Diskussion:Multiplicitet

message: Finns det något annat sätt att bestämma multipliciteten för ett polynoms nollställe än att upprepade gånger utföra polynomdivision tills det inte går jämnt ut längre? Säg exempelvis polynomet
replies: text: p(x) = x^5 - 10x^2 + 15x - 5
med nollstället x = 1.
Dels skulle jag behöva hjälp med det inför en omtenta, dessutom tycker jag det skulle varit ett trevligt tillägg till artikeln Multiplicitet.

text: Du kan ju alltid försöka att faktorisera uttrycket. --Andreas Rejbrand 9 augusti 2006 kl. 18.28 (CEST)
replies: text: :Det är väl samma sak som att utföra upprepad polynomdivision? Eller hur menar du? --Petter ☏ 9 augusti 2006 kl. 23.46 (CEST)
replies: text: ::Resultatet blir detsamma, fast tillvägagångssättet blir (beroende på definition) annorlunda. Jag fick intrycket av att frågeställaren med "polynomdivision" syftade på användningen av någon bestämd algoritm för divisonen (exempelvis med "liggande stolen"). Man kan dock faktorisera uttrycket genom att exempelvis använda någon kvadreringsregel. Detta fungerar dock endast på specialfall av polynom, såsom

text: ::10x^2 - 100bx + 250b^2 = 10(5b-x)^2

text: :: --Andreas Rejbrand 10 augusti 2006 kl. 00.57 (CEST)
replies: text: ::: För att faktorisera ett polynom krävs att du känner dess rötter. Det finns inga algebraiska metoder för att hitta rötter till polynom av grad större än 4.--Petter ☏ 10 augusti 2006 kl. 01.59 (CEST)
replies: text: :::: Nej, som jag skrev så fungerar detta endast för specialfall. --Andreas Rejbrand 10 augusti 2006 kl. 13.01 (CEST)

text: Jag känner inte till några bättre algebraiska metoder, men numeriskt tycker jag att det borde gå att räkna ut med hjälp av residyer (se :en:Residue (complex analysis)), men jag har aldrig gjort det eller sett det göras, det var bara en idé. På en tenta blir det nog till att använda polynomdivision i alla fall. --Petter ☏ 9 augusti 2006 kl. 23.46 (CEST)
replies: text: :Man kan ju derivera uttrycket och sätta in för att se hur långt nollstället varar (multiplicitet ett försvinner tidigast vid första deriveringen, 2 vid andra osv.). Detta är ingen säker metod (jag vet i alla fall ingen sats som garanterar att det ger exakt rätt svar), men kommer ge en övre gräns för multipliciteten. För övrigt är det ett jäkligt polynom du valt - vad jag kan se saknar det rationella rötter (om jag kommer ihåg den sats jag kan om detta rätt). Att räknas numeriskt med residuer verkar betydligt jobbigare än polynomdivision. Andejons 10 augusti 2006 kl. 00.02 (CEST)
replies: text: ::Derivering var en bra idé. Skall se om jag förstår vad du menar:

text: ::D^k (x-a)^m = 
\begin{cases} 
C(x-a)^{m-k}, & m > k\\
1,         & m = k \\
0,         & m < k
\end{cases}

text: ::Tittar vi då på polynomet p(x)=(x-a)^m q(x) så får vi för n:te derivatan:

text: ::p^{(n)}(x) = D^np(x) = \sum_{k=0}^n D^k(x-a)^m D^{n-k}q(x)

text: ::Om n är mindre än m så blir p^{(n)}(a) = 0 eftersom det alltid finns faktorer (x-a) kvar i alla termer i summan. Om däremot n är lika med m blir sista termen i summan 1 \cdot D^0q(x) och alltså p^{(n)}(a) = q(a) \neq 0. Så det verkar som om derivatan kan användas till att bestämma multipliciteten för ett nollställe.

text: ::Man deriverar alltså upprepade gånger och första gången derivatan är skild från noll är multipliciteten för nollstället. --Petter ☏ 10 augusti 2006 kl. 01.59 (CEST)

message: Detta MATLAB-program använder metoden med derivering ovan och verkar fungera
 function k = multiplicity(p,a)
  k=0;
  while polyval(p,a) == 0
      p = polyder(p);
      k=k+1;
  end
--Petter ☏ 10 augusti 2006 kl. 02.08 (CEST)
replies: text: Kul att det verkar funka. Dock så flyttar sig ju polynomens nolställe vid derivering, så det hela ger ju bara en övre gräns. Om man skall söka alla nollställen med multiplicitet borde det dock vara tämligen sällsynt med polynom där man inte kan lista ut gradtalet i efterhand.Andejons 10 augusti 2006 kl. 10.38 (CEST)
replies: text: :Jag förstår inte varför det bara skulle ge en övre gräns. Som jag har räknat ger det den exakta multipliciteten. Kan du förklara det närmare?  --Petter ✍ 20 augusti 2006 kl. 16.51 (CEST)

text: :Hmm. Det ger nog faktiskt alltid rätt resultat. I alla fall fick jag ett bevis för det när jag försökte visa motsatsen.

text: :andejons 21 augusti 2006 kl. 14.07 (CEST)
thread_title: Program