Diskussion:Tredjegradsekvation

message: Till Andejons,
Det är inte slarvigt att skriva den imaginära enheten som \sqrt{-1}. Beteckningen har att göra med historiken bakom den imaginära enheten, vilken är den främsta anledningen att studera lösningsformeln till tredjegradsekvationen. Jag, och förmodligen alla som läser artikeln, är fullt medvetna om att \sqrt{x} är definierad endast för icke-negativa reella tal x.
Vidare tycker jag att du bör relatera diskriminanten, D, med de ursprungliga koefficienterna a,b,c, och d. Hur skall en läsare annars kunna använda lösningsformeln som du skrivit?
Det är inte bara inom komplex matematisk analys som komplexa tal används. Det är förmodligen intressant om läsare får en liten uppfattning om dess användbarhet genom att referera till andra områden.
Vidare är _symbolen_ \sqrt{-1} inte ett uttryck, som du skriver. Om så vore fallet skulle integral-symbolen, summationssymbolen, deriveringssymbolen, ... vara uttryck.
Det finns endast en lösningsformel för tredjegradsekvationen. Vilka andra menar du? Den text som jag har skrivit ger härledningen av den formel som du angivit. Varifrån får du uttrycken för lösningarna som du betecknar z_{1,2}?
replies: text: Användandet av uttrycket \sqrt{-1} (roten ur-tecknet är en symbol, liksom minus-tecknet och ettan. Tillsammans blir de ett uttryck, liksom integralen av ln x är ett uttryck som består av flera symboler) är om inte slarvigt så i alla fall olämpligt, eftersom det inte går att definiera roten ur minus ett som något vettigt samtidigt som man behåller alla regler för exponentiering utan att hamna i motsägelser som \sqrt{-1}=-\sqrt{-1}.

text: Du har rätt i att det bör framgå tydligare hur D kopplar till den ursprungliga ekvationen. Tanken med att återinföra denna lösningsmetod var att presentera lösningarna utan att tyngas ner av härledningarna och diskussionen av historien bakom metoden. Detta eftersom anledningen till att läsa om tredjegradsekvationen här torde vara att man är intresserad av främst denna och inte av den imaginära enheten (även om detta stycke troligen också är intressant). Om man är intresserad av komplexa tal och hur de används tycker jag det faktiskt är artikeln om dessa man bör läsa.

text: Vidare så har din lösningformel problemet att den endast ger en enda lösning, vilket enligt algebrans fundamentalsats inte är uttömmande. Lösningarna z_{2,3} (antar att det är dessa du avser) är de två övriga, möjligen komplexa lösningarna. Uttrycket för dessa kommer rakt ur Råde & Westergren.

text: andejons 12 april 2007 kl. 20.31 (CEST)

message: ska det stå 
x1  och z2,3, inte  typ x2,3
replies: text: Du har rätt. Jag fixade det.

text: andejons 30 maj 2007 kl. 16.25 (CEST)
replies: text: :tack så mycket :-D--Gurkzor 30 maj 2007 kl. 18.14 (CEST)
thread_title:  Rötterna till den ursprungliga ekvationen är sedan 

message: I slutet av artikeln står det 
x=4, x=2+rot(3) och x= 2-rot(3).
Uttrycket
  x = .................. = 4 
är alltså ett av dessa tre tal. Vilket av dem det är, är mindre intressant; det intressanta är att vi här har ett exempel där uttrycket  är involverad i beskrivningen av ett reellt tal!
Bör vara x=4, x=-2+rot(3) och x=-2-rot(3).
De två sista raderna är förbryllande. "Vilket av dem det är, är mindre intressant";???  Det måste ju vara det första (=4).
Det står ju x = ...........= 4
mvh /Bengt
replies: text: Det sista uttrycket är antagligen lika med 4, 2+rot(3) och 2-rot(3). Men jag förstår inte heller vad som menas med "Vilket av dem det är, är mindre intressant". Förbryllande minst sagt. Moberg 21 november 2010 kl. 20.46 (CET)
replies: text: : När man löser tredjegradsekvationer, och då även sådana med enbart reella rötter kan det under lösandet dyka upp termer som, om man tittar närmre på dem, måste vara imaginära, men som sedan "försvinner". Det är väl det som är det "förunderliga", att trots att lösningsmetoden inte direkt (åtminstone inte när man först tittar på den) förutsätter existensen av sådana tal, och att ekvationen bara har reella rötter så kan det trots det dyka upp imaginära termer i mellanleden. Jag har inte tillgång till någon bok som beskriver del Ferros formel, så jag vill inte skriva om stycket just nu. /NH 21 november 2010 kl. 21.08 (CET)
thread_title:  Flyttat från Wikipedia:Faktafrågor 

message: Länk till Kunskapsbanken  fungerar inte. Ny källa bör sökas. Quispiam 1 februari 2011 kl. 09.57 (CET)
thread_title:  Länk 

message: Jag gjorde en snabbkoll i Octave (Matlabkompatibel i stort sett)
function [x1, x2, x3] = root3(a2, a3, a4)
  p = a3 - a2^2/3;
  q = a4 + (2*a2^3 - 9*a2*a3)/27;
  D = (p/3)^3 + (q/2)^2;
  u = (-q/2 + sqrt(D))^(1/3);
  v = (-q/2 - sqrt(D))^(1/3);
  x1 = u + v - a2/3;
  x2 = -(u + v)/2 + (u - v)/2*i*sqrt(3) - a2/3;
  x3 = -(u + v)/2 - (u - v)/2*i*sqrt(3) - a2/3;
endfunction
Anropet [x1, x2, x3] = root3(1, 1, -14) ger
x1 =  2.137459 + 0.079362i
x2 = -1.5000 + 2.0207i
x3 = -1.6375 - 2.1001i
vilket är fel...
De korrekta rötterna är
x1 =  2
x2 = -1.5000 + 2.1794i
x3 = -1.5000 - 2.1794i
Har jag slarvat eller...?
Svjo 25 juni 2011 kl. 18.46 (CEST)
replies: text: Om frågan gäller det avslutande exemplet har du definitivt slarvat. 2 är inte en rot (2^3-15*2-4=8-30-2=-24).

text: andejons 26 juni 2011 kl. 21.16 (CEST)
replies: text: :Exemplet avser "Lösning för reella koefficienter" och rötterna där. 2 är en lösning till 2^3 + 2^2 + 2 - 14 = 0 (de angivna efterföljande x2, x3 är de övriga rötterna). Teckenfel någonstans (klockan är för mycket för en närmare felsökninig...)?

text: :Svjo 26 juni 2011 kl. 23.52 (CEST)
replies: text: ::Jag hittade inget fel i Svjos lösning och gjorde därför ett eget program i Mathematica och fick samma svar som Svjo, dvs det felaktiga svaret. Rötterna till polynomet x^3 + x^2 + x -14 ska vara 2, \frac{1}{2}(-3-i \sqrt{19}), \frac{1}{2}(-3+i\sqrt{19}) eller approximativt de tal som Svjo anger som korrekta. Metoden angiven här är princip den i Råde och Westergren och jag hittar inga fel i artikeln jämfört med boken. Så antingen har både jag och Svjo slarvat, jag har missat något i BETA, eller så står det fel där också. Tittar närmare på det imorgon. Calle 7 augusti 2011 kl. 02.32 (CEST)
replies: text: :::Nu hittade jag var i felet låg. Om man bara skriver x1/3 i Mathematica (och tydligen även Octave) hittar programmet en kubikrot för x, inte nödvändigtvis den reella (som alltid finns om x är reell). Jag skrev en egen kubikrotsfunktion och då fungerade det utmärkt. Dock är det lite teckenkonstigheter i härledningen som jag tänkt fixa. Calle 7 augusti 2011 kl. 19.50 (CEST)
thread_title:  Fel?