Diskussion:Supremum

message: Är lite osäker på vad det ska vara för sorts ordning här. Fyll gärna i!
-- Aksel 30 september 2007 kl. 23.37 (CEST)
Rättning krävs!!!! Fel i artikeln, supremum i en rationell mängd behöver inte vara rationellt. T.ex. supremu, för x<sqrt(2) där x tillhör rationella tal är sqrt(2) fastän detta tal inte är rationellt...--88.112.253.62 13 oktober 2010 kl. 20.37 (CEST)
replies: text: Du har nog läst lite fort. Din mängd som en delmängd till de reella talen har ett supremum. Som en delmängd till de rationella talen har den inget supremum. Om vi tar ditt exempel och ser mängden som en delmängd av rationella talen får vi alltså, med beteckningarna från den formella definitionen i artikeln:
replies: text: :X = \Q ~~~~ A = \{x \in \Q: x^2 < 2\}

text: :M_A = \{x \in \Q: \forall a \in A: a \leq x\} = \{x \in \Q: x \geq 0, x^2 \geq 2\}

text: Då man ser att MA inte har något minimum (i de rationella talen). Om man sätter X som de reella eller de algebraiska talen har dock A ett supremum.

text: Notera även att under rubriken supremumegenskapen står det:
replies: text: :Man säger att en ordnad mängd S har supremumegenskapen om varje icketom uppåt begränsad delmängd till S har ett supremum (som också ligger i S).

text: Notera meningen inom parentes. Calle 13 oktober 2010 kl. 21.04 (CEST)

message: Den här artikeln har en stark slagsida mot (reell) analys. Nu är supremumbegreppet förvisso särskilt grundläggande just i teorin för reella tal, och antagligen träffar studerande betydligt oftare på termen inom analysen än inom andra områden; men den moderna generellare definitionen är formulerad med avseende på allmänna pomängder (partialordnade mängder) och delmängder till dessa. Artikelns upptakt och samtliga dess exempel handlar enbart om reella tal (inklusive delmängder av R). Den nuvarande "formella definitionen" specificerar inte att mängderna måste vara reella, men däremot att de måste vara totalordnade. Jämför definitionen här med den i enwpsystern:
replies: text: :Formellt kan man skriva det som, för en mängd A\subseteq X, med linjär ordning \leqslant:
replies: text: :Låt M_A := \{x\in X : \forall a\in A : a\leqslant x\}. Då gäller
replies: text: ::x_0 = \sup A \iff x_0\in M_A \land (\forall x\in M_A : x_0\leqslant x) \iff x_0 = \min M_A

text: :(Där minimumet existerar precis då supremumet gör det)
respektive

text: :... Similarly, an upper bound of a subset S of a partially ordered set (P, \leq) is an element b of P such that

text: :* b \geq x for all x \in S.

text: :An upper bound b of S is called a supremum (or least upper bound, or join) of S if

text: :* for all upper bounds z of S in P, z \geq b (b is less than any other upper bound).
Nu är ju begreppet supremum (med denna term eller dess synonym join) också helt grundläggande för teorin för (algebraiska) gitter (lattices). Jag vill samtidigt inte ändra alltför mycket i denna artikel (som jag tycker i stort sett är vettig, om än begränsad). Min lösning blir att skriva till en ny generellare inledning och ändra den formella definitionen efter enwpförebilden, men behålla det mesta av innehållet som det är, med en övergripande hänvisning till att detta handlar om begreppets användning inom analys och teorin för reella tal. Jörgen B (diskussion) 4 juli 2021 kl. 17.36 (CEST)
thread_title:  Suprema i allmänna pomängder.