{g}} - |a_{\mathrm{f}} - a_{\mathrm{g}}|)
thread_title:  Addition to the article [[:en:L'Hopital's rule|"L'Hopital Kurali"]] 

message: ~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \ \land \ \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \ \land \ \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \cap \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: :~ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) \quad \land \quad \{\lim_{x \to a} f(x), \ \ \lim_{x \to a} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \quad \land
replies: text: :~ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \  \cap \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \land \ 0 \ < \ |x - a| \ < \ \delta} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \ ) \quad \to

text: :~ ( \ \exists_{L \ \in \ \mathbb{R}} \ (\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L) \quad \to \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \ )

text: Notes

text: ~ \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{f} = \{\langle x, y \rangle| \quad \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad y = f(x) \ \}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} = \{\langle x, y \rangle| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad y \in \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \}

text: :~ \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \Leftrightarrow \quad  \forall x \forall y  \ ( \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \ \to \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \ )

text: ~ \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{g} = \{\langle x, y \rangle| \quad \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad y = g(x) \ \}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} = \{\langle x, y \rangle| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad y \in \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \}

text: :~ \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \forall y \ ( \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \ \to \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \ )

text: ~ a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \cap \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad a \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \ \land \ \ a \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}}
replies: text: :~ \vdash \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \cap \mathbb{X}_{\mathrm{g}} = \{x| \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \}

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = - \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{m \ \in \ (- \infty, \ 0)} \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ f(x) < m)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = - \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{m \ \in \ (- \infty, \ 0)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ g(x) < m)

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{\varepsilon \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ |f(x)| < \varepsilon)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{\varepsilon \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ |g(x)| < \varepsilon)

text: ~ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{M \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{f}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ f(x) > M)

text: ~ \lim_{x \to a} g(x) = \infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{M \ \in \ (0, \ \infty)} \ \exists_{\delta \ \in \ (0, \ \infty)} \ \forall_{x \ \in \ \mathbb{X}_{\mathrm{g}}} \ (0 < |x - a| < \delta \ \to \ g(x) > M)

text: ~ \vdash \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
replies: text: :~ f'(x) \in \mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \quad \exists y \ (y \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ y = f'(x) \ ) \quad \Leftrightarrow \quad \exists_{y \ \in \ \mathbb{R}} \ (y = f'(x))

text: ~ \vdash \quad g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}
replies: text: :~ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \quad \Leftrightarrow \quad g'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \notin \{0\} \quad \Leftrightarrow \quad g'(x) \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ g'(x) \ne 0

text: ~ \exists_{L \ \in \ \mathbb{R}} \ (\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L) \quad \Leftrightarrow \quad \exists L \ ( \ L \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \ ) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R}
thread_title:  Part 1 

message: ~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \ \times \ \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \ \times \ \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R} \quad \land
replies: text: :~ \exists a_{\mathrm{f}} \exists a_{\mathrm{g}} \ ( \ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \land \quad (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: ::::~ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) \quad \land \quad \{\lim_{x \to \infty} f(x), \ \ \lim_{x \to \infty} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \quad \land
replies: text: ::::~ \exists_{a \ \in \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \ge \ max(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}})} \ \forall_{x \ \in \ (a, \infty)} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \land \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}) \quad \land \quad \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R} ) \quad \to

text: :~ \to \quad \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}

text: Notes

text: ~ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \quad a_{\mathrm{f}} \in \mathbb{R} \ \ \land \ \ a_{\mathrm{g}} \in \mathbb{R}

text: ~ \vdash \quad (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x > a_{\mathrm{f}} \ \}
replies: text: :~ (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (a_{\mathrm{f}}, \ \infty) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}})

text: ~ \vdash \quad (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x > a_{\mathrm{g}} \ \}
replies: text: :~ (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (a_{\mathrm{g}}, \ \infty) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}})

text: ~ a \ \ge \ max(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad a \ \ge \ \frac{1}{2} \cdot (a_{\mathrm{f}} + a_{\mathrm{g}} + |a_{\mathrm{f}} - a_{\mathrm{g}}|)
thread_title:  Part 2 

message: ~ t \vdash \quad \mathrm{f}: \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{f}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land \quad \mathrm{g}: \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \mapsto \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \quad \land \quad \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \times \mathbb{Y}_{\mathrm{g}} \subseteq \mathbb{R}^2 \quad \land
replies: text: :~ \exists a_{\mathrm{f}} \exists a_{\mathrm{g}} \ ( \ \{a_{\mathrm{f}}, \ a_{\mathrm{g}}\} \subseteq \mathbb{R} \quad \land \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \land \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \land
replies: text: ::::~ \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} g(x) \ \ \land \ \ \{\lim_{x \to - \infty} f(x), \ \ \lim_{x \to - \infty} g(x)\} \ \subseteq \ \{\{- \infty\}, \ \{0\}, \ \{\infty\}\} \ \ \land
replies: text: ::::~ \exists_{a \ \in \ \mathbb{R} \ \land \ a \ \le \ min(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}})} \ \forall_{x \ \in \ (- \infty, a)} \ (f'(x) \in \mathbb{R} \ \land \ g'(x) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}) \ \  \land \ \ \lim_{x \to - \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R})

text: :~ \to \quad \lim_{x \to - \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to - \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}

text: Notes

text: ~ \vdash \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x < a_{\mathrm{f}} \ \}
replies: text: :~ (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{f}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (- \infty, \ a_{\mathrm{f}}) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{x \ \in \ (- \infty, \ a_{\mathrm{f}})} \ (x \in \mathbb{X}_{\mathrm{f}})

text: ~ \vdash \quad (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \ = \ \{x| \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad x < a_{\mathrm{g}} \ \}
replies: text: :~ (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \subseteq \mathbb{X}_{\mathrm{g}} \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \ (x \in (- \infty, \ a_{\mathrm{g}}) \ \to \ x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall_{x \ \in \ (- \infty, \ a_g)} \ (x \in \mathbb{X}_{\mathrm{g}})

text: ~ a \ \le \ min(a_{\mathrm{f}}, a_{\mathrm{g}}) \quad \Leftrightarrow \quad a \ \le \  \frac{1}{2} \cdot (a_{\mathrm{f}} + a_{\mathrm{g}} - |a_{\mathrm{f}} - a_{\mathrm{g}}|)
thread_title:  Part 3