Diskussion:L'Hôpitals regel

message: Hmmm, förutsättningarna är felaktiga. f(x) och g(x) ska båda vara 0, annars är det meningslöst att använda regeln. Deriveringar utförs sedan tills minst en av de n:te derivatorna är skiljd från 0 och gränsvärdet blir kvoten mellan de n:te derivatorna.
Regeln kan visst tillämpas på funktionen f(x)=\frac{\sin(x)}{x} då x närmar sig talet 0. Förutsättningarna är uppfyllda! Jag tar därför bort stycket titulerat "Inte ett bevis."--Albiki 21 maj 2008 kl. 00.29 (CEST)
replies: text: Det handlar om att det inte går att använda regeln som ett matematiskt bevis i detta fall, eftersom en förutsättning för att kunna beräkna derivatan av \sin x i x=0 är att gränsvärdet \lim_{h \to 0} \frac{\sin(0+h)-\sin(0))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} kan beräknas. För att kunna använda regeln måste man alltså veta svaret redan. Däremot var det nog inte så tydligt framställt. —CÆSAR 23 maj 2008 kl. 16.00 (CEST)

message: Vi genomför beviset då det reella talet x ligger i ett öppet intervall (x_0, \, b), och då funktionen g närmar sig värdet noll då dess argument närmar sig det fixerade talet x_0; 
replies: text: \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 .
*Vi vet att de två derivatorna f^\prime och g^\prime existerar på intervallet (x_0, \, b), vilket innebär att funktionerna f och g båda är kontinuerliga där. Genom att definiera funktionernas värden för argumentet x_0 till att vara talet noll, blir funktionerna f och g kontinuerliga på det slutna intervallet [x_0, \, b_0], där b_0 < b är ett fixerat tal som inte kommer att spela någon ytterligare roll i beviset.

text: f(x_0) = 0 =  \, g(x_0).
*Vi vet också att derivatan g^\prime har konstant tecken på det öppna intervallet (x_0, \, b_0), vilket innebär att funktionen g är antingen strängt monoton eller konstant på intervallet. För att det kommande resonemanget skall vara giltigt får funktionen g inte vara konstant; det är den inte, eftersom det strider mot förutsättningen att gränsvärdet \lim_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} existerar som ett reellt tal. Derivatan till en strängt monoton funktion är aldrig noll, varför vi då vet att derivatan g^\prime inte är lika med noll på det öppna intervallet (x_0, \, b_0). 
Vi vet nu tillräckligt om funktionerna f och g för att kunna använda Cauchys medelvärdessats, som talar om för oss att om vi låter argumentet x ligga i intervallet (x_0, \, b_0) så kommer det öppna intervallet (x_0, \, x) att innehålla ett tal (c_x)  som gör att följande ekvation är sann.

text: \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f^\prime(c_x)}{g^\prime(c_x)} .
Då talet x närmar sig det fixerade talet x_0 tvingas talet c_x också att närma sig talet x_0, vilket innebär att vi kan skriva gränsvärdet av kvoten av derivatorna på följande sätt.

text: \lim_{x \to x_0} \frac{f^\prime(c_x)}{g^\prime(c_x)} = \lim_{c_x \to x_0} \frac{f^\prime(c_x)}{g^\prime(c_x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} .
De fakta att funktionerna f och g båda antar värdet noll för argumentet x_0, samt att gränsvärdet  \lim_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  existerar, låter oss dra slutsatsen att gränsvärdet  \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}  också existerar och är lika med
 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} .
Med detta har vi lyckats bevisa l'Hospitals regel i fallet då argumentet x ligger i ett öppet intervall (x_0, \, b) och då funktionen g närmar sig värdet noll då dess argument närmar sig talet x_0; beviset blir likadant om vi istället låter argumentet ligga i ett öppet intervall (a, \, x_0).
Avslutningsvis skall vi behandla fallet då funktionen g saknar gränsvärde då dess argument närmar sig det fixerade talet x_0.

text: \lim_{x \to x_0} g(x) \in \{-\infty, \infty\}; symbolerna -\infty och \infty representerar inte reella tal.
(Fortsättning följer...)--Albiki 23 maj 2008 kl. 15.10 (CEST)
thread_title: Bevis

message: Jag tycker att detta exempel visar att gränsvärdet är lika med sig sjävt inverterat, en egenskap som bara 1 och -1 har. Att hävda att regeln inte går att tillämpa är att ta i. Dessutom kan väl en tillämpning knappast resultera i ett felaktigt värde? Något exempel? Skåningiexil 15 augusti 2011 kl. 21.35 (CEST)
thread_title:  Exempel då regeln inte kan tillämpas