Diskussion:Välordningssatsen

message: Ända från att artikeln skapades för nära nog ett decennium sedan och tills nu har denna artikels huvudsakliga innehåll varit två föreslagna "bevis" med rätt allvarliga felaktigheter, nämligen
replies: text: :Bevis med hjälp av Zorns lemma
replies: text: :Låt X vara en mängd, och låt U vara mängden av partiella välordningar på X, dvs välordningar av någon delmängd till X. Inklusionsrelationen ger en partiell ordning på U. Eftersom unionen av välordningar är en välordning har varje kedja i U en övre gräns, så enligt Zorns lemma finns ett maximalt element E i U. Om det finns något element x i X som inte ligger i definitionsområdet för E så kan E utvidgas genom att placera x först, vilket motsäger maximaliteten för E. Därmed är E en välordning på X.
respektive

text: :Bevis med hjälp av urvalsaxiomet

text: :Låt X vara en mängd, och låt f vara en urvalsfunktion på potensmängden till X. Definiera rekursivt en funktion g från ORD till X genom
replies: text: :: g(0)=f(X)

text: :: g(\alpha)=f(X\backslash\cup im g|_\alpha)

text: :Låt nu x<y omm g(x)<g(y)
Det första "beviset" går att göra om till ett korrekt bevis som åtminstone delvis bygger på samma udéer. Det andra beviset innehåller däremot en hänvisning till ett "rekursivt" förfarande. Detta slags "transfinita rekursion" förutsätter välordningsatsen (på liknande sätt som "transfinit induktion" gör). Detta "bevis" är därför ett flagrant exempel på cirkelbevis.
Det bekymrar mig att varken jag eller någon annan av de (nu eller någon gång under detta decennium) övriga aktiva matematikerna på svwp sett detta. Jag undrar hur mycket mer vi missat.
Detaljkritik av det första bevisörsöket: Beviset bygger på idén att unionen av en kedja av välordnade delmängder är en välordnad delmängd, samt på att en maximal sådan delmängd inte kan vara äkta. För att få en vettig ordning räcker det dock inte med att bara betrakta mängdinklusion av välordnade delmängder i varandra; man måste också kräva att ordningarna är kompatibla. Detta är en brist i beviset, som dock är rimligt lätt att fixa.
Även efter att man har fixat detta, får man emellertid inte alls att unioner av kedjor skulle ge delmängder med välordningar. Artikeln föreslår explicit ett förfarande för att utvidga delmängderna (och deras välordningar), som  i stort sett automatiskt ger motexempel mot detta, nämligen att man utvidgar en välordnad mängd genom att lägga till ett nytt element och göra detta minst i den utvidgade mängden.
Låt oss pröva denna metod på mängden Z! Z innehåller delmängden , som är välordnad med sin vanliga ordningsrelation . Vi kan nu utvidga N till en välordnad mängd N-1 genom att lägga till elementet -1, och låta detta vara lägst (så att , precis som vanligt). Processen kan fortsättas genom att man successivt lägger -2, -3  före de redan medtagna elementen, vilket ger en kedja

text: :\mathbf N \subset \mathbf N_{-1} \subset \mathbf N_{-2} \subset \mathbf N_{-3} \subset \ldots
av välordnade delmängder av Z. Unionen av alla dessa är dock Z med sin vanliga ordning, vilket som bekant inte är en välordning.
Jag "slaktar" i stort sett artikeln, och får tyvärr också stubbmärka den. Jörgen B (diskussion) 3 september 2015 kl. 19.00 (CEST)
thread_title:  Nära ett decennium av avgjort felaktig argumentation.