Diskussion:Lebesgueintegration

message: Lebesgueintegralen är i allmänhet inte sigma-additiv, bara additiv. När summorna är oändliga måste man titta på ytterligare kriterier, t.ex. monotona eller dominerande konvergenssatsen. --Petter 5 april 2009 kl. 17.48 (CEST)
replies: text: Man kunde åtminstone sägar nästan: Man kan visa att om (X,\mathcal{F},\mu) är en måttrum och f \geq 0 är en mätbar funktion så är en funktion \nu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty],
replies: text: : \nu(A) := \int_A f \, d\mu

text: för A \in \mathcal{F} ett mått. Se till exempel P. Halmos, Measure theory. Därför måttintegralen över ingen negativ mätbara funktioner är sigma-additiv eftersom måttet är sigma-additiv, dvs om (A_i)_{i\in\N} är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i \mathcal{F} så är
replies: text: : \int_{\bigcup_i A_i} f \, d\mu = \nu\left(\bigcup_i A_i\right) \stackrel{\mathrm{sigma}}{=} \sum_i \nu(A_i) = \sum_i \int_{A_i} f \, d\mu

text: --Novn 5 april 2009 kl. 18.03 (CEST)
Hmm, det finns ju två typer av additivitet för integraler:
*\int \sum_{k=1}^n f_k = \sum_{k=1}^n \int  f_k 
*\int_{A_1\cup\ldots\cup A_n} f = \sum_{k=1}^n \int_{A_k}  f
Jag tänkte på den första punkten. --Petter 5 april 2009 kl. 18.21 (CEST)
replies: text: ::Ah där är rätt. Å andra sidan där finns en sats, kallas Beppo Levis sats: om f_k \geq 0 är mätbara funktioner så är
replies: text: :::\int \sum_{k=1}^\infty f_k = \sum_{k=1}^\infty \int f_k .

text: :: Man bevisa Beppo Levis satsen bara med monotona konvergenssatsen:
replies: text: ::: \int \sum_{k=1}^\infty f_k = \int \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f_k \stackrel{\mathrm{MKS}}{=} \lim_{n \rightarrow \infty} \int \sum_{k=1}^n f_k \stackrel{\mathrm{additiv}}{=} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \int f_k =  \sum_{k=1}^\infty \int f_k

text: ::--Novn 5 april 2009 kl. 18.29 (CEST)
replies: text: :::Precis! Men här kommer det extra kravet f_k \geq 0 som inte stod i artikeln innan. --Petter 5 april 2009 kl. 19.02 (CEST)
thread_title:  Sigma-additivitet 

message: Jag hittar ingen bra bild på Commons som visar skillnaden mellan Riemann- och Lebesgue-indelning av området som integreras. Jag får väl försöka tillverka en själv om jag får tid. --Petter 5 april 2009 kl. 21.55 (CEST)
replies: text: Det låtar bra! Jag tänkar att man kan visa skillnaden mellan Riemann- och Lebesgue-indelning utan animationen. --Novn 5 april 2009 kl. 23.15 (CEST)
thread_title:  Bilder 

message: Bilden som ska illustrera principskillnad mellan riemann- och lebesgueintegration (:File:Lebesgue and Riemann integration animation.gif) är värdelös. Det är två identiska kurvor med rektanglar i olika färger under sig. I sitt nuvarande skick förklarar den ingenting. –dMoberg 8 maj 2010 kl. 01.19 (CEST)
På commons-sidan såg jag att det tydligen ska vara en animation. För mig (med firefox och nya wiki-skinnet) står animationen stilla. –dMoberg 8 maj 2010 kl. 01.21 (CEST)
thread_title:  Dålig bild 

message: Att Q-tecknet betyder mängden av de rationella talen är givet. Men Qc-tecknet förklaras inte. Jag antar att det skall betyda alla reella tal som inte är rationella. Detta borde isåfall förtydligas! Fabben (diskussion) 21 april 2015 kl. 01.36 (CEST)
thread_title:  Funktioner som ej är Riemannintegrerbara