Diskussion:Kvadratrot

message: Jag tycker att det här borde ha en tydligare plats och kanske till och med flyttas upp till definitionen:
replies: text: x^{(\frac{1}{2})} = \sqrt{x}
Utläses: X upphöjt till en halv är lika med kvadratroten ur X
Vad tycker ni? 
Sebbes333 (disk) 30 maj 2012 kl. 18.06 (CEST)
thread_title: Tydligare

message: Algoritm för kvadratrotsutdragning:
1. Talet indelas från höger i grupper med två siffror i varje grupp.
replies: text: Är talet ett decimaltal indelas det från kommat åt båda håll.
2. Det största heltal vars kvadrat är mindre än första gruppen skrivs upp.
3. Man kvadrerar detta tal och drar resultatet från första gruppen.
4. Nästa grupp flyttas ned.
5. Fördubbla det hittills funna talet.
6. Pröva vilket det största talet är, vilket man kan sätta efter det fördubblade talet

text: och multiplicera med det då framkommna talet med utan att produkten blir större

text: än de nedflyttade siffrorna. Detta är nästa tal i resultatet.
7. Dra ifrån.
8. Flytta ned nästa grupp.
9. Bestäm ett nytt tal som i punkt 6 osv.
Exempel:
Sqr( 40 76 81 ) = roten ur 407681
1. Indelning i grupper. 
2. Största heltal^2 mindre än sqr(40) -> 6.
3. 6^2 = 36, 40-36 = 4.
4. 76 flyttas ned.
5. 2*6 = 12.
6. 123*3 = 369 (produkten är mindre än 476) -> talet är 3.
7. 476-369 = 107.
8. 81 flyttas ned.
9. 63*2 = 126.
10. 8 är nästa tal.
11. 1268*8 = 10144. -> 8
12. 10781-10144 = 637.
Resten (637) är mindre än det funna talet (638). Man höjer inte.
Alltså Sqr(407681) ungefär lika med 638.
Önskas ökad noggrannhet lägger man till 0-par, alltså 00 00... o.s.v.
Johan Forsberg 28 december 2006 kl. 18.43 (CET)

text: Det är tyvärr förmodligen inte så lätt att formatera detta med den begränsade TeX vi har tillgång till. En kort och koncis framställning av algoritmen ges i Svensk uppslagsbok, 2:a upplagan. Jag håller helt med Johan om att metoden borde presenteras här också; den är t. ex. mer encyklopediskt intressant än den babyloniska metod som presenteras. Kanske det kunde vara värt att se om t. ex. engelska eller tyska sidoartikeln har någon vettig presentation, där man bara behöver ändra de språkliga elementen. Jörgen B 1 november 2007 kl. 19.02 (CET)
Trevligt minne från en svunnen gymnasietid!
Jag fixade ett provisoriskt exempel med "running example"... Tycker ni det har något värde? Utvecklingsbart?

text: 1	Dela in talet från höger i grupper med två siffror i varje grupp (sista gruppen kan bestå av en siffra).
Är talet ett decimaltal indela talet från decimaltecknet åt båda håll
2	Sök det största heltal vars kvadrat är mindre än första gruppen
3	Kvadrera talet och subtrahera resultatet från första gruppen
4	Om alla grupper är nedflyttade och resultatet av föregående 
subtraktion är nollskild, sätt in gruppen '00'
om önskad noggrannhet inte uppnåtts.
Flytta annars ned nästa grupp som bildar talet d
tillsammans med resultatet av föregående subtraktion
5	Låt k vara den hittills funna delen av kvadratroten. Bilda

text: t = 2\cdot k\cdot 10
6	Sök det största tal n som uppfyller

text: n(t + n) \le d
n bildar nästa siffra i resultatet
7	Utför subtraktionen

text: d-n(t + n)
8	Upprepa från punkt 4
Svjo (disk) 8 juli 2012 kl. 18.28 (CEST)
thread_title:  Kan någon formatera denna algoritm? 

message: Behöver det verkligen stå "kvadratroten ur ett positivt tal..."? (Jag tog bort det, men det återställdes). Det finns emå ingen anledning att i inledningens första mening ge en exakt definition. Jag skulle kunna tänka mig att skippa restriktionen på kvadratrötterna också - "ett tal som multiplicerat med sig själv..", alltså. Läser man bara några meningar till finns precis allt med. /NH 27 augusti 2007 kl. 18.13 (CEST)
replies: text: Jag återställde, eftersom det gör att man med bara ett extra ord får en bra, exakt definition. Hade det varit så att man behövt en längre utläggning för att exakt definiera begreppet hade det varit en annan sak. Istället för att ta bort även det andra "positiva" tycker jag istället man borde ta bort exemplet ur inledningen, eller i alla fall skriva om det.

text: andejons 27 augusti 2007 kl. 19.16 (CEST)
replies: text: :Artikelns inledning kan såklart utformas på många sätt. En sjätteklassare (eller en åttioåring som inte sysslat med matematik sedan småskolan), kan fatta innebörden av begreppet kvadratrot, därför kan det vara bra att hålla inledningen så enkel som möjligt. Skulle man kanske skriva "Kvadratrötter finns endast för positiva tal, och kvadratrötter är själva alltid positiva tal", eller nåt. /NH 27 augusti 2007 kl. 19.45 (CEST)
replies: text: ::Självklart skall man hålla det enkelt, men jag tror inte någon kommer ha problem med ett såpass grundläggande ord som "positivt". Det finns inget egenvärde i att förenkla bara för att det går att göra om väsentliga delar i en korrekt definition går förlorade. Det blir lite som att i Sverige vilja skriva "Sverige är en monarki i norra Europa" istället för den betydligt mer innehållsrika (och rättvisande) inledningen.

text: ::andejons 27 augusti 2007 kl. 20.44 (CEST)
replies: text: :::# Det är riskabelt att ta bort presentationen (utan att ersätta den enligt nedan). Skälet är att många uppfattar båda rötterna till ekvationen r^2 = x som kvadratrötter. Den användningen stämmer inte med "Matematikterminologi i skolan", och inte heller med vad jag uppfattar som den vanligaste innebörden av kvadratrotssymbolen på universiteten. Möjligen bör man kommentera den alternativa definitionen, men påpeka att "kvadratroten ur x" då inte längre är ett entydigt bestämt tal. Det skulle dock inte göra inledningen lättlästare, om man toge upp detta där. Möjligen kunde man skjuta in ett "vanligen" någonstans, och sedan ha ett stycke om alternativa definitioner i avsnittet om komplexa tal.

text: :::# Definitionen som den står är faktiskt inte fullständigt korrekt nu, därför att fallet x = 0 försummas. Så här skriver t. ex. "Matematikterminologi...":
replies: text: ::::::Med kvadratroten ur ett positivt tal a menas det positiva tal vars kvadrat är a.
replies: text: ::::::Kvadratroten ur talet noll är noll.

text: :::::Man kan lösa detta genom att byta ut ordet "positiv" mot "ickenegativ". Jag misstänker dock att du, NH, skulle tycka ännu sämre om det alternativet. Är en litet längre skrivning i inledningen, ungefär som i "Matematikterminologi...", att föredra framför att använda ordet ickenegativ? (Man kan ju knappast hävda att ickenegativ skulle vara ett "såpass grundläggande ord att inte någon kommer att ha problem med det":-).) Jörgen B 1 november 2007 kl. 19.27 (CET)
thread_title:  Korrekthet vs. enkelhet 

message: Även om det egentligen inte möjligt att använda rottecknet direkt, eftersom detta endast går att definiera entydigt för reella, postiva tal, används det dock ibland informellt. ... \sqrt{-1}=i är inte ett korrekt skrivsätt
Man får en entydig definition för alla komplexa tal genom att välja ett principalvärde, så det är absolut möjligt. Den entydiga definitionen för positiva tal är inget mindre än ett specialfall av det entydiga komplexa principalvärdet.
Huruvida man får korrekta resultat beror på om man tar hänsyn till de räknelagar som gäller för principalvärdet, inte på vilken symbol man använder. Så det är fel att säga att kvadratrotstecknet inte är "korrekt" för komplexa kvadratrötter. Notationen \sqrt{z} (till och med \sqrt{-1} for i) är inte alls ovanlig i avancerade sammanhang, så den kan knappast beskrivas som "informell" heller. Fredrik 28 augusti 2007 kl. 08.49 (CEST)
replies: text: Mja, vad jag förstått beror det där lite på. Väljer man principalvärdesvarianten tappar man ett par praktiska räkneregler. Persson/Böiers skriver till exempel "Roten ur negativa tal är inte definierad".

text: andejons 28 augusti 2007 kl. 08.54 (CEST)
replies: text: :Räknereglerna för positiva kvadratrötter fortsätter att gälla för just positiva kvadratrötter även om man utökar definitionen till komplexa tal. Att Persson/Böiers väljer att inte definiera kvadratroten ur negativa tal betyder inte att kvadratroten inte kan definieras. Artikeln bör snarare säga att en kvadratrot kan definieras men att vissa författare väljer att inte göra det. Fredrik 28 augusti 2007 kl. 09.26 (CEST)
replies: text: ::Problemet är ju att regler som normalt gäller för rötter av positiva tal inte gäller för rötter av negativa, vilket gör att man får två olika uppsättningar räkneregler (\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y} och liknande gäller bara om man förbjuder en att ta roten ur negativa tal).

text: ::andejons 28 augusti 2007 kl. 09.37 (CEST)
replies: text: :::Jag ser inte vari problemet ligger. Om en viss räkneregel bara gäller för positiva tal så är det bara att specificera det. Fredrik 28 augusti 2007 kl. 09.44 (CEST)
replies: text: ::::Hm, i fysiksammanhang verkar det inte vara helt ovanligt, åtminstone inte i amerikanska böcker. Jag hittar t.ex. en där det helt enkelt står "... where j=\sqrt{-1} " i samband med analys av växelströmskretsar (j för att undvika förväxling med i antar jag, jag är inte fysiker :-). Men vad gäller matematisk litteratur har jag uppfattningen att det ovanligt och jag tror aldrig jag har sett det i någon svensk bok. Matematikerna anser kanske att det blir för fult, eller nåt. Nu står att kvadratrötter för negativa tal inte kan definieras på ett "tillfredsställande sätt", det är kanske en ganska vettig formulering. /NH 28 augusti 2007 kl. 14.28 (CEST)
replies: text: :::::Notationen är vanlig i abstrakt algebra. Se exempelvis en:unique factorization domain. Att kvadratrötter för negativa tal inte kan definieras på ett "tillfredsställande sätt" kan jag inte hålla med om. Det enda som inte skulle vara tillfredsställande är att det finns två rötter och att man konsekvent måste välja en av dem. Men det problemet har man ju även då man definierar principalvärdet för positiva kvadratrötter. Fredrik 28 augusti 2007 kl. 17.51 (CEST)
replies: text: ::::::Jag får ta tillbaka, för även i Adams: Calculus (1999, används bl.a. i grundkurserna på KTH, tror jag) talas både om positiva och negativa kvadratrötter, kvadratrötter ur negativa tal och om principala (så på svenska?) och andra kvadratrötter ur komplexa tal. Artikeln bör såklart ta upp båda möjligheterna till val av definition. /NH 29 augusti 2007 kl. 00.07 (CEST)
thread_title:  Komplexa kvadratrötter 

message: Kan någon förklara det wikipediska värdet av kapitlet "Kvadratrötter av de första 20 heltalen". Förefaller vara någon slags motsvarighet till "snickarglädje"...
193.15.240.60 11 september 2007 kl. 14.48 (CEST)
replies: text: Nix, det kan jag inte förklara. Om man kan läsa artikeln, torde man ha tillgång till dator och då borde man rimligen kunna räkna ut det själv. Jag tar bort listan. --Wasell(D) 11 september 2007 kl. 14.57 (CEST)
thread_title: Numeriskt värre...

message: Det stämmer väl inte att en kvadratrot måste vara positiv? Även en negativ lösning räknas som en kvadratrot. Jag är osäker på vad det heter på svenska, men "principal square root" är ju den positiva kvadratroten. Någon som vet vad detta begrepp heter på svenska kan ju rätta artikeln.
Eller är jag helt ute och cyklar nu? På engelska wikipedia står det i alla fall att det finns två kvadratrötter till varje tal. --Ankarsten 24 september 2008 kl. 15.41 (CEST)
replies: text: Det verkar vara en fråga om vad man ser som "kvadratroten". Ser man det som lösningen till en ekvation, får man mycket riktigt negativa tal. Ser man den som en funktion, måste den ha ett tecken.

text: andejons 27 september 2008 kl. 16.37 (CEST)
replies: text: :Jag hävdar, och har alltid hört att lösningen inte måste vara positiv. Att roten ur ett positivt tal har två lösningar, en positiv och en motsvarande negativ. Jag har alltid (förutom från grundskolelärare ::som förklarar för inte allt för matematiskt utbildade elever) hört/läst att roten ur ger både positiv & negativ lösning. Förutom den här artikeln har jag aldrig uttruckligen hört/läst att svaret alltid är ::positivt. 82.199.191.30 13 mars 2009 kl. 22.13 (CET)
replies: text: ::Att ekvationen x^2=4 har en positiv och en negativ lösning är nog alla överens om. Vad gäller kvadratrot är det en fråga om definitioner, man får helt enkelt bestämma sig för vad som ska gälla. Jag tror att i svenska matteböcker upp till gymnasienivå är det vanligast med kvadratrötter som enbart positiva tal. Men eftersom även den andra definitionen förekommer måste vi skriva om det också. (jag tror att det är jag själv som är skuld till det som står nu) /NH 14 mars 2009 kl. 10.54 (CET)
thread_title:  "Principal square root" 

message: Ett exempel som jag inte riktigt förstod varför det var med, rök. Lägg gärna tillbaks det och lite förklarande text om det gör någon nytta att stå med. :) –dMoberg 15 december 2009 kl. 23.15 (CET)
replies: text: Jag råkade titta igenom artikeln idag, för första gången på länge. Jag stördes direkt av flera saker, främst avsnittet Negativa och komplexa tal. Efter att ha läst ditt (Mobergs) inlägg ovan gick jag tillbaka i historiken; och jag är rädd att jag tycker att innehållet var litet klarare och litet mindre ologiskt innan din redigering i december. Å andra sidan är det alldeles utmärkt att ta med illustrationen med Riemannytan. Å tredje(?) sidan behövs förmodligen en litet klarare förklaring till vilken roll Riemannytan spelar i sammanhanget.

text: Exemplet du tog bort bidrog litet till att förtydliga ett väsentligt problem med att generalisera kvadratrotsbegreppet: Man tappar entydigheten. Det andra problemet är att man inte längre har samma allmängiltiga räknelagar.

text: Jag har ändå inte återställt din redigering, eftersom det även innan inte var helt idealiskt (och, som sagt, Riemannytan är ett plus). Dessutom tror jag att vi kan behöva ta en ny och samlad diskussion om vad "kvadratrötter egentligen är", innan vi går vidare. Jag räknar dock med att efter denna vi kan återställa bland annat det exempel du tog bort, så jag är tacksam för att du preciserade vad du gjorde och därmed underlättade framtida redigeringar. Jag öppnar ett nytt avsnitt för diskussionen. M. v. h., Jörgen B 12 februari 2010 kl. 20.00 (CET)
thread_title: Exempel vid Negativa och komplexa tal

message: Artikeln är nu delvis ologisk och i hög grad inte i överensstämmelse med det rekommenderade språkbruket i svensk skola (och även på universiteten). Problemen och Flera inlägg ovan sammanhänger med att "kvadratrot" kan betyda flera saker, och att man kan blanda ihop detta. Som  och  har försökt förklara, är det en skillnad på om en kvadratrot tänks vara ett funktionsvärde i vanlig mening, eller en rot till en algebraisk ekvation. Detta är huvudskillnaden; man kan också se det som resultatet av en operation, och som ett funktionsvärde för en funktion från C till en viss Riemannyta.
Jag tror att det riktiga sättet att lösa detta på är att redan från början tala om att det finns flera betydelser, men sedan till att börja med koncentrera sig på den som rekommenderas för skolbruk (och som t. ex. universitetslitteratur som Persson & Böiers analysböcker använder som en självklarhet). Den betydelsen är den som den äldre Matematikterminologi i skolan precist ger såhär:
replies: text: ::"Med kvadratroten ur ett positivt tal a menas det positiva tal vars kvadrat är a.
replies: text: ::Kvadratroten ur talet noll är noll."
Man kan tillägga att kvadratrötter i denna mening inte är definierade ur negativa tal.
I ett eller flera senare avsnitt tar vi upp den andra allmänt använda innebörden. Den kan ges mycket generellare, och inte bara för komplexa tal. Innebörden uttrycks nog bäst ungefär såhär:
replies: text: ::Om a är ett element i en ring R, så är en kvadratrot till a detsamma som en lösning i R till ekvationen  x2 = a ."
(Det finns en liten reservation: I vissa fall tänker man sig kvadratroten som ett element som inte behöver tillhöra R, utan en ospecificerad större ring som R är en delring av. Det kan dock alltid täckas upp av att man väljer en större ring redan från början; och är för mycket finlir här, EMRÅ.)
Slutligen finns en variant med en Riemannyta inblandad; ni kan se den på den illustration  har lagt in. Problemet är att den inte är en ring; men den är "närapå" en ring, och fångar på ett väsentligt sätt upp "kvadratrötter enligt definition 2 för komplexa tal".
I den övre artikeldelen kan man ta upp bland annat räknelagar för kvadratrötter, algoritmer för beräkning av dem, det faktum att kvadratrötter av naturliga tal antingen är naturliga eller irrationella, och litet om egenskaperna hos funktionen  f(x) = \sqrt x . Rätt mycket av finns redan färdigt i artikeln nu, eller fanns i äldre versioner (innan sammanblandningen av definitionerna slog igenom så kraftigt).
I den undre artikeldelen är det lämpligt att till att börja med koncentrera sig på komplexa tal. Antingen där eller i ett eget avsnitt bör man förklara varför den första definitionens egenskaper inte utan vidare kan utsträckas. Också detta finns det bra material till i historiken. Vi bör dock väldigt tydligt klargöra att det inte är en "oegentlig" utan en "annan" innebörd av kvadratrotsbegreppet vi ger.
Under avsnittet om kvadratrötter för komplexa tal bör vi också komma in på tre närbesläktade metoder för att komma tillrätta med att "kvadratrötter i den andra meningen" inte fås som funktionsvärden på vanligt sätt, nämligen:

text: a. Man "byter definition" på begreppet funktion; mer precist betraktar man så kallade flervärda funktioner. f(4) får vara "både 2 och -2 på samma gång".

text: b. Man väljer ut en lämplig "gren" av denna flervärda funktion, där valet beror på vilket tal man just nu intresserar sig för. Varje sådan "gren" är en "riktig" funktion (men inte kontinuerlig).
replies: text: :Kommentar: Detta bör inte sammanblandas med att "betrakta principalgrenen". Denna gren är ett olämpligt val för vissa tal. Jag tror inte att vi behöver skriva mycket om principalgrenen här. Det är i så fall rimligare att ta detta i artikeln flervärd funktion.

text: c. Man "definierar om definitionsområdet". I stället för en funktion från C till C, betraktar man en (bijektiv och utom i 0 analytisk) funktion från en viss Riemannyta till C. Den här Riemannytan, låt oss kalla den S, består av två kopior av varje nollskilt komplext tal, samt av talet noll. De sammanfogas på ett sätt som inte låter sig göras i ett tredimensionellt rum; på bilden ser det ut som om ytan "skär sig själv" längs en kurva (där "den gröna delen" skulle skära "den lila delen"), men så är det inte. Dock "möts allt i origo".
Det behövs nog en hel del förklaringar, både för att visa att det finns ett problem, och ännu mer för att ange "lösningarna". De tekniska bitarna av bör nog delvis hänvisas till artiklarna flervärd funktion och Riemannyta
Förutom fallet med komplexa tal, bör dels det allmänna fallet exemplifieras, och dels det stå litet om "kvadratisk utvidgning". Om i det allmänna fallet ringen R inte är kommutativ, så kan det finnas ett obegränsat antal kvadratrötter ur samma element. Två exempel:
replies: text: :*I M2(R), ringen av vanliga 2×2-matriser, har enhetsmatrisen E = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix} oändligt många kvadratrötter. Förutom $E$ och $-E$ är också varje matris \begin{pmatrix} a&b\\ c&-a\end{pmatrix}, sådan att a2+bc = 1, en kvadratrot.

text: :*I H, skevkroppen av (Hamiltonska) kvaternioner, är varje punkt på "den imaginära enhetssfären" en kvadratrot ur -1. Med andra ord, för varje trippel (a,b,c) av reella tal, sådan att  a2+b2+c2 = 1, är (ai+bj+ck)2 = -1.
Om ringen R är kommutativ, så kan det också finnas många rötter, men bara om ringen dessutom innehåller nolldelare. Exempelvis innehåller restklassringen Z/8Z fyra olika kvadratrötter till 1, eftersom

text: 1^2\equiv3^2\equiv5^2\equiv7^2\equiv1 (mod 8).
Däremot har ett element i en (kommutativ) domän alltid högst två kvadratrötter. Detta gäller speciellt för kroppar. (Har kroppen karakteristik 2, så har varje element högst en kvadratrot.)
Teorin för kvadratiska utvidgningar kan man gärna begränsa till kroppar och möjligen domäner. Det räcker kanske att ge en allmän definition, samt ett eller ett par enkla exempel, som Q[\sqrt5].
Summa summarum: Jag gissar att de som läser vår artikel kvadratrot ofta gör det just för att de vill reda ut hur det egentligen ligger till: Är bara 2 eller också både 2 och -2 kvadratrötter ur 4? De får inget tydligt svar i vår nuvarande artikel; och det otydliga svar de får stämmer inte med den vanligaste innebörden av ordet. Nu används ordet i båda betydelserna, så det behöver vi tala om; men vi skall mycket tydligt skilja dem åt, och tala om vilken av dem som i allmänhet gäller i skolor och på universitet. Sedan kan vi efter hand fylla på, inom vardera definitionen för sig, men fortfarande utan sammanblandning.
God natt! Jörgen B 12 februari 2010 kl. 23.54 (CET)

text: (Angående rubriken innan) Ja det kanske var litet hastigt att ta bort. Men jag tror det är viktigt att inte säga fel också. Ja det bör göras tydligt att det finns olika definitioner av kvadratrot. Men eftersom det i stort är samma sak borde det väl räcka med en artikel. En tydlig uppdelning vore nog det bästa. Helst en allmän introduktion som förklarar skillnaderna. –dMoberg 13 februari 2010 kl. 18.19 (CET)
replies: text: :Ja, en artikel borde räcka bra, men med tydligt åtskilda avsnitt som behandlar de alternativa definitionerna. Undantaget förstås den allmänna introduktionen. Jörgen B 13 februari 2010 kl. 19.41 (CET)
thread_title:  De två och en halv definitionerna